Методические рекомендации и задания к контрольной работе N3 по высшей математике для студентов-заочников специальности 1-26 02 02 "Менеджмент"

Citation preview

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Кафедра естественно-научных дисциплин

МЕТОДИЧЕСКИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ И ЗАДАНИЯ к контрольной работе № 3 по высшей математике для студентов-заочников по специальности 1–26 02 02 «Менеджмент»

Минск 2004

УДК 519. 2 (076.1) (075.8) ББК 22. 17я М 54 В настоящем издании помещены программы и контрольные задания (25 вариантов) по высшей математике. Студент должен выполнить контрольное задание по номеру варианта, который совпадает с двумя последними цифрами зачетной книжки (шифра). Если номер шифра больше двадцати пяти, то следует из него вычесть число двадцать пять. Полученный результат будет номером варианта. Составители: З.М.Алейникова, М.Н.Покатилова, А.Ф.Шидловская Рецензент Т.С. Яцкевич

 З.М. Алейникова, М.Н. Покатилова, А.Ф. Шидловская, составление, 2004

ПРОГРАММА Тема 1. Ряды Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Действия над рядами. Необходимое условие сходимости. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница. Функциональные ряды. Область сходимости. Равномерная сходимость. Признак Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Абеля. Интервал и радиус сходимости. Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение функций в степенные ряды. Применение рядов к приближенным вычислениям. Тема 2. Теория вероятностей и математическая статистика Предмет теории вероятностей. Классификация событий. Пространство элементарных событий. Алгебра событий. Понятие случайного события. Относительные частоты. Закон устойчивости относительных частот. Классическое и геометрическое определение вероятности. Понятие об аксиоматическом построении теории вероятностей. Методы исчисления вероятностей. Свойства вероятностей. Теоремы сложения. Независимость событий. Определение условной вероятности. Вероятность произведения событий. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Последовательность независимых испытаний. Схема Бернулли. Теоремы Муавра–Лапласа и Пуассона. Дискретные случайные величины (СВ). Ряд распределения. Функция распределения, ее свойства. Математическое ожидание и дисперсия дискретной СВ. Непрерывные СВ. Функция распределения, плотность распределения, их взаимосвязь и свойства. Математическое ожидание и дисперсия непрерывной СВ.

3

Примеры законов распределения дискретных СВ: биномиальный, Пуассона. Их свойства. Примеры законов распределения непрерывных СВ: равномерный, показательный, нормальный. Их свойства. Понятие о различных формах закона больших чисел. Теорема Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова. Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма и полигон. Эмпирическая функция распределения. Выборочная средняя и дисперсия. Оценки параметров распределения. Точечные оценки. Интервальные оценки. Доверительные интервалы для математического ожидания нормально распределенной СВ при известном и неизвестном среднем квадратическом отклонении. Доверительный интервал для среднего квадратического отклонения нормально распределенной СВ. Понятие о статистических гипотезах и критериях согласия. Критерии согласия χ2 – Пирсона и Колмогорова. 1. РЯДЫ 1.1. Числовые ряды. Основные определения. Сходимость ряда. Признаки сходимости числовых рядов Выражение вида 

U1 + U2 + … Un + … =

U n 1

n

,

(1.1)

где Un  R, называется числовым рядом. Числа U1, U2, …, Un … называются членами ряда, а Un – общий член ряда. Ряд считается заданным, если известен его общий член: Un = f(n), n  N, т.е. задана функция натурального аргумента. Суммы n

S1 = U1; S2 = U1 + U2, …; Sn =

U i 1

называются частичными суммами ряда (1.1).

4

i

(1.2)

Если существует конечный предел lim Sn = S, то ряд (1.1) назыn 

вается сходящимся, а число S – его суммой. Если же lim Sn не суn 

ществует или lim Sn = ∞, то ряд (1.1) называется расходящимся. n 

Необходимый признак сходимости ряда. Если ряд (1.1) сходится, то lim Un = 0. n 

Следствие. Если lim Un ≠ 0, то ряд (1.1) расходится. n 



1 называется гармоническим рядом. n 1n Для него lim Un = 0, но ряд расходится. Ряд



n 

1.2. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами 1. Признак сравнения. Пусть даны два ряда с положительными членами: 

U n

(1.3)

n 1

и 

 Vn ,

(1.4)

n 1

причем члены ряда (1.3) не превосходят соответствующих членов ряда (1.4), т.е. при любом n

U n  Vn . Тогда: а) если сходится ряд (1.4), то сходится и ряд (1.3); б) если расходится ряд (1.3), то расходится и ряд (1.4). 2. Предельный признак сравнения. Если существует конечный предел

5

lim n 

Un  k  0, Vn

то ряды (1.3) и (1.4) одновременно сходятся либо расходятся. 3. Признак Даламбера. Если для ряда (1.3) существует

U n 1  l, n  U n lim

то если l < 1 – ряд (1.3) сходится; l > 1 – ряд (1.3) расходится; l = 1, ответа не дает. 4. Радикальный признак Коши. Если для ряда (1.3) существует предел

lim n U n  q,

n 

то, если q < 1 – ряд (1.3) сходится; q > 1 – ряд (1.3) расходится; q = 1 – ответа не дает. 5. Интегральный признак Коши. Пусть члены ряда (1.3) положительны и не возрастают при n → ∞, т.е.

U 1  U 2  U 3  ...  U n  …, и пусть f(x) – положительная, непрерывная, невозрастающая функция на [1, ∞] такая, что f(1) = U1, f(2) = U2, …, f(n) = Un. Тогда ряд (1.3) сходится, если сходится несобственный интеграл 

 f ( x )dx, и расходится, если этот интеграл расходится.

1

6

Пример 1.1 Установить, сходится ли ряд, исходя из определения его суммы: а)



3n  2 n

n 1

6n



; б) 2 + 5 + 8 +11 + …

Решение: а) U n 

2 n  3n 6n

n

n

1 1     ; 2  3

1  1 1 1  1 1  1 1 1 1  1 1  Sn      2  2  ... n  n     2 ... n    2 ... n   2  3 3 3  2 3  2 3  2 3  2 2 1  1  1 1  1   1   b1 1  qn 2  2n  3  3n   1  1  1  3 1 1 1   1  n   1  n    n  . n .  Sn   1 1 1 q  2  2 3  2 2 2 3 1 1 2 3





1  3 3 1  n    , следовательно, по опреn  2 2 2  3n  2

S = lim S n  lim  n 

делению ряд сходится. б) 2 + 5 + 8 + 11 + … an = a1 + d (n - 1), a1 = 2, d = 3, следовательно, an = 2 + 3 (n – 1).

Sn 

a1  a n 2  2  3n  1 4  3n  1 n n n. 2 2 2

S = lim S n  n 

1 lim 4  3n  1n   , следовательно, ряд по 2 n 

определению расходится. Пример 1.2. Проверить, выполняется ли необходимый признак сходимости ряда:

7

а)



 1 1  n 1 ; б)   n . n 1 n  3  n 1 n



Решение:

n 1  1  0, следовательно, ряд расходится. n  n  n 1 б) lim U n  lim  0 , следовательно, необходимый приn  n  n3 n а) lim U n  lim

знак сходимости ряда выполняется. Пример 1.3 Исследовать сходимость рядов а)

n



  9 n 1   ; б) ; в)   n6;   4 n 1 10  n 1ln n  1 n 1 n  1 n

 n  3n  1  2 г)   .  ; д)  2 n 1 4n  1  n 11  n 

Решение: а). Сравним данный ряд с рядом



1 расходящимся. Так как n 1 n  1



1 1 > (ln n < n), то по признаку сравнения данный ряд расln n  1 n  1 ходится. б). Сравним с рядом





1

n 1 n

3

, p = 3 > 1, ряд сходится.

По предельному признаку сравнения Un 1  n4  n  lim  :   lim  1  0, n Vn n n 4  1 n 3  n n 4  1 lim

следовательно, данный ряд сходится.

8

Для сравнения часто используются ряды: 

 aq n 1 –

1)

геометрический ряд, при q < 1 – ряд сходится,

n 1

при q  1 – расходится. 

1



2)

– обобщенный гармонический ряд, при p > 1 – схо-

np дится; при p  1 – расходится. n 1

в). По признаку Даламбера n

lim

n

Un1 Un

n 1

9 Un    n6  10

9 6   n  1 6 9 9 < 1, 10  n  1  lim   lim     n n 1 n n   10 n 10   9 6 9   n Un1    n  16  10  10

следовательно, данный ряд расходится. г). По радикальному признаку Коши:

3n  1  4n  1

lim n U n  lim

n 

n 

3n  1 3 < 1,  n   4n  1 2 lim

следовательно, ряд сходится. д). По интегральному признаку Коши.

Un 

n 1 n

2

, f x  

производная f /  x  

x 1  x2 1 x2

– невозрастающая функция, так как ее

1  x 2 2

< 0 при x > 1.

Имеем 



xdx

2 1 1 x

b

 lim 

xdx

b 1 1 x2



 

b 1 1 lim ln1 x2  limln 1 b2  ln 2  , l 2 b 2 b  9

следовательно, несобственный интеграл расходится, значит, и ряд расходится. 1.3. Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Знакочередующиеся ряды. Теорема Лейбница 

Ряд

U n 1

n

(1.5)

называется знакопеременным, если среди его членов имеются как положительные, так и отрицательные числа. Если ряд 

U n 1

n

,

(1.6)

составленный из модулей членов ряда (1.5), сходится, то ряд (1.5) также сходится. Ряд (1.5) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд (1.6). Сходящийся знакопеременный ряд (1.5) называется условно сходящимся, если ряд (1.6) расходится. Ряд вида 

  1

n 1

n 1

U n  U 1  U 2  U 3  U 4  ...   1n 1U n  ..., (1.7)

где Un > 0, n = 1, 2, …, называется знакочередующимся. Признак Лейбница. Если члены знакочередующегося ряда (1.7) удовлетворяют условиям: 1). U1 > U2 > U3 > … > Un > …; 2). lim U n  0 , n

то ряд (1.7) сходится. Остаток ряда rn rn = (-1)nUn+1 + (-1)n+1Un+2 + … имеет знак своего первого члена и меньше его по модулю, т.е. |rn| < Un+1.

10

Пример 1.4 Исследовать на абсолютную и условную сходимость ряд 

cos n

n 1

n2



Ряд из модулей его членов нения, так как

cos n n

2



1 n

2

.



cos n

n 1

n2



, а ряд





сходится по признаку срав-

1

n 1 n

сходится, следовательно,

2

данный ряд сходится абсолютно. Пример 1.5 Исследовать сходимость ряда дующийся ряд. а). Ряд из модулей его членов

 1n 1  n 1 n  1 ln n  1 

– знакочере-



1 расходится (по n 1 n  1 ln n  1



интегральному признаку сходимости). б). Проверим условную сходимость по признаку Лейбница. 1)

1 1 1 > > > …; 2 ln 2 3 ln 3 4 ln 4

1  0, следовательно, данный ряд n n   n  1 ln n  1 сходится условно. 2) lim U n  lim

1.4. Степенные ряды. Область сходимости степенного ряда Степенным рядом называется функциональный ряд вида 

 C n x  a 

n

,

(1.8)

n 0

где Cn – коэффициенты степенного ряда, a Cn  R.

11

Если а = 0, то ряд (1.8) принимает вид 

 Cn x n .

(1.9)

n 0

Совокупность тех значений х, при которых степенной ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда. Теорема Абеля Если степенной ряд (1.9) сходится при значении x = x0 ≠ 0, то он сходится, и притом абсолютно, при всех значениях х таких, что |x| < |x0|. Если степенной ряд (1.9) расходится при х = х1, то он расходится при всех значениях х таких, что |x| > |x1|. Областью сходимости степенного ряда (1.9) является некоторый интервал с центром в точке х = 0. Радиусом сходимости ряда (1.9) называется такое число R, что во всех точках х, для которых |x| < R, ряд сходится, а во всех точках |x| > R ряд расходится. Радиус сходимости степенного ряда находится по формулам

Cn ; n   C n 1

R  lim

R  lim

n  n

1 Cn

,

если эти пределы существуют. Примеры Определить область сходимости рядов: 1.





n 0

12

xn

. 3 n n  1

Cn R  lim  n   C n 1

1

Cn 

3 n  1 3 n 1 n  2   lim  3, n   3 n n  1 1  3 n 1 n  2  n

C n 1

следовательно, интервал сходимости (-3, 3). Исследуем сходимость ряда в граничных точках: а) х = 3, получаем ряд



1 , который расходится (гармоничеn 0n  1



ский ряд); б) х = -3, получим ряд



 1n 1

n 0

n 1



, который сходится по призна-

ку Лейбница: 1) 1 >

1 1 1 > > … ; 2) lim 0. n  n  1 2 3

Область сходимости – [-3; 3). n



n  x  1 2.    . n 1 n  1  2  Определим радиус сходимости ряда:

Cn 

n

; n Cn nn  22 n1 nn  2   n  1 2 R  lim   lim  2 lim  2, n n  1 n C n 1 n n  1n  12 n n  12 Cn1  n  22 n1 следовательно, R = 2, |x – 1| < 2; -2 < x – 1 < 2; -1 < x < 3.

13

Интервал сходимости (-1, 3). Исследуем сходимость ряда в граничных точках: 1).

х

=

3,

получаем



n n 1 n  1



–

знакоположительный,

n  1  0, следовательно, ряд расходится. n  n  n  1   1m n 2) х = -1, получаем ряд  – знакочередующийся, расn 1 n  1 ходится по признаку Лейбница, так как lim U n  0 . Область схоlim U n  lim

n

димости (-1, 3). 1.5. Свойства степенных рядов 

Пусть функция S(x) является суммой степенного ряда

 Cn x n .

n 0

Доказано, что на любом отрезке [a, b], целиком принадлежащем интервалу сходимости (-R, R), функция S (x) непрерывна, а следовательно, степенной ряд можно почленно интегрировать на этом отрезке: b

b

b

b

a

a

a

a

n  S x dx  C 0  dx  C1  xdx  ...  C n  x dx  ...

Кроме того, в интервале сходимости степенной ряд можно почленно дифференцировать: S/(x) = C1 + 2C2x + 2C3x2 + … + nCnxn-1 + … При этом после интегрирования или дифференцирования полученные ряды имеют тот же радиус сходимости R. Пример 1.6. Определить интервал сходимости и найти сумму ряда

14



  1

n 1

Cn  n   C n 1

R  lim

Cn  C n 1

n 1

x 2n 1 . 2n  1

1 2n  1 2n  1  1.  lim n   2n  1 1  2n  1

где |x2| < 1, |x| < 1, -1  x  1, в граничных точках сходится по признаку Лейбница. Тогда S/(x) = 1 – х2 + х4 – х6 + …, S/(x) =

1 , 1 х2

а S(x) =  S  x dx   dx  arctg x  C S(0) = 0, следовательно, C = 0. 1  x2 Так как S(x) = arctg x определена при х =  1 и непрерывна на [-1, 1], то она равна сумме ряда и в точках х =  1. 2. ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА 2.1. Пространство элементарных событий. Определение вероятности. Элементы комбинаторики Элементарными событиями (элементарными исходами) называются взаимоисключающие исходы опыта. Множество    всех элементарных событий называется пространством элементарных событий данного опыта. Любое подмножество А множества  называется событием. Вероятность события характеризует степень объективной возможности наступления этого события.

15

2.1.1. Классическое определение вероятности Пусть множество  состоит из конечного числа n равновозможных элементарных событий. Вероятность Р(A) события A равна числу m элементарных событий, входящих в A (числу всех благоприятствующих событию A элементарных исходов), деленному на число всех элементарных событий (число всевозможных, равновозможных и единственно возможных исходов), т.е. P ( А) 

m . n

2.1.2. Геометрическая вероятность Пусть G – некоторая область и вероятность попадания в какуюнибудь часть g области G – пропорциональна мере этой части (длине, площади, объему – в зависимости от размерности пространства, в котором рассматриваются области) и не зависит от ее расположения. Тогда вероятность попадания в область g равна P ( g) 

ме р а g . Понятие геометрической вероятности обобщает ме р а G

понятие классической вероятности на случай опытов с бесконечным числом элементарных исходов. 2.1.3. Элементы комбинаторики В теории вероятностей часто используют размещения, перестановки и сочетания. Пусть дано множество А  1 ,  2 ,...,  n  . Размещением из n элементов по k называется любое упорядоченное подмножество k элементов множества А. Таким образом, размещения отличаются либо самими элементами, либо их порядком. Размещения из n элементов по n элементов (т.е. при k = n) называются перестановками. Сочетанием из n элементов по k называется любое подмножество k элементов множества А. Различные сочетания отличаются хотя бы одним элементом. Пусть, например, дано множество А  1 ,  2 ,  3  . Размещениями из 3 элементов этого множества по 2 будут

16

( 1 ,  2 ), ( 1 ,  3 ), ( 2 ,  1 ), ( 2 ,  3 ), ( 3 , 1 ), ( 3 ,  2 ) .

Сочетаниями из 3 элементов по 2 являются: ( 1 ,  2 ), ( 1 ,  3 ), ( 2 ,  3 ) .

Перестановки из 3 элементов: ( 1 ,  2 ,  3 ), ( 1 ,  3 ,  2 ), ( 2 ,  1 ,  3 ), ( 2 ,  3 , 1 ), ( 3 ,  1 ,  2 ), ( 3 ,  2 ,  1 ) .

Число перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn  n !  1  2  3.... n ; число размещений из n элементов по k – по фор-

муле A nk 

n!  n( n  1)... ( n  k  1) ; число сочетаний из n элемен( n  k )!

тов по k – по формуле C nk 

A nk n! n( n  1)... ( n  k  1)  . От 1  2...k Pk k !( n  k )!

метим, что C nk  C nn k . Приведем несколько примеров простейших комбинаторных задач. 1. Число способов, которыми можно рассадить за столы по 2 студента группу в 20 человек, равно A202  20  19  380 . 2. Число способов распределения 5 должностей между 5 лицами равно P5  5 !  1  2  3  4  5  120 . 3. Число партий шахматной игры среди 12 участников чемпионата (если каждый участник играет только одну партию друг с дру2 гом) равно C12 

ве

12 ! 12 11   66 . 2 !10 ! 1  2

4. Число способов, которыми можно выбрать делегацию в соста15 человек, равно человек из группы в 20

15 5 C 20  C 20 

20 19 18 17 16  15504 . 1 2  3  4  5

Пример 2.1. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. По табельным номерам наугад отобраны 7 человек. Найти вероятность того, что среди отобранных лиц окажутся 3 женщины.

17

Решение. Требуется найти вероятность события A = {среди отобранных лиц – 3 женщины}. В данной задаче элементарное событие – набор из 7 человек. Так как последовательность, в которой они отбираются, несущественна, число всех таких наборов есть число сочетаний из 10 элементов по 7: n  C107  C103 

10  9  8  120 . По условию, все элементарные 1 2  3

события равновозможны. Поэтому можно использовать классический способ вычисления вероятности. Найдем число элементарных исходов, благоприятствующих событию A. Это будет число наборов, в которых 3 человека выбраны из 4 женщин, а 4 человека – из 6 мужчин. Из 4 женщин троих можно выбрать m1  C 43  4 способами, а из 6 мужчин четверых – m2  C 62  15 способами. Благоприятствующие событию A исходы полу-

чаются, когда набор из 3 женщин дополняется 4 мужчинами. Число таких способов будет равно m  m1  m2  4  15  60 . По классическому определению вероятности получим P ( A) 

m 60 1   . n 120 2

Пример 2.2. 2 студента условились встретиться в определенном месте между 18 и 19 часами. Пришедший первым ждет второго в течение 15 мин, после чего уходит. Определить вероятность встречи, если время прихода каждого студента независимо и равновозможно в течение указанного часа. y Решение. Пусть x и y – моменты прихода первого и второго студен60 тов соответственно. Пространство элементарных событий можно записать в виде точек квадрата 15

0

15

60

x

={(x,y):0  x  60, 0  y  60}.

Событие A = {встреча состоялась} по условию задачи имеет вид A = {(x, y):|x - y| < 15} (рис.1). Данная область лежит между прямыми x - y = 15 и x - y = -15 (на рисунке заштрихована). Меры (площади) указанных областей равны пл.  = 602, пл. А = 602 - (60 – 15)2. Искомая вероятность, если воспользоваться геометрическим определением, равна Рис. 2.1

18

P( A) 

Пл. A 60 2  (60  15) 2 7    0,43753 . 2 Пл. 16 60

2.2. Теоремы сложения и умножения вероятностей 2.2.1. Теорема сложения Вероятность суммы двух событий A и B равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления: P(A+B)=P(A)+P(B)–P(AB).

(2.1)

Если события A и B несовместны (т.е. в результате опыта они не могут появиться вместе), то P(A+B)=P(A)+P(B).

(2.2)

Следствие. Вероятность события, противоположного данному событию A, равна P ( A )  1  P ( A) .

Для вероятности суммы 3 событий формула (2.1) обобщается так: P(A+B+C ) = P(A) + P(B) +P(C) – P(AB) – P(AC) – P(BC) + P(ABC).

Если события A, B, C попарно несовместны, то P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C). 2.2.2. Теорема умножения вероятностей Вероятность произведения двух событий A и B равна вероятности одного из них, умноженной на условную вероятность другого события, при условии, что первое произошло, т.е. P(AB) = P(A) P(B/A) = P(B) P(A/B).

(2.3)

19

Если события A и B независимы (т.е. появление одного из них не меняет вероятности появления другого), то P(AB)=P(A)P(B).

(2.4)

Формула (2.3) верна и для любого конечного числа событий A1 , A 2 ,.. ., A n :

P ( A1  A2 . ..An )  P ( A1 )  P ( A2 / A1 )   P ( A3 / A1A2 )...P ( An / A1A2 ... A n 1 ). Если события A1 , A2 ,.. ., A n взаимно независимы (в совокупности), то P ( A1  A 2 ...A n )  P ( A1 )  P ( A2 ).. .P ( A n ) .

Вероятность появления хотя бы одного из независимых событий A1 , A 2 ,.. ., A n равна P ( A1  A 2 . ..  A n )  1  P ( A1 )  P ( A2 ).. . P( A n ) .

(2.5)

Пример 2.3. Для производственной практики на 30 студентов представлено 15 мест в Минске, 8 – в Гомеле и 7 – в Витебске. Какова вероятность того, что 2 определенных студента попадут на практику в один город? Решение. Рассмотрим события: A = {2 определенных студента попадут на практику в Минск}, B = {2 определенных студента попадут на практику в Гомель}, C = {2 определенных студента попадут на практику в Витебск}. Эти события попарно несовместны. Событие D={2 определенных студента попадут в один город} есть сумма указанных событий. По формуле (2.2) имеем P(D)=P(A)+P(B)+P(C). По классическому определению вероятностей

P( A) 

20

2 C15 2 C 30

; P( B ) 

C82 2 C 30

; P (C ) 

C 72 2 C 30

.

Тогда P (D ) 

C 152  C 82  C 72 2 C 30



154 . 435

Пример 2.4. Имеется блок, входящий в систему. Вероятность безотказной работы его в течение заданного времени T равна 0,85. Для повышения надежности устанавливают такой же резервный блок. Определить вероятность безотказной работы за время Т с учетом резервного времени. Решение. Введем события: А = {безотказная работа данного блока за время Т}, B = { безотказная работа резервного блока за время Т}. По условию P(A)=P(B)=0,85. Пусть событие С = {безотказная работа данного блока с учетом резервного за время Т}. Так как события А и В – совместны, но независимы, то по формулам (2.1), (2.4) получим P(C)=P(A)+P(B)–P(A)P(B)=0,85+0,85–0,850,85=0,9775. Пример 2.5. Рабочий, обслуживающий 2 станка, вынужден был отлучиться на некоторое время. Вероятность того, что в течение этого времени станки не потребуют внимания рабочего, равны P1  0,7 и P2  0,8 . Найти вероятность того, что за время отсутствия рабочего ни один станок не потребует его внимания. Решение. Пусть событие А = {первый станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}, B = {второй станок не потребует внимания рабочего за время его отсутствия}. Эти события независимы, поэтому по формуле (2.4) получим: P(AB) = P(A)P(B) = 0,70,8=0,56. Пример 2.6. У сборщика имеется 6 деталей без дефекта и 2 детали с дефектом. Сборщик берет подряд 2 детали. Найти вероятность того, что обе детали – без дефекта. Решение. Пусть событие А={первая деталь – без дефекта}, B={вторая деталь – без дефекта}. Нас интересует событие АВ. По теореме умножения вероятностей (формула (2.3)) имеем

P ( A  B )  P ( A)  P ( B / A) 

6 6  1 3 5 15 .     8 8  1 4 7 28

21

Пример 2.7. 3 стрелка производят по одному выстрелу по цели, вероятности попадания в которую равны: для первого стрелка – 0,6, для второго – 0,7, для третьего – 0,8. Найти вероятность одного попадания в цель. Решение. Пусть A i = {попадание i-го стрелка в цель), противоположные события A i = {промах i-го стрелка}, i = 1,2,3. Рассмотрим событие А = {одно попадание в цель при стрельбе 3 стрелков}. Это событие может наступить при наступлении одного из следующих несовместных событий: A1 A2 A3 , A1 A 2 A 3 , A1 A2 A 3 . Тогда A  A1 A 2 A 3  A1 A 2 A 3  A1 A 2 A 3 , а его вероятность P ( A )  P ( A1A2 A3 )  P ( A1A2 A3 )  P ( A1A2 A3 )   P ( A1)  P ( A2 )  P ( A3 )  P ( A1)  P ( A2 )  P ( A3 )  P ( A1)  P ( A2 )  P ( A3 )   0,6  0,3  0,2  0,4  0,7  0,2  0,4  0,3  0,8  0,036  0,056  0,096  0188 , .

Пример 2.8. Техническое устройство, состоящее из 3 узлов, работало в течение некоторого времени Т. За это время первый узел оказывается неисправным с вероятностью 0,1, второй – с вероятностью 0,15, третий – с вероятностью 0,12. Найти вероятность того, что за время работы хотя бы 1 узел технического устройства выйдет из строя. Решение. Пусть событие A i = {выход из строя i-го узла технического устройства} (i  13 , ) . Тогда событие A  A1  A 2  A 3 – выход из строя хотя бы одного из 5 узлов. События A i (i  13 , ) совместны и независимы. Поэтому вероятность события А определяется по формуле (2.5): P ( A )  P ( A1  A 2  A 3 )  1  P ( A1 )  P ( A 2 )  P ( A 3 ).

Следовательно, P(A)=1-0,90,850,88 = 1-0,6732 = 0,3268. 2.3. Формула полной вероятности и формула Байеса Если событие А может произойти только совместно с одним из событий H 1 , H 2 , . . . H n , образующих полную группу событий (гипо-

22

тез), то вероятность события А определяется по формуле полной вероятности P ( A) 

n

 P ( H k )P ( A / H k ) ,

(2.6)

k 1

где P (H k ) – вероятность гипотезы H k ; P ( A / H k ) – условная вероn

ятность события А при этой гипотезе,  P (H k )  1 . Вероятность k 1

P (H k / A ) гипотезы H k после того, как появилось событие А, опре-

деляется по формуле Байеса P (H k / A) 

P (H k )  P ( A / H k ) n

, ( k  12 , , . . . , n) .

(2.7)

 P (H i )P ( A / H i ) i 1

Пример 2.9. В ящике содержится 12 деталей, изготовленных заводом №1, 20 деталей – заводом № 2 и 18 деталей – заводом № 3. Вероятность того, что деталь, изготовленная заводом № 1, – отличного качества, равна 0,9; для деталей, изготовленных на заводах № 2 и № 3, эти вероятности соответственно равны 0,6 и 0,9. Найти вероятность того, что извлеченная наугад деталь окажется отличного качества. Решение. Пусть событие А = {деталь отличного качества}. Рассмотрим гипотезы: H 1 = {деталь изготовлена заводом № 1}; H 2 = ={деталь изготовлена заводом № 2}; H 3 ={ деталь изготовлена заводом № 3}. Вероятности этих гипотез: P ( H 1) 

12 6 20 2 18 9  ; P (H 3 )   .  ; P (H 2 )  50 25 50 5 50 25

вероятности: P ( A / H 1 )  0,9; P ( A / H 2 )  0,6; P ( A / H 3 )  0,9 . По формуле полной вероятности (2.6) при n = 3 находим искомую вероятность: Условные

P ( A) 

3

 P (H k )P ( A / H k ) 

k 1

6 2 9  0,9   0,6   0,9  0,78 . 25 5 25

23

Пример 2.10. В телевизионном ателье имеется 4 кинескопа. Вероятность гарантийной работы кинескопа: 0,8; 0,95; 0,9 и 0,7 для первого, второго, третьего и четвертого соответственно. Найти вероятность того, что наудачу выбранный кинескоп будет работать в течение гарантийного срока. Решение. Событие А = {кинескоп проработает гарантийный срок}. Гипотезы H k = {выбран k-й кинескоп} (k = 1,2,3,4). Эти гипотезы равновероятны, т.е.

P( H 1 )  P( H 2 )  P( H 3 )  P( H 4 ) 

1 . 4

Условные вероятности P ( A / H 1 )  0,8; P ( A / H 2 )  0,95; P ( A / H 3 )  0,9; P ( A / H 4 )  0,7 .

По формуле полной вероятности (2.6) при n = 4 находим искомую вероятность события А: 4 1 1 1 1 P( A)   P( H k )P( A / H k )   0,8   0,95   0,9   0,7  0,8375. 4 4 4 4 k 1

Пример 2.11. Самолет морской авиации производит бомбометание с малой высоты по кораблю противника. При попадании бомбы в надводную часть вероятность гибели корабля 0,6, при попадании в подводную часть – вероятность 0,9. Вероятность попадания бомбы в надводную часть равна 0,6, в подводную – 0,4. Определить вероятность гибели корабля в результате бросания одной бомбы. Решение. Событие А = {гибель корабля}. Формулируем гипотезы: H 1 = {попадание бомбы в надводную часть корабля}; H 2 = = {попадание бомбы в подводную часть корабля}. По условию вероятности гипотезы соответственно равны: P (H 1 )  0,6; P (H 2 )  0,4 . Условные вероятности события А будут такими: P ( A / H 1 )  0,6; P ( A / H 2 )  0,9 . Тогда P( A )  P( H1 )  P( A / H1 )  P( H 2 )  P( A / H 2 )  0,6  0,6  0,4  0,9  0,72.

24

Пример 2.12. Счетчик регистрирует частицы 3 типов: А, В и С. Вероятности появления этих частиц: P(A) = 0,2; P(B) = 0,5; P(C) = = 0,3. Частицы каждого из этих типов счетчик улавливает с вероятностями P1  0,8; P2  0,2; P3  0,4 . Счетчик отметил частицу. Определить вероятность того, что это была частица типа В. Решение. Обозначим событие D = {счетчик уловил частицу}. Гипотезы: H 1 = {появление частицы типа А}; H 2 = {появление частицы типа В}; H3 = {появление частицы типа С}. Вероятности гипотез: P (H 3 )  0,3 . P ( H 1 )  0,2; P ( H 2 )  0,5; Условные вероятности: P (D / H 1 )  0,8; P (D / H 2 )  0,2; P (D / H 3 )  0,4 . Искомую вероятность P(H 2 / D) определим по формуле Байеса (2.7): P( H 2 / D ) 

P( H 2 ) P( D / H 2 )

3



 P( H k ) P( D / H k )

k 1



0,5  0,2 0,1 5   . 0,2  0,8  0,5  0,2  0,3  0,4 0,16  0,1  0,12 19

Пример 2.13. Сборщик получает 50 % деталей завода №1, 30 % – завода №2, 20% – завода №3. Вероятность того, что деталь завода №1 отличного качества, равна 0,7; завода №2 – 0,8; завода №3 – 0,9. Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Найти вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом №1. Решение. А = {деталь отличного качества}. Гипотезы: H k = {деталь изготовлена заводом № k), k = 1, 2, 3. Вероятности этих гипотез: P ( H 1 )  0,5; P ( H 2 )  0,3; P (H 3 )  0,2 . Условные вероятности: P( A/ H1 )  0,7; P( A/ H2 )  0,8; P( A/ H3 )  0,9 . Искомую вероятность определим по формуле Байеса:

P ( H 1 / A) 

0,5  0,7 0,35 5   . 0,5  0,7  0,3  0,8  0,2  0,9 0,77 11

25

2.4. Повторение испытаний 2.4.1. Формула Бернулли Если в каждом из n независимых испытаний вероятность появления события А постоянна и равна p, то вероятность того, что в n испытаниях событие А произойдет ровно m раз, определяется по формуле Бернулли: Pn ( m)  C nm p m q n  m 

n! p m q n m , q  1  p . m !( n  m) !

(2.8)

2.4.2. Формула Пуассона Если n велико, а p мало ( обычно p < 0,1; npq  9 ), то вместо формулы Бернулли применяют приближенную формулу Пуассона:

Pn ( m ) 

m  e , m!

(2.9)

где  = np. 2.4.3. Локальная теорема Лапласа Если n велико, вероятность Pn ( m) может быть вычислена по приближенной формуле

1 Pn (m )  ( x ) , npq

где x 

m  np npq

, ( x ) 

1 2

e



x2 2

(2.10)

, p  0, p  1 .

Значения функции (x) определяются из таблицы ((  x )  ( x )) .

26

Вероятность Pn ( m1 , m 2 ) того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события А равна p(0 0,9; число выстрелов n необходимо определить из неравенства 1-(0,7)n > 0,9. Решим его: (0,7)n < 0,1, отсюда n  lg 0,1   1  6,46 , т.е. n  7. lg 0,7  0,1549

29

2.5. Случайные величины 2.5.1. Понятие случайной величины Случайной величиной (СВ) называется числовая функция  =  (), заданная на пространстве  элементарных событий , и такая, что для любого числа x определена вероятность P(0,95, тогда как P(1  m  7) = 0,93197