Messbrücken und Kompensatoren, Band 1: Theoretische Grundlagen [Reprint 2019 ed.] 9783486766622, 9783486766615

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MESSBRÜCKEN UND KOMPENSATOREN VON

DR. JOSEF KRÖNERT

BAND I THEORETISCHE

MIT

350

GRUNDLAGEN

ABBILDUNGEN

MÜNCHEN UND B E R L I N 1935

V E R L A G VON R . O L D E N B O U R G

Copyright 1935 by R. Oldenbourg, München und Berlin Druck von R. Oldenbourg, München Printed in Germany

Vorwort. Der Plan zur Abfassung eines Buches über elektrische Meßbrücken und Kompensatoren entstand bereits vor einer Reihe von Jahren, als ich selbst immer wieder bei der Berechnung derartiger Meßschaltungen das Fehlen eines solchen Werkes unangenehm empfand. Eine Reihe bequemer Berechnungs-Methoden (Maxwell-Zyklen, Dreieck-SternTransformation usw.) sind auch heute noch nur dem eigentlichen Elektroingenieur aus andern Gebieten bekannt. Als einziges Sammelwerk ist in der Zwischenzeit — wenigstens für Wechselstrombrücken in der Nullmethode — das Buch von B. H a g u e erschienen, das man auf diesem Gebiete direkt als klassisch bezeichnen muß. Die zahlreichen Einzelarbeiten auf dem bearbeiteten Gebiete — die gerade auch in der Abfassungszeit eine starke Vermehrung erfuhren — beweisen wohl zur Genüge, daß gerade derartige Meßschaltungen heute zum unentbehrlichen Rüstzeug eines jeden Meßtechnikers gehören. Auf der andern Seite haben sie aber auch bewirkt, daß der bearbeitete Stoff unter den Händen geradezu anschwoll, so daß aus dem ursprünglich beabsichtigten kleinen Buch ein zweibändiges Werk wurde. Ich bin dem Verlag R. Oldenbourg zu großem Dank verpflichtet, daß er die Wichtigkeit dieses Meßgebiets voll erkannte und die Kosten und das Risiko eines derartigen Spezialwerks nicht scheute. Die Aufgabe des Werkes, dessen erster Band hiermit den Fachkollegen und nicht zuletzt den Studierenden der Meßtechnik übergeben sei, ist, ein Hilfsmittel zur Berechnung und Konstruktion bei den zahllosen Varianten zu sein, die die Praxis erfordert, dem LaboratoriumsIngenieur und -Physiker die systematischen Grundarbeiten zu verkürzen und ihm einen Überblick über den augenblicklichen Stand der Technik auf diesem Gebiete zu geben. Daß es für Grenzgebiete nnrl eingehende Untersuchungen oft auf Spezialarbeiter wie sie neuerdings z. B. das Archiv für Technisches Messen bringt, verweisen muß, war ein Gebot der bei allem Streben nach Abgeschlossenheit erforderlichen Kürze. In einem II. Band sollen später der konstruktive Aufbau und die praktischen Erfahrungen erörtert werden, während dieser Band möglichst voraussetzungslos die allgemeinen physikalischen und speziellen theoretischen Grundbedingungen bringen will. Ich bin mir bewußt, daß die Erstauflage über ein derartig umfangreiches Sondergebiet der Meßtechnik zahlreiche Mängel und Lücken aufweisen muß. Den Fachkollegen bin ich daher für weitere Anregungen l*

—

4

—

und Ergänzungen jederzeit dankbar. Fast alle einschlägigen Firmen der Welt haben mich mit ihrem Katalogmaterial — das sich allerdings erst im II. Band voll auswirken wird — in entgegenkommender Weise unterstützt. Besonderen Dank schulde ich Herrn Prof. Dr.-Ing. Gg. K e i n a t h , der mich bei der Abfassung des Buches in liebenswürdiger Weise beraten hat. Mein Kollege und Mitarbeiter W. G e y g e r hat freundlicherweise die Abfassung der Kapitel XIII/2 B h und XIV übernommen. Meine Kollegen und Mitarbeiter Dr. H. P o l e c k und L. M e r z haben mich bei einzelnen Kapiteln mit noch unveröffentlichten Arbeiten unterstützt. Bei der Gestaltung der Zeichnungen waren mir die Kollegen Ob.-Ing. W ö l k e und Ing. N e u m a n n in mühsamer Arbeit behilflich. Bei der Durchsicht der Korrektur haben mich die Kollegen Merz und Dr. T h a l in dankenswerter Weise unterstützt. F a l k e n h a i n b. Berlin, im Februar 1935.

Josef Krönert.

Inhalt. Seite

I. P h y s i k a l i s c h e

Einleitung

9

1. K o m p l e x e Darstellung von Wechselstromgrößen a) b) c) d) e) f)

9

Strom, Spannung, Phasenwinkel Ohm-Widerstand K a p a z i t ä t und Selbstinduktion Gegenseitige Induktion Komplexer Widerstand und komplexer L e i t w e r t Phasenwinkel

9 10 11 14 16 19

2. Kirchhoff-Sätze

21

a) Stromsatz b) Spannungssatz

21 21

3. Maxwell-Zyklen 4. Superpositions-Verfahren 5. Theorie der äquivalenten Netze a) b) c) d)

23 25 27

Netztransfiguration im allgemeinen Zweipol-Transformation Dreipol-Transformation Vierpol-Transformation

27 28 30 36

6. V e k t o r - D i a g r a m m 7. Kreis-Diagramm und Ortskurve 8. Empfindlichkeitsbetrachtungen

41 44 48

a) Empfindlichkeit v o n Indikatoren b) Empfindlichkeit von Schaltungen c) Höchst-Empfindlichkeit von Schaltungen II.

III.

48 50 51

Gleichstrom-Indikatoren

52

1. Null-Indikatoren 2. Ausschlagmesser 3. Regel-Indikatoren

52 55 58

Gleichstromquellen

60

IV. G l e i c h s t r o m - V e r s t ä r k e r

61

1. Röhren-Verstärker 2. Bolometer-Verstärker 3. Optische Verstärker

61 62 63

V. N o r m a l i e n

der

Gleichstrombrücken

und

Gleichstrom-

Ii o m p e n s a t o r e n

63

1. Der Ohm-Widerstand

63

a) Präzisions-Widerstände b) Technische Widerstände c) Veränderbare Widerstände 2. Das Normal-Element 3. Das Schalt-Element

63 66 66 72 72

—

6

—

Seite

VI. G l e i c h s t r o m b r ü c k e n

73

1. Die Gleichstrombrücke allgemein a) Berechnung von Gleichstrombrücken b) Empfindlichkeit von Gleichstrombrücken c) Genauigkeit von Gleichstrombrücken 2. Gleichstrombrücken in der Nullmethode a) Wheatstonebrücken b) Thomsonbrücke c) Gleichstrombrücken mit mehreren Spannungsquellen 3. Gleichstrombrücken in der Ausschlagmeihode a) Charakteristik der Wheatstone-Ausschlagmethode b) Empfindlichkeit der Ausschlagbrücke c) Spezielle Gleichstrom-Ausschlagbrücken 4. Gleichstrom-Regelbrücken a) Regelung in Abhängigkeit von einer Veränderlichen b) Regelung in Abhängigkeit von mehreren Veränderlichen . . . . 5. Die Gleichstrombrücke als Rechenoperator a) Addition und Subtraktion b) Multiplikation und Division 6. Die Gleichstrombrücke mit Elektronenröhren 7. Gleichstrombrücken als Strom- und Spannungs-Regler 8. Messung des Widerstands galvanischer Elemente mittels Gleichstrombrücken VII. G l e i c h s p a n n u n g s - K o m p e n s a t o r e n

74 74 76 78 79 79 96 103 106 106 111 113 119 120 124 127 127 129 129 132 133 133

1. Eigentliche Kompensations-Methoden 2. Unterdrückungs-Methoden

134 140

VIII. W e c h s e l s t r o m - I n d i k a t o r e n

141

1. Null-Indikatoren a) Null-Indikatoren mit absoluter Null-Anzeige b) Phasenempfindliche Null-Indikatoren 2. Ausschlagmesser

141 141 142 143

3. Wechselstrom-Relais

144

IX. W e c h s e l s t r o m q u e l l e n

144

X. S c h i r m u n g u n d E r d u n g

145

XI. H i l f s m i t t e l f ü r W e c h s e l s t r o m - B r ü c k e n u n d - K o m p e n s a t o r e n 1. Phasenschieber 2. Verstärker 3. Eingangs- und Ausgangs-Anpassung XII. D i e N o r m a l i e n d e r W e c h s e l s t r o m - B r ü c k e n satoren 1. Ohm-Widerstände 2. Selbstinduktionen 3. Gegeninduktionen 4. Kapazitäten 5. Schalter

und

148 148 149 150

-Kompen150 151 153 155 155 157

—

7

—

Seite

X I I I . Die W e c h s e l s t r o m b r ü c k e n 1. Allgemeines 2. Wechselstrombrücken vom Wheatstone-Typ A. Frequenzabhängige Brücken vom Wheatstone-Typ B. Frequenzunabhängige Brücken vom Wheatstone-Typ a) Wheatstone - Brücken mit Kapazitäten und Ohm-Widerständen b) Wheatstone-Brücken mit Selbstinduktionen und Ohm-Widerständen c) Wheatstone-Brücken mit Ohm-Widerständen, Kapazität und Selbstinduktionen d) Wheatstone-Brücken mit gegenseitigen Induktionen . . . . e) Wheatstone-Brücken zur Messung der Leitfähigkeit von Flüssigkeiten f) Wheatstone-Brücken mit Elektronenröhren g) Wheatstone-Brücken mit Photozellen h) Wheatstone-Brücken mit gegenseitigen Induktionen, bei denen die Sekundärseite in der Meßdiagonale liegt i) Wheatstone-Brücken mit phasenempfindlichen Indikatoren . k) Wheatstone-Brücken mit Trocken-Gleichrichtern 3. Wechselstrom-Brücken vom Anderson-Typ 4. Wechselstrom-Brücken vom Thomson-Typ 5. Wechselstrom-Brücken vom Wirk-Typ 6. Scheinwiderstands-Brücken 7. Sonstige Brücken XIV. W e c h s e l s t r o m - K o m p e n s a t o r e n 1. Allgemeines 2. Beschreibung der Wechselstrom-Kompensatoren a) Ausführungsarten der Phasenschieber-Kompensatoren b) Ausführungsarten der komplexen Kompensatoren 3. Wechselstrom-Kompensationsschaltungen a) Schaltungen mit Phasenschieber-Kompensation b) Schaltungen mit komplexer Kompensation 4. Wechselstrom-Kompensatoren besonderer Art

157 158 164 173 188 188 195 196 197 204 206 209 210 214 218 222 227 231 234 237 240 240 242 242 244 250 251 259 266

I. Physikalische Einleitung. Die folgenden A u s f ü h r u n g e n sollen keineswegs ein L e h r b u c h der Elektrizitätslehre ersetzen. Sie geben lediglich eine Übersicht über das im weiteren Verlauf dieses Buches benötigte theoretische Rüstzeug.

1. Komplexe Darstellung von Wechselstromgrößen. Die komplexe Darstellung von Wechselstromgrößen ist h e u t e allgemein in der E l e k t r o t e c h n i k üblich. F ü r das eingehende S t u d i u m sei auf die Spezialwerke von R i n g 8 ) und M ö l l e r 9 ) sowie auf die allgemeinen W e r k e der E l e k t r o t e c h n i k 1 0 ' n ) verwiesen. a) Strom und Spannung, Phasenwinkel. E s ist b e k a n n t , d a ß ein Wechselstrom bzw. eine W e c h s e l s p a n n u n g im einfachsten Falle einer S i n u s f u n k t i o n genügen, d a ß also J =

J0 • sin (o t

(la)

E = E0 • sin to t

(lb)

bzw. ist. J bzw. E bedeuten also den S t r o m bzw. die S p a n n u n g in einem bes t i m m t e n Z e i t p u n k t t, wobei a n g e n o m m e n ist, d a ß der S t r o m bzw. die S p a n n u n g zur Zeit t =• 0 den W e r t Null h a b e n soll, OJ ist die sog. »Kreisfrequenz«. Es ist co = 2nv, wTenn v die Anzahl Perioden pro S e k u n d e b e d e u t e t . E s ist n u n d u r c h a u s möglich, d a ß zeitlich das M a x i m u m des Stromes — u n d d a m i t auch die Nullwerte — nicht mit d e m M a x i m u m bzw. m i t den Nullwerten der S p a n n u n g z u s a m m e n fallen. S t r o m und S p a n n u n g sind d a n n gegeneinander »phasenverschoben« (Abb. 1). Es k a n n z. B. sein: J = JQ sin (o t E — E0 sin (cot — cp)

(2 a) (2b)

cp heißt der Phasenwinkel zwischen S t r o m und S p a n n u n g . Man k a n n n u n s t a t t in F o r m zweier S i n u s k u r v e n S t r o m und S p a n n u n g auch ganz allgemein als »gerichtete Größen« darstellen, i n d e m m a n ihre Scheitelwerte J0 bzw. E0 als Strecken m i t gemeinsamem A n f a n g s p u n k t auft r ä g t , deren Längeneinheit die S t r o m - bzw. S p a n n u n g s e i n h e i t darstellt. Als Verdrehungswinkel der beiden Strecken wird dabei der » P h a s e n -

—

10

—

w i n k e l « genommen (Abb. 2). In einer derartigen Darstellung fehlt aber noch die zeitliche Aufeinanderfolge von Strom und Spannung, wie sie im Bild der Sinuskurve vorhanden ist. Man sieht aus Abb. 1, daß in dem gewählten Beispiel der Strom / früher sein Maximum er3 E

\ Abb. 1. Strom u n d S p a n n u n g »phasenverschoben«.

Abb. 2. Vektordarstellung von S t r o m und Spannung.

reicht als die Spannung E, der Strom also in dem dargestellten Fall der Spannung »vorauseilt«. Man kann dies in Abb. 2 dadurch ausdrücken, daß man den beiden Strecken / und E eine bestimmte Aufeinanderfolge durch einen Drehpfeil zuweist. Wir haben damit eine Darstellung in gerichteten Größen, in »Vektoren«. Es ist üblich, die Gleichzeitigkeit der Darstellung von Größe u n d Richtung derartiger Vektoren durch deutsche Buchstaben auszudrücken*). Durch diese Darstellung kann man auch zusammenwirkende Größen (z. B. mehrere gegeneinander phasenverschobene Ströme) sehr einfach addieren, indem man nach / i

/

/S - / 'f,

Abb. 3. V e k t o r a d d i t i o n nach der Methode des Kräfteparallelogramms.

der Methode des Ein Beispiel zeigt K r ä f t e z u g s aus kann, gibt Abb. 4

Abb. 4. Vektoraddition nach der Methode des Krättezuges.

Kräfteparallelogramms die Größen zusammensetzt. Abb. 3. Daß man auch die nach der Methode des der Mechanik bekannte Vereinfachung anwenden wieder. b) Ohm-Widerstand.

In einem Gleichstromkreis hängen bekanntlich Strom und Spannung durch das Ohmsche Gesetz zusammen J = EjR, wobei R den OhmGesamtwiderstand des Kreises bedeutet. Dieselbe Beziehung gilt auch in einem Wechselstromkreis, solange in demselben keine anderen als *) Leider h a t sich dies in der Elektrotechnik noch nicht allgemein eingebürgert. Man findet auch Vektorbezeichnungen durch Überstreichen (z. B. ~J) oder Überp u n k t e n (z. B. J).

—

11

—

Ohm-Widerstände, d. h. keine Selbstinduktionen und Kapazitäten und keine solchen Widerstände vorhanden sind, die in irgendeiner Weise von der angelegten Spannung oder vom durchgehenden Strom abhängig sind. Zu der letztgenannten Kategorie gehören bekanntlich die Elektronenröhren im nichtlinearen Teil, die Glimmröhren und Lichtbogen. F ü r diese gilt auch für Gleichstrom nicht das Ohmsche Gesetz. Eine weitere oft benötigte Größe ist der »Leitwert«. der reziproke W e r t des Widerstands. Man bezeichnet

E s ist dies

- ¡ — ^ — — 1 Siemens, 1 Ohm ' wenn man unter 1 Ohm ( Q ) den Widerstand eines Quecksilberfadens von 1 m m 2 Querschnitt und 1,063 m Länge bei 0° G versteht. Die verschiedentlich in der L i t e r a t u r aufgetauchte Bezeichnung 1 Mho an Stelle von 1 Siemens h a t sich nicht eingebürgert. c) Kapazität und Selbstinduktion. oc) Kapazität. B e t r a c h t e t man einen an eine Wechselstromquelle angeschlossenen Kondensator C (Abb. 5) während einer Halbwelle eines sinusförmigen

Abb. 5.

Kondensator an WechselStromquelle.

Abb. 6.

Verlauf Ton Strom und Spannung nach Schaltung Abb. 5.

Stromes,

dann ist die Spannung gemäß Definition der Kapazität ng_ gleich j ^ p ^ j t l t • Q Ladung, so ist der Strom J während der ität ' dQ Ladung J = — s o m i t ist Q — f Jdt. E s ist also die Spannung J ^ dt j J dt.

E =

Ist J — J0 - sin coi, so ergibt sich also E =

1

J0 fsin (ot-dt J""""

1 1 1 1 / — — TT • 0J0 • —cos co t = 7l-0 • J0 • c c " oj m

"i \ sin | co t — V I (3) p 2j

Setzt man E = E0sin(cot— + @c «a •

Die Transformationsgleichungen haben also jetzt in beiden Richtungen den gleichen Aufbau. Es ist dann: (®a •

• & c ) • (Q, • g a • 3 S ) = (& a + @6 + @ e ) . ( 3 , + 3 2 + 3 S )

(76)

Sind die Widerstände Ohm-Widerstände, so erhält man nach (87) drei Transformationsgleichungen. Bei komplexen Widerständen lösen sich diese 3 Gleichungen jedoch in bekannter Weise in 6 Gleichungen auf. Die Dreieck-Stern-Transformation leistet bei der Berechnung komplizierterer Brücken oft ausgezeichnete Dienste. Selbst bei der verhältnismäßig einfachen Wheatstonebrücke mit nur Ohmschen Widerständen ist sie gelegentlich schon sehr nützlich. Es seien im folgenden einige Anwendungsbeispiele betrachtet. 1.

A n w e n d u n g s b e i s p i e l : B e r e c h n u n g des G e s a m t w i d e r s t a n d e s einer W h e a t s t o n e - B r ü c k e v o n d e r S t r o m q u e l l e aus b e t r a c h t e t (Abb.37).

W i e können die linke Hälfte der Brücke durch den — gestrichelt eingezeichneten — Stern ersetzen. Es ergibt sich also die Konfiguration der A b b . 38. Der Widerstand dieser Konfiguration läßt sich unmittelbar aus der Abbildung ablesen. Er ist:

"

=

Ri+R7+Rc

+ RV+Ri'

wobei

Ra^R^RJiR.

+ R. +

R,))

R ^ R ^ R J i R . + R. + R,) }

Rc = R^R.JKR^R.

+ R,) j

(78)

A b b . 37. Wheatstonebrücke mit eingezeichnetem Stern zur Ü b e r f ü h r u n g in Parailelund Reihenwiderstände.

Abb. 38. W h e a t s t o n e b r ü c k e nach der Ü b e r f ü h r u n g gemäß Abb. 37.

Setzt man in diese Gleichung die Werte von Ra, Rb und Rc ein, so erhält m a n :

R =

R\ R*

Ri

+

+ Rg

R;+

I

II, -4- R„ ~

D \ (

R

V

RA&1 + R») R.+ R. + R,

Ra

R

9

/.', + /.':, + / = 3,H + gji-» — ( 3 i + 9R)-w (80) Ebenso ergibt sich: e

a c

= - 32 v + 82 w + m-w—m-u

=—m-u

— 3 2 d + ( 3 , + m)-w (8i)

Die Transformationsschaltung Abb. 45 ist der soeben betrachteten Schaltung nur dann bezüglich Widerstands- und Phasenwinkeltreue gleichwertig, wenn zwischen den Punkten AB und DC die gleichen Spannungen herrschen und die gleichen Ströme fließen. Es muß also sein: EÄB = 3c U + 3& II — 3i, W — 3C V = (3„ + 3c) U — 3e V — St, • W EAC

(82)

= 3c V — 3« V + 3 a w + 3C u = 3 C • u — (3 0 + Sc) • v + 3» • w (83)

Da die Ströme w, v, w voneinander unabhängig sind, so müssen diese Beziehungen auch ganz allgemein gelten, wrenn jeweils zwei der Ströme null sind, d. h. es müssen die entsprechenden Koeffizienten einander gleich sein. Es folgt also: 3 i = 8& + 3c — (3i + 3R) = — 3 »

- M = Sc I — 32 — (3« + 3c) }• 32 + 9Ä = 3 )

• • (84)

Es ergeben sich somit 6 Gleichungen. Die Aufgabe ist also scheinbar überbestimmt. Diese Gleichungen sind jedoch paarweise identisch. Man erhält: 3 , = 32 + « M 3» 3.- M \ (85) Sc = —a» J Wir haben also hier den Fall, daß in der Ersatzschaltung ein Widerstand negativ wird. Trotz der physikalischen Unausführbarkeit ist doch diese Transformation rechnerisch sehr wichtig. Sie gestattet z. B. die Transformation der Maxwell-Brücke mit gegenseitiger Induktion (Abb. 46) in eine Wheatstonebrücke (Abb. 47). Auch die Campbellbrücke (S. 198) und die Carey-Foster-Brücke (S. 199) lassen sich auf diese Weise leicht eine in Wheatstonebrücke umformen. 3*

— 36 — Es wird noch (S. 38) gezeigt werden, daß sich auch nicht galvanisch verkettete Gegeninduktionen auf diese Weise berechnen lassen.

A b b . 46. W e c l i s e l s t r o m b r ü c k e m i t gegens e i t i g e r I n d u k t i o n . Die g e g e n s e i t i g e n I n d u k t i o n e n sind im P u n k t A g a l v a n i s c h v e r k e t t e t .

A b b . 47. U m w a n d l u n g der W e c l i s e l s t r o m b r ü c k e A b b . 46 in eine W l i e a t s t o n e b r ü c k e ohne gegenseitige Induktion.

Die Theorie der Dreipole gibt zu einem neuen Begriff Anlaß: den W i d e r s t a n d des D r e i p o l s . Abb. 48 zeigt uns jedoch ohne weiteres, daß man von einem allgemeinen Widerstand eines Dreipols nicht sprechen kann, sondern die Bezugsecken für den Widerstandan geben muß. So ist der Dreipolwiderstand von A B aus betrachtet Q s + 8 i 82/(81 + 82) der Dreipolwiderstand von BC aus betrachtet 81 + 8 2 83/(82 + 8 3 ) der Dreipolwiderstand von CA aus betrachtet 8 2 + 8 1 83/(81 + 8 = 0 Hieraus ersieht man aber auch sofort, daß die Phasenverschiebung infolge der Einschaltung eines Dreipols in einen Stromkreis je nach den verwendeten Ecken verschieden ist. Eine wichtigere Rolle als beim Dreipol wird der verschiedene Widerstand je nach den Bezugsecken beim Vierpol im nächsten Kapitel spielen. d)

Vierpol-Transformation.

Bereits bei der Transformation der Zweipole und Dreipole ist uns ein wichtiges Ergebnis der Netztransformationen entgegengetreten: die Aufstellung von E r s a t z s c h a l t u n g e n . Derartige Ersatzschaltungen müssen, wenn sie Wert haben sollen, immer mathematisch einfacher als die ursprüngliche Schaltung sein. Sie müssen nach Möglichkeit auch physikalisch durchsichtig sein, eine Forderung, die sich allerdings nicht immer erfüllen läßt. Eine große Bedeutung besitzen die Ersatzschaltungen auch bei den Vierpolen. Die Theorie des Vierpols ist in den letzten

—

37

—

Jahren besonders durch die Bedürfnisse der Fernmeldetechnik sehr gefördert worden. Außer in der Theorie der Kettenleiter h a t sie besondere Wichtigkeit in der Übertragungstechnik erlangt. Es ist im Rahmen dieses Buches natürlich nicht möglich, eine erschöpfende Darstellung der Vierpoltheorie zu geben. Es sei hierüber auf die einschlägige Literatur 2 0 , 21 ) verwiesen. Hier sollen n u r einige Vierpole betrachtet werden, die für die Berechnung der Brücken und Kompensatoren von

A b b . 4 9.

Allgemeiner Tierpol.

Interesse sind. Auf die in der Vierpoltheorie übliche Bezeichnungsart muß dabei — als zu weit führend — hier verzichtet werden. D e f i n i t i o n . Als »Vierpol« bezeichnet m a n ein beliebiges, für den elektrischen Energiedurchlaß bestimmtes Schaltungsgebilde, das mit 2 Eingangs- und 2 Ausgangspolen versehen ist (Abb. 49). Die einfachsten Vierpole sind: a) Der Stern (Abb. 50a), c) die Brücke (Abb. 50c), b) das Dreieck (Abb. 50b), d) der Transformator (Abb. 50d).

—

38 —

Dreieck und Stern sind in der Dreipol-Transformation bereits betrachtet worden. Als Vierpole interessieren sie hauptsächlich in der Fernmeldetechnik als Siebketten und Kettenleiter. Die Brücken werden später noch im einzelnen behandelt werden. Es sei hier aber noch besonders auf den Transformator eingegangen. D e r T r a n s f o r m a t o r , auch gegenseitige Induktion, Gegeninduktion, Übertrager oder Wandler genannt, ist neben Ohmschen Widerständen, Kapazitäten und Selbstinduktionen das wichtigste Bauelement von Wechselstrom-Meßbrücken und -Kompensatoren. Ohne besondere Kunstgriffe erschwert seine Anwesenheit die Berechnung der erwähnten Meßschaltungen. Es ist S. 34 bereits gezeigt worden, wie man einen primär-sekundär galvanisch verketteten Transformator durch einen Stern dreier Selbst-

A b b . 51. W e c U s e l s t r o m b r ü e k e m i t zwei gegenseitigen I n d u k t i o n e n M, u n d Mt. D i e g e s t r i e g e l t e n V e r b i n d u n g e n A F u n d CG sind in W i r k l i e l i k e i t n i c h t v o r h a n d e n , sondern dienen n u r als Hilfsm i t t e l zur U m f o r m u n g in eine W h e a t s t o n e b r ü e k e .

Abb. 52. A b b . 51 in eine W h e a t s t o n e brücke umgeformt.

induktionen abbilden kann. Es ist auch häufig möglich, eine an sich nicht vorhandene derartige Verkettung unbeschadet der Allgemeinheit der Schaltung lediglich zur Berechnung anzunehmen, wie dies in Abb. 51 und 52 dargestellt ist. Eine ähnliche Transformation ergibt sich z. B. bei der F r e q u e n z b r ü c k e v o n S a s e u n d Mute") (S.186). In jedem der genannten Beispiele ist jedoch vorausgesetzt, daß eine derartige fiktive galvanische Kopplung nicht zu einem Kurzschluß innerhalb der transformierten Schaltung führt, d. h. allgemein, daß außer der fiktiven Kopplung keine zweite reale Kopplung besteht. Nach einem von M e r z * ) aufgestellten Satz kann man eine derartige fiktive Kopplung jedoch unter einer besonderen Bedingung ganz allgemein ausführen. *) Die Angaben hierzu verdanke ich einer noch nicht veröffentlichten Arbeit meines Kollegen und Mitarbeiters Herrn Dipl.-Ing. L. Merz.

T r a n s f o r m a t o r s a t z v o n L. M e r z . »Hat man in einem Netzgebilde einen Transformator, so kann man, unbeschadet sonst bestehender galvanischer Kopplungen, Primär- und Sekundär-Kreis galvanisch koppeln und eine Dreieck-Stern-Transformation vornehmen, wenn man vor der Kopplung die zur Berechnung erforderlichen Maxwell-Zyklen festlegt und nach der Kopplung keine Zyklen hinzufügt, die erst durch die fiktive Kopplung möglich werden.« An Stelle des allgemeinen, bisher noch nicht gelungenen Beweises sei dieser an einem Beispiel erbracht. In Abb. 53 ist die Hughes-Brücke

Abb. 53. Hughes-Brücke.

Abb. 54. H u g h e s - B r ü c k e mit fiktiver Verbindung im P u n k t e E. Die Zyklen verlaufen dann: Zyklus I : A B E D A . Zyklus I I : BCDEB. Zyklus I I I : AECDA. (Der Zyklenweg ist der Übersicht wegen nicht eingezeichnet.)

Abb. 55. Hughes-Brücke Abb. 53 und 54 mit v o m P u n k t aus transformierter gegenseitiger Induktion. Die Zyklen sind wiederum: Zyklus I: A B E D A . Zyklus I I : BCDEB. Zyklus III -.AECDA.

dargestellt. Man kann nun auf zwei Arten die Nullbedingung dieser Brücke aufstellen: l . Berechnung unter Verwendung der Maxwell-Zyklen und der gegenseitigen Induktion ohne Dreieck-Stern-Transformation: Es ist: I. (R, + / co L:) + (Rg + Rmi) -Jt + j co Lmi • J1 + R3 J, + + / w M J2 - ( / , + J„) (11, + Rmi + j co Lmi) + J2R3 = 0 II. ( / , + /„) (R.2 + Ri + Rm, + /*, + / co L mi ) — j co M /2 — (g6 — Jx + / « Li + R«) + /2 = 0 I I I . J2 (Rmi + / w Lm= + R3 + /?4) + (J1 + Jg) • R, + J, Rs — — je» M --1: Diese Bedingungen werden unter Verwendung der Maxwell-Zyklen erhalten, wenn man den Grundstrom des Zykels ABDA mit den Grundstrom des Zykels BCDB mit + Jg und den Grundstrom des Zykels A CD A mit / 2 bezeichnet. Hieraus folgt die Nullbedingung: (R2 + Rt) -jcoM

+ R3 (R2 + Ä t ) = - / co M ( R , + R3) + + Ri{R1 + Ra) + ja>LlRi

(87)

— 40 — 2. Berechnung unter Benutzung der Maxwell-Zyklen und DreieckStern-Transformation. Man kann gemäß Abb. 54 die angegebenen Zyklen aufstellen. Transformiert man nun die gegenseitige Induktion mittels der Dreieck-SternTransformation, so erhält man die Wheatstone-Brücke Abb. 55. Nach dem oben angeführten Satz von Merz darf man nur die bereits vorhandenen Maxwell-Zyklen der Abb. 54 benutzen. Man erhält dann: I. A (R1 + / w /,, + Rs) + J2 (Rs + / co M) — Ja (/?,, -f Bmi + / (ü L,J =: 0 II. ./, (R2 + /?4) + ,/2 (// 4 — j O) M) + . + J„ (R2 + R, + Rmi + H„ + / co Lm) = 0 III. J1 (R, + R,) + J 2 (/?„. + / f)J Lmi + R3 + Ht) + + J„(Ht — j(oM) = 0 •

(88)

Man erhält dieselbe Nullbedingung (87), trotzdem in Abb. 55 an sich unzulässige Kurzschlüsse vorhanden waren, die aber rechnerisch nicht benutzt wurden. Durch den Satz von Merz erspart man sich die Anwendung der direkten, leicht zu Vorzeichenfehlern führenden Rechnung oder des sonst gebräuchlichen Transformator-Ersatzbildes. Der Vollständigkeit halber sei das letztere jedoch noch in Abb. 56 als E r s a t z -

A b b . ¿6.

E r s a t z b i l d eines T r a n s f o r m a t o r s .

V i e r p o l gezeigt. Es sei darauf aber hingewiesen, daß bei Verwendung von Transformatoren mit Eisenkern die Berechnung infolge der mathematischen Unzugänglichkeit der Magnetisierungskurve wesentlich schwieriger wird. Die Dreieck-Stern-Transformation ist von R o s e n 2 2 ) und von R u s s e l l 2 3 ) auf beliebige Netze erweitert worden. Es sei dies — einer Ausführung von H a g u e folgend an einem Netz mit 4 Eckpunkten 1, 2, 3, 4 erläutert. Man kann (Abb. 57) die Eckpunkte 1, 2, 3, 4 auf verschiedene Weise miteinander verbinden. Abb. 57a zeigt die Verbindung aller Punkte nach einem gemeinsamen Punkt S. Wir erhalten einen 4strahligen S t e r n . In Abb. 57b ist die Verbindung in der Reihenfolge der Eckpunkte erfolgt, in Abb. 57 c ist jeder Punkt mit jedem andern Punkt verbunden. Es ist bereits erwähnt worden, daß es bei n Eckn . iji — ^ punkten —-—-— derartige paarweise Verbindungen gibt. Bezeichnen

—

41

—

wir mit ® l7 © 2 , © die komplexen Leitwerte der Verbindungen der einzelnen Ecken mit dem Sternpunkt S, mit & i k den Leitwert der Veri

1

1

A b b . 57. V e r b i n d u n g v o n 4 E c k p u n k t o n . a) im S t e r n , b ) im V i e r e c k , c) im v o l l s t ä n d i g e n V i e r e c k .

bindung der Ecke i mit der Ecke k, so ist nach Rosen: -

(89)

wobei ¿7 © = ist. mit

+ @a + . . . . ©B

Analog ist für die Scheinwiderstände: 3

(90)

i : i / 3 = i/3i + l / 3 2 + . . . . 1 / 3 Man kann also jeden Stern in eine vollständige paarweise Verbindung transformieren. Es ist klar, daß man für n — 3 die bereits bekannte Dreieck-Stern-Transformation erhalten muß. Doch erhält man für n > 3 nach R u s s e l l keine allgemeine Transformation von einer Folgeverbindung (gemäß Abb. 57 b) zu einer Stern Verbindung (gemäß Abb. 57 a) mehr. Dagegen ist die Transformation von einer Sternverbindung in eine paarweise Verbindung (Abb. 57 c) bei n = 4 von Wichtigkeit.

6. Vektor-Diagramm. Wir haben bei der Erörterung der komplexen Darstellung von Scheinwiderständen (S. 16) bereits die Vektordarstellung kennengelernt. Besondere Wichtigkeit gewinnt diese Darstellung jedoch, wenn nicht ein einzelner Scheinwiderstand, sondern ein ganzes Netz wiedergegeben werden soll. Die gewöhnliche Aufgabe ist dann, den Spannungsverlauf zwischen den beiden Speisepunkten des Netzes — falls dieses nur eine einzige Spannungsquelle besitzt — darzustellen und die verschiedenen Wege aufzuzeichnen, auf denen der Spannungsabfall zwischen diesen beiden Punkten erreicht wird. Als einfachster Fall sei in Abb. 58

— 42

—

eine allgemeine Wheatstone-Brücke gezeigt, deren Vektor-Diagramm in Abb. 59 entwickelt ist. Die Speisepunkte der Brücke sind dann B und D, die E c k p u n k t e der Meßdiagonale A und C. Aus der Lage der Punkte A und C ersieht man, ob zwischen A und C ein Spannungsabfall besteht oder ob die B r ü c k e »abgeglichen«ist. In letzterem Falle müssen A und C zusammenfallen, wie dies für die gleiche Brücke in Abb. 60 dargestellt ist. Man beachte hierbei, daß Blindvektoren j i X und Wirkvektoren iR

A b b . 59. V e k t o r - D i a g r a m m der allgemeinen nicht abgeglichenen Wlieatstonebrücke.

A b b . 58. A l l g e m e i n e Wlieatstonebrücke.

A b b . 60.

V e k t o r - D i a g r a m m der a l l g e m e i n e n a b g e g l i c h e n e n W l i e a t s t o n e b r ü c k e .

stets aufeinander senkrecht stehen. Bei der im Beispiel angegebenen allgemeinen Wheatstone-Brücke kann man von der E c k e B zur E c k e D auf zwei Wegen gelangen: auf dem Weg BAD und auf dem W e g BCD. Sieht man die additiven Scheinwiderstände 3 i und 3 2 als einen einzigen Scheinwiderstand (R1 + Z?2) + / + X2) an, so muß der E c k p u n k t E' auf einem Halbkreis über B D liegen. Das gleiche gilt für den additiven Scheinwiderstand 3 3 + 3 — 1 ist sehr flach. Der Fall A" = eonst tritt also in großen Annäherungsbercich von Re ~ Re ein. Es ist dies der Zwischenfall zwischen den beiden ersten Fällen. 4. Die B e l a s t u n g e i n e s B r ü c k e n z w e i g e s , z. B. R x sei k o n s t a n t . Damit ist die Bedingung = const verknüpft. Dieser Fall tritt in der Praxis sehr häufig bei Widerstandsthermometern, Bolometern usw. auf. 5. Der — b e l i e b i g e — F a l l , d a ß E u n d Re g e g e b e n e G r ö ß e n s e i e n . Zur Vereinfachung sei im folgenden gesetzt: m = R2

; n = RJR1;

p = RJR};

q = R, A',,

so daß also im Gleichgewicht m = Ri/R3-,

n = R4/R2

und p = m• n ist.

Es ist dann der Widerstand der Brücke von der Stromquelle aus: R

__ D

q-(l + m)(n +

p)-\-m.-n-{-m-n-p-\-n-p->rp-m

q-(l + m + n + p) + (l + n)(m + p)

'

und der Widerstand der Brücke von der Galvanometerdiagonale aus: R G= R

1

s • (1 + n) (m -f p) -f m • n -f m • n • p -j- n • p + p • m ~ «•"(! + n + p) +~(1 + m) (ra + />)

wobei s — R0/Ri ist und R0 den Widerstand der Stromquelle bedeutet. Es ist ferner W

.

j

™

.

*

.

^

!

-

-

.

«uo,

wobei ist.

.V. = 9(1 + m + n + p) + (1 + n) (m + p) Ferner ist 'V

(141)

— 90 — Es seien nun nach dem Vorgänge von F i s c h e r die verschiedenen Fälle betrachtet. I . R g = oo .

Maximale Spannuugsempfindlichkeit. 1. E = c o n s t .

Dies bedeutet, wie bereits oben erwähnt, häufig, daß RE E s ist hier natürlich ig = 0. Ferner i s t : _ p P — m-n (Ri:+Re)(l + m + n + pj wobei jetzt R

ist.

F ü r gleichzeitig R'E

,

=

R

Re ist.

0 ± m ^ t A (1 + m + n + p)

(143)

Re erhält man also

+ Z?6 = const = R0 sein muß, so ergibt sich: i [ - R0 • A R3 + R, {i? (R5 - Ra) - A R3 (R + Ä8)}] = e[(i? 0 + i? 7 )(4/í + /li? 3 ) + i? 0 i? 7 ]

(189a)

Hieraus lassen sich ähnliche Bedingungen wie bei der im vorhergehenden Abschnitt behandelten Wheatstonebrücke mit zwei Spannungsquellen entwickeln, wobei man infolge der größeren Anzahl von Brückenzweigen noch mehr Yariationsmöglichkeiten erhält. Auch hier muß natürlich die Eingangsspannung der Brücke bzw. der Eingangsstrom konstant gehalten werden. Diese Anordnung ist von Leeds und Northrup und von Siemens und Halske zu einem schreibenden Kompensator (Kompensographen) für Thermospannungen benutzt worden (s. Bd. II). Durch Änderung von R7 kann man den Meßbereich variieren. Auch die Thomsonbrücke kann man zur /»//-Messung verwenden. Hierbei kann man z. B. mittels R2 die Temperaturfunktion der Zelle kompensieren. Ist A e = ). • A t und e — lt-\-k, wobei k die Funktion eines Argumentes x bedeutet {k = /[*]), so ist für i? 2 = R (1 -(- oct) und R3 =

E =

= RS — RE = RI ~ R'-

21 3:«

7 Rv + S R }._ A Äj R* (RV + 2R)+~(RV R ^ oc

+

2R)

wenn man die Koeffizienten von t und t2 vernachlässigt und cx und l als klein annimmt.

—

106

—

3. Gleichstrombrücken in der Ausschlagmethode. Die Gleichstrom-Aussohlagbrücken haben in der betriebstechnischen Messung eine sehr große Bedeutung erlangt. Sie ermöglichen die laufende Messung der Veränderung eines oder mehrerer Brücken zweige. Der Vorteil gegenüber anderen Meßmethoden (z. B. der Bruger-Schaltung) liegt besonders darin, daß der elektrische Nullpunkt der Messung an beliebige Stelle gelegt werden kann. Es ist dies bereits früher erwähnt worden. Ein weiterer Vorteil ergibt sich aus der Tatsache, daß man gleichzeitig zwei entsprechende Brückenzweige im gleichen Sinne beeinflussen kann und damit zur doppelten Empfindlichkeit der Meßmethode gelangt. Ferner ist es möglich, eine zweite Veränderliche in einem oder in zwei entsprechenden Brücken zweigen im entgegengesetzten Sinne wirken zu lassen, also Differenzmessungen auszuführen. Zur Erläuterung sei z. B. auf die Messung mittels Widerstands-Thermometer verwiesen (S. 114), bei der man die Temperatur-Differenz zwischen einer bestimmten Temperatur und z. B. der Raumtemperatur auf diese Weise laufend feststellen kann. a) Charakteristik der Wlieatstone-Ausschlagbriicke.

Es ist bereits S. 79 die Gleichung für den Brückenstrom in der Meßdiagonale bei konstantem Speisestrom i angegeben worden. Es ist A>,A>

,,

« .. ^ 1*

(190)

C

Analog erhält man den Brückenstrom bei konstanter Speisespannung e zu: /,. wobei und

-

A>|A>l

_Y,= i? i (/e 1 + A ' 2 - f / ? 3 +

v"/^

e

+

A,

% +

(191) +

. (192)

-Y/ = R„ (R! + R2) (R, + Ä4) -f Rx Ro R3 + R2 R3 R, + Ra ^ 4 Ri + ^4*i Rt . . . . (193) ist. Betrachtet man z. B. R t als veränderlichen Brückenzweig, so sieht man, daß /?1 sowohl im Zähler als im Nenner der obigen Gleichungen auftritt. Ganz allgemein erhält man also für ia = f (Rx) eine Hyperbel. Praktisch kann man jedoch die einzelnen Brückenzweige so wählen, daß der Nenner innerhalb eines gewissen Variationsbereiches als konstant angesehen werden kann. In diesem Bereich ist also die Funktion praktisch linear. Es ist klar, daß dies der Fall ist für A R1 < wobei A Rt der Variationsbereich von Rx ist. Bei konstantem Brücken-Eingangsstrom erhält man auch als Linearitätsbedingung: A R1 < j?3. Seltener wird die allgemeine Thomsonbrücke in der Ausschlagmethode benutzt. Für sie wäre: ; - i - Z Y

wobei Z und N aus Gl. (164) und Gl. (165) sich ergeben (s. S. 97). Linearitätsbedingung wäre hier

Die

A R 1 < B 1 oder auch A R X < R 3 bei konstantem Eingangsstrom. Für konstante Eingangsspannung läßt sich der Diagonalstrom und die Linearitätsbedingung ganz analog bestimmen. Es ergeben sich für die Thomson-Ausschlagbrücke keine wesentlichen Vorteile gegenüber der Wheatstone-Ausschlagbrücke. Es seien im folgenden eine Reihe von wichtigen Sonderfällen der Wheatstone-Ausschlagbrücke betrachtet: Sonderfälle: 1. R ^ R ^ R ^ R -

R, = R +

AR,.

Dann ist: /

V

,

IA

AR1(R,J

"> + 2R) + iR(Rg

+ R)

( m )

Für A Jt1 < R wird der Diagonalstrom i„ in erster Näherung: '' 2. R2 =-• RS = R, R, =

(1; ,i!)

'• ' , ( / ' / ' ' A>,

"

= R -f A R,.

Es ist / =/

2R-,\R^(A RX ( I A',)- • 2 • ,1 /\'| (2 A' - •- R..) : \(R, - R) ' " u Für A Rx < R ist näherungsweise: AR (195a) 2(A',. : -A') Man erhält also die doppelte Empfindlichkeit wie im vorhergehenden Fall. 3. R3 = Ri=R-

^ = jg-f ¿J ^ ; R2 = R —

ARl.

Es ergibt sich näherungsweise

A R (196) ' ' 2 ( A',( • A ' ) ' d. h. die gleiche Empfindlichkeit wie im 2. Falle. Diese Anordnung ist praktisch wichtig dadurch, daß man R X R 2 als Spannungsteiler ausbilden kann. 4. -Rj = i?4 = fl + Zl 7?!; R2= Es ist näherungsweise

Rx=

R — A R,. a n

' • — K + R ««> Hier hat man also die vierfache Empfindlichkeit gegenüber dem ersten Sonderfall. Eine derartige Anordnung würde demnach zwei mechanisch gekuppelten Spannungsteilern entsprechen.

—

5. R1

=

108

R + A Rx-, Ri = R — AR,

—

R2 = R3 =

R.

Hier ist näherungsweise ,

,

- ( A R J z

(198) 4 R(Rg + R) Hier hängt also ig quadratisch von A R ab. Es darf dabei aber nicht verkannt werden, daß auch der Nenner eine quadratische Funktion von R ist, daß also — da zudem A R2 < A R — die Empfindlichkeit einer derartigen Brücke sehr gering ist.

6. Rj = R -f A Ri;

R3 = R — A R1;

R2=R4

=

R.

Diese Anordnung ergibt o h n e Vernachlässigung: ''

' ' 2 (A'.,

(199)

R)

Man sieht, daß hier auch in der exakten Lösung der Nenner konstant bleibt. Der gleiche Fall ergibt sich, wenn man mit R2 und Rs mit Rt vertauscht. Eine derartige Anordnung ist von G r ü ß und S i e b e r vorgeschlagen worden. (Streng lineare Charakteristik!) Die einzelnen Fälle sind für konstanten Brückenstrom aufgestellt worden. Analoge Betrachtungen, die leicht aus Gl. (191) abzuleiten sind, ergeben sich für konstante Brückenspannung. Die gesamten Verhältnisse in einer Wheatstone-Ausschlagbrücke sind in der folgenden Zahlentafel zusammengestellt. Z a h l e n t a f el 1. Widerstand der Brücke in bezug auf die Stromquelle*) R K — Xe'/N« Widerstand der S t r o m q u e l l e : R e

Ne = Rg (R1 + R2 + R3 + RJ 4- (R1 + R3) (R2 + R4)

AY = Rg (Ri + -R2) (R3 + Rt) + n

II

= R1 i?2 Rs -(- R2 Rs Rt -)- R3 Ri Ri -)- i?4 Rt R2

At A3 Ak Ag

= Rg (Rä + Rt) + Ri(R1 = Ä, (*! + *.) +«1(^2 = Rg (R! + R2) + R2(R1 = R.R.-R.R,

A, = i?,(Ä 3 + ß4) + Ä3(i?2 + Ä4)

| I

e = const

i — const

i-AJN. i-AJNe i • AJNe i-AJNe i-AgINe

r

•t 3 4

g

+ R3) +Ä«) + Rs)

i?„ + 0

e e e e e

AJ(R,, + Re) AJ(R,, + Re) N. AJ(R, + Re) Ne AJ(R,, + Re) AgRRE-\-Re) Ne

i

RtX 0

i

e-AJN/ e•AJN; e • Az/Ne' e • AJNe' e • A g/Ne'

Der Widerstand der Brücke in bezug auf den Indikator ist: ReiRr+R?) (Rt+RJJ-ü^^ = G

Re (Ä, ••/L-\R,r

Ä«) + (Äi + •»,) (Äa+-R4)

—

109 —

Die Veränderung von gleichzeitig zwei Brückenzweigen zeigt die nächste Zahlentafel. Zahlentafel Veränderliche Variationen Zweige | nebeneinander

Uli

Zweige

Rx = R0 + AR0Ät = Ra + A'R0; Ri = Ro

ungleich

R0(AR0-A'

«1 =

R0(AR0 + A'R0) +

Rs=

gleich, entgegengesetzt

Ri=

R0;

AR0-A'R0

0

R2= R0-\-A R0;\

neben! gleich einanderj

R0)

A«

Ro + ^Ro-, R2 = R'j = Ro Ro + A'R0

gegenüber i ungleich

nebeneinander

2.

\

R0-\-A R0; r2 = R0—A R0 ; r3= r4= r0

gegenüber gleich

Ri = i ? 4 = i ? c + / l - R 0 ;

gegenüber gleich, ent-

= Ro'i Rr= R0-\-A R0;

A R, i

2R0AR0 + (A R„r No — (ARtf/Na

gegengesetzt; ü 2 = R s = R 0 ,

Ri = ÄO—Äo Hierbei ist: Na = Rg (4 R0 + ZI R0 + A' R0) + (2 R0 + AR0) (2 R0 + A'R0) Nt = 2(R, + R0) —

(AR0)*/2R0

Nc = (2R0 + A R0) (2Ra + 2RQ + A R0) Nd = iR0(Rg

+

R0)-(AR0f.

Sind die Veränderungen klein gegenüber den Grundwiderständen der Brücke und — ohne Rücksicht auf das Vorzeichen — gleich, so ergibt sich die in den folgenden Zahlentafeln wiedergegebene Vereinfachung. Z a h l e n t a f e l 3. Variation mit e i n e m veränderlichen Widerstand

Zweige:

R1 + ARl; i?2; Ä3; i?4; Ä1Ä4 — R2R3 = 0 ig =i-Rt.AR1/[R„(R1 + Rt + Ri + Rt) + (Bl + R3) (R2 + RJ]

Spezialfall: Ri = if2 = R3 — Ri — R'> A R1 = A R0 i„ = i-ARJk [Äj + Äo]

—

110

—

Z a h l e n t a f e l 4. Variation mit z w e i veränderlichen Widerständeil

Der allgemeine Fall ergibt sich aus Zahlentafel 1 durch Vernachlässigung von A R im Nenner. Der allgemeine Unterfal), daß alle Widerstände und Grundwiderstände gleich, jedoch die Variationen verschieden sind, folgt aus Zahlentafel 2 durch Vernachlässigung von A R im Nenner. S p e z i a l f a l l : Alle Widerstände und Grundwiderstände sind gleich, die Variationen sind gleich. iy: i

V e r ä n d e r l i c h e Zweige

nebeneinander, Variation gleichsinnig nebeneinander, Variation entgegengesetzt gegenüber, Variation gleichsinnig gegenüber, Variation entgegengesetzt

0

A R0/2(Rg + R0) AR0/2(Rg + R„) - A R0y4R0(Ra + Rll)

Graphisches Rechenverfahren nach

Rauschberg.

Eine graphische Lösung für die Ströme in den einzelnen Brückenzweigen und den Gesamtwiderstand der Brücke von der Stromquelle aus — bei bekannten Widerständen R1...Ri und Ra gibt R a u s c h b e r g 6 0 ) . Es ist: II]

.

. = tg l

!

»" t,j

= t

7-v

= i? x ;

II 2 l

,

T~t

• = tg « 2 = R 2 usw. 2

/ o An\

g « . = Ä.

und m2 = u3 -+- m4 usw.,

u = «1

«1 = «3 + «5 i = h + ¿3) wie ja bereits früher bei den Kirchhof!-Sätzen behandelt wurde. ist der Widerstand der Brücke von der Stromquelle aus: A'k

".

Ferner (201)

(Abb. 112 und 113.) Man stellt zuerst B„ durch ein Rechteck beliebiger Größe dar, wobei das Seitenverhältnis ajb = R(J sein muß (Abb. 114). An dieses Rechteck t r ä g t man die Winkel a 1 . . . a i so an, daß z. B. tg = R J l ist. Man zeichnet dann von einem beliebigen P u n k t P (Abb. 115) aus eine Spirale parallel zu den Rechteckseiten. Erweitert sich die Spirale nach dem ersten Umlauf, so wird sie in entgegengesetztem Umlaufssinn gezeichnet, bis die Gänge immer enger werden und schließlich in einem

— Iii

—

geschlossenen Rechteck ABCD (Abb. 116) enden, das mit dem Rechteck des Bildes 113 identisch ist. Daraus ergeben sich dann alle gesuchten Größen.

A b b . 112. W h e a t s t o n e briicke.

A b b . 114. K o n s t r u k t i o n des R a u s c l i b e r g - D i a g r a m m s a u s R„.

AM». 113. S t r o m - S p a n n u n g s - I i i a g r a n n n d e r Wheatstonebi'iicke nach Rauschberg.

A b b . 115. Spiralen a u s B : , u n d «,...« 4 .

A b b . 116. Schließen d e r Spiralen z u m R e c h t e c k .

b) Empfindlichkeit der Ausschlagbrücke.

Die Empfindlichkeit von Ausschlagbrücken ergibt sich nach den gleichen Grundsätzen, wie die Empfindlichkeit von abgeglichenen Brücken. Während man bei letzteren jedoch nur kleine Abweichungen von der Abgleichlage in Betracht zieht, hat man bei den Ausschlagbrücken die Untersuchungen über den ganzen Variationsbereich der variablen Größe oder Größen zu erstrecken. Der Gang der Untersuchung ist jedoch der gleiche: Man stellt die Bedingung zwischen abhängiger und unabhängiger variabler Größe, also z. B. zwischen dem Diagonalstrom der betr. Brücke und einem veränderlichen Widerstand

—

112

—

auf und differenziert die erhaltene Funktion nach der unabhängigen Größe. Während jedoch bei der fast abgeglichenen Brücke der Zähler der ursprünglichen Funktion annähernd Null ist und dieser Wert in die Differential-Funktion eingesetzt wird, fällt diese Sonderbedingung hier weg. Aus Gl. (190) ergibt sich für die Empfindlichkeit der Brücke hinsichtlich des Diagonalstroms in bezug auf den Widerstand R^.

d ig öi?]

üN e h Fr

•

R'i — R% Rs) —

¡N* . . • (202) • N«

wenn man den Brücken-Eingangsstrom J als konstant annimmt, wobei Ne und Ne' den S. 106 angegebenen WTert besitzen. Der Wert für konstante Eingangsspannung ergibt sich analog. Nicht immer ist jedoch der Grenzfall der Empfindlichkeit für unendlich kleine Änderungen der Bezugsgröße interessant. Häufig will man z. B. die Änderung des Diagonalstroms bei einer kleinen, aber e n d l i c h e n Änderung der Bezugsgröße wissen. Ändert man z. B . R1 um die endliche Größe A so ergibt sich: Ai g

i? 4

AR^'N.

+ K

(2°3)

wobei K — A R1 (Ra + R2 -f- R4) ist. Ebenso ergibt sich für konstante Eingangsspannung e: - (204)

1

wobei k'=~ARi

^

+ ^ + ^ +

(Ri

+Rt)IRi]-

Führt man in Gl. (202) für die Abgleichung um die Gleichgewichtslage die weitere Bedingung R1Ri— R2R3 = 0 ein, so erhält man die bereits früher gewonnene Gl. ö i„ ^ Rt

d R1

N,

Eine interessante Untersuchung über den Zusammenhang zwischen der Empfindlichkeit des Indikators und der Genauigkeit der Schaltung hat S p i e l h a g e n 6 1 ) durchgeführt. Die hier gewonnenen Ergebnisse werden leider oft zu wenig beachtet. Spielhagen zeigt, daß bei zu geringer Empfindlichkeit des Indikators die Genauigkeit der Brückenschaltung nicht genügend ausgenutzt wird, während eine zu große Empfindlichkeit des Indikators eine nicht vorhandene Genauigkeit vortäuscht und bei Nullmethoden die Abgleichung erschwert. Diese Betrachtung gilt ganz allgemein. Es wird später noch gezeigt werden, daß z. B. bei Regelbrücken eine zu große Empfindlichkeit des Indikators

—

113

—

Pendelungen hervorruft und daß man u. U. deshalb sogar bei richtigem Zusammenhang zwischen Genauigkeit der Schaltung und Empfindlichkeit des Indikators die letztere künstlich herabdrücken muß. E s wurde bereits früher (S. 106) gezeigt, daß die Charakteristik Diagonalstrom-Veränderung eines Brückenzweiges im allgemeinen nicht linear ist, daß man jedoch für bestimmte Bereiche die Charakteristik mit praktisch genügender Genauigkeit linear machen kann. (Die Schaltung von Grüß und Sieber ist, wie ebenfalls bereits erwähnt wurde, streng linear.) Man kann die Gleichung des Krümmungsradius des Diagonalstroms natürlich ohne weiteres aufstellen. Diese Gleichung ist jedoch in ihrer allgemeinen F o r m sehr unübersichtlich, so daß sie nur für bestimmte Dimensionierung Bedeutung hat. Ist z. B . H1 = R ~r AR, R2 — R, R3 = R4 — R\ so ergibt sich, daß die Charakteristik eine um so geringere Krümmung aufweist, je mehr R' > A R ist. c) Spezielle Gleichstrom-Ausschlagbrücken. C, r (CO2 i?4 2 f 4 2 + 1)

(271b)

— 183 Natürlich muß auch bei dieser Brücke die Frequenz bekannt und konstant sein. L a n d o n 1 1 2 ) und H a r t s h o r n ] 1 3 ) haben mittels der Hay-Brücke die Selbstinduktion eisenhaltiger Drosseln gemessen, wobei diese gleichzeitig mit Gleichstrom vormagnetisiert wurden. Der Blockkondensator C v ( A b b . 195) verhindert den Gleichstromdurchgang durch den Indikator (einem Vibrations - Galvanometer) und dient gleichzeitig dazu, zusammen mit dem Übertrager die Diagonale auf SpannungsResonanz abzustimmen. Die an der Brücke liegende Wechselspannung wird — unabhängig von der überlagerten Gleichspannung mit Hille des Kondensators Cv geregelt. Der Konden—o r\j o—' sator (',, blockiert den Gleichstrom gegen Abb. 195. Uay-Briicke iiucli Landon und Ilartsborn zur .Mes- Erde. sung eisenhaltiger Drosseln mit Man kann mittels der Haybrücke auch (jleiclistrom-Vorniagnetisierung. Frequenzen bestimmen, wie dies von K u r o k a w a und H o a s h i 9 7 ) ausgeführt wurde. Es ist dann: a>2= R J R J ^ C ,

(272)

Von M. W i e n 1 1 4 ) ist eine weitere, nur Selbstinduktionen enthaltende Brücke zur Bestimmung von Selbstinduktionen angegeben worden. Hier ( A b b . 196) ist:

(Ry + jvLJ.R,' (R1 + R1') + jcoLl ^(R2

Abb. 196. Wien-Selbstinduktions-Briiekc.

+ R2')(R3

+

Rs' + iOJLs) .

• (273)

oru oAbl). 197. Dolezalck-Biiickr.

Das Ergebnis ist, wie man aus Gl. (273) sieht, ziemlich unübersichtlich. Die Abgleichung erfolgt mittels L 3 und Rx" sowie R2' und Rt', ferner durch Rund R3'. Macht man nach D o l e z a l e k 1 1 5 ) R — 0, so wird die Gleichung für L x unabhängig von L 2 , so daß dieses nicht bekannt zu sein braucht (Abb. 197).

— 184 — Eine andere ähnliche Schaltung von Dolezalek zur Messung kleiner Selbstinduktionen ist frequenzunabhängig. Von der Physikalisch-Technischen R e i c h s a n s t a l t 1 1 7 ) wurde eine der Haybrücke ähnliche geschirmte S c h a l t u n g zur Messung des Verlustwinkels von Pupinspulen angegeben. Bezeichnet man den Verlust-

A b b . 1 9 8 . P u p i n s p u l e n - M e ß b r i i c k e der P T R .

A b b . 199.

Soucy-Bayly-Fruquenzbriicke.

winkel einer Selbstinduktion L mit dem Ohmwiderstand r mit t g ör so ist t g d — R j i o L . E s ist bei dieser B r ü c k e (Abb. 1 9 8 ) : t g ö

2

L2

=

R

2

l m C

2

=

=

R

l

R

3

l ( i +

i

C

R

i

Abb. 199 zeigt eine von S o u c y und quenzbrücke. E s ist R , R

i

=

( R

t

+

R2 '

+

/ « L2 )

c o C

(274a)

i

tg2d2)

(274b)

B a y l y 1 1 8 ) angegebene ( R

a

-

J/oj

Q

Fre(275)

und hieraus (R2

+

R2')

17.,(A', A-jT,.

/.,)

(R2 + R2 ) • const. .

(275 a)

Die Abgleichung erfolgt mittels der induktionsfreien W i d e r s t ä n d e R2 und Rz . B e i m K l i r r f a k t o r m e s s e r der Siemens & Halske A . G . wird die in A b b . 2 0 0 dargestellte Resonanzbrücke auf die Grundwelle abgestimmt. Die E f f e k t i v s u m m e der Oberwellen kann dann direkt a m Röhrenvoltmeter abgelesen und durch Vergleich mit der Gesamtspannung in Prozenten von dieser angegeben werden. Röhren - Voltmeter A b b . 2 0 0 . K l i r r f a k t o r m e s s e r der Siemens & I l a l s k e A.-G.

Zu den frequenzabhängigen Brücken gehört eigentlich auch die R i m i n g t o n N i v e n - B r ü c k e . Sie ergibt sich aus der — frequenzunabhängigen — M a x w e l l - W i e n -

—

185

—

B r ü c k e (S. 197), w e n n m a n d a s der M e ß d i a g o n a l e z u g e k e h r t e v o n 6' 4 auf Ri v e r s c h i e b b a r a n o r d n e t .

Ende

V o n den f r e q u e n z a b h ä n g i g e n B r ü c k e n m i t g e g e n s e i t i g e n I n d u k t i o n e n sind alle B r ü c k e n zu e r w ä h n e n , bei d e n e n die eine S e i t e d e r G e g e n i n d u k t i o n in d e r M e ß d i a g o n a l e liegt u n d d o r t wie eine K o m p e n s a t i o n s s p a n n u n g w i r k t . Diese B r ü c k e n w e r d e n in e i n e m b e s o n d e r e n

K a p i t e l b e h a n d e l t w e r d e n (S. 210 u . ff.). E s sind dies v o r a l l e m die B r ü c k e n von S c h e r i n g u n d E n g e l h a r d t , H u g h e s - C a m p b e l l u n d Kennelly-Velander. Bei d e r B r ü c k e von B u t t e r w o r t h 1 1 9 ) l i e g t die e i n e Seite d e r G e g e n i n d u k t i o n in d e r S p e i s e d i a g o n a l e ( A b b . 201). In d i e s e r — b e s o n d e r s z u r E i c h u n g v o n R ö h r e n o s z i l l a t o r e n b e n u t z t e n — Brücke ist: ^ ^ ^ — L j ] — R2R3 — R1 R4 (276a) L ^ L ^ L ^ R ^ M ^

+ R,]

(276b)

Die E i n s t e l l u n g e r f o l g t m i t t e l s M u n d Rs, wobei Lx = L 4 g e m a c h t w i r d . D u n a n d 1 2 0 ) m a c h t L 1 = J / = 2 L 4 u n d R3 = 0 sowie = /? 4 . E s ist d a n n : ,07- > r p ooL i = K/i ( 2 / 7 a) R2 = 2Ri

(277b)

H i e r e r f o l g t die A b g l e i c h u n g d u r c h g l e i c h z e i t i g e Ä n d e r u n g v o n R2 u n d i? 4 .

Rt,

I n der S c h a l t u n g v o n K u r o k a w a 1 2 1 ) ( A b b . 202) ist R2 = 0. ist d a n n f ü r Rx = Ri== R:

Es

,0

•

R

y L t L4 —

2

(278)

Die A b g l e i c h u n g e r f o l g t m i t t e l s R3. I n f o l g e R2 = 0 g e h ö r t diese B r ü c k e e i g e n t l i c h zu den e n t a r t e t e n B r ü c k e n . Die B r ü c k e v o n S a s e u n d M u t ö 1 2 2 ) e n t h ä l t in e i n e m B r ü c k e n z w e i g e i n e n geschlossenen S e k u n d ä r k r e i s (Abb. 203), w o b e i die g e s t r i c h e l t e V e r b i n d u n g in W i r k l i c h k e i t n i c h t b e s t e h t , s o n d e r n n u r f ü r die n a c h -

—

186

—

folgende Berechnung mittels Dreieck-Stern-Transformation eingezeichnet ist. Die Dreieck-Stern-Transformation des Zweiges 1 mit Nebenzweig

Abb. 204. Dreieck-SternT r a n s f o r m a t i o n des Zweiges A D der B r ü c k e von S a s e und Mutö.

A b b . 2 0 3 . F r c f [ u c n z b r ü c k c von S a s e und M u t ò .

ergibt die Ersatzfigur Abb. 204.

Es i s t :

3l =--& + * ! oder

8)11=jcoL1 F ü r

+I Ij = f i l + i c o L , und

+

3a • (3c 3i) 3 « + 3 f ~t~ 3 l

-jojMi^'+jtoW

• r

,-) / |

3l

=

(279)

r

+

jvM)

(279a)

+ / ( o i / ist

Si = 3i0 +

a's0

Ist Si = Widerstand von

(280) 3i" wobei in R^' auch der Ohmenthalten sein soll, so ergibt sich =

w2 I/2 3 i = 3i0 + R^ + j u i ^ 0der

R = R} + L = Ll

vr M2 Rt' -f- oß Li

Ri'2

(281)

2

w2 M2 Li A'i'-

•ofil.,'-

(281a) (281b)

Bei sekundärer Olim-Belastung nimmt also der Ohm-Widerstand des Zweiges AJ) zu, die Selbstinduktion ab. Im Grenzfall J R 1 ' = 0 wird R = R1 und L = L1— M j L I m Grenzfall Rx' = oo wird R = R, s o und L = Lx. Ist hierbei 3 i ' = — wird a — — öai " 14 Ol 0 Ist speziell /ij'

Ri>

c 2 A P _ji / f t )°L ] , _

j/oj(Y

. (282)

w L / — l/wC'/, so ergibt sich

R

(282 a)

A\

L = Lj

co2

A/2

cy

co2 Li C , ' — 1

(282b)

—

187 —

Für den Fall der Ohm-Belastung folgt dann für die spezielle Brücke von Sase und Mutö*): oder

(R + jwL) • Rt • (R.s + / w/, 3 ) • oß .l/2 • (i?/ - /(o/.,') . . (283) +

R

f.3, 1/2 7?' \ v + ft;2):v) •

=

R,

(283a)

r^+Ü'LM^**1* Macht man hierin R2—Ri so ergibt sich:

und L3 = L1— V-i^i , sowie R3 — '/W .

C 0 = R i

(28;ib)

-+(284)

Die Abgleichung erfolgt dann mittels R±\ so daß man einen linearen Zusammenhang zwischen co und Rt' erhält. Diese Brücke wird von den Yokogawa Electric Meter Works, Tokyo, gebaut. Zu den frequenzabhängigen Schaltungen gehören auch eine Reihe von Kompensations-Schaltungen, die von verschiedenen Autoren (z. B. Hague) als Brücken behandelt werden. Vor allem sind hierzu Schaltungen zur Messung gegenseitiger Induktionen (Strom- und Spannungswandler-Meßschaltungen) zu erwähnen. Alle diese Methoden sollen hier jedoch unter den Kompensationsschaltungen im letzten Abschnitt des Buches behandelt werden. Es ist klar, daß bei einer Reihe von Brücken zur Bestimmung von Kapazitäten die Abgleichbedingungen frequenzunabhängig sind, während in die Gleichung für den Verlustwinkel der zu bestimmenden Kapazität die Frequenz eingeht. Diese Brücken sollen jedoch als frequenzunabhängig angesehen und an der entsprechenden Brücke betrachtet werden. Aus dem Rahmen der bisher behandelten Brücken herausfallend, ist noch eine B r ü c k e z u r B e s t i m m u n g von W e c h s e l s t r o m l e i s t u n g e n nach dem Vorschlag von E. P a u l zu erwähnen (Deutsche Patentanm. P 62249). Hierbei bestehen die Zweige 1, 3 und 4 einer Wheatstonebrücke aus Ohmwiderständen, während der Zweig 2 den Verbrauchwiderstand, z. B. einen Lautsprecher in Serie mit einem Hitzdraht-Wal tmeler enthält. T y p e n - E i n t e i l u n g der f r e q u e n z a b h ä n g i g e n B r ü c k e n v o m Wheatstone-Typ. In den vorhergehenden Ausführungen ist eine besondere TypenUnterteilung vermieden worden. Man könnte eine solche jedoch auch hier — ähnlich wie dies bei den frequenzunabhängigen Brücken des nächsten Kapitels der Fall sein wird — durchführen. Man könnte *) Die Angaben hierüber, sowie über die vorher e r w ä h n t e Brücke von Kur o k a w a sind dem bereits wiederholt zitierten Buch von H a g u e entnommen.

—

188

—

Brücken, bei denen Kapazitäten u n d Ohm-Widerstände in Reihe und parallel vorkommen, als Brücken vom » W i e n - T y p « bezeichnen. Ähnlich wären Brücken mit Kapazitäten und Selbstinduktionen als Brücken vom » M a x w e l l - T y p « zu benennen. Es ergab sich ferner aus den Ausführungen wohl von selbst, d a ß die Frequenzabhängigkeit sich n u r auf die Abgleichbedingungen bzw. auf die gesuchten Größen Ohm-Widerstand, Kapazität, Selbstinduktion, Gegeninduktion bezog, nicht aber z. B. auf den Verlustwinkel von Kapazitäten, der im Prinzip frequenzabhängig ist. Wo nur für den letzteren eine Frequenzabhängigkeit vorhanden ist, nicht aber für die anderen genannten Größen, soll die Schaltung als f r e q u e n z u n a b h ä n g i g gelten. Die E m p f i n d l i c h k e i t von Frequenzbrücken allgemein h a t M a n d e l 2 8 1 ) untersucht.

B. Frequenzunabhängige Brücken vom Wheatstone-Typ. Die Zahl der in der Abgleichung frequenzunabhängigen Brücken ist so groß, daß eine weitere Unterteilung wünschenswert erscheint. Natürlich kann man die Unterteilung nach verschiedenen Gesichtspunkten vornehmen, so z. B. nach dem Anwendungsgebiet der betr. Brücke. Da aber häufig die gleiche Brücke für verschiedene Messungen sich eignet, soll hier die Unterteilung nach der Bauart erfolgen. Daß die Brücken mit nur Ohm-Widerständen frequenzunabhängig sind — wenigstens theoretisch, während praktisch auch die Ohm-Widerstände mit Kapazität und Selbstinduktion behaftet sind — ist verständlich. Sie besitzen auch nur da eine Anwendungsmöglichkeit, wo man auch praktisch etwaige Kapazitäten vernachlässigen kann, z. B. bei einer Reihe von Messungen des Widerstands von Elektrolytzellen mit Wechselstrom. Die Abgleichung erfolgt dann häufig mittels eines ausgespannten oder in F o r m einer Walze aufgerollten Schleifdrahts, wie dies im II. Band näher erörtert werden wird. Diese Methode genügt jedoch selbst bei Elektrolytzellen nicht immer. a) Wheatstonebrücken mit Kapazitäten und Ohm-Widerständen. «) Brücken

mit Kapazitäten und Ohm-Widerständen vom »de Sauty-Typ«).

in Reihe.

(Brücken

Eine aus der einfachen d e S a u t y - B r ü c k e (Abb. 205) hervorgegangene a l l g e m e i n e d e S a u t y - B r ü c k e zeigt Abb. 206. Hier ist: +

=

+

. . (285)

Die Verlustwinkel-Differenz zwischen den Kapazitäten C\ und C3 ist d a n n : tg d1 - t g ¿3 = o, C, RCi -

co C3 RCn =

(R, Rt -

R2 Ra),

(286)

— wenn RC1 bedeuten. Eine Abb. 207. Eine sung von

189

—

und RC3 die Verlustwiderstände der Kapazitäten C\ und C3 de Sauty-Brücke mit umschaltbarem Zusatzwiderstand zeigt Kapazitäts-Meßbrücke verwendet F. H . M a y e r 3 0 5 ) zur MesFarbfilmdicken. Hierbei ist die Meßkapazität als Doppel-

widerstand.

ß) Rriicken

mit Kapazitäten

und parallelen

Ohm-Widerständen.

Derartige Brücken kann man als » L e i t w e r t - B r ü c k e n « b e z e i c h n e n , d a man, wie früher erörtert, bei Kapazitäten und parallelen OhmWiderständen häufig zweckmäßig besser mit dem Schein-Leitwert als mit dem Schein-Widerstand rechnet. Eine derartige Brücke zeigt Abb. 208. Es ist: 1

1 =

d. h. (i/Ra

+ jo> Q

Hieraus folgt A b b . 208. L e i t w e r t b r ü c k e .

1 7 ^ + 7 ^ 3

(287)

• Ä 4 = R2 • (1/i?! + / co Cj) (288) RlRi

= R2Rs

(288a)

Ri Cs — R2C]

. . . . . (288b)

y) Brücken mit Kapazitäten und Ohm-Widerständen parallel und in Reihe. (Brücken vom »Wien-Typ«.) Darunter fällt z. B. die bereits S. 174 behandelte Wien-Brücke und die ebenfalls dort b e t r a c h t e t e Wien-Robinson-Brücke. Eine besondere Gruppe in den Brücken vom Wien-Typ bilden die verschiedenen S c h e r i n g - B r ü c k e n 1 2 3 -- 1 2 7 ), die frequenzunabhängig sind. Ein Teil dieser Scheringbrücken fällt unter die Brücken vom Anderson-Typ und soll dort (S. 225 u. ff.) behandelt werden, ein anderer Teil unter die Thomsonbrücken (S. 228). Die Scheringbrücken haben

— 190 — aus dem Bedürfnis heraus, den Verlustwinkel von Kabeln unter Hochspannung zu b e s t i m m e n , ihre B e d e u t u n g erlangt. Später wurde ihre Anwendung auf Hochspannungskondensatoren allgemein ausgedehnt und schließlich auf die Untersuchung von Dielektriken, z. B . auch von Meßwandlern erweitert. Die einfache Scheringbrücke zeigt A b b . 2 0 9 .

|—VWAVW I

o

1

o

' Abb. 210. Scheringbriicke nach Zickner zur .Messung g r o ß e r K a p a z i t ä t e n .

Abb. 209. Einfache Scheringbriicke.

Hier ist Cx der zu messende Kondensator m i t dem in Reihe gedachten Verlustwiderstand B x und damit dem Verlustwinkel: tg'V

(', R ,

(289)

Es ist: R,

AVV'v

(289 a) (289b)

Cx = Rz Cx/R1

tg dx = ioRsC3

(289 c)

Die Abgleichung erfolgt mittels C 3 und R v Als I n d i k a t o r dient meistens ein Vibrationsgalvanometer. Der Verfasser h a t auch mit Erfolg Messungen mittels Schwinggleichrichter und G l e i c h s t r o m - G a l v a n o m e t e r ausgeführt. Bei Verwendung von Spiegelgalvanometern, die man in ihrer Zuführung a b s c h i r m t , kann man die Empfindlichkeit sogar wesentlich steigern; jedoch ist dann Einwelligkeit oder Verwendung eines Wellensiebs erforderlich. Die einfache Scheringbrücke läßt sich allerdings nur für kleine Kapazitäten verwenden. Für größere K a p a z i t ä t e n benutzt man die Scheringbrücken vom Anderson-Typ (S. 226). E i n e Scheringbrücke zur Messung großer Kapazitäten hat Z i c k n e r 1 2 8 ) in der in A b b . 2 1 0 dargestellten Weise vorgeschlagen. Es ist hier

C

I. II.

OJ

M l

6'4 • r = t g

+

tg^)

(290 a)

R2 Rt D

=

1 CO j L J

_

R

1

R2RS

Ra-v

(290b)

—

191 —

Dabei bedeutet ß 4!N , die Wechselstrom-Einstellung des Widerstands R t bei 50 Hz. Es werden bei dieser Schaltung extrem kleine Widerstandswerte in den Brückenzweigen vermieden. Dadurch kann auch der Einfluß der Induktivität der Widerstände und der Widerstand der Zuleitungen vernachlässigt werden. Es ist ferner für Gleichstrom III.

R1 = RtRa/Ri=

(290c)

Setzt man den Wert von R1 aus Gl. (290c) in Gl. (290b) ein, so erhält man t g ö = ^ COp - [ l / R i = - l / R ^ ] (291) Aus Gl. (291) und (290b) läßt sich auch der Wert von r berechnen. Dabei ist der zu untersuchende Kondensator Ci durch eine ideale Kapazität 6t4 und einen vorgeschalteten Widerstand r ersetzt gedacht. Lx ist ein Drehspulvariometer mit dem Widerstand Rv R2 und Rz sind winkelfreie Widerstände. Ebenso ist R t ein dem Kondensator (6'4, /-) parallel geschalteter winkelfreier Widerstand. Nach einer Patentanmeldung der Firma Feiten & Guilleaume wird der Vergleichskondensator als Faradayscher Käfig ausgebildet,

CN — als Vergleichskapazität — die Kapazität des Faradayschen Käfigs gegen Erde, J Stützisolatoren und S metallische Schutzringe. Es ist (292 a) tgd =

i? 4 -CO-

C4

(292b)

Während man sonst bei Hochspannungsmessungen als Normalkondensator gewöhnlich Preßgaskondensatoren verwendet (s. Bd. II), ist dies hier nicht erforderlich.

—

192 —

Man kann mittels der einfachen Scheringbrücke auch hohe Spannungen messen, wie dies von J e n ß 1 2 9 ) vorgeschlagen wurde (Abb. 212). Es ist hier r ' r " 6' 5 s t a t t Spannung

Al)b. 2 6 0 a , 1). c.

Phasenempfindliche

Mess- ° Spannung

Gleichrichterbrücken Trockengleichrichter.

mit linearer

Gleichrichtung

durch

setzt sich aus zwei Kreisen zusammen, in deren einem die Summe aus Meßspannung und Hilfsspannung, in deren anderem die Differenz der beiden wirkt. An dem Meßinstrument selbst t r i t t nur die Meßspannung selbst auf, während die Hilfsspannung aufgehoben ist. Die Gleichrichterbrücke hat gegenüber dem mechanischen Gleichrichter den Vorteil, daß sie nicht an niedere Frequenzen (50 Hz bis u m 800 Hz) gebunden ist, sondern gerade für hohe Frequenzen, in denen eine mechanische Gleichrichtung nicht möglich ist, sich sehr gut verwenden läßt. Auf der anderen Seite verlangt sie, daß die beiden in der Brücke vorhandenen Trockengleichrichter in ihren Charakteristiken, besonders aber auch in ihrer Temperatur-Charakteristik, absolut gleich sind. Zusammengehörige Gleichrichter müssen also besonders ausgesucht werden. In Abb. 261 sei eine allgemeine Wheatstonebrücke zusammen mit einer Gleichrichterbrücke betrachtet. An die Brücke sei die Speise*) Bs sei n u r k u r z e r w ä h n t , d a ß f ü r m a n c h e Zwecke absichtlich d e r nichtl i n e a r e Teil d e r G l e i c h r i c h t e r - C h a r a k t e r i s t i k v e r w e n d e t w i r d , u m eine a n n ä h e r n d q u a d r a t i s c h e A b h ä n g i g k e i t zu erzielen

—

220

—

Spannung @ angelegt, während die an der Meßdiagonale auftretende Meßspannung @ m sei. Die Speisespannung (£ werde gleichzeitig an die Gleichrichterbrücke als Hilfsspannung gelegt. Die Brücke sei in ihrem Zweig 1 verstimmbar derart, daß z l ^ i die Verstimmung des

A b b . 261. A l l g e m e i n e W h e a t s t o n e b r ü c k e mit Gleichrichterbrücke.

Abb. 262. Selbstinduktionsbrücke mit Gleichrichterbrücke.

j-muuuij-j

r|

Abb. 263.

II

Kapazitätsbrücke mit

J

Gleichrichterbrücke.

Zweiges 1 bedeutet. Der Indikatorkreis möge der Einfachheit halber nach W a l t e r also so hochohmig angesehen werden, daß er keinen merkbaren Strom der B r ü c k e entnimmt. Dann ist ©« = •

¿3.-34 ( 3 i + ^ B i + 32) ( 3 s +

3J

• G

(334)

F ü r sehr kleine Verstimmungen zJ^i ist dann näherungsweise, da für 3 i 3 i = S2S3

auch

3i

S2

_

3s

34

34 3

ist: 2

( 3 i + 3-^ 2

e.

(335)

Man kann dann die Meßspannung in zwei aufeinander senkrechte Komponenten zerlegen, wie sich unmittelbar aus der Gl. (335) ergibt, wobei der reelle Teil der Wirkverstimmung a, der imaginäre Teil der Blindverstimmung b proportional ist. Schaltet man in die Hilfsspannung

—

221

—

einen Phasenschieber ein, so kann man am Instrument getrennt die eine der beiden Komponenten ablesen, während eine Verstellung des Phasenschiebers um 90° die andere Komponente ergibt. Bei großen Verstimmungen kann man Wirk- und Blindkomponente nicht mehr getrennt bestimmen, wenn man die in der Abb. 261 angegebene Schaltung benutzt. W a l t e r hat durch Abnahme der Hilfsspannung aus einem Teilzweig der Brücke statt aus der Speisespannung direkt auch für beliebig große Verstimmung eine getrennte Ablesung bzw. die Registrierung einer einzigen Komponente ermöglicht. Abb. 262 zeigt eine derartige Ausführungsform für eine Induktivitätsbrücke. Der Quadraturschalter R, C gestattet auf Wirk- oder Blindkomponente von Lx umzuschalten. Eine analoge Brücke zur Kapazitätsmessung zeigt Abb. 263. Macht man in de m in Abb. 264 dargestellten Beispiel so ergibt sich aus Gl. (334) e •8i' -82 (81 + 82) 2 Es ist also für 6L

— (336)

=0: co Cj

Ä,

(337)

Man erhält eine einfache Frequenzbrücke in der Nullmethode, wobei — wie bei der Robinsonbrücke — nur der Widerstand i? 2 verändert zu werden braucht. In Abb. 265 ist die vollständige Schaltung eines

A b b . 264. F r e q u e i r / . b r ü c k e üleichriehterbrücke.

mit

-6 -H+ -A + A b b . 2 6 5 . K a p a z i t ä t s m e s s e r der Siemens & Halske A.-G.

Kapazitätsmessers der Siemens & Halske A.G. mit Verstärkerkreis gezeigt. Man mißt damit die Betriebskapazität eines Fernsprechkabels in ihrer Abweichung vom Sollwert. Da man im Ausschlag-Verfahren mißt, muß man am Anfang die Eingangspannung auf einen Eichwert einstellen. Abb. 266 zeigt einen Permeabilitätsmesser für Krarupkabel. Das Kabel durchläuft dabei eine Spule, deren Induktivitätsänderung angezeigt wird.

—

222

—

C a r s t e n und W a l t e r 1 8 1 ) haben eine Schaltung zur Registrierung der Dielektrizitätskonstanten und damit der F e u c h t i g k e i t von Papierbahnen entwickelt, die in Abb. 267 wiedergegeben ist. Der Anwendungsbereich der Gleichrichterbrücke ist mit den erwähnten Beispielen noch weitaus nicht erschöpft. E r w ä h n t sei z. B . 6leichr!chterbrückc

noch ein von W a l t e r angegebener Frequenzanalysator, der die Gleichrichterbrücke, aber keine Wechselstrombrüc-ke — auf die die vorstehenden Beispiele sich beschränkten — enthält.

3. Wechselstrom-Brücken vom Anderson-Typ. Die Wechselstrombrücken vom Anderson-Typ sind durch die in A b b . 2 6 8 dargestellte F o r m gekennzeichnet. W a n d e l t man das Dreieck

—

223

—

3 4 , 3s> $6 in einen Stern um, so ergibt sich die allgemeine Nullbedingung: 3 « ( 3 I 8 1 - 8 2 3 3 ) = 3 2 [ 3 B - ( 8 8 + 34) + 3 3 3 . ]

• • • (338)

Man sieht, daß bei der D r e i e c k - S t e r n - T r a n s f o r m a t i o n aus der allgemeinen Andersonbrücke eine W h e a t s t o n e b r ü c k e wird. Ist in Gl. (338) ¿J6 = oo, so erhält man die allgemeine W h e a t s t o n e b r ü c k e . Dasselbe Ergebnis folgt für 3 s = 0, wobei j e t z t 3 4 und Parallel-Scheinwiderstände sind. Die Vertauschung von Stromquelle und Indikator ergibt wieder eine B r ü c k e vom AndersonT y p mit gleicher Nullbedingung aber anderer F o r m . Der Vorteil der Anderson-Brücken gegenüber den W h e a t s t o n e b r ü c k e n liegt in dem Vorhandensein von 6 Brückenzweigen. Man ist dadurch imstande für die beiden auftretenden reellen AbA b b . "268. A l l g e m e i n e gleichbedingungen zwei Variable derart zu wählen, Andersonbrücke. daß jede dieser Variablen nur in einer Gleichung auftritt, sodaß man mit 2 Abgleichungen ohne »Eingabein« zum Ziel k o m m t . E s läßt sich dabei in den meisten Fällen eine der beiden Abgleichungen als Gleichstrom-Abgleichung durchführen. Die im folgenden angeführten Brücken stellen nur die z. Z. gebräuchlichen Typen dar. E s ist klar, daß sich entsprechend den 6 B r ü c k e n zweigen die Zahl der möglichen B r ü c k e n noch beträchtlich steigern ließe. Untersuchungen über die Frequenzabhängigkeit der einzelnen B r ü c k e n sind hier natürlich wesentlich verwickelter. Sie besitzen auch nicht die Bedeutung wie bei den W h e a t s t o n e - B r ü c k e n . a ) Die spezielle Andersonbrücke (Abb. 269). Bei dieser von A n d e r s o n 1 8 3 ) stellten B r ü c k e i s t :

selbst aufge-

3 i = 3 i - h i ( o L ; 3 2 = R 2 ; 3s = 3i =

Ri\

SÖ

=

r-O-,

;

3 c = — //wC.

Man erhält daraus die Nullbedingung:

- j/w C •[(*! + / w L) • Ri - R2 R,] = = R2-\R5-(Rz + Ri) + RaRt]

und hieraus A b b . 2 6 9 . Spezielle Andersonbrücke.

I. II.

R1Ri — R2R3 L/C-R^RtlRsiRi + RJ +

(339) (339 a)

RiRJ

(339 b)

Die B r ü c k e ist frequenzunabhängig. Man gleicht die zuerst nach B e dingung I mit Gleichstrom ab, wobei R2R3< L/C sein muß. Dann erfüllt man mittels Rb die Bedingung I I . F ü r R1~ R2= R3 = Rt= R wird

IIa.

L/C'=R-(R

+ 2R-a)

— 224

—

Man vertauscht nach der ersten Messung zweckmäßig Rs und / ? 4 u m deren evtl. nicht völlige Gleichheit zu eliminieren und mittelt das Ergebnis. Sind die Widerstände R2, R3 und Ri nicht völlig winkelfrei und sind deren Winkel cp2, q>3, (p4, so erhält man nach G i e b e 1 8 4 ) L/C

• R ,

=

R

2

• [R5

( R

3

+

R

t

)

+

R

a

R J

+

^ CO L/

( Rb RJ(R6

R2" = R2 1

und R," = R8 •

+

+ R6 . . . (359)

+ R6) ergibt sich:

) 1

(360)

Man braucht also den festen Widerstand R5 nur genügend klein zu wählen um einen beliebig großen Widerstand /?4" zu erhalten. Besonders günstig ist auch der Umstand, daß /?4" dem Ra umgekehrt proportional ist, so daß die Annäherung von /?4" gegen Unendlich beliebig fein gestaltet werden kann. Die Nullbedingungen sind: Maxwellbrücke:

j

R, Rt = R2R3 = ^

j

Wirkbrücke:

[Ra (R6 + R6) + R6 (R2 + Rb)] =R2R3

=

^

und für Rs > Rs RJ(R5 + R0) und R8 > R2 R L -j^ • Rs + R&) = R2R3= • Die Wirkbrücken sind in ihrer Anwendbarkeit noch lange nicht erschöpft. Sie stellen erst einleitende Versuche dar. Eine der Wirkbrücke ähnliche Schaltung hat Off e r m a n n (D. Pat.Anm. 0 18333/VIII A Kl. 21 e, 27) zur Erzeugung von Wechselspan-

— 234 — nungen angegeben (Abb. 291). Hierbei sind die beiden Widerstände R v und ~ ü o Bei den in Abb. 311 und 312 darUwvw w gestellten Kompensatoren werden R 'V | VWW\ und S x stets vom gleichen Strom / « K l Ha. | Rb durchflössen. Um das GrößenverhältSi nis von E± und E2 leicht ändern und SMWLSÜ der jeweils benutzten Frequenz anM WWinn passen zu können, kann man die in ¿2 Abb. 313 gekennzeichnete Schaltung nach A. C a m p b e l l 2 1 3 ) verwenden, bei der R n u r v o n e i n e m T e i l des -H in iS"1 wirksamen Stromes J durchflössen wird. Bedeutet i den in R Abb. 313. Komptoer^Kompensator nach fii e ß e n den Strom und bezeichnen Ra und Rh die zwischen den Punkten a und c bzw. b und c liegenden Widerstände, so ergibt sich: Ex = i-r,

E2 = J.m-M

=

. . (371)

Durch Verändern von Rb bei konstant bleibendem Gesamtwiderstand (R -f- Ra + Rb) kann man erreichen, daß der Ausdruck « • ( / ? + Ra + Rb)/Rb = m bei allen benutzten Frequenzen einen konstanten Wert (m) hat. Dann wird: Ex = f E j + R * = i • ]/72 + tg < (Ex, i) = Ei/El = m M/r

(372) (373)

ß) Kompensatoren, bei denen Ex und E2 als Spannungsabfälle an zwei Kompensationswiderständen abgegriffen werden. Bei dem in Abb. 314 dargestellten Kompensator, der in etwas verschiedenen Ausführungsarten von A. K. E r l a n g 2 1 4 ) und von 0 . P e d e r s e n 2 1 5 ) beschrieben wurde, werden E1 und E2 an zwei Meßdrähten Mx und M 2 abgegriffen, die in eine Stromverzweigung eingefügt und mit W, A, T und G verbunden sind. Während bei der Anordnung nach P e d e r s e n die Meßdraht-Ströme J1 und J2 um 90° gegeneinander verschoben sind, ist bei der Schaltung nach E r l a n g der Phasenwinkel zwischen diesen Strömen k l e i n e r als 90°, da dort die Kondensatoren C durch Ohmsche Widerstände ersetzt sind. Macht man zweckmäßigerweise J1= J2 = J und