Mengenlehre [Reprint 2016 ed.] 9783110834031, 9783110039115

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Mengenlehre von

Dr. E. Kamkef ehem. o. Professor der M a t h e m a t i k an der U n i v e r s i t ä t T ü b i n g e n

7. Auflage Mit 6 Figuren

Sammlung Göschen Band 999/999 a

Walter de Gruyter · Berlin · New York - 1 9 7 1 vormals G. J . Göschen'sche Verlagshandlung * J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung · Georg Reimer · K a r l J . Trübner · Veit & Comp.

© Copyright 1971 by Walter de Gruyter & Co., vormals O. J. Gôschen'sche Verlagshandlung — J . Guttentag, Verlagsbuchhandlung — Georg Reimer — Karl J . Trübner — Veit A Comp., Berlin 30. — Alle Hechte, einschl. der Herstellung von Photokoplen und Hikrofilmen, vom Verlag vorbehalten. — Druck: Walter de Gruyter * an. Die Gesamtheit der Unstetigkeitsstellen läßt sich somit als Folge schreiben, indem man erst die endlich vielen Unstetigkeitsstellen I mit σ(ξ) > 1 aufschreibt, dann die neu hinzukommenden mitff(£) > \ , dann die neu hinzukommenden mita(£) > -J, usf. Da zu jeder Unstetigkeitsstelle ξ eine gewisse positive Zahl α {ξ) gehört, kommt in dieser Folge jede Unstetigkeitsstelle vor, und zwar genau einmal; womit die Behauptung bewiesen ist. § 3. Beispiel einer nichtabzählbaren Menge Die Unterscheidung der Mengen in abzählbare und nichtabzählbare bekommt erst dann einen Sinn, wenn die Existenz von nichtabzählbaren Mengen bewiesen ist. Wir beweisen daher den folgenden Satz: Die Menge aller reellen Zahlen des Intervalls 0 < x f £ l ist nichtabzählbar. Oder anders formuliert: Zu jeder Folge av a2,... von verschiedenen reellen Zahlen 0 < an 1 gibt es eine reelle Zahl d (0 < d 1), die von jedem dieser av verschieden ist. Beweis: Die erste Formulierung folgt aus der zweiten durch den indirekten Schluß: Wenn die Menge aller reellen Zahlen des Intervalls 0 < χ 1 abzählbar wäre, d. h. sich als Folge av a2,... schreiben ließe, gäbe es nach der zweiten Formulierung doch noch eine weitere reelle Zahl 0 < d 5Í 1. Man braucht also nur die zweite Formulierung zu beweisen. Dieser Beweis wird durch ein sog. Diagonalverfahren geführt; es möge Cantors oder zweites 1 ) Diagonalverfahren heißen. Jede Zahl 0 < χ 1 läßt sich als unendlicher Dezimalbruch 0, x1 x2x3... schreiben (ζ. B. § = 0 , 4 9 9 . . . ; 1 = 0,999...), und zwar auf genau eine Art. Die Zahlen a v a 2 , . . . ergeben somit eine Folge derartiger Dezimalbrüche: Das erste Diagonalverfahren (von Cauchy) kommt in § 4 vor.

§ 4. Untermenge, Summe und Durchschnitt von Mengen 13

(1)

Wir bilden nun aus der durch den Strich bezeichneten Hauptdiagonale den unendlichen Dezimalbruch 0, a n a22 a33... und hieraus einen neuen Dezimalbruch, indem jede Ziffer ann durch eine beliebige Ziffer hn ersetzt wird, die =j= a n n und φ 0 ist. Für den so entstehenden Dezimalbruch d = 0, b1 δ2 63 . . . gilt dann auch 0 < d 1. Ferner bricht er wegen des Fehlens von Nullen nicht ab, und es ist d verschieden von jedem an, da der Dezimalbruch eines jeden an von dem Dezimalbruch für d sicher in der n-ten Ziffer abweicht § 4. Untermenge, Summe und Durchschnitt von Mengen, insbesondere von abzählbarcn Mengen Die Überlegungen, die im §2 zu derAbzählbarkeit der Menge aller rationalen Zahlen geführt haben, liefern darüber hinaus einen allgemeinen Satz, der für die Feststellung der Abzählbarkeit einer Menge oft mit Vorteil verwendet werden kann. Bevor dieser Satz formuliert wird, mögen einige neue Begriffe eingeführt werden, die uns im folgenden immer wieder begegnen werden. Es sei eine Menge M gegeben. Dann heißt die Menge Ν Untermenge oder Teilmenge von M, in Zeichen Ν g M, und M eine Obermenge zu N, in Zeichen M 2 Ν, wenn jedes Element von Ν zugleich Element von M ist, d. h. wenn aus η e Ν stets η e M folgt. Hiernach ist ζ. B. jede Menge eine Untermenge von sich selbst, und zwar nennt man sie eine unechte Untermenge. Dagegen heißt Ν eine echte Untermenge von Μ, in Zeichen Ν α Μ, wenn Ν Untermenge von M

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I. Aus den Anfängen der Mengenlehre

und Ν φ Μ ist. Die Menge derjenigen Elemente von Λ/, die nicht zugleich der Menge Ν angehören, nennt man die zu Ν gehörige Restmenge R oder die zu Ν komplementäre Menge von Al oder Differenz R = ili — Λ71). Damit diese Definition auch für den Fall gültig ist, daß Ν eine unechte Untermenge von M ist, führen wir, wie man die unendlich fernen Punkte in der Geometrie als uneigentliche Punkte einführt und wie man einmal die Null als uneigentliche Zahl2) in das Zahlensystem eingeführt hat, auch hier eine uneigentliche Menge ein, die sogenannte Nullmenge oder leere Menge, die wir mit 0 bezeichnen. Die Nullmenge soll zu den endlichen Mengen gerechnet werden und soll Untermenge von jeder Menge, insbesondere auch von sich selbst sein. M > 0 bedeutet dasselbe wie ili 4= 0, d. h. daß ili mindestens ein Element enthält. 0, {0}, {0} sind natürlich zu unterscheiden. Beispiele : Die Randpunkte x% + y* = 1 bilden eine echte Untermenge der Punkte des Kreises x 2 + ¡/2 ^ 1 ; ihre komplementäre Menge in bezug auf diesen Kreis wird von den inneren Punkten χ2 + t/2 < 1 des Kreises gebildet; die Menge der Punkte mit ι 2 + Ï/2 = —1 ist leer. Die Menge der rationalen Zahlen ist eine Untermenge der Menge aller reellen Zahlen; die komplementäre Menge wird von den irrationalen Zahlen gebildet.

Es sei eine abzählbare Menge M = {mv m2, m3,...} gegeben und 0 < Ν 5Ξ M. Dann gibt es in der Folge M ein erstes Element mtl, das zu Ν gehört; es sei η1 = mÌCl. Auf dieses folgt wieder ein erstes Element m k t in M, das zu Ν gehört; es sei « 2 = m k t ; usf. Das Verfahren bricht ab oder nicht, je nachdem Ν endlich ist oder nicht. Da M alle Elemente von Ν (und evtl. noch mehr) enthält, umfaßt die evtl. abbrechende Sierpiñski und andere wenden diese Erklärung auch dann an, wenn n i c h t Ν 1> S lL [>-2. s2]i [r3> ®s] > · · · l wobei die r„ und s„ rationale Zahlen sind und stets rn-1 ^ rn ^ s„ ^ sn_j und s„ — r„~>· 0 für w -> 00 sein soll. Als „äquivalent" werden

§ 7. Über die Äquivalenz von Mengen

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dabei zwei aus den Intervallfolgen [rn, s n ] und [r„, e„] bestehende Intervallschachtelungen angesehen, wenn r„ s„ und r„ sS~s„für alle η ist. Entsprechend dem oben Gesagten ist dann die irrationale oder allgemein die reelle Zahl ein beliebiger Repräsentant aus der Klasse der untereinander äquivalenten Intervallschachtelungen. Auch hier ist bei der Ableitung der Rechenregeln für reelle Zahlen darauf zu achten, daß sie unabhängig davon sind, welchen Repräsentanten man jeweils für die reelle Zahl nimmt. In beiden Fällen ist die rationale oder reelle Zahl als ein beliebiger Repräsentant aus der Klasse der untereinander äquivalenten Zahlenpaare oder Intervallschachtelungen eingeführt worden. Hierfür braucht man nicht etwa erst die Klasse, d. h. die Menge aller untereinander äquivalenten Zahlenpaare (Intervallschachtelungen) zu bilden, um dann einen Repräsentanten auszuwählen, sondern es genügt, ein Zahlenpaar (eine Intervallschachtelung) zu nehmen und zu zeigen, daß überall, wo dieses Zahlenpaar (Intervallschachtelung) auftritt, es auch durch ein äquivalentes ersetzt werden kann. An diese Dinge wollen wir uns bei der Einführung der Kardinalzahlen erinnern. § 7. Uber die Äquivalenz von Mengen Ein zweiter Ausgangspunkt für Cantors Erweiterung des Zahlbegriffs ist im Gegensatz zu dem ersten sehr einfacher Art. Ein Kind kann, ohne zählen zu können, doch feststellen, ob beispielsweise in einem Zimmer ebensoviel Stühle wie Personen vorhanden sind. Es braucht nur jede Person auf einem Stuhl Platz nehmen zu lassen. Durch diese Maßnahme werden Paare gebildet, und zwar besteht jedes Paar aus einer Person und einem Stuhl. Oder man kann auch sagen: es werden die Stühle und Personen einander eineindeutig zugeordnet, d. h. so zugeordnet, daß jeder Person genau ein Stuhl und jedem Stuhl

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II. Über beliebige Mengen und ihre Kardinalzahlen

genau eine Person entspricht. Dieses primitive Verfahren läßt sich aber auch auf beliebige Mengen übertragen und führt dann zu einem Begriff, der etwa der „gleichen Anzahl" der Elemente bei endlichen Mengen entspricht. Wir setzen demgemäß fest: D e f i n i t i o n : Eine Menge M heißt äquivalent zu einer Menge N, in Zeichen M ~ N, wenn es möglich ist, die Elemente von Ν den Elementen von M eineindeutig (oder umkehrbar eindeutig) zuzuordnen, d. h. wenn es möglich ist, jedem Element m von M ein Element η von Ν so zuzuordnen, daß auf Grund dieser Zuordnung jedem Element von M ein und nur ein Element von Ν und umgekehrt jedem Element von Ν ein und nur ein Element von M entspricht. Statt von einer eineindeutigen Zuordnung spricht man auch kurz von einer Abbildung. — Die leere Menge soll nur sich selber äquivalent sein. Wie bei allen derartigen Definitionen (Gleichheit, Ähnlichkeit usw.) wird auch bei dem Begriff der Äquivalenz zu verlangen sein, daß er reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, d. h. daß er folgende Eigenschaften besitzt: α) M ~ M, d. h. jede Menge ist sich selbst äquivalent; ß) aus Μ ~ Ν folgt Ν ~M; y) aus Μ ~ Ν, Ν ~ Ρ folgt M ~ P . Diese drei Gesetze ergeben sich aber in der Tat unmittelbar aus der Definition. Da der Äquivalenzbegriff von fundamentaler Bedeutung ist, möge er an einer Reihe von Beispielen erläutert werden, auf die später gelegentlich zurückgegriffen werden wird. a) die Punktmengen der Intervalle1) [0,1], [0,1), (0,1], (0,1) sind untereinander äquivalent. Es bezeichne [α, 6] das a b g e s c h l o s s e n e , (a, b) das o f f e n e , \a,b) und (α, b] das h a l b o f f e n e Intervall, d . h . ein Intervall, bei dem beide, keiner, der linke, der rechte Endpunkt zum Intervall gerechnet werden.

§ 7. Über die Äquivalenz von Mengen

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Zunächst werde (0,1] ~ (0,1) bewiesen. Wir bezeichnen die Punkte des ersten der beiden Intervalle mit χ und die des zweiten mit y und nehmen folgende Zuordnung vor: y=\

— χ für £ < a; 5 Í 1;

«/ = f — χ für y = ì — x für

dann ist \ 5Ï y < 1; dann ist £

y
0 seien durch die (nicht notwendig elementenlremden) Mengen M (m) und Ν (ri) dargestellt. Man bilde die Menge Ρ aller „geordneten" Elementenpaare (m, ri), bei denen an erster Stelle stets ein Element von M und an zweiter Stelle ein Element von Ν steht. Dann soll m · it = | Ρ | sein. Ist mindestens eine der Kardinalzahlen m, π gleich Null, so soll m · η = 0 sein. Daß diese Definition dasselbe Ergebnis liefert wie die vorige Definition, folgt daraus, daß man aus M(m) und Ν (ri) elementenfremde Mengen erhält, indem man an jedes m den Index 1 und an jedes η den Index 2 hängt, und daß die Menge aller Elementenpaare (m, ri) äquivalent der Menge aller Mengen {m v n2} ist. Offenbar ist Μ χ Ν = Ν χ Μ und daher gilt α)

m · η = η · m (Vertauschungsregel).

Ferner ist (Μ χ Ν) χ Ρ ~Μ χ (Ν χ Ρ) ; denn man ordne für je drei Elemente m, η, φ aus diesen Mengen das Element {m, η}, ρ} der ersten Verbindungsmenge dem Element m, {n, p}) der zweiten Yerbindungsmenge zu. Daher gilt ß)

(m · n) · p = m · (η · p) (Anreihungsregel).

Weiter ist für elementenfremde Mengen Μ, Ν, Ρ offenbar (Μ + Ν) χ P = (ili χ Ρ) + (Ν χ Ρ). Daher gilt y) δ) Aus folgt

(m + n)p = mp + np (Mischungsregel). tttx

í í «u m 2 íS tt2 m1,ma^n1-rta·

Denn sind die vier Kardinalzahlen durch die vier zueinander elementenfremden Mengen Mlt M2, Nv N2 repräsentiert, so gibt es Teilmengen N1 í und N2 S N2, so daß Μλ ~ Nl und M2 •—• N2 ist. Dann ist aber offenbar M1x Mi~Nlx Ñ2

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Π. Über beliebige Mengen und ihre Kardinalzahlen

und Í j X ^ j g J í j X ^ , also Anmerkung: Auch hier kann wieder aus mx < t^, m2 n2 nicht auf ntj m2 < rtx n2 geschlossen werden. Ob diese Ungleichung aus riti < nD m 2 < n2 erschlossen werden kann, kann erst auf S. 178 entschieden werden.

Wir wollen nun den Anfang des Einmaleins für Kardinalzahlen kennenlernen. a) η·α = a für jede endliche Zahl « φ Ο ; α · α = α . Die zweite Regel ergibt sich so: Es sei α durch die Menge {1, 2 , 3 , . . . } repräsentiert. Dann ist das Produkt α · α nach Definition 2 a durch die Menge aller geordneten Zahlenpaare (a, h) dargestellt, d. i. durch die Menge

die in der angedeuteten Weise wieder durch das erste Diagonalverfahren abgezählt werden kann. Mit δ) folgt hieraus weiter α fS η • α Ο · α = α, d. h. auch die Richtigkeit der ersten Regel. b) η • c = c für jede endliche Zahl η Φ 0; α · c = c. Für den Beweis der zweiten Regel möge α durch die Menge {1, 2, 3 , . . . } und c durch die Punktmenge [0,1) dargestellt werden. Dann ist die Verbindungsmenge die Menge aller Mengen {n, xj, wo η eine beliebige natürliche Zahl und χ ein beliebiger Punkt des Intervalls [0,1) ist. Wird jede der Mengen {n, x} dem Punkt η + χ zugeordnet, so haben wir eine Ab-

§ 12. Das Produkt von zwei Kardinalzahlen

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bildung der Verbindungsmenge auf die im Punkte 1 beginnende Halbgerade, die ihrerseits eine Punktmenge mit der Mächtigkeit c liefert. Damit ist die zweite Regel bewiesen. Die erste ergibt sich daraus, daß c ^ ¡ n - c ^ a - c = c ist. c)

c · c = c.

Für den Beweis wird c durch die Zahlen des Intervalls (0,1] dargestellt. Dann ist c · c repräsentiert durch die Menge der Zahlenpaare (χ, y) mit 0 < χ, y ^ 1. Die Behauptung ist bewiesen, sobald gezeigt ist, daß die Menge dieser Zahlenpaare wieder auf das Intervall 0 < ζ 1 abgebildet werden kann. Für diesen Nachweis werde jede der drei Zahlen x, y, ζ durch einen nicht abbrechenden Dezimalbruch dargestellt. Da die Darstellung unserer Zahlen durch solche Dezimalbrüche eine eindeutige ist, braucht nur gezeigt zu werden, daß die Menge der Dezimalbruchpaare x, y auf die Menge der Dezimalbrüche ζ abgebildet werden kann. Ist das Paar der Dezimalbrüche x, y gegeben, ζ. B. 3 = 0,3 06 007 8 9 . . . , y = 0,001 2 3 004 6 . . . , so sollen hierin Ziffernkomplexe abgegrenzt werden, indem immer bis zur nächsten von Null verschiedenen Ziffer einschl. gegangen wird. Nun wird der erste Komplex von x, dahinter der erste Komplex von y, dahinter der zweite Komplex von χ, dahinter der zweite Komplex von y aufgeschrieben, usw. Da weder χ noch y von einer gewissen Stelle an nur Nullen aufweist, ist das Verfahren unbegrenzt fortsetzbar und führt zu einem nicht abbrechenden Dezimalbruch, in unserm Beispiel zu 2 = 0,3 001 06 2 007 3 8 004 9 6 . . . . Der so entstandene Dezimalbruch soll dem Zahlenpaar x, y zugeordnet werden. Jedes Zahlenpaar x, y bestimmt also genau ein ζ und zugleich sieht man, daß die Komplexe von x, y auch

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II. Über beliebige Mengen und ihre Kardinalzahlen

gerade die Komplexe von 2 ergeben. Daxaus folgt, daß auch umgekehrt jedes ζ genau ein Zahlenpaar x, y bestimmt, und zwar gerade dasjenige Paar, das uns zu ζ geführt h a t ; man braucht j a nur in 2 die Komplexe abzugrenzen u n d diese abwechselnd auf zwei Dezimalbrüche zu verteilen. Damit ist aber eine eineindeutige Zuordnung der Zahlenpaare x, y zu den Zahlen 2 festgelegt, also die Kegel bewiesen. Die Kegel c) enthält eine anfänglich paradox erscheinende Tatsache. F a ß t man die Zahlenpaare x,y als rechtwinklige Koordinaten von Punkten der Ebene auf, so folgt nämlich aus c), daß die Punkte eines Quadrats auf die Strecke [0,1] abgebildet werden können. J a noch mehr. Wir können j a die Faktoren c auch durch die Menge a l l e r reellen Zahlen repräsentieren. Dann liefern die Zahlenpaare x, y sogar die P u n k t e der ganzen Ebene, und aus der Regel c) kann nun geschlossen werden, daß auch die ganze Ebene auf die Strecke [ 0 , 1 ] abgebildet werden kann, d. h. es gibt solche Funktionen f(z) und g(z), daß die Zahlenpaare χ = f(z), y = g (ζ) die Koordinaten aller P u n k t e der Ebene ergeben, wenn 2 das Intervall [ 0 , 1 ] durchläuft, und daß man dabei auch jeden P u n k t der Ebene nur einmal erhält. Die Dimensionszahl der geometrischen Gebilde braucht also bei derartigen Abbildungen nicht erhalten zu bleiben. Wohl aber ist die Dimensionszahl invariant gegenüber eineindeutigen Abbildungen, wenn diese überdies stetig sind. F ü r einen allgemeinen Beweis dieser Tatsache vgl. Brouwer, Math. Ann. 70 (1911) S. 161ff.; Sperner, Abhandl. aus d. Math. Seminar d. Univ. Hamburg 6 (1928) 2 6 5 - 2 7 0 . Daß eine Ebene nicht eineindeutig und stetig auf eine gerade Linie abgebildet werden kann, läßt sich nach Sierpiñski sehr leicht so beweisen : Ist ζ — / (x, y) eine für alle x,y stetige Punktion, so vermittelt sie keine eineindeutige Abbildung, sondern nimmt für mindestens zwei Punkte denselben Wert an. Denn es sei / (— 1,0) = a, / (1,0) = b. Ist a = i, so ist die Behauptung schon bewiesen. Es sei also α Φ b. Als stetige Funktion nimmt f (x, 0) den Zwischenwert £ (a + b) an, etwa für χ = ξ, und es gibt ein η > 0, so daß auch

§ 13. Die Summe beliebig vieler Kardinalzahlen

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/(I, η) zwischen a und & liegt. Dieser Wert wird dann auch noch an einer Stelle | l t 0 angenommen.

§ 13. Die Summe beliebig vieler Kardinalzahlen Es sei eine nichtleere Menge K(k) gegeben und jedem Element h dieser Menge eine Menge Mk zugeordnet. Es soll dafür auch kurz gesagt werden: es ist ein aus K(k) entspringender Mengenkomplex K(M¡¡) gegeben1). Entsprechend wird ein Kardinalzahlenkomplex K(mt) definiert. Die Vereinigungsmenge aller Mengen M k des Mengenkomplexes K(M k ) soll in Verallgemeinerung einer auf S. 15 nur für abzählbar viele Mengen eingeführten Bezeichnung mit Σ M k bezeichnet werden. keK Die Summe von beliebig vielen Kardinalzahlen kann nun folgendermaßen definiert werden: Es sei K(m*) ein aus der Menge K(k) entspringender Kardinalzahlenkomplex. Jede Kardinalzahl m¡¡ werde durch eine Menge M k repräsentiert, und zwar so, daß alle M k zueinander elementenfremd sind2). Dann soll die Summe des Kardinalzahlenkomplexes 2mt= keK

I 2!Mt\ k£K

sein. Aus der Darstellung der Kardinalzahlen durch elementenfremde Mengen Mk ergibt sich wieder sofort, daß die Summe der Kardinalzahlen unabhängig ist von den speziellen Repräsentanten der Kardinalzahlen. Ferner ist die Definition von § 11 offenbar in der obigen als Sonderfall enthalten. Die drei Rechengesetze, die für Summen zweier Mengen gelten, lassen sich ebenfalls verallgemeinern. Bezüglich der *) Da verschiedenen Elementen k dieselbe Menge zugeordnet sein kann, braucht der Mengen k o m p l e x keine M e n g e von Mengen zu sein. *) Um eine solche Darstellung zu erhalten, braucht man nur die Elemente m der Menge M, mit dem Index k zu versehen.

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II. Über beliebige Mengen und ihre Kardinalzahlen

Vertauschungsregel ist allerdings zu beachten, daß die Unabhängigkeit der Summe von der Reihenfolge der Summanden schon in die Definition aufgenommen ist, da ja für die Elemente der Menge K(k) keine Reihenfolge festgelegt ist. Die Vertauschungsregel erhält daher eine von der üblichen etwas abweichende Form. Satzl (Vertauschungsregel): Zwei Kardinalzahlenkomplexe K(ntj) und £(n¡) haben dieselbe Summe, wenn jede in dem einen Komplex vorkommende Kardinalzahl p auch in dem andern Komplex, und zwar in derselben Häufigkeit vorkommt. Präzise formuliert heißt das folgendes: Mit Kv(k) werde die Teilmenge der Elemente k von K(k) bezeichnet, denen dieselbe Kardinalzahl μ zugeordnet ist. Dann sind die verschiedenen K$(k) zueinander elementenfremd. Entsprechend werden die Mengen Lv(l) definiert. Man hat dann

Σ Kv(k) = Κ (Je), Σ LV{1) = L(l). ν ρ Vorausgesetzt ist nun, daß für jedes p

(1)

K»(k)~L»(l)

ist, und behauptet wird

Σ m» = ItL Σ η, keK Beweis: Es werden wieder alle den Elementen k von K(k) zugeordneten Kardinalzahlen m s durch elementenfremde Mengen M k und alle den Elementen l von L(l) zugeordneten Kardinalzahlen nj durch elementenfremde Mengen Ν¡ dargestellt. Wegen (1) gibt es zwischen den Elementen k und l jedes Mengenpaares K9(k) und LP(Z) eine eineindeutige Zuordnung. Diese Abbildung bleibt nun fest. Es möge dem Element k ein Element l zugeordnet sein. Diesen Elementen sind dann Mengen M¡¡ und Ν ι derselben Mächtigkeit p zugeordnet. Diese Mengen können daher aufeinander abgebildet werden. Damit

§ 13. Die Summe beliebig vieler Kardinalzahlen

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ist nun aber auch eine eineindeutige Abbildung der Menge Σ M], auf die Menge Σ Ni festgelegt. Denn ist m ein beliebiges ie-K 1 = m + n + ^ bzw. n + (m + p) = m + n + p usw. gegeben werden. So gelangt man zu dem Satz 2 (Anreihungsregel): Jedem Element l einer Menge L(l) sei eine Menge K¡(k) zugeordnet. Diese Mengen K¡(k) werden als elementenfremd zueinander vorausgesetzt. Es sei K(k) = Σ K¡(k), und jedem k von K(k) sei eine Kardinalzahl ItL m* zugeordnet. Dann ist ein Kardinalzahlenkomplex Κ (m 4) und eine Menge von Kardinalzahlenkomplexen £j(m¡t) definiert. Die Behauptung lautet nun Σ J£m¡fc= Σηΐ/,. líL kíK¡ kíK Beweis: Man repräsentiere wieder die Kardinalzahlen 11tk durch elementenfremde Mengen Μ¡¡. Dann repräsentiert Σ Mk ιfcetfj die Kardinalzahl Σ ma, und die Behauptung folgt nun unmitI ex, telbar aus der offenbar richtigen Gleichung

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II. Über beliebige Zahlen und ihre Kardinalzahlen

Σ lei

híK

Satz Β: Es seien und K{ttt) zwei aus der Menge K{k) entspringende Kardinalzahlenkomplexe, und es sei m* 5Ξ n* für jedes k. Dann ist

Σ m* íS JE-π*· keK kiK Beweis: Es werden wieder die Kardinalzahlen m* durch elementenfremde Mengen Mk repräsentiert und die Kardinalzahlen ti ¡e durch elementenfremde Mengen N k . Es ist zu zeigen, daß Σ Mt einer Teilmenge von Σ Nk äquivalent ist. Das ergibt sich aber sofort daraus, daß nach der Voraussetzung jedes M h einer Teilmenge von N k äquivalent ist. Eine hieraus resultierende Abbildung der Menge M k auf einen Teil von N k hält man nun fest und hat dann damit wegen der Fremdheit der Mengen M k untereinander und der Mengen N¡¡ untereinander zugleich eine Abbildung der Menge Σ Mk auf eine Teilmenge von Σ Νk. Es sei noch eine weitere Ungleichung über Kardinalzahlen angeschlossen : Satz 4: Es sei ein Kardinalzahlenkomplex derart, daß es unter den Kardinalzahlen des Komplexes keine größte gibt. Dann ist für jede Kardinalzahl m des Komplexes

Σνχίι> m. k£K Beweis: Werden in der Summe des Komplexes alle Summanden bis auf einen Summanden m¡ durch 0 ersetzt, so ergibt Satz 3 Σ m t ¡2: ntj.

keK Wenn hierin für ein l — l0 das Gleichheitszeichen gelten würde, so wäre für dieses la dann jedes m* rgfmi,, also gegen die Voraussetzung unter den Kardinalzahlen des Komplexes eine größte vorhanden, nämlich ntj t .

§ 13. Die Summe beliebig vieler Kardinalzahlen

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Anmerkung: Man beachte folgendes: Es ist in Satz 4 nicht vorausgesetzt, daß es zu jeder Kardinalzahl des Komplexes noch eine größere Kardinalzahl innerhalb des Komplexes gibt; die Voraussetzung des Satzes wäre vielmehr ζ. B. auch damn erfüllt, wenn dem Komplex eine Kardinalzahl angehören sollte, die mit keiner andern Zahl des Komplexes vergleichbar ist. Tatsächlich kann das jedoch nicht vorkommen (§44). Satz 5 : Zu jeder Menge 71/ von Kardinalzahlen gibt es eine Kardinalzahl, die größer als jede Kardinalzahl von M ist. B e w e i s : Wenn unter den Elementen von M eine größte Kardinalzahl ist, gibt es zu dieser nach dem Satz von S. 32 eine größere Kardinalzahl. Ist unter den Elementen von M keine größte Kardinalzahl, so folgt die Behauptung aus Satz 4. Anmerkung: Aus Satz5 folgt eine wichtige Tatsache. Nach Satz 6 gibt es nämlich keine Menge, die alle Kardinalzahlen enthält; die „Menge Κ aller Kardinalzahlen" ist daher ein sinnloser Begriff. Das erscheint verwunderlich, wenn man daran denkt, daß die Kardinalzahlen eine Weiterbildung der natürlichen Zahlen sind und daß die „Menge Ν aller natürlichen Zahlen" nicht sinnlos ist. Aber zwischen den Mengen Κ und Ν besteht ein wesentlicher Unterschied: Für die Elemente von Ν hat man ein wohlbestimmtes Konstruktionsprinzip, und dieses ist so durchsichtig, daß man damit auch die Gesamtheit dieser Zahlen, d. h. die Menge Ν übersehen kann, d. h. man hat eine Eigenschaft welche die Menge Ν bestimmt. Bei der Menge Κ kann man zwar auch dieses oder jenes Element bilden — man braucht dafür nur diese oder jene Menge zu wählen, wobei von Mengen, die einander äquivalent sind, jeweils nur ein Repräsentant vorkommen darf —, aber man hat nun kein übersichtliches Bildungsgesetz, nach dem man alle Elemente erhalten kann, vielmehr gibt der Beweis zu Satz 6 ja gerade an, wie man zu jeder einwandfrei definierten Menge von Kardinalzahlen noch eine neue Kardinalzahl finden kann. Man könnte auch sagen: um die Menge Κ zu erhalten, müßte man aus jeder Klasse einander äquivalenter Mengen eine Menge auswählen und, um mit Sicherheit alle Kardinalzahlen zu erhalten, hierbei die uferlose und schon in § 1 als sinnlos erkannte Menge aller „Mengen" bilden. Aus Satz 5 hat man daher die Lehre zu entnehmen, daß man sich vor „uferlosen" Mengen von Kardinalzahlen wie vor „uferlosen" Mengen überhaupt hüten muß. Tatsächlich ist 4

Κ a rnke, Hengeulehre

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II. Über beliebige Mengen und ihre Kardinalzahlen

bisher schon und wird auch weiterhin so vorgegangen werden, daß von Mengen, die als wohldefiniert vorausgesetzt werden, ausgegangen wird und durch gewisse Konstruktionsprinzipen aus diesen neue Mengen gebildet werden. Übrigens gibt es zu dem Satz auch im Bereich der natürlichen Zahlen ein Gegenstück, wenn man nämlich unter einer Menge wie im gewöhnlichen Leben immer nur eine Menge von endlich vielen Elementen versteht; dann gibt es auch zu jeder (endlichen) Menge von natürlichen Zahlen immer noch eine größere Zahl, und es gibt keine (endliche) Menge, die alle natürlichen Zahlen umfaßt. § 14. Das Produkt zweier Kardinalzahlen als Sonderfall einer Summe Das Produkt zweier Kardinalzahlen ï · m kann nun auch als eine „Summe von ί Kardinalzahlen m " aufgefaßt werden. Denn ist jedem Element der Menge K(k), welche die Mächtigkeit ! haben möge, dieselbe Kardinalzahl m zugeordnet, so ist die Summe dieses Komplexes gerade eine Summe von ! gleichen Summanden m. Nach der Definition der Summe hat man die den verschiedenen Elementen h zugeordneten m durch elementenfremde Mengen darzustellen. Das kann so geschehen, daß für eine beliebige zu Κ fremde Menge M{m) mit der Mächtigkeit m jedem Element h die Menge M(Jk, m}) zugeordnet wird. Dann repräsentiert die Menge Σ M({k, m}) einerseits die ileí Summe von ï Summanden m, anderseits ist sie gleich Κ χ M, stellt also auch die Kardinalzahl ! · m dar. Auf diesem Zusammenhang zwischen Addition und Multiplikation beruhte schon der Beweis der Gleichung α · c = c von S. 42. Ferner folgt nun sofort aus den Ergebnissen von § ] 2, daß eine Summe von abzählbar vielen Einsen die Kardinalzahl α und eine Summe von c Einsen die Kardinalzahl c ergibt. Schließlich ist auch eine Summe von abzählbar vielen Kardinalzahlen α gleich α · α = α. Mit diesen Resultaten folgt nun ζ. B. weiter: 1 + 2 + 3 + . . . = a: denn es ist

§ 14. Produkt zweier Kardinalzahlen als Summe

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a = l + l + l +•••^1 + 2 + 3 + ··· 5ία + α + α + · · · = α · α = α Ferner l + a + c + 2 + a + c + 3 + a + c H = (1 + 2 + 3 + · · · ) + (α + α + α + · · · ) + (c + c + c + · · ·) = a + a - a + a- c = a + a + c = c. Aus dem Zusammenhang zwischen Addition und Multiplikation ergibt sich weiter: a ) Ist bei einem Kardinalzahlenkomplex K ( m k ) m 4 ^ m, so ist

jedes

k£K

Denn nach § 13, Satz 3 ist

kíK

2!m=\K\-m. h£K

b) Es sei M eine Punktmenge in einer Ebene; ili werde (zentral oder parallel) auf eine gerade Linie der Ebene projiziert; die Projektion sei P . Dann ist | Ρ | ίΞ | M |. Denn zu jedem Punkt k ζ Ρ gehört eine projizierende Gerade; ist M k die auf dieser liegende Untermenge von M , so ist Mk φ 0, also jedes | M k \ S ; 1 und Μ = Σ Mk, also die Be*ep hauptung nach a) richtig. c) Zerlegt man das Kontinuum in zwei Teile, so hat mindestens einer der Teile die Mächtigkeit des Kontinuums. Man repräsentiere das Kontinuum durch die Menge M aller Punkte der x, i/-Ebene. Angenommen, es gäbe eine Zerlegung Μ = Μλ + M,,, Mx • M% = 0 , I Mt I < c, |iVÍ21
b soll dasselbe bedeuten wie b < a. Endlich wird das Zeichen a < b gelesen als „o vor 6" und das Zeichen α > b als „a hinter i " . Durch die zuletzt eingeführte Redeweise soll aber keineswegs das Zeichen < einen anschaulichen Sinn bekommen, die Redeweise dient nur zur Erleichterung der Auffassung. Das Zeichen < kann einen von Menge zu Menge wechselnden Sinn haben; es kann ζ. B. bei Zahlenmengen etwa das eine Mal mit dem Zeichen < und das andere Mal mit dem Zeichen > zusammenfallen. Einige Beispiele mögen den Begriff der geordneten Menge erläutern: a) Die Menge der natürlichen Zahlen {1, 2 , 3 , . . . } , nach zunehmender Größe geordnet. Hier fällt < mit < zusammen. b) Die Menge der natürlichen Zahlen, nach abnehmender Größe geordnet. Diese Anordnung möge durch die Schreibweise { . . . , 3, 2,1} angedeutet werden. Hier fällt < mit > zusammen.

§ 21. Definition der geordneten Menge

81

c) Die Menge aller ganzen Zahlen, nach zunehmender Größe geordnet. Diese Anordnung werde durch { . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2,...} angedeutet. Hier fällt < mit < zusammen. d) Die Menge der ganzen Zahlen, aber jetzt in der durch {0,1, — 1, 2, — 2 , . . . } angedeuteten Anordnung, d. h. die nichtnegativen Zahlen sind nach zunehmender Größe geordnet, und jede negative Zahl folgt unmittelbar auf die positive des gleichen absoluten Betrages. Das Zeichen < fällt hier ζ. T. mit < , ζ. T. mit > zusammen. e) {0, 2, 4 , . . . , 1, 3 , 5 , . . . } , d. h. erst kommen die geraden nichtnegativen Zahlen nach wachsender Größe geordnet, dann die ungeraden Zahlen. f) { 0 , 2 , 4 , . . . , 5,3,1}, d. h. erst kommen die geraden nichtnegativen Zahlen nach zunehmender Größe, dann die ungeraden Zahlen nach abnehmender Größe geordnet. g) {1, 2, 3 , . . . , h f . f , . . I f . f . }, d. h. die positiven rationalen Zahlen, nach wachsenden Nennern und bei gleichem Nenner nach wachsendem Zähler geordnet. h) Die Menge aller reellen Zahlen des Intervalls (0,1) nach abnehmender Größe geordnet. Die Frage, ob jede gegebene Menge geordnet werden kann, wird erst später entschieden werden (S. 164). Daß jede endliche Menge geordnet werden kann, ist klar. Der Begriff der vollgeordneten Menge läßt sich zu dem der teilweise geordneten erweitern; vgL S. 166. Offenbar gilt der Satz 1 : Ist M eine geordnete Menge, so ist durch das für M gegebene Ordnungsprinzip auch jede Teilmenge von M geordnet. Daher können die Teilmengen von geordneten Mengen stets als geordnet angenommen werden. β K a m k e , Mengenlehre

82

IV. Über geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

D e f i n i t i o n 2: Zwei geordnete Mengen M und Ν heißen einander gleich, in Zeichen Μ = Ν, wenn sie dieselben Elemente enthalten und wenn aus der für M geltenden Ordnungs*

relation α < δ auch stets die für Ν geltende α < δ folgt. Um*

gekehrt folgt dann offenbar aus a < δ auch stets α < δ. Die Mengen a) und b) sind also im Sinne geordneter Mengen als verschieden anzusehen; ohne Rücksicht auf eine Ordnung sind sie dagegen gleich. Endlich mögen noch folgende Redeweisen eingeführt werden : Ist für drei Elemente a, δ, c eine Menge α < δ < c, so soll gesagt werden, δ liege zwischen a und e. Gibt es in einer geordneten Menge M ein Element a, so daß für jedes δ e M und δ Φ α die Beziehung a < δ gilt, so heiße a ein erstes Element der Menge M. Gibt es in M ein Element c, so daß für jedes h ζ M und δ=)= c die Beziehung c > δ gilt, so heiße c ein letztes Element von M. Satz 2: Eine geordnete Menge enthält höchstens ein erstes Element und höchstens ein letztes Element. Beweis: Enthielte eine Menge ζ. B. zwei erste Elemente a und ä, so wäre sowohl a < ä als auch ä < a, was unmöglich ist. Eine geordnete Menge braucht aber weder ein erstes noch ein letztes Element zu enthalten. Beispiele dafür sind die Mengen c) und h). § 22. Ähnlichkeit und Ordnungstypus Für geordnete Mengen werden naturgemäß solche Abbildungen einer Menge auf eine andere von Wichtigkeit sein, bei denen, kurz gesagt, die Reihenfolge der Elemente erhalten bleibt. Man kommt so zu folgender Verschärfung des Äquivalenzbegriffs: D e f i n i t i o n 1: Eine geordnete Menge M mit der Ordnungsaussage < heißt einer geordneten Menge Ν mit der Ordnungs-

§ 22. Ähnlichkeit und Ordnungstypus

83

*

aussage < ähnlich, in Zeichen M Ν, wenn die Menge M auf die Menge Ν so abgebildet werden kann, daß für je zwei Elemente mv m2 aus M und*die diesen zugeordneten Elemente nv *w2 aus ml < m2 stets n1 < n2 folgt. Offenbar folgt dann aus n1 < n2 auch stets für die diesen zugeordneten Elemente mx < m2. Eine solche Abbildung heißt ähnliehe Abbildung. Aus der Definition ergeben sich sofort die vier grundlegenden Eigenschaften: oc) M SÉ M, d. h. jede geordnete Menge ist sich selbst ähnlich. ß) Aus Μ ^ Ν folgt Ν ^ M. γ) Aus M s Ν, Ν g* Ρ folgt M ^ P. ô) Aus Mç*N folgt I M I = Der Ähnlichkeitsbegriff möge nun erst durch einige Beispiele erläutert werden. a) Bei der Abbildung einer geordneten Menge auf sich selber braucht keineswegs immer jedes Element sich selber zugeordnet zu sein. Ist ζ. Β. M die Menge der Zahlen des Intervalls (0,1), wobei die Zahlen nach zunehmender Größe geordnet seien, so bildet die Funktion y = x 2 dieses Intervall auf sich selbst ab. Dabei wird durch diese ähnliche Abbildung kein Punkt sich selbst zugeordnet. b) Eine geordnete Menge kann einer echten Teilmenge ähnlich sein. Ζ. B. ist {1, 2 , 3 , . . . } ^ {2,3, 4 , . . . } und die Menge {1, 2, 3 , . . . } ähnlich der Menge der Primzahlen, wenn diese nach wachsender Größe geordnet werden, da es ja unendlich viele Primzahlen gibt. e) Die Menge der rationalen Zahlen kann so geordnet werden, daß sie der geordneten Menge (1, 2, 3 , . . . } ähnlich ist. Die auf S. 9 festgelegte Anordnung der rationalen Zahlen leistet dieses. Allgemein gilt der β·

84

IV. Über geordnete Mengen und ihre Ordnungstypen

Satz 1: Wenn eine Menge Ν einer geordneten Menge M äquivalent ist, kann Ν so geordnet werden, daß auch Ν ^ M ist. Beweis: Sindwij, m2 zwei Elemente von 71/ und ist »ÎJ < m2, so werde für die ihnen zugeordneten Elemente wx, wa von Ν ebenfalls n 1 < w2 festgesetzt. Damit ist auch für die Elemente von Ν eine Ordnungsaussage definiert, und zwar ist sie innerhalb der Menge Ν ebenfalls transitiv, da sie diese Eigenschaft nach unserer Voraussetzung in der Menge M hat. Damit ist aber die Menge Ν nach der Definition 1 von S. 80 geordnet. Für die Untersuchung der Ähnlichkeit gegebener Mengen kann man sich manchmal des folgenden Satzes bedienen. Satz 2: Zwei einander ähnliche Mengen besitzen entweder beide ein erstes (letztes) Element oder keine der beiden Mengen besitzt ein solches. Beweis: Wenn eine der Mengen ein erstes Element m0 besitzt, so ist für jedes andere Element m dieser Menge m0 < m. Bezeichnet n0 das Element, das bei der ähnlichen Abbildung der einen Menge auf die andere dem m0 zugeordnet wird, und ist η das jeweils dem m zugeordnete Element, so ist nach S. 82, Definition 1 auch n0 < w für jedes η 4= w0, d. h. auch die Menge Ν hat ein erstes Element. d) Die Mengen a) und b) von S. 80 sind einander nicht ähnlich, da a) ein erstes Element besitzt und b) nicht. Weiter folgt mit Satz 2 ζ. B. die Unähnlichkeit der Mengen a) und c), b) und c), a) und f), b) und f). e) Betrachten wirjdie Zahlen der beiden Intervalle [0,1] und (0,1), jedesmal nach zunehmender Größe geordnet, so sind beide Mengen einander unähnlich. Bei einer Abbildung der beiden äquivalenten Mengen aufeinander, muß also notwendig die Keihenfolge der Elemente in einer der beiden Mengen gestört werden, etwa so, wie auf S. 25. ϊ) Ist M die Menge der reellen Zahlen des Intervalls (0,1) und Ν die Menge aller reellen Zahlen, beide Mengen nach

§ 22. Ähnlichkeit und Ordnungstypus

85

wachsender Größe ihrer Elemente geordnet, so ist M ^ N . Das ergibt sich aus der auf S. 25 unter c) angegebenen Abbildung, die ersichtlich eine ähnliche Abbildung ist. g) M sei die Menge aller Punkte P(x, y) der Ebene mit den rechtwinkligen Koordinaten x, y. Diese Menge sei in der Weise geordnet, daß Ρ(χι. Di) < P(x2> Vi)

für

i
0 ist. Ferner ist R höchstens abzählbar. Denn es sei Rn die Menge derjenigen Punkte von R, die von allen Punkten von MM einen Abstand Sg ~ haben. Dann ist R„ eine abgeschlossene Menge, und auch abzählbar; denn wäre Rn nicht abzählbar, so

§ 46. Ordnungszahlen und Punktmengen

191

würde die Anwendung des bisher schon bewiesenen Teiles unseres Satzes ergeben, daß Rn eine perfekte Menge enthielte, die dann noch zu MM hinzukäme. Da jeder einzelne Punkt der Menge R von MM einen positiven Abstand hat (das folgt aus der Abgeschlossenheit von Μ(ν)), ist R die Summe aller R„ für η = 1, 2, 3 , . . . , also als Summe von abzählbar vielen Mengen, deren jede höchstens abzählbar ist, selber höchstens abzählbar. Endlich ist R-MM = 0, also, da RS M und daher RM ¿ M M ist, erst recht auch R • RM = 0. Für Cantor war der Anlaß zu den hier geschilderten Untersuchungen das Kontinuumproblem, das in der noch allgemeineren Form, ob es zwischen x„ und 2^»" stets noch eine Kardinalzahl gibt, ein Hauptproblem1) der Mengenlehre ist. Die Kardinalzahl X kann nämlich durch die Punkte des Intervalls [0,1] repräsentiert werden. Wenn < s ist, muß es also in dem Intervall [0,1] eine Punktmenge von der Kardinalzahl Xj geben. Der Satz von Cantor-Bendixson zeigt nun, daß eine solche Menge, wenn sie überhaupt existiert, d. h. wenn Nj < χ ist, jedenfalls keine abgeschlossene Menge sein kann. Denn aus

M = MM + R folgt, da MM leer oder perfekt ist, also wegen Satz 6 entweder die Kardinalzahl 0 oder X hat, daß jede abgeschlossene Menge entweder eine Kardinalzahl N0 oder gleich κ hat. l ) Vgl. hierzu Sierpiriski 2), ferner W. Sierpiñski, Fundamenta Mathematicae 34 (1947), 1 - 6 .

Literaturverzeichnis Für weitergehende Studien auf dem Gesamtgebiet der Mengenlehre sei verwiesen auf: F. H a u s d o r f f , 1. Grundziige der Mengenlehre. 1. Aufl. Leipzig 1914. — 2. Dasselbe. 3. Aufl. Berlin und Leipzig 1936. W. Sierpmski, 1. Leçons sur les nombres transfinis. Paris 1928. Neudruck 1960. — 2. Hypothèse du continu. Warszawa—Lwów 1934. — Cardinal and ordinal numbers. Warszawa 1958. H. B a c h m a n n , Transfinite Zahlen [Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete]. Berlin—Göttingen—Heidelberg 1955. Wem mehr an der Herausarbeitung des Grundsätzlichen liegt, der greife zu A. Fraenkel, 1. Einleitung in die Mengenlehre. 3. Aufl. Berlin 1928. — 2. Zehn Vorlesungen über die Grundlegung der Mengenlehre. Leipzig und Berlin 1927. — 3. Abstract set theory. Amsterdam 1953. Mit ausführlicher Bibliographie. — 4. Foundations of set theory. In Vorbereitung. Eine Darstellung im Sinne des Bourbaki-Kreises findet man bei N. B o u r b a k i , Théorie des ensembles. Actualités scientifiques et industrielles 846 (Paris 1939), 1212 (Paris 1954). An Nachschlagewerken sind zu nennen: Enzyklopädie d. Math. Wissenschaften, Bd. Heft 2. 2. Aufl. Leipzig und Berlin 1939. A. Schoenflies, Die Entwicklung der Lehre von den Punktmannigfaltigkeiten. 1. Teil, Jahresbericht d. Deutsch. Math.-Vereinigung 8 (1900); 2. Teil, ebenda, 2. Ergänzungsband 1908. A. Schoenflies und H. H a h n , Entwicklung der Mengenlehre und ihrer Anwendungen. Erste Hälfte: Allgemeine Theorie der unendlichen Mengen und Theorie der Punktmengen, von A. Schoenflies. Leipzig und Berlin 1913.

Namen- und Sachregister Λ, Operation Λ 18 α 29, 32 Κ (Aleph) 175 Abbildung 24 — , Ähnliche 83 —, der Ebene auf eine Strecke 44 abgeschlossen 185 Ableitung 183 Abschnitt 117 Addition, geordnete 87, 8», 113 ähnlich 83 algebraische Zahlen 10 Anfang einer geordneten Menge 104 Anfangszahl 174, 176 Anordnung, lexikographische, 91 — nach ersten Differenzen 91 Anreihungeregel 18, 41, 47, 53, 89, 92 äquivalent 24 Äquivalenzaatz 34 Aronszajn 90 AsBoziatlonsgesetz 18 Aumann 110 Auswahlprinzip 71 ff., 165 Batre 189 Basis der reellen Zahlen 171 Belegung 58 Belegungsmenge 58 benachbarte Elemente 100 Bendlxson 190 Bernays 76 Bernstein 34, 180 Birkhoff 162 Bolzano 71, 184 Borei 66, 70 Bourbaki 169 Brouwer 44, 70, 76 Burali-Forti 124 c 29 32 Cantor 5, 100, 144, 154, 161, 181, 182, 183, 190, 191 Cantors Diagonalverfahren 12 Cauchy 170 Cauchys Diagonalverfahren 17

¿-Zahl 140 Dedekind 27, 106 Diagonalverfahren 12,17, 27, 33, 42, 69 dicht 66, 100 dicht, in sich 185 Differenz 14 Distributionsgesetz 18 Division von Ordnungszahlen 128 Dualitätsprlnzip 19 Durchschnitt von Mengen 15 e-Zahl 154 η 94 Eigenschaft endlichen Charakters 165 Einmaleine für Kardinalzahlen 42 Elemente 6 ff. erstes Element 82 Euklid-Algorithmus 129 Existenz 71 f 29, 32 Fixpunktsatz 169 Folge, absteigende 123 —, aufsteigende 123 — von Ordnungszahlen 123 Fraenkel 36, 76, 148 Franklin 109 Frink 162 Fundamentalfolge 126 Fundamentalsatz der Algebra 71 geringere Mächtigkeit 29 Giordano Bruno 65 GSdel 75, 76 Hamel 170 Häufungspunkt 183 Hauptzahl 140 Hausdorff 65, 95, 152, 162, 179, 189 Hermes 162 Hermlte 17 Hessenberg 1 3 3 , 1 4 0 , 1 6 9 , 176 HUbert 32 hinter 80 Induktion, transfinite 145 —, vollständige 146 Intervall 24

intultlonlstische Mengenlehre 76 Invarianz der Dimensionszahl 44 Jacobsthal 140 Kamke 71, 173 Kardinalzahl 28, 29 Kardinalzahlenkomplex 4ä Kestelman 171 K e t t e 80 Kette, φ- 163 kleinere Kardinalzahl 29 kleinere Ordnungszahl 118 Kneser, H. 162, 169 Knopp 72 komplementäre Menge 14 Komplex von Kardinalzahlen 45 — — Mengen 45, 74 — — Ordnungstypen 90 — — Ordnungszahlen 114, 123 Kommutatlonsgesetz 18 Kondensationspunkt 184 konfinal 167 König, Satz von 60 konsekutlveElemente 100 Kontinuum 26 Kontinuumproblem 32, 176, 181, 191 Körper 18 Λ 94 Lasewitz 8 lattice theory 2 1 letztes Element 82 Levi, Beppo 75 Limeszahl 126, 175 Lindemann 17 Llouville 72 Lficke 104 Mächtigkeit 28, 29 v. Mangoldt-Knopp 71 Maxlmalmengensatz 165. 167 maximales Element 189 Menge 5 ff. —, abgeschlossene 186 —, abzählbare, höchstens abzählbare 8 , 9 — aller Mengen 7 — aller Untermengen 58

194

Namen- und Sachregister

Menge der algebraischen Zahlen 10, 15 — der rationalen Zahlen 9 — der reellen Funktionen 27, 68 — der Unstetigkeitsstellen 11 — der transzendenten Zahlen 17, 39 - . d i c h t e 100 — , endliche 8 — erster Stufe 7 — .geordnete 80, 168 — , halbgeordnete 166 — , in sich dichte 185 — , komplementäre 14 — , leere 14 Mengen, elementenfremde 16 — , fremde 16 Mengenkomplex 74, 75 Mengenlehre Cantors 78 — , naive 68 Menge, nichtabzählbare 8, 12 — , nicht meûbare 74 —, perfekte 185 — , stetige 105 Menge, teilweise geordnete 110, 166 —, transfinite 8 — , uferlose 49 — , unendliche 8 —, voll geordnete 80 —, widerspruchsvolle 7, 49, 124, 130 — , wohlgeordnete 110 — zweiter Stufe 7 Mischungsregel 28, 41, 93 monotone Funktion 11 Morgan, Formel von 18

Ordnungszahl, zerfällbare 134 — , zerlegbare 139 — zweiter Art 126 Ostrowski 171 perfekt 185 Potenz einer Kardinalzahl 56 ff. — — Ordnungszahl 114 — eines Ordnungstypus 95 Potenzmenge 32, 69 Produkt erster Art 15 — , inneres 15 — , natürliches 160 — von Kardinalzahlen 40, 41, 50, 52 — — 0rdnungstypen90 — — Ordnungszahlen 114, 151 — zweiter Art 40, 52 — — —, geordnetes 91

Susiin-Menge 20 Susiin-Operation 20 Szele 162 Teiler 138 Teilmenge 13, 115 transitiv 80 transfinite Induktion 145 — Kardinalzahl 31, 32 — Menge 8 transzendente Zahlen 17, 72 Tukey 162 Typenklasse 95

überall dicht 66 Umgebung 182 unberandet 99 Ungleichungen f ü r Kardinalzahlen 30 — — Ordnungszahlen 118 Universalbibliothek 8 Untermenge 13 Randelement 99 Rest einer geordneten — , echte 13 — Menge aller 58, 69 Menge 104 — — Ordnungszahl 133 —, unechte 13 — — wohlgeordneten Verbandstheorie 21 Menge 117 Verbindungsmenge 40,52 Restmenge 14 Vergleichbarkeitssatz f ü r Ring 18 Kardinalzahlen 122, Russell 8 164 — — Ordnungszahlen Schnitt 104 120 Sierpiñski 14, 32, 36, 44, Verdichtungspunkt 184 67, 133, 191 Vertauschungsregel 18, Sperner 44 38, 41, 46, 53, 92 Spezies 78 Vitali 74 Sprung 104 vor 80 stetig 105 Subtraktion von Ord- Vorgänger 100 ΤΤμ 119 nungszahlen 128 Summe, geordnete von Wahlfolge 77 Weierstrass 184 Mengen 87, 89 Nachfolger 100 Wohlordnungssatz 164 naive Mengenlehre 78 — , natürliche 159 v. Neumann 76 — von Kardinalzahlen Wohlordnungssystem 162 Nullmenge 14 37, 45 — — Mengen 15, 45 Zahlklasse 174, 181 — — Ordnungstypen Zerfällung einer Ordω 86, 176 87, 90 nungszahl 132 α>* 86 Zerlegung einer geordObermenge 13 — — Ordnungszahlen neten Menge 104 Operation A 20 128 Ordnungstypus 85 — , wohlgeordnete von — — Ordnungszahl 138 Ordnungszahl 112 Zermelo 75, 76, 116, 161, wohlgeordneten zwischen 82 [162 Mengen 113 — erster Art 126 Zorn 162 — , unzerfällbare 134,157 Susiin 18 Susiin-Kern 20 —, unzerlegbare 139 — , Satz von 170

H E I N Z BAUER

Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie Gr.-Oktav. 342 Seiten. 1968. DM 32 — (de Gruyter Lehrbuch) Das Buch soll vor allem den Studierenden als Wegführer in die Wahrscheinlichkeitstheorie dienen. Der Leser soll mit den wichtigsten Ideen, Methoden und Resultaten dieser sich heute schnell entwickelnden und verzweigenden mathematischen Theorie bekanntgemacht werden. Dabei werden vornehmlich diejenigen Teile der Theorie behandelt, die heute schon wieder als klassisch angesprochen werden. Darüber hinaus werden die Anfangsgründe des im Mittelpunkt der neueren Untersuchungen stehenden und zugleich auch für außermathematische Anwendungen so wichtigen Gebietes der stochastischen und speziell der Markoffschen Prozesse erörtert. Da heutzutage die Wahrscheinlichkeitstheorie unlöslich mit der Maßund Integrationstheorie verbunden ist, verfolgt das Buch zugleich aber auch ein zweites Ziel, nämlich den Leser mit den Grundzügen der Maßtheorie vertraut zu machen. Diese wird zwar nur so weit vorangetrieben, als dies für die zu behandelnden wahrscheinlichkeitstheoretischen Fragestellungen notwendig ist. Jedoch kann de;r allein maßtheoretisch interessierte Leser die betreffenden Kapitel unabhängig von den übrigen, rein wahrscheinlichkeitstheoretischen Teilen des Buches studieren. Das Buch ist aus zweisemestrigen, einführenden Vorlesungen über Wahrscheinlichkeitstheorie entstanden, die der Autor für Hörer vom 3. Fachsemester aufwärts an der Universität Hamburg hielt.

Walter de Gruyter & Co · Berlin 30

BERNHARD HORNFECK

Algebra Gr.-Oktav. 271 Seiten. 1969. DM 28,— (de Gruyter Lehrbuch) Inhalt Einleitung G r u n d l a g e n : Mengen — Die Menge zählbarkeit — Äquivalenzrelationen

der natürlichen Zahlen — Abbildungen — Ab-

G r u p p e n : Das Rechnen in Gruppen — Darstellungen durch Transformationsgruppen — Untergruppen — Zyklische Gruppen — Direkte Produkte — Abcische Gruppen — Homo· morphe Bilder von Gruppen — Einbettung von Halbgruppen in Gruppen — Spezielle Ergebnisse — Automorphismen von Gruppen — Operation einer Gruppe auf einer Menge — Die Sylowtchea Sätze — Beispiele von Gruppen R i n g e : Algebraische Strukturen — Das Rechnen in Ringen — Homomorphe Bilder von Ringen — Einbettung von Integritätsbereichen in Körper — Der komplexe Zahlkörper 5 — Endomorphismenringe abelscher Gruppen — Polynomringe — Nullstellen von Polynomen — Körpererweiterungen — Halbgruppenringe — Der Quaternionenschiefkörper — Duale Zahlen — Angeordnete Ringe — Der Körper SR der reellen Zahlen — Bewertete Körper — Symmetrische Polynome I d e a l e : Rechenregeln — Teilbarkeit — Gaußsche Ringe, Hauptidealringe, Euklidische Ringe — Der Ring 3 Μ — Partialbruchzerlegung in K(x) — Primideale — Maximale Ideale — Der Satz ron Gauß — Irreduzibilitátskriterien — Teilbarkeitssätze in Polynomringen — Kreisteilungspolynome — Noethersche Ringe — Der HUber/sehe Basissatz V e k t o r r ä u m e : Das Rechnen in Vektorräumen — Teilräume — Der Basissatz — Homomorphismen von Vektorräumen — Die Gradformel K ö r p e r t h e o r i e : Einfache Körpererweiterungen — Endliche Körpererweiterungen — Der Satz von Frobtnius — Konstruktionen mit Zirkel und Lineal — Nullstellen von Idealen — Zerfällungskörper — Endliche Körper — ländliche Schiefkörper — Die Sätze vom primitiven Element — Inseparable Polynome G a l o i s t h e o r i e : Isomorphismen von Körpern — Automorphismen von Körpern — Normale Körpererweiterungen — Der Hauptsatz der Galoistheorie — Ein Beispiel — Automorphismen von GF(p n ) — Kreisteilungskörper — Die Konstruktion de« regelmäßigen Siebzehnecks A u f l ö s b a r e P o l y n o m e : Polynome ersten bis vierten Grades — Auflösbare Gruppen — Der Satz von Abel Anhang: Das Rechnen mit komplexen Zahlen Lösungen der Aufgaben — Bezeichnungen — Literatur — Namen- und Sachverzeichnis

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