Mehrdimensionale Integration: Eine Einführung in die Lebesguesche Theorie [Reprint 2019 ed.] 9783110830101, 9783110046120

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Mehrdimensionale Integration Eine Einführung in die Lebesguesche Theorie von

Bernd Anger und Heinz Bauer

w DE

G_ 1976

Walter de Gruyter • Berlin • New York

SAMMLUNG GÖSCHEN 2121

Dr. Bernd

Anger

Privatdozent für Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg Dr. Heinz

Bauer

o. Professor für Mathematik an der Universität Erlangen-Nürnberg ord. Mitglied der Bayerischen Akademie der Wissenschaften

CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Anger, Bernd Mehrdimensionale Integration: eine Einf. in d. Lebesguesche Theorie / von Bernd Anger u. Heinz Bauer. (Sammlung Göschen; Bd. 2121) ISBN 3-11-004612-1 NE: Bauer, Heinz:

© Copyright 1975 by Walter de Gruyter & Co., vormals G. J. Göschen'sche Verlagshandlung, J. Guttentag, Verlagsbuchhandlung, Georg Reimer, Karl J. Trübner, Veit & Comp., 1 Berlin 30-Alle Rechte, insbesondere das Recht der Vervielfältigung und Verbreitung sowie der Übersetzung, vorbehalten. Kein Teil des Werkes darf in irgendeiner Form (durch Fotokopie, Mikrofilm oder ein anderes Verfahren) ohne schriftliche Genehmigung des Verlages reproduziert oder unter Verwendung elektronischer Systeme verarbeitet, vervielfältigt oder verbreitet werden - Printed in Germany - Satz: Fotosatz W. Tutte, 8391 Salzweg-Passau - Druck: Mercedes-Druck, 1 Berlin 61 - Bindearbeiten: Lüderitz & Bauer, Buchgewerbe-GmbH, 1 Berlin 61

Inhalt Einleitung

5

Kapitel I: Maße und Integrale auf kompakten metrischen Räumen §1 Radon-Maße auf kompakten metrischen Räumen . . . . §2 Mehrdimensionales Lebesgue-Maß § 3 Halbstetige Funktionen §4 Fortsetzung eines Radon-Maßes auf halbstetige Funktionen § 5 Integration numerischer Funktionen § 6 Riemann-Integrierbarkeit und Riemannsches Integral . . § 7 Konvergenzsätze § 8 Vertauschung der Integrationsreihenfolge (beim LebesgueMaß auf Quadern) § 9 Integrierbare Mengen § 10 Integration über Mengen § 11 Induzierte Maße

66 70 77 82

Kapitel II: Integration auf metrischen Räumen § 12 Maße und Integrale auf metrischen Räumen § 13 Meßbare und integrierbare Mengen § 14 Nullmengen und Integration über Teilmengen § 15 Konvergenzsätze - Parameter-abhängige Integrale § 16 Meßbare Funktionen und Integrierbarkeit

87 97 103 110 117

. . .

10 17 22 30 35 48 55

Kapitel III: Das Lebesguesche Integral § 17 Beispiele zum Lebesgueschen Integral § 18 Vertauschung der Integrationsreihenfolge beim mehrdimensionalen Lebesgue-Maß § 19 Anwendungen des Schnittmengensatzes § 20 Der Transformationssatz § 21 Polarkoordinaten und Anwendungsbeispiele

131 136 147 163

Anhang: Über verschiedene Maßbegriffe

175

Literaturverzeichnis Symbolverzeichnis Namenverzeichnis Sachverzeichnis

181 182 184 185

Die Paragraphen 6 und 16 können bei der ersten Lektüre des Buches überschlagen werden.

124

Einleitung

Der vorliegende Band soll als ein Baustein verstanden werden, der bei der Behandlung der mehrdimensionalen Integration in den Grundvorlesungen über Analysis Verwendung finden kann. Das Buch setzt sich zum Ziel, in die Theorie des Lebesgueschen Integrals soweit einzuführen, daß spezielle, in den Anwendungen häufig auftretende Integrale (wie z.B. die Gamma-Funktion, die Gaußsche Glockenfunktion, Potentiale von Massenbelegungen) sowie Volumenberechnungen (z. B. der n-dimensionalen Kugel) und das Transformationsverhalten von Integralen (z. B. beim Übergang zu Polarkoordinaten im R p ) behandelt werden können. Zur Erreichung dieses Zieles sollte der betreffende Abschnitt der Grundvorlesung über Analysis nicht zu einer Spezialvorlesung über Maß und Integral werden. Schon deshalb erschien es uns unzweckmäßig, das Lebesguesche Integral von einer •••>*») dx\)- • •) dx zuordnen. X Q ist dann eine positive Linearform auf dem Vektorraum &(Q) der auf Q stetigen reellen Funktionen, also ein (positives) Radon-Maß auf Q. Zunächst wird daher der

6

Einleitung

Lebesguesche Integralbegriff nur für auf Q definierte Funktionen durch den üblichen Fortsetzungsprozeß mittels Oberund Unterintegral von /L ausgehend entwickelt. Insbesondere ist dann jede auf einer Kompakten Menge K-dimensionalen Volumens). Beide Aufgaben werden sogleich in größerer Allgemeinheit gelöst: An die Stelle eines kompakten Intervalles / wird ein beliebiger kompakter metrischer Raum E, an die Stelle von Xl ein geeignet beschaffenes Funktional auf A,(/)=gA,fe)

{f,ge X,{f) ^ 0

(/e^(/)).

Es wird sich nun zeigen, daß allein diese Eigenschaften von Xj zusammen mit der Kompaktheit von / die Konstruktion des Lebesgueschen Integrals ermöglichen. Wir führen folgende Sprechweisen ein: Ist E eine Menge und die Menge aller auf E definierten numerischen Funktionen /: E —*R, so schreiben w i r f Sg genau dann, wenn /(x) ^ g(x)

für alle x e E

gilt. ^ ist dann eine Ordnungsrelation auf # . Für jede Teilmenge ^ c # sei 0} die Menge der positiven (d.h. nicht-negativen) Funktionen aus "V c HP nennen wir einen Vektorraum reeller Funktionen auf E, wenn j e d e s / e ~t~ nur Werte in R annimmt und V bezüglich der durch (1.1) und (1.2) definierten Operationen stabil ist. Linearform auf 'f heißt jede Abbildung mit den (1.3) und (1.4) entsprechenden Eigenschaften: (1.8) (1.9)

ß(f+g) ß{af)

= n ( f ) + ß(g) = «lt(f)

(fgery, Wer,

aeR).

12

Kapitel I: Maße u. Integrale auf kompakten metrischen Räumen

Gilt darüber hinaus die (1.7) entsprechende Eigenschaft (1.10)

fer

+

=>

so heißt /x eine positive Linearform. Ausgangspunkt unserer Integrationstheorie sind positive Linearformen auf dem Vektorraum E) der stetigen reellen Funktionen auf einem kompakten metrischen Raum E. 1.1 Definition. Sei E ein kompakter metrischer Raum. Dann heiße jede positive Linearform fi: ^ (E) —> R ein positives Radon-Maß - kurz ein Maß - auf E. M+ (E) bezeichne die Menge aller Maße auf E. Dieser Maßbegriff bedeutet: Für die Funktionen f e ^ ^ E ) ist das zu definierende Integral in der Form des Funktionswertes n ( f ) von n an der Stelle/bereits vorgegeben. Hieraus soll ein Integralbegriff entwickelt werden, der den Anforderungen 1 und 2 des Vorspanns genügt. In p liegt also die Keimzelle einer Integrationstheorie vor. 1.2 Beispiele. (1) Für jedes kompakte Intervall / = [a, ¿>] c R b

definiertf v-^>\f(x)dx die positive Linearform X, auf # ( / ) , a

also ein Maß auf I. Dieses heißt Lebesgue-Maß a, auf I. (2) Sei E ein kompakter metrischer Raum und a ein Punkt von E. Dann ist e,a~/J> (E) —• R, definiert durch (l.H)

£„(/)==/(«),

ein Maß auf E. Es heißt Dirac-Maß oder (Maß der) Einheitsmasse in a. (3) Sei D eine endliche Teilmenge eines kompakten metrischen Raumes ¿'und a : D —* R + eine positive reelle Funktion auf D. Dann wird durch / -

X : [0, 27t] —*• T die dort betrachtete Parametrisierung von T und a = ß ( f x ) definierte Funktion g in @(X). Beweis. Sei fe 0 ein S > 0, so daß für alle (x, y), mit || (x, y) - (x\ y') || < 5 gilt:

(*', y ' ) e I x K

| D j { x , y ) - D j ( x ' , y ' ) \ < s .

Seien nun xlt x2 e / mit \x2 — \ < S. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert zu jedem y e K ein xy zwischen x1 und x2, so daß D J ( x

, y ) =

y

ß & i l t - ß & i A x2 ~ Xi

gilt. Für alle y e K ist | xy — xy \ < )

M/* 2 ) ~ /*(/") x2 f x2 _ \

{

X2

—

f x1 - ( D J Y

Xi

Daraus folgt die Behauptung. • 2.3 Satz. Für jede mutation

Seien

Funktion

[at, f

b ^ , . . . , [a„, 6 n ] kompakte Intervalle e ^([«i, ¿1] x ... x \a„, £„]) undjede

n von { 1 , . . . , « } auf sich

existiert

das iterierte

, xn)dxn{l))... Es

ist unabhängig

von

der

speziellen

Permutation

in

R. Per-

Integral

)dx„(n). n.

Beweis. Die Existenz der Integrale ergibt sich durch vollständige Induktion aus 2.1, angewandt auf die Lebesgue-Maße i»„(I)], • • •, A[a„„, /,„,„,] • Es genügt, die Unabhängigkeit für

20

Kapitel I: Maße u. Integrale auf kompakten metrischen Räumen

Transpositionen n zu beweisen, da jede Permutation Hintereinanderschaltung endlich vieler Transpositionen ist, sogar solcher, die benachbarte Elemente vertauschen. Damit ist die Behauptung auf den Fall n = 2 zurückgeführt. Diese Behauptung ist offenbar richtig, wenn eines der Intervalle einpunktig ist, da dann beide Doppelintegrale verschwinden. Es genügt also zu zeigen: Sind I—[a, und J - = [ c , d\ nicht einpunktige Intervalle in R und ist Q — I x J, so gilt für jede Funktion fe (€ (Q): f (f/(x, y)dy)dx a

c

=

f (|/(x,

y)dx)dy.

c a

Dazu definieren wir reelle Funktionen g, G, H auf 1 und h auf Q durch : = f f{x,y)dy

g(x)

=

Xj(Jx)-,

=

AJ(hx).

c X h(x,y)~\f(z,y)dz; a

G(X)

:=jg(z)dz-, a

H(x)

••=\h(x,y)dy c

Wir zeigen, daß für alle xe I G(x)

=

H(x)

ist. Speziell für x = b folgt dann die Behauptung. Nach 2.1 liegt g in G ist eine Stammfunktion zu g.h ist stetig auf Q, denn für (x,y), (x, y')eQ gilt: / ) |

|h{x,y)-h(x',

=

| J / ( z , y)dz a

^

SIfiz,y) a

-f{z,y')\dz

+

f f ( z , y)dz x'

-

J / ( z ,

/ ) d z |

a

+1}/(z,y)dz\,

x'

woraus die Stetigkeit von h wegen der Beschränktheit und

21

§ 2 Mehrdimensionales Lebesgue-Maß

der gleichmäßigen Stetigkeit v o n / auf Q folgt. Überdies ist h nach der ersten Variablen partiell differenzierbar mit Dlh=fe 0 {/>/(*)-s}n

{/) = max ( f ( x ) , g(x)) inf ( f g)(x) = inf(/(x), g(x)) = min ( f ( x ) , g(x))

definierten numerischen Funktionen. Dabei sind die durch (3.4) bis (3.7) erklärten Funktionen auf ganz E definiert, f+g jedoch nur für solche x e E, für welche f ( x ) + g(x) gemäß obiger Rechenregeln sinnvoll ist. (3.3) bzw. (3.4) dehnen (1.1) bzw. (1.2) auf den Fall numerischer Funktionen aus. 3.5 Satz. Sind fg:E—* R nach unten bzw. nach oben halbstetig in xeE, so gilt dies ebenfalls für die Funktionen 1 .f+g (sofern überall definiert), 2. affiir a iel gilt. Aus 3.3 folgt dann auch die Behauptung für nach oben

27

§ 3 Halbstetige Funktionen

halbstetige Funktionen wegen inf/; = - s u p ( - / ; ) . • ieI iel Der Satz 3.7 zeigt insbesondere, daß obere und untere Einhüllende einer Familie stetiger Funktionen halbstetige Funktionen sind. Bemerkenswerterweise gilt hiervon auch die Umkehrung. Bei deren Formulierung machen wir erstmals von einer im folgenden häufig benutzten Schreibweise Gebrauch: Sind /„ und / auf einer Menge definierte numerische Funktionen, so bringen wir die Isotonie der Folge (/,,) neN mit oberer Einhüllenden / = sup/„ durch das Zeichen f„ \f zum Ausdruck. Für antitone Folgen (/„) neN mit unterer Einhüllenden / schreiben wir /„ [ / . 3.8 Satz. Zujeder nach unten bzw. oben halbstetigen Funktion h: E—>R gibt es eine Folge (g„)nEN stetiger numerischer Funktionen auf E mit (3.10)

gn\h

bzw.

gn[h.

Ist h überdies nach unten bzw. oben beschränkt, so können die gn sogar reell gewählt werden. j Beweis. Sei d die Metrik von E und h etwa nach unten halbstetig auf E. Die in (3.2) angegebene Schränkungstransformation s ist ein ordnungstreuer Homöomorphismus von R auf [ — 1,1]. Daher ist s°h genau dann nach unten halbstetig auf E, wenn dies für h gilt. Somit kann angenommen werden, daß h{E) c [ - 1 , 1 ] ist. (1) Sei zunächst vorausgesetzt, daß h = \v die Indikatorfunktion einer offenen Menge U c E ist (vgl. 3.2). Die Abbildung x\-*d(x,E\U) ist bekanntlich stetig auf E. Daher sind für alle n e N die Funktionen

28

Kapitel I: Maße u. Integrale auf kompakten metrischen Räumen

stetig auf E. Für x e E, m,ne N mit m^n

gilt: Ist 8 •=

d(x, E\U) ^ ^, so ist g m (x) ^gn(x) = 1. Ist 8
0, so daß g„(x)=h(x) = i für ein « e N gilt. Ausg„ S 1 für alle n e N folgt dann (3.10). (2) Im allgemeinen Fall betrachte man für jedes n e N und je2k des k = 0 , . . . , n — 1 die offenen Mengen Ukn — {h > —— 1}. Die Funktionen /„==-!+

(KneN) *=i sind gemäß 3.5 nach unten halbstetig. Zu jedem n e N und jedem xeEexistiert ein ke {0,..., n — 1}, so daß gilt: n

n

—

v

'—

n

'

also und folglich Daher ist h = sup /„. Nach (1) existiert zu jedem n e N und jedem k = 0 , . . . , n — 1 eine isotone Folge stetiger Funktionen, die punktweise gegen Ii/,, konvergiert. Daher gibt es zu jedem n e N für die Linearkombination f„ eine isotone Folge (hmn)meN stetiger Funktionen mit sup hmn = /„. Folglich ist mEN

h=

sup hmn. m,ns

N

Setzt man für n e N g„ == sup {hpq\p, q e N; p, q ^ n),

29

§ 3 Halbstetige Funktionen

so ist (gn) eine isotone Folge stetiger Funktionen, welche die gesuchte Eigenschaft (3.10) besitzt. Ist h nun überdies nach unten beschränkt, etwa durch a e R, so ist die Folge der Funktionen /„ : = s u p (a, inf (gn, ri)) eine isotone Folge in # (E) mit h = sup/„. • Ist der metrische Raum E kompakt, so ist jede nach unten halbstetige Funktion bereits dann nach unten beschränkt, wenn sie den Wert — oo nicht annimmt. Es gilt nämlich folgende Verallgemeinerung eines bekannten Satzes, wonach jede stetige reelle Funktion auf einem solchen Raum ihre obere und untere Grenze als Wert annimmt. 3.9 Satz. E sei ein kompakter metrischer Raum. Jede nach unten bzw. oben halbstetige Funktionf: E —* R nimmt den Wert i n f f ( x ) bzw. sup/(jc) in einem Punkt von E an. xeE

X E £

Beweis. Sei e t w a / nach unten halbstetig. Die Behauptung ist trivial, wenn / die konstante Funktion mit Wert oo ist. Sei daher ß — i n f f ( x ) < oo und (a„) eine antitone Folge reeller isE

Zahlen ocn > ß mit lim a„ = inf a n = ß. Die Mengen { / ^ oc„} sind nicht leer und nach 3.3 abgeschlossen, also kompakt. Ferner gilt für alle n e N: Nach dem Cantorschen Durchschnittsatz ist dann {* sE-.fix)

= ß} =

ß} = 0 { / g a„} * 0. • heN

Für die Integrationstheorie spielen nun folgende Mengen halbstetiger Funktionen eine wesentliche Rolle: 3.10 Definition, j f - = Jtu(E) bzw. Jf°=Jt°(E) bezeichne die Menge aller nach unten bzw. nach oben halbstetigen numerischen Funktionen auf E, die den Wert — oo bzw. + oo nicht annehmen.

30

Kapitel I: Maße u. Integrale auf kompakten metrischen Räumen

3.11 Bemerkungen. Nach Satz 3.3 ist (3.11)

=

und Satz 3.4 zeigt, daß (3.12)

€/ Um die duale Ungleichung zu beweisen, wähle m a n / e ^ ( E )

32

Kapitel I: M a ß e u. Integrale auf k o m p a k t e n metrischen R ä u m e n

so, d a ß / ^ sup fi ist. Dann haben wir zu zeigen:

Sei nun e > 0 vorgegeben. Für alle iel i s t f — f e J?also Uic ••= {fi — f > — e} offen. Da E = (J UUe kompakt ist, gibt iel

es ein n e N und i l5 ...,/„ e I, so daß E = Uiut u . . . u t/j->£ ist. Daher ist sup ftk. k = l, ...,n Da (/¡) aufsteigend filtrierend ist, existiert ein j e I, so daß f ~

E

=

k =SUp 1 nf i g f j gilt. Aus der Isotonie von n* auf J f " folgt dann: Hif) - en( 1) = n t f ~ «) = H*(f-

0 beliebig war, gilt somit: /iC/l^sup/^Cft.Q* 4.5 Satz, fi* bzw. ^ homogen und isoton.

ist auf J f " bzw. W

additiv, positiv

Beweis. Wir zeigen die, Behauptung für p*, aus 4.2 (2) folgt sie dann auch für . (1) Additivität: Seien f g e J # , u und (/„), (g„) Folgen in R, welche auf einer beliebigen Menge E definiert sind: (5.27)

/+:=supC/,0)

(5.28)

f~ —( —f) * — — inf (/, 0).

f+ b z w . / heißt der Positiv- bzw. Negativteil von/. Stets gilt (5.29)

f = r - r

und

|/|=/++/".

48

Kapitel I: Maße u. Integrale auf kompakten metrischen Räumen

5.14 Satz. Eine Funktion f\E—* R ist genau dann integrierbar, wenn f+ und f~ integrierbar sind. Es gilt dann (5.30)

ifdtx=\rdii-irdii.

Beweis. Wegen 5.12 sind m i t / auch f+ und f~ integrierbar. Aus f = f + - f - folgt (5.30). Wegen (5.29) impliziert umgekehrt die Integrierbarkeit von f+ und f~ die von / . • In § 16 wird geklärt werden, warum aus der Integrierbarkeit von | / | nicht generell die von / folgt. Daß das Produkt integrierbarer Funktionen im allgemeinen nicht integrierbar ist, wird 7.3, Beispiel (2) zeigen. Jedoch gilt wenigstens 5.15 Satz. Das Produkt zweier integrierbarer Funktionen, von denen wenigstens eine beschränkt ist, ist integrierbar. Beweis, f und g seien integrierbar, g sei beschränkt. Dann gibt es eine reelle Zahl a > 0, so daß |g(je)| a für alle x e E gilt. Nach 5.10 existiert zu e > 0 ein u e %>(E) mit

Bezeichnet ß > 0 eine Schranke des Absolutbetrages von u, so existiert abermals nach 5.10 ein v e &(E) mit

Nun ist aber \fg-UV\ = \(f-u)g

+ u(g-v)\^K\f-u\

+ r

also folgt \ fg — uv | dfi < e. Wegen uve €{E) integrierbar. •

ß\g-v\, ist somit fg

§ 6 Riemann-Integrierbarkeit und Riemannsches Integral* Das in 5.8 gewonnene Integrabilitätskriterium kennzeichnet die ¿(-Integrierbarkeit einer numerischen Funktion / auf E * Dieser Paragraph hat ergänzenden Charakter und kann daher bei der ersten Lektüre des Buches übergangen werden.

§ 6 Riemann-Integrierbarkeit und Riemannsches Integral

49

durch die Existenz von Majoranten h e J f " und Minoranten g e J f deren Differenz ein vorgegeben kleines Oberintegral besitzt. Die fundamentale Rolle der stetigen reellen Funktionen für die Definition des Integrals könnte die Vermutung auslösen, daß für beschränktes / die Funktionen g und h in 5.8 sogar stets in E) gewählt werden können. Es soll nun u. a. gezeigt werden, daß diese Vermutung falsch ist. Wir widerlegen sie für den Fall, daß E ein nicht-ausgeartetes kompaktes Intervall I = \a, ¿>] der Zahlengeraden und n das Lebesguesche Maß X, ist. Sei hierzu / eine beschränkte reelle Funktion auf I. Zu jeder Unterteilung U = {x 0 ,..., x„} von I durch endlich viele Zwischenpunkte a = x0 0 existieren Funktionen g,he^(T) mit g h und\{h-g)dkI 0 existiert

50

Kapitel I: Maße u. Integrale auf kompakten metrischen Räumen

eine

U n t e r t e i l u n g U

von S

I

m i t

( J ) - S

v

v

( f ) < z .

Die Bedingung (1) sei erfüllt. Dann sind wegen der Kompaktheit von I die Funktionen g und h und somit auch / beschränkt, g und h sind auf / gleichmäßig stetig. Folglich existiert zu e > 0 eine Unterteilung U = { x 0 , . . . , x \ von I derart, daß g und h auf jedem der Teilintervalle xj um höchstens e schwanken, d.h. daß für beliebige x', x e [-^fc-ij

B e w e i s .

n

\ h ( x ' ) - h ( x " ) \ S s

u n d

gilt (k = 1,..., n). Für die gemäß (6.3) z u / u n d U gehörigen Zahlen Mk , mk gilt wegen g Sf^ h i n f ^ f l X - i ,

sup /»([**-1,

xk ~\)

Die betreffenden Suprema und Infima werden auf \ x k ^ i , x k als Werte angenommen: Es gibt also Punkte rjk e t , xk mit g ( L )

^

m

^

k

M

^ h ( r ,

k

k

)

( k

=

1 , . . . . , « ) .

Somit ergibt sich S

v

( f ) - S

( f ) ^

v

t

{ h ( r i

k

) - g ( ^ ) ) ( x

k

~ x

k

^ ) .

n=i Die rechte Seite kann weiter nach oben abgeschätzt werden. Da g und h auf [x (t _ 1 , x k ] nur um höchstens s schwanken, ergibt sich nämlich I h { n

k

) { x

k

-

x

.

k

t

)

-

f

h ( x ) d x \ =

I

f

(h(r,

k

) -

k

- y )

h { x j ) d x \

r"

^

j

\ h { r }

k

) - h { x ) \ d x - ^ £ { x

k

- x

und die analoge Ungleichungx k

für k = 1,..., n. Die angekündigte Abschätzung lautet daher

§ 6 Riemann-Integrierbarkeit und Riemannsches Integral

51

wie folgt: S

D

(f)-Sv(f)Z t

[ f (h(x)-g(x))dx

= S(h-g)dXI

+

+

2E(xk-xk^n

2e(b-a).

Hieraus folgt (2), da nach Voraussetzung J(/i — g)dX, < e ist. Sei nun umgekehrt eine beschränkte Funktion / auf I gegeben. Dann genügt es zu zeigen, daß zu jeder Unterteilung U von / und zu e > 0 ein h e (/) existiert mit h und ¡hd^-Sv(f) 0 bleibt somit die Folge (g„) zu konstruieren: Zu n e N existiert wegen | f*f, dp | < oo eine Funktion h„ e 3 f f u mit * Die Bedingung ist erfüllt, wenn ein fk nach unten beschränkt, insbesondere wenn/t ^ 0 ist.

§ 7 Konvergenzsätze

57

f n S h n und

Für g„ == sup h( e W

gilt f„^gn^gn

1 Sign

+ 1.

Wir beweisen

durch vollständige Induktion:

Für n = 1 ist diese Behauptung offenbar richtig; ihre Gültigkeit sei für n e N vorausgesetzt. Aus g„ ^ /„ und h„+1^.fn+i ^ fn folgt inf (g„, hn+1) aus gn+l = sup (gn, hn+1) ergibt sich gn+h n + 1 = inf (g„, hn + l) + SU P (gn> hn + x) — inf (g„, hn+i) + g n + i . Nach 4.5 gilt dann: gn+1du = \*gndß + g f*/„ du + £ ( l - ^

inf + J*/, + i dß+

Damit ist der Satz bewiesen.

(gn,hn+1)dn - i*/„ ^

•

7.2 Korollar. Sei (fn)neN eine isotone Folge integrierbarer Funktionen auf E. Genau dann ist supj£ integrierbar, wenn sup \ f n dfi < co üi. neN

(7.3)

neN

gilt dann

J supfn du = sup j7„ rf/x. neN

neN

Beweis. Es ist - oo < f / i dß ^ s u p \ f n dß = sup neN

neN

dfi ^ j* sup^ rf/z

^ i* nsup/„ du = nsup \*fndji = sup j/ n i//!. eN eN neN Daraus folgt die Behauptung.

•

neN

58

Kapitel I: Maße u. Integrale auf kompakten metrischen Räumen

7.3 Beispiele. (1) Auf dem Intervall / = [0,1] ist die numerische Funktion 1 x 1 l / T ^ V7 t * * X = 1

+ 00,

A[0,i]-integrierbar, und es ist j / d A j = setze man für n e N a. —

V^

fn-Xi

n,

1

Um dies einzusehen,

5- und

ni

(xel).

x>a„

Offenbar ist (f n ) eine isotone Folge in «=

1 1 -a 1 i —a

a

1—a

n" - 1 .

Für a < 1 ist daher sup neN

1 — a

- 1, so ist J* K d h = sup j/„ d l , = sup | neN neN \ also h a nicht A r integrierbar. Ist a = 1, so gilt

— + - ^ - ¡ - n ' - 1 ) = +oo,

1 —~•OL

OL — 1

//„

i j

\

J* h a d ) . , = s u p \ f n d l j = s u p ( j n d x + J — d x ]

neN neN \ 0 '/ / / IV = 1 + sup (log 1 — log— 1 = 1 + sup log n = + oo. neN \

60

Kapitel I: Maße u. Integrale auf kompakten metrischen Räumen

Auch in diesem Fall ist also ha nicht Aj-integrierbar. Die Funktionen hx(oi > 0) werden häufig als Vergleichsfunktionen herangezogen, wenn eine Funktion auf ihre Ä[0>1]Integrierbarkeit hin untersucht werden soll. Wir wenden dies im folgenden Beispiel an. (3) Sei ß < 0. Die auf / = [0, i ] definierte numerische Funktion r x « (e x",x + 0 [ +oo

,x = 0

ist genau dann Xj-integrierbar, wenn ß > — 1 ist. Nach 3.5 (5) i s t f e W . Für ß > - 1 existiert ein a e]0,1[, so daß et + ß > 0 ist. Daher ist l i m ^ e " * * " = limjt" + "i>~* = 0.

x->0

x->0

Somit existiert ein M>0, so daß f(x)^Mha(x) xsl gilt. Daher ist nach (2)

für alle

/ i s t nach 5.5 /Ij-integrierbar. Für rß — < - 1 und 0 < x — < 1 ist x1

+ß

ß > —1, also x >— -x und

somit e~xxß ^ e~1xß k j j - Daher gilt f(x) ^ j h, (x) für alle x e /, also J V < t t / £ 7 J**! a sowie sug | n i(a}dX, = sujp (nQ) = 0 nach 5.6, Beispiel (1). (3) Gelegentlich wird yon der Diracschen Funktion R genau dann eaintegrierbar, wenn f(a) e R ist. In diesem Fall gilt (12.12)

¡fdea=f(a).

(2) Sei n ein diskretes Maß auf E, welches durch eine Gewichtsfunktion a.\D—>R + mit diskreter Definitionsmenge D czE definiert ist. Zur Vereinfachung werde zusätzlich vorausgesetzt, daß D höchstens abzählbar ist, daß also eine Bijektion von / = N bzw. / = { l , . . . , n 0 } mit n 0 6 N

§12 Maße und Integrale auf metrischen Räumen

95

auf D existiert. Im R p ist diese Voraussetzung von selbst erfüllt, da in jeder Kugel um den Nullpunkt vom Radius n nur endlich viele Punkte einer diskreten Menge liegen. Unter dieser Annahme gilt* (12.13)

\*fdn=

£a(xn)/(x„) nel

für jede_ numerische Funktion 0 auf E. Eine Funktion / : £ — • R ist genau dann /i-integrierbar, wenn die Reihe £ a (x„)/(x„) absolut konvergiert. (Für eine endliche Menge I nel ist dies gleichbedeutend mit f(xn)eR für alle nel mit a(x„) > 0 . ) Es gilt dann ferner (12.14)

¡fdß=

I « W / W . nel In der Tat: Nach Definition ist in \i = (nK)Kesi jedes n K ein diskretes Maß auf der kompakten Menge K. Gemäß 5.3 und 5.6, Beispiel (3) gilt daher \tfdßK=

Z R kompakt integrierbar und |A|i£|/|, so ist h integrierbar (Majoranten-Kriterium). Beweis. Aus 5.7, 5.12, 5.13 und 5.15 folgt die kompakte Integrierbarkeit der Funktionen in (1), (2) sowie (4)-(6). Die Oberintegrale der Absolutbeträge der in (1), (2) sowie

§ 13 Meßbare und integrierbare Mengen

97

(4)—(7) auftretenden Funktionen werden durch j * \ f \ d f i + $*\g\dfi oder ein positives reelles Vielfaches von \*\f\dn majorisiert und sind somit endlich. Alle in (1), (2) sowie (4)-(7) auftretenden Funktionen sind daher integrierbar. Die Isotonie-Eigenschaft (3) sowie die Formeln (12.16) bis (12.18) folgen aus den entsprechenden Eigenschaften im kompakten Fall mit Hilfe von Lemma 12.13. • Nunmehr ergibt sich sofort: 12.15 Korollar. Die Mengeder reellen fi-integrierbaren Funktionen ist (bezüglich der üblichen Operationen) ein Vektorraum. Die auf ihm definierte Abbildung f*-+\fdn ist eine positive Linearform.

§ 13 Meßbare und integrierbare Mengen In diesem Abschnitt sollen die Ergebnisse von § 9 auf die neue Situation übertragen werden. Die Motivation ist dabei unverändert: es soll gewissen Teilmengen A des metrischen Raumes E eine Maßzahl bezüglich des gegebenen Maßes fi = (fi^Ke» a u f E zugeordnet werden. In Analogie zur Definition 9.1 liegt es nahe, eine Menge A mit kompakt integrierbarer Indikatorfunktion selbst kompakt integrierbar zu nennen. Dies ist jedoch nicht üblich. Der jetzt einzuführende Name für diese Eigenschaft wird seine Begründung in einem Integrabilitätskriterium des Paragraphen 16 finden. Im übrigen orientieren wir uns an § 9. 13.1 Definition. Für jede Teilmenge A i(

\n=l

)

Ö

\n=l

/

woraus die zu (13.15) duale Ungleichung folgt.

•

13.7 Bemerkung. Setzt man in 13.6 nur voraus, daß die Mengen A, B und A„ meßbar sowie die A„ paarweise fremd sind, so gelten die (13.12), (13.13) und (13.15) entsprechenden Gleichheiten, wenn man n durch n* ersetzt. Insbesondere ist n* a-additiv auf (p). Dies folgt aus 13.6, wenn man berücksichtigt, daß eine jede meßbare Menge A entweder integrierbar ist oder das äußere Maß n* (A) = oo besitzt.

§ 14 Nullmengen und Integration über Teilmengen Gegeben sei wieder ein Maß ß = auf einem metrischen Raum E. In Übereinstimmung mit dem kompakten Fall definieren wir: 14.1 Definition. Mengen A a E mit ¡x* (A) = 0 heißen (/¿-) Nullmengen. Wegen der Isotonie des äußeren Maßes sind Nullmengen zunächst meßbar und damit auch integrierbar mit dem Maß Null. Aus 13.4 folgt: (14.1) Jede Teilmenge einer Nullmenge ist selbst eine Nullmenge. (14.2) Die Vereinigung einer jeden Folge von Nullmengen ist selbst eine Nullmenge. 14.2 Beispiele. (1) Jede abzählbare Teilmenge des Rp, wie etwa die Menge aller x e R p mit lauter rationalen Koordinaten, ist eine l p -Nullmenge. Dies folgt aus 13.3, Beispiel (2), da jede einpunktige Teilmenge ein kompakter Quader vom Ap-Maß Null ist. (2) Jede achsenparallele Hyperebene H ist eine l p -Nullmenge. p H ist nämlich von der Form H = J^ Jh wobei jedes Jt mit ¡=i

104

Kapitel II: Integration auf metrischen Räumen

einer Ausnahme gleich R und für den Ausnahme-Index i0 die Menge Jit> ein einpunktiges Intervall in R ist. Die Behauptung folgt daher aus 13.3, Beispiel (3). Nun kann man die Definition 10.1 zur Einführung der Sprechweise von (/¿-) fast überall bestehenden Eigenschaften wörtlich wiederholen. Es ergeben sich dann sofort die folgenden Übertragungen der Sätze 10.2 und 10.3: 14.3 Satz. Für jede numerische Funktion f auf E gilt: 1. Verschwindet f fast überall, so ist f integrierbar und \ f d ß = 0. 2. I s t 0 und \*fdß = 0, so verschwindet f fast überall. 3. Ist f und ist eine numerische Funktion auf E, welche fast überall gleich f ist, so besitzen f und g dasselbe Oberintegral. Beweis. (1) Da / i n Positiv- und Negativteil zerlegt werden kann, können w i r 0 voraussetzen. Wegen ¿¿({/ > 0}) = 0 ist K n { / > 0 } für jedes K e S i eine ^ K -Nullmenge. Gemäß 10.2 ist daher / über K /^-integrierbar und \Kf dßK = 0. Somit ist / k o m p a k t integrierbar mit \*f dp = 0, also sogar integrierbar mit \f dp = 0. (2) Nach Annahme und Definition des Oberintegrals gilt = 0 für alle K e f t . Also ist gemäß 10.2 { x e K \ f (x) > 0 } = Kn { / > 0 } eine ^-Nullmenge. Hieraus folgt p * ( { f > 0 } ) = s u p { / > 0 } ) = 0, d.h. { / > 0 } ist eine /x-Nullmenge. (3) Für jedes KeR ist Kn {x e E:f(x) * g(x)} = {xe K: f(x) =)= g(x)\ eine /i^-Nullmenge. Gemäß 10.2 (3) gilt daher Jj£/dn K = ¡KgdßK. Hieraus folgt die Behauptung durch Übergang zum Supremum über alle K e f i . • 14.4 Satz. Für jede kompakt integrierbare Funktion f:E—> R gilt: 1. / ist fast überall endlich. 2. Ist g eine numerische Funktion auf E, die fast überall gleich f ist, so ist auch g kompakt integrierbar. Ist f überdies integrierbar, so ist auch g intergrierbar und \g dfi = ¡fdfi.

§ 14 Nullmengen und Integration über Teilmengen

105

Beweis. ( 1 ) / ist über jedes KeR /¿K-integrierbar. Nach 10.3 ist somit/auf K nK-fast überall endlich, d.h. K n {|/| = oo} ist eine /^-Nullmenge. Da K e R beliebig ist, folgt hieraus P* ({l/l = 00 }) = 0. a lso i s t //¿-fast überall endlich auf E. (2) Durch Anwendung von 10.3 auf jedes der Maße /iK folgt, daß mit / auch g kompakt integrierbar ist. Zum Beweis der Schlußbehauptung kann dann nach Zerlegung in Positivund Negativteil f ^ 0 und g ^ 0 angenommen werden. Nach 14.3 gilt dann )*f dn = \* g dp. Da /integrierbar ist, folgt hieraus j*gdfi \%fdnB^\*AfdnA,

wie unmittelbar aus der Definition des Oberintegrals für die Maße fiA und (iB folgt. 14.7 Satz. Sei A eine pi-meßbare Menge und f eine auf einer Obermenge von A definierte numerische Funktion. 1. Ist f{x) ^ 0 für alle x e A, so gilt (14.8)

\*fdv = \*fdn A .

A

A

§ 14 Nullmengen und Integration über Teilmengen

107

2. Genau dann ist f über A fi-integrierbar, wenn f über A pAintegrierbar ist. Im Falle der Integrierbarkeit gilt (14.9)

\fdii =

\fdiiA.

A

Beweis. Es kann für beide Aussagen vorausgesetzt werden, daß der Definitionsbereich v o n / d i e Menge A u n d 0 ist. (1) Eine Teilaussage von (14.8) folgt sofort aus (14.7), nämlich die Ungleichung tifd(iA

= \*AfA dnA rg \*EfA dßE =

ftfdfi.

(2) Zum Beweis der dualen Ungleichung sei zunächst vorausgesetzt, daß E kompakt ist. Zu der dann /i-integrierbaren Menge A existiert wegen der Regularitätseigenschaft (9.10) von n eine isotone Folge (Kn) kompakter Teilmengen von A mit sup n(Kn) = n(A). Folglich ist N—A\{jKn eine /i-Nullmenge. Die obere Einhüllende g der isotonen Folge (fK ) ist ^-fast überall gleich fA . Folglich gilt \*fAdli = \*gdli gemäß 10.2. Nach dem Satz von B. Levi ist außerdem $*gdfi = sup

ne N

\*fKdß-

Mit Hilfe von 11.4 und (14.7) erhält man so \ l f d f i = sup {*/*. du = sup HfdßK, S neN

neN

j*fdnA.

Für kompaktes E ist damit (14.8) gezeigt. (3) Der Beweisschritt (2) lehrt für kompaktes E außerdem, daß für /^-integrierbares/ die Funktion/über A /¿-integrierbar ist. Zunächst ist nämlich / über K„ -integrierbar und somit nach 11.5 /¿-integrierbar über K„ für jedes n e N . Wegen der obigen Ungleichung sup !*/*„ du ^ \*fdpA < co neN

ist dann auch g nach dem Korollar 7.2 zum Satz von B. Levi

108

Kapitel II: Integration auf metrischen Räumen

/¿-integrierbar. Da g und f A /x-fast überall gleich sind, ergibt sich die behauptete ¿u-Integrierbarkeit von/über A aus 10.3. (4) Ist nun E ein beliebiger metrischer Raum und K e S\(E), so kann man (14.8) nach dem bereits Bewiesenen auf den kompakten Raum K , das Maß fiK und die ^K-integrierbare Menge A n K anwenden und erhält

\*fdßK= AnK

l*fd»

A n K

.

Ar\K

Man hat dabei nur zu beachten, daß wegen der Verträglichkeitsbedingung (12.1) ß A n K auch das von nK auf AnK induzierte Maß ist. Folglich ist wegen (14.7)

\*fdß=

sup \ * f A d/iK =

A

KeSt(E)

=

K

sup ¡ * f d n

KeSt(E)

A n K

sup l * f d p i K

KeSHE)

AnK

^\*fdnA.

AnK

A

Zusammen mit dem in (1) Gezeigten ergibt dies die allgemeine Gültigkeit von (14.8). (5) Wir beweisen nun die zweite Aussage. Ist/über A //-integrierbar, so ist/, kompakt /i-integrierbar. Dann aber ist/, insbesondere über jede kompakte Teilmenge K von A fiKintegrierbar. Folglich ist / kompakt /^-integrierbar und wegen (14.8) ^-integrierbar. Ist umgekehrt//i x -integrierbar, so ist/sogar über AnK ^An K-integrierbar für jedes K e S t ( E ) . f ist nämlich insbesondere über jede kompakte Teilmenge L von AnK pLintegrierbar; gemäß (14.7) gilt außerdem \*fdnAnK^]fdnA /'(i, x) ¡.i-integrierbar, und es gilt (15.14)

h'(t) = \f'(t, x) ß(dx)

für alle t e I.

Beweis. Zum Beweis der Differenzierbarkeit von h in t0 e / sei (tn) eine gegen t0 konvergente Folge in / mit t„ =t= / 0 für alle « e N . Wir zeigen dann, daß lim

h(tn)-h(t0) t„ — t0

n-.co

existiert und gleich \f'(t0, x) n(dx) ist. Hierzu betrachten wir die Folge (f„) der nach Voraussetzung auf E integrierbaren Funktionen 'n — 'o Diese konvergiert auf E punktweise gegen x i - + f ' ( t 0 , x ) . Außerdem gilt \fn\^g, was man wie folgt einsieht. Nach dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung existiert zu jedem x e E ein zwischen tn und t0 gelegener Punkt T „ei mit f'(*n,x)=fn(x)-

Die behauptete Majorisierung folgt somit aus (15.12). Nun kann der Satz 15.5 auf (f n ) angewandt werden. Danach ist die Funktion (t0, x) ¿i-integrierbar, und es gilt limffnd/j

= jf'(t0,x)jx

(dx).

§ 16 Meßbare Funktionen und Integrierbarkeit

117

Wegen der Linearität des Integrals heißt dies gerade lim M O - ^ o ) = n->co t„ — t0

$f(t0,x)n(dx).

Somit ist h in t0 e / differenzierbar, und es gilt (15.14) in t0. • Der Satz 15.6 bzw. 15.7 enthält 2.1 bzw. 2.2 als Spezialfall, da dort die Majorisierungsbedingung (15.10) bzw. (15.12) wegen der Stetigkeit der Integranden durch eine konstante Funktion g erfüllt ist. Die soeben bewiesenen Sätze werden wir bei der Untersuchung der Stetigkeit und Differenzierbarkeit der GammaFunktion in (17.7), (17.8) anwenden. § 16 Meßbare Funktionen und Integrierbarkeit* In diesem Abschnitt soll die Rolle der meßbaren Mengen bezüglich eines Maßes ß = (/i K ) KeS auf einem metrischen Raum E genauer untersucht werden. Wir benutzen hierzu die im Satz 13.5 eingeführte Bezeichnung 91 (fi) für das System aller /¿-meßbaren Teilmengen von E. Gemäß (13.9) bis (13.11) liegt 0 in (ji); mit jeder Menge aus 91 (n) liegt auch deren Komplement in (ß), ferner ist (ß) stabil bezüglich der Vereinigung und damit des Durchschnitts von Folgen von Mengen aus 91 (/i). Für eine beliebige Menge A c E und jede reelle Zahl a ist die Menge {i A ^ a} eine der Mengen 0, A oder E je nachdem, o b a > l , 0 < a ^ l oder a. ^ 0 gilt. Folglich kann die /¿-Meßbarkeit einer Menge A a } , {/:§ oe} oder { / < a } hätte verwenden können. 16.2 Lemma. Jede der folgenden Bedingungen ist gleichwertig mit der ¡x-Meßbarkeit einer numerischen Funktion/: • R: (16.1) (16.2)

e «Oi) { / > a } e91 (/¿)

für alle a e R ; für alle a e R ;

(16.3)

{/^a}e«(ii)

für alle a e R ;

(16.4)

{/ a} bzw. { / < a} offen, wenn / nach unten bzw. oben halbstetig ist. Offene Mengen sind aber nach 13.2 meßbar. (2) Jede (n-)Treppenfunktion, d.h. jede Linearkombination n

(16.5)

f-=

I i=l

von Indikatorfunktionen meßbarer Mengen Al,...,An mit reellen Koeffizienten a l 5 . . . , a„(n e N ) ist meßbar. Offenbar

§ 16 Meßbare Funktionen und Integrierbarkeit

119

nimmt t nur Werte der Form £ a,- an, wenn dabei / alle Teili ei mengen von {1,..., n} durchläuft. Für jedes a e R ist daher {t ^ a} eine Vereinigung gewisser Durchschnitte der Mengen 0, E sowie Alt..., A„, also stets meßbar. (3) Ist die konstante Funktion 1 auf E /¿-integrierbar - dies ist insbesondere für jeden kompakten metrischen Raum E der Fall - , so ist jede /¿-integrierbare Funktion f:E—+ R auch //-meßbar. In der Tat: Für jedes w e N ist gn : = inf (nf+, 1) eine integrierbare Funktion. Für die Folge (g„) gilt Sn T ^{/>0} und sup o} eine integrierbare Funktion, also { / > 0 } eine integrierbare und somit meßbare Menge.Da m i t / a u c h f—a. für jedes a e R integrierbar ist, folgt { / > a} = {/— a > 0} e 91 (/i). Dieses letzte Beispiel wirft die Frage auf, inwieweit der Begriff der Meßbarkeit zur Kennzeichnung integrierbarer Funktionen herangezogen werden kann. Der folgende Satz und seine Korollare klären diese Frage. Wir gelangen so zu einem bereits in § 13 angekündigten Integrabilitätskriterium: 16.4 Satz. Eine numerische Funktion f auf E ist genau dann kompakt integrierbar, wenn sie meßbar ist und wenn |* |/| d/x < oo für jede kompakte Menge K 0 E

, falls a g O .

Ist aber / S : 0, so setze man für jedes n e N und jedes ie{0,l »2-}

für i = n2". Dann ist (A i n ) i = 0 n2" eine endliche Folge paarweise fremder Mengen aus 31 (/x) und daher "2" • f Jn

— V — x® über ]0, oo[ A1-integrierbar. Ist nämlich a ^ 0 und wäre fa über ]0, oo[ A1-integrierbar, so w ä r e ^ auch über [1, oo[ A1-integrierbar. Nach dem Majorantenkriterium 12.14 (7) wäre dann auch die konstante Funktion 1 über [1, oo[ A1-integrierbar, was n was jedoch sup J 1 dx = oo widerspricht. i Ist a < 0 und wärefx über ]0, oo [ a 1 -integrierbar, so ist nach (4) OL < - 1 . Wegen A1 ({0}) = 0 ist dann die auf [0, 1] definierte Funktion x®, x > 0 + oo, x = 0 A[0> D-integrierbar, was aber 7.3, Beispiel (2) widerspricht. (6) Die Funktionen hjoc > 0) werden - ähnlich wie auf [0, 1] (vgl. 7.3, Beispiel (2)) - als Vergleichsfunktionen im Majorantenkriterium 12.14 (7) herangezogen: Die für ß e R auf [1, oo[ definierte Funktion f : x \ - * e ~ x x ß ist über [1, oo[ A1-integrierbar, denn wegen lim x2e~xxß

= lim e~xx2

+ß

=0

128

Kapitel III: Das Lebesguesche Integral

existiert eine (von ß abhängige) Konstante M > 0, so daß für alle x 1 gilt: e~xx" ^ Mx~2. Nach (4) und dem Majorantenkriterium ist / über [1, oo[ A1-integrierbar. (7) Für ? > — 1 ist die auf ]0, oo[ definierte Funktion f:xt—>e~xx? über ]0, oo[ A1-integrier bar. Dies läßt sich so einsehen: Aus 7.3, Beispiel (3) wissen wir, daß für — 1 < t < 0 die auf [0, 1] definierten Funktionen \e~xx\

x*0

A[0 ! pintegrierbar sind. Für ist g , : x ^ e ~ x x ' stetig und somit A[0,ij-integrierbar. Nach 14.7 ist dann g, für / > — 1 über [0, i] und somit / nach 14.6 (1) über ]0, 1[ -integrierbar. Nach (6) i s t / über [1, oo[ AMntegrierbar, also i s t / nach der Additivitätseigenschaft (14.6) über ]0, oo[ A^integrierbar. Somit ist die reelle Funktion r : ]0, oo [ —»R+ durch (17.3)

r(0~J o

e~xxt~'idx

definiert. Sie heißt Gamma-Funktion. (8) Wir stellen im folgenden einige Eigenschaften der GammaFunktion zusammen: (17.4)

r(i) = i

folgt sofort aus Beispiel (1). Für alle t > 0 gilt (17.5)

tr(t) = r(t

+1),

insbesondere ist nach (17.4) (17.6)

r(n + 1) = n!.

Durch partielle Integration erhält man nämlich für m £ N

§ 17 Beispiele zum Lebesgueschen Integral m

129 m

j e~xx'dx = [-e~xx'~\m + t j e~xx'~1dx, -L ~m m -L m also gemäß 15.3 - e~mnt^

r(t +1) = lim

+ tT(t) = tr{t).

(17.7) r ist auf] 0, oo [ stetig. Zum Beweis sei f(t,x) = e~xx'~1 der Integrand in (17.3) sowie Ax —]0,1[ und A2 — [1, oo[. Dann gilt T = ^ + r2 mit r , ( i ) = j f(t, x) A1 (dx)

A,

(i=l,2;/>0).

Wir zeigen die Stetigkeit von und r2 (und damit von F) in einem beliebigen Punkt t0 e ] 0 , oo[, indem wir den Satz 15.6 über die Stetigkeit Parameter-abhängiger Integrale anwenden. Hierzu wählen wir Zahlen 0 < et < ß derart, daß t^ in ]a, ß[ liegt. Dann aber muß nach 15.6 nur die Existenz von über At iMntegrierbaren Funktionen gt (i = 1, 2) gezeigt werden derart, daß I/O, x)\^gl

(x)

bzw.

I f(t,

x)\Sg2(x)

für alle t e ]a, /?[ und alle xe Al bzw. alle xeA2 gilt. Dies aber ist uns im wesentlichen bekannt: Es gilt nämlich 0 g / ( / , x) ^

1

für (t, x) e ] a , ß [ x A t

und 0 ^ / ( t , x) ^ e~xxß~1

für (t, x) e ]a, ß[ x A2.

Nach 7.3, Beispiel (3) ist aber x\—* gl{x) — e~xx"~i über A{ und nach Beispiel (6) ist xt—>g2(x)~e~xxß~1 über A2 X1integrierbar. Also leisten g l und g2 das Verlangte. Dieselbe Idee liefert mit etwas mehr Rechenaufwand bei Verwendung des Satzes 15.7 über die Differenzierbarkeit Parameter-abhängiger Integrale: r ist auf ]0, oo [ beliebig oft differenzierbar. Es gilt

130

Kapitel III: Das Lebesguesche Integral

r ( n ) (/) = J e-xxt~1 o

(17.8)

(logx) n dx

für alle t > 0 und n= 1 , 2 , . . . . Wählt man nämlich zu t0 > 0 wie oben die Zahlen a, ß, so gilt bei beliebigem n e N

für (t, * ) e ] a , ß[

xA

und | e - ' x 1 - 1 (logx)"| ^ e~xxß-1

i" (log*)"

für ( ; , x ) e ] a ,

ß[xA 2 •

Aus Satz 15.7 erhält man daher die ti-malige Differenzierbarkeit von r in t0 und die Gültigkeit von (17.8) in t = /0 durch vollständige Induktion nach n mit Induktionsanfang n = 0, wo sich (17.8) auf die Definition der Gamma-Funktion reduziert. Man hat nur die Voraussetzung von 15.7 nachzuweisen, daß nämlich die Majorantenfunktionen

über A x und g2:xy-*e~xxß-1(}

ogx)n

über A2 A1 -integrierbar sind. Zum Nachweis der l 1 -Integrierbarkeit von gt über Al schließen wir ähnlich wie in 7.3, Beispiel (3). Zu y—a. — 1 wähle man ein ö e ]0, 1[ mit y + S > 0. Wegen*

* Es ist lim x-0

K)

x° I log - = 0 für Q > 0, wie man durch die Substitution \

x = e~" sofort sieht.

131

§ 18 Vertauschung der Integrationsreihenfolge

existiert dann ein M > 0 mit |g1(x)|^Mx-'5

für alle xe

At.

Nach 7.3, Beispiel (2) und 14.7 ist daher g1 über Al AMntegrierbar. Noch einfacher ergibt sich die l 1 -Integrierbarkeit von g 2 W — x xy (\ogx)n über A2 sogar für beliebige reelle Zahlen y. Auf A2 ist nämlich 0 ^ logx ^ x und somit x vy + r» für x e A . 0^g (x)^e~xx 2

2

Nach dem Majorantenkriterium 12.14 (7) und Beispiel (6) ist daher g2 über A2 l 1 -integrierbar. Schließlich sei erwähnt, daß (17.9) ist. Den Beweis hierfür erbringen wir in 21.8, Beispiel (5).

§ 18 Vertauschung der Integrationsreihenfolge beim mehrdimensionalen Lehesgue-Maß In § 8 haben wir gezeigt, wie sich das Lebesgue-Integral über einen kompakten Quader schrittweise auf Integrale über Intervalle zurückführen läßt und daß diese Reduktion von der Reihenfolge der sukzessiven Integrationen unabhängig ist. Ein entsprechendes Resultat wollen wir nun für die Integration nach dem mehrdimensionalen Lebesgue-Maß beweisen. Wir gehen dabei wie in § 8 vor und zeigen zunächst folgendes Lemma: 18.1 Lemma. Für jede Funktion f : R p + i —»R+ gelten die Ungleichungen (18.1) und

J* {\*f(x, y)l"(dx))Ä'>(dy) ^

\*fdV+«

132

Kapitel III: Das Lebesguesche Integral

J* (f*f(x, y)Aq(dy))A"(dx) ^

(18.2)

\*fdl?+q.

Beweis. Für n e N sei Xn — [ — n, n] p und Y„ •= [ — n, ti\q. Dann gilt für n, m e N nach (8.4) i*

tf*/(*,

{dx))kYSdy) ^

y. X-

fdl

x

^ ^

\*fdX»+\

x Y„

also nach (15.3) \*(\*f(x,y)lXm(dx))l"(dy) = supj* ( £ / ( * , y)XXm (dx))XYSdy) ^ \*fdl> neN " "

+

«

und somit nach dem Satz von der monotonen Konvergenz = j* (sup\*f(x,y)X (dx))l"(dy) meNj*x"( £ / ( * , y)kXm (dx))A«(dy) i = meN sup Xm "

\*fdk'+*.

Ebenso beweist man die Ungleichung (18.2). • Für kompakt integrierbare positive Funktionen gilt in (18.1) und (18.2) schärfer das Gleichheitszeichen: 18.2 Satz. Sei f:Rp+q—>R+ Dann gilt: HR ^ K

)

=

kompakt

Xp+q-integrierbar.

= J* {\*f(x, y)X'{dx))X*(dy) \*{\*f{x,y)V{dy))k>{dx).

Beweis. Für n e N seien wieder Xn = [ —n, n\p und Y„ = [ — n, n\q- Dann gilt nach dem Vertauschungssatz 8.3 ^

f d k ^ = j (J*f(x,

y)AK(dx))AK(dy)

" s j* (£/(*, y)kx[{dx))X^dy)

g J* (¡*f(x,

y)F(dx))Xq(dy)

und somit nach (15.3) \*fdk'+* g i* (\*f(x,

y)k>{dx))V{dy).

133

§ 18 Vertauschung der Integrationsreihenfolge

Zusammen mit (18.1) folgt hieraus die erste Gleichheit. Die zweite beweist man analog mit Hilfe von (18.2). • 18.3 KoroUar 1. Sei f\Rp+q-^R+ sind die auf R 4 bzw. R p definierten y •-> JVC*, y) X" (dx)

und

Xp+q-integrierbar. Funktionen x

Dann

\*f(x, y) Xq (dy)

Xq- bzw. Xp-integrierbar; es gilt Mo4.

'

\fdXp+q =

= f ( J V ( * , y)Xp{dx))Xq(dy) \(^f(x,y)Xq(dy))Xp(dx).

Beweis. Wir zeigen jeweils die erste der Behauptungen, die zweite beweist man entsprechend. Aus (18.3) folgt, daß die Funktion ji—• \*f(x, y)Xp(dx) ein endliches Oberintegral bezüglich Xq besitzt. Definitionsgemäß ist daher nur noch zu zeigen, daß diese Abbildung kompakt A'-integrierbar ist. Gemäß dem im Anschluß an 12.9 Bemerkten genügt es dazu, die Integrierbarkeit über jeden kompakten Quader Y y)Xp{dx) über Y XY-integrierbar ist, da SU

y)Ax, n 6PNMf?/(*> • = sup j fdXx

(dx))XY(dy) xy

^ jfdXp+q

< 00.

•

Analog zum kompakten Fall bezeichnen wir für eine numerische Funktion / auf R p+R sei Xq-integrierbar. Dann ist das aufW+q durch ix, y)

i-+f(x)g(y)

definierte Tensorprodukt f ® g Xp+q-integrierbar, und es gilt (18.7)

¡f®gdXp+q

= \fdXp-\gdXq.

Beweis. Wegen / ® g = / + g+ - f+ g~ - /" ® g+ + f ® g kann f,g^ 0 angenommen werden. Nach 8.4 und der an 12.9 anschließenden Bemerkung ist f ® g kompakt Ap+,-integrierbar, und nach dem Satz von B. Levi gilt: f*f®

gdXp+q = sup j f ® gdXx n e N ^xy,

= 1™ ( j Ä . • i Sdh)

Y

= ]im \fdXXn • lim | gdkYm

= \fdXp - J gdXq < + co, wenn dabei wieder Xn = [ — n, n]p und Y = [ — n, n]* gesetzt wird. Folglich ist f ®g l p+4 -integrierbar, und das Integral läßt sich gemäß (18.7) berechnen. •

§ 18 Vertauschung der Integrationsreihenfolge

135

Wir wenden nun die vorangehenden Sätze auf Indikatorfunktionen an. 18.6 Korollar. Sind A^R" bzw. Bei R« Xp- bzw. Xq-integrierbare Mengen, so ist A x B Xp+q-integrierbar, und es gilt (18.8)

Xp+q(AxB)

=

Xp{Ä)Xq(B).

Der Beweis folgt wegen l A x B = \ A ® i B sofort aus 18.5. Für x e R " bzw. y e R ' und jede Teilmenge A des R p + ? bezeichnen wir mit Ax —

{yeRq:(x,y)eA}

den jc-Schnitt von A bzw. mit den y-Schnitt von A. Dann ist =

und

UA = \ \ A ) .

18.2 und 18.3 liefern daher den folgenden

Schnittmengensatz:

18.7 Satz. Sei A 0 berechnet werden. Wir behaupten W{K , M) = xpr>

(19.1)

(/> = 1, 2,...),

wobei sich der Koeffizient a p zu 1 TT** «2k = TT k\ Ti

(19.2)

» 22k+1 k t k\ rrr JT *2fc + 1 —1 • 3 •... • (2Jt + 1)n = t s(2 k + 1)! für k = 0, 1,... ergeben wird. Offenbar ist dann a p das pdimensionale Volumen jeder abgeschlossenen Kugel vom Radius 1. Die unterschiedliche Darstellung von 0 und alle a e R p erfüllen, durch vollständige Induktion nach der Dimension p. Hierdurch wird sich eine Reduktionsformel für die Koeffizienten a.p und aus dieser (19.2) ergeben. 1. Für p = 1 ist K'r (a) das kompakte Intervall [a — r, a + r\ und somit lp(K'r(a)) = 2r. Also gilt (19.1) für p = 1 mit oij = 2. Für den Induktionsschluß von p auf p + 1 sei K die (p + 1)dimensionale abgeschlossene Kugel um a = (a1,..., ap+1) e R p + 1 vom Radius r > 0 , ferner sei A — [ a p + 1 — r,ap+l + r]. Für jede Zahl y e A ist der ^-Schnitt von K die />-dimensio-

138

Kapitel III: Das Lebesguesche Integral

nale Kugel ry = V r

»K

2

= {(*i.

um

K^(ay)

- ( y - ' a

p + l

) \

ay

e R": £ ¡=i

• • • > xp)

vom

= ( a l , . . . , ap)

Radius

da

=

t

;=l

(xt

( x

t

ad2

-

- a d

2

,)2

+ ( y - ap+

r2}

^

Z r j } .

Für Zahlen } > e R y ist dagegen yK die leere Menge. Nach dem Schnittmengensatz gilt daher ap+

1

( K ) = \

1'fJQl1

(dy)

=j

X" { K p ( a f ) ) l ' ( d y ) ,

A

also nach Induktionsvoraussetzung a

p + 1

( K ) =

" ' ] ' \ r > d y = aip

Die Substitution v — dp schließlich

' f \ r

2

- ( y - a

p + i

)

2

)

p

'

2

d y .

liefert

+ f sin (p mit

0 A£-integrierbare Funktionen geJV°(K) und h € Jtu(K) mit g ^ f ^ h und ¡hdX^-\gdXpK R + eine über A kompakt X"-integrierbare positive numerische Funktion. Dann ist die Ordinatenmenge von f Xp+1-meßbar, und es gilt (19.11)

(A p + 1 )*(0 / )=

A

$*fdXp.

Beweis. Analog zum Beginn des Beweises von Satz 19.3 überlegt man sich, daß es genügt, die Behauptung für den Fall A = R p zu beweisen. Es ist nämlich Oy eine Teilmenge von O^ und O^ \ Oy als Teilmenge einer Hyperebene eine Nullmenge. Meßbarkeit und äußeres Maß ändern sich also nicht beim Übergang von O^ zu Oy. Für n e N bezeichne dann K„ den kompakten Quader [—n, n]p und /„ die Restriktion von inf (/, n) auf K„. Auf jedes f„ kann Lemma 19.6 angewandt werden. Danach ist jede der Mengen Oy Xp+ '-integrierbar und ^HOfn)=ifndlp

=

Kr

l(fn)KdF.

Dann aber ist Oy = (J Or> eine Xp+1 -meßbare Menge, für die wegen der Isotonie der Folgen (Oy-) und (C£)KJ durch Übergang zum Supremum die Gleichheit (A p + 1 )*(0 / ) = \*fdXp (gemäß 15.2 (1) und 15.1 (1)) folgt.

•

19.8 Korollar. Sei A eine beliebige Teilmenge des R p und sei f : A —• R + eine über A X"-integrierbare positive numerische Funktion. Dann ist die Ordinatenmenge vonf Xp+1 -integrierbar, und es gilt (19.12)

Xp+1(Of)=\fdXp. A

Dies ist eine unmittelbare Folgerung aus dem vorausgehenden Satz, da die rechte Seite von (19.11) gleich \AfdXp und

§ 20 Der Transformationssatz

147

somit insbesondere endlich, also O^ eine Ap+1-integrierbare Menge ist.

§ 20 Der Transformationssatz Nach der bekannten, in unserer Darstellung zuletzt in 19.1, Beispiel (1) verwendeten Substitutionsregel läßt sich in Inteb

gralen ]f(t)dt mit stetigem Integranden eine neue Integraa

tionsvariable mit Hilfe von Variablentransformationen einführen. Diese Regel besagt für eine stetig differenzierbare, auf einem Intervall / c: R definierte Funktion (p: /—•R und jede stetige reelle Funktion / auf dem Intervall

' ^ 0 und d a ß / a u ß e r halb des Intervalles [