Mathematisches Wörterbuch: Band 2 L–Z [Unveränderter Nachdruck der 3. Auflage, Reprint 2022] 9783112619209, 9783112619193

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MATHEMATISCHES

WÖRTERBUCH

B A N D II

MATHEMATISCHES WÖRTERBUCH MIT E I N B E Z I E H U N G DER T H E O R E T I S C H E N

PHYSIK

BAND II L - Z Im Auftrage des Instituts für Mathematik der Akademie der Wissensehaften der DDR

bearbeitet und herausgegeben unter Mitwirkung zahlreicher Fachgelehrter von JOSEF

NAAS

und HERMANN

LUDWIG

SCHMIDf

Uliveränderter Nachdruck der 3. Auflage

m AKADEMIE-VERLAG

BERLIN 1984

B.G. T E U B N E R

STUTTGART

© B. G. Teubner Verlagsgesellechaft mbH, Stuttgart 1961 Alle Rechte, auch die der Übersetzung, des auszugsweisenNachdrucks und der photomechanischen Wiedergabe, vorbehalten. Lizenznummer: 202 • 100/416/84 Gcsamtherstcllung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", ¿820 Bad Langensalza Bestellnummer: 7617032 (5319/11) LSV 1007 Printcd in GDR

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INHALTSVERZEICHNIS

Erster Band Vorwort zur zweiten, unveränderten Auflage

IX

Vorwort zur ersten Auflage

XI

Hinweise für die Benutzung

XV

Stichwörter A—K

1—1043

Zweiter Band Stichwörter L—Z Bearbeitete Gebiete und gebräuchliche Symbole

1—935 936—952

H I N W E I S E FÜR D I E BENUTZUNG I. ANORDNUNG D E R STICHWÖRTER 1. Alle Stichwörter des Wörterbuches sind in einer alphabetischen Folge geordnet, der jedoch nicht die Buchstabenfolge des jeweiligen Stichwortes selbst, sondern diejenige seines Stammes zugrunde liegt. Darunter wird hier diejenige Buchstaben- bzw. Wortfolge verstanden, die übrigbleibt, wenn Flexionsund gewisse andere Endungen sowie „eingeschobene Zwischenwörter" des Stichwortes gestrichen werden. So hat z. B. jede der vier Formulierungen denselben Stamm: Euler(s) Produktdarstellung (der) Zetafunktion, Euler(s) Produktdarstellung (für die) Zetafunktion, Euler(sche) Produktdarstellung (der) Zetafunktion, Euler(sche) Produktdarstellung (für die) Zetafunktion, und zwar: Euler — Produktdarstellung — Zetafunktion; die Einordnung des entsprechenden Stichwortes nach der Buchstabenfolge seines Stammes ist eindeutig und von der Willkür der Formulierung (in gewissem Grade) unabhängig. Bei diesem Verfahren ist es z. B. auch gleichgültig, ob das Stichwort „Laplacescher Operator" oder „Laplaceoperator" heißt. In beiden Fällen lautet der Stamm: Laplaceoperator. Die Stämme des ersten und des letzten Stichwortes auf jeder Doppelseite des Wörterbuches sind zuoberst als Kolumnentitel gekennzeichnet. Bei der Einordnung galten ä, ö, ü als a, o, u und ß als ss. Griechische Buchstaben werden hinter den entsprechenden lateinischen eingeordnet, so daß unser Alphabet heißt: a, tx, b, ß, c, d, ö, e, e, j?, f, g, y, h, i, j, «, k, x, 1, X, m, ju, n, v, o, o, co, p, , q, r, ß, s, a, t, r 0, u, v, w, x, £, y, v, z, f. 2. Funktions- und Formelzeichen, die am Anfang oder innerhalb des Stichwortes auftreten, gehören sämtlich zu dessen Stamm, desgl. Variablenbezeichnungen und Indizes, z. B. B-, Br-Verfahren, ch z, (c, y)-transitiv, C-Abbildung, »j-Matrix. Zahlen und Operationszeichen werden so gelesen, als wenn sie ausgeschrieben wären. 3. Bei biographischen Angaben gehört nur der Name, nicht der Vorname zum Stamm des entsprechenden Stichwortes.

II. H I N W E I S Z E I C H E N > bedeutet Hinweis auf das nachfolgende Stichwort.

III. M E H R E R E STICHWÖRTER FÜR E I N E N B E G R I F F Gibt es für einen Begriff mehrere Bezeichnungen (Stichwörter), so erfolgt die Erklärung möglichst unter dem gebräuchlichsten von ihnen. Die anderen werden unmittelbar dahinter in Klammern und in Kursivschrift angeführt, z. B. R e g e l f l ä c h e (Geradlinige Fläche). „Geradlinige Fläche" wird an entsprechender Stelle noch einmal als Stichwort aufgeführt. Die Identität wird jedoch diesmal durch ein Gleichheitszeichen hervorgehoben: G e r a d l i n i g e F l ä c h e = Segelfläche.

IV. E I N STICHWORT FÜR V E R S C H I E D E N E B E G R I F F E Verschiedene Bedeutungen desselben Stichwortes werden entweder als Punkt 1., 2 bzw. I., I I . , . . . in demselben Artikel erklärt oder, bei völliger Verschiedenheit der Begriffe, durch obere Indizes gekennzeichnet und in gesonderten Artikeln erläutert, z. B. Komplex 1 (Mengenlehre), Komplex 2 (kombinatorische Topologie), Komplex 3 (Gruppentheorie), Komplex 4 (Liniengeometrie).

V. A B K Ü R Z U N G D E S STICHWORTES Im erklärenden Text wird ein Stichwort durch seine(n) Anfangsbuchstaben abgekürzt; diese Abkürzung gilt für alle Flexionen des Stichwortes.

L > bedeutet Hinweis auf ein Stichwort

Labil. Ein Metrischer Raum R heißt ]., wenn es zu jedem e > 0 eine e-Deformation (>Homotopie) von R in sich gibt, die R in eine echte Teilmenge von R überführt. Ein nicht 1. metrischer Baum heißt stabil. Ein Punkt p eines > topologischen Baumes R heißt 1., wenn es zu jeder > Umgebung U(p) von p eine Deformation von R in sich gibt, die jedén Punkt von R — U(p) festläßt, U(p) in sich deformiert und R in einen echten Teil von sich überführt. Die Bandpunkte einer berandeten ^Mannigfaltigkeit 1 sind z. B. 1. Punkte. Labiles ^Gleichgewicht. Labile Lösung Stabilität im Sinne von Ljapunow (und Verallgemeinerungen). Labyrinthproblem. Es soll eine Methode angegeben werden, vermöge der man zu jeder Stelle eines Labyrinths gelangen kann, ohne den Plan des gesamten Labyrinths zu kennen. Die erste Lösung stammt von Wiener. Wird das Labyrinth als > Graph dargestellt, so handelt es sich darum, >Wege zu konstruieren, die jede Kante wenigstens einmal durchlaufen. Lacroix, Sylvestre François (1765—1843). Der als Lehrer gefeierte L. ist Verfasser geschickt gearbeiteter und leicht lesbarer Einführungen in die damals üblichen Gebiete der Mathematik, die zwar bewußt der letzten Strenge ermangeln, jedoch zahlreiche methodische Verbesserungen gegenüber der älteren Auffassung bringen — vor allem auf dem Gebiet der analytischen Geometrie (volle Gleichberechtigung der Achsen). Werke: Cours de mathématiques, Paris 1796—99; — Essais de géométrie sur les planes et les surfaces courbes, Paris seit 1796; — Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Paris 1800, 2. Aufl.; — Traité du calcul de la probabilité, Paris 1816, 4. Aufl. 1833, dtsch. Erfurt 1818. — Rapport historique BUT les progrès des sciences mathématiques depuis 1789 . . . , Paris 1810.

Ladung, elektrische, die Elektrizitätsmenge Q, atomistisch die unter Berücksichtigung des Vorzeichens gebildete Summe der •Elementarladungen Q — E + e. Es gibt Ladungen zweierlei Vorzeichens. Vorzeichen und Größe ergibt sich aus dem Coulombschen Gesetz für die Kraft zwischen zwei Ladungen: ff =

Coulombsches Gesetz in verschiedenen. Maßsystemen. Ladungen, magnetische, •Magnetisierung. Ladnngsaustausch. Es ist sehr wahrscheinlich, daß die Wechselwirkung zwischen Protonen und Neutronen wesentlich aus einem Austausch der Ladungen besteht: Die phänomenologische Beschreibung dieser Wechselwirkung liefert die > Heisenbergkraft. Eine tiefer begründete Beschreibung basiert auf der •Mesonentheorie der Kernkräfte: Die •Nukleonen erzeugen und tauschen Mesonen miteinander aus. Da die Mesonen auch geladen sein können, hat dies auch einen Austausch von Ladungen zur Folge. •Kernkräfte, •Absättigung der Kernkräfte. Ladungsdichteoperator. In einem komplexen Feld, dessen Bewegungsgleichungen aus einem Variationsprinzip

ö Jz(y>, y',-^,...Jdr

=0

hergeleitet werden sollen, kann man durch aÜ. dx,

a3? dx,

eine Viererstromdichte bilden, wenn L invariant gegen die > Eichtransformation ist. iß ist der bei der Eichtransformation eingeführte Ladungsoperator, dessen Eigenwerte die Ladungen der Felder bestimmen (iß = e im •Elektronenwellenfeld, •Quantenelektrodynamik). Die vierte Komponente s t ist die Ladungsdichte bzw.,

wenn man

duroh Quantisierung (•Quantentheorie der Wellenfelder) die yi und v>* durch Operatoren ersetzt, der L. In der Quantenelektrodynamik wird er einfaoh eip* y> (v> = •Spinoren, •Diracsch.i Wellen-

Ladim gsdichteoperator

2

und gibt 1760 die erste methodische Behandlung gleichung). Seine Eigenwerte sind die mögliohen der Variationsrechnung; als Beispiele erscheinen Meßwerte der Ladungsdichte. Der Operator der Gesamtladung Q = e f y>* y> dr (Integration über (Druck 1762) die partiellen Differentialgleichungen der Minimalflächen und der abwickelbaren Fläden Raum) hat die Eigenwerte chen. Später vollendet L. die Entwicklung der ö = Ne (N = 0, ± 1, + 2 , . . . ) . Grundlagen (Lagrangesches Variationsproblem, > > Löchertheorie. Variationsableitung, 'Multiplikatorenregel, > EuLadungseigenwerte 'Ladungsdichteoperator. lersche Differentialgleichungen eines VariationsLadungskonjugation Antiteilchen, 'Diracsche problems). 1766 setzen die großen zahlentheoretischen Arbeiten ein, die mit dem Existenzbeweis Wellengleichung. für die Lösung der Gleichung 7? — p y* = I beLadungsspin = >Isotoper Spin. Ladungssymmetrie. In grober Näherung wirken ginnen und 1767 in die >Theorie der ''quadratischen Formen und zu den Kettenbrüchen führen. zwischen allen Wukleonen dieselben 'Kernkräfte. 1768 entwickelt L. die Reihe zur FunktionsDem muß eine Theorie der Kernkräfte Rechnung umkehrung, 1772 die Methode zur Auffindung tragen. Daher muß sie gegen Drehungen im Isoversteckter Perioden und behandelt lineare topen Spinraum invariant sein. 'Mesonen theorie partielle Differentialgleichungen, 1773 dreifache Integrale und krummlinige Koordinaten, der Kernkräfte. 1784 das arithmetisch-geometrische Mittel (>Gauß Ladungswolke, häufig gebrauchte Bezeichnung 1797). Die Interpolationsformel (^Waring 1779) für die Größe e|y(r)| 2 der Quantentheorie: Man erscheint 1794, die Darstellung des Restgliedes a kann die Wahrscheinlichkeitsdichte |v| auch als der ' Taylor-Reihe durch ein bestimmtes Integral Teilchendichte auffassen, wenn man den statisti1797. Gleichzeitig entwickelt L. die Beziehung schen Charakter beachtet. des Additionstheorems der Elliptischen FunkLadungszahl = Kernladungszahl. tionen zur sphärischen Trigonometrie und die La Faille, Charles de (1597—1652). Der vläRückführung der ebenen Trigonometrie auf den mische Jesuit La F. bestimmt den Schwerpunkt Kosinussatz allein. 1801 folgt Abschließendes +

q). können mit Hilfe Lagrangescher Multiplikatoren A, (•Multiplikatorenregel) berücksichtigt werden. Man erhält dann die L. B. 2. Art vom, gemischten Typus BT d_{3T\_ Qi + Z Ka>i> dt \ dqj 8=1 aus denen sich zusammen mit den Nebenbedingungen die qi und Xt als Funktionen der Zeit bestimmen lassen. Für die Zwangskräfte folgt t=l n

Ihre virtuelle Arbeit öA = £ öqi ist Null. »=l Diese Form der L. B. kann man auch benutzen, wenn man holonome Bedingungen nicht eliminieren oder den von einer solchen Bedingung ausgeübten Zwang berechnen will. Erste Integrale der L. B. 2. Art heißen Differentialgleichungen 1. Ordnung der Form F(t, q, q) = c (>Bewegungsgleichungen der klassischen Mechank). Ein erstes Integral stellt der •Energiesatz dar. d ( dL\ BL Die einfache Form — „. I — _ = 0 der L. B. dt \ Bqi / 3qi 2. Art bleibt in gewissen Fällen auch dann be-

Lagrange Bewegungsgleichung 2. Art

4

stehen, wenn die am System wirkenden Kräfte von den Geschwindigkeiten abhängen (Beispiel: Lorentz-Kraft, Potential). ,T , _ . . . . , ... , „ g ng d ftT868 ' ZykhSChC K°°r" Lagrange(-Cauchy)sche Ungleichung 'Cauchysehe Ungleichung. Lagrangesche Differentialgleichung = >d'Alembertsche Differentialgleichung. Lagrangesche Differentialgleichungen eines Variationsproblems 'Eulersche Differentialgleichungen eines Variationsproblems. Lagrange-Eulersche Bewegungsgleichungen, eine für 'nichtholonome Koordinaten (bzw. nichtholonome Geschwindigkeitsparameter) verallgemeinerte Form der 'Bewegungsgleichungen, die im Falle holonomer Geschwindigkeitsparameter ««i _ . in die 'Lagrangeschen Bewegungsgieichungen 2. Art und im Falle der Bewegung eines 'starren Körpers um einen festen Punkt, bei Wahl der nichtholonomen Eulerschen Drehkomponenten p, q, r in die 'Eulerschen Kreiselgleichungen übergehen. Der Name L.-E. B. rührt von Hornel her. Lit.: 'Nichtholonome Koordinaten. Lagrange-Funktion 'Kinetisches Potential, 'Grundfunktion eines Variationsproblems. Lagrange Gleichungen 'Variationsableitung. Lagrangesche Gleichungen für den 'Stoß. Lagrangesche Identität. Für zwei zueinander adjungierte Differentialausdrücke ('Differentialausdruck, linearer) n-ter Ordnung -0

und

n L[y] --- £ (— 1)" [p,(x) y](a) + *™0 eine

nichtsinguläre Lineartransformation 2 » Größen »(«), »'(a), . . . t ( n _ 1 ) ( 6 ) M _, = ^E t/V» v < u '( a ) + 0,01 log n k- 1

gilt. Hieraus folgt, daß kein Lagrangesches Interpolationsverfahren gleichmäßig in [a, 6] jede stetige Funktion f(x) darstellen kann (G. Faber). Wählt man als n-te Zeile der Grundpunktmatrix die Nullstellen ¿des >Tschebyscheffschen Polynoms Tn(x), dann gibt es sogar eine stetige Funktion /, für welche Ln(x;f) für jedes x 6 [—1, + 1 ] divergiert (G. Grünwald und J. Marcinkiewicz). Ist das Grundpunktsystem streng normal ('Hermitesches Interpolationsverfahren), dann gilt An(x) = O ( j f n ) gleichmäßig im Interpolationsintervall (L. Fejer). Wählt man als n-te Zeile der Grundpunktmatrix die Nullstellen des orthogonalen Polynoms p„(x), welches zur Gewichtsfunktion w(x) im Orthogonalitätsintervall [—1, + 1 ] gehört ('Orthogonalsysteme von Polynomen), dann gelten folgende Abschätzungen : a) Wenn v:{x)

m > 0, dann gilt in (0,1)

An{x) g

Bnm(\—x*)~m

(G. Grilnwald und P. Turdn). b) Es sei in [«,,&]] C(—1, + 1 ) 0 < m g u-(x) ^ M

und

\pn(x)\ g K ,

dann gilt gleichmäßig in jedem echten Teilintervall von (a,, 6j) I I W * ) I = O (1) und Z\lkn(x)\ = O(logn) »in «(«„»,) *= 1 (G. Freud). Aus diesen Abschätzungen folgen in üblicher Weise Konvergenzsätze. Die Bedingungen b) sind für * Jacobische Polynome mit a > — 1, ß > — 1 in jedem echten Teilintervall [a,, £>,] von [—1, + 1] erfüllt. 'Interpolation im komplexen Gebiet, 'Feine Interpolationstheorie, 'Mechanische Quadraturverfahren, 'Gauß-Christoffelsehe mechanische Quadraturformel. V. L. Gontscharow, Theorie der Interpolation und Approximation von Funktionen, Moskau 1954 [russ.).

Lagrangesche interpolatorische Grundfunktionen 'Lagrangesche Interpolationsformel. Lagrangesches Kettenbrucliyerfahren. Um eine positive Wurzel x„ einer reellen Gleichung f(x) = 0 mit nur einfachen Wurzeln anzunähern, die zwi-

schen den beiden ganzrationalen Zahlen e0 und e0 + 1 liegt, setzt Lagrange x0 = e0 + l/xl. Dann gilt für x1 die Gleichling

... +

+

1!

n!

= 0 .

Hat diese eine zwischen den ganzen Zahlen e1 und -)- 1 liegende Wurzel x,, setzt man x, = e, + l/ar2 u n d so fort. Die Näherungsbrüche des Kettenbruches x = e0 + 1 c, + 1 e. + 1 liefern dann Näherungswerte für ^x 0 , die abwechselnd kleiner und größer als x0 sind. Die Methode wurde später auf komplexe Wurzeln übertragen. Lagrangcscher Klammerausdruck für 2 n Funktionen X'(u, v), Pi(u, v) ist definiert durch |u v] -

c P i

8Xi

eP
, (m, v)) = 0 . Ferner gilt (?i> ?;) = 0, (Pi, pf) = 0 , = 0 für i =t= j (?,-. P j ) = « 5 , , j = 1 f ü r . = • Die kanonischen Differentialgleichungen ?,• = dH/dPi,

h = ~

dH/dqi

erhalten damit die Gestalt g,- = (},-, H), p,- =« (pj, H).

6

Lagrange Klammer Mechanik Drückt man i¡¡ und mit Hilfe der kanonischen Gleichungen durch die •Hamiltonsche Funktion H aus, so lautet die vollständige zeitliche Ableitung einer beliebigen Funktion t): du/dl = (u, H) + Bu/Bt. Für H selbst gilt dUjdt = BH/dt. Für jedes von der Zeit unabhängige erste Integral p ; ) — c (c konstant) der kanonischen Bewegungsgleichungen gilt ( F , H ) = 0. Sind F — cx und O — c2 zwei zeitunabhängige erste Integrale der kanonischen Gleichungen, so ist auch (F, 6) = Cj ein (nicht notwendig neues) Integral dieser Gleichungen. Zwischen den Lagrangeschen und den Poissonschen Klammern bestehen die Beziehungen 2n u Z K » «Multiplikatorenregel. Lagrangesche Parabel > Lagrangesche Interpolationsformel. Lagrangesche Polynome sind Polynome Qn(x' V) = I

y»->

mit der erzeugenden Funktion (1 -* 1 und (a)0 = 1; entsprechendes gilt dann für (/?)„_,. J. L. Lagranoe, Oeuvres 2, 173—234 (1868).

Lagrangesches Prinzip d^Alembertsches Prinzip. Lagrangescher Raum Verallgemeinerte Koordinaten. Lagrangesche Reihe >Bürmann-Lagrangesche Reihe. Lagrangesche Resolvente einer algebraischen Gleichung. Lagrangeschc Resolventen in der elementaren Zahlentheorie soviel wie > Gaußsche Summen. Lagrangesches Restglied •Taylorsche Formel. Lagrangesches Reversionstheorem. Es sei z = y + xf(z); f(z) sowie F(z) seien gegebene Funk-

tionen von z, die in Bereichen, die den Nullpunkt umschließen, analytisch sind und x, y unabhängige Veränderliche. Nach dem R. von Lagrange gilt dann in einem gewissen Konvergenzbereich die Entwicklung: F{z) = F(y) + x F'(y) j(y) + *

^[*"(*)

(/(j/))2]

1. Anwendung auf die >Keplerache Gleichung mit f(z) = sin z : z = y + x sin z (mit z = E, x = e, y — M). F(z) = z gibt die Reihenentwicklung E = M + e sin M + > e2 sin 2 M + i e3 (3 sin ZM — sin M) H

.

2. Zur Berechnung der exzentrischen Anomalie E aus der mittleren M: F(z) = (1—e cos z)~2 führt auf die > Mittelpunktsgleichung v — M = i (8e—e 3 ) sin M + J e2 sin 2 M + JJ e3 sin 3 M H

.

Diese Reihen konvergieren für alle reellen M und 0,6627434. L. Bieberbach, Lehrbuch 2. Aufl. 1923, S. 192 ff.

der

Funktionentheoric,

I,

Lagrange, Satz von1. In einer endlichen Gruppe 64 sind Index und Ordnung jeder Untergruppe Teiler der Ordnung von Lagrange, Satz von2. Jede natürliche Zahl n läßt sich als Summe von vier Quadratzahlen darstellen : n = + + x\ + xl; diese Lösung des einfachsten Falles des > Waringschen Problems wird nach Lagrange benannt. Da alle Zahlen der Gestalt 4* (8 y + 7), mit ganzrationalen x S 0, y S 0, nicht als Summe von drei Quadraten darstellbar sind, gilt also für die zugehörige Basisordnung und asymptotische Basisordnung (•Summenmenge) ¡7(2) = (7(2) = 4 ; jede andere Zahl läßt sich dagegen als Summe von drei Quadraten darstellen. Jede Zahl (und nur eine solche), die keinen Primteiler p = 3 (mod 4) in ungerader Potenz enthält, läßt sich sogar als Summe von zwei Quadraten darstellen. Die Lösungsanzahlen der > diophantischen Gleichungen n = x j + z , bzw. n = x\ + x\ x\ bzw. n = x[ + xl + x\ + xl lassen sich durch Teileranzahlen genau bestimmen. Lagrangescher Satz über periodische Kettenbrüche. Eine regelmäßige •Kettenbruchentwicklung einer quadratischen Irrationalzahl ist stets periodisch. (Umgekehrt stellt auch jede periodische regelmäßige Kettenbruchentwicklung eine quadratische Irrationalzahl dar.) Lagrangesches Variationsproblem heißt gewöhnlich ein Variationsproblem mit einer Grundfunktion L(t,xi,x{), i — I , . . . , n , und m Differen-

7

Laguerre Geometrie Kugelraum

tialgleichungcn (nichtholonomcn 'Bedingungen für mechanische Systeme) Lagrangeschen Bewegungsgleichungen 2. Art. Jedem Punkt t j der Bahnkurve des Massenpunktes P( wird durch die virtuelle Verrückung ÖT({t), dt = 0 in jedem Augenblick ein Punkt r i + Laguerresche Polynom ez n!

d? dzn

Laguerresche Geometrie des Kugelraumes 'Liesche Geometrie der Kugeln.

Laguerre Kettenbruch Laguerresclier Kettenbruch heißt der >Kettenbruch 2 + 1 \f

2

p* — 2 (2-2+ l)z

2p

1

+ i| Z—p

+

3z

+,

+

(2 n + 1) z

Laguerresches Näherungsverfahren. reelle Gleichung f(x) = an x n

+ oB _!

x"- 1

+ ••• +

Hat

die

x1 + a0 = 0

mit L%(z) = 1 , Lf (2) = a + 1 — 2 .

Sie haben u. a. die Erzeugende Funktion e -zt/(l-t)

«

und es gilt die Orthogonalitätsrelation 0, m+M / « - ' i * L*(x)L*(x)dx

=

nur reelle, voneinander verschiedene Wurzeln bezeichxl < x 2 < • • • < xn und liegt x zwischen x^ und Als (verallgemeinerte) Laguerre-Funktionen x net man die Lösungen der Laguerreschen Diffek+i> 8 0 genügen die beiden Werte rentialgleichung X, X' = z y" + (« + 1 — 2) y' + v y = 0 nf(x) bei beliebigen Parametern a, v, die in ihrer Ge/'(*) ± / ( » — l)"/'(x)» — 1. (» — 1) /(X) /"(») samtheit identisch sind mit der Gesamtheit der den Ungleichungen konfluenten hypergeometrischen Funktionen oder Whittakerschen Funktionen und somit darstellbar Xi < X < x < X' < xt+1 . Sie können als erste Näherungswerte für Xf. und xt + i dienen, aus denen man mic der gleichen Formel fortlaufend bessere Näherungen gewinnt. Die sämtlichen Wurzeln der Gleichung liegen innerhalb der beiden Schranken X, X' = n— X a n

[—«„_! ± ]/(n — l ) 2 o i . 1 - 2 n ( i i - l ) o n o „ _ 2 ] .

&(a,c;z),

W(a,c;z)

der zweiten Art.

''Klassische

sind d u r c h

die F u n k t i o n e n

Laguerrescke

Funktion

(c = 1 + a, a = — v) oder MXtß (z) und WXj/4, (x = v + -§- (a + 1), n =-1- a ). Im Falle v = n — 0, 1, 2, . . . bezeichnet man eine von der Polynomlösung L%(z) linear unabhängige Lösung als orthogonale Polynome, > Nullstellen der klassischen orthogonalen Polynome, > Asymptotik der klassischen orthogonalen Polynome.

Magnua-Obcrhettinger, Formeln u n d Sätze für die spe-

Laguerresche Polynome ( Tsckebyscheff-Laguerre-ziellen Funktionen der mathematischen Physik, Berlin Polynome, Kummersche Polynome). D i e (verallgemeinerten) L . P . L%(z), n = 0, 1, 2 , . . . , s i n d

definiert durch e -±-±-{e -*zn i! dz n

L*n {z) =

>

+ k

+ Dn tf>(— n, a +

n - f a\ (—2)* ifc!

=

o\n—k)

1;2).

Für a — 0 schreibt man Ln (z), diese Polynome w e r d e n a l s Laguerrescke

Polynome im engeren Sinne

bezeichnet. Es ist

«•»-'-CMDS-Of

+• 2

Lb(Z) = 1, L,(z) = 1 - 2 , Lz (z) = 1 - 2 2 + { 2

Sie sind Lösungen der konfluenten > hypergeometrischen Differentialgleichung 2 y" + (1 + a — z) y' + n y = 0 (Laguerrescke

Differentialgleichung),

die durch die Substitution y = 2 - ( i + «>/2 e*P u, fc = » +

(a + 1)

>

in die Whittakersche Differentialgleichung 2

2

u" + (— i + ik z~i + -J- (1 — a ) 2" ) u = 0

übergeht, und genügen der Rekursion (n + 1) LS + 1(«) — (2 » + « + 1 — «) K(z) + (»+-«)L*_1(z)=0 n = l,2,...

1948, S. 108 ff. und 124 ff. — Erdclyi-Magnus-OberHetlinger- Tricomi, Higher transcendental fonctions, New York-Toronto-London 1953, 1, S. 268 u. 2751,1, S. 188ff. — O. Volk, Math. Ann. 86, 296—316 (1922). —, Ober die Entwicklung komplexer Funktionen nach den Hermiteschen und Laguerreschen Funktionen, Lietuvos Universiteto mutematikos—gamtoa Fakulteto Darbai, Mémoires de la Faculté des Sciences de l'Université de Llthuanie. Kaunas, J a h r g a n g 1923 (1925).

Laguerresche Speergeometrie \Speergeometrie der euklidischen Ebene. Laguerresche Transformationen von Speeren > Speergeometrie der euklidischen Ebene. Laguerresche Transfonnationsgruppe (Gruppe von Laguerre) 1. im Kugelraum >Liesche Geometrie der Kugeln. 2. im Speerraum > Speergeometrie der euklidischen Ebene. Laguerresche Winkelformel. Der euklidische Winkel

magische Quadrate (1705) ist kompilatorisch. In "der Académie betont La H. den nationalfranzösischen Standpunkt und stützt deshalb * Rolle in der Auseinandersetzung m i t >Leibniz (1700—07). Lit. über Leben u. Wirken: K. Lehmann, Leipzig 1888, 1890. Vgl. lt. Talon in Hcvue d'hist. des sciences 6, 93—111 (1953). Werke: Theorie des coniques, Paris 1072: — Nouvelle Methode en géométrie pour les sections des superficies coniques et cylindriques. Parie lf>73; lIcifügunR (1074) Pianiconiques: — Nouveaux éléments des sections coniques, Paris 1679, engl. London 1704; — Sectiones eonicae, l'uris 1685.

LakunäreOrüiogonalsy steine. Ein (in L2) normiertes und orthogonales System von Funktionen {ç>„} heißt

lakunär von der Ordnung p (2 < p < oo),

einige Z y k l o i d e n p r o b l e m e d e s

>

Pascalsehen Preis-

ausschreibens. Vergeblich setzt er sich gegen Paseals (ungerechtfertigte, jedoch für die Zeitgenossen maßgebliche) Kritik zur Wehr, so daß die inhaltsreiche Schrift von 1660 unwirksam bleibt, obwohl >Fermat zu ihr wertvolle Rektifikationsund Komplanationssätze beigesteuert hatte. Werke: Quadraturu. circull et hyperbolae scKmentoruin, Toulouse 1651; vgl. O.Kropp, Berlin 1950 (üiss. 194a); — Veterum geometria promota in Septem de cycloide libris, Toulouse 1660.

Lamb, Sir Horace (29.11. 1849—4. 12. 1934). Wirkte in Adelaide (Australien), Manchester und Cambridge. Bedeutende Beiträge auf den Ge.bieten der Hydrodynamik und der Elektrodynamik. Lambdafunktion von Hcuman. Sie läßt sich durch die elliptischen Normalintegrale F(, k) 1. bzw. 2. Gattung (»Elliptische Integrale) und die »vollständigen elliptischen Integrale K und E 1. bzw. 2. Gattung in der folgenden Weise definieren

wenn { 2 R (2 = Winkelsumme im Dreieck) auf der Kugel verwirklicht ist und vermutet die Existenz der Geometrie ZBeltrami 1868). Sein Streben nach größtmöglicher Strenge beim Aufbau der höheren Analysis (1762) bleibt unbeachtet. L. ist ferner der Begründer der mathematischen Photometrie (Augsburg 1760), arbeitet über die Kometenbewegung (Augsburg 1761 u. ö.; Lambertsches Theorem) und kosmologisehe Probleme (Augsburg 1761, frz. Berlin 1770 engl. London 1800). Nachlaß u. Briefwechsel: Vgl. M.Sterk, Forschungen u. Fortselir. 80, 39—44, 71—74 (1956); — Monatsbuch, ed. K. liopp, Abli. baver. Akad. Wiss., math.-phys. Kl. 27, Nr. 6, München 1916. W e r k e : Opera mathemntica, cd. A. Speiser, Zürich seit 1946; — Deutseber gelehrter Briefwechsel, ed. J. liernmilli, Berlin 1781—84 (5 Bde.); — I)ic freye Perspektive, Zürich 1759 (auch frz.), 2. Aufl. 1774, ed. M. Steck, Berlin 1943; — Beyträge zum Gebrauch der Mathematik, Berlin 1765—72 (4 Bde.); — Zusätze zu den logarithmisch-trigonomctrisehen Tafeln, Berlin 1770; — Neues Organon, Leipzig 1764 (2 Bde.); — Anlage zur Architektonik, Kiga 1771 (2 Bde.).

Lamberts kartographisch« Entwürfe. 1. J. II. Lamberts flächentreuer azimutaler kartographischer Entwurf. Abbildungsgleichungen: r' = 2 sin (n¡i — rp/2),

5. J. H. Lamberts winkeltreuer (echter) Kegelentwurf mit zwei längentreuen Breitenkreisen

Länge. Es ist ein > flächentreuer, •azimutaler, nicht-^perspektivischer Entwurf. mit Ay = £ c Laplacesche Differentialgleichung (für n = 3) 2*

2

y

1 1 1 \ + —I + + y' 2 la; — a. x — a, x — aj Ax + B

•y = 0 ;

4 (x —aj) (x — a2) (x—a3)' durch x = y>(|) + + a 2 + a3) (wobei ¡?(f) die Weierstraßsche '^-Funktion ist, die der Differentialgleichung jp'2 = 4 (fp — e,) (¡p — e2) (jp — e3) mit et = Iii — -i- (a1 + a 2 + a3) genügt) und y(x) — rj(t;) in ihre Normalform (3) tj" + [A jf»(f) + £ ] » , = 0 (Weierstraßsche Form der L. D.); durch x — a2 > a3 und k* = ( a 2 — a 3 )/(ai — a3)), y(x) = j j * ( f * ) in (4)

+ k*Asn*(i;*,k)

+ a

* A "l

+

B

«3

: 0

(Jacobische Form der L . D.). D i e L . D. (2) besitzt die vier Stellen der Bestimmtheit alt a2, a3, oo; sie läßt sich durch lineare Transformation der komplexen »-Ebene auf die > Heunsche Differentialgleichung zurückführen. Die L. D. in der Gestalt (3) ist eine ^ i l l s c h e Differentialgleichung — allerdings entsprechend der Eigenschaft von j?(f) i. allg. mit komplexen Perioden. Eine tiefgehendere Untersuchung der L. D. ist besonders im Falle A = — n ( n + 1) und B = — A erfolgt (» ganze Zahl ¡ä 0), die Lösungen dieser >Lamesche Differentialgleichung heißen dann Funktionen. Eine verallgemeinerte Form der L. D., die oft auch als L. D. oder Lamesche Wellengleichung bezeichnet wird, tritt bei der Separation der Wellengle.ichung in elliptischen Koordinaten entsprechend der obigen Darstellung auf; im Unterschied zu (1) ist das letzte Glied von der Gestalt — ^

(Cz* + Az* + B) z2 -

(z2 — a j (z2 — Landau, Satz von. Landau, Satz von. Wenn die Funktion f(z) = a 0 + a„z B -f a n + 1 j " + 1 H («„4=0) in |z| Inertialsystem" und „Inertialzeit", womit er die Frage, in welchen Bezugssystemen die klassische Mechanik gültig ist, löste. 1902 entwickelte er die mathematischen Grundlagen zur Lösung eines der Hauptprobleme der modernen Himmelsmechanik, das den Übergang von dem empirischen astronomischen Koordinatensystem, in dem die Himmelsmechanik nur angenähert gültig ist, zu einem Koordinatensystem, in dem sie streng gilt, zum Inhalt hat. Wichtige Schriften: ü b e r die wissenschaftliche Fassung + M

Da für die Planetenbahnen die Bahnneigung t meist klein ist, kann der Unterschied A—L (A = heliozentrische Länge) in eine Reihe entwickelt werden, die man Reduktion auf die Ekliptik nennt; diese ist: A — L = — tg 2 • sin 2 u + tg'-j-- sin 4 » ± • • • . Länge (eines Bogens) •Bogenlänge. Länge auf der Ekliptik •Koordinatensysteme, astronomische. Länge, geographische, eines Erdpunktes heißt der Winkel, den seine •Meridianebene (Ortameridianebene) mit einer als Ausgang der Zählung angenommenen Meridianebene bildet. International werden alle geographischen Längen von der Meridianebene (eines markierten Punktes) der Sternwarte Greenwich bei London aus gezählt. — Der Winkel zwischen zwei Ebenen die die kleine Achse des Erdellipsoids enthalten, trägt die Bezeichnung ellipsoidische L. Länge einer Kette •Dimension, verbandtstheoretische. Länge eines konvexen Rotationskörpers •Rotationskörper. Länge einer Kurve (Bogenlänge). 1. •Bogenlänge, 2. in einem

metrischen

Raum

R.

f(t), a g ( g jü,

sei eine Parameterdarstellung einer stetigen Kurve C des metrischen Raumes R und 3 : a = i)

x = l . In **

+

y = c nrctg-1. c

Man erhält A0 _H±ül(®ei + * c

A«P = —8 [1 + 2 e " - 1 cos ( » — 1) ^ + e « » " « ] - » n

x

+

+ ^r

Die Kurven £ = £„ (— oo < £ 0 < + oo) und V = 'lo (— oo < »;0 < -(- oo) sind längs der x-Achse

•

Den Kreisen e = ^ Po < 0 0 ) ' n der (x, y)Ebene entsprechen Epizykloiden in der (£, ^)-Ebene, deren orthogonale Trajektorien den Geraden ip — — c, — e > n > — b, — b > v .

YfW

»

(A— p) (A —v) 3A (j«—¿)(/=4

(YIW&Ù

+

( l Ì M ^ )

WW H - M X - -v)

Man hat wieder ein dreifach orthogonales System von konfokalen Flächen zweiter Ordnung. Einführung Weierstraßscher elliptischer Funktionen: Setzt man

(2)

du

=dA/Yfß),

dv =

dfilYJÜT)

dw =

so geht (1) über in 4 A

— e, — c > A > — b, — 6 > n > — a. S e t z t man

(t> + e) (e + e ) , = (b — a) (c — a) (c — 6)