Mathematik Neue Wege SII. Qualifikationsphase eA Leistungskurs: Arbeitsheft mit Lösungen. Niedersachsen: Sekundarstufe 2 - Ausgabe 2017 3507887622, 9783507887626

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MATHEMATIK NEUE WEGE Qualifikationsph ase erhö htes Anforderungsniveau Herausgegeben von: Henning Körner, Arno Lergenmüller, Prof. Günter Schmidt, Martin Zacharlas Erarbeitet von: Henning Körner, Oldenburg; Arno Lergenmüller, Roxheim; Martin Zacharias, Molfsee Zu diesem Schülerband sind lie ferbar: Lösungen 1 978-3-507 -88745-9 Lösungen 2 978-3-507 -887 46-6 Arbeilsheft mit Lösungen 978-3-507-88762-6 Vorbereiten . Organisieren. Durchführen. BiBox ist das umfassende Digitalpaket zu diesem Lehrwerk mit zahlreichen Materialien und dem digitalen Schulbuch. Für Lehrkräfte und für Schülerinnen und Schüler sind verschiedene Lizenzen verfügbar. Nähere Informationen unter www.bibox.schule

westermann GRUPPE © 2019 Bildungshaus Schulbuchverlage Westermann Schroedel Diesterweg Schöningh Winklers GmbH, Braunschweig www.westermann.de Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen bzw. vertraglich zugestandenen Fällen bedarf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Nähere Informationen zur vertraglich gestatteten Anzahl von Kopien finden Sie auf www.schulbuchkopie.de. Für Verweise (Links) auf I nternet-Adressen gilt folgender Haftungshinweis: Trotz sorgfältiger inhaltlicher Kontrolle wird die Haftung für die I nhalte der externen Seiten ausgeschlossen. Für den Inhalt dieser externen Seiten sind ausschließlich deren Betreiber verantwortlich. Sollten Sie daher auf kostenpflichtige, illegale oder anstößige Inhalte treffen, so bedauern wir dies ausdri.icklich und bitten Sie, uns umgehend per E-Mail davon in Kenntnis zu setzen, damit beim Nachdruck der Verweis gelöscht wird. Druck A 3 / Jahr 2020 Alle Drucke der Serie A sind im Unterrich t parallel verwendbar. Redaktion: Björn Deling, Marcel Orban Umschlagentwurf: Janssen KahlerL Design & Kommunikation GmbH, Hannover Illustrationen: Maria Valentinelli, Rostock techn. Zeichnungen: imprint, Zusmarshausen Taschenrechner-Screenshots: Texas Instruments Education Technology GmbH, Freising Druck und Bindung: Westermann Druck GmbH , Braunschweig I SBN 978- 3-507-88743-5

Inhalt [ 3 )

Inhalt 1

Integralrechnung

8

1.1

Von der Änderung zum Bestand .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2

Von der Ableitung zur Bestandsfunktion - Stammfunktionen.. . . . . . . . . 16

1.3

Der Hauptsatz der Dirferential- und Integralrechnung ..... . . . . . . . . . . . 21

1.4

Integrieren ohne Stammfunktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.5

Beslände rekonstruieren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.6

Flächen berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

1.7

Offene Flächen berechnen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1.8

Volumen berechnen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

Check-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 Verm ischle Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

2

Kurvenanpassw1.g

2.1

Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

2.2

Lineare Gleichungssysteme - Gauß-Algorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

2.3

Funktionen aus Bedingungen bestimmen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

2.4

Modellieren mit abschnittsweise definierten Funktionen . . . . . . . . . . . . . . 88

2.5

Stetigkeit und Differenzierbarkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

2.6

Funktionenscharen .............................................. 103

2.7

Gebietsübergreifende Aufgaben ................................... 110

68

Check-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 6 Vermischte Aufgaben ............................................ 119

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3

e-Funktionen

3.1

Neue Ableitungsregeln ........................................... 126

3.2

Die e-Funktion .................................................. 132

3.3

Logarithmus, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunk tion ........ 137

3.4

Innermathematisches mit e- Funktionen ......... . .................. 144

124

Check-up . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . ~ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 3 Vermischte Aufgaben ............................................ 155

158

4

Wachstum

4.1

Exponentielles Wachstum ......... .. .......... .. ................. 160

4.2

Begrenztes Wachstum ........................................... 171

4.3

Logistisches Wachstum . . ....... .......... ...... ...... ....... .... 179

4.4

Modelle mit e-Funktionen ....................... . ................ 191

4.5

Phasendiagramme (fakulta tiv) .................................... 199

Check-u p ....................................................... 204 Vermischte Aufgaben . .................. .. ......... ... ........... 206

(

4

]

(Inhalt)

210

5

Orientieren und Bewegen im Raum

5.1

Orientieren im Raum - Koordinaten ................................ 212

5.2

Bewegen im Raum - Vektoren ........... . ........................ 220

5.3

Rechnen mit Vektoren ............................................ 225

5.4

Skalarprodukt und Winkel . .................. .... . ................ 234

5.5

Nicht geometrische Vektoren (fakultativ) ... . ..... . .................. 244

Check-up ........... ..... .............. ..... . . ....... . .......... 24 7 Vermischte Aufgaben .............. . ............ . ................ 250

6

Geraden in1 Raum

252

6.1

Geraden in der Ebene und im Raum ............ ..... ....... .... ... 254

6.2

Anwendungen mil Geraden ....................................... 262

6.3

Lagebeziehungen von Geraden ................ ... ................ 268

6 .4

Projektionen .................................................... 278

6.5

Geometrische Abbildungen (fakulta tiv) .......... ..... ......... . .... 283

Check-up ....................................................... 288 Vermischte Aufgaben . .................. . ........................ 290

7

Ebenen im Rau1n

292

7 .1

Parameterform einer Ebenengleichung ............................. 294

7.2

Normalen- und Koordinatenform ...... . ... ........................ 301

7 .3

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene ....... . ............. 310

7 .4

Lagebeziehungen von Ebenen ...... . .......... . .................. 31 5

7 .5

Winkel zwischen Geraden und Ebenen ............................. 324

7 .6

Lösen von Abstandsproblemen ................................... 330

7.7

Kreise und Kugeln (fakultativ) . .... ... . . . . . ..... . .... . ............ . 342

Check-up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 9 Vermischte Aufgaben ......................... ... ................ 354

Inhalt [ 5 ]

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8

Zufall und Wahrscheinlichkeit

8.1

Empirische und theoretische Wahrscheinlichkeit . ................... 358

8.2

Baumdiagramme - das sollten Sie noch wissen ......... . .......... . 362

8.3

Simulation -zum Auffrischen .......... . ......... . ................ 366

8 .4

Empirisches Gesetz der großen Zahlen - genauer hingeschaut ........ 370

356

Check-up .. ..................................................... 376

•

380

9

Wahrscheinlichkeitsmodelle

9.1

Bedingte Wahrscheinlichkeit ...................................... 382

9.2

Stochastische Unabhängigkeit ... . ..... ... .......... . ............. 391

9.3

Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung . . ...... ........... . 399

9.4

Kenngrößen: Erwartungswert und Standardabweichung . ............. 403

Cl1eck- up . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 1 Vermischte Aufgaben .............. . ............... . ............. 413

10 Wahrscheinlichkeitsverteilungen

416

10.1 Bernoulli - Experiment und Binomialverteilung ......... . ............. 418 10.2 Binomialverteilung - Histogramme und Anwendungen ............... 425 10.3 Binomialverteilung - Kenngrößen und Prognoseintervalle ............. 433 10.4 Stetige Zufallsgrößen und Normalverteilung ........................ 440 10 .5 Normalverteilung - Anwendungen , Sigma-Regeln . ................ .. 449 10.6 Normalverteilung und Binomialverteilung ............. . ............. 456 10.7 Hypergeometrische Verteilung (fakultativ) .......................... 460

Check-up . ...................................................... 463 Vermischte Aufgaben ............................................ 467

11 Beurteilende Statistik

470

11.1 Entscheiden mit Prognoseintervallen ............................... 472 11.2 Konfidenzintervalle - Schätzen von Wahrscheinlichkeiten ............ 477 11.3 Testen von Hypothesen {fakulLaLiv) ................................ 486

Check-up . ......................................................... 496 Vermischte Aufgaben ......................... . .................. 498 Abiturübungen : Pflichtteil. . . .......... . ....... .. ......... ... ........... 499 Abiturübungen: Wahlteil. . . . . . . . .................... . ..... . ........... . 50 7 Zum Erinnern und Wiederholen ..................... . .................. 531 Lösungen zu den Check-ups ........................ . .................. 548 Lösungen zum Grundwissen ........................................... 567 Stichwortverzeichnis .................................................. 572

( 6 ) [ über das Buch )

Kapitel und Lernabschnitte Je zwei Auftaktseiten mit Bildern und kurzen Texten informieren Sie über die I nhalte jedes Kapitels. Ein Kapitel besteht aus mehreren Lernabschnitten. Jeder Lernabschnitt ist in drei Ebenen unterteilt:

7.6

Grün - Weiß - G1iin.

Die erste grüne Ebene

Lösen von Abstandsproblemen

,,Das Ziel vor Augen"

Einführende Aufgaben I n vertrauten Alltagsprob lemen ist bereits vie l Mathematik versteckt. Mit d iesen Aufgaben können Sie interessante

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Oft können Sie in dem vielfältigen Angebot nach Ihren Erfahrungen und I nteressen auswäh len .

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Die weiße Ebene „u.,...,.

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Basiswissen

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1 234567

b) Ermitteln Sie passende Funktionsterme f'{x) und f(x). Begründen Sie Ihre Ergebnisse.

18 , ( 1 Integralrechnun g)

( Übu11gen)

CI] Unterschiedliche Anfangsbestände und Bestand sfunktionen Zu den Sachsit uationen in Aufgabe 1 und 2 gehören fo lgende „Bestandsfunktionen". (1) Elektroauto in [O; 20) v (t ) = -0,075t 2 + 3t s {t ) = - 0,025t3 + 1,5t2

(2) Wasserbecken in [O; 10) f {t )= 12t+20 B(t )= 6t2 +20t

(1) Zeigen Sie, dass v (t ) auch Änderungsfunktion zu s (t ) = - 0,025t3 + 1,5t2 +50 und s (t ) = -0,025t3 + 1,5t2 + 200 ist. Was hat sich be i diesen Wegfunktionen am Sachkontext geändert? (2) Im Wasserbecken sind zu Beginn des Füllvorgangs schon 100 Liter bzw. 300 Liter vorhanden. W ie lauten jetzt die Bestandsfunktionen?

IT] Regeln für d as Bestimm en von Best and sfunktion en erku nden Die Ableitungsregeln finden

Sie auf Seite 534.

Bestandsfunktionen sind Funktionen, deren Ab leitung die Änderungsfunktion ist. Bei der Suche helfen die Ableitungsrege ln. Erm itteln Sie eine Bestandsfunktion. Finden Sie zu einer Änderungsfunktion mehrere Bestandsfunktionen? (3 ) f (x)= - .!.x4+3x2 -1 (1) f (x )= ~x+3 (2) f{x )= x2 -4x 2

( Basiswissen )

Bei der Berechnung von orientierten Flächeninhalten und Bestandsrekonstru kt ionen rückt das Umgekehrte des Ab leitens (,,Aufleiten" ) in den Mittelpunkt.

Stammfunktionen Eine Funktion F he ißt Stammfunktion zu f, wenn F'= f gilt.

y 4

f {x) = -0,5x+ 2 F (x) = -0,25x2 + 2x X

-2

Wichtige Eigenschaften: Wenn F Sta mmf unkt ion zu f ist, dann erhält man mit F + c (c Konstante) alle Stammfunktionen zu f .

Fc(x) = - 0,25x2 + 2x + c Formeln und Regeln zum Bestimmen von Stammfunktionen Zum Bestim men von Stam mfunktionen muss man „aufleiten", d. h. das Ableiten {Differenzie ren ) umkehren. F, G, H ist jeweils Stammfunktion zu f, g, h.

Potenzregel Konstanter Faktor

Funktion f (x) = xri n j; - 1

Stammf unktion F(x) = n+l l xn+l

g (x) = a · f (x)

G(x)= a · F(x)

Summenregel h (x) =f(x) + g(x)

Exponent um 1 erhöhen, Koeffizient durch neuen Exponenten teilen. Konstante Faktoren bleiben erhalten. Summen von Funktionen werden summandenweise aufgeleitet

H (x) =F(x) + G(x)

Wichtige Funktionen und ihre Stammfunktionen Funktion f (x)

2x

3x2

Stammfunktion F(x)

x2

x3

1

iJ-

-1

)(

sin (x)

cos (x)

- cos {x)

sin (x)

1.2 Von der Ableitung zur Bestandsfunktion - Stammfunktionen [ 19

(Beispiele)

00 Stammfunktionen finden Ermitteln Sie a lle St ammfunktionen zu f (x) = 2x2 - 4 und überprüfen Sie.

Lösung: F(x)= .f x3 - 4 x+c 3

(Übungen)

~

f

Probe: F'(x) = 3 • x2 - 4 x = 2x2 - 4 = f (x)

G ] Train ing Geben Sie alle Stammfunktionen an. a ) f (x) = 3x2 - 4x + 1 b) f(x) = -2x3 + 6x d ) f (x) = g ) f (x)

i +x

=-¾ x5

3

+ 12x2 - 8

j) f(x}=2 -,/x- 1

c) f (x} = ¾ x4

-

2 x2 + 8

e) f(x) = (x + 2) -(x - 3)

f) f (x}= 4-sin(x}

h) f(x) = {3x - 2)2

i} f (x)=3x2

k) f(x}= m-x2 +b

l} f(x)= x -(x - a)- (x+1)

1sx

9

ITJ Zu sammenhänge zwi schen Ableitung und Funktion - Stammfunktionen klä ren Der Graph der Ableitungsfunktion f ' ist gegeben.

f'

a} Begründen Sie mithilfe des Graphen von f ': ( 1) f hat zwei lokale Extrema, (2) f ist in (- 1; 3) monoton fallend,

__,.,.._._

(3) f hat einen Wendepunkt, (4) Die Tangente im Wendepunkt hat e ine nega-

X

2

-z . .,

tive Steigung. b} Ermitteln Sie einen Funktionsterm zu f' und dam it die Stam mfunktionen. Überprüfen Sie damit

,.

4

1/

die Aussagen aus a }. c) Welche der Stammfunktionen verläuft durch den -----~-4,

Pun kt (011 ), welche durch (11 O)?

ffi Eine Lücke bei den Stammfunktionen Bei der Potenzregel w ird n i= -1 gefordert {vgl. Basiswissen}. • Begründen Sie d urch Anwenden der Regel f ür n = - 1, dass diese Forderung notwendig ist und Sie somit keine Stammfunktion zu f (x} = ¾bilden können. • Skizzieren Sie mithilfe des Graphen von f {x) =} eine Stammf unktion von f. •

Zum Nachdenken: Wächst die Stammfunkt ion über alle Grenzen?

Grt1ndwissen 1. Lösen Sie die Gleichungen. 2. Wahr oderfalsch7

a) (8 - x) 2 - 9 = 0

b) -½( x+3 )= 4 -( x+ ½)

a ) Ganzrationa le Funkt ionen vom Grad 3 haben immer einen Wendepunkt. b) Ganzrat1onale Funktionen vom Grad 4 haben immer zwei Wendepunkte. Widerlegen ode r begründen Sie d ie Aussagen. 3. I n einer Reisegruppe von 30 Pe rsonen gibt es 12 Männe r. Wie viel Prozent von a llen Reisenden sind das? 4. Gegeben ist d ie Funktion f m it f {x) = -x2 + 6 a) Skizzieren Sie den Graphen von f. b) Bestimmen Sie die mittlere Ände rung in [- 1; 2 j. c) I n welchem Punkt hat der Graph die Steigung 17 5. O rdnen Sie der Größe nach: -2;

--Js; -~;

-(0,5-1 ,5)

6. Geben Sie a ls Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl an: ~; 0, 125;

%

l

~ ( 1 Integralrechnung

Exkt1rs Vom Nt1tzen der Bestandsfunktion in der Physik Das Weg-Zeit-Gesetz beim freien Fall s(t) = 5t2 diente als Beispiel bei der Entwicklung des Begriffs der zugehörigen Momentangeschwindigkeit s'(t) = v(t) = l Ot. Die dabei zugrunde liegende Beschle11nigung ist die Änderungsrate der Geschwindigkeit. Man erhält sie als Ableirung der Geschwindigkeit: s"(t) = a(t) = 10. Die Beschleunigllllg beim freien Fall ist also konstant etwa 10m/s 2. Weg ➔ Geschwindigkeit ➔ Beschle11nigung Durch Aufleiten kann man nun allein aus der Kenntnis der konstanten Beschleunigung die Weg-Zeit-Funktion für eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung rekonstruieren: Die Geschwindigkeit ergibt sich als Bestand der Beschleunigung, der zuri.ickgelegte Weg wiederurn als Bestand der Geschwindigkeit. Beschleunigung Geschwindigkeit Weg a in m/s 2

at

v( l) = g · L

g

t

2

S( l) = z g · t

t in s

(Aufgaben)

. s 1n m

s in m/ s

t in s

t ins

(JQJ Freier Fall auf dem Mond Eine Schraube fällt auf den, Mond aus einer Höhe von 1,4 Meter. Wann und mit welcher Geschwindigkeit erreicht sie die Oberfläche des Mondes? Vergleichen Sie mit dem gleichen Vorgang auf der Erde. Die Fa llbeschleunigung auf dem Mond beträgt 1,67 m / s 2 .

lliJ Wachsende Beschleunigung Ein Testfahrzeug startet zum Zeitpunkt t = 0 mit einer linear ansteigenden Beschleuni gung a {t ) =1 ,2 -t (tins, a in ~ )- We lchenWeghatesnach5szurückgelegt?

Exkt1rs

Eine interessante Anwendung - Der digitale Wurfspeer Das Fraunhofer-Institut Magdeburg hat einen "digitalen Wwfspeer" entwickelt, mit dessen Hilfe inan durch Sensoren den Beschleunigungsverlauf des Speeres während der Anlauf- und Abwurfphase erfassen kann. Die Geschwindigkeit des Speeres ergibt sich als Fläche in dem Beschleunigung-Zeit-Diagramm. Aus dem zeitlichen Verlauf der Geschwindigkeit des Speeres lässt sich dann ein Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm erstellen. Verwendet man nun dieses als Grundlage, so lässt sich der durch den Speer zurü ckgelegte Weg wiederum als Fläche im Geschwindigkeit-Zeit-Diagramm ablesen. Auf diese Art kann letztlich die zurückgelegte Weite beim Speerwurf allein aus den Beschleunigungsdaten ermittelt werden. Theoretisch könnte also bei entsprechender Genauigkeit der gemessenen Werte die Weite durch den Speer selbst bestimmt werden. Tatsäclilich kornmen bei Wettkämpfen iln Spitzensport Techniken wie die LaserWeitenmessung mittels Tachymeter (Electronic Distance Measurement, EDM) oder die Video-Weitenmessung (Video Distance Measurement, VDM) z11m Einsatz.

1.3 Der I-Iauptsatz der Differential- und Integralrechnung ( 21

1.3

Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung y

Bisher haben Sie Bestandsrekonstruktionen immer m it Beginn bei x = 0 bet rachtet und untersucht. Jetzt wer-

f

den d ie Anfangswerte variiert. Um d ies darstellen zu können, wird eine neue Sc hreibwe ise eingeführt:

X

b

a

Jf (x}dx gibt die Bestandsentwicklung in [a; b Jan, dabei

b

a

ist a (linke Grenze) der Startwert. In den bisherigen Un tersuchungen galt immer a = 0. Der Ausdruck heißt Integral und wird gelesen „Integral f {x) von a bis b".

(Aufgaben)

CI] Bestandsrekonstruktionen -

Variationen der Zeitintervalle

a) Ein Zu- und Abfluss prozess wird d urch die Funktion f {x ) = -2x+ 10 besch rieben. Mit eine m CAS sind ve rschiede ne Bestandsrekonstru ktionen berechnet worden. Skizzieren Sie die ve rschiede-

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nen Bestände a ls Flächen und begrü nden Sie damit d ie Ergebn isse. Formulie ren Sie zu den Integra len passende Sachsituat ionen.

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•s (-2•X+ 10)dx

7

(-2•x+10) O; B(0)= 10 ■ Skizzieren Sie für einige Werte von k die Zuwachsraten fk. Welche Bedeutung hat k im Sachzusammenhang? Bei we lchen Fragen bleiben die Antworten gleich, sind sie also unabhängig von k? Begründen Sie. Beantworten Sie die Fragen aus dem Basiswissen. '

( 38 ) ( 1 Integralrechnun g

(Übungen)

1 [D Zuflussrate

,.

y

-

Eine Zuflussrate w ird durch folgende Funktion beschrieben (in l / min):

1

5

10 o~ x< 4 f{x) =- 5x + 30für 4 ~ x < 7 - 5 7~ x ~ 10

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X

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1p . 1~ 1

1

1

a) Bestimmen Sie die Terme der zugehörigen Bestandsfunktion, wenn am Beginn des Zuflusses 12 Liter 1m Behälter sind . b) Ze igen Sie, dass die Bestandsfunktion an den Übergangsstellen der Intervalle jewei ls die gleiche Ste igung haben. Was bedeutet dies f ür den Zufluss? Vergleichen Sie m it der Zuflussrat e an diesen Stellen.

illJ Wa sser im Keller Fließrate in 1/ m in

Familie Backhaus macht sich Sorgen: Nach einem starken Regen steht Wasser im Keller. Um den Schaden zu beheben, wird die Wasserpu mpe eingesetzt.

1

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a) Erläutern Sie das Diagramm im Sachzusammenhang. Beschreiben Sie insbesonde re die verschiedenen Phasen

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des Wasserpumpens und geben Sie die entsprechenden Zeitintervalle an. b) Schätzen Sie die Menge an Wasser, die in

1

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Zeit 1n min

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2

3

4

6

5

den 6 St unden insgesamt abgepumpt wurde. c) Zeigen Sie, dass die nebenstehenden a {x) = 48x3 - 72x2 + 36x Funktionen passende mathematische Mode lle für die einzelnen Phasen

b (x) = 6 c (x ) = 24 x3 - 144x2 + 288x - 183

darstellen. Bestimmen Sie damit rech nerisch die Menge des Wassers , die

d (x) = 9 e {x) =- x3 + 12x2 - 48x + 73

insgesamt abgepumpt wurde .

Modellieren

[IT) Eine Que lle Wegen mangelnder Regengüsse versiegt eine Quelle. Die Geschwindigkeit en, mit denen das Wasser an verschiedenen Tagen aus der Que lle sprudelt, lassen sich der Tabelle und der Grafik entnehmen. Wie viel Wasser liefert die Que lle in acht Tagen? W ie viel Wasse r f ließt noch bis zum Versiegen? Liter in 1 :)00/ T ig 600- .-

sm 400

300 200 ·.100

1

f

1

•

•

-. 2

4

• •

6

l• 1

•

_Zetin Ta ~en •

8

,·o

Tage

Lin 1000/Tag

0

480

2

385

4

335

6 8 10

305

260

Tipps: Passende Funktion zu den Daten

Punkte geradlinig verbinden und

finden.

Flächen best immen.

230

1.5 Bestände rekonstruieren [ 39 )

( Übu11gen )

GI) Ein Bambus Die Wachstumsgeschwindigkeit eines Bambus nach Einpflanzen wird mit der Funktion f {x) =

t6~+

x2 -

29

modelliert. Begründen Sie, dass Sie die Höhe der Pflanze nach 1, 2, 3, ...

Jahren nicht exakt berechnen können. Wachstumsgeschwindig~eit in m / Jahr

'.

..

3--

...,

2,5·

.

..

-

,

0 ,5

.. ,

'

• 1,5 '

,.

-

'

./

i'-... -~

1

...... 1

1

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--

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1

2

3

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6

7

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-

-

1

J

-0 ' 5

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'

y

i/

~

8

9

10

11

'

1

.

- Zeit ,n at re

1'3 14

12

15

-1--

Fü llen Sie die Tabelle mit Näherungswerten aus und skizzieren Sie mit diesen Werten einen Wachstumsgraphen. Wie groß wird der Bambus? Jahr

2

3

5

4

6

7

8

9

11

10

Höhe

CAS: Bestimmen Sie m it dem Makro prosum {siehe Seite 31 oder trapez, siehe Seite 32) einen Näherungswert für die Höhe des Bambus.

GI) ,.Vorau seilende" Ersatzteilproduktion - a nachgefragte Stü ckzahl/ Jahr Ein Hersteller von Fernsehgeräten will die Produktion einer Modellreihe einstellen. Damit er die im Lager vorhandenen Geräte 160 dieses Modells noch verkaufen kann und um Kunden, die bereits die entsprechenden 120+Fernseher besitzen, nicht zu verärgern , sollen in diesem Jahr alle Ersatzteile produziert werden, die in den nächsten 10 Jahren vo40-,--...----i---i--.--.--!----t raussichtlich benötigt werden . Bekannt ist, dass sich die Nachfragerate nach Netzteilen Zeit in Jahren fü r die Geräte (in Stü ckzahl pro Jahr) durch 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 die Funktion f (t ) = 200 0,85t gut modellie ren lässt. Begründen Sie , dass hier eine Bestandsfunktion nicht gefunden werden kann . Entwickeln Sie ein Verfahren, mit dem Sie abschätzen können, wie viele dieser Netzte ile produziert und eingelagert werden müssen, damit die Nachf rage für die nächsten 10 Jahre befried igt werden kann . Tipps:

T

Graphenverlauf durch einfache Funktion annähern, von der eine Bestandsfunktion bestimmt werden kann.

Flächeninhalt unter dem Graphen näherungsweise bestimmen.

CAS: Bestimmen Sie mit dem Makro prosum (siehe Seite 31 oder trapez, siehe Seite 32) einen Näherungswert fü r die Produkt ionsmenge. Gr1u1d,visse11

1. Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente und Normalen von f {x) = ; x2 - 4x im Punkt P{2 1f {2)). 2. Ordnen Sie der Größe nach:

(½)- ; H; 2

- 22 ; sin (200°)

1

40

J (1 Integralrechnung Beim Rekonstruieren von Beständen prägen zwei Grundvorstellungen das Vorgehen: (1) Der Be stand wird als Fläche unter der Änderungsfunktion interpretiert. (2) Der Bestand wird aus den Änderungsraten grafisch erschlossen. Wenn Änderungsraten durch Funktionen gegeben sind, zu denen keine Stamm funktionen bekannt sind oder gar existieren, dann muss man die Bestände näherungsweise bestimmen. Mit der Grundvorstellung (1 ) liefern Produktsummen aus Rechtecken oder Trapezsummen Näherungsverfahren (vgl. 1.4), die gut mit digitalen Werkzeugen umgesetzt werden können. Mit prosum(n,o,b) und trapez(n,o,b) haben Sie zwei Werkzeuge kennenge lernt. Es gibt ein anderes Verfahren, das die Grundvorstellung (2) benutzt.

(Aufgaben) vgl. Aufgabe 12

CE) Bestandsfunktionen mit Richtungsfeldern Das Wachstum eines Bambus wird mit f'(x) = xz _ 1 ~~ +

mode lliert.

29

Die Gleichung gibt an, wie groß die momentane Änderung an einer Stelle ist. Geometrisch gibt dieser Wert die Ste igung in dem Punkt (x l y) =( xl f (x)) an (f Bestandsfunktion). Prinzip: In jedem Punkt (x Iy) wird die durch f' (x} festgelegte Steigung bestimmt Diese Steigung wird dann in Form eines kle inen Tangentenstücks eingezeichnet. a) Begründen Sie, dass die Steigung in allen Punkten mit derselben x- Koordinate irn111er gleich ist. Füllen Sie die Tabe lle aus und skizzieren Sie die Tangentenstücke in jedem Gitterpunkt. Es entsteht ein Richtungsfeld . X

====:---=

y

='. :-== f' (XJ

8·

f1)

1

-

0

2

1

3

2

5

3

1

4

3

5

4

6

2

7

4

.

3

2.

8

'

0,5

6

1

•

.

- --

,

A

2,5

2· -

.

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-

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-

•

•... '. ,.

•

-

•

-

.

•

8

.

+

'

.

10

'

,x 12

-j

-

,, , , , . / , .l 1 Wie findet man näherungsweise eine . • • ' 1 ' , , , . • Bestandsfunktion? • • • ' , , , . • • . • Manstartetz.B. in (OIO). • • ., , • •, • - • . . ■ Dann geht man in Tangentenrichtung , , . . • , ' • • ' • • weiter. Wie weit? Bis man in genau ' ., , , -•, •, , •, • dieser Richtung auf den nächsten . • • • • • • • , , • Punkt auf der nächsten senkrechten , . . - ' ) ,1 • , • . Gitterlinie trifft. Wann kommt der • , , - - • ' . ,. ./ .. . • • , nächste Punkt? Das hängt davon ab, ' ◄ ' , ,. .X 1 wie eng das Gitter angelegt wurde . ~2 • ' ' ' • ' 1 1J 12 {hier ist Gitterweite 1 ). • Dann geht man von diesem Punkt aus in Tangentenrichtung weite r. Wie weit? b) • Ermitteln Sie grafisch nähe rungsweise die Bestandsfunktion bis x = 12. ■ Erzeugen Sie auf gleiche We ise eine Näherungslösung für den Startwert {OI 3). Die grafisch ermittelten Näherungslösungen sind Polygonzüge. Wenn man die Abstände zwischen den x-Werten kleiner wählt, bekommt man eine bessere Näherungslösung, man muss aber viel mehr rechnen bzw. genauer zeichnen. Eine exakte Lösung schafft man so natürlich nicht, weil man nicht von „Punkt zu Punkt" vorgehen kann. ~

#

~

1

·,

~

~

I

I

.

-

.

?f. ',

1.5 Bestände rekonstruieren [ 41 )

Werlczel1g

Richtungsfelder 1.md Lösungen init GTR und CAS Mit vielen GTR und mit CAS können Richtungsfelder (Steigungsfelder) und zugehörige Lösungsfunktionen er zeugt und dargestellt werden. Eine Gleichung des Typs f ' (x) = ... heißt Differentialgleichung. 1. Grafikmodus: "Differentialgleichung" ~ 1: Aktionen ► ·· 2: Ansicht 2. Eingabe der Änderungsratenfunktion ► ~ 1: Funktion 3. Anfangsbedingung (Xo, yl o) eingeben ~ 4: Fenst '-- 2: Relation (ohne Eingabe erhält man nur Richffv 5: Spur ~ 3: Vorlagen Gleichungssystem ► tungsfeld)

U 6: Grap "'ä

~ 4: Parametrisch -1 ♦ 5: Polar

11

~ 8: Geo

♦Tl 9: Einst

:

7: Folge 8: Differentialgleichung

-✓ /

/ / / / / /

- --/ ---. --/ --/ - ---/ - -- --- - ,. / /

1]

,

(Aufgaben)

~

l::: 6: Streudiagramm

/ / / / / /

'

--- --- - -

/-------

/ /

/,

1 .;- .!--- 7

(ill Bambus -

I I I I I

►

,/

/----______

/

(X•,y1 •):

_,,,-

-----

,. --- --- -- -ri ,/

_;J:: J

:;::.t _!.

-

..,

-

x--lO·x+29

··-·-

1@=] 0 >t!l

In einem Extramenü können Parameter eingestellt werden . Ausgangspunkt für Diagramm:

-2

..,,,,,,

/------- - -

/ _/ / / J

1:

y1

10

1

Diagrammende: 12

1 J)

Diagrammschntt: 1 Feldauflosung: 15

•

Variation der Anfangsbedingungen

P.n!angsbe~1ngunge n be a, ...

tums des Bambus (Aufgabe 12) hat. ■ Was bedeuten bspw. die Anfangsbedingungen (0 13 ) bzw. (1 12) im Sachkontext. ■ Welcher Wert gehört zu x = 0 bei der Anfangsbedingung {1 12)?

QD

y l,

x.

Untersuchen Sie mit dem GTR {CAS), we lche Ausw irkungen eine Änderung der Anfangsbedingungen bei der Modellierung des Wachs-

0

0

0

3

l

~

1 1

1 1

IÖKI !Abbruch1

-

Vorauseilende Ersatzteilproduktion" - langfristiger Bedarf • Lösen Sie Aufgabe 13 mithilfe von Richtungsfeldern. 11

• Angenommen, die Firma möchte „auf Ewigkeit" Ersatzteile vorrätig halten, müsste sie unendlich viele produzieren?

QD Gasförderung Die Förderrate einer Gasquelle nimmt zunächst stark zu und dann mit der Ze it wegen des nachlassenden Gas-

:t

drucks wieder ab. Sie wird mitg {t ) = t2 ■

1

modelliert.

FördE rra e i('1 rv io. n 3/ Ja

-3 2 1

Ermitteln Sie näherungsweise die Gasmenge, die die

Quelle in 12 Jahren liefert. ■ Welche Menge wird sie langfristig liefern?

CI:[) Integrale mit Richt ungsfeld ern Bestimmen Sie mithilfe von Richtungsfeldern einen Näherungswert.

-1

I

.~ eit 1 Jahn

'-

LI LI 5

b) J2- x2 dx 0

'' n

42

1 Integralrechnung )

1.6

(Aufgaben)

Flächen berechnen

[D Flächen zwischen Graphen und x-Achse Berechnen Sie jeweils den Flächeninhalt der gefärbten Fläche. f{x) = - x2 + 2x + 3

(1 }

(2)

6 y

(3)

6 y

f

6 y

f

1 ~ 4 + ---l--+---+--4

i-

-6

·-6

Dokumentieren Sie Ihre Lösungswege. Stellen Sie das Verfahren zur Berechnung des Inhalts der Fläche, die ein Graph im I ntervall ja; b) mit der x- Achse einschließt, als Folge von Berechnungsschritten dar.

y f X

a

e

C

IT) Fläche zwischen zwei Graphen Anhand der fo lgenden Aufgabensequenz können Sie schrittweise eine Strategie zur Berechnung der Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen entwicke ln. Einfacher Spezialfa ll

f {x) = x2 + 1; g(x) = - 1x2 + 7

Tipp 6

~

-3 -2 - 1

1 2

1. Verallgemeinerung f (x} = ½x2 - 3; g(x) = - x2 + 3

-2-1

1 I

-2 -1

1

2. Verallgemeinerung f {x) = x2 + 1; g(x) = x3 - 4 x+5 y

X

- 4 -3-2-1

Hinweis: Verschi ebung in y-Ri chtu ng.

Formulieren Sie eine Strategie, wie man den Flächeninhalt zwischen den Graphen zweier Funktionen in la; b j berechnen kann.

1

3

Hinweis: Lesen Sie die Schnittstellen vo n f und g aus d er Grafik ab.

1.6 Flächen berechnen [ 43

( Basiswissen ]

Mit I ntegralen können Flächeninhalte der von Graphen begrenzten Flächen berechnet werden.

Flächen inhalte mit I ntegralen Inhalt A der Fläche zwischen dem Graphen einer Funktion und der x-Achse in [ a; b] (1) Nullstellen bestimmen. y

{2) Beginnend mit der linken Nullstelle von Nu llstelle zu Nullstelle int egrieren. (3) Die Beträge der einzelnen Integrale addieren.

X

X2

Jf {x}dx

A=

X1

X3

+

J f {x)dx Xz

Inhalt A der Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen f und g {1) Schnittstellen bestimmen. y

{2) Beginnend mit der linken Schnittstelle von Schnittstelle zu Schnittste lle die Integrale der Differenz von f(x) und g(x) berechnen. {3) Die Beträge der einzelnen Int egrale addieren.

X

X2

X3

A= J (t(x)-g{x))dx + J(t{x) - g(x))dx x1

[Beispiele]

X2

0

Fläche zwischen Graph und x- Achse Berechnen Sie die Fläche zwischen dem Graphen von f{x) = x2 - 4x und der x-Achse im Intervall [-1; 4 ].

f

Lösung:

(1) Nullstellen sind O und 4. (2) Da Teilflächen unter- und oberhalb der x- Achse liegen, muss von -1 bis O und von Obis 4 integriert werden . Stammfunktion: F{x) = } x3 - 2x2 Funktionswerte von F berechnen:

X

-3 -2 -1

2

3

F(O) =0; F{ - 1) = ½·(- 1)3- 2· {- 1)2= -½- 2 = -f F{4) = }- 43- 2 · 42 = ~ - 32 = -~ 0

4

J f {x) dx = F {0)- F(-1) = 0 -(-i) = i;

ff (x) dx = F(4) - F(0) = - ~ 0

-1

(3) Damit gilt: A.=

i + 1-~ = ~ + ~

= 13

Der gesuchte Flächeninhalt bet rägt 13 Flächeneinheiten.

-0 = - ~

5

7

J

( 44 ] ( 1 Integralrechnun g

[Beispiele)

l [[J Fläche zwi schen zwei Graphen Welchen I nhalt hat die Fläche, die von den Graphen der Funktionen f (x}= x3 - 2x2 -7x + 6 und g (x )= x+6 eingeschlossen wird?

pq-Formel

f

1

t

g 4

Lösung: -6 4 ___. _2 __,_-1 -+-~ (1) Ermitteln der Schnittstellen aus der Grafik oder aus der Gleichung f (x) = g (x): x3 - 2 x2 - 7 x + 6 = x + 6 ~ x •(x 2 - 2x - 8) = 0 => x = 0 oder x2 - 2x - 8 = 0 => x1 = O; x 2 3 = 1 ± ✓1 - (- 8) = 1 ± 3 => x2 = 4; x3 = - 2 •

(2) Es müssen zwei Integrale ausgewertet und deren Beträge addiert werden: Stammfunktion zu h(x)= f {x)- g(x) = x3 - 2x2 - 8x ist H(x) =¾ x4 - ix3 - 4x2; FunktionswertevonH berechnen: H(- 2)= -~; H(O)=O; H(4)=-~ 0

J (x3 - 2 x2 - 8 x) dx = H(0) - H{-2) = 0 - {-J) = ~; -2 4

J{x3 - 2 x2 - 8 x} dx = H{4) - H(0) = - ~ - 0 = - ~ 0

(3) A =

f + 1- 1~8 = J + 1~8 = 1;8 = 49,3

Lösung mit dem GTR: Plotl

P1ot 2

P1ot 3

J:-Y2CX) )dX

I\ Y1BX -2•X2-7•X+6 I\ Y2BX+6 3

0 0 & 0 0 0

I \ Y3=

0 0

♦

0 •

0

0 1

♦

0 0 0

♦

t O O

♦

0

•

t

6.666666667

t o O O O O f

O O

♦

♦

♦

f

1

0 1

♦

♦

0 0 0

♦

0 0

0 t

J:< Y1(X)-Y 2(X))dX

1 \ Y4=

-42.66666667 ....... ... .......... .... ... ...... ...... .. ..... .......

I \ Ys=

16.666666667 1+1

1 \ Y&=

-

-42.6666661►

49.33333334 ....... ... ... ... . .. .... ... ...... ....... ...... ...... .

(TI Schätzen und Rechnen Schätzen Sie den Inhalt der gefärbten Fläche und berechnen Sie ihn. Fläche zwischen Graphen und x-Achse

y

a}

y

b} 1 f(x) =

C

--'--+-

x>

f(x) =

1 1 1

X

2

1 y

d

-2

1

e)

y

2

f(x) = sin(x)

1

1-

3 4

X

--2 ,r

2

J(

rr

1

x +1

f( )= CO (X)

0,5 -:1

-

:X

X

Fix) - 4 x2 1

-4 - 3 -

,-

1

1

-1

3

1

' -2

1

2'+---_..____,-~~1-

1 1

,5

-+_._--4

y

!.

1.6 Flächen berechnen [ 45 )

(Übu11gen)

~

[ I J Training Skizzieren Sie den Graphen der jeweiligen Funktion und markieren Sie die Fläche, die von dem Graphen und der x-Achse im Intervall [a; b] eingeschlossen wird. Geben Sie einen Schätzwert für den Flächeninhalt an und berechnen Sie anschließend den Inhalt der Fläche. a) f(x)= x2-2; a =- 1, b = 3

b) f (x) = 4 - x2; a =- 4, b =4

c) f {x) =cos {x); a =0, b =2n

d) f {x) =~; a = 1, b =4

e) f{x) = - x3 + 1; a= - 2, b=2

f) f{x) =sin{x); a= - n, b=n

IT) Integrale und Flächeninhalte 1 ZeigenSie,dass f (x}= ½x3 -½ x2 - 3x diedreiNullstetlen a= - 2, b=O und c=3 hat. Bestimmen Sie die Integrale und interpretieren Sie die Ergebnisse geometrisch durch Skizzen. b

C

(1 ) jf {x)dx

b

C

J

(3) j f {x)dx -jf (x) dx

(2) J f (x)dx + f (x) dx

a

a

C

b

a

(TI Integrale und Flächeninhalte 2 2

b

2

Max soll J x2dx berechnen und berechnet stattdessen 2- Jx2dx. -2

0

Liefern beide Integrale dasselbe Ergebnis? Warum ist die Methode von Max clever? Skizzie ren Sie. Bei welchen Randfunktionen und we lchen Grenzen darf sie angewendet werden?

(TI Integrale und Flächeninhalte 3 ■

Bestimmen Sie folgende Integrale: (1)

S

3

J2xdx -5

(2)

J(x3 -

2x)dx

-3

■

Was überrascht am Ergebnis? Geben Sie eine Erklärung. ■ Verallgemeinern Sie: Bei welchen Randfu nktionen und welchen Grenzen tritt dieses Phänomen auf?

[D Parameterwerte bestimmen 1 Bestimmen Sie den Wert des Parameters a. Skizzieren Sie auch die zugehöri gen Flächen. a

a) j x2dx = 4 0

a

2

b) j (2x - 4)dx = 3

c) j {3x2+a)dx = 3 1

1

Achtu ng: In einem Fall gibt es zwei Lösungen!

(I) Parameterwerte bestimmen 2 Lösen Sie die Gleichungen und interpretieren Sie das Ergebnis geometrisch durch Skizzen. k

a) j {- 3x2 + 4)dx=O

c)

a

b) j (2x)dx=O

0

1

2

1k

J{2 x)dx = 2 + a2 a

J

d) (x2 - k) dx =-~ -./k

( 46 ] ( 1 Integralrechnung

( Übungen ]

J

(m Flächenschrumpfung Die Potenzfunktionen f (x) = xn; ne IN0 schließen im Intervall [O; 1] jeweils mit der x-A chse eine Fläche ein, die für wachsendes n kleiner wird.

X

X

1

l

1

a) Begründen Sie: nlim ,oo Jxndx = 0. 0

Für we lches n wird die Fläche kleiner als 1cioo? b) Untersuchen Sie das Verhältnis der Inhalte der skizzierten Flächen in Abhängigkeit von n.

y

1+ 1 n

c) Forschungsaufgabe: Untersuchen Sie J xndx für n ~ oo.

h

1

(JD Flächen zwischen Graphen Fläche zwischen zwei Graphen

schätzen und rechnen Schätzen Sie jeweils den Inha lt der gefärbten Fläche und rechnen Sie nach. a) f (x)=-2x2 + 2 b) f(x)= xZ + 2x+3 c)f(x) = x3-3x g{x) = -x2+1 g(x)= 2x+7 g(x) = 2x2

X

-2

1

2

4

-5

~

-3 -2 - 1 '

[IT) Training „zu Fuß" Die Graphen der Funktionen f und g schließen Flächen ein. Zeichnen Sie die Graphen und berechnen Sie die von ihnen eingeschlossenen Flächen. a) f (x)=6- ~ x2; g(x) = 2

b)f(x)=(x-1 )2; g(x}=-2x+5

c) f {x} = x3; g{x) = 4x

d) f (x) = 5x4 ; g(x) = 5x2 f) f (x)=2x 2-6; g(x) = x·{x+1 )

e) f {x)=cos{x); g{x) = 1; Qs;xs;2n

ffiJ Training mit GTR Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von den Graphen der beiden Funktionen eingeschlossen wird. Verschaffen Sie sich zunächst einen ÜberbLick über den grafischen Verlauf und stellen Sie eine aussagekräftige Skizze her. Hinweise: ■ Manchmal können Schnittste llen nur grafisch-tabellarisch gefunden werden. ■ Manchmal kann man auch zeigen, dass eine grafisch gefundene Lösung exakt ist. ■ Manchmal muss man genau hinschauen. a} f(x)=x3 -x2 -9x + 9 g{x) = 2 x2- 3 x + 1

b) f (x) = x4 - x3 + x2 - 1 g(x) = 2x 1- 7

c) f (x)=x3 - 4x 2-x+ 4 g(x) = x2 - 3x - 4

d) f (x)=x4 - 12x2+8 g(x)=7x-10

e) f {x) = x3 - 1 g(x} = 4x2 -4

f) f {x) = - 4 x2+ 8x g{x) = - ¾x4 + 2x

1.6 Flächen berechnen [ 4 7 )

(Übungen)

CH] Integrale und Flächeninhalte 4 Bestimmen Sie die Inha lte der skizzierten Flächen. f (x) = x2 , g(x) = 2x+3, h(x) = x2 -2x-3 Was fällt Ihnen auf? Geben Sie eine Erklärung und formulieren Sie den entdeckten Zusammenhang der Flächenbestimmungen.

P1ot1

P1ot2

Clt, FlijCl'lenve.rgf Pirh

P10t3

1, v1 ax 3-X 2- 4X+40 1, Y2 BSX+31 1, Y3 BY1-Y2

,,v.. =

I:

. ······'. '' ...................... ' ......... ' ...... ~§. (Yt )dX-J~, (Y: )dX • • .. ••••u••••• .. ••--0•••• •• .. •••• •• .. ••••• •••••••;;t~,

Die Bestimmung des Inhalts der Fläche zwischen zwei Funktionen f und g kann immer auch als Bestimmung der Fläche zwischen der Differenzfunktion d = f - g und der x-Achse als Funktion y = 0 interpretiert werden.

y g

X

(IT) Schmuckstücke im Parabeldesign Anwenden

Die folgenden Abbildungen zeigen Schmuckstücke, die mit einer dünnen Schicht Weiß gold belegt werden sollen. Die Flächen werden von Parabe ln begrenzt. Bei welchem Schmuckstück fa llen die höchsten Materialkosten an? Begründen Sie. 1 y

1 y

X

X

-1

X

1

·-1

Tipp ■ Man benötigt nur y = x2 und y = ..Jx und ihre Verwandten. ■

Symmetrien ausnutzen.

■

Ein Schmuckstück kann man auch durch direktes geometrisches Sortieren berechnen.

(_1~) Ein Firmenlogo Die Firma GANZRATIO hat für einen Kunden ein Logo entwickelt. Der obere Rand wird durch f(x) = x4 - 2 x2 + 1 in [- 1; 1] (x: in m; y: in m) beschrieben, der untere durch Spiegelung von f an der x-Achse. a) ■ Geben Sie eine Funktionsgleichung für den unteren Rand an. ■ Zeigen Sie, dass in den Spitzen keine Steigung vorLiegt. b) Das Logo soll 1 zu 1 produziert werden. Die Materialkosten dürfen 80€ nicht überschreiten. Was ist der höchste mögliche Preis/m 2? c) Die Trennungslinien der einzelnen Farbfelder werden durch y = x und y = - x beschrieben. Bestimmen Sie den Inhalt der einze lnen Flächen. Treffen die TrennungsLinien den Rand in den Wendep unkten?

X

' 48 ] ( 1 Integralrechnung)

( Übu1tgen)

CizJ Parabelhalbierung mithilfe passender Geraden Halbieren Sie die Fläche, die der Graph von f (x) mit der x-Achse einschließt. Versuchen Sie es m ithilfe einer Skizze per Augenmaß und rechnen Sie nach . a) f (x} = 9 - x2 ; Ha lbieren der Fläche durch eine Para llele zur x-Achse: y

b} f (x) = -0,5x 2 + 3x; Halbieren der Fläche durch eine Ursprungsgerade: y 10 8

10

~

6-+-_,___+---!---l---+

+ 4+-b~

kb~

-+9

CI:[) Wandernder Streifen

-½

Der Funktionsgraph zu f (x) = x3 + x 2 und die x-Achse begrenzen im ersten Quadranten des Koordinatensys-

•

•

-ylb=3 :

f

~

l

1

1

tems ein Flächenstück. Ein zur y-Achse pa ralleler Streifen der Breite b = 3 so ll so ge legt werden, dass er aus die-

X

sem Flächenstück einen möglichst großen Teil ausschnei-

-4

k 4k-

8

det. Wie ist der St reifen zu legen? ■ Überprüfen Sie, ob man parallel zur x-Achse ein größeres 3 LE breites Stück he rausschneiden kann. Warum muss hier eine Schnittkante die x-Achse se in?

mJ Flächenstücke Es sei die Funktion f mit f (x) = x3 gegeben. Eine Parallele zur x-Achse soll jeweils konstru iert werden, sodass gilt:

a) A1 = A2 b} A1 + A 2 ist minimal.

'

y

1

1

f

·----1 1 1

J

y = t3 ---- -- ------ -+------ -- -1 p

l t

X

1 J

1

(ID Ein maximales Rechteck Die Graphen der Funktionen f (x) = x 2 und g(x) = -x2 + 6 schließen eine Fläche ein. In diese Fläche wird ein Rechteck so gelegt, dass die Rechteckseiten paralle l zu den Achsen verlaufen . Welche Koordinaten müssen die Eckpunkte des Rechtecks haben, damit de r Flächeninha lt des Rechtecks maxima l w ird? Vergleichen Sie den Inha lt des Rechtecks mit dem Inhalt der von den Graphen umschlossenen Fläche.

,rr, l f(n1)1 j' 1

l.

1 1

-3

lli) Puzzeln Entwickeln und formulieren Sie e ine Strategie zur Bestimm ung des Inhalts der gefärbten Fläche. Finden Sie unterschiedliche Strategien? Bestimmen Sie den Flächeninhalt. Machen Sie zunächst einen Überschlag.

f(x} = ¾x2 ; g (x)=3 - x; h(x}= ¾x+ ½

-2

- 1

1m 2

X

:3

1.6 Flächen berechnen [ 49 ]

( Übu1igen )

(m Parabelsegmente Verschiebt man einen Streifen mit festgelegter Breite para lle l z ur Symmetrieachse einer Parabel, schneidet dieser Streifen die Parabel in zwei Punkten P und Q. Diese beiden Punkte legen ein Parabelsegmentfest (Bild links). a) Beschreiben Sie die Form des Segments, wenn der

...... o

5

Streifen von links nach rechts wandert. In welcher Position des Streifens vermuten Sie den maximalen Applet

Flächeninha lt? Verschaffen Sie sich einen Überblick mithilfe des Ap-

eA- 1.6- 22

plets. Vari ieren Siek (Streckfaktor der Parabel) und b (Breite des Segments). b) Ze igen Sie rechnerisch für f (x)

= x2 ,

k= 0,5 4

3

dass die Geraden

g 1 (x) =4; g 2 (x) =4 x; g3 {x) = 2 x + 3 zu Streifen gleicher Breite gehören und berechnen Sie die zugehörigen Flächeninha lte. Wird Ihre Vermutung bestätigt? CAS

Tipp Segment der Breite 4: P (t Jt 2 ); Q(t + 4 J(t + 4)2)

• l b :;; 4

-3 -2

-1

2

0 -1

~ ~ solve~p=,n·xp+bandyq-m·.rq+b,{ ,n,b})

c) Was wird m it dem Makro erzeugt? Forschen Sie mithilfe des Makros: (A) Gilt d ie Vermutung für y = x2 und beliebige Segmente der Breite 4? (B) Gilt d ie Vermutung auch f ür y = k -x2 ?

b

xp·yq-xq· yp

yp-yq ~dm~;..a...~

xp- xq yp-yq

;.p-:,.q

· x+

xp·yq-xq·yp

xp-xq

xp- xq

. ,1 ) ➔ =111e1pl'f\X,xp,Yp,xq ,vq Perlig

(C) Gilt die Vermutung auch für y = x 2 und Segmente be liebiger Breite?

mJ Segmente b ei Polynomen vom Grad 3 und Parabeln Es werden gemeinsame Flächen von ganzrat ionalen Funktionen 3. Grades und Parabeln untersucht. Gegeben ist f (x) = x3 - 4- x + 6 a) (1) Ermitteln Sie den Inhalt der Fläche, d ie f (x) und q1 (x) = 6x 2 - 12x+ 6 umschließen. (2) Zeigen Sie, dass -1 und 1 und 3 Schnittstellen von f {x) und q2(x) = 3x2 - 3x + 3 3

sind, und berechnen Sie

j (f (x) -

q2 {x})dx.

-1

•

Fertigen Sie zu (1) und (2 ) aussagekräftige Skizzen an. ■ Was fällt auf, wenn Sie die Schnittstellen und d ie Tei lflächen in {1) und (2) vergleichen .

Was bedeutet dies jeweils für die Flächen unter f, q 1 und q2 in diesen Intervallen? b) Ze igen Sie, dass ql und q2 aus a) zu den quadratischen Funktionen q mit

q{x) = 3 (k + 2) · x2 - 3 (k + 2)2 · x + k 3 + 6 k 2 + 8 k + 6 gehören. Beschreiben Sie, was hier mit einem.

~-------------PertiR

CAS gezeigt w ird. Vera llgemeinern Sie Ihre Entdeckung aus a). Welche weitePe,rtig

ren Fragen ergeben sich?

•

k+4

c) Stellen Sie einen Bezug zu Au fgabe 8 aus Kap itel 1.4 her (Keplerregel).

0

(r1(x)-./2(x)}dx '

k

Grt1nd,vissen 1. Skizzieren Sie die Funktionen f und g mit f (x) = - x2 + 4 und g(x) rechnen Sie die Schnittpunkte. 2. FassenSiezusam men:

a ) 3ab-(b-(a-2)+4b)

=2 x + 1

und be-

b) - (-(b + a-(a-b)))

l

50

J (1 Integralrechnung (Aufgaben) Integrale als Mittelwert

(}D Mittlere Tagestemperatur An einem Sommertag wird alle zwei Stunden die Temperatur gemessen. Uhrzeit

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

22

24

Temp. in " C

13

12

13

16

20

24

27

28

27

25

21

17

14

a) Bestimmen Sie mithi lfe der Messungen die du rchschn ittliche Tagestemperatur. b) Die Messdaten werden durch die Funktion f(x) = 8 · sin(0,5x- 2) + 20 beschrieben. 24

Berechnen Sie das Integral

i· J f{x)dx mithilfe des GTR. 0

Vergleichen Sie die beiden Werte. We lcher ist Ihrer Meinung nach der bessere Wert f ür die mittlere Ternperatur an diesem Tag?

~ Mltt

·~11.IPi"t

Mithi lfe des Integra ls kann die Definition des arith-

y

metischen Mittelwertes von Daten auf den Fa ll übertragen werden, dass die Daten kontinuierlich durch eine Funktion beschrieben werden . Der Mittelwert einer Funktion f im Intervall [a; b) ist gleich dem Wert des Integrals von f, dividiert durch die Länge des Intervalls. b

Ym=b~a· Jf(x) dx a

X

a

1„

b

b-a

„1

Geometrische Interpretation: Der Flächeninhalt unter dem Graphen wurde in ein f lächeninhaltsgleiches Rechteck mit der Höhe Ym und der Breite b - a verwandelt.

(]I) Mittlerer Gewinn Der Gewinnzufluss in€ pro Woche beim Verkauf eines neuen Produktes w ird in den ersten 12MonatenmitderFunktion f(x) = - 20x3 + 240x2 - 1200 beschrieben (vgl. 1.5 Aufgabe 4 ). Berechnen Sie den mittleren Gewinn in diesem Zeitraum.

(ID Lagerhaltungskosten Durchschnittliche Lagerhaltungskosten Der Funktionsm ittelwert wird in der Wirtschaft auch bei der Berechnung von Lagerhaltungskosten verwendet . Falls L {x) die Anzah l der Einheiten eines bestimmten Produkts ist, das eine Firma am Tag x auf Lager hält, dann gibt der Mittelwert LM von L (x) über einen bestimmten Ze itraum a:::;; x s; b die m ittlere Anzahl der pro Tag gelagerten Produkteinheiten an.

Ein Großhändler erhält alle 30 Tage eine Sendung von 1200 Kisten Pralinenschachteln. Diese verkauft er an die Einze lhändler. x Tage nach Erhalt der Sendung beträgt die Anzah l der Kisten , die noch im Lager sind, L {x) = ½{x- 30)2. Wie groß sind d ie durchschnittlichen tägLichen Lagerkosten, wenn die täglichen Lagerkosten für eine Kiste 35 Cent betragen?

[_ill

1.7 Offene Flächen berechnen

1.7

Offene Flächen berechnen

Es werden Flächen untersucht, die „ins Unendliche offen" sind. Dabei kommt das Unendliche wieder ins Spiel.

(Aufgaben)

OJ Wenn Flächen nicht ganz dicht sind - numerisch

J~

Was vermuten Sie spontan zu der Entwicklung für k ➔ oo bzw. k ➔ O? Untersuchen Sie mit dem GTR . Fü llen Sie die Tabelle aus.

a}

b)

f(x)"' ~

-~-

•

1

•

'.....t '

l k=

2

.

ll:

k3

'

-

1

Y.

~

\

\

1

g ............

~1

-\

1 1 1

1

g

1' ....

.J

1

.,

:

1 1

k '.B

•

k-

5

4 . 605170186

·· ·····························~····

1

'r

~

(1/X)dX

g{x):x

17

V

88

1

-

1

1

1

k

2

f

1

5

k - 0,5

k = 10

k = 10

k : 0 ,1

k = 50

k=

k = 100

k = 100

k =0,001 k = 0,0001

k-- oo

k-"0

50

Warum lassen sich die Fragen nicht eindeutig mit diesen Untersuchungen klären? Woran scheitert eine rechnerische Klärung?

OJ Wenn Flächen nicht ganz dicht sind - grafisch und rechnerisch Geben Sie die zu den Flächen passenden Integralfunktionen an. We lche Vermutung über die Flächenentwicklungen für k ➔ oo bzw. k ➔ 0 haben Sie mit den Graphen der I ntegralfunktionen? Untersuchen Sie die Grenzprozesse anhand der Terme für die lntegralfunktionen. Überraschen Sie die Ergebnisse? ~

a) 2 f(x)=.l..= x2 x ,•

b)

k

Jf(x)dx =?

f(x) = ....!.. ../x "" x 1·,

Jf(x)dx -? 1

1 -

.

y

1

-

-

-

-

-

1

\

J

'./

4

\

1

'• •

.

/_

·-

...... 1

,:;,

-2

1

k

- - ·- -

1, k)

8

,_

/

1

•

1 1

-

4

t

I ,.......

·-

4

. 4

~

'1 k1 -

,,,,,

2

'

~

'-+

.... ~

---

,/

1(

/

~

-

. 2 k

4 . -2 .

1,

,, 4

1

•

-·2

~

2

~

I

]2 -2

4

'

.

6

1D

( 52 ]

f1 Integralrechnun g) (Basiswissen)

Mithilfe der Integralrechnung können auch Flächen, die ins Unendli che offen" 11

sind, unt ersucht we rden. Uneigentliche Integrale Unbe schränkte Flächen kön nen auf zwe i Weisen entstehen. (1) Eine Integrationsgrenze ist „oo".

(2) Der Integrand ~x) ist im Integrationsintervall unbeschränkt.

y

y

t t t

f

1 1

1 1 1

'

1

'' 1 ' 1

1

t t

1

1

a p

Jf {x) dx

Jf (x) dx

a

a

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1

:P •

a

00

1 1 1 1 1 1

Diese I nt egrale heißen Uneigentliche I nte gra le. Ma n untersucht sie, indem man prüft, ob die zugehörigen Grenzwerte ex istieren. Beispiel: f (x) =~ X

~

-

j

= x- 2;

F (x) = -{

y

3

~

-

2

,

1

1

/

....

--'

-2 1

'

1

,)

'

-11 l '

'

--.;

. ' ~

-2

1

1 - 1

.

' --

2

1

~

1

k

J(x- 2 } dx =-¾ - {- 1) = 1 - ½ 1

~

y

k

J(x- 2 }dx =-¾- 1 k ➔ O

oo

-1

li m ( 1 -

k ,oo

t) = 1

Die Fläche w ächst über alle Grenzen, es existiert ke in Grenzwert.

Existieren d iese Grenzwerte nicht, dann sagt man auch, dass das uneigent liche I ntegra l nicht existiert.

(Übungen)

~

IT) Uneigentliche Integrale?

oo

,

J

J

2

0

Untersuchen Sie, ob d ie uneigentlichen I ntegrale f (x)dx und f (x) dx existieren. Geben Sie gegebenenfalls ihren Wert an. Fertigen Sie Skizzen an. a) f (x}=¾

b) f (x) = : 3

c) f {x) =~ x3

d} f (x)

=%+1

e} Best immen Sie in den Fällen, wo Konvergenz vorliegt , die Werte von x, ab denen der Abstand zum Grenzwert kleiner als

{1) 0,01

(2 ) 0 ,0001

wird.

1.7 Offene Flächen berechnen [ 53 )

( Übu1tgen )

[D Grafisch-numerische Untersuchungen Untersuchen Sie grafisch-numerisch, ob die Grenzwerte der uneigentlichen Integrale existieren. Fertigen Sie dazu zunächst Skizzen an. Warum gelingt hier keine rechnerische Untersuchung und kein eindeutiges Ergebnis? 0

00

f {}+2)dx;

c)

J (}+2)dx

-2 •

2

•

1\,.

,

2 1

.L

7

-,~ - 3

g

'

\

'

' f

-2

..- . . "-

7\

'"-

2

•

-

,-

fT

h

•

1

•

>

I

1

'

l

t

-2

'

-2

'

"

CI] Von unendlich zu endlich Sie haben erfahren, dass eine ins Unendliche offene Fläche einen endlichen Inhalt haben kann, aber auch über alle Grenzen wachsen kann. a) Untersuchen Sie mit dem GTR für verschiedene Werte von r mit 0,5 < r < 2 die Entwicklung von

1eee ( ·e.a)

J1 "'

X

dX

14.90535853. ............................................

J:eee ( x·1.'1 )dX

k

J{x-r)dx

2.342260664

•• • •• •• •• ••••••••••••••• • •• • •• • •• • •••••• •• • • •

für k - oo

1

Finden Sie den Obergang von unbegrenztem Wachstum des Flächeninhalts zu einem endlichen Wert? k b) Bestimmen Sie das Integral J{x-r) dx rechner isch 1

X

für den allgemeinen Fall. Beantworten Sie damit die Frage.

~

-r-1 - r-1

·r dx

. 1

ffi Parameterwerte gesucht Lösen Sie die Gleichungen. Veranschau lichen Sie die Ergebnisse durch Skizzen. Achtung: Bei c) und d) aufpassen. a+l

a

a ) Jx- 2 dx = ½

d) J

; 2 dx = 2

a

1

Cz] Seltsame Technik 1 Begründen Sie ohne Rechnung, dass das CAS te ilweise falsche Ergebnisse liefert. Eine Skizze kann helfen. Lösen Sie die Gleichungen.

•Q

·1

a• -

x · 2 dx•4,a

solve

3

1

•

·1

Q

solve

~

"2 +:i)dx•O,.a

o•-

oro•l

2

1

[IJ Seltsame Technik 2 Was wird hier untersucht? Warum muss das zweite GTR- Ergebnis falsch sein? •

7

18 ( 1 ] ,, 1

-)(2 d X

.. . . ... . ........... .. ... . ... .. ...... .. ... ....0.9999999 .. ... . . . .. . .. . . . . ..

6.976039036E-6

••• •••• • • • •• • • ••••••• • ••••••••••• • •• • • • •• • • ••• • •• • • • •• • •••••••• •

( 54

J(1 Integralrechnung 7

Digitale Werkzeuge wie GTR, CAS oder generell ............................... ...~~.:?.?. Computer verfügen immer nur über endlich viele ,. ...........................................0. Zahlen, mit denen sie arbeiten können, sie müssen l / l 0 99.S 1110s, .S zwangsläufig bei sehr vielen Rechnungen runden. .............................................0 Wenn bei Rechnungen Werte auftreten, die sehr nahe bei O liegen, dann wird auf O gerundet und damit weiter gerechnet. Dadurch kann das Ergebnis vollständig verändert werden.

( Übu1:igen )

[TI Genauer hingescha ut a} Untersuchen Sie, ob folgende Aussagen gelten. 00

b}

Olga rechnet: 1

J x- 2 dx =

00

-1

{1) Jf(x)dx = g => J (f {x)+c )dx = g+c a

a

00

00

Jan meint skeptisch: „Das kann nicht sein, die Fläche liegt doch oberha lb der x-Achse."

{2) Jf{x)dx = g => Ja •f {x}dx = a ·g a

a

00

00

Wie kommt Olga auf ihr Ergebnis? Was meint Jan? Was ist Ihre Meinung dazu?

{3) J f {x)dx = g => J (f {x)}2 dx = g2 a

,!- (-+)= - 2

a

c) Etwas zum Staunen 1

prosz,m(99,- 1,1)

Zu J ~ dx sind Produktsummen mit - 1

prosum ermittelt worden {siehe Seite 31 ).

Was ist hier seltsam? Klären Sie das auf. Was vermuten Sie als richtiges Ergebnis?

0.020202

prosurn (l OO,-1, 1)

undef

prosum(l O1, -1, 1)

0.019802

pros111n (10000 1, -1, 1)

0.00002

CI[) Eine seltsame Wei de Obwohl das Schaf nur 2 m2 Platz zum Weiden hat, re icht kein Zaun dieser Welt aus, um die We ide einzuzäunen. Wenn man den Zaun aber nur ein wenig nach außen versetzt, haben unendlich viele Schafe genug Platz zum Weiden. Erläutern Sie den Text mithilfe der Rechnungen und der Skizze. Wie sind die Zäune „modelliert" worden?

y 1

1

2

,. Cl)

3

4

2

_,

5

7

6

•

Cl)

X

•

1

Cl)

-2

J

? -

8

dx

X

-3

• 1

Gr11nd,vissen 1. Vergleichen Sie: (102}3; (10 3 }2 ; 10(23) ; 102. 103. 2. a) Wieviellitersind3m 3? b) GebenSie32g inkgan. c) Geben Sie 1 Stunde in Sekunden an. d ) Wie viel m/s sind 72 km / h?

dx

1.8 Volumen berechnen ( 55 ]

1.8

Volumen berechnen

Mit I ntegralen können Flächeninhalte vo n krummlinig berandet en Flächen berechnet werden. Auch bei der Volumenberechnung kann die I ntegralrechnung hä ufig helfen.

(Aufgaben)

CI] Ein Paraboloid y Rotiert eine Parabel um ihre Symmetrie2 achse, entsteht ein Rotationskörper, in diesem Fa ll ein Paraboloid. Wenn man die 1 x-Achse als Symmetrieachse wählt, 1st die X ---➔----+----~--+-+-+--t-----t--t-----,~ rotierende Funktion f (x) = ✓ x. 5 6 7 8 Für eine Berechnung des Volumens dieses -1 Paraboloids benutzt man wieder die Idee -2 der Zerlegung der Fläche unter f in Rechtecke. Bei der Rotation entstehen daraus y Zylinder, deren Vo lumen berechnet wer2 f (Xk)- --------den kann. 1 1 1 1 1 1 l a) Was sind hier Radius und Höhe der 1 1 1 1 1 1 1 a.....t" I 1 1 1 l 1 1 1 1 1 f 1 1 Zylinderscheiben? 11111 1 X ....__._ ~-+- - '-b) • Berechnen Sie Näherungswerte für 5 6 7 8 ' ........ 1 2 das Volumen des abgebildeten Para -1 ...... boloids fü r eine Zerlegung in J -2 (1) vier Scheiben, 12) acht Scheiben. -------• Begründen Sie, dass n V0 =n •(f {x1 ) )2 • Li x + Tt • (f (x2 ))2 •t. x + ... + Tt - (f (x0 } )2 •Lix =Tt • (f (xk} )2 •t. x eine allgemeine Formel für die Produktsumme liefert. k=1 c) Mit GTR und CAS können komfo rtabel bessere Näherungen für das Vo lumen von Rotationskörpern berechnet werden. Begründen Sie diese FormeL GTR CAS

, ......

----

L

GTR/ CAS n muss beim GTR x sein.

~-------------~

I \ Y1=Jx

n

1\ Y2!:ln•B/X•

! (Y

1(

l{:1

B• K/X ) 2 )

·otvo!(,1,b):=n· ~-

L

•

2

fl b· k , n

k== 1 Fertig

. .. . .. . ... . . . . . . ... . . . . . .. . . .. . . .. " .. . . ... .. . . .. 4...

....,. , ....... ........... 31.41S926S4 .... .............. .....

"1{x):=.Jx

Fertig

·otvo/(4,4)

3 1.4159

·otvo!(4,4)

10· n:

,

X '1

1 'I 2 'I 3'1 't 'I 5'1

"

.

Y2 3 1.'116 2 6.928 26 .18 25 .87 2 25 .78't 25 .5CJ8 .., .. 11:'") t'

b

d) Begründen Sie, dass mit der Formel rr ·J{f (x)J2 dx das Vo lumen eines Rotationsa

körpers mit der x-Achse als Rot ationsachse berechnet werden kann. Berechnen Sie damit das Volumen des Paraboloids.

l

56

( 1 Integralrechnung)

( Basiswissen )

Mithilfe der Integralrechnung können Volumen von Körpern berechnet werden, die durch die Rotation einer Kurve um eine Achse entstehen.

Volumen von Rotationskörpern Die Fläche unter dem Graphen von f im Intervall [a; b] rotiert um die x-Achse. Man untertei lt das Intervall in n kleine Abschnitte der Breite t:ix = b~ a. Jeder der dadurch entstehenden Rechteckstreifen der Höhe f{xi) erzeugt bei der Rotation eine Zylinderscheibe. Die Summe der Vo lumina dieser Zylinderscheiben liefert dann einen gute n Näherungswert für das Volumen des Rotationskörpers.

1

1

1

t 1

1

1

1

:

:

1

1

I

1

1

1

1

1

1

1

a

X

b

' ....

---

n

V:::: n •{f(x 1))2 •f}x +TI• {f{x2))2 •t:ix + ... + TI • (f{x0 ))2 •t:ix =TI•

L{{f(xk)}2 •t:ix)

k-= l

Der Grenzwert dieser Produktsummen kann als Integral berechnet werden. n

b

V=nl~ TI·L {{f(xk))2 ·L1 x) =TI ·J(f{x)) 2 dx a

k=l

(Beis piele)

ffi Eine rotierende Parabel Skizzieren Sie die Form des Körpers, der durch Rotation der Fläche unter dem Graphen von f (x) = x2 + 1 im Intervall [- 1; 1) entsteht. Bestimmen Sie sein Vo lumen. Lösung: 1

f (x) y

1

V = TI · J {x2 + 1 }2 dx = 2 TI •J(x4+2 x2 + 1 )dx 0

-1 X

= 2 TI · Iix5+!x3+ x jo

1

IT) Rotationskörper skizzieren und berechnen Skizzieren Sie ein Bild des Körpers, der bei Rotation der Fläche unter dem Graphen von f im Intervall [a; bJum die x-Achse entsteht. Berechnen Sie sein Volumen. a) f {x)=x + 1 b) f {x) = ½• x2 c) f {x)= -Rx d) f {x) = - x2 + 4 [- 2; 1] (1;2] (0; 4) [- 1;3)

(TI Potenzfunktionen Vgl. 1.6 Aufgabe 10

y

y

a) Berechnen Sie jeweils das Volumen des Körpers, der bei Rotation der Fläche unter dem Graphen der Potenzfunktion um die xAchse im Intervall [O; 1] entsteht. f 1 {x)= x f 2 (x)= x2 f 3 (x)= x3 1 b) Wie entwickeln sich die Volum ina der Rotationskörper, wenn die Exponenten über alle Grenzen wachsen? Vergleichen Sie mit der Entwicklung der Inhalte der entsprechenden Flächen.

1.8 Volumen berechnen [ 57

( Übungen )

[D Bekanntes in neuem Gewand a) Rotiert eine Ursprungsgerade f (x) = m · x in [ü; b) um die x-Achse, ent steht ein bekannter Körper, welcher? Berechnen Sie das Volumen mithilfe der Integralrechnung. Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Formel aus der Formelsammlung. b) Begründen Sie, dass y = ✓r 2 - x2 die Gleichung eines Halbkreises mit M {O10) ist. Leiten Sie damit die Volumenformel für eine Kugel her.

CTJ Eine neue Formel mit Integralrechnung Rotiert der Graph von f (x) = m -x in [a; b] m it a > 0, b > a um die x-Achse, entsteht ein Kegelstumpf.

h

• Berechnen Sie das Volumen als Rotationskörper. • Vergleichen Sie das Ergebnis mit der Formel aus der Formelsamm lu ng:

V=½·n · h · (rf + r1 · r2 + rJ)

.,.

,,- ---

--..... ... __....

1 1

1

1

l a

y 2

Durch Rotat ion der blauen Fläche um die x-Achse entsteht eine „Vase". Der Materialbedarf soll berechnet

-' -1

Louis und Ame lie machen folgende Ansätze :

rc · J{f ( x) )2 dx 0

1t

rr ·

,,

•

werden .

1t

b

-:!

•

f (:

)= ✓2

-- -

Ir "'-- 1

'

1

- ~-1.(v" X .... 1

.

.

.__

~

Amelie:

J{g(x) )2 dx

-

~

'

'

1t

rc·f (f(x) -

g(x)) 2 dx

0

0

• Begründen Sie mithilfe der Terme, dass nicht beide Ansätze richtig sein können . • Zu welchen Ergebnissen kommen Amelie und Louis? • Welcher Ansatz ist richtig? Veranschaulichen Sie, was mit dem falschen Ansatz berechnet wird.

IT] Hohlkörper Berechnen Sie das Volumen der Drehkörper, die bei Rotat ion der blau gefärbten Fläche um die x-Ac hse entstehen.

a)

X

r linweis: (b 3 - a3) = (b - a). (b 2 + a. b + a2)

ffi Eine mathematische Vase

Louis:

y

y

y

b)

y

y

g 1

1

4

f (X) = X2 + 2; g (X) = ½X+ 1

Grtmd,vissen 1. Sind folgende Aussagen wahr, falsch oder nicht entscheidbar? Begründen Sie. a ) Wenn eine Funktion f an der Stelle 1 den Funktionswert 2 hat, gilt f (2) = 1. b) Gilt f '(2) = 1, dann hat die Tangente an der Stelle 2 die Steigung 1. c) Gi lt f "( 2) < 0, dann gilt f '( 2) > 0.

j

~ ( 1 Integralrechnung ]

(Aufgaben)

(]] Volumen eines Weinfasses y Von JOHANNES KEPLER (1571 - 1630) stammt die folgende Formel zur Berechnung des Volumens eines Weinfasses: r R r V = 1; · h · { 8 R2 + 4 R r + 3 r2 ) Für eine parabelförrnige Berandung liefert diese Formel den gleichen Wert wie die Integralformel für das Rotationsvolumen. h a) Bestätigen Sie die Aussage für ein Fass mit R = 5, r = 4 und h = 12 (Länge in dm). b) Begründen Sie die Keplerformel allgemein mithilfe des Integrals. -

Exkt1rs

tmd die Weinfässer Im Jahre 1613 kauft JOHANNES KEPLER einen Vorrat Wein in Fässern. Einige Tage später kommt der I 0 so an, dass für f (x) = x3 - 4 x gilt: b

b

(1) Jt{x) dx > O a

b

{2) Jt(x)dx=O

(3) Jt(x)dx 4 Wann ist der Tank voll? 6 Zufluss in m~

-

4

m-

2

~

.

ze'tin min

2

4

6

8

1

[ill Datenübertragung kbit ist die Einheit zur Messung der Datenmenge .

Wenn mit einem Computer Daten aus dem · kb. 300 U 1n lt 1S Internet geladen werden, kann man auf dem Bildschirm ständig die Übertragungsrate ab200 lesen. Der Wert der Übertragungsrat e ist in der Regel nicht konstant. Die Übertragungsrate wird in kbit/s gemessen. t in s Bei einem La devorgang ergab sich eine .. bertragungsraten · f un kt1on · mit · der Gle1· 5 1o 15 20 U chung u (t) = 20 · { 3~ 0 - ~ + 2t + 2}. Der Übertragungsvorgang dauerte 30 Sekunden. Wie groß waren die minimale und die 111aximale Übertragungsrate während des Vo rgangs? Wie groß war die durchschnittliche Übertragungsrate? Wie groß war die gesamte übertragene Datenmenge? Zu welchem Zeitpunkt war die Hälfte der Datenmenge übertragen?

00 Wurzelbecher nach Maß Ein Becher entsteht durch Rotation der blau gefärbten Fläche um die x-Achse. Welche Höhe h muss der Becher haben, damit das Rotationsvolumen ungefähr 200cm 3 beträgt? Die beiden Funktionen lauten: f(x)= ✓5x+ 4 ; g(x)=.J5x-4

Breite in cm

2 Höhe ,n cm

1

J

r 68 J [2 Kurvenanpassung]

-

)_

.•

Kurvenan . . . . assun'L...# Der dänische Möbeldesigner Poul Kjrerholm gehört zu den wichtigsten Verb·etern des legendären dänischen Designs. 1965 entwickelte er die Liege ,,Hammock PK 24''. Die Form dieser Liege kann für die industrielle Fertigung als mathematische Kurve mit Computerunterstützung beschrieben und konstruiert werden (CAD: Computer aided design). Bei der Modellierung solcher Formen treten ganzrationale Funktionen als Werkzeuge auf. Mit Kenntnissen über die besonderen Punkte solcher Funktionen können dann die unterschiedlichsten Formen beschrieben werden. Manchmal muss man eine Form auch aus mehreren Funktionen zusammensetzen. Dabei w erden grundlegende Eigenschaften von Funktionen benötigt.

übersieht ( 69 )

Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen

2.1

Wenn man einige die Form prägende Punkte heraus liest, kann damit eine ganzrationale Funktion mithilfe linearer Gleichungssysteme bestimmt werden.

2.2

Lineare Gleichungssysteme - Gauß -Algorithmus 3a - 6b+12c= - 21 3a - 5b+ 2c=-27 2a+ b+ 2c= - 4-

Lineare Gleichungssysteme können auch ohne GTR gelöst werden, wenn man durch Äqu iva lenzumformungen nur noch eine Gleichung mit nur einer Variablen hat.

Funktionen aus Bedingungen bestimmen

2.3

Bisher wurden vorgegebene Funktionen untersucht.

•

' .....)

Jetzt werden aus vorgegebenen Eigenschaften 1

yp

(,,Steckbriefen" ) die Funktionsgleich ung und der voll-

)'

T

ständige Graph ermittelt .

X

1

Modellieren mit abschnittsweise definierten

2.4

Funktionen l(

Manchmal passt nicht eine einzige Funktion für eine

0 12

zufriedenstellende Beschreibung einer Form . Man baut dann die Kontur aus mehreren Funktionen zusammen.

Stetigkeit und Differenzierbarkeit

2.5

Ganzrationa le Funktionen sind überall glatt. Es gibt aber auch Funktionen, deren Graphen Sprünge und

*

2

-

, 1,+

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1

v+ 1 1-

'

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1 1 1-

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1

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Knicke haben. Solche krit ischen Stellen werden in diesem Lernabschnitt systematisch untersucht.

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2

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1

3

c;

-

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Funktionenscharen

2.6

Variable Bedingungen in Sachsituatlonen führen bei der mathematischen Beschreibung zu Funktionstermen mit Parametern. Die Untersuchung solcher Funktionen-

X

-4

scharen verschafft überblick.

-2

4

2

Gebietsübergreifende Aufgaben

2.7

In vielen Sachsituationen treten verschiedene mathematische Gebiete auf. Beispiele dafür werden hier unte rsucht. Flächen, Volumen, Kurvenanpassungen usw. haben ihren Auftritt.

2

2

3

4

;:,

6

7

s

9

·o

70

[ 2 Kttrvenanpassu~

2.1

Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen

[D Eine Fledermausgaube Für die computerge-

----r-~----~

stützte Fertigung einer rledermausgaube so ll die Form durch eine geeignete Kurve beschrieben werden. Ein Bild wird in ein Koordinatensystem einge passt und Punkte werden ausgelesen:

A (- 6 I0); B (- 4 IO, 6);

- -::.:::t.!:::.!;:c..::::t;..:t::c.!:~=a::.::::c!:.T.!:::c.!:::~~~

C (-311 ); D (-1,5 11,3); E(Ol 1,5 ); F(1,5l1,3);G (3 11); Hl 4 I0 ,6 ); 1(6 10 ) I n den Punkten A und I läuft die Gaube waagerecht aus. a) ■ Warum ist eine quadratische Funktion {1 ) Interpolationspo lynom durch A, C, E, kein geeignetes Modell? ■ Vergleichen Sie die Modelle (1}, (2 ) und (3). In welcher Hinsicht passen

G und I -------------

einige, in welcher Hinsicht nicht? Was erwarten Sie, wenn man noch mehr Punkte ausliest und lnterpolationspolynome von höherem Grad ermitte lt? Ermitteln Sie die passenden Funktionsgleichungen . (2 ) Interpolationspolynom durch alle

(quartreg)

Punkte

...... ........

(3 ) Regressionsfunktion vom Grad 4

..... ...

1..,.

, . ._ --'........_. ........ ....,r~

b} Die Werkzeuge „Interpolation" und „Regression" führen nicht immer zu zufriedenstellenden Ergebnissen. Sie benutzen nur die Punkte auf der gegebenen Form, nicht aber charakter istische Eigenschaften der Form. Nach Konstruktion muss d ie Gaube in E (0 l 1,5) einen Hochpunkt und in A (- 6 10) und I (6 J 0 ) waagerechte Tangenten haben. ■ Begründen Sie, dass f (x) =a . x4 + b • x2 + c ein sinnvoller Ansatz ist. ■ Fü llen Sie die Tabelle aus und ermitte ln

Bedingung

Gleichung

f(O} = 1,5

1296a + 36 b + 6 t = 0

rrr

f'(6)= 0

Sie eine passende Funktion. ■ Warum benötigt man hier nicht die Bedingung f '{O) = O?

2.1 Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen ( 71 )

( Basiswissen )

Häufig benötigt man Funktionen zur Beschreibung von Formen und Konturen

Kurvenanpassung mit charakteristischen Punkten Für eine computergestützte Fertigung sind Beschreibungen von Formen und Gegenständen durch mathematische Funktionen notwendig. Häufig hilft hier eine Beachtung beso·n derer Punkte und Eigenschaften.

(1) Geeignetes Koordinatensystem festlegen.

A

(2) Punkt e auslesen: A(DIO), 8 (11- 0,1), C (2 j- 0,4), D (3 1- 0,6), E(41 - 0 ,3), F(5 I0,5) (3) Charakteristische Eigenschaften: Aist Hochpunkt, D ist Tiefpunkt

1

ii-+2 __ ;.......?----•'

1 ' 1

---.. -- .

i ---~---·-·--------! 1

1 ''' (4) Festlegung der Bedingungen und Auswahl eines passenden Funktionstyps: ■ A ist Hochpunkt: f(O) = O; f'(O) = 0 Fünf Bedingungen , also ganzrationale ■ Dist Tiefpunkt : f (3)=- 0,6; f '( 3) = 0 Funktion vom Grad 4: ■ F ist Punktzuf: f(5)-0,5 f (x)= ax 4 + bx3 +cx2 +dx+e f '(x) = 4ax3 + 3bx2 ... 2cx + d

(5) a) Lösung mit GTR: LGS aufstellen und Matrlzenkalküt:

I II III

IV V

e= 0 d =0 81 a + 27b + 9c + 3d + e =- 0,6 ~ - 0 108a + 27b+ 6c + d 625 a + 125 b + 25 c + 5 d + e = 0 ,5

-

1 0 0 0 0 - 0,00055 0 1 0 0 0 0,04 777 ~ 0 0 1 0 0 - 0,205 rref 00010 0 00001 0 f (x) =- 0,00055 x4 + 0,04777 x3 - 0,205 x2 Die Funktion passt gut.

0 0 0 0 0 0 81 27 9 108 27 6 625 125 25

1

0 1 3 1 5

0 1 0 0 1 - 06 J 0 0 1 0,5

1

-n1 l

-, 1 !' ' -L.. l

2

1

:1 ---·--!' '

b) Losung mit CAS :

t(x):•a· x 4 +b· x 3 +c· x 2 +d· x+e

Fertig

d/(x):• .!!..(t(x))

Fertig

dx

solve{,(o)-o and d/(o)=O and/(3)--o.o and d/(3)-0 and/s)-o.s,{ a,b,c,d,e }) a=-0.000556 and b=0.047778 and c=-0.205 and d=O. and e=O. (6) Überprüfung der Passung der Funktion mit der gegebenen Form. Bei schlechter Passung andere und/ oder weitere Bedingungen aus der Form ablesen und Neuansatz mit passendem Funktionst yp durchführen.

l

( 2 Kurvenan passun

72

(Beispiele]

ßJ Minigolf mit Mathe Bei einer Minigolfbahn soll eine Bande zwischen Bund C so gebaut werden, dass man vom Abschlagpunkt A möglichst einfach d irekt in L einlochen kann.

y 6

'.1 1)

,

2 1

',

' ',

1

3

Lösung:

''

J J

''

, I' A 1

(Übungen]

,,

• Eine mögliche Funktion f muss durch die X ' L Punkte Bund C verlaufen, also -1 1 2 4 5 7 8 9101111213 f {1)= 4; f(4)= 5 • Damit die Kugel „frei " Läuft, darf in Bund C kein Knick in der Bahn se in, f muss eine knickfreie Verbindung herste llen. Die Steigu ng von f in Bund C muss also mit den Steigungen der Geraden AB bzw. CL übereinstimmen. gA 8 (x)= 4 x; gcL{x)= - x+9, also f'( 1)=4; f'( 4)= - 1 Weil es vier notwendige Bedingungen I f{1) = 4 a+ b+ c d= 4 gibt, ist eine ganzrationa le Funktion vom II f {4) = 5 64 a + 16 b + 4 c + d = 5 3a + 2b + c - 4 Grad 3 ein sinnvoller Ansatz. III f'(1 ) = 4 = -1 Lösungsfunktion mit GTR/CAS: IV f'{4) = -1 48 a + 8 b + c f {x) = 0,26x3 - 2,78x2 + 8,78; 1 s x s 4

e

r

f (x) = ax3 + bx 2 +cx+d f'(x) = 3ax2 +2bx + c

' ' ',

IT) Ein Firmenlogo y

Das Designbüro GonRat3 hat für einen Kunden ein neues Logo entwickelt. Das Logo ist punktsymmetrisch und wird in den angegebenen Maßen produziert. Die Designer haben ganzrationale Funktionen vom Grad 3 benutzt. a) Ermitteln Sie passende Randfunktionen. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Logos.

1m

ffi Ein Dach LlO: CJCTJ 6ir,

Bm

11.l

rT7

•11

Ei11 Dach für eine Halle mit den angegebenen Maßen soll in der nebenstehenden Form konstru iert werden. Der höchste Punkt liegt in einer Höhe von 8 m, die seitlichen Stützmauern sind 6 m hoch, der Dachauslauf an den Seiten soll kn ickfrei und waagerecht seitlich der Stützmauern sein. a) Ermitteln Sie eine geeignete Funktion. b) An welcher Stelle ist das Dach am steilsten? ( ] ] Ganzrationale Renovierung der Wasserrutsche Die Wasserrutsche am Kinderbecken ist etwas in die Jahre gekommen. Sie soll durch eine Rutsche mit dem grafischen Design eines Polynoms 3. Grades ersetzt werden. Zwei Varianten werden vorgeschlagen: I : Die Rutsche schließt in C und B knickfrei an die waage rechten Stücke an. AB = 4 m; AC = 2 m; BD = 0,5 m II: Das Polynomdesign re icht von C bis D und weist im Anfangs- und Endpunkt jewe ils die Steigung O auf.

.... Da d ie Rutsche für Kinder genutzt wird, darf die maximale Steigung 120 % nicht überschreiten.

-1

1

2

5

2.1 Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen ( 73 ]

(Übungen)

CI] Hell Gate Bridge Die Hell Gate Bridge ist eine Eisenbahnbrücke über den East River in New York City. Sie war bei ihrer Fertigstellung 1916 die größte Bogenbrücke der Welt.

A (- 410,3), B(- 310,6), C{- 21 1), D(- 1 11,2), E(011,3), F (1 11,2), G(210,9), H(310,5 ), I (4 10,3) a) Beschreiben Sie den oberen Brückenbogen durch eine geeignete Funktion mithilfe charakteristischer Punkte. Warum ist eine Parabel nicht passend? Vergleichen Sie I hr Mode ll mit Regressionsfunktionen und Interpolationspolynomen. b) Finden Sie für den unteren Bogen ein geeignetes Modell.

IT] Pampulha und Gallery Modellieren Sie jeweils die Kontur zweier Gebäude von OSCAR NI EMEYER. (1) Ein Gebäude aus dem Ensemble der Moderne in Pampulha, einem Stadtteil von Belo Horizonte in Brasilien.

- --·-··-+---+-·----·•• • •

.1

1

Wieviel Farbe benötigt man für die Vorderseite, wenn man 400 ml/ m2 braucht? Das Gebäude ist 20 m breit. (2) Serpentine Gallery Pavillion von 2003.

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Wieviel rote Farbe benötigt man? Die Breite des roten Abschnitts beträgt 8 m.

t • ,:.__

[ 74

( 2 Kurvenanpassun g]

(Übungen)

CI] Zwei unterschied liche Sachsituationen (A) Die Kontur eines Gegenstandes soll modelliert werden. Dazu werden Punkte ausge lesen. y

.

{B) Der Bestand einer Tierart in einem Naturpark wird jä hrlich gemessen (Angabe in Hundert). - -y ,. • - -

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i

1

X

Die Abbi ldungen zeigen Modelle, die mit unterschiedlichen Methoden erzeugt sind . Wo sind die Modellierungen den Sachsituationen angemessen und wo nicht? Verglei chen Sie. Welche Zie le werden mit den Modellierungen in {A) und (B) verfolgt? / y ,. - ,_ ~ Y .y / T,....... .... 1 • • -4 -'-4 • 1 _,, ~ V

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Lineare Regression y

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I X

' -·• ' Regression mit Grad 4

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Kubische Regression y

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~ • Exponentielle Regression

2

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X

X

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1

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1

Interpolation mit 7 Punkten

Interpolation aller Punkten

ITJ Gewicht und Körpergröße von Fußbal lspielern -=-- - - - - - -----= Gibt es einen Zusammenhang zwischen dem Gewicht und der Körpergröße von Fu ßba llsp ielern? Eine erste Vermutung: Je größer, desto schwerer. Um Genaueres zu erfahren, werden Messungen vorgenommen . Größe in cm

165

172

176

178-

186

187

190

Gewicht in kg

62

64

74

80

82

77

86

Max, Moritz und Helena modellieren unterschiedlich. Ausnahmen bestätigen die Regel: Peter Crouch (rechts; 2,01 m; ca. 75kg) wog zu seinen Profizeiten w eniger als Wayne Rooney (links; 1,76 m ; ca. 83kg)

t

Max

Interpolat1onspolynom vom Grad 6

70 .

Moritz

Lineare Regression

sn

Helena

Quadratische Regression

Beurtei len Sie die Modellierungen.

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90

2QO : 2 1 0

1

X

2.1 Kurvenanpassung mit ganzrationalen Funktionen [ 75 ]

Exkt1rs Interpolation 1md Regression Mit Funktionen können verschiedene Sachsituationen beschrieben werden. Dies geschieht fast immer näherungsweise, viele Aspekte der Wirklichkeit müssen unberücksichtigt bleiben. Bei der Beschreibung gibt es zwei grundsätzlich unterschiedliche Ziele: (1) Ziel ist eine möglichst gute Passung mit einem Gegenstand (Brücke, Dachform, Stuhl,..)

(2) Ziel sind Prognosen durch Auswertung von Datensätzen mit Funktionen (C02, Tierbestände, ... ).

y

y

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4

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2

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12

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18 20

2

4

6

8

10

12

114

16

18

20

Während in (1) der Verlauf des Graphen außerl1alb des interessierenden Intervalls nebensächlich ist, ist dieser bei (2) von ze11tralem Interesse (Voraussagen). Während in (1) die genat1e Passung von hoher Wichtigkeit ist, ist diese bei (2) wenig entscheidend. Zu (1): Interpolationspolynome liefern häufig noch kein zufriedenstellendes Ergebnis. Mithilfe ausgewählter Punkte und Eigenschaften findet man bessere 1'v1odelle. In 2.4 lernen Sie weitere Verfahren zu dieser Alt des Modellierens kennen. Zu (2): Regressionskurven Ausgangspunkt sind die Tabelle und die grafische Darstellung (Streudiagramm) von gemessenen Wertepaaren zweier Größen. Man vermutet einen funktionalen Zusammenhang (wenn die Punkte z.B. in etwa auf einer Geraden oder einer Parabel liegen). Selbst wenn ein eh1deutiger funktionaler Zusa1nmenhang zwischen den Messgrößen zugrunde liegt, liegen die Punkte in der Regel nicht exakt auf dem zugehörigen Graphen. 1\!1an versucht nun, eine Funktion zu finden, die möglichst gut zu den gegebenen Punkten passt. Dies gelingt oft schon recht gut dm·ch Einzeichnen einer solchen Kurve „per Augenmaß". In der Regressionsrechnung wird die Kurve nach y • bestimmten Methoden berechnet, häufig nach 1 r der Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Dabei werden die Koeffizienten der vermuteten Funl1:ionsvorschrift so bestimn1t, dass die Summe der Quadrate der lotrechten Abweichungen der X Punkte von der Ausgleichskurve minimiert wird. Wenn man die senkrechten Abstände oder die Beträge der Abstände als Kriterium für die 1\1inimi erung wälilen würde, wäre der rechnerische Aufwand meist größer und kerne einheitlichen Formeln möglich. Die Minimierung der quadratischen Abweichungen kann aber auch Nachteile haben. Falls in einem Datensatz ein oder melrrere Ausreißer vorkommen, bekommen diese durch das Quadrieren ein besonders großes Gewicht und verzerren die Regressionsfunktion in Richtung der Ausreißer: Manchmal werden die Ausreißer dann weggelassen. Dies muss im Sachzt1sammenhang diskutiert werden. ~

-

-

Gr1111dwisse11 1. Gegebenistdie Funktionfm it f {x) = x2 -x+ 1 Geben Sie jeweils an und vereinfachen Sie -we nn möglich - die Terme. a) f (3) b) f {- a) c) 2-f(a) d) f(a) - f(2) e) f {2a) f) f {a - 1) 2. Beschreiben Sie, wie der Graph der Funktion jeweils aus dem Graphen von f mit f(x) = sin{x) hervorgeht und sk izz ieren Sie die Graphen in [O; 2nJ. a) g(x)=2·sin(x) b) h(x)= - sin{x) c) k {x)=sin{- x)

l

76

J (2 Kurvenanpassun ( Übu11gen)

(]J Konzert- und Kongresshalle Das Aud itorium von Teneriffa ist eine Konzert- und Kongressha lle in Santa Cruz de Tenerife. Sie wurde vom spanischen Architekten SANTIAGO CALATRAVA entworfen.

Applet eA-2.1-9

.,,.....-

•

Die Konturen der Dächer legen eine Modellierung mit Kreisen nahe. a) Finden Sie mit dem Applet passende Kreise. Geben Sie jeweils Mittelpunkt und Radius an. y b) ■ Begründen Sie, dass x2 + y2 = r2 die Gleichung ei nes Kre ises mit Mittelpunkt (010) und Radius r ist. Begründen Sie dam it, dass (x- Xm)2 + (y - Ym) 2 = r2 die Gleichung für einen Kreis mit Mittelpunkt (xmI Ym) ist. ■ Geben Sie die Gleichungen zu den Kreisen aus a) an und überprüfen Sie diese durch Ablesen geeigneter Punkte. X

y

(IQ] Die Reichstagskuppel

- 20

0

-18

9

- 15

15

- 12

18

-8

21

0

23

8

21

12

18

15

15

18

9

20

0

a) Versuchen Sie mithilfe der ausgelesenen Punkte eine geeignete Parabel zur Modellierung der Kuppelform zu finden . Beschreiben Sie eventuelle Schwierigkeiten. Versuchen Sie eine Modellierung mit Polynomen vom Grad 3 oder 4. b) ■ Begründen Sie, dass ein Kreisbogen kein passendes Modell sein kann. ■ Passt K (x) = ✓529 - 1,3225 x2 ?

~

~

X

y

b

K(x) beschreibt eine Ellipse. Die allgemeine Gleichung lautet ~ + ~: = 1, wenn der Mittelpunkt {O I 0) ist. Bestimmen Sie zu K passende Werte von a und b.

X

a

2.2 Lineare Gleichungssysteme- Gauß-Algorithmus ( 77

2.2

(Aufgaben)

Lineare Gleichungssysteme Gauß-Algorithmus

CI] Lineare Gleichungssysteme -

die Anzahl der Variablen und Gleichungen wächst Sie haben ohne digitale Werkzeuge bisher nur lineare Gleichungssysteme mit zwei Va riablen und zwei Gleichungen gelöst. Wie kann man Systeme mit mehr Variablen und Gleichungen lösen? In Spezialfällen geht das recht einfach. Lösen Sie die linea ren Gleichungssysteme. Beschreiben Sie die Besonde rheit dieser Systeme.

(1) I II

(2) I II III

2x - 4y= 14 3y =-6

- x+2y - 2z=7 Zy - z = 5 z=3

(3} I 4a+b - 2c+3d=0 II III IV

-2b+3c-4d=1 2c - d = 5 d =1

rn

Lineares Gleichungssystem - ,,ZU Fuß" Lineare Gleichungssysteme mit mehr als zwei Gleichungen haben Sie bisher nur mit dem GTR gelöst. Nun lernen Sie, wie man ein solches System „zu Fuß" löst. 2 a) Es soll das Polynom zweiten Grades f{x) = ax + bx + c bestimmt werden, dessen Graph durch die Punkte A(-1 16), 8(2 13) und C(316) verläuft.

a- b + c = 6 II 4 a + 2 b + c = 3 III 9 a + 3 b + c = 6

I

A(- 116): 8 (213): C(3 16):

a - b+

l I I ': 4I - I I III

6 0 - 6b+3c = 21 9a+3b+ c= 6

I

a-

C=

b+ c= 6 - 6b + 3c=21 0-12b+8c = 48

II' I II ': 91 - III

I a - b+ c= 6 II' -6b+3c = 21 III 2 II + I11 2c= 6 I I I"': III " : 2 C= 3 1

II : -

1

Strategie: Ziel: Die Anzahl der Variablen in einer Gleichung verr ingern, sodass eine Gleichung mit nur einer Variablen entsteht. ■

Wenn man die Gleichung I mit 4 multipliziert und dann von dieser neuen Gleichung die Gleichung II subtrahiert, erhält man die Gleichung II' mit nur zwei Variablen. ■ Mit der gleichen Strategie erhält man Gleichung III'. ■ Mit den Gleichungen II' und III' wird b eliminiert, man erhält III".

Durch .Rückwärtseinsetzen" in II' und I erhält man: II': - 6b+3 ·3 =21, also b= - 2 I: a -(-2)+3= 6, also a=1 f (X} = x2 - 2 X + 3 Überprüfung durch Einsetzen der Punkte und Grafik.

y 10 8

X

-3-2-1

-2

1 2 3 4 $ 1

b) Bestimmen Sie nach dem obigen Verfah ren das Polynom zweiten Grades, dessen Graph durch die Punkte P ( 1 14 ), Q (219) und R (3118) ver läuft.

J

{ 78 ] ( 2 Kurvenanpassung]

( Basiswissen )

Lineare Gleichungssysteme lassen sich systematisch mit dem Gauß -Algorithmus lösen.

Der Gauß-Algorithmus Durch geschicktes Multiplizieren der Gleichungen mit Zahlen und Add ieren oder Subtrahieren von Gleichungen werden Gleichungen mit weniger Variablen erzeugt bis man eine Gleichung mit nur einer Variablen erhält. Der Wert dieser Variab len wird rückwärts in die anderen Gleichungen eingesetzt und so die übrigen Variablen berechnet. Das Gleichungssystem kann übersichtlich als Matrix geschrieben werden, man berücksichtigt dann nur die Koeffizienten der Variablen. Ziel ist die Umformung der Matrix in eine Gestalt, bei der unter der Diagonalen nur Nullen stehen (Dreiecksform). LGS: Lineares

Matrix

LGS

Gleichungssystem

■

III

a + b+2c = 12 3a - 2b - 5c = 7 a + 2b - c =- 3

I II' llI'

a + b + 2c = 12 5 b + 11 c = 29 - b + 3 c =15

■

I II

■

■

I a + b + 2c = 12 II' 5 b + 11 c = 29 III" 26c = 104 II[" 26 c = 104 II' 5b + 11 · 4 = 29 I a +(- 3)+ 2 ·4=12

■

Koeffizienten zur gleichen Variablen in die gleiche Spalte ,,Zahl ohne Variable" rechts

a b c ' 1 1 2 :1 2 1 3 - 2 - 5 11 7 1 2 - 1: - 3

II': Multiplikation der Gleichung I mit 3 und Subtraktion der Gleichung lt (3 • I - II ) III': Subtraktion der Gleichung III von der Gleichung l (I - III) III": Gleichung III' mit 5 multiplizieren und mit II' addieren. (5 ·111' + II ' )

1 1 2 : 12 0 5 11 :1 29 0 - 1 3 ' 15

~

~ ~

c =4 b =- 3 a=7

1 1

2 : 12 0 5 11 : 29 0 0 26 : 104 Dreiecksform Lösung des LGS: Zahlentripel (a; b; c) = (7; - 3; 4)

Hinweis: Steht in der ersten Gleichung (Zeile) an der ersten Stelle eine 0, vertauscht man die Zeilen so, dass an erster Stelle keine O steht.

(Beispiele)

0

Ein LGS lösen Lösen Sie das LGS

y+z=-1 2x=2z -3 y 2y + 5 = x-3z

Lösung: 1. Gleichungen so sortieren, dass sie die Form a · x + b · Y+ c · z = d haben und Matrix aufschreiben.

I y+ Z=- 1 II 2x+3y-2z = 0 III - x + 2 y + 3 z = - 5

0 1 ➔

1 -1

2 3 -2 0 -1 2 3 -5

2. Gauß-Algorithmus zur Dreiecksform

II I III

2 3 -2 0 O 1 1 -1 -1 2 3 -5

➔

II I III': II + 2 III

2 3 -2 0 O 1 1 -1 O 7 4 -10

II 2 3 -2 0 0 1 1 -1 ➔ I III"= -71 + III ' 0 0 -3 -3

Zeilentausch -3 z =- 3 ~ Z= 1 y+1= - 1 ~y=-2 3. Rückwärts einsetzen: I: II: 2x+3·(- 2) - 2= 0 ~ X= 4

Lösung: {4; - 2; 1)

J

2.2 Lineare Gleichungssysteme - Gauß-Algorithmus [ 79

(Übungen)

~

CI] Bekannte Systeme mit neuem Verfahre n lösen Auch die von früher bekannten LGS mit zwei Variab len und zwei Gleichungen lassen sich mit dem Gauß-Algorithmus lösen. Überprüfen Sie die Lösung durch Einsetzen. a)

2x-y=-1

b)

-4xt3y=7

6y = 4x+2

c) 4a-10 = b

d) 2x=-4y+5

½b+5=a

2y=-4x-5

x-10=-2y

( ] ] Training per Hand a) x+y+ z = 2 b) x - y+2z= - 3 2x+y+ Z = 3

x+y= z -2 2x+z+2=7 - y 2y-4=x+z-1

CI) Parabeln durch drei Punkte ~

Bestimmen Sie d ie Gleichung der Parabel y = ax2 + bx + c durch die gegebenen Punkte. a} A(-1 17); B(O l 4);C(2l10) c) A{- 4 l 6);B(2 I O);C(4 16)

b) A(-1 l-6}; 8(1 I O);C(3l-2} d) A(- 2IO);B(1 11);C{5l - 2)

ffi Von der Dreiecksform zur Diagon alform

1 0 0 0 1 0 0 0 1

Die nebenstehende Form einer Matrix nennt man

-3 4 1

Diagonalform. a) Schreiben Sie die Matrix als Gleichungssystem und geben Sie die Lösung an. b) Aus der Dre iecksform kann durch Äqu iva lenzumformungen die Diagonalform hergestellt werden.

1 -2 4 0 1 -2 0

0

1

-7 2

1

1 0 0 O 1 -2 0 0 1

Das Doppelte der zweiten Zeile zur ersten addieren

- 3 2 1

Das Doppelte der dritten Zeile zur zweiten addieren

1 0 0

-3

0 1 0 0 0 1

4 1

Erzeugen Sie zu den Dreicksformen aus Aufgabe 4 die Diagonalformen.

Werlczet1g

3a-6b + 12c = -21 3 a - 5 b + 2c = - 27 2a + b - 2c = -4

LGS mithilfe von Matrizen mit GTR lösen

Koeffizient enma trix

Im Matrix-Editor die „erweiterte Koeffizientenmatr.ix" eingeben

'1ATRI XCA J 3 X4 3 ., 12 3 ·s 2 2

1

·2

· 21 ] ·21 --

[Al

f,----J.A'-----..,

3 -6 12 -21 3 -s 2 -27 2 1 -2 -4 Erweiterte Koeffizie.ntenmat rix

Nlit dem Befehl rref rref (CAJ ) wird die Matrix in 1 0 0 -3 Diagonalform überfuhrt. 0 1 0 4 0 0 1

a = - 3, b = 4, a = 1

Lösung: (-3; 4; 1)

1

IT) Training mit dem GTR Bestimmen Sie die Lösungen der Gleichungssysteme aus den Übungen 4 und 5 mit dem GTR mithilfe von Matrizen.

BQ] (2

Kurvenanpassung )

( Übu11gen)

ffi Immer eindeutige Lösung? Ein lineares Gleichungssystem kann

Zu den v ier Gleichungssystemen wurde m ithilfe von rref die Diagonalform erstellt.

•

Zusätzlich wurden die Graphen zu den

genau eine, ■ unendlich viele oder

einzelnen Gleichungen dargestellt.

■ keine Lösung haben.

■

Ordnen Sie jeweils die drei passenden Karten {LGS, Matrix, Graph) einander zu.

CD

2x+ y = 3 7x + y = 1

@ ( 1 0,5 0 )

0 0

©

1

®

1 0 _ _g_ 0 1

©

5 1 ~ 5

X

1

H

2x ·+ y = 4 2x+y = -3

- x - y= - 2 x+y = 2

©

(1 1 2) 0 0 0

1 0 -2 @ 7 0 1 l§_

®r

®

'J.J

-2..-1

CD

@- x+y= 3 6x+y = -2

7

3

~

X

-

-2-.-L

-1

Wie erkennt man an der Diagonalform der Matrix die gegenseitige Lage der beiden Geraden? Übersetzen Sie dazu die Matrizen in lineare Gleichungssysteme.

IT] Fragen zum Verstehen a) In Be ispie l A wurde zu Beginn des Verfahrens ein Zeilentausch {Vertauschen der Gleichungen I und II) vorgenommen. Warum war hier ein Zei lentausch sinnvo ll? Begründen Sie, dass ein Zeilentausch die Lösungsmenge des linearen Gleichungs systems nicht verändert. b) Man kann die Matrix auch in die nebenstehende

0 0

0 1 1 - 1 1 - 2 4

Dreiecksform umformen. Was sind nun die Lösungen?

3

2 1

c ) Ändert ein Spaltentausch d ie Lösungsmenge des Gleichungssystems?

Grttndwissen 1. Berechnen Sie die Extrem - und Wendepunkte des Graphen der Funktion f mit f {x) = x3 -6x + 1. In welchem Bereich ist die Funktion f monoton fallend? 2. Gegeben sind f {x) =x2 + x - 2 und g{x) =3x - 2. a ) Bestimmen Sie jeweils die Steigung der Graphen von f und g in ihren Schnittpunkten. b) In welchem Punkt hat der Graph von f d ie gleiche Steigung wie der von g? 3. Ordnen Sie begründet den Graphen eine passende Funktionsgleichung zu. g (x)~ x3+2x+ l

{2)

h (x)- - xl+ 2 x + 1

{3)

)(

)(

2.2 Lineare Gleichungssysteme- Gauß-Algorithmus [ 81

Exktu-s Ist GAUSS der Erfinder des GAuss-Algorithmus? GAUSS h at das nach :ihm benannte Lösungsvertahren nicht als Erster entwickelt. Bereits vor über 2000 Jahren verwendeten chinesische Mathematiker Zahlenschemata zur Lösung linearer Gleichungssysteme. In einem für die Ausbildung von Beamten geschriebenen Buch (,,Chiu. Chang Suan Shu" - Mathematik in neun Büchern) traten Beispiele für 3 x 3-Systeme auf, die in einer der !v1atrix ähnlichen Kurzform notiert und durch Oberftihrung in eine Dreiecksform gelöst wurden. In der neuzeitlichen europäischen Mathematik wurden Zllll ächst andere effektive Verfahren (Determinanten) zur Lösllllg linearer Gleichungssysteme entwickelt, bevor GAUSS dann in seinen 1nnfangreichen Arbeiten zur ai1ge...vandten Mathematik der Ve1wendung von Dreiecksmatrizen großes Gewicht verlieh.

(Aufgaben)

. d ou· bezeichnet ein alte s chinesisches Vo lum enm aß

OQJ Alte Aufgabe in neuem Gewand Ein Beispiel aus dem chinesischen

3 Garben guter Ernte, 2 Garben mittlerer und 1 Garbe schlechter Ernte geben

Buch:

39 dou; 2 Garben guter, 3 Garben mittle-

Übersetzen Sie es in ein Gleichungssystem und bestimmen Sie die Lösung.

rer und 1 Garbe schlechter Ernte 34 dou; 1 Garbe guter, 2 Garben mittlerer und 3 Garben schlechter Ernte 26 dou.

lliJ Rechendreiecke Für jede Seite eines Dreiecks sind Zahlen vorgegeben (Seiten-

zahlen). An den Ecken sollen Zah len (Eckzahlen) so gefunden, dass die Summe zweier Eckzah len die zugehörige Seitenzahl 40

ergibt. Recht s ist ein Beispiel angegeben.

(1)

{2)

54

{3)

{ 4)

71

26

21

a ) Suchen Sie Eckzahlen zu (1 ), {2), (3) und {4). b) Man kann das Problem auf unterschiedliche Weise systematisch, ohne Probieren, lösen. (1) Setzen Sie in einer Ecke „x" ein und fü llen Sie damit die anderen Ecken aus. (2) Setzen Sie in den Ecken ,,x", ,,y" und „z" ein. Stufen

Bälle

1

1

2

4

3

10

4

20

5 6

35 56

7

84

00 Die Tennisballpyramide - Mit Polynom und LGS zur Formel Tenn isbälle werden in der Form eines gleichseitigen Dreiecks angeo rdnet , sodass sich darauf eine Pyramid e aufba uen lässt. Erste Experimente verdeutlichen den stufenweisen Aufbau der Pyramiden

0

1 4 10 20 und die schnell wachsende Anzahl von benötigten Tennisbä llen. In der Tabelle ist d ie notwendige Anzahl von Tennisbällen für die ersten sieben Aufbaustufen festgehalten. W ie viele Bälle benötigt man für eine Pyramide der 50. Stufe?

Passen die Bälle eine r Pyramide der 100. Stufe auf einen Kleintransporter? Versuchen Sie ein Polynom mit möglichst niedrigem Grad zu finden, das zu der Tabe lle passt und beantworten Sie damit die Fragen.

J

82

[ 2 Kurvenanpassung]

2.3

(Aufgaben)

Funktionen aus Bedingungen bestimmen

IT) Bedingungen für den Funktionsgraphen a) Welche der angegebenen Eigenschaften werden jewei ls von den Funktionsgraphen erfüllt? Gibt es Graphen, die alle vier Eigenschaften erfü llen?


O

f (a) - f(a - h)

h

h- 0.• h >O

Eine Funktion heißt differenzierbar, w enn sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereiches differe nzierbar ist.

Nich t st et ige und n icht differenzierbare Graphen

(1) Für Diesel-Pkws müssen pro 100cm 3 Hubra un, 9,50 € Steuern bezah lt werden.

{2 ) Bei Abnah me vo n bis zu 1 Ol Olive nöl kostet der Liter 6€, jeder weit ere dann 5€.

Skizzieren Sie zu beiden Sa chverhalten einen pa ssenden Graphen . We lche Bedeutung haben hie r Stetigkeit und Differenzi erbarkeit? Was liegt an den kritische n Stellen vor? Lösung: St euErn In €

-

l

' 1

1 100

1

1

1

2r

t

300

1

1

1

~Ubfaum i l cm 3 . 400 500 600 i

(1) Nach jeweils 100cm 3 liegen Sprungstellen , also Unstetigkeit sstellen vor. Man m uss abrupt mehr Steuern be zahlen.

t

,,,, V

.

l00

l

20·•

,,,, V

Kosten in€

.

,,,, /

1

,,,, /

50

1

., V

Olivenöl if] Liter

/

1

5

1

1t0

115

20

25

30 i

{2) Der Graph ist stetig, hat aber bei x = 10 einen Kni ck, ist dort also nicht differenzierbar. Die Kosten ändern sich b ei 10 Litern abrupt.

J

L 98 ) ( 2 Kurvenanpassung]

[Beispiele)

0

• Punkt gehört zum Graphen Punkt gehört nicht zum Graphen

[[J Untersuchung einer Funktion Untersuchen Sie die Funktion an den Ste llen x = 1, x = 2 und x = 3 auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

x2 - 2 x + 2 X+

2

für X s; 1 für 1 < x ~ 2 für 2 < X< 3

X

f (x) =

--+--

1

-½ x2 + 4 x - 4 für x :.:: 3 Lösung nach Anschauung:

An dem Graphen erkennt man, da ss f an der Ste lle x = 2 eine Sprungstelle hat, dort also nicht stetig ist. An allen anderen Stellen ist f stetig. We il an der Stelle x = 1 ein Knick zu sehen ist, ist f hier wohl nicht differenzie rbar. An der Stelle x = 3 scheint eine glatte Verbindung ohne Knick vorzuliegen, so dass f hier dann auch differenzierbar ist. Nachweis mithilfe einer Grenzwertuntersuchung: (1 ) Stetigkeit >< = 1

f(l) = 1

Links

Rechts

l(

=2

l( .=c

f(2)=2

lim (3-h+½)=3,5

h ,O

lfm (2+h+1)

lim((l +h)2-2(1+h)+2) h•O = 1 -2+2=- l

= 2 + ~ =2,5 •

1 2x-2 f'( x) = 1 -x+4

f(3) =- ~ +12-4= 3,5

h •0

(2) Differenzierbarke it

~

1

für X S 1 für 1 < x s 2 für 2 < X< 3 für x :.:: 3

7' l '

...:2

„y

' '

' 1

•

2

I

'

1

1 ' 1-

J

( Übu11gen)

lim (2{1+h)-2)

h-0

0

''

/

-1

2

>< =2

f' ( 1) = 1

Links: Rechts:

=1

-

/

.

1

- 1- l(

3

weil f hier nicht stetig ist, 1st f hier auch nicht d1fferenz1erbar

t

3

X

I"\.

.

t

.

1

"

X=3

llm (1)

h 0

==

1

f'(3) = 1

[D Stetigkeit und Differenzierbarkeit im Sachzusammenhang (1) Bis zu 100 Kopien kostet die Kopie 10 Cent, ab 100 Kopien nur noch 8 Cent.

{2) Der Temperaturverlauf an einem Sommertag an der Nordsee.

(3) Als der Wasserstand auf 3 m über Normalstand stieg, wurde das Wehr geöffnet, sodass das Wasser wieder auf nur noch 1 m über Normalstand sank.

(4) Bei einem Mobilfunkvert rag werden pro angefangene Minute 30 Cent abgebucht. Ein Restguthaben be trägt 1,70€.

Skizzieren Sie zu jedem Sachverhalt einen passenden Graphen. Welche Bedeutung haben Stetigkeit und Differenzierbarkeit in den jeweiligen Situationen? Untersuchen Sie die Graphen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit.

2.5 Stetigkeit und Differenzjerbarkeit ( 99 )

( Übu11gen)

[D Stetige und differenzierbare Funktionen a) Zeichnen Sie jeweils den Graphen der Funktion in einem geeigneten Ausschnitt. Entscheiden Sie, ob die Funktion stetig ist. Bestimmen Sie gegebenenfalls die Unstetigkeitsstellen und begründen Sie. b) Entscheiden Sie, ob die Funktion differenzierbar ist Bestimmen Sie gegebenenfa lls die Stellen, an denen die Funktion nicht differenzierbar ist, und begründen Sie. 2 - 4 f .. X < 2 _ {x f 1{x) ur X 2:: 2 X- 2

l x2 - 1

x 0: k :s;; 0:

1 -Lt.

- I?

•

"'

/ j

I

-- '

, •

'"' ., 1\. +-+-

\ V

-

'0

. ,...

4 \

y

•

\ -

1

I'-

' '

- 4

-2 . - O·.

J

2

b} f~(x)=2x3 -6kx; f;(x)=6x2 -6 k; f'"{ x}= 12x Nullstellen: ½x4 -3kx2 =½x 2 {x2 -6k)= O => Xn 1 = 0; x 2 =6 k

k > 0:

Xn2, n 3

= ±M;

k S 0:

Xn 1 = 0

Extrempunkte: 2x3 -6kx = 2x(x2 -3k}= O => Xe,= 0; xe 2 = --J3k f "(0}=-6k; f k(fil) = 12k; f k(f i l)= - ~k2 k>O: HP (OIO); TP,.2 (±Fkl - ~k2 );

k s O: TP{OIO)

Wendepunkte: 6x2 -6k = O => x 2 = k; f;'{-Ji 1 3

Eine Funktion f ist stetig an einer Stelle a, wenn der links- und rechtseitige Grenzwert gleich dem Funktionswert an dieser Stelle ist.

(JI) Wahr oder falsch?

X -> 8

lim f(x) = f(a )

a) Eine stetige Funktion ist differenzierbar. b) Eine differenzierbare Funktion ist stetig.

Differenzierbarkeit

[]I) Funktion passend ergänzen Ermitteln Sieg {x) so, dass für

f(a) --------

f(x)={2 f~r x~1 gilt: g(x) fur x > 1

1 1

'\ Nicht 1

differenzierbar

a

Die Funkti on f ist differenzierbar an der Stelle x = a (a e Dt), fa lls der Grenzwert des Differenzenquotienten an dieser Stelle existiert

l.Im

X >a

f(x) - f(a) X -a

= f'( a)

Funktionenscharen Funktionenscharen kön.nen entstehen, wenn man ■ Koeffizienten oder Zahlen variabel hält, ■ weniger Bedingungen für eine Funktion zur Verfügung hat als zu einer eindeutigen Bestimmung notwendig sind. Der runktonsterm enthä lt dann Parameter. Be;spiel: Die vier Bedingungen f (0) = 0, f (-2) = 2, f (2) = 0 und f'(O) =0 führen mit dem Ansatz eines Polynoms vom Grad 3 zu der Funktionenschar f~(x) = ax3 -4ax. 1

1

l

1

r

a) f stetig, aber nicht differenzierbar an der Stelle x = 1 ist. b) f stetig und differenzierbar ist und g eine quadratische Funktion ist.

ffi) Eine Fahrradfahrt Ein Fahrradfahre r fährt an einem Tag von 10:00 Uhr bis 18:00 Uhr von A nach Bund am nächsten Tag im gleichen Zeitraum wieder zurück. Gibt es auf der Strecke eine Stelle, an der der Fahrradfahrer zur selben Zeit wie am Vortag ist? Kann es zwei solcher Stellen geben? Skizzieren Sie jeweils ein mögliches Weg-Zeit-Diagramm.

Eine Funktion f wird differenzierbar genannt, falls sie an jeder Stelle ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist .

1

y

Y

lli) Eine Schar kubischer Funktionen Gegeben ist die Funktionenschar fk(x) = x3 - 2 kx 2 + k2 x a) Erstellen Sie eine aussagekräftige Skizze der Scharkurven und beschreiben Sie den grafi schen Verlauf. Wie unterscheiden sich die Ku rven zu k 2: 0 und k < O? b) Zeigen Sie, dass jede Schar dieser Kurve eine doppelte und eine einfache Nullstelle aufweist. Welche dieser Nullstellen ist unabhängig vom Para meter k? c) Bestimmen Sie die Extrem- und Wendepunkte in Abhängigkeit von k.

OIJ Die Parabelschar f (x) = 4 - a2 x2 , a :/= 0. 8

a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche y zwischen einer Scharkurve und der -· • x-Achse. ~V . ~- "' b) Für welchen Wert von a hat der Flä\ / cheninha lt den Wert 1? '\ tI 1 \ c) Untersuchen Sie den Inhalt der Fläche für a ~ 0 und a ~ oo anschau lich und 111 ithilfe des Terms. ~

X

S< 1

1

Sicl1ern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben [ 119 -]

Sichern und Vernetzen Vermischte Aufgaben zu Kapitel 2 Trainieren

(JJ Lineare Gleichungssysteme -

zu Fuß Lösen Sie die linea ren Gleichungssysteme.

a) 2x+ y = -4 -x+2y = 7

b)

e) x + 2 y - z = - 3

f) a + b - c = 3

3x+ y+z = 4 - x- y - z =- 2

x+6 = 3y 6-2y = -x

c) 3a = b - 4 b=a- 4

d} 4r + 3 s = 3 8r - 6s =-2

g) a = b - 3 c

h) 3x + y = 2 z - 3

a+b-2 c= O a-b-c = 3

a+b+3c = O a+c = 4

½v - 1 = x - 4z x+y-2z = -4

ffi Punkte bestimmen Funktionen Bestimmen Sie jeweils eine passende Funktion des angegebenen Typs durch die vorliegenden Punkte.

a) Gerade durch A (3 l 5 ) und B {- 21 1- 3}

b) Pa rabel durch A (-2 15),

c) y = x3 + b x2 + c x + d

B{213) undC {4 1-1)

A {- 2 1-1), 8 (1 12 }, C {Ol 3)

[I] Übersetzungen Ordnen Sie den Beschreibungen die passenden Gleichungen zu. (1) Der Graph von f ist symmetrisch zur y-Achse.

(2) Die Tangente im Punkt (a If (a)) hat die Steigung 2.

(3) f hat an der Stelle a einen lokalen Extremwert.

(4) fhatanderSteUea eine Wendestelle.

(5) f hat an der Stelle a einen Sattelpunkt

(6) f ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

(7) Der Graph von f schneidet die x-Achse an der Stelle a.

(8) Der Graph von f berührt an der Stelle a die x-Achse.

(9) Die Wendetangente von f an der Stelle a hat die Gleichung y =2 x - 1.

{D) f {x} = - f {- x}

(B) f (X}= f (- X} {E) f" {a) = 0

(C) f {a ) = 0 und f' {a ) = 0 {F} f '{a)=O

(G) f '{a)= 2 und f "(a}= O

(H) f '(a}= 2

{I } f ' ( a) = 0 und f" (a) = 0

(A) f (a} = 0

CI] Steckbriefe mit Angabe des Grades a) Der Graph einer quadratischen Funktion hat in A (- 2 16) die Steigung 5 und an der Stelle O die Steigung 3.

b) Die Funktion mit der Gleichung f (x) =a x3 + b x2 + c hat im Wendepunkt (- 111) die Steigung - 3.

c) Eine Funktion 3. Grades hat im Ursprung die Tangente mit der Gleichung y ~ 2 x und den Wendepunkt (3 1- 2).

d) Der Graph einer ganzrationalen Funktion 4. Grades hat im Punkt P (1 l 1) die Steigung 2 und im Punkt Q(O 10) einen Sattelpunkt.

(I) Steckbriefe ohne Angabe des Grades a } Der Graph von f hat den Hochpunkt (1 13) und den y-Achsenabschnitt - 1 sowie die Wendestelle 2.

c)

--r ---,.---

11.-----a---t-t---------,----------1-.l

y

b) Finden Sie e ine ganzrationale Funktion, die in (-1 l 3) einen Sattelpunkt und in ( 1 1- 5 ) e inen Tiefpunkt hat.

X

-3

-1

3

l 120 ~

(~2 Kurvenanpassung]

Trainieren

CI) Kandidaten für einen Graphen Begründen Sie, dass der Graph nicht du rch eine Gle ichung 3. Grades beschrieben werden kann . Geben Sie ve rschiedene Argumente an. Bestimmen Sie den Grad, den die Funktionsgleichung mindestens haben muss. Finden Sie eine passende Funktionsgleichung.

1

1

g

X

1

2

QJ Stetige und differenzierbare Funktionen Skizzieren Sie zu ausgewählten Werten von t aus [-5;51 Kurven der Funktionenschar. Bestimmen Sie den Wert des Parameters t so, dass f stetig ist. Liegt auch Differenzierba rkeit an der kritischen Stelle vor? 2 1 .. X < 1 a} f (x} = {x für x::;; 2 b) f{x)= {tx+ 1 f ur -x2 3x-t X>2 X 2::: 1 ( ] ] Vielfältige Verbindungen Gegeben ist jeweils die Funktionenschar f8 2 l) f (x)={ax +b für x::::2 ( a,b - X für x > 2

•

b

durch {2 ) f

(x)={ax+1 für x::::2 a,b x2 + b für x > 2 a} Begründen Sie anschaulich, dass es unendlich viele MögLichkeiten dafür gibt, dass f 8 , b stetig ist. Ermitteln Sie dann die Bedingung dazu für a und b. Skizzieren Sie jewe ils drei Beispiele. b) Bestimmen Sie jeweils die Bedingung dafür, dass f 8 •b d ifferenzierbar ist .

ITJ Untersuchungen von Funktionenscharen a) Skizzieren Sie die Scharen für selbst gewählte Parameterwerte zwischen - 5 und 5 mit dem GTR. Beschreiben Sie den grafischen Verlau f in Abhängigkeit des Parameters . Machen Sie Vermutungen über die Anzahl der Nullstellen, loka len Extrempunkte und Wendepunkte. Überprüfen Sie die Vermutungen rechnerisch. Hinweis: Manchmal sind nur grafisch-numerische Methoden möglich.

b) ■ Bestimmen Sie jeweils einen passenden Wert für den Parameter so, dass die Funktion die geforderte Bedingung erfüllt. {1) Der Graph ver läuft durch den Punkt P{1 l-4) {2) f hat an der Stelle 2 eine lokale Extremstelle. {3) Die Tangente im Punkt P(11 ?) hat die Steigung - 1. (4) Der Graph hat einen Wendepunkt mit der x-Koord inate 5. (5) Der Graph umschließt für x.::: 0 mi t der x-Achse eine Fläche mit dem Inha lt 5 FE. • Gibt es Punkte, die zu keiner Scharkurve gehören?

illJ Funktionenschar und ein spezieller Vertreter a) Die Graphen einer Schar ganzrationa ler Funktionen 3. Grades sind punktsymmetrisch zum Ursprung und gehen durch den Punkt P (310). Bestimmen Sie die Gleichung der Schar mit einem Parameter. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Schar32 kurve, auf der der Punkt 0(21 9 } liegt.

X

7

5

Sicl1ern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben ( 121 )

Vers tehen

lliJ Wahr oder falsch? Entscheiden und begründen Sie jewe ils. (A) Funktionen mit drei Extrempunkten sind mindestens vom Grad 4.

(B) Durch vier Punkte kann immer eine Funktion 3. Grades gelegt werden.

(C) Es gibt überall monot on wachsende Funktionen vom Grad 4.

( D) . Bei x = 3 hegt ein Hochpunkt vor'' lässt sich zu f '{3) = 0 und f"(3) < 0 überset zen.

(E) Eine Funktion 4. Grades hat immer m indestens einen Wendepunkt.

(F) Es kann sein, dass man zu fünf Bedingungen eine p assende Funktion 3. Grades finden kann.

@) Zu sammenhänge zwi schen Matrizen und Graphen Es werden Parabeln du rch drei Punkte betrachtet. ■

Welche Matrix gehört zu welchen Punkten? Entscheiden Sie begründet ohne Rechnung.

■

Ermitteln Sie die Gleichung der Parabelschar durch die Punkte Ak, Bund C. Skizzieren Sie einge Parabe ln der Schar und erläutern Sie den Zusammenhang zwischen den Scharkurven und der ze ilenreduzierten Matrix. a) Ak{Olk);B {l lO); C(- 112)

{1)

b} Ak{ kl1 );B(O l 1);C (1JO)

1

o o

g 6?

1-k

k,

(2) 1

o o

1 0 0 0 1

0

k~ ,

k-:.k, 1

ffiJ Wahr oder falsch? Begründen Sie Ihre Antwort. a) Es ist möglich, dass eine Funktion an einer Stelle stetig ist, dort aber nicht differenzierbar ist. b) Eine Funktion, die eine Sprungstelle hat , kann dort nicht differenzierbar sein. c) Wenn rechtsseit iger und linksseitiger Grenzwert des Differenzenquotienten an einer Stelle übereinst immen, ist die Funktion dort stetig.

ffiJ Von Extrempunkten zu Sattelpunkten Die Abbi ldung zeigt drei Graphen der Funktionenschar fk(x)= x3 + kx a) Ermitteln Sie die zugehörigen Paramet erwerte ohne Benutzung eines GTR, benutzen Sie dazu auch die Ab -

I

-2

leitung. b) Skizzieren Sie einige Kurven der Schar und erläutern Sie an diesem Beispiel: E;n Sattelpunkt entsteht durch Verschmelzung zwe;er Extrempunkte.

illJ Funktion mit Parameter f (x) = x3 + 6 x2 - 3 a x + 1 Bestimmen Sie jeweils einen Wert von a, sodass der Graph von f a} einen Sattelpunkt

b) zwei lokale Extrema

c) einen Wendepunkt mit positiver Steigung der Wendetangente hat.

ffiJ Die Geradenschar gk (x) = (k -

k 2 ) · x + k - 1; k > 0 a) Best immen Sie die Sch nittpunkte mit den Koordinatenachsen. Skizzieren Sie damit

einige Geraden der Schar. b) Bestimmen Sie den I nhalt der Fläche, die die Geraden mit den Achsen einschließen. Untersuchen Sie diesen I nhalt für k ➔ 0 und k ➔ oo.

X

122

( 2 Kurvenanpassun

An,venden

(ill Eine Vase Eine Vase hat fo lgendes Aussehen: Die Vase ist 18 cm hoch. Der obere innere Rand ist ein Kreis mit dem Durchmesser 13,6cm. Die Bodenf läche innen ist ein Kreis mit dem Durchmesser 8cm. An der schmalsten Stelle {5cm über der Bodenfläche) hat die Vase einen Innendurchmesser von 7 cm. Die Vasenform lässt sich durch d ie Rotation einer passenden Kurve um die x-Achse simulieren. Legen Sie ein Koord inatensystem sinnvoll fest und bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion, deren Graph den oberen Verlauf der Kontur der Vase beschreibt.

illJ Umsatzentwicklung Durch den Graphen wird näherungsweise die Umsatzentwicklung eines U nternehmens im laufe von 5 Jahren dargestellt. Die Umsätze sind in Millionen Euro an -

Umsatz ·n Mio. €

60 40 +--

gegeben. Bestimmen Sie eine Funktionsgleichung. Interpretieren Sie die Bede utu ng des Wendepunktes und die relativ geringe Steigung der Wendetangente im Sachzusammenhang.

Zeit in J hren 2

5

3

02] Eine Fledermausgaube Modellieren Sie die Form der Fledermausgaube.

A(-5 10), B(-310,7),C(-2 11,2),D(-111,6), E{Ol1 ,7), F(1 l 1,6),G(211,2), H(3I0,7), 1(510).

00 Ein Torbogen Das Tor im Bild hat im oberen Bereich eine gebogene Querverbindung, die mathematisch modelliert werden soll. Beschreiben Sie anhand der Abbildungen unten die verwendeten Modellansätze. Diskutieren Sie die Qua lität der Ergebnisse und nennen Sie Verbesserungsmöglichkeiten. A{-1 I 0,85); B{-0,5 11); C{Ol1,23); D{0,511}; E{1 I0,85) 2

-1 5-1-05 '

'

2

0,5

1 1 ,5

-1,5 -1 -0,5

0,5 1 1,5

-1,? -1 -0,5

0.5

1

1,5

Sicl1ern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben ( 123 )

An,venden

lli) Schmetterlingsflügel Das Bild im Diagramm zeigt einen seltenen Schmetterling aus der Familie der Bläulinge. Helena, die von Schmetterlingen be geistert ist, möchte den Flä cheninhalt seines Hinterflügels anhand des Fotos möglichst genau bestimmen. Helena wäh lt zu r Modellierung die folgende n Punkte a1T1 Flügelrand:

A(- 5,5 10), B(- 3,51 4), C{Ol5,6), 0 {2,5 13,6), E(4 IO), F(2,5 l- 7), G(Ol-8), H(- 31 - 5). a) Mode lLieren Sie den Flügelrand. Warum benötigt man mindest ens zwei Funktionen? Waru m ist eine knickfre ie Modellierung nicht möglich? b) Ermitteln Sie den Flächeninhalt des Flügels.

00 Kostenfunktionen Die Grafiken zeigen verschiedene Kostenfunktionen (x: Produktionsmenge in 100/ Zeiteinheit; y: Kosten in 1000€). (1) Lineare Funktion (2} Quadratische Funktion (3) Polynom 3. Grades y

y

·3 - 2 X

- 1

1

'

1 -1 - 1

1

X

t

~

-j! 1

1

X

1

' 3

a) Beschreiben Sie jeweils kurz die Entwick lung der Produktionskosten in Abhängigkeit von der produzierten Menge. Be nutze n Sie d azu au ch d ie Änderung der Koste n. Ermitteln Sie zu den drei Modellen jeweils eine Funktionsgleichung. b) Durch Ka(x) = fo- X3 - ,%ax2 + i a2 x - to a3 + a + 2 ist eine Schar von Kostenfu nktionen im Interva ll I = (O; 5) gegeben (x und y ana log Teil a) ). Skizzieren Sie für - 1 < k < 5 ei nige Kurven der Scha r. Bestimmen Sie die Wendepunkte. Di ese Punkte sollen im 1. Quadranten liegen. Ermitte ln Sie die dafür notwendige Bedingung für a. Bestimmen Sie die Ste igung im Wendepunkt. Welche inhaltliche Bedeutung hat das Ergeb nis hie r? Es gibt noch eine weitere Bedingung für a, damit das Modell sinnvoll ist. Welche ist dies, und wa rum ist dies so? 16 c) Die Umsatzfunktion U zur Kostenfu nktion K2 (x) = i x3 - ~x2 + ~x + 5 ist U (x) = 3x. Untersuchen Sie mit der Gewinnfunktion G mit G (x) = U (x) - K2 (x), wan n die Firma Gewinn macht , und wie groß dieser maximal sein kann. Skizzieren Sie zu Umsatzfunktionen Up (x) = p · x(1 s; p s; 4) mit unterschiedlichen Prei sen p einige Gewinnfu nkti onen. Beschreiben Sie den Gewinn in Abhä ngigke it von p.

1718281828~590~5235360287~71352662~97757 ~70936 ~ 995957~96696762772~0766303535~759~571382 7852516 6~27~27~66391932003059921817~135966290~357 90033~2 952605956307381323286279~3~907632338298807 3195251 01901157383~18793070215~08914993~88~167509 ~4761~6 066808226~800168477~118537~2345~~2~371075 90777~~9 9 206955170276183860626133138~5830007520~~ 33826560 297606737113200709328709127~~37~704723069 97720931 01~1692836819025515108657~63772111252389 ~~250569 53696770785~~99699679~686~~5~90598793163 889230098 --~--~127736178215~2~9992295763514822082698 519366803 ~ !528869398496465105820939239829~8879 320362509~ 17301238197068~161~03970198376793206 3282376464 295311802328782509819~55815301756717 61332069811 2509 961818815930~16903515988885193~58 V# 27386673858 9~22879228~99892086805825749279610~84 8~~~3634632~ ~9684875602336248270~19786232090021 99023530~3699 ~184914631~0934317381~36405~62531 96183690888707 01676839642~3781~059271~56 ~ 03107208510383750 ~101157~Z70~17189861068739696552126Z15~68895Z03503C '

Was die Zahl fi„ d n ur en Kreis ist ist die Zahl fi„ prozesse. Sie hat als B . . ' e ur Wachst11msas1s emer Exponentialfi nk . . ganz besondere Bedeutung Z u tion eme . usammenhang .t d le1tungen von solchen Funkti m1 en AbLEONARD EULER sie t . tt b onen. Ihren Namen hat sie von ' n a er auch bei einem Proble von JAKOB BERNOULLI 1689 fi uli m auf, das E' orm ert wurde· ine Summe Geldes sei aufZins . nen Auuenblick . . en angelegt, dass in den einzelo· en ein proportionaler Teil d r . Kapital geschlagen wird. er Jahreszinsen zum I.Dl.

Die Abbildung oben legt es ah . Zahl. n e, e Ist auch eine irrationale

übersieht ( 125 )

Neue Ableitungsregeln

3.1

Mithilfe von zwei neuen Ab leitungsregeln können die Able itungen von vielen zusammengesetzten Funk-

2-eos{2-x)

tionen berechnet werden.

Die e- Funktion

3.2

Die Ableitung einer Exponentialfunktion f (x) = bx kann mit den bisher erarbeiteten Verfahren nicht bestimmt werden. Auf dem Weg dahin, wird eine ,,schöne" Funktion gesucht und eine besondere Zahl

X

- 4 - 3 - 2 -.1

2

entdeckt, die Eulersche Zahle.

Logarithmus, Exponentialfunktionen und

3.3

Loga rith mu sfu nkti on

ex =

a

Wie das Quadrieren hat auch das „Exponieren" eine

~

Umkehrung, das Logarithmieren. Damit können dann

b X=eln(b)·x

x = ln (a)

auch Exponentialgleichungen in einfachen Fällen algebra isch gelöst werden . Es zeigt sich, dass alle Exponentialfunktionen als Verwandte von f (x) = ex

y 2

geschrieben werden können. So wie die Wurzelfunktion die nächste Verwandte der quadratischen Funktion ist, hat f (x) = ex auch eine

2

nächste Verwandte, d ie natürliche Logarithmusfunk-

3

tion g (x) = ln (x). Deren Ableitung schließt eine Lücke. 2

Innermathematisches mit e - Funktionen

3.4

Muster, charakteristische Eigenschaften und an dere innermathematische zusammenhänge von e-Funktionen werden untersucht. Verschiedene Funktionen vom gleichen Typ können zu Funktionenscharen zusammengefasst und untersucht werden . Vielfältige Verknüpfungen mit den ganzrationalen Funktionen erzeugen neuartige Kurvenverläufe.

X

126

3 e-Funktionen

3.1

(Aufgaben)

Neue Ableitungsregeln

OJ Ableiten von Produkten a} Begründen Sie am Beispiel von f {x} = x -(x2 + 1 ), dass für Produkte f (x) = g(x} - h{x) nicht eine gleichartige Ableitungsregel wie bei Summen gilt, dass also f'(x) -:t: g'(x} · h'(x) ist. Die „Produktregel" ist in Kurzform als Merkregel aufgeführt. Produktregel b) Formulieren Sie die Regel in ausführlicher Notation, also mit y= UV p{x) =f{x)- g (x}. y' = u' v+uv' c) Wenden Sie die Rege l auf folgende Funktionen an: (1) f (x)= x2 -x3 (2) f (x)=( x2 - 2x}·( 5x - 4) (3) f (x)= x-sin (x) Überprüfen Sie Ihre Ergebnisse mit dem GTR mithilfe einer Sekantensteigungsfunktion. In zwei Fällen können Sie auch durch eine Termumformung der Ausgangsfunktion die Ableitung mit bekannten Rege ln finden und damit die Überprüfung vornehmen.

IT] Funktionen verketten

Plotl

P1ot2

P1ot3

I \ Y1B0.S•X+1 I \Y2Ssin(X) I \ Y3BY1C X)•Y2CX) 1\ Y4BY2CY1CX)) I \YsBY1 (Yz ( X)) 1

:x bedeutet: Leiten

s,e den Term in der Klammer nach x a b.

Summen- und Produktbildung von Funktionen sind schon bekannt. Eine besondere „Verknüpfung" zweier Funktionen ist die Verkettung. Beispiel: f (x) = x2 ; g{x) = x + 1 Es gibt zwei Möglichkeiten, f mit g zu verketx ~g x+1 ~f t (x+1 ) ten. Man kann zunächst g ausführen und dann auf das Ergebnis f anwenden oder umgekehrt. X X f (x) g(f(x)) g(x) f (g(x)) a) Füllen Sie die Tabelle aus. Ergänzen Sie -3 9 10 die Tabelle ggf. mit weiteren x-Werten 2 und skizziere n Sie damit die Graphen von 0 g[f(x)) und f {g (x) ). 2 2 3 9 b) Man kann die Hintereinanderausführung 4 4 auch mit dem GTR durchführen. a a Überprüfen Sie damit a). Untersuchen Sie die Verkettungen von f1 (x) = 2x + 1 ; f 2 (x) = sin (x); f3 (x} =x2 . Wählen Sie jeweils zwei Funktionen aus, erzeugen Sie die Graphen der Hintereinanderausführungen und bestimmen Sie die Funktionsterme (insgesamt also sechs Funktionen). Überprüfen Sie die Ergebnisse mit dem GTR .

•

CIJ Kettenregel mit CAS entdecken Mit dem CAS wurden einige Ab leitungen von verketteten Funktionen berechnet. a) Erkennen Sie ein Muster? Formulieren Sie eine Ableitungsrege l für verkettete Funktionen. (f(g{x)}J' = ...

.!L.(sm~ 3)) dx

.!l.{sm~ 4)) dx

b) Überprüfen Sie Ihre gefundene Rege l an folgenden Funktionen: (1) f(x)={x3 -2x) 4 {2) f (x)= cos {x2) (3) f (x) =- ✓4x2

Überprüfungsmöglichkeiten: ■ Sekantensteigungsfunktion • CAS ■ Termumformungen

• •

3.1 Neue Ableitungsregeln [ 127 )

(Basiswissen]

Durch Multiplikation und Verkettung {Hintereinanderausführung) von Funktionen entstehen neue Funktionen. Für diese gibt es Ableitungsrege ln.

Produktregel und Kettenregel Produktregel

Produkt von Funktionen: Produktregel für die Ableitung:

f (x) = u (x)• v (x) f'(x) = u'(x)• v (x ) + u (x) •v'(x)

y = uv y' =u'v+uv'

f(x) = (x2 - 1,5) •(0,5x - x2) u(x)= x2 - 1,5; v (x)= 0,5x - x2 u'(x) = 2 x; v' (x) = 0,5 - 2x f'(x} = 2x •(0,5x - x2) + (x2 - 1,5) •(0,5 - 2x)

Beispiel:

v: innere Funktion; u: äußere Funktion

Verkettung von Funktionen: f (x) = u (v {x})

Kettenregel

Innere mal äuß ere Ableitung

Bei der Verkettung von Funktionen f (x) = u {v (x)) wird die innere Funktion v auf das Argument x angewendet, die äußere Funktion u aber auf das Argument v{x). x -: v {x) li u (v{x)} Kettenregel für die Ableitung: f '{x) =v'( x) · u' {v {x)) Beispiel: f (x) = sin {x2 - 1}

v (x) = x2- 1; u (x) = sin (x) =a> f '(x) = 2 x • cos (x2- 1) innere Ableitung

(Beispiele]

äußere Ableitung

IT)

Ableitung bestimmen Bestimrnen Sie die Ableitung von f (x) = {x3 + 2}-(x2 - 4x)

Lösung: f (x} istdasProduktderFunktionen u(x)= x3 +2 und v (x)= x2 -4x. Anwenden der Produktregel: u' (x) = 3x2 und v'(x} = 2x - 4 f'( x) = u'(x) · v {x) + u (x) · v'{x) f'{x) = 3 x2 •(x2 - 4x) + (x3 + 2) · (2x - 4) = 3 x4 - 12x3 + 2x4 + 4x - 4x3 - 8 = 5 x4 - 16 x3 + 4 x - 8

ffi Verketten und ableiten

Bilden Sie f {x)= u (v (x)) und g (x)= v {u (x)) für v {x}= 4x - 2 und u (x)= x3. Beschreiben Sie die Verkettungen und bestimmen Sie f'(x) und g'{x).

Lösung: f (x) = u (v (x)) = (4x - 2)3

X - - - 4X - 2

g {x)= v(u(x)) =4 -x3 - 2

x - - x3 - - - 4 -x3 - 2

f'( x)=

4

.

tnnere Ableitung

(Übu1igen)

Plotl

P1ot2

Plot 3

■\Y1 a3•sinC4X)

I\ Y2 El12•s1nC4X)

. , y EI V1 ( 3

)(+8,881 >-V1 ( )() 8.881

mal 4 minus 2

hoch 3

3{4x-2)2= 12 {4x - 2)2

hoch 3

(4 X - 2)3

r.===::;, 3

l4x - 2l ~ l4x - 2 J

mal 4 minus 2

g'{x)= 12x2

äußere Ableitung

CIJ Train ing- Ableiten nach Regeln Bestimmen Sie die Ableitungsterme zu den folgenden Funktionen. Geben Sie jeweils die benutzten Ableitungsregeln an. Überprüfen Sie mit dem GTR, indem Sie die gefundene Ableitung und eine Sekantensteigungsfunktion zeichnen. a} f (x)=(x2- 4x}( 5+2x) b) f (x}= (6 - 3x) 4 c} f {x)= x3·( x2- 1) d) f (x) = {x2 - k • x)3 e) f (x) = x2 ..Jx f) f (x) = - 2(5x - 1)3 g) f(x} = cos {x)- sin {x) h} f (x) = (2x3 + 1 )-2 i) f (x) = a •{ cos (x))3 + x I n einigen Fällen gibt es verschiedene Möglichkeiten zur Bestimmung des Ableitungs terms - z.B. bei a): Produktregel oder Ausmu ltiplizieren und Summenregel.

W S] (I"e-Funktionen )

( Übungen ) ~

CI] Train ing im Verketten und Ableiten Formulieren Sie die Funktionen f und g als Handlungsanweisungen (vg l. Beispiel B} und bilden Sie damit jeweils die Verkettungen f (g (x)) und g(f (x}). Bestimmen Sie dann auch die ersten beiden Ableitungen der Verkett ungen. X

x-5

g(x)

x2

f

ffi

-~

Bekanntes in neuem Kleid

Zeigen Sie, dass sich die Faktorregel als Spezialfall der Produktregel ergibt mit u {x) = a und v(x) = g (x).

~

sin (x)

ax + b

(x + 2)2

3x

x4

.rx

Faktorregel f{x) = a · g(x} => f'(x) = a · g'(x) „Ein konstanter Faktor bleibt beim Ab leiten erhalten."

IT] Wo steckt der Fehler? Bei vier der sechs Aufga ben haben sich Fe hler ei ngeschlichen. Finden und benennen Sie diese und korrig ieren Sie sie. a) f (x} =3x -Fx => f'(x) = 3 x --Jx + 3 • 2~

½·2 x

b} f (x} = (x - 2) -x6 => f '(x) =x6 + 6 ·(x - 2)5

c) f (x} = ✓x 2 + 2 => f'(x) = 2

d} f (x)= x2-sin(x} => f'{x)= 2x -sin{x) + x2-cos (x)

e} f (x}={x2 +3)5 => f '{x) = 5 x2-2x

f ) f (x) = 2 -{4 x + 7)4 => f '(x) = 32 -{4 x + 7)3

(]J Ableitungsregeln mehrmals Manchmal muss man beide Ableitungsregeln anwenden. a) f {x)= x2 •(4 x+1)2 b) f (x)= x2 -sin{4 x) c) f {x)=( x · si n(x))2

[D Mehrwert durch Kett enregel a) Kön nten Sie die Ableitung von f (x) = (2 x + 4)6 ohne Kettenregel bilde n? Welche Schwierigkeiten ergeben sich aber? Wie hilft hier die Kettenregel? b) Beantworten Sie die Fragen aus a} für f (x) = sin (4 x) c) f (x) = 23 x- 1 ist auch eine Verkettu ng. Geben Sie die innere und die äußere Funktion an. Welche Schwierigkeiten erge ben sich hier beim Vers uch, die Ableitung zu bestimmen?

~

(]Q:J Ableitun gen im Kontext {1 ) Berechnen Sie die Steigung derFunktion f {x)=(3 x +2)4 anden St ellen x = 0 und x = - 1.

(2) Bestimmen Sie die Steigung von f (x)=(x2 - 1)·( 2x - 8) inden Schnittpunkten mit der x-Achse.

(3) An welchen Stellen hat f {x)=½(2x - 6)3 eine waagerechte Tangente?

{4) Besti mmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen der Funktion f {x) = (x3 - 2) · (4 - x) im Schnittpunkt mit der y-Achse.

(TI] Ein Extremwertproblem

y

Der Punkt C des Rechtecks liegt auf dem Graphen von y = ✓1 - x, 0 < x < 1. We lchen maximalen Flächeninhalt kann das Rechteck erre iche n?

C

X

0,2

0 ,6

3.1 Neue Ableitungsregeln [ 129

( Übungen )

GI) Wahr oder falsch? Für we lche der folgenden Beispiele trifft die nebenstehende Aussage zu? a) f (x} = {g(x))2

Falls der Graph von g an der Stelle a eine waagerechte Tangente hat, dann hat auch der Graph der runktion f an dieser Stelle eine waagerechte Tangente.

b) f (x) = ✓g{x) c) f (x) = {x2 + 1) · g (x) Begründen Sie jewe ils Ihre Entscheidung.

Das Finden von Ab leitungsregeln und das Beweisen derse lben sind zwei verschiedene Dinge. Das Beweisen wird meist erst dann in Angriff genommen, wenn man die Regel schon kennt und von ihrer Richtigkeit übe rzeugt ist. Zum Beweis ist eine exakte Formulierung der Aussage - vor allem die genaue Formu lierung der Voraussetz ungen - von entscheidender Bedeutung.

lli) Beweis der Produktregel Die Produktregel in der We nn- Dann-Formu lierung: f (x} = u (x)· v {x) ist im Interva ll I definiert und u {x) und v (x) sind im Intervall I differenzierbar

=>

f (x) ist in 1 differenzierbar und es gi lt: f '(x) = u'(x) · v(x) + u (x) · v'(x}

Beweis mithilfe des Differenzenquotienten. Es ist zu zeigen:

.

l 1m

h tO

f( x+h)-f(x) h

t·

= 1m

h „Q

u(x +h)- u(x) { ) ( ) h ·V X + U X ·

l.

v (x+h)-v(x) 1m h h •O

Ausgangspunkt ist der Differenzenquotient zu f {x). Die entscheidende Idee liegt in einer geschickten Umformung (Ergänzung} des Zählers. f (x + h)- f (x) u(x + h)- v(x+h )- u (x) -v (x) h h

_u (x + h)· v(x + h)- u(x)· v(x + h)+ u(x) v(x + h)- u(x) -v(x) -

h

a) Formen Sie weiter um zu f (x + h)- f(x) _u (x+h)- u(x) { h h ·VX+

h}

() v (x+h )- v (x)

+UX·

h

und führen Sie den Grenzübergang h ~ O durch. b) • Erläutern Sie, dass in der ersten Zeile des Beweises „Es ist zu zeigen ..." die Formel der Produktregel versteckt ist. • Warum wird die trickreiche Umformung des Zählers vo rgenommen? • An welche r Stelle wird in dem Beweis die Voraussetzung de r Differenzierbarkeit von u und v benötigt?

CI!] Beweis der Kettenregel Für einen Beweis der Kettenregel muss der Differenzenquotient wieder geschickt umge fo rmt werden. ÄhnLich wie bei der Produktregel oder bei der quadratischen Ergänzung beim Lösen einer quadratischen Gleichung wird ein Term geschickt ergänzt. u(v (x + h)- u(v (x)) h

u (v (x+h)) -u (v (x) ) v (x+h )- v{x) h · v (x+h ) - v (x)"

=

Le iten Sie daraus die Regel ab.

J

( 130 ] ~ e-Funktionen)

( Übungen )

C!I) Ableitung von Quotienten Für Summen, Produkte sowie Verkettungen von Funktionen sind Ihnen nun verschiedene grundlegende Ab leitungsregeln bekannt. Wie le itet man aber Quotientenfunktionen f (x) =

~l::

ab?

Mit einer geschickten Umformung kann f (x) auf bekannte Funktionstypen gebracht werden: f (x) =

~l:i= u (x) ·¼J = u {x) •v (x)-

1

Leiten Sie f {x) = u {x) · v(x)- 1 mithilfe der Produkt-, Ketten - und Potenzregel ab und entwickeln Sie damit eine Quotientenregel.

~ Die QuotlentenregP.J f {x) = u(xJ

~

f'(x) =

v(x)

u'(x) •v(xJ- u(x) v'(x) (v(x]) 2

(JI) Training Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitu ngen. Überprüfen Sie grafi sch mithilfe des GTR.

a) f (x} = x:: 2

b) f (x) = :

d) f (x) = ::(~)

2

2

c} f (x) = xf ~4

; ;

e) f (x) = : 2 :

2

f) f (x) =2ax•~ a

:

~ Geometl'ische Bedeutun~ der linearen Verkettung Ist k (x) =f (a x + b) =t {a(x + %)), so erhält man den Graphen von k aus dem Graphen von f , indem man nacheinander eine Verschiebung um ~ Einheiten in x-Richtung und eine horizontale Streckung/Stauchung mit dem Faktor ! ausführt. Beispiel:

f {x) =x2 ; k (x) = f {2 x - 1 ) = {2 x - 1)2 = (2 (x - 0, 5) )2 1 ---

y

X

-1

-1 -

f{x)

X

X

'

5

-1 - 0 5

0,5

'

f (x - 0,5)

0,5

f (2(x - 0,5)}

(ill Lineare Verkettung -

Verschieben und Strecken Beschreiben Sie die geometrische Bedeutu ng der Verkettungen in Aufgabe 4 b) und 4 f). Skizzieren Sie die äußere Funktion und die Verkettung. Grtmdwisse11 3

1. Zeigen Sie, dass die Funktion G (x) = x4 - 2 x·2 - .fi (x :.:: 0) eine Stammfunktion von f ( x) =4x 3 - 3 ✓x ist. 2. LösenSiedieGleichung: x2 -4x = x {2x+4) 3. Schreiben Sie jewei ls als Bruch, Dezimalzahl und Prozentzahl: 0,075; ~; 0,37 %

3.1 Neue Ableitungsregeln [ 131]

Exkt1rs

Die LEIBNIZ-Notation fiir die Ableitung

~ = ~ =~;ist der Differenzenquotient von f zu den Punkten (x 1 1y 1) und {Xi I y ~ von f Zur Berechnung der Ableiturig überlegte LEIBNIZ: Nähert sich der eine x-Wert dem anderen, so werden /lx und /J.y immer kleiner. Schließlich erhält man „unendlichkleine Größen". LEIBNIZ bezeichnete diese mit dx und dy und nannte sie Differenziale. Die Zahl, der sich der Quotient~ nähert, wurde als Quotient dieser Differenziale angesehen, mit~ bezeichnet und Differenzialquotient genannt . Mit heutiger Schreibweise gilt also: f'(x) =

1

Diese überlegung ist nicht u11problematisch. Was sind unendlich kleine Größe11? Wie kann man aus ihnen einen Quotienten berechnen? Obwohl LEIBNIZ dies nicht näher erklären konnte und obwohl diese Schreibweise vielfach kritisiert wurde, verwendet man sie auch heute noch, weil sie sich in Anwendungen (z.B. in der Physik) als äußerst nützlich erweist l\11an darf ~ auf keine11 Fall als Bruch ansel1en, vielmehr als Anweisung, die Funktion y = f(x) nach der Variablen x abzuleiten. Das Symbol hat nur als Ganzes einen Sinn - man liest "dy nach dx".

Ein Streit unter beriihmten Natunvissenschaftlern Eine der berühmtesten Auseinandersetzungen zwischen zwei Naturwissenschaftlern ist der Streit zwischen LEIBNIZ und NEWTON über die Erstentdeckung der Infinitesimalrechnung, der sog. »Prioritätsstreit". GOTTFRIED

SIR ISAAC

WILHEL~1 LEIBNIZ

NEWTON

* 01.07.1646

* 04.01.1643 t 31.03.1727

t 14.11.1716 LEIBNIZ fand seinen Differenzialkalkül auf der Suche nach Tangenten, Maxima und Minima bei elementaren (d.11. ableitbaren) Funktionen. Dies sind genau die Fragestellungen, die auch heute im Analysisunterricht im Zentrum stehen. Er entwarf dazu ein Kalkül (Calculus), d. h. Regeln, die unseren heutigen Ableitungsregeln entsprechen und die er so notierte:

dx8 = a.xa- 1 LEIBNIZ notierte dazu: ,,Kennt man, wenn ich so sagen

soli den obigen Algorithmus dieses Kalküls, den ich Differentialrechnung nenne, so lassen sich alle anderen Differentialgleichungen durch. ein gemeinsames Rechnungsverfahren finden, es lassen sich die i\tfaxima und Minima sowie die Tangenten erhalten, ohne dass es dabei nötig ist, Brüche oder Irrationalitäten oder andere Verwicklungen zu beseitigen, was nach den bisher bekannt gegebenen Methoden doch geschehen musste."

NEWTON kam von der Physik. Er betrachtete die Bewegung eines Punktes (auf einer Kurve) mit einer bestimmten Geschwindigkeit wäluend eines gleichmäßig fließenden Zeitparameters t. Somit "fließen" die Koordinaten x, y (Fluenten) der Kurvenpunkte. Ihre Geschwindigkeiten • • x und y sind dann die Fluxionen. Damit konnte er alle Infinitesimalrechnungen ausführen. Bis heute ist folgende Einstellung in der Analysis maßgeblich:

,,Wenn daher irgendwann im Folgenden um der leichteren Verständlichkeit willen die Ausdrücke „unendlich klein" oder „verschwinden" oder „letzte" gebraucht werden, bezogen auf Größen, so muss man sich hüten, darunter de"i Ausmaß nach bestimmte Größen zu verstehen, ttnd sie in allen Fällen auffassen als Größen, die unbegrenzt abnehmen."

I-listorische Forschungen belegen: NEWTON entdeckte seine11 Infin itesimalkalkül bereits 11m 1665, also etwa zehn Jahre vor LEIBNIZ. Allerdings beschritten beide Forscher unabhängig voneinander unterschiedliche Wege, die zum gleichen Ergebnis führten. Warum wurde also gestritten? LEIBNIZ hatte seine Ergebnisse zuerst veröffe11tlicht. Zuvor hatte aber NEWTON in einem Brief an LEIBNIZ eine Idee zur Infinitesimalrechung formuliert jedoch nur in verschlüsselter Form. Später wurde LEIBNIZ beschuldigt, er habe in Kenntnis der NEWTON'schen Schriften und nur mit deren Hilfe „seine eigene" Infinitesimalrechnung entwickelt. LEIBNIZ wollte dies nicht auf sich sitzen lassen. Der Streit beeinflusste die naturwissenschaftlicl1en Arbeiten auf dem europäischen Festland und der britischen Insel nachhaltig, ohne dass sich die Kontrallenten je persönlicl1 gegenüber standen.

132

3 e-Funktionen

Die e-Funktion

3.2

(Aufgaben)

IT] Eine besondere Exponentialfunktion -

grafisch-numerisch Wie sieht die Ableitung von Exponentia lfunktionen aus? Skizzieren Sie f {x) = 2x. Ein erster Blick auf den Graphen verdeutlicht bereits, dass die Tangentensteigungen mit wachsendem x immer größer werden .

3

a) Skizzieren Sie nach Anschauung die Ableitung. Die Sekantensteigungsfu nktion msek {x) = 2x +~ -~~ - 2x 1 oder nderiv {GTR) liefern eine gute Näherung für die Ableitung. Vergleichen Sie mit Ihrer anschaulich erzeug-

2

/

-2

-1

1

ten Ableitung. b) Der Graph der Ableitung sieht wieder aus wie eine Exponentialf unktion. Bestätigt sich diese Vermutung bei anderen Exponentialfunktionen? Überprüfen Sie für f (x) = 3x und f(x) = 7x_ Gilt die Vermutung auch für f {x) = O,sx? c) Wenn die Ableitungen von Exponentia lfunktionen wieder Exponentialf unktionen sind, dann könnte es auch eine Exponentialfunktion f {x) = bx geben, für die die Ab leitu ng m it der Ausgangsfunktion übereinstimmt, für die also f '( x) =f(x} gilt. Im Folgenden können Sie auf zwei verschiedenen experimentellen Wegen auf die Suche nach einem Näherungswert für eine solch spezielle Basis b gehen. {A) Stützen Sie mithilfe der Grafiken die Vermutung, dass die Basis zwischen 2 und 4 liegen muss. Variieren Sie die Basis so, dass nach Augenmaßfund die Sekantensteigungsfu nktion übereinstimmen. y

-3+--

'

1

-1

X

1

-1

{B) Wenn die Ableitung m it der Ausgangsfunktion übereinstimmt, dann gilt insbesondere f '{O) = f {O) = b0 = 1. Zeigen Sie damit, dass y = x + 1 die Gleichung der Tangente in (0 11) ist. Begründen Sie mithilfe der Grafiken, dass die Basis zwischen 2 und 4 liegen muss. Betrachten Sie dazu die Schn ittpunkte von f und der Tangente. Variieren Sie nun d ie Basis so, dass die Berühreigenschaft annähernd erfüllt ist.

y

y

3

y= x+ l 1

1

3.2 Die e-Funktion ( 133 )

(Aufgaben]

IT] Eine besondere Exponentialfunktion -

mit Differenzenquotient und Grenz-

verhalten Wie erhä lt man die Ableitung von Exponentialfunktionen f (x) = bX? Zur Erm itt lung muss Lim h

,o

b"~hh- b•

unte rsucht werden.

Bei ganzrationa len Funktionen ge lang der Grenzübergang durch Ausk lammern von h im Zähler (h -Methode ), hier kann aber nicht h ausgeklammert werden und h = 0 li efert w iede r den undefi nierten Ausdruck

i. 1 bhh •O

■ Ze igen Sie: {1) f ' (x) = lim !!"• ~-bx= IJx- lim h

h

,Q

und

h

11

Erläute rn Sie da mit: f '(x) = f '(O) · f (x) und f '{x) = f (x) fürf'(O) = lim

b

h •O

rl\; 1 = 1

■ Ze igenS ie für h =;: »Min=1 I \U(n) El(l+ll'»)n uCnMin)B l '-.v{n)-

• Unte rsuchen Sie (1

1 bhh ,Q

{2 ) f '{O) = Li m

h1 =1

~ b = {1 +¾)n

+ ~}n f ür n ➔ oo. Welchen Wert für b erhalten Sie?

(TI Eine besondere Zahl -

Stetige Verzinsung

JAKOB BERNOULLI fo rmu Lierte 1689 folgendes Zinsproblem: Eine Summe Geldes sei auf Zinsen angelegt, dass in den einzelnen Augenblicken ein

proportionaler Teil der Jahreszinsen zum Kapital geschlagen wird. Ein f risch gebackener Millionär hat 1 Million Euro und möchte durch geschickte Geldanlage innerhalb eines Jahres noch mehr Geld da raus ma chen. Das Kapital soll sich durch Zinsen vermehren . Vier Banken bieten versch iedene Anlagemodelle an:

JAKOB BERNOULLI

( 1654 - 17 0 5 )

Zinseszinsformel

Ganzjahresbank

Verzinsung pro Jahr mit 6 %

Halbjahresbank

Verzinsung pro Halbjahr mit : % = 3 %

Monatsbank

Verzinsung pro Monat m it

Tagesbank

Verzinsung pro Tag mit

~ 1

r

K{t)=Ko·{1 + 1~0 K0 : Anfangskapital

% = 0,5 %

!i % = ~ %

p: jährlicher Zinssatz t: Zeit

a) Unte rsuchen Sie, w ie sic h die 1 Million Euro bei den verschiedenen Banken nach einem Jahr vermehrt haben. Begründen Sie, da ss mit der Fo rmel K {n) = 1 ·(1 +,§00 we rde n kann .

-i)ndas Kapital bei der „ 1/ n- Jahresbank'' berechnet

b) Die„ 1 / n-Momentanbank " bietet eine stetige Verzins ung bei einem utopi schen Jahreszinssatz von 100 % an. Es werden also unmittelbar in jedem AugenbLick auch die Zinseszinsen gutgesc hrieben. Wächst das Vermögen ins Unendliche, wenn die Mi llion dort ange legt wi rd? • BegründenSie, dass K(n)= {1

+~)n

fürn -+ oo dasKapit a l nach eine mJ a hra ngibt.

• rü llen Sie die Tabe lle aus: Verzinsung pro ... n

Monat 12

Tag

365

----

Stunde ,___

8760

Minute

Sekunde

Was vermuten Sie über den Ausdruck ( 1 + ¾)n, wenn n gegen unendlich strebt?

( 134 , ( 3 e-Funktionen )

(Basiswissen)

Unter den Exponentialfunktionen f (x) = bx gibt es eine mit einer besonderen Basis und besonderen Eigenschaften.

Die natürliche Exponentialfunktion y~ - -l~

Die Exponentialfunktion f (x) = ex mit de r Basis e :::: 2,718281 ... heißt natürliche Exponentialfunktion.

Sie wird auch als e- Funktion bezeichnet. Eine besondere Eigenschaft der e- Funktion besteht dari n, dass sie mit ihrer Ableitu ng überei nst im mt. f (x) = ex

~

f'(x) = ex

-2

1

2

Die Tangente der e-Funktion im Punkt P (0 J 1) hat die Gleichung y = x + 1.

(Beispiele)

0

e- Funktionen und Tangenten a) Ve rgleichen Sie die Graphen der Funktionen f (x) = ex und g{x) = e-x b) Bestimmen Sie jeweils die Gleichungen der Tangenten an der Stelle 1 und zeigen Sie, dass diese Tangenten senkrecht zueinander liegen. Lösung:

a) Der Graph von g entsteht durch Spiegeln des Graphen von f an der y-Achse. b) Gleichung der Tangente in P {a If {a )): t: y = f '{a) · (x - a) + f (a) -2

1

f (x)

f '(x)

f (1)

f'(1)

Tangente an der St elle 1

f (x) = e" g(x) = e

f'(x) = e"

f(1)-= e

f'(1) = e

y: e · (x - 1) + e =- e · x

x

g '(x) "' - e

x

Kettenregel

g (1) = e , = el

Bedingung für senkrechte Geraden: Produkt der Steigungen ist - 1: mf · mg = e -{-¾)= - 1

Exk1irs

Die E11ler' sehe Zahl e Neben der Zahl n: gehört die Zahl e zu den besonderen , merkwürdigen Zahle11 der Mathematik. Während die Kreiszahl n: in lIDmittelbarem Zusammenhang mit dem Kreis steht, taucht die Zahl e vor allein bei Wachstumsvorgängen

auf. Der in Basel geborene Mathematiker LEONHARD EULER (1707-1783) bat Wesentliches zur Analyse dieser Zahl bei getragen. Die Zahl e wird heute auch Euler'sche Zahl genannt. So wie n: ist auch e eine irrationale Zahl. Sie lässt sich n ur n äherungsweise bestimmen.

e :::: 2,718281828 459045235 360 287 471352662 497757 24709369995...

( Übu11gen )

CIJ Eigenschaften der e- Funktion a) Begründen Sie mithi lfe der Ableitungen, dass f (x) = ex keine Extrem- und Wende punkte besitzt. b) Untersuchen Sie mithilfe der Ableitungen das Monotonie- und das Krümmungsverhalten von f {x) = ex.

3.2 Die e-Funktion ( 135 )

( Übu11gen) ~

(JJ e-Funktionen ableiten {1) Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen . (2) Bestimmen Sie jeweils d ie Gleichung der Tangente und Normale in P(- 1 jf (- 1 )} und

Q {21 f (2)) . b) f {x)= 0,1 -ex+ 6

a) f {x)= -ex +s

c) f(x)=(¾)x -e

d) f {x)= -e- x

(I) Ableitungen und Tangenten komplexerer e-Funktionen ~

v' ,

a) Ordnen Sie die Funktionsgraphen den Funktionsgleichungen zu. f 1 (x) = 2ex f2(x) = e2x f 3 (x) = ex- 2 f 4 {x) = o,sex - 3

')

Durch we lche geometrischen Abb ildungen gehen diese jewei ls aus dem Graphen von f (x) = ex hervor? b) Bestimmen Sie die Ableitungen und zeichnen Sie deren Graphen. c ) Wie unterscheiden sich die Ableitungsgraphen von dem Graphen der Ableitung von f (x ) = ex?

/ J. .,,.v v -.

~

. -ß

I

l

1

-

1 -

-

2 ' - '1

.

..

1

,

-

I I

v ~

X

j

.

/·

.

-

1-•

... .. ,

. 1

~a-• ►

.

- - -~ 1

1

,_.. 1

'

1

./

3.

• 1-

~

IT) Stammfunktionen ~

a } Geben Sie jeweils eine Stammfunktion Fan. Überprüfen Sie Ihr Ergebnis, indem Sie zeigen, dass F' {x) = f (x) gilt. (1) f {x) = ex (2) f {x) = 3ex

{4) f {x) = 3e2x

(3) f (x) = e2x

b) Ermitteln Sie zu f {x) = a · ekx eine Stammfunktion F. Wie unterscheiden sich die Graphen von Fund f?

(I) Viele Ableitungen: Exponentialfunktionen und Potenzfunktionen Bestimmen Sie die ersten drei Ableitungen der Funktionen. W ie lautet d ie n-te Ab leitung der Funktion? Zeichnen Sie jeweils die ersten fünf Ableitungen. Beschreiben Sie die Unterschiede be i der Entwicklung höherer Ableitungen von Exponential- und Potenzfunktionen . a) f (x} = 0,9 • e0 ,sx b) f (x) = i x6 A

i/

V

V

.... -,

/

- a.

- -.. .. -3

.

-2

y

b / -~

/f

-

1

2

' !

-1

t

2

3

X

X

-3

-2

-1

1

2

3

Gr11ndwissen 1. Skizzieren Sie den Graphen einer ganzrationalen Funktion f , für d ie gilt: Die Funktion der 1. Ableitung hat genau drei Nullstellen, die Funktion der 2. Ableitung ist an diesen Stellen ungleich Null. W ie vie le Krümmungswechsel hat der Graph?

2. Bestimmen Sie den Flächeninha lt, den der Graph von f (x) = sin {x) in [O; n ] mit der x-Achse einschließt.

( 136 ] ( 3 e-Funktionen

(Aufga.ben) IT] Die Zah l e als Grenzwert einer Folge Mona und Leo haben bei der Untersuchung von ( 1 + ¾)n nicht Werte eingesetzt und probiert, sondern über das Verhalten fü r n ➔ oo nachgedacht.

~

Mona:

Leo:

Die Basis ist immer größer als 1, also strebt der Ausdruck gegen unendlich.

Die Basis strebt für n gegen unendlich gegen 1 und 1 hoch irgendwas ist immer 1, also strebt der Ausdruck gegen 1.

~

Können Sie den Streit klären? Entdecken Sie die ,,Denkfehler" von Mona und Leo? DieExistenzeinesGrenzwertsvon an=(1 +~)n für n ➔ oo istamTerm nichtzuerfas-

Die Folge an wächst monoton

sen. We il die Steigung einer Exponentialfunkt ion an der Ste lle O anschaulich existiert, zweifelt man wen ig an der Existenz eines Grenzwerts. Wenn man mathematisch exakt denkt, muss diese Existenz aber unabhängig von der Anschauung geze igt werden. Es gilt : (A) Eine Folge an wächst monoton und ist beschränkt => an konvergiert. (B) (1+x)n>1+n-x; nc::2; X>-1 (Bernoulli-Ungleichung} 1

+¾)" (~)" (n+1)n {n - 1}n { n ) (l 1 )n ( n ) {l (l ) (1+( n~,)"' = (n~,)"- 1 = ... = n . n . n-1 = ... = -n2 . n-1 (t)

1) (n-n1} = 1 -n.

Füllen Sie die Lücken aus und begründen Sie damit, dass an= (1 + ~)n monoton wächst. (2) Es gilt: an= ( 1 + ~}n < { 1 + ¾} n2

n2 -

1

1

= 1 + n2

1

Plotl

Plot2

Plot3

\ V1Bl+X \ V2 BY1+1/2•X 2 \ V3 BY2+ •.. \ Vot=

n! = 1 · 2 · ... · n ,.n Fakultät~

~ 1/~~: ~ - ~ /"/2

sum(seq(l/K!, K, 0, 5, 1)

~

süin'cseqrr;;1fr:1 0) wird durch die Umkehroperation, das Logarit hmieren , gelöst. ex = a

~

X

x = loße (a) = Ln (a)

X

X

Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus, er wird mit Ln bezeichnet.

Zum x-Wert den zugehörigen Funktionswert f (x) = a finden: a =ex

Es gilt : eln(a) = ln {ea) = a

(Beispiele)

X

Zum Funktionswert a = f (x) den zugehörigen x-Wert finden: x = Ln (a)

(I) Terme Vereinfachen Sie die Terme:

a) Ln (e2)

b) e3·ln(2)

Lösung: a) Gesucht ist der Exponent x, für den gilt: ex = e2, also x = 2 b) e3 ln(2) = (eln(2))3 = 23= 8

C[J Einfache Gleichungen durch Logarithmieren lösen Lösen Sie die Gleichungen rechnerisch. Überprüfen Sie grafisch. (1) eX= 15 (2) e2X= 35 (3) e-0, 2X= Q,5

Lösung: X= ln {15)~ 2,71

Lösung: 2x = ln (35) x= ½·ln (35) ~ 1,78

Lösung: - 0,2x= ln (0,5) x = - 5 · ln (0,5} ~ 3,47

" " " ..."

•

nttrseetlon =2.?880S8 2

V=lS

nterseetion =1.7776?'1

·•J .

'

.

V=3S

nterseetion =3.'1657359

V=.S

W

Komplexe Exponentialgleichung m it GTR lösen Lösen Sie die Gleichung ex= x + 2.

Lösung: Weil x sowohl als Exponent als auch als Basis auhritt, lässt sich die Gleichung nicht algebraisch lösen. Grafisch-ta bella rische Lösung: x1 = - 1,8414 und x1 ~ 1,1462. Wegen des charakteristischen Verlaufs von y = eX und y = x + 2 kann es keine weiteren Lösungen geben. 1 1

3.3 Logarithmus, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktion ( 139 )

(Übungen)

CI] Terme vereinfachen Ve reinfachen Sie die Terme.

~

a) ln (e4 )

f)

ln(½}

b) ln{1 )

c) eln(1000)

d) ln(.Je)

e) e- ln(10)

g) eln(e]

h} ln (e3)- ln (e2)

i} ln(ek), ln (e-k)

j} eln(2)-tn(10)

[D Exponentialgleichungen lösen 1 ~

Lösen Sie die Gleichungen. a) 10 · e2x = 5000

b) 2 e-x+ 4 + 10 = 30

c) - 70 · e-0,2x + 100 = 30

d} {eX-1)·ex=o

e) ½· e- x-3=-¾

f)

g) ex - e-x = 0

h)(x+1 }· ex=o

i) (x2 - 4) -ex=o

e 2x-4

= e6

(TI Exponentialgleichungen lösen 2 Lösen Sie die Gleichungen, wenn möglich algebraisch, und überprüfen Sie I hre Ergebnisse grafisch. a) ex = 10000

b) ex- 3 = 200

c) 2·e0,15x= 8

d) 0,5 · e- 2x = 300

e) ex - x2 =0

f)

g) 1O· e-x =

-ix+ 10

2

h) eX

eO,Sx

= ex -1

i) ex+ x4 = 0

= 1000

IT] Exponentialgleichungen lösen 3 Lösen Sie die Gleichungen in Abhängigkeit des Pa rameters k.

a) ek · x = 10 000

b) e4x = 2k

c} ex-k = k - 1

d) k . ex + 100 = 20

e) k~oe" =2

f)

k 1 +e-X -

1

(TI Integralgleichungen Lösen Sie die Gleichungen. Veranscha ulichen Sie die I ntegra le. 10

c)

J(e-x} dx = k 0

(I) Abschätzen Wie lautet die kleinste bzw. größte ganze Za hlx, für die Folgendes gilt? Untersuchen Sie grafisch. a) e>< > 1 000000

~

b) ex < 0,00001

c) ex >10- 7

d} eX < 105

CI] Steigungen und Flächen a) Wie groß ist die Steigung der Funktion f (x) = 2eX an de r Stelle x = 37 An welcher Stelle hat die Funktion die Steigung 10?

b) W1e groß ist die Steigung von f (x} = e-x - 5 in den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen? Wo hat f die Steigung - 1O?

c) Für welchen Wert von k umschließt f {x)= ex+k im Intervall [O; 1] mit der x-Achse eine Fläche n1it dem Inha lt 3?

d} Für welchen Wert von k umschließt f {x} = ex+ 1 im Intervall [O; k) mit der x-Achse eine Fläche mit dem Inhalt 3?

[ 140 ,

(I""e-Funktionen)

(Übungen)

QQ] vonexzubx Auf der Suche nach der Ableitung von Exponentialfunktionen haben Sie die natürliche Exponentialfunktion f {x} = ex kennengelernt, deren Besonderheit darin liegt, dass ihre Ableitung mit der Ausgangsfunktion übereinstimmt. Wie bekommt man nun aber die Ableitungen beliebiger Exponentialfunktionen wie f (x} = 2x oder f {x) = 0,9x? Mit einem CAS sind Ableitungen von Exponential~ (.,x) funktionen y = bx gebildet worden. dx a} Entdecken Sie eine Rege l? Welchen Ausdruck ~ { x) ln(S)· 5X 5 kann man für 0,182322 schreiben? dx Hinweis: Es gilt: ln

{f) = ln (k- 1 ) = - ln (k)

l)x :;; -; d

b} Begründen Sie die Regel mithilfe der Beziehung e1n(a) = a {vgl. Basiswissen ).

(Basiswissen )

·ln(2)· 2·x

(

0 .182~22· ( 1 2)X-

Für die Vie lfalt der Exponentialfunktionen braucht man nur eine Basis.

Die allgemeine Exponentialfunktion als e- Funktion und ihre Ableitung 2 Wurzelziehen ist die Umkehrung des Quadrierens; es gi lt: a = .fa2 = (..Ja) , a ~ 0. Logarithmieren ist die Umkehrung des „Exponierens"; es gilt: b = ln (eb) = e1n(bl, b > 0. Es gilt daher: Jede Exponentialfunktion bx lässt sich als Funktion zur Basis e darstellen:

f (x) = bX= (eln(b))X = eln(b) •x Mit der Kettenregel erhält man für die Ab leitung von f {x) = bx: f'(x) = ln (b) • bx

(Beispiele)

[![) Von der Basis b zur Basis e und zurück a} Schreiben Sie f {x) = 2x und g (x) = {½)x mit Basis e. b) Schreiben Sie f (x) = e0,2x und g(x) = e- 0,tx ohne Basis e.

Lösung:

( Übungen )

a} f (x) = 2x = eln (2l x::::: e0,6931 x

g(x) = (½)x = e1n(~)- x::::: e- 0,6931x

b} f (x} =e0 ,2x g(x)= e-O,lx

~

~ ~

b=e0 ,2 ::::: 1,2214 b = e- 0 ,1 ::::: 0,9048

~

f {x) = 1,2214x g{X): Ü,9048X

CI[} Ableitungen von Exponentialfunktionen Bestimmen Sie die ersten beiden Ableitungen. Schre iben Sie die Funktionen auch mit der Basis e auf. (1) f (x)= 2X (2) f {x}= 0,5X {3) f {x)= 4- 3X (4} f (x)= 4X- l

lliJ Die Umkehrung der e-Funktion Die Logarithmusfunktion L(x) = ln(x) -1 X -2 0 l 2 5 10 ist die Umkehrung der natürlichen -e1 1 e Exponentialfunktion E(x) = ex. a} Füllen Sie die Tabelle aus und erstellen Sie durch Vertauschen von x- und y-Wert in der Tabelle für E{x) eine Tabelle für L (x). Skizzieren Sie damit den Graphen von L{x). b} Überzeugen Sie sich, dass Sie den Graphen von ln {x} auch durch Spiegeln des Graphen von ex an der ersten Winkelhalbierenden erha lten.

3.3 Logarithmus, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktion [ 141 )

(Übungen]

[ill Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion Plot1 Plot2 Plot3 • f (x} = ex hat eine sehr einfache Ab leitung. Gilt das für die I \ V1 Elln(X) natürliche Logarithmusfunktion auch? . ,y 2 EI V1 C)(+8.881 >-V1 C)() 8.881 Skizzieren Sie die Ableitung von ln (x) nach Augenmaß I\V3 = 1 \V ◄ = und mithilfe einer Sekantensteigungsfunktion bzw. mit 1-..vs= der entsprechenden Funktion des GTR {nderiv). Welche Vermutung über den Ableitungsterm für ln (x) haben Sie? Überprüfen Sie diese mithilfe des Graphen und der Tabelle der Sekantensteigungsfunktion.

(Basiswissen)

Die natürliche Logarithmusfunktion und ihre Ableitung Die Funktion L (x) = ln (x) ist die Umkehrfunktion von E(x) = ex. Sie heißt natürliche Logarithmusfunktion. Sie ist für alle positiven reellen Zahlen definiert. Ihr Wertebereich sind alle ree llen Zahlen. Es gilt: für O < x < 1 ist ln (x} < 0 für x = 1 ist Ln{x } =O fü r x > 1 ist ln {x} > 0 FürdieAb leitungvon L(x) = ln (x) gilt: L'(x)=¼ Für x > 0 ist L{x} = ln (x) eine Stammfunktion zu f (x) = ;. Dan1it ist eine früher aufgetretene Lücke geschlossen. f (x) F(x)

... ...

!

1

• xn + 1

2

1

X

3

2

X

1

X1

X 2

X

.!.x2

X

7.

-x1

-lx

2

Die Formel F(x) = n

y

3

...

4

3

für Stammfunktionen von Polynomen ist für n = - 1

nicht definiert gewesen. überraschend bleibt, dass hier die Stammfunktion einen ganz anderen Funktionstyp liefert.

CI!) Ableitungen Bestimmen Sie die Ableitungen. Skizzieren Sie die Funktionen und ihre Ableitungen. Beschreiben Sie, wie die Graphen aus f (x) = ln (x} entstehen. a) f {x)= 3 -ln {x) b) f (x)= ln {x-3 ) c) f {x)= ln {x) -3 d) f {x)= - ln (x)

illJ Begründung der Ableitungsregel Für die Funktion E(x) = ex und ihre Umkehrf unktion L {x) = In {x ) gilt: E( L (x)) = x Ableiten auf beiden Seiten der Gleichung liefert: E{L(x)) ' = (eln (x))' =1 Begründen Sie : (e1n(x) )' = ln (x)' • e1n(x) und zeigen Sie damit die Ab leitungsregel.

lliJ Eine überraschende Entdeckung • Bilden Sie die Ableitungen der Funktionen f1 (x) = ln {x), f 2 {x} = ln (2x). f3 (x) = ln(3 x). Was fällt auf? We lche Vermutung haben Sie für die Ableitung von fk(x) =Ln (k · x)? • Es gilt: ln (a · b) = ln (a) + ln (b). Begründen Sie dam it die Vermutung.

[ 142] ( 3 e-Funktionen)

(Übungen] lxl ={- xX für

xX 2< 0Q

(TI] Stammfunktionen zu

f {x) =½

Begründen Sie mithilfe von Symmetriebet rachtungen, dass f{x) = ln{ - x) eine Stammfu nktion von f {x)=¾ für x < O istunddamit,dassgilt: f {x)=¾ ~ F(x)= ln ( lxl )

mJ Stammfunktionen zu f (x) = ln (x) Eine Stammfunktion zu f {x) = ln{x) kann mit den bisher bekannten Mitteln nicht bestimmt werden. a } Skizzieren Sie eine Stammfunktion nach Anschauung. b) Ze igen Sie, dass F (x) = x - ln {x) - x eine Stammf unktion zu f (x) = ln (x} ist .

CI2J Flächen unter der Hyperbel Die Hyperbel sch ließt mit der x-Achse im

3-

I ntervall [¾ ; 1 ] eine Fläche A und im Interva ll (1; e] eine Fläche Bein. a) Schätzen Sie die Inhalte der Flächen A und B. Welche Fläche hat den größeren

y

1 1

2

1,

l-i !\ i \ '

1

-1

I nhalt?

:'-.....

-X1

1 1

b) Berechnen Sie die Flächen mit dem Integral. Wird I hre Schätzung bestätigt?

'

1 e

1

1

-

e3

2

4

V

'

5

'

00 W ie wäch st ln (x)? Für die Potenzen von e lassen sich die Funktionswerte von ln (x) bestimmen. e "" 2,71 ...

X

ln (x)

1

===:

e2 :::: 7,38...

e3 ;:: 20,08...

e4 ::: 54,59...

e 5 :::: 148,41 ...

2

3

4

5

Man erkennt, dass die Funktion seh r langsam wächst. a) Begründen Sie mithilfe der Beziehung von ln (x) zu ex, dass die nat ürLiche Logarithmusfunktion über alle Grenzen wächst. b) Um eine gute Vorstellung über die Langsamkeit des Wachstums zu bekommen, hilft folgendes Gedankenexperl me nt: ■ Wie lang müsste die x-Achse

y - In

se in, damit bei einer SkaLierung 1 LE .!,. 1 cm der Graph der nat ürlichen Logar ithmusfu nktion 10cm oberha lb der x-Achse

20 10

y 30

ln(x) 1 -1 0 . 2D 30

angelangt ist? ■ Ein DIN-A4- Blatt ist et wa 30cm hoch. Wenn die Unterkante die x-Achse ist, wie lang müsste sie gezeichnet werden , damit der Grap h von ln {x) die

Oberkante des Blatts erreicht? Wie oft könnte man dieses Stück der x-Ac hse um den Äquato r wicke ln?

15

Gr1mdwissen 1. Leon muss morgens zwei Ampelkreuzungen pass ieren. Die erste Ampe l zeigt 15 s Grün und 45 s Rot . Die zwe ite Ampe l zeigt 20 s Grün und 40 s Rot Erstellen Sie ein Baumdiagramm und geben Sie d ie Wahrschein lichkeiten an. 2. Ski zzieren Sie: a ) f(x)= -sin(2x)

b) f {x) = 0,5x4 -2

c) f (x)= ✓x-2

3.3 Logarithmus, Exponentialfunktionen und Logarithmusfunktion [ 143 )

[Aufgaben]

(}!] Ein Wett renn en im Schnellwac.h sen und ein Wettrennen im Langsamwachsen a ) {1) Wird y = ex die Funktion noch einmal schneiden?

y 40-

,.1

1

1

1

y

IJ

/ ex

;( 1,

6•

/

1

\+

erste Mal? 1

1

10·

y= ln{x)

Wo schneiden sie sich überhaupt das

1

1

~r20-

4 1

1

1-

t

1/

t

"

1

jLn

> 2 ex= k k=; x = ln {~) K~

',

.

1( .

()

" 2

1

~

'

\

,,

0

fk"(x) =k -ex- 4e 2x=ex·( k - 4ex); 10

10

2 fk"{Ln {~)) = ½·(k - 4 -~) = - ~ k~OO

fk{ ln{~)}= e (!) .( k-e (½)}=½{ k -~)= t

k >0: HP{tn(~)

1

tr

Y

1

t ); k s: O:

keine Extrempunkte. • e2 In(~)= {etn(½}} = (~}2 = ~ 2

2

3.4 Innermathematisches mit e-Funktionen [ 147 )

Werkzet1g

Funktionenscharen mit CAS untei-suchen Empfehlenswert ist die Definition der Schar als zweistellige Funktion und die entsprechende Definition der Ableitungen, so dass mehrfach darauf Bezug genommen werden kann. ~,Jc):sex. ~-ex)

Ferag

dfo~,k): • ..!!..(,1.-(x-,1c))

Ferng

dx

d2

ddjk(,-c,k):•- (ft{.-c,k))

&

2· lb(;) ~

(Übu11gen)

4m(;),k)

-

d~ln(f)1

-k2

k2 4

Fertig

dx2

&

~ln(;) and ~O

sol ve(tffk-(.-c.k)-o .x)

d)

?

k2

-4

(TI Produkte mit e-Funktionen f (x} = ex hat keine Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte. Gilt dies auch für zusammengesetzte Funktionen f (x) = g (x) · ex? a) Welche Funktion gehört zu welchem Graphen? Gelingt Ihnen eine Zuordnung ohne Benutzung des GTR? f1 (x)=x-ex f2 (x)=x ·e-x f 3 (x) = x2 -ex f4 (x) =(x-1 )- ex b) Ermitteln Sie die Gleichungen der Tangenten an den Stellen x = - 1 und x = 0. c) Untersuchen Sie die Funktionen auf Nu llstellen, Extrempunkte und Wendepunkte.

,.

j

,_ ....

1

--

')

-

-

IT) Flächeninhalte und Schnittpunkte -

...y

-

'I ~

'"

1

"I

I

1

•

),.~'

-- • ~

.J

i

-

..........

1

-

1

--1 I .

~

,

1

j

2

• •

/

' ~

-

')

-

' '

Schätzen und Rechnen Gegeben sind die drei Funktionen f, g und h durch (1) f (x)=ex (2) g(x) = 2-ex (3) h(x) = e 2x a) Skizzieren Sie die drei Funktionen in einem Koordinatensystem und untersuchen Sie die Funktionen auf gemeinsame Punkte. b) Schätzen Sie jeweils ab, wie groß der Inhalt der Fläche ist, die der Graph der Funktion im Intervall [O; 1 J mit der x-Achse einschließt. Bestimmen Sie dann den Wert mitl,ilfe des Integrals und vergleichen Sie.

[D Flächen 1 a) Geben Sie die Funktionsterme aller Randfunktionen an. b} Ermitteln Sie den Inhalt der farbigen Fläche. c) Was für eine Figur bilden die vier Tangenten in den Schnittpunkten mit der y-Achse? Und die Norma len?

( 148 ) ( 3 e-Funktionen)

( Übu1tgen ]

[ [ ) Flächen 2 Bestimmen Sie jeweils den Inhalt der gefärbten Fläche.

Y-t,

y - ~,

=2

X

2

X

-4 - 3 - 2 - 1

'

j

T

2

-1

X

l-os_

_, 5 '

- 2

IT] Besondere Eigenschaft der e-Funktion Die e- Funktion f {x} =ex stimmt mit ihrer Ableitung überein. Zeigen Sie, dass alle Funktionen g (x} = c · ex diese Eigenschaft haben. Untersuchen Sie auch die Funktionen h (x) = ecx und d (x} = ex+c bezüglich dieser Eigenschaft.

(I] Intensivtraining -

Charakteristische Punkte Skizzie ren Sie f. Bestimmen Sie jeweils die Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen und die lokalen Extrempunkte, die notwendige Bedingung reicht aus. Versuchen Sie zunächst Lösungen ohne GTR und CAS. Begründen Sie gegebenenfa lls, warum eine algebraische Lösung nicht möglich ist. a) f (x) =4x - ex b) f (x) =ex- e , x c) f {x}=x2 -ex d) f {x) = (x - 2)- ex

(TI Intensivtraining - Tangenten und Normalen Bestimmen Sie jeweils die Gleichung der Tangente und der Normalen in den Punkten (Olf {O)} und (2 lf (2)). a) f {x)= e2 x b) f {x)= 2-ex c) f {x)= ex+x d) f (x)= x-ex

(IQ] Eine besondere Funktion Siehe auch s. 198

Die Funktion f (x) = ex+ e-x l1at besondere Eigenschaften. a) Bilden Sie die ersten beiden Ableitungen und skizzieren Sie f und die Ableitungen. Was fällt Ihnen auf? Vergleichen Sie mit den Ab leitungen von g mit g {x) = x2 + 1. b) Bestimmen Sie für f ■ die Steigung an der Stelle a ■ den Flächeninhalt unter der Kurve im I nterva ll [O; a] Vergleichen und interpretieren Sie die Ergebnisse.

•

X

-3 -2 -

2

3

QD Ein Extremalproblem Unter der Randfunktion f (x) = e-x soll ein Rechteck wie in der Abbildung skizziert so eingebaut werden, dass es maximalen Flächeninha lt hat. Begründen Sie zunächst anschaulich, dass es ein Rechteck mit maximalem Flächeninhalt geben muss.

1 1

l t

-------- X

1

2

3.4 Innermathematisches mit e-Funktionen [ 149 ]

(Übungen]

uneigentliches Integral

C!I) Asymptoten, Extrempunkte und Flächen Gegeben ist die Funktion f (x}=e 2x-2ex+1. a} Begründen Sie, dass y =1 eine Asym ptote für x ➔ - oo ist und dass für x ➔ oo die Funktionswerte f(x) gegen oo streben. b} Bestimmen Sie den Tief- und den Wendepunkt von f (x). c) Wo schneidet f die waagerechte Asymptote y = 1? Ermitte ln Sie jeweils den I nhalt der gefärbten Flächen.

f

0, 5 X

-5

-4

-3

1

-2

--0 5 '

(ill Zwei Funktionenscharen Funktionenscharen

Skizzie ren Sie jewe ils die Schar mit dem GTR und beschreiben Sie die Gestalt der Graphen in Abhängigkeit vom Parameter k. Beantworten Sie dann die Fragen. (1) Gegeben ist die Funktionenschar fk(x)= ex- kx.

{2) Gegeben ist die Funktionenschar fk(x) ={x- k)-ex.

a) Welche Kurve verläuft durch (114)? b} Wie lautet der Funktionswert an der Stelle 2? Welche Kurve schneidet dort die x-Achse? c) Geben Sie für k = 1 alle Stammfunktionen an. Welche verläuft durch ( 1 1 O)? d} Bestimmen Sie:

a)

t

(2)

Jf1 (x}dx

■

Welche der Kurven verläuft durch den Ursprung, welche durch (1 11 )? ■ We lche Kurve hat an der Stelle x = 0 eine waagerechte Tangente? ■ We lche Kurve hat an der Stelle x = 1 die Steigung 2? b) Welche Kurve hat an der Stelle x = 0 einen Krümmungswechsel? c) Für welchen Wert von k wechselt die Steigung an der Stelle 1 ihr Vo rzeichen?

-t

[ill Weitere Fragen zur Schar aus Beispiel A ~

a} Bestimmen Sie die Wendepunkte. Zeigen Sie, dass sie auf der Kurve y = 3 · e2 x liegen. b) Ermitteln Sie die Gleich ung der Tangente im Schnittpunkt mit de r y-Achse. ■ We lche dieser Tangenten hat die Steigung - 2? ■ We lche r dieser Tangenten verlä uft durch den Punkt P{l 12)? ■ Welche dieser Tangenten verläuft senkrecht zu y = - ½x + 5? Wo schneiden sich die beiden Geraden? c) Welche Fragen werden mit dem CAS beantwortet? Benutzen Sie auch Skizzen.

k-2.3504 1

(3)

k- l.S4308

rolve

2 ( ) lsolve(1;~ .-2))=lrT) (4)

false

'a

solve

fa\x,3) dx• O,a -1

a• - 1. ora•l.72849

1

[ 150 ] ( 3 e-Funktionen)

(Übungen) Klassi fikationen von e-Funktionen

[ill Verknüpfung linearer Funktionen mit Exponentialfunktionen Was passiert, wenn man eine lineare Funktion l(x) =a x + b mit einer Exponentialfunktion g(x) =ekx zu f(x} =(ax + b) · ekx verknüpft? a) Ordnen Sie begründet den Funktionsgleichungen passende Grafiken zu. Versuchen Sie eine Zuordnung ohne technische Hilfsmittel. (1) fb(x) = (x+b}-e)( (2) fa{X)=a·x-ex (3) fk(x)=x -ek,c

(A) -l---1

-

CAS

y

+-< ------

b} Geben Sie Begründungen für das Verha lten der Funktionen für x ➔ ±oo. Untersuchen Sie die Funktionenscharen jeweils auf Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte. c) Beschreiben Sie die Gemeinsamkeiten und Unterschiede der Scharen fa , fb und fk. Schreiben Sie einen Bericht zu der Ausgangsfrage. d) Untersuchen Sie mit dern CAS f (x) = (a x + b) · ek,c auf das Verhalten für x -+ ±oo, sowie Nullstellen, Extrem- und Wendepunkte.

[ill Verknüpfung von Potenzfunktionen mit e-Funktionen Was passiert, wenn man eine Potenzfunktion p {x) = x"; n e IN; mit einer Exponentialfunktion g(x) = e)(; zu fn{x) = x" · e>C verknüpft? a) Ordnen Sie den Funktionsgleichungen begründet ohne Benutzung eines GTR eine passende Grafik zu. Hinweis: Betrachten Sie den besonderen Punkt (010).

-¼-f-

V

-4

t--+--1-.11-l-y

~

-1-,--,i--;-i-3,+-1 - ~ ~

2 1

X

l

2 3

-2

X

-5 - 4 -B _,

-1

-2

•

1

-' 5 -' 4 - 1

-2-1 '

2

-1

-2

X

.

[

•

~

Beschreiben Sie qualit ativ den graphischen Verlauf von f 4 (x) = x4 · ex; f 5 (x) = x5 -e,c __ _ Überprüfen Sie Ihre Aussagen mit dem GTR. b) Berechnen Sie die cha rakteristischen Punktevonf1 , f 2 undf3 . Mit CAS: Bestimmen Sie die charakteristischen Punkte f ür ein beliebiges n.

[ill Forschungsaufgaben e- Funktionen können mit verschiedenen Funktionen verknüpft werden. Untersuchen Sie die Verknüpfungen. Wählen Sie zunächst so vie le Parameterfest vor, dass jeweils nur Scharen mit einem Parameter verb leiben. Fertigen Sie aussagekräftige Skizzen an. Schreiben sie jeweils einen Forschungsbericht.

f(x) = e ax2 +b x+ C

f {x) = a · ebx + ex

3.4 Innermathematisches mit e-Funktionen ( 151 )

(Übungen) Vernetzende Übun gen

CI[) Tangenten und ein Extremwertproblem a) Wählen Sie ve rschiedene Punkte von y = ex und er-'--1--1--1--1--• -Y- - tr mitte ln Sie die Gleichungen de r zugehörigen Tangenten. Wo schneiden diese die x-Achse? Was fällt auf ? Formulieren Sie eine Ver mutung und erhärten Sie diese du rch ein weiteres Beispiel. Beschreiben Sie damit, wie die Tangente an y = eX in einem Punkt geometrisch konst ruiert werden kann. 1 b) Jede der Tangenten schließt mit den Koordinatenachsen ein Dreieck ein. Berechnen Sie für die in a) gewählten Punkte die Flächeninha lte dieser Dreiecke. y

X

y

2

X

X

-2

-1

-1

1

c) Beweisen Sie die Vermutu ng aus a) allgemein für den be liebigen Punkt (t Iet). Zeigen Sie, dass A (t ) = ½{t - 1)2 · et den Flächeninhalt für das Dreieck angibt, das die Tangente in (t Iet) mit de n Koo rdinatenachsen umschließt. Für welche We rte von t ist der Flächeninhalt maximal beziehungsweise minima l?

[ff) Eine Glockenkurve 2

Der Graph von f {x) = e-~ x ist ein Beispiel für eine Glockenkurve. a) Skizzieren Sie f. Begründen Sie Symmetrie und das Ve rha lten für x --> ± oo. Bestimmen Sie den Hochpunkt . b) Zu f ka nn keine Stammfun ktion angegeben werden. Um die Fläche unter der Kurve im Interva ll [O; 2) zu bestimmen, kann die Glockenkurve z. B. durch einfache Funktionen angenähert werden. Hier einige Tipps zur Bestimmung von Näherungskurven:

(1) Benutzen der Tangente im Wendepunkt. (2) Kurve durch zwei Parabeln annähern: p1 {x) = b x2 + 1 in [O; 1 J; p2 (x) = a (x- 3)2 Mit prosum (Seite 31 ) können Sie auch einen Näherungswert bestimmen. (3) Punkte aus der Wertetabelle von f auslesen und Regressionsfunktionen (Polynomfunkt1on) auswählen.

Grtmd,visse11 1. Lösen Sie die Gleichung V =

½n•r

2·

h ei nmal nach r und ei nmal nach h auf.

Welche geometrische Bedeutung hat die Gleichung? 2. Wie viele Lösungen haben die Gleichungen? Verdeutlichen Sie jeweils anhand ei nes Grap hen. a) x2 - 2 =- 2 b) x3 - x =0 c) - 1 = 2 x2 + 2 d) x2 - 2 = x + 1

l 152 )

( 3 e-Funktionen]

Exkt1rs

Die Zahl e - allgegenwärtig und seltsam Auf der Suche nach einer Funktion, deren Ableitung wieder die Ausgangsfunktion ist, haben Sie auf experimentellem Weg die Zahle entdeckt. Charakteristisch für diese Zahl ist damit, dass sie Zusammenhänge zwischen Beständen (Funktionswerten) und Änderungen (Ableitungen) beschreibt. Sie hat deswegen auch ihren großen Auftritt bei der Modellierung von Wachst11msprozessen. Das Faszinierende an der Zahl eist, dass sie in ganz unterschiedlichen Bereichen auftritt, die auf den ersten Blick gar nichts miteinander zu tun haben. Ein und derselbe mathematische Gegenstand taucht also in verschiedenen Zusammenhängen auf; ein für die Mathematik typisches Phänome11.

e und der Zufall In der Stochastik hat e eine große Bedeutung bei der Beschreibung von Verteilungen. Das Diagramm zeigt die Verteilung der Körpergröße von 454 Männern. Die Gauß' sche Glockenkurve (Abb. rechts) beschreibt solche Verteilungen. 80

Anzahl

fµ,a (x)=

70

'

60

- -

50

-

50. . - - - - - - - . - - - - . - - - - - -

40 30

.

40 .

30 .

20

20

-

-

I•

-

..... ... ,, ,,~ ,, ,, ,, ,, ,,~ ,, ,~ ,, .

10

0 '---1---1------+-

f {x) = a •ec x ~ F{x) =

Sie d ie verwendete Rege l an. b) f (x) = (4x - 2)5 d ) f (x) = ✓3 x 2 - x + 1 f) x2 -sin (x)

b) 5 + --t-11--

..... ,

•

1

-

')

\ 1

\

.

f'

-4 -3-2 -1. ,....... X

o)

f

J ') -

- ,

•.

y

)

5

3 '

h

I

2 3 4

-4 3-2-1 -1

ze c x

I

X

X

'

NatürLicher Logarithmus Die Gleichung ex= a (a > 0) wird durch Logarithmieren (Umkehroperation} gelöst. e>< = a ~ x =- l n (a )

y

a- - --

a - i - -- -- - 4

X

X

Zum x- Wert den zugehörigen Funktionswert f (x) = a finden : a = eX

X X

Zum Funktionswert a = f (x) den zugehörigen x-Wert fi nden: x = ln(a )

f X

-4 --l3 -2 -1 1 -1

Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus, er wird mit Ln bezeichnet. y

f

2 3 4

X

-4 -3 -2 -1

-1

1 2 3 4

(3] e- Funktionen bewegen a) Geben Sie den Funktionsterm an, wenn man f (x} = ex {1) an der y-Achse spiege lt . {2) an der x-Achse spiegelt. {3) um 3 Einheiten in die negative x- Richtung verschiebt. {4) um 2 Einheiten in die positive y-Richtung verschiebt. b) Durch welche geometrischen Abbildungen lassen sich die Funktionen f, g und haus f (x) = eX erzeugen? f (x)= e>< - 2 -1 g (x)= 3 ·e- x h(x)= -2 -e->< + 1

[D Gleichungen lösen 1 Lösen Sie die Gleichungen, wenn möglich algebraisch ohne GTR. 1 a) 1000 - 2e> 1 ist ln{x) > 0 Ableitung von L(x) = ln(x):

Gegeben ist die Funktion f(x) = e0,5x_ a) Welche Steigung hat f an der Stelle 2? b) An welcher Stelle hat f den Wert 8? c) An welcher Stelle hat f die Steigung 15? d) Ermitteln Sie den markierten Flächeninhalt.

•

(TI) Funktionsuntersuchungen

-1 -2

lli) Besondere Stellen

L' {x) =1

Die natü rliche Loga rithmusfunktion ist Stammfunktion von ~. f (x) =¾ => F(x) = ln(x) fü r x > 0

a) Fertigen Sie zunächst eine aussagekräftige Skizze der Funktionenscharen an. Beschreiben Sie die Kurven in Abhäng igkeit des Parameters. Bestimmen Sie Achsenschnittpunkte, Extremund Wendepunkte in Abhängigkeit des Parameters. (A) fa(x)= ex+ax {B) fb (x)=(ex - b)2 b) Bestimmen Sie jeweils für die beiden Scharen. (1) die Tangente und die Normale im Schnittpunkt mit der y-Achse. {2) die Kurve der Schar, die durch den Punkt {114) ve rläuft.

Sicl1ern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben [ 155 )

Sichern und Vernetzen Vermischte Aufgaben zu Kapitel 3 Trainieren ~

C]J Ableitungen bestimmen Bestimmen Sie die Ableitungen. Geben Sie jeweils an, welche Ab leitungsregeln Sie benutzt haben. Manchmal gibt es mehre re Möglichkeiten, benutzen Sie diese.

a} f (x) = x2 · x3 d) f (x) = (x2 - 1 )-(x2 + 1) g} f (x) =x -e- x j) f (x) = 2e-xz+2x

c) f) i) l)

b) f {x) = sin (x) -cos (x) e) f (x) = ex+ e2x h) f (x) = 2 · (x2)3 k) f (x) = (ex - kx)2

[ [ ] Terme Fassen Sie die Terme zusammen. a) ln (e5) b) e- ln(2) c) eln(l). eln (e)

f (x)= 3 ·eO,lx f (x) =ex · e2x f (x)=(x2 - 2) -ex f (x)= sin {x2) -cos (2x)

d) ln(e2 + 1)

[D Gleichungen Lösen Sie die Gleichungen. a) 3e-x =102 b) ex+l, ex - 1 =1000 c) e2x = - x+2

d} ln {x - 4} =2

[D Bewegte Graphen a) Ermitteln Sie zu den Graphen jeweils eine Funktionsgleichung. Es handelt sich jeweils um eine verschobene oder gespiegelte Funktion von f (x) = ex. Beschreiben Sie, durch welche geometrischen Abbildungen die Graphen aus dem Grap hen von f (x) = ex entstehen. b) Geben Sie die Asymptoten an.

- + - f - - 1 - -l -- l ,~ ...- + - - ' - - 1 - -

-f---+---1121

,-3

y

l.--c+-l--1--

{1

3

1

- + . ~ - l - - - l -\l" -)

/

:

1

' 1

A

1

0J Lokale Extrempunkte und Tangenten Skizzie ren Sie die Funktionen. Bestimrnen Sie jeweils die loka len Extrempunkte und die Gle ichungen der Tangenten in den Schnittpunkten mit den Koordinatenachsen, sofern diese existieren. c} f (x) = 2x •eo,sx

b) f (x) =ex+ e- x

a) f (x) = (x - 2) · ex

(I) I ntegrale zuordnen Veranschau lichen Sie jedes I ntegra l und ordnen Sie den I ntegra len (1 ) - {4) den passenden Wert {A) - (D} zu. Versuchen Sie zunächst eine Zuordnung ohne GTR und weite re Rechnungen. Ein Term passt zu zwei I ntegralen, ein Term zu keinem Integral Gelingt Ihnen der Bau eines Integrals, zu dem dieser Term passt? 5

1

(2)

J 2exdx -1

(B) 2 - ln(S)

{3)

Jictx 1

(C) 2e-¾

1

(4)

J(eX + e-x)dx -1

( 156 ] ( 3 e-Funktionen)

1.·rainieren

(TI Parameterwerte bestimmen Bestimmen Sie den Wert des Parameters jeweils so, dass der Punkt P auf dem Graphen von fliegt. Skizzieren Sie f und überprüfen Sie Ihr Ergebnis grafisch. a) f (x) =6 · ekx b) f (x) =A •e- 0 .oosx + 200 c) f (x) =A. e-O.OOOlSx P(3l50)

P(10 l4)

P(200 l 15)

IT) Flächeninhalte Bestimmen Sie jeweils die Flächeninhalte der farbigen Flächen. In den drei Abbi ldungen ist jeweils f 1 (x) = ex gewählt. Hinweis: F(x) = x -ln (x) - x ist eine Stammfunktion von f {x) = ln (x). Hinweis zu b): f 3 (x) = ex+ e-x -2.

aB

:::,i-. .~~+--_:---_,_

_,_: : : \--\-

1

v+-J~-1--1-+--!-

f

X

-4

2

"f

J 2

t

X

X

-4

- '2

2

2 '

6

1

1

1

(I) Eine Funktionenschar 1 Gegeben ist die Funkt1onenschar fk(x) = (x - k) · ex. 10 a) Zu welchen Werten von k gehören die Kurven in der Abbildung? Ordnen Sie ohne Rechnung zu. b) Welche Funktion verläuft durch {111)? 4 j2 c) Welche Funktion hat im Schnittpunkt mit der y-Achse 1 ( ) 1 -1 0 eine waagerechte Tangente? d) Ze igen Sie, dass keine Funktion im Schnittpunkt mit der x-Achse eine waagerechte Tangente hat. e) Ermitteln Sie die Extrem- und Wendepunkte in Abhängigke it von k. Zeigen Sie, dass die Extrempunkte auf der Kurve y = - ex liegen und die Wendepunkte auf y = - 2e)( .

Verstehen

CI[)

Der Größe nach ordnen Ordnen Sie die Zahlen der Größe nach ohne Benutzung eines Hilfsmittels. Beginnen Sie rn it der kleinsten. 10 2 -1·' 1·, e·' rr, ln (1)·, 0·, -e ·, 4·, e0 ·, ln (e)·, 2·, ...fi·, e - 1·, ln (e2 )·, -/3·, tn {l)· e' e ( l

[ID Einzelinformationen Gegeben sind folgende Werte der Funktionen g (x), g' (x), h {x) und h' (x): X

g(x)

g'(x)

h (x)

h'(x)

- 1

3

4

2

5

0

4

-3

1

3

2

0

2

0

- 1

Berechnen Sie daraus f {x) und f' (x) an den Stellen - 1, 0 und 2 für: f1 (x) = g(x) + h (x) f 2 (x) = g {x) · h{x) f 3 {x) == g(h (x}) f4 (x) = h (g (x)) Die Berechnung ist nicht immer möglich. Warum?

(m Funktionsgraphen zeichnen Zeichnen Sie für jeden der Fälle A bis D einen passenden Funktionsgraphen des Typs f {x) = a · ekx und geben Sie mögliche zugehörige Werte für a und k an.

f'(x) > 0

f'(x) < 0

f"{x > 0

A

B

f"(x) < 0

C

D

X

Sicl1ern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben [ 157 )

Versteh en

(m Wahr oder falsch? Welche der Aussagen sind wahr? Geben Sie eine Begründung. (3) Eine Verschiebung von y = ex in x- Richtung ist gleichzeitig eine Streckung in y- Rich tung.

(2) Für f (x) = - e-x gilt f '(x)=- f (- x)

(4) für f (x) = e-x gilt: f'(x) = f (- x)

(]I) Warum- Fragen a } Warum ist die natürliche Loga rit hmusfunkt ion f {x) = ln {x) nurfür positive Werte von x definiert?

b} Warum g ilt für f (x) = ex nicht f '{x) = x- ex - 1? Finden Sie drei verschiedene Begründungen?

[ill Funktion sbeziehu ngen Erläutern Sie: ex verhält sich zu ln(x) wie x2 zu ✓ x . Inwiefern besteht ein Unterschied?

(ill Erläutern , Begründen und Skizzieren Man kann folgende Funktionsterme erhalten, wenn man f (x) = ex quadriert: f 1 (x}=(ex)2 f 2 (x)= e2 x f 3 (x)= ex-ex a) Ze igen Sie die Gleichwertigke it {Äqu iva lenz) der Darstellungen. b) Bestimmen Sie jeweils die Ableitung und nennen Sie die benutzten Ableitungsrege ln. Erläutern Sie an diesem Beispiel, dass die Regeln sich ve rtragen. c) I n welcher Darstellung können Sie unmittelbar eine Stammfunktion bilden? Warum gelingt das in den anderen Darstellungen nicht unmittelbar? d } Welche Auswirkungen auf den Graphen ha t das Quadrieren? Vergleichen Sie m it der11 Quadrieren von g (x) = x und h (x) = sin (x). Fertigen Sie Skizzen an.

(JIJ Graph en w e rden Termen zugeordn et Ordnen Sie begründet - ohne Verwendu11g eines Hilfsmittels - den Funktionsgleichun gen den passenden Graphen (A)-(C) und den Graphen die passende Ableitung (D)-( F) zu . Überprüfen Sie Ihre Zuordnungen m ithilfe des GTR. f 1 (x) = {x - 2 ) · e-O,Sx f 2 (x) = {ex- 1 )2

,., -...,

v, l

f 3 (x) = x •e-o,sx .,_.___.__,,,_y_

'

D)

c

-1

. -

473

1

_ ., -

-

'

-...,

,,-v •, I tlA\ ..

-r

~

,4 An,vcndcn

+--'--

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1

.. " 1

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.

1 2 3

2 3 4

2 -3

,.

r

mJ Wie schnell öffnet und schließt eine Tü r? Eine Tür m it einem automatischen Türöffner öffnet und schließt sich. Die Abhäng igkeit des Öffnungswinkels a von der Zeitt kann durch folgende Funkt ion beschrieben werden: a (t } = 200 · t · e- o, 7 t (t ins, a in °) Skizzieren Sie a und beschreiben Sie damit den Vorgang. • Wann ist die Tür ganz geöffnet? • Wann ist die Tür geschlossen? • Wann ist die Schließbewegung am schnellsten?

~ --~------------C:

[ 158 ~ [ 4 Wacl1st111n ]

ac stum Wachstum und Veränderungen kennzeichnen Natur und Kultur. Wie wachsen Populationen? Wie werden Stoffe im Körper abgebaut? Wie hängt die Zunahme der Verkaufszahlen von der Anzahl der verkauften Produkte ab? Wie wächst das Internet? Bei der Untersuchung solcher Fragen spielen die Zu.~ ammenhänge zwischen den Beständen (mathematisch: den Funktionswerten) und ihren Änderungen (mathematisch: der Ableitung) eine zentrale Rolle. Die Beschreibung solcher Zusammenhänge zwischen Funktionen und Ableitungen gelingt mit einer neuen Art von Gleichungen. Man erhält damit Einsicht in Wachst11msprozesse, wodurch Prognosen möglich werden.

übersieht ( 159 )

Exponentielles Wachstum

4.1

Die Entwicklung de r Anzahl der Internet-Anschlüsse lässt sich mit demselben Wachstumsmodell beschreiben wie der Abba u von Medikamenten im Körpe r. Die Änderungs rate ist hier immer proportiona l zum aktuellen Bestand.

Begrenztes Wachstum

4.2

,,Die Bäume wachsen nicht in den Himmel." Es gibt Grenzen . Auf diese bekannte Tatsache kann man in einem entsprechenden Wachstumsmodell reagieren: Je näher man an die Grenze kommt, desto schwä cher wi rd das Wachstum sein. Dies gilt zum Beispiel bei der Entwicklung von Pop ulationen in einem begrenzten Lebensraum.

Logistisches Wachstum

4.3

Das Modell des begrenzten Wachstums berücksich-

•

t igt angemessen den Einfluss der gegebenen Grenzen. Am Beginn des Wachstums passt das Modell

•

aber häufig nicht zu dem beobachtbaren Wachstu111sverlauf, wie er zum Beispiel bei Sonnenblumen oder auch bei der Verbreitung von Gerüchten auftritt.

Modelle mit e-Funktionen

4.4

Wie ändert sich die Konzentration eines Wi rkstoffs im Körper? Wie entwickeln sich Verkaufszahlen von Produkten? Wie wachsen Tierpopulationen? Wenn es um Änderungsprozesse geht, sind häufig zusammen gesetzte Exponentialfunktione11 geeignete Modelle zur Beschreibung.

Phasendiagramme (fakultativ)

4.5

f'(x) 5

Wenn man die Änderungsraten (Ableitungen ) nicht in Abhängigkeit von der Zeit, sondern in Abhängigkeit

4

A

des Bestandes (Funktionswerte) betrachtet, erhält

2

man ne uartige Diagramme, die weitere Einsichten in Änderungsprozesse ermöglichen und Zusammen hänge aufzeigen .

-2

B

m) ' 2

-

4 1

1

1

160

4 Wachstwn

4.1

(Aufgaben)

Exponentielles Wachstum

[D Von Heuschrecken und Nashörnern (1) Eine Heuschreckenpopulation aus anfänglich 1000 Tieren wächst wöchentlich um 30 %.

(2) Eine Nashornpopu lation von 200 Tieren nimmt jährlich um 10%

ab.

a) Geben Sie zu den Heuschrecken und den Nashörnern den pa ssenden Wachstumsfaktor und die zugehörige Wachstumsfunktion f (x) = A · bx an. b) Beim mathematischen Modellieren wird meist die e- runktion benutzt, also f (x} = A • bx = A · (ek)x. Dazu muss der Wachstumsfaktor bin die passende e- Potenz ek umgerechnet we rden, also b = ek. Zeigen Sie, dass man für die Heuschreckenpopulation h (x) = 1000 · e0,2624 x erhält. Welche Funktionsgleichung erhält man für die Nashornpopu lation? c) • Die größten Heuschreckenschwärme sind 1784 in Südafrika doku111entiert worden. Es sollen damals 300 Milliarden I nsekten das Land bedeckt haben. Nach wie vielen Wochen wäre die Population nach dem Modell in a) so groß? • Nach wie vielen Jahren hat sich die Nashornpopulation halbiert? d) Zeigen Sie, dass für beide Populationen die Gleichung f'( x) = k · f (x) gilt . Geben Sie jeweils k an und beschreiben Sie mit dieser Gleichung das Änderungsverhalten.

CTJ Geschwindigkeit, Vermehrung und Verkäufe -

neue Gleichungen

a) Ordnen Sie den Texten die passende Beschreibung und Gleichung zu. Beschleunigung: Änderung der Geschwindigkeit

(A) Max fahrt mit konstanter Beschleunigung.

{B) Jedes Jahr vermehrte sich die Hasenpopulation um 25 %.

(C) Pro Woche wurden zwei Autos mehr verkauft.

(D) Die Änderung ist proportional zum Bestand.

(E) Die Änderung ist proportional zur Zeit

(F) Die Änderung ist konstant.

(1) f1 ' (X) = 2

Differentialgleichung DGL

Das Besondere der Gleichungen (1 ), (2) und (3) liegt darin, dass sie einen Zusammenhang zwischen dem Änderungsverha lten von Beständen und den Beständen selbst beschreiben. Solche Gleichungen heißen Differentialgleichungen, abgekürzt DGL. Lösungen solcher Gleichungen sind Funktionen. b) Geben Sie zu (1), (2) und (3) eine passende Lösungsfunktion an. Benutzen Sie Ihr Wissen über Funktionen und ihre Able itungen. Warum gibt es zu jeder Gleichung mehrere Lösungsfunktionen? Beschreiben Sie jeweils alle Lösungen.

4.1 Exponentielles Wachstum ( 161 ]

fakultativ

CI] Geschwindigkeit, Vermehrung und Verkäufe -

grafische Lösungen

Die Gleichungen (1L (2) und (3 ) aus Aufgabe 2 geben an, wie g roß die momentane Änderung an einer Stelle ist. Geometrisch gibt dies er Wert die Steigung in dem Punkt {x IY) ={x l f(x)) an . Dies wi rd grafisch un1gesetzt. Richtungsfelder

Vgl. S . 40

Prinzip: I n jede m Pu nkt {x Iy) wird die durch f '(x) fe st gelegte Steigung bestimmt. Diese Steigung wird dann in Form eines klei nen Tangentenstü cks eingezeichnet. a } Füllen Sie die Tabelle aus und skizzieren Sie i n jeweils ein Koordinatensystem die

ln (1,25) ~ 0,223

Tangentenstücke aus der Tabelle . Skizz ieren Sie dann die Tangentenstücke in a llen Gitterpunkten . Dies gelingt ohne weitere Rechnungen. Es entsteht ein Richtungsfeld . X

y

-1

2

0

1

0

5

1

0

y 8

0 ,45

6

4

0,89

2

2

0, 45

3

5

4

3

5

1

_._4

•

y

...

• • 2

X

6

4

1

Wie findet man näherungsweise eine Lösungsfunktion der Differentialgleichung? ■ Ma n sta rtet z . B. in ■

(011). ,_._ .--,,,.- 1

Dann geht man in Ta ngente nrichtung weiter.

~~

A--+-- 0 a ) Geben Sie zu k = - 2 und G = 3 die Lösungsfunktion an und skizzieren Sie diese für d ie Startwerte A = 1; A =2; A = 3; A = 4; A = 5. Vergleichen Sie den Kurvenverlauf mit dem der Kurven zum begrenzten Wachstum. b) Die Grafiken zeigen jeweils Lösungskurven zur DGL f ' (x) = k · f (x) + b für zwei verschiedene Anfangswerte. Ordnen Sie den Parameterwerten begründet die passende Grafik zu. Versuchen Sie zunächst eine Zuordnung ohne GTR.

(A) k > O; b > 0

{C) k > O; b < 0

(B) k < O; b > 0 f' (x)

f (x)

{D) k < O; b < 0

f' (x)

f' )

)(

--------

X

Beschreiben Sie die unterschiedlichen Verhalten bei Startwerten in der Nähe der Grenze. Anstatt von „Grenze " spricht man hier gegebenfalls von „Schwelle ". Erläutern Sie dies. Erläutern Sie in diesem Zusammenhang den Satz: Eine minimale Änderung des Anfangswertes kann ein gänzlich anderes Langzeitverhalten bewirken.

CI[) Kaffeeabkühlung -

mal anders

Man kann den Abkühlvorgang von Kaffee auch anders mode llieren. Ze igen Sie, dass g {x) = 20= 380 -(x 6 )- 1 + 20 auch zu dem Datensatz aus

;!i+

+

Aufgabe 3 passt, aber nicht die DGL des beschränkten Wachstums erfüllt. Warum sind Exponentialfunktionen das bessere Modell zur Beschreibung von Abkühlvorgängen?

Exktrrs Newtonsches Abkühlungsgesetz

I SAA C NEWTO N

(1643- 1727)

Wenn das einzige Kriteriwn für die Güte eines Modells die (statistisch) gute Übereinstimmung mit den Messwerten wäre, dann beschreiben sowohl die Exponentialfunktionen als auch die Hyperbeln in gleicher Weise angemessen den Abkühlungsprozess. Eine Differentialgleichung beschreibt darüber hinaus einen gesetzmäßigen Zusammenhang zwischen den Größen (z.B. Zeit und Temperatur). Die Differentialgleichung des beschränkten Wachstums ,vurde von NEWrON im Zusammenhang mit Abkühlungsprozessen ent,vickelt und heißt dementsprechend auch Newtonsches Abllx=>< 1,YaB0 . 002•Y1• I\Y4-

Ze igen Sie, dass f von der Form f [x} = A+ (G -AAf Darstellung?

e-k G· •

i st. Welchen Vorteil hat diese

180

[ 4 Wachstum \

(Aufgaben]

CI] Sonnenblumen

et~

..

Zeit {Tage)

Höhe cm)

0

8,0

7

17,9

14

36,4

21

67,8

28

98, 1

35

131,0

42

169,5

49

205,5

56

228,3

63

247,1

70

250,5

77

253,8

84

254,5

-

•

•

•

1919 untersuchten H. S. REED und R. H. HOLLAND das Wachstum von Sonnenblumen. Die Tabelle gibt ihre Messdaten an . , ..Höhe in cm Die Grafik zu den Messwerten legt eine Zusammensetzung der Wachstumskurve -x~ onen1 e llt:S ,/,j ~IT lUI' aus exponentiellem Wachstum und be1 ~ 300 grenztem Wachstum nahe. Eine Verknüp1 fE 0 _gr n~ es !,i;,-fung beider Wachstumsarten, wie in der -• 200· ' l ; "II d L • Abbildung dargestellt, kann aber nur eine . - grobe Näherung Liefern, weil Wachstum 100 .,P im zeitlichen Verlauf nicht zu Beginn ausZ~t in Tagen 1 ~ / - ' schließlich exponentiell und dann, nach 4·0 60 1 80 100 120 . z. B. 28 Tagen, allein begrenzt verläuft. r Eine solche Zusa mmensetzung erscheint recht willkürlich. Ziel ist es, eine Funktion für den gesamten Verlauf zu finden.

i-400

j

f ,,,

-

a) Zeigen Sie, dass f {x) =

1 i~~-b.,-. +

1.:,

1 20

gut zu den Daten passt.

1ot1

Plot2

Plot3

26&

v1a 1+2s•e·e.i>< v2 a v1-v1 k =0,003 Damit lautet die DG L: f' {x) = 0,003 · f (x) · {240 - f (x))

y

300 ·- T--..

1

---f

.

~ ·-r I

1

100

'

-

1 ..1

.

'•

•

10

•

•

20

X

30

•

l 182

( 4 Wachstuni")

(Beispiele)

[gJ Kresse Ein Biologiekurs beobachtet das Wachstum von Kresse nach Beginn der Wurzelbildung und misst täglich zum gleichen Zeitpunkt die erreichte Höhe.

vgl. Serte 168 Aufgabe 21 Zeit (Tage

0

Hö he (cm )

0,2

1 0,3

2

3

4

5

6

7

8

0,5

1,1

2,4

4, 1

5,4

6,5

7, 1

a) Ermitteln Sie eine passende logistische Wachstumsfunktion. b) Wächst die Kresse am 2. Tag stärker als am 7. Tag? Wann wächst die Kresse am stärksten?

Lösung: a) Anfangshöhe: A = f {O) = 0,2 Annahme über maximale Höhe erfolgt aus den Messdaten: G = 8 Berechnung von k z. 8. mithilfe des Messwertes {615,4): Höhe

O 2 -8

I

f 16) = Q,2+ 7,8 e-4 Bk : 5,4 ~

1,6 = 5,4 (0,2 + 7,8 · e- 48 k) = 1,08 + 42,12 , e- 48 k

~ e -48k - 0,52 ~ 0 0123 - 42,12

~ k~

~

~ '

ln(~~23) ::::

4 + --1-1-- • --1--1....--1---1---1--J-

0,092

Somit gilt: f (x) = o,2 + 7_~

Z~it

4

6 e - a.i36,

8

li2

b) Die Ableit ung wird mit einer Sekantensteigungsfu nktion angenähert. Dam it werden die Fragen grafisch-tabe llarisch beantwortet. Plot1

I \ Y1EI

Plo t 2

Plot 3

1.6 8, 2+7, 8lle' -o.736X

d

V2 Eliix ( V1 ) 1x=x I \ V3 =

1\

-

1 0 1 2 3 Lf

6 7

0 .2 0 .'1065

8.88'i1 1.S:132 2.6,199 Lf.8329 5.'1377 6.~268

2 8 .1'i35 0 .28'i

e .S:323 0.903 1 .2968 1.'1719 1.2818 0.88"16

Höhenänderung

7 ~ t

f'

6

Die Kresse wächst am 7. Tag stä rker als am 2. Tag und am 5. Tag am stärksten.

(Übungen)

C]J Funktion finden zu einer DGL Geben Sie jewei ls die Wachstumskonstante und die Kapazitätsgrenze an. Bestimmen Sie zu den Differentialgleichungen die passende Funktionsgleichung und skizzieren Sie den Graphen vo n f bzw. die Scharen in c), d) und e).

~

a) f'(x)=0,008 -f (x)·(50- f {x)); f{0)= 3

b) f' (x) = 0,01 ·f {x) · (7 - f (x)) ; f (O) = 1

c) f'(x)= 0,1 ·f {x)· (10-f(x))

; f (O)= A

d) f '( x)= 0,02- f {x)·{G-f{x)); f (O) = 10

e) f' (x) = k -f {x) •{300 - f {x))

; f (O) = 25

f) f ' (x) = 1,6 · f (x) - 0,2 · f (x)2 ; f (O) = 1

[TI DGL fi nden zu einer Funktion ~ ~

Geben Sie zu den Funktionen jeweils eine passende DGL an. Bestimmen Sie Anfangswe rt, Wachstumskonstante und Bestandsgrenze. 20000 a) f (x) -- 5+25150 b) f (x) -e- 0 -6 • - 100+100 -e- O,lx

c) f (x) = 1 +8 -~- 0,ISx

d) f (x) = 15- ~5~-0,3x

4.3 Logistisches Wachstum [ 183 )

(Übungen)

CTJ Parameterbestimmung für Funktionen bei gegebenem Punkt Bestimmen Sie den Wert des Parameters jewei ls so, dass der Punkt P auf dem Grap hen von fliegt.

a) f (x} = 1 + P( 1 16)

:~e-t•

b) f (x)-

100

C} f (X): 1+ 5 ae-0,lx

C + 2 e-O,Z•

P(1 l 25)

P(1 18)

C[J Funktion und DGL aus Grafik Die Graphen stellen logistisches Wachstum dar. Ermitte ln Sie jeweils eine passende Funktionsgleichung und DGL. Lesen Sie dazu einen passenden Punkt aus. Eine Lö sung:

f( x) = ,o ~ I!

a)

j

Y , -:

b)

1

c)

Y

Y

lx

80

80

2001--i-i-t-::....--,t-r---r 100

lx 1

2

t

X

3

2

X

2

4

CI] Funktionsgleichungen -

Variationen I n Formelsamm lungen und CAS- Geräten we rden oft unterschiedliche Darstellungen für

den Funktionsterm des logistischen Wachstums benutzt. Zeigen Sie, dass alle Terme gleichwertig zu dem Term aus dem Basiswissen sind.

(1 ) f(X) =

G

1 + (~ _ 1) . e- k c •

(2) f () X

a

= 1+b

e-c•

(3) f (x)=

A ·G -ekGx A e1- G • - A+ G

(I) Forellen und eine Grippewelle Ein See bietet 600 Forellen Lebensraum . Es we rden 50 Forellen aus-

In einem Feriencamp, in dem sich 180 Jugendliche aufhalten, bricht eine

gesetzt. Aus Erfahrung weiß man, dass die Wachstumskonstante 0,0015 beträgt (Zeit in Jahren).

Grippewelle aus. Die Zahl der Erkrankten wächst in der ersten Woche von anfanglich 15 auf 24.

a) Begründen Sie, dass logist isches Wachstu m in beiden Situationen ein angemessenes Modell sein kann und ermitteln Sie jeweils ein passendes konkretes Modell. b} Untersuchen Sie, wann der halbe Grenzbestand erre icht ist. c ) Bestimmen Sie die Wachstumsgeschwindigkeit zur Zeit x = 1. Zu welchem Zeitpunkt hat sie wieder dense lben Wert? Wann ist die Wachstumsgeschwind igkeit am größten? Benutzen Sie hierfür z. B. eine Sekantensteigungsfunktion. d) Die Ergebnisse aus b) und c) legen eine Vermutung nahe. Formu lieren Sie diese und überprüfen Sie die Vermutung grafisch- numerisch an den Funktionen aus Aufgabe 4. e) Beurteilen Sie die Modellierungen f ür einen langen Ze itraum .

Q.sf]

4.3 Logistisches Wachstum

( Übungen ) M odellieren mit Daten

vgl. Beispiele

[II) Pflanzenwachstum Schüler haben im Biologieunterricht das Wachstum verschiedener Pflanzen gemessen und die Daten tabelliert. Stellen Sie die Daten grafisch dar und bestimmen Sie ein passendes logistisches Modell. Vergleichen Sie Ihre Modelle. a) Prunkbohne Zeit (Tage)

0

1

2

3

4

Höhe (cm)

0,4

1,5

3,1

5,1

8,6

Zeit (Tagej

0

1

2

3

4

5

Höhe cm

0, 1

0,2

0,8

2,3

5,2

9,2

Zeit Ta e

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

Höhe (cm)

4

5

5

7

10

15

17

20

25

30

37

41

46

50

5

6

7

8

9

10

11

12

13

13,7 18,9 29,5 41,3 48,9 51,8 54,8 59,3 61,5

b) Weizen 6

8

7

9

13,0 15,5 23,1

10

11

12

13

25,4 27,9 29,9 32,0 35,0

c) Borretsch

@) Die Entwicklung der Bevölkerung der USA seit 1790

.. -•

Jahr

1790

1800

1810

1820

1830

1840

1850

1860

1870

1880

1890

Bevölkerung in Millionen

3,93

5,31

7,24

9,64

12,87

17,07

23,19

31,44

38,56

50,19

62,98

Jahr

1900

1910

1920

1930

1940

1950

1960

1970

1980

1990

2000

Bevölkerung in Millionen

76,21

92,23 106,02 123,20 132,16 151,13 179,33 203,30 226,54 248,71 281,42

(Quelle: US Bureau of Census) Applet eA-4.3-1 2

a) Berechnen Sie ein logistisches Modell f ür A = 4; G = 400 und (1801200). Überprüfen Sie die Passung m it den Daten. (Hinweis zu r Prüfung: k ~ 0,0000638) Mit einem dynam ischen Funktionenplotter {Schieberegler) können weitere Modelle gefunden werden . Die Abbildung zeigt eine Möglichkeit. Finden Sie weitere durch sinnvo lle Variation von A, G und k. Einwohnerzahl in Mio. .

800· .

A= ., 5

.

640·

1

1

G- _900

1

'

l

·-48

..

"=

-•

o,qoop3

- 320 1-

•

V

1

l ,-

'

.

~

/

"

...

"

t_,?':'

1 r

--160

....

-··

~ t

!

1

..

1

40

80

1

120

-

1

160

2JO

210

-l

. . ! . 280 ' 320 3 ,0 ' 41 )()

•

4 ,0

J~h r~ s~it 1i79~ 480 520 1

b) Erläutern Sie mithilfe von Beispiel C und den Daten zu den Einwohne rzahlen der USA: Der Vortei l mathematisch formu lierter Gesetzmäßigkeiten liegt darin, dass man Prognosen machen kann. Bei Prozessen, die ihren Wendepunkt deutlich überschritten haben, sind Vorhersagen über die weitere Entwicklung gut möglich, in anderen Fällen wesentlich prob len1atischer.

( 186

l (4 Wachstum ) (Übungen) Funktionen schar

CTIJ Eine Bärenpopulation mit Variationen Fü r eine Bärenpopu lation in einem Wildpark ge lten folgende Parameterwerte: A = 1; k = 0, 15; G = 5 (A und G jew eils in 100). Durch Veränderu ng der Lebensbedingungen kann man Einflu ss auf die Entwicklung nehmen. Solchen Eingriffen entsprechen Veränderungen der einzelnen Parameterwerte. a) Übertragen Sie die Tabe lle und füllen Sie sie aus.

----===:::::::-

Variation von k A = 1; G = 5

Variation von G k= 0,15; A = 1

Variation von A k = 0,15; G = 5 Aussetzen unterschiedlich vieler Tiere zu Beginn der Messung

Handlung Funktionsgleichung

0·< A < 10 Schri ttweite 0,5

Paramet erbereich

Grafik

•

Interpretation

■

b) Der Anfangsbestand wird meist kle iner als der Grenzbestand gewählt. Was passiert mit der Bärenpopulation aber, wenn der Anfangsbestand größe r als der Grenzbestand ist? Was vermuten Sie von der Sachsituation her? Führen Sie ent sprechende Parametervariationen mit A > G durch. Skizzieren und interpretieren S1e die Bestandsentwick lungen.

Exk11rs Eine Modellanalyse klärt Unerwartetes attl Bei der Variation der Grenze passiert etwas Seltsames: Der Bestand scheint sich umso schI1eller der Grenze zu nähern, je weiter diese nocl1 vom aktuellen Bestand entfernt ist, je mehr Lebensraum also noch zur Verfügung steht. Der Zeitpunkt maximaler Ztmahme liegt tunso früher, je weiter die Wachstumsgrenze vom Ausgangsbestand entfernt liegt. Dies zeigt die in der Abbildung skizzierte Ortskurve der Wendepunkte. i\i1an erwartet aber eigentlicl1 das Folgende: Je weiter die 2 ' Wachstumsgrenze vom Ausgangsbestand entfernt liegt, desto später der Zeitpunkt maximalen Waclistruns und des Erreichens der Grenze. Passt das Modell nicht zur Realität? Ein genauer Blick auf die Wachst11msfunktion klärt hier auf: Die Wachstumskonstante von

f(x) =

A+(G~~~.e-1rac;hc stam1nc11 aus k =½ Ln{~);:; 0,2446

Anwendungsprobleme beim Wa chstum Die momentane Wachstumsra te einer Tierpopulation wird durch f (x) = x . e- 0. 2 x beschrieben (x: Zeit in Jahren; y in 100).

Wann hat die Wachstumsrate den Wert 7? Aus Grafi k: Nach ca. 1,3 und 12, 7 Jahren.

3 Y

Das Abküh len einer frisch gekochten Tasse Kaffee kann durch f{x) = 65 •e- 0.zx + 20 modelliert werden. Skizzieren Sie f und beantworten Sie die Fragen grafisch und rechnerisch. a) Wie hei B war der Kaffee zu Beginn der Messung? b) Wie hoch ist die Raumtemperatur? c) Wie warm ist der Kaffee nach 15 Minuten? d) Wann ist der Kaffee 40 °C warm7

ffi Logisti sches Wachstum - ein Spezialfall

:-tax die Bestandsfunktion des

Zeigen Sie, dass f (x) = 1 +

logistischen Wachstums für A = ~ ist. Erläutern Sie die Besonderheit des Anfangswertes in diesem Fa ll.

CI] Solarenergie in den USA Die Tabe lle gibt die jährlich installierten Solarenergiemodule in den USA an (x: Jahr; y: Kapazität in Megawatt). Ermitteln Sie zwei verschiedene pas sende Modelle und stellen Sie Prognosen für 2005 und 2018 auf.

Jahr

Kapazität

1986

6,6

1988

10,0

1990

13,8

1992

15,6

1994

26,1

1996

35,5

1998

50,6

ffi Ein Fichtenstamm 1,3

~2,7 20 25 30

Wann ist die maximale Wachstumsrate erreicht? Welchen Wert hat sie? f'( x)={1-0,2x)e-0,2 x= o => x = 5

Die Tabe lle gibt den mittle ren Zuwachs eines anfänglich 20 mm starken Fichtenstamms im 5-Jahre s-Rhythmus nach Pflanzung an. Welchen Stammdurchmesser wird der Baum haben, wenn er 50 bzw. 100 Jahre alt ist? Jahr Zuwachs in mm

5

10

15

20

10

18

32

40

25 29

30

16

35 6

f (5)=¾~1 ,84

(I) Algenwachstum

Nach 5 Jahren hat die Wachstumsrate den maximalen Wert 1,84 erreicht.

Das Wachstum von Algen hängt von Wasserzusammensetzung, Wetterbedingungen und anderen Aspekten ab. Die Funktionen A8 k(t) = a · t · e-kt beschreiben unterschiedliche zeitliche Verläufe • von Algenbeständen. (t: Zeit in Tagen; A(t): Fläche in 1000m2 )

Wann erfolgt die größte Abnahme der Wachstumsrate? f"(x)=( 0,04x-0,4)e-O,Z x=0 => X=10 Nach 10 Jahren nimmt die Rate am stärksten ab. Welcher Bestand entsteht in 24 Jahren ? F{x) = {-5x - 25)e- 0 ,2 x 24

Jf (x) dx = - 145e- 4,B -

(-25) ~ 23,8

0

Nach 24 Jahren sind es ca. 2400 Tiere.

a) Beantworten Sie für {1) a = 1; k = 0, 1 und {2) a = 2; k =0,2. • Wie groß ist die Fläche jeweils nach 5 Tagen? • Wann ist die Fläche 2000 m2 groß? • Wie groß ist die maximale von Algen bedeckte Fläche? • Wann ist die Zu- bzw. Abnahme der Algenmenge maximal? b) • Erstellen Sie jeweils eine aussagekräftige Skizze der Schar zu (1) a = 1; kvariabelund (2) k = 0,1; avariabel. • Ermitte ln Sie jeweils die maximal bedeckte Fläche und den Zeitpunkt maximaler Abnahme der Fläche in Abhängigkeit des Paramet ers.

L206 ] ~ Wachstwn)

Sichern und Vernetzen Vermischte Aufgaben zu Kapitel 4 Trc1iniercn

IT) DGL -

Funktion - Anfangswert Fü llen Sie die Lücken in der Tabelle aus. Benutzen Sie einen Parameter, wenn es mehrere Möglichkeiten gibt. Skizzieren Sie jewe ils die Funktionen und geben Sie die Kenngrößen {Wachstumskonstante, Grenze, Anfangswert) an. Anfangswert

DGL

Funktion

f(x) = 150 · e0 ,72"

a)

b)

f'(x) = 2,3

c)

f' (x) =0, 1 · f (x) · i'. 20 - f(x); f' (x) - - 0,34 •f {x)

d)

•

f(O) =3 f (O} - 200

t (x) = 0,25x 2 + 10

e)

f (x) = - 75 •e

f) f' (x) - k , f (x) - 30

g)

f(O)- 5

• •

h) f'(x)= 0,06 · (40 - f(x)))

ij

o., x + 100

f (X) :: JO, :~~ O.li,

•

(]J Funktion -

Graph - DGL Ordnen Sie den Graphen die pa ssenden Funktionsgleichungen zu. Geben Sie die zugehörige DGL an. f 1 (x) = - 90 · e- o,4 x + 120 f 2 {x) = 100 ·e- o,sx + 100 f 3 (x) = - 120 · e- O,Sx + 90 200

1-0

y

200

100 1

4 '

r}

(8)

(11)

-4

y

a

1

100

X

12

~

X

X

-4

4

8

12

-4

4

8

1,2

- 100

- 10

CI] Parameter bestimmen Bestimmen Sie den Wert des jeweiligen Parameters so, dass de r Punkt P auf dem Graphen von f liegt. Skizzieren Sie f und überprüfen Sie Ihr Ergebnis grafisch. 500 a) f (x) = {100 - G} · e- 0 •012 x + G b) f (x) = 10 + 40 c) f {x) = A+ (5:_~l e-• e -!:tltx P{5160) d) f (x)= 6 •ekx P(3 I50)

P{2150) e) f (x) = a · e- o.ooosx + 200 P{10 J4)

P{1 12) f) f (x) = A · e- 0,00015x P(200115)

( ] ] Momentane Änderungsraten Mit f (x) werden Wachstumsmodelle beschrieben. Wie groß ist die momentane Änderungsrate an der Stelle x= 5? An we lcher Ste lle hat die momentane Änderungsrate den Wert 1? Wann haben sich die Bestände verdoppelt bzw. halbiert? (1) f {x)= 2 -e0,25 x (2) f {x)= 1000 · e- O,l x (3) f (x)= 50·e- 0,05x+ 20

Sicl1ern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben [ 207 )

Verstehen

(I) Vom Text zur DGL zur Funktion Stellen Sie zu den Texten eine passende DGL sowie die zu gehörige Funktion auf.

Zu b) und e) siehe S.177 (Merkkarte).

a) Ein anfängLich 250 m2 großer Algenteppich vergrößert sich wöchentlich um 10 %. c) Aus einem 20 m 3 fassenden Öltank werden wöchentlich 70 Liter entnommen. d) 1 kg Pilze verlieren beim Trocknen an Gewicht, bis sie nur noch 10 % ihres Ausgangsgewichts wiegen.

b) Aus einem See mit anfänglich 52 000 m3 Wasser fließen monatLich 20 % der vorhandenen Wassermenge ab. Es werden im selben Zeitraum immer 8000 m3 zugeführt.

e) In einem Tierreservat leben 2000 Tiere mit einer jährlichen Vermehrungsrate von 15 %. Jährlich werden 400 Tiere erlegt.

[ [ ) Wahr oder falsch? Wahr oder falsch? Geben Sie jeweils eine Begründung. a) We nn die Halbwert szeit eines radioaktiven Stoffes 12 Jahre beträgt, dann sind nach 24 Jahren noch 25 % vorhanden. b) Beim exponentiellen Wachstum kann keine Funktion du rch {OJ 0) ve rlaufen. c) Beim begrenzten Wachstum gibt es immer eine wa age rechte Asymptote. d) Das logistische Wachstu m ist halb exponentielles, halb begrenztes Wachstu m. e) Das Bilden einer Stammfunktion entspricht auch dem Lösen einer DGL. f) Radioaktiver Zerfall ist ein Spezialfall des begrenzten Wachstums.

IT] Zwei Warum- Fragen a) Warum ist die Wachstumskonstante nicht dasselbe wie die Prozentzahl der Änderung in einem Zeitabschnitt? b) Waru m können die Grenzbestände bei m begrenzten und logistischen Wachstum nicht exa kt erreicht werden? Welchen Ausnahmefall gi bt es im mer? ( ] ] Vom Text zur DG L Ord nen Sie den Texten die passende DGL zu a) Die Änderung setzt sich aus exponentiellem Zerfall und linearer Zunahme zusammen.

b) Die Änderung ist proportional zun1 Quadrat der Zeit.

c} Die Änderung ist umgekehrt proportiona l zum Bestand.

d) Die Änderung ist proportional zum Quadrat des Bestandes.

(A) f'(x)=- 0,5 -f (x) + 1 Anwenden

(B)

{C}

f' (x) = 0,02 •f (x)2

f' (x) =

Wl

{D) f' (x) =0,5x2

IT] Füchse Man schätzt, dass sich die Anzahl der Füchse in einem Wa ldgeb iet alle vier Jahre verdoppelt. Zum Zeitpunkt t = 0 {t in Jahren) werden 250 Füchse gezählt. a) Stellen Sie ein exponentie lles Modell f (x) = A · ekx für die Bestandsentwicklung auf. b) Wie viele Füchse sind nach einem Jahr, nach drei Jahren, nach acht Jahren zu erwarten? Welche dieser Frage n kann man ohne Rech nung beantworten? c) Wie lange wird es laut Modell dauern, bis die Popu lation mehr als 10000 Füchse zählt? Für wie angerTi essen halten Sie das Modell?

' 20[] f4 Wachstum )

lliJ Zwei Datensätze Die Tabelle gibt die Bestandsentwicklung zweierTierartenineinemReservatan. Finden Sie zu jeder Tierartei ne passende

Zeit (in Jahren) TierA Tier 8

=

o

1

200 212 150

2 230

126 112

3

4

5

250 278 310 94

78

65

Bestandsfunktion des Typs g{x) = mx + b bzw. f (x) =A · ekx. Machen Sie jeweils eine Prognose für die nächsten 5 Jahre. Vergleichen Sie die Modelle bezüglich ihrer Güte.

GI) Drei Modelle In einem Teich wurden vor 5 Jahren Fische 4 5 Jahr 0 1 2 3 ausgesetzt. Dann wurde jährlich der BeAnzahl 20 32 50 82 130 201 stand gen1essen. Um zu wissen, w ie der Fischbestand sich mittelfristig entwickelt, werden drei I nstitute beauftragt, Prognosen zu erstellen. Sie benutzen dabei unterschiedliche Modelle. I nstitut A: A (x) =20e0,45x

I nstitut B: B(x) = 7x2 + 20

I nstitut C:

C( X) --

600 c. 1 ... 29e- 0 ·""

a) Zeigen Sie, dass alle drei Modelle gut zu den Daten passen. Weshalb hat kein Institut mit begrenztem Wa chstum modelliert? b) Wie viele Fische wird es nach den Modellen in 3 bzw. in 5 Jahren geben? Wann wird es nach den Modellen 800 Fische in dem See geben? Wann wächst der Fischbestand nach den Modellen am stärksten? Welchem Modell stimmen Sie am ehesten zu? Begründen Sie.

illJ Ein Wachstumsmodell Mit f{x) = A · ek x2 können fü r -1 ::;; k ~ 1 und A > 0 Wachstu msvorgänge beschrieben werden (x: Zeit;f{x}: Bestand). a) Begründen Sie die langfristige Bestandsentwicklung in Abhängigkeit von kund A. b} Ordnen Sie begründet den Bildern {I) bis (IV) passende Para1T1eterwerte bzw. - bereiche zu. Beschreiben Sie die unterschiedlichen Arten des Wachstums. y

y

(I}

3

2

X

5

X

2 3 4 5 1

(IV)

{III)

4

4 3 2 1 2 3

y

{II )

l-

X

2 3

~

5

4 3 2 -4

X

1 2 3 4

1

c) Wann liegt bei {II) und {III) die stärkste Abnahme des Bestandes vor? Wie groß sind die Bestände zu diesem Zeitpunkt? Interpretieren Sie das Ergebnis. d) Zeigen Sie, dass die Funktionen f die DGL f' (x) = k · x ·f (x) lösen. Beschreiben Sie damit das Änderungsverhalten. Vergleichen Sie mit dem exponentiellen und logistischen Wachstum. Wachstumsin tensität Wachstumsintensität e} Die Wachstumsintensität ist das Ver(1 ) hältnis aus momentaner Wachstumsgeschwindigkeit und Bestand zu jedem Zeitpunkt. Die Abbildung stellt die zeitlichen Entwick lungen von WachsX tumsinten sitäten des exponentiellen und des hier behandelten Modells dar. Ordnen Sie zu , begründen Sie den Verlauf der Graphen und vergleichen Sie diesbezüglich die beiden Modelle.

Sicl1ern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben [ 209 )

An,venden

lliJ Algenwachstum Auf einem kleinen See von ca . 6000 m 2 Größe kommt es im Sommer zu einer „Algenpest". Zu Beginn der Beobachtung (t =O} ist die von Algen bedeckte Flache etwa 200 m 2 groß, am Ende einer Woche (t = 7) sind bereits 350 m 2 Wasserfläche bedeckt a} Zwei Gru ppe n besc hre iben das Wachstu m d urch zwei unterschied liche Modelle: ( 1) L {t ) = a · t + b; (2) E (t) = A · ekt_ Bestimmen Sie zu be iden Mode llen die passe nden Werte f ür die Parameter. Wann wä re nach (1) und (2) der See vo llstä ndig m it Algen bedeckt? Wa rum sind die Modelle nicht zu r Beschreibung des Algenwachstums über einen la ngen Zeit ra um geeignet? Aus Erfahrung weiß man, dass die „A lgenpest" nach einem Höhepunkt wieder abnimmt und im Herbst verschwindet. b) Ze igenSie,dasssowoh l G1 (t ) =200-e 0,o9 t- o.oo 1r2 als auch G2 (t )=200 -e 0 ,1 t- o,oo2s12 zu der Erfa hru ng und den Messwe rten passende Fu nktionen sind. W ie groß wird d ie von Algen bedeckte Fläche nach den be iden Modellen jeweils maxima l w erden. Wie kön nte man eine Entscheidung finden, welches Modell besser ist? c) Ze igen Sie, dass f ür die Mode lle L, E und G1 jewe ils fo lgende Gleichungen gelten : (1 ) L' (t) = 21,4 (2 ) E' (t ) = 0 ,08 · E (t ) (3 ) G~(t ) = (0,09 - 0 ,002 · t ) · G1 (t }. Beschreiben Sie mit hilfe der DGLn das Änder ungsverhalten des Wachstums der Algen.

GI) Fichtenwachstum Die Wachstumsgeschwindigkeit einer Fichte kann in Abhängigkeit der Zeit durch f (x) =0 ,3 · x · e--O,l x beschrieben werden. (x ~ 0: Zeit in Jahren; f{x ): momentane Wachstumsrate in m / Jahr). Zum Zeitpunkt t = 0 hat die Fichte eine Höhe von ca. 1 m. a) ■ Skizzieren Sie den Graphen von f und beschreiben Sie das Wachst um der Fichte. ■ Bestimmen Sie f (30 } und interpretieren Sie das Ergebnis im Sachzusammenhang.

b) ■ Wa nn wächst d ie Fichte am stärkste n, wie groß ist dann die Wachstumsgeschwindigkeit? c) ■ Begründen Sie anscha ulich anhand des Graphen, dass die Fichte nach 20 Jahren wen iger als 20 Meter hoc h ist . ■ Zeigen Sie, dass F (x) =

-3 · (x + 1O) · e- 0 ,1 x + c d ie Menge der Sta mmfunktionen von

f ist. Berechnen Sie d ie zu erwartende Höhe der Fichte nach 20 Jahren. Wie groß wird die Fichte we rden? Skizzieren Sie ein Zeit- Höhen-Diagramm und vergleichen Sie dies mit I hre r Beschreibung in a ). d } Auf öffentlichen Plätzen werden Fichte n m it 8 m Höhe als Weihnachtsbäume aufgestellt . Wann müssen die gefällt we rden? e) f (x} = A · x · e- kx ; A > O; k > 0 besch reibt d ie Wachstum sgeschwindig keit unt erschi edlicher Fichten in untersch iedlichen Umgebu ngsbedingungen. ■ Erste llen Sie jeweils zu (1) f (x} = A • x • e- 0 ,1 x und (2) f {x} = 0,3 ·x • e-kx eine aussagekräftige Skizze und besch reibe n Sie das unt erschied liche Wuchsverha lten. Welche sach bezoge ne Bedeutung kö nnen die Pa rameter A und k ha ben? ■ Bestimmen Sie jeweils die maxima le Wachst umsgeschwindigkeit in Abhängigkeit des Parameters. Auf welche r Kurve liegen die zugehörigen Hochpunkte bei {1 )? Zeigen Si e, dass die Hochpunkte zu (2) auf y = 1~ x liegen. Präzisie ren Sie damit die Beschreibung der W irku ng der Para meter.

210

5 Orientieren und Bewegen im Raum ]

rientieren un • Im aum Die analytische Geometrie ist geprägt durch das Zusammenspiel von Geometrie und Algebra. In einem Koordinatensystem lassen sich Punkte und geometrische Objekte mithilfe von Zahlen, den Koordinaten, beschreiben. Bewegungen können durch Vektoren beschrieben werden. Mit der Interpretation von Zahlentripeln als Punkte im Ra11m oder als Bewegungen im Raum erhält man wirkungsvolle Werkzeuge zur Lösung geometrischer Probleme.

übersieht ( 211

5.1

Orientieren im Raum - Koordinaten In einem Würfel w ird über entsprechende Kanten mitten ein Sechseck konstruiert. Ist dieses Sechseck regelmäßig? Am Würfelschnitt lässt sich die Vermutung am realen Modell überprüfen. In untersch iedlichen Koord inatensystemen kann man verschiedene Perspektiven darste llen. Mit Computersoftware lässt sich dies dynamisch beobachten.

5.2

Bewegen im Raum - Vektoren Zahlenpaare und Zahlentripel können nicht nur als

''

Beschreibung von Punkten im ebenen und räum liehen

1 1

✓

Koord inatensystem genutzt werden, sondern zusätz-

,'

-1---

---

1

lich auch als Bewegung {Verschiebungen ) mithilfe von Vektoren interpretiert werden .

Rechnen mit Vektoren

5.3

Aus Experimenten am Realmodell oder mit DGS gewinnt man die Ve rmutung, dass das Mittenviereck eines beliebigen Vierecks im Raum immer ein Parallelogramm ist. Mithilfe der Darstellung und de111 Rechnen m it Vektoren lässt sich die Vermutung bewe isen.

Skalarprodukt und W inkel

5.4

Mit dem Skalarprodukt von Vektoren können Winkel zwischen zwe i Vektoren algebraisch berechnet werden. Dadurch kann man auf einfache Weise die Orthogonalität von Vektoren als Spezia lfa ll beschrei ben und rechnerisch nachweisen. Auch in der Physik findet das Skalarprodukt viele Anwendungen.

Nicht geometrische Vektoren (fakultativ)

5.5

Neben Pfeilen können sogar Funktionen oder Matrizen Vektoren sein. Daher werden Vektoren nicht nach ihrer Bedeutung definiert, sondern durch Angabe der Regeln, wie man mit ihnen umgeht. Wie bei einem Schachspiel. Das Wesentliche sind die Regeln, nicht das Material aus dem die Figuren bestehen.

-

F

w - IFl-lsl -cos(« l

J

212

[ 5 Orientieren und Bewegen im Raum J

5.1

(Aufgaben)

Orientieren im Raum - Koordinaten

CI) Punkte im Raum z

a } Skizzieren Sie im Koordinatensystem den Punkt P {112 l 3) und alle Punkte, die man erhä lt, wenn man die Koordinaten von P beliebig vertauscht.

4

Was für eine Figur erhä lt man? b) Louis behauptet , dass alle Punkte den-

2

3

1

selben Abstand vom Ursprung haben. Um die Behauptung zu überprüfen, muss man die Abstände von Punkten Satz des Pythagoras

y 1

2

3

4

5

im Raum berechnen. In der Ebene ist das bekannt. Berechnen Sie den Abstand des Punktes P (2 13 ) vom Ursprung und vom PunktQ (611 ). Übertragen Sie diesen Ansatz auf den Raum und überprüfen Sie damit die Behauptung von Louis. c) Versuchen Sie, Ihre Vermutung aus a) zu beweisen.

IT) Körper im dreidimensionalen Koordinatensystem -

Schrägbilder

I n der Skizze sehen Sie das Schrägbild eines Würf els m it der Kanten länge 4. Der Punkt D liegt im Koordina-

H-;r---::::-c-- - ~ 1

1

tenursprung. Sechs Kantenm itten wurden miteinander verbunden.

E~- __,/_ _-

-

F

C

G

X

H

-4

AF = EK; IB = KC

I

K

Gru11d,vissen 1. Wie verändern sich der Umfang und der Flächeninha lt eines Rechtecks, wenn dessen Seitenlängen verdoppelt werden? 2. a) Wieviel Liter sind 3m 3? b) Geben Sie 32g in kg an. c} Wieviel m/ s sind 72 km/h?

( 224 ] ( 5 Orientieren und Bewegen im Raum

J

Exkt1rs Anfänge der Analytischen Geometrie Sucht man nach den Wurzeln der Analytischen Geometrie, so stößt man auf zwei Namen: RENE DESCARTES und PlERRE DE FERMAT. Beide haben sich am Anfang des 17. Jahrhunderts unabhängig voneinander mit geometrischen Problemen befasst und neue Denkwege eingeschlagen . Dabei haben sie - jeder auf eigene Weise - Algebra und Geometrie miteinander verbunden und damit den Grundstein der modernen Analytischen Geometrie gelegt. D ESCARTES gilt als Begründer der neuzeitlichen Philosophie. Sein Lebensziel war die Errichtung eines philosophischen Weltsystems, welches logisch aufgebaut sein sollte. Hierbei schienen ihm mathematische Metl1oden REN F. DESCARTES (1596-1650) DCogito ergo sum.~ hilfreich. Deshalb (Ich denke, also bin ich.) befasste er sich intensiv mit mathematisch en Fragestellungen. Eine seiner großen Leistungen war es, dass er eine Verbindung zwischen geometrischen Linien und Zahlen suchte.

,, ... um die Linie zt.~ u,nfassen, wurde ich mir darüber klar, dass ich diese durch bestimmte Zahlzeichen erklären müsste, ..." Durch die Einführung einer Einheitsstrecke ordnete er jeder Strecke eine Zahl zu. Damit konnte er dann r echnen. Dies war neu in der Geometrie.

,, ... und ich werde mich nicht scheuen, diese der A rithmetik entnommenen Ausdrücke in die Geometrie einzuführen, um mich dadurch verständlicher zu et machen. Neben der Einheitsstrecke führte DESCARTES auch einen Bezugspunkt O (Ursprung) und eine Koordinatenachse ein und ordnete jedem Punkt der Ebene zwei Zahlen zu (Koordinate und Entfernung von der Koordinatenachse). In Anlehnung an DESCARTES spricht man bis heute vom „Kartesischen Koordinatensystem". Eine zweite Koordinatenachse wurde aber erst von LEIBNIZ (1646- 1716) eingeführt. Durch die Charakterisierung von Punkten durch zwei Zahlen gelang DESCARTES die Beschreibung krummer Linien (Kurven). Galt für jeden Punkt einer Kurve zwischen den beiden Zahlen dieselbe Beziehung, so nannte er diese Beziehung die Gleichung der Kurve.

FERMAT war von Beruf Jurist. Die Mathematik war für ihn eine Freizei tbeschäftigung. Dabei strebte er die Verbindung antiker und zeitgenössischer Methoden an. Seine geometrischen UntersuPmRRE DR FRR~lAT (1601-1665) chungen begann er mit der Untersuchung von Ortslinien. Darunter ver steht man Kurven, die durch bestimmte geometrische Eigenscl1aften der auf ihnen liegende11 Punkte gekennzeichnet sind. Die Ortslinie aller Punkte, die von einem gegebenen Punkt denselben Abstand haben, ist ein I

......

➔

-

... C

......

w=a+b + c , ➔

-,

......

......

1 (......

y

, ➔

x=a + -2 b+ -2 c ➔)

➔

~

y =2 · a + b + c

......

➔➔

--

➔

➔

,.,-,--,-t-L-~ -,

_;__J_-l-:: 1....

a

1

i

......

z= ( a + c } + ( b - a} - (b+c ) b} Beschreiben Sie die vier Raumdiagonalen des Quaders mithilfe der Vektoren ...... und c.

a, b ➔

f 228 l (["Orientieren und Bewegen im Raum

lne-.ark'.ombinarfion 1VektoriugJ algebraisch

geometrisch -+

·a

Ein Vektor X= r + s. b mit r, SEIR ist eine Linearkombination der -+

1

0

-+

Vektoren a und b .

2·

-2

-2! 5

3

Bei einem Vektorzug wecden 2,wei oder mehrere gestreckte Pfeile aneinandergehängt

g 5,5

4 +O J 5 · 2 3 -1

Eine Linearkombination kann auch aus mehr als zwei Vektoren gebildet werden. -+ .... .... -+ x=ra + sb+tc Besondere Vektoren ....

-

--+

- a : Gegenvektor von a -4

0

Nu llvektor O = o

~

,:,a -;

-;

-+

-a +a =0

0

( Übungen )

er) Mittelpunkt einer Strecke bestimmen a) Bestimmen Sie den Mittelpunkt Meiner Strecke AB mit A(8 1516) und B {41813) indem Sie als Linearkombination (Vektorzug) von -4 a und -b da rstellen. b) I n der Formelsamm lung finden Sie für den Mittelpunkt Meiner Strecke AB die

Z.-,..-.,--+-'----

m

Formel

m=½-(ä + B)

y

Bestätigen Sie die Formel am Be ispiel A(4 11 17) und 8 (- 21618). Begründen Sie die Formel allgemein zeichnerisch und rechnerisch.

IT] Parallele Strecken Aus der Kongruenzgeometrie ist folgender Satz bekannt: Die Verbindungsstrecke der Mittelpunkte zweier Dreiecksseiten ist stets zur dritten Seite parallel und halb so lang wie diese.

C

+

2 A

y

2 a} Bestätigen Sie diesen Satz für das Dreieck ABC mit A(1 l3), B(512), C (4 17) mithilfe geeigneter Vektoren. b) Der Satz gilt auch für ein Dre ieck im Raum. Bestätigen Sie dies im Dreieck ABC mit A (4 14 12), B (2 18 13), C {- 4 12 14).

( I ) würfel Die Punkte A (4 1513), B (81915}, D (6 11 17) und E(O17 17) bilden eine Würfelecke in einem Würfel ABCDEFGH. a) Bestimmen Sie die Koordinaten der restlichen Punkte des Würfels und stellen Sie die Kanten des Würfe ls als Vektoren dar. b) Bestimmen Sie die Kanten länge und die Länge der Raumdiagonale des Würfels.

5.3 Rechnen mit Vektoren

(Übungen)

[ 229 )

[IQ] Quader Gegeben sind zwe i Körper mit der Grundfläche A8CD und der Deckfläche EFGH. Einer von beiden ist ein Quader, der andere nicht. Entscheiden und begründen Sie. K,: A(OIOIO) 8{41113} C{6 l 8l-2) D(2 17 l -5) E(-2 1212) F(-21114} G{4l10 IO) H (Ol 9 l -3} K2: A(OI OIO) 8 {41113) C(6 181 - 2) D(2 17 1- 5) E(- 21212) F(2 1315) G{4l10 IO) H (Ol 9 l-3} QI) spat Als Spat (auch Parallelflach oder Parallelepiped) bezeichnet man in der Geometrie G einen Körper, der von sechs paarweise kongruenten Paralle logrammen begrenzt D(- 61 0 11) wird. Die Bezeichnung Spat rührt vom Kalkspat {Ca lcit, chemisch: CaC0 3) her, C 8(1 161 2) dessen Kristalle die Form eines Parallelflachs aufweisen. Von einem Spat sind die Eckpunkte A, B, D und E gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten der anderen Eckpunkte und die Länge der Raumdiagonalen AG und BH.

s

[ill Spat mit aufgesetzter Pyramide Im Spat mit aufgesetzter Pyramide ist F der Mittelpunkt der Strecke BS . a) Stellen Sie AC , ~ 8S , SD, HS, EC jeweils 4 als Linearkombination von ä, b, dar. b} Geben Sie zwei Punkte an, deren Verbin.... ~ .... dungsvektor durch den Vektor a - b - c bestimmt wird.

-

G

- -

c

I

I

I

I

I

A

...a

B

@) Vierecksbestimmung Parallelogramme, Rauten, Rechtecke und Quadrate haben die Eigenschaft, dass sich ihre Diagona len gegenseitig halbieren, d. h. die Mittelpunkte der Diagonalen stimmen überein. Weisen Sie nach, dass das Viereck ABCD mit A (0 l 2 11}, B (- 1 1- 1 l 3 ), C( 1 1- 2 l 6} und D (2 11 14) diese Eigenschaft besitzt. Um welchen der angegebenen Viereckstypen handelt es sich? Begründen Sie.

Tipp Neben der Bestim mung der Seitenlängen hilft die Bestimmung der Diagonalenlängen .

QD Parallelogramme a) Zeichnen Sie die Punkte A(- 212), 8(2 l 3) und C(3 l- 1)in Tipp ein Koord inatensystem. Ergänzen Sie einen vierten Punkt Fertigen Sie zunächst eine Skizze an. so, dass sich ein Parallelogra111m ergibt. Wie viele solcher Punkte finden Sie? b) Können Sie die Koordinaten der Punkte aus a) auch rechnerisch bestimmen? Beschreiben Sie Ihr Vorgehen. c) Gegeben sind die Punkte A (4 121- 1), B(1 12 13) und C {- 210 14 ). Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten aller Punkte, die mit A, Bund C ein Parallelogramm bi lden.

( 230

l

5 Orientieren und Bewegen im Raum

Werlcze11g

CAS: Definieren von Vektoren 1md rechnen mit Vektoren Vektoren festlegen Addition von Vektoren Länge des Vektors ä

.,

-3

2 va:- 3

·S

m"+1-b

6

2

·S

.

-

4 vb:= ·l

4 ·l 2

2

Skalarmultiplikation

Variablen sollten sinnvoll bezeichnet werden: z.B. va für vb für b

4 6 · 10 .

a

Differenzvektor AB

-

vab:-vb- -wr

?

Länge der Strecke AB

➔

( Übu11gen )

J38

nonn(va)

nonn(vb- w)

J69

(JI:J Rechnen mit Vektoren a) Erste llen Sie die Rechenausd rücke aus dem Wer kzeugkasten mit I hrem Rechner. b) Berechnen Sie den Abstand der Punkte A{2 l - 1 J4) und B{l l 3 J-3). c) Erstellen Sie zum Bestimmen des Mittelpunktes einer Strecke das Makro m;tte.

ffi) Sechseck im Würfel Die Eckpunkte des Sechsecks im Wü rfel sind jeweils Kantenm itten. Aus der Anschauung können Sie bereits vermuten, welche Seiten parallel sind. Begründen Sie mithilfe von Vektoren. Gibt es im Sechseck auch Diagonalen, die zu Seiten des Sechsecks pa rallel sind? Begründen Sie mithilfe von Vekto ren.

(4JOJO}

mJ Raute oder auch Quadrat? Zeichnen Sie das Viereck mit den Eckpunkten A(O -31 -4), B (-5101 O}, C (0l3 14) und D (5 J OJ 0). Weisen Sie nach, dass es eine Raute ist und überprüfen Sie, ob es auch ein Quadrat ist. Für eine der Diagonalen stimmt die Länge der im Schrägbild gezeichneten Strecke mit der realen Länge überein. Zeigen Sie, dass man dies bereits an den Koord inaten der Endpunkte dieser Diagonalen erkennen kann. J

(]D sechseck Gegeben sind die Punkte A(4 l 8 I0), B(0 I 8 14), C (0 14 18) und D (4 10 18).

z

C

' 16

Bestimmen Sie rechne risch zwe i Pu nkte E und F, so dass die Punkte ABCDEF ein Sechseck bilden, bei dem die gegenüberliegenden Seiten jeweils pa rallel und gleich lang sind.

4

y A

1

-1-~

5.3 Rechnen mit Vektoren [ 231

(Übungen) Im Folgenden werden geometrische Aussagen mithilfe der Vektorrechnung begründet.

(}2] Diagonalenschnittpunkt im Parallelogramm D

Der Diagonalenschnittpunkt S im Parallelogramm kann mit der Information, dass der Schnittpunkt die Diagonalen halbiert,

s

C

+½(AB+

also mit = ä BC) bestimmt B werden. a) Ze ichnen Sie das Parallelogramm mit A{1 11}, B(512), C{614) und 0{213). Bestimmen Sie zeichnerisch die Koordi naten des Diagonalenschnittpunktes und bestätigen Sie die Formel am Beispiel. b) Begründen Sie die Formel mithilfe eines Vektorzuges. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des vierten Punktes des Parallelogramms ABCD mit A{6 1616), B(211 1O} und C (31415} sowie die Koordinaten des Diagonalenschnittpunktes.

(}QJ Mittenviereck in der Ebene und im Raum Mittenviereck in der Ebene

Ein bekannter Satz aus der Geometrie ist der Satz von VARIGNO N. Satz von VARIGNON C

Verbindet man die Mittelpunkte der Seiten eines Vierecks, so entsteht ein Parallelogramn1. A

B

Der Beweis ist mit elementargeometriMit DGS können Sie den Satz bestätigen. schen Mitteln nicht ganz einfach. Versuchen Sie mit 1hren Kenntnissen D über das Rechnen mit Vektoren, einen Beweis aufzuschreiben. Beschreiben Sie die Ortsvektoren der Seitenmittelpunkte mit den Vektoren ➔ ➔ ➔ -'4 a, b, c und d. Zeigen Sie, dass gegenüberliegende Seiten des Seitenmitten...b vierecks parallel sind. 0 Der Satz von VARIGNON gi lt auch für Vierecke im Raum. Beweisen Sie mithilfe von Vektoren den Satz von VARIGNON für Vierecke im Raum. überlegen Sie, was Sie am Beweis für das Mittenviereck in der Ebene ändern müssen.

Mittenv1ereck im Raum

J

' 232

l f5

Orientieren und Bewegen im Raum ]

Exlrnrs Nachweis von Rechengesetzen fiir Vektoren Für das Rechnen mit Vektoren gibt es verschiedene Rechengesetze. Die Rechengesetze lassen sich algebraisch und geometrisch begründen. Gezeigt wird dies am

Beispiel des Assoziativgesetzes der Addition: (

a + b) + c =ä + (b + c).

algebraische Begründung

geometrische Begründung

(a + b) + c --

a1

bl

C1

a2

+ bz

+ Cz

~

C3

~

+ b1) + C1 (a2 + b2) + c 2 (33 + b:J) + C:J (a1

--

al

--

+ (bl + C1)

~

l

...C

Assoziativgesetz für reelle Zahlen

+ (bz + Cz) U3 + (b3 + C3)

+

,

Definition der Addition

a2

a1 a2

t .--------,

Übergang zur Koordinatenscbreibweise

b1

C1

b2

+ Cz

b3

C3

a•

Definition der Addition Übergang zur Vektor schreibweise

(Übu11gen) Gruppenarbeit Stellen Sie die Begründungen auf Plakaten zusammen.

ffi) Begründungen der Rechengesetze für Vektoren Begründen Sie die Gesetze in Gruppe narbeit. Die Hinweise helfen dabei. (A) Kommutativgesetz -

Das Multiplikationszeichen steht manchmal für die $-Multiplikation und manchmal für die Multiplikation reeller Zahlen.

➔

(B) Gemischtes Assoziativgesetz

➔

-4

a+b = b+a

s -l t-a) =(S·t }· a

(C) Erstes Distributivgesetz

(D) Zweites Distributivgesetz

➔ -) s -a +s · -b =S · (➔ a +b

+ t · ➔a = { s + t) · a➔

s · -a

Tipp

....

S ·( t • a)

-+

a +b =

-,

s

....

t •a

a

~

::,

i

+

...,

... (s • t) • a

a.

b a2 + b2 a3 b3

... ... s-a + t ·a = s ·

-

a.

a,

a2 + t · a2 a3

1

a, + b , a2 + ~ a3 + b3

a3

-

s a1 + t ·a1 s a 2 + 1 •a 2 s a 3 + t · a3

Grtmd,visse11

1. Gegeben ist die Funktion f(x) = - x2 + 2x + 1. Begründen Sie ohne Rechnung, dass f genau zwei Nullstellen besitzt. 2. Die Seitenlängen eines Rechtecks betragen 4cm und 5cm. Wie lang sind die Seiten eines flächeninhaltsgleichen Quadrats? 3. Bei Neugeborenen gilt das Geschlechterverhältnis von „ 100 zu 105" {weniger Mädchen als Jungen} als normal. Welche Wahrscheinlichkeit für die Geburt eines Mädchens folgt daraus? 4. Bestimmen Sie alle Lösungen: 3x2 - 27

=0

5.3 Rechnen mit Vektoren [ 233 )

Exktirs Die Begründung der modernen Vektorrechnung Schon 1679 gab GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ (1646-1716) den Anstoß zur Entwicklung eines Vektorbegriffs:

,,Die geometrische Analyse müsste in der Lage sein, die Lage und die Bewegung ilirer Figuren der rechnerischen Formel zugänglich zzi ,nachen." LEIBNIZ selbst verfolgte seine Idee nicht weiter Viel später, irn)ahr 1844, stellte die Gesellschaft der Wissenschaften in Leipzig zum Gedenken an LEIBNIZ (dieser war in Leipzig geboren) folgende Preisaufgabe:

,,Es sind noch einige Bruchstücke einer von LEIBNIZ e,fundenen geo,netrischen Charakteristik übrig, in welcher die gegenseitigen Lagen der Orte .... z,nmittelbar durch einfache Symbole bezeichnet und durch deren Verbindung bestimmt werden und die daher von unserer [herkömmlichen) Geometrie gänzlich verschieden sind Es fragt sich, ob nicht dieser Kalkül wieder hergestellt oder ein ihm ähnlicher angegeben werden kann, was keineswegs unmöglich zu sein scheint."

GOTTFRIED WILHELM LEIBNIZ

(1646-1716)

Den Preis erhielt 1846 HERMANN GÜNTER GRASSMANN, ein Gymnasiallehrer aus Stettin, der eine entsprechende neue Methode bereits 1839 in seiner Prüfungsarbeit „Theorie von Ebbe und Flut" verwendete und sie 1843 in seinem Werk „Die lineare Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik" weiter ausarbeitete.

,,Den ersten Anstoß gab mir die Betrachtung des Negativen in der Geometrie. Ic1i gewöhnte mich, die Strecken AB und BA als entgegengesetzte Größen aufzufassen. ... Strecken wurden nicht als bloße Längen aufgefasst, sondern an ihnen zugleich die Richtung festgehalten. So drängte sic/1 der Unterschied auf zwischen der Summe der Längen und zwischen der Summe solcher Strecken, in denen zi~gleich die Richtung festgehalten war. .... Am Gesetz, dass AB + BC = AC se~ wurde attch dann noch festgehalten, wenn A , B, C nicl1t in einer geraden Linie lagen. Hiermit war der erste Schritt zu einer Analyse getan, welche in der Folge zu dem neuen Zweig der lvfathematik führte, die hier vorliegt." Durchgängiger Grundgedanke GRASSMANNs war es, Beziehungen zwischen rä11mlichen Größen mithilfe algebraischer Beziehungen zu beschreiben. Damit gilt Grassmann als Begründer der modernen Vektorrechnung. GRASSMANNs Schriften sind allerdings keine leichte Lek}lERl\11ANN GÜNTER GRASSMANN türe. Selbst der Geometer FELIX KLEIN (1849-1925) bezeichnete sie als (1809-1877) „schwer zugänglich, fast unlesbar': GRASSMANNs Bemühungen um einen mathematischen Lehrstuhl blieben deshalb aucl1 erfolglos. In einem entsprechenden Gutachten wurde sein Werk als "guter Inhalt in mangelhafter Form" bewertet. GRASSJVlANN wandte sich daraufhin enttäuscht von allen mathematischen Studien ab und widmete sich den Sprachwissenschaften, was ihm wesentlich mehr Erfolg einbracl1te. Die mathematischen Leistungen GRASSMANNs erlangten wissenschaftlich erst spät Anerkennllllg. Es waren vor allem Physikei; die in den 80er-Jahren des 19. Jahrhunderts die Vektorrechnung in ihre Vorlesungen aufnahmen. Die Mathematiker taten es ihnen erst zu Beginn des 20. Jahrhunde1ts gleich.

234

5 Orientieren und Bewegen im Raum ]

Skalarprodukt und Winkel

5.4 [Aufgabe,1) ------

(TI Orthogonale Vektoren im Raum z

a) Sieht man in dem Bild, welche der farbig eingezeichneten Vektoren orthogonal zueinander stehen? Wie entsche1den Sie? b} Es gibt ein Kriterium zum Überprüfen, ob zwe i Vektoren orthogonal zueinander sind: a, b1 ➔ ➔ Zwei Vektoren a = a2 und b = b2 a3 b3

Zur Erinnerung: Für die Länge eines Vektors gilt:

v

lvJ = ~vf + vf + vi 2 lvj - v21 + v22 + v23

y 1

sind genau dann orthogonal zueinander, we.nn gilt: a, b1 + a 2 b2 + a3 b3 = 0. Wenden Sie das Kriterium auf die Vektoren im Bild an. c) Mit dem Satz des Pythagoras lässt sich das Kriterium erarbeiten. Die ersten Schritte sind angegeben. CB _1_ CA 2 2 2 CB + CA = AB übersetzt in vektorielle Darstellung: ➔

-;

läl

2

a _1_ b +

2

2

bl = b- äl

(a ? +af +af )+ ... = ...

A

Führen Sie den Beweis zu Ende.

Es gibt eine weitere Verknüpfung von Vektoren.

...

-,

... -,

Das Skalarprodukt zweier Vektoren a und b ist a · b

= ( aa2 ) • a3

b,

=a1 b 1 + a2 b 2 + a3 b 3 .

b2 b3

Der Wortteil . Produkt" zeigt, dass zwei Vektoren mult ipliziert werden. Der Wortteil , Skalar" weist darau f hin, dass das Ergebnis eine reelle Zahl und kein Vektor ist Mit dem Skal arprodukt lasst sich das Krit erium für die Orthogonalität kurz formulieren:

a und b sind genau dann zueinander orthogonal, wenn ä •b= 0 . -+

Zwei Vektoren

...

IT) Länge und Winkel mit dem Skalarprodukt a) Die Länge eines Vektors kann mithilfe des Skalarproduktes ausgedrückt werden. 1 Zeigen Sie, dass gilt: = '1 a' · ➔ ➔ ... , b) Zeigen Sie: Für kollineare Vektoren ä und b mit gleicher Richtung gilt: ä · b = lä 1· b c) Das Skalarprodukt kar.1n auch für den Winkel zwischen zwei Vektoren genutzt werden. Man kann den Vektor b auf den Vektor projizieren. Dadurch wird b in die beiden zueinander orthogonalen Vektoren n und zerlegt Damit ergibt sich:

läl

a

a

p

-+ ➔

➔

n ➔

a · b = a·

-·

l ... p+n = a·p+a · n = a·p

(➔

-+

➔

➔

➔

➔ ➔ ->

=lal ·Jp =lal-lb -cos[y )

p

1

Bestimmen Sie den Winkel zwischen

a= -23

➔

und b

=

2 3

-2

-,

a

mit dem Skalarprodukt

5.4 Skalarprodukt und Winkel ( 235 ]

(Aufgabe11)

IT] Schätzen, Messen und Berechnen von Winkeln im Raum a) Unter we lchem Winkel schneiden sich die Raumdiagonalen im Würfel und im Quader? Anhand der Schrägbilder kann man hier eine grobe Schätzung abgeben. Wie gut ist Ihre Schätzung? Messen Sie an einem Modell und prüfen Sie, wie nah Sie den rea len Werten gekommen sind. Bei ersten Überlegungen, wie man die Winkel berechnen kann, helfen Ihnen bereit s in früheren Jahrgangsstufen erlernte Zusammenhänge.

z

2

t

Hf O O 20·•, . ;,. · ,--- - - - - ---:,,, G

E,C-- - - + :---+-- ---f':..F(16 l 16116) 1

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1

y

D(O IOIO) i

c: X

A ,,,,,,.,

B( 12 116 10)

8(161 161 0}

b) Lassen sich die Winkel auch rechnerisch ermitteln? Im Kosinussatz aus der Mittelst ufe kommen in der Formel die Längen der Dreiecksseiten eines beliebigen Dreiecks vor. Diese können vektoriell berechnet wer-

lal=

a2

aa

Kosinussatz c2

=a 2 + b2 -

2 ab cos {Y)

Umgeformt nach cos(y)

cos (y ) =

den, z.B.

a,

y

D(OIOIO) ,,, ---------,,

a2 + b2 - c2

2a b

= ✓af +ai +aj.

In vektorieller Schreibweise sieht der Kosinussatz so aus: 2 2

lal +lbl l(ba)l cos (" ) = 1... , 2- läl- b 2

A

B

Zeigen Sie, dass Sie durch Ausmult iplizieren und Zusammenfassen

...a-b.., cos (y ) = .... l""'I 1a 1- b

erhalten. Bestimmen Sie die W inkel a und

ß mit der Formel und vergleichen Sie diese Ergeb-

nisse mit Ihren Messergebnissen.

f 236 l rr=Orientieren und Bewegen i.tn Raum ] ( Basiswissen ]

Mit einer weiteren Verknüpfung von Vektoren können Winkel und Längen berechnet werden.

Skalarprodukt von Vektoren ~

-4

-4

➔

b1+ a2 b 2 + a3 b3 heißt Skalarprodukt von a und b .

a · b = a,

Das Ergebn is dieser Multiplikation von Vektoren ist eine reelle Zahl. Für

2 3 1

a=

...... 3 und b = -5

.

➔

-4

gilt: a · b

=

8

2

3 1

3

-5 =2-3+3-(-5)+1-8=-1 8

Anwendungen des Skalarproduktes z Länge eines Vektors y

1a1 = f l = ~ar + a~ +aj l a l= ✓22+32+ 12=-!1"4 Die Beziehung

... -

cos (y ) = ,;,

li>I

Winkel zwischen zwei Vektoren

a-b = la l -l"b l -cos (y )

-

...a-b

cos(y)=--.

z

...

1a 1- 1b 1

kann auch als Definition für das Skalarprodukt verwendet werden:

cos(y)=(i)ft-../3(l) =..?.. => y~353' -J6 , Die Vektoren gehen beide vom selben Punkt aus.

Das Wort orthogonal kommt aus dem Griechischen und bedeutet rechtwinklig , also senkrecht aufeinander stehend.

X

y X

y = 90° Orthogonale Vektoren

-1 -1 . O =0-(-1)+{- 1)-0+0· 1 = 0 0 1 0

--r

,

y

.a

y = 0 ° Kollineare Vektoren mit gleicher Richtung -4

~

,➔

1

~

a - b = a-b 2 2 1

(Beispiele]

4 4 -

2

2 2 1

4 4

=3·6=18

2

(TI Dreieck auf Rechtwinkligkeit prüfen Prüfen Sie, ob das Dreieck ABC mit A(211 13), B(4 1311) und C{2 l 4 1O} rechtwinklig ist.

Lösung: I n der Zeichnung ist ein rechter Winkel nicht erkennbar. -➔ 2 -➔ 0 -➔ -2 Vektoren aufstellen: AB = 2 ; AC = 3 ; BC = 1 -2 -3 -1 Skalarprodukte der Vektoren, die jewe ils vom selben

2

t y

Punkt ausgehen, berechnen: -➔

AB -AC= 2-0 + 2·3 +{-2)-(-3) = 12 -➔

BA-BC =(-2)-(-2)+(-2)-1 +2 ·(-1)=0 CA · CB =0 · 2 + {- 3) · (- 1) + 3 · 1 = 6 Das Dreieck hat bei B einen rechten Winkel.

-,

C

5.4 Skalarprodukt und Winkel [ 237 )

(Beispiele)

[[J Winkel im Dreieck -

Schätzen und Berechnen a) Begründen Sie geometrisch und rechnerisch, dass das Dreieck BCH im Einheitswürfel rechtwinklig ist. b) Wie groß ist der Winkel bei H? Schätzen und berechnen Sie.

z 1'...-rH_ _ _ _ _.,.

Lösung: a) Geometrische Begründung: Die Seite CH liegt auf der hinteren Würfelfläche und bildet daher mit de r Würfelkante BC einen rechten Winkel. Rechnerische Begründung: Koordinaten der Eckpunkte: B(1l1 10), C(O I 110) und H (01011) 1

Vektoren: CB=

_.

0 -1

o und CH = 0

y

C

B

Skalarprodukt: CB·CH = 1 ·0+0·(-1)+0· 1 =0

1

Somit ist der Winkel be.i C ein rechter Wi nkel. b) Der Winkel y bei H ist geschätzt 30° groß. HB

=

1 1 -1

_.

0

und HC = 1 -1

Somit ist cos (y) =

(j)../3.{2IJ) =_g_../6

Also cos (y) ~ 0,82 ⇒ y ~ 35,3° Der Winkel y bei H beträgt dann ca. 35,3°.

(Übungen)

(I) Winkel berechnen Berechnen Sie die Winkel zwischen den gegebenen Vektoren. 0,5 -3 2 2 3 1 a) -6 und 2 b) c) 1 und -4 0 und 3

d)

1

8

-2

1

-2

-2

2

3 -1 e) 2 und 2 1 3

und 1 -5 2 4

0,5

1

1

f)

1 und 0 1 0,5

IT) Winkel schätzen und berechnen Schätzen und berechnen Sie mit Vektoren den Winke l be i B im Beispiel B.

ITJ Hinsehen und Nachrechnen Nehmen Sie Stellung zu den Berechnungen.

a)

2 4-3

-1

0,5

-3

-

-2 2 9

b)

1 1 1

•

1 1 1

0

=1

c)

1 1

1 0 0

1

=3

d) 2

3

2 3 1

= 11

GJ Parameter bei orthogonalen Vektoren Bestimmen Sie die Parameter so, dass die beiden Vekto ren orthogonal zueinander sind. 1 ( a ) 2 1 4 0,5 a) - t und 2 b) b und -2 c) - 2 und t 2

-2

0

4

1

C

( 238

l (I""Orientieren und Bewegen im Raum J ( Übungen )

(1J Skalarprodukt Nennen Sie Unte rschiede und Gemeinsamkeiten zwischen dem Skalarprodukt von Ve ktoren und der bekannten Multiplikation reeller Zahlen.

CI] Orthogonale Strecken I m Wü rfel mit der Kantenlänge 4 ist anschau lieh offe nsi chtli eh: (1 ) Die Kanten AB, AD und AE eines Würfels stehen orthogonal aufeinander. (2) Die Kante AB ist orthogonal zur Flächendiagonalen BG. (3) Die Raumdiagona len AG und BH sind nicht orthogonal zueinander. Bestätigen Sie diese Eigenschaften rechnerisch mithilfe passender Vektoren.

z H

G

D

C

E

-------- -

y

B

illJ Würfelecke Die Punkte A(2 13 IO), 8(61712), 0 {4 1- 11 4) und E(-215[ 4) sind gegeben. Zeigen Sie, dass die Strecken AB , AD und AE die Ecke eines Würfels bilden.

[ill Rechter Winkel

z

G(Ol6 J3)

H

Eine der Flächendiagonalen EB und BG steht senkrecht auf der Kante BC, die andere nicht. Zeigen Sie dies rechnerisch.

y

8( 4 161 0)

Werkzet1g

Vgl. Beispiel B

Skalarprodukt mit CAS Vektoren festlegen

Skalarprodukt zweier Vektoren

, "7:_=

1 1

1

·1-

·1

0

0

21

ldotP{va,vb)

1

vb:= 1

Winkel zwischen zwei Vektoren ,1

1 ·l

·l

)

(

ll,inke,\va,vb .• cos·•

dotP(i.'Cl,vb) ( )

( )

)

norm va · norm vb

Fe,•rig l11nkei(va, vb)

(TI) spat Die Vektoren

a

O = 3 1 ,5

--*

4

, b= 4 4

--t

und c

=

3S 2644

2 6

1

spannen einen Spat auf. a) Berechnen Sie die Kantenlängen des Spat es und die Winkel in 0. b) Wie ändern sich die Winkelgrößen, wenn die Kantenlängen des Spates verdoppelt we rde n? Begründen Sie geometrisch und rechnerisch.

B

5.4 Skalarprodukt und Winkel ( 239 )

( Übu11gen )

QD Winkel und Ergänzungswinkel y

Martin will den Win kel E bestimmen. Er schätzt 60°. Rechnerisch bestim mt er E mithilfe des Skalarproduktes der Vektoren

C

1

AC ={~) und CB ={_~ } und erhält

X

A

~

B

1

cos (E) = ( ; ) · { - ~) = - 4 also E 11 6 6 °. ,fiö ..f4 4.-ß ' ,

-

a) Wie kann das passieren? Bestimmen Sie E mithilfe der Trigonometrie. b) Bestimmen Sie E mit CA und CB . Bestimmen Sie E ebenfalls mit AC und BC . Was stellen Sie fest?

(ill Gestreckte Pyramide

(K) Längen und Winkel

Wie verändern sich in der quadratischen Pyramide die Winkel y und E, wenn die Höhe der Pyramide verdoppelt wird? Schätzen und be rechnen Sie.

Bestimmen Sie im Einhe itswürfel die Längen der Strecken AC, AG und HC sowie die Winkel ~(AG , AB); ~{AG, AC); ~ {AG, CG) sowohl mit rechtwin kligen Dreiecken als auch mit dem Skalarprodukt von Vektoren. Vergleichen Sie die beiden Lösungswege.

z 1 1 ·

·

- --

"'

s 21

13)

y

C

y

~ Winkel in quadratischer Pyramide

(]zJ Raumdiagonalen im Würfel

Schätzen und be rechnen Sie jeweils die Größen der eingezeichneten Winkel 5, 4> und E.

a) Berechnen Sie den Schnittwinkel zweier Raumdiagona len im Einheitswürfel. b) Ändert sich der Winkel in einem Würfel mit der Kantenlänge a? Begründen Sie geometrisch und rechnerisch .

z

s

z H

--

'......t------"'""' G

E

1 1

F

J

1 1 1 1 1 1 1

~

,,,

,,,,"

41 )y

,, ,,

4 X

A

8(414 JO )

. ,,. ,,.

,,. ,,. ,,

,,.

o: ,,. ,,.

C 1 B

y

240l f5

Orientieren und Bewegen im Raum

( Übungen )

J

QD Winkelsumme im Viereck a) Bestimmen Sie die I nnenwinkel im Viereck ABCD mit A(4 IOl 2 ), 8 (6 16 10), C (Ol 814) und D(O IOIO). Was fällt auf 7 Woran Liegt das7 b) Verändern Sie D so, dass das Viereck eine W inkelsumme von 360 ° hat.

(ill Quadrat oder Raute? In einem Würfel mit der Kantenlänge a werden zwei Flächen- und zwei Kantenmittelpunkte zu einem Viereck

a

verbunden. Handelt es sich um ein ebenes Viereck? Welche Form hat es? Stellen Sie Vermutungen auf und überprüfen Sie diese rechnerisch.

00 Viereck in quadratischer Pyramide Die Punkte A', B', C' und D' liegen in unterschied li chen Höhen zur Pyram idengrundfläche auf den Pyramidenkanten:

D(Ol- 610)

B' auf der Höhe 2, A' und C' auf der Höhe 4 und D' auf der Höhe 6. Ist A' B' C'D' ein ebenes Viereck?

H(OI 6 10) A(GJOIO)

(1D Geometrische Beziehung und Skalarprodukt Drücken Sie die Beziehungen mithilfe des Skalarproduktes aus. a ) Das Viereck ABCD ist e in Rechteck.

f

D

.

-C

. •

....

•

.

f-

.. . A

b) Die Vektoren ä und b sind kollinear.

~

.

-

--

. '

l

-r

1 ~

....

1 +-

1 ~

1

..

I

1-

•

•

1

_,_

~

-

a

.

1-

"6 ..8

..,..

,...--,-...,...r-rT"

....

-,.-

-

.,...

(]I) Geometrische Beziehungen und Vektorgleichungen Geometrische Beziehungen können m ithilfe von Vektorgleichungen beschrieben werden . Welche Gleichung passt zu welchem Bild?

.... ....

................

(C) 1 a + b 1 = I a - b I

(A) (a +b )-( a -b )= O

(1) rechtwinkliges Dreieck

.... ....

(2 ) Quadrat

(3) Rechteck

a• •

b

--,-

5.4 Skalarprodukt und Winkel [ 241 )

(Übungen) Strukturuntersuchungen für Vektorverknüpfungen

(]TI Produkte -

genauer hingeschaut ,

Erläutern Sie die beiden Abbildungen .

t a

b

-+

ä 1

b

y ➔

a-b

...

a -b

t 1

reelle Zahlen

Vektoren

11 reelle Zahlen 1

(]I) Eigenschaften des Skalarprodukts Welche der bekannten Rechengesetze für reelle Zahlen

Distributivgesetz: Für alle Vektoren

lassen sich auf das Rechnen mit dem Skalarprodukt übertragen? Der folgende Beweis des Distributivgesetzes beim Rechnen mit Vektoren ist nicht so, wie er sein sollte! Bringen Sie die Karten in die richtige Reihenfolge: ➔

➔

a, b

c.gilt: {ä + b ) · c· = a· · c + b · c und

➔

➔

@ ac+b -c ➔

➔

➔

@ {a + b) · c

,,

a, b und c und für alle reellen Zahlen s gilt: ➔

Für alle Vektoren ➔ ➔ ➔ ..... I: a ·b =b · a ➔

II: III:

-4

~

Kommutativgesetz

~

( s · a} · b = s · ( a · b} (a + b). C = ä. C+ b .C ~

➔

,,Assoziativgesetz" Distributivgesetz

lli) Eigenschaften des Skalarproduktes a} Beweisen Sie die Eigenschaften I (Kommutativgesetz ) und II (,,Assoziativgesetz"). b) Zeigen Sie an einem geeigneten Beispiel, dass das Assoziat ivgesetz {a · b) · c = a · (b · c ) der Multiplikation reeller Zahlen ni cht für das Skalarprodukt von Vektoren gi lt.

00 Wahr oder falsch? Die folgenden Aussagen gelten für reelle Zahlen. Hier stehen sie für Vektoren. Welche Au ssagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Entscheidung. ➔ ➔ 2 ..... 2 ➔ -+ 42 ➔ ➔ -4 ➔ ➔ ➔ ➔ ➔ a)(a+b ) = a +2a -b+b · b){a · a )(b·b )=( a·b )( a·b ) ..................

➔.....

c) Wenn a · b = a · c, dann b = c

➔

➔

➔

➔

➔

d) a · b = 0 ~ a = 0 oder b

➔

=0

Gr1u1d,visse11 1. Bestimmen Sie beide Lösungen: .j( l + x)2 = 4 2. Welche Funktion wä chst auf Dauer am stärksten?

f (x)=2 x

g(x)= 2x

h{x)= x2

3. Bei „Mensch, ärgere dich nicht" hat man zu Beginn drei Versuche, eine „ Sechs" zu würfeln . Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die erste „Sechs" genau im dritten Versuch zu erzielen?

f 242 l (5

Orientieren und Bewegen i.In Raum

(Aufgaben)

(1D Skalarprod ukt und Rechteckflächen Zeigen Sie mit dem Ska larprodukt ä ·b = lä 1- lb ·COS (YF

a

a·

a

-4

-4

a) Wenn =r b ist, dann ist b gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks m it den Kantenlängen und b . ➔

läl

-4

b) Wenn nicht kollinear zu b ist, dann -4 ist ä •b gleich dem Flächeninhalt des Rechtecks mit der Kantenlänge und

lal

~

der Länge der Projektion von b auf ä -4

{auch b 8 ) . .....

.... b

b

-

...a

t5.a

a

ISI

JBa.I

läl

lal

Exl-+--+--+-

1

1

lliJ Tetraeder? Beschreiben die Punkte 0(010 10); P{½.J2l ü l ü); Q(O ½.J2

o) und R(ü l O ½.J2)

y

einen Tetraeder im Würfel? Zeichnen Sie ein Schrägbild des Körpers im Würfel.

A:1 1010)

GI) Würfelschnitte Ein Schnitt im oben abgebildeten Würfel verläuft durch die Punkte K, L, M und N. Welches Viereck entsteht jeweils aus dem Würfelschn itt? Zeichnen Sie jeweils ein entsp rechendes Schrägbild.

(1 )

(2)

( 3)

K(110 11), L (1 11 10 ),

K(OIOIO }, L (111 IO),

K(1 IO10,5), L(l 111 0,5),

M (OI 1 IO), N(OIO I 1)

M(010 11), N(1l111 )

M (Ol1 10,5), N(OIOI0,5)

252

6 Geraden i.In Raum

•

era,~en 1m

aum

Mithilfe von Vektoren und ihren Rechenverknüpfungen können Geraden 11nd Ebenen im Raum nun durch Gleichungen bescht·ieben werden. Lagebeziehungen von Geraden können aus den Gleicht1ngen erschlossen werden. Die gegebenenfalls vorhandenen Schnittpunkte können mithilfe von linearen Gleichungssystemen rechnerisch ermittelt werden. Beim Lösen dieser Gleichungssysteme mit dem Gauß-Algorithmus leistet der GTR gute Hilfe. Die geometrische Inte1·pretation der Lösungsmengen muss in den verschiedenen Problemstellungen aber selbst geleistet werden.

übersieht [ 253 )

z

Geraden in der Ebene und im Raum

6.1

·--

M ithi lfe von Koordinaten und Richtungsvektoren

...V

A

lassen sich Geraden in der Ebene und im Raum in

a•

X.

....

g

V

y

gleicher Art durch Gleichungen beschreiben.

6.2

Anwendungen mit Geraden

Die Darstellung von Geraden als Gleichungen ermöglicht die Beschreibung z.B. von Sonnenstrahlen . Mit den dazugehörigen Gleichungen können Bi ldpunkte und damit Schattenbilder berechnet werden.

Lagebeziehungen von Geraden

6.3

Von unten betrachtet hat man den Eindruck , dass sich die Flugrouten kreuzen. Die Darstellung der Flugrouten als Gleichungen ermöglicht es, die Frage einer möglichen Ko llision in einem Modell zu beantworten.

Proje kti onen

6.4

z

Das Schattenbild einer Pyramide kann mithilfe von Spurpunkten einer Geraden mit den Koordinatenebenen erzeugt werden . Dies gelingt auch mith ilfe von

+-l-c4

Abbi ldungsgleichungen und Abbildungsmatrizen . y

C

6 xA _

2

Geometrische Abbildungen (fakultativ)

6.5

y

Mit einem Bildbearbeitungsprogramm kann ein Foto im Computer manipuliert werden. Es kann z. B. gedreht, gespiegelt, vergrößert oder verkleinert werden. Mit Matrizen können die Abbildungen beschrieben werden.

6

-8

8

16

254 { 6 Geraden im Raum .

6.1

(Aufgaben)

Geraden in der Ebene und im Raum

CI] Begegnungsproblem auf hoher See Kapitän Horner ist mit seinem Frachtschiff Berta mal wi ede r auf dem Atla ntik unterwegs. Regelmäßig beobachtet er den Radarsch irm. Das Koordi natensystem auf dem Schirm ist so einge richtet , dass die x-Achse von Westen nach Osten ve rläuft und die y-Achse von Süden nach Norden. Der Ursprung L wird durch einen Leuchtturm markiert. Die Längeneinhe iten auf beiden Achsen sind in Seemeilen (sm) angegeben. Um 13:00 Uhr befindet s ich die Berta an der Stelle mit den Koo rdinaten (310). Außerdem erkennt Kapitän Horner noch ein weiteres Schiff, die Aria-

➔

1.1/-

-a -,-

-

-

1

4

J .

1

~

2 1

-

..

l

1 .

~~

1

~

.,.

1

.,. ne, an der Stelle (012). 1 T _ _,, $ 1 6 .11 1 . 2 Eine St unde später, um 14:00 Uhr, befindet ~ 1 ' sich die Berta an der Stelle {612) und die Ariane an der Stelle (413). Der geradlinige Kurs beider Schiffe wird m ithilfe von

1 ~

1-1

v j)

,,Richt ungsvektoren'' Ü = { ~) und = ( beschrieben. a) Mit welcher Geschwindigkeit bewegen sich die beiden Schiffe? I n welcher Position befinden sie sich jeweils um 15:00 Uhr {15:30; 16:00; 17:00)? Es wird dabei angenommen, dass die Geschwindigkeiten gleich bleiben. b) Bordingenieur Ingo berechnet, wo sich d ie beiden Kursgeraden schneiden. Er fi ndet mit nebenstehendem Ansatz den Schnittpunkt S (9,6 4,4 ). Erklären Sie den Ansatz und bestätigen Sie die Koordinaten. J

c) Muss der Kapitän nun die Kursricht ung seines Schiffes ändern, um einen Zusammenstoß zu vermeiden? Berechnen Sie dazu den jeweiligen Ze itpu nkt, zu dem s ich die beiden Schiffe in der Position S befinden.

(]J Figuren zeichnen a) Best immen und skizzieren Sie für einige Werte von t mit Osts 3 die Punkte X mit

x= { ~ l!l )= (-1: ft ).

Beschreiben Sie die entstehende Figur.

Waserhä ltman f ür -4sts-1? b) Mit Pa rameterdarstellu ngen kann man geradlinige Figu ren mit dem GTR skizzieren.

Werl • IR g: x = a + r v mit r e

Punkt- Steigungs- Form g: y = mx + b

a Stützvektor, V Richtu ngsve ktor y

1

-!: l1.,,,., LL~

1•

f-

1---1

_,. .,.

_,..,.

1_,.,,,.

,,,, ,,,.

-

-

>--

,,,,., /

_,. .,.

h

.. ; ' ,,.

' L 1•

H

_,,,/

' f-

f-

f - ,.

f-

f-

>--

,.

,. ..

!-t-

X

1

'

Geradengleichungen im Raum Punkt- Richtungs- Form 4 -> 4 . IR g: x = a + rv mit re

ä Stützvektor,

Zwei- Punkte-Form durch A und B

g:x = a + r(b-a} mit rEIR

v Richtungsvektor

aStützvektor, v= b - a Richtungsvektor ->

z

z

___ l

A

J

X

y

y

Für jeden Wert des Parameters erhält man einen Punkt der Geraden. Durchläuft der Parameter r alle reellen Zahlen, so durchläuft X alle Punkte der Geraden. Der Vorteil der Parameterdarstellung liegt darin, dass damit auch Geraden im Rau m beschrieben werden können.

Strecke Eine Strecke AB wird durch von Obis 1 durchläuft.

x =ä + r{b - a)

Das Dreieck ABC mitA{2 l 3), B(611) und C(8 15) kann vektoriell beschrieben werden:

beschrieben, wenn r alle ree llen Zahlen

y 1

4

AB: x= { ~) + r( _;)

mit Os r s 1;

3

AC:x =(~) +r{~)

mit Os r s 1;

2

BE: x={~ )+ r ( ~ )

- -

C

'

t::

1

B

mit Os; r s; 1. 2

5

6

7

9

6.1 Geraden in der Ebene und im Raum [ 257

(Beispiele]

GJ Gerade durch zwei Punkte bestimmen Geben Sie eine Punkt-Richtungs-Form der Geraden g an, die durch die Punkte P und Q geht.

2

Lösung: Es müssen ein Stützvektor und ein Richtungsvektor bestimmt werden. Stüt zvektor: OP =

y

4

p=

o 2

0 R.1chtungsve ktor: ➔ ~ ➔ v=q - p = 2 -

4

Punkt-Richtungs- Form: g:

x

4

-4

2

2 2

0 --

-4 4-4r 4 = 0 + r 2 , r e IR oder g: x = O+ 2r r e IR 2 2 2+2r ' ➔

'B' Punkte auf einer Geraden ~ Bestimmen Sie die Koordinaten von drei Punkten, die auf g: liegen.

Lösung: z.B. r = 2 liefert r = 0 liefert

x=

-3 5

-3

x=

-3

2

r =-1 liefert

x

2 +2

2 +O

2 4

4

1 . 10 1 -1

-

relR

-3

5

5

2

-3 = 2 + (-1)

4

-3

5

4 ,

Q{-3 12 15);

2

-3

5

2 +r

2

P(1 1101 - 1)

-3

-

x=

-3

-

-5 -2

• 1

R{-5 1-218)

8

W

Punktprobe: Liegt P auf der Geraden g? liegen die Punkte P1 (8l- 4 18) und P2 (3 1112) auf g?

Lösung: Wenn p au f g: X = ➔

2

t

a+ rV liegt, dann gibt es ein r, ➔

sodass OP = a +rv. Wenn man ein solches r nicht findet, dann Liegt P nicht auf g. 4-4r Die Gerade g lässt sich in der Form g: = o+ 4r aufstellen. 4 - 4r

x

8

Für P1 gilt

4-4r -4 = 0+4r

Dies liefert die Gleichungen

4-4r

8

t

(01410) 1

y,-

X

8 = 4 - 4 r also r = - 1 -4 = O+ 4 r also r = -1 8 =4 - 4 r also r =- 1

Es gibt ein r, das alle Gleichungen erfüllt. Somit liegt P1 (81- 418) auf g. 3

Für P2 gilt

1

2

=

4-4r O+ 4r 4-4r

Dies liefert die Gleichungen

3 = 4 - 4 r also r = 0 ,25 1 = O + 4r also r= 0,25 2 = 4 - 4 r also r :: O,5

Es gibt kein r, das alle Gleichungen erfüllt. Somit liegt P2 (3 l 1 l 2) nicht auf g.

(Übungen)

~

ITJ Punkte einer Geraden Gegeben sind die Geraden g:

x

3 1 = 1 + r -2 2 2

➔

und h: x =

-1

3 +r -4

-2 2 0,5

a) Bestimmen Sie die Koo rdinaten der Punkte der Geraden g und h für r = 2 und r = -3. b) Prüfen Sie, ob die Punkte Q{4l-111); R{-51510); S{-21210,5); T(-2141-3,75) auf den Ge raden g oder h liegen.

J

258]

l6 Geraden im RaumJ (Übungen)

~

CI] Geraden durch zwei Punkte Geben Sie eine Geradengleichung in vektorieller Form für die Gerade durch die Punkte P und Q an. liegen die Punkte Rund Sauf der Geraden? a) P(1 12 14); Q {3 I- 1 15); R(3 1-1 15}; S(-31 8 12) b) P(-1 10 14); Q(1 l-1 l1); R(21-2 12); S(-1 1014) c) P(3 1- 1 11); Q (21 - 2 11); R(4 10 11); S (2, 5 1- 1,5 11) d) P(1 I 0 10); Q{OI 1 IO); R(OI 0 11 ); S(2l 110)

IT] Parallele Gerade Geben Sie zu g:

x=

2

4

+r

5

eine Geradengleichung einer parallelen Geraden h

-3

-1

1

an, die durch den Punkt P (3121- 4) geht.

IT) Eine Gerade -

viele Geradengleichungen Geben Sie zwei verschiedene Geradengleichungen einer Geraden an, die ... a) durch die Punkte P (1l-21 2) und Q {31-1 12) geht. b) durch den Ursprung und den Punkt (21-315) geht. c) durch den Punkt P (-0,5121-1) geht und parallel zur x-Achse verläuft. d) die Koord inatenachsen beschreiben.

C[J Richtungsvektor oder Stützvektor ersetzen __.

1 6 -2 + r -2 O -4

-3 -+ und die Vektoren a = 1 ; b 2 -+

0,5 -+ o ;c = - 1 ·d 0 ' 4

-5

Die Gerade g: x = = sind gegeben. a) Welche Vektoren kann man als Richtungsvektor für g verwenden? b) Welche Vektoren kann man als Stützvektor für g verwenden?

-+

=

9

-3 -6

Werlaet1g

Ptmktprobe mit CAS 4 -4 ...... g: X = 1 + t · 2 4

Liegt P 1 (121-31-2) auf g?

3

12

12 vp1:• -3 -2

4-4· t

vge(t):• 1+ 2· t 4+3· t

-3 -2

solve(vge(t)~ 1,t)

Für t =-2 sind alle Gleichungen erfüllt. Somit liegt P 1 auf g.

[2J Kanten in einer Pyramide Vier der angegebenen Gleichungen beschreiben Kanten der Pyramide. Ordnen Sie zu. Welche Strecken werden durch die beiden anderen Gleichungen beschrieben? Es gilt jeweils Os; r s; 1.

g: .

2 x= 2 6

-+

➔

1: X =

l:

--> X =

+r

2 -2 -6

-2 2 2 +r 2 6 -6 4 0

0 +r 4

0

0

__.

h: x

4 = O 0

+r

-4 4 0

0 k: x = r 4 0 ➔

m:

-+

X=

0 2 2 +r 0 -6 6

t--·2

Liegt P 2 (3 11 12) auf g? 3

3

vp2:• 1

1

2

-

solve{vge{i)-vp 2,t)

?

false

Es gibt kein t, das alle Gleichungen erfüllt. Somit liegt P 2 nicht auf g.

6.1 Geraden in der Ebene und im Raum ( 259 )

(Übungen)

[IQ] Geradengleichungen im Quader aufstellen a) Stellen Sie die Geradengleichungen auf für AB, AD, GH, EG, FG, OH, HF, BF, BD. AB bezeichnet die Gerade durch A und B. b) Welche der Geraden sind parallel? Wie erkennen Sie an den Geradengleichungen parallele Geraden?

F

! 11 ,ll?.LOJfJ92-1--- ---~---,..._-1--~v

2 .,.,.-r

c(o1s1oi

~

A(41010J

X

B(41510)

CITJ Eine Gerade - viele Geradengleichungen a) Welche der Geradengleichungen beschreiben die eingezeichnete Gerade? ➔

g: x

4

=o

-4 +r 4

2

1

-➔

1: x =

4

o +r 1

o

➔

h: x

k--+

:x

4 3

=

2

-4 4 +r 4

0

3

2

4

2

1

-1

= o +r -2

(4J b1 ) ~

b) Erste llen Sie selbst weitere Geradengleichungen für die eingezeichnete Gerade.

[ill Fläche im Walmdach

~~-~-- -,--

-

1

- 1-?'i--.--t-

- - 1 ---

y

1

(}D Geraden im Pyramidenstumpf 2

2

~,S(31316) ,, 1' II \ I ,.

~ I/

{ 1 I , 1/

\

I1 /

', l

1

1

\

'

'~

-+-H7

-l

',

\ 1 \

'

'

\

'GP,514,5131

B(6H5J O}

a) Beschreiben Sie die Dreiecksfläche des Wa lmdaches mit den Strecken AB, AC und BC. b) Beschreiben Sie alle weiteren Kanten des Hauses.

1 1

a) Geben Sie die Gleichungen für die Kanten des Pyramidenstumpfes an. b) Zeigen Sie, dass Sauf den Geraden durch die Seitenkanten liegt.

QD Besondere Geraden im Würfel z

a) Zeichnen Sie die vier Geraden in das Schrägbild eines Würfe ls mit der Kantenlänge 8cm ein.

t 1

--+

gl: X=

1 1 t

1 1 1

y

1

8 ,,,.,,,,,," X

)

----

-----~8

8 -8 0 +r 8 0 8

4

g2: X=

0 8 0

8 + r -8 8

4

g3: X=

8 8 0

-8 +r O 8

--+

&: X=

8 0 8

-8 +r 8 0

b) Durch die folgenden Gleichungen sind die Seiten eines Dreiecks angegeben, das durch einen ebenen Schnitt am Würfel entstanden ist. Zeichnen Sie diese Schnittfläche in den Würfel ein. 8 s ,: X = 0 + 4 -t

r

4

4 O

4 +r 4

4

8

0

0

4

4 0

8

-4

O +r

c) Beschreiben Sie eine weitere Schnittfläche am WürfeL

260

Jl6 Geraden im Raum ( Übungen )

QI) Würfelschnitte Beschreiben Sie die roten Schnittflächen jeweils durch Gleichungen für die vier begrenzenden Seiten.

a)

b)

z H(OIO I 4)

z

G( OJ4 J4)

G(OJ 4 14)

1 1

D(OJOJ2) :

y

y

4 4 .•-F--

A(4 JOjO)

8(4 1410)

-

- - - -...Y"

A(4 JO JO)

(]§] Dreimal dieselbe Gerade Gegeben sind drei Da rst ellungen derselben Geraden g: -+

1

gt: x = 0 + t 2

4

3 ,

_.

8

1

g5 : x = 0 + s 2

- 1

_.

und

6

gr: x =

- 11

-9

-2

5

+r

4

3 -1

a ) Zum Punkt P (9 16 10 ) gehört in der Geradendarstellung gt der Parameter t =2. Bestimmen Sie die zum Punkt P gehörenden Parameters und r in den anderen Darstellungen. b) Welche ParametergehörenzuQ (- 31-3 13)? c) Ze igen Sie, dass zwischen rund td ie Beziehung r = t

+3

besteht. Ermitte ln Sie auch

die Beziehungen zwischen s und t sowie zwisc hen rund s.

illJ Geradenglei chung in der Ebene Die Geradengleichung y = mx + b w ird als Punkt-Steigungs- Form oder Koordinatengleichung bezeichnet. a ) Geben Sie die Gerade g: y = 3x + 2 in der Punkt- Richtungs- Forn1 an. b) Zeigen Sie: Die Gerade g: y = m x + b hat in Punkt-Richtungs- Form die Darstellung:

x= {g} + r {~ )- Geben Sie den Zusammenhang zw ischen Steigung und Richtung an. c) Ermitteln Sie zu g: x= ( _ ~}+ r ( - ~) die Punkt- Steigungs- Form (Koordinateng:

X

-2

-,

_

1

gleichung). d) Ze igen Sie, dass man mit Pa rametergleichungen alle Geraden in der Ebene beschreiben kann. We lches Problem ergibt sich bei der Koordinatengleichung?

(ill Paramet eraufgaben Bestimmen Sie den Parameter a so, dass der Punkt P ( 2 l- 1 11) auf der Geraden g liegt.

!al

. . = ~, 1+ r - 1 1 1

a) g: .... x = 4~ + r ~ ...._

A

[ill Punkte einsetzen i!

ä

--

Gegeben ist die Gerade g:

x

1 = - 1

+t

f !2)

c) g: -+ x = 6 +r ~

4

2. 2 -4 Der zu einem Parameterwert t gehörende Punkt von g wird mit P1 bezeichnet. a) Bestimmen Sie P2 , P_3 und P0 5 und geben Sie das zu P (- 5 1- 4 18) gehörende t an.

b) Ze igen Sie:

(1) DiePunktePtundP_1 0

b l g: x

sind gleich weit vom PunktA (1 1 112) entfernt.

'

(2) P_1 ist der Spiegelpunkt von P1 an A.

(3) Die Entfernung zwischen Pt und Pt+ 1 beträgt fur Jedes t genau 6 Langeneinheiten.

6.1 Geraden in der Ebene und im Raum ( 261

(Übungen)

(]QJ Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen Bestimmen Sie d ie Schnittpunkte der Geraden g mit den Koo rdinatenebenen und zeichnen Sie die Gerade mithilfe dieser Schnittpunkte in ein Koord inatensystem. Beschreiben Sie die Lage der Geraden. __. 6 2 8 4 -4 a) g: x = 1o + r s b) g: X = -2 + r -2 -3 -3 3 1

~

sp,

1

r!)l!""'te

Mithi lfe von Spurpunkten kann man Geraden im Raum darstellen. Wenn die Koordinatenebenen mit einer durchsichtigen Men-1bran bespannt wären, so würde eine Gerade, die je nach Lage d rei, zwei oder eine dieser Ebenen durchstößt, auf den Membranen ihre Spuren hinterlassen, die Spurpunkte. Spurpunkte zeichnen sich dadurch aus, dass mindestens eine ihrer Koordinaten O ist und sind daher leicht zu berechnen.

Die Spurpunkte der Geraden

g:

5

4

X

10

+ r -4

= 2 7,5

5

berechnet man wie fo lgt: Schnitt mit der xy-Ebene: z = 0 => 7 ,5 + 5 r = 0 => r = - 1,5. Somit gilt Sxy(-101810). Entsprechend werden Sxz und Syz berechnet.

1 ,A--1----...i...........-~-..........,~

1

[ill Gerade aus Spurpunkten Bestimmen Sie mithilfe der Spurpunkte eine Parametergleichung der Geraden g und bestätigen Sie rechne risch, dass g die abgelesenen Spurpunkte hat.

...

"' '

4

Gerade g in ein Koordinatensystem.

1

~

.,

'\..,,

rl' \

,"

,,.,

1

/

.,,.,....-- 1

1

~/

V

1

- -

1

1

' '

-+

'

1

Bestimmen Sie d ie Spurpunkte der Geraden 5 -2 g: = - 1 + r o und zeichnen Sie die 6 .

1

"'

lli) Spurpunkte einer Geraden

x

1

--

,,

1

"' "

V

1.

'\.., .,, -

,.

... -

t

., ,,

. .,,, , .

)!.L

GI) Anzahl der Spurpunkte einer Geraden Von den Geraden g, h und k sind folgende Eigenschaften bekannt: (1) gbesitzt einen Schnitt punkt mit cler z-Achse.

(2) h verläuft parallel zur xz- Ebene .

(3) k verläuft parallel zur x-Achse.

Wie viele Durchstoßpunkte mit den Koo rdinatenebenen kann jede der Geraden haben? Begründen Sie, dass die Anzahl der ve rschiedenen Durchstoßpunkte nur f ür eine der Geraden eindeutig zu bestimmen ist.

Gn1nd,vissen 1. Bestimmen Sie die Nullstellen der Funktion: f (x) = 2x · (3x - x2 ) 2. Beschreiben Sie die Punktmengen geometrisch: a) alleTripel (Ol1lz)mit zelR b) alleTripel (2lylz)mit y, z e lR

y

l

262

6 Geraden im Raum

6.2

(Aufgaben)

Anwendungen mit Geraden

CI] Schatten eines Würfels Der abgebildete Würfel ist durch die Eckpunkte A(6 1410), 8{6 1610), D (41 4 10) und E(6 l412) festgelegt. Im Punkt L1 (4 14 14) ist eine Lampe befestigt, von der Lichtstrahlen ausgehen.

z

y

F C

i a) Berechnen Sie die Schattenpunkte und zeichnen Sie den Würfel und den Schatten des Würfels. b) Berechnen Sie die Schattenpunkte und zei chnen Sie den Schatten, wenn die Lampe i111 PunktL2 (5 l5l4) ist. c) Ze ichnen Sie den Schatten, wenn sich die Lampe im Punkt L3 (0 1014) befindet.

CTJ Landeanflug Landeanflüge von Flugzeugen müssen sehr präzlse sein, insbesondere, wenn die Landebahnen sehr kurz sind, z.B. auf I nseln. Ein Flugzeug soll auf einer Landebahn etwa im Punkt L (200110010) aufsetzen. Aktuell befindet es sich in der Position P (- 2450 l 630011050) und fliegt in 25 Richtung des Vektors = -60 -10 (Angaben in m). Wie weit ist das Flugzeug noch vom Landepunkt entfernt? In welchem Punkt setzt es auf der Insel auf, wenn es seinen Kurs nicht ändert? Welche Kursänderung schlagen Sie vor? Begründen Sie.

v

6.2 Anwendungen mit Geraden ( 263

(Basiswissen)

Mithilfe der Geradengleichungen können einfache Situationen beschrieben und beim Problemlösen genutzt werden.

Anwenden von Geradengleichungen Der idealisie rte Sinkflug eines Segelflugzeuges kann mithilfe einer Geraden im Koordinatensystem beschrieben werden. Dabei sind die Koordinaten in Kilometern angegeben und die Zeit t in Minuten. Das Segelflugzeug befindet sich im Punkt P(2, 714,6 10,8). Eine Minute später befindet sich das Segelflugzeug im Punkt Q(3,2 l 5,3 I0,7).

Mögliche Fragestellungen und Lösungen a) Geben Sie die Flugbahn des Segelflugzeugs an. Mit den Punkten P(2, 7 14,610,8) und Q (3,215,310,7) kann eine Geradengleichung in der Zwei-Punkte-Form, die die Flugbahn beschreibt, aufgestellt werden. ➔

2,7

g:x= 4,6 +t 0,8

0,5 0,7 -0,1

b) Zeigen Sie, dass das Segelflugzeug sich im Sinkflug befindet. Das Segelflugzeug befindet sich im Sinkflug, da die Flughöhe mit zunehmender Flugdauer abnimmt. Dies erkennt man an der negativen z-Komponente des Richtungsvektors. c) Bestimmen Sie die Koordinaten des voraussichtlichen Landepunktes. Mögliche Landepunkte liegen in der xy-Ebene, das bedeutet, dass die z-Koordinate des Landepunktes O ist . Da der voraussichtliche Landepunkt auf der Geraden g liegt, gilt ft.ir die 3. Komponentengleichung der Geraden: 0,8 - 0,1t=O ~ t=8. Somit wird nach 8 Minuten de r Landepunkt erreicht. 4

2,7

FürdenLandepunkt L gilt l = 4,6 +8 0,8

0,5

6,7

0,7 -

4,6 0

-0,1

Damit ist der Landepunkt L(6,7 l 4,6 I0). d) Berechnen Sie die Geschwindigkeit.

Mit der Länge des Richtungsvektors erhält man die Streckenlänge, die das Segelflugzeug pro Minute zurücklegt. 0,5

0,1 -01 ,

= ✓o,5 2 + 0,1 2 + { - o, 1 }2 = ✓o,75 ~ o,867

Für die Geschwindigke it gilt: 0,867

!7:i = 0,867 -60~

~ 52,0 ~

Das Segelflugzeug fliegt mit einer Geschwindigkeit von etwa 52 k:f-.

l

J

l 264 ] 6 Geraden im Raum

(Übungen)

~

CI] Flugroute Die Position eines Flugzeugs wird zum Zeitpunktto durch P(3,1 l4,5I 0,6) dargestellt. Es bewegt sich in einer Minute um

v=

0,3 0,4 0,1

{Angaben in km ).

a) Geben Sie die Koordinaten des Flugzeugs nach 3min an. b) Befindet sich das Flugzeug im Sinkflug? c) Mit welche r Geschwindigkeit fliegt das Flugzeug?

CI] Tauchboot Positionen von Tauchbooten lassen sich durch Punkte im Raum beschreiben. Die Wasseroberfläche liegt dabei in der xy-Ebene. Ein Tauchboot befindet sich in der Position P (413 I- 367 I- 215). Es bewegt sich auf einem Kurs entlang des Vektors

v=

- 84 100 . Im Punkt H {-17513331-229) wird ein Hindernis geortet. Soll das Schiff sei-

-2 nen Kurs ändern? Begründen Sie anhand einer Rechnung.

IT) Schiffswrack ~ _.___.• ~~!,!"'•!

Ein Tauchboot wird im Punkt S{-213 1107 IO) zu Wasser gelassen, um eine Expedition zu einem Schiffswrack zu unternehmen, das in der Position W {1013 I 40821 - 350) auf dem Meeresboden liegt. Das Tauchboot bewegt sich geradlinig und mit konstanter -4

14 9

Geschwindigkeit. Die Bewegung pro Minute lässt sich durch den Vektor b = beschre iben {Angaben in m). -7

a} Mit we lcher Geschwindigke it bewegt sich das Tauchboot? Nach welcher Zeit erreicht es die Tiefe des Schiffswracks? b) Die Suchscheinwerfer des Tauchboots haben eine Reichweite von 90 m. Ist das Schiffswrack von der Stelle aus sichtbar, an der das Tauchboot den Meeresboden erreicht?

ffi Passagierflugzeug Ein Passagierflugzeug befindet sich zu einer11 bestimmten Zeitpunkt in der Position A {- 1010 l 960 l 8600). Fünf Sekunden später befindet es sich in der Position B{178 1217 18710) (Angaben in m ). Ermitteln Sie die Position, in der sich das Flugzeug nach weiteren 20 Sekunden befindet, sofern es mit der gleichen Geschwindigkeit geradlinig we iterf liegt. Mit we lcher Geschwindigkeit bewegt es sich fort?

CIJ Flugbahnen

v

0

Ein Flugzeug startet i111 Punkt P (4 1010) und f liegt geradlinig in Richtung = 1 . a) Beschreiben Sie die möglichen Flugbahnen in Abhängigkeit von k. k b) Für welchen Wert von k schrammt das Flugzeug die Spitze einer Pyramide S {4 l 5 14)? c) Geben Sie die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von k an, wenn t in Stunden gemessen wird. Begründen Sie, warum hier kein sinnvolles Maß für die Geschwindigkeit ist.

(TI Baumschatten Legt man ein Koordinatensystem {Längeneinheit 1 m} über ein ebenes Gelände, so befindet sich der Fußpunkt eines gerade gewachsenen Baumes im Punkt F{- 1 l 5 I0). Haben die Sonnenstrahlen die Richtung

v=

1

-1 , so wirft die

-3

Spitze des Baumes ihren Schatten auf den Punkt S'(2 l2 I0). Bestimmen Sie die Höhe des Baumes.

6.2 Anwendungen mit Geraden [ 265 )

Exkurs Licht und Schatten Wo Licht ist, ist auch Schatten! Wenn ein undurchsichtiger Gegenstand beleuchtet wird, entstel1t ein Schatten auf dem Boden oder an einer Wand Diese Lichteffekte werden in der Computergrafik genutzt, um ein möglichst realistisches Bild zu erzeugen. Aber wie werden solche Schattenbilder in die Sprache der Zahlen übersetzt, um sie zu berechnen und auf dem Bildschirm darzustellen? Lichtstrahlen kann man als Geraden auffassen und die Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen berechnen. Die Punkte auf der xy-Ebene haben die Koordinaten (x Iy 10). Parallelprojektion

\ \\

'

Zentralprojektion

•

\'

-,.. ,

1

f-i

\\\ / --,

-

~ -t.

/

•

_,L_

Je nachdem, ob die Lichtstrahlen parallel sind (wie z. B. Sonnenlicht) oder von einem Punkt ausgehen (z. B. von einer Lampe), spricht man von Parallelprojektion oder Zentralprojektion.

( Übu11gen )

ffi Projektionen Die Punkte A (3 1212), B (61 4 14) und C (013 13) sind die Eckpunkte eines Dreiecks. a) Parallelprojektion b) Zentralprojektion 1 Das Dreieck wird in Richtung = 1 Das Dreieck wird vom Punkt L(212 l6) auf die xy-Ebene projiziert. -2 auf die xy-Ebene projiziert. Die Bildpunkte in der xy- Ebene haben Berechnen Sie die Koordinaten der Bild-

v

die Form {x Iy 10). Berechnen Sie die Koordinaten der Bildpunkte und zeich-

punkte und zeichnen Sie das Dreieck und sein Bild.

nen Sie das Dreieck und sein Bild . z

A

J

~ 266] [ 6 Geraden im Raum

( Übu11gen)

[IQ] Schatten einer Pyramide 2

Eine quadratische Pyramide mitA(814IO), 8(818 10) und S (6 l 6 l 5) wird von der Sonne beschienen.

s y

a) Morgens steht die Sonne so, dass die Spitze Sauf der xy-Ebene den Schattenpunkt S1 (14117 10) erzeugt. Stellen Sie die Pyram ide und ihren Schatten in1 „2- 1- Koo rdinatensystem" dar. b) Am Nachmittag steht die Sonne so, dass die Spitze Sauf der xz-Ebene den Schattenpunkt S2 (10 10 12,5) erzeugt. Erklären Sie anhand der Zeichnung, wie die Schattenpunkte S3 und S4 bestimmt werden können. Stellen Sie die Pyramide und ihren Schatten im „2- 1-Koordinatensystem" dar.

(JI) Schatten eines Turmes Ein Turm mitA(614IO); 8(616 10); D(414IO); E{6 14 13); S(51516)stehtvor einer Wand {die xz- Ebene), die Sonne sche int und erzeugt einen Schatten des Turms an der Wand und auf dem Boden. Die Richtung der Sonnenstrahlen ....

2

2

,, 1

~--

,,,,.,,,' 1

E

1

1

1 1 1

3

Berechnen Sie die Schattenpunkte. Zeichnen Sie den Körper mit dem Schatten im Koordinatensystem.

r y

1 1

ist gegeben durch den Vektor v = -3 -1

--- G

5

Dl __

-- C

,,, ......

A

2

B

ill) Schatten eines Dreiecks Applet eA-6.2- 12

z Das Dreieck ABC mit A{1 1310); B(-11310); 2 C(Ol312) wird von einer sich bewegenden Lampe beleuchtet und wirft einen Schaty ten auf die xz-Ebene. Die Positionen der 12 - 12 -8 Lampe werden durch die Punkte -2 Lk(3 kl6-kl0) beschrieben. a) Skizzieren Sie das Dreieck und einige -4 Positionen der Lampe. Auf welcher Bahn bewegt sich die Lampe? b) Skizzieren und berechnen Sie die Schattenpunkt e, die das Dreieck für k = 1, k = -1, k = - 2 und k = 2 auf die xz- Ebene wirft. Auf welcher Geraden liegen die Eckpunkte C' des Schattens für be liebige k? c) Beschreiben Sie den Schatten für beliebiges k.

Grtmd,visse11

1. Lösen Sie die Gleichung: x2 + 6x + 5 = 0 2. Beschreiben Sie die Seiten des Quadrates ABCD als Vektoren. Durch welche Vektoren können Sie die Diagona len beschreiben?

6.2 Anwendungen mit Geraden [ 267 ]

Exkurs Kannst dt1 deinen Augen trauen? Camcarpets Spannend wird es beim Fußball vor allem im Strafraum. Das haben auch Werbefachleute erkannt Auf ihrer Suche nach immer neuen Möglichkeiten, Werbebotschaften auf und rund 11m das Spielfeld zu platzieren, haben sie den Bereich links wid rechts des Tors für sich entdeckt. Doch gewöhnliche Bandenwerbung ist dort problematisch: Spieler können darüber stürzen und sich verletzen. Die Schriftzüge und Abbildungen würden zudem von den TV-Kameras, die auf den seitlichen Tribünen stehen, nur verzerrt aufgenormnen. Mithilfe der analytischen Geometrie lassen sich hier aber beeindruckende Lösungen finden. Rutschsichere Kunststoffbahnen werden bedruckt und neben den Toren ausgelegt. Der Fernsehzuschauer gewinnt den Eindruck, dass die Schriftzüge aufrecht stehen, docl1 dies ist eine optische Täuschung. Die Geometrie des Aufdrucks, der Kamerastandort und die Position der Camcarpets sind genau aufeinander abgestimmt, sodass die Illusion nahezu perfekt ist. Nur wenn der Winkel stimmt, sieht der Fernsehzuschauer einen dreidimensionaJen Werbebanner und nicht den eigentlichen flachen Teppich. Auch für den Zuschauer im Stadion wirkt der Werbebanner dreidimensional, wenn er in der Nähe der Kamera sitzt, die auf den Camcarpet gerichtet ist. Doch für alle Zuschauer, die nicl1t in der Näl1e der Kamera. sitzen, wirken die Werbeteppiche verzerrt und verlieren ilire Wirkung.

Camcarpet ist ein Kunstwort, das aus den englischen Begriffen Camera und Carpet (Teppich) zusammengesetzt wurde.

r

Mathematisches Modell

Die Abbildung zeigt ein einfaches Modell der Situation anhand des Buchstabens „A". Das Tor und da s „A" sind in der yz-Ebene. Die Kamera, die auf das Tor gerichtet ist, befindet sich im Punkt K (10 10 16). Bestimmen Sie die Koordinaten der Bildpunkte des Buchstaben A auf dem Camcarpet. z 1

K(i 01016)

•

P(O 1212)

2

'j,

1

t ----

,

,. 2

:.

Weiterführung

Erstellen Sie für weitere Buchstaben (z. B. L, E, F, K, Z) die Koord inaten der Bildpunkte auf dem Camcarpet.

y

268

6 Geraden im Raum

6.3

(Aufgaben)

Tipp zt1 c) Der Schnittpunktansatz führt auf ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und den Variablen r und s. Man bestimmt r und s und berechnet den Schnittpunkt.

Lagebeziehungen von Geraden

CIJ Lagebeziehungen von Geraden in der Ebene In der Ebene sind Geraden identisch, parallel oder sie schneiden sich in einem Punkt. a) Entscheiden Sie ohne Rechnung, bei welchen der Geradenpaare es auf jeden Fall genau einen Schnittpunkt gibt. Begründen Sie Ihre Entscheidung. Begründen Sie, warum in den beiden anderen Fä llen die Geraden parallel oder sogar identisch sind.

h1:

x = ( i) + r [ - ~)

h2: X =

(-i l+ S( !)

b) Überzeugen Sie sich von der Richtigkeit Ihrer Antworten in Aufgabe a) indem Sie die Geradenpaare in je ein Koordinatensystem zeichnen. c) Eines der Geradenpaare besitzt einen Schnittpunkt. Bestimmen Sie diesen rechnerisch mit dem Schnittpunktansatz + r Ü = + s

p

q v.

[TI Geraden im Raum

z

Betrachten Sie Geraden durch Eckpunkte eines Würfels. Beschreiben Sie unterschiedliche Lagebeziehungen. Wo liegt ein Unterschied zu Geraden in der Ebene? Beschreiben Sie die Lagebeziehung der Geraden g, die durch die Punkte Bund H verläuft, zur Geraden h durch die Punkte A und C.

1

H .A-- - - - , tG

E:---l'--l----,.4,-,,-......-:::----1--1-

F

D

r... -- -

[D Lagebeziehungen von Geraden im Raum Beurtei len Sie die Lagebeziehung der Geradenpaare.

g2: x=(-i)+s(=!)

h2:x-( =j)+ s(=i)

h=x=(-!)+s(-~)

kz:x =(-f)+s( :!)

a) Klären Sie zunächst mithilfe der Richtungsvektoren, ob zwei Geraden para llel zueinander oder identisch sind. Benutzen Sie zur eindeutigen Klärung die Stützpunkte der Geraden. Führen Sie den Schnittpunktansatz + r = + s durch, wenn die Geraden weder parallel noch identisch sind. Es entsteht ein lineares Gleichungssystem.

p uq v

Lösen des LGS zu Fuß Was ist besonders an diesem LGS? Lösen Sie das LGS zu Fuß. Wa rum müssen für ru nd s gefundene Werte noch übe rprüft werden?

Lösen des LGS mithilfe des GTR Das LGS fü hrt auf eine 3x3 Matrix. Überführen Sie die Matrix mithilfe des GTR in Diagona lform. (rref) Übersetzen Sie die Ausgabe in Glei chungen und klären Sie da mit die Lagebeziehung.

p

q v

b) Für Rechnerexperten : Führen Sie den Schnittpunktansatz + rü = + s ohne vorherige Betrachtung der Richtungsvektoren mithilfe des GTR durch. Übersetzen Sie die Ausgabe in Gleichungen und klären Sie damit die La gebeziehung der Geradenpaare.

6.3 Lagebeziehungen von Geraden [ 269 )

( Basiswissen )

Lagebeziehungen zweier Geraden im Raum Geraden im Raum können para lle l sein oder sogar ident isch. Sie können aber auch einen Schn ittpunkt besitzen oder keinen. Geraden, die ke inen Schnittpunkt bes itzen , aber auch nicht parallel sind, nennt man windschief.

Lagebeziehung an den Geradengleichungen erkennen .....

Geraden g: x

.....

->

=p + ru

->-4->

und h: x

ra ll 1: Die Richtungsvektoren

=q + s v

u,v

sind kollinear , also Ü = tv

parallel

identisch

Der Punkt P Liegt nicht auf h.

Der Punkt P Liegt auf g und h. h

g

h

g Fa ll 2: Die Richtungsvektoren Ü, •

Schnittpunktansatz:

-4

.....

v sind nicht kollinear.

->

-4

p + ru = q +sv

Schnittpunkt Es gibt rund s, sodass der Schnittpunktansatz erf üllt ist.

g h

windschief Es gibt kein rund s, sodass der Schnittpunktansatz nicht erfü llt ist.

g h

Algebraische Verfahren zur Bestimmung des Schnittpunktes Der Schnittpunktansatz + rÜ = + s liefert ein überbestimmtes Gleichungs-

p

q v

system m it drei Gleichungen und zwei Variab len. • Lösen zu Fuß: Aus zwei Gleichungen rund s berechnen und prüfen, ob diese auch zur dritten Gleichung passen. Ist dies der Fall, so besitzen d ie beiden Geraden genau einen Schnittpunkt, sonst sind sie windschief. • Lösen mit dem Gaußalgorithmus und GTR: Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist eine 3x3- Matrix. Mit dem GTR- Befehl rref entsteht eine Matrix in Diagona lform . An der Diagonalform kann die Lagebeziehung der Geraden abgelesen werden. 1 0 -1 0 1 2 0 0 0

I

r = -1

II

s= 2

III wahre Aussage

1 0 0 0 1 0 0 0 1

I

r =0 II s = 0 III falsche Aussage

I, II geben mögliche Werte für rund s an. I, II geben mögliche Werte fur r und s an. III gibt durch wahre Aussage an, dass rund s auch III erfüllen. Die Geraden schneiden sich.

III gibt durch falsche Aussage an, dass es keine Lösungen gibt Die Geraden sind w indschief zueinander.

~ l 6 Geraden im Raum

[Beispiele)

IT] Lagebeziehung von zwei Geraden per Hand untersuchen Bestimmen Sie die Lage der Geraden g:

x

-1 = 4

-2 + r 1 und h:

9

4

x

identisch 3 = 2

+s

1

4

-2

-8

Lösung: 4 -2 Die Richtungsvektoren sind kollinear, da -2 = -2 1 . -8 4 Somit sind die Geraden zueinander para llel oder identisch. -1 3 4 4 = 2 +s -2 . Für s=-1 9 1 -8

LiegtP(-11419)auchaufderGeradenh?Punktprobe:

sind alle Gleichungen erfüllt. Somit liegt P auf h. Die beiden Geraden sind identisch.

ffi Lagebeziehung von zwei Geraden per Hand untersuchen - Schnittpunkt Bestimmen Sie die Lage der Geraden g:

x=

4 1

+r

2

-2 3

und h:

1

x=

1 5

+s

-2

-1 1

-5

Lösung: Da die Richtungsvektoren nicht koUinear sind, sind beide Geraden nicht parallel zueinander und somit auch nicht identisch. _ _1 4 1 2 Gibt es einen Schnittpunkt? Schnittpunktansatz: 1 + r 3 = 5 + s 1 . 2

1

-2

-5

Lineares Gleichungssystem I 4 - 2r= 1 - s II 1 + 3r = 5 + s III 2 + r = - 2 - 5 s

Lösen des linea ren Gleichungssystems per Hand I - 2 r + s = - 3 I + II r = 1 II 3r - s= 4 in II s = - 1 III r + 5 s = -4 rund s für III prüfen ; r=1 und s= - 1 erfüllenIII . Das Gleichunssystem ist lösbar. r = 1 eingesetzt in g liefert den Schnittpunkt: S(214 l 3). Zusätzliche Probe: s = -1 in h eingesetzt, Li efert auch S (214 l 3).

Cf] Lagebeziehung von zwei Geraden mit GTR Bestimmen Sie die Lage der Geraden g:

windschief oder Schnittpunkt 4 -2 5 -1 = 1 + r 3 und h: = 3 +s 1

x

2

x

1

-1

-5

Lösung: Da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, sind beide Geraden nicht para llel zueinander und somit auch nicht identisch. Gibt es einen Schnittpunkt? Schnittpunktansatz: 4 1 2

-2 5 +r 3 = 3 1 -1

-2

1

3

-1 2

.1

( Übt1ngen )

~

S

1

.

-3

rref

-1 +s 1 -5

-2 -1 5 r 3 - s 1 = 3 1 -5 -1

~

4 1 2

~

-2 r 3 1

1 1 +s - 1 = 2 5 -3

Die dritte Gleichung liefert die falsche Aussage O = 1. Das lineare Gleichungssystem hat also keine Lösung. Die beiden Geraden sind zueinander windschief.

1 0 0 0 1 0 0 0 1

CIJ Sich schneidende Geraden Berechnen Sie die Koord inaten des Schnittpunktes der beiden Geraden. -+

a) g: x

=

1

1 -+ o + r 1 ; h: x 1 -2

=

1

2 o +s 2 0 -3

-+

b) g: x

=

-1 6 10

+

1 -+ r -3 ; h: x -4

=

2

-1 s + s -1 2 2

CTJ Vier Geraden - Geradenpaare untersuchen Bestimmen Sie die Lage von jeweils zwei Geraden und berechnen Sie ggf. die Koordinaten des Schnittpunktes. -+

0

1

-+

4

1

-+

0

-+

g 1: x = 1 + k 2 , g2 : x = 2 + r 2 , g3 : x = s 1 und ~: x 1

0

2

0

1

=

4

2 2

+t

0 1 1

6.3 Lagebeziehungen von Geraden ( 2 71 ]

(Übungen)

~

IT] Geraden zuordnen Gegeben sind die Gerade g:

-3

4

k: x =

+k

2

-2 1

x==

4

l x=

und

-3

-2

2 +g 4

-3 2

und die Geraden h:

1 5

x=

-3 2 4

+h

-2 1 , 0

-2

+l

1 . Welche der Geraden h, k, l ...

0 5 0 0 ... schneidet die Gerade g im Stützpunkt {-312 14), ... ist pa rallel zu der Geraden g und ver läuft durch den Punkt P (-3 l 2 J 0),

... ist windschief zu der Geraden g?

~

CTJ Besondere Geraden gesucht Konstruieren Sie zur Geraden g: x =

2

3

+r

3

-1

4

... parallel sind zu g, ... w indschief sind zu g, überprüfen Sie d ies auch rechnerisch .

~

jeweils verschiedene Geraden, die ...

2

... mit g einen Schnittpunkt haben.

(TI Lage von Geraden a) Welche der Geraden b oder c ist zur Geraden a parallel7 1

4

1

4

a: x = 2 + r o ; b: x 3

=

2

2 4

1

4

+ s o ; c: x =

6

2

1

2

2

+t o

3

4

b) Welche der folgenden Geraden ... sind zueinander parallel, ... schne iden sich, ... sind windschief zueinander? 4 1 -2 4 0 -2 4 1 1 g: x = 2 + r o ; h: x = o + s o ; k: x = 2 + t o 3 1 1 1 3 -2

CI) Lage von Geraden im Pyramidenstumpf a) Welche Lagebez iehung liegt bei den Geradenpaaren jeweils vor?

g,: h1

6 X = 6 0

....

.... : x ==

1 +r O 0

6

6 0

+r

g2:

4,5 X = 4,5 3

4

+S

-1,5

1 ,5

-1,5 3

+ s -1 ' 5

-3 o +r 3 0 6

3

-1 5

6

.... k :x = 1

3 0 0

6

0 o +r 1 0 0

'

+s

1,5 3

1

+s o 0 z

b) Die Geraden in Teil a) gehen durch Kanten im Pyram idenstumpf. Zeichnen Sie die Geraden in d ie gegebene Abbildung

1

ein. Der Schnittpunkt S von zwei dieser Geraden ist die Spitze der Pyram ide. Ze igen Sie rechnerisch, dass weitere ,.Kantengeraden" sich in S schneiden.

t X

(JQJ Dreieck im Raum Die Geraden g, h und k bilden ein Dreieck im Raum. Berechnen Sie die Koord inaten der Eckpunkte und die Seiten längen des .... 4 2 4 2 g: x = - 1 + r 4 ; h: x = 1 + r 2,5 4,5 6

Dreiecks. 4 5 ;

5

....

k: x

=

-2 -4

4 + r -1

1

-3

272]

(6

Geraden i.tn Raum)

( Übungen )

GD Parameteraufgaben b) Bestimmen Sieb so, dass S (11213) Schnittpunkt der Geraden g und h ist.

a) Bestimmen Sie a so, dass die Geraden g und h sich schneiden.

g: ➔X = ( 1 + r 2 a -2

2)

_.

1

2

--+

g: X

3

h: X = 1 + s 1 2 6

g:

= 0 +r

X

3

3

1

2

b

4

1

*

d) Zeigen Sie, dass für d 1 die Geraden g und h keinen gemeinsamen Punkt haben.

1

2

-2 +r 0

h:x = 2 + s o

c) Bestimmen Sie c so, dass g und h identisch sind. ➔

=

1 2

g:

2

--+

X

1

0

3

1

= 2 +r 2

-1 --+

h:x=

d 0 2 +s-1 3 2

@) Lagebeziehung mit CAS Mit einem CAS kann die Lagebeziehung von zwei Geraden im Raum auch algebraisch mit dem Gleichungslöser solve untersucht we rden. .

-2-r

1-1 vg3(t):• 1 -2+2· l

Fertig

vgl(t):• l +t • 1+3· l

1+2· s vg2(s):= -3-2· s

?-6· - $

Fertig

Fertig

Fertig

2

vg1(s):= - 1-2· s .

solve(vg 1(r)--vg2(s),{t,s })

solve(vg3{1)•vg 4(s),{c,s })

false

2+t vgS(r):• _1_3 . r -3+2· t

1+2· t

Fertig

false

Fertig

vg7{t):= -2+t .1-3· t -

•

4-3· s vg6(s):a -7+9· s 1-6· s

-1+2· s vg8(s):= -2+2· s

Ferrig

Fertig

2-S· s

solve(vg7(,)-vg8(s),{t,s })

solve(vgs(t)-vg6(s), { r,s })

-(,1-2)

s-- - and t•Cl

s•- 1 and t•- 2 "

vg7(-2)

3

-3 -4 7

Welche Lagebeziehung Liegt jeweils vor? Mit we lcher Zusatzüberlegung kommt man be i g 1/ g2 und g3 /g4 zum Ergebnis? Interpretieren Sie die Ausgabe bei g5/ g6 .

(ID Parallelität und I dentität mit Schnittpunktverfahren Welche Diagonalformen von Matrizen erhält man, wenn man mit dem Schnittpunktverfahren und dem Gauß-Algorithmus parallele oder identische Geraden untersucht? .

_.

{1) g1: X =

-2 1

+r

1

4

(2) h1: x =

-2 1 1

+r

1 2 -3 + r -2 2 -6 -4

1 2 0

rref

0 0 1 0 0 0

rref

1 1 2 0 0 0 0 0 0

1

3 + r -1 7 -3

Erzeugen Sie mit dem GTR jeweils die Diagonalformen. Begründen Sie damit die jeweilige Lagebeziehung.

6.3 Lagebeziehungen von Geraden [ 273

( Basiswissen ]

Parallelität und Identität von zwei Geraden direkt an der M atrix erkennen An der Diagonalfor111 der erweiterten Koeffizientenmatrix, die man beim Schnittpunktverfahren erhält, können Para llelität und Identität zweier Geraden abgelesen werden. •

~

Schnittpunktansatz: p

➔~

➔

+r u = q + s v

Die Geraden sind parallel zueinander. 1 2 0

0 0 1 0 0 o_

Die Geraden sind identisch.

I r+2s=O II falsche Aussage III wahre Aussage

r - 05s= - 1 1 II wahre Aussage III wahre Aussage

I gibt an, dass rund s ab hängig sind. Die Richtungsvektoren sind kollinear.

I gibt an, dass rund s abhäng ig sind.

II gibt durch fa lsche Aussage an, dass

II, III geben durch wahre Aussagen an,

Die Richtungsvektoren sind kollinear.

es keine Lösungen gibt.

(Beispiele]

I

1 - 0.5 - 1 0 0 0 0 0 0

dass es unendlich viele Lösungen gibt.

(I) Lagebeziehung von zwei Geraden aus der Diagonalform der Matrix ablesen Lesen Sie aus den Diagona lformen der Matrizen die Lagebeziehung ab. 1 0 0 0 1 0

_o o Lösung:

1

I r =0 II s= 0

r = 4s

I

.o

O 0

III falsche Aussage

II fa lsche Aussage III wahre Aussage

II wahre Aussage I II wahre Aussage

r= 2 II s = -3 III wahre Aussage

windschief

parallel

identisch

Schnittpunkt

(1) Eine Zei le

I

_o o o

0 0

0

1 0 2 0 1 -3

1 2 4 0 0 0

1 -4 0 0 0 1

I

r= - 2s+4

IIO o 11I gibtdurchdiefalscheAussage0=1 an,dasseskeinelösun-

gen gibt. Somit gibt es keine Schnittpunkte. (2) Eine Zeile m it z.B . 111 2 41 1gibt an, dass rund s abhängig sind. Somit sind die Richtungsvekto ren kollinear.

(Übungen)

(li) Windschiefe oder sich schneidende Geraden Die beiden Fä lle (A) und {B) sind in Matrix und Diagonalform (1) und (2) übersetzt: (A) Geradenpaa r g 1 /g2

{1) Matrix

-4 + s -2

2

-6 2 -3 4

1 3 -6

6

(B) Geradenpaar h 1 / h 2

Diagonalform

rref

15

2

-4

-1

+ s -2

16

6

1

0

1

1

-2

0

0

Diagonalfo rm

4 0 2 -1

3 -6

0 0

{2) Matrix

-5

1

1

rref

1

0

0 0

1 0

0 0 1

Welcher Fall gehört zu welchen Matrizen? Woran erkennt man dies? Bestimmen Sie im Fall der sich schneidenden Geraden den Schnittpunkt.

[!D Geraden zu Diagonalform Bestimmen Sie zu den Diagona lformen jeweils zwei passende Geraden. Überprüfen Sie Ihre Lösung. a) 1 o 1 0 1 -2 0 0 0

oo

c) 1 1 2

0 1 0

0 0 0

0 0 1

000

b) 1

d) 1 2 1 0 0 1 0 0 0

J

( 274 ) (6 Geraden im Raum)

( Übu11gen )

(}D Raumdiagonalen im Quader a) Offensichtlich schneiden sich die vier Raumdiagonalen im Mittelpunkt des Quaders. Weisen Sie dies rechnerisch nach. Wie zeigt sich das am Gleichungssystem? b) Schneiden die beiden eingezeichneten Raumd iagonalen die eingezeichnete blaue Gerade? Wie zeigt sich das am Gleichungssystem?

t

l -

t

~ ~ . .::::±=-~ t6'itu4Hr70\1\=~1- +--+---t-+---t-- ,

p=

1 0 - V3 Q

1

_ 1 · X + (- : 3 ) • Z

Vz

--

1 · y + (- ::) · z

-

V3

Abbildungsmatrizen Parallelproj ekti on auf di e xy- Ebene

Parallelprojek tion auf di e xz- Ebene

1 0

A= 0

(Beispiele)

-~ Vl Q Vz; V3'F 1 -vl -

Parallelprojektion auf die yz- Ebene -~ 1 0

A=

A=

W

v,

V3

-Y1 - 0

Projektion auf xz-Ebene Projizieren Sie den Punkt P(4 l 6 l 5) para llel in Richtung des Vektors xz- Ebene.

v=

;

1

Vl j=

0

4

auf die

2

-3

Lösung: 1

Die dazugehörige Abbildungsmatrix ist: A = { Für den Bildpunkt P' gi lt: A . = o

p fi

-23 0) 1 2

Der Bildpunkt von P ist P'(- 8 10 114).

Werkzeltg Matrix-Vektor-Multiplikation

GTR

CAS

CAJ 1

[0

-2 0] 1.5 1

1

ma:= 0

4 6 5 . .. ..... .. .. .... ... ... .. ............. .......... ... ......

[R J,1 [BJ

.,.,

-

')

• • ••• ••• • •• •• •• ••• • • ••• • • •• • ••• ••• • • • • • •• •• • •••• • ••• •

[8]

_,-

-

" r

.

1 -2 0

1

-2

.,

0 .

"

J

1 . r

6

4 6

„s

s

4 lp! =

0

,na· vp

[~:]

280

l l6 Geraden im RaumJ (Übungen)

'""21 Punkt projizieren ~ Der Punkt P {21213} wird para llel in Richtu ng proji ziert. a} Bestimmen Sie die Abbildungsmatrizen.

v=

-1

-1

auf die drei Koo rdinatenebenen

-2

b} Berechnen Sie die Bildpunkte von P.

ffi Projektionen in xz- und yz- Richtung Le1ten Sie die Abbildungsmatrizen für Para llelprojektionen in beliebige Richtung in die xz- und yz-Ebene he r (vgl. Basiswissen).

C]J Würfel projizieren Der Würfel ABCDEFGH m it der Kantenlänge 4 wird para lle l in Richtung

v=

z

-2

•

6

1 1

auf die yz-Ebene projiziert.

a} Best immen Sie d ie Abbildungsmatrix. b} Berechnen Sie die Bildpunkte und zeichnen Sie den projizierten Würfel.

CI] Abbildungsmatrix bestimmen Bei einer Parallelprojektion in die xy-Ebene wird der Punkt P {4 11 15) auf den Bildpunkt (-6 116 10) abgebildet. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix.

W

Richtungsvektor bestimmen Eine Parallelprojektion in der yz- Ebene ha t die Abbildungsmatrix A. Bestimmen Sie für

die Pa rallelprojektion den Richtungsvektor ren v?

v. Warum erhält man unendlich viele Vekto-

➔

a) A = (-,3

6 ~)

b) A = I 1

1 0

1-1

o) 1

2 c) A = ( 0,5

1 0) o 1

IT) Quader projizieren Der Quader ABCDEFGH m it den Ecken A(4[0 10), C(O l 5IO), D(O[ 0 10), H(Ol013) wird parallel proj izert. a) Best immen Sie d ie Koo rdinaten der weiteren Punkte des Quaders. b} Ze ichnen Sie das Schrägbild des Quade rs, das Sie mit de r Abbildungsmatrix erhalten. Was pass iert durch die Abbildungsmatrix? (1)A=(g

6 ~)

(2)A=(~

6 ~)

-0,5 (3 )A -( - -0,5

1

0

o) 1

(]J Pyramide projizieren Gegeben ist eine quadrat ische Pyram ide mitA(4 IOIO), 8(414 10), C(Ol 4 I O), D (0 1 0 1 0) und S {2 1 2 i 6). Berechnen Sie die Koord inaten der Punkte eines Schrägbildes der Pyramide in der

z

6

-- 4

s

yz-Ebene, die durch die Abb ildungsmatrix A={

6 6 ?)entstehen.

y 6

8

6.4 Projektionen ( 281 ]

[D Turm projizieren vgl. 6.2 Aufgabe 11 Seite 266

2 1

Ein Turm mit A {61 4 1O); B (61 6 I 0); D(4 l 4 I O); E (61 4 l 3); S {5 15 l 6) wird von der Sonne beleuchtet. Die Richtung der Sonnenstrahlen ist gegeben durch den Vektor

v

1

' ' 1

I 1

E

'

Dl __

C

B

, IH

•--- -

G

, 1

E

k

V =

--

5

z

Ein Turm mit A{61410); B(61610); D(4 14 IO}; E{6l 4 13}; S(5l5 l 6)wirdvonder Sonne beleuchtet. Die Richtung der Sonnenstrahlen ist gegeben durch den Vektor -+

y

1 1

,.," A 2

G

F

1 1 1

-1

(IQ] Turm projizieren - dynamisch eA-6.4-10

- --

,,.," 1

1

2 = -3 . Bestimmen Sie den Schatten auf

der xz-Ebene als Projektion und skizzieren Sie den Schatten im Koordinatensystem.

Applet

H's.--

-3 .

1 1

F

1

___ 1t_ ___ _ __

-1

y

1

a) Ermitteln Sie den Schatten auf der xz:o ,,. C •--,,,, Ebene als Projektion und skizzieren Sie A B für k=1,k=3undk=4 dieSchatten. b) Geben Sie die Punkte des Schattens auf der x-Achse an. Die linke Kante des Schattens ist manchmal das Bi ld von AE und manchma l das Bild von BF. Finden Sie die ü bergänge.

-

mJ 2D-Bildkoordinaten Die Darstellung eines geometrischen Objekts auf einem Blatt Papier oder dem Computerbildschirm ist eine Projektion des dreidimensionalen Raumes in die zweidimensionale Ebene. Um das Schrägbild mit dem Computer darstellen zu können, müssen die Raumkood inaten geeignet in 2D-Koordinaten umgerechnet werden. Dies ist natürlich abhängig vom verwendeten 3D-Koordinatensystem (hier „2-1-Koordinatensystem"). a} Ze ichnen Sie den Punkt P (51613) in das räumliche Koord inatensystem und lesen Sie die Bildkoordinaten im zweidimensionalen Koordinatensystem ab. b) Berechnen Sie für die Punkte (20 l 35 170) und (150 l - 241160) die 2D-Bi ldkoordinaten. c) Bestätigen Sie, dass für die allgemeine Berechnungsformel gilt: Jede Einheit in Richtung der x-Achse ist (i m 2D-Koordinatensystem) eine halbe Einheit nach links und eine vierte l Einheit nach unten; also in Richtung

v

1 = -0,5 . -0 25 '

Es gelten also für die Koordinaten des Bildpunktes folgende Abbildungsgleichungen: x' = o x' = 0 · x + 0 -y + 0 · z y'= - 0,5x+y ➔ y' = - 0,5 -x+1 ·y+O·z z' = -0,25 · x + z z' =- 0,25 · x + 0 · y 1 · z d} Bestimmen Sie die Abbildungsg leichungen für ein „ 1-1-Koordinatensystem". Grimd,vissen

1. Ein Tauchboot bewegt sich nahezu konstant pro Minute um den Vektor Ändern Sie genau eine Koordinate so, dass es sich um einen Tauchvorgang handelt und sich das Boot dabei a) mit der gleichen Geschwind igkeit bewegt, b) mit der doppelten Geschwindigkeit bewegt.

2

v= 1 . 2

282

[ 6 Geraden im Raum]

Projektionen Jede Darstellung eines räumlichen Objekts auf einem Blatt Papier oder einem Bildschirm ist zweidimensional. Die 3D-Koordinaten müssen ztmächst in 2D-Koordinaten transformiert werden, bevor die Objekte gezeichnet werden können. Dies kann je nach Situation und Ziel unterschiedlich realisiert werden . 1n diesem Buch wird fast immer die sogenannte Kavalierprojektion benutzt. Dieser Begriff stammt aus dem mittelalterlichen Militärwesen. Kavaliere (Reiter) sind Aufbauten auf den Festungsanlagen gewesen, clie in dieser Art der Darstellung (,,von vorne betrachtet") unverzerrt gezeichnet worden sind. In einer anderen Situation möchte man z.B. den Grundriss eines Gebäudes in seinen Abmessungen und Winkeln darstellen. Dabei kommt es darauf an, dass die Basisvektoren der ersten und zweiten Achse dieselbe Länge haben und orthogonal zueinander sind Diese Militärprojektion wird häufig bei Gebäuden oder anschaulichen Stadtplänen verwendet. Will man alle Längenverhältnisse unverzerrt darstellen, benutzt man die Isometrie. In dieser Darstellung wird der Umriss einer Kugel als Kreis dargestellt. In technischen Zeichnungen wird häufig auch die Dimetrie verwendet , in der keine Achsen zueinander senkrecht stehen. Kavalierpro jektion

Militärprojektion

Isometrie

1350 0,2

1 115°__._

____

1

90°

1 1

1 __,....._ 97,18 1

120° .....-..... 20

1

0,56

N1ilitärprojektion

(Übt1ngen)

Dimetrie

Isometrie

[!D Projektionsmatrizen a) Die vier A bbildung smatrizen für die vier unterschiedlichen im Exkurs beschri ebenen Projekti onen sind hier notiert. Ordnen Sie die jeweilig en Abbi ldun gen passend den Projekti onen zu.

M = {- cos (30°) 1

cos (30°) - sin (30°) - sin (30°)

M - { - 0 ,5 - cos(41 ,41 °) 3-

o)

-(-0,5 1 01) - 0,25 o

M2 -

1

cos (7 ,18°) - 0,5 -sin (41,41 °) - sin (7,18°)

o) 1

- cos (45°) cos (45°) M4 = { - sin (45° ) - sin (45° )

b) Entwerfen Sie eigene Gebäude und stellen Sie diese in den verschiedenen Ansichten da r.

6.5 Geometrische Abbildungen [ 283 )

6.5

Geometrische Abbildungen (fakultativ)

(Aufgaben)

CI] Bildbearbeitung Mit einem Bildbearbeitungsprogramm können Fotografien im Compute r manipuliert werden. So können siez. B. gedreht, gespiegelt, vergrößert ode r verkleinert werden. Aber wie wird das realisiert? Im Computer werden die einzelnen Punkte mit Zahlenpaaren dargestellt, zum Beispie l A (1 13), B (-2 12) und C (-21-1 ). Wenn das Bild um 180° gedreht wird, wird zu jedem Punkt ein Bildpunkt berechnet und dargestellt.

Durch die Matrix ( -

~ _~ )

wird die Drehung um 180° um den Ursprung beschrieben.

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Bildpunkte A', B' und C' und formulieren Sie eine Abbildungsvorschr ift in der Form: Zum Punkt P gehört der Bildpunkt P' mit

p = 1~)

und

°p1 = { ~·. )·

b} Ze igen Sie, dass sich der Punkt P' auch durch eine Matrix-Vektor- Multiplikation berechnen lässt:

? = ( ~ ) = {-6 _~) ·(~)

(JJ Spieglein, Spieglein Auf einem Würfet der Kantenlänge 2 „sitzt" ein Würf el der Kantenlänge 1. Der Punkt A 1 hat die Koordinaten A1 {4 l- 112) und die Grundkanten des Würfels sind parallel zu den Koordinatenachsen. Ein Spiegel steht senkrecht auf der Winkelha lbierenden der xy- Ebene und erzeugt ein Bild des Würfels. Welche Koordinaten haben die Punkte des Bildwürfels? 1

,

V1 y

.........,.....8, 6

______ , ,,---,-"' :'"Vl'-

..,

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A2 und A3 und geben Sie die Koordinaten der zugehörigen Bildpunkte B1, B2 und 8 3 an. b} Zeigen Sie, dass sich bei dieser Abbildung das Bild P' eines beliebigen Punktes P(x l y Iz) durch Multiplikation mit der angegebenen Matrix berechnen lässt:

? = ;·, z'

= ~

6g .(~ )

0 0 1

z

' 284 ] f6 Geraden im Raum]

Berechnung der Bildpunkte bei einer linearen Abbildung

( Basiswissen ] Die Gleichungen zur Berechnung von x' und y' sind linear, daher heißt eine solche Abbildung lineare Abbildung.

Abbildungsgleichung Aus den Koordinaten eines Punktes P lassen sich die Koordinaten des Bildpunktes P' berechnen.

Beispiel x'= - 0,5-x - y

Matrix- Vektor- Multiplikation Die Berechnung der Bildpunkte lässt sich übersichtlich durch eine MatrixVektor- Multiplikation durchführen.

Für den PunktP(312) gilt x'= - 05-3 - 2= - 35 , '

In der Ebene: I m Raum:

y'

y'

~g ~h ~i

=

=3

Somit P'{-3,5 13) Berechnung der Bildpunkte mit der Matrix:

i;1 ={;: )={~ ~) ·{~)

~ = z'~

=X

? = { ;, ) = ( -~,5 -6). (~) = { -;,5)

· { ~}

Somit P'{-3,5 l 3)

z

Abbildungsmatrix

A=( ~

~

y

a b C ) bzw. A = d e f g h i

6

X

-6

(Beispiele]

-4

-2

2

4

6

[KJ Abbildungsmatrix zu einer geometrischen Abbildung finden Wie sieht die Abbildungsmatrix einer Spiegelung an der yz-Ebene aus?

Lösung: Um die Koord inaten eines Spiegelpunktes zu bestimmen, muss nur die x-Koord inate m it dem Faktor-1 multipliziert werden. Also gilt dann:

-

( X' )

p' = ~:

(Übungen]

(-1 0 0) (X) = g6? . ~

CI] Bilder einer linearen Abbildung in der Eben e y

y

8 4

12

.,..1 X

4

-12

12

4

-4 -8 Ordnen Sie jedem Bild die passende Matrix z u.

0,5 0). (-0,5 -1,5} M, = (o 2 , M2 = 0,5 - 1,5

X

4

8

12

16

20

24

6.5 Geometrische Abbildungen ( 285 )

(Übu1y;en)

[D Abbildung im Raum z

I m Raum ist eine lineare Abbildung durch 1 0 0 die Matrix M = o 1 o gegeben. 1 1 1

Berechnen Sie die Bildpunkte der Ecken des abgebildeten Würfels und zeichnen Sie das Bild. Handelt es sich dabei wieder um einen Würfel?

y

j.--------

[D Pyramide im Raum Durch die Punkte A{4 l 4 l 2}, B(6 l 4 l 2}, C (4 1612 } und D (4 14 l 4} ist eine Pyramide gegeben. Zeichnen Sie diese Pyramide im „2-1-Koordinatensystem". Die folgenden Matrizen beschreiben lineare Abb ildungen, die auf die Pyramide angewendet werden. 0 -1 0 M1= 1 o o 0

0 1

Berechnen Sie jeweils die Koordinaten der Eckpunkte und zeichnen Sie das Bild der Pyramide. Kennzeichnen Sie auch das Bild des Dreiecks ACD.

ITJ Würfelgebäude a} Auf einem Würfel der Kanten länge 2 ,,sitztu ein Würfel der Kantenlänge 1. Berechnen Sie für die folgenden Abbildungsmatrizen jeweils die Bi ldpunkte für die Eckpunkte des Würfelgebäudes und zeichnen Sie das Bild. 0 -1 0

0 0 o-1 o 0 0 1

-1

M=

N= o o o 0

A1.,,. ,.c=71

~_

1

-'i!IC-- - '

Ag

/\ ..,

y

1

' b} Der Körper wird um 90° um die y-Achse gedreht. Dabei wird der Punkt A 1 auf den Punkt B1 abgebildet. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte A6 und A13 und die der zugehörigen Bildpunkte B6 und B13 . Überlegen Sie, welche Koordinaten das Bi ld des Punktes P(x1 1x2 1x3 ) hat und bestimrnen Sie die Abbildungsmatrix.

Tipp

___Lj.,_I~..__-=-_,__-Y J

t--,-,.,.__:" ~,,,, . ,c_________ )-J

1

Aa

0 1 2

r::,tÄii_

2

Überprüfen Sie dazu, wie die Koordinaten von A 1 , A6 und A13 mit denen von 8 1 , 86 und 813 zusammenhängen.

J

L286 ] [ 6

Geraden im Raum

(Übungen) Applet eA-6 .5-7

Applet eA-6.5-7 2

-

[TI Forschen und Prä sentieren y

Welche Abbildungen werden durch Matrizen der Form ( ~ - ~} beschrieben? Lassen sich schon

6

bekannte Abb ildungen identifizieren? Wählen Sie für a und b besondere Werte (0, 1, -1, ... }, berechnen Sie jeweils d ie Bildpunkte und zeichnen Sie das Bi ld der Figur.

2-+X

Finden Sie möglichst viele bekannte Abbildungen, die durch so lche Matrizen dargestellt werden . Halten Sie I hre Ergebnisse auf einem Poster fest und präsentieren Sie diese.

2

4

6

2

Exktirs Applet eA-6.5-7Exkurs

,,Dynamische Veranscha1ilichnng" Wie lässt sich die durch die Matrix M gegebene Abbildu11g M =( möglichst gut veranschaulichen? Man kann n atürlicl1 eine Figur und ihr Bild zeichnen. Dies vermittelt einen ersten Eindruck.

y

i -~)

X

-24 -16

Dynamischer wird die Sache, wenn man die Matrix M schrittweise aus der Einheitsmatrix (

-8

8

16

24

y 1

i ~ )erzeugt:

Mk=(i -~) Man steuert den Parameter k über einen Schieberegler und verändert seinen Wert von O bis 2, z.B. in 10 Sehtitten.

X

-24 - 16

-8

8

24

16

IT] Bewegliche Bilder Veranschau lichen Sie die zu den Matrizen

y

M1 = { - 1 4

2 X

1

2

4

_f), M2 = { ~ 6)

und M3 =( - ~

,.Randwerte• des Schiebereglers:

?)

k= O

k= 2

gehörenden Abbildungen dynamisch. Erzeugen Sie die Matrizen, wie im Exkurs, aus der

M,

(1-k 2) k 1k -k) (10 0)(1 21 -1

Einheitsmatrix (Schieberegler Os k s 2). Fü r die Matrix M 1 sind fünf Schritte gezeigt.

M2

{1-f k) k 1-!. 2

(lok? ) (6?) (-6?l

M3

k =0,5

k =- 0

y

k -=- 1

y

8

4

4

8

k-=-2

y

-

X

4-

k-=-15 •

y

4

4

(6?) (~ ~)

4

8

X X

X

4

8

-4

6.5 Geo1netrische Abbildungen [ 287 )

(Aufgaben) [B „Morphing" nachvollziehen Projekt

Viele Figu ren können durch Punktfolgen dargestellt werden.

A

Zeichnen Sie die in Spalte A und die in Spalte B darApplet eA- 6.5-9

In der Tabelle ist in Spalte C die Punktfolge für t = 0,5 angegeben.

gestellt e Figu r. Unter Umständen werden nu r die Punkte geze ichnet, die dann noch zu einem Vieleck ergänzt werden müssen. Sie sind Anfangs- und Endpunkt unserer Strecke. Fügen Sie einen Schieberegler ein und berechnen Sie die Punktfolge in Spalte C: C1 = A1 +t ·{B1 -A1 ), entsprechend bisC12

1 2 3 4

IO,O) 11, 0) 11, 2)

(1, 2) 5 I1, 3) (1, 3) 6 7 11, 4 l (3, 4) 8 9 (3, 5) 10 (-2, 5) 11 (-2, 4) 12 (0, 4)

B (5, 0)

C {2.5, O] {3.5, 0) {3.5, 2) [4, 2) [4, 3) {3.5, 3) {3.5, 4) {5.5, 4)

16, O] {6, 2) {7, 2] {7, 3) {6,3) (6, 4) {8, 4] {8, 5) {5, 5] {5, 4) (5, 4)

[5.5, 5) {1 .5, 5) (1.5, 4) (2.5, 4)

Lassen Sie auch diese Figur zeichnen. Durch Vari ieren des Parameters t lässt sich eine Figur in die andere verwandeln.

,,

t =0

t =1

t=05 1

(JQJ „ Morphing" kreativ Applet

eA-6 .5- 10

Werden Sie kreativ! Entwerfen Sie zwei Figuren {Anfangs- und Endpunkt), die Sie als Vieleck darste llen. Fü hren Sie m ittels „Morp hing" die eine Figur in die andere über. Beachten Sie dabe i, dass die Anzahlen der Einträge in den Punktfolgen übereinstimmen .. mussen. Ein gelungenes Beispiel: Wie man aus einer Mücke einen Elefanten macht ...

t =0

3

2

2

1

1

1

2

3

4

t=

3

2

t =0 3 1

3

l

Ü1 7

2

3

4

t

3

2

1 ,

1

1

2

3

4

1

2

3

4

=1

( 288 ) ( 6 Geraden im Raum )

Check-up (I) Strecken im Würfel Gerade und Strecke im Raum

Zeichnen Sie die Geraden in einen Würfel mit der Kantenlänge 8 ( D{O1010)).

z

g:

,y

X =

~

•

rv

V•

X

g--......

1

~

~, X

0 8 m: X = 8 + t -8 8 0 ➔

y

h:

-4

X =

0 8 +t 0 0 8 0

8

0 n: X= 0 + t 0 0 8 -4

Kennzeichnen Sie jeweils die Strecken für Os; t ::;; 1. Welche Figur entsteht im Würfel?

-

CI) Geraden gesucht

Punkt-Richtungs- Form einer Gerade ___. -4 ...... • IR g: x = a + r v mit r e Stützvektor, Richtungsvektor

a

8 8 +t -8 0 0 0

-4

1

~

a) Konstru ieren Sie zur Geraden g: x = 2 +r

v

3

-2 4

verschiedene Geraden, die parallel sind zu g oder mit g einen Schnittpunkt haben. b) Welche der folgenden Geraden sind zueinander para llel, welche schneiden sich, welche sind windschief?

Strecke AB - ➔ ➔ -4 -+ AB: x = a + r{b - a) mit Os; r s; 1

_.

3 2 _. 3 2 4 g: x = - 1 + r 5 ; h: x = 2 + s 1 ; k: x = 2 -3 -1 l

Lagebeziehungen von Geraden im Raum -4-4

g: x

-4

-4

=p + r u

-4

-4

(I) Pyramide

iJ und v sind kollinear

u= tv für ein t e R

g und h sind parallel

g und h jdentisch

P liegt nicht auf h

P liegt auf h h

g

...p -# .....q + sv..,

..,

für alle sc R

für ein sc R

Geben Sie die Gleichungen fü r -die Kanten AB, CD, AS und CS der quadratischen Pyramide an. Zeigen Sie rechnerisch, dass S(21216) Schnrttpunkt der Seitenkanten ist

A{4 IOIO)

-l--+-l-,~ ----,--,-B(4 14IO) C(O l410) ·~ ~ ~ -~ -~D(O jOjO) 1.-+-1>-

....

u#; t v für alle t eR

,

.5(2 12 16)

C

y

z

Im Quader te ilen R, S, T, U, V und W die Kanten jeweils im Verhältnis 1 :2. Gibt es im Sechseck RSTUVW parallele Kanten?

ü und v sind nicht kollinear

•

X

CI] Parallelen im Quader

... p = q +sv

g und h haben genau einen Schnittpunkt

3 4 -1 +t 2 2 1

2

=q + s v

und h: x

jewe ils zwei

1

y

g und h sind windschief )(

[D Lage von Geraden Bestimmen Sie die Lage der Geraden zueinander. Geben Sie gegebenenfalls den Schnittpunkt an. Die Punkte P, Q, R in b) sind jeweils Kantenmitten. a) b) ......._,_.....,._z ....-t

-,.

--,

.....

p + ru = q + sv für je ein r, s c R

--t

-,

-,

__..

p+ru t q + sv für alle r, s c R

A 4 131 )

Cl1eck-up ( 289 )

Check-up Lagebeziehung zwischen Geraden an der Matrix erkennen

(-1

-1

2

Fall 2: windschiefe Geraden

-1

3 +r -2

1 -6,5 ~) -( 6 ~ g) -1 -1 -1 rref O O 1

2. 2 ,

1

b) g: X =

1 -4 h: x = 2 + s - 4 1,5 2

2 ;

3

➔

➔

2

a) g: x = 4 + r

1 0 -1) (00 01 02

-1

Bestimmen Sie die Lage der Geraden zueinander. _,

Fall 1: sich schneidende Geraden

21 -3 -8) 4 7

CI) Lagebeziehung von Geraden

➔

h: X

-1

'

5

1 c) g: X = 0 + r 2 • 4 ' 2 ➔

Fall 3: parallele Geraden

3

➔

h: X

=

-4 +s 1 -6 2

➔

-b) -(6 ~ ~) (- 3~ - 1 6 2 0 0 0

d) g: X = -2 + r

Fall 4: identische Geraden

CI] Geraden zu Diagonalformen

4

rre{

2 -1 -2) 4 -2 -4 ( -6

3

6

-➔

rref

(10

-05 1

-5

Bestimmen Sie zu den Diagonalformen jeweils zwei passende Geraden. Überprüfen Sie Ihre Lösung.

0 0

0

0,5

1,5 2 h: X = - 1 +s -4 2 10

1 2 ,

3

➔

-1 = 6 +s 3 - 35 2 4

Spurpunkte Spurpunkte einer Geraden sind die Schnittpunkte mit den Koordinatenebe nen. Mindestens eine Koordinate ist 0. Damit wird der zugehörige Parameterwert bestimmt. 2

1 0 1 a) o 1 2 000

1 3 0 b) o o 1 000

(I) Spurpunkte Bestimmen Sie die Spu rpunkte der Geraden g:

x

2 -2 = 1 +r 3 1

und zeichnen Sie die Gerade g in ein

1

Koordinatensystem.

OJ10)

(I) Lage von Geraden

0 4 5)

... ..,..._- ,, Sxv(~10 j8~~ ~

Wie Liegt eine Gerade im Koord inatensystem, die genau einen Spurpunkt (genau zwei Spurpunkte, genau drei Spurpunkte) hat? Erstellen Sie jeweils eine Skizze.

[IQ] Projektion auf die xy-Ebene Projizieren Sie den Punkt P(412 13) parallel in Richtung des

Parallelprojektionen auf Koordinatenebenen Der Punkt P{xl YI z) wird in Richtung v, = v2 auf die xy-Ebene projiziert.

v

V3

Die Bildpunkte sind die Schnittpunkte der Geraden durch den Punkt Pin Richtung des Vektors mit der xy-Ebene. Sie können als Multiplikation der

v

1 Q -

Abbildungsmatrix A =

0

1

~3

_ _..!

dem Vektor p da rgestellt werden:

A ·➔ p = -p'

1 2

Vektors v =

auf die xz- Ebe ne.

-2

[ID Würfel projizieren Der Würfel ABCDEFGH mit der Kantenlänge 2 wird parallel in Richtung

v

2 = 1 - 1

xy-Ebene projiziert.

auf die

2

j

1i

l- -1--f---

l-j--..,__,_-+..,

x .,..,--+----+-+.,.t----t---+, 3

4

V1

V3 ➔

➔

mit

a) Bestimmen Sie die Abb ildungsmatrix. b) Berechnen Sie die Bildpunkte und zeichnen Sie den projizierten Würfel.

290

J[} Geraden im Raum) Sichern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben ·rrainie1·cn

CI] Geraden im Würfel a) Stellen Sie die Gleichungen der Geraden

1

1 H(010 12)

g, h und k auf. b) Weisen Sie rechnerisch nach, dass die

G(012j2) , g

Geraden g und h zueinander windschief sind.

jD(Ol~I

--+-~ ~ ~ ~ - y-

-

_x

[D Punkte im Würfel Zeigen Sie zeichnerisch und rechnerisch, dass die Punkte A(4 1010), C(OI 4 10) und H (0 10 14) nicht auf einer Geraden liegen.

CI) Lage von Geraden im Würfel z

Geben Sie zur Geraden

-4 g: X = 0 + r 4 4 0 Geraden h, k und l an, sodass gilt: h und g sind parallel, k und g sind windschief, l und g besitzen einen Schnittpunkt. -+

4

y

,,,,+----------,,,..________ ,,,, 4

[D Windschiefe Geraden im Würfel Weisen Sie rechnerisch nach, dass d ie Geraden -+

4

-4

4

0

g: X = 0 + r

4

-,

und

1

1

L

0

4 ➔ h: X= o +s 4 -4 4

1

-tg

windschief sind.

y

,,~-1

4

(I) Parallelprojektion Bei einer Parallelprojektion auf d ie xy-Ebene wird der Punkt P {214 l 3) auf den Punkt (3 l 3 I 0 ) abgebildet. Bestimmen Sie die Abbildungsmatrix.

CI] Schatten Best immen Sie den Schatten einer quadrat ischen Pyramide mit den Eckpunkten A(4 11 10), B(4 13I O), C(213IO}, 0(2 11 I O) und der Spitze (312 13) in der yz-Ebene be i einer Parallelprojektion in Richtung des Vektors Skizzieren Sie die Pyram ide und ihren Schatten.

v=

2 -1 - 1

Sichern und Vernetzen - Vermischte Aufgaben [ 291

Verstehen

CI] Geradengleichung

2

1 = 3

x

a} Welche Gleichung hat die Parallele h zu g: + r o , die durch P (51712) ve r.· ft7. 7 1 lau b) Welche Gleichung hat die Mitte lparallele m von g und h? Begründen Sie Ihr Vorgehen.

(TI Gerade im Raum

u

Welche geometrische Bedeutung haben die Vektoren ä und in einer Geradengleichung g: = + r u? Veranschau lichen Sie dies mit einer Skizze.

x a

[D Drei Geraden Zur Geraden g: x = ä + ru

sollen die Gleichungen von drei Geraden h, kund langegeben werden, sodass gilt: g und h sind parallel, g und k schneiden sich in einem Punkt, g und l sind windschief. Welche Bedingungen müssen jeweils der Stützvektor und der Richtungsvektor erfüllen?

(ill Auf einen Blick

l

Erläutern Sie am Bild und an den Vektoren. a) P(3l 1 l 3) liegt auf g:

b) Die Gerade g:

x=

x=

4

o +r 4

4

o +r 4

-4

z

t

4

-4

-4 4

verläuft

-4

1

y

nicht durch den Ursprung.

(TI] Anzahl von Spurpunkten Die Anzahl der Spurpunkte, die eine Gerade haben kann, ist unterschiedlich. Verdeutlichen Sie die verschiedenen Fälle jeweils anhand einer Skizze. An\.vc 11den

OIJ Walmd ach Es sind die folgenden Geraden gegeben: 4 -4 4 -2 -t -t g: X = 6 +r 0 , h: X = 6 +r -2 0 3 3 2 Welche Gerade passt zu we lcher Frage?

➔

I

0

5

l: X = 3 + r - 1 2

0 2 m: X = 0 +r 2 3 2 ➔

I

-3 z

A) Auf welcher Geraden liegt die Dachkante

Hf?

1(212151 J(~ l 4 J 5 l

,r

B) Auf welcher Geraden liegt die Dachkante

--1-

-i-·/ -c.;+:'---+---r-\-1-~--391 G

JF?

-

.

C) Welche Gerade verläuft außerhalb des

1

y

C

Hauses? 1

D) Welche Gerade ist keine Kante, aber in einer der Hauswandebenen enthalten?

GI) Würfel -

1

A(4 fOJO)

B(4(6 J()) t

Quader - Spat

Zeigen Sie an selbst gewählten Beispielen, dass sich die vier Diagonalen der drei Körper jeweils in einem Punkt schneiden.

J

f 292 J [ 7

Ebenen im Raum

•

enen 1m

aum

Mit Ebenen haben wir es im täglichen Leben häufig zu tun. Glasplatten, Fensterscheiben, Tischplatten, Wände oder Dachflächen sind Teile von Ebenen. Jede Hälfte eines Satteldachs ist Teil einer Ebene, deren Lage durch die Dachbalken und die Richtung de1· Dachsparren bestimmt ist. Mit Vektoren und ihren Rechenoperationen lassen sich analog zu den Geraden im Raum einfache Gleichungen zur Beschreibung von Ebenen finden. Mithilfe von Lagebeziehungen und Schnitten von Ebene und Gerade werden die Untersuchungen von geometrischen Objekten erweitert und vertieft.

Übersicht ( 293 )

Parameterform einer Ebenengteichung

7.1

Wodurch ist eine Ebene festge legt? Experimentieren mit Stiften zeigt z.B., dass drei Punkte eine Ebene ebenso festlegen wie zwei einander schneidende Geraden.

7.2

Normalen- und Koordinatenform Eine Ebene kann auch durch einen zur Ebene senkrechten Vektor (Normalenvektor) und einen Punkt, der auf der Ebene liegt, beschrieben werden.

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

7.3

Um d ie Lagebeziehung zwischen einer Geraden und einer Ebene zu bestimmen, ist es günstig, wenn die Ebene in Koordinatenform umgeformt ist.

Lagebeziehungen von Ebenen

7.4

Um d ie Lagebeziehung zwischen zwei Ebenen zu bestimmen, vereinfacht die Koordinatenform die Berechnungen.

Winkel zwischen Geraden und Ebenen

7.5

Aus der Formel für die Berechnung des Winkels zwi schen zwei Vektoren können Winkel zwischen Gera ~ den oder Ebenen bestimmt werden . Wie groß sind die Winkel im aufgespannten Dreieck im Würfel?

Lösen von Abstandsproblemen

7.6

Der Abstand eines Punktes zu einer Geraden oder der Abstand zweier paralleler Geraden im Raum lässt s]ch mithi lfe von „Lotvektoren" recht einfach bestimmen .

Kreise und Kugeln (fakultativ)

7.7

Mit der analytischen Beschreibung von Abständen gelangt man auf direktem Wege zu Gleichungen, die Kreise in der Ebene oder Kuge ln im Raum beschrei ben. Diese sind in der Form völlig gleich.

,_ g

.J-.--- --=' -' - - - E ,

294

7 Ebenen im Ra wn

7.1

(Aufgaben)

Parameterform einer Ebenengleichung

(D Experimentieren: Wodurch ist eine Ebene festgelegt? Eine Gerade ist durch zwei Punkte eindeutigfestgelegt. Wie sieht das bei einer Ebene aus?

eine Gerade

zwei sich schneidende Geraden

eine Gerade und ein Punkt

In welchen Fä llen ist eine Ebene festge legt? Wie sind die Bewegungsmöglichkeiten, falls die Ebene nicht festge legt ist? Untersuchen Sie weitere Fälle durch Experim et1tieren mit Stiften (als Punkte oder Geraden) und mit einer Platte. Stellen Sie Ihre Ergebnisse übersichtlich in einer Tabelle dar. eine Gerade

zwei sich schneidende Geraden

eine Ger ade und ein Punkt

Die Ebene ist nicht eindeutig festgelegt. Sie lässt steh um die Gerade drehen.

Vergle ichen Sie die Ergebnisse untereinander.

ITJ Punktmengen a) Beschreiben Sie die Menge der Punkte X, die als Linearkombination zweier nicht para lleler (n icht ko llinearer) Vektoren Ü, durch = r · + s · beschrieben werden

v

kann, wenn (1) r = 0 und s beliebig

x u v

(2) r < 0 und s > 0

{3) r beliebig und s < 0

(4) r beliebig und s beliebig (5) 1 < r < 2 und O < s < 1 (6) r beliebig und s = 3 b) Beschreiben Sie die Menge der Punkte X, die durch die Vektoren mit ➔➔

x

➔

➔

= a + r •u + s · v

x

.

beschrieben werden.

Was passiert, wenn Ü undv parallel sind? Was passiert, wenn ä, oder der Nullvektor ist?

u

v

Was passiert, wenn ä parallel zu Ü oder ä parallel zu

v ist?

7.1 Parameterform einer Ebenengleichung ( 295 )

(Aufgabe11)

CI] Ebene einer Dachfläche Für die Lage einer Dachfläche sind der Dachfirst (AB) und die Richtung der Dachsparren (AD) entscheidend. z

,

/A

B '1

1 1

1 1

1 1

1 1

1

I

,I

y

.,.,•-------------------- -------------~------►

..,,,

, -"_,,,, ,,.,

,?

....

➔

➔

A(4 l 11 l7), B(41-1 17), D{811114); a, b,d sind die entsprechenden Vektoren. Welche Punktmengen werden durch die folgenden Gleichungen beschrieben? (A)

x ä + r -(b - ä} mit Os; r s 1

x ä +s -(d - ä) mit O~ s s; 1

{B)

=

=

Lässt sich die Dachfläche auch entsprechend beschreiben? Die Koordinaten des Punktes Q können mit den Punkten A, Bund D bestimmt werden. z

~ - - -;,-----.------,,--==-.., A Q - ------ •- --------•--·------~-------p / 2 / I

I

I

I

I

I

/

I

I

I

1

1

I

I

1

1 1

I

1 I

1

/

I

1

P3

-•----t-----~----------· -------/ P1 , ,' / /

1

/

I

I

I I

/

1

I

I

I

0

1 4

+ -34 · - 12 + - · 0

I

4 0 -3

5 2 , also: 6,25

Q {5 216,25) J

a) Bestimmen Sie ebenso die Koordinaten der Punkte P1, P2 und P3 . b) Ze igen Sie, dass ein beliebiger Punkt X auf der Dachfläche darstellbar ist durch = ä + r · AB + s ·AD. Welche Werte darf man für rund s verwenden? c) Wa s passiert, wenn es keine Einschränkungen für rund s gibt? Wo liegt z.B. der Punkt, wenn r = 1,2 und s = 2,5 ist? d) Kann man auf diese Weise auch den Punkt G (811010) als Linearkombination der ----, Vektoren a, AB und AD darstellen?

x

➔

296

( 7 Ebenen im Raum )

( Basiswissen ]

Eine Ebene ist durch drei Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen, festgelegt.

Parameterform von Ebenengleichungen im Raum Punkt- Richtungs- Form

Drei- Punkte-Form durch A, B und C

E: x = a +ru +sv mit r, selR

E: X = ä + r (b - a) + s {C - a) mit r, s E IR

ä Stützvektor,

ä Stützvektor,

u, v Richtu ngsve ktoren

-+

-t

➔

-+

➔.

->

-+

-+

b - a, c - a Richtungsvektoren

B

0

A{415J2); -+

E: x

=

0

ü=

-2 2 1

2 -1

'V=

A{41512); B(217 J3); C{6J4J5}

3

4 -2 2 5 + r 2 + s -1 2

1

-+

E:x=

4 5 +r

2

3

-2

2

1

3

2 + s -1

Durch einen Punkt und zwei nicht parallele (nicht ko llineare) Richtungsvektoren ist eine Ebene festgelegt. Durchlaufen die Parameter rund s alle reellen Zahlen, so erhält man aUe Punkte X der Ebene.

Ebenes Flächenstück Durchx=a+rÜ+sv mitOs:rs:1, Os:ss:1 wird die von den Vektoren Ü und vom Punkt A aus aufgespannte Parallelogrammfläche beschrieben.

v

-+

4

x = 5 +r 2

(Beispiele)

-2

2

2

+s -1

1

3

mit O s: r s; 1 , 0 s: s s: 1 0

(I) Fläche

z

I n einem Würfe l mit der Kantenlänge 4 bilden die beiden Kantenmitten P und Q mit den Eckpun kten G und Hein Rechteck. Beschreiben Sie dieses Rechteck mithilfe von Vektoren. Lösung: Aufstellen einer Ebenengleichung:

Das Rechteck wird vom Punkt P(4 10 2) aus durch die Ve ktoren J

0 PQ = 4

-

und PH =

0

p

-4

o aufgespannt 2

Die Gleichung für die Rechteckfläche 4 0 -4 -> lautet dann x = o + r 4 + s o mit der Einschränkung Os: r s: 1, 0 s: s s: 1. 2

0

2

y

7.1 Parameterform einer Ebenengleichung ( 297 ]

(Beispiele]

00 Punktprobe 2

Liegt der Mittelpunkt des Würfels mit der Kantenlänge 4 auf der Dreiecksfläche? Lösung: Aufstellen einer Ebenengleichung: 4

Stützvektor OA = ä = o , 0

Richtungsvektoren 4

-,

_,

u=(c - a) =

0

4

-4

4

0

4

v = (h - a) = o - o =

0 4 0

4 0 0

-4

und

4

0

o 4

-+

-4

Punkt-Richtungs-Form der Ebene E: x = O + r 0 Mittelpunkt des Würfels: M (212 12). Punktprobe: Gibt es ein rund eins, sodass

4

2 2 =

-4

o

+s

0

4

4

-4

o +r

4

+s

-4

o?

2 0 0 4 Dies führt zu einem linearen Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen. Lösen des LGS per Hand: Mit r = 0,5 und s = 0,5 ist die 1. Gleichung nicht 2 = 4-4r-4s erfüllt, denn es gilt 2 "# 4 - 2 - 2. ~ r = 0,5 2 = 0 + 4r Also gibt es keine Werte für rund s, die alle 2=0 + 4s ~ s = 0,5 Gleichungen erfüllen. Das Gleichungssystem ist nicht lösbar, somit Liegt M nicht auf der Dreiecksfläche.

(Übungen)

IT) Punkte einer Ebene 3

-4

Gegeben sind E: x = 2 + 0

0 4 r 1 +s o -1 1

-4

1

und F: x = -2 + r

1 5

-2

3

0,5

+s

4

•

-5

a) Bestimmen Sie die Koo rdinaten der Punkte der Ebenen E und F für r = -3 und s = 2. b) Prüfen Sie, ob die Punkte R(7171-4); S (713 IO); T (3 l 11 l -9) auf E oder Fliegen.

[D Ebene durch drei Punkte Geben Sie eine Ebenengleichung in vektorie ller Form für die Ebene durch die gegebenen Punkte P, Q und Ra n. Liegt der Punkt Sauf der Ebene? a) P(4 1- 1 1 3), Q (2 1 1 10) und R(- 2 1- 2 13); S (1 1 2 1- 5} b) P(- 1 l 4 11), Q (21 - 1 12) und R (211 16); S (21 4 l 12} c) P(2 10 1- 3), Q (3 1 -1 14) und R {-3 1- 2 l 1); S (8 11 10)

(TI Parallele Ebene ~

4

Geben Sie zu E: x

=

2

-3

+r

-0,5

+s

-3

3

2 , r, s E IR eine Ebenengleichung einer

-2 parallelen Ebene F an, die durch P{4 1- 1 12) geht . 4

1

IT) Ebenengleichung gesucht Geben Sie für das Dreieck eine Ebenengleichung an.

a)

z

b)

z 2

2 t'

A

r 4 3

X

C

,,,.

G

1

y

... -7

5

B

6

-

,..

7

C

l 298 ]

( 7 Ebenen im Raum )

(Übungen)

~

[ [ ) Eine Ebene - viele Ebenengleichungen Geben Sie zwei verschiedene Ebenengleichungen einer Ebene an, die ... a} durch die Punkte P(1 l- 212), Q (3l- 1 l2) und R(214 11) geht. b} durch den Ursprung und die Punkte P (2 l -315 } und Q(-31215 ) geht. c) durch den Punkt P (1 l 2 l -1 } geht und para llel zur xy- Ebene verläuft. d} die Koord inatenebenen beschreibt.

Werlc.zet1g

Pt.mktprobe Liegt der Punkt P(l l 214) auf der Ebene E:

1

+s· - 1 -

2

CRJ

- 3

+ r · -1 + S · -4 2 1

Fenig

2+r+s

1- 2

-veb(r.s):=

2- 1 4-(- 4)

1 1 -11 [

1

Punktprobe mit CAS

Punktprobe mit GTR 1 r· - l

x=

2

1 vp. 2 ·-

rref(CAJ)

l! I }l

-1 -1 1 2 -3 8

1-r-s -4+2· r- 3· s 1 2 4

4

solve(veb(r,s)-vp, {,~s })

r=l and s=-2

Der Punkt liegt für r = 1 und s = - 2 auf der Ebene E.

IT) Rechteckflächen im Würfel

z

I m Würfe l mit der Kantenlänge 8 sind durch Eckpunkte bzw. Kantenmitte lpunkte drei Rechtecke F1 , F2 und F3 festgelegt. Beschreiben Sie jede Rechteckfläche durch eine passende Gleichung.

y

illJ Punktprobe bei verschiedenen Ebenen Prüfen Sie jeweils, ob die Punkte P und Q in der Ebene E liegen. 4

a} Ebene E: x

=

1 1

2

+r

b) E ist parallel zur z-Achse und enthält die Punkte A(3131 O} und B(OI 6 12). P(412 14) undQ {Ol7 13)

1 2 1 + s -1 -1

1

P( 1 l 4 1- 1) und Q (8 1- 1 14}

z

[TI] Punktprobe mit dem GTR Zeigen Sie, dass die Punkte P(2 l 1 l 5} und Q {-415 16) auf der Ebene E durch A, B

e(4i OI j .,::;....-.--,!--'---.--r

und C liegen. Gehärt der Punkt R (5121 - 1) zur Ebene E? Welche Matrix gehört zu welcher Punktprobe?

8(01 41 2)

1 1

.,

,,,.,

., .,

y

.,

Lr-

1

A 4 12~ 0)

( 1}

1 0 0 0 1 0 0 0 1

(2 )

1 0

2

0 1 .5 0 0

0

(3}

1 0 .5 0 1 1 0 0

0

7.1 Parameterform einer Ebenengleichung [ 29[)

( Übungen )

QI) Punktprobe im Würfel z

Die Ebene E ist im Würfel mit der Kantenlänge 8 durch die roten Eckpunkte festgelegt. Die Punkte P1 bis P4 sind jeweils Streckenmittelpunkte. Prüfen Sie rechnerisch nach, ob sie auf E liegen.

(ID Flächen im Haus mit Satteldach Geben Sie Gleichungen der Ebenen an, in denen a) die Bodenfläche, b) die vordere Dachfläche, c) die hintere Dachfläche liegt. Wie müssen die Parameter eingeschränkt werden, damit die Flächenstücke beschrieben werden?

z t(4l0 18 5) "

\

1

1/ ~'. I i. .-\

r

1 t

'

1

I

.-

'·-

.._

.

-

1 1

...1...

.-

1

y

~-............

1

x ( A(8 IOJO}

-

.

'

E(8_j.p_j ; 1

r\

,,,. V

1/

I .,,;~

-

1/ '\

1

.-

:-

D(411 Oj8,5)

t t

f1010)

1

'

1 1

1

'

.rr

+

ffiJ Ebenen in einer Pyramide a) Zeigen Sie, dass die Bodenfläche der Pyramide durch die Gleichung ➔

4

x = 4 +r

-1

2

$(2 1216 )

0

o+s-1

0 0 0 beschrieben wird. b) Bestimmen Sie eine Ebenengleichung für die Mittelebene. A

8('11410 )

(ill Ebenes Viereck z

Zeigen Sie, dass das Viereck ein ebenes Viereck ist. Ste llen Sie dazu mit drei Punkten eine Ebenengleichung auf und prüfen Sie, ob der vierte Punkt auf de r Ebene liegt. p (411 11 ) Q (51 411) R(1 14 12) S(O l 112)

4

y 5

QD Ebene im Quader z

I m Quader ist M der Mittelpunkt der Kante CG. Die blaue Ebene enthält die Punkte E, B, M. Best immen Sie eine Gleichung der Ebene in Punkt- Richtungs- Form. Entscheiden Sie, ob der Mittelpunkt der Kante HG auf der Ebene liegt.

7

H,>1---- · ----:;,,G

M

A

B

300

[ 7 Ebenen im Raum „

(Übungen)

OIJ Spurpunkte bestimmen 4 z

I n welchen Punkten schneidet die Ebene

, ,

lc

durch A (2 I Ol4}, 8{41410} und C(Ol 2 14 } die Achsen? Schätzen Sie zunächst und berechnen Sie dann.

B

Mithi lfe von Spurpunkten lassen sich in

Die Spurpunkte sind die Schnittpunkte

der Regel Ebenen so darstellen, dass man ein anschau liches Bild von der Lage

der Ebene mit den Koordinatenachsen. Berechnung der Spurpunkte am Beispiel:

der Ebene im Raum erhält. z

0

4

1

o +s

E: x = 10 + r

4

- 5

2 Schnittpunkt mit y-Achse hat die Darstellung S2 {01 YI0 ): I O O+r + 4s II y 10 - 5 s -6

- 6 - r+2s Mit I und III erhä lt man s = 1 und

III y

-1

O

r = -4, also: S2 (0 l 510) Entsprechend werden S1 und S3 berechnet. Die Spurpunkte werden auf den Achsen ei.n getragen und mite inander verbunden. Die Geraden durch die Spurpunkte heißen Spurgeraden.

CI[) Ebenen m it Spurpunkten zeichnen Berechnen Sie zunächst die Spurpunkte und ze ichnen Sie dann mithilfe dieser Spurpunkte die Ebene. Geben Sie die Gleichungen der Spurgeraden an. _. 1 1 2

a} E: x =

1 -1

+r

1

2

+s

2

b} E:

-5

-4

X

-4 = -3

+r

-2

5

0

3 +s 6 0 -5

Grundwisse11 1. Wie lang ist die Diagona le eines Quadrats mit der Se itenlänge a? 2. Wo liegen alle Punkte, die a ) von zwei Punkten A und B gleich weit entfernt sind, b) von einem Punkt C gleich weit entfernt sind? Beantworten Sie die Fragen für den 20- und für den 30-Fall 3. Lösen Sie die Gleichung: 2x + 4 = 10 + ½x 4. Der höchste Punkt des Graphen einer quadratischen Funktion berührt d ie x-Achse an der Stelle x = 1. Geben Sie zwei verschiedene Funktionsgleichungen an, auf die diese Beschreibung zutrifft.

7.2 Normalen- und Koordinatenform ( 301 )

7.2

(Aufgaben)

Normalen- und Koordinatenform

CI] Orthogonale Vektoren zu Geraden a} Welche der Vekto ren sind orthogonal zu r Geraden in der Ebene und im Raum? Gerade in der Ebene Gerade im Raum

g: x= { ~) +

2 g: X= 3 1 ➔ O

t( -;)

➔

ä = ( ~ ); b = ( ~ ~ } ;

c= ( -1 )

-1

+t -2 5 -4

5

➔

2

a=5;b=o;c=-1 2

1

0

b} I n den Bi ldern sind jeweils zu einer Geraden in der Ebene und im Raum orthogonale Vektoren eingezeichnet. Was können Sie jeweils über die blauen, orthogonalen Vektoren in den Bildern aussagen? Was beschreibe n die blauen Vektoren? Gerade in der Ebene Ge rade im Raum

g c) Beschreiben Sie mit P {213) bzw. P {21311} und g aus a} jeweils die Gerade bzw. die Ebene, die die blauen Vektoren erzeugen, du rch eine Gleichung.

QJ Weitere Form einer Ebenengleichung Eine Ebene kann durch einen Punkt und zwei Richtungsvektoren eindeutig festge legt we rden. Ersetzt man die beiden Richtungsvektoren durch einen zur Ebene orthogonalen Vektor, so wird dadurch die Ebene auch eindeutig beschrieben. a} Erläutern und begründen Sie dies mithilfe der Abbildung. Veranschaulichen Sie im Klassenraum. b} Begründen Sie, dass q) = 0 die Ebene Efür beliebige Punkte X beschreibt. ii 2 Geben Sie die Ebene für Q (-1 I4 I3) und = 3 an. -1 . ~ E

n·(x -

Die Stange steht senkrecht zur Ebene.

n

2

➔ ·X=

Ze1gen Sie, dass man für E auch 3 7 -1 schreiben kann. c) Wie best immt man einen zu einer Ebene orthogonalen Vektor? Was n1uss fur die Vektoren ü und V gelten? Bestimmen Sie einen orthogonalen Vektor

n I

➔

2

zu u = -1

5

-+

und v

3

= o -2

(

-...,

" Q

I

...n

n

E

302'7

(7Ebenen im Rawn )

Normalenvektor einer Ebene

( Basiswissen )

-,

n

E: X

E •

1

->

2 3

=

+

1 r 1 + -1

s

-1 2

2 1 0

1

•

-1

n,

1 1 = 0 und -1

2

Ein Vektor der orthogonal ist zu den beiden Richtungsvekto ren der Ebene, heißt Normalenvektor der Ebene.

1

-1 2 1

2

1 0

=0

Normalenform einer Ebenengleichung Die Ebene ist durch einen Normalen-

n

..,

ve ktor und einen Punkt Q auf der Ebene festgelegt.

n

Alle Punkte X, für die der Verbindungsvektor

X- q orthogonal zu nist, Liegen

auf der Ebene E. 0

E: --> n · (-->x - -4) q =0

Durch Umstellen erhä lt man auch: E: n · x - n · q = 0 oder: E: n · x = n · q oder E: n · x = d ➔

(Beispiele)

-4

➔➔

➔

-4

➔➔

➔

-4

(I) Normalenvekto r einer Ebene z

Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene E: x= (!}+ r(=i +s(=f,s) .

Lösung: Gesucht ist

n=

n1 n2

mit:

n3 1

1

..

t

1

1-4) = 0

n n~ · -3 n3

1

und

2

(-4 )

n n~ · -1,5 = 0 n3 1

Dies liefert ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen .

- 4 n 1 - 3 n 2 + 2 n3 = 0 - 4 n1 - 1,5 n 2 + n 3 = 0. Hier kann man eine Variab le frei wäh len. Setze beispielsweise n3 = 1. Die gewählte Variable sollte ungleich nu ll sein. - 4 n1 3 n2 + 2 = 0 - 4n 1 - 3n 2 +2=0 - 4n 1 -3 n 2 +2 =0 - 4n 1 - 1,5 n2 + 1 =0

➔

1,5 n2

-

1 =0

➔

n2

=~

➔

Man erhält a lso n 1 =0, n 2 = } , n 3 =1. 0 Damit ist 1 = ein Norma lenvekto r der Ebene und auch der „ko llineare Freund"

n 1 1

-+

-->

0

n 2 = 3 · n 1 = 2 . Fü r we itere Berechnungen ist d ieser häufig günstiger. 3

7.2 Normalen - und Koordinatenform [ 303 ]

(Beispiele)

[[J Normalenform einer Ebenengleichung

2

Ste llen Sie eine Ebenengleichung der Ebene auf, die senkrecht zur Raumdiagonalen steht und durch den Kantenmittenpunkt {11110,5) verläuft. Ze igen Sie rechnerisch, dass die Kanten mitten punkte {1 10,5 11) und {0,5 l 1 l 1) auf der Ebene liegen.

y

1

Lösung: Ebe nengleichung: E: ( 11 ) · ... x1

da

1 1

X

= 0,

0,5

n= ( ~ ) ein Norma lenvektor ist.

Punktprobe: DerPunkt{110,511)LiegtaufE,da

{~)-(?,5)- i.5 =(~)~

Der Punkt {0,511 11) liegt auf E, da ( ) · (

(Übungen) ~

f'

5 )-

b,5

0

-05 =0 0,5 1

-05

= ( i )·

1

0

0,5

=0

[D Normalenvektoren im Prisma z

Welche der Vektoren sind Norma lenvektoren der vorderen Fläche im Prisma? 2

4

...

1

4

n1 = 3 , n2 = 2 , n 3 = 2

2

1

o

l

1

1

X

~

(]J Normalenvektoren von Ebenen Bestimmen Sie einen Normalenvektor der Ebene. In zwei Fällen kann man sich Arbeit ersparen und einen Normalenvektor unmittelbar erkennen. 0 2 0 a) E: x = 2 +r 0 +s 0 1 0 1 -,

1 c) E: x = 1 +r 4

1

~

b)

1 2 0 +s -2

d) E:

1

-1

-, E: X

4

X

0 5 4 = 0 + r 1 +s -1 4 1 2 1

0

1

= 2 + r 0 +s 1 3

1

1

[D Normalenvektoren einer Pyramide 0 3 Die Vektoren O ; o 1 2

;

0 3 sind Normalen2

z

vektoren zu Flächen in der Pyram ide. a) Ordnen Sie die Normalenvektoren den Flächen zu. b) Geben Sie Normalenvektoren für die weiteren Flächen an.

I / I

A(4IOIO) X

I

1

1 1

8(41410)

304

[ 7 Ebenen im Raw~)

(Übu~en)

CI] Normalenvektoren einer Ebene a) Die Ebene durch die drei Punkte

2

A{3 11 14 ), B(4 13 11) und C{11413} -> hat den Vektor n als Normalenvektor.

--

A i

/4

Bestätigen Sie d ies. b) Ze igen Sie, dass auch Normalen-

n

vektor der Ebenen durch die drei Punk-

-HC

1• l

1, 1 11'

-

teA{11213), B(213l1)undC(3l112) beziehungsweise D {41 - 2 1- 3), E{-21-3 14) und F{-3141-2) ist.

y 4_

•

CI] Senkrechter Vektor zu zwei Vektoren --+

a,

n

Zu zwei Vektoren b soll ein Vekto r bestimmt werden, der zu den .... beiden Vekto ren senkrecht steht. Gesucht ist also ein Vektor mit = 0 und b = 0. M .1t -> a

=

81 82 ,

4

b

=

83

b, b2

und --+ n = nn,2

b3

n3

n

n·a

n·

. unterb est1 .mmtes LGS mit. zwei. entste ht ein

a3 Gleichungen und den drei Va ri ablen n 1 , n 2 , n 3 . bl Eine Variable kann frei gewählt werden. vb:- b2 I a1 n1 +a2 n2 +a 3 n3 :: 0 b3 II b1 n1 + b2 n2 + b3 n3 =0 nl a) Ein CAS hat dieses System gelöst .

a3 b! b2 b3 n_/

vn:= n_2

I nterpretieren Sie. b) Begründen Sie, dass n 3 = a 1 · b 2 - a 2 · b 1 eine geschickte Wahl für n 3 ist und geben Sie damit an.

n2 n3

n3

•

solve{dotP(va,vn)-0 and dotP{vb,vn)-0,{ n J,n2}) (a2· b3-a3· b2)· n3 -(a l · b3-a3· bl)· n3 nl and n2= A al·b2- a2·bl a7·b2 a2·b

n

.Vekto DIOdOk't heißt Vektorprodukt von

....

....

a und b.

Das Ergebnis dieser Mu ltiplikation von Vektoren ist ein Vektor. -+

-+

--+

--+

-4

....

Es gilt: a x b J. a und a x b J. b

Lies „a kreuz b".

Werkzet1g Vektoren aus

Beispiel A

Normalenvektor bestimmen GTR

{A)

01

rref A)

-4 -3 2 [ - 4 -1,5 1 0

CAS -4

va.... -.,

0 01 1 -~ 0

1 0

0

2

Eine Variable kann man frei wählen. Setze n 3 = 1. Manerhältalso n 1 = 0, n 2

=!,

-4 vb:= - 1.5

1

n3 = 1.

crossP(vo,·vb)

-3 2

-4

-1.s 1

0. -4

-

GJ Senkrechte Vektoren

->

Bestimmen Sie a lle Vektoren, die zu ä und b senkrecht sind. 1 .... 2 5 .... 0 .... -> a) a = -2 , b = o b) a = 2 • b = 1 3 1 -1 4

7.2 Normalen - und Koordinatenform [ 305 )

( Übu1:igen )

z

[D Normalenform aufstel len Ste llen Sie für die Ebene durch G, die senkrecht zur Raumdiagonalen steht, eine Gleichung in Normalenform auf. Zeigen Sie rechnerisch, dass die Eckpunkte Bund E auf der Ebene liegen.

E

y C

A(4IOJO)

(]QJ Normalenform für Ebenen im Quader

B

2

Welche Ebenengleichung beschreibt we lche Fläche?

a)(~)- x-(~) =O c) (

b)(~. x-(~)

=O

i) · x -(!)=o

y 3

(TI] Von der Normalenform zur Koordinatenform

n·x n·q

Aus rechnen von = liefert in de r Ebene eine Gleichung der Form n 1 x + n2 y = d und im Raum n 1 x+n 2 y+ n3 z=d. a) Interpretieren Sie die Gleichungen. 1 b) Bestimmen Sie n1 x+n 2 y+n 3 z = d für n= 2 und Q(211 l -1 ). Liegt der Punkt -3 S(-21913)aufderEbene?

(Basiswissen)

Koordinatenform einer Ebenengleichung Alle Punkte P(x l yl z), die einer Gleichung der Form ax + by+ cz = d genügen, liegen auf einer Ebene E. ; ) ist ein Normalenvektor der Ebene E.

Beispiel: E: 2x - y+ Z=2 mit

(Beispiele)

2 = -1 1

n

(I) Koord inatengleichung einer Ebenengleichung Gegeben ist die Ebene E durch x- 2y + 2 z = 4. a) Überprüfen Sie, ob die Punkte P(211 l 3) bzw. Q{- 211 14) zu der Ebene gehören. Bestin1men Sie zwe i weitere Punkte der Ebene. b) Ermitteln Sie die Spurpunkte. Skizzieren Sie dam it die Ebene.

Lösung: a) 2 - 2 · 1 + 2 · 3 = 6 :;e 4: P gehört nicht zu E. -2 - 2 · 1 + 2 · 4 = 4: Q gehört zu E. Da es eine Gleichung mit drei Variab len gibt, können zwei Werte vorgegeben werden: (1) x = 2; y =-2: ~ 2-2·(-2) + 2z= 4 ~ z =- 1 +-1--- z also: {21-2 1-1 ) (2) X= 4; Z = 3: ~ 4 - 2 y + 6 = 4 ~ y = 3, also: (4 l 3 l 3) y b) Sx(X10 10): X- 2 · 0 + 2 · 0 = 4 => X= 4 1 Sy{0 1y 10): - 2 y =4 ~ y =- 2 Sz {0 10 1 z): 2 z = 4 => z = 2 X

• 306 ] ( 7 Ebenen im Rawn )

(Übungen)

C!I) Punkte in der Ebene a) Bestimmen Sie jeweils einen PunktQ auf E. Wie gehen Sie vor? b) Zeigen Sie, dass (-11-212) in allen vier Ebenen liegt. c) Bestimmen Sie die Spurpunkte. Skizzieren und beschreiben Sie damit die Lage der Ebenen. (1) E: 2x -3 y+z - 6=0 {2) E: x + 3y + z + 5 = 0 2 -4 (3) E: z - 2 = 0 (4) E: -1 ·X - 10=0 5

(JI) Normalenformen und Koordinatengleichung in einem Würfel Beschreiben Sie die Ebenen, in denen die Seitenflächen des Würfels liegen, in Normalenform und in PunktRichtungsform. Bestimmen Sie jeweils auch die Koordinatengleichung. Woran erkennt man jeweils para lle le Ebenen?

z

y B

OI) Normalenformen in verschiedenen Darstellungen Welche Gleichungen stellen dieselbe Ebene dar?

a)

(!)·

x-(~) = 0

b)(!)-x-5 = 0

c) 3x+2y-5 = 0

(IT) Koordinatenform in Ebene und Raum Beschreiben Sie jeweils, was durch die Gleichungen {1) in der Ebene und (2) im Raum beschrieben wird. a) x+z = 4 b) y = 1 c) y = x

ffiJ Ebenen aus Geraden Die lineare Gleichung 2x - y - z = 2 beschreibt eine Ebene E im Raum. a) Setzt man z = 0 erhält rnan die Gerade 2x - y = 2. Der Graph ist in der Abbildung skizziert. Füllen Sie die Tabelle aus. z

Gleichung 1

Gleichung 2

0

2x-y = 2

y = 2x-2

,,..

1 Zur Veranschaulichung hilft die Arbeit am realen Modell mrt Holzstaben.

2

2x-y = -3 y = 2x - 5

.,,,,.

~

....

b) Setzen Sie x = O; x = 1; x = 2; ... in die li neare Gleichung 2x - y - z = 2 ein. Geben Sie die zugehörigen Geradengleichungen an. c) Beschreiben Sie, wie hier Ebenen erzeugt werden.

(TI] Sechseckfläche Geben Sie die Ebene, in der die Sechseckfläche liegt, in Koordinatenform, Norma lenform und in Punkt-RichtungsForm an. Welche Darstellung fällt Ihnen am leichtesten?

p..e::::

7.2 Normalen - und Koordinatenform [ 30f_]

(Basiswissen )

Jede Form eine r Ebenengleichung hat ihre Vorteile. Daher ist das Umwandeln an vielen Ste llen hi lfreich.

Umwandeln von verschiedenen Darstellungen einer Ebene 1 Parameterform

Norma lenform

◄

2

Koordinatenform

Strategiehinweise zum Umwandeln: G) Norm a lenvekto r mit Vektorprodu kt best immen, St ützpunkt a ls Punkt der Ebene @ in Koord inatenform sch reibe n, drei Punkte bestimmen, Para mete rgleich ung aufstellen r:;\ 4 - >

1.:V

n ·x

-> ->

=n · q

a usrec hnen

© Norm a lenvekto r ablesen, Punkt bestim m en, Normalenfo rm aufstellen ® Drei Punkte bestim men, Para metergleich ung aufstellen ® zuerst CD, dann @

(Beispiele)

[QJ Parameterform -+ Norm alenform -+ Koordinatenform 1

3 Ermitteln Sie zu der Ebene E: x = - 1 + r 1 tenform. -2 - 1 ->

Lösung: Normalenvektor

n mit Vektorprodukt: n= 5

Normalenform :

-8

....

1 X- - 1

=0 ~

-2

7

+s

2 3

-1

3 1

X

- 1

5 -8

- 1

.... .X -

7

2 -3

d ie Normalen- und Koordina-

5 -8 7

5

1

-8 . - 1 7

-2

=0

~

5

-8

->

·X

=1

7

Koo rdinatenform : 5x - 8y + 7 z= 1

CI[) Ebenen umwandeln Wande ln Sie die Ebenengleichungen jewe ils in die be iden anderen Formen um: ->

1

2

4

a) E: x= -2 + r 3 +s 3 4 -1 1

b)

4

-4

1 - x - 4 =0 -2

c) E:x - y+2z - 2=0

~ Koordinatengleichung mit CAS Mit einem CAS kann ein Makro zur Be stimmung der Koo rdinatenfo rm aus der Parameterform gebaut werden.

•

X

Jcoeb(va ,w ,w):=dotP crossP(V11,w), y - va •O z_

a) Erläutern Sie das Makro und erzeugen

Fertig

Sie es gegebene nfalls m it dem CAS.

koeb va,vz,,w b) Ermitteln Sie jeweils zwei passende Vektoren ä, Ü,

4· x- 2· y+z-6-0

v.

c) Erläutern Sie: ,,Zu einer Ebene gibt es - bis auf Vielfache - genau eine Koordinaten-

form, aber ganz unterschiedliche Parameterformen." Wie ist das be i Geraden?

308 ] ( 7 Ebenen im Rawn )

( Übungen ]

(}QJ Verschiedene Darstellungen einer Ebene Drei der vier Gleichungen beschreiben dieselbe Ebene. Welche sind es?

~

~

g

I) ( ) · X - ( 1 = 0

II) ( ) · {

~

III) 1 I · X = 4

i) l 1)·I I) =

IV) X+ y + z = 6

lli) Besondere Normalenform Anna behauptet: ,,Jede Ebene mit der Ebenengleichung Ursprung." Tim behauptet: ,,Auch die Ebene sprung." Haben die beiden recht?

11 ·

➔x -

-1

n-x= 0 geht durch den 10) 1

= 0 ve rläuft durch den Ur-

1

(]D Ebenen in Normalenform und Koordinatenform Wählen Sie aus den fünf Ebenen jeweils zwei aus, die • parallel und verschieden sind. • gleich sind. ■ orthogona l zueinander sind. • weder parallel noch orthogonal zueinander sind.

(]I) Wahr oder falsch? Gegeben sind zwei Ebenen und eine Gerade im Raum: ➔ -> ~ ,➔ ➔) ➔ ➔ E:x = a+r - u+s-v F:n- x-q =0 g:x=b+tw Welche der Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Entscheidung. -4

A

-4

n.1 Ü und ri.1v~E=F

B E =F n .l V ➔

~

➔

➔

➔

-➔

C n = cw

n .1 u und

~

g.1 F

➔

ffi) Lagerhalle A (3 ,00 10,25 I0,00)

B (3,0012,2510,00) C (0,00 l2,0010,00) D (0,0010,0010,00) E(3,00J0,25 10,50) F(3,00 l 2,2511,00) G {0,00 l2,0012,00) H (0 ,00 J 0,00 l 1,50)

a) Zeigen Sie, dass die Eckpunkte der Dachfläche in einer Ebene liegen. b) Aus Sicherhe itsgründen sollen zwe i vertikale Träger t 1 und t 2 das Dach stabilisieren. t 1 stützt das Dach im Diagonalenschnittpunkt der Dachfläche, t2 wird über dem PunktP(1 11,SIO)errichtet. Beschreiben Sie Ihr Vorgehen zur Bestimmung der Länge der Träger und berechnen Sie dere11 Längen. c) Zeichnen Sie die Lagerhalle mit ihren Trägern in ein ,,2-1-Koordinatensystem".

G

A

Grt111d,v issen

1. Bestimmen Sie beide Lösungen: .j(x + 7)2 = 8. 2. Bei „Mensch, ärgere dich nicht" hat man zu Beginn drei Ve rsuche, eine "Sechs" zu würfeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, die erste „Sechs" genau im zweiten Versuch zu erzie len?

7.2 Normalen- und Koordinatenform [ 309 )

(lffif'~

Flächeninhalt eines Parallelogramms

Flächeninhalt eines Dreiecks

h

--a

a

A =laxb = lal- lb l- sin(y)

(a

Die Verknüpfung X b). C wird Spatp rodukt gena nnt.

Volumen eines Spats

Volumen einer dreiseitigen Pyramide

I I

-a .....

I

I

I 1

I

I

1

(

l

(

I

---- ----- --

--- -·1

1-+ x -+b )•-+c V= 1a (Aufgaben)

I

-------

ä

v = ½- (a x b) -c1

~ Parallelogramm Berechnen Sie die Koord inaten des fehlenden Parallelogrammpunktes und den Flächeninha lt mithilfe des Vektorprodukts. a) A(4 IOl 3); B(5 l -3 l -1); C(-2 141-3) b) A{Ol 3 14); B(6 I OIO); D(9l-2 l 5)

(]&} Anwenden des Vektorprodukts a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms mitA (1 l -214), 8 (71016), C(5 16 1-4) undD (- 1141 - 6). b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks mit A (3 12 1- 2), B(1 1511 ) und C(Ol 2 13). c) Berechnen Sie das Volumen des Spats ABCDEFGH mitA{4 11 IO), 8 (418 IO), C(1 IB I 0) und E{3 12 l 4). Erstellen Sie auch eine Zeichnung. d) Berechnen Sie das Volumen einer dreiseitigen Pyramide mit den Eckpunkten A(6 10 10 ), B(0 14 10), C (0 1010) und S(21 21 6).

lli) Rechengesetze für das Vektorprodukt

,,

~

Welche Aussagen sind wahr? Begründen Sie Ihre Entscheidung.

' -

..... a

➔

b

0-

-s ax t 1 Vektoren

1 1 Vektoren

-+

-+

➔

-+ a x a=O

~

~

(1) a x b=b x a

(2)

-+} = (-+axb-+} x -+c (3) --4 a x (-+ bxc

-+ (-+bxa-+) {4) -+ axb=-

-+

(5) a

-+ -+ II b ~ a x b = 0 --4

➔

1

➔ -+} {--+ ➔) ➔ ➔ -+ -+ {8) ( a xb x a xb = a x a +b x b

310

7 Ebenen im Rawn

7.3

(Aufgaben)

Lagebeziehungen zwischen Gerade und Ebene

CIJ Gemeinsame Punkte von Geraden und Ebenen z über mögliche Lagebezie hungen zwische.n Geraden wissen Sie bereits Bescheid. Wie sieht es mit den Lagebeziehungen zwiscl1en Geraden und Ebenen aus? a) In der Abbildung sehen Sie einen Würfel mit der Kantenlänge 4. y Entscheiden Sie, ob die Gerade, die durch zwei Kantenmitten verläuft, und die Ebene, in der das Dreieck liegt, gemeinsame Punkte haben. b) Geben Sie zwei Geraden an, die zu den anderen Lagebeziehungen mit der Ebene E führen. Weisen Sie rechnerisch die Lagebeziehung der Gerade mit der Ebene nach.

IT) Lagebeziehungen von Gerade und Ebene z

Gegeben sind die Geraden 4

2

1

1

2

g: x = O +r -1

..

5

4

2 1 h: X= 0 + s 2 ➔

1 ➔

k: X

=

1 2 0

3

3

2, 1 .:. 1

0 + t -3 2

2 ,~--.. --t--+--+-+--+---

4 ~, ~

und die Ebenen

,

F: x =

2

o +k 1

1

'

/

E: x + 2y + 3 z = 6 4

1 2 3 4 5

1

- 1 +m O 2

0

Untersuchen Sie die Lagebeziehungen der Geraden g, h und k zu den beiden Ebenen E und F. I n welchen Fällen ist es besonders einfach? Richtungsvektoren der Gerade und der Ebene betrachten

Schnittpunkte ausrechnen

Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade betrachten

LGS aufstellen und lösen

Komponentengleichungen der Gerade in Koordinatenform einsetzen

Ebene in Koordinatenform umwandeln

y

7.3 Lagebeziehungen zwischen Gerade W1d Ebene [ 311 )

( Basiswissen )

Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene Jg 1 1 1

1

1

1 1

1 1

1

1 1

1

:

1 1

,"'

,,,,

,

g

!----- ----- /

[

/ g und E schneiden sich in einem Punkt

g und E sind parallel

gliegtin E

Die Lagebeziehung wird m ithilfe der Geraden- und Ebenengleichungen berecl1net.

1. Ebene in Koordinatenform oder Normalenform .... P, v, g: x = p2 +r v2 und E: ax+by+cz = d p3

V3

Durch Einsetzen der ,,Komponentengleichungenu in die Ebenengleichung erhält man die Gleichung mit der Lösungsvariablen r:

a (p1 + r V1 ) + b( p2 + r V2 ) + C{p3+ r V3 ) = d Falls es für r ■

genau eine Lösung gibt, schneiden sich die Gerade g und die Ebene E. ■ keine Lösung gibt, sind die Gerade g und die Ebene E zueinander parallel. ■ unendlich viele Lösungen gibt, liegt die Gerade g in der Ebene E.

2. Ebene in Parameterform g: 4x = -4 a

+ tu

....

und

E: -x = -b

+ r v + sw ....

-

Schnittpunktansatz: Die Geradengleichung wird mit der Ebenengleichung gleichgesetzt. -,

-4-4

4

-

a + tu=b + rv +s w Dies f ührt auf ein lineares Gleichungssystem m it drei Gleichungen und drei Variablen. Das Gleichungssystem kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.

Beispiel: genau eine Lösung

·1 0 0 -1· 0 1 0 2 .0 0 1 -1 . g und E schneiden sich

keine Lösung

unendlich viele Lös ungen

1 0 0 1 0 0

1 0 0 1 0 0

g und E sind parallel

g liegt in E

in einem Punkt

(Beispiele)

(TI Gemeinsame Punkte einer Geraden und einer Ebene in Koordinatenform Best immen Sie d ie gemeinsamen Punkte der Geraden g: Ebene E: 2x + y +3 z = 5

1 -1 = 2 + r 4 und der

x

3

2

Lösung: 2 (1 - r) + {2 + 4 r) + 3(3 + 2 r) = 5 li efert die Lösung r = - 1. Durc h Einsetze n von r = - 1 in die Geradengle ichung erhält man den Schnittpunkt S(2 l-2 l 1 ).

.l!IJ (7Ebenen im Ra u1n ) (Beispiele)

[[J Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene in Parameterform Welche Lage haben die Ebene E: zueinander?

x=

2

-1 -2 2 +r 1 +s 1 2 1 3

und g:

-1 -5 = 4 +t 3

x

6

7

Lösung:

Der Schnittpunktansatz liefert:

~--L _G_s _ _ ____M_a_tr_ix_ _ _ _ _ _ _ Dia _,g onalfo_rm _ __

Inter retation

-1 11

-r- 2s+ 5t = -3 r+ s-3t = 2 r+3s - 7t = 4

r- t = 1 s- 2t = 1

1 0 0 1 -2 1

10

0 0 0

0- 0

Die letzte Gleichung ist allgemeingültig. Der Parameter t kann beliebig gewählt werden. Alle Punkte von g sind also Lösung des Gleichungssystems. Das bedeutet, die Gerade liegt in der Ebene.

(Übu11gen)

~

OJ Rechner defekt -

kein Problem Bei diesen Aufgaben geht es auch leicht per Hand. Welche Lage haben die Ebene und die Gerade zueinander? ➔

3

1

1

3

1 + r -4 2

a) g: x = 4 + r 2

b) g:

x=

1 -2 1

g:

➔ X=

3 2 0

C)

d) g:

x

t

und E: 2 x + y + 3 z = 0

und E:4x+2y+z=1 2 und E: x = 1 5 ➔

14 = 1

-2 +t 2

15

0

und E:

x

+r

0

3

+s o

2 -1

1

3 6 = r 2 + s -2 4 2

[TI Training Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Ebene und der Gerade. ➔

2 0 a) g: x = 1 +r 2

3

b) g:

➔

X

=

und E:2x - z=4

1

1

+r

1

0

2

2

3 c) g: X = 4 4

2 1 -3

➔

d) g: e) g:

➔

X

➔

X

=

=

und E:x+2y+3z= 4

-3

+t

-4

-1 und E: x = 4 0 ➔

3 5

3

0

+r

3

+s

1

und E:x = 1 + r

6 0

1 1 1 und E: x::::: 4 + r 1 + s 2 2 1 0

-8

+t

1

0

2

-2

-2

0 +t 1 -2

0

1 1

0

3 +s -2

-2

2

➔

CIJ Sechseckfläche 4

Zeigen Sie, dass die Diagonale DF des Würfels die Sechseckfläche im Mitte lpunkt des Würfels M {21212) schneidet. Wie erkennen Sie an der Diagona lmatrix, dass genau ein Schnittpunkt vorliegt?

z

y X

4

7.3 Lagebeziehungen zwischen Gerade W1d Ebene ( 313 )

(Übungen)

[TI Schnittpunkt aus Diagonalenform a) Bestimmen Sie den Schnittpunkt der Ebene mit der Geraden aus der Diagonalform der Matrix. 1 0 0 -1 0 1 0 2

E:

4

2

X=

3

2

➔

g: X=

0 0 1 -1

+r

-3

1

1 1

+S - 1

1

2 -5 3 +t 3 7

10

u, v;

b) Ordnen Sie v";, den Richtungsvektoren zu und interpretieren Sie die Zeichnung mithi lfe der Vektorzüge.

E

i1 '-

• (-1) Ü

IT) Dreiseitige Pyramide Die dreiseitige Pyramide steht auf der Ebene E. E:x=( - i

+r( - i)+s( _~)

Drei Seitenkanten der dreiseitigen Pyramide liegen auf den Geraden ..... S1: X

3

2

= 5 + t, 3 , 0

..... S2: X

3

2

0

1

= 5 +t 2 5

0

E

Bestimmen Sie die Eckpunkte der Pyramide. Handelt es sich um ein Tetraeder?

CTJ Parameteraufgabe 2- a

a- 2

Gegebensind &i:x = 4-2a +r O und Eb:2x-y+ b = O 2 2 a) Für welche a und b gibt es genau einen Schnittpunkt? b) Für welche a und b sind~ und Eb echt parallel? c) Für welche a und b liegt ga in Eb? Gn1ndwisse11 1. Geben Sie die Werte für a und b so an, dass die Vektoren Ü = 0,5 - 5 und -1

w,

v = ( a1 ) b

v

zueinander parallel sind. Finden Sie einen Vektor der zu Ü und para llel ist und nur ganzzahlige Koordinaten (nur positive Koord inaten) enthält? 2. Begründen Sie jeweils in Worten und mit einer Skizze. a) Gibt es Funktionen, die zur x-Achse symmetrisch sind? b) Gibt es Funktionen, die sowohl punktsymmetrisch zum Ursprung als auch achsensymmetrisch zur y-Achse sind? 3. Lösen Sie die Gleichung: - + 7 = 2 x.

1

[ 314 ] ( 7 Ebenen im Rawn ~

(Aufgaben)

[B Lineare Abhängigkeit von drei Vektoren Bisher haben Sie kollineare Vektoren als parallele Vektoren interpretiert. Man kann auch sagen: Zwei Vekto ren Ü und v sind genau dann li near abhängig, wenn Ü = cv mit ce lR. Bei drei Vektoren geht die Interpretation mit hilfe para lleler Vektoren nicht mehr. Begründen Sie anschaulich, dass die --; Vektoren ä, b und linear abhängig sind. Zeigen Sie dies mithilfe der nebenstehenden Definition auch rechnerisch.

Lineare Abhängigkett von drei \JA' 0 ·X

a)

d) x + y + z = 0

.,,, 1

'11 1

,_ ., ....

E:

➔

X

=

1 1 2

g und E

g und E sind parallel

schneiden sich

➔

➔

-

c)

1 0

=Ü

0

f) x+z = O

+t

- 1 1 1 +t 1 -2

0

➔

g,: X =

- 1

8

9 - 1 ,

- 6 +t

-2

0

3 1

g ·- -

g liegt in E

ffi) Lagebeziehung im Würfel a) I n welchem Punkt -,_Ji_'°_Ol -l -4~:~z:_-:_~-=._~~,.._--:_-_..,._-t:::.-::iit --,-, G schneidet die Gerade g durch A und G das Dreieck AFH? b) Schneidet die Gerade h durch B und G die Ebene, auf der das Dreieck AFH liegt?

a + tu=b+rv+sw Dies führt auf ein Lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen. Das Gleichungssystem kann genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich vie le Lösungen haben.

-t

GI) Raumdiagonale und Ebenen im Würfel z

2. Ebene in Parameterform Schnittpunktansatz: Die Geradengleichung wird mit der Ebenengle ichung gleichgesetzt. ➔

3 +r 0 +s - 1 , -1 1

4

1. Ebene in Koordinatenform oder Normalenform Durch Einsetzen der „Komponentengleichungen" in die Ebene ngleichu ng erhält man die Gleichung für r. a {p1 + r v1 ) + b {p2 + r v 2 ) + c ( p3 + r v3 ) = d Die Gleichung kann eine, keine oder unendlich viele Lösungen haben.

➔

e) y = 0

2

17 -3

E

E

=0

1 ➔ 1 · X 0

Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Ebene zu den Geraden.

.,,,

__

2 1 4

[IQ] Eine Ebene und Geraden

Lagebeziehung Gerade - Ebene - ~g

b)

0

--->

g

=0

0 __. O · x3

1

1

1

1d

r

y

,,'

E: '

y

1

,, X

z

2

, ,

1

y

f __ , 1

X

Bestimmen S1e den Schnittpunkt der eingezeichnet en Würfeldiagonalen mit der jeweiligen Ebene im Würfel. Wa s fällt Ihnen dabei auf? Gibt es weitere Ebenen im Würfel, welche die gleiche Be sonderheit aufweisen?

Cl1eck-up ( 351 )

Check-up GI) Lagebeziehung von Ebenen

Lagebeziehung zw ischen Ebenen

Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Ebenen zueinander.

1

0 -2 a) E1 : x = 0 +r - 1 +s 0 3 0 3 4

....;

F

E und F schneiden sich

E und F sind parallel

Fliegt in E b) E1 :

1. Eine Ebene in Koordinatenform, die andere in Parameterform Durch Einsetzen der „Komponenten-

x

-2 0 2 3 +k 0 +m - 1 = - 1 0 3

....;

E2:

X

-1 = 0 +r 1 +s 0 ; E2: 1 · X = 2 0 0 2 0

c) E1 : x =

-i

0

1

3

+ r (=~) +s

➔

:!

E2 : 5x + 11y - 6 z =- 36

d) E1 : 2x-y+z = 6; E2 :-x+3y+z = 2

gleichungen" der Parameterform in die Ebenengleichung erhält man die Gleichung mit den Lösungsvariab len rund s.

(JI) Ebenen im Würfel z

Welche Lage haben die Ebenen E1 , E2 und E3 zueinander? Bestätigen Sie geometrisch Ihre rechnerische Lösung.

2. Seide Ebenen in Koordinatenform

Die Ebenengleichungen können als LGS mit zwei Gleichungen und drei Variablen aufgefasst werden.

y

j

1

)(

3. Beide Ebenen in Parameterform Der Schnittpunktansatz führt auf ein

(ill Schnittwinkel von Geraden

lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und vier Variablen.

Bestimmen Sie den Schnittwinkel der Geraden.

Winkel zwischen zwei Geraden Der Winkel a zwischen zwei Geraden ist der Winkel zwischen den h Richtungsvektoren.

g: h:

1

➔

X =

➔

X

2

+r

- 1

g~

-2

1

1

1

1

= 2

+r - 2

1

1

2.

~ (v1)

a = cos-, { 1J 1

g

00 Winkel zwischen Geraden Gibt es unter den drei Geraden g, h und k im Würfel zwei, die orthogonal zueinander sind? Stellen Sie eine Vermutung auf und berechnen Sie dann die Winkel zwischen je zwei der drei Geraden.

Winkel zwischen Gerade und Ebene

0 g: X = o + r 1 , 2 0 ....;

Der Winkel zwischen einer Ebene und einer Geraden ist der Winkel cp = 90° ➔

g: X=

-1

1

2 1

+r o 3

i/ -i)

E:-x+y+2z=6 5

cos (ß) = ../10 ./6- = {lo

.Fs

=>

ß :,:;: 4g,so

ß.

2

h:

➔ X

=

0 2

+

y [Op ~'-Mf-+-+-+~.-i-+i...+--1-i--+--

1 s 0 ,

0

1 1

-->

k: X = t

1

1

(]I) Raumdiagonale und Ebene Zeigen Sie re chnerisch, dass die Raumdiagonale im Würfel mit der Kantenlänge 4 die Ebene, in der die Fläche BCHE liegt, nicht senkrecht schneidet.

z

l y C

l

( 352 ) [ 7 Ebenen im Raum )

Check-up Winkel zwischen Ebenen Der Winkel zwischen zwei Ebenen ist der Winkel zwischen den Normalenvektoren. ➔

E1:-x+2y+z=4

n=

1 ➔

E2: -7 x + 5 y + 4 z =10

-1 /-7) (~ 1~

-1 2

n=

-7 5 4

21

0

cos( 2s heit einer Fernsehsendung wurden :::= + 25 98 123 200 Fernsehzuschauer befragt. _ _ _____. 35 42 77 Es wurde das Merkmal „höchstens 25 60 140 200 Jahre· und „fand die Sendung überwiegend positiv(+)" berücksichtigt. a) Stellen Sie die Tabelle mit relativen Häufigkeiten dar. b) Sie wählen eine Person von den 200 Befragten zufällig aus. Berechnen Sie P (+) und P{+ und> 25 ). Erläutern Sie jeweils, um we lche Wahrscheinlichkeit es sich handelt. c} Was versteht man unter P{+ / ~ 25)? Be rechnen Sie diese Wahrscheinlichkeit. Berechnen Sie auch P{~ 25 /+). Was stellt diese Wahrschein lichkeit dar?

9.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit [ 385

( Basiswissen ]

Bedingte Wahrscheinlichkeiten und Baumdiagramme Die Ergebnisse der Verzehrstudie aus dem ersten Basiswissen kann man auch mit einem Baumdiagramm darstellen. Gesc hlecht

Vegetarier

-

P(BIA)= 0,985

B - 3497

-

A 3550 -

P(A) = 0,43

B

P(B IA) = 0,015

A und B männLich und Vegetarier

53

-

A und B männLich und kein Vegetarier

8250

A

P(A) = 0,57

____:P('.:B~IA~) :-

-A und B

B ~ o.~03~ - - 141

4700 - - : : ~ ~;---P(B iÄ) = 0,97 -

Ergebni s

weiblich und Vegetarier

A

Aund B

4 559

weiblich und kein Vegetarier

Den obersten Pfad des Baumdiagramms kann man wie folgt interpretieren: P (A n B) = P(A) · P (B A) =0,43 · 0,01 5 =0, 006 J

Regeln zum Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten

Multiplikationsregel Ereignis A und das Ereignis B treten ein: P(A n B) = P(A} · P(B JA) berechnet. Regel zur Berechnung der bedingten Wahrscheinlichkeit P(BIA)= P(~;~ 1; P(A)iO

(Beispiele)

0

Urnenaufgabe Eine der drei Urnen wird durch Würfeln ausgewählt: Bei Augenzahl 1 wird die Urne U1 ausgewählt, be i Augenzahl 2 oder 3 die Urne U2 . Ansonsten wird Urne U3 gewählt. Aus dieser Urne wird eine Kugel gezogen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Kugel blau ist? b) Angenommen, die gezogene Kugel ist blau . Wie groß ist die Wahrsche inlichkeit, dass sie aus der Urne U1 stammt?

Lösung: übersichtlich lässt sich die Situation mit einem Baumdiagramm darstellen: 3 10

a) Zur Berechnung von P{,,blau" ) wird die Summenregel angewendet: Führen verschiedene Pfade zum selben Ereignis (hier: ,,blau"), so addiert man die Pfadwahrscheinlichkeiten. Multiplikations- und Summenregel Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten

3 5 19 Es g,.lt al so p ( blau ,,) = 61 •Tö + 62 •Tö + 3 51 = 6Ö ,

s"

II

U1 7

2 6

5

Uz

10

b blau und aus U1 r

10

b blau und aus U2

5

r

10

)

5

U3 4 5

,d b blau und aus U3 r

b) Anwendung der Formel zur Berechnung für bedingte Wahrscheinlichkeiten: 1

3

P(U I b) = P(U 1 und b) = 6 --10 =-1. 1

P(b)

~

19

J

l 386 ) f9 Wahrscheinlichkeitsmodelle

)

GJ Wahrscheinlichkeiten richtig interpretieren

( Übungen )

Was versteht man bei dem Beispiel aus dem Basiswissen unter a} P ( A I B) b) P {B} c) P (A und B}

CI] Wahrscheinlichkeiten berechnen Berechnen Sie für das Beispiel aus dem Basiswissen die folgenden Wahrscheinlichkeiten einma l m ithilfe der Tabelle und einmal mithilfe des Baumdiagramms und den im Basiswissen angegebenen Rechenregeln. a } P{A I B) b) P (B} c) P(AundB) d} P{AI B)

CI] Musikalische Schüler An einer Schule gibt es eine Bigband mit 45 Schülerin nen und Schü lern und einen Pop- und Jazzchor mit 74 Schülerinnen und Schülern. 18 Schü lerinnen und Schüler s ind sowoh l Mitglied in der Bigband, als auch im Chor. a} Was hat die Abbi ldung mit der Aufgabe zu tun? b} Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schülerin oder ein Schüler Mitglied in der Bigband ist, wenn man we iß, dass er bzw. sie im Chor dabei ist?

(I) Bürgerbefragung Eine Stadt möchte ein neues Jugendzent rum bauen. Bei einer Bürgerbefragung stimm ten 68 % der Befragten dem Neubau zu. Von denen, die dem Neubau zustimmten, waren 35 % jünger als 21 Jahre. Wie könnte eine Fragestellung heißen, zu deren Lösung 0,68 · 0,35 berechnet werden muss?

illJ Richtiges Anwenden der Multiplikationsregel Angenommen , 20 % der Abonnenten einer Zeitung lesen eine besti mmte Werbeanzeige. Nehmen Sie weiterhin an, dass 9 % derjenigen, die diese Anze ige lesen, das Produkt auch kaufen. Berechnen Sie mit diesen Annahmen die Wahrsche inlichkeit, dass ein Abonnent der Zeitung die Anzeige liest und das Produkt kauft.

lli) Übersetzen von Daten in ein Baumdiagramm Es wurden 800 Fahrgäst e einer Nahverkehrslinie gefragt, ob sie eine Zeitfahrkarte besit zen oder nicht. 288 Befragte waren weiblich. Von diesen besaßen 187 eine Zeitfahrkarte. Von den befragten männlichen Fahrgästen besaßen 128 keine Zeitfahrkarte . a } Stellen Sie die Daten in einer Vierfeldertafel einmal mit absoluten und dann mit relativen Häufigkeiten dar. Übertragen Sie die Daten auch in ein Baumdiagramm. b) Wie groß ist der Anteil der Zeitkartenbesitzer an allen befragten Personen?

OIJ Ergänzen und Auswerten von Tabellen und Baumdiagrammen Bei einer Kontrolle vor einer Schule stellte die Polizei fest, dass 18,5 % der männlichen Radfahrer und 30,2 % der weiblichen Radfahrer einen Helm trugen. Insgesamt wurden 325 Schülerinnen und Schüler kontrolliert, von denen 56 % Mädchen waren. Heimträger

Geschlecht

weiblich gesamt

Ja

Nein

gesamt

a) Überprüfen Sie, ob die Daten richtig in die Vierfeldertafe l eingetragen wurden, ergänzen Sie die feh lenden

Daten und übersetzen Sie die Daten in ein Baumdia0,302 ■ o,56 gramm. b) Berechnen Sie den Anteil aller Helmträger unter den überprüften Schülerinnen und Schülern. c) Wie groß ist der Anteil der Jungen unter allen Personen, die einen Helm t rugen? o,185

9.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit [ 387 )

GI) Übungen zur bedingten Wahrscheinlichkeit Sie haben bereits gesehen, wie nützLich die Produktregel zur Berechnung von Wahrsche inlichkeiten in einem Baumdiagramm ist. Zur Übung nehmen Sie einmal an, dass Sie aus einer Urne mit fünf roten und einer blauen Kugel nacheinander zufälLig zwei Kugeln ziehen: a) ohne Zurücklegen, b) mit Zurücklegen. Berechnen Sie jeweils die folgenden ( b 1. Zug Wahrschein lichkeiten: P (1. Kugel rot), ( r b b 2. Zug P (1. Kugel blau), P (2. Kugel rot ! 1. Kugel rot), rund r ■ Ereignis E P (2. Kugel blau 1 1. Kugel rot), P (1. Kugel rot ! 2. Kuge l blau), ■ P(E) P (1. Kugel blau 12. Kugel blau). Ergänzen Sie für die Teilaufgaben a) und b) das Baumdiagramm mit den entsprechenden WahrscheinLich keiten längs der Pfade.

/\

• •

•

/\

• •

ffi) Bedingte Wahrscheinlichkeiten berechnen In einem Tierheim können zur Zeit 12 Hunde und 9 Katzen adoptiert werden. Vier der Hunde und drei der Katzen sind rnännlich. Berechnen Sie jede der folgenden bedingten Wahrscheinlichkeiten, wenn eines der Tiere zufällig ausgewählt wird und interpretieren Sie das Ergebnis. a) P (männlich IKatze) b) P(Katze I männlich) c) P (weiblich I Hund)

[ill Gesundheit Bei einer Studie mit 100 zufällig ausgewählten Personen wurde festgestellt, dass 40 von ihnen täg Li ch mehr als die empfohlene Salzmenge von 5g zu sich nehmen. Von denjenigen mit einem hohen Salzkonsum hatten 50 % einen erhöhten Blutdruck, von denjenigen, die weniger als 5g Sa lz täglich zu sich nehmen, hatten 15 % einen erhöhten Blutdruck. a) Stellen Sie die Daten in einer Tabe lle dar. b) Wie groß ist in dieser Unte rsuchung der Anteil der Personen mit erhöhtem Salzverzehr an den Personen mit erhöhtem Blutdruck?

lliJ Die Bayes'sche Regel - etwas für Theoretiker In Formelsamm lungen findet man die Bayes'sche Regel. Erläute rn Sie diese mithilfe des Baumdiagrams.

Bayes 'sche Regel: p (A B) = P(A) J

P(BIA) P(A)·P(BIA) +P(A) P(BIÄ1

P(BJA)

An ß

P(An B)

An -ß

P(AnB)

-An B

P(An B)

-An-B

P{AnB)

A

P(A)

P{Ä)

P(BIA)

A

~ 388 , ( 9 Wahrscheinlichkeitsmodelle )

(Übungen) Zum Training von Begriffen, Baumdfagrammen un d Berechnen von Wahr scheinlichkeiten

[ill Typische Fragestellungen mit bedingten Wahrscheinlic.hkeiten Die beiden Tabellen ste llen die Ergebnisse einer Kundenbefragung dar, und zwar zum einen mit absoluten und zum anderen mit relativen Häufigkeiten. A: Der Kunde kauft Zahnpasta A: Der Kunde kauft keine Zahnpasta B: Der Kunde kauft Mundwasser B: Der Kunde kauft kein Mundwasser Absolute Häufigkeiten Relative Häufigkeiten B

-B

Summe

A

200

600

800

A

50

150

200

250

750

1000

B

-B

Summe

0,2

0,6

0 ,8

0,05

0, 15

02

0,25

0,75

A

-A

' 1

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig aus dieser Stichprobe ausgewählter Kunde nur Zahnpasta , nur Mundwasser, Zahnpasta und Mundwasser, mindestens eines der beiden Produkte kauft. b) Ermitteln Sie alle bedingten Wahrscheinlichkeiten P {Al B), P{A IB), P(BI A) usw. Erläutern Sie zunächst, um we lches Ereignis es sich jeweils hande lt. GMAT: Gradu ate Management Admission Test

(}[) Eine Aufgabe aus dem GMAT-Test - reichen die Daten? Bei einer Befragung von Firmen hinsichtlich ihrer Erwartungen an die zukünftigen Beschäftigten bezüglich Computer- und guter Rechtschreibfertigkeiten war ein Ergebnis, dass 20 % der Firmen sowohl Computerfertigkeiten (C) als auch gute Rechtschreibfertigkeiten (R) erwarteten. Wie viele der Firmen erwarten weder Computer- noch Rechtschreibfertigkeiten? Welche der beiden Zusatzinformationen benötigt man zum Beantworten dieser Frage, I nfo 1 oder Info 2 oder gar beide?

Info 1: Von denjenigen Firmen, die Computerfertigkeiten verlangen, fordert die Hälfte auch gute Rechtschreibfertigkeiten. Ohne Info 1 und Info 2:

/ \R

R

CnR

Mit Info 1:

-C

C

CnR

0,2

-CnR

c

C

o,1/ \ -

/ \-

R

Info 2: 45 % der Firmen erwarten keine Computerfertigkeiten, dafür aber gute Recl1tschrei bfertigkeiten.

R

- - Ereign is E CnR

•

P(E)

/

R

R

R

-R

CnR

CnR

-Cn R

-Cn-R

0,2

•

Ereignis E p (E)

Welche relativen Häufigkeiten können nun in dem zweiten Baumdiagramm noch ange geben werden? Re icht Info 2 zur Bestimmung von '? Grt1nd,v issen 1. Gegeben sind die beiden Punkte P (312) und Q(417). a) Bestimmen Sie ohne Messung den Abstand zwischen P und Q b) Berechnen Sie den Mittelpunkt der Strecke PQ. c} Ermitte ln Sie die Gleichung der Geraden durch die Punkte P und Q 2. Lösen Sie das Gleichungssystem grafisch. (I) 7x- 2y = 4 (II) 3x+y = 11

9.1 Bedingte Wahrscheinlichkeit [ 389

(Aufgaben)

[!2J Meningitiserkrankung Die Meningitiserkrankung {Hirnhautentzündung) tritt in einem bestimmten Bundesland einmal unter 50000 Personen auf. Erfahrungsgemäß leidet etwa die Hälfte der an Meningitis erkrankten Patienten unter Genicksteife {sogenannter Meningismus). Ein steifes Genick kann jedoch auch andere Krankheitsursachen haben. Im Durchschnitt tritt dieses Symptom bei einem von 20 Patienten auf, die eine Arztpraxis aufsuchen. a) Ergänzen Sie die Daten in der Tabelle, sodass Sie einen ÜberbLick über die vorkommenden absoluten Häufigkeiten erha lten. Gehen Sie dabei am besten von einer Gesamtanzahl von 100000 Personen aus.

II

Meningitis

keine Meningitis

gesamt

steifer Hals kein steifer Hals gesamt

■ 1

100000

2

b) Kevin klagt über einen steifen Hals und macht sich Sorgen: Könnte das ein erstes Anzeichen einer Meningitis sein? Der Arzt, den Kevin aufsucht, gibt Entwarnung: ,,Keine Panik. Die Wahrsche inlichkeit, dass Sie an Meningitis erkrankt sind , beträgt 0,02 %." Erklären Sie, wie der Arzt zu dieser Wahrscheinlichkeitsaussage kommt.

Exlrurs

Bedingte Wahrscheinlichkeiten m1d medizinische Tests In der Medizin werden häufig Tests eingesetzt, 11m schnell eine Diagnose für oder

Bedeutung des Testergebnisses für den Arzt:

gegen eine bestimmte Krankheit zu erhalten. Bekannte Beispiele sind der ELISA-Test auf IiIV oder die Untersuchung mit Röntgenstrahlen auf Lungenkrebs. Diese Art von Tests sind beliebt, da sie relativ schnell durchzuführen und nicht invasiv sind Allerdings sind sie meistens nicht so präzise wie andere Tests (z.B. Entnahme einer Gewebeprobe bei Verdacht auf Lungenkrebs). Die folgende Tabelle fasst die möglichen Ergebnisse eines medizinischen Tests zusammen: Testergebnis

Testergebnis +: Hinweis auf Erkrankung Testergebnis - : Hinweis darauf, dass der Patient nicht an der betreffenden Erkrankung leidet

positiv {+}

negativ (-J

Patient in

erkrankt (KJ

Kund+

Kund-

Wirklichkeit

nicht erkrankt (K)

Kund+

K und-

Die in der Tabelle gelb gekennzeichneten Felder stellen Fehldiagnosen dar.

Wichtige Parameter, die die Leistungsfähigkeit eines Tests beschreiben, sind die Sensitivität und die Spezifit ät. Sensitivität: Wahrscheinlichkeit, dass ein Erkrankter positiv getestet wird: P(+I K) Spezifität: Waluscheinlichkeit, dass ein GesW1der negativ getestet wird: P (-1 K) Besonders wichtig: Daneben interessiert sich der Mediziner insbesondere für die Wahrscheinlichkeit P(KI+), dass ein positiv getesteter Patient tatsächlich erkrankt ist und für P (KI -), dass ein negativ getesteter Patient tatsächlich gesund ist. Ein Test wandelt gemäß seiner Leistungsfähigkeit eine gegebene Vortestwahrscheinlichkeit in eine Nachtestwahrscheinlichkeit 11m (siehe Abb.). 1-Iäufig werden Testergebnisse fehlinterpretiert, da man von hoher Sensitivität und Spezifit ät in der Regel bei einem positiven Testergebnis nicht auf eine hohe Wahrscheinlichkeit schließen kann, dass der Patient tatsächlich erkrankt ist (siehe Obung 19).

Vortestwahrscheinlichkeit

Wahrscheinlichkeitsumwandler ~.. Sens1t1v1tat

s/.lJ;r·· e11

1tat

Na chtes tw ahrschein lieh keit

J

390

J (9 Wahrscheinlichkeitsmodelle

)

(Aufgaben) (}QJ Labortest Bei einem Labortest auf eine bestimmte Krankheit erhält man bei erkrankten Personen ein positives Testergebnis mit einer Wahrscheinlichkeit von 90 % und bei nicht erkrankten Personen ein negatives Testergebnis von 91 %. Untersuchungen an größeren Bevölkerungsgruppen haben geze igt, dass die betreffende Krankheit in de r Bevölkerung mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % auftritt. a) Beurteilen Sie die Sensitivität und die Spezifität des Tests. b) Stellen Sie die Daten in einer Tabe lle dar und berechnen Sie die Wah rscheinLi chkeit P(K I+), d. h. die Wahrschein lichkeit, dass ein Patient mit einem positiven Test tatsächlich erkrankt ist . c) Der behandelnde Arzt möchte einen Patienten, der einen positiven Laborwert hat, davon überzeugen, dass das Risiko, dass er wirklich erkrankt ist, nach wie vor nicht sehr hoch ist. Der Arzt versucht es mit einer Ta belle mit absoluten Zahlen. Wie könnte der Arzt die Tabelle errechnet haben und wie könnte er argumentieren? Berechnen Sie mit der Tabelle P {K 1 + ). Testergebnis

gesamt

+ Patient in Wirklichkeit

K (erkrankt)

90

10

100

K(nicht erkrankt)

891

9009

9900

gesamt

981

9019

10000

lliJ Kritisch nachgefragt I n der Übung 20 wird ein medizinischer Test vorgestellt, der auf den ersten Blick sehr aussagekräftig zu se in scheint: P (+ 1erkrankt) = 0,90 und P (- 1nicht erkrankt) = 0,91 Wenn man allerdings P (erkrankt 1 +) berechnet, d. h. die Wahrsc heinlichkeit, dass man tatsächlich erkrankt ist, wenn der Test positiv ausgefallen ist, so ist man überrascht: P (erkrankt 1+) =~ = 0,092 Woran liegt es, dass diese Wa hrscheinlich keit t rotz des recht siche ren Tests noch so gering ist? Zur Beantwortung der Frage sollt en Sie in Übung 20 die Wahrscheinlichkeit, dass die betreffende Erkrankung in de r Bevölkeru ng auftritt, auf 2% und dann auf 10% abändern. Was beobachten Sie?

(]I) Machen Screenings Sinn? Gesundheitspolitiker diskut ieren immer wieder über den Sinn und Unsinn von Screening. Nehmen Sie einmal an, es wäre beabsichtigt, die gesamte Bevölkerung Deutschlands auf HIV + mit dem ELI SA-Test zu untersuchen. Abgesehen von der praktischen Durchführbarkeit und den Kosten würden auch Fragen aufkommen, die mit der Sensitivität und der Spezifität des ELISA-Tests zusammenhängen. Angenommen, die Sensitivität des ELISA-Tests beträgt 99,9 % und die Spezifität 99,8 %. Nehmen Sie weit er an, dass die WahrTest Test+ gesamt scheinlichkeit, den HI-Virus zu haben, in HIV der Bundesrepubli k 0,0005 beträgt und die nicht HIV ■ ■ Bevölkerungszahl etwa 82 Millionen ist. 82 Mio. gesamt Erstellen Sie eine Vierfe ldertafel, um die Ergebnisse dieses Screenings zusammenzu fassen. Welche Schlussfolgerungen können Sie ziehe n? Halten Sie ein solches Screening für sinnvoll?

9.2 Stochastische Unabhängigkeit ( 391 )

9.2

(Aufgaben)

Stochastische Unabhängigkeit

ITJ Rot-Grün-Schwäche In Deutschland ist die „Rot-Grün-Schwäche" relativ weit verbreitet. Als „Rot-GrünSchwäche" bezeichnet man eine vererbte Schwäche des Auges. Die Betroffenen können die Farben Rot und Grün nicht so gut unterscheiden wie die Mehrheit der Bevölkerung. Es gibt zahlreiche Abstufungen einer „Rot-Grün-Schwäche". Nur wenn man beide Farben gar nicht wahrnehmen kann, spricht man von einer „RotGrün-Blindheit". Das Ergebnis einer Stichprobe zur Ver-

•. ·••·· .••. . • ·•······•· .• .•..• •···· ··••·~······• ..... •,-·tl·•·•!' ··••····• ·= ···•··· · •·~·-····· ··• •• ,-•. : •..•• ·••·• ·•·· ...•••.. •• ··• . . :•.•• ••••.•• ••·-~ =--···. .. . •::···· . •.. •·· -~ ••. ••.•.. .... •··•·• .•• •· . ·•· . ·•·· .• ·.•..·•·•· ..· •·••:.:.•• ··~· .. .. •• •..•..•. ••.•.~•!····•Jt. ···•·•··········· · ·····•i•:••••· •• • • ••• •••• ·······•· .~ •• -•. • •••••• ···•·.•.•..••• •••·•· ·•· •

Rot-GrünSchwäche

Keine Schwäche

Männer

41

Frauen

4

gesamt

45

389 566 955

teilung der „Rot-Grün-Schwäche" bei 1000 zufä llig ausgewählten Männern und Frauen ist in der Tabelle dargestellt. Was können Sie mithilfe der Tabelle ver-

muten? Berechnen Sie dazu z. B. P (,,Rot- Grün-Schwäche" 1 männlich ). Fällt Ihnen etwas auf?

gesamt 430 570 1000

CI] Ziehen mit und ohne Zurücklegen In einer Urne befinden sich 3 rote, 2 blaue und eine grüne Kugel. Es werden nacheinander zwei Kugeln a ) m it Zurücklegen b ) ohne Zurücklegen gezogen. Als erste Kugel wurde eine blaue Kugel gezogen. Berechnen Sle die Wahrscheinlichkeit, eine rote, eine blaue oder eine grüne Kugel im 2. Zug zu ziehen für den Fall a) und für den Fall b). Erklären Sie an diesem Beispiel intuitiv die Begriffe abhängige und unabhängige Ereignisse.

(TI Was wirklich einen Unterschied macht Wissenschaftler führen an 100 Personen einen Versuch zum räumlichen Vorstellungsvermögen durch. Dabei müssen die Versuchspersonen zu einem vorgegebenen Würfel mit aufgetragenem Muster das passende Netz finden. Als erfolgreich (+) werden Testpersonen bezeichnet, die mehr als sechs der zehn Aufgaben in der vorgegebenen Zeit richtig lösen. Die Wissenschaftler veröffentlichen die folgenden Ergebnisse: erfolgreich

nicht erfolgreich

nach 30-minütigern Training

24

ohne Training

36

34

70

gesamt

60

40

100

6

erfolgreich

nicht erfolgreich

gesamt

männlich

21

14

35

weiblich

42

23

65

gesamt

63

37

100

gesamt 30

I nterpretieren Sie die Ergebnisse und begründen Sie. überlegen Sie auch, welche Fragen die Forscher mit ihrer Untersuchung beantworten wollten .

[ 392

J (9 Wahrscheinlichkeitsmodelle ) ( Basiswissen ]

Stochastisch unabhängige und abhängige Ereignisse Bei mehrstufigen Zufallsexperimenten treten mehrere Ereignisse ein. Die Ereignisse können entweder stochastisch unabhängig oder abhängig sein. zwei oder mehr Ereignisse

stochastisch unabhängig

stochastisch abhängig

1

1

Das Eintreten eines Ereignisses A macht Das Eintreten eines Ereignisses A beeines weder wahrscheinlicher noch unwahr- flusst die Wahrscheinlichkeit des Eintrescheinlicher, dass das Ereignis B eintritt. tens des Ereignisses B, es kann wahrscheinlicher oder weniger wahrscheinlich auftreten P (BI A)= P (B)

P (BIA)# P (B)

Aus der Urne werden nacheinander zwei Kugeln gezogen, einmal mit Zurücklegen und einmal ohne Zurücklegen. A: erste Kuge l ist rot B: zweite Kugel ist rot. Es soll P(B IA) berechnet werden. Ziehen mit Zurücklegen

Ziehen ohne Zurücklegen

Die erste gezogene Kugel wird zurückgelegt, die Kugeln gut gemischt und dann die zweite Kugel gezogen.

Die erste gezogene Kugel wird nicht zurückge legt. Die zweite Kugel wird gezogen.

P (B I A) = P (B) = ½·

P(BIA)=f:fo P{B)=½

A und B sind stochastisch unabhängige A und B sind stochastisch abhängige Ereignisse, wenn P {BI A) = P (B) und Ereignisse, wenn P(BI A) P(B)

*

P(AIB) =P(A) P (A und B) = P (A) · P (B)

(Beispiele)

P (AundB) i P(A) · P(B)

0

Einwohnerbefragung Die wah lberechtigten Einwohner der Gemeinde Mintal wurden gefragt, ob sie dem neuen Wohngebiet der Gemeinde zustimmen (Z) oder nicht {z). Unterschieden wurden die Befragten danach, ob sie Neubürger {N) (wohnen seit höchstens 5 Jahren im Ort) oder „Alteingesessene" sind {N- wohnen länger als 5 Jahre i111 Ort). Sind die Ereignisse Z und N stochastisch unabhängig?

N

-N ges.

z

-

163 310 473

87 290 377

z

ges. 250 600 850

Lösung: Der Antei l der Zustimmungen insgesamt beträgt h (Z) = :~~ = 0,556, unter den Neubürgern sogar h {ZI N) = ~~~ = 0,652. Mathematiker formulieren dies so: Die beiden Ereignisse Z und N sind stochastisch abhängig, da h {Z IN) größer ist als h (Z). Mathematiker sagen aber in der Regel nichts darüber, wa rum dies so ist.

9.2 Stochastische Unabhängigkeit [ 393 )

(Beispiele)

ffi Stochastische Unabhängigkeit beim Basketball Welche der folgenden Ereigni sse A und B sind stochastisch unabhängig? a) A: Ein zuf ällig ausgewählter Sportler ist Basketballer. B: Die letzte Ziffe r seiner Te lefonnummer ist eine 1. b) A: Ein zufä llig ausgewählter Sportler ist Basketballer. B: Er ist größer als 1,95 m.

Lösung: Hier kann man aus dem Sachkontext heraus vermut en, ob die vorliegenden Ereignisse unabhängig sind. a) Die beiden Ereignisse sind unabhängig, da die Telefonnummer des Spielers in der Regel nichts mit seiner sportlichen Betätigung zu t un hat. b) Die Ereignisse sind nicht unabhängig, da die I nfo rmation, dass der Sportler Basketballspieler ist, das Eintreten des Ereignisses B wah rscheinliche r macht.

( Übu11gen)

[D Zum Trainieren a) Ergänzen Sie die feh lenden Daten in de r Vierfe ldertafel so, dass die Ereignisse A: Wäh lt die Pa rtei SFP und B: I st älter als 50 Jahre, stochastisch unabhängig si nd. b) Gegeben sind zwe i stochastisch unabhängige Ereig-

ä

ges.

120

195

8

25

A

-

A

ges.

75

nisseAundB.Esgelte P(A} =0,4 und P(B)=0,7. Bestimmen Sie P(Aundß). c ) A und B seien stochast isch unabhängig, es gelte P {A ) = 0,4. Die Wahrsc hein lichkeit für das gleichzeitige Eint reten von A und B bet rägt 0, 1. Wie groß ist P (B)?

CI) Kartenziehen Angenommen , Sie ziehen aus eine m Kartenspiel mit 32 Karten zufa llig eine Karte . Welche Paare von Ereignissen sind stochastisch unabhängig? a ) A: Man zieht e ine „Herz ''-Ka rte B: Man zie ht einen Buben b} A: Ma n zie ht e ine „Herz"- Ka rte c) A: Man zieht e ine „Sieben"

B: M an zieht eine rote Ka rte B: Man zieht eine „ Herz"-Karte

ITJ Unabhängige oder abhängige Ereignisse A und B? Entscheiden Sie begründet , ob A und B stochastisch abhängige oder unabhängige Ereignisse sind. a) Ein Würfel wird zweimal geworfen Ereignis A: der erste Wurf ze igt eine „Sechs ". Ereignis B: Die Augensu m me ist 8 b) Ein Würfel wird einmal geworfen. Aist das Ereignis 11 Gerade Augenzahl" und B das Ereigni s „Augenzahl ist durch 3 teilbar". c) I m Spielcasino: Zwei Spiele am Roulettetisch werden gespielt. Ereigni s A: beim e rsten Spiel kommt „Rot "

Ereignis B: beim 5. Spiel kommt Rot

d ) Zwei Karten werden aus einem Spiel mit 52 Karten ohne Zurück legen gezogen. Ereigni s A: Die Erste Karte ist ein Ass Ereig nis B: Die zweite Karte ist ein Ass

CIJ Genau hingeschaut 27 % der männlichen Bevölkerung Deutsch lands sind über 1,80 m groß. Gleichzeitig spielen in Deutschland 1,2 % der männlichen Bevölke rung Basketball W ie groß ist d ie Wahrschein lichkeit, einen Basketballer anzutreffen, der über 1 ,80 m groß ist? Wie könnte man auf die Antwort 0,00324 kommen und warum ist sie falsch?

( 394 ] ( 9 Wahrscheinlichkeitsmodelle )

(Übungen)

ffi Fäch erwah l - geometrisches Modell Yvonne steht vor einer schweren Wahl. Sie muss je ein Profi t- und ein Neigungsfach wählen. Da sie sich für Naturwissenschaften interessiert, möchte sie als Profi lfach Biologie, Chemie oder Physik auswählen. Als Neigungsfach möchte sie Französisch oder Spanisch wäh len. Sie hat keine besondere Vorliebe. Mit welcher Wahrscheinlichke it entsche idet sich Yvonne für Biologie als Profilfach und Französisch als Neigungsfach? Man kann die Situation geometrisch modellieren. Fra Spa • Teilen Sie das Rechteck durch einen senkrechten Strich in zwei gleichgroße Gebiete P(Spa ) = ½• Zeichnen Sie zwe i horizontale Linien, um weitere gleichgroße Gebiete zu modellieren P (Bio)=}, vollständiges Mode ll: a) Setzt das Modell vo raus, das Yvonne eine Vorliebe für Neigungsfach jeweils eines der Fächer hat? Begründen Sie. Neigungsfach b} Berechnen Sie die Wahrschein lichkeit dafür, dass Yvonne Fra Spa die Fächer Biologie und Spanisch wählt. -fi Bio c) Yvonne hat für keines der Fächer eine besondere Vor liebe. 1 - -- - + - --.:C iE Che Wie viele gleichwahrscheinliche Wahlen gibt es? ~

e

Phy

o..

------ - i

(I) Fächerwahl 2 Yvonne hat als gleichwertiges Neigungsfach auch noch Latein in Betracht gezogen (siehe Übung 8). Be rechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten dafür, dass Yvonne a} Französisch (Physik, Französisch und Physik) wäh lt, b) Latein {Latein oder Französisch) wählt. c) In den Aufgaben a) und b) haben Sie einmal Wahrscheinlichke iten multipliziert und ein anderes Ma l addiert. Wann muss man multiplizieren, wann addieren?

[ill Pünktlichkeit Eva und Nils haben Schwierigkeiten pünktlich zu sein. Nils ist an 40 % der Schultage unpünktlich und Eva an 22 %. Der Klassenlehrer untersucht das Zuspätkommen der beiden etwa s genauer und ze ichnet mithilfe des Klassenbuchs eine Skizze . Nils~omrht a) Bestimmen Sie durch Auszählen: Nils 1st p1,111~-lllCh zu !\Pa t t ' ■ P (Nils zu spät); dies sollte 40 % ergeben. 1 -~+ ■ P (Eva zu spät); dies sollte 22 % ergeben. .. ''' . ., •' •' . • ■ P ( N ils und Eva zu spät) ... ' . ' ' ■ P (Nils zu spät, wenn Eva zu spät) P(NIE) . ,. - ' Eva ■ P (Eva zu spät, wenn Nils zu spät) P (EI N} kommt -· zu spät ■ P (Eva oder Nils zu spät). ' ' ' b) Der Klassenlehrer stellt fest: ,.Eva und Nils, euer Zu spätkommen ist mir verdächtig." Was könnte er gemeint haben?

-

1-

1

1

1•·

1

~

.

h

1-

1-

1

QD Wahrscheinlichkeiten geometrisch modelliert Benutzen Sie die Abbildung a) zur Erläuterung der Unabhängigkeit von Ereignissen und die Abb ildung b) zur Erläuterung der Abhängigkeit von Ereignissen.

a}

b}

9.2 Stochastische Unabhängigkeit ( 395 )

( Übungen )

C!I) Essgewohnheiten Bei einer Umfrage eines deutschen Lebensmittelherstellers wurden 1000 Personen in ihrer Mittagspause nach ihren Ess- und Trinkgewohnheiten bef ragt. Dabe i ergab sich, dass 50 Personen eine wa rm e Mahlzeit zu sich nehmen (Ereignis A), während 400 Personen ein Getränk

B

B

ges.

A

20

30

50

A

380

570

950

ges .

400

600

l 000

zu sich nehmen (Ereignis B). 570 Personen nehmen überhaupt nichts zu sich. überprüfen Sie die Ereignisse A und B auf stochast ische Unabhängigkeit.

illJ Haar- und Augenfarbe Die Ergebnisse einer Untersuchung über den Zusammenhang von Augen- und Haarfarbe s ind in der Tabelle dargestellt. An der Untersuchung nahmen 250 rotund schwarzhaarige Menschen teil. a} Ergänzen Sie die fehlenden Daten.

Augenfarbe braun

nicht braun

rot

60

30

gesamt

120

ges.

schwarz Haarfarbe

250

b} Eine der 250 Personen, die an der Untersuchung teilgenommen haben, wird zufällig ausgewählt. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person • schwarze Haare hat, wenn ihre Augenfarbe braun ist, • schwarze Haare hat, • braune Augen hat, • braune Augen und schwarze Haare hat. c) Sind „schwarze Haare" und „braune Augen" stochastisch unabhängige Ereignisse?

(JI) Triebwerksstörung Ein Flugzeug mit drei Triebwerken startete vom Miami International Airport zu einem Flug nach Südamerika . Direkt nach dem Start fiel ein Triebwerk aus. Das Flugzeug kehrte unm itte lbar um und landete sicher in Miam i, obwoh l auch die anderen beiden Triebwerke versagten. a} Gehen wir davon aus, dass ein Triebwerk beim Start mit der Wahrscheinlichkeit 0,0001 ausfä llt . Die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Triebwerke ausfallen, beträgt dann laut FAA{Federal Aviation Administration) 0,0001 3 . Welche Annahmen hat die FAA gemacht, um zu diesem Ergebnis zu kommen? b) Bei der Untersuchung des Vorfalls stellte die FAA fest , dass ein Mechaniker bei allen Triebwerken den Öldicht ungsring falsch eingesetzt hatte. Beurteilen Sie jetzt die Annahme der FAA in Teilaufgabe a ).

[ill Frühstück und Übergewicht -

Stochastische Abhängigkeit und Kausalität

Angenommen, die Erforschung des Zusammenhangs von regelmäßiger Frühstückseinnahme (F) und Übergewicht (Ü) bei Jugendlichen von 14 bis 18 Jahren liefert die Tabelle in der Abbildung.

o

u

F

14

39

53

i=

38

39

77

__

52

78

130

a) Weisen Sie nach, dass d ie Merkmale „nimmt regelmäßig Frühstück ein (F)u und „ist übergewichtig {Ü )" stochastisch abhängig sind. b} Könnten Sie nach dieser Untersuchung einem übergewichtigen Jugendlichen zur Gewichtsabnahme empfehlen, rege lmäßig zu frühstücken? c) Ein Arzt empf iehlt, sportli ch aktiv zu sein. Welchen Einfluss könnte dies auf das regelmäßige Frühstücken und das Gewicht haben?

396 ] ( 9 Wahrscheinlichkeitsmodelle )

( Basiswissen )

Stochastische Abhängigkeit und Kausalität Gilt für zwei Ereignisse A und B, dass P (BI A) t- P {B) , so werden d ie Ereignisse A und B stochastjsch abhängig genannt. Das Eintreten des Ereignisses A hat Einfluss auf die Wahrsche inlichkeit, mit der das Ereignis B eintritt. Häufig ist die wichtigste Frage in den unterschiedüchsten Wissenschaften, der Geschäftswe lt, ja sogar im täglichen Leben jedoch die Frage nach dem Zusammen hang von Ursache und Wirkung, d.h. nach dem kausalen Zusammenhang. Eine stochastische Abhängigkeit ist i. A. schwächer als eine kausa le Abhängigkeit. Liegt keine kausale Abhäng igkeit zwischen A und B vor, so können diese dennoch stochastisch abhängig sein. Die stochast ische Abhängigkeit kann e1n Indiz für eine kausale Ab hängigkeit sein, muss aber nicht. Es kann sich auch um einen indirekten Zusammenhang zwischen A und B über eine dritte oder weitere versteckte Variablen handeln . Die Möglichkeit ind irekter Zusam111enhänge durch „versteckte" Variablen sollte be i der I nterpretation von stochastische r Abhängigkeit nicht voreili g ausgeschlossen we rden. Beibetriebsoder volksw irtschaftlichen Frageste llungen finden sich derartige „H intergrundzusammenhänge" in der Praxis sogar recht häufig.

(Beispiele)

(TI St ochastische Abhängigkeit und dennoch kausal unabhängig Zwei Würfel werden nacheinander geworfen. Weisen Sie nach, dass die Ereignisse A: ,1 Erster Wurf ist eine 6 " und B: ,,Augensumme ist 8 " stochast isch abhängig sind. Besteht zwischen den Ereignissen A und Bein kausaler Zusammenhang?

Lösung

P{A)= f; P{B)= fs; P(An B) = fs- tP (A)- P (B) = f·fs = ~ Die Ereignisse A und B sind stochastiscl1 abhängig. Die beiden Ereignisse sind jedoch kausa l unabhängig, da der Wurf mit dem ersten Würfel ke inen Einfluss auf den Wurf mit dem zweiten Würfe l und damit auf d ie Summe hat.

( Übw igen )

(}D Schuhgröße und Lesefertigkeit a} Ze igen Sie, dass Lesefertigkeit und Schuhgröße bei Grundschu lkindern stochasti sch abhängig sind. b) Welche „versteckte" Variable könnte d ie stochastische Abhängigkeit erklären?

Schuhgröße

s 30 Schuhgröße > 30

Lesen gut

Lesen weniger

61

53

11 4

93

38

131

154

91

245

gut

(m Ursache und Wi rkung Klären Sie die folgende scheinbar überraschende Tatsache auf. „ Ein norwegischer Arzt erhob über mehrere Jahre Daten über das Beißverhalten von Pferden. Die Daten belegen überzeugend, dass Pferde, wenn sie zubeißen, mit großer Vorliebe Mädchen be ißen." Was meinen Sie7

Grt1ndwisse11

1. Widerlegen Sie anhand eines Zahlenbeispiels, dass d ie Gleichung ✓ a 2 + b 2 = a + b allgemein gilt . Gibt es ein Zahlenpaar a und b, das die Gleichung dennoch erfü llt? 2. Quadratische Gleichungen a ) Wie viele Lösungen kann eine quadrat ische Gleichung haben? b) Lösen Sie d ie quadratische Gleichung x 2 - 6x + 18 = 0.

9.2 Stochastische Unabhängigkeit [ 397 )

Exkurs Eine Fallstudie - ,,Der Fall Sally Clark" England, im Dezember 1996. Christopher Clark, elf Wochen alt, liegt tot in seinem Bettcl1en. Diagnose: plötzlicher Kindstod. Bald darauf, im November 1997, bekommen die Eltern Sally und Steve Clark wieder ein Baby. Doch auch I-Iarry stirbt früh, im Alter von acht Wochen. Sally Clark wurde 1999 wegen Mordes an zwei ihrer Kinder zu einer lebenslangen Freiheitsstrafe verurteilt. Die erste Diagnose für den Tod der beiden Kinder war „plötzlicher Kindstod" (SIDS - sudden infant deatl1). Damit bezeichnet man das unerwartete und nicht erklärliche Versterben eines Kleinkindes unter einem Jahr. In Deutschland starben im Jahre 2008 ca 215 Kleinkinder an plötzlichem Kindstod. Obwolu man einige Risikofaktoren identifiziert 11at, sind die Gründe für den plötzlichen Kindstod weitgehend unbekannt. Sally Clark wurde verurteilt aufgrund eines Gutachtens. Ein wichtiges Argument, das die Anklage in den Prozess einbrachte, basiert auf der Grundlage eines Gutachtens von Sir Roy Meadow, einem renommierten Kinderarzt und Exp erten für Kindesmissbrauch. Dr. Meadow führte an, dass die Wahrscheinlichkeit, dass zufällig zwei Kinder in derselben Familie an SIDS sterben, außerordentlich gering ist und dass daher Mord eine erheblich plausiblere Erkl ärung für den Tod der beiden Kinder sei. Dr. Meadows argumentierte: ,.Aus epidemiologischen Studien kann man h erleiten, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kind an1 plötzlich en Kindstod verstirbt, 8 ~ 3 ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Kinder in der gleichen Familie an SIDS sterben, ist demzufolge 8 43 · 85143 , d. h. ungefähr 1 zu 73 Millionen; eine verschwindend kleine Wahrscheirilichkeit."

t

Die Jury folgte der Argumentation des Gutachters und verurteilte Sally Clark wegen Mordes zu lebenslanger I-Iaft im Gefängnis. Die originalen Worte des Richter s über die Rolle der Statistik in diesem Fall: "... although we do not convict people in these courts on statistics ... the statistics in this case do seem compelling."

[Aufgaben)

OK) Falsch angewandte Statistik a) Überprüfen Sie die Berechnung von Dr. Meadows. Wovon ging er bei seinen Berech nungen aus? Würdige n Sie die Argu mentat ion von Dr. Meadows kritisch. Sally Clarks Verfahren wurde wieder aufgenommen, nicht zuletzt wegen festgestellter fehlerhafter Annahmen und Folgerungen von Dr. Meadows. Eine der fehlerhaften Annahmen haben Sie sicher in Teilaufgabe a) entdeckt. Sally Clark wurde in einem Berufungsverfahren freigesprochen und 2003 aus dem Gefängnis entla ssen . Sie verstarb aber bereits im März 2007 im Alter von nur 43 Jahren, vermutlich wegen einer Alkoholerkrankung, die ihre Familie auf den Stress wegen der Gerichtsverhandlungen und dem Gefangnisaufentha ltzurückführte. b) Beurteilen Sie selbst, welche Bedeutung die Wahrsc heinlichke itsrechnung in Gerichtsverfahren haben sollte. Diskut ieren Sie die Problematik in Ihrem Mathema tikkurs . c) Sollten Sie mehr über den Fall "Sally Clark" w issen w ollen, dann recherchieren Si e im I nternet.

7ß

~

( 398

l (9 Wahrscheinlichkeitsmodelle (Aufgaben)

)

[ill Dunkelfeldforschung Häufig werden krimine lle Delikte nicht aufgedeckt und man muss davon ausgehen, dass man be i einer entsprechenden Bef ragung keine wahre Antwort bekommt. Es gibt also eine gewisse Dunkelziffer von straf baren Handlungen, die nicht ans Tageslicht kommen. Um sich dennoch einen Überblick über die Dunkelziffe r z.B. von Schwarzfahrern in einem öffentlichen Verkehrsverbund zu verschaffen, führt ein Kr iminologe eine Befragung von 600 zufäll1g ausgewählten Personen nach dem folgenden Verfahren durch: Die interviewte Person würfelt in einer Kabine, die nicht eingesehen werden kann , m it einem Würfel. Wirft die Person eine „ 1 ", dann muss s ie die nachfolgende Frage wahrheitsgem äß beantworten: Haben Sie schon einmal absichtlich ein öffentliches Verkehrsmittel ohne gültigen Fahr-

schein benutzt? .

.

Ja nein Würfelt die Person keine „ 1 ", dann muss sie bei der Beantwortung der Frage lügen. Es se i h der Anteil der Schwarzfahrer. Würfel

Wahrheit

Ja

h ca. 100 ,, 1 "

1- h

-

100 - h in Wirklichkeit Schwarzfahrer

•••

Nein

in Wirklichkeit kein Schwarzfahrer

Ja

500 (1 - h J in Wirklichkeit kein Schwarzfahrer

600

1

-

h

-

keine 1" " ca. 500 - - - - --;;-- - - - -~-:h Nein Lüge

in Wirklichkei t S~hwarzfahrer

a) Erläutern Sie, inwiefern das oben beschriebene Befragungsverfahren dabei hi lft, die Dunkelziffer der Schwarzfahrer zu erfassen. Mit we lchen Schwierigkeiten wäre bei einer direkten Befragung zu rechnen? b) Begründen Sie, warum de r Antei l der „ Ja"-Antwo rten folgendermaßen berechnet werden kann: h(,,Ja")=½·h+¾·{1 - h) c) Angenommen, die Anzahl der „Ja"-Antworte n bei der Untersuchung beträgt 305. Schätzen Sie mit dieser Angabe den Anteil der Personen, die schon einmal absichtlich schwarzgefahren sind. Mit welchen Unsicherheiten ist dieser Schätzwert behaftet? d) Berechnen Sie einen Schätzwert für den Anteil an Schwarzfahrern unter der Annahme, dass von 1000 zufällig ausgewäh lten Fahrgästen 61 % die Antwort „Ja" ankreuzten. Würden Sie dieser Statist ik mehr tra uen? e) Man könnte das Bef ragungsverfahren noch ändern, indem man das vorgeschaltete Würfelexperiment va riiert. ■ Warum funkt ioniert die folgende Würfel-Variante nicht: Die Wahrheit sagen bei ■

,,Augenzahl gerade" und Lügen bei „Augenzahl ungerade"? Untersuchen Sie mittels einer Simulation, ausgehend von einem bekannten Anteil h an Schwarzfahrern, welche vorgeschaltete n Zufallsexperimente möglichst sichere Schätzwerte für den wirklichen Anteil der Schwarzfahrer liefern.

9.3 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung ( 399 )

9.3

(Aufgaben)

Zufallsgrößen und Wahr scheinlichkeitsverteilung

CI] Rubbellose Bei einer Rubbellos lotterie werden 2000000 Rubbellose verkauft. Laut Gewinnplan werden die fo lgenden Beträge mit den angegebenen Häufigkeiten ausgezahlt. Auszahlun in €

5000

1 000

40

20

10

4

2

1

4

152

620

2000

20000

30000

160 000

200 000

Häufigkeit

a) Erstellen Sie eine Tabelle mit den Gewinnwahrscheinlichkeiten der einzelnen Beträge. Diese Tabelle stellt die Wahrscheinli ch keitsverteilung der Gewinne dar. b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, mit einem Los mindestens 40€ zu gewinnen. c) Berechnen Sie, welcher Betrag insgesamt ausgeschüttet wird und wie groß der Gewinn der Lottogesellschaft ist. Gehen Sie dabei davon aus, dass alle Lose zu einem Preis von 1 € verkauft werden.

IT] Gleiches Spielgerät -

verschiedene Spiele Beim Wurf mit zwe i Würfe ln wird

a) die Augensumme, b) die höchste der beiden Augenzahlen, c) der Betrag der Differenz der Augenzahlen protokolliert. Was ist jeweils die Ergebnismenge (Menge der möglichen Ergebnisse)? Geben Sie die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung (d ie Wahrscheinlichkeiten, mit denen d ie jeweiligen Ergebnisse eintreten) in tabe llarischer Form an. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung grafisch dar.

[D Wahrscheinlichkeitsverteilungen Das Glücksrad w ird gedreht. In der Tabelle ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung der möglichen Ergebnisse dargestellt. Ergebnis

p

1

2

3

0,25

0, 15

0,75

a) Woran erkennen Sie auf den ersten Blick, dass die angegebene Wahrscheinlichkeitsverteilung nicht stimmen kann? Korrigieren Sie die Fehler. b) Bei einer Wohltätigkeitsveranstaltung werden drei dieser Glücksräder gleichze itig gedreht. Gewinnen kann man nach dem folgenden Plan: • 3-mal die 3: 2€ Auszahlung • 3-mal die 1: 10 € Auszahlung • 3-mal die 2: 50€ Auszahlung Berechnen Sie die Wahrschein lichkeiten der Auszahlungen und ste llen Sie diese in einer Tabelle dar.

Auszahlung

2€

10€

50€

p

c) Angenommen, Sie spielen das Spiel mit den drei Glücksrädern 1000-mal. We lcher Betrag wird dabei ungefähr ausgeschüttet und we lcher Geldbetrag wird im Mittel pro Spielau sgeschüttet?

l 400

( 9 Wahrscheinlichkeitsmodelle )

(Basiswissen)

Zufallsgröße Es gibt viele Zufallsversuche , deren Ergebnisse mit reellen Zahlen dargestellt werden. Unter der Zufallsgröße X versteht man eine Variable, die als Wert eine der betreffenden reellen Zahlen annimmt, je nachdem, wie der Versuch ausgeht. Die Zufa llsgröße X ordnet jedem Ergebnis des betreffenden Zufa llsexperimentes eine Zahl zu. In dem Münzwurfbeispiel ist es eine diskrete Zufallsgröße. Bei diskreten Zufallsgrößen kann man die 111öglichen Werte aufzahlen, die die Zufallsgröße X annehmen kann.

Drei Münzen werden gleichzeitig geworfen . Zufallsgröße X: Anzahl von ,, Kopf". X

K-----•K 3 •---•Z 2

K/

~ ,---•K2

•

- - -• Z

K

z/ •

1

eK

2

•< . z

1

~ ,---•K 1 ---.z 0

X kann 0, 1, 2 oder 3 annehmen

Wahrscheinlichkeitsverteilung einer Zufallsgröße Für diskrete Zufallsgrößen X gilt: Ordnet man jedem Wert xi, der Zufallsgröße X annimmt, die Wahrschein lichkeit zu, mit der er auftritt, so nennt man die Zuord nung xi ~ P (X = xi ) = Pi Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X. x,

Xn

P1

Pn

X

Es gilt pi + P2 + ... + Pn = 1

Wahrscheinlich keitsverteilung

W

1

2

3

1

3

3

1

8

8

8

8

Diagramm 0,5 0 ,4 .. 0 ,3 • 0 ,2 0,1

P(X = x1)

·,

. 0

(Beispiele)

0

.

. 2

-

1

X

. 3

Verschied ene Würfel

Zwei Tetraeder-Würfel werden geworfen. Für ein Spiel kommt es auf das Produkt der Augenzahlen an. Die Zufallsgröße X ist das Produkt der Augenzahlen. a) Welche Werte kann die Zufallsgröße X anne hmen? b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit sverte ilung der Zufallsgröße X und stellen Sie diese grafisch dar. Lösung

a} Mögliche Werte der Zufa llsgröße X: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16 b) mögliche Ergebnisse -

1

2

3

1

1

2

3

2

2

4

6

8

3

3

6

9

12

4

4

8

12

16

-

4

0,2

P(X = k)

4

0 ,1 X

0

2

4

6

8

10

12

14

16

Wahrscheinlichkeitsverteilung X

1

2

3

4

6

8

9

12

16

p

1

2

2

3

2

2

1

2

1

T6

T6

T6

T6

T6

T6

16

16

T6

9.3 Zufallsgrößen und Wahrscheinlichkeitsverteilung [ 401 ]

Werkzet1g

Wah.rsch ein1ichkeitsverteilung mit GTR darstellen Beispiel: Wahrscheinlichkeitsverteilung at1s Beispiel A • Die möglichen Werte der Zufallsgröße (L1) und die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten (12) in Listen ei.n tragen. • Fenster: xmin = -0,5; in 1-er Schritten skalieren, damit die Säulen mittig über der Skalierung erscheinen. · •

•

Plot2 1'1 ot3

Off

.,,,p.e :

list:L1

req:L 2 olor: BLUE

[Übungen)

1 2

L3

------

.8625 .125 .125 .1875 .125 .125 .8625 .125 .8625

3

'I 6 8

'

12 16 1

WINDOW Xmin=-.5 Xmax=17 .5 Xscl=l Ymin=-.05 Vmax=. 3 Vscl= . 1 Xres=I

IL': p,;, !il!.:: !!:lt! IL.

~

L2

1

1

1

V

-

f

--•

.

•

------

t

-

.... • •

'

•

•

•

. .

•

(I) Wahrscheinlichkeitsverteilungen Eine Münze wird geworfen: a) einma l b) zwe imal

c) dreima l

c) vierma l

Die Zufallsgröße X ist jeweils d ie Anzahl von „Kopf". Ermitteln Sie jewe ils die Wahrsche inlichkeitsverteilung und stellen Sie diese grafisch dar.

QJ Kartenspiel Beim Skat (Kartenspiel mit 32 Karten ) haben die Karten e inen Wert gemäß der Tabelle. Karte

7

8

9

10

Bube

Dame

Kön,g

As

Wert

0

0

0

10

2

3

4

11

Eine Karte w ird gezogen. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung des Wertes der gezogenen Karte tabellarisch und grafisch dar.

[D Fehler entdecken Woran können Sie auf den e rsten Blick entdecken, dass etwas an der Wahrsche inlichkeitsverte ilu ng in der Abbildung nicht st immen kann7

Gewinnplan Gewinn /

Verlust

p

10€

5€

2€

-2€

0,05

0, 1

0,2

0,5

(TI Würfeln Bei einem Glücksspiel setzt man 5€ und würfelt dann mit drei Würfeln. Zeigen a lle drei Würfel die Augenzahl Sechs, so erhält n1an 20€, zeigen genau zwei Würfel die Zahl Sechs, so erhält man 15 € , zeigt genau ein Würfel die Zahl Sechs, so erhält man 10€ ausgezahlt. Die Zufallsgröße X ist der Reingewinn, d. h. ausgezahlter Betrag - Einsatz. Ste llen Sie die Wahrsche inlichkeitsverteilung de r Zufallsg röße X grafi sch dar.

Grt1ndwissen 1. a ) Ergänzen Sie die beiden Vektoren so, dass

a=

b) Berechnen sie die Länge der beiden Vektoren .

6

a -3

~

und b

=

3 Y parallel sind. z

2. Lagebeziehungen von Geraden im Raum a ) Welche Lagebeziehung können zwei Geraden im Raum zueinander haben7 b) Angenommen Sie wissen von zwe i Geraden im Raum bereits, dass Sie parallel sind. Wie stellen Sie fest , ob beide Geraden sogar identisch sind?

402

J (9 Wahrscheinlichkeitsmodelle (Aufgaben)

)

[D Oktaeder-Würfel Zwei Oktaederwürfe l werden g leichzeitig geworfen. Die Zufallsgröße X ist der Betrag der Differenz der beiden Augenzah len. a) Ergänzen Sie die Tabe lle der Wahrsche inlichkeitsverteilung der Zuf allsgröße X. Betr~ der Differenz

0

Wahrscheinlichkeit

8

1

2

3

4

7

6

5

64

b) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverte ilung der Zufa llsgröße X grafisch dar.

IT] Haustiere -

Diagramm auswerten

I n einer Umf rage wurde in allen Hausha l-

Wahrscheinlichkeit

ten nach der Anzahl der Haustiere gef ragt. Das Diagramm ste llt das Ergebnis der Befragung dar. Angenommen, einer der Haushalte wird zufällig ausgewählt. W ie groß ist die

0 30·•

Wahrscheinlichkeit, dass in d iesem Haushalt zwei oder mehr Haustiere gehalten

0 , )5

'

0 25·• '

0,20

0, 0

0

werden?

.

1

'

2

.

.

3

4

•

An zah l der Haustiere

6

5

7

[IQ] Multiple-Choice-Te st Ein M ultiple- Choice- Test besteht aus Fragen mit je drei Auswah lantworten, von

-==:::;::;::R

1

_!--- R

1

y

R

R ~~

denen stets genau eine richtig ist . Angenommen:

.?.

f

1

F-

3

Test A besteht aus zwei Fragen, Test B besteht aus drei Fragen und Test C besteht aus vier Fragen. I m Baumdiagramm sind die möglichen

F

3

R

F

F

- R

~

F -=====::~R 1

- -....

3

F

3

F R

1

3-----Roc:::==:::::~ R-~ ~ R 2 F

1

Ergebnisse (Antwortensindrichtig {R) oder f a lsch (F)) des TestsCmitvierFragendargestellt.

F~

½

~

1

F==-

- R

~

-F

2

3

F

a} Schreiben Sie alle mögLichen Ergebnisse für die drei verschiedenen Tests auf. b) Die Zufallsgröße X i st jeweils d ie Anzahl der richtigen Antworten. Ordnen Sie für die drei verschiedenen Tests die Ergebnisse dem betreffenden Wert der Zufa llsgröße X zu .

Werte von X für Test A

0

möglichen Ergebnisse

FF

1 FR, RF

2

RR

Ergänzen Sie die entsprechende Zuordnung für den Test Bund die f ür den Test C. c) Angenommen, die Testperson kreuzt zufä llig e ine Antwort pro Frage an. Mit dieser Annahme kann man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufa llsgröße X berechnen. I n der Tabe lle ist die Wah rsche inlichkeitsverteilung für X bei Mu ltiple Choice Test A dargestellt. Ergänzen Sie entsprechend für Test Bund C. Richtige AntAnzahl worten

der Fragen

0

1

--

2

3

4

■

2

(~)2 3 · (1)2.(t)

4

3

. ■ ■

■

d) Stellen Sie die drei Wahrscheinlichkeitsverteilungen in einem Histogramm dar.

9.4 Kenngrößen: Erwartungswert und Standardabweichung ( 403 )

9.4

(Aufgaben)

Kenngrößen: Erwartungswert und Standardabweichung

OJ Ein einfaches Glücksspiel

1

Beide Glücksräder werden gedreht. Der ausgezahlte Ge ldbetrag ist die Summe beider Glückszahlen. a) Die Zufallsgröße X ist der ausgezahlte Geldbetrag. We lches sind die möglichen Werte für X? b} Ergänzen Sie das Baumdiagramm, indem Sie alle Ergebnisse des Glücksspiels angeben. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Auszahlungssumme tabellarisch und grafisch dar,

1

1

1

p

~

5

10

~

1

6

0,2 · 0,8

5

6

•

oS1 '

2

■

5

'

~ 1

--...

c) Angenommen, das Glücksspiel wird 160-mal gespielt. Berechnen Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der ausgezahlten Gewinnsumme pro Spiel (siehe Kompendium Mitte lwert und Standardabweichung). Was würden Sie als Einsatz pro Spiel vorschlagen, wenn das Spiel „fair'' sein soll?

CI) Ein einfaches Modell zur Berechnung der Versicherungsprämie Ein Mathematiker berechnet bei einer Vers icherungsge-

LSF-Versicherun9

sellschaft die Prämie für die Leistungs-Secure-Fahrrad-

Unser neues Prem ium-

versicherung (LSF}. Diese zah lt im Falle, dass das Fahrrad gestohlen wird, 800 €aus. Mithilfe einer Statistik erstellt

Angebot: Leistungs-Secure-Fahr-

der Versicherungsmathematiker die folgende Tabe lle:

radversicherung

Ereignis

Beijedem poüzeitich

kein Diebstahl

gemeldeten Diebstahl

Diebstahl

erstatten wir 800 €.

Leistung

Wahrscheinlichkeit

0€

0,9474

800€

0,0526

a) Sch lagen Sie der Geschäftsleitung eine Prämie vor und begründen Sie diesen Vorschlag. Denken Sie daran, dass in der Geschäftsleitung kein Mathematiker ist. b} Was halten Sie persönlich von einer solchen Versicherung?

ITJ „E-Reader" Die Geschäftsleitung einer Firma will entscheiden, welche der beiden E-Reader-Modelle A oder B sie herstellen und vertreiben soll. Die Marketingabteilung hat durch eine Marktanalyse die fo lgenden Daten gefunden. Wie würden Sie entscheiden?

A: Entwicklungskosten 1,5 Millionen

B: Entwicklungskosten 2,5 Millionen

Projektierte Einnahmen:

Projektierte Einnahmen:

Wahrscheinlichkeit

Nettoeinnahmen

Wahrscheinlichkeit

Nettoeinnahmen

20%

5 Mio.€

10%

6 Mio.€

45%

3 Mio. €

40%

5 Mio. €

25%

2,5 Mio. €

30%

2 Mio. €

10%

0,25 Mio. €

20%

0,5 Mio.€

( 404 ] f9 Wahrscheinlichkeitsmodelle )

( Basiswissen )

Erwartungswertµ (X) Der Erwartungswert µ (X) einer Zufa llsgröße X ist der Wert, bei dem sich die Zufallsgröße bei einer häufigen W iederholung des Zufallsversuches im Mittel einpendelt. Formel für den Erwartungswert: n

µ(X)=X1· P1+X2· P2+ ... Xn· Pn = Ixi-Pi i= 1

Beispiel: Drei Münzen we rden geworfen.

Wahrscheinlichkeitsverteilung

Zufallsgröße X: Anzahl von „Kopf"

X

0

1

2

3

1

3

8

8

3 8

-18

µ =0 ·½+ 1 · ¾+ 2 ·¾+ 3 ·½= 1 ,5

Der Erwartungswertµ der Zufa llsgröße X ist 1,5. Bei diesem Wert pendelt sich d ie Anzahl von „Kopf" beim dreifachen Münzwurf im Mittel ein. Standardabweichung CJ (X) Statt o (X) kann man auch

kurz o schreiben.

Die Standardabweichung o (X} ist ein Maß f ür die Streuung der Zufallsgröße um den Erwartungswertµ. o (X ) = ✓(x,

- µ)2 · P1+ (x2 - µ)2 · P2 + ··· ···· (xn - µ )2· Pn =

Beispiel: Standardabweichung für d ie Anzahl von Kopf beim dreifachen Münzwurf: o=

✓{o -

1,5}2 ·½+ ( 1 - 1 ,5)2 . ¾+ ( 2 - 1 ,5 )2 . ¾+ ( 3 - 1 ,5 )2 . ½=

✓o,75 ~ o,866

Die Standardabweichung beträgt o = 0,866. Als Streumaß findet auch gelegentli ch die Varianz V (X) = o 2 Verwendung.

(Beispiele)

CEJ Glückszah len Ein Glücksrad mit 10 gleichgroßen Fe ldern von Obis 9 w ird einmal gedreht. Kommt die Glückszahl 7, so erhält man 5 €, bei einer geraden Zahl 1 €, ansonsten bekommt man nichts ausgezahlt. Ermitteln Sie mit dem GTR den Erwartungswert und die Standa rdabweichung der Auszahlung.

Lösung: Die Zufallsgröße X kann die Werte 0, 1 und 5 annehmen. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung: 0

1

5

0,4

0,5

0, 1

Li

s 1 e

Ls

.5 .lf

------ ------

-----

x=1

1- Var Stats

Ix=1 Ix 2 =-3 Sx= ax=l , 414213562 n=1 mi nX=0

Erwartungswert µ = 0 · 0,4 + 1 · 0,5 + 5 · 0,1 = 1 Standardabweichung o = ✓( 0 - 1 )2 ·0,4 +( 1 - 1 )2- 0,5 +( 5 - 1)2- 0,1 =..fi~ l,41 Man kann im Mittel mit einer Auszah lung von 1 € rechnen , bei einer Standardabweichung von 1,41 €.

9.4 Kenngrößen: Erwartungswert und Standardabweichung [ 405 )

(Beispiele]

ffi Vergleichen zweier Wahrscheinlichkeitsverteilungen Für das Spiel A sind µ = - 0,2€ und a =1,6 € die Kenngrößen der zugehörigen Wahrsche inlichkeitsverteilung des Gewinns. Berechnen Sie die Kenngrößen des Gewinns bei Spiel Bund vergleichen Sie diese mit denen fur Spiel A. Was stellen Sie fest? Welches

Bei einem Glücksspiel: Gewinn X=

ausgezahlter Betrag- Einsatz

Spiel ist f ür den Spieler interessanter und warum?

SpielA

Einsatz: 1 €

Spiel B

Einsatz: 1 €

Mit einem Zufa llszahlengenerator w erden zweistellige Zufallszahlen von 00 bi s 99 berechnet und auf eine m Display ausgegeben.

eo ta

Glückszahlen

ausgezahlter Betrag

66 11,12,21

50€ 5€

Glücksfeld

ausgezahlter Betrag

22,33,44,55

3€

rot

4€

00,88,99

1€

blau

0€

alle anderen Zahlen

0€

Lösung: Erwartungswert des Gewinns Spiel A: µ = - 0,2

Standardabweichung des Gewinns SpielA cr = 1,6

Berechnung für Spiel B:

Berechnung für Spiel B:

XI

P (X = x1)

x1 · P (X = X,)

XI

49

,-

P(X =

X;)

{X1- _µ )2

(x; - _µ )2 • P (X= x1)

2420,64-

24,2064

49

-.

(::)

0,49

4

...L • ü :)

0, 12

4

...L

17,64

0,5292

2

4 -·v~

0,08

2

4,84

0, 1936

0

0

0,04

0,0012

-0 89

-1

4 1(;•J 3 1,;o 89

0,64

0 ,5696

1

-1

-„ VJ3 -,890:.1

Summe

1

0

' - 0,2

1r.0 l l!(~

,i:c,

Summe

Spiel B: µ = - 0,2

25,50

1

a = ✓25,50 = 5,050

Spiel B: cr2 = 25,50;

Die Erwartungswerte st immen überein. Auf lange Sicht verliert man bei beiden Spielen pro Spiel 0,20€. Das Spiel Bist womöglich interessanter, da es verschiedene Gewinnmöglichkeiten gibt, u. a. eine mit einem besonders hohen Gewinn. Mathematisch macht sich dies in einer größeren Standardabweichung bei Spiel B bemerkbar.

(Übungen)

IT) Training: Kenngrößen einer Wahrscheinlichkeitsverteilung Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Wahrscheinlichkeitsverteilungen.

a} x1 P (X -=- x1)

Etwas für den GTR.

1

2

3

4

0,25

0,25

0,25

0,25

b) x1

-

P(X -x 1)

0

1

2

3

0,01

0, 1

0,26

0,33

1o 0,5

4 0, 18

o

1o

1oo

0,18

0,3

0,02

5

6

7

0,06

0,03

0,03

CIJ Lotterien im Vergleich Die Wahrscheinlichkeitsverteilungen der Gewinne bei zwei Lotterien: A und B

(A)

Gewinn Xi

1000€

500€

100€

1€

0€

P(X : xi)

0,0005

0,0015

0,008

0,55

0,44

(B)

Gewinn x l

20€

1€

0€

P (X ""' xi)

0,11

0,4

0,49

Berechnen Sie fur beide Lotterien den Erwartungswert und die Standardabweichung. Vergleichen Sie. Welches Spiel wird Ihrer Meinung nach bevorzugt und warum?

[ 406] ( 9 Wahrscheinlichkeitsmodelle )

( Übungen )

CI] Gezinkter Würfel Angenommen, die WahrscheinlichkeitsverteilungderAugenzahlenbe i einem

x P{X = x1)

1

2

3

4

5

6

0 ,2

0 ,1

0,1

0, 1

0 ,1

0 ,4

gezinkten Würfel ist wie in der Tabelle dargestellt. Berechnen Sie den Erwartungswert der gewürfelten Augenza hl und deren Standardabweichung.

[zJ Versicherung (stark vereinfacht) Eine Versicherung gegen Elementarschäden kostet im Jahr 200€ und zah lt im Fall eines großen Schadens 100000€ an den Hausbesitzer. Die Versicherung schätzt, dass ein entsprechender Schadensfall mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,001 pro Jahr eintritt. Zufallsgröße X = ausgezahlter Betrag-Versicherungsprämie {Einzahlung). Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Zufallsgröße.

2€

Einsatz: Auszahlung: grünes Feld lila Feld oranges Feld blaues Feld

9€ 5€ 2€ 0€

( Basiswissen )

[]J Fair oder nicht fair, das ist hier die Frage Bei diesem Glücksspie l soll es laut Glücksradbetreiber ,,besonders" fa ir zugehen. a) Diskutieren Sie, was man unter einem fairen Spiel versteht. b) Berechnen Sie den Erwartungswert des Gewinns (Gewinn = Auszahlung - Einsatz). Ist das Spiel fa ir?

Faires Spiel Ein Spiel nennt man fair, wenn keiner der am Spiel Beteiligten einen Vorteil hat, d. h. wenn auf lange Sicht die Auszahlung genau so groß ist w ie der Einsatz . Ein Spiel ist fa ir, wenn der Erwartu ngswertµ des Gewinns O ist.

(Beispiele)

@

Faires Spiel

Bei einem Glückspiel werden zwei Würfel geworfen. Der Einsatz ist 3€. Gewinnplan: Bei zweimal „Sechs" werden 13€ ausgezah lt, also ist der Gewinn 10€, bei genau einer „Sechs'' werden 9€ ausge zahlt , bei keine r „Sechs" ist der Einsatz verloren . Ist das Spiel fair? Lösung:

-

Gewinn x

P(,,Gewinn")

10 €

6€

- 3€

1 36

10 36

25 36

µ=

fs ·10 € + ~- 6 € + i ·(-3 €) = - 0,14 €

Das Spiel ist nicht fair, da der Spieler pro Spiel im Mittel 0, 14€ verliert.

ffi Fairer Einsatz Aus der Urne werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Sind beide Kugeln grün, dann werden 18€ ausgezahlt, sind beide blau, dann werden 6 € ausgezahlt, kommt zweimal rot, dann erhält man 2 €. We lchen Einsatz muss man fordern, damit das Spiel fair ist?

illJ Ein Würfelspiel Ein Schüler schlägt fo lgendes Spiel vo r: ,,Wir würfeln mit zwei Würfeln. I st die Summe der Augenzahlen gerade, dann erhalte ich von meinem Mitspieler 1 €, ist sie ungerade, dann muss ich 1 € zahlen." Wieso könnte man meinen, dass dieses Spiel unfair ist? ü berprüfen Sie Ihre Vermutung.

9.4 Kenngrößen: Erwartungswert und Standardabweichung [ 407 )

(Übungen]

(}D Roulette

..... N., ..... N 3: .....

Beim Roulette gibt es verschiedene Möglichkeiten zu setzen. Man setzt entweder l::11\fd 3SS\fd auf die Farben Rot (,,Rouge ") oder Schwarz N 0 (.,,) (,.)1\) 1\) 1\) .......... .......... (,,Noir" ) - bei O gewinnt die Bank - oder auf ~ ..... CX> O'I 1\) «> 0) (,.) 0 ...... ~ ..... Cu W N N N N _., _., ..... CX> O'I N 0 eine Zahl von Obis 36. Es gilt: O'I 1\) «> O> (.,,) 0 ...... ~ ..... (.,,) (t,) (,.) N N N _. -" .....

0

,..

,,,.

..

,

•

•

a rsc ein 1c vertei un::en

eits-

Wahrscheinlichkeitsverteilungen geben an, wie sich Wahrscheinlichkeiten auf die möglichen Zufallsergebnisse verteilen. Oftmals kann man beobachten, dass die Verteilwig bestimmter Zufallsvariablen annähernd durch eine theoretische Ve1-teilwig dargestellt werden kann. Kenngrößen wie Erwartungswert 11nd Standardabweichnngen sind für die Verteilwigen charakteristisch, ebenso wie Prognoseintervalle. Häufig auftretende theoretische Verteilungen sind die Binomialverteilung und die N orm.alverteilung.

Übersicht ( 417 )

Bernoulli-Experiment und Binomialverteilung

10.1

Charakteristisch für die Binomialverte ilung ist die wiederho lte Ausführung desselben Bernoulli-Experimentes, wie z.B. beim vierfachen Münzwurf.

Binomialverteilung - Histogramme und Anwen-

10.2

dungen

P(X =k)

Binomialverteilungen werden mit Histogrammen ver-

0,3 ' 0,2 '

anschaulicht. Häufig wird die Binomia lvertei lung

0, 1 •

'

P(X = 3)

/ 1

.

0

zum Modellieren und Problemlösen eingesetzt.

. 2

.

1

.

.

3

'

4

k

Binomialverteilung - Kenngrößen und Prognose-

10.3

intervalle Kenngrößen sind der Erwartungswert und die Standardabweichung. Prognoseintervalle sind zum Erwartungswert symmetrische Intervalle, in die die Trefferzah l mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit fallt .

µ-t

Stetige Zufallsgrößen und Normalverteilung

10.4

Die Normalverteilung ist eine stetige Verteilung, die durch eine Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion