Bigalke/Köhler Mathematik Gymnasiale Oberstufe Qualifikationsphase Grund- und Leistungskurs Q4 9783060085323, 9783060404742

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Bigalke I Köhler

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emat1 Gymnasiale Oberstufe Qualifikationsphase Grund- und Leistungskurs

Cornelsen

Bigalke I Köhler

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emat1 Gymnasiale Oberstufe Qual ifi kationsphase

Grund- und Leistungskurs

Herausgegeben von

Dr. Anton Bigalke Dr. Norbert Köhler Erarbeitet von

Dr. Anton Bigalke Dr. Norbert Köhler Dr. Gabriele Ledworuski Dr. Horst Kuschnerow unter Mitarbeit der Verlagsredaktion und Beratung von

Clemens Groß, Fulda

Cornelsen

Q4

Bigalke I Köhler

Mathematik Redaktion: Dr. Ulf Rothkirch Layout: Klein und Halm Grafikdesign, Berlin Bildrecherche: Kai Mehnert Grafik: Dr. Anton Bigalke, Waldmichelbach, Dr. Norbert Köhler, Stahnsdorf IUustration: Detlev Schüler t, Berlin Umschlaggestaltung: Klein und Halm Grafikdesign, Hans Herschelmann, Berlin Technische Umsetzung: CMS - Cross Media Solutions GmbH, Würzburg

www.cornelsen.de Dieses Werk enthält Vorschläge und Anleitungen für Untersuchungen und Experimente. Vor jedem Experiment sind mögliche Gefahrenquellen zu besprechen. Beim Expedmentieren sind rue Richtlinien zur Sicherheit im Unterricht einzuhalten. Die Webseiten Dritter, deren Internetadressen in diesem Lehrwerk angegeben sind, wurden vor Drucklegung sorgfältig geprüft. Der Verlag übernimmt keine Gewähr für die Aktualität und den Inhalt dieser Seiten oder solcher, die mit ihnen verlinkt sind. 1. Auflage, 2. Druck 2020 Alle Drucke rueser Auflage sind inhaltlich unverändert und können im Unterricht nebeneinander verwendet werden. © 2019 Cornelsen Verlag GmbH, Berlin Das Werk und seine Teile sind urheberrechtlich geschützt. Jede Nutzung in anderen als den gesetzlich zugelassenen Fällen bedruf der vorherigen schriftlichen Einwilligung des Verlages. Hinweis zu §§60a, 60b UrhG: Weder das Werk noch seine Teile dürfen ohne eine solche Einwilligung an Schulen oder in Unterrichts- und Lehrmedien(§ 60b Abs. 3 UrhG) vervielfältigt, insbesondere kopiert oder eingescannt, verbreitet oder in ein Netzwerk eingestellt oder sonst öffentlich zugänglich gemacht oder wiedergegeben werden. Dies gilt auch für Intranets von Schulen. Druck: AZ Druck und Datentechnik GmbH, Kempten ISBN 978-3-06-008532-3 (Schülerbuch) ISBN 978-3-06-040474-2 (E-Book)

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PEFC zertffiz:iert

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Quellen, www.pefc.de

Inhalt

Vorwort ...... . ............. 4

1.

Argumentieren l. Vorbetrachtung . . . . . . . . . . . . 10 2. Der direkte Beweis . . . . . . . . . 16 3. Der indirekte Beweis ....... 23 4. Beweise aus der Geometrie und der Analysis .......... . 29 5. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion ..... 36 6. Anwendungen der vollständigen Induktion ..... 39

11.1 Problemlösungsstrategien l. Vorbetrachtung ............ 2. Vorwärtsarbeiten ... ....... 3. Rückwärtsarbeiten ......... 4. Das Schubfachprinzip ...... 5. Das Invarianzprinzip und das Extremalprinzip ........

56 57 58 64 75

11.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe 1. Problemlösungsstrategien in der Analysis ............ 84 2. Problemlösungsstrategien in der Analytischen Geometrie .. 105

III. Modellieren l . Einführung . . . . . . . . . . . . . . . 126 2. Modelle mit starkem Realitätsbezug ............ 127 3. Modelle mit eingeschränktem Realitätsbezug .. . ......... 137

IV. Gewöhnliche Differentialgleichungen 1. Der Begriff der Differentialgleichung ....... 2. Differentialgleichung mit getrennten Variablen ....... 3. Lineare Differentialgleichungen .............. 4.Anwendungen ............ V.

162 164 165 17 1

Kreis und Kugel 1. Kreise in der Ebene . . . . . . . . 180 2. Kreise und Geraden . . . . . . . . 187 3. Kugelgleichungen . ..... .. . 194 4. Kugeln, Geraden und Ebenen . . . . . . . . . . . . . . 197

VI. Abiturähnliche Aufgaben für den Grundkurs 1. Hilfsmittelfreie Aufgaben (Prüfungsteil 1) .. . ... . .... 212 2. Komplexe Aufgaben (Prüfungsteil 2) .. . ........ 223 VII . Abiturähnliche Aufgaben für den Leistungskurs 1. Hilfsmittelfreie Aufgaben (Prüfungsteil 1) ........... 248 2. Komplexe Aufgaben (Prüfungsteil 2) ........... 254 Tabellen . . . . ................. Testlösungen ................. Stichwortverzeichnis ........... Bildnachweis ............ . ....

266 277 285 287

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Vorwort

Vorwort Kerncurriculum In diesem Buch wird das Kerncurriculum für das Fach Mathematik in der Qualifikationsphase des Landes Hessen konsequent umgesetzt. In erheblichem Umfang sind Anwendungsaufgaben berücksichtigt, auch perspektivisch im Hinblick auf das Zentralabitur. Allerdings muss man die knappe Zeit gut einteilen, da Anwendungen und Modellierungen e1f ahrungsgemäß zeitaufwendig sind.

Druckformat Das Buch besitzt ein weitgehend zweispaltiges Druckformat, was die Übersichtlichkeit deutlich erhöht und die Lesbarkeit erleichtert. Lehrtexte und Lösungsstrukturen sind auf der linken Seitenhälfte angeordnet, während Beweisdetails, Rechnungen und Skizzen in der Regel rechts platziert sind.

Beispiele Wichtige Methoden und Begriffe werden auf der Basis anwendungsnaher, vollständig durchgerechneter Beispiele eingeführt, die das Verständnis des klar strukturierten Lehrtextes unterstützen. Diese Beispiele können auf vielfältige Weise als Grundlage des Unterrichtsgesprächs eingesetzt werden. Im Folgenden werden einige Möglichkeiten skizziert: • Die Aufgabenstellung eines Beispiels wird problemorientie1t vorgetragen. Die Lösung wird im Unterrichtsgespräch oder in Stillarbeit entwickelt, wobei die Schülerbücher geschlossen bleiben. Im Anschluss kann die erarbeitete Lösung mit der im Buch dargestellten Lösung verglichen werden. • Die Schüler lesen ein Beispiel und die zugehörige Musterlösung. Anschließend bearbeiten sie eine an das Beispiel anschließende Übung in Einzel- oder Partnerarbeit. Diese Vorgehensweise ist auch für Hausaufgaben gut geeignet. • Ein Schüler wird beauftragt, ein Beispiel zu Hause durchzuarbeiten und als Kurzreferat zur Einführung eines neuen Begriffs oder Rechenverfahrens im Unterricht vorzutragen.

Übungen Im Anschluss an die durchgerechneten Beispiele werden exakt passende Übungen angeboten.

• Diese Übungsaufgaben können mit Vorrang in Stillarbeitsphasen als Kontrolle eingesetzt werden. Dabei können die Schüler sich am vorangegangenen Unterrichtsgespräch orientieren. • Eine weitere Möglichkeit: Die Schüler erhalten den Auftrag, eine Übung zu lösen, wobei sie mit dem Lehrbuch arbeiten sollen, indem sie sich am Lehrtext oder an den Musterlösungen der Beispiele orientieren, die vor der Übung angeordnet sind. • Weitere Übungsaufgaben auf zusammenfassenden Übungsseiten finden sich am Ende der meisten Abschnitte. Sie sind für Hausaufgaben, Wiederholungen und Vertiefungen geeignet. • In erheblichem Umfang sind die Formate des Zentralabiturs berücksichtigt, vor allem auch solche mit einfachen Anwendungsbezügen und mit Modellierungen. Allerdings muss man sich die ohnehin knappe Zeit gut einteilen, da Anwendungsaufgaben zeitaufwendig sind.

Vorwort

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Überblick, Test und mathematische Streifzüge Am Ende eines jeden Themenfeldes sind in der Regel in einem Überblick die wichtigsten mathematischen Regeln, Formeln und Verfahren in knapper Form zusammengefasst. Auf der letzten Seite eines Themenfeldes findet man einen Test zum Standardstoff, der vor allem auch zur Selbstkontrolle vorgesehen ist. In der Regel ist ein solcher Test zu umfangreich, um in einem Zug durchgerechnet zu werden. Im Normalfall wird eine Zweiteilung angemessen sein. Manche Themenfelder enthalten einen mathematischen Streifzug, der besonders interessierten Schülern ansprechende Vertiefungsmöglichkeiten jenseits des Pflichtstoffes bietet.

Operatoren Die Aufgabenstellungen in Übungen wurden in erheblichem Maße mit Hilfe von Operatoren formuliert. Es wurden aber auch offener formulierte Fragestellungen einbezogen, um die erforderliche Flexibilität der Schüler im Umgang mit Aufgabenstellungen erreichen zu können. Das ist vor allem im Hinblick auf die spätere Studierfähigkeit erforderlich, denn im Studium werden in der Regel keine operationalisierten Fragestellungen angelboten.Auch sollte so eine zu starke sprachliche Operationalisierungsmonotonie vermieden werden. Eine Liste der Operatoren befindet sich am Buchende.

Inhalt des Buches 1. Das Buch folgt dem Kerncurriculum. Zunächst werden die drei Themenfelder mit prozessbezogenem Schwerpunkt dargestellt, d.h. die Felder Q 4.1 (Argumentieren und Beweisen), Q 4.2 (Problemlösen) und Q 4.3 (Modellieren). 2. Anschließend werden zwei der sechs Themenfelder mit inhaltsbezogenem Schwerpunkt dargestellt, und zwar die Felder Q 4.4 (Gewöhnliche Differentialgleichungen) und Q 4.6 (Kreis und Kugel), welche an die Analysis und die Analytische Geometrie angebunden sind. 3. Die Themenfelder Q 4.5 (Numerische Optimierung) , Q 4.7 (Weitere Wahrscheinlichkeitsverteilungen), Q 4.8 (Komplexe Zahlen) und Q 4.9 (Graphentheorie) wurden nicht berücksichtigt, um den Rahmen nicht zu sprengen, denn von insgesamt neun Themenfeldern werden maximal zwei behandelt. 4. Schließlich enthält das Buch eine Sammlung von abiturähnlichen Aufgabenstellungen, unterteilt nach Grundkurs und Leistungskurs. Hier sind auch Abschnitte mit hilfsmittelfreien Aufgaben enthalten.

Auswahl der verbindlichen Themenfelder durch die Lehrkraft Die Lehrkraft legt zwei Themenfelder fest, welche die verbindliche Grundlage des Unterrichts im Kurshalbjahr Q4 bilden. 1. Ein Themenfeld wählt er aus den prozessbezogenen Themenfelder Q 4.1, Q 4.2 und Q 4.3 aus. 2. Das zweite Themenfeld wählt er aus den inhaltsbezogenen Themenfeldern Q 4.4 bis Q 4.9 aus. Alternativ kann er statt dieses inhaltsbezogenen Themenfeldes auch ein Themenfeld aus den Kurshalbjahren Ql bis Q3 wählen, das für den jeweiligen Abiturjahrgang nicht verbindlich festgelegt ist und in den vorangegangegen Kurshalbjahren noch nicht bearbeitet wurde. 3. Für die Bearbeitung der verbindlichen Themenfelder sind etwa zwei Drittel der gemäß OAVO zur Verfügung stehenden Unterrichtszeit vorgesehen. In der verbleibenden Unterrichtszeit ist es möglich, Aspekte der verbindlichen Themenfelder zu ve1tiefen oder zu erweitern oder eines der nicht verbindlichen Themenfelder zu bearbeiten.

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Vorwort

Beschreibung der im Buch dargestellten Themenfelder Im Folgenden werden die im Buch dargestellten Themenfelder beschrieben und Hinweise gegeben.

Themenfeld Q 4.1 Argumentieren und Beweisen, prozessbezogener Schwerpunkt. Das Kerncurriculum nennt hier das Formulieren von Vermutungen zu gegebenen Fragestellungen, das Erläutern und Entwickeln von Argumentationen und Schlussfolgerungen - auch zu Inhaltsbereichen aus der Sekundarstufe II - sowie das Anwenden von Beweisverfahren wie z.B. direkter Beweis, indirekter Beweis und vollständiger Induktion. 1. Abschnitt 1: Kurzüberblick über die für das Beweisen notwendigen Grundelemente der Mathematik ( Axiome, Definitionen, Sätze, Aussagen und Vermutugen). 2. Abschnitt 2: Der direkte Beweis: Das am häufigsten angewandte Beweisverfahren kann besonders klar dargestellt werden an einfachen Problemen aus der Teilbarkeitslehre und an Ungleichungen, die das grundlegende Niveau ansprechen. Es folgen direkte Beweise aus der Geometrie auf erhöhtem Niveau. Den Abschluss bildet das Widerlegen falscher Vermutungen durch Gegenbeispiele. 3. Abschnitt 3: Der indirekte Beweis: Nach ganz elementaren Einführungsbeispielen aufgrundlegendem Niveau, die das Prinzip optimal verdeutlichen, werden die klassichen Beispiele zum Nachweis der Irrationalität von Wurzeln und der Unendlichkeitsnachweis für die Menge der Primzahlen gebracht. Anschließend folgen schwierigere, aber auch ansprechende Sonderprobleme auf erhöhtem Niveau wie das Königsberger Brückenproblem. 4. Abschnitt 4: Beweise aus der Analytischen Geometrie und der Analysis: Es handelt sich um Beweise, welche die Stoffgebiete aus der Sekundarstufe II, d.h. die vektorielle analytische Geometrie und die Analysis betreffen. Hier ist der Schwierigkeitsgrad schon erhöht, da solche Beweise im Unterricht nicht allzu oft vorkommen. 5. Abschnitt 5: Das Verfahren der vollständigen Induktion sehr ausführlich behandelt. Es wurde auf große Ausführlichkeit und Verständlichkeit Wert gelegt, aber auch auf besonders interessante und anschauliche Anwendungen. Auch Gegenbeispiele in Form fehlerhafter Anwendungen wurden einbezogen. In diesem Abschnitt muss man je nach vorliegendem Niveau und auch aus Zeitgründen eine eng begrenzte Auswahl treffen. 6. Überblick, Streifzug Beweise ohne Worte und Test.

Themenfeld Q 4.2 Problemlösen, prozessbezogener Schwerpunkt. Das Kerncurriculum nennt hier das Formulieren mathematischer Probleme sowie die Anwendung heuristischer Strategien (Vorwärtsarbeiten, Rückwärtsarbeiten, Extremalprinzip etc.). Dieses Kapitel wurde in zwei Teile aufgeteilt. Aus Zeitgründen muss man entscheiden, in welchen Teil man den Schwerpunkt des Unterrichts setzt. Beide Teilkapitel enthalten einen Test. Teil 11.1 enthält die heuristischen Strategien Vorwärtsarbeiten, Rückwärtsarbeiten, das Schubfachprinzip, das Invarianzprinzip und das Extremalprinzip. Das Niveau ist anspruchsvoll. Teil 11.2 enthält die wichtigsten grundlegenden Lösungsstrategien aus der Analysis und der Analytischen Geometrie und bereitet somit deutlich zielgerichteter auf das Abitur vor.

Vorwort

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Q 4.2, Teil 11.1: lnnermathematische Problemlösungsstrategien

1. Abschnitt 1: Vorbetrachtung: Hier wird ein Überblick gegeben. 2. Abschnitt 2: Vorwärtsarbeiten: Für dieses den Schülern bekannte Verfahren werden Beispiele aus der Sekundarstufe II aufgezählt. Außerdem wird auf Kapitel II.2 verwiesen, wo die wichtigsten Vorwärtsstrategien aus Analysis und Analytischer Geometrie trainiert werden. 3. Abschnitt 3: Rückwärtsarbeiten: Das sehr interessante Prinzip des Rückwärtc;arbeitens wird an möglichst ansprechenden Beispielen aus verschiedenen Gebieten demonstriert. Die Ausführungen bewegen sich überwiegend auf dem grundlegenden Niveau. 4. Abschnitt 4: Das Schubfachprinzip: Es handelt sich um eine sehr leistungsfähige und überraschende Lösungsstrategie. Sie wurde hier sehr ausführlich auf beiden Niveaustufen dargestellt. Es ist nötig, eine eng begrenzte Auswahl zu treffen. 5. Abschnitt 5: Das Invarianzprinzip und das Extremalprinzip: Dies sind zwei Problemlösungsstrategien auf (sehr) erhöhtem Niveau, die normalerweise eher auf der Ebene mathematischer Wettbewerbe (Bundeswettbewerb Mathematik etc.) angesprochen werden. Q 4.2, Teil 11.2: Problemlösungsstrategien aus der Sekundarstufe II

Vorbemerkung: Dieses Teilkapitel kann die Abiturvorbereitung bei rechtzeitiger Behandlung unterstützen. Die wichtigsten Grundstrategien der Analysis und der Analytischen Geometrie werden wiederholt mit dem Ziel, sie schlagwortartig und automatisiert abrufen zu können. Die Übungen sind knapp gehalten, da sie durch das Rechnen von komplexen Aufgaben aus den Kapiteln VI und VII im erforderlichen Maße ergänzt werden können. 1. Abschnitt 1: Problemlösungsstrategien in der Analysis: Angesprochen werden die folgenden Lösungsstrategien (überwiegend grundlegendes Niveau): Ableitungsregeln - Charakteristische Punkte von Funktionen - Grenzverhalten - Tangenten und Normalen - Ortskurven - Extremalprobleme - Modellierung mit Funktionen - Bestimmung von Stammfunktionen und Flächeninhalten - Wachstumsprozesse. 2. Abschnitt 2: Problemlösungsstrategien in der Analytischen Geometrie Angesprochen werden die folgenden Lösungsstrategien (unterschiedliches Niveau): Kollinearität und Komplanarität - Skalarprodukt und seine Anwendungen - Vektorprodukt Nach weis von Eigenschaften geometrischer Figuren (rechtwinkliges Dreieck, Parallelogramm, Trapez) - Lagebeziehungen von Geraden - Lagebeziehungen von Gerade/Ebene und Ebene/Ebene - Bewegungsaufgaben - Spurpunkte und Spurgeraden - Schattenwurf und Spiegelung - Abstandsberechnungen Die Lehrkraft muss beim grundlegenden Niveau des Kurses evtl. einzelne Methoden im Zusammenhang mit Ebenen austauschen, da hier bevorzugt die Koordinatenform der Ebene verwendet wurde.

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Vorwort

Themenfeld Q 4.3 Modellieren, prozessbezogener Schwerpunkt. Das Kerncurriculum sieht das Mathematisieren realer Problemstellungen, das Interpretieren der mathematischen Ergebnisse und das Reflektieren der Schritte des Modellkreislaufs vor. Es gibt hier einen abiturrelevanten Teil (Abschnitt 3). Beide Niveaustufen kommen vor. 1. Abschnitt 1: Einführung: Hier wird lediglich das Konzept des Modellkreislaufs dargestellt. 2. Abschnitt 2: Modelle mit starkem Realitätsbezug: Aus jedem der drei mathematischen Gebiete Stochastik, Analysis und Geometrie wird in großer Ausführlichkeit ein Modelierungsproblem behandelt, welches sehr realitätsnah ist. Der Modellkreislauf wird jeweils reflektiert. 3. Abschnitt 3: Modelle mit eingeschränktem Realitätsbezug: Dieser Abschnitt hat eine erhebliche Abiturrelevanz. Es werden zahlreiche Modellierungsprozesse behandelt, wie sie in der Sekundarstufe II gewöhnlich auftreten. Der Realitätsbezug ist vorhanden, aber nur eingeschränkt. Zunächst werden Modellierungen aus der Analytischen Geometrie wie Bewegungsaufgaben, Spurpunktaufgaben, Schattenwurf und Reflexionen gesprochen, anschließend Modellierungen aus der Analysis wie Kurvenanpassungen, Trassierungen, Wachstumsprozesse, Abkühlungsprozesse, Änderungsraten und Bestandsrekonstruktionen und Modellierungen mit Rotationskörpern. Als Zusatz werden zwei Modellierungen aus weiteren Bereichen wie Sport und Wirtschaft behandelt. Den Abschluss bildet wie üblich ein Test.

Themenfeld Q 4.4 Gewöhnliche Differentialgleichungen, inhaltsbezogener Schwerpunkt Dieses Themenfeld deckt einen erheblichen Teil der im Kerncurriculum genannten Verfahren ab. Hier wird verstärkt das erhöhte Anforderunsgniveau angesprochen. Ein Test wird angeboten. Aus Platzgründen beschränken wir uns auf die Angabe der Überschriften der Abschnitte. 1. Abschnitt 1: Der Begriff der Differentialgleichung 2. Abschnitt 2: Differentialgleichung mit getrennten Variablen 3. Abschnitt 3: Lineare Differentialgleichungen 4. Abschnitt 4: Anwendungen

Themenfeld Q 4.6 Kreis und Kugel, inhaltsbezogener Schwerpunkt In diesem Themenfeld werden die Intentionen des Kemcurriculums insgesamt abgedeckt. 1. Abschnitt 1: Kreise in der Ebene 2. Abschnitt 2: Kreise und Geraden 3. Abschnitt 3: Kugelgleichungen 4. Abschnitt 4: Kugeln, Geraden und Ebenen

Kapitel VI: Abiturähnliche Aufgaben für den Grundkurs Kapitel VII: Abiturähnliche Aufgaben für den Leistungskurs Hier werden in der bewährten Weise zusammengesetzte Aufgaben zur Vorbereitung auf das schriftliche Abitur angeboten, getrennt nach Grund- und Leistungskurs. Enthalten ist auch jeweils ein Teil mit hilfsmittelfreien Aufgaben. Einzelne Aufgabenffeilaufgaben beziehen sich auf Themenfelder, die nicht in jedem Jahr verbindlich zum Abitur sind. Hier ist die Lehrkraft gefordert, zu jedem Jahrgang die passenden Aufgaben auszuwählen.

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I. Argumentieren und Beweisen

1. Vorbetrachtung In jeder wissenschaftlichen Disziplin gibt es Lehrsätze. Das sind wissenschaftliche Aussagen, von deren Richtigkeit die zeitgenössischen Wissenschaftler überzeugt sind. Allerdings musste im Laufe der Zeiten der eine oder andere Lehrsatz korrigiert werden, oder er erwies sich sogar als falsch. Bekanntlich wurde im Altertum angenommen, dass die Erde eine Scheibe sei. Diese lange gültige Lehrmeinung kann z. B. durch die Beobachtung widerlegt werden, dass der Erdschatten bei Mondfinsternissen stets kreisförmig ist, was nur durch die Kugelform der Erde zu erklären ist. Ähnlich galt die Newtonsche Mechanik lange Zeit als allgemeingültige Theorie, bis die Einsteinsehe Relativitätstheorie zeigte, dass sie nur in Grenzen Gültigkeit hat und z. B. bei hohen Geschwindigkeiten nicht mehr gilt. Die Liste von Lehrsätzen, die sich als falsch erwiesen haben oder die zumindest teilweise revidiert werden mussten, ließe sich beliebig lang fortsetzen und alle Wissenschaften sind betroffen, allerdings am wenigsten die Mathematik. Der Satz des Pythagoras hat über zwei Jahrtausende seine Gültigkeit behalten. Niea2 mand konnte ihn widerlegen und niemand wird ihn jemals widerlegen können. Das liegt daran, dass man richtige mathematib2 sehe Aussagen beweisen kann. Und den Satz des Pythagoras haben schon die alten a a Griechen bewiesen. Beweisfigur zum Satz des Pythagoras Es gibt verschiedene Arten des mathematischen Beweises, von denen wir nun der Reihe nach einige behandeln werden.Wir nennen sie zunächst im Überblick. 1. Der direkte Beweis Hier geht man von einer richtigen Aussage aus, aus der man mit korrekten logischen Schlüssen auf direktem Weg die zu beweisende Aussage herleitet. 2. Der indirekte Beweis

Hier nimmt man das logische Gegenteil der zu beweisenden Aussage als richtig an und zeigt, dass diese Annahme zu einem unauflösbaren Widerspruch führt. Der indirekte Beweis wird oft auch als Widerspruchsbeweis bezeichnet. 3. Der Beweis durch vollständige Induktion

Der Induktionsbeweis führt - ausgehend vom Spezialfall - zum allgemeinen Fall. Bildlich interpretiert ähnelt er einem Dominoeffekt. Dieser Beweis hat auch einen Hauch vom Münchhausenprinzip, bei dem man sich am eigenen Schopf aus dem Sumpf zieht. 4. Der Beweis mit dem Schubfachprinzip (Das Prinzip wird erst in Kapitel 11.1 behandelt.) Hier ordnet man mathematische Objekte in Schubfächer ein und zeigt, dass ein Schubfach mehr als ein Objekt enthält. Daraus folgt dann der Beweis der betrachteten Aussage.

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Zunächst stellen wir noch einmal zusammen, welche elementaren Begrifflichkeiten das Gebäude der Mathematik aufweist. Dies sind Axiome, Definitionen und Sätze. Hinzu kommen Aussagen und Vermutungen. Axiome bilden die Basis des Gebäudes der Mathematik. Sie beschreiben grundlegende wahre Aussagen, die so einsichtig sind, dass sie keines Beweises bedürfen, aber auch nicht aus schon Bekanntem hergeleitet werden können. Die Mathematiker versuchen, mit möglichst wenigen Axiomen auszukommen. Ein Beispiel ist das Parallelenaxiom von Euklid, das aber erst von Gauß als Axiom erkannt wurde.

Das Parallelenaxiom E sei eine Ebene, g eine beliebige Gerade in E und Pein Punkt in der Ebene, der nicht auf g liegt.

Mathematische Definitionen legen die verwendeten mathematischen Begriffe mit höchster Präzision fest. Definitionen müssen sinnvoll und eindeutig sein.

Beispiel für eine Definition Eine ganze Zahl a ":1:- 0 heißt Teiler der ganzen Zahl b, wenn es eine ganze Zahl c gibt, so dass gilt: b = c · a

Mathematische Aussagen müssen so beschaffen sein, dass sie sich eindeutig als wahr oder als falsch einstufen lassen.

Beispiele für Aussagen Aussage: 3 ist ein Teiler von 12. (wahr) Aussage: 3 ist ein Teiler von 11. (falsch) Keine Aussage: Der Mann und der Hund

Mathematische Sätze schließlich sind wichtige wahre Aussagen. Ihr Wahrheitsgehalt muss durch einen mathematischen Beweis unwiderlegbar nachgewiesen sein. Solange der Beweis nicht erbracht ist, handelt es sich lediglich um eine mathematische Vennutung, noch nicht um einen Satz. Der bekannteste mathematische Satz ist sicher der Lehrsatz des Pythagoras.

Beispiel: Satz des Pythagoras Gegeben sei ein rechtVoraussetzungen winkliges Dreieck mit des Satzes der Hypotenuse c und den Katheten a und b.

Dann gibt es genau eine Gerade h in der Ebene E, die durch den Punkt P geht und parallel ist zur Geraden g.

Dann gilt die Gleichung: Folgerung des c2 = a2 + b 2 Satzes Kurzform: Dreieck rechtwinklig

⇒

c2

= a2 +

b2

Ein mathematischer Satz hat meistens die Form: Wenn A gilt, dann gilt auch B. Mathematische Sätze lassen sich also logisch als Implikation darstellen, d. h. in der FormA ⇒ B. Dabei istA die Voraussetzung des Satzes und B die Folgerung.

Allgemeine Form eines Satzes Wenn A gilt, dann gilt auch B. A: Voraussetzung, B: Folgerung

Die Bedeutung mathematische Sätze ist unterschiedlich. Daher teilt man sie ein in Theoreme , Lemmata und Korollare . Die Erkärungen hierzu stehen rechts.

Einteilung mathematischer Sätze: Theorem: Bedeutsamer mathematischer Satz Lemma: Hilfssatz zur Beweisgliederung Korollar: Sonderfall oder direkte Folgerung aus einem Theorem.

Kurzschreibweise des Satzes (Implikation) A ⇒ B (Aus A folgt B.)

..J

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I. Argumentieren und Beweisen

2. Der direkte Beweis A. Elementare Beispiele Der am einfachsten strukturierte und somit klarste mathematische Beweis ist der direkte Beweis . Hierbei geht man von einer bereits bewiesenen wahren Aussage A aus und versucht, durch korrekte logische Überlegungen zu der zu beweisenden Aussage B zu gelangen. Dabei geht man nach dem Prinzip vor, dass sich aus einer wahren Aussage mit korrekten logischen Schlüssen stets nur wieder wahre Ausssagen ergeben können.

Der direkte Beweis: Aus A (wahr) folgt B Kurzschreibweise: A ⇒ B

Um dem Ganzen den abstrakten Charalter zu nehmen, untersuchen wir einige Beispiele. ►

Beispiel: Direkter Beweis/Ungerade Zahlen Satz: Das Quadrat einer ungeraden Zahl a ist wieder eine ungerade Zahl b. Lösung: Wir gehen von der bereits als bewiesen vorausgesetzten Aussage aus, dass jede ungerade Zahl a in der Form a = 2 n + 1 dargestellt werden kann (und umgekehrt). Außerdem setzen wir die 1. Binomische Formel als schon bewiesen voraus.

Dann können wirb= a2 berechnen und er. halten als Resultat b = 2 m + 1, also wie im ► Satz behauptet ein ungerades Ergebnis.

Beweis des Satzes: a ungerade =>a=2n+l ⇒ b

=a2 =(2 n + 1) 2

11. Binom. Formel

= +4n + 1 = 2 (2 n2 + 2 n) + 1 4n2

⇒

=2m+ 1 b ungerade

Übung 1 Direkter Beweis/Gerade und ungerade Zahlen Beweisen Sie die folgenden Aussagen: a) Die Summe zweier ungerader Zahlen ist eine gerade Zahl. b) Das Quadrat einer geraden Zahl ist gerade. c) Das Produkt einer ungeraden Zahl und einer geraden Zahl ist eine gerade Zahl. d) Ist a eine natürliche Zahl, so ist a2 + a eine gerade Zahl. Übung 2 Direkter Beweis/Potenzen Beweisen Sie die folgenden Aussagen. Erläutern Sie dabei, welche als bereits bewiesen angenommene Aussagen jeweils verwendet werden. a) Ist die Zahl a ungerade, so ist auch deren dritte Potenz a3 ungerade. b) Beweisen Sie die erste binomische Formel (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . c) Beweisen Sie die binomische Formel (a + b)3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b 3. Sie können hierzu die Formel aus b) verwenden.

2. Der direkte Beweis

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----------------------✓ Im folgenden Beispiel wird eine Teilbarkeitsaussage mit einem direkten Beweis nachgewiesen. ►

Beispiel: Direkter Beweis/Teilbarkeit Beweisen Sie den folgenden Satz: Das Produkt von drei aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen ist durch 6 teilbar.

Lösung: Der Beweis ist ziemlich einfach und kurz. Von drei aufeinanderfolgenden Zahlen ist stets genau eine durch 3 teilbar. Außerdem ist mindestens eine der drei Zahlen durch 2 teilbar. ► Daraus ergibt sich die Teilbarkeit durch 6.

Konkrete Zahlenbeispiele: Rot: Durch 3 teilbar Blau: Durch 2 teilbar

13 · 14 · 15 14 · 15 · 16 15 - 16 - 17

Das nächste Beispiel zur Teilbarbeit ist etwas anspruchsvoller. Hier erfordert der direkte Beweis eine Fallunterscheidung mit drei Fällen. ►

Beispiel: Direkter Beweis mit Fallunterscheidung/Teilbarkeit Beweisen Sie den folgenden Satz: Der Term n · (n2 + 2) ist für jede natürliche Zahl n durch 3 teilbar. Lösung: Hier unterscheiden wir drei Fälle. Die natürliche Zahl n kann die Form 3 m besitzen, also durch 3 teilbar sein (Fall 1). n kann aber auch die Formen 3 m + l (Fall 2) bzw. 3 m + 2 (Fall 3) besitzen. 3 m + 3 würde wieder der ersten Form entsprechen und muss daher nicht mehr berücksichtigt werden. Durch Anwendung der ersten Binomischen Formel können die Terme so vereinfacht werden, dass jeweils der Faktor 3 (rechts rot markiert) ausgeklammert werden kann, so dass die Teilbarkeit durch 3 offensichtlich wird.

Ohne die Verwendung einer Fallunterscheidung würde der Beweis nicht funktionieren. Bei einer Teilbarbeit von n durch 3 sollte man stets die Fallunterscheidung n =3 m, ► n = 3 m + 1 und n = 3 m + 2 probieren.

Beweis mittels Fallunterscheidung: Fall 1: n = 3m Hier ist der Term nach folgender Rechnung offensichtlich durch 3 teilbar: n • (n2 + 2) =3 m • [(3 m) 2 + 2] Fall 2: n = 3 m + 1 Nun gilt folgende Rechnung: n • (n2 + 2)=(3 m + l ) · [(3m+ 1)2+2)] =(3 m + l ) · [9m2 +6m+ 1 +2] =(3 m + 1) · [9m2 +6m+3] =(3m+ 1) -3 · [3m2 +2m+ l] Fall 3: n = 3m + 2 Nun gilt folgende Rechnung: n • (n2 + 2)=(3 m +2) · [(3m+2) 2 +2] =(3m+2) · [9m2 + 12m+4+2] =(3m+2) · [9m2 + 12m+6] =(3m+2) · 3 · [3m2 +4m+2]

\_..-1_4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I_._Ar ___g_u_m_e_n_ti_e_re_n_un_d_ B_e_w_e_is_e_n_ _ _ __

Übung 3 Direkter Beweisffeilbarkeit Beweisen Sie die folgenden Aussagen: a) n sei eine natürliche Zahl. Dann ist der Term n 3 - n durch 3 teilbar. b) n sei eine natürliche Zahl. Dann ist der Term n 3 - n durch 6 teilbar. Hinweis: Zerlegen Sie den Term in drei Faktoren. c) Für jede natürliche Zahl n gilt: n 2 - 2 ist nicht durch 5 teilbar. Hinweis: Führen Sie eine Fallunterscheidung durch mit den folgenden fünf Fällen: n = 5 m, n = 5 m + 1, n = 5 m + 2, n = 5 m + 3, n = 5 m + 4 Das nächste Beispiel zeigt, dass es bei einem Beweis manchmal darauf ankommt, die richtige Darstellung einer Größe zu verwenden. Hier ist es eine Summendarstellung. ►

Beispiel: Direkter Beweis/Regel für die Teilbarkeit durch 9 Beweisen Sie die folgende Aussage: Ist die Quersumme einer ganzen Zahl z durch 9 teilbar, so ist die Zahl z durch 9 teilbar. Lösung: Für eine konkrete und nicht zu große Zahl z, z.B. für z = 477, können wir die Teilbarkeit durch 9 mit Hilfe der schriftlichen Division überprüfen. Für eine allgemeine Zahl z funktioniert das leider nicht mehr.

Die allgemeine Zahl z habe die folgende Zifferndarstellung im dezimalen Stellenwertsystem: z = an an _ an_ a a Leider können wir mit dieser Darstellung ebenfalls nicht rechnen. Wir müssen sie zuerst in die Summendarstellung des Zehnersystem übertragen, um einen berechenbaren Ausdruck zu gewinnen: z=an · 10n+an-l · 10n-l + ... +at · 10 1 +ao Nun schreiben wir 10 = 9 + 1, 102 = 99 + 1 usw. Auf diese Weise können wir - wie rechts dargestellt - zeigen, dass sich z in der Form z = 9 m + Quersumme darstellen lässt. Daher ist die Zahl z schon durch 9 teilbar, ► wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist. 1

2

...

1

0

.

Schriftliche Divsion durch 9:

477: 9 = 53 45 27 abc : 9 = ??? 27 0 Verwendung der Summendarstellung:

477 = 4 . 102 + 7 . 10 1 + 7 . 10 1 = 4 • 100 + 7 • 10 + 7 • 1 = 4 • (99 + 1) + 7 · (9 + 1) + 7 · 1 = 4 • 99 + 7 · 9 + 4 + 7 + 7 = 9 • (4 • 11 + 7 • 1) + 4 + 7 + 7 = 9 • m + Quersumme Verallgemeinerung:

z =a 0 • l0 11 +an-l -10°- 1 + ... +a 1 • 10 1 +a0 = an •(99 ... 9 + 1) + ... + a 1 • (9 + 1) + a0 = an •99 ... 9 + ... + a 1 • 9 + a0 + ... + a 1 + a0 = 9 • (an •11 ... 1 + ... a 1 • 1) + an + ... + a 1 + a0 = 9 · m + Quersumme

Übung 4 Direkter Beweis/Quersummenregefu Beweisen Sie die folgenden Teilbarkeitsregeln. a) Ist die Quersumme einer ganzen Zahl z durch 3 teilbar, so ist auch z selbst durch 3 teilbar. b) Ist die alternierende Quersumme einer Zahl z durch 11 teilbar, so ist auch z durch 11 teilbar. Beispiel: Die alternierende Quersumme von z = 82313 ist q = +8 - 2 + 3 - 1 + 3 = 11 q ist also durch 11 teilbar und daher auch die Zahl z. Es gilt 82 313 : 11 = 7 483.

2. Der direkte Beweis

15

----------------------✓ Als ein letztes elementares Beispiel behandeln wir den Nachweis einer Ungleichung. ►

Beispiel: Direkter Beweis/Ungleichung Beweisen Sie die folgende Aussage: Für zwei reelle Zahlen a und b mit a ~ 0 und b ~ 0 gilt die Ungleichung a; b ~ ~ Lösung: Wir gehen von der zweifellos richtigen Ungleichung (a - b)2 ~ 0 aus.

Beweis: (a-b)2 ~0

Dann formen wir diese Ungleichung so lange um, bis wir die zu beweisende Ungleichung a; b ~ ~ erhalten.

⇒

a2 - 2 ab+ b2 ~ 0

1+4ab

⇒

a2 + 2ab + b2 ~ 4ab

1: 4

⇒

Diese Rechnung ist rechts dargestellt.

⇒

a2+2:b+b2~ab

1-V

a;b ~hl

Man fragt sich aber hierbei: Wie kommt man darauf, mit welcher richtigen Aussage man anfangen soll? Warum ausgerechnet mit der Ungleichung (a - b)2 ~ O? Die Antwort lautet folgendermaßen: In der Praxis geht man fast ohne Ausnahme genau umgekehrt wie beim obigen Beweis vor.

Vorgehen in der Praxis: Zu zeigen: a; b ~ h l

(a+b)2 > b 4 - a

Man beginnt mit der zu beweisenden Gleichung oder Ungleichung - also hier mit a; b ~ ~- und formt diese so lange um, bis man auf eine zweifellos wahre Aussage stößt wie z. B. (a - b)2 ~ 0.

1•

4

a2 + 2ab + b2 ~ 4ab

l-4ab

a2 -2ab+b2 ~0

1 bin.

Formel

(a - b)2 ~ O Wahre Aussage! Nun schreibt man das Ganze einfach in umgekehrter Reihenfolge auf. Diese beliebte Methode setzt allerdings voraus, dass überall statt des Zeichens,,⇒" das Äquiva► lenzzeichen ,," oder wenigstens ,,~" gesetzt werden kann.

Übung S Direkter Beweis/Ungleichungen Beweisen Sie die folgenden Aussagen: a) Für alle reellen Zahlen a und b gilt die Ungleichung a · b::; ½· (a2 + b2) . 1 n+ 1

b) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: .!. - n

< ..!...2 n

c) Für alle reellen Zahlen a und b mit a ~ 0, b ~ 0 und a + b ":1:- 0 gilt die Ungleichung d) Für alle reellen Zahlen x ~ 2 gilt die Ungleichung x ~ ✓x + 2 . 3 e) Für alle positiven reellen Zahlen x und y gilt die Ungleichung 2.:... ~ xx+y 4

Y_

4

2 2

a b ::; ab. a2 +2ab+b2

\......-1_6_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1_._Ar ___g_u_m_e_n_ti_e_re_n_un_d_ B_e_w_e_is_e_n_ _ _ __

Die folgende Übungen sollen mit der Methode des direkten Beweises bearbeitet werden. 6. Teilbarkeit: Das Produkt aufeinanderfolgender Zahlen Beweisen Sie, dass das Produkt von fünf aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch 120 teilbar ist. 7. Beweis mittels Fallunterscheidung Beweisen Sie, dass das Quadrat einer ganzen Zahl z stets die Gestalt 4 m oder 4 m + 1 hat. Hinweis: Verwenden Sie eine Fallunterscheidung. 8. Endziffern von Potenzen Beweisen Sie, dass die Zahl z = 53 53 - 33 33 durch 10 teilbar ist. Hinweis: Untersuchen Sie, welche Endziffern die Zahlen 53 53 und 33 33 besitzen. Beachten Sie dabei, dass die Endziffer einer Potenz a 0 stets nur durch die letzte Ziffer von a bestimmt wird. 9. Ungleichungen Beweisen Sie: Ist n ~ 2 sei eine natürliche Zahl, so gilt die Ungleichung;: ~

i

$ ;: ~ ~.

Hinweis: Formen Sie die Ungleichung durch Äquivalenzen um, bis sie auf eine wahre Aussage stoßen. 10. Ungleichungen Beweisen Sie, dass für alle natürlichen Zahlen a, b und c gilt: a · b + b · c + c • a::; a2 + b2 + c2 . Hinweis: Verwenden Sie die binomischen Formeln für (a - b)2, (b - c)2 und (a - c)2. 11. Dezimale Summendarstellung Beweisen Sie die folgenden Aussagen. Hinweis: Verwenden Sie die dezimale Summendarstellung der Zahlen. a) z = ab c sei eine dreistellige Zahl. Dann ist die Zahl y = ab c - c b a durch 9 teilbar. b) z sei eine zweistellige Zahl und q ihre Quersumme. Dann ist y = z2 - q 2 durch 9 teilbar. 12. Teilbarkeit Beweisen Sie: Jede der Zahlen 24 - 2 2 , 34 - 3 2 , 44 - 42 , 54 - 5 2, ... ist durch 12 teilbar. Hinweis: Verwenden Sie die allgemeine D arstellung a4 - a2 , faktorisieren Sie dann und wenden sie eine Fallunterscheidung an. 13. Teilbarkeit Beweisen Sie: Falls keine von vier aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen durch 5 teilbar ist, so ist ihre Summe durch 10 teilbar. Hinweis: Begründen Sie zunächst, dass keine der vier Zahlen die Form 5 k besitzen kann. Stellen Sie die vier aufeinanderfolgenden Zahlen dann in der Form 5 k + m dar mit geeigneten Zahlen m und bilden Sie dann die Summe s der vier Zahlen.

2. Der direkte Beweis

17

----------------------✓

8. Beweisfiguren in der Geometrie Der Beweis geometrischer Sätze erfordert oft das Anfertigen einer Beweisfigur. In die Beweisfigur werden vielfach Hilfslinien eingezeichnet, welche die Beweisführung unterstützen. In der Kreisgeometrie sind Radien als Hilfslinien besonders. geeignet wie im folgenden Beispiel. Sie können gleichschenklige Dreiecke erzeugen, die einen „Winkeltransport" innerhalb der Beweisfigur ermöglichen. ►

Beispiel: Der Satz des Thales Beweisen Sie den Satz des Thales: AB sei der Durchmesser eines Halbkreises und C ein weiterer Punkt auf dem Halbkreis. Dann ist das Dreieck ABC rechtwinklig bei C. Lösung: Wir fertigen eine Skizze als Beweisfigur an. Als beweisfördernde Hilfslinie ist der Radius MC eingezeichnet (gestrichelt). Außerdem sind die Radien MA und MB sowie die Winkel a und ßbei A und B eingetragen.

A

B

M

Beweisfigur mit Hilfslinie:

,,

Die Hilfslinie MC ist ein Radius: Sie teilt daher das Dreieck ABC in zwei gleichschenklige DreieckAMC und BMC auf.

A

r

M

r

B

Winkeltransport im Dreieck:

Aufgrund der Gleichschenkligkeit ist in diesen Dreiecken der „Transport" der Winkel a und ß nach C möglich. Nun wenden wir im Dreieck ABC den Winkelsumrnensatz an. Dieser besagt hier, dass a + ß + (a + ß) = 180° gilt, woraus das gewünschte Ergebnis y =a + ß =90 ° unmittelbar folgt. ►

A

r

M

r

B

Anwendung des Winkelsummensatzes: 2a. + 2ß = 180° a + ß = 90° n 3 für n ~ 10 b) n! > 2° für n ~ 4 c) n >'1n+Tfürn~ 3

19. Teilbarkeitsprobleme Beweisen Sie die Teilbarkeitsaussage mit vollständiger Induktion für ne1N. a) n 2 + n ist gerade. f) 5° + 7 ist durch 4 teilbar. 3 b) n + 2n ist durch 3 teilbar. g) 3° + 1 + 2 3 0 + 1 ist durch 5 teilbar. c) n 3 - n ist durch 6 teilbar. h) 3 • 4° + 15 ist durch 9 teilbar. d) 3° - 3 ist durch 6 teilbar. i) 2 3 0 + 13 ist durch 7 teilbar. e) 7 2 0 - 2° ist durch 47 teilbar. j) 7° - 2° ist durch 5 teilbar.

20. Diagonalen im n-Eck Beweisen Sie: Die Zahl der Diagonalen in einem ebenen konvexen n-Eck ist n • (n - 3)

2

Strecken, die zwei direkt benachbarte Ecken verbinden, zählen nicht als Diagonalen.

21. Diagonalen im n-Eck Der Eierkuchen in der Pfanne soll durch n geradlinige, von Rand zu Rand gehende Schnitte geteilt werden. Zeigen Sie, dass der Eierkuchen dadurch in höchstens ½• (n2 + n + 2) Teile zerlegt werden kann.

_ _ _ _ _I_.Ar _ g_u_m _ en_u_·e_r_e_n_u_n_d_B _ ew _ e_ is_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _5_1

Mathematische Objekte

Grundlegende wahre Aussage, die keines Beweises bedarf. Definition: Festlegung eines mathematischen Begii ffes, die nur auf bereits bekannten Begriffen beruht. Aussage: Eine mathematische Feststellung, die entweder wahr oder falsch ist. Satz: Eine mathematische Aussage, die sich als wahr erwiesen hat. Theorem: Ein besonders wichtiger mathematischer Satz. Lemma: Ein mathematischer Satz, der nur für Beweise anderer Sätze benötigt wird, aber keinen eigenen Bedeutungswert hat. Korollar: Ein Satz, der einen wichtigen Spezialfall eines Theorems darstellt.

Der direkte Beweis

Ein Satz der Form „Aus A folgt B" soll bewiesen werden. A bezeichnet man als Voraussetzung und B als Behauptung. Man geht von der Voraussetzung A aus und versucht, durch korrekte logische Schlüsse zu der zu beweisenden Behauptung B zu kommen.

Der indirekte Beweis

Man nimmt an, dass die zu beweisende Aussage falsch ist. Davon ausgehend, versucht man, durch korrekte logische Überlegungen zu einem Widerspruch zu kommen. Wenn das gelingt, muss die zu beweisende Aussage richtig sein.

Widerlegung durch Gegenbeispiel

Eine Aussage oder eine Vermutung kann durch ein Gegenbeispiel widerlegt werden. Ist ein solches Gegenbeispiel gefunden, so ist bewiesen, dass die Aussage oder die Vermutung falsch ist

Die Methode der vollständigen Induktion

Mit der Methode der vollständigen Induktion lassen sich Sätze beweisen, die für alle natürlichen Zahlen gelten, also für unendlich viele Fälle. Man benötigt einen Induktionsanfang, auch Verankerung genannt, eine Induktionsannahme und den Induktionssschluss von n auf n + 1.

Axiom:

Beweis einer Aussage A (n) mit vollständiger Induktion: 1. Induktionsanfang: Man zeigt, dass die Aussage A ( 1) gilt. 2. Induktionsannahme: Man nimmt an, dass dieAussageA (n) für ein festes n e 1N gilt. 3. lnduktionschluss: Man zeigt, dass dieAussage A (n + 1) gilt. Dabei darf man die Annahme verwenden, dass A (n) gilt.

J

Mathematischer Streifzug

52

Beweise ohne Worte Es gibt zahlreiche Sätze und Aussagen, deren Beweis oder deren Beweisidee sich allein durch ein mehr oder weniger genial gestaltetes Bild darstellen lässt. Das Bild dient dabei als intuitive Beweisfigur. Bekannte Beispiele stellen einige Beweise zum Satz des Pythagoras dar. ►

Beispiel: Herleitung und Beweis des Satzes von Pythagoras Der Satz des Pythagoras lautet bekanntlich: In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b gilt die Formel a2 + b2 = c2. Die unten rechts abgebildeten Figuren stellen eine Beweisidee zum Satz des Pythagoras bildlich dar. Verbalisieren Sie den Beweis anhand der beiden Figuren. Lösung: Wir gehen hier von zwei Bildern als Beweisfiguren aus.

Zwei gleich große Quadrate

a2

Beide Bilder zeigen je ein Quadrat mit der Seitenlänge a + b. Also besitzen diese beiden Quadrate den gleichen Flächeninhalt. b2

Das Innere des Quadrats ist anhand des rechtwinkligen Dreiecks mit den Seiten a, b und c jedoch unterschiedlich eingeteilt. Jedes der beiden Quadrate enthält viermal das rechtwinklige Dreieck. Entfernen wir diese vier Dreiecke in beiden Figuren, so bleiben die Restfiguren flächengleich.

Ohne Worte: Zwei gleich große Figuren

a2

Die beiden kleinen Quadrate sind also in der Flächensumme genauso groß wie das große Quadrat. . Das bedeutet, dass a2 + b2 =c2 gelten muss, ► der Satz des Pythagoras.

b2

Beweismethode: Die Darstellung einer Größe auf zwei Arten lief ert eine Formel Die obige Figurenzusamrnenstellung kann man als Beweis ohne Worte interpretieren. Es ist aber auch möglich, die beiden Figuren als DcU·stellung einer Größe - hier des Quadrats der Seitenlänge a + b - auf zwei Arten zu interpretieren. Wenn man eine Größe auf zwei Arten darstellt, erhält man in der Regel eine Formel.

=a2 + b2 + 4 . \ Figur 2: (a + b)2 =c2 + 4. a / Figur 1: (a + b)2

⇒ a2 + b2 + 4

⇒ a2

+

b2

=

b

. a • b =c2 + 4 . a • b

c2

2

2

(Satz des Pythagoras)

Beweise ohne Worte

53

Die folgenden sechs Bilder stellen ebenfalls Beweise ohne Worte dar. Verbalisieren Sie den Beweis zu dem jeweiligen Bild.

Winkelsummensatz im Dreieck:

3. Binomische Formel:

a. + ß + y = 180°

(x +y) · (x-y) = x2 -y2 ,-

yl y

X

Ir

1

x+y

X

Summe der ersten n natürlichen Zahlen: (n + 1)

1+2+3+ ... +n= -

1+2+3+ ... +10=

2

-

2

10 11

Geometrisches und arithmetisches Mittel: ~

a

:5 ½·(a+b)

b

Summe der ersten n ungeraden Zahlen: 1 + 3 + 5 + ... + 2n -1 = n2

•••••••• •••••••• •••••••• •••••••• •••••••• •••••••• •••••••• •••••••• 1 + 3 + 5 + ... + 15 = 82

Die Summe der Innenwinkel in einem Stern beträgt 180°.

\_..-5_4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _I._Ar ____g_u_m_e_n_t1·_e_re_n_un_d_ B_e_w_e_is_e_n_ _ _ __

Argumentieren und Beweisen 1. Teilbarkeitsprobleme Beweisen Sie die Teilbarkeitsaussage mit einem direkten Beweis oder widerlegen Sie die Aussage durch ein Gegenbeispiel. n, a, b, c und d seien natürliche Zahlen. a) n sei eine natürliche Zahl. Dann ist n2 + 3 n gerade. b) E s gelte: a teilt c und b teilt d. Dann gilt auch: a · b teilt c · d. c) Es gelte: a teilt b oder a teilt c. Dann gilt auch: a teilt b · c. d) Es gelte: a teilt das Produkt b · c. Dann gilt: a teilt b oder a teilt c. 2. Direkter Beweis (Analysis) Beweisen Sie mit Hilfe des Differentialquotienten die folgende Ableitungsregel: f(x) = 3x2 + x hat die Ableitung f'(x) = 6x +1. Die allgemeine Formel für den Differentialquotienten lautet: f' (x) = lim f (x + h~ -

f (x)

h- 0

3. Vollständige Induktion Beweisen Sie die Aussage jeweils mit vollständiger Induktion. a) Ungleichung: Für alle neJN gilt die Ungleichung 3" ~ 3 n. b) Teilbarkeit: Für alle n e 1N ist der Term 6" + 4 durch 5 teilbar. c) Summenformel: Für alle neJN gilt 1 + 3 + 3 2 + 3 3 + ... + 3" = ½• (3"+ 1 - 1). 4. Direkter Beweis und vollständige Induktion a) Beweisen Sie durch direkten Beweis für ganzzahliges a: 6 teilt a3 - a. b) Beweisen Sie mittels Induktion: Für ganzzahliges a und natürliches n gilt: 6 teilt a2 n + 1 - a. S. Ein Geometrieproblem In ein gleichschenklig-rechtwinkliges Dreieck werden zwei Quadrate in unterschiedlicher Lage eingezeichnet, ein Quadrat A und ein Quadrat B. Beweisen Sie, dass das Quadrat A eine größere Fläche hat als das Quadrat B. 6. Winkelsumme im n-Eck a) Beweisen Sie: Die Summe der Innenwinkel in einem konvexen Fünfeck beträgt 540°. b) Beweisen Sie: Die Summe der Innenwinkel in einem konvexen n-Eck beträgt (n - 2) · 180°. 7. Indirekter Beweis: Irrationalität Zeigen Sie, dass die Zahl x = -ff irrational ist. 8. Gegenbeispiel Überprüfen Sie auf Richtigkeit: Für alle natürlichen Zahlen n gilt die Ungleichung 2° < 10n2 . Lösungen S. 277

;

\....... 56

II. 1 Problemlösungsstrategien

1. Vorbetrachtung In diesem Kapitel werden einige Problemlösungsstrategien der Mathematik behandelt. Teilweise sind es mathematische Strategien, die auch in Wettbewerben wie dem Bundeswettbewerb Mathematik, der Mathematikolympiade oder im Mathematikstudium eingesetzt werden, und teilweise sind es Strategien, die stärker in der Sekundarstufe II und in der Abiturprüfung vorkommen. Alle angesprochenen Strategien fördern die mathematischen Problemlösefähigkeiten. Beim normalen Lösen mathematischer Probleme werden systematisch Regeln angewandt und logische Schlüsse vollzogen. Dies ist die Strategie des sog. Vorwärtsarbeitens, der häufigsten und einfachsten mathematischen Problemlösungsstrategie. Diese wird im Folgenden zunächst nur andeutungsweise als eigene Strategie besprochen, da sie hinreichend bekannt und eingeübt ist. Einige Vorwärtsstrategien werden aber im folgenden Kapitel zu Strategien in der Analysis und in der Analytischen Geometrie angesprochen. Interessant ist die Strategie des Riickwärtsarbeitens , bei der man vom Ergebnis ausgeht und umkehrbare logische Schlüsse zieht, bis man auf eine äquivalente, aber bereits als richtig bewiesene mathematische Aussage stößt. Manchmal wird auch vom bekannten Ende eines Prozesses ausgegangen und der Anfang der Prozesses wird durch Rückwärtsarbeiten rekonstruiert. Eine weitere sehr wirksame Stategie ist die Anwendung des sog. Schubfachprinzips , mit dem man zum Teil erstaunliche Beweise führen kann. Es spielt vor allem bei zahlentheoretischen und geometrischen Aufgabenstellungen eine große Rolle. Dabei unterteilen wir in das einfache Schubfachprinzip und in das erweiterte Schubfachprinzip. Das Invarianzprinzip wird vor allem eingesetzt, wenn es sich um Prozesse handelt. Bei Prozessen finden in der Regel Veränderungen statt, aber manchmal bleiben auch einzelne Größen trotz aller Veränderungen im Prozessverlauf stabil, d. h. invariant. Diese Invarianten führen dann oft zur Problemlösung. Mit dem Invarianzprinzip kann man häufig sog. Unmöglichkeitsbeweise führen, also etwas widerlegen. Das Extremalpri11zip berücksichtigt, dass bei natürlichen und technischen Prozessen wie auch in der Mathematik oft ein Minimum oder ein Maximum die gesuchte Größe oder das gesuchte Objekt charakterisiert. Im Anschluss an diese speziellen mathematischen Problemlösungsstrategien gehen wir im Kapitel II.2 auf ein anderes Feld und besprechen die Strategien, welche im Bereich der Analysis und der Analytischen Geometrie der gymnasialen Oberstufe besonders wichtig sind. Diese Strategiesammlung kann man gut für das Abitur gebrauchen. Dabei beschränken wir uns jeweils auf die wichtigsten und besonders häufig auftretenden Strategien. Das Kapitel über Analysis- und Geometriestrategien der Oberstufe soll die wichtigsten Grundlagenstrategien für die Abiturvorbereitung abdecken und sichern, dass die Grundstrategien jederzeit ohne weitere Überlegung sicher abgerufen und eingesetzt werden können.

_____ 2_.Vl _o_r_w_ärt _·. _s_ar_b_e_it_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5_ 7

2. Vorwärtsarbeiten Das Vorwärtsarbeiten ist die Standardmethode zum Problemlösen in der Mathematik. Hierbei sind bestimmte Größen gegeben und eine weitere Größe ist gesucht. Ausgehend von den gegebenen Größen wird nun durch die Anwendung von Regeln und logischen Schlüssen die gesuchte Größe bestimmt. Da diese Vorgehensweise wohlbekannt ist und vielfach geübt wurde, verzichten wir hier auf umfängliche Beispiele und begnügen uns mit der Nennung einiger typischer Fälle. Dabei unterteilen wir nach den drei Sachgebieten der Mathematik in der Sekundarstufe II.

Analysis: Zeichnen des Graphen einer Funktion mit Hilfe einer Wertetabelle. Berechnung von Funktionsgrenzwerten mit den Grenzwertsätzen. Bestimmung der Ableitung einer Funktion mit Hilfe der Ableitungsregeln. Berechnung der Steigung einer Funktion mit Hilfe der Ableitung oder des Differentialquotienten. Bestimmung der Gleichung einer Tangente mit Hilfe der allgemeinen Tangentengleichung. Berechnung der Nullstellen, Extrema und Wendepunkte einer Funktion. Berechnung von Funktionsschnittpunkten. Bestimmung einer Stammfunktion mit den Integrationsregeln. Berechnung des Inhalts von Flächen unter oder zwischen Kurven.

Lineare Algebra und Analytische Geometrie: Lösung eines linearen Gleichungssystems mit dem Gaußschen Algorithmus. Berechnung der Summe von Vektoren. Untersuchung von Vektoren auf Kollinearität oder Komplanarität. Bestimmung von Teilverhältnissen. Berechnung der Oberfläche und des Volumens von Körpern. Bestimmung von Normalenvektoren mit dem Skalar- oder dem Vektorprodukt. Untersuchung der Lagebeziehungen von Punkten, Geraden und Ebenen.

Stochastik: Berechnung von relativen Häufigkeiten und Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von B aumdiagrammen. Berechnung von Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe von Vierfeldertafeln. Anwendung kombinatorischer Modelle zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten. Lösung von Sachaufgaben mit Hilfe der Binomial- oder der Normalverteilung. Testen von Hypothesen. Auf weitere Details verzichten wir hier. Einige der Strategien findet man in Kapitel II.2 über Lösungsstrategien in der Analysis und der Analytischen Geometrie.

J

\....... 58

II. 1 Problemlösungsstrategien

3. Rückwärtsarbeiten A. Das Prinzip des Rückwärtsarbeitens Manchmal führt das Vorwärtsarbeiten beim Problemlösen nicht zum Ziel. Dann kann man es mit der Methode des Rückwärtsarbeitens versuchen. Dabei geht man vom Ergebnis aus und tastet sich rückwärts vor. Am besten macht man sich mit der Methode am konkreten Beispiel vertraut. ►

Beispiel: Bestechung Ein Mann geht Äpfel pflücken. Um in die Stadt zurück zu kommen, muss er drei Tore passieren. An jedem Tor steht ein Wächter und verlangt von ihm die Hälfte seiner Äpfel und einen Apfel mehr. Am Schluss bleibt dem armen Mann nur ein einziger Apfel übrig. Wie viele Äpfel hatte er gepflückt? Lösung: Wir gehen vom Ergebnis aus: Nach dem dritten Tor hatte der Mann nur noch einen Apfel. Nun verfolgen wir schrittweise riickwärts , wie viele Äpfel er jeweils hatte. Schritt 1: Nach dem dritten Tor hatte der Mann einen Apfel. Vorher musste er die Hälfte seiner Äpfel plus einen weiteren Apfel abgeben. Nun lassen wir den Mann rückwärts durch das dritte Tor gehen. Wir müssen ihm also einen Apfel zugeben, dann hat er zwei, und dann auf vier Äpfel verdoppeln. Vier Äpfel hatte er vor dem dritten Tor. Schritt 2: Beim Rückwärtsgehen durch das zweite Tor erhält der Mann wieder einen Apfel zurück. Nun hat er fünf Äpfel Diese Zahl verdoppeln wir auf zehn Äpfel. Zehn Äpfel hatte er vor dem zweiten Tor. Schritt 3: Beim Rückwärtsgehen durch das erste Tor bekommt der Mann wieder einen Apfel zurück, so dass er elf Äpfel hat, die dann noch auf 22 Äpfel verdoppelt werden.

► Resultat: Der Mann pflückte 22 Äpfel.

Rückwärtsarbeiten:

An jedem Tor wird folgende Operation durchgeführt: Geteilt durch 2 minus 1 Rückwärts bedeutet das: Plus l mal 2: Stand nach dem dritten Tor:

Stand vor dem dritten Tor: plus 1 mal 2

Stand vor dem zweiten Tor: plus 1 mal 2

Stand vor dem ersten Tor: plus 1 mal 2

_____ 3_.R _ ü_ck_w _ärt _s_ar _be_i_te_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 5_9

J

Einfache Beispiele für das Rückwärtsarbeiten kennen wir bereits aus der Grundschule. Dort wurden die allseits beliebten Alters- und Geldrätsel gestellt. ►

Beispiel: Geldrätsel eif gibt ein Drittel seines Taschengeldes ür ein Abenteuerbuch aus. Die Hälfte des es verwendet er für u einem Fußballspiel. r sich noch für sieben Euro Süßigkeiten. Es verbleiben ihm 13 € , die er auf sein Sparbuch legt. Wie hoch war sein Taschengeld?

Lösung: Wir gehen rückwärts vor. Zum Schluss hatte Leif noch 13 € für das parbuch übrig. Vor dem Kauf der 7 € teun Süßigkeiten hatte er also noch 20€. a er die Hälfte des verbliebenen Geldes für die Eintrittskarte aufbringen musste, hat diese 20 € gekostet und er hatte vorher 40€. Das waren zwei Drittel seines Taschengeldes, da das Buch nur ein Drittel kostete. Also hatte er zu Beginn 60€. ► Die Probe rechts bestätigt die Lösung.

.

Probe zur Lösung:

Taschengeld:

60€

Abenteuerbuch:

6 °€ 3

-20€

Fußballspiel:

=20€ 4io € =20 €

Süßigleiten:

7€

-20€ -7€

Sparbuch:

13€

Übung 1 Spardose Fritzchen hat Geburtstag, aber nur wenig Bargeld in der Spardose. So wünscht er sich ein kleines Geldgeschenk. Tante Frieda kommt als Erste zum Geburtstag. Ihr Geschenk: Sie verdreifacht das Geld in seiner Spardose. Anschließend kommt Onkel Erich. Er verdoppelt nun den Inhalt der Spardose. Zum Schluss kommt auch noch Oma Dora und schenkt Fritzchen 50€. Als Fritzchen abends die Spardose leert, zählt er 110 €. Wie viel Bargeld war zu Beginn in der Dose?

Übung 2 Marienkäfer Ein Marienkäfer legt im Frühjahr im Mittel 200 Eier. Aus ca. 10 % der Eier schlüpfen Larven. Ca. 20 % der Larven entwickeln sich zu Marienkäfern. 20 % der Marienkäfer überwintern. Bei einer Insektenzählung im Frühjahr werden in einem Schulgarten 8 000 Marienkäfer gezählt. Berechnen Sie, wie viele Marienkäfer es im Vorjahr im Frühling waren.

60€

13€

HAPPY ßtlt.TffOAY

Übung 3 Abbildung Eine Gerade g wurde am Koordinatenursprung mit dem Faktor 2 gestreckt. Die Bildgerade g' wurde sodann an der x-yEbene gespiegelt. Die gespiegelte Gerade g" geht durch die Punkte P (0l l ,511) und Q (l ,513 11). Ermitteln Sie eine Gleichung der Geraden g.

\_..-6_0 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._l_P_r_o_b_le_ml _ ö_su_n_g__s_str _a_t_eg__i_en_ _ _ __

8. Weitere Beispiele zum Rückwärtsarbeiten Wie bearbeiten nun weitere klassische, etwas anspruchsvollere Beispiele zum Rückwärtsarbeiten. Beim ersten Beispiel kommt es zu einer Kombination aus Vorwärts- und Rückwärtsarbeiten. ►

Beispiel: Umfüllproblem Suna hat zwei Wasserbehälter. Einer fasst 9 Liter und einer fasst 4 Liter. Ihre Mutter beauftragt sie, genau 6 Liter Wasser aus dem Fluss zu holen. Kann sie das schaffen?

Lösung: Zum Schluss sollen 6 Liter im Gefäß sein. Das muss also dann das 9-Liter-Gefäß sein, denn nur das kann 6 Liter fassen. Dazu müssen vorher aus dem vollen 9-Liter-Gefäß genau 3 Liter in das 4-Liter-Gefäß abgegossen worden sein. Das kann nur möglich sein, wenn vorher im 4-Liter-Gefäß genau 1 Liter Wasser war. Nun bleibt die Frage, wie man l Liter in das 4-Liter-Gefäß bekommt. Das ist aber einfach: Aus dem vollen 9-Liter-Gefäß werden zweimal nacheinander 4 Liter in das 4-Litergefäß abgegossen und anschließend ausgeschüttet. Dann wird der verbleibende eine Liter aus dem 9-Liter-Gefäß in das 4-Liter-Gefäß umgegossen. Nun ist die Gesamtstrategie klar. Sie ist rechts noch einmal zusammenfas► send dargestellt.

Übung 4 Wassermenge halbieren Ein 8-Liter-Krug ist vollständig mit Wasser gefüllt. Zwei weitere Krüge mit 3 und 5 Litern Fassungsvermögen sind leer. Kann man durch Umfüllen erreichen, dass sich in den größeren Gefäßen jeweils 4 Liter befinden?

Lösung / Gesamtstrategie:

1. Das 9-Liter-Gefäß vollständig füllen. 2. Das gefüllte 9-Liter-Gefäß in das 4-Liter Gefäß abgießen. Das 9-Liter-Gefäß enthält nun 5 Liter. Das 4-Liter-Gefäß nun leeren. 3. Das mit 5 Litern gefüllte 9-Liter-Gefäß in das leere 4-Liter-Gefäß abgießen. Das 4-Liter-Gefäß ausgießen. Das 9-Liter-Gefäß enthält nun nur noch 1 Liter. Das 4-Liter-Gefäß ist nun leer. 4. Das 9-Liter-Gefäß in das leere 4-LiterGefäß abgießen. Das 9-Liter-Gefäß ist nun leer, das 4-Liter-Gefäß enthält nun genau 1 Liter. 5. Das 9-Liter-Gefäß nun ganz füllen und 3 Liter in das mit 1 Liter gefüllte 4-LiterGefäß entleeren. Nun enthält das 9-Liter-Gefäß exakt die gewünschten 6 Liter.

_____ 3_.R _ ü_ck_w _ärt _s_ar _be_i_te_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6_1

..J

Im nächsten Beispiel geht es um eine Spielstrategie bei dem altbekannten Spiel Nim . ►

.

Beispiel: Das Spiel Nim Auf dem Tisch liegen 100 Streichhölzer. Die Freunde Mikel und Western spielen gegeneinander. Das Spiel läuft folgendermaßen: Man muss jeweils mindestens ein Streichholz wegnehmen, darf aber höchstens drei Streichhölzer wegnehmen. Wer das letzte Streichholz wegnehmen muss, der hat verloren. Western beginnt. Kann er den Sieg erzwingen? Lösung: Arbeitet man hier vorwärts, so ergeben sich sehr schnell ungeheuer viele Möglichkeiten. Das Vorgehen ist fast unbeherrschbar. Also müssen wir rückwärtsarbeiten.

Lösung/Gesamtstrategie: Vorwärtsarbeiten:

~ :~ :::;

Wer nur noch ein Streicholz hat, steht auf einer Verluststellung, denn er müsste das Holz wegnehmen und hätte verloren.

~

99 100

98

Wer 2, 3 oder 4 Streichhölzer hat, kann durch Wegnahme von 1, 2 oder 3 Streichhölzern den Gegner auf 1 Streichholz bringen, also in die Verluststellung. Daher sind 2, 3 und 4 Streichhölzer Gewinnstellungen. 5 Streichhölzer stellen wieder eine Verluststellung dar, denn wer so viele Streichhölzer hat, muss 1, 2 oder 3 Hölzer wegnehmen und bringt den Gegner so in die Gewinnstellungen 4, 3 oder 2. Und so geht es weiter: 9, 13, 17, 21, 25, 29, 33,37,41,45,49,53,57,61,65,69, 73, 77, 81, 85, 89, 93, 97 sind Verluststellungen. 100 ist also eine Gewinnstellung, die Western zu Beginn innehat. Er beginnt also und kann Mikel in eine Verluststellung bringen (97). Mikel kann nur auf 96, 95 oder 94 erniedrigen, alles Gewinnstellungen für Western, der Mikel dann auf 93 setzt, die nächste Verluststellung. So kommt Mikel auf 1 und muss das letzte ► Holz wegnehmen. Er verlie1t.

96 -• :::

_

~ :: : ::; 95 - e:: -

97 ~

96 -•ä:

~ 95 -e :: 94 - •=:

Resultat: Nicht zu erkennen.

Rückwärtsarbeiten: Verluststellung

Verluststellung

Verluststellung

- - - - - 2....__

------- 6 ~

- - - - - 4~

- - - - 8. - - - -

1- - - 3--- ------- 5 - - 7 - - ------- 9:::

Gewinnstellung

-

Gewinnstellung

Verluststellungen: 1, 5, 9, ... , 4k + 1, ... , 97 Resultat: 100 (Western) ist Gewinnstellung.

\_..-6_2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._l_P_r_o_b_le_ml _ ö_su_n_g__s_str _a_t_eg__i_en_ _ _ __

Übung 5 Tanzwettbewerb Die Tanzschule veranstaltet ein Turnier, bei dem die Paare gegeneinander tanzen. In der ersten Runde tanzen alle Paare. Nach 5 Minuten scheidet die Hälfte der Tanzpaare durch Juryentscheidung aus. Nach 10 Minuten scheidet wieder die Hälfte der noch tanzenden Paare aus, nach 15 Minuten wiederum die Hälfte und nach 20 Minuten noch einmal die Hälfte. Nach weiteren vier Minuten scheidet ein weiteres Paar aus und das Siegerpaar bleibt alleine übrig. Wie viele Paare nahmen insgesamt am Wettbewerb teil? Übung 6 Alter Peter ist 25 Jahre jünger als Fritz. Jakob ist halb so alt wie Peter. Barbara ist 14 Jahre älter als Jakob. Barbara ist 33 Jahre alt. Wie alt ist Fritz? Übung 7 Keksessen Auf dem Teller liegen 23 Kekse. Diese sollen von den beiden Spielern Konrad und Johannes aufgegessen werden. Wer den letzten Keks isst, hat gewonnen. Die beiden Spieler essen bei jedem Zug mindestens einen, aber maximal vier Kekse. Konrad beginnt. Kann er den Gewinn erzwingen? Wie könnte seine Strategie lauten? Übung 8 Knopfspiel Auf dem Tisch befinden sich neun Knöpfe. Zwei Spieler nehmen abwechselnd einen oder zwei der Knöpfe weg. Wer den letzten Knopf wegnimmt, hat gewonnen. a) Wer gewinnt, der Anziehende oder der Nachziehende. Wie lautet die Gewinnstrategie? b) Welche Strategien ergeben sich für andere Knopfzahlen? Übung 9 Schachtelspiel In vier kleinen Schachteln befinden sich vier unbekannte natürliche Zahlen. Die vier kleinen Schachteln werden in eine große Schachtel gelegt. Dort findet eine Multiplikation statt. Die vier kleinen Schachteln werden herausgenommen und geöffnet. Sie enthalten nun die Zahlen 40, 72, 128 und 232. Gesucht ist die größte mögliche Zahl, mit der die vier ursprünglichen Würfelzahlen in der großen Schachtel multipliziert wurden. Übungl O Aus Falsch wird Richtig Die rechts dargestellte Gleichung ist falsch. Durch eine andere Anordnung einer einzigen Ziffer kann sie zu einer richtigen Gleichung werden.

. ?•

@ 2 128 ~ ~32

62

63 -

1

_____ 3_.R _ ü_ck_w _ärt _s_ar _be_i_te_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6_3

C. Vorwärtsarbeiten und Rückwärtsarbeiten in der Analysis In der Analysis wird in den meisten Fällen vorwärtsgearbeitet. Rückwärtsarbeiten kommt in der Regel nur bei komplizierteren Problemstellungen vor, für die keine Regellösung existiert. Da die Methoden der Analysis aus den vorhergehenden Kurshalbjahren hinlänglich bekannt sind, verzichten wir hier auf eine ausführliche Behandlung und deuten nur an einigen Beispielen an, wann eher Vorwärts- und wann eher Rückwärtsarbeiten vorliegt.

Berechnung der A bleitung mit den Ableitungsregeln (Vorwärtsarbeiten)

2

f (x) = x 2 + x • e-x f'(x) = (x 2 + x · e-x)'

Berechnung eines Integrals mit den Integrationsregeln (Vorwärtsarbeiten)

f (x + : 2 )dx Summenregel

f'(x) = (x2)' + (x . e-x)' {Produktr~gel

Exponentlalregel

f'(x) = 2x + 1 · e-x + x • (-e-x)

= f x2 dx + f x-2 dx

Summenregel Potenzregel

= -x33 + -x-L +C -1

f'(x) = 2x + ( l - x) • e-x

Bestimmung der Extrema einer

Berechnung eines unbestimmten Integrals

Funktion (Rückwärtsarbeiten)

mittels Fonnansatz (Rückwärtsarbeiten)

Extrema von f (x) = x3 - 12x f'(x) = 0 (Notw. Bed.) 2 3x -12 = 0 x2 =4 X= -2, X= 2 f"(x)=6x f"(-2) = -12 < 0 ⇒ Maximum f" (2) = 12 > 0 ⇒ Minimum ⇒ Hochpunkt H (-2116) Tiefpunkt T (2 l-16)

Stammfunktion von f (x) = (2x + 1) • ex F (x) = (ax + b) • ex F '(x) = f(x) [(ax + b) · ex] ' = (2 x + 1) • ex a · ex + (ax + b) · ex = (2 x + 1) · ex (ax + a + b) · ex = (2 x + 1) • ex ⇒ a =2, a + b = l ⇒ a =2, b =-1 ⇒ F(x) = (2x - 1) • ex

Formansatz:

Übung 11 Vorwärtsarbeiten oder Rückwärtsarbeiten Entscheiden Sie, ob Vorwärts- oder Rückwärtsarbeiten erforderlich ist. a) Berechnung der Nullstellen von f (x) = (x 3 - 4x) • ex. b) Bestimmung der Tangente von f (x) = ex bei x = l. c) Bestimmung einer Tangente von f (x) = x2 + 1, die durch den Ursprung geht. d) Berechnung der Schnittpunkte zweier Funktionsgraphen. e) Bestimmung einer Parabel, die einen Tiefpunkt bei T (21-4) und eine Nullstelle bei x = 4 besitzt. f) Berechnung der Ableitung von f(x) = x2 mit der h-Methode.

J

\....... 64

II. 1 Problemlösungsstrategien

4. Das Schubfachprinzip A. Das elementare Schubfachprinzip Das Diriclzletsclze Sclzubfaclzprinzip (M. Dirichlet, 1805- 1859) ist ein sehr einfaches, aber dennoch wirkungsvolles Beweis- und Problemlösungsprinzip. Richtig angewendet vermag es Erstaunliches zu leisten und ist von großer Schlagkraft. ►

.

Beispiel: Geburtstag Beweisen Sie: Unter 13 Personen gibt es stets mindestens zwei Personen die im gleichen Monat Geburtstag haben. Lösung: Zum Beweis verwenden wir in Anlehnung an den Schreibtisch von Dirichlet 12 Schubfächer (Kategorien), welche hier die 12 Monate darstellen. Die 13 Personen sind die sog. Objekte, welche je nach ihrem Geburtsmonat auf die Schubfächer verteilt werden. Da es mehr Personen ( 13) als Schubfächer (12) gibt, müssen in einem Schubfach zwei oder mehr Personen sein. Diese haben im gleichen Monat Geburtstag.

Rechts ist das Prinzip abstrakt formuliert. Man kann es mit einem Widerspruchsbeweis herleiten, der rechts aufgeführt ist. Dabei nimmt man an, dass das Schubfachprinzip falsch ist. Dies führt auf einen . Widerspruch, der das Prinzip beweist. ► (vgl. Kap. I, Seite 23 ff., indirekter Beweis).

Das Schubfachprinzip n Objekte werden auf m Schubfächer aufgeteilt, wobei n > m gelte. Dann gibt es mindestens ein Schubfach, das mindestens zwei Objekte enthält.

Widerspruchsbeweis: Annahme: In keinem Schubfach befindet sich mehr als ein Objekt. Dann ist die Anzahl n der Objekte höchstens so groß wie die Anzahl m der Schubfächer. Also gilt n 5 m. Das ist ein Widerspruch zur Voraussetzung n >m. Daher ist die Annahme falsch. Damit ist das Schubfachp1inzip bewiesen.

Übung 1 Socken In einem Karton sind vier weiße und vier rote Socken. Zeigen Sie: a) Zieht Helmut dreimal eine Socke aus dem Karton, so hat er ein Paar gleichfarbige Socken. b) Johanna möchte unbedingt ein Paar rote Socken. Wie oft muss sie ziehen? Übung 2 Endziffer a) Unter drei Personen befinden sich immer zwei Personen des gleichen Geschlechts. b) Von elf beliebigen natürlichen Zahlen enden mindestens zwei auf die gleiche Ziffer.

_ _ _ _ _4_.D _ as_S_c_h_u_bf_a_ch_p_n_·nz _ ip_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6_5 J

Manchmal liefert das Schubfachprinzip auch Einsichten, die auf den ersten Blick überraschend wirken, da man über den betreffenden Zusammenhang gar keine Informationen zu haben scheint. ►

Beispiel: Haare Yasmine behauptet: ,,In New York gibt es zwei Menschen, die ganz genau die gleiche Zahl von Haaren haben. Ich spreche dabei nicht von den Glatzköpfen". ,,So ein Quatsch!", entgegnet Kevin. „Du warst doch noch nie in New York, und außerdem ist es praktisch unmöglich, die Haare eines Menschen ganz genau zu zählen, und schon gar nicht bei über 8,5 Millionen New Yorkern."

Lösung: Die Objekte sind die 8,5 Millionen New Yorker. Zur Festlegung der Schubladen benötigen wir eine weitere Information, nämlich die maximale Zahl von Haaren eines Menschen. Diese Zahl liegt etwa bei 150000.

Die Schubfächer:

1 Haar

Also beschriften wir 150001 Schubladen mit den Nummern 0, 1, 2, ... , 150000. Z.B. steht Schublade Nr. 20000 für 20000 Haare. 3-Haare

Nun legen wir jeden New Yorker in die Schublade, deren Beschriftung die Zahl seiner Haare aufweist. Bei 8,5 Millionen New Yorkern und nur 150001 Schubladen bedeutet dies, dass in einer Schublade mindestens zwei New Yorker sind. Diese haben die gleiche Zahl von ► Haaren.

Übung 3 Multiple Choice Bei einem Multiple-Choice-Test werden drei Fragen mit jeweils vier möglichen Antworten A, B, C und D gestellt, die angekreuzt werden müssen. Am Test nehmen 65 Personen teil. Begründen Sie, dass mindestens zwei Personen eine genau identische Lösung abgeben.

14-gggg

Korrekte Antwort ankreuzen Frage 1:

A

~

C

D

Frage 2:

A

B

C

~

Frage 3:

';/J(.

B

C

D

\_..-6_6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._l_P_r_o_b_le_ml _ ö_su_n_g__s_str _a_t_eg__i_en_ _ _ __

Beim Schubfachprinzip kommt es darauf an, zu erkennen, welches die Objekte sind und wie die Schubfächer gebildet werden können. Oft ist letzteres nicht so klar wie beim Einstiegsbeispiel. Manchmal muss man die Schubfächer recht raffiniert konstruieren wie im folgenden Beispiel. ►

Beispiel: Summe 9 Wenn man aus den Zahlen von 1 bis 8 fünf Zahlen auswählt, so sind darunter garantiert zwei Zahlen, deren Summe 9 beträgt. Tipp: Verwenden Sie geeignete Zahlenpaare als Schubfächer. Lösung: Die Objekte sind die fünf ausgewählten Zahlen. Wir benötigen daher vier Schubfächer. Wir beschriften die Schubfächer mit den zweielementigen Zahlenmengen { 1; 8}, {2; 7}, {3; 6} und {4; 5}. Die Summe der beiden Zahlen ist jeweils 9.

Die Schubfächer: {l ; 8},{2; 7},{3; 6} und {4; 5}

Ziehen wir nun eine Zahl von l bis 8, so ordnen wir sie in das Schubfach ein, dessen zweielementige Aufschrift sie enthält. Nachdem wir so alle fünf Zahlen gezogen und eingeordnet haben, müssen in einem der vier Schubfächer mindestens zwei der ► Zahlen sein. Deren Summe ist 9. ►

Beispiel: Geometrie In ein Quadrat mit der Seitenlänge 2 werden fünf Punkte zufällig eingezeichnet. Zeigen Sie, dass es zwei Punkte gibt, deren Abstand maximal fi beträgt.

Lösung: Wir unterteilen das Quadrat in vier Quadrate der Seitenlänge 1. Das sind unsere Schubfächer. Auf diese vier Schubfächer verteilen sich die fünf Punkte. Daher müssen in einem dieser Quadrate nach dem Schubfachprinzip (mindestens) zwei der Punkte liegen. Deren Abstand kann also nicht größer sein als die Länge der Diagonalen des Quadrates. Diese hat aber nach dem Satz des Pa..,. thagoras die Länge fi.

Die Schubfächer:

•

''

'

' ,,,..fi

•

'

''

•

''

'

2

• • 2

Übung 4 Ergänzung zum Beispiel Zeigen Sie, dass es im vorigen Beispiel nicht möglich ist, den Abstand d = -fi durch einen kleineren Abstand zu ersetzen.

_ _ _ _ _4_. D _ as_S_c_h_u_bf_a_ch_p_n_·nz _ ip_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 6_ 7

Das vorige Beispiel bezog sich auf geometrische Aussagen. Mit dem Schubfachprinzip lassen sich aber auch zahlentheoretische Aussagen, z. B. zur Teilbarkeit, beweisen. ►

Beispiel: Teilerfremde Zahlen Die Menge {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12} ist gegeben. Aus dieser Menge werden sieben Zahlen ausgewählt. Zeigen Sie, dass sich darunter mindestens zwei Zahlen befinden, die teile1fremd sind. Lösung: Die entscheidende Beobachtung ist: Zwei aufeinanderfolgende Zahlen sind stets teilerfremd. Daher verwenden wir als Schubfächer die Mengen {1, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {7, 8}, {9, 10}, {11, 12} von jeweils zwei aufeinanderfolgenden Zahlen. Das sind unsere Schubfächer. Unsere Objekte sind die sieben ausgewählten Zahlen. Nun ordnen wir die sieben Zahlen in diese sechs Schubfächer passend ein. In einem Fach liegen mindestens zwei Zahlen. Diese sind also aufeinanderfolgend und damit teilerfremd.

12 3 4 5 6 7 } { 8 9 10 11 12

Die Objekte:

Die Schubfächer:

l 4 Bälle bekommen. . Also muss ein Pinguin fünf oder mehr Bälle ► erhalten.

J

Das erweiterte Schubfachprinzip n Objekte in m Schubfächer aufgeteilt, wobei n > k · m gilt. Dann gibt es mindestens ein Schubfach, das mindestens k + 1 Objekte enthält.

Das nächste Beispiel ist etwas anspruchsvoller. Zur Lösung benötigt man jedenfalls einen Tipp. ►

7m

Beispiel: Ameisen Auf einer quadratischen Terrassenfläche mit den Maßen 7 m x 7 m flanieren 51 Ameisen. Dann gibt es drei Ameisen, die sich innerhalb eines Einheitskreises befinden. Tipp: Quadratische Schubfächer

Lösung: Wir gehen hier rückwärts vor. In einem Schubfach sollen mindestens drei Ameisen sein, in den anderen jeweils zwei Ameisen. Bei 51 Ameisen benötigen wir also 25 Schubladen. Also teilen wir die Terrasse in 5 · 5 = 25 Quadrate mit der Kantenlänge 1,4. In einem Quadrat sind nach dem Schubfachprinzip mindestens drei Ameisen. Die Diagonalenlänge des Quadrates ist d = ✓ 1,4 2 + 1,42 = ✓3,92 < 2. . Daher passt das Quadrat in den Einheits► kreis mit dem Durchmesser 2.

7m

d m, so enthält ein Schubfach mindestens 2 Objekte. Sonderfall: Verteilt man n + 1 Objekte auf m Schubfächer, so enthält ein Schubfach mindestens 2 Objekte.

Das erweiterte Sch ubfachpri nzi p

Das erweiterte Schubfachptinzip besagt: Verteilt man n Objekte auf m Schubfächer, wobei n > km gilt , so enthält ein Schubfach mindestens k + 1 Objekte.

Das lnvarianzprinzip

Bei mathematischen Prozessen bleiben manchmal gewisse Größen während des gesamten Prozesses invariant, d. h. sie verändern sich während des Prozesses nicht. Diese Invarianten lassen Schlüsse auf das Ergebnis des Prozesses zu . Mit Hilfe des Invarianzprinzips gelingt es manchmal, Unmöglichkeitsbeweise zu führen.

Das Extremalprinzip

Besondere Objekte, Konstellationen und Vorgänge sind oft dadurch gekennzeichnet, dass eine am Prozess beteiligte Größe ein Extremum annimmt, also ein Minimum oder ein Maximum. Durch das Berechnen dieses Extremums kann man das besondere Objekt dann bestimmen. Manchmal kann man die Extremalrechnung aus der Analysis anwenden. In anderen Fällen kann man das Ext:remum mit logischer Überlegung oder graphisch direkt ohne Extremalrechnung bestimmen.

\_.._8_2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._l_P_r_o_b_le_ml _ ö_su_n_g__s_str _a_t_eg__i_en_ _ _ __

1. Ungerade Summe/Schubfachprinzip Aus den Zahlen von 1 bis 12 werden sieben Zahlen ausgewählt. a) Zeigen Sie: Zwei dieser Zahlen haben eine ungerade Summe. b) Zeigen Sie: Zwei dieser Zahlen haben die Summe 13. 2. Gärtnerei/Schubfachprinzip Ein Gärtner möchte eine rechteckige Fläche mit den Maßen 15m x 16m bepflanzen. Er möchte darauf 21 Weihnachsbäume pflanzen. Dabei soll der Abstand zwischen zwei Bäumen -d. h. zwischen den Mittelpunkten ihrer Stämme - stets größer als 5 m sein. Ist das möglich? 3. Süßigkeiten/Rückwärtsarbeiten Die Mutter hat eine Schale mit Bonbons auf den Küchentisch gestellt. Am Morgen isst Anton zwei der Bonbons auf. Dann nimmt er ein Viertel der verbleibenden Bonbons aus der Schale als Vorrat für den Schultag. Najmi steht ein paar Minuten später auf. Sie nimmt ein Sechstel der noch in der Schale vorhandenen Bonbons mit zum Kindergarten. Mittags kommt Raymond nach Hause und isst ein Drittel der Bonbons auf. Kurze Zeit später kommt Siglinde zu Besuch und darf sich ebenfalls ein paar Bonbons nehmen. Sie nimmt ein Fünftel der Bonbons und dann noch 6 weitere aus der Schale. Nun sind nur noch 10 Bonbons da. Wieviele Bonbons waren es zu Beginn des Tages? 4. Tetraminos/Invarianz Rechts ist ein Tetrarnino abgebildet. Dieses T-förmige Teil soll aus vier quadratischen Feldern bestehen, die jeweils so groß wie ein Feld auf dem Schachbrett sind. a) Zeigen Sie, dass sich ein 8 x 8-Schachbrett vollständig mit 16 Tetrarninos überdecken lässt. b) Zeigen Sie, dass es unmöglich ist, ein Tetramino IOx 10-Schachbrett mit 25 Tetraminos zu überdecken.

qp

10 x 10-Schachbren

5. Optimale Schachtel/Extremalprinzip Aus einem rechteckigen Pappstück mit den Maßen 45 x 24 soll nach Abschneiden von vier Eckquadraten mit der Seitenlänge x eine Schachtel gebaut werden. Wie muss x gewählt werden, damit das Schachtelvolumen maximal wird?

---45--X .............................

l xi

24

l

f---"-/J--::::::::::;;1

V

~

Lösungen: S. 279

\....... 84

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

1. Problemlösungsstrategien in der Analysis Beim Problemlösen, aber auch im Abitur, ist es von Vorteil, grundlegende Lösungsstrategien mit einem aussagekräftigen Schlagwort zu versehen und jederzeit ohne große Überlegung abrufen zu können. Im Folgenden tabellieren wir wichtige Grundstrategien aus der Analysis und lösen damit ausgewählte Problemstellungen. Auf Variationen von Strategien und eher selten angewandte und schwierige Strategien wird aus Effizienzgründen verzichtet. Die Übungen sind knapp gehalten, da sie durch das Rechnen von Komplexen Aufgaben aus den Kapiteln VI und VII in erheblichem Umfang ergänzt werden können.

Thema

Strategien/Schlagworte

Seite

Ableitungsregeln

1. Ableitungsregeln Zusammenstellung der Regeln Anwendung der Regeln

85

Charakteristische Punkte

2. Kriterien für Extrema und Wendepunkte Notwendige und hinreichende Bedingungen für Extrema und Wendepunkte

86

Kurven-

3. Elemente einer Funktionsuntersuchung

87

untersuchungen

Funktionsuntersuchung Untersuchung des Grenzverhaltens Tangenten und Normalen

Ortskurven

4. Ortskurven Ortskurve der Extrema einer Schar

89

Optimierung

5. Extremalprobleme Ein Extremalproblem Das eingesperrte Rechteck

90

Modellierung

6. Rekonstruktion und Modellierung Rekonstruktion einer Funktion Modellierung mit Funktionen

92

Integralrechnung

7. Integrationsaufgaben Bestimmung von Stammfunktionen Flächen zwischen Kurven

94

Wachstum

8. Wachstumsprozesse Exponentielles Wachstum

97

_ _ _ _ _1_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _8_5

1.

Ableitungsregeln

Die Untersuchung von Funktionen und das Lösen von Extremalproblemem erfordern die Verwendung von Ableitungsregeln. Die wichtigsten Regeln werden nun noch einmal aufgeführt.

Die Ableitungsregeln Allgemeine Regeln:

►

Spezielle Regeln:

Summenregel:

(u+ v)'= u '+v'

Potenzregel:

Faktorregel:

(c · u) ' =c · u '

Spez. Reziprokenregel: (})' = - : 2

Produktregel:

(u · v)' = u ' • v + u · v'

Wurzelregel:

Quotientenregel:

.!!)' =u '-v-u-v' (V y2

Exponentialregel:

Allg. Reziprokenregel:

(.!.)

Logarithmusregel:

Lineare Kettenregel:

[f(ax + b)] ' = a · f'(ax + b)

Sinusregel:

(sin x)' = cosx

Kettenregel:

[f(g(x))]'= f'(g(x)) · g'(x)

Kosinusregel:

(cosx)' =- sinx

V

1

=-

:i... y2

Beispiel: Kombination von Ableitungsregeln Berechnen Sie die Ableitung der Funktion f. a) f(x) = x2 • e 1 - 2 x b) f(x) Lösung zu a: Wir benötigen hier die Produktregel, die lineare Kettenregel und die Potenzregel.

f'(x) = [x2. el -2x]' = 2x . el -2x + x2. (-2) . el -2x = (-2x 2 + 2x) · e 1 - 2x ►

(Yx)'= - 1 2../x

=:r-1-_x + 5

Lösung zu b: Wir benötigen hier die spezielle Reziprokenregel und die lineare Kettenregel. , [ l ], f (x) = 2x + S 2

= - (2x + 5)2

Übung 1 Ableitungen bestimmen Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f.

Übung 2 Richtig oder falsch? Prüfen Sie auf Richtigkeit.

a) f (x) = x · sinx

a) (x • 'IX)'= "Vx + ½"Vx

b) f(x) =

:~i

b) (x · e2 x)' = (1 + x) · e2 x

c) f (x) = 1.. · ex

c) (x2 · sinx)' = 2x · sinx - x2 · cosx

d) f (x) = x · lnx

d) ((1-x)· -xl)' =- -Xl +x- -x21

e) f (x) = x • fx

e) (ex. e2x)' = 3 e3x

x2

f) (sin x · cosx)' = 2cos2x - 1

J

\_..-8_6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_.2_ P_ro_b_le_ml _ ö_s_un_g_s_s_tr_at_e.... gi_·e_n_in _ d_er_ O _ b_er_s_tu_t_ e _ _ __

2. Extrema und Wendepunkte Wichtige Teile einer Funktionsuntersuchung sind die Bestimmung von Extrema und von Wendepunkten. Dies geschieht in der Regel mit Hilfe der folgenden Kriterien, wenn die Funktion f zweimal bzw. dreimal differenzierbar ist. Kriterien für Extrema und Wendepunkte

►

Notwendige Bedingung für Extrema: Ist xE eine Extremstelle von f, so gilt die Bedingung f'(xJ = 0.

Notwendige Bedingung für Wendepunkte: Ist xw eine Wendestelle von f, so gilt die Bedingung f"(xw) = 0.

Hinreichende Bedingung für Extrema: Ist f' (xE) = 0 und f" (xE) > 0, so liegt bei xE ein lokales Minimum von f.

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: Ist f" (xw) = 0 und f"' (xw) > 0, so liegt bei xw ein Rechts-Links-Wendepunkt von f.

Ist f' (xE) = 0 und f" (xE) < 0, so liegt bei xE ein lokales Maximum von f.

Ist f" (xw) = 0 und f"' (xw) < 0, so liegt bei xw ein Links-Rechts-Wendepunkt von f.

Beispiel: Extrema Die Funktion f (x) = 2 x · e- 0,5 x soll auf Extrema untersucht werden. Lösung: Notwendige Bedingung für Extrema: f'(x) = (2 - x) · e-O,Sx f'(x) = 0 ⇒ (2 - x) · e-O,Sx = 0 ⇒ 2-x=0

⇒ X=

2,

y =f(2)

=4e- l::::: 1,47

Hinreichende Bedingung für Extrema: f"(x) = (0,5 x - 2) · e- O,Sx f"(2) = -e- 1 < 0 ⇒ Maximum ► ⇒ Hochpunkt H (214e- 1)

Übung 3 Untersuchung auf Extrema Untersuchen Sie f auf Extrema. a) f(x)=x 3 -3x b) f (x) =x · e-x c) f (x) =x2 • ex

►

Beispiel: Wendepunkte Die Funktion f(x) = 2x · e-o,sx soll auf Wendepunkte untersucht werden. Lösung: Notwendige Bedingung für Wendepunkte: f"(x) = (0,5 x - 2) · e-O,Sx f' (x) = 0 ⇒ (0,5 x - 2) · e-O,Sx = 0 ⇒ 0,5x -2 = 0 ⇒ x=4, y=f(4)=8e- 2 :::::l,08

Hinreichende Bedingung für Wendepunkte: f'"(x) = (1,5 - 0,25x) · e-O,Sx f'"(4) = 0,5e-2 > 0 ⇒ R-L-Wendepunkt ► ⇒ Rechts-Links-Wp W(418e- 2)

Übung4 Untersuchung aufWendepunkte Untersuchen Sie auf Wendepunkte. a) f (x) = x · e-x b) f(x) = x2 • lnx c) f (x) =ex - e-x

_ _ _ _ _1_.P _r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _8_ 7

3. Funktionsuntersuchungen Funktionsuntersuchungen werden in der Regel mit Hilfe der Differentialrechnung vorgenommen. Ableitungen, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte werden bestimmt, das Verhalten für x -- ±oo wird untersucht, ein Graph wird angefertigt. Möglicherweise dient die Untersuchung der Lösung eines Anwendungsproblems oder einer Modellierung. ►

Beispiel: Funktionsuntersuchung: Charakteristische Punkte und Verhalten für x - ± oo Untersucht werden soll die Funktion f (x) = 2x · e-o,sx_Ableitungen, Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Verhalten für x -- ±oo und Graph von f sind die Untersuchungspunkte. Außerdem soll diskutiert werden, was der Graph von f aussagt, wenn f die Entwicklung einer Elefantenpopulation darstellt (x: Zeit in Jahrzehnten, y: Populationsgröße in Tausend). Lösung: Die benötigten Ableitungen f', f " und f"' werden mit der Produkt-, der Ketten- und der Exponentialregel berechnet (s. S. 85). Die einzige Nullstelle der Funktion liegt offensichtlich bei x =0, denn nur der Faktor 2 x im Funktionsterm kann null werden. Die Extrema und Wendepunkte wurden schon auf Seite 86 bestimmt. Für x -- - oo streben die Funktionswerte gegen - oo, weil der Faktor 2x gegen - oo und der Faktor e-o,sx gegen oo strebt. Für x - oo streben die Funktionswerte gegen 0. Zwar strebt der Faktor 2x linear gegen oo, aber der Faktor e-O,Sx strebt exponentiell und damit stärker gegen O und setzt sich somit durch. Der Graph von f ist rechts abgebildet. Er wird auf der Basis der charakteristischen Punkte und einer Wertetabelle erstellt.

Der Graph besagt, dass die Elefantenpopulation zur Zeit x =0 gegründet wird und dann mit abnehmender Dynamik nach 20 Jahren ein Maximum von ca. 1470 Tieren erreicht, um danach zunehmend schneller abzufallen, bis sich ab dem Jahr 40 die ► Abnahmetendenz wieder verlangsamt.

Ableitungen: f (x) = 2x · e-O,Sx f'(x) = (2 - x) · e-O.Sx f" (x) = (0,5x - 2) · e-O,Sx f "'(x) = (1,5 - 0,25x). e-O,Sx Charakteristische Punkte: Nullstellen: x =0, N (010) Extrema: Hochpunkt H (214e- 1) Wendepunkte: Recht-Links-Wp W(418 e- 2) Verhalten für x -- ± oo (Tabellen): X

0

-1

y

0

-3,3

X

0

1

10

20

y

0

1,21

0,13

0,002

Graph vonf: y

-2

-5

- 10,9 -121,8

--oo -

-oo

-

00

-o

J

\_..-8_8_________________II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_e r_s_tu_t_e _ _ _ __

Weitere Untersuchungspunkte können Tangenten und Normalen sein. ►

Beispiel: Tangente und Normale Gegeben ist wieder die Funktion f (x) =2x · e-O,sx_ Gesucht sind die Gleichungen von Tangente und Normale an den Graphen von f im Punkt P (112 e- 0,5) (s. Abb. rechts).

Lösung: Wir benötigen hier die Funktionsgleichung f(x) = 2x • e-o,sx und die 1. Ableitung f'(x) = (2 - x) · e-o,sx. Außerdem verwenden wir für die Tangente und Normale die allgemeinen Ansatzformeln (s. rechts).

Gleichungen für Tangente und Normale: Tangente: t(x) = f'(x 0) • (x - x0) + f (x0) Normale: n(x) = -

f'(~o) • (x

- x0 ) + f(x 0 )

Gleichung der Tangente: t(x) =f '(x0) • (x - x0) + f (x0)

Gleichung der Normalen: n (x) = - f' 0, Tangente und Normale bei x = 1 Übung 6 Untersuchung einer Funktion Gegeben ist die Funktion f(x) = x + 2cosx für -4 :5 x :5 4. a) Untersuchen Sie die Funktion auf Extrema und Wendepunkte im angegebenen Intervall. b) Erstellen Sie eine geeignete Wertetabelle und zeichnen Sie den Graphen für -4 :5 x :5 4.

c) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f an der Stelle x =Id) Sei allgemein fa(x) = x + acosx. Für welche Werte des Parameters a gibt es waagerechte Tangenten an den Graphen von fa?

_ _ _ _ _1_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _8_9 J

4. Ortskurven Betrachtet man eine Funktionenschar, so liegen die Extrema in der Regel selbst auf einer Kurve, die man dann als Ortskurve der Extrema bezeichnet. Gleiches gilt für die Wendepunkte. ►

Beispiel: Ortskurve Die Funktionenschar fa(x) = - ¼x2 + ax (a > 0) soll untersucht werden. Zeichnen Sie die Graphen für a = 1, a = 2 und a = 3 in das gleiche Koordinatensystem. Bestimmen Sie außerdem diejenige Kurve y, auf der alle Hochpunkte von fa liegen, und zeichnen Sie deren Graphen ein. Lösung: 1. Nullstellen: fa(x) = - ¼x2 + ax = 0 - ¼x·(x-4a) =0 x=0

oder

x = 4a

2. Extrema:

f;(x) = - ½x + a = 0 x=2a Y= a2 f;'(a) = < 0 ⇒ Hochpunkt H (2ala2)

-½

3. Wendepunkte:

-½

f;'(x) = -:t:. 0 ⇒ keine Wendepunkte

4. Ortskurve der Hochpunkte: Der Hochpunkt hat die beiden Koordinaten x = 2a und y = a2. Wir lösen die Gleichung für die x-Koordinate nach a auf, d. h. a = Wir setzen dieses Zwischenergebnis in die Gleichung für die y-Koordinate ein:

l

y=

a2

Koordinaten des Hochpunktes: x-Koordinate: x = 2 a y-Koordinate: y = a2 Auflösen der x-Koordinate nach a: x =2a ⇒ a =

i

Einsetzen in die y-Koordinate: y = a2 ⇒ y = (i)2 ⇒ y = ¼x2

= (- 1)2 = ¼x2

Das Endergebnis y = ¼x2 stellt die gesuchte Ortskurve der Hochpunkte dar. ► In der Graphik ist sie grün dargestellt.

Gleichung der Ortskurve: Y-- lx2 4

Rezept zur Bestimmung der Ortskurve eines Extrempunktes 1. Bestimmen Sie die beiden Koordinaten des Extrempunktes in Abhängigkeit von a. 2. Lösen Sie die Gleichung für die x-Koordinate nach dem Parameter a auf. 3. Setzen Sie den so gewonnenen Term für a in. die Gleichung für die y-Koordinate ein. Übung 7 Ortskurve Untersuchen Sie Schar f/x) = a x2 - x (a > 0) auf Nullstellen und Extrema. Skizzieren Sie f 1, f2 und f 3. Bestimmen und zeichnen Sie die Ortskurve der Extrema.

Übung 8 Ortskurve Untersuchen Sie fa(x) = ½x

4 -

ax (a > 0). 2

Zeichnen Sie f f und f Bestimmen Sie die Ortskurven der Extrema und Wendepunkte und zeichnen Sie diese ein. 1

,

2

3

.

\_.._9_0_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_e r_s_tu_t_e _ _ _ __

9. Ableitungen Bestimmen Sie die Ableitung der Funktion f. a) f (x) = 3 sin2x d) f (x) = xX +- 11

c) f (x) = -VX · e-x

b) f (x) = (x2 - x) . e 3 x e) f (x) = 4x2 + 1.. x2

f) f (x) = x 2 ·ex· (1 - x 2)

10. Extrema Untersuchen Sie f auf Extrema. a) f(x) = x3 - 12x

b) f(x) = /2 x4 - 3x2

c) f (x) = l x + .!.

e) f(x) =ex+ e 1 -x

f) f(x) = -2x2 -

g) f a(x) = x - a2 x3, a > 0

32 x2

4

X

d) f (x) = (x - 2) . e-x

11. Wendepunkte Untersuchen Sie f auf Wendepunkte. a) f(x) = x3 - 12x e) f(x) = e2 x - 8ex

b) f (x) = /2 x 4 - 3x2 f) f (x) = 2x + a · e-x

c) f(x)= ½x2 + ¾ d)f(x)=(x-2)·e- x g) f (x) = (x2 - 1) · e-O,Sx

12. Funktionsuntersuchung Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte. Untersuchen Sie das Verhalten von f an den Rändern der Definitionsmenge. Zeichnen Sie dann den Graphen von f. Bestimmen Sie außerdem die Gleichung der angegebenen Geraden. a) f(x) = 2e-O,Sx + 1, Df = IR, Tangente bei x = 0 1 b) f(x) = x · e -x, Df = IR, Normale bei x = 2 c) f (x) = (x - 1) · eX, Df = IR, Tangente und Normale bei x = 1 d) f(x) = x +

2 2 /_\ ,

e) f (x) = cos x - sinx,

Df = {x > 0, x::;:.: 1},

Tangente bei x = 2

Df = [O; 2n],

Tangente bei x = ¾

13. Untersuchung einer Funktionenschar Gegeben ist die Funktionenschar fa (x) = x3 - a2 x, a > 0. a) Untersuchen Sie fa auf Nullstellen, Extremstellen und Wendepunkte. b) Skizzieren Sie die Graphen von f 1 und f 1,5 für -2 :5 x :5 2. c) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente ta von fa. d) Berechnen Sie, für welches a die Wendetangente ta durch den Punkt P ( l l-4) geht. e) Bestimmen Sie eine Stammfunktion Fa von fa. f) Berechnen Sie, für welchen Wert von a der Graph von fa im zweiten Quadranten über dem Intervall [- 1, O] ein Flächenstück A mit dem Inhalt 4,25 einschließt. g) Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte. 14. Ortskurven a) Bestimmen Sie die Ortskurve der Extrema von f/x) = - ¼x2 + ax, a > 0. b) Zeigen Sie, dass die Extrempunkte von fa(x) = - ¼(x2 - ax - 2a2), a > 0 auf der Parabel y(x) = ¾x2 liegen. c) Bestimmen Sie die Ortskurve der Extrema von f/x) = e2 x - a · eX, a > 0. d) Bestimmen Sie die Ortskurve der Wendepunkte von fa(x) = a2 x · e-ax, a > 0.

_ _ _ _ _1_.P _r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9_1

15. Ableitungen Bestimmen Sie die erste Ableitung der Funktion f. a) f(x) = 8x3 -6x2 + 2x d) f (x) = (1 - x2) • e2 - x

b) f(x) = x · sin(0,5x) e) f (x) = sin2 (2x)

c) f (x) = x · e 1•5 x f) f(x)=x- .!.X + 1X

16. Nachweis besonderer Punkte Untersuchen Sie, ob an der Stelle x ein Hoch-, Tief-, Wende- oder Sattelpunkt vorliegt. a) f (x) = x2 b) f (x) = x3 c) f (x) = x4 x=0 x=0 x=0 3 2 3 d) f(x) = 2x - 6x e) f(x) = 12 x - x f) f(x) = 1 x4 - 2x2

1

X=

1, X= 2

g) f(x) = 2sin (0,5 x) X= Jt, X= 2Jt

X= 0, X= ±2 h) f(x) = x + .!.X X

=-1

X= 0, X= 2, X= ±fil i) f (x) = x2 • e-x X=

0, X= 2

17. Funktion f und Ableitung f' Jede der folgenden Abbildungen zeigt die Graphen einer Funktion f und ihrer Ableitung f '. Begründen Sie, welcher Graph zu f bzw. f' gehört. II I I

I

I

II

18. Funktionsuntersuchung Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Verhalten für x - ± 00 • Fertigen Sie auf dieser Grundlage eine Skizze des Graphen von f an. 3 _ l x2 a) f(x) = x4 - 2x2 b) f(x) = lx c) f (x) = l4 x + lX 3 2 d) f(x) = (x - 1) · ex e) f(x) = x · ex+ 1 f) f(x) = (x2 - 2x) • eO,Sx 19. Funktionsuntersuchung Gegeben ist die Funktion f (x) = (x2 + 3) • (x2 - 1). a) Begründen Sie, dass der Graph der Funktion f symmetrisch zur y-Achse ist. b) Bestimmen Sie die Nullstellen von f. c) In welchen Bereichen ist die Funktion monoton wachsend bzw. monoton fallend? d) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangente an den Graphen von f bei x = 1. e) Eine quadratische Parabel p (x) = ax2 + c hat ihren Scheitelpunkt in S (0l-4) und besitzt die gleichen Nullstellen wie die Funktion f. Wie lautet die Funktionsgleichung von p? 20. Exponentielle Kurvenschar Gegeben ist die Kurvenschar fa (x) = e2 x - a · eX, a > 0. Untersuchen Sie fa auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte, Verhalten für x -- ± 00 • Zeichnen Sie die Graphen f2 und f 3 für -3 $ x $ 1,2.

..J

\....... 92

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

5. Extremalprobleme Häufig sind bei einem Problem zwei Größen variabel, wobei die erste Größe die zweite Größe beeinflusst. Dann ist die Frage, wie die erste Größe gewählt werden muss, so dass die zweite Größe ein Extremum annimmt (Maximum oder Minimum). Man bezeichnet diese Aufgabenstellung als Extremalproblem. Extremalprobleme werden nach einem festen Schema gelöst. ►

Beispiel: Tunnel mit maximaler Querschnittsfläche

.

Der Querschnitt eines Straßentunnels soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis haben. Die Höhe des Rechtecks sei h und der Radius der Halbkreises sei r. Der Umfang U des Tunnels soll 50 m betragen. Wie müssen r und h gewählt werden, damit die Querschnittsfläche A des Tunnels möglichst groß ist? Lösung: Wir führen zunächst passende Bezeichnungen em. r = Radius des Halbkreises h = Höhe des Rechtecks U ;;;;; Umfang des Tunnels A = Querschnittsfläche des Tunnels Wir stellen zuerst die Hauptbedingung auf, also eine Gleichung für die zu maximierende Größe, hier also A. A setzt sich aus einem Rechteck mit der Fläche 2rh und einem Halbkreis mit der Fläche ½n r2 zusammen. Wir erhalten Gleichung (1). Nun stellen wir die Nebenbedingung auf. Dies ist die vorgegebene Festlegung des Umfangs, also U = 50. U setzt sich aus drei Strecken mit den Längen 2r, h und h und einem Halbkreis der Länge n r zusammen. So erhalten wir Gleichung (2). Dann lösen wir Gleichung (2) nach h auf und setzen hin Gleichung (1 ) ein. So erhalten wir die Zielfunktion (3).

Schließlich errechnen wir nun durch Nullsetzen der Ableitung A' das Maximum der Zielfunktion. Es liegt bei r :::: 7, woraus h :::: 7 folgt. Der optimale Tunnel ist also ca. ► 14 m breit und in der Mitte auch 14 m hoch.

r

______

,.__

Ih

....,_

Hauptbedingung:

A soll maximal werden. (1) A = 2r • h + ½nr2 Nebenbedingung:

U ist gegeben. U=50 (2) 2r + 2h + nr = 50 Zielfunktion:

Auflösen von (2) nach h: h-25 - 2 +:n: r 2 Einsetzen in ( 1): A (r) = 50r - (2 + n)r2 + ½:ru

2

(3) A (r) = 50r - (2 + I) r2 Extremalrechnung:

A '(r) = 0 50-2 (2+ ;) r=0 50 - (4 + n) r = 0 r= -4 50 -+rc ::::7

h = 25 - 2 ; n • 7 :::: 7 A"(r) = - (4 + n) A "(7):::: -7,14 < 0 ⇒ Maximum A(7):::: 175

_ _ _ _ _1_.P _r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9_3

Ein beliebtes Extremalproblem ist das Problem des eingesperrten Rechtecks oder Dreiecks. ►

.

Beispiel: Das eingesperrte Rechteck

y

Unter dem Graphen von f (x) = 3 - x2 liegt im ersten Quadranten ein achsenparalleles Rechteck mit den Seitenlängen x und y. Wie muss der Punkt P(xly) auf dem Graphen von f gewählt werden, damit die Fläehe A des Rechtecks maximal wird? Lösung: Wir stellen die Hauptbedingung für die gesuchte Größe auf, den Flächeninhalt A des Rechtecks. Sie lautet A = x · y. Die Variablen y und x in der Hauptbedingung sind über die Funktionsgleichung miteinander verbunden. Es gilt y = f(x), d. h. y = 3 - x2 . Dieser Zusammenhang stellt die Nebenbedingung dar. Setzen wir die Nebenbedingung in die Hauptbedingung ein, so erhalten wir die ZielfunktionA(x) = -x3 + 3x. Die rechts aufgeführte Extremalrechnung ergibt, dass A für x = l maximal wird.

Das eingesperrte Rechteck nimmt also den maximalen Flächeninhalt A an, wenn seine obere rechte Ecke der Punkt P (112) ist. Es ► gilt Amax = 2. Übung 21 Eingesperrtes Rechteck

Der Eckpunkt P (x Iy) des abgebildeten achsenparallelen Rechtecks liegt auf der Geraden f(x) = 3 - 0,5x. Wie muss x gewählt werden, damit die Rechtecksfläche A maximal wird? Übung 22 Regenrinne

Aus drei Blechplatten soll eine 2 m lange Regenrinne geformt werden (s. Abb.). Die Rinne soll eine Querschnittsfläche A von 250 cm2 besitzen. Wie müssen Höhe h und Breite b der Rinne gewählt werden, damit der Blechverbrauch möglichst gering ausfällt?

\

\

f (x)=3 - x

2

' p 1

A

y~

X

2

X

Hauptbedingung: A = Fläche des Rechtecks A = Breite x Höhe (l)A(x,y)=x·y Nebenbedingung: y = f(x) (2) y = 3 - x2 Zielfunktion: A = x · f(x) A = x • (3 - x 2 ) (3) A (x) = -x3 + 3 x Extremalrechnung: A'(x)=-3x2 +3=0 3x2 = 3 x2 = 1

x = 1 oder x = -1 (irrelevant) A"(x) = -6x A"(l) = -6 < 0 -- Maximum y f

X

1

X

J

\_.._9_4_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_e r_s_tu_t_e _ _ _ __

6. Modellierung mit Funktionen In den Naturwissenschaften und anderen Disziplinen werden Anwendungsprobleme oft durch Funktionen modelliert. Dazu müssen Funktionen mit vorgegebenen Eigenschaften aufgestellt werden. Im einfachsten Fall ergibt sich ein sog. Rekonstruktionsproblem. ►

WANTED 6re.sucht wird ei~e quttdritti.sche Pttrttbe/ U1it folqe~de~ f iqenschttfte~. (1) Null.stelle bei x = 1

liei) fxtrewiu/M

bei x = 1..

(3) qeht durch p(3J-11s-)

Beispiel: Rekonstruktion/Steckbriefaufgabe Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f, die rechts oben im Steckbrief beschrieben wird. Lösung: Es ist vorgegeben, dass es sich um eine Polynomfunktion zweiten Grades handelt.

1. Ansatz für die Gleichung von f

Wir verwenden daher die folgenden beiden Ansatzgleichungen: f(x)=ax 2 +bx+c f'(x) = 2ax + b

2. Eigenschaften von f

Nun übertragen wir die im Steckbrief gegebenen Eigenschaften der Funktion f in die symbolische Funktionsschreibweise.

3. Aufstellen eines Gleichungssystems

Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und drei Variablen, das wir lösen. Die Lösung ist a = 0,5, b = - 2 und c = 0. Damit ist die gesuchte Funktion bekannt. Die Funktion f lautet: f(x) =

0,5 x2 -

2x

►

f(x) = ax 2 + bx + c f'(x) = 2ax + b

(1) Nullstelle bei x = 4 (2) Extremum bei x = 2 (3) Geht durch P (3 l-1,5)

(1) f(4)=0

⇒ I

16a+4b+c=0 (2) f ' (2) = 0 ⇒ II 4 a + b =0 (3) f (3) = -1,5 ⇒ III 9a + 3b + c = -1,5 4. Lösung des Gleichungssystems IV = I - ill: 7 a + b = 1,5 V = II - IV: - 3 a = -1,5 aus V: in IV: in I:

a = 0,5 b = -2 ⇒ f(x) = 0,5x2 -2x

c=O

Übung 23 Rekonstruktion Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f mit den angegebenen Eigenschaften.

Übung 24 Rekonstruktion Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion f mit den angegebenen Eigenschaften.

l. f ist eine Funktion 3. Grades.

1. f ist eine Funktion 4. Grades.

2. f ist symmetrisch zum Ursprung. 3. f hat ein Extremum bei x = 3.

2. f ist symmetrisch zur y-Achse. 3. f hat das Extremum E(21-0,25).

4. f geht durch den Punkt P (1 j- 236 ).

4. f schneidet die y-Achse bei y = }

_ _ _ _ _1_.P _r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9_5 J

Werden Anwendungen durch Funktionen beschrieben, so spricht man von Modellierungen. ►

Beispiel: Modellierung des Pflanzenwachstums Anja hat sich eine Barnbuspflanze gekauft, die nun im Wintergarten wächst. In den ersten vier Wochen wird das Höhenwachstum durch die Exponentialfunktion h (t) = 10e0-5 t erfasst (t: Zeit in Wochen, h: Höhe in cm). Danach allerdings schwächt sich die Wachstumsgeschwindigkeit ab. Die Pflanzenhöhe kann nun durch die Funktion g (t) = a - b e- 0,2 r erfasst werden. a) Wie hoch ist die Pflanze zu Beginn und am Ende des ersten Wachstumsabschnitts? b) Wie groß ist ihre Wachstumsgeschwindigkeit am Ende des ersten Abschnitts? c) Bestimmen Sie die Parameter a und b der Funktion g. d) Welche Grenzhöhe kann die Pflanze im Laufe der Zeit maximal en-eichen? e) Der Wasserverbrauch der Pflanze in Litern kann durch die Fläche unter dem Graphen der Höhenfunktion abgeschätzt werden. Wie groß war der Verbrauch in der fünften Woche? Lösung zu a: Durch Einsetzen von t =0 und t =4 in die Höhenfunktion h erhalten wir eine Höhe von 10 cm zu Beginn und von ca. 74 cm nach vier Wochen. Lösung zu b: Wir bestimmen die Ableitungsfunktion h ' und setzen t = 4. Wir erhalten eine Wachstumsgeschwindigkeit von ca. 37 cm/Woche. Lösung zu c: Wir setzen die in a und b en-echneten Werte ein, da die Funktion g im zweiten Abschnitt mit den Endwerten der Funktion h des ersten Abschnittes starten muss. Also müssen die folgenden Bedingungen gelten: g(4) = 10 e2 und g'(4) = 5 e2 . Setzen wir diese in den vorgegebenen Ansatz g(t) = a - b e- 0•21 ein, so erhalten wir ein lineares Gleichungssystem mit den Lösungen a =35 e2 und b =25 e2•8. Die Funktion g lautet also: g (t) =35 e 2 -25 e- 0,2 t+ 2 ,8_ Lösung zu d: Wir lassen die Zeit t gegen oo streben und erhalten als Grenzhöhe ca. 259 cm. Lösung zu e: Wir integrieren die Funktion g, die ab der vierten Woche zutreffend ist, in den Grenzen von 4 bis 5. Der so en-echnete Wasserverbrauch beträgt ca. 91 , 19 Liter.

.

►

Höhe der Pflanze:

h (0) = 10 · e0•5 • 0 = 10 cm h (4) = 10 · e0,5 - 4 = 10 e2 :::: 73,89:::: 74 Wachstumsgeschwindigkeit:

h '(t) = 5 · e0 ,5 t h '(4) = 5e 2 :::: 36,95:::: 37

Bestimmung von a und b:

g(t) =a - b e- 0 ,21 g'(t) =0,2 be- 0,2 1 g(4) = 10 e2 ⇒ I: a - b • e- 0,8 = 10e2 g'(4) = 5e2 ⇒ II: 0,2b • e- 0,8 = 5e2 Aus II: b = 25e2 •8 :::: 411 ,12 In I: a = 35 e2 :::: 258,62 Resultat: g (t) = 35 e 2 - 25 e- 0,21 + 28

Bestimmung der Grenzhöhe:

lim g(t) = lim (35e2 -25e- 0,2 t+ 2,8)

t-oo

t-oo

=35 e 2 :::: 258,62

Wasserverbrauch: 5

5

A = f g (t) dt = f (35 e2 - 25 e- 0 ,21 + 2,8) dt 4

4

= [35e2 t+ 125e- 0,2 r+ 2,8] 54 = -90e2 + 125e 1•8 :::: 91,19

\....... 96

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

7. Integrationsaufgaben In der Integralrechnung gibt es mehrere Möglichkeiten zur Bestimmung einer Stammfunktion. Stammfunktionsnachweis durch Differenzieren: Man kennt die Stammfunktion bereits oder hat eine stichhaltige Vermutung. Durch Differenzieren wird nachgewiesen, dass es sich um eine Stammfunktion handelt. Stammfunktionsbestimmung mittels Integrationsregeln: Mit Hilfe von Integrationsregeln kann man Stammfunktionen direkt berechnen. Stammfunktionsbestimmung mittels Formansatz Man kennt die Art der formalen Gestalt einer Stammfunktion, aber nicht die exakte Gleichung. Dann kann man oft einen sog. Formansatz verwenden, um die Stammfunktion zu bestimmen. ►

Beispiel: Stammfunktionsnachweis und regelhafte Bestimmung a) Zeigen Sie: F(x) = (x2 - 2x) · e2 x ist eine Stammfunktion von f(x) = (2x2 - 2x - 2) · e2 x. b) Bestimmen Sie durch Regelanwendung eine Stammfunktion von f(x) = 4e2 x + 'h - ~ Lösung zu a: Wir differenzieren die vermutetete Stammfunktion F mit der Produktregel, der Exponentialregel und der linearen Kettenregel. Wir erhalten F'(x) =f(x), was bedeutet, dass F wirklich eine Stammfunktion von f ist. Lösung zu b: Als Umkehrung der Differentiationsregeln gibt es folgende Integrationsregeln: Potenzregel, Summenregel, Faktorregel, lineare Kettenregel, Exponentialregel und Sinusbzw. Kosinusregel. Einige dieser Regeln benötigen wir nun. Dabei verwenden wir die Integralschreibweise.

•

Stammfunktionsnachweis:

F '(x) = [(x2 - 2x) · e2 x]'

=(2x - 2) · e 2 x + (x2 - 2x) · 2e2 x =(2x2 - 2x - 2) · e2 x =f(x) Anwendung der Integrationsregeln:

f (4 e2 x + ~ -

~) dx

3

= 4. ½e2x + t x2 - (-x- l) + C

2

► Resultat: F(x) = 2e2 x + i x3 + ¾+ C

3

=> F(x) = 2e2 x + i x2 + ¾+ C

Übung 25 Stammfunktionen Zeigen Sie, dass die Funktion F eme Stammfunktion der Funktion f ist. a) F (x) = (4 - 2x2) • e- o,sx f (x) = (x2 - 4x - 2) • e- O,Sx

Übung 26 Stammfunktionen Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f.

b) F (x) = sin x - x · cosx

c) f(x) = cos2x + 3x- 2

f(x) = x · sin x

a) f(x) = 2 · e0,sx + 3x2 + 2"Vx b) f (x) = (2x + 1) 3

_ _ _ _ _1_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9_ 7

Für schwierigere Situationen haben wir im Kursverlauf keine Integrationsregeln kennengelernt. Manchmal hilft dann der sog. Formansatz weiter, der im folgenden Beispiel verwendet wird. ►

Beispiel: Formansatz Bestimmen Sie mittels Formansatz eine Stammfunktion von f(x) = (4x - 4) · e2 x. Lösung: Leiten wir die Funktion f ab, so erhalten wir eine Ableitung f', deren Funktionsterm demjenigen von f stark ähnelt. Für die zweite Ableitung gilt das Gleiche. Die Funktionsgleichungen von f, f' und f" haben die Form f (x) = (ax + b) . e2 x. Daher können wir für die gesuchte Stammfunktion F ebenfalls den Formansatz F (x) = (ax + b) · e2 x. nutzen. Da F ' (x) = f (x) gelten muss, ergibt sich daraus die folgende Gleichung: (2ax + 2b + a) · e2 x = (4x - 4) • e2 x

Formansatz für die Stammfunktion: f(x) = (4x - 4) · e2 x

=(8 x - 4) · e2 x f"(x) =(16x - 0) • e 2 x f'(x)

⇒ F (x) = (ax

+ b) · e2 x

?

Bestimmung der Koeffizienten a und b:

F(x) = (ax + b) · e2 x

Formansatz:

F' (x) = f(x) [(a x + b) · e2 x] ' = (4 x - 4) • e2 x

Durch einen Vergleich der Koeffizienten auf der linken und der rechten Seite erhalten wir die Gleichungen 2 a = 4 und 2 b + a = - 4. Hieraus folgt a = 2 und b = - 3. Daher lautet die Gleichung der gesuchten ► Stammfunktion F(x) = (2x - 3) • e2 x + C.

a · e2 x + (ax + b) · 2e2 x = (4 x - 4) · e2 x (2ax + 2b + a) · e 2 x = (4x - 4) • e2 x ⇒

2a=4,

⇒

a =2,

⇒

F(x)=(2x-3)-e2 x

2b+a=-4 b =-3

Wir beenden das Darstellen der Integrationsmethoden mit dem folgenden Hinweis auf eine weitere wichtige Integrationsregel.

Hinweis: Die logarithmische Integration

Logarithmische Integration

Für die Reziprokenfunktion f (x) = gilt die

J¾dx = lnlxl + C

t

rechts dargestellte logarithmische Integrationsregel. Diese Regel kann verallgemeinert werden.

Übung 27 Formansatz Bestimmen Sie mit Hilfe eines Formansatzes eine Stammfunktion von f. a) f(x) =(-2x + 1) • ex

f'(x) f (x)

J

Übung 28 Logarithmische Integration Bestimmen Sie eine Stammfunktion von f. a) f(x) = x + 1X b) f(x)

= 2x2x +x +1

=x2 • ex c) f (x) =(x + l) · e- 2 x

c) f (x) = exe; l

d) f (x) = (x2 - 4x) · e-x

d) f (x) = sinx

b) f (x)

= lnlf(x)I + C

cos x

J

\_.._9_8_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_e r_s_tu_t_e _ _ _ __

Weitere Problemstellungen in der Integralrechnung sind die Berechnung von Flächeninhalten unter Kurven und zwischen Kurven. ►

Beispiel: Fläche zwischen zwei Kurven Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen den Graphen von f(x) = x + 3 und g(x) = x2 + 2x +l. Berechnen Sie zunächst die Integrationsgrenzen. Lösung: Wir berechnen zunächst die Schnittstellen a und b von f und g, denn das sind die benötigten Integrationsgrenzen. Mit der p-q-Formel erhalten wir die Schnittstellen a = - 2 und b = 1. Im nächsten Schritt berechnen wir den Inhalt A 1 der Fläche unter dem Graphen von f. Es giltA 1 = 7,5. Analog berechnen wir den Inhalt der Fläche A2 unter dem Graphen von g. Es gilt A 2 = 3. Der Inhalt der gesuchten Fläche A ist die Differenz von A I und A2. Daher giltA = 4,5.

X

Integrationsgrenzen: f(x) = g(x) x + 3 = x2 + 2x + 1 x2 + X -2 = 0 X= -0,5 ± ✓2,25 = -0,5 ± 1,5 X= -2, X= +1

Bestimmung der Schnittfläche: l

A1 =

f (x+3)dx=[½x2 +3x]~ -2

2

= (3,5) - (-4) = 7,5 l

A2 =

f (x

2

+ 2x + l)dx = [½x3 + x2 +

-2

Bemerkung: Die Aufgabe vereinfacht sich etwas, wenn man mit der Differenzfunktion d(x) = f(x) - g(x) arbeitet.Aist dann die Fläche zwischen der Differenzfunktion und ► der x-Achse.

= ⇒A

x( 2

G) - (-i) = 3 = Al -A2 = 7,5 - 3 = 4,5

Übung 29 Fläche unter Kurven Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen dem Graphen von f und der x-Achse über dem angegebenen Intervall I. b) f (x) = x • (x2 - 4), I = [-2; 2] a) f (x) = x2 + x, I = [0; 4] c) f(x) = l., I = [1; 5] x2

d) f(x) = ½e- 2 X, I = [- 1; 2]

Übung 30 Fläche zwischen Kurven Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche A zwischen den Graphen von f und g. Berechnen Sie zunächst die Integrationsgrenzen. a) f(x) = x2 , g(x) = 3x b) f(x) = -x2 + 2, g(x) = x2 c) f(x) = x + 1, g (x) = x2 - 2x + 1 2 e) f (x) = eX, g (x) = e ; 1 x + 1

d) f(x) = ½x3 - 1 x, g(x) = ½x2 + jx f) f (x) = 'Yx, g(x) = x2

_ _ _ _ _1_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 9_9

Bei vielen Prozessen ist die Bestandsfunktion f, die den Prozess beschreibt, nicht bekannt, sondern nur deren Änderungsrate f'. Dann ist es möglich von der Änderungsrate auf den Bestand zurückzuschließen. Man bezeichnet dies als Bestandsrekonstruktion. ►

Beispiel: Rekonstruktion des Bestandes einer Population aus der Wachstumsrate Auf der Insel Quaimada vor Brasiliens Küste lebt die giftige Lanzenotter. Vor 20 Jahren wurden die Zahl der Schlangen nach einer Expedition auf 2000 geschätzt. Eine längere Nachbeobachtung ergab die Änderungsrate (Wachstumsgeschwindigkeit) N'(t) = 3~ • (23 - 2t) (t: Zeit in Jahren seit Boabachtungsbeginn); N'(t): Wachstumsgeschwindigkeit (in Tausend/Jahr) a) Wie lautet die Bestandsfunktion der Schlangenpopulation? b) Wann war die Population auf 6000 Schlangen angewachsen? c) Wie groß war der Zuwachs an Schlangen in den 20 Jahren nach der Expediton? Lösung zu a: Die Bestandfunktion N erhalten wir durch Integration ihrer Änderungsrate N'(t), d. h. als unbestimmtes Integral. Die Integrationskonstante C können wir aus dem Anfangsbestand N (0) =2 (Tausend) bestimmen. Resultat: N (t) = 3~ • (23 t - t2) + 2

Bestimmung der Bestandsfunktion:

f

N(t) = f N'(t)dt =

1 • (23 30

- 2t)dt

N(t) = 310 • (23t- t2) + C Bestimmung der Integrationskonstanten C: N(O) =2 ⇒ C =2 ⇒ N (t) = }0 • (23 t - t2) + 2

Lösung zu b: Der Ansatz N (t) = 6 (Tausend) führt auf eine quadratische Gleichung, deren Lösungen wir mit der p-q-Formel berechnen. Sie lauten t = 8 und t = 15. Nach 2 und nach 15 Jahren liegt die Populationsgröße bei 6000 Schlangen. Das deutet auf eine abnehmende Popuklation hin.

Bestimmung der Zeit: Ansatz: N (t) =6 1 30 • (23 t -

t2) + 2 = 6 23 t - t2 + 60 = 180

t2 - 23 t + 120 =0 t = 8 bzw. t = 15

Lösung zu c: Wir können den Zuwachs ßN als bestimmtes Integral der Änderungsrate N' in den Grenzen von Obis 20 berechnen. Wir erhalten ßN = 2, was einen Zuwachs von 2000 Schlangen bedeutet. Alternativ hätten ßN auch mit der Rechnung ßN = N (20) - N (0) = 4 - 2 = 2 be► stimmen können.

Berechnung des Zuwachses: 20

20 1

ßN = f N'(t)dt = f 30 • (23 -2t)dt 0 l -- [ 30 • (23 t -

0

t2) ]20 -- 2 0

Alternative Rechnung: ßN =N (20) - N (0) =4 - 2 =2

Übung 31 Bestandsrekonstruktion Ein zylindrischer Wasserbehälter ist 300cm hoch und hat einen Durchmesser von 60 cm. Er ist bis oben mit Wasser gefüllt, als der Wasserhahn versehentlich geöffnet wird. Die Höhe h des Wasserstands verringert sich nun mit der Geschwindigkeit h '(t) = 514 t - 13 (t in min, h' in cm/min). Wie lautet die Gleichung von h? Nach 1,5 Stunden wird der Schaden entdeckt. Welche Wassermenge ging verloren?

°

J

\....... 100

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

8. Exponentielle Wachstumsprozesse Ungestörtes exponentielles Wachstum: f (x) =c · etct, k > 0, Ungestörte exponentielle Abnahme:

Verdopplungszeit: T2 = 1~ 2

f(x) = c • e- kt, k > 0 Halbwertszeit:

T1/2 -- tno,s -k

Begrenztes exponentielles Wachstum: f(x) = a + be- kt, k > 0, b > 0 Begrenzte exponentielle Abnahme:

f (x) = a + be- kt, k > 0, b < 0

Logistisches Wachstum:

f(x) =

a k,1 k > 0

1 + be-

►

Beispiel: Begrenztes exponentielles Wachstum - Tropfinfusion

•

Ein Medikament wird einem Patienten per Tropfinfusion zugeführt. Die Konzentration im Blut steigt gemäß der Funktion k (t) = a - a · e-0,04t an (t: Zeit in min, k: Konzentration in µg/ml). Nach 23 Minuten beträgt die Konzentration 30,07 µg/ml. a) Wie lautet die Wachstumsfunktion? Berechnen Sie a. b) Welche Grenzkonzentration kann nicht überschritten werden? c) Wann wird die therapeutische Wirkschranke von 40 µg/ml erreicht? Lösung zu a: Hier muss a bestimmt werden. Die Information k (23) = 30,07 führt nach nebenstehender Rechnung auf a :::: 50. Die Gleichung der Wachstumsfunktion lautet daher k (t) =50 - 50 e- 0,041. Lösung zu b: Die Konzentration nähe1t sich langfristig, d. h. für t - = , einer oberen Grenze an. Da der exponentielle Teilterm e- 0,041dabei gegen null strebt, nähert sich die Wachstumsfunktion k der Grenze 50 an.

Lösung zu c: Die Schranke, ab der die gewünschte therapeutische Wirkung einsetzt, liegt bei 40mg/ml. Der Ansatz k(t) = 40 führt nach . einer logarithmischen Rechnung auf die ► Zeit t :::: 40,24 Minuten.

Übung 32 Wachstum von Pilzen

Gleichung der Wachstumsfunktion:

k (23) = 30,07 a - a · e- 0,04 • 23 =30,07 a ( 1 - e- 0,92) = 30,07 30,07

a = 1 _ e-o.92 :::: 49,99 a:::: 50

20

J__J

Grenzkonzentration:

lim k(t) = lirn (50 - 50 e- 0,041) =50

t -oo

t -co

Therapeutische Schranke:

k(t) = 40 50 - 50 · e- 0,04 •1=40 50 · e- 0,04 •1 = 10 e- 0,04 . 1 = 0,2 - 0,04 t = ln0,2 2 t = -1n0,04 :::: 40 24 '

°·

Die Masse eines Pilzes wächst nach der Formel m (t) =40 - 25 e-kt (t: Tage, m: Gramm), wobei k vom Nährboden abhängt (Boden A: k =0,10; Boden B: k =0,20). Skizzieren Sie beide Graphen im gleichen Koordinatensystem. Wann werden 30 Gramm erreicht? Vergleichen Sie die Wachstumsgeschwindigkeiten zur Zeit t =0 und t = 10.

_ _ _ _ _1_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_O_l ..J

►

Beispiel: Logistisches Wachstum - Hefezellenkultur

Das Wachstum einer Kultur von Hefezellen wird durch die logistische Funktion V (t) = 80~ 0 51 1 7 erfasst. Dabei ist t die Zeit in Tagen und V das Volumen der Kultur in mm3 . + e • a) Berechnen Sie den Anfangsbestand und den Grenzbestand der Kultur. b) Skizzieren Sie außerdem den Graphen von V. c) Bestimmen Sie die Wachstumsrate der Kultur zur Zeit t = 0. Lösung zu a und b: Den Anfangsbestand VOerhalten wir durch Einsetzen von t =0 in die Wachstumsfunktion V: 8 0 V0 =V(O) = 1 ~ 7 = 100mm3 . Der Grenzbestand ergibt sich, wenn wir den Grenzwert von V (t) für t - oo bilden:

Graph von V: V in mm 3

V

400

800 G = a = t-oo lim 1 +7. = 800mm3. e- 0-51

5

Der Graph von V ist rechts dargestellt. Lösung zu c*: Wir müssen zunächst die Ableitung V ' berechnen. Dazu schreiben den Funktionste1m von V zunächst als Potenz mit dem Exponenten -1 , um den Bruchterm zu eliminieren. Dann können wir ihn nach der Potenzregel und der Kettenregel ableiten, um ihn danach wieder als Bruch darzustellen. Die Ableitung von V ist V ' (t) = 2800 • e- o.si . (1 + 7 e - 0,51)2

Die Wachstumsrate zur Zeit t :

►

=0

beträgt

3

also V '(O) =43,75 m:;.

10 t in h

Ableitung von V:

V '(t) = (

800 )' = l + 7. e-0,51

(800. (1 + 7 e-o,s 1t1)'

=800 · (-1)(1 +7e- 0 ,51)- 2 • (-3,5e- 0,51) 0 51

· e- = (l2800 + 7e-0,51)2

Wachstumsrate zur Zeit t = 0:

V' (O) = 2800. e-0,5 • 0 ( 1 + 7e-o,s

0)2

= 2800 = 43 75 mrn3 32

•

h

Übung 33 Logistisches Wachstum Eine logistische Wachstumsfunktion besitzt den Funktionsterm f (t) = f hat den Anfangsbestand f (0) = 100 und den Grenzbestand 600 für t Außerdem gilt f (11 ) ~ 225 ,2. a) Bestimmen Sie den Funktionsterm von f. b) Skizzieren Sie den Graphen von f. c) Bestimmen Sie die Wachstumsrate für t = 0. d) Wann ist der halbe Grenzbestand erreicht, also N =300?

a

k .

l + b · e- rr oo.

* Zum Bestimmen der Ableitung der Funktion V an der Stelle x = 0 können Sie auch die erweiterten Funktionalitäten des Taschenrechners nutzen.

\_..-1_0_2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_e r_s_tu_t_e _ _ _ __

34. Extremalproblem Auf dem Graphen von f(x) =4x · e-O,Sx wandert der Punkt P(u lf(u)), u > 0. Wie muss u gewählt werden, damit der Inhalt A des markierten achsenparallelen Rechtecks maximal wird. Was passiert, wenn u gegen unendlich strebt?

y

f

u

X

35. Extremalproblem Eine Firma stellt oben offene Regentonnen her. Diese sollen bei einem gegebenen Materialbedarf von 2 m 2 ein maximales Volumen besitzen. Welche Maße (Radius, Höhe) muss die Tonne erhalten? 36. Rekonstruktion Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion f. a) f ist ein Polynom 3. Grades. Der Graph von f geht durch die Punkte P(0l2) und Q(218). f besitzt bei x = 1 die Steigung m 1 = 2 und bei x = 2 die Steigung m2 = 11. b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion f dritten Grades ist punktsymmetrisch zum Ursprung und schneidet den Graphen von g (x) =½(4 x3 + x) im Ursprung senkrecht. Ein zweiter Schnittpunkt von f und g liegt bei x = 1. Wie lautet die Gleichung von g? 37. Integration a) Bestimmen Sie mit Hilfe eines Formansatzes eine Stammfunktion von f I: f(x) = (-2x + 1) · ex II: f(x) = x2 • ex III: f(x) = 2x · eO,Sx IV: f(x) =-x · ex b) Bestimmen Sie durch Anwendung der Integrationsregeln eine Stammfunktion von f I: f (x) = x 4e x II: f (x) = 6x x1 III: f (x) =2sin (2x) IV: f (x) =4e-o,sx _ lX c) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f über dem Intervall I. I: f(x) =2x 3 - 8x, I = [0; 2] II: f(x) = 2cos(0,5x), I =[ü; ~] d) Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche zwischen den Graphen von f und g. I: f(x) = x2 + 2, g(x) = x + 1, I = [-1; 2] II: f(x) = cos(½x), g(x) =x - rr, I = [0; rr] 4

2

-

2

3

-

-

38. Begrenztes Wachstum In einem botanischen Garten wird ein exotischer Kaktus (Sorte I) gepflanzt. Seine Höhe wird durch die Funktion h 1 (t) = 9,9 - 9,6 · e- 0 ,01 t ibeschrieben (t: Zeit in Jahren; h: Höhe in m) . a) Wie hoch war der Kaktus bei der Pflanzung? Wie groß war zu diesem Zeitpunkt seine Wachstumsgeschwindigkeit? Begründen Sie, dass die Wachstumsgeschwindigkeit zu keinem späteren Zeitpunkt wieder so groß sein kann. b) Welche Höhe kann er maximal erreichern? Nach welcher Zeit wird er zwei Meter hoch sein? c) Ein zweiter, gleichzeitig gepflanzter Kaktus (Sorte II) ist zu Beginn 2m hoch und nach einem Vierteljahr 2,22 m hoch. Von dieser Sorte ist bekannt, dass sie eine Grenzhöhe von 8m erreicht.Wie lautet die Höhenfunktion h 2 für diesen Kaktus? d) Wann wird der Kaktus der Sorte Iden Kaktus der Sorte II einholen? Wann beträgt die Wachstumsgeschwindigkeit für den Kaktus der Sorte I 0,2m/Jahr?

_ _ _ _ _1_.P _r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y~s_i_s _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1_0_3 J

39. Extremalproblem An eine bestehende Wand soll wie abgebildet ein rechteckiger Schuppen angebaut werden. Seine Grundfläche soll 32 m2 groß sein. Berechnen Sie, bei welchen Abmessungen x und y für die drei neu zu bauenden, 2,50 m hohen Wände am wenigsten Material benötigt wird.

"O

c::

;

X

Cl)

-0

5

..c::: Cl)

....

Cl)

Cl)

..0

40. Rekonstruktion a) Gesucht ist eine ganzrationale Funktion dritten Grades mit dem Tiefpunkt P (1 1-2), deren Wendepunkt im Koordinatenursprung liegt. b) Der Graph einer ganzrationalen Funktion dritten Grades hat im Ursprung und im Punkt P(214) jeweils ein Extremum. 41. Brücke A • -~~e:;:::;;~ _~_J;:J~_~:!f§l_E5f:". ---e555;>~ s!!~ -~ ~ -~~y$ ~ ~2~5~-- -~5~0~~ ~ ~ - - -~B• X Die Eisenbahnbrücke wird von einem Parabelbogen getragen, der auf Hängen mit 45° Neigung steht. a) Wie lautet die Gleichung der quadratischen Parabel? b) Wie hoch sind die Brückenpfeiler, welche die Fahrbahn tragen? c) Wie lang ist die Fahrbahn zwischen A und B? d) Unter welchem Winkel y trifft der Brückenbogen die Böschungslinien? 42. Eingeschlossene Fläche Die Graphen von f und g besitzen zwei Schnittpunkte. Berechnen Sie den Inhalt A der von den Graphen der Funktionen f und g eingeschlossenen Fläche. a) f(x) = 0,5x2 - 2 b) f(x) = -x2 + 4x c) f(x) = x3 + 4x2 d) f(x) = ex g(x) = -0,5x + 1 g(x) =-0,5x2 - 2x g(x) = 2x2 g(x) = 6,5 - 3e-x 43. Rotationsvolumen Berechnen Sie mit der Rotationsformel das Volumen der Eiswaffel. Stellen Sie zunächst die Gleichung der Randkurve f auf. 44. Population Der Bestand einer Population wird durch die Funktion N (t) = 10 - 8 · e-0,2 r erfasst. Dabei gibt t die Zeit in Stunden seit Beobachtungsbeginn an und N (t) die Anzahl der Individuen in Tausend. a) Zeichnen Sie den Graphen von N mit Hilfe einer Wertetabelle (0 :5 t :5 20, Schrittweite 5). b) Bestimmen Sie den Anfangsbestand und den Grenzbestand der Population. c) Welcher Bestand liegt zur Zeit t = 3 vor? d) Nach welcher Zeit hat sich der Anfangsbestand vervierfacht? e) Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in Tausend Individu en pro Stunde) zu Beginn des Wachstumsprozesses bzw. nach 10 Stunden?

\.....- 104

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

Problemlösungsstrategien in der Analysis 1. Kurvenuntersuchung Gegeben ist die Funktion f (x) = (l - 2x) • e 1 - 2 x. a) Untersuchen Sie f auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. b) Untersuchen Sie das Verhalten von f für x - ±oo. c) Fertigen Sie aufgrund der Ergebnisse aus a) und b) eine Zeichnung des Graphen von f an. d) Bestimmen Sie die Gleichung der Kurvennormalen an der Stelle x = 0. 2. Ortskurven EineFunktionenscharfa besitzt die Tiefpunkte T (2 a 1-4 a3) sowie die WendepunkteW (a 1-2 a3). Bestimmen Sie die Ortskurve der Tiefpunkte sowie die Ortskurve der Wendepunkte. 3. Extremalproblem Aus einem Spiegel in Form eines gleichschenkligen Dreiecks soll wie abgebildet ein Rechteck herausgeschnitten werden. Bestimmen Sie die Abmessungen für x und h so, dass das Rechteck maximalen Inhalt erhält. Hinweis: Die Nebenbedingung kann mit Hilfe eines Strahlensatzes gewonnen werden.

1 30cm h

-

x30cm

l

4. Rekonstruktion Eine ganzrationale Funktion 4. Grades ist symmetrisch zur y-Achse. Sie geht durch die Punkte P (ll0) und Q(219) und hat im Punkt Pein Extremum. Bestimmen Sie ihren Funktionsterm. 5. Wachstumsfunktion Das Wachstum eines frisch gesetzten Bäumchens wird durch die Gleichung H(t) = 20 - 19,5 · e- 0,02 t beschrieben (t in Jahren, Hin Meter). a) Wie groß war das Bäumchen am Pflanztag? Welche Höhe wird es nie überschreiten? b) Begründen Sie, dass die jährliche Wachstumsrate zu Beginn am größten war. Wie groß war sie zu Beginn, wann wird sie weniger als 10 cm pro Jahr betragen? c) Wann hat der Baum eine Höhe von 19 m erreicht? 6. Integration a) Berechnen Sie mittels FormansatzF(x) = (ax+ b) • e 1 -x eine Stammfunktion von f(x) = x · e 1 -x. b) Bestimmen Sie durch Regelanwendung eine Stammfunktion von g(x) = ½x3 + 2e-o,5 x + x- 2 . c) Die Graphen der Funktionen f(x) =0,5 x2 - 2 und g(x) = 1,5 x -2 schließen eine Fläche ein. Bestimmen Sie den Inhalt dieser Fläche. Lösungen: S. 280

_____ 2_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~t_is_c_h_e_ n _G_e_o_m_e_tr_i_e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_0_5

2. Problemlösungsstrategien in der Analyt. Geometrie Beim Problemlösen, aber auch im Abitur, ist es von Vorteil, grundlegende Lösungsstrategien mit einem aussagekräftigen Schlagwort zu versehen und jederzeit ohne große Überlegung abrufen zu können. Im Folgenden tabellieren wir wichtige Grundstrategien aus der Analytischen Geometrie und lösen in der Folge ausgewählte Problemstellungen zu diesen Strategien. Die Übungen sind knapp gehalten, da sie durch das Rechnen von komplexen Aufgaben aus den Kapiteln VI und VII in erheblichem Umfang ergänzt werden können.

Thema

Strategien/Schlagworte

Seite

Vektoren

1. Kollinearität und Komplanarität

106

Kollinearitätsüberprüfung Komplanaritätsüberprüfung

Skalarprodukt

2. Das Skalarprodukt und seine Anwendungen

107

Bestimmung eines orthogonalen Vektors Bestimmung eines Normalenvektors Winkel zwischen Vektoren Fläche von Parallelogramm und Dreieck

Vektorprodukt

3. Das Vektorprodukt

109

N ormalenvektor Parallelogramm- und Dreiecksfläche Pyramidenvolumen

Geometrische Figuren

4. Der Nachweis geometrischer Figuren

Geraden

5. Lagebeziehungen von Geraden

110

Rechtwinkligkeitsnachweis beim Dreieck Parallelogrammnachweis, Trapeznachweis

112

Die relative Lage von zwei Geraden Scharen: Geraden mit Parametern Bewegungsaufgaben

Ebenen

6. Lagebeziehung von Gerade/Ebene und Ebene/Ebene 115 Lagebeziehung Gerade/Ebene Lagebeziehung Ebene/Ebene

Spuren und Spiegelungen

7. Spurpunkte, Spurgeraden und Spiegelungen

Abstände

8. Abstandsberechnungen

117

Spurpunkte und Spurgeraden Schattenwurf, Spiegelung an einer Ebene

Abstand Punkt/Ebene, Abstand Punkt/Gerade

120

J

\....... 106

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

Kollinearität und Komplanarität

1.

-

Kollinearität und Komplanarität von Vektoren Zwei Vektoren ä und -b heißen kollinear, wenn -b = r · ä oder ä = r · b gilt (r E IR). Drei Vektoren ä , b und c heißen komplanar, wenn einer der drei Vektoren sich als Linearkombination der anderen beiden Vektoren darstellen lässt (z.B. c = rä + sb ). Kollineare Vektoren sind parallel gerichtet Komplanare Vektoren liegen in ein- und derselben Ebene.

-

►

Beispiel: Kollinearitätsprüfung Überprüfen Sie, ob die Vektoren ä und b kollinear sind. a)

•= (~:),

Lösung zu a:

b = (- i)

-

-b = r · a

- -

Lösung zu b: (Ansatz)

b =r · a

Hl (~:l

(Ansatz)

(-il r •Ul

=r

=

I: 6 = 2r ⇒ r= 3 II: -2 = r ⇒ r=-2 III: 2 = -r ⇒ r = -2 -b ~ r · a -a ~ r · b analog ä und b sind nicht kollinear.

I: 3 = - 2 r ⇒ r = -1 ,5 II: -6=4r ⇒ r=-1 ,5 lli: 9 = - 6 r ⇒ r = -1 ,5 b = -1 ,5 · a ä und -b sind kollinear.

-

-

b =H )

b)ä= U),

--

►

~ Beispiel: Komplanaritätsprüf~g ( ~ Zeigen Sie, dass die Vektoren a, b und c komplanar sind. ä =

1)

-i ,

-

-

Lösung: c = r · -a + s · b (Ansatz) I + III: 4 = 4 s in I: 4=r+2 in II: 5=5

I: 4= r+2 s II: 5=2r+ s III: 0 = -r + 2s

-

⇒ s =l

⇒ r=2

-

⇒ c=2-a+l·b ⇒

►

Übung 1 Kollineare Vektoren Überprüfen Sie auf Kollinearität.

Übung 2 Komplanare Vektoren Prüfen Sie, ob ä , b und c komplanar sind.

(i), b = (~i) b) ä = (j), b = (=!l

a)

ä=

c)

ä = n), (_

1~)

a) ä = (U,

2

d) ä = (~),

a ,b und c sind komplanar. -

b = ( :)

b) • =

b = (-!), c = m

HJ, b = m, c = n i

_____ 2_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~t_is_c_h_e_ n _G_e_o_m_e_tr_i_e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_07_

2.

Das Skalarprodukt und seine Anwendungen

-

Das Skalarprodukt von Vektoren

a·

Das Skalarprodukt b zweier Vektoren Kosinusform dargestellt werden. Koordinatenform:

-

a und b kann in der Koordinatenform oder in der Kosinusform: ~

~

~

a • b = 1a

-

~

1 • 1b 1 • cos y

-

Orthogonalität von Vektoren Die Vektoren a und b sind genau dann orthogonal (senkrecht), wenn a · b = 0 gilt.

►

-

Beispiel: Bestimmung orthogonaler Vektoren Gesucht ist ein Vektor b , der zum Vektor ä orthogonal ist.

Lösung: Diese Aufgabenstellung ist sehr einfach. Besitzt der Vektor ä die Koordinaten a 1, a2 und 31, so gibt man dem Vektor b die . Koordinaten a 2 , -a 1 und 0. Dann ist das ► Skalarprodukt 0.

-

►

b1 = a 2 = 3, b 2 = -a 1 = -2, b 3 = 0

a. b ~ m- (- !) ~ 2-3+3-(-2)+5 o~o

Beispiel: Bestimmung eines Normalenvektors

- -

Gesucht ist ein Vektor n, der zu den beiden Vektoren a und b orthogonal ist.

Lösung: Wir verwenden den Skalarproduktansatz --> --> --> --> n · a = 0, n • b = 0. Dieser Ansatz führt auf ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Variablen. Wir eliminieren durch die Operation I - 2 · II die Variable x. Es verbleibt eine Gleichung mit den zwei Variablen y und z. Wir wählen y = 1 frei. Daraus ergibt sich z = - 7. Durch Rückeinsetzung in Gleichung II oder I erhalten wir x = 10, womit der gesuchte ► Normalenvektor gefunden ist.

Übung 3 Normalenvektor

-

Gesucht ist ein Vektor n, der sowohl zu als auch zu b orthogonal ist.

a

-->

~

n •a

=0,

I:

-4-

-->

n ·b

=0

(Ansatz)

2x+ y+3z =0

II: x + 4 y + 2 z =0 I - 2 · II: - 7 y - z =0 y = 1 (frei gewählt) ⇒ z=-7

in

II: ⇒

x = 10

J

\_..-1_0_8_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_e r_s_tu_t_e _ _ _ __

Mit dem Skalarprodukt kann man außer der Bestimmung eines Normalenvektors zwei weitere wichtige Operationen durchführen: Die Bestimmung des Winkels zwischen zwei Vektoren und die Berechnung der Fläche eines Parallelogramms oder eines Dreiecks. Winkel und Fläche

-

Der Winkel y zwischen den Vektoren ä und b kann mit der Kosinusformel berechnet werden.

cos

-

y

=

ä. ~ lal• lb l

Die Fläche des von den Vektoren ä und b aufgespannten Parallelogramms kann mit der rechts aufgeführten Formel berechnet werden. ►

0a

Beispiel: Winkel zwischen Vektoren/Fläche eines Dreiecks Gegeben sind die Vektoren ä und b. a) Berechnen Sie die Größe des Winkels y zwischen den Vektoren a und b. b) Welche Fläche A hat das von den Vektoren aufgespannte Parallelogramm?

- -

Lösung zu a: COSF

ä "€_ ~ mm ~ 11~ 07333 lal · lbl ../§.fil 15 '

Lösung zu b: A = ✓-r 2

•

ca . b)2

b2 -

y = arccos0,7333:::: 42,84°

= ✓9 · 25- 11 2 = ✓ 104:::: 10,20

►

Bemerkung zur Dreiecksfläche: Der Flächeninhalt des von den Vektoren aufgespannten Dreiecks ist gerade die Hälfte der Parallelogrammfläche, weshalb die rechts aufgeführte Formel gilt.

Dreiecksfläche _ 1 ✓-2 ADreieck - 2 a

• -b 2 - (-a • -b )2

Übung 4 Winkel und Oberfläche bei einer Pyramide Die abgebildete Pyramide hat die Ecken A(717 10), B (1 11310), C (-51710), D (11 110) und die Spitze S (11 717). Berechnen Sie den Wmkel y zwischen den Seitenkanten AB und AS sowie den Oberflächeninhalt O der Pyramide.

s

A

Ll... a

_____ 2_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~t_is_c_h_e_ n _G_e_o_m_e_tr_i_e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_0_9

3. Das Vektorprodukt Das Vektorprodukt ermöglicht die effiziente Bestimmung eines Normalenvektors sowie die Berechnung der Dreiecksfläche und des Pyramidenvolumens.

--

Das Vektorprodukt Das Vektorprodukt a x b stellt einen Vektor dar, der senkrecht auf den Vektoren ä und b steht. Die Definition lautet:

-

-a xb

--

laxbl

a

Die Fläche des Parallelpamms, das von den Vektoren ä und b aufgespannt wird, hat den InhaltA = 1a x b 1-

--- -

Das Volumen der Dreieckspyramide, die von den Vektoren a , b und c aufgespannt wird, beträgt V= ¾l(a X b). c1.

►

-

Beispiel: Dreiecksfläche und Pyramidenvolumen Gegeben ist die von den Vektoren ä, b und c aufgespannte Pyramide. Gesucht ist der Inhalt A der Grundfläche sowie das Volumen V der Pyramide. Lösung: Wir berechnen zunächst das Vektorprodukt ä x

b:

9 •• 01 -_ a x b = (6l9 x (-6l 6 = ((-6) 0

1

6

6 .·ol1 = (-69 l · 6 - (-6) · 9 90

- -

Anschließend berechnen wir den Inhalt des Grundflächendreiecks, welches die Hälfte des von a und b aufgespannten Parallelogramms darstellt. 9 - x -b l = -1 · ( -6 ) = -1 ·-v8217~45,32 _ro:=,,;=; A= -1 •la 2 2 90 2 Nun wenden wir die Volumenformel an, um das Pyrarnidenvolumen zu bestimmen: :~ V = 1 • 1( -a 6

X

-b•)

l·(ol g ~ = 61 • 690 = 115 9

• -c 1= 6l • ( 9

Übung S Oberfläche und Volumen einer Pyramide Berechnen Sie Oberfläche und Volumen der Dreieckspyramide mit den Grundflächenecken A, Bund C sowie der Spitze S.

A(5l1l1), C(1l5I0),

B (51912), S (31516)

J

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

\.....- 110

4.

Nachweis von geometrischen Figuren

Gelegentlich wird mit Hilfe der Vektorrechnung der Nachweis geführt, dass eine Figur ein rechtwinkliges Dreieck oder ein Parallelogramm oder ein Trapez darstellt. Nachweis zum rechtwinkligen Dreieck Das Dreieck ABC ist rechtwinklig bei C genau dann, wenn gilt: CA · CB = 0

---

Parallelogramm.nachweis Das ViereckABCD ist ein Parallelogramm genau dann, wenn gilt: AB = DC Trapeznacbweis Das Viereck ABCD ist ein Trapez, wenn gilt: AB =r · DC oder AD =r · BC ~

►

~

~

~

Beispiel: Trapeznachweis Prüfen Sie, ob das Viereck ABCD ein Trapez ist. a) A(213l 1), B (01913), C(-1 1717), D(0l416)

Lösung zu a:

-- -

Wir vergleichen den Seitenvektor AB und den gegenüberliegenden Seitenvektor DC. Wir verwenden den Ansatz AB =r · DC . -21 (-11 1: -2 = -r II: 6 = 3 r r = 2 ( 26 = r • 31 lll: 2= r

-

In allen drei Gleichungen gilt r = 2. Es gilt also AB = 2 ~ DC . ► ABCD ist ein Trapez.

b)A(314I0),B (11812),C (-11915),D(l 1214)

Lösung zu b:

-- --

Wir vergleichen AB und DC . Wir verwenden den Ansatz AB = r · DC .

(-il r · (-;1 ~: -; :-~~ = Es folgt r 1, r *und r 2. Das ist ein Widerspruch.Analog führt den Ansatz =

2

1

III: 2

=

=

- -

r

=

AD = r · BC ebenfalls zum Widerspruch. ABCD ist kein Trapez.

Der Parallelogrammnachweis und der Nachweis der Rechtwinkligkeit eines Dreiecks sind noch einfacher, da dort kein Gleichungssystem auftritt. Sie sind in der Übung durchzuführen, ebenso wie die Bestimmung eines Normalenvektors mit dem Vektorprodukt.

Übung 6 Figurennacbweise Überprüfen Sie die Aussage: a) Das Dreieck ABC ist rechtwinklig. A(4 l 1 l l), B (21711), C (-11617). b) Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm. A( l l111),B (5 l913),C(4l l l l7),D(0l31 5) c) Das Viereck ABCD ist ein Trapez. A(l 1211),B (71613),C (01818),D (-11414)

Übung 7 Normalenvektor Berechnen Sie mit Hilfe des Vektorproduktes einen Normalenvektor der Ebene E. a) E: X;

b) E: X ;

(!l Hl +r

+ s (])

m+ u) + U) r•

s•

_ _ _ _ _2_._P_r_o_bl_e_ml _o_··s_u_n__g_ss_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y_t_is_ch_e_n_G _ eo _m _ e_ tr_ie_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_l_l

8. Kollineare und komplanare Vektoren I. Überprüfen Sie auf Kollinearität. a) ..

=(i), b =(:U

b) ..

=m, b =(=~)

II. Überprüfen Sie auf Komplanarität. d) ..

=mb =(-ll· " =m

9. Normalenvektor Berechnen Sie einen Vektor n, der sowohl zu ä als auch zu a) ..

=(_i), b =Hl

b) ..

=(~), b =(!)

10. Winkel zwischen Vektoren Berechnen Sie den Winkel zwischen den Vektoren a)

a' =(-n b =Ul

b)

b orthogonal ist. c) ..

=(!), b =m

-

a und b .

a'= m, b =nl

c)

a' =(l), b =(!)

d) Berechnen Sie die Innenwinkel des Dreiecks ABC mitA(0I0 I0), B (2l4l 1), C(-21214).

11. Parallelogrammfläche und Dreiecksfläche (2) _ (2) a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des von den Vektoren = 1 und b = 4 aufgespannten Parallelogramms. 2 4 b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks A (21210), B (61512), C (-11314).

a

12. Pyramide Gegeben ist die von den Vektoren ä

2

1

( ) =(~ ), _1b = (-li ~ , c = ; aufgespannte Pyramide.

a) Berechnen Sie den Inhalt der Pyramidengrundfläche, die von b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide.

-

ä und b aufgespannt wird.

13. Nachweis geometrischer Figuren a) Prüfen Sie, ob das DreieckA(ll 111), B (31412), C(l 1611) rechtwinklig ist. b) Überprüfen Sie, ob das Viereck A(2l0l1), B (6l4l5), C(5 l5l8), D(11114) ein Parallelogramm ist. c) Überprüfen Sie, ob das Viereck A(3 l-2l l), B (5 1215), C (21213), D(1 1011) ein Trapez ist 14. Normalenvektor mit dem Vektorprodukt bestimmen Bestimmen Sie mit Hilfe des Vektorproduk1tes einen Normalenvektor der Ebene E. a) E:

X= (!)+ r (-U +•Ul

b) E:

X= {ll +•Ul

15. Quadratische Pyramide Zeigen Sie, dass die Pyramide mit den EckenA(51210), B (11610), C (-31210), D (11-210) und der Spitze S (11215) quadratisch ist. B estimmen Sie ihren Oberflächeninhalt und ihr Volumen.

..J

\....... 11 2

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

5. Lagebeziehungen von Geraden Die relative Lage von zwei Geraden Zwei Geraden gl: X= a\ + r • ml und g2: X = schneidend oder windschief sein.

a\ + S • m2 können identisch, echt parallel,

m

m

Man untersucht g I und g2 auf Parallelität (kollineare Richtungsvektoren 1 und 2). Bei Parallelität wird geprüft, ob der Stützpunkt A I der ersten Geraden g I auch auf der zweiten Geraden g 2 liegt. Trifft dies zu, sind die Geraden identisch, andernfalls sind sie echt parallel. Bei Nichtparallelität überprüft man durch Gleichsetzen, ob die Geraden sich schneiden. Sollte dies nicht der Fall sein, so sind die Geraden windschief. Bei schneidenden Geraden können Schnittpunkt und Schnittwinkel berechnet werden. Bei echt parallelen bzw. windschiefen Geraden kann man deren Abstand berechnen. ►

Beispiel: Die relative Lage von zwei Geraden Untersuchen Sie die relative Lage der Geraden g 1 und g2. Bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel y. Lösung: Man kann durch einfaches Hinsehen feststellen, dass die Richtungsvektoren in\ und m2 nicht kollinear sind. Also sind die Geraden weder parallel noch identisch. Nun setzen wir die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich und erhalten ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und den zwei Variablen r und s. Das Gleichungssystem lösen wir. Es ist lösbar mit den Lösungen r =2 und s =2.

Schnittuntersuchung: I: 0+2r=4+0s ⇒ I: 2r = 4 II: 0 + 3 r =0 + 3 s ⇒ II: 3 r - 3 s = 0 III: 6 - 1 r = 2 + 1 s ⇒ III: -r - s =-4 ⇒

Aus I: In II: In III:

⇒ ⇒

r=2 6 - 3 s =0 -4 = -4

Den Schnittwinkel errechnen wir mit der Kosinusformel. Er beträgt y :::: 47,46°.

s =2

Schnittpunkt: , ; m + 2. u i ; m

Diese Parameterwerte führen auf den Schnittpunkt S (41614).

⇒

⇒ S(41614)

Schnittwinkel: cos ; ~. ~ 1

JUl IUll l(l l

m1 ;

Y lm, I lm21 ⇒

►

" ;06761 fü. füi '

y:::: 47,46°

Übung 16 Relative Lage von Geraden Untersuchen Sie die relative Lage der Geraden g 1 und g 2. Bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel y. a )

g

1:

X;

U) +

f •

u),

g 2 :

X;

(J) + m S

•

b

)

g

I

X;

(g) +

f •

U),

g 2

X;

(g) +

S

•

U)

_____ 2_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~t_is_c_h_e_ n _G_e_o_m_e_tr_i_e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_l _3

In einer Geradengleichung kann ein zusätzlicher Parameter a auftreten. Es liegt dann eine Geradenschar vor. Je nach Wert des Parameters a hat die Gerade dann unterschiedliche Eigenschaften. Man kann die Eigenschaften vorgeben und den passenden Parameter bestimmen. ►

Beispiel: Eine Geradenschar: Gerade mit Parameter Gegeben ist die Geradenschar ga mit der rechts aufgeführten Gleichung (a e JR). a) Begründen Sie, dass alle Geraden der Schar parallel sind. b) Welche Schargerade schneidet die z-Achse? Wie lautet der Schnittpunkt S? c) Gibt es eine Schargerade, die durch den Ursprung geht? Lösung zu a: Alle Geraden der Schar haben unabhängig vom Parameterwert a den gleichen Richtungsvektor. Daher sind sie parallel. Lösung zu b: Auf der z-Achse gilt x = 0 und y = 0. Diese beiden Gleichungen führen auf ein lineares Gleichungssystem mit den Gleichungen 2 + a = 0 und 4 - a + r = 0. Die Lösungen lauten a = -2 und r = -6. Durch Einsetzen dieser Werte erhalten wir als Schnittpunkt mit der z-Achse S (0101 11).

Aus I: ⇒ a =-2 In II: ⇒ 6 + r =0 ⇒ r =- 6 ⇒ Schnittpunkt mit der z-Achse: S (010 l 11)

Lösung zu c: Wir verwenden den Ansatz x = 0, y = 0 und z = 0. Hieraus ergibt sich ähnlich wie bei b) ein Gleichungssystem, nur dass es diesmal drei Gleichungen hat.

Zu c: Liegt der Ursprung auf ga? x =0 ⇒ I: 2 + a =0 y =0 ⇒ II: 4 - a + r =0 z =0 ⇒ III: 5 - r =0

Zu b: Schnittpunkt mit der z-Achse: x =0 ⇒ I: 2 + a =0 y = 0 ⇒ II: 4 - a + r = 0

Das Lösen des Systems führt auf einen Widerspruch. Es ist unlösbar. Keine Gerade der Schar kann durch den Ursprung gehen.

Aus I: ⇒ a=-2 InII: ⇒ 6+r=O ⇒ r=-6 Aus III: ⇒ 5 - r = 0 ⇒ r = 5 ⇒ Widerspruch ⇒ ga geht nicht durch den Ursprung.

Übung 17 Parameteraufgabe

Übung 18 Parameteraufgabe

Gegeben ist die Schar g,:

X~(~;: U))+r·

a) Für welche Werte von a schneidet ga die Gerade h durch die Punkte A(ll3 111) und B (314110)? b) Für welches a schneidet ga die x-Achse? c) Für welches a liegt P (41512) auf g/ d) Ermitteln Sie den Schnittpunkt Pa der Gerade ga mit der x-y-Ebene. Ermitteln Sie, für welches a der Punkt Pa auf der Winkelhalbierenden der x-yEbene liegt.

Gegeben ist die Schar g,: X ~(U+rf

n

a) Für welches a liegt P (-11516) auf ga? b) Für welches a ist ga parallel zur z-Achse? c) Für welches a schneidet ga die x-Achse? Berechnen Sie den Schnittpunkt S. d) Untersuchen Sie, ob eine Gerade ga parallel zur Ursprungsgeraden durch den Punkt P (31-3 l-1) verlaufen kann.

J

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

\.....- 114

►

Beispiel: Bewegungsaufgabe (Flugbahnen} Ein Hubschrauber befindet sich zur Zeit t= 0 an der PositionA (4I0l2). Zum gleichen Zeitpunkt wird ein Flugzeug an der Position C (28 l 1814) geortet. Eine Minute später ist der Hubschrauber bei B (81414) und das Flugzeug an der Position D (2211516) (Positionsangaben in km). a) Berechnen Sie, mit welchen Geschwindigkeiten sich die Luftfahrzeuge bewegen. b) Untersuchen Sie, ob Kollisionsgefahr besteht. Lösung zu a: Von t = 0 bis t = 1 bewegt sich der Hubschrauber um den Vektor mb = AB mit dem Betrag lmhl = 6. Seine Geschwindigkeit ist also vh = 6 km/min = 360 km/h.

-

--

-

Von t = 0 bis t = 1 bewegt sich das Flugzeug um den Vektor 1llr = ~ CD mit dem Betrag [ffirl = 7. Seine Geschwindigkeit ist also Yr = 7 km/min= 420km/h. Lösung zu b: Nun stellen wir die Gleichungen der Flugbahnen h und f auf. Die Bahnen sind nicht parallel, da die Richtungsvektoren nicht kollinear sind. Daher führen wir nun eine Schnittuntersuchung durch, indem wir die rechten Seiten der beiden Geradengleichungen h und f gleichsetzen. Es ergibt sich ein lineares Gleichungssystem mit drei Gleichungen und zwei Variablen. Die Flugbahnen schneiden sich im Punkt S (1611218). Dennoch kommt es zu keiner Kollision, denn die Parameterwerte r = 3 und s = 2 geben die Flugzeit in Minuten bis zum Bahnschnittpunkt an. Das Flugzeug ist also schon längst vorbei, wenn der Hubschrau► ber am Bahnschnittpunkt S eintrifft.

Bewegungen in der ersten Minute: Hubschrauber: Flugzeug:

i

(-61

-CD = - ~

mh = -AB = (4)

mf =

lmhl = 'ß6 = 6

lmrl ='\149 = 7

Geschwindigkeiten der Fluggeräte: Vh =6km/min =360km/h Yr= 7km/min = 420km/h

Flugbahnen: h: X=

(g) + r -m,

f:

X=

(f!) (=n +s

Schnittuntersuchung: I: 4 + 4r = 28 - 6s ⇒ I ': 4r + 6s = 24 II: 0+4r= 18-3s ⇒ II': 4r+3s=l8 III: 2+2r= 4+2s ⇒ III':2r-2 s= 2

I ' -II' Inl': In ill': ⇒

⇒

3s = 6

⇒

4r+l2=24 ⇒ r=3

⇒

2=2

⇒

s =2

Schnittpunkt S (1611218)

Flugzeiten bis zum Schnittpunkt S: Die Richtungsvektoren mb und illr werden jeweils in einer Minute zurückgelegt. Wegen r = 3 und s = 2 dauert der Flug bis dort also drei Minuten bzw. zwei Minuten.

Übung 19 Bewegungsaufgabe Ein Flugzeug bewegt sich von A (111 [1) in einer Minute nach B (51912). Ein zweites Flugobjekt bewegt sich im gleichen Zeitraum von C(-1914114) nach D (-913614) (Längenangaben in km). a) Berechnen Sie die Geschwindigkeit der Flugobjekte. b) Wo treffen sich die beiden geradlinigen Flugbahnen f und h? Wie groß ist der Schnittwinkel? c) Untersuchen Sie, ob Kollisionsgefahr besteht.

_____ 2_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~t_is_c_h_e_ n _G_e_o_m_e_tr_i_e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_l _5 J

6. Lagebeziehungen von Gerade/Ebene und Ebene/Ebene Die relative Lage von Gerade und Ebene Eine Gerade g: x = p + r · m kann zu einer Ebene E: a x + b y + c z

= d drei relative Lagen

einnehmen: g kann echt parallel sein zu E, ganz in E liegen oder Ein einem Punkt S schneiden. Um festzustellen, welcher Fall vorliegt, setzt man die Koordinaten von g in die Koordinatengleichung der Ebene E ein. Es ergibt sich eine Gleichung für den Parameter r. Ist diese Gleichung unlösbar, so sind g und E echt parallel. Ist sie allgemeingültig (unendl. viele Lösungen), so liegt g ganz in E. Gibt es genau eine Lösung, so schneiden sich g und Ein einem Punkt S. Beim Vorliegen eines Schnittpunktes von g und E kann man den Schnittwinkel berechnen. Bei echter Parallelität von g und E kann man den Abstand von g und E berechnen. ►

Beispiel: Die relative Lage von Gerade und Ebene

Untersuchen Sie die relative Lage der Geraden g und der Ebene E. Bestimmen Sie ggf. Schnittpunkt und Schnittwinkel.

►

Lösung: Wir setzen die drei Koordinaten von g, x = O, y = 4 + 2 r und z = 2 + r in die Koordinatengleichung E: x + 3 y + 3 z =9 von E ein. Es ergibt sich eine Gleichung, die wir nach der Variablen r auflösen. Da es nur eine Lösung r =-1 gibt, schneidet die Gerade g die Ebene E in einem Punkt S. Durch Einsetzen von r =- 1 in die Geradengleichung erhalten wir den Schnittpunkt S (01211). Der Schnittwinkel y von Gerade und Ebene wird mit der Sinusformel (s. rechts) bestimmt, bei welcher der Richtungsvektor m von g und der Normalenvektor n von E verwendet werden. Resultat für den Schnittwinkel: y z 67,43°

g: x

(0l

=4

(0l

+ r · 2, E: x + 3 y + 3 z = 9

2

1

Lageuntersuchung/Schnittpunkt: Koordinaten von g: x =0, y =4 + 2r, z =2 + r Einsetzen in die Gleichung von E : 1 (0) + 3 (4 + 2 r) + 3 (2 + r) = 9 9r+ 18=9 r= -1 Schnittpunkt: ⇒

r = m + (- l ) m = m

S (0 l21 l )

Schnittwinkel: . 1m-n1 srn y =1ml •lnl

1m-m1

lml·lml = o,9234 ⇒ y = 67,43

Bemerkung: Ist die Ebene E im Gegensatz zum Beispiel in der Parameterform gegeben, so stellt man darau s zunächst die Koordinatenform der Ebene auf und kann dann wieder genauso wie im Beispiel vorgehen, um die relative Lage von g und E zu untersuchen. Übung 20 Relative Lage von Gerade und Ebene Bestimmen Sie die relative Lage der Geraden g mit den Ebenen E 1 bis E 4 . g: x a) E 1 : 2 x + y + 2 z = 8 b) E 2 : 2 x + 2 y - 6 z =2

c) E 3: x + y - 3 z = 2

d) E4: X=

U)

+r

{ l)

(3)

( 1) +r · 2 2 1

=4

+s

+~l

0

\_..-1_1_6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_e r_s_tu_t_e _ _ _ __

Die relative Lage von zwei Ebenen Zwei Ebenen E 1 und E 2 können drei unterschiedliche Lagen einnehmen: Sie können echt parallel sein, identisch sein oder sich in einer Schnittgeraden g schneiden. Für die Lageuntersuchung ist es von Vorteil, wenn eine Ebene in der Koordinatenform E 1: ax + by + cz= d und die andereEbene inParameterformE2 : x = ä + r · m1 + s • m2 vorliegt. Um festzustellen, welcher Fall vorliegt, setzt man die Koordinaten von E 2 in die Koordinatengleichung der Ebene E I ein. Es ergibt sich eine Gleichung mit den Parametern r und s. Ist diese Gleichung unlösbar, so sind E 1 und E 2 echt parallel. Ist sie allgemeingültig (unendl. viele Lösungen), so sind E 1 und E 2 identisch. Ergibt sich eine lineare Beziehung zwischen den Parametern r und s, so schneiden sich die Ebenen in einer Schnittgeraden. Beim Vorliegen einer Schnittgeraden von E 1 und E 2 kann man den Schnittwinkel berechnen. Bei echter Parallelität von E 1 und E2 kann man den Abstand von E 1 und E 2 berechnen. ►

Beispiel: Die relative Lage von zwei Ebenen

E 1:4x+3y+6z=36

Untersuchen Sie die relative Lage der Ebenen E 1 und E 2 . Bestimmen Sie ggf. Schnittgerade und Schnittwinkel.

E2: X=

Lösung: Wir setzen die Koordinaten von E2 , also x = 3 r + 3 s, y = 2 r und z = 3 - r - s in die Gleichung E 1: 4x + 3y + 6z = 36 ein. Es ergibt sich die Gleichung s = 3 - 2 r für die Variablen r und s, die wir nach der Variablen r auflösen können. Daher schneiden sich die beiden Ebenen in einer Geraden g. Wir setzen nun den Term s = 3 - 2r in die Gleichung von E 2 ein und vereinfachen die sich so ergebende Gleichung. Es entsteht die Gleichung der Schnittgeraden g.

m Ul U) +f

•

+S•

Lageuntersuchung/Schnittgerade: Koordinaten von E 2 : x = 3 r + 3 s, y = 2 r, z = 3 - r - s Einsetzen in die Gleichung von E 1: 4 (3 r + 3 s) + 3 (2 r) + 6 (3 - r - s) = 36 12r + 6 s + 18 = 36 s = 3 - 2r Schnittgerade:

g: X~

m U) +r•

+ (3 -2r) •

(J)

Für die Berechnung des Schnittwinkels y von Gerade und Ebene wenden wir eine Kosinusformel (s. rechts) an, wobei wir zuvor noch den Normalenvektor von E 2 be► stimmen müssen. Resultat: y z 27 ,03°

Übung 21 Relative Lage von Ebenen

Untersuchen Sie die relative Lage von E 1 und E 2 . Bestimmen Sie ggf. Schnittgerade und-winkel. a) E 1:2x+y+2z=8 b)E 1: 4x+y+2z=6 E2: X=

(g) +

f •

(-i) +

S•

nl

E,: X=

(i) + (-g) + f.

S.

nl

_____2_._P_r_o_bl_e_ml _o_··s_u_n__g_ss_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y_t_is_ch_e_n_G _ eo _m _ e_ tr_ie_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_l_7 J

7. Spurpunkte, Spurgeraden und Spiegelungen Spurpunkte und Spurgeraden Die Spurpunkte einer Geraden g sind die Schnittpunkte von g mit den drei Koordinatenebenen, d. h. die Punkte Sx/x ly lO), Sxz (xlOlz) und Syz (Olylz). Die Spurgeraden einer Ebene sind ihre Schnittgeraden gxy• gxz und gyz mit den drei Koordinatenebenen. ►

X

Spurpunkte

Spurgeraden

Beispiel: Spurpunkte einer Geraden Bestimmen Sie die Spurpunkte von g.

Lösung: Den Spurpunkt Sxy in der x-y-Ebene erhalten wir mit dem Ansatz z = 0. Das führt auf den Wert r = 2 und den Spurpunkt Sx/61410). AnalogergibtsichmitdemAnsatzy = Oder . Spurpunkt Sxz (21014) und mit dem Ansatz ► x = 0 der Spurpunkt s yz (01-21 6). ►

y

Spurpunkt Sxy mit der x-y-Ebene:

Ansatz:

z =0 2-r=O r= 2 ⇒ Sx/6 1410)

Beispiel: Spurgeraden einer Ebene Bestimmen Sie die Spurgeraden von E. Lösung: Die Spurgerade von g in der x-y-Ebene erhalten wir mit dem Ansatz z = 0. Dieser Ansatz führt auf die Beziehung s = -2 - 2r zwischen den Parametern r und s. Setzen wir diese Beziehung in die Ebenengleichung ein, so lässt diese sich vereinfachen und ergibt die Gleichung der Spurge-

;d~(~j':

:iHlret:

. Analog erhält man mit den Ansätzen y = 0 ► und x = 0 die Spurgeraden gxz und gyz·

Übung 22 Spurpunkte Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g durch die Punkte A und B. a) A (8 161-l), B (41211) b) A (Sl-11-1), B (3 ll l3) c) A (6 1816), B (81813)

Spurgerade gxy in der x-y-Ebene:

Ansatz:

z=0 2+2r+s=O s = -2 - 2r

X=m +

r

⇒ g,,: X =

•

(-g) +

(-2-2r) •

m nl

Hl

+r

Spurgeraden gxz und gy1:

g.,,x=rnJ+ , fg) g,,,x= rnJ+ ,

(-rl

Übung 23 Spurgeraden Berechnen Sie die Spurgeraden der Ebene E durch die Punkte A, Bund C. a) A(-111 13), B (-1013 16), C (-21310) b) A(5121-2), B (5141-4), C (Ol61-4) c) A(llOl5), B (2 13 IO), C (ll312)

\_..-1_1_8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_e r_s_tu_t_e _ _ _ __

Eine Anwendung der Spurpunktbestimmung ist der Schattenwurf. ►

Beispiel: Schattenwurf in die x-y-Ebene Eine 4 m hohe senkrechte Ehrensäule wird von parallelem Licht in Richtung des Vektors m beleuchtet. In der x-y-Ebene entsteht ein Schattenbild S' der Spitze S (21414) der Säule. Berechnen Sie den Punkt S' und die Länge des Schattens BS ' der Säule. Lösung: Wir stellen zunächst die Gleichung des Lichtstrahls g auf als Gerade durch die Spitze S (21414) der Säule mit dem Lichtvektor in als Richtungsvektor (s. rechts). Dann berechnen wir den Spurpunkt S' der Geraden g in der x-y-Ebene. Dazu setzen wir die z-Koordinate von g, also z = 4 - 2 r, gleich null. Es folgt r =2 und S ' (41210). S' ist der Schattenpunkt der Spitze S.

S(21414) -

-

Übung 24 Schattenwurf auf die x-y-Ebene Ein senkrecht stehendes, trapezförmiges Denkmal ABCD wird von parallelem Licht in Richtung des Vektors m getroffen. So wird ein Schatten des Denkmals auf dem Boden erzeugt. Berechnen Sie die Eckpunkte A' und B ' des Schattenbildes und die Länge des Umrisses CA'B 'D des Schattens. Übung 25 Schattenwurf auf zwei Ebenen Eine Toreinfahrt wird von parallelem Licht in Richtung des Vektors in getroffen. Das durchfallende Licht fällt auf eine Wand in der x-z-Ebene sowie auf den Boden. a) Berechnen Sie die Eckpunkte A', B ', A", B " des Schattenbildes. b) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Schattenbildes CA"B "D auf dem Boden.

2

y

S'

X~---~

-- -

Gleichung der Lichstrahlgeraden g: g: x = s + r • m

g: X z

m

+r

(=ll

Spurpunkt von g in der x-y-Ebene:

z=O

4- 2r =0 r= 2 ,

Nun kommen wir zur Länge des Schattens, . d. h. der Strecke -BS ' oder des Vektors BS ', \ wobei B (21410) der Fußpunkt der Säule ist. ► Diese Länge beträgt Ii3§11 = -VS:;:: 2,83.

$m= (- 1) 1

z

z

m

+ 2.

(=ll

z

m⇒

S'(41210)

Länge des Schattens BS':

1sst1z

m-m

Z (-~)zrsz2,83

z A(31814) 1---y B(21714) C(11610) D(41910)

y A(21415) B(61815)

_____ 2_. P _ r_o_b_le_ml _ o·_s_u_ng__s_s_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al _y~t_is_c_h_e_ n _G_e_o_m_e_tr_i_e _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_l _9

Eine häufige Aufgabenstellung ist die Spiegelung einer Figur an einer Ebene. Diese Aufgabe wird auf die Spiegelung eines einzelnen Punktes zuriickgeführt.

.►

Beispiel: Spiegelung an einer Ebene

Berechnen Sie den Punkt P ', der entsteht, wenn der Punkt P an der Ebene E gespiegelt wird. Lösung: Das Strategiebild zeigt, wie wir vorgehen müssen. Die Verbindungsgerade g von P und P ' steht nämlich senkrecht auf E. Wir müssen also diese Gerade bestimmen und anschließend ihren Schnittpunkt S mit E. Dann müssen wir von S aus den Vektor PS abtragen. Er führt dann zum Punkt P '.

Strategiebild:

-

Wir stellen daher die Gleichung der Geraden g durch P auf, deren Richtungsvektor der Normalenvektor der Ebene E ist, den wir aus der gegebenen Koordinatengleichung der Ebene direkt ablesen können. Die Gleichung von g lautet also:

E: -4x + 4y - z = 0

P (61- I 15),

X

z

V

Gleichung der Geraden g: g

X=(-!)+ r •(J

n

g: X

Schnittpunkt S von g und E: -4·(6-4r)+4·(-1+4r)-l · (5- r)=0

33r = 33

(-!) r • (J

=

r= 1 ⇒ S (21314)

+

Jetzt berechnen wir den Schnittpunkt S von g und E, indem wir die Koordinaten von g in E einsetzen. Wir erhalten S (21314).

Bestimmung des Spiegelpunktes P': -

Der Spiegelpunkt P' ergibt sich dann aus dem Schnittpunkt S durch Addition des •► Vektors PS .DasEndresultatlautet:P'(-21713)

-

OP'

⇒

= -OS

+ ----> PS

= (2) ! + (3 i2 ~- 61))=(-21~

5

P '(-21713)

Bemerkung: Sollte bei dieser Aufgabenstellung die Parameterform der Ebenengleichung gegeben sein, so wandeln wir diese im ersten Schritt in die Koordinatenform um. Alles andere bleibt gleich.

Übung 26 Spiegelung an einer Ebene

Übung 27 Spiegelebene

Gegeben ist die Ebene E: 2x + 4y + z =8. a) SpiegelnSiedenPunktP(-31-710) anE. b) Zeigen Sie: Q'(4l511) ist der Spiegelpunkt von Q (0l-31-1) bei Spiegelung an E. Welcher Punkt der Geraden g durch Q und Q ' liegt auf E? c) Spiegeln sie die Gerade g durch die Punkte A(3 l5l3) und B (41710) an E.

Der Punkt A wurde bei Spiegelung an der Ebene E auf den Punkt A' abgebildet. Wie lautet die Gleichung der Ebene E? a) A (11013), A' (51811) b) A (2lll-4), A'(3l3l0)

J

\.....- 120

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

8. Abstandsberechnungen In Anwendungsaufgaben spielen Abstände z.B. als Höhe von Figuren eine Rolle (Pyramidenhöhe, Dreieckshöhe), aber auch in Bewegungsaufgaben sind manchmal Abstände zu berechnen. Es gibt zwei Grundaufgaben, den Abstand Punkt/Ebene und den Abstand Punkt/Gerade. Die Abstände Ebene/Ebene, Gerade/Ebene, Gerade/Gerade lassen sich darauf zurückführen.

Der Abstand Punkt/Ebene Der Abstand eines Punktes P zu einer Ebene E wird folgendermaßen berechnet: 1. Aufstellen der Gleichung einer Lotgeraden g, die duch den Punkt P geht und p senkrecht auf der Ebene E steht. (Stützd punkt von g: P; Richtungsvektor von G: der Normalenvektor von E.) _._ F 2. Berechnung des Lotfußpunktes F als , oSchnittpunkt von g und E. , e E 3. Berechnung des Abstandes d = IWI als Länge der Lotstrecke PF. 1 1

►

Beispiel: Abstand Punkt/Ebene Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P(4l4l5) von der Ebene E: x + y + 2z = 6 Lösung: Wir bestimmen zunächst die Gleichung der Lotgeraden g. Als Stützpunkt verwenden wir den Punkt P und als Richtungsvektor dient der Normalenvektor von E, denn die Gerade g soll senkrecht zu E verlaufen. Die Koordinaten x = 1, y = 1, z = 2 des Normalenvektors können hier direkt aus der Koordinatenform von E abgelesen werden. Nun wird durch Einsetzen der Koordinaten von g in die Gleichung von E der Schnittpunkt F berechnet. Resultat: F(2l2l 1)

Schließlich en echnen wir den Abstand der beiden Punkte P und F nach der wohlbekannten Abstandsformel. Resultat: Der Punkt P und die Ebene E ► habenden Abstand d = fi4:::: 4,90.

g P(41415)

X

1. Lotgerade g: g:

x = G) + r(D

2. Schnittpunkt von g und E:

(4 + r) + (4 + r) + 2(5 + 2r) = 6 18 + 6r = 6 r = - 2, F (21211) 3. Abstand von P und F:

d=

IWI= ✓c2- 4)2 + c2 -

4)2 + o - s)2

d= fi4:::: 4,90

Übung 28 Abstand Punkt/Ebene Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. a) E: 4x -4y + 2z = 16, P (5 l-5 l6) b) E: -4x + 5y + z = 10, P(-31715)

_____2_._P_r_o_bl_e_ml _o_··s_u_n__g_ss_tr_a_te__g_ie_n_m _· _d_e_r_An _ al_y_t_is_ch_e_n_G _ eo_m _ e_ tr_ie_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_2_1 ..J

Der Abstand Punkt/Gerade Der Abstand eines Punktes P zu einer Geraden g wird folgendermaßen berechnet: 1. Bestimmung der Normalengleichung z einer Hilfsebene H , die orthogonal auf g steht und den Punkt P enthält. 2. Berechnung des Lotfußpunktes F als Schnittpunkt von g und H. H3. Berechnung des Abstandes d = IPFI als x Länge der Lotstrecke PF. ► Beispiel: Abstand Punkt/ Gerade

Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P (-1 1415) von der Geraden g:

Lösung: Wir bestimmen zunächst eine Normalengleichung der Hilfsebene H, die senkrecht zu g ist und P enthält. Als Normalenvektor von H können wir den Richtungsvektor von g verwenden und als Stützvektor den Ortsvektor von P. Der Lotfußpunkt F des Lotes von P auf g ist der Schnittpunkt von g und H. Diesen errechnen wir durch Einsetzen der rechten Seite der Geradengleichung für den allgemeinen Ortsvektor in der Ebenengleichung. Resultat: F(0l514)

x

Abschließend bestimmen wir den gesuchten Abstand d von P und g, indem wir die Länge des Lotvektors PF ermitteln.

-

~ Resultat: d = IWI = f3 :::: 1,73

x

y

(1)

(_ 1) = ~ + r· ~ .

1. Hilfsebene H: (H.lg, P e H)

H [,:

-nii·ni;

0

2. Lotfußpunkt F:

Schnittpunkt von g und H:

rl

l

2_ (-1 (-2+3r • 3 =0 -3 + 2r

2

(2-r) • (-1)+(-2+ 3r) · 3 +(-3 + 2r) · 2=0 -14+ 14r=0 r =1 ⇒ F (0l5 14) 3. Abstand von P und F:

d; IPfl;

m-rn ui =

; '/3

Übung 29 Abstand Punkt/Gerade Gesucht ist der Abstand des Punktes P von der Geraden g im IR3 . a) g:

x = (~) + r (-:i

P (4161-2)

b) g geht durch A (41211) und B (01613). P (2 1I l8)

c) g geht durch A (41817) und B (9 13 17). P(0I0I0)

\_..-1_2_2 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _II_._2 _P_ro_b_l_e_m_o l _.. s_u_n_g_ss_tr_a_t_egi ....·_e_n _in_ d_er_ O _ b_er_s_tu_t_e _ _ _ __

30. Relative Lage von Geraden Untersuchen Sie die relative Lage der Geraden gL und g2 . Bestimmen Sie ggf. den Schnittpunkt S und den Schnittwinkel y. a) g,:

X=

(i) + r(i), g2 X = (i) + sn)

b) g i=

X=

Hl r(J), +

g2

X=

(l) +s(=i)

31. Parameteraufgaben bei Geraden

(2 :)

Gegeben ist die Geradenschar ga: x = + r(1) sowie die Gerade h durch die PunkteA ( 113 15) und B (41213). 1 3 a) Für welches a schneiden sich die Geraden ga und h? Bestimmen Sie den Schnittpunkt S. b) Zeigen Sie, dass die z-Achse von jeder Geraden der Schar ga geschnitten wird. Bestimmen Sie den Schnittpunkt S 2 . c) Ermitteln Sie, welche Gerade ga der Schar durch den Ursprung geht. d) Zeigen Sie, dass jede Gerade der Schar durch einen Punkt P geht, bei dem x- und z-Koordinate übereinstimmen. Geben Sie P in Abhängigkeit von a an. 32. Parameteraufgaben bei Geraden Gegeben ist die Geradenschar g,: X = a) b) c) d)

m

+ r (j).

Ermitteln Sie, welche Gerade ga der Schar den Punkt P (-1 1-113) enthält. Untersuchen Sie, ob es eine Gerade der Schar gibt, die durch den Ursprung verläuft. Geben Sie zwei Punkte einer Schargeraden ga an, die den Abstand 6 haben. Untersuchen Sie, ob die Schar orthogonale Geraden enthält.

33. Bewegungsaufgabe bei Geraden Ein Flugzeug f wird um 8.00 Uhr beiA (8 1610) und 20 Sekunden später bei B (61 712) geortet. Ein zweites Flugzeug g wird um 8.00 Uhr bei C (-12 1-212) und 25 Sekunden später bei D (-81214) geortet. (Längenangaben in km). a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der beiden Flugzeuge. b) Wo treffen sich die beiden Flugbahnen f und h? Wie groß ist der Schnittwinkel? c) Untersuchen Sie, ob Kollisionsgefahr besteht. 34. Relative Lage Gerade/Ebene Untersuchen Sie die relative Lage der Geraden g: X = a) E 1: x + y - 4z = 11

b) E 2 : -x + 2y + z = -8

(J)

+ r m mit den Ebenen E 1 bis E3 . c) E 3: 2x - y -2z = 6

35. Relative Lage Ebene/Ebene Untersuchen Sie die relative Lage von E 1 und E 2 . Bestimmen Sie ggf. Schnittgerade und -winkel. a) E 1: x - 2y + 2z = 9 b) E 1: 4x - 2y - 2 z = 12

E2: X+!)+

r(=i) + s(-:)

E2 X = (:)+

r(:) + s(-:)

36. Spurpunkte Berechnen Sie die Spurpunkte der Geraden g durch die Punkte A und B. a) A(21 4 14), B (41812) b) A(618l 10), B (81418)

_ _ _ _ _2_. _P_ro_b_le_ml _ ö_su_n__g__s_str_a_teg ____i_en_ in_d_e_r_An _ al_y_ti_sc_h_e_n_G_e_o_m_e_tr_ie_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_2_3 J

37. Spurgeraden Berechnen Sie die Spurgeraden der Ebene E durch die Punkte A, B und C. a) A(-41213), B (2lll0), C (-21-116) b) A(21-I I0), B (3lll6), C (41218) 38. Schattenwurf Ein achsenparalleler Würfel der Kantenlänge 2 wird von parallelem Licht in Richtung des Vektors mgetroffen. Der Punkt A hat die Koordinaten A (21212). Auf dem Boden entsteht ein Schatten des Würfels. a) Berechnen Sie die Eckpunkte B und z C sowie die Schattenpunkte A', B' 2 A und C' am Boden. b) Nun soll die x-z-Ebene eine Wand darstellen. Berechnen Sie die Schattenpunkte A" und B " auf dieser Wand. 39. Schattenwurf durch Punktstrahler Ein quadratisches Fenster (parallel zur x-z-Ebene) mit der Seitenlänge 2 wird von einem Punktstrahler in L (31015) beleuchtet. Der Punkt A(414l l ) ist ein Eckpunkt des Fensters. Auf dem Boden entsteht ein Schattenbild des Fensters. a) Berechnen Sie die Kordinaten der Punkte B, C und D des Fensters. b) Berechnen Sie die Eckpunkte A', B ', C' und D ' des Fensterschattens. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Vierecks A'B 'C'D '.

X

C' y

X

40. Spiegelung an einer Ebene Gegeben ist die Ebene E: 2x + y + 2z = 16. a) Spiegeln Sie den Punkt P(I0l 718) an E. b) Zeigen Sie: Q '(61618) ist der Spiegelpunkt von Q(-21210) bei einer Spiegelung an E. c) Welcher Punkt der Geraden durch Q und Q ' liegt auf E? 41. Spiegelebene Der Punkt A wurde bei Spiegelung an der Ebene E auf den Punkt A' abgebildet. Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E. a) A(ll3 11),A'(3lll5) b) A(-3l-3I0), A'(5l5 l-4) 42. Abstand Punkt/Ebene Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Ebene E. a) P (71-717), E: 2x - y + 2z =8 b) P (41416), E: 2x + 4y - 4z = 12 43. Abstand Punkt/Gerade Bestimmen Sie den Abstand des Punktes P von der Geraden g. a) P (61515), g: X =

m fl +,(

b) P (-11415), g durchA(I 1212), B (21-1 I0)

II.2 Problemlösungsstrategien in der Oberstufe

\.....- 124

Problemlösungsstrategien in der Analytischen Geometrie 1. Kollinearität und Komplanarität Prüfen Sie, ob die gegebenen Vektoren kollinear bzw. komplanar sind.

·{H

nl

b)

(-n m

(U,

c)

m,

m, Hl

2. Dreieck Die Punkte A(-1 13 11), B (11210) und C (41414) bilden ein Dreieck. a) Zeigen Sie, dass ß = 90°gilt. b) Berechnen Sie a und y. c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks. d) Bestimmen Sie einen Punkt D, sodass das Viereck ABCD ein Rechteck ist. 3. Vektorprodukt Berechnen Sie das Vektorprodukt 4. Geraden

mx m2i) + r (i).

Gegeben ist die Geradenschar g 3 : X= (

a) Zeigen Sie, dass die z-Achse von jeder Geraden der Schar ga geschnitten wird. Bestimmen Sie diesen Schnittpunkt S2 . b) Ermitteln Sie, welche Gerade ga der Schar durch den Ursprung geht. d) Bestimmen Sie die Spurpunkte von g 3. S. Bewegungsaufgabe bei Geraden Ein Flugzeug bewegt sich von A (11110) in einer Minute nach B (51911). Ein zweites Flugzeug bewegt sich im gleichen Zeitraum von C (-32 l-16 l4) nach D (-201-414) (Längenangaben in km). a) Berechnen Sie die Geschwindigkeiten der Flugzeuge. b) Ermitteln Sie, wo sich die beiden Flugbahnen f und h treffen. c) Untersuchen Sie, ob Kollisionsgefahr besteht. 6. Relative Lage Gerade/Ebene Bestimmen Sie die relative Lage der Geraden g und der Ebene E. g,, =

ni

+

tui,

E:,.. =

Hl +r(tl + Sm Lösungen: S. 281

-

--;:;g-g~ ♦-. __,,_.. _ __,,__,,,.._

~p:::;:: ::-::= ;:;·::

_

--.-----------_ ---------~------ -....

t,::::;""-.., ._...,,,,. _ _,_,;;;:' _,

\_..-1_26_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

1. Einführung Im Folgenden befassen wir uns mit dem mathematischen Modellieren. Reale Modellierungsprozesse sind meistens sehr kompliziert und aufwendig. In dem uns vorgegebenen Rahmen können solche realen Prozesse daher nicht behandelt werden. Allerdings gibt es Problemstellungen, die der Realität nahekommen und mit unseren Mitteln bewältigt werden können. Darüber hinaus gibt es Aufgabenstellungen, welche die Realität nur in sehr vereinfachter Form betreffen, aber typische Modellierungsgedanken und Modellierungstechniken erfordern. Auch mit dieser Art von Modellierungsproblemen werden wir uns befassen.

Der Modellierungsprozess Mathematisches Modellieren bedeutet, eine reale Fragestellung in ein mathematisches Modell zu übersetzen, um es dann mit mathematischen Methoden lösen zu können und die Lösung dann auf die reale Fragestellung zu übertragen. In der Physik ist es gang und gäbe, die Gesetzmäßigkeiten in der Sprache der Mathematik zu formulieren und dann mathematisch zu lösen. Andere Wissenschaften schließen ebenfalls auf. Auch sie werden zunehmend mathematisiert. Beim Modellieren gibt es kein Rezept, das zwangsläufig zum Ziel führt. Jede reale Problemstellung erfordert andere Mathematisierungsmethoden, die nicht von vornherein festliegen. Übereinstimmung besteht darin, dass der Modellierungsprozess nach folgendem Schema abläuft.

Start Reales Problem

Analyse der realen Situation Modellbildung Mathematisches Problem

1

Überprüfung

Analyse/lmulation Interpretation

Reale Lösung

Mathematische Lösung

Dieser Prozess stellt eine stark vereinfachende Sicht auf die Dinge dar. In der Realität sind die Modellbildungsprozesse meistens deutlich komplizierter strukturiert. Man fordert, dass das mathematische Modell möglichst gut passt, eindeutig formuliert ist und keine logischen Widerspüche aufweist. Das Modell darf das zu behandelnde Problem nicht unzulässig vereinfachen, aber auch nicht unnötig verkomplizieren.

_____2_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_s_tar _ ke_m _ R_e_ali _._tä_·ts_b_e_z_ ug_____________________l_2_7

2. Modelle mit starkem Realitätsbezug A. Modellierungsbeispiel aus der Stochastik: Zahlenlotto 6 aus 49 Das Lottospiel 6 aus 49 ist ein interessantes und vielfältiges Spiel. Es gibt viele unterschiedliche Fragestellungen wie z.B. die Frage nach der Wahrscheinlichkeit für sechs Richtige. Bis 2013 wurden durch sog. Zusatzzahlen zusätzliche Gewinnchancen generiert. Nach 2013 wurden die Zusatzzahlen abgeschafft und durch Superzahlen ersetzt. Wir behandeln hier mit Priorität die historische Variante mit Zusatzzahlen, da sie als mathematisches Modell interessanter ist. ►

Beispiel: Modellierung des Zahlenlottos „6 aus 49": 4 Richtige Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau vier Richtige beim Zahlenlotto 6 aus 49? Entwickeln Sie ein Modell zur Lösung dieser Frage und diskutieren Sie die Konsequenzen. Lösung: Schritt 1: Analyse der realen Situation Es gibt hier zwei Prozesse. Zum einen das Ankreuzen von sechs Zahlen auf dem Lottoschein und zum anderen die Ziehung von sieben Zahlen aus einer drehbaren Urne, die früher* öffentlich im Fernsehen vorgenommen wurde. Welcher Vorgang stellt das eigentliche Spiel dar?

Ankreuzen des Lottoscheins

Ziehung der Gewinnzahlen

Das Ankreuzen der sechs Zahlen auf dem Lottoschein stellt das eigentliche Spiel dar. Aus der Urne wurden jedoch sieben Zahlen von 1 bis 49 gezogen, die sechs Gewinnzahlen aus l bis 49 und danach die Zusatzzahl aus den verbliebenen 43 Zahlen. Diese Urnenziehung hat nichts mit dem eigentlichen Spiel - dem Ankreuzen - zu tun. Sie dient einzig und allein der Festlegung der Gewinnzahlen und der Zusatzzahl. Schritt 2: Das mathematische Modell Für unsere Spielexperiment - also das Ausfüllen des Lottoscheins - gibt es bereits ein fertiges kombinatorisches Modell. Es ist das Ziehen ohne Zurücklegen und ohne Beachtung der Reihenfolge, denn auf dem Tippschein wird jede Zahl nur einmal angekreuzt und die Abfolge ist egal. Aus einer Urne mit 49 Kugeln, davon 6 roten Gewinnkugeln und 43 grauen Verlustkugeln, werden 6 Kugeln gezogen und in einen Auffangbehälter gelegt. Dessen Gesamtinhalt stellt dann den Tipp dar. Nun soll in diesem Modell die Wahrschein• lichkeit für vier Richtige bestimmt werden.

Urnenmodell:

6 Gewinn- 43 Verlustzahlen zahlen

~ Tipp mit 4 Richtigen

* Es war die Variante mit der Zusatzzahl. Sie wurde nur bis 2013 gespielt und existiert heute nicht mehr.

J

\_..-1_28_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

Schritt 3: Lösung im mathematischen Modell Für das vorliegende Urnenmodell „Ziehen ohne Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge" kennen wir bereits eine Formel, die wir nun anwenden können. Für einen Tipp mit genau 4 Gewinnkugeln (Richtige) und 2 Verlustkugeln (Nieten) gilt die rechts bestimmte Eintrittswahrscheinlichkeit. Sie beträgt ca. 0, 1%.

Berechnung der Wahrscheinlichkeit: P (4 R, 2 N) =

4 (~) . ( ~)

(4~)

15 · 903

= 13983816

= 0,00097 :::: 0, 1 %

Schritt 4: Übertragung in die Realität Das Modellergebnis kann ohne Änderung in die Realiät übertragen werden. Wir sollten die Ergebniswahrscheinlichkeit 0, 1 % aber noch etwas besser veranschaulichen. Die Chance für 4 Richtige liegt bei etwa 1: 1000. Tippt man also 1000-mal, so wird man im ► Mittel einmal 4 Richtige erzielen. Die Gewinnchance ist also recht gering. Ändert sich die Fragestellung, muss man das Modell möglicherweise ebenfalls ändern. So ist es auch beim Lotto, wie das folgende Beispiel zeigt. ►

Beispiel: Modellierung des Zahlenlottos „6 aus 49": 3 Richtige mit Zusatzzahl Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für genau drei Richtige mit Zusatzzahl beim Zahlenlotto 6 aus 49? Ändern Sie das Modell aus dem obigen Beispiel in geeigneter Weise ab. Lösung: Das Modell aus dem vorhergehenden Beispiel passt nicht mehr, da die Zusatzzahl in der Urne nicht berücksichtigt ist. Sie gehört nicht zu den 6 Gewinnzahlen, sondern zu den 43 Verlustzahlen, ist aber unter diesen im bisheii gen Modell nicht als besondere Zahl erkennbar. Wir müssen in der Urne also eine dritte Sorte Kugel einführen. Sie soll die Farbe grün erhalten und für eine Zusatzzahl stehen. Wir benötigen nur eine Kugel dieser Kategorie. Das Umenmodell sieht dann wie rechts abgebildet aus: man hat nun drei Kategorien von Kugeln, rote, graue und grüne.

Urnenmodell: 3 Zahlen

Die Berechnungsformel wird sinngemäß ausgebaut und hat nun drei Faktoren im Zähler, während der Nenner gleich bleibt. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit für drei Richtige mit Zusatzzahl beträgt nach dieser Formel ca. 0, 12 % und ist damit geringfügig höher als für 4 Richtige (s. rechts). Bemerkung: Man kann mit den gleichen Modellen auch folgende Wahrscheinlichkeiten ausrechnen: P (6 Richtige) = 139s13816 ► P (5 Richtige plus Zusatzzahl)=

6 GewinnLabien

42 Verlustzahlen

Berechnung der Wahrscheinlichkeit:

p (3 R 2 N 1 Z) = m . (4~)- (:) = 20 • 861 • 1

'

'

(4~)

::::0,12% 6 13983816

13983816

_____2_. _M_o_d_e_ll_e _rm _._t s_t_ar_k_em _ R_e_ali _._tä_·ts_b_e_zu~g_____________________l_2_9

Übung 1 Keno Keno ist eine Zahlenlotterie, ähnlich wie Lotto, nur mit 70 Zahlen pro Spielfeld. Als erstes wird gewählt, wie viele Zahlen man ankreuzen möchte 2- 10 Zahlen sind möglich. Man nennt das Keno Typ 2 bis Typ 10. Rechts ist ein Tipp für Keno Typ 8 abgebildet. Als nächstes legt man seinen Einsatz pro Spiel fest. 1€, 2€, 5€ und 10€ sind möglich. Als Gewinnzahlen werden 20 Zahlen ausgespielt. Der Gewinn hängt von der Anzahl der richtig getippten Zahlen ab. Der Gewinnplan für Keno Typ 8 ist rechts abgebildet. Max macht nun ein Spiel des Typs Keno 8, d. h. er kreuzt 8 Zahlen an. Als Einsatz wählt er 1 €. Beantworten Sie hierzu folgende Fragen: a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Max 6 Richtige? b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erzielt Max eine Auszahlung von mindestens 100€? c) Stellen Sie die Gewinnwahrscheinlichkeiten für 0 bis 8 Richtige in einer Tabelle dar. d) Bestimmen Sie den Erwartungswert der Auszahlung für das Spiel Keno vom Typ 8. Vergleichen Sie das Resultat mit dem gezahlten Einsatz von 1 €. e) Aus welchem Grund erhält man für das Ergebnis 0 eine Auszahlung, nicht aber für die Ergebnisse 1, 2 und 3? f) Untersuchen Sie, wie viele Kenoscheine Max ausfüllen müsste, um eine Chance von mindestens 50% für die Auszahlun g von mindestens 100€ zu haben.

Anzahl angekreuzter Zahlen

1 • WQJ WW [[] [I] ~ []] [1[]

Einsatz ~ W[I] [IQ] C

Gewinnzahlen

wwn wI ffill m t1m L1ID 1

fJI @ru l ~~ l ~~ i ~ Keno TyJl 8 :F~s·rf"j'. o~,VU.111 .'lj"'~"f

AtlZlll~ 1le1".l•t>((w 1

:s Übung 2 Lottospiel 6 aus 49 Bestimmen Sie mit den beiden Modellen aus den obigen Beispielen folgende Wahrscheinlichkeiten: a) P (Sechs Richtige) b) P (Fünf Richtige mit Zusatzzahl) c) P (Sechs Richtige mit Superzahl). Die Superzahl ist eine weitere Zufallszahl von 0 bis 9. Sie ist die letzte Ziffer der jeweiligen Spielscheinnummer.

7

9.

4

&iltsaql Eiu. iüoüü JijO, i5

5.

2

4

l

0

l

J

III. Modellieren

\.....- 130

8. Modellierungsbeispiel aus der Analysis: Die optimale Getränkedose ►

Beispiel: Modellierung einer Getränkedose Eine Sodadose soll modelliert werden. Dabei soll der Schwerpunkt auf einem möglichst niedrigen Materialverbrauch liegen. Aber auch praktische Gesichtspunkte wie gute Handhabbarkeit, physikalische Probleme und gute Transportierbarkeit sollten diskutiert werden. Lösung: Schritt la: Analyse der realen Situation In der Praxis liegen einige Parameter traditionell fest. Diese Parameter können wir nicht ändern. Wir müssen Sie übernehmen. Dazu zählt der Inhalt einer solchen Dose. Der Inhalt muss 330ml betragen. Auch das Material und die Blechstärke sind vorgegeben. Letztere darf nicht zu gering sein, da die Dose sonst verbeulen würde, aber auch nicht zu groß, da dies zu teuer würde. Handlich und angenehm anzusehen soll die Dose sein. Geöffnet soll sie nicht zu leicht überschwappen. Auch der Transport der verpackten Dosen muss gewährleistet sein. Möglichst viele Dosen sollen auf eine Standardeuropalette passen. Es darf dabei keinen Randüberstand geben.

V= 330ml Handlichkeit Transportfähigkeit

Schritt lb: Reduktion der praktischen Anforderungen auf das Wesentliche Wollten wir alle Anforderungen gleichzeitig berücksichtigen, so ergäbe sich ein multidimensionales Problem, das selbst für einen Hersteller eine größere Herausforderung wäre. Daher müssen wir unsere Anforderungen auf das Wesentliche reduzieren. Wie übernehmen also das vorgeschriebene Volumen, die ungefähre Form und die Forderung nach einem minimalen Materialverbrauch. Auch die gute Handlichkeit der Dose können wir evtl. später diskutieren. Schritt 2: Das mathematische Modell Die Dose hat eine komplexe Form. Diese wäre für mögliche Rechnungen zu kompliziert. Daher vereinfachen wir die Form im Modell so stark, dass die Berechenbarkeit möglich wird. Wir geben der Dose eine reine Zylinderform. Außerdem vernachlässigen wir die Blechstärke. Die Forderungen nach Transportierbarkeit und Handlichkeit lassen wir zunächst erst einmal fallen.

T

Wir reduzieren das Problem also auf folgende Frage: Welche Maße (Radius r, Höhe h) muss eine zylindrische Dose von 330 ml Volumen erhalten, damit ihre Oberfläche minimal wird?

Modell: Zylindrische Dose

U=2m

h

Modellvorgabe: Zylindrische Form, Radius r, Höhe h Volumen V = 330 cm Oberfläche A soll minimal werden.

h

_____2_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_s_tar _ ke_m _ R_e_ali _._tä_·ts_b_e_z_ ug_____________________l_3_1 ..J

~

Schritt 3: Lösung im mathematischen Modell: Auch hier haben wir ein fertiges mathematisches Verfahren zur Verfügung, nämlich die Extremalrechnung, deren Lösungsalgorithmus uns hinlänglich bekannt ist. Aus dem Netz der Dose (s. Zeichnung oben) ergibt sich für die zu minimierende Oberfläche A der Dose die sog. Hauptbedingung: (1) A (r , h) = 2nr2 + 2nrh

Hauptbedingung:

Oberfläche A = Boden + Deckel + Mantel (1) A(r, h) = 2nr2 + 2nrh Nebenbedingung:

Volumen V = 330 Aus der Volumenvorgabe V = 330 und der Formel für das Zylindervolumen ergibt sich die Nebenbedingung: (2) nr2 h = 330

(2) n r 2 h= 330 Zielfunktion:

Aus (2) folgt: h =

330 rc • r 2

Lösen wir (2) nach h auf und setzen das Ergebnis in ( 1) ein, so erhalten wir A als Funktion von nur noch einer Variablen r. Dies ist unsere Zielfunktion, die wir optimieren (in diesem Fall minimieren) wollen. (3) A (r) = 660. lr + 2nr2

Einsetzen in (1) liefert die Zielfunktion:

Jetzt schließt sich die Extremalrechnung nach bekanntem Muster an, die eine minimale Oberfläche von ca. 264,36 cm2 liefert. Nun haben wir also die optimalen Dosenmaße r ::::: 3,745 und h::::: 7,51 bestimmt.

r= ~::::: 3,745 Einsetzen in (2): h ::::: 7 ,51

(3) A(r) = 660 . .!.r + 2nr2 Extremalrechnung:

Ansatz: A'(r) = -660 • ~ + 4 n r = 0 r-

- 660 + 4nr3 = 0

V~

6

Schritt 4: Übertragung in die Realität Nun müssen wir das mathematische Ergebnis an der Realität messen. Und da bekommen wir einen kleinen Schreck. Denn die Dose hat die Breite 2r = 7,49cm und die Höhe h = 7,51 cm. Sie hat also einen quadratischen Querschnitt.

Einsetzen in (3): Amin :::::A(3,745) = 264,36cm2

h = 7,51

2 r = 7,49cm

Das sieht nicht gerade elegant aus. Eine solche Form würde keine Werbeabteilung verkaufen können, jedenfalls nicht für ein Getränk, höchstens für eine Dose Erbsensuppe. !

Und praktisch ist das Ergebnis auch nicht. Eine so dicke Dose könnte man mit der Hand nicht mehr bequem umfassen und das Getränk würde auch viel leichter überschwappen.

Sind nun unsere Bemühungen an der Praxis gescheite1t oder können wir noch etwas retten, indem wir das Modell so abändern, dass die bisher unberücksichtigten Bedingungen (Handlichkeit usw.) 'Y wenigstens zum Teil mit einbezogen werden können?

\_..-1_3 2_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_d e_lli _·e_r_en_ _ _ __

Schritt 5: Korrektur des Modells: Wir analysieren nun wiederum mathematisch, wie das merkwürdige Resultat zustande kommt. Dazu stellen wir die Zielfunktion A zeichnerisch dar. Sie verläuft in der Nähe des Minimums im gelben Bereich sehr flach. Berechnen wir die Funktionswerte für r = 3,2 (A = 270,59) bzw. r = 4,3 (A =269,66) so erkennen wir, dass der Material verbrauch A dort nur ca. 2 % höher ist als beim Minimum r =3,745 mit A = 264,36. Also können wirr ruhig etwas variieren, um eine bessere Form zu erhalten, ohne dass wir merkbar mehr Material verbrauchen.

Graph der Zielfunktion A:

~

200 ~ N

~ C1) rJ)

1

2

Das tun wir nun auch. Wir verkleinern dazu den Radius der Dose, um sie schlanker und griffiger zu machen. Dadurch wird die Dose automatisch höher. Für r ;;;;; 3,2cm ergibt sich eine Dose mit dem Durchmesser 6,4cm und der Höhe 10,26 cm. Sie fasst genau die verlangten 330 ml und hat eine schöne, griffige Form. Sie schwappt auch nicht so leicht über.

8;:l

3,745

6

r

h

---

Schritt 6: Gesamtanalyse: Höhe, Breite, Formästhetik, Handlichkeit und Materialminimalität der Dose haben wir schon diskutiert und für zufriedenstellend gelöst befunden. Es bleiben noch zwei Aspekte zu betrachten. Erstens: Reale Dosen haben einen nach innen gebogenen Boden und sind nicht ganz gefüllt. Das hat technische Gründe. Der Boden sorgt für größere mechanische Stabilität und bessere Standsicherheit. Die etwas geringere Füllung ermöglicht Druckausgleich bei Erwärmung der Dose, so dass diese nicht so leicht ausbeult. Diese Feinheiten sind technisch zu schwierig für unsere Modellierung und werden im Detail von Ingenieuren und Formgestaltern gelöst. Zweitens: Die Transportfähigkeit auf Europaletten muss gesichert sein, ohne dass es zu Überständen kommt und nur maßvolle Unterstände auftreten. Da eine Europalette die Standardmaße 120 cm mal 80 cm hat, können wir darauf wegen 120 : 6,4 = 18,75 und 80: 6,4 = 12,5 auf j eden Fall 18 x 12 = 216 Dosen ohne Überstand unterbringen. Das ist ein akzeptabler Wert, der auch in der realen Praxis verwendet wird. Damit ist unser Modellierungsprozess mit realistischen und insgesamt zufriedenstellenden Er► gebnissen abgeschlossen.

_____2_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_s_tar _ ke_m _ R_e_ali _._tä_·ts_b_e_z_ ug_____________________l_3_3 J

3. Regenfass Eine Firma stellt oben offene Regentonnen für Hobbygärtner her. Diese Tonnen sollen bezüglich der Fassungsvermögens bei sparsamer Matarialvorgabe optimiert werden. a) Für ein Tonnenmodell wird von der Finanzabteilung ein Blechverbrauch von 4 m2 vorgegeben. Welche Maße muss die Tonne erhalten, wenn das Fassungsvermögen maximal sein soll? b) Die Technikabteilung will ebenfalls 4 m2 Blech verbrauchen, aber das Bodenblech aus Stabilitätsgründen vierfach mit Blech belegen. Welche Maße ergeben sich nun für eine Tonne mit maximalem Fassungsvermögen? c) Beurteilen Sie die Form der Tonnen im Vergleich. Hinweis: Verwenden Sie die Formeln für Volumen, Mantel- und Grundfläche von Zylindern.

4. Balken Ein Sägewerk schneidet aus Baumstämmen rechteckige Balken, die von Zimmereien gekauft werden, um damit die Tragekonstruktion für Dächer zu bauen. _____ Information: Die Tragfähigkeit Teines rechteckigen Balkens ist proportional zur Breite b des Balkens und zum Quadrat der Höhe h des Balkens. Die Formel für T lautet T (b, h) = C · b · h 2 h Dabei ist der Proportionalitätsfaktor C von der Holz- C·b·h2 art abhängig. T-

T

1

a) Ein runder Baumstamm mit einem Durchmesser von 40 cm soll so beschnitten werden, dass der entstehende Balken (Breite b, Höhe h) eine maximale Tragfähigkeit besitzt. Welche Breite und welche Höhe muss der Balken erhalten? b) Das Sägewerk hat noch einen halben Baum stamm als Rest übrig. Aus diesem soll ebenfalls ein maximal tragender rechteckiger Balken geschnitten werden. Welche Maße erhält dieser Balken? Wie muss man ihn beim Einbau anordnen?

III. Modellieren

\.....- 134

5. Spiegel Durch zwei Schnitte mit dem Glasschneider soll aus dem dreieckigen Spiegelrest ein rechteckiger Spiegel mit maximaler Fläche geschnitten werden. Welche Breite und Höhe wird er besitzen? Hinweis: Strahlensatz

// ····· ·•......~

?

so

6. Ein Verpackungsproblem Ein Versandhandel für Elektronikartikel plant eine normierte Pappschachtel als Paket für den Versand seiner Waren. Die quadetförmige Schachtel soll ein festes Volumen von 20 Litern besitzen. Außerdem soll der Boden rechteckig sein. Die Pappschachtel soll doppelt so lang wie breit sein. Boden und Deckel sollen wegen der Stabilität doppelt ausgebildet sein. Die Paketpappe kostet 30 Cent pro m2 . Welche Maße muss die Schachtel erhalten, damit die Kosten möglichst gering ausfallen?

h

X

7. Gewächshaus Ein Hobbygärtner hat noch 24 m2 Plastikfolie übrig. Er plant, damit ein Gewächshaus als Regenschutz für Tomaten zu bauen. Es soll quadratische Seitenwände besitzen und nach vorne offen sein (s. Abb.). Für seine Tomaten möchte er ein möglichst großes Luftvolumen im Innern erreichen. Welche Maße a und b muss er dem Haus geben?

8. Pferdekoppel Ein Farmer besitzt eine Rolle mit 100m Maschendraht. Damit möchte er ein rechteckiges Areal einzäunen, um es als Pferdekoppel zu nutzen. dabei will er ein Stück Mauer von 40 rn Länge als Abgrenzung mitnutzen, um zusätzliches Gelände zu gewinnen. Welche Abmessungen x und 1 muss er wählen, damit das eingegrenzte Areal einen maximalen Inhalt hat?

r

-~

''···.··· ... ;;ry

.

. '

_____2_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_s_tar _ ke_m _ R_e_ali _._tä_·ts_b_e_z_ ug_____________________l_3_5

C. Modellierungsbeispiel aus der Geometrie: Wasserberge

.►

Beispiel: Ein Sichtproblem Konstanz ist die größte deutsche Stadt am Bodensee. In einiger Entfernung liegt die österreichische Stadt Bregenz. Rechts auf der Karte ist die Lage der Städte am See deutlich erkennbar. Auch bei klarer Sicht ohne jeden Nebel kann man Bregenz von Konstanz aus nicht sehen. Wie ist das zu erklären? Lösung: Schritt 1: Analyse der realen Situation Wir beschaffen uns zunächst einige Daten. Der Bodensee ist ein ca. 63 km langer See, der an Deutschland, Österreich und die Schweiz grenzt und in einer Höhe von 395 m über dem Meeresspiegel liegt. Die deutsche Stadt Konstanz liegt ca. 46 km entfernt von der österreichischen Stadt Bregenz. Steht man am Konstanzer Ufer, kann man auch bei bestem Wetter absolut nichts von Bregenz sehen. Es kann nur daran liegen, dass etwas die Sicht versperrt, weil es im Weg steht. Und das muss der See selbst sein, denn das Entfernteste, was man sieht, ist einfach nur Wasser. Schritt 2: Das mathematische Modell Nun ist eine Idee zur Modellierung erforderlich. Dazu müssen wir uns von der vertrauten Vorstellung lösen, dass die Seeoberfläche eine Ebene ist. In einem Topf Wasser ist die Wasseroberfläche zwar eben, aber im globalen Maßstab gilt das nicht mehr. Das kann man erkennen, wenn man die Erdkugel als Ganzes zur Veranschaulichung verwendet, wie rechts dargestellt, wenn auch deutlich übertrieben. Der See erscheint dann als gewölbter Wasserberg, gewölbt unter dem Einfluss der Schwerkraft der Erde. Die Türme von Bregenz sind von Konstanz aus daher möglicherweise nicht zu sehen.

Die globalisierte Situation:

Nach der Entwicklung dieser anschaulichen Vorstellung müssen wir ein weiter stark vereinfachtes Modell der Situation schaffen, in dem sich dann rechnen lässt.

Das mathematische Modell:

Bregenz

~

'

K'

Dazu eignet sich die rechts dargestellte Erdhalbkugel (Radius 6370 km) mit dem angedeuteten See, der zwischen Konstanz und Bregenz 46km überbrückt und in der Mit• te die Höhe H hat. M

J

\_..-1_36_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

Schritt 3: Lösung im mathematischen Modell Wir wollen die eingezeichnete Höhe H der Seewölbung bestimmen, wozu wir das gelb gefärbte rechtwinklige Dreieck verwenden. Nach Pythagoras gilt in diesem Dreieck die Gleichung (R - H)2 + 23 2 = R2 , wobei R = 6370km der Erdradius ist. Die Lösung dieser Gleichung mit der p-qFormel ergibt die Höhe H :::: 42m. So hoch ist also der Wasserberg des Bodensees in der Mitte zwischen Konstanz und Bregenz.

Berechnung der Höhe H des Wasserbergs: Satz des Pythagoras: (R- H)2 + 23 2 = R2 ; R = 6370km R2 - 2 RH + H2 + 23 2 = R2 H 2 -2RH+529=0 H 2 - 2 · 6370 H + 529 = 0 H2 - 12740H + 529 = 0

H 112 = 6370 ± ✓6370 2 - 529 (H 1 :::: 12 739 ,96) H2 :::: 0,042 ⇒ H :::: 0,042km = 42m

Schritt 4: Übertragung in die Realität Bregenz ist von Konstanz aus nicht sichtbar: Stehen wir in Konstanz am Ufer des Bodensees, so befinden sich unsere Augen auch bei Basketballergröße in maximal 2 m Höhe. Wir stehen dann also am Fuße eines Wasserberges von 42 m Höhe. 42m Da müsste ein hinter dem Berg stehendes Gebäude schon sehr hoch sein, um von uns gesehen zu werden. So hohe Gebäude gibt es aber in Bregenz garantiert nicht. ► Unsere Modellierung kann also das Sichtproblem am Bodensee zufriedenstellend erklären. Übung 9 Sichtweite aus einem Ballon Robinson hat sich einen Heißluftballon gebaut und ist damit über seiner Insel bis in 100m Höhe aufgestiegen. a) Wie weit ist der sichtbare Horizont von Robinsons Standpunkt entfernt? b) Robinsons Freund ist mit einem 4 m hohen Segelbooot davongesegelt. Wie weit kann Robinson die Spitze des Bootes über den Horizont hinaus noch beobachten? Übung 10 Sichtkreis aus der Raumstation Die Internationale Raumstation ISS befindet sich in einer Höhe von ca. 400 km über derErdoberfläche(Erdradius:R=6370km). Wie groß ist der Radius r des Sichtkreises der Astronauten beim Blick auf die Erde? Hinweis: Berechnen Sie zunächst die Sichtweite s. Bestimmen Sie dann den Winkel a. und schließlich den Radius r oder verwenden Sie Katheten- und Höhensatz.

100

r

ISS

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_3_7

3. Modelle mit eingeschränktem Realitätsbezug Es gibt nicht sehr viele Anwendungsprobleme, die so einfach strukturiert sind wie die vorhergehenden Beispiele, so dass mit vertretbarem Aufwand und schulischen Mitteln realistische Modellierungen und Aussagen möglich sind. Daher muss man in der Regel auf Probleme zurückgreifen, deren Realitätsbezug nur eingeschränkt gegeben ist. Das ist aber gut vertretbar, da man auch an solchen Problemen den Modellierungsprozess verdeutlichen und die Lösungstechniken erlernen kann und der Unterhaltungswert ohne Zweifel höher ist als bei rein mathematisch formulierten Problemen.

A. Modellierungen aus der Geometrie A 1. Bewegungsaufgaben Im Gebiet der Analytischen Geometrie sind Aufgabenstellungen beliebt, die mit Flug- oder Fahrbewegungen zusammenhängen. ►

Beispiel: Flugbahnen Ein Segelflugzeug befindet sich im Landeanflug. Es wird um 12.00 Uhr an der Position A(-810113) und 80 Sekunden später an der PositionB (-612112) geortet. Zeitgleich startet um 12.00 eine Drohne vom Punkt C ( 101 610) und erreicht 100 Sekunden später die Position D (81712). a) Kommt es zur Kollision? b) Wo und unter welchem Winkel setzt das Segelflugzeug auf? Lösung zu a: Schritt 1: Analyse der realen Situation Die reale Erfassung von Flugbewegungen ist sehr kompliziert. Hochqualifizierte Fluglotsen mit komplexen technischen Ortungssystemen und hochbezahlte Piloten mit Autopilotunterstützung sorgen für den störungsfreien und sicheren Ablauf. Eine schulische Modellierung dieser Prozesse ist unrealistisch. Schritt 2: Aufstellen eines mathematischen Modells Bei solchen Problemen muss sehr stark vereinfacht werden, wenn man überhaupt eine Chance auf eine gewisse Berechenbarkeit wahren will. Wir treffen also folgende vereinfachende Modellannnahmen.

T

1. 2. 3. 4.

Die Flugobjekte bewegen sich absolut geradlinig. Die Flugobjekte fliegen mit konstanter Geschwindigkeit. Die Flugobjekte werden als ausdehnungslose Punkte angesehen. Die Angaben über Positionen, Zeiten und Geschwindigkeiten werden nicht in Frage gestellt.

J

\_..-1_38_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_d e_lli _·e_r_en_ _ _ __

Schritt 3: Lösung im mathematischen Modell: Wir stellen zunächst die Geradengleichungen f und g der Flugbahnen von Segelflugzeug und Drohne auf. Anschließend untersuchen wir, ob sich die Flugbahnen schneiden. Dazu setzen wir die rechten Seiten der Geradengleichungen gleich. Wir erhalten ein lineares Gleichungssystem mit den Lösungen r = 5 und s = 4. Dies führt auf den Schnittpunkt S (211018) der Geraden f und g. Prinzipiell liegt also ein Kollisionskurs vor. Nun müssen wir die Flugzeiten bis zum Schnittpunkt berechnen. Eine Einheit des Parameters r entspricht dem Flug des Segelflugzeugs in (den ersten) 80 Sekunden. Eine Einheit des Parameters s entspricht dem Flug der Drohne in (den ersten) 100 Sekunden. r = 5 entspricht also 400 Segelflugsekunden. s = 4 entspricht 400 Drohnensekunden. Das bedeutet tatsächlich eine Kollision. Lösung zu b: Der Winkel y, den die Flugbahn f mit dem Boden bildet, ist der Winkel zwischen dem Richtungsvektor mvon f und dessen senkrechter Projektion m' auf die x-y-Ebene. Diesen Winkel berechnen wir mit der Kosinusformel: Resultat: y :::: 19,74°

Flugbahnen: Segelflugzeug: Drohne:

Relative Lage von f und g: Gleichsetzen von f und g: I: - 8 + 2r = 10 - 2s II: 0 + 2r = 6 + s III:13 -r=0 +2s ⇒ r =5, s =4 ⇒ Schnittpunkt S (2l 10l8)

Flugzeiten bis zum Punkt S: Segelflugzeug: r = 5: 5 · 80 = 400 Sekunden Drohne: s = 4: 4 · 100 = 400 Sekunden ⇒ Kollision im Schnittpunkt S (211018)

Landungswinkel von f:

U), rrf ' =m

rrf =

L___ B_o_de_n_ _ _

~

lm·m'I 8 cos y = lml • lm'I = 3"8 :::: 0,9428 ⇒

y :::: 19,47°

Schritt 4: Übertragung in die Realität/Kritische Analyse Nun beurteilen wir die Voraussetzungen und das mathematische Ergebnis anhand der Realität. 1. Die Voraussetzungen sind schon recht unrealistisch. Segelflugzeuge können sich nicht in 13 km Höhe aufhalten, wie das die Position A (- 8 10113) besagt. Die Geschwindigkeit des Segelflugzeuges ist mit 9 Kilometern in 5 Minuten, d. h. 108 km/h noch einigermaßen realistisch. Die Geschwindigkeit der Drohne ist mit 9 Kilometern in 4 Minuten, d. h. 125 km/h sehr hoch. 2. Die Kollision ist rechnerisch möglich, aber sehr unwahrscheinlich, da weder Drohnen noch Segelflugzeuge exakt geradlinigen Kurs halten und gleichzeitig die Geschwindigkeit konstant halten können. Dieser Teil ist also mit den simplen Mitteln des Modells nicht kalkulierbar. 3. Der Segelflieger sollte sein Flugzeug bei der Landung rechtzeitig abfangen, denn ein Auftreffen unter einem Winkel von fast 20° wäre absolut zerstörerisch. Insgesamt ist die Modellierung hier nicht sehr realistisch, dennoch ist die Problemstellung theo► retisch interessant und auch mathematisch anspruchsvoll.

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_3_9

Al. Spurpunktprobleme: Schattenwurf und Reflexionen Weitere geometrische Modellierungen haben mit Spurpunkten zu tun, wie z.B. der Schattenwurf. ►

Beispiel: Schattenwurf Ein quaderlörmiges Haus in achsenparalleler Lage mit den Ecken A(0 I0I0) und 0(41413) wird von parallelem Sonnenlicht in Richtung des Vektors beleuchtet. Konstruieren Sie den Schatten des Gebäudes in der x-y-Ebene . Wie könnte man den Inhalt der Schattenfläche berechnen?

z

v

.

y

Lösung: Schritt 1: Analyse der realen Situation. Schattenwürle lassen sich relativ realistisch modellieren, da Lichtstrahlen in der Realität und im Modell exakt gerade verlaufen. Allerdings lässt sich die Komplexität der Umgebung im Modell nur schwer erlassen, was uns auf einfachste Objekte wie ein quaderlörmiges Gebäude beschränkt. Schritt 2: Mathematische Lösung im Modell: Wir bestimmen zunächst die Koordinaten der Punkte F und H, die bei der Schattenkonstruktion ebenfalls eine Rolle spielen. Dann stellen wir die Gleichung der Lichtstrahlgeraden g durch den Punkt G auf. Anschließend bestimmen wir den Spurpunkt G' von g in der x-y-Ebene, indem wir die z-Koordinate von g null setzen. Wir erhalten G'(I0l 1010).

Koordinaten der Punkte F und H:

F(4I0l3), H (0l413) Lichtstrahl g durch den Punkt G:

g:

X~

(i) +

r•

Ul

Spurpunkt von g in der x-y-Ebene:

z=0 3-r=0 r=3 ⇒ 0 '(1011010)

Analog bestimmen wir mit Lichtstrahlgeraden durch F und H die Schattenpunkte F '(l0l610) und H '(6l10I0).

F'(l01610),

Nun können wir den Schatten einzeichnen.

Skizze des Schattens:

Schattenpunkte von F und H:

H '(61 I0 I0)

z

Man könnte den Inhalt der beschatteten Fläche bestimmen, indem man sie maßstabsgetreu in ein x-y-Koordinatensystem einzeichnet. Dann erkennt man leicht, dass sie den Inhalt 48 hat.

y

►

Übung 1 Schattenwurf bei punktförmiger Lichtquelle Lösen Sie Aufgabenstellungen aus dem obigen Beispiel für den Fall, dass das Gebäude nun mit einer Punktlichtquelle an der Postition L (0I0l5) beleuchtet wird.

J

III. Modellieren

\.....- 140

Auch Reflexionsprozesse lassen sich gut mit Hilfe der Analytischen Geometrie modellieren, wie es in der folgenden Übung der Fall ist, die allerdings im zweidimensionalen Raum angesiedelt ist.

2. Billard Beim Billardspiel kommt es zu Reflexionen der Kugel an der Bande. Auf dem abgebildeten Tisch liegt die Kugel in der Position P (614). Sie wird geradlinig in Richtung des Vektors (~) gestoßen. Entscheiden Sie, ob die Kugel ins Loch bei L ( l 4I0) läuft. Lösen Sie die Aufgabe zeichnerisch und rechnerisch.

3. Lichtreflexion Ein Lichtstrahl g soll verfolgt werden. Er geht vom Punkt A (01616) aus und 1' läuft in Richtung des Vektors ( auf die

=1)

x-y-Ebene zu, an der er reflektiert wird. Wo trifft der Strahl auf die x-y-Ebene? Wie lautet die Geradengleichung des dort reflektierten Strahls h? Wo trifft dieser Strahl danach die x-z-Ebene?

4. U-Boote Das Forschungs-V-Boot Ul wird von zwei Hilfsschiffen A und B begleitet. Zu Beobachtungsbeginn ist das erste Schiff an der Position A (01010) und ortet von dort das U-Boot in Richtung des x u, Vektors v\ (Vektoren s. rechts). Zeitgleich ist das Schiff Ban der Position B (-41 1010) und ortet das U-Boot in Richtung des Vektors 2• 10 Minuten ( Ol ( später orten beide Schiffe das U-Boot an v\ = -~ V2 = Y3 = der Position C(l0l20 l-9). (Alle Längenangaben sind in der Einheit 100 m angegeben). a) Wo befindet sich das U-Boot zum Zeitpunkt der ersten Ortung? b) Welche Geschwindigkeit hat das U-Boot Ul auf seinem Kurs? Mit welcher Geschwindigkeit steigt es nach oben bzw. sinkt es nach unten? c) Wo befindet sich das U-Boot Ul nach 60 Minuten? Wie lange kann es seinen Kurs unverändert halten? d) Ein zweites U-Boot U2 befindet sich zum Zeitpunkt der ersten O1tung an der Position P (- 101551-2) und fährt in Richtung des Vektors v\ . Ist es auf Kollisionskurs zu Ul? Seine Geschwindigkeit beträgt l0km/h. Kommt es zur Kollision der U-Boote? e) Unter welchen Winkeln gegen die horizontale Wasseroberfläche fahren die Boote?

v

=~2)

(10)

=~

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_4_1

S. Pyramide Eine quadratische Pyramide steht achsenparallel im Koordinatensystem mit einer Grundlinienlänge von 6 m und einer Höhe von 8 m. Sie wird von Sonnenlicht in Richtung des Vektors beleuchtet. Der Punkt A hat die Koordinaten A(61210).

v

a) Bestimmen Sie die Koordinaten der restlichen Eckpunkte der Pyramide. b) Bestimmen Sie den Schatten S ' der Pyramidenspitze S. c) Bestimmen Sie die Begrenzungsgeraden des Pyramidenschattens in der x-y-Ebene. d) Bestimmen Sie Mantelfläche und Volumen der Pyramide und den Inhalt der Schattenfläche. e) Ein Mann mit einer Größe von 2 m steht an der Position P ( 13 l 15 I0). Ist der Kopf des Mannes in der Sonne oder im Schatten?

6. Flugbahnen Flugzeug Alpha fliegt geradlinig durch die Punkte A(-81312) und B (-41- 114). Eine Einheit im Koordinatensystem entspricht einem Kilometer. Der Flughafen F befindet sich in der x-y-Ebene. a) In welchem Punkt Fist das Flugzeug gestartet? In welchem Punkt T erreicht es seine Reiseflughöhe von l0000m? -2 b) Flugzeug Beta steuert Punkt C(l0l-1015) aus Richtung = ( an. Zeigen Sie, dass die beiden Flugzeuge keinesfalls kollidieren können. -1 c) In dem Moment, an dem Flugzeug Alpha den Punkt B passiert, erreicht Flugzeug Beta den Punkt C. Wie groß ist die Entfernung der Flugzeuge zu diesem Zeitpunkt? d) Beim Passieren von Punkt C wird Flugzeug Beta vom Tower aufgefordert, in Richtung

v

2)

v = C~) weiterzufliegen. In 1000 m Höhe soll eine weitere Kursänderung erfolgen, die

Flugzeug Beta zum Flughafen F b1ingt. In welche Richtung muss diese letzte Korrektur das Flugzeug führen?

7. Billard In welchem Punkt trifft die vom Punkt P(214) in Richtung des Vektors (_~) geradlinig gestoßene Billardkugel die Bande C erstmals? Bestimmen Sie den gesuchten Punkt zeichnerisch und rechnerisch.

y

Bande C

14 Q

CO

C1)

C1)

'"O

'"O

@

P(2I4)

CO

0

c::~

CO

---BandeA

22 X

..J

\_..-1_42_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

8. Modellierungen aus der Analysis 81. Kurvenanpassungen Brücken, Torbögen und Kirchengewölbe werden durch quadratische Parabeln oder Exponentialfunktionen modelliert. Das hat physikalische Gründe, die mit den Gesetzen der Schwerkraft zusammenhängen. Insofern sind diese Modelle in physikalischer Hinsicht angemessen. ►

Beispiel: Der Gateway-Arch in St. Louis In St. Louis im US-amerikanischen Staat Missouri steht der abgebildete Bogen, der an den Zug nach Westen erinnern soll. ie äußere Randkurve ist 180 m hoch und an der Basis 180m breit. ie innere Randkurve ist 175 m hoch und an der Basis 150m breit. ren Sie dazu die Tragebögen durch quadratiktionen f I und f2.

'

a) In welcher Höhe h beträgt der Abstand der beiden inneren Bogenseiten l00m? b) Unter welchem Winkel a trifft der äußere Bogenrand auf den Boden? c) Der Winddruck auf den Bogen - der für di,e Standfestigkeit wichtig ist - wird durch die Fläche A zwischen den Randkurven f 1 und f2 beeinflusst. Welchen Inhalt hat diese Fläche? Schritt 1: Mathematisches Modell Wir legen den Ursprung des Koordinatensystems so auf den Erdboden, dass der Bogen achsensymmetrisch zur y-Achse ist. Dann lautet der Ansatz für die Parabelgleichung f (x) = ax 2 + c. Schritt 2: Lösung im mathematischen Modell Wir bestimmen die Parabelgleichungen: Für die äußere Randkurve f I gilt: f 1 (0) = 180 und f 1 (90) = 0. Daraus ergibt sich c = 180 und a = - ,f5 . Also gilt:

f 1(x) = -

Analog folgt: f2 (x) = -

1 2 x 45

Bestimmung der Randkurven f 1 und / 2: f 1 (x) = a x 2 + c (Ansatz) fl (0) = 180 ⇒ C = 180 f 1 (90) = 0 ⇒ a • 902 + 180 = 0 ⇒ a = - ]5 ⇒ f 1 (x) = - 415 x2 + 180 f 2(x) = ax 2 + c (Ansatz) f2(0) = 175 ⇒ C = 175 f 2(75) = 0 ⇒ a · 75 2 + 175 = 0 ⇒ a = ⇒ f 1 (x) = - 2 5 x 2 + 175

l

+ 180

i x2 + 175

2 5

Lösung zu a: Die Skizze zeigt, dass wir die Höhe des inneren Randbogens bei x = 50 berechnen T müssen. Sie beträgt f2 (50) = 97,22m.

Bestimmung der Höhe h: f (50)=502 + 175 2

i

2 5

=97,2

-50

50

; 2 5

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_4_3 J

Lösung zu b: Wir bestimmen zunächst f 1 '(x) = - fs x. Dann folgt f 1 '(90) = - }5 • 90 = -4 Also gilt tan a = -4, woraus folgt: a.:;::: - 75,96° Lösung zu c: Wir berechnen die gesuchte Stirnfläche A des Bogens, indem wir die Fläche A 1 unter dar Außenparabel f 1 über dem Intervall [-90; 90] berechnen und davon die Fläche A 2 unter der Innenparabel f 2 über dem Intervall [-75 ; 75] subtrahieren.

Bestimmung des Winkels a: f 1'(x) = - 4; X fl '(90) = _ .1._ • 90 = -4 45 ⇒

a. = arctan (-4)::::: -75,96°

Berechnung der Stirnfläche A:

&: 90

A1 =

J(- 415 x2 + 180) dx

-90

Wir erhalten als Resultat: A =A 1 -A2 = 21600 - 17500 = 4100m2. Das ist schon eine riesige Fläche, auf die der Wind bei Sturm mit einer großen Kraft und bei einem großen Hebelarm drückt, weshalb der Bogen sehr starke Fundamente benötigt.

1 X3 -- [ - 135 75

A2 =

+ 180x ]90 _

90

--

21600

f (- 2i5 x2 + 175) dx

-75 75

=[- 6~5 x 3 + 175x]_

75

= 17500

A = A 1 - A2 = 21 600 - 17 500 = 4100

Schritt 3: Übertragung in die Realität/Analyse In der Realität sind die Tragebögen keine exakten Parabeln, sondern Kettenlinien, d. h. Exponen. tialfunktionen. Außerdem reicht es für die Beurteilung des Winddrucks nicht, lediglich den Inhalt ► der Stirnfläche des Bogens zu betrachten.

Übung 8 Gateway-Arch Man kann den Gateway-Arch aus dem vorigen Beispiel auch mit zwei Exponentialfunktionen modellieren. Dann wird für beide Bögen eine Kettenlinie der Form f (x) = b -

½· (e¾ + e-¾) ver-

wendet. Dabei haben die Parameter a und b mit guter Annäherung folgende Werte: Äußerer Bogen: a = 36,50 und b = 216,5. Innerer Bogen: a = 28,14 und b = 203,14. Es sollen wieder die folgenden Ausgangsdaten gelten: Die äußere Randkurve ist 180 m hoch und an der Basis 180m breit. Die innere Randkurve ist 175 m hoch und an der Basis 150m breit. a) Zeigen Sie, dass die oben angegebenen Annäherungswerte für a und b für beide Bögen relativ gut zu den angegebenen Ausgangsdaten von Höhe und Breite passen. b) Lösen Sie die Aufgabenstellungen a)-c) aus dem obigen Beispiel für diesen exponentiellen Modellansatz. Sie können bei b) und c) zur Vereinfachung annehmen, dass die Nullstellen des äußeren Bogens bei ±90 und die des inneren Bogens bei ±75 liegen. Vergleichen Sie die Resultate mit den Resultaten aus dem Beispiel. c) Könnte ein Kunstflieger mit einer Spannweite von 30 m in einer Höhe von 170m unter dem Gateway-Arch hindurchfliegen?

III. Modellieren

\.....- 144

►

Beispiel: Sandvorspülung y

Kliff

f Sandvorspülung 0

Nordsee 10

20

30

X

Die Steilküste einer Nordseeinsel bricht durch die Gewalt der herbstlichen See immer wieder ab. Daher wird sie durch regelmäßige Sandvorspülungen geschützt. In einem 500 m breiten Küstenabschnitt besteht die Vorspülung aus einem 10m breiten ebenen Strandstreifen und einem 20 m breiten leicht abschüssigen Streifen, der an seinem oberen Ende eine Dicke von 4 m hat. Er soll laut Planungsamt durch eine Profilkurve der Form f (x) = a2 erfasst werden. X

Wie ist a zu wählen? Wird der Sandvorrat von 25 000 Kubikmetern ausreichen? Lösung: Schritt 1: Analyse der realen Situation Das Vorhaben selbst ist realistisch und gut erprobt, z. B. auf der Nordseeinsel Sylt. Eine mathematische Funktion wird man zur Modellierung eher nicht verwenden. Dafür liegt kein vernünftiger Grund vor. Die leichte Abschüssigkeit des Strandabschnittes erscheint sinnvoll. Der Sand wird in der Praxis dem Meer entnommen und nicht aus einem angelegten Vorrrat. Schritt 2: Mathematisches Modell Als Modell wird die Potenzfunktion (mit negativem Exponenten) f (x) = a2 verwendet. X

Schritt 3: Lösung im mathematischen Modell Da der abschüssige Streifen an der Stelle x = 10 beginnt und dort die Höhe 4 hat, gilt f(l0) =4, woraus a =400 folgt.

Bestimmung des Parameters a: Ansatz: f (10) =4 ⇒ 2,- =4 ⇒

10-

a =400

⇒ f(x) = 400 x2

Nun können wir die Querschnittstläche der Vorspülung berechnen. Der ebene Strandteil hat die Breite 10 und die Höhe f(l0) =4. Die Fläche beträgt daher A 1 = 40m2 . Die Querschnittsfläche A2 des durch f beschriebenen abfallenden Strandteils berechnen wir als Integral (s. rechts). Die gesamte Querschnittsfläche istA =66,67. Das Sandvolumen V ergibt sich als Produkt aus Querschnittsfläche A und Strandlänge (500 m). Es gilt V::::: 33 333 m3 . Der Sandvorrat reicht also nicht aus.

Berechnung der Flächen A 1 und A2:

A 1 = 10 • f(l0)

= 10 • 4 =40m2

30

A2 =

f:~ dx =[-

4 0 ~ ]:::::::

26,67 m 2

10

A =A 1 + A2 ::::: 40 + 26,67 =66,67 m2

Berechnung des Sandvolumens:

V= A • 500 ::::: 66,67 • 500 = 33 333 m3

Schritt 3: Übertragung in die Realität/Analyse Trotz aller Einschränkungen kann man mit dieser einfachen Modellierung die benötigten Sandmengen grob einschätzen. Die Planierung des Geländes wird in der Praxis sicher nicht mit einer ► Hyperbelfunktion erfolgen, sondern improvisiert werden.

_ _ _ _ _3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_4_5

9. Radweg y Ein neuer Radweg soll auf einer Länge von 5 m um 2m nach unten geführt werden (s. Abb.). Der Übergang soll durch einen Hang erfolgen und möglichst sanft verlaufen. a) Modellieren sie den Radweg durch ein Polynom f dritten Grades. Bestimmen Sie zusätzlich die Steigung an der steilsten Stelle des Hanges. Wie groß ist dort der Neigungswinkel des Hanges? 0 2 4 5 x b) Lösen Sie die Problemstellungen aus a) durch Modellierung mit einem Polynom fünften Grades der Gestalt g(x) =ax5 + bx4 . c) Skizzieren Sie die Graphen von f und g in einem gemeinsamen Koordinatensystem. Vergleichen Sie die Modellierungen aus a) und b). 10. Brücke Eine Brücke spannt sich über einem 60m breiten Fluss. Die seitlichen Flussböschungen haben einen Neigungswinkel von 45°. Der Brückenbogen trifft auf beiden Seiten senkrecht auf den Hang. Die Fahrbahn verläuft in 4 m Höhe über dem

X

60m

Brückenbogen. a) Bestimmen Sie eine ganzrationale Funktion 2. Grades, die den Brückenbogen modelliert. b) Bestimmen Sie die maximale Durchfahrtshöhe unter dem Brückenbogen. c) Wie weit darf sich ein Schiff, das eine Masthöhe von 11,25 Metern hat, bei der Durchfahrt unter der Brücke von der Mittellinie des Flusses entfernen? d) Die grau eingezeichnete Seitenfront der Brücke ist 64 m lang. Sie soll gestrichen werden. Bestimmen Sie die Größe der zu streichenden Fläche.

11. Milchflasche Die Randkurve einer Milchflasche soll durch drei Funktionen f, g und h modelliert werden. Jede Funktion erhält bei einer gemeinsamen x-Achse zur Vereinfachung der Funktionsgleichung eine eigene y-Achse, wie es die Abbildung zeigt. Die Funktion f, ist eine Wurzelfunktion vom Typ f(x) =a · x4. Die Funktion g (x) ist eine horizontal verlaufende Gerade vom Typ g(x) = b. Die Funktion h (x) ist ein Polynom dritten Grades vom Typ h (x) =cx3 + dx + e. a) Bestimmen Sie mit den Angaben aus der Zeichnung a, b, c, d und e. b) Berechnen Sie die abgebildete Längsschnittfläche der Flasche. c) Bestimmen Sie in drei Schritten mit der Rotationsformel das Volumen der Flasche. d) Beurteilen Sie die Vorzüge und die Schwächen des Modells.

J

\_..-1_46_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

82. Trassierung, Modellierung von Bahngleisen Beim Bau von Eisenbahnstrecken der Deutschen Bahn sind komplizierte Planungen und Berechnungen erforderlich. Der räumliche Verlauf der Bahnstrecke muss geplant und gesetzlich abgesichert werden, Landschaftsveränderungen sind erforderlich, Tunnel müssen geplant werden, die Neigung der Schienen in schnellen Kurven muss berechnet werden und die zulässigen Querbeschleunigungen müssen festgelegt werden. Es ist nicht vorstellbar, hier auf schulischem Niveau realistische Modellierungen durchführen zu können. Aber es ist schon möglich, stark eingeschränkt Teilaspekte zu betrachten. ►

Beispiel: Trassierung eines Gleises Auf einem Rangierbahnhof verlaufen zwei Gleisehund g wie abgebildet im Abstand von 4 LE parallel zueinander. Eine s-förmige Kurve f soll die Gleise auf einer Strecke von 20 LE verbinden. Die Ansatzpunkte sollen möglichst sanft und ohne Ruck durchfahren werden können. Gesucht ist eine Funktion f, die hierfür geeignet ist (1 LE = 10m). 2

-10 IIJ III II llllJlll llJ 11111 UI

f

mn 1111111111111111111 m g

Xo= 10 -2

h

1 LE= 10m

Lösung: Schritt 1: Analyse der realen Situation Über die Komplexität der realen Trassierungsprobleme wurde oben schon gesprochen. Die Forderung nach Ruckfreiheit dagegen ist sicher realistisch. Schritt 2: Das mathematische Modell Wir haben hier nur die Möglichkeit, den Schienenverlauf durch einfachste mathematische Funktionen wie Polynome zu modellieren, die wir auch rechnerisch beherrschen können. Aber es ist nicht anzunehmen, dass diese Funktionen auch wirklich völlig praxistauglich sind. Schritt 3: Lösung im mathematischen Modell Die Gleisführung muss laut Bild oben einen Wendepunkt enthalten. Also ist die einfachste Funktion, die in Frage kommt, eine Polynomfunktion f dritten Grades f(x ) = ax3 + b x 2 +ex+ d. Legen wir das Koordinatensysstem - wie in der Zeichnung oben schon angedeutet - zentral in die Mitte der Konfiguration, so ist f punktsymmetrisch. Das bedeutet, dass b = 0 und d = 0 gilt und der Ansatz für die gesuchte Funktionsgleichung sich zu f (x) = ax3 + ex vereinfacht. Wir bestimmen auch gleich die Ableitungen f' und f ", da bei diesem Fahrbahnproblem Steigung und Krümmung der Bahn T sicher eine Rolle spielen werden.

Funktionsansatz für das Gleis f: f(x) =ax 3 +cx f'(x) = 3ax2 + c f"(x)=6ax

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_4_7

Folgende Forderungen muss die Trasse f erfüllen: An der Anschlusstelle x0 = 10 müssen f und g exakt aneinander stoßen. Es darf kein Zentimeter gefährlicher Versatz - d. h. kein Sprung entstehen. Ein solcher würde das Rad nämlich unweigerlich zerstören. Diese Forderung führt auf Gleichung I. An der Anschlussstelle darf auch kein Knick entstehen, denn der würde einen sehr harten Schlag auf Rad und Lenkung auslösen. Diese Forderung führt auf Gleichung II.

Forderungen an f: I: Übergang ohne Versatz: f (x 0) = g (x0) II: Übergang ohne Knick: f'(x0) = g'(x0) I : f( l0) = g(l0) II: f'( l0) = g'(l0) I : 1000a + 10c = 2 II: 300 a + c = 0

Wir lösen das Gleichungssystem nach dem Additions- oder dem Einsetzungsverfahren und erhalten a = -0,001 und c = 0,3.

Lösen des Gleichungssystems: l0II-I: 2000a=-2 ⇒ a=-0,001 in II: -0,3 + c = 0 ⇒ c = 0,3

Also lautet die Gleichung der gesuchten versatzfreien und knickfreien Trasse: f (x) = -0,001 x3 + 0,3 x.

Gleichung der Trasse: f(x) = -0,001 x3 + 0,3

Schritt 4: Realitätsbezogene Beurteilung des Resultats Die obige Trasse ist nicht optimal. Die Funktion f hat an der Anschlussstellen bei x = 10 ein Maximum. Sie schließt also versatz- und knickfrei an das Gleis g an. Während g aber dort ganz gerade ist, hat f dort im Maximum eine Krümmung, was man auch in Bild 1 unten gut sieht. Stellt man sich nun einen Radfahrer vor, der die Strecke f durchfährt, so müsste der Radfahrer den eingeschlagenen Lenker aus der Kurvenfahrt ruckartig in eine gerade Stellung reißen, sobald er die Stelle x0 = 10 erreicht, um auf die Gerade g einzuschwenken. Man spricht dann von einem Krümmungsruck. Mathematisch erkennt man diesen Ruck daran, dass f"(l0) = -0,06 < 0 (Rechtskrümmung von f) gilt, aber g"(l0) = 0 (keine Krümmung von g). Schritt 5: Korrektur des Modells Um den Krümmungsruck zu beseitigen, müssen wir eine weitere Bedingung sichern, nämlich dass die Krümmung der beiden Kurven an der Anschlussstelle x 0 ebenfalls übereinstimmt, d. h. dass dort f' (x0) = g"(x0) gilt. Dies führt zum rechts aufgeführten Trassierungsktiterium.

Die ruckfreie Verbindung zweier Trassen f und g ist gesichert, wenn folgende Bedingungen gelten. I: f (x0) = g (x0) Versatzfreihei t II: f '(x0) = g'(x0) Knickfreiheit ill: f " (x0) = g "(x0) Ruckfreiheit

Trassierung mit Krümmungsruck Funktion dritten Grades

Trassierung ohne Krümmungsruck Funktion fünften Grades

Trassieru11gskriterium

g

g

...

h

Bild 1

Bild 2

J

\_..-14 _ 8_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

Die neu zu suchende Funktion f muss also wieder punktsymmetrisch sein, aber drei Bedingungen erfüllen. Das geht nur mit einem Polynom 5. Grades.

Neuer Ansatz für f: f(x) = ax 5 + cx3 + ex f'(x) = 5ax4 + 3cx2 + e f"(x) = 20ax3 + 6cx

Wir erhalten nun drei Bedingungen, die auf ein lineares Gleichungssystem führen. Wir lösen das Gleichungssystem nach dem Additionsverfahren oder nach dem Gaußsehen Algorithmus. Die Lösungen lauten: a =0,000007 5, c =-0,0025 und e =0,375

Forderungen an f: I: Übergang ohne Versatz: f (x0) II: Übergang ohne Knick: f '(x0) III: Übergang ohne Ruck: f "(x0)

Also lautet die Gleichung der gesuchten versatz-, knick- und ruckfreien Trasse: f(x) = 0,000007 5 x2 - 0,0025 x + 0,375

=g (x0) =g'(x0) =g"(x0)

I: f(l0) =g(l0), 100000a + 1000c +l0e =2 II: f'(l0) =g'(l0), 50000a + 300c + e =0 III: f"(l0) =g"(l0), 20000a + 60c =0 Lösungen des linearen Gleichungssystem: a =0,000007 5, c =-0,0025 und e =0,375

Schritt 6: Übetragung in die Realität/Analyse Die Trasse ist nun im Rahmen der gestellten Anforderungen optimal. Schienen und Räder sind den geringstmöglichen Belastungen ausgesetzt. In der Praxis dürften Trassierungsprobleme den► noch deutlich komplexer sein.

Übung 12 Radfahrschule Auf dem Schulhof soll für die Fahrradschulung eine Radspur eingezeichnet werden, die die geraden Zuführungen durch ein quadratisches Polynom verbindet. Die Zuführungen stehen rechtwinklig zueinander. a) Ist die Kurve versatz- und knick.frei ausführbar? b) Allgemeine Frage: Kann eine Bahn mit der Gleichung f (x) = x2 an einer geradlinigen Ausfahrt krümmungsruckfrei verlassen werden? Übung 13 Verkehrsinsel Die neue Straße soll über den Punkt P (0110) um eine kleine Verkehrsinsel herumgeleitet werden. Modellieren Sie den Umleitungsbogen auf drei verschiedene Arten: a) mit einer quadratischen Parabel b) mit einem Polynom 4. Grades c) mit einem Polynom 6. Grades Diskutieren Sie anschließend die drei Modelle im Vergleich.

y

Fahrschule

y P(0ll0)

---g

-15

15

X

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_4_9 J

83.

Wachstumsprozesse

Für Wachstumsprozesse existieren zahlreiche mehr oder weniger zutreffende Modelle vom linearen Wachstum über quadratisches und exponentielles Wachstum bis hin zum logistischen Wachstum. Entsprechendes gilt für Abnahme- und Zerfallsprozesse. Diese Modelle gewinnt man in der Regel mit Hilfe von Differentialgleichungen. Damit wollen wir uns aber hier nicht befassen, sondern nur mit der Anwendung der fertigen Modelle. ►

'

Beispiel: Gigantische Kakteen Der Saguaro-Kaktus ist das Kennzeichen des amerikanischen Westens und die Nationalblume von Arizona. Für seine Höhenfunktion h wählen wir den Ansatz des begrenzten Wachstums h(t) = a - be-kt als Modell. Die Parameterwerte seien a = 16, b = 15,9 und k = 0,02. (h: Höhe in Metern, t: Zeit in Jahren.) Versuchen Sie, mit diesem Modell folgende Fragen zu beantworten: a) Wie hoch war die Pflanze zu Beginn des Wachstumsprozesses? b) Welche Endgröße wird der Kaktus voraussichtlich erreichen? c) Im Jahr 2018 war der Kaktus 15,71 m hoch. Wie alt war er zu diesem Zeitpunkt? d) Wie groß war die momentane Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn des Prozesses und wie groß wird sie im Jahr 2030 sein? e) Wie groß war insgesamt die mittlere Wachstumsrate bis zum Jahr 2018? Lösung zu a (Anfangsgröße): h (0) = 16 - 15,9 · e- 0,02 • 0 =0,1 m Die Anfangsgröße betrug 0, 1 m = 10 cm. Lösung zu b (Grenzgröße): lim (16 - 15,9 · e- 0 ,02 • 1) = 16 1-

00

Die Grenzgröße beträgt 16 m. Lösung zu c (Alter des Kaktus): Der Ansatz h(t) = 15,71 zieht folgende Rechnung nach sich: h (t) = 15,71 (Ansatz) -0,02. t - 16 - 15,71 - 0 0182 e 15,9 - ' -0,02 · t = ln (0,0182) = -4,004 t ~ 200 Jahre

Lösung zu d (Momentane Wachstumsraten): h'(0) = 0,318m/Jahr = 31,8cm/Jahr Am Anfang wuchs der Kaktus mit einer Rate von ca. 32cm/Jahr. Im Jahr 2018 war der Baum ca. 200 Jahre alt. Im Jahr 2030 wird er daher 212 Jahre alt sein. h'(212) = 0,318 · e- 0 ,02 • 212 = 0,0046m/Jahr Er wächst dann nur noch um 0,46 cm/Jahr. Lösung zu e (Mittlere Wachstumsrate): t.h = h(200)- h(O) = 15,71- 0,10 ~ 0 /Jahr M 200 - 0 200 - 0 ~ ' 078 m Die mittlere Wachtumsrate in den ersten 200 Jahren betrug ca. 7,8cm/Jahr.

Der Kaktus war 2018 ca. 200 Jahre alt. Übertragung in die Realität/Analyse: Pflanzen wachsen in der Praxis selten nach dem Modell des begrenzten Wachstums, sondern fast immer nach dem Modell des logistischen Wachstums. Ein wichtiger Unterschied besteht darin, dass beim begrenzten Wachstum die Wachstumsgeschwindigkeit zu Beginn am größten ist, beim logischen Wachstum aber beim Erreichen der halben Grenzhöhe. Das gilt auch für den Saguaro-Kaktus. Insofern ist unser Modell gut rechenbar, aber ► nicht ganz realistisch.

III. Modellieren

\.....- 150

Auch Abkühlungsprozesse erfolgen nach dem Modell des begrenzten Wachstums und Zerfalls. ►

Beispiel: Abkühlung von Tee

Modell des Abkühlungsprozesses Billy Ball hat sich eine Kanne Tee geDie Abkühlungsfunktion lautet: kocht. Die Temperatur T fällt in den ersten T (t) = a + b • e- kt beiden Minuten vom 100 °C auf 90 °C. Dabei gilt folgender Zusammenhang: Die Umgebungstemperatur beträgt 20 °C. a + b: Ist die Anfangstemperatur T (0) Verwenden Sie das rechts dargestellte maa: Ist die Umgebungstemperatur, thematische Modell für den Prozess, um die sich für t - oo langfristig einfolgende Fragen zu klären: stellt. a) Wie lautet die Abkühlungsfunktion? b) Wie lange dauert es, bis der Tee auf eine Trinktemperatur von 50 °C abgekühlt ist?

Lösung zu a: Abkühlungsprozesse verlaufen nach dem Modell der begrenzten Abnahme, also nach der Formel T (t) = a + b • e-kt (k > 0). Dabei ist hier t die Zeit in Minuten. Wir haben zwei Grundinformationen: Die Umgebungstemperatur beträgt 20 °C und die Anfangstemperatur ist T (0) = 100 °C. Daraus folgt (s. Kasten): a = 20, a + b = 100 und weiter b = 80. Damit ergibt sich T (t) = 20 + 80 . e-kt_ Aus der dritten Information T (2) = 90 errechnen wir durch eine logarithmische Rechnung k = 0,0668. Die Abkühlungsfunktion ist damit gefunden: T (t) = 20 + 80 · e- 0,06681 . Lösung zu b: Der Ansatz T (t) = 50 führt nach nebenstehender Rechnung auf eine Abkühlungszeit von ca. 14,68 Minuten. So lange muss Billy warten, bis er den Tee hinken kann. Analyse/Realität: Das Abkühlungsmodell . berücksichtigt zusätzliche Abkühlungs► maßnahmen wie Rühren oder Blasen nicht.

Bestimmung der Abkühlungsfunktion:

T (t) = a + b · e-kr (Ansatz) Turngebung = Too = 20 ⇒ a = 20 T (O) = 100 ⇒ a + b = 100 ⇒ b = 80 T (t) = 20 + 80 · e-kt Bestimmung von k: T (2) = 90 20 + 80 · e-k • 2 = 90 e-k- 2

= 2.8

-2k=In (i) k::::: 0,0668 ⇒ T (t) = 20 + 80. e-ü,ü668t

Bestimmung der Abkühlungsdauer:

T (t) = 20 + 80 · e- 0,06681 = 50 e-0,06681 - l - 8

-O,O668t = In ¾ t = 14,68min

Übung 14 Milchtee Billy möchte seinen Tee mit der gleichen Menge Milch von 20 °C mischen. Er möchte ihn bei 50 °C trinken. Sollte er die Milch sofort zugeben oder erst später, um schnell auf 50 °C zu kommen. a) Berechnen Sie die Abkühlungszeit bis auf eine Trinktemperatur von 50 °C, wenn dem 100 °C heißen Tee die gleiche Menge Milch sofort zugesetzt wird ( Tipp: T (t) = 20 + 40 . e- 0,06681). b) Berechnen Sie die Abkühlungszeit bis auf 50 °C, wenn der Tee zunächst auf 8O°C abkühlt und dann erst die gleiche Menge Milch zugesetzt wird (Tipp: T (t) = 20 + 80 • e-0,06681). c) Die Milch wird zum Mischen direkt aus dem Kühlschrank entnommen. Ihre Temperatur beträgt 10 °C. Welches der Vetfahren führt schneller auf die Temperatur von 50 °C? I: ,,Erst mischen, dann abkühlen" oder II: ,,Erst auf 90 °C abkühlen, dann mischen"

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_5_1

15. Suppe kochen am Mount Everest Ein Outdoor-Ausrüster stellt Suppen für Bergexpeditionen her. In großer Höhe verlaufen Kochvorgänge deutlich anders als auf Meereshöhe, da der Luftdruck erniedrigt ist. Auf dem Mount Everest kocht Wasser bereits bei 70 °C. Dies ist also die maximal mögliche Temperatur. Ein Bergsteiger stellt fest, dass seine auf70 °C erhitzte Suppe sich in einer Minute auf 64 °C abgekühlt hat. Die Außentemperatur beträgt - 20 °C. Verwenden sie das Modell der Newtonschen Abkühlungsfunktion T(t) =Tu + c · e-~-r (t: Zeit in min, Tu: Umgebungstemperatur in °C), um folgende Fragen zu klären. a) Wie lautet die Gleichung der Abkühlungsfunktion? Bestimmen Sie dazu die Parameter Tu, c und k. b) Wie lange muss der Bergsteiger warten, wenn er seine Suppe bei 40 °C essen möchte? c) Wie groß ist die Abkühlungsrate zu Beginn des Prozesses bzw. zu Beginn der Mahlzeit? 16. Bienenvolk Der Bestand eines Bienenvolkes wird durch die Funktion N (t) = a + be-kt erfasst. t ist die Zeit seit Beobachtungsbeginn in Wochen und N (t) die Anzahl der Individuen in Tausend. Anfang Mai hat das Bienenvolk einen Anfangsbestand von 5000 Bienen. Eine Woche später sind es schon 24 440. Der Grenzbestand liegt erfahrungsgemäß bei ca. 80 000 Bienen. a) Bestimmen Sie die Gleichung von N. b) Zeichnen Sie den Graphen von N mit Hilfe einer Wertetabelle (0 $ t $ 12). c) Welcher Bestand liegt nach drei Wochen vor? d) Nach welcher Zeit hat der Anfangsbestand sich verachtfacht? e) Wie groß ist die Wachstumsgeschwindigkeit (gemessen in 1000 Individuen pro Woche) zu Beginn des Wachstumsprozesses bzw. nach 12 Wochen? t) Als das Bienenvolk einen Bestand von 40 000 Bienen erreicht hat, wird es von einer Krankheit befallen. Die Anzahl der Bienen nimmt nun rein exponentiell ab und ist schon nach einem Tag auf 35 000 Bienen gesunken. Zeichnen Sie den weiteren Verlauf in die Graphik aus b) ein. 17. Stadt Die Einwohnerzahl einer Stadt wird modellhaft beschrieben durch N 1 (t) = 30000 • e-o,o5 i 3 t_ Dabei ist t die Zeit in Jahren und N 1 (t) die Einwohnerzahl zum Zeitpunkt t. a) Welche Einwohnerzahl liegt nach fünf Jahren vor? b) Wann fällt die Einwohnerzahl auf 20 000 Einwohner? c) Wie groß ist die momentane Abnahmerate zu Beginn des Prozesses bzw. nach 10 Jahren? d) Die Einwohnerzahl einer anderen Stadt wird beschrieben durch N2 (t) = 10000 • e0,0953 11 . Wann sind beide Städte gleich groß? Wie groß sind sie dann? e) Wann ist die Summe der Einwohnerzahlen beider Städte minimal?

..J

\_..-1_52_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

84. Änderungsraten und Bestandsrekonstruktionen Bei zeitlich ablaufenden Prozessen, welche durc.h eine Funktion f(t) erfasst werden können, wird die Änderungsrate durch die Ableitung f' (t) erfasst. ►

Beispiel: Freier Fall Ein Stein fällt von einem 50 m hohen Turm zu Boden. Welche Geschwindigkeit hat er beim Aufschlag?

Lösung: Der Fallweg s beim freien Fall wird durch die Funktion s (t) = - J t2 erfasst. Dabei ist g = 9,81 m/s die Fallbeschleunigung. Also gilt angenähert s(t):::: -5t2 . Zunächst berechnen wir die Fallzeit t. Der Ansatz s (t) = 50 führt auf die Gleichung - 5 t2 = - 50, woraus t2 = 10 und t = 3,16 Sekunden folgt. Die Geschwindigkeit v ist die zeitliche Änderungsrate des Weges s. Daher gilt v(t) = s'(t) = -l0t. Setzen wir hier t = 3,16 ein, so erhalten wir die Auf► schlaggeschwindigkeit v = -31,6 m/s = -113,S km/h.

t=O

s=O

t =2

s = 20

t =3

s = 45

Im obigen Beispiel wurde von der gegebenen Größe auf deren Änderungsrate geschlossen. Umgekehrt kann man aus der Änderungsrate die Ursprungsgröße selbst rekonstruieren. ►

Beispiel: Testfahrt Bei einer kurzen Testfahrt mit einem Sportwagen wurde dessen Geschwindigkeit v mittels Fahrtenschreiber aufgezeichnet. Sie kann durch die Funktion v(t) = -½t2 + 12t erfasst werden. a) Nach welcher Zeit kommt das Fahrzeug zu stehen? b) Bestimmen Sie die Weg-Zeit-Funktion s des Fahrvorgangs. c) Welche Strecke hat es insgesamt zurückgelegt?

"§ -" ., ".:: .,

100

-0

/;/l

0)

~

50

~

Sekunden

5

Lösung: a: Der Fahrvorgang beginnt zur Zeit t = 0 und endet, wenn das Fahrzeug steht, d. h. wenn v (t) = - ½t2 + 12 t = 0 gilt. Diese Gleichung hat außer t = 0 die zweite Lösung t = 24. Die Testfahrt dauert also 24 Sekunden. b: Die Geschwindigkeit v ist die zeitliche Änderungsrate des Weges s, d.h. es gilt v(t) = s'(t). Umgekehrt ist der Weg s daher eine Stammfunktion der Geschwindigkeit v. Also gilt: s (t) =

f V ( t) dt = f (-½ t2 + 12 t) dt = -¼ t3 + 6 t2 + C.

Es ist sinnvoll, von einer Weg-Zeit-Funktion s mit s (0) = 0 auszugehen. Das führt auf C = 0. . c: Die insgesamt zurückgelegte Strecke errechnet sich nun folgendermaßen: ► 11s = s(24)- s(0) = 1152- 0 = 1152m

Übung 18 Bremsweg eines Schlittens Ein Schlitten wird aus einer Geschwindigkeit von 40 m/s mit einer Bremsverzögerung von 8 m/s 2 abgebremst. Während des Bremsens wird die Geschwindigkeit des Schlittens dann durch die Funktion v (t) = 40 - 8 t erfasst (t in s, v in m/s). a) Wie lautet die Funktion s für den Bremsweg? Wie lang ist der Bremsweg bis zum Stillstand? b) Wie muss die Bremsverzögerung geändert werden, wenn der Schlitten nach 25 m stehen soll?

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_5_3 J

Im folgenden Beispiel geht es um die Geschwindigkeit eines Schattens bei der Beleuchtung eines bewegten Objektes, was wir alle schon einmal beobachtet haben. ►

Beispiel: Schrumpfender Schatten Ein zwei Meter großer Mann geht mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s senkrecht auf eine Wand zu. Er wird von einem auf dem Boden stehenden Scheinwerfer angeleuchtet, der 50 m von der Wand entfernt ist. Mit welcher Geschwindigkeit verkleinert sich der Schatten des Mannes, wenn er genau 45 m von der Wand entfernt ist? Lösung: Schritt 1: Das mathematische Modell. Hier benötigen wir für die reale Lichtausbreitung ein Strahlensatzmodell und für die Geschwindigkeit des Mannes und des Schattens die Änderungsrate als Modell. Die Aufgabe ist zwar realitätsnah, aber von sehr geringer praktischer Bedeutung.

lJ

Schritt 2: Lösung im mathematischen Modell: Wir stellen eine Formel für die Größe y des Schattens des Mannes an der Wand auf. Nach dem Strahlensatz ergibt sich hierfür y = lOO. Hierbei ist x die Entfernung des X Mannes vom Scheinwerfer, also der in der Zeit t zurückgelegte Weg. Für diesen Weg gilt x (t) =v (t) · t, hier also x (t) =2 t. Daraus folgt y(t) = 5

t

Die Abnahmegeschwindigkeit der Schattenhöhe ist daher durch y ' (t) = - 5~ gegeben. t

In 45 m Entfernung von der Wand gilt x =5. Daraus folgt eine Abnahmegeschwindig► keit vom y' (5) =-8m/s (Rechnungs. rechts).

Größe y des Schattens auf der Wand:

1'... =l (Strahlensatz) ⇒ y = 100 50 X X V

x 50 =Weg Zeit ⇒ 2 =t ⇒ X =2 t ⇒ Y (t) =T

Abnahmerate der Schattengroße y:

x =5 ⇒ t =~V =-52 =2 ' 5 Sekunden y'(t) = _50 t2

y'(2 5) =_ .1Q..2 =-8m/s '

2,5

Der Schatten auf der Wand verkleinert sich bei x = 5 um 8 m/s. Das ist recht schnell.

Übung 19 Schatten Eine drei Meter hohe Lampe steht in 10 m Entfernung von einem Gebäude. Ein zwei Meter großer Mann geht von der Laterne senkrecht auf eine Wand zu. Seine Geschwindigkeit beträgt 2 m/s. a) Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Größe des Schattens des Mannes l m >-. an der Hauswand, wenn er sich 5 m vor 1 E der Wand befindet? b) Mit welcher Geschwindigkeit ändert sich die Größe des Schattens des Mannes an der Hauswand, wenn sein Schatten X die Hauswand erstmals erreicht? 10m

III. Modellieren

\.....- 154

85. Modellierung mit Rotationskörpern Rotationssymmetrische Körper lassen sich mit Hilfe von Kurvenanpassungen gut modellieren. Durch Anwendung der Rotationsformel der Integralrechnung kann man ihr Volumen bestimmen. ►

Beispiel: Wasserstofftank Brennstoffzellenfahrzeuge stellen eine faszinierende Zukunftstechnologie dar mit vielen Vorteilen gegenüber den gegenwärtig favorisierten Akkufahrzeugen. Sie enthalten einen zylinderförmigen Wasserstofftank mit aufgesetzten paraboloiden Kappen. Wir werden nun das Volumen eines solchen Tanks bestimmen. Die Maße der Paraboloiden und des Zylinders kann man der Zeichnung entnehmen. Lösung: Die linksseitige paraboloide Kappe kann durch Rotation einer Wurzelfunktion vom Typ f(x) a · um die horizontale x-Achse modelliert werden.

= -fx =

Wegen f (10) 20 erhalten wir a folglich f (x) = -~ · vlO

-fx.

Die Parabeigleichung: f (x) =a · Vx (Ansatz) f ( 10) =20

a = 20

{w

=J& und

f (x) =

IO

Nun können wir die Rotationsformel der Integralrechnung anwenden, um das Volumen des Rotationsparaboloiden zu bestimmen.

a • -ffö =20

J& .rx

Das Rotationsvolumen des Paraboloiden: b

J

10

V =n • (f(x))2 dx =n • f a

{.Pio-fxfdx

O

10

Wir erhalten auf diese Weise ein Volumen von ca. 6283 cm3, also von 6,82 Litern. Die Endkappe benötigen wir zweimal, also ergeben sich hierfür 12,56 Liter. Nun müssen wirdasVolumendesZylinders noch hinzurechnen. Nach der Formel V Zyl =r 2 herhalten wir mit r = 20 und h = 100 ein Zylindervolumen von 125 663 cm3, also ca. 125,66 Liter. Das Gesamtvolumen des Wasserstoflbehäl► ters beträgt also ca. 138 Liter.

= n;

•

f 40xdx ⇒ n; • [20x2]bo 0

= 2000n ::;:; 6283 cm3

Das Volumen des Tanks: V Tank = V Zyl + 2 • V Paraboloid =n; • r 2 h + 2 • 6283

=n; • 202 • 100 + 12566 = 138 229 cm3 ::;:; 138 Liter

_ _ _ _ _3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_5_5

Übung 20 Der Treibstofftank der Raumfähre Space-Shuttle Die frühere amerikanische Raumfähre Space-Shuttle verfügte über einen Haupttreibstofftank, der in der Abbildung rot, grün und blau umrandet ist. Das Volumen des Tanks soll bestimmt werden. Modellieren Sie zur Lösung dieses Problemsden roten, den grü nen und den blauen Teil des Tanks durch geeignete Körper.

Sauerstofftank Wasserstofftank

Bestimmen Sie sodann das Volumen des blauen und des grünen Teils mit Hilfe von Volumenformeln aus der Formelsammlung. Zur Berechnung des Volumens Booster der rot gezeichnenten Spitze modellieren Sie die rote Kurve durch eine Wurzelfunktion der Form f(x) = a 'Yx. Wenden Sie außerdem die Formel für das Volumen von Rotationskörpern an.

Übung 21 Das Volumen eines Weinglases Das Fassungsvermögen des abgebildeten Weinglases soll durch eine mathematische Modellierung angenähert bestimmt werden. Modellieren Sie dazu die Profilkurve des Glases durch die Wurzelfunktion f(x) = Die erforderlichen Maße können alle der Zeichnung entnommen werden. Wenden Sie die Formel zur Berechnung von Rotationsvolumina an. In welcher Höhe über dem tiefsten Punkt des Weinglasbehälters muss der Eichstrich für eine Füllung von 100cm3 angebracht werden?

-vax.

Übung 22 Ein Scheinwerfer Bestimmen Sie das Luftvolumen des im Längsschnitt abgebildeten Scheinwerfers angenähert. Modellieren Sie dazu seine beiden Randkurven (hinterer Teil: Metall, vorderer Teil Glas) durch die beiden Wurzelfunktionen f(x) =c-vx und g(x) =a ✓b- x.

10 y f g X

10 11

J

\_..-1_56_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

C. Modellieren in weiteren Bereichen Cl. Modellieren im Sport Auch sportliche Abläufe lassen sich in begrenztem Maße mathematisch modellieren. Wir geben im Folgenden ein Beispiel. ►

.

Beispiel: Der unhaltbare Elfmeter Präzise geschossene Elfmeter sind nur schwer zu parieren. Diese Aussage soll durch eine mathematische Modellierung überprüft werden. Wir gehen davon aus, dass der Schuss exakt ins linke obere Eck des Tores gesetzt wird. Beschaffen Sie die nötigen Daten. Verwenden Sie ein einfaches Modell. Wie könnte man das Modell verfeinern? Schrittl: Analyse der realen Situation: Wir beschränken uns auf das Recherchieren die benötigten Daten: Das sind die Innenmaße des Tores, der Abstand des Elfmeterpunktes zum Tor und der minimale Außendurchmesser des Fußballs. Außerdem benötigen wir die Geschwindigkeit des Balls, die Reaktionszeit des Torhüters und dessen Sprunggeschwindigkeit. Diese Maße und Daten sind rechts aufgeführt.

Daten: Breite des Tores: b =732cm Höhe des Tores: h = 244 cm Abstand Elfmeterpunkt - Tor: e = 1097 cm Mindestdurchmesser des Balles: c = 24,8 cm Geschwindigkeit des Balles: 100-120 km/h Reaktionszeit des Torhüters: ca. 0,2s Sprunggeschwindigkeit des Torhüters: 4 m/s

Schritt 2: Mathematisches Modell Wir nehmen zur Vereinfachung an, dass der Ball punktförmig ist, d. h. keine Ausdehnung besitzt. Außerdem nehmen wir an, dass die Flugbahn des Balles bis zum Tor geradlinig ist. Schritt 3: Lösung im mathematischen Modell: Wir berechnen zunächst die Entfernung d vom Elfmeterpunkt zur linken oberen Ecke des Tores. Dazu legen wir die oben abgebildete Planskizze zugrunde und wenden zweimal den Satz des Pythagoras an. Es sind 11,8m. Dann berechnen wir die Flugdauer des Balles. Dazu verwenden wir die Geschwindigkeit des Balles. Die Elfmeterschützen erreichen ohne weiteres Geschwindigkeiten von l00km/h. Dies führt auf eine Flugdauer T von nur 0,43 s.

Berechnung des Abstandes d: 2

2 f- ~(!?.) 2 + h --

2 ~ 4 34 m ✓3 ' 622 + 2'44~ ,

Flugdauer t des Balls: Geschwindigkeit =~; V= i

t

s

11 ,8m

t =v =27 ,78 m/s

:::::

O43 S

_ _ _ _ _3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_5_7

Nun werden wir berechnen, welche Zeit der Torhüter benötigt, um von der Mitte des Tors bis in die rechte obere Torecke zu springen. Dabei berücksichtigen wir seine Größe bei ausgestreckten Händen, die bei einem 2 m großen Tormann bei ca. 2,40 m liegt. Die Entfernung f vom Mittelpunkt der Torlinie bis in die linke obere Ecke haben wir schon berechnet. Es gilt f =4,34 m. Ziehen wir hiervon die 2,40 m des gestrecktenTorhüters ab, so bleiben davon noch 1,94 m zu überwinden. Dafür benötigt der Torhüter bei einer maximalen Sprunggeschwindigkeit von 4 m/s ca. 0,5 Sekunden. Dazu kommt die Reaktionszeit von 0,2 Sekunden. Das sind 0,7 Sekunden. Zur Verfügung stehen 0,4 Sekunden. Die Abwehr ist also unmöglich, wenn der Schuss präzise in die rechte obere Ecke geht.

Vom Torhüter zur Abwehr benötigte Zeit:

Zeit für den Sprung: Sprunggeschwindigkeit: ca. 4 m/s Sprungweite: 4,34 m - 2,40m = 1,96m Sprungzeit: ca. 0,5 s Reaktionszeit: 0,2 s Für die Abwehr benötigte Zeit: 0,7 s Folgerung: Die für die Abwehr benötigte Zeit ist deutlich größer als die Flugzeit des Balls. Die Abwehr ist also nicht möglich.

Schritt 4: Übertragung in die Realität/Analyse: Die Abwehr des präzisen Elfmeterschusses in die obere Torecke ist nicht möglich, wenn der Torhüter erst im Moment der Ballberührung mit seiner Reaktion beginnt. Er muss also versuchen, den Elfmeterschützen schon vor dem Schuss durch Ablenkungsmanöver, psychologische Tricks und diverse Mätzchen zu verunsichern. Er kann mit seiner Reaktion schon während des Anlaufs des Schützen beginnen, sobald dieser nicht mehr reagieren kann. Er kann sich ein paar Dezimeter in Richtung des vermuteten Schusses stellen. Er kann Reaktionszeit sparen, wenn er schon vor dem Schuss entscheidet, in welche Ecke er springen will. Schließlich ist zu bedenken, dass ein Schütze, der versucht, exakt die obere Torecke zu treffen, ein sehr hohes Risiko für einen Fehlschuss eingeht, da dies die schwierigste Version des Elfmeterschusses ist, die auch am seltensten zum Einsatz kommt, da das Risiko die Chancen übersteigt. Schritt 5: Mögliche Verfeinerungen des Modells: Das Modell könnte noch verfeinert werden, wenn man den Ball nicht als Punkt ohne Ausdehnung annimmt, sondern seinen realen Durchmesser berücksichtigt. Man könnte weiter die Parabelbahn des Balls und den geschwindigkeitsrnindernden Luftwiderstand berücksichtigen. . Wir verzichten hier auf die genauere Untersuchung dieser Verfeinerungen, da anschaulich völlig ► klar ist, dass sie weder das Endergebnis noch die Analyse entscheidend beeinflussen können.

Übung 23 Variation des Elfmeterproblems Untersuchen Sie die Chancen des Torwarts, einen I00km/h-Schuss abzuwehren, der aus a Meter Entfernung mittig vor dem Strafraum abgegeben wird. a) Der Torwart ist 1,80 m groß und die Entfernung a beträgt 17 m. b) Der Torwart ist 2 m groß und die Entfernung a beträgt 20 m.

J

\_..-1_58_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _III _.M _ o_de_lli _·e_r_en_ _ _ __

C2. Modellierungsbeispiel aus derWirtschaft ►

Beispiel: Die optimale Bestellmenge Ein Reifengroßhändler verkauft pro Jahr 24 000 Reifen. Sein Einkaufspreis pro Reifen beträgt 80 €. Der Händler bestellt die Reifen in mehreren gleichgroßen Tranchen pro Jahr. Die Bestellmenge einer solchen Tranche sei x. Pro Bestellung fallen Kosten (Bestellvorgang, Lieferkosten) von pauschal 1000€ an. Die bestellten Reifen werden jeweils in ein Lager gebracht. Die jährlichen Lagerkosten pro Reifen betragen 10% des Einkaufspreises. Wie soll der Händler die Bestellmenge x wählen, damit seine Gesamtkosten möglichst niedrig sind? Lösung: Schritt 1: Analyse der realen Situation In der Praxis dürften die Einflussvariablen wesentlich komplexer sein. Nicht alle Reifen sind gleich teuer und saisonale Einflüsse sind zu berücksichtigen. Daher können wir erwarten, dass das vereinfachte Modell nur gewisse prinzipielle Einflüsse der Bestellmengengröße x auf die Kosten deutlich machen kann. Schritt 2: Das mathematische Modell Wir verdeutlichen zunächst die Kostenkalkulation an einem Beispiel. Wir nehmen an, dass der Händler monatlich x = 2000 Reifen bestellt. Im Jahr nimmt er also 24000 : 2000 = 12 Bestellungen vor. Die jährlichen Bestellkosten sind bei 1000 € pro Bestellung 12 · 1000€ = 12000€. Auf dem Lager liegen dann jeweils zu Monatsbeginn, also bei der Bestellung, 2000 Reifen, die im Laufe des Monats verkauft werden. Am Monatsende ist das Lager leer. Im Durchschnitt liegen daher durchgehend l 000 Reifen auf Lager. Diese Reifen sind 80 000 € wert. Die Lagerkosten sind 10 % davon, also 8000 € im Jahr.

Insgesamt hat der Händler Gesamtkosten (Summe der Bestell- und Lagerkosten) von • 20000€ im Jahr.

Kosten bei 12 Bestellungen pro Jahr: Jahresbedarf: J =24000 Reifen Bestellmenge: x = 1000 Stück Anzahl der Bestellungen pro Jahr: n _ 1. _ 24000 _ 12 - X-

2000 -

Bestellkosten: 12 · 1000€ = 12000€ Mittlerer Lagerbestand: 200

~+

0

=1000 Reifen

Lagerkosten: 1000 · 80€ · 0,10 =8000€ Gesamtkosten: 12000 + 8000 = 20000€

_____3_._M _ o_de_l_le_rm _ ·t_e_in_g__e_s_ c hr _ änk _ t_em _ R _e_a_li_.ta·_·t_sb_e_z_u___ g_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_5_9

Schritt 3: Lösung im mathematischen Modell Um herauszufinden, für welche Bestellmenge die Kosten minimal sind, wiederholen wir die gerade durchgeführte Rechnung für andere Werte der Bestellmenge x. Die Berechnungsergebnisse finden wir in der folgenden Tabelle. Bestellmenge X

24000 12000 8000 6000 4800 4000 3000 2400 2000 1500 1000

Bestellkosten

Lagerkosten

Gesamtkosten

B = 24000 . 1000

L= { -80-0,10

B+L

1000 2000 3000 4000 5000 6000 8000 10000 12000 16000 24000

96000 48000 32000 24000 19200 16000 12000 9600 8000 6000 4000

97000 50000 35000 28000 24200 22000 20000 19600 20000 22000 28000

Anzahl der Bestellungen n = 24000 X

1 2 3 4 5 6 8 10 12 16 24

X

Resultat: Eine Bestellmenge von 2400 Reifen führt zu 10 Bestellungen. Dann entstehen Bestellkosten von 10000€, Lagerkosten von 9600€ und minimale Geamtkosten von 19600€. Alternative Lösung: Wir können ein zweites Modell durchspielen, indem wir eine Funktion K für die Gesamtkosten aufstellen und deren Minimum bestimmen. K ist die Summe der Bestellkosten B und der Lagerhaltungskosten L. Die zugehörigen Formeln stehen bereits oben im Tabellenkopf. Es gilt K (x) = 2400~ 000 + 4x. Durch Nullsetzen der Ableitung K ' können wir die Extrema von K berechnen. Es gibt ein Minimum bei x = 2449,5. Dies führt auf eine Zahl von 9,8 Bestellungen. Da in der Praxis nur ganzzahlige Anzahlen von Bestellungen möglich sind, weichen wir auf den nächstliegenden Wert von n = 10 Bestellungen aus, der auf minimale Gesamtkosten von 19 600 € führt. Das entspricht dem Tabellenergebnis.

Funktion K der Gesamtkosten:

K (x) = B (x) + L (x) K (x) = 24 Xooo · 1000 + ~2 · 80 · 0 ' 10 K (x) = 24000000 + 4 x X

Minimum von K:

K'(x) =_24000000 + 4 =0 x2

4x2

=24000000

X=

✓6000000 z 2449,5

Anzahl der Bestellungen:

n = 24000 ~ 9 8 2449,5 ~ ' ⇒ n = 10 Minimale Gesamtkosten:

K (l0) = 19600

Schritt 4: Realitätsbezug/Analyse Die realen Vorgänge bei der Kostenminimierung sind wesentlich komplexer. Dennoch gewinnt ► man einen prinzipiellen Einblick in die Kalkulation von Bestell- und Lagerkosten.

J

III. Modellieren

\.....- 160

1. Straßenanschluss Durch die Funktion f (x) = x • e 1 - x wird für 0 ~ x ~ 2 eine Straße erfasst. Im

y Straße

Punkt P (21 ¾ ) soll die Straße in eine gerade, tangential anschließende Ausfahrt übergehen. (1 LE = 100m) 0 Flu ss x a) Bestimmen Sie die Gleichung des geraden Straßenstücks. b) Ermitteln Sie, wo die gerade Ausfahrt den Fluss überquert. c) F(x) = (ax + b) · e 1 - x ist eine Stammfunktion von F. Bestimmen Sie a und b. d) Wie groß ist das gelb markierte Flächenstück zwischen dem Straßenverlauf und dem Fluss?

2. Regenwasserspeicher Ein Sammelbecken für Regenwasser enthält bereits 20 m3 Wasser, als es zu einem siebenstündigen Unwetter kommt. Während des Unwetters wird die Zuflussrate durch die Funktion z(t) = 4 -½t- 4 · e-t erfasst, wobei t die Zeit in Stunden seit Beginn des Unwetters und z die Zuflussrate zur Zeit t in m 3/h ist. a) Wie lautet die Bestandsfunktion V (t) für das Wasservolumen im Becken zur Zeit t? b) Zu welchem Zeitpunkt hat die Zuflussrate z ein Maximum erreicht? c) Wieviel Wasser läuft während des Unwetters insgesamt in das Becken? 3. Extremalproblem Der Seglerverein plant ein neues Bootshaus. Es soll direkt am Fluß liegen, zum Fluss hin offen sein und drei gleich groX ße Räume besitzen (s. Abb.). Als Grundfläche wurden A = 160m2 festgelegt. y Nun werden die Kosten kalkuliert. Das Fundament kostet nichts, denn das hat ein Bauunternehmer aus dem Verein übernommen. Die Außenmauern kosten 250€ pro laufenden Meter, die Innenwände dagegen nur 50€. Das Dach kostet 20 € pro Quadratmeter. Wie müssen die Maße x und y gewählt werden, damit die Kosten ein Minimum annehmen? 4. Populationsentwicklung In einem Naturschutzgebiet wurden 20 Eichhörehen ausgesetzt. Sie vermehren sich mit einer jährlichen Wachstumsrate von 8 %. Verwenden Sie eine Funktion der Gestalt N (t ) = c · a1 zur Erfassung der Populationsgröße zur Zeit t (t ist die Zeit in Jahren seit Beobachtungsbeginn). a) Geben Sie die Gleichung der Wachstumsfunktion N an, indem Sie c und a bestimmen. b) Zeigen Sie, dass auch die Darstellung N (t) = 20 • e0,076961 gilt. c) Berechnen Sie die Prognose für die Populationsgröße nach 10 Jahren. d) Wie groß ist die Wachstumsrate zu Beginn der Beobachtung und 10 Jahre später? e) Wann erreicht die Population eine Größe von 100 Eichhörnchen? f) In welchem der Jahre 8 bis 14 nach Beobachtungsbeginn überschreitet die Population erstmals die Zahl von 50 Eichhörnchen? Lösungen: S. 282

\....... 162

IV. Gewöhnliche Differentialgleichungen

1. Der Begriff der Differentialgleichung Reale Vorgänge in der Natur, der Technik oder Wirtschaft können oft durch Funktionen modelliert werden. Allerdings kann die gesuchte Funktion in vielen Fällen nicht unmittelbar aufgestellt werden, sondern es ergibt sich aus dem Modell eine Gleichung, die außer dem Funktionsterm y(x) auch Ableitungsterme der Funktion wie y'(x), y"(x) etc. enthält. Wegen des Auftretens der Ableitungen mit ihren Differentialen, wie z.B.: y '= :~, bezeichnet man eine derartige Gleichung als Differentialgleichung . Wir untersuchen zunächst, wie man aus einer solchen Differentialgleichung die gesuchte Funktion y (x) gewinnt. Erst später werden Anwendungsprobleme betrachtet. ~

Beispiel: Gesucht ist die Lösung der Differentialgleichung y '(x) = 0,5 · y (x). Lösung: Eine Differentialgleichung wird meistens in einer Kurzform notiert. Dabei werden nur die abhängigen Variablen y, y' etc. dargestellt. Die unabhängige Variable denkt man sich nur, ohne sie explizit darzustellen. Außerdem gibt es die Darstellung in differentieller Form, bei welcher die Ableitungen durch Differentiale dargestellt werden, also z.B.: y'= ~~Die Lösung der Differentialgleichung erfolgt durch Integration. Die Integrationsvorgänge sind teilweise subtil. In unserem Beispiel formen wir die Differentialgleichung so um, dass y und y' auf die linke Gleichungsseite kommen. Dann werden beide Seiten nach der unabhängigen Variablen x integriert. Auf der linken Gleichungsseite wenden wir die logarithmische Integration und auf der rechten Seite die Konstantenintegration an. Hierbei darf man die Integrationskonstante C keinesfalls vergessen, deren Hinzufügung auf einer Gleichungsseite jedoch genügt.

Anschließend erfolgt die Auflösung nach der gesuchten Funktion y. Wir erhalten die Darstellung y = ±ec · e0,sx. Der konstante Faktor ± eC durchläuft alle reellen Zahlen D ~ 0. Da aber auch y = 0 • e0,sx = 0 die Differentialgleichung offensichtlich löst, erhalten wir sogar die Funktionenschar y = D . e0,sx mit De 1R als allgemeine Lösung, deren ► Graphen rechts in Auswahl dargestellt sind.

Mögliche Schreibweisen: y' (x) = 0,5 · y (x) Ausführliche Form y' = 0,5 · y Kurzform dy dx

Differentielle Form

= 0,5. y

Auflösung der Differentialgleichung: y' = 0,5 · y DGL .[ =05 y '

f

J ~' dx = 0,5 dx ln ly l = 0,5x + C lyl = eO,Sx+C y = ±ec. eo,sx y (x) = D · e05 X, De 1R Lösung y 3

1

2

3

4

X

_____l_._D_e_r_B_e_gr _1_·ff_ de_r_D _1_·ffi_e_re_n_t_ ial_g___l_ei_c_h u_n_g_____________________l_6_3 J

Beim Lösen von Differentialgleichungen ist die differentielle Schreibweise in vielen Fällen ausgesprochen bequem. Das gilt vor allem bei den später zu behandelnden Anwendungsproblem. ~

Beispiel: Gesucht ist die Lösung der Differentialgleichung y '(x) = -y2 (x).

Lösung: Wir stellen die Differentialgleichung ( l) in ihrer differentiellen Form (2) dar. Dann bringen wir alle Terme, die y enthalten, auf die linke Seite und alle Terme mit x oder konstante Terme auf die rechte Seite. (3) Anschließend integrieren wir auf beiden Seiten der Gleichung. (4) Die resultierende Gleichung lösen wir . nach y auf und erhalten so die gebrochen► rationale Lösungsfunktionenschar. (5)

(1)

(2)

y '(x) = -y 2 (x) dy

dx

DGL

. 2

=- y

(3)

-y- 2 • dy = dx

(4)

f (-y- 2) dy = f dx y- 1 = X+ C

(5)

y (x) = _J_ c x+

Lösung

Die allgemeine Lösung einer Differentialgleichung ist in der Regel eine Kurvenschar. Bei Praxisproblemen ist meistens eine ganz konkrete Kurve gesucht, die durch einen sogenannten Anfangswert aus der Kurvenschar ausgewählt wird. Man spricht in diesem Zusammenhang von einem Anfangswertproblem. ►

Beispiel: Gegeben ist die Differentialgleichung y '(x) = -y2 (x). Gesucht ist diejenige Lösungsfunktion y, welche durch den Punkt P(2l l) geht.

Lösung: Die allgemeine Lösung der gegebenen Differentialgleichung wurde schon im letzten Beispiel errechnet, nämlich die Kurvenschar y (x) = __!__ c. x+ Der Graph von y soll durch den Punkt P (211) gehen. Also verwenden wir den Ansatz y(2) = 2 ~c = 1. Auflösung hiervon nach C ergibt C = -1. Daher ist die Funktion y (x) = x ~ 1 die ge-

Lösungsschar für C < 0

► suchte spezielle Lösungsfunktion.

Übung 1 Lösen Sie die gegebene Differentialgleichung bzw. das Anfangswertproblem. Wenden Sie die differentielle Lösungsmethode an. a)y' =- y3 b) y' = 2 • y>0 d) y'=-y3, P(3l0,5)liegtaufy e) y' = 1y, y ( 1) = 1

-yy,

2

\....... 164

IV. Gewöhnliche Differentialgleichungen

2. Differentialgleichung mit getrennten Variablen In einer Differentialgleichung dürfen neben den Ableitungen y ', y" etc. auch die unabhängige Variable x sowie die abhängige Variable y auftreten. Besonders einfach lässt sich häufig eine Differentialgleichung der Form y' = f(x) • g(y) lösen, bei welcher die Variablen x und y in zwei voneinander getrennten Faktoren untergebracht sind, sodass man von einer Differentialgleichung mit getrennten Variablen spricht. ►

Beispiel: Gesucht ist eine Funktion y, deren Steigung für jeden Punkt P (xly) des Graphen mit x ~ 0 das Verhältnis aus der verdoppelten Ordinate des Punktes zu seiner Abszisse ist. Lösung: Laut Aufgabentext ergibt sich die Glei2 •y

chung y' = - X . Es handelt sich um eine Differentialgleichung der Form y' = f(x) · g(x), also mit getrennten Variablen, wobei f(x) = ~X und g(y) = y gesetzt werden kann. Zur Lösung dieser Differentialgleichung bringen wir alle y enthaltenden Terme auf die linke Seite der Gleichung und alle x enthaltenden Terme nach rechts. Genau das ist der Trick, der bei Differentialgleichungen mit getrennten Variablen stets möglich ist. Wir führen nun auf beiden Seiten die Integration durch und erhalten schließlich die Funktionenschar y = ±ec · x2. Da auch y (x) = 0 die Differentialgleichung löst, ergibt sich als allgemeine Lösung sogar ► y(x) = D · x 2, DelR.

Differentialgleichung: y'(x) = 2 • y(x)

DGL

X

y' = ±X - y

Getrennte Variablen

dy

Differentielle Form

2

-dx = -X · y

Auflösung der Differentialgleichung: ly . dy = ±dx X

In lyl = 2 • ln lx l + c In lyl = lnx2 + c eln lyl = elnx 2 + C lyl = ec · x2 y=±ec-x2 y(x) =D • x2 , D e lR

Lösung

Übung 1 Lösen Sie die Differentialgleichung mit getrennten Variablen. 3 a)y'=x-y2 b)y'= \x>O X

d)y'=

✓ l-y 2

e) y'=-3x2 -y2 , x~0

Übung2 Lösen Sie das Anfangswertproblem. 3 a) y' = x · y2, P ( lll) b) y'= :, P (ll3)

c) y' = e-Y. l, P(el0) X

Übung3 Die Differentialgleichung y' = - x - y kann man mit der Substitution v = x + y, v' = 1 + y' in eine Differentialgleichung mit getrennten Variablen unwandeln. Lösen Sie die Differentialgleichung.

_____ 3_.L _ in_e_ar_e_D _ iffi _e_r_e_nt_ia_l-g_le_ic_h_u_n__g_e_n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_6_5

3. Lineare Differentialgleichungen Bei Wachstumsprozessen treten ganz bestimmte Typen von Differentialgleichungen auf, die mit dem Typ der Differentialgleichung mit getrennten Variablen nahe verwandt sind und mit einem einheitlichen Velfahren gelöst werden können. Es handelt sich um Differentialgleichungen der Gestalt y' = f(x) · y + g(x), die man als lineare Differentialgleichungen bezeichnet. Außerdem unterscheidet man den homogenen Fall, der eintritt, wenn der Term g (x) identisch null ist, sowie den inhomogenen Fall, der vorliegt, wenn der Term g (x) nicht verschwindet. Die Funktionen f und g seien auf dem betrachteten Bereich stets stetig.

A. Die homogene lineare Differentialgleichung ~

Beispiel: Gesucht ist die Lösung der homogenen linearen Differentialgleichung y' = 2x · y. Lösung: Die homogene Differentialgleichung ist stets eine Sonderform der Differentialgleichung mit getrennten Variablen und wird wie diese durch Trennung der Variablen integriert. Laut rechts dargestellter Rechnung ergibt sich dann eine Exponentialfunktionenschar als Lösung. Nach dem gleichen Muster kann jede homogene lineare Gleichung gelöst werden. Um dies nachzuvollziehen, braucht man nur die Rechnung anstelle für das Beispiel y' = 2 x · y für den allgemeinen Fall y' = f (x) · y durchzuführen.

Der Term 2 x wird durch f (x) ersetzt und der Term x2 durch das unbestimmte Integral von f(x), d. h. f f(x)dx: Die Stetigkeit von f stellt die Integrierbarkeit sicher. Man erhält auf diese Weise die rechts im roten Kasten dargestellte allgemeine Lö. sungsformel für die homogene lineare Dif► ferentialgleichung.

Differentialgleichung: y' = 2x · y DGL dy dx

Differentielle Form

= 2x. y

Auflösung der Differentialgleichung: y- 1 • dy = 2x · dx

Jy- dy = J2x dx 1

lnlyl = x 2 + c elnlyl = ex 2 + c 2 lyl = ec · ex y = ± ec. ex2 )

y(x) =D · ex-, D e IR

Lösung

Homogene lineare Differentialgleichung y' =f(x) · y Allgemeine Lösung y (x) = D • eff(x)dx, D e IR

Übung 1 Lösen Sie die homogene lineare Differentialgleichung ohne und sodann mit der Lösungsformel. a)y'=(x+t)·y, x>O b)'Jx·y'=0,5y, y(l)=e c)y'-(cosx) · y=O

J

\_..-1_6 6_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ IV _._G _e_w_o_·h_nli _._c_h_e _D_iffi _ er_e_n_ti_al__g_le_ic_h_u_n__g_en_ _ _ __

8. Eine Anwendung der homogenen linearen Differentialgleichung Eine Bakterienpopulation weist unter idealen Bedingungen eine Zunahmerate auf, die proportional zum jeweils vorliegenden Bestand an Bakterien ist. In der Praxis allerdings verschlechtern sich die Umgebungsbedingungen mit zunehmender Zeit aus unterschiedlichen Gründen, so dass eine entgegengesetzt wirkende Abnahmerate angesetzt werden kann, die mit der Zeit größer wird. ►

N (t) sei der Bakterienbestand zur Zeit t. Zunahmerate: Abnahmerate:

tiA fit

=a(t) · N

Änderungsrate:

tiN fit

=(k -

a (t)) · N

Differentialgleichung: N' = (k - a(t)) • N

Beispiel: Eine bakterielle Infektion wird durch die kontinuierliche Zufuhr eines Antibiotikums bekämpft. Wir nehmen als Modell für die Bestandsfunktion N der Bakterien eine Wachstumsgleichung der Gestalt N' = (0,8 - 0,4 t) · N an. Der Anfangsbestand zur Zeit t = 0 beträgt 100 Einheiten. Lösen Sie diese Differentialgleichung. Skizzieren Sie einige Kurven der Lösungsschar der Differentialgleichung. Welche Scharkurve gibt den konkreten Infektionsverlauf wieder? Lösung: Die Lösung der vorliegenden homogenen Differentialgleichung erhalten wir, indem wir die Veränderlichen trennen und dann integrieren. Es ergibt sich die Exponentialfunktionenschar y(x) = D. e0,8 x-o,2x2 • Unsere Anfangsbedingung, dass der Bestand y zur Zeit t = 0 auf den Anfangswert N = 100 normiert sein sollte, legt den Scharparameter auf D = 100 fest und sortiert damit genau eine Scharkurve aus.

Alle Scharkurven zeigen ein ähnliches Verhalten: Zunächst nimmt der Grad der Infektion - obwohl schon durch das Antibiotikum gebremst - bis auf einen Höchststand ► zu, um dann erst exponentiell abzuklingen. Übung2 Eine Funktion y besitze die Eigenschaft, dass alle ihre Kurvennormalen durch den Ursprung gehen. Außerdem gelte y ( 1) = 1. Zeichnen Sie in einem Punkt P (xly) ein Steigungsdreieck ein, um einen Zusammenhang zwischen x, y und y' gewinnen zu können. Lösen Sie diese Differentialgleichung.

Differentialgleichung: N' ;;; (0,8 - 0,4 t) · N

DGL

~ =(0,8 - 0,4 t) • N

Auflösung der Differentialgleichung: dN N =(0,8 - O,4t)dt

f ~ = f (0,8 -

0,4 t) dt

ln lNI = O,8t- O,2t2 + C INI = e0,81-0,2t2 +c N = ±ec. e0,81-0,2 t2 N(t)

=D . eo,s 1-o,2t\ D e JR

N

400

300

200 100

1

2

3

4

5

6t

Lösung

_____ 3_.L _ in_e_ar_e_D _ iffi _e_r_e_nt_ia_l-g_le_ic_h_u_n__g_e_n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_67_

C. Die inhomogene lineare Differentialgleichung Eng verwandt mit der homogenen linearen Differentialgleichung ist der folgende Gleichungstyp, für den ebenfalls ein einheitliches Lösungsverfahren existiert. Eine Differentialgleichung der standardisierten Form y' = f (x) • y + g (x) wird als eine inhomogene Differe1Ztialgleichung bezeichnet. Sie unterscheidet sich von der zugehörigen homogenen Differentialgleichung y' = f (x) · y durch den zusätzlichen additiven Term g(x). f und g seien stetig.

y' = f(x) • y + g (x)

inhomogene lineare DGL

y' = f(x) • y

zugehörige homogene DGL

Im Folgenden wird gezeigt, dass zwischen den Lösungen beider Gleichungsarten ein enger Zusammenhang besteht. Auf diesem Zusammenhang beruht das gesuchte Lösungsverfahren. Wie eine homogene Differentialgleichung gelöst wird, ist uns bereits bekannt. Ihre allgemeine Lösungsschar bezeichnen wir im Folgenden kurz mit YHOM· Die nebenstehende Rechnung belegt, dass die Differenz y2(x) - y 1(x) zweier beliebiger Lösungen der inhomogenen Differentialgleichung stets eine spezielle Lösung YH der homogenen Differentialgleichung ist. Daher gilt y2 - y 1 = YH bzw. der gleichwertige Zusammenhang y2 = y 1 + YH, wobei YH eine Kurve der Schar y ROM ist. Wenn man also eine spezielle Lösung y 1 der inhomogenen Differentialgleichung kennt, erhält man die gesamte Lösungsschar YINH• indem man zu y 1 die gesamte Lösungsschar YHoM der zugehörigen homogenen Differentialgleichung addiert. Hiermit wird das Problem der allgemeinen Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung auf das Auffinden emer speziellen Lösung zurckgeführt.

Die Differenz von zwei beliebigen „inhomogenen" Lösungen ist die homogene Differentialgleichung: y 1 und y2 seien Lüsungen der inhomogenen Differentialgleichung. Dann gilt: y 1 = f (x) • y 1 + g(x) y 2 = f (x) • y2 + g(x) ⇒ Y2 - Y1 = f (x) • Y2 - f (x) • Y1 ⇒ (y2 - Y1)' = f (x) • (Y2 - Y1) ⇒ y 2 - y 1 ist eine Lösung der homogenen Differentialgleichung: ⇒ Y2 - y I = YH mit einem YH EYHoM ⇒ y2 = y 1 + yH mit einem yH EYHoM Die allgemeine Lösung y INH der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist die Summe aus einer speziellen Lösung y 1 der inhomogenen Differentialgleichung und der allgemeinen Lösung y ROM der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. YINH(x) = Y1 (x)

+ YHoM(x)

Übung3 Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung y' = IX • y + x, x > 0. a) Zeigen Sie: y = D · x2 ist die allgemeine Lösung der homogenen DGL y' = ~X · y. b) Zeigen Sie: y = x 2 · lnx ist eine spezielle Lösung der inhomogenen DGL. c) Zeigen Sie: y = x 2 · lnx + D · x 2 löst die inhomogene lineare Differentialgleichung ebenfalls.

J

\_..-1_68_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ IV _._G _e_w_o_·h_nli _._c_h_e _D_iffi _ er_e_n_ti_a l__g_le_ic_h_u_n__g_en_ _ _ __

Joseph Louis Comte de Lagrange war einer der bedeutendsten französischen Mathematiker. Er lebte von 1736 bis 1813 und widmete sich insbesondere der Variationsrechnung und der Astronomie. Unter anderem verdanken wir ihm ein allgemeingültiges Lsungsverfahren für inhomogene lineare Differentialgleichung. Seine raffinierte und auch heute noch aktuelle Methode wird als Variation der Konstanten bezeichnet. Die Methode der Variation der Konstanten nach Lagrange

Wir erläutern das Funktionsprinzip der Methode anhand eines praktischen Beispiels.

~ Beispiel: Gesucht ist die Lösung der Differentialgleichung y' = ly + 1 + x, x > 0. X Lösung: Wir bestimmen zunächst die allgemeine Lösung y HOM der zugehürigen homogenen Differentialgleichung y' = - ly.

1. Lösung der homogenen DGL:

y = - -X1 y ⇒ -dy = - -1 dX y X 1

⇒ Inly l = -lnx + A =In (¾) + A

X

Wir erhalten die Schar YHoM = D • ¾Nun nehmen wir nach Lagrange an, dass es eine spezielle Lösung y 1 der inhomogenen Gleichung gibt, die eine ähnliche Form hat wie die Lösung der homogenen Gleichung, nämlich die Form y 1 = D (x) • ¾Die Konstante D in der homogenen Lösung wird hierbei sozusagen „variabilisiert". Wir bestimmen hieraus y i nach der Produktregel. Anschließend setzen wir die Terme von y 1 und von y ~ anstelle von y in die inhomogene Differentialgleichung ein. Wir erhalten die Gleichung D '(x) = x + x2. Aus dieser Gleichung bestimmenwir durch Integration D (x) = ½x2 + ½x 3.

1

⇒ y = ±eA. e Ln (x)

YHOM (x) = D. ¾ (DeJR) 2. Variation der Konstanten:

Ansatz: y 1(x) = D (x) • ¾ y'1 (x) = D '(x) · lX - D(x). l. ~

3. Spezielle Lösung der inhomogenen DGL: Einsetzen von y 1, y i in die inhomogene Differentialgleichung:

D '(x). ! _ D (x) . l. = - l · (D (x)-l )+ 1 + x X

x2

X

X

D '(x) . ! = 1 +x X

D '(x) = x + x 2

Durch Rückeinsetzung hiervon in unseren Ansatz für y I erhalten wir schließlich die gesuchte spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung: Y1 (x) = ½x + ½x2. In einem letzten Schritt addieren wir diese spezielle inhomogene Lösung und die all. gemeine homogene Lösung zur allgemei► nen inhomogenen Lösung.

4. Allgemeine Lösung der inhomogenen DGL:

YINH = Y1 + YHOM YINH(x) = ½x + ½x2 + D • ¾ (DeJR)

_____ 3_.L _ in_e_ar_e_D _ iffi _e_r_e_nt_ia_l-g_le_ic_h_u_n__g_e_n _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_6_9

4. Gegeben sei die inhomogene lineare Differentialgleichung y' = .!.X • y + x + 2x2 , x > 0. a) Zeigen Sie: y = D · x (De IR) ist die zugehörige homogene Differentialgleichung. b) Zeigen Sie: y = x 2 + x3 ist eine spezielle L ösung der inhomogenen Differentialgleichung. c) Zeigen Sie, dass y = x2 + x3 + D • x die inhomogene Differentialgleichung ebenfalls löst. d) Skizzieren Sie die Lösungsschar y = x 2 + x3 + D • x. 5. Gegeben sei die lineare Differentialgleichung y' = 1X . y + x, x > 0 (vgl. Übung 7). a) Lösen Sie die Differentialgleichung nun mit der Methode der Variation der Konstanten. b) Welche Kurve der Lösungsschar geht durch den Punkt P (l l-1)? c) Zusatzaufgabe: Diskutieren Sie die Lösungsfunktion y aus b). Bestimmen Sie die Ableitungen y', y" und y'". Untersuchen Sie y auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen von y für 0 < x $ 3. Bestimmen Sie die Grenzwerte lim y(x) und lim y '(x). x-0

x-0

6. Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung y' = -2x · y + 2x. a) Lösen Sie die Differentialgleichung zunächst durch Trennung der Variablen. b) Lösen Sie die Differentialgleichung nun mit der Methode der Variation der Konstanten. c) Skizzieren Sie die Lösungsschar. d) Zusatzaufgabe: Welche Kurve der Lösungsschar berührt die x-Achse? Berechnen Sie zunächst die Berührstelle. Wie lautet die Ortslinie der Wendepunkte der Lösungsschar? 7. Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung y' = ~y + x3, x > 0. a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung. b) Welche Kurve y der Lösungsschar geht durch den Punkt P (l l-1)? c) Skizzieren Sie die Lösungsschar der Differentialgleichung. d) Zusatzaufgabe: Bestimmen Sie die genaue Lage des Extremalpunktes der Lösungskurve aus Teil b). Welche Kurve der Lösungsschar aus a) schneidet die x-Achse bei x = .../3? 8. y sei eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: 1. Die Funktion sei für x > 0 definiert. 2. Die Steigung in einem beliebigen Punkt P (xi y) ihres Graphen ist stets um l größer als der Quotient der Punktordinate und der Punktabszisse. 3. Der Graph von f geht durch den Punkt P ( 111). Bestimmen Sie die Funktion y und skizzieren Sie deren Graphen. Berechnen Sie außerdem Lage und Art des einzigen Extrempunktes von y. 9. Eine Funktion y erfülle die Differentialgleichung y' = y - 2 e0,sx. Ihr Graph enthalte den Punkt P (0I0). Führen Sie eine Kurvendiskussion dieser Funktion durch. Untersuche Sie auf Nullstellen, Extrema und Wendepunkte. Zeichnen Sie den Graphen für - 4 $ x $ 1. 10. Lösen Sie die angegebene Differentialgleichung allgemein. Skizzieren Sie die Lösungsfunktionenschar. a) y'=l. · y+3x2 e-t b) y'=3y+x c) y'=cosx-y x2

J

\.....- 170

IV. Gewöhnliche Differentialgleichungen

D. Eine Anwendung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ►

Beispiel: Stetige Verzinsung

Ein junger Mann schließt einen Sparvertrag ab. Er vereinbart eine Sparrate von nominal 10$ pro Tag. Das so entstehende Kapital soll stetig verzinst werden, d. h., es erfolgt ein kontinuierlicher Zinszufluss und nicht die sonst übliche Gutschrift am Jahresende. Der vereinbarte Zinssatz betrage 0,02 % des aktuellen Kapitals pro Tag. Stellen Sie eine Differentialgleichungfür das Kapital Kals Funktion der Zeit tauf und lösen Sie diese Gleichung.

Lösung: Die Sparzuflussrate betrügt 10$ pro Tag. Die Zinszuflussrate ist direkt proportional zum Kapital K (t) zur Zeit t. Sie betrügt 0,0002 · K (t) pro Tag. Die Kapitaländerungsrate ist insgesamt die Summe dieser beiden Raten. Hiermit ergibt sich die Differentialgleichung für K . Es ist eine inhomogene lineare Differentialgleichung. Wir lösen die Differentialgleichung in zwei Schritten mit der Methode der Variation der Konstanten. So erhalten wir die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. Im letzten Schritt lösen wir das Anfangswertproblem, dass nämlich das Kapital zur Zeit t = 0 den Wert K = 0 besitzen soll. Schließlich ergibt sich hier als Lösung die gesuchte Kapitalfunktion. Sie hat die Gleichung K(t) = -50000 + 50000 • e0,0002 r. Hiermit kann man nun den Sparprozess viel besser beurteilen als mit Hilfe der oben ge► nannten Sparbedingungen.

Differentialgleichung für K: dK dt = l O+O,OOO2 · K

Lösung der homogenen Gleichung:

~~ = 0,0002 • K K = D . eo,0002 . t Lösung der inhomogenen Gleichung: Methode: Varation der Konstanten K = D (t) . eo,0002- t K' = D ' . eo,0002 •1 + 0,0002. D. eo,0002 -1 Durch Einsetzen in die DGL folgt: D '. eo,0002. t = 10 D' = 10. e-0,0002. t D = -50 000 . e- 0,0002. t KINH SPEZ = -50 000

KINH,,ALLG -- -50000 + D · e- 0,0002 •1 Lösung des Anfangswertproblems: Aus K (0) = 0 folgt D = 50 000: K(t) = - 50000 + 50000 . e-o,ooo2 •1

Übung 11 Stetige Verzinsung ( Fonsetzung)

a) Wie hoch wird das en-eichte Kapital nach einem Jahr (365 Tage) sein? b) Nach welcher Zeit wird das Kapital 50000$ erreicht haben? Welcher Anteil an stetigen Zinsen steckt in di esem Kapital? c) Lösen Sie a) und b) für eine verände1te Sparrate von 20$ pro Tag. d) Lösen Sie a) und b) für einen veränderten Zinssatz von 0,03 % pro Tag. e) Lösen Sie die Differentialgleichung aus obigem Beispiel durch Trennung der Variablen.

_ _ _ _ _4_._A_n_w_e_n_d_u_n_g_e_n_____________________________ l 7_1

4. Anwendungen Im Folgenden werden einige angenähert realistische Anwendungsaufgaben mit Differentialgleichungen modelliert und anschließend gelöst. Es treten Differentialgleichungen mit getrennten Variablen auf. Die Modelle werden mit Hilfe von Zuwachsraten und Abnahmeraten gewonnen. ►

Beispiel: Der Filterschacht In einen zunächst leeren Filterschacht fließen 30 l Wasser pro Minute (Zuflussrate). Das Wasser fließt zu einem Teil durch Lochungen der Seitenwände wieder ab. Durch die nach unten zunehmende Anzahl von Lochungen ist die Abflussrate proportional zu der im Schacht befindlichen Wassermenge W. Wir nehmen einmal an, dass pro Minute ein Zehntel der gerade im Schacht stehenden Wassermenge abfließt. t sei die seit Beginn des Zuflusses verstrichene Zeit und W (t) die Wassermenge im Schacht zur Zeit t (t in Minuten, W in Litern). a) Stellen Sie eine Differentialgleichung für die Funktion W auf. b) Lösen Sie die Differentialgleichung. Lösung zu a: Die zeitliche Änderungsrate der Wassermenge W im Becken, also

d: ,

Differenz aus der Zuflussrate

ist die

~7,

die

30 Liter/min beträgt, und der Abflussrate

~7 =30 Liter pro Minute Abflussrate: ~ = io Liter pro Minute Zuflussrate:

1. Differentialgleichung für W: dW dt dW dt

= dZ _ dt

=30 -

dA dt

0' l · W

DGL

dA cit =101 • W =0, 1 • w.

Lösung zu b: Wir trennen die Veränderlichen W und t, indem wir alle W enthaltenden Terme nach links und alle t enthaltenden Terme nach rechts bringen. Dann werden beide Seiten integriert, die linke Seite mit logarithmischer Integration. Wir erhalten eine logarithmische Gleichung die wir durch Umformen nach W auflösen. Es folgt als Ergebnis W(t) = 300- IOD• e- O,Lt_ Da die Wassermenge W zur Zeit t = 0 den Wert O haben soll, ergibt sich fär die Konstante D =30. . Endresultat: Die Wassermenge im Schacht ► zur Zeit t beträgt W (t) =300 - 300 • e-O, L1.

2. Lösung der Differentialgleichung: dW

30-0,1 W

=d t

J30 ~;l W =Jdt - 10 • ln l3O-O,1WI =t + C lnl 30 - 0,1 WI =-0,1 t - 0,1 C 30- 0,1W =e-0,lt-0,LC 30 - 0,1W =D · e- 0, 1t W(t) =300- IOD. e-O,lt W (t) =300 - 300 · e- O,l t

Lösung

..J

\_..-1_72_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ IV _._G _e_w_o_·h_nli _._c_h_e _D_iffi _ er_e_n_ti_al__g_le_ic_h_u_n__g_en_ _ _ __

Übung 1 Betrachtet wird der Filterschacht aus dem obigen Beispiel. Wie ändert sich die Lösungsfunktion, wenn die Zuflussrate auf 50 Liter pro Minute gesteigert wird und die Abflussrate durch Verkleinerung der Durchmesser der Abflusslöcher auf W/20 Liter pro Minute halbiert wird? ►

Beispiel: Fortsetzung Filterschacht Gegeben sei die Wassermenge W in einem Filterschacht W (t) = 300 - 300 · e- 0 , 1r als Funktion der Zeit t aus dem vorhergehenden Beispiel. a) Skizzieren und interpretieren Sie den Graphen von f. b) Die Wassermenge im Becken steigt nicht unbegrenzt, sondern nähert sich einem Grenzwert. Wie groß ist diese „Grenzwassermenge"? c) Nach welcher Zuflusszeit t werden 90% der Grenzwassermenge erreicht? Lösung: a) Der Graph von f besitzt die rechts dargestellte Gestalt. Er nähert sich asymptotisch einer Parallelen zur x-Achse. b) Gesucht ist der Grenzwert der Wassermenge W (t) für t - =. Da der exponentielle Teilterm von W dann gegen null strebt, betrgt diese Grenzwassermenge 300 Liter. Man kann dieses Ergebnis auch anders erhalten: Der Wasserspiegel steigt nicht mehr, wenn die steigende Abflussrate W/10 die konstante Zuflussrate 30 erreicht. Dies ist offensichtlich fär eine Wassermenge von W = 300 Litern der Fall.

c) 90 % der Grenzwassermenge, 270 Liter, ► sind nach ca. 23 Minuten erreicht.

W/Liter

300 200 100

-------------------------------·

10

20

30

40 t/min

Grenzwassermenge (Weg 1): Mathematische Grenzwertbildung lim W (t) = lim (300 - 300 · e- 0, 11) = 300 t-oo

t-oo

Grenzwassermenge (Weg 2 ): Abflussrate= Zuflussrate 1~ W=

30 W=300

Berechnung der Zuflussrate: W(t) = 270 300 - 300 · e-O,l t = 270 e-0,1t = 0,1 -0,1 t = ln0,l t = (ln0,1)/(-0,1) z 23 min

Übung2 Die Anreicherung einer Wirksubstanz im Blutkreislauf eines Menschen durch Tropfinfusion kann man grob wie im folgenden Beispiel modellieren: Durch die Infusion wird die Serurnkonzentration K der Wirksubstanz stündlich um 3 Milligramm pro Milliliter erhöht. Durch körpereigenen Abbau und Ausscheidung über die Nieren wird die aktuell zur Zeit t erreichte Konzentration K(t) um ca. 10 % abgebaut, bezogen auf eine Stunde. a) Stellen Sie eine Differentialgleichung für die Konzentration K des Wirkstoffes im Blutserum als Funktion der Zeit t auf, die seit Infusionsbeginn vergangen ist. b) Lösen sie die Differentialgleichung. Berücksichtigen Sie, dass die Wirkstoffkonzentration zu Beginn des Infusionsvorgangs null beträgt. Zeichnen Sie den Graphen von K. c) Welche „Grenzkonzentration" stellt sich näherungsweise ein? Nach welcher lnfusionsdauer wird diese Grenzkonzentration zu 80 % erreicht?

_ _ _ _ _4_.A _ n_w_e_n_du_n~g_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_7_3

► Beispiel: Die Ökotonne Eine zylindrische Tonne enthält Regenwasser. Sie kann durch einen unten angebrachten Zapfhahn entleert werden. Ein solcher Entleerungsvorgang soll mathematisch modelliert werden. t sei die Zeit seit Entleerungsbeginn in Minuten. W (t) sei die zur Zeit t in der Tonne enthaltene Wassermenge. Es soll nicht regnen, so dass die Zuflussrate

!~

null Liter pro Minute beträgt. Man kann physikalisch begründen, dass die Abflussrate ~~

.

proportional ist zur Quadratwurzel aus der Wassermenge W (t), die sich zur Zeit t in der Tonne befindet. Wir betrachten den Fall, dass die Tonne zu Beginn 100 Liter Wasser enthält und pro Minute ein Zehntel der Quadratwurzel der •eweils noch vorhandenen Wassermenge abfließt. Stellen Sie eine Differentialgleichung für

Zufiussrate: :

=0 Liter pro Minute

Abflussrate:

=

dd~

~ Liter pro Minute

die Funktion W auf. b) Lösen Sie die Differentialgleichung. Lösung: Die Zuflussrate ist 0, die Abflussrate ist 0,1 · -VW. Die zeitliche Änderungsrate der Wassermenge W ergibt sich als Differenz hieraus: dW =-0 1 . ...JW dt

'

Die Differentialgleichung mit getrennten Variablen lösen wir nach nebenstehender Rechnung auf. Die Kurvenschar W (t) allgemeine Lösung.

= (-0,05 t + D)2 ist ihre

Zur Zeit t =0 soll die Tonne ca. 100 Liter Wasser enthalten. Daher muss D = 10 gelten. Die quadratische Funktion W (t) = (-0,05 t + 10)2 beschreibt die zeitliche Abnahme der Wasser► menge während des Entleerungsprozesses (t~ 0).

Differentialgleichung für W: dW

dZ

dA

dt = dt - dt dW = 0 - 0 1 · ffl dl

'

DGL

Auflösung der Differentialgleichung: w - o,s · dW = -0,1 · dt

fw - o,s · dW =f -0,1 · dt

2 · wo,s = -0, 1 t + C W (t) = (-0,05 t + D)2, De1R Lösung des Anfangswertproblems: W(0) = 100 => D = 10 W (t) =(- 0,05 t + 10)2 Lösung

Übung 3 Fortsetzung zur Ökotonne a) Skizzieren Sie den Graphen der Lösungsfunktion W (t) = (-0,05 t + 10)2 für 0::; t::; 300. b) Wie lange dauert es bis zur vollständigen Leerung der Tonne? Nach welcher Zeit ist die Tonne zur Hälfte geleert? c) Wie groß ist die Abflussrate zu Beginn des Entleerungsprozesses? Nach welcher Zeit ist die Abflussrate auf 0,5 Liter pro Minute zurückgegangen?

J

\.....- 174

►

Beispiel: Der Warmwasserboiler Der in einem Warmwasserboiler ablaufende Erwärmungsprozess soll mathematisch modelliert werden. Laut Herstellerangabe hat der Boiler die rechts aufgeführten Leistungsdaten. Er wird bei Raumtemperatur (ca. 20 °C) betrieben. Die Wassertemperatur zur Erwärmungsbeginn betrage 10 °C. Man kann errechnen oder messen, dass bei einer Leistung vonP = 5kW l00LiterWasser pro Minute um ca. 0,75 °C erwärmt werden. Gleichzeitig kommt es zu Temperatureinbußen durch Wärmeverluste nach außen. Diese sind nach dem Newton'schen Abkühlungsgesetz proportional zur Differenz T (t) -Tu aus der Wassertemperatur T (t) zur Zeit t und der Umgebungstemperatur Tu, in unserem Fall also proportional zu T (t) - 20. Für den Proportionalitätsfaktor, der von der Boilerform und der Isolation abhängt, wird der Wert 2bo angenommen. Stellen Sie die Differentialgleichung für die Wassertemperatur T auf und lösen Sie diese. Lösung: Die Zunahmerate der Temperatur durch die elektrische Erwärmung beträgt 0,75 °C pro Minute. Die Abnahmerate für die Temperatur durch Wärmeverluste beträgt 2bo · (T - 20) °C pro Minute. Die Änderungsrate für die Wassertemperatur ist also insgesamt 0,75 °C - 0,005 · (T - 20) °C pro Minute, so dass sich die rechts aufgeführte Differentialgleichung ergibt.

Die Auflösung der Differentialgleichung ist relativ einfach, da es sich um den Fall getrennter Variablen handelt, der sich durch logarithmische Integration behandeln lässt. Die Auflösungsrechnung ist rechts in knapper Form dargestellt. Die Konstante D hat den Wert -160, was aus der Anfangsbedingung T 0 = T (0) = 10 folgt. ► Der Temperaturverlauf ist T (t) = 170 - 1(50 • e-o,oos t.

IV. Gewöhnliche Differentialgleichungen

Herstellerangaben: 1: Elektrische Leistung: 2: Fassungsvermögen:

P = 5000W l 00 Liter

Randbedingungen: 3: Umgebungstemperatur: Tu = 20 °C 4: Wassertemperatur zu Erwärmungs beginn: T O = 10 °C

--BEG 5kW

~

6

dZ Zunahmerate: dt = 0,75

Abnahmerate: ~ =

~ • 2 0

(T - 20)

Differentialgleichung für T: -dT = 0 ' 75 - 0 ' 005 · (T - 20) dt

~~ = 0,85 - 0,005 • T Lösung der Differentialgleichung: dT

dt -200 •ln (0,85 -0,005T) = t + C In (0,85-0,005T)=-0,005 t-0,005 C 0,85-0,005T= e-o,oost . e-o,oosc T(t) = 170+ D · e-o,oost 0,85 - 0,005 T

Lösung des Anfangswertproblems: Es folgt D = -160, da T (0) = 10. T (t) = 170 - 160 · e-o,oost

Übung 4 Fortsetzung zum Wasserboiler

Das Wasser im Boiler erwärmt sich von 10 °C auf 90 °C. Dann schaltet ein Thermostat die Heizung aus. Das Wasser kühlt auf 40 °C ab. Nun schaltet der Thermostat wieder ein und ein erneutes Aufheizen auf 90 °C beginnt. Wie lange dauern die einzelnen Vorgänge jeweils?

_ _ _ _ _4_._A_n_w_e_n_d_u_n_g_e_n_____________________________ l 7_5

►

Beispiel: Die barometrische Höhenformel Über jedem Quadratmeter Erdboden steht eine Luftsäule von etwa 10000kg Masse, die durch ihr Gewicht den atmosphärischen Luftdruck erzeugt, der auf Meereshöhe ca. 1013 Hektopascal beträgt. Mit zunehmender Höhe nimmt der Luftdruck ab. Im Folgenden soll eine Funktion P modelliert werden, welche die Abhängigkeit des Luftdruckes von der Höhe h über NN beschreibt, wobei eine konstante atmosphärische Temperatur von 0 °C vorausgesetzt wird.* Lösung: Die Lösung der Aufgabe erfordert einige physikalische Kenntnisse. p und P seien Dichte und Druck der Luft in der Höhe h, p0 und P O seien Dichte und Druck auf Meereshöhe NN. Als Maßeinheiten dienen m für die Höhe, kg/m3 für die Dichte und Pascal für den Druck. 1. Das Gewicht einer Luftsäule mit einem Querschnitt von 1 m2 , die von der Höhe h bis zur Höhe h + dh reicht, beträgt p · g · dh. Um diesen Wert nimmt der Luftdruck P ab, wenn man sich aus der Höhe h in die Höhe h + dh begibt. Der Druckabfall ist also: dP = - p • g · dh. 2. Für ein ideales Gas gilt unter der Voraussetzung, dass die Gastemperatur konstant ist, nach dem Boyle-Mariotte'schen Gesetz, dass der Quotient von Dichte p 0

0

Durch Einsetzen hiervon erhält man die Differentialgleichung für P. Man vereinfacht weiter durch Einsetzung folgender Werte: p =1,29kg/m P =101325N/m g = 9,81 m/s Nach nebenstehender Rechnung erhält man

p

Po'

Po

Differentialgleichung für p: dP = - ~0 • g • P • dh 0

dP = - 801cm · P • dh

DGL

ff f=

80~0 • dh

lnP = - 80~ 0 + C

2

,

0

Boyle-Mariotte'sches Gesetz: f = Po p = Po . p

f =-80~0. dh

und Druck P konstant ist:;= ~ .

3

Druckabfall beim Steigen von der Höhe h auf die Höhe h + dh: dP=-p· g·dh

,

0

2

.

Lösung

h

als allgemeine Lösung P = D • e - sooo . WegenD =P(0) =Po= 101325 Pascal folgt hieraus die barometrische Höhenformel als ► spezielle Lösung.

Barometrische Höhenformel: h

P (h) = 101325. e-sooo

Übung S Fortsetzung zur Barometeiformel a) Wie hoch ist der Luftdruck auf dem ca. 8800 m hohen Mount Everest? Wie hoch ist der Luftdruck in 20km Höhe? b) In welcher Höhe beträgt der Luftdruck nur noch 50 % des Druckes in Meereshöhe?

* In der Realität nimmt die Temperatur bekanntlich mit zunehmender Höhe ab.

J

\_..-1_76_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ IV _._G _e_w_o_·h_nli _._c_h_e _D_iffi _ er_e_n_ti_al__g_le_ic_h_u_n__g_en_ _ _ __

Die folgende grobe Modellierung der Beschleunigungsphase eines Raketenstarts setzt einige Grundkenntnisse der Mechanik voraus. ►

Beispiel: Die Raketengleichung

Eine Rakete besitze die Startmasse m0 = 20 000 kg. Darin enthalten sei der Brennstoffvon-at b0 = 13 000 kg. Die Raketenmotoren verarbeiten 125 Kilogramm Brennstoff pro Sekunde, den sie als Treibgas ausstoßen. Die auf diese Weise erzeugte Schubkraft betrage während der gesamten Brenndauer konstant Fs = 400000 Newton. a) Wie groß ist die Raketenmasse m (t) zur Zeit t nach dem Start? b) Wie groß ist die Gewichtskraft F0 (t) der Rakete zur Zeit t nach dem Start? c) v (t) sei die Geschwindigkeit der Rakete zur Zeit t. Stellen Sie eine Differentialgleichung für die Geschwindigkeit v auf und lösen Sie diese. d) Wie lange dauert es bis zum Brennschluss? Wie groß ist die Geschwindigkeit der Rakete bei Brennschluss? Lösungen: a: Die Rakete verliert in jeder Sekunde 125 Kilogramm Masse. Nach t Sekunden beträgt der hierdurch verursachte Masseverlust 125 t Kilogramm. Die Raketenmasse beträgt nach der Flugzeit t nur noch m(t) = 20000 - 125 t Kilogramm. b: Die Gewichtskraft der Rakete ven-ingert sich mit der abnehmenden Masse ebenfalls. Sie beträgt nach t Sekunden Flug nur noch F O (t) = m (t) • 9,81 = 196 200 - 1226,25 t Newton.* c: Diejenige Kraft, welche die Rakete nach oben treibt, lässt sich auf zwei Arten darstellen. Einerseits ist sie gleich der Ableitung des Impulses nach der Zeit, also gleich (m (t) · v (t)) '. Andererseits ist sie gleich der Differenz aus der Schubkraft Fs und der Gewichtskraft F0 , also gleich 203 800 + 1226,25 t. Durch Gleichsetzen der beiden Terme erhalten wir die Differentialgleichung (m(t) · v (t))' = 203 800 + 1226,25 t. Die Differentialgleichun g kann durch beidseitige Integration nach der Zeit t gelöst werden:

f

f

Aus (m(t) · v(t))'dt= (203800+ 1226,25t)dtfolgtm(t) · v(t)=203800t+613,125t2 +C. Durch Einsetzen von m (t) = 20000- 125 t und Auflösen nach verhalten wir die Lösungsfunk.

203800t+613125t2 +C

ttonenschar v (t)= _i t 20000 25 ft'hrt f di L ·· f nkf 1 au e osungs u 10n v (t) =

.

.

.

.

Die Konstante C 1st null, da v (0) = 0 gelten soll. Dies

203 800t + _613,125 t t 20000 125

2

d: Brennschluss ist, wenn die Treibstoffmasse aufgebraucht ist, d. h. wenn 125 t = 13 000 gilt. Dies ist nach t = 104 Sekunden der Fall. Die Rakete hat dann ihre Endgeschwindigkeit erreicht. Diese beträgt v (104) ~ 3975,25 m/s. Diese Geschwindigkeit von ca. 4krn/s reicht nicht aus, um in eine Erdumlaufbahn zu kommen. Dies ist der Grund dafür, weshalb man Mehrstufenraketen benötigt, die nach Brennschluss der ersten Stufe weiter beschleunigen können, um die ► für eine Umlaufbahn notwendige Geschwindigkeit von ca. 7,9 km/s zu erreichen.

* Der Einfachheit halber wird die Fallbeschleunigung g = 9,81 ~ als konstant angenommen. s·

_ _ _ _ _IV _._G _ew _öh_o_l_ic_h_e_D _1_·ffi_e_r_ en_u_·al _gl_e_ic_h_u_n-g_en_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_77_

Differentialgleichung

Eine Gleichung, die außer dem Funktionsterm y(x) auch Ableitungsterme y'(x), y"(x), etc. enthält, heißt Differentialgleichung. Jede Funktion, die die Differentialgleichung erfüllt, ist eine Lösung der Gleichung. Die allgemeine Lösung ist in der Regel eine Funktionenschar. Anstelle von y '(x) und y "(x) ist bei Differentialgleichungen häufig die Verwendung der diffe2

rentiellen Schreibweise ddy)t bzw.

d ~ dx-

von Vorteil.

Anfangswertproblem

Ist neben einer Differentialgleichung für die gesuchte Funktion y (x) der Funktionswert y (a) an einer Stelle a bzw. der Punkt P (aly (a)) des Funktionsgraphen gegeben, so spricht man von einem Anfangswertproblem; y ( a) heißt Anfangswert. Durch die Vorgabe eines Anfangswertes wird aus der Lösungsschar der Differentialgleichung - also aus der allgemeinen Lösung - eine spezielle Funktion als Lösung des Anfangswertproblems ausgewählt. Differentialgleichung mit getrennten Variablen

Ist eine Differentialgleichung in der Form : = f (x) · g (y) darstellbar, so spricht man von einer Differentialgleichung mit getrennten Variablen. Zur Lösung bringt man alle y enthaltenden Terme auf die linke Seite der Gleichung und alle x enthaltenden Terme nach rechts; schließlich wird integii ert:

f

gly) dy

=ff (x) dx.

Lineare Differentialgleichungen Bei einer Gleichung der Form y' = f (x) · y + g(x) spricht man von einer linearen Differentialgleichung. Ist dabei g (x) = 0 für alle x, dann h andelt es sich um eine homogene lineare Differentialgleichung. Andernfalls spricht man von einer inhomogenen Differentialgleichung. Allgemeine Lösung einer homogenen linearen Differentialgleichung

Die homogene lineare Differentialgleichung y' = f (x) · y besitzt die allgemeine Lösung y(x) = D · eff(x)dx, De1R. Spezielle und allgemeine Lösung einer inhomogenen linearen Differentialgleichung

Die Differenz zweier beliebiger spezieller Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung y' = f(x) · y + g(x) ist Lösung der zugehöiigen homogenen Gleichung y' = f(x) · y. Die allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung ist die Summe aus einer speziellen Lösung der inhomogenen Gleichung und der allgemeinen Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung: YINH(x) = y 1 (x) + YHoM(x). Methode der Variation der Konstanten

Das Verfahren von Lagrange zur Lösung von y' = f (x) · y + g (x) e1f olgt in 3 Schritten: 1. Bestimmung der allgemeinen Lösung YHOM der zugehörigen homogenen Differentialgleichung y' = f (x) • y. Der Term von YHOM enthält die Konstante D. 2. Man fasst die Konstante D in der allgemeinen Lösung y HOM der homogenen Gleichung als Funktion D (x) auf (Variation der Konstanten) und nimmt den so entstehenden Ansatz als spezielle Lösung y 1 der inhomogenen Gleichung. 3. Man bildet y~, setzt y 1 und Yi in y' = f(x) · y + g(x) ein. Dabei ergibt sich ein Term für D '(x) und durch Integration folgt D (x). Durch Rückeinsetzen erhält man die spezielle Lösung y I der inhomogenen Gleichung. Schließlich ist wieder YrnH = y 1 + YHoM·

J

\_..-1_78_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ IV _._G _e_w_o_·h_nli _._c_h_e _D_iffi _ er_e_n_ti_al__g_le_ic_h_u_n__g_en_ _ _ __

Differentialgleichungen 1. Differentialgleichungen mit getrennten Variablen Bestimmen Sie die allgemeine Lösu ng der Differentialgleichung. a) y' = -2x b) y' = e-Y y2

2. Anfangswertproblem Gegeben ist die Differentialgleichung y' = cos x · Yy. Bestimmen Sie diejenigen Lösungsfunktionen der Differentialgleichung, deren Graphen durch den Punkt P (011) gehen. Skizzieren Sie die Graphen dieser Funktionen für O :5 x :5 2 n. 3. Lineare Differentialgleichung Gegeben ist die Differentialgleichung y' =.!.X · y + 1, x > 0. Weisen Sie nach, dass die Funktion y (x) = x · In x + D · x (x > 0, De JR) diese Differentialgleichung löst. 4. Lineare Differentialgleichung, Variation der Konstanten Gegeben ist die inhomogene lineare Differentialgleichung y' = 2 y + 2x · e2 x. a) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differentialgleichung. b) Errechnen Sie mit Hilfe der Methode der Variation der Konstanten eine spezielle Lösung der inhomogenen Differentialgleichung. c) Wie lautet die Gleichung der Lösungsschar der inhomogenen Differentialgleichung? d) Welche Lösungskurve geht durch den Ursprung? Skizzieren Sie den Graphen dieser Funktion für -2 :5 x :5 0,5. 5. Zusatzproblen1 y ist eine Funktion mit folgenden Eigenschaften: 1. Für jeden beliebigen Punkt P (xly) mit x ~ 0 des Graphen von y gilt: Die Tangente an den Graphen von y im Punkt P geht durch den Punkt Q (011). 2. Der Punkt R ( 112) liegt auf dem Graphen von y. Um welche Funktion y handelt es sich?

Lösungen S. 283

V. Kreis und Kugel

\....... 180

1. Kreise in der Ebene Die Beispiele und Aufgaben dieses Kapitels erfordern algebraische Umformungen, die auch einfach mit einem CAS erledigt werden können. So führt das Lageproblem von Seite 188 auf die Befehlszeile solve ((x -2)/\2 + (y + 3)/\2 = 25, s)lx = 3 + 3 * s and y = 4-4 * s. Auch das System aus drei quadratischen Gleichungen des Beispiels auf Seite 184 kann mit einem einzigen solveBefehl vollständig gelöst werden. Deshalb sollten erst im Anschluss an das Erfassen und das Üben des klassischen Lösungsweges auch entsprechende CAS Lösungen gefunden werden.

A. Kreisgleichungen Schon im Altertum betrachtete man Kreis und Kugel als die vollkommenst geformten geometrischen Figuren. Ein Kreis in der Ebene ist der geometrische Ort aller Punkte X, die von einem gegebenen Punkt M, dem Mittelpunkt, den gleichen Abstand r besitzen. Der Betrag des Vektors MX , der vom Mittelpunkt M auf einen Kreispunkt X zeigt, ist also stets r: 1MX 1= r. Man kann dies auch mit Hilfe der Ortsvektoren von M und X ausdrücken: 1x - ml = r. Diese Bedingung lässt sich in ihrer quadratischen Form mit dem Skalarprodukt darstellen: (x - m )2 = r2. Setzt man hier die Spaltendarstellung von x und mein und multipliziert das Skalarprodukt aus, so erhält man eine Koordinatengleichung des Kreises : -----4

-----4

[(;)-(:~)]2 = r2. (x - m 1 )2 + (y - m2 )2 = r2 . ►

Kreisgleichungen

Der Punkt X(xly) liegt genau dann auf dem Kreis mit dem Radius rum den Mittelpunkt M (m 1 lm2), wenn eine der folgenden Gleichungen erfüllt ist: Vektorgleichung des Kreises

k: lx - rn 1= r oder k: (x - m)2 = r 2 Koordinatengleichung des Kreises

k: (x-m 1)2 + (y-m 2)2 =r2

Beispiel: Kreisgleichungen

Stellen Sie eine vektorielle Gleichung und eine Koordinatengleichung des Kreises k um den Mittelpunkt M (21-1) mit dem Radius r = 5 auf. Lösung: Wir setzen die Koordinaten des gegebenen Mittelpunktes M (21-l) sowie den Radius r = 5 in die obigen Formeln ein und erhalten ► die nebenstehenden Kreisgleichungen.

_ _ _ _ _1_.Kr _ e_i_se_ in_d_e_r_E_b_e_n_e_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_8_1..J

Jede quadratische Gleichung der Gestalt ax 2 + b x + c y2 + d y = e stellt geometrisch-anschaulich einen Kreis dar. Allerdings können aus dieser Darstellungsform im Gegensatz zur Vektorgleichung bzw. zur Koordinatengleichung Kreismittelpunkt und Radius nicht direkt entnommen werden. ►

Beispiel: Umkehraufgabe Berechnen Sie den Mittelpunkt M und den Radius r des Kreises k: x 2 - 6 x + y 2 + 2 y = 6.

Lösung: Wir ergänzen sowohl den die Variable x als auch den y enthaltenden Teilterm quadratisch zu einem Binom. So erhalten wir die Koordinatengleichung des Kreises k, der wir Mittelpunkt und ► Radius direkt entnehmen können.

x2 - 6 X + y2 + 2 y = 6 x2 -6x +9 +y 2 +2y + 1 =6 +9 + 1 (x - 3)2 + (y + 1)2 = 16 Mittelpunkt: M (3 l-1) Radius: r=4

Übung 1 Wie lautet die Gleichung des Kreises k mit folgenden Eigenschaften? a) Kreismittelpunkt: M (l l-4); Radius: r = 5. b) Kreismittelpunkt: Ursprung; P(3l-5) ist ein Punkt von k. c) Kreismittelpunkt: M(-21-3); P(214) ist ein Punkt von k. d) Kreismittelpunkt: M (3 l-2); der Kreis geht durch den Ursprung. Übung2 Gesucht sind der Mittelpunkt und der Radius des Kreises k. a) k: x2 - 4x + y2 + 2y = 11 b) k: x2 + y 2 = 8x - 7

c) k: x2 + y2 = 12y

Übung3 Welche der folgenden Gleichungen beschreibt einen Kreis? a) x2 + y 2 - 4x - 8y - 5 = 0 b) x2 + y 2 + 2x - 4y + 20 = 0 c) x2 +y 2 -4x+6y=-20 d) x2 +y2-6x+ lüy=-18 Übung4 Ordnen Sie den abgebildeten Kreisen die richtige Kreisgleichung zu. k J: k 2:

k k

:

3

X2 2

+ y2 - 4 X + 2 y = -1 2 X + 4 X + y - 4 y = 17 (x+3)2+(y+ 1)2=4 x + y 4x - 2 y + l = 0 2

: 4

2

-

X

\_..-1_82_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V_. _K_e r _is_ u_n_d_K _ u~g_e_l _ _ __

8. Relative Lage eines Punktes zu einem Kreis ►

Beispiel: Untersuchen Sie die relative Lage der Punkte A(513) und B (-211) zu dem Kreis

k: (x - 2)2 + (y + 1)2 = 25. Lösung: Wir setzen die Koordinaten der gegebenen Punkte in die linke Seite der Kreisgleichung ein, da diese nur das Quadrat des Abstandes des Mittelpunktes vom gegebenen Punkt darstellt. Dann vergleichen wir das Ergebnis mit der rechten Seite der Kreisgleichung (dem Quadrat des Radius).

y

A B • 1 1 •

X

M

Einsetzen in die Kreisgleichung:

Da die Koordinaten von A die Kreisgleichung erfüllen, liegt A auf k.

A: (5 - 2)2 + (3 + 1)2 = 9 + 16 = 25 ⇒ A liegt auf dem Kreis k.

Da der Abstand des Mittelpunktes zu Punkt B kleiner als der Radius ist, liegt B im In► neren des Kreises k.

B: (-2 - 2)2 + (1 + 1)2 = 16 + 4 = 20 < 25 ⇒ B liegt im Inneren des Kreises k.

Wir halten für die relative Lage eines Punktes zu einem Kreis folgende Aussagen fest: Relative Lage eines Punktes zu einem Kreis

Gegeben sei ein Punkt P (x 1y 0

I.

Gilt (x

-

0

II. Gilt (x

1

-

0

m. Gilt (x

-

0

m )2 + (y 1

-

0

m )2 + (y

-

1

2

)

2

und ein Kreis k: (x - m )2 + (y - m =r

m )2 < r

0

m )2 + (y 1

m

)

0

2

,

2

,

2

)

2

=r

2

.

so liegt P auf dem Kreis k. so liegt P innerhalb des Kreises k.

2

-

m )2 > r

0

2

,

so liegt P außerhalb des Kreises k.

2

Übungs

Bestimmen Sie die relative Lage der gegebenen Punkte zum Kreis k. a) k: (x-4)2+(y+ 1)2=20 b) k: x 2 -6x+y2 +2y= 15 A(613), B (812) A(710), B (013) c) Kreis um M(ll3), r = 5 A(-412), B (3 16), C (41-1)

d) k:

[x -(-~)]2 = 25

A(2ll), B (-41-1)

Übung6

Ein Pilot kann mit seiner Maschine mit einer Tankfüllung bis zu 650 km fliegen. Bezogen auf seinen Startpunkt Omega als Koordinatenursprung haben die Farmen Alpha, Beta und Gamma die Koordinaten A(180 l240), B (-2601230) und G (-2801100). Welche Farm sollte er nicht anfliegen, wenn er mit einer Tankfüllung wieder sicher zurückkehren will?

_ _ _ _ _1_.Kr _ e_i_se_ in_d_e_r_E_b_e_n_e_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_8_3

C. Kreise durch drei Punkte Durch drei nicht auf einer Geraden liegende Punkte A, B und C ist eindeutig ein Kreis festgelegt, der diese Punkte enthält. Man kann den Mittelpunkt und den Radius eines solchen Kreises zeichnerisch und rechnerisch z.B. mit Hilfe von Mittelsenkrechten bestimmen. ►

Beispiel: Lösung mit Hilfe von Mittelsenkrechten Gegeben sind diePunkteA (-813), B (81-5) und C (l0l9). Bestimmen Sie den Mittelpunkt und den Radius des Kreises k durch A, B und C. Lösung: Der gesuchte Kreis k ist der Umkreis des Dreiecks ABC. Dessen Mittelpunkt ist bekanntlich der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks. Es bietet sich also an, die Gleichungen von zwei Mittelsenkrechten zu bestimmen und ihren Schnittpunkt M zu errechnen.

Die Mittelsenkrechte gBC geht durch den Mittelpunkt M 1 der Strecke BC, also durch

M 1 (912) als Stützpunkt. Sie steht senkrecht

BC =(1~). Als Richtungsvektor kann daher n1 =(!1) ver-

auf dem Streckenvektor

Mittelsenkrechte

A

gBC X

1. Gleichung von g 8 c:

oM7 =½·(OB+ OC) =(;) Richtungsvektor: n 1- ( 1~); n = C1) Stützvektor:

1

Gleichung: gBx:

1

x =(;) + r (!t)

wendet werden. Dies führt auf die rechts dargestellte Geradengleichung von gBc· Analog stellt man die Geradengleichung der Mittelsenkrechten gAC auf.

2. Gleichung von gAc:

Nun können wir den Schnittpunkt der beiden Geraden errechnen, indem wir die linken Seiten der Geradengleichungen gleichsetzen und das so entstehende Gleichungssystem auflösen. Wir erhalten den Kreismittelpunkt M (213).

3. Schnittpunkt von g8c und 8Ac:

Der Kreisradius r lässt sich als Abstand der Punkte M und B errechnen. ► Resultat: r = 10

gAC: X= (~) +s(_1:)

rC1)

(;) + = (~) + s(_1~) I 9 + 14r = 1 + 6 s II 2 - 2r = 6 - 18 s Lösung: r = - ½, s = ¾⇒ M (21 3) 4. Radius r des Kreises:

r =IMBI =l(_~)I=✓ 100

=10

Übung7 Ermitteln Sie die Gleichung des Kreises k durch die Punkte A, B und C. a) A (5I0), B (-11-8), C (-21-1) b) A (0l6), B (l2I0), C (0ll2) c) A (4l5), B (- 314), C (ll6) d) A (917), B (lll5), C (3 1-ll)

J

V. Kreis und Kugel

\.....- 184

Man kann die Kreisgleichung eines Kreises durch drei gegebene Punkte auch durch Einsetzen in die allgemeine Koordinatengleichung ermitteln. Jedoch führt diese Methode auf ein Gleichungssystem, das gelöst werden muss. Wir zeigen diese Lösungsmethode im folgenden Beispiel. ►

Beispiel: Lösung mit Hilfe eines Gleichungssystems Bestimmen Sie die Gleichung eines Kreises k, der durch die Punkte A(-813), B (l0l9) und C(-41-5) geht. Lösung: Setzen wir die Koordinaten der drei Punkte in die allgemeine Koordinatengleichung eines Kreises ein, so erhalten wir zunächst ein System vor drei quadratischen Gleichungen. Wir multiplizieren dann die Klammerterme mit Hilfe der binomischen Formeln aus. Anschließend eliminieren wir die quadratischen Terme mf, m~ und r 2 und erhalten ein lineares Gleichungssystem mit 2 Gleichungen und den 2 Variablen m 1 und mz. Dieses System besitzt die Lösung m 1 = 2 und m2 = 3. Nun können wir durch Einsetzen auch r berechnen und erhalten r = 10.

. Es handelt sich also um den Kreis mit dem Radius r = 10 um den Mittelpunkt M (213). Die Kreisgleichungen sind nebenstehend ► aufgeführt.

I: (-8 - m 1)2 + (3 - m2) 2 =r2 II: (10 - m 1) 2 + (9 - mz)2 =r2 III: (-4 - m 1)2 + (-5 - m2) 2 = r2 2

J: 64+ 16m 1 +mf + 9- 6m2 +rrs =r II: 100-20 m1 +mf +81-18m 2 +~=r2

III: 16+ 8 m l +mf +25+ 10mz+m~=r2 IV= I - II: 36 m 1 + 12m2 = 108 V = II- ill:-28 m 1 - 28 m2 = 140 VI= 14 ·IV+ 18 • V: -336m2 = -1008

aus VI folgt: m2 = 3 aus IV folgt: m 1 = 2 aus I folgt: r = 10 k: (x - 2) 2 + (y - 3) 2 = 100 k: [x

- (i) J2 = 100

Koordinate11gleichu11g

Vektorgleicluu,g

Übungs Stellen Sie die Gleichung des Kreises durch die Punkte A, B, C nach obiger Methode auf. a) A(0l2,5), B (213,5), C(4l-0,5) b) A(-211), B (61-3), C (219) Übung9 Der Kreis k enthält die Punkte A(-1 16) und B (0l-1). Sein Mittelpunkt liegt auf der Geraden y =x. a) Bestimmen Sie die Kreisgleichung von k. b) Überprüfen Sie, ob kein Umkreis des Dreiecks ABC mit C(3l-2) ist. ÜbunglO Gegeben sind die PunkteA(212), B (814), C(717) und D (ll5). a) Zeigen Sie, dass diese Punkte ein Rechteck ABCD bilden. b) Die Punkte A, B, C, D liegen auf einem Kreis k. Bestimmen Sie eine Gleichung von k.

_____1_._Kr _ e_is_e_i_n _d_er_ E _ be_n_e_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_8_5

11. Stellen Sie die Vektor- und die Koordinatengleichung des Kreises k auf. a) Mittelpunkt: M (215); Radius: r = 4 b) Mittelpunkt: M (l l-3); P (-21 1) ist ein Punkt von k. c) k berührt die x-Achse in P (3 IO) und geht durch Q (0 11). 12. a) Zeichnen Sie den Kreis k: (x - 2)2 + (y - 1)2 = 16. b) Der Kreis k wird längs der y-Achse so verschoben, dass er die x-Achse berührt. Welche Gleichungen kann dieser Kreis haben? c) Wie lauten die Kreisgleichungen, wenn der Kreis k längs der x-Achse so verschoben wird, dass er die y-Achse berührt? 13. Für jede reelle Zahl a ":1:- -2 beschreibt die Gleichung x2 + (y - a) 2 = (a + 2) 2 einen Kreis. a) Setzen Sie für den Parameter a die Werte a = -1 , a = -0,5, a = 0 und a =2 ein. Zeichnen Sie die zugehörigen Kreise. Welche besondere Lage haben die Kreise zueinander? b) Geben Sie eine Schar von Kreisen an, die alle durch den Ursprung gehen. 14. Stellen Sie die folgenden Kreisgleichungen in Mittelpunktsform (Koordinatengleichung) dar. Bestimmen Sie M und r. a) k: x 2 - 12x + y 2 + 2y = 0 b) k: x 2 + 3x + y2 = 0 15. Berechnen Sie den Abstand der Mittelpunkte der beiden Kreise k 1 und ½· a) k 1: x2 + 2 x + y2 - 2 y =0, k 2 : x2 - 6 x + y2 + 8 y - 24 = 0 b) k 1: x2 + 12x + y 2 - 28 =0, k2 : x2 + lOx + y 2 + 3y = 3 16. Untersuchen Sie die relative Lage der gegebenen Punkte zu dem Kreis k.

[x

a) k: - (~)]2 = 144 A(4111), B (-71 10), C(6,5ll0,l)

b) k: (x -2) 2 + (y + 4)2 =36 A(-111), B (-410), C(3,5ll,5)

17. Wie muss a gewählt werden, damit der Punkt A auf dem Kreis k um den Mittelpunkt M mit dem Radius r liegt? a) M (-115), r = 5, A (21a) b) M (al5,5), r = 8,5, A (41-2) c) M(414), r =a,A (-211,5) 18. Gegeben ist der Kreis k: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 25. a) Eine Teilstrecke der x-Achse ist eine Kreissehne. Wie lang ist diese Sehne? b) Eine Teilstrecke der senkrechten Geraden x =4 verläuft im Inneren des Kreises. Wie lang ist diese Strecke? 19. Gegeben sind diePunkteA(llO), B (91 4), C(Ol7) undM(414). Zeigen Sie, dass M der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks ABC ist. Geben Sie eine Gleichung des Umkreises k an. 20. Bestimmen Sie die Gleichung eines Kreises k, der die gegebenen Punkte enthält. a) A (212), B (911), C(6110) b) A (-6115), B (15112), C (12115) c) A(4ll4), B (-1317), C(-1115) d) A(-18 11), B (-1716), C(Oll3)

J

\_..-1_86_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V_. _K_e r _is_ u_n_d_K _ u~g_e_l _ _ __

Anwendungen

21. In der Wüste Saudi-Arabiens gibt es rotierende Bewässerungsanlagen, die es den Farmern dort ermöglichen, auf kreisförmigen Arealen Getreide anzubauen. Die abgebildeten Areale umfassen jeweils 2 005 000 m2 . Stellen Sie eine Gleichung auf, die den Rand eines solchen Areals beschreibt, wobei der Standpunkt des Sprengers der Koordinatenursprung ist. 22. Bei einer halbkreisförmigen Brücke mit einem Radius von 10 m liegt der Mittelpunkt des Halbkreises bei normalem Wasserstand auf Höhe der Wasseroberfläche. a) Zeigen Sie, dass ein mit Containern beladener 6 m hoher Lastkahn der Breite 8 m die Brücke mittig durchfahre n kann. b) Wie weit darf der Lastkahn von der Ideallinie bei der Durchfahrt seitlich höchstens abweichen? c) Ab welchem Wasserstand über Normal ist bei Hochwasser die Durchfahrt für den Lastkahn unmöglich? 23. Bei einer Schnitzeljagd starten drei Gruppen an den gekennzeichneten Punkten A, B und C (Angaben in km). Wo muss sich das Ziel Z befinden, damit alle drei Gruppen durch gleich große Entfernungen von Start- und Zielpunkt gleiche Siegeschancen haben?

_ _ _ _ _2_.Kr _ e_i_se_ u_ n d_ G_e_ra_d_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_87_

2. Kreise und Geraden Drei Fälle sind möglich, wie ein Kreis k und eine Gerade g relativ zueinander liegen können. 1. g und k schneiden sich in 2 Punkten: g ist eine Sekante von k. 2. g berührt k in einem Punkt: g ist eine Tangente von k. 3. g und k haben keine gemeinsamen Punkte: g ist eine Passante von k.

Sekante

Tangente

Passante

A. Schnittpunkte eines Kreises mit einer Geraden y ►

.

Beispiel: Schnittpunktberechnung Die beiden StationenA undB, zwischen denen ein kreisförmiger See liegt, sollen durch eine geradlinige Bahnstrecke verbunden werden. In welchen Punkten schneidet die Verbindung das Seeufer? Wie lang wird die Brücke über den See? Lösung: Wir stellen die Kreisgleichung k und die Gleichung der Geraden g durch A und B auf und setzen die Geradengleichung in die Kreisgleichung ein.

A(-1112)

-10

5

Maßstab: 1 Einheit = 100 m

B(71-4)

k: x 2 + y2 = 25

Kreisgleichung:

Geradengleichung: g: y

g in k eingesetzt: Wir erhalten eine quadratische Bestimmungsgleichung für die x-Koordinate der Schnittpunkte. Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen, die sogenannte p-q-Formel, liefert die Lösungen x 1 = 4, x 2 = -5. Die Entfernung der beiden Schnittpunkte von g und k beträgt d z 9,49. ► Die Brücke wird also ca. 949 m lang sein.

x2 +

=-½ x-

i

(-½x- i)2 =25

=> x 2 + X -20 =0 Lösungen:

= 4; X2 = -5;

X1

=-3 Y2 = 0

Y1

⇒

SI (41-3) => S2 (-5 10)

Abstand:

d =d(S 1, S2 )

=✓92 + 32 =✓90 z

9,49

Übung 1 k sei ein Kreis um M (21 l ) mit Radius r = 5. Untersuchen Sie die relative Lage von g zu k. a) g schneidet die x-Achse in P (-610) und hat die Steigung m = -0,5. b) g gehtdurchA (-612) undB(0 l-10): c) g hat die Steigung und schneidet die y-Achse in P (0l 12).

-1

X

J

\_..-1_88_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V_. _K_e r _is_ u_n_d_K _ u~g_e_l _ _ __

Wir untersuchen nun die Lage einer Geraden zu einem Kreis in vektorieller Form. ►

Beispiel: Vektorielle Geradengleichung/Koordinatengleichung des Kreises

Betrachtet werden der Kreis k: (x - 2)2 + (y + 3) 2 = 25 sowie die Gerade g: x Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und k.

=(!) + s (_~)-

Lösung: Zeichnen wir den Kreis k und die Gerade g in ein Koordinatensystem, so ergibt sich die Vermutung, dass g Tangente an k ist. Für eine rechnerische Lösu ng setzen wir die Koordinaten x =3 + 3s und y =4 - 4s der Geraden g in die Kreisgleichung ein. Wir erhalten eine quadratische Gleichung für den Geradenparameter s. Wir lösen diese auf und erhalten genau eine Lösung s = 1. g und k haben daher genau einen gemeinsamen Punkt B (610). Die Gerade g muss daher Kreistangente sein. Hätten wir zwei Lösungen oder keine Lösung . erhalten, so würde es sich um eine Sekante ► oder um eine Passante handeln.

(3 + 3 s - 2)2 + (4 - 4 s + 3)2 = 25 (3s + 1)2 + (-4s + 7)2 =25 9s 2 + 6 s + 1 + 16s 2 - 56s +49 =25 25 s2 - 50 s + 25

=0

s2 - 2 s + 1 =0 s=l±~=l ⇒

genau eine Lösung

⇒

g ist Tangente. Berührpunkt B (610)

Übung2

Gegeben seien der Kreis k um den Mittelpunkt M (213) mit dem Radius r = 10 sowie die Gerade g durch A und B. Welche gegenseitige Lage besitzen g und k? a) A(12l 19) b) A(4114) c) A(610) B (101 15) B (1615) B(-216) Übung3

Wie muss der Radius r des Kreises k um den Mittelpunkt M (312) gewählt werden, damit die Gerade g durch die Punkte A(419) und B (1011) a) eine Passante, b) eine Tangente, c) eine Sekante ist. Übung4

Gegeben sind der Ursprungskreis k mit dem Radius r = 10 sowie das Dreieck ABC mit A(-161-6); B(l71-6); C(-4122). Untersuchen Sie, ob die Seiten des Dreiecks den Kreis schneiden, berühren oder verfehlen. Fertigen Sie zunächst eine Zeichnung an.

_ _ _ _ _2_.Kr _ e_i_se_ u_ n d_ G_e_ra_d_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_8_9

8. Kreistangenten ►

Beispiel: Tangentengleichung

•

Zeigen Sie, dass P(312) auf dem Kreis um M (11 1) mit dem Radius r = -VS liegt, und bestimmen Sie die Gleichung der Tangente, die k im Punkt P berührt. Lösung: Die Koordinaten von P werden in die Kreisgleichung eingesetzt. Da sie die Kreisgleichung erfüllen, ist P ein Punkt von k. Die Gerade MP hat die Steigung 0,5. Die Tangente an k im Punkt P steht senkrecht auf MP und hat daher die Steigung -2. Diese Steigung und die Koordinaten von P bestimmen die Tangentengleichung:

X

Kreisgleichung: k: (x - 1)2 + (y - 1) 2 = 5 Koordinaten von P in k eingesetzt: (3 - 1)2 + (2 - l )2 = 5 Tangentengleichung: Steigung der Geraden MP: m 1 = ~

=i = ½

1 Steigung der Tangente: m2 = - -m, = -2

Tangentengleichung: y

= -2x + 8

► y=-2x+8.

Übungs

Bestimmen Sie die Tangentengleichung an den Kreis k: x2 - 6 x + y2 + 2 y = 0 im Punkt P (412). ►

y

Beispiel: Parallele Kreistangenten

Bestimmen Sie die Tangentenberührpunkte und die Tangentengleichungen an den Kreis k: (x + 2)2 + (y + 3)2 = 13, wenn die Tangenten Parallelen zur Geraden y = - l x + 4 sind. Lösung: Zuerst wird die Gleichung der Geraden h durch den Kreismittelpunkt M aufgestellt, die senkrecht zur gegebenen Geraden liegt. Die Schnittpunkte von h mit dem Kreis sind die Tangentenberührpunkte. Da von den Tangenten der Berührpunkt mit dem Kreis und die Steigung bekannt sind, können die Tangentengleichungen aufgestellt werden. ►

X

Geradengleichung von h: 2

5

y = 3X - 3

Schnittpunkte von h und k:

1)2

(x + 2) 2 + (ix + = 13 x 2 +4x-5=0 ⇒ s, (-51-5) X1 =-5, Y1 =-5 ⇒ S 2 (11-1) X 2 = 1, Y2 =-1 Tangentengleichungen: 3 25 3 l Y= - -2 x - -2 und y -- - -2 x + -2

J

V. Kreis und Kugel

\.....- 190

►

Beispiel: Tangentengleichung in vektorieller Form Gegeben ist der Kreis k um den Mittelpunkt M (211) mit dem Radius r = fs. Wie lautet die Gleichung derjenigen Kreistangente g, die den Kreis im Punkt B (313) berührt?

Lösung: Wir verwenden für die Tangentengerade den vektoriellen Ansatz g: x = b + s • n . Als Stützvektor wählen wir den Ortsvektor des Berührpunktes B (313 ). DenRichtungsvektorn bestimmen wirfolgendermaßen:

-- -

y

g X

=G) steht senkrecht auf dem Radiusvektor MB= (i). Daher gilt n ·MB= 0. Dies führt auf x + 2 y =0. Diese Bedingung ist erfüllt, wenn wir z.B. x =2 und y =-1 wählen. Die gesuchte ► Tangentengleichung lautet daher g: x =(~) + s(_i). n

►

Beispiel: Berührpunkte mit Hilfe von Vektoren Gegeben ist der Kreis k um den Mittelpunkt M (311) mit dem Radius r = 5. Wie lauten die Berührpunkte der Kreistangenten, die parallel zur Geraden g: sind?

Lösung: h sei eine durch den Kreismittelpunkt laufende, zu g senkrechte Gerade (in der Abbildung gestrichelt). Sie hat die Gleichung h:

x =(i) + t (_!)

n

g

x = {f) + s(1)-

Die Berührpunkte B I und B 2 sind die Schnittpunkte von h mit dem Kreis k: (x - 3)2 + (y - 1)2 = 25. Durch Einsetzen der Geradenkoordinaten in die Kreisgleichung ergibt sich eine quadratische Gleichung mit den beiden Lösungen s =+ 1 und s =-1. Hieraus ergeben sich die Berührpunkte ► B 1 (714) und B 2 (-11-2).

Übung6 Gegeben ist k: (x - 3)2 + (x - 1)2 = 25. Gesucht ist die Gleichung der Tangente von k im Berührpunkt B (61-3).

X

Schnittpunkte von h und k: (3 + 4 s - 3)2 + (1 + 3 s - 1) 2 = 25 25s 2 = 25 s = ±1

s = 1: Bl (714) S=- 1: B2(-ll-2)

Übung7 Gegeben ist k: (x + 3)2 + y2 =169 sowie die Gerade g durchA(517) und B (0l-5). Gesucht sind die zu g parallelen Kreistangenten.

_ _ _ _ _2_.Kr _ e_i_se_ u_ n d_ G_e_ra_d_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_9_1

Von einem Punkt Q, der außerhalb eines Kreises k liegt, können zwei Tangenten an den Kreis gelegt werden. Im Folgenden geht es darum, wie man die Gleichungen dieser Kreistangenten rechnerisch ermitteln kann. ►

Beispiel: Tangenten an einen Kreis von einem Punkt außerhalb des Kreises Gegeben ist der Kreis k mit dem Radius r = 5 um den Mittelpunkt M (213) sowie der Punkt Q (912). Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden Tangenten, die vom Punkt Q an den Kreis k gelegt werden können. 1. Lösung: (zeichnerisch) Zeichnerisch wurde dieses Problem schon in der Mittelstufe gelöst. Zur geometrischen Lösung bildet man den Thaleskreis über MQ. Dieser schneidet den Kreis k in zwei Punkten P I und P 2 . Da im Thaleskreis die Winkel 0)

~ 1

E

C0 5.

Kugelgleichung: (x - 2)2 + (y - 1)2 + (z - 5)2 =25 Punktproben: A: (6 - 2)2 + (1 - 1)2 + (2- 5)2 = 25 B: (4 - 2)2 + (3 - 1)2 + (4 - 5)2 = 9 < 25 C: (6 - 2) 2 + (5 - 1) 2 + (3 - 5)2 = 36 > 25 A liegt auf K. B liegt innerhalb von K. C liegt außerhalb von K.

Übung2 Prüfen Sie, ob A und B auf der Kugel K mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r liegen. a) M(21-I l4),r=3 b)M(l lll5),r =5 c) M(-21413), r=6 A(411 15) A(5l-215) A (0I0I0) B(312ll) B (-11313) B (4l ll5) Übung3 a) Für welche Werte des Parameters t liegt der Punkt P(tl-2112) auf der Kugel mit dem Mittelpunkt M(l 1312) und dem Radius r = 15? b) Wie lautet die Gleichung der Kugel K um den Mittelpunkt M(211 l5), die den PunktA (-61514) enthält? ►

•

Beispiel: Radius und Mittelpunkt Eine Gleichung der Form x2 + ax + y2 + by + z2 + cz = d kann eine Kugel K darstellen. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Kugel K: x 2 - 2x + y2 - 4 y + z2 + 8 z = 15.

Lösung: Die Kugelgleichung enthält drei quadratische Terme für x, y und z. Wir formen jeden dieser Terme mittels quadratischer Ergänzung in ein Binom um. Die rechte Seite der Gleichung ergänzen wir durch Addition entsprechend. Wir erhalten eine Gleichung der Form (x - a) 2 + (y- b)2 + (z - c)2 = r2 , . aus der wir Mittelpunkt M und Radius r ► unmittelbar ablesen können.

K: x2 - 2x + y2 - 4y + z2 + 8z = 15 K: x2 -2x + 1 +y2 -4y + 4 +z2 +8z + 16 = 15 + 21 2 K: (x - 1) + (y - 2)2 + (z + 4)2 =36 K: (x - 1)2 + (y - 2)2 + (z + 4)2 =62

Mittelpunkt: M(l 121-4) Radius: r = 6

Übung4 Bestimmen Sie Mittelpunkt M und Radius r der Kugel K. a) K: x2 + 4x + y2 - 6y + z2 + l0z = 62 b) K: x2 + y2 + z2

-

2x + 4y

=11

J

\_..-1_96_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V_. _K_e r _is_ u_n_d_K _ u~g_e_l _ _ __

S. Wie lautet die Gleichung der Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r? a) M(2l-ll2), r=4 c) M(O ll ll),r=-VS e) M(0 I0I0), r=4 b)M(ll4I0), r=3 d)M(2 ll l-l), r=l f) M(l llll),r=2 Vektorgleichung

Koordinatengleichung

beide Gleichungsarten

6. Prüfen Sie, ob die Punkte A und B auf, innerhalb oder außerhalb der Kugel K liegen.

-U)]'

a) K: [ X -mir= 169, A (5 l1210), B (101812)

b) K: [ X

c) K: (x - 3)2 + (y + 1)2 + (z - 1)2 = 49, A(61l l-5), B (415 1-2) e) K: M(2 I0l3), r=9, A(614l 10), B (51718)

d) K: x2 + y 2 + (z + 3) 2 = 121, A (01018), B (21616) f) K: M (0101-2), r=fil, A(4l-1 l-3), B (21310)

= 25, A (2121-2), 8(31-3 12)

7. Die gegebene quadratische Gleichung stellt eine Kugel K dar. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius dieser Kugel. a) K: x2 + y 2 - 2 y + z2 + 2 z = 2 b) K: x2 + y2 + z2 - 8x + 4y + l0z = 4 c) K: x2 + y 2 + z2 - 2 = 4 x - 2 y + 8 d) K: (x - 1)2 + y2 = 2y + 2z - z2 - 1 e) K: x 2 + y 2 + z2 = 8 x - 4 z f) K: x2 -2ax+z2 =-y2 -2az+7a2 (a>0) 8. Gesucht ist die Gleichung einer Kugel K mit folgender Eigenschaft: a) Khat den Mittelpunkt M(-1 121-4) und geht durch den PunktA (31613). b) K ist eine Ursprungskugel, welche die Ebene E: z = 5 berührt. c) K ist eine Ursprungskugel, welche den PunktA (6l 1716) enthält. 9. Eine Gerade g durch den Mittelpunkt der Kugel K schneidet die Kugel in den Punkten A und B. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius der Kugel K. a) A(3 17110) b) A(413 19) c) A(4ll3112) B (-11-51-8) B (-41-51-5) B(-61-71-8) 10. Der Punkt A liegt auf der Kugel K. Welcher Punkt B der Kugel K liegt exakt gegenüber von PunktA? a) K: (x - 6) 2 + (y + 2)2 + z2 = 121 , A(8 1419) b) K: x 2 + (y - 4) 2 + z2 = 361, A(612116) 11. Die Kugeln K 1 und K2 schneiden sich nicht. Welche beiden Punkte von K 1 bzw. K2 haben den geringsten Abstand voneinander? b) K 1: (x - 1)2 + (y - 1)2 + (z - 1)2 = 49 a) K 1: x2 + y 2 + z2 = 81 2 2 2 K 2 : (x - 6) + (y - 12) + (z - 12) = 36 K2 : (x - 9)2 + (y - 13)2 + (z - 25)2 = 196 12. Die Kugel K um den Mittelpunkt M soll die Ebene E in einem Punkt B berühren. Welchen Radius r besitzt die Kugel? Wie heißt der Berührpunkt B? a) E: 4x-4y + 7z = 81, M(0 I0I0) b) E: 2x + 3y + 6z = 42, M(2l-4l-8) 13. Bestimmen Sie eine Gleichung der Kugel K durch den Punkt P(l214116), welche die x-yEbene im Ursprung berührt.

_____4_._K_u__g_e_ln_,_G_e_r_ad_e_n_u_n_d_E _ b_e_n_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_9_7

4. Kugeln, Geraden und Ebenen A. Die gegenseitige Lage von Kugel und Gerade Eine Gerade g im Raum kann Passante, Tangente oder Sekante einer gegebenen Kugel sein. Man überprüft dies durch Einsetzen der Geradenkoordinaten in die Kugelgleichung.

►

Beispiel: Passante/Tangente/Sekante Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt M (51110) mit Radius r = .ff4 sowie die Geraden gl' g 2 und g3. Welche gegenseitige Lage besitzen die Geraden und die Kugel? g l: X=

(!l + (-D s.

1l (-~l

g2: X= (- + s .

g3: X =

(-n + s • (:l

Lösung: Wir stellen zunächst die Koordinatenglei-

Kugelgleichung:

chung der Kugel auf.

K: (x - 5)2 + (y - 1)2 + z2 = 14

In diese setzen wir die allgemeinen Koordinaten x = 6 + s, y = 1 - s und z = 7 + 2 s der Geraden g I ein. Wir erhalten eine quadratische Gleichung für den Geradenparameter s, die die beiden Lösungen s 1 = 3 und s2 = 2 hat. Die Gerade g 1 ist also Kugelsekante.

Lage von g1 und K:

Analog verfahren wir mit der Geraden g 2. Sie hat nur einen gemeinsamen Punkt B (21012) mit der Kugel. Die Gerade g 2 ist Kugeltangente. Die Gerade g3 hat gar keine gemeinsamen Punkte mit der Kugel. Es ist eine Kugel► passante.

(6 + s - 5)2 + (1 - s - 1)2 + (7 + 2s)2 = 14 6 s2 + 30 s + 50 = 14 ⇒ Sekante s 1 = 3 und s2 = - 2 S I (3 1411), S2(41 31 3)

Lage von g2 und K:

21 s2 + 42 s + 35 = 14 s = -1 B (21012)

⇒

Tangente

⇒

Passante

Lage von g3 und K:

3 s2 - 10 s + 51 = 14 keine Lösung

Übung 1 Gegeben sind die Kugel K mit dem Mittelpunkt M (- 2 11 13) und dem Radius r = '16 sowie die Gerade g durch die Punkte A und B. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage von g und K. a) A (- 31- 7 18) b) A (-1 1414) c) A (2 121 2) B (-21-416) B (11514) B (-31217)

J

\_..-1_98_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V_. _K_e r _is_ u_n_d_K _ u~g_e_l _ _ __

8. Die gegenseitige Lage von Kugel und Ebene Eine Kugel K und eine Ebene E können prinzipiell drei verschiedene Lagen zueinander einnehmen. Dazu betrachtet man den Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E, den man mit der Abstandsformel (Hesse'sche Normalenform der Ebene) errechnet und mit dem Kugelradius r vergleicht.

d .,_ ._............... . ,.,/ F

::----------: Ist d > r, so schneiden sich Ebene E und Kugel K nicht. Der Lotfußpunkt F des Lotes von M auf E ist dann derjenige Ebenenpunkt, der den kleinsten Abstand zur Kugel K hat.

Ist d = r, so berührt die Ebene E die Kugel K im Fußpunkt F des Lotes von M auf E. E ist eine Tangentialebene von K.

Ist d < r, so schneidet die Ebene E die Kugel K in einem Kreis k ', den man als Schnittkreis von Kugel und Ebene bezeichnet.

Übung2 Prüfen Sie, ob die Ebene E die Kugel K schneidet, berührt oder verfehlt. a) E: [X

-

ml ·m=

0

K: x2 + y 2 + z2 = 25

b) E: 2x - 4y + 4z = 38

K: (x - 3)2 + (y - 3)2 + (z - 2)2 = 36

C. Der Schnittkreis von Kugel und Ebene ►

Beispiel: Berechnung des Schnittkreises Zeigen Sie, dass die Ebene E: 2x - y - 2z = -7 die Kugel K: (x - 2)2 + (y + 1)2 + (z - 3)2 = 9 schneidet. Bestimmen Sie den Radius r' und den Mittelpunkt M' des Schnittkreises k'.

Lösung: Wir stellen zunächst eine Hesse'sche Normalengleichung von E auf. Hierzu entnehmen wir der Koordinatengleichung einen Ebenenpunkt, z. B. A(Ol710), sowie einen Normalenvektor. Den Abstand des Kugelmittelpunktes M (2 l- 113) zur Ebene E ermitteln wir durch Einsetzen in die linke Seite der Hesse'schen Normalengleichung. Wir erhalten d = 2. Da dieser Wert kleiner als der Kugelradius r = 3 ist, schneidet die Ebene T E die Kugel K.

Hesse'sche Normalengleichung von E: E= [•

-m1· (=ill

=

0

Abstand des Mittelpunktes M von E:

=> Die Ebene E schneidet die Kugel K.

_____4_._K_u__g_e_ln_,_G_e_r_ad_e_n_u_n_d_E _ b_e_n_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _l_9_9

Der Radius r' des Schnittkreises k ' von Kugel und Ebene kann mit Hilfe des Satzes von Pythagoras errechnet werden, was aus der nebenstehenden Grafik ersichtlich ist: (r ')2 = r2 - d 2 . Wir erhalten r ' ='YS.

Der Mittelpunkt M ' des Schnittkreises k' ist der Fußpunkt des Lotes von M auf die Ebene E. Als Stützpunkt der Lotgeraden g können wir den Mittelpunkt M verwenden und als Richtungsvektor einen Normalenvektor der Ebene. Dies führt auf:

Der Radius r' des Schnittkreises k': r' = ✓r2 - d2

= ✓3 2 -

22

=-VS

Der Mittelpunkt M' des Schnittkreises k':

Gerade g Durch Einsetzung hiervon in die Ebenengleichung errechnen wir den Schnittpunkt : M'von g und E. ► Das Resultatist M' (iJ-½J1;).

9 s + 6 = o, s =

-i

M'(}l-½11;)

Übung3 Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E und der Kugel K. Bestimmen Sie ggf. Radius und Mittelpunkt des Schnittkreises. a) E

IX - (]) l .

H)

=

0,

b) E: 2x + 3y + 6z = -21, ►

K: 1X -

mr

=

25

K: (x + 1)2 + (y- 2)2 + (z -4)2 = 100

Beispiel: Spurkreise einer Kugel Die Kugel K um den Mittelpunkt M(-21413) mit dem Radius r = 4 schneidet die y-z-Ebene. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M' und den Radius r' des Schnittkreises k ' von Kugel und y-z-Ebene, den man als Spurkreis der Kugel in der y-z-Ebene bezeichnet.

Lösung: Der Spurkreismittelpunkt M ' ist der Fußpunkt des Lotes vom Kugelmittelpunkt M(-21413) auf die y-z-Ebene, d.h. der Punkt M'(0 l413). Der Abstand d des Kugelmittelpunktes von der y-z-Ebene ist der Abstand von Mund M', also d = 2. : Der Radius r' ✓des Spurkreises ist daher ► r ' = ✓r2 - d2 = 4 2 - 2 2 =fil.

z

y X

J

V. Kreis und Kugel

\.....- 200

D. Tangentialebenen Besitzen eine Ebene E und eine Kugel K nur genau einen gemeinsamen Punkt B, so bezeichnet man die Ebene E als Tangentialebene von K im Punkt B. Der Punkt B heißt Berührpwzkt von E undK. -----4

z

Der Vektor BX , der vom Berührpunkt B zu einem beliebigen Ebenenpunkt X führt, ist orthogonal zum Radiusvektor MB . Es gilt

-

-----4

-

-4-

~

also: BX · MB = 0 bzw. ~

~

(x -b)·(b - m )=0. Gleichung der Tangentialebene

Die Tangentialebene E, welche die Kugel K um den Mittelpunkt M im Punkt B berührt, hat die Gleichung (x - b ) · (b - m ) =0.

-- - -

►

X

Beispiel: Gleichung einer Tangentialebene

Gegeben ist die Kugel K um den Mittelpunkt M (4l2l3) mit dem Radius r = 3. Wie lautet die Gleichung der Tangentialebene E , welche die Kugel im Punkt B (31015) berührt? Lösung: Wir setzen in die allgemeine Tangential~ ~ ~ ebenengleichung E: (x - b) • (b - m) = 0 die Ortsvektoren des Berührpunktes B und des Mittelpunktes M ein. Auf diese Weise erhalten wir die rechts dargestellte Norma. lengleichung, die wir in eine Koordinaten► gleichung umwandeln können. ----io>

►

E: [ x -

E:

ml·[m-ml=

0

[x- (~)] (=i) =o

Normalengleichung Koordinatengleichung

E: -x-2y+2z=7

Beispiel: Berechnung des Berührpunktes

Weisen Sie nach, dass die Ebene E: -2x + 2 y - z = 26 eine Tangentialebene der Kugel K um den Mittelpunkt M (21211) mit dem Radius r = 9 ist. Bestimmen Sie den Berührpunkt B von E und K.

T

Lösung: Wir stellen eine Hesse'sche Normalengleichung von E auf und errechnen durch Einsetzung des Ortsvektors von M den Abstand d von M zur Ebene E. Wir erhaltend= 9. Da dies genau der Radius r = 9 ist, handelt es sich bei der Ebene E um eine Tangentialebene zur Kugel K.

Hesse'sche Normalengleichung von E:

Abstand von M und E: d: (;)-( 1

~ll ·(-~~~) =

-26

-1/3

9

_____4_._K_u__g_e_ln_,_G_e_r_ad_e_n_u_n_d_E _ b_e_n_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_0_1 ..J

Der Berührpunkt B ist der Schnittpunkt der Lotgeraden g von M auf E. Als Stützvektor von g verwenden wir den Ortsvektor von M und als Richtungsvektor einen Normalenvektor von E. Die Schnittpunktberechnung erfolgt durch Einsetzung der Koordinaten von g in die Koordinatengleichung von E. ► Resultat: B (-4181-2)

Lotgerade g von M auf E:

g: x = (~) + s • (])

Schnittpunkt von g und E:

-2 · (2 - 2s) + 2(2 + 2s) - (1 - s) = 26 ⇒ s =3 ⇒ B (-418 1-2)

Übung4 Betrachtet werden die Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r sowie der Punkt B. Zeigen Sie, dass B auf K liegt, und bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene E , welche die Kugel K in B berührt. a) M (- 11-211), r = v'6, B (01012) b) M (S l l l-2), r = 6, B (71512) Übungs Gesucht ist der Berührpunkt B der Kugel K um den Mittelpunkt M mit ihrer Tangentialebene E. a) M(l ll l-2), E: 2x + 3y-6z = 81 b) M(-1 1-1 12), E: 2x-y + z = 13 ►

Beispiel: Zu einer Ebene parallele Tangentialebenen Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt M (211 10) mit dem Radius r = 6 sowie die Ebene E: 2x - y + 2z = 30. Wie lauten die Gleichungen der beiden Tangentialebenen von K, die zu E parallel sind? Lösung: Wir bestimmen zunächst eine Gleichung der zur Ebene E orthogonalen Geraden g, die durch den Kugelmittelpunkt M geht (Stützvektor: Ortsvektor von M , Richtungsvektor: Normalenvektor von E). Die Schnittpunkte B I und B2 dieser Lotgeraden mit der Kugel sind die Berührpunkte der gesuchten Tangentialebenen an die Kugel. Wir errechnen sie durch Einsetzen der allgemeinen Koordinaten von g in die Kugelgleichung.

Die Tangentialebenen E 1 und E 2 besitzen den gleichen Normalenvektor wie E und . enthalten die Punkte B I bzw. B2, was auf ► die rechts dargestellten Gleichungen führt.

Lotgerade g von M auf E:

g: X= (!) + S ·

(-!)

Gleichung der Kugel K:

K: (x - 2)2 + (y - 1)2 + z2 = 36 Schnittpunkte von g und K: (2 + 2 s - 2)2 + (1 - s - 1)2 + (2 s)2 = 36

9s2 = 36 s = 2: s = - 2:

B 1 (61-1 14) B2 (-213 l-4)

Tangentialebenen:

E 1: 2x - y + 2z = 21 E 2: 2x-y+2z=-15

\_..-2_02_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V_. _K_e r _is_ u_n_d_K _ u~g_e_l _ _ __

6. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Kugel K und der Geraden g. Berechnen Sie ggf. die gemeinsamen Punkte von Kugel und Gerade. a) K: M(611 l4), r = fil b) K: M (81212), r = ✓50

g:

x = (!) + s - (-})

c) K: M(8 1214), r = 3 g:

x = (!) + s •

(=~)

g: X= (~~) + s •

(l)

d) K: M (2l ll6), r = v'5 g:x= (~~) +s· (_~)

7. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E und der Kugel K. Berechnen Sie hierzu den Abstand des Kugelmittelpunktes von der Ebene E. a) E: 2x + 2y - z = 9 b) E: 2x - 2y - z = 35 K: M(0I0I0), r = 6 K: M (Sl-411), r = 5

c) E: 2x + 3 y + 6z = 12

d) E [, _

uil·m~

o

K: M(5 1516), r = 25 1

f) E: K: x2 - 6 x + y2 - 6 y + z2 - 4 z = 14

x = ( i) + s • (_!) + t • (-i)

K: (x - 1)2 + (y - 3)2 + (z - 5)2 = 144

8. Die Ebene E und die Kugel K schneiden sich. Weisen Sie dies nach und berechnen Sie Radius r ' und Mittelpunkt M' des Schnittkreises k'. a) E: 8 x + 4 y + z = l 06 b) E: x - 4 y - 4 z = 33 c) E: x - 2 y + 2 z = 19 K: M ( 11315), r = 12 K: x2 + y2 + z 2 = 49 K: (x - 3) 2 + (y - 3) 2 + (z - 2)2 = 36

9. Die Ebene E und die Kugel K mit dem Radius r schneiden sich im Kreis k' mit dem Mittelpunkt M ' und dem Radius r'. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Kugel K. (Es gibt zwei Möglichkeiten M 1 und M2 .) a) E: x - 2y + 2z = -1 b) E: 2x + 3y + 6z = 40 c) E: 3x + 4y = 25 r = 15, M'(3 l210), r ' = 12 r = 50, M'(5 l214), r' = 48 r = fü, M'(3 l4I0), r' = 4

10. Gegeben sind die Kugel K und die Ebene E. Gesucht sind Mittelpunkt M ' und Radius r ' des Spurkreises von K in der Ebene E. a) K: M(7 120 I15), r = 25 b) K: M(414112), r = 13 c) K: M (81617), r = 10 E: y-z-Ebene E: x-y-Ebene E: x-z-Ebene

_____4_._K_u__g_e_ln_,_G_e_r_ad_e_n_u_n_d_E _ b_e_n_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_0_3

11. Gegeben ist die Kugel K um den Mittelpunkt M mit dem Radius r. Zeigen Sie, dass der Punkt B auf der Kugel liegt, und bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene E , welche die Kugel in B berührt. a) M(21516), r= l4, B (61-ll-6) b) M(514l l ), r = 7, B (71717) c) M(415ll), r= 9, B (51919) d) M(0l-313), r = \/6, B (l 1-114) 12. Die Kugel K um den Mittelpunkt M berührt die Ebene E im Punkt B. Berechnen Sie die Koordinaten des Berührpunktes B. a) M(21ll3), E: 2x + 2y + z = 18 b) M(31517), E: 12x + 3y-4z = 192

-m)l·m=

c) M (41812), E: [ X

0

d) M(6112l-4), E

X= (~) +s

m Hl +t

13. Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpl]nkt M mit dem Radius r sowie die Ebene E. Gesucht sind die Gleichungen der zu E parallelen Tangentialebenen von K. a) K: M(l l 114), r = 6 b) K: M (2I0l l ), r = 14 E: x + 2y + 2z = 38 E: 2x + 3y + 6z = 108 14. Ein kugelförmiger Gasbehälter K (Durchmesser 10m) berührt direkt eine senkrechte Mauer in 6 m Abstand vom linken Mauerende im Punkt T (-61015). Er soll durch eine schräge Platte, die am Boden bei A(0l16,25l0) und B (- 121 16,2510) verankert ist und in den Punkten C (0151 15) und D (- 1215115) durch senkrechte Streben gestützt wird, abgedeckt werden. a) Wie lautet die Gleichung der Kugel K im gegebenen Koordinatensystem? z b) Wie lautet die Gleichung der Schutzplattenebene E? c) Wie groß ist der Sicherheitsabstand zwischen Schutzplatte E und Kugel K? d) Die Schutzplatte E soll aus Kostengründen durch eine parallele Platte H ersetzt werden, welche die Kugel berührt. Wo liegt der Berührpunkt F? Wo liegen nun die Bodenverankerungsy punkte? Auf welche Länge müssen die A X Stützstreben verkürzt werden? 15. Gegeben ist die abgebildete Dreiecksfläche mit den EckenA (4I0I0), B (01410), C (0I0l2). In dieser Fläche befindet sich ein kreisförmiges Loch um den Mittelpunkt M'(l l 111) mit dem Radius r' = 1. In dieses Loch wird eine Kugel K mit dem Radius r = ...JTI5 gelegt. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M der Kugel K.

z

y

J

V. Kreis und Kugel

\.....- 204

E. Zusammengesetzte Aufgaben K 1. Kugel und Ebene E Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt M (21212) mit dem Radius r = 5 M sowie die Ebene E: 2x -y + 2z = 11. a) Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Kugel K. b) Welchen Abstand hat der Kugelmittelpunkt M von der Ebene E? c) Begründen Sie mit dem Ergebnis von b), dass K und E sich schneiden. d) Wie lautet die Gleichung der Geraden g, welche durch M geht und senkrecht auf E steht? Bestimmen Sie den Mittelpunkt M' des Schnittkreises als Schnittpunkt von g und E. e) Bestimmen Sie den Radius r ' des Schnittkreises anhand der Vorergebnisse und der Abbildung.

2. Kugel und Tangentialebene Gegeben sind die Kugel K um den Mittelpunkt M (21210) mit dem Radius r = 5 sowie der Punkt P (21613). a) Zeigen Sie, dass der Punkt P auf der Kugel liegt. b) Bestimmen Sie die Gleichung der Tangentialebene F, welche die Kugel in P berührt. c) Wie lautet die Gleichung einer zweiten Tangentialebene F', die parallel zu F Fist? Wo berührt sie die Kugel? d) Die Kugel K wird an der Ebene F gespiegelt. Wie lautet die Gleichung der Spiegelkugel K*?

3. Beobachtungsstation Eine kugelförmige Beobachtungsstation mit einem Durchmesser von 10 m und dem Mittelpunkt M(0I0 l12) wird von vier Stahlstützen wie dargestellt getragen. Die Stahlstützen verlaufen in Richtung der Kanten einer quadratischen Pyramide mit der Spitze M. a) Wo sind die Stützen mit der Kugel verbunden? b) In 16 m Höhe über dem Erdboden befindet sich die oberste Geschossebene der Station. Welche Grundfläche hat dieses Geschoss?

z

_____4_._K_u__g_e_ln_,_G_e_r_ad_e_n_u_n_d_E _ b_e_n_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_0_5 J

4. Kugel und Ebenen Gegeben sind die EbeneE: 2x + 3y + 6z =29, die Kugel K: (x + 2)2+ (y-5)2 + (z-3)2 =196 sowie die Punkte P (-217123) und Q (419115) . a) Bestimmen Sie den Abstand d des Kugelmittelpunktes M von der Ebene E. Welche gegenseitige Lage von E und K ergibt sich hieraus? b) Gesucht sind der MittelpunktM' und der Radius r ' des Schnittkreises k ' von E und K. c) Bestimmen Sie die Gleichungen der beiden zu E parallelen Tangentialebenen E 1 und E 2 der Kugel K. d) Die Gerade h durch die Punkte P und Q durchdringt die Kugel K. Wie lang ist die Durchdringungsstrecke ? e) Es gibt zwei Ebenen F1 und F2 , die parallel zur Ebene E verlaufen und die Kugel in Schnittkreisen mit dem Radius ✓ 183,75 schneiden. Bestimmen Sie Gleichungen von F 1 und F 2 . z 5. Kugelmodell Ein Hersteller von Kugellagern hat auf dem geneigten Dach seiner Fabrikationshalle ein riesiges Kugelmodell aufgestellt. Die Dachfläche kann durch die Ebene E: x + 2 y + 2 z = 10 beschrieben y werden. a) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte A, B, C der Ebene E. b) Weisen Sie nach, dass der Punkt F (21410) der Fußpunkt des Lotes vom Punkt C auf die Gerade gAB durch die Punkte A und B ist. c) Ein Kugelmodell mit r = 3 m ist im Punkt C tangential an der Ebene E fixiert. Bestimmen Sie den Kugelmittelpunkt M. d) Beim Austauschen der Kugel rollt sie auf der Geraden gcF durch die Punkte C und F die Ebene E hinab. Auf welcher Geraden h bewegt sich dabei ihr Mittelpunkt? e) Die Kugel setzt schließlich auf der x-y-Ebene auf. Wie lauten die Koordinaten des Aufsetzpunktes?

6. Kugeln und Ebenen Gegeben sind die Kugel K: (x - 2)2 + y2 + (z - 2) 2 =25 sowie die Ebene E: 2 x - 2 y + z = 15. a) Weisen Sie nach, dass die Ebene E die Kugel K schneidet. b) Bestimmen Sie den Mittelpunkt M' und den Radius r' des Schnittkreises k' von E und K. c) Gesucht ist die Gleichung einer zweiten Kugel K*, die den gleichen Radius wie K besitzt und E ebenfalls im Schnittkreis k' schneidet. d) Prüfen Sie, ob eine der beiden Kugeln K oder K* den Ursprung enthält. e) Bestimmen Sie z so, dass der Punkt P (213 Iz) auf der Kugel K liegt. f) Gesucht ist derjenige Punkt A der Kugel K, welcher den geringsten Abstand zur Ebene F: 8 x + 6 z = 103 besitzt. Welcher Ebenenpunkt B von F liegt dem Punkt A am nächsten?

\_..-2_06_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ V_. _K_e r _is_ u_n_d_K _ u~g_e_l _ _ __

7. Gasspeicher

,,

-

- ----

-------

'-...._

----p

~

---

Am Flussufer liegt ein kugelförmiger Gasspeicher. (Mittelpunkt M (22l-818), Radius r = 7, Angaben in m). a) Wo liegt der höchste bzw. der tiefste Punkt des Speichers? b) Vom Pumpwerk P (-21410) führt eine Pipeline in Richtung des Mittelpunktes M. Wo trifft sie auf den Speicher? Wie lang ist sie? Welche Neigung hat sie? c) Über der Strecke AB mit A (61- 1010) und B (141610) erhebt sich eine senkrechte Schutzmauer. Wie lautet ihre Ebenengleichung? Wie weit ist die Mauer von dem Kugelmittelpunkt entfernt? Wo durchdringt die Pipeline die Mauer? d) Der Speicher soll neu gestrichen werden. Die Farbschicht soll 1 mm dick sein. Ein Liter Farbe kostet 10 Euro. Reicht der Farbetat von 5000 Euro aus?

8. Flugüberwachung

D

A ~--B

---····-------.. )

p

y

t

_:7···

NEW MEXIKO

ARIZONA

Q

i . .

-

t

,c

J

Eine Raumfähre passiert bei ihrem Landeanflug die Koordinaten A(l8l-13 ll 2) und B (101-819). Im Punkt M(0 I0I0) steht eine Radarstation, die einen halbkugelfönnigen Raumbereich mit dem Radius r = 7 erfasst. Die Fluggeschwindigkeit der Raumfähre beträgt 595km/h. 1 LE entspricht 1 km. a) An welchen Koordinaten P und Q dringt die Fähre in den überwachten Radarbereich ein bzw. verlässt sie ihn? Wie lange dauert der Durchflug in Sekunden angenähert? b) In welchem Punkt L setzt die Fähre voraussichtlich auf? c) In welcher Höhe überfliegt die Fähre die Staatsgrenze, die zwischen C (-13 l-4,5 I0) und D (-7113,5 10) verläuft?

_ _ _ _ _V_. _Kr _e_i_s _un_d_ K _ ug_e_l _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_0_ 7

z

Vektorgleichung der Kugel:

Eine Kugel K mit dem Mittelpunkt M (m 11m2 1m 3) und dem Radius r hat die Gleichung: K: lx - ml =roderK: (x - m)2 =r2 Koordinatengleichung der Kugel:

y

K: (x - m 1) 2 + (y - m2)2 + (z - m3)2 = r 2

X

Relative Lage von Kugel und Gerade:

Eine Gerade g im Raum kann Passante, Tangente oder Sekante einer gegebenen Kugel sein. Man prüft dies durch Einsetzen der Geradenkoordinaten in die Kugelgleichung. Relative Lage von Kugel und Ebene:

Um die gegenseitige Lage der Kugel K (Mittelpunkt M, Radius r) und der Ebene E zu bestimmen, berechnet man den Abstand d des Kugelmittelpunktes von der Ebene E. 1. Fall: kein Schnittpunkt

- --

2. Fall: Berührpunkt

3. Fall: Schnittkreis

Ist d = r, so berührt die Ebene E die Kugel K im Fußp unkt F des Lotes vonM aufE. E ist eine Tangentialebene von K.

1st d < r, so schneidet die Ebene E die Kugel Kin einem Kreis k', den man als Schnittkreis von Kugel und Ebene bezeichnet.

d

---1,- -i i'• ··· •

F

Ist d > r, so schneiden sich Ebene E und Kugel K nicht. Der Lotfußpunkt F bat den kleinsten Abstand zur Kugel K.

Schnittkreis von Kugel und Ebene:

Ist der Abstand d = IFMI einer Ebene vorn Mittelpunkt M einer Kugel kleiner als deren Radius r, so ist das Schnittgebilde ein Kreis k ' mit dem Mittelpunkt M' =Fund dem Radius r' = ✓r2 - d 2 . Die Koordinaten von M ' berechnet man mit einem Lotfußpunktveifahren. (Das gesamte Berechnungsverfahren ist auf den Seiten 198- 199 detailliert dargestellt.) z

Tangentialebene einer Kugel:

Die Tangentialebene E, die die Kugel K um den Mittelpunkt M in Punkt B berührt, hat die Gleichung: ~

~

~

~

E: (x - b ) · ( b - m ) = 0.

J

208

Mathematischer Streifzug

Global Positioning System Die Zeiten, in denen der Beifahrer genervt im Autoatlas nach der momen tanen Position und der zu fahrenden Strecke sucht, sind seit einigen Jahren vorbei. Heute sagt uns ein kleines Navigationsgerät, wo es lang geht. Die Karteninformationen sind in dem Gerät gespeichert, die Position ermittelt das Gerät mit Hilfe des Global Positioning System. GPS basiert auf insgesamt 24 Satelliten, die per Funk ständig ihre aktuelle Position und die exakte Uhrzeit ausstrahlen. Aus den Daten von mindestens vier Satelliten kann ein GPS-Empfänger sowohl seine eigene Position als auch seine Momentangeschwindigkeit berechnen.

Die obige Grafik macht deutlich, dass sich die Position des GPS-Empfängers als Schnittpunkt dreier Kugeln ergibt, in deren Mittelpunkten M/xilYilz) drei der 24 Satelliten liegen. Nun wird eine Kugel von all denjenigen Punkten P (x I y I z) gebildet, die vom Mittelpunkt einen festen Abstand r (= Kugelradius) haben. Nach der Formel für den Abstand zweier Punkte gilt beispielsweise für den Abstand eines beliebigen Punktes P der Kugeloberfläche vom Kugelmittelpunkt M 1:

(x- x 1)2 + (y - y 1)2 + (z - z 1)2 =ri. Der Radius r 1 der Kugel Nr. 1 ergibt sich nach dem Weg-Zeit-Gesetz aus der Laufzeit t- t 1 und der Lichtgeschwindigkeit c =299792,485~ des Satellitensignals: r 1 =c · (t- t 1). Die „Zeitkoordinate" t 1 des Satelliten wird wie auch die Ortskoordinaten x 1' y 1 und z 1 vom GPS-Empfänger geliefert. Die Zeitkoordinate t des Empfängers ist aber ebenso wie x, y und z unbekannt, denn die einfachen GPS-Empfänger verfügen nicht über eine Uhr, die exakt mit der der GPS-Satelliten synchron läuft. Man hat es also mit insgesamt vier unbekannten Koordinaten x, y, z und t zu tun, deren Bestimmung vier Gleichungen - also vier Satelliten - erfordert: (x - xi) 2 + (y - Yi) 2 + (z - zi)2

=c2 • (t -

ti )2,

i = 1, 2, 3, 4.

Global Positioning System

209

In Wirklichkeit ist alles noch weit komplizierter. Aber die obigen Überlegungen sollen hier ausreichen. Wir wenden uns im Folgenden einem Beispiel zu.

In einem konkreten Fall habe ein GPS-Empfänger die Signale von vier Satelliten empfangen und damit das folgende Gleichungssystem zu lösen. (x- 373.245 )2 + (y- 584.013 )2 + (z - 2657 1.962)2 =c2 (t-0.026667660 126632977) 2 (x- 10181.114)2 + (y- 17634.206)2 + (z - 17085.937)2 =c2 (t-0.0272645434283 16926) 2 (x- 24598.498)2 + (y- -8953.121)2 + (z -4615.742 )2 =c2 (t-0.024349070783491133) 2 (x- 8953.121 )2 + (y - -1578.677) 2 + (z - 24977.970)2 =c2 (t- 0.030649974141388578) 2 Dieses nichtlineare Gleichungssystem kann iterativ mit dem Newton-Verfahren gelöst werden. Als Startwert für die Iteration wird dabei ein Punkt in der „Mitte Deutschlands" in der Gemeinde Niederdorla (Unstrut-Hainich-Kreis in Thüringen) gewählt. Bereits nach 7 Iterationen ändert sich nicht mehr viel an den Näherungswerten für die gesuchten Koordinaten des GPS-Empfängers. Kartesischen Koordinaten des GPS-Empfängers: X=

4043,8405600048313,

y = 627,625 683 806 921 9, z = 4896,116145428079. Diese Koordinaten gehören zu einem Punkt mit den folgenden geographischen Koordinaten: Länge: 8,8222222°, Breite: 50,1105555°. Außerdem erhält man eine Höhe von l 06 m über dem Meeresspiegel.

Dieser Punkt befindet sich auf dem Römer in Frankfurt.

Stellen Sie sich vor, wir wären Lebewesen in einem zweidimensionalen (oder sogar in einem eindimensionalen) Raum. Aus den Kugeln werden dann Kreise (bzw. Strecken). Veranschaulichen Sie sich den Sachverhalt durch eine möglichst genaue Zeichnung mit Zirkel und Lineal, oder verwenden Sie eine Geometriesoftware. Der Zeichnung können Sie die Koordinaten der Satelliten und die Radien entnehmen. Formulieren Sie das GPS-Gleichungssystem für diesen Fall. Versuchen Sie das System zu lösen. Vergleichen Sie Ihre Lösung mit den Koordinaten des Empfängers in Ihrer Zeichnung.

V. Kreis und Kugel

\.....- 210

Kreis und Kugel

1. In einem kartesischen Koordinatensystem seien der Kreis k 1: (x - 2)2 + (y + 3)2 = 65 und die Punkte A(4 l-6), B (l l-8) und C(27 l-8) gegeben. a) Untersuchen Sie die Lage der Geraden g, die durch A und B geht, zum Kreis k 1. b) Untersuchen Sie die Lage des Punktes C zu dem Kreis k 1. c) Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangenten von Punkt C aus an den Kreis k 1. Unter welchem Winkel schneiden sich diese Tangenten? d) Gegeben sei ein weiterer Kreis k 2 um den Mittelpunkt M2 (7,5l-4,5) mit dem Radius r2 = ✓32,5. Berechnen Sie den Abstand der Kreismittelpunkte MI und M2 voneinander und folgern Sie daraus die Lage der zwei Kreise k 1 und ½ zueinander. Bestimmen Sie ggf. gemeinsame Punkte von k I und k 2 .

2. Stellen Sie eine Gleichung der Kugel K um den Mittelpunkt M ( 11412) mit dem Radius r = 9 auf. Prüfen Sie, ob die Punkte A (3 1118) und B (2 l-416) innerhalb, auf oder außerhalb der Kugel K liegen.

x =( °6) + s(-~) 1

3. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden g: K: x 2 + (y - 3)2 + (z + 2)2 = 121.

14

und der Kugel

7

4. Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Ebene E: 2x - 6y + 9z = 98 und der Kugel K: (x + 4)2 + (y - 4)2 + (z - 1)2 = 484: Berührt, verfehlt oder schneidet die Ebene die Kugel? 2)2 + (y - 2) 2 + (z - 1) 2 = 324. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M' und den Radius r' des Schnittkreises k'.

5. Die Ebene E: -4x + 7y + 4z =91 schneidet die Kugel K: (x -

6. Zeigen Sie, dass die Ebene E 1: -3 x + 4 y - 12 z = 55 erne Tangentialebene der Kugel K: (x - 6) 2 + y2 + (z - 8)2 = 169 ist. Bestimmen Sie den Berührpunkt von EI und K. Welche zur Ebene E I parallele Ebene E 2 ist ebenfalls Tangentialebene von K?

7. Stellen Sie eine Gleichung derjenigen Kugel K auf, welche den Punkt A (11518) enthält und die y-z-Ebene im Punkt B (01414) berührt. Lösungen S. 284

•

\....... 212

VI. Abiturähnliche Aufgaben für den Grundkurs

1. Hilfsmittelfreie Aufgaben (Prüfungsteil 1) A. Analysis 1. Gegeben sind die Funktionen f (x) =x 3 + 4x und g(x) =-x3 + 6x2, x e 1R. a) Untersuchen Sie die Funktion f auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Symmetrie. Skizzieren Sie den Graph von f für -3 $ x $ 3. b) Untersuchen Sie die Funktion g auf Nullstellen, Extrema, Wendepunkte und Symmetrie. Skizzieren Sie den Graph von g für -2 $ x $ 6. c) Zeigen Sie, dass die Graphen von f und g über [O; 2] mit der x-Achse jeweils ein exakt gleich großes Flächenstück beranden. Bestimmen Sie auch dessen Inhalt.

2. Gegeben sind die Funktionen f(x) = x3 - 3x2 + 2x und g(x) =2x - 2, x e JR. a) Zeigen Sie: f und g haben eine gemeinsame Nullstelle. b) Untersuchen Sie, an welchen Stellen die Abweichung d = lf- gl ein lokales Maximum annimmt. Berechnen Sie, wie groß ist die Abweichung d an diesen Stellen ist. c) Zeigen Sie, dass die Tangenten an den Graphen von f an diesen Stellen parallel zum Graphen von g verlaufen. 2

f

d) Zeigen Sie, dass (f (x) - g (x)) dx = 0 gilt. 0

Interpretieren Sie dieses Ergebnis. e) Berechnen Sie, wie groß die von f und g über [O; l] begrenzte Fläche ist. 3. Gegeben sind die lineare Funktion f (x) = a x + b, x $ 0, a -:t:. 0 und die Funktion g mit der Funktionsgleichung g(x) = o,se-2 x, X~ o. a) Berechnen Sie die Parameter a und b der Funktion f so, dass die Graphen von f und g an der Stelle x = 0 knickfrei ineinander übergehen. b) Berechnen Sieden Inhalt der vom Graphen vong und der x-Achse über dem Intervall [O; 10] begrenzten Fläche A. c) Begründen Sie, dass die Funktion g weder Extrema noch Wendepunkte besitzt. 4. Gegeben sind die Funktionen f(x) = x3 - x2 und g(x) = -x3 + x2 + 4x, x e JR. a) Stellen Sie die Gleichung der Tangente t an den Graphen von f im Punkt P (21f(2)) auf. Berechnen Sie die Steigung und den y-Achsenabschnitt von t. b) Berechnen Sie den Inhalt der von den Graphen von f und g eingeschlossenen Fläche A.

5. Gegeben ist die Funktionen der Form f a(x) = sin (a x), a, x e 1R, a -:t:. 0. a) Geben Sie alle Nullstellen von fa in Abhängigkeit von a an. b) Berechnen Sie, welche Steigung f a in den Nullstellen hat. c) Untersuchen Sie, wie a gewählt werden muss, damit die Fläche eines Bogens von fa den Inhalt 0,5 hat.

_____1_._H_i_lf_s_m_itt _e_lf_r_e_ie_A _u_f__g_ab_e_n_(_P_r_ü _fu_n__g_s t_e_il_l_) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_1_3 J

6. Gegeben ist die Funktion f(x) = -x 3 + 3x (x e JR). Ihr Graph ist rechts abgebildet. a) Zeigen Sie: f hat die Extrempunkte T (-11-2) und H ( 112) und den Wendepunkt W (010). b) Bestimmen Sie die Gleichung der Wendetangente. c) Skizzieren Sie den Graphen von f '. Verwenden Sie hierzu die Ergebnisse aus a) und b). d) Ein achsenparalleles Rechteck mit einer Ecke im Ursprung und der gegenüberliegenden Ecke P auf dem Graphen von f im 1. Quadranten soll maximalen Inhalt haben. Berechnen Sie die x-Koordinate des Punktes P.

y

7. Gegeben ist die Funktion f(x) = x3 + 3x (x e JR). a) Begründen Sie: y I. Der Graph von f ist symmetrisch f zum Ursprung. II. Es gilt: f (x) < 0 für x < 0 und f (x) > 0 für x > 0. b) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f über dem 1 Intervall [0; 1]. c) Untersuchen Sie, um wie viel man den Graphen von f in y-Richtung verschieben muss, damit der Flächeninhalt aus b) ganzzahlig wird. d) Zeigen Sie: f ist streng monoton steigend für x e JR. e) Untersuchen Sie, für welche x-Werte die Steigung von f kleiner als 30 ist.

X

X

8. Gegeben ist die Funktion f (x) = x • e 1 + x, x e JR. a) Berechnen Sie die ersten beiden Ableitungen f' und f ". b) Berechnen Sie das lokale Extremum sowie seine Art (Hoch- oder Tiefpunkt). c) Berechnen Sie den Wendepunkt von f (ohne f'"). d) Leiten Sie aus der Bauart von f, f' und f" einen möglichen Term für eine Stammfunktion F(x) her und bestätigen ihn durch Differentiation (Kontrolle: F (x) = (x - 1) • e 1 +x). 1

J

e) Berechnen Sie f(x)dx. 0

\.....- 214

VI. Abiturähnliche Aufgaben für den Grundkurs

9. Gegeben ist die Funktion f (x) = (2 + x) · e-x, x e 1R. a) Berechnen Sie f ' und f " und leiten Sie durch einen Vergleich einen möglichen Term für eine Stammfunktion von f her. Überprüfen Sie dann ihr Resultat durch Differentiation. Kontrollergebnis: F(x) = (-x- 3) • e-x Geben Sie eine weitere Stammfunktion von f an, die durch den Punkt P (010) geht. b) Der Graph von f schneidet die Koordinatenachsen bei x = - 2 und y = 2. Weiter gilt: f'(- 1) = 0 und f"(-1) < 0. Skizzieren Sie mit dieser Information den Graphen von f in ein Koordinatensystem. c) Ein achsenparalleles Dreieck mit einer Ecke im Ursprung und der gegenüberliegenden auf dem Graphen von f im 2. Quadranten soll maximalen Inhalt erhalten. Stellen Sie eine Zielfunktion auf und geben Sie den Funktionsterm an. 10. Gegeben sind die Funktionen f(x) =x 3 + 4x und g(x) =-x 3 + 6x2 , x e 1R. a) Stellen Sie die Gleichung der Tany gente t an den Graphen von f im g Punkt P(l lf(l )) auf. Berechnen Sie die Steigung und den y-Achsenabschnitt von t. b) Berechnen Sie die Schnittstellen von fund g. (Kontrolle: x 1 = 0, x2 = 1, x3 = 2.) c) Berechnen Sie den Inhalt der durch die Graphen von f und g eingeschlosX senen Fläche. d) Ein achsenparalleles Rechteck mit einer Ecke im Ursprung und der gegenüberliegenden Ecke P auf dem Graphen von g im ersten Quadranten soll maximalen Inhalt haben. Berechnen Sie die x-Koordinate von P. 11. Der Graph der Funktion f (x) =0,5 x + 1 rotiert über dem Intervall [0; 2] um die x-Achse und erzeugt so einen Rotationskörper. Berechnen Sie das Volumen dieser Körpers. 12. Die Parabel f (x) = x2 - 1 rotiert über dem Intervall [O; l] um die x-Achse und erzeugt so eine halbkugelartige Schale. a) Berechnen Sie das Volumen des Rotationskörpers. b) Geben Sie an, in welchem Verhältnis das Rotationsvolumen zu dem einer Halbkugel mit dem Radius r = 1 (Kugelvolumen: V k =½n: r 3) steht. 13. Gegeben ist die Funktion g (x) = cos x. a) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche unter dem Graphen von f über dem Intervall [O; n:]. b) Zeigen Sie durch eine Differentiation, dass F (x) =½(x + sin x · cos x) eine Stammfunktion von f(x) = (cosx)2 ist. Berechnen Sie dann das Rotationsvolumen von g bei Rotation über [0; n:] um die x-Achse.

_ _ _ _ _1_._H_i_lf_s_m_itt _e_lf_r_e_ie_A _u_f__g_ab_e_n_(_P_r_ü _fu_n__g_s t_e_il_l_) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_1_5 J

14. Die Funktion f (x) = sin x beschreibt für [0; n] den Kurvenbogen einer Landstraße. Diese soll an den Enden jeweils durch eine gerade Straße knickfrei fortgesetzt werden. Berechnen Sie die beiden Geradengleichungen. 15. Gegeben ist die Funktion f (x) =2eo,sx für x < 0. Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden g, die knickfrei bei x = 0 für x ~ 0 an f anschließt. 16. Gegeben ist die Punktionenschar fa (x) =½x 3 - (1 + a)x 2 + 4ax, a > 0. a) Berechnen Sie, an welchen Stellen möglicherweise Extrema liegen könnten. b) Berechnen Sie die Wendestelle von fa und begründen Sie deren Existenz. Untersuchen Sie, für welchen Wert von a die Wendetangente die Steigung -1 hat. c) Untersuchen Sie, für welchen Wert für a die Extrema zu einem Wendepunkt mit waagerechter Tangente zusammenrutschen. 17. Gegeben ist die Punktionenschar fa(x) = x 3 - 3 a2 x. a) Untersuchen Sie fa auf Symmetrie und berechnen Sie die Nullstellen von fa. b) Berechnen Sie die Extrema von fa. c) Zeigen Sie, dass der Wendepunkt von fa unabhängig von a ist. d) Stellen Sie eine Gleichung der Wendenormalen von f 1 auf (Kontrolle: n (x) = ½x). Berechnen Sie die Stellen, an denen die Wendenormale von f I den Graphen von f 1 schneidet. 18. Gegeben ist die Funktionenschar fa (x) = x 3 - 3 ax 2 + 2, a > 0. a) Berechnen Sie die Extrema von f8 . b) Berechnen Sie den Wendepunkt von fa. c) Skizzieren Sie den Graphen von f 1. 19. Durch die Tabelle

1

~ ~ 1

1

:

1

~

y

• g

1

ist eine Punktwolke gegeben. 4 a) Zeigen Sie, dass P(414) der Schwerpunkt der Wolke ist. • b) Die Regressionsgerade ist durch 1 g (x) = 1,25 x - l gegeben. Beschreiben Sie, durch welche bei1 den Eigenschaften die Regressionsgerade eindeutig bestimmt ist. c) Erstellen Sie Prognosen für y bei x = 6 und für x bei y = 9.

p

•

4

X

20. Eine ganzrationale Funktion f 3. Grades ist symmetrisch zum Ursprung, hat bei x = 2 ein Extrem um und im Wendepunkt die Steigung - 3. Bestimmen Sie den Funktionsterm von f.

\_..-2_1_ 6 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _V_I_. A _ b_ i tu _r_äh _ nli _·c_h_e_A _u_f__g_a_be_n_f_u_·r_d_e_n _G_r_u_nd_k_u_r_s _ _ __

8. Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1. Das Dach eines Gemüsestandes geht durch die Punkte A(0I0l4), B(6 I0l3), C(61613) und D (0l614). Von der Dachmitte M (3 l3 l3,5) ist eine gerade Halterung g in Richtung V~

z

Q

E

(-1) mit der

Hauswand (y-z-Ebene) verbunden. a) Stellen Sie eine Gleichung der Ebene E des Daches auf. b) Zeigen Sie, dass alle fünf gegebenen Punkte in der Ebene E liegen. c) Stellen Sie eine Gleichung der Halterungsgeraden g auf. d) Berechnen Sie den Befestigungspunkt Q mit der Hauswand.

6 y 6 X

2. Gegeben sind die Gerade h durch die Punkte A (21110), B (4 l-11-2) sowie die Geradenschar ga durch die Punkte C(61-2 1-2) und D (al212). a) Stellen Sie die Gerade h sowie die Schar ga jeweils durch eine Gleichung dar. b) Zeigen Sie, dass sich die Geraden h und ga für kein a schneiden. c) Untersuchen Sie die Lagebeziehung der Geraden h und g 2. d) Stellen Sie die durch die Geraden h und g 2 aufgespannte Ebene E durch eine Gleichung dar. Kontrolle: E:

X~

m

+ r (~1) + s(r)

e) Die Schnittpunkte der Koordinatenachsen mit der Ebene E bilden ein Dreieck. Weisen Sie nach, dass dieses Dreieck gleichschenklig ist, und geben Sie an, welche Innenwinkel gleich groß sind.

3. Die Ebene E schneidet die Koordinatenachsen in den Punkten X (4 1010), Y (016 10) und Z(0I0l4). a) Stellen Sie die Ebene E durch eine Parametergleichung dar. b) Berechnen Sie den Parameter a so, dass der PunktP (a l 121-8) aufE liegt. c) Zeigen Sie, dass das Dreieck XYZ spitzwinklig ist.

4. Gegeben ist die Gerade g:

X~

z

E

y X

m

+ r (!) sowie der Punkt P(9 171 5).

a) Prüfen Sie, ob es einen Punkt auf der Geraden g mit gleichen Koordinaten Q (a Ia la) gibt. b) Bestimmen Sie eine Gleichung der Geraden h durch P, die die Gerade g senkrecht schneidet. Geben Sie auch den Schnittpunkt S an. c) Bestimmen Sie einen Punkt Rauf der Geraden h, der von S die gleiche Entfernung wie der Punkt P hat.

_____1_._H_i_lf_s_m_itt _e_lf_r_e_ie_A _u_f__g_ab_e_n_(_P_r_ü _fu_n__g_s t_e_il_l_) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_1_7

5. Gegeben sind die Punkte A(0I0I0), B (4I0l8), C (21614) und Da(al313a - 2), a e 1R sowie die Ebene E mit der Gleichung X

=r(!) + s (~),

r, s e IR.

a) Berechnen Sie den Parameter a so, dass der Punkt Da in der Ebene E liegt. Kontrolle D 2 (21314) b) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Punkt D2 im von den Vektoren AB und AC aufgespannten Parallelogramm liegt. c) Berechnen Sie den Abstand des Punktes D 2 vom Mittelpunkt des Parallelogramms.

- -

6. Gegeben sind die Geraden g: X=(=})+ r (}J und h: X=

ms(!), +

r, s e IR.

a) Zeigen Sie, dass sich g und h in S (1 1-213) schneiden. b) Die Geraden g und h liegen in einer Ebene E. Stellen Sie die Ebene E durch eine Parametergleichung dar. Zeigen Sie, dass die Ebene E die Koordinatenform 3 x - 4 y + z = 14 besitzt. c) Lotrecht über S liegt der Punkt P (-51 y Iz). Berechnen Sie die Koordinaten y und z. Kontrolle: P (-5161 1) d) Der Punkt P wird an der Ebene E gespiegelt. Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes P'. 7. Gegeben sind die PunkteA (0I0I0), B (61610), C(21212) und Da(5 -2al2a + l la), a e 1R sowie die Ebene E: 2x -y - 3z =0. a) BerechnenSiedenParametera von Daso, dassDainderEbeneEliegt(Kontrolle: D 1 (31311)). b) Zeigen Sie rechnerisch, dass D I im von den Vektoren AB und AC aufgespannten Parallelogramm liegt. c) Berechnen Sie den Abstand d des Punktes D 1 zum Mittelpunkt M des Parallelogramms.

- -

8. Gegeben ist die Ebene E: X

=,(~1) + s (i), r, s e IR.

a) Zeigen Sie, dass E die Koordinatendarstellung -5 x - 4 y + 6 z =0 besitzt. b) Eine zu E parallele Ebene F schneidet die z-Achse bei z = 1. Stellen Sie eine Koordinatendarstellung von F auf. c) G: X

=r (~1) + s (~) soll eine zu E senkrechte Ebene darstellen.

Berechnen Sie die Koordinaten des 2. Richtungsvektors von G. 9. Gegeben sind die Punkte A (3 l-311 ), B (- 11111) und C (-11-315). a) Stellen Sie die Punkte in einem Koordinatensystem dar. b) Zeigen Sie, dass das Dreieck ABC gleichseitig ist. c) Das Dreieck ABC soll an der x-y-Ebene gespiegelt werden. 0) die Abbildungsmatrix darstellt, und berechnen Sie die Begründen Sie, dass M = (o1 01 o 0 0 -1

Bildpunkte A', B ' und C'.

J

\_..-2_1_ 8 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _V_I_. A _ b_ i tu _r_äh _ nli _·c_h_e_A _u_f__g_a_be_n_f_u_·r_d_e_n _G_r_u_nd_k_u_r_s _ _ __

10. Gegeben sind die Punkte A( 11112) und B(-21214) sowie die Geraden g X=

U) + r(Y) und h: X= m+ s(~), r,sER

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A und B auf der Geraden g liegen. b) Berechnen Sie einen weiteren Punkt B ' der Geraden g, der den gleichen Abstand zu A hat wie der Punkt B. c) Die Geraden g und h schneiden sich. Berechnen Sie ihren Schnittpunkt S. d) Die Gerade g soll orthogonal in die x-y-Ebene projiziert werden. Zeigen Sie, dass M = (~

~

~i

die Abbildungsmatrix darstellt. Berechnen Sie die Bildgerade g '.

0 0 0

11. Gegeben sind die Vektoren Ü

=

(_t), v' = (Y), W = (~, ).

v aber nicht zu w ist. b) Gegeben sei ein weiterer Vektor k =(~1 ), z E IR.

a) Zeigen Sie, dass ü orthogonal zu

-

Zeigen Sie: Der Vektor k kann jeweils zu genau einem der Vektoren ü , v, sein. Berechnen Sie die entsprechenden z-Werte.

w orthogonal

12. I. Prüfen Sie, ob die Matrix M stochastisch ist. a) M = (1 o,s) 0 0,5

0, 1 0

0,5)

b) M = (0,9 0,2 o 0

(0,3 0,4 0,3)

c) M = 0,3 0,2 0,4 0,3 0,4 0,3

0,8 0,5

0,2 0,1 0,5)

d) M = ( 0,2 0,7 0,4 0,6 0,1 0,1

II. Berechnen Sie, falls möglich, das Matiizenprodukt. a)(l2)·(101.) 1 2 0 1 1

o) . (~ 0~) 1 0 1

b) (1 1

2

~ -1

c) (1 2) . ( 1 0

~)

d)

O

2 0 0) 1 1 o ( 003

0,1 0,5

? ?

14. Begründen Sie, dass die Matrix M = (~:~ ~:~) eine stochastische Matrix ist.

15. Lösen Sie das rechts dargestellte lineare Gleichungssystem.

1 0 ) 305

0,9

13. Rechts ist das Prozessdiagramm eines stochastischen Prozesses dargestellt. Es ist nicht vollständig. a) Vervollständigen Sie das Diagramm. b) Stellen Sie die Übergangsmatrix auf.

Berechnen Sie dann den Fixvektor v, für den M • v =

• (2

v gilt. 2x- y+2z= l0 3x-2y+ z= 3 4x+2y-3z= 1

0,7

_____1_._H_i_lf_s_m_itt _e_lf_r_e_ie_A _u_f__g_ab_e_n_(_P_r_ü _fu_n__g_s t_e_il_l_) _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_1_9

C. Stochastik 1. In einer Urne liegen 25 rote, 15 blaue und 10 grüne Kugeln. a) Es werden 4 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit keine rote Kugel dabei ist (Angabe als Brlllch). b) Geben Sie an, wie viele grüne Kugeln der Urne hinzugeführt werden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit für das Ziehen einer grünen Kugel 0,5 beträgt. 2. Eine Zufallsgröße X sei binomialverteilt mit n = 100 und der Varianz V (X) = o2 =9. a) Berechnen Sie, welche Werte die Trefferwahrscheinlichkeit p, der Erwartungswert ~l und die Standardabweichung o annehmen können. b) Beschreiben Sie, wie sich die Werte für µ und o ändern, wenn bei gleichbleibendem Wert für p der Umfang n erhöht wird. 3. In einem Kurs befinden sich 12 Mädchen und 7 Jungen. Eins der 12 Mädchen heißt Lisa. a) Zwei Schüler werden zufällig ausgewählt. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit es zwei Mädchen bzw. zwei Jungen sind. b) Eine Person wird ausgewählt, es ist ein Mädchen. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit es Lisa ist. 4. Beim zehnmaligen Würfelwurf sei die Zufalllsgröße X die Anzahl der Sechsen. Stellen Sie jeweils einen Term für die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse auf. a) Es kommt genau dreimal eine Sechs. b) Es kommen genau drei Sechsen und zwar hintereinander. 5. Zehn Skatkarten (5 Buben, 3 Könige, 2 Damen) liegen verdeckt auf einem Tisch. a) Zwei Karten werden aufgedeckt. Stellen Sie die Situation in einem Baumdiagramm dar und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. E 1: Es wird kein Bube aufgedeckt. E 2 : Es werden ein Bube und eine Dame aufgedeckt. b) Nun wird nacheinander Karte um Karte alllfgedeckt, bis erstmals ein Bube erscheint. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der aufgedeckten Karten an. I. Geben Sie an, welche Werte X annehmen kann. II. Berechnen Sie P(X $ 2). 6. Max hat in seiner Geldbörse drei deutsche 5-CentMünzen, zwei italienische 5-Cent-Münzen und eine spanische 5-Cent-Münze. Er entnimmt seiner Börse so lange Münze für Münze, bis er eine deutsche 5-Cent-Münze erwischt. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er höchstens drei Münzen entnimmt.

J

VI. Abiturähnliche Aufgaben für den Grundkurs

\.....- 220

7. In einer Urne befinden sich doppelt so viele rote Kugeln wie blaue Kugeln. a) Formulieren Sie ein Zufallsexperiment und ein Ereignis A, für das gilt: P (A) =

•••• •• •• • •••••••• • ••• • ••• •• •• ••

... ...' ,.,

(½)1° + 10 • j · (½)9 + (12°) · (j)2 · (½)8

b) Jemand entnimmt vier Kugeln mit Zurücklegen. Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit es zwei rote und zwei blaue Kugeln sind.

8. Zwei Freunde, Axel und Felix, haben am Urlaubsende ihren Heimflug verpasst und hoffen im Anschlussflieger noch mitzukommen. Dort sind tatsächlich noch 2 freie Plätze. Allerdings gibt es noch acht weitere Mitbewerber. Die Fluggesellschaft will die beiden Plätze also per Losentscheid vergeben. Dazu werden l 0 Lose, 8 Nieten und 2 Gewinne an die 10 Bewerber vergeben. Felix zieht zuerst ein Los, dann zieht Axel, dann die anderen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. a) Felix erhält einen der beiden freien Plätze. b) Axel erhält einen der Plätze. c) Mindestens einer der beiden erhält einen der Plätze. d) Beide gehen leer aus und müssen auf den nächsten Flieger hoffen. 9. Die Zufallsgröße X ist binomialverteilt mit n =8 und p =0,3. a) Entscheiden Sie, welches der beiden Diagramme die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X zeigt. Geben Sie eine Begründung für Ihre Entscheidung. P(X

0,2

= k)

P(X = k)

I

0,2

-,-.-----1

012345678

k

II

···1---- - - --
---,, 1. it8 = DC ⇒ 1t 1 81 = M • tt8 = M • DC = D' C' ~

~

~

-->

Da auch die Vel 0 um die x-Achse. Berechnen Sie das Rotationsvolumen in Abhängigkeit von k. Untersuchen Sie, welcher Wert für k - oo angenommen wird. 4. Logarithmusfunktion Gegeben ist die Funktion f (x) = (x - 1) · ln x. a) Geben Sie die Definitionsmenge von f an und untersuchen Sie f auf Nullstellen. b) Zeigen Sie, dass bei x = 1 ein Extremum von f liegt Ist es Maximum oder Minimum? c) Zeigen Sie, dass f keine Wendestelle hat. d) Untersuchen Sie, wie sich der Graph von f für x - oo bzw. für x - 0 verhält. e) Zeigen Sie, dass F(x) = (½x2 - x) · lnx - ¼x2 + x eine Stammfunktion von f ist. f) Untersuchen Sie mit Hilfe von Testeinsetzungen das Verhalten von F für x - 0. g) Zwischen dem Graphen von f für x $ 1 und den beiden Achsen erstreckt sich eine unbegrenzte Fläche. Bestimmen Sie den Inhalt A dieser Fläche. Entlang des Graphen von f (1 cm entspricht 100 km) hat eine Kaltfront mit heftigen Schneefällen den US-Staat Iowa heimgesucht. Die arktische Kaltluft hat fast die gesamte Nordgrenze zwischen den Punkten E(0,0413,19) und F(3,5913,32) geflutet. h) Die Schneefälle haben nördlich der Kaltfront eine geschlossene Schneedecke hinterlassen. Ermitteln Sie den Inhalt dieser schneebedeckten Fläche in Iowa. i) Ermitteln Sie die Länge der Kaltfront zwischen den Punkten E und F.

\_..-2_5 6_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _V_II_._A_b_i_tu_r_äh_nli _ ·c_h_e_A_u_f-ga_b_e_n_f_ü_r _d_en_ Le _i_s_tu_n__g_s k_u_r_s _ _ __

5. Exponentielle Anreicherung Ein Patient bekommt über einen Tropf ein gleichmäßig einfließendes Medikament zugeführt. Zu Infusionsbeginn ist in seinem Blut noch kein Wirkstoffgehalt nachweisbar. Während der Infusion erhöht sich die Wirkstoffmenge im Blut kontinuierlich, aber zunehmend langsamer, da der Stoffwechsel den Wirkstoff auch wieder abbaut. Die Tabelle zeigt, wie sich der Tropfinhalt und die Wirkstoffmenge im Blut während der ersten Stunde ändern. Zeit in Minuten

0

Flascheninhalt in ml Wirkstoffmenge im Blut in ME

200 0

20

40

60

181,5

163

144,5

5,44

9,89

13,54

a) Beschreiben Sie den Inhalt der Infusionsfl!asche zur Zeit t durch eine geeignete Funktion g (t). Begründen Sie Ihren Ansatz. b) Die Wirkstoffmenge im Blut soll durch eine Funktion der Form f (t) = a · (1 - ebl), a, b E IR in Abhängigkeit von der Zeit t beschrieben werden. Bestimmen Sie die Koeffizienten a und b aus den Werten f(20) und f(40). Hinweis: Eine geeignete Substitution zur Gleichungslösung ist z = e20 b. Kontrolle: f (t) = 30 · (1 - e-o,oi 1), t e IR~ c) Bestimmen Sie g'(t) sowie f'(t). Erläutern Sie die Bedeutung dieser Funktionen für den jeweiligen Veränderungsprozess auch an einem Zahlenbeispiel. d) Berechnen Sie, auf welche Obergrenze sich die Wirkstoffmenge im Blut einstellen wird. Berechnen Sie, wann 90 % dieser Obergren.ze erreicht werden. Berechnen Sie, wann die momentane Zunahmerate genau 0,2 ME/min beträgt. e) Skizzieren Sie die Graphen von f und f' für O5 t 5 240 in getrennten Koordinatensystemen (Achten Sie dabei auf die Wahl eines geeigneten Maßstabs). 60

f) Bestimmen Sie ff' (t) dt und interpretieren Sie die Bedeutung dieses Wertes. Verdeutlichen 0

Sie dies anhand der beiden Skizzen. 6. Exponentielle Funktionenschar Gegeben ist die Funktionenschar f 3 (x) = a ~ 1 (1 - x) · ea-x, a E IR, a > 1. a) Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von f2 . Zeigen Sie, dass f2 (x) -- 0 für x -- 00 gilt. Untersuchen Sie das Verhalten von f2 für x -- - 00 . b) Untersuchen Sie f2 auf Extrema. c) Begründen Sie anhand Ihrer bisherigen Ergebnisse, dass f 2 einen Wendepunkt haben muss. Zeichnen Sie den Graphen von f2 in ein geeignetes Koordinatensystem. Zur Kontrolle: W (3 l-2e- 1) d) Berechnen Sie den Inhalt der Fläche A, den der Graph von f2 mit den Koordinatenachsen im 1. Quadranten einschließt. e) Weisen Sie nach, dass sowohl die x-Koordinate des Extremums als auch die Art des Extremums unabhängig von der Wahl des Parameters a sind. Bestimmen Sie die Extremalkoordinaten für allgemeines a. 1- (3 - x) • ea-x Zur Kontrolle: f"(x) = -a-1 a f) Berechnen Sie den Wert des Parameters a so, dass der Betrag der y-Koordinate des Extremums minimal wird.

_ _ _ _ _2_. _K_o_m_p_le_x_e_A_u_f__ ga_b_e_n_(P _ ru_·f_un___g-s_te_il_2_)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_5_7 J

7. Logistisches Wachstum Ein Labor hat den Wachstumsprozess einer neuen Reissorte getestet und die Wuchshöhen protokolliert. Aus dem Messprotokoll sind leider nur noch folgende vier Wertepaare bekannt. t in Tagen

0

2

20

26

Höhe H (t) in cm

3

5

29,3

29,9

a) Geben Sie die Größe des Setzlings zu Beginn der Messung an. Geben Sie an, welche Maximalhöhe wohl zu erwarten ist. b) Die Wachstumsgleichung hat die Gestalt H (t) = a k.1 Berechnen Sie a, b und k. 1 + be-

c) d) e) f)

Skizzieren Sie den Graphen von H für O $ t $ 30. Berechnen Sie, an welchem Tag die Pflanze 95 % ihrer Maximalhöhe erreicht. Zeigen Sie, dass die Wachstumsgeschwindigkeit ab dem 17. Tag unter 0,5cm/Tag liegt Berechnen Sie die durchschnittliche Wachstumsgeschwindigkeit in den ersten 17 Tagen.

8. Regressionsgerade und Stützpolynom In der nebenstehenden Abbildung sind y 1 1 1 1 4 Punkte einer Messreihe dargestellt. 3 1 1 a) Übertragen Sie die Abbildung in Ihr Heft und tabellieren Sie die Mess5 p 1 s .. punkte. b) Zeigen Sie, dass S (514,5) der Schwer1 1 punkt der Messpunkte ist. 1 +p1 1 c) Bestimmen Sie die Regressionsgera1 5 LI _.1( de der Messpunkte. d) Bestimmen Sie den Korrelationskoeffizienten r und interpretieren Sie ihn. e) Legen Sie nun den Ursprung eines Koordinatensystems in den Schwerpunkt S und tabellieren Sie die vier Messpunkte entsprechend. f) Berechnen Sie ein Polynom p (x) = ax3 + bx2 + ex + d durch die 4 Punkte. Nutzen Sie hierzu eventuell gegebene Symmetrieeigenschaften. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf und lösen Sie es manuell.

-

)

~

1-

9. Numerische Integration Betrachtet wird die Funktion f (x) =sinx auf dem Intervall [0; n ]. Die Fläche A zwischen dem Graphen von f und der x-Achse soll näherungsweise bestimmt werden. a) Approximieren Sie die Fläche A durch 4 gleich breite Rechtecke. b) Approximieren Sie die Fläche A mit 0 Hilfe des Trapezverfahrens mit 4 Streifen. c) Approximieren Sie die Fläche A mit Hilfe der Keplerschen Fassregel. d) Bestimmen Sie die Gleichung einer Parabel g(x) =a - b(x - x0)2, die an den Rändern und in der Mitte des Intervalls mit den Funktionswerten von f übereinstimmt. Berechnen Sie dann mittels Integration den Inhalt der Fläche unter g als Näheru ng für A. e) Ermitteln Sie die Größe der Fläche A mittels Integration von sin x.

\_..-2_5 8_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _V_II_._A_b_i_tu_r_äh_nli _ ·c_h_e_A_u_f-ga_b_e_n_f_ü_r _d_en_ Le _i_s_tu_n__g_s k_u_r_s _ _ __

8. Lineare Algebra und Analytische Geometrie 1. Geraden und Ebenen Gegeben seien die Punkte A(21211), B (51-41-2) und C (2191-1) sowie die Gerade g:

x =(~) + k (=\), k e IR

und die Ebene E: x =

(-!I) + r (_~

J (}J, +s

r, s

EJR.

a) Zeigen Sie, dass die Punkte A und B auf der Geraden g liegen, C aber nicht. L sei der Lotfußpunkt von C auf g. Untersuchen Sie, ob L zwischen den Punkten A und B liegt. b) Zeigen Sie, dass die Gerade g die Ebene E orthogonal durchstößt. Bestimmen Sie den Durchstoßpunkt S. c) Das Viereck ABCD ist ein Parallelogramm. Bestimmen Sie die Koordinaten des Punktes D. Zwei Geraden g 1 und g2 schneiden das Parallelogramm ABCD in drei gleich große Teilflächen. Stellen Sie zwei mögliche Geradengleichungen auf. d) Die Katheten eines gleichschenkligen, rechtwinkligen Dreiecks sind fil LE lang. Die Hypotenuse c = P 1P2 liegt auf der Geraden g. Der PunktA sei der Umkreismittelpunkt des Dreiecks. Bestimmen Sie die Koordinaten von P 1 und P2 . e) Die Geraden einer Geradenschar g1 schneiden die Gerade g und verlaufen parallel zur Ebene E und ebenfalls parallel zur x-y-Ebene. Stellen Sie eine Gleichung von gt auf.

2. Schnupperkurs In der Musikschule können Kinder im Grundschulalter während eines Schnupperkurses monatlich zwischen der Bläsergruppe B, der Gesangsgruppe G und der Streichergruppe S wechseln. Die Wahrscheinlichkeiten, mit denen die Kinder wechseln, sind in der Graphik rechts dargestellt.

0,5

0, 1

a) Stellen Sie die Übergangsmatrix des Prozesses auf. b) Untersuchen Sie das langfristige Verhalten des Prozesses. Preis in€ Kategorie Zum Abschluss des Schnupperkurses fahren 30 Kinder zu einem Musikwochenende in ein Jugendgästehaus. 2-Bett-Z. 40 Dort stehen 2-Bett-Zimmer, 4-Bett-Zimmer und 6-Bett4-Bett-Z. 70 Zimmer zur Verfügung. Die Übernachtungspreise pro 6-Bett-Z. 90 Zimmer sind in der Tabelle rechts aufgelistet. c) Die Gesamtkosten für eine Übernachtung der Gruppe betragen 520€. Gesucht sind alle Möglichkeiten, die 30 Kinder auf die Zimmer der drei Kategorien aufzuteilen. Alle Zimmer sollen voll belegt werden. Stellen Sie ein lineares Gleichungssystem auf. Geben Sie zu jeder Variablen die inhaltliche Bedeutung und den Grundbereich an. d) Ermitteln Sie die Lösungsmenge des Gleichungssystems. Geben Sie alle Möglichkeiten an, wie viele Zimmer jeder Kategorie voll belegt werden können.

_ _ _ _ _2_. _K_o_m_p_le_x_e_A_u_f__ ga_b_e_n_(P _ ru_·f_un___g-s_te_il_2_)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_5_9 J

3. Absturz eines Satelliten Ein Satellit kann nicht mehr die zum Halten seiner Umlaufbahn notwendige Energie aufbringen und stürzt zurück zur Erde. ( 1 ) Die Kontrollstation im Punkt A (-41-810) beobachtet ü 1 = 1 15 den Satelliten in Richtung des Vektors u\.

(= ~)

Ein Astronom im Punkt B (2413210) sieht den Satel- ü 2 = 20 liten gleichzeitig in Richtung des Vektors ü 2 . Die Erdoberfläche liegt in der x-y-Ebene (1 LE = 1 km). a) Ermitteln Sie die Position P 1 des Satelliten zum Zeitpunkt seiner Beobachtung. b) Der Satellit befindet sich auf einer geradlinigen Bahn g. Eine Minute nach der Beobachtung befindet er sich im Punkt P2 (22 l28 l216). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Satelliten. Berechnen Sie den Aufschlagpunkt sowie den Aufschlagwinkel. c) Ein Observatorium im Punkt O ( 1031188 l2) beobachtet ebenfalls den Satelliten. Berechnen Sie den Punkt Q der Satellitenflugbahn g, der am nächsten zum Observatorium liegt. d) Ein Flugzeug fliegt längs der Bahn f:

x=

(!~) + s • (il·

Bestimmen Sie den Abstand zwischen der Satellitenflugbahn g und der Flugbahn f. 4. Luftkorridore Von zwei geradlinigen Luftkorridoren verläuft einer durch die Punkte A 1 (ll-1l12) und B 1 (171 1514) während der zweite durch die Punkte A2 (21-10114) und B 2 (8 l-1117) verläuft. a) Geben Sie für jeden der beiden Korridore eine vektorielle Geradengleichung an und zeigen Sie, dass die Korridore windschief verlaufen. b) Überprüfen Sie, ob es zwischen zwei Flugzeugen, die längs der Korridore fliegen, zu einem Beinahezusammenstoß kommen kann. Dies ist der Fall, wenn der Abstand der Flugzeuge kleiner als 5 LE werden könnte. c) Auf dem Boden befindet sich im Punkt C ( 13 l-1 I0) eine Radarstation, die einen halbkugeligen Raumbereich mit dem Radius r = 15 LE überwacht. Bestimmen Sie den Eintritts- sowie den Austrittspunkt des ersten Luftkorridors in diesen Raumbereich. d) Die beiden Punkte der Luftkorridore nrit dem kleinsten Abstand sind P (41-7115) und Q (xlylz). Bestimmen Sie die Koordinaten von Q. Vor zwei Jahren wurde neben der Radarstation eine neue Rasenfläche angelegt. Durch Verunreinigungen im Saatgut blühen auf dieser Fläche nun 20 Exemplare der seltenen Purpur-Königskerze. Die Pflanze kann in drei Zuständen auftreten: 25 % S 2o S (Samen), E (einjährige Jungpflanze), '1/ ~ B (mehrjährige blühende Pflanze). Der Graph E 40 % M .:) 40% gibt an, welche Übergänge zwischen den drei Zuständen im Mittel auftreten. e) Stellen Sie die Übergangsmatrix des Prozesses auf. Ermitteln Sie, wie viele Samen der Purpur-Königskerze zwei Jahre zuvor im Saatgut der Rasenfläche enthalten waren, wenn jetzt nur 20 zweijährige Pflanzen auf der Rasenfläche gedeihen. f) Untersuchen Sie, nach wie viel Jahren man eine Verdoppelung der Exemplare im Zustand M auf der Fläche erwarten kann.

VII. Abiturähnliche Aufgaben für den Leistungskurs

\.....- 260

5. Geometrische Figuren, Matrizen Gegeben sind die Punkte A(l 131 2), B (-21-318) und D (61714). E sei diejenige Ebene, die A, B und D enthält. a) Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Parallelogramms ABCD. L sei der Fußpunkt des Lotes von D auf AB. Bestimmen Sie den Inhalt des Dreiecks ADL. Berechnen Sie das Verhältnis der beiden Flächeninhalte. ( t b) Der Punkt A' entsteht aus dem Punkt A dm·ch Verschiebung um den Vektor t = _1 .

l

v

4

Berechnen Sie t so, dass das Volumen der Pyramide ABCDA' den Wert 72 annimmt. c) Die Strecke AB sei die Diagonale eines Quadrates, welches in der Ebene E liegt. Berechnen Sie die Koordinaten der beiden anderen Quadrateckpunkte. d) Der Punkt P (61-2l-2) wird orthogonal auf die Ebene F: 2x - 2y - z =0 projiziert. Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes. Geben Sie an, welche spezielle Lage die Ebene F zur Ebene E einnimmt. e) Ein beliebiger Punkt Q (xlylz) wird orthogonal auf die Ebene F 4 2) projiziert. Berechnen Sie die Koordinaten des Bildpunktes und zeiM = ½4 5 -2 2 -2 8 gen Sie, dass sich dieser auch durch Multiplikation mit der Matrix M berechnen lässt. f) Begründen Sie, dass M2 =M gilt. Zeigen Sie, dass M keine Inverse besitzt.

(5

6. Punktmenge Gegeben sind die Punkte A(8 1213), B (l2l-3l-8) und C(0l-61-11) sowie die Punktmenge Ps(4 + sl-2-8s1-4+ 4 s) mit s E lR. a) Ergänzen Sie die drei Punkte A, B und C durch einen vierten Punkt D so, dass sie ein Parallelogramm bilden. Zeigen Sie, dass es sich sogar um ein Quadrat handelt. Bestimmen Sie den Mittelpunkt M des Quadrates. Zur Kontrolle: M (4 l-2 1-4) b) Bestimmen Sie eine Koordinatendarstellung der Ebene EQ, in der das Quadrat ABCD liegt. Die Punkte der Punktmenge Ps liegen auf einer Geraden g. Geben Sie eine vektorielle Gleichung der Geraden g an. Untersuchen Sie die relative Lage der Geraden g zum Quadrat ABCD. Bestimmen Sie gegebenenfalls Schnittpunkt und Schnittwinkel. c) Berechnen Sie die Punkte E und F der Geraden g, für die die Dreiecke ABE und ABF gleichseitig sind. Zur Kontrolle: E(S l-1010), F(3 161-8) Die sechs Punkte A, B, C, D, E und F sind nun die E Eckpunkte eines Oktaeders. d) D as Dreieck ABE liegt in der Ebene EE: 13x - 5y + 7z = 115. D as Dreieck ABF liegt in der Ebene Ep: 11 x + 11 y - z = 107. Berechnen Sie den Winkel zwischen A- - - - ~ - den beiden Dreiecken. 1 0l ;l l und B =(1O 01 _ll e) Die Matrizen A = O ; (

000

00

F

1

beschreiben zwei lineare Abbildungen des IR.3 in den 1R3 . Bestimmen Sie die Fixpunktmenge von A und beschreiben Sie diese. Zeigen Sie, dass diese Punkte auch Fixpunkte von B sind. f) Bestimmen Sie alle Punkte, die durch A auf den Ursprung abgebildet werden. Beschreiben Sie diese geometrisch. Erläutern Sie, welcher Zusammenhang hierbei mit der Geraden g aus Teil b) besteht. g) Begründen Sie, dass A keine Inverse besitzt. Bestimmen Sie die zu B inverse Matrix B- 1.

_ _ _ _ _2_. _K_o_m_p_le_x_e_A_u_f__ ga_b_e_n_(P _ ru_·f_un___g-s_te_il_2_)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_6_1

7. Geradenschar In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A (4 l-215) und B (71-616) gegeben. Weiter sind die Geradenschar ga: 2x + 2y - z = 1 gegeben.

x =(~) + r (-i ~ ;a), 5 2-2a

r, a e 1R sowie die Ebene E:

a) Berechnen Sie den Schnittpunkt der Geraden gAB durch die Punkte A und B mit der x-y-Ebene. b) Bestimmen Sie den Schnittwinkel der beiden Geraden gAB und g0 . c) Die Gerade h enthält den Punkt B und ist parallel zu g0. Bestimmen Sie eine Koordinatenform der Ebene F, die die Geraden h und g0 enthält. d) Zeigen Sie, dass alle Geraden der Schar ga in der Ebene E liegen. e) Bestimmen Sie eine Ebenenschar Ha, deren Ebenen jeweils eine Gerade der Schar ga enthalten und senkrecht auf E stehen. f) Bestimmen Sie die Koordinaten derjenigen Punkte der Geraden g 1, deren Abstand von der x-y-Ebene und der x-z-Ebene gleich groß ist. g) Entscheiden Sie, ob die Gerade gAB zur Geradenschar ga gehört. h) gu und gv sind zwei Geraden der Schar ga. Leiten Sie eine Beziehung zwischen u und v her, so dass gu und gv orthogonal zueinander sind.

8. Ebenenschar, Matrizen I. Gegeben sind die Gerade g durch die Punkte A (41 112) und B (61211) sowie die Ebene F durch die Punkte P (Ol-114), Q (71412) und R (2IOl3). Die Ebene E 2 : 3x - 5y + z = 15 ist eine Ebene der Schar E,: (

x - (~1 )) • (-;; ~ 1) ~ 0, a E IR.

a) Untersuchen Sie die relative Lage von Gerade g und Ebene F. b) Zeigen Sie: Die Schnittpunkte der Koordinatenachsen mit der Ebene F bilden ein gleichseitiges Dreieck. c) Bestimmen Sie eine Gleichung der Schnittgeraden s der Ebenen E 2 und F. Zeigen Sie, dass die Gerade s in jeder Ebene der Schar Ea liegt Zeigen Sie weiter, dass die Geraden g und s echt parallel verlaufen. Bestimmen Sie den Abstand der Geraden g und s. d) Untersuchen Sie die relative Lage der Geraden g zur Ebenenschar Ea. Prüfen Sie, ob die Ebene F zur Schar Ea gehört. e) Zeigen Sie, dass keine Ebene der Schar Ea orthogonal zur x-y-Ebene verläuft. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene H, welche die Gerade s aus Teil c) enthält und nicht zur Ebenenschar Ea gehört.

~ ~ ~)

II. Gegeben ist die Matrix A = ('-

0 0 -1

a) Zeigen Sie, dass nur der Ursprung durch die Matrix A auf sich abgebildet wird. b) Weisen Sie nach: Die Vektoren und A · haben den gleichen Betrag. c) Prüfen Sie, ob die Winkel zwischen den Vektoren und y und zwischen ihren Bildvektoren A · und A · y gleich groß sind. d) Zeigen Sie, dass A4 = E (E: Einheitsmatrix) gilt.

x

x

x

x

..J

\_..-2_62_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _V_II_._A_b_i_tu_r_äh_nli _ ·c_h_e_A_u_f-ga_b_e_n_f_ü_r _d_en_ Le _i_s_tu_n__g_sk_u_r_s _ _ __

9. Pyramide, Drehung I. Gegeben sind die Punkte A (l 1310), B (21-11 3), C (01 212), P (0I0l l ) und Q (21213). a) Stellen Sie eine Koordinatengleichung der Ebene E durch die Punkte A, B und C auf. Bestimmen Sie die Achsenschnittpunkte von E und skizzieren sie das Spurdreieck. b) Das Spurdreieck von E bildet mit dem Ursprung als Spitze eine Pyramide. Bestimmen Sie das Volumen dieser Pyramide. c) Beschreiben Sie die Menge aller Punkte, die jeweils von P und Q den gleichen Abstand haben, durch zwei weitere Eigenschaften bezüglich ihrer Lage zu P und Q. Stellen Sie diese Punktmenge durch eine Gleichung dar.

II.Eine Drehung cp im JR.3 hat folgende Eigenschaften: ( 1) cp ist längentreu, d. h. jeder Vektor und sein Bildvektor sind gleich lang. (2) cp ist winkeltreu, d. h. die Winkel zwischen je zwei Vektoren und ihren Bildvektoren sind gleich groß. ( ) 0 1 0 a) Durch die Matrix M = o o I wird eine lineare Abbildung - eine Drehung - definiert. 1 0 0

Bestimmen Sie die Fixpunktmenge dieser Abbildung. Beschreiben Sie sie durch eine Gleichung. b) Zeigen Sie, dass die durch M definierte Drehung cp die Eigenschaften (1) und (2) erfüllt. c) Bestimmen Sie den Drehwinkel der Drehung cp.

10. Rechteck und Quader, Abbildung durch Matrizen I. Gegeben sind die Punkte A (91814), B (11 1812), C (131414) und D (11141 6). a) Zeigen Sie, dass das Viereck ABCD ein Rechteck darstellt. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Rechtecks ABCD. Skizzieren Sie das Rechteck in einem räumlichen Koordinatensystem. b) T und U sind die Mittelpunkte der Rechteckseiten AB und AD. Ergänzen Sie Ihre Zeichnung um die Strecken TC und BU. Berechnen Sie, in welchem Verhältnis sich diese Strecken schneiden. Berechnen Sie den Schnittwinkel von TC und BU. c) Zusätzlich zum Rechteck ist der Punkt E(l l0l-4) gegeben. Bestimmen Sie die Koordinaten der Punkte F, G und H, so dass die Punkte ABCDEFGH einen Quader bilden. Ohne Nachweis darf verwendet werden, dass die Strecke AE senkrecht auf dem Rechteck ABCD steht. Vervollständigen Sie Ihre Skizze zum Quader.

II. Die Matrix M =½(~

~

~i

beschreibt die Abbildung der Raumpunkte in eine Ebene E.

2 0 1

a) Beschaffen Sie sich durch Multiplikation von M mit 3 Raumpunkten 3 Ebenenpunkte und erstellen Sie sodann eine Koordinatengleichung der Ebene E. Zur Kontrolle: E: x - 2 z = 0 b) Zeigen Sie, dass alle Raumpunkte auf die Ebene E abgebildet werden. c) Für die Matrix M gilt: M2 = M · M = M. Erläutern Sie, welche Bedeutung diese Eigenschaft für die Abbildung eines Punktes hat.

_ _ _ _ _2_. _K_o_m_p_le_x_e_A_u_f__ ga_b_e_n_(P _ ru_·f_un___g-s_te_il_2_)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_6_3 J

C. Stochastik 1. Bernoulli-Kette, Normalverteilung In einer Atlantiklagune lebt eine Muschelart, bei der eine von hundert Muscheln eine Perle enthält. a) Eine Perlentaucherin sammelt pro Tauchgang fünf Muscheln. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse. A: ,,Genau eine Muschel enthält eine Perle." B: ,,Mindestens eine Muschel enthält eine Perle." b) Untersuchen Sie, wie oft die Taucherin mindestens tauchen muss, um mit mindestens 99 % Sicherheit mindestens eine Perle zu finden. c) Die Taucherin taucht pro Tag 100-mal. Berechnen Sie, mit welcher durchschnittlichen Zahl von Perlen sie am Tagesende rechnen kann. Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit sie mehr Perlen als im Durchschnitt findet. d) Der durchschnittliche Handelswert einer Perle beträgt 20 $ mit einer Standardabweichung von 5 $. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gefundene Perle einen Wert von höchstens 20 $ bzw. höchstens 15 $ aufweist. e) Die Taucherin muss pro Tag eine Lizenzgebühr von 5 $ an die Lagunenverwaltung entrichten. Die Bootsmiete beträgt 10 $ pro Tag. Berechnen Sie, mit welchem durchschnittlichen E1trag sie pro Tag rechnen kann. 2. Weihnachtsinsel Mia will mit ihren Eltern in den Weihnachtsferien 10 Tage auf einer Kanareninsel verbringen. Sie hat dem Reiseführer entnommen, dass die Tageshöchsttemperatur im Winter im Mittel µ = 19 °C beträgt mit einer Standardabweichung von cr = 1,7°. a) Mia überlegt Kleidung für kalte Tage mitzunehmen. Weisen Sie nach, dass Tage unter 14 °C nahezu ausgeschlossen sind. b) Geben Sie an, mit welcher Wahrscheinlichkeit an einem Tag mit mehr als 19° zu rechnen ist. c) Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit für die Tageshöchsttemperatur gilt: 18,5 $ T $ 19,5. d) Berechnen Sie ein zum Erwartungswert µ = 19 °C symmetrisches Intervall, in dem die Tageshöchsttemperaturen im Wmter mit einer Wahrscheinlichkeit von rund 68,3 % liegen. e) Mia hat in einem Urlaubstagebuch ihre täglichen Erlebnisse festgehalten. Dabei hat sie auch die Tageshöchsttemperaturen notiert. Inseltag

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

Temp. in °C

18

17

16

18

19

20

21

22

20

19

Berechnen Sie das arithmetische Mittel x und die empirische Standardabweichung s.

\.....- 264

VII. Abiturähnliche Aufgaben für den Leistungskurs

3. Bernoulli-Kette, Signifikanztest Alle Sektoren des Glücksrades treten mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. a) Das Glücksrad wird einmal gedreht. Die Zufallsgröße X beschreibt die dabei erhaltene Zahl. Stellen Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X tabellarisch dar und berechnen Sie den Erwartungswert E(X). b) Das Glücksrad wird dreimal gedreht. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse: A: ,,drei verschiedene Zahlen", B: ,,drei gleiche Zahlen". c) Das Glücksrad wird zehnmal gedreht. Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeiten der folgenden Ereignisse: C: ,,genau 4-mal die Zwei", D: ,,mehr als 6-mal eine Zahl größer als eins". d) Der Betreiber des Glücksrades ist sich nach längerem Gebrauch nicht mehr sicher, dass alle Sektoren mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auftreten. Er testet daher, wie häufig die Eins auftritt (Hypothese H 1: p ~ 0,5). Er legt fest: Wenn er bei 100 Drehungen zwischen 40-mal und 60-mal die Zahl Eins erhält, glaubt er weiter an die Gleichverteilung. Ermitteln Sie für diesen Test die Fehlerwahrscheinlichkeit l. Art. e) Nach weiteren Beobachtungen vermutet der Betreiber des Glücksrades, dass die Eins nur noch mit 40 % Wahrscheinlichkeit erscheint. Er überlegt daher, sich ein neues Rad zu beschaffen. Als Entscheidungshilfe soll ein Test dienen, dessen Entscheidungsregel so beschaffen ist, dass die Gefahr sich irrtümlich ein neues Rad anzuschaffen, obwohl sich die Wahrscheinlichkeit für die Eins nicht geändert hat, unter 5 % liegt. Formulieren Sie eine entsprechende Entscheidungsregel für einen Stichprobenumfang von n = 100. Ermitteln Sie für diese Entscheidungsregel, wie groß das Risiko ist, dass der Betreiber sein altes Glücksrad weiter benutzt, obwohl die Wahrscheinlichkeit für eine Eins tatsächlich auf 40 % gesunken ist. 4. Signifikanztest Eine Münze soll geprüft werden, ob Wappen mit der Wahrscheinlichkeit p = 0,5 fällt. (Hypothese H0 : p = 0,5). Angelika vermutet, dass Wappen häufiger als bei 50% aller Würfe fällt. Billy stellt die Hypothese auf, dass die verwendete Münze keine ideale Münze ist. Seine Hypothese lautet H 1: p ~ 0,5. a) Formulieren Sie Angelikas Hypothese H 1. Stellen Sie eine geeignete Entscheidungsregel auf und erläutern Sie Ihren Gedankengang. b) Billy legt als Annahmebereich für H 0 fest: A = {44, 45, ... , 56}, wobei eine Testserie von 100 Würfen durchgeführt wird. Ermitteln Sie für diesen Test die Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art. c) Im Test aus b) soll durch Verschiebung der unteren Grenze des Annahmebereichs für H0 (44 Wappenwürfe bei 100 Würfen) der a-Fehler auf höchstens 10% gedrückt werden. Ermitteln Sie, wie in diesem Fall die Entscheidungsregel lauten muss. d) Der a-Fehler soll unter 5 % liegen. Bestimmen Sie für dieses Signifikanzniveau den Ablehnungsbereich der Hypothese H0 . Ermitteln Sie für den von Ihnen bestimmten Ablehnungsbereich für H 0 die Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art, wenn die tatsächliche Wahrscheinlichkeit für einen Wappenwurf 70 % beträgt.

_ _ _ _ _2_. _K_o_m_p_le_x_e_A_u_f__ ga_b_e_n_(P _ ru_·f_un___g-s_te_il_2_)_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_6_5

S. Bernoulli-Kette, Konfidenzintervall Eine Porzellanmanufaktur bringt eine neue Serie auf den Markt. Durchschnittlich sind 80% der Fertigung 1. Wahl. Der Rest wird mit kleinen Fehlern als 2. Wahl verkauft. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass von 50 willkürlich der Produktion entnommenen Teilen mehr als 43 Stücke 1. Wahl sind. b) Ein Kunde bestellt 500 Stücke, die der laufenden Produktion entnommen werden. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens 80 Stücke 2. Wahl erhält. c) Beurteilen Sie die folgenden Rechnungen, bei denen die Wahrscheinlichkeiten aus a) und b) näherungsweise ermittelt wurden. a) P(X J 13) := P(11 $ x $ so) ::::: 4> ( SO + O,S" - µ ) _ 4> ( # - O,.r - µ ) := 4> (10,.r) - 4> ( 3,S" ) ::::: O 10rq (J O' {i V8 I

b) P(X :5 3o) ::::: 4> (

10

+ ~.r -

µ ) := 4>

(-½f) ~ 0, 0116

d) Ein Großkunde möchte 1000 Stücke 1. Wahl geliefert bekommen. Untersuchen Sie, wie viele Teile aus der laufenden Produktion ihm mindestens geliefert werden sollten, damit mit mindestens 98 % Wahrscheinlichkeit mindestens 1000 Stücke 1. Wahl darunter sind. e) Der Produktionsprozess ist in zwei Phasen gegliedert. Der Anteil 2. Wahl wird durch einen Fehler verursacht, der in der 1. Phase des Produktionsprozesses mit einer Wahrscheinlichkeit p auftritt. Unabhängig von der 1. Phase tritt der Fehler in der 2. Phase des Produktionsprozesses mit der doppelten Wahrscheinlichkeit auf. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit p des Fehlers. Die Manufaktur führt eine Qualitätskontrolle ein. Dabei werden Teile 2. Wahl zu 95 % erkannt. Leider werden auch Stücke 1. Wahl fälschlicherweise als 2. Wahl eingestuft. Insgesamt werden in der Kontrolle 21 % der Produktion als 2. Wahl deklariert. f) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Stück 1. Wahl falsch deklariert wird. g) Berechnen Sie, mit welcher vVahrscheinlichkeit ein Stück, das als 2. Wahl eingestuft wurde, tatsächlich fehlerhaft ist. Durch Verbesserungen im Produktionsprozess soll der Anteil an 1. Wahl erhöht werden. Eine Stichprobe von 100 Teilen ergibt bei genauer Prüfung 85 Teile 1. Wahl. h) Berechnen Sie mit der Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95.5 % ein Konfidenzintervall für den neuen Anteil p an Stücken 1. Wahl. i) Durch die Prüfung einer neuen Stichprobe vom Umfang n soll mit einer Sicherheitswahrscheinlichkeit von 95,5 % festgestellt werden, dass der Anteil der Stücke 1. Wahl nun über 80% liegt. Untersuchen Sie, wie groß der Stichprobenumfang n nun mindestens gewählt werden muss, wenn die relative Häufigkeit der Stücke 1. Wahl wie in der Stichprobe in h) weiterhin 85 % beträgt.

J

266

Mathematik

Liste der Operatoren

Operator

Erläuterung

angeben / nennen

Sachverhalte, Begriffe oder Daten ohne Erläuterungen, Begründungen und Lösungswege aufzäh len

begründen

einen Sachverhalt oder eine Aussage argumentativ auf Gesetzmäßigkeiten oder kausale Zusammenhänge zurückführen

berechnen

durch Rechenoperationen zu einem Ergebnis gelangen und die Rechenschritte dokumentieren

beschreiben

Aussagen, Sachverhalte, Strukturen o. Ä. in eigenen Worten strukturiert und fachsprachlich wiedergeben

bestimmen/ ermitteln

einen Zusammenhang oder einen möglichen Lösungsweg aufzeigen und das Ergebnis formul ieren

beurteilen

zu einem Sachverhalt oder einer Aussage unter Verwendung von Fachwissen und Fachmethoden eine begründete Einschätzung geben

beweisen

im mathematischen Sinn zeigen, dass eine Behauptung/Aussage richtig ist, z.B. unter Verwendung bekannter mathematischer Sätze, logischer Schlüsse und Äquivalenzumformungen

darstellen

Sachverhalte o. Ä. strukturiert fachsprachlich oder grafisch wiedergeben und Bezüge sowie Zusammenhänge aufzeigen

entscheiden

bei Alternativen sich begründet und eindeutig auf eine Möglichkeit festlegen

entwickeln

Sachverhalte und Methoden zielgerichtet in einen Zusammenhang bringen; eine Hypothese, eine Skizze oder ein Modell weiterführen und ausbauen

erklären

Sachverhalte o.Ä. unter Verwendung der Fachsprache auf fachliche Grundprinzipien oder kausale Zusammenhänge zurückführen

erläutern

Sachverhalte o.Ä. so darlegen und veranschaulichen, dass sie verständlich werden

modellieren

zu einem Ausschnitt der Realität ein fachliches Modell anfertigen

prüfen

Sachverhalte, Aussagen oder Ergebnisse an Gesetzmäßigkeiten messen, verifizieren oder Widersprüche aufdecken

skizzieren

eine grafische Darstellung so anfertigen, dass die wesentlichen Eigenschaften deutlich werden

untersuchen

Sachverhalte unter bestimmten Aspekten betrachten

vergleichen / gegenüberstellen

nach vorgegebenen oder selbst gewählten Gesichtspunkten Gemeinsamkeiten, Ähnlichkeiten und Unterschiede ermitteln und darstellen

zeichnen

eine hinreichend exakte grafische Darstellung anfertigen

zeigen / bestätigen

einen Sachverhalt oder eine Behauptung unter Verwendung gültiger Schlussregeln oder Berechnungen auf bekannte, gültige Aussagen zurückführen

zuordnen

Sachverhalte begründet in einen genannten Zusammenhang stellen

_____T _a_b_e_ll_en_ z_ur_ S_t_o_ch_a_s_ti_k_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_6_7

Tabellen zur Stochastik Zufallsziffern 1

5 1

10 1

1

1

1

1

88003 15245 95510 12513 03479

79743 04124 23Jl5 01889 05768

52097 35881 16170 59215 46222

46459 15664 06393 99336 85046

16055 53920 46850 20176 69522

04885 55775 J0425 76979 54005

50 1 81676 90464 89259 04594 32464

5 -

07645 31397 64147 53754 48942

90952 83986 56091 33122 10345

42370 42975 45435 33071 96401

10 -

37474 99179 62234 47263 50343

31894 74452 17971 39592 07552

64689 25506 39047 00595 09245

88424 81901 09212 36217 02997

73861 25391 46055 59826 14549

20001 62004 80731 17513 18742

55705 64264 38530 84959 17202

09604 22578 37253 39495 99723

26055 84559 56453 97870 47587

42507 63408 08246 84070 16011

15 -

04180 65523 14921 47666 53389

26606 38575 03745 54402 90663

13 123 57359 66451 36600 23654

97241 89671 19460 40281 18440

44903 53833 24294 99698 41198

96204 04842 97924 24368 50491

29707 08522 27028 95406 33288

66586 39690 29229 69001 89833

70883 32481 04655 45723 07561

92893 65011 24922 32642 34458

20 -

29883 58328 68386 17464 64647

73423 04834 86595 56909 05554

92295 99037 16926 39716 43990

41999 87550 34726 70909 16039

63830 97430 57020 863 19 ]0538

25723 80874 57919 083 19 79943

70657 36852 29875 78268 23034

62113 76025 91566 08966 75152

32100 64062 59456 26344 85281

28627 63196 76490 06330 44003

25 -

42700 71945 34804 38092 66038

57566 22187 54003 86678 58229

06605 85606 20917 75331 62401

46843 49873 75562 63901 83415

42676 03167 63046 25998 09164

84957 44657 54262 42271 66738

73055 6808 1 83 14 1 60142 37200

92008 28139 76543 25392 60635

21956 40882 04833 67835 59995

01070 24180 53219 50109 42039

30 -

04574 56953 08930 31985 77173

98571 17277 19934 18177 90099

24169 58442 31919 13605 00361

35956 09497 39146 48137 28432

54385 63787 28469 39121 47697

56046 82874 63330 76912 I0270

98130 99406 88164 53359 54598

96214 55418 66251 31322 33976

79993 49956 41828 63719 16252

87923 30942 77422 18854 22205

35 -

23071 02260 66147 12048 55201

86680 64086 293 16 67702 60907

45779 56653 57742 89264 23787

68009 06361 76431 26059 13962

80926 04266 53085 15657 59556

47663 01858 21801 97893 34239

42983 03479 15059 57191 32550

004LO 44435 l097 I 69083 91181

26957 61505 79748 31888 03666

50733 03793 06138 41524 67288

40 -

65297 78724 69265 29185 47622

50989 94742 91109 97004 20458

89774 16276 33203 57993 78937

95925 84764 20980 74264 88383

16367 36733 01432 26531 69829

91984 26139 19777 55522 63251

83907 74702 83142 12875 42173

45804 92004 70847 76865 28946

05238 86534 54813 68140 76039

11927 69631 03173 97891 985IO

45 -

92695 15534 02628 55002 29842

25285 67464 34863 28861 01077

16398 25228 75458 44961 04272

45868 35098 64466 41436 20804

71608 35653 31349 65292 57334

23131 86335 52055 24242 38200

46428 59430 04460 37353 17248

34930 10052 44614 48324 79856

76094 74I02 86245 62207 36795

46840 02999 47550 84665 35928

50 -

43728 51571 03701 07062 25179

35457 31289 48562 58925 03789

96474 90355 76472 65311 81247

75955 73338 40512 88857 22234

44498 94469 87784 73077 17250

56476 38415 57639 07846 54858

69832 34530 35528 32309 09303

44668 99878 73661 94390 78844

54767 58325 63629 12268 44162

84996 78485 46272 468 19 69696

1

1 -

15

20 1

25

30

35

40 1

45 1

J

268

Binomialverteilung B (n; p; k) = (~) pk( l - p)D-k p

2

0 1

3

2 0 1 2

3 0 1 4

2

0,02 0,9604 0392 0004 0,94 12 0576 0012

0,03 9409 0582 0009 9127 0847 0026

0,9224 0753 0023

5

3 4 5 0 1 2

6

3 4 5 6 0 1

2 7

3 4 5

l/6 6944 2778 0278 5787 3472 0694 0046 4823 3858 1157 0154 0008 4019 4019 1608

0,20 6400 3200 0400 5120 3840 0960 0080 4096 4096 1536 0256 0016 3277 4096 2048

0,25 5625 3750 0625 4219 4219 1406 0156 3164 4219 2109 0469 0039 2373 3955 2637

0,30 4900 4200 0900 3430 4410 1890 0270 2401 4116 2646 0756 0081 1681 3602 3087

1/3 4444 4444 1111 2963 4444 2222 0370 1975 3951 2963 0988 0123 1317 3292 3292

0,40 3600 4800 1600 2160 4320 2880 0640 1296 3456 3456 1536 0256 0778 2592 3456

0,50 2500 5000 2500 1250 3750 3750 1250 0625 2500 3750 2500 0625 0313 1563 3125

0011

0081 0005

7828 1957 0204 0011

7351 2321 0305 0021 0001

5314 3543 0984 0146 0012 0001

0322 0032 0001 3349 4019 2009 0536 0080 0006

0512 0064 0003 2621 3932 2458

7514 2192 0274 0019 0001

6983 2573 0406 0036 0002

4783 3720 1240 0230 0026 0002

0879 0146 0010 1780 3560 2966 1318 0330 0044 0002 1335 3115 3115 1730 0577 0115 0001 0001 l001 2670 31 15 2076 0865 0231 0038 0004

1323 0284 0024 1176 3025 3241 1852 0595 0102 0007 0824 2471 3177 2269 0972 0250 0036 0002 0576 1977 2965 2541 1361 0467 0100 0012 0001 0404 1556 2668 2668 1715 0735 0210 0039 0004

1646 0412 0041 0878 2634 3292 2195 0823 0165 0014 0585 2048 3073 2561 1280 0384 0064 0005 0390 1561 2731 2731 1707 0683 0171 0024 0002 0260 ll71 2341 2731 2048 1024 0341 0073 0009 0001 2/3

2304 0768 0l02 0467 1866 3110 2765 1382 0369 0041 0280 1306 2613 2903 1935 0774 0172 00 16 0168 0896 2090 2787 2322 1239 04 13 0079 0007 0101 0605 1612 2508 2508 1672 0743 0212 0035 0003 0,60

3125 1563 0313 0156 0938 2344 3125 2344 0938 0156 0078 0547 1641 2734 2734 1641 0547 0078 0039 0313 1094 2188 2734 2188 1094 0313 0039 0020 0176 0703 1641 2461 2461

8853 1095 005 1 0001

0,05 9025 0950 0025 8574 1354 0071 0001 8145 1715 0135 0005

0,9039 0922 0038

8587 1328 0082

8154 1699 0142

7738 2036 02 14

0001

0003

0006

0,8858 l085 0055 0002

8330 1546 0120 0005

0,8681 1240 0076 0003

8080 1749 0162 0008

3

1 2

0,10 8100 1800 0100 7290 2430 0270 0010 6561 2916 0486 0036 0001 5905 3281 0729

0,04 9216 0768 0016 8847 1l06 0046 0001 8493 1416 0088 0002

6

1 2

8

3 4

0.8508 1389 0099 0004

7837 1939 0210 0013 0001

7214 2405 0351 0029 0002

6634 2793 0515 0054 0004

5

4305 3826 1488 0331 0046 0004

6 7 8

0 1 2

9

3 4

0,8337 1531 0125 0006

7602 2116 0262 0019 0001

6925 2597 0433 0042 0003

6302 2985 0629 0077 0006

5 6

3874 3874 1722 0446 0074 0008 0001

7 8 9

0,98

0,97

0.96

0,95

0,90

2791 3907 2344 078 1 0156 0019 0001

0819 0154 001 5 0001 2097 3670 2753 1147 0287 0043 0004

2326 3721 2605 1042 0260 0042 0004

1678 3355 2936 1468 0459 0092 0011 0001

1938 3489 2791 1302 0391 0078 0010 0001

1342 3020 3020 1762 0661 0165 0028 0003

5/6

0,80

0751 2253 3003 2336 1168 0389 0087 0012 0001 0,75

p

Für p ~ 0,5 verwendet man den blau unterlegten Eingang.

0,70

1641 0703 0176 0020 0,50

2 1 0 3 2 1

2

3

0

4 3 2

4

1 0

5 4 3

2 1 0 6 5 4

3 2 1

5

6

0 7 6 5

4 3 2

7

1

0 8 7 6 5 4 3

8

2 1 0

9 8 7 6 5 4

3 2 1

0

9

_____T _a_b_e_ll_en_ z_ur_ S_t_o_ch_a_s_ti_k_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_6_9

Binomialverteilung B (n; p; k) = (~)pk(l - p?-k

0 1 2

10

3 4 5

0,02

0,03

0,04

0,05

0,10

p 116

0,20

0,25

0,30

1/3

0,40

0,50

0,8171 1667 0153

7374 2281 0317

6648 2770 0519

5987 315 1 0746

3487 3874 1937

1615 3230 2907

1074 2684 3020

0563 1877 2816

0282 1211 2335

0173 0867 1951

0060 0403 1209

0010 0098 0439

10

0008

0026 0001

0058 0004

0105 00IO 0001

0574 0112 0015

1550 0543 0130

2013 0881 0264

2503 1460 0584

2668 2001 1029

2601 2276 1366

2150 2508 2007

1172 2051 2461

7

0001

0022 0002

0055 0008 0001

0162 0031 0004

0368 0090 0014 0001

0569 0163 0030 0003

1115 0425 0106 0016 0001

2051 1172 0439 0098 0010

4 3 2

0047 0305 0916 1700 2186 2061 1472 0811 0348 0116 0030 0006 0001

0023 0171 0599 1299 1948 2143 1786 1148 0574 0223 0067 0015 0003

0005 0047 0219 0634 1268 1859 2066 1771 1181 0612 0245 0074 0016 0003

0000 0005 0032 0139 0417 0916 1527 1964 1964 1527 0916 0417 0139 0032 0005

15 14 13 12 11

20 19 18 17 16 15 14 13 12 11 10 9 8 7

6

7 8 9 10

0 1 2

3 4 5

0,7386 2261 0323 0029 0002

6333 2938 0636 0085 0008 0001

5421 3388 0988 0178 0022 0002

4633 3658 1348 0307 0049 0006

6

15

7 8

2059 3432 2669 1285 0428 0105 0019 0003

9

0649 1947 2726 2363 1418 0624 0208 0053 00 1l 0002

10 11

0352 13 19 2309 2501 1876 1032 0430 0138 0035 0007 0001

0134 0668 1559 2252 2252 1651 0917 0393 0131 0034 0007 0001

12 13

14 15 0 1 2

3 4 5

0,6676 2725 0528 0065 0006

5438 3364 0988 0183 0024 0002

6

4420 3683 1458 0364 0065 0009 0001

3585 3774 1887 0596 0133 0022 0003

7 8

9 20

1216 2702 2852 1901 0898 0319 0089 0020 0004 0001

10

11

0261 1043 1982 2379 2022 1294 0647 0259 0084 0022 0005 0001

12

01 15 0576 1369 2054 2182 1746 1091 0545 0222 0074 0020 0005 0001

13

0032 0211 0669 1339 1897 2023 1686 1124 0609 0270 0099 0030 0008 0002

14 15 16 17 18 19 20

0,98

0,97

0,96

0,95

0,90

5/6

0,80

0,75

p

Für p ~ 0,5 verwendet man den blau unterlegten Eingang.

0008 0068 0278 0716 1304 1789 1916 1643 1144 0654 0308 0120 0039 0010 0002

0,70

0003 0030 0143 0429 0911 1457

0000 0005 0031 0123 0350 0746

0000 0000 0002 001 1 0046 0148

1821 1821 1480 0987 0543 0247 0092 0028 0007 0001

1244 1659 1797 1597 1171 0710 0355 0146 0049 0013 0003

0370 0739 1201 1602 1762 1602 1201 0739 0370 0148 0046 001 1 0002

2/3

0.60

0.50

9

8 6

5

10

1 0

10

9 8 7

15

6

5 4 3 2

1 0

6

5 4

3

2 1 0

20

J

270

Kumulierte Binomialverteilung F(n; p ; k) = B (n; p ; 0) + ... + B(n; p ; k) = (~) Po(l - p ) 0 -0 + ... + (~) p k(l - p )n-k p

2

0 1 0

3

1

0,02 0,9604 9996

0,03 9409 9991

0,04 9216 9984

0,05 9025 9975

0,10 8100 9900

1/6 6944 9722

0,20 6400 9600

0,25 5625 9375

0,30 4900 9100

1/3 4444 8889

0,40 3600 8400

0,50 2500 7500

1 0

0,9412 9988

9127 9974

8847 9953 9999

8574 9928 9999

7290 9720 9990

5787 9259 9954

5120 8960 9920

4219 8438 9844

3430 7840 9730

2963 7407 9630

2160 6480 9360

1250 5000 8750

l 0

0,9224 9977

8853 9948 9999

8493 9909 9998

8145 9860 9995

6561 9477 9963 9999 5905 9185 9914 9995

4823 8681 9838 9992 4019 8038 9645 9967 9999

4096 8192 9728 9984 3277 7373 9421 9933 9997

3164 7383 9492 9961 2373 6328 8965 9844 9990

2401 6517 9163 9919 1681 5282 8369 9692 9976

1975 5926 8889 9877 1317 4609 7901 9547 9959

1296 4752 8208 9744 0778 3370 6826 9130 9898

0625 3125 6875 9375 0313 1875 5000 8125 9688

5314 8857 9842 9987 9999

3349 7368 9377 9913 9993

2621 6554 9011 9830 9984 9999

1780 5339 8306 9624 9954 9998

1176 4202 7443 9295 9891 9993

0878 3512 6804 8999 9822 9986

0467 2333 5443 8208 9590 9959

0156 1094 3438 6563 8906 9844

2097 5767 8520 9667 9953 9996

1335 4450 7564 9294 9871 9987 9999

0824 3294 6471 8740 9712 9962 9998

0585 2634 5706 8267 9547 993 1 9995

0280 1586 4199 7!02 9037 9812 9984

0078 0625 2266 5000 7734 9375 9922

6

1678 5033 7969 9457 9896 9988 9999

1001 3670 6786 8862 9727 9958 9996

0576 2553 5518 8059 9420 9887 9987 9999

0390 195 1 4682 7414 9121 9803 9974 9998

0168 1064 3154 5941 8263 9502 9915 9993

0039 0352 1445 3633 6367 8555 9648 9961

7 6 5

1342 4362 7382 9144 9804 9969 9997

0751 3003 6007 8343 95IL 9900 9987 9999

0404 1960 4628 7297 9012 9747 9957 9996

0260 1431 3772 6503 8552 9576 9917 9990 9999 2/3

0101 0705 2318 4826 7334 9006 9750 9962 9997 0,60

0020 0195 0898 2539 5000 7461 9102 9805 9980 0,50

8 7 6

2 0 4

1 2

3 0 1 5

2

0,9039 9962 9999

8587 9915 9997

8154 9852 9994

7738 9774 9988

3 4 0 6

1 2

8330 9875 9995

7828 9784 9988

3 4 5 0 1 2

7

0,8858 9943 9998

0,8681 9921 9997

8080 9829 9991

3 4 5

7514 9706 9980 9999

7351 9672 9978 9999

6983 9556 9962 9998

4783 8503 9743 9973 9998

2791 6698 9042 9824 9980 9999

6 0 1

2 8

0,8508 9897 9996

3 4

7837 9777 9987 9999

7214 9619 9969 9998

6634 9428 9942 9996

4305 8131 9619 9950 9996

5

2326 6047 8652 9693 9954 9996

6 7 0 1 2 9

3 4 5 6

0,8337 9869 9994

7602 9718 9980 9999

6925 9222 9955 9997

6302 9288 9916 9994

3874 7748 9470 9917 9991 9999

1938 5427 8217 9520 991 1 9989 9999

7

8

Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000. 5/6 0,98 0,97 0,96 0,95 0.90

0,80

0,75

0,70

p

Bei blau unterlegtem Eingang, d. h. p ~ 0,5 gilt: F (n; p; k) = 1 - abgelesener Wert.

2

2

3 2 l

3

4

0 4 3 2

5

1 0 5

4 3 2 1

6

0 5

4

3 2 1

7

0

4 3 2

8

l 0

5 4 3 2 1

0

9

_ _ _ _ _T_ab_e_ll_e_n_z_u_r_S_to_c_h_a_s_ti_ k _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_7_1 ..J

Kumulierte Binomialverteilung F (n; p; k) = B (n; p; 0) + ... + B (n; p; k) =

(~)p0(1 -

p)ll-o + ... + (~) pk(l - p) 0 -k

ip] n 1 2

0,02

0,03

0,8171 9838 9991

7374 9655 9972 9999

3 10

0,04 6648 9418 9938 9996

4

0,05 5987 9139 9885 9990 9999

5

0,10

1/6

3487 7361 9298 9872 9984 9999

1615 4845 7752 9303 9845 9976 9997

6 7 8

0,25

0,20 1074 3758 6778 8791 9672 9936

0563 2440 5256 7759 9219 9803

9991 9999

9965 9996

0,30 0282 1493 3828 6496 8497 9527

1/3

0,40

0173 1040 2991 5593 7869 9234

0060 0464 1673 3823 6331 8338

9894 9984 9999

9803 9966 9996

9452 9877 9983

9 0 1 2

0,8007 9805 9988

3

7153 9587 9963 9998

6382 9308 9917 9993

4 11

5688 8981 9848 9984 9999

5

3138 6974 9104 98 15 9972 9997

6 7 8

3

6938 9514 9952 9997

4 12

6127 9191 9893 9990 9999

5404 88 16 9804 9978 9998

5

2824 6590 8891 9744 9957 9995

6 7

2

3

4 5

13

6 7

5133 8646 9755 9969 9997

2542 6213 8661 9658 9935 9991 9999

9999 0036 0302 1189 2963 5328 7535

0005 0059 0327 1133 2744 5000

10

9994 9999

9980 9998

9925 9989

9784 9957 9994

9614 9912 9986 9999

9006 9707 9941 9993

7256 8867 9673 9941 9995

4 3 2

0077 0540 1811 3931 6315 8223 9336 9812 9961 9995

0022 0196 0834 2253 4382 6652 8418 9427 9847 9972 9997

0002 0032 0193 0730 1938 3872 6128 8062 9270 9807 9968 9998

1122 3813 6774 8748 9637 9921 9987 9998

0687 2749 5583 7946 9274 9806 9961 9994 9999

03 17 1584 3907 6488 8424 9456 9857 9972 9996

0138 0850 2528 4925 7237 8822 9614 9905 9983 9998

0935 3365 6281 8419 9488 9873 9976 9997

0550 2336 5017 7473 9009 9700 9930 9988 9998

9

0238 1267 3326 5843 7940 9198 9757 9943 9990 9999

10

n

Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000. 0,98 0.97 0,96 0,95 0,90 516

w

0,80

0,75

0097 0637 2025 4206 6543 8346 9376 9818 9960 9993 9999

0.70

0051 0385 1387 3224 5520 7587 8965 9653 9912 9984 9998

2/3

0013 0126 0579 1686 3520 5744 77 12 9023 9679 9922 9987 9999 0,60

0001 0017 0112 0461 1334 2905 5000 7095 8666 9539 9888 9983 9999 0,50

Bei blau unterlegtem Eingang, d.h. p ~ 0,5 gilt: F (n; p; k) = 1 - abgelesener Wert.

10

0

0116 0751 2341 4726 7110 8779

8

11 12

4

3 2 1

11

5882 9068 9865 9986 9999

5

0198 1130 3127 5696 7897 9218

10

6730 9436 9938 9995

6

0422 1971 4552 7133 8854 9657

8

0,7690 9730 9980 9999

7

0859 3221 6174 8389 9496 9883

9

0 1

9 8

1346 4307 7268 9044 9755 9954

9

0,7847 9769 9985 9999

n

8281 9453 9893 9990

10

0 1 2

0,50 0010 0107 0547 1719 3770 6230

9 8 7

6 5

11

1 0 11 10

9 8 7 6 5

12

4 3 2 1

0

u 11 10

9 8 7

6

13

5

4

3 2 1 0 k

n

272

Kumulierte Binomialverteilung F (n; p; k ) = B (n; p; 0) + ... + B (n; p; k) = (~) Po(l - p) 0 -0 + ... + (~) pk(l - p)n-k

r;i D

k

0 1 2

3

0,02 0,7536 9690 9975 9999

0,03 6528 9355 9923 9994

4

0,04 5647 8941 9823 9981 9998

0,05 4877 8470 9699 9958 9996

5

14

0,10 2288 5846 8416 9559 9908 9985 9998

6 7 8

1/6

0,20

0779 2960 5795 8063 9310 9809

0440 1979 4481 6982 8702 9561

9959 9993 9999

9884 9976 9996

9 10 11

0,25 0178 1010 2812 5214 7416 8884

0,30 0068 0475 1608 3552 5842 7805

9618 9898 9980 9998

9067 9685 9917 9983 9998

1/3 0034 0274 1053 2612 4755 6898

0,40 0008 0081 0398 1243 2793 4859

0,50 0001 0009 0065 0287 0898 2120

8505 9424 9826 9960 9993 9999

6925 8499 9417 9825 9961 9994

3953 6047 7880 9102 9713 9935 9991 9999

12

9999

13 0 1 2

3

0,7386 9647 9970 9998

4

6333 9270 9906 9992 9999

5421 8809 9797 9976 9998

5

15

4633 8290 9638 9945 9994 9999

6 7 8

2059 5490 8159 9444 9873 9978 9997

0649 2596 5322 7685 9!02 9726 9934 9987 9998

9 10

0352 1671 3980 6482 8358 9389 9819 9958 9992 9999

0134 0802 2361 4613 6865 85 16 9434 9827 9958 9992 9999

11

0047 0353 1268 2969 5155 7216 8689 9500 9848 9963 9993 9999

0023 0194 0794 2092 4041 6184 7970 9118 9692 9915 9982 9997

12

0005 0052 0271 0905 2173 4032 6098 7869 9050 9662 9907 9981 9997

13

0000 0005 0037 0176 0592 1509 3036 5000 6964 8491 9408 9824 9963 9995

14 0 1 2

3

0,7238 9601 9963 9998

6143 9182 9887 9989 9999

5204 8673 9758 9968 9997

5

4401 8108 9571 9930 9991 9999

6 7

1853 5147 7892 9316 9830 9967 9995 9999

8

0541 2272 4868 7291 8866 9622 9899 9979 9996

9 10 11

0281 1407 3518 5981 7982 9183 9733 9930 9985 9998

OIOO

0635 1971 4050 6302 8103 9204 9729 9925 9984 9997

0033 026) 0994 2459 4499 6598 8247 9256 9743 9929 9984 9997

12

0015 0137 0594 1659 3391 5469 7374 8735 9500 9841 9960 9992

0003 0033 0183 0651 1666 3288 5272 7161 8577 9417 9809 9951

0000 0003 0021 0!06 0384 1051 2272 4018 5982 7728 8949 9616

9999

9991 9999

9894 9979 9997

0,60

0.50

13

14 15 D

13 12 11

10 9 8 7

6

14

5 4

3 2

1 0

14 13 12

11 10 9 8

7 6

15

5 4

3 2 1

0

4

16

D

Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000.

0,98

0,97

0,96

0.95

0.90

Bei blau unterlegtem Eingang, d. h. p

5/6

w

~

0.80

0.75

0,70

2/3

0,5 gilt: F (n; p; k) = 1 - abgelesener Wert.

15 14 13 12 11 10 9 8 7

16

6 5 4

3 2 1

0 k

D

_ _ _ _ _T_ab_e_ll_e_n_z_u_r_S_to_c_h_a_s_ti_ k _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_7_3

Kumulierte Binomialverteilung F (n; p; k) = B (n; p; 0) + ... + B (n; p; k) =

(~)p0(1- p)ll-o + ... + (~) pk(l

-p) 0 -k

["pl

2

3 4 5

17

0,02 0,7093 9554 9956 9997

0,03 5958 9091 9866 9986 9999

0,04 4996 8535 9714 9960 9996

0,05 4181 7922 9497 9912 9988 9999

6 7 8

0,10 1668 4818 7618 9174 9779 9953 9992 9999

9

1/6 0451 1983 4435 6887 8604 9496 9853 9965 9993 9999

10 11

0,20 0225 1182 3096 5489 7582 8943 9623 9891 9974 9995 9999

0,25 0075 0501 1637 3530 5739 7653 8929 9598 9876 9969 9994 9999

12 13 14 15 0

1 2

3 4 5

0,6951 9505 9948 9996

5780 8997 9843 9982 9999

4796 8393 9667 9950 9994

3972 7735 9419 9891 9985 9998

6 7

18

1501 4503 7338 9018 9718 9936 9988 9998

8 9

0376 1728 4027 6479 8318 9347 9794 9947 9989 9998

10 11

0 180 0991 2713 5010 7164 8671 9487 9837 9957 9991 9998

0056 0395 1353 3057 5187 7175 8610 9431 9807 9946 9988 9998

12 13 14

0,30 0023 0193 0774 2019 3887 5968 7752 8954 9597 9873 9968 9993 9999

0016 0142 0600 1646 3327 5344 7217 8593 9404 9790 9939 9986 9997

1/3 0010 0096 0442 1304 2814 4777 6739 8281 9245 9727 9920 9981 9997

0007 0068 0326 1017 2311 4122 6085 7767 8924 9567 9856 9961 9991 9999

0,40 0002 0021 0123 0464 1260 2639 4478 6405 8011 9081 9652 9894 9975 9995 9999 0001 0013 0082 0328 0942 2088 3743 5634 7368 8653 9424 9797 9943 9987 9998

15 16 0

1 2 3

19

4 5 6 7 8 9 10 11

0,6812 9454 9939 9995

5606 8900 9817 9978 9998

4604 8249 9616 9939 9993 9999

3774 7547 9335 9868 9980 9998

135 1 4203 7054 8850 9648 99 14 9983 9997

0313 1502 3643 6070 8011 9176 9719 9921 9982 9996 9999

0 144 0829 2369 4551 6733 8369 9324 9767 9933 9984 9997

12 13 14 15 16 17 D

Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000. 0,98 0.97 0.96 0,95 0,90 516

w

0042 0310 1113 2631 4654 6678 8251 9225 9713 991 1 9977 9995 9999

001 1 0104 0462 1332 2822 4739 6655 8180 9161 9674 9895 9972 9994 9999

0005 0047 0240 0787 1879 3519 5431 7207 8538 9352 9759 9926 9981 9996 9999

0001 0008 0055 0230 0696 1629 3081 4878 6675 8139 911 5 9648 9884 9969 9994 9999

0,50 0000 0001 0012 0064 0245 0717 1662 3145 5000 6855 8338 9283 9755 9936 9988 9999

D

16 15 14 13

12 11 10

9 8 7 6 5

4 3 2 1

0000 0001 0007 0038 0154 0481 1189 2403 4073 5927 7597 881 1 9519 9846 9962 9993 9999

17 16 15 14

0000

18 17 16 15 14 13 12

0000 0004

0022 0096 0318 0835 1796 3238 5000 6762 8204 9165 9682 9904 9978 9996

17

13

12 11

10 9 8 7 6 5 4 3

18

2 1

11 10

9 8 7

19

6

5 4

3 2

1

0.80

0.75

0.70

2/3

0,60

0.50

Bei blau unterlegtem Eingang, d. h. p ~ 0,5 gilt: F (n; p; k) = 1 - abgelesener Wert.

k

D

J

274

Kumulierte Binomialverteilung F (n; p; k ) = B (n; p; 0) + ... + B (n; p; k) = (~) Po(l - p) 0 -0 + ... + (~) pk(l - p)n-k

r;i D

k

0

1 2 3

0,02 0,6676 9401 9929 9994

4

0,03 5438 8802 9790 9973 9997

5

0,04 4420 8103 9561 9926 9990 9999

0,05 3585 7358 9245 9841 9974 9997

6 7

20

8

0,10 1216 3917 6769 8670 9568 9887 9976 9996 9999

9 10

1/6 0261 1304 3287 5665 7687 8982 9629 9887 9972 9994 9999

11

0,20 0115 0692 2061 4114 6296 8042 9133 9679 9900 9974 9994 9999

12

0,25 0032 0243 0913 2252 4148 6172 7858 8982 9591 9861 9960 9990 9998

13

0,30 0008 0076 0355 1071 2375 4164 6080 7723 8867 9520 9829 9949 9987 9997

14 15 16 17 0

1 2 3

4 5

6 7

8 9 10

11

12 13

50

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

0,3642 7358 9216 9822 9968 9995 9999

2181 5553 8108 9372 9832 9963 9993 9999

1299 4005 6767 8609 9510 9856 9964 9992 9999

0769 2794 5405 7604 8964 9622 9882 9968 9992 9998

0052 0338 11 I7 2503 4312 6161 7702 8779 9421 9755 9906 9968 9990 9997 9999

0001 0012 0066 0238 0643 1388 2506 391 l 5421 6830 7986 8827 9373 9693 9862 9943 9978 9992 9998 9999

0000 0002 0013 0057 0185 0480 1034 1904 3073 4437 5836 7107 8139 8894 9393 9692 9856 9937 9975 9991 9997 9999

24 25

J/3 0003 0033 0176 0604 1515 2972 4793 6615 8095 9081 9624 9870 9963 9991 9998

0,40 0000 0005 0036 0160 0510 1256 2500 4159 5956 7553 8725 9435 9790 9935 9984 9997

0000 0000 0001 0005 0021 0070 0194 0453 0916 1637 2622 3816 51 10 6370 7481 8369 9017 9449 9713 9861 9937 9974 9990 9997 9999

0000 0000 0000 0000 0002 0007 0025 0073 0183 0402 0789 1390 2229 3279 4468 5692 6839 7822 8594 9152 9522 9749 9877 9944 9976 9991 9997 9999

0000 0000 0000 0000 0000 0001 0005 0017 0050 0127 0284 0570 1035 1715 2612 3690 4868 6046 7 126 8036 8741 9244 9576 9778 9892 9951 9979 9992 9997 9999

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0002 0008 0022 0057 0133 0280 0540 0955 1561 2369 3356 4465 5610 6701 7660 8438 9022 9427 9686 9840 9924 9966 9986 9995 9998 9999

0,75

0,70

2/3

0,60

26

27 28 29 30 31 32 33 34

35 36 37 D

Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000. 5/6 0,98 0,97 0,96 0,95 0,90

w

0,80

0,50 0000 0000 0002 0013 0059 0207 0577 1316 2517 4119 5881 7483 8684 9423 9793 9941 9987 9998 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0002 0005 0013 0033 0077 0164 0325 0595 1013 161 I 2399 3359 4439 5561 6641 7601 8389 8987 9405 9675 9836 9923 9967 9987 9995 9998 0,50

Bei blau unterlegtem Eingang, d. h. p ~ 0,5 gilt: F (n; p; k) = 1 - abgelesener Wert.

D

19 18 17 16 15 14 13

12 11 10 9

20

8 7

6 5 4

3 2

49 48 47 46 45 44 43 42 41 40 39 38 37

36 35 34 33 32 31 30 29 28

50

27

26 25 24 23 22 21 20 19 18 17 16 15 14 13 12 k

n

_ _ _ _ _T_ab_e_ll_e_n_z_u_r_S_to_c_h_a_s_ti_ k _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_7_5

Kumulierte Binomialverteilung F (n; p; k) = B (n; p; 0) + ... + B (n; p; k) =

(~)p0(1- p)ll-o + ... + (~) pk(l IPl

3 4 5

6 7 8 9 10 11

12 13

100

14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

0,02 0,1326 4033 6767 8590 9492 9845 9959 9991 9998

0,03 0476 1946 4198 6472 8179 9192 9688 9894 9968 9991 9998

0,04 0 169 0872 2321 4295 6289 7884 8936 9525 9810 9932 9978 9993 9998

0,05 0059 037 1 1183 2578 4360 6160 7660 8720 9369 9718 9885 9957 9985 9995 9999

0,10 0000 0003 0019 0078 0237 0576 1172 2061 3209 4513 5832 7030 8018 8761 9274 9601 9794 9900 9954 9980 9992 9997 9999

1/6

0,20

0,25

0000 0000 0000 0000 0001 0004 0013 0038 0095 02 13 0427 0777 1297 2000 2874 3877 4942 5994 6965 7803 8481 8998 9370 962[ 9783 988l 9938 9969 9985 9993 9997 9999

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0003 0009 0023 0057 0126 0253 0469 0804 1285 1923 2712 3621 4602 5595 6540 7389 8109 8686 9125 9442 9658 9800 9888 9939 9969 9985 9993 9997 9999 9999

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000

0001 0004 0010 0025 0054 0111 021 1 0376 0630 0995 1488 21]4 2864 371 1 4617 5535 6417 7224 7925 8505 8962 9307 9554 9724 9836 9906 9948 9973 9986 9993 9997 9999

0,30 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0004 0010 0022 0045 0089 0165 0288 0479 0755 1136 1631 2244 2964 3768 4623 5491 6331 7107 7793 8371 8839 9201 9470 9660 9790 9875 9928 9960 9979 9989 9995 9997 9999 9999

-p) 0 -k

1/3

0.40

0,50

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0005 0011 0024 0048 0091 0164 0281 0458 0715 1066 1524 2093 2766 3525 4344 5188 6019 6803 7511 8123 8630 9034 9341 9566 9724 9831 9900 9943 9969 9983 9991 9996 9998 9999

0000 0000 0000 0000 0000

0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0000 0001 0002 0004 0009 0018 0033 0060 0105 0176 0284 0443 0666 0967 1356 1841 2421 3087 3822 4602 5398 6178 69 14 7579 8159 8644 9033 9334 9557 97 16 9824 9895 9940 9967 9982 9991 9996 9998 9999 0,50

0000 0000 0000

0000 0000 0000

0000 0000 0000 0000 0000 0000

0000 0000 0000

0000 0000

0001 0003 0006

0012 0024 0046 0084 0148 0248 0398 0615 0913 1303 1795 2386 3068 3822 4621 5433 6225 6967 7635 821 l 8689 9070 9362 9577 9729 9832 9900 9942 9968 9983 9991 9996 9998 9999

64

65 66 67 68 n

Nicht aufgeführte Werte sind (auf 4 Dez.) 1,0000. 0,95 0,98 0.97 0.96 0.90

5/6

w

0.80

0,75

0,70

2/3

0.60

Bei blau unterlegtem Eingang, d. h. p ~ 0,5 gilt: F (n; p; k) = 1 - abgelesener Wert.

n 99

98 97 96

95 94 93

92 91 90

89 88

87 86 85 84 83

82 81 80

79 78 77 76 75 74 73 72

71 70 69 68

67 66

65

100

64

63 62 61 60

59 58 57 56 55 54

53 52 51 50 49 48

47 46

45 44

43 42 41 40

39 38

37 36

35 34

33 32 31 k

n

J

276

Tabelle der Normalverteilung cl> (z) = 0, ... cl> (- z) = 1- cl> (z) cp(t)

cp(t)

4>(-z)

(z)

1 - (z)

0,1-

-3 -2 - 1

z

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6 2,7 2,8 2,9 3,0 3,1 3,2 3,3 3,4

0 5000 5398 5793 6179 6554 6915 7257 7580 7881 8159 8413 8643 8849 9032 9192 9332 9452 9554 9641 9713 9772 9821 9861 9893 9918 9938 9953 9965 9974 998 1 9987 9990 9993 9995 9997

0

2

1

l

5040 5438 5832 6217 6591 6950 7291 7611 7910 8186 8438 8665 8869 9049 9207 9345 9463 9564 9649 9719 9778 9826 9864 9896 9920 9940 9955 9966 9975 9982 9987 999 1 9993 9995 9997

2

3

2 5080 5478 5871 6255 6628 6985 7324 7642 7939 8212 8461 8686 8888 9066 9222 9357 9474 9573 9656 9726 9783 9830 9868 9898 9922 9941 9956 9967 9976 9982 9987 9991 9994 9996 9997

t

3 5120 5517 5910 6293 6664 7019 7357 7673 7967 8238 8485 8708 8907 9082 9236 9370 9484 9582 9664 9732 9788 9834 987 1 9901 9925 9943 9957 9968 9977 9983 9988 9991 9994 9996 9997

-3

-z -1

4 5160 5557 5948 6331 6700 7054 7389 7703 7995 8264 8508 8729 8925 9099 9251 9382 9495 9591 9671 9738 9793 9838 9875 9904 9927 9945 9959 9969 9977 9984 9988 9992 9994 9996 9997

5 5199 5596 5987 6368 6736 7088 7422 7734 8023 8289 8531 8749 8944 9115 9265 9394 9505 9599 9678 9744 9798 9842 9878 9906 9929 9946 9960 9970 9978 9984 9989 9992 9994 9996 9997

0

1

6 5239 5636 6026 6406 6772 7123 7454 7764 8051 8315 8554 8770 8962 913 1 9279 9406 9515 9608 9686 9750 9803 9846 9881 9909 9931 9948 9961 9971 9979 9985 9989 9992 9994 9996 9997

2

3

7 5279 5675 6064 6443 6808 7157 7486 7794 8078 8340 8577 8790 8980 9147 9292 9418 9525 9616 9693 9756 9808 9850 9884 9911 9932 9949 9962 9972 9979 9985 9989 9992 9995 9996 9997

t

8 5319 5714 6103 6480 6844 7190 75 l7 7823 8106 8365 8599 8810 8997 9162 9306 9429 9535 9625 9699 9761 98 12 9854 9887 9913 9934 9951 9963 9973 9980 9986 9990 9993 9995 9996 9997

Beispiele für den Gebrauch der Tabelle: 4> (2,37) = 0,99 11 ; 4> (-2,37) = l - 4> (2,37) = l - 0,9911 = 0,0089; 4> (z) = 0,7910 ⇒ z = 0,81; 4> (z) = 0,2090 = l - 0,7910 ⇒ z = -0,81

9 5359 5753 6141 6517 6879 7224 7549 7852 8133 8389 8621 8830 9015 9177 9319 9441 9545 9633 9706 9767 9817 9857 9890 9916 9936 9952 9964 9974 9981 9986 9990 9993 9995 9997 9998

_____~_e_s_tl_ö_su_n_g_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_7_7

J

Testlösungen Testlösungen zum Kapitel 1 (Seite 54) 1. a) n gerade=> n2 + 3 n = n(n + 3) = 2k(n + 3) = 2m => gerade n ungerade=> n2 + 3 n = n (2k- 1 + 3) = n (2k + 2) = n · 2(k + 1) = n · 2m => gerade b) c = a · p,

d = b · q, c • d = a • p • b · q =a · b • p • q => a • b teilt c • d.

c) b = a • p

oder

c = a • q => b • c = a • p • c

oder

b • c = b · a · q => a teilt b • c.

d) falsch: a = 6, b = 2, c = 3; 6 teilt 2 · 3 aber 6 teilt nicht 2 und 6 teilt nicht 3.

2. f '(x)= lim f(x+h)-f(x) = lim 3(x+h)2+(x+h)-3x2 -x h-0

h

= lim 3x2 + 6 xh + h2 + x + h - 3x2 h-0

h

h-0

h

x

= lim 6 x h + h 2 + h = lim (6 x + h + 1) = 6 x + 1 h-0

h

h-0

3. a) n = 1: 3 1 ?:: 3 · 1 ist wahr Annahme: Die Beh. gilt für ein festes n?:: l. n + 1: 3° + 1 = 3 · 3° ?:: 3 · 3 n = 3 · (n + 2n) ?:: 3 · (n + 1) b) n = 1: 6 1 + 4 = 2 · 5 => durch 5 teilbar Annahme: Die Beh. gilt für ein festes n?:: l. n + 1: 6° + 1 + 4 = 6 • 6° + 4 = 5 • 6° + 6° + 4 = 5 • 6° + 5 k = 5 (6° + k) = 5m => durch 5 teilbar c) n = 1: 1 + 3 = ½(3 2 - 1) = 4 => ist wahr Annahme: Die Beh. gilt für ein festes n ?:: 1. Il + 1: 1 + ... + 30 + 30+1 = ½(30+ 1 -1) + 30+ 1 = ~ . 30+1 _ ½= ½(3 . 30+ 1 -1) = ½(30+2 _ 1)

4. a) a3 - a = a(a2 - 1) = a • (a - l)(a + 1) Das Produkt von 3 aufeinander folgenden Zahlen ist durch 2 und durch 3 teilbar. Also ist das Produkt auch durch 6 teilbar. b) n = 1: a3 - a ist nach a) durch 6 teilbar. Annahme: a20 + 1 - a ist durch 6 teilbar für ein festes n ?:: 1. n + 1: a2a+3 -a=a2. a2n+ J -a=(a2- 1). a2o+l +a2o+l -a= (a-l)(a+ 1). a- a2n+a2a+ 1 _a Der erste Summand enthält das Produkt von 3 aufeinander folgenden Zahlen als Faktor, ist also durch 6 teilbar. Die restlichen Summanden sind nach Induktionsannahme ebenfalls durch 6 teilbar. Damit ist die Zahl selbst ebenfalls durch 6 teilbar. Ergänzung zum Beispiel S. 46 Der Induktionsschluss von n auf n + 1 funktioniert nicht für n = 1. Dann ist nämlich n + 1 = 2 und die Menge M kann die für die Farbübertragung benötigten drei Tiere a, b und x nicht enthalten, so dass die Übertragungsargumentation nicht funktioniert. Damit bricht die gesamte Induktion zusammen.

278

5. Die Figuren stellen Strahlensatzfiguren dar. Daher stehen entsprechende Seiten im gleichen Verhältnis. In der linken Figur halbiert das Quadrat B die Hypotenuse, in der rechten Figur ist A X das rechte Dreieck gleichschenklig mit a/2 den Katheten x. Entsprechendes gilt für s S a/3 a a das obere Dreieck. Damit gilt: Nach dem Strahlensatz hat das Quadrat A eine Seitenlänge von ½- Das Quadrat B hat eine Seitenlänge von x = ~- Die Seite a wird vorn Quadrat B nach dem Strahlensatz gedrittelt. Nun gilt nach Pythagoras x = ✓~ + Zu zeigen ist also:

~ = ~"2.

! > f Y2 ~ 3 > 2 "2 ~ 9 > 8

6. a) Ein Fünfeck lässt sich, wie abgebildet, in drei Dreiecke zerlegen. Jedes der Dreiecke hat bekanntlich eine Winkelsumme von 180°. Da die Dreiecke zusammen die Winkel des Fünfecks bilden, hat dieses eine Wrnkelsumrne von 3 • 180° = 540°.

b) Beweis durch vollst. Induktion: n = 3: Winkelsumme: (3 - 2) · 180° = 180° wahr Ann.: Die Beh. gilt für ein n ~ 3: n + l: Wie abgebildet lässt sich ein Dreieck abtrennen. So entsteht ein Dreieck plus ein n-Eck mit der Winkelsumme 180° + (n -2) · 180° = (n - l) • 180°.

7. Ann.:

f7 ist rational

⇒ f7 =~ mit p, q teilerfremd 2

⇒ 7 = ~ ⇒ 7 q2 = p2 q2

Nun steht rechts vom Gleichheitszeichen eine Zahl, die den Primfaktor 7 in einer geraden Vielfachheit enthält. Im Term links ist dagegen der Prirnfaktor 7 mit eine ungeraden Vielfachheit enthalten. Das ist ein Widerspruch, also ist die Annahme falsch und die Behauptung gilt.

8. falsch: n = 10: 2 10 = 1024 > 10 • 102 = 1000

_____~_e_s_tl_ö_su_n_g_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_7_9

Testlösungen zum Kapitel 11.1 (Seite 82) 1. a) Wir benötigen 6 Schubfächer, in die jeweils 2 Zahlen mit ungerader Summe gehören. {l, 2}, {3, 4}, {5, 6}, {7, 8}, {9, 10}, {1 1, 12} Werden die 7 Zahlen auf diese Schubfächer verteilt, befinden sich in einem Schubfach 2 Zahlen. Diese haben eine ungerade Summe, da die Schubfachzahlen die Summen 3, 7, 11 , 15, 19 und 23 haben. b) Wir wählen nur Schubfächer mit der Summe 13. {l, 12}, {2, 11 }, {3, 10}, {4, 9}, {5, 8}, {6, 7} In einem Schubfach sind zwei Zahlen. Diese haben die Summe 13, da bei allen Schubfächern die Summe 13 beträgt.

2. Wir teilen das 15 x 16-Rechteck in 20 Rechtecke der Seitenlängen 3 x 4 auf. In einem der 20 Rechtecke müssen also 2 Bäume stehen. Ihr Maximalabstand ist gleich der Diagonalen des 3 x 4-Rechtecks, also gleich 5. Es ist daher nicht möglich, 21 Bäume so zu pflanzen, dass die Baumabstände alle größer als 5m sind.

3. Zum Schluss sind es 10. Von da aus zurück: 10 + 6 = 16, 16 • ¾= 20, 20 • ½= 30, 30 • %= 36, 36 • = 48, 48 + 2 = 50

t

Probe: 50- 2 = 48, 48 - 48 • ¼= 36, 36 - ¼36 = 30, 30- ½30 = 20, 20- ½20 = 16, 16 - 6 = 10

a)

4. b) Das 10 x 10-Brett hat 100 Felder. Das wären

1 0 ~

= 25 Tetraminos.

Da jedes Tetramino 3 weiße und ein schwarzes Feld bedeckt oder drei schwarze und ein weißes Feld, benötigt man zum Ausgleich von beiden Abdeckquoten gleich viele Tetraminos. Das geht aber nicht, da 25 ungerade ist. Also ist die Abdeckung des 10 x 10-Brettes mit Tetraminos unmöglich.

5. Ansatz:

EP EP

V= (45 - 2x) · (24 -2x) · x = 4x3 - 138x2 + 1080x

V '(x)= 12x2 -276x+ 1080=0=>x=5 Resultat: Für x = 5 ist das Schachtelvolumen maximal.

4

6 5

3

7

14

15 8 2 13

9

16 11

1 12

10

J

280

Testlösungen zum Kapitel 11.2 (Seite 104) 1. a) Nullstellen: x = 0,5 Extrema: f'(x) = (4x-4) · e 1 - 2 x, f"(x) = (-8x + 12) • e 1 f'(x) = 0: x = 1, f "(l ) > 0 ⇒ T (l l-e- 1)

c) y 2x

Wendepunkt: f"(x) = 0: x =½ f"(x) = (16x - 32) · e 1 - 2 x 2) f" (½) ;1; ⇒

1

o w(fl-2e-

b) f(x) - 0 für x -

oo,

f(x) -

d) Ansatz: n (x) = - f'~O)x + f(0),

oo

für x -

X

-oo

n (x) = - }e x+ e

2. OrtskurvederTiefpunkte:x=2a ⇒ a= ½x iny = -4a 3 ⇒ y(x)=-½x 3 Ortskurve der Wendepunkte: x = a ⇒ a = x in y = -2 a3 ⇒ y (x) = -2x 3 3. Hauptbedingung: A = x · h Nebenbedingung: Strahlensatzfigur: 3x0 = 303~ h, Zielfunktion: A (h) = 30 h - h 2 A '(h) = 30 - 2 h =0 ⇒ h = 15 A" (l5) = -2 < 0 ⇒ Maximum

1

x = 30- h

30cm

-x---- 30cm-+ 2 Resultat: Für x = h = 15 cm ist das Rechteck mit A = 225 cm maximal.

l

4. Ansatz, wegen Symmetrie nur gerade Exponenten: f(x) = ax4 + bx2 + c f'(x) = 4ax 3 + 2bx P (l 10): a + b + c =0 Q(219): 16a + 4b + c = 9 f'(l) = 0: 4a + 2 b = 0 ⇒ a = 1, b = -2, c = 1,

f (x) = x4 - 2x2 + 1

5. a) Am Pflanztag war das Bäumchen h (0) = 0,5 m hoch. E s wird nie höher als 20 m sein. b) Die Ableitung H' (t) = 0,39 · e- 0,02 t ist streng monoton fallend, also wird die Wachstumsrate von Jahr zu Jahr immer kleiner. Zu Beginn war sie 0,39 m/Jahr groß. Wegen H ' (t) = 0,39 · e- 0,021 < 0,1 ⇒ t > 68,05 wird die Wachstumsrate etwa mit Beginn des 69sten Jahres unter den Wert von 0,lm/Jahr fallen. c) Im Laufe des 149sten Jahres wird der Baum die 19-m-Höhe erreichen. 6. a) Mit F '(x) = (-ax + a- b) • e 1 -x = f(x) folgt a = -1 = b, also F '(x) = (-x - 1) • e 1 -x b) F(x) = 4 - 4 e-O,sx - x- 1

½x

3

c) f -- g·• x -- 0 und x -- 3 ' A --

f (- 0' 5 x2 + 1' 5 x) dx -0

3

[- .!.6 x3 + l4 x2 ]0 --

27 _ 2. 2 + 4 -- 2. 4 --

2 ' 25

_____~_e_s_tl_ö_su_n_g_e_n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_8_1..J

Testlösungen zum Kapitel 11.2 (Seite 124) L a) nicht kollinear

2.

b) komplanar:

aJ BA {:), BC = b)

l(::) •

cosa=

WI

l(::ll·l(lll = ~

(!), 6

2H)-2nH!)

n) mo⇒ =

c) nicht komplanar

ß= 90'

65 50 l(:i ) • =-a = , , cosy =

(:l)I

lt:!ll·l(:lll

24 50 = ~ =y= , 29

c) A = ½IAB I • IBCI = ½../6 • ✓ 29 ~ 6,60 d) . + BC

ni

=

+

m=m=- D (2I515)

4. a) Diez-Achse wird geschnitten, wenn die x-Koordinate sowie die y-Koordinate null sind. Das ist für r = -a der Fall: S 2 (01016 - 3 a). b) Für a = 2 ist auch die z-Koordinate null und g2 geht durch den Ursprung. c) Spurpunkt in der x-y-Ebene: S2 (1121O) Spurpunkt in der y-z-Ebene: Sx(OlOl-3) Spurpunkt in der x-z-Ebene: Sy(OIOl-3)

5. a) IABI = 9km in 1 Minute, also 54Okm/h ICDI = ✓288 ~ 16,97km in 1 Minute, also ca. 1O1 8km/h. b) AB: X=

w r(i), +

CD: X=

(=i;) + s(\~)

Gleichsetzen der Geradengleichungen liefert r = 4, s = 4 1~ und S ( 17 l33 l4). c) Es besteht keine unmittelbare Kollisionsgefahr, da der Flieger längs CD /2 Minute, also 5 Sekunden später bei S ankommt.

6. Gleichsetzen g = E liefert t = -4, r = -3 und s = 7, also S(-21-4112).

282

Testlösungen zum Kapitel III (Seite 160) 1. a) f '(x) =(1 - x) • e 1 -x,

f'(2)

= _ le

t (x) = - l(x - 2) + ~e = - le x + ± e e

b) t (x) = 0 gilt für x = 4 c) F '(x) = (a - b- ax) · e 1 -x = x · e 1 -x ⇒ a = -1 , b = -1 d) A 1 = F(2)- F (O) = -3e- 1 + e z 1,61 A2 = l2 . 2. le = le z O' 74 ' A =Al+ A2 z 2,35 2

2. a) V(t)=4t- \ +4e- 1 + 16 b) z'(t) = + 4e- 1 = 0 ⇒ t = - In½z 2,08 c) ~V=V(7)-V(O)z31 ,75-2O= 11 ,75

-½

3. K(x, y) = (2x + y) · 250 + 2x · 50 + xy · 20 Xy

= 160 ⇒ y = 160 X

K(x) = 6OOx + 40 ~00 + 3200,

K'(x) = 600 - 40x~oo

K'(x) = 0 ⇒ x = ✓ 2~0 z 8,16 m, y z 19,6Om

4. a) N (t) = 20 · 1,08 1 b) N (t) = 20. l ,O8t = 20 . ein I,08 -1 z 2Oe0,07696 - 1 c) N (10) = 20 · 1,08 10 z 43,18, N (10) z 20 • e0,07696 •t z 43,18 d) N' (O) z 1,54, N'( lO) z 3,32 e) N (t) = 100 ⇒ 20 · e0,07696 • t = 100 ⇒ t z 20,9 Im 21 sten Jahr.

_ _ _ _ _~_e_stl_o_·s_u_nge ___n_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_8_3

Testlösungen zum Kapitel IV (Seite 178) 1. a) y2dy = -2xdx .!. y3 =-x2 +C 3

y (x) =

b) eY dy = dx eY = x + C,

3 ,-------:---

V- 3 x2 + 3 C,

Ce IR

y(x) = ln(x + C),

2. y- 0,5 dy = cosxdx ⇒ 2y0 •5

C e IR

y

= sinx + C

Yt

Y2 , ,,

2

y (x) = ¼(sinx + C)2, Ce IR y (0) = 1

1

⇒

C = ±2 y 1 (x) = ¼(sin x + 2) 2 y2 (x) = ¼(sin x - 2) 2

Ce lR

, ''

'

, ,,

''

--- ... 1

2

3

4

X

6

5

3. 1. Möglichkeit: Nachweis durch direktes Einsetzen in die DGL: y = x ln x + Dx

y' = ln x + l + D, .!.y + 1 = !(x lnx + Dx) + 1 = lnx + D + 1 X X

(2. Möglichkeit: Lösen der DGL durch Variation der Konstanten) 4. a) y' = 2y ⇒ dy = 2dx ⇒ ln lyl = 2x + C ⇒ IYI = c2 x · ec ⇒ y(x) = D · e2 X, y

D e IR

b) Ansatz: y (x) = D (x) • e2 x ⇒ y'(x) = D '(x) • e 2 x + 2 D (x) • e2 x Einsetzen in DGL: D '(x) · e2 x + 2 D (x) • e 2 x = 2(D (x) • e 2x) + 2x • e2x ⇒ D '(x) · e2x = 2x · e2x ⇒ D '(x) = 2x ⇒ D (x) = x2, also: c) y (x) ...........,_,

allg. inh.

y (x) = x2 · e2x =

x2 • e2 x

y

+ D · e2 x

spez. inh.

2

allg. hom.

y (x) = (x2 + D) · e2X,

D e IR

d) Anfangswert: y (0) = 0 ⇒

D = 0, also: y(x) = x2 . e2x

-3

-2

-1

5. 1) Funktion mit der Eigenschaft 1: 1 y' = Y -X ⇒ ~ = dx ⇒ 1n IY- 11 = ln IX 1 + C y-1 X ⇒

ly- 11= D • lxl

⇒

y- 1 = ± D • lxl

⇒

y(x) = l + D • lxl, D e IR

2) Funktion, die zusätzlich noch die Eigenschaft 2 besitzt: y (1) = 2 ⇒ D = l ⇒ y (x) = 1 + lxl

1

X

J

284

Testlösungen zum Kapitel V (Seite 210) 1. a) g: x =(_!) + s(=~) in k 1: (2 - 3 s)2 + (-3 - 2 s)2 = 65,

s = ±2, S 1(-21- 10), S2 (10l-2)

b) C in k (27 - 2) + (-8 + 3) = 65 ist mit 650 > 65 erfüllt, C liegt außerhalb von k 2

2

:

J-~

1

.

1

1

c) Mittelpunkt von M 1C: M (2f ) Thaleskreis kT über M C: (x - 14,5) + (y + 5,5) = 162,5 2

2

1

Schnittpunkte von kT mitk S (3 1-11), ~ = (-D, t :

1

1

: 1

x = (:D + r (~)

S (614), sµ7 = (=~), ti: x = (:;) + r(_~) Schnittwinkel von t J> ½: Steigungswinkel von t 1: a. = 7, 13 ° 2

d) d(M M = ;

)

1

Steigungswinkel von ti: ß = 150,26°, y = 36,87° ✓32,5 = r ⇒ M liegt auf k es gibt 2 gern. Punkte.

2_ ✓,5,5+_1_,5_2 =

,

2

2

1

2

Schnittpunkte von k k S (9111), S (6110) ,

:

1

2

1

2

2. K: (x - 1)2 + (y - 4)2 + (z - 2)2 = 81 , (3 - 1)2 + (l - 4)2 + (8 - 2)2 = 49 < 81 (2 - 1) + (-4 - 4) + (6 - 2) = 81 , A liegt innerhalb, B liegt auf der Kugel K. 2

2

2

3. Einsetzen der Koordinaten der Geraden g in die Kugelgleichung liefert s1 = -1, S 1 (21917) sowie s = -2, S (-6l 12I0). g schneidet Kals Sekante. 2

2

4. Abstand des Mittelpunktes M(-41411) von der Ebene E:

d=

(n)-(·~)) ·Hl ·i',

= 11 < r = 22, E und K schneiden sich.

5. Gerade g durch M , senkrecht zu E: g: X =

m

Abstand von M zu E: d(M, E) = d(M, M) =

+ s(-i), g n E: s = 1, M'(-21915)

ni-m

= 9, r' =

✓324 - 81 = 15,59

-~i

6. Abstand des Kuge~ttelpu~es M von der Ebene E 1: d = ((~) - (-~)) • /3 ( = 13 d = 13 = r = 13, E 1st Tangentialebene von K. 8 -4 -12 Gerade g durch M, senkrecht zu E 1:

g: X =(~) + s (_~~),

g n K: s 112 =± 1,

B 1 (3141-4 ),

8 2 (9 1-4120),

B 1 liegt auf E 1•

Die Ebene E2 enthält den Punkt B2 und ist parallel zu E 1: E 2 : -3x + 4y- 12z = -283 7. Der Mittelpunkt M der Kugel muss die gleiche y-Koordinate und die gleiche z-Koordinate besitzen wie der Berührpunkt B (01 414). Also gilt M (x0 1414). Dabei ist x0 der Kugelradius, d. h. M (rl414). Kugelgleichung K: (x - r) + (y - 4) + (z - 4)2 = r A(l 1518) einsetzen: (l-r)2+(5-4)2 +(8-4)2=r2 , r=9, M (91414), (x-9)2 +(y-4)2+(z-4)2 = 92 2

2

2

_ _ _ _ _S_u_·c_h_w_o_rt_v_e_r_z e_i_ch _ n_i_s_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _2_8_5

Stichwortverzeichnis Ableitungsregeln 85 Abnahme, begrenzte 100 Abnahme, exponentielle 100 Abstand Punkt/Ebene 120 Abstand Punkt/Gerade 121 allgemeineLösung 163, 165, 167f., 177 allgemeine Reziprokenregel 85 Anfangswertproblem 163, 177 Anwendungen für Differentialgleichungen 171 ff. Aussage 11 , 51 Axiom 11, 51 ß erührpunkte 190 Bewegungsaufgaben 114, 137 f. Beweis 11 Beweisfigur 17 ff. Definition 11, 51 Differentialgleichungen mit getrennten Variablen 164, 177 Differentialgleichungen 162 ff.,

177 Differentialgleichungen, Anwendungen 171 ff. differentielle Schreibweise 162, 177 direkter Beweis 12 ff., 51 E xponentialregel 85 Extremalprinzip 78 ff., 81 Extremalprobleme 92f., 130ff. Extremum, hinreichende Bedingung 86 Extremum, notwendige Bedingung 86 Faktorregel 85 Fallunterscheidung 13 Flächenberechnung, Integral 98 Flächeninhalt, Dreieck 108 f. Flächeninhalt, Parallelogramm 108f. Gegenbeispiel 22, 51 Halbwertszeit 100 Hauptbedingung 92 f., 131 homogene Differentialgleichung 165 ff., 177

Implikation 11 indirekter Beweis 23 ff., 51 Induktion 36 ff. Induktionsanfang 38, 51 Induktionsannahme 38, 51 Induktionsschluss 38, 51 inhomogene Differentialgleichungen 167ff., 177 Integral, Flächenberechnung 98 Integration, logarithmische 97 Invarianzprinzip 75f., 81 Kettenregel 85 Kettenregel, lineare 85 kollineare Vektoren 106 komplanare Vektoren 106 Koordinatengleichung der Kugel 194, 207 Koordinatengleichung des Kreises 180 Korollar 11, 51 Kosinusregel 85 Kreis durch drei Punkte 183

Modellierungsprozess 126 Nachweis, Parallelogramm 110 Nachweis, rechtwinkliges Dreieck 110 Nachweis, Trapez 110 Nebenbedingung 92f., 131 Normale, Gleichung 88 Normalenvektor 107 Orthogonalität von Vektoren 107 Ortskurve 89 Passante 187,197 Potenzregel 85 Produktregel 85 Quotientenregel 85 Rekonstruktion einer Funktion 94 Rekonstruktion eines Bestandes 99,152

Kreise in der Ebene 180 ff.

Reziprokenregel, allgemeine 85

Kreisgleichungen 180 Kreistangenten 189 ff. Kugelgleichungen 194 Kurvenanpassung 142 ff.

Reziprokenregel, spezielle 85 Rotationskörper, Volumen 154 Rückwärtsarbeiten 58 ff., 81

Lagebeziehung Kugel/Ebene 198, 207 Lagebeziehung Kugel/Gerade 197,207 Lagebeziehung Punkt/Kreis 182 Lagebeziehung, Ebene/Ebene 116 Lagebeziehung, Gerade/Ebene 115 Lagebeziehung, Gerade/Gerade 112 Lagrange 168 Lemma 11, 51 lineare Differentialgleichung 165 ff., 177 lineare Kettenregel 85 logarithmische Integration 97 Logarithmusregel 85 Lösung einer Differentialgleichung 163 ff. 177

Satz 11 , 51 Schattenwurf 118, 139 Schnitt Kreis/Gerade 187 Schnittgerade zweier Ebenen 116 Schnittkreis von Kugel und Ebene 198,207 Schnittpunkt Gerade/Ebene 115 Schnittpunkt zweier Geraden 112 Schnittwinkel Gerade/Ebene 115 Schnittwinkel zweier Ebenen 116 Schnittwinkel zweier Geraden 112 Schubfachprinzip 64ff., 81 Sekante 187, 197 Sinusregel 85 Skalarprodukt 107 spezielle Lösung 163, 167 f., 177 Spiegelung an einer Ebene 119 Spurgeraden einer Ebene 117

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Spurkreis einer Kugel 199 Spurpunkte einer Geraden 117 Stammfunktionsbestimmung 96f. Stammfunktionsnachweis 96 Summenregel 85

Variation der Konstanten 168, 177 Vektoren, kollinear 106 Vektoren, komplanar 106 Vektoren, O1thogonalität 107 Vektorgleichung der Kugel 194,

207 T angente, Funktion 88 Tangente, Kreis 187 Tangente, Kugel 197, 207 Tangentialebene einer Kugel

200, 207 Theorem 11, 51 Trassierung 146 ff.

Vektorgleichung des Kreises 180 Vektorprodukt 109 Verankerung 38 Verdoppelungszeit 100 Vererbung 36 verlagerte Verankerung 42f. Venn utung 11 vollständige Induktion 36 ff. , 51 Volumen, Dreieckspyramide 109 Volumen, Rotationskörper 154

Wachstum, begrenztes 100 Wachstum, exponentielles 100 Wachstum, logistisches l00 f. Wachstumsprozesse l 00, 149 f. Wendepunkt, hinreichende Bedingung 86 Wendepunkt, notwendige Bedingung 86 Widerlegung einer Aussage 22, 51 Winkel zwischen zwei Vektoren 108 Wurzelregel 85 Z ielfunktion 92 f., 131

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