Mathematik für Volks- und Betriebswirte: Arbeitsbuch für Studienanfänger [4., unwesentlich veränderte Auflage. Reprint 2016] 9783486814507, 9783486274240

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Mathematik für Volks- und Betriebswirte Arbeitsbuch für Studienanfänger

Von

Dipl.-Math. Gerd Kallischnigg Univ-Prof. Dr. Ulrich Kockelkorn und

Dr. Achim Dinge

4., unwesentlich veränderte Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

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Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH ISBN 3-486-27424-4

Vorwort zur vierten Auflage Wir haben uns wiederum bemüht, Fehler aus den Vorauflagen zu verbessern. Im übrigen hat sich das Werk sehr bewährt, so daß wir uns auf eine kritische Durchsicht des ganzen Textes beschränken konnten.

Vorwort zur dritten Auflage In der dritten Auflage wurde das Arbeitsbuch vollständig überarbeitet und erweitert. Ferner wurde eine bessere Formatierung im Itextsatzprogramm LATjjpt vorgenommen, so daß das Buch in einer überrsichtlicheren Form mit einer klaren Struktur erscheint und gleichzeitig der Seitenumfang verringert werden konnte. Wir haben uns bemüht, Fehler aus den vorangegangenen Auflagen zu verbessern und Unklarheiten zu beseitigen. Da aber wahrscheinlich nie alle Fehler zu vermeiden sind, möchten wir darauf hinweisen, daß eine aktuelle Fehlerliste dieser Auflage im Internet unter h t t p : / / s t a t . e s . t u - b e r l i n . d e / o t h e r s .html abgerufen werden kann. Wir bedanken uns insbesondere bei unserem ehemaligen wissenschaftlichen Mitarbeiter Herrn Dipl.-Ing. Achim Dinge für die Überarbeitung. Er hat mit großem Engagement für die Fertigstellung gesorgt und ist Co-Autor dieser Auflage. Ebenso möchten wir, stellvertretend für alle anderen Tutoren, Herrn Manfred Noack und Herrn Helge Röpke erwähnen, die einen besonderen Beitrag zu diesem Buch geleistet haben. Dipl-Math. Gerd Kallischnigg

Prof. Dr. Ulrich Kockelkorn

Vorwort zur ersten und zweiten Auflage Dieses Buch ist kein eigenständiges Lehrbuch, sondern als ein Arbeitsbuch für Studenten der Wirtschaftswissenschaften gedacht, die verschiedene Anwendungsbereiche der Mathematik exemplarisch im Zusammenhang mit einem mathematischen Grundverständnis erlernen wollen. Es deckt den Stoff für eine zweisemestrige Veranstaltung im Grundstudium ab. Im Unterricht des Grundstudiums an der Technischen Universität Berlin wurden die Arbeitsunterlagen entwickelt und erprobt. Dabei haben sie sich als schriftliche Lernunterstützung außerordentlich bewährt. Zu jedem Gebiet werden kurz die mathematischen Formeln dargestellt und anschließend in den ökonomischen Anwendungsbezug gebracht und durch Aufgaben (einschl. Lösungen) systematisch vertieft. Im Anhang ist darüber hinaus das sogenannte Praktikum zur Analysis und Linearen Algebra beigefügt, in dem zu jedem Gebiet nochmals Aufgaben (und Lösungen) bearbeitet werden können. Dieser Teil läßt sich auch in einer zusätzlichen Übungsstunde im Unterricht einsetzen und ist inhaltlich eng mit den beschriebenen Kapiteln verknüpft. Dieses Arbeitsbuch ist als Lehrunterstützung gedacht und verzichtet weitgehend auf eine mathematische Entwicklung der einzelnen Formeln. Es kann als Grundlage und Leitfaden für die Konzeption und Durchführung einer anwendungsorientierten Lehrveranstaltung eingesetzt werden, die die Verbindung von Mathematik und Ökonomie herstellen will. Es soll aber nicht den Besuch der Lehrveranstaltung ersetzen. An dieser Stelle möchten wir unseren wissenschaftlichen Mitarbeitern und Tutoren danken, die an der Entwicklung dieses Buches bzw. an der Erstellung und Sammlung von Material mitgearbietet haben. Hier seien insbesondere Dipl.-Ing. R. Brodowski, Dipl.-Math. C. Gerlinger, Dipl.-Ing. T. Heyer-Stuffer, Frau Dipl.-Math. S. Oellrich, Dipl.-Ing. A. Roeck, Dipl.-Ing. C. Wulff, Dipl.-Ing. J. de Veer, Dipl.-Ing. A. Schmidt, cand.-Ing. S. Steinicke, Dipl.-Inf. C. Stielow und unsere Sekretärinnen Frau R. Kümmert und Frau M. Thier hervorgehoben. Dipl.-Math. Gerd Kallischnigg

Prof. Dr. Ulrich Kockelkorn

Inhaltsverzeichnis I

Mathematik

1

1 AUSSAGENLOGIK U N D MENGENLEHRE 1.1 AUSSAGE 1.2 REGELN ZUR AUSSAGENLOGIK 1.2.1 Negation 1.2.2 Konjunktion 1.2.3 Disjunktion 1.2.4 Implikation 1.2.5 Äquivalenz 1.2.6 Gleichwertige Verknüpfungen von Aussagen 1.3 BEWEISTECHNIKEN 1.3.1 Der direkte Beweis 1.3.2 Der indirekte Beweis 1.3.3 Vollständige Induktion 1.4 ZUSAMMENFASSUNG 1.5 MENGENLEHRE 1.5.1 Definitionen 1.5.2 Beschreibung von Mengen 1.5.3 Bezeichnungen 1.5.4 Teilmengen 1.5.5 Gleichheit von Mengen 1.5.6 Anzahl der Elemente 1.5.7 Spezielle Mengen 1.5.8 Mengenoperationen 1.5.9 Rechenregeln 1.5.10 Das Veitchdiagramm 1.6 AUFGABEN ZUR AUSSAGENLOGIK UND MENGENLEHRE . . 1.6.1 Aufgaben 1.6.2 Lösungen

3 3 4 4 4 4 4 5 6 6 6 7 8 11 12 12 12 12 12 13 13 13 14 15 16 17 17 20

2 FOLGEN U N D REIHEN 2.1 FOLGEN 2.1.1 Definition einer Folge 2.1.2 Darstellung von Folgen 2.1.3 Spezielle Folgen

27 27 27 27 28

χ 2.1.4 Eigenschaften von Folgen 2.1.5 Häufungspunkte 2.1.6 Konvergenz und Grenzwert 2.2 REIHEN UND SUMMEN 2.2.1 Definitionen 2.2.2 Bildungsgesetze für spezielle Reihen 2.2.3 Grenzwert einer Reihe 2.3 ZUSAMMENFASSUNG 2.4 AUFGABEN ZU FOLGEN UND REIHEN 2.4.1 Aufgaben 2.4.2 Lösungen

29 30 30 31 31 31 33 34 35 35 35

3 DIFFERENZENGLEICHUNGEN 3.1 DIFFERENZENGLEICHUNGEN IN DEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTEN 3.2 KLASSIFIKATION 3.3 LÖSUNGEN AUSGEWÄHLTER DIFFERENZENGLEICHUNGEN 3.3.1 Homogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung 3.3.2 Inhomogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung 3.3.3 Interpretation der allgemeinen Lösung 3.3.4 Sonderfälle der inhomogenen linearen Differenzengleichung 1. Ordnung 3.4 DAS COBWEB - MODELL 3.4.1 Analytische Herleitung 3.4.2 Graphische Herleitung 3.5 ZUSAMMENFASSUNG 3.6 AUFGABEN ZU DEN DIFFERENZENGLEICHUNGEN 3.6.1 Aufgaben 3.6.2 Lösungen

37

4

49 49 49 50 51 51 52 52 52 53 53 56 57 57 57 58 60

FINANZMATHEMATIK 4.1 ZINSRECHNUNG 4.1.1 Einführung 4.1.2 Fragestellungen bei jährlicher Verzinsung 4.1.3 Unterjährige Verzinsung 4.1.4 Stetige Verzinsung 4.2 RENTENRECHNUNG 4.2.1 Nachschüssige und vorschüssige Zahlungen 4.2.2 Fragestellungen der Rentenrechnung 4.3 TILGUNGSRECHNUNG 4.3.1 Rückzahlung in Teilbeträgen 4.4 ZUSAMMENFASSUNG 4.5 RECHNEN MIT ANLEIHEN 4.5.1 Finanzierung durch Schuldverschreibungen 4.5.2 Ausstattung einer Anleihe 4.5.3 Grundlagen zum Rechnen mit Anleihen 4.6 AUFGABEN ZUR FINANZMATHEMATIK

37 37 38 38 38 39 39 40 40 41 42 42 42 45

XI 4.6.1 4.6.2

Aufgaben Lösungen

5 FUNKTIONEN 5.1 BEGRIFFE UND DEFINITIONEN 5.1.1 Daxstellung von Funktionen 5.1.2 Definitionsbereich 5.1.3 Implizite und explizite Darstellung der Punktionen 5.1.4 Komposition 5.2 EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 5.2.1 Surjektivität 5.2.2 Injektivität 5.2.3 Bijektivität 5.2.4 Umkehrfunktionen 5.2.5 Monotonie 5.2.6 Beschränktheit 5.2.7 Symmetrie 5.2.8 Nullstellen 5.2.9 Grenzwert 5.2.10 Stetigkeit 5.2.11 Polstellen 5.2.12 Asymptotisches Verhalten 6

DIFFERENTIALRECHNUNG 6.1 DIFFERENZEN-UND DIFFERENTIALQUOTIENT 6.2 DIFFERENZIERBARKEIT VON FUNKTIONEN 6.3 DIFFERENTIALQUOTIENTEN ELEMENTARER FUNKTIONEN 6.4 DIFFERENTIATIONSREGELN 6.4.1 Konstanter-Faktor-Regel 6.4.2 Summenregel 6.4.3 Produktregel 6.4.4 Quotientenregel 6.4.5 Kettenregel 6.5 WICHTIGE SÄTZE DER DIFFERENTIALRECHNUNG 6.5.1 Der Satz von Rolle 6.5.2 Der Mittelwertsatz 6.6 HÖHERE ABLEITUNGEN 6.7 ANWENDUNGEN DER DIFFERENTIALRECHNUNG 6.7.1 Extremwerte 6.7.2 Wendepunkte 6.7.3 Regel von de l'Hospital 6.7.4 Das Newton-Verfahren 6.8 AUFGABEN ZU FUNKTIONEN UND DIFFERENTIALRECHNUNG 6.8.1 Aufgaben 6.8.2 Lösungen

60 63 69 69 70 70 70 70 71 71 71 72 72 72 73 73 73 74 75 75 75 77 77 78 78 78 78 78 78 78 79 79 79 79 80 80 80 81 81 81 82 82 83

XII 7

WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLICHE FUNKTIONEN 7.1 ANGEBOTS- UND NACHFRAGEFUNKTION 7.2 PRODUKTIONS- (ERTRAGS-) FUNKTION 7.2.1 Durchschnittsertragsfunktion 7.2.2 Grenzertragsfunktion 7.3 KOSTENFUNKTION 7.3.1 Durchschnittskostenfunktion 7.3.2 Grenzkostenfunktion 7.4 UMSATZFUNKTION 7.5 GEWINNFUNKTION 7.6 GRAPHIKEN 7.7 AUFGABEN ZU DEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTLICHEN FUNKTIONEN 7.7.1 Aufgaben 7.7.2 Lösungen

87 87 88 88 89 89 89 90 90 90 91 92 92 94

8

ELASTIZITÄTEN 8.1 DURCHSCHNITTSELASTIZITÄT 8.2 ELASTIZITÄT (PUNKTELASTIZITÄT) 8.3 EIGENSCHAFTEN 8.3.1 Allgemeine Eigenschaften 8.3.2 Elastizität linearer Funktionen 8.3.3 Funktionen mit konstanter Elastizität 8.4 ANWENDUNGSBEISPIELE 8.4.1 Preiselastizität 8.4.2 Zinselastizität 8.5 AUFGABEN ZU DEN ELASTIZITÄTEN 8.5.1 Aufgaben 8.5.2 Lösungen

99 99 99 100 100 100 101 101 101 101 102 102 104

9

F U N K T I O N E N MIT MEHREREN VERÄNDERLICHEN 9.1 MATHEMATISCHE DEFINITION 9.2 DARSTELLUNGSMÖGLICHKEITEN 9.2.1 Lineare Funktionen 9.2.2 Nichtlineare Funktionen 9.2.3 Isolinien 9.2.4 Homogenität und Skalenerträge 9.3 ABLEITUNGEN 9.3.1 Partielle Ableitung 1. Ordnung 9.3.2 Partielle Ableitungen 2. Ordnung 9.4 EXTREMWERTE 9.5 EXTREMWERTBESTIMMUNG UNTER NEBENBEDINGUNGEN 9.5.1 Substitutionsmethode 9.5.2 Lagrangemethode 9.6 DIE LINEARE EINFACHREGRESSION 9.6.1 Problemstellung 9.6.2 Mathematische Lösung des Problems

107 107 108 108 108 108 108 109 109 109 110 111 111 112 113 113 114

XIII 9.7 9.8 9.9

ZUSAMMENFASSUNG GRAPHIKEN AUFGABEN ZU DEN FUNKTIONEN MIT MEHREREN VERÄNDERLICHEN 9.9.1 Aufgaben 9.9.2 Lösungen

10 INTEGRALRECHNUNG 10.1 DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 10.2 INTEGRATIONSREGELN 10.2.1 Grundintegrale 10.2.2 Konstanter-Faktor-Regel 10.2.3 Summenregel 10.2.4 Partielle Integration 10.2.5 Integration durch Substitution 10.2.6 Integration mittels Partialbruchzerlegung 10.3 HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 10.4 DAS BESTIMMTE INTEGRAL 10.5 AUFGABEN ZUR INTEGRALRECHNUNG 10.5.1 Aufgaben 10.5.2 Lösungen

11 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 11.1 DEFINITION UND KLASSIFIKATION VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 11.2 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG . . . . 11.2.1 Die homogene lineare DGL 1. Ordnung 11.2.2 Die inhomogene DGL 1. Ordnung 11.3 EIN DYNAMISCHES MARKTPREIS-MODELL 11.4 AUFGABEN ZU DEN DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 11.4.1 Aufgaben 11.4.2 Lösungen

12 VEKTOREN 12.1 GRUNDBEGRIFFE UND DEFINITIONEN 12.1.1 Schreibweisen 12.2 VERGLEICH VON VEKTOREN 12.3 VEKTOROPERATIONEN 12.3.1 Vektoraddition (innere Verknüpfung) 12.3.2 Multiplikation eines Vektors mit einem Skadar (äußere Verknüpfung) 12.3.3 Nullvektor 12.4 GEOMETRISCHE DARSTELLUNG VON VEKTOREN 12.5 DER VEKTORRAUM 12.6 EIGENSCHAFTEN VON VEKTOREN 12.6.1 Linearkombinationen 12.6.2 Lineare Ab- und Unabhängigkeit 12.6.3 Norm eines Vektors

115 116 116 116 119

127 127 127 127 128 128 128 128 129 130 130 130 130 132

137 138 138 138 139 139 141 141 142

145 145 145 146 146 146 146 147 147 148 148 148 149 150

XIV 12.7 BASIS UND EINHEITSVEKTOREN 12.8 SKALARPRODUKT

150 151

13 MATRIZEN

153

13.1 13.2 13.3 13.4

Schreibweisen VERGLEICH ZWEIER MATRIZEN SPEZIELLE MATRIZEN MATRIZENOPERATIONEN 13.4.1 Addition 13.4.2 Multiplikation mit einem Skalar 13.4.3 Multiplikation von Matrizen 13.5 AUFGABEN UND LÖSUNGEN ZU DEN VEKTOREN UND MATRIZEN 13.5.1 Aufgaben 13.5.2 Lösungen

153 154 154 155 155 155 156 157 157 161

14 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 14.1 BEGRIFFE UND DEFINITIONEN 14.2 ELEMENTARE ZEILENOPERATIONEN 14.3 LÖSBARKEIT LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 14.3.1 Bestimmung des Ranges einer Matrix 14.3.2 Rang als Kriterium der Lösbarkeit 14.4 LÖSEN VON LGS MIT DEM GAUß-ALGORITHMUS 14.4.1 Teilweise Elimination 14.4.2 Vollständige Elimination 14.4.3 Pivotieren 14.5 ZUSAMMENFASSUNG 14.6 INVERSIONSVERFAHREN ZUR LÖSUNG VON LGS 14.7 AUFGABEN ZU DEN LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 14.7.1 Aufgaben 14.7.2 Lösungen

169

. .

15 DETERMINANTEN 15.1 BERECHNUNG VON DETERMINANTEN 15.2 REGEL VON SARRUS 15.3 EIGENSCHAFTEN UND RECHENREGELN 15.3.1 Transponieren 15.3.2 Spalten vertauschen 15.3.3 Nullspalten 15.3.4 Übereinstimmen/Vielfaches von Spalten 15.3.5 Multiplikation einer Spalte mit einem Faktor c 15.3.6 Addition des c-fachen einer Spalte zu einer anderen 15.3.7 Produktsatz für Determinanten 15.4 BERECHNUNG VON DETERMINANTEN HÖHERER ORDNUNG 15.4.1 Entwicklungsatz von Laplace 15.4.2 Spezialfall: Determinante einer Dreiecksmatrix 15.5 CRAMERSCHE REGEL 15.6 BESTIMMUNG DER INVERSEN

169 170 170 170 170 171 171 172 173 174 175 175 175 178

185 186 186 186 186 186 186 187 187 187 187 187 188 188 188 189

XV 15.7 AUFGABEN ZU DEN DETERMINANTEN 15.7.1 Aufgaben 15.7.2 Lösungen

190 190 190

16 I N P U T - O U T P U T - A N ALYSE 16.1 INPUT-OUTPUT-TABELLE 16.1.1 Elemente der Input-Output-Tabelle 16.1.2 Bereiche der Input-Output-Tabelle 16.1.3 Ziele der Input-Output-Darstellung 16.2 INPUT-OUTPUT-AN ALYSE (LEONTIEF-MODELL) 16.2.1 Relative Kennzahlen 16.2.2 Mathematische Formulierung des Leontief-Modells 16.3 FRAGESTELLUNGEN DER INPUT-OUTPUT-ANALYSE 16.4 KRITIKPUNKTE DES INPUT-OUTPUT-MODELLS 16.5 ZUSAMMENFASSUNG 16.6 GRENZEN DES INPUT-OUTPUT-MODELLS 16.7 AUFGABEN ZUR INPUT-OUTPUT-ANALYSE 16.7.1 Aufgaben 16.7.2 Lösungen

193 193 194 194 196 196 196 197 197 198 199 200 200 200 203

17 INNERBETRIEBLICHE LEISTUNGSVERRECHNUNG 17.1 GRUNDLAGEN IN ANLEHNUNG AN DIE KOSTENRECHNUNG 17.1.1 Zuordnung der innerbetrieblichen Leistungsverrechnung (ibL) 17.1.2 Begriffe und Definitionen 17.2 PROBLEMSTELLUNG UND NOTWENDIGKEIT DER IBL . . . . 17.3 VERFAHREN DER IBL 17.4 GESAMTKOSTEN EINER VORKOSTENSTELLE UND KONSOLIDIERUNG 17.5 AUFGABEN ZUR INNERBETRIEBLICHEN LEISTUNGSVERRECHNUNG 17.5.1 Aufgaben 17.5.2 Lösungen

209 209 210 210 211 212

18 M A R K O V K E T T E N 18.1 EINFÜHRUNGSBEISPIEL 18.2 BEGRIFFE UND DEFINITIONEN 18.3 BERECHNUNG DER FOLGEPERIODEN 18.4 STATIONÄRER ZUSTAND 18.5 ABGRENZUNG DER GRENZVERTEILUNG VON DER STATIONÄREN VERTEILUNG 18.6 AUFGABEN ZU DEN MARKOVKETTEN 18.6.1 Aufgaben 18.6.2 Lösungen

223 223 224 225 226

212 213 213 217

227 228 228 230

XVI 19 TEILEBEDARFSRECHNUNG 19.1 STRENGE SYSTEMHIERARCHIE 19.2 GELOCKERTE SYSTEMHIERARCHIE 19.3 KEINE HIERARCHIE 19.4 BERÜCKSICHTIGUNG VON ZWISCHENLAGERN 19.5 AUFGABEN ZUR TEILEBEDARFSRECHNUNG 19.5.1 Aufgaben 19.5.2 Lösungen

233 234 235 236 237 238 238 240

20 LINEARE PROGRAMMIERUNG 20.1 DEFINITION UND EIGENSCHAFTEN DES ALLGEMEINEN LP-PROBLEMS 20.2 GRAPHISCHE LÖSUNG 20.3 LÖSUNG MIT DEM SIMPLEX-ALGORITHMUS 20.3.1 Die Standardform 20.3.2 Ablauf des Simplex-Algorithmus 20.4 SONDERFÄLLE VON LP-PROBLEMEN 20.4.1 Degeneration 20.4.2 Unbeschränkte Lösung 20.4.3 Mehrere optimale Lösungen 20.4.4 Keine zulässige Lösung 20.5 ERWEITERUNG DES SIMPLEX-ALGORITHMUS 20.5.1 > Beschränkungen 20.5.2 = Beschränkungen 20.6 LÖSUNGSVERFAHREN FÜR MINIMIERUNGSPROBLEME . . . 20.7 AUFGABEN ZUR LINEAREN PROGRAMMIERUNG 20.7.1 Aufgaben 20.7.2 Lösungen

243

21 DAS DUALITÄTSPRINZIP 21.1 INTERPRETATION DER DUALVARIABLEN 21.1.1 Dual variablen als Schattenpreise 21.1.2 Dualvariablen als Mietpreise 21.1.3 Problemstellung 21.1.4 Mathematische Formulierung 21.2 VERALLGEMEINERUNG DES DUALITÄTSPRINZIPS 21.3 SONDERFÄLLE 21.4 AUFGABEN ZUM DUALITÄTSPRINZIP 21.4.1 Aufgaben 21.4.2 Lösungen

261 261 262 262 262 263 264 264 264 264 266

II

269

Praktika

22 A U F G A B E N ZU MATHE 1 22.1 Praktikum 1: Aussagenlogik und Beweistechnik 22.2 Praktikum 2: Mengenlehre 22.3 Praktikum 3: Folgen und Reihen .

243 244 246 246 246 249 249 249 250 250 251 251 252 253 253 253 255

271 271 272 274

XVII 22.4 Praktikum 22.5 Praktikum 22.6 Praktikum 22.7 Praktikum 22.8 Praktikum 22.9 Praktikum 22.10Praktikum 22.11Lösungen

4: Differenzengleichungen 5: Finanzmathematik 6: Funktionen 7: WiWi-Funktionen 8: Elastizitäten 9: Funktionen mit mehreren Veränderlichen 10: Wiederholung

23 Aufgaben zu Mathe 2 23.1 Praktikum 23.2 Praktikum 23.3 Praktikum 23.4 Praktikum 23.5 Praktikum 23.6 Praktikum 23.7 Praktikum 23.8 Praktikum 23.9 Praktikum 23.10Praktikum 23.11Praktikum 23.12Praktikum 23.13Lösungen

1: Integralrechnung 2: Differentialgleichungen 3: Matrizenrechnung 4: Lineare Gleichungssysteme / Matrizenrechnung . . . . 5: Lineare Unabhängigkeit / LGS / Rang 6: Inverse Matrix / Determinante / Rang 7: Ökonomische Anwendungen (LGS) I 8: Ökonomische Anwendungen (LGS) II 9: Ökonomische Anwendungen (LGS) III / LP I 10: Lineare Programmierung II 11: Lineare Programmierung III 12: Wiederholung

276 278 279 281 284 285 287 288

319

319 320 321 322 326 328 330 333 334 336 338 340 342

LITERATURVERZEICHNIS

379

INDEX

381

Teil I

Mathematik

Kapitel 1

AUSSAGENLOGIK UND MENGENLEHRE 1.1

AUSSAGE

Während die mathematische Logik über Jahrhunderte Domäne eines kleinen Kreises von Theoretikern war, wird sie nun einem immer breiteren Publikum zugänglich. Insbesondere die Informatik hat einen Entwicklungsstand erreicht, der zur Beschreibung von Sprach- und Datenstrukturen heute auf logische Kalküle nicht mehr verzichten kann. Die Syntax und Semantik von Programmiersprachen und Informationssystemen benötigen die Elemente der Aussagen- und Prädikatenlogik. Die formallogische Denkweise wird somit auch in andere wissenschaftliche Gebiete getragen, hauptsächlich in die Wirtschafts- und Ingenieurwissenschaften. Definition einer Aussage: In der Mathematik ist eine Aussage ein sinnvoller Satz, der entweder wahr oder falsch ist. Man nennt „wahr" bzw. „falsch" den Wahrheitswert einer Aussage. Zu den sprachlichen Gebilden, die keine Aussagen sind, gehören unter anderem: • Bitten, Aufforderungen oder Anweisungen („Bitte beantworten Sie das Schreiben.") • individuelle Meinungsäußerungen („Ich finde, Mathe ist anstrengend.") • in sich widersprüchliche Sätze („Ich lüge immer."). Beispiele für Aussagen (mit den dazugehörigen Wahrheitswerten): Aussage 3 + 5= 8 3 ist Teiler von 7 Die Elbe fließt durch Hamburg.

Wahrheitswert w f w

Durch sprachliche Verbindungen lassen sich neue Aussagen gewinnen.

4

1.2

REGELN ZUR AUSSAGENLOGIK

(VERKNÜPFUNGEN, VERBINDUNGEN)

1.2.1

Negation

{-> = „nicht"): Die Negation ist eine einstellige Operation. Sie ordnet jeder Aussage den entgegengesetzten Wahrheitswert zu. Wahrheitstafel:

1.2.2

A

-A

w f

f w

Konjunktion

(Λ ξ „und"; umgangssprachlich: sowohl..., als auch...): Die Konjunktion ist genau dann wahr, wenn beide Teilaussagen wahr sind. Wahrheitstafel:

1.2.3

A

Β

ΑΛΒ

w w f f

w f w f

w f f f

Disjunktion

(V = „oder"): Die Disjunktion ist nur dann falsch, wenn beide Teilaussagen falsch sind. Wahrheitstafel:

1.2.4

A

Β

AVB

w w f f

w f w f

w w w f

Implikation

= „wenn..., dann..."): Α ist hinreichende Bedingung für B, während Β notwendige Bedingung für Α ist, d.h. Β folgt notwendigerweise aus A. Wahrheitstafel: A

Β

A=>B

w w f f

w f w f

w f w w

Um sich die bestimmt nicht sofort einleuchtende Verknüpfung Implikation klar zu machen, betrachte mein die folgenden Beispiele:

5

1. Aussage Α: „Es regnet" und Aussage B: „Die Straße ist naß". Wenn es regnet, ist die Straße sicherlich naß. Wenn es nicht regnet, so ist sie trocken. In diesen Fällen ist der Wahrheitswert „wahr" einleuchtend. Die Straße kann auch naß sein, wenn es nicht regnet, z.B. durch ein Straßenreinigungsfahrzeug oder bei einem Rohrbruch, deshalb erscheint auch hier der Wahrheitswert „wahr". Der Fall, daß es regnet und die Straße nicht naß ist, ist dagegen unmöglich und erhält den Wahrheitswert „falsch". 2. Aussage A: „Der Student ist fleißig" und Aussage B: „Der Student besteht die Klausur". Die Frage, wann das Ergebnis der Klausur gerechtfertigt ist, erleichtert die Bestimmung der Wahrheitswerte. 3. Beispiele für die 3. und 4. Zeile der Wahrheitstafel: „Aus etwas Falschem kann durchaus etwas Richtiges folgen" (a) bzw. =»

A: 1 = 2 2= 1 B: 3 = 3

(b) +

=*·

A: 1 = 2 B: 2 = 3

|+1

Die Aussage Α heißt Voraussetzung (Prämisse), die Aussage Β heißt Schlußfolgerung (Konklusion). Grundsätzlich ist daraufhinzuweisen, daß zwischen den Aussagen A und Β kein sinnvoller Zusammenhang bestehen muß, wie er vom Sprachgebrauch her üblich ist. Ebenso muß kein kausaler Zusammenhang bestehen. Man hüte sich also davor, die „wenn - dann" Formulierung in jedem Fall mit einer Beziehung zwischen Ursache und Wirkung zu sehen.

1.2.5

Äquivalenz

( θ = „genau dann, wenn..."): Die Äquivalenz ist genau dann wahr, wenn entweder Α und Β beide wahr oder beide falsch sind. Die Aussage „A^>B" (gesprochen: „A ist äquivalent zu B") besteht aus zwei Teilen: 1. A=>B „aus Α folgt B" und 2. B=»A „aus Β folgt A" Es gilt also: (A B) • [(A=S>B) Λ (B=>A)]. Wir betrachten diesen Sachverhalt anhand der Wahrheitstafel: A w w f f

Β w f w f

AB w f w w

B=>A w w f w

(Α=»Β)Λ(Β=ί>Α] w f f w

Jede der beiden Aussagen ist notwendig und hinreichend für die jeweils andere. Von besonderer Bedeutung sind Aussageformen, welche bei jeder Belegung der vorkommenden Variablen den Wahrheitswert „wahr" annehmen.

6 Wir definieren: Eine aussagenlogische Aussageform heißt allgemeingültig (logisch wahr, tautologisch), wenn sie bei jeder Belegung aller Wahrheitswerte stets in eine wahre Aussage übergeht. Jede solche Aussageform heißt ein logisches Gesetz (bzw. eine Tautologie).

1.2.6

Gleichwertige Verknüpfungen von Aussagen Α

a) b)

A ΛA AVA Α ΛΒ A VΒ (Α Λ Β)Λ C (A V B)V C A V(B Λ C) Α Λ(Β V C)

c) d) e)

-ι(Α Λ Β) -.(A V Β) (Α=»Β) ( Α * Β)

f) g) h)

Α Α Ό

Β ΛΑ Β VΑ Α Λ(Β Λ C) A V(B V C) (A V Β)Λ(Α V C) (Α Λ B)V(A Λ C) -.Α ν~>Β Ο - Ά Λ-.Β (-•Β -B). • indirekter Beweis: Man zeigt die Negation der ursprünglichen Voraussetzung mit Hilfe der Negation der Behauptung (->B ->A), oder man nimmt an, die zu zeigende Aussage sei falsch und führt diese Annahme zu einem Widerspruch zur gegebenen Voraussetzung (ΑΛ->Β) (CA-iC) (Widerspruchsannahme). Als weitere Beweistechnik behandeln wir die • vollständige Induktion: Man beweist die Gültigkeit von Aussagen für N.

1.3.1

Der direkte Beweis

Der direkte Beweis wird geführt, indem man mit Hilfe der Voraussetzung und bereits bewiesenen Sätzen oder Axiomen durch eine Kette richtiger Schlüsse die Wahrheit

7

der Behauptung nachweist. Beispiel: Satz: Das Produkt aus zwei ungeraden Zahlen α und b ist eine ungerade Zahl,

Voraussetzung: Die Zahlen α und b sind ungerade. Wir stellen die Zahlen α und b zunächst geeignet dar. α = 2n + 1 mit η € N 0 = { 0 , 1 , 2 , 3 , . . . } b = 2m 4-1 mit m € No Behauptung: Das Produkt von α und b ist ungerade. Wir müssen daher zeigen, daß sich das Produkt (α · b) in der Form: α - b = 2k + 1 mit k G N 0 darstellen läßt. Beweis: a b = = -=

(2n + 1) · (2m + 1) 4 nm + 2n + 2m + 1 2(2nm + η + m) + 1 2k + 1 mit k = 2nm + n + m

=> k £ No

Da wir für das Produkt α · b die Darstellung α · b = 2k + 1 nachweisen konnten, ist der Satz damit bewiesen (weitere Beispiele siehe Praktikum).

1.3.2

Der indirekte Beweis

Die indirekte Beweisführung besteht darin, daß wir annehmen, die Negation der Aussage sei wahr und diese Anneihme zu einem Widerspruch führen. Wenn aber die Negation der Aussage zu einem Widerspruch führt, dann muß nach dem Grundsatz: „Eine Aussage und ihre Negation können nicht beide falsch sein, eine von beiden muß wahr sein", die Aussage wahr sein, da es eine dritte Möglichkeit nicht gibt. Beispiele: 1. Beispiel: Aussage: p2 ist gerade => ρ ist gerade, ρ e Ν Indirekter Beweis: ρ ist ungerade = > p = 2 n + l η £ No => ρ2 = 4η 2 + 4η + 1 (gerade + gerade + 1 = ungerade) ρ 2 ist ungerade 2. Beispiel: Aussage (Satz): %/2 ist nicht als Bruch darstellbar. Wir meichen nun die Annahme, daß die Negation der Aussage wahr ist, sich also \/2 doch als Bruch darstellen läßt. Annahme: y/2 = 2

mit

p, q € N.

Wir setzen dabei voraus, daß der Bruch | in der Grundform (d.h., Zähler und Nenner sind teilerfremd) vorliegt. Durch eine Kette von Schlüssen wird diese Annahme zu einem Widerspruch geführt. Es wird gezeigt, daß Zähler und Nenner doch einen

8 gemeinsamen Teiler haben: Aus \/2 = pq folgt durch Quadrieren: 2 = jp- bzw. 2q2 = p 2 . Da sich p2 als 2q2 schreiben läßt, muß wegen des Faktors 2 die Zahl p 2 eine gerade Zahl sein. Wenn aber p 2 gerade ist, dann muß auch ρ eine gerade Zahl sein (vgl. dazu Beispiel 1). Wir stellen ρ als gerade Zahl dar (p = 2p» mit ρ , € N) und setzen dieses in die obige Gleichung (2q2 = p2) ein: 2q2 = (2p.) 2 bzw. 2q2 = 4p 2 und dividieren durch 2: q 2 = 2 p l Nun schließen wir wieder wie vorher: q2 ist durch den Faktor 2 eine gerade Zahl. Wenn q2 eine gerade Zahl ist, dann muß auch q eine gerade Zahl sein und wir können schreiben: q = 2q, . Wegen ρ = 2p, und q = 2q, liegt ein Widerspruch vor zu der Annahme, daß die Zahlen ρ und q keinen gemeinsamen Teiler haben (sie lassen sich mindestens einmal durch 2 teilen, da beides gerade Zahlen sind). Ergebnis: Da die Annahme, daß die Negation des Satzes wahr sei, zu einem Widerspruch führt, muß der Satz selbst wahr sein. Es wurde damit bewiesen, daß y/2 nicht als Bruch darstellbar ist und somit keine rationale Zahl sein kann.

1.3.3

Vollständige Induktion

Die Beweisführung der vollständigen Induktion ist durch folgende Sachverhalte gekennzeichnet: Wenn eine Aussage A • von einer natürlichen Zahl η abhängt, • diese Aussage für no (meistens 1) richtig ist und • aus der Annahme, sie sei für ein festes τι > no richtig, ihre Richtigkeit auch für η + 1 bewiesen werden kann, so ist diese Aussage Α für alle natürlichen Zahlen η richtig. Das Beweisverfahren der vollständigen Induktion gliedert sich in die vier Schritte: (a) (b) (c) (d)

Induktionsanfang (IA) Induktionsvoraussetzung (IV) Induktionsbehauptung (IB) Induktionsschluß (IS), eigentlicher Beweis

Beispiele: 1. Beispiel A{n) : = Σ ί i=i

=

n(

"

+ 1) 2

für a l l e n 6 Ν

9 (a) Induktionsanfang (ΙΑ): E s wird gezeigt, daß die Aussage für τι = 1 gilt.

(b) Induktionsvoraussetzung (IV): A{n) ist richtig für ein festes η € Ν , d.h. es gilt für ein bestimmtes η £ Ν

i=l

(c) Induktionsbehauptung (IB): Es wird behauptet, daß die Aussage nicht nur für η gilt, sondern auch für n + 1. Wird diese Behauptung im Induktionsschluß bewiesen, heißt dieses, daß ausgehend vom Induktionsanfang die Aussage auch für η = 2 gilt. Wenn sie für η = 2 gilt, muß sie aber auch für η = 3 gelten, usw. Anschaulich kann man sich dieses Vorgehen mit einer Reihe von Dominosteinen vorstellen. Wenn man allgemein zeigen kann, daß die Aussage auch für τι + 1 gilt, bedeutet dies für die Dominosteine, daß durch das Anstoßen eines Steines auch der Nächste umfällt. Damit fallen dann auch alle anderen Dominosteine um.

(d) Induktionsschluß: A(n) -¥ A(n + 1) Der Induktionsschluß stellt den Beweis der Induktionsbehauptung dar. Das Vorgehen bei Summen kann folgendermaßen schematisiert werden: Die Summe der Induktionsbehauptung wird in die Summe bis η und den letzten Summanden geteilt. Dann wird für die Summe bis η die Induktionsvoraussetzung, die in diesem Beispiel j a schon für η = 1 bewiesen wurde, eingesetzt.

n+1 i=l

η ι -

i=l η ( η + 1)

2 (η + 1) 2 η(τι + 1) + 2 (η + 1) _ (π + 2)(η + 1) 2

2

q.e.d.

2. Beispiel:

Α{η) : = (1 + χ) η > 1 + ηχ

für χ > - 1 , η € Ν

(a) Induktionsanfang (ΙΑ) für η = 1:

(1 -I- χ) 1 > 1 + Ii = 1 + χ (b) Induktionsvoraussetzung (IV): (1 + χ) η > 1 + ηχ

für ein η G Ν

10 (c) Induktionsbehauptung (IB): (1 + x ) n + 1 > 1 + (η + l)x (d) Induktionsschluß (IS): Es läßt sich für die Induktion bei Potenzen (und Produkten) ebenso ein Schema zur Lösung angeben: Auseinanderziehen der Potenz (des Produktes) und Einsetzen der Induktionsvoraussetzung (Schema!). (1 + x ) n + 1 = (1 + x)n • (1 + x)

Auseinanderziehen

IV

> (1 + nx) • (1 + x) 2

= 1 + χ + nx + nx

Einsetzen Ausmultiplizieren

= 1 + (n + l)z + nx > 1 + (n + l)x

2

Ausklammern und Zusammenfassen Abschätzen, q.e.d.

11

1.4

ZUSAMMENFASSUNG WAHRHEITSWERTE Wahr (w). Falsch (f)

AUSSAGEN - VERKNÜPFUNGEN (1) Negation

-ι "nichl* Λ "und" V "oder*

(2) Konjunktion (3) Disjunktion (4) Implikation (5) Äquivalenz

AUSSAGEFORMEN A=> (-,ΒΛ Q stets falsch

"wenn .... dann..." "...genau dann, wenn.

=»

erfüllbar

ζ^ΜβθτΓ^)

festgelegt

WAHRHE1TSTAFELN A

Β

stets wahr

LOGISCHE GESETZE

(Regeln, Tautologien) Umwandlungen

Λ

V

=>

Negationen - Β) -i(A B) (ΑΛ -ιΒ) ν (ΑΛ -Ι(ΑΛ Β) - Λ ν -,Β -τ(Αν Β) ο -,ΑΛ -,Β

w

w

w

w

w

w

w

f

f

w

f

f

f

w

f

w

w

f

f

f

f

f

w

w

-τ(Α=> B) Α Λ -iB —1{—iA) A

(ΑΛ Β) Ο -I(A=» -,Β) (Α ν B) (—iA => B) (A=> B) (-.Α ν B)

( A o B ) » (ΑΛ Β) ν (-,ΑΛ -,Β)

BEWEISVERFAHREN direkter Beweis

Indirekter Beweis

Α Ist als Voraussetzung wahr. Α Ist als Voraussetzung wahr, Β soll bewiesen werden Β soU bewiesen werden, Annahme: -,Β A -,B=> -.Α (wahre Implikation) Α => Β (wahre Impikatton) IA Β Widerspruch, well Α wahr 1st. Da die Annahme -,Β zu einem Widerspruch führt, muß sie falsch sein. Also gilt B, wegen: —.(—.B) Β

vollständige Induktion Wenn eine Aussage A(n) von den natürlichen Zahlen abhängt, diese Aussage für η = 1 wahr ist und aus der Annahme, sie sei für eine beliebige natürilche Zahl n„wahr, ihre Gültigkeit für (r\ + 1) bewiesen werden kam, so ist die Aussage A(n) für alle natürlichen Zahlen η wahr.

12

1.5

MENGENLEHRE

1.5.1

Definitionen

Definition Menge: Unter einer Menge versteht man eine Zusammenfassung gewisser, wohl unterscheidbarer Objekte zu einem neuen, einheitlichen Ganzen. Definition Element: Die Objekte der Menge werden als Elemente bezeichnet. Im allgemeinen werden Mengen mit großen und Elemente mit kleinen Buchstaben bezeichnet.

1.5.2

Beschreibung von Mengen

Die Beschreibung von Mengen kann durch folgende Darstellung erfolgen: • Aufzählende Darstellung: A — {1,2,3,4} • Angabe der Eigenschaften (gebräuchlich), z.B.: , 4 = { χ | 1 < ι < 4

ΛιίΝ}

• Graphische Darstellung (mit Hilfe des Venn-Diagramms). Beispiel:

1.5.3 α 6 Α α £Α I VieN 3xe Ν

1.5.4 A CΒ AC Β AC Β

Bezeichnungen α ist Element der Menge A ο α ist nicht Element von A „mit der Eigenschaft" „für alle i e N " (Allquantor) ο „es existiert mindestens ein χ € Ν " (Existenzquantor)

Teilmengen Ο-

Α ist echte Teilmenge von Β (Α ist vollständig in Β enthalten) Α ist Teilmenge von Β ( Α ist vollständig in Β enthalten bzw. gleich der Menge B) Vx € Α gilt: χ £ Α χ &Β

13

1.5.5

Gleichheit von Mengen

Für die Gleichheit von Mengen gilt folgende Äquivalenz: (A = Β ) ο ( x e A & x e B ) Vx Ein weiterer Zusammenhang sieht wie folgt aus: (A = B) Ο (A C Β) Λ (Β C A)

1.5.6

Anzahl der Elemente

n(A) heißt Mächtigkeit der Menge Α und gibt die Anzahl der unterscheidbaren Elemente der Menge A an. Eine äquivalente Schreibweise für die Mächtigkeit ist: n(A) = \A\. Beispiele: a) A = {1,2,3,4} b) B= {0,1,4,6,6,3}

n(A) = 4, n(B) = 5.

1.5.7

Spezielle Mengen

1.5.7.1

Die Universalmenge Ω

Ω ist die Universalmenge, d.h. die Menge, die alle Elemente der betrachteten Problemstellung erfaßt. 1.5.7.2

Die leere Menge

{ } oder 0 bezeichnet die leere Menge. Sie enthält kein Element: n(0) = 0. Aber: • {0} # 0

dan({0}) = l ,

• die Menge, die die leere Menge enthält, ist nicht die leere Menge { } φ { { }}. 1.5.7.3

Die Potenzmenge

P(A) heißt Potenzmenge der Menge A. P{A) wird durch die Menge aller Teilmengen von Α gebildet. Sowohl Α als auch 0 sind stets Elemente der Potenzmenge. Beispiele:

-4 = {2,3}

Β = {2,4,6}

Ρ(Λ) = { Μ , { 2 } , { 3 } }

P ( B ) = {0, B, {2}, {4}, {6}, {2,4}, {2,6}, {4,6}}

Die Anzahl der Elemente der Potenzmenge ist 2" mit τι = n(A), es gilt also: n(P(A)) = 2".

14 1.5.7.4 Ν No Ζ Q R:

Spezielle Zahlenmengen ={1,2,3,...} ={0,1,2,...} = {0,±1,±2,...} = = € ZAn€

natürliche Zahlen N}

€:

ganze Zahlen rationale Zahlen Menge der reellen Zahlen, also der (endlichen und unendlichen) Dezimalbrüche Menge der komplexen Zahlen

Es gilt: Ν C N 0 C E c Q c R c C

1.5.7.5

Intervalle

Bei den Intervallen wird unterschieden: [α, 6] := (α, 6] oder ]α, 6] := [α, b) oder [ο, b[ := (α, b) oder ]a, b[ :=

{χ|α {xja {xja {xja

< χ < 6 Λ χ € R} < χ < bΛχ ζ. R} Β)

3.

(Α ^ Β) Ο (Β =t> ->A)

4.

{Α ^ Β) & ( - Ά

1.6.2

{->A V Β) -Β)

Lösungen

zu Aufgabe 1: Als ΙΑ wird der Induktionsanfang, IV Induktionsvoraussetzung, IB Induktionsbehauptung und IS Induktionsschluß abgekürzt: 1.

U

IA:n = 0 "

IV:

Ü+1

=

= l =

1- o

n+1

1~q

für ein festes η € Ν und q φ 1

1 _ gn+2

i=0 IS:

n+1

/ v i - ςη+1

"

=

»=o

q

t=o _

1

-

n+1

g

n

+

1

q n+1

+

-

q

• q n+1

_

W

~

1

-

=

l - g " + 1 + (l-9)?n+1 1-9

q n+2

q.e.d.

1-9

2.

IA: IV:

" " ^ ι ( ι

t=l

l — ν

= 1

1

V

=

+

η

+

τ= 1) η+ 1 '

1

1(1 + 1)

= 12 =

1

1+ 1

für ein festes η 6 Ν

η+1

1 η+ 1 Σ τ τ τ+η 1) τ = η+2 t=l ' η+1 η IS: = i ι.(ι i +4- 11 ϊ + 4 < ι.(ι ) i=1 (

ΙΒ:

Λ

Ί

^

+ (η + •1)(η + 2)

η(η + 2) + 1 (η + 1)(η + 2) η+ 1 χ q.e.d. η+ 2 Η

2

η +2η+1 (η + 1)(η + 2)

+

η+ 1

(η + 1)(η + 2)

(η + 1)(η + 1) ( η + 1 ) ( η + 2)

21 3.

ι ΙΑ: η = 1

- 1) = (2 · 1 - 1) = 1 = I 2

i=l η

- 1) = η 2

IV:

für ein festes η € Ν

t=l - 1) = (η + I) 2 = η 2 + 2η + 1

IB: «=ι η+1

IS:

η

Σ(2ί t=l

+ + 2η + 2 - 1 = Σ(2ί ( 2 ( η + 1) - 1 = ι=1 = η2 + 2η + 1 = (η + I) 2 q.e.d.

zu Aufgabe 2: 1. ΙΑ: η = 1 : IV: 2" > η

21 > 1 , da 2 > 1 für ein festes η € Ν

IB: 2 η + 1 > η + 1 IS: 2 η + 1 = 2" · 2 = 2 η + 2 η (Einsetzen von IV und 2" > 1 ergibt:) 2 n + 2" > η + 1 =>• 2 n + 1 > η + 1 2. ΙΑ: η = 5 : IV: 2" > η 2

25 > 52

, da 32 > 25

für ein festes η € Ν und η > 5

IB: 2 η + 1 > (η + I) 2 IS: 2 η + 1 = 2 η · 2 (Einsetzen von IV und 2 > (2±Ι) 2 ergibt:) 2 · 2 η > (2±i) 2 · η 2 = (η + I) 2 2 η + 1 > (η + I) 2 (Nachweis: (*±Ι )* = (ι + 1)2 = j 3. ΙΑ: η = 10 : IV: 2" > η 3

2 10 > ΙΟ3

+

2+£ < ι

+

, da 1024 > 1000

für ein festes η € Ν und η > 10

IB: 2 η + 1 > (η + I) 3

2+ ± < 2

für η > 5.)

22

IS: 2 " + 1 = 2" · 2 (Einsetzen von IV und 2 > (ü±±) 3 ergibt:) 2 " · 2 > η 3 · ( 2 ± ΐ ) 3 = (η + 1)3 2" + 1 > (η + l ) 3 (Nachweis für η > 10): (^)3

=

(l + i ) 3

4. ΙΑ: η = 2 :

=

l

+

l

+

4r

+

J

(1 + α) 2 > 1 + 2 • α

IV: (1 + a ) n > 1 + η • α

T

- l , a ^ 0 , n > 2

IB: (1 + α ) η + 1 > 1 + (η + 1) • a IS: (1 + α ) η + 1 = (1 + a)n • (1 + α) > (1 + η • a) • (1 + a) = 1 + η · a + a + τι • a2 = 1 + (η + 1) · a + τι • a2 > 1 + (η + 1) · ο zu Aufgabe 3: 1. Widerspruchsbeweis d.h. a 2 ist durch 3 teilbar und wir nehmen an, daß α nicht durch 3 teilbar ist: α φ 3 · η , η 6 Ζ (a) α = 3 · η - 1 => α 2 = (3η - I) 2 = 9η 2 - 6η + 1 —¥ nicht durch 3 teilbar, Widerspruch. (b) α = 3 · η - 2 => a 2 = (3n - 2)2 = 9n 2 - 12n + 4 —> nicht durch 3 teilbar, Widerspruch. " 96 + n(Ä) + n(Ä) = 6 0 0 => 2 · n(Ä) = 504 => n(A) = 252 n(A) = 348 zu Aufgabe 10: 1. Wahrheitstafel: A

Β

w w w f w f f f Tautologie

A=> Β

->B

^B A A

-.(-.Β Λ A)

A=> Β ο· ->(->B Λ A)

w f w w

i w f w

f w f f

w f w w

w w w w

2. Wahrheitstafel: A

β

A=> Β

-.A

w w f f

w f w f

w f w w

f f w w

V B)

Α=ϊ Β

w f w w

(iA V ß) w w w w

Tautologie 3. Wahrheitstafel: A

β

w w f f

w f w f

A^

Β

w f w w

->A

(B

f f w w

Α

-Ά)

Β

(Β => ->A) f f w w

f w w w

keine Tautologie 4. Wahrheitstafel: A

β

Α => Β

->A

-.B

w w f f

w f w f

w f w w

f f w w

f w f w

keine Tautologie

Β w f f w

(-.Α -Ο· - ß ) w w f w

Kapitel 2

FOLGEN U N D REIHEN 2.1

FOLGEN

2.1.1

Definition einer Folge

Ordnet man jeder Zahl k € Ν eine Zahl α* G H zu, so bildet die Aneinanderreihung dieser at eine Zahlenfolge. Diese ist endlich, falls gilt: k < Κ 6 Ν. Wir schreiben die Folge als [α*], die α* heißen Glieder der Folge und k heißt der Index des Folgengliedes α*. Problematisch in diesem Zusammenhang ist die Wahl des Index des ersten Folgeglieds. Manchmal wird mit 0, machmal auch mit 1 begonnen. k ak

1 1

2 1/2

3 1/3

4 1/4

2.1.2

Darstellung von Folgen

2.1.2.1

Aufzählen der (ersten) Glieder

5 1/5

η

1/n

Diese Darstellungsweise wird meistens bei leicht ersichtlichen Bildungsgesetzen genutzt. Sie kann aber sehr unübersichtlich werden. Außerdem entstehen Probleme bei unendlichen Folgen. Beispiele: Arithmetisch degressive Abschreibungsbeträge: [4.000, 3.000, 2.000, 1.000, 0, 0, ...] oder die ungeraden Zahlen: [1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, ...]. 2.1.2.2

Beschreibung durch ein Bildungsgesetz

Die Angabe einer mathematischen Formel zur Berechnung der α* ist nicht immer möglich, z.B. die Folge der Primzahlen. Beispiele für Bildungsgesetze: 1. ak = 2k + 13 2

a

*

_ Γk \ 0

—

wenn k gerade wenn k ungerade

28 2.1.2.3

Rekursive Beschreibung

Ein Folgenglied wird durch ein (oder mehrere) vorhergehende Glieder definiert. Wichtig ist, daß mindestens ein Folgenglied (z.B. das Anfangsglied) gegeben sein muß. Beispiel: Kapital auf dem Sparbuch am Ende eines jeden Jahres: a t = ajb_i + mit ao : Q = 1 + ϊοδ '

• ajt_i = (1 +

· α*_χ = q · α*_χ

Kapital nach k Jahren

Anfangskapital 9 Aufzinsungsfaktor, ρ Zinssatz

2.1.3

Spezielle Folgen

2.1.3.1

Arithmetische Folgen

Die Differenz zweier benachbarter Folgenglieder ist konstant, also Ofc — α*_ι = d = const, oder als rekursive Daxstellung: α* = α*_χ + d. Somit ist die Folge durch ein Bildungsgesetz mit αχ (bzw. ao) und d eindeutig bestimmt: Ofc = αχ + (k — 1) · d = ao + k • d mit ao = αχ — d Beispiele: 1. Arithmetisch degressive Abschreibung (siehe oben). 2. Auf einer Maschine werden in der ersten Stunde 50 und in jeder weiteren Stunde 200 Einheiten produziert. Wieviele Einheiten werden in 8 h insgesamt hergestellt? Lösung: a 8 = 50 + 7 • 200 = 1.450. 2.1.3.2

Geometrische Folgen

Der Quotient zweier benachbarter Folgenglieder ist konstant, also: ^ - j - = q = const. oder als rekursive Darstellung: α* = χ · q. Somit ist die Folge durch ein Bildungsgesetz mit αχ (bzw. a 0 ) und q eindeutig bestimmt: ojt = α χ • = OQ- qk mit ao = Beispiel: Kapital auf dem Sparbuch am Ende des n-ten Jahres: Kn = KQ • qn 2.1.3.3

Harmonische und alternierende Folge

Die Folge [1 /k] ist die harmonische Folge, sie nähert sich (harmonisch) dem Wert 0 an. Eine Folge, bei der zwei aufeinanderfolgende Glieder stets unterschiedliches Vorzeichen haben, heißt alternierende Folge. Beispiel: [(-2)*] = [(-1)* · 2*] = [-2,4, -8,16, - 3 2 , . . . ]

29

2.1.4 2.1.4.1

Eigenschaften von Folgen Beschränktheit

Eine Folge heißt nach oben beschränkt, falls es eine Zahl c € IR gibt, so daß für alle Folgenglieder gilt: α* < c , c heißt dann obere Schranke. Eine Folge heißt nach unten beschränkt, falls es eine Zahl c € R gibt, so daß für alle Folgenglieder gilt: α* > c , c heißt dann untere Schranke. Eine nach oben und unten beschränkte Folge heißt beschränkt. Für diese Folgen gilt: |qfc| < c. Beispiele: 1. [2 + 1 /k] ist z.B. durch 1 und 4 nach unten und oben beschränkt. 2. [2fc] ist nur nach unten beschränkt. 3. [ ( - 1 ) * · 2k] ist unbeschränkt. Hinweis: Wenn eine Folge beschränkt ist, können immer beliebig viele Schranken angegeben werden. Es muß nicht immer die größte bzw. kleinste Schranke sein. Die kleinste obere (größte untere) Schranke heißt obere (untere) Grenze. Merkregeln: • Jede endliche Folge ist beschränkt. Für arithmetische Folgen gilt: • d < 0

: Folge ist nach oben beschränkt.

• d > 0

: Folge ist nach unten beschränkt.

Für geometrische Folgen gilt: • —1 < q < 1

: Folge ist beschränkt.

• q > 1 und oo positiv: Folge ist nach unten beschränkt. • q > 1 und ÜQ negativ: Folge ist nach oben beschränkt. • q < —1 2.1.4.2

: Folge alterniert und ist unbeschränkt

Monotonie

Eine Folge heißt (streng) monoton wachsend, wenn jedes Folgenglied (größer) größer oder gleich dem vorhergehenden ist. Also: α*(>) > at-i für alle k. Eine Folge heißt (streng) monoton fallend, wenn jedes Folgenglied (kleiner) kleiner oder gleich dem vorhergehenden ist. Also: α*( 0 unendlich viele Glieder der Folge [ofc] mit α* aus (α — ε; a + ε), so heißt α 6 R Häufungspunkt (HP) der Folge. Beispiele: 1. Die Folge [(-1)*] hat die HPe 1 und -1. 2. Die Folge [2 · k] hat keinen HP (auch nicht unendlich!!!). 3. Die Folge 1[afc1] = ( * y £

2.1.6 2.1.6.1

Υ*eiade A wenn k ungerade

wenn

hat den HP 0.

Konvergenz und Grenzwert Definition

Gibt es für jedes (noch so kleine) ε > 0 nur endlich viele Glieder der Folge [α*] mit α* nicht aus (α — ε; α + ε), so heißt α Grenzwert der Folge. Mit anderen Worten: Für jedes (noch so kleine) ε > 0 gibt es ein Ν (ε), so daß gilt: |α* — α| < ε für alle k > Ν (ε). Ab einem bestimmten k liegen alle ajfc innerhalb der ε-Umgebung von a. Man sagt die Folge [α*] konvergiert gegen α und schreibt: lim α* = a . k-yoo Merkregeln: • Es kann mehrere HPe, aber nur einen Grenzwert geben. • Besitzt eine beschränkte Folge genau einen HP α, so konvergiert sie gegen a. • Eine beschränkte und monotone Folge ist konvergent. • Eine Folge die gegen Null konvergiert heißt Nullfolge. Beispiel: Die harmonische Folge ist eine Nullfolge. Beispiele 1.

geht für k —¥ oo gegen 1. ( t f x = χ1/k geht gegen x° = 1).

2. Die Folge [(—1)*] konvergiert nicht. 3. Organisches Wachstum: (1 + ^)* geht für k Zahl).

oo gegen e = 2,71828 (Eulersche

31 2.1.6.2

Rechenregeln

Jede Folge, die sich aus konvergierenden Folgen rational (das heißt durch Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division) zusammensetzen läßt, ist wieder konvergent. Die mit den Folgen ausgeführten Rechenoperationen übertragen sich auf die zugehörigen Grenzwerte. Seien [α*], [6*] zwei Folgen mit den Grenzwerten α und b, c sei eine konstante Zahl. Dann gelten: lim lim lim lim

(ajt (ak (a k (at

+ bk) - bk) · bk) : bk)

lim lim lim lim lim

(at + c) (a* - c) (α* · c) (a k : c) (1 : ak)

Um a.k + lim bk lim cik - lim bk lim α* • lim bk lim α* : lim bk

= a+b = a—6 = ab = a : b fürbji 0

lim +c lim ajt — c lim ak • c lim ak : c 1 : lim ak

— a+c —a—c = ac = a : c für οφΟ = 1 : α für αφ 0

Beispiel: _ n 2 + 2n + 4 _ n 2 ( l + 2/n + 4 / n 2 ) 1 + 2/n + 4/n 2 ° n — 3n 2 + 3654 — n 2 (3 + 3654/ri 2 ) ~ 3 + 3654/n 2

2.2

_1 ^ n-foo Q " ~ 3

REIHEN UND SUMMEN

In der Literatur werden die Begriffe Folge, Reihe und Summe recht unterschiedlich gehandhabt. Wir definieren diese Begriffe wie folgt:

2.2.1

Definitionen

Werden die ersten η Glieder einer Folge [α*] aufsummiert, so nennt man sn=ai+a2+a3

η + ... + an = Σ ak Jfc=ι

die n-te Partialsumme (Teilsumme) von [α*]. Die zugeordnete Folge [s„], mit [«η] = [si,S2,S3,S4,...,Sfc,...] heifit Reihe der Folge [α*]. Eine Reihe ist also nichts anderes als eine spezielle Folge.

2.2.2

Bildungsgesetze für spezielle Reihen

In vielen Fällen kann die Partialsumme durch ein Bildungsgesetz einfacher als durch summieren berechnet werden.

32 2.2.2.1

Arithmetische Reihe

η Die einer arithmetischen Folge [α*] zugeordnete Folge [s„] mit s„ = Σ ai + (k-l)-d k=1 heißt arithmetische Reihe der Folge [at] (Erinnerung: α* = αϊ + (k — 1) · d). Zur Ermittlung des Bildungsgesetzes wenden wir den Trick von Gauß an, bei dem die Summe einmal aufsteigend und einmal absteigend aufgeschrieben und dann komponentenweise aufsummiert wird:

+ =

αϊ + (αϊ + d) 4- -..+ (αχ 4- (η — l)d)= s„ (αχ + (η - l)d) + (αϊ + (η - 2)d) + ..+ αχ = sn (αϊ + (η - 1)00

n

und keine „unendliche" Summe!

k=l

Beispiel:

00

Berechne den Grenzwert folgender Reihe: £ js^r = 1 + ^ + j + | + ^ + ··· Jfc=l Geometrische Reihe mit αϊ = 1 und q = 1/2 . Grenzübergang: "

1 2*

_1

_n _ ι

η cn _ ι

q- 1

0,5-1

η-κχ>

Allgemein konvergiert eine geometrische Reihe genau dann, wenn |q| < 1 ist. Es gilt dann: f > ' t=l

· g*- 1 ) = lim n-yoo t—*

Jfc=l

· q"-1) = lim (βχ · = n—»oo 1. 5. Eine Folge kann mehrere Grenzwerte haben, aber nicht mehrere Häufungspunkte. 6. Die Folge [α*] = pr konvergiert gegen 0. 7. Konvergente Folgen sind monoton. 8. Die Folge der Kapitalbeträge, die sich aus der Verzinsung eines bestimmten Anfangskapitals ohne weitere Einzahlung ergibt, ist keine arithmetische Folge. 9. Für arithmetische Folgen gilt: an — an-k = k· d η > k. 10. Streng monoton fallende Folgen sind stets nach unten beschränkt. Aufgabe 3: Bestimme das Bildungsgesetz nachstehender Folgen, wobei η > 1! 1. [αη] = [0,2,6,12,20,30,42,...] 3. [cn] = [1,2,4,7,11,16,22,...]

2.4.2

2. [bn] = [2,1,3,2,4,3,5,4,...] 4. [dn] = [1,0,3,0,5,0,...]

Lösungen

zu Aufgabe 1: Nach einer Stunde ist der große Zeiger wieder am Ausgangspunkt angelangt. Der kleine Zeiger hat in dieser Zeit 1/12 des Weges zurückgelegt (nämlich bis zur „1"). Zum Durchqueren dieser Strecke benötigt der große Zeiger 1/12 Stunde. In dieser Zeit ist der kleine Zeiger 1/144 des Weges (bezogen auf eine Runde) weitergerückt. Die Zeit s, die der große Zeiger braucht, bis er den kleinen Zeiger eingeholt hat, setzt sich aus folgenden Teilzeiten einer Stunde zusammen: s = 1 + ^ + ( ^ ) 2 + ( ^ ) 3 +... Die Summe dieser unendlichen geometrischen Reihe beträgt: s=

1 — q

= ^ = 1,0909... 11

mit α = 1, q = γ - . 1Z

Der Große Zeiger benötigt Stunde (1 Stunde 5 Minuten 27,27 Sekunden) bis er den kleinen Zeiger eingeholt hat.

36 zu Aufgabe 2: 1. α η = (—1)", 2. α η = 1, 3. richtig, 4. nur nach unten beschränkt, 5. nur einen Grenzwert, aber mehrere Häufungspunkte, 6. ist nicht konvergent, da der Zähler (mit k als Exponent) wesentlich schneller wächst als der Nenner, 7. an = ( - l ) n · 8. richtig 9. richtig 10. an = —n. zu Aufgabe 3: Es folgen mögliche Bildungsgesetze für die Folgen. Darüber hinaus existieren weitere Darstellungsmöglichkeiten. 1. an = η • (η — 1)

Kapitel 3

DIFFERENZENGLEICHUNGEN 3.1

DIFFERENZENGLEICHUNGEN IN DEN WIRTSCHAFTSWISSENSCHAFTEN

In der Welt der wirtschaftstheoretischen Modelle gibt es zwei verschiedene Arten von Beziehungen zwischen betrachteten Größen: 1. Die statische Betrachtungsweise, d.h alle ökonomischen Variablen des Modells beziehen sich auf denselben Zeitpunkt bzw. auf dieselbe Periode. 2. Die dynamische Betrachtungsweise, bei der sich die Variablen im Zeitablauf und in Abhängigkeit ihrer Werte (bzw. der Werte anderer Einflußgrößen) der Vorperiode(n) verändern. Mit Hilfe von Differenzengleichungen kann genau diese zeitliche Entwicklung von Variablen beschrieben werden.

3.2

KLASSIFIKATION

Differenzengleichungen kann man nach verschiedenen Kriterien unterscheiden: 1. Ordnung: Die Ordnung läßt sich durch Differenzenbildung zwischen dem höchsten und dem niedrigsten Index feststellen und ist ein Maß für den Zeitraum, den die Differenzengleichung beschreibt: yt = 3t/t—ι + 5t/t-2, t — (t — 2) = 2 —> 2. Ordnung. 2. Grad: Der höchste Exponent der 3/» bestimmt den Grad. 2 yt = 3yt _i + 2, byt-2 + Vt-2 + 6 -»· 3. Grad. 3. Koeffizienten: Betrachtet werden die Koeffizienten a,j der j/f. Man unterscheidet zwischen konstanten Koeffizienten: yt = aiyt-i + 02j/t-2> (αϊ u n d α·2 sind konstant) und variablen Koeffizienten: yt = 3t2yt-i-2tyt-2, (312 und (—2t)) sind variable Koeffizienten, da sie sich im Zeitverlauf in Abhängigkeit von t verändern).

38 4. Homogenität: Homogene Differenzengleichungen besitzen kein absolutes Element: yt = au/t_i + a2yt-2 Inhomogene Differenzengleichungen enthalten ein absolutes Element b: yt = aij/t-i + a2yt-2 + b, b^O. 5. Linearität: Eine Differenzengleichung heifit linear, wenn sie dargestellt werden kann als: yt — ao + aij/t-i + a2yt-2 + Η anyt-n, α» € ®·, wobei die Koeffizienten sowohl konstant als auch variabel sein können.

3.3

LÖSUNGEN AUSGEWÄHLTER DIFFERENZENGLEICHUNGEN

In den Wirtschaftswissenschaften sind lineare Differenzengleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten durchaus nicht der häufigste Fall (sie finden nur in sehr stark vereinfachten Modellen Anwendung: s. Cobweb). Dennoch beschränken wir uns auf diesen Fall, da Differenzengleichungen höherer Ordnung bzw. höheren Grades nicht ganz einfach zu behandeln sind und ihre Lösungen recht komplex werden können. Eine lineare Differenzengleichung 1. Ordnung lautet allgemein: yt = a• yt—i + b Die allgemeine Lösung einer Differenzengleichung beschreibt nicht die Beziehung zwischen yt und yt-1, sondern die Abhängigkeit von einem Startwert j/o · Der Vorteil einer allgemeinen Lösung besteht darin, daß die y- Werte für große t einfach ermittelt werden können.

3.3.1

Homogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung allgemeine Form:

3.3.2

yt = ayt-i,

Lösung:

yt = a? • yo

Inhomogene lineare Differenzengleichung 1. Ordnung allgemeine Form:

Lösung:

yt =

+

yt = ayt-i + b

= aly0 + b ^ · = {y0 +

-

αφ 1

39 Die Entwicklung der allgemeinen Lösungsformel erfolgt mit Hilfe des Zeitpfades: J/i =ay0

+ b

V2 = ayi+b

= a(ay0 + b) + b = a2y0 + b(a + 1)

Vz = ay2 + b = a[a2y0 + b(a + l)] + b = a3y0 + b(a2 + α + 1) j/4 = aj/3 + b = a[a3y0 + b{a2 + a + 1)] + b = a4y0 + b(a3 + a2 + a + 1) + b = a'yo + δ(α