Mathcad in der Tragwerksplanung: Elektronische Arbeitsblätter für Statik, Stahlbetonbau, Stahlbau und Holzbau 978-3-528-01746-0, 978-3-663-10758-3

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Horst Werkle (Hrsg.) RalfAvak (Hrsg.) Mathcad in der Tragwerksplanung

Aus dem Programm

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Formeln und Tabellen Stahlbau

von E. Piechatzekund. E.-M. Kaufmann Einführung in den Eurocode 3

von E. Piechatzek Finite Elemente in der Baustatik

von H. Werkle

Mathcad in der Tragwerksplanung

von H. Werkle (Hrsg.) und R. Avak (Hrsg.) Kranbahnträger aus Walzprofilen

von P. Osterriederund S. Richter Massivbau

von P. Bindseil Stahlbau

von R. Fritsch und H. Pasternak Baukonstruktion im Planungsprozess

von 1. Franke, G. Deckelmann, M. Franke, D. Henninger, H. Stehr Stahlbau

von Chr. Petersen Dynamik der Baukonstruktionen

von Chr. Petersen Statik und Stabilität der Baukonstruktionen

von Chr. Petersen

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Horst Werkle (Hrsg.) RalfAvak (Hrsg.)

Mathcad in der Tragwerksplanung Elektronische Arbeitsblätter für Statik, Stahlbetonbau, Stahlbau und Holzbau

Bearbeitet von Prof. Dr.-Ing. Horst Werkle Prof. Dr.-Ing. RalfAvak Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Francke Prof. Dr. Silke Michaelsen Dr.-Ing. Jürgen Priebe Dlpl-Ing, Günter Schulz

Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH

Bibliografische Information Der Deutschen Biblioth ek Die Deut sche Biblioth ek verzeichne t diese Publikati on in der Deut schen Nationalbibliogra fie; detailliert e bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage März 2003

Alle Rechte vorbehalten © Springer Fachmedien Wiesbaden, 2003 Originally published by Friedr. Vieweg & Sohn Verlagsgesellschaft in 2003.

www.vieweg.de

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Umschlag gestaltung: Ulrike Weigel, www.Corporat eDesign Group.de Gedruckt auf säur efreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN 978-3-528-01746-0 ISBN 978-3-663-10758-3 (eBook) DOI 10.1007/978-3-663-10758-3

v Vorwort Für die praktische Tragwerksplanung wird zeitgemäße Branchensoftware verwendet. Diese deckt zwar die meisten Aufgabenfelder ab, aufgrund der individuellen Organisation jedes Ingenieurbüros bleiben jedoch Teilbereiche, für die keine Standardsoftware existiert . Hier bietet Mathcad ein Handwerkszeug für den Ingenieur, mit dem sich schnell kleinere (und für den Fortgeschrittenen auch größere) .Tools" erstellen lassen. Die Ausdrucke haben durch die übliche mathematische Darstellungsweise von Mathcad den Vorteil, dass sie auch von jedem sofort lesbar und verständlich sind. In einer statischen Berechnung ermöglichen sie daher die erforderliche Nachvollziehbarkeit und Prüffähigkeit. Dieses Buch führt in die Arbeit mit Mathcad ein. Es werden zunächst die Grundlagen des Programmierens mit Mathcad erläutert . Darauf aufbauend werden fortgeschrittene Arbeitsweisen gezeigt. Sie werden an typischen Aufgaben der Tragwerksplanung demonstriert. Die erstellten Programme (Arbeitsblätter) sind auf der beigefügten CD-ROM enthalten und können vom Leser direkt für die Tagesarbeit verwendet werden. Die Herausgeber danken an dieser Stelle den mitwirkenden Autoren für die gute interdisziplinäre Zusammenarbeit. Dem Vieweg Verlag danken wir für die verständnisvolle Bearbeitung und die gute Gestaltung des Buchs. Biberach an der Riss Allensbach im Dezember 2002

RalfAvak Horst Werkle

VII

Inhaltsverzeichnis

Teil I: Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung

1

1 2 3 4 5

1 2 2 3 4

Einführung...... Computeralgebrasysteme bei Forschungs- und Entwicklungsprojekten......................... Computeralgebrasysteme in der Lehre........................... Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung........................................................ Ausblick

Teil 11: Grundelemente von Mathcad

I Mathcad-Arbeitsblätter analysiert 2 Einfache Arbeitsblätter entwickeln und verwalten.......................................................... 2.1 Allgemeines............................................................................................................ 2.2 Gestaltungeines Arbeitsblattes............................................................................... 2.3 Objekte in einem Mathcad-Arbeitsblattanordnen 2.3.1 Textbereiche............................................................................................. 2.3.2 Einheiten................................................................................................... 2.3.3 Grafik einfügen......................................................................................... 2.3.4 Variable Größen und Formeln.................................................................. Teil III: Weiterführende Arbeitstechniken

1 Elemente der Programmierung........................................................................................ 2 Programmkonstrukte und die Programmierung in Mathcad............................................ 2.1 Folge 2.2 Alternative 2.3 Wiederholungen...................................................................................................... 2.4 Übersicht der Mathcad-Programrnierung................................................................ 3 Komponenten.................................................................................................................. 3.1 Komponentenübersicht 3.2 Eingabetabellen 3.3 Excel-Komponente 4 SymbolischesRechnen.................................................................................................... 4.1 Einführendes Beispiel............................................................................................. 4.2 Momentengleichung eines Einfeldträgers............................................................... Teil IV: Mathematische Verfahren im Konstruktiven Ingenieurbau

1 Einführung 2 Funktionen und Kurven................................................................................................... 2.1 Darstellung von Funktionen.................................................................................... 2.2 Interpolation und Approximation 2.2.1 Interpolation 2.2.2 Approximation.......................................................................................... 3 Nichtlineare Gleichungen................................................................................................ 3.1 Methoden zur symbolischenLösung nichtlinearer Gleichungen 3.2 Numerische Methoden zur Lösung nichtlinearer Gleichungen...............................

5 5 14 14 14 19 19 19 19 19 23 23 25 27 27 32 36 38 38 39 41 44 44 44 47 47 47 47 53 53 57 57 58 59

VIII

Inhaltsverzeichnis

4 Summen und Reihen.................................................................................................. 62 4.1 Summen 62 4.2 Reihen..................................................................................................................... 64 4.2.1 Taylorreihen 64 4.2.2 Fourierreihen 66 5 Vektoren und Matrizen.................................................................................................... 68 5.1 Vektoren 68 5.2 Matrizen.................................................................................................................. 69 5.2.1 Spezielle Matrizen 69 5.2.2 Matrixeigenschaften.................................................................................. 72 6 Lineare Gleichungssysteme ............................................................................................. 76 7 Eigenwertproblemevon Matrizen 81 7.1 Das allgemeine Eigenwertproblem 81 7.2 Das spezielle Eigenwertproblem............................................................................. 83 8 Differentiation........... 83 9 Integration 90 10 Differentialgleichungen................................................................................................... 95 10.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen 95 10.1.1 Anfangswertaufgaben erster Ordnung 95 10.1.2 Systeme von Anfangswertaufgaben erster Ordnung 98 10.1.3 Anfangswertaufgaben höherer Ordnung 98 10.1.4 Randwertaufgaben 99 10.2 Partielle Differentialgleichungen 103 Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

109

Baustatik.......................................................................................................................... 1.1 CA-Systemein der Statik........................................................................................ 1.2 Lineare Statik.......................................................................................................... 1.2.1 Übertragungsmatrizenverfahren................................................................ 1.2.2 Finite-Element-Methode 1.2.2 Einfeldträger 1.2.3 Durchlaufträger............................................. 1.2.4 Rahmen..................................................................................................... 1.2.5 Elastisch gebettete Balken 1.2.6 Platten....................................................................................................... 1.2.7 Scheiben 1.2.8 Schalen und Faltwerke.............................................................................. 1.3 Nichtlineare Statik 1.3.1 Arten der Nichtlinearität........................................................................... 1.3.2 Theorie Il-ter Ordnung und Stabilität von Stabwerken............................. 1.3.3 Fließgelenktheorie 1.3.4 Bruchlinientheorie 2 Stahlbetonbau.................................................................................................................. 2.1 Allgemeine Definitionen......................................................................................... 2.1.1 Nachweise................................................................................................. 2.1.2 Anwendungsbeispiel................................................................................. 2.1.3 Materialdefinitionen

109 109 109 109 117 124 129 133 136 142 145 148 148 148 149 154 155 159 159 159 159 161

Inhaltsverzeichnis 2.2 Nachweis für Biegung 2.2.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen.............................................. 2.2.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.2.3 Programmablaufplan 2.2.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .P lattenbalken" 2.2.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes...... 2.2.6 Beispiel...... ............................................................................................... 2.3 Nachweis für Querkraft 2.3.1 Verwendete besondere Mathcad-Funktionen............................................ 2.3.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.3.3 Programmablaufplan 2.3.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .Nachweis für Querkraft"........... 2.3.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes...................................................................................... 2.3.6 Beispiel...... ............................................................................................... 2.4 Durchstanznachweis 2.4.1 Verwendete besondere Mathcad-Funktionen............................................ 2.4.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.4.3 Programmablaufplan 2.4.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .Durchstanzen" 2.4.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes...................................................................................... 2.4.6 Beispiel ..................................................................................................... 2.5 Nachweis für Stützen nach dem Modellstützenverfahren 2.5.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen.............................................. 2.5.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.5.3 Programmablaufplan 2.5.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .Modellstütze" 2.5.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes................................... 2.5.6 Beispiel ..................................................................................................... 2.6 Nachweis der Spannungsbegrenzung...................................................................... 2.6.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen.............................................. 2.6.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.6.3 Programmablaufplan 2.6.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .Spannungsbegrenzung'' 2.6.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes 2.6.6 Beispiel... .................................................................................................. 2.7 Nachweis der Rissbreitenbegrenzung 2.7.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen.............................................. 2.7.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.7.3 Programmablaufplan 2.7.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .R issbreitenbegrenzung" 2.7.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes...................................................................................... 2.7.6 Beispiel.....................................................................................................

IX

163 163 163 164 166 166 167 167 167 168 170 170 171 171 172 172 174 176 177 177 177 177 177 178 180 183 183 184 184 184 184 186 186 187 187 187 187 187 189 189 190 190

x

Inhaltsverzeichnis

2.8 Nachweis der Verformung 2.8.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen .............................................. 2.8.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.8.3 Programmablaufplan..... 2.8.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt "Verformungen" 2.8.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes...................................................................................... 2.8.6 Beispiel ..................................................................................................... 2.9 Bestimmung der Verankerungslänge 2.9.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen .............................................. 2.9.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.9.3 Programmablaufplan................................................................................. 2.9.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .Verankerungslänge" 2.9.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes...................................................................................... 2.9.6 Beispiel... .................................................................................................. 2.10 Übergreifungslängen 2.10.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen 2.10.2 Erläuterungen zum Nachweis 2.10.3 Programmablaufplan................................................................................. 2.10.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt "Übergreifungslänge" 2.10.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes........... ........................................................................... 2.10.6 Beispiel ..................................................................................................... 3 Stahlbau........................................................................................................................... 3.1 Allgemeines 3.2 Fußpunkte 3.2.1 Gelenkig gelagerte Stützen 3.2.1.1 Bündige Fußplatte........................................................................ 3.2.1.2 Überstehende Fußplatte 3.2.2 Eingespannte Stützen.............. .................................................................. 3.2.2.1 Stützenfuß mit Zuganker............................................................... 3.2.2.2 Stützenfuß mit Köcherfundament 3.2.3 Schubdübel 3.3 Biegesteife Anschlüsse............................................................................................. 3.3.1 Rahmenecke.............................................................................................. 3.3.1.1 Rahmenecke ohne Voute 3.3.1.2 Rahmenecke mit Voute................................................................ 3.3.2 Gärungsstoß 3.3.2.1 Rahmenecke 3.3.2.2 Trägerstoß .................................................................................... 3.4 Steifen 3.5 Schubfeldsteifigkeit.................................................................................................. 3.6 Drehbettung.............................................................................................................. 4 Holzbau 4.1 Allgemeine Definitionen 4.1.1 Bezeichnungen.......................................................................................... 4.1.2 Beispielauswahl..... ...................................................................................

190 190 191 192 192 194 194 194 194 195 196 197 197 198 198 198 199 200 201 201 202 203 203 204 205 205 206 206 207 207 209 210 210 210 213 214 214 215 215 215 215 217 217 217 217

Inhaltsverzeichnis

XI

4.1.3 Anmerkungen 4.2 Beispiel 1 - Mittelpfette eines Daches 4.2.1 Allgemeine Vorgehensweise 4.2.2 System und Belastung............................................................................... 4.2.3 Nachweis der Tragfähigkeit...................................................................... 4.2.4 Nachweis der Gebrauchstauglichkeit........................................................ 4.3 Beispiel 2 - Zusammengesetzter Druckstab 4.3.1 Allgemeine Vorgehensweise 4.3.2 System und Belastung............................................................................... 4.3.3 Knicken um Achse y-y.............................................................................. 4.3.4 Knicken um Achse z-z.............................................................................. 4.3.5 Knicknachweis.......................................................................................... 4.3.6 Nachweis der Verbindungsmittel.............................................................. 4.4 Beispiel 3 - Genagelter Hohlkastenbiegeträger...................................................... 4.4.1 Allgemeine Vorgehensweise 4.4.2 System und Belastung............................................................................... 4.4.3 Nachweis der Tragfähigkeit...................................................................... 4.4.4 Berechnung der Verbindungsmittel .......................................................... 4.4.5 Nachweis der Gebrauchsfähigkeit

217 217 217 218 219 222 224 224 225 226 227 228 229 232 232 232 233 236 237

Teil VI: Funktionsprogrammierung in C/C++ 1 Programmieren mit Mathcad........................................................................................... 2 Erstellen eigener Funktionen........................................................................................... 3 Einstellungen des Kompilers........................................................................................... 4 Erstellen der DLL............................................................................................................ 4.1 Mathcad-spezifische Strukturen und Funktionsdefinitionen 4.2 Deklaration der Benutzerfunktion........................................................................... 4.3 Anlegen einer FUNCTIONINFO-Struktur 4.4 Anlegen einer Fehlermeldungstabelle..................................................................... 4.5 Codieren des Quelltextes der Benutzerfunktionen.................................................. 4.6 Definieren des DLL-Eintrittspunkts........................................................................ 4.7 Änderungen für C++............................................................................................... 4.8 Beispiele und Dokumentation................................................................................. 5 Erstellen der XML-Datei................................................................................................. 6 Funktionen für die Tragwerksplanung 7 Anwendungsbeispiel

239 239 240 240 244 245 246 246 247 248 250 251 252 252 253 255

Literaturverzeichnis

259

Inhaltsverzeichnis der CD· ROM... ....................................................

263

Sachwortverzeichnis ........................................................................................................... 267

Teil I: Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung Horst Werkle

1 Einführung Computeralgebrasysteme wurden zur Lösung mathematischer Aufgaben mit dem Computer entwickelt. Von Anfang an wurde zwischen numerischem Rechnen und symbolischem Rechnen unterschieden . Während unter numerischem Rechnen das Rechnen mit Zahlen, wie wir es bei jeder statischen Berechnung praktizieren, gemeint ist, wird unter symbolischem Rechnen der Umgang mit Gleichungen verstanden. Computeralgebrasysteme ermöglichen heute die Lösung anspruchsvoller Aufgaben aus Algebra und Analysis, wie das Arbeiten mit Matrizen, die Auflösung komplizierter Gleichungen oder das Integrieren und Differenzieren von Funktionen. .Computeralgebrasysteme" müssten daher richtiger als "Computermathematiksysteme" bezeichnet werden. Die ersten Systeme wie MACSYMA, REDUCE, ALTRAN und FORMAC waren stapelorientiert. In der nächsten Generation zwischen 1975 und 1987 folgten interaktive Systeme wie MACSYMA, REDUCE, MAPLE, DERIVA und MATHEMATICA. Die neueste Generation nach 1987 verfügt über modeme Benutzeroberflächen. Neben der Weiterentwicklung der genannten Systeme wurden auch neue Systeme wie AXIOM und MUPAD entwickelt [1-1]. Das Hauptinteresse bei den genannten Systemen liegt im symbolischen Rechnen. Mathcad ist dagegen ein im Wesentlichen für numerisches Rechnen konzipiertes System, bei dem die Benutzerfreundlichkeit der Oberfläche von Anfang an im Vordergrund stand [1-2]. Sein Kern für das symbolische Rechnen ist MAPLE. Wegen seiner besonderen Vorteile im Hinblick auf die Benutzeroberfläche und beim numerischen Rechnen kommt für ingenieurmäßige Anwendungen vor allem Mathcad in Betracht. Die Verbindung von Mathematik und Ingenieurwissenschaften ist offensichtlich. Nicht nur die Zeichnung, auch die Mathematik ist eine "Sprache" des modemen Ingenieurs. Dennoch gibt es wesentliche Unterschiede zur reinen Mathematik . Während sich der Mathematiker in aller Regel mit den Grundlagen seiner Disziplin befasst, interessiert sich der Ingenieur für deren Anwendung . Die für einen Ingenieur notwendigen mathematischen Werkzeuge und die sich daraus ergebenden Anforderungen an Computeralgebrasysteme hängen erheblich vom Tätigkeitsgebiet des Ingenieurs ab. Im Konstruktiven Ingenieurbau kann hierzu zwischen drei Gebieten unterscheiden : -

Forschung und Entwicklung

-

Lehre

-

Tragwerksplanung in der Praxis

Im Folgenden werden die Einsatzmöglichkeiten von Computeralgebrasystemen in diesen Gebieten untersucht.

2

Teil I: Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung

2 Computeralgebrasysteme bei Forschungs- und Entwicklungsprojekten Forschungs- und Entwicklungsprojekte mit mathematischem Hintergrund stellen zweifellos die höchsten Anforderungen an die Kenntnisse und Leistungsfähigkeit von mathematischen Verfahren und Computeralgebrasystemen. Große Bereiche der anwendungsbezogenen Algebra und Analysis wie das Arbeiten mit analytischen Gleichungen, die Lösung anspruchsvoller Differentialgleichungen, das Rechnen mit Matrizen und Tensoren aber auch Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung sind gefragt. Von Computeralgebrasystemen werden insbesondere häufig auch symbolische Lösungen benötigt. Aufgrund der hohen Anforderungen kommen hier die in mathematischer Hinsicht besonders leistungsfähigen Systeme wie z. B. die "Klassiker" MAPLE und MATHEMATICA, in Betracht. Je nach Projektanforderungen werden natürlich auch andere Systeme für symbolische und numerische Berechnungen im F&EBereich angewandt. Numerische Verfahren lassen sich mit Computeralgebrasystemen einfacher implementieren als durch Programmierung in einer höheren Programmiersprache. Analytische Lösungen, deren Herleitung bisher zu aufwendig erschienen, können mit Computeralgebrasystemen oftmals leicht ermittelt werden. Unter Umständen können auch Lösungen gefunden werden, die bisher einer Herleitung "von Hand" kaum zugänglich waren.

3 Computeralgebrasysteme in der Lehre Computeralgebrasysteme sind bestens für Lehrgebiete geeignet, die mathematische Verfahren verwenden. Es sind folgende Anwendungen möglich: -

Nutzung von Computeralgebrasystemen zur Erstellung von Lehrmaterialien

-

Lehrveranstaltungen mit Computeralgebrasystemen als Werkzeug

-

Interaktive Selbstlernsoftware mit Computeralgebrasystemen

Zur Erstellung von Lehrmaterialien wie Umdrucken oder zur Ausarbeitung von Berechnungsbeispielen und Prüfungsaufgaben stellen Computeralgebrasysteme eine wesentliche Unterstützung für den Dozenten dar. Es können aber auch Aufgabensammlungen zu bestimmten Themengebieten als Mathcad-Arbeitsblätter ausgearbeitet und Studierenden zur Verfügung gestellt werden. Sie ermöglichen es den Studierenden nicht nur Studien zum Einfluss von Parameteränderungen durchzuführen , sondern auch Teile davon für eigene Arbeitsblätter zu verwenden.

In Lehrveranstaltungen wie Computer-Labors können Studierende Aufgaben mit Computeralgebrasystemen eigenständig bearbeiten. Damit steht jedem Studierenden ein umfangreiches mathematisches Werkzeug zur Verfügung. Beispielsweise können Aufgaben zur Matrizenrechnung, deren Bearbeitung von Hand mit einem unverhältnismäßig großen Aufwand verbunden ist, auf einfache Weise gelöst werden. Ein Beispiel ist das Übertragungsmatrizenverfahren als computerorientiertes Verfahren der Baustatik. Die praktische Anwendung erfordert die Programmierung des Verfahrens . Da die hierfür erforderliche Zeit in einer Lehrveranstaltung meist nicht zur Verfügung steht und die Programmierung zum Verständnis des Verfahrens auch nicht beiträgt, führen die Studierenden die notwendigen Berechnungen im Computerlabor mit Hilfe eines Computeralgebrasystems wie Mathcad durch. Einige Funktionen, etwa das Aufstellen der Übertragungsmatrix des geraden Stababschnitts und die Lösung des Gleichungssystems, werden den Studierenden vorab zur Verfügung gestellt.

4 Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung

3

Auch für Selbstlernsysteme lassen sich Computeralgebrasysteme gut einsetzen . Elektronische Aufgabensammlungen ermöglichen es den Studierenden die Aufgaben zu studieren und interaktiv auf neue Aufgaben steIlungen anpassen. In [1-3] wird erläutert, wie Aufgaben der Ingenieurmathematik mit verschiedenen Computeralgebrasystemen gelöst werden können . Computeralgebrasy steme können aber auch als OLE-Server für ein Lehrprogramm, etwa zur Visualisierung mathematischer Sachverhalte, herangezogen werden . Allerding s ist dies, wie in [1-4] untersucht wird, derzeit nur mit bestimmten Softwareprodukten wie Mathcad möglich.

4 Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung Baustatische Berechnungen werden heute mit spezieller Software durchgeführt. Für komplexe Tragwerke stehen leistungsfähige Finite-Element-Programme für Stab- und Flächentragwerke zur Verfügung. Kleinere Standardnachweise von Konstruktionen werden hingegen meistens mit hierfür entwickelten Statikprogrammen geführt. Daneben gibt es aber auch eine Reihe von Nachweisen und Kontrollrechnungen, die nicht standardisiert sind. Hierzu zählen beispielsweise Anschlussnachweise im Stahl- und Holzbau, nicht genormte oder neue Berechnungsverfahren oder die für jede komplexe Finite-Element-Berechnung erforderlichen Kontrollrechnungen. Meistens behilft sich der Tragwerksplaner hierbei mit einer Rechnung "von Hand" unter Verwendung eines Taschenrechners. Einfache statische Berechnungen können auch mit Statikeditoren erstellt werden. Statikeditoren wurden entwickelt, um statische Berechnungen als Textdokumente erstellen zu können ([ 1-5], [1-6]). Sie ermögliche auch den Aufruf von Statikprogrammen und die Einbindung von deren Ausgabe in das Dokument. Ziel dieser Softwareprodukte ist die durchg ängige Erstellung des statischen Berichts. Die Rechenfunktionen im Text beschränken sich allerdings meist auf die Grundrechenarten. Für anspruchsvolle Anwendungen bieten sich hingegen Compteralgebrasysteme und hier insbesondere Mathcad an. Die damit erstellten Dokumente lassen sich darüber hinaus über OLE-Techniken auch in Texteverarbeitungsprogramme wie WORD übernehmen und damit in einen statischen Bericht integrieren . An die mathematische Leistungsfähigkeit des Computeralgebrasystems werden bei den hier genannten Anwendungen vergleichsweise geringe Anforderungen gestellt. Die Möglichkeiten im Bereich des symbolischen Rechnens sind kaum von Interesse. Vielmehr stehen die einfache Handhabung und die übersichtliche Darstellung der Ergebnisse im Vordergrund. Weiterhin ist es wichtig, dass das Computeralgebrasystem das Rechnen mit dimensions behafteten Größen unterstützt. Kommandozeilenorientierte Systeme wie die klassischen, für rein mathematische Problemstellungen konzipierte Computeralgebrasysteme scheiden daher in der Praxis für die Tragwerksplanung aus. Gut geeignet sind Systeme mit einer einfachen Benutzeroberfläche und einer den Textverarbeitungssystemen entsprechenden Darstellung wie z. B. Mathcad [1-7]. Beim Arbeiten mit Computeralgebrasystemen sind in der Praxis vorbereitete Arbeitsblätter hilfreich, die Formeln und Berechnungsverfahren enthalten. Ein Schritt in diese Richtung ist die Umsetzung von Standardwerken der Tragwerksplanung in Computeralgebrasysteme. So stehen beispielsweise die wichtigsten Abschnitte der "Schneider, Bautabellen für Ingenieure " [1-8] als Mathcad-Arbeitsblätter in einem Elektronischen Buch auf der Grundlage von Mathcad 8 zur Verfügung [1-9; 1-10]. Die Arbeitsblätter enthalten die Formeln in einer ähnlichen Notation wie im Buch und ermöglichen den direkten Bezug zum gedruckten Werk . Bedeutend ist, dass die einzelnen Rechenschritte wie bei der Handrechnung leicht nachvollziehbar sind. Dies ist bei den Standardprogrammen der Baustatik nicht der Fall.

4

Teil I: Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung

Zusammenfassend lässt sich feststellen, dass die Anforderungen an Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung durchaus unterschiedlich sind, Bild l.1 Forschungs- und Entwicklungsaufgaben erfordern meist eine hohe mathematische Leistungsfähigkeit, so dass Systeme wie MATHEMATICA und MAPLE hier häufig vorzuziehen sind. Bei praktischen Ingenieuranwendungen sind hingegen die Darstellung und einfache Handhabung sowie die Möglichkeit mit Dimensionen zu rechnen von großer Bedeutung. Hier verfügt Mathcad über entscheidende Vorteile. In der Lehre hängt es von der Anwendung ab, welchem System jeweils der Vorzug zu geben ist.

Benutzeroberfläche

Tragwerksplanung in der Praxis

.:«:----

Forschung & Entwicklung

Mathematische Leistungsfähigkeit

Bild 1.1: Anforderungen an Computeralgebrasysteme in der Tragwerksplanung

5 Ausblick Unsere Softwaresysteme werden zunehmend komplexer und ihre Entwicklung wird aufwendiger. Um so wichtiger sind daher Standardsoftwarepakete. Auch im Ingenieurwesen wird sich eine Arbeitsumgebung auf dem Computer, die als "Engineering Desktop Systeme" bezeichnet werden kann, herausbilden. Hierbei handelt es sich um eine aus verschiedenen Softwareprodukten zusammengesetzte heterogene Arbeitsumgebung unter Einbeziehung des Internets [1-11]. Sie wird es dem Tragwerksplaner erlauben, ingenieurmäßige Berechnungen auf dem Computer ähnlich einfach durchzuführen, wie dies heute für Schreib- und Zeichenarbeiten mit Textverarbeitungs- und CAD-Systemen der Fall ist. Computeralgebrasysteme bilden einen wichtigen Bestandteil dieser Arbeitsumgebung.

5

Teil 11: Grundelemente von Mathcad Günter Schulz

1 Mathcad-Arbeitsblätter analysiert

Variablen Diagramme

Textobjekte

Konstanten

Formeln

Mathcad-Arbeitsblatt Grafiken

OlE-Objekte

Funktionen

Komponenten Programme

Bild 2.1: Wichtige Objekte in Mathcad-Arbeitsblätter

In den Teilen IV und V werden professionelle Mathcad -Arbeitsbl ätter vorgestellt. Analysiert man diese Arbeitsblätter, dann stellt man fest, dass sie immer wieder bestimmte Objekte enthalten. Die wichtigsten Objekte werden in diesem Teil kurz und übersichtlich vorgestellt. Weiterhin wird gezeigt, wie mit einem Teil der Objekte ein einfaches Mathcad-Arbeitsblatt entworfen und realisiert werden kann. Textobjekte (Textbereiche)

Textobjekte erläutern das Mathcad-Arbeitsblatt in vielfältiger Weise. Sie geben: -

Hinweise zur Eingabe,

-

Erläuterungen einzelner Formeln,

-

Beschreibung von Berechnungsabläufen, usw.

6

Teil II: Grundelemente in Mathcad

Der Entwickler eines Mathcad-Arbeitsblattes hat die Möglichkeit, alle erforderlichen Informationen für den Anwender des Arbeitsblattes an den entsprechenden Stellen zu platzieren . Über das Menü ,,Einfügen - Textbereich" wird der Textbereich eröffnet und die Eingabe kann erfolgen. Dabei kann der Text individuell formatiert werden. Die grundlegenden Zeichen- und Absatzgestaltungsmöglichkeiten aus bekannten Textverarbeitungsprogrammen stehen zur Verfügung.

Bild 2.2: Kreuzcursor im Mathcad-Arbeitsblatt

ElITimes NewHornen

Bild 2.3: Symbolleiste Formatierung

ｊ ｄ

Ｇ ｾ

ｾｉ

ｪ

ｾ

ｾ

+

,ltr:tt

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IINoanal

Ilachweis für Querkraft gemäß 01111045 .1:2001.07, Kap. 10.3 Elngangs.,ene der lI... echnung:

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3

F.stt.g l"ng :1., TrocifU lohdich t. t.i Anwendung von ｬ Ｎｬ･ｨｾ ｢ Ｎ ｴｯｮ Ｚ

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Bild 2.4: Textobjekte im Mathcad-Arbeitsblatt

7

1 Mathcad-Arbeitsblätter analysiert Variablen, Konstanten, Formeln

Variablen Variable Größen mit Einheiten kann man schnell definieren und einfügen. Beginnt man an der aktuellen Stelle des Cursors zu schreiben, dann erkennt Mathcad sofort , dass es sich um eine gedrückt wird. Will man die Höhe von H 120 mm variable Größe handelt, wenn die Taste

0

eingeben, dann schreibt man über die Tastatur

=

[ElDmm!IIJ;@;@.

Im Arbeitsblatt erscheint: H := 120 mm. In den Symbolleisten "Taschenrechner" und "Auswertung" ist die Schaltfläche Größen definiert werden .

ｬｾ ｝

enthalten. Mit dieser Schaltfl äche können ebenfalls variable

Konstanten Konstante Größen, wie z. B. die Zahl Pi, sind sofort einsetzbar. Zur Berechnung einer Kreisfläche F definiert man die Variable r und schreibt man die Formel mit der Konstanten 7t. r := 12m

2 F := 7t ·r

F

= 452.39m2

Vordejinierte mathematische Konstanten Name

Tastaturbefehl

00

Strg + Umschalt + z

e

e

1t

Strg + Umschalt + p

i

li

j

Ij

%

%

Teil 11: Grundelemente in Mathcad

8 Formeln

Formeln sind in der Regel variable Werte, die sich aus vorher definierten Variablen und Konstanten berechnen . Sie werden in allen Berechnungen eingesetzt und können sehr einfach eingegeben werden. Grafiken

Mathcad enthält keine eigenen Zeichenfunktionen. Pixel- oder Vektorgrafiken werden über die Windows-Zwischenablage oder über das Menü "Objekte -> Einfügen" in Arbeitsblätter eingebunden.

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EInfe ldba lkan Holz Bemessungsbeispiel aus: (2.21 Holzbau-Taschenbuch,Band 3: Bemessungsbeispiele, S. 106

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ｾ

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Über die Zwischenablage wurde eine Grafik eingefügt.

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7

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Bild 2.5: Eingebundene Vektorgrafik im Mathcad-Arbeitsblatt

Diagramme Vielfältig sind die grafischen Auswertungsmöglichkeiten von großen Zahlenmengen.

Folgende Diagramme können mit Mathcad dargestellt werden: x-y-D iagramme, Kreisdiagramme, Flächendiagramme , Umrissdiagramme , 3D-Streuungsdia-

gramme, 3D-Säulendiagramme und Vektorfelddiagramme.

Mathcad-Arbeitsblätter analysiert

L. . .

9

j

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Bild 2.7: MS-Excel-Komponente im Arbeitsblatt " TV_2_02_Plattenbalken.mcd "

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ｾ

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07. Kap .1U.3

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ｾ

30

F c.d

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F c.d ·eCAy 3600 ·k c. y

otherwise

Arbeitsblatt "TV_4 _2_Druckstab.mcd"

w_l_1 (x,y) :=

eps f-l0

-18

= om y f- epsm il y = o-m x f- eps-rn il x

ｷＨｾ l

+l ,atan2(X,y),n ,mJ il

o otherwise

ｾ l +l s r o

14

Teil 11: Grundelemente in Mathcad

2 Einfache Arbeitsblätter entwickeln und verwalten 2.1 Allgemeines Ein einfaches Arbeitsblatt "TILOJ Bemessung EinJeldbalken Holz.mcd " soll im Folgenden entwickelt werden, um die grundlegenden Funktionen kennen zu lernen. Dafür wurde die Bemessung eines Holzträgers aus dem Taschenbuch Holzbau [2-1, S. 106 gewählt] ausgewählt. Dort werden die einzelnen Berechnungsschritte kommentiert. Hier folgt die Beschreibung der Umsetzung in Mathcad mit weiteren Hinweisen. Bei der Entwicklung eines einfachen Arbeitsblattes kann man nach folgendem Schema arbeiten.

a) Gestaltung des ArbeitsblattesJestlegen Zur Gestaltung zählen das Grundlayout mit den Angaben zur Papiergröße, Seitenränder und Kopf- bzw . Fußzeile. Weiterhin ist es sinnvoll, für die verschiedenen Objekte wie Textbereiehe, Variablen, Ergebnisse usw. Formate festzulegen. Nach diesen Vorüberlegungen kann die Anordnung der einzelnen Objekte beginnen. b) Mathcad-Objekte einfügen Im Arbeitsblatt "TILOJ Bemessung EinJeldbalken Holz.mcd" werden folgende Objekte eingesetzt: - Textbereiche (Überschriften, Erläuterungen) -

Grafikobjekte (Systemskizze)

-

Variablendefinition

-

Variablen und Formeln und

-

einfache Mathcadfunktionen.

2.2 Gestaltung eines Arbeitsblattes Die von den Herausgebern und Autoren entwickelten Mathcad-Arbeitsblätter haben in der Regel ein gleich bleibendes Layout. Mit dem Layout legten sie die Seitengestaltung des MathcadArbeitsblattes fest. Der Anwender kann die einzelnen Angaben für eigene Arbeitsblätter indivi duell ändern. Zu den Layoutangaben gehören: -

die Papiergröße (in der Regel A 4)

-

eine druckerabhängige Papierzufuhr

-

die Ausrichtung (Hoch- oder Querformat)

-

Seitenränder (links, rechts, oben, unten)

-

Kopf- und Fußzeilen

2 Einfache Arbeitsblätter entwickeln und verwalten

15

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Seile einrichte n

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OK

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A1bochon

I

Ilrucker

Bild 2.12: Seite einrichten

Papiergroße und Ausrichtung

Mathcad verwendet die in Windows installierten Druckertreiber für den Ausdruck. Die einzelnen Druckertreiber legen die Möglichkeiten der Papiergrößenwahl fest. Für die Mathcad-Arbeitsblätter wählt man in der Regel die Größe A4 im Hochformat. Seiten ränder

Als Seitenränder wurden folgende Einstellungen gewählt: Links:

25 mm

Rechts:

20 mm

Oben:

30 mm

Unten:

35 mm

Kopf- und Fußzeile

Kopf- und Fußzeilen sind dem Leser sicher aus Textverarbeitungsprogrammen bekannt. Sie enthalten wichtige Informationen, die auf jeder Seite eines Dokumentes zu sehen sein sollten. Eine Kopf- oder Fußzeile fügen Sie über das Menü "Format -> Kopf-/Fußzeile" ein. In Mathcad 2001 kann man den Inhalt einer Kopf- oder Fußzeilen in drei Bereiche - links, zentriert und rechts - anordnen. Die Beispiele zu diesem Buch verwenden alle drei Bereiche.

Teil II: Grundelemente in Mathcad

16 I.Ia!hclldin der Ira o wRd

I

(

B

I

V

｡

ｾ

I

l

1mm Ｋ

､ｷ｡

ｾ､ｲ｡ ､ｷ

I

I

ｾ｡

B

Ｋ｡

ｩ ｾ､ｲ｡

V

Ｍ｡

4 4 3.14 .(d wa - d Wi ) ｗｷ ｾ

) I

32·d wa MB

cr wv ｾ Ｍ

Ｍ Ww

Bild 3.9: Wiederholung mit vorausgehender Bedingungsprüfung

Beschreibung Im normalen Sprachgebrauch verwendet man dafür die Formulierung: Wiederhole, solange Bedingung erfüllt Verarbeitungsteil V Zuerst erfo lgt die Überprüfung der Bedingung. Solange diese Bedingung B erfüllt ist, wird der Verarbeitungsteil V abgearbeitet. Denken Sie nur an die einfache Bemessung eines Profilträgers. Hier arbeiten Sie nach dem Schema: Wiederhole die Profilauswahl, solange die Spannungsbedingung nicht erfüllt ist. Wird die Bedingung nicht erfüllt , so erfolgt auch keine Abarbeitung des Verarbeitungsteils V.

Beispiel

d.

/

ｾ

-Ｍ -Ｍ --)ｍＬｾ 1Ｎｾ

Bild 3.10: Schweißverbindung - Rohranschluss

..

Teil III: Weiterführende Arbeitstechniken

34

Für eine Schweißverbindung ist die optimale Kehlnahtdicke zu ermitteln. Von einer minimalen Nahtdicke amin ausgehend soll die Nahtdicke immer um einen 1 mm erhöht werden, bis die erforderlichen Nachweise erfüllt werden. Mit einer while-Schleife wird die Bemessungsaufgabe gelöst. Festlegen der iterativen Mindestnahtdicke und weitere Größen a = 1mm

a = 1mm

dwa = 89.9mm a :=

a ｾ｡

o wv

N (l w Rd + 1· - 2 mm ｾ

while (lwv > (lwRd a

ｾ｡Ｋ

1mm

d wa ｾ､ｲ｡ d wi

W ｾ w

ｾ

+a d ra - a 4 4 3.14.(dwa -d Wi )

-_:.--_--.;... 32 ·d wa

｡ｾ

Bild 3.11: Auszug aus demMathcad-Arbeitsblatt " TllC 03_Bemessung_Schweißnahc Rohranschluss.mcd"

Solange die Spannung (JWY > (JwRd ist, wird die Nahtdicke a erhöht. Damit die Wiederholung while mindestens einmal ausgeführt wird, legt man vor der Wiederholung die Spannung (JWY = (JwRd + 1 mm fest. Innerhalb der Wiederholung erhöht der Algorithmus die Nahtdicke immer um 1 mm und ermittelt die vorhandene Spannung (JWY' Wird die Wiederholung verlassen, dann übergibt der Algorithmus den aktuellen Wert a an die weiteren Berechnungen im Arbeitsblatt. b) Sonderforrn der Wiederholung: Zählschleife

Eine besondere Form der Wiederholung ist die Zählschleife. Hier wird ein Verarbeitungsteil n-mal wiederholt.

2 Programmkon strukte und die Programmierung in Mathcad

Programmabl aufplan

Struktogramm

I

Für i = 1 bis n

(

i = 1 (n)

I

V

"I

I V

35

ｾ

I

I

Mathcad

I

Zeile := for i

E

0 .. länge (KniCkzahlen A-

Wert .... "Nicht enthalten"

otherwise

) I

Bild 3.12 : Zählschleife

Ein einfaches Beispiel einer Zählschleife zeigt das Arbeitsblatt " TIIL 04_Knickzahlen VH.mcd ". Zur Berechnung der Knickzahlen mgilt nach DIN 1052-1 die Tabelle 9.8 b [3-2 S. 9.8]. Tabelle 3.2: Auszug aus Tabelle der Knickzahlen

A-

OJ

0

1,00

10

1,04

20

1,08

...

...

250

18,75

OJ

Entsprechend dem Schlankheitsgrad A, wird die Knickzahl m ermittelt. Zwischenwerte können linear interpoliert werden. Das Arbeitsblatt " TIII_04_Knickzahlen_VH_Eingabetabelie.mcd " verwendet eine Datentabelle der Knickzahlen. In Mathcad wird dafür der Begriff ,,Eingabetabelle" eingesetzt. Der Schlankheitsgrad von A, = 15 ergibt eine Knickzahl von m = 1,06. Mit einer Zählschleife wird zunächst der Zeilenindex ermittelt, mit dem die entsprechenden Werte für die Interpolation aus der Tabelle entnommen werden. Mit den entsprechenden Tabellenwerten erfolgt die Interpolation.

Ol,

Bild 3.13: Schema der linearen Interpolation - Knickzahl

Teil IlI : Weiterführende Arbeitstechniken

36

Knickzahlen co von VH aus NH tür Schlankheitsgrade nach DIN 1052-1 Tab. 10 Tabelle nach: Schneider, Bautabellen, 14. Aufl. S. 9.8 Knickzahlen :=

1

0

Mathcad Komponente "Eingabetabelle"

0

0

1

1

10

1.04

2

20

1.08

1.. := 15

Zeile := !or i

E

0 .. länge (Knickzahlen I..

I

Wert (-- "Nicht enthalten"

otherwise

Zeile = 2 Z1 := Zeile - 1

Z2 := Zeile

A.1 := Knickzahlen Z1 , 0

1..2 := Knickzahlen Z

0> 1 := Knickzahlen Z

0> 2 := Knickzahlen Z 1 2'

1 l '

2'

0

0> = 1.06

Bild 3.14: Auszug aus dem Mathcad-Arbeitsblatt " Tlll_04_Knickzahlen_VH_Eingabetabelle.mcd "

Mit dem Eingabewert von 2 = 15 geht das Programm in die Eingabetabelle Knickzahlen und ermittelt die Zeile, der Tabellenwert von 2 größer als der eingegebene 2-Wert ist. Im Beispiel wird die Zeile 2 ermittelt . Danach erfolgt mit dem Zeilenindex die aktuelle Wertzuweisung von lL\ ｾ Ｌ 2 1 und 2z für die Interpolation. Mit dem Ergebnis von CO = 1,06 kann dann weitergerechnet werden .

2.4 Übersicht der Mathcad-Programmierung Das Math cad-Handbuch bezeichnet ein Mathcad-P rogramm als einen speziellen Ausdruck, den man in ,,Mathcad für Profi s" definieren kann. Es handelt sich dabei um einen Ausdruck, der aus einer Folge von Anweisungen besteht, die mit Hilfe von Programmierop eratoren erzeugt werden.

2 Prograrnmkonstrukte und die Programmierung in Mathcad

37

Mathcad kennt folgende Anwei sungen: I . Bedingte Anweisung (in 2. Wiederholungen (Schleifen) a) for-Schleifen b) while-Schleifen 3. break-Anweisung Mit der break-Anweisung in einer for - oder while-Schleife unterbricht man die Schleife, wenn eine bestimmte Bedingung wahr ist, und führt die näch ste Anweisung außerhalb der Schleife aus. 4. continue-Anweisung Mit der continue-Anwei sung in einer for- oder while-Schleife unterbricht man die aktuelle Iteration und erzwingt, dass die Programmausführung mit der nächsten Schleifeniteration fortgesetzt wird .

5. return-Anweisung Mit der return-Anweisung beenden Sie ein Programm und geben einen speziellen Wert zurück, statt den Wert der zuletzt ausgeführten Anwei sung zurückzugeben. Ein Mathcad-Programm gibt in der Regel den Wert des letzten im Programm ausgewerteten Ausdrucks zurück. In einfachen Programmen ist das die letzte Programmzeile. Schreibt man kompliziertere Programme, braucht man eine erweiterte Flexibilität. Die return-Anweisung ermöglicht es, das Pro gramm zu unterbrechen und andere Werte als den Standardwert zurückzugeben. 6. on error-Anweisung Mit der Anwei sung on error fangt man numerische Fehler auf, die andernfalls zu eine r Programmunterbrechun g führen würde. Weitere Ausführungen stehen im Mathcad-Handbuch [2-2, S. 339 ff.] auf der beiliegenden CDROM .

Weitere Programmiermöglichkeiten mit scriptfählgen Objekten In Mathcad-Arbeitsblätter können auch als Komponenten scriptfähige Objekte der MS-Forms 2.0 Bibliothek eingebunden werden. Hier können weitere Programme entw ickelt werden. Bei den MS-Forms-Elementen kann man in folgenden Scriptsprachen programmieren: -

Jscript Language, VB Script Basic oder XML Script Engine. [3-5 ,3-6]

Im Arbeitsblatt " TV_2_0B_Verformungen.mcd " steht am Ende eine Textbox . Diese Textbox zeigt den Text ,,Nachweis erbracht" oder ,,Nachweis nicht erbracht" an. Dazu wurde folgendes Script eingebunden:

38

Teil III: Weiterführende Arbeitstechniken

Sub ScriptübjEvent_Exec(Inputs,üutputs) vorh_f = Inputs (0) .Value zul_f = Inputs(!) .Value ForeColor = 255 FontSize = 8 FontBold = True If vorh_f zul_f Then Text = "Nachweis nicht erbracht!" End Sub

Wenn die Bedingung vorhj , Xn

x; , ...,x;

x;, ...,x; ,

so stellt sich ermittelt. Berechnet man z in Abhängigkeit der gemessenen Größen die Frage, wie sich die Messfehler der gemessenen Größen auf die Größe z auswirken. Ist für jeden Messfehler lAx";!: =Ixi I eine obere Schranke Oi bekannt, gilt I x, - I < Oi für alle

X;

x;

= 1, ..., n, so lässt sich der Fehler 1&1 : = lzdz abschätzen:

1&1 : : :; Idzl =dfl...x; , ..., x; )1 =I of (x m XI

:s I of (x;, ..., x; )10, + ... + I of x,

xn

, ...

zmI der Größe z mithilfe des totalen Differentials

,x;) 'IAxd + ... + I of ( x;, ...,x;) '/Axnl xn

(4.17 a)

( x;, ..., x; )Ion

Für den absoluten Fehler Fa erhält man also

(4.l7b)

Der relative Fehler Fr ist gegeben durch

(4.18)

89

8 Differentiation

Im folgenden Beispiel werden der absolute und der relative Fehler für den Elastizitätsmodul eines Trägers bestimmt:

Beispiel 4.24: Fehlerfortpflanzung Ein beidseitig gelenkig gelagerter Stab der Länge I mit quadratischem Querschnitt « I wird in der Mitte mit einer Kraft F belastet. Der Elastizitätsmodul soll durch Messung des Winkels bestimmt werden (Arbeitsblatt " TIV_15 _Fehlerfortpflanzung.mcd ").

ｬｾｆ

""""_ _--r-

---",'"

Bild 4.16: Gelenkig gelagerter Stab

Für I, a, F, a wurden durch Messungen die Werte Im, am, Fm und am ermittelt. (jl, (ja, (jF, (ja geben eine obere Schranke für den absoluten Fehler dieser Größen an. Im := 100

ÖI := 0.01

am := 1

Öa := 0.01

Fm := 120

ÖF := 0.96

am := 0.017

Öa := 0.000085

Für den Winkel a gilt:

Fl

tan(a) = - 16 ·E·1

Daraus ergibt sich für den Elastizitätsmodul 2 31 E(I ,a ,F ,a) := ( - -·F·cot(a)

l4.a

4

1 I

)

Einsetzen der gemessenen Werte liefert: E(I m ,a m,F m ,a m) = 5.29 x 10

7

des Stabes die Gleichung:

90

Teil IV: Mathematische Verfahren im Konstruktiven Ingenieurbau

Mithilfe des totalen Differentials lässt sich der absolute Fehler gemäß Gleichung (4.17 a1b) berechnen:

Fa(l ,a ,F,a) :=

ｉｾｅＨＬ｡Ｇｆ

Ｌ｡Ｉ

I-ÖI + I:a E(I,a,F ,a) I-öa + I:F E(I,a ,F,a) 1·IlF+ I:a E(I,a,F ,a) lila

Gleichung (4.18) liefert den relativen Fehler: Fa(l,a,F,a) Fr(I,a ,F ,a) := - - - E(I,a,F,a)

Abschließend sei noch darauf hingewiesen, dass Mathcad bei der numerischen Differentiation die erste Ableitung i. A. mit einer Genauigkeit von 7 oder 8 signifikanten Stellen berechnet (sofern die Stelle, an der die Ableitung bestimmt werden soll, nicht zu nah an einer Singularität liegt). Bei höheren Ableitungen nimmt die Genauigkeit mit jedem Grad um eine Stelle ab (vgl. [4-12], S. 556/557). Wurde die abzuleitende Funktion aus fehlerbehafteten Daten ermittelt, muss mit größeren Genauigkeitsverlusten gerechnet werden (vgl. [4-20]).

9 Integration Die Integralrechnung wird in der Baustatik beispielsweise zur Lösung von Arbeit sintegralen (vgl. Beispiel 4.25) oder bei der Methode der finiten Elemente (vgl. Beispiel 4.26) benötigt. Integrale werden in Mathcad mithilfe des Integraloperators (Operatorenpalette Differential/Integral) berechnet. In Verbindung mit dem symbolischen Gleichheitszeichen versucht Mathcad ein Integral exakt zu lösen. Häufig lassen sich Integrale jedoch nur näherungsweise bestimmen. In Verbindung mit dem numerischen Gleichheitszeichen wählt Mathcad standardmäßig automatisch ein geeignetes Verfahren für die numerische Integration aus. Klickt man mit der rechten Maustaste das Integral an und schaltet in der Dialogbox die AutoSelect-Eigenschaft aus, so kann man die Integrationsmethode selbst auswählen . Zur Lösung eigentlicher Integrale, das sind Integrale mit beschränktem Integrationsbereich und beschränkter Integrandfunktion, bietet Mathcad zwei verschiedene numerische Verfahren zur Auswahl an: Das Romberg-Verfahren und einen adaptiven Quadraturalgorithmus. Das Romberg-Verfahren wird im Folgenden kurz erläutert:

Das Romberg- Verfahren b

Gegeben sei die Funktionj{x). Gesucht ist eine Näherung für das Integral

f

dx .

Idee: Das Integrationsintervall [a,b] wird in jedem Iterationsschritt halbiert Auf jedem Teilintervall wird die Fläche unter der Kurve durch eine Trapezfläche angenähert. Um die Konver-

9 Integration

91

genz des Verfahrens zu beschleunigen, wird die so ermittelte Approximation mit der Richardson-Extrapolation verbessert.

Schritt 1: Zusammengesetzte Trapezsummen Die Trapezsummen werden rekursiv für die Schrittweiten h"

=b-a , (i =0, 1,2, ..., n) berech2'

net: I T(h o ) = -(b - a)(f(a) + f(b)) 2

ｔＨｾＩ

］ｾＨ

(b;a) (f(a)+ f( a

(4.19 a)

+

b;a ))

ｊＫｾＨ

(b;a) (f( a+ b;a

)+

f(b»)

J (4.19b)

］ｾｔＨｉＩＫ

(b;a)(f( a+ b;a))

Allgemein ergibt sich die folgende Rekursionsformel: (i =I, 2, ... , n; m = 2i-1 )

(4.19 c)

T(h;) stellt eine Näherung für das gesuchte Integral dar . Da diese Methode sehr ungenau ist, die Fehlerordnung beträgt O(h 2) , wird das Verfahren durch die Richardson-Extrapolation beschleunigt. Schritt 2: Richardson-Extrapolation Es wird TOi : =T(h;) gesetzt und für alle i tionen

T. '= T.

+ 4-1 ,; -

4-1,;-1 4k_1

berechnet. Insgesamt erhält man:

Too TOl

T"

Toz

T12

T22

T03

T l3

T23

TOn

T33

= 1,2, ..., n, k = 1,2, ...

werden die Linearkombina-

(4.20 a)

92

Teil IV: Mathematische Verfahren im Konstruktiven Ingenieurbau

Die Tk werden reihenweise berechnet. Das Verfahren endet, wenn die Differenz zweier in der Diagonalen aufeinanderfolgende Näherungen kleiner als der Wert der Systemvariablen TOL ist, wenn gilt: 11;"n - Tn-1,n-ll < TOL, Tn,n wird als beste Näherung für y verwendet. Die Fehlerordnung des Verfahrens beträgt für die Berechnung von z. B. [4-7], [4-20)).

O(h2j + 2) , also für Tn•n O(h 2n + 2) (vgl.

Im Unterschied zu dem Romberg-Verfahren, das mit äquidistanten StützsteIlen arbeitet, werden bei einem adaptiven Quadratur-Algorithmus die Längen der Teilintervalle an die Kurve angepasst (vgl. [4-7)). Die exakte und die numerische Integration werden am Beispiel des Arbeitsintegrals für das Prinzip der virtuellen Kräfte erläutert:

Beispiel 4.25: Symbolische und numerische Integration des Arbeitsintegrals für das Prinzip der virtuellen Kräfte. Eine typische Anwendung der Integration in der Statik sind die Arbeitsintegrale , die zur Berechnung von Verschiebungsgrößen mit dem Prinzip der virtuellen Kräfte benötigt werden. Das Arbeitsintegral hat die Form

e dx

o wobei die Momentenfunktion infolge der wirklichen Belastung und die Momentenfunktion infolge der virtuellen Kraftgröße sind. Für die meisten praktisch vorkommenden Fälle sind die Integrale in Tabellenbüchern wie z. B. in [4-7] angegeben. In Sonderfällen kann es aber auch erforderlich sein, das Integral selbst zu lösen, etwa wenn es für eine spezielle Funktion in der Tafel nicht erfasst ist oder wenn die Funktion nur numerisch, z. B. aus einer Computerberechnung, gegeben ist. Das Arbeitsblatt "TIV_16_Arbeitsintegral.mcd" zeigt wie der symbolische Lösungsteil von Mathcad genutzt werden kann, um die Lösung des Arbeitsintegrals zu ermitteln. Als Beispiel wird die Integration über die beiden Funktionen .

1t

-

. Slll(-'

-

R

R

Die beiden Funktionen sind in Bild 4.17 dargestellt.

ｓ Ｈ Ｂ ｬ Ｎ ｬＩ

ｬ ｉＯｾ

T(II . I . 1.3 1

Ｎｾ

ｾ o

05

1

( )

Bild 4.17: Funktionen zur Bildung des Arbeitsintegrals

( )

9 Integration

93

Die symbolische Ermittlung des Arbeitsintegrals mit Mathcad ergibt: l

f

S(x,I ,M) .T(X,I ,M iq ,M kq)dx ｾＭｮ

M kq

ﾷｉ Ｎｍ

M iq + - n- ·I M

o

Der Ausdruck lässt sich noch etwas vereinfachen. Mit der Funktion vereinfachen von Mathcad erhält man: l

f

S(x,I,M)T(x,I ,M iq ,M ｫｾ､ｸｶ･ｲｩｮｦ｡｣ｨ

(M kq+ M iq) n

ｾｉﾷｍ

o

Das Integral kann aber auch einer Funktion zugewiesen werden:

Int(I ,M,M iq,M

ｫ ｾ Ｚ］

f

S(X,I,M)T(x ,I,M iq,M

o

ｫｾ､ｘ

Diese Funktion kann dann direkt mit Zahlenwerten ausgewertet werden: 1:= 3

M :=5

Miq := 0.4

Anstelle des Einsetzens in die symbolische Lösung kann man aber auch direkt numerisch mit Mathcad integrieren. In diesem Fall erhält man für die obigen Zahlenwerte

f

o

S(x,I ,MlT(x,I ,M iq

Ｌ ｍ ｫ ｾ ､ ｘ = 5.73

Auch für komplizierte, beispielsweise polygonartige Momentenverläufe kann man auf diese Weise die numerische Lösung finden. Mehrfachintegrale lassen sich mit Mathcad durch Schachtelung des Integraloperators lösen, wie das folgende Beispiel zeigt: Beispiel 4.26: Symbolisches Integrieren der Elementmatrix eines Finiten Elementes

Die Elementmatrizen Finiter Elemente erhält man durch Integration über die Elementfläche. Diese wird in der Regel numerisch durchgeführt . In bestimmten Fällen kann man aber auch eine symbolische Lösung finden. Dies soll am Beispiel einer Integration über die Fläche eines Rechteckelements gezeigt werden, die bei der Entwicklung der Steifigkeitsmatrix für die Stütze unter einer Flachdecke erforderlich ist [4-21]. Es handelt sich um das zweifache Integral:

Teil IV: Mathematische Verfahren im Konstrukti ven Ingenieurb au

94

Die Matri x

N(r ,s

-

(I + r) (I + S)] s)

1

4

[

(

- r)

-s)

r)

-s)

beschreib t die Ansatzfunktionen in r-s-Koordinaten. Die Funktionaldeterminante Det(:!.) ist die Determin ante des lakobischen Operators

rmt

r ,s) ! y

T

ｾ｝

und y(r,s) !i(r,s)

X3

X4

T

｛ ｾ｝

Y3

Y4

Die Werte x, und Yi sind die Koordin aten der vier Eckpunkte des Finiten Elementes im globalen x-y-Koordinatensystem. Das Integral ist auch erford erlich zur Berechnung der Massenmatrix von rechteckförmigen Scheibenelementen und wird dann meistens numeri sch gelöst. Die symbolische Lösung ist im Arbeitsblatt " V_17_F E j tegra tio jymbo mc d" angegeben.

4 Bild 4.18: Finites Plattenelement

Zur symbolischen Lösung wird zunäch st der lakobische Operator auf die Ansatzfunktionen für x und y angewandt. Die erforderlichen Differentiationen wurden ebenfalls mit Mathcad durchgeführt . Dies ergibt für die Matri x 1..:

Danach wird mit Mathcad die Determin ante von 1 gebildet:

10 Differentialgleichungen

95

Die Elemente der Matrix A lassen sich nun Einzeln durch zweifache Integration bestimmen. Man erhält beispielsweise für das Element al, l: i :_ 1

Element (i,j) der Matrix A :

rr -1

-1

N(rr

ｓ Ｌ Ｉ Ｈ ｲ Ｈｎ Ｉｓ Ｎ ｲ Ｇ ･ ｄ ｦ

Ｇｓ ＧＳＺ＼＾ＮＲＢ Ｑｘ

j :- 1

ｾ Ｎ Y1 ' Y2'Y3 ' Y4)drrdSS-+

1 1 1 1 1 1 1 1 36 ""2 "Y3 + 18""2"Y4 -12""2 "Y1 + 12""1 "Y2- 12"x1"Y4 - 36 ""3 "Y2 + 36 ""3 "Y4 + 12""4"Y1 -

1

18""4"Y2 -

1 36 ""4"1'3

Die vollständige Lösung mit allen Elementen von A ist auch in [4-21] angegeben. Des Weiteren stellt Mathcad Funktionen zur Lösung uneigentlicher Integrale zur Verfügung. Mithilfe der Funktion Unendliche Grenze können Integrale mit unbeschränktem Integrationsintervall und beschränkter Integrandfunkti on näherung sweise berechnet werden . Die Funktion Singulärer Endpunkt liefert eine Näherungslösung für Integrale, deren Integrandfunktion in einem Randpunkt des Integrationsbereiche s nicht stetig ist, also insbesondere für Integrale, deren Integrandfunktion in einem Randpunkt eine Unendlichkeitsstelle hat.

10 Differentialgleichungen Mathcad stellt sowohl zur Lösung gewöhnlicher als auch zur Lösung partieller Differentialgleichungen nur numerische Funktionen zur Verfügung. Die numerischen Verfahren, die in Mathcad implementiert sind, werden im Folgenden kurz erläutert.

10.1 Gewöhnliche Differentialgleichungen Unter einer gewöhnlichen Differentialgleichung versteht man eine Differentialgleichung, deren nur von einer unabhängigen Veränderlichen abhängt: Lösungsfunktion F ( , , ' , ...,

)) = O.

(4.2 Ia)

Um eine gewöhnliche Differentialgl eichung mit Mathcad numerisch lösen zu können, muss diese nach der höchsten auftretenden Ableitung auflösbar sein (

=

' , ...,

(4.21b)

und es müssen Anfangs- oder Randbedingungen vorgegeben sein.

10.1.1 Anfangswertaufgaben erster Ordnung In Mathcad sind verschiedene Verfahren zur Lösung von Anfangswertaufgaben 1. Ordnung implementiert. Sie liefern keine Funktion sgleichung für die gesuchte Lösung der Anfangswertaufgabe sondern Näherungswerte an m StützsteIlen x.; = I, ..., m. Das klassische Runge-KuttaVerfahren 4. Ordnung mit äquidistanten StützsteIlen wird im Folgenden erläutert.

Teil IV: Mathemati sche Verfahren im Konstruktiven Ingenieurbau

96

Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung Gegeb en sei die Anfangswertaufgabe

Y' = f (x , y) mit der Anfang sbedingung y(a) =a Gesucht sind Näherungen Yi für Y(Xi) , wobei x,

.

(4.22)

b-a =a + ih, i = 1, ..., m mit h =- , b = Xm ist. n

Zunächst wird

Xo =a, Yo =y(a) =

(4.23a)

(l

gesetzt, dann werden für i

=1, ..., m

k = h f(x i _" Yi-t) h

1

k2 =2 · h . f( xi-I +2' Yi-I +2) k r:': f (xi-I+2'h Yi-' +2") 1

k)

2

k = h f(x _

+h

(4.23b)

Yi- I +k3 )

1

Yj = Yi-I + "6(k, + 2k 2 + 2k3 +k4 ) berechne t. Der gewichtete Mittelwert Yi liefert die gesuchte Näherung für y(x;). Das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung basiert auf einer Taylor-Entwicklung. Die Taylor-Entwicklungen des Verfahrens und der Lösung y(x) stimmen bis zur Ordnung 4 überein, somit hat das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung die Fehlerordnung O(h5) . Die Funktion rkfestty.; a, b, m, D) führt das Runge-Kutta-Verfahren 4. Ordnung mit konstanten Schritten , die Funktion Rkadaptiy; a, b, m, D) führt dieses Verfahren mit angepasster Schrittweite durch. Dabei bezeichnet Ya den Anfangswert y(a) =11, [a, b] ist das Lösungsintervall, m gibt die Anzahl der StützsteIlen an, für welche Näherungslösungen berechnet werden, ferner ist D = f(x,y). Als Ergebn is liefern beide Funktionen eine Matri x mit m Zeilen und zwei Spalten : In der ersten Spalte stehen die m Knoten Xi, in der zweiten Spalte stehen die Näherun gswerte Yi für Y(Xi) (vgl. Beispiel 4.28). Alternativ kann die Methode Vorgabe/gdglösen verwendet werden (vgl. [4-12], S. 235-237 und S. 408-410). Des Weiteren ist das Extrapolationsverfahren von Burlisch-Stoer (vgl. [4-4], [4-17]) implementiert (Bulstoer(Ya> a, b m, D)) In Analogie zu dem Romberg-Verfahren (vgl. Abschnitt 9) wird mit dieser Methode zunächst eine erste Näherung für Y(Xi) bestimmt, die dann mithilfe der Extrapolation verbessert wird. Auf diese Weise kann man eine sehr hohe Genauigkeit erzielen . Das Verfahren reagiert j edoch sehr empfindlich auf Unstetigkeitsstellen der Funktion! Ferner stehen die Rosenbrock-Methode stiffr(y"a, b, m, D, ) und das Verfahren von BurlischStoer für steife Differentialgleichungen stifJb(y" a, b, m, D, ) zur Verfügung. Eine Anfangswertaufgabe wird als steif bezeichnet, wenn ihre exakte Lösung einen Term der Gestalt e enthält , wobei A eine "große" positive Zahl ist. Bei solchen Differentialglei chungen besteht die Gefahr. dass der Rundung sfehler so groß wird, dass er die Lösung beherrscht (vgl. [44], [4-17]) .

97

10 Differentialgleichungen

Ist nur ein Näherungswert für y an der Stelle b gesucht, so können auch die Funktionen rkadapt() (vgl. [4-12], S. 488), bulstoer()(vgl. [4-12], S. 386), Stiffb() (vgl. [4-12], S. 506) bzw. Stiffr() (vgl. [4-12], S. 508) aufgerufen werden. Beispiel 4.27: Numerische Lösung einer Anfangswertaufgabe erster Ordnung Gegeben:

y' = 22:. + 4x x

5 4 COS(X )

mit der Anfangsbedingung

y(O) = 0

Die Differentialgle ichung wird näherungsweise mit den Funktionen rkfestO und RkadaptO auf dem Intervall [a,b)=[O, 2] gelöst. Definition der Parameter :

Ya:= 0

a := 0

m := 8

b := 2

Lösung der Anfangswertaufgabe mit äquidistanten Slützstellen :

0

14)

Y 5 D(x, Y) := 2·- + 4·x -costx

x

Lösung der Anfangswertaufgabe mit angepasster Schrittweite:

0

0

-4 0.25 2.34 x 10

-4 0.25 2.441 x 10

0.5

0.015

0.5

0.016

0.75

0.174

0.75

0.175

1

0.841

r1cfes(Ya,a. b. m,O) =

0.837

t

0

Rkadap(Ya.a. b, m,O)

=

1.25

1.013

1.25

1.007

1.5

-2 .205

1.5

-2 .113

1.75

1.614

1.75

0.143

2

10.629

2

-1.144

t

Vergleicht man die Lösungen, so fällt auf, dass die Näherungswerte für x> 1 zunehmend voneinander abweichen. Dies lässt sich dadurch erklären, dass die Kurve der analy1ischen Lösung in diesem Bereich oszilliert. Ein Vergleich mit der exakten Lösung zeigt, dass RkadaptO bei angepasster Schrittwe ite sehr gute Ergebnisse liefert. Die Näherungswerte der Funktion rkfestO können verbessert werden , indem die Schrittweite verkleinert wird.

2 .

14)

Yexa k{x) := x ' 510'"

Yexak{X)

0 2.441'10

·4

0.016

o

0.175

Ycxak{X) - 1

0.841 1.25

1.007

1.5

·2.114

1.75

0.14

2

·1.152

98

Teil IV: Mathemati sche Verfahren im Konstruktiven Ingenieurb au

10.1.2 Systeme von Anfan gswertaufgaben erster Ordnung Mithilfe der in Abschnitt 1O.1.1 vorgestellten Verfahren können auch Systeme von Anfangswertaufgaben erster Ordnun g gelöst werden:

, YI

J;(x'YI'

Y2

12(x'YI'

,

,

13

Y3

,

YI' · YI'·

Y

al

Y

yJ

mit den Anfangswerten

Y2(

2

Y3(

3

(4.24 a)

Y

Dazu sind die Argumente Ya und D durch die Vektoren J;(x'YI' 12(

2 Ya =

3

und Q(

YJ ·" 'Y

(4.24 b)

y)= 13(x YI' ''·' Y )

zu ersetzen. Als Ergebni s liefern alle Funktionen eine Matrix mit m Zeilen und n + I Spalten . In der ersten Spalte stehen die m x-W erte, in den folgenden Spalten stehen die Näherungswerte für Y/Xj) der gesuchten Lösung: XI

z=

YI(Xj)

ｾＲ

YI\X 2 )

xm

YI(Xm )

(4.24 c)

[

10.1.3 Anfangswertauf gaben höherer Ordnung Ist eine Anfangswertaufgabe höherer Ordnung (z. B. n-ter Ordnung ) y )=

v

y( ») , y(

=b

... , y


ｾ ' /j - - - -- - -- I

,P(y)

I I

I I

,, ,, ,, ｾ

-

:

I I I I I

I I I I

I I I I I I I

X

I

X. X-

Ix Bild 4.21: Allseitig gelenkig gelagerte Platte mit Flächenlast

Zur Lösung mit den Funktionen von Mathcad muss sie in zwei Poissonschen Differentialgleichungen zerlegt werden. Nach [4-11] ist dies mit den beiden Gleichungen

a2M a2M ax2 ai

--+--=-p(x,y)

und

a2 w a2 w ax ai

M(x,y)

- -2 + - - = - - - möglich. Der Ausdruck M = (mx +my)/(l +11) setzt sich aus den Plattenbiegemomenten mx und

= 0 (erste Differentialgleichung) und w = 0 (zweite Differentialgleichung). Bei allseitig gelenkig gelagerten Platten lassen sich somit auch die Randbedingungen entkoppeln.

my zusammen. Da die Platte allseitig gelenkig gelagert ist, gilt auf allen Rändern M

Teil IV: Mathemati sche Verfahren im Konstruktiven Ingenieurbau

106

Die Flächenlast wirkt im Bereich x a:::; X:::; Xb und Ya:::; Y :::; Yb und ist in y-Richtung linear veränderlich . Sie wird beschrieben durch die Funktion

o

otherwise

An den StützsteIlen des Gitters erhält man die Werte der Flächenlast zu Ix . IY . .) ' I , - 'J,X a 'x b 'Y a'Y b -P a -P b Pi . := LA ,J np np

r

Die Differentialgleichung und die Last werden nun in den Matrizen A, B, C, D, E und S durch Differenzenausdrücke dargestellt: A.. := 1 I ,J

B. . := 1

I ,J

C.. := -

I ,J

1 2

a

1

D. . := I,J 2

a

Die Randbedingungen werden mit

u.I ,J.:= 0 zu Null gesetzt. Die Berechnung der diskretisierten Differentialgleichung erfolgt mit einem Relaxationsverfahren. Der Jakobische Spekralradius r mit 0< r < 1 wird gewählt zu 2 ·1t

r :=1-np

Nach der zweimaligen Anwendung von relax enthält die Matrix W die Durchbiegungen: M := relax(A ,B ,C,D,E ,S ,U,r)

Differenzenausdrücke führen zu den Biegemomenten m.. my und den Drillmomente mxy. Mit den Rasterweiten hx und hy in x- beziehungsweise y-Richtung erhält man:

107

10 Differentialgleichungen

m yj :

w.I,J. 1 - 2 w.I,J. + w.I,J+ . 1

+11

+ W. 1 . w.1- 1 ,J. - 2 w.. I,J I+,J

hl

1 -11

m xYJ' := . 1+ 4 ·hx·hy ｾＨ L ｷ 1Ｎ - 1 ,J+

hx

2

. 1) - (w.1- 1 ,J. 1 + w.1+1 ,J+1 . )ilｾ 1+ 1 , J-

W.

Die damit ermittelten Momente sind beispielhaft in Bild 4.22 dargeste llt.

'0

20

30

20

30

Bieoemeoment mx

0

10

Boeoemoment

m,

M_Y

ｾ ｄ ｝

ｾ ｴ ' 0-

D

0 0

10

20

30

Orillmomenle

tot_XV

Bild 4.22: Mit dem Finite -Differenzen-Verfahren ermittelten Biege- und Drillmomente einer Platte .

108

Teil IV: Mathematische Verfahren im Konstruktiven Ingenieurbau

Die Funktion multigiti] führt i. A. schneller zum Ziel als die Funktion relaxt). Sie kann aber nur für den Spezialfall genutzt werden, dass die unbekannte Funktion u(x,y) an allen vier Seiten der Grenze den Wert Null annimmt.

109

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau 1 Baustatik Horst Werkle

1.1 CA-Systeme in der Statik Die Verbindung von Statik und Rechnen ist offensichtlich . Für Konrad Zuse, dem Erfinder des ersten funktionsfähigen Computers, war gar die Notwendigkeit zur Durchführung statischer Berechnungen der Anlass sich mit der maschinellen Lösung numerischer Berechnungen zu befassen [5-1]. Heute stehen leistungsfähige Computerprogramme für fast alle in der Tragwerksplanung anzutreffenden Standardprobleme zur Verfügung. Diese Programme sind zwar für die tägliche Routinearbeit bestens geeignet, sie ermöglichen es aber nicht mehr die Berechnungsabläufe nachzuvollziehen und bei Bedarf zu ändern . Dies ist aber Arbeitsblättern von Computeralgebrasystemen der Fall. Im Folgenden werden Mathcad-Arbeitsblätter aus dem Bereich der Statik vorgestellt. Sie enthalten sowohl die Darstellung statischer Berechnungsverfahren wie auch die Umsetzung von Formeln und analytischen Lösungen . Die Arbeitsblätter mit Berechnungsverfahren richten sich vor allem an Studierende des Bauingenieurwesens. Sie machen auch komplexe Verfahren wie beispielsweise die Finite-Element-Methode transparent und lassen sich auf andere Anwendungsfälle übertragen und erweitern. Die Arbeitsblätter mit Formeln der Statik sind für praktische Berechnungen in der Tragwerksplanung gedacht. Mit ihnen lassen sich leicht und auf eine transparente Weise die Schnittgrößen einfacher statischer Systeme ermitteln. Auch für Überschlagsberechnungen sind diese Arbeitsblätter gut geeignet. Selbstverständlich lassen sich die Arbeitsblätter nach Bedarf verändern und für Bemessungsaufgaben oder Nachweise des Stahlbeton-, Stahl- und Holzbaus ergänzen . In den folgenden Abschnitten werden typische Aufgabenstellungen aus dem Bereich der linearen Statik, der linearen Schwingungen statischer Systeme und der nicht linearen Statik behandelt. Im Wesentlichen handelt es sich hierbei, wie in der klassischen Statik üblich, um Stabwerke. Darüber hinaus werden aber auch Platten und Scheiben betrachtet.

1.2 Lineare Statik 1.2.1 Übertragungsmatrizenverfahren Zur Berechnung einfacher Einfeld- und Durchlaufträger gibt es eine Reihe statischer Verfahren. Eine systematische Vorgehensweise, die insbesondere für die Programmierung geeignet ist, stellt das Übertragungsmatrizenverfahren dar [5-2]. Es soll daher im Folgenden in einer für Mathcad geeigneten Form vorgestellt werden. Die Darstellung erfolgt unter Beschränkung auf den Einfeldträger, da hierbei das Wesentliche des Verfahrens erkennbar ist. Das System kann auch verschiedene Arten von Federn enthalten. Die Lagerbedingungen am linken und rechten Trägerrand sind beliebig . Als Einwirkungen sind beliebige Einzel- und Streckenlasten möglich, Bild 5.1.

110

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

Der Träger wird zur Berechnung in Abschnitte und Knotenpunkte unterteilt, wobei zwischen zwei Abschnitten jeweils ein Knotenpunkt liegt. Die Trägerabschnitte können durch trapezförmige Streckenlasten belastet werden, an den Knotenpunkten können Einzelkräfte und -momente wirken. Weiterhin sind an den Knotenpunkten auch Federn möglich.

Bild 5.1: Berechnung einesTrägers nachdemÜbertragungsmatrizenverfahren

Grundobjekte des Übertragungsmatrizenverfahrens sind die Zustandsvektoren. Ein Zustandsvektor

fasst die statischen Größen -

Durchbiegung w

-

Drehwinkel

-

MomentM

-

Querkraft Q

an den Abschnittsgrenzen zusammen. An jedem Abschnitt und jedem Knotenpunkt gibt es demnach zwei Zustandsvektoren, nämlich jeweils am linken und rechten Rand. Der Rechenablauf des Übertragungsverfahrens beruht auf der "Übertragung" des Zustandsvektors über den Träger. Man beginnt am linken Trägerrand und "überträgt" den Zustandsvektor über die vorgegebene Abfolge von Abschnitten und Knotenpunkten bis zum rechten Rand. Hierzu benötigt man die Methoden, um einen Zustandsvektor über einen Abschnitt und einen Punkt zu übertragen. Diese sollen als Nächstes behandelt werden.

Bild 5.2: Trägerabschnitt

I Baustatik

111

Die Beziehung zur Übertragung über einen Abschnitt ergibt sich aus der Differentialgleichung des Biegebalkens mit der Streckenlast q(x) und der konstanten Biegesteifigkeit EI zu: E ·[ ·w IV -q=O

(5.1)

Als Randbedingungen setzt man die Elemente Wt. eilt . Mt und QI des Zustandsvektors am linken Abschnittsrand ein. Die Elemente des Zustandsvektors am rechten Abschnittsrand erhält man aus der Lösung der Differentialgleichung zu: _f2 f

•

0 0 0 0 0

2 ·E ·[ - f E ·[ 1

ｾ

_f3 --

6 ·E ·[ _f2

w, ]

. x-y -Diagramm in Mathcad. Damit die Linien wie in der Statik üblich mit positivem Vorzeichen nach unten aufgetragen werden, müssen sie als negative Funktion auf der Ordinate angegeben werden. Die Funktionswerte lassen sich durch das Kontextmenü "Koordinaten ablesen..." das man durch Klicken der rechten Maustaste in der Grafik erhält, leicht ablesen. Mit der Momentenlinie als Vektor kann man auch deren Maximum und Minimum mit den Funktionen max und min bestimmen zu: min(MT) = -90 kNm

max(MT) = 38.59 kNm

Bei komplizierteren Lastbildern können die Funktionen überlagert werden. Für die in Bild 5.8 dargestellte Lastanordnung mit einer Gleichlast und zwei Einzellasten erhält man die Momentenlinie durch Überlagerung der zu: M(x) ;= M Trap-g e (x,q,q) + M F-g e(x, F 1,a 1) + M F-g e(x, F 2,a

d

Die Durchbiegungen lassen sich entsprechend überlagern. Die mit dem Arbeitsblatt " TV_1_04_Einfeldträger_bsp.mcd" erhaltenen Momenten- und Biegelinien sind in Bild 5.9 dargestellt. Weitere Mathcad-Arbeitsblätter zu den in [5-5] zusammengestellten Formeln finden sich in [5-6].

ｴ ＭＢｾ ｾＭ］ Bild 5.8: Einfeldträger mit Gleichlast und Einzellasten

Ｍ

ｴＭ

1 Baustatik

129

8

4

-0

Bild 5.9: Momenten- und Biegelinieeines einseitigeingespannten Einfeldträgers

1.2.3 Durchlaujträger Die statische Berechnung von Durchlaufträgern gehört zu in der Praxis wichtigsten Aufgabenstellungen der Stabstatik. Daher wurden in der klassischen Stabstatik eine Reihe von Verfahren hierfür entwickelt. Dazu zählen die Dreimomentengleichung als spezielle Formulierung des Kraftgrößenverfahrens, das Cross-Verfahren, die Festpunktmethode und andere . Als computerorientierte Methoden kommen das Übertragungsmatrizenverfahren sowie die Finite-ElementMethode in Betracht. Im Folgenden wird als einfaches Verfahren die Lösung der Dreimomentengleichung verwendet.

Bild 5.10: Ausschnittaus einem Durchlaufträger Die Dreimomentengleichung gibt die Beziehung zwischen drei Stützmomenten eines Durchlaufträgers wieder, Bild 5.10. Sie ergibt sich aus der Kontinuitätsbedingung für den Biegewinkel am Auflager m. Die Dreimomentengleichung für die drei Stützmomente MI' M mund M lautet bei konstanter Biegesteifigkeit

: (5.16)

130

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

Hierin bedeuten R1 und L, die Lastglieder R beziehungsweise L des linken und rechten Felde s. Für einige typische Lastarten sind die Lastglieder nach [5-5] in Tabelle 5.3 angegeben. Wendet man die Dreimomentengleichung sukzessiv auf die Innenstützen eines Durchlaufträgers an, erhält man ein Gleichungssystem mit den Stützmomenten als Unbekannten. Bei einem Zweifeldträger ergibt sich mit M = M = 0 folgende Gleichung für das Stützmoment Mb nach Bild 5.11 : (5. 17)

Bei konstanten Streckenlasten q und qz auf den beiden Feldern ist somit: (5.18)

Tabelle 5.3: Lastglieder

i

k b.

L:s:

J

e

R

ｾ

2

q

i[[IJ1]JJ) ｾ

8'Q

qk

4

(2

60

(1+

(JM

!1!-

4

w

c!i

2

!1!-

+OOOOoq

k

ｦｾ ｡ 2·M

7 ' Q 8 'Q 60

(1+

}

f

.(2

)

M

Bei einem Dreifeldträger erhält man folgende Gleichungen: 2'(f( + ( 2) ·M b + f 2 .u ,

f ·R

f 2 ·Lz

(5.19) (5.20)

Die Gleichungen lassen sich mit dem symbolischen Lösungsteil von Mathcad leicht nach den unbek annten Stützmomente M b und M auflösen und man erhält:

1 Baustatik

131

(5.21)

Die erste Zeile des Lösungsvektors entspricht dem Stützmoment Mb, die zweite Zeile dem Stützmoment Me' Selbstverständlich kann man den Ausdruck

(5.22)

auch direkt numerisch lösen, wenn man zuvor die entsprechenden Werte für IJ, Ib 13 sowie die Lastglieder zuvor auf dem Arbeitblatt definiert hat. Dieser Lösungsweg lässt sich auch für Durchlaufträger mit mehr als drei Feldern fortführen.

a LS.

ｾ

c

b

b.

ZS

ｾ

( 1

a LS.

ｾ

c ZS

b

zs (1

e2

d

b.

e3

1-

Bild 5.11: Zwei- und Dreifeldträger

Die Arbeitsblätter "TV_1_05_Zweifeldträger.mcd" und "TV_L06_Dreifeldträger.mcd" enthalten die Lösung der Dreimomentengleichung für Zwei- beziehungsweise Dreifeldträger mit feldweise konstanten Streckenlasten. Der Aufbau der Arbeitsblätter wird am Beispiel des Dreifeldträgers erläutert. Dessen Stützmomente erhält man, wenn man in (5.20) die Lastglieder nach Tabelle 5.3 für feldweise konstante Gleichlasten einsetzt, mit K:= 4(1 1 + 12)·(12 + 13) - 12

zu:

2

(5.23)

132

Teil V: Anwendungen im Kon struktiven Ingenieurbau

(5.24) Die Herleitung ist auf dem Arbeitblatt " TIV_lO_Dreimomentengleichung_symbolisch_lösen.mcd" dargestellt. Danach werden die Auflagerkräfte aus den Stützmomenten berechnet zu

ｂ Ｚ］Ｈｾ｟｝ＫｱＲ

2

11

ＰＱＲ

2

+ Me -Mb] 12

013 C :=(q2 012 - Me-Mb] +(q3 2 12 2

｝ｾＭ

13

Q3 013 Me 0 :=-- +2 13

(5.25)

Die Querkräfte erhält man zu Q1 011 Mb BI : = - - - 2 11 Q2012 Me - Mb Br := - - + - - 2 12 ｃ ｉ Ｚ ］Ｍ

Q2012 2

Ｍｾ

Me - Mb 12

Q3013 Me Cr := - - - 2 13

(5.26)

und die maximalen Feldmomente zu Feld 1:

Feld 2:

Feld 3:

(5.27)

133

1 Baustatik

1.2.4 Rahmen Rahmen sind biegesteife Stabkonstruktionen aus horizontalen, vertikalen und gelegentlich auch schiefen Stäben, die in Bauwerken zu Abtragung von Vertikal- und Horizontallasten herangezogen werden. Ihre Berechnung erfolgt mit Stabwerksprogrammen mit der Methode der Finiten Elemente. Für einfache Rahmenformen und Belastungen können auch fertige Formeln für die maßgebenden Schnittgrößen angegeben werden. Das Arbeitsblatt " TV_L 07_Rahmen_l .mcd" enthält Rahmenformeln für einfache Zweigelenkrahmen. Als Lastarten werden Gleichlasten auf Riegel und Stiel sowie horizontale und vertikale Einzellasten betrachtet. Für den in Bild 5.12 dargestellten Zweigelenkrahmen werden Funktionen für folgende statische Größen angegeben: -

Vertikale Auflagerkräfte A, B

-

Horizontalkräfte H J und H 2

-

Eckmomente

3

und

4•

Die Funktionen und ihre Eingabeparameter sind in Tabelle 5.4 zusammengestellt.

3

4

IR 15

s:

15

2

ｾ

ｾＬ Bild 5.12: Rahmen

Die Funktionen sind so aufgebaut, dass sie für verschiedene gleichzeitig wirkende Belastungen überlagert werden können . Im Arbeitsblatt " TV_L 08_Rahmen_L bsp.mcd" wird dies anhand eines Beispiels erläutert. q v =50 kN/m

1f t f 3

t f f f t t t yf f

ft

tf f fl 4

IR

8kN

qh =3kN/m

E C')

15

15

ｪＭ

8m

Bild 5.13: Beispiel einesZweigelenkrahmens

Ｍｾ

134

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

Tabelle 5.4: Funktionen für die Rahmenformeln des Zweigelenkrahmens

Auflagerkräfte A,B

Horizontalkräfte H j,H2

Eckmomente M 3,M4

Qv

n n n n-

A_Ralqv(q ,I)

H1_Ralqv(q,I,h,k)

M3_Ralqv (q.l, h,k)

B_Ralqv(q , I)

H2_Ralqv(q ,I,h ,k)

M4_RaZqv (q ,I, h, k)

A_RalFv(F,a ,l)

H1_RalFv(F .a , I, h, k)

M3_RaZFv(F,a ,l ,h ,k)

B_RalFv(F,a ,I)

H2_RaZFv(F,a,l ,h ,k)

M4_RalFv(F. a .I, h, k)

A_RaZqh(q,I ,h)

H1_Ralqh (q ,l ,h ,k)

M3_RaZqh (q ,I ,h,k)

B_Ralqh(q ,l ,h)

H2_RaZqh(q,l ,h,k)

M4_Ralqh (q.I , h, k)

A_RaZFh(F,I,h)

H1_RalFh(F)

M3_RalFh(F,h)

B_RalFh(F,I ,h)

H2_RaZFh(F)

M4_RalFh (F,h)

ｾ

Qn

Fn

3

1R 11 S 1

J

1

,·IJ ｾ

System:

Beiwert k:

Abmessungen: I, h

1R h k:= - IS 1

Trägheitsmoment des Riegels: Ir Trägheitsmoment des Stiels: I ,

Hierbei handelt es sich um den in Bild 5.13 dargestellten Rahmen . Er wird durch eine vertikale Streckenlast auf den Riegel, eine horizontal wirkende Streckenlast auf den Stiel und eine horizontale Einzelkraft auf den Riegel beansprucht. Zunächst werden die Systemkennwerte eingegeben zu:

1 Baustatik

135

Systemkennwerte: System

1:= 8 -m

IR := 40000 cm

Lasten:

h := 3. -m 4

IS ;= 20000 cm

4

kN qh := 3 m

kN qv := 50m

F := Ｘｫｾ

Dann wird der Beiwert IR h k: = - IS I

k= 0.75

berechnet. Damit können die Rahmenformeln angewandt werden. Man erhält: Auflagerkräfte A = 204.69 kN B = 195.31 kN

Horizontalkräfte H1 = 65.7 kN H2 = 48.7 kN

Eckmomente M3 = -197.09 kN-n M4 = -213.59 kN-n

Weitere Schnittgrößen lassen sich damit berechnen. Beispielsweise erhält man das maximale Feldmoment im Riegel zu: Maximales Feldmoment im Riegel

max_M Riegel = 221.88 kN-m

bei

A

x :=-2 ·qv

x = 2.05 m

Weitere Mathcad-Arbeitsblätter mit den in [5-5] zusammengestellten Rahmenformeln finden sich in [5-6].

136

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

1.2.5 Elastisch gebettete Balken Unter elastisch gebetteten Balken versteht man Biegebalken, die kontinuierlich federnd gelagert sind. Man verwendet elastisch gebettete Balken zur Modellierung von Flächengründungen. Die Bodenplatte wird als elastisch gebettete Platte, die Steifigkeit des Bodens als elastische Bettung dargestellt. Platten, die aufgrund ihres statischen Systems und ihrer Belastung die Lasten einachsig abtragen , können vereinfachend auch als elastisch gebettete Balken berechnet werden.

Bild 5.14: Elastisch gebetteter Balken

Die elastische Bettung des Balkens wird durch den Bettungsmodul beschrieben. Man erhält ihn als Quotient der Bodenpressung CJb und der Verschiebung w an einer Stelle des Balkens zu: k = CJb s

w

(5.28)

Der Bettungsmodul wird in der Regel als Konstante angesetzt. Somit ist die Bodenpressung unter einem elastisch gebetteten Balken (5.29) Diese Bodenpressung wirkt als Streckenlast -CJb ·b auf einen Balken der Breite b Führt man die Streckenlast q-CJb ·b anstelle von q in die Differentialgleichung des Biegebalkens (5.30) ein, erhält man mit (5.30) die Differentialgleichung des elastisch gebetteten Balkens zu: Ei l-w IV +k s ·b · w - q = O

(5.31 )

Die Randbedingungen hängen wiederum von den Lagerbedingungen ab, wobei hier auch beidseitig freie Ränder oder unendlich lange Balken ohne weitere Lagerung außer durch die elastische Bettung möglich sind. Als Lösungsverfahren kommen insbesondere in Betracht: -

analytische Lösungen,

-

direkte numerische Lösung,

-

Übertragungsmatrizenverfahren,

-

Finite-Element-Methode,

-

Klassische statische Verfahren wie das Kraftgrößenverfahren.

137

1 Baustatik

Für einfache Systeme und Lastarten kann diese Differentialgleichung analytisch gelöst werden . Löst man die Differentialgleichung numerisch, so sind beliebige Belastungs- und Bettungsmodulverl äufe möglich . Die numerische Lösung der Differentialgleichung des elastisch gebetteten Balkens mit Mathcad wird im Teil IV gezeigt. Zur Berechnung mit dem Übertragungsmatrizenverfahren findet man beispielsweise in [5-3] die Übertragungsmatrix des elastisch gebetteten Balkens. Bei Berechnung elastisch gebetteter Balken nach der Finite-ElementMethode wird die Bettung häufig zu Einzelfedem zusammengefasst. Hinweise zur Modellie rung finden sich in [5-4]. Im Folgenden werden für einfache Fälle Formeln angegeben, die man mit Hilfe der analytischen Lösung erhält [5-7]. Es werden folgende elementaren Belastungsarten und Randbedingungen untersucht, Bild 5.14 : -

Beidseitig unendlich langer Balken

-

Belastung mit einer Einzellast

-

Belastung mit einem Einzelmoment

-

Einseitig unendlich langer Balken

-

Belastung mit einer Einzellast am Stabende

-

Belastung mit einem Einzelmoment am Stabende

-

Belastung mit einer Einzellast im Abstand a vom Stabende

Das Arbeitsblatt "TV_L09_Elba_bu_F.mcd " enthält die Berechnung eines beidseitig unendlich langen elastisch gebetteten Balkens mit einer Einzellast, Bild 5.15 (a) . Zunächst wird der Parameter 4

A. '-

.-

J* s'b --

4 ·E·'

(5.32)

und dessen Kehrwert, die sogenannte "elastische Länge" 1

L:="i

(5.33)

berechnet. Damit werden die statischen Größen im Bereich x ｾ 0 ermittelt. Man erhält: Lösung für x z 0 : Durchbiegung:

F·A. -A.-X w(x) := - - oe -(cos(A.-x) + sin(A.-x)) 2ksb

Biegemoment:

F -A.-X M(x) := -oe -(cos(A.-x) - sin(A. -x)) 4-A.

Querkraft:

V(x) := -

Bodenpressung:

Ob(X) := -%w(x)

F -A.·x oe -cos(A.-x) 2

(5.34)

138

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

r (a) M

.... (b )

Bild 5.15 : Beidseitig unendlich langer, elastisch gebetteter Balken (a) mit Einzellast, (b) mit Einzelmoment

°

Die Werte für x< ergeben sich aus der Symmetrie des Systems. Aus der grafischen Darstellung der Ergebnisse ist zu erkennen für welche Länge die statischen Größen noch nennensstimmen die Ergebnisse des unendlich langen werte Werte besitzen. Für Balken mit f./2 > Balkens mit denjenigen des endlich langen Balkens praktisch überein. Bei Belastung des beidseitig unendlich langen Balkens durch ein Moment erhält man entsprechend, Arbeitsblatt "TV_l_lO_Elba_bu_M.mcd" Bild 5.15 (b): Lösung für x z 0 :

Durchbiegung:

2 -A. ML w(x) ;= - - oe -A.N -sln(I A. - x I) -sign(x)

Biegemoment:

M(x) ;= ｾＭ･

ks-b

2

-A.-IX1cos(A.-1 xl )-sign(x)

Querkraft:

L V(x) ;= -M -A. -B-A.-IXI _(cos(A.-1 xl) + sin(A. -1 xl)) 2

Bodenpressung:

O"b(X) ;= -*s -w(x)

(5.35)

Die Gleichungen für den einseitig unendlich langen Balkens sind ähnlich einfach. Bei Belastung des freies Balkenendes durch eine Einzellast gilt, Arbeitsblatt " TV_1_09_EIba_bu_F.mcd" Bild 5.16 (a): Lösung für x

ｾ

0:

Durchbiegung:

2 -F-A. -A.-X ( ) w(x) ;= - - oe -cos A. -X

Biegemoment:

-F -A.-X ( ) M(x) := - -e -sln A.-X A.

Querkraft:

V(x) := -F-e-A.-X_(cos(A._x) - sin(A.-x))

Bodenpressung:

O"b(X) := -*sw(x)

ks-b

(5.36)

(c)

Bild 5.16: Einseitig unendlich langer, elastisch gebetteter Balken (a) mit Einzellast, (b) mit Einzelmoment, (c) mit Einzellast im Abstand a

Entsprechend erhält man für ein Einzelrnoment, Arbeitsblatt " TV_L 12_Elba_eu_M.mcd" Bild 5.16 (b): Lösungfür x z 0 :

2

Durchbiegung:

w(x) :=

2ML ·A

ksb

-J...x

.e(cos(A.X)- sin(A.x))

Biegemoment:

M(x) := MLe- A·X,(COs(A.X) + sin(AX))

Querkraft:

V(x) := -2 ·ML ·A·e-A 'X-sln ( A·x)

Bodenpressung:

Clb(X) := -ksw(x)

(5.37)

In der Regel wirken Einzellasten nicht direkt am Balkenende sondern in einem Abstand a. Bereits ein geringer Abstand a kann die Beanspruchungen eines elastisch gebetteten Balkens deutlich verringern. Zur rechnerischen Untersuchung dieses Falles ist der Balken allerdings in zwei Abschnitte zu unterteilen. Die Übergangsbedingungen zwischen den beiden Abschnitten führen zu einem linearen Gleichungssystem mit zwei Unbekannten. Bei der Formulierung nach dem Kraftgrößenverfahren lauten diese :

Y :=

ｾ

[[(cos(Aa) - sin(A .a))e-A·a + cos(Aa)e-A.aJJ

(5.38)

140

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

Die statischen Größen erhält man damit zu Arbeitsblatt " TV_1_13 _Elba_eu_F'a.mcd": Lösung für x ｾ 0 :

Durchbiegung :

2 ) + sin().·x ) ) +y.). w(x) := - X -·). ·e- A.-x .(cos( ).·x - -·e- A.-x ·sin().·x) ...

2I'ßb

Ｋｾ Biegemoment:

M(x) ;=

｛ｾ･

2 ·l'ßb

Ｋｾ Querkraft:

l'ß·b

Ｎ･

-).·lx-al .(cos().·lx - al) + sin().·lx - al))

-)..X(cos()..x) - sin()..x)) +

Ｔｾ 4·).

Ｎ･ -)..(1 x-al} [cos().·lx -

ｾ･

-A.-x.cos()..x)l ...

J

2

al) - sin[).·(lx - al}JJ

V(x) ;= [ :e-)..xcos(A.-x) - ; ·).·e-).,x .(cos()..x) + sin()..x))] ... +-F-·e-)..(Ix-al} -cos(I ).. x - a I) ·sign(x - a) 2

Bodenpressung:

O"b(X) := -l M cr I -

ｚｉｬ

Ｎｾ

ｫ

(5.54)

Unter der Annahme einer linearen Spannungsverteilung gilt für das Rissmoment (5.55)

Der Hebelarm der inneren Kräfte im gerissenen Zustand II kann mit (5.56) abgeschätzt werden. Die Gleichung für die Maximalbewehrung lautet gemäß [5-12] 13.1.1(4) (5.57)

2.2.3 Programmablaufplan Der Programmablaufplan ist auf der nachfolgenden Seite angegeben.

165

2 Stahlbetonbau

Eingabe der - Baustoffe - Querschnittsabmessungen - Bemessungsschnittgrößen - wirksame Stützweite

Berechnung der mitwirkenden Plattenbreite beff

Berechnung des Schwerpunktes und daraus das in die Schwerpunktlage der Bewehrung versetzte Biegemoment MEds

Eingangswerte für rn-Tafel

hrld, beff/ b; ' JlEds

Nein

Ja Bewehrungsquerschnitt A s,min ::; A" ::; As,max

Druckbewehrung erforderlich

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

166

2.2.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .Plattenbalken" Nach Auswahl der Betonfestigkeitsklasse werden die Querschnittsabmessungen gemäß nachfolgender Skizze festgelegt. Hierbei müssen nicht alle Variablen eingegeben werden . Die Ermittlung einiger Größen erfolgt automatisch (siehe Arbeitsblatt "TV_2_02_Plattenbalken.mcd").

b,

11

beff

tt

f

,

I I

2

,

I"

I"

'"

N

"-

I" 'iii

N

-cf I

.c N

11

'0

, '0

Bild 5.27: Bezeichnungen des Plattenbalkenquerschnitts

Die wirksamen Gurtbreiten berechnen sich nach DIN 1045-1 [5-12] 7.3.1 mit folgender Gleichung:

ｻ

ｾＰ

beff•i = o.z -b, +0,1 .10 ｾ b

Ｇ Ｒ Ｇ ＰＱ

kleinster Wert maßgebend

(5.58)

j

Danach ist die Eingabe der Bemessungsschnittgrößen NEd und MEd erforderlich (diese wirken im Schwerpunkt des Querschnitts). Das Biegemoment ist hierbei immer betragsmäßig einzu geben . Bei negativem Biegemoment (Platte in der Zugzone, z. B. über der Mittelstütze beim Durchlaufträger) ist der umgedrehte Plattenbalken als Rechteckquerschnitt einzugeben.

2.2.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes Durch die verwendete Bemessungstafel (Excel-Komponente) ergeben sich folgende Einschränkungen:

-

Betongüten C12/15 bis C50/60 ([5-12] 9.1)

-

Betonstahl BSt 500 ([5-12] 9.2)

-

Rechteck- oder Plattenbalkenquerschnitt ohne Druckbewehrung

Wenn keine Interpolation innerhalb der Bemessungstafel möglich ist, so ist Druckbewehrung erforderlich und es wird ein entsprechender Kommentar im Bemessungsergebnis ausgegeben.

2 Stahlbetonbau

167

2.2.6 Beispiel Eine Momentenumlagerung gemäß DIN 1045-1 [5-12] 8.3 zur Reduzierung des Stützmomentes wird im Rahmen des Beispiels nicht durchgeführt . Aufgrund der direkten Lagerung und der monolithischen Verbindung zwischen Innenstütze und Durchlaufträger darf das Stützmoment nach DIN 1045-1 [5-12] 7.3.2(3) am Stützenanschnitt verwendet werden. Man erhält red. MEd .B =MEd •B +

a

0,3° - = - 614,4 kNm 2

I l.- = - 678,0 + 423,8 .QBli .

2

Hierbei ist nach [5-12] 8.2(5) das Mindestmoment (Volleinspannmoment für lichte Weite) einzuhalten

Man erhält dann den erforderlichen Bewehrungsquerschnitt über der Innenstütze mit =25,4 cm'. Im letzten Schritt ist die Bewehrung zu wählen:

AS

Bewehrungswahl: 4025 + 2020 mit 25,9 cm'. Den Abschluss bildet eine Überprüfung der Mindest- und Maximalbewehrung . Vollkommen analog kann die Bewehrung im Feld ermittelt werden. Das Bemessungsmoment beträgt MEd,1 =442,1 kNm. Es ergibt sich eine erforderliche Bewehrung AS = 16,2 cnr'. Die Bewehrung kann mit 2025 + 2020 (16,1 crrr') gewählt werden.

2.3 Nachweis für Querkraft 2.3.1 Verwendete besondere Mathcad-Funktionen Im Folgenden soll gezeigt werden, wie ein Kombinationsfeld (ComboBox) in ein MathcadArbeitsblatt eingebunden wird. In einem Kombinationsfeld sind eine Reihe von Einträgen enthalten, aus denen der Anwender einen selektieren muss. Es wird über den Menüpunkt Einfügen! Komponente .. Skriptobjekt/ Microsoft Forms 2.0 ComboBox in das Mathcad-Arbeitsblatt eingebunden . Als Skriptsprache kann VB Script bzw. J Script verwendet werden. Das Kombinationsfeld soll n Einträge enthalten und einen dem Eintrag zugewiesenen Wert an das Mathcad-Arbeitsblatt übergeben. Dort soll dieser mit Hilfe der Variablen .Rückgabe" abgerufen werden können. Aus diesem Grund ist es erforderlich , zunächst die Scriptsprache zu wählen und den Objektnamen (in diesem Fall mit "Beispiel" bezeichnet) einzugeben , dann die Anzahl der Eingabevariablen mit 0 und die der Ausgabevariablen mit 1 festzulegen. Es sollte beachtet werden, dass maximal 4 Ein- und Ausgabewerte bearbeitet werden können. Rückgabe :=

I Nachdem das Steuerelement in das Arbeitsblatt eingebunden wurde, kann der Quellcode mit Hilfe des Scripteditors in der gewählten Scriptsprache geschrieben werden. Erst dadurch wird es möglich, die Liste mit Einträgen zu füllen und die Nummer des selektierten Eintrages an das Arbeitsblatt zu übergeben , Im Folgenden ist das vollständige Skript für das beschriebene Kombinationsfeld in allgemeiner Form in VB Script Language dargestellt.

Teil V: Anwendun gen im Konstruktiven Ingenieurbau

168

Sub Beispiellivent Exect Inputs,Outputs) If Beispiel.ListCount = 0 Then

'Füllen der Liste

Beispiel.Additem "Eintrag n " Beispiel.Additem "Eintrag n + I " EndIf Wert

=- I

W ert zur Fehlerbehandlung

Select Case Beispiel Case "Eintrag n" Wert

=a

W enn n gewählt , wird a zurückgegeben

Case "Eintrag n + I" Wert

=b

W enn n + I gewählt, wird b zurückgegeben

End Select Outputs(O). Value = Wert

Wert, der an Mathcad zurückgegeben wird

End Sub

2.3.2 Erläuterungen zum Nachweis Die nachfolgenden Angaben gelten für nicht vorgespannte Tragwerke. Bei vorgespannten Bauteilen sind die in DIN 1045-1 [5-12] erläuterten Ergänzungen zu beachten.

Ermittlung der Bemessungsquerkraft Nach DIN 1045-1 [5-12] 10.3.2 darf bei direkter Auflagerung der Bemessungswert der Querkraft abgemindert werden. Dabei wird zwischen gleichmäßig verteilten Lasten und Einzellasten unterschieden. Es ist jedoch zu beachten, dass diese Abminderung beim Nachwei s der Druckstrebentragfähigkeit unberücksichtigt bleibt.

Querkrafttragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung Der Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung darf nach DIN 1045-1 [5-12] 10.3.3 mit Hilfe von (5.59) bzw. (5.60) erfolg en. Für Stahlbetonbauteile unter Druckbeanspruchung ist durch (5.60) die Möglichkeit gegeben, die Querkrafttragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung an einem ungerissenen Querschnitt zu ermitteln. (5.59)

"

YRd

_ I .bw

.ct -

--.

s

( ! ctk;O.05 ) 2 - -c

r

'-

!ctk;O,05 -

rc-

(5.60)

Wenn V Ed ｾ VRd,ch braucht bei Platten keine Bewehrung bzw. bei Balken nur die Minde stbewehrung nach DIN 1045-1 [5-12] 13.2.3 berücksichtigt zu werden .

2 Stahlbetonbau

169

Querkrafttragfähigkeit mit Querkraftbewehrung

Die Querkraftbemessung biegebewehrter Bauteile mit Querkraftbewehrung erfolgt auf Grundlage eines Fachwerkrnodells, bei dem nach DIN 1045-1 [5-12] 10.3.4 die Druckstrebenneigung eauf folgende Werte zu begrenzen ist: 0,58 s cot8 s 3,0 0,58 s cot 8 s 2,0

für Normalbeton für Leichtbeton

Die Druckstrebenneigung kann mit Hilfe von (5.61) berechnet werden. cot 8 = I,2-I,4 'O"cd1l cd

(5.61)

1- VRd.cIVEd

mit: VRd.c = [ 111 ' ßCl ' 0,10· Ick1/3. ( 1+ 1.2, O"Cd]J I cd . bw

.z

(5.62)

(5.63) ergibt sich durch Umstellen der in DIN 1045-1 [5-12] 10.3.4 angegebenen Gleichung zur Ermittlung des Bemessungswertes der Querkrafttragfähigkeit VRd•sy unter Berücksichtigung des Winkels der Querkraftbewehrung a. a = V sw z : Iyd . (cot8 + COla) ' sin a

(5.63)

Nachdem die erforderliche Bewehrung berechnet wurde, muss nachgewiesen werden, dass der Bemessungswert der maximalen Querkraft VEd die Betondruckstrebentragfähigkeit VRd•max nach (5.64) nicht überschreitet. VRd

.max

w

· z ·a ·/cd c

cot8+cota l+cot 28

(5.64)

Konstruktionsregeln

Nach DIN 1045-1 [5-12] 13.2.3 darf bei Balken und Plattenbalken der Bewehrungsgrad der Querkraftbewehrung Pwden folgenden Mindestwert nicht unterschreiten: rnin Pw ｾ 1,0 . P

Mitp nach DIN 1045-1 [5-12] Tab. 29 und:

Asw

P = w

Sw

' bw -sina

(5.65)

Auf Grundlage des erforderlichen Bewehrungsgrades kann die Mindestquerkraftbewehrung durch Umstellen von (5.65) ermittelt und die Bewehrung gewählt werden. Abschließend ist zu überprüfen, ob die maximal zulässigen Längs- und Querabstände der Bügelschenlcel nach DIN 1045-1 [5-12] Tab. 31 eingehalten sind. Dabei ist zu beachten , dass der Längsabstand von Schrägstäben den nach (5.66) ermittelten Wert nicht überschreitet. Smax

= 0,5 · n.(1+ com)

(5.66)

170

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

2.3.3 Programmablaufplan

Eingangswerte ändern Querkraftragfähigkeit ohne Querkraftbewehrung ausreichend? v...... nach(5.59)

nein

ja

Berechnungder erforderlichen Querkraftbewehrung nach (5.63)

Druckstrebentragfähigkeit v ausreichend? v

ia

nach(5.64)

Balken bzw. Plattenbalken ?

ja

Mindestbewehrung nach [5.12]13.2.3 maßgebend ?

nei

nein

ｾ

l

Berechnungder erforderlichen Querkraftbewehrung auf Grundlagedes Mindestbewehrungsgrades

Wahl der Bewehrung

2.3.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt "Nachweis für Querkraft" Nachdem die Betongüte gewählt und im Fall des Leichtbetons die Trockenrohdichte eingegeben wurde, können in die dafür vorgesehenen Felder die Querschnittswerte, die Schnittgrößen sowie die Neigung der Bügelbewehrung eingegeben werden.

2 Stahlbetonbau

171

Dabei ist Folgendes zu beachten: -

die Querschnittsfläche Ac muss nur im Fan einer Längskraft N Ed eingegeben werden

-

im Feld red VEd wird der Bemessungswert der Querkraft eingegeben (wird keine Abminderung durchgeführt, ist VEd einzusetzen)

Die Eingabe ist im Punkt "Wahl der B ügelbewehrung" durch die Eingabe des Bügeldurchmessers sowie der Bügelausführung zu beenden. Wahl der Bügelbewehrung:

Durchmesser des Bügels: ､ｳｷ

Ｚｾ

turnm

2.3.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes Wenn im Abschnitt "Überprüfung der Druckstrebentragfiihigkeit" die Meldung .Druckstrebentragfähigkeit nicht ausreichend!" ausgegeben wird, müssen die Eingangswerte (Betonfestigkeit, Querschnittsabmessungen) solange verändert werden, bis im Textfeld die Meldung .Druckstrebentragfähigkeit ausreichend!" erscheint. Sollte das Textfeld im Abschnitt "Wahl der B ügelbewehrung" die Meldung "Wahl der Bügelbewehrung ändern" ausgeben, muss der Durchmesser der Bügelbewehrung bzw. die Bügelausführung solange verändert werden, bis diese Fehlermeldung erlischt. Mit dem Arbeitsblatt ist es zwar möglich, die erforderliche Querkraftbewehrung für Platten zu berechnen, die in DIN 1045-1 beschriebenen Konstruktionsregeln bleiben jedoch unberücksichtigt.

2.3.6 Beispiel Für das im Abschnitt 2.1.2 beschriebene Beispiel wird im Folgenden der Querkraftnachweis geführt. Die maßgebende Querkraft VEd im Grenzzustand der Tragfähigkeit beträgt 423,8 kN. Da es sich um direkte Lagerung handelt, darf dieser Wert abgemindert werden. Die für den Nachweis maßgebende Querkraft wird im Abstand d =64 cm vom Auflagerrand ermittelt. red VEd =423,8 kN

kN kN kN (1,35·(30 -+5 -)+1,5·25 -)-(0,64 m+0,15 m) m m m

red VEd = 356,8 kN

Die Schnittgrößen sowie die Querschnittswerte können nun in das Arbeitsblatt eingegeben werden. Die erforderliche Querkraftbewehrung beträgt 7,06 cm2/m, da die Mindestquerkraftbewehrung von 3,71 cm2/m nicht maßgebend ist. Bei der Verwendung von 2-schnittigen Bügeln mit einem Betonstahldurchmesser von 10 mm ist der Querkraftnachweis für Bügelabstände von 20 cm erbracht.

172

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

2.4 Durchstanznachweis 2.4.1 Verwendete besondere Mathcad-Funktionen Für den Durchstanznachweis werden vordefin ierte Funktionen von Mathcad verwendet. Die Größe des Bereiches mit Durchstanzbewehrung kann durch Lösen eines Gleichungssystems ermittelt werden. Dabei findet die in Mathcad eingebaute Funktion wurzel(f(x),x) zum Lösen genau einer Gleichung mit einer Unbekannten Verwendung . Für die numerische Lösung der Gleichung muss ein Schätzwert definiert werden , von dem aus der Lösungsalgorithmus seine Suche nach einer Lösung beginnen kann. Die gefundene Lösung, für den der Ausdruck f(x) gleich 0 ist, legt die Länge lw fest, innerhalb der für innere Rundschnitte die erforderliche Durchstanzbewehrung zu ermitteln und auf den jeweiligen Umfang zu verteilen ist (vgl. Bild 5.28).

rwx.1 rwx.i

......................-

-

..

äußerer Rundschnitt kritischer Rundschnitt

: innere Rundschnitte Lasteinleitungsfläche

-,

ｾ

\

ｾ Ｇｬ ｟ ｬ

\

1_. _

Bild 5.28: Bereich lw bei vertikal angeordneter Durchstanzbewehrung und zugehörige Rundschnitte in x-Richtung

2 Stahlbetonbau

f(l w} :=

173

ßVEd

2.(lcx + Icy) +1t (21 w + 3 v Rd.max

otherwise

Nachweisstatus = "Ausnutzung der Querkrafttragfähigkeit am kritischen Rundschnitt 87.7 %"

Unter Verwendung spezieller Operatoren können in Mathcad Professional eigene Programme geschrieben werden. Dazu werden vor allem die Programm operatoren

-

,,+1 Zeile", zum Einfügen einer neuen Programmzeile ,,+-", zur Wertzuweisung an eine lokale Variable

.Jf", als Verzweigung, mit der Bedingung nach dem if und der Anweisung, die bei erfüllter Bedingung ausgeführt wird, vorher "otherwise", für die Definition des Neinzweiges einer Verzweigung

.for", als Zählschleife, mit der Zählvariable nach dem Schlüsselwort und dem Laufbereich der Zählvariablen nach dem Elementsymbol E verwendet.

174 LsW(n) :=

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau sf-0.5 ·d it n=1 otherwise Sf- 0.5.cJ tor j e 2 .. n Sf-S+Sw

Die Programmoperatoren können für die Ermittlung der Radien der inneren Rundschnitte und des Abstandes der inneren Rundschnitte von der Lasteinleitungsfläche genutzt werden .

2.4.2 Erläuterungen zum Nachweis Die Bemessungswerte der Querkrafttragfähigkeit können nach DIN 1045-1 [5-12] 10.5.4 und 10.5.5 ermittelt werden. Im Einzelnen sind dies: VRd.ct

Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit längs des kritischen Rundschnitts einer Platte ohne Durchstanzbewehrung

VRd.ct.a

Bemessungswert der Querkrafuragfähigkeit längs des äußeren Rundschnitts außerhalb des durchstanzbewehrten Bereichs

VRd.sy

Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit mit Durchstanzbewehrung längs innerer Nachweisschnitte

VRd,max

Bemessungswert der maximalen Querkrafttragfähigkeit längs des kritischen Rundschnitts

Der Nachweis der Tragfähigkeit ist längs festgelegter Nachweisschnitte zu führen, die affin zum kritischen Rundschnitt verlaufen. Folgende Nachweise sind nach DIN 1045-1 [5-12] 10.5.3 zu führen: ist.

-

Keine Durchstanzbewehrung ist erforderlich, wenn VEd

-

Bei Platten mit Durchstanzbewehrung darf im kritischen Rundschnitt überschritten werden.

-

Wenn VEd im inneren Rundschnitt VRd,ct überschreitet, ist Durchstanzbewehrung anzuordnen, damit VEd :::; VRd,sy gilt.

-

Zur Vermeidung eines Versagens außerhalb des durchstanzbewehrten Bereiches, muss zusätzlich VEd :::; VRd.ct,a erfüllt sein.

:::; VRd,ct

VEd :::; VRd.max

nicht

Ist Durchstanzbewehrung erforderlich, wird diese über einen Bereich angeordnet, der durch die Breite lw gekennzeichnet ist. Aus der Bedingung VEd = VRd,ct.a am äußeren Rundschnitt wird lw bestimmt. Die Durchstanzbewehrung wird auf dem Umfang von inneren Rundschnitten Uj verteilt. Dabei sind Abstandregeln für die Verwendung von Bügeln und Schrägstäben vorgegeben,

Bauteile ohneDurchstanzbewehrung Ermittlung des Umfangs des kritischen Rundschnitts für eine rechteckige Lasteinleitungsfläche nach DIN 1045-1 [5-12] 10.5,2: (5.67)

175

2 Stahlbetonbau mit:

Ja ' Jcy

Stützenabmessungen

d

mittlere statische Nutzhöhe des nachzuweisenden Bauteils

Ermittlung der aufzunehmenden Querkraft pro Längeneinheit für 10.5.3(2):

nach DIN 1045-1 [5-12]

ß VEd vEd=-Ucril

(5.68)

mit:

ß

Beiwert zur Berücksichtigung der Auswirkung von Momenten in der Lasteinleitungsfläche

VEd

Bemessungswerte der gesamten aufzunehmenden Querkraft

Ermittlung des Bemessungswertes der Querkrafttragfähigkeit ohne Durchstanzbewehrung nach [5-12] 10.5.4: vRd,cl =[°,14 ' 17. '

(100 ' PI '

J

!cd; -0,12 ' O'cd

d

VRd.ct

(5.69)

mit: K=I+

PI

ｾＲＰ

. d d:5:2,0 rmt

in

(5.70)

mm

mittlerer Längsbewehrungsgrad innerhalb des kritischen Rundschnitts mit:

(5.71)

O'cd

Normalspannung innerhalb des kritischen Rundschnitts (Zugsp. positiv)

Bauteile mit Durchstanzbewehrung Ermittlung der maximalen Querkrafttragfähigkeit für Platten mit Durchstanzbewehrung im kritischen Rundschnitt nach [5-12] 10.5.5(1):

(5.72)

vRd,max = 1,5' vRd,Cl

Ermittlung des Bereiches mit Durchstanzbewehrung: Aus der Bedingung Ausdruck

VEd

=

VRd ,ct,a

am äußeren Rundschnitt (vgl. Abschnitt 4.1) ergibt sich der

(5.73)

zur Bestimmung von

w'

176

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

Nach der Bestimmung der Anzahl der Rundschnitte und ihrer Lage kann die erforderliche Durchstanzbewehrung mithilfe der Gleichungen (5.108) und (5.109) nach DIN 1045-1 [5-12] 10.5.5(2) ermittelt werden.

2.4.3 Programmablaufplan

Eingabe: Auswahl Beton, Stützenabmessungen. Plattendicke. Bewehrungsgrad

Ermittlung: Umfang des kritischen Rundschnitts (S Aufzunehmende Querkraft Bemessungswert der Querkrafttragfähigkeit

Durchstanzbewehrung ist nicht erforderlich

Ermittlung: maximale Querkrafttragflihigkeit (S

Korrektur Plattendicke. Bewehrungsgrad, Betongüte

Ermittlung: Bereich mit Durchstanzbewehrung Anzahl der Rundschnitte Umfang der Rundschnitte Erforderliche Durchstanzbewehrung

Ausgabe: Erforderliche Durchstanzbewehrung Umfang des jeweiligen Rundschnitts Abstand des jeweiligen Rundschnitts

2 Stahlbetonbau

177

2.4.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt .Durchstanzen " Nach der Auswahl des Betons sind zur Definition der Lasteinleitungsfl äche die Abmessungen einer Rechteckstütze einzugeben . Für die durchstanzgefährdete Platte sind die Bauteildicke und der Bewehrungsgrad der dort vorhandenen Biegezugbewehrung anzugeben. Nach der Eingabe des Bemessungswertes der gesamten aufzunehmenden Querkraft wird der Durchstanznachweis geführt.

2.4.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes Das vorliegende Mathcad-Arbeitsblatt zeigt grundlegend, wie das neue Bemessungsverfahren nach DIN 1045-1 [5-12] 10.5 programmtechnisch mit dem Berechnungswerkzeug Mathcad umgesetzt werden kann. Zur Anwendung des Arbeitsblattes sind folgende Bedingungen einzuhalten: rechteckige Stützen keine Öffnungen Lasteinleitungsfläche nicht in der Nähe eines freien Randes keine Stützenkopfverstärkungen

2.4.6 Beispiel Als Beispiel wird im Mathcad-Arbeitsblatt der Durchstanznachweis für das Innenfeld einer Flachdecke nach [5-13] S. 5.76. Die Geometrie wird unverändert aus dieser Quelle übernommen, die Bemessungsquerkraft beträgt jedoch abweichend VEd = 525 kN. Das nach DIN 1045-1 erforderliche iterative Ermitteln von Lw wird durch das Programm gelöst. Eine Eingabe hierzu ist nicht erforderlich . Das Programm gibt Hinweise zum Ausnutzungsgrad und zu einer evtl. erforderlichen Durchstanzbewehrung . Abschließend werden die Rundschnitte mit der jeweils erforderlichen Bewehrung ausgegeben. Zusätzlich erfolgt eine Überprüfung der Mindestdurchstanzbewehrung.

2.5 Nachweis für Stützen nach dem Modellstützenverfahren 2.5.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen Das Mathcad-Arbeitsblatt " TV_2_05_Modellstuetze.mcd" nutzt die Funktion PRNLESEN zum Einlesen von Feldvariablen aus strukturierten ASCII-Datendateien. Hierbei werden nur gültige, alphanumerische Zahlen eingelesen, die durch Tabulator oder Leerzeichen getrennt sind. Ungültige Zeichen in der Datei veranlassen Mathcad zum Abbruch. Eine Ausnahme bildet dabei nur der sog. Textvorsatz am Dateianfang, d. h. der Bereich vor Auftreten der ersten Zahl. Dieser Textvorsatz wird beim Einlesen einfach ignoriert. Mathcad bildet die Feldvariablen (Matrizen) während des Einlesens nach folgendem Schema: Tabulator oder Leerzeichen erzeugen eine neue Spalte, Zeilenumbruch erzeugt eine neue Zeile. Die Struktur der hier verwendeten ASCII-Datendateien (*.txt) ist durchgängig zweispaltig, d. h. die Feldvariable Dat wird nach dem Einlesen eine m,2-Matrix mit m Zeilen (Anzahl der Wertepaare des Grafen) und zwei Spalten sein. Der erste Spaltenvektor (DalO») repräsentiert dabei

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

178

die bezogene Normalkraft "Ed und der zweite Spaltenvektor (Da » das bezogene, äußere Biegemoment ,l/EdO nach der Theorie der I. Ordnung . Das als Diagramm eingefügte Interaktionsdiagramm wird also durch Da/O) auf der y-Achse und Da ) auf der x-Achse erzeugt. Durch Zuweisen des Dateinamens in die Textvariable Datei (Argument der Funktion PRNLESEN), abhängig vom Tafeleingangswert d-fh, wird automatisch die richtige ASCII-Datei ausgewählt. Liegt das Verhältnis d-Ih zwischen zwei Tafeln, so wird auf der sicheren Seite liegend die ungünstigere Tafel, also diejenige mit größerem gewählt. Eine besondere Erleichterung für den Anwender - im Vergleich zu einer Handrechnung - sind die im Interaktionsdiagramm als Markierungen bereits eingetragenen , bezogenen Bemessungsschnittgrößen "Ed und ,l/Ed nach Th. II. 0 ., wodurch der mechanische Bewehrungsgrad CO tot nur noch am Bildschirm abzulesen ist. Ein Ablesen aus den Tafeln in [5-13] wäre hingegen meistens noch mit Zeichenarbeit verbunden. Die Markierungen sind auch der Grund dafür, dass die Tafeleingangsgröße "Ed negativ (Längsdruckkräfte sind dadurch positiv) aufgetragen ist. Sie werden andernfalls von Mathcad nicht dargestellt. Die Wertetabellen zur Erzeugung der Interaktionsdiagramme als Mathcad-x/y-Diagramm wurden vorab mit einem separaten , vom Autor erstellten Programm berechnet und sind in Form von ASCII-Datendateien (*.txt) bereitgestellt. Sie entsprechen den Tafeln 5 in [5-13] ab Seite 5.130 zum Ablesen des totalen mechanischen Bewehrungsgrades. Schlankheitsabhängige Bemessungsdiagrarnme (Tafeln 10 in [5-13]) werden hier nicht behandelt, da in diesen Diagrammen das Modellstützenverfahren bereits eingearbeitet ist (vgl. [5-15a]).

2.5.2 Erläuterungen zum Nachweis Wenn die Bauteilverformungen zu berücksichtigen sind, kann das Modellstützenverfahren nach DIN 1045-1 [5-12] 8.6.5 für den vereinfachten Nachweis von Einzeldruckgliedern verwendet werden. Für Druckglieder sind zunächst die Grenzschlankheiten zu überprüfen . Wenn gemäß [5-12] 8.6.3(2) die Schlankheit A. des Einzeldruckgliedes die folgende Grenze für

ｾ 0,4 1

für

I< 0,4 1

(5.74)

nicht überschreitet, so dürfen die Auswirkungen der Bauteilverformungen vernachlässigt werden. Sofern es sich um ein Druckglied in einem unverschieblichen Tragwerk handelt ([5-12] 8.6.3(4», brauchen die Zusatzmomente nach der Theorie II. Ordnung selbst bei Überschreiten von GI. (5.74) nicht ermittelt werden, wenn die Bedingung (5.75)

mit leo.1 ｾ leo 21 Lastausmitten an den Stützenenden für e0 1 = e0 2 =0 ist -\rit = 25

2 Stahlbetonbau

179

eingehalten ist. Allerdings ist in diesem Fall das Mindestmoment (5.76)

an beiden Stützenenden zu überprüfen ([5-12] 8.6.3(9)). Die Ermittlung der planmäßigen Lastausmitte nach der Theorie I. Ordnung erfolgt mit (5.77)

Da in horizontal unverschieblichen Systemen das mittlere Drittel der Ersatzlänge nicht am Stützenanfang bzw . -ende liegt, darf eo nach [5-12] 8.6.5(6) mittels (5.78)

mit

jeOlI:'> leo,l

Lastausmitten an den Stützenenden

berechnet werden .

In solchen Fällen, in denen die Auswirkungen nach der Theorie 11. Ordnung nicht vemachlässigbar sind, müssen die Zusatzausmitten aus ungewollter Schiefstellung ea (Imperfektion nach [5-12] 8.6.4) (5.79)

.

I

mit aa,=

I {/00)

I

Äs_Vl)'" I

2 Feh'er{' Negat'-'erEJewehrungsouerschnitt ") .f IAs_vorh < 0 cm 1v ｉａｳ｟Ｎ h_ c •• IA._ön,t.'J,m)

'I] ｾ < 0 cm21

I

I

Es werden zwei Fehlerabfragen durchgeführt. Bei positivem Abfrageergebnis soll ein Berechnungsabbruch mit entsprechender Meldung eintreten. Beide Routinen überprüfen die eingegebenen Bewehrungsquerschnitte und sollen eine fehlerhafte Berechnung verhindern. Zunächst kommt die Anweisung .on error" zur Anwendung, welche bei einer fehlerfreien Berechnung mit Hilfe einer Maximalwertfunktion einen Rückgabewert liefert. Tritt in der Funktion .max" ein Fehler auf, welcher hier durch eine Nullwerteingabe des Bewehrungsquerschnitts A u orh auftreten kann, wird die interne Fehlerauswertung von Mathcad umgangen, und die Funktion "Fehler" konstruiert einen eigenen Fehlerhinweis. Es wird darauf hingewiesen, dass Mathcad in diesem Fall (Division durch Null) eine ähnliche Meldung anzeigen würde, jedoch ohne den Hinweis auf die Ursache. Während der erste Mechanismus einen numerischen Berechnungsfehler abgefangen hat, wird in A s_vorh) der zweiten Programmroutine eine mögliche fehlerhafte Eingabe von Werten abgefragt. Hierbei wird unter zu Hilfenahme einer "if'-Anweisung und einer "oder"-Verknüpfung überprüft, ob negative Bewehrungsquerschnitte eingegeben worden sind. Denkbar ist hier ebenfalls eine Abfrage, ob der Fall As _vorh < A in der Berechnung zugelassen werden kann. Ist der Rückgabewert der Abfrage wahr, so wird die Funktion .Fehler" mit der entsprechenden Meldung ausgeführt.

2.9.2 Erläuterungen zum Nachweis Die nachfolgende Berechnung ermittelt die erforderliche Verankerungslänge wehrungsstahldurchmesser> 32 mm.

lb_nel

auch für Be-

Gemäß DIN 1045-1 [5-12] 12.6 werden folgende Berechnungen durchgeführt : Grundrnaß der Verankerungslänge eines Einzelstabes nach [5-12] 12.6.2: lb =

s . fyd

4

(5.110)

fbd

mit: Bemessungswert der Verbundspannung gemäß [5-12] 12.5

fbd

fbd = 2.25 . fClk_O .05 Ye

(5.Ul)

Entsprechende Abminderungen werden berücksichtigt. Erforderliche Verankerungslänge [5-12] 12.6.2 (3): lb -

nct

=

lX a

As erf -ｾ lb min As_vorh-

·lb .-

(5.U2)

196

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

mit:

a.. A s_ Au

rh

lb_min

Beiwert zur Berücksichtigungder Wirksamkeitder Verankerungsartgemäß [5-12] 12.6.2 erforderlicher Bewehrungsquerschnitt vorhandener Bewehrungsquerschnitt Mindestwert der Verankerungslänge lb_min

=O.3,u a · lb ;::lO ·ds

(Zugstäbe)

(5.113)

lb_min

=O.6 ·lb ;::lO ·d s

(Druckstäbe)

(5.114)

Erforderliche Querbewehrung: Zur Aufnahme der Querzugspannungen im Verankerungsbereich der Bewehrungsstäh1e muss eine Querbewehrung (Bügel) angeordnet werden . Diese wird i. d. R. sichergestellt durch die entsprechende Mindestquerbewehrung des Bauteils . Bei Verwendung von Stabdurchmessem > 32 mm ohne Querdruck ist im Verankerungsbereich eine zusätzliche Querbewehrung anzuordnen . Die entsprechenden Stahlquerschnitte berechnen sich nach DIN 1045-1 [5-12] 12.6.3. Eine Berechnung dieser Bewehrungsquerschnitte findet im Programm nicht statt.

2.9.3 Programmablaufplan

Eingabe:

Auswohl Beton. Verbundbedlngung. Stabbeansprochungsart. a". cf,. A...mo A..._

197

2 Stahlbetonbau

2.9.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt "Verankerungslänge" Die Auswahl der Betonfestigkeitsklasse mit Angabe der Trockenrohdichte (nur bei Verwendung eines Leichtbetons) erfolgt analog wie in bereit s beschriebenen Mathcad -Arbeitsblättem. Die zusätzliche Angabe der Verbundbedingung des zu verankernden Stabes erfolgt über eine Auswahlliste . Verbundbedingungen

Eine entsprechende Abbildung hilft dem Anwender bei der Festlegung der Verbundbedingung. Die Darstellung wurde in einer Region abgelegt und wird durch Öffnen dieser sichtbar .

Iil Abbildung Verbundbedingung Zur Klassifizierung der Verankerungsart des Stabes ist der Faktor IX.. festzulegen . Die entsprechende tabellarische Darstellung zur Festlegung von IX.. ist aus DIN 1045-1 entnommen und wurde ebenfalls in eine Region eingebunden. Nachdem d.; Au orh und A u eingegeben sind, muss die Beanspruchungsart des Stabes festgelegt werden. Die Festlegung, ob ein Querzug senkrecht zur Bewehrungsebene vorhanden ist, ervgl. Abschnitt 2.10.1) . Wenn das weitere Mathcadfolgt durch ein Markierungsfeld Arbeitsblatt nachvollzogen werden soll, ist zu beachten, dass die Übergabevariable (Querzug) durch den Popup-Menüpunkt ,,Argumente ausblenden" nicht sichtbar ist. Die Eingabe von erforderlichen Werten für die Ermittlung der Verankerungs länge ist hiermit abgeschlossen. Im weiteren Dokument werden die Werte Verbundspannung, Grundmaß und Mindestwert der Verankerungslänge berechnet. Mindestwert der Verankerungslänge: Ib_min :=

lo.3 .a

a' lb if Stabart

O.6·lb otherwise

(( lb min := max ｾ ｾｉ｢｟ｭｩｮ

=°

Zugstab

(5.113)

Druckstab

(5.114)

10·ds \\

11 ))

Im letzten Schritt wird durch eine Maximalwertermittlung die erforderliche Verankerungslänge des jeweiligen Stabes ermittelt.

2.9.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes Das vorliegende Mathcad-Arbeitsblatt deckt nicht alle denkbaren Sonderfalle der Bestimmung von Verankerungslängen ab. Aus diesem Grund kommt es in gewissen Situationen zu Anwendungseinschränkungen des vorliegenden Programms. Im Einzelnen können folgende Einschränkungen angegeben werden : -

Keine Möglichkeit zur Berücksichtigung eines vorhandenen Querdrucks rechtwinklig zur Bewehrungsebene. Eine hiermit verbundene mögliche Erhöhung des Bemessungswerts der Verbundspannung in Höhe von:

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

198

1 $1.5 1-0.04· P

Und damit Reduzierung der Verankerungslänge ist nicht möglich. -

Eine Erhöhung des Bemessungswerts der Verbundspannung um 50% bei vorhandener allseitig bewehrter Betondeckung von mindestens IOds ist nicht berücksichtigt.

-

Die entsprechenden Berechnungen zur Ermittlung der erforderlichen zusätzlichen Querbewehrung bei Stabdurchmessem > 32 mm wurden nicht berücksichtigt.

-

Der Ansatz von Stabbündeln statt eines Einzelstabes wurde nicht explizit erfasst. Es ist jedoch möglich, einen Vergleichsdurchmessers dsv einzugeben unter Beachtung der Begrenzung desselbigen in Abhängigkeit bestimmter Faktoren (z. B. Betonfestigkeitsklasse), eine Berechnung der Verankerungslänge durchzuführen.

Das Abfangen von den für die Berechnung nicht auswertbaren Bewehrungsquerschnitten erfolgt über eine Fehlerbehandlung mit entsprechenden Hinweisen gemäß Abschnitt 2.9.1.

2.9.6 Beispiel Im Plattenbalkenquerschnitt des Beispiels in Abschnitt 2.1.2 soll die Längszugbewehrung über der Mittelstütze verankert werden. Es wird angenommen, dass die Bewehrung (025) nach der Zugkraftdeckungslinie gestaffelt wird (As_vorh =A u ) ' Für die oben liegende Bewehrung gelten "mäßige Verbundbedingungen". Die Verankerung erfolgt durch gerade Stabenden (a.. 1,0). Im Mathcad-Arbeitsblatt wird zunächst der Bemessungswert der Verbundspannung berechnet, wobei hier die Abminderung aufgrund der Verbundbedingung Berücksichtigung findet.

=

fbd := wenn(Verbundbedingung

= 1.fbd ,fbd ·O.7)

N fbd = 2.10-2 mm

Nachdem das Grundmaß (129,4 cm) und der Mindestwert (38,8 cm) der Verankerungslänge bestimmt wurden, ergibt sich am Ende des Arbeitsblattes die Verankerungslänge zu: Ib_net (As_erf. As_vorh) = 129.4 cm

2.10 Übergreifungslängen 2.10.1 Verwendete besondere Mathcadfunktionen Für eine komfortablere Eingabe der Eingangswerte in die Berechnung kommen verschiedene Einbindungen von Windows-typischen Dialogelementen zum Einsatz. Mathcad bietet hier zwei Möglichkeiten, die zum einen eine Lösung durch Mathsoft-Steuerelemente (ab Mathcad 2001) oder zum anderen durch MS-Forms-Steuerelemente ermöglichen. Die hier verwendeten Elemente basieren auf Microsofts Forms 2.0 Control (ActiveX®-Steuerelement) und werden über das Einfügen von "SkriptObj ekt"-Komponenten eingebunden. Im Folgenden soll anhand der Verwendung des Elements "CheckBox" gezeigt werden, wie Markierungen und somit Auswahlentscheidungen anwenderfreundlich gesetzt und von Mathcad verarbeitet werden können. Bei der Ermittlung des Bemessungswerts der Verbundspannung wird beim Vorliegen von Querzug senkrecht zur Bewehrungsebene eine entsprechende Abminderung erforderlich. Hierzu soll mittels einer einfachen Markierung eine Definition erfolgen. Das erforderliche Element

2 Stahlbetonbau

199

wird über den Menüpunkt Einfügen! Komponente ...! Skriptobjekt/ Microsoft Forms 2.0 CheckBox eingefügt. Anschließend muss die Skriptsprache gewählt werden, mit der das Dialogelement "zum Leben erweckt" werden soll. Für das vorliegende Beispiel wird VBScript gewählt, welche einen Teilsatz von Visual Basic für Anwendungen darstellt. Der Name, unter dem das Objekt angesprochen werden soll, wird mit "Check" definiert. Des weiteren wird ein Ausgabewert festgelegt. Nachdem das Objekt erstellt ist, kann die in Mathcad weiterzuverwendende Variable (hier: Querzug) eingesetzt werden. Querz ug :=

Argume nte ausble nde n

p

- - - - - -- - - ... ..

p

Als nächster Schritt wird mit Hilfe des Skripteditors eine VBScript-Funktion entworfen, welche das Ziel hat, bei einer Markierung des Feldes (gesetzter Haken) als Übergabeparameter an Mathcad bzw. an die Variable Druckstab, den Wert ,,1" zu liefern . Andernfalls soll der Ausgangswert der Funktion ,,0" sein.

., DatDl BearbertEn .AnsICht 7

Ir.ilIiII V. I ｾ ｾｵ｢

ｬ ･ ｬ ＱＹ ｬ ＿

I

Che e t t v e nt [ )(ce Ｈ ｉ ｮ ｰ ｵ ｴ［ ｾ Ｌ Out PUt 2 ) Pem AU5ve["tunQ ob Ouer::uQ' v orhanden

Il Ch e c k . Val ue -Ttue 'rn en Rem "enn OUe r UIO, cenn p:uexqMetl er t - l Ou t P Ut.8(O ) . V,. l u e -l

Else Re m Wenn kein Que r:ug, dann Out put :l ( O) . Va l ue- O

ｒｵ

･ｫｯ｡｢

ｾｴｬ･ｲｴ

ﾷｏ

[mi I i [nd S Ub

2.10.2 Erläuterungen zum Nachweis Gemäß DIN 1045-1 [5-12] 12.8 wird die Übergreifungslänge wie folgt bestimmt: Ermittlung der Übergreifungslänge nach [5-12] 12.8.2: (5.115) mit: Verankerungslänge gemäß Abschnitt 2.9 Beiwert für die Übergreifungslänge Mindestwert der Übergreifungslänge ls_min =

(5.116) ｾＱＵ

0,3· u a . Ul · lb ｾＲＰ

mm

mit:

IX..

Beiwert zur Berücksichtigung der Verankerungsart [5-12] 12.6.2

lb

Grundmaß der Verankerungslänge

Alle erforderlichen Berechnungen zur Ermittlung der Verankerungslänge werden gemäß Abschnitt 2.9 geführt.

200

Teil V: Anwendun gen im Konstruktiven Ingenieurbau

Wenn der lichte Abstand der gestoßenen Stäbe von 4 d überschritten wird, erfolgt eine Korrektur der Übergreifungslänge . ls = ls + (Lichter Abstand der gestoßenen Stäbe - 4 x d s)

(5.117)

Erläuterungen zur erforderlichen Querbewehrung: Auf die Anforderungen der benötigten Querbewehrung wird in der Rechnung nicht eingegangen (siehe hierzu [5-12] 12.8.3).

2.10.3 Programmablaufplan

(

Start

ｾ Eingabe: Auswahl Beton. Verbundbedingung. Stabbeanspruchungsart. a.. cl,. A._""h Stoßanteil. Stoßgeometrie (5. So' sJ

"-oft' ｾ

Ermittlung: Verankerungslänge (Abschnitt 2..9)

I

ｾ

ｾ

Ermittlung: Obergreifungslänge

Ennittlung: Mindestwertder Obergreifungslänge

(5.115)

I

-.

(5.116)

/ Ermittlung: Maximalwert

ｾ

IObergreifungslänge ｾ ja

•

Maximalwert

ｾ

lichter Abstandder ｾ gestoßenenStäbe> 4cl,

Korrektur

Obergreifungslänge (5.117)

I

Ausgabe:

Obergreifungslänge

(

ｾ Ende

I I

2 Stahlbetonbau

201

2.10.4 Eingabebeschreibung zum Arbeitsblatt " Übergreifungslänge" Die Eingabe erfolgt im ersten Teil analog zu dem in Abschnitt 2.9.4 beschriebenen Arbeitsblatt, da die Berechnung der Übergreifungslänge eine Ermittlung der Verankerungslänge beinhaltet. Zusätzlich wird eine Angabe des Stoßanteils im betrachteten Schnitt notwendig. In DIN 1045-1 [5-12] werden zwei Bereiche (> 30 % und S 30 %) unterschieden. Hierzu kann der Anwender aus einer Auswahlliste den jeweiligen Stoßanteil wählen. Anteil der ohne Längsversatz gestoßenen Stäbe im Querschnitt einer Bewehrungslage:

I>

30%

Des Weiteren werden Angaben zur Stoßgeometrie notwendig. Diese sind in den entsprechenden Feldern einzusetzen. Durch die Ansicht der eingefügten Regionen werden Abbildungen gezeigt, welche die Eingabewerte verdeutlichen sollen. Stoßabstand:

s := 100mm

Randabstand des Stoßes:

!'Q:= 80mm

[Al Abbildung Abstandsdefinition

1

Definition der Abstände s und So zur Ermittlung des Beiwertes cx,

--

8 Abbildung Abstandsdefinition 1 Nach den Eingabewerten. wird zunächst die Verankerungslänge (Abschnitt 2.9) berechnet. Anschließend berechnet das Programm unter Verwendung von Funktionen zur Maximalwertermittlung die Mindestübergreifungslänge Is_min und abschließend die Übergreifungslänge Is' Im letzten Schritt überprüft und korrigiert es gegebenenfalls die Übergreifungslänge in Abhängigkeit der Stoßgeometrie. Evtl. Korrektur der Übergreifungslänge bei Überschreitung des lichten Abstandes (4d s) der gestoßenen Bewehrungsstäbe : Is >

I

return [Is + (51 - 4ds)] if 51 > 4·ds

(5.117)

Is ls> 115.3cm

2.10.5 Einschränkende Randbedingungen und Fehlermeldungen des Arbeitsblattes Das vorliegende Mathcad-Arbeitsblatt zur Ermittlung der Übergreifungslänge von Betonstählen unterliegt den gleichen Einschränkungen wie in Abschnitt 2.9.5 beschrieben, da auch hier die Verankerungslänge Teil der Berechnung ist. Zusätzlich wurden folgende Gesichtspunkte nicht berücksichtigt:

202

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau

-

Bewehrungsstahlmatten

-

Berechnungen und Hinweise hinsichtlich der erforderlichen Querbewehrung zur Aufnahme von Querzugspannungen

2.10.6 Beispiel Die untere Längszugbewehrung (025) des Plattenbalkens soll im niedrigen Beanspruchungsbereich (nahe des Momentennullpunkts im Feld des Beispiels in Abschnitt 2.1.2) gestoßen werden. Es wird ein 50 %-ger Übergreifungsstoß unter Annahme (As_erf =As_vorh) ausgebildet. Die Verbundbedingungen sind gemäß DIN 1045-1 [5-12] 12.4 als "gut" einzustufen. In Abhängigkeit der übrigen Bewehrungsgeometrie ergeben sich der Stoßabstand zu S 90 mm, der Randabstand des Stoßes zu So =60 mm und der lichte Stoßabstand zu S =0 mm.

=

Daraus ergibt sich im Arbeitsblatt ein lb_net von 91 cm. Die anschließende Ermittlung des Beiergibt 2,0. Die weitere Berechnung des Mindestwerts der werts der Übergreifungslänge Übergreifungslänge lurun und schließlich der Übergreifungslänge ls selbst, sieht wie folgt aus: Mindestwert der Übergreifungslänge:

Übergreifungslänge: Is = 181.2cm

203

Teil V: Anwendungen im Konstruktiven Ingenieurbau 3 Stahlbau Wolfgang Francke, Thilo Brändle

Bei der Bearbeitung von Tragwerken aus Stahl stehen dem Tragwerksplaner zahlreiche Hilfsmittel zur Verfügung . Neben hilfreichen Angaben in der Literatur (z. B. Tabellenwerke, Bemessungstafeln, Fachbücher, etc.) wird in der heutigen Zeit auch bei der Tragwerksplanung immer häufiger auf die Unterstützung durch die EDV nicht verzichtet. Zahlreiche äußerst leistungsfähige Programmpakete werden zum Thema Stahlbau angeboten , sie haben jedoch oft den Nachteil , dass konkrete Fragestellungen nur hinlänglich bearbeitet werden können. Mit den nachfolgenden Mathcad-Arbeitsblättern soll daher folgendes erreicht werden: Die Darstellung des Einsatzes eines Computeralgebrasystems als hilfreiches und effektives Werkzeug bei der Aufstellung von sich häufig wiederholenden Aufgabenstellungen. die an ausgewählten Beispielen besprochen werden. Aus der großen Vielzahl möglicher Themen werden detailliert die Stützenfußpunkte, der biegesteife Anschluss und die Berechnung der Schubfeldsteifigkeit von Verbänden und/oder Eindeckungen aus Trapezblechen aufgenommen .

3.1 Allgemeines a) Literaturangaben

Alle nachfolgenden fachlichen Aussagen basieren auf der weitverbreiteten Fachliteratur und geben daher für sich gesehen keine wesentlichen neuen Erkenntnisse wieder. Zu jedem Thema werden die zu Grunde gelegten Quellen am Kapitelanfang aufgeführt. b) Eingabe in Mathcad

-

In den Berechnungsblättern sind die Felder in denen ein Wert für die Berechnung eingegeben werden muss mit gelb unterlegt und die Felder die automatisch berechnet werden mit la Die Werte, die verändert werden sollen, werden mit dem Cursor angefahren, entfernt und durch den neuen Wert mit Dimension ersetzt.

-

Bei Schweißnähten gibt es eine empfohlene Schweißnahtdicke. Soll diese für die Berechnung verändert werden, so muss der Wert und das Gleichheitszeichen ,,=" entfernt werden und durch ein Definitionszeichen (:=) ersetzt werden. Gehen Sie wie folgt vor: Entfernen Sie den Wert und das Gleichheitszeichen mit [3-EntfJ. Geben sie [3 -:] ein, um das Definitionssymbol ,,:=" und einen Platzhalter anzuzeigen (siehe auch Mathcad-Hilfe Kapitel : "Variable definieren". Geben Sie dann den neuen Wert mit Einheit in den Platzhalter ein.

-

Für die Berechnung von Größt- und Kleinstwerten wurden die in Mathcad definierten Funktionen floor(x) für Kleinstwert und ceil(x) für Größtwert verwendet.

-

Es wurden in den einzelnen Blättern Verweise eingefügt, in denen auf Werte und Formeln zurückgegriffen werden, die in anderen Blättern stehen. Es ist dies z. B. die Formel für die Nachweise.

Teil V: Anwendungen im konstruktiven Ingenieurbau

204 Nachweis(S ,R) :=

"Nachweis erfüllt !" if

[s] ;;;

IRI

"Nachweisnäherungsweiseerfiillt! " "Nachweis nicht erfüllt !"

if

[s]

if 24._ charakteristischer Wert für Biegung

.

N_= charakteristischer Wert für Schub fy k := 2.5._ . 2 mm

2

mm

frn.d

= Bemessungswert der Biegefestigkeit: k1 .mod

fY.d

= Bemessungswert der Schubfestigkeit:

N fm.1.d = 14.77-2 mm

k1 .mod fY.1 .d := - - -·fY.k

N fY.1.d = 1.54-2 mm

k2.mod fm.2.d := - - -·fm.k

N fm.2.d = 16.62-2 mm

k2.mod fY.2.d := - - -·fY.k

N fY.2.d = 1.73-2 mm

k3.mod fm.3.d := ---·fm.k

N fm3d . . = 16.62-2 mm

k3.mod fY.3 .d := - - -·fY.k

N fY.3.d = 1.73-2 mm

frn.t .d := - - -·fm.k

YM YM YM

YM YM YM

Damit können die Spannungsnachweise geführt werden : Spannungsnachweis auf Biegung 1. EK: M y.1.d Om.y.1.d := -W--

N

0m .y.1.d = 7.25-2 mm

y

Om.y.1 .d

_ . . : - - = 0.49

=> Nachweis erfüllt


Nachweis erfüllt


Gmean .A v

U2.z.s.v = 0.02 cm

u2.z.s.inst := u2.z.s.m + U2.z.s.v 4 5,wz.k Lz U2 z W m := - - - - - . . . 3S4·EO.mean .Iy

infolge nichtständ .Last, Schubanteil (t=O)

U2.z.s.inst = 0.2 cm U2.z.w.m = 0.04 cm

infolge nichtständ.Last, Biegeanteil (t=O)

J

u

2 ( Lz ._ wz.k· l -s- )

3 u2.z.w.v = 4.13 x 10- cm infolge nichtständ.Last, Schubanteil (t=O)

z.zsc«> G A rnean v

U2.z.w.inst = 0.05 cm

Anfangsdurchbiegung in z-Richtung

U2.y.w.m = 0.75 cm

infolge nichtständ.Last, Biegeanteil (t=O)

2 ( Ly u ._ wy.kl-s- ) 2.y.w.v .- G A

U2.y.w.v = 0.01 cm

infolge nichtständ.Last, Schubanteil (t=O)

U2.y.w.inst := U2.y.w.m + U2.y.w.v

U2.y.w.inst = 0.77 cm

Anfangsdurchbiegung in y-Richtung

u2.z.w.inst := U2.z.w.m + U2.z.w.v

4

5·wy.k Ly U2.y.w.m := --"':""--'-3S4·EO.mean -lz

J

mean v

Die Enddurchbiegungen unter Berücksichtigung des Kriechens werden im Folgenden ermittelt: Lastfail g : U1.z.g.fin = 0.2 cm

Enddurchbiegung ständ, Last

u2 .z.s.f in = 0.25 cm

Enddurchbiegung nichtständ. Last

+ kdef.w)

u2.z.w.fin = 0.05 cm

Enddu rchb iegung nichtständ. Last

U2.y.w.fin := U2.y.w.inst'( 1 + kdef.w)

U2.y.w.fin = 0.77 cm

Enddurchbiegung nichtständ. Last

+ kdef.g)

Ul .z.g.fin := Ul .z.g.inst-(l Lastfail 5: u2.z.s.fin ;= U2.z.s .inst-( 1

+ kdef.s)

Lastfail w : in z-Richtung : u2 .z.w.fin ;= U2.z.w.inst'(1 in y-Richtung :

224

Teil V: Anwendungen im konstruktiven Ingenieurbau

Maßgebend wird hier die dritte Einwirkungskombination (g + s + w) da der Gebrauchstaug lichkeitsnachweis ohne Teilsicherheitsbeiwerte geführt wird. Anfangsdurchbiegungen: in z-Richtung:

u2.z.inst := u2.z.s.inst + u2.z.w.inst

u2.z.inst = 0.25 cm

in y-Richtung:

U2.y.inst := U2.y.w.inst

U2.y.inst = 0.77 cm

resultierend :

U2.inst :=

Ju2.z.inst2 + U2.y.inst2

U2.inst = 0.81 cm

Enddurchbiegungen: in z-Richtung:

u2.z.fin := u2.z.s.fin + U2.z.w.fin

U2.z.fin = 0.3 cm

in y-Richtung:

U2.y.fin := U2.y.w.fin

U2.y.fin = 0.77 cm

resultierend :

U2.fin :=

JU2.z.fin 2 + U2.y.fin 2

U2.fin = 0.82 cm

in z-Richtung:

unet.z.fin := U1 .z.g.fin + u2.z.s.fin + u2.z.w.fin

unet.z.fin

in y-Richtung:

unet.y.fin := U2.y.w.fin

unet.y.fin

resultierend :

Unet.fin :=

unet.z.fin 2 + Unet.y.fin 2

= 0.5cm = 0.77 cm

Unet.fin = 0.91 cm

Die zulässigen Durchbiegungen und die Nachweise lauten:

lz

zul_ u 2. fin := 200

u2.inst

zuLu 2.inst = 0.83 cm

-,...---- = 0.97

zuLu 2.fin = 1.25 cm

- - - - = 0.66

zul_unet.fin = 1.25 cm

ZULU2.inst u2.fin

< 1 => Nachweis erbracht

< 1 => Nachweis erbracht

zul_u2.fin unet.fin ZULUnet.fin

4.3 Beispiel 2 - Zusammengesetzter Druckstab 4.3.1 Allgemeine Vorgehensweise In diesem Beispiel wird ein Druckstab (EulerfaII II) mit einem einfachsymmetrischen, zusammengesetzten Querschnitt behandelt. Die Verbindung der einzelnen Querschnittselemente erfolgt mit Nägeln. Damit erhält man eine nachgiebige Verbindung, die bei der Ermittlung der Trägheitsmomente berücksichtigt werden muss. Nach der Ermittlung der Beanspruchungen und der Festlegung der Querschnitte sowie der Verbindungen können die effektiven Querschnittswerte bestimmt werden. Dazu wird zunächst der sog. Anfangsverschiebung smodul Kser für die nachgiebige Verbindung berechnet. Daraus erhält man die Abminderungsfaktoren y, für jedes Querschnittselement. Bei dem hier gewählten Querschnitt muss die Abminderung der Trägheitsmomente für beide Richtungen berücksichtigt werden. Dabei ist zu beachten , dass für die unterschiedlichen Rich-

4 Holzbau

225

tungen verschiedene Querschnittstypen vorhanden sind. Des weiteren muss wegen des zusammengesetzten, unsymmetrischen Querschnitts bezüglich der Achse y-y eine "ideelle Schwerachse" ermittelt werden auf die das effektive Trägheitsmoment eJ-ly bezogen wird. Aus den effektiven Trägheitsmomenten erhält man die effektiven Schlankheiten, die für den Knicknachweis benötigt werden. Mit dem 5 %-Fraktilwert des E-Moduls lassen sich die kritischen Druckspannungen für jede Richtung bestimmen. Nach der Berechnung der bezogenen Schlankheiten Arel und der daraus sich ergebenden Abminderungsfaktoren kc kann der eigentliche Knicknachweis durch den Vergleich von Beanspruchung und Beanspruchbarkeit erfolgen. Beim Nachweis der Verbindun gsmittel werden zunächst die Länge der Nägel ohne die Nagelspitze, die Lochleibungsfestigkeit der einzelnen Querschnittsteile sowie das Fließmoment für einen Nagel bestimmt. Für den Nachweis der Nägel wird das Minimum der Tragfähigkeit der sechs möglichen Versagensarten der Verbindung als Beanspruchbarkeit herangezogen . Die einzelnen Versagensarten werden hier nicht einzeln erklärt und sind in ENV 1995 nachzulesen. Aus den ideellen Querkräften, die beim Ausknicken des Stabes in der jeweiligen Richtung auftreten und in Abhägigkeit von den effektiven Schlankeiten stehen, lassen sich die maximalen Beanspruchungen für die Nägel ermitteln. Diese werden der oben ermittelten Beanspruchbarkeit der Verbindung gegenübergestellt. Zum Abschluss werden noch die konstruktiven Forderungen an die Verbindung überprüft. Dies sind im einzelnen: die Mindestdicken der Querschnittselemente, die Mindesteinschlagtiefen der Nägel und die Mindestnagelabstände

4.3.2 System und Belastung Der Druckstab besteht aus einem zusammengenagelten Querschnitt aus einzelnen Nadelholzquerschnitten und steht unter einer Last aus ständiger und nicht ständiger Einwirkung mit ungünstiger Auswirkung. Für den Stab gilt Nutzungsklasse 1. Die Festigkeitsklasse ist NH S10 und entspricht der Festigkeitsklasse von NH II nach DIN 1052 (alt). F := 33·kN

Gk := F

Charakte ristische r Wert für ständ ige Einwirkungen

S := 60·kN

0k := S

Charakteristischer Wert für nicht ständige Einwirkungen

YG.Y O

Teilsicherhe itsbeiwerte

YG:= 1.35

ständ ige Einwirkung + ungünstige Auswirkung

YO := 1.50

nicht ständige Einwirkung + ungünstige Auswirkung

Gd := YG·Gk

Bemessungswert der ständigen Einwirkung

0d := YO·Ok

Bemessu ngswert der nicht ständigen Einwirkung

= 90kN

Gd = 44.55 kN

0d

ｾｹ

!'\a := 2.50 ·m

Ｚ］

2.50 ·m

Ｏ ｾＯ

IF+S

226

Teil V: Anwendungen im konstruktiven Ingenieurbau

Der Quer schnitt wird nach folgender Skizze gewählt: b := tzcm 1

A := h 1 fb 1

A = 48cm 1

h := 18·cm 2

b := 4·cm 2

A := h ·b 2 2 2

A = 72 cm 2

h := 18·cm 3

b := 4·cm 3

A := h ·b 3 3 3

A = 72cm 3

Ages := LAi

Ages = 192cm

für

i ;= 1 .. 3

t

2

h := 4·cm 1

2 2 2

i

b, z.

Ｏｾ

'fI

hl

z:

U -t4

Der E-Modul parallel zu Faser wird mit seiner 50 % Fraktile eingesetzt. N EO.mean ;= 11000'--2mm

E := EO.mean 1

E := EO.mean 2

E := EO. mean 3

4.3.3 Knicken um Achse s ;= tocm

geschätzterNagelabstand, zweireihig

d ;= a.tmm

Nageldurchmesser

kg PK ;= 380· -

Rohdichte für NH 810

3

m (

1.5 dO.8

Kser := ｾｐｋ Ki :=

ｾ Ｎ Kser 3

i

'25)

Anfangsverschiebungsmodul einer Verbindung mit stiftförmigen Verbindungsmitlel hier; Nägel ohne Vorbohrung Ki = 488.35...!::!..... mm

Verschiebungsmodul für Nachweisder Tragfähigkeit

Der Abminderungsfaktor für die nachgiebige Verbindung ergibt sich dann zu: = Abminderungfaktoren für Querschnitlstyp 3 nach ENV1995, Bild B1.1

Die ideelle Schwerachse' und die Abstände al bzw . az der Einzelquerschnitte ergeben sich aus (Betrachtung für die Schwerlinie von Querschnittsteil 1):

I

Dieser ist nicht identisch mit dem Schwerpunkt des starren Gesamtquerschnitts!

227

4 Holzbau

h2

1

. Id_Sy := ａＲｾＫｴＳＩ

(h 1

id_A ges:= r

fA 1 + A2 + A3

h3

(h 1

1

a Abstand der ideellenSchwerachse des Gesamtquerschnitts zu denender Einzelquerschnitte zi id_S y az := - - 1 id_A ges aZ = 0.37cm 3

aZ = 0.37cm 2

aZ = 10.63cm 1

Das effektive Trägheitsmoment und die Schlankheit ermittelt man aus:

eCEl y :=

:L[

Ei·IYi + Ei·ri ·Adazl]

i e'-El y el I y := Ｍ］ｾ EO. mean

･ｕＮｹ

3

J-Ages Ｚ］ｾｹ

4

eUy = 4.54 x 10 cm

eUy = 51.41

eUy

4.3.4 Knicken um Achse

z-z

Analog zum Vorgehen um die Achse y-y wird für die Achse z-z das effektive Trägheitsmoment und die zugehörige Schlankheit bestimmt. ay. Abstand der Schwerachse des Gesamtquerschnitts zu denender Einzelquerschnitte I

aY1 := O-crn ri

aY2 := -4 ·cm

aY3 := 4·cm

Abminderunglaktor für Querschnittstyp 1

r 1 := - - - - - -

ｾ｛ｅＮＧｬｺ

el El z := ｾ

eUz :=

e'-Az:= ｾ

Ｎ + E..r ..A..(ay.)2] I I I I

I

I

3

EO.mean ges J-eUz A -

4

eUz = 2.04 x 10 cm

e'-AZ = 76.68

Teil V: Anwendungen im konstruktiven Ingenieurbau

228

Da hier eC A.-z > eCAy wird, ist das Knicken um die Achse z-z maßgebend. Es werden im Folgenden jedoch beide bezogenen Schlankheiten ermittelt, da sie später für den Nachweis der Verbindungsmittel benötigt werden. EO.os := 7400 ·-

N -2

E-Modul, parallel,S% Fraktile

mm N

to.o.k . . > 21· - 2

charakteristische Druckfestigkeit, parallel

mm 2

1t

o c.crit.z :=

·EO.os 2 e'-Az

Ic.ö.k Arel.z :=

kritische Druckspannung

mm bezogenerSchlankheitsgrad

oC.crit.z >

Arel.z = 1.3

O.S

=>

Knicknachweis erforderlich

2

1t

oc.crit.y :=

Arel.y :=

N 0c .crit.z = 12.42-2

·Eo.os 2 e'-Ay

fc.O.k

kritische Druckspannung

N oc .crit.y = 27.63-2-

mm

bezogener Schlankheitsgrad

cc.crlt.y

Arel.y = 0.87

4.3.5 Knicknachweis ßc := 0.2

Faktor, dervon derspannungslosen Vorkrümmung der Stütze abhängt, hier: Vollholz, miteiner größten spannungslosen Vorkrümmung von 1/300.

kz := 0.5.[1 + ßc·(Arel.z - 0.5) + Arel.z2J

ke.z = 0.5

ky := 0.5.[1 + ßc·(Arel.y - 0.5) + Arel.y2J 1

ke.y := -r=:::====

J

2

ke.y = 0.83

ky + ky - Arel/

Mit dem Modifikation sfaktor kmod und dem Teilsicherheitsbe iwert IM ergibt sich:

229

4 Holzbau kmod := 0.90 Modifikationsfaktor für Vollholz: Nutzungsklasse 1, Lasteinwirkungsdauer ständig und kur M := 1.3 Gd °C .o.d :=

Qd

N °C .o.d = 7.01 - - 2 mm

Ages

kmod fc.O.d := - - · fc.O.k M °C.o .d

Ic.ö.d

N

= 14.54--2 mm

< 1, Knicknachweis erfüllt

= 0.97

l 60 60·kc.z FC.d·eCAz otherwise 3600 ·kc.z

Vd.z = 4.51 kN ri ·Ej'Aj'ay(s1 ,Vd .z FZi :=

FZ3 = 333 .39 N

eCEI z

F

Z3 - - = 0.56 Rd.min

< 1, Nachweis erbracht

Zum Abschluss müssen noch die Mindestdicken, die Einschlagtiefen und die Nagelabstände kontrolliert werden . Prüfung der Mindestdicke t: 7·d

] tmin = 21.7 mm

PK

tmin := max

< h 1 = 4.0 cm

[ (13·d - 30mm)·400 Mindesteinschlagtiefe: minL s := 8·d

minL s = 2.48 cm

L s := IN - t1

vorhandene Einschlagtiefe

Ls = 4cm

minL s < L s => Einschlagtiefe eingehalten

Mindestnagelabstände: hier: nicht vorgebohrte Nagellöcher,

Pt< Nachweis erbracht Nagelabstand untereinander quer zur Faserrichtung: a2 := 5·d a2 = 1.55 cm

10 1'

< 8 cm => Nachweis erbracht

Nagelabstand zum beanspruchten Holzrand: a4.c:= 5·d a4.c = 1.55 cm

< 2 cm => Nachweis erbracht

Nl1 31 x 80

ｌＭｾＬ

t /-' ; Ｋ

232

Teil V: Anwendungen im konstruktiven Ingenieurbau

4.4 Beispiel 3 - Genagelte r Hohlkas tenbiegeträger 4.4.1 Allgemeine Vorgehensweise Gegenstand dieses Beispiels ist ein genagelter Hohlkastenbiegeträger. Nach Ermittlung der Schnittgrößen und Festlegung der Querschnittsgrößen wird unter Berücksichtigung der Nachgiebigkeit der Verbindungsmittel das effektive Trägheitsmoment eJ-Iy bestimmt. Bei dem hier verwendeten doppelsymmetrischen Querschnittstyp fallen die ideelle Schwerachse und die tatsächliche Schwerachse des Querschnitts zusammen. Die Festlegung der Beanspruchbarkeiten der Querschnittselemen te auf Druck, Zug und Biegung erfolgt wieder unter Beachtung des Modifikationsfaktors km für die Lasteinwirkungsdauer. Die Spannungsnachweise werden danach an den einzelnen Querschnittsteilen wie folgt geführt : im Schwerpunkt der Gurte auf Zug bzw. Druck am Rand der Gurte und der Stege auf Biegung in den Stegen auf Schub. Das Vorgehen zur Berechnung der Verbindungsmittel ist mit dem im Beispiel 2 beschriebenen Vorgehen identisch . Das Vorgehen zum Nachweis der Gebrauchstauglichkeit ist mit dem im Beispiel I bereits erwähnten Vorgehen weitgehend gleich, nur dass hier lediglich eine Richtung zu untersuchen ist.

4.4.2 System und Belastung Der zusammengenagelte Biegeträger aus Nadelholz steht unter einer Last aus ständiger und nicht ständiger Einwirkung mit ungünstiger Auswirkung. Es gelten hier wieder die Nutzungsklasse 1 und die Festigkeitsklasse NH S10.

g+s

AI

z

"'11111"" 1"'' 11'1''1111'' 1111'' 111'' ' '1'1 ｾ

At

L

tB V

111

'1 11I111111I111111111I 11I1111111111I111I 1111

Bild 5.39: Holzkastenbiegeträger

111

M

ａｾ

h,

A'J.

a

y

AJ

hJ b'J.

｢ ｾ

h'J. = hol

4 Holzbau

233

L := 4.50 -m kN g := 1.40--

9k := 9

m

Charakteristische Werte für Einwirkungen

kN s := 1.60 - -

m

YG := 1.35

Teilsicherheitsbeiwerte

YO := 1.50 kN 9d = 1.89-

9d := YG-9k

m

Bemessungswerte der Einwirkungen

kN

qd = 2.4-

m

4.4.3 Nachweis der Tragfähigkeit Die Lagerreaktionen und Schnittgrößen ergeben sich zu: L

L

2

2

0 := 9d· - + qd --

C := 0

Vd > 0

0= 9.65kN Vd = 9.65kN

2

L Md := (gd + qd) - s

Md = 10.86 kN-m

Die Werkstoffkennwerte für den Elastizitäts- und den Schubmodul lauten: Gmean := 690 --

N -

mm

2

N EO.05 := 7400 - - 2

E-Modul, parallel, 5% Fraktile des Holzes

mm

EO. mean := 11000 ·-

N

- -2

E-Modul, parallel, 50% Fraktile des Holzes

mm E 1 := EO.mean

E := EO.mean 2

E := EO.mean 3

E := EO.mean 4

234

Teil V: Anwendungen im konstruktiven Ingenieurbau

Die Flächen der einzelnen Querschnittselemente sind (Bezeichnungen siehe Skizze) : h h h h

1 2 3 4

:= 4·cm

b

:= 24·cm

b

:= 4·cm

b

:= 24·cm

b

1 2 3 4

tacrn

A

:= 2.6 ·cm

A

:= 13 ·cm

A

:= 2.6 ·cm

A

;=

b :=b tür

i := 1 .. 4

1 2 3 4

:= h ·b 1 1 ;=

h

;= h := h

A A

ib2

A

3·b 3

A

4·b 4

1 2 3 4

= 52cm

2

= 62.4cm = 52cm

2

2

= 62.4cm

2

b = 18.2cm

1+b 2+b4

A ges = 228.8 cm

Ages := LAi

2

i

Für die Biegeachse y-y gilt: s

s .=-

s ;= 6·cm

1·

2

geschätzter Nagelabstand, zweireihig

Nageldurchmesser

d := 3.8 ·mm PK:= 380 .

s1 = 3cm

kg

Rohdichte für NH 810

3m

Anfangsverschiebungsmodul für Nägel ohne Vorbohrung

2

N Ki = 574.74 - mm

Ki := 3 ·Kser

Verschiebungsmodul für Nachweis der Tragfähigkeit

1 7t

2

.E ·A ·s 1 1 1

1 +----:-2Ki· L

Die Abstände der Schwerachse des Gesamtquerschnitts zu denen der Einzelquerschnitte sind: aZ := -tücm 1

az

2

:= ü-crn

az := tü -crn 3

az 4

;=

O-crn

Daraus ergibt sich das effektive Trägheitsmoment des Querschnitts um die Achse y-y:

eCEl y ;=

L[

Erl Yj + Er Yj

i eUy :=

ef_El y Ｍｾ

EO.mean

4

eUy = 1.04 x 10 cm

4

.Ad

azj)2]

4 Holzbau

235

Mit dem Modifikationsfaktor, dem Teilsicherheitsbeiwert für Holz und den Festigkeitswerten können nun die Spannungsnachweise geführt werden: I 21· - 2 mm

I Nachweis erbracht

< 1 => Nachweis erbracht

zul_U2.fin unet.fin ----=0.86 ZULUnet.fin

< 1 => Nachweis erbracht

Ablaufdiagramm Beispiel I

Ablaufdiagramm Beispiel 2

Ablaufdiagramm Beispiel 3

Start

.. .. .. .. .. .. . ..

Einwirkungskombinationen

Schnittgrößenermittlung effektive Querschnittswerte Beanspruchbarkeilen Spannungsnachweise

Verbindungsmittelnachweise

Durchbiegungsberechnung

Ende

239

Teil VI: Funktionsprogrammierung in C/C++ Horst Werkle, Serkan Karadag

1 Programmieren mit Mathcad Mathcad bietet verschiedene Möglichkeiten der Programmierung, die sich hinsichtlich der Leistungsfähigkeit aber auch des erforderlichen Aufwandes unterscheiden. Diese sind: -

Programmierung innerhalb des Arbeitsblattes

-

Programmierung mit Skriptingsprachen

-

Programmierung von Funktionen mit C/C++

Zur Programmierung innerhalb des Arbeitsblattes stellt Mathcad eine Reihe grundlegender Programmierelemente wie if-Anweisungen und Schleifen zur Verfügung. Die Programmbefehle sind Teil des Arbeitsblatts, was die Programmierung transparent macht. Da die Programmbefehle bei der Berechnung des Arbeitblatts interpretiert werden müssen, können sich bei vielen Operationen Laufzeitprobleme ergeben. Der Aufwand für diese Art der Programmierung ist sehr gering. Allerdings ist auch ihre Leistungsfähigkeit begrenzt. Die Programmierung innerhalb des Arbeitsblattes ist vor allem für einfache AufgabensteIlungen wie beispielsweise zur Darstellung iterativer mathematischer Verfahren geeignet. Ein Beispiel dafür, dass aber auch umfangreiche AufgabensteIlungen auf diese Weise gelöst werden können, ist die Umsetzung der Finite Element Methode im Arbeitsblatt "TV_L03_FEM_Scheibe.mcd" in Kapitel 5. Bei den Skripting-Sprachen VBScript (Visual Basic Scripting Edition) und JScript (Java Script) handelt es sich um eine objektorientierte Programmierung auf der Grundlage der OLEAutomatisierung von Microsoft. Die Sprache ermöglicht es COM-Objekte, die in Windows registriert sind, in Mathcad zu verwenden. Damit wird es möglich andere OLE-fahige Programme als Server zu nutzen. Man kann also andere Programme öffnen, bestimmte Operationen damit durchführen lassen und wieder schließen. Dabei können auch Daten vom Mathcad-Arbeitsblatt an das aufgerufene Programm übergeben und an Mathcad zurückgegeben werden. Beispielsweise kann man innerhalb eines Mathcad-Arbeitsblattes eine Excel-Datei öffnen, Daten von Mathcad in Excel übertragen, in Excel bearbeiten und die Ergebnisse an das Mathcad-Arbeitsblatt zurückgeben. Weiterhin ist es mit dieser Technologie möglich Objekte für Steuerelemente in ein Mathcad-Arbeitsblatt zu integrieren, wie dies in Teil V, Abschnitt 2.3.1 gezeigt wird. Damit können Schaltflächen, Auswahllisten und Ähnliches innerhalb eines MathcadArbeitsblattes erzeugt und für Eingaben genutzt werden. Auch eigene in Visual Basic oder C++ entwickelte COM-Klassen sind auf diese Weise in Mathcad verfügbar. Voraussetzung ist selbstverständlich die Kenntnis der in Windows registrierten COM-Klassen und deren Eigenschaften und Methoden. Die am weitesten gehende Möglichkeit zur Programmierung im Rahmen von Mathcad ist das Erstellen eigener Funktionen mit C beziehungsweise C++. Mathcad enthält bereits eine Vielzahl von Funktionen wie beispielsweise die trigonometrischen Funktionen. Nach der Programmierung stehen die eigenen Funktionen in derselben Weise wie die in Mathcad als Standard im-

240

Teil VI: Funktionsprogrammierung in C/C++

plementierten Funktionen zur Verfügun g. Diese Möglichkeit der Programmierung soll im Folgenden erläutert werden .

2 Erstellen eigener Funktionen Eigene Funktionen lassen sich in Math cad in C beziehungsweise C++ erstellen . Hierzu muss ein C-Programm unter Beachtung der von Mathsoft vorgegebenen Spezifikationen geschrieben und als DLL (Dynamically Linked Library ) kompil iert werden. Diese DLL wird in das Unterverzeichnis userefi, das sich im Mathcad-Hauptverzeichnis befindet, kopiert. Damit stehen die in der DLL implementierten Funktionen in Mathcad zur Verfügun g. Damit die Funktionen auch in der Auswahlbox, die man unter der Schaltfläche j(x)

in der Symbolleiste von Mathcad erreicht, angezeigt wird und aufgerufen werden kann, ist darübe r hinaus die Erstellung einer XML-Datei erforderlich. Diese muss in das Unterverzeichnis docljuncdoc des Mathcad-Hauptverzeichnisses kopiert werden . Im Folgenden wird die Programmierung im Einzelnen erläutert. Grundkenntnisse in C beziehungsweise C++ werden dabei vorausgesetzt [6-1], [6-2].

3 Einstellungen des Kompilers Um eine DLL zu erstellen, muss zunächst eine Funktion in C/C++ geschrieben werden. MathSoft schlägt hierzu folgende 32- Bit- Kompiler vor: -

Microsoft C/C++ Compil er

-

Borland C/C++ 4.0 und 5.0

-

Symantec C/C++ 6.0 und 7.0

-

Watcom C/C++ 9.5 und 10.0

Kompiler sind Systemprogramme, die den Quellcode eine s Programms in Maschinen code umsetzen, der von einem Computer interpretiert und ausgeführt werden kann. Die oben genannten Kompiler wurden von MathSoft getestet. Bei Gebrauch anderer Compiler ist nicht garantiert, dass die Funktionen fehlerfrei geladen werden können . Im Folgenden wird das Erstellen einer DLL mit der Entwicklungsumgebung von Micro soft Visual C++ 6.0 beschrieben. Das Micro soft Developer Studio für Visual C++ ist eine profes sionell e Software-Entwicklungsumgebung , die eine Vielzahl von Programmoptionen anbietet. Zur Erstellung einer DLL für Mathcad sind folgende Einstellungen erforderli ch:

1. Schritt:

In der Menüleiste der Entwicklungsumgebung von Microsoft Visual C++ unter dem Menüpunkt Datei Neu •.• wählen. Es erscheint:

3 Einstellungen des Kompilers

Add-lr>ksi,lenl fürDevSluOO A, nlent fürｉ ｓ ａ ＮｦＺ ｲｷ･ ｾ Ｂ ｵｮｯ･ ａ ｔｌＭ･ｏｍｾ

Ｌ Ｍａ

24 I

ｮ

Ｂ ｩ ｳｴ･ｮｬ

eer'U,..definieoistent{e"'l

.

-

Bild 6.1: Menüfenster Datei/Neu... der Entwicklungsumgebung von MS Visual C++

Im Register Projekte "Win32 Dynamic - Link Library" wählen. Unter Projektname und Pfad die für das Projekt gewählten Angaben machen, beispielsweise c:\TEMP\MIT_KapiteC6 und MILKapiteC6.

2. Schritt: Nach Bestätigung erscheint der Projektassistent der EntwickIungsumgebung ß E3

\rIin32 Oynamic-Link Library - Schritt 1 von 1

WeicheM VonOLL-Plojekt woIen Sieers1e1en?

Co ｾ ｛

r r

ｾ ｟ ｾ ［ｬ ｾＬｐ

Ｍ ｴｫ

EI'l eir(llChes OLl-Plojekt Ei>e I2Ll. dieenge Symbole e>CIion

Bild 6.3: Informationsfenster der Entwicklungsumgebung MS Visual C++

Bild 6.4: Projektansicht der Entwicklungsumgebung Microsoft Visual CH

3 Einstellungen des Kompilers

243

Mit Hilfe des Kontextmenüs (rechte Maustaste) können dann beispielsweise folgende Dateien zum Projekt MIT_KapiteL6 und den entsprechenden Ordnern hinzugefügt werden : -

Quelltext, beispielsweise MIT_KapiteL6.cpp

-

Header - Datei mcadincI.h - Die Datei befindet sich bei Verwendung des Microsoft Visual C++ Compilers im Verzeichni s Mathsoft\Mathcad\userEFI\Microsft\IncIude

-

Bibliotheksdatei mcaduser.Iib ist im Verzeichnis Mathsoft\Mathcad2000\userefi\Microsft\Lib

Weiter Header - Datei wie math.h sind nur hinzuzufügen, wenn sie im Quelltext eingebunden wurde.

3. Schritt:

Im Kontextmenü zu math.h Dateien erscheint unter Einstellungen das Dialogfenster Projekteinstellungen:

Bild 6.5: Dialogfenster ProjekteinsteIlungen

Hier können unter der Registerkarte C/C++ verschiedene Einstellungen vorgenommen werden. Die Einstellungen sollten wie folgt gewählt werden : -

Kategorie Präprozessor einstellen. Die Header - Datei mcadincl.h ist nicht in der Bibliothek des Compilers enthalten. Sie wird von Mathsoft auf der Mathcad-CD geliefert . Der zugehörige Pfad ist unter Zusätzliche Include - Verzeichnisse einzugeben. Falls die DLL nicht erstellen werden kann, weil der Compiler die Fehlermeldung .,IncIudeDatei kann nicht geöffnet werden: 'mcadincI.h': No such fiIe or directory" bringt, muss man die Datei mcadincl.h zu den anderen Header-Dateien des Compilers kopieren. Das Feld Zusätzliche Include - Verzeichnisse bleibt dann leer.

244

Teil VI: Funktionsprogrammierung in C/C++

4. Schritt: Im Register Linker ist der DLL - Eintrittspunkt einzugeben.

t ""!JLr9M ,... R

'

8

ｾ

W'r\32 Dobuq

Ｈｊ ｬａＧｫｯ､･

•

｣ｗ

ｾ

ｮ

WIJ_i(!lIPMI_ 6 ,pp

t3 tj He.adef-Daleien

ts:I

m. th.h

l;) mcadlncl.h 8 ',3 ｒ ･ＱＧ ｲｯｊ

[!l

｣ ･ｵｊＴ

ｾ

mcaduser hb

Bild 6.6: Einstellungen auf dem Tabellenblatt ProjekteinstellungenlLinker

Hierzu wird die Kategorie Ausgabe ausgewählt und bei Symbol für Einstiegspunkt der im Quelltext gewählte Begriff eingetragen, hier: .Dllßntryf'oint".

S. Schritt: In der Menüleiste der Entwicklungsumgebung unter dem Menüpunkt Erstellen, MICKapiteC6.dll erstellen wählen Dieser Schritt kann natürlich sinnvollerweise erst nach der Eingabe des Quellcodes erfolgen. Der Kompiler kompiliert den Quellcode und erstellt die DLL im angegebenen Pfad.

4 Erstellen der DLL DLLs werden während des Ablaufs von Programmen dynamisch geladen. Mathcad jedoch ruft die DLLs nicht dynamisch auf, sondern lädt sie bei Programmstart aus dem Verzeichnis \userEFI in den Speicher. Die Schritte zur Erstellung einer DLL sind: -

Deklaration der Benutzerfunktion für jede Benutzerfunktion

-

Anlegen einer FUNCTIONINFO-Struktur für jede Benutzerfunktion

-

Anlegen einer Fehlermeldungstabelle (optional)

-

Codieren des Quelltextes jeder Benutzerfunktionen

-

Definieren des DLL-Eintrittspunkts

Bevor die einzelnen Schritte im Folgenden erläutert werden, sollen die von Mathcad definierten Datentypen und die hierfür verfügbaren Funktionsdefinitionen betrachtet werden.

4 Erstellen der DLL

245

4.1 Mathcad-spezifische Strukturen und Funktionsdefinitionen Mathcad verwendet eigene Datentypen, die insbesondere dem Austausch von Daten zwischen Mathcad und der Benutzer-DLL dienen . Sie sind in der Headerdatei mcadincl.h deklariert. Diese wird, in der Regel zusammen mit der Headerdatei math.h für die mathematischen Standardfunktionen wie cos(x ), sqrt(x ) und andere, am Anfang des Quellcodes eingefügt mit: -

#include "mcadincl.h"

-

#include "math.h".

Bei den Mathcad-spezifischen Datentypen handelt es sich insbesondere um die folgenden Strukturen : -

COMPLEXSCALAR für eine komplexe Zahl

-

COMPLEXARRAY für ein komplexes Feld .

Die Struktur COMPLEXSCALAR enthält als Komponenten die Zeigervariablen auf den Realund Imaginärteil. Diese lassen sich für eine Variable COMPLEXSCALAR s; bestimmen mit Realteil

=s -> real;

Imaginärteil

=s -> imag.

Mit der Struktur COMPLEXARRAY werden Zeiger auf ein zweidimensionales Feld definiert. Beispielsweise kann man auf den Real- und Imaginärteil des Elements [i][j] des mit COMPLEXARRAY a; vereinbarten komplexen Feldes a zugreifen mit Realteil

=a -> hReal[i][j];

Imaginärteil =a -> hlmag[i][j] .

Weiterhin enthält die Struktur als Komponenten die Anzahl der Reihen und Spalten des zweidimensionalen Feldes . Sie lassen sich ermitteln mit Anzahl Reihen = a -> rows;

AnzahlSpalten = a -> cols .

Die Zuweisung von Werten an die Variablen vom Typ COMPLEXSCALAR und COMPLEXARRAY erfolgt entsprechend. Sowohl Real- wie Imaginärteil der Datentypen COMPLEXSCALAR beziehungsweise COMPLEXARRAY sind vom Typ double . Bei Verwendung anderer Datentypen sind die entsprechenden Konvertierungen zu beachten. Wenn der Rückgabewert ein Feld ist, muss mit der Funktion MathcadArrayAllocate Speicherplatz reserviert werden . Bei Rückgabe einer Fehlermeldung muss dieser Speicherplatz mit MathcadArrayFree wieder freigegeben werden. Daher empfiehlt es sich erst kurz vor Rückgabe des Ergebnisses, nach Überprüfung sämtlicher Fehlerquellen, Speicherplatz zu reservieren. Die Freigabe des Speicherplatzes darf natürlich bei regulärer Beendigung der Funktion nicht erfolgen. Die entsprechenden Befehle sowie weitere Mathcad-spezifische Funktionen werden im Developers Reference-Handbuch der Online-Hilfe von Mathcad2001 erläutert.

Teil VI: Funktionsprogrammierung in C/C++

246

4.2 Deklaration der Benutzerfunktion Jede Benutzerfunktion für Mathcad muss zunächst deklariert werden. Es können auch mehrere Benutzerfunktionen in einer DLL deklariert werden. Die Deklaration einer Funktion MeineCFunktion erfolgt durch: LRESULT MeineCFunktion(retumValue, argumentl , .....) MeineCFunktion ist der eigentliche Quelltext der Benutzerfunktion. Die Parameterliste dieser Funktion enthält den Zeiger retumvalue auf den Rückgabewert der Funktion sowie bis zu 10 Mathcad-Strukturen als Argumente der Funktion. Der erste Parameter entspricht also immer dem Rückgabewert , alle weiteren Parameter sind Argumente zur Eingabe . Als maximale Anzahl von Argumenten ist in der Reader-Datei Mcadincl.h der Wert MAX_ARGS = 10 gesetzt. Als Argumente und Rückgabewerte sind allerdings nicht die in C definierten Datentypen sondern ausschließlich Mathcad-Strukturen wie COMPLEXSCALAR oder COMPLEXARRAY zulässig. Bei reellen skalaren Werten und Feldern werden nur die Realteile der komplexen Variablen verwendet. Dies sei am Beispiel der Funktion DLT2_Mmax zur Berechnung der maximalen Feldmomente des Zweifeldträgers erläutert. Die Deklaration hat dort folgende Form: LRESULT DLT2_MmaxFunction(LPCOMPLEXARRAY a, LPCOMPLEXSCALAR b LPCOMPLEXSCALAR c, LPCOMPLEXSCALAR

LPCOMPLEXSCALAR

Der Name der C-Funktion ist DLT2_MmaxFunction, der Rückgabewert ist das Feld a, die Argumente sind die skalaren Größen c, und e.

4.3 Anlegen einer FUNCTIONINFO-Struktur Die Struktur FUNCTIONINFO enthält die Informationen, die Mathcad für die Registrierung der Benutzerfunktion braucht. Diese Struktur muss für jede Benutzerfunktion angelegt werden. Dies erfolgt durch die Anweisung: FUNCTIONINFO { Benutzerfunktionsname, BeschreibungDerParameter, BeschreibungDerFunktion, LPCFUNCTION ZeigecauCC_Funktion, RueckgabeTyp, AnzahlArgumente, ArgumentenTypen } Die ersten drei Werte sind Zeichenketten vom Typ char. Sie werden verwendet, um den Namen, unter dem die Funktion im Mathcad-Arbeitsblatt aufgerufen wird, festzulegen und um die Argumente und die Erläuterung der Funktion in der Auswahlbox, die man x erreicht, anzuzeigen. Als Datentypen der Argumente und des Rückgabeparameters, die in RueckgabeTyp und in dem Feld ArgumentenTypen angegeben werden, sind ausschließlich die Werte COMPLEX_SCALAR und COMPLEXARRA Y zulässig. Bei der Funktion DLT2_Mmax hat die Struktur FUNCTIONINFO die Form:

4 Erstellen der DLL

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FUNCTIONINFO DLT2_Mmax =

// Name, über die die Funktion in MathCad aufgerufen wird "DLT2_Mmax" ,

// Beschreibung der benötigten Funktionsparameter

"ll, 12, . p", // Beschreibung der Funktion "Liefert für einen Durchlaufträger mit den Stützweiten II und 12, " "der ständigen Last g und der Verkehrslast p die Feldmomente M(l) und M(2) in einem Vektor, "

// Zeiger aufden Namen der C-Funktion (LPCFUNCTION)DLT2_MmaxFunction,

// Typ des Rückgabewerts: hier ein komplexes Feld. Verwendet wird nur der reale Teil. COMPLEX_ARRAY,

// Anzahl der Argumente der Funktion: hier 4 Argumente

4, // Feld mit den Typen der Argumente: hier 4 komplexe Skalare {COMPLEX_SCALAR, COMPLEX_SCALAR, COMPLEX_SCALAR, COMPLEX_SCALAR}

}; Die Benutzerfunktion hat vier Argumente, nämlich die Stützweiten 11 und 12 der bei den Felder und die ständige Last und die Verkehrslast, die in beiden Feldern jeweils gleich sind, Bild 6.7.

4.4 Anlegen einer Fehlermeldungstabelle Die Fehlermeldungstabelle enthält eine Reihe von Texten mit Fehlermeldungen. Diese werden unter ihrer Nummer im Feld im Programm angesprochen. Wenn das Programm keine Fehlermeldungen ausgibt, ist das Anlegen einer Fehlermeldungstabelle nicht erforderlich. Jede DLL darf nur eine einzige Fehlermeldungstabelle enthalten. Sie muss die Fehlermeldungen für alle Funktionen enthalten. Das Anlegen einer Fehlermeldungstabelle erfolgt mit char

* meineFehlermeldungen[AnzahCder_Meldungen] ={Meldung I , Meldung2

...}

Hierin bedeuten Anzahl rier_Meldungen die Anzahl der Fehlermeldungen. Es folgen , getrennt durch Kommas, die Texte Meldung I, Meldung2 u.s. w. der Fehlermeldungen als char-Zeichen.

Im Beispiel des Zweifeldträgers hat die Fehlermeldungstabelle die Form: char

* FehlermeldungenDLT[3] = "Feld 1 hat Laenge O!" , "Feld 2 hat Laenge O!", "Streckenlast negati v!" };

Teil VI: Funktionsprogrammierung in C/C++

248 Im Quelltext kann nun bespielsweise mit return MAKELRESULT (2, 2);

die Fehlermeldung 2 - "Feld 2 hat Laenge 01" - ausgegeben werden. Im Fehlerfall setzt sich der Rückgabewert aus 2 Komponenten zusammen: die Stelle des selbst definierten Fehlertextes in der Fehlermeldungstabelle und die Stelle (Argument) , an der die Fehlermeldung erscheinen soll. MAKELRESULT(l, 2) bedeutet Fehlercode I aus der Fehlermeldungstabelle am 2. Argument. Wenn die ganze Funktion rot markiert werden soll, weil z. B. ein allgemeiner Fehler vorliegt, der keinem Argument zugeordnet werden kann, lautet der Befehl, wenn beispielsweise die dritte Fehlermeldung ausgegeben werden soll return 3.

4.5 Codieren des Quelltextes der Benutzerfunktionen Der Quelltext der Benutzerfunktion beschreibt die Inhalte des Programms. Der Name des entsprechenden C-Programms, die Anzahl und Typen der Argumente und der Typ des Rückgabewertes wurden bereits beim Anlegen der FUNCTIONINFO-Struktur festgelegt. Die Codierung des eigentlichen Quelltextes soll am Beispiel des Programms zur Ermittlung der maximalen Feldmomente des Zweifeldträgers gezeigt werden (Bild 6.7). Zunächst wird die Funktion DLT2Function mit ihrem Rückgabewert und ihren Argumenten definiert. Dann folgt die Deklaration der Variablen und das Reservieren von Speicherplatz für die Rückgabematrix. Diese enthält zwei Elemente für die maximalen Feldmomente in den beiden Feldern. Da die Argumente der Funktion komplexe Zahlen sind, müssen sie zunächst in reelle Zahlen konvertiert werden. Weiterhin wird überprüft , ob die Werte zulässig sind, und, falls dies nicht der Fall ist, unter Bezug auf die Fehlermeldungstabelle beim Verlassen des Programms eine Meldung ausgegeben. Dieser Programmteil hat die folgenden Quellcode: LRESULT DLT2_MmaxFunction(LPCOMPLEXARRAY a, LPCOMPLEXSCALAR b, LPCOMPLEXSCALAR c, LPCOMPLEXSCALAR d, LPCOMPLEXSCALAR e) double stutzm[2], querkraft[2], feldm[2]; double g, p, q, /1 ,12; int i

// Speicherplatz für RückgabeMatrix reservieren MathcadArrayAllocate( a, 2, I, true, false);

// Übernahme der realen Teile der Argumente

/1 =b -> real; 12 =c -> real; g

=d-» real; p =e -> real;

// Überprüfung der Eingabewerte if (/1