Matematika v proměnách veku.

Citation preview

DIRK J. STRUIK

DĚJINY MATEMATll(Y

ČESKOSLOVENSKÁ SPOLEČNOST PRO ŠÍŘENÍ POLITICKÝCH A VĚDECKÝCH ZNALOSTÍ

ORBIS · PRAHA , 1963

Vt DE CK A RA DA M AL i M OD ER Nl EN CY KL OP ED IE

,a CD

i

~

0) .-4

CU

~

~

o

...o

~

ti..

> >t Cd ...-. Ul

~

,_.o

Q)

z ...,ca

.. '>.i

.... •

CJ

.....C: o>

z

~ C

Ul

>t/J

o

o ..o ...... +3

::,

cU

t-l

CJ

'

•.-4 ,_. .c ® ::s '14 ~ o ...... ~ ,t.Jl

Q.)

> o

~

~

Ul

A s:: ctS -

~

®~

Jan Au erh ahn (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), pro f. dr. Jos ef Au gus ta (Ka rlo va uni ver sita Praha), Gustav Ba reš (ús tav dějin KSC), pro f. dr. inž . Vil iba ld · ik Bezdíček (Vy sok é učení tec hni cké Brn o), aka dem dr. Jos ef Au gus ta (Ka rlo va uni ver sita Pra ha) , G\.llf... · Dio nýz Blaškovič (Sl ove nsk á aka dem ie věd), prof. · dr. Fra nti šek Bu riá nek (Ka rlo va uni ver sita Praha), inž . Jiří Ce led a (Vy sok á ško la che mic ko- tec hno log ická Pra ha) , doc . An ton ín červinka (In sti tut společ. un lvěd Pra ha) , pro f. dr. Jos ef Do ber ský (Ka rlo va ver sita Pra ha) , člen kor esp ond ent CS AV Jul ius ~ lan ský (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), aka dem ik -Ot o Du b (Sl ove nsk á aka dem ie věd), doc . dr. Ka rel esp onHavlíček (Ka rlo va uni ver sita Pra ha) , člen kor den t CS AV Fer din and Herčík (Ce sko slo ven ská .aka-dem ie věd). pro f. inž . Lad isla v Jeniček (České vys oké učení tec hni cké ), dr. Eri ka Ka dle cov á (Ceskoslo ven ská aka dem ie věd), doc . Vla dim ír Ka igl (Ceskos lov ens ká aka dem ie věd), aka dem ik An ton ín Kleč-, : ka (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), doc . dr. Ar noš t Kle inz elle r (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), pro f. dr. Arn ošt Klí ma (Ka rlo va uni ver sita Pra ha) , aka dem ik Arn ošt Ko lma n (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), pro f. dr. An ton Ko tzig (Sl ove nsk á aka dem ie věd), aka demi k Jar osl av Ko žeš ník (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), pro f. Da libo r M. Krn o (Un ive rsit a Ko me nsk ého Bra tisl ava ), pro f. dr. inž . Fer din and Ku ba (Vy sok é . Jos ef Ku ba (Ná rod ~ učení tec hni cké Brn o), pro f. dr_ ni tec hni cké mu zeu m Pra ha) , een erá lma jor Jar osl av dov á-Kučera (Vo jen ský his tor ick ý úst av) Lu isa Lan Sty cho vá, pro f. dr. Jos ef Lin har t (Pe das oiic ký ú&tav J. Á. Ko me nsk ého ČSAV). aka dem ik Jos ef Ma cek (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), aka dem ik Iva n Má lek (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), pro f. dr. Jos ef Mo hr (Ka rlo va uni ver sita Pra ha) , pro f. dr. JiPra ha) , řina Otá hal ová -Po pel ová (Ka rlo va uni ver sita pro f. dr. Ota kar Per tol d (Ka rlo va uni ver sita Pra ha) , ný člen kor esp ond ent CS AV Vá cla v Pet rží lka (Sp oje úst av jad ern ých výskumů, Du bna SSS R), aka dem ik Sil ves tr Prá t (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), akadem ik Vla dim ír Pro chá zka (Ce sko slo ven ská akademie ·věd), pro f. dr. Ka rel Přerovský (Ba lne olo gic ký úst av Pra ha) . dr. · Vla dim ír Ru ml (In sti tut společen­ ský ch věd), dr. Iva n Svi ták (Ce sko slo ven ská aka demie věd), aka dem ik Fra nti šek Sor m (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), pro f. MU Dr. Vá cla v Sváb (Ka rlov a uni ver sita Pra ha) , člen kor esp ond ent ČSAV Jan Tau ber (Ce sko slo ven ská aka dem ie věd), pro f. dr. Mi cha l To pol ský (Un ive rsit a Ko me nsk ého Bratisla-va) , dr. Vla dim ír Va nýs ek (CS AV ).

PŘEDMLUVA

je v í; en šl y m v ím v st ž ru d ro b o M a te m a ti k a je v el k ý m d šl en ek y m ch ší b lu h ej n z é h o n m lí d jí c h dějinách se zr ca y ih n k o d ny ji dě to ty t na ěs St a. bezpočtu g en er ac í li d st v edpř za n je li h o m e m js h c - o n ec el ý ch třech st e c h st rá n k á n je j o v ý v i tl čr na e m js u ro p o k la d u přísně kázně, s k te h íc tn a st o í án ov sň ja ob i il ez m o a několika h la v n íc h směrú nutně se je a d ú é ck fi ra g o li h is to ri c k ý c h so u v is lo st í. B ib m a n z ý v ě n r ě m o p é h o n m d; le eh o m ez il y je n ·n a stručný př ev š y b e č z, ar w ch S , rt e b m a n é vědce, ja k o je Roberval, L je n á žn o m ré te k í, en ez m O t. aj ., js m e m u se li o p o m en o u a m nt ze řa za m é n č e t a t s o d vice z k re sl u je , tk v f v ša k v ne , ry é sf o tm a é sk en eč ol sp a í rn te m a ti k y d o celkově k u lt u ovlivněna la y b a k ti a m te a M a. al v _n íž k v e tl a n eb o u·pad , ím v st n je o v , ží o zb u o b ro ý v i zemědělstvím, o b ch o d em o n ro st a a u o k zi fy . o k ja ě n b o d o in ž e n ý rs tv ím a filosofií, p učení a v to an K , cí k n fu i ri o te ·mif. Vliv h y d ro d y n a m ik y n a a n u sm ti e n g a m o tr k le e i, ri et m a zeměměřictvf n a g eo ik u an h ec m a n í v st n iá z e rt a k , ic n v ro te o ri i d if er en ci ál n íc h é žn o m lo y b še v to t, če po í n ál im a sc h o la st ik y n a in fi n it es o sl ka li ko ně n je o eb n 1 větách naznačit je n v něk olika plně p o e lz y k ti a m te a m h sa vy, ačkoliv p o k ro k a o b jící ču ur to ty y n ch še v í áž v c h o p it je n te h d y , k d y ž se u is h it d ra h a n l se u m ru tu ra te fa k to ry . často o d k a z n a li , 00 19 u k ro m le o k čí n. ko to ri c k ý ro zb o r. N á š v ý k la d j e n k li to je e c ti a m te a m í šn e p ro to ž e so u d ím e, že v d n rozhodně p ro é žn o em n je e ž různějších _hledisek, zporů ro h c ý m j e ř z ez b t_ ti o n d a u to ra té to k n ih y - zho 1• je o v ý v y ěr ri sr i n třeba je n h la v · a st o d t a d o p e m e ž ů m í en ez m Věříme, že přes ta to o Math1' . er m A s, ic at m he at M f o ry tu en 1 Srv. H. Weyl, A H al f C Monthly, 58, 1951, st r. 523-533.

5

tečně přesné vyličení hlavnich směrů vývo,ie matematik y v průběhu staletí i se společenskými a kulturním i kořeny, z nichž vyrůstala. Výběr laistorického materiálu nebyl

založen pochopitelně jen na objektivní ch činitelích, nýbrž ovlivnily ho i autorovy sympatie a antipatie, jeho znalosti i neznalosti . Pokud jde o neznalosti , musíme přiznat, že nebylo vždy možné vycházet z původních pramenů; příliš často se muselo užít pramenů z druhé či dokonce třetí ruky. Můžeme proto dát dobrou radu čtenáři nejen této knihy, nýbrž všech podobných historický ch pojednání, aby si prověřoval tvrzení - pokud je to možné - v pů­ vodních pramenech . Tato zásada je oprávněná i z jiných důvodů. Znalost autorů, jako je Euklides, Diofantos, Des- · cartes, Laplace, Gauss nebo Riemann, by se neměla zakládat vylučně na citacich a historický ch výkladech , které popisují jejich díla. OriginálnI text Euklida nebo Gausse dýchá toutéž oživující silou jako původní text Shakespeara a v Archimédovi, Fermatovi nebo Jacobim jsoú stejně krásná místa jako u Horáce nebo Emersona .

• Hlavni teze, které měl autor při zpracován i materiálu na mysli, jsou: 1. V orientálnic h kulturách spiše zdůNtznit souvislost i a příbuznosti než je mechanick y rozdělovat na kulturu egyptskou ; babylónskou, čínskou, indickou a arabskou. 2. Rozlišit zvláště v řecké matematic e mezi zjištěným faktem, hypotézou a tradicí. 3. Ukázat vztahy obou směrů renesančni matematik y ke společnosti, totiž směru aritmetick o-algebrai ckého k obchodním zájmům onoho obdobi a tzv. teorie fluxi k inženýrství. 4. Založit výklad matematik y 19. století spíše na osobách a školách než na problémech. Příkladem zde byly Vorlesungen Uber dle Geschichte der Mathemat ik im 19. Jahrhunde rt od Felixe Kleina. Výklad, který sleduje vývoj problémů, nalezneme v knihách Cajoriho a Bellově nebo s techničtějšími údaji v Encyklopa edie der mathematischen Wissensch aften (Leipzig 1898-1935 , 24 svazků) a v Pascalově Repertoriu m der hoheren Mathemat ik (Leipzig 1910-1929 , 5 svazků). 6

Autor zde vyjadřuje rovněž svůj dík panu dr. O. Neugebauer ovi, který s ochotou přečetl první kapitolu tohoto díla a přispěl tak k mnohým zlepšením. Panu profeso rovi dr. A. P. Juškevičovi vděčt autor za mnohá zlepšeni ve výkladu arabské vědy. Ve druhém vydání byly opraven y mnohé tiskově chyby a omyly, které zůstaly v prvém. Autor chce poděkovat R. C. Archiba ldovi, E. J. Dijkster huisovi, S. A. Joffemu a jiným čtenářům za pozorno st, s kterou je pomohli odstranit. 2

2 Při překladu do češtiny bylo užito 2. anglické ho vydán[ (A Concise History of Mathema tics, London, G. Bell and Sons Ltd. 1956), z nejnovějšiho německého překladu (Abriss der Geschich te der Mathema tik, Deutsch er Verlag der Wissenschaften , Bertin 1961) byly převzaty partie, které upřesňovaly text byl zpřes­ či doplňovaly původni anglický text. Autorův Pro našeho něn v partiích týkajícic h se činské matemat iky. textu mistech ých příslušn na telé překlada čtenáře připojili též odstavce o vývoji matemat iky v našich zemích. (Pozn. překl.)

7

KAPITOLA 1. POČÁTKY

1. První představy o čísle a tvaru pocházejí už z dávného období starší doby kamenné, paleolitu. Člověk tehdy žil po staletí či spíše tisíciletí v jeskyních a podmínky jeho života se jen málo lišily od života zvířat; jeho hl~vní snahou bylo získání potravy všude, kde jen to bylo možné. Vyráběl si zbraně pro rybolov a lov zvěře, v pospolitém životě rozvíjel řeč k vzájemnému dorozumívání a v pozdním paleolitu obohatil svůj život též tvůrčími uměleckými projevy, sochami a malbami. Kresby nalezené ve francouzských a španělských jeskyních ( z doby asi před 15 000 lety) měly původ v nějakém ritu; nicméně však ukazují pozoruhodné vnímání tvaru. Pochopení číselných hodnot a prostorových vztahú pokročilo jen o málo až do doby, v níž se začíná projevovat přechod od pouhého sbírání potravy k její skuteč­ né výrobě, od lovení a rybaření k zemědělství. Revolučně od základu se změnil pasivní postoj člověka k přírodě v aktivni; nastala mladší doba kamenná - neolit. Tato pro lidstvo důležitá změna se uskutečňovala asi před 10 000 lety, když ledový povlak pokrývající Evropu a Asii začal tát a uvolnil místo pro lesy a pouště. Kočovnické putování lidstva za hledáním obživy pomalu končilo. Rybáři a lovci se z velké části měnili v primitivní zemědělce. Rolníci, kteří již sídlili na jednom místě, pokud půda zůstávala plodnou, si začínali stavět trvalá obydlí; vznikaly vesnice jako ochrana před počasím a před loupeživými nepřáteli. Objevy celé řady neolitických sídlišť a vykopávky z různých míst ukazují postupný vývoj jednoduchých řemesel, zvláště hrnčířství, tesařstvf a tkalcovství. V sídlištích byly sýpky, takže obyvatelé se mohli uchováváním přebytků zajistit pro zimu a nepří­ znivé roky. Pekli chléb, vařili pivo a v pozdnfm neolitu 8

tavili a upravovali měď a bronz. Objevili některé technické z nichž nejvýznamnější byl hrnčířský kruh a kola k vozu; stále zdokonalovali též čluny a svá pří­ ,itřeší. Všechny tyto důležité novinky však vznikly v urči­ tých oblastech a mnohdy se vůbec nerozšířily do ostatních územi. Tak třeba američtí Indiáni neznali použití kol u vozu až do pronikání bělochů. Přece však ve srovnání s paleolitem probíhalo v neolitu zdokonalování techniky mnohem rychlejším tempem. Mezi sídlišti byl navazován čilý obchod, který se rozrosťl natolik, že ho můžeme sledovat mezi místy vzdálenými sta kilometrů. Obchodní styky byly ještě více podněcovány objevem způsobů tavení, nejprve mědi a pak bronzu; vedle toho je ovlivnila též výroba nářadí a zbraní. Obchod pak opět působil na další utváření řeči. Slova I primitivních jazyků vyjadřovala hlavně konkrétní věci a jen velmi málo abstraktní pojmy; i mezi nimi však · už nalézáme jednoduché početní termíny a pojmy pro některé vztahy mezi tvary. Na takové úrovni žilo mnoho australských, amerických a afrických kmenů až do doby svých prvních styků s bělochy; některé kmeny žijí v těchto podmínkách ještě dnes, takže máme možnost studovat jak jejich zvyky, tak i způsoby jejich vyjadřo­ váni. prostředky,

2, Názvy čísel - číslovky - jsou, jak řekl Adam Smith, výrazem jedné z „nejabstraktnějších myšlenek, které je lidská mysl schopna vytvořit0 ; začalo se jich také používat jen pozvolna. V prvých případech měly spíše kvalitativní než kvantitativní charakter a rozlišovaly pouze mezi jedním, dvěma a více. Přitom třeba u výrazu „jeden muž" byl důraz kladen spíše na význam „nějaký, určitý muž", než na kvantitativní označení „jeden". Původní kvalitativní počátky číselných pojmů se stáÍe ještě objevují ve speciálních duálních (podvojných) tvarech ně­ kterých jazyků, kupříkladu v řečtině nebo keltštině. Když se pojem číslo rozšiřoval, vytvářela se větší čísla spojováním; 3 vznikalo sečtením 2 a 1, 4 sečtením 2 a 2, 5 sečtením 2 a 3. Ukazuje to i příklad termínů užívaných pro číslovky u některých australských kmenů:

9

Murray River: 1 -= enea, 2 = petchev al, 3 4 = petchev al-petch eval

=

petchev al-enea

Kamilar oi: 1 -= mal, 2 = bulan, 3 = guliba, 4 = bulan-b ulan, 5 = bulan-g uliba, 6 = guliba-g uliba 1

Ke krystal izaci pojmu „číslo" přispěl též rozvoj řemesel a obchod u. Čísla byla uspořádána a spojov ala se ve vyšší, ruky nebo obsažnější jednotk y, obvykl e s pomocí prstů obchod u. při zvláště né přiroze bylo což obou rukou, pomocí s nejprve čísel, vání vyjadřo k také to V€dlo základu pět, později deset za použití sčítání a někdy i odčítaní, takže třeba číslo 12 se chápalo jako (10+2) nebo 9 jako (10-1) . Někdy byl zvolen základ dvacet, tj. u prisoučet prstů na rukou a nohou. W. C. Eels nalezl , systémů ch číselný mitivní ch americ kých národů 307 okombin a ých pětkov 106 vých, z nichž 146 bylo desítko vaných pětkově-desltkových, dvac!tk ových a pětkově­ dvac!tkových.2 Nejcharakterističtější formy dvacítk ových u Mayů a číselných soustav byly nalezen y v Mexiku v Evropě u Keltů. uzlfky, Číselné zprávy se uchová valy různými způsoby: lastura mi zářezy na holi, uzly na provaz e, oblázky nebo , které jsou seřazenými do skupin po pěti - tedy způsoby é minulo sti nedávn v ještě čeho velmi podobně tomu, ů. dlužnlk desce své na šenkýř užíval Od těchto metod byl jen krok k zavede ni zvláštn ích y se setkásymbolů pro 5, 10, 20 atd. S takový mi symbol é památk y pisemn též ejí pocház které z váme už v době, vrubov ky užití o doklad rši Nejsta ce. civiliza úsvitu na nalezen byl a tu pro číselné záznam y pocház í z paleoli 18 cm asi to Je . Moravě na roku 1937 ve Věstonicích hlubo55 to vyříznu je niž na vlka, o mladéh dlouM kost kých zářezů, z nichž prvních 25 je uspořádáno do skupin po pěti. Po nich následu je dvakrá t tak dlouhý zářez, 1 L. Conant, The Numbe r Concept , New York 1896, str. 106-7, uvád[ mnoho obdobn ých příkladú. 2 W. C. Eels, Numbe r System s o! North Americ an Indians, Am. Math. Monthly 20, 1913, str. 293.

10

Pak začíná opět dvojnásobně dlouhým která dosahuje počtu třiceti vrubú. 3 Je proto zřejmé, že starý názor, vyskytující se u Jacoba Grimma a často se opakující, že počítání vzniklo jako počítání na prstech, není správný. Počítání na prstech, to znamená počítání na pětice a desítky, se vyvinulo až na jistém stupni společenského vývoje. Jakmile však už jednou existovalo, mohla se čísla vyjádřit s pomocí základu, který též pomáhal při vytváření větších čísel; tak vznikla primitivní aritmetika. čtrnáct se vyjadřovalo jako 10+4, jindy jako 15-1. Operace násobení vznikala tehdy, když se číslo 20 začalo vyjadřovat nejen jako 10 + 10, ale též jako 2 X 10. Operace zdvojnásobování se užívalo po tisíciletí zvláště v Egyptě a v Indii v předá­ rijslty mezi A a B1. To však pokračuje do nekonečna, takže pohyb nemťiže vťibec začít.

Zenonovy aporie ukazovaly, že konečná úsečka může být rozložena na nekonečně mnoho walých úseček. z nichž každá má konečnou délku. Ukázaly dále, že je obtfžné vysvětlit, co se vlastně mfnf tvrzením, že přímka se „skládá" z bodů. Je velmi pravděpodobné, že Zenon sám neměl představu o matematic kých důsledcfch svých úvah. Problémy, které vedly k těmto paradoxům, se totiž pravidelně objevovaly v průběhu filosofický ch a teologický ch diskusi. Jsou známy jako problémy týkajfci se vztahu mezi potenciáln ím a aktuálním nekonečnem. Paul Tannery se však přece jen domníval, že Zenonovy úvahy byly pythagore jské ideji prostoru namířeny zvláště proti jako souhrnu bodů (,.bod je jednotkou polohy") 5• Ať je pravda jakákoli, Zenonovy úvahy měly jistě po mnoho generací vliv na matematic ké myšleni. Jeho aporie lze srovnat s paradoxy, kterých užil roku 1734 biskup Berkeley, aby ukázal logické absurdnos ti, k nimž může vést nepřesná formulace základů matematic ké analýzy, aniž by se však sám pokusil o lepši zdůvodněni . Zenonovy aporie však začaly trápit matematik y ještě víc po objevu iracionalit y. Byla matematik a vůbec možná jako exaktní věda? Tannery8 zastával názor, že lze mluvit ,,o skutečném logickém skandálu" - o krizi řecké matematiky. Jestliže j~ tomu tak, pak tato krize vypukla v poslednfch letech peloponéské války končícf roku· 404 pádem Atén. Pak můžeme také vidět vztah mezi krizf \r matematice a krizf sociálního systému, protože pád Atén byl rovněž pádem vlády otrokářské demokraci e a úvodem P. Tannery, La géométrle grecque, Paris 1887, str. 217261. Jiný názor zastává B. L. van der Waerden, Math. Annalen, 117 (1940), str; 141-161. 6 P. Tannery, 1. c. str. 98. Tannery na tomto místě pojednává jen o zhroucen! staré teorie proporci v důsledku 5

objevťi

nesouměřitelných

úseček.

41

k nové epoše vlády antické aristokra cie. Krize byla šena v duchu nové epochy.

ře­

5. Typický by~ v tomto novém období řecké historie růst bohatstv í určitých vrstev vládnouc ích tříd, který pokračoval úměrně s rústem bídy a nezajištěnosti chudiny. Vládnouc í třídy opíraly svou materiáln í existenci stále více o otroctví, což jim sice umožňovalo pěstování umění a věd, avšak zároveň se stále více vzdalova li veškeré manuáln í činnosti. Vzdělaný muž s přemírou volného ča­ su shlížel s pohrdání m na práci otroku a řemeslníků a utíkal před drsnou skutečností ke studiu filosofie a etiky. Platón a Aristotel es ztělesňují tento postoj; v Platónově Republice, napsané snad kolem roku 360, nalézáme nejjasnější vyjádření ideálů otrokářské aristokra cie. ,,Hlí(válečníci) Platónov y Republik y musí studovat dači" ,,kvadriv ium", skládajíc í se z aritmetik y, geometri e, astronom ie a muziky, aby porozuměli zákonům vesmíru. Tato intelektu ální atmosfér a byla na počátku období rozhodně příznivá diskusím o základec h matemat iky i spekulativní kosmolog ii. Ve spojení s Platónov ou Akademi í byli alespoň tři velcí matemat ici tohoto období: Archytas , Theaiteto s (zemřel 369) a Eudoxos (asi 408-355 ). Theaitetovi bývá připisována teorie iracional ity tak, jak c,e objevuje v desáté knize Euklidov ých Základů. Eudoxov o jméno je spojován o s teorií proporcí, kterou Euklides vložil do své páté knihy, a rovněž s tzv. ,,exhaust ivní" metodou , která umožňuje přesné výpočty obsahů a objemů. To však znamená , že „krizi" řecké matemat iky řešil Eudoxos, jehož přesné formulac e pomohly usměrnit další rozvoj řecké axiómati ky a ve značné 1tl.íře i celé řecké matemat iky. Eudoxov a teorie proporci odstranil a aritmetic kou teorii pythagorejců, která platila jen pro souměřitelné veličiny. Jeho teorie byla čistě geometri cká a v její přísně axiómatické formě bylo zbytečné brát zvláštní zřetel na nesouměiitelné nebo souměřitelné veličiny. Typická je 5. definice z páté knihy Euklidový ch Základú: že veličiny jsou v témže poměru, prvá k druhé jako třetí ke čtvrté, je:;tliže stejné násobky prvé a třetí veličiny ve srovnání s týmiž násobky druhé a čtvrté veličiny, vezme-

„Říkáme,

42

me-li je odpovídajícím způsobem po dvojicích, jsou časně větší nebo současně menší" 7•

buď

sou-

Dnešní teorie iré'.cionálních čísel, jak ji vytvořil Dedekind a Weierstrass, sleduje téměř doslova Eudoxův myšlenkový postup, avšak užitím moderních aritmetických metod otevřela podstatně širší perspektivy . .,Exhaustivní metodou" (termín „exhaustivní" se objevuje poprvé u Grégoira de Saint Vincentia roku 1647) odpověděla Platónova škola Zenonovi. Vyhnula se úskalí nekonečně malého tím, že je jednoduše obešla a převedla problém, který by mohl vést k nekonečně malým veliči­ nám, na problémy řešitelné pouze formální logikou. Jestliže se potřebovalo např. dokázat, že objem V čtyřstěnu je rovný třetině objemu P kvádru o stejné základně a výšce, pak ideou důkazu bylo prokázat, že o.ba předpoklady 1 1 V < - P, a V > - P vedou ke sporům. Přitom byl za3 3 veden axióm nyní známý jako axióm Archimédův, který tkvi rovněž v základech Eudoxovy teorie proporcí: ,,O veličinách říkáme, že vytvářejí poměr jedna k druhé, majíli tu vlastnost, že jedna po vynásobení může být větší než druhá". (Euklides, kniha pátá, def. 4) 8• Tato metoda, která

se stala běžným způsobem přeŠných důkazů pro výpočty ploch a objemů v řecké i renesanční matematice, je zcela přesná a může být snadno přetlumočena do důkazů vyhovujfcích požadavkům moderní analýzy. Její velkou nevýhodou je, že musí znát předem výsledek, jehož správnost prověřuje, takže nejprve musí matematik tento výsledek zfskat nějako'1 jinou, méně přesnou a spíše zkusmou metodou. Nacházíme nesporné známky toho, že se skutečně 7

Tj. a : b

m a n platí

= c : d,

právě

současně

když pro libovolná

přirozená čísla

ma; nb a mc.;; nd (pozn.

překl.).

a Archimédova verze (kterou Archimédes výslovně připi­ suje Eudoxovi) říká: ,.Větší ze dvou daných veličin, ať jsou to úsečky, plochy nebo tělesa, přesahuje menší o jistý rozdíl. který, když je dostatečně vynásoben, je větší než každ~ z obou daných veličin." Archimédes, O kouli a válci, německy viz např.: Ostwalds Klassiker der exakten Wissenschaften Nr. 202, Leipzig 1922.

43

uživaly také jiné metody. Zachoval se nám Archimédův dopis Eratosthenovi (kolem roku 250 před n. I.), objevený teprve roku 1906, v němž Archimédes popsal ne zcela přesnou, avšak plodnou cestu k zjišťování výsledku. Archiméduv dopis je znám pod názvem Metoda. Bylo naznačeno zejména S. Lurioug, že by tento spis mohl být výrazem úvah určité matematické školy soutěžíci se školou Eudoxovou, školy existující ještě před obdobím „krize" a spojeně se jménem zakladatele atomově teorie Demokrita. Podle Luriovy teorie byl zaveden Demokritovou školou pojem „geometrického atomu". O úsečce, ploše či objemu se předpokládalo, že je vytváří značný, ale konečný počet nedělitelných „atomů". Výpočet objemu byl vlastně sumací objemu všech „atomů" vytvářejícich toto těleso. Tato teorie se možná zdá absurdni, pokud si neuvědomíme, že někteří matematici 17. stoletI, jako napři­ klad Viěte a Kepler, v podstatě uživali týchž pojmu, když si například představovali obvod kruhu složený z velmi velkého počtu drobounkých úseček. Nemáme dokladu, že by se někdy ve starověku vypracovala přesná metoda na tomto základě, avšak naše modern[ pojetí limity umožnilo vybudovat z této „atomové" teorie stejně přesnou teorii, jako je exhaustivn[ metoda. Dokonce ještě dnes užíváme zcela samozřejmě tohoto pojetí „atomu", když vytyčuje­ me matematické problémy v teorii elasticity, ve fyzice nebo chemii, přičemž přenecháváme přesnou teorii „limity" profesionálním matematikům 10 • Přednost[ .,atomově" metody před metodou „exhaustivni" bylo usnadněn[ objevu nových výsledku. Antika tedy měla možnost výběru mezi přesnou, avšak relativně steriln[ metodou a metodou mnohem plodnějšI, avšak nedostatečně zduvodněnou. Je poučně, že prakticky všechny 1 S. Luria, Die Inflnitesimaltheorie der antiken Atomisten, Quellen und Studien 2 (1932), str. 106-185. 10 „Pokud uvažujeme jen o prvnlm diferenciálu, lze považovat malou část křivky bllzkou určitému bodu za přfmku a část plochy za rovinu; během krátkého časového intf'rvalu můžeme si představit, jako by se částice pohybovala konstantni rychlosti a libovolný fyzikální proces jako by probfhal za stejných podm[nek"; H. B. Phillips, D!fterential Equatlons, New York 1922, str. 7.

44

klasické texty používají první metody. To by opět mohlo souviset se skutečností, že matematika se stala koníčkem třídy, mající dostatek volného času, opírající se o otrockou práci, netečné k objevům a zaujaté rozjímáním. Může to však být též odrazem vítězství platónského idealismu nad demokrit-0vským materialismem v oblasti filosofie matematiky. 6. Roku 334 zahájil Alexandr Veliký své tažení do Persie. Když roku 323 zemřel v Babylóně, podléhal již celý Blízký východ Řekům. O Alexandrem dobytá území &e podělili jeho vojevůdci a z těchto oblasti nakonec vznikly tři říše: Egypt pod vládou Ptolemaiovců, Mezopotámie a Syrie pod Seleukovci a Makedonie pod Antigonem a jeho • následníky. Také povodí Indu mělo své řecké panovníky. Začala doba helénismu. Alexandrova taženi bezprostředně urychlila pronikání řecké kultury do rozsáhlých území orientálního světa. Helénizoval se Egypt, Mezopotámie i část Indie. Řekové zaplavili Blízký východ jako obchodníci, kupci, lékaři, dobrodruzi, cestovatelé a žoldnéři. Města - z nichž mnohá byla nově založena, což poznáme na jejich helénizovaných jménech - byla pod řeckou vojenskou a administrativni kontrolou; v nich se misilo řecké a orientálni obyvatelstvo. Avšak helénismus byl hlavně městskou civilizaci. Venkovské obyvatelstvo touto kulturou nebylo zasaženo a jeho způsob života navazoval na staré tradice. V městech se kultura starověl oE 1í f.LEv BK r-y NLJ, >Í óĚ KA rfí MN, ·~ OE AH T~ HM avet,ÉHEL xai. OVVEL, ťaov

a. 2. ávai-ÉUova, V; item p. 82 !in: 14 utrnmf1ue. 4 . H Mj 6. hcáneo,,] "" ln~ov a. N M a. obr. 5.-6. Ukázka dvou stránek Heibergo vy a Mengeovy řecké a latinské edice Euklidov ých pracf.

47

PHAENOVEN.A.

81

AH, HM, MN, NA inaequalibus temporibus oriri, ac maximis quidem I'K, NA, minore autem KA, MN, minimis autem AH, HM, aequalibus autem I'K et NA, KA et MN, AH et HM. di,-idatur etiam uterque quadrnns A@, semicirculi, qui post Cancrum est, in signa in punctis S, O, ll, P. circulu1 igitur in duodecim partes aequales divisus erit,

er

sunt, aequales autem ii, qui a circulo o.equinoctiali aequali internllo diatant, 1t oriuntur et occidunt.

sit eirculus horizon ABI'Ll et aestivus tropicus B.A, hie• malis autem tropicus I'Ll, et sit semicirculus LJHB, qui post CapricornurJ est, sub terra, aequinoctialis autem circulus, sit E @HZ, et dividatur uterque arcus BR, HL1 ín tres, partes aequales in punctis K, A, M, N; dico BK, K.A, .AH, HM, MN, N L1 inaeq ualibus tempo1ibus oriri, ac marimis quidem BK, NLJ, minoribus autem K.A, MN, minimis autem .AH, HM, aequalibus autem BK et NLJ, K.A et MN, .AH et Hllt oriri. b. 8. Post Nd ins. nEpttpÉpmri m. 2 Vat. 10. l'a~J fao,Lm. 2 Vat. 11. ávcu4llu) áv,x-réllova, m. 2 Vat. xo:1 chívuj add. Nokk. B11olldu I edd. HtlbN'lf el Mena•- Vlll.

48

6

klida samého a které z nich jsou kompilace; ukazují však na mnoha místech podivuhodnou myšlenkovou pronikavost. Jsou to první čistě matematické texty, které se nám dochovaly z řecké antiky. Základy jsou pravděpodobně hned po bibli nejvíce tištěnou a studovanou knihou v dějinách západního světa. Jen od vynálezu knihtisku se objevilo více než tisíc vydání a předtím ovládaly jejich rukopisné přepisy většinu vyučování geometrie. Hlavní část naší školni geometrie pochází, často doslova, ze šesti knih z celkového počtu tři­ nácti, a tak euklidovská tradice stále silně ovlivňuje naše elementární vyučování. Profesionální matematiky tyto knihy vždy neobyčejně upoutávaly a jejich logická struktura ovlivňovala vědecké myšlení asi více než jakékoli jiné dílo na světě. · Euklidův výklad spočívá na přísně logické dedukci vět ze soustavy definic, postulátů a axiómů. První čtyři knihy pojednávají o rovinné geometrii a postupují od nejelementárnějších vlastností přímek a úhlů k podobnosti trojúhelníků, rovnosti ploch, Pythagorově větě (první kniha, 47. věta), ke konstrukci čtverců, jež mají plochu shodnou s daným obdélníkem, k zlatému řezu, kruhu a pravidelným mnohoúhelníkům. Pátá kniha přináší v čistě geometrické podobě Eudoxovu teorii nesouměřitelných veličin a v šesté knize je tato teorie aplikována na podobnost trojúhelníků. Tak pozdní zavedení podobnosti je jedním z nejpodstatnějších rozdílů mezi Euklidovým a dnešním výkladem rovinné geometrie; vysvětlujeme si to neobyčejnou závažností, kterou Euklides přikládal Eudoxově nové teorii nesouměřitelných veličin. Geometrická diskuse pokračuje znovu v desáté knize, pokládané často za jednu z nejobtížnějších Euklidových knih. Kniha obsahuje geometrickou klasifikaci kvadratických iracionalit a jejich druhých odmocnin, jak nazýváme čísla tvaru Vb. Poslední tři knihy se zabývají geometrií těles, vedou přes prostorové úhly, objemy rovnoběžnostěnu, kvádru a pyramidy ke kouli a k tomu, co asi bylo zamýšleno jako vyvrcholení, k diskusi pěti pravidelných „Platónových" těles a k důkazu, že těchto pravidelných těles existuje pouze pět. Sedmá až deváté kniha jsou věnově.ny teorii čfsel, nikoli

V~+

49

však početní technice, ale takovým pythagorejským otázkám, jako je dělitelnost celých čísel, sčítáni geometrických posloupností a některé vlastnosti prvočísel. Zde nalezneme „Euklidův algoritmus" pro zjišťování největ­ šího společného dělitele dané skupiny čísel, a „Euklidovu v ětu" o tom, že existuje nekonečný počet prvočísel (devátá kniha, 20. věta). Zvláště zajímavá je 27. věta šesté knihy, která obsahuje i s důkazem první v historii matematiky známy maximální problém, že čtverec má největší obsah ze všech obdélníků daného obvodu. Pátý postulát prvé knihy (vztah mezi Euklidovými „axiómy" a „postuláty" není jasný) je ekvivalentní tzv. ,,axiómu o rovnoběžkách", podle něhož lze vést k dané přímce daným bodem právě jednu rovnoběžku. Teprve v 19. století vedly pokusy o redukci tohoto axiómu na pouhou větu k plnému uznání Euklidovy prozíravosti při přijímání této vlastnosti za axióm a vedly též k objevu jiných, takzvaných neeuklidovských geometrií. Algebraické úvahy jsou v Euklidově díle skryty zcela do geometrické podoby. Výraz VA je zaváděn jako strana čtverce o ploše A, součin ab jako plocha obdélníku o stranách a a b. Tento způsob vyjadřování byl poprvé vytvořen v Eudoxově teorii proporcí, která záměrně odmítala číselně vyjadřovat úsečky, a tak pracovala s nesouměři­ telnými veličinami čistě geometricky; za „čísla" se považovala jen celá čísla nebo racionální zlomky. Jaké cíle sledoval Euklides vypracováním Základů? Můžeme se do určité míry domnívat, že chtěl spojit v jediném díle tři velké objevy nedávné minulosti: Eudoxovu teorii proporcí, Theaitetovu teorii iracionálních veličin a teorii pěti pravidelných těles, zaujímajících významné místo v Platónově kosmologii. Všechny tři výsledky byly typicky „řecké". 8. Největším matematikem helénistického období, a tím vlastně i celého starověku, byl Archimédes (287-212), který žil v Syrakusách jako rádce krále Hierona. Je jednou z mála postav starověkých učenců, o které víme více než pouhé jméno; o jeho životě a osobě se zachovalo ně­ kolik údajů. Víme, že použil své technické znalosti k obraně Syrakus před Římany, a když nakonec město padlo,

50

byl zabit. Jeho zaJmy o praktické aplikace nás udivují, zejména když je srovnám e s pohrdání m, jakým byl takový zájem trestán od jeho současníků z Platónov y školy, avšak vysvětlení nám přináší jedno často citované místo z Plutarch ova Marcella, že totiž ačkoliv mu tyto vynálezy získaly pověst nadlidské moudrosti, nepřipustil, aby po něm zůstalo nějaké psané dílo o těchto otázkách; avšak protože považoval prácu v mechanic e a každý druh činnosti, který byl zaměřen k užívání a užitku, za ponižující a špinavý, zaměřil svou ctižádost na takové úvahy, jejichž krása a důvtip nebyly dotčeny příměsí obyčejných životních potřeb."

Nejvýznamnější matemat ický Archimédův prmos patří do oblasti, kterou nyní nazývám e integráln ím počtem; jsou to věty o obsahu rovinnýc h útvarů a o objemu prostorových těles. Ve svém Měření kruhu nalezl aproxima ci obvodu kruhu vepsaným i a opsaným i pravideln ými mnohoúhelní ky. Když svou aproxima ci rozšířil až k mnohoúhelníku o 96 stranách , nalezl ( v dnešní symbolic e):

3 _!Q_ Jaubfo / ~9IJ9 / Sf9tfo/ ~oll,-ftfl) /9t9~njfo 1 !aafó I 2Q6iAb9 I Wlě~t 1 .irage/ Cl Corpora, t»pmUít {c auo•

e pfipogc~m~ebNiviliro~njm/

, Wobnvm fflěřenim, ab) eogamo,

S.nataomo no&>jmo Problcm

lcn4/ a ponc,pra, mwém ~ ~ l

\\?á~AIN ~;ctia 4Wcíelt,bo / Pft• f,snjtjo lan"t\o tftljnÁit / 4 Ceómetn.

a»a, ffl3otwi= ro _~rt11t mJmt( a»nt~f l,t, 1714, ,a,rctr•r lft90 ~~IIP llit

12. Titulní list praktické geometrie V. J. Veselého z roku 1734.

140

Celková situace v poměru k vědě se u nás prudce kolem poloviny století. Pod tlakem hospodář­ ských požadavků zvitězilo i ve vládních kruzích přesvěd­ čení o bezprostředni užitečnosti matematicko-fyzikálních věd pro rozvoj výroby; padly tak dosud vládnouci ideologické zábrany pro pronikání moderní experimentální fyziky a dílo Newtonovo spolu s Eulerovými matematickými prostředky se rychle stalo základem studia matematiky. Již roku 1765 vydal Josef Stepling knihu o diferenciálním ,počtu, kde se snaží rozvinout myšlenky tehdy jen 10 let staré Eulerovy práce Institutiones calculi differentialis. Stejně jako Euler odvrhuje těž Stepling ve svém výkladu důsledně názornost, což bylo zejména při výkladu základních pojmů diferenciálního počtu progresívním prvkem. Stepling, když zpracovával někte­ ré ideje Eulerovy, dospěl v základrúch pojmech, kde se zabývá Eulerovým počítáním s „nulami", až do absurdností. K vymezení základních pojmů analýzy přistupuje též Jan Tesánek v krátkém matematickém úvodu k pražskému vydání Newtonových Principií (1. kniha 1780; 2. kniha 1785). Snaží se zde zpřesnit pojem limitního přechodu a tak navázat na linii d'Alembertovu, která svým způsobem vedla k myšlenkám Cauchyovým a Bolzanovým. Steplingova kniha Exercitationes geometricoanalyticae (Praha 1751) o integrování jistých algebraických funkcí vzbudila ve své době pozornost a byla v krátké době třikrát otištěna. Druhou oblastí, o kterou se více zajímali naši matematikově, byla teorie čisel, v níž se teprve začínalo pracovat s větší intenzitou. Vedle Schaffgotschova úsilí o rozšíření tabulek dělitelů či (1782) navázal v této oblasti na práce prvočísel Eulerovy a Lagrangeovy o tzv. Pellově rovnici opět J. Tesánek; podrobil diskusi vztah mezi vlastnostmi konstanty d v rovnici duZ + 1 = vZ a řešeními této rovnice. Uprostřed století se začíná na Slovensku rozvíjet matematická práce zejména na jezuitském filosofickém studiu v Trnavě. Péčí tohoto střediska, ačkoliv nebylo vědecky tak průbojné jako pražské, vyšlo několik standardních učebnic matematiky a objevily se náznaky vlastní práce. činnost tohoto střediska však byla záhy změnila

přerušena.

Celkově

však ke konci století

opět

slábne úsilí našich

141

matematiků.

Zdá se, že zde neblaze působil vzrůstající prakticismu s, který nepřál a nepodporova l vlastni vě­ deckou práci. Na této situaci nezměnilo nic ani založení Učené společnosti (kolem roku 1770), pozdější Královské české společnosti nauk, která sice soustředila všechny nejlepší vědce, ale pro podporu vědy neskýtala fakticky nic víc než publikační platformu ve svých Pojednáních . Typickým představitelem konce století byl F. J. Gerstner, který dovedl ve svých universitníc h přednáškách i pracích výborně využít nejnovějších matematický ch výsledků. Nikdy však nenapsal speciální matematické pojednání, nýbrž v souladu s bezprostředními úkoly rozvoje prů­ myslu se většinou soustřeďoval na teoreticky nenáročné, ale naléhavé úkoly. 13. Je velmi pozoruhodné , že ke konci století vyjadřo­ vali někteří z vůdčích matematiků přesvědčení, jako by tematika matematiky byla vyčerpána. Pracné úsilí Eulera, Lagrange, d'Alemberta a ostatních vedlo k velmi významným výsledkům; velké standardní učebnice je už vyložily v jejich souvislostec h (nebo to chtěly udělat). Matematikům následující generace jako by zůstaly k ře­ šení pouze drobnější problémy. ,,Ne vous semble-t-il pas que la haute géométrie va un peu A décadence ?" napsal 1772 Lagrange d'Alemberto vi. .,Elle n'a ďautre soutien que vous et M. Euler."12. Lagrange přerušil na delší dobu dokonce i svou matematickou práci. D'Alembert skýtal již jen málo naděje. Arago vyjádřil později ve svém nekrologu na Laplace (1842) myšlenky, které mohou pomoci k pochopení tohoto pocitu: „Pět matematiků Clair aut, Euler, ď Alembert, Lagrange a Laplace - si rozdělilo mezi sebou svět, jehož existenci odhalil Newton. Objasnili ho ve všech směrech, pronikli do oblastí, které byly považovány za nepřístupné, ukázali na bezpočet jevů v těchto oblastech, které ještě bádání neodkryla, a konečně - a v tom leží jejich nepomijejíci sláva -

u „Nezdi se vám, že vyšší geometrie začíná trochu upadat?" .,Nemá_ žádných jiných podpor než vás a pana Eulera". Označeni Géométríe se ve francouzštině používalo během 18. stoletl pro matematiku vůbec. 142

podrobili vše, i sebesložitější a tajuplně v pohybech nebeských jednomu jedinému principu, jednotnému zékonu. Matematika dostala také odvahu k úvahém o budoucnost i; až staletí uplynou, svědomitě potvrdI vědecké nálezy."

tělPs,

Aragovo rétorství ukázalo, že hlavní pramen tohoto pesimismu konce století tkvěl v tendenci, která příliš ztotožňovala vývoj matematik y s vývojem mechaniky a astronomi e. Od dob starého Babylónu až po Eulera a Lagrange astronomi e podněcovala a navozoval a v matematic e nejpronikavější objevy; nyní se zdálo, že tento vývoj dosáhl svého vrcholu. Avšak nová generace, která byla podmíněna novými perspektiv ami, otevřenými Francouzskou revolucí a rozkvětem přírodních věd, se přičinila o to, ukázat, jak byl tento pesimismu s neopodstatněný. Nový velký impuls přišel jen zčásti z Francie; přišel též, jak tomu často bývá v dějinách kultury, z okrajové oblasti politických a hospodářských středisek, v tomto případě od Gausse z Gi:ittingen.

143

KAPITOLA 8. DEVATENÁCTI! STOLETI

Francouzská revoluce a napoleonská doba vytvořily příznivé podmínky pro další rozvoj matematiky. Cesta pro průmyslovou revoluci byla na evropském kontinentě otevřena. To působilo příznivě na rozvoj fyzikálních věd; vznikly nové společenské třídy s novým životním názorem, zajímající se o vědu a technické vzdě­ lání. Demokratické ideje pronikaly do akademického života; zastaralé formy myšlení byly podrobeny kritice; školy a university se musely reformovat a omladit. Nový velký rozmach matematické produktivity nevycházel však především z technické problematiky, kterou s sebou přinesl nový průmysl . Anglie, srdce průmyslové revoluce, zůstala matematicky po několik desetiletí zcela neplodná. Matematika se rozvíjela nejsilněji ve Francii a o něco později v Německu, tedy v zemích, v nichž se zvlášť ostře pociťoval ideologický rozchod s minulostí a v nichž nastupovaly nebo teprve měly nastoupit změny, které připravovaly základy pro novou kapitalistickou hospodářskou a politickou strukturu. Nové matematické bádání se ponenáhlu osvobodilo od staré snahy spatřovat konečný cíl exaktních věd v mechanice a astronomii. Studium vědy se vcelku osvobozovalo stále více ,od požadavků hospodářského života nebo vojenství. Vyvíjel se specialista, který se zajímal o vědu pro ni samu. Spojení s praxí se nikdy úplně nepřerušilo, bývalo však mnohdy zastřené. Vzrůst specializace byl doprovázen oddělením ,.čisté" a „aplikované" matematiky.1 Matematikové 19.

1.

mimořádně

1 Rozdllnost přlstupu je klasicky vyjádřena v Jacobiho poznámce o Fourierových názorech, které ještě představovaly utilitaristický postoj 18. stoleti: .,Je pravda, že pan Fourier byl názoru, že hlavnlm poslánlm matematiky je veřejný

144

století již nežili kolem královských dvorů či v aristokratických salónech. Jejich hlavním zaměstnáním již nebyla činnost v učených společnostech; byli obvykle zaměstnáni na universitách nebo technických školách a byli stejně učiteli jako badateli. Bernoulliové, Lagrange i Laplace vyučovali jen příležitostně. Nyní učební závazky vzrostly; profesoři matematiky se stali vychovateli a zkoušejícími mládeže. Internacionalismus předcházejících století byl postupně podkopáván a rostlo sepětí mezi vědci a jejich národem, ačkoli mezinárodní výměna myšlenek zůstávala. Latina jako vědecká řeč byla postupně nahrazena národními jazyký. Matematikové začali pracovat ve specializovaných odvětvích; zatímco Leibniz, Euler a d'Alembert mohou být označeni jako „matematikové" (jako „geometři" ve smyslu tohoto slova v 18. století), uvažujeme o Cauchym jako o analytikovi, o Cayleym jako o algebraikovi, o Steinerovi jako o geometrovi (dokonce „čistém" geometrovi) a o Cantorovi jako o tvůrci bodových množin. Doba byla zralá pro „matematické fyziky", po nichž následovali odborníci v „matematické statistice" nebo „matematické logice". Specializace byla zlomena jen génii nejvyšší úrovně; a právě z díla Gaussova, Riemannova, Kleinova a Poincarého obdržela matematika 19. století své nejmocnější popudy. 2. Na dělící linii mezi matematikou 18. a 19. století ční majestátní postava Karla Friedricha Gausse. Narodil se v německém městě Braunschweigu jako syn námezdního pracovníka. Brunšvický vévoda šťastnou náhodou poznal v mladém Gaussovi zázračné dítě a převzal starost o jeho výchovu. Mladý génius studoval v letech 1795-1798 v Gč:it­ tingen a v roce 1799 obdržel doktorskou hodnost v Helmužitek a vysvětlení přírodnich jevů; avšak filosof jako on by měl vědět, že jediným cHem vědy je čest lidského ducha a že z tohoto hlediska problémy teorie čísel majI stejnou cenu jako otázka systému světa". V dopise Legendrovi z roku 1830 vyslovuje se Gauss (Werke I, str. 454) pro syntézu obou názorů; bohatě využívaje matematiky v astronomii, fyzice a geodézii, pokládal ji však současně za královnu věd a v aritmetice viděl královnu matematiky.

145

stadtu. Od roku 1807 až do své smrti 1855 pracoval klidně a nerušen jako ředitel astronomické observatoře v G6ttingen a jako profesor tamější university. Jeho relativní osamělost, jeho zvládnutí „aplikované" jakož i „čisté'' matematiky, jeho astronomické práce i časté užívání latiny mají rys 18. století, avšak jeho dílo dýchá již duchem nového období. Stál, jako jeho současníci Kant, Goethe, Beethoven a Hegel, stranou velkého politického boje, který zuřil v jiných zemích, avšak ve svém vlastním oboru vyjadřoval nové ideje svého věku velmi mocným způsobem. Gaussův deník ukazuje, že se k vynikajícím objevům propracovával již od svých sedmnácti let. Například v roce 1795 nalezl v teorii čísel nezávisle na Eulerovi kvadratický zákon reciprocity. Některé z jeho raných objevů byly otištěny v helmstadtské disertaci z roku 1799 a v působivých Disquisitiones arithmeticae z roku 1801. Diesertace podává první přesný důkaz tzv. základní věty algebry, tj. věty tvrdící, že každá algebraická rovnice s reálnými koeficienty má alespoň jeden komplexni kořen, a proto má n kořenů. Věta pochází od Alberta Girarda, vydavatele Stevinova díla (Invention nouvelle en algebre, 1629) a ďAlembert se pokoušel ji dokázat v roce 1746. Gauss si tuto větu oblíbil a později podal dva dalši důkazy a v roce 1846 se vrátil k prvnímu důkazu. Třetí důkaz (1816) užívá celých komplexních čísel a ukazuje, že tehdy Gauss ovládal teorii komplexních čísel. Disquisitiones arithmeticae shrnuly všechna mistrovská díla Gaussových předchůdců v teorii čísel a obohatily ji v takové míře, že se počátek moderní teorie čísel někdy datuje od vydání této knihy. Její jádro tvoří teorie kvadratických kongruencí, forem a zbytků; vrcholí v zákonu kvadratických zbytků, nazývaném „teorema aureum", jejíž první úplný důkaz podal Gauss. Gauss byl zaujat touto větou stejně jako základní větou algebry a později uveřejnil pět různých jejích důkazů; další byl nalezen po jeho smrti mezi jeho rukopisy. Disquisitiones obsahují též Gaussovo zkoumání dělení kruhu, jinými slovy kořenu rovnice :,:n = 1. To vedlo k pozoruhodné větě, že stranu pravidelného sedmnácti úhelníku ( obecněji pravidelného n-úhelníku, n = 2P + 1, p = 21c, n prvočíslo, k = O, 1, 2, 3 ... ) lze konstruovat pouze s kružítkem a pravitkem,

146

což je překvapující rozšíření řeckého způsobu geometrické práce. Gaussův zájem o astronomii byl vzbuzen tehdy, když v prvém dni nového století (1. ledna 1801) objevil Piazzi v Palermu první planetoid, který obdržel jméno Ceres. Protože se mohlo získat krátkým pozorovaním nového planetoidu jen velmi málo údajů, vznikl problém vypočítat dráhu planety z malého počtu dat. Problém, který vedl k rovnici 8. stupně, úplně vyřešil Gauss. Když roku 1802 byl objeven planetoid Pallas, začal se Gauss sám zabývat sekulární perturbací planet. To vedlo k dílu Teoria motus corporum coelestium (1809), k pojednání o přitahováni obecných elipsoidů (1813), k dílu o mechanické kvadratuře (1814) a ke studiu sekulárních perturbací (1818). Tomuto období náleží též Gaussovo pojednání o hypergeometrických řadáah (1812), které umožnily diskusi velkého počtu funkcí z jednotného hlediska. Je to prvé systematické zkoumání konvergence řad. 3. Po roce 1820 se Gauss začal aktivně zajímat o geodézii. Zde spojoval rozsáhlou praktickou činnost při triangulaci s teoretickým výzkumem. Jedním z výsledků byl výklad metody nejmenších čtverců (1821, 1823), které byly již předmětem zkoumání Legendra (1806) a Laplace. Snad nejvýznamnějším přínosem tohoto období Gaussova života byla jeho teorie obsahů, uveřejněná v Disquisitiones circa superficies curvas (1827), která pojednává o tomto předmětu způsobem nápadně odlišným od Mongeova. Zde opět praktické úvahy, tentokráte z oblasti vyšší geodézie, byly úzce spojeny s hlubokou teoretickou analýzou. V této publikaci se objevila tzv. vnitřní geometrie na ploše, na níž křivkové souřadnice se užívají pro· vyjádření lineárního elementu ds v kvadratické diferenciální formě ds 2 = Edu 2 + Fdu dv + G dv 2• Vrcholem této práce byla tzv. ,,theorema egregium", která tvrdí, že úhrnná křivost plochy záleží pouze na E, Fa G a jejich derivacích a je tedy invariatní vůči ohýbání. Avšak Gauss nezanedbal svou první lásku, ,,královnu matematiky", ani v období, kdy soustředil svou činnost na geodetické problémy; v letech 1825 a 1831 se objevila díla o bikvadratických zbytcích. Bylo to pokračování teorie kvadratických zbytků z Disquisitiones arithmeticae, avšak po147

novými metodami teorie komplexní ch čísel. Pojednání z roku 1831 nepodává jen algebru komplexní ch čísel, nýbrž též aritmetiku . Objevila se nová teorie prvočísel, v níž 3 zůstávají prvočíslem, avšak prvočíslem již není 5 = (1 + 21) (1- 21). Nová teorie komplexný ch čísel osvětlila mnohá temná místa aritmetiky , takže kvadratick ý zákon reciprocity se stal jednodušš í než reálná čísla. V této práci rozptýlil Gauss navždy záhadu, která stále obklopova la komplexní čísla, tím, že je vyjádřil body v rovině2. Sousoší v Gottingen představuje Gausse a jeho mladšího kolegu Wilhelma Webera při vynálezu elektrické ho telegrafu. Tento vynález spadá do let 1833-1834 , kdy se Gaussova pozornost začínala obracet k fyzice. V tomto období vykonal mnoho experimen tálních prací o zemském magnetism u. Avšak současně nalezl čas pro teoretické výsledky prvořadého významu, které jsou shrnuty v práci Allgemeine Lehrsii.tze do teorie sil, působících nepřímo úměrně čtverci vzdálenos tí (1839, 1840). Tato práce znamenala počátek potenciáln í teorie jako zvláštní oblasti matematik y (Greenova práce z roku 1828 byla tehdy prakticky neznáma) a vedla k jistým minimálním principům o prostorový ch integrálec h, v nichž rozeznává me „Dirichleto vy principy". Pro Gausse byla existence minima zřejmá; později z toho vznikla velmi diskutova ná otázka, která byla konečně řešena Hilbertem. Gauss pracoval až do své smrti v roce 1855. V pozdních letech svého života se vracel stále více k aplikované matematice. Jeho publikace však neskýtají obraz, který by plně odpovídal jeho velikosti. Jeho deníky, které se později nalezly, a některé jeho dopisy dokázaly, že si své nejhlubší myšlenky ponechal pro sebe. Dnes víme, že Gauss objevil už roku 1800 eliptické funkce a kolem roku 1816 znal neeuklidov skou geometrii. O této otázce však

kračování

2 Srv. E. T. Bell, Gauss and the Early Developme nt of Algebraic Numbers, National Math. Magazíne 18, 188, 219 (1944). A. Spelser poznamena l, že již Euler a jini ?Mtematiko v~ po roce 1760 uvažovali o pojmech tohoto vyjádřeni komplexnic h čísel ; srv. úvod k Eulerovu dllu I, str. 28, ZUrich 1955, str.

XXXVII.

148

jen v několika dopisech své kritické zhodnoceni všech pokusů o důkaz Euklidova postulátu o rovnoběžkách. Zdá se, že se Gauss nechtěl veřejně pouštět do zpracovávání nějaké sporné otázky. V dopisech psal o sršních, kteří by mu pak létali kolem uší, a o „pokřiku Boiotů", který by se pozvedl, kdyby si nezachoval svá tajemství. Gauss sám pochyboval o platnosti obecně přijímané Kantovy teorie, podle níž je naše prostorová představivost a priori euklidovská; pro něj byla geometrie skutečného prostoru fyzikálni skutečnosti, která se experimentálně prověřovala. nikdy nic

neuveřejnil; skutečně

přátelům vyjádřil

4. Ve svých dějinách matematiky 19. stoleti vybízel Felix Klein ke srovnání Gausse s francouzským matematikem Adrienem Marie Legendrem, který byl o dvacet pět let starší. Nenr možná zcela spravedlivé, jestliže srovnáváme Gausse s libovolným matematikem s výjimkou několika největších; avšak toto zvláštní srovnání ukazuje, že Gaussovy myšlenky „visely ve vzduchu", protože Legendre se svým vlastnim a nezávislým způsobem zabýval většinou otázek, které zaměstnávaly též Gausse. Legendire učil od roku 1775 do roku 1780 na vojenské škole v Paříži a zastával později různé funkce; byl mj. profesorem na Ecole normale, examinátorem na Ecole polytechnique a úřednim geodetem. Legendrovo dílo - podobně jako Gaussovo - závažně zasáhlo do oblasti teorie čisel (Essai sur les nombres, 1798; Théorie des nombres, 1830), kde Legendre vyslovil např. kvadratický zákon reciprocity. Vydal též významně geodetické a teoreticko-astronomické práce, byl právě tak pilným počtářem tabulek jako Gauss, roku 1806 vyslovil metodu nejmenších čtverců a studoval přitažlivost elipsoidů, dokonce takových, které nepatřily mezi rotační plochy. Zde zavedl „Legendrovy" funkce. Stejně jako Gauss měl zájem o eliptické a Eulerovy integrály, jakož i o základy a metody euklidovské geometrie. Ačkoliv Gauss pronikl hlouběji v podstatu všech těchto různých oblasti matematiky, vytvořil Legendre práce vynikaj[c[ho významu. Jeho objemně učebnice byly po dlouhou dobu vzorem, zvláště jeho Exercises du calcul intěgral (3 svazky 1811-1819) a jeho Traité des fonctions elliptiques et des intěgrales Eulériennes (1827149

1832) jsou standardn ím dílem ještě i dnes. Ve svých Eléments de géométrie (1794) skoncoval s platónským uctíváním Euklida a vytvořil učebnici elementár ní geometrie, která vychází z požadavků moderního vyučování. Tato kniha vyšla v mnoha vydáních a byla přeložena do několika jazyků; působila dlouhotrva jícím vlivem.

5. Za začátek nové etapy v dějinách francouzsk é matematiky se snad může pokládat zřizování vojenskýc h škol a vojenskýc h akademií, které se objevují od druhé poloviny 18. století. V těchto školách, z nichž některé byly založeny mimo Francii (Turin, Woolwich), hrálo ve vzdě­ lávání vojenskýc h inženýrů pozoruhod nou úlohu vyučo­ vání matematic e. Lagrange začal svoji dráhu na turinské dělostřelecké škole. Legendre a Laplace učili na vojenské škole v Paříži, Monge v Mézieres. Carnot byl kapitánem inženýrem . Napoleonův zájem o matematik u sahá do doby jeho studií na vojenskýc h akademiíc h v Brienne a Paříži. Za vpádu královský ch armád do Francie se stal naléhavým požadavek větší centraliza ce výuky vojenského inženýrstv í. To vedlo k založení Ecole polytechni que v Paříži roku 1794. Tato škola se brzy stala vůdčí institucí pro studium všech inženýrsk ých oborů a byla i všeobecně vzorem pro všechny inženýrské a vojenské školy počátku 19. století, například pro West Point ve Spojených státech a pražskou polytechni ku. Vzdělání v teoretické a aplikované matematic e tvořilo podstatno u základní součást učebního plánu. Bádání a výuka byly pěstovány se stejným důrazem. Nejlepší francouzšt í vědci věnovali své síly této škole; mnoho velkých francouzsk ých matPmatiků bylo studenty, profesory či examináto ry na Ecole polytechnique3. Vzdělání na této instituci stejně jako na ostatních technickýc h školách vyžadovalo nový typ učebnice. Učená pojednání pro odborníky , která tak charakteri zovala Eulerovu dobu, bylo nutno doplnit příručkami pro vysokoškolskou výuku. Jedny z nejlepších učebnic počátku 19. století byly vypracová ny pro vyučování na Ecole polytechnique či na podobných institutech . Jejich vliv může3 Viz C. G. J. Jacob!, Werke 7, str. 355 (přednášky z roku 1835).

150

me sledovat ve vývoji učebnic až dodnes. Dobrým pnkladem takové příručky je Traité du calcul différentiel et du calcul intégral (2 sv. 1797) od Sylvestra Fran~oise Lacroixe, z níž řada generací čerpala své znalosti infinitesimálního počtu. O Legendrových knihách jsme se již zmínili. Dalším příkladem je Mongeova učebnice dec;kriptivní geometrie, která je vzorem mnohých dnešních knih o tomto předmětu. Gaspard Monge, ředitel Ecole polytechnique, byl vě­ deckým vůdcem skupiny matematiků, kteří byli ve spojení s touto institucí. Započal svou dráhu jako přednášející na vojenské akademii v Mézieres (1768-1789), kde mu jeho přednášky o stavbě pevností daly příležitost, aby rozvinul deskriptivní geometrii jako zvláštní odvětvi geometrie. Své přednášky zveřejnil v knize Géométrie descriptive (1795-1799). V Mézieres začal také využívat infinitesimálního počtu při studiu prostorových křivek a ploch a jeho práce o tomto tématu byly později uveřejněny v Application de !'analyse a la géométrie (1809), v první knize o diferenciální geometrii, i když forma výkladu je odlišná od dnes obvyklé. Monge byl jeden z prvých moderních matematiků, kterého podle jeho specia lizace lze oprávněně nazývat geometrem; dokonce jeho pojednání o parciálních diferenciálních rovnicích mělo zřetelné geometrické rysy. Vlivem Mongeovým začala na Ecole polytechnique rozkvétat geometrie. V Mongeově deskriptivní geometrii tkvi i zárodek budoucí projektivní geometrie a Mongeovo dokonalé zvládnuti aplikace algebraických a analytických metod na křivky a plochy podstatně ovlivnilo vývoj analytické a diferenciální geometrie. Jean Hachette a Jean Baptiste Biot rozvíjeli analytickou geometrii kuželoseče k a kvadrik; v Biotově Essai de géométrie analytique (1802) konečně poznáváme naše dnešní učebnice analytické geometrie. Mongeův žák Charles Dupin aplikoval jako mladý námořní inženýr Napoleonovy doby metody svého učitele na teorii ploch, přičemž nalezl asymptotické a konjugované křivky. Dupin se stal profesorem geometrie v Pařiži a během svého dlouhého života si získal vážnost též jako politik a podporovatel průmyslového rozvoje Francie. ,.Dupinova indikatrix" a „Dupinovy cyklidy" ukazují počátečni zájmy tohoto učence, jehož Děveloppe151

ments de géométrie (1813) a Applicatio ns de géométrie (1825) obsahuji velké množstvi pozoruhod ných myšlenek. Nejoriginálnějším žákem Mongeový m byl Victor Poncelet. Roku 1813 měl dostatek možnosti přemýšlet o metodách svého učitele, neboť žil v Rusku jako válečný zajatec po porážce Napoleonovy „velké armády". Poncelet byl zaujat ryze analytický m obsahem Mongeovy geometrie a byl tak přiveden k onomu způsobu myšlení, který byl již dvě století před ním naznačen Desarguem . Poncelet se stal zakladatel em projektivn í geometrie. Ponceletov o dílo Traité des propriétés projective s des figures (Pojednán í o projektivn ích vlastnoste ch útvarů) vyšlo v roce 1822. Tento objemný svazek obsáhl všechny důležité pojmy. které tvoří základ tohoto nového odvětví geometrie, jako je např. dvojpoměr, perspektiv ita, projektivita, involuce, a dokonce nekonečně vzdálená kružnice. Poncelet věděl, že ohniska kuželosečky lze považovat za průsečíky tečen vedených izotropick ými body ke kuželosečce. Traité obsahuje též teorii mnohoúhelníků, které jsou vepsány do jedné a opsány druhé kuželosečce (tzv. problém Ponceletov a uzávěru). Ačkoliv tato knížka byla -prvým souhrnným pojednání m o projektivn í geometrii, dosáhla už během dalšího desetiletí projektivn í geometrie takové dokonalos ti, že by mohla sloužit za klasický příklad ucelené matematic ké teorie. 6. Monge byl sice člověkem přísně demokrati ckých zásad, avšak vůči Napoleonovi byl loajálni, protože v něm viděl uskutečňovatele ideálů revoluce. Roku 1815, když se vrátili Bourbonov é na trůn, ztratil Monge své postaveni a brzy poté zemřel. Ecole polytechni que však vzkvétala nadále v Mongeově duchu. Povaha této instituce ztěžovala oddělování čisté a aplikované matematik y. Mechanika se pěstovala velmi intenzivně a matematic ká fyzika se začala konečně osvobozov at od starodávn é „katoptrik y" a .,dioptriky ". Etienne Malus objevil polarizaci světla (1810) a Augustin Fresnel přijal opět Huygensov u vlnovou teorii světla (1821) . André Marie Ampere, který se s velkým úspěchem zabýval parciálnim i diferenciá lními rovnicemi, se stal po roce 1820 velkým průkopnikem elektroma gnetismu. Tito badatelé přinesli matematic e mnoho přímých 152

a nepřímých podnětů: příkladem je Dupinovo zlepšení Malusovy geometrie světelných paprsků, které pomohlo i>ři modernizaci geometrické optiky a znamenalo též pří­ nos ke geometrii přímkových kongruencí. Pečlivě se studovala Lagrangeova Mécanique analytique; její metody se znovu prozkoumávaly a užívaly. Statika zajímala Monge a jeho žáky pro své geometrické možnosti; během tohoto období vyšlo několik učebnic statiky, mezi nimi jedna od samého Monge (1788, mnoho vydání). Geometrickou formu statiky plně využil Louis Poinsot, který byl po řadu let členem francouzské státní rady pro veřejně vyučování. Jeho Eléments de statique (1804) a Théorie nouvelle de la rotation des corps (1834) připojily k pojmu síly pojem rotačního momentu ( dvojice sil), vyjádřily Eulerovu teorii inertních momentů elipsoidy inertnosti a analýzovaly pohyb těchto elipsoidů pro případ, že se pevné těleso pohybuje v prostoru nebo otáčI kolem pevného bodu. Poncelet a Coriolis dodali analytické mechanice Lagrangeově geometrický ráz; oba vědci právě tak jako Poinsot zdůrazňovali aplikace mechaniky na teorii jednoduchých strojů. ,,Coriolisovo zrychlení", které se objevuje, když se těleso pohybuje v zrychleném systému, je příkladem jistě geometrické interpretace Lagrangeova výsledku (1835). Nejvýznamnějšími matematiky, kteří byli spjati s prvními léty Ecole polytechnique, byli - mimo Lagrange a Monge - Siméon Poisson, Joseph Fourier a Augustin Cauchy. Všichni tři se velmi hluboce zajímali o užití matematiky v mechanice a fyzice a všichni tři byli Umto zájmem vedeni k objevům v . ,,čisté" matematice. Poissonovu vědeckou činnost charakterizuje časté uváděni jeho jména v našich učebnicích. Příkladem jsou Poissonovy závorky v diferenciálních rovnicích, Poissonova konstanta v teorii elasticity, Poissonův integrál a Poissonova rovnice v teorii potenciálu. Tato „Poissonova rovnice" L:::. V = 4,r; byla výsledkem Poissonova objevu (1812), že Laplaceova rovnice L:::. V = O platí jen mimo masu. Její přes­ ný důkaz pro prostředí proměnné hustoty podal až Gauss ve svých Allgemeine Lehrsatze (1839-1840). Poissonova Traité de mécanique (1811) byla napsána v duchu Lagrange a Laplace, obsahovala však také mnoho nových myš153

lenek, jako explicitní užiti

souřadnic

impulsu p1

oT

=--

001 které později podnítily práce Hamiltona a Jacobiho. Jeho kniha z roku 1837 obsahuje „Poissom:iv zákon" teorie pravděpodobnosti (srv. str. 105). Fourier je znám především jako autor Théorie analytique de la chaleur (Analytick á teorie tepla, 1822), která obsahuje matematic kou teorii vedení tepla, tedy v pod-

au = k-.

Diky obecnosti jeho é)t metody stala se kniha východisk em všech moderních metod matematic ké fyziky, které se týkaly integrace parciálních diferenciá lních rovnic při předem daných okrajových podmínkác h. Základem této metody je užití trigonome trických řad, které byly předmětem diskuse mezi Eulerem, d'Alember tem a Danielem Bernoullim. Fourier otázku zcela objasnil. Ukázal, že „libovolnou" funkci (tj. funkci, která se dá zobrazit spojitou částí křivky nebo spojením těchto částí) lze vyjádřit trigonome trickými řa-

statě

studium rovnice l:>.U

dami tvaru if ( An cos na:r

n=O

+ B„

sin na:r ). Ačkoliv se tou-

to otázkou zabýval jťž Euler a Bernoulli, byla tato myšlenka v době Fourierov ých výzkumů tak nová a průkop­ nická, že se říká, že když v roce 1807 svou myšlenku poprvé vyslovil, narazil na ostrý odpor Lagrange samého. Fourierov y řady se nyní staly dobře propracov aným pomocným prostředkem teorie parciálnich diferenciá lních rovnic s danými okrajovým i podmínkam i. Také jejich vlastní problemat ika vzbudila zájem. Již použití trigonometrickýc h řad u Fouriera vyzvedlo otázku, co je třeba rozumět pod pojmem „funkce". To byl jeden z důvodů, proč matematikově 19. století pokládali za nutně zabývat se podrobněji otázkami přesnosti matematic kých důkazů a základním i matematic kými pojmy vůbec4 • Ve speciálním případě „Fourierov ých řad" převzali tento úkol Dirichlet a Riemann. 4 P. E. B. Jourdaln, Note on Fourier' s Influence on the Conceptions of Mathematic s, Proc. Intern. Congreu of Mathematics, Cambridge 1912, II. str. 526/7.

154

7. Cauchyho četné výsledky v teorii světla a v mechanice byly zatlačeny do pozadí úspěchem Cauchyho analytického díla. Nesmíme však zapomenout, že Cauchy společně s Navierem patří také k zakladatelům matematické teorie elasticity. Věhlas mu ziskala hlavně jeho teorie funkcí jedné komplexní proměnné a jeho důsledná snaha o přesnost v analýze. Funkce jedné komplexní proměnné byly ko.nstruovány už dříve, zvláště d'Alembertem, který v jedné práci o odporu v kapalinách dospěl roku 1752 dokonce k tomu, co dnes nazýváme Cauchyho-Riemannovými rovnicemi. Pod rukama Cauchyho zbavila se teorie komplexních funkcí toho, být jen potřebným pomocným prostředkem hydrodynamiky a aerodynamiky, a stala se novou a nezávislou oblastí matematického bádáni. Cauchyho výsledky o tomto předmětu se objevovaly v nepřetržitém sledu počínaje rokem 1814. Jednou z jeho nejvýznamnějších prací je Mémoire sur les intégrales définies, prises entre des limites imaginaires (1824). V tomto pojednání vyšla Cauchyho integrálni věta a objevil se zde i pojem rezidua. Věta, že každá regulární funkce f(z) může být v každém bodě z = z 0 rozvinuta v řadu, která konverguje uvnitř kružnice, procházející singulárním bodem, který je nejblíže bodu z = z 0, byla uveřejněna roku 1831, tedy ve stejném roce, kdy Gauss publikoval svou aritmetickou teorii komplexních čísel. Laurentovo rozšíření Cauchyho věty o rozvinutí v řadu bylo uveřejněno v roce 1843, kdy bylo známo též Weierstrassovi. T~to skutečnost ukazuje, že Cauchyho teorie nemusela překonávat žádný odpor v odborných kruzich; teorie komplexnich funkci byla od svých začátků plně uznávána. Cauchy patřil spolu se svými současníky Gaussem, Abelem a Bolzanem k průkopníkům nově vznesených požadavků po přesnosti v matematice. 18. století bylo v podstatě dobou experimentováni, jímž se dosáhlo nesmírného bohatství výsledku. Matematikově této doby se nezajímali příliš o základy svého díla. ,,Allez en avant, et la foi vous viendra" (jděte kupředu, víra už .se dostaví), řekl prý d'Alembert. Když se někteří matematikově snažili o přesnost, jako příležitostně Euler a Lagrange, nebyly jejich argumenty vždy přesvědčivě. Nyni přišel čas cílevědomého soustředění na vlastni význam výsledků. Co 155

jsou to vlastně „funkce" jedné reálné proměnné, když maji tak rozd[lné chováni, jako např. funkce vyjádřené Fourierovým i či mocninnými řadami? V jakém vztahu je tato funkce k úplně jinému druhu „funkce" jedné komplexní proměnné? Tyto otázky položily všechny neřešené problémy základů infinitesimá lního počtu a existence aktuálního a potenciálníh o nekonečna do popředí matematické ho myšlení 5• To, co Eudoxos vykonal v době po pádu aténské demokracie, začal Cauchy a jeho exaktně myslící současníci dovršovat v etapě rozšiřujícf se industrializace. Tento rozdíl společenských podmínek vedl k rozdilným výsledkům: zatímco Eudoxův úspěch měl za následek omezení matematické ho úsilí, působil úspěch moderních reformátorů velmi příznivě na celkovou matematickou produktivitu . Na Cauchyho a Gaussovo dílo navázali Weierstrass a Cantor. Cauchy vypracoval základy infinitesimá lního počtu tak, jak se dnes všeobecně vykládají v ·našich učebnicích . Cauchyho výklad je obsažen v pracích Cours ďanalyse (1821) a v Résumé des lec;ons données A l'école royale polytechniqu e (I, 1823). Cauchy použil d'Alemberto va pojmu limity, aby definoval derivaci funkce a aby ji postavil na pevnější základ, než dovedli jeho předchůdci. Vycházeje z pojmu limity, řešil Cauchy takové příklady sina limity, jako lim - - . Poté definoval „nekonečně malou

a-O

a

jako proměnnou veličinu, jejíž limitou je nula; pak požadoval, aby ,1y a ,1x byly nekonečně malé veličiny ( ,,seront des quantités infiniment petites"). Pak limitu výrazu proměnnou"

,1y

f( X

+

i) -

f( X)

pro i - O nazval „fonction dérivée" ( derivovaná funkce) a označil ji y' nebo f'(x). Dále nahradil i = ah, kde a je „nekonečně malá veličina" a h je „konečná veličina"; 5 P. E. B. Jourdaln, The Orlgin o! Cauchy' ·s Conception of a Deflnite lntegral and of the Continulty of a Function, Isis 1 (1913) str. 611-703. Viz též Blbl. Math. 6 (1905) str. 190-207.

156

pak platí f(:c

+ ah)-f(:r) (t

!(:r

+ i) -f(:r)

-------h t

a h nazval „diferenciálem funkce y = f(:r)" (,,différentielle de la fonction y = f(:r)"). Dále je dy = df(:r) = = hf'(:r); d:r = h. 6 Cauchy použil Lagrangeova označení i mnoha jeho pří­ spěvků k teorii reálných funkcí, aniž by udělal jakýkoli ústupek Lagrangeovu algebraickému zdůvodnění. Větu o střední hodnotě a zbytek Taylorovy řady převzal v tom tvaru, jak je odvodil Lagrange, avšak řady se nyní diskutovaly s náležitým uvážením jejich konvergence. Některá kritéria v teorii nekonečných řad byla nazvána po Cauchym. Cauchy již ve svých pracích učinil důležité kroky k aritmetizaci analýzy, která později tvořila jádro Weierstrassova bádání. Cauchy podal též prvý existenční důkaz pro řešení diferenciální rovnice a systému takových rovnic (1836). Tímto způsobem Cauchy alespoň začal odpovídat na řadu problémů a paradoxů, které znepokojovaly matematiky již od dob Zenonových; nedosáhl toho tím, že by je popíral nebo přehlížel, nýbrž tím, že vytvořil matematickou techniku, jejíž pomocí bylo možné jim uči­ nit zadost. Cauchy, podobně jako jeho současník Balzac, s nimž měl společnou náklonnost k nekonečné objemnosti díla, byl legitimista a roajalista. Oba mužové měli tak hluboké porozumění pro pravdu, že přes jejich reakční ideály má značná část jejich díla základní význam. Cauchy opustil svoji katedru na Ecole polytechnique po revoluci v roce 1830 a strávil několik let v Turině a v Praze; roku 1836 se vrátil do Paříže. Po roce 1848 bylo mu dovoleno zůstat v Paříži a mohl učit, aniž by složil přísahu věrnosti nové vládě, Jeho výkonnost byla tak nesmírná, že pařížská akademie musela omezit rozsah všech příspěvků zasílaných do Comptes rendus, aby se vypořádala s Cauchyho publikacemi. Říká se, že když Laplace četl jeho prvé pojednání o konvergenci řad, byl t~nto velký učenec jím tak zne8 Resumé I (1823), Calcul dlfférentlel, str. 13-27. Přesnou analýzu tohoto postupu srv. M. Pasch, Mathematlk am Ursprung, Leipzlg 1927, str. 47 -73.

157

pokojen, že pospíchal domů, aby přezkoušel řady ve své Mécanique céleste. Nenalezl však, jak se zdá, žádnou větší chybu. 8. Celé generace matematiků se učily z Cauchyho díla infinitesim ální počet i teorii funkcí komplexní proměnné. V jejich očích se stal Cauchy hlavním bojovníkem za hlubší a zdůvodněnější zkoumání základů matematic ké analýzy. Zcela jiný osud mělo dílo profesora pražské university Bernarda Bolzana, který svými výsledky zejména v oblasti základů matematic ké analýzy nejen předešel řa­ du Cauchyho myšlenek, ale předstihl též některé fáze dalšího vývoje. Jeho dílo však zůstalo současníky nepovšim.:. nuto a jeho podstatné části nevydány. Bolzano se narodil roku 1781 v Praze a v Čechách pobýval po celý život. V době, kdy studoval na pražské universitě, nepodněcovala výuka nijak k samostatn é matematické práci. Tehdejší pražský profesor vyšší matematiky F. J. Gerstner, jehož jméno je spojeno s reorganizací pražské techniky (1806) podle vzoru pařížské Ecole polytechni que, měl sice rozsáhlé matematic ké znalosti, ale nepublikov al žádnou vlastní matematic kou práci a pokládal matematik u 18. století za ·dostatečně mocný prostře­ dek pro řešení prakticky potřebných technickýc h a fyzikálních problémů. Ovšem v Praze byla dostupná stěžejní díla světové matematik y (Euler, Lagrange aj.) . A tak můžeme říci, že Bolzano studoval základní matematické problémy jako samouk, což se mnohdy nepříznivě projevilo i v jeho úvahách. Nikdy se hlouběji nezajímal o aplikované partie matematik y, zdůrazňoval hlavně souvislost matematik y s logikou a filosofií, a to plodně ovlivnilo jeho snahu po přesnosti a jasnosti výkladu. Ve dvou pracích, které byly původně publikován y německy, Binomická věta (1816) a Ryze analytický důkaz (1817), definuje Bolzano přesně a skoro týmiž slovy, kterých později použil Cauchy, limitu a spojitost funkce, derivaci funkce, formuluje nutnou a postačující podmínku pro konvergen ci posloupno sti (Bolzanpv o-Cauchyh o kritérium publikovan é Cauchym až roku 1821) a vyslovuje větu, že každá ohraničená množina reálných čísel má infimum (ovšem i supremum ) - tzv. věta o infimu. K základním otázkám matematic ké analýzy se Bolzano vrátil znovu ve 158

třicátých

letech, kdy začal pracovat na rozsáhlém díle nazvaném Grossenlehre, které však již nedokončil; rukopis tohoto díla zůstal nepovšimnut až do tohoto století, kdy ve třicátých letech byly některé jeho části vydány. V něm jsou obsaženy velmi cenné úvahy o spojitosti a existenci derivace různých funkcí a vztah mezi těmito vlastnostmi. Konstruuje zde funkci, která je spojitá v daném intervalu a v žádném jeho bodě nemá derivaci. Znalost a studium podobných funkcí, jejichž vlastnosti neodpovídají názornému „naivnímu" pohledu, se začalo rozšiřovat až v druhé polovině 19. století hlavně zásluhou Weierstrasse. V téže partii svého rukopisu zpřesňuje ně­ které své i Cauchyho dřívější formulace, definuje spojitost funkce v bodě, spojitost v bodě zprava i zleva, přesně rozlišuje mezi uzavřeným a otevřeným intervalem atd. O. Bolzanově předstihu dalšího vývoje svědčí i jeho formulace a využití věty, že každá omezená nekonečná posloupnost reálných čísel má hromadný bod, tedy věty, kterou opět znovu formuloval až Weierstrass. Bolzano však předjímal další vývoj i v jiných oblastech matematiky. V objemném logickém díle Wissenschaftslehre ( 4 díly, 1837) formuloval některé základní pojmy a vztahy matematické logiky (např. pojem implikace). Ke konci života v práci Paradoxien des Unendlichen (vyšla v Praze roku 1851, tedy tři roky po autorově smrti) studuje vlastnosti nekonečných množin, definuje spočet­ nou množinu a dospívá až k pojmům mohutnosti množiny a mohutnosti kontinua. Těchto pojmů, které vlastně tvoří klíč k teorii množin, vytvořené později G. Cantorem, však už Bolzano nevyužil. Přece byla teorie množin vlastně jedinou oblastí, v níž byl význam jeho myšlenek okamžitě uznán a bylo na ně navázáno; Cantor považuje Bolzana za předchůdce své teorie. Všechny ostatní části matematického díla Bolzanova, tedy nejen ty, které zůstaly v rukopisu, nýbrž i ty, které Bolzano dokončil a vydal, byly znovu objeveny až v době, kdy již nemohly ovlivnit vývoj matematiky a byly' studovány jen z historického zájmu. Příčiny tohoto tragického osudu díla největšího českého matematika 19. století byly různé; zdá se však, že důležitá zde byla formální vyhraněnost jeho podání a zaměření k základním otázkám, z nichž některé pronikly do matematiky teprve v 2. polo-

159

vině 19. století. Svou úlohu sehrály i životní osudy Bolzanovy. Bolzano totiž nikdy oficiálně nepůsobil jako matematik; v letech 1805-1820 byl sice profesorem na pražské universitě, ale vyučoval náboženství. Avšak i z tohoto místa byl pro své pokrokové sociální názory odstraněn; bylo mu zabráněno přednášet na universitě matematiku a až do konce života žil . většinou v ústraní a stýkal se jen s malým okruhem přátel. Sám Bolzano kolisal mezi svým zájmem o otázky matematické a otázky etické, sociální a teologické. Ve svém spise O nejlepším státě a v některých publikovaných kAzáních zastává Bolzano názory utopického socialismu. Proto i tradice považovala Bolzana spíše za sociálního myslitele než za matematika.

9. Zatimco Bolzano pracoval v Praze v podstatě osamocen, podnítilo pařížské prostředí svou intenzívní matematickou činností počátkem století vznik celé plejády významných matematiků. Mezi ně patří i génius prvého řádu, který po roce 1830 jako kometa zhasl právě tak náhle, jako se objevil. Evaristovi Galoisovi, synu starosty malého města poblíž Paříže, bylo dvakrát zamítnuto při­ jetí na Ecole polytechnique, a když se mu konečně podařilo vstoupit na Ecole normale, byl opět záhy vyloučen. Pokoušel se živit jako soukromý učitel matematiky, při­ čemž musel současně obtížně udržovat rovnováhu me.li svou vřelou láskou k vědě a k demokracii. Galois se při revoluci roku 1830 postavil na republikánskou stranu, strávil několik měsíců ve vězení a brzy nato byl ve stáří 21 let usmrcen v souboji. Dvě z jeho prací, určené k publikování, se ztratily na psacím stole vydavatele; některé jiné byly uveřejněny dlouho po jeho smrti. V předvečer souboje napsal Galois dopis jednomu příteli, obsahující souhrn jeho objevů v teorii rovnic. Tento úchvatný dokument, ve kterém prosí svého přítele, aby jeho objevy byly předloženy vůdčím matematikům, končí slovy: ,,Požádáš veřejně Jacobiho a Gausse, aby vyjádřili své mínění ne o pravdivosti, nýbrž o významu mých vět. Potom se doufém naleznou lidé, kteřl budou považovat za prospěšné rozluštit celý tento zmatek."

160

Tento zmatek (.,ce gachis") neobsahuje nic méně než teorii grup, klíč k moderní algebře a k moderní geometrii. Myšlenky byly předjímány v jisté míře už Lagrangem a Italem Ruffiniµi, avšak Galois měl celkovou koncepci teorie grup. Vyjádřil základní vlastnosti transformačních grup příslušejících kořenům algebraické rovnice a ukázal, že těleso, obsahující tyto kořeny, je určeno grupou. Galois poukázal na zásadní význam, který přísluší invariantním podgrupám. Staré problémy, jako třeba trisekce úhlu, zdvojení krychle, řešení kubických a bikvadratických rovnic i řešení algebraické rovnice libovolného stupne, našly své přirozené místo v Galoisově teorii. Galoisův dopis nebyl, pokud je známo, nikdy předložen Gaussovi či Jacobimu. Matematická veřejnost se s ním seznámila až roku 1846, kdy Liouville uveřejnil ve svém časopise Journal de Mathématiques většinu prací Galoisových. Tehdy už Cauchy začal též pracovat v teorii grup (18441846). Teprve nyní se začali někteří matematikové zajímat o Galoisovu teorii. Galoisův význam byl plně pochopen roku 1870 prací Traité des substitutions Camilla Jordana a pozdějšími publikacemi Kleina a Lie. Dnes víme, že Galoisův sjednocující princip byl jeden z nejvýznamněj­ ších výsledků matematiky 19. století. Galois přinesl i nové myšlenky týkající se integrálů algebraických funkcí jedné proměnné, které dnes nazýváme Abelovými integrály. To ukazuje, že jeho způsob myšlení byl blízký způsobu Riemannovu. Můžeme vyslovit domněnku, že kdyby byl Galois žil déle, nalezla by moderní matematika své nejhlubší podněty v Paříži a ve škole Lagrangeově místo v Gottingen a ve škole Gaussově. 10. Jiným mladým géniem, který se objevil ve dvacátých letech, byl syn norského venkovského faráře Niels Henrik Abel. Abelův krátký život proběhl skoro stejně tragicky jako život Galoisův. Jako student v Christianii věřil dlouhou dobu, že rovnice pátého stupně má řešení, avšak sám se opravil ve spisku uveřejněném v roce 1824. Byla to slavná práce, v níž Abel dokázal nemožnost ře­ šení obecné rovnice pátého stupně s pomocí radikálů problém který trápil mnohé matematiky už od časů Bombelliho a Viěta ( důkaz podaný roku 1799 Italem Paolo Ruffinim byl považován Poissonem a jinými matematiky

161

Abel nyní obdržel stipendiu m, které mu umožňovalo, aby jel do Berlína, ltMie a Francie. Chudobo u a tuberkuló zou zmučený, nesmělý a skromný mladý matematik navázal jen nečetné osobní styky a zemřel roku 1829 brzy po svém návratu do vlasti. Během své cesty napsal Abel několik prací, které obsahují 'jeho výsledky o konverge nci řad, o „Abelových" integrále ch a eliptický ch funkcích. Abelovy věty v teorii nekonečných řad ukazují, že byl schopen vytvořit spolehlivý základ pro tuto teorii:

za

nepřesný).

si

„Můžeš

O

=

in -

přičemž

představit něco strašnějšího

2n

+

3n -

je n kladné celé

psal jednomu

příteli

a

než tvrzení, že platí

+ ...... atd.

4n

číslo?",

doplňoval:

existuje v matemati ce jedna jediná nekonečná řada, by byl určen přesným způsobem" ( dopis Holmjejíž boeovi, 1826). ,,Těžko

součet

Abelova pojednán í o eliptický ch funkcích byla napsána v krátkém, ale vzrušujíc ím střetnutí s Jacobim. Gauss odhalil ve svých osobních poznámk ách již dávno, že inverze eliptické ho integrálu vede k jednoznačným dvojperiodick ým funkcím, avšak neuveřejnil nic z těchto svých úvah. Legendre , který vynaložil tolik námahy při studiu eliptický ch integrálů, tuto skutečnost zcela pře­ hlédl a hluboce na něj zapůsobilo, když jako stařec si přečetl Abelovy objevy. Abel měl mnoho štěstí v tom, že nalezl nový časopis, který by tiskl jeho práce; prvý svazek Crellem vydávané ho Journal flir die reine und angewandte Mathema tik obsahuje ne méně než pět Abelových prací. V druhém svazku (1827) vyšel prvý díl jeho Recherches sur les fonctions elliptique s, jímž začíná teorie dvojperio dických funkcí. Mluvíme o Abelově integráln í rovnici a o Abelově větě o součtu algebraic kých funkcí, které vedou k Abelovým funkcím. Komutat ivní grupy se nazývají Abelovy grupy, což ukazuje, jak jsou úzce spřízněny myšlenky , Galoisovy a Abelovy. 162

11. Roku 1821, kdy zemřel Abel, uveřejnil Karl Gustav Jakob Jacobi svá Fundamanta nova theoriae functionum ellipticarum. Autor byl mladý profesor na universitě v Královci, syn berlínského bankéře a příslušníka vznešené rodiny; jeho bratr Moritz z Petrohradu byl jedním z prvých ruských vědcú pracujících experimentálně v nauce o elektřině. Po studiu v Berlíně učil Jacobi v letech 1826-1843 v Královci. Pak strávil nějakou dobu v Itálii, kde se pokoušel upevnit své zdraví, a ukončil svou kariéru jako profesor berlínské university; v Berlíně také roku 1851 zemřel ve věku 46 let. Byl to bystrý a liberální myslitel, zanícený učitel a vědec, jehož neobyčejná energie a jasnost myšlení zasáhla . skoro do všech odvětví matematiky. Jacobi vybudoval teorii eliptických funkcí se čtyřmi základními funkcemi definovanými nekonečnými řadami, které se označují jako theta-funkce. Dvojperiodické funkce sn u, cn u, a dn u jsou podíly theta-funkci; vyhovují jistým identitám a mají jisté aditivní vlastnosti, které jsou velmi podobné pravidlům pro funkce sinus a kosinus obyčejné trigonometrie. Aditivní věty eliptických funkcí musíme považovat také za speciální případ Abelovy věty o součtu integrálu algebraických funkcí. Nyní vyvstala otázka, zda by hypereliptické integrály bylo možné stejně převrátit jako eliptické integrály, které inverzí dávaly eliptické funkce. Řešení nalezl roku 1832 Jacobi, kdy uveřejnil svůj poznatek, že inverzi lze provést i s funkcemi o více než jedné proměnné. Tak byla vytvořena teorie Abelových funkcí p-proměnných, která se stala jedním z nejvýznamnějších odvětví matematiky 19. století. Sylvester dal funkcionálním determinantúm jméno „Jacobian", aby tak uctil Jacobiho výsledky v algebře a teorii eliminace. Nejznámější Jacobiho práce v tomto odvětví je De formatione et proprietatibus determinantium (1841), kterou se teorie determinantú teprve stala společným vlastnictvím matematikú. Idea determinantů je daleko starší, v podstatě začíná u Leibnize (1693), u švýcarského matematika Gabriela Cramera (1750) a Lagrange (1773); svúj název dostala u Cauchyho (1812). Y. Mikami poukázal na to, že u japonského matematika 163

7 Seki Kowa je idea determinantů již před rokem 1683 • metody, vě" „matico nout vzpome znovu Zde můžeme kterou rozvíjel i čínští matematikově za dynastie Sung. Nejlepší představu o Jacobim získáme snad z jeho krásnýc h Vorlesu ngen liber Dynami k, uveřejněných roku 1866 podle poznám ek z přednášek v letech 1842-18 43. Jsou psány v tradici francou zské školy Lagrang e a Poisson a, obsahuj í však množstv í nových myšlene k. Nalezneme zde Jacobih o výzkum y o parciáln ích diferenciálních rovnicíc h prvého řádu a jejich aplikaci na diferenciáln í rovnice dynamik y. Jedna zajímav á kapitola čar na zmíněného díla se zabývá určením geodetic kých mezi vztahu studiu ke vede problém tento elipsoid u; dvěma Abelový mi integrál y.

12. Jacobih o přednášky z dynami ky nás přivádějí k jinému matema tikovi, jehož jméno je často vyslovo váno spolu s Jacobim , k William u Rowanu Hamilto novi (nezafiloměňujme ho s jeho současníkem edinbur gským svůj celý prožil n Hamilto nem). Hamilto em sofem William život v Dublinu , kde se narodil jako syn irských rodičů. jako Navštěvoval Trinity College, stal se v roce 1827 toto a Irska" mem astrono ským „králov dvaadva cetiletý chlapec Jako 1865. smrti své do až udržel si ní postave se učil kontine ntální matema tice tím, že studova l _Clairauta a Lagrang e, což byla ve Spojené m královs tví ještě novinka , a svými mimořádnými originál ními pracemi z optiky a dynami ky prokáza l, že nové metody zvládl. Jeho teorie světelných paprsků (1824) byla víc než pouhá diferenc iální _geometr ie paprsko vých kongrue ncí; byla Hamilto zároveň teorií optický ch přístrojů a umožnil a novi předpovědět konicko u refrakci ve dvouosý ch krystalech. V této práci se objevila jeho „charak teristick á funkce" , která se stala vůdčí myšlenk ou jeho „obecné metody v dynamic e", uveřejněné v roce 1834-18 35. Snažil se zde uskutečnit ideu společného výkladu optiky a dynamiky na základě jediného obecnéh o principu . Už Euler ukázal při své obhajobě Mauper tia, jak by se mohlo využít k tomuto účelu stacioná rních hodnot integrál u 1

Y. Mikami, On the Japanese Theory of Determi nants, Isis 2

(1914), str. 9-36.

164

účinnosti.

Hamilton v souladu s timto náznakem vytvořil z optiky a dynamiky dvě aplikace variačního počtu. Hledal stacionární hodnotu jistého integrálu a uvažoval o ní jako o funkci jeho limity. To byla „charakteristická" neboli „účinná" funkce, která vyhovovala dvěma parciálním diferenciálním rovnicím. Jedna z těchto parciálních diferenciálních rovnic, kterou obvykle píšeme ve tvaru

as + H ( a~• as q ) al

= O,

byla speciálně zvolena Jacobim

v jeho přednáškách z dynamiky a nyní je známa jako Hamiltonova-Jacobiho rovnice. Tím byl poněkud zastřen význam Hamiltonovy charakteristické funkce, která v jeho teorii zaujala centrální postavení jako prostředek sjednocení mechaniky a matematické fyziky. Byla znovu objevena při rozpracování geometrické optiky roku 1895 Burnsem a prokázala, že je užitečná též v teorii optických přístrojů. Důležitou myšlenkou Hamiltonoyých prací z dynamiky, která se stala součástí matematiky, je především „kanonická"

forma

q=

oH P = - -oH -, av aq

--,

ve které psal

rovnice dynamiky. Kanonická forma a Hamiltonovy-Jacobiho diferenciální rovnice umožnily Lieovi vybudovat vztahy mezi dynamikou a spojitými transformacemi. Druhou rovněž obecně přijatou ideou Hamiltonovou bylo odvozeni zákonů fyziky a mechaniky z variace integrálu. Modernť teorie relativity i kvantová mechanika jsou vybudovány na Hamiltonově funkci jako svém základním principu. Rok 1843 znamenal obrat v Hamiltonově životě. V tomto roce objevil kvaterniony, jejichž studiu věnoval další části svého života. Tento objev podrobíme rozboru později.

13. Peter Lejeune Dirichlet byl úzce svázán jak s Gaussem a Jacobim, tak i s francouzskými matematiky. V letech 1822-1827, kdy byl soukromým učitelem, setkal se s Fourierem, jehož knihu studoval; seznámil se těž s Gaussovými Disquisitiones arithmeticae. Učil později na universitě ve Wroclawi a roku 1855 se stal nástupcem Gaussovým v Gottingen. Diky tomu, že se osobně znal

165

nost, kterou by dřívější matematici ve své definici funkce Pojem funkce se začal rychle osvobozovat od Eulerova „curva quaecunque libero manus duetu descripta"8. Ve svých přednáškách podal Riemann příklad spojité funkce bez derivace; příklad takové funkce, který Weierstrass naznačil, byl uveřejněn až v roce 1875. Víme však, že k tomuto vý&ledku dospěl už Bernard' Bolzano. Matematikové se však velmi vážně zdráhali uznávat takové funkce a nazývali je „patologickými"; moderní analýza dokázala, jak přirozené jsou takové funkce a jak zde Riemann opět zaútočil na základní problémy matematiky. Druhá Riemannova práce z roku 1854 zpracovává hypotézy, na kterých spočívají základy geometrie. Prostor chápe Riemann jako topologickou množinu libovolné dimenze; v takové množině je definována metrika pomocí kvadratické diferenciální formy. Zatímco v analýze definoval Riemann komplexní funkci jejím lokálním chováním, definuje v této práci stejným způsobem charakter prostoru. Riemannovi umožnil jednoticf princip nejen klasifikovat všechny dosavadní formy geometrie, mezi něž zahrnul tehdy ještě velmi nepřesně formulované neeuklidovské geometrie, nýbrž mu dovolil také vytvoření libovolného počtu nových typů prostorů, z nichž se mnohé od té doby užitečně uplatnily v geometrii a matematické fyzice. Riemann uveřejnil svou práci bez jakéhokoliv analytického aparátu, čím se ztížilo sledování jeho myšlenek. Později se objevily některé z jeho formulí v roce 1861 ve spise o rozložení tepla v pevném tělese, zaslaném pařížské akademii. V něm je náčrt teorie transformací kvadratických forem. Posledná práce Riemannova (1859), o které se musíme zmínit, je věnována otázce počtu prvočísel F(x), která jsou menší než dané číslo x. Riemann zde aplikuje teorii komplexních čísel na problém rozložení prvočísel a zkoumá Gaussovu domněnku, že funkce F(x) by mohla nepřipustili.

~

být

aproximována

„integrál

logaritmem"

J(logt)-1dt. 2

Tato práce je proslulá tím, že obsahuje tzv. Riemannovu 8 Křivka, kterou lze opsat volně vedenou rukou. Srv. lnstitutiones calcull inte·g ralis III. § 301.

168

domněnku, že Eulerova zeta-funkce g(s)- toto označení pochází rovněž od Riemanna - uvažujeme-li pro komplexní hodnoty s = x + iy, má všechna nereálná nulová 1 místa na přímce x = -. Tato domněnka nebyla dodnes

2

ani dokázána, ani vyvrácena 9• 15.

Riemannovo pojetí funkce jedné komplexní proměn­ bylo často srovnáváno s pojet[m Weierstrassovým. Karl Weierstrass byl mnoho let učitelem na jednom pruském gymnasiu; roku 1856 se stal profesorem matematiky na berlínské universitě, kde působil třicet let. Jeho vždy pečlivě připravené přednášky se těšily vzrů­ stající proslulosti; hlavně těmito přednáškami se staly Weierstrassovy myšlenky všeobecně známými. V době svého učitelování na gymnasiu napsal Weierstrass několik prací o hypereliptických integrálech, Abelových, funkcích a algebraických diferenciáln[ch rovnicích. Jeho výsledek, který se stal nejznámějším, je zdů­ vodnění teorie komplexních funkcí metodou mocninných řad. Byl to v jistém smyslu návrat k Lagrangeovi, ovšem s tím rozdílem, že Weierstrass -pracoval v komplexní rovině a s dokonalou přesností. Hodnoty 'mocninné řady uvnitř jejího konvergenčního kruhu představují „funkcionální prvek", který se pak ( pokud je to možné) rozšiřuje tzv. analytickým pokračováním. Weierstrass studoval zvláště celistvé funkce a ty funkce, které jsou definovány nekonečnými součiny. Jeho eliptická funkce P(u) se stala právě tak základní funkcí, jako dříve Jacobiho funkce sn u, cn u, dn u. Weierstrassův věhlas se opíral o jeho nesmírně pečlivě úvahy, o „weierstrassovskou přesnost", která se projevovala nejen v jeho teorii funkcí, nýbrž také v jeho výsledcích variačního počtu. Plně objasnil pojmy minima, funkce a derivace, a tím odstranil ještě zbývající nepřesnosti ve vyjádření základních pojmů infinitesimálního počtu. V matematice byl neobyčejně svědomitý jak ně

9 R. Courant, Bernhard Rlemann und dle Mathematik der letzten hundert Jahre, Naturwissenschaften 14, 1926, 81:58111.

169

po stránce metodické, tak i po stránce logické. Jiným jeho úzkostně přesného způsobu myšlení je jeho objev stejnoměrné konvergence. Weierstrassem začíná převádění principů analýzy na nejjednodušší aritmetické pojmy, proces, který nazýváme aritmetizací matematiky. příkladem

„:Ze nyní následkem takového uvažováni, které se opírá o pojem iracionálniho čísla a limity vůbec, vládne v analýze plná shoda a jistota, a ve zmatených otázkách, které se týkaj{ teorie diferenciálnich a integrálnich rovnic přes nejsmělejší kombinace za použiti přeskupováni, podřazováni a směšováni limit jsou všechny výsledky jednotně, je v podstatě zásluhou vědecké činnosti Weierstrasse". 10

16. Tato aritmetizace byla typická pro tzv. berlínskou školu, a zvláště pro Leopolda Kroneckera. K této škole příslušeli významní matematici, kteří vynikli zejména v algebře a algebraické teorii čísel. Byli to například Kronecker, Kummer a Frobenius a spolu s nimi též Dedekind a Cantor. Ernst Kummer byl v roce 1855 povolán do Berlína jako Dirichletův nástupce; zde učil až do roku 1883, kdy dobrovolně zanechal matematické činnosti , protože pociťoval, že se blíží pokles jeho tvůrčích sil. Kummer pokračoval v rozpracování diferenciální geometrie kongruencí, která byla nastíněna Hamiltonem, a· při těch­ to studiích objevil plochu čtvrtého řádu se šestnácti uzlovými body, která byla také nazvána jeho jménem. Jeho sláva je však založena především na vytvoření „ideálních" čísel v teorii algebraických ':íselných těies (1846). Tato teorie byla na jedné straně podnícena Kummerovými pokusy o dokázání velké Fermatovy věty, na druhé straně Gaussovou teorií bikvadratických zbytků, ve které byl přenesen pojem primitivnich faktorů do oblasti komplexních čísel. Kummerovy „ideální" faktory umožnily jednoznačný rozklad čísel na primitivní faktóry uvnitř obecného číselného tělesa. Tento objev umožnil velký pokrok v aritmetice algebraických čísel, který později mistrovsky zachytil David Hilbert ve zprávě pro Deutsche Mathematiker-Vereinigung (1882). Teorie 10 D. Hilbert, Ober das Unendliche, Mathematische Annalen 95 (1926), str. 161-190.

170

Dedekinda a Webera, která stanovila vztahy mezi teorií algebraických funkcí a teorií algebraických čísel v urči­ tém tělese (1882), je příkladem vlivu Kummerovy teorie na proces aritmetizace matematiky. Leopold Kronecker, učenec s dostatečnými soukromými prostředky, se přestěhoval roku 1855 do Berlína, kde učil mnoho let na universitě, aniž by formálně měl katedru, a teprve po odchodu Kummerově roku 1883 katedru přijal. Hlavní práce Kroneckerovy se týkají eliptických funkcí, teorie ideálů a aritmetiky kvadratických forem. Jeho publikované přednášky o teorii čísel jsou pečlivým obrazem jeho vlastních objevů i objevů jeho předchůdců a lze z nich jasně vyčíst Kroneckerovu víru v nutnost aritmetizace matematiky. Tato víra se opírala o hledání přesnosti; Kronecker byl názoru, že veškerá matematika musí být založena na číslech a všechna čísla opět na přirozených číslech . Číslo 1r můžeme třeba snadněji

vyjádřit

řadou

1 1--

3

+

1

1

5

7

+ ...

a tím kombinací celých čísel, než abychom ho odvozovali obvyklou geometrickou cestou. Jisté řetězové zlomky vyjadřující n mohou sloužit témuž účelu. Kroneckerova snaha vtěsnat celou matematiku do schématu číselné teorie, je vyjádřena jeho známým výrokem proneseným roku 1886 na jednom shromáždění v Berlíně: ,,Die ganze Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk"11. Kronecker uznával definice matematických pojmů jen tehdy, když mohly být vytvořeny konečným počtem kroků. Vypořádal se tedy s obtíží aktuálního nekonečna tím, že je odmítl uznat. Platónovo heslo, že bůh „geometrizuje", nahradila Kroneckerova škola heslem: bůh ,.aritmetizuje". Kroneckerovo učení o aktuálním nekonečnu bylo ve zřejmém protikladu s teoriemi Dedekinda a Cantora. Richard Dedekind, který byl po jednatřicet let profesorem 11

„Celá

čísla vytvořil · náš

milý

bůh,

vše ostatní je dílem

věka".

171

člo­

na technické vysoké škole v Braunschweigu , vypracoval přesnou teorii iracionalit. Ve dvou malých svazečcích Stetigkeit und irrationale Zahlen (1872) a Was sind und was sollen die Zahlen? (1882) vykonal v moderní matematice to, co pro řeckou matematiku Eudoxos. Mezi „Dfdekindovými řezy", kterými jsou v modernf matematice (až na školu Kroneckerovu) definována iracionální čísla, a starou teorií Eudoxovou, jak je vyjádřena v páté knize Euklidových Základů, je velmi mnoho podobného. Cantor a Weierstrass podali aritmetické definice iracionálnich čísel, které se od Dedekindovy teorie poněkud odlišují, avšak zakládají se na podobné myšlence. Největším kacířem však byl v Kroneckerovýc h očích Georg Cantor. Cantor, který od roku 1869 do roku 1905 učil v Halle, není znám pouze jako tvůrce své vlastní teorie iracionálních čísel, nýbrž také proto, že vybudoval teorii množin. Touto teorií vytvořil Cantor úplně novou oblast matematického bádání, která je schopna, přijme­ me-li její základní předpoklady, uspokojit nejjemnější nároky na přesnost. Cantorovy publikaJCe vycházely od roku 1870 po mnoho let; v roce 1883 uveřeinil své dílo Grundlagen einer allgemeiner Mannigfaltigke itslehre. V těchto pracích vybudoval Cantor teorii transfinitnkh kardinálních čfsel, založenou na systematickém matematickém zvládnutí aktuálního nekonečna. Přiřadil nejmenšf transfinitní kardinálnf číslo N (alef) spočetné množině; kontinuu. bylo přiřazeno vyšší transfinitní číslo, a tak bylo možné vytvořit aritmetiku transfinitnich čisel. která je analogická obyčejné aritmetice. Cantor definoval též transfini1lní ordinální čísla, která vyjadřují způsob, podle něhož jsou uspořádány nekonečné množiny. Tyto objevy G. Cantora byly pokračovánfm starých scholastických spekulací o podstatě nekonečna; Cantor si toho byl dobře vědom. Obhajoval neomezené uznání aktuálního nekonečna pomocí argumentů svatého Augustina, musel se však sám obhajovat proti odporu mnoha matematiků, kteří se zdráhali chápat nekonečno jinak než jako nekonečný proces. Vedoucím odpůrcem Cantořovým byl Kronecker, který ve stejném procesu aritmetizace matematiky zastupoval úplně protichůdný směr. Cantor dosáhl nakonec plného uznáni, když se ponenáhlu prosadil mimořádný význam jeho teorie pro ztklady teorie reálných

172

funkcí a topologie, a to zvláště poté, když -Lebesgue obohatil v roce 1901 teorii množin svou teorií míry. V teorii transfinitních čísel zůstaly logické obtíže, a tak se objevily paradoxy třeba od Burali-Forti a od Russella. To vedlo opět k různým směrům v zásadním postoji k základům matematiky. Spor mezi formalisty a intuicionisty ve 20. století byl pokračováním sporu mezi Cantorem a Kroneckerem na nové úrovni. 17. Současně s tímto pozoruhodným vývojem algebry a analýzy nastupuje stejně pozoruhodný rozkvět geometrie. Můžeme ho sledovat už od dob Mongeovy učitelské čin­ nosti, v níž jsou obsaženy kořeny „syntetické" i „algebraické" metody v geometrii. V pracích Mongeových žáků se obě metody odděHly; syntetická metoda směřo­ vala k projektivní geometrii, algebraická metoda pak směrem k naší moderní analytické a algebraické geometrii. Projektivní geometrie se stává samostatnou disciplínou Ponceletovou knihou z roku 1822. Jak tomu často bývá u základních objevů, vznikly i zde prioritní spory, protože Ponceletovi vyvstal soupeř v Josephu Gergonnovi, profesorovi v Montpellier. Gergonne uveřejnil několik významných prací o projektivní geometrii, v nichž zároveň s Ponceletem odhalil význam duality v geometrii. Tyto práce vyšly v Annales de mathématiques, v prvém čistě matematickém časopise. Jeho vydavatelem byl Gergonne; časopis vycházel od roku 1810 do roku 1832. Typický pro Ponceletův způsob myšlení byl však jiný princip, totiž princip spojitosti, který mu umožnil odvozovat vlastnosti nějakého útvaru z vlastností útvaru jiného. Vyjádřil svůj princip takto: .,Když určitý obrazec vznikne z nějakého jiného obrazce pomoci spojité změny a tento obrazec je právě tak obecný jako prvý, lze vlastnost dokázanou pro prvý obrazec bez dalších úvah přenést i na druhý".

Tento princip se musel používat velmi opatrně, protože jeho formulace nebyla ani zdaleka přesná. Teprve moderní algebra byla schopna přesněji stanovit okruh platnosti toho principu. V rukou Ponceleta a jeho školy však vedl k zajímavým, novým a přesným výsledkům, zvláště když se ho užilo též při přechodu od reálných veličin ke kom173

plexním. To dovolilo Ponceletovi tvrdit, že všechny kružnice v rovině mají „dva myšlené imaginárni body v nekonečnu společné", což vedlo mimo to i k pojmu tzv. „nevlastní přimky" v rovině. G. H. Hardy poznamenal, že tato skutečnost vlastně znamenala, že projektivní geometrie uznala aktuální nekonečno bez jakýchkoli rozpaků12. Analytikové však v této otázce nebyli jednotní. Ponceletovy ideje byly dále rozpracovány německými geometry. Roku 1826 se objevila prvá Steinerova publikace; roku 1827 Barycentrische Calcill od Moebia, 1828 prvý svazek Pltickerových Analytisch-geometrischen Entwicklungen. Roku 1831 vyšel druhý svazek, po němž následovala v roce 1832 Steinerova kniha Systematische Entwicklung der Abhangigkeit geometrischer Gestalten voneinander. Poslední z velkých základních prací němec­ kých geometrů v tomto oboru geometrie vyšla roku 1847. Byla to von Staudtova axiómatická Geometrie der Lage. V pracích těchto německých geometrů bylo zastoupeno jak syntetické, tak i algebraické chápání geometrie. Typickým zástupcem syntetické (neboli „ryzí") školy byl Jacob Steiner, syn švýcarského sedláka, ,,pasáček", jehož nadšení pro geometrii se probudilo, když se seznámil s idejemi Pestalozziho. Rozhodl se ke studiu v Heidelbergu; později učil v Berlíně, kde byl od roku 1834 až do své smrti (1863) profesorem na universitě. Steiner byl veskrze geometr; nenáviděl užívání algebry a analýzy v takové míře, že odmítal dokonce i obrazce. Podle jeho mínění se může geometrie naučit nejlépe usilovným myšlením. Počítání nahrazuje myšlení, říkával, avšak geometrie je podněcuje. Tak .~omu jistě bylo u Steinera, jehož metody obohatily geometrii o velký počet krásných a často obtížných vět. Vděčíme mu za objev Steinerovy plochy, na níž leží dvojnásobně nekonečný trs kuželoseček (nazývá se též římská plocha). často vynechal důkazy svých vět, čímž se staly Steinerovy sebrané spisy cenným pramEmem pro geometry, kteří hledali problémy pro své práce. Steiner vybudoval svou projektivní geometrii přísně systematicky, přičemž přechází od perspektivy k pro12 G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics, 6. vyd. Cambridge 1933, Dodatek IV.

174

jektivitě a odtud ke kuželosečkám. Řešil též množství izoperimetrických problémů svým osobitým geometrickým způsobem. Jeho důkaz (1836), že kruh je obrazec s největší plochou mezi všemi uzavřenými křivkami daného obvodu, užíval metodu, s jejíž pomocí každý obrazec daného obvodu, který není kruh, se může převést na jiný obrazec téhož obvodu a větší plochy. Steinerův závěr, že proto má lrr:,;~1:t '✓• r

15. Titulnl list Cardanovy práce Artis Magnae, sive de regulis algebralcis z roku 1545.

16. Descartes René (1596-1650)

17. Newton (1643-1727)

Isaac

18. Euler Leonhard (1707-1783)

Obr. 19.-26. zleva doprava: Monge Gaspard (1746-1818) Steiner Jacob (17961863) Gauss Karl Friedri::h (1777-1855) Bolzano Bernard (1781-1848) Galois ~variste (1811-1832) Abel Niels Henrik (1802-1829) Riemann Bernhard Georg Friedrich ( 1826-1866). Sylvester James Joseph (1814-1897).

Obr. 27.-34. zleva doprava: Kroneck er Leopold (1823-18 91) čebyšev Pafnutij L. (1821-18 94) Lie Sophus (18421899) Weierstr ass Karl Th. W. (1815-18 97 ) Klein Felix (1849-19 25) Jordan Camille (1838-19 22) Cremona Luigi (1830-19 03) Čech Eduard (1893-19 60).

87

•

35. Prvé tištěn é vyo braz ení čín 1.ké ho abaku - po č ítadl a suan - pan. 36. Část Babbageova m echanicstroje' „Analytick ého kého z šedesátých let 19. století. „Difer enciáln Babbag eů v 37. stroj" z třic á tý c h let 19. stol 38. Pascalův p o číta cí stroj z ro ku 1642.

38

ENC Y KLO PED IC Kf: HESLO DĚJINY

MATEMATIKY

Matematika se ke své současné roli „královny věd" probíjela nejrůznějšími a nejpřekvapivějšími úskalími a od vytvoření prvých matematických abstrakcí uplynulo mnoho tisíciletí. Křivolaký proces, v němž se lidstvo snažilo kvantitativně ovládnout zákony vesmíru a využít jich k svému prospěchu, je poznamenán jak odvěkým bojem člověka s přírodou, tak také vývojem a rozpory lidských společenství. Matematika ve svém vztahu k člověku tvůrci a k člověku ji užívajícímu, ve svých teoriích i aplikapích, ve svých podmíněnostech i možnostech je součástí tohoto společenského vývoje. Dějiny matematiky se snaží nalézt v tomto vývojovém procesu jednotný, objektivně nutný, zákonitý historický proud. Jako disciplína zkoumající vývoj určitého vědního oboru jako společenského produktu jsou dějiny matematiky disciplínou společen­ skou, historickou. Mají však také jiný úkol; shrnují historický materiál do obecných závěrů, jejichž interpretace může mít opět vliv na matematiku a stát se v některém směru i podnětem jejího dalšího vývoje. Historie matematiky tak ze svého materiálu obJasňuje předmět matematiky a jeho změny, všímá si proměn matematiky vůči ostatnlm oborům, může dělat závěry z různých aspektů společenské podmíněnosti matematiky a jejich vlivu na rozvoj matematického bádání; zde si všímá zejména vyučování matematiky, přímé materiální podpory matematického bádání i matematické transkripce významných praktických úkolů, které jí zadává hlavně technika, ale také ostatní vědy. Dějiny matematiky se snaží také přesně stanovit vnitřní logiku vývoje matematiky; nepopisují pouze cestu jejího vývoje, ale hledají logiku tohoto vývoje, příčiny určitého specifického tvaru této cesty, která mnohdy nesleduje nejkratší logickou spojnici. Na některé

225

případy

tohoto charakteru upozornila kniha. Zde pripojiný problém - otázky vzniku, charakteru a významu matematických škol. Není sporu o tom, že historické zkoumání těchto pojmů by přineslo mnoho užitečného i organizaci dnešního matematického bádání. Tyto obecné otázky vývoje zkoumají dějiny matematiky zejména proto, aby se zpřesnil celkový pohled na matematiku včetně její metodiky i faktorů ovlivňujících její vývoj a aby se tak připravilo daleko lepší působení na její budoucí vývoj a umožňování jejích perspektiv. V tomto smyslu je historie matematiky také disciplínou matematickou. Jiný charakter její matematické stránky se pak projevuje v těch případech, kdy historie matematiky sama ze svého materiálu formuluje matematické problémy, při­ pomíná problémy ve vývoji vědy nevyřešené a u určitých problémů uskutečňuje svou možnost urychlit jejich vyřešení. K tomu, aby si historie matematiky mohla podobné problémy zadávat, musí vycházet ze znalosti současných problémů matematiky a mezi ·nimi nacházet ty, které svým charakterem umožňují plodné historické zkoumání. Je také známo, že klasické problémy řecké . matematiky, kvadratura kruhu, trisekce úhlu a zdvojení krychle, k nimž se matematika vždy na nové úrovni vracela a jež byly zdrojem řady význačný