Matematik 7. 2. Kitap

Citation preview

CMYK

MATEMATİK 7, Kitap 2

MATEMATİK 2.

MATEMATİK 7-1

7. Sınıf

KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI Bu ders kitabı KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı tarafından ücretsiz olarak dağıtılmaktadır.

KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı

7

Matematik 7 2. Kitap

Yazarlar Tunç Tağmaç Prof. Dr. Osman Cankoy Fuat Ortaş Dr. Ayşen Özerem Evren Gürbüzer Öncü Editörler Prof. Dr. Osman Cankoy Yrd. Doç. Dr. Tuba Gökmenoğlu

KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı Bu kitap, Temel Eğitim Program Geliştirme Projesi kapsamında geliştirilmiş ve KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı, Talim ve Terbiye Dairesi tarafından, ortaokullarda ders kitabı olarak kullanılması uygun bulunmuştur.

©KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI/2020 Matematik 7 MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI/2020 ©KKTC 2. Kitap Matematik 7 2. Kitap

Proje Yürütücüsü Prof. Dr.Proje Ahmet Pehl van Yürütücüsü DAÜ Öğret m Üyes Prof. Dr. Ahmet Pehl van DAÜ Öğret m Üyes

Dil Uzmanı Uzmanı Prof. Dr.Dil Vügar Sultanzade

Prof. Dr. Vügar Sultanzade

Grafik Tasarım Grafik Tasarım Tunç Tağmaç Tunç Tağmaç Sayfa Düzeni Sayfa Düzeni Tunç Tağmaç Tunç Tağmaç Prof. Dr.Prof. Osman CankoyCankoy Dr. Osman Kapak Tasarımı Kapak Tasarımı Dr. Osman Prof. Dr.Prof. Osman CankoyCankoy

Baskı Baskı Ağustos İlk Baskı2020 : Ağustos 2020 Ağustos 2020 Son Baskı : Haziran 2021

225 42 47

225 42 47

225 31 28

[email protected]

225 31 28

Şht. Mustafa Ruso Cad. No. 44

[email protected] K.Kaymaklı - Lefkoşa Şht. Mustafa Ruso Cad. No. 44 K.Kaymaklı - Lefkoşa

KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI YAYINIDIR.

KKTC

Bu kitap KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığına aittir ve her hakkı saklıdır. MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI YAYINIDIR. Kitabın metin, soru, resim ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.

Bu kitap KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığına aittir ve her hakkı saklıdır. Kitabın metin, soru, resim ve şekilleri kısmen de olsa hiçbir surette alınıp yayımlanamaz.

İSTİKLAL MARŞI İSTİKLAL MARŞI Korkma! bubu şafaklarda yüzen al sancak, Korkma!Sönmez Sönmez şafaklarda yüzen al sancak, Sönmeden üstünde tüten en son ocak. Sönmedenyurdumun yurdumun üstünde tüten en son ocak. O yıldızıdır, parlayacak; Obenim benimmilletimin milletimin yıldızıdır, parlayacak; O benim milletimindir ancak. Obenimdir, benimdir,o o benim milletimindir ancak. Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilal! Çatma, kurban olayım, çehreni ey nazlı hilal! Kahraman ırkıma bir gül; ne bu şiddet, bu celal? Kahraman ırkıma bir gül; ne bu şiddet, bu celal? Sana olmaz dökülen kanlarımız sonra helal... Sana olmaz dökülen kanlarımızistiklal. sonra helal... Hakkıdır, Hakk’a tapan milletimin

Hakkıdır, Hakk’a tapan milletimin istiklal.

Mehmet Akif Ersoy

Mehmet Akif Ersoy

ANDIMIZ ANDIMIZ Türk’üm, Türk’üm,doğruyum, doğruyum,çalışkanım. çalışkanım. İlkem, İlkem,küçüklerimi küçüklerimikorumak, korumak,büyüklerimi büyüklerimisaymak, saymak, Yurdumu, Yurdumu,milletimi, milletimi,özümden özümdençok çoksevmektir. sevmektir. Ülküm, Ülküm,yükselmek, yükselmek,ileri ilerigitmektir. gitmektir. Ey EyBüyük BüyükAtatürk! Atatürk! Açtığın Açtığınyolda, yolda,gösterdiğin gösterdiğinhedefe, hedefe, Durmadan Durmadanyürüyeceğime yürüyeceğimeant antiçerim. içerim. Varlığım, Varlığım,Türk Türkvarlığına varlığınaarmağan armağanolsun. olsun. Ne NeMutlu MutluTürk’üm Türk’ümdiyene! diyene!

Mustafa MustafaKemal KemalATATÜRK ATATÜRK (1881 (1881- 1938) - 1938)

Dr. Dr.Fazıl FazılKÜÇÜK KÜÇÜK (1906 (1906- 1984) - 1984)

Rauf RaufR. R.DENKTAŞ DENKTAŞ 1924-2012 1924-2012

İçindekiler İçindekiler ÜNİTE ÜNİTE4:4: ORAN-ORANTI ORAN-ORANTI veve YÜZDE.........................................................................................................1 YÜZDE.........................................................................................................1 BÖLÜM BÖLÜM4.1 4.1– –ORAN-ORANTI.................................................................................................................2 ORAN-ORANTI.................................................................................................................2 4.1.1 4.1.1Oran....................................................................................................................................2 Oran....................................................................................................................................2 4.1.2 4.1.2Oran Oran.............................................................................................................................6 .............................................................................................................................6 4.1.3 4.1.3Doğru DoğruOran Oranlı lıÇokluklar....................................................................................................12 Çokluklar....................................................................................................12 4.1.4 4.1.4Ters TersOran Oranlı lıÇokluklar.....................................................................................................20 Çokluklar.....................................................................................................20 BÖLÜM BÖLÜMDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ.........................................................................................................24 TESTİ.........................................................................................................24 BÖLÜM BÖLÜM4.2 4.2 – YÜZDE...............................................................................................................................26 – YÜZDE...............................................................................................................................26 4.2.1 4.2.1Yüzde YüzdeSembolünün SembolününTarihçesi.......................................................................................................26 Tarihçesi.......................................................................................................26 4.2.2 4.2.2Yüzde.............................................................................................................................................27 Yüzde.............................................................................................................................................27 4.2.3 4.2.3Yüzdenin YüzdeninKesir KesirOlarak Olarakİfade İfadeEdilmesi.........................................................................................29 Edilmesi.........................................................................................29 4.2.4 4.2.4Yüzdenin YüzdeninOndalık OndalıkSayı SayıOlarak Olarakİfade İfadeEdilmesi............................................................................33 Edilmesi............................................................................33 4.2.5 4.2.5Kesirlerin KesirlerinYüzde YüzdeOlarak Olarakİfade İfadeEdilmesi...................................................................................34 Edilmesi...................................................................................34 4.2.6 4.2.6Ondalık OndalıkSayıların SayılarınYüzde YüzdeOlarak Olarakİfade İfadeEdilmesi..........................................................................36 Edilmesi..........................................................................36 4.2.7 4.2.7Yüzdeyi YüzdeyiTahmin TahminEtme..............................................................................................................38 Etme..............................................................................................................38 4.2.8 4.2.8Yüzde Yüzdeİleİleİlgili İlgiliProblemler Problemler..................................................................................................40 ..................................................................................................40 BÖLÜM BÖLÜMDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ.........................................................................................................52 TESTİ.........................................................................................................52 ÜNİTE ÜNİTEDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ............................................................................................................5 TESTİ............................................................................................................53 3 ÜNİTE ÜNİTE5:5:GEOMETRİ GEOMETRİ 1:1: AÇILAR AÇILAR veve ÇOKGENLER ÇOKGENLER ....................................................................................57 ....................................................................................57 BÖLÜM BÖLÜM5.1–AÇILAR........................................................................................................................58 5.1–AÇILAR........................................................................................................................58 5.1.1 5.1.1EşEşAçılar........................................................................................................................................58 Açılar........................................................................................................................................58 5.1.2 5.1.2Açıortay.......................................................................................................................................6 Açıortay.......................................................................................................................................61 1 5.1.3 5.1.3Aynı AynıDüzlemde DüzlemdeBulunan BulunanDoğruların DoğrularınBirbirine BirbirineGöre GöreDurumları...............................................64 Durumları...............................................64 5.1.4 5.1.4Paralele ParaleleİkiİkiDoğrunun DoğrununBirBirKesenle KesenleYap Yapğı ğıAçılar..................................................................65 Açılar..................................................................65 BÖLÜM BÖLÜMDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ...........................................................................................................76 TESTİ...........................................................................................................76 BÖLÜM BÖLÜM5.2–ÇOKGENLER........................................................................................................................78 5.2–ÇOKGENLER........................................................................................................................78 5.2.1 5.2.1Düzgün DüzgünÇokgenler ÇokgenlerveveÖzellikleri...........................................................................................79 Özellikleri...........................................................................................79 5.2.2 5.2.2Çokgende ÇokgendeAçıAçıveveKöşegen......................................................................................................80 Köşegen......................................................................................................80 5.2.3 5.2.3Çokgenlerin Çokgenlerinİç İçAçılarının AçılarınınÖlçüleri ÖlçüleriToplamı............................................................................82 Toplamı............................................................................82 DışAçılarının AçılarınınÖlçüleri ÖlçüleriToplamı.......................................................................85 Toplamı.......................................................................85 5.2.4 5.2.4Çokgenlerin ÇokgenlerinDış 5.2.5 5.2.5Dörtgenler.........................................................................................................................92 Dörtgenler.........................................................................................................................92 5.2.5.1 5.2.5.1Paralelkenar ParalelkenarveveÖzellikleri.....................................................................................................93 Özellikleri.....................................................................................................93 5.2.5.2 5.2.5.2Dikdörtgen DikdörtgenveveÖzellikleri..........................................................................................................94 Özellikleri..........................................................................................................94 5.2.5.3 5.2.5.3Eşkenar EşkenarDörtgen DörtgenveveÖzellikleri................................................................................................96 Özellikleri................................................................................................96 YamukveveÖzellikleri...............................................................................................................98 Özellikleri...............................................................................................................98 5.2.5.4 5.2.5.4Yamuk 5.2.5.5 5.2.5.5Dikdörtgende DikdörtgendeÇevre ÇevreveveAlan.................................................................................................102 Alan.................................................................................................102 5.2.5.6 5.2.5.6Paralelkenarda ParalelkenardaÇevre ÇevreveveAlan.................................................................................................104 Alan.................................................................................................104 5.2.5.7 5.2.5.7Eşkenar EşkenarDörtgende DörtgendeÇevre ÇevreveveAlan........................................................................................105 Alan........................................................................................105 5.2.5.8 5.2.5.8Yamukta YamuktaÇevre ÇevreveveAlan.......................................................................................................108 Alan.......................................................................................................108 5.2.5.9 5.2.5.9Çevre Çevre- Alan - Alanİlişkisi...............................................................................................................113 İlişkisi...............................................................................................................113 BÖLÜM BÖLÜMDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ...........................................................................................................118 TESTİ...........................................................................................................118 ÜNİTE ÜNİTEDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRME TESTİ.............................................................................................................120 TESTİ.............................................................................................................120 TARAMA TARAMATESTİ......................................................................................................................................124 TESTİ......................................................................................................................................124

ÜNİTE ÜNİTE6:6: GEOMETRİ GEOMETRİ 2:ÇEMBER 2:ÇEMBER veve DAİRE, DAİRE, DÖNÜŞÜM DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ....................................................127 GEOMETRİSİ....................................................127 BÖLÜM BÖLÜM6.1 6.1 – Çember – Çember veve Daire.............................................................................................................128 Daire.............................................................................................................128 6.1.1 6.1.1Çemberde ÇemberdeMerkez MerkezAçıAçıveveYay..................................................................................................128 Yay..................................................................................................128 6.1.2 6.1.2Çemberde ÇemberdeÇevre ÇevreveveYay YayUzunluğu...........................................................................................133 Uzunluğu...........................................................................................133 Alanı...........................................................................................136 6.1.3 6.1.3Daire DaireveveDaire DaireDiliminin DilimininAlanı...........................................................................................136 6.1.4 6.1.4Çember ÇemberveveDaire DaireProblemleri...............................................................................................140 Problemleri...............................................................................................140 BÖLÜM BÖLÜMDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ..........................................................................................................145 TESTİ..........................................................................................................145 BÖLÜM BÖLÜM6.2 6.2 – Dönüşüm – Dönüşüm Geometrisi.....................................................................................................147 Geometrisi.....................................................................................................147 6.2.1 6.2.1Düzlemsel DüzlemselŞekillerde ŞekillerdeEşlik..................................................................................................147 Eşlik..................................................................................................147 6.2.2 6.2.2Öteleme..............................................................................................................................149 Öteleme..............................................................................................................................149 6.2.3 6.2.3Yansıma..........................................................................................................................151 Yansıma..........................................................................................................................151 BÖLÜM BÖLÜMDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ..........................................................................................................157 TESTİ..........................................................................................................157 6.2.4 6.2.4Cisimlerin CisimlerinFarklı FarklıYönlerden YönlerdenGörünümleri.............................................................................158 Görünümleri.............................................................................158 DEĞERLENDİRMETESTİ..........................................................................................................164 TESTİ..........................................................................................................164 KONU KONUDEĞERLENDİRME ÜNİTE ÜNİTEDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ...........................................................................................................165 TESTİ...........................................................................................................165 TARAMA TARAMATESTİ.....................................................................................................................................169 TESTİ.....................................................................................................................................169 ÜNİTE ÜNİTE7:7:VERİ...................................................................................................................................173 VERİ...................................................................................................................................173 7.1 7.1BirBirVeri VeriGrubuna Grubunaİlişkin İlişkinDaire DaireGrafiği GrafiğiOluşturma.......................................................................174 Oluşturma.......................................................................174 7.2 7.2Daire DaireGrafiğinden GrafiğindenYararlanma..............................................................................................176 Yararlanma..............................................................................................176 7.3 7.3Çizgi ÇizgiGrafiği GrafiğiOluşturma....................................................................................................177 Oluşturma....................................................................................................177 7.4 7.4Sütun SütunGrafiği GrafiğiİleİleÇizgi ÇizgiGrafiğini Grafiğiniİlişkilendirme..............................................................178 İlişkilendirme..............................................................178 BÖLÜM BÖLÜMDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ..........................................................................................................179 TESTİ..........................................................................................................179 ÜNİTE ÜNİTEDEĞERLENDİRME DEĞERLENDİRMETESTİ...........................................................................................................180 TESTİ...........................................................................................................180 TARAMA TARAMATESTİ.....................................................................................................................................182 TESTİ.....................................................................................................................................182 KAYNAKÇA KAYNAKÇA ............................................................................................................................................ ............................................................................................................................................ 188 188 EK1. EK1. İZOMETRİK İZOMETRİK KAĞIT...........................................................................................................................189 KAĞIT...........................................................................................................................189 EK2. EK2. NOKTALI NOKTALIKAĞIT..............................................................................................................................190 KAĞIT..............................................................................................................................190 EK.3 EK.3 SÜTUN SÜTUN GRAFİĞİ..............................................................................................................................191 GRAFİĞİ..............................................................................................................................191

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE

56

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI YÜZDE

1

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE ORAN - ORANTI

4.1

ORAN

4.1.1

Ayşe, tabakta her renkten kaçar tane elma vardır?

Peki, kırmızı elmaları pay, tüm elmaları da payda olarak düşünürsek bu durumu kesir sayısı olarak nasıl ifade edebiliriz?

3 kırmızı, 2 sarı ve 5 yeşil elma vardır.

10 elmanın 3 tanesi kırmızı olduğu için 3 10 diyebiliriz.

A ve B gibi aynı cins çoklukların bölme yoluyla karşılaştırılmasına ORAN denir. Oran, A veya (A : B) şeklinde ifade edilir. Her iki ifade “A’nın B’ye oranı” şeklinde okunur. B

Örnek Bir torbada 12 fındık ve 15 badem bulunmaktadır. Buna göre, A) torbadaki fındık sayısının, badem sayısına oranını, B) torbadaki badem sayısının, bu torbadaki tüm kuruyemişlerin sayısına oranını bulalım. Çözüm: A) Fındık sayısı = 12 = 4 15 5 Badem sayısı B)

2

r.

Badem sayısı 15 5 = = 27 9 Toplam kuruyemiş sayısı

dur.

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI ETKİNLİK Ayşe Hanım kek yaparken 3 su bardağı toz şeker için 9 su bardağı un kullanıyor. Buna göre, aşağıdaki tabloda verilen toz şeker miktarlarına karşılık, gerekli olan un miktarlarını hesaplayınız. Toz şeker miktarı (bardak)

1

2

3

Un miktarı (bardak)

4

9

Yukarıdaki tabloya göre aşağıdaki soruları yanıtlayınız. A) Toz şeker miktarının, un miktarına oranı nedir? B) Bir bardak toz şeker için kaç bardak un gereklidir? C) Un miktarının, toz şeker miktarına oranı nedir? D) “A” ve “C” sorularına ait cevapları karşılaştırınız. Örnek Bir kümesteki tavşanların sayısının tavukların sayısına oranı 2 tir. Bu kümeste 15 tavuk olduğuna 5 göre, tavşanların sayısını bulalım. Çözüm: Tavşan sayısı 2 dir. Kümesteki tavuk sayısı 15 olduğuna göre, oranı 3 ile genişletelim. = 5 Tavuk sayısı x3 6 2 = 15 5

olur. Kümesteki tavşan sayısı 6 dır.

x3

Örnek Bir sınıftaki erkek öğrencilerin sayısının kız öğrencilerin sayısına oranı 5 dir. Bu sınıfta 26 öğrenci 8 olduğuna göre, sınıftaki kız ve erkek öğrenci sayılarını bulalım. Çözüm: Erkek öğrenci sayısı 5 = dir. Bu orandan yola çıkarak sını�aki öğrenci sayısını 5 + 8 = 13 alalım. 8 Kız öğrenci sayısı Bu durumda,

x2

16 Kız öğrencilerin sayısı 8 = = 26 13 Tüm öğrencilerin sayısı x2

ve

x2

Erkek öğrencilerin sayısı 10 dir. �ını�a kızlar 16, erkekler 10 kişidir. = 5 = 26 13 Tüm öğrencilerin sayısı x2

3

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek 27 kg kakaodan 9 kg çikolata yapılıyorsa, 27 kg çikolata için kaç kg kakao kullanılmalıdır? Çözüm: Kakao miktarı Çikolata miktarı

x3

81 27 = = 9 27

dir. Buna göre, kakaodan 81 kg kullanılmalıdır.

x3

Örnek 84 TL'ye 4 litre zeytinyağı alınabiliyorsa, 1 litre zeytinyağı kaç TL'dir? Çözüm:

:4

Zeytinyağı fiyatı 84 21 olur. Bu durumda 1 litre zey nyağının fiya� 21 TL’dir. = = 4 1 Zeytinyağı miktarı :4

Örnek Aşağıdaki tabloda verilen ifadelerden yanlış olanların yanındaki boş kutuya “Y”, Doğru olanların ise “D” yazınız. D/Y

İFADE 8 kg elma 24 TL ise 1 kg elma 4 TL’dir. 6 kg un 3 TL ise 2 kg un 1 TL’dir. 12 adet limon 36 TL ise 3 adet limon 1 TL’dir. Çözüm: :8

Elma fiyatı 24 3 = = 8 1 Elma miktarı :8

4

Un fiyatı Un miktarı

:3

=

3 1 = 6 2 :3

: 12

Limon fiyatı 36 3 = = 12 1 Limon miktarı : 12

1 kg elma 3 TL’dir.

2 kg un 1 TL’dir.

1 adet limon 3 TL’dir.

Verilen ifade yanlış�r.

Verilen ifade doğrudur.

Verilen ifade yanlış�r.

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI Alış rmalar 1) Yanda verilen iki mumdan II.mumun uzunluğunun I. mumun uzunluğuna oranı kaçtır?

25 cm I. Mum

15 cm II. Mum

2) Bir kütüphanede 18 matematik, 12 fen ve 10 türkçe kitabı bulunmaktadır. Buna göre bu kütüphanede, A) Türkçe kitaplarının sayısının, fen kitaplarının sayısına oranı kaçtır? B) Matematik kitaplarının sayısının, tüm kitapların sayısına oranı kaçtır? 3 dir. Torbada 72 tane fındık 3) Bir torbadaki cevizlerin sayısının, fındıkların sayısına oranı 8 olduğuna göre, bu torbada kaç ceviz vardır? 4) 49 öğretmenin bulunduğu bir okulda, erkek öğretmenlerin sayısının, kadın öğretmenlerin sayısına oranı 2 ’tir. Buna göre bu okuldaki kadın öğretmenlerin sayısı kaçtır? 5 5) 4 kg sütten 1 kg hellim yapılıyorsa, 48 kg sütten kaç kg hellim yapılabilir? 6) 6 kg zeytinden 1 kg zeytinyağı elde ediliyorsa, 12 kg zeytinyağı elde etmek için kaç kg zeytine ihtiyaç vardır? 7) 80 TL’ye 20 kg domates alınabiliyorsa, 4 kg domates kaç TL’dir? 8) 2 kg kırmızı boya ile 3 kg sarı boya karıştırılarak yeni bir renk boya oluşturuluyor. Evini boyamak için 60 kg boyaya ihtiyacı olan Ali Bey’in, kırmızı ve sarı renk boyalardan kaçar kg alması gerekir? 9) Aşağıda, bir markette satılan farklı markalarda fakat aynı kalitede 3 adet bal kavanozu verilmiştir. Kütleleri ve fiyatları verilen bu ballardan hangisinin 1 kilogramı daha ucuzdur?

500 g 25 TL

200 g 11 TL

400 g 22 TL

5

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE 4.1.2

ORANTI Aşağıdaki eş büyüklükteki karelerin alanlarından birincinin 1/2'sini, ikincinin ise 2/4'ünü tararsak, hangisinde taralı kısım daha fazla olur?

I.

?

??

II.

Örnek Deniz, 5 bardak limon suyuna 3 bardak şeker koyup bir şişe limonata yapmaktadır. Buna göre bir şişe limonata yapımında kullanılan şeker miktarının, limon suyuna oranı 3:5 olur. 5 şişe limonata yapmak isterse; x5

Şeker miktarı 15 = 3 = 25 5 Limon suyu x5

olur. Bu durumda 15 bardak şeker ve 25 bardak limon suyu kullanmalıdır.

15 15 15 3 eşitliğinde 3 oranı 3 ile genişle ldiğinde elde edildiği gibi, oranı 3 ile = 25 25 25 5 5 15 sadeleş rildiğinde 3 oranı elde edilir. Ayrıca 3 ile oranlarından birinin payı ile diğerinin 25 5 5

paydasını çarpalım.

3 x 25 = 75 5 x 15 = 75

olur. Her iki çarpım da eşit çık�.

İki ya da daha fazla oranın eşitliğine ORANTI denir.

6

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI

a c = b d

dışlar oran�sında a : b = c : d dir. içler

İki oran bir orantı oluşturuyorsa, a c = b d örneğin,

ve b . c = a . d dir. (İçler çarpımı dışlar çarpımına eşi�r.) 2 5 = 4 10 4 . 5 = 2 . 10 20 = 20 dir.

Bir orantıda içlerin yeri veya dışların yeri değişirse orantı bozulmaz. Bir orantıda oranların pay ve paydaları yer değişirse orantı bozulmaz.

Örnek Yandaki tabloyu inceleyerek ekmek sayısının ekmekler için kullanılan un miktarına oranlarını karşılaştıralım.

Ekmek sayısı

Un miktarı (kg)

5

2

15

6

45

18

Çözüm: Ekmek sayısı Un miktarı 15 45 5 = = 6 18 2

oranına göre, 5 , 15 ve 45 oranları elde edilir. Bu oranlar eşittir. 6 18 2 şeklinde yazılabildiğinden oran� oluşturur.

7

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek Aşağıda orantı oluşturan ve oluşturmayan ikililer verilmiştir, inceleyiniz. A) 3 ile 4

6 8

4 . 6 = 3. 8 24 = 24 (orantı oluşturur.)

B) 7 ile 9

4 5

9 . 4 = 7. 5 36 = 35 (orantı oluşturmaz.)

C) 5 ile 10 6 12

6 . 10 = 5 . 12 60 = 60 (orantı oluşturur.)

Örnek Bir okulun 7A ve 7B şubelerinde bulunan kız ve erkek öğrenci sayıları yandaki tabloda verilmiştir. Buna göre, kız öğrenci sayılarının, bulundukları sınıfların öğrenci sayısına oranları bir orantı oluşturur mu?

7A

7B

Kızlar

12

8

Erkekler

18

14

Çözüm: 7A sını ndaki kızların sayısının, bu sını�aki öğrenci sayısına oranı 12 dur. 30 7B sını ndaki oran ise 8 dir. 22 12 ? 8 = 30 22

30 . 8 = 12 . 22 240 = 264 orantı oluşturmaz.

Örnek Yandaki grafikte, bir araba yıkama servisinin yıkadığı araba sayısına göre aldığı para miktarı belir lmiş r. Buna göre, veriler oran�lı mıdır?

Para(TL) 36 24 12

Çözüm: Para miktarı Araba sayısı

oranına göre, 12 , 24 ve 36 oranları 8 12 4 36 24 elde edilir ve 12 = dir. Veriler oran lıdır. = 12 8 4

8

4

8

12

Araba sayısı

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI Örnek Yandaki grafik, bir öğrencinin haftalık harçlığından biriktirdiği (ilk hafta hariç)

Birik rilen Para(TL)

30

parayı göstermektedir.

20

Bu durumda haftalara göre biriktirdiği para

10

orantılı mıdır?

1

Çözüm:

2

3

4

Ha�a

Biriktirilen para oranına göre, 10 , 20 ve 30 oranları 3 4 2 Hafta 10 ? 20 = 3 2

elde edilir.

2 . 20 = 10 . 3 40 = 30 Öğrencinin haftalara göre biriktirmiş olduğu para orantılı değildir.

Seçtiğimiz iki oran, orantı oluşturmadı. Bu durumda diğer oranı kullanmamıza gerek kalmadı.

Orijinden geçen doğru grafiklerine ait oranlar, orantı oluştururlar.

Oran da Bilinmeyeni Bulma: Bundan önce, verilen orantıda pay ve paydalara ait sayılar arasında bağlantı kurarak ya genişletme ya da sadeleştirmeyle bilinmeyen elde edilmiştir. Aşağıda ise üçüncü bir yöntem olan içler dışlar çarpımı kullanılarak bu bilinmeyenin nasıl elde edileceğini gösteren örneklere yer verilmiştir, inceleyiniz. Örnek 3 5 = n 6

orantısında “n” ile belirtilen bilinmeyen sayıyı bulalım.

Çözüm: 3 5 = n 6 6 . 5 = 3.n (İçler dışlar çarpımından) 30 = 3.n (Çarpımları bilinen iki sayıdan biri biliniyorken diğerini bulmak için bölme işlemi yapılır.) 30 3n = 3 3

n = 10 olur.

9

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek Aşağıda verilen orantılarda bilinmeyen sayıları bulalım. A)

9 4 = n 16

B)

4 n = 0.5 15

B)

4 n = 0.5 15

Çözüm: A)

9 4 = n 16 n . 4 = 9.16

0.5.n = 4.15

4n = 144

0.5n = 60

4n 144 = 4 4

0.5n 60 = 0.5 0.5 n = 60 5 10

n = 36 olur.

. 600 n = 60 10 = 5 5 n = 120 olur.

Alış rmalar 1) İki bahçenin birinde 12 portakal ve 8 limon ağacı, diğer bahçede ise 24 portakal ve 16 limon ağacı bulunmaktadır. Buna göre, her iki bahçedeki portakal ağaçlarının sayısının, limon ağaçlarının sayısına oranı bir orantı oluşturur mu? 2) Yandaki grafik, bir aracın aldığı yola göre, yakıt tüketimini göstermektedir. Buna göre aracın yakıt tüketimi ile aldığı yol orantılı mıdır?

Yol(Km) 45 30 15 1

2

3

3) Aşağıda verilen ikililerin orantı oluşturup oluşturmadıklarını belirleyiniz.

10

A)

2 24 ile 3 36

B)

3 4 ile 8 10

C)

5 25 ile 4 20

D)

6 1 ile 15 3

E)

1 7 ile 5 32

F)

8 4 ile 13 7

Yakıt tüke mi(Lt)

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI 4) Aşağıda verilen orantılarda bilinmeyeni bulunuz. A)

4 1 = a 20

B)

6 = 9

D)

2 12 = d 30

E)

G)

256 32 = 8 g

H)

b 3

C)

c 12 = 10 8

8 e = 40 100

F)

f 7 = 0.3 14

h 0.8 = 10 5

I)

15 6 = n 1.2

5) Bir araç sabit hızla saatte 80 km yol gidiyor. Bu aracın 4 saatte aldığı yolu aşağıdaki tabloyu kullanarak gösteriniz. Tablodan yararlanarak oluşturacağınız yol/zaman oranları orantı oluşturur mu? Yol(km) Zaman(saat) 11

6) Ali 15, Ayşe ise 9 yaşındadır. Ali ve Ayşe’nin şimdiki yaşları oranı ile 5 yıl sonraki yaşları oranı bir orantı oluşturur mu? 11

7) Aşağıda I. şekldeki boyalı kısmın tüm şekle oranı ile II. şeklin bir orantı oluşturması için, eş dikdörtgenlere ayrılmış II. şekildeki dikdörtgenlerden kaç tanesini boyamalıyız?

I

II

11

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE 4.1.3

DOĞRU ORANTILI ÇOKLUKLAR Benim cebimde 15 TL vardır. Bu durumda aynı bilyelerden 30 tane alabilirim.

Cebimdeki 10 TL ile 20 bilye alabiliyorum.

Demek ki, parası daha fazla olan daha fazla bilye alabilmektedir. Aslında bu durum para miktarı ile alınabilen bilye sayısı arasında bir orantı olduğunu gösterir.

Örnek Ali, bir kırtasiyeciden tanesi 2 TL olan kalemlerden bir tane almıştır. Buna göre, aşağıdaki tabloyu dolduralım. Kalem sayısı

1

Fiya (TL)

2

2

3

5 8

Tablodan anlaşılacağı gibi, kalem sayısı arttıkça Ali'nin kalemlere ödeyeceği para miktarı da artmaktadır. Kalem sayısı azaldıkça ödeyeceği para miktarı da azalacaktır. Demek ki, kalem sayısı ile ödenecek para miktarı orantılıdır.

İki çokluktan biri çoğalırken diğeri de aynı oranda çoğalıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa , bu çokluklara doğru orantılı çokluklar denir.

Örnek

Saat

Tur sayısı

Bir koşucu dairesel bir pistte her 1 saatte 5 tur atabilmektedir.

1

5

Bu duruma ait yandaki tabloyu inceleyelim.

2

10

Tabloya göre süre arttıkça, tur sayısının da doğru orantılı bir

3

15

şekilde arttığını görmekteyiz.

4

20

12

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI Örnek Bir manavdaki çileklerin 3 kg’ı 15 TL’den, 6 kg’ı ise 30 TL’den satılmaktadır. Buna göre manav, çilek satışını orantılı bir şekilde yapıyor mu? Çözüm: x2

6 Çilek Kütlesi = 3 = 30 15 Fiyatı x2

veya

6

30

:2

= :2

3 15

öyleyse satış orantılıdır.

Doğru orantılı çokluklar arasında çarpmaya dayalı bir ilişki vardır. Örneğin, iki çokluk arasındaki oran 4:5 ise bu çokluklardan biri 4'ün diğeri ise 5'in aynı katıdır.

Örnek Bir torbada bulunan fındık sayısının, ceviz sayısına oranı 4/9 dur. Torbadaki fındık ve cevizlerin toplamı 40'dan az olduğuna göre, her birinden kaçar tane olabileceğini bulalım. Çözüm: x1

4 Fındık sayısı = 4 = 9 Ceviz sayısı 9

ise 4 + 9 = 13 olur. Fındık 4, ceviz 9 tane olabilir.

x1 x2

8 Fındık sayısı = 4 = ise 8 + 18 = 26 olur. Fındık 8, ceviz 18 tane olabilir. 9 Ceviz sayısı 18 x2 x3

12 Fındık sayısı = 4 = ise 12 + 27 = 39 olur. Fındık 12, ceviz 27 tane olabilir. 9 Ceviz sayısı 27 x3 x4

16 Fındık sayısı = 4 = ise 16 + 36 = 52 olur. Bu durum olamaz, çünkü ceviz ve fındık 9 Ceviz sayısı 36 sayısının toplamı 40'ın üzerinde olur. x4

13

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Daha önce orijinden geçen doğrusal grafiklere ait oranların, orantı oluşturduğundan bahsetmiştik. Aşağıdaki örneklerde doğru orantılı iki çokluk arasındaki ilişki, orijinden geçen doğrulara ait denklemler veya tablo şeklinde verilmiştir, inceleyiniz.

Örnek “Bir sayının 4 katı” cebirsel ifadesine ait denklemi kullanarak elde edeceğimiz ikililerin bir orantı oluşturduğunu gösterelim. Çözüm: “Bir sayını 4 katı” ifadesini y = 4x şeklinde yazabiliriz, x yerine 1, 2 ve 3 değerlerini yazarak y değerlerini bulalım. x = 1 için y = 4 .1 = 4 x = 2 için y = 4 .2 = 8 x = 3 için y = 4 .3 = 12

x değeri = 1 = 2 = 3 4 8 12 y değeri

Örnek

Cebirsel ifadeye ait veriler doğru oran�lıdır.

Zaman(Saat)

Yandaki grafik, bir aracın ilk üç saatte aldığı yolu göstermektedir. Grafikten yararlanarak bir tablo oluşturalım ve verilerin doğru orantılı olduğunu gösterelim.

3 2 1 60 120 180

Çözüm: Aracın ilk üç saatte aldığı yola ait grafikteki

Zaman(Saat)

Yol(km)

bilgilerle yandaki tabloyu oluşturabiliriz.

1

60

O halde yol/zaman oranını kullanarak

2

orantıyı gösterelim.

3

120 180

Yol = 60 = 120 = 180 2 3 Zaman 1

Yol(km)

Süre 1'er saat arttığında yol 60'ar km artmaktadır. Veriler doğru orantılıdır.

Bir aracın gittiği yolu geçen zamana bölersek, bu aracın ortalama hızını hesaplamış oluruz. Yukarıdaki örnekte oranlar 60'a eşit olduğundan araç, saatte 60 km ortalama hızla hareket etti diyebiliriz.

14

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI Doğru orantılı eşitlikler sabit bir sayıya eşittirler, bu sayıya orantı sabiti denir. Orantı sabiti genellikle “k” harfi ile gösterilir. a = c = k ise “k” oran� sabi�dir. b d

Örnek 4 = 8 6 12

orantısının orantı sabitini bulalım.

Çözüm: Orantıda verilen oranları sadeleştirerek en sade şekillerini elde edelim. 2

2

4 = 8 = 2 6 12 3 3

orantının orantı sabiti 2/3 tür.

3

Örnek Aynı nitelikte mandalin ve limon sıkılarak bir karışım elde edilmiştir. Bu karışım korunacak şekilde oluşturulan yandaki tablonun orantı sabitini bulup, yorumlayınız.

Mandalin sayısı

Limon sayısı

8

2

16 32

4 8

Çözüm: Karışım için kullanılan mandalin sayısının, limon sayısına oranlarını tablodan yararlanarak yazalım. Mandalin sayısı = 8 = 16 = 32 = 4 olur. Oran� sabi� 4'tür. Karışımda kullanılan mandalin 2 4 8 Limon Sayısı sayısı limon sayısının 4 katıdır.

Basamak sayısı arttıkça yükseklik de artar. Basamak sayısı azaldıkça yükseklik de azalır.

15

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek Bir manavda 5 tane kivi 15 TL'ye satılmaktadır. Buna göre, 8 tane kivi almak isteyen Kemal manava kaç TL ödemelidir? Çözüm: Bu problemin çözümünü iki farklı yol izleyerek gösterelim.

l I. yo 5 Tane kivi 15 TL ise kivilerden bir tanesinin fiyatı 3 TL’dir.

yol II. Aynı türden veriler alt alta gelecek şekilde yazılır.

Buna göre, 8 tane kivi almak isteyen Kemal 8 x 3 = 24 TL ödemelidir.

5 tane kivi

15 TL

8 tane kivi

x TL

Oklar yönünde veriler çarpılır. 5.x = 15 . 8 5x = 120 x = 24 TL’dir. 5 5 Örnek 45 kg undan 60 tane ekmek yapılabiliyor. Buna göre, aynı ekmeklerden 24 tane yapmak için kaç kg un gereklidir? Çözüm: Ekmek sayısı azaldığı için kullanılacak un miktarı da azalacaktır. 45 kg un

60 ekmek

x kg un

24 ekmek

60.x = 45 . 24 60x = 45.24 60 60

x = 18 kg un gereklidir.

Örnek 6 kg yoğurtla 8 litre ayran yapılırsa , 24 kg yoğurtla kaç litre ayran yapılır? Çözüm: Yoğurt miktarı arttığı için yapılacak ayran miktarı da artacaktır.

16

6 kg yoğurt

8 litre ayran

24 kg yoğurt

x litre ayran

6.x = 8 . 24 6x = 8 .24 6 6

x = 32 litre ayran yapılır.

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI Örnek Yaşları 8 ve 12 olan iki kardeşe 40 tane erik yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde pay edilmek isteniyor. Buna göre, her birine kaçar tane erik düşer? Çözüm: Erikler yaşlarına göre pay edileceği için 8 + 12 = 20 parçaya pay edilecektir. Bu durumda 8 yaşındaki kardeşin alacağı erik sayısı, 20 pay

40 erik

8 pay

x erik

20.x = 40 . 8 20x = 40.8 20 20

x = 16 dır. 12 yaşındaki ise 40 - 16 = 24 erik alır.

Örnek Bir karışımdaki alkol miktarının su miktarına oranı 5/8 dir. 260 litrelik bu karışımda alkol miktarı kaç litredir? Çözüm: Karışımdaki alkol ve su paylarının toplamı 5 + 8 = 13'tür. İstediğimiz alkol miktarı olduğuna göre, 13 pay

260 litre

5 pay

x litre

13.x = 260 . 5 13x = 260.5 13 13

x = 100 litredir.

Örnek Haritada 1/n ölçeğinin anlamı, gerçekte “n” birim olan uzaklığın, haritada 1 birim olarak ölçülmesidir. Yukarıdaki ifadeye göre, 1/30000 ölçekli bir haritada gerçekte 150000 cm olan iki yer arasındaki uzaklık haritada kaç cm dir? Çözüm: Haritada

Gerçekte

1 birim

30000 birim

x cm

150000 cm

30000 .x = 1 . 150000 30000x = 150000 30000 30000

x = 5 cm dir.

17

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Alış rmalar 1) Bir manavdan 6 kg elma alan Ahmet 18 TL ödediğine göre, aynı elmalardan 14 kg alan Osman kaç TL öder? 2) 2 saatte 160 km yol alabilen bir araba aynı hızla 12 saatte kaç km yol alır? 3) 63 tane ceviz 4 ve 5 yaşlarındaki iki çocuğa yaşları ile doğru orantılı olacak şekilde paylaştırılırsa 5 yaşındaki çocuk, 4 yaşındaki çocuktan kaç ceviz fazla almış olur? 4) 48 tane bilye iki arkadaşa 5 ve 7 sayıları ile doğru orantılı olarak paylaştırılırsa, her birine kaçar bilye düşer? 5) Hüseyin 10 yaşında, Kemal ise 15 yaşındadır. Bu kişiler 75 TL’yi yaşlarıyla doğru orantılı olarak paylaşmak isterlerse, her birine kaç TL düşer? 6) 12 kg haruptan 1 lt pekmez elde edildiğine göre 20 lt pekmez elde etmek için kaç kg harup gereklidir? 7) Bir tatlının yapımında kullanılan su ve şeker miktarları yandaki tabloda verilmiştir. Buna göre, orantı sabiti kaçtır?

Şeker(kg) 1 2 3 4

Su(lt) 5 10 15 20

8) Düzinesi 10 TL olan yumurtaların 30 tanesi kaç liradır?

9) 1/500 ölçekli bir planda geçekte 300 m uzunluğunda olan iki yer arasındaki mesafe planda kaç cm’dir?

10) 1/300000 ölçekle çizilmiş yandaki haritada A, B, C ve D kentleri arasındaki mesafeleri verilmiştir. Buna göre, A’dan B’ye, B’den C’ye ve C’den de D’ye giden bir araba gerçekte toplam kaç km yol gitmiş olur?

18

. A

8 cm

.

C

. B

m 6c 5 cm

. D

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI 10) Bir tuzlu su karışımındaki tuz miktarının, su miktarına oranı 1/11 dir. Buna göre, 228 gramlık bu karışımın kaç gramı tuzdur?

11) 800 gramlık bir çerez karışımının 320 gramı leblebidir. Buna göre, aynı oranda hazırlanan 450 gramlık karışımda kaç gram leblebi bulunur?

12) Bir aracın hızı, frene bastıktan sonra durana kadar geçen süre ile doğru orantılıdır. 40 km/s hızla giden bir araç frene basıldıktan 8 saniye sonra durabiliyorsa, 120 km/s hızla giden bir araç frene basıldıktan kaç saniye sonra durur?

13) 2 saatte bir 15 dakika dinlenme molası vererek hareket eden bir izci grubu, 10 dakikada 700 m yol alabilmektedir. Bu grup 21 km’lik yolu kaç saatte alır?

14) Bir kutuda mavi ve beyaz bilyeler vardır. Mavi bilyeler 3 ile beyaz bilyeler de 4 ile orantılıdır. Bilyelerin sayısı 50'den fazla olduğuna göre, bu kutuda en az kaç bilye vardır?

15) y = 3x denkleminde x yerine 5, 10 ve 12 değerlerini yazarak y değerlerini bulunuz. y değerlerini x inceleyerek verilerin doğru orantılı olup olmadığını belirleyiniz.

16) 2400 lira maaş alan bir işçinin yapılan artış ile maaşı 3000 lira oluyor. Aynı artış oranıyla 3000 lira alan bir başka işçi artıştan sonra kaç lira alır?

17) 100 liralık bir ürünün indirimli satış fiyatı 75 liradır. Aynı indirim oranıyla 500 liralık bir ürünün indirimli satış fiyatı kaç liradır?

18) Aşağıda doğru orantılı yöntemde verilenlere uygun bir problem sorusu yazınız. 6 kg

12 TL

8 kg

? TL

19

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE 4.1.4

TERS ORANTILI ÇOKLUKLAR Biz aynı duvarı birlikte ....... saatte boyarız.

Ben bir duvarı 6 saatte boyadım.

Eğer hızımı yarıya düşürseydim ..... dakikada gidecektim.

Arabamla Lefkoşa’dan Girne’ye 25 dakikada gittim.

Yukarıdaki konuşmalarda verilen boşluklara uygun sayıları yazınız. Sizce, doğru oran�da olduğu gibi iki çokluktan biri ar�ğı zaman diğeri niye artmadı veya iki çokluktan biri azalırken diğeri niye azalmadı? Örnek Aşağıdaki tabloda aynı nitelikteki işçiler ile bir işi bitirme süreleri verilmiştir, inceleyiniz.

İşçi Sayısı

1

2

3

4

İşin bitme süresi(gün)

24

12

8

6

Tabloya göre, işçi sayısı arttığı zaman işin bitme süresi aynı oranda azalmaktadır. Ayrıca tabloda aynı sütundaki verilerin çarpımı sabittir. İki çokluktan biri çoğalırken diğeri de aynı oranda azalıyorsa veya biri azalırken diğeri de aynı oranda çoğalıyorsa, bu çokluklara ters orantılı çokluklar denir.

20

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI Örnek Bir sınıfı 5 öğrenci 4 günde boyayabilmektedir. Buna göre, aynı nitelikteki 2 öğrencinin aynı sınıfı kaç günde boyadığını bulalım. Çözüm: Soruda öğrenci sayısı azaldığı için sınıfın boyanma süresi artacaktır. Demek ki öğrenci sayısı ile gün sayısı ters orantılıdır. 5 öğrenci

4 günde

2 öğrenci

x günde

2 .x = 5 . 4 2x = 5 . 4 2 2

x = 10 günde boyar.

Ters orantılı çoklukların çarpımı sabittir. Yandaki işlemde 5 . 4 = 20 2 . 10 = 20 dir.

Örnek Bir tren saa�e 80 km hızla bir yolu 6 saa�e tamamlıyor. Trenin hızı saa�e 120 km olsaydı, aynı yolu kaç saa�e tamamlardı? Çözüm: Trenin hızı arttığı zaman varış süresi azalacaktır. Demek ki, veriler ters orantılıdır. 80 km/saat

6 saat

120 km/saat

x saat

120.x = 80 . 6 120x = 80.6 120 120 x = 4 saatte tamamlardı.

�ızınız ar�kça çevreyi algılama düzeyiniz azalır. Aşırı hızlarda aracınızın kaza riski sizin algıladığınızdan daha yüksek r.

21

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek 4 traktörün 15 günde sürdüğü tarlayı, 10 günde sürebilmek için aynı nitelikte kaç traktöre daha ih yaç vardır? Çözüm: Tarladaki işin daha erken bitmesi için traktör sayısının artması gerekir. 4 traktör

15 günde

x traktör

10 günde

10.x = 4 . 15 x = 6 traktör olmalıdır. Bu durumda 6 - 4 = 2 traktöre daha ihtiyaç vardır.

Hatayı Bulma Aşağıdaki soruda verilenler dikkate alındığında sorunun çözümünde hata yapılmış r. Hatayı bulup düzel niz. Bir atletizm yarışmasında yarışan beş arkadaşın bu yarışı ne kadar sürede tamamladıkları aşağıdaki tabloda verilmiştir. İsim

Süre

Asım

20 dakika

Nuran

33 dakika

Suna

35 dakika

Cemal

16 dakika

Murat

17 dakika

Bu tabloya bakan Selin, yarışmanın ilk üç derecesini aşağıdaki gibi belirlemiştir.

22

Birinci

SUNA

İkinci

NURAN

Üçüncü

ASIM

Mert bu sonuçları anons ederken bir yanlışlık olduğunu görmüştür. Bu yanlışı bulalım.

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI Alış rmalar 1) 3 kişiye 18 gün yetecek kadar yiyecek, 2 kişiye kaç gün yeter?

2) 5 tarktörün 12 günde sürdüğü bir tarlayı aynı nitelikte 2 traktör kaç günde sürebilir? 3) 6 işçi bir işi 8 günde bitirebiliyorsa, aynı nitelikte 24 işçi aynı işi kaç günde bitirebilir? 4) Bir havuzu özdeş 10 musluk 12 saatte doldurabiliyorsa, bu havuzu dolduran özdeş muslukların sayısı 24'e çıkarılırsa aynı havuz kaç saatte dolar?

5) Eşit güçte 9 işçi bir işi 25 günde bitirebiliyor. Aynı işin 15 günde bitmesi için bu işçilere aynı nitelikte kaç işçi daha katılması gerekir?

6) Ortalama hızı saatte 80 km olan bir taksinin 7 saatte gittiği yolu, hızı saatte 70 km olan bir araç kaç saatte gider?

7) Bir araba A şehrinden B şehrine saatte 80 km hızla giderse 5 saatte varıyor. Aynı araba aynı yolu 4 saatte alması için saatteki hızını kaç km artırmalıdır?

8) Bir usta bir duvarı 12 günde örüyor. Aynı duvarı aynı nitelikteki ustalarla 4 günde örmek için kaç usta çalışmalıdır?

9) Bir iş yerinde 1500 TL, aşağıdaki çalışanların dinlenme süreleri ile ters orantılı olacak şekilde paylaştırılacaktır. Buna göre her çalışan kaç TL alacaktır? Ben 8 saat dinlendim.

Ali

Ben 4 saat dinlendim.

Ayşe

23

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Bölüm Değerlendirme Tes 1) Bir okulda 130 kız ve 170 erkek öğrenci vardır. Bu okuldaki kız öğrencilerin sayısının tüm okuldaki öğrencilerin sayısına oranı nedir? 2) Aşağıdaki orantılarda bilinmeyeni bulunuz. A)

3 4 = x 12

B)

5 t = 7 35

C)

12 24 = 4 p

D)

x 40 = 11 0.5

3) 3 kalem 7 TL’ye satılıyorsa, aynı kalemlerden 36 tane kaç TL’ye satılır? 4) Bir düzine defter 96 TL’ye satılıyorsa, aynı defterlerden 20 tanesi kaç TL’ye satılır?

5) 4 kg portakaldan 1 lt portakal suyu elde edilirse 16 lt portakal suyu kaç kg portakaldan elde edilir?

6) 80 bilye 4 ve 6 yaşlarındaki iki çocuğa yaşlarıyla doğru orantılı olarak dağıtılıyor. Buna göre, küçük yaştaki çocuk kaç bilye alır? 7) Bir elektrik direği, ağaç kesme makinesi ile 28 dakikada 8 parçaya ayrılıyor. Buna göre, bu direk 16 parçaya kaç dakikada ayrılır? 8) Dikdörtgen şeklindeki bir bahçenin kenarları 3 ve 4 ile doğru orantılıdır. Bahçenin çevresi tel ile çevrilmek istenmektedir. Bu iş için 84 metre tele ihtiyaç olduğuna göre, bahçenin uzun kenarı kaç m dir? 9) 8 işçinin 14 günde bitirdiği bir işin 4 günde bitmesi için aynı nitelikte kaç işçiye daha ihtiyaç vardır? 10) Eşit kapasiteli 12 kamyonun 4 seferde taşıdığı yükü, bu kamyonlardan 16'sı kaç seferde taşır? 11) Bir traktörün arka tekerleğinin 16 tur attığı bir yolda ön tekerlek 48 tur atmaktadır. Aynı traktörün ön tekerleğinin 300 tur attığı bir yolda arka tekerlek kaç tur atar?

24

BÖLÜM 1: ORAN - ORANTI 12) Kampa gidecek 12 izciye 6 gün yetecek kadar yiyecek hazırlanıyor. Fakat 4 izci rahatsızlanarak kampa katılmıyor. Buna göre, hazırlanan yiyecekler, kampa giden 8 izciye kaç gün yeter? 13) 7 saatte 420 km yol alabilen bir araba, aynı hızla 12 saatte kaç km yol alır? 14) 5 adet şişe su ile 3 lt gül suyu kullanılarak 13 litrelik meşrubat hazırlanmaktadır. Bir şişenin kaç litre olduğunu bulunuz. 15) Ali’nin haftalık harçlığının, Salih’in haftalık harçlığına oranı 9:10 dur. Salih’in aldığı haftalık harçlık 30 TL ise Ali’nin haftalık harçlığı kaç TL dir? 16) Bir duvar saati, 6 saatte bir 5 dakika geri kalmaktadır. Bu saat 6 günde kaç saat geri kalır? 17) Bir bahçedeki çiçek ekili alanın çim ekili alana oranı 2 : 5 tir. Bahçenin tüm alanı 140 m2 ise; A) çiçek ekili alanı bulunuz.

B) çim ekili alanı bulunuz.

18) 1 litrelik bir meyve kokteylini yapmak için 0.4 litre ananas suyu ve 0.6 litre vişne suyu kullanılmaktadır. Buna göre, 4 litrelik bir meyve kokteyli yapmak için kaç litre ananas suyu kullanılacaktır? 19) İki kalemin boyları oranı 2 dir. Kısa kalemin boyu 8 cm olduğuna göre, uzun olan kalemin 3 boyu kaç cm’dir ?

20) Ali’nin 36 tane bilyesi vardır. Bunlardan 12 tanesini arkadaşına veriyor. Ali’nin arkadaşına verdiği bilyelerin sayısının, kendine kalan bilyelerin sayısına oranı kaçtır? 21) Saatte 4 ton su akıtan bir musluk boş bir havuzu 12 saatte doldurmaktadır. Aynı havuzu boş iken saatte 6 ton su akıtan başka bir musluk kaç saatte doldurur? 22) Saatte 60 km hızla giden bir araba bir yolu 12 saatte almaktadır. Bu araba hızını 1/3 oranında artırırsa aynı yolu kaç saatte alır? 23) 120 sayfalık bir kitabı 5 saatte okuyan bir kişi, aynı okuma hızı ile 260 sayfalık bir kitabı kaç saatte okur?

25

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE 4.2.1

YÜZDE SEMBOLÜNÜN TARİHÇESİ

Yüzde on

%10

Karanlık çağlarda bazı insanlar tamamen eğitimsiz oldukları için batıl inançlara kendilerini inandırmışlardı. İnsanlar şeytanın kötü ruhundan korunabilmek için ellerindeki yiyecek, para ve evlerini rahiplere vermekteydiler. Halktan bunları alan rahipleri ise halkı onların yerine dua ederek onları kötü ruhun gazabından koruyacaklarına inandırmışlardı. Rahipler insanlara kendilerine ne kadar yiyecek ve para verdiklerini hesaplayamamaları için bütün sayıların birer şeytan sembolü olduğuna insanları inandırmışlardı. Onun için insanlara kendi aralarında para ve sayılardan konuşmaları yasak edilmişti. İnsanları “2+2=4” olduğunu söylemenin onları cehenneme götüreceğine inandırmışlardı. Arabası oyuncaklar, eşyalar, elbiseler, bitkiler ile dolu olan seyyar satıcılar bu batıl inanışların kuvvetli olduğu bölgelere geldiklerinde ellerindeki malların fiyatını söyledikleri zaman bölge halkı tarafından taşlanmaktaydılar. Çünkü halk sayı kullanan bu satıcıların da birer şeytan olduklarını düşünmekteydi. Bu şekilde eğitilmiş bir toplumda ticaret işiyle uğraşılmayacağını anlayan seyyar satıcılar bu durumdan kurtulmak için batıl inanışlarla savaşmaya karar verdiler. Bu amaçla ortaya yeni bir kelime ve sembol çıkararak, bu işaretin şeytanı kovduğunu halka söylediler. Böylece ortaya bugün bildiğimiz yüzdelik (%) işareti çıktı. Halkı buna inandırmak kolay değildi, ancak bu sembolün kendilerine ataları tarafından defalarca rüyalarında gösterilen kuvvetli bir sembol olduğunu söylediler.

Eminiz ki, hepiniz alışverişi çok seviyorsunuzdur. Hiç vitrinlerdeki yazılı olan %20, %30 indirim veya marketlerde bazı gıdalar üzerinde “%20 şeker içermektedir.”, “Yağ oranı %1 dir.” gibi yazılar dikkatinizi çekti mi? İşte bu bölümde yüzdenin anlamını öğreneceksiniz.

26

0 % 2 li irim ind

Süt Yağ oranı

%1

BÖLÜM 2: YÜZDE 4.2.2

YÜZDE (%)

Aşağıdaki tabloya araç isimleri ve bu araçların birine sahip olan toplam 100 insan sembolü yerleştirilmiştir. Kişi sayısı Araba

27

Kamyon

41

Motosiklet

9

Bisiklet

23 Toplam:

100

100 kişinin 27'si araba sahibi olduğuna göre, bu durum insanların 100’de 27’si arabaya sahiptir şeklinde ifade edilir ve kısaca % 27 diye yazılır. Aynı şekilde, insanların %41’i kamyona, %9’u motosiklete ve %23’ü ise bisiklete sahiptir. Yüzde, herhangi bir sayının 100'e oranıdır. Yüzde ( % ) sembolü ile gösterilir.

Örnek Aşağıdaki pizza 5 eşit dilime ayrılmıştır. O halde pizzanın bütününü %100 olarak kabul edecek olursak, 1 dilimi, bütünün %100 : 5 = %20’si dir. 2 dilimi, bütünün %20 x 2 = %40’ı dır. 3 dilimi, bütünün %20 x 3 = %60’ı dır. 4 dilimi, bütünün %20 x 4 = %80’i dir. 5 dilimi, bütünün %20 x 5 = %100’ü olur.

Örnek Şekildeki 100 kareden 25 tanesi boyanmıştır. Şeklin %25’i boyanmıştır.

%25

Şekildeki 100 kareden 75 tanesi boyanmıştır. Şeklin %75’i boyanmıştır.

%75

27

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek Yandaki şekil eş bölümlere ayrılmış�r. Buna göre, mavi renkli bölüm tüm şeklin % kaçını oluşturur? Çözüm: Şekil 25 eş parçaya ayrılmış�r. Bu durumda şeklin tamamı %100 ise bir bölümü %100 : 25 = %4'ü olur. Şekilde 7 bölüm mavi olduğuna göre, şeklin %4 x 7 = %28'ini mavi renk oluşturur.

Alış rmalar 1) 10 eşit dilime ayrılan pastanın bir dilimi bütünün yüzde kaçıdır?

2) Bir tel 20 eşit parçaya bölünürse, telin 4 parçası bütünün % kaçı olur?

3) Aşağıdaki şekiller eş bölümlere ayrılmış�r. Her şeklin boyalı kısmı tüm şeklin % kaçıdır? A)

B)

C)

D)

E)

F)

4) Aşağıdaki şekiller eş büyüklükte bölümlere ayrılmış�r. Her bir şekli al�nda verilen yüzdeliğe göre boyayınız. A)

B)

C) %100

%50

%80 E)

D) %30

%65

28

BÖLÜM 2: YÜZDE 4.2.3

YÜZDENİN KESİR OLARAK İFADE EDİLMESİ O halde her 100 öğrenciden 40'ı erkek öğrenci olduğuna göre okulunuzda ..... erkek ve ...... kız öğrenci vardır.

Bizim okulda 500 öğrenci vardır. Bunların %40'ı erkektir.

Ali Ayşe Ali’nin verilerine göre, Ayşe’nin konuşmasını tamamlayınız. Sizce, okunuşu yüzde kırk olan bir ifadeyi kesir olarak nasıl yazabiliriz?

% sembolü ile verilen bir ifadeyi, paydası yüz olan bir kesir şeklinde yazabiliriz. Örneğin,

40 40 şeklinde yazılır. kesrini sadeleştirirsek, 100 100 40 40 : 20 2 olur. %40 = 40 = 2 tir. = = 100 : 20 5 5 100 100

%40, kesir olarak

Örnek Aşağıda, yüzdeliklerin kesirsel karşılıkları ve okunuşları verilmiştir, inceleyiniz. Yüzdelik %15 %23

Kesir Olarak Yazılışı 15 3 = 100 20 23 100

Okunuşu Yüzde on beş Yüzde yirmi üç

%50

50 = 100

1 2

Yüzde elli

%75

75 = 100

3 4

Yüzde yetmiş beş

%100

100 = 1 100

Yüzde yüz

29

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek Aşağıda % sembolü ile verilen ifadeleri kesirli sayı olarak en sade şekilde yazalım. A) %14

B) %24

Çözüm:

7

14 7 A) %14 = = 100 50 50

C) %60 6

24 6 B) %24 = = 100 25 25

D) %85 3

60 3 C) %60 = = 100 5 5

17

85 17 D) %85 = = 100 20 20

Bir bütünün kesir kadarını bulmak için bütünü, kesir kadarıyla çarpacağımızı biliyoruz. Aşağıda bir bütünün istenilen yüzdesi ile ilgili örneklere yer verilmiş r, inceleyiniz.

Örnek 200 TL’nin, A) %25'i Çözüm: A) 200 .

B) %50'si 1

25 1 = 200 . 100 4 4

=

200 4

= 50 TL’dir.

Bir sayının %25'i bu sayının çeyreğidir. 200 TL’nin çeyreği 200 : 4 = 50 TL’dir.

D) %200'ü

C) %100'ü

B) 200 .

1

50 1 = 200 . 100 2 2

=

200 2

= 100 TL’dir.

1

100 C) 200 . = 200 . 1 100 1

= 200 TL’dir.

Bir sayının veya bütünün %100'ü bütünün kendisidir. Kesirlerde bütün “1" tamdır.

2

200 C) 200 . = 200 . 2 100 1

30

= 400 TL’dir.

Bir sayının %200'ü bu sayının iki katıdır.

Bir sayının %50'si bu sayının yarısıdır. 200 TL’nin yarısı 200 : 2 = 100 TL’dir.

BÖLÜM 2: YÜZDE Örnek Aaşağıda % sembolü ile verilen ifadeleri kesirli sayı olarak en sade şekilde yazalım. A) %0.1

B) %0.5

Çözüm:

1 1 . 1 10 A) %0.1 = = 100 10 100 =

C) %1.5 1

5 1 . 1 10 2 B) %0.5 = = 100 2 100

1 1000

=

1 200

3

15 3 . 1 10 2 C) %1.5 = = 100 2 100 =

3 200

Örnek 400 litre zeytinyağının, A) %0.5'i

B) %1.5'i

Çözüm: 5 1 10 A) 400 . %0.5 = 400 . = 400 . 200 100

15 3 2 3 10 2 B) 400 . %1.5 = 400 . = 400 . 200 100

= 2 litredir.

1

= 6 litredir.

Bir sayının %0.5'i %1'inin yarısıdır. %0.1, %0.5, %0.9 ... gibi sayıları binde diye okuyabiliriz. Örnek Bir gemide 700 yolcu vardır. Bu yolcuların %12’si çocuktur. Buna göre, gemide kaç çocuk vardır? Çözüm: %12'yi

12 12 olarak alırsak, gemide 700 . = 84 çocuk vardır. 100 100

31

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Alış rmalar 1) Aşağıdaki tabloda bulunan boş bölümleri tamamlayınız. Kesir

Yüzdelik %25

25 100

=

Okunuşu 1 4

Şekil

Yüzde yirmi beş

%30

%55

Yüzde yüz

2) Aşağıda yüzdeliklerin kesir karşılıklarını en sade şekilde yazınız. A) %5

B) %16

C) %32

D) %48

E) %72

F) %80

G) %120

H) %300

İ) %0.1

J) %0.4

K) %1.2

L) %2.5

3) 60 TL’nin %20'si kaç TL’dir? 4) Bir torbada 160 ceviz vardır. Bu cevizlerin %15'i kaç ceviz eder? 5) Yandaki şekil eş bölümlere ayrılmış ve bu bölümler mavi ve sarı renklere boyanmış�r. Buna göre, şeklin %40'ı hangi renge boyanmış�r?

32

BÖLÜM 2: YÜZDE 6) 240 kg salçanın %50'si ile %10'u arasındaki fark kaç kg’dır?

7) 500 gramlık bir gıda maddesinin üzerinde %0.4 yağ içerdiği yazmaktadır. Buna göre, bu gıdanın içeriğinde kaç gram yağ bulunmaktadır?

4.2.4

YÜZDENİN ONDALIK SAYI OLARAK İFADE EDİLMESİ Bir yüzdeyi ondalık sayıya çevirmek için verilen yüzdeyi kesre dönüştürmek işimizi kolaylaştıracaktır. Örneğin, %6 =

6 = 0.06 100

%70 =

70 = 0.70 = 0.7 100

%45 =

45 = 0.45 100

%350 =

350 = 3.5 100

Aşağıdaki tabloda yüzdeliklere göre verilmiş kesir karşılıklarını ve ondalık gösterimlerini inceleyiniz. Yüzdelik %5 %18 %52 %88 %160 %855

Kesir

5 100 18 100 52 100 88 100 160 100 855 100

Ondalık sayı

Okunuşu

0.05

Yüzde beş

0.18

Yüzde on sekiz

0.52

Yüzde elli iki

0.88

Yüzde seksen sekiz

1.60=1.6

Yüzde yüz altmış

8.55

Yüzde sekiz yüz elli beş

33

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE 4.2.5

KESİRLERİN YÜZDE OLARAK İFADE EDİLMESİ

Benim kalemlerimin 1 ’ü 4 kırmızı renklidir.

O halde kalemlerinin %......’i kırmızı renkli kalemdir.

Ali

Ayşe

Kesirsel bir ifadeyi yüzde diye okumak için kesrin paydasının 100 olması gerek ğini biliyoruz. Bu durumda Ali’nin verdiği bilgiyi kullanarak, Ayşe’nin konuşmasını tamamlayınız. Kesirli sayıları % şeklinde yazmak için aşağıda verilmiş olan yöntemleri inceleyiniz. Aşağıda verilen kesirlerin paydası 100 olacak şekilde genişletilmiştir. 13 x 4 13 52 = = = %52 25 x 4 25 100

6 x 20 6 120 = = = %120 5 x 20 5 100

7x5 7 35 = = = %35 20 x 5 20 100

3 x 25 3 75 = = = %75 4 x 25 4 100

Kesrin paydasını 100 yapacak şekilde pay ve paydayı aynı sayıyla genişletirsek, kesri yüzdeye çevirmiş oluruz.

Aşağıda verilen kesirlerin paydası 100 olacak şekilde sadeleştirilmiştir. 8:2 8 4 = = = %4 200 200 : 2 100

123 123 : 3 41 = = = %41 300 300 : 3 100

Bazı kesirlerin paydasını 100 yapacak şekilde sadeleştirip, daha sonra kesri yüzde şeklinde yazabiliriz.

34

BÖLÜM 2: YÜZDE Aşağıda verilen kesrin, yüzde olarak karşılığı orantı yoluyla hesaplanmıştır. 3 20 kesrinin bütünü dir. Yüzdelik olarak ise bütünün karşılığı %100 dür. 20 20 Bu durumda aşağıdaki oran�yı oluşturabiliriz. 20'de

3 ise

100'de

x

20.x = 3 . 100 20x = 3 .100 20 20

ise x = 15 dir. Bunu %15 olarak ifade ederiz.

Örnek 3 kesrinin yüzdelik olarak karşılığını yazalım. 8 Çözüm: Verilen kesrin paydasını ilk bakışta 100 yapmak zor olabilir. Bu durumda orantı yöntemini kullanabiliriz. 8'de 3 ise 8.x = 3 . 100 8x = 3 .100 100'de x 8 8 75 = 37.5 ise %37.5 olur. x= 2 Aşağıdaki tabloda kesirler yüzle çarpılıp, yüzdelik şeklinde yazılmıştır. Kesir

Yüzdeliği hesaplama

Yüzdelik

3 5

100 x

3 = 60 5

%60

7 10

100 x

7 = 70 10

%70

9 4

100 x

9 = 225 4

%225

6 25

100 x

6 = 24 25

%24

Bir kesri 100 ile çarparsak o kesrin yüzdelik karşılığını buluruz.

35

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE ONDALIK SAYILARIN YÜZDE OLARAK İFADE EDİLMESİ

4.2.6

Bir ondalık sayının yüzdelik karşılığını yazmak için verilen ondalık sayıyı 100 ile çarpabiliriz. Örneğin, 0.06 x %100 = %6

0.458 x %100 = %45.8

0.7 x %100 = %70

1.02 x %100 = %102

Ondalık sayılar 10'un herhangi bir kuvveti ile çarpılırken, ondalık sayıdaki nokta 10'un kuvvetindeki sıfır sayısı kadar sağ tarafa kayar.

Örnek Aşağıda verilen ondalık sayıları yüzdeliğe çevirelim. A) 0.12

B) 5.6

C) 1.348

Çözüm: A) 0.12 x %100 = %12

B) 5.6 x %100 = %560

C) 1.348 x %100 = %134.8

Alış rmalar 1) Aşağıdaki yüzdelikleri ondalık sayıya çeviriniz. A) %2

B) %34

C) %72

D) %280

2) Aşağıda verilen kesirleri yüzdeliğe çeviriniz.

36

A) 1 5

B)

3 10

C)

9 2

D)

17 20

E)

8 25

F)

13 50

G)

5 4

H)

12 400

I)

27 900

J)

120 600

K)

2 8

L)

15 6

BÖLÜM 2: YÜZDE 3) Aşağıdaki ondalık sayıları yüzde olarak ifade ediniz. A) 0.01

B) 0.47

C) 1.5

D) 3.025

4) Aşağıdaki tabloda boş bırakılan bölümleri doldurunuz.

Kesir 6 10 1 5

Yüzdelik

Ondalık sayı

%60

0.6

%48 0.12 19 20 5) Yuvarlak içinde verilenleri yandaki tabloda uygun yerlere yazınız.

1 4

3 çeyrek

%25

%50

%75

Yarım

0.5

4’te 3

Dörtte bir

Hangi Sıklıkla Gazete Okuruz?

%5 (100)

Yanda, bir grup insanın gazete okuma sıklığıyla ilgili yapılan bir araş�rmanın

%24 (480) %33 (660)

sonuçlarına ait grafik verilmiş r. �onuçları sını�a tar�şınız.

%31 (620)

%7 (140)

37

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE YÜZDEYİ TAHMİN ETME

4.2.7

Bazı yüzdeliklerin kesir olarak veya kesirlerin yüzde olarak tahmini önemlidir. Aşağıdaki tabloda günlük yaşamda en fazla kullanılan yüzdelikler ve ne anlama geldikleri yazılmıştır. Bu durum tahmin yürütmede işimize yarayabilir. Yüzdelik Kesir %100 %50 %25 %10 %20 %75

Ondalık sayı 1

Bir sayının %100’ü kendisine eşittir. Aynı zamanda bütünü temsil etmektedir.

0.5

Bir sayının %50’si o sayının yarısına eşittir. (veya o sayıyı 2'ye bölmektir.)

0.25

Bir sayının %25’ i, o sayının çeyreğine eşittir. (veya o sayıyı 4'e bölmektir.)

1 1 2 1 4 1 10 1 5 3 4

Anlamı

0.1

Sayıyı 10’a bölmektir.

0.2

Sayının 5’e bölünmesidir. (veya sayının 2 katını, 10'a bölmektir.) Bir sayının %75’i, o sayının 4’e birinin 3 ile çarpımıdır.

0.75

Örnek 60 sayısının %45'ini tahmin edelim ve daha sonra işlem yaparak gerçekteki değeri ile karşılaştıralım. Çözüm: %45, %50'ye yakın olduğu için bir sayının %45'ini hesaplarken beklentimiz bu sayının yarısından biraz daha azını elde etmektir. Tahminimiz: 50 = 30 ise 100 tahminimiz 25' r. 60 x

Gerçekte: 60 x

45 2700 = = 27 dir. 100 100

Tahminimiz gerçek değere yakındır.

Örnek 500 sayısının %22'si kaça eşittir? Çözüm: %22, %20'ye yakındır. Bu durumda 500'ün 1/5'inden biraz daha fazlasını tahmin edebiliriz. Tahminimiz, 500 : 5 = 100 ise 500'ün %22'si 105 olabilir. 22 Gerçekte, 500 x = 110 dur. Tahminimiz, gerçek değere yakındır. 100

38

BÖLÜM 2: YÜZDE Örnek

A

Yandaki şekilde verilen kavanozların tahminen % kaçı doludur?

B D

C

Çözüm: A kavanozunun %50'si, B kavanozunun %75'i, C kavanozunun %60'ı ve D kavanozunun ise %100'ü şeklinde tahmin edebiliriz. 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

Örnek Yanda 10 eş bölüme ayrılmış 50 ml’lik cam kavanozun %27'si dolu olacak şekilde boyayalım. Çözüm: %27, %25'e yakındır. Bu durumda kavanozun tahminimiz 1/4'ünden biraz daha fazla dolu olacağıdır. Çizgilerden yararlanacak olursak boyanacak yer 10 : 4 = 2.5 ise 2 ile 3 arasındadır ve 3'e yakındır. Gerçekte, 27 50 x = 13.5 ml bölüm boyanmalıdır. Kavanoz 10 eş bölüme 100 ayrıldığına göre her bir bölümü 50 : 10 = 5 ml dir. Şekildeki sı r çizgisinden i baren 2 numaralı çizgiye kadar 10 ml ve 3 numaralı

10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0

çizgi de 15 ml ise 13.5 ml, 2 ve 3 numaralı çizgiler arasında ve 3'e yakın olur.

Matematik

ve

n u y O

Yüzdelik Oyunu

Bir anket şu sonuçları verdi. İnsanların %70’i seyahati sever. İnsanların %25’i seyahati sevmediği gibi gemi yolculuğunu da sevmez. Geriye kalan insanların %5’inin fikri ne olabilir?

39

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE 4.2.8 1

YÜZDE İLE İLGİLİ PROBLEMLER

Yüzdeliğin Tümleyeni Bizim kasabamızda her 100 aileden 75’i ev sahibidir.

Demek ki, her 100 aileden 25'i (%100 - %75= %25) ev sahibi değildir.

Ali

Ayşe

Bütünün belli bir yüzdeliği biliniyorsa, geriye kalan yüzdeliğini biz hesaplayabiliriz.

Bir bütünün belli bir yüzdesi biliniyorsa geriye kalan yüzdeyi bulmak için çıkarma işlemi yaparız.

Örnek Bir iş yerinde çalışanların %26’sı erkek ise % kaçı kadındır? Çözüm: %100 - %26 = %74'ü kadındır.

Örnek Bir şehirdeki evlerin %95'inde müzik seti varsa % kaçında müzik seti yoktur? Çözüm: %100 - %95 = %5’inde müzik seti yok demektir.

Örnek Bir ağaçtaki meyvelerin %32’si çürükse, meyvelerin % kaçı sağlamdır? Çözüm: %100 - %32= %68’ i sağlamdır.

40

BÖLÜM 2: YÜZDE Örnek Bir manavda dört çeşit meyve bulunmaktadır. Yandaki tabloda bu meyvelerin, manavda bulunan tüm meyvelere oranı verilmiş r. Buna göre, bu manavda şe�ali % kaç oranında bulunmaktadır?

Meyve

Yüzdesi

Elma

%36

Muz

%28

Portakal

%20

Şe�ali

?

Çözüm: Şeftalinin yüzdesini hesaplamak için tabloda verilen yüzdelikleri toplayıp bütünden çıkarmalıyız. %100 - (%36 + %28 + %20) = %100 - %84 = %16 oranında şe�ali bulunmaktadır.

2

Yüzdeliği Hesaplama Bu durumda çiçeklerin 80 %100 x = %20'si karanfildir. 400

Bir çiçekçide bulunan 400 çiçeğin 80 tanesi karanfildir.

Ali

Ayşe

Bütünün, istenilen bir miktarının yüzdeliğini bulmak için, verilen miktarın bütüne oranını 100 ile çarparız.

Örnek 260 sayfalık kitabın 104 sayfasını okuyan bir kişi, bu kitabın % kaçını okumuştur? Çözüm: Kitabın tamamı (%100'ü) 260 sayfadır. 104 sayfası okunduğuna göre kitabın, %100 x

104 = %40'ı okunmuş olur. 260

41

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek Bir sınavdaki 50 sorunun 27'sine doğru yanıt veren bir öğrenci, bu soruların % kaçını doğru yanıtlamıştır? Çözüm: Soruların tamamı (%100'ü) 50 tanedir. 27'sine doğru yanıt verdiğine göre soruların, %100 x

27 = %54'ünü doğru yanıtlamış�r. 50

Örnek Bir işçi her ay kazandığı 3000 TL’nin 900 TL’sini biriktiriyor. Buna göre, bu işçi, kazancının % kaçını harcıyor? Çözüm: Paranın tamamı 3000 TL’dir. Bunun 900 TL’sini biriktirdiğine göre parasının, %100 x

900 = %30'unu birik rmiş oluyor. Bu durumda parasının, 3000

%100 - %30 = %70'ini harcıyor.

Örnek 40 sayısı 8 sayısının % kaçıdır? Çözüm: %100 x

40 = %500'üdür. 8

Örnek 36 sayısının % kaçı 9'dur? Çözüm: Soruyu iki yoldan çözelim. 1. yol 9 %100 x = %25'i 36

2. yol Denklem kurma yoluyla soruyu çözelim. Bilinmeyen sayıya x diyelim ve denklemimizi oluşturalım. 36 .

42

x =9 100

36 .

x . 100 = 9 . 100 100

36x = 900 x = 25 %25 olur.

BÖLÜM 2: YÜZDE 3

Bir Bütünün İstenilen Yüzdeliğini Hesaplama O halde kitabın 40 150 x = 60 sayfasını 100 okumuş oldun.

150 sayfalık kitabımın %40'ını okudum.

Ali

Ayşe

Bir bütünün istenen yüzdesini bulmak için bütünü, verilen yüzde ile çarparız.

Örnek Bir sınıftaki 30 öğrencinin %30'u evinde kedi beslemektedir. Buna göre, bu sınıftaki öğrencilerin kaç tanesi evinde kedi beslemektedir? Çözüm: 30 x

30 = 9 öğrenci evinde kedi beslemektedir. 100

Örnek Bir cadde üzerindeki 55 iş yerinin %20'si lokanta ise bu caddedeki lokanta sayısı kaçtır? Çözüm: 55 x

Dereboyu Le oşa

20 = 11 lokanta vardır. 100

Örnek Bir manav 160 elmasının %15'ini sattı. Buna göre manavın geriye kaç elması kaldı? Çözüm: 160 x

15 = 24 elmayı sa�. �eriye 160 - 24 = 136 elması kaldı. 100

43

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek Bir seçime katılan 280 000 seçmenin %28'i geçersiz oy kullandı. Buna göre, seçimde geçerli oy kullananlar kaç kişidir? Çözüm: %28 geçersiz oy ise %100 - %28 = %72 geçerli oydur. Buna göre 280000 x

72 = 201600 kişi geçerli oy kullandı. 100

Örnek 120 TL’nin %30 fazlası kaç TL eder? Çözüm: Önce 120 TL’nin %30'unu hesaplayalım. 120 x

30 = 36 TL dir. Bu durumda 120 + 36 = 156 TL olur. 100

Örnek 0 %2 rim i ind

Bir mağazada 80 TL’ye satılan pantolonun satış fiyatından %20 indirim yapılırsa, bu pantolon kaç TL’ye satılmış olur? Çözüm: 80 TL’nin %20'si 80 x

20 = 16 TL dir. Pantolona %20 indirim yapılırsa 80 - 16 = 64 TL’ye sa�lmış olur. 100

Örnek Bir uçak şirketi kış döneminde 200 TL olan bilet fiyatına yaz döneminde %40 zam yapmaktadır. Bu uçak şirketinin yaz dönemi bilet fiyatı kaç TL’dir? Çözüm: 200 TL’nin %40'ı 200 x 200 + 80 = 280 TL olur.

44

40 = 80 TL dir. Biletler yaz döneminde %40 zamlandığına göre, 100

BÖLÜM 2: YÜZDE Örnek 100 TL’ye alınan bir ürünün satış fiyatı %20 kȃrla belirlenmiştir. Daha sonra bu ürünün satış fiyatı üzerinden %20 indirim yapılmıştır. Bu ürünü satan satıcının kȃr-zarar durumunu bulalım. Çözüm: Bu soruyu ilk okuduğumuzda aklımıza önce %20 fiyat ar�şı sonra %20 fiyat indirimi yapıldığından ne kȃr ne de zarar edilmektedir diye düşünebiliriz. Bu düşünce yanlıştır. Çünkü %20'yi kullandığımız ilk ve ikinci fiyatlar farklıdır. Bu durumda alış fiyatı 100 TL olan ürün için aşağıdaki bilgileri elde edebiliriz. 100 TL

Alış Fiya�

20 = 20 TL 100

%20 kȃr miktarı

100 x

%20 kȃrlı sa�ş fiya�

100 + 20 = 120 TL

Sa�ş fiya� üzerinden %20 indirim miktarı

120 x

20 = 24 TL 100

%20 indirimli sa�ş fiya� 120 - 24 = 96 TL

Demek ki 100 TL’ye alınan bir ürün 96 TL’ye sa�lıyor. Bu durumda sa�cı 100 - 96 = 4 TL zarar ediyor.

Bu durumda sa�cı, alış fiya�nı 100 TL kabul e�ğimiz için %4 zarar etmiş r diyebiliriz.

Yüzde problemlerinde kolaylık sağladığı için verilmemiş bir bilgiyi 100 birim kabul edebiliriz. Bir sayıyı %20 artırmak demek bu sayıyı 1.20 ile çarpmak demektir. 1.20 = %120 ise %120 - %100 = %20 dir. Bir sayıyı %20 azaltmak demek bu sayıyı 0.8 ile çarpmak demektir.

45

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek

0 TL 100

Yandaki bisiklet 1000 TL’ye satılmaktadır. Bisikleti satın almak isteyen birisi için satış fiyatı üzerinden önce %20 indirim yapıldıktan sonra tekrar %20 indirim yapılması mı yoksa sadece satış fiyatı üzerinden %40 indirim yapılması mı avantajlıdır? Çözüm: 1000 TL’ye sa�lan bisiklete %20 indirim yapılırsa, 1000 x

20 = 200 TL indirim yapılmış ve fiya� da 100

1000 - 200 = 800 TL olur. indirimli sa�ş fiya�na tekrar %20 indirim yapılırsa, 800 x

20 = 160 TL indirim yapılmış olur, fiya� ise, 100

1000 x

40 = 400 TL indirim yapılmış olur. 100

Fiya� ise, 1000 - 400 = 600 TL olur. Bu durumda bisiklete %40 indirim yapılması önce %20 indirim, sonra tekrar %20 indirim yapılmasından daha avantajlıdır.

800 - 160 = 640 TL olur. 4

Eğer bisikle n fiya�na %40 indirim yapılırsa,

Yüzdesi Verilen Sayının Bütününü Bulma Demek ki, senin 100 50 x = 500 tane 10 bilyen vardır.

Bilyelerimin %10'u olan 50 tane bilyeyi sana verebilirim.

Ali

Ayşe

Yüzdesi verilen bir sayının tamamını bulmak için verilen sayıyı yüzdeye böleriz.

Örnek %1'i 46 olan sayının tamamı kaçtır? Çözüm: 46 : 1 = 46 x 100 = 4600 dür. Diğer bir çözüm yolu, oran� yöntemiyle, 100 1

%1'i %100'ü

46 ise ?

100 x 46 = 4600 olur. 1

46

BÖLÜM 2: YÜZDE Örnek Ali bir hikaye kitabının %12’sini okumuştur. Ali’nin okuduğu sayfaların sayısı 24 olduğuna göre, hikaye kitabının tamamı kaç sayfadır? Çözüm: 24 : 12 = 24 x 100 = 200 sayfadır. 100 12

Örnek Bir sınıftaki öğrencilerin %44’ü kızdır. Kız öğrencilerin sayısı 11 olduğuna göre, sınıftaki erkek öğrencilerin sayısı kaçtır? Çözüm: Sını�a 11 kız öğrenci olduğuna göre bu sını�a 11 : 44 = 11 x 100 = 25 öğrenci vardır. Bu durumda sını�a 25 - 11 = 14 erkek öğrenci vardır. 100 44

5

Faiz Problemleri

Bankalar belli bir yüzde oranına göre faizle para alıp veren; kredi, iskonto (indirim), kambiyo işlemleri yapan; kasalarında para, değerli belge, eşya saklayan ve diğer ekonomik etkinliklerde bulunan kuruluşlardır.

Bir yıl sonunda 10 2000 x = 200 TL faiz alacaksın. 100 ve paran da 2000 + 200 = 2200 TL olacak.

Babam, kumbaramda biriken 2000 TL paramı yıllık %10 faizle bankaya yatırdı.

Ali

Ayşe

Faiz problemlerini çözerken yüzde ile ilgili daha önce öğrendiğimiz yöntemleri uygulayacağız.

47

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Örnek Erol Bey, 10 000 TL’sini yıllık %15 faiz oranıyla bankaya yatırıyor. Buna göre 1 yıl sonunda kaç TL faiz alacaktır? Çözüm: Faiz oranı yıllık olarak verildiği için 10 000 TL nin %15'ini hesaplayarak bir yılda alacağı faiz miktarını bulalım. 15 10 000 x = 1500 TL olur. Erol Bey, bir yılda 1500 TL faiz alacak�r. 100

Örnek 50 000 TL’yi yıllık %12 faiz oranıyla bankaya yatırdığımızda 3 yıl sonunda faizi ile birlikte kaç TL olur? Çözüm: Öncelikle 50 000 TL nin yıllık %12 faiz oranına göre bir yıldaki faiz ge risini hesaplayalım. 50 000 x

12 = 6000 TL dir. 100

50 000 TL yi yıllık %12 faiz oranıyla bankaya ya�rdığımızda 3 yıl sonunda faizi 6000 x 3 = 18 000 TL olur. Ya�rılan para faizi ile birlikte 50 000 + 18 000 = 68 000 TL olur.

Örnek Ayşe Hanım, alacağı araba için bankadan 20 000 TL kredi çekiyor. Banka krediyi yıllık %20 faiz oranı ile veriyor. Ayşe Hanım, krediyi 1 yıl vadeli alırsa, bankaya ödeyeceği aylık taksit miktarı kaç TL olacaktır? Çözüm: 20 000 TL nin %20'ini hesaplayarak bir yılda ödenecek faiz miktarını bulalım. 20 000 x

20 = 4000 TL dir. Bu durumda Ayşe Hanım’ın bir yılda ödeyeceği toplam miktar 100

20 000 + 4000 = 24 000 TL olur. Bir yıl 12 ay olduğuna göre bankaya ödeyeceği aylık taksit miktarı 24 000 : 12 = 2000 TL olacak�r. İnsanlar ev, araba almak ya da iş kurmak için bankadan kredi çekerler. Banka bu parayı karşılıksız vermez. Daha fazlasıyla geri alır. Krediyi alan, ödeme koşullarının bütçesine uygun olmasına dikkat etmelidir.

48

BÖLÜM 2: YÜZDE Örnek Yıllık %10 faiz oranıyla bankaya yatırılan bir miktar para bir yıl sonra faiziyle birlikte 16 500 TL oluyor. Buna göre, bankaya yatırılan para kaç TL dir? Çözüm: Şimdi de doğru oran� yöntemiyle bankaya ya�rılan parayı bulalım.

Öncelikle paranın 100 TL olduğunu kabul edelim. 100 TL’nin %10 faiz oranıyla yıl sonunda kaç TL olacağını bulalım.

100 TL ? TL

10 100 x =10 TL faizi 100 TL ye ilave edersek 100

110 TL oluyorsa 16 500 TL olur.

100 x 16500 = 15 000 TL olur. 110 Bankaya ya�rılan para 15 000 TL’dir.

100 + 10 = 110 TL olur.

Örnek Bankadan 8 000 lira olarak çekilen kredi bir yıl sonunda faiziyle birlikte 10 000 lira oluyorsa, bu bankanın uyguladığı kredi faizi % kaç olur? Çözüm: Önce bir yılda ödenen faiz miktarını bulmalıyız. 10 000 - 8 000 = 2 000 TL faiz ödendi.

8000 liraya 100 liraya

Bankadan çekilen parayı 100 lira kabul edip doğru oran� yöntemini kullanalım.

2000 lira faiz ödenirse ? lira faiz ödenecek

100 x 2000 = 25 olur. 8000 Çekilen kredinin bir yıllık faizi oranı %25 olur.

Matematik

ve

n u y O

Simetrik Sayılar

1001 sayısı aşağıda görüldüğü gibi, dikey ve yatak olarak kesildiği zaman iki eşit parçaya ayrılabiliyor. Bu özelliğe sahip iki adet dört basamaklı sayı da siz bulunuz.

I00I I00I I00I

Sayının şeklinin %50’sini bulduğumuza dikkat edin!

49

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Alış rmalar 1) Günlük gazete okuyucuları üzerinde yapılan bir araş�rmaya göre, okuyucuların %48’i spor gazetelerini okumaktadır. Buna göre, % kaçı spor gazetelerini okumamaktadır? 2) Bir gün boyunca trafik polisleri tarafından yapılan denetimlerde, sürücülerin %14’ ünün kurallara uymadığı tespit edilmiştir. Buna göre, sürücülerin % kaçı trafik kurallarına uymuştur? 3) Bir sepetteki yumurtaların %20’ si börek, %40’ ı pasta yapımı için kullanılmıştır. Geriye yumurtaların % kaçı kalmıştır? 4) Ercan Havalimanı’ndan kalkan 40 uçağın %60’ı İstanbul’a gittiğine göre kaç tane uçak İstanbul’a gitmektedir? 5) Bir ormanda bulunan 2700 ağacın %35’i çam ağacıdır. Bu ormandaki çam ağaçlarının sayısını bulunuz. 6) Oya 25 TL’sinin %32’si ile bir çift çorap alırsa, geriye kaç TL’si kalır? 7) Bir okuldaki bayrak direğinin boyu 8 m dir. Bu bayrak direğinin boyuna %25’i kadar ilave yapılırsa direğin boyu kaç m olur? 8) Aşağıdaki tabloda boş bölümleri doldurunuz. Sayı

%10’u

240

24

%50’si

%20’si

%75’i

60 300 350

9) Bir albümdeki 120 fotoğrafın 90 tanesi renklidir. Bu albümdeki fotoğrafların % kaçı siyah beyazdır? 10) Bir futbol maçında 35 000 seyircinin 28 000’i ev sahibi takımın tara�arıdır. Buna göre, rakip takımın tara�ar sayısı tüm seyircilerin % kaçıdır? 11) 20 dilimlik bir pastanın beş dilimi yenmiştir. Geriye kalan pasta dilimleri bütünün % kaçıdır? 12) Bir trendeki yolcuların %25’i ilk durakta inmiştir. Bu durakta inenlerin sayısı 72 kişi olduğuna göre, trende kaç kişi kalmıştır? 13) Bir kasa meyvenin 12 ’si satılmıştır. Geriye meyvelerin % kaçı kalmıştır? 25

50

BÖLÜM 2: YÜZDE 14) Hani sayının %26'sı 130 dur? 15) 80'in % kaçı 16 dır? 16) 28 sayısı 400 sayısının % kaçıdır? 17) Ali cebindeki paranın %10’unu kullanarak 200 TL’ye 3 aylık internet aboneliği almıştır. Buna göre Ali’nin, cebinde kaç TL’si kalmıştır? 18) 800 TL’ye alınan bir bilgisayar 1000 TL’ye satılırsa bu satıştan elde edilen kȃr yüzde kaçtır? 19) 1200 TL’ye satılan bir televizyondan %20 zarar edildiğine göre, bu televizyonun alış fiyatı kaç TL’dir? 20) Satış fiyatı alış fiyatının iki katı olan bir üründen elde edilen kȃr % kaçtır? 21) 2000 TL’ye satılan bir ürüne önce %10 indirim uygulanıyor. Sonra indirimli fiyat üzerinden %20 daha indirim yapılıyor. Buna göre, bu ürünün satış fiyatı kaç lira olmuştur? 22) Bir manav meyvelerin etiket fiyatını %90 kȃrla belirlemektedir. Etiket fiyatı üzerinden %40 indirim yapan manavın kȃrı % kaçtır? 23) 480 TL, yıllık %20 faiz oranıyla bankaya yatırılıyor. Bir yıl sonra kaç TL faiz geliri elde edilir? 24) Yıllık %10 faiz oranıyla bankaya yatırılan bir miktar para, kaç yıl sonra kendisinin iki katı kadar faiz getirir? 25) Bir bankadan yıllık %30 faiz oranıyla 13400 TL borç alan bir kişi bir yıl sonunda borcunu ödemeye gittiğinde bankaya ödeyeceği miktar kaç TL dir? 26) Bankaya yatırılan 2400 TL, yıl sonunda faizi ile birlikte 2760 TL olduğuna göre uygulanan yıllık faiz oranı % kaçtır? 27) Bankadan alınan 4000 TL borç 2 yılda ödenecektir. İki yıl sonunda bankaya ödenen para 5200 TL olduğuna göre uygulanan faiz oranı yıllık % kaçtır?

51

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE Bölüm Değerlendirme Tes 1) Bir sayının yarısı bu sayının % kaçıdır? 2) 40 ton suyun %2'si kaç kg dır? (1 ton = 1000 kg) 3) 70 öğrencinin ka�ldığı bir matema k sınavında öğrencilerin %70'i başarılı olduğuna göre, bu sınavda başarılı olan öğrenci sayısı kaç�r? 4) 12 kesrinin yüzdelik olarak karşılığı nedir? 60 5) 2.72 ondalık sayısının yüzde karşılığı nedir? 6) 150 yolcu bulunan bir uçakta yolcuların %12'si mavi gözlü olduğuna göre, bu uçakta mavi gözlü olmayan kaç yolcu vardır? 7) 24 sayısı 6 sayısının % kaçıdır? 8) 72 sayısının % kaçı 18 dir? 9) 25 kişilik bir sını�a öğrencilerin %40'ı okula otobüsle giderse, bu sını�a okula otobüsle giden kaç öğrenci vardır? 10) %7'si 42 olan sayının tamamı kaç�r? 11) Bir kasa portakalın %12'si çürüktür. Bu kasadaki çürük portakalların sayısı 9 ise, kasada kaç portakal vardır? 12) Bir pastanın 1 ’ini Aslı, 2 ’ini Sinem, geriye kalanını ise Özlem yemiş r. Buna göre Özlem, pastanın 5 5 % kaçını yemiş r? 13) 80 km’lik bir yolun 12 ’i asfal�r. Buna göre, asfalt olmayan kısım bu yolun % kaçıdır? 75 14) 50 TL’ye sa�lan bir ayakkabıya önce %10 indirim daha sonra da indirimli fiyata %10 zam yapılıyor. Buna göre, ayakkabının son sa�ş fiya� kaç TL’dir? 15) Bir tüccar tanesi 5 TL’den bir miktar cam bardak alıyor. Taşıma sırasında bardakların %10'u kırılıyor. Geriye kalan bardakları tanesi 6 TL’den sa�yor. Buna göre, tüccarın kȃrı % kaç�r? 16) Alış fiya� 300 TL olan bir ürün %30 kȃrla sa�lıyor. Bu ürüne sa�ş fiya� üzerinden %30 indirim yapılırsa kȃr-zarar durumu ne olur? 17) 26000 TL yıllık %14 faiz oranıyla bankaya ya�rıldığında 4 yıl sonunda kaç TL faiz ge rir? 18) Bankadan 12000 TL olarak çekilen kredi bir yıl sonunda faiziyle birlikte 15000 TL oluyorsa, bankanın uyguladığı kredi faiz oranı % kaç�r?

52

Ünite Değerlendirme Tes 1) Bir çiftlikte atların sayısının, koyunların sayısına oranı 3 tür. Bu çiftlikte 70 koyun olduğuna 14 göre, kaç tane at vardır? A) 10

2) x = 25 4 20 A) 2

B) 15

C) 20

D) 25

C) 4

D) 5

oran�sında �x” kaç�r? B) 3

3) 3 işçi bir işi 6 günde bi rebiliyorsa aynı işi aynı nitelikte 9 işçi kaç günde bi rebilir? A) 6

B) 4

C) 2

D) 1

4) Sabit hızla 120 km yolu 3 saa�e alabilen bir araba, aynı sabit hızla 600 km’lik yolu kaç saa�e alır? A) 20

B) 15

C) 10

D) 5

5) 12 kg sü�en 3 kg peynir yapılabildiğine göre, 15 kg peynir yapmak için kaç kg süte ih yaç vardır? A) 60

B) 55

C) 50

D) 45

6) 5 işçi bir duvarı 6 günde örebiliyorsa, aynı nitelikte 3 işçi aynı duvarı kaç günde örer? A) 30

B) 18

C) 15

D) 10

7) 40 tane ndık 3 ve 5 yaşlarındaki iki çocuğa yaşları ile doğru oran�lı olarak paylaş�rılırsa, büyük çocuk, küçük çocuktan kaç tane ndık daha fazla alır? A) 6

B) 8

C) 10

D) 12

53

ÜNİTE 4 ORAN - ORANTI ve YÜZDE 8) Bir bahçede şeftali ağaçlarının, armut ağaçlarına oranı 3 dir. Bahçede bu ağaçlardan toplam 8 99 tane olduğuna göre, şeftali ağaçları kaç tanedir? A) 18

B) 27

C) 36

D) 45

9) Bir çuval pirincin 7 ’u satılıyor. Geriye 12 kg pirinç kaldığına göre, satılan pirinç kaç kg dır? 10 A) 18

B) 22

C) 28

D) 35

10) Limonata yapımında kullanılan limon suyu miktarının, şeker miktarına oranı 8 dur. Bu karışımda 9 56 bardak limon suyu kullanırsak kaç bardak şeker kullanmamız gerekir? A) 63

11) a = 2 b 5 A) 4

B) 72

C) 81

D) 90

C) 8

D) 12

ve a + b = 21 ise a = ?

B) 6

12) Şekilde verilen eş bölümlere ayrılmış karenin boyalı kısmı karenin % kaçıdır? A) 25

B) 50

C) 75

D) 80

13) Bir sayının %19'u 76 ise %5'i kaç�r? A) 18

54

B) 20

C) 28

D) 35

14) %4'ü 80 olan sayının yarısı kaç�r? A) 500

B) 800

C) 1000

D) 1200

15) Bir okuldaki öğrencilerin %16'sı satranç kulübündedir. Satranç kulübünde 40 öğrenci olduğuna göre, bu okulda kaç öğrenci vardır? A) 250

B) 240

C) 220

D) 200

16) 400 liraya alınan bir ürün 500 TL’ye sa�lıyorsa kar oranı % kaç�r? A) 20

B) 25

C) 35

D) 40

17) %48'i kadın olan bir toplulukta en az kaç kadın vardır? A) 14

B) 13

C) 12

D) 11

18) Bir ürünün %30 indirimli fiya� 280 TL ise indirim yapılmadan önceki fiya� kaç TL dir? A) 400

B) 390

C) 380

D) 310

19) Bir mağaza %10 zararla 225 TL’ye sa�ğı bir malı 300 TL’ye satsaydı kȃrı % kaç olurdu? A) 12

B) 16

C) 18

D) 20

20) 6000 TL’si olan bir kişi yıllık %30 faiz oranıyla 2 yıllığına parasını bankaya ya�rıyor. 2 yılın sonunda bankada biriken parası kaç TL olur? A) 9600

B) 9400

C) 9200

D) 9000

55

GEOMETRİ - ORANTI 1: AÇILAR ve YÜZDE ve ÇOKGENLER ÜNİTE 5 4 ORAN

126 56

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1 AÇILAR ve ÇOKGENLER

5755

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER AÇILAR

5.1

Günlük hayatımızda açı oluşturabilecek bir çok şekil görebiliriz. Aşağıda bu şekillerden bazıları verilmiştir.

Evlerin çatıları

Bir uçağın kalkış anı

Atletizm pistinde bulunan gülle, disk, çekiç ve cirit atma yerleri

Açı, geometriye ait bir terimdir. Bu terimi pek çok meslek, iş haya�nda kullanmaktadır. Açıya çoğunlukla güzel sanatlar, mimari ve haritacılığa dayalı meslekler ih yaç duyar. Güzel sanatlar alanında meydana ge rilen eserlerde ölçüyü tu�urmak açı sayesinde olur. Örneğin; heykeltraş yapacağı eserin düzgünlüğünü açı ile sağlar. Haritacılar belirtecekleri noktanın konumunu açı ile belirlerler. Turizm rehberleri, düzenledikleri tur gezilerinde konumlarını pusula ile bulurlar. pusula da ise açı kullanılmaktadır. Mimarlar ve inşaat mühendisleri ise binanın sağlam olması için projede açıyı kullanırlar.

EŞ AÇILAR

5.1.1

Aşağıda verilen açılardan hangisi yanda verilen ABC açısıyla eştir?

A B

A)

B)

C)

C

D)

B köşesini referans alarak ABC açısını döndürdüğümüzde C seçeneğindeki açıyı elde ederiz. A)

58

B)

C)

D)

BÖLÜM 1: AÇILAR Ölçüleri aynı olan açılara eş açılar denir. Eş açıları belirlemek için açı ölçer (iletki), pergel ve benzeri araçlar kullanılır.

İletki

Pergel

Gönye

Örnek

A

Yandaki ABC açısına eş bir açı çizelim.

o

45

B

Çözüm:

C

E

Önce cetvel yardımıyla EF ışınını çizelim.

0 0

F 11

İletkinin orta noktasını E noktasının

3 3

2 2

4 4

100 100 111100 80 80 112200 7700 00 6600 1133 00 55

180 170 16 0 0 10 20 15 30 0 14 40 0

11 11

12 12

D

7700 6600 111100 1122 00 11 5500 3300 44 00

O

0

E

10

o

45 lik açıyı işaretleyelim.

10 10

9 9

8 8

14

iletkiyi yerleştirelim. iletki üzerinde

80 80

90 100 100

7 7

20 170 180 30 160 0 15 0

üzerine ve ışın sıfırdan geçecek şekilde

6 6

5 5

F

D

o

İşaretlediğimiz 45 ye ait D noktası ile E noktasını birleştirelim. Bu durumda o

ABC açısına eş 45 lik DEF açısı çizilmiş olur.

E

F

Örnek Yandaki KLM açısının ölçüsünü iletki yardımıyla bulduktan sonra KLM açısına eş bir açı oluşturalım.

K

L

M

59

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Çözüm: K

180 170 16 0 0 10 20 150 30 14 40 0

0

6 6

5 5

4 4

100 100 111100 80 80 112200 7700 00 6600 1133 00 55

180 170 16 0 0 10 20 150 30 14 40 0

K

3 3

2 2

80 80

90 100 100

7 7

10 10

9 9

8 8

11 11

O

M

0

L

o

İşaretlediğimiz 130 ye ait K noktası ile L noktasını birleştirelim. Bu durumda

K

130 o

o

KLM açısına eş 130 lik açıyı çizmiş olduk.

L

Örnek Yandaki kareli zemin üzerinde PRS açısı verilmiştir. İletki kullanmadan yine kareli zeminden yararlanarak PRS açısına eş bir açı çiziniz.

M

R

S

P

Çözüm: Cetvel yardımı ile AB ışınını çizelim. PRS açısında P noktası, R noktasının 2 birim solunda ve 5 birim aşağısında olduğunu görüyoruz. Bu durumda A noktasının 2 birim solunda ve 5 birim aşağısında bir C noktası alıp bu noktayı A noktası ile birleş relim. Çizdiğimiz CAB açısı PRS açısına eş r.

60

A

C

12 12

7700 6600 111100 1122 00 11 5500 3300 44 00

10

130 lik açının olduğu yeri işaretleyelim.

M

M 11

0 0

20 170 180 30 1 6 0 0 15 0

o

L O

14

iletkiyi yerleştirelim. iletki üzerinde

7 70 0 6600 0 0 11 110 0 11 2200 5500 1133 00 4400

L

İletkinin orta noktasını L noktasının üzerine ve ışın sıfırdan geçecek şekilde

80 80

90 10 10

10

KLM açısını ölçtükten sonra cetvel yardımıyla LM ışınını çizelim.

100 100 111100 80 80 112200 7700 00 6600 1133 00 55

20 170 180 30 160 0 15 0 14

İletki yardımıyla KLM açısını ölçersek bu açının o 130 olduğunu görürüz.

B

BÖLÜM 1: AÇILAR 5.1.2

AÇIORTAY İkinci şekil diğerlerinden farklıdır. Çünkü şekilde iki eş açı vardır.

Aşağıdaki şekillerden hangisi diğerlerinden farklıdır?

60o

o

40

50o

o

30

o

50

I

o

70

II

III

Herhangi bir açının ölçüsünü iki eş parçaya ayıran doğru, doğru parçası veya ışına açıortay denir. Aşağıda, pergel ve iletki yardımıyla açılara ait açıortaylar çizilmiştir, inceleyiniz. Örnek

A

Yandaki ABC açısının açıortayını pergel yardımıyla çizelim. Çözüm:

B

C

A

Pergelin ucunu A noktasına koyarak bir yay çizelim.

B

Pergelin açıklığını bozmadan ucunu C noktasına

C A

koyup yeni bir yay çizelim. B

Yayların kesiştikleri noktaya D diyelim ve B noktasından

C

A

D noktasına doğru bir ışın çizelim.

D

BD ışını ABC nın açıortayıdır. ABD ve CBD açılarının ölçüleri eşittir.

B

C

61

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Örnek

K o

Yandaki KLM açısının ölçüsü 80 dir. KLM açısına ait açıortayı iletki yardımı ile çizelim.

o

80

L

M

Çözüm: o

İletkimizi KLM açısı 80 lik açıyı gösterecek

180 170 16 0 0 10 20 150 30 14 40 0

o

İşaretlediğimiz yere P diyelim ve L noktası KLM açısını KLP ve PLM açısı diye iki eş açıya L

o

ve m(KLP) = m(PLM) = 40 dir.

o

P o

ayırmış olduk. LP ışını KLM açısının açıortayıdır

Yandaki VYZ açısının ölçüsü 120 dir. VYZ açısına ait açıortayı iletki yardımı ile çizelim.

O

K

ile P noktasını kalemimizle birleş relim.

Örnek

0

yerini işaretleyelim.

7700 6600 111100 1122 00 11 5500 3300 44 00

10

İletki üzerinde 80 nin yarısı olan 40 nin

80 80

90 100 100

20 170 180 30 160 0 15 0

o

100 100 111100 80 80 112200 7700 00 6600 1133 00 55

14

şekilde yerleş relim.

40 o 40

M

V o

120

Y

Z

Çözüm: İletkimizi açının üzerine yerleş rip

ile T noktasını birleş relim. YT ışını VYZ açısının açıortayı olur ve m(VYT) = m(TYZ) = 60o dir.

62

180 170 16 0 0 10 20 150 30 14 40 0

0

İşaretlediğimiz yere T diyelim ve Y noktası

10

yerini işaretleyelim.

7700 6600 111100 1122 00 11 5500 3300 44 00

20 170 180 30 160 0 15 0

o

80 80

90 100 100

14

o

İletki üzerinde 120 nin yarısı olan 60 nin

100 100 111100 80 80 112200 7700 00 6600 1133 00 55

O

T

V o

60

Y

o

60

Z

BÖLÜM 1: AÇILAR Alış rmalar 1) Aşağıda verilen ABC ve DEF açılarına eş, birer açı çiziniz. A

E

F

D B

C

2) Aşağıda kareli zeminde verilen açılardan hangi ikisi eştir?

I

II

III

IV

3) Aşağıdaki açıların açıortaylarını pergel yardımıyla çiziniz.

3) Aşağıdaki açıların açıortaylarını iletki yardımıyla çiziniz.

63

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER AYNI DÜZLEMDE BULUNAN DOĞRULARIN BİRBİRİNE GÖRE DURUMLARI

5.1.3

Bir D düzlemi üzerinde bulunan iki doğru; ya bir noktada kesişir, ya çakışık�rlar �üst üste) ya da paraleldirler.

m

K

m n

n

D

m n

D

m ve n doğruları düzlemde bir K noktasında kesişirler.

D

m ve n doğruları düzlemde üst üste geldiğinden çakışık�rlar.

m ve n doğruları düzlemde hiçbir noktada kesişmez, yani ortak noktaları yoktur. Bu gibi doğrulara paralel doğrular denir. m//n şeklinde gösterilir.

Paralel iki doğrudan birinin üzerindeki her bir noktanın, diğer doğruya olan uzaklığı eşittir. Örneğin, noktalı zemin üzerinde alınan aşağıdaki şekilde m ve n doğruları paraleldir.

.

D

C. 4 birim

B. 4 birim

4 birim

A.

.

E

.

F

m

Şekilde, m doğrusu üzerinde seçilmiş noktaların, n doğrusuna olan uzaklıkları dörder birimdir.

n

Örnek

E

Yandaki noktalı zeminden yararlanarak, AB, CD ve EF doğrularını çiziniz ve aşağıdaki ifadeleri doğru olacak şekilde tamamlayınız. A) AB ile CD ................. doğrulardır. B) AB ile EF .................. doğrulardır.

D F B

Çözüm: A) AB ile CD kesişen doğrulardır.

64

C

A

B) AB ile EF paralel doğrulardır.

BÖLÜM 1: AÇILAR 5.1.4

PARALEL İKİ DOĞRUNUN BİR KESENLE YAPTIĞI AÇILAR

6. sınıfta ters açıların ölçülerinin eşit

140

n

m ve n doğruları çakışık ve d doğrusu ise

o

40

o

40

140

Şimdi de n doğrusunu m doğrusu ile

o

140

paralel olacak şekilde aşağıya doğru

o

kaydıralım. m ve n paralel olduğu için yönde eş açılar oluşturur. Yandaki şekilde m//n olmak üzere d doğrusu m ve n doğrularını kesmektedir. Buna göre, şekilde verilen açıların ortak özelliklerini yazalım. 1

n

140 o

40

40o

d

40

m

o

140

o

d

a c

e g

b

m

d

f

n

h

d m

c

e

d

f

n

Paralel doğruların arasında olmayan açılara ise dış açı denir. Şekilde a, b, g ve h dış açılardır.

d

a

b

h

d

a c

e g

m n

g

Paralel iki doğruyu kesen üçüncü bir doğrunun çizilmesiyle oluşan açılardan aynı yöne bakan açılara yöndeş açı denir. Yöndeş açıların ölçüleri eşi�r. Şekilde a ile e, b ile f, c ile g ve d ile h yöndeş açılardır.

o

140

İki paralel doğrunun arasında ve kesenin her iki tara nda olan açılara iç açı denir. Şekilde c, d, e ve f iç açılardır.

Dış açılardan kesenin ters tara nda komşu olmayan açılara dış ters açılar denir. dış ters açıların ölçüleri eşi�r. Şekilde a ile h ve b ile g dış ters açılardır. 3

40

o

İç açılardan kesenin ters tara nda komşu olmayan açılara iç ters açılar denir. İç ters açıların ölçüleri eşi�r. Şekilde c ile f ve e ile d iç ters açılardır. 2

m

o

bu doğruların kesenidir.

d doğrusu m ve n doğrularıyla aynı

d

o

olduğunu öğrenmiştik. Yandaki şekilde

f

b

m

d

n

h

65

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Ha�rlatma

o

180

o

Doğru açının ölçüsü 180 dir. o

Ölçüleri toplamı 180 olan iki açıya bütünler açılar denir. Bu iki açı komşu ise bu açılara komşu bütünler açılar denir. o

150

o

30

Örnek

o

135

o

Yandaki şekilde k//m dir. m(PRS) = 135 ise x, y ve z ile ifade edilen açıların ölçülerini bulalım.

P

d

S

k

R

x

y

m

z

Çözüm: o

o

o

o

m(PRS) = 135 ise x = 135 dir. (Yöndeş açılar)

m(PRS) = 135 ise z = 135 dir. (Dış ters açılar)

x ile y komşu bütünler olduğu için toplamları

Ayrıca,

o

180 dir. Bu durumda,

1) x ile z’nin ters açılar olması, 2) y ile z’nin komşu bütünler açılar olması

o

x + y = 180 o o y = 180 - 135 o y = 45 olur.

özelliklerini kullanarak yine z açısının ölçüsünü bulabiliriz.

Örnek o

Yandaki Şekilde d//h dir. m(ABC) = 38 m(MLB) = 2x ve m(MLC) = 5y + 2 ise x ve y değerlerini bulalım.

K

C 5 y+2 L

M

2x

38 o A

d h

B

t

Çözüm: o

o

m(ABC) = 38 ise 2x = 38 dir. (İç ters açılar) Bu durumda, o 2x = 38 o x = 19 dir.

66

o

m(MLB) + m(MLC) = 180 dir. (Bütünler açılar) Bu durumda, o (2x) + (5y + 2) = 180 o o 38 + 5y + 2 = 180 o o 5y = 140 ise y = 28 dir.

BÖLÜM 1: AÇILAR

Aşağıda 1. şekilde m//n ve d kesen olmak üzere; m, n ve d doğrularının bir kısmı kırmızı renkte verilmiştir. 2. şekil ise 1. şekildeki siyah çizgilerin silinmiş halidir. d m

x y

x

x ve y iç ters açılardır ve ölçüleri eşi�r.

y

n

1. Şekil

2. şekil

Örnek Yandaki şekilde [AB//[CD dır. Buna göre, şekilde verilen x bilinmeyeninin değerini bulalım.

A

Çözüm:

D

B

36

o

4x

C

Verilen şekilde [AB//[CD olmasından C ve A açıları iç ters açı olur. O halde 4x = 36o o

x = 9 dir.

Aşağıda 1. şekilde m//n ve d kesen olmak üzere; m, n ve d doğrularının bir kısmı kırmızı renkte verilmiştir. 2. şekil ise 1. şekildeki kırmızı çizgilerdir. 1. Şekil z y

2. şekil

d m

x

x

y

n

Şekilde z = y (iç ters açılar) ve o x + z = 180 (bütünler açılar) dir.

o

x + y = 180 dir.

Bu durumda kesenin aynı tara nda kalan o açıların ölçüleri toplamı 180 olur.

Örnek

B

Yandaki şekilde [AB//[CD dir. Buna göre, şekilde verilen x bilinmeyeninin değerini bulalım.

A o

x + 60

D

o

2x - 30

C

Çözüm: o

o

o

Şekilde verilenlere göre (x + 60) + (2x - 30) = 180 dir. o o 3x + 30 = 180 o x = 50 dir.

67

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Paralel Çizme Aşağıda 1. şekilde m//n ve d ile k kesen olmak üzere; m, n, d ve k doğrularının bir kısmı kırmızı renkte verilmiştir. 2. şekil ise 1. şeklin sadece kırmızı renkte belirtilmiş kısmıdır. 3. şekil ise 2. şekle E noktasından çizilen paralel bir t doğrusu ile elde edilmiştir. 2. şekil

1. şekil A

150 o

30 o

o

d

o 140 40 C

B

A

m

E n

D

A

o

o

D

Çizilen t doğrusu, AB ve CD ışınlarına paralel ve E

o

bütünleri 180 - 150 = 30 o

40

C

D

o

o

t

oE

150 olarak verilen bir açının o

B

30 o

E

40

C

k

B

30 o o

3. şekil

noktasından geçmektedir.

o

140 nin ise 180 - 140 = 40 dir.

Aşağıda 3. şekilden yola çıkarak BAE, DCE ve AEC açıları arasındaki ilişki 4. şekilde verilmiştir. 3. şekil A

30 o 30 o o 40 o E 40 C

4. şekil

B

A

30 o

t

o

70 C

D

Çizilen paralel ile iç ters açılar oluştu. İç ters açılar birbirine eş r.

o

B

A

E

40

C

D

b

B

D

BAE ve DCE açılarının [AB//[CD ise a + b = c dir. ölçüleri toplamı AEC açısının ölçüsüne eşit oldu.

Örnek

B

D

Çözüm: Şekilde [AB//[CD ise m(BAE) + m(DCE) = m(AEC) dir. o

o

m(AEC) = 70 + 20 o

= 90

olur.

A

o

70

Yandaki şekilde [AB//[CD dir. Şekilde verilenlere göre, AEC açısının ölçüsünü bulalım.

68

a c E

E ? 20 o

C

BÖLÜM 1: AÇILAR Örnek

A

B

x

Yandaki şekilde [AB//[CD dir. Şekilde verilenlere göre, BAE ve ECD açılarının ölçülerini bulalım.

o

60

E o

x + 20

C

D

Çözüm: [AB//[CD ve m(BAE) + m(DCE) = m(AEC) ise o

o

x + (x + 20) = 60 o

o

o

x = 20

o

x = 20 ise m(BAE) = 20 ayrıca,

o

2x + 20 = 60 o 2x = 40

o

o

o

o

m(DCE) = x + 20 = 20 + 20 = 40 olur. dir.

Aşağıda 1. şekilde m//n ve d ile k kesen olmak üzere; m, n, d ve k doğrularının bir kısmı mavi renkte verilmiştir. 2. şekil ise 1. şeklin sadece mavi renkte belirtilmiş kısmıdır. 2. şekil

1. şekil k P

d A 150 o 30 o 30 o o o 40 E o 140 40 C

t R

B

P

m

A o

70 0 4 1 o

D

R

n

Şekilde t doğrusu m ve n doğrularına paralel ve E noktasından geçmektedir. Ayrıca, BAD ve BCD açılarına bütünler olan açılar ile iç ters açılar mavi renkte verilmiş r.

B

A

150o

E

E

a

b

C

C

PAE, AEC ve ECR açılarının ölçüleri o toplamı 360 dir.

A E

D

[AB//[CD ise o a + b + c = 360 dir.

Örnek Yandaki şekilde [AB//[CD dir. Buna göre, şekilde verilenlere göre ECD açısının ölçüsü kaç derecedir?

c

o

83

B o

155 ?

Çözüm:

C

D

o

Şekilde [AB//[CD ise m(BAE) + m(AEC) + m(ECD) = 360 dir. o

o

o

155 + 83 + x = 360 o o 238 + x = 360 o x = 122 dir.

69

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER d

B

Örnek o

Şekilde m//n dir. m(GDF) = 122 ve

A

m

C .

o

m(BCE) = 90 ise CEF açısının ölçüsü

x

D

kaç derecedir?

E

o

122

G

F

n

Çözüm: o

m(GDF) = m(ABC) = 122 (Yöndeş açılar) o

m//n ise, m(ABC) + m(BCE) + m(CEF) = 360 dir. Bu durumda o

o

o

o

o

122 + 90 + x = 360

212 + x = 360 o x = 148 dir.

m

Örnek

B

Şekilde m//[AB dir. m(AEC) = 2x o

E

o

m(BAE) = 45 ve m(ECF) = 3x + 20

o

45

ise, AEC açısının ölçüsü kaç derecedir?

A

2x

o C 3x+20

F

Çözüm: Şekilde AB ışınını m doğrusuna paralel olacak biçimde aşağıya doğru uzatalım ve üzerinde bir D noktası alalım. m B

Bu durumda, o o o m(EAD) = 180 - 45 = 135 olur. (Bütünler açılar)

D

o

m(EAD) + m(AEC) + m(ECF) = 360 dir.

E

o

2x 45 o

o

A

O halde

B

E

45

m//BD olduğunu biliyoruz.

m

C F

A 135o

3x+20 C

135 +

o

2x + (3x + 20) = 360 o

F

D

AEC açısının ölçüsü ise, o

o

m(AEC) = 2. 41 = 82 olur.

70

o

5x + 155 = 360 o x = 41 dir.

BÖLÜM 1: AÇILAR

Aşağıda 1. şekilde m//n dir. 2. şekilde m ve n doğrularına paralel iki doğru çizilmiştir. 3. şekilde ise ortaya çıkan özel durum verilmiştir, inceleyiniz. 2. şekil

1. şekil m

c

n

3. şekil

m

a a b

Z b c

y

n

t

m ve n doğrularının arasında kalan ve bu doğrulara paralel çizilen iki doğrunun oluşturduğu iç ters açıların eş olduğunu biliyoruz. Buna göre sağa bakan dar açıların ölçüleri toplamı ile sola bakan dar açıların ölçüleri toplamı eşit olur. a+b+c=a+b+c

m

x

n

m//n ise x + y = z + t dir.

dir.

Örnek

m

o

30

Yandaki şekilde m//n dir. Şekilde verilenlere göre x ile belirtilen açının ölçüsü kaç derecedir?

o

50

x

o

15

n

Çözüm: o

o

o

o

o

m//n ise, 30 + x = 50 + 15 şeklinde yazabiliriz. 30 + x = 65 o x = 35 dir. A

Örnek

x 40 o

Şekilde k//d dir. Buna göre, x ile belirtilen açının ölçüsü kaç derecedir?

C

35 o

20 F

B

25

o

G

Çözüm:

o

k

E

D H

d

o

m(GEF) = m(DEH) = 20 (Ters açılar) k//d ise sağa bakan dar açıların ölçüleri toplamı, sola bakan dar açıların ölçüleri toplamına eşi�r. o

o

o

o

x + 25 + 20 = 40 + 35 o o o x + 45 = 75 ise x = 30 dir.

71

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Verilen şekillerde paralellik varsa, bu paralel doğrulara, başka paralel doğru veya doğrular çizerek işlem yapmayı kolaylaştırabiliriz. Aşağıdaki örnekleri çözmek için verilen şekiller üzerinde paralel doğrular çizilmesi gerekmektedir. Paralel çizmeyi unutmayınız!

Örnek A

Şekilde [BA//[DE dir. m(CBA) = 100o

B

100 o

o

m(CDE) = 110 ise BCD açısının

o

ölçüsü kaç derecedir?

110

? C

Çözüm: A

E

D

Verilen şekilde C noktasından geçen ve BA ile DE ışınlarına paralel bir doğru çizelim. Bu durumda

B

100 o

E

D

o

o

80

F

? C

o

m(CBA) = 100 ise m(BCF) = 80 (bütünler açılar) ve

o

110

o

o

m(CDE) = 110 ise m(DCG) = 70 (bütünler açılar) olur.

o

70

o

o

o

FCG doğru açı ve 80 + m(BCD) + 70 = 180 dir. Buna göre, o o m(BCD) + 150 = 180 o m(BCD) = 30 dir.

G

Örnek

A

B

o

155

Şekilde [AB//[DE dir. m(CAB) = 155o

C

o

m(CDE) = 50 ise ACD açısının

? o

ölçüsü kaç derecedir?

50

D

E

Çözüm: C noktasından geçen ve AB ve DE ışınlarına paralel olan bir doğru çizelim.

F

C

o

25 50 o

B

A o 155

açılardan G

o

E

50

Çizilen paralel doğru ile oluşan

D

o

m(DCG) = m(CDE) = 50 (İç ters açılar) o

o

m(BAC) = 155 ise m(ACG) = 25 (bütünler açılar) olur. Bu durumda o

o

o

m(ACD) = 50 + 25 = 75 dir.

72

BÖLÜM 1: AÇILAR Örnek

B

A

Şekilde [AB//[DE dir. m(CAB) = 140o

o

140

o

m(CDE) = 160 ise ACD açısının ölçüsü kaç derecedir?

D

?

E o

160

C

Çözüm:

DE ışınını sola doğru [AB ile paralel kalacak şekilde uzatalım. A

B o

140 F

G

o

o

D

E

m(CGD)=140

(CAB açısı ile yöndeştir.)

o

160 C

Bir üçgenin iç açıları toplamının 180 olduğunu biliyoruz. Şekilde oluşan GCD üçgeninin iç açılarına göre, o

o

o

o

o

m(GCD) + 140 + 20 = 180

o

m(GDC)=20

m(GCD) + 160 = 180

(CDE açısının bütünleridir.)

o

m(GCD) = 20 olur. o

O halde ACD açısının ölçüsü 20 dir.

Alış rmalar 1) Yandaki şekilde k//l dir. Buna göre, aşağıdaki boşluklara uygun ifadeleri yazarak cümleleri tamamlayınız. A) k ve l doğruları ....................... doğrulardır.

c

a

m

B) e ve d açıları ....................... açılardır.

e f d

b

k l

p

C) e ve f açıları ....................... açılardır. D) a ve c açıları ....................... açılardır. E) d ve f açıları ....................... açılardır. 2) Aşağıdaki şekilde t//l ve e doğrusu kesendir. Şekilde verilenlere göre a, b, c, d, m, n, k açılarının ölçülerini bulunuz. e a c

b

t

d m o

120

k n

l

73

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER 3) Şekilde k //m ve n doğrusu bu doğruları

k A

ñ

ñ

ñ

kesmektedir. m(CBD) = 120 ise, m(BDE) ve m(EDF) kaç derecedir?

120

o

ñ

ñ

m(BAC), m(BCD) ve m(ACB)

ñ

ñ

m(BCD) = 2x - 30 ise, x kaça eşittir? B

o

2x - 30

x

C

A o

80

o

ñ

ñ

m(BAC) = 80 ve m(ABC)= 35 ise, EAB, ACB ve ACF açılarının ölçüleri kaç derecedir?

o

B

ñ ñ ñ

35

o

C 4x + 12°

m(ACD) = 4x + 12o ve o

m(CDE) = x + 16 ise, ACD açısının

E

ölçüsü kaç derecedir? A

ñ

8) Yandaki şekilde [AB // [DE dir.

ñ

A

44°

m(BAC) = 44

F

C

B

7) Yandaki şekilde [AB // [DE dir.

ACD açısının ölçüsü kaç derecedir?

x + 16°

B

110°

o

m(BAC) = 110 ve m(CDE) = 125 ise,

m

D

E

6) Şekilde [AE//[BF dir.

D

A

o

ñ

C

E

5) Şekilde [BA//[CD dir. m(ABC) = x ve

C ? 125° D

74

k

o

80

kaç derecedir?

o

n

110

o

m(ACE) = 80, m(CBF) = 110 ise,

o

F

B

A

F

D

o

4) Yandaki şekilde k//m dir.

ñ ñ

E

B C

o

m

o

E

D

BÖLÜM 1: AÇILAR

o

ñ

ñ ñ

9) Şekilde [AB//[FG//m dir.

B

A 110°

o

m(DAB) = 110 , m(DFG) = 140 ise,

C

ñ

m(ADC) ve m(EDF) kaç derecedir ?

E

D

m

140° F

10) Şekilde [BA//[CD//d dir. o

ñ

ñ ñ

o

A

m(ABE) = 130 , m(ECD) = 110 ise,

G

?

E

G

11) Şekilde [AE//[CD dir.

ñ

ñ ñ

110°

130°

m(BEC) kaç derecedir ?

o

D

C

B

o

m(ABC) = 80 , m(BCD) = 120 ise,

E

?

m(EAB) kaç derecedir ?

D

C

A

d

F

120 80 B

B

o 12) Şekilde [AB//[DE dir. m(CAB) = 160

A

160o

o

m(CDE) = 40 ise, ACD açısının

?

ölçüsü kaç derecedir?

o

40

D

o 13) Şekilde [AB//[DE dir. m(CAB) = 125 o

m(CDE) = 165 ise, ACD açısının

C E

C

165o

?

D

ölçüsü kaç derecedir?

E

125 o A

B

75

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Bölüm Değerlendirme Tes o

o

1) A ve B eş açılardır. m(A) = 50 ve m(B) = 3x - 70 olduğuna göre, x kaç�r?

2) Aşağıdaki açıların açıortaylarını pergel yardımıyla çiziniz ve oluşan açıların ölçülerini belirtiniz.

C

3) Şekilde [BC//DF dir.

ñ

ñ

m(CBE) = 3x ve m(BED)= 15x ise,

D

ABC ve BEF açılarının ölçüleri

15x

3x

A

E

B F

kaç derecedir?

A

4) Şekilde [BA//[CE dir. o

E

o

ñ

ñ

m(ACB) = 33 ve m(ECD)= 57 ise, ABC, BAC ve ACE açılarının ölçüleri

o

o

33

B

C

kaç derecedir?

F

5) Şekilde k//m dir. o

o

o

ñ ñ

ñ ñ

m(FAB) = 25 , m(ABC)= 35

25 o 35 B

A o

50

o

m(BCD) = 50 ve m(DEG) = 20 ise, CDE açısının ölçüsü kaç derecedir?

76

o

G

D x o 20

57

D

k C

E

m

BÖLÜM 1: AÇILAR 6) Şekilde [AB]//[DE ve [AD]//[CF dir.

ñ

F

A

o

m(ADC) = 65 ise, DAB, ABF, DCB ve BCE açılarının ölçüleri kaç derecedir?

B

65° D

C

A

7) Şekilde [BA//[CD] ve [BC]//[DE dir.

35°

o

ñ

m(ABC) = 35 ise, CDE açısının ölçüsü kaç derecedir?

E

B

D

C E

C

8) Şekilde [AF//[BE//[CD ve [AB] açıortaydır. o

ñ

m(ABE) = 150 ise, ACD açısının ölçüsü kaç derecedir? A

..

D x B 150°

E

F

9) Aşağıda, dikdörtgen şeklindeki bilardo masasında verilenlere göre, x kaç�r?

o

30

2x

o

40

77

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER 5.2

ÇOKGENLER

Arıların en hayret verici özelliklerinden biri de yaptıkları düzgün altıgen peteklerdir. Kalabalık bir arı grubu petek oluştururken seyredildiğinde, ilk akla gelen bu grubun yaptığı işin sonucunda bir kargaşanın ortaya çıkacağıdır. Oysa dışarıdan görülenin aksine, petek ören arılar kusursuz bir uyum içinde ve son derece düzenli bir şekilde çalışmaktadırlar. Öyle ki, her biri farklı yerlerden başlamalarına rağmen, tümü aynı büyüklükte altıgen hücreler üretebilirler. Bu altıgenleri ortada birleştirdiklerinde hiçbir şekilde birleşme yerlerini göremezsiniz. Ayrıca bu altıgenlerin açılarında herhangi bir kayma da olmaz.

Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz.

Yukarıdaki şekillerin kenar sayıları 3 veya 3’ten fazladır.

Kenar sayıları 3 veya 3’ten fazla olup, bu gibi kapalı düzlemsel şekillere çokgen denir. Çokgenler kenar sayılarına göre isimlendirilir. Örneğin, Üç kenarlı çokgen

Dört kenarlı çokgen

Beş kenarlı çokgen

Üçgen

Dörtgen

Beşgen

Bir çokgenin kenar sayısı ile köşe sayısı eşittir.

78

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER DÜZGÜN ÇOKGENLER VE ÖZELLİKLERİ

5.2.1

Aşağıdaki şekilleri inceleyiniz. 5 cm

4 cm

0

60

7 cm

120

7 cm

5 cm

4 cm

5 cm

0

120

0

0

120

0

0

60

4 cm

0

120

0

0

60

4 cm

7 cm

5 cm

Eşkenar Üçgen

Düzgün Dörtgen (Kare)

4 cm

120

120

4 cm

Düzgün Altıgen

Şekle ait kenar uzunluklar ve iç açı ölçüleri eşittir.

Kenar uzunlukları ile açılarının ölçüleri eşit olan çokgene düzgün çokgen denir.

Örnek Aşağıdakilerden hangisi (veya hangileri) düzgün çokgene örnek oluşturur? a a İkizkenar Üçgen

a a

Altıgen

Eşkenar Dörtgen 6 cm

6 cm

6 cm

6 cm 6 cm

Beşgen

b a

a b Paralelkenar

Çözüm: Verilen şekillerden sadece beşgen düzgün çokgendir.

79

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Pergel ve cetvel kullanarak adım adım düzgün altıgen çizelim.

1

Kağıt üzerine pergelle bir çember çizerek, pergel yarıçap kadar açılır. Çember üzerinde herhangi bir noktadan yay çizilir.

2

Pergelin açıklığı değiştirilmeden eşit uzunluklu yaylar işaretlenir.

3

İşaretlenen bu noktalar cetvel yardımıyla çizilerek birleştirilir. Böylece, düzgün altıgen oluşturulur.

4

Ayrıca, düzgün altıgenin altı tane eşkenar üçgenden oluştuğunu da söyleyebiliriz. O

5.2.2

ÇOKGENDE AÇI VE KÖŞEGEN F

Yandaki şekilde, bir çokgende var olan

Dış açı

A

İç açı

iç ve dış açılar görülmektedir. Şekilde,

B

E

FAE açısı çokgenin dış açısı EAB açıcı ise çokgenin iç açısıdır.

D

C

Çokgende bir iç açı ile bu açıya ait bir dış açı komşu bütünler açılardır.

80

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER

Yandaki yedigenden yararlanarak bir köşesinden, diğer köşelere çizeceğiniz köşegenlerle çokgen içerisinde kaç üçgenin oluştuğunu bulabilir misiniz?

5 4 1

3

2

7 kenarlı bir çokgenin bir köşesinden en çok 4 köşegen çizilebilir. Çizilen köşegenlerle, çokgen içerisinde 5 üçgen oluşur. Çokgene köşegenler çizildikten sonra deniz kabuğuna benzedi.

“n” kenarlı bir çokgenin bir köşesinden diğer köşelere çizilen tüm köşegenler kenar sayısının üç eksiği kadardır. n - 3 Ayrıca bu köşegenler çokgenin kenar sayısının iki eksiği kadar da üçgen oluştururlar. n - 2 Örneğin,

Beşgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerin sayısı (5 - 3 = 2) iki olup, bu köşegenler beşgeni (5 - 2 = 3) üç tane üçgene ayırır.

Dokuzgenin bir köşesinden çizilen köşegenlerin sayısı 9 - 3 = 6 dır. Bu köşegenler beşgeni 9 - 2 = 7 tane üçgene ayırır.

Kenar sayısı çift sayı olan düzgün bir çokgenin merkezinden geçen köşegenlerinin uzunlukları eşittir ve bu köşegenler birbirini ortalar.

81

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Bir çokgenin tüm köşelerini kullanarak toplam kaç köşegen çizebiliriz? Sorunun cevabını aşağıda verilen üç örnekte inceleyelim.

Beşgende en çok beş köşegen çizilebilir.

Altıgende en çok dokuz köşegen çizilebilir.

Yedigende en çok on dört köşegen çizilebilir.

Bir çokgende çizebileceğimiz toplam köşegen sayısı; çokgenin bir köşesinden n.(n - 3) çizebileceğimiz toplam köşegen sayısı ile köşe sayısının çarpımının yarısı kadardır. 2 (Nedenini sınıfta tartışınız.)

Örnek Bir sekizgenin toplam kaç köşegeni vardır? Çözüm: Çokgenimiz 8 kenarlıdır. n = 8 ise

8.(8 - 3) 8 . 5 n.(n - 3) = = 2 2 2 = 20 köşegeni vardır.

5.2.3

ÇOKGENLERİN İÇ AÇILARININ ÖLÇÜLERİ TOPLAMI

Bir üçgenin iç açılarının ölçüleri toplamının 180 O olduğunu biliyoruz. Peki, dörtgenin, beşgenin, altıgenin ... iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir?

82

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulalım.

Dörtgenin bir köşesinden köşegen çizersek,

Bir köşegenin dörtgende oluşturduğu üçgen sayısı iki olduğuna göre, dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı,

2

1

Köşegen, dörtgeni iki üçgene ayırır.

2 .180 = 360 o

o

dir.

Beşgenin iç açılarının ölçüleri toplamını bulalım.

3

Beşgenin bir köşesinden çizilen köşegenler ile üç ayrı üçgen oluşur. Öyleyse, beşgenin iç açılarının ölçüleri toplamı,

2 1

Beşgenin bir köşesinden köşegenler çizersek,

Köşegenler beşgeni üç tane üçgene ayırır.

3 .180 o = 540 o

dir.

Bir çokgende bir köşeden çizilen köşegenler ile oluşacak üçgen sayısının 180 ile o

çarpılması bize o çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamını verir. o “n” kenarlı bir çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı (n - 2).180 dir.

Örnek Aşağıdaki çokgenlerde verilen açılara göre “?” ile belirtilen açıların ölçülerini hesaplayalım. A)

B)

o

92 94o

11 0

? o

o

8 10

Çözüm: A) Şekil beşgendir. İç açıları ölçüleri o o toplamı, (5 - 2) . 180 = 540 dir. Şekilde verilen iç açıların toplamı o o o o o 92 + 94 + 110 + 108 = 404 ise, o o o bilinmeyen açı 540 - 404 = 136 dir.

o

134 o

106 115

o

130

o

?

B) Şekil altıgendir. İç açılarının ölçüleri o o toplamı, (6 - 2) . 180 = 720 dir. Şekilde verilen iç açıların toplamı o o o o o o 134 + 106 + 115 + 130 + 90 = 575 ise, o o o bilinmeyen açı 720 - 575 = 145 dir.

83

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Bir düzgün çokgenin her bir iç açısının ölçüsünün eşit olduğunu daha önce belirtmiştik. O halde bir düzgün çokgenin bir iç açısının ölçüsünü bulmak için, iç açılarının ölçüleri toplamını o çokgenin kenar sayısına bölmeliyiz. Bu durumu “n” çokgenin kenar sayısı olmak üzere, O (n - 2) . 180 şeklinde ifade edebiliriz. n

Örnek Düzgün bir sekizgenin bir iç açısının ölçüsünü bulalım. Çözüm: Çokgenimiz sekiz kenarlıdır. Bu durumda bir iç açısının ölçüsü, (8 - 2). 180o 6. 180o o = = 135 dir. 8 8

D

Örnek ?

E

Yandaki düzgün beşgende DEC açısının

C

ölçüsü kaç derecedir? A

B

Çözüm: D

Verilen çokgen düzgün beşgen olduğu için |AB|=|BC|=|CD|=|DE|=|EA| dur. Çokgenin bir iç açısının ölçüsü ise, (5 - 2) . 180 o = 108 dir. 5

o

E

x

108

x

o

84

C

|CD|=|DE| olduğundan DEC üçgeni ikizkenardır. Buna göre, m(DEC) = m(DCE) = x ise, o

A

B

o

108 + x + x = 180 o o 2x = 180 - 108 o 2x = 72 o x = 36 olur. o m(DEC) = 36 dir.

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER ÇOKGENLERİN DIŞ AÇILARININ ÖLÇÜLERİ TOPLAMI

5.2.4

Düzgün bir çokgenin kenar uzunlukları ile her bir iç açısının ölçüsünün eşit olduğunu daha önceden biliyoruz. Bu durumdan yararlanarak dış açılarıyla ilgili aşağıdaki örneği inceleyiniz.

Örnek Yandaki şekil düzgün dokuzgendir. Bu dokuzgenin her bir iç açısının ölçüsü, o

(9 - 2) . 180 9

o

140

o

dir.

= 140

o

Bu düzgün dokuzgenin bir dış açısının ölçüsü ise, o

o

o

180 - 140 = 40

o

40

140

dir.

o

o

40 o

o

40 40 o 140

40

Bu durumda düzgün dokuzgenin dış açılarının ölçüleri toplamı, o o 9 . 40 = 360 dir.

o

40

40

o

40 o

işlemini yaparak da bulabiliriz.

40 o

o

360 : 9 = 40

o

Ayrıca düzgün dokuzgenin bir dış açısının ölçüsünü,

o

40

Aşağıda, üçgenden başlayarak her defasında kenar sayısı bir artacak şekilde çokgenler sıralanmıştır. Sonda ise çokgenin kenar sayısı sayılamayacak çoklukta olduğu için şeklimiz bir daire görünümünü almıştır. ...

...

...

Üçgenden başlayarak daireye kadar olan bu şekillerin özelliği, herbirinin dış açılarının ölçüleri toplamının 360o olmasıdır.

85

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER

Örnek Yandaki şekil, düzgün bir çokgenin bir parçasını göstermektedir. Bu çokgenin bir dış açısının o ölçüsü 15 ise,

A

B

o

15

C

D

A) çokgen kaç kenarlıdır? B) çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamı kaç derecedir? Çözüm: o

B) Çokgenimiz 24 kenarlıdır. Öyleyse iç açıların ölçüleri toplamı, o o (24 - 2) . 180 = 3960 dir.

A) Düzgün çokgenlerde 360 yi bir dış açının ölçüsüne bölersek, çokgenin kenar sayısını buluruz. Bu durumda çokgenimiz, o o 360 : 15 = 24 kenarlıdır.

Örnek Yandaki şekilde düzgün altıgen ile düzgün beşgenin birer kenarları ortaktır. Buna göre, PRS ile belirtilen açı kaç derecedir?

P ?

R

S

Çözüm: Düzgün altıgenin bir iç açısının ölçüsü

Düzgün beşgenin bir iç açısının ölçüsü

(6 - 2) . 180o 4 . 180o = 6 6

o

o

o

120

P

108

120 ? 132o R

o

= 120 dir.

(5 - 2) . 180o 3 . 180o = 5 5

o

108 S

o

= 108 dir.

o

Tam açının ölçüsünün 360 olduğunu biliyoruz. o

o

o

o

120 + 108 + m(RPS) = 360 ise m(RPS) = 132 dir. Düzgün çokgenlerin birer kenarı ortak olduğuna göre |RP| = |PS| den PRS üçgeni ikizkenardır. o Bu durumda, 180o- 132 o 48 o = = 24 dir. m(PRS) = 2 2

86

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER o

Bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamı 360 dir. Düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsünü, (“n” çokgenin kenar sayısı olacak şekilde) 0

360 : n

şeklinde ifade edebiliriz.

Örnek Aşağıdaki çokgenlerde verilen açılara göre “?” ile belirtilen açıların ölçülerini hesaplayalım. A)

B)

o

88

65o

o

58

o

55

63o

o

?

4 11

? 82o

Çözüm: B) Çokgenin iç açısı olarak verilen 114o ye

A) Bir çokgenin dış açılarının o ölçüleri toplamının 360 olmasından, o

o

o

o

o

88 + 58 + 55 + 82 + x = 360 o

o

283 + x = 360 o

x = 77

dir.

komşu bütünler olan dış açının o o o ölçüsü 180 - 114 = 66 dir. Bu durumda çokgenin dış açılarını toplayıp o 360 ye eşitleyelim. o

o

o

o

o

65 + 63 + 66 + 90 + x = 360 o

o

284 + x = 360 o

x = 76 dir. Örnek 18 kenarlı düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsünü bulalım. Çözüm: 18 kenarlı düzgün bir çokgenin bir dış açısının ölçüsü, o

o

360 : 18 = 20 dir.

x

x

x

.. .

87

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Alış rmalar 1) Aşağıdaki tabloda düzgün çokgenlerle ilgili verilen bazı bilgilerden yararlanarak boş kutuları doldurunuz. Düzgün Çokgen ismi

Kenar sayısı

Üçgen

3

Bir iç İç açılarının açısının ölçüleri ölçüsü toplamı

Bir dış açısının ölçüsü

60 0

180 0

Toplam Bir köşeden köşegen çizilen köşegen sayısı sayısı

120 0

0

0

Altıgen 5 40 0 135

0

Dörtgen 10

2) Aşağıdaki çokgenlerde verilenlere göre, “x” ile belirtilen açıların ölçülerini bulunuz. A)

B)

x o

o

120

C)

o

40

o

70

o

55

o

120

100

o

60

o

115

o

135

x

o

130

o

135

x

3) Aşağıdaki çokgenlerde verilenlere göre, “x” ile belirtilen açıların ölçülerini bulunuz. A)

B)

0

110

C)

x

6x

0

0 13

x

0

2x

x

2x

x

0 15 2x

x 0

x

0 11

6x

o

4) n kenarlı çokgenin iç açılarının ölçüleri toplamının (n - 2) 180 olduğunu biliyoruz. Bu bilgiden o yararlanarak dış açılarının ölçüleri toplamının 360 olduğunu gösteriniz.

88

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER 5) Düzgün çokgenlerden oluşan aşağıdaki şekillerdeki istenen açıları bulunuz. A)

B)

y

x

x

6) Aşağıdaki şekiller birer kenarları ortak olarak verilen düzgün çokgenlerden oluşmaktadır. Şekillerdeki istenen açıları bulunuz. A)

B)

x

x

C)

D) x

x

7) ABCDEF düzgün bir altıgendir.

D

E

|OA|=|OF|=|FA| ise OFE açısının ölçüsü kaç derecedir?

F

B

A

D

8) Yandaki ABCDE çokgeni düzgün beşgendir. Buna göre, EDB açısının ölçüsü kaç derecedir?

C

O

?

? C

E

A

B

89

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER 9) Yandaki düzgün sekizgende verilenlere göre,

F

G

HGA ve GAB açılarının ölçüleri kaç derecedir?

?

H

E

A ?

D B

C

E

10) Yandaki düzgün altıgende verilenlere göre, AEF ve EAD açılarının ölçüleri kaç derecedir?

?

F

D

? C

A B

11) Bir iç açısının ölçüsü bir dış açısının ölçüsünün iki katı olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? 12) Yandaki ABCDEF düzgün altıgeninde verilenlere göre,

F

A) “x” ve “y” açılarının ölçülerini bulunuz. B) ACE üçgeni için ne söyleyebiliriz?

E

x

D

A

y B

C

13) Köşegen sayısı kenar sayısına eşit olan çokgen kaç kenarlıdır? F

14) Şekilde ABCDEF düzgün altıgendir. Buna göre, BCE üçgeni

E

dik üçgen midir? Açıklayınız. A

D

B

90

C

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER

Aşağıdaki form üzerine yanında verilen deseni oluşturunuz.

Aşağıdaki çokgenlerin oluşturduğu desen üzerinden hangi çokgenler silinirse çerçeve içindeki şekil ortaya çıkar?

Ahmet Usta’nın, bir duvara döşediği düzgün altıgen fayanslardan eksilmiş, duvarda ise aşağıdaki gibi bir boşluk oluşmuştur. Ahmet Usta’nın, bu duvarın boşluğunu kapatmak için aynı büyüklükte kaç tane daha düzgün altıgen fayansa ihtiyacı vardır?

91

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER 5.2.5

DÖRTGENLER D

A, B, C ve D herhangi üçü doğrusal olmayan dört nokta olsun. Bu noktaları ardışık olacak biçimde birleştirecek olursak, oluşacak şekle ABCD dörtgeni denir. Yandaki şekilde A, B, C, ve D dörtgenin köşeleri;

C

A

[AB], [BC], [CD] ve [DA] ise kenarlarıdır.

B ABCD dörtgeni

D

C

Şekildeki gibi bir dörtgenin köşelerini birleştirecek olursak, [AC] ve [BD]’ları dörtgenin köşegenleri olur. Paralelkenar, dikdörtgen, kare, eşkenar dörtgen ve yamuk A dörtgen şekillerinden bazılarıdır. Aşağıda günlük yaşantımızda görebileceğimiz pek çok dörtgen modelinden bazıları verilmiştir, inceleyiniz.

Bir binanın kapı, pencere ve duvar yüzeyleri

Bahçe çitleri

Duvar fayansları ve desenleri

Yandaki DEFG dörtgeninde; a, b, c ve d dörtgenin iç açıları, e, f, g ve h ise dış açılarıdır. Eğer dörtgende GE köşegenini çizersek FGE ve GDE şeklinde iki üçgen elde etmiş oluruz. Bu duruma daha önce çokgenler konusunda değinmiştik.

Trafik levha ve şeritleri ile kaldırım taşları

G g

D

f d

a h

B

c

F e

b E

Hatırladım. “Bir dörtgenin iç açılarının ölçüleri o toplamı 360 dir.” Ayrıca, “bir dörtgenin dış açılarının ölçüleri o toplamı yine 360 dir.”

92

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER 5.2.5.1 1

PARALELKENAR VE ÖZELLİKLERİ

Paralelkenarın, karşılıklı kenarları paralel ve karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. . [AB]//[DC], [BC]//[AD] |AB|=|DC|, |BC|=|AD|

C

D

A

dir.

B

ABCD Paralelkenarı 2

Paralelkenarda, karşılıklı açılarının ölçüleri eşittir. D

m(A) = m(C) , m(B) = m(D) dir.

110

Ardışık iki açısının ölçüleri toplamı ise 180o dir. o

m(A) + m(D) = 180 o

m(A) + m(B) = 180

3

o

o

m(B) + m(C) = 180

C

70

o o

110

o

70 A

B

o

m(D) + m(C) = 180

D

Paralelkenarda köşegenler birbirini ortalar. Köşegenlerin kesim noktasına H dersek,

C H

|DH|=|HB| ve |AH|=|HC| dir. A

B

Örnek

N o

Yandaki KLMN paralelkenarında m(M) = 67 ise, diğer iç açıların ölçülerini bulalım.

o

67 K

M

L

Çözüm: Paralelkenarda, karşılıklı açıların ölçüleri eşit ise m(M) = m(K) = 67 dir. o

Ardışık iki açının ölçüleri toplamı 180 ise o

m(M) + m(N) = 180 o o o o m(N) = 180 - 67 = 113 ve m(N) = m(L) = 113 dir. o

93

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Örnek

D

Yandaki ABCD paralelkenarında [BE//[DC] ve o m(DAE) = 56 ise ADC açısının ölçüsü kaç derecedir?

C ? o

E

56

B

A

Çözüm: Şekilde DAE ve DAB açıları bütünler açılar ise, Ayrıca paralelkenarda ardışık iki açının ölçüleri o toplamı 180 olduğundan

Veya şekilde [AE//[DC olduğundan DAE ve ADC iç ters açılardır. Öyleyse,

m(ADC) = 180 - 124 = 56 dir.

m(DAE) = m(ADC)= 56 dir.

m(DAB) = 180 - 56 = 124 dir. o

o

o

5.2.5.2 D

A

o

o

o

56 o

56 E

A

DİKDÖRTGEN VE ÖZELLİKLERİ E

F

E

C

B

F

C

B

AFED dörtgenini [AD] ve [BC] kenarları çakışacak şekilde yerleştirelim.

Dikdörtgende karşılıklı kenar uzunlukları birbirine eşit ve paraleldir. Bu özellik dikdörtgenin özel bir paralelkenar olduğunu ve paralelkenarın bütün özelliklerini taşıdığını gösterir. [AB]//[DC] ve [AD]//[BC] |AB|=|DC| ve |AD|=|BC|

dir.

2 Köşegen uzunlukları birbirine eşit ve birbirini ortalar.

|AC| = |BD|

Oluşan şekil bir dikdörtgendir.

D

C

A

B

D

C

ve H

H orta nokta olmak üzere; |AH|=|HC|=|DH|=|HB| dir.

94

o

o

ABCD paralelkenarını AFED ve FBCE olacak şekilde iki dörtgene ayıralım. 1

D

A

B

C

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER o

3

İç açılarının ölçüleri eşit ve her biri 90 dir.

4

İç açılarının ölçülerinin her biri 90 ve dört kenar uzunluğu da eşit olan özel dikdörtgene kare denir. Karede; 1) köşegen uzunlukları birbirine eşit ve birbirini dik ortalar.

o

M

N

P

o

45

o

45

K

2) Köşegenler, iç açıların açıortaylarıdır.

o

o

45

45

D

Örnek

o

36

?

o

Yandaki ABCD dikdörtgeninde m(DCA) = 36 ise, DKC ve ADB açılarının ölçüsü kaç derecedir?

L

?

K B

A

Çözüm: Dikdörtgende köşegenler birbirini ortaladığından, DKC üçgeni ikizkenar üçgendir. Bu durumda,

C

Dikdörtgende her bir iç açının ölçüsü 90o ve o

m(KDC) = 36 ise,

o

m(DCK) = m(KDC) = 36 ise,

o

o

o

m(ADB) = 90 - 36 = 54 dir.

o

m(DKC) = 108 dir.

C

D

Örnek

?

Yandaki ABCD karesinde [AC] köşegendir.

o

m(DEC) = 80 ise, ADE açısının ölçüsü kaç

80

derecedir?

E

o

A

B

Çözüm: o

[AC] köşegen ise, m(ECD) = 45 dir. o

o

o

EDC üçgeninden m(EDC) = 180 - 125 = 55 dir. Karenin her bir iç açısının ölçüsü 90o ise, o

o

o

m(ADE) = 90 - 55 = 35 dir. Siz de ADE açısının ölçüsünü bir başka yoldan bulunuz.

95

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER 5.2.5.3 1

EŞKENAR DÖRTGEN VE ÖZELLİKLERİ

Eşkenar dörtgen, dört kenarının uzunluğu da eşit olan özel bir paralelkenardır. Bu nedenle paralelkenarın tüm özelliklerini taşır.

C

D

B

|AB|=|DC|=|BC|=|AD|

a

[AB]//[DC] ve [BC]//[AD] dir.

2

C a

a

dir.

B

D

Ayrıca, o

m(A) + m(D) = 180 ,

o

m(B) + m(C) = 180

o

a

a

o

m(A) + m(B) = 180 ve m(D) + m(C) = 180 dir.

2

a A

Karşılıklı açılarının ölçüleri eşit ve ardışık olan açıların o ölçüleri toplamı 180 dir. m(A) = m(C) ve m(B) = m(D)

a

a

A

Eşkenar dörtgenin köşegenleri birbirini dik ortalar ve iç açılarının açıortaylarıdır.

C a

a

[AC] ^ [BD] dir.

.

D .

Ayrıca, m(DAE) = m(BAE) = m(DCE) = m(BCE)

ve

m(CBE) = m(ABE) = m(CDE) = m(ADE)

dir.

. .

E

B

a

a

A

Kare, dikdörtgenin ve eşkenar dörtgenin özel bir halidir. Ayrıca, hepsi paralelkenarın özel durumlarıdır.

Kare

96

Dikdörtgen

Eşkenar dörtgen

Paralelkenar

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER M

Örnek Yandaki KLMN eşkenar dörtgeninde o m(PLK) = 52 dir. Buna göre, NML açısının ölçüsü kaç derecedir?

N

P

o

L

52

K

Çözüm: Eşkenar dörtgende [NL], N ve L açılarının açıortayı ise,

M

o

m(NLK) = m(NLM) = 52 dir. Bu durumda o

o

o

m(KLM) = 52 + 52 = 104 dir. o

o

52 o

N

o

Ardışık açılarının ölçüleri toplamı 180 ise,

P

L

o

52

o

m(NML) = 180 - 104 = 76 dir. K

Örnek C

Yandaki ABCD eşkenar dörtgeninde o m(DCB) = 100 dir. Buna göre, ADB açısının ölçüsü kaç derecedir?

o

100

D

B

?

Çözüm:

A

Eşkenar dörtgende, o

o

o

o

m(DCB) + m(ADC) = 180 ise, m(ADC) = 180 - 100 = o80 dir. o 80 DB köşegeni açıortaydır. Bu durumda m(ADB) = = 40 dir 2 S

Örnek

?

Yandaki PRST eşkenar dörtgeninde [TR]^[SM] o ve m(TRP) = 43 dir. Buna göre, TSM açısının ölçüsü kaç derecedir?

.

T

M

o

43

R

P

Çözüm: o

Eşkenar dörtgenin özelliklerinden m(MRP) = m(MTS) = 43 dir. o

[TR]^[SM] ise, m(TMS) = 90 dir. Buna göre, TMS üçgeninde o

o

m(TMS) + m(MTS) + m(TSM) = 180 olduğundan m(TSM) = 47 dir.

97

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER D

r

[AB] // [DC] dir. 2

o

ve

o

dir.

m(B) + m(C) = 180

3

A

B

alt taban C

D

ABCD yamuğunda [AB]//[DC] olduğundan m(A) + m(D) = 180

üst taban C

nar yan ke

Yamuğun iki kenarı paraleldir. Paralel olan bu kenarlara taban, diğer kenarlara ise yan kenarlar denir. Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenar, yamuğun özel durumlarıdır.

ken a

1

YAMUK VE ÖZELLİKLERİ

yan

5.2.5.4

B

A

Paralel olmayan kenarların uzunlukları eşit olan yamuğa ikizkenar yamuk denir. ([AB]//[DC] dir)

C

D

|AD|=|BC| dir. 1) Aynı tabana ait açıların ölçüleri eşittir.

B

A

m(A) = m(B) ve m(D) = m(C) dir. C

D

2) Köşegenlerin uzunlukları eşittir. |AC| = |BD| dir.

B

A 4

Yan kenarlarından biri tabanlara dik olan yamuğa dik yamuk denir.

D

A

98

C

B

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER Örnek

C

D

ABCD yamuğunda [AB]//[DC] dir. o

o

?

132

o

m(DAB) = 60 ve m(BCD) = 132 ise, ADC ve ABC açılarının ölçülerini

o

bulalım.

?

60

A

B

Çözüm: o

o

o

Şekilde [AB]//[DC] ise, m(ADC) = 180 - 60 = 120 dir. (bütünler açılar) o

o

o

Aynı şekilde, m(ABC) = 180 - 132 = 48 dir. (bütünler açılar)

Örnek

D

C ?

ABCD dik yamuğunda [AC] ^ [BC] dir. o m(B) = 50 ise, DCA açısının ölçüsü kaç derecedir?

o

50

A

B

Çözüm: o

ABCD dik yamuğu bir dörtgendir. Dörtgenin iç açılarının ölçüleri toplamı 360 ise, o

m(CBA) + m(BAD) + m(ADC) + m(DCB) = 360 o

o

o

o

50 + 90 + 90 + m(DCB) = 360

o

o

m(DCB) = 130

o

o

ise, m(DCA) = 130 - 90 = 40 dir.

Örnek

D

C

Yandaki ABCD yamuğunda [AB]//[DC] ve [DE]//[BC] dir.

?

o

|BC|=|AE| ve m(DAB) = 70 ise, BCD açısının ölçüsü kaç o

derecedir?

70 A

Çözüm: ABCD yamuğunda [DE]//[BC] ise,

D

|BC|=|DE| dir. (EBCD paralel kenardır)

70

m(ADE)=70 dir.

?

o

|AE|=|ED| ise, DAE ikizkenar üçgendir ve o

C

A

o

70

E

B o

m(AED) = m(CBE) = 40 (Yöndeş açılar) karşılıklı açılardan ise,

o

40

o

E

o

o

m(BCD) = 180 - 40 = 140 dir.

o

40

B

o

Bu durumda m(AED)=40 olur.

99

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Alış rmalar

D. .

ñ

1) Yandaki ABCD paralelkenarında [DE] açıortaydır. o

m(BCD)=60 ise, DEA açısının ölçüsü kaç derecedir?

?

A

B

E

C

D

2) Yandaki ABCD Eşkenar dörtgeninde

50

o

|ED|=|EC| ve

ñ

C

o

60

o

E

m(EDC) = 50 ise, CFB açısının ölçüsü kaç derecedir?

A

B

D

3) Yandaki ABCD yamuğunda [AB]//[DC] ve

C

?

o

|BC|=|CD| dir. m(DBA) = 40 ise,

ñ

F

?

DCB açısının ölçüsü kaç derecedir? o

40

A

B

N

4) Yandaki KLMN yamuğunda [KL]//[NM] ve

M

o

ñ

|KN|=|MN| dir. m(NKM) = 20 ise, o

MKL açısının ölçüsü kaç derecedir?

20 x

K

L

T

5) Yandaki PRST yamuğunda [PR]//[TS] ve

S

ñ

[PS] açıortaydır. o

m(TPR) = 52 ise, PTS açısının ölçüsü kaç derecedir?

100

. P

.

R

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER E

ñ

6) Şekildeki ABCD paralelkenardır. o

o

m(EAB) = 46 , m(CBA) = 75 ise, DAF açısının ölçüsü kaç derecedir?

F

D ? A

C

o

75 o

46

B

D

7) Yandaki ABCD dikyamuğunda

C

[AC], DCB açısının açıortayıdır.

ñ

o

m(ABC) = 150 ise, DAC açısının ölçüsü

?

kaç derecedir?

0

150 B

A

K

ñ

8) Şekilde KLMN eşkenar dörtgendir. o

m(LKM) = 32 ise, KNM açısının

320

ölçüsü kaç derecedir?

L

N

?

M

F

D

9) Şekilde ABCD kare ve DEA ise, eşkenar

C

üçgendir. Buna göre, DEF açısının ?

ölçüsü kaç derecedir?

E

B

A

D

ñ

10) Yandaki şekilde AFCD paralelkenar

C ?

o

ve |EC|=|BC|dir. m(CEB) = 45 ve

o

70

o

ñ

m(FCB) = 70 ise, ADC açısının ölçüsü kaç derecedir?

o

A

E

45

F

B

101

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER DİKDÖRTGENDE ÇEVRE VE ALAN

5.2.5.5

Bir şeklin çevresinin uzunluğu, o şeklin etrafının uzunluğudur. Şeklin b kenarı 5 birim, a kenarı ise 3 birim a olduğuna göre, şeklin çevresi, 5 + 3 + 5 + 3 = 16 br dir.

b a b

Alan, kapalı bir yüzey içerisindeki birim kare miktarıdır. Bu durumu dikdörtgen için yatay ve dikey kenarlardaki kare sayılarının çarpımı gibi kısa yoldan bulabiliriz. Şekilde, birim karelerden oluşan dikdörtgenin a kenarı 4 birim, b kenarı 7 birimdir. Dikdörtgenin yüzeyinde ise

a b

4 x 7 = 28 birim kare vardır.

Genel olarak dikdörtgenin çevresini, Ç=a+b+a+b Ç = 2x(a + b) şeklinde ifade ederiz.

Bu durumda dikdörtgenin alanı, A = uzun kenar x kısa kenar dır. Kısaca, A = a x b şeklinde ifade edilir.

Örnek 8m

Yandaki dikdörtgende verilenlere göre çevresini ve alanını hesaplayınız.

16 m

Çözüm: Didörtgenin çevresi 2 x ( 8 + 16) = 2 x 24 = 48 m ve alanı ise 8 x 16 = 128 m2 dir.

11 cm

E D

A

C

3 cm

Yandaki şeklin alanı 67 cm2 dir. Şeklin tüm köşeleri dik olduğuna göre, çevresinin uzunluğu kaç cm dir?

5 cm

F

Örnek

B

Çözüm: Çevre uzunluğunu bulmak için |DC| ve |AB|’nu bilmemiz gerekir. Öncelikle şekli dikdörtgen bölgelere ayıralım. A = 5 x 11 = 55 cm 2

12 cm2

Büyük dikdörtgenin alanı 55 cm2 dir. Küçük dikdörtgenin alanını, tüm şeklin alanından büyük dikdörtgenin alanını çıkarıp buluyoruz. 67 cm2 - 55 cm2 = 12 cm 2 küçük dikdörtgenin alanıdır.

3 cm

5 cm

11 cm

11 cm

5 cm

102

3 cm

2 cm 3 cm

11 cm

4 cm

4 cm

Şimdi DC uzunluğunu bulabiliriz. |DC| = 12 : 3 = 4 cm dir. DE uzunluğunu D noktasından FA kenarına dik doğru parçası çizerek elde edebiliriz. Bu durumda şeklin çevresi, 11 + 4 + 3 + 4 + 2 + 11 + 5 = 40 cm dir.

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER Kare, dikdörtgenin özel bir halidir. Öyleyse kareye, dikdörtgen konusu içerisinde yer verebiliriz. Aşağıda bir karenin çevresine ve alanına ait bilgiler verilmiştir. 3

3

3

Yanda bir kenarı 1 br olan kareler büyük 3 kareyi oluşturuyor. Bu durumda büyük karenin çevresi; 3 + 3 + 3 + 3 = 12 br dir.

Genel olarak bir kenarının uzunluğu “a” birim olan karenin çevresi, Ç=a+a+a+a = 4a dır.

Şekilde görülen küçük karelerin herbirinin a kenarı 1 br ise, büyük mavi karenin bir kenarı a 4 br ve alan ise, 4 x 4 = 16 br 2 dir. Genel olarak bir kenarının uzunluğu “a” birim olan karenin alanı, A=axa = a2 dir.

Örnek

D

Şekilde ABCD dikdörtgen ve GBEF ise karedir. |BE|=|EC| ve |DC|= 10 cm dir. Karenin çevresi 12 cm olduğuna göre, mavi zeminin alanı kaç cm2 dir?

A

C F

E

G

B

Çözüm: Şekilde karenin çevresi 12 cm ise, bir kenar uzunluğu, 12 : 4 = 3 cm dir. Bu durumda, |BE|=|EC|= 3 cm ve |BC|= 6 cm olur. Mavi zeminin alanını bulmak için dikdörtgenin alanından, karenin alanını çıkarmalıyız. (Dikdörtgenin alanı) - (Karenin alanı) = (10 x 6) - (3 x 3) = 60 - 9 = 51 cm2 dir. Örnek Yandaki şekil eş karelerden meydana gelmiştir. Şeklin alanı 60 cm2 ise çevresi kaç cm dir? Çözüm: 2

Şekil, 15 eş kareden oluştuğuna göre, bir karenin alanı, 60 : 15 = 4 cm dir. Bu durumda, her bir karenin bir kenar uzunluğu 2 cm dir. Şeklin çevresi ise, şekil 32 kare kenarından oluştuğuna göre, 32 x 2 cm = 64 cm dir.

103

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER PARALELKENARDA ÇEVRE VE ALAN

5.2.5.6

b

D

C

D

a

a A

b

Yukarıda kareli form üzerine çizilmiş dikdörtgenin içerisindeki kareleri sayalım.

a

A

B

C

B

b

Dikdörtgeni D ve C noktalarından 3 kare sağa kaydırıp, oluşan paralelkenar içerisindeki kareleri sayalım.

Yukarıda hem dikdörtgen hem de paralelkenar içerisinde 15'er kare olduğu görülmektedir. Bu durumda dikdörtgenin alanından yararlanarak paralelkenarın alanını yazabiliriz. Bir paralelkenarın alanı, taban uzunluğu ile o tabana ait yükseklik uzunluğunun çarpımına eşittir. a

Alan = a x b

a, dikdörtgende kenar uzunluğudur. Fakat paralelkenarda ise b’ye ait yükseklik r ve ha şeklinde gösterilir.

a Alan = a x b

b

b (taban)

Dikdörtgen

Paralelkenar

Paralelkenarın çevresinin uzunluğu ise, karşılıklı kenarları eşit uzunlukta olduğu için ardışık iki kenar uzunluğunun toplamının iki katıdır.

Örnek Aşağıdaki paralelkenarlarda verilenlere göre alanlarını hesaplayalım. A)

C

7 cm

B)

D

8 cm

A

B

Çözüm: A) Şekildeki paralel kenarda |AD|=|BC|= 12 cm dir. Bu durumda |BC|’na ait yükseklik 7 cm olur. Şeklin alanı ise 12 x 7 = 84 cm2 dir.

104

C

H

12 c

m

D

A 3 cm B

H

B) Bir tabana ait yükseklik bazen şeklin dışında olabilir. Verilen şekilde|CH|, AB tabanına ait yüksekliktir. Bu durumda şeklin alanı, 3 x 8 = 24 cm2 dir.

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER Örnek

D h

b

Yandaki paralelkenarda |AB|= 12 cm, ha = 8 cm ve h = 16 cm ise, BC uzunluğu kaç cm dir?

C

ha

b

F

Çözüm:

A

H

B

Önce paralelkenarın alanını bulalım. |AB| x ha = 12 x 8 = 96 cm2 dir. Bu durumda 2

|BC| x hb = |BC| x 16 = 96 cm ve

|BC| = 96 : 16 = 6 cm dir.

EŞKENAR DÖRTGENDE ÇEVRE VE ALAN

5.2.5.7

D

M

N A

K

C

D

L

N

B

A

Yukarıda kareli form üzerine çizilmiş dikdörtgenin kenarlarının orta noktalarını birleştirip, KLMN eşkenar dörtgeni elde edilmiştir.

M f e K

C L B

Bu eşkenar dörtgenin e ve f köşegenlerini çizersek, oluşan şekilde ABCD dörtgeninin alanı 8 eş parçaya bölünmüş olur. Bu durumda, KLMN eşkenar dörtgeni, ABCD dikdörtgeninin alanının yarısına eşittir.

|AD|=|MK|= f ve |AB|=|NL|= e olmasından, KLMN eşkenar dörtgeninin alanı, A = e x f 2

dir.

Eşkenar dörtgenin alanı, köşegen uzunlukları çarpımının yarısına eşittir. Eşkenar dörtgen, paralelkenarın özel bir hali olduğu için eşkenar dörtgenin alanını, kenar uzunluğu ile o kenara ait yükseklik uzunluğunu çarparak da bulabiliriz. Eşkenar dörtgenin dört kenarı da eşit uzunluktadır. Öyleyse, çevresinin uzunluğu bir kenar uzunluğunun dört katına eşittir. Bir kenarının uzunluğu “a” ise çevresi Ç = 4a

olur.

105

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Örnek Aşağıda kareli form üzerinde verilen eşkenar dörtgenlerin alanlarını bulalım. A)

B)

Çözüm: A) Şekilde verilen eşkenar dörtgenin köşegenlerini çizelim. Kareli zemine göre, e = 6 br ve f = 6 br dir. e f Şeklin alanı ise,

B) Verilen eşkenar dörtgenin köşegenlerini çizelim. Kareli zemine göre, e = 12 br ve f = 6 br dir. e f Şeklin alanı ise,

6x6 = 18 br2 dir. 2

12 x 6 = 36 br2 dir. 2

Örnek

D

Yandaki ABCD eşkenar dörtgeninin 2 alanı 60 cm dir. |AC|= 12 cm olduğuna göre, BD uzunluğu kaç cm dir?

C

A

B

Çözüm: Eşkenar dörtgenin alanı ve bir köşegen uzunluğu verildi. Diğer köşegen uzunluğu sorulduğuna göre, 12 x |BD| = 60 cm2 2 6 x |BD| = 60 ve |BD|= 10 cm dir.

106

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER

C E A

cm 9

ABCD eşkenar dörtgeninde |AE|= 6 cm ve |BE|= 9 cm dir. Buna göre eşkenar dörtgenin alanı kaç cm2dir?

D

6c m

Örnek

B

Çözüm: Eşkenar dörtgende köşegenlerin birbirini dik ortaladığını biliyoruz. Öyleyse, |AC|= 12 cm ve |BD|= 18 cm dir. Şeklin alanı ise, 12 x 18 = 108 cm2 dir. 2 D

Örnek A

C

m

6 cm olan yandaki ABCD eşkenar dörtgenin

6c

Çevresi 28 cm ve bir kenara ait yüksekliği alanını hesaplayalım.

B

Çözüm: Eşkenar dörtgenin dört kenarıda eşit uzunlukta ise, bir kenar uzunluğu, 4 x a = 28 cm ve a = 7 cm dir. Şeklin alanı ise, 7 x 6 = 42 cm2 dir.

Örnek

D

C

ABCD eşkenar dörtgeninin alanı 80 cm2dir.

10 cm

[CE]^[AE] ve |CE|= 10 cm olduğuna göre, ABCD eşkenar dörtgeninin çevresi kaç cm dir?

A

B

E

Çözüm: Eşkenar dörtgende AB kenarına ait yükseklik 10 cm dir. Bu durumda, 2 |AB| x 10 = 80 cm ve |AB|= 8 cm dir. Eşkenar dörtgenin çevresi ise, 4 x 8 = 32 cm dir.

107

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER 5.2.5.8

YAMUKTA ÇEVRE VE ALAN b

b

b

h

h a

a

h

h a

a

b

Yamuklardan birini ters çevirip diğer yamuğun kenarıyla birleştirirsek, bir paralelkenar elde ederiz. Yukarıdaki paralelkenarın alanı (a + b) x h dir. Şekil iki eş yamuktan oluştuğuna göre, bir yamuğun alanı, (a + b) x h A= dir. 2

Alt taban uzunluğu “a”, üst taban uzunluğu “b” ve yüksekliği “h” olan eş yamuklardan iki tane kareli form üzerine çizelim.

Yamuğun alanı, alt ve üst taban uzunluklarının toplamının, yükseklik uzunluğu ile çarpımının yarısına eşittir. Yamuğun çevresinin uzunluğu; dört kenar uzunluğunun toplamına eşittir. Kare, dikdörtgen, eşkenar dörtgen ve paralelkenar, yamuğun özel durumlarıdır.

Örnek Aşağıda kareli form üzerinde verilen yamukların alanlarını bulunuz. A)

B)

Çözüm: A) Şekilde verilen yamuğun kareli zemine göre, alt tabanı 9 br, üst tabanı 6 br ve yüksekliği 6 br dir. Öyleyse, şeklin alanı, 6 (9 + 6) x 6 = 45 br2 dir. 2

108

6 9

B) Verilen yamuğun kareli zemine göre, alt tabanı 10 br, üst tabanı 6 br ve yüksekliği 4 br dir. 6 4 Şeklin alanı ise, 10 (10 + 6) x 4 = 32 br2 dir. 2

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER Örnek

D

ABCD dikdörtgen |DC|= 15 cm |BC|= 6 cm ve |AE|=|EF|=|FB| dir. Buna göre EFCD yamuğunun alanı kaç cm2 dir?

C

A

E

F

B

Çözüm: ABCD dikdörtgeninde |DC|=15 cm ve |AE|=|EF|=|FB| ise |EF|= 15 : 3 = 5 cm dir. D

Yamuğun yüksekliği olan |BC|= 6 cm’dir. Bu durumda

C

6 cm

(5 + 15) x 6 = 60 cm2 dir. 2

yamuğun alanı,

15 cm

6 cm

A 5 cm E 5 cm F 5 cm B

Örnek

N

Yandaki KLMN ikizkenar yamuğunda [KL]//[NM] dir. |KP|=|RL|= 6 cm,|NM|= 10 cm ve PRMN dikdörtgeninin alanı 150 cm2 dir. Buna göre, KLMN yamuğunun alanını bulunuz.

K

Çözüm:

10 cm

P

L

R 10 cm

N

İkizkenar yamukta, |KP|=|RL|= 6 cm, |NM|=|PR|= 10 cm dir. Öyleyse,

M

M

15 cm 150 cm2

|KL|= 22 cm olur. PRMN dikdörtgeninin alanı 150 cm2 ise

K 6 cm P 10 cm R 6 cm L

|PN|= 15 cm dir. Buna göre yamuğun alanı, (10 + 22) x 15 = 240 cm2 dir. 2 Hatırlatma

Bir üçgenin alanı; üçgenin herhangi bir kenarının uzunluğu ile yine bu kenarına ait yüksekliğinin çarpımının, yarısına eşittir. h a Alan =

b

h a

axh 2

Alan =

a axb 2

Alan =

axh 2

109

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Örnek

D

Yandaki ABCD yamuğunun alanı 120 cm 2 dir. [AD] // [EC], |DC|= 12 cm ve |AB|= 18 cm ise, CEB üçgeninin alanı kaç cm2 dir?

12 cm

C

B A E ----------------- 18 cm -----------------

Çözüm: CEB üçgeninin alanını bulmak için öncelikle yamuğun AB kenarına ait yüksekliğini bulmamız gerekir. ABCD yamuğunun alanından,

D

(12 + 18) x h = 120 cm2 ise, 2 30 . h = 120 ve h = 8 cm dir. 2

12 cm

h = 8 cm

C

h

B E 6 cm 12 cm ---------------- 18 cm ---------------

A

Yüksekliği elde ettikten sonra CEB üçgeninin alanını iki yoldan bulabiliriz. 1) Yamuğun alanından, AECD paralelkenarının alanını çıkararak. A(CEB) = 120 - (12 x 8) = 120 - 96 = 24 cm2 dir. 2) Bulduğumuz yükseklik aynı zamanda üçgenin EB kenarına ait yüksekliktir. |EB|= |AB|-|AE| ise, A(CEB) = 6 x 8 = 24 cm 2 dir. 2

Örnek Aşağıda kareli zeminde verilen şekillerden hangilerinin alanları birbirine eştir?

Dikdörtgen

Çözüm:

Eşkenar Dörtgen

Yamuk

Paralelkenar

Dikdörtgenin alanı, 7 x 4 = 28 br 2 dir. Eşkenar dörtgenin alanı, 6 x 8 = 24 br 2 dir. 2 (8 + 4) x 4 2 Yamuğun alanı, = 24 br 2 ve paralelkenarın alanı, 7 x 4 = 28 br dir. 2 Bu durumda dikdörtgen ile paralelkenarın, eşkenar dörtgen ile de yamuğun alanı eştir.

110

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER Örnek Yandaki kareli formda verilen şeklin alanı kaç br 2 dir.

Çözüm: Şekli yandaki gibi iki bölüme ayırırsak, üsteki paralelkenar altaki ise yamuk olur.

2

Paralelkenarın alanı, 6 x 4 = 24 br ve yamuğun alanı, (10 + 6) x 6 = 48 br 2 olur. 2 Tüm şeklin alanı ise, 24 + 48 = 72 br 2 dir.

Örnek Yanda verilen dikdörtgen şeklindeki kumaş parçası AB doğru parçası boyunca kesilmiş ve sağ taraftaki kısmı ile 63 tane sandalye kaplanmıştır.

18 m

|CF| = 18 m, |AD|= 15 m ve |EB|= 6 m olduğuna göre, bir sandalyeyi kaplamak için kaç m2 kumaş gereklidir?

C

Çözüm: Dikdörtgen şeklindeki kumaş parçasını AB boyunca kesersek kullanılacak kumaş parçası dik yamuk şeklinde olur. (|CF|=|DE|= 18 m dir.)

B 6m E 18 m A 15 m D

A

15 m

D

dik yamuğun alanı, (15 + 6) x 18 2 = 189 m dir. 2 Bir sandalyeyi kaplamak için ise, 2

189 : 63 = 3 m kumaş gereklidir.

Örnek Şekilde KALD eşkenar dörtgen, ABCD ise dik yamuktur. 2 Eşkenar dörtgenin alanı 60 cm dir. |KL|= 12 cm, |AB|= 7 cm ve |DC|= 3 cm ise boyalı bölgenin toplam alanı kaç cm2 dir?

B 6m E

F

D 3cm C

K

L

A

7 cm

B

Çözüm: 12 x |DA| Eşkenar dörgenin alanından, = 60 ise |DA|= 10 cm dir. [DA], Dik yamuğun yüksekliğidir. 2 (7 + 3) x 10 2 Yamuğun alanı, = 50 cm dir. Boyalı bölgenin alanını bulmak için, Yamuğun alanından 2 eşkenar dörtgenin yarı alanını çıkarmalıyız. Buna göre boyalı alan, 50 - 30 = 20 cm2 dir.

111

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER 40 m

A.

Örnek Şekildeki gibi bir tarlayı 50 m uzunluğundaki [AB] ile iki bölgeye ayırıp, alanı küçük olan bölgeye patates, büyük olan bölgeye ise havuç ekilecektir. Buna göre, aşağıda verilen ifadelerin doğru veya yanlış olma durumunu araş�ralım.

50 m B.

100 m

40 m

60 m

A) Havuç ekili alan 2200 m2 dir. B) Patates ekili alan eşkenar dörtgen şeklindedir. C) Patates ekili alanın, havuç ekili alana oranı 1 dir. 2

.

30 m

.

Çözüm: Verilen şekil üzerinde 50 m uzunluğundaki [AB]’nı çizelim. Oluşan iki bölgeden biri paralelkenar, diğeri ise dik yamuk

A.

şeklindedir.

40 m 50 m

50 m

Yüksekliği 40 m olan paralelkenarın alanı, 40 x 40 = 1600 m2 dir.

. 30 m B

100 m

Dik yamuğun alanı ise,

60 m

(100 + 60) x 30 = 2400 m2 dir. Bu durumda, 2 A) Büyük olan bölgeye havuç ekilecek ve alanı 2400 m2 dir. B) Patates ekili alan dikyamuk şeklindedir.

40 m

.

30 m

.

C) Patates ekili alanın, Havuç ekili alana oranı 1600 = 2 tür. 2400 3

Örnek Aşağıda kareli form üzerinde verilen kırmızı çizgileri eşkenar dörtgen olacak şekilde tamamlayınız. Mavi çizgi eşkenar dörtgenin köşegeni olacak

112

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER Örnek Aşağıda kareli form üzerinde verilen kırmızı çizgileri istenilen şekle göre tamamlayınız. Dik Yamuk

5.2.5.9

İkizkenar Yamuk

ÇEVRE - ALAN İLİŞKİSİ Aşağıda birim karelerden oluşan şekillerin çevre ve alanlarını inceleyelim.

Alan = 6 br2 Çevre = 14 br

Alan = 10 br2 Çevre = 14 br

Alan = 12 br2 Çevre = 14 br

Çevre uzunlukları eşit olan dikdörtgenlerden kenar uzunlukları birbirine yakın olan şekillerin alanları daha büyüktür.

Dikdörtgenin çevre ve alanı, kenar uzunlukları yardımıyla hesaplandığını biliyoruz. Çevresi büyük olan dikdörtgenin alanının da büyük olacağı düşünülebilir, fakat bu her zaman doğru değildir.

113

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Aşağıda 7 birim kare ile oluşturulan çeşitli çokgenlerin, çevre ve alanlarını inceleyelim.

Alan = 7 br2 Çevre = 12 br

Alan = 7 br 2 Çevre = 16 br

Alan = 7 br 2 Çevre = 14 br

Alanları aynı olmasına rağmen şekillerin çevre uzunlukları farklı olabiliyor. Birim karelerin bitişik kenar sayısı ne kadar az olursa çevre uzunluğu o kadar fazla olmaktadır.

Örnek Aşağıda kareli formda verilen şekillerden hangisinin çevre uzunluğu diğerlerinden farklıdır?

1

2

3

4

Çözüm: 1. şeklin çevresi 16 birim, 2. şeklin çevresi 22 birim, 3. şeklin çevresi 16 birim ve 4. şeklin çevresi ise 16 birimdir. Bu durumda 2. şeklin çevresi diğerlerinden farklıdır. Örnek Alanı 36 cm2 olan dikdörtgenin kenar uzunlukları cm cinsinden birer tam sayıdır. Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az kaç cm dir? Çözüm: Bitişik kenar sayısı ne kadar çok olursa, çevre uzunluğu o kadar az olmaktadır. Şeklin alanı 36 cm2 olduğuna göre, 6 cm x 6 cm biçiminde özel bir dikdörtgen olan kare modelini kullanabiliriz.

114

Şekli oluşturan eş karelerin bir kenarı 1 cm dir.

Kare şeklindeki bu modelin çevresi 4 x 6 cm = 24 cm dir. Oluşturacağımız kenar uzunlukları tam sayı ve 36 cm2 alanlı diğer dikdörtgenlerin çevre uzunlukları 24 cm’den büyük olacaktır.

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER Alış rmalar 1) Aşağıda bir kenar uzunlukları ve yükseklikleri verilen paralelkenarların alanlarını hesaplayınız. D

N

C

14 cm

2) Yandaki ABCD dikdörtgenin çevresi 78 cm ve kısa kenarı 13 cm ise, alanı kaç cm2 dir?

K 6 cm L

H

B D

C

13 cm

A

m 18 c

m 15 c

H

M

A

2 cm

4 cm

2 cm

12 cm

3) Yandaki şeklin verilenlere göre, çevresini ve alanını hesaplayınız. (Şeklin tüm köşeleri diktir.)

B

2 cm

5 cm

5 cm

5) Kısa kenarı 20 cm, uzun kenarı 150 cm olan dikdörtgen şeklindeki parkeler, kare şeklinde ve alanı 9 m2 olan bir odanın tabanını tamamen örtecek biçimde döşenecektir. Bunun için kaç adet parke gereklidir?

N

R

K

P

M

12 cm

4) Yandaki şekilde KLMN dikdörtgen, KPRN ise karedir. [PR]^[NM] |NM|= 15 cm ve |LM|= 12 cm olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir?

20 cm

L

150 cm

6) Köşegen uzunlukları 8 cm ve 10 cm olan eşkenar dörtgenin alanı kaç cm2dir?

115

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER D

7) Şekilde ABCD dikdörtgen ve köşeleri dikdörtgenin kenarları üzerinde olan GHEF ise eşkenar

G

C F

H

dörtgendir.|AB|= 13 cm ve |DA|= 8 cm ise, 2

boyalı bölgenin alanı kaç cm dir?

A

B

E C

8) Yandaki ABCD eşkenar dörtgeninde [CE]^[BE], |EB|= 3 cm |CE| = 4 cm 2

ise, boyalı bölgenin alanı kaç cm dir?

D

B

E

A D

9) Yandaki ABCD dik yamuğunda verilenlere göre, alanını hesaplayınız.

7 cm

C

10 cm

A D

x+2

h=8 cm

B

3x - 4

D

11) Şekilde ABCD yamuk ve

C

-6

A

x

2x

10) Yandaki yamuğun yüksekliği 9 cm ve çevresi 48 cm ise şeklin alanını hesaplayınız.

E 6 cm B

8 cm

C

AECD paralelkenardır. 2

EBC üçgeninin alanı 20 cm, |DC|= 8 cm ve |AB|= 13 cm ise, ABCD yamuğunun alanı kaç cm2dir?

A

E

12) Alanı 24 cm2 ve kenar uzunlukları tam sayı olan kaç farklı dikdörtgen çizilebilir?

116

B

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER 13) Aşağıda aynı sayıda birim karelerden oluşmuş şekillerden hangisinin çevre uzunluğu daha büyüktür?

130 cm

14) Bir usta, yanda ölçüleri verilen mermerin tamamını kullanarak tezgah yapacaktır. Usta kaç m2 mermer kullanacaktır?

26 cm 98 cm

50 cm 45 cm

15) Aşağıda kareli zemin üzerine çizilmiş şekillerin alanlarını hesaplayınız.

Paralelkenar

Eşkenar Dörtgen

Yamuk

16) Aşağıdaki tabloda verilen şekillerin tümünü kullanmak koşuluyla en alttaki şekillerden hangisi oluşturulamaz?

x

x x

x 2x

x

x x

x

2x

2x x

x

x

2x

x 3x

117

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Bölüm Değerlendirme Tes 1) Aşağıdaki birim karelerden yararlanarak yandaki açıya eş bir açı çiziniz.

135°

2) Aşağıdaki birim karelerden yararlanarak verilen açıların açıortaylarını çiziniz.

C

128°

3) Şekilde [CD//[BA dır. o

E

o

ñ

m(FBA) = 156 ve m(ECD)= 128 ise,

ñ

D

A

BEC açısının ölçüsü kaç derecedir?

156°

K

4) Yandaki şekilde ABCD ve KLBM dikdörtgendir. |BC|=|KM|= 8 cm ve |DC|=|KL|= 10 cm ise,

D

A) şeklin çevresi kaç cm dir? B) mavi bölgelerin alanları toplamı kaç cm dir? 2

A

B F

M C

L

B

5) Kare şeklindeki bir arsanın çevresi 400 m dir. Bu arsanın %36’sına ev yapıldığına göre, bahçe için kaç m2 yer kalmıştır?

118

BÖLÜM 2: ÇOKGENLER 6) Yandaki şekilde ABCD paralelkenar, DEF dik üçgen ve EGHF ise karedir. |AG|=|GH|=|HB| ve DEF dik üçgeninin alanı 6 cm2dir. |EF|= 4 cm ise boyalı kısmın alanını hesaplayınız.

D

7) Yandaki şekilde ABCD dikdörtgen, KLMN ve NPRS ise eş iki eşkenar dörtgendir. L, [AD]’nın, R, [BC]’nın orta noktası olmak üzere, |AB|= 20 cm, |BC|= 8 cm ise, 2 boyalı bölgenin alanı kaç cm dir?

D

H

=

G

F

4 cm

=

A

=

E

C

B

S

K N

L A

C R

M

P

B

A

8) Yandaki mavi şekil 6 eş eşkenar dörtgenden meydana gelmiştir. Şeklin alanı 120 cm2 dir. |AB|= 16 cm ise, bir eşkenar dörtgenin köşegen uzunlukları toplamı kaç cm dir? B

D

9) Yandaki ABCD dik yamuğunda

7 cm

C

DEA diküçgeninin alanı 24 cm2 dir. Şekilde verilenlere göre, ABCD yamuğunun alanı kaç cm2dir?

A

6 cm

B

E

D 8 cm E

C

A 4 cm F

B

10) Yandaki ABCD karesinde |DE|= 8 cm, |AF|= 4 cm ve AFED dörtgeninin alanı 2 66 cm ise FBCE dörtgeninin alanı kaç cm2 dir?

119

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER t

Ünite Değerlendirme Tes

o

1) Şekilde m//k dir. Buna göre, b + d + g toplamı kaça eşi�r? A) 210

B) 220

C) 222

d

A

2x

o

3x - 24

C

C) 40

k

D) 242

2) Şekilde [AB//[CD dir. Verilenlere göre, BAC açısının ölçüsü kaç derecedir? B) 42

m

g

B

A) 48

42

b

D

D) 36

A 110o

3) Şekilde verilenlere göre, x açısı kaç derecedir? o

A) 110

B) 120

C) 130

D) 140

4) Şekilde [BA//[DE dir. Buna göre, x açısı kaç derecedir? A) 10

B) 20

C) 30

120 B

C x

A

o

B) 50

C) 60

D

70

D) 40

C A

160 C

D

A

6) Şekilde [BA//[CD dir. Buna göre, x kaç derecedir?

o

x-15 E

A) 10

B) 15

C) 20

D) 25 D

120

B

o

x-20

o

D) 80

E

o

140

x

5) Şekilde [BA//[CD dir. Buna göre, x kaç�r? A) 40

B

B

o

85

3x+ o 20

C

o

o

0 11

95

7) Şekildeki çokgende verilenlere göre, x ile belir len açının ölçüsü kaç derecedir? ?

A) 56

B) 57

C) 58

D) 59 58o

8) Bir iç açısının ölçüsü bir dış açısının ölçüsünün 3 ka� olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır? A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

D

9) Şekildeki ABCDE düzgün beşgeninde DAC açısının ölçüsü kaç derecedir? A) 108

B) 54

C) 36

C

E

D) 72

x A

B

o

10) İç açılarının ölçüleri toplamı 1440 olan çokgen kaç kenarlıdır? A) 12

B) 11

C) 10

D) 9

C) 24

D) 27

11) Dokuzgenin köşegen sayısı kaç�r? A) 20

B) 22

D

12) Şekildeki ABCD paralelkenarında verilenlere göre, x + y toplamı kaça eşi�r?

B) 4

C) 5

C

2y + 2 A

A) 3

4x - 7

4 cm x+2

B

D) 8

121

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER D

13) Şekildeki ABCD paralelkenarında verilenlere göre, CBE açısının ölçüsü kaç derecedir?

C

o

130

A

A) 30

B) 40

C) 50

B

D) 80

?

E

14) Uzun kenarı kısa kenarının 3 ka� olan dikdörtgenin çevresi 64 cm dir. Buna göre dikdörtgenin, uzun kenarı kısa kenarından kaç cm fazladır? A) 16

B) 18

C) 20

D) 32

D

ñ ñ

ñ ñ

15) ABCD paralelkenarında, m(DAE) = m(EAB) ve m(ABE) = m(EBC) olduğuna göre, x açısı kaç derecedir? A) 30

B) 60

C) 90

A

x

..

C

E

B

D) 120 D

ñ

16) Şekilde ABCD kare ve EAB eşkenar üçgendir.

C

E

m(ECB) kaç derecedir? A) 45

B) 60

C) 70

A

D) 75

B

D

17) Şekildeki ABCD dikdörtgeninin alanı 72 cm2 dir.

C

6 cm

|BC|= 6 cm olduğuna göre, şeklin çevresi kaç cm dir? A) 30

B) 36

C) 42

D) 48

A

B

A

18) Şekildeki ABCD eşkenar dörtgendir. |AE|= 6 cm ve |ED|= 5 cm olduğuna göre,

6cm

2

eşkenar dörtgenin alanı kaç cm dir? A) 60

122

B) 55

C) 50

B

D) 45

E 5cm

C

D

A) 14

B) 10

C) 20

10 cm

D

19) Şekildeki ABCD paralelkenarında verilenlere göre alanı kaç cm2dir?

C

4 cm

D) 40

A

B

E

20) Bir eşkenar dörtgenin alanı 300 cm2 ve bir köşegen uzunluğu 40 cm ise, diğer köşegen uzunluğu kaç cm dir? A) 30

B) 25

C) 20

D) 15 A

21) Şekildeki ABCD eşkenar dörtgendir. |ED|= 5 cm ve AED üçgeninin alanı 10 cm2dir. Buna göre, |AC| kaç cm dir? A) 6

B) 8

10cm2 E 5cm

B

C) 10

D) 15

C D

22) Şekildeki ABCD yamuğunun alanı 60 cm2 dir. |AB|= 12 cm, |DH|= 8 cm ise |DC| kaç cm dir? B) 2

C) 3

H

.

C) 66

.

A) 344

B) 348

C) 352

D) 356

.

8m

2m

2m

10 m

D) 68

24) Yanda, bazı kenar uzunlukları verilen boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir?

2m 3m

2m .

B) 62

B

D) 4

23) Yanda, dik yamuk şeklindeki bir havuzun etrafına şekilde verilen ölçülere göre, dikdörtgen oluşturacak biçimde fayans döşenecektir. Buna göre, kaç m2 fayans döşenecektir? A) 60

C 8cm

A

A) 1

D

20 m 12 m

18 m

16 m

123

ÜNİTE 5 GEOMETRİ 1: AÇILAR ve ÇOKGENLER Tarama Tes 1) Yandaki şekil eş dikdörtgenlerden oluşmaktadır. Buna göre, boyalı dikdörtgen sayısının tüm dikdörtgenlerin sayısına oranı kaç�r?

2)

x = 0.1 4 0.2

ise, x kaç�r?

3) 60 TL’ye alınan bir çi� ayakkabı 66 TL’ye sa�lıyor. Buna göre, kȃr % kaç�r? 4) Bir sayının dör�e biri o sayının % kaçıdır? 5) 4 işçi bir işi 12 günde bi rebiliyorsa, aynı işi aynı nitelikte 6 işçi kaç günde bi rir? 6) 120 km’lik bir yolun 3 ’ünü giden bir araba kaç km daha giderse bu yolu tamamlar? 4 7) %40'ı 120 olan sayı kaç�r? 8) 120 TL’ye sa�lan bir ürünün sa�ş fiya�ndan %25 indirim yapılıyor. Bu durumda ürünün sa�ş fiya� ne olur? 9)

x =4 ve y - x = 20 ise, x + y kaç�r? y 9

10) 4800 TL’si olan bir kişi yıllık %20 faiz oranıyla 4 yıllığına parasını bankaya ya�rıyor. 4 yılın sonunda kaç TL faiz alır? 11) Yandaki ABCD dörtgeninde verilenlere göre, D açısının ölçüsü kaç derecedir?

D 4x20 o

A x- o 10

3x+ 30 o B

o

40

C

12) Bir dörtgenin iç açıları ölçüleri 2, 3, 4 ve 6 sayıları ile doğru oran�lıdır. Buna göre, bu dörtgenin en büyük iç açısının ölçüsü kaç derecedir? 13) Şekildeki ABCD yamuğunun verilenlere göre alanını hesaplayınız.

3cm

D

6cm

A 2cm H

124

C

K

4cm

B

E

F

14) Şekilde ABCDEF düzgün al�gen, BKLC kare ve ABN eşkenar üçgendir. Buna göre, NBK açısının ölçüsü kaç derecedir?

A N

D B

x

15) Her düzgün al�gen, şekildeki gibi 6 tane eş eşkenar üçgenden oluşmaktadır. |AD|= 18 cm olduğuna göre, ABCDEF al�geninin çevresi kaç cm dir?

C

K

L

F

E

A

D B

C

o

16) Bir dış açısı 15 olan düzgün çokgenin kaç tane köşegeni vardır?

o

17) Bir kenar uzunluğu 8 cm ve bir dış açısının ölçüsü 40 olan düzgün çokgenin çevresi kaç cm dir?

18) Şekilde ABCD karedir. Verilenlere göre, x ile belir len açı kaç derecedir?

D

C

x o

60

E

A

19) Şekilde ABCD dikdörtgendir. Buna göre, y - x kaç derecedir?

B

D

o

40

x

C

y A

B

20) Şekilde ABCD eşkenar dörtgendir. Buna göre, x, y ve z açılarını hesaplayınız.

x

76o

z y

125

GEOMETRİ 2: 1: ÇEMBER AÇILAR ve veÇOKGENLER DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ ÜNİTE 6 5 GEOMETRİ 21) Bir kenar uzunluğu 6 cm olan karelerden en az kaç tanesini birleş rirsek kenar uzunlukları 36 cm ve 18 cm olan yandaki dikdörtgeni elde ederiz?

18 cm 6cm

36 cm

22) Yandaki şekil, 8 eş kareden meydana gelmiş r. Şeklin alanı 72 cm2 ise, çevresinin uzunluğu kaç cm dir?

D

23) Şekilde ABCD yamuk ve AECD paralelkenardır.

C

|AE|=|EB| ve |DC|= 10 cm dir. Paralelkenarın alanı 150 cm2 ise yamuğun alanı kaç cm2dir? A

24) Şekilde ABCD dikdörtgen ve köşeleri dikdörtgenin kenarları üzerinde olan KLMN ise eşkenar

D

C

M

K

A

25) Şekildeki ABCD karesinde |AE|= 3 cm,

N

2

dörtgendir. Eşkenar dörtgenin alanı 48 cm ise, boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir?

B

E

D

L

B

C

2

|BF|= 2 cm dir. Karenin alanı 100 cm

ise, boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir? E 3 cm

A

140 126

F

2 cm

B

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2 ÇEMBER ve DAİRE DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ

125

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ ÇEMBER VE DAİRE

6.1

Çünkü çember içi boş sadece çevresi olan bir şekildir. Çemberin alanı olmaz. Dairenin ise hem alanı hem de çevresi vardır.

Niçin benim oyuncağıma çember, seninkine daire diyorlar?

Çember

Daire

Aslında, çember ile daire arasında benzerlikler de bulunmaktadır. Şekil olarak ikisi de yuvarlak�r. İkisinde de merkez, merkez açı, çap ve yarıçap vardır. 6.1.1

ÇEMBERDE MERKEZ AÇI VE YAY

Daire şeklinde bir kağıt alalım.

Bu kağıdı iki defa, ortadan ikiye katlayalım.

Kağıdı açtığımızda köşesi dairenin merkezinde olan açılar elde ederiz.

Düzlemde sabit bir noktadan eşit uzaklıktaki noktaların oluşturduğu kümeye çember denir. Sabit noktaya ise çemberin merkezi denir. Merkez genellikle “O” ile gösterilir.

O

Köşesi merkezde bulunan açılara merkez açı denir. A O

A

B

AOB merkez açıdır.

128

C

O

B

ACB merkez açı değildir.

Çemberin Merkezi

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE A

Örnek Yanda verilen O merkezli çemberde AOB açısı ile çember üzerinde verilen A ve B noktaları arasını iletki yardımıyla ölçelim.

O

B

Çözüm:

A 80 80

90 100 100

7700

111100

6600 1122 00 11 5500 3300 44 00

İletki yardımıyla yapılan ölçümde hem AOB açısının ölçüsü hem de o iki nokta arasındaki ölçünün 70 olduğu görülmektedir.

10

20 170 180 30 160 0 15 0

14

O

0

180 170 16 0 0 10 20 15 30 0 14 40 0

100 100 111100 80 80 112200 7700 00 6600 1133 00 55

B

Çember üzerinde iki nokta arasında kalan çember parçasına yay denir. A O

B

AB : AB yayı şeklinde okunur. m(AB) : AB yayının ölçüsünü gösterir.

Bir çemberin merkez açısının ölçüsü, gördüğü yayın ölçüsüne eşittir. o

Örneğin, Bir çemberin üzerinde 360 olduğunu biliyoruz. Bu durumda, x

A

O

B

AB yayı çemberin 1/4'ü (Çeyrek çember) kadar ise, o

360 o m(AB) = = 90 4 o m(AOB) = 90 dir.

A

B

O

AxB yayı çemberin yarısı (Yarım çember) kadar ise,

Bazen çemberin uzun bir yayını ifade ederken üçüncü bir nokta kullanılır.

o

360 o m(AxB) = = 180 2 o m(AOB) = 180 dir.

129

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Örnek

A

Yandaki O merkezli çemberde

o

110

o

m(AOB) = 110 olduğuna göre,

O

m(AB) ve m(AxB) kaçar derecedir?

B

x

Çözüm: Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan o

m(AOB) = m(AB) = 110 dir. o

Bir tam çember 360 ise, o

o

o

m(AxB) = 360 - 110 = 250 dir. Örnek

T

Yandaki O merkezli çemberde o

o

80

o

m(TOR) = 80 ve m(TR) = 2x - 10 ise x kaç derecedir?

R

O

Çözüm: Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan, m(TOR) = m(TR) o o 80 = 2x - 10 o o 90 = 2x ise x = 45 dir. Örnek Yandaki O merkezli çemberde

O

o

m(EOD) = 3x + 20 ve o

m(ED) = 5x - 10 dir. Buna göre, EOD açısı kaç derecedir?

D E

Çözüm: Merkez açının ölçüsü gördüğü yayın ölçüsüne eşit olduğundan, m(EOD) = m(ED) o o 3x + 20 = 5x - 10 o o o o o o o 20 + 10 = 5x - 3x ve 30 = 2x ise x = 15 dir. m(EOD) = 3 .15 + 20 = 65 dir.

130

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE D

Örnek Yandaki O merkezli çemberde

o

65

A

o

m(AOD) = 65 ve [AC]^[BO] olduğuna

O

C

göre, m(AB) + m(DC) toplamı kaç derecedir?

B

Çözüm: Şekilde verilenlere göre, o

o

m(AOD) = m(AD) = 65 ve m(BOC) = m(BC) = 90 dir. o

Bir tam çember 360 ise, o

m(AD) + m(BC) + m(AB) + m(DC) = 360

o

65 + 90 + m(AB) + m(DC) = 360 o

o

155 + m(AB) + m(DC) = 360

o

ise m(AB) + m(DC) = 205 dir.

Alış rmalar x

1) Yandaki O merkezli çemberde o

O

m(AOB) = 105 olduğuna göre,

A

o

5 10

m(AB) ve m(AxB) kaçar derecedir? B

13 3

C

o

?

m(CD) = 133 ise,

o

D

O

m(COD) kaç derecedir?

3) Yandaki O merkezli çemberde

o

2) Yandaki O merkezli çemberde

E

o

m(EOD) = 160 ve m(ED) = 3k + 10 ise, k kaça eşittir?

x

O

o

160 D

131

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ o

4) O merkezli bir çemberin merkez açısının ölçüsü 5x - 10 ve bu merkez açının gördüğü yayın o

ölçüsü ise 3x + 80 olarak veriliyor. Buna göre, bu merkez açının ölçüsü kaç derecedir?

o

5 12

5) Yandaki O merkezli çemberde

D

o

m(AD) = 125 olduğuna göre, m(DOC) kaç derecedir?

A

O

?

C

B

D

6) Yandaki O merkezli çemberde o

m(AOB) = 80 ve [OD]^[OC] dir.

O

A

C

o

80

Buna göre, m(BC) kaç derecedir?

B

7) Yandaki O merkezli çemberde [BC] ve [AD] merkezden geçmektedir. o

[AB]//[CD] ve m(AC) = 100 ise, A) DOC açısının ölçüsü kaç derecedir?

B

A o

100

? C

O D

B) BOD açısının ölçüsü kaç derecedir? C) BD yayının ölçüsü kaç derecedir? D) AB yayının ölçüsü kaç derecedir? E) Çemberde, paralel doğrular arasında kalan yayların ölçüleri için ne söylenebilir?

132

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE 6.1.2

ÇEMBERDE ÇEVRE VE YAY UZUNLUĞU

Yandaki O merkezli çemberde [AO] ve [OB], çemberin yarıçapıdır (r). Ayrıca, merkezden

A

geçen [AB] ise çemberin çapıdır (R).

r

O

r

B

R

Bir çemberin çap uzunluğu, yarıçap uzunluğunun iki katı kadardır (2r = R).

r = 2 cm

Yarıçap uzunluğu 2 cm olan çember şeklindeki bir tel alalım.

Bu teli bir noktadan kesip telin uzunluğunu cetvel yardımıyla ölçersek yaklaşık 12.56 cm olduğunu görürüz.

Çember veya daire şeklindeki çizimlerin çevrelerini ölçmek için her zaman bir cetvele gerek yoktur. Çok eski zamanlarda çemberin çevresinin çapına oranının

p=

Çemberin Çevre uzunluğu Çemberin çap uzunluğu

hep sabit olduğu fark edilmiş ve bu sabit sayıya p (pi) adı verilmiştir.

p sayısı yaklaşık 3.14 ya da 22 ’ye eşittir. 7 Çemberin çevre uzunluğunu “Ç” ise, p=

Ç 2r

ve Ç = 2pr şeklinde ifade edilir.

Örnek Aşağıda yarıçapları verilen çemberlerin çevre uzunluklarını bulalım. A) r = 5 cm

B) r = 10 m

C) r = 12 mm

Çözüm: Çemberin çevre uzunluğu = 2pr ise, A) Ç = 2.3.14.5 = 31.4 cm dir.

B) Ç = 2 .3.14 .10 = 62.8 m dir.

C) Ç = 2.3.14.12 = 75.36 mm dir.

133

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Örnek Yanda kareli zemin üzerinde verilen O merkezli çemberin

O

çevresinin kaç birim olduğunu bulalım. (p = 3 alınacak)

Çözüm: Şekildeki çemberin merkezinden kenarına olan uzaklık 3 birim ise, çevre uzunluğu 2pr = 2.3.3 = 18 birimdir.

Bundan önce bir çemberin çevre uzunluğunu bulmayı öğrendik. Şimdi ise bir çember parçasının (yay) uzunluğunu nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Çemberin ölçüsü ile uzunluğu farklı kavramlardır. Burada verilen merkez açının gördüğü, çember yayının uzunluğudur.

Aşağıda yarıçapları 4 cm olan O merkezli eş çemberlerin kırmızı ile belir len uzunluklarını bulalım. (p = 3 alınacak) A

O

4 cm

Tam çember

Ç = 2pr = 2. 3.4 = 24 cm

A

o

o

180 A

B

O

B

O

Yarım çember yayı

2pr |AB|= 2 24 = 12 cm |AB|= 2

O

Çeyrek çember yayı

60

? B

o

m(AOB) = 60 ise,

2pr |AB|= 4 24 = 6 cm |AB|= 4

|AB|= ?

Bir çember yayının uzunluğunu aşağıdaki gibi doğru orantı yönteminden bulabiliriz.

o

o

Çemberin çevresi aynı zamanda 360 lik bir yay olduğuna göre, yarı çapı 4 cm olan çemberde 60 lik merkez açının gördüğü yay uzunluğu, Uzunluk 2pr yay

134

Ölçü 360o o

60

1o

o

Yay uzunluğu =

2pr. 60 o

360

=

24.60 o

360 6

=

24 6

= 4 cm olur.

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE A

Yarıçapı r, merkez açısının ölçüsü x olan bir çember yayının uzunluğu, o x dir. |AB|= 2pr . o 360

x r

O

B

E

Örnek

o

Şekilde verilen O merkezli 6 cm yarıçaplı çemberde

120

o

O

m(EOC) = 120 ise EC yayının uzunluğu kaç cm dir?

6 cm

C

(p = 3 alınacak)

Çözüm:

o

Soruda merkez açı 120, çemberin yarı çapı 6 cm olarak verildi ve merkez açının gördüğü yayın uzunluğunu bulmamız isteniyor. Bu durumda, |EC|= 2pr .

1

o

o

o x . . . 120o = 36 . 120o = 12 cm dir. o = 236 360 360 360

3

Örnek

x

Şekilde verilen O merkezli 10 cm yarıçaplı çemberde o

m(AOB) = 270 nin gördüğü AxB yayının uzunluğu

O

B

10 cm

kaç cm dir? (p = 3 alınacak)

Çözüm:

o

0 27

A

o

Merkez açı 270, yarı çapı 10 cm ise, |AB|= 2pr .

o

o

o 1 x . 3.10 . 270o = 60 . 270o = 45 cm dir. 2 = o 360 360 360

6

135

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Örnek Yanda, daire şekildeki gibi bir alan eş iki bölüme ayrılmış ve merkezine 2 m uzunluğundaki iple bir koyun bağlanmıştır. Koyunun otlayabileceği en geniş bölge ise yeşil renk ile gösterilmiştir. Buna göre, yeşil bölgenin çevresi kaç cm dir? (p = 3 alınacak) Çözüm: Koyun, bağlı olduğu noktadan bulunduğu bölgedeki her noktaya 2 metre kadar gidebilir. Bu da dairenin yarıçapının 2 metre olduğunu gösterir. Yeşil bölge yarım daire şeklinde olduğundan, çevresi çap uzunluğu ile yay uzunluğunu toplamına eşittir. o

o

1

o x . . . 180o = 12 . 180o = 6 m dir. Çap ise 4 m dir. Bu durumda yeşil bölgenin Yay uzunluğu: 2pr . o = 232 360 360 360

çevresi, 6 + 4 = 10 m olur. 6.1.3

2

DAİRE VE DAİRE DİLİMİNİN ALANI

Daha sonra bu parçaları kesip paralelkenara benzer bir şekil oluşturalım.

Bir kağıda bir çember çizelim. Bu çemberi 8 eş parçaya böldükten sonra içini boyayalım. Çemberin düzlemde kapladığı alana daire denir.

(Çemberdeki eş parça sayısı ar�kça, oluşturulacak şekil paralelkenara daha çok benzeyecek r.)

r Dairenin çevre uzunluğunun yarısı(pr) Yukarıdaki şekil taban uzunluğu dairenin çevresinin yarısı kadar, yüksekliği dairenin yarıçapı (r) kadar olan bir paralelkenara benzemektedir. Bu durumda paralelkenar ile dairenin alanı eşi�r. Paralelkenarın alanı = Taban uzunluğu x yükseklik olduğundan Dairenin alanı = (p.r).r = p.r 2 dir.

Yarıçapı r birim olan bir dairenin alanı, p .r 2 dir.

136

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE Örnek Yarıçapı 4 cm olan bir dairenin alanını bulalım. (p = 3 alınacak) Çözüm: 2

Dairenin alanı = p .r ise, 3. 4 = 3 .16 = 48 cm2 dir. 2

Örnek Aşağıda kareli zemin üzerine çizili O merkezli dairelerin alanını bulalım.(p = 3 alınacak)

O

O

Çözüm: 2

Sarı dairenin yarıçapı 2 birim ise alanı = p.r = 3. 2 = 3.4 2 = 12 br dir. 2

2

Mavi dairenin yarıçapı 3 birim ise alanı = p .r = 3.3 = 3.9 2 = 27 br dir. 2

Örnek Daire şeklindeki bir kumaş parçasının alanı 75 cm ise bu dairenin, 2

A) yarıçap uzunluğu kaç cm dir? (p = 3 alınacak) B) çevresinin uzunluğu kaç cm dir? (p = 3 alınacak) Çözüm: A) Dairenin alanı = p. r2 = 3. r2 = 75 2

3r 75 = 3 3 2 r = 25 ise r = 5 cm’dir.

B) Dairenin çevre uzunluğu = 2pr = 2. 3.5 = 30 cm’dir.

137

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Yandaki pizzanın çapı 30 cm dir. o Bu pizzadan 60 lik bir dilim kestim. Acaba kesmiş olduğum dilimin alanı kaç cm2dir?

o

60

o

60

Daire dilimi, bir dairenin merkez açısının içinde kalan kısmıdır. Aşağıda yarıçapları 4 cm olan O merkezli eş dairelerin kırmızı ile belir len daire dilimlerinin alanlarını bulalım. (p = 3 alınacak) A

O

A

o

o

180

4 cm

A

Tam çember

B

O

O

Yarım çember

A = p. r 2 = 3.4 = 48 cm2 dir.

O

Çeyrek çember

. 2 A= pr 2 3 .42 = 2

2

B

B

o

m(AOB) = 60 ise,

. 2 A= pr 4 3 .42 = 4

kırmızı renk daire diliminin alanını doğru oran� yöntemiyle bulalım.

= 12 cm2 dir.

= 24 cm2 dir.

60

2

Yarıçapı 4 cm olan O merkezli dairenin tüm alanının 48 cm olduğunu biliyoruz. Bu durumda Alan 48 cm2

Açı 360o

Daire dilimi

1o

o

Daire diliminin alanı =

o

60

48.60 o

360

=

48.60 o

360 6

A

xo lik merkez açının içinde kalan daire diliminin alanı, pr . 2

138

o

x

o

360

dir.

= 8 cm2 olur.

O

x r

B

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE Örnek

E

Şekilde verilen O merkezli dairenin yarı çapı 12 cm dir.

o

80

o

O 12 cm A

Buna göre, m(EOA) = 80 lik merkez açıya ait daire diliminin alanını bulalım. (p = 3 alınız.) Çözüm: Daire diliminin alanı = pr . 2

o

o

x

2 . . 80 = 96 cm2 dir. o = 3 12 o 360 360

Örnek Şekilde verilen O merkezli dairenin çapı 84 cm ve o m(COE) = 150 dir. 2 Buna göre, sarı renkteki bölgenin alanı kaç cm dir?

O C

o

150

E

(p = 22/7 alınız.)

Çözüm: Bir dairenin yarı çapı, çapının yarısı kadar ise r = 84 : 2 = 42 cm dir. Sarı renkteki daire diliminin alanı : pr . 2

o

o

22 . 422. 150 = 2310 cm2 dir. o o = 7 360 360 x

Örnek Eş büyüklükteki üç parça kumaş bir araya getirilerek O merkezli 60 cm yarı çaplı daire şeklinde bir masa örtüsü elde edilmiştir. Buna göre, parçalardan birinin alanını bulunuz. (p = 3 alınız.)

O

Çözüm: o

o

Daire 3 eş parçadan oluştuğuna göre, her birine ait merkez açının ölçüsü 360 : 3 = 120 dir. Dairenin yarı çapı 60 cm ise bir daire diliminin alanı, pr . 2

o

x

o

2 . . 120 = 3600 cm2 dir. o o = 3 60

360

360

139

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Örnek Yandaki O merkezli 6 cm yarı çaplı daire diliminin 2 alanı 81 cm dir. Buna göre, daire dilimine ait merkez açının ölçüsü kaç derecedir? (p = 3 alınız.)

?

O

Çözüm: 2

2

Dairenin alanı : pr = 3.6 = 108 cm2 dir. Daire dilimine ait merkez açının ölçüsünü ise doğru orantı yönteminden bulalım. Alan 108 cm2

Açı o 360

81. 360

81 cm

?

108

2

6.1.4

10 o

o

=

81.360 108

o

= 270 dir.

3

ÇEMBER VE DAİRE PROBLEMLERİ Bir aracın tekerleği dönmeye başladığı anda araç ilerlemeye başlar. Eğer tekerlek bir tam tur yaparsa araç, tekerleğin çevresi kadar yol alır.

Yandaki tekerleğin yarı çapı 13 cm ise çevresi,

2pr = 2. (3.14).13 = 81.64 cm dir. Sibobun hareketine dikkat ediniz.

140

0

20

40

60

81.64 cm Tekerlek bir tam tur döndü ve çevre uzunluğu kadar yol aldı.

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE Örnek Yarıçapı 15 cm olan basket topu, eşit bölmeli ve A’dan G’ye 900 cm olan yolda, A noktasından yuvarlanıyor. Yuvarlanan basket topu 7 tur attığında hangi noktada olur? (p = 3 alınız.)

A

B

C

D

E

F

G

Çözüm: A’dan G’ye 9 eşit bölmeden oluşan yol 900 cm ise, her bir bölme 900 : 9 = 100 cm dir. 15 cm yarıçapındaki basket topunun çevre uzunluğu = 2.3.15 = 90 cm dir. Basket topu 7 tur attığında 7 x 90 = 630 cm yol alır. Bu durumda basket topu D ile E noktaları arasında olur.

100 cm

A

B

C

D

E

F

G

Örnek Yanda verilen traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 40 cm arka tekerleğin yarıçapı ise 60 cm dir. Buna göre, ön tekerlek 30 tur döndüğünde arka tekerlek kaç tur döner? (p = 3 alınız.)

60 cm

40 cm

Çözüm: Traktör, ön tekerleği bir tur döndüğünde 2.3.40 = 240 cm ve 30 tur döndüğünde ise 240 x 30 = 7200 cm yol gider. Aynı yolu traktörün arka tekerleği de gidecektir. Traktörün arka tekerleğinin bir turu, 2.3.60 = 360 cm’dir ve 7200 cm yol gitmesi için, 7200 : 360 = 20 tur dönmesi gerekir.

141

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 4r

Yanda, çevresi 120 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir levhaya eş büyüklükte 2 tane daire şeklinde ayna yapıştırılmıştır. Aynalar birbirine ve levhanın kenarlarına değdiğine göre, levhanın ayna yapıştırılmamış kısmının alanını bulalım.

(p = 3 alınacak)

2r

r

r

.

r

r

r

.

r

Bu durumda dikdörtgenin çevresinden, 2r + 4r + 2r + 4r = 120 cm ve r = 10 cm dir. O halde eş dairelerden birinin yarı çapı 10 cm’dir.

Sorunun çözümü için öncelikle 2 bir aynanın yarıçap uzunluğunu Levhanın alanı = 40 x 20 = 800 cm 2 bulmalıyız. Aynalar ve levha Bir aynanın alanı = 3.10 = 300 cm2dir. birbirine değdiği için aynanın Ayna yapıştırılmamış kısmın alanı ise, yarıçapı ile levhanın kenarları 800 - 2.300 = 200 cm2 dir. arasında belli bir oran vardır.

Örnek Bir kenarı 32 cm olan kare şeklindeki bir kartona eş büyüklükte 4 tane daire çizilecektir. Yandaki şekilde olduğu gibi daireler birbirine ve karenin kenarlarına değeceğine göre, bu dairelerin toplam alanını bulunuz.(p = 3 alınız.)

.

.

.

.

Çözüm: 4r r 4r

r

.

r

r

r r

.

. .

r

r

Şekildeki eş dairelerin yarıçapları ile karenin bir kenar uzunluğu arasındaki ilişkiden, 4r = 32 ve r = 8 cm dir. 2 Yarıçap 8 cm ise bir dairenin alanı = 3.8 = 192 cm2 ve 4 dairenin toplam alanı ise, 4 x 192 = 768 cm2 olur. Siz de boyalı bölgenin alanını bulunuz.

Örnek Şekilde 3 tane eş çember birbirlerine birer noktada değmektedirler. Çemberlerin A, B ve C merkezlerini birleştirerek elde edilen ABC üçgeninin çevresi 30 cm, ise bir çemberin yarıçapı kaç cm dir?

A. B.

.C

Çözüm: A. r r

r B. r

142

r . r C

Eş çemberlerin yarıçap uzunlukları eşittir. Buna göre üçgenin çevre uzunluğundan (r + r) + (r + r) + (r + r) = 30 cm 6r = 30 ise r = 5 cm dir. Bir çemberin yarıçapı 5 cm dir.

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE Alış rmalar 1) Aşağıda yarıçapları verilen çemberlerin çevre uzunluklarını ve alanlarını hesaplayınız. (p = 3 alınız.) A) r = 3 cm

B) r = 8 m

C) r = 20 mm

2) Yanda kareli zemin üzerinde verilen O merkezli çemberin çevre uzunluğunu ve alanını birim karelerden yararlanarak bulunuz. (p = 3 alınacak)

O

3) Çevre uzunluğu 72 cm olan bir dairenin alanı kaç cm2 dir? (p = 3 alınız.)

4) Alanı 108 cm2 olan bir dairenin çevresi kaç cm’dir? (p = 3 alınız.)

o

5) Yarı çapı 5 cm olan bir çemberde 90 lik merkez açının gördüğü yay uzunluğu kaç cm dir?

(p = 3 alınacak)

E

6) Şekilde verilen O merkezli 9 cm yarıçaplı çemberde o

o

m(EOC) = 40 ise EC yayının uzunluğu kaç cm dir?

O

(p = 3 alınacak)

40 9 cm

C

7) Çevre uzunluğu 48 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir tel çerçevenin tamamı kullanılarak çember yapılmıştır. Bu çemberin yarıçapı kaç cm’dir ? (p = 3 alınız)

8) Şekilde O merkezli, 21 cm çaplı bir daire görülmektedir. Sarı boyalı daire diliminin alanını hesaplayınız.

O

(p = 22/7 alınız.)

K

120 o

21

cm L

143

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 9) Şekildeki O merkezli, [AB] çaplı dairenin yarıçapı 3 cm dir. o m(COB) = 45 ise, mavi renkli daire diliminin alanı kaç cm2 dir? (p = 3 alınacak)

C A

3 cm

o

45

O

B

10) Yarıçapı 4 katına çıkartılan bir dairenin alanı ve çevresi ne kadar değişir? (p = 3 alınacak)

11) Şekilde bir kenar uzunluğu 12 cm olan ABCD karesinde, merkezi B olan bir çeyrek çember çizilmiştir. Buna göre, mavi bölgenin alanını bulunuz. (p = 3 alınız)

A

B

D

C

12) Şekilde ortak merkezli iki daire bulunmaktadır. IOKI = 4 cm, IOLI = 6 cm olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç cm2dir? (p = 3 alınız)

K L

O

13) Çapı 70 cm olan bir bisiklet tekerleği 6 kez tam döndüğünde kaç metre yol almış olur?

(p = 22/7 alınız)

14) Bir karınca, yarım çember şeklinde bir yolda, 45 derecelik merkez açının gördüğü mesafe kadar hareket ederek 20 cm yol gitmiştir. Buna göre, yolun tamamı kaç cm dir?

20 cm o

45 Bitiş

O

Başlangıç

(O noktası yarım çemberin merkezidir.)

144

BÖLÜM 1: ÇEMBER ve DAİRE Bölüm Değerlendirme Tes

+ 4x

1) Şekildeki O merkezli çemberde m(EOL) = 128 ve o

o

L o

8 12

E

m(EL)= 4x + 8 dir. Buna göre, x kaça eşittir?

o

8

O

A 12p

2) Şekildeki O merkezli çemberde AB yayının uzunluğu 12p br dir. o m(O) = 45 olduğuna göre çemberin çevresinin uzunluğunu p cinsinden bulunuz.

45

B

o

O

A

3) Yarıçapı 8 cm olan çemberde o

60 lik merkez açının gördüğü,

o

A) yayın uzunluğunu hesaplayınız. (p = 3 alınız)

O

60

8 cm

B) boyalı olan daire diliminin alanını

B

hesaplayınız. (p = 3 alınız)

A

4) Şekildeki O merkezli [BC] çaplı yarım dairede A noktası çemberin üzerinde ve [AB]^[AC] dir.

cm

8

boyalı bölgenin alanını bulunuz. (p = 3 alınız.)

5) Şekildeki ABCD karesinde X ve Y noktaları iki yarım dairenin merkezlerini göstermektedir. Karenin bir kenarı 8 cm ise, taralı bölgenin alanını bulunuz. (p = 3 alınız)

6

|BC|= 10 cm, |AB|= 6 cm ve |AC|= 8 cm ise,

cm

B

C

O

A

X

B

D

Y

C

145

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 6) O merkezli ve [AB] çaplı çembere A noktasında içten değen yarım çemberin çapı 2 cm, dıştaki çemberin çapı ise 6 cm dir. 2 Buna göre, mavi bölgenin alanı kaç p cm dir?

O

10 cm

8) Yandaki O merkezli iki çemberin çevre uzunluklarının farkı 8p dir. Küçük çemberin yarı çapı 10 cm ise, büyük çemberin yarıçapı kaç cm dir?

O

A

9) O merkezli iki daireden küçük dairenin yarıçapı 2 cm, büyük dairenin yarıçapı ise Ù

B

C O

40 cm

7) Şekildeki O merkezli 40 cm yarıçaplı tekerlek 2 tam tur dönerse, kaç cm yol gitmiş olur? (p = 3 alınız.)

A

O

B

A r =1 m

C

O

6 cm dir. m(AOB) = 60 ise, boyalı bölgenin alanını bulunuz. (p = 3 alınız.)

10) Yarıçapları 1 m olan çeyrek daire şeklindeki 4 minder birbirlerine değecek şekilde yerleştirilmiş ve şekildeki gibi bir kare elde edilmiştir. Buna göre, minderlerin arasında kalan boşluğun alanını hesaplayınız. (p = 3 alınız.)

146

B

r=1m D

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ

6.2 6.2.1

DÜZLEMSEL ŞEKİLLERDE EŞLİK Aşağıda birim kareler üzerinde verilen şekillerden eş olanları belirleyelim.

İki çokgenin karşılıklı açılarının ölçüleri ve karşılıklı kenarlarının uzunlukları birbirine eşit ise, bu iki çokgen eştir denir. Eşlik sembolü “@” ile gösterilir.

2 br

5 br 3 br

3 br

2 br

5 br

Dikdörtgenlerin karşılıklı kenar uzunlukları eşittir. Bu durumda, şekiller eştir.

3 br

7 br

3 br 7 br

Yamukların karşılıklı kenar uzunlukları ve açıları eşittir. O halde, yamuklar eştir.

Örnek Aşağıdaki şekillerden hangisi diğerlerinden farklıdır?

1

2

3

4

Çözüm: 4 numaralı şekil diğerlerinden farklıdır.

147

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Örnek Aşağıda noktalı zemin üzerinde verilen şekillerden hangi ikisi eştir?

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . 1.

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . 2.

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . . 3.

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . . . . . . .4 .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

Çözüm: 1 ve 3 numaralı şekiller eştir.

Örnek Aşağıda verilen şekiller birbirinin eşi olduğuna göre, eksik şekilleri tamamlayınız.

Bir çokgenin eşini elde etmek için çokgeni hareket ettirebiliriz.

Çözüm:

148

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 6.2.2

ÖTELEME

Yanda, kareli zemin üzerinde alınan

A

A noktası, önce 13 birim sağa daha

3 br yukarı

sonra ise 3 birim yukarıya kaydırıldı.

A

A

13 br sağa

Bir nesnenin bir yerden başka bir yere belirli bir doğrultu ve yönde (sağ, sol, yukarı, aşağı) yaptığı kayma hareketine öteleme denir.

Kareli zemin üzerinde alınan AB doğru

A

parçası önce 4 birim aşağıya daha sonra 9 birim sola ötelendi.

B 4 br aşağı

9 br sola

A

B

A

B

Öteleme hareketini yapmadan önce şeklin üzerinde bir nokta seçilir. Bu noktayı ötelemek daha kolaydır. Daha sonra ötelenen nokta dikkate alınarak şeklin aynısı çizilir. Böylece şeklin görüntüsü çizilmiş olur.

Kareli zeminde verilen sarı şekil üzerinde bir A noktası seçildi. Daha sonra bu şekil A noktasına göre,önce 9 birim sola daha sonra ise 3 birim yukarıya ötelendi.

A

3 br yukarı

A

9 br sola A

Ötelemede şekil üzerindeki her bir nokta aynı yön ve büyüklükte bir dönüşüme tabi tutulur.

149

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Örnek 2

Yandaki şekilde 1. kare ötelenerek 2. kare elde edilmiştir. Buna göre, öteleme kuralını bulalım.

1

Çözüm: 1. şekil, üzerinde alınacak herhangi bir noktaya göre 12 birim sağa ve 4 birim yukarıya ötelendiği zaman 2. şekil elde edilir.

Örnek Yanda kareli zeminde verilen şekli 8 birim sola ve 3 birim yukarı öteleyerek görüntüsünü çiziniz.

Çözüm: Verilen şekli üzerinde alacağımız bir nokta yardımı ile 8 birim sola ve 3 birim yukarı ötelersek şeklin görüntüsü yandaki gibi olur.

3 br yukarı 8 br sola

Örnek Yanda, kareli zeminde verilen A modelinin

A 1

3 birim sağa 4 birim aşağı ötelenmesi sonucunda oluşan görüntüsü 1, 2, 3, 4 veya 5 numaralı şekillerden hangisidir?

3

4

2 5

Çözüm: Öteleme sonucunda , bir şeklin duruşu, biçimi ve boyutlarında değişiklik olmaz. Bu durumda A modelini 3 birim sağa, 4 birim aşağı ötelersek görüntüsü 4 numaralı şekil olur.

150

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 6.2.3

YANSIMA

Yukarıdaki şekillerin ortak özelliği kesik çizgilerden katlandıkları zaman üst üste gelmeleridir. Bu gibi şekillere simetrik şekiller, kesik çizgiye ise simetri ekseni denir.

Elinize boş bir kağıt alıp ikiye katlayınız.

Kağıt üzerine şekil çizip, çizilen yerleri makasla kesiniz.

Kağıdı açtığınız zaman ortaya çıkacak olan şekil simetrik, katlanan yer ise simetri ekseni olur.

Bir şeklin herhangi bir eksene göre simetriğine yansıma denir. Yansıması bulunan şeklin boyutu değişmez fakat yönü değişir.

ıça

açı

Ters yazılmış bir yazıyı aynada rahatlıkla okuyabiliriz. Yazının aynadaki görüntüsü yansımadır.

Suyun kenarında dik duran bir ağacın veya gölde yüzen bir ördeğin sudaki görüntüsü yansımadır.

151

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Ambulans taşıtının önündeki “AMBULANCE” yazısı niçin ters yazılır? Araştırınız.

ECNALUBMA Aşağıda kareli zeminler üzerinde belirlenen A noktasının simetri eksenine göre yansıması verilmiş r, inceleyiniz. A A

3 br

A

D 4 br

D

Simetri ekseni

4 br 3 br

Simetri ekseni

A

|AD|=|AD|= 4 birimdir.

|AD|=|AD|= 3 birimdir.

Aşağıda kareli zeminler üzerinde belirlenen doğru parçası ve simetri eksenine göre yansımaları verilmiş r, inceleyiniz. B B A

A

3 br D 3 br B K 4 br

4 br

3 br

2 br 2 br

A

A

Simetri ekseni

D

Simetri ekseni

K 3 br B

|BD|=|BD|= 3 birim ve

|AD|=|AD|= 2 birim ve

|AK|=|AK|= 4 birimdir.

|BK|=|BK|= 3 birimdir.

Aşağıda noktalı zemin üzerinde verilen ABC üçgeninin simetri eksenine göre yansıma al�ndaki görüntüsü çizilmiş r, inceleyiniz.

. . . . . . . B. . . . . . .

152

. . . . . . .

. . . . . C. .

. . . . . . .

. . A. . . . .

. . . . . . . P. . . K. . . L. . . . . .Simetri . . ekseni

. . A . . . . .

. . . . . . .

. . . . . C. .

. . . . . . .

. . . . . . .B . . . . . . .

. . . . . . .

|AP|=|AP|= 2 birim |BK|=|BK|= 6 birim ve |CL|=|CL|= 4 birimdir.

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Bir şeklin simetriği alınırken genellikle şeklin köşe noktalarının simetrileri bulunur. Bu noktalar simetri eksenine dik olacak şekilde çizilir ve nokta ile simetriğinin eksene eşit uzaklıkta olması sağlanır. Simetrik noktalar doğru parçaları ile birleştirilerek şeklin simetriği elde edilir. Aşağıda kareli zemin üzerinde verilen ABCDEF al�geninin simetri eksenine göre yansıması çizilmiş r, inceleyiniz. C B Simetri ekseni

|AA|= 0 birim (nokta simetri ekseni üzerindedir)

D E

A. . A K

.

|BA|=|BA|= 2 birim |CK|=|CK|= 3 birim |DL|=|DL|= 3 birim

.F

L F

B

|EF|=|EF|= 2 birim ve

E D

C

|FF|= 0 birimdir (nokta simetri ekseni üzerindedir).

Aşağıda kareli zemin üzerindeki şekillerin simetri eksenine göre yansıması çizilmiş r, inceleyiniz. Şekillerin köşelerinden simetri eksenlerine dik doğru parçaları çizerek yansımayı inceleyebiliriz. Simetri ekseni

Simetri ekseni

Aşağıda kareli zemin üzerindeki ABCD dik yamuğunun simetri eksenine göre yansıması çizilmiş r, inceleyiniz. C

D

D

K

C

|AE|=|AE|= 1 birim |BE|=|BE|= 5 birim |CK|=|CK|= 5 birim

B

AE

A

B

|DK|=|DK|= 2 birimdir.

Simetri ekseni

153

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Aşağıda 1 numaralı şekilden 3 numaralı şekle kadar sırasıyla simetri eksenine göre yansıma, daha sonra öteleme yapılmış�r, inceleyiniz.

1

2. şekil 1. şeklin yansıması, 3. şekil ise, 2. şeklin 9 birim sağa,

3

2 birim yukarıya ötelenmiş halidir.

2

Örnek Yandaki şeklin simetri eksenine göre yansımasını aldıktan sonra şekli 3 birim aşağı öteleyiniz. Çözüm:

Aşağıda 1 numaralı şekilden 3 numaralı şekle kadar sırasıyla öteleme daha sonra simetri eksenine göre yansıma yapılmış�r, inceleyiniz.

1

2. şekil 1. şeklin 6 birim sağa, 4 birim aşağı ötelenmiş halidir. 2

154

3

3. şekil ise 2. şeklin yansımasıdır.

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Alış rmalar 1) Kareli zemin üzerine çizilen aşağıdaki şekillerden hangisi yandaki şekil ile eştir?

2) Aşağıda kareli zemin üzerinde verilen şekil ile eş başka bir şekil çiziniz.

3) Aşağıda kareli zemin üzerinde verilen şekli 10 birim sağa ve 4 birim aşağıya öteleyiniz ve görüntüsünü çiziniz.

4) Aşağıda kareli zemin üzerinde verilen A şeklinin öteleme sonucunda oluşan görüntüsü B şeklidir. Buna göre, öteleme kuralını belirtiniz.

B

A

155

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 5) Aşağıda kareli formda verilen şekillerin kesik çizgilere (simetri ekseni) göre yansımalarını çiziniz.

6) Aşağıda kareli formda verilen şekillerin yansımalarını kesik çizgilere (simetri ekseni) göre çiziniz. (A, B, C ... v.b şeklinde verilen noktaların görüntülerini sırasıyla A, B, C ...şeklinde yazınız.) B B

C

A

D

A

A

B

C

D C

7) Aşağıda kareli zemin üzerinde verilen şekilleri altlarında belirtilen kurala göre dönüştürünüz.

Simetri ekseni

Simetri ekseni Şekli 3 birim sağa, 2 birim yukarıya öteleyiniz. Oluşan şeklin simetri eksenine göre yansımasını çiziniz.

Şeklin simetri eksenine göre yansımasını çiziniz ve 4 birim sola, 1 birim aşağıya öteleyiniz.

8) Aşağıda 1 numaralı şekilden 3 numaralı şekle kadar sırasıyla hangi dönüşümler yapılmıştır?

1

2

156

Simetri ekseni

3

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Bölüm Değerlendirme Tes

C D

cm 24

|AE|= 7 cm, |AD|= 24 cm ve |CF|= 25 cm olduğuna göre, |EF|+|DC| toplamı kaç cm dir?

25 cm

1) Yandaki ABCD karesinde AED ve BFC eş üçgenlerdir.

F m A 7c

B

E

2) Dijital rakamlarla yazılan 256 sayısının dört tarafına şekildeki gibi aynalar konmuş ve aynalarda oluşan görüntüler verilmiştir. Buna göre, görüntülerden kaçı yanlış gösterilmiştir?

3) Aşağıda kareli zemin üzerinde verilen şekli 5 birim sağa, 4 birim yukarıya öteledikten sonra simetri eksenine göre yansımasını çiziniz.

Simetri ekseni

4) Aşağıdakilerden hangisinde hem yansıma hem de ötelemeye örnek gösterilebilecek şekiller vardır?

157

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ CİSİMLERİN FARKLI YÖNLERDEN GÖRÜNÜMLERİ

6.2.4

Bir şekli tam olarak kavrayabilmek için o şeklin farklı yönlerden görünümlerine bakılmalıdır. Aşağıdaki şekillerin farklı yönlerden görünümleri kareli zemin üzerinde çizilmiş r, inceleyiniz. Üst

Arka Sağ

Sol

Önden görünüm

Arkadan görünüm

Soldan görünüm

Sağdan görünüm

Üs�en görünüm

Ön Üst

Sol

ğ

Önden görünüm

Sa

Ön

Soldan görünüm

Sağdan görünüm

a Ark

Önden görünüm

Üs�en görünüm

Arkadan görünüm

Arkadan görünüm

Sağ Ön

Soldan görünüm

Sağdan görünüm

Üs�en görünüm

Bir şeklin sağdan ve soldan görünümleri simetriktir. Aynı şekilde önden ve arkadan görünümleri de simetriktir.

158

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Örnek Yandaki şeklin sağdan görünümünü kareli zemine çizelim.

Ön Sağ

Çözüm: Şeklin sağdan görünümü yandaki gibi olur.

Üst

Örnek Yandaki şeklin üstten görünümünü kareli zemine çizelim. Çözüm: Şeklin üstten görünümü yandaki gibi olur.

Örnek Yandaki şeklin önden ve soldan görünümünü kareli zemine çizelim.

Sol

Ö n

Çözüm:

Şeklin soldan görünümü

Şeklin önden görünümü

159

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Üst

Örnek Yandaki şeklin soldan, önden ve üstten görünümünü kareli zemine çizelim. Sol

Ön

Çözüm:

Şeklin soldan görünümü

Şeklin önden görünümü

Şeklin üstten görünümü

Örnek Yandaki şeklin soldan, önden ve üstten görünümünü kareli zemine çiziniz.

Sol

Ön

Çözüm:

. Şeklin soldan görünümü

Şeklin önden görünümü

Şeklin üstten görünümü

Yapı oluşturma Üstten görünümü yandaki gibi olan şekil aşağıdakilerden hangisidir?

160

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Örnek Aşağıda farklı yönlerden görünümleri verilen yapıyı oluşturalım. Yapıda 4 birim küp kullanılmıştır.

Üstten görünüm

Sağdan görünüm

Önden görünüm

Çözüm:

Şeklin önden görünümüne sağdan görünümünü ekledik.

Şekli, üstten görünümü sağlayacak şekilde tamamladık.

Örnek Aşağıda farklı yönlerden görünümleri verilen yapı oluşturulmuştur, inceleyiniz. yapıda 7 birim küp kullanılmıştır.

Üstten görünüm

Önden görünüm

Sağdan görünüm

Örnek Aşağıda farklı yönlerden görünümleri verilen yapı oluşturulmuştur, inceleyiniz.

Üstten görünüm

Önden görünüm

Sağdan görünüm

161

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Alış rmalar 1) Yanda verilen yapının önden, arkadan, sağdan, soldan ve üstten görünümünü kareli zemine çiziniz.

Sol

Ön

2) Yanda verilen yapının önden, sağdan ve üstten görünümünü kareli zemine çiziniz.

Sağ

Ön

3) Yanda verilen yapının belli bir yönden görünümü kareli zemine çizilmiştir. Buna göre, kareli zemine,yapının hangi yöndeki görünümü çizilmiş olabilir?

Sağ Ön

4) Yanda verilen yapının önden, sağdan ve üstten görünümünü kareli zemine çiziniz.

Sağ

Ön

162

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 5) Yanda verilen yapının önden, sağdan ve üstten görünümünü kareli zemine çiziniz.

Sağ

Ön

6) Yanda verilen yapının önden, sağdan ve üstten görünümünü kareli zemine çiziniz. Sol

Ön

7) Aşağıda farklı yönlerden görünümleri verilen yapıyı oluşturalım. Yapıda 5 birim küp kullanılmıştır.

Üsten görünüm

Önden görünüm

Sağdan görünüm

7) Aşağıda farklı yönlerden görünümleri verilen yapıyı oluşturalım. Yapıda 8 birim küp kullanılmıştır.

Üstten görünüm

Önden görünüm

Sağdan görünüm

163

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ Konu Değerlendirme Tes

Üst

1) Yanda verilen yapının önden, sağdan ve üstten görünümünü kareli zemine çiziniz.

Sağ Ön

2) Yanda verilen yapının soldan ve arkadan görünümünü kareli zemine çiziniz.

Sol

Ön

3) Yanda verilen yapının sağdan görünümü aşağıda kareli zemin üzerine çizilmiş şekillerden hangisidir?

Sağ

Ön

4) Aşağıdaki şekilden kaç numaralı birim küp çıkarılırsa, şeklin üstten görünümü değişir?

1

2 3

164

4

BÖLÜM 2: DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ

Ünite Değerlendirme Tes A

1) Yandaki O merkezli çemberde

O

o

m(AOC) = 30 ve [OC]^[OB] dir.

o

30

C

Buna göre m(AB) kaç derecedir? B

o

A) 30

o

o

B) 60

o

C) 90

D) 120

2) Bir çemberin çevresi 54 cm ise, aşağıdakilerden hangisi bu çemberin yarıçap uzunluğudur? (p = 3 alınız) A) 6 cm

B) 9 cm

C) 12 cm

D) 18 cm

o

3) Yarıçapı 15 cm olan bir çemberde 20 lik merkez açının gördüğü yayın uzunluğu kaç cm dir? (p = 3 alınız) A) 5

B) 6

C) 9

D) 10

4) Yanda, yarıçapı 20 cm olan O merkezli bir çemberin 3/4'ü verilmiştir. Buna göre, şeklin çevresi

O 20 cm

kaç cm dir? (p = 3 alınız)

A) 110

B) 120

C) 130

D) 140

5) Çevre uzunluğu 32 cm olan karenin içerisine çizilebilecek

.

en büyük ölçüdeki çemberin çevre uzunluğu kaç cm dir? (p = 3 alınız) A) 20

B) 24

C) 40

O

D) 48

6) Çapı 10 cm olan bir dairenin alanı kaç cm2 dir? (p = 3 alınız) A) 75

B) 90

C) 150

D) 300

165

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 7) Yandaki O merkezli dairenin yarıçapı 8 cm dir. Daire 8 eş dilime ayrıldığına göre, boyalı bölgenin toplam alanı kaç cm2dir? (p = 3 alınız)

B) 54 cm

A) 36

C) 63

O

D) 72 E

8) Şekilde verilen O merkezli 4 cm yarıçaplı çemberde

o

o

m(EOC) = 30 ise boyalı alan kaç cm2dir? (p = 3 alınacak)

B) 8

A) 10

C) 6

O

30

4 cm

C

D) 4

9) Bir kenar uzunluğu 12 cm olan karenin çevresi ile bir dairenin çevresi eşit uzunluktadır. Buna göre, dairenin alanı kaç cm2dir? (p = 3 alınız) B) 187

A) 182

C) 192

D) 197

10) Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapı 50 cm, arka tekerleğinin yarıçapı ise 80 cm dir. Buna göre, ön tekerleğin 800 tur attığı bir yolda arka tekerlek kaç tur atar? B) 300

A) 200

C) 400

D) 500

11) Yarıçapları 6 cm olan A, B, C merkezli üç eş çember şekildeki

A

B

gibi birbirine değmektedir. Buna göre, boyalı bölgenin alanı 2

kaç p cm dir? A) 18

C

B) 24

C) 30

D) 36

12) Aşağıdakilerden hangisi yandaki şekle eş bir şekildir?

A)

166

B)

C)

D)

12) Aşağıdaki kareli zemin üzerinde bulunan kırmızı kenarlı şekli, 12 birim sağa ve 2 birim aşağıya ötelediğimizde kaç tane nokta, şekil içerisinde kalır?

B) 6

A) 5

C) 7

D) 8

13) Yandaki şeklin simetri eksenine göre yansıması aşağıdakilerden hangisidir? B)

A)

C)

D)

14) Yanda kareli zemin üzerinde verilen A şeklinden B şeklini elde etmek için aşağıdakilerden hangisi uygulanmalıdır?

Simetri ekseni

A B

A) Simetri eksenine göre yansımasını alıp, 2 birim aşağıya ötelemeli B) Simetri eksenine göre yansımasını alıp, 1 birim sola, 2 birim aşağıya ötelemeli C) 2 birim sağa, 2 birim aşağıya öteledikten sonra, simetri eksenine göre yansıması alınmalı D) 1 birim sağa, 2 birim aşağıya öteledikten sonra, simetri eksenine göre yansıması alınmalı 15) Aşağıdaki şekillerden hangisinin simetri ekseni çizilemez?

L

B)

LL

C)

L

L

L

A)

D)

LL

16) Aşağıdaki kelimelerden hangisinin simetri eksenine göre yansıması kendisinin aynısıdır? A) SES

B) OTO

C) ANA

D) POP

167

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ 17) Yanda, kareli zemin üzerinde verilen üçgeninin önce “d” daha sonra “k” ile belirtilen simetri eksenlerine göre yansımasını alırsak, üçgenin görüntüsü aşağıdakilerden hangisi olur?

d

k B)

A)

C)

D)

18) Yanda üç farklı yönden görünümü çizilen yapı aşağıdakilerden hangisidir? Ön B)

A)

Ön

Sağ

Sağ

C)

Ön

Sağ

Üst D)

Ön

Sağ

Ön

19) Yandaki yapının önden görünümü aşağıdakilerden hangisidir?

Sağ

Sağ Ön

B)

A)

C)

20) Yandaki yapının aşağıda çeşitli yönlerden görünümü verilmiştir. Buna göre, hangi yönden görünümü yanlış verilmiştir?

A)

168

Üst

B)

Sol

C)

D)

Sol Ön

Arka

D)

Ön

Tarama Tes 1) 120 gram yoğur�an 160 gram ayran yapılıyor. Buna göre, 500 gram ayran elde etmek için kaç gram yoğurt gereklidir? 2) Bir sını�aki kız öğrencilerin sayısının erkek öğrencilerin sayısına oranı 5 ’tür. Sını�a toplam 4 36 öğrenci olduğuna göre, bu sını�a kaç tane kız öğrenci vardır? 3) Dikdörtgen şeklinde bir oda 1:40 ölçekle çizilmiş r. Odanın çizilen uzun kenarlarından biri 6 cm olduğuna göre, gerçek uzunluğu kaç metredir? 4) Bir işi aynı nitelikte 15 işçi 20 günde yaparsa, aynı işi aynı nitelikte kaç işçi 30 günde yapar? 5) Aşağıdaki oran�larda bilinmeyeni bulunuz. B) 0.5 = 0.2 x 80

A) 12 = 4 9 x

6) 320 sayısının %40 eksiği kaça eşi�r? 7) Hangi sayının %20 fazlası 180 dir? 8) Kıymanın kilosu 50 TL dir. Kıymaya %10 zam yapılırsa kilosu kaç TL olur? 9) 1000 TL’ye alınan bir bisiklet belli bir süre sonra 850 TL’ye sa�lıyor. Buna göre, bu sa�ştan % kaç zarar edilmiş r? 10) 200 TL’ye sa�lan bir ceke n sa�ş �ya�na %20 zam yapılıyor. Ceke n beklenen sa�ş miktarına ulaşmaması nedeniyle zamlı sa�ş �ya� üzerinden %30 indirim yapılıyor. Son durumda ceke n sa�ş �ya� kaç TL olur? 11) Araba almak için bankadan yıllık % 12 faiz oranı ile 30000 TL kredi çeken Ali Bey, borcunu 2 senede eşit taksitlerle ödeyecek r. Ali Bey’in aylık taksitleri kaç TL olacak�r? A

12) Şekildeki O merkezli çemberde o

o

m(BOC) = 60, m(AOB) = 80 ve m(AB) = m(CD) ise, AOD açısının

o

80 .O o 60

B

ölçüsü kaç derecedir? C

D

169

ÜNİTE 6 GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ o

13) Yarı çapı 12 cm olan O merkezli çemberde 45 lik açının gördüğü yayın uzunluğu kaç cm dir?

(p = 3 alınız)

14) Yarıçapı 6 cm olan bir dairenin alanı kaç cm2 dir? (p = 3 alınız)

15) Şekildeki O merkezli yarım dairedir. |AB|= 8 cm ise boyalı bölgenin alanı kaç cm2dir? (p = 3 alınız)

.

A

B

O

16) Şekildeki 3 cm yarıçaplı O merkezli o

dairede m(COD) = 40 ise, boyalı

O

2

daire diliminin alanı kaç cm dir?

3cm

o

40 C

D

D

17) Şekilde ABCD kare ve O merkezli çember

C

karenin kenarlarına değecek şekilde

.

çizilmiş r. |AB|= 8 cm ise, boyalı bölgenin

O

alanı kaç cm2 dir? A

8 cm

B

18) Bir traktörün ön tekerleğinin yarıçapının, arka tekerleğinin yarıçapına oranı 2/3 tür. Bu traktörün arka tekerleğinin 18 tur döndüğü bir yolda ön tekerlek kaç tur döner?

o

19) Şekilde [BA//[DE dir. m(ABC) = 50

A

B

o

o

50

m(CDE) = x kaç derecedir?

C 105

m(BCD) = 105 olduğuna göre,

o

x D

170

E

20) Şekilde AB//CD ve [HG] açıortaydır.

A

B

E

3 o x 5 F

o

m(BEG) = 35

o

o

m(EGH) = 65 olduğuna göre,

65

..

m(EFH) = x kaç derecedir?

G

H

C

D

21) Bir dış açısının ölçüsünün, bir iç açısının ölçüsüne oranı 1/8 olan düzgün çokgen kaç kenarlıdır?

F

22) Şekildeki ABCDEF düzgün al�gen ve BCKLN ise düzgün beşgendir. A

Buna göre, x açısı kaç derecedir?

E

L

N

K D

x C

B

23) Bir kenarının uzunluğu 8 cm olan bir karenin kenarlarının orta noktaları birleş rilerek yeni bir kare elde ediliyor. Elde edilen yeni karenin alanı kaç cm2 dir?

24) Şekilde ABCD ikizkenar yamuktur.

D

[AB]//[DC] ve |AE|=|EB|olduğuna göre,

E

A) x ve y açılarının ölçülerini bulunuz.

C

x

o

B) DEC üçgeni için ne söylenebilir? A

25) Şekilde ABCD yamuk ve [AB]//[DC] dir.

24 o 42

D

y B

3 cm

C

2

A(ABC) = 36 cm, |DC|= 3 cm ve |AB|= 12 cm ise ABCD yamuğunun alanı kaç cm2 dir?

A

12 cm

B

171

GEOMETRİ 2: ÇEMBER ve DAİRE, DÖNÜŞÜM GEOMETRİSİ ÜNİTE 76VERİ 26) Yandaki şekilde verilenlere göre, ABCD paralelkenarının alanı kaç cm2 dir?

C

D

8 cm H

A

B

12 cm

27) Yanda kareli formda verilen şeklin

D

kırmızı çizgiye (simetri ekseni) göre

C

yansımasını çiziniz. A

28) Yanda, kareli zemin üzerinde verilen şeklin 5 birim sağa 2 birim aşağıya öteledikten sonra simetri eksenine göre yansımasını çiziniz.

B

Simetri ekseni

29) Yanda verilen yapının önden, sağdan, arkadan ve üstten görünümünü aşağıda verilen kareli zemin üzerine çiziniz.

Sağ

Ön

30) Aşağıda farklı yönlerden görünümü çizilen yapıyı oluşturunuz. Yapıda 7 birim küp kullanılmış�r.

176 172

ÜNİTE 7 VERİ

173

ÜNİTE 7 VERİ 7.1

BİR VERİ GRUBUNA İLİŞKİN DAİRE GRAFİĞİ OLUŞTURMA

Ahmet’in bir günde yap ğı aşağıdaki etkinlikler için ayırdığı zamanı bir daire grafiğinde gösterelim.

Etk nl k

Ayrılan Zaman

Kitap okuma

3 saat

Ders çalışma

5 saat

Dinlenme

6 saat

Uyuma

8 saat

İlk önce her bir saa n açısal karşılığını bulmamız gerekir. Bu iş için kesirlerin denkliğinden yararlanabiliriz. (Bir gün 24 saa�r) x15

3 = ? 24 360

Kitap okuma: 45o

x15

5 = ? 24 360

Ders çalışma: 75o

6 = ? 24 360

Dinlenme: 90o

8 = ? 24 360

Ders çalışma: 120 o

Şimdi bir daire çizip bulduğumuz açıları açıölçerden de yaralanarak gösterelim.

Ders Çalışma Kitap Okuma

Dinlenme

Uyuma

174

VERİ Alış rmalar Aşağıdaki verileri daire grafiğinde gösteriniz. 1) Aşağıdaki tablo Oya’nın cebindeki 120 TL’yi nasıl harcadığıyla ilgilidir. Sa n Alınan Eşya

Harcanan Para

Kitap

25 TL

Kıyafet

54 TL

Kalem kutusu

26 TL

Boya

15 TL

2) Aşağıdaki tablo 12 metrelik bir kumaşın nasıl kullanıldığı ile ilgilidir. Kıyafet

Harcanan Kumaş

Etek

2m

Pantolon

3m

Palto

5m

Gömlek

2m

3) Aşağıdaki tablo 720 kişilik bir grup insanın en sevdikleri meyvelerle ilgilidir. En Sevilen Meyve

Meyve Seven Kişi Sayısı

Karpuz

108

Elma

200

Portakal

306

Çilek

106

175

ÜNİTE 7 VERİ DAİRE GRAFİĞİNDEN YARARLANMA

7.2

Örnek

Kayısı sevenler

Yandaki daire grafiğinde sarı bölge 220 derecelik bir açıyı göstermektedir. Çilek sevenlerin sayısı 70 olduğuna göre, kayısı sevenler kaç kişidir? Çözüm: Öncelikle kayısı sevenler 220 derecelik bir açıyla temsil edildiğine göre, çilek sevenler 360 - 220 işleminden 140 dereceyle temsil edilir. ¸2

70 = 140 ? 360

Çilek sevenler

360 ÷ 2 işleminden toplam kişi sayısı 180 olarak bulunur. Bu durumda, kayısı sevenlerin sayısı, 180 - 70 = 110'dur.

¸2

Alış rmalar Aşağıda verilen daire grafiklerinden yararlanarak istenenleri bulunuz. 1) Yandaki daire grafiği Ayşe’nin bir gününü nasıl geçirdiğini göstermektedir. Sarı bölgenin gösterdiği açı 90 derece, beyaz bölgenin gösterdiği açı ise 150 derecedir. Bu durumda, Ayşe’nin kaç saa ni uykuya ayırdığını bulunuz.

Eğlence

Çalışma

Uyku

2) Yandaki daire grafiği Cem’in cebindeki parayı nasıl harcadığını göstermektedir. Mavi bölgenin gösterdiği açı 215, pembe bölgenin gösterdiği açı ise 45 derecedir. Cem, gömlek almak için 80 TL harcadığına göre, cebindeki toplam para kaç TL’dir?

3) Yandaki daire grafiği bir salondaki kadın ve erkek sayıları ile ilgilidir. Erkekleri gösteren bölge 150 derecedir. Erkekler 75 kişi olduğuna göre, kadınlar kaç kişidir?

176

Gömlek ek Yem

Ayakkabı

Erkekler Kadınlar

VERİ 7.3

ÇİZGİ GRAFİĞİ OLUŞTURMA

Aşağıdaki tabloda çeşitli saatlerde ölçülen hava sıcaklıkları görülmektedir. Bu bilgiyi bir çizgi grafiğinde gösterelim.

Saat

Hava Sıcaklığı

08:00

12 C

10:00

20 C

12:00

20 C

14:00

24 C

Bu iş için saatleri yatay eksene yerleş rip her saate karşılık gelen sıcaklıkları noktalarla gösterip daha sonra bu noktaları doğru parçaları kullanarak birleş rmemiz gerekir.

Sıcaklık ( o C)

o

24

o

20

o

16

o

12 8

Saat

4 08:00 10:00 12:00 14:00 16:00

Alış rmalar

Aşağıdaki tablolarda verilen bilgilerle ilgili çizgi grafiklerini oluşturunuz. 1)

2)

Saat

Hava Sıcaklığı

06:00

8C

08:00

12 C

10:00

18 C

12:00

20 C

Yıl

Öğrenci Sayısı

2014

3 000

2015

3 500

2016

4 500

2017

4 000

o

o

o

o

177

ÜNİTE 7 VERİ SÜTUN GRAFİĞİ İLE ÇİZGİ GRAFİĞİNİ İLİŞKİLENDİRME

7.4

Portakal Üre mi (Bin ton) Yıl

Portakal Üret m

2011

40 bin ton

2013

42 bin ton

2015

38 bin ton

2017

44 bin ton

48 46 44 42 40 38 36 34 32

Portakal Üre mi (Bin ton)

48 46 44 42 40 38 36 34 Yıl 32

5 16 17 4 3 1 2 0 201 201 201 201 201 20 20 201

0 7 3 5 2 1 4 6 201 201 201 201 201 201 201 201

Yıl

Alış rmalar Aşağıda verilen sütun grafiğini çizgi grafiğine, çizgi grafiğini ise sütun grafiğine dönüştürünüz. 1)

Turist Sayısı (Bin)

50 45 40 35 30 25 20 15 10

2)

Yıl

Patates Üre mi (Ton)

36 33 30 27 24 21 18 15 12

178

5 16 17 4 3 1 2 0 201 201 201 201 201 20 20 201

Turist Sayısı (Bin)

5 16 17 4 3 1 2 0 201 201 201 201 201 20 20 201

50 45 40 35 30 25 20 15 10

0 5 4 7 6 1 3 2 201 201 201 201 201 201 201 201

Yıl

Patates Üre mi (Ton)

Yıl

36 33 30 27 24 21 18 15 12

0 5 4 6 1 3 2 7 201 201 201 201 201 201 201 201

Yıl

VERİ Bölüm Değerlendirme Tes 1) Bir okulda 100 öğrenciye en çok hangi derse ilgisi olduğu sorulmuş ve alınan cevaplara göre aşağıdaki tablo oluşturulmuştur. Tabloya ait daire grafiğini oluşturunuz. Dersin Adı

Öğrenci Sayısı

Matema k

50

Türkçe

30

Tarih

20

2) Yandaki daire grafiği, bir mağazada toplam 720 adet sa�lmış

A

olan A, B ve C marka ürünlerin sa�ş miktarı ile ilgilidir. Mavi

C

bölgenin gösterdiği açı 160, pembe bölgenin gösterdiği açı B

50 derecedir. Buna göre A ürününden kaç adet sa�lmış�r� 3) Aşağıdaki tabloda verilen bilgilerle ilgili çizgi grafiğini oluşturunuz. Saat

Hava Sıcaklığı

10:00

9C

12:00

11 C

14:00

14 C

16:00

12 C

o

o

o

o

4) Aşağıda sütun grafiğini çizgi grafiğine dönüştürünüz. Portakal Üre mi (Bin Ton)

50 45 40 35 30 25 20 15 10

6 17 18 5 4 2 3 1 201 201 201 201 201 20 20 201

Portakal Üre mi (Bin Ton)

Yıl

50 45 40 35 30 25 20 15 10

1 4 6 7 5 3 2 8 201 201 201 201 201 201 201 201

Yıl

179

ÜNİTE 7 VERİ Ünite Değerlendirme Tes 1) 360 bilyeden 45 tanesini Ali, 100 tanesini Mehmet, 125 tanesini Kemal ve geriye kalan bilyeleri Hasan alıyor. Yandaki daire grafiği bu dört arkadaşın sahip oldukları bilye miktarlarıyla ilgili olduğuna göre, Hasan’a ait bölüm hangi renkte belirtilmiştir? (iletkiden yararlanınız) B) Kırmızı

A) Yeşil

C) Sarı

D) Mavi

2) Bir mağazadaki 60 üründen 25'i gömlek, 20'si pantolon ve geriye kalanlar cekettir. Bu verilere ait daire grafiği aşağıdakilerden hangisi olabilir? A)

B) o

o

100

120

o

15

0

o

90

C)

D) o

o

100

0 14

o

60 120 TL

20

3) Yandaki daire grafiği Ali’nin bir mağazada harcadığı para miktarı ile ilgilidir. Grafikte verilenlere göre, Ali mağazada toplam kaç TL harcadı?

o

0 15

0o

o

90

A) 352

180

B) 372

C) 432

D) 462

VERİ 4) Yandaki daire grafik A, B ve C gazetelerinin okunma oranlarına

B

göre oluşturulmuştur. Buna göre, aşağıdakilerden hangisi

120o

A

450 kişinin katılımıyla oluşturulan yandaki daire grafiğe ait bir

o

160

sütun grafiktir?

C Okuyucu sayısı

250 200 150 100 50 0

C)

A

B)

B

250 200 150 100 50 0

Gazete adı

C

Okuyucu sayısı

250 200 150 100 50 0

A

Okuyucu sayısı

D)

B

C

5) Yandaki tabloda, 08:00 - 16:00 saatleri arasındaki hava sıcaklık değerleri verilmiştir. Tabloda verilen bilgilere ait çizgi grafik aşağıdakilerden hangisidir? B)

Hava Sıcaklığı(ooC )

A

C)

Hava Sıcaklığı(ooC )

14 13 12 11 10 9

B

Gazete adı

C

Hava Sıcaklığı(ooC )

08: 00 10: 00 12: 00 14: 0 16: 0 00

Saat

C

Saat 08:00 10:00 12:00 14:00 16:00 o o o o o Hava Sıcaklığı 9 C 11 C 14 C 14 C 12 C

14 13 12 11 10 9

08: 00 10: 00 12: 00 14: 0 16: 0 00

14 13 12 11 10 9 08: 00 10: 00 12: 00 14: 0 16: 0 00

A)

B

Okuyucu sayısı

250 200 150 100 50 0

Gazete adı

A

Gazete adı

Saat Hava D) Sıcaklığı(

C)

oo

Saat

14 13 12 11 10 9 08: 00 10: 00 12: 00 14: 0 16: 0 00

A)

Saat

181

ÜNİTE 7 VERİ Tarama Tes 1) Aşağıdaki oran�larda bilinmeyeni bulunuz. A) 15 = 45 6 x

B) x = 50 0.4 0.1

2) 4 ve 9 yaşlarındaki iki kardeş 65 cevizi yaşları ile doğru oran�lı olacak şekilde paylaşıyorlar. Buna göre, büyük kardeş küçük kardeşten kaç tane fazla ceviz almış�r? 3) 15 tavuğa 40 gün yeten yem, 12 tavuğa kaç gün yeter? 4) Bir aile, aylık gelirinin %25'i olan 350 TL’yi ev kirasına veriyor. Bu ailenin aylık gelirinin tamamı kaç TL dir? 5) Bir öğrenci 400 sayfalık kitabın 160 sayfasını okumuştur. Öğrenci bu kitabın yüzde kaçını okumuştur? 6) Bir öğrenci 5 TL olan ha�alığının 3 TL’sini harcamış�r. Geriye ha�alığının yüzde kaçı kalmış�r? 7) 75 TL’ye alınan bir gömlek %30 kârla kaç TL’ye sa�lır? 8) %20 kârla 30 TL’ye sa�lan bir ürün, %10 zararla kaç TL’ye sa�lır? 9) 1200 TL’ye sa�lan bir ürüne önce %15 indirim uygulanıyor. Ürünün sa�lmadığı görülünce indirimli sa�ş �ya� üzerinden tekrar %20 indirim yapılıyor. Bu ürüne yapılan toplam indirim kaç TL dir? 10) 700 000 TL, %35 faiz oranıyla 2 yılda kaç TL faiz ge rir? 11) 300 TL %40 faiz oranıyla kaç ayda 120 TL faiz ge rir? 12) Şekilde, A, B, C noktaları doğrusal, [BF // [CD, m(ABE) = 2x, o

m(EBF) = 70 , m(ACD) = 3x olduğuna göre, ABF açısının

F E

o

2x A

70

C

3x

B

ölçüsü kaç derecedir?

D

13) Şekilde [BA //[DE olduğuna göre, x kaç

A

B

120 o

derecedir?

D E

140 o

x C

182

o

14) Yandaki şekilde d//k, m(MTC) = 70,

K

o

m(BLC) = 30 ve [KB], TBL açısının

T

x

M

70 o

d

.. B

açıortayı ise, TKB açısı kaç derecedir? o

30

L

k

C

15) 8 kenarlı bir çokgenin dış açılarının ölçüleri toplamının, iç açılarının ölçüleri toplamına oranı kaç�r?

16) ABCDE beşgendir. Şekilde verilenlere göre, x kaç derecedir?

A

o

40

x

B

E

o

120

50 o D

o

105 C

17) Şekildeki ABCDEF düzgün al�gendir. Şekilde verilenlere göre, x kaç derecedir?

E

D

x C

F

A

B

D

18) Şekildeki ABCD paralelkenarında B açısının ölçüsü o C açısının ölçüsünün 2 ka�ndan 30 fazla olduğuna göre, A açısının ölçüsü kaç derecedir?

C

A

B D

19) Şekilde ABCD bir kare ve ECB eşkenar üçgen ise, DAE açısının ölçüsü kaç derecedir?

C E

x A

20) ABCD ikizkenar yamuk ve [AB]//[DC] dir.

B

D

o

m(C) = 120 , m(CBD) = m(DBA) ise, ADB açısının ölçüsü kaç derecedir? A

C

12 o 0

..

B

183

ÜNİTE 7 VERİ 21) Şekildeki ABCD eşkenar dörtgeninde, |AB|=3x−5 cm, |BC| = x+5 cm ise eşkenar dörtgenin çevresi kaç cm dir?

D

A

C

m

x+

5 cm

c −5 3x B

22) Uzun kenarı 16 m, kısa kenarı 7 m olan bir dikdörtgenin, uzun kenarı 4 m kısal�lıp, kısa kenarı 3 m ar�rılırsa çevre uzunluğu ne kadar değişir? 23) Şekilde ABCD paralelkenar, |DC|=10 cm, |AE|=4 cm, |AF|=5 cm ise |BC| kenarının uzunluğu kaç cm dir?

E

D

C

4 cm

F

5 cm A

B

24) Kenar uzunluklarının oranı 2/3 ve alanı 96 cm2 olan dikdörtgenin çevresi kaç cm dir? 25) Bir kenarının uzunluğu 12 cm ve bu kenara ait yüksekliği 8 cm olan eşkenar dörtgenin 2

köşegenlerinin uzunluklarının çarpımı kaç cm dir? 26) Şekildeki ABCD karesinde, |DC|=10 cm, |EF|=2 cm ise DEC üçgeninin alanı kaç cm2dir?

10 cm

D

E A

27) Şekilde ABCD yamuk ve [AB]//[DC] dir. |AE|=12 cm, |EB|=4 cm, |DC|=4 cm ve A(EBCD)=24 cm2 olduğuna göre, ABCD yamuğunun alanı kaç cm2dir?

2 cm B

F

D

A

C

4 cm

12 cm

C

E

4 cm

B

28) Çevresi 160 cm olan karenin bir kenar uzunluğu %20 azal�lırsa alanı ne kadar azalır? 29) Bir dikdörtgenin kenarları 3 ve 5 sayıları ile oran�lıdır. Bu dikdörtgenin çevresi 80 cm olduğuna göre, alanı kaç cm2 dir?

184

30) Yandaki şekilde |AB|=12 cm ve |AC|= 20 cm ise, şeklin çevresi kaç cm dir?

20 cm

A

C

12 cm

B A 4x 60 o B

31) Şekildeki O merkezli çemberde, o

2x

m(AOB) = 2x , m(AB) = 4x − 60 ise, x kaç�r?

O

32) Şekildeki 8 cm yarıçaplı O merkezli o çemberde, m(BOA) = 60 ise, |AB| kaç cm dir? (p = 3 alınız)

B O

o

60 A

E

33) Şekildeki O merkezli 4 cm yarıçaplı o dairede, m(EOA) = 90 dir. Buna göre, boyalı bölgenin alanı kaç cm2 dir? (p = 3 alınız.)

O

34) Şekildeki O merkezli iki daireden içtekinin yarıçapı 6 cm, dıştakinin ise 10 cm olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç p cm2 dir?

35) Şekilde ABCD karesi ve B merkezli çeyrek daire çizilmiş r. Karenin çevresi 2 36 cm ise boyalı bölge kaç cm dir?

.

4 cm

A

O 10cm 6cm

D

C

A

B

(p = 3 alınız.)

185

ÜNİTE 7 VERİ 36) Aşağıda kareli zeminde verilen şekli önce simetri eksenine göre yansımasını alınız. Daha sonra 4 birim sola, 3 birim yukarıya öteleyiniz.

37) Yanda verilen yapının üs�en, önden ve sağdan görünümünü aşağıdaki kareli zemine çiziniz.

Sağ n Ö

38) Yanda verilen yapının üs�en, önden ve sağdan görünümünü aşağıdaki kareli zemine çiziniz.

Sağ n Ö

7. sınıf

18

o

0

8. sınıf ci 0 öğren

120o

15

39) Şekildeki daire grafiğinde bir okuldaki 6., 7. ve 8.sınıf öğrenci sayısının dağılımı gösterilmiş r. Buna göre, bu okulun 7.sını ndaki öğrencilerin sayısı kaç�r?

6. sınıf

186

40) Yandaki sütun grafiğinde, bir fabrikanın aylık meyve suyu üre minin dağılımı verilmiş r. Buna göre, bu fabrikada üre len,

Miktar (Lt)

300 240 180 120 60 0

A) vişne ve elma sularının toplamı, şe�ali suyundan kaç litre fazladır? B) Sütun grafiğe ait daire grafiğini çiziniz.

Vişne Şe�ali Elma

Meyve suyu

41) Bir yerleşim birimindeki 7 günlük sıcaklık ortalamaları aşağıdaki tabloda verilmiş r. Günler o

Sıcaklık ( C)

1

2

3

4

5

6

7

10

12

13

11

10

14

14

Bu tabloya ait çizgi grafiğini oluşturunuz.

187

ÜNİTE 7 VERİ KAYNAKÇA Ball, D. L. and Bass, H. (2000). Interweaving content an pedagogy in teaching and learning to teach: Knowing and using mathematics. In J. Boaler (ed.), Multiple Perspectives on the Teaching and Learning of Mathematics (pp.83-104). Westport: Ablex. Boyer, C. B. (1968). A History of Mathematics. New York: John Wiley & Sons. Garderen, D. V. (2006). Spatial visualization, visual imagery, and mathematical problem solving of students with varying abilities. Journal of Learning Disabilities, 39(6), 496-506. Geiger, V. and Galbraith, P. (1998). Developing a diagnostic framework for evaluating student approaches to applied mathematics problems. International Journal of Mathematics, Education, Science and Technology, 29, 533–559. Lowrie, T., & Kay, R. (2001). Relationship between visual and nonvisual solution methods and difficulty in elementary mathematics. The Journal of Educational Research, 94(4), 248-255. Ore, O. (1988). Number Theory and Its History. New York: Dover Publications. Walle, Van De, Karp, K. S & Williams, J. M. B. (2011). Elementary and Middle School Mathematics – Teaching Developmentally (8th edition), Pearson Education. Wells, D. (1997). The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers, rev. Ed. London: Penguin Books.

188

EK 1. / İzometrik Kağıt (0,5 cm)

189

ÜNİTE 7 VERİ EK 2. / Noktalı Kağıt (Parçalı)

190

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . .

EK 3. / Sütun grafiği

191

CMYK

MATEMATİK 7, Kitap 2

MATEMATİK 2.

MATEMATİK 7-1

7. Sınıf

KKTC MİLLİ EĞİTİM VE KÜLTÜR BAKANLIĞI Bu ders kitabı KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı tarafından ücretsiz olarak dağıtılmaktadır.

KKTC Milli Eğitim ve Kültür Bakanlığı

7