Matematica.verde. Per le Scuole superiori. Con Contenuto digitale (fornito elettronicamente) (Vol. 1) 8808529703, 9788808529701

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FILI,

La natura ama | , numeri primi? > La risposta a p. 16

x“ i

a

I NUMERI NATURALI

A È è ei

ET: Li Li Li L]

L

C h e cosa sono i numeri naturali

Li |

i

Li Li Li i

18 :Li GUARDA! i > E s e r c iazpagina

I numeri naturali sono; 0, 1, 2, 3, 4,5, 6,7, 8,9, 10,..

L'insieme di questi numeri viene indicato con la lettera N. I numeri naturali possono essere rappresentati su una semiretta orientata, cioè una semrniretta sulla quale, a partire dall'origine O, fissiamo un verso di percorrenza, da sinistra verso destra, che indichiamo con una freccia. Fissiamo poi un'unità di misura u, e a partire dall'origine la riportiamo più volte sulla semiretta. A partire dall’origine, a cui facciamo corrispondere lo 0, ci muoviamo verso destra passando di volta

in volta al numero seguente. Ogni numero naturale ha un successivo, il numero subito a destra sulla semiretta, e ogni numero naturale escluso lo O ha un precedente, il numero subito a sinistra.Per esempio, 4 ha come precedente 3 e come successivo 5. Due numeri naturali sono consecutivi se uno è il successivo dell'altro.

Li LÌ i

Vee

L]

Li Li Li L]

RA 7 Listen to it

L Li E L]

Li i LI

Li Li Li

L } LI]

Li Li

I E Li Li Li Li Li Li Li I Li Li Li Li I Li Li

I LI Li Li Li Li Li Li

L I Li LI

EsERcIZIO Pracadente a successivo Completa inserendo i l

numero corretto. I l precedente di 1000 è

L__| I l successivo di 77 è

L_| I l successivo dil_____|è 1010. i l pracedenta dil___|è 1.

CAPITOLO 1

e |

NUMERI NATURALI

Man mano che procediamo verso destra lungo la semiretta i numeri diventano sempre più grandi: ogni

|

fl simbolo | Significa.

numero è maggiore di tutti quelli che lo precedono


) o minore (

gi

ne

maggiore .



una moltiplicazione, ossia due fattori, Tuttavia vogliamo dare un significato anche a potenze con esponente 1 o esponente O. Per definizione: i # elevando a 0 u n

de

numero naturale diverso da Ò si ottiene 1:

=1, sea#0;

h e elevando a 1 un

I

numeronaturale si ottiene il numero stesso: a! = a. _

Li Li Li Li

In the power a", a is called base and n js called

axponent. saponantae 2=2.2-2=86

hi base

}

Li Li LI h Li Li I Li Li Li Li Li Li b i Li Li Li I Li Li I Li Li Li Li ‘ Li Li Li I Li Li i LI } I]

W EsERCIZIO Calcola le seguanti potenza. 05; 14; 27; 25; 3%; 52, 5°, 62;

2°.

e |

NUMERI NATURALI

e a

Completa le seguenti

O DO

07=0-0:0:...-0=0,

Potenza con #sponente 1 o 0 uguaglianze quando è possibile. a

7

m 1

a

0'=0,02=0:/0=0,..,

Q esercizio

O DA D a O

Infatti, per definire 0° potremmo ragionare in due modi diversi. e Se osserviamo che, per definizione di potenza, si ha:

a DO DO

a

Non viene invece definita la potenza con base ed esponente entrambi uguali a 0.

A

o

CAPITOLO 1

a DA O

n volle

a DO

'

DO O o O e O

Poiché le due conclusioni sono diverse, si preferisce affermare che 0° non è definita.

O De

* Se invece estendiamo la definizione a° = 1 al caso a = 0, possiamo porre 0° = 1,

e 2 4 ) = 24 da ltl=1

o O

O

possiamo porre 0° = 0,

bh. g g ] nm]

O

I i ESEMPIO

1°=1;

0° non è definita.

Potenze con esponente li:

2!'=2

1'=1;

0!=0,

2

Pe O O

2°=1;

=}

Nell'ebook e su

GUARDA!

un approfondirmmmito su

E

O

Potenze con esponente 0;

sistemi di mumerazione.

Ciò significa che alcune operazioni hanno la precedenza rispetto ad altre. Moltiplicazioni e divisioni hanno pari precedenza,così come addizioni e sottrazioni., I

|

ESEMPIO

10 + 2 : 3 = 10 + 6 = 16 è corretto;

a A O O a a a ola a a lee l o o a dla alma e a a ala c e a ala mula l o ala uao l a o doo l a ala m l nta a

Le operazioni vanno eseguite con un ordine ben preciso: 1. prima si calcolano le potenze, 2. poi le moltiplicazioni e le divisioni, nell’ordine in cui sono scritte, 3. infine le addizioni e le sottrazioni, sempre nell'ordine in cui sono scritte.

le

Per esempio, è un'espressione: 3! + 2:57 — 3 + 2 0 : 2°,

ea le

calcolare il valore di un'espressione.

e lee l a lele l o

Se vogliamo eseguire una sequenza di operazioni con i numeri naturali dobbiamo

l o l e mne a lla ndo e

L e espressioni con i numeri naturali

3 +20: 2

=

ò caloollamo le potenze

le addizioni e la sottrazione

lo e ala e

133

alba a

81 + 5 0 = 3 + 5 = 5 seguiamo nell'ordine In cui le Incontriamo

a

a O

81 +2:25-— 3 + 2 0 : 4 = ) ®segulamo la m o l t i p l i c a z i oenla e divisione

a

+2:

O DO D e

32

o DO D a

o

I | ESEMPIO Semplifichiamo l'espressione:

O DO O o o O

O

stesso valore.

o O

Semplificare un'espressione significa sostituirla con una più semplice che abbia lo

a

o

o

a

La moltiplicazione ha priorità sull'addizione e quindi si deve svolgere per prima.

o loan

1 0 + 2 : 3 = 1 2 : 336 = è sbagliato!

dine n l

TEORIA

‘B

e

O E

a

a

e

re n

a

a

e

|

A

ESERCIZIO

Espressioni senza parantani Sarmplifica le seguenti 5pressioni,

a. 12:3+7: 4-5:-2+ 23 b. 37-18:6 +47: 2 - 1

4 e L e espressioni con | numeri naturali * Esercizi a pagina 23

A che cosa servono le parentesi in un'espressione? Ad alterare la priorità delle

operazioni, cioè a modificare l'ordine con cui devono essere svolte.

20:27 = 20:4=

eseguiamo prima la potenza

Aggiungi le parentesi in moda da ottanere I l risultato indicato: a 6 +18:64:3= d i b i + i & : d 3 = Ti

(20 : 2 ) ! = p eseguiamo prima 102 = la divialone

un Ei+10:d d =

100

5

/ \ f . . . [ . . . l . ) 4..] 11} 1/7

Occorre eseguire prima i calcoli presenti all'interno delle parentesi tonde, poi quelli all'interno delle quadre e infine quelli all’interno dellegraffe. All’interno delleparentesi si rispetta l’ordine delle operazioni descritto sopra. b

{

EsERcIZIO

Una le parentesi

lu

I # ESEMPIO

W

el

PD L e espressioni con le parentesi

tonde

graffe

ESEMPIO

{2° — [135° = (20: 2)": 2]} +5 = + parentesi tonde { 3 2— [ 2 2 5— 1 0 : 2 ] } : 5 = 5 parentesi quadre

132 — 25} ‘5 =

parentesi grafie

DD L e espressioni letterali

# Esercizi a pagina 28

Possiamo usare le variabili per scrivere espressioni letterali, per esempio: 2 a-bec+3

TEORI A

7° 5=35

CON IL FOGLIO DI CALCOLO Operazioni ripatute

a.

Il simbolo di moltiplicazione fra variabile e numero, o fra variabili, può essere sottinteso. Per esempio, l'espressione precedente si può scrivere così:

Per i primi 301 numeri naturali... I

E

e

E de E

sir a

Dl Ae

e

E

AE DA

E S P DA

E

E

2a = bc + 3 a ,

Quando una variabile compare più volte nella stessa espressione, essa rappresenta sempre lo stesso numero. Come abbiamo già visto, possiamo calcolare il valore di un'espressione per particolari valori attribuiti alle lettere. Per esempio, se consideriamo a =5,b= 10 e c = 1 l e sostituiamo i valori alle lettere, otteniamo per l'espressione precedente: 25-10: /1+3:52=75,

|» Calle parole alle espressioni «Dati due numeri naturali a

e È, al doppio del successivo

di a aggiungi il prodotto tra

se a = 2, b = 3 ec = 0, l'espressione vale: Invece, 2 ' 2 - 3 : 0 + 3 : 2 ° = 16,

Un’espressione letterale si può ottenere traducendo una frase in simboli. Nelle tabel-

le trovi alcune espressioni equivalenti scritte con le parole e con i simboli.

Con le parole

4 esercizi in più

Con i

simboli

Con le parole | Con! simboli

i l quadrato del precedente di b e B.» Come sl traduce questa frase in simboli? Che valore assume p e r a=7&8b=11? Attenzione all'ordine!

La somma tra a e b

a+b

Il doppio di a

2a

Cambiare l'ordine dei termini che compaiono in

La differenza tra a e b

a-b

Il triplo di a

3a

risultati diversi,

Il prodotto tra a e b

ab

La metà di a

4:2

Il quoziente tra a e b

a:b

La terza parte di a

a:3

Il successivo di a

a+1l

Il quadrato di a

a

Il cubo di a

a

una frase porta in genere a Par esermplo, IL doppio del

Il precedente dia | a - 1 l , a 2 1

precedente di 5 è diverso dal precedente del doppio di 5:

2:(5-1)= 8; 2'9-1=%: EA

CAPITOLO 1 e

ale dae a

e

a

e

are c o dee nre d o

o

e |

NUMERI NATURALI

a a alare l e hola ale riale mo mne n

oe oe ca

o

e

u e a e deo v e u e ala

e

e u e lee dla lee mo m l

a

E

r e ale o

E o

a are a e l a alla Mm alle ala d a ala e o

Da E ol

a

e DA aa da O

DE De

a

O O

D a D a o a DO D e D a o e D E D o

e O

E E D e D a O DO D a d a d a DO e a

L e proprietà delle operazioni * Esercizi a pagina 32 Le seguenti proprietà sono dette proprietà formali delle operazioni. Esse valgono

indipendentemente dai particolari numeri ai quali scegliamo di applicarle.

B L a proprietà commutativa Proprietà commutativa dell’addizione

In un'addizione, se si cambia l'ordine degli addendi,la somma non cambia. a+b=b+a I

|

ESEMPIO 5 + 4 = 4 + 5

Proprietà commutativa della moltiplicazione In una moltiplicazione, se si cambia l'ordine dei fattori, il prodotto non cambia. a 'b=b'a

rr

ESEMPIO u 4 :r2 = 2 ik,

8 n

La proprietà commutativa non vale né per la sottrazione né per la divisione. I

VIDEO

Le proprietà dell'addizione della moltiplicazione

| ESEMPIO 15 — 3 = 12, mentre 3 — 15 non è u n numero naturale.

# 5 MATEMATICA PER IMMAGINI

La proprietà commutativa della moltiplicazione Lo scherna della figura interpreta graficamente la proprietà commutativa della moltiplicazione.

RE 3

3

a

|

o

9

9

Infatti, considerando 5 parallelepipedi, costituiti da 3 cubetti ciascuno,

otteniamo un numero di cubetti uguale a quello dato da 3 parallelepipedi, costituiti da 5 cubetti ciascuno. Anche altre proprietà di addizione e moltiplicazione possono essereinterpretate graficamente, come proponia-

o DO A o DO e a

a

E

a

lasciando invariato il loro ordine.

a

Proprietà associativa dell’addizione La somma di tre numeri non cambia se si associano diversamente gli addendi,

O

o

B L a proprietà associativa

o

o

mo nel video Le proprietà dell’addizione e della moltiplicazione.

ESEMPIO (3 + 6 ) + 4 = 3 + ( 6

+4)

o

|

O O O Da Da

ESEMPIO 5 + 7 + 3 + 2 = 5 + 1 0 + 2

o o po l a lee

Leggendo l'uguaglianza da destra a sinistra, possiamo anche dire che la somma di due o più numeri naturali non cambia se sostituiamo a un suo addendo due numeri naturali che abbiano per somma tale addendo.

O

a O

Pi

O

La proprietà associativa fa sì che, in una sequenza di addizioni, possiamo sostituire a due addendi consecutivi la loro somma: il risultato non cambia.

Da O

O DO

b

a Da Da

e

a

a

(a+b& + c = a + ( b + c )

sore e

TEORIA

i

Parché studiare le

proprietà delle operazioni? Le proprietà delle operazioni possono semplificare i calcoli.

Per esempia, con le proprietà commutativa e associativa

dell'addizione, calcoliamo:

144 +55 +36 + 15 a 1

’

70 a 250.

so

a oa Da DE oa

a Da De

5

e

L e propristà delle operazioni

Proprietà associativa della moltiplicazione Il prodotto di tre numeri non cambia se si associano diversamente i fattori, la-

LI I

i L I I

Li LI

sciando invariato il loro ordine.

L]

I

{a-b)-cm=a -{(b-c)

|

i I

I }

Li

P_| ESEMP IO ( 6 - 4 ) : 5=6 ( 4 5 )

Li

La proprietà associativa fa sì che,in una sequenza di moltiplicazioni,possiamo sostituire a due fattori consecutivi il loro prodotto: il risultato non cambia.

I Li Li } Li Li LI

W

usERCIZIO Calcolo rapido

Applica le proprietà commiutativa è associativa per calcolare nel modo più rapido possibile: a. 267 +21 +39 +13; b. 2-7-500.

L I Li

10

i

Leggendo l'uguaglianza da destra a sinistra, possiamo anche dire che il prodotto di due o più numeri naturali non cambia se sostituiamo a un suo fattore due numeri naturali che abbiano per prodotto tale fattore.

P _| ESEMPIO 3 : . 7 : 1 0 = 3 : 7 : 2 - 5 I n una sequenza di addizioni (o moltiplicazioni), applicando le proprietà commutativa e associativa più volte, è sempre possibile spostare in qualunque posizione uno o più addendi (o fattori),

I Q ESEMPIO (5 + 3 )

+7 = ( 7 + 3 ) +5, infatti:

5+3)+7=5+0+7) proprietà

associativa

proprietà

I Li Li

L I Li Li i i Li Li i I Li Li i Li Li i i Li Li

LI i

= (3+7)+5=(7+3) +5.

commutativa

I I Li Li

TEORI A

I | ESEMPIO 3 : 7 : 2 : 5 = 3 : 7

I I i I Li

propristà

commutatha

L]

i Li Li

La proprietà associativa non vale né per la sottrazione né per la divisione. P | ESEMPIO ( 9 - 3 ) - 1 E 9 - ( 3 - 1 ) }

i L 1 Li

( 2 4 : 4 ) : 2 # 2 4 :(4: 2).

L]

i Li Li Li Li Li i i

BD La proprietà distributiva Proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all’addizione

L] |

Quando si deve moltiplicare un numero per una somma, si può moltiplicare quel

L LI

numero per ciascun addendo e poi sommare i prodotti ottenuti, e il risultato non cambia.

i Li

Verifica che la proprietà distributiva dell’addizione

L]

LI

I

|

e——)

i L] |

LI i LI i Li L] |

I

LI LI]

i i

|

}

ESEMPIO ( 3 + 4 ) - 5 = 3 . 5 + 4 : 5

LI]

i I

Leggendo le uguaglianze dei due esempi precedenti da destra verso sinistra, si può ricavare la regola del raccoglimento a fattore comune: quando in una somma tutti

LI I Li Li LI Li i

gli addendi presentano un fattore in comune, esso può essere raccolto moltiplicani dolo per la somma degli altri termini. In simboli: Li Li I

a'b+a-c=a-(b+c); D

|

ESEMPIO 9 : 8 + 9 : 2 = 9 - ( 8 + 2 )

rispetto alla moltiplicazione non è valida mostrando che 5 + (3 - 4] #15 + 3) 15 + di).

FE

ESEMPIO 5 : ( 4 + 2 ) = 5 : 4 + 5 : 2

Abbiamo formulato la proprietà in modo che il fattore da distribuire sia quello di sinistra. In tal caso si parla di proprietà distributiva a sinistra. Poiché la moltiplicazione è commutativa, la proprietà distributiva vale anche a destra. I

non vale

Li I

“i”

li

ESERCIZIO Verifica che una proprietà

Li I i Li I

a-{b+c)=a-b+a'c

A

b : a + t c - a = { ( b + c )o .

I Li Li i i Li Li

'

&Y EsERcIZIO Proprietà dell'addizione

e della moltiplicazione Indica quali proprietà dell'addizione e della moltiplicazione sono state applicate nelle seguenti uqguaglianze:

( 7 + 6 | + 8 = 8 + ( +%él; (2+3+7=2+10;

3:8+2=2+86-3 ( 5 - 4 : 4md (5: A); 54 -2=50: 2 + 4 : 2 , 3 : 6 + 3 :14m 3 20,

CAPITOLO 1

e |

NUMERI NATURALI

La proprietà distributiva della moltiplicazione e il raccoglimento a fattore comune

VW ESERCIZIO

valgono anche rispetto alla sottrazione, sia a sinistra sia a destra. I n simboli:

Fai un #semplo

—]

—

i

-

—

—

1

.

=

-

—

La proprietà distributiva dalla

>

1

(b-_cd):a=b.a-c.a

@-(b-_d)=a-b-_ac

moltiplicazione rispetto alla

conb2e,

sottrazione è valida. Fal un

Proprietà distributiva della divisione rispetto all’addizione Quando si deve dividere una sommaper un numero, sipuò dividere ciascunaddendo per quel numero e poi sommare i quozienti ottenuti, e il risultato non cambia

esempio.

( a + b } : c m a : c + b : c 0 , conc 0 e quando le divisioni hanno risultato in N. i

|!

Q

ESERCIZIO

I | ESEMPIO (20 + 4 ) : 2 = 2 0 : 2 + 4 : 2

Fai un esemplo

Come avevamo già osservato per la moltiplicazione, la proprietà distributiva della

La proprietà distributiva della divisione è anche

divisione vale anche rispetto alla sottrazione. La proprietà vale solo a destra (la di-

sottrazione lla netto a alla Fal sottrazione. rispetto

un esempio,

visione non è commutativa).

L a proprietà invariantiva

Y ESERCIZIO

i v a sottrazione Proprietà i n v a r i a n tdella

TEORIA

In una sottrazione, se si aggiunge o si toglie uno stesso numero sia al minuendo sia al sottraendo, la differenza non cambia. a — b = (a + #) — (b + n), c o na => b; a - b = (a - #) - (6 - n),

c o n a = b 2n.

: Verificache unaproprietà Verifica che la preprietà invariantiva non vale né

per l'addizione né per la moltiplicazione mostrando che:

n. 7 + 3 ( 7 + 2) + [3 + 2); b. 5:4 (5:93): (4-3).

PI | ESEMPIO 15 — 8 = (15 + 2) — (8 + 2 )

|]

i v a divisione Proprietà i n v a r i a n tdella

In una divisione, se sì moltiplica o sì divide per uno stesso numero, diverso da 0, sia il dividendo sia il divisore, il quoziente non cambia. a : b = ( a - n ) : ( b - n ) , con b#E0, # 5 0 e quando le divisioni hanno

risultato in N; a:b=(a:H1):(b:n), con b # 0 , n # 0 e quando le divisioni hanno

risultato in N. LA

Se dividiamo il dividendoe il divisore per uno stesso numero, questo deve essere u n divisore di entrambi. P | ESEMPIO 6 0 : 15 = ( 6 0 2 ) :(15 2 ) ; 60: 15 = ( 6 0 : 3) : ( 1 5 : 3).

QQ Esercizio Proprietà della operazioni

Completa le seguenti uguaglianze e scrivi la propriatà applicata, a [5+17)+3=|__)+ (17 +3]

b. 52-_|=(52-L__}(16-21) C. [25+__}:5=25:5+20_ | d. 225:__|=(225:15);:(45:1_)

L e proprietà delle potenze ”* Esercizi a pagina 34

9 I l prodotto d i potenze d i uguale base Consideriamo la moltiplicazione 4° 4°, Per la definizione di potenza, +

42.4

= 4 4 4-4 4=4- 4-4: 4-4 = 4°, ‘np

volte

— 3 volte

ossia: 4 7 . 4 )= 42*+3,

Questa regola vale in generale,

10

e

5 volte

i

X Y 0° non è definita Poiché 0° non è definita, in tutte le proprietà della potenze che esamingeremo, l'esponente e la base di una

stessa potenza non possono essere contemporanea mente

nulli.

6

e

L e propristà delle potenze

Prima proprietà delle potenze Il prodotto di potenze di uguale base è una potenza con la stessa base avente come esponente la somma degli esponenti.

a ” at= u n

LISTEN TO IT The product of two powers with the same base is a

BF,

)

power with that base and axponent equal to the sum of

tha exponents.

n.

Osserviamo che la definizione data per le potenze con esponente 1 o 0 verifica la prima proprietà.

I | ESEMPIO 6°. 6° = 6 . 1 = 6 °

e 6 - 6 = g g = 61,

b I l quoziente d i potenze d i uguale base Consideriamo la divisione 4” : 4°, Poiché la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, stiamo cercando quel numero che, moltiplicato per 4°, dia come prodotto 4’, 4-4-4=

44-44

....E

LE E

te— —i

7 vate

4.4: 4 = 4 4 . 4:4: 4 : 4-4 {? = 1) volte

44-44:

7 volte

4:

TEORI A

Il numero cercato è 4%; quindi possiamo scrivere: =4"%,

7 Secondaproprietà delle potenze Il quoziente di potenze di uguale base (con l'esponente della seconda minore o uguale all'esponente della prima e con la base diversa da 0) èuna potenza che ha stessa base e come esponente la differenza degli esponenti, aq"

=

a"

c o n s t mm, a

0,

Se gli esponenti sono uguali, sì ha, per esempio: 4° : 4° =

4777

= 4°, Poiché un nu-

mero diviso per se stesso è uguale a 1, abbiamo 4 ” : 4’ = 1. Confrontando le due uguaglianze confermiamo che è giusto porre 4° = 1 e, in generale, al=

ll, cona

W esercizio Prima e seconda proprietà delle potenze

Completa le seguenti uquaglianze.

#0.

a. 3i|__]3t=27 b. 65 _]ét= €?

Quindi quia ="

c 7 ; 7Pm=__] d. 1 1 1 1 2 ]

MM = = ] ,

pb L a potenza d i u n a potenza Consideriamo 4° come base di un’altra potenza con esponente 3: (42

= 42-42

L=

+22

= 4253,

NA i definizione di potenza prima propriatà delle potenza

i

W ESERCIZIO Terza proprietà delle

Terza proprietà delle potenze La potenza di una potenza è una potenza che ha la stessa base e per esponenteil prodotto degli esponenti. N

h _ (tm

x at N

a"

potenze

Completa le seguenti

uguaglianze.

a. (76° = 1 1 b.

a

81

e, [152°]! m 2 8 1

11

e |

NUMERI NATURALI leo

CAPITOLO 1

e

esempio 4? 62, utilizzando proprietà note,

6) - ( 4 :6)= ) definizione di potenza

a

+

le

(4

a la

) proprietà commutativa e assoolativa della moltiplicazione

l a alma alle l a ala c e

4: 4:6:6=

ama e

) definizione di potenza

a

:

4°. 6! =

e ola l a

Scriviamo in un altro modo un prodotto fra potenze con lo stesso esponente, per

la

ala a a r

O I l prodotto d i potenze d i uguale esponente

a a o loro lime amo ala lla a l

a

(4 - 6)2, Quindi:

a

o

=( 4 - 6 ) .

a DO D a O

4 6

a DA

e

a

Quarta proprietà delle potenze ] Il prodotto di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il pro-

a DO Da

a b " = (a by"

a

dotto delle basi e per esponente lo stesso esponente.

a O

SOA DO

a

i

a DA D e a a DA De O DA DO a

quarta proprietà delle potenze

a

)

a

Mostriamo che quel numero è (12 : 4)°, cioè che (12 : 4)? - 4? = 122,

(12:4)? - 4° =

A O DO e

Poiché la divisione è l'operazione inversa della moltiplicazione, stiamo cercando quel numero che, moltiplicato per 4°, dia come prodotto 122,

A D a DO

Consideriamo u n quoziente fra potenze con lo stesso esponente: 122 : 42,

QQ esercizio Quarta e quinta proprietà delle potenze Completa le seguenti uguaglianza,

a. P L

= 565

b. 1 4 ; d m Cc. J B : 193 4

me

di |__|?

a ml

a

la

a

[(12:4) -4 !=

o dior l o allo m o l a

122,

e

Quindi:

A DO a

o

a

12°: 4 = (12: 4)?

a D a DO O

a

3 Quinta proprietà dellepotenze Il quoziente di potenze di uguale esponente è una potenza che ha per base il

a DO a

|

a DA DO

con b # 0 e quando le divisioni hanno risultato in N.

a a O DO

bP B ESEMPIO

a

o

a

alcuna proprietà.

o DO

inversa, la divisione. Per l'addizione e la sottrazione di potenze non si può ricavare

O

A

è una moltiplicazione ripetuta, quindi riguardano solo la moltiplicazione e la sua

e Da

Osservazione. Le cinque proprietà delle potenze si basano sul fatto che la potenza

O De

a

a": br = {a : 5)",

a

quoziente delle basi e per esponente lo stesso esponente.

a

o

O Da

4? + 4° & 423

4 : 4 = 16 + 64 = 80,

e O

=4-4+4

Y EsercizIO Poni l'attenzione su possibili errori Le seguenti uguaglianze sono false, perché? &

d t : gi = gi

bh. 45.43 = 41"

o

A

44

O DO D e

Infatti

12

4

a

=4 4 : 4 4 :

4 = 1024,

l a lee

4

a

mentre

dere e

TEORIA

I l quoziente d i potenze d i uguale esponente

353

md

ad. (744 = 719 # . 10%- 10%. 1 0 : = 0

7 * | multipli e | divisori d i un numero

1. Prodotto di potenze con la stessa base a"

+

am

A DO VO A UU UU OA D E OPA P a

a”.

5 3 , g t = 53141 = 5 7

O DO O DO

Esempio

o

Proprietà

A DO

Riassumiamno le cinque proprietà che valgono per le potenze.

*n

Semplifica: (13°. 27 34P 617] 36, +

=

Wei

5. Quoziente di potenze con lo stesso esponente

6 2 : 3=2 (6:3)2 = 2?

a":;:b"={a:b)",

A MO D I D A DO O

Applica la proprietà delle

potenze Semplifica se è possibile le seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze. a . ( 3 7 . 27) h è

b. [106 : 54

A

ai

d. 13527: (35-37

+ OO D A SO UU O

7,

SOA A SUP O A DIA

con b # 0 e quando le divisionihanno risultato in N.

A O

PO D A

42.52 = {4-5}? = 20

A

bb" = ( a b ) "

4 UU PO

a"

@Y EsErRciZIO

| multipli e i divisori

d i u n numero

OO O A D A O

nm, Yn € N ,

Chiamiarmmo numeri parl i multipli di 2. Si indicano con: n, v# € N. Per n = 0 , otteniamo 2 - 0 = 0 , Il numero 0, dunque, è u n numero pari.

SOA O

2°

DEFINIZ IONE

U n numero naturale b, diverso da 0, è divisore di un altro numero naturale a se la divisione fra a e è è esatta, cioè se la divisione dà come resto 0:

a:b=c. -

Il numero 1 è divisore di tutti inumeri.

A IPP R E OA D a S P A R DOP I P 20

Mentre i multipli di un numero sono infiniti, 1suoi divisori sono un numero finito. Per esempio, i divisori di 40 sono: 1, 2. 4, 5, 8, 10, 20, 40.

O

| ESEMPIO 6 è divisore di 18, perché 18 : 6 = 3 con resto 0.

esercizio Divisori di un numero Scrivi tutti i divisori del seguenti numeri: 16: 25: Jà: 66.

W

EsERCIZIO Dlvisibilità dal numari Stabilisci se i numeri sono divisibili per quelli a fianco.

a. 420; 4, &, 9, , 3. b. 561; 1 1%,

E

I

o DO

A

A MO O D A DO MA D I DA DO DO O O

DO DO DO UA OO I

Ogni numero naturale che non è pari si dice dispari.

La

00 R P S p D O e MO D o DOP DOO SO O

Per esempio, i multipli di 8 sono: 0, 8, 16, 24, 32, 40, ... 8:

times another number, then a is à multiple of è.

DO O

Il numero 0 ha come unico multiplo se stesso ed è multiplo di tutti i numeri. Per indicarli sinteticamente possiamo scrivere:

If a natural number a can be expressed as the number b

DO O

Attraverso la moltiplicazione possiamo trovare per ogni numero, diverso da 0, infiniti multipli: basta moltiplicare il numero per 0, 1,2, 3, 4, ...

usten t o Tr

DA 0

Un numero naturale a è multiplo di un numero naturale b se esiste un numero naturale c che moltiplicato per b dà a: a-=c-b.

i

O

” DEFINIZIONE

A DO DOO DO MA DOO UO D I O

UO O

* Esercizi a pagina 38

PA DO DO I A D A

4. Prodotto di potenze con lo stesso esponente

=

A

(am}" a r

A DO O

3. Potenza di potenza

D A A D e OO A U e OO O

conatOen< m,

TEORI A

12512’ = 1 2 * ' = 12?

= "x,

a"

A SUP DO

A

2. Quoziente di potenze con la stessa base

Proprietà delle potenze

13

1

I

CAPITOLO 1 * | NUMERI NATURALI Criteri d i divisibilità U n numero

Quando

è divisibile per

Esempio d i numero

Esemplo di numero

divisibile

non divisibile

2

l’ultima cifra è pari

5679 254

60 018 841

5

l'ultima cifra è 0 0 5

279 640; 310 065

9 111 008

4

il numero formato dalle ultime

295 264; 310 500

917 426

due cifre a destra lo è, oppure 25

queste cifre sono 00

157 275; 98 200

784 040

3

la somma delle cifre è divisibile per 3

74 391 7+4+3+9+1=24=3 8

32 723

la somma delle cifre è

65 682

15 747

divisibile per 9

(8+65+6+8+2=27=89:9)

(1+56+7+4+7=24)

9

B6+5+9+4= 24

sommando le cifre di posto

11

I

TEORIA

i

4

2+3+3=8 Ii

4

dispari e poi quelle di posto

6 150 914

122 332

pari, la differenza fra il risultato m a g g i oer e quello m i n o r e è 11 oppure un multiplo di 11

I +0 L I = 2 24 -2=22 =1112

1+2+3=6

-

6

pd

(3+2+7+2+3=17)

Il massimo comune divisore e il minimo comune multiplo “e

> Esercizi a pagina 40

B L a scomposizione i n fattori primi

g-6=2

PROBLEMA

Ha guantisono. i

|

numeri primi?

| Greci hanno dimostrato cha i numeri primi sana infiniti. Qual è la dimostrazione?

DEFINIZIONE

Sì dicono primi i numeri naturali, diversi da 0 e da 1, che hanno come divisori soltanto 1 e se stessi. p | ESEMPIO Sono numeri primi:

2,3,5, 7, 11, 13, 17, 19, ..., 53,

1,

P4],

0,

1987,

i

Quando un numero non è primo, è sempre possibile farne la scomposizione in fattori primi, ossia scriverlo sotto forma di un prodotto in cui tutti ì fattori sono numeri primi. I I ESEMPIO

20=2:2:5,

20 è scomposto in fattori primi,

60 = 3 : 4 : 5 ;

60 non è scomposto in fattori primi.

Infatti la scomposizione in fattori primi di 60 è: =_-7,%7,%2%,

60=2:2:3'5,

Scriviamo anche: 22.3.5

La scomposizione di un numero in fattori primi è unica. Viene anche chiamata fattorizzazione in numeri primi.

14

Perché 1 non è primo? Se considerassino 1

come numero primo, non

sarebbe garantita l'unicità della scomposizione di un numero in fattori primi, Per esemplo, sl avrebbe: bm=1:2+3; 6=11:2:3; bm 12.2:3;

&

e

l l massimo comune divisore e ll minimo comune multiplo

P Ill m a s s i m o c o m u n e divisore

> Esercizi a pagina 41

Consideriamo i numeri 30 e 40. I divisori di 30 sono: 1, 2, 3,5, 6, 10, 15, 30. I divisori di 40 sono: 1, 2, 4,5, 8, 10, 20, 40.

30 e 40 hanno in comune i divisori 1, 2, 5, 10, Il numero 10 è il più grande e viene

perciò chiamato massimo comune divisore e indicato con MCD. Possiamo scrivere: MCD(30; 40) = 10.

DEFINIZIONE

H m LISTEN TÒ IT

Dl massimo comune divisore (MCD) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più grande fra i divisori comuni.

natural nurmbars Idifferent

If you have two or mora from zero], their greatest

common diviser (GCD) is the largest natural number that

Vediamo una regola per determinare i]l MCD,

dividas them all.

REGOLA Dl MCD di due o più numeri scomposti in fattori primi è ilp r o d o tdei t osoli fattori primi comuni, ognuno preso una sola volta con l'esponente più piccolo. P_|

ESEMPIO Scomponiamo 30 e 40, mettendo in colonna i fattori con la stessa base. 30=2

x © PT

”

3.5

40=2%5- 5 Le colonne «complete» individuano i fattori comuni 2 e 5; bisogna prendere ciascuno con l'esponente più piccolo.

Il MCD è 2-5, cioè 10.

Se due numeri non hanno fattori primi comuni allora il loro MCD è 1, cioè essì non hanno divisori comuni, tranne il numero 1. In questo caso i due numeri vengono detti primi tra loro. P_

|| ESEMPIO 8 e 9 sono primi tra loro,

P_ I l minimo comune multiplo

42 > Esercizi a pagina

Consideriamo di nuovo i numeri 30 e 40 e i loro multipli diversi da O. I multipli di 30 sono: 30, 60, 90, 120, 150, 180, 210, 240, ...

I multipli di 40 sono: 40, 80, 120, 160, 200, 240, ... Il più piccolo multiplo che i numeri 30 e 40 hanno in comune è 120; esso viene per-

ciò chiamato minimo comune multiplo e indicato con mem. Possiamo scrivere: mem(30; 40) = 120. DEFINIZIONE

DUminimo comune multiplo (mem) di due o più numeri naturali, diversi da 0, è il più piccolo fra i multipli comuni, diversi da 0.

E

Listen t o

n

IF you have two or mora

«i:

natural numbers different from zero] their least common

multiple (Lem) la the smallest

Anche per il calcolo del mem esiste una regola operativa.

natural number that is multiple of all of them.

15

QQ esercizio

REGOLA

M CèDmem

Il mem di due o più numeri scomposti in fattori primi è il prodotto di tutti i

mem e MCD di: fattoriprimi, comuni e non comuni, ognunopreso una sola volta conl’espo- : Calcola nente più grande. Pf

ESEMPIO Riprendiamo le scomposizioni dell'esempio a pagina precedente.

30=2:3:5 40 = =72.

5

a)

Il mem è 2° +3: 5, cioè 120,

i

Nell'abook # su

CARD

su

MCD, meme algoritmo

Il mem di due numeri primi fra loro è il loro prodotto.

ee.

Per esempio: mem(8; 9) = 72.

IDEE PER L E COMPETENZE

. 3

n e

Cicale, numeri primi e m e m

©

In natura è frequente incontrare dei numeri primi. Spesso la TEORIA

«scelta» del numero primo non è casuale ma risponde a precise esigenze biologiche.

i

p

Vediamo un esempio.

Le cicale americane Magicicada tredecim e Magicicada septendecim vivono entrambe un periodo di latenza, rispettivamente di 13 e 17 anni, per poi uscire dal sottosuolo per accoppiarsi, deporre le uova e infine morire (da Marcus du Sautoy,

L'enigma dei numeriprimi, Rizzoli). Perché i due cicli vitali sono due numeri primi? Se consideriamo due cicli di n e rr anni, che iniziano nello stesso momento, essi coincideranno ogni numero di anni uguale al minimo comune multiplo di n e m. Per esempio, se n = 4 e m = 6, ogni 12 anni l’inizio dei

due cicli vitali combacerà.

meò |

|

12

24

Se n e m sono primi tra loro, tali coincidenze si verificano solo una volta ogni n : m anni. Per i due tipi di cicale americane ciò avviene ogni 13 - 17 = 221 anni, Questo permette di diminuire notevolmente la possibilità di incrocio tra le due, con conseguente indebolimento delle specie, e allo stesso tempo di ridurre le occasioni di competizione per le stesse risorse ambientali,

Osserviamo che con cicli entrambi più lunghi, ma non primi tra loro, la frequenza delle coincidenze potrebbe aumentare: per esempio, con cicli di 15 e 18 anni l'incontro avverrebbe ogni 90 anni.

Il fatto che, oltre a essere primi tra loro, 13 e 17 siano anche singolarmente due numeri primi, riduce al minimo anche la probabilità degli incontri con eventuali predatori che abbiano cicli vitali più brevi. Pensiamo per esempio allo svantaggio che comporterebbe per la cicala un ciclo di 12 anni in presenza di predatori con cicli di 2, 3 o 4 anni. PP Se sezioniamo una banana, il frutto all'Interno appare diviso in 3 parti. Se tagliamo una mela a metà nel

senso trasversale possiamo osservare 5 logge, che contengono i semi. Ricerca altri esempi di numeri primi in natura.

16

GUAR DA!

Mappa dei fondamentali

{nm

Hm Sintesi in? lingue OPERAZIONI TRA NUMERI NATURALI

| Addizio ne

è

+ Sottraz ione e division e

è moltiplicazion e

16-4=12

8 + 1 5 = 23 TZ TT

iso

12.10 = 120 TT

esponente

minuéado sottraendo differenza

adden di somm a

fattori

* Potenza

dividendo

l

!1 5 = 1 0

divisore

base

quoziente

prodotto

|

a"=a'-3a-a-...'‘a&

n2>1

A volte 0_

1_

a l = 1 (a # 0 )

a =à

PROPRIETÀ DELLE OPERAZIONI

Proprietà associativa

(8-2) 3=8 3-2 3

e Sottraziona a divisione Proprietà invariantiva BB — 13 = (88 + 2 ) - ( 1 3 + 2 ) 12: 3=(12:5):(3:5)

a destra

TEORIA

* Addizione è moltiplicazione Proprietà commutativa Proprietà distributiva 17+5=5+17 della moltiplicazione 44. 3=3:-44 9 . ( 1 + 6 ) = 9 - 1 + 9 . : 6 asinistra

Proprietà distributiva

{7+6)+3=7+(6+3)

della divisione

(12-8) 7 =12-(8:7)

(9-6): 3=9:;:3-6:3 solo a destra y

PROPRIETÀ DELLE POTENZE ®

an. an = a m + n

O

a7

o an=

PI ( a r )

3 . 3 = 312 = 3 = 27 53:

gn"

= a g ""n

51 =5

4°. 32 = ( 4 . 3 ) = 12° = 144 6 5 : 35=(6 :3)%= 2° = 64

hl

| MULTIPLI E DIVISORI e Sono m u l t i p l i di 2 0 : 20,

53-22 =

(22)? = 223= 26 = 64

e a ” . bp" = (a -b}”" * a t : b r = (8 1 bb)”

0,

g2 =

@.

60,

40=20 2

80,

..

sono Infiniti

MCD E mem 1 2 = 22.3 202

32.5 |

| fattoriri prim primi one In c o m p o sIzione

MCD(12;90)=2:3=67 prodotto del fattori comuni con asponente minore

e Sono divisori di 20: 1

2 4 © 20=4-5

Mmem{12:90) = 22.32.5 = 180 10, 20. sono In numero finito

FONDAMENTALI ALLA PROVA

> pag. 46

prodotto del fattori {comuni i non comuni) con esponente maggiore

|

CAPITOLO 1

e |

NUMERI NATURALI

ESERCIZI

Stnstà

N

iero

7 Prova tu

> T e o r iaapagina1

Che cosa sono i numeri naturali VERO O FALSO?

a. 6 è il precedente di 7. b. 8 è il successivo di 6, le seguenti frasi. Il precedente di 10 è | _ _ _ |

Vv]

LF

Vv]

Le

successivo di 8. d. O non ha il successivo,

Cc. 7 è il

COMPLETA

°°

i

Il successivo d i

|____|è2001.

Il precedente di

| è 500 000.

D i uno dei numeri naturali 1,4,0 non esiste il precedente. Quale? Hanno tutti il successivo?

Pe

la)

Numbers in words Write the following numbers in words if they are in digits, and write

il lvov E E A

ESERCIZI

them in digits if they are given in words, a. Four hundred and two.

c. Fifteen hundred twenty four.

e 43010.

b. One thousand two hundred three.

d. 2005.

f. 10002.

VERÒ Ò FALSO?

v] {e

a 8 T e o rai a

Bb l l numero O e i l n u m e r o 1 COMPLETA le seguenti uguaglianze, quando è possibile. [1 =T=]

2:__J=|1

L___j'0=0

3:0=|___|}

3:-___j=0

|__|'4=4

L__j+0=0

2-|___j=?2

L__J:3=0

Perché le seguenti divisioni sono impossibili © non hanno significato?

A 4:00;

S00:0:

0:00.

VERO O FALSO? Dato un numero naturale # :

-

i

a. n 0 = n. 0+n=n-0,

b.

n : 0 = 0 solo se n è 0, d. O:n = 0 solo se n # 0. €.

V|

LE)

EA

Perché lo 0 è detto elemento assorbente della

v]

[#]

: °°

moltiplicazione?

MI

LO

vj

le]

”

I Z ] Se il prodotto di due numeri naturali è 0, sono ‘ "°° nulli entrambi i fattori? Perché?

4-0=|___|]

0. 7=|___|]

3:3=|___|

=]

0:5=|___ j

3-1=___]j

0-0=L__ _|

VERO O FALSO? È possibile in N: a. 7-7.

vi

b. 16:1.

ED

a. 0 è l’elemento neutro della

c. 18:90.

vi|iF

b. a - a = 0 .

=

d. 0:9,

vi

LE

ce L a = a /1=d,

v|LF

e. 1 5 : 1 5 .

vj

EF

d. 0 : a è impossibile.

Vv]

[F

f. 4 - 0 ,

LASL

e

vj]

LP

[E

a

VERO O FALSO? Considera u n numero naturale diverso da 0 ,

moltiplicazione.

L e potenze

dqia=d.

LF

vj]

> Teoria a pagina 5

ujjujliuji

Nell’espressione 5°, 5 è l'esponente e 3 la base, L'espressione 0° non è definita. Le potenze 5° e 1!‘ hanno lo stesso risultato. La potenza 2* èminore della potenza 4?,

LT E L T

VERO O FALSO?

a. b. c. d.

N

tI

Ti

3:1=___] 0 I

‘n

bi

2

10/0:

Li)

ui

CAPITOLO 1

e |

NUMERI NATURALI

Qual è il risultato della potenza 0", connE€ N en 0? pac

Quale numero ha come potenza solo se stesso?

E goc

Quale numero non ha fra le sue potenze 1? Lele

Scrivi le potenze di 5 comprese fra 0 e 11. gt

oc

Indica fra i seguenti numeri quelli che sono potenze di 3. 3% 6

% 0 1; 12; 27; 30;

33; 81; 121; 99.

Calcola il valore delle seguenti potenze.

55 74 8% 72 100% 1% 05 05 4 ,

27% 2% 24% 25 265 3% 3% 34 3°,

‘COMPLETA quando è possibile, con i l numero naturale corretto.

me

n

2)

=8,

ò

-

L_r=i

dl=28;

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE I numeri naturali, l e operazioni e le potenze E

s i l=16. sl=0

=;

LL

4

GUARDA! Fai questi esercizi anche su ZTE

pp

iL

b. Il quadrato di un numero naturale può essere minore del numero stesso. c. Il prodotto tra due numeri naturali consecutivi è sempre un numero pari.

d. La divisione tra due numeri naturali è sempre possibile.

HH

E

Se n è un numero naturale, scrivi: a. il precedente di # {con n = 1);

c. il successivo del doppio di x;

b. il precedente di n + 2;

d. 1] successivo di 4 + 3.

Scrivi in forma simbolica le operazioni indicate e poi eseguile. a. Addizione con secondo addendo 45 e somma 86. b. Sottrazione con differenza 12 e sottraendo 6.

Divisione con divisore 21 e quoziente 6. d. Moltiplicazione con primo fattore 8 e prodotto 200. €.

TEST Indica quale tra le seguenti affermazioni è corretta. gu

Al

0° = 1

6)

e]

2°=1

1°=2

b|

1°=0

1 COMPLETA la seguenti uguaglianze.

‘E

=

{6

(5-L_p '=8;

dl=g

5=1

({_):2) = 1 ;

Lt=i6 . ({_|+2) ° =%;

(3-L_p! = 12.

|||

a. La differenza tra due numeri naturali è sempre un numero naturale.

| | |M

VERO O FALSO? Li

Esercizi a pagina 61

O L'insieme Z

I] numeri positivi, i negativi e lo O si chiamano interi. 1numeri interi sono quindi: n

44

3-2,

10,1,

+2,

+3,

tdi

n

L'insieme dei numeri interi si indica con Z. Indichiamo poi con Z * l'insieme degli interi positivi, con Z ” l’insieme degli interi negativi e con Z i quello degli interi non negativi, ossia i positivi e lo zero, Diciamo opposti i numeri con segno diverso ottenuti dallo stesso numero naturale. Per esempio, +21 e —21 sono opposti.

Il numero 0 può essere considerato opposto di se stesso. 1] numeri che hanno lo stesso segno sono concordi, quelli che hanno segno diverso

L )A+ 6 pre

discordi

discordi e opposti

+12 7 TON

7

+9

+5}

Creiamo una corrispondenza che associ a ogni numero naturale uno TEORIA

e un solo numero intero non negativo e viceversa, cioè una corrispon-

denza biunivoca fra N e Zi. facendo corrispondere 0 a 0, La +1, 2 a + 2 , 3 a + 3 e così via.

Nell'insieme dei numeri interi useremo i due simboli con e senza segno + per indicare lo stesso numero. Per esempio, 12 indica sia il corrispondente numero naturale 12, sia l'intero +12. DEFINIZIONE

Il valore assoluto o modulo di un numero intero è: # il numero stesso, se è positivo o è zero; #

l'opposto del numero, se è negativo.

sa

Ni [al A

sero

a

se a negativo

Indichiamo il valore assoluto di a con | a |. Poiché il valore assoluto di un numero intero o è positivo o è zero, di solito scriviamo il risultato del valore assoluto senza segno +, servendoci della corrispondenza creata con i numeri naturali. I

|

ESEMPIO

[+5]=5,

|oj=0,

Two numbers that have the same magnitude, different from zero, preceded one by a + sign and one by a — sign,

are opposite numbers.

sono discordi, Due numeri opposti sono discordi. concordi

H m LISTEN TO IT

|-16|=16.

O La rappresentazione del numeri interi s u una retta >» Esercizi a pagina 61 Abbiamo già visto come rappresentare i numeri naturali su una semiretta. Vediamo come è possibile rappresentare Z su una retta orientata: e fissiamo l'origine, corrispondente a 0, e l'unità di misura; e associamo + 1 , + 2 , + 3 , ... ai punti che distano dall'origine rispettivamente

1,2, 3, ... unità verso destra; e associamo — 1, —2, —3, ... ai punti che distano dall'origine rispettivamente 1,2, 3, ... unità verso sinistra.

1

e

Che cosa sono i numeri interi

WY esercizio Rappresenta i numeri interi sulla retta orientata Rappresenta sulla retta

orlantata: -3;

+4; - i;

+7: +2; - & .

B Ill confronto fra numeri interi

> Esercizi a pagina 61

Rappresentare i numeri interi sulla retta orientata dà la possibilità di visualizzare un ordinamento fra essi. Poiché abbiamo fissato sulla retta l'orientamento in senso crescente, ogni numero risulta minore di tutti quelli che stanno alla sua destra e maggiore di quelli che stanno

alla sua sinistra. IP |

ESEMPIO — 6 è minore di — 5, — 1 è minore di + 2 ecc.

TEORI A

In generale: e fra due numeri positivi, il maggiore è quello che ha valore assoluto maggiore; e fra due numeri negativi, il maggiore è quello che ha valore assoluto minore;

e ogni numero positivo è maggiore di qualsiasi numero negativo; * il numero Ò è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo. I i ESEMPIO

e + 5 > + 3 perché 5 > 3; è

— - 7 > - 9 perché 7 < 9;

è

+ 5 > = 10;

e -7 b.

Diciamo perciò che l'insieme Z è un insieme ordinato. Anche nell'insieme Z, come in N, è sempre possibile conoscere il precedente e il successivo di un numero. Per ogninumero intero x, x — 1 è il precedente di x, x + 1 è il successivo di x.

W

I | ESEMPIO I] precedente di — 5 è — 6, il successivo di — 3 è — 2,

positivo e due negativi, in modo che due di essi siano opposti, Per ognuno, scrivi i l

EsERCIZIO Verifica la comprensione

delle definizioni Servi tre numeri interi, uno

In Z, a differenza di N, anche il numero O ha un precedente, che è — 1.

Sulla retta che rappresenta Z, fra un numero intero e il successivo non vi sono altri numeri interi. Per questo motivo anche l'insieme Z, come N , è un insieme discreto. Di conseguenza, fra due numeri interi qualsiasi vi è sempre, al più, un numero finito di numeri interi.

precedente e |L Successivo. Indica se fra i numeri ottenuti ci sono numeri opposti.

Inoltre, poiché ogni intero è seguito da un intero (il suo successivo) e preceduto da un intero (il suo precedente), Z è anche un insieme infinito.

53

CAPITOLO 2

e |

a

o

ale r e SD

e

a

de

e

Da que ale o o dimo l o o e u e

|

NUMERI INTERI

l e mne d a o e

Li

n

e

a e doo e

e dale ale d o me dare a a

l a o e r e allo a a cale olo

a

cl

E

e da

a

E aa

a ala

LI

e

o l alla d a ale a D a ala E d a

a DE a

aa

O DD ala D e

A DO D e a a OO E

D a D a a a D E D e D a o e DO D a c e

A EE De

a

O DO D a a a

a DO

a aa oa Da DE o

The sum of two integere with

aa Da Dr

i

Li

L’addizione e la sottrazione

i

> Esercizi a pagina 63

L'addizione

i

DEFINIZIONE

ustrentor

La somma di due numeri concordi è un numero che ha: # per valore assoluto la somma fra i valori assoluti dei due numeri; ® per segno lo stesso dei due numeri,

h a same i I O

ego .

sum of the addends' absolute

=

=)

values, and their same sign.

IPB ESEMPIO

( + 4)

+ (+ 5) = + (4 + 5 ) = + 9 ,

( 3 ) + ( - 7 ) = - ( 3 + 7 ) = - 10.

i

Possiamo anche scrivere: (+44+(+5)

=+4+5=+5,

TEORIA

( = 3) + ( - 7) = - 3 - 7 = -

i

10.

i

DEFINIZIONE

La somma di due numeri discordi è u n numero che ha:

usten t o

rr

The sum of two integers with Di 4 different signs is an integer

per valore assoluto la differenza fra il maggiore e il minore dei valori assoluti; a per segno quello del numero che ha valore assoluto maggiore. #

)

with absolute value that is

the difference of tha addends'

absolute values [the larger

minus the smaller], and tha sign of the addend whose

I i ESEMPIO

absolute value is larger.

(— 12) + (+ 40) = + (40 — 12} = + 28;

(-— 20) + ( + 4) = i

A } = — 16. {20 — — 4}

C OCALCOLO N I L FOGLIO DI

Possiamo anche scrivere:

Controlla le spese! imposta un foglio alettronica che contenga | quadagni e le spese di Luca in questo mese a cha:

+ (+40) = — 12 +40 = + 28; (— 20) + (+ 4) = — 20 +4 = — 16.

(— 12)

L'operazione di addizione è interna in Z. Puoi verificare, inoltre, che anche per l'addizione fra interi valgono la proprietà |: '

commutativa e associativa, e che lo 0 è l'elemento neutro.

Abbiamo anche una nuova proprietà collegata all'esistenza dell’opposto di ogni nu- '

a. determini il totale

dalle spese e i l totale dei guadagni di Luca; b. determini se quasto

Mese Luca ha speso più di quanto ha guadagnato,

mero: per ogni numero ne esiste u n secondo (il suo opposto) tale che la somma

Svolgimento a altri

tra i due è 0, ossia l'elemento neutro dell’addizione. Per esempio, (— 9) + ( + 9) = 0,

esercizi como questo

!

La sottrazione

La differenza di due numeri interi è la somma del minuendo con l'opposto del

' i ustento mr : The difference of two

sottraendo.

' is the sum of the first plus

DEFINIZIONE

b=a+

{

b)

-

a-b=a+(E

54

A

'_ opposite of tha second, !

dd

LL

2 * L'addizione e la sottrazione

(+14)

n

a

EsEMPIO

- ( + 3 ) = (+14) + ( - 3 ) = + 1 1 ;

pe E SA a

|

a

( - 4) - ( - 6 ) = ( - 4 ) + ( + 6 ) = + 2 ,

Più in breve, eliminiamo le parentesi del sottraendo, cambiando il suo segno:

23,

( + 19) - ( - 4) = + 1 9 + 4 = +

Addizioni e sottrazioni Completa le seguenti

addizioni e sottrazioni

*

(3)

Pa

e (-6)|-I-1|=|__]j

* (+4|+{|__j} = 0 e {__f-1+8) = - 3

A O DO

a — b = (a — c) — (b — c).

PA O

+ c) — (b +e);

(W EsERcIZIO

ir

( - 6]

—

m=-$

SO

a — b = {a

DA

Per l’addizione e la sottrazione fra interi vale la proprietà invariantiva:

A S P DO SOA 0 A DO OP DO OP DOP A

D

. i

pb r a

DO CO O P O

=+9-1=+8.

L'operazione di sottrazione è interna in Z, mentre non lo è in N . p | ESEMPIO L'operazione 4 — 9 non ha risultato in N, invece in Z otteniamo:

i

+2

+3

IDEE PER LE COMPETENZE Anni positivi e anni negativi Il] calendario che usiamo oggi è chiamatogregorianoperché fu introdotto daPapa Gregorio XIII; prevede un evento di riferimento, la nascita di Cristo, che separa gli anni avanti Cristo (a.C.) da quelli dopo Cristo (d.C.). Esistono però altri calendari con una struttura differente per il calcolo degli anni: per esempio, nell'antico

calendario cinese gli anni sono contati a partire dal 2637 a.C. seguendo un ciclo di 60 anni che si chiama Ganzhi. Soltanto grazie a un'opportuna corrispondenza tra gli anni del calendario gregoriano e i numeri interi, riusciamo a determinare a quale ciclo del calendario cinese appartenga un anno qualsiasi del ca-

lendario gregoriano.

TEORI A

A OR SO DO SOA A O

+1

DA E O

DO CA O

+ Ò

Pe O

nuova grigine

x] 1

O

ie

0

iii

2

[= 46 + 25 = B).

NP a

sentare b su una retta orientata di origine a.

Rw”

n -3

=

OO S A

:

- [ - 12 - ( - 1 9 +13) - 4 ] + 5 3 )+

PO O

+

Trova i l valore della seguente espressione: 27 — | - 15) - { - (+2 — 6) +

4 0

In altre parole, immaginiamo di rappre-

addizioni algebriche

NOP 2 0

1a

Calcola un'espressione con

SOA O

L

mo di | b |unità verso destra se b è positi. vo, verso sinistra se b è negativo.

W ESERCIZIO

Pe O

Per rappresentare, sulla retta orientata, la | Per esempio: somma algebrica di due numeri interi a +b, | (+2) +(-4) = p à procediamo come segue.

POPS

A DOO DO D A S P OO Po IPP U O MO a DO SOA E O

R i MATEMATICA PER IMMAGINI Interpretazione geometrica dell’addizione algabrica in Z

1. Rappresentiamo a sulla retta. 2. A partire dal punto disegnato, ci spostia-

DO D A

Poiché la sottrazione fra numeri interi è riconducibile all’addizione, in Z possiamo

considerare le due operazioni come una stessa operazione, l’addizione algebrica, e chiamare il suo risultato somma algebrica.

a

Pertanto, nell'eseguire una sottrazione, non dobbiamo più porre la condizione che il minuendo sia maggiore o uguale al sottraendo.

e UNA DA DU I

O

O A DO

4 - 9 = ( + 4 ) - (+9) = ( + 4 ) + ( - 9) == 5,

SO DOP O

(+ 5) — (-3) = (+5 + 4 ) - ( - 3 + 4 )

SO S A OO S A DO O

| ESEMPIO

A CU O

p

CAPITOLO 2

e |

NUMERI INTERI

In quale ciclo del calendario cinese è situato l'anno gregoriano 2023? Indichiamo gli anniprima di Cristo con un numero intero negativo, quelli dopo Cristo con un numero intero positivo.

Dobbiamo prestare attenzione al fatto che nel calendario gregoriano non esiste l'anno O: all'anno 1 a.C. segue direttamente l'anno 1 d.C. Di conseguenza, nella corrispondenza creata con i numeri interi non esiste il numero 0 e il successivo di —1 (1 a.C.) è + 1 (1 d.C.). Nel calendario cinese, si contano i cicli a partire dal 2637 a.C., anno di ideazione del calendario. Determiniamo quanti anni sono trascorsi dal 2637 a.C. al 2023 d.C., ricordando che dall’anno 1 a.C. all’anno 1 d.C.

E

PI '

trascorre solo un anno e non 2. Dunque sottraiamo 1 alla differenza tra l’anno più recente e quello meno recente: 2023 —(-2637)— 1 = 4659.

Sono perciò trascorsi 4659 anni dall'inizio del primo ciclo cinese. Ora, poiché ogni ciclo dura 60 anni, calcoliamoin N la divisione 4659: 60 e otteniamo quoziente 77 eresto 39. Sono quindi trascorsi 77 cicli completi e il 2023 rientra nel 78° ciclo.

Cerca informazioni su Galileo Galilei. In quali cicli del calendario cinese è vissuto?

L a moltiplicazione la

> Esercizi a pagina 68

divisione

la

o

e

o c m volo ma l o

o alla ole cio limo o

ma

a

a

a

e

TEORIA

I

a

A DO

o

a

La mottiplicazione

O DO

DEFINIZIONE

a

per segno il segno positivo se | fattori sono concordiì, il segno negativo se i fattori sono discordi

O DO D a

#

A DO

a

o

E DA

a O

Il prodotto di due numeri interi è un intero che ha: # per valore assoluto il prodotto dei valori assoluti;

A DO D e a

O De

a

"Regola dei segni

a

a

O O

a

(regola dei segni).

i

ESERCIZIO

( + 9 ) - (= 2) =

18.

O DO

( + 5 ) =-15,

:

Se si omette il simbolo -, occorre sempre scrivere i fattori tra parentesi, per non sba-

gliare operazione. Per esempio, ( + 5} (— 7) significa (+ 5) - (— 7) e non può essere scritto eliminando tutte le parentesi: + 5 — 7 non è una moltiplicazione ma un’ad-

dizione! È accettabile invece la scrittura: + 5 (— 7).

a O Da o

Completa le seguenti moltiplicazioni, e 1-5) .(-8l=|___| e (__).(+9) = =

a

(— 3) ( + 7) equivale a (— 3) ( + 7).

Mottiplicazioni

e

O DO D e

salini

e

A Do O

|

o

ni

a

Sl

a

14

e r e pla ola lee

. Spesso,per comodità, il simbolo - di moltiplicazione viene omesso:

O DO

o

(3)

(-5) (7) = +35;

a

(+60 ( + 8 ) = + 4 8

a O

O

O

a

I | ESEMPIO

(__p(-71=0 L__f1 - 3 ) = - 9

3 e L a moltiplicazione e la divisione Se si moltiplicano più numeri, per determinare il segno delprodotto basta contare il numero dei fattori negativi: se sono presenti in numero dispari, il prodotto è negativo;

#

e se sono presenti in numero pari, il prodotto è positivo. i

I i ESEMPIO

+ 30,

(— 3) ( + 5) ( + 2) (— 1) =

2 fattori negativi. 5 fattori negativi.

1Y)=-1,

(— D D D

Moltiplicare un numero per — 1 equivale a cambiargli il segno, ottenendo come risultato il suo opposto. Per esempio: { + 5) ( - 1) = — 5,

Anche in Z, come in N, la moltiplicazione è un'operazione interna in Z.

Segno meno davanti a una parentesi

Un segno — davanti a una parentesi equivale a una moltiplicazione per —1, ovvaro a cambiare i l segno a tutti i termini nella parentesi:

[ + 5 = 3) = ( - 1 ] : (+5 - 3] = -5+3.

Inoltre valgono tutte le proprietà già esaminate in N ; commutativa, associativa, distributiva rispetto all'addizione algebrica, esistenza dell'elemento neutro (+ 1} e vale la legge di annullamento del prodotto, poiché 0 è l’elemento assorbente, L a divisione

Il quoziente di due numeri interi, quando il primo è multiplo del secondo e il secondo è diverso da O, è u n intero che ha: #

#

per valore assoluto il quoziente dei valori assoluti dei due numeri; per segno quello dato dalle regole di segno della moltiplicazione.

I I ESEMPIO

( + 45) : (+9) = + 5 ;

with a positive sign if tha

terms have the same sign or with a negative sign if the

terms have different signs. Its absolute value is aqual to the quotient of the absolute values cf the terms.

( - 12) : ( - 6) = + 2 ;

(+24) : ( - 4 ) = - 6

(-15):(+5)=-3,

Nella divisione valgono la proprietà invariantiva e la distributiva a destra rispetto all'addizione algebrica. b

The quotlent of two Integers, when it exists, is an integer

W ESERCIZIO Divistoni

Proprietà invariantiva:

—-45:9=(-45:3):{9:3).

Completa le seguenti divisioni. (-26):1-19) 3

6+

2=86

!

!

}

!

+52>+3

!

(+6) + ( + 2 ) = + 8

4:

7 = 28

!

!

Spieghiamo perché nel interi il segno dava essere definito con la regola data.

!

(+4)- (+7) =+28

e Le proprietà delle operazioni valide in N restano valide in Z . e Rispetto a N , in Z c'è un'operazione in più a essere interna: la sottrazione. Per esempio:

non ha risultato in N ;

5 3t ! ( + 3) — (+5) = - 2

ha risultato in Z .

I punti precedenti si riassumono dicendo che Z è u n ampliamento di N .

La

TEORIA

-

> Esercizi a pagina 71

potenza

i

DEFINIZIONE

La potenza di un numero intero con esponente naturale è un intero che ha: # per valore assoluto la potenza del valore assoluto della base; # per segno il segno negativo se la base è negativa e l'esponente è dispari, il

vero

Potenza di numeri interi Ceterminiamo i l segno

di [ - 7 ] ' ° & ( - 8 ) " , sanza eseguire calcoli.

segno positivo negli altri casi.

-

QQ EsercIZIO

Se a è il valore assoluto della base, p un numero naturale pari e d uno dispari: (+aP=+a% ( t a =+q% ( a =+a% (-ajf=- g i p | ESEMPIO

+32=+9 (+3)2=+27% +27; (+3P= (+3!=+9%

(-3)!=+89; - 33pP= ) } = = 27. 27, 32=+9; (e (2

Potenza Completa, quando possibile, la seguenti potenze. A volte Le

i

soluzioni sono due.

*®

PS I - 3PP =|__)

oi Il segno di una potenza è una conseguenza di quanto abbiamo detto per il segno del ' * a l'as? di piùnumeri, Per esempio: prodotto ( = 5 ) } *= + 625

( - 5 p P= — 125.

e

Infatti in (— 5}*, cioè in ( = 5}{—5}(—5){— 5), c'è un numeropari di segni —,mentre +

Î n (=

+

e un numero dispari di segni-. 5), C'è 5 }5), cioè in {- Lasa 5}(=3)

L'operazione di potenza ha

5)

laprecedenza rispetto al segno. I n altre parole, quando

una potenza è scritta senza le parentesi, significa che è riferita solo al numero (in valore assoluto) e non al segno che la precede. Per esempio: _ 37 = — 9, mentre ( - 3)? = + 9 ,

Casi particolari e al = ; e 0° non è definita; e ad = 1 , cong #0; e = 0, connENengt0, Per le potenze in Z valgono le stesse proprietà delle potenze valide in N.

e

|-21=|__|

" L__Jit=+1 proprietà delle potenze

| 1. a". a" = g u t "

x

2 a" ia" = a n (con m 2 n, 2 0 )

3. ( a ) = g i " 4 a" bp" = (a 65)"

5. ati br = (a: b)" {con b # 0 e al h _ multiplo di |bI) _

DA a

6 e L e leggi d i monctonia

D A DO a

L e leggi d i monotonia

RO S E DIA SOR IPA DO DO O

membri uno stesso numero.

| ESEMPIO Applichiamo a + 5 < + 13 la prima legge aggiungendo +7:

< + 13 + (+7).

P A D O OO O

+ 5 + ( + 7}

esercizio Utilizza La prima legge di moncotonia Applica la prima legge di

o

ANY

za resta valida se aggiungiamo ai due

DO DO O D I DO DO O

ANY

Prima legge di monotonia Un'uguaglianza o una disuguaglian-

I

A A DO DO I

prietà fondamentali, una relativa all'addizione,l'altra alla moltiplicazione, detteleggi di monotonia.

DO U e DNA OA

Le uguaglianze e le disuguaglianze fra numeri naturali e interi godono di due pro-

E DO SOA A D + 0

DI

0

» Esercizi a pagina 79

I

O

A O

La disuguaglianza resta vera, infatti + 12 < + 20.

monstania, aggiungendo nai due membri i l numero scritto a fianco. Verifica l'uguaglianza e la disuguaglianza ottenuta svolgendo | calcoli. * 20:5+3=10-3;+7. * 1 7 - 2 3 > 2 hd;= .

DO DO

-

a

A D A OA UA O

a = = b . c , con c a 0

ESEMPIO Applichiamo a + 10 = + 6 + ( + 4) la seconda legge moltiplicando

O DO DO DO PO D A D O OR UO AU SUA DU OA

per = 2:

+ 1 0 : ( - 2) = ( + 6 + 4 ) ( = 2). L'uguaglianza resta vera, infatti entrambi i membri valgono — 20.

a*c>bec

Se

CC < 0

0

PO

S e CC >» 0

Applica La seconda legge di monataonia, moltiplicando i due maermbri per i l numero scritto a fianco. Verifica

l'uguaglianza attanuta svolgendo i calcoli. -7=+10+1|-17?); + 3 .

®

e [-2|}=-8;-éè.

W

EseRrcIZIO

Utilizza la seconda legge

di monotonia per le disuguaglianza Applicà la seconda legge

di Mmonatonia alle seguenti disuguaglianze, moltiplicando i dua membri per i l numero scritto a fianco. e +3 < + 3 ; - 2 .

e

2 2-6: +3.

DO DA 0 0 O e O A

ESEMPIO Data la disuguaglianza + 12 < + 20, se moltiplichiamo i due membri per — 1, essa si trasforma nella disuguaglianza di verso contrario fra gli opposti dei numeri: — 12 > — 20.

uguaglianze

I I ESEMPIO

Seconda legge di cancellazione 10: ={6+4)-3-10=6+4;

5 + 7 < 1 3 + 7 - 5 < 13.

5 4 7,

O

13; (x5} 15 < (x5j 7 - 1 5

So 0

10+E =6+4+8- 10 = 6 + 4 ;

+

Prima legge di cancellazione

SO D e DOP D A DA 3 0 PO DA DE MO O I

Sono vere anche le inverse delle leggi di monotonia, dette anche leggi di cancellazione. Le leggi di cancellazione possono essere viste come leggi di monotonia per la sottrazione e per la divisione.

O PO I R D e

e

E

IP |

EsERcIZIO

E

0 A OO 0

una disuguaglianza ancora valida.

a"*"cteb-c

n

valida; se li moltiplichiamo per un numero negativo, dobbiamo cambiare verso alla disuguaglianza per ottenere

il

A MO PO

una disuguaglianza per u n numero positivo, la disuguaglianza è ancora

O D A VA DO DO DA MO OO O D A DA

Secondalegge di monotoniaper le disuguaglianze Se moltiplichiamo i due membri di

a

P_ |

A D a RR O

A O

DO

a«C

A

Utilizza la seconda lagge di monatonia per le

EsERrRcIZIO Utilizza Le leggi di

cancellazione Applica le laggi di cancellazione alle seguenti

uguaglianze o disuguaglianze. * +3-2=-27+1+2 e + 8 : ( - 2 ) = (+4). (+2) - [ - 2 ) e +4 ( - 3 ) < (+2 - 1 ) - 1 + 4 )

e -2-52+1-5-10-2

TEORI A

O D A DA O

Secondalegge di monotoniaper le uguaglianze Un'uguaglianza resta valida se moltiplichiamo i due membri per uno stesso numero, diverso da O.

l

—- Te _

a

[]

re

ee

M

[

Tree

n

re Pr

rr

re

er

re rr >>

e

e

E

re r e

|

re

e

dei

PE e

e

e

e

rr

e

e

_

e

e

_ Tr

e

liee

I

a

amen

|

Mappa interattiva

NUMERI INTERI

+ O

4

+ -2

i

5 pag. 80

|

l

—- Te _

a

[]

re

ee

M

[

Tree

n

re Pr

rr

re

er

re rr >>

e

e

E

re r e

|

re

e

dei

PE e

e

e

e

rr

e

e

_

e

e

_ Tr

e

liee

I

a

amen

|

Mappa interattiva

NUMERI INTERI

+ O

4

+ -2

i

5 pag. 80

|

CAPITOLO 2

e |

NUMERI INTERI

EA vero o raLso? | ile)

IE L e la)

a —-8 > - 1

b. =-6reoria a pagina Bb

Attività interattiva

"EAERES O Nella moltiplicazione (-6}

{=

2): (+5) è possibile eliminare le parentesi di —6, ottenendo

un'espressione equivalente? E le parentesi di — 2? E quelle di +5?

92

2

dA

Le seguenti scritture vogliono indicare moltiplicazioni fra due numeri interi, Individua le

° ° ° moltiplicazioni scritte in modo corretto e indica perché le altre sono sbagliate.

+7:(-8);

-2+1;

( - 5 ) - 8;

3-2;

(-3)-(-5);

+6:-4;

-2(+1);

-5(-8);

(+3)2;

+3{-5).

FONDAMENTALI A p p l i c ala r eregola dei segni Calcoliamo: a. ( - 7 ) : ( - 2 ) ; b. ( - 5 ) - ( + 3 ) - ( - 4 ) - ( - 1 ) .

LL:

|

Lei

positivo se i numeri sono concordi, n e g a t i vseesono discordi

(-2) =+14

b. R a ESERCIZI

E{E) A prodotto di due numeri interiè

iii.

a (7)

( 7 4 ) 7 » ) =-60

( E ) Se! fottori negutii sono in numero dispari, fl prodotto è

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hal capito.

|

Calcola i seguenti prodotti. (+3}/(+4);

(-5)((-2);

(+9)(-11);

(-1}(+7)

(+8}(-6).

(+15)(+6);

(-12}(+7);

(+2}(-12)(=5);

Lt

COMPLETA le seguenti moltiplicazioni.

6

(-13}(-5).

65

{-2}(+2}(-2}(-2).

COMPLETA l a seguente tabella.

a ( - 2 ) :(__D)=-16;

#

-1|

b. (____{} ( + 15} =+45;

b

6

c Lf)

ab

(+12) =-48;

3

+2|-3|

-2 — 10

d. (-4):(____)=0;

a -{(-b)

e. (+7): (__))=-9%1;

-&:(-h)

f. (___}) ( = 5 ) =+75,

gb

-9 -18 0

COMPLETA le seguenti moltiplicazioni.

a (-5)-d

b. 1

67

|} ( + 4 ) =+140;

|) -(= 2) ( - 6 ) = - 108;

TEST La somma tra due numeri interi

Cc.

( + 3 )-(+8) - {

d. ( - 2 ) - | - 5 | -

|} = + 7 2 ;

|) =-60.

ènegativa, allora il loro prodotto:

[=]

68

A|

è positivo.

©|

può esserep o s i t i voonegativo ma non nullo.

B|

è negativo.

D|

può essere positivo, negativo o nullo.

Nell'insieme {— 2,0, + 2} l’addizione è operazione interna? E la moltiplicazione?

Nell'insieme {-—1,0, + 1} l’addizione è operazione interna? E la moltiplicazione? LI

1]

68

aa

a Da DE o

aa Da

re

3 e L a moltiplicazione e la divisione L a divisione

A #2

Discuti la validità della seguente affermazione: «La divisione è un'operazione interna in Z;

infatti (=-8):(+4)=-2,»

Calcola i seguenti quozienti, quando assistono in Z.

[ZA

(+15):(-3); (-15):(+3); (-15):(-3).

0 :(+1368); ( - 4 5 ) : ( + 9 ) ; (-1215):(=27).

(-8):(-8); {(-8):(+8); 0:(-5).

+54 :(-3); +1232:(-22); 88:(-17).

(-21):(-7% (-7):(+21); ( + 1 ) : (1). -

16:32;

compLETA

‘ e (=:

COMPLETA la seguente tabella.

le seguenti divisioni.

i a

+12; (8)

{+121):(-11); (-65):(+13),

a

+24

= 0; )=_7;

b

-4 | +2

_p)=-3,

a:b

d (+21):

—-10 | + 1

-4

{(-a) :(-b)

| =+6é6.

f. ( - 5 4 ) : (l

+15 | +28

7

#:(-5)

e {___}):(=5) = - 5 ;

-20|

N

sil

Ei

A

€

Se il quoziente di due numeri interi è —1, quanto vale il triplo della loro somma?

i

Calcola ll valore delle seguenti espressioni con moltiplicazioni e divisioni.

E

(-72):(-6):(+2); (-72):[(-6):(+2)].

6:((+18):(-3)} ( + 2 ) (15:(-3)]:5.

E I (30)

(-7)-:(4):(-2);

(15) +{(+18):(-6)].

(2)

(+5);

( - 1 ) - { ( - 3 ) : ( + 1 2 ) ] : ( - 6 ) (+2).

Raccogli il fattore comune agli addendi delle seguenti espressioni e pol calcolane ll valore. Svolgi ogni esercizio raccogliendo il fattore sia con il segno + sia con ll segno —.

I

—15+20-10+35 =+5(-3+|_]E

+ 7 - 2 1 +14

+0;

- 1 2 1 +22 - 7 7

| _TeTt]

LI

-15+20-10+35 =-5(+_]-4+LjA

+42 = 30 - 48 +54

Lp.

—34 + 42 + 66

gue

-27-9-12;

13 — 169 — 39.

E

—75 — 15 + 100;

+30 — 40 — 50 + 60.

Le espressioni con le quattro operazioni Calcola ll valore delle seguenti espressioni.

89

+6-4:2+15:3-7:3+8

[- 10]

EI

-7-5-2+16:8-5+6-18:3

[ - 20]

i

7 (+6 - 4 - 7 +2)-15+5:(-12+7+3)

[-4]

+15 -6-{15 - 6 - 5 ) - 5 : ( - 3 + 2 ) + 7 - ( + 6 : 4 - 16)

[-5]

(-15):3-6+18:(-6)-(+7:3-10)+7:2

[-11]

CAPITOLO 2

e |

NUMERI INTERI

(15 — 7 ) : ( - 4 ) ( 7 - 3 : 2 + 4 ) : ( - 5 ) ( 6 - 3 4 )

[+5]

15:(3-2+4)-(7-3+5:2)+7:(3-2:4)-(2:2-4)

[-11]

[ 3 -(2

[ + 20]

=

4) = 5 ] - ( - 2 ) (15 + 3 - ( - 4 ) - ( - 6 + 2 ) ] + 5

MATEMATICA PER L'AGENDA 2030 Neutralità carbonica Per contrastare la progressione del riscaldamento globale occorre ridurre le emis-

€

E

i

2030

i

sioni di anidride carbonica o eliminare quelle prodotte. Gli alberi sono preziosi

perché sottraggono anidride carbonica all'atmosfera e possono essere considerati delle fonti di emissione negativa di CO;. Sommando algebricamente le emissioni di anidride carbonica, positive e negative, si può

avere una misura di quanto siamo distanti dal raggiungimento della neutralità carbonica.

ESERCIZI

I

Ciascuno nel suo piccolo Pietro vuole calcolare quanta CO, emette nell'aria con le sue attività abituali. Osserva che: ogni giorno, eccetto la domenica, per andare e tornare da scuola percorre complessivamente 6 k m in autobus; due volte alla settimana va a correre per 5 km; ogni sera guarda un'ora di video in streaming; ATTIVITÀ

ogni pomeriggio invia 3 e-mail. Pietro si è informato e ha scoperto che ogni persona che viaggia in autobus concorre, in media, all'emissione di 69 g di CO, al km, mentre correndo per 1 km ne emette 25 g. Inoltre, guardare un'ora

a

di video su Internet porta all'emissione di 450 g di CO, e l’invio di una e-mail ne produce 11 g.In occasione della nascita di Pietro, suo nonno, che possiede una tenuta agricola, ha piantato 16 alberi, ciascuno dei quali assorbe circa 1248 g di a

CO, ogni 4 settimane. Somma algebricamente le ernissioni settimanali positive e negative di Pietro e dei 16 alberi. D i quanto si discostano dalla neutralità carbonica? P UN PASSO IN PIÙ Come Pietro, individua alcune azioni che fai regolarmente, cerca sul Web la relativa

produzione di CO, e calcolale tue emissioni settimanali, confrontandole con quelle delle tue compagne e dei tuoi compagni. Che cosa puoi fare per ridurle?

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

La moltiplicazione e la divisione

Fai questi esercizi

VERO O FALSO?

b e a non è multiplo di b.

I | ESEMPIO E è propria, E

apparenti è iImproprie fra: D:+-M-WA gig ZI

Ei

7 3 1 8 2 1 37 TTT

è apparente, E è impropria,

B L e frazioni equivalenti

> Esercizi a pagina 107

i

DEFINIZIONE

Due frazioni sono equivalenti se e solo se il prodotto del numeratore della prima per il denominatore della seconda è uguale al prodotto del denominatore

usten t o

rr

You can check If two fractlone e

a —

€ —

pa

della prima per il numeratore della se-

b , d # Ol {con

d = bc

and £ are squivalent

by calculating tha products Mm times

q and n timas p, and

verifying that they are equal,

conda. I prodotti della figura, ad e bc, si

chiamanoprodotti in croce.

QQ usercizio

[a

Indichiamo l’equivalenza con il simbolo —: Li

Lp” =

Rifletti sulla definizione

si legge: + è equivalente a =

Le frazioni 15,

@LI

SOne

entrambe equivalenti a > .

I B ESEMPIO Le frazioni E e I

s>< T O 3

é

sono equivalenti:

3-10 = 30, —

5-6=30. —

anche equivalenti tra lero,

I ! prodotti In croce sono uguali

da6 - 7 = 42, Le frazioni 2 e 5° non sono equivalenti,perché5 - 9 = 45è diverso 84

Verifica che S o e R a sono

È sempre vero che due frazioni equivalenti a una stessa frazione sono equivalenti fra loro?

Dalle frazioni al numeri razionali

UL

Proprietà invariantiva Se si moltiplicano per uno stesso nume-

=

ro naturale diverso da 0 sia il numeratore

sia il denominatore di una frazione, si ottiene una frazione equivalente. Allo stesso modo si possono dividere nume-

A b

ratore e denominatore per uno stesso

I

La

conb. csi 0)

b-c a.:d

a

- bid

(con b, d s 0]

O O PO RO A DO O UA o

numero naturale diverso da O, purché sla divisore di entrambi.

Poiché si ottiene una frazione equivalente a una frazione data moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso numero naturale diverso da zero, le frazioni equivalenti che si possono ottenere sono infinite. > Esercizi a pagina 108 pb La semplificazione d i frazioni Una frazione è irriducibile o ridotta al minimi termini se numeratore e denomi-

natore sono primi fra loro. È e 6 h a n n o2 come

1

è irriducibile;

5 non lo è,

“Msorecomune

Chiamiamo semplificazione di una frazione il passaggio da una frazione a una equivalente quando dividiamo numeratore e denominatore per uno stesso numero naturale diverso da zero. Di solito semplifichiamo fino a ottenere una frazione irriducibile. Per ridurre una frazione ai minimi termini è sufticiente dividere il numeratore

e il denominatore per il loro MCD, I | ESEMP IO

24

4 0 non è ridotta ai minimi termini, Per ridurla calcoliamo il MCD(24; 40) = 8 e pol applichiamo la proprietà inva-

riantiva dividendo per 8 numeratore e denominatore: 24 3 24 2 4 8 4 0 " 4078* quindi 4 0 5 ° R I è ridotta al minimi termini! perché MCD(11; 30) = 1.

O RO A UO E DOS Ro DO OA RO O DA RO O O DA A O O RP O a ue o

o , che non ha significato, né possiamo dividerli per 0.

1670: nasce La bicicletta!

I l velocipede era un pò' diverso dalle bicicletta

di oggi; ruota anteriore anorme e ruota

posteriore minuscola, Simpatico ma pericoloso,

fu soppiantato in una ventina d'anni da un nuovo biciclo, simile alla

bicicletta moderna. * Perché nella bicicletta gi Usano | rapporti?

W

EsERCIZIO Applica la propristà

invarlantiva Completa la scritture, se è

possibile,

OP UP OP SU AOP RP SUP AU RP I P 0

Non possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per 0, perché otterremmo

E UP 0 PO SP OPP OP SUP OP SUP PP O UP 0

Infatti, 36 (42 :6) = 42 (36:16).

o a

36 3 6 : 6 6 42 44267

OP SP DR SE a + AOP UP SP OP RP SUP OP RP OP UP A O NP Pe OP go A UO RP SP 0 Re Apo UR EP u o o G O D

e

A

Infatti, 2:{(5'3) = 5 ( 2 3 ) , quindi: L A L A

A RO A

N OR A

PIP | ESEMPIO

MATEMATICA INTORNO A N O

TEOR IA

p La proprietà invariantiva

O RO DO RO O RO SUA Do O AO DO DO A RO RO DA OO DOO RO E E RO O DO A O o O a Ru

1

Semplificazione scomposizione in fattori Per semplificare le frazioni è possibile usare la scomposizione in fattori primi.

Par esempio:

54 ERE

W

21.7

2 20

3.

EsERCIZIO

Riduci al minimi termini Semplifica quando è possibile: 25. 7 8 14 4 0 BE:

.

1.

0 1

E:

6.

L]&

Lr:

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

BD L a riduzione d i frazioni a denominatore comune > Esercizi a pagina 108

«Ridurre a denominatore comune» due frazioni significa trovare due frazioni con lo stesso denominatore, ciascuna equivalente a una delle frazioni date.

Applicando la proprietà invariantiva, si possono trovare infinite soluzioni a questo problema.

Per semplicità di calcolo, fra tutti i possibili denominatori comuni si sceglie il più piccolo, cioè il mem fra i denominatori: si parla allora di riduzione al minimo denominatore comune.

IP | ESEMPIO Riduciamo > e + al minimo denominatore comune.

VW ESERCIZIO

Calcoliamo il minimo denominatore comune: mem({6; 15) = 30,

Trova IL minioro denominatore comune

?

Applichiamo la proprietà invariantiva al caso 7 - 3 g

Riduci le frazioni di ognuno

Cerchiamo il numero che, moltiplicato per 6, dà 30, ossia 30 :6 = 5. Quindi

dei seguenti gruppi al minimo

5.55 6

6:5°"

Applichiamo ancora la proprietà invariantiva, questa volta a L i g

‘

Le frazioni2 e + , ridotteal minimo denominatore comune, sono: 22- e 5 . |

* Esercizi a pagina 109

numeri razionali assoluti

1 ti

|

numeri razionali

Riprendiamo l'esempio iniziale delle tre tavolette di cioccolata da dividere in parti uguali fra quattro amici. Possiamo dividere ogni tavoletta in 4 parti

4 C A Cr

TEORIA

Il fattoreè 30:15 = 2, quindi L I

BD

uguali e darne 3 a ogni ragazzo, ma possia-

mo anche dividere le tavolette in 8 parti e i darne 6 a ogni ragazzo, oppure in 12 e darne 9 ecc, Ciascuna di tali quantità può essere espressa mediante una frazione, nell’or3689

dine: q w F i

Osserva che 3 .

5

L E un problema risolto con l’uso di una frazione in realtà è

risolto anche con le altre infinite frazioni a essa equivalenti.

Possiamo pensare di raggruppare tutte le frazioni equivalenti a è . in un «cassetto» e fare lo stesso per tutte le altre frazioni.

Non accade mai, in questo modo, che una

frazione appartenga a due «cassetti» diversi. I n matematica questi cassetti sono partico-

lari insiemi chiamati «classi di equivalenza», che approfondiremo nel capitolo 5. Per comodità scegliamo come rappresentante di ogni classe la frazione ridotta al minimi termini.

toi

Lt

3

2

7

Li

3

&|

=

In questo modo, 2 - è la frazione che rappresenta S l

zioni equivalenti.

denominatore comune.

Ls FAL

I

... ossia le infinite fra-

22

1

Dalle frazioni al numeri razionali

Tutte le frazioni che appartengono alla stessa classe sono scritture diverse che rap-

presentano quella classe, che chiamiamo numero razionale assoluto.

E Un numero razionale assoluto è una classe di tutte le frazioni fra loro equivalenti. Per esempio, 2 e L I sono due modi diversi di rappresentare lo stesso numero razionale assoluto, che è E R A

-.

Possiamo scrivere allora + = & ,

The number set that contains all equivalencae classes of fractions is the set cf absolute rational numbers.

i

i

)

voro

Frazioni etuivalenti

è numeri

razionali

nel senso che le due frazioni individuano lo stesLa frazione come rappresentante

so numero razionale assoluto. Per questo, in seguito, utilizzeremo il simbolo = invece di - . L'insieme dei numeri razionali assoluti si indica con Ò,.

Assoluto significa in questo caso «senza segno»: infatti abbiamo definito finora frazioni di numeri naturali, che non hanno segno. |

uisten t o Tr

Anche se i numeri razionali si

inditano con una frazione, un numero razionale non è una frazione m a l'inzierne di tutta

le frazioni equivalenti fra loro.

numeri razionali TEORI A

Abbiamo introdotto i numeri interi come ampliamento dei numeri naturali, In modo analogo, possiamo ampliare Q,. Infatti è possibile estendere il concetto di frazione anche al caso in cui numeratore e denominatore siano numeri interl (con

il denominatore diverso da 0): -3

i

15 7

I

O

4

Î

Anche la definizione di frazioni equivalenti e la proprietà invariantiva si possono estendere alle frazioni di numeri interi. I

f ESEMPIO ES, perché (-6):(-7) = 7 - 6 . 1. E 2.

è =

perché 5-(-3)=3-(-5).

X Y Rappressentarefrazioni Par rappresentare le frazioni di numeri interi, si applica la regola dei segni tra numeratore è denominatore @

si scrive l'eventuale segno

— davanti alla frazione,

Per rappresentare la prima classe di frazioni dell'esempio usiamo la scrittura - > , per la seconda classe + 3 .

È possibile applicare la regola dei segni perché la frazione

indica un queziante,

Se facciamo precedere una frazione che rappresenta un numero razionale assoluto

dal segno —, stiamo scrivendo una frazione negativa; se la facciamo precedere dal segno + , stiamo scrivendo una frazione positiva. DEFINIZIONE

Un numero razionale è una classe di tutte le frazioni equivalenti in cui numeratore e denominatore sono numeri interi (con il denominatore diverso da 0).

E

Listen t o ir q

Rational numbers are

numbers that can ba expressed as fractions of

two integers. with a non zero

L’insieme dei numeri razionali si indica con $ .

denominator.

Inoltre si indica con Q* l'insieme dei numeri razionali positivi e con (47 quello dei numeri razionali negativi.

87

h

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Chiamiamo opposto di +7. il numero razionale 7

che si ottiene dallo stesso

3

Lo rere I n

Tutte la frazioni del

numero razionale assoluto.

tipo " x ' con a numero

È possibile stabilire una corrispondenza biunivoca fra razionali assoluti e razionali

intero @ a # D, sono fra loro equivalenti e vale

positivi uniti allo zero, se identifichiamo + 7 in Q con13 in è...

l'uguaglianza: = = .

1)

I i ESEMPIO

+2 +e

E in (} indicano lo stesso numero.

Anche fra numeri interi e numeri razionali con denominatore 1 c'è corrispondenza biunivoca, p

ESEMPIO

—-5e - > ,

+ e3

S A ESERCIZIO Considera i u m e

in (} indicano lo stesso numero.

-+

Come in Z , anche in @ diamo queste definizioni:

TEORIA

5

+ i

Indica tutte le coppie di

e due numeri razionali sono concordi se hanno lo stesso segno, sono discordi se hanno segno diverso; e

5

d'a + >

il valore assoluto di un numero razionale è il numero stesso se è positivo o zero,

numeri concordi, discordi, opposti. Ci sano numeri che hanno lo stasso valore asscluto?

l’opposto del numero se il numero è negativo.

L a rappresentazionee il

confronto d i numeri razionali O L a rappresentazione del numeri razionali s u una retta > Esercizi a pagina 10?

Anche i numeri razionali possono essere rappresentati su una retta orientata, Per rappresentare u n numero razionale +

o-

con a e b positivi, su una retta

orientata:

e prendiamo come verso positivo quello verso destra; e fissiamo l'origine, corrispondente a 0, e l'unità di misura wu: * consideriamo il segmento ottenuto dividendo l'unità x in & parti eprendendone a;

QY EsERCIZIO

e associamo a +Z il punto a destra dell'origine e a È

Lo.

quello a sinistra, con

-è

1

3 2 1

0

1

A

2

unità di misura

Q

è

;

E

-1 3

5

>

pg

Ò

Iii

dl.

Lia i

Nelle figure vediamo due esempi di frazioni opposte, proprie o improprie. 3 :

Rappresenta sulla retta Grientata:

10, 5 . 3

distanza dall'origine uguale alla lunghezza del segmento.

en

Disegna sulla retta orientata

si

5

1

2

Q

2 e L a rappresentazione e i l confronto d i numeri razionali Tutte le frazioni tra loro equivalenti corrispondono allo stesso punto sulla retta.

W ssErcIzIO Rappresenta frazioni

1

3 +

3 *

'

a

0

equivalenti

2

Varifica che - :

Lai)

sé

Q

1

e-

corrispondana allo stesso punto sulla retta orientata,

> Esercizi a pagina 110

P I l confronto d i numeri razionali

Zero è maggiore di ogni numero negativo e minore di ogni numero positivo.

Se i numeri sono discordi, il maggiore è quello positivo. IP i ESEM PIO

4,

eo:

4332

Se due frazioni concordihanno lo stesso denominatorepositivo, la frazione maggiore è quella che ha numeratore maggiore. Se due frazioni non hanno lo stesso denominatore, per confrontarle, le riduciamo a 5

4

fractions with the same denominator and simply compare thelr numeratore with signs.

1. Per confrontare F A S O riduciamo a denominatore comune: 25 & 30 e 30

5 4 2 5 > 8 — r a pi 7 5 :

”

To compare rational numbers with the same sign, you can check thelr relative positions on the number lina, or you can transform them into

denominatore comune. IP i E S E M P I O

LISTEN TO IT

2. Confrontiamo le frazioni -

e- +

Riducendo allo stesso denominatore positiva 6, otteniamo: 2

3 "ge

-

-3

ha risultato in Q.

A SUP PO

2:

A DOO DO COP O

0

5:17

n

divisioni che non era possibile eseguire in Z . Per esempio:

DO 0

O

O

Identifichiammo 5 : 7 con E e diciamo che HI è il rapporto fra 5 e 7,

distributiva a sinistra rispetto all'addizione,

Sl Pa

Negli interi positivi la divisione (quando è possibile} fornisce sempre un numero

Ue O

DO O O

minore del dividendo. Nei razionali questa caratteristica non è sempre verificata.

OO O

I | ESEMPIO Il quoziente di 4: > non è un numero minore di 4.

bin z

* Esercizi a pagina 118

p L a potenza

= ° =

Segno di una potenza

potenzan o ailgonoi

e

Anche in Q vogliamo che la potenza di una frazione assuma il significato di una

O A SO ON O

1

D A UU O P I A SOA OO O

iò significa che 3 sta 8 volte nel 4‘ Cc

4

1

2

Ue O

0 1 ]

SO D A SO O

8 volte

La,

E O

Per la divisione in @ continuano a valere la proprietà invariantiva e la proprietà

D E O SO OO DO 0 A DU OP SO O

DO O

|

RO A O

{Pertanto la divisione è un'operazione interna in Q (privato di O).

O

PA a

moltiplicazione ripetuta.

A 0

|

PO OO 0A D E

Per esempio:

DO D O UA DO OO S A

GG

potenza ha segno positivo; è

se l’asponente è dispari, La potenza è nagativa solo se la base è negativa.

(con È # 0, n € NI

DO DO DA

=

(E l #

DO

n-esima di una frazione + è la frazione che ha per numeratore a" e per de-

OA R A UO D O DO DO

Dato un numero naturale # , la potenza

O I

—_—

A OO PO D A O

O

Pertanto diamo la seguente definizione,

stesse regole viste peri numeri interi: e se l'esponente è pari, la

LISTEN T O IT

The n-th power of a fraction is gqual to the m-th power

of the numerator divided by the n-th power of the denominator,

ESEMPIO

SO S A DO O

Anche in @Q valgono le cinque proprietà dellepotenze,

O D E OO R A SO OP DO SA PO O

Se n= 1 e b # 0, abbiamo: ( = =

(2): (-3): (rl: (Ea)

S P So O

1.

0

S e n = 0 ,a # 0 e b # 0, abbiamo: ( 1 ) = f = l =

DO

-== =

Esercizio Calcola La potenza Trova IL valore di:

0

(=

W

e

|

+

I

A OP DO R E

A

nominatore b",

m

93

Bi

h

CAPITOLO 3 a

ale e g e

‘BB

e

a

e

e

o me ale dimo D o a a

e

e |

e o

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

a e alal mo o e

n

le

a e doo e

e u e ale d o me dere alla mn clone e ale l a

a e ma m a e

e

e ae

n

le

t e ama e e a

e

e

a

e u e clio e

ceo

o

e De a

o

e DA aa

e

A DO D e a a

O

E

D a D a a a D E D e D a o e DO D a c e

A EE De

a

O DO D a a a

a DO

L e potenze c o n esponente > Esercizi a pagina 126 intero negativo

Vogliamo dare significato anche a potenze con esponente intero negativo. Consideriamo la divisione di due potenze di uguale base con l'esponente della prima minore

di quello della seconda e applichiamo la seconda proprietà delle potenze. Per esempio, 3° : 36 = 3416 = 377, Qual è il significato di 37? Scriviamo la divisione sotto forma di frazione e semplifichiamo:

3-3-3:3 _ _ 1

31136=

Se vogliamo che la seconda proprietà delle potenze sia valida anche in questo caso,

deve essere vera l'uguaglianza 37° = è = ( + ). In generale, se a # 0, a7" = ( L y = +

Diamo allora la seguente definizione.

i

DEFINIZIONE

La potenza di un numero razionale,

(81= (3)

TEORIA

diverso da 0, con esponente intero ne-

gativo è una potenza che ha per base il reciproco del numero dato e per espo-

{ c o n ab,# O,n E N)

ustento rr

A power with a negative exponent is equal to a power whose base js the inverse

of the original base and whose exponent is the same

exponent as the original one but with a positive sign.

nente l'opposto dell'esponente. I i ESEMPIO

|

7

sr

(1f

è

2

EsERcIZIO

di ( 3 7 - 4 3

Calcola le potenze con

L'esponente —1 permette di scrivere la frazione reciproca di una frazione data mediante una potenza,

esponente negativo Trova i l valore di:

37?; [-4)7°; ( - Y : 5!

|

( P - g ap-g:

(yea

- 1 _1 =.

Anche per le potenze con esponente negativo valgono le proprietà delle potenze.

"2

(3): r i (21

W ESERCIZIO delle

COLLEGAMENTI MATEMATICI

potenza

Q è un ampliamento di Z

Semplifica l'espressione.

Approfondiamo il collegamento tra l'insieme Z dei numeri interi e l'insieme DÌ dei numeri razionali,

Q è un ampliamento di Z perché: * c'è corrispondenza biunivoca fra Z

e il sottoinsieme di Q rappresentato dalle frazioni con denominatore 1,

cioè a ogni numero intero corrisponde una sola frazione con denominatore 1 e viceversa;

ST

:(4)

a aa oa Da DE o

aa Da Dr

E

e |

numeri razionali e è numeri decimali

e le operazioni definite in (@ hanno le stesse proprietà di quelle definite in Z e mantengono la corrispondenza biunivoca appena descritta; per esempio:

- + + 2 = + 1 inGQ

In modo analogo a quanto fatto per l'addizione, 2 . L i e mostra in questo caso la corrispondenza biunivoca tra l'operazione in

inz;

+2

EsErRcIZIO

Rifletti sulla corrispondenza

considera la moltiplicazione

PI A -3+5=

W

Z e i n Q.

e in Q possiamo eseguire operazioni non possibili in Z , cioè potenze con esponenti interi negativi e divisioni come la seguente: { _ 3 \ . { 4 1 _ , 3 1 __, 3

CTCTD)+1 2 4 7

ai

CCI

Ln

m

Ln

numeri razionali e

|

deci

i

mali

E

m

n

Frazioni è numeri decimali

* Esercizi a pagina 129

i

sori

|

MATEMATICA

i numeri

i

Le frazioni e | numeri interi

in Europa, per lungo

Se una frazione è apparente, le può essere associato u n numero intero.

alle frazioni, spesso Usate assieme ai

ESEMPIO

ll

=4

numeri naturali. Ecco un #s5emmipio ricavato dal Liber abbaci di Leonardo Fibonacci: +dj 37 o9!

- 2 = - 1 1 i è 51,

Le frazioni è | numeri decimali

p |

49 T000!

2 ‘1

Ma Stevino...

pe]

sono frazioni decimali. a]:

=

Attività di ricerca

Per le frazioni decimali possiamo usare la rappresentazione decimale, che si basa

Scambi culturali.

sulla scrittura posizionale dei numeri e sull'uso della virgola. Consideriamo una frazione decimale e trasformiamola così:

2357 [00

=

2000 +300 +50 + 7 _ 2 0 0 0, 3 0 0, SO

20+3+

TOO

+00

oblema # risoluzione -

Un esercizio In più =

100

10

l

il

padei =

ESEMPIO

2357 500”

e

2

Le frazioni che hanno come denominatore una potenza di 10 (con all'esponente un numero naturale diverso da 0) sono dette frazioni decimali.

TEORI A

tarmpo, si rimase fedali

*

100 1 0 0©1 0 0* 100 =

= 2 10+3-1+5-

ip + 7 100-

La frazione può essere vista come la somma di 2 : 1 0 ' + 3 - 1 0 ° + 5 - 1 0 7 ! ' + 7 - 1072

ed essere indicata con la scrittura 23,57. In essa, le cifre assumono un diverso valore a seconda della posizione in cui si tro-

vano; la virgola serve per separare la parte intera da quella decimale. A ogni numero razionale rappresentabile con una frazione decimale corrisponde u n numero decimale finito, ossia u n numero decimale che ha u n numero finito di

cifre decimali. Con la scrittura decimale possiamo rappresentare non solo le frazioni decimali, ma anche tutte quelle a esse equivalenti. Vedremo che non possiamo rappresentare in questo modo tutti i numeri razionali.

i

Listen T o Tr

À decimal is a fraction with denominator 10 er à power

of 10. A dacimal numbar is the sum cf an integer plus

decimale. It can be finite if the decimals are a finite number or periodica! if a sequence of decimals is repsated infinitely,

n

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Dalle frazioni a i numeri decimali

Per trasformare una frazione in un numero decimale eseguiamo la divisione fra numeratore e denominatore. 1 casi che si possono presentare sono solo due, 1. Troviamo, dopo un certo numero di passaggi, un resto uguale a Ò,

In questo caso la frazione è equivalente a una frazione decimale e il quoziente è un numero decimale finito. Per esempio: L I = 3 : 4 = 0 , 7 5 ,

2. Troviamo resti sempre diversi da 0, ma che si ripetono con regolarità. In questo caso le cifre del quoziente, da u n certo punto in poi, si ripetono, gene-

rando un numero decimale che chiameremo periodico. Per esempio: i z = 2,42857142857142... Siamo sicuri che la ripetizione deve avvenire, perché ogni possibile resto parziale deve essere minore

?

202057102

|

del divisore; quindi i resti fra loro diversi sono in

$0

numero finito. Per esempio, nella divisione 17 : 7 , poiché il divi-

50

sore è 7, i resti diversi fra loro (e diversi da 0) pos-

i

TEORIA

sono essere solo 1,2, 3, 4,5, 6. Dopo sei divisioni (al massimo) siamo sicuri di trovare u n resto già incontrato,

che fa ripetere il procedimento di divisione. Generalizziamo.

I numeri razionali rappresentabili mediante frazioni

decimali sono soltanto

quelli corrispondenti a frazioni che, ridotte ai minimi termini, hanno il denominatore che contiene come fattori primi solo il 2 e il 5. Quando non è possibile trasformare una frazione in frazione decimale, significa che essa corrisponde a un numero decimale periodico, ossia a un numero le cui cifre

decimali sono infinite e,da un certo punto in poi, si ripetono a gruppi sempre uguali. Il gruppo di cifre ripetute si chiama periodo; l'insieme delle cifre comprese fra la virgola e il periodo si chiama antiperiodo, Per comodità di scrittura indicheremo il periodo soprassegnandolo. Ip | ESEMPIO E

= 5,8323333... = 5,83.

Il periodo è 3, l'antiperiodo è 8.

U n numero razionale può sempre essere rappresentato da un numero decimale finito o da un numero decimale periodico. Il numero decimale periodico è semplice se le cifre si ripetono subito dopo la virgola, misto se il periodo è preceduto dall'antiperiodo.

Osservando il denominatore di una frazione ridotta ai minimi termini, possiamo prevedere, prima di calcolarlo, il tipo di numero decimale generato. la frazione genera un Be ll denominatore, s c o m p o sint ofattori primi,contiene: mimero decimale: .|

QQ Esercizio Individua i l tipo di decimale Riconosci quale tipe di

solo potenze di 2 o di 5

finito

numero decimale Ifinito,

solo fattori diversi da potenze di 2 e di 5

periodico semplice

misto] generano la frazioni: 1 1 , 1 7 , 2 5 , 20, 2a

fattori diversi da potenze di 2 e di 5 e potenze di 2 o di 5 | periodico misto

periodico semplice, periodico

Lui

LÌ

ri

6

e |

numeri reali

Dai numeri decimali alle frazioni

Ogni numero decimale finito o periodico si può scrivere sotto forma di frazione, detta frazione generatrice del numero decimale,

Un numero decimale finito si può scrivere come la somma della sua parte intera con delle frazioni decimali. Per esempio: +1

= It

= 638 = 3 1 9

Si può dimostrare che la frazione generatrice di un numero decimale periodico si ottiene considerando la frazione che ha: e come numeratore il numero, scritto senza virgola, diminuito del numero costituito da tutte le cifre che precedono il periodo; come denominatore il numero costituito da tanti 9 quante sono le cifre del periodo, seguiti da tanti O quante sono le cifre dell’antiperiodo.

#

ESEMPIO Il numero 0,73 ha come frazione generatrice:

P_f

73-7

15

_ 29-22 _ 27 = 9 =

—_

=

Dacimali periodici Neal video che ti proponiamo diamo una giustificazione alla regola di trasformazione di un hiumero decimale periodico.

EserciZ IO Trova la frazione generatrice Trasforma i seguenti numeri

Come caso particolare, anche i numeri interi possono essere considerati come numeri decimali periodici. Per esempio, 3 = 2,9. Infatti 2,9

“ceo

Q

_ 66 _ 1i

=

i

decimali in frazioni.

0,08; 6,04; 1,213,

TEORI A

6,38 = 6 +

3.

| Concludiamo che a ogninumero razionale corrisponde un numero decimale, o finito o p e r i o d i ceoviceversa, ,

8»

|

numeri reali

» Esercizi a pagina 133

Vediamo con un esempio che esistono numeri non razionali. Consideriamo il triangolo ABC isoscele e rettangolo in C,con i cateti chemisurano 1, Applicando il teorema di Pitagora, otteniamo

B )

Che assurdo, Pitagoraf

La scoperta che v2Z è un numero irrazionale mise in crisi la

convinzane di Pitagora

AB = VAC'+ CB = vi+1=v2.

che tutto potesse assere E.

$i può dimostrare che V 2 non è u n numero razionale, perché

q

MATEMATICA E STORIA

A

1

C

non è possibile rappresentarlo mediante una frazione.

ricondotto al numeri razionali,

Nel pof allegato è proposta una traccia dalla dimostrazione.

DEFINIZIONE

Chiamiamo numero irrazionale ogni numero che non è esprimibile mediante una frazione, cioè ogni numero che non è razionale.

I

Risoluzione = ==

Attività di ricerca: Pitagora nei guai.

I numeri irrazionali sono infiniti e corrispondono ai +umeri decimali con un numero

infinito di cifre e non periodici. Si dimostra che sono numeri irrazionali: ®

tutte le radici quadrate di numeri naturali che non siano quadrati perfetti; per esempio:

Va =1,414...;

V B =1,732..4 VE =2,2%6...:

e R=3,141,.., cioèil rapporto fra le misure di una circonferenza e del suo diametro.

97

CAPITOLO 3 a

E

a

d e l a ire due n

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

e |

dle nre domo mo a a are l e dolo a ciel

a mne alla ole n e d a mo olor E amo l o

ae ae

a

ilo lore ollare ale a

ale

o D a cima E

ae almond

c e ale amo a e

re oo

a

n

e

e Da Da oe Da Da Da a

ole a a ala E

o

dl

o Do

DEFINIZIONE

A

Chiamiamo numero reale ogni numero che sia razionale o irrazionale e

irrazionali

o

meri reali,

i numeri

Da

e

E da oa

E Da Da O De a

usten t o

ole cime dea lee n e dla e

rr

An irratkonal number is a

«i

number that cannot be written

as a fraction.

‘A real number is a number that is e/thar a ratlonal sr an

irrational number.

O Da O

a

O

a

razionali

i

E a

o

numeri

a D a DO

indichiamo con R l'insieme dei nu-

a

a

O De

a

numeri reali

a oa aa

E

A DO D a

a

O

=_=

A

e

a

Anche i numeri irrazionali possono essere rappresentati sulla retta orientata,

a

o

IP i ESEMPIO

a DO DO

a

a D O DO

Per rappresentare V 2 sulla retta orientata, ' ' , costruiamo un triangolo rettangolo e isosce]€ , Come quello iniziale,’ che abbia u n cateto

insiemi numerici =

a DO

Nel video analizziamo gl insiemi numerici che abbiamo introdotto finora e, per ogni

insieme, indichiamo quali operazioni sono interne.

1

VZ

e l o mulo o a a l i e n e

amo l a u a

lo

Si può dimostrare che i punti della retta e i numeri reali sono in corrispondenza biunivoca,

o

* Esercizi a pagina 134

proporzioni

o DO

le

O

o

e

e

o

a

L e frazioni

a a a a a

Una proporzione è un'uguaglianza fra due rapporti di numeri positivi. Quindi un'uguaglianza tra due frazioni equivalenti èuna proporzione.

| 7

antecedente conseguente | 25

a

Hj

| 50

ustan to rr

a a O O

An equality between fractions can be called a proportion. Proportions have propertias that are dernved from tha

propertias of fractions. A fundamental property of a proportion a : b = c : d i s that

the product of a and di, the end terms, is equal to the product af b and c, the middle

terms.

a

I

lo me O

Applica la proprietà

o

O

Q

O E

m e dè iuguale alprodotto degli estremi.

e

i

a

|

il prodotto dei

a

|

O Da A

proporzioni proporzione

o

Proprietà fondamentale delle In una

o

PROPRIETÀ

a

|

DO O

o

o

La proporzione della figura si legge: «7 sta a 14 come 25 sta a 50».

o

o

o

estremi

o

a

a

medi

la

>

O

O

:

| 14

a D a E DO D e

antecedente conseguente

a

a

Nella figura riassumiamo la terminologia relativa a una proporzione,

a DA

e

a

Ip | ESEMPIO Ris = E è una proporzione; si può anche scrivere 10:5 = 8;4,

DO

a

a Da

kE

i

e

a

a

DEFINIZ IONE

n

TEORIA

a

a

a

a

O

a

av2.

A

e

a

o DO D a

Riportiamo poi con il compasso la lunghezza della sua ipotenusa sulla retta orientata. Il punto ottenuto è quello che corrisponde

VIDEO

a

e

vz

con g l i estremi i n 0 e 1.

la

ESERCIZIO

fondamentale

Verifica la proprietà fondamentale utilizzando la

proporzione

A}

a

2

uu ar

&

e

IP | ESEMPIO Scriviamo 2 : 5 = 6 : 1 5 e come uguaglianza tra frazioni:

Proprietà torndamentale è frazioni equivalenti

+ =+;

e applicando la proprietà fondamentale:

L e percentuali

2:

Csservando l'asempio sì nota che la proprietà fondamentale

15 = 5-6.

Le altre proprietà delle proporzioni si possono dimostrare usando la proprietà fon- *

delle proporzioni deriva dalla definizione di frazioni equivalenti.

damentale o l'equivalenza tra frazioni.

Proprietà

#.b=o0.d

12:0=8:4

MATEMATICA

se e solo se:

ae e solo se:

INTORNO A NOI )

'

)

'

(CA

(ad)

di

del comporre

(a+b):b=(c+d):d

|(12+8):8=(6+4):4

appartamenti un condominio

dello scomporre

(a-b'a=(c-dic

|(12-8):12 = ( 6 - 4 ) : 6

contribuiscono alle

a

(cona

> >

pei

—-\'

bb=fa

Di

(a-b):b=(C-d):d

b , c 2 d)

=

O

|a:c=b:d

12:6=8:4

4:8=6:12

dell'invertire

$:12=4:6

spese di gestione e

Ad\*

-8):8=(6-4):;4

| (12

del permutare | oli estremi | d:b=c:a0

imedi

{E

manutenzione dalle parti

inproporzionea comuni llesimni.,. Mi =

b:a=d:c

|

Le spese condominiali

n

Problami & risoluzione2 esercizi in più.

Le proprietà delle proporzioni sono utili per determinare un termine incognito di

”

una proporzione.

a

b

f

ESEMPIO

Y

1. Determiniamo x nella proporzione 2278 = (x + 35): x .

Trova i valore di x

22:18 = (x + 3 5 ) ! x a = (22 - 8 ) : 8 = ( x + 3 5 - x ) '

proprietà dello scomporre

14:8 = 35; x - l 4 - x = 8 - 3 5

x =

x=

E

EsERrcIZIO

a

In ciascuno del casi |

. 4 : 48 = x : 60;

a

2 5 = 20

b. 5 : 3 = x : yconx +y= 120;

e x:80 = S : x

ui

proprietà fondamentale

Medio proporzionale IL medio proporzionale x

2. Determiniamo il medio proporzionale x positivo nella proporzione + ia due numeri a ab è 2 ' x = x 132, i

2.x

quel numero, se esiste, _

pm=_

xi

=

per cui vale la proporzione

64

d:4=x:b.

propristà fondamentale

Il numero positivo il cui quadrato vale 64 è 8, pertanto x = 8.

L e percentuali

6

> Esercizi a pagina 197

Le percentuali sono un modo diverso per scrivere le frazioni con denominatore 100. Per esempio, la percentuale 25% (si legge: «venticinque per cento») equivale alla i

25

frazione T W :

25% =

i

i

i

OSSIA POssIarmo scrivere:

050 = 0,25 = + .

In generale: x l

99

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Per risolvere i problemi con le percentuali si può ragionare in termini di frazioni.

CON IL FOGLIO

I | ESEMPIO Il prezzo di un prodotto è stato portato da 50 € a 53 €. Determiniamo il suo aumento in percentuale.

Chi vince?

D I CALCOLO {n seguito alle elezioni di un Consiglio di quartiere devono essere ripartiti i seggi...

L'aumento di prezzo è: 53 € - 50 € = 3 € ,

La frazione corrispondente, rispetto al prezzo iniziale, è S o in una frazione equivalente con denominatore 100;

Trasformiamo 5

0;

=3

043

p o Frtla ra.

Lilli

i

I

i i

5 ) svolgimento e altri

esercizi.

i

— l'aumento in percentuale è del 6%.

I

In sintesi, per trasformare una frazione in percentuale, basta scrivere la frazione a i essa equivalente con denominatore 100, Per trasformare un numero decimale in ! ,

1

a

!

percentuale, basta moltiplicarlo per 100 e aggiungere il simbolo %, li

A volte la percentuale è espressa

in

mitLasimi.

Per esempio 2%e Isì logge «due per miller] significa:

I

I problemi relativi alle percentuali si possono risolvere anche con le proporzioni,

i 20 =sno

IP i ESEMPIO Il 28% di C è 2016. Determiniamo C:

28:100 = 2016:C — 2 8 - C = 1002016 -

n

C = 1% 2916 = 7200. !i Un problema conte

i

TEORIA

VIDEO

percentuali

IDEE PER LE COMPETENZE C o m e si sconta l’IVA In Italia per ogni bene o servizio oggetto di compravendita si deve pagare una tassa, l'IVA: chi acquista paga l'IVA a chi vende, chi vende la versa allo Stato. Il valore dell'IVA è una percentuale (detta aliquota) del prezzo iniziale del bene. Per la maggior parte dei prodotti, l'aliquota è del 22%. A volte ti può essere proposto lo sconto dell'IVA su un prodotto che devi acquistare, cioè di pagare il prezzo delprodotto prima

dell'aggiunta dell'IVA. Il commerciante dovrà comunque versare la tassa allo Stato,ma per te è un ottimo sconto. Tuttavia non è corretto pensare che si tratti di uno sconto del 22%. Supponiamo, per esempio, che il prezzo senza IVA di una mountain

bike sia di 500 €. Applichiamo l’aliquota IVA del 22%: 500 - E I = 110 — prezzo con IVA non scontato: 610 €. TT

TT

prezzo iniziale + IVA

IVA; 110 auro

|

Uno sconto di 110 € su 610 €, in percentuale rispetto al prezzo finale, è = 18%, È dunque sbagliato credere che si tratti del 22%. Ho =

Ora supponiamo di voler conoscere il prezzop da pagare per una mountain bike per la quale si sconta l'IVA sul prezzo di vendita, che è di 900 €, Dobbiamo calcolare: (100 + 2 2 ) : 1 0 0

= 900;

p =

p = $ 0 0 - 1 9 5 = 738.

Il prezzo prima dell’applicazione dell'IVA è di circa 738 €.

L'operazione con cui si ottiene il prezzo senza IVA da quello con IVA viene anche detta scorporo dell'IVA. IP Cerca sul Web quali sono le aliquote IVA applicate alle diverse categorie di beni e servizi. Scorpora l'IVA sull’acquisto di 2,20 € di yogurt e del tuo modello preferito di smartphone.

100

|

O e» l l calcolo approssimato e

re De aa de

e

a De o

da

e Da ae oe oa DO ae o

cele allo E chele a a D e ale E

De ca dl

E o a ale a e

E

leo ala a

ole olmo a o SD

a

e Da DE ae oa Da DE Do

e

A D a DO D a D A D E D a D e D a D E ole o a a o ale E o e D a lele dre ala dro ala r e d e

Ill calcolo approssimato

aa

o

ep a

aa

H z LISTEN TO IT

O

DA 00 O

S A DOP 0

then; vou can do this by

OA D e OO O

meno di 1072,

e mula clero u e dla a o

rounding up er rounding down,

e

Se, per esempio, per u n numero decimale vogliamo considerare solo due cifre dopo la virgola, cioè trascuriamo dalla terza cifra in poi, diciamo che approssimiamo a

oa

SO O

+ Esercizi a pagina 144

a De o

O O Sp I O O DU O A DA 0

prossimazione è per difetto. Infatti 21,2 < 21,2381.

se qa > q, si dice che a è un'approssimazione per eccesso di g;

®

se qa < q, si dice che a è un'approssimazione per difetto di q.

il calcolo dell'errore non interessa se l'approssimazione è per difetto o per eccesso,

consideriamo il valore assoluto della differenza, DEFINIZIONE

Dato un numero q € Q e un suo valore approssimato a, si chiama errore assoluto £ il valore assoluto della differenza fra il numero e il suo valore approssimato: E=|q-a]|.

Riprendendo l'esempio precedente, dove E = 0,0018, osserviamo che l'errore si ha dalla terza cifra decimale in poi.

2,7352: 12,568: L11 'E 1,5; -7,47. Indica se le approssimazioni 60NA p e r eccesso 0 p e r difetto,

SO

A DO SOA OA SO PE DO A DO o

Appraossima a meno di un centesimo e a meno di un millesimo | seguenti numeri:

O A OA OP DO DO OP OO O A OO O UO P A O

Se il numero è approssimato per eccesso, l’errore è negativo. Tuttavia, poiché per

A E

7B,2718 — 78,27 = 0,0018.

VO

do la differenza fra il numero e il suo valore approssimato:

O

Quando si utilizza un'approssimazione al posto di u n numero si compie inevita-

bilmente un errore. Vediamo in che modo è possibile valutare l'errore commesso. Consideriamo un numero decimale finito, per esempio 78,2718 e la sua approssimazione a meno di 107°, cioè 78,27. Possiamo calcolare l'errore commesso consideran-

VO DO DA DO DO D O A

* Esercizi a pagina 144

DO OA DEA DO DO O

Db L'errore assoluto e l’errore relativo

A MO E

dn

Sp DA O

MO D O

#

O MO O DA DOO O UO DA DO

O

DEFINIZIONE Dati un numero q e la sua approssimazione a:

esercizio Ostermina l'approssimazione

3,7 è diverso da 3,70 Sa calcoliamo la differenza tra 2,7 è 3,70 otteniamo O: arltmeticamante i dua numeri sono

uguali. Eppure, quando si considerano coma approssimazioni, lo 0 nella cifra dei centesimi in 3,70

non è trascurabile perché dà informazioni ulteriori, Ci comunica infatti che la cifra 7 del decimi è carta, Non possiamo dire altrettanto per la serittura 3,7.

101

TEORI A

Seinvece vogliamo approssimare a meno di 107!, ossia ai decimi, il numero 21,2381,

allora scriviamo 21,2, poiché la prima cifra trascurata è 3, che è minore di 5. L'ap-

A OO D A D A SUA O

scriviamo 21,24,poiché la prima cifra trascurata (quella dei millesimi) è 8,che è maggiore di 5. L'approssimazione è per eccesso. Infatti 21,24 > 21,2381.

O D A UA PO OO

Per esempio, se approssimiamo a meno di 107°, ossia ai centesimi, il numero 21,2381,

O

O

* maggiore o uguale a 5, aumentiamo di 1 l'ultima cifra considerata; * minore di 5, lasciamo invariata l’ultima cifra considerata.

OA 0

+ O

Per approssimare procediamo mediante arrotondamento. Se la prima cifra trascurata ha un valore:

O O

bb L'approssimazione d i u n numero

e

D + OO O

to di cifre, per esempio 1947 251,23 o 21,376. Nelle operazioni di calcolo, e i n parti-

colare nel calcolo mentale, spesso è conveniente operare con un numero limitato di cifre. L'azione da compiere è quella di approssimare ì numeri in gioco.

E

DO O

Molti numeri razionali nella forma decimale sono rappresentati da un numero eleva-

a

Whan numbers have an infinite numbar of decirmals, it can be useful to approxkmate

O SA 0

‘B

e

u a Da

dae dla o

O P Po U A OPA OP 0

E ola d d ale E

E

E

RA 2 A Rupe R i

A DA

MP 0

a

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

D O Do

a

a

frazione, esprimiamo la differenza utilizzando le frazioni generatrici.

a leo a

infinito. Tuttavia, poiché ogni numero razionale può essere rappresentato da una

O

Nel caso in cui il numero sia decimale periodico, il numero delle cifre decimali è

i

o

CAPITOLO 3

ESEMPIO Consideriamo il numero decimale periodico q = 0,8 = 0,6666...

A Da O

P_ |

a DO

a

a

O

La sua approssimazione ai decimi è a = 0,7, quella ai centesimi è b = 0,67.

0,67 =

O

e

a

5

a

0,7 =

di un centesimo e calcola l'errore assoluto che si comple nell'approssimazione.

a

a

O

0,6 = i

A Da O

Trastformando i numeri decimali in frazioni si ottiene:

Y Esercizio Determina l'errore assoluto Approssima 2,13 a meno

L'errore assoluto nel primo caso è: 52 5 - 1L a

a ala n e o lola mola cielo n a

secondo caso è |

1

= 00"

oo a o O a O e O O a O De O O DA O e

|

a doo l a

e

= 0,01 =

)

= 1i p y = 110?

olio ale l a l a

2-00 000 = 2 - 1 0 ;

o

e

o aa

e 1 , 5 2 = 1,5, E = 0 , 0 2 , e =

=

e clelia olmo ole l o m l l a

=T1554,5

= 0,02 -0 , 0 0 0 0 2 == 1 0 0 0

le

E=0,02,

lo

e 1324,52 = 13245,

n

rispettivi errori relativi:

a

I È ESEMPIO Riprendiamo le approssimazioni considerate prima e calcoliamo i

O O

DA

a

O

O

a O

a DO A

a

Datiun numero q E Q eun suo valore approssimato a, si chiama errorerelativo e si indica con e il rapporto tra l'errore assoluto e il valore assoluto di a:

A DA e

DEFINIZIONE

o Oa o a

a DO

e l’arrore relativo lin

* Esercizi a pagina 146

102

O Da a a a le n

I concetti di errore assoluto ed errore relativo si usano anche quando si opera con le misure di grandezzefisiche. In questo caso l’errore assoluto è la differenza, in valore assoluto, fra il valore di una grandezza che assumiamo come vero e la sua misura.

A DO

a

B L a m i s u r a e l’errore

o DO D e

a

o

Nell'esempio precedente gli errori percentuali sono 0,002% e 1%.

a

a

O

to tra errore assoluto e valore assoluto del numero approssimato è uguale a e g ”

Calcola l'arrore assoluto

percentuale] che si hanno

e

Spesso gli errori relativi vengono espressi mediante percentuali: dire, per esempio, che un'approssimazione è affetta da un errore relativo del 3% significa che il rappor-

a

O

o D o DO

o

o

Nell'esempio gli errori relativi sono stati arrotondati. Confrontando i rispettivi errori QQ EsERCIZIO relativi, si può concludere che la prima approssimazione è più precisa della seconda. Arrotonda a calcola gli errori

dere o

TEORIA

rapporto tra l'errore assoluto e il valore assoluto del numero approssimato.

O

0,02 su u n numero maggiore di 1000 è molto più piccolo dello stesso errore su u n numero minore di 10. Per dare una stima della precisione è conveniente calcolare il

Oo Da O

L'errore assoluto non è sempre adeguato a valutare l’approssimazione compiuta. Le approssimazioni 1324,5 per il numero 1324,52 e 1,5 per 1,52 hanno lo stesso errore assoluto E = 0,02, ma la prima è sicuramente più precisa della seconda: un errore di

a Da

a

a

o

Nel

LI |= ay

se si arroctondano i seguenti numeri: 1,34 ai decimi;

56,7 alle unità; 3618 alle migliaia; 532821 alle decine di migliala.

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

D O Do

a

a

frazione, esprimiamo la differenza utilizzando le frazioni generatrici.

a leo a

infinito. Tuttavia, poiché ogni numero razionale può essere rappresentato da una

O

Nel caso in cui il numero sia decimale periodico, il numero delle cifre decimali è

i

o

CAPITOLO 3

ESEMPIO Consideriamo il numero decimale periodico q = 0,8 = 0,6666...

A Da O

P_ |

a DO

a

a

O

La sua approssimazione ai decimi è a = 0,7, quella ai centesimi è b = 0,67.

0,67 =

O

e

a

5

a

0,7 =

di un centesimo e calcola l'errore assoluto che si comple nell'approssimazione.

a

a

O

0,6 = i

A Da O

Trastformando i numeri decimali in frazioni si ottiene:

Y Esercizio Determina l'errore assoluto Approssima 2,13 a meno

L'errore assoluto nel primo caso è: 52 5 - 1L a

a ala n e o lola mola cielo n a

secondo caso è |

1

= 00"

oo a o O a O e O O a O De O O DA O e

|

a doo l a

e

= 0,01 =

)

= 1i p y = 110?

olio ale l a l a

2-00 000 = 2 - 1 0 ;

o

e

o aa

e 1 , 5 2 = 1,5, E = 0 , 0 2 , e =

=

e clelia olmo ole l o m l l a

=T1554,5

= 0,02 -0 , 0 0 0 0 2 == 1 0 0 0

le

E=0,02,

lo

e 1324,52 = 13245,

n

rispettivi errori relativi:

a

I È ESEMPIO Riprendiamo le approssimazioni considerate prima e calcoliamo i

O O

DA

a

O

O

a O

a DO A

a

Datiun numero q E Q eun suo valore approssimato a, si chiama errorerelativo e si indica con e il rapporto tra l'errore assoluto e il valore assoluto di a:

A DA e

DEFINIZIONE

o Oa o a

a DO

e l’arrore relativo lin

* Esercizi a pagina 146

102

O Da a a a le n

I concetti di errore assoluto ed errore relativo si usano anche quando si opera con le misure di grandezzefisiche. In questo caso l’errore assoluto è la differenza, in valore assoluto, fra il valore di una grandezza che assumiamo come vero e la sua misura.

A DO

a

B L a m i s u r a e l’errore

o DO D e

a

o

Nell'esempio precedente gli errori percentuali sono 0,002% e 1%.

a

a

O

to tra errore assoluto e valore assoluto del numero approssimato è uguale a e g ”

Calcola l'arrore assoluto

percentuale] che si hanno

e

Spesso gli errori relativi vengono espressi mediante percentuali: dire, per esempio, che un'approssimazione è affetta da un errore relativo del 3% significa che il rappor-

a

O

o D o DO

o

o

Nell'esempio gli errori relativi sono stati arrotondati. Confrontando i rispettivi errori QQ EsERCIZIO relativi, si può concludere che la prima approssimazione è più precisa della seconda. Arrotonda a calcola gli errori

dere o

TEORIA

rapporto tra l'errore assoluto e il valore assoluto del numero approssimato.

O

0,02 su u n numero maggiore di 1000 è molto più piccolo dello stesso errore su u n numero minore di 10. Per dare una stima della precisione è conveniente calcolare il

Oo Da O

L'errore assoluto non è sempre adeguato a valutare l’approssimazione compiuta. Le approssimazioni 1324,5 per il numero 1324,52 e 1,5 per 1,52 hanno lo stesso errore assoluto E = 0,02, ma la prima è sicuramente più precisa della seconda: un errore di

a Da

a

a

o

Nel

LI |= ay

se si arroctondano i seguenti numeri: 1,34 ai decimi;

56,7 alle unità; 3618 alle migliaia; 532821 alle decine di migliala.

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Per scrivere un numero in notazione scientifica,quando nonlo è, dobbiamo spostare la virgola fino a ottenere un numero decimale d tale che 1 £ d < 10.

Rappresenta i n notazione

scientifica

Se spostiamo la virgola di # posti: e a sinistra, la potenza di 10 per cui viene moltiplicato d è 10*; e a destra, la potenza di 10 per cui viene moltiplicato d è 107",

Scrivi in notazione scientifica: e ®

e

I i ESEMPIO

3240000 = 3,24+106

0,000038 = 3 , 8-107°

tm

PB L'ordine d i grandezza

n

DEFINIZIONE L'ordine di grandezza di un numero è la potenza di 10più v i c i nalanumero.

Nell'abooke s u

un approfondimanto giu

Le misure

e la aquivalenze.

* Esercizi a pagina 146

Se vogliamo confrontare due numeri come 2,4 ' 10° e 1,7: 10°, di solito non ci concentriamo sui due coefficienti, ma sugli esponenti dellepotenze di 10.Diciamo allora che i numeri differiscono di tre ordini di grandezza, perché una potenza si ottiene dall'altra moltiplicando per 10°, ossia il loro rapporto è 10°. In generale, per confrontare due numeri scritti in notazione scientifica spesso basta confrontare il loro ordine di grandezza.

D,000420: 1077; —-4137,28: 107, 14000 - 0,02.

2 ) QUARDA!

rgola a d e s t rdi a 5 posti

virgola a sinistra di 6 posti

TEORIA

QQ esercizio

EI

Listen t o ir

The order of magnituda of a number is the closest power of 10 to tha number.

Una divarsa convenzione Sl utilizza spesso anche la seguente diversa convenzione. Un numeare d 107, esprasso :

Chiariamo che cosa intendiamo per esserepiù vicino con degli esempi.

in notazione scientifica, ha ordine di grandezza:

I i ESEMPIO

* 1 0 se 1 d < 5; è 10 * ' sa 5 4 d < 10.

1. 4 èpiù vicino a 10° = 1 0 a 10' = 10?

4 4 10! Confrontiamo i rapporti T A R E cioè: T = - t À

:

10 =

2.5.

Per passare da 10° a 4 dobbiamo moltiplicare per 4, per passare da 4 a 10! moltiplichiamo per un fattore più piccolo, cioè 2,5. Allora 4 è più vicino a 10!, 2 Qual è il valore x ugualmente vicino a 10° e a 101?

I due rapporti + e E i devono essere uguali, cioè: xil=10:x

—-

xi = 1 0 — x=V10 =3,16227...

1 0 è vicino a 10° tanto quanto a 101, Per convenzione diciamo che il suo ordine di grandezza è 10°, Possiamo dare questa regola,

QY EssRcIZIO

REGOLA

Determina l'ordine di

U n numero d - 10", espresso in notazione scientifica, ha ordine di grandezza:

grandezza

#

10"

se | d | < vio;

e 10"*! se | d | > vio,

6 10%; 0,3 10%; 3,5 -105; 0,04-10 5:49: 718 1017:

Nella tabella forniamo alcuni esempi.

- 10°. 0,32

Numero

grandezza | ne O r d idi

Motivazione

1,4: 107?

107°

1,4 < 1 0

3,9: 105

106

3,9 > 1 0

104

Trova l'ordine di grandazza dei seguenti numeri:

uil

- Nall'abook e su

= ] GUARDA! u n approfondimento su

k

La propagazione degli errori.

GUARDA!

Mappa dei fondamentali

{nm

Sintesi In 7 lingua

—

—

FRAZIONI E NUMERI RAZIONALI e Frazioni 6

e Frazioni equivalenti

numeratore

e Frazioni è segno

2_4

— denominatore # 0

3-6

-7_

26=34

e N u m e r i razionali (-3

- 21-15:

tEer}=

numero razionale

-3 =-0,75eQ

PROPORZIONI

e Semplificazione

estremi

al minimi termini

7

| L sono frazioni equivalenti

2

di

Proprietà fondamentale: 7 : 6 = 2 2 1 . I

| PERCENTUALI

‘2

di

#

I l 30% d i 40 è : 0 . 4 0

®

I l 20% di x è 7. Quanto vale x? 20

7

#

Quale percentuale di 180 è 637 _ 63__ 1850 = 0,35 = 35%,

: | OPERAZIONI è Addizione e sottrazione 2,4 10 _ 10+12 _ 22 +e =iE = LL LL

+15

3 _ 2_ 9 4 3 12

mem(3; 5 )

57

8 12

9-8 17

_ i 12

L___1_ memi4; 3)

* Moltiplicazione e divisione 3 2_ 32 _ 6 BI 7

3.,5_ 3 9_27 7° 97 7 5 35

35 pr

R a miincazione I n croce

reciproco di I

e Potenza

(- 2 ) = + 2

"5

E.

/=+G1=+ 25

esponente pari

FONDAMENTALI ALLA PROVA

= 12.

1 8 0 % = ? — x==35 ‘100 = 35.

memi{6; 15)

” ‘i

(-3)

2)

=-3=-2

7-8

esponente dispari

> pag. 148

21

significa c h e S a l

T

e Riduzione a denominatore comune 7 ‘5 a 35

7

medi

frazione ridotta

35:57

' :;:6

7:2=21

MCD(35; 15) = 5

1 5 5 735

7

3

i

PROPRIETÀ INVARIANTIVA

35

_

decimale finito

i

15

7

37-37

(1)

=(3) = 3

27

3) NT} 5 7 3 4 3

L - reciproco di +

TEORIA

1 —

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

ESERCIZI

SY

1

senatore

10 Prova tu

Dalle frazioni ai numeri razionali > Teoria a pagina 83

Le frazioni VERO O FALSO? Lt

a. Ogni coppia di numeri naturali individua una frazione.

VIIF

b. Nella frazione >

vi

|F

vj

|F

2 è il numeratore e 7 è il denominatore.

Le frazioni apparenti hanno il denominatore multiplo del numeratore. d. In una frazione, se il numeratore è il successivo del denominatore, la frazione è impropria. e. Ogni frazione apparente è impropria, ma non è vero il viceversa, ©.

E

IE

Rappresenta

Li vi]

[e

sul segmento

AB le frazioni indicate a fianco, specificando se ESERCIZI

sono proprie, improprie, apparenti.

2'3'4'4'8

BB 1 3 7 5 9 6 4'2'4'2’4d'3* 3

À

O

E goc

dalla Colora la perte indic ata

EN frazione.

I

|

i

O

11133

BB

A

Fi 2

COMPLETA 3 a 3 d%dis40è_

2 bd Fs dL__ iè44

b.

di462è|

|

e

e

sr d270è_ _}

fi

2 di __Jè45; di

__jè510.

I primi passi della gru In figura sono riportati i primi quattro passaggi per realizzare una gru con la tecnica dell’origami. Esprimi l’area delle figure dei passaggi 2, 3 e 4 come frazione di quella del quadrato iniziale (passaggio 1).

DIN

Ra °

A

terrestre, Quanti minuti dura un'ora del pianeta Xenox?

Al] 80

106

Sul pianeta Xenox il giorno è diviso in 24 parti {le ore del pianeta Xenox) e dura 2 del giorno B | 60

6 ] 45

D j 18

1 * Dalle frazioni al numeri razionali E

Un autobus può contenere 80 passeggeri. Riusciranno una scolaresca di 16 alunni e 2 insegnanti a salirvi,

sapendo che l'autobus è già pieno per i 3 ?

[sì]

Elisa deve preparare la sua torta preferita. La ricetta per 4 persone richiede 240 g di farina e 160 g di E u

E

chero. Se la farina indicata nella ricetta è i > di quella che si trova in dispensa, mentre lo zucchero è1 i ' [no]

riuscirà Elisa a fare una torta per 7 persone?

> Teoria a pagina 84

O L e frazioni equivalenti KI

VERO O FALSO?

37

a sez.

Sono equivalenti le frazioni: C O 3

bh. s e z .

LL

|]

65

5

ca e g g .

LL

LU

73

d gez-

Le

Lul

Utilizzando la definizione, stabilisci se le seguenti coppie di frazioni sono fra loro equivalenti.

4

8.

ii

510’

I

NA

610

0

pi

15:

2

-

30 *

12 4

12

LELE

0

FiULE

040:

0

Fractions o n the 0-1 segment ESERC IZI

a. Draw a horizontal segment that is 24 squares long, on graph paper. b. Label the endpoints 0 and 1. €.

Put marks on the 0-1 segment for: e halves; e thirds;

e fourths;

sixths.

#

Which points have multiple labels? Why?

> Teoria a pagina 86

O L a proprietà invariantiva KI

“eo

0

=.

,

o dividendo N

Applicando la proprietà nveriantiva si può scrivere:

ai

vv]

“ 3-32 .

[F

.

L=

“ EB

vi

da 0 sia Ktrumenadiverso

[e

tore siaIl denominatoredi an s ire p e r i si ottiene una

,

FONDAMENTALI Applicare la proprietà invariantiva Scriviamo, se è possibile, la frazione:

|

a. equivalente a > con denominatore 14;

b. equivalente a E con denominatore 12.

3

a

Fi Il denominatore 14 si ottiene da 7 moltiplicando per 2 (infatti 14 : 7 = 2). Applichiamo la proprietà invariantiva delle frazioni, moltiplicando numeratore e denominatore per 2:

Possiamo trovare la frazione equivalente solo pe Il suo

E

denominatore è multiplo di quello della frazione data.

3 b.

ri

"ar

.

5 TZ Non è possibile ottenere la frazione equivalente a > , perché il denominatore 12 non è multiplo di 5. PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo

per vedere se hai capito. E

SE

O

lÙl———

CAPITOLO 3

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

e |

Applicando la proprietà invarlantiva delle frazioni scrivi, quando è possibile, le frazioni equivalenti alle seguenti I n modo che abbiano, nell'ordine, daenominatori 9, 10, 12, 14, 1 5 , 16, 21, 35, 60, 64. >

i

2

4

34

rr

>

5

-

s-lglelglalgialg A

2

1

4

6

1

Sa

3

Gi

a’

7

6

AAA 1

o, >

LA RA +

Scrivi tre frazioni equivalenti a:

pat

20

Sottolinea le frazioni ottenute da 2 applicando la proprietà invariantiva. Indica il fattore utilizzato.

Fe’

4°

15

15

10

10

5

7

20

2]

20

3Ò

16°

34°

121

0

12

16

1500

510

100°

04°

> Teoria a pagina 85

Pb L a semplificazione d i frazioni

Cancella le frazioni che non sono equivalenti alla prima; fra quelle rimaste, cerchia la frazione ridotta al minimi termini,

H

4

>

80)

ESERCIZI

-

|

10

5

(30 15% 6 °

i

15°

Pri

L'E

e:

10

60

60

40

21

i:

PAL

16

16

10: 158 30° 2 °

5

9

6

6

È

2

Bol

Ì

2

6

6

122

3l>

20

EE

20

15

16

40° 35: 100

157

120

20

8

120° 90,

9

34°

r i d u r le r efrazione al dividiamo

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni, qualora non lo siano già. 12

EI

15

3

18

e24

O

12

6U

27.5

5275

9

372 2a}

53.7

E

4nant a s

84

5

E o200)

Sr

21.3:

3127

900

2

63

Pr

9:16

336

de

‘deneminatorep eirioro

150

68°

441

10

3036

112°

1515

10365

2688

2860

s10

294°

21080

174° 1540 50592

0’

A Bianco e nero In figura è riprodotto un logo disegnato accostando “ a r c h i semicircolarii cui raggi misurano 2 cm, 4 cm o 8 cm. Quale frazione dellogo

—_——_

è ombreggiata? 1

\ 1

43

47

1

1

4

3

2

3

[Kangourou Italla, 2010]

D La riduzione di frazioni a denominatore comune [[$ Attività interattiva

» Teoria a pagina 86

Alkduci le frazioni di ognuno del seguenti gruppi al minimo denominatore comune.

1

Li ai E 530105 108

3

1

|

en 4 9 11 © 10 30

3

Po

|

23

1

2

3

2

1

E s o r 3 1035 E 1 1 | 3 3. 2 1 E I 3 69175 Tp e 72 ae

CAPITOLO 3

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

e |

Applicando la proprietà invarlantiva delle frazioni scrivi, quando è possibile, le frazioni equivalenti alle seguenti I n modo che abbiano, nell'ordine, daenominatori 9, 10, 12, 14, 1 5 , 16, 21, 35, 60, 64. >

i

2

4

34

rr

>

5

-

s-lglelglalgialg A

2

1

4

6

1

Sa

3

Gi

a’

7

6

AAA 1

o, >

LA RA +

Scrivi tre frazioni equivalenti a:

pat

20

Sottolinea le frazioni ottenute da 2 applicando la proprietà invariantiva. Indica il fattore utilizzato.

Fe’

4°

15

15

10

10

5

7

20

2]

20

3Ò

16°

34°

121

0

12

16

1500

510

100°

04°

> Teoria a pagina 85

Pb L a semplificazione d i frazioni

Cancella le frazioni che non sono equivalenti alla prima; fra quelle rimaste, cerchia la frazione ridotta al minimi termini,

H

4

>

80)

ESERCIZI

-

|

10

5

(30 15% 6 °

i

15°

Pri

L'E

e:

10

60

60

40

21

i:

PAL

16

16

10: 158 30° 2 °

5

9

6

6

È

2

Bol

Ì

2

6

6

122

3l>

20

EE

20

15

16

40° 35: 100

157

120

20

8

120° 90,

9

34°

r i d u r le r efrazione al dividiamo

Riduci ai minimi termini le seguenti frazioni, qualora non lo siano già. 12

EI

15

3

18

e24

O

12

6U

27.5

5275

9

372 2a}

53.7

E

4nant a s

84

5

E o200)

Sr

21.3:

3127

900

2

63

Pr

9:16

336

de

‘deneminatorep eirioro

150

68°

441

10

3036

112°

1515

10365

2688

2860

s10

294°

21080

174° 1540 50592

0’

A Bianco e nero In figura è riprodotto un logo disegnato accostando “ a r c h i semicircolarii cui raggi misurano 2 cm, 4 cm o 8 cm. Quale frazione dellogo

—_——_

è ombreggiata? 1

\ 1

43

47

1

1

4

3

2

3

[Kangourou Italla, 2010]

D La riduzione di frazioni a denominatore comune [[$ Attività interattiva

» Teoria a pagina 86

Alkduci le frazioni di ognuno del seguenti gruppi al minimo denominatore comune.

1

Li ai E 530105 108

3

1

|

en 4 9 11 © 10 30

3

Po

|

23

1

2

3

2

1

E s o r 3 1035 E 1 1 | 3 3. 2 1 E I 3 69175 Tp e 72 ae

CAPITOLO 3

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

e |

Rappresenta s u una retta orlentata le seguenti frazioni. Indica per ognuna se è propria, Impropria o apparente.

42 +3:

+7,

2 A

+e,

3

5

i Gt

4

5

|

2’

IA

3

4

eri o — ] —

Fi

=

3

23

7 “1277

il simbolo di l o na delle seguentirelazioni S o in confronto è errato. Quale? Perché?

°°

6”

v|le

LE

d.. Tra frazioni con ]lo stesso numeratore, duefrazioni Tradue

diverso da 0, è maggiore quella che ha il denominatore minore.

al T SS - 0

i E GL

i 1-5

+4

13

Confronta le seguenti coppie di frazioni mediante i prodotti In croce. E ba

5 3

11

5 2

COMPLETA

ll

TE

27.

3,

2

i

64

35

78

5

8 3 9

e

inserendo uno dei simboli < , >, =.

[II

&

5

Li

gi]:

lisi:

7

11

glia:

gli

83

57

81

122

49

siJSo.

Nelle seguenti frazioni # è un numero naturale maggiore di 1. Qual è la frazione maggiore?

| s4 A

7

7

+1

A

A

rr

er)

?

7

n -i

Scrivi le frazioni del seguenti asgercizi come frazioni aventi lo stesso denominatore, e indica la maggiore. 5 7 3 7 li 5

E3 5H 7

1

rr ’

i

7

6

.

56

Scrivi In ordine crescente le seguenti frazioni. 8 2 2 7 6 3

7

bi

Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni. 2 15 2 1

E

110

2

tg

5

7

ge

+7:

Ds

ir

A

=

1

323 _ 1 + 11 5 pt pt

o

1

e

2

3

+e

6

+

4

4

tI

3

2

5

+3:

CAPITOLO 3

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

e |

Rappresenta s u una retta orlentata le seguenti frazioni. Indica per ognuna se è propria, Impropria o apparente.

42 +3:

+7,

2 A

+e,

3

5

i Gt

4

5

|

2’

IA

3

4

eri o — ] —

Fi

=

3

23

7 “1277

il simbolo di l o na delle seguentirelazioni S o in confronto è errato. Quale? Perché?

°°

6”

v|le

LE

d.. Tra frazioni con ]lo stesso numeratore, duefrazioni Tradue

diverso da 0, è maggiore quella che ha il denominatore minore.

al T SS - 0

i E GL

i 1-5

+4

13

Confronta le seguenti coppie di frazioni mediante i prodotti In croce. E ba

5 3

11

5 2

COMPLETA

ll

TE

27.

3,

2

i

64

35

78

5

8 3 9

e

inserendo uno dei simboli < , >, =.

[II

&

5

Li

gi]:

lisi:

7

11

glia:

gli

83

57

81

122

49

siJSo.

Nelle seguenti frazioni # è un numero naturale maggiore di 1. Qual è la frazione maggiore?

| s4 A

7

7

+1

A

A

rr

er)

?

7

n -i

Scrivi le frazioni del seguenti asgercizi come frazioni aventi lo stesso denominatore, e indica la maggiore. 5 7 3 7 li 5

E3 5H 7

1

rr ’

i

7

6

.

56

Scrivi In ordine crescente le seguenti frazioni. 8 2 2 7 6 3

7

bi

Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni. 2 15 2 1

E

110

2

tg

5

7

ge

+7:

Ds

ir

A

=

1

323 _ 1 + 11 5 pt pt

o

1

e

2

3

+e

6

+

4

4

tI

3

2

5

+3:

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

termini135e HmTEST Se riduci ai minimi termin 77

LL

ai

+

LI]

HE

HE

LI

42

21]

"

minimi

14

7

__

1545

5:

ae ec

+

i

Riduci le seguenti frazioni allo stesso denominatore: 9

11

18 ,

14

35

15’

10’

2

‘40?

28°

Scrivi i numeri che corrispondono al punti.

E

G

O

Cc

&

À

2

-1

COMPLETA inserendo uno dei simboli < ,

> ,=

[1]

3

5

3:

a

154

21

pas

UT

b.

TU I7:

60

7

a5llzi

arl

6

Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni: Le)

15,

245,

32.4 *

ESERCIZI

LE

_6,

_1,

2?

2

7,

8:

_5 o

Le operazioni i n Q L’addizione e l a sottrazione

[

Attività interattiva

» Teoria a pagina 90 LL:

I FONDAMENTALI Sommare e sottrarre frazioni Calcoliamo:

inverientiva o proprietà am A g p l i c h ila

mom {2; 5) =10

In forma abbreviata: pi

I D ‘3-3

2-7

358

Pa

asa ES

=

acriviamo

lo stesso denominatore.

(10: ” A

=Î5" isa la

53

3

3 cone

frazione

c o n daencminatora

&

In forma abbreviata: 6: 1-3 4_

3

«Bi,

(6: À 4

Ogni numero intere si p u òscrivere come frazione con denominalore1.

x ) PROVA TU.u. svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

112

|

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

termini135e HmTEST Se riduci ai minimi termin 77

LL

ai

+

LI]

HE

HE

LI

42

21]

"

minimi

14

7

__

1545

5:

ae ec

+

i

Riduci le seguenti frazioni allo stesso denominatore: 9

11

18 ,

14

35

15’

10’

2

‘40?

28°

Scrivi i numeri che corrispondono al punti.

E

G

O

Cc

&

À

2

-1

COMPLETA inserendo uno dei simboli < ,

> ,=

[1]

3

5

3:

a

154

21

pas

UT

b.

TU I7:

60

7

a5llzi

arl

6

Scrivi in ordine decrescente le seguenti frazioni: Le)

15,

245,

32.4 *

ESERCIZI

LE

_6,

_1,

2?

2

7,

8:

_5 o

Le operazioni i n Q L’addizione e l a sottrazione

[

Attività interattiva

» Teoria a pagina 90 LL:

I FONDAMENTALI Sommare e sottrarre frazioni Calcoliamo:

inverientiva o proprietà am A g p l i c h ila

mom {2; 5) =10

In forma abbreviata: pi

I D ‘3-3

2-7

358

Pa

asa ES

=

acriviamo

lo stesso denominatore.

(10: ” A

=Î5" isa la

53

3

3 cone

frazione

c o n daencminatora

&

In forma abbreviata: 6: 1-3 4_

3

«Bi,

(6: À 4

Ogni numero intere si p u òscrivere come frazione con denominalore1.

x ) PROVA TU.u. svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

112

|

3 e L e operazioni i n Q

1,.3_323I7 2 2 2 2 _3 1 MLA 2_3. 32 kai 1

4,6_20 5! 35 1,2. LE _5_4 3 4 4

z

70

4-5;

La AI

5 -52 ; FE:

72

2 1 3*+%7

“Ar:

1

8 2 -=—+5-:

1-5;

1

l

2 +7 F i.

2 —F i 7}

;

3

1 4+3:;

4

a

—- 1

l

>

4

Liu

|

ao l +9,

=

4

37

3 7 4a+3-6

COMPLETA

3_ 1 E 4 2_1 2 8 3 > +1

5a: 1.

5 3 —+3-—:

1

23

4.5

1 + 3Z - 56 ;

l;

iua t t t Ri

3-7, 12 TZ TT 1_1 e

+5

Z

7

ll

3 - 3 +4107!

g+273i

le seguenti uguaglianze.

Li Li

2

+

_

8

45.

_1l-

24?

3

7

18!

'

-|-

À

x

12

4,

2__1

3

5

=

15

L e espressioni contenenti somme algebriche

a

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Calcola: 2 + [ i - ( +1 + 2

è +1 -

1

2

1

3-4+ 241-241)

2+1|1 - ( 1 )

2+! - Lol

2+ sz]

peg

1

1

—-+2|-x|-|r7(3-3+2) =] (7-3)

1 | E

(1)

vi

- + 1 L_] d r =

i

&@

amino

-

-

attenzione

} eliminiamo le parenteel tonde

parentesi -

5 calcoliamo la somma algebrica dentro alle parentesi quadre

=2+[-] +

m o quadre parentesi = ) e l l m i nlei a

jitio i ei

Calcola ll valore dalle seguenti espressioni.

as)

è

1]

= \| c a l o o l l le am somma o algebriche nelle i

3 ] LI | =

1

2) -5>]- ( 4 - 3 ) .

I

na3 3 - 6 7 - 8 4 )

e

EI

E -(G+2)+5+|8-(2+3-2)+3] Ra ( + 2 ) - ( 3 + 3 ) - ( - 5 + 3 ) - ( 3 + ) ]

E -0+2-G+3)+3-$)-[E+3-3)-1]

|-2 [0]

(o)

113

3 e L e operazioni i n Q

1,.3_323I7 2 2 2 2 _3 1 MLA 2_3. 32 kai 1

4,6_20 5! 35 1,2. LE _5_4 3 4 4

z

70

4-5;

La AI

5 -52 ; FE:

72

2 1 3*+%7

“Ar:

1

8 2 -=—+5-:

1-5;

1

l

2 +7 F i.

2 —F i 7}

;

3

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4

a

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>

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Liu

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37

3 7 4a+3-6

COMPLETA

3_ 1 E 4 2_1 2 8 3 > +1

5a: 1.

5 3 —+3-—:

1

23

4.5

1 + 3Z - 56 ;

l;

iua t t t Ri

3-7, 12 TZ TT 1_1 e

+5

Z

7

ll

3 - 3 +4107!

g+273i

le seguenti uguaglianze.

Li Li

2

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18!

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15

L e espressioni contenenti somme algebriche

a

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Calcola: 2 + [ i - ( +1 + 2

è +1 -

1

2

1

3-4+ 241-241)

2+1|1 - ( 1 )

2+! - Lol

2+ sz]

peg

1

1

—-+2|-x|-|r7(3-3+2) =] (7-3)

1 | E

(1)

vi

- + 1 L_] d r =

i

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amino

-

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attenzione

} eliminiamo le parenteel tonde

parentesi -

5 calcoliamo la somma algebrica dentro alle parentesi quadre

=2+[-] +

m o quadre parentesi = ) e l l m i nlei a

jitio i ei

Calcola ll valore dalle seguenti espressioni.

as)

è

1]

= \| c a l o o l l le am somma o algebriche nelle i

3 ] LI | =

1

2) -5>]- ( 4 - 3 ) .

I

na3 3 - 6 7 - 8 4 )

e

EI

E -(G+2)+5+|8-(2+3-2)+3] Ra ( + 2 ) - ( 3 + 3 ) - ( - 5 + 3 ) - ( 3 + ) ]

E -0+2-G+3)+3-$)-[E+3-3)-1]

|-2 [0]

(o)

113

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Il reciproco di u n numero razionale

109 Lt

soc

VERO O FALSO?

a. Se il prodotto fra due numeri è 1, i due numeri sono sempre uno reciproco dell'altro, b. Se un numero è negativo, il suo reciproco è positivo. c._ Il prodotto dei reciproci di due numeri è uguale al reciproco del prodotto. d. Il reciproco di 3 è minore del reciproco di 1000.

vj

LF

vj

|"

vj

LF

1 E,

6 +=,

5

Scrivi il reciproco del valore delle seguenti

DI

espressioni.

+1, 11.

-2,

+6,

-4, 4:

LE

Considera le frazioni: + - , 2. Solo di una di esse non esiste il reciproco, Quale?

A

Per ogni numero, scrivi il suo reciproco. e

vj

i:

L i s4,’

+ 1:

3

2

4 - 15, ' 3

3i 'l6i ,

2

153

‘172

b_ L a divisione I

> Teoriaa pagina 92

Attività interattiva

v E R O0 FALSO?

a,

Dividere un numero razionaleper 4 equivale a triplicare il numero. b. Il quoziente di un n u m e reodel suo reciprocoè 1. eodel suo oppostoè 1. ©. Il quoziente di unn u m e r

ESERCIZI

i

Pb

d. q L =

seqrso.

Calcola i seguenti quozienti. -4.(-22), 2,1, (735) 5 73:

Di |_T+1+

2:(-3); 2\1,{_2

(-3):2; 3./_, 2

ya (+3):

v]

(+3):(-3);

1.(-£), si):

_6.36

5:(-1); l.,

(-1):(-=5).

[f]

vj]

LF

v]

[Fr]

v]

[#]

5:35” 1

:

l: 3.

"COMPLETA la seguenti uguaglianze.

a i

'

Silla:

5) i

LI

n I

(= '

(

1

6)

=.

3

e

=3.

1

_3

=-

euz=ti

4.

giCD= _ 8

i

FL

(+2)

Ci 3

1:(_)=-3: =

(

E

2:(+Ll)

_

x}

6+ ) 4

1:(_)=$ =

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

241)

.{1

_3\.{3_ 4

21).

E (2+3):(5 +1); 1 , 3 \ ) . { 9 _ 14 (G+):(3-4), 2 _ 3}. 7 ($-27):(3-2):

25 8]

13

A

11,7

1_3\.{1_2

(3-3):(8-5) 125 (-5):(-8):(+3); (-5):(-3) (-8).

116

[3:45] 0

[+33]

6-1):(3-11) 1_2\.(/3 (3-3}:(3-3) 4 _1\.{ l l ) . ); E (3-3):

pg

(F+3}(5-7)

[313]

3,

3\.{/2_1

| 126 (+7) : ( + 3 ) : ( - 5 ) ; (+7) :((+3)-(-5)],

1 21

_

57

- 3:15

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Il reciproco di u n numero razionale

109 Lt

soc

VERO O FALSO?

a. Se il prodotto fra due numeri è 1, i due numeri sono sempre uno reciproco dell'altro, b. Se un numero è negativo, il suo reciproco è positivo. c._ Il prodotto dei reciproci di due numeri è uguale al reciproco del prodotto. d. Il reciproco di 3 è minore del reciproco di 1000.

vj

LF

vj

|"

vj

LF

1 E,

6 +=,

5

Scrivi il reciproco del valore delle seguenti

DI

espressioni.

+1, 11.

-2,

+6,

-4, 4:

LE

Considera le frazioni: + - , 2. Solo di una di esse non esiste il reciproco, Quale?

A

Per ogni numero, scrivi il suo reciproco. e

vj

i:

L i s4,’

+ 1:

3

2

4 - 15, ' 3

3i 'l6i ,

2

153

‘172

b_ L a divisione I

> Teoriaa pagina 92

Attività interattiva

v E R O0 FALSO?

a,

Dividere un numero razionaleper 4 equivale a triplicare il numero. b. Il quoziente di un n u m e reodel suo reciprocoè 1. eodel suo oppostoè 1. ©. Il quoziente di unn u m e r

ESERCIZI

i

Pb

d. q L =

seqrso.

Calcola i seguenti quozienti. -4.(-22), 2,1, (735) 5 73:

Di |_T+1+

2:(-3); 2\1,{_2

(-3):2; 3./_, 2

ya (+3):

v]

(+3):(-3);

1.(-£), si):

_6.36

5:(-1); l.,

(-1):(-=5).

[f]

vj]

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v]

[Fr]

v]

[#]

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:

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"COMPLETA la seguenti uguaglianze.

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Silla:

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LI

n I

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=.

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=3.

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4.

giCD= _ 8

i

FL

(+2)

Ci 3

1:(_)=-3: =

(

E

2:(+Ll)

_

x}

6+ ) 4

1:(_)=$ =

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

241)

.{1

_3\.{3_ 4

21).

E (2+3):(5 +1); 1 , 3 \ ) . { 9 _ 14 (G+):(3-4), 2 _ 3}. 7 ($-27):(3-2):

25 8]

13

A

11,7

1_3\.{1_2

(3-3):(8-5) 125 (-5):(-8):(+3); (-5):(-3) (-8).

116

[3:45] 0

[+33]

6-1):(3-11) 1_2\.(/3 (3-3}:(3-3) 4 _1\.{ l l ) . ); E (3-3):

pg

(F+3}(5-7)

[313]

3,

3\.{/2_1

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1 21

_

57

- 3:15

ESERCIZI

E

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

fa

e |

Di

mit

CAPITOLO 3

NP N

SRO DR DR RP D I

O OP DO O

U P DR DO DO O

E

**°

A DA I

va D O DO DO D + S R DA DOO DO DO O DO D + O

A DO DO DO SO D O D + DO D A

A DO PO S A CP DO O

D+ SA

A DE O

POR D A OR DR S P I

DA I

Sa

E

DD

E

E

A

E

E

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E

e

E

ee

dl

a

i

e

de

e

e

e

i

e

E

DL

E

ED

E

E

Daria ha acquistato all'asta un disegno di una famosa

illustratricealla cifra di 2350 €. Facendo valutare il disegno da un esperto, scopre che il suo valore reale è superiore al prezzo

el

viene danneggiato durante un trasloco e quindi perde i + 5 del valore stimato la prima volta. Qual èil valore attuale dell’opera? [2444 €]

re.

‘lo

n

pagato di > del prezzo stesso, Alcuni mesi dopo il disegno

Determinalo scrivendo un'espressione e calcolando il suo valo-

j

Hi

|y9M‘ e

E !

Frazioni a termini frazionari

ao

Trasforma le seguenti frazioni in divisioni e calcola il loro valore.

Le

1

1

è

|4,:-1

EE

150 4 - 1 6 .

30

I

2-3

( 8)

2-7

34

L-(2-T

4

36,3

\73

192 7 - 3 + 2 )

463

(3)

L]

:(-3+3) , 3 3 ) -2-(-$) + 1 7

p L a potenza A

Senza eseguire il calcolo, indica il segno delle seguenti potenze.

(2 118

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(2)

2

2”

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1-3]

ESERCIZI

E

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

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CAPITOLO 3

NP N

SRO DR DR RP D I

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E

Daria ha acquistato all'asta un disegno di una famosa

illustratricealla cifra di 2350 €. Facendo valutare il disegno da un esperto, scopre che il suo valore reale è superiore al prezzo

el

viene danneggiato durante un trasloco e quindi perde i + 5 del valore stimato la prima volta. Qual èil valore attuale dell’opera? [2444 €]

re.

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n

pagato di > del prezzo stesso, Alcuni mesi dopo il disegno

Determinalo scrivendo un'espressione e calcolando il suo valo-

j

Hi

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E !

Frazioni a termini frazionari

ao

Trasforma le seguenti frazioni in divisioni e calcola il loro valore.

Le

1

1

è

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EE

150 4 - 1 6 .

30

I

2-3

( 8)

2-7

34

L-(2-T

4

36,3

\73

192 7 - 3 + 2 )

463

(3)

L]

:(-3+3) , 3 3 ) -2-(-$) + 1 7

p L a potenza A

Senza eseguire il calcolo, indica il segno delle seguenti potenze.

(2 118

2

(2)

2

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(5) (4)

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1-3]

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Calcola, applicando le proprietà delle potenze, ll valore delle seguenti espressioni.

ni

ER C D A T A A CR G T 6 - TG

EZIO

bs]

E {GY GETCHESCTI

a

18]

al

(35) Gs) (8)

a

GCT

gcc

[($7-CAT:(8) A

a{GGI

Q u aè la l metà del numero ( 1 ;

Qual è la millesima parte di 10?

A |i l )

A

ESERCIZI

4 E

zl E (2) (TEC) TEO: e) A

CC] a [$$] 2

(1)

- (1)

c (1)

D

(1)

A]

105

[Bj

10"

|e

107000 pj 10’

5] ASSOCIA a ogni espressione il proprio risultato. Le)

1

(E

2:30

a

[3]

4

[-(+3)]

a

=

b.

e

+e

d

+

PD L e espressioni con | razionali COMPLETA LO SVOLGIMENTO Calcola il valore della seguente espressione:

(Gr)

+GY:(5)++-3]

subites è

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

I (2: (-45)(4 +47

2]

uo @y22+0-2P:6+43]

a (-2)- (5-(: (5)+ 5P 0 ua 2 ) : -+) $ i

(2)

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Calcola, applicando le proprietà delle potenze, ll valore delle seguenti espressioni.

ni

ER C D A T A A CR G T 6 - TG

EZIO

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18]

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(35) Gs) (8)

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Q u aè la l metà del numero ( 1 ;

Qual è la millesima parte di 10?

A |i l )

A

ESERCIZI

4 E

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CC] a [$$] 2

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A]

105

[Bj

10"

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107000 pj 10’

5] ASSOCIA a ogni espressione il proprio risultato. Le)

1

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a

=

b.

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PD L e espressioni con | razionali COMPLETA LO SVOLGIMENTO Calcola il valore della seguente espressione:

(Gr)

+GY:(5)++-3]

subites è

Calcola il valore delle seguenti espressioni.

I (2: (-45)(4 +47

2]

uo @y22+0-2P:6+43]

a (-2)- (5-(: (5)+ 5P 0 ua 2 ) : -+) $ i

(2)

CAPITOLO 3 dl

da

e

a

n e ma ollare a e a o

lo

E

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NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

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ole ame a a ma lore ollare ale a

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a

O O

Da ae oa

E

De Da oe DE Do

e O

E E D e D a O DO D a d a d a DO e a

a oa Da DE oa

Dalle espressioni letterali alle espressioni numeriche CGalcola il valore dalle saguanti asprassioni assegnando alle lettere | valori Indicati a fianco.

-(x® + y ) ;

x=>,

y=->.

1-4

(2a + b}: (44° — b ) ;

a=>,

b=_L.

2

( - d )( +G) S i

ao

-68

x=_+.

[-4]

( x +y)

Za

tti

Attività interattiva

Dalle parole alle aspressioni letterali |

g

FONDAMENTALI Tradurre dalle parole all'espressione

Scriviamo sotto forma di espressione la frase: «Ai i della differenza fra la metà di a e i + di b, aggiungi la terza parte della sornma fra il quadrato d a e i E di i». Calcoliamo poi il valore dell'espressione per a = - > e b = > . ESERCIZI

o

i

i

E

E

E

E

a

E

a

E

E

E

E

E

O

E

e

o

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O

o

o

o

e

o i o O O PP O p a p p og opa oo o

PR g a o oa A g e a e ap o

EP D E

e p a pa p e au PP A

Eseguiamo la traduzione per gradi: « > della differenza fra...»

—

«la metà di a»

- Za;

« i — d i hr»

_

«aggiungi la terza parte della somma fra...»

«il quadrato di a» «i

HI (=

+;

+ 3( + . . . )

—

a

-

2 d i b»

1}

-

L'espressione è dunque: I

i

(Za - 35) + + (a + 56). |

Calcoliamo ora il valore dell'espressione per a = - 3 e b =—_5: 211(-5)-2(-3)]+1](-3

Si2\ 2 27 5

sl

+4(-2)]=

FINE ZAN 1 1725

]+3[T-

Par nor adeguare, quando dia e di b tra parentesi tonde,

Tio

9]_ 2)"

PROVA TU. S v o l g ui n esercizio simile i n t e r a t per t i v vedere o se hai capito.

122

|

|

a Da De

CAPITOLO 3 dl

da

e

a

n e ma ollare a e a o

lo

E

mo a

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

e |

a a alare l e dla D a l e

D a ale l o

l e mbe t a mm olor E mme l o

ole ame a a ma lore ollare ale a

le

o D a cio E

r e ale an E o

a are E

a al

D E dre a a

e DA

a de

a

E ca

a

e DA ea

a

A DE

e

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O O

Da ae oa

E

De Da oe DE Do

e O

E E D e D a O DO D a d a d a DO e a

a oa Da DE oa

Dalle espressioni letterali alle espressioni numeriche CGalcola il valore dalle saguanti asprassioni assegnando alle lettere | valori Indicati a fianco.

-(x® + y ) ;

x=>,

y=->.

1-4

(2a + b}: (44° — b ) ;

a=>,

b=_L.

2

( - d )( +G) S i

ao

-68

x=_+.

[-4]

( x +y)

Za

tti

Attività interattiva

Dalle parole alle aspressioni letterali |

g

FONDAMENTALI Tradurre dalle parole all'espressione

Scriviamo sotto forma di espressione la frase: «Ai i della differenza fra la metà di a e i + di b, aggiungi la terza parte della sornma fra il quadrato d a e i E di i». Calcoliamo poi il valore dell'espressione per a = - > e b = > . ESERCIZI

o

i

i

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PR g a o oa A g e a e ap o

EP D E

e p a pa p e au PP A

Eseguiamo la traduzione per gradi: « > della differenza fra...»

—

«la metà di a»

- Za;

« i — d i hr»

_

«aggiungi la terza parte della somma fra...»

«il quadrato di a» «i

HI (=

+;

+ 3( + . . . )

—

a

-

2 d i b»

1}

-

L'espressione è dunque: I

i

(Za - 35) + + (a + 56). |

Calcoliamo ora il valore dell'espressione per a = - 3 e b =—_5: 211(-5)-2(-3)]+1](-3

Si2\ 2 27 5

sl

+4(-2)]=

FINE ZAN 1 1725

]+3[T-

Par nor adeguare, quando dia e di b tra parentesi tonde,

Tio

9]_ 2)"

PROVA TU. S v o l g ui n esercizio simile i n t e r a t per t i v vedere o se hai capito.

122

|

|

a Da De

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Bb | numeri razionali e le leggi di monotonia Applica la legge indicata negli esercizi sotto alle seguenti uguaglianza e disuguaglianze.

nt. g+1=6-p;

1,2.

dis

3+3=t E

2

Bd

1.

4_2.,.4

373

2

Applica la prima legge di monotonia, LL

Applica la seconda legge di monotonia, moltiplicando sia per un numero positivo siaper un numero negativo. pat

Applica alle seguenti uguaglianze e disuguaglianza le leggi di cancellazione. 9 _6_2 25 _ 3 1,2, 2, 4 9 I

n= 6

13

q*3t3i

2 _ 10

"I 24 231) 3

HW 4 ° I

1\ì,

.{_12

E-3

a}. 1

(01+32) ( 4 ) > (4) 5 .

2 = 1 - S4+ ; 1 3 2

9 3

Z'

5 FP 10 3. 3 6

Per ognuna delle seguenti uguaglianze e disuguaglianze, scrivi la nuova relazione che ottieni, applicando una legge di monotonia © di cancellazione, trasformando entrambi | membri come è indicato a fianco. Specifica quale legge hal utilizzato. Verifica la validità della relazione ottenuta,

ESERCIZI

suc

> - 1 =i

aggiungi 1 ;

3\/_4\_

(-3)(-3)= oc

- - < + , moltiplica per >

1.

2

5 . dividi per 3 :

5,25]

+3

> x . sottrai _>3.

2 +2= 5 , aggiungi -—L; < < 1 dividi per 2 .

ACCRESCI L E COMPETENZE

Ricavare una variabile in una formula a. Nella formula s = 2a + 3b, ricaviamo b. b. Nella formula v = + , con # 0 e v # 0, ricaviamo prima s e poi t.

* Individuiamo la strategia. a. Per ricavare b occorre «eliminare» tutto ciò che si trova nello stesso membro in cui si trova b, ossia 2a e il \

I

coefficiente 3 di &.

b. Per ricavare s dobbiamo «eliminare» f al denominatore. @EÌ Leggi di monstanio por taupuagiianro 1.

* Utilizziamo le leggi di monotonia o le regole utili. a: Eliminiamo 2a sottraendolo dai due membri

tenza lenza resta ida se

s - 2 a=9 3b,

. una stesso numero diverso de iL

Per eliminare i] fattore 3 dividiamo i due membri per 3 (seconda legge di monotonia):

s - 2 a _ 3b

s - 2a = b

LL

E:

TS”

=

p=+$-_ 20

3

b. Usiamo la regola del prodotto in croce per avere un'uguaglianza scritta in forma intera:

T=7 -

vw=;.

I n questo modo abbiamo già ricavato s: $ = v i , Ricaviamo ? dividendo i membri di vt = s per v (seconda legge di monotonia), essendo v # 0: vi b pv

124

f=

molini}

chiamo o dividiamo| dua mambrip e r

(prima legge d i monotonia):

s-20=20+3b-20 =

h*

L'uguaglianza resta valida se aggiurgiaro o sottralamo ai due membri uno

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Bb | numeri razionali e le leggi di monotonia Applica la legge indicata negli esercizi sotto alle seguenti uguaglianza e disuguaglianze.

nt. g+1=6-p;

1,2.

dis

3+3=t E

2

Bd

1.

4_2.,.4

373

2

Applica la prima legge di monotonia, LL

Applica la seconda legge di monotonia, moltiplicando sia per un numero positivo siaper un numero negativo. pat

Applica alle seguenti uguaglianze e disuguaglianza le leggi di cancellazione. 9 _6_2 25 _ 3 1,2, 2, 4 9 I

n= 6

13

q*3t3i

2 _ 10

"I 24 231) 3

HW 4 ° I

1\ì,

.{_12

E-3

a}. 1

(01+32) ( 4 ) > (4) 5 .

2 = 1 - S4+ ; 1 3 2

9 3

Z'

5 FP 10 3. 3 6

Per ognuna delle seguenti uguaglianze e disuguaglianze, scrivi la nuova relazione che ottieni, applicando una legge di monotonia © di cancellazione, trasformando entrambi | membri come è indicato a fianco. Specifica quale legge hal utilizzato. Verifica la validità della relazione ottenuta,

ESERCIZI

suc

> - 1 =i

aggiungi 1 ;

3\/_4\_

(-3)(-3)= oc

- - < + , moltiplica per >

1.

2

5 . dividi per 3 :

5,25]

+3

> x . sottrai _>3.

2 +2= 5 , aggiungi -—L; < < 1 dividi per 2 .

ACCRESCI L E COMPETENZE

Ricavare una variabile in una formula a. Nella formula s = 2a + 3b, ricaviamo b. b. Nella formula v = + , con # 0 e v # 0, ricaviamo prima s e poi t.

* Individuiamo la strategia. a. Per ricavare b occorre «eliminare» tutto ciò che si trova nello stesso membro in cui si trova b, ossia 2a e il \

I

coefficiente 3 di &.

b. Per ricavare s dobbiamo «eliminare» f al denominatore. @EÌ Leggi di monstanio por taupuagiianro 1.

* Utilizziamo le leggi di monotonia o le regole utili. a: Eliminiamo 2a sottraendolo dai due membri

tenza lenza resta ida se

s - 2 a=9 3b,

. una stesso numero diverso de iL

Per eliminare i] fattore 3 dividiamo i due membri per 3 (seconda legge di monotonia):

s - 2 a _ 3b

s - 2a = b

LL

E:

TS”

=

p=+$-_ 20

3

b. Usiamo la regola del prodotto in croce per avere un'uguaglianza scritta in forma intera:

T=7 -

vw=;.

I n questo modo abbiamo già ricavato s: $ = v i , Ricaviamo ? dividendo i membri di vt = s per v (seconda legge di monotonia), essendo v # 0: vi b pv

124

f=

molini}

chiamo o dividiamo| dua mambrip e r

(prima legge d i monotonia):

s-20=20+3b-20 =

h*

L'uguaglianza resta valida se aggiurgiaro o sottralamo ai due membri uno

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Traduci in espressione la frase: «Moltiplica la differenza fra +

€ 1 per i] quadrato di +

e dividi per il reci-

proco di 2 il risultato ottenuto.» Calcola poi il suo valore. Senzail prezzo? Kidus vuole comprare

INCA

uno scooter ibrido a rate. Può scegliere tra una soluzione in 35 rate

mensili, ciascuna del valore di 0

delprezzo di listino, e un'altra

soluzione in 27 rate mensili, ciascuna pari a =

del prezzo di

listino. Quale soluzione è più vantaggiosa? Quale frazione del prezzo di listino può risparmiare scegliendola, rispetto all'altra opzione?

Le potenze con esponente

4

ESERCIZI

inte r o n e

ativo

» Teoria a pagina ?4

Attività interattiva

‘n ‘EZTÀ Considera le frazioni: 1 + . 2, Solo per una di queste non è possibile calcolare la potenza a esponente - 2 , 1 °°

Perché?

‘EXT] Senza svolgere | calcoli, indica il segno del risultato: 1 #00

2 o (( -7)

a

|

b. (-2)-%;

)

e -(-2

(

5)o ,

d

2Lr:

e 5";

ff ( 5 ) ,

(5)

FONDAMENTALI Calcolare potenze con tsaponente negativo

q

Calcoliamo: 3

a ,

3

2

a (-3y%; b, -37%; c. ( = )

32

EER)

sd, = .

(2)

lam a r 0, br 0, N E

b. Poiché non ci sono parentesi, il segno — non fa parte della potenza:

-37=-(Lj =_1, ci

Yastormiamo subitola potenza con saponara Intero negativo in una potenza conesponente

positivo, prestando sttenzione alle perenteni a a

25 52 32 (-3) =(-3) =.

quale slala beso dellapotenza.

d. In questo caso l'esponente riguarda solo il numeratore:

1 ( 1) 32 (3) _F_11_ POE O 5

i 45

PROVA TU. Svolgi unesercizio almile interattivo per vedere se hai capito.

126

4 e L e potenze con esponente intero negativo Calcola le seguenti potenze con esponente negativo.

(27%

23

27%;

(-27%

Go

GP PO i O

cm

LE

(5)

23

27.

i

E

(E

(O

ce

E

(3)

37%;

17;

-17”?

COMPLETA

GP

ei (GY

(ea

GP

=

1

H e Lil

COMPLETA la tabella.

Go

7:

pa:

VERO O FALSO?

LL

LL Le,

|

e

at

|

3

| art | a y "

at

è

(-3) (-3) = - 2 2

a

18

-3 4

/_1PP

b.

(+-+

©

(-3P ( 3 ) :

d

(-5) =(-3)

/_1V

( 3 7 = (+3}

E

iL

QHGN=GY

me

f. s ' = ( - 1 }

E

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Calcola il

LE

vj

1}

1/12

—_

O

E

=(+3)

]

"AA

i

iL

2

[re

v]

valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle

potenze, esse

PSE

TSE

EEE

EEE

res

orse

=_

=_=

}

delle

LL

=

Ema

e 2 7 - 2 5= 2 7 - 5 9 = 22,

27°+ e

e 27:25=2°-L=

=

e 1 0 2 . 2 2 (10/2)

212,

e (27)? = 2 7 2 = 2 0 = S i

e 102:272 = (10;p f ?

2=|_j2 ==; =|_j? = I

Calcola ll valore delle seguenti espressioni applicando le proprietà delle potenze.

BU

2*:2%

s3*3637 PP

gii42,

4151-27,

=

GEE

pe

( 2 2 . 2 5 ) . 2 4]! 25,

1 8 /1PPE 1 7 a

1.33, :

[1:35]

572:5?. 519,

1.1.1)

az]

(-3P]*.

2

4054538]

FAV? /2d

(1-3): (58

(5\V° 12

(5W

GENT:

1,1 ds

] [135 16

ui

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

[(3}:(3Y7 ( I T -=#H(3Y-(2Y7 (EFFET IE

[i

3

-(y

{+7 e f f

EI

a

4

+

-(-y':32+31.(-5}+(-4) E]

{4:(-2)*:(-8)PP

(161°

[4

{{(35- 3) 2 :(3 3 1 ] . {372. 3%). 32} ' . 372

sE

i E

[27]

{GY (TP

(6

A

{P:@F]:2F(3:63 ) E ( + 3 5 ) +C°-|(-37 (37-37

E i

-Z|-(-3)°-s

[2*+(3P-($+[:[-3-l2-(3+3 +4

;

- + 3 )(37 (37+ [ 3 1 : 3 + : 0 -1-4

W

E

(3-2 E (3)-{(-3):(-2 )+(-4)]-0-5 )-1+4|

i

E (1-4) @-4 T Y-1ea(-4+4)-(-1+4)° FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE L e potenze E

A]

i

A quale valore corrisponde la potenza 572? 1 TU 8 ] - 51 o ] s1e

Disponi in ordine crescente i seguenti numeri:

cai 128

GUARDA! izi 4 questi Fai que:ti esercizi

intero negativo i

Test

[I-1-

E

con esponente

(17% 2 3 (3).

=

Dj] —25

[e]

E

numeri razionali

è

è numeri decimali

EM v e r ooraso?

ASSOCIA a ogni espressione il suo valore.

E

e |

“C R

* [(GPT-6Y

a

2.

[-(YT

“i b.

bd (5)

(=

iL

3

[(3YT

“7

a

4

[-(3Y7]

a$

a (2}:(2)*=(2}°

3

gi revqui t apidamas E A]

37°

nj

37°

ec]

37

Dj

uo

(3) = )

Ar

31

Calcola ll valore delle seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle potenze.

ET ESERC IZI

ET

| numeri razionali e i nume

ri decimali

Attività interattiva

> Teoria a pagina 98

L e frazioni e | numeri decimali

A #00

Un numero decimale è composto da 5 cifre e gode delle seguenti proprietà: .

e la cifra dei centesimi è 2; e la cifra delle decine è uguale alla cifra dei centesimi aumentata di 7;

e la cifra delle unità è il doppio della cifra dei decimi; e la cifra dei decimi è uguale alla cifra delle decine diminuita di 6; e la cifra delle centinaia è uguale alla cifra delle unità. Qualè il numero? A]

292,32

B|

292,12

Cc]

484,82

O] 696,32

Dalle frazioni al numeri decimali VERO O FALSO?

a. Ogni frazione equivale a un numero decimale.

b. R I genera un numero decimale periodico misto, c. U n numero decimale periodico ha un numero finito di cifre.

Vv] Lv] v] =

d. L i equivale a un numero decimale finito perché contiene 5 tra i fattori del denominatore 15. vi] [ e

261 A

Fra le frazioni LL igprio solo una rappresenta un numero decimale finito. Quale?

LI

129

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Senza eseguire la divisione, indica per ogni frazione se rappresenta u n numero decimale finito, periodico semplice o periodico misto.

5.

__ 3 . EF 252

1.

A

14

7

__ 3 .

Ci

150°

]

234

4

126

18:

105

35.

3. A.

281

O

9

0

7°

i

i

]

21,

1

se

Scrivi sotto forma di numeri decimali le seguenti frazioni.

|,

-__

7

1.

1.

3

1,

1.

1

si

1.

3.

©

L.,

2.

2

2

=

8.

O

7,

9.

TO

8

20’

16°

10°

9

8

7°

1.

4

1,

ll,

5î

35

11

O

3

250°

75’

Dai numeri decimali alle frazioni TEST ] seguenti numeri sono tutti ugualia 1,3 tranne uno. Quale? TT]

4

A

|

1,35

n]

1,3332

G]

100:0,013

Dj]

FONDAMENTALI T r a s f o r m aun r enumero decimale in frazione

8)

c.

ESERCIZI

$criviamo sotto forma di frazioni: a,1,04; b. 2 , 8 ; 1,4583.

a 1i , 0 4è unnumero decimale finito.

_ 26

1.04 = 1 0 4

100

7

Del nurnero decimale finite alle frazione

virgola.

25°

7

a Ald e n o m i n a scriviamo t o r e 1 seguito da tara €:

#

quente sono le cilre

la virgola.

‘po

b. 2,8 è un numero decimale periodico semplice.

Applichiamo la regola peri numeri decimali periodici: _ 28=-2 _ 28= ===.

26

|

E)

Applichiamo la regola per i numeri decimali periodi

Dai pumero decimale pariedice alla Iraziona o mdifferenza a Alnumeratore s c r i v i ala tra l numero senza virgola a le cifre che precedonoIl periodo,

ci e semplifichiamo:

* Al denominatore scriviamo tanti ? quante

Cc. 1 , 4 5 8è3un numero decimale periodico misto,

da tenti@ seguiti periodo, ciiredel lasona sono i dell'entiperiodo. le cifre quante

_

_

ST G R = 35 = 13125 — gi 1,4583 = 14583-1458 >

|

PROVA TU. Svolgi un esercizio almile Interattivo per vedere ae hal capito.

Trasforma i seguenti numeri decimali i n frazioni.

5,2%;

0,5;

0,6;

2,3;

3,2.

o

o

Dr

a

0,216; 0,218.

4,321; 0,025

| L4L*,

|i + , S l DO

O

e

o

OO DO O

O

E

O

O

A a. 0,48;

O

o

O

O

o

O

O

O

o

O

O

O

D o DO o

O

O

O

O

O

O

o

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

o

o

O

O

O

e

O

OO

e

o

O

E

O

O

O

O

O

O

OO O

e

O

OO

O

O

O

O

OO

e

o

O

O

oO apo

a

OO

SO po Ep apo mm og pom cm E

Convert the decimal numbers to fractions in lowest terms. b 2,47;

€

3,333;

d. 0,8;

e 0,2;

f. 0,41.

2 9 6 COMPLETA inserendo uno dei simboli ,=,

130

122,

2,3_12,33;

12,1_j

110,4;

0,62|_10,622;

5,02,_5,03;

2|_j0,223;

1

0,0018_10,0018.

17,5;

E

Lele

numeri razionali

e |

è numeri decimali

è

Ordina in senso crescente i seguenti numeri razionali. 1 1 7° (0,2)*; 0,2; 0,2; ( 0 , 2 ) ; 3 5

Trasforma | numeri dacimali in frazioni e calcola il risultato delle seguenti operazioni. 5.7

EI

{0,2

' 0,5,

4,9

{O, 1Y * 3,2;

" 0,01,

21,25

' 0,04:

Le)

i

(1,5)

1 , 0 9 : 0,075,

' 8.1;

sac

go

Senza trasformare | numori decimali in frazioni, esegui le seguenti operazioni. 6,2:10%.

531:10%

1,2:100;

16,3:-10;

0,1-100;

(0,1):0,0 1;

(0,1)®;

0,5:0,01; 2

sc

Lie],

3500:10%; .

7,5:10°:0 ,1;

0,1:10%,

2,6:0,01 .

LA ]+ MO E

dl

e

de ot a

dal d e

O E E D e DD D E DE o

A

DD DA DO DO D I

O

ED

DO CA D E O

O Do DE

DO o

DO D I O

DD

D O DO D o D a CA D E D O D O D I

DD

DO

e

DO A

E

DE D o DO O

E DO DE D E o

E

DO C S D E D D

DO O D E

DO

DE E

DO O

O

o

o DA D E o e

DO D I DO D O D

DE

Osserva questa moltiplicazione: 17 36 = 612. Ora scrivi il risultato delle seguenti moltiplicazioni. :

La ie)

lib

a. 1 7 : 3 , 6 = |

k

17:0,36=|

ec 1,7:360=|

|

|

d 1,7:3,6=|

Le espressioni con | numeri decimali Calcola ll valore delle seguenti asprassioni dopo aver trasformato | numeri decimali i n frazioni.

©

2,4-3,5:0,5

a

eU E

È Li

(0,3+0,35) : 5è-+0.1

|2 g i A

(2-4,5)!-8-(0,1)-!+(10-5,6:3

[1]

0,18 :0,75 + 0,7

È

35-19

i

(0,4 +) -|#- 03- (1+ 4)|- (++ ) - 3

4

(&-5):03-9|:((-5):(05-5)|

1

i

(4 -0 9 6 + ) : 4 08 3 +13 315) { $ - ( - 3 + 4 ) - AE 0 , 6 + 2 } : 3 -

12)

0,083 + 2

GE “ 0 0 - 0 9 +{}-(}+00 )-{E+(3- 0) )+85 0625+(3-3)-[3 (Gs -16 )]+ (2- 2g020 33 - 3 +o125-|s-{2 + 4 - 2 ) | + 2 - ( 2 + + + )

® -3)- (7-3 ):(3 -7)| } 2 3 - 2 - 0 8

a E |

+ +3)

1-{3d i {8-5

(35-57-35) - 2 | 3

( 2 - $ ) - 1 | + 2 - 3i - @ Yi l

0,083 + 0,8

Li: (2 - +)| 23-3 +03 5

1-3

|--è È i 2

:((0,8)7!1-(1,1)7"] 7?

(GG -3) 0 3 - 3 + 3 - 3 ) ( 2 - 3 )

-(2)

3} 05+ 091 8

13

: :

CAPITOLO 3

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

e |

1 +2):

12)

:(1,8}

-075+(2+0,1+1)

2)

08 EE {{1+0.8-(3-0.3)]: (0.17 — 3 - 0 . 2 3 ) } - 0 , 1—0,8 TEST Moltiplicare un numero per 4 è la stessa cosa che dividerlo per:

oc

A

(},25.

Li

327 O

0,4.

Le

0,5.

p

0,2.

Un bicchiere contiene + di litro di acqua. Se si vuole riempire una bottiglia da 1,5 litri, quanti

bicchieri di acqua bisogna versare nella bottiglia? Una mamma deve somministrare al figlio convalescente 150 m g di vitamina C ogni giorno. Aven-

A

"do

a disposizione compresse da 0,6 g, quante compresse al giorno deve dare al figlio? A|

U n quarto di compressa.

C|

2 compresse € mezzo.

|

Una compressa.

Dj]

4 compresse,

SI

ESERCIZI

MATEMATICA PER L’AGENDA 2030 L a classe energetica d i un’abitazione A ogni abitazione in Italia è abbinata una classe energetica, cioè un indicatore che descriveil livello dei consumi della casa grazie a un indice diprestazione energetica. Le classi energetiche vanno da G (meno efficiente) ad A4 (più efficiente). Possiamo stimare la classe energetica della nostra casa guardando le bollette. O

DR PL g e arpa ne apo

a

a am

ATTIVITÀ

I

a

o

a

mm a Oa RE

o

a al Di

o

la

E

e

a l atm lm am

o

DE DR a

E

mm a

Dm

a

a

am

a

mm dm Ea DE

a

O

E

la

a

E

dm

E

aa

O

am

a

E ap a a E

O a ag DO O O

E SP OP OP AP SP E OP e

SP o

OP O SP E 0 o

E

E o oa a

Stime energetiche Gianni vuole stimare la classe energetica del suo appartamento di 110 m?

che ha l'impianto di riscaldamento a gas metano. Consulta le bollette degli ultimi anni e stima che, in media, il consumo di gas metano è stato di 1500 m ’ nel semestre freddo e 340 m° nel semestre caldo.

a. Supponi che nel semestre caldo il gas metano sia servito solo per riscaldare l’acqua e per cucinare e che il consumo per queste attività sia costante nel corso dell’anno, Qual è il consumo di gas metano necessario per il solo riscaldamento della casa nel semestre freddo? b. Con 1 m° di gas metano si producono 10 k W h di energia. Qual è il consumo annuo di energia

(in kWh) per il solo riscaldamento invernale per m° di superficie? Esprimi il risultato con una frazione. ©.

La figura a lato mostra una classificazione approssimativa delle classi energetiche. Trasforma la frazione ottenuta al punto b in un numero decimale e usa la figura a lato per stimare la classe energetica della casa di Gianni.

E p «15 kWh/m*

x;

Disponi i n ordine decrescenta | seguenti numeri raall, -1,12;

Ln

o:

10

l-x;

0,6;

5

az:

6,6

0°

-2V3; 3 2 ;

3.

Li

2,

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE | numeri decimali è i numeri reali

GUARDA! Fai questi esercizi anche su ZTE

VERO O FALS0?

e. T non è un numero reale,

E

|< |||

c. Dividere un numero per 2 è come moltiplicarlo per 0,5, d. Ogni numero razionale è decimale finito,

o = . gue

13 |j 0 , 5

a

21040

b.

ce. 0 , 2 0 3

d. 07_]0,77777

Disponi i seguenti numeri razionali in ordine crescente: pec

3 a

= =

a

n

mn um

n

a

E

E

4:

03: o

a

Dm I

a

a

a OO

E

a o

O

E

-0,03,

025;

OO i

n

o

DO a

O

O

o

O

O

E

E

E

O

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AP E a

N

e ma pu em o o

O N

a

e

a

o

A SS

Spa O

N

a

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op

pa E

Og aa

a UO

A

Og oO N Og

A A

A

O

og SP NOR A

A

og SA

o SP ora ng o

A A

Calcola i l valore delle seguenti aspressioni.

n

(1,4)! -{1,4)5 — 1,4

I

e

1,2 — 0,3 0,6 — {1,6 :1,5)7!

fra i seguenti: VB; 772; 4/27'!; 2nm; i numeri irrazionali Riconosci

4a.

L=]

ll ASSOCIA a ogni numero reale il punto che lo rappresenta sulla retta orientata in figura. Le]

-

l.

2.

0,5:

3.

4

—{),5

R LI

P a

3

4.

pipr—_

ESERCIZI

—ib_ib

d. &

c. R

b. Q

a. P

Le frazioni e le proporzioni E

attivit interattiva

> Teoria a pagina 98

ET] vero o FALso? Se 3 : 2 = 12:8, allora:

VERO O FALSO? gOc

[ll]

a. La proprietà fondamentale delle proporzioni discende dalla definizione di frazioni: proprie.

vj

a 2:3=12:8. b. 3 : 2 = 8 ' ! 1 2 .

LE

improprie. vj LF i equivalenti b. Nella proporzione 3 : 2 = 12: 8 si ha che:

iL vi

[e

e 5:3=20:12.

vj

LF

d. 3:12 = 2 : 8 .

vj

LE

i

3 è un estremo.

U

2 è u n antecedente.

VILLE)

8 è un conseguente.

V|

Data la proporzione 4 :5 = 8:10, se scriviamo 10:5 = 8 : 4 , quale proprietà si applica?

22

A

Aggiungendo 4 a tutti i termini di

*“° una proporzione si ottiene ancora una proporzio-

ne? È moltiplicandoli per 4? Motiva la risposta.

LF

FONDAMENTALI R i s o l v euna r eproporzione Calcoliamo il valore di x nelle proporzioni seguenti.

9

|

a 3:8=x:20;

b. 12:x=x!13;, C. ( + + x ) : x = 2 : 1 . O

134

e

O

e n le a a

e e

O

O

SO

e

O

e ce e

o

O

o pe o

ae a

O

O O

a

a a lo

vel

a

O

e

SO

co

e

c o De c e oe oe ca e cento ant anno ceo col c o aloe ml a

a

ta suo e t

e O

+

o

po o como«aula smi sofico:l u

i

7 e L e frazioni e le proporzioni

a

3 8 = x : 20

) proprietà fondamentale

Box = 3 : 2 0

) 2" legge di monotonia:

(3+x)-«|:x=(2-3):+

1.

3a: Ir

dividiamo | due mambri per 8

3.L u

= *=-7 b. 12:

= 15 =

xi= 1 2 : 3

2° legge di manotonia: dividiamo | due membri

=

i

=

5

2

9

5 proprietà fondamentale

x=x}3

|

c 4 + x ) : x = 2 : 3 ) propdetà dello

EGY Propriotà ioodamentala: E

p e r3 1.9

—- x!=36 — x = 6

X=15

_ 1

1

5

57-15" 9 - 2 7

J PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per v e d e r see hailcapito. Hisolvi le seguenti proporzioni, applicando le proprietà necessarie.

6:16 =x:40 L i l+

LI I]

5:x=10:20

uu

x:75=3:x 2 1.1

a

x:3=(2+x):4 Su

(F+x):x=3:3

x:7=28:4 bt

(x+6):6=x:3

4:x=x;4

L_1+1+]

1.1 ss =

e

I

35:55 = 7 0 [ x

7:

_/1

-) 3 - ( 5—_-x|.x

—_—_—_—_—_—_—_———_—_—————————— — —————_—_———— —_—_———————— ————

=

—a

45: 3x=x 6 0

N

+ 3 = 6 + 2 0 : 75

mr.

I

xi:

]

ò

=(6+2x):

———— n —— ———— ——————————

a

e

e

Mi:

Calcola Il medio proporzionale tra | numeri assegnati.

3566 e 54; i

i

uo

8 _ 2

e des

;

E

2,88 e 2,42.

357

5 1 BAL J e

7

; 3 , 8e 15,5, (1+3)e(3-27) i

Al quadrato Se vale la proporzione x: y = 7 : 5 ,con x*-— 3° = 864, calcola x e y sapendo che

A

x>Q0ey>0,

|42; 30]

FRisolvi | seguenti problemi, utilizzando l e proporzioni.

La distanza tra i punti A e 8 sta alla distanza tra [2]

°°

i punti B e C come 4 sta a 5, Sapendo che BC = 15 cm, calcola AB. [12 cm]

In un triangolo la lunghezza della base sta a quella dell'altezza come 7 sta a 5. Sapendo che la base è lunga 28 cm, calcola l’area del triangolo, [280 cm]

E]

La somma di due numeri è 156 ed essi stanno tra

“°° loro come 5 sta a 8, Trova i due numeri, |60; 96]

Dividi il numero 600 in due parti che stanno nel rapporto 7 a 5. |350; 250]

Determina due numeri, sapendo che la loro dif(78; 24] ferenza è 54 e il loro rapporto è 3

Sbucciando un’arancia m i accorgo che il suo peso cala da 250 g a 150 g. Se le arance che erano in una *"° cassetta pesano, dopo essere state sbucciate, 6 kg, quanto pesano le bucce che sono state tolte?

dij

TEST

alskeg (nm 3skeg

Cl

4ke

D j 5kg

365 A La nonna ha messo da parte la somma di 165 € per fare un regalo ai suoi nipoti Marco e Andrea. Vuole suddividere la somma in modo proporzionale alle età rispettive dei due nipoti, che hanno uno 12 e uno 10 anni. Quale sarà la suddivisione? A]

1 0 0€ e 65 €.

|

9 5 €e 70 €.

CI

TI

90 € e 75 €.

D)]

85 € e 80 €.

135

CAPITOLO 3 dl

a

E

e d e l o lee are aio deo nre mo dee a a

e

e |

e dolo e

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

ciale mo ale l o

le ne da

o

e a e a e deo me u e ano m e m e dure aloe ala lee o a

ce

E

e

mo a a

E o

a d a a e ala alla D a ale l a

d a ala

e

a Da a

DE

a Da Da a

o

a DE aa aa

o D E D E D a a DO DO a a D e D e D E d a o a DO D a D a OO D E E o a o a DO a

a oa DA DE oa

ACCRESCI L E COMPETENZE Risolvere u n problema con l e proporzioni La ricetta per un dolce all'arancia contiene le seguenti indicazioni riguardo agli ingredienti. *

per

farina

= i

4 persone

Dogi

zucchero

e

Pili.

160 g

ele

200 g

uova

2

latte

100 m L

burro

7 1"

'

: ”

90 g ,

succo d arancia diluito (3 parti di succo ii

di

130 M L

per 7 parti d’acqua)

i

n

e-

=

a. Se vogliamo preparare un dolce per 7 persone, quanta farina dobbiamo aggiungere a quella indicata?

ESERCIZI

b. Se disponiamo di succo d'arancia diluito con acqua e di estratto d'arancia in parti uguali, quanto estratto e quanta acqua dobbiamo mescolare per ottenere 130 mL di succo alla diluizione richiesta dalla ricetta? #

Scriviamo le proporzioni.

a. Se chiamiamo f la quantità in g di farina da aggiungere, allora: (160 + f ) : 1 6 0 = 7 : 4 .

nersone faina per 4 persone

farina per

b. Se indichiamo con s la quantità in m L di estratto necessaria, possiamo scrivere:

s:130 = 3:10, rs

totale di succo diluito #

*

totale delle parti: è di astratto e 7 di acqua

Risotviamo le proporzioni.

a. (160 +f):160 = 7 : 4 — (160

+f= 160):160 = ( 7 - 4 ) : 4 -

f:160 =3:4-

proprietà dallo scempaorrta . b . s:130

5 1 3:10 5 100 = 130:3 3

=3:10

propristà fondamentale

s = 71 3 0 3 = 39 5

fondamentale le risposte. * Scriviamo proprietà

f= 1603 = 120

if

a

è gut la propriatà fondersorala. una proporzione incognite

a. La farina da aggiungereè 120 g. b. Se il succo d'arancia diluito a disposizione contiene acqua ed estratto d'arancia in parti uguali, per avere 39 mL di estratto, si deve raddoppiare la dose. Perciò occorrono 78 mL di succo diluito, che è costituito da

39 mL di estratto e 39 mL di acqua. Per raggiungere i 130 mL di succo complessivo si devono aggiungere (130 — 78) m L = 52 m L di acqua. L'altezza di un armadio sta all'altezza del soffitto come 7 sta a 10. Sapendo che il soffitto è alto 3 m, calcola °°°

E

136

l'altezza dell'armadio e la lunghezza della parete che resta scoperta.

(210 cm; 90 cm]

U n campione! U n tennista ha vinto 10 tornei. Sapendo che essi stanno alnumero di quelli non vinti come 2 sta a 17, calcola complessivamente a quanti tornei ha partecipato il tennista. [95]

a Da De

& e L e percentuali A "la

A

‘In una carta geografica è indicata scala 1: 250000, cioè 1 em nella carta corri-

°°

sponde a 250 000 cm nella realtà. Se due paesi distano tra loro 13,8 km, a che distanza si trovano nella carta?

L'’ottone è una lega composta da rame

ezinco in quantità che stanno in un rapporto 3:2,

Per il bronzo invece si utilizzano rame e stagno in un rapporto 7:3. Quanto ottone si ottiene utilizzando 4,2 kg di rame? Con la stessa quantità di

[5,52 cm]

[7 kg; 6 kg]

rame, quanto bronzo si ottiene?

Un tuo amico ti dà le dosi per l'impasto della Le

pizza per 3 persone:

A

e 500 g di farina tipo 0; 30 g d i lievito;

@

°°

e 45 g di olio; e 1dL di acqua;

Alisha vuole realizzare una riproduzio-

ne del quadro Notte stellata di Van Gogh.Il quadro originale è alto 74 cm e largo 92 cm. Nella parete ha spazio per una tela larga 69 cm. Quan-

e sale q.b,

to deve essere alta la tela per rispettare le pro|S5,5 cm] porzioni originali?

Per preparare la pizza per 7 amici, quali sono le nuove dosi per l'impasto? [1,166 kg; 70 gi; 105 gi; 2.3 dL]

”

A a

a

La pianta di un appartamento è

in scala 1 : 200 (ossiail rapporto fra una distan-

[2,4 mi; 3,4 m]

sue lunghezze reali?

°°

ENI

A passeggio Un turista sta pas-

seggiandoper una città. Consultando unamappa in scala 1 : 7800 scopre che per arrivare alla sua destinazione deve percorrere due vie. Questenella mappa misurano rispettivamente 12 cm e 14 cm. Qual è la distanza in metri che deve per-

EDUCAZIONEFINANZIARIA Due soci si dividono ° ° ° gli utili della loro società nel rapporto di 5 a 7. Se il secondo riceve 5850 € più del primo, quali sono gli utili dei due soci?

[2028 m]

Correre?

L e perce ntuali 3

6

ESERC IZI

za sulla pianta e quella corrispondente nella realtà è 3 0 0 ). Se nella piantina le dimensioni del bagno sono 1,2 cm e 1,7 cm, quali sono le

avi

[14625 €; 20475 €]

>» Teoria a pagina #9

interattiva

L'eqquivalenza tra frazioni e percentuali Scrivi sotto forma d i percentuali le seguenti frazioni.

VERO O FALSO?

a

7% equivale alla frazione e o .

vjiF

b.

+ equivale a 30%.

v]

€.

60% equivale alla frazione 5 ,

v|lF

v]

Ed LF

Perché 3% è equivalente allo

0,3%?

"°°

60%

2,

37: 3 ;

Li ci e.

ARL: 10: 25

3.

5

30: 3

Scrivi sotto forma di frazioni ridotte ai minimi termini le seguenti percentuali.

50%;

90%;

2%;

40%;

20%,

15%:

10%;

1%;

2,5%;

1,50%.

25%;

150%; 200%; 250%.

LL

( O A A quale delle seguentipercentuali equivale la frazione So? A|

>: di i 3.

d. 60% equivale alla frazione R A 376 OA

E

n]

70%

C|

72%

Dj)

80%

T=T=]

382) 4%;

137

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Quale percentuale della figura è colo-

A

pOoc rata?

A

|lele

Fractions as percentages

a. Maria gave her friends «three fourths» of A]

80%

her pizza. What percentage of her pizza did

nl 50% ci]

she distribute?

45%

b. Write the following fractions as percentages:

|

- 40%

3.

4’?

;

5.

100?’

5

dl

4

3

GOMPLETA scrivendo in ogni figura la percentuale e la frazione rappresentata dalla parte colorata.

E [=1=]

0

Mm @ | mm

ESERCIZI

HH | BB | Il calcolo delle percentuali |

FONDAMENTALI Calcolare una percentuale

10

Determiniamo il 15% di 1720. Trasformiamo la percentuale 15% in una frazione ridotta ai minimi termini: 15% = L I ué

Calcoliamo i

j5- di 1720: a ‘1220 = 3:86 = 258,

.

Partiamo dell'uguaglianza Teoria a pagina 101

Attività interattiva

VERO O FALSO?

|A

ij i a

Un valore arrotondato è sempre maggiore del valore esatto. Il valore approssimato per eccesso a meno di 107! di 3,141593 è 3,1416. 4100 è il valore arrotondato di 4125,342 a meno di 107, 375,47 è il valore approssimato per difetto di 375,485 a meno di 107!,

CI Ie lf

b. c. d. e.

|
Teoria a pagina 101

BP L'errore assoluto e l’arrore relativo

Calcola l’errore assoluto commesso nel considerare i seguenti numeri al posto dei numeri scritti a fianco di clascuno di essi.

EE

0.16

Ti

0, 167,

Ti

0,833,

è.

EE

13

13

1L34

1,3;

1,359,

1,3.

Arrotonda i seguenti numeri a meno della potenza di 1 0 indicata a fianco e calcola l'errore assoluto com-

piuto nell'approssimazione,

94,4684, 1077; gue

144

0,0174, 107%; a

29682166, 10%; 10%;

1°,

6 ; 0,00008] 2166; [0,001

107°,

4,58, 107%; > ,

1072,

[0,0004; 0,000142E57; 0,001; 0,003]

aa Da Dr

CAPITOLO 3 e

a

e

e c o gue lee doo D o a a

e

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

e doo a o cda ma ale mn ollare e

doo o

e a e g e dda me u e alte e

e

ae

e

lo

e

dla

a

e

e ae ae

n

lore t e ama lee a

e

e

o

n

gr

r e are r e u r pure uu u e gue gue olio lla D a D E D e a a DO E

D a D e a a E E D e D a o e DO D a c e

A EE De

a

O DO D a a a

a DO

a aa oa Da DE o

I l calcolo approssimato

:B

L’approssimazione di un numero aza]

e

> Teoria a pagina 101

Attività interattiva

VERO O FALSO?

|A

ij i a

Un valore arrotondato è sempre maggiore del valore esatto. Il valore approssimato per eccesso a meno di 107! di 3,141593 è 3,1416. 4100 è il valore arrotondato di 4125,342 a meno di 107, 375,47 è il valore approssimato per difetto di 375,485 a meno di 107!,

CI Ie lf

b. c. d. e.

|
Teoria a pagina 101

BP L'errore assoluto e l’arrore relativo

Calcola l’errore assoluto commesso nel considerare i seguenti numeri al posto dei numeri scritti a fianco di clascuno di essi.

EE

0.16

Ti

0, 167,

Ti

0,833,

è.

EE

13

13

1L34

1,3;

1,359,

1,3.

Arrotonda i seguenti numeri a meno della potenza di 1 0 indicata a fianco e calcola l'errore assoluto com-

piuto nell'approssimazione,

94,4684, 1077; gue

144

0,0174, 107%; a

29682166, 10%; 10%;

1°,

6 ; 0,00008] 2166; [0,001

107°,

4,58, 107%; > ,

1072,

[0,0004; 0,000142E57; 0,001; 0,003]

aa Da Dr

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

[(8,2:10*+4,8- 102} :10*]- 107%

[8,2-10%

458) (2,3:107!!) :(1,6-10%2.(1,5-10°

[3- 1 0 !

giu

Problemi S S N La massa del pianeta Saturno è 5,68 10” kg, quella del pianeta Urano 8,67 - 10” kg e quella del A pianeta Nettuno 1,02 - 10% kg. Metti in ordine i tre pianeti da quello di massa minore a quello di massa :

°°

maggiore, Risolvi | saguenti problemi esprimendo i risultati in notazione scientifica.

[2,6 - 10 s]

Quanti secondi ci sono nel mese di aprile? Oc

Sapendo che la massa del Sole è 1,99 10% kg e corrisponde a 333 000 volte quella terrestre, qual A è la massa del nostro pianeta? (6,0 - 10* kg] :

°°°

A

ESERCIZI

9°

Particelle La massa dell'elettrone è

Il latte intero contiene il 4% di grassi, di cui il

9,1. 107"! kg, Determina la massa del protone,

““° 33% sono insaturi e il 67% saturi. Quanti gram-

sapendo che è 1836 volte quella dell'elettrone. [1,7: 107°” kg]

m i di grassi insaturi sono contenuti in 1 kg di latte? Quanti grammi di grassi sono contenuti [1,3 108:1,5 1 0 ]

in 380 kg di latte?

A

Ert] 9°

La frequenza cardiaca media di una

il

”

donnaè di 80battiti alminuto. Alida oggicompie 72 anni. Calcola il numero di battiti che ha fatto il suo cuore dalla nascita a oggi considerando un

==

(= 3.0 - 10°]

i

anno composto da 365 giorni.

, >

i

W

RUS AN

166 A

zamento con un brillante di 0,87 carati (1 carato = 2 : 1 0 kg). Qual è la massa, in grammi, del

brillante?

*

"1

i!

SPA

Lea ha ricevuto l'anello di fidan-

ho

|

Che velocità! La luce viaggia nei vuoto

alla velocità di circa 300000 km/s. Qual è la distanza in metri tra il Sole e la Terra se la luce inviata dal Sole impiega 8 minuti e 20 secondi [ 1 , 5 1 0 m]

per arrivare sulla Terra?

[1,74 107! g]

> Teoria a pagina 104

Pb L'ordine d i grandezza Determina l'ordine di grandezza del seguenti numeri. 250000;

721,3:-107°;

0,003 -105,

gue

27%; 503-107;

0,035 -1072,

pit

4 6 8 892;

3227,6;

51,3-107*.

DA

5; 1,5:-107"; 75000000.

ti

17,8 10% 1023; 0,67:107°, 270) 41;

5000000;

0,27-1075,

i

420;

0,55-1077,

50100;

0,016-10%;

8,1-107,

I n d cm® di sangue ci sono circa 5 - 10° globuli rossi e i globuli bianchi sono lo 0,2% dei globuli

rossi, Calcola quanti sono i globuli rossi e quanti i bianchi in due litri di sangue. Esprimi i risultati in notazione scientifica e indica l'ordine d i grandezza.

146

2:104,

Le

475] O A 2

27; pu

gut

(1: 10/13,10/3 2 - 101%,101")

10 a D O D E D a DD D a E SD ola D e r e d o D e ala dle dre D a doo mule ole D e D a ale E

l a D e mme alate ome a l .

o d e ma ale a

E

e

aa cioe

e

L a notazione scientifica e l'ordine d i grandezza

l o m e leo n e o

e

e

e e o o dle a e dere ole D o lee ole a

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE l l calcolo approssimato, la notazione

e

mo e ale a

dre e cino ale ola E dela allo lee e e ala o e

Test

e

ca

a ue

e a e dia a

e

e ca

o

e u e dio

a

e

ae

a

e a e alare mule

GUARDA! Fai questi asercizi

scientifica e l’ordine di grandezza

MH

a

anche su ZTE

Qual è l'arrotondamento a meno di 1 0 7 del numero 3254,126?

#6

A|

3300

|

3254,13

B|

3200

Dj]

3254,12

VERO O FALSO?

Considera il numero V 3 = 1,73205...

b. L'arrotondamento ai millesimi è 1,7320, €. L'arrotondamento a meno di 107% è 1,7320. d. L'approssimazione per difetto a meno di un centesimo è 1,72.

ujijnjiniia

a. 1,73 è una sua approssimazione ai centesimi. |||

O DO E oe

ip

a

Considera i seguenti numeri e i loro valori approssimati in rosso. Calcola l'errore relativo percentuale. Lele]

65,13, 65;

E

4480, 4000;

0,03486, 0,035;

173,4, 170.

Dati i seguenti valori approssimati e i rispettivi errori relativi, calcola gli errori assolutidi approssimazione. 0,1,

e = 0,08;

3,25,

e=0,14;

— 15 800,

e = 0,5%;

100 000,

e = 3%.

i: i

TEST Quale tra le seguenti misure è la più precisa? #06

Si

a

A]

5,2410,2

a]

12,411

B|

283 + 5

Dj)

100 + 2

A

Quale tra le seguenti espressioni ha lo stesso valore di 8,35: 10%?

A]

83,5 10°

B|

8,035: 10*

|

0,835: 10*

DD]

0,835: 10?

Determina il valore della seguente espressione ed esprimilo in notazione scientifica. (2,35 -107?—5,7:107):2-105:1,78 107?

Determina l'ordine di grandezza dei seguenti numeri. a. 1634-1075;

E

A

b. 7,12:107!;

4 "I

&

0,073;

d. 0,298-10°,

Una formica ha una massa di circa 107! kg. Sapendo che una molecola ha una massa

dell'ordine di 107°" kg, di quante molecole circa è fatta la formica?

147

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

Fondamentali alla prova

GUARDA! Su ZTE questa

A FRAZIONI EQUIVALENTI Associa a ogni frazione la frazione equivalente.

1. 30 ‘ ‘45

2

a

3. 24 ’ 32

‘7 0 b. 32%

25 +=

a

3

Osserva l a retta orientata i n figura. < | |4

n}

‘ER

m#4;

Tra le seguenti uguaglianze una sola è esatta. Quale?

EM i

E4e4

pda

EC divisione (2 ) " ' (3).

ngi

mi

Una sola, fra le seguenti espressioni, non è equivalente alla divisione data.

uale?

5

(5) -G)

:G)

(E)

( 1 :(5)

a

5)

(3)-(5}

Quale fra i seguenti valori è il risultato della potenza ( - 3)7*? A]

-+

|

—9

c| 9

5]

è

Rappresenta su una retta orientata i seguenti numeri. a

2,5;

+ 3 : +3ì

35

+ 3 5 ; 22,6;

+4; G i

+th4;

+

Calcola ll valore delle seguenti espressioni. Applica le propristà delle potenze ovunque è possibile.

(@+2)-6+3)+(3-)]+(3-)

2

EI +i-3)+5 2-25)

E (1-3) 3-1-1.i2.(1+1)-4|+1-2+6 A {G-è):@-23)-3) 2-8} 2-2-(8-2) I -2+3-l1+3-(3-)+2-0-12)]-3)

a

(+ 5)

@+3-)+è)}:-2+C2+3)

7

4]

v , I

4

VERIFICA DELLE COMPETENZE

Una sola di queste relazioni èfalsa. Quale? Le

CAPITOLO 3

e |

NUMERI RAZIONALI E | NUMERI REALI

K I { ( ( & - # ) -(1 +3)

-i

(-1 2)- 1}

+37 - 6 ) ]

i

(3 -3 ) -@ -- G )+ 2 ): 3 )+ 4 }

Ha (-21:(4-3F0):0-4)])

i

E 23 -23 : (2-[3-0+37-873

+

(-E)--E7-):($)-0+3)[ +1+(3)

H

Traduci In espressioni le seguenti frasi e poi calcola ll loro valore per | valori delle lettere indicati.

del cubo di ce».

E X «Esegui la divisione trai è di a e la differenza fra i 72 del quadrato di bei

7

7

2

3

_1 - di b, e poi a g g i u nilgquoziente i tra il quadraLe

VERIFICA DELLE COMPETENZE

to di a eb». a = 3 , b = = .

[ia (22-38) +a':b5- 3]

I numeri decimali e reali Scrivi quale tipo di numero decimale {finito o pertodico) generano le frazioni, senza eseguire la divisione.

1.2

I

Li

2a PP E

O S E PRO PRO S O PE

HH.

F O DO DO E

E

1,

DA DO OO

dd,

3.

O OP DO OE OP D O CO DO OE NOA DO DO I

5

DO PO DO OO O

o 2a

5’

o'

PILA

pi

10

LE

PO DR DO DO O

DO D + S O DO R A DO O

i:

57.

SO A P DA DOP OE E OP NP SIE DR A DUO O

3.

O

4.

OO D O OO N E DO DO DO OO R P PO O

5,

O

DO

O DO O

8,

32

3:

53:

FE

Fi

EL

3:

S P DO D O DO O S P

O D E DOP O

O

E DOP DO O

DO o

o

n

Calcola i l valore delle seguenti sspressioni.

7]

3,5-2:2,8:(1, 3-10y"

(4)

[7

038:1,18

4

[(0,28)* : (0,4)? : ( 3 }

si

{[(0,8)°- (0,5)*] (0,6)%} 5° +

+

Ordina i seguenti numeri reali i n senso crescente. 20

—{, 376;

gi

3

ri

n

2

3

va

2-

1

2771-37,

|

30

0,43;

I:

17

:

Li

Tr

22-11.

Proporzioni è percentuali TEST

S e x : y = 5 S : 2 e x + y = 14, allora:

gue

TEST

Devi calcolare il 25% di 36. Come fai?

25

gb

A|

x=l0ey=d,

oO

x=7ey=7.

Al

DB

x=S5Sey=2.

Dj]

x = 4 e y = 10,

P

25

1

3 g ‘T00 as. D o

Cc]

36:05

D

as. 100

Risolvi le seguenti proporzioni, applicando le proprietà necessario.

3 - x | ) .i x = x1: . 1 E3 3 (3- Esercizi a pagina 185

I I

DEFINIZIONE

i

Dati gli insiemi A e B , con B E A, l'insieme complementare di B rispetto ad A è 5. Lo indichiamo con B , . A-

W

EseRcIZIO

| Rifletti sulla definizione di | complementare I un esempio di due insiarni Fai I i A e & per cui sia possibile |

definira il complementare di

[|

È rispetto ad A e di due peri

|

quali non sia possibile farlo,

I

TEORIA

VW ESERCIZIO

I [|

IP |

ESEMPIO Se A è l'insieme delle lettere di una parola e B quello delle sue consonanti, B , è l'insieme delle vocali della parola.

I I

QQ esErciz IO Verifica la proprietà

I i

Dati A={1,2,3,4.5, 6) e

Il complementare di un insieme può essere vuoto. È sempre vero infatti che A , = 2 . & = { 2 , d, 6}, verifica cha I I 2v B n E al [LÌ Spesso gli elementi degli insiemi vengono scelti fra quelli di uno stesso insieme, quale viene dato il nome di insieme universo. I n questo caso, se vogliamo indicare ‘II e. Il complementare rispetto ad A di Ba è 8. ll complementare di A rispetto all'insieme universo, scriveremo semplicemente A . II |

I | ESEMPIO Se l’insierne universo è N , allora il complementare dell'insieme dei

numeri pari è l'insieme dei numeri dispari: P = D .

I I

I [| I

IDEE PER LE COMPETENZE

LI I

insiemi e gruppi sanguigni

Le trasfusioni non sono sempre possibili: èindispensabile che ci sia compatibilità tra il gruppo sanguigno

del donatore e quello del ricevente. Con gli insiemi e le operazioni tra questi, possiamo creare un modello e studiare le varie compatibilità.

La popolazione mondiale può essere suddivisa, in base ai gruppi sanguigni, nei seguenti insiemi: A+,

A”,

B+,

B-,

AEB+,

AB-,

+,

Ù-,

] gruppi si distinguono per la presenza (o assenza) d i specifiche sostanze,

dette antigeni, sulla superficie dei globuli rossi. A eproducoLe persone del gruppoA presentano suiglobuli rossil'antigene no anticorpi contro l'antigene B. Le persone del gruppo B, viceversa,hanno l'antigene B e producono anticorpi contro l'antigene A. Le persone del gruppo A B presentano sia l'antigene A sia l’antigene B e non producono anticorpi né contro A né contro B. Le persone del gruppo zero non hanno né l'antigene A, né l’antigene B e producono anticorpi contro entrambi.

16 0

4 e Le operazioni con gli insiemi La trasfusione di sangue è possibile se e solo se il sangue della persona ricevente contiene tutti gli antigeni presenti nel sangue del donatore. La compatibilità deve valere anche per il fattore Rh, che è un altro antigene: una persona Rh-positiva non potrà mai donare il sangue a una persona Rh-negativa. Nel diagramma di Eulero-Venn sono rappresentati i seguenti insiemi: * U = {x | x è una persona}; e

P = { x E U |x ha l’antigene A};

Q = { x € U | x ha l'antigene BH; e R = { x € U | x ha l’antigene Rh}. è

Per approfondire il legarne tra antigeni e gruppi sanguigni possiamo osservare, per esempio, che: e l'insieme PA Q ha per elementi le persone che hanno gli antigeni A e B, ovvero di gruppo AB; ® {PA Q) — R corrisponde alle persone di gruppo AB che non hanno il fattore Rh, ovvero di gruppo AB-. I donatori universali (che possono donare il sangue a tutti ma possono riceverlo solo da coloro che appartengono al loro stesso gruppo) sono le persone che sui globuli rossi non hanno né A, né B, né Rh, ovvero sono

gli elementi del complementare dell'insieme (PU QUR), cioè U-(PUQUR). Si tratta dell'insieme delle persone con gruppo sanguigno 0-. I

ne a

ul

me doo eno e

a

o

or oo o ae nl

e o

o

re slo u o ue re alle ome n r alte o e o a d e r e n d o

dee a o

a e ele aio are a nel cele e na ae A cale l e a

om aloe l a D r alle ale D o ndr ole l e dia ele l e a e ala a r dle o m l ale dee ala ele md e celo ere l e mele a e ale a ole a o

t o DE

e ia

o

Scrivi le espressioni che rappresentano gli insiemi corrispondenti ai gruppi sanguigni AB+ e B+.

b Ill prodotto cartesiano I n una classe, gli studenti e le studentesse sono seduti ai loro banchi disposti come nella figura. | Per determinare a caso chi interrogare, l'inse-

> Esercizi a pagina 185 sa,

[1:4] pr

gnante estrae due numeri: il primo indicherà in quale fila verticale si trova il banco del sorteggia-

Lu]

to, il secondo in quale fila orizzontale. Ognuno

=]

è quindi individuato da una coppia di numeri.

Nella pianta della classe la coppia (2; 3) non indica lo stesso studente o studentessa della coppia (3; 2). Inoltre, mentre ha senso parlare della posizione (2; 4), il banco in posizione (4; 2) non esiste,

TEORI A

die d e

LI

pe 2.3 E] =

Ex]

22)

Eri

affi. 2

ati

EX |

ln

Il primo numero si sceglie nell'insieme A = {1, 2, 3} e il secondo nell'insieme B = { 1 , 2 , 3 , 4}.

Indichiamo ogni possibile coppia mediante i due numeri, separati da un punto e virgola, scritti fra parentesi tonde. In queste coppie di numeri è importante l'ordine. L'insieme delle coppie viene indicato con A x B e si chiama prodotto cartesiano

DEFINIZIONE

Si dice prodotto cartesiano di due insiemi A € B, considerati nell'ordine, l'insieme di tutte le coppie ordinate in cui il primo elemento

appartiene ad A e il secondo appartiene a B. Si scriveA x B e sì legge «A p e rB» o «A cartesiano A».

————

}

degli insierni A e 2. A xH

i

uisten t o

rm

The product of set X and set Y is the set that contains all

ordered pairs lx; i for which x belongs to X and y to Y.

I n simboli:A X B = { x y|x Esercizi a pagina 197

a

tautologie

a

O Le

De

a

a

Notiamo che le colonne di A AB e AV

Verifica la seconda legge di

De Morgan con une tavola di

H

v

M

Mediante l'equivalenza di espressioni logiche possiamo scrivere le proprietà di cui

della disgiunzione:

(AAB]AC=AMRM{BAC}.

(AVB)VC=AV(BYVC),

a oa amo e

della congiunzione:

dle mo lee l a

AVB=BVA. Proprietà assoclativa

e

AAB=BAA. Proprietà associativa

a

della disgiunzione:

o

Proprietà commutativa

della congiunzione:

ne

Proprietà commutativa

olmo alma alle l a ala are ale a

ee le

o

godono le operazioni logiche,

o lola l o

O L e proprietà delle operazioni logiche > Esercizi a pagina 196

i

CAPITOLO 4 e GLI INSIEMI E LA LOGICA

o

a

Proprietà distributiva della congiun- | Proprietà distributiva della disgiun-

oo o

o

l o iero l a

e

o na

o

cl

ml

zione rispetto alla congiunzione: (A VB) A A VCO). AVIBAC)= Idempotenza della disgiunzione: AVA=A.

zione rispetto alla disgiunzione: A A(BV C) =(A AB) VIA AC). Idempotenza della congiunzione: AAA=AÀ.

o

o

o

Negazione della negazione: A = A.

a

o

AAB=AVB; 2 AVB=AM3B.

O DO

Leggi di De Morgan: 1,

A a DA a

B:«Roberta canta»,

AMB

Appilca la seconda legge di

De Morgan combinando gli

A DA

e

L’enunciato «Non è vero che Roberta dipinge e c a n t a

A De

TEORIA

A: «Roberta dipinge»,

a

| ESEMPIO Applichiamo la prima legge di De Morgan agli enunciati:

a

P

W ESERCIZIO Utilizza la seconda legge di De Morgan

A DO D a O DO

a

a scacchi».

a

E

Y

a mola molo cla l a l a

Essendo un'equivalenza fra espressioni logiche, ognuna delleproprietà che abbiamo elencato può essere verificata con una tavola di verità.

A: «Christian gioca a pallavolo», &: «Christian gioca

a

A

a

equivale a: «Roberta non dipinge oppure non canta.» 7 Li T

A

E | AnB | ANE

a

i

v

F F

F Li

Yy

F

F

F Vv

F

Li

Vv

F

F

V

a DO

F

F

V

Li

F

Li

QQ EserRcIZIO Verifica la seconda lagge di

De organ M

a

a

a

a

O DA

Yv Li

a DO D e

a a

A

n

a

o

I È ESEMPIO Verifichiamo la prima legge di De Morgan. Compiliamo la tavola di verità.

AAB=AVB. !

O O

sono uguali, quindi

verità.

O a O DO a o

|

170

a O DO D e A Da O

_A

A_|

AVA

a a o a le dre

Poiché A V A risulta sempre vera, si tratta di una tautologia.

e

La proposizione A Y A risulta sempre vera, quindi è una tautologia. I | ESEMPIO Nella proposizione «La bottiglia o è aperta o è chiusa» poniamo A: «La bottiglia è aperta». Possiamo allora formalizzare la frase in esame con l’espressione AVA.

o DO D a

a

Una proposizione composta è una tautologia se risulta semprevera, qualunque | valore di verità si attribuisca alle proposizioni elementari di cui è composta.

o DO

DEFINIZIONE

A

A DO

Frasi del tipo «Una linea è retta oppure non lo è», «La bottiglia o è aperta o è chiusa», «Se sono sveglio, allora non dormo» ecc. sono, senza alcun dubbio, sempre vere.

O Da Da O

> Esercizi a pagina 197

a

tautologie

a

O Le

De

a

a

Notiamo che le colonne di A AB e AV

Verifica la seconda legge di

De Morgan con une tavola di

H

v

M

CAPITOLO 4 e GLI INSIEMI E LA LOGICA

a a O

* «Se non hai il biglietto

DO

a

a

ragionamento applicati scrivendo ognuno di essi in forma simbolica.

a O

le», B: «Un triangolo ha due angoli congruenti», e l’implicazione A — 8 ,

O

O

a O

Lo schema generale del ragionamento, detto modus tollens, è:

A DOO D a a

oppure

A

e

l:

a

AB

a

a

|

O

«Non prendi la multa,

quindi hai I l biglietto dell'autobus.»

* «Se arrivi in ritardo, non entri a teatro.» «Arrivi In ritardo, quindi non entri a teatro.»

O

o

A

dell'autobus, prendi La multa.»

a

lo

a

a

a

a

a

a

a

mn n )

lo co l o omo l a

a

L a logica e gli insiemi

Gli enunciati aperti

> Esercizi a pagina 199

Li Ri

a A a a a a a D E DA a a A a a a O a a O O a: a O DA a O

Per semplicità, gli esempi che proporremo contengono una sola variabile. Indichiamo un enunciato aperto con una lettera maiuscola dell’alfabeto, seguita dalla variabile scritta fra parentesi, per esempio A(x), B(y), P{z} ecc. A x ) sl legge «A di x» e indica che A varia i n funzione di x, in quanto il suo valore di verità (V o F} dipende dal valore dato alla variabile x.

e

Per esempio, «a èminore di b», con a e b € Z, è un enunciato aperto con due variabili.

A

a

a

A

Un enunciato che contiene una o più variabili, ognuna con valori scelti in un | determinato insieme, è un enunciato aperto o predicato. |

E DA

a

DEFINIZIONE

a DA e

a

dominio. Nel nostro esempio, l'insieme universo è Z . Per esempio, se sostituiamo il valore —3 l'enunciato è vero, mentre se sostituiamo i l numero +5 l’enunciato è falso,

a

A

Consideriamo l'enunciato «x è un numero negativo», in cui x è un numero intero, Non è possibile dire se questo enunciato è vero o falso fino a quando non si attribuisce alla variabile x un valore scelto in un determinato insieme universo o

a

a

e

Bb

aa a

a

)

I a a O a

> Esercizi a pagina 199

a a A a a a A I

i

a

vero l'enunciato.

O

'

DEFINIZIONE

Dato l'insieme universo U e un enunciato aperto A(x), con x € U , chiamiamo insieme di verità A il sottoinsieme di U degli elementi che sostituiti a x rendono

O

O

a

P_ G l i insiemi d i verità

a

e

A

B(y) è un enunciato aperto, perché contiene la variabile y; l’insieme del numeri naturali pari è l'insieme universo.

A

a

a

a

| ESEMPIO B(y): «6 è divisore di y» (con y numero naturale pari).

I

I

n

TEORIA

a lla m l

o

la

e

a

o

non appartengono all’insieme dei

Individua, fra | seguenti, gli insiemi matematici. gu

d -1_JQ

cc. —7 appartiene all'insieme dei numeri interi;

"MI

a. i ragazzi della tua classe il cui nome inizia con la lettera M. b. le montagne alte del Piemonte.

ESERCIZI

COMPLETA inserendo E o @. [1-12]

È un insieme matematico: « | | Teoria a pagina 173 TEST Osserva il diagramma di Venn i n figura.

P | connettivi logici e g l i insiemi VERO O FALSO? Considera due enunciati aperti

Ax} e B(x) definiti sullo stesso dominio U e

2°

“°° La parte colorata corrisponde all'insieme di

aventi, rispettivamente, insiemi di verità A e 8.

verità di:

L’insierne di verità di: a. A x ) AB(x) è A U B .

iL

2)

A(x)AB(x).

b. A(x) VB(x) è A U B . Cc A(x) A B ( x è ) A - B.

vr

5]

A ( x )A B(x).

A{x)A B(x).

Y]

LF

C|

d. A(x) è Au.

v]

Le

ol

e. A x ) è Ap.

v]

A (e)

/

\

-

ABl{ x}.

AEG

FONDAMENTALI Determinare l’ingieme di verità Consideriamo gli enunciati aperti: Ax}: «x è un triangolo isoscele»;

)

L'insierne di verità di: q * Abd è A = {xt All è verah: * Alxl è A;

|

x

B(x): «x è un triangolo rettangolo»;

ÀP a .

n

C{x): «x è un triangolo equilatero». Stabiliamo un insieme universo U e rappresentiamo con un diagramma di Venn l'insieme di verità di ESERCIZI

ciascuno del tre enunciati aperti e degli enunciati: A(x}; A(x)A B(x).

Stabiliamo che l’insieme U è l'insieme dei triangoli, A è l'insieme dei triangoli isosceli, B dei triangoli rettangoli, C dei triangoli equilateri. A (x) ha come insieme di verità l’insieme A, cioè il complementare di A rispetto a U (figura a). A (x) A B(x) ha come insieme di verità A 1 B (figura b). U = [triangoli]

U = triangoli}

ANNE:

E

A l x }A Blix} vera A : Alx} vera

a

A

b

h i PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

2 1 0 Determina gli insiemi di verità di A(x), B(x), A (x) V B(x) e A (x) A B(x}, con A x ) : «x è un multiplo di 4» “e

B(x): «x è u n numero pari», nell'insieme U = { x E N | 4 Esercizi a pagina 238

* DEFINIZIONE

I

Una relazione definita in un insieme è una relazione di equivalenza se è riflessiva, simmetrica è transitiva.

x N y — x è parallela ay è di equivalenza, perché è riflessiva (ogni retta è parallela a se stessa), simmetrica (date due rette a e b, se a / b, allora b// a) e transitiva (date tre rette a, b ec, se

a / b e b / c . allora a /7/c).

Y EsERcIZIO Rifletti sulla definizione Verifica che le seguenti relazioni definite In N non sona relazioni di equivalenza:

a. x Di y — x è divisore di yi bh x p - _ x + y

2 10,

Alcune relazioni di equivalenza definite in un insieme di persone sono:

Quali propriatà non sona

* «a è nato nello stesso anno di b»;

verificate?

e

«aq è alto come b».

Mediante una relazione di equivalenza si può ottenere una delle possibili partizioni di un insieme.

I | ESEMPIO Consideriamo l'insieme A rappresentato in figura e la

relazione R : a ha lo stesso numero di lati di b. Questa relazione è riflessiva, sim-

metrica e transitiva, La relazione A è quindi una relazione di equivalenza. Possiamo perciò suddividere gli elementi di A in base al numero di lati in quattro sottoinsiemi, ognuno contenente elementi fra

»

PL

Clasgi d i aguivalenza

e Insieme quoziente Nel video consideriamo

l'insieme A dei poligoni dell'asempio e definiamo su di esso dua ralazioni di equivalenza.

loro equivalenti. Ogni sottoinsieme non è vuoto, i sottoinsiemi

sono a due a due disgiunti, ossia non hanno elementi in comune, e la loro unione coincide con l'insieme A. La relazione di equi-

valenza ha generato una partizione dell'insieme A. Ognuno dei sottoinsiemi della partizione è una classe di equivalenza e si può prendere un suo qualsiasi elemento come rappresentante della classe. L'insieme i cui elementi sono le classi di equivalenza si chiama insleme quoziente dell'insieme dato rispetto alla relazione data. Dunque l'insieme quoziente è un insieme di sottoinsiemi.

213

TEORI A

IP | ESEMPIO Nell'insieme delle rette di un piano, la relazione

a leo a la a o e

Il passaggio dall'insieme iniziale all'insieme quoziente avviene attraverso un procedimento di astrazione. Vengono «dimenticate» le caratteristiche particolari di ciascun oggetto per considerare soltanto la proprietà individuata dalla relazione di

i

o

CAPITOLO 85 e LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

tizione, abbiamo ottenuto una classificazione: ogni classe è u n insieme d i elementi

DO a O

A

a

O

equivalenti.

A DO. O

Se dividiamo gli elementi di un insierne in base a una proprietà che genera una par-

De Da

a

a

equivalenza: nell'esempio precedente, il «numero dei lati».

a De a

della figura. L’insierne rosso è l’insieme quoziente, 1 suoi sottoinsiemi sono le classi di equivalenza e, per esempio, da questo punto di vista, un cane e un

a DO Da

a

ESEMPIO Gli animali vertebrati possono essere classificati con la partizione

O

Pl

a

a DO

a

a Da

A

e

gatto sono equivalenti, perché entrambi sono mammiferi. Proprio perché la classificazione deve essere una partizione, essa si basa su criteri molto rigorosi, in modo che u n animale possa appartenere a una sola classe. Per esempio,

mammiferi

a

a

a DO Da

a

a DA

e

avere le ali non è una condizione sufficiente per affermare che un animale è un uccello: il pipistrello ha le ali, ma è un mammifero,

O Oa Da O

O

COLLEGAMENTI MATEMATICI

)}

animali vertebrati

o O

De

a

Consideriamo la definizione di frazioni equivalenti che hai studiato:

O O

D a DO O

«Due frazioni + e P i sono equivalenti se e solo se ad = be»,

157 207

a O

O

O

De

O

A DA D a

A

A DO

a

perché ognuna delle frazioni equivalenti rappresenta il numero razionale della classe considerata. Per questa relazione, l'insieme quoziente è l'insieme dei numeri razionali.

e

>»Esercizi a pagina 240 o lola l o

L e relazioni d’ordine

a a a ale

‘BB

a

O Da

a

o

a

a

Ordine largo e ordine stretto

a

i

O DO

]

214

Da O a a O Da O a pleno alba l a

* antisimmetrica (presi due numeri diversi x è y, se x è multiplo di », allora y non può essere multiplo di x); a transitiva (se x è multiplo diy e x è multiplo di z, allora x è multiplo di z; per esempio, s ex= 2y e y = 3z, x = 2 : 3 z= 62).

O

O

e riflessiva (ogni numero è multiplo di se stesso secondo il fattore 1};

Da

è di ordine largo. Infatti è:

O

I i ESEMPIO Nell'insieme N dei numeri naturali, la relazione «x è multiplo di y»

O

E

o

a

metrica e transitiva.

a

a

Una relazione definita in un insieme è di ordine largo se è riflessiva, antisim-

a DO

DEFINIZIONE

ESERCIZIO Determina l'insieme

quoziente

A a A a D a DA DA D e

57107

a O

_ 1 2 _ 16 _

a D O DA

4 _ 8

A

Questa è una relazione di equivalenza perché è riflessiva, simmetrica e transitiva. Questa relazione di equivalenza genera una partizione di (4; ognuna delle classi di equivalenza è un numero razionale. Per esempio, scriviamo

ere ul

TEORIA

O

Una relazione di equivalenza nel numeri razionali

Verifica se le seguenti ralazioni sone di equivalenza e, i n caso affermativo, indica

le classi di equivalenza e

l'insierne quoziente,

_I stan nalle stessa via di y; b. InN: a & b è ha lo stesso numero di cifre di b.

DEFINIZIONE

Una relazione definita in un insieme è di ordine stretto se è antiriflessiva, an-

MO DE

fisimmetrica e transitiva.

O DO DA DE D O O O

DE

4 e L e relazioni d'ordine

SOA 0

O

| ESEMPIO Nell'insieme degli studenti di una classe, la relazione

I

a SP 0

0 0 OP a

riflessiva o antiriflessiva.

0

Osserviamo quindi che l’ordine è largo o stretto a seconda che valga la proprietà

o

a

|

ESERCIZIO L e relazioni Riconosci aoo d'ordine large n

Stabilisci se la relazione

delinità sull'insierne delle pagine di questo libro: a Ri b = a ha meno parole di b è d'ordine, spacificando se largo a stretto.

Se nell'insieme A consideriamo invece la relazione Ra: «a è divisore di b» non è

OA S o O DO R e O O + O OA RO O O A So A P A OA O A D A MO DO D O A DA DO A DO OR

a

possibile confrontare fra loro tutti gli elementi. Per esempio, 2 non è confrontabile con 9. R , è quindi una relazione di ordine parziale,

I

ESEMPIO Nell'insieme A = {2, 3, 4, 9, 36} la relazione R , : a < b è di ordine totale perché è possibile confrontare tutti gli elementi dell’insieme tra loro.

O

ziale.

D a Ro DO RA O

Una relazione d'ordine che non è di ordine totale si chiama relazione d'ordine par-

a OP SO O

ES MATEMATICA PER IMMAGINI

coppie di numeri che non

possono essere confrontate. Far esempio, 5 e 7, infatti 9

non è multiplo di è è 9 non è multipla di 5,

PO D A S O O O O DO S A + O DO e

R,

DO SOA PO I S P OP SU SO OA OP D E O A RO E O

-

O

3%

+

Nelle figure a lato sono rappresentate le relazioni

G, e R.; dell'esempio precedente. Se gli elernenti risultano allineati, la relazione è menti è di ordine parziale,

osservare che è di ordine

parziale, perché ci sono

OO

3%

+

rispetto al verso indicato dalla freccia.

di ordine totale, anche detto ordine lineare, altri-

Consideriamo nell'insieme N la relazione: x R y = x è multiplo di Abbiamo già visto che è di ordine largo. Possiamo anche

O SU O

A, 2349

con dei punti, che congiungiamo con dei segmenti in modo che se a È allora a è collegato direttamente o indirettamente con b e lo precede

Un esamplo in N

SOA 0

Ordine totale e ordine parziale Data una relazione d'ordine, possiamo rappresentare gli elementi dell'insieme su cui è definita

TEORI A

M o RO A O

relazione con è oppure che b è in relazione con a.

P_

UA PO O

Una relazione d'ordine (largo o stretto) definita in un insieme è totale se, comunque scelti due elementi distinti a e è nell'insieme, risulta sempre che a è in

A OOO SO OOO A U e O

DEFINIZIONE

E

Possiamo anche distinguere le relazioni a seconda della loro capacità di creare un ordine su un intero insieme o solo su una sua parte.

A DA N

Ordine totale e ordine parziale

A SU 00 DOO OD 0

O

DA O O

è una relazione d'ordine stretto. Infatti è: e antiriflessiva (ogni studente non può correre più veloce di se stesso); e antisimmetrica (se uno studente corre più veloce di un altro, non può succedere che quest'ultimo corra più veloce del primo}; * transitiva (se a corre più veloce di b e è corre più veloce di c, allora a corre più veloce anche di c).

O

OA

+ O

O

«a corre più veloce di b»

A

215

CAPITOLO 5 a

cla

e

a

e

a

vue a e c a u e mule o leo alla

e

e

e a

e

LE RELAZIONI E LE FUNZIONI claire mo ale n

dee e

da

o

e u e a e deo me u e ala a

dere dre ale a

ale

o D a cima E

a e ma a a

E o a D a ala a e

a alla D a ale a a d a ala

e

a Da Da E

e D a l e ole

e dle ala mule one ona olo a e lele e ala aloe ale ala dle lore E ale m a o e l e ama ale

e dae dle a a

IDEE PER L E COMPETENZE

\.

Esercizi a pagina 251

L a funzione inversa

TEORIA

Una funzione è un particolare tipo di relazione e sappiamo già che per ogni relazione è possibile definire la relazione inversa. Ci chiediamo: la relazione inversa di una funzione è ancora una funzione? La risposta è affermativa solo se la funzione è biunivoca.

Nel diagramma a frecce di una funzione biunivoca, la relazione inversa si ottiene rovesciando il verso di percorrenza delle frecce. I

| ESEMPIO Consideriamo la funzione f da Z a Z che associa a ogni numero intero il suo successivo:

y=x+1.

Questa funzione è biunivoca in quanto stabilisce una corrispondenza uno a uno fra un numero x e il suo successivo y. Infatti la funzione è suriettiva perché Ogni numero intero è successivo di un numero intero, e la funzione è iniettiva perché due numeri interi diversi sono

f-1

associati a due numeri successivi diver-

esercizio

si. La relazione inversa da Z a Z che

associa a ogni numero intero » il suo precedente x è una funzione e la indi-

Considera la funzione da R a R che à ogni numero reale

chiamo conf7!;

associa il suo triplo, Spiega

perché è blunivoca e trova la funzione inversa.

x=y-1. DEFINIZIONE Sia f: A — B una funzione biunivoca. La

funzione inversa dif è la funzione biunivoca f”!: A, che a ogniy in B associa x in A tale che y = f(x).

—_

pp

A

B

biunivoca

@&

it)

B—

L=

p—

E

Una funzione fche ammette la funzione inversaf ” ' è detta invertibile. Nota chef ” ! indica la funzione inversa di f e non H

220

-

7 * l l piano cartesiano e i l grafico d i una funzione > Esercizi a pagina 251

d i d u e funzioni

PP L a c o m p o s i z i o n e

Date le funzioni f e g, a ogni x del dominio di g associamo il corrispondente valore £g(x) e a ogni valore così ottenuto, se appartiene al dominio dif, associamo il valore

H m LISTEN TO IT

che gli corrisponde mediantef.

e

,

.

1:

N

O

composition of two

netlona f and g, such that

La funzione così ottenuta s i chiama funzione composta f * g (si legge: « fcomposto 1 glx) lies in the domaln of ffor every x in the domain of g, is £)}». La indichiamo anche con y = f(g(x)}. In modo analogo, definiamo la funzione composta g *f , cioè y = g(f(x)}). the function y = Aglx. In generale, f ° g e g f Pf

non sono la stessa funzione. In simboli f - g # g ° f .

ESEMPIO Date le funzioni f(x) = 4x e g(x) = x! + 2 , determiniamo l'espres-

sione analitica di f ° g e g f .

i

Composizione di funzioni

9

f

f

J

viveo

Considera le funzioni fix} = x?

ri

r

e g l x =l x +3 e determina le espressioni analiticha di f«qg

e gf.

fg a. Fig {xl} = 4 (x? + 2)

gf


radianti, perché: 30°: Q u a= 360°: 27 = Ung =

Un radiante corrisponde a circa 57°. Riportiamo in tabella le misure in radianti e in gradi di alcuni angoli.

Gradi

0°

30° |

45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180°

Radianti

0

n:

4

x

7

”

2

E

3

a"

5

E"

x

Gli angoli orientati Nel piano cartesiano xOy disegniamo una circonferenza con raggio che misura l e centro nell’origine, chiamata circonferenza goniometrica. Se consideriamo sull’asse x la semiretta OA, di origine O, chiamiamo angoli orlentati gli angoli che hanno comeprimo lato la semiretta OA e il secondolato ottenuto dal primo con una rotazione. Il primo lato è detto anche lato origine,il secondo lato termine.

pe |

diante

ra iù

Q e Le funzioni goniometriche Li LI Li Li

Il grafico della funzione tangente è detto tangentoide.

i

La funzione tangente non esiste per 1 XX L—_ P i

3. _ 5 3,

pn,

1 Li Li Li Li Li Li i I Li LI

ana

Li -3

e gli analoghi angoli negativi.

}

Tutti questi angoli possono essere indicati con la scrittura sintetica

31 +kx,

o

Li LI LI LI i Li LI

conkezZ,

Quindi il dominio della funzione tangente è x # + +km.

tangentolde

L

conkez.

' Li

i

Le funzioni goniometriche sa la calcolatrice Possiamo ottenere i valori delle funzioni goniometriche utilizzando i tasti sin, cos, tan della calcolatrice, che deve essere impostata su DEG quando misuriamo gli an-

goli in gradi e su RAD quando li misuriamo in radianti.

i I Li Li Li I Li Li i I Li i

LI Li Li Li Li i

I valori forniti sono spesso valori approssimati. Noi li utilizzeremo con un'approssi- Li Li mazione alla seconda cifra decimale. Li }

ID | ESEMPIO cos30° = 0,87;

sin45°= 0,71;

tan 3 1 , 7 3 .

Nella calcolatrice ci sono anche i tasti sin”!, cos7!, tan”! per le funzioni inverse. Con la calcolatrice otteniamo:

niometrica ci sono due angoli, compresi fra 0° e 360°, il cui seno è 0,5. Sono 30° e 150°,

a un opportuno sottoinsieme

in cui risultino biunivoche e

Li Li Li Li ‘ Li Li

quindi invertibili.

LI

I Li Li }

Dalla figura notiamo però che sulla circonferenza go-

Le funzioni seno, coseno e

tangente non sono iniettiva @ quindi non sono invertibili, Tuttavia, possiamo restringere il deminio di queste funzioni

È

Li Li Li Li I Li Li Li i

sin”! 0,5 = 30°,

Funzione inversa della funzioni gonlomaetriche

Par esempio, se restringiamo il dorninio della funzione

y = sinx all'insieme —40° < x < 90°, otteniamo una funzione biunivoca e invertibile, L'inversa y = s i t 'x ha quindi dominio - 1 = x y x < 1 l 1 insieme immagine —-90° x y < 90°.

}

Li Li I Li Li I I Li Li Li Li Li

La calcolatrice fornisce solo il valore 30° perché utilizza come insieme immagine di y = sin”'x l'intervallo fra —90° e +90°,

W

EsERcCIZIO Una la calcolatrice Con la calcolatrice determina: i . sin 15%: b. cop 22,5°,

LI Li Li Li i Li Li Li Li

BD L e funzioni goniometriche e | triangoli rettangoli * Esercizi a pagina 266

}

I

TEOREMA

In un triangolo rettangolo la misura di un cateto è uguale alla misura:

Li Li LI Li i I

I L]

I

e dell'ipotenusa per il coseno dell'angolo adiacente al cateto;

i

#

I

i

e dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto;

Li LI]

Li

dell'altro cateto per la tangente dell'angolo opposto al primo cateto.

| ESEMPIO Calcoliamo le misure dei cateti del triangolo della figura utilizzando la calcolatrice.

AB =

Cc

L

TB -sinACB= 12 - sin 25° = 5,07;

A T = TB cosACB = 12 cos25° = 10,88.

PF

Li LI b Li I Li Li I I L Li

12 i

Li I I}

Li LI Li I

i Li Li

'

Ci

cim i . sin Bi Ci; | : c o s a

e;= c; tan fi

TEORI A

L'insieme immagine della funzione tangente è R .

GUAR DA!

Mappa dei fondamentali

pi

rina

4

Sintesi In 7

|rReLAzIONI

__

A = { 1 , 2 , 3 , 4 } — insieme d i partenza

)

A

B ={2,4,6,7} — insiama di arrivo

B

S E A , b E B : a % b - b = za A"

relazione — i

]

AR = { ( 1 ; 2 ) , ( 2 ; 4 ) , ( 3 ; 6 ) ) SAX B

" | PROPRIETÀ DELLE RELAZIONI DEFINITE I N UN INSIEME A e Riflessiva: x‘Ax, vxX Teoria a pagina 214

Attività interattiva

TEST La relazione definita dal seguente grafo è:

TEST La relazione illustrata dal seguente grafo è: Lr

O A]

di ordine totale.

A]

di equivalenza.

Bj}

di ordine largo.

B|

di ordine largo totale.

&|

di ordine stretto.

&|

di ordine stretto totale.

D|

solo riflessiva.

Dj]

di ordine stretto parziale.

|

5

FONDAMENTALI Riconoscere e studiare una relazione d'ordine

ESERCIZI

Nell’insieme A = {a,b, c, d, e, f } è data la relazione: R = {(a; b), (a; c), (a; d),(a; e),(a; f ) , (bi d), (bi Ph(6; £)}Stabiliamo se è una relazione d'ordine e, in caso affermativo, ordiniamo gli elementi di A e specifichiamo se R è di ordine largo o stretto, totale o parziale.

a. Vale la proprietà antiriflessiva: nessun elemento è i n relazione con se stesso.

b. Vale la proprietà antisimmetrica: se un elemento è in relazione con un secondo, il secondo non è in relazione con il primo; per esempio, a 9 b ma b Ki a. &.

Vale la proprietà transitiva perché a & f, f, allora ® s e a beb e sea RcecR}, a l l o r aa Rf. e s e a t bebW d, a l l o r aa & d, e non ci sono altre terne su cui occorre verifi-

care la condizione della proprietà transitiva.

Poiché è antiriflessiva, antisimmetrica e transitiva, la relazione è d'ordine stretto. Per stabilire se è d'ordine totale o parziale, mettia-

mo in ordine gli elementi da sinistra verso destra iniziando con a, che ha solo frecce in partenza, e terminando con e,f, d, che hanno solo frecce in arrivo. Gli elementi non collegati nello schema a lato (come b e c o comee, f,d) non sono confrontabili.

ed

mrzinanaa

PALA i

sz

PROVA TU. Svolgi un esercizio almile interattivo per vedere se hai capito.

c @®e n

me

La relazione è dunque d'ordine stretto parziale.

240

ere

a

—ì

e

@l

a

a Da DE oa

a Da De

4 e L e relazioni d'ordine Stabilisci se le seguenti relazioni sono relazioni d'ordine nell’iInsieme A indicato. In caso attermativo, specifica s e l e relazioni sono d i ordine largo o stretto, totale o parziale.

A = { a € N | 1 £ a < 19}, R: a R b — a è il triplo di b. sa0

A={a

di b. Teoria a pagina 226

Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni e indica ll dominio e l'insieme Immagine. -x

270 = 204

sex= 0

x-1]l

260

= le

SexZ-2

eo sx < 4

-2

sex0

a Da DE o

aa da

re

CAPITOLO 6 E

a

e

e

a a

ale a e dan d a

E

Da Da

e

LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

a alal l o D a D a cla D a ala alla a

cele D a mo olor E

olo a o e e e e a

allo ore ollare e a a ale a ala a ole

e dle l o

dae e ala ala a e l a alla M e d o

BD La proporzionalità quadratica | Ie

|
»

|

1

h t l m ale e nale care e Dime l l

92

x

|»

-1 | -2

-1 | -2

-1 | -2

o|

x

|>»

b

|

=2 - :

3

Disegna i n u n piano cartesiano | grafici delle seguenti funzioni d i proporzionalità quadratica. 2 Ot

y=x%

2759 = 4x*; 275,

*°

y=-x35

y = 3x0, =

[lea

277 i H

6x2 6x*,

=

3x?

==:

y=5 =

2xi .

y==-

Sctivi l’espressione analitica delle funzioni di proporzionalità quadratica rappresentate A nei seguenti grafici. y+

Yt

i

x

e

i

x

x

B

€

b

a

Le funzioni definite a tratti

Attività interattiva

d

> Teoria a pagina 226

Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti funzioni e indica ll dominio e l'insieme Immagine. -x

270 = 204

sex= 0

x-1]l

260

= le

SexZ-2

eo sx < 4

-2

sex0

a Da DE o

aa da

re

CAPITOLO 6

e

LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

B L e funzioni goniometriche e i triangoli rettangoli

> Teoria a pagina 22%

Con riferimento alla figura e utilizzando le misure date, determina quelle incognite, peac

b=18,

0a=27% a = ? , c = ?

6

I

[45,6°]

a=?

c=10;

b=7,

[9,2;:20,2] i

L-

pat

a=36, Q=22% b = ? , c = ? sec &

sian

=

’+

a=12,

C=

=

’

a

’

|

c = ? B=?

b=20;

ac

I

[40,9°]

a=?

55

36

a

[89,1;96,1]

h|

sin

cei

cm= i: c u a

:

i

fa

li

[23,3;59°]

Problemi S E N I La pendenza di una

strada è il rapporto tra la

All'inizio di una strada in salita viene posto il cartello a

“°° quota he lo spostamento in orizzontaleI. Seuna

strada ha la pendenza del 18%, quanto misura

lato che indica la pendenza e

gl

l'angolo di inclinazione?

la lunghezza della salita. A che altezza si arriva dopo aver percorso la salita?

t 400 m t

ESERCIZI

_———

"}

l

[10,20°]

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE Particolari funzioni numeriche

GUARDA! F a questi esercizi

e le funzioni goniometriche mm

|

none s i

VERO O FALSO?

a. Due variabili direttamente proporzionali hanno prodotto costante.

vj

b. La funzione y = L x è di proporzionalità diretta.

E

|

(59,3 m ]

|F

F

c. Il grafico di y = 4x* è una retta.

vj

d. La funzione y = > è di proporzionalità inversa.

iL

|"

ASBOCIA a ogni funzione il tipo di legame tra le variabili. 1. y=2x + 2

2. y=-—

3. y = x?

a. Proporzionalità

b. Proporzionalità

€

inversa.

diretta.

4. y = - 3

Dipendenza

d. Proporzionalità

lineare.

quadratica.

Stabilisci s e le seguenti tabelle rappresentano variabili direttamente o inversamente proporzionali e scrivi le espressioni analitiche delle funzioni.

FM. y | -2

266

a

ia

-10

14

FM. 10

|a y |

4

1

2

5

-2

-8

-10

Q e Le funzioni goniometriche TEST Considera l a seguente tabella, associata a ®®°

una funzione numerica f:

x | 1 | >1 y

2

3 9 I

2

TEST Tra le grandezze x e y c'è una dipenden-

°°

R.

R-

4

x | 1

2

3

4

8

y

4

7

10

Quale ipotesi è possibile fare sulla funzione f?

E

za lineare,

|

1

Qual è la corrispondente funzione?

A]

È di proporzionalità diretta.

A|

B|

È di proporzionalità inversa.

BB)

&]

È di proporzionalità quadratica.

ce]

y=3x+1

Pb]

Nessuna delle precedenti.

bj]

y=3x + 2

y=3x-1

py=3x 2

Analizza la tabella per stabilire se tra le variabili x e y c'è proporzio-

x

1

2

nalità quadratica. In caso affermativo, scrivi l'espressione analitica della funzione.

y |

3

12

3

4

27

48

yi

I

Quale delle seguenti è l'espressione analitica della funzione rappresentata ° dal g r a f i cino figura?

o

TEST

Li]

_]

y=-hx

y=-

&

Lx

D

y=-

y=-8x+1

TEST La tariffa per il noleggio di un'automobile è di 10 euro come spesa fissa, più 20 euro al giorno. Qualetra le seguenti leggi esprime il prezzo totale y in funzione del numero x di giorni di noleggio?

#2

A]

y = 2 0 x+ 10

°

y= l 0 x— 20

= l 0 x+ 20

©]

O)

y= 2 0 x— 10

Problema al cioccolato Filippo prepara del budino al cioccolato e lo suddivide in porzio-

A

KI

BD)

ni da 100 g ciascuna,

a. Scrivi la legge che esprime il numero di porzioni # in funzione della massa totale + , in grammi, del budino preparato. b. Stabilisci che tipo di proporzionalità esiste tra n e m.

c. Calcola quante porzioni si ottengono da 1 kg di budino e che quantità di budino occorre preparare per ottenere 5 porzioni.

KI TEST Emma percorre, a piedi, 800 m in 8 minuti, poi si ferma e ritorna al punto di partenza in 10 minuti, *° Quale dei seguenti grafici può rappresentare la distanza dal punto di partenza in funzione del tempo tra$Corso? +diatanza {mì} BOO:

LATE

LLOTO

_

#distanza (mì BOO

+

barre

tbadr

o

I

édistanza Imi] AO

+

rritbur

+diatanza [mì

re

a00:

a

8

18 tempo [min] A

B Li

20 tempo (min)

810 tempo (min) ù

A

rerrditr

ee

ra

20 a 12 tempo [min} LL

Uno scivolo è lungo 3 metri e il punto più alto si trova a 1,5 m da terra. Determina la misura dell'angolo

*°° che lo scivolo forma con il suolo.

267

ESERC IZI

A

CAPITOLO 5

e

LE RELAZIONI E LE FUNZIONI

Fondamentali alla prova

GUARDA! Su ZTE questa

n RAPPRESENTAZIONI D I UNA RELAZIONE

Quale

delle seguenti rappresentazioni indica la relazione 3),

DI UNA RELAZIONE

muova

A

tra gli insierni A e B?

RELAZIONI DI EQUIVALENZA E D'ORDINE Stabilisci sele relazioni della figura sono relazioni d'ordine o di equi-

ON i

y

/7 Zi C

o stretto, totale o parziale.

FUNZIONE E GRAFICO Considera il grafico di y =

f(x). E LL

b. f(x} ha insierne immagine1< y
Esercizi a pagina 205 ‘

Consideriamo la moltiplicazione fra monomi: (+22) - (-7a%). Applichiamo le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione e la prima proprietà delle potenze. in modo analogo al procedimento per la riduzione di un Mmonomio a forma normale. Otteniamo:

(+20) - (-7a°) = (+2}{-7)

:

d'a?

= 140°,

Dall'esempio deduciamo la regola sul prodotto fra monomi.,

276

doi “Lan

d,

-10b%y; Tby,

CAPITOLO 6

e |

MONOMI

La somma di due monomi è ancora un monomio solo se i monomi sono simili fra loro. In questo caso, per calcolare la somma, basta applicare la proprietà del raccoglimento a fattore comune.

QQ esercizio Trova l l monomio che

esprime ll perimetro Cetermina i l perimetro di un triangolo scaleno,

REGOLA

sapendo che un lato è lungo

La s o m mdia due o più monomi simili è un monomio che ha per coefficiente la somma dei coefficienti e la stessaparte letterale,

a @ che gli altri due lati sono rispettivamente IL doppio e la ji

matà del triplo del primo lato,

I | ESEMPIO

( - 2 x * ) + (-10x*) = 5 eliminiamo le parentesi

—-2x'— 10x* =

p raccogliamo la parte letterale a fattor comune

( - 2 —1 0 )x! =

)

sommiamo | coetficienti

—12x* Due monomi simili sono: e

uguali se sono uguali i loro coefficienti;

TEORIA

e opposti se sono opposti i loro coefficienti.

Per esempio, 2a e (7 — 5)a sono monomi uguali, 2a e — 24 sono monomi opposti, La somma di due monomi opposti è 0. Come per i numeri interi, anche per i monomi possiamo eseguire la sottrazione, che

può essere considerata come un'addizione con l'opposto del sottraendo,

REGOLA | La differenza tra duemonomi èla somma del primo conl'opposto delsecondo. -

Monomi uguali e

differenza

La differenza fra due monomi uguali è D.

Anche per i monomi, come per i numeri interi, le operazioni di addizione e sottrazione si possono indicare sinteticamente con il termine addizione algebrica e il loro

risultato con il termine somma algebrica.

Esaminiamo un esempio di addizione algebrica in cui il risultato non è un monomio

L i ESERCIZIO

in quanto espresso da due monomi che non sono simili.

Calcola la somma e la ditfferanza di due monomi

I fl ESEMPIO Semplifichiamo la seguente espressione.

4a? — (3b + a") + b = ) eliminiamo le parentesi

Calcola la somma a la differenza dei seguenti maonormni.

4a! =

a

3b = a + b =

5 sommiamo | monomi simili

3a°— 2b

OB L a moltiplicazione

Il risultato non è un monomio

d i monomi

b. fox; —Z3o?x. ny. a Le

> Esercizi a pagina 205 ‘

Consideriamo la moltiplicazione fra monomi: (+22) - (-7a%). Applichiamo le proprietà commutativa e associativa della moltiplicazione e la prima proprietà delle potenze. in modo analogo al procedimento per la riduzione di un Mmonomio a forma normale. Otteniamo:

(+20) - (-7a°) = (+2}{-7)

:

d'a?

= 140°,

Dall'esempio deduciamo la regola sul prodotto fra monomi.,

276

doi “Lan

d,

-10b%y; Tby,

e |

MONOMI o

CAPITOLO 6

O Da

a

o

i

Dall'esempio precedente deduciamo la regola sulla potenza di un monomio.

o

a

È

Per calcolare la potenza con esponente # di un monomio:

a

ì

a Da

O

REGOLA

eleviamo a esponente # il suo coefficiente;

#

moltiplichiamo per n ognuno degli e s p o n e ndelle t i sue lettere.

A DO a

a

O

i

a

a S O DO

#

C e-glo mrs ogl enr ezo n ESEMPIO

l m ala

I |

a ola l a ale

La potenza con esponente 1 di un monomio è uguale al monomio stesso.

e aa

e

La potenza con esponente 0 di un monomio diverso da O è uguale a 1.

cielo nia olmo ala ole ama ala cile ala a

|

a

I | ESEMPIO

=

mo a ola all

11,

lo

yl=

a

* Esercizi a pagina 272

e Da O

monomi

O Pe O O

O Oo O

OO

o

3xyz.

o

p | ESEMPIO 6x°y° è divisibile per 5x‘y, ma non è divisibile né per 2x°y né per

O De

o

il monomio dividendo è multiplo del monomio divisore.

A De Da

A

O DA D e

O

A

Un monomio (dividendo) è divisibile per un altro monomio (divisore), diverso da zero, quando in esso compaiono tutte le lettere del divisore, ognuna con esponente maggiore o uguale a quello con cui compare nel divisore. I n questo caso si dice che

>

VIDEO

E o

Dati i monomi A e B, con A divisibile per B e B # 0, il quoziente della divisione

o

o

REGOLA

a a a a

Operazioni con | monomi

Guarda i l video sulle operazioni fra manami e fornisci esempi per spiegare perché nell'insieme dei monornmi la moltiplicazione

e la potenza sono operazioni

a DO

a

®

il coefficiente è il quoziente dei coefficienti; nellaparte letterale ogni lettera ha per esponentela differenza tra l'esponente con cui la lettera compare in A e l'esponente con cui compare in B.

a Da

#

a E

o

o

lo

tra A è B è un monomio in cui:

interne, mentre l'addizione

e la divisione non lo seno.

della potenza = Lat

mo a o a O

8x2: (4xyt2) = (814022: x)(y°: y z : 2) =

a

QQ esercizio Determina i l quozionte di

monemi

278

o DO A a a e

| u s e r gpena

la lo

I | ESEMPIO

A DO

a

È possibile dividere un monomio per un qualunque numero {diverso da 0). Un numero, infatti, èun particolare monomio in cui la parte letterale ha esponente O,

o O

O

e

a

2xy?

O

o

e

o

o

a

Lasi!

ale mulo i n l e

e 6a°bt:(5a°b) = ( 6 : 5 ) ( 0 ° : a(bt: b ) = 5 applichiamo le proprietà

e

a

e

a

I | ESEMPIO

dere e

TEORIA

L a d i v i s i o n e fra d u e

o u a ala

e

(119)! = 11!

a

(4x9) 4 9 0 = 1;

Calcola, quando possibile, i l monomio quoziente della

divisioni fra monomi. n. 12a°b:(-4ak); b. —15x32 ( 3 x 6 ; c. -32b%e"; [(2abtet);

d. Sa*xy” 1(7atxy").

e |

MONOMI o

CAPITOLO 6

O Da

a

o

i

Dall'esempio precedente deduciamo la regola sulla potenza di un monomio.

o

a

È

Per calcolare la potenza con esponente # di un monomio:

a

ì

a Da

O

REGOLA

eleviamo a esponente # il suo coefficiente;

#

moltiplichiamo per n ognuno degli e s p o n e ndelle t i sue lettere.

A DO a

a

O

i

a

a S O DO

#

C e-glo mrs ogl enr ezo n ESEMPIO

l m ala

I |

a ola l a ale

La potenza con esponente 1 di un monomio è uguale al monomio stesso.

e aa

e

La potenza con esponente 0 di un monomio diverso da O è uguale a 1.

cielo nia olmo ala ole ama ala cile ala a

|

a

I | ESEMPIO

=

mo a ola all

11,

lo

yl=

a

* Esercizi a pagina 272

e Da O

monomi

O Pe O O

O Oo O

OO

o

3xyz.

o

p | ESEMPIO 6x°y° è divisibile per 5x‘y, ma non è divisibile né per 2x°y né per

O De

o

il monomio dividendo è multiplo del monomio divisore.

A De Da

A

O DA D e

O

A

Un monomio (dividendo) è divisibile per un altro monomio (divisore), diverso da zero, quando in esso compaiono tutte le lettere del divisore, ognuna con esponente maggiore o uguale a quello con cui compare nel divisore. I n questo caso si dice che

>

VIDEO

E o

Dati i monomi A e B, con A divisibile per B e B # 0, il quoziente della divisione

o

o

REGOLA

a a a a

Operazioni con | monomi

Guarda i l video sulle operazioni fra manami e fornisci esempi per spiegare perché nell'insieme dei monornmi la moltiplicazione

e la potenza sono operazioni

a DO

a

®

il coefficiente è il quoziente dei coefficienti; nellaparte letterale ogni lettera ha per esponentela differenza tra l'esponente con cui la lettera compare in A e l'esponente con cui compare in B.

a Da

#

a E

o

o

lo

tra A è B è un monomio in cui:

interne, mentre l'addizione

e la divisione non lo seno.

della potenza = Lat

mo a o a O

8x2: (4xyt2) = (814022: x)(y°: y z : 2) =

a

QQ esercizio Determina i l quozionte di

monemi

278

o DO A a a e

| u s e r gpena

la lo

I | ESEMPIO

A DO

a

È possibile dividere un monomio per un qualunque numero {diverso da 0). Un numero, infatti, èun particolare monomio in cui la parte letterale ha esponente O,

o O

O

e

a

2xy?

O

o

e

o

o

a

Lasi!

ale mulo i n l e

e 6a°bt:(5a°b) = ( 6 : 5 ) ( 0 ° : a(bt: b ) = 5 applichiamo le proprietà

e

a

e

a

I | ESEMPIO

dere e

TEORIA

L a d i v i s i o n e fra d u e

o u a ala

e

(119)! = 11!

a

(4x9) 4 9 0 = 1;

Calcola, quando possibile, i l monomio quoziente della

divisioni fra monomi. n. 12a°b:(-4ak); b. —15x32 ( 3 x 6 ; c. -32b%e"; [(2abtet);

d. Sa*xy” 1(7atxy").

GUARDA!

Mappa dei fondamentali

le

4

Mappa interattiva

Sintesi In 7 lingua

]

MONOMI @

Sono monomi:

-2ab;

Et;

e Sono monomi simili;

a b = 1atb, 5.

L L parte letterale coefficiente

4xy2. —-2xyn. TT T stessa parte letterale

e Non sono monomi:

a - b ; x2+y; 3pt*: 4 .

TEORIA

GRADO M C(3; D 6)

grado 1 rispetto a b

5 a3b ce? ]

®

MCD(-3x°y2z°; 6y22) = 3 yz? lettera comull ( y e z ) con esponente minimo (1l e z )

r a d o 2 rispetto a c

grado 3 rispetto a d a

perché E non è intero

Grado del monemio: ®

3+1+2=6,

mem{-$ a%be?; 5a2b+) = 1abit tutte l e lettera (a, b&, c ì con esponente massimo ( 3 , 4, 2 )

_j

OPERAZIONI TRA MONOM * Addizione è sottrazione d i m o n o m i simili

somma algebrica del coefficienti

2ab + Sab = (2 + 5 ) a b = 7ab 3x2y _ gx2y - ( 3

#

i

8 ) x ° y = —-5x2y " s t e s s a

parte letterale

5

d

Moltiplicazion e 5

1

5

i

Z e b e . g a = (3 3 )

+3h1+2

nd +

del

ficlenti

3 2 cito = sable — E rnma degliesponenti

# Divis ione

(3%) : (3x2) = Laet-1y2-2 = L t

yo Logquoziente delcoefficienti me

#* Potenza -

potenza del coefficiente

3

(-2ab‘} (-2)°a13 5 4 3 =

FONDAMENTALI ALLA PROVA

=

-Baîb!2 — prodotto degli esponenti >» pag. 303

GUARDA!

Mappa dei fondamentali

le

4

Mappa interattiva

Sintesi In 7 lingua

]

MONOMI @

Sono monomi:

-2ab;

Et;

e Sono monomi simili;

a b = 1atb, 5.

L L parte letterale coefficiente

4xy2. —-2xyn. TT T stessa parte letterale

e Non sono monomi:

a - b ; x2+y; 3pt*: 4 .

TEORIA

GRADO M C(3; D 6)

grado 1 rispetto a b

5 a3b ce? ]

®

MCD(-3x°y2z°; 6y22) = 3 yz? lettera comull ( y e z ) con esponente minimo (1l e z )

r a d o 2 rispetto a c

grado 3 rispetto a d a

perché E non è intero

Grado del monemio: ®

3+1+2=6,

mem{-$ a%be?; 5a2b+) = 1abit tutte l e lettera (a, b&, c ì con esponente massimo ( 3 , 4, 2 )

_j

OPERAZIONI TRA MONOM * Addizione è sottrazione d i m o n o m i simili

somma algebrica del coefficienti

2ab + Sab = (2 + 5 ) a b = 7ab 3x2y _ gx2y - ( 3

#

i

8 ) x ° y = —-5x2y " s t e s s a

parte letterale

5

d

Moltiplicazion e 5

1

5

i

Z e b e . g a = (3 3 )

+3h1+2

nd +

del

ficlenti

3 2 cito = sable — E rnma degliesponenti

# Divis ione

(3%) : (3x2) = Laet-1y2-2 = L t

yo Logquoziente delcoefficienti me

#* Potenza -

potenza del coefficiente

3

(-2ab‘} (-2)°a13 5 4 3 =

FONDAMENTALI ALLA PROVA

=

-Baîb!2 — prodotto degli esponenti >» pag. 303

CAPITOLO 6

e |

MONOMI

Riduci a forma normale | seguenti monomi e poi indicane l l coefficiente e la parte letterale. 4,\, #_1 2a°bxt1ax!(-—3b); (-zx*((-3)xy2y. E I 203%";, S aEb a ; a(5-7), '

a

i

soc

L y {(-—)byra2; 4a°{--L)a‘2(- a).

(—-4 + 6)a*b(1:2)b; gbab'c'c.

L Teoria a pagina 275

Monomi simili, opposti, uguali TEST go A|

Fra le seguenti espressioni solo una è un monomio simile a -2ab°e",Quale?

5a bea

BD)

2abc°b

ce]

-2x°

D]

+3abcb'c

TEST L'opposto del monomio 3-°ab è Oc

A

25

282

— ab.

B|

3°a7"bp,

c e

li a b ,

VERÒ O FALSO?

a. Imonomi 2a e — 3a sono simili.

{v]|F

ce. Due monomi simili hanno gradi diversi.

b. Due monomi simili sono uguali,

[v][F.

d. Due monomi opposti sono simili,

Vv]

Vv]

[F

CAPITOLO 6

e |

MONOMI

2a-b+b+a-zb=

b.

una parentesi” | monomisimili QuandoIntroduciame evidenziamo i segni, o di sbegliere em e v i t e rcosì

)

2a-b+5b+a-+b=

3a+ 2

(2+)a+(-1+Z-+b)b=

Il risultato non è un monomio, poiché contiene un’addizione di monomi non simili. e

a

a DR OP N

E

PO

E

CR

O

O

p a O p DO Pa O

A

OR

a

a

N

O

PO O

DA Ma

DR

A

O

PO

a

DR O p

a O

a a

i

D a PO

O

De O

Pa O p O p

O

a

A

O

O

PO OR O

op a p

O

o o a p DO OO RA Po OO RP R a S g O

D A SO O A PIA R P O I D A N P PO D A DO POP e

O

o

v e ue nuo

se hai capito. Li PROVA TU. Svolgi un esercizio almile Interattivo par vedere Esegui le seguenti addizioni algebriche d i monomi.

40

Le)

1 , 5 + 1s b

| _- ]3

03 +39 [4] [0]

282 — (— 3 4 2 ) +{(- 522) — a - { - a ) L = 12]

+ 6 a - Z a + 3 0 — 6a

[-2a2+36]

2 a b - Z a + 2 a b - z a + g a - ab

[bg ab- 34)

1 --a+2b ESERCIZI

a

+3)

— 20 ab]

>| — ab + 4ab — 12ab + + ab + 2ab

I

7-02

[2a

EIN - 3 a + g q a + g a - a + 5 a

i

3a

[5x]

x + 5x — 10x + x

s e - 7 0gx + 9x2 g i + ge I

po

[ - 10x:])

1

[32-27]

+5 - 5 ) 3 e + -1+_ 5 S +I

[ x - 35

xy + 1x y + 2xy

1

[2x = 2y]

xy-(y-3)-(-x)+(3x+x)-31+3*-(20) —

_l1 ab) + 5 a b — 3ab [ab +3 a b -(-Z 2

1

2

—

2

2h —

[-- 3 ai ]

2

'CQOMPLETA inserendo l l monomio mancante i n modo che l'uguaglianza risulti vara.

{55

—7a+10a+15a

' a r3 e E Ap

‘E ‘

62°‘ +|

-

+|___j=-4a

7)

j=o

|=-=5a°b*

20

+ 3 =530 114

|+@ =

+|

-Lxty-Laty

+}

3 Te”

1

|=

xy

Li dt

giu

' i L

(57) 3xy — 5xy+]

323 _ =0 5ab' = |-3ab'+

KI

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Dati i monomi A = Z a

a

e B =-ab,

xy

determina

A+Be A - E .

get

Sostituiamo alle lettere A e 8 i monomi. Se un monomio è preceduto da un segno di operazione, scriviamo il monomio fra parentesi.

a+B=eb+(__

284

|o)=

e

[=

(+)

togliamo la

raccogliamo

parentesi

a fattor comune

=e .

CAPITOLO 6

e |

MONOMI

2a-b+b+a-zb=

b.

una parentesi” | monomisimili QuandoIntroduciame evidenziamo i segni, o di sbegliere em e v i t e rcosì

)

2a-b+5b+a-+b=

3a+ 2

(2+)a+(-1+Z-+b)b=

Il risultato non è un monomio, poiché contiene un’addizione di monomi non simili. e

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E

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v e ue nuo

se hai capito. Li PROVA TU. Svolgi un esercizio almile Interattivo par vedere Esegui le seguenti addizioni algebriche d i monomi.

40

Le)

1 , 5 + 1s b

| _- ]3

03 +39 [4] [0]

282 — (— 3 4 2 ) +{(- 522) — a - { - a ) L = 12]

+ 6 a - Z a + 3 0 — 6a

[-2a2+36]

2 a b - Z a + 2 a b - z a + g a - ab

[bg ab- 34)

1 --a+2b ESERCIZI

a

+3)

— 20 ab]

>| — ab + 4ab — 12ab + + ab + 2ab

I

7-02

[2a

EIN - 3 a + g q a + g a - a + 5 a

i

3a

[5x]

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1

[32-27]

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[ x - 35

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1

[2x = 2y]

xy-(y-3)-(-x)+(3x+x)-31+3*-(20) —

_l1 ab) + 5 a b — 3ab [ab +3 a b -(-Z 2

1

2

—

2

2h —

[-- 3 ai ]

2

'CQOMPLETA inserendo l l monomio mancante i n modo che l'uguaglianza risulti vara.

{55

—7a+10a+15a

' a r3 e E Ap

‘E ‘

62°‘ +|

-

+|___j=-4a

7)

j=o

|=-=5a°b*

20

+ 3 =530 114

|+@ =

+|

-Lxty-Laty

+}

3 Te”

1

|=

xy

Li dt

giu

' i L

(57) 3xy — 5xy+]

323 _ =0 5ab' = |-3ab'+

KI

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Dati i monomi A = Z a

a

e B =-ab,

xy

determina

A+Be A - E .

get

Sostituiamo alle lettere A e 8 i monomi. Se un monomio è preceduto da un segno di operazione, scriviamo il monomio fra parentesi.

a+B=eb+(__

284

|o)=

e

[=

(+)

togliamo la

raccogliamo

parentesi

a fattor comune

=e .

"fa"

*

a,

È

MONOMI “mpg”

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> safen

|

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=,

ba]

E

CAPITOLO 6

e)

ER

E caio

[5 «'b'c']

- a b e r (-abtct) 10ab!c5. a b c Bo

22°: (-2a1b° ).(-Z

abc) - ( - a b 2 c 5 ) . 4ab5c

[= 6a!!b!4c13]

TEST Quale delle seguenti espressioni è equivalente al monomio —24a'b'x? pOocC

6ab-(-2bx)-(3ab)

A]

Qab2.(-36x)

[8]

[€]

3 a - ( - Z b x ) (120)

: i

i

mr]

GC

Ga]

’

-3

5

-

:

i; i

2a-(--Zab) (-12x)

[D)

1

”

i

'

è a“

zy

| COMPLETA inserendo lil monomio mancante i n modo che l'uguaglianza sia vera. ESERCIZI

‘E

22

i

3x3: (-lxy2) |

= al ab

Gab)

E

pi2

2.

5a | =-50%

(2) {-2}.

= 9a‘p

|__|] ( - 6 a ° b } ( - - a b ) Li i

= si L3 2ab (= s a 2b) L__J=a‘b

VA °°

4

|___j= 9 a l p t

gue

‘! L I

|=-3x°y®

Lil

spa. EL

‘E '

L___=-80262

Le)

!

92

-

2 2xy{(3*y)

||

zx 7

Pyramids of producte Complete the pyramids below so that eachbox contains the product

ofthe two boxes below it that touch it. n

b

[__] 10x |

6k

sk

2

sx |

|

soa | 10az | a

|]

|] |

sa |

Sk

|

L a semplificazione di espressioni con somme, differenze e prodotti di monomi

E7I8

COMPLETA L O SVOLGIMENTO

: lifica | l’espressione i ( z3 a bll}{- 34} Semplifica

—-6b)) +

1

b ( 3 a ) —aab.

L'espressione è la somma algebrica di tre termini:

m o icazioni moltipl (x ab)(-3 a} 66) + b2(-La) —|ab!| = 5 e s e g ulei a

+ ( > LL] ' 6) aL_ij+ LabtL_jab? = 5 evidenziamo i monomi simili e il sommiamo L_ieb2 + Fab? _jabt =

+ ( F L ) att = 3 0 " —Lab.

Il risultato non è un monomio ma la somma algebrica di due monomi,

"fa"

*

a,

È

MONOMI “mpg”

e |

> safen

|

Log

=,

ba]

E

CAPITOLO 6

e)

ER

E caio

[5 «'b'c']

- a b e r (-abtct) 10ab!c5. a b c Bo

22°: (-2a1b° ).(-Z

abc) - ( - a b 2 c 5 ) . 4ab5c

[= 6a!!b!4c13]

TEST Quale delle seguenti espressioni è equivalente al monomio —24a'b'x? pOocC

6ab-(-2bx)-(3ab)

A]

Qab2.(-36x)

[8]

[€]

3 a - ( - Z b x ) (120)

: i

i

mr]

GC

Ga]

’

-3

5

-

:

i; i

2a-(--Zab) (-12x)

[D)

1

”

i

'

è a“

zy

| COMPLETA inserendo lil monomio mancante i n modo che l'uguaglianza sia vera. ESERCIZI

‘E

22

i

3x3: (-lxy2) |

= al ab

Gab)

E

pi2

2.

5a | =-50%

(2) {-2}.

= 9a‘p

|__|] ( - 6 a ° b } ( - - a b ) Li i

= si L3 2ab (= s a 2b) L__J=a‘b

VA °°

4

|___j= 9 a l p t

gue

‘! L I

|=-3x°y®

Lil

spa. EL

‘E '

L___=-80262

Le)

!

92

-

2 2xy{(3*y)

||

zx 7

Pyramids of producte Complete the pyramids below so that eachbox contains the product

ofthe two boxes below it that touch it. n

b

[__] 10x |

6k

sk

2

sx |

|

soa | 10az | a

|]

|] |

sa |

Sk

|

L a semplificazione di espressioni con somme, differenze e prodotti di monomi

E7I8

COMPLETA L O SVOLGIMENTO

: lifica | l’espressione i ( z3 a bll}{- 34} Semplifica

—-6b)) +

1

b ( 3 a ) —aab.

L'espressione è la somma algebrica di tre termini:

m o icazioni moltipl (x ab)(-3 a} 66) + b2(-La) —|ab!| = 5 e s e g ulei a

+ ( > LL] ' 6) aL_ij+ LabtL_jab? = 5 evidenziamo i monomi simili e il sommiamo L_ieb2 + Fab? _jabt =

+ ( F L ) att = 3 0 " —Lab.

Il risultato non è un monomio ma la somma algebrica di due monomi,

CAPITOLO 6

e |

MONOMI

Indicando con A l'area e con P i l perimetro della figura, quale tra le seguenti coppie di uguaglianze è vera?

A 2°

A|

A=13x"; P=16x.

B|

C|

A=10x% P = lé6x.

A=36x"; P=l4x. A=10x%; P = l 4 x ,

Db]

A Represent this A piece ofrope is cut into two pieces: one piece is > the length of the second piece. Represent the total length of the rope with a monomial with an integer coefficient.

Li)

Sulla mappa sono riportati i tempi medi di conse-

A

°°

gna, in minuti, di una pizzeria da asporto per 6 destinazioni, La velocità media del fattorino, in km/h, è +; il costo per il carburan-

te,in €/km, è c. Esprimi con u n monomio:

a. la lunghezza totale dei 6 percorsi, in km;

b. il costo totale del carburante, in euro.

ESERCIZI

[a) t v

> Teoria a pagina 277

P_ La potenza d i u n monomio

ME T 1 5 )

vc]

b) x

Non esiste alcun monomio che elevato al quadrato dia come risultato il monomio 4x*3*, Perché?

‘EFX] Qualsiasi monomio elevato a 0 non ha parte letterale. Perché? a ei

|

FONDAMENTALI D e t e r m i n la a rpotenza e d i un monomio

Nel calcolo delle potenze è Importante fere

Calcoliamo la potenza (-3x*y)',

attenzione al Osserviamo questi (+ 3a°]? = + 9 a ; (-3a°]? =+%a%; (+ 3a)? m+27a5; | - 3a] = - 2735,

aa

Applichiamo le proprietà delle potenze: (-3x°y}? = ( - 3 7 ( x ( y } =+9x6y?, (ay

= eb"

La ” |

( a aar”

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

|]

Calcola le seguenti potenze d i monomi. oc

( - ax};

(-Lxy);

(ab).

-(-4x2y%2}; =(1205%")%; (-11p'g)?. Lei,

—{(ab°Y;

KE Gerer,

4

(-3a°b" 2}; (--Z-a%b?c?)

(sap;

(c2eay

2(a°22y;

i

g lcaeri

—3(a5}';

(-x the length of the second piece. Represent the total length of the rope with a monomial with an integer coefficient.

Li)

Sulla mappa sono riportati i tempi medi di conse-

A

°°

gna, in minuti, di una pizzeria da asporto per 6 destinazioni, La velocità media del fattorino, in km/h, è +; il costo per il carburan-

te,in €/km, è c. Esprimi con u n monomio:

a. la lunghezza totale dei 6 percorsi, in km;

b. il costo totale del carburante, in euro.

ESERCIZI

[a) t v

> Teoria a pagina 277

P_ La potenza d i u n monomio

ME T 1 5 )

vc]

b) x

Non esiste alcun monomio che elevato al quadrato dia come risultato il monomio 4x*3*, Perché?

‘EFX] Qualsiasi monomio elevato a 0 non ha parte letterale. Perché? a ei

|

FONDAMENTALI D e t e r m i n la a rpotenza e d i un monomio

Nel calcolo delle potenze è Importante fere

Calcoliamo la potenza (-3x*y)',

attenzione al Osserviamo questi (+ 3a°]? = + 9 a ; (-3a°]? =+%a%; (+ 3a)? m+27a5; | - 3a] = - 2735,

aa

Applichiamo le proprietà delle potenze: (-3x°y}? = ( - 3 7 ( x ( y } =+9x6y?, (ay

= eb"

La ” |

( a aar”

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

|]

Calcola le seguenti potenze d i monomi. oc

( - ax};

(-Lxy);

(ab).

-(-4x2y%2}; =(1205%")%; (-11p'g)?. Lei,

—{(ab°Y;

KE Gerer,

4

(-3a°b" 2}; (--Z-a%b?c?)

(sap;

(c2eay

2(a°22y;

i

g lcaeri

—3(a5}';

(-x Teoria a pagina 278

VERO O FALSO? Considera due monomi A e 8, con A divisibile per B. Cc. Il coefficiente di A deve essere

a. Il grado di A è maggiore del grado di B. b. I coefticienti di A e B

divisibile per il coefficiente di B. d. Îl monomio A deve contenere tutte

LL

LF]

LifLa

le lettere di B.

Lili

sono numeri interi.

vj

VERO O FALSO?

"a.

Dato il monomio 3a°b, i monomi a e b sono suoi divisori, b. Dato il monomio 7a, il monomio 9a° è un suo multiplo.

Il monomio quoziente di due monomi ha come coefficiente la differenza dei coefficienti dei due monomi. d. Il quoziente di due monomi che hanno la stessa parte letterale èun monomio di grado 1, ©.

Vj

FJ

vj

LF

Til monomio 4x°y° non è divisibile per 3x‘y. Perché?

A |_T=1=]

\g

FONDAMENTALI Dividere monomi Eseguiamo, quando è possibile, le seguenti divisioni:

ESERCIZI

|

a 2427! (62°;

b. 3ab:(4b);

d. 92°! (2a1b).

c. 102%b (20%);

a 240° {6a°) = Osserviamo gli esponenti di a nel dividendo e nel divisore. Poiché 7 = 3, la divisione è possibile. — 240” :{6a°) = -

a ” ® = 4g,

ati

C E \ è o b l a per

n o seta semi -

|

x ax m A b. 3ab:(4b) = 3a'b':(4a°b") =

Osserviamo gli esponenti delle due lettere nel dividendo e nel divisore, Riguardo agli esponenti di a, 1 3ab:(4b) = Z a " !

=0;riguardo agliesponentidi b,1 = 1.Pertantola divisione èpossibile.

= Za,

Quando l'esponente non compare, è 1. Sa una lettera |

è anvente,la possiamo considerare con esponente f, cc. 102°b (2a).

Considerando gli esponenti della lettera a, abbiamo 3 < 4, pertanto la divisione non è possibile, d. 92° {22°b) = 9 a " : (20° pb"),

Riguardo agli esponenti di b, O < 1, pertanto la divisione non è possibile. ]

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito. Esegui, quando è possibile, le seguenti divisioni.

3] oc

datbe' i (2abe); =3a‘b’e:(-3a1b5), gua

a:L, Li

ab?:(--a2b).

be); =5xy (5x7). Labiet:(-py [11

292

Gua

- e b : (Lab); Lab (20265). - ( a b ) : (ab);

(a2b1}':(-2a2b2Y,

Sax‘: (-ax‘); x y : (3x5),

2 e L e operazioni con | monomi

+xy:(-3#9); (-3e6) (308). (-Zabet):( abc"); (Labre) :(-Z abc)

ep) 1 5 x 5 2 : (-2xy229);

($0y128):(3 220"). (-2abc). (Labtec):

31:30)

( 2 :3 0 :

COMPLETA inserendo il monomio mancante i n m o d o che l'uguaglianza sla vera.

‘KE

I:

‘IE

150

i

06

(4a) =

3a

3a1b:

= 223

12065:

|= 240%

Cc

____1=5y sec

Li

‘N

xy

:L_J=!

|=Zab

(Za): | L L le)

1

‘

‘EEA se: ____1= La Li Lele)

COMPLETA LO SVOLGIMENTO

(30°

ESERC IZI

La semplificazione di sspressioni con divisioni di monomi Semplifica la seguente espressione:

(30° b) — 2a(3b} + 5 a

b*:(2ab) + Sbab?,

L'espressione è la somma algebrica di quattro termini formati da potenze, divisioni e moltiplicazioni:

( 3 2 b° 2} (3a) | = | 2a(3b}* | + |5a2b*:(2ab")| + 5bab2] = 5 e s e g u i alemoperazioni o all'interno di clascun termine

91:

(30%) — 2a -L_Jbt + 3 ) + Sab? =

3al__]-L_jab + S U + 5a? = )

sommilamo | monomi simili

Bab° — 18ab° + Z a . Semplifica le seguenti espressioni.

pi

(3x2y° + 2x5 — 83245):(-xy22

|-3y]

1 8 8 [(2ab — 3abY :(2ab)]: a°b — 3a°b [ - > ab?) 159) (5x! + 3x5}? (-2x} + ( x + x ) - ( - x }

22°

1 9 6 {(-3x1y2): [2x + T x }

=

-7abc +|[(2ab

+ (3ab)[-2a + 3(4a)]+ Z a

E (Go):G3:@5}:(2 + La]} ‘31 = + yz

| - 3 ab:

(5x2y 3223} :(2xy P+(-x5y):(3x) [3 xy]

SPP

) E E(1605 =2 x 5i+ (-Za75):(1&a5b5)

[14x*]

190) (3a 6 a b ° ) : ( 5 b + 3 a b : a — 128)

+ a b ) :(-1bY]- ec

[20abe]

sa [27226]

123°] [- 4 yz]

RIEPILOGO e L e espressioni con | monomi

(ab (dab) (ab) - La5b*]:(L-ab)

[-28 ab]

( + a6)|: ( b y — 202

Te:

La) + 2 a - ( - a ' y

a ) +( 3 0 1 + ( 2 2 7 :(-

aa;

(-2x #) ( 3 ) -(-2 #(3# )(-3 0)

|-3(3#y)- 2 x 8 ] :

(-x}

+28: ( - x )

-2x-(23-x2y) 7x2 -(-x+L x) + 6xy[(xPP

(Le)

Car -(-22)

[23x57]

[3-x)

EE [(3-ab— ab)- ( - a b ) ] - ( 3 8 8 :(9abP +(-Za2) —abe(—4ac):(-La!b°) + 14ab?(-2a°be2)-(-2-ab)- (4a2b2cY 2x0 (3x5): (-2xP +(3x) -(2x) +(2x5+(-x2Yx]:(-3x2)

[epr +(-222) (-3x%) |: 2 2

+30

EI {eec+[-(-3e80)-ze6)}:(-[-(-gb)+(-7eb)]} (20) :(2-a2)—ab(-20°8°)]: ( 2 a ) +(40267 (3-2) Tebe (ab) (ag a b ? ) (Labtec) ]:(-2 abc)

{{(—2x9 :(-6xy2P + 2x2 3x2):(+32) ]

( + ) 2]. ( 7 +C9-(F):(2182) (36) Ba sb+ 0 8 0 2208:(- 36) + 3 3 ) =

| - +xy?

2 +x-(-3)3 + 3x8

( 3 9 6 ) dvd-gve)e 1 [Gay (ab) |:[a‘b*:(-2ab}1]+(-9abY

(3x8 22°) 0 3 8 1 - 4 0 )

ELA

[2x2

Zed)

26

[252]

+

(25)

3 7 (sx)+(8-22)

|-a*]

+(32 -5P) (195)

237 3 axty) {(- ab): (+ab)- [—-6a%b:(-b y ] : (3a°)}

238) (-Ly2 +22) : ( - 5 2 ) +49 (-y2)]-(-3y) + 4(Ty2- 2 y2) - 3 2

| } ove [810a2b:]

see] [-6a‘b‘c1)

E

E | at) [0] |-abtc)

1-1]

|-2+] [9bc"]

[-50” [impossibile]

[0]

239 ( - Ea) (26° x— 3b by b x ) : ( - b Y — a - ( - ( 3 x } - ( - 3 x Y ] : ( Z x )

[2ax]

Eu {-[se-3:(30)] -7-2Y}:($2-)-(26):(25)

(3c"

295

E i

RIEPILOGO e L e espressioni con | monomi

(ab (dab) (ab) - La5b*]:(L-ab)

[-28 ab]

( + a6)|: ( b y — 202

Te:

La) + 2 a - ( - a ' y

a ) +( 3 0 1 + ( 2 2 7 :(-

aa;

(-2x #) ( 3 ) -(-2 #(3# )(-3 0)

|-3(3#y)- 2 x 8 ] :

(-x}

+28: ( - x )

-2x-(23-x2y) 7x2 -(-x+L x) + 6xy[(xPP

(Le)

Car -(-22)

[23x57]

[3-x)

EE [(3-ab— ab)- ( - a b ) ] - ( 3 8 8 :(9abP +(-Za2) —abe(—4ac):(-La!b°) + 14ab?(-2a°be2)-(-2-ab)- (4a2b2cY 2x0 (3x5): (-2xP +(3x) -(2x) +(2x5+(-x2Yx]:(-3x2)

[epr +(-222) (-3x%) |: 2 2

+30

EI {eec+[-(-3e80)-ze6)}:(-[-(-gb)+(-7eb)]} (20) :(2-a2)—ab(-20°8°)]: ( 2 a ) +(40267 (3-2) Tebe (ab) (ag a b ? ) (Labtec) ]:(-2 abc)

{{(—2x9 :(-6xy2P + 2x2 3x2):(+32) ]

( + ) 2]. ( 7 +C9-(F):(2182) (36) Ba sb+ 0 8 0 2208:(- 36) + 3 3 ) =

| - +xy?

2 +x-(-3)3 + 3x8

( 3 9 6 ) dvd-gve)e 1 [Gay (ab) |:[a‘b*:(-2ab}1]+(-9abY

(3x8 22°) 0 3 8 1 - 4 0 )

ELA

[2x2

Zed)

26

[252]

+

(25)

3 7 (sx)+(8-22)

|-a*]

+(32 -5P) (195)

237 3 axty) {(- ab): (+ab)- [—-6a%b:(-b y ] : (3a°)}

238) (-Ly2 +22) : ( - 5 2 ) +49 (-y2)]-(-3y) + 4(Ty2- 2 y2) - 3 2

| } ove [810a2b:]

see] [-6a‘b‘c1)

E

E | at) [0] |-abtc)

1-1]

|-2+] [9bc"]

[-50” [impossibile]

[0]

239 ( - Ea) (26° x— 3b by b x ) : ( - b Y — a - ( - ( 3 x } - ( - 3 x Y ] : ( Z x )

[2ax]

Eu {-[se-3:(30)] -7-2Y}:($2-)-(26):(25)

(3c"

295

E i

RIEPILOGO e L e espressioni con | monomi Monomi e gaometria COMPLETA LO SVOLGIMENTO Lele)

Rappresenta con un monomio l'area di un rettangolo di base a e altezza

uguale a + della base, Disegniamo il rettangolo e riportiamo i dati del problema. L’area A di un rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell'altezza.

| |

|

A=L_i-La=|

a

Scrivi la formula che permette di calcolare la grandezza Indicata e stabilisci se l'espressione è un monomio.

L'area di un quadrato di lato 3x.

Il perimetro di un parallelogramma di lati 2a

L_Leile)

gut

e b.

La superficie totale di un cubo di spigolo 4a.

e s o L'area di un rettangolo di base 3a e altezza a. gue

L'area di un triangolo di base b e altezza h. 4 3 . ' L'area di un triangolo di base x e altezza 3 x .

2 6 2 L'area di un rombo con le diagonali uguali a x e

so

a

266) Il volume di un parallelepipedo rettangolo di

*°

6.

E

+

i

i

dimensioni 2a, 3b e Ze.

Scrivi le formule per il calcolo delle seguenti grandezze: a. perimetro di un triangolo isoscele di base 2x e lato 3x; b. area di un quadrato di lato 3x°y;

c. area di un triangolo di base 3ab e altezza 4ab;

d. perimetro di un rettangolo di base l x |

e altezza E R 7

FONDAMENTALI Risolvere u n problema con i monomi

La base di un rettangolo è 6a e l'altezza è 46, a. Calcoliamo il perimetro e l'area del rettangolo.

b. Se si aumenta la base di 3a e si diminuisce l'altezza di 2b, quanto valgono il perimetro e l'area del nuovo rettangolo? P è la somma dei lati: P = 6a + 4 b+ 6a + 4b = l2a + 86. a Il perimetro L'area A è il prodotto della base per l’altezza: A = 6a 4b = 24ab, :

b. La base del nuovo rettangolo è: 6a + 3a = Sa.

L'altezza del nuovo rettangolo è 4b = 2b = 2b. Il perimetro P’ del nuovo rettangolo è P' = 9a + 2b + 9a + 2b = 18a + 4b.

L'area è A = 9a 2b = l8ab, :

— = = ue o ue mm O

um E

O

O

E

O

O

E

O

DD E

O

e

DO E

e

DD E

o

e

DN O

E

OR E

O

E

O

O

O

O

O

O

O

O

o

Dr SD DR O

OR E

O

DR E

E

O

E

E

O

O

E

O

O

O

O

a

P R O VTU. A Svolgi un esercizio simile Interattivo per v e d e rse e hai capito.

e

E

DO O

O

De O

O

O

O

a

O

mr

a

em mr ma a ria mmd h i

ESERC IZI

,

Il volume di un prisma a base quadrata il cui ' ' , spigolo di base è 2a e la cui altezza è il triplo dello spigolo di base.

LIT

RIEPILOGO e L e espressioni con | monomi Monomi e gaometria COMPLETA LO SVOLGIMENTO Lele)

Rappresenta con un monomio l'area di un rettangolo di base a e altezza

uguale a + della base, Disegniamo il rettangolo e riportiamo i dati del problema. L’area A di un rettangolo si ottiene moltiplicando la misura della base per quella dell'altezza.

| |

|

A=L_i-La=|

a

Scrivi la formula che permette di calcolare la grandezza Indicata e stabilisci se l'espressione è un monomio.

L'area di un quadrato di lato 3x.

Il perimetro di un parallelogramma di lati 2a

L_Leile)

gut

e b.

La superficie totale di un cubo di spigolo 4a.

e s o L'area di un rettangolo di base 3a e altezza a. gue

L'area di un triangolo di base b e altezza h. 4 3 . ' L'area di un triangolo di base x e altezza 3 x .

2 6 2 L'area di un rombo con le diagonali uguali a x e

so

a

266) Il volume di un parallelepipedo rettangolo di

*°

6.

E

+

i

i

dimensioni 2a, 3b e Ze.

Scrivi le formule per il calcolo delle seguenti grandezze: a. perimetro di un triangolo isoscele di base 2x e lato 3x; b. area di un quadrato di lato 3x°y;

c. area di un triangolo di base 3ab e altezza 4ab;

d. perimetro di un rettangolo di base l x |

e altezza E R 7

FONDAMENTALI Risolvere u n problema con i monomi

La base di un rettangolo è 6a e l'altezza è 46, a. Calcoliamo il perimetro e l'area del rettangolo.

b. Se si aumenta la base di 3a e si diminuisce l'altezza di 2b, quanto valgono il perimetro e l'area del nuovo rettangolo? P è la somma dei lati: P = 6a + 4 b+ 6a + 4b = l2a + 86. a Il perimetro L'area A è il prodotto della base per l’altezza: A = 6a 4b = 24ab, :

b. La base del nuovo rettangolo è: 6a + 3a = Sa.

L'altezza del nuovo rettangolo è 4b = 2b = 2b. Il perimetro P’ del nuovo rettangolo è P' = 9a + 2b + 9a + 2b = 18a + 4b.

L'area è A = 9a 2b = l8ab, :

— = = ue o ue mm O

um E

O

O

E

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e

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P R O VTU. A Svolgi un esercizio simile Interattivo per v e d e rse e hai capito.

e

E

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em mr ma a ria mmd h i

ESERC IZI

,

Il volume di un prisma a base quadrata il cui ' ' , spigolo di base è 2a e la cui altezza è il triplo dello spigolo di base.

LIT

RIEPILOGO e L e espressioni con | monomi e Calcoliamo i rapporti fra le quantità trovate. Le percentuali chieste sono i quozienti, scritti in percentuale, tra il numero delle foto di ciascuno e il totale: gico

x : ( L x ) == A = 0,18 = 18,18% = 18,2%.

Jovit:

percentuale

Chiara: 3RxN: (A1 L x ) = L= 0,54 = 5 4 , 5 4=%54,5% ara = T L= =

ETA

9

3

11

3

5Sx:(5x}==7

Maria:

"0

229

Z

calcolare la tutte Le quantità rispetto totale perché sono

N,

-vappresentate da monormisimili,

“I loro rapporto è un numero pure. |

= 0,27 = 27,27% = 27,3%,

tt

Elena prepara i tortellini secondo la ricetta della nonna, ma per il

li

ripieno usa i

i

|

di Parmigiano in meno. Quando lo assaggia però non del formaggio che ha usato. La quantità

è soddisfatta e aggiunge

-

effettivamente presente nel ripieno è uguale a quella prevista dalla

’

ricetta originale?

|no. è A

della quantità della ricetta originale]

visivi e dei monitor. a. Qual è l'altezza di uno schermo 16:9 di larghezza a?

b. Qual è la larghezza di uno schermo 4:3 che ha la stessa altezza dello schermo precedente? €.

Qual è il rapporto d'aspetto di uno schermo con la stessa altezza dei due schermi precedenti e larghezza a; b) : dic) 3 2

[a) i

ia?

MATEMATICA PER L’AGENDA 2030 Ricavare energia dal vento 2030

La Danimarca è stata definita «la regina dell'eolico»: infatti nel 2019 il 47% dell’energia consumata è stata prodotta da impianti eolici, Questa percentuale è la più alta tra tutti gli Stati europei.

La produzione danese di energia eolica proviene prevalentemente dai parchi offshore: grandi installazioni di

pale eoliche al largo della costa, in mezzo al Mare del Nord. IP ATTIVITÀ L a potenza del vento Si può approssimare la potenza P (in

W) di una turbina eolica con questa legge, espressa da un monomio: P = 1,14rv°, Nella formula, r è il raggio del rotore (in m ) e + è la velocità del vento

(in m/s). Considera due pale eoliche A e B, vicine e quindi soggette alla stessa

velocità » del vento. Il raggio del rotore della pala A è 3 volte inferiore rispetto a quello della pala B. a. Indica con ra il raggio del rotore della pala B e scrivi il monomio che rappresenta la potenza della pala A.

b. D i quanto è inferiore, in percentuale, la potenza della pala A rispetto a quella della pala B? i

I

de

e ola d e lla dle alle nia a

O

a

e

a

e

e

a

le

e

dla e

a

e

e

E

e

O

dle e

E

ee

E

Do

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A

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O

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DO e

A

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O

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A

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E

e

Ea

a ore gue volo o e

a

O

O

O

O

De

O

SO

O

O

Da

E

ae

e

c a u e l o ale ale ola l e alle a i

ale o r

Fai una ricerca sulla storia dell'energia eolica. Quali sono state le prime invenzioni e i primi utilizzi? Qual è la situazione attuale dell’eolico in Italia? In che posizione si colloca il nostro Paese rispetto agli altri Stati europei? UN PASSO IN PIÙ

299

ESERC IZI

TEONOLOGIA Il rapporto d'aspetto indica, in generale, il rapporto tra la larghezza e l'altezza di un’immagi**° ne grafica, fotografica, cinematografica o video, ed è usato anche per definire i formati degli schermi tele-

RIEPILOGO e L e espressioni con | monomi e Calcoliamo i rapporti fra le quantità trovate. Le percentuali chieste sono i quozienti, scritti in percentuale, tra il numero delle foto di ciascuno e il totale: gico

x : ( L x ) == A = 0,18 = 18,18% = 18,2%.

Jovit:

percentuale

Chiara: 3RxN: (A1 L x ) = L= 0,54 = 5 4 , 5 4=%54,5% ara = T L= =

ETA

9

3

11

3

5Sx:(5x}==7

Maria:

"0

229

Z

calcolare la tutte Le quantità rispetto totale perché sono

N,

-vappresentate da monormisimili,

“I loro rapporto è un numero pure. |

= 0,27 = 27,27% = 27,3%,

tt

Elena prepara i tortellini secondo la ricetta della nonna, ma per il

li

ripieno usa i

i

|

di Parmigiano in meno. Quando lo assaggia però non del formaggio che ha usato. La quantità

è soddisfatta e aggiunge

-

effettivamente presente nel ripieno è uguale a quella prevista dalla

’

ricetta originale?

|no. è A

della quantità della ricetta originale]

visivi e dei monitor. a. Qual è l'altezza di uno schermo 16:9 di larghezza a?

b. Qual è la larghezza di uno schermo 4:3 che ha la stessa altezza dello schermo precedente? €.

Qual è il rapporto d'aspetto di uno schermo con la stessa altezza dei due schermi precedenti e larghezza a; b) : dic) 3 2

[a) i

ia?

MATEMATICA PER L’AGENDA 2030 Ricavare energia dal vento 2030

La Danimarca è stata definita «la regina dell'eolico»: infatti nel 2019 il 47% dell’energia consumata è stata prodotta da impianti eolici, Questa percentuale è la più alta tra tutti gli Stati europei.

La produzione danese di energia eolica proviene prevalentemente dai parchi offshore: grandi installazioni di

pale eoliche al largo della costa, in mezzo al Mare del Nord. IP ATTIVITÀ L a potenza del vento Si può approssimare la potenza P (in

W) di una turbina eolica con questa legge, espressa da un monomio: P = 1,14rv°, Nella formula, r è il raggio del rotore (in m ) e + è la velocità del vento

(in m/s). Considera due pale eoliche A e B, vicine e quindi soggette alla stessa

velocità » del vento. Il raggio del rotore della pala A è 3 volte inferiore rispetto a quello della pala B. a. Indica con ra il raggio del rotore della pala B e scrivi il monomio che rappresenta la potenza della pala A.

b. D i quanto è inferiore, in percentuale, la potenza della pala A rispetto a quella della pala B? i

I

de

e ola d e lla dle alle nia a

O

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Fai una ricerca sulla storia dell'energia eolica. Quali sono state le prime invenzioni e i primi utilizzi? Qual è la situazione attuale dell’eolico in Italia? In che posizione si colloca il nostro Paese rispetto agli altri Stati europei? UN PASSO IN PIÙ

299

ESERC IZI

TEONOLOGIA Il rapporto d'aspetto indica, in generale, il rapporto tra la larghezza e l'altezza di un’immagi**° ne grafica, fotografica, cinematografica o video, ed è usato anche per definire i formati degli schermi tele-

CAPITOLO 6

e |

a

o

ale e g e S e a

D e r e Dn

e

O

o dle

o

e

ue

MONOMI

l e mne mo o e

o lee e dolo n

r e E dna elmo ale e D a ole E dm D a a a

a o

Da E

E c a D a DD e

oa

a dre E c a ala D a ale a

a ala a e d a D a D a

e

a Da Da a

o

Il M C D e il mcem d i monomi E

oa DE da aa

O DE DE da

EEA LL)

è divisore di + xyz. Quale? 20

al

yi

3”) I

xyz

DI

a vane u r

a

e

e

e

n

e

ae

o vue ame o

> Teoria a pagina 279

TEST Fra i seguenti monomi, soltanto uno non 276] uc

4

o e ala cer

ativiè interattiva

ll massimo c o m u n e d i v i s o r e

al

a DE O

VERO © FALSO?

pa

:

a. 2a è un divisore di 4a. b. 32° è un divisore di 3ab.,

H

Cc.

Bab è un divisore di a*br°.

gx'yz

d.

ab? è un divisore di 6a‘bÉc?,

v][rF

vl]

[e

vi]

[e

[v] [F)

VERO O FALSO?

°°

a,

Il MCD fra due monomi simili è simile alla loro somma.

mid

b. Il MCD fra monomi è divisibile per tutti i monomi dati.

vj

c. Îl M C D fra monomi è divisore di tutti i monomi dati.

vile

d. Il M C D fra due monomi simili è simile ai due monomi,

vile

|

TEST Fra le seguenti espressioni, una sola è u n divisore comune dei monomi 5xy° e — 10xy*2°, Quale? Oc

ESERCIZI

Ajl0xy

(Bj

xyz

lo]

=5xt

0)

xy

Dati i monomi 3x°y e 3xy® esistono solo tre divisori comuni, a meno del coefficiente, e infiniti multipli

°° sac

comuni. Perché?

Il MCD fra due monomi ha sempre il grado minore o uguale a quello dei due monomi. Perché?

‘I 1 282] Per ogni monomio scrivi cinque monomi divisori. gue

La;

2a;

Lab;

— abi,

ate;

Lapo.

‘Ex

Dati i monomi 3ab*, 7a*b®, —abe*, determina, se esiste, un divisore comune:

1°

a di grado 0;

b. di grado 1;

Cc. di grado 2;

> Teoria a pagina 279

B l l minimo comune multiplo

Ea

TEST Fra le seguenti espressioni, solo una è un

VERO O FALSO?

multiplo comune dei monomi 3xy°, Sx? e —3x32. “°°

a,

—2a è multiplo di 2a.

v]

[Fr

Quale?

b. 6a è multiplo di 12a?.

v]

[F

A]

15xy

|

-15x*y°

Cc. 3ab è multiplo di b,

EL

;]

15:07

5]

xy

d. - L a b ' 0 è multiplo dia'b?2t,

ME

VERO O FALSO? a. Il mem fra monomi è divisibile per tutti i monomi dati.

b. Il mem fra due monomi ha il grado uguale alla somma dei gradi dei due monomi. c. Il mem fra due monomi opposti è il quadrato di uno dei due monomi. d. Il mem fra monomi è divisore di tutti i monomi dati,

300

LL) | L I T E

[4 Te!

a

QQ ESERCIZIO Riconosci | polinomi Fra le seguenti espressioni, indica i polinomi.

> Esercizi a pagina 325

a DO

gi

+:

12 .

p = 2x? + 32, 2_

pn,

44, 7a -—.

pb? — p ;

O

Nel polinomio 6a%b® — 3a°p® + 2abla* il terzo monomio non è in forma normale. Riducendolo a forma normale, otteniamo:

A DO D a

a

Bb La riduzione a forma normale

O DA D a O

O

DO

a

monomi

a DO e

p | ESEMPIO 2a + 5 ° — > è un polinomio formato da tre termini, ossia da tre

e DA

o

CAPITOLO 7

a

dda a

O

6 a — 3a°b® + 2a‘,

a O

miamo. I n questo caso, otteniamo il polinomio 82*b° — 3a°b°, che si dice ridotto a

a Da O

In generale, se dopo aver ridotto tutti i termini rimangono dei monomi simili,li sorn-

a

o

a

Notiamo che il primo e il terzo termine sono simili.

semmiamo| monomi slmili

a o e

del primo polinomio sono uguali al monomi del secondo polinomio, indipendente-

O

e

mente dall'ordine in cui sono scritti.

e D a DO

Due polinomi ridotti a forma normale, e non nulli, sono uguali quando i monomi

a DA A

e

forma normale

e lore naomi Riduci i seguenti polinomi a forma normale e indica quali seno monomi, binomi,

trinemni, quadrinoenmi:

pe 3 x= Sy + Ex dp: b. alb — 2 a b-— saba: 0

2-4

d.

pe

+2

a

a

A

EstRcIZ IO Polinomi in forma normale

+ bt

dat + db,

O De

Per definire il grado di un polinomio, lo si riduce a forma normale, poi si prende in esame il grado dei singoli monomi da cui è formato.

U n polinomio ridotto è omogeneo se tutti i suoi termini hanno lo stesso grado. I

| ESEMPIO 8x°y + x33° — 3x! è un polinomio omogeneo: tutti i termini che lo compongono sono di quarto grado.

308

le ml a ala mulo o e ae cea ndo ola ala alma l e ala m e cio uma ela l e

— a*b — 6ab. Dunque è un polinomio di terzo grado,

o doo l e

Il polinomio 2a* — a'b — 2 a — 6ab non è di quarto grado. Infatti, riducendolo diventa:

a

1l grado rispetto ad a è 4, rispetto a & è 5.

e leo l o

IP | ESEMPIO Il polinomio 6 a ? — 3a'b® + 2a°b è di grado 8.

ala

suoi termini rispetto a tale lettera.

a

e

Inoltre, il grado di un polinomio rispetto a una lettera è il maggiore dei gradi dei

A DO

a

a

O O a a D a DO O

DEFINIZIONE

Il grado di un polinomio ridotto è il grado maggiore fra 1 gradi dei suoi termini.

o D o DO O

O

* Esercizi a pagina 326

o DE D A O

b l l grado d i u n polinomio ridotto

a

O O

Per esempio, a — 3ab° è un binomio e 2a° — a? + 4a + 1 è un quadrinomio.

De Da O a

chiamano, rispettivamente, binomi, trinomi e quadrinomi.

A DA DO

o

A

Per esempio, 2a + b e b + 2a sono polinomi uguali.

I polinomi ridotti a forma normale con 2, 3 e 4 termini hanno nomi particolari. Si

sere pla ola u l

TEORIA

riduclamo | monomi a

o

+ 3ab2b + 4 a = 7 + 2ab? — a + 6ab? + 4a -= 7 + Bab? + 3a?

e DO A

7 + 2ab? — a

O DO D a

o

7 + 2ab? — a° + 3ab2b + 4 a non è ridotto a forma normale. Riduciamolo:

O

o

tutti i suoi termini sono ridotti e non contiene monomi simili.

oo a

a

I | ESEMPIO 8&x°y + x3y° — 3x* è un polinomio ridotto a forma normale perchè

a O

O Da O

forma normale (o semplicemente ridotto).

QQ EssRcIZIO Grado e forma normale

Splega perché i l grado di

bat + 32° + 2a° — bat non è di. Qual è i l grado?

POLINOMI

Bb L a moltiplicazione d i u n monomio per u n polinomio

ame alae l a l a

ia

* Esercizi a paginà 331

o

o anlilo alere alo a l a

Consideriamo la moltiplicazione 5a° (a? + 2ab). Per la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

o a

o

o

+ 20) = Saga? + Sa°2ab = 5Sa° + 1006,

A a a Da a De O e

Prodotto di un monomio per u n polinomio Il prodotto di un monomio per un polinomio è un polinomio che ha come termini i prodotti del monomio per ciascun termine del polinomio dato.

o

o DA

sf

ala

e |

ala a a r

CAPITOLO 7

Calcola i seguenti prodotti:

a. -3la - b l ; bb. xt px? = x + 1].

a

A

-B+A: C - A - D

Applica la regola

a

a

DO

a

a

A-(B+C-D)=A

QQ esercizio

ab

ac

b

©

O a O A Da Da

A

perciò l'area è anche A = ab + ac.

è

=

20 = Gat — Sa? + Sat = 22,

e

Rifletti sulla regola Splega perché i l grado del

polinemio prodotto è la somma dei gradi del polinomi fattori. In base a quale proprietà puoi affermarlo?

a e o a

a DO e

a Da

A

(A+B}{C+D) =A-C+A-D+B-C+B-D

O DO

a

MATEMATICA PER IMMAGINI

o O DO o

Le

Risulta alloraA = (a

310

+ b}{c + d) = ac + ad + be + bd.

O O o O O o olo lle

tro rettangoli di area ac, ad, bc, bd, quindi l'area è ancheA = ac + ad + bc + bd.

la ul

Possiamo vedere il rettangolo come unione di quat-

e

o

a + b e c + d, quindi l'area è A = (a + b){c + di).

O Da

I lati del rettangolo più grande in figura misurano

a

Interpretazione geometrica

o

E

E viveo Moltiplicaziona di polinomi

DE o a a a a a

Prodotto di due polinomi Il prodotto di due polinomi è un polinomio che si ottiene moltiplicando ogni termine del primo polinomio per ogni termine del secondo e addizionando tutti i prodotti ottenuti,

o E

o

o

6a! — 2a? + 4a? — 3a? +

O DO O

O

hi

O

= 20(3a"— a + 2) - a(3a° — a+ 2) =

o

Sea)

QY EseRcIZIO

O O

af

O O

o OO

A

a

O

mini di 2a — a:

a

Applichiamo la proprietà distributiva, distribuendo il fattore 3a” — a + 2 fra ì ter-

O

Consideriamo la moltiplicazione (2a° — a}(3a? — a + 2).

a DO D a

a

= Esercizi a pagina 333

a

B L a moltiplicazione d i d u e polinomi

e doo a

a

la

a

O

b ) = ab + ac. Risulta allora A = a - { +

dere e

TEORIA

Possiamo vedere il rettangolo anche come unione di due rettangoli di aree ab e ac,

a

O

lati misurano a e È + c. L'area è& A = a (b + c).

a

a

Consideriamo il rettangolo più grande in figura, i cui

a

a

a DO Da

Interpret azione geometri ca

a DA

o

2 0 5 MATEMATICA PER IMMAGINI

Utilizzando e | 2 x+ a ) [= 3y — 5a]

la+1)i2a- 1) otteniamo la regola del prodotto di due polinomi.

e

3 e | prodotti notevoli

prodotti notevoli

|

Nella moltiplicazione fra polinomi ci sono alcuni casi particolari i cui risultati vengono detti prodotti notevoli. In questi casi si può scrivere il risultato della moltiplicazione senza passaggi intermedi.

P I l prodotto della somma d i due termini per la loro differenza: (A + BJ{A — B ) > Esercizi a pagina 341 Consideriamo due monomi generici A e Be calcoliamo il prodotto della loro somma per l a loro differenza: ( A

+ B}{A — E).

A

E

(A + BHA - E)

Sviluppo del calcoli

Risultato

x

3

{x + 3}{x — 3)

x

x-9

3x

y

(3x + y)(3x — 3)

9ax® — Ixy + B3xy — È

9x2 — yi

2

4a

(2 + 4a)(2 = 4a)

4 — Ba + 8a — 160?

4 - 162°

dx + dx - 9

I n generale: (A + B)}{A — B} = A — A B + AB — Bè = A — p?,

Somima di due termini per la loro differenza Il prodotto della somma di due termini per la loro differenza è il polinomio costituito dalla differenza fra il quadrato del primo e il quadrato del secondo.

(A + BX{A — B) = A! — pi

individuare A è E Quando applichi la regola, individua subito A e &: A è i l termina cha non cambia

segna, & invece cambia sagna.

a

P | ESEMPIO (3a + 5b)(3a — 56?) = (30) — (5b3)* =

9a? — 256°

W

EsERcCIZIO

Applica la regola In casi

particolari

# 5 MATEMATICA PER IMMAGINI Interpretazione geometrica

Calcola i seguenti prodotti:

a [= dx + 3 - 4 = 3): b. lx — 5 ) x — 5);

e 12 + 3xl3x — 21,

La figura F si ottiene come differenza tra il quadrato di lato a e il quadrato di lato

b, quindi la sua area è Ar = a* — b?, La figura R è composta da R, e Rs. congruente a Ra, quindi R è equivalente a F. AR è un rettangolo di lati (@ + b) e (a — b) e ha area Ag = (a + b) (a — b)}. Quindi: Ag = Ar — (a + b) {a — b) = a° — pb,

311

TEORI A

L a s o m m a d i d u e moncomi p e r l a l o r o differenza

CAPITOLO 7

e |

POLINOMI

ll quadrato d i u n b i n o m i o : ( A

+ B)?

>Esercizia pagina 343

Il quadrato di un binomio è i l prodotto del binomio per se stesso.

A

E

(A + B F

{A + B}{A + 8 )

Sviluppo dei calcoli

b

5

(b + 5)?

(b + 5)(b + 5)

b

3x

—-2y

(3x — 2y}?

(3x — 2y)(3x — 25)

9x® — 6xy — 6xy + 4y5| 9x2 — 12xy + 432

- 2a

-3*

(-2a- L x )

(-2a-3x(-2a-

+ 5b + 56 + 25

4a + 2ax + Lx?

A+ AB + AB + PB = A! +2AB + E .

In generale: (A + B)}* = (A + B)(A + B) =

i

Quadrato di u n binomio

usten t o

rr

Il quadrato di un binomio è un polinomio che ha come termini il quadrato del

h esquare t a binomial

primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato

ol i g p p i pdosi

del secondo.

product of the terms.

Segno del depple prodotto

e

IP i E S E M P I O 2 = (2x2 2 2x4

°

(2x +3 )

i

{ 1

FI

(2x)

3p=(

32

NI

Ted

+ (=

NZ

TZ

3

segni? (3x + 5)2; [-

4dxy + y°

+0)

2x:Y

Sviluppa i seguenti quadrati. ai Che cosa osservi rispetto

+

= 4224

2x4 4 (2

+ 22° - (= 3)

=

a

— 62° +9

Interpretazione geometrica

b

ab

a

P

In figura è rappresentato un quadrato di lato a + b, la cui area è A = (a + b)?, Possiamo scomporre il quadrato in due quadrati di area

a e b? e due rettangoli di area ab, Quindi, l’area del quadrato è anche A = a° + 2ab + b*.,

a

Risulta allora: (a + BP = a° + 2ab + b ,

O l l quadrato d i un trinomio: (A + B + Cc}

> Esercizi a pagina 346 Per ricavare la regola del calcolo di quadrato di un trinomio utilizziamo un metodo

analogo a quello usato per il quadrato di un binomio: (A + B+C)ì ={A + B + C ( A + B + C ) = A“ + AB + AC + BA + B' + BC + CA +CB+Cì= = sommiamo A? + B? + C + 2 A B + 2 A C + 2BC.

|

termini simili

] Quadrato di un trinomio Il quadrato di un trinomio è un polinomio che ha come terminii quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue. (A + B + C } = A?+ B!+C!+2AB + 2AC +2BC

312

3x — 5 ) ,

( - 3 x+ 512; ( 3 x— 512.

=

MATEMATICA PER IMMAGINI

he

è

QQ esercizio

(A + B} = A + 2AB + Bt fn i

b? + 10b + 25

4a + ax + ax+ x ?

3%)

Risultato

i

SL

CAPITOLO 7

e |

POLINOMI

ll quadrato d i u n b i n o m i o : ( A

+ B)?

>Esercizia pagina 343

Il quadrato di un binomio è i l prodotto del binomio per se stesso.

A

E

(A + B F

{A + B}{A + 8 )

Sviluppo dei calcoli

b

5

(b + 5)?

(b + 5)(b + 5)

b

3x

—-2y

(3x — 2y}?

(3x — 2y)(3x — 25)

9x® — 6xy — 6xy + 4y5| 9x2 — 12xy + 432

- 2a

-3*

(-2a- L x )

(-2a-3x(-2a-

+ 5b + 56 + 25

4a + 2ax + Lx?

A+ AB + AB + PB = A! +2AB + E .

In generale: (A + B)}* = (A + B)(A + B) =

i

Quadrato di u n binomio

usten t o

rr

Il quadrato di un binomio è un polinomio che ha come termini il quadrato del

h esquare t a binomial

primo termine, il doppio prodotto del primo termine per il secondo e il quadrato

ol i g p p i pdosi

del secondo.

product of the terms.

Segno del depple prodotto

e

IP i E S E M P I O 2 = (2x2 2 2x4

°

(2x +3 )

i

{ 1

FI

(2x)

3p=(

32

NI

Ted

+ (=

NZ

TZ

3

segni? (3x + 5)2; [-

4dxy + y°

+0)

2x:Y

Sviluppa i seguenti quadrati. ai Che cosa osservi rispetto

+

= 4224

2x4 4 (2

+ 22° - (= 3)

=

a

— 62° +9

Interpretazione geometrica

b

ab

a

P

In figura è rappresentato un quadrato di lato a + b, la cui area è A = (a + b)?, Possiamo scomporre il quadrato in due quadrati di area

a e b? e due rettangoli di area ab, Quindi, l’area del quadrato è anche A = a° + 2ab + b*.,

a

Risulta allora: (a + BP = a° + 2ab + b ,

O l l quadrato d i un trinomio: (A + B + Cc}

> Esercizi a pagina 346 Per ricavare la regola del calcolo di quadrato di un trinomio utilizziamo un metodo

analogo a quello usato per il quadrato di un binomio: (A + B+C)ì ={A + B + C ( A + B + C ) = A“ + AB + AC + BA + B' + BC + CA +CB+Cì= = sommiamo A? + B? + C + 2 A B + 2 A C + 2BC.

|

termini simili

] Quadrato di un trinomio Il quadrato di un trinomio è un polinomio che ha come terminii quadrati dei tre termini e il doppio prodotto di ciascun termine per ogni termine che lo segue. (A + B + C } = A?+ B!+C!+2AB + 2AC +2BC

312

3x — 5 ) ,

( - 3 x+ 512; ( 3 x— 512.

=

MATEMATICA PER IMMAGINI

he

è

QQ esercizio

(A + B} = A + 2AB + Bt fn i

b? + 10b + 25

4a + ax + ax+ x ?

3%)

Risultato

i

SL

CAPITOLO 7

e |

POLINOMI

IDEE PER LE COMPETENZE

l l padre del polinomi

\ 3

Gli arabi svilupparono ampie conoscenze scientifiche, prima acquisendole dalle civiltà vicine indiana e greca,poi dando importanti contributi originali. In particolare sono fondamentali i loro studi in astronomia e matematica {gli studiosi spesso

!

erano al contempo sia astronomi sia matematici), tanto che si

ci

14

possono considerare gli arabi come i «fondatori» dell'algebra. Il primo matematico che si occupò in modo approfondito dell'algebra dei polinomi fu il persiano al-Karaji (953-1029 circa). Egli ebbe l'idea di applicare le operazioni aritmetiche alle potenze delle variabili, giungendo così ai monomi. Per i polinomi, al-Karaji stabilì le regole di addizione, sottrazione e moltiplicazione. Calcolò il quadrato e il cubo di un binomio e costrui una tabella per ricavare i coefficienti

delle potenze di (a + b}" fino a

n=

12.

IP 1] matematici arabi non furono i primi a individuare i coefficienti per lo sviluppo delle potenze di un binoTEORIA

mio. Ricostruisci la storia del triangolo di Tartaglia.

iI i

le

4

Le funzioni polinomiali i

i

I Nall'abook e su

‘

Ei GUARDAI

|

panna

1

binomio,

‘un

5

,

> Esercizi a p a g i n a 351

LB n

approfondimento su

°

I I

Consideriamo il polinomio x° + x° - fx - 12, con x E R.

i

Se x = 2, il polinomio assume il valore:

i

di

LI

Li

2

+22 - 8 - 2 - 1 2 = 8 + 4 -

16 - 12 = — 16.

i I

In generale, sostituendo alla variabile x un qualsiasi numero reale, il polinomio as- 1 sume uno e un solo valore. A ogni polinomio è quindi associata una funzione che ! chiamiamo funzione polinomiale. La indichiamo con l'espressione y = P(x). i

Nel nostro esempio: P(x) =

i 1

x° + x? — Bx — 12,

!

i MATEMATICA E ANATOMIA

VIDEO

Fra ossa # polinomi

’:

1 Un problema con | polinomi

o

Una antropologa studia una tibia umana,

*

rinvenuta in una fattoria abbandonata, e si c h i a d e : «È d i una d e n n a oc d i un uomo?»

' Nel progetto di una villetta,

! vediamo come sia opportuno

o

Lp

£

| polinomi possono alutaria a trovare la

I

'

:

risposta.

‘NH

’

” sesso

oo

ao

oo

[5] Problema a risoluzione = Un esercizioin più,

'

lle

”

' I

314

usare l e lettera

' numeri

LO

i

al posto dei

a

4 e L e funzioni polinomiali Possiamo disegnare il grafico approssimato di una funzione polinomiale per punti, compilando una tabella. I

| ESEMPIO Disegniamoil grafico di y = x° + x* — f x — 12. x

y

-4

| -28

-3

|

|

-6

|

-4

|

-12

1 |

18

o

ol

0

-2 -1

Lao

2

|-16

3

0

4

36

- 3 0+

I

TEORI A

Un polinomio con più lettere è una funzione delle variabili che contiene. In particolare, un polinomio con due lettere è una funzione con dominio R x R . I ESEMPIO Ql(a; b) = 2a + 3b è funzione di a e b reali. Al variare di a e &, (a;

b) assume valori reali. Qi

- 2 ) = 2 : / 1 + 3 : ( - 2 ) =-4;

AT:3)= 3+3 2 3= GII zeri di una funzione polinomiale

Y

DEFINIZIONE

I valori della x per i quali un polinomio P(x} si annulla sono gli zeri del polinomio. I

EsERcIZIO Trova gli zeri

Quali sono, se esistono, gli

zeri del polinomio Ple) = lx + 1] lx — 222

| ESEMPIO Data la funzione polinomiale y = A(x} = x° — 3x + 2, sostituendo a x il valore 1 otteniamo AU] =1-3+2=0

— 1+èuno zero della funzione.

Per una funzione polinomiale y = P{x) gli zeri del polinomio P(x) corrispondono a quei punti della funzione per i quali y = 0. Dal punto di vista grafico, sì tratta dei punti di intersezione del grafico della funzione con l'asse delle x, che è l'insierne di tutti i punti con ordinata nulla.

x° + x° — f x — 12, di cui abbiamo tracciato il grafico approssimato, ha due zeri: — 2 e 3.

PB ESEMPIO La funzione y = P(x) =

Il principio di Identità del polinomi Ci sono polinomi che assumono lo stesso valore se attribuiamoparticolari valori alle loro variabili, come proponiamo nell'esercizio a fianco.

Ci sono poi polinomi che assumono lo stesso valore per qualsiasi valore attribuito alle loro variabili. Li chiamiamo polinomi identici.

ESPLORA CON GECOGEBSBRA Zeri di un pollnomia Traccia il grafico della funzione polinomiale

Pix] = x2 — Sx? + 2x, Trova i punti di intersezione

con l’assa x e verifica che ai tratta degli zeri dal polinomio,

W

EserRcIZIO Calcola | valori assunti da un nomio Dati | polinomi

Pix] = 3 x ' - x - 2 e Glx] = - x * + 1 , per quale o quali fra | valori x m - 3,

x=-_ | x = 0 , x=15h a Plx) = è lx] ?

315

e |

POLINOMI

a l a aio l o o a e a e dee a o O

O

assumono valori uguali per qualsiasi valore di x, cioè sono la stessa funzione, allora i polinomi corrispondenti sono uguali.

o

spondenti funzioni polinomiali x = P{x) e y = Q{x) assumono lo stesso valore per

qualsiasi valore attribuito a x. * Viceversa, sipuò dimostrare che, se due funzioni polinomiali y = P{x) e y = Q(x)

a

e Se due polinomi P e @, nella variabile x, sono uguali, allora senz'altro le corri-

i

a

CAPITOLO 7

o o O a a O e

QQ Esercizio Applica IL principio Par quali valori di h e k le funzioni polinomiali

+ +

Alx] = 3kx? è x 2k e B lx] = d h x+?dx — 4 sono uguali?

a a O O A o O Da o o ala o o eo la a a a O DA o

Se un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio ottenuto dividendo ogni termine del polinomio per il monomio.

A D a DO A

e Da eo

divisibile per tale monomio.

o Da O

REGOLA U n polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni suo termine è

O Oo o

DO a

o

(4ab° — 6a°b) : (2ab) = (4ab? : 2ab) — (6a°b : 2ab) = 2b — 3a.

o

e

butiva della divisione rispetto alla sottrazione:

ml

:

In questo caso, per eseguire la divisione, possiamo applicare la proprietà distri-

l o ceo l e

Infatti, esiste il polinomio 2b — 3a tale che (2b — 3a) 2ab = 4ab* — 6a*b.

l o lle

ESEMPIO Il polinomio 4a? — 6a°b è divisibile per il monomio 2ab.

Pf

e

e

o

Un polinomio è divisibile per un monomio (non nullo) se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio divisore, dà il polinomio iniziale.

ela l a ceo

o lo

> Esercizi a pagina 356

ma lo

PD L a divisione d i u n polinomio per u n monomio

a

ma e a a

a

me

sibilità e poi il procedimento di calcolo.

a O

Nell'insierne dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un multiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore. Per esempio, 6 è divisibile per 3 perché 3 - 2 dà come prodotto 6. Procediamo in modo analogo per i polinomi, fornendo prima la definizione di divi-

Applica la regola Solo uno fra i seguenti

polinemi È divisibile per 2x°. Quale? Motiva la risposta. 2 - 2 0 + di x t + S x bx + 4 ; Bxi + Bye. 15xÉ + 6x9 + dx,

o o

Z a —3 a + a ;

QY EsERCIZIO

O o

Divisione di un polinomio per u n monomio

O DO a

Cividi, quando possibile, i l

polinomio 3x*y® + x } per |

a

IP | ESEMPIO a + a + 1 non è divisibile per a ,

a lo

A

Ci sono casi in cui un polinomio non è divisibile per un monormio.

a

a

( F e +Lab - 5 b ) : b = p b + Lat 5,

O

a

(5a5 — 6a! + 24%): (205) =

QQ esercizio

A DO Da

È ESEMPIO

o DO

)

mr

TEORIA

e

a

o

L a divisione fra polinomi

a m a leo ma a

a

a

a

a

O

a

y=

a Da O

Principio di identità dei polinomi Due polinomi P e Q, nella variabile x, sono uguali se e solo se le corrispondenti funzioni polinomiali P(x) e = Q(x) assumono valori uguali per qualsiasi valore attribuito a x.

A

o O

DO

o O

In sintesi, vale il seguente principio.

316

monomi seguenti:

xy Sy": Sixty: d n

e |

POLINOMI

a l a aio l o o a e a e dee a o O

O

assumono valori uguali per qualsiasi valore di x, cioè sono la stessa funzione, allora i polinomi corrispondenti sono uguali.

o

spondenti funzioni polinomiali x = P{x) e y = Q{x) assumono lo stesso valore per

qualsiasi valore attribuito a x. * Viceversa, sipuò dimostrare che, se due funzioni polinomiali y = P{x) e y = Q(x)

a

e Se due polinomi P e @, nella variabile x, sono uguali, allora senz'altro le corri-

i

a

CAPITOLO 7

o o O a a O e

QQ Esercizio Applica IL principio Par quali valori di h e k le funzioni polinomiali

+ +

Alx] = 3kx? è x 2k e B lx] = d h x+?dx — 4 sono uguali?

a a O O A o O Da o o ala o o eo la a a a O DA o

Se un polinomio è divisibile per un monomio, il quoziente è il polinomio ottenuto dividendo ogni termine del polinomio per il monomio.

A D a DO A

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divisibile per tale monomio.

o Da O

REGOLA U n polinomio è divisibile per un monomio, non nullo, se ogni suo termine è

O Oo o

DO a

o

(4ab° — 6a°b) : (2ab) = (4ab? : 2ab) — (6a°b : 2ab) = 2b — 3a.

o

e

butiva della divisione rispetto alla sottrazione:

ml

:

In questo caso, per eseguire la divisione, possiamo applicare la proprietà distri-

l o ceo l e

Infatti, esiste il polinomio 2b — 3a tale che (2b — 3a) 2ab = 4ab* — 6a*b.

l o lle

ESEMPIO Il polinomio 4a? — 6a°b è divisibile per il monomio 2ab.

Pf

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e

o

Un polinomio è divisibile per un monomio (non nullo) se esiste un polinomio che, moltiplicato per il monomio divisore, dà il polinomio iniziale.

ela l a ceo

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> Esercizi a pagina 356

ma lo

PD L a divisione d i u n polinomio per u n monomio

a

ma e a a

a

me

sibilità e poi il procedimento di calcolo.

a O

Nell'insierne dei numeri naturali la divisione è possibile se il dividendo è un multiplo del divisore; si dice allora che il dividendo è divisibile per il divisore. Per esempio, 6 è divisibile per 3 perché 3 - 2 dà come prodotto 6. Procediamo in modo analogo per i polinomi, fornendo prima la definizione di divi-

Applica la regola Solo uno fra i seguenti

polinemi È divisibile per 2x°. Quale? Motiva la risposta. 2 - 2 0 + di x t + S x bx + 4 ; Bxi + Bye. 15xÉ + 6x9 + dx,

o o

Z a —3 a + a ;

QY EsERCIZIO

O o

Divisione di un polinomio per u n monomio

O DO a

Cividi, quando possibile, i l

polinomio 3x*y® + x } per |

a

IP | ESEMPIO a + a + 1 non è divisibile per a ,

a lo

A

Ci sono casi in cui un polinomio non è divisibile per un monormio.

a

a

( F e +Lab - 5 b ) : b = p b + Lat 5,

O

a

(5a5 — 6a! + 24%): (205) =

QQ esercizio

A DO Da

È ESEMPIO

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TEORIA

e

a

o

L a divisione fra polinomi

a m a leo ma a

a

a

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O

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Principio di identità dei polinomi Due polinomi P e Q, nella variabile x, sono uguali se e solo se le corrispondenti funzioni polinomiali P(x) e = Q(x) assumono valori uguali per qualsiasi valore attribuito a x.

A

o O

DO

o O

In sintesi, vale il seguente principio.

316

monomi seguenti:

xy Sy": Sixty: d n

CAPITOLO 7

e |

POLINOMI

Costruiamo lo schema della divisione (8x° — 3x2 + 1): (-2x* + 1). Poiché il dividendo non è un polinomio completo (manca il termine in x di primo grado), nello schema inseriamo uno 0 nella corrispondente posizione,

f x - 3x7

1

0 +1

dx:

|-2x!+1

- dx

+ Ax

- fx! e

0 +1

g e t- axt o 0 i 3

-Q0,*B

- &X

+ dx

- fx?

—

+ 1 | - 2 x ? +1

+ dx + LI 1

&. Dividiammo 8x° per =2x° e scriviamo

i l quoziente =4x, che rappresenta i l quoziente parziale Q,.

gx° -3xt 0 + 1 | + 1 -+ dx - fx? pm

+1

b. Maltiplichiameo =4x per ogni termine di & e scriviamo con i l segno cambiato i risultati a l di sotto di A, incolonnati, rispetto al grado, con | termini di A.

Bx° =

xt

a

O

+1|-2x°

+ dx

- Bx? =

jx° + 4x

+ 3x2

+1

- Ax + 3

t . Sormmiamo in colonna i termini, ottenendo un primo rasto

parziale A,. Quasto resto è tale che A m B - Q , + Ri.

gx = dx

0

+1

+ ix

- fx?

+1

=

- ì

- 3x!

XxX + 4

+1

-3

TEORIA

-0,*B

d. Poiché il grado di R, non è minore del grado di &, ripetiamo i l procedimento considerando coma dividendo R,. Dividiamo — 3x7 per - 2x°,

e. Moltiplichiamo + è par tutti i termini di & e scriviarno i prodotti, con i l segno cambiato, in colonna

conf.

ottenendo + 4 come secondo quoziente parziale Q,.

f. Eseguiamo l'addizione dei tarmini in colonna e otteniamo i l resto da =

Polehé i l grado di 4x -

lè minore del grado di 8, la divisione è terminata p i x + è il r e s t oA ed è tale che Q +R, o

A =

O O

O O

+1 ( - 4 x3)++(4x- +3)=

O o

= 8 ! 3x2 1 mm A,

regola

di

Ruffini

> E s e r c i zai pagina 3651

O

La

Nel prossimo esempio vediamo come si applica il procedimento della regola di Ruffini.

318

O O O e OOo o O O O o O O Oo O O O O

questo caso è I , il resto ha grado 0,

e

Infatti, poiché il grado del resto deve essere minore del grado del divisore, che in

e lle

reale qualunque, per determinare il quoziente Q e il resto R possiamo utilizzare u n

procedimento rapido, detto regola diRuffini, che permette di calcolare i coefficienti dei polinomi Q e R. Osserviamo anche che, se il divisore è del tipo x — a, il resto è sempre un numero.

a l a nia cina l a

Quando il polinomio divisore è un binomio del tipo x — a, dove a è un numero

e O

O

6

o o

a o e ala a o

o

lee l o o

lo

le

e

Bat — 3xî- dx +3 + A x

O

a

A

B:Q+R=(-22

QY estnRcizIO Divisione fra polinomi

O

O

o

a

a

e

a

Verifica La definizione di divisione con resto, in base alla quale A = 5 : Q + RK,permette di verificare l'esattezza del risultato:

Determina i l quozianta e i l resto della divisione di

13x° + 6xì + 6 + Sx par 2 - x + 3x2. Esegui pol la verifica.

CAPITOLO 7

e |

POLINOMI

Costruiamo lo schema della divisione (8x° — 3x2 + 1): (-2x* + 1). Poiché il dividendo non è un polinomio completo (manca il termine in x di primo grado), nello schema inseriamo uno 0 nella corrispondente posizione,

f x - 3x7

1

0 +1

dx:

|-2x!+1

- dx

+ Ax

- fx! e

0 +1

g e t- axt o 0 i 3

-Q0,*B

- &X

+ dx

- fx?

—

+ 1 | - 2 x ? +1

+ dx + LI 1

&. Dividiammo 8x° per =2x° e scriviamo

i l quoziente =4x, che rappresenta i l quoziente parziale Q,.

gx° -3xt 0 + 1 | + 1 -+ dx - fx? pm

+1

b. Maltiplichiameo =4x per ogni termine di & e scriviamo con i l segno cambiato i risultati a l di sotto di A, incolonnati, rispetto al grado, con | termini di A.

Bx° =

xt

a

O

+1|-2x°

+ dx

- Bx? =

jx° + 4x

+ 3x2

+1

- Ax + 3

t . Sormmiamo in colonna i termini, ottenendo un primo rasto

parziale A,. Quasto resto è tale che A m B - Q , + Ri.

gx = dx

0

+1

+ ix

- fx?

+1

=

- ì

- 3x!

XxX + 4

+1

-3

TEORIA

-0,*B

d. Poiché il grado di R, non è minore del grado di &, ripetiamo i l procedimento considerando coma dividendo R,. Dividiamo — 3x7 per - 2x°,

e. Moltiplichiamo + è par tutti i termini di & e scriviarno i prodotti, con i l segno cambiato, in colonna

conf.

ottenendo + 4 come secondo quoziente parziale Q,.

f. Eseguiamo l'addizione dei tarmini in colonna e otteniamo i l resto da =

Polehé i l grado di 4x -

lè minore del grado di 8, la divisione è terminata p i x + è il r e s t oA ed è tale che Q +R, o

A =

O O

O O

+1 ( - 4 x3)++(4x- +3)=

O o

= 8 ! 3x2 1 mm A,

regola

di

Ruffini

> E s e r c i zai pagina 3651

O

La

Nel prossimo esempio vediamo come si applica il procedimento della regola di Ruffini.

318

O O O e OOo o O O O o O O Oo O O O O

questo caso è I , il resto ha grado 0,

e

Infatti, poiché il grado del resto deve essere minore del grado del divisore, che in

e lle

reale qualunque, per determinare il quoziente Q e il resto R possiamo utilizzare u n

procedimento rapido, detto regola diRuffini, che permette di calcolare i coefficienti dei polinomi Q e R. Osserviamo anche che, se il divisore è del tipo x — a, il resto è sempre un numero.

a l a nia cina l a

Quando il polinomio divisore è un binomio del tipo x — a, dove a è un numero

e O

O

6

o o

a o e ala a o

o

lee l o o

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e

Bat — 3xî- dx +3 + A x

O

a

A

B:Q+R=(-22

QY estnRcizIO Divisione fra polinomi

O

O

o

a

a

e

a

Verifica La definizione di divisione con resto, in base alla quale A = 5 : Q + RK,permette di verificare l'esattezza del risultato:

Determina i l quozianta e i l resto della divisione di

13x° + 6xì + 6 + Sx par 2 - x + 3x2. Esegui pol la verifica.

a a a

QY EserRciIZIO Dividendo non completo Svolgi le seguenti divisioni can la regola di Rutfini. e e

{xt — 233 — Sx + 13] i [x = 2)

lx + 1 0:) x + 4]

e O

Pf ESEMPIO Per il polinomio dividendo 2x* — x? — 1, i coefficienti da disporre

O

A Da

Se il polinomio dividendo fosse stato incompleto, al posto dei coefficienti mancanti avremmo dovuto inserire alcuni O,

a DO DO

messoin rigai coefficienti delpolinomio dividendo 3:x° — 10x — 9,cioè 3, — 10 e — 9 ,

a

Osservazione, Nello scherma costruito nell'esempio a pagina precedente, abbiamo

A

POLINOMI

O

e |

a Da

CAPITOLO 7

a o ne

>Esercizi a pagina 365

o

a

ll teorema del resto

e

dl

o lo

a

a

lee a

in riga sono: 2, 0, - 1, 0, — 1.

n

ce ml

Eseguiamo mediante la regola di Ruffini la divisione:

mo ala

+14

+71+21

-—ll resto della divisione è 21,

o la eo a lo a

Calcoliamo il valore che assume il polinomio 5x? — 3x + 7 per x = 2,cioè p e rx uguale all'opposto del termine noto del divisore:

e doo a la a a

Non si tratta di un caso fortunato, ma di una proprietà valida sempre, grazie alla

e

o

Il resto della divisione coincide con il valore assunto dal polinomio per x = 2, cioè, nella formula generale, per x = a.

o aule ala l a

a

5(2)? = 3(2) + 7 = 21.

a O a O DE D A a a DO O a

] TEOREMA Teorema del resto Data la divisione A(x) : (x — a), il resto è dato dal valore che assume A(x) quando

O De

e

Indichiamo il polinomio dividendo con Ax) per mettere in evidenza che il polinomio A è una funzione della variabile x.

e m a ala a

la Sa

quale, per calcolare il resto, non è necessario eseguire la divisione.

Esempio

=

2),

sappiamo che vale: It

Sostituendo a x il valore a,

Sostituendo a x il valore 2,

otteniamo: Ala) = (a = a) Q(a)

otteniamo: 3 . 2 5 2 . 22=-5 = (2-2): Q(2) + R.

2x2 = 5 = (x

2) Q(x) + R.

320

O O Da O Do a O O e

(2 — 2): Q(2) = D, quindi: 3 . 8 - 2 : - 4 - 5 = R —- R=1il.,

e

Poiché 2 — 2 = 6, abbiamo

oo

Poiché a — a = 0, il prodotto (a — a) Q{a) si annulla, quindi: Ala) = KR.

a O

O O

+ AR.

e Do

o

=

a O

sappiamo che vale: A x ) = (x — a)Q(x) + R.

a DO e

Data la divisione (3x3 — 2x2 — 5) : (x

O DO

Data la divisione A x ) : (x — a),

a D a DA

a O

]

Do

Dimostrazione

O

a

o

O O o o D o DO

e

alla variabile x si sostituisce il valore a: R= Ala).

d l e nia l a l a

TEORIA

la

e

lo

+5

|]

a m a alle a

+10

+2

+7

=-3|

o

+5

a ola l a a e a e a a

( 5 x ì— 3x + 7 ) : (x — 2).

4

ESERCIZIO

Trova I l resto Calcola i l resto senza eseguire le divisioni. e [ b °+ 3 - 6 ) è

:[b = 11

[xè dx + 9): lx + 3]

a a a

QY EserRciIZIO Dividendo non completo Svolgi le seguenti divisioni can la regola di Rutfini. e e

{xt — 233 — Sx + 13] i [x = 2)

lx + 1 0:) x + 4]

e O

Pf ESEMPIO Per il polinomio dividendo 2x* — x? — 1, i coefficienti da disporre

O

A Da

Se il polinomio dividendo fosse stato incompleto, al posto dei coefficienti mancanti avremmo dovuto inserire alcuni O,

a DO DO

messoin rigai coefficienti delpolinomio dividendo 3:x° — 10x — 9,cioè 3, — 10 e — 9 ,

a

Osservazione, Nello scherma costruito nell'esempio a pagina precedente, abbiamo

A

POLINOMI

O

e |

a Da

CAPITOLO 7

a o ne

>Esercizi a pagina 365

o

a

ll teorema del resto

e

dl

o lo

a

a

lee a

in riga sono: 2, 0, - 1, 0, — 1.

n

ce ml

Eseguiamo mediante la regola di Ruffini la divisione:

mo ala

+14

+71+21

-—ll resto della divisione è 21,

o la eo a lo a

Calcoliamo il valore che assume il polinomio 5x? — 3x + 7 per x = 2,cioè p e rx uguale all'opposto del termine noto del divisore:

e doo a la a a

Non si tratta di un caso fortunato, ma di una proprietà valida sempre, grazie alla

e

o

Il resto della divisione coincide con il valore assunto dal polinomio per x = 2, cioè, nella formula generale, per x = a.

o aule ala l a

a

5(2)? = 3(2) + 7 = 21.

a O a O DE D A a a DO O a

] TEOREMA Teorema del resto Data la divisione A(x) : (x — a), il resto è dato dal valore che assume A(x) quando

O De

e

Indichiamo il polinomio dividendo con Ax) per mettere in evidenza che il polinomio A è una funzione della variabile x.

e m a ala a

la Sa

quale, per calcolare il resto, non è necessario eseguire la divisione.

Esempio

=

2),

sappiamo che vale: It

Sostituendo a x il valore a,

Sostituendo a x il valore 2,

otteniamo: Ala) = (a = a) Q(a)

otteniamo: 3 . 2 5 2 . 22=-5 = (2-2): Q(2) + R.

2x2 = 5 = (x

2) Q(x) + R.

320

O O Da O Do a O O e

(2 — 2): Q(2) = D, quindi: 3 . 8 - 2 : - 4 - 5 = R —- R=1il.,

e

Poiché 2 — 2 = 6, abbiamo

oo

Poiché a — a = 0, il prodotto (a — a) Q{a) si annulla, quindi: Ala) = KR.

a O

O O

+ AR.

e Do

o

=

a O

sappiamo che vale: A x ) = (x — a)Q(x) + R.

a DO e

Data la divisione (3x3 — 2x2 — 5) : (x

O DO

Data la divisione A x ) : (x — a),

a D a DA

a O

]

Do

Dimostrazione

O

a

o

O O o o D o DO

e

alla variabile x si sostituisce il valore a: R= Ala).

d l e nia l a l a

TEORIA

la

e

lo

+5

|]

a m a alle a

+10

+2

+7

=-3|

o

+5

a ola l a a e a e a a

( 5 x ì— 3x + 7 ) : (x — 2).

4

ESERCIZIO

Trova I l resto Calcola i l resto senza eseguire le divisioni. e [ b °+ 3 - 6 ) è

:[b = 11

[xè dx + 9): lx + 3]

CAPITOLO 7

e |

POLINOMI

L a differenza di due cubi: x® a i

Indichiamo con A(x} il binomio x° — a* e sostituiamo alla variabile x il valore a. Otteniamo: A(a} = a° = a° = 0. Poiché il resto è 0, il binomio considerato è divisibile per x — a. Calcoliamo il quoziente di {x° — 2°) : (x — a) con la regola di Ruffini,

tenendo conto che i coefficienti di x® e x sono entrambi 0, Dallo schema a lato otteniamo: Q(x}) =

x* + ax + a ,

Dunque, x® = a° può essere scritto come prodotto: x° = @ = (x = a)(x® + ax + a”),

La somma di due cubl: x® + a? Procedendo allo stesso modo, otteniamo che x° + 2° è divisibile per x + a e che:

E + = (x + a) (x

=

ax + ad),

IP | ESEMPIO

XE 27 = 0

PP = (x

QY Esercizio

3)(xt + 3x + 9)

Riconosci | falsi quadrati

a i + 1 = (a)?+ 1 = ( a È+ 1 } ( a — t a +1)

I termini x? + ax + a e x® — ax + a si diconofalsi quadrati,perché assomigliano al TEORIA

quadrato d i un binomio. Infatti hanno come termini due quadrati e un prodotto, che non è però il doppio prodotto del quadrato di un binomio.

Quale fra i seguenti trinomi è un false quadrato e quale un quadrato di binomio? i,

4x2 + x y + d l + dry + 5

I

|

ESPLORA CON GEOGEBRA Interpretazione geometrica del quadrato d i u n binomio kh

1. Costruiamo un quadrato di lato a + b e calcoliamo la sua area, # Con lo strumento SEGMENTO, disegniamo due segmenti AB e CD. Chiamiamo a e b le loro lunghezze, che visualizziamo con lo strumento DISTANZA O LUNGHEZZA. * Con SEGMENTO-LUNGHEZZA FISSA, costruiamo il segmento EF lungo a + b . # Costruiamo il quadrato EFGH con POLIGONO REGOLARE e verifichiamo, con AREA, che la sua area

è (a + bb), 2. Scomponiamo il quadrato in due quadrati e due rettangoli. e Riportiamo il segmento C D sul segmento E F con COMPASSO,

=

H

G

N

individuando il punto 1. Con POLIGONO REGOLARE costruiamo il quadrato di lato EI, di area b*, e quello di lato IF, di area a’, Usiamo RETTA PERPENDICOLAREper tracciare la perpendicolare al lato GH passante per 1 e chiamiamo N il punto di intersezione tra questa retta e GH,

L

* Individuiamo così due rettangoli di lati a e b che disegniamo con lo strumento POLIGONO. Con AREA calcoliamo le misure delle quattro superfici in cui abbiamo scomposto il quadrato di partenza. 3. Verifichiamo che (a + b)° = a* + 2ab + b .

E

e Nella barra di inserimento scriviamo: S=poli2+poli3+q2+q3, dove poli2, poli3, q2 e q3 sono i nomi che

GeoGebra associa ai poligoni. Nella tua costruzione potresti trovare nomi diversi, #*

Modifichiamo i valori di a e b trascinando i punti B e D e verifichiamo la formula.

PIP ORA PROVA TU

Verifica con GeoGebra la formula del quadrato di un trinomio usando l'interpretazione geometrica, ——

322

CAPITOLO 7

e |

POLINOMI

L a differenza di due cubi: x® a i

Indichiamo con A(x} il binomio x° — a* e sostituiamo alla variabile x il valore a. Otteniamo: A(a} = a° = a° = 0. Poiché il resto è 0, il binomio considerato è divisibile per x — a. Calcoliamo il quoziente di {x° — 2°) : (x — a) con la regola di Ruffini,

tenendo conto che i coefficienti di x® e x sono entrambi 0, Dallo schema a lato otteniamo: Q(x}) =

x* + ax + a ,

Dunque, x® = a° può essere scritto come prodotto: x° = @ = (x = a)(x® + ax + a”),

La somma di due cubl: x® + a? Procedendo allo stesso modo, otteniamo che x° + 2° è divisibile per x + a e che:

E + = (x + a) (x

=

ax + ad),

IP | ESEMPIO

XE 27 = 0

PP = (x

QY Esercizio

3)(xt + 3x + 9)

Riconosci | falsi quadrati

a i + 1 = (a)?+ 1 = ( a È+ 1 } ( a — t a +1)

I termini x? + ax + a e x® — ax + a si diconofalsi quadrati,perché assomigliano al TEORIA

quadrato d i un binomio. Infatti hanno come termini due quadrati e un prodotto, che non è però il doppio prodotto del quadrato di un binomio.

Quale fra i seguenti trinomi è un false quadrato e quale un quadrato di binomio? i,

4x2 + x y + d l + dry + 5

I

|

ESPLORA CON GEOGEBRA Interpretazione geometrica del quadrato d i u n binomio kh

1. Costruiamo un quadrato di lato a + b e calcoliamo la sua area, # Con lo strumento SEGMENTO, disegniamo due segmenti AB e CD. Chiamiamo a e b le loro lunghezze, che visualizziamo con lo strumento DISTANZA O LUNGHEZZA. * Con SEGMENTO-LUNGHEZZA FISSA, costruiamo il segmento EF lungo a + b . # Costruiamo il quadrato EFGH con POLIGONO REGOLARE e verifichiamo, con AREA, che la sua area

è (a + bb), 2. Scomponiamo il quadrato in due quadrati e due rettangoli. e Riportiamo il segmento C D sul segmento E F con COMPASSO,

=

H

G

N

individuando il punto 1. Con POLIGONO REGOLARE costruiamo il quadrato di lato EI, di area b*, e quello di lato IF, di area a’, Usiamo RETTA PERPENDICOLAREper tracciare la perpendicolare al lato GH passante per 1 e chiamiamo N il punto di intersezione tra questa retta e GH,

L

* Individuiamo così due rettangoli di lati a e b che disegniamo con lo strumento POLIGONO. Con AREA calcoliamo le misure delle quattro superfici in cui abbiamo scomposto il quadrato di partenza. 3. Verifichiamo che (a + b)° = a* + 2ab + b .

E

e Nella barra di inserimento scriviamo: S=poli2+poli3+q2+q3, dove poli2, poli3, q2 e q3 sono i nomi che

GeoGebra associa ai poligoni. Nella tua costruzione potresti trovare nomi diversi, #*

Modifichiamo i valori di a e b trascinando i punti B e D e verifichiamo la formula.

PIP ORA PROVA TU

Verifica con GeoGebra la formula del quadrato di un trinomio usando l'interpretazione geometrica, ——

322

CAPITOLO 7

e |

POLINOMI

L a differenza di due cubi: x® a i

Indichiamo con A(x} il binomio x° — a* e sostituiamo alla variabile x il valore a. Otteniamo: A(a} = a° = a° = 0. Poiché il resto è 0, il binomio considerato è divisibile per x — a. Calcoliamo il quoziente di {x° — 2°) : (x — a) con la regola di Ruffini,

tenendo conto che i coefficienti di x® e x sono entrambi 0, Dallo schema a lato otteniamo: Q(x}) =

x* + ax + a ,

Dunque, x® = a° può essere scritto come prodotto: x° = @ = (x = a)(x® + ax + a”),

La somma di due cubl: x® + a? Procedendo allo stesso modo, otteniamo che x° + 2° è divisibile per x + a e che:

E + = (x + a) (x

=

ax + ad),

IP | ESEMPIO

XE 27 = 0

PP = (x

QY Esercizio

3)(xt + 3x + 9)

Riconosci | falsi quadrati

a i + 1 = (a)?+ 1 = ( a È+ 1 } ( a — t a +1)

I termini x? + ax + a e x® — ax + a si diconofalsi quadrati,perché assomigliano al TEORIA

quadrato d i un binomio. Infatti hanno come termini due quadrati e un prodotto, che non è però il doppio prodotto del quadrato di un binomio.

Quale fra i seguenti trinomi è un false quadrato e quale un quadrato di binomio? i,

4x2 + x y + d l + dry + 5

I

|

ESPLORA CON GEOGEBRA Interpretazione geometrica del quadrato d i u n binomio kh

1. Costruiamo un quadrato di lato a + b e calcoliamo la sua area, # Con lo strumento SEGMENTO, disegniamo due segmenti AB e CD. Chiamiamo a e b le loro lunghezze, che visualizziamo con lo strumento DISTANZA O LUNGHEZZA. * Con SEGMENTO-LUNGHEZZA FISSA, costruiamo il segmento EF lungo a + b . # Costruiamo il quadrato EFGH con POLIGONO REGOLARE e verifichiamo, con AREA, che la sua area

è (a + bb), 2. Scomponiamo il quadrato in due quadrati e due rettangoli. e Riportiamo il segmento C D sul segmento E F con COMPASSO,

=

H

G

N

individuando il punto 1. Con POLIGONO REGOLARE costruiamo il quadrato di lato EI, di area b*, e quello di lato IF, di area a’, Usiamo RETTA PERPENDICOLAREper tracciare la perpendicolare al lato GH passante per 1 e chiamiamo N il punto di intersezione tra questa retta e GH,

L

* Individuiamo così due rettangoli di lati a e b che disegniamo con lo strumento POLIGONO. Con AREA calcoliamo le misure delle quattro superfici in cui abbiamo scomposto il quadrato di partenza. 3. Verifichiamo che (a + b)° = a* + 2ab + b .

E

e Nella barra di inserimento scriviamo: S=poli2+poli3+q2+q3, dove poli2, poli3, q2 e q3 sono i nomi che

GeoGebra associa ai poligoni. Nella tua costruzione potresti trovare nomi diversi, #*

Modifichiamo i valori di a e b trascinando i punti B e D e verifichiamo la formula.

PIP ORA PROVA TU

Verifica con GeoGebra la formula del quadrato di un trinomio usando l'interpretazione geometrica, ——

322

ESERCIZI

api

13 Prova tu

DÉ) 2 ceocebra

Che cosa sono i polinomi > Teoria a pagina 307

| polinomi TEST

Quale delle seguenti espressioni non è un polinomio?

Al 2 x

i

i

Lo +ay-1

&

T

D

+

Tra le seguenti espressioni indica i polinomi. 1 2a+ 5 a ;

+ ax; Xx!

2+T;

765

LI sy;

L] sxi-

1 (5x)8ay;

O.

a. Ogni monomio è un polinomio.

vj]

LF

vj]

LE

b. La somma di due monomi non è sempre un polinomio. c. I] prodotto di due monomi non è mai un polinomio.

vY]LF

d. Il quoziente fra due monomi è sempre un polinomio,

Vj

[v]

e. Il numero 7 è un polinomio. f. a+ bp? — 1 ha due termini.

A

°°° nomi dà come risultato un polinomio che non sia un monomio?

PETTO

[F

IL

Ie quali casi l'addizione fra mo-

O L a riduzione

LF

A “°°

a,

Giustifica le affermazioni: un monomio è un polinomio;

b. un numero è un polinomio.

normale

a forma

> Teoria a pagina 308

I l polinomio a — + abb? + 3a non è ridotto a forma normale per due motivi. Quali?

Lele)

|

FONDAMENTALI Ridurre un polinomio a forma normale

q

Scriviamo in forma normale il polinomio: — 2a° + E a - a + L a + b + 5 a a.

-2a2°+ 20°

a-a+ia+b+5aga=

) 1 + qa-a+tzga

) riduciamo sala

12) Per r i d u run r epotinomio:

5 +b+

za

1.riduciamo ogni monamie; =

) s o m m i a mi otermini simili

d sormmiamo | monomi simili,

a - + a+b PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito.

Riconosci i polinomi ridotti a forma normale e riduci quelli non ridotti. a 5 h —2+ b i c ;

c xy

b. F a x + bx! — ax;

d. 6a°x— 2 a °+ 3a*x+ a t x— a ;

+ xt - 2y°;

e. 8 a b® — 3a bc — 2ab3ab';

f. B a b — 3a" + 4 a— b + 6 a ? — 3a3b.

325

ESERC IZI

VERO O FALSO?

ESERCIZI

api

13 Prova tu

DÉ) 2 ceocebra

Che cosa sono i polinomi > Teoria a pagina 307

| polinomi TEST

Quale delle seguenti espressioni non è un polinomio?

Al 2 x

i

i

Lo +ay-1

&

T

D

+

Tra le seguenti espressioni indica i polinomi. 1 2a+ 5 a ;

+ ax; Xx!

2+T;

765

LI sy;

L] sxi-

1 (5x)8ay;

O.

a. Ogni monomio è un polinomio.

vj]

LF

vj]

LE

b. La somma di due monomi non è sempre un polinomio. c. I] prodotto di due monomi non è mai un polinomio.

vY]LF

d. Il quoziente fra due monomi è sempre un polinomio,

Vj

[v]

e. Il numero 7 è un polinomio. f. a+ bp? — 1 ha due termini.

A

°°° nomi dà come risultato un polinomio che non sia un monomio?

PETTO

[F

IL

Ie quali casi l'addizione fra mo-

O L a riduzione

LF

A “°°

a,

Giustifica le affermazioni: un monomio è un polinomio;

b. un numero è un polinomio.

normale

a forma

> Teoria a pagina 308

I l polinomio a — + abb? + 3a non è ridotto a forma normale per due motivi. Quali?

Lele)

|

FONDAMENTALI Ridurre un polinomio a forma normale

q

Scriviamo in forma normale il polinomio: — 2a° + E a - a + L a + b + 5 a a.

-2a2°+ 20°

a-a+ia+b+5aga=

) 1 + qa-a+tzga

) riduciamo sala

12) Per r i d u run r epotinomio:

5 +b+

za

1.riduciamo ogni monamie; =

) s o m m i a mi otermini simili

d sormmiamo | monomi simili,

a - + a+b PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito.

Riconosci i polinomi ridotti a forma normale e riduci quelli non ridotti. a 5 h —2+ b i c ;

c xy

b. F a x + bx! — ax;

d. 6a°x— 2 a °+ 3a*x+ a t x— a ;

+ xt - 2y°;

e. 8 a b® — 3a bc — 2ab3ab';

f. B a b — 3a" + 4 a— b + 6 a ? — 3a3b.

325

ESERC IZI

VERO O FALSO?

1 * Che cosa sono | polinomi Polilnomi omoganei Indica tra i seguenti polinomi quali sono omogenei. o

a,

x + 20x22+3;

a+ 3 ab;

b. 2x°+3xy; KI

atx

=

lo hanno aeone rude

yi + xy + 2xta, 2t+2,

COMPLETA in modo che i polinomi siano omogenei.

#6

a.

E

m ila: sa uti | m o n o che

“

2x'- a l y

+ 22°

Db. 3x5- x y

at;

-4

42x23;

e

7a

+ 5all

2061+ e ?

Scrivi un binomio omogeneo di secondo grado con le lettere a e b.

Lea

Scrivi un polinomio omogeneo di grado x servendoti delle variabili a, b, c. LL)

Polinomni ordinati

Fra | seguenti polinomi riconosci quelli ordinati, specificando rispetto a quale lettera. uo

4 -2x+ 1;

a b + a;

= Ly +25 b b +I ; x - xy Lat; a+ alb + 2 a

dat a+ 2a, + bi

a t t + ab — pe,

N

Ordina i seguenti polinomi secondo potenze decrescenti di x.

af

2xi a t t

2-3xty;

a n t Bai

aly

i + 5x8

9x2 4 2a,

Li

Ordina | seguenti polinomi rispetto a ciascuna lettera secondo le potenze decrescenti,

xy

=

x4- ax? + 2 a 4+ 20°x;

2 + ab?x — 3abx?,

4;

+x

= a + bat, alb?

Polinomi completi

VA

Ul polinomio 3x° — 2x non è completo e non è neppure omogeneo,Perché?

può

| COMPLETA | seguenti polinomi, in modo che siano completi rispetto a clascuna lettera.

{27

3a + 2 { + 2;

a? + 4a + 1 - a l

7+5 - b - 36 + 3 8

6a

I L_1+1+]

E LI]

I

i+

+ att + Lala + 4;

xt +5.

— di + 2 + d I .

= ] Unpolinomioè

«TEST ‘FL

Fra i seguenti polinomi, soltanto uno è completo. Quale?

p e o a ina tettara ga pobenzs

#60

|

!

A]

a°- 2a

B|

a: + 2

Gc]

2a + 2

DD]

a + 2 , duig r a dpiù o astio

A]

x*- 2x+1

B|

x°+ 2xè — 3x +5

c|

x+1

Dj]

x*+1

.

‘unto0.

| S o I seguenti polinomi sono tutti completi, tranne uno. Quale?

”

compl

Fra i seguenti polinomi, indica quali sono omogenei e quali completi; scrivi inoltre il grado complessivo e *°5

il grado rispetto a ciascuna lettera.

6x0 y x t d i

+c i 6a+t3b

S a t t a 4a + 1 ;

Art y

xt

+ 3x2 — 2 ,

327

1 * Che cosa sono | polinomi Polilnomi omoganei Indica tra i seguenti polinomi quali sono omogenei. o

a,

x + 20x22+3;

a+ 3 ab;

b. 2x°+3xy; KI

atx

=

lo hanno aeone rude

yi + xy + 2xta, 2t+2,

COMPLETA in modo che i polinomi siano omogenei.

#6

a.

E

m ila: sa uti | m o n o che

“

2x'- a l y

+ 22°

Db. 3x5- x y

at;

-4

42x23;

e

7a

+ 5all

2061+ e ?

Scrivi un binomio omogeneo di secondo grado con le lettere a e b.

Lea

Scrivi un polinomio omogeneo di grado x servendoti delle variabili a, b, c. LL)

Polinomni ordinati

Fra | seguenti polinomi riconosci quelli ordinati, specificando rispetto a quale lettera. uo

4 -2x+ 1;

a b + a;

= Ly +25 b b +I ; x - xy Lat; a+ alb + 2 a

dat a+ 2a, + bi

a t t + ab — pe,

N

Ordina i seguenti polinomi secondo potenze decrescenti di x.

af

2xi a t t

2-3xty;

a n t Bai

aly

i + 5x8

9x2 4 2a,

Li

Ordina | seguenti polinomi rispetto a ciascuna lettera secondo le potenze decrescenti,

xy

=

x4- ax? + 2 a 4+ 20°x;

2 + ab?x — 3abx?,

4;

+x

= a + bat, alb?

Polinomi completi

VA

Ul polinomio 3x° — 2x non è completo e non è neppure omogeneo,Perché?

può

| COMPLETA | seguenti polinomi, in modo che siano completi rispetto a clascuna lettera.

{27

3a + 2 { + 2;

a? + 4a + 1 - a l

7+5 - b - 36 + 3 8

6a

I L_1+1+]

E LI]

I

i+

+ att + Lala + 4;

xt +5.

— di + 2 + d I .

= ] Unpolinomioè

«TEST ‘FL

Fra i seguenti polinomi, soltanto uno è completo. Quale?

p e o a ina tettara ga pobenzs

#60

|

!

A]

a°- 2a

B|

a: + 2

Gc]

2a + 2

DD]

a + 2 , duig r a dpiù o astio

A]

x*- 2x+1

B|

x°+ 2xè — 3x +5

c|

x+1

Dj]

x*+1

.

‘unto0.

| S o I seguenti polinomi sono tutti completi, tranne uno. Quale?

”

compl

Fra i seguenti polinomi, indica quali sono omogenei e quali completi; scrivi inoltre il grado complessivo e *°5

il grado rispetto a ciascuna lettera.

6x0 y x t d i

+c i 6a+t3b

S a t t a 4a + 1 ;

Art y

xt

+ 3x2 — 2 ,

327

2 * L e operazioni con | polinomi

Lele

VERO O FALSO?

Considera il polinomio

TEST

3atct— 2a + ae - at. a. Il polinomioè ordinato rispetto alla lettera c.

#0

v}

[Fr

+-+

2 23

+ dxy.

A]

MV LO)

c. Il polinomio è composto da 4 termini,

v ] (#]

d. Il grado del polinomio è 4.

= v]

G]

LF

©)

LA

il secondo polinomio è ridotto in forma i due polinomi, se ridotti in forma normale, sono uguali,

il secondo polinomio è completo rispetto

alla lettera y.

pi

e. Il polinomio ha il termine noto diverso da 0.

:

normale, il primo no. B|

i

2x2 +2,

Possiamo affermare che:

b. Il polinomio è completo rispetto alla lettera a.

C o n s i di epolinomi: ra

1. + 2 _lia

RL

il secondo polinomio è ordinato rispetto alla lettera y in senso decrescente,

L e operazioni c o n i polinomi L’addizione

B

Attività interattiva

e l a sottrazione

> Teoria a pagina 30?

I n quale caso la somma di due polinomi è uguale al polinomio nullo?

LASIS

La somma di due polinomi può essere un monomio? L_iTe,

3

FONDAMENTALI Sommare e sottrarre polinomi Eseguiamo le seguenti operazioni:

|

a ( g x - T s — 1) + ( 3 * + E -

x);

b. {a° — ab — a b ) — {a°b + 2ab — a ) .

a. Scriviamo l’addizione dei due polinomi, togliendo le parentesi; dat

ga

1+ i x t 2 - x

Riduciamo a forma normale il polinomio somma: Lal

Lx - 1txt

=

+Tei

b. Togliamo le parentesi:

a? — ab — a°b — ab — 2ab + a?.

p a r e n tdobbiamo e s i , cambiere segno

Riduciamo a forma normale il polinomio differenza:

a i — ab — alb — a'b — 2ab + a = 20° — 3ab — 2 a ”b .

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per v e d e rse e hail capito.

a

ESERC IZI

Determina il valore di h € N affinché il polinomio x*y"-!1+ x*y"#-2 risulti di grado 7.

2 * L e operazioni con | polinomi

Lele

VERO O FALSO?

Considera il polinomio

TEST

3atct— 2a + ae - at. a. Il polinomioè ordinato rispetto alla lettera c.

#0

v}

[Fr

+-+

2 23

+ dxy.

A]

MV LO)

c. Il polinomio è composto da 4 termini,

v ] (#]

d. Il grado del polinomio è 4.

= v]

G]

LF

©)

LA

il secondo polinomio è ridotto in forma i due polinomi, se ridotti in forma normale, sono uguali,

il secondo polinomio è completo rispetto

alla lettera y.

pi

e. Il polinomio ha il termine noto diverso da 0.

:

normale, il primo no. B|

i

2x2 +2,

Possiamo affermare che:

b. Il polinomio è completo rispetto alla lettera a.

C o n s i di epolinomi: ra

1. + 2 _lia

RL

il secondo polinomio è ordinato rispetto alla lettera y in senso decrescente,

L e operazioni c o n i polinomi L’addizione

B

Attività interattiva

e l a sottrazione

> Teoria a pagina 30?

I n quale caso la somma di due polinomi è uguale al polinomio nullo?

LASIS

La somma di due polinomi può essere un monomio? L_iTe,

3

FONDAMENTALI Sommare e sottrarre polinomi Eseguiamo le seguenti operazioni:

|

a ( g x - T s — 1) + ( 3 * + E -

x);

b. {a° — ab — a b ) — {a°b + 2ab — a ) .

a. Scriviamo l’addizione dei due polinomi, togliendo le parentesi; dat

ga

1+ i x t 2 - x

Riduciamo a forma normale il polinomio somma: Lal

Lx - 1txt

=

+Tei

b. Togliamo le parentesi:

a? — ab — a°b — ab — 2ab + a?.

p a r e n tdobbiamo e s i , cambiere segno

Riduciamo a forma normale il polinomio differenza:

a i — ab — alb — a'b — 2ab + a = 20° — 3ab — 2 a ”b .

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per v e d e rse e hail capito.

a

ESERC IZI

Determina il valore di h € N affinché il polinomio x*y"-!1+ x*y"#-2 risulti di grado 7.

2 * L e operazioni con | polinomi Lettere che rappresantano pollnomi Dati i p o l i n o mA, i B e C, d e t e r m i neasemplifica le sspressioni2 - A , B - C ,

E

A=l-x,

B=l+2x,

1 - { ( A + 8 ) nei casi seguenti.

C=6y-3.,

E I +1=]

A=20°-3a+1, B=@-2b, C=b!-1, Lil)

E

2.

B = 2 0 ° +4, C = l a -

A=a2-1,

S e m p l i f i clea espressioni A+B+C, A - ( B + C ) A=3a°+2a0+1, 68

A=3x +7,

B=a+2,

A-I(B-C),

EB - A -

€ nel casi seguenti.

C=a'—-5a2+7.

C=3y +e.

B=jp-x»,

O La moltiplicazione di u n monomio per u n polinomio [ }

Attività interattiva

> Teoria a pagina 310

a. (5a

Calcola:

+ 2ab — 3b°(—3a2b2);

b.F 0 1 6 2 -

3x2 y2), ESERC IZI

COMPLETA LO SVOLGIMENTO LL

a. (52° + 2ab = 38° }(- 3a2 pb) = SN 3 termini

Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

5a

D + 2ab(

D - 3540

b=

r otermini ‘Éln u m edel f i r e d oèt tlcostesso di

Eseguiamno le moltiplicazioni: — 15a°b — 6a°b® + 9a2 bi, e

|

le eseguiamo

INA

e

- s l y=

b. s u s

L_ termini

lipar rendere più veloce I calcolo, evitiamo di indicare |

iplicazioni EL

polinomio di partenza.

3 termini

e

LA

. Facciamo a l a i n a motti» pie peròattenzione motipiicazioni

per tutti | costiicienti del termini del polinornio. |

L_]termimi

|

|

Calcola | prodotti.

EI

(=D):

(-2}(-3xy + 2).

H I - ( 2 a — 3x);

s(4x'— 2x).

I

[6x2 — 12y; 6xy — 4]

|-gatrtx gx - 65

a t x+ a);

b{by — 1).

(-xy)}(—2x + »);

2a(- a? + 8ax).

( - 4x2 y}{— x" + 2xy — p};

(2° — 20° + 1}2a°.

( a — 3a — 1}(2a);

(= 3x? + 2x — 4){- 3x2).

[ax + a b y — b)

#20

[2x°y xy; — 2a + 16a°x) =

pui

KI

[ 4 x * y— Bx*y> + 4x2 y% 20" — 4a! + 2a)

[2a — 6a? — 2a; 9x5 — 6x° + 12x2]

|_TeT+)

I

3 x+4) [ 2 x 4 4 x 2 (20(-x‘-2x2+ 2

3

Sab( Za

-

l

6°)

la

_8x] la

|a @b- 3a"

E i

s0°( 30-35 a + 2 ) 2

9ab( 3a

16

—1

ab?)

[a —12a° + 160°] [6a°b® — 16a!b°]

331

2 * L e operazioni con | polinomi Lettere che rappresantano pollnomi Dati i p o l i n o mA, i B e C, d e t e r m i neasemplifica le sspressioni2 - A , B - C ,

E

A=l-x,

B=l+2x,

1 - { ( A + 8 ) nei casi seguenti.

C=6y-3.,

E I +1=]

A=20°-3a+1, B=@-2b, C=b!-1, Lil)

E

2.

B = 2 0 ° +4, C = l a -

A=a2-1,

S e m p l i f i clea espressioni A+B+C, A - ( B + C ) A=3a°+2a0+1, 68

A=3x +7,

B=a+2,

A-I(B-C),

EB - A -

€ nel casi seguenti.

C=a'—-5a2+7.

C=3y +e.

B=jp-x»,

O La moltiplicazione di u n monomio per u n polinomio [ }

Attività interattiva

> Teoria a pagina 310

a. (5a

Calcola:

+ 2ab — 3b°(—3a2b2);

b.F 0 1 6 2 -

3x2 y2), ESERC IZI

COMPLETA LO SVOLGIMENTO LL

a. (52° + 2ab = 38° }(- 3a2 pb) = SN 3 termini

Applichiamo la proprietà distributiva della moltiplicazione rispetto all'addizione:

5a

D + 2ab(

D - 3540

b=

r otermini ‘Éln u m edel f i r e d oèt tlcostesso di

Eseguiamno le moltiplicazioni: — 15a°b — 6a°b® + 9a2 bi, e

|

le eseguiamo

INA

e

- s l y=

b. s u s

L_ termini

lipar rendere più veloce I calcolo, evitiamo di indicare |

iplicazioni EL

polinomio di partenza.

3 termini

e

LA

. Facciamo a l a i n a motti» pie peròattenzione motipiicazioni

per tutti | costiicienti del termini del polinornio. |

L_]termimi

|

|

Calcola | prodotti.

EI

(=D):

(-2}(-3xy + 2).

H I - ( 2 a — 3x);

s(4x'— 2x).

I

[6x2 — 12y; 6xy — 4]

|-gatrtx gx - 65

a t x+ a);

b{by — 1).

(-xy)}(—2x + »);

2a(- a? + 8ax).

( - 4x2 y}{— x" + 2xy — p};

(2° — 20° + 1}2a°.

( a — 3a — 1}(2a);

(= 3x? + 2x — 4){- 3x2).

[ax + a b y — b)

#20

[2x°y xy; — 2a + 16a°x) =

pui

KI

[ 4 x * y— Bx*y> + 4x2 y% 20" — 4a! + 2a)

[2a — 6a? — 2a; 9x5 — 6x° + 12x2]

|_TeT+)

I

3 x+4) [ 2 x 4 4 x 2 (20(-x‘-2x2+ 2

3

Sab( Za

-

l

6°)

la

_8x] la

|a @b- 3a"

E i

s0°( 30-35 a + 2 ) 2

9ab( 3a

16

—1

ab?)

[a —12a° + 160°] [6a°b® — 16a!b°]

331

2 * L e operazioni con | polinomi 2

2

3

5

2

22

-3“(-34+3)-(5a2+Za}(-5 a) a

SalNIE Bo - ESn X ) + (xa? =

5)x

=

|]

2 xa x = 3A+I 4 ) Li

[-5x] Y

( a — 2ab){ a ) + ( 2 a + 3b(-3 a) + La(5ab - 8a”) )

EE 5 ab(3ab2-

+3

a b -3 a)

,

L y - 1x2)

+ +»)

104 ( L x + 3x1y + 6xyì —+#(-3% ) - ( g x

[Feb Fab Fab

(ab?+ 2 b ‘ - — b )

(ay

a b —2 0 ]

i

A yellow rectangle Write an expression that represents EE) A “ ° ° the area of the rectangle and simplify it. Then write an expression for its

ax

perimeter and simplity it as well. x+10

L a moltiplicazione di d u e polinomi

I

> Teoria a pagina 310

Attività interattiva

M E L O 1 " Qual è il grado del prodotto di due polinomi di terzo grado? Perché? |

FONDAMENTALI Moltiplicare due polinomi

Eseguiamo la moltiplicazione (3x2 — 2y?){x? + suse

ae

eau

\

4y2), aaa

N aaa

aaa

aaa

aa

(3x° — 2y*}(x* + 4y2) =

} moltiplichiamo ogni termine del primo polinomio per ogni termine del sscondo

3x'+ 12x3yl — 2xl yi B y =

5 s o m m i|amonomi m o simili

e?"

aaa

aaa

aaa

aaa

g

ua

W

In Eseguismo | calcoli a r d i npar e non qualche termine.

3x* + 10x23 32 — gy* j

aaa

PRovA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capita.

j

Esegui le seguenti moltiplicazioni.

1 0 8 (2a — 3b)(5a + 4b); (x — 3y}{5x + y). IT]

un

Ca + 38)(b = 3a); (x + 1)(x2- x + 1).

E E (x + L i )

- 2 2 ) ; ( a + b}(Lb- 4a).

( 2 a — 2)(+a° - 1); (a° — 5 ° ( 3 a — 462), { a + b + e ) ( a + b - c ) i ( x + 4y)(x? = 23°),

(a - 1}(2a2°+a+ 1); ( 2 x+1}(3x? — x 1),

REI ( a + D ( 2 2 b - b ' + 0); ( + 4 -2(3 x 4 ) E I (a +b e - a b + 62); ( 2 x 2+ (22 + Za 3 ) . EE

(Get — ab + 38(22° + ab — 382); (2x3 = x? + 1)(3x? — x).

Semplitica le seguenti espressioni,

(3a + 2}(a — 3) + {4a — 1}(a + 2 )

REI

(2a -

a +1) - (a - 1 2 0 3 )

[7a — 8]

[ s a= 4]

Ta]

n

( a *+ 2b}{a° — 2b) —(2° + a}(a — 1) - a l l — a)

[a®— 46]

2 * L e operazioni con | polinomi 2

2

3

5

2

22

-3“(-34+3)-(5a2+Za}(-5 a) a

SalNIE Bo - ESn X ) + (xa? =

5)x

=

|]

2 xa x = 3A+I 4 ) Li

[-5x] Y

( a — 2ab){ a ) + ( 2 a + 3b(-3 a) + La(5ab - 8a”) )

EE 5 ab(3ab2-

+3

a b -3 a)

,

L y - 1x2)

+ +»)

104 ( L x + 3x1y + 6xyì —+#(-3% ) - ( g x

[Feb Fab Fab

(ab?+ 2 b ‘ - — b )

(ay

a b —2 0 ]

i

A yellow rectangle Write an expression that represents EE) A “ ° ° the area of the rectangle and simplify it. Then write an expression for its

ax

perimeter and simplity it as well. x+10

L a moltiplicazione di d u e polinomi

I

> Teoria a pagina 310

Attività interattiva

M E L O 1 " Qual è il grado del prodotto di due polinomi di terzo grado? Perché? |

FONDAMENTALI Moltiplicare due polinomi

Eseguiamo la moltiplicazione (3x2 — 2y?){x? + suse

ae

eau

\

4y2), aaa

N aaa

aaa

aaa

aa

(3x° — 2y*}(x* + 4y2) =

} moltiplichiamo ogni termine del primo polinomio per ogni termine del sscondo

3x'+ 12x3yl — 2xl yi B y =

5 s o m m i|amonomi m o simili

e?"

aaa

aaa

aaa

aaa

g

ua

W

In Eseguismo | calcoli a r d i npar e non qualche termine.

3x* + 10x23 32 — gy* j

aaa

PRovA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capita.

j

Esegui le seguenti moltiplicazioni.

1 0 8 (2a — 3b)(5a + 4b); (x — 3y}{5x + y). IT]

un

Ca + 38)(b = 3a); (x + 1)(x2- x + 1).

E E (x + L i )

- 2 2 ) ; ( a + b}(Lb- 4a).

( 2 a — 2)(+a° - 1); (a° — 5 ° ( 3 a — 462), { a + b + e ) ( a + b - c ) i ( x + 4y)(x? = 23°),

(a - 1}(2a2°+a+ 1); ( 2 x+1}(3x? — x 1),

REI ( a + D ( 2 2 b - b ' + 0); ( + 4 -2(3 x 4 ) E I (a +b e - a b + 62); ( 2 x 2+ (22 + Za 3 ) . EE

(Get — ab + 38(22° + ab — 382); (2x3 = x? + 1)(3x? — x).

Semplitica le seguenti espressioni,

(3a + 2}(a — 3) + {4a — 1}(a + 2 )

REI

(2a -

a +1) - (a - 1 2 0 3 )

[7a — 8]

[ s a= 4]

Ta]

n

( a *+ 2b}{a° — 2b) —(2° + a}(a — 1) - a l l — a)

[a®— 46]

RIEPILOGO e L e espressioni con | polinomi Semplifica le seguenti espressioni.

(x2 — 6

=

2x} + (2x2 — 3x +7) +{4x — 3 x 2+ 5)

Lie [ e

3 3 ) (22° — b2 — ab) + {=+ b° - 3a2- Lab) +(a2+ 45)

3ala + 2)5a = 2ala + 3){a — 1)

[13a*+ 262? + 6a)

LA)

[ - 7 x ° + 23y* + 5xy)

( 3 x— 2y}(x— 4 y )— ( 5 x+ 3y}(2x— 5y) puo

(2x +3 9)(x= 3 ) - ( 2 x +(3x5) [10x? — 34x — 3)

(x + 3 ) ( 2 x— 5) + (1 — 3x}(4 — x) +(2 — 5x}(4 — x) LA=l=)

a? - 22° +|3 — 3a! -(@°+3)|+(32- 3)

[2a

|J=T=]

1 a ( 2 x- y + 3 } ( Z x y ) - (x + = 2 ( - 3 x y ) = 30xy = xy)

|- 3

(qe@- gb+gab)+|-(ab- 36+ 0 2 ) -(3ab-b a ) ( b ?= 3}(a? + b 2 )= 2b2(1 a ? )= (a? = 1}(82 = 1 ) =b‘ + 1 x(x +

|_1=1=]

[br - Sab [2a°b?— 20° — ap: ESERC IZI

=

pu

+a

x + x) - Fx( x3 + 2 ) + x!{-3 x - 1 )

1 4 3 (a + b}(a° — ab + b2}{a? —1°}— at

+ 3a + 2 a + 3) (a + 1}(a + 2 ) - a'{a + 5 ) ( 2 a+ 3b)(-2b)(--La) — Zab(2a +6) — ab{-La+2-6) (a

L_LT+

=

(322+Sab+ b*)(b—La) +(a—3b)( 3a? — 3ab) n]

| - a b +ab + 6)

(a — 3b}( 2a? — a b— b2) —{aì — a b— 3b°}{2a — b)

[— 4 a 2 b + 7ab2)

[-2x°y— 2x)

148) x(xy — 3 } ( x +y 1 )— 2x1 — x*y2)+ 3x(1 — xy}(1+ xy) ala + b)(2a — b) —(2a + b}(a2? — b) - (a + 1 { - b }

a{3a° = ( ( - a b + b? — 2a°)a + ab{a = b } )= ] }

=

[ - 2 a b ' + 2ab

a ( 5 a+° b*)

(0]

ala? — 1) - (a = 1)[a*(a + 1) a] (a? + 1 - 2a}{a +1) +(1 - a)

[a*— a)

pu

99x23 + L x

DEI 6-38

eh

+ 3y)- LF (3x + 1) — x°{(3xy}

- y)3b b )(6-3 ( - 3») + y 0 1 , 5 b - 0 , 3 )3»

+)

(a + b + 1}{a + b — 1) — ala + 2b) -(b 1)(b +1) =

3x3(xy [270(-Lxy) - (->x#y) ]+ 3x5(-2y} =

I

s e r i e s+2) ( + 3

-3)+(4-4 2)

[ - s + i p + è) (0]

[25 xy + 12x57)

[++] 335

RIEPILOGO e L e espressioni con | polinomi Semplifica le seguenti espressioni.

(x2 — 6

=

2x} + (2x2 — 3x +7) +{4x — 3 x 2+ 5)

Lie [ e

3 3 ) (22° — b2 — ab) + {=+ b° - 3a2- Lab) +(a2+ 45)

3ala + 2)5a = 2ala + 3){a — 1)

[13a*+ 262? + 6a)

LA)

[ - 7 x ° + 23y* + 5xy)

( 3 x— 2y}(x— 4 y )— ( 5 x+ 3y}(2x— 5y) puo

(2x +3 9)(x= 3 ) - ( 2 x +(3x5) [10x? — 34x — 3)

(x + 3 ) ( 2 x— 5) + (1 — 3x}(4 — x) +(2 — 5x}(4 — x) LA=l=)

a? - 22° +|3 — 3a! -(@°+3)|+(32- 3)

[2a

|J=T=]

1 a ( 2 x- y + 3 } ( Z x y ) - (x + = 2 ( - 3 x y ) = 30xy = xy)

|- 3

(qe@- gb+gab)+|-(ab- 36+ 0 2 ) -(3ab-b a ) ( b ?= 3}(a? + b 2 )= 2b2(1 a ? )= (a? = 1}(82 = 1 ) =b‘ + 1 x(x +

|_1=1=]

[br - Sab [2a°b?— 20° — ap: ESERC IZI

=

pu

+a

x + x) - Fx( x3 + 2 ) + x!{-3 x - 1 )

1 4 3 (a + b}(a° — ab + b2}{a? —1°}— at

+ 3a + 2 a + 3) (a + 1}(a + 2 ) - a'{a + 5 ) ( 2 a+ 3b)(-2b)(--La) — Zab(2a +6) — ab{-La+2-6) (a

L_LT+

=

(322+Sab+ b*)(b—La) +(a—3b)( 3a? — 3ab) n]

| - a b +ab + 6)

(a — 3b}( 2a? — a b— b2) —{aì — a b— 3b°}{2a — b)

[— 4 a 2 b + 7ab2)

[-2x°y— 2x)

148) x(xy — 3 } ( x +y 1 )— 2x1 — x*y2)+ 3x(1 — xy}(1+ xy) ala + b)(2a — b) —(2a + b}(a2? — b) - (a + 1 { - b }

a{3a° = ( ( - a b + b? — 2a°)a + ab{a = b } )= ] }

=

[ - 2 a b ' + 2ab

a ( 5 a+° b*)

(0]

ala? — 1) - (a = 1)[a*(a + 1) a] (a? + 1 - 2a}{a +1) +(1 - a)

[a*— a)

pu

99x23 + L x

DEI 6-38

eh

+ 3y)- LF (3x + 1) — x°{(3xy}

- y)3b b )(6-3 ( - 3») + y 0 1 , 5 b - 0 , 3 )3»

+)

(a + b + 1}{a + b — 1) — ala + 2b) -(b 1)(b +1) =

3x3(xy [270(-Lxy) - (->x#y) ]+ 3x5(-2y} =

I

s e r i e s+2) ( + 3

-3)+(4-4 2)

[ - s + i p + è) (0]

[25 xy + 12x57)

[++] 335

2

e

L e operazioni con | polinomi

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

GUARDA!

Faiquestiesercizi

Le operazioni con | polinomi mn

TEST La somma dei polinomi —6ab + 2a° + ab? e a? + 3ab — a b è:

Le)

A]

ER

3ab + 3a°,

6]

—3ab — 3a?+ 2ab'.

Cc]

3a° — 3ab.

a? — 9ab — 2ab°,

D]

Dati i polinomi A = x°+4xy-2y5, B=-2xy+8y% e C =-+L. a. scrivi il polinomio opposto del polinomio A; b. riduci a forma normale il polinomio A + 8; c. riduci a forma normale il polinomio A — 8;

d. calcola il polinomio C - 5. COMPLETA inserendoi monomi mancanti nelle seguenti uguaglianze,

a — x y z + | _ _ | - l _ _ ) + 3 x y =-6xy + 2xy2z

(a2b+ 1 6 8 ) = 5 0 8+

b.

1

co

Ph

(3h + 6 )

.

|

- L _ _ 1 =+2] b k

3

1

TEST Siano A = 3 d - 2 b , B=4a+>beC=

E

DI

-_—

A|

E

16a° + 2ab.

B|

a

—&a° + ab,

ESERC IZI

Lil]

6Pk=|___J+___ a

Gc]

]

8 : (A + ©) è 3 a +2b. Il polinomio LI

_

8a° + ab.

DI]

=

:

4a° + ab.

Calcola 2A — 38 + C- D sapendo che A=1-5,

B=-x-1

C=x!-1

D=5+2x.

Semplifica le seguenti espressioni.

6

29){-3x1+

(x

LP)

2xy + 1 y2) — 2x(2xy - Za) +

(-2xy)? + 22x52]?

— 2 ab® + ( - a ' b É + a*b5) (2a + b) — [-(ab*}!(—a + 6)] LALA

o

- ( - 3 ( - x % ) — 6-9)" + 3 ( — x + y%)(x + 2y)]

E

102(-3x2) -[27#(-3x)

il

Considera i polinomi:

-v(-4#5)]

Li

A=3ab'-3b

+1, B = 3 b ° - 2 a 0 b ' , C=b!

— 3abt.

Sottrai C al triplo di A + B e trova il polinomio in forma normale. Scrivi il polinomio che sommato a 2x°y — 5x° + y? dà come risultato il doppio di x°y + 33°.

12 Li

337

2

e

L e operazioni con | polinomi

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

GUARDA!

Faiquestiesercizi

Le operazioni con | polinomi mn

TEST La somma dei polinomi —6ab + 2a° + ab? e a? + 3ab — a b è:

Le)

A]

ER

3ab + 3a°,

6]

—3ab — 3a?+ 2ab'.

Cc]

3a° — 3ab.

a? — 9ab — 2ab°,

D]

Dati i polinomi A = x°+4xy-2y5, B=-2xy+8y% e C =-+L. a. scrivi il polinomio opposto del polinomio A; b. riduci a forma normale il polinomio A + 8; c. riduci a forma normale il polinomio A — 8;

d. calcola il polinomio C - 5. COMPLETA inserendoi monomi mancanti nelle seguenti uguaglianze,

a — x y z + | _ _ | - l _ _ ) + 3 x y =-6xy + 2xy2z

(a2b+ 1 6 8 ) = 5 0 8+

b.

1

co

Ph

(3h + 6 )

.

|

- L _ _ 1 =+2] b k

3

1

TEST Siano A = 3 d - 2 b , B=4a+>beC=

E

DI

-_—

A|

E

16a° + 2ab.

B|

a

—&a° + ab,

ESERC IZI

Lil]

6Pk=|___J+___ a

Gc]

]

8 : (A + ©) è 3 a +2b. Il polinomio LI

_

8a° + ab.

DI]

=

:

4a° + ab.

Calcola 2A — 38 + C- D sapendo che A=1-5,

B=-x-1

C=x!-1

D=5+2x.

Semplifica le seguenti espressioni.

6

29){-3x1+

(x

LP)

2xy + 1 y2) — 2x(2xy - Za) +

(-2xy)? + 22x52]?

— 2 ab® + ( - a ' b É + a*b5) (2a + b) — [-(ab*}!(—a + 6)] LALA

o

- ( - 3 ( - x % ) — 6-9)" + 3 ( — x + y%)(x + 2y)]

E

102(-3x2) -[27#(-3x)

il

Considera i polinomi:

-v(-4#5)]

Li

A=3ab'-3b

+1, B = 3 b ° - 2 a 0 b ' , C=b!

— 3abt.

Sottrai C al triplo di A + B e trova il polinomio in forma normale. Scrivi il polinomio che sommato a 2x°y — 5x° + y? dà come risultato il doppio di x°y + 33°.

12 Li

337

* Problemi con | polinomi A ®"°

A blueshepe W r i tan e expression

A

forthearea ofthe shape and simplify it.

°°

ra i n centimetri del cateto minore, quale tra le seguenti espressioni rappresenta l’area del

x +?

k i x- 1

I

In un triangolo rettangolo un cateto

superal’altro di 3 cem.Indicando con x la misutriangolo?

x+1

[4x°

+ 2x]

U n triangolo rettangolo ha i cateti che misuranoSae 2a + 1 . Sesi aumenta il primo di 3a + 2

#2

x + (x + 3)

e si diminuisce il secondo di a, qual è la diffe-

DI

5

B

P

( x == 3) x: (x x.

I Determina il polinomio che rappresenta la misura d e l l ’ a r edia ABCD.

nil

renza tra la seconda e la prima area?

op

c

[-a? + ’ a + i ]

4°

Dato un quadrato di lato 2x + 3, unendo i punti

A

medi dei lati si ottiene u n quadrato. Che relazione c'è tra l’area del primo e del secondo quadrato? Esprimi la misura delle due aree con polino-

2°

FP

[4x°+ 12x +9; 2x° + 6x + 2]

m i ridotti,

&

|

l ax“ + xy] 2

Determina il polinomio che rappresenta la

misura dell’area di EFG,

°°

1 8 9 In un trapezio rettangolola base minore misura x °

À

F y

G

e la sua misura supera di 3 quella del lato perpen-

dicolare alle basi. Il lato obliquo misura y ed è la metà della base maggiore.Esprimi con un polinomio ridotto la misuradell'areae del perimetro del trapezio.

E

Sx xy = :2x + 3y 33] [ 3 - -Sx+xy-3n2x

F

le + 2 ]

7

x

Problemi numerici

°°

NA Chi ha ragione? L'insegnante chiede: «Se n è un numero naturale qualsiasi, cosa si ottiene addizionando i tre numeri 2n + 1, 2n + 3 e 2n + 5?», Mario afferma: «Si ottiene sempre il triplo di uno dei tre numeri». Luisa risponde: «Si ottiene sempre un numero dispari». Giovanni dice: «Si ottiene sempre un multiplo di 3». Chi ha ragione? A]

T u t t ie tre,

A °°

B|

Solo Mario.

6| Solo Luisa.

D|

Solo Giovanni.

Dlpiù grande di undici La somma di undici numeri consecutivi èp. Allora il più grande di tali

numeri vale: A

P +5. 5

s

p +5. IL

i

P + 10. 5

D

P Le

+ 10.

E

p 6

+ 10. |Kangourou Italla, 2011)

Determina la somma di un numero intero dispari z con l’intero dispari che lo precede e con l'intero pari **° successivo, In modo analogo, dato un numero », intero pari, calcola la somma di tale numero con il suo triplo e con l’intero pari successivo. | risultati ottenuti rappresentano numeri pari o dispari? |3z — 1; 5y + 2; entrambi pari]

1 9 6 Dimostra che la somma di tre numeri naturali consecutivi è uguale al triplo del numero intermedio. Le)

Dimostra che il prodotto di due numeri dispari è dispari, mentre la somma è un numero pari. LL

ESERC IZI

-

* Problemi con | polinomi A ®"°

A blueshepe W r i tan e expression

A

forthearea ofthe shape and simplify it.

°°

ra i n centimetri del cateto minore, quale tra le seguenti espressioni rappresenta l’area del

x +?

k i x- 1

I

In un triangolo rettangolo un cateto

superal’altro di 3 cem.Indicando con x la misutriangolo?

x+1

[4x°

+ 2x]

U n triangolo rettangolo ha i cateti che misuranoSae 2a + 1 . Sesi aumenta il primo di 3a + 2

#2

x + (x + 3)

e si diminuisce il secondo di a, qual è la diffe-

DI

5

B

P

( x == 3) x: (x x.

I Determina il polinomio che rappresenta la misura d e l l ’ a r edia ABCD.

nil

renza tra la seconda e la prima area?

op

c

[-a? + ’ a + i ]

4°

Dato un quadrato di lato 2x + 3, unendo i punti

A

medi dei lati si ottiene u n quadrato. Che relazione c'è tra l’area del primo e del secondo quadrato? Esprimi la misura delle due aree con polino-

2°

FP

[4x°+ 12x +9; 2x° + 6x + 2]

m i ridotti,

&

|

l ax“ + xy] 2

Determina il polinomio che rappresenta la

misura dell’area di EFG,

°°

1 8 9 In un trapezio rettangolola base minore misura x °

À

F y

G

e la sua misura supera di 3 quella del lato perpen-

dicolare alle basi. Il lato obliquo misura y ed è la metà della base maggiore.Esprimi con un polinomio ridotto la misuradell'areae del perimetro del trapezio.

E

Sx xy = :2x + 3y 33] [ 3 - -Sx+xy-3n2x

F

le + 2 ]

7

x

Problemi numerici

°°

NA Chi ha ragione? L'insegnante chiede: «Se n è un numero naturale qualsiasi, cosa si ottiene addizionando i tre numeri 2n + 1, 2n + 3 e 2n + 5?», Mario afferma: «Si ottiene sempre il triplo di uno dei tre numeri». Luisa risponde: «Si ottiene sempre un numero dispari». Giovanni dice: «Si ottiene sempre un multiplo di 3». Chi ha ragione? A]

T u t t ie tre,

A °°

B|

Solo Mario.

6| Solo Luisa.

D|

Solo Giovanni.

Dlpiù grande di undici La somma di undici numeri consecutivi èp. Allora il più grande di tali

numeri vale: A

P +5. 5

s

p +5. IL

i

P + 10. 5

D

P Le

+ 10.

E

p 6

+ 10. |Kangourou Italla, 2011)

Determina la somma di un numero intero dispari z con l’intero dispari che lo precede e con l'intero pari **° successivo, In modo analogo, dato un numero », intero pari, calcola la somma di tale numero con il suo triplo e con l’intero pari successivo. | risultati ottenuti rappresentano numeri pari o dispari? |3z — 1; 5y + 2; entrambi pari]

1 9 6 Dimostra che la somma di tre numeri naturali consecutivi è uguale al triplo del numero intermedio. Le)

Dimostra che il prodotto di due numeri dispari è dispari, mentre la somma è un numero pari. LL

ESERC IZI

-

3 e | prodotti notevoli A La figura rappresenta la pianta di una piscina. Esprimi l’area sotto forma

°°

“°°

di polinomio ridotto.

A In un torneo di pallavolo sono assegnati 3 punti i n caso di vittoria, 1 punto in

caso di pareggio, —2 punti in caso di sconfitta.

La squadra di Giulia ha disputato 7 partite, rea-

2

lizzando x vittorie e 4 sconfitte. Esprimi sotto forma di polinomio il punteggio ottenuto dalla squadra di Giulia.

a

|

E b

im RP

O

PO PO

e

n

OA N

a

A

A

E

O

A

N

N

E

O

O

PO Pg Re

A

Og Ap ap Ro Op

e

e PO O pe ge a

A

Sp Re AR

ng AP gr gg ape go PE Op

O

ee Ag Age ep Sp O OA ge o OR A

e

RO

Op O

e ge O

e

O

Pg a

RR

Ag A ep

A

RP ee ag

POP RR p e

e o

A O

ogm A RD ap ti a

Marco acquista 8 quaderni al costo di y euro ciascuno e 6 penne che costano, ciascuna, un

A

°°

OO ape E

euro meno dei quaderni,Il giorno seguente Marco acquista uno zaino, spendendo la metà dei soldi rimasti. Esprimi tramite un polinomio ridotto i soldi rimasti a Marco dopo l'acquisto dello zaino, sapendo che inizialmente aveva 100 euro,

A Una gita costa x euro, da dividere in parti uguali tra i 20 partecipanti. A causa di iii un imprevisto la metà dei partecipanti non può partire e l’agenzia di viaggi decide di diminuire il costo

E

totale del 20%, Esprimi sotto forma di polinomio ridotto l'aumento della quota di partecipazione di ciascun viaggiatore.

|

o

prodotti notevoli

N

L_]

L_]

wi

l l prodotto della somma d i d u e termini per la loro differenza: > Teoria a pagina 911 (A + B}{A — B) D{ Attivitò interattiva No blanks, please! Fill in the blank.

A

ce. (b + 3 } ( b - L p =

a ( 5 + a ) ( 5 - a )= _F-LF; b. ( x + M D )

=x 1 ;

-% = 25 -

di ( - 5 + ) _ ] - y )

gg

1 FONDAMENTALI Calcolare(A + B){A - B)

|

Semplifichiamo: a. ( l a

put

At

A + B a l u r d i r aA - 8

b. ( - a + 3 b } ( a ! + 3b) =(36 a

+ A B+A

Ly); b. ( a +

+ Ly (tx2-

-

—e

— a2}(3b + a?) = (3b}

A-B

A+ B

(a

3b)(a* + 3b); Teoria a pagina 911 (A + B}{A — B) D{ Attivitò interattiva No blanks, please! Fill in the blank.

A

ce. (b + 3 } ( b - L p =

a ( 5 + a ) ( 5 - a )= _F-LF; b. ( x + M D )

=x 1 ;

-% = 25 -

di ( - 5 + ) _ ] - y )

gg

1 FONDAMENTALI Calcolare(A + B){A - B)

|

Semplifichiamo: a. ( l a

put

At

A + B a l u r d i r aA - 8

b. ( - a + 3 b } ( a ! + 3b) =(36 a

+ A B+A

Ly); b. ( a +

+ Ly (tx2-

-

—e

— a2}(3b + a?) = (3b}

A-B

A+ B

(a

3b)(a* + 3b); Teoria a pagina 312

Attività interattiva

Perché il quadrato di x — 1 è uguale al quadrato di 1 = x?

LAsI+

239 N A +1; 2

2x + 1 ; 1 8 + 1 8 x+ è . 9x2 — 18x + 1 ; 81

a (x- 1)*=| H

b.

|

+ 1 8 x+ xei B l x ?— 1 8 x+ 1;

(9 + x ) * = |

|

xt

=

2x1.

ce. { 9 x - 1 ) ? = |

| FONDAMENTALI Calcolare ( A + E ) 2

Sviluppiamo: a. (3a —- 28};

| \

b. (— a? — 3ab°},

a In ( 3 a— 2b)* è A = 3a, B = - 2 b , quindi: (3a — 2bY = [3a + ( - 2 b } } = (3a) + 2(3a)(— 26) +(-2bY = 9a? — 12ab + 46°. A

EB

quadrato del

doppio quadrato del

r o d a o t t a 2: " termina: mine: nine: prodot

1 " tarmine:

CA U+M= A+

b. In (-a?— 3ab°)? è A = - q ? , B =-343b°, quindi:

(— a? — 3abY = ( - a } + 2(- a {— 3ab*) + ( - 3 a b ' } =

a + 6a°b' + 9a pé,

— a? — 3ab* è l'opposto del binomio a® + 3ab’. Pertanto: (— a? — 3ab3}? = {a° + 3ab}?,

Ogservazione, Il binomio

fl doggioprodottoènegative. solo se A e E sono discordi,

PROVA TU. Svolkgi un esercizio simile Interattivo par vedere se hai capito. Calcola | seguenti quadrati d i binomio.

x).

(3x + y } ;

(5a + 76}.

{ 2 a + ab°)*;

(2 + 2

( x - 3y};

(2 + 3ab}.

(-2a-&b};

(+1).

(6a — 2 b } ;

(2ab + 3 } .

(3 — x ‘ ) .

(sx2-Ly);

(Zab+b).

(La-1); (a? — 2x}:;

(-2a--3+).

25! M C

(245) ( L x — 23°);

(b* + 26}.

E

2 4 6 (—x + y } ;

(aÉ — pé}*,

253) (3x — 4°};

Ra «+3;

(-2+3y};

(-Ly-2). (-x— 2a}.

( - a - 1). ( - x +8}.

ESERC IZI

x

Determine the correct answers choosing from:

3 e | prodotti notevoli Calcolo rapido

ac

COMPLETA LO SVOLGIMENTO

Calcola i prodotti, scrivendoli come somma per differenza di due numeri:

a. 29:31;

€.

b. 48:52,

a. 29-31 = (30 — |_p(30

b. 48:52 = _ =

95: 105.

+L_D = 30° —|_j=

2 ) 0 _ _ | + 2=)_ =

cc 95 1 0 5 = (|__| -L_D_|+L_D=L_

900 —|_j]= 899;

rin

i

= | _ _ _ j - 4 = 2496; F-L_F=|

|-|___)= 9975.

Calcola rapidamente.

32:28;

43:37;

19:21;

64.56,

41:39;

Lr

107:93;

54:46;

75:65,

Lt)

Pb I l quadrato d i u n binomio: {A + 8)? eroi

> Teoria a pagina 312

Attività interattiva

Perché il quadrato di x — 1 è uguale al quadrato di 1 = x?

LAsI+

239 N A +1; 2

2x + 1 ; 1 8 + 1 8 x+ è . 9x2 — 18x + 1 ; 81

a (x- 1)*=| H

b.

|

+ 1 8 x+ xei B l x ?— 1 8 x+ 1;

(9 + x ) * = |

|

xt

=

2x1.

ce. { 9 x - 1 ) ? = |

| FONDAMENTALI Calcolare ( A + E ) 2

Sviluppiamo: a. (3a —- 28};

| \

b. (— a? — 3ab°},

a In ( 3 a— 2b)* è A = 3a, B = - 2 b , quindi: (3a — 2bY = [3a + ( - 2 b } } = (3a) + 2(3a)(— 26) +(-2bY = 9a? — 12ab + 46°. A

EB

quadrato del

doppio quadrato del

r o d a o t t a 2: " termina: mine: nine: prodot

1 " tarmine:

CA U+M= A+

b. In (-a?— 3ab°)? è A = - q ? , B =-343b°, quindi:

(— a? — 3abY = ( - a } + 2(- a {— 3ab*) + ( - 3 a b ' } =

a + 6a°b' + 9a pé,

— a? — 3ab* è l'opposto del binomio a® + 3ab’. Pertanto: (— a? — 3ab3}? = {a° + 3ab}?,

Ogservazione, Il binomio

fl doggioprodottoènegative. solo se A e E sono discordi,

PROVA TU. Svolkgi un esercizio simile Interattivo par vedere se hai capito. Calcola | seguenti quadrati d i binomio.

x).

(3x + y } ;

(5a + 76}.

{ 2 a + ab°)*;

(2 + 2

( x - 3y};

(2 + 3ab}.

(-2a-&b};

(+1).

(6a — 2 b } ;

(2ab + 3 } .

(3 — x ‘ ) .

(sx2-Ly);

(Zab+b).

(La-1); (a? — 2x}:;

(-2a--3+).

25! M C

(245) ( L x — 23°);

(b* + 26}.

E

2 4 6 (—x + y } ;

(aÉ — pé}*,

253) (3x — 4°};

Ra «+3;

(-2+3y};

(-Ly-2). (-x— 2a}.

( - a - 1). ( - x +8}.

ESERC IZI

x

Determine the correct answers choosing from:

3 e | prodotti notevoli Per quali valori di a, b, c vale l'uguaglianza 2x° + 6x +5 = alx + 6)? + c?

O IO

-

b=3

A|a=2 Bj

a=2

b=6

c=4

ce] a = 2

b=3

c=5

o am2

b=>

c= 4 c=+

' COMPLETA in modo d a ottenere u n trinomio che derivi dallo sviluppo del quadrato di un binomio,

i‘ R I

2 - +} _b 4x°-4x a+6ab+L__

| eco Li

278) 2 78

x y + x5y5+|

E S9a2-6a+l__|

+ 1277) d a bè — 1 2 a ° b

#0

9x2 +2xy +|

A

‘

2? Sa2 - 33a°b+L___|

E

1 + x'-4 x4x2

E]

-_ 4 +

2

|

L

b Tatxt— 2ax + 2,2

H 0,25x°y + 4xy + )

What ds missing! Write the binomia)] that is missing.

|1 - 1

a

|

- 3xy +|

{___2 = l4a° + at + 49

A

2

b . (___D? = x" = 6x5 + 9

| = ip

€

Grandi numeri Calcola il valore dell'espressione per a = 1 e per a = 2000,

Lie

[ 4 ;16 - 105]

(2014 +a)*—2(2014 +a){2014 —a}+(2014—a)*

1 COMPLETA in modo da ottenere un trinomio che derivi dallo sviluppo del quadrato di un binomio. Esiste ‘ u n solo modo di completare?

287 D e t ;

f204 x*°+9°L_____5 4a +9b| _ _ | ip

(-22-|__

(__]+1}=25x"+|__J+L__J

at16bi

(_I-La}

B g 6 -5xf=9-L__j+25x

i

|

=iL__s+a b+|__|

fi

=___i-2ab+|_|

Attività interattiva > Teoria a pagina 312

Bb Ill quadrato d i u n trinomio: (A + B + Cc)? i ABSOCIA i quadrati uguali.

|

1. (x + y - 2)?

2. (x - y - 2)?

3. (W+x+ 1)?

4. ( 1 - x - y)?

a ( - x - y - 1)?

b. (x + y - 2%?

co [ 2 - (x +») }

d. [2 - (x y}]? =

FONDAMENTALI C a l c o l a(Ar e + B + CC)? Sviluppiamo {5a — 3b + ec}.

|

Applichiamo la regola con: A=5a,

NA

B=-3b C=c

++ P M +

AD AL + MC

44

Calcoliamo il quadrato:

+ 2(-3b)e = + 2(5a)c (5a — 3 b+ c } = (5a +(-3b} + ce + 2(5a)(-3b)

tre doppiprodotti

quadrati del tre

che il risultato; Conmtrotilame de seltermini. slacostituito

monomi

25a" + 9b? + e? — 30ab + 10ac — 6bc. a r a oe ee a e e n

eo alal ale alle e a

e a

o ae oe l e O mr ale a o ae a e m l elle ale a e a e a a e a a e E a a a ale OE o

E

EE o

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e hai capito. A Svolkyi un ssercizio simile Interattivo per v e d e rse P R O VTU.

e

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Se

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3 e | prodotti notevoli Per quali valori di a, b, c vale l'uguaglianza 2x° + 6x +5 = alx + 6)? + c?

O IO

-

b=3

A|a=2 Bj

a=2

b=6

c=4

ce] a = 2

b=3

c=5

o am2

b=>

c= 4 c=+

' COMPLETA in modo d a ottenere u n trinomio che derivi dallo sviluppo del quadrato di un binomio,

i‘ R I

2 - +} _b 4x°-4x a+6ab+L__

| eco Li

278) 2 78

x y + x5y5+|

E S9a2-6a+l__|

+ 1277) d a bè — 1 2 a ° b

#0

9x2 +2xy +|

A

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2? Sa2 - 33a°b+L___|

E

1 + x'-4 x4x2

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L

b Tatxt— 2ax + 2,2

H 0,25x°y + 4xy + )

What ds missing! Write the binomia)] that is missing.

|1 - 1

a

|

- 3xy +|

{___2 = l4a° + at + 49

A

2

b . (___D? = x" = 6x5 + 9

| = ip

€

Grandi numeri Calcola il valore dell'espressione per a = 1 e per a = 2000,

Lie

[ 4 ;16 - 105]

(2014 +a)*—2(2014 +a){2014 —a}+(2014—a)*

1 COMPLETA in modo da ottenere un trinomio che derivi dallo sviluppo del quadrato di un binomio. Esiste ‘ u n solo modo di completare?

287 D e t ;

f204 x*°+9°L_____5 4a +9b| _ _ | ip

(-22-|__

(__]+1}=25x"+|__J+L__J

at16bi

(_I-La}

B g 6 -5xf=9-L__j+25x

i

|

=iL__s+a b+|__|

fi

=___i-2ab+|_|

Attività interattiva > Teoria a pagina 312

Bb Ill quadrato d i u n trinomio: (A + B + Cc)? i ABSOCIA i quadrati uguali.

|

1. (x + y - 2)?

2. (x - y - 2)?

3. (W+x+ 1)?

4. ( 1 - x - y)?

a ( - x - y - 1)?

b. (x + y - 2%?

co [ 2 - (x +») }

d. [2 - (x y}]? =

FONDAMENTALI C a l c o l a(Ar e + B + CC)? Sviluppiamo {5a — 3b + ec}.

|

Applichiamo la regola con: A=5a,

NA

B=-3b C=c

++ P M +

AD AL + MC

44

Calcoliamo il quadrato:

+ 2(-3b)e = + 2(5a)c (5a — 3 b+ c } = (5a +(-3b} + ce + 2(5a)(-3b)

tre doppiprodotti

quadrati del tre

che il risultato; Conmtrotilame de seltermini. slacostituito

monomi

25a" + 9b? + e? — 30ab + 10ac — 6bc. a r a oe ee a e e n

eo alal ale alle e a

e a

o ae oe l e O mr ale a o ae a e m l elle ale a e a e a a e a a e E a a a ale OE o

E

EE o

ae e E

a De o

o

e E

O ole a

a ole a ale ala l e

e

a

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e hai capito. A Svolkyi un ssercizio simile Interattivo per v e d e rse P R O VTU.

e

o

Se

e

o e Se

O

e

e

SO e

ae

N

o

o

e

e

o

ue me D l E o

e

3 e | prodotti notevoli

a m (-a-Lp) è

|

A=-a,8=-Lb, quindi:

( - a —L y = (-a}y + 3(-a}{-—-b) + 3 7 - 1 6 )

+(-1)

— alb - L a i - g 7 tb.

cubo del

2 tripliprodotti

cubo del

="

1 ° termine

2° termine

Osservazione. Il binomio —a — + b è l'opposto del binomio a + + b. Pertanto:

PROVA TU. Svolgi un ssercizio simile Interattivo per vadere se hai capito.

la tabella, che fornisce il segno di ogni termine del quadrinomio derivante dallo sviluppo di (a + b)*, al variare dei segni di a e di b.

COMPLETA

°°

|

eb

e

|

|

sed

eta

| pi |] LI

+

+

Li

Li

+

+

-

+

-

lu

-

+

Li

| LU | Lu |

-

-

Li

| uu | uu

|

UO

N

i

-

Calcola | seguenti cubi.

i

E H (a +2};

(1 + yY.

RA (39-2;

E

(@x+3Y.

316 L L

(3x%y

(—5xy? + 2y2}.

(-a-4):

(4e-yY.

(La? ab).

EG] G y - i x } ;

+ 2xy)?.

( - 3 a - Lab);

(-3x2- 2 }

(x°+ 0,2};

(3a%b5 + 2}.

(—a — 3bY;

(a? + 3ab}.

(xy- +);

32

318 (x — 2};

(-3 +

TEST [(a + 5)? — {a — bj} — 2b|2 = A]

O

|

4b3

36a!in

&|

D|

362° b° + 4b6 — 24ab*

Seamplifica le seguenti espressioni.

324] a

[-3a° La]

( - b } — (a + b} — a ( 3 b + 1)(1 — 36)

2 5 ) (x — 2y} — (2x — y}

=

6xy(x + 9) + 79° + 8x3

[(x + 18 2xP (2x3 + 1}{x + 1)(x Dj + =

3 2 7 Semplifica l'espressione (A =

=

2x2(x? —1) - (4x4 +2)

BY + ( A + BY

=

[x] ( x °+ x ]

A(3B° + 2A), dove A = 2xy"+x°, B=x-y, [ 6 x y=®9x2 y!+ 3x*]

347

3 e | prodotti notevoli

a m (-a-Lp) è

|

A=-a,8=-Lb, quindi:

( - a —L y = (-a}y + 3(-a}{-—-b) + 3 7 - 1 6 )

+(-1)

— alb - L a i - g 7 tb.

cubo del

2 tripliprodotti

cubo del

="

1 ° termine

2° termine

Osservazione. Il binomio —a — + b è l'opposto del binomio a + + b. Pertanto:

PROVA TU. Svolgi un ssercizio simile Interattivo per vadere se hai capito.

la tabella, che fornisce il segno di ogni termine del quadrinomio derivante dallo sviluppo di (a + b)*, al variare dei segni di a e di b.

COMPLETA

°°

|

eb

e

|

|

sed

eta

| pi |] LI

+

+

Li

Li

+

+

-

+

-

lu

-

+

Li

| LU | Lu |

-

-

Li

| uu | uu

|

UO

N

i

-

Calcola | seguenti cubi.

i

E H (a +2};

(1 + yY.

RA (39-2;

E

(@x+3Y.

316 L L

(3x%y

(—5xy? + 2y2}.

(-a-4):

(4e-yY.

(La? ab).

EG] G y - i x } ;

+ 2xy)?.

( - 3 a - Lab);

(-3x2- 2 }

(x°+ 0,2};

(3a%b5 + 2}.

(—a — 3bY;

(a? + 3ab}.

(xy- +);

32

318 (x — 2};

(-3 +

TEST [(a + 5)? — {a — bj} — 2b|2 = A]

O

|

4b3

36a!in

&|

D|

362° b° + 4b6 — 24ab*

Seamplifica le seguenti espressioni.

324] a

[-3a° La]

( - b } — (a + b} — a ( 3 b + 1)(1 — 36)

2 5 ) (x — 2y} — (2x — y}

=

6xy(x + 9) + 79° + 8x3

[(x + 18 2xP (2x3 + 1}{x + 1)(x Dj + =

3 2 7 Semplifica l'espressione (A =

=

2x2(x? —1) - (4x4 +2)

BY + ( A + BY

=

[x] ( x °+ x ]

A(3B° + 2A), dove A = 2xy"+x°, B=x-y, [ 6 x y=®9x2 y!+ 3x*]

347

RIEPILOGO e | prodotti notevoli (x

+2 y )+2 x y ( 3+x 4y) —(-2y}

[24xy:]

1P + ( - a - 1 }

[1 3a]

— 2 y } — x(x — 2y}(x

a{a? = 3) + (1 + 6a + a) - (a =

=

( L a b ) (La + bi) +(-3abY

[722%] [4 + 2a + 26]

(a + b + 2 } + (a — b}(a + b) — 2(a + 1}{a + b)

(403

— yy

=

(2x

- y}(2x + yy

[0]

[- a — b°]

a (b + a } [ a+ 3 + ( b— 1)(2b + a +3) + b(b + 2a —1 ) j ] —

{lx — 3°+ (x + y} + 2x2y — x(2x + 3yY(x + y)F - 2 }

[8]

(x? — 2xy + 3y2)( xè + 2xy + 34°) — 2(xy — x }

[934]

— 4xiy + xt

| ( x + 3a} +(2x- 3a} + 4(x —-3-a)(3a + x ) ] : (-38 - ( x - 2 }

[4x — 4]

[1]

(1 — 2a°}(1 + 2 2 °+)(5a? — 1} = 200 = 42°} - [-2a* - (3a? — 1}]

ES

( + yP ( x +y)(É

(x?

(x

=

=

=

xy + 35) FP- 2x(-3x}

y}(x + y) + PP =

0 +P O + =

+

[ 9 x ‘ y ? 9x4]

1)

+ + x"), con x sé0

0

(a? — xy + y2}(x2 + xy — 2) — xx — y} — 3xy(x + y2)

E

[-4x2-y]

30

(1-30) +(a+30) 3 7 - 9 0 )

[(—x = 24 (= x + 2y}(x?+ 442)+ 1734] = (x6 + 36} =

3x1

3 6 5 ( a ?+ 4b2}(2b + a){a — 2b}(16b* + a“)

[1250x*+ 321]

E R (2° 2ab + b'}(a+b} — 2(a —bY(a+ bY =

[2a°b! —a —1 ]

b = c)+(b = c - a}(b = c+a)+(2b + c }

( 4 b+2ec]

+(3x+9) + x ( - Lx)

(x+3Px-)-(2x-»)

( x — 2y} — ( x + 2y} + 3(2xyY ©( - y )

+pl(4y

=

+ y°]

[x°

[-24x°y — 9 ]

3}(4y + 3 )

(2a + x = 2} + 4a(2 — x) ( x — 38 - [(-2a0} — 5]

E A T e o r iaapagina 220

Il resto della divisione P(x):(x + 2) è 3. Quale, fra i seguenti polinomi, può essere P(x)?

x°+x-2

B|

x°+1

c]

x°*+x+1

Dj]

x°+3

TEST Îl resto della divisione fra x* — 2x + 4 e il binomio B{x) è uguale a 3. Quale, trai seguenti binomi, può essere B(x)? A]

x- 1

BD)

x+3

cc]

x+1

Dj]

FONDAMENTALI Applicare il teorema del resto 1 Calcoliamo il resto di (x°— 1}: (x + >}

|

sessili

isla

x-3

(=) Nolte divisione del polinom Phdi oper r a i r e s t oè Pia),

sasa

ine

Scriviamo il divisore nella forma x — a, quindi: x —( - + ) . a

Applichiamo il teorema del resto: nel dividendo niamo il resto della divisione:

x* — 1, sostituiamo a x il valore di a, cioè - L , e otte-

PROVA TU, Svoky un asarcizio simile Interattivo per v e d e r e se hai capito,

u

€

n -

B e l l teorema d i Rutffini

sac La

i

2a‘

e

583

a5

=

3a + 2a - 1

+y

2a +1;

a-+1

a - 2y;

a + 2y.

x + 2y;

x - 2y.

a+b;

a — 2b.

pp

4 —

xi LIT]

x —8°

a? — 2ab + a°b — 4b° ua

°°

Which are divisorst Consider thepolynomial P(x) = 4x!+ 5x — 6. Which ofthe following A polynomials are divisors of P{x)? b.

a x+1

4x — 3

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Dato il

587

d. x - 2

e x+2

polinomio A(x) = 5x° + 2ax® — 3x — a + 1, determina per quale

° ° valore della lettera a esso è divisibile per il binomio x — 1, Per il teorema di Ruffini deve risultare A{1) =|__| Pertanto calcoliamo A Q _ _ f ) = S + 2 a - 3 - a + 1 = a + 3 ,

Poniamo AQ__D) = 0, ossia a +|__]=0, dunque a=|___}

Per a = —3 il polinomio 5x° — 6x? — 3x + 4 è divisibile per x — 1.

N

Determina per quale valore della lettera a i seguenti polinomi sono divisibili per | binomi scritti a fianco,

yy + 4y = 2a

y-2

[6]

Lee

3ax® — 2x - 2a

3x-2

[-2]

4y- 3

[4]

yi 572 + ay — 26a

y-4

[8]

a x + 2ax2+ x

x++

[3]

aC

ss

x

ax! — ax + 1

x+1

[va e R]

[593 5ay° + y - 3a Li

| _1=1-] ST

x'+ 3axt- Sax + a

x+2

+ 4 a x ?— 4a + 3

x-1

x

[=] aC

[aa e R]

1)

ELI

pui

Somma e differenza d i cubi 8, differenza di cubi, è divisibile per

LO SVOLGIMENTO Stabilisci se il binomio -

|

COMPLETA

Per applicare il teorema di Ruffini, troviamo il valore da sostituire a y nel polinomio.

Il divisore - + » — 2 diventa del tipo y — a dividendo per]

‘

1

—ty-

2

— y+[__| — il valore da sostituire a y è —8.

4 Applichiamo il teorema di Ruffini:

Quindi =

=

8-1

|=L_J-L_J=lLi

6 è divisibile per L y - 2.

Stabilisci se | seguenti binomi somma o differenza di cubi sono divisitili per | binomi scritti a fianco.

a |_1#1+]

a uo

x3=-125, x=-5; g r a+1, a + ;

b.

x ? 1- ,

b. b - 8 ,

x+1; b+2;

Cc. x' + 8 ,

x+2.

e. 1250°-64, 5 a- 4.

36 7

€

i

B e l l teorema d i Rutffini

sac La

i

2a‘

e

583

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=

3a + 2a - 1

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2a +1;

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a + 2y.

x + 2y;

x - 2y.

a+b;

a — 2b.

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xi LIT]

x —8°

a? — 2ab + a°b — 4b° ua

°°

Which are divisorst Consider thepolynomial P(x) = 4x!+ 5x — 6. Which ofthe following A polynomials are divisors of P{x)? b.

a x+1

4x — 3

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Dato il

587

d. x - 2

e x+2

polinomio A(x) = 5x° + 2ax® — 3x — a + 1, determina per quale

° ° valore della lettera a esso è divisibile per il binomio x — 1, Per il teorema di Ruffini deve risultare A{1) =|__| Pertanto calcoliamo A Q _ _ f ) = S + 2 a - 3 - a + 1 = a + 3 ,

Poniamo AQ__D) = 0, ossia a +|__]=0, dunque a=|___}

Per a = —3 il polinomio 5x° — 6x? — 3x + 4 è divisibile per x — 1.

N

Determina per quale valore della lettera a i seguenti polinomi sono divisibili per | binomi scritti a fianco,

yy + 4y = 2a

y-2

[6]

Lee

3ax® — 2x - 2a

3x-2

[-2]

4y- 3

[4]

yi 572 + ay — 26a

y-4

[8]

a x + 2ax2+ x

x++

[3]

aC

ss

x

ax! — ax + 1

x+1

[va e R]

[593 5ay° + y - 3a Li

| _1=1-] ST

x'+ 3axt- Sax + a

x+2

+ 4 a x ?— 4a + 3

x-1

x

[=] aC

[aa e R]

1)

ELI

pui

Somma e differenza d i cubi 8, differenza di cubi, è divisibile per

LO SVOLGIMENTO Stabilisci se il binomio -

|

COMPLETA

Per applicare il teorema di Ruffini, troviamo il valore da sostituire a y nel polinomio.

Il divisore - + » — 2 diventa del tipo y — a dividendo per]

‘

1

—ty-

2

— y+[__| — il valore da sostituire a y è —8.

4 Applichiamo il teorema di Ruffini:

Quindi =

=

8-1

|=L_J-L_J=lLi

6 è divisibile per L y - 2.

Stabilisci se | seguenti binomi somma o differenza di cubi sono divisitili per | binomi scritti a fianco.

a |_1#1+]

a uo

x3=-125, x=-5; g r a+1, a + ;

b.

x ? 1- ,

b. b - 8 ,

x+1; b+2;

Cc. x' + 8 ,

x+2.

e. 1250°-64, 5 a- 4.

36 7

€

i

Fondamentali alla prova

GUARDA! 4

prova e a a nuova

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false. a. Un polinomio completo di terzo grado è un trinomio.

MICI

b. Un polinomio omogeneo è completo almeno rispetto a una lettera. €. Se un polinomio è ordinato è anche completo. d. U n polinomio di primo grado è sempre omogeneo.

DIE

PounomI E arabo

[ La risposta a p. 379

pi

a

Q

dh

.

L A SCOMP OSIZIO NE I N FATTORI

‘© : mi ia E ’' A

:

=

E ' LT

La scomposizione in fattori |

dei polinomi polinomi

DI

riducibili

e irriducibili

i

* Esercizi a pagina 384

Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado inferiore. La scomposizione in fattori viene anche chiamata fatto- .

10 Bh

Attività Attività interattive |

’ fari 1 Pdf

rizzazione. IP |

GUARDA!

ESEMPIO

x

1= WD

+1)

xi

1 = (x + 1)(x — 1)(x* + 1)

(x® — 1) può sssere composto ulteriormente In (x + 1){x=1)

x° + 1, invece, non è scomponibile. Puoi verificarlo applicando il teorema di Ruffini.

Diamo la seguente definizione. DEFINIZIONE

E

Un polinomio è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinormi, tutti di grado minore. U n polinomio non riducibile si chiama irriducibile,

if a polyomial can be written

Listen t o

nr

as the product of polynomials of lower degree |factors), then it can be factorised,

375

«»

Ogni tax| ha un numero,

per

n

n

------------

distinguerlo dagli

altri della stessa

ma o

UL

agenzia,

CF

XI

!

TAX

Può il numero di u n taxi stimolare l’intuito d i un

=

’,

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matematico? > La risposta a p. 379

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.

L A SCOMP OSIZIO NE I N FATTORI

‘© : mi ia E ’' A

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La scomposizione in fattori |

dei polinomi polinomi

DI

riducibili

e irriducibili

i

* Esercizi a pagina 384

Scomporre in fattori un polinomio significa scriverlo sotto forma di prodotto di polinomi di grado inferiore. La scomposizione in fattori viene anche chiamata fatto- .

10 Bh

Attività Attività interattive |

’ fari 1 Pdf

rizzazione. IP |

GUARDA!

ESEMPIO

x

1= WD

+1)

xi

1 = (x + 1)(x — 1)(x* + 1)

(x® — 1) può sssere composto ulteriormente In (x + 1){x=1)

x° + 1, invece, non è scomponibile. Puoi verificarlo applicando il teorema di Ruffini.

Diamo la seguente definizione. DEFINIZIONE

E

Un polinomio è riducibile quando può essere scomposto nel prodotto di polinormi, tutti di grado minore. U n polinomio non riducibile si chiama irriducibile,

if a polyomial can be written

Listen t o

nr

as the product of polynomials of lower degree |factors), then it can be factorised,

375

«»

1

e

L a scomposizione i n fattori del polinomi > Esercizi a pagina 384

P l l raccoglimento parziale

Consideriamo il polinomio P = ac + bc + ad + bd + ae + be, I primi due termini hanno in comune il fattore c, il terzo e il quarto il fattore d, il quinto e il sesto il fattore e. Raccogliamo | fattori comuni: P = cla + è) + dla + b) + ela + 6).

Il polinomio non è ancora scomposto in fattori ma è formato da una somma di tre termini, che hanno in comune il fattore (a + &). Raccogliamo (a + b}: P = ( a + ble +d +e).

Siamo giunti al prodotto di due fattori. Questo metodo di scomposizione viene detto raccoglimento parziale. Ripercorrendo il procedimento in senso contrario otteniamo: (a + b) (e + d + e) = c(a + &) + dia + b) + ela + b) = ac + be + ad + bd + ae + be.

Osserviamo allora che nel raccoglimento parziale ci sono gli stessi passaggi della moltiplicazione fra polinomi, ma percorsi in senso inverso. Osserviamo anche che potremmo raccogliere parzialmente in modo diverso: ac + bc + ad + bd + ae + be = ale + d+e) + blc+d+e6) = ( c + d +e) (a + 5).

W

EsERcIZIO Raccoglimento parziale Scomponi in fattori:

a 5 + 15x07 det — 12 a

b. 2x7 + 2xty= S x= Sy.

Il raccoglimento parziale avviene sempre in due fasi.

W ESERCIZIO

=

p | ESEMPIO 5ab — 108° + 3a = 6b = 5bl(a — 2b) + 3(a = 2b) = (a = 28){5b + 3)

Raccogli 1 oi Scomponi i n fattori raccogliendo parzialmente

o

]o-1:

a, 2ay + 3by + 2a + 3b:; DD L a scomposizione d i particolari trinomi axr-2a - x + 2 , b. : 387 pagina a Esercizi > d i secondo grado Il trinomio di secondo grado x* + 8x + 15 è particolare per due motivi: ®

il coefficiente di x* è 1;

e i numeri 8 e 15 sono, rispettivamente, la somma e il prodotto di 3 e 5.

Se proviamo a moltiplicare i due binomi (x + 3) e (x + 5), otteniamo proprio il trinomio x° + 8&x + 15. In generale, un trinomio di secondo grado del tipo x* + sx + p è scomponibile nel prodotto (x + a ) { x+ b) s e s = a + b e p = ab.

I n altri termini: 42 + {a + bjx + ab = (x + aix + 6).

er: Par la ricerca di a e b è

IP ESEMPIO Scomponiamo in fattori y* — 8y + 15.

utile òssarvare i l segno del

Iniziamo dal termine noto: cerchiamo », e y: tali che il loro prodotto sia 15. ag:

-

Li]:

In particolare:

.

Le coppie di numeri interi possibili sono: i

prodotto p a della somma 5 . Se pp > O, x e b sono concordi. è

+ 1 , + 1 5 ; - 1 , - 1 5 ; + 3 , + 5 ; =3,-5,

positivi; e

ses < 0, sono entrambi

negativi.

Scegliamo la coppia che ha somma — 8:

o

Se pi. 0, a a è sono discordi,

+1+15=+16; —-1-15=-16; +3+5=+8;

-3-5=-8,

In particolare: è

Nel polinomio di partenza riscriviamo il termine — 8y come — 3y — 5y:

V I By +15 = gl = 3y = 59 +15 = p(4- 3) 5 - 3 ) I raccogliamo parzialmente y e = 6

ses > 0. sono entrambi

= ( = 3) (y = 5).

i raccogliamo (y = 3)

se 5 > DU, è positivo i l numero con valore

assoluto maggiore; * ses < O, è positivo i l numero con valore assoluto minora.

377

=

1

e

L a scomposizione i n fattori del polinomi > Esercizi a pagina 384

P l l raccoglimento parziale

Consideriamo il polinomio P = ac + bc + ad + bd + ae + be, I primi due termini hanno in comune il fattore c, il terzo e il quarto il fattore d, il quinto e il sesto il fattore e. Raccogliamo | fattori comuni: P = cla + è) + dla + b) + ela + 6).

Il polinomio non è ancora scomposto in fattori ma è formato da una somma di tre termini, che hanno in comune il fattore (a + &). Raccogliamo (a + b}: P = ( a + ble +d +e).

Siamo giunti al prodotto di due fattori. Questo metodo di scomposizione viene detto raccoglimento parziale. Ripercorrendo il procedimento in senso contrario otteniamo: (a + b) (e + d + e) = c(a + &) + dia + b) + ela + b) = ac + be + ad + bd + ae + be.

Osserviamo allora che nel raccoglimento parziale ci sono gli stessi passaggi della moltiplicazione fra polinomi, ma percorsi in senso inverso. Osserviamo anche che potremmo raccogliere parzialmente in modo diverso: ac + bc + ad + bd + ae + be = ale + d+e) + blc+d+e6) = ( c + d +e) (a + 5).

W

EsERcIZIO Raccoglimento parziale Scomponi in fattori:

a 5 + 15x07 det — 12 a

b. 2x7 + 2xty= S x= Sy.

Il raccoglimento parziale avviene sempre in due fasi.

W ESERCIZIO

=

p | ESEMPIO 5ab — 108° + 3a = 6b = 5bl(a — 2b) + 3(a = 2b) = (a = 28){5b + 3)

Raccogli 1 oi Scomponi i n fattori raccogliendo parzialmente

o

]o-1:

a, 2ay + 3by + 2a + 3b:; DD L a scomposizione d i particolari trinomi axr-2a - x + 2 , b. : 387 pagina a Esercizi > d i secondo grado Il trinomio di secondo grado x* + 8x + 15 è particolare per due motivi: ®

il coefficiente di x* è 1;

e i numeri 8 e 15 sono, rispettivamente, la somma e il prodotto di 3 e 5.

Se proviamo a moltiplicare i due binomi (x + 3) e (x + 5), otteniamo proprio il trinomio x° + 8&x + 15. In generale, un trinomio di secondo grado del tipo x* + sx + p è scomponibile nel prodotto (x + a ) { x+ b) s e s = a + b e p = ab.

I n altri termini: 42 + {a + bjx + ab = (x + aix + 6).

er: Par la ricerca di a e b è

IP ESEMPIO Scomponiamo in fattori y* — 8y + 15.

utile òssarvare i l segno del

Iniziamo dal termine noto: cerchiamo », e y: tali che il loro prodotto sia 15. ag:

-

Li]:

In particolare:

.

Le coppie di numeri interi possibili sono: i

prodotto p a della somma 5 . Se pp > O, x e b sono concordi. è

+ 1 , + 1 5 ; - 1 , - 1 5 ; + 3 , + 5 ; =3,-5,

positivi; e

ses < 0, sono entrambi

negativi.

Scegliamo la coppia che ha somma — 8:

o

Se pi. 0, a a è sono discordi,

+1+15=+16; —-1-15=-16; +3+5=+8;

-3-5=-8,

In particolare: è

Nel polinomio di partenza riscriviamo il termine — 8y come — 3y — 5y:

V I By +15 = gl = 3y = 59 +15 = p(4- 3) 5 - 3 ) I raccogliamo parzialmente y e = 6

ses > 0. sono entrambi

= ( = 3) (y = 5).

i raccogliamo (y = 3)

se 5 > DU, è positivo i l numero con valore

assoluto maggiore; * ses < O, è positivo i l numero con valore assoluto minora.

377

=

1 e L a scomposizione i n fattori del polinomi Analogamente, per la differenza o la somma di due cubi abbiamo: _ )A t

;

W ESERCIZIO o

=

P'= (A = B}(A' + AB + BB?)

differenza di due cubi

A? + B° = (A + B)(A! — AB + B?).

somma di due cubi

Applica le regole

Scompaoni in fattori

riconoscendo i prodotti

notevoli oppure la somma è differenza di cubi;

a. y - di Questo modo di scrivere le uguaglianze fornisce delle regole di scomposizione in ! b. x Va + 27x - 27;

fattori. Infatti, nel primo membro di ogni uguaglianza troviamo la somma algebrica

2 I ’ pei di

di più termini, nel secondo un prodotto di più fattori.

8 +x,

Pb | ESEMPIO Scomponiamo in fattori: a. 44° — 81; b. x5— 6x°+ 9. a. Il binomio è una differenza di due quadrati.

4a° — B1 =

(2a)® — (9) = (2a + 9) (2a — 9)

i

i

riconeaciamo la

soriviamo i due fattori son b o m m a e differenza

differenza d i quadrati

Possiamo scomporlo anche così:

4 a — 81 = ( 2 a ) ? - ( 9 8 = ( 2 a + 9 } { -2a = 9). b. Abbiamo un trinomio in cui x° e 9 sono due quadrati e — 6x° può essere un doppio prodotto, Verifichiamo se è il quadrato di un binomio, 60 + 9 = (x)? + 2x8 ( 3 )

x

+ (23)? = (x - 3)? 1A

si

riconosciamo | due quadrati

scriviamo il

a verifichiamo il doppio prodotto

quadrato dei binomio

Poiché il segno del doppio prodotto è negativo, abbiamo considerato A = x’

n VIDEO Scomposizione In fattori


p . 405

fattori comuni e non con ll massimo esponente

——————————— a re

Ts

e

—_

O

FT

Om

o

re

cs

_ pe _ _

e

E

O

_

e

E

FC

E

FE O E

e

_

e

_ —_ e

TL

E

E

_

e

E

E

PT

E

—_ c e

TO

_

e

E

E

e

_

e

_ _

E

E

E

e

E

E

ve

TO

wr

p

La

GUARDA!

Mappa dei fondamentali

{mn I

mnum

Sintesi i n 7 lingue

SCOMPOSIZIONE I N FATTORI D I POLINOMI È riducibile:

|

x y + y , perché x y + y = y ( x +1).

[— scomposizione In fattori a + 2 : 3x-7, X34+ 5: L

dm

binomi di primo grado

RACCOGLIMENTO

pro

CON I PRODOTTI NOTEVOLI * Differenza d i quadrati

e A fattore c o m u n e

2x? — 4xy + 6xz =

x è — 4y2 = (3x + 2y)(3x — 2y)

—

=—

xd

2

#*

* Parziale

XS

depplo prodotto

x=

2

Quadrato d i u n binomio TEORI A

Sono irriducibili:

N

e

E

E

4a? 4 12ab + 9 p = {2a + 3b)2 quadrati

A

re

2 X x {-3 x ) - { 3 -x) =

e Quadrato d i u n trinomio

( 3 — x){2x — 1 )

4x2 + 9y2 + 16z2 + 12xy - 16xz - 24y2z =

TRINOMIO PARTICOLARE L--

x

+ 3x

=

1 0 = ( x + 5 ) { x= 2)

somma

_—_—

( 2 x+ 3y — 4z}* # Cubo d i u n binomio

|

3 = (+5) + { - 2 )

doppi prodotti

quadrati

N

ee

PP

=

prodotto

t r i p l i prodotti

=-10=(+5) (-2)

|

|

gx? + 36x2y + s v

+ 27°

i

=

{(2x + 3y}?

cubi

METODO D I RUFFINI P(x) = x 3 - xè - 5 x - 3 =

-

* Somma e differenza d i cubi xX3+1 = ( x + 1 ) { x 2x: - 1 + 1 7 ) = ( x + 1 ) ( xx° - +1)

( ++11)(x® — 2 x — 3 )

at-1=(a-1)(02+2a-1+123=(a-1){a2+2a+1)

P{x) è divisibile per ( x + 1 ) polché A - 1 ) = 0

|

McD E mem D I POLINOMI

| fattori comuni con l l minimo esponente

2 0 °+ d x = 6 = 2 ( x —1 } ( x + 3 ) 4 x 2 - B x + 4 = 2 2 ( x - 1)?

scomposizione

MCD = 2 - { x - 1 }

i n fattori irriducibili

m e m = 22. { x - 1 ) 2 ( x + 3 ) |

FONDAMENTALI ALLA PROVA

> p . 405

fattori comuni e non con ll massimo esponente

1 e L a scomposizione In fattori del polinomi

l4x — 35a2;

xy? — 2yz;

62 + 12a° + 182,

5a? — 2ab;

—-10 + l4ax;

x y+ 2 x ' + y 3x2,

2ab — 4a.

15a° + 25a;

2ax = 4a + 2a?

10

2x2 y + 6xy" + 433;

— 3x2 — 15x — 21;

ax

Kn

— 2 a ?— 4a — 8 ;

a x+ l 2 a x+ 9ax!;

— 5 y+ 2 15x32— 25y,

12

3a + 9 b — 15;

4a

2 2 °= 2a;

3 a " + 12a°b =

x + x? + x;

2x2?+ 2 x 2= Axy;

36x°y— 24x?,

— 2 7+aSay ° —IÉa;

—6 2 + ° 9a b + 3a?

E Li

1 a 5 x— l10xy+ 15y;

x + ax,

6a?

— 2 a ?+ 4ab — 2a°;

cx? — dex + clx?;

6 x y 2— 4x2 + 10xy.

16

Tap+3a0p;

4x — 2x3 2 ;

ax! + ia.

18a%y = 4 9 3 ?+ 10a5y2;

4

Lay gx;

5x5—15x2y+ 20xt;

44x35—12x 6 — 6x5.

i

Latbe—-gatbc+ a b ;

Fa‘ - 3a”;

Sega

-

+ 3x2;

dp

5

-3p.

ù

bi

I

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Scomponi in fattori il polinomio a (2a — b) +

ga,

{2a — b)?, raccogliendo a fat-

tore comune. Il binomio (2a — b) è comune ai due termini del polinomio, quindi possiamo raccoglierlo: al2a — b})+ (2a — b)? = (2a - b ) : [L__j+|

Î| = (2a — b) (3a — b).

N a(2a - b):(2a — b)

(2a — b}*: {2a — b)

Scomponi In fattori, raccogliendo a fattore comune.

2

atx + » ) + b(x + y);

4alx + 2y)-— 2(x + 2y);

x(a + b) (a + b).

(22 + b) — 3(b + 2a};

x { a— 1) = 4(1 = a};

3{a — 2x)- 2y(2x — a).

(x + 39) = (x + 3y};

{a = b)} - {a — b);

(2x — 33°}? + (2x — 34°},

TEST Una delle seguenti uguaglianze è falsa. Qua le? A]

mx + my ={x +y) m

5]

ax+bx+x=x(a+b+1)

Cc]

x ° + x= x(x +1)

E

A

L'espressione a” + a " è uguale a:

A] 2a”, B|

e] o]

a”. a”(a +1) .

a“

Db] am + m b + m = m{(a+ tb)

385

1 e L a scomposizione In fattori del polinomi

l4x — 35a2;

xy? — 2yz;

62 + 12a° + 182,

5a? — 2ab;

—-10 + l4ax;

x y+ 2 x ' + y 3x2,

2ab — 4a.

15a° + 25a;

2ax = 4a + 2a?

10

2x2 y + 6xy" + 433;

— 3x2 — 15x — 21;

ax

Kn

— 2 a ?— 4a — 8 ;

a x+ l 2 a x+ 9ax!;

— 5 y+ 2 15x32— 25y,

12

3a + 9 b — 15;

4a

2 2 °= 2a;

3 a " + 12a°b =

x + x? + x;

2x2?+ 2 x 2= Axy;

36x°y— 24x?,

— 2 7+aSay ° —IÉa;

—6 2 + ° 9a b + 3a?

E Li

1 a 5 x— l10xy+ 15y;

x + ax,

6a?

— 2 a ?+ 4ab — 2a°;

cx? — dex + clx?;

6 x y 2— 4x2 + 10xy.

16

Tap+3a0p;

4x — 2x3 2 ;

ax! + ia.

18a%y = 4 9 3 ?+ 10a5y2;

4

Lay gx;

5x5—15x2y+ 20xt;

44x35—12x 6 — 6x5.

i

Latbe—-gatbc+ a b ;

Fa‘ - 3a”;

Sega

-

+ 3x2;

dp

5

-3p.

ù

bi

I

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Scomponi in fattori il polinomio a (2a — b) +

ga,

{2a — b)?, raccogliendo a fat-

tore comune. Il binomio (2a — b) è comune ai due termini del polinomio, quindi possiamo raccoglierlo: al2a — b})+ (2a — b)? = (2a - b ) : [L__j+|

Î| = (2a — b) (3a — b).

N a(2a - b):(2a — b)

(2a — b}*: {2a — b)

Scomponi In fattori, raccogliendo a fattore comune.

2

atx + » ) + b(x + y);

4alx + 2y)-— 2(x + 2y);

x(a + b) (a + b).

(22 + b) — 3(b + 2a};

x { a— 1) = 4(1 = a};

3{a — 2x)- 2y(2x — a).

(x + 39) = (x + 3y};

{a = b)} - {a — b);

(2x — 33°}? + (2x — 34°},

TEST Una delle seguenti uguaglianze è falsa. Qua le? A]

mx + my ={x +y) m

5]

ax+bx+x=x(a+b+1)

Cc]

x ° + x= x(x +1)

E

A

L'espressione a” + a " è uguale a:

A] 2a”, B|

e] o]

a”. a”(a +1) .

a“

Db] am + m b + m = m{(a+ tb)

385

1 e L a scomposizione In fattori del polinomi

l4x — 35a2;

xy? — 2yz;

62 + 12a° + 182,

5a? — 2ab;

—-10 + l4ax;

x y+ 2 x ' + y 3x2,

2ab — 4a.

15a° + 25a;

2ax = 4a + 2a?

10

2x2 y + 6xy" + 433;

— 3x2 — 15x — 21;

ax

Kn

— 2 a ?— 4a — 8 ;

a x+ l 2 a x+ 9ax!;

— 5 y+ 2 15x32— 25y,

12

3a + 9 b — 15;

4a

2 2 °= 2a;

3 a " + 12a°b =

x + x? + x;

2x2?+ 2 x 2= Axy;

36x°y— 24x?,

— 2 7+aSay ° —IÉa;

—6 2 + ° 9a b + 3a?

E Li

1 a 5 x— l10xy+ 15y;

x + ax,

6a?

— 2 a ?+ 4ab — 2a°;

cx? — dex + clx?;

6 x y 2— 4x2 + 10xy.

16

Tap+3a0p;

4x — 2x3 2 ;

ax! + ia.

18a%y = 4 9 3 ?+ 10a5y2;

4

Lay gx;

5x5—15x2y+ 20xt;

44x35—12x 6 — 6x5.

i

Latbe—-gatbc+ a b ;

Fa‘ - 3a”;

Sega

-

+ 3x2;

dp

5

-3p.

ù

bi

I

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Scomponi in fattori il polinomio a (2a — b) +

ga,

{2a — b)?, raccogliendo a fat-

tore comune. Il binomio (2a — b) è comune ai due termini del polinomio, quindi possiamo raccoglierlo: al2a — b})+ (2a — b)? = (2a - b ) : [L__j+|

Î| = (2a — b) (3a — b).

N a(2a - b):(2a — b)

(2a — b}*: {2a — b)

Scomponi In fattori, raccogliendo a fattore comune.

2

atx + » ) + b(x + y);

4alx + 2y)-— 2(x + 2y);

x(a + b) (a + b).

(22 + b) — 3(b + 2a};

x { a— 1) = 4(1 = a};

3{a — 2x)- 2y(2x — a).

(x + 39) = (x + 3y};

{a = b)} - {a — b);

(2x — 33°}? + (2x — 34°},

TEST Una delle seguenti uguaglianze è falsa. Qua le? A]

mx + my ={x +y) m

5]

ax+bx+x=x(a+b+1)

Cc]

x ° + x= x(x +1)

E

A

L'espressione a” + a " è uguale a:

A] 2a”, B|

e] o]

a”. a”(a +1) .

a“

Db] am + m b + m = m{(a+ tb)

385

CAPITOLO 8 E

a

e

e Da a

b

ale a e dan d a

E

e

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

mo D a a a alare l o D a D a cla D a ala alla a

cele D a a o olor E dolo a o a e a e

a

o m e dare aloe ala lee mo a

I l raccoglimento parziale |

cio E

e cme o

E o

a

e a

c a o a D E d e ame sima aule ima u r

n

r e dere all allo D E d A

a D E D o a a o o DO D a a

a

E

D a a a OO D e D E o a o a

O e

> Teoria a pagina 977

Attività interattiva

FONDAMENTALI Scomporre con il raccoglimento parziale

2

Scomponiamo in fattori i seguenti polinomi: bb. 2bx®— 2bx?— x3 + x ,

a 3be+2ab-2a-3c;

a. Possiamo procedere i n due modi alternativi,

{b — 1}{3c + 2a}

= = 3 b - 1)+2a{b—1 1. 3bc + 2 a b— 2 a— 3 c=

raccogliamo (b - 1)

p arzialmente raccogliamo p

de #28

3be + 2ab

2.

— 1 } Comense scrivere Il fattore = b(3c+ 2a) 1(3c + 2a) = {3c + 2a)}{b

2a 3

raccogliamoparzialmente b.

per finala. coglimente

2bx? — 2bx2 — x + x? = x?(2bx — 2b — x + 1) = x2[2b{x —1) - 1(x— 1)]= x°(x — 1}(268 — 1). bi

nei

raccogliamo x° re

r e n d e rpiù e facila Il rae-

raccogliamo(3e*+ 28)

e

e D O DO

O

E

Rae DOD OOO DONO OO GR DO SO OO RO D e

e OI O

O

O

O

o

PO SO POI IONI I O

pe

raccogliamo parzialmente 2h # - 1 O

a Re O

o OO

e OO e

O

e Se

E

e

e

o

e SOR AGO E

a e POD o

raccogliamo {x = 1) O

OO OO RO

OO

O

ER OOO O

EDO P O Sor

e Emo ole more Pe mae male cdm ene a e monde ale n e mene e o

e vele e e c e ole aloe alia

|

COMPLETA

Sab + u pi i l Li Tata

ax + 3by + xy =

a x— 4x —| i

|=

a(__1+l_D+30_i4+l_H=(Bb+L_DU_I+L_D x(a = 4) = 5(a = 4) =(a -L__p(x-L__D

Tatari3-22=30__1-23)+xa-L_d= 1-2 | + )

Scomponi In fattori mediante i l metodo del raccoglimento parziale.

29

5ay - y - 5 a + 1

2ax + 4x — 3a - 6

x y + 1 +x + 2

a x — 4g + x - 4 + x y

Lai

Sax + 2ay + 5bx + 2by

E

45 a ir

ESERCIZI

PROVA TU. Svolgi un esercizio almile interattivo per vedere se hai capito.

atbx

+ a b + bxy2 + by

3a b = 2a + 12ab — 8

2 a !— 49-32 + 1

+ +12x'+ 6x+72

Py

Sax — 6a + 12bx — 8b

3y-2n-ls+

2 +2 x 2

(a-b)y-b+a

Exa d y +

Sax + ayì =

LI

yi = Sx

s e — ay — 2a EA v ey2 +r 2x'y x}

sab =

6ac-+ bi = 2be

3

4y

la

2 x axy-2

+ PR

La

Se0

20 12 sal

EJ

2(6a —156) 20° + Sab

ax

2a

EI

120° - 216% - 2806? +9ab

EJ

( a + b)

I

xt + x y + x + y

sa

( 5— x } ( 5+ x) + (x — 5}° +(2x — 10}(x +3)

2

ay — 4a — 3y +12

E]

(a + 3b)? — 22° — 6 a b— 9b — 3a

386

=

bx

a

a Da DE oa

a Da De

1 e L a scomposizione In fattori del polinomi compera (x+)

cp

b. a?—8a+15 =(a_Jl_D (alJ5) VERO O FALSO? Considera il

CULO

-y-UJ=yY=5)

d

+ L_]-12=(6-2)(b+L_D

trinomio 2x*+ 11x + 12, =-

11.

b. Per scomporlo cerchiamo due numeri interi il cui prodotto è 24 e la cui somma è 11. c. La sua scomposizione è {x + 3){x + 8).

Td Ii

+x :

d. Il trinomio è irriducibile.

i

a. Può essere scomposto cercando x , e x ; con x;

IIE

et+x-20=(x-L_D

DI

a

la

E

Scomponi i seguenti trinomi: a. x! + 4 x — 5,

+

b. =5b5 — 2 b ' 3; e 3 x =t l3x — 10,

®

Uno studio fotografico elabora una stampa con orientamento A verticale la cui area, espressa in cm?, è x? + 11x + 28, con x € N . La stampa è stata ottenuta come ingrandimento di un'immagine la cui altezza supera di

VW

2 cm la base x, Sapendo che le misure dell’ingrandimento sono espresse da numeri naturali, di quanto sono state aumentate le dimensioni dell'immagine?

B L a scomposizione riconducibile a prodotti notevoli

-

> Teoria a pagina 378

Attività interattiva

La scomposizione mediante la differenza di due quadrati

FONDAMENTALI Scomporre con la differenza di due quadrati Scomponiamo in fattori: 45x31, Cc. 5 x—3 1; b. 16a‘-— a. 25a° 9 ;

|

a,

Rs

aa

=3). -9 = {5a +3)(5a

252! H]

(459

1

12

zz

(ay

Nelle scomposizione di A — Bi,

z

b. 16a*— 1 = (42°+ 1)(4a° — 1) = (40°+ 1)(22a + 1}((2a — 1). Cc.

=

+ B)LA — At — g = (A =) (A+BA

Sx? — 45xy* = Sexi — 9y5) = Sxlx + 3y)(x — 3y). raccogliamo Sx

è A, n ecambia segna ILt e r m iche cloìè quello che nella differenza

di q u a d rha a Il t isegno meno.

scomponiamo la differenza di quadrati

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. ' COMPLETA

Eu uE 81x24 - 25 =QU__jxy'}? - ( D t EI Lar]

__-=(&-L___j+L_b:

75 BL |1 - 1 ]

A

xi

-|__|=Q__]j+20)4__)=2a).

b)(__j+ Lp. 45= _ = (205 = L_i1-|_|=(3a+|_]) (32-23)

ESERCIZI

12

1 e L a scomposizione In fattori del polinomi compera (x+)

cp

b. a?—8a+15 =(a_Jl_D (alJ5) VERO O FALSO? Considera il

CULO

-y-UJ=yY=5)

d

+ L_]-12=(6-2)(b+L_D

trinomio 2x*+ 11x + 12, =-

11.

b. Per scomporlo cerchiamo due numeri interi il cui prodotto è 24 e la cui somma è 11. c. La sua scomposizione è {x + 3){x + 8).

Td Ii

+x :

d. Il trinomio è irriducibile.

i

a. Può essere scomposto cercando x , e x ; con x;

IIE

et+x-20=(x-L_D

DI

a

la

E

Scomponi i seguenti trinomi: a. x! + 4 x — 5,

+

b. =5b5 — 2 b ' 3; e 3 x =t l3x — 10,

®

Uno studio fotografico elabora una stampa con orientamento A verticale la cui area, espressa in cm?, è x? + 11x + 28, con x € N . La stampa è stata ottenuta come ingrandimento di un'immagine la cui altezza supera di

VW

2 cm la base x, Sapendo che le misure dell’ingrandimento sono espresse da numeri naturali, di quanto sono state aumentate le dimensioni dell'immagine?

B L a scomposizione riconducibile a prodotti notevoli

-

> Teoria a pagina 378

Attività interattiva

La scomposizione mediante la differenza di due quadrati

FONDAMENTALI Scomporre con la differenza di due quadrati Scomponiamo in fattori: 45x31, Cc. 5 x—3 1; b. 16a‘-— a. 25a° 9 ;

|

a,

Rs

aa

=3). -9 = {5a +3)(5a

252! H]

(459

1

12

zz

(ay

Nelle scomposizione di A — Bi,

z

b. 16a*— 1 = (42°+ 1)(4a° — 1) = (40°+ 1)(22a + 1}((2a — 1). Cc.

=

+ B)LA — At — g = (A =) (A+BA

Sx? — 45xy* = Sexi — 9y5) = Sxlx + 3y)(x — 3y). raccogliamo Sx

è A, n ecambia segna ILt e r m iche cloìè quello che nella differenza

di q u a d rha a Il t isegno meno.

scomponiamo la differenza di quadrati

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. ' COMPLETA

Eu uE 81x24 - 25 =QU__jxy'}? - ( D t EI Lar]

__-=(&-L___j+L_b:

75 BL |1 - 1 ]

A

xi

-|__|=Q__]j+20)4__)=2a).

b)(__j+ Lp. 45= _ = (205 = L_i1-|_|=(3a+|_]) (32-23)

ESERCIZI

12

1 e L a scomposizione In fattori del polinomi 1 COMPLETA

‘E

9x2 — 3 0 x + 2=5( i x

LD;

a + 8ay

+L__]=Q__]+4y)?.

#50

{

+| ? J= (xl xt + 2 x + | _ _

“ +1+9=(_J+3y

E ‘DA

‘LI

Trova gii errori e spiega perché le uguaglianze sono sbagliate.

xè + gl = (x + y}?

‘E

a + 4x? + 2ax = (a + 2x}

xi + 4x2 + 4 ? = (x? + 2 g IT]

TST=]

HE

‘E

è

1 dà

= (x — 2a}?

x' — 4a

- 49 -4xy = (x

2y}

T a t y =(4a-5)

LT=1=

Quando è possibile, scomponi In fattori, riconoscendo Il quadrato di un binomio. 9x2? + 6x + 1;

a? + 4ab + 4b?;

x? — 10x + 25.

4 + 9b! — 126;

° bÉ + 9a? 6ab+

T=1=] D

VP

-6y +9;

pu

EJ

1

is - 4 - 1

9 +

s4 e

_ Ae

2y + :2 5

25x? + 49y! — 35xy.

= 3;

4 100 g u t 9qa - 2ab;

a + 4a xì + 4xt;

x2 + 6ax + 9a?.

N

1 0 1 a ?— fatb + 16abt;

7 x 3+ l1dxy + 732;

x?+ x y + L y ,

i

102 x _ i

a

5 h ! 22 pi c i

Cc

: 25 — 1 5 b + 9b2,

La LL

— 16x?_— 64;

23

x!

+L1,

a,

ab + 1 2 ;

xyz + + -

s a b l e + Pratbc+ a b ;

x*° + 1 4 x t+y 49x32;

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Scomponi in fattori il

°°

i

a

ui

xyz.

polinomio (a + b}® — 2ce{a + b) + c*, riconoscendo

in modo opportuno il quadrato di un binomio.

(a+b)*-2c(a+b) +2 =|___J- cl =ta+b- cc} eliminiamo le parentesi

riconosciamo | due

quadrati e verifichiamo

Il doppia prodotta

Ra nat polinomio riconosciamo ta | struttura del quadrato di un binomia, P_ non svilupplamao | calcoli a

inteme

direttamente con la scomposizione,

Scompaoni In fattori, riconoscendo In modo opportuno ll quadrato di un binomio.

(x - y }

=

102%(2x+ 1) — ( 2 x+ 1 ) ?= 2505,

9b* + 6h ( 2 - 2 ) + ( 2 - a ) î

4 ( x - y ) + 4;

#40

1 0 6 s l a + 2 ) °— a

+2)°+1;

1+2(x-2)+(x -2Y;

+ 2) + 36. + 2)!—12(m? (m2

LI

La LE

'

i

PA binomio? :

Esiste un valore di a per cui x° + ax + a si può scomporre in fattori come quadrato di

+

COMPLETA In modo che l l polinomio ottenuto sia ll quadrato di u n binomio.

1 Li

i

LU I Li

E]

LI |l e )

Li LI

L L 1 SQ

5

a = 3ab +

Lat+2 ax+l_ }

i e +7 + =

@2

+

1+42

= ab +

|

x! + xy +

|

a

“+9+L__}

M T x -2ax + }

1 Li [T&T+]

:

+=

(__1+22};

Lf

4abe+L___j=(2be=L__p.

391

1 e L a scomposizione In fattori del polinomi 1 COMPLETA

‘E

9x2 — 3 0 x + 2=5( i x

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#50

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+| ? J= (xl xt + 2 x + | _ _

“ +1+9=(_J+3y

E ‘DA

‘LI

Trova gii errori e spiega perché le uguaglianze sono sbagliate.

xè + gl = (x + y}?

‘E

a + 4x? + 2ax = (a + 2x}

xi + 4x2 + 4 ? = (x? + 2 g IT]

TST=]

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‘E

è

1 dà

= (x — 2a}?

x' — 4a

- 49 -4xy = (x

2y}

T a t y =(4a-5)

LT=1=

Quando è possibile, scomponi In fattori, riconoscendo Il quadrato di un binomio. 9x2? + 6x + 1;

a? + 4ab + 4b?;

x? — 10x + 25.

4 + 9b! — 126;

° bÉ + 9a? 6ab+

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VP

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pu

EJ

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s4 e

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25x? + 49y! — 35xy.

= 3;

4 100 g u t 9qa - 2ab;

a + 4a xì + 4xt;

x2 + 6ax + 9a?.

N

1 0 1 a ?— fatb + 16abt;

7 x 3+ l1dxy + 732;

x?+ x y + L y ,

i

102 x _ i

a

5 h ! 22 pi c i

Cc

: 25 — 1 5 b + 9b2,

La LL

— 16x?_— 64;

23

x!

+L1,

a,

ab + 1 2 ;

xyz + + -

s a b l e + Pratbc+ a b ;

x*° + 1 4 x t+y 49x32;

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Scomponi in fattori il

°°

i

a

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xyz.

polinomio (a + b}® — 2ce{a + b) + c*, riconoscendo

in modo opportuno il quadrato di un binomio.

(a+b)*-2c(a+b) +2 =|___J- cl =ta+b- cc} eliminiamo le parentesi

riconosciamo | due

quadrati e verifichiamo

Il doppia prodotta

Ra nat polinomio riconosciamo ta | struttura del quadrato di un binomia, P_ non svilupplamao | calcoli a

inteme

direttamente con la scomposizione,

Scompaoni In fattori, riconoscendo In modo opportuno ll quadrato di un binomio.

(x - y }

=

102%(2x+ 1) — ( 2 x+ 1 ) ?= 2505,

9b* + 6h ( 2 - 2 ) + ( 2 - a ) î

4 ( x - y ) + 4;

#40

1 0 6 s l a + 2 ) °— a

+2)°+1;

1+2(x-2)+(x -2Y;

+ 2) + 36. + 2)!—12(m? (m2

LI

La LE

'

i

PA binomio? :

Esiste un valore di a per cui x° + ax + a si può scomporre in fattori come quadrato di

+

COMPLETA In modo che l l polinomio ottenuto sia ll quadrato di u n binomio.

1 Li

i

LU I Li

E]

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Li LI

L L 1 SQ

5

a = 3ab +

Lat+2 ax+l_ }

i e +7 + =

@2

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1+42

= ab +

|

x! + xy +

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a

“+9+L__}

M T x -2ax + }

1 Li [T&T+]

:

+=

(__1+22};

Lf

4abe+L___j=(2be=L__p.

391

1

e

L a scomposizione i n fattori del polinomi

Dunque 3a e 1 hanno lo stesso segno, mentre 2b ha il segno opposto. Abbiamo perciò due scomposizioni equivalenti:

9 a ?+ 4b? + 1 — 12ab + 6a — 4b = ( 3 a— 2b +1} oppure 9a? + 4 ? + 1 = 12ab + 6 a= 4b = ( 3 a + 2b = 1 } ,

da" + 4b° + c' + 4ab + 4ac + 4bc TTT

b.

ci

(2a (2°

Controlliamo se i valori assoluti dei doppi prodotti coincidono con i valori assoluti degli altri termini: 4a + 4b° + 2 + 40ab + 4ac + 4be,

Se Il controllo fallisce anche solo per uno del doppi prodotti,

il polinomio non è riconducibile ai quadrato di un trinomio.

2{2a 26) = Sab # deb

Dunque il polinomio non è riconducibile al quadrato di un trinomio. PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se ha) capito.

E_T=12]

compLeTtA

+ 8° + 4a + 2ab + 4 + 4 b = (a + b + _ _ DE a + x® + 9 — 2ax — 6a +|__]= (a — x

a

116 Aggiungi il termine che manca affinché il polinomio a?+ +

ESERC IZI

IE

-|__pP.

+ 4cì— ab — 4ac sia il quadrato di un tri-

nomio.

Quando è possibile, scomponi I n fattori riconoscendo i l quadrato d i u n trinomio. | _1=1-]

a + 462 + 962 — 6ac — 12bc + 4ab

+ Axy O x + 4g? +44

1212

— d x— By + 4

=

-

2be+ L a t 16 n c 16 2

Fi

Ba — 8 + 8x — 4ax — 20° — 2xì

25x® — 9y? + 4 — 30xy + 10x — 12y TT

4x2 + x y + 5 ? +12x+y+9

a

LA l+)

Li A

x? + 3A + 1 + 2xyt — 2x — 23?

= 25

=

gautg

20° + a+ 20° + al

1 2 6 8a" + 18a* b° + 2b* + 8a? b* — 24a'b — 12ab°

La scomposizione mediante ll cubo di un binomio |

ALI

123 EE] 16bp? + ab

4x8)

#00

I]

ve

Attività interattiva

FONDAMENTALI Scomporre con il cubo di un binomio

Scomponiamo in fattori, se possibile, riconoscendo il cubo di un binomio: a

e + 3x2 +

ax + 1:

b. 84° — 6a°b +

6ab — PP’.

eos

sesso

a: Riconosciamo i due cubi: a + 3x2?+ 3x1 . Axa

1

A?

+ 3A2A + 3AB!+ BI = (A + E È

1°

Controlliamo che gli altri due termini siano i tripli prodotti: Sx

x

ext

+ + 3x5 + 3x + 1 .

Pertanto: x+°+ 3x°+ 3x+1=(x+1)p.,

Db

393

1

e

L a scomposizione i n fattori del polinomi

Dunque 3a e 1 hanno lo stesso segno, mentre 2b ha il segno opposto. Abbiamo perciò due scomposizioni equivalenti:

9 a ?+ 4b? + 1 — 12ab + 6a — 4b = ( 3 a— 2b +1} oppure 9a? + 4 ? + 1 = 12ab + 6 a= 4b = ( 3 a + 2b = 1 } ,

da" + 4b° + c' + 4ab + 4ac + 4bc TTT

b.

ci

(2a (2°

Controlliamo se i valori assoluti dei doppi prodotti coincidono con i valori assoluti degli altri termini: 4a + 4b° + 2 + 40ab + 4ac + 4be,

Se Il controllo fallisce anche solo per uno del doppi prodotti,

il polinomio non è riconducibile ai quadrato di un trinomio.

2{2a 26) = Sab # deb

Dunque il polinomio non è riconducibile al quadrato di un trinomio. PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se ha) capito.

E_T=12]

compLeTtA

+ 8° + 4a + 2ab + 4 + 4 b = (a + b + _ _ DE a + x® + 9 — 2ax — 6a +|__]= (a — x

a

116 Aggiungi il termine che manca affinché il polinomio a?+ +

ESERC IZI

IE

-|__pP.

+ 4cì— ab — 4ac sia il quadrato di un tri-

nomio.

Quando è possibile, scomponi I n fattori riconoscendo i l quadrato d i u n trinomio. | _1=1-]

a + 462 + 962 — 6ac — 12bc + 4ab

+ Axy O x + 4g? +44

1212

— d x— By + 4

=

-

2be+ L a t 16 n c 16 2

Fi

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25x® — 9y? + 4 — 30xy + 10x — 12y TT

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Li A

x? + 3A + 1 + 2xyt — 2x — 23?

= 25

=

gautg

20° + a+ 20° + al

1 2 6 8a" + 18a* b° + 2b* + 8a? b* — 24a'b — 12ab°

La scomposizione mediante ll cubo di un binomio |

ALI

123 EE] 16bp? + ab

4x8)

#00

I]

ve

Attività interattiva

FONDAMENTALI Scomporre con il cubo di un binomio

Scomponiamo in fattori, se possibile, riconoscendo il cubo di un binomio: a

e + 3x2 +

ax + 1:

b. 84° — 6a°b +

6ab — PP’.

eos

sesso

a: Riconosciamo i due cubi: a + 3x2?+ 3x1 . Axa

1

A?

+ 3A2A + 3AB!+ BI = (A + E È

1°

Controlliamo che gli altri due termini siano i tripli prodotti: Sx

x

ext

+ + 3x5 + 3x + 1 .

Pertanto: x+°+ 3x°+ 3x+1=(x+1)p.,

Db

393

CAPITOLO 8 dl

da

e

a

a e ma ole a e dm allo E

mo a

LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

e

a a lare l e dolo D a ciale mo ale l o

e mne t a mm e

E mule mo ore alare a a a

dee dre aloe ala lee ma a

n ole

e dle l o

dere o e a a alma a e

e ala a

e

ee a al

e o

Da dr

DE

a Da Da a

o

a DE De oe

a ca EE

a oa DE E aa Da

e

E

a

O A

o

ua e

a

DO

e

a DO alle a

olmo D n a a a

b. Riconosciamo anche in questo caso due cubi: 8a° — 6a°b + 6ab° = b*,

T

TT

(2a)"

{6}

Controlliamo se i tripli prodotti coincidono con gli altri termini:

8a? — 6a°b+ 6 a b — pb, 3 -{2a)'(-bh) =-1280°b x - G a t b

Dunque il quadrinomio non è riconducibile al cubo di un binomio. =

a

O

a

Om E

i

RP SE

Oo

E

O

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E

to o

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O

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mo

t o om a

e

e

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Pe

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O

OD

O

O

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O

Oo

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O

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og e

um o o one d e n

R i PROVA TU. Svolgi un esercizio almile interattivo per vedare se hail capito.

' COMPLETA

‘EA

27% + 27x22 + 9x+ 1

=(__J+ 1};

Bx° + 1 2 x ‘ +62 + 1

=(__jx5+__ pt,

GE

|

' E

1

'

GEE

0 =(L_i+|__ |}3

27+9a+L__1+37

»-L_+_1-8=0-2);

Trova gli errori e spiega perché le uguaglianze sono sbagliate.

‘EEZ] a? — 8b* = {a — 2bY;

xX333 — G t y

1

Giù

I

{

130) a + 3x2 + xt = ( a + x};

ù i C

‘IE

— 27xy — 27 = (xy 3 ) .

= (1

1-2x + 402 = 8

2x)I,

=

=( (a 3a = a? + 3a a3-1 +3a2+ a - 1- 1}.

;) lge*+ a + 3 xx2i ++ 33xx =( s( lxx + 2Ji;

Quando è possibile, scomponi in fattori riconoscendo ll cubo di un binomio.

+ xy +1; gx;

+ 3a2b — 3ab2 + b*.

a — 6a b + 12ab? — 8b?;

— dad

xÉ + 1 + 3x4 + 3x52 .

t b+* 3ab -- 1, a3bp 3 +4 3 a3a2p

x® + 15x* + 75x + 125;

— 1 — 3a — 3a° — 3;

6a + 8a° — 1 — 12a?,

1 V + P t y1 + seri

x

ax? — 6atx5 + L12a2x° — 8.

27x° PP + 27x17 gue

- -1_+l qrtqr

N

(TT)

-

6

|

z

vata

12

+

8

rate;

=

3x2 yi

1

+ Sx;

=

1

ga

8

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2

x

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1

a+

La scomposizione mediante la somma o la differenza di due cubi

sr

1

+ alb +

abi.

Attività interattiva

FONDAMENTALI Scomporre con la somma o la differenza di due cubi Scomponiarmo in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi: a 8 a+ b3 b, 2 7 x ° 1- .

|

IPP

ad.

RAen

I

EA

nunannnnnn

Abbiamo la somma dei cubi di A = 2a e di B = E: PONI

RR

SA

APEeP

TUT

P

B+ -BI)|-+ 8 =1U +5)- WFA '

i

(22) + b? = {2a + bi[(2aY — 2ab + 6°] = (22 + b}{4a° — 2ab + 6°). b. Abbiamo la differenza dei cubi di A = 3x edi

B=

1:

+ 3 x+ 1), ( 3 x Y— 1? = ( 3 x— 1)(9x° O

EA

E

O

A

DO SA RP

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PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

394

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oo. agio a u

da oa Da E oa

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CAPITOLO 8 dl

da

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LA SCOMPOSIZIONE IN FATTORI

e

a a lare l e dolo D a ciale mo ale l o

e mne t a mm e

E mule mo ore alare a a a

dee dre aloe ala lee ma a

n ole

e dle l o

dere o e a a alma a e

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a DO alle a

olmo D n a a a

b. Riconosciamo anche in questo caso due cubi: 8a° — 6a°b + 6ab° = b*,

T

TT

(2a)"

{6}

Controlliamo se i tripli prodotti coincidono con gli altri termini:

8a? — 6a°b+ 6 a b — pb, 3 -{2a)'(-bh) =-1280°b x - G a t b

Dunque il quadrinomio non è riconducibile al cubo di un binomio. =

a

O

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i

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um o o one d e n

R i PROVA TU. Svolgi un esercizio almile interattivo per vedare se hail capito.

' COMPLETA

‘EA

27% + 27x22 + 9x+ 1

=(__J+ 1};

Bx° + 1 2 x ‘ +62 + 1

=(__jx5+__ pt,

GE

|

' E

1

'

GEE

0 =(L_i+|__ |}3

27+9a+L__1+37

»-L_+_1-8=0-2);

Trova gli errori e spiega perché le uguaglianze sono sbagliate.

‘EEZ] a? — 8b* = {a — 2bY;

xX333 — G t y

1

Giù

I

{

130) a + 3x2 + xt = ( a + x};

ù i C

‘IE

— 27xy — 27 = (xy 3 ) .

= (1

1-2x + 402 = 8

2x)I,

=

=( (a 3a = a? + 3a a3-1 +3a2+ a - 1- 1}.

;) lge*+ a + 3 xx2i ++ 33xx =( s( lxx + 2Ji;

Quando è possibile, scomponi in fattori riconoscendo ll cubo di un binomio.

+ xy +1; gx;

+ 3a2b — 3ab2 + b*.

a — 6a b + 12ab? — 8b?;

— dad

xÉ + 1 + 3x4 + 3x52 .

t b+* 3ab -- 1, a3bp 3 +4 3 a3a2p

x® + 15x* + 75x + 125;

— 1 — 3a — 3a° — 3;

6a + 8a° — 1 — 12a?,

1 V + P t y1 + seri

x

ax? — 6atx5 + L12a2x° — 8.

27x° PP + 27x17 gue

- -1_+l qrtqr

N

(TT)

-

6

|

z

vata

12

+

8

rate;

=

3x2 yi

1

+ Sx;

=

1

ga

8

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2

x

+ pax

1

a+

La scomposizione mediante la somma o la differenza di due cubi

sr

1

+ alb +

abi.

Attività interattiva

FONDAMENTALI Scomporre con la somma o la differenza di due cubi Scomponiarmo in fattori, riconoscendo la somma o la differenza di due cubi: a 8 a+ b3 b, 2 7 x ° 1- .

|

IPP

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RAen

I

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nunannnnnn

Abbiamo la somma dei cubi di A = 2a e di B = E: PONI

RR

SA

APEeP

TUT

P

B+ -BI)|-+ 8 =1U +5)- WFA '

i

(22) + b? = {2a + bi[(2aY — 2ab + 6°] = (22 + b}{4a° — 2ab + 6°). b. Abbiamo la differenza dei cubi di A = 3x edi

B=

1:

+ 3 x+ 1), ( 3 x Y— 1? = ( 3 x— 1)(9x° O

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PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

394

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1

L a scomposizione i n fattori del polinomi

e

Cerchiamo uno zero del polinomio P(x}: P(+1)=2+3-

17-30 =-42 #0;

P ( + 2 ) = 16

12 # 0 .;

Par semplicità di calcoli, cormianae carcare ima gli z e r i nteri.Non test

=-36 #0;

tutti | possibili valori: ci fermiamo sppena

210} = = 30

= -- 2 + 3 + 1 7 P(-1)=

=

1}

+ 12 — 34 — 30

t r o v i euno mzero o del polinomio.

P(-2)=-16+12+34-30=0.

Il polinomio è divisibile per x + 2. Calcoliamo il quoziente con la regola di Ruffini: 2

3

2

—17 | 3 0

z4__+2

|

o quasiente: polinornio z i oIr n A n a l i zsempre

+30 0

-15

1

2

proseguire , i l edobbiamo * ue è i r r i d u c i bnon con la scomposizione:

i l a , scomporie, * se è r i d u c i bdobblemo

2x2 + 3x2 — 17x — 30 = (x + 2)(2x! — x —15),

Ripetiamo il procedimento di ricerca degli zeri con polinomio quoziente 2x? — x — 15. Cerchiamo uno zero tra i divisori del termine noto, ossia +1, +3 ... e tra le frazioni + > + E ... Sappiamo già che 1 e - 1 non sono zeri del polinomio quoziente, perché se (x — 1) e (x + 1) dividessero il polinomio quoziente

allora dovrebbero dividere anche il polinomio originale, ma abbiamo già verificato che non succede. Troviamo che P(3) = 0, quindi 2x2 — x — 15 è divisibile p e rx — 3. Applichiamo di nuovo la regola di Ruffini: 2

-1|-15

+3

+ 6 | +15

Non sempre è necessario spplicare di nuovo la regola di Ruffini per scomporre il polinomia

0

avremmo potuto applicare lascomposizionedi

x Mi

q u o z i e n Per t e . esempio, In questo caso,

2

+5]

2x® — x 15 = {x

“a

3){2x + 5).

=

1. ! ba + del tipoa x + trinomio “conar ‘ipo

La scomposizione richiesta è quindi: 2x° + 3x2 = 1 7 x= 30 = (x + 2}(2x2 = x 15) = (x + 2}{x = 3}(2x + 5), a

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leo mela ala ala m l alle l e alia cella a lla cele a lle ala dla d o l a molo o a

a a

aa

e

PROVA TU, Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. Scomponi In fattori, utilizzando la regola d i Rutfini. 156

Sx!

[(x

4x1

[{x + 2}(2x — 1)]

2x* + 3 x 2 158

20° — a? = 5a = 2

y _ p +2 =-3y+2 0 3x-9

160) P R

— ( S x + 1)|

[(a + 1}(a — 2}{2a + 1)]

+ y+ 2 (ya [(x= 3 x 2+ 2x + 3)]

2b? + 5h? — 4b — 3

[(b — 1)(b + 3}{2b8 + 1)]

36? — 4b? + Sb — 4

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396

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397

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L a scomposizione i n fattori del polinomi

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Cerchiamo uno zero del polinomio P(x}: P(+1)=2+3-

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Par semplicità di calcoli, cormianae carcare ima gli z e r i nteri.Non test

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tutti | possibili valori: ci fermiamo sppena

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t r o v i euno mzero o del polinomio.

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proseguire , i l edobbiamo * ue è i r r i d u c i bnon con la scomposizione:

i l a , scomporie, * se è r i d u c i bdobblemo

2x2 + 3x2 — 17x — 30 = (x + 2)(2x! — x —15),

Ripetiamo il procedimento di ricerca degli zeri con polinomio quoziente 2x? — x — 15. Cerchiamo uno zero tra i divisori del termine noto, ossia +1, +3 ... e tra le frazioni + > + E ... Sappiamo già che 1 e - 1 non sono zeri del polinomio quoziente, perché se (x — 1) e (x + 1) dividessero il polinomio quoziente

allora dovrebbero dividere anche il polinomio originale, ma abbiamo già verificato che non succede. Troviamo che P(3) = 0, quindi 2x2 — x — 15 è divisibile p e rx — 3. Applichiamo di nuovo la regola di Ruffini: 2

-1|-15

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Non sempre è necessario spplicare di nuovo la regola di Ruffini per scomporre il polinomia

0

avremmo potuto applicare lascomposizionedi

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1. ! ba + del tipoa x + trinomio “conar ‘ipo

La scomposizione richiesta è quindi: 2x° + 3x2 = 1 7 x= 30 = (x + 2}(2x2 = x 15) = (x + 2}{x = 3}(2x + 5), a

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PROVA TU, Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. Scomponi In fattori, utilizzando la regola d i Rutfini. 156

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397

RIEPILOGO * L a scomposizione del polinomi 3. Scomposizione con prodotti notevoli.

Se il polinomio ha:

differenza di quadrati 2° — b?= (a + b) (a = b), * 2 termini f a

differenza di cubi 2° — b* = (a — b} (a? + ab + 6°),

somma di cubi a° + i = (a + b) (a? = ab + b2); . 3 termini

LL

quadrato di binomio a° + 2ab + b° = (a + b)*, trinomio particolare x * + ( a + b ) x + a b = ( x + a ) (x + b ) ;

* 4 termini ——> cubo di binomio a° + 3a°b + 3ab® + b' = (a + b)*; » 6 termini

——x quadrato di trinomio a? + b° + c' + 2ab + 2ac + 2bc = {a + b + c)?.

Se non siamo ancora riusciti a scomporre il polinomio, proviamo a ricondurlo a una differenza di quadrati in cui almeno uno dei due non è un monomio. zione cas

P o w chela

4. Scomposizione con il metodo di Ruffini.

ilrnatodo di Futfini è tapiù

Il polinomio P(x) ha 4 termini. Seguendo in ordine lo schema, verifichiamo che non possiamo eseguire né u n raccoglimento a fattore comune né u n raccoglimento parziale e che P(x) non può essere il cubo di u n binomio,

inboriosa, proviamo ad applicare: prima tutti gli attri metodi: A è l'ulilimaaprionei,. lag

Poiché P{1) = 0, scomponiamo con il metodo di Ruffini.

&

e Scomponiamo.

e

( x =- 1){x® la regola Applicando ) 1}{ + 1 0 x+ 25). (x) == (x g d i Ruffini, otteniamo: P(x) pp

E

e Verifichiamo se tutti i fattori sono irriducibili.

"

Il secondo fattore di P{x) è u n polinomio di secondo grado con 3 termini.

È riducibile e in particolare è il quadrato di un binomio. Scomponiamo:

mo cai

w v

nondint

duelbile, dobblamae ulteriarmanta fino a ottenere pon

(ii

irriducibili.

P(x) = (x — 1) {x® + 10x + 25) = ( x — 1} (x +5), Tutti i fattori sono irriducibili, quindi abbiamo terminato. TEST Quanti fattori a coefficienti interi

A

scomposizione del polinomio x’ + x'+9x +9? Al2

A

53

cl4

Dj

“ ° ° bile, Quale?

7

Al

{ 175) a + a + a? = at(a' + a)

Hi

[nja

+1

[e|3x+6

[bb]

x'2—81

Bab — Sab? + ab = ab(8a — 56)

bi

3a + 9a = 3a(a* +6)

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1177 E L S E E L E 4 OO

EL

a°—&

Trova l'eventuale errore e spiega perché l'uguaglianza è sbagliata.

ET

‘RE

TEST Solo uno dei seguenti p o l i n o mèi irriduci-

ha la

p* = 20b? +25 #02

a — 8 = {a — 2}{a° + 2a + 4} = (a — 2)(a + 2 }

16x'y!+ 926 = (4xy + 3 2 2 )

= ( b !- 5}

a? + l l a — 12 = (a + 1}{a — 12)

L=]

Calcola mentalmente | seguenti quozienti, utilizzando le scomposizioni In fattori.

1183 (a? b2) : {(a- 6)

185) {(x° + 3x°+3x +1) : (x +1)

i n a (x°+8) : (x+2)

1 8 6 (x° = 2x4 1) :(x2+ 1)

399

RIEPILOGO * L a scomposizione del polinomi 3. Scomposizione con prodotti notevoli.

Se il polinomio ha:

differenza di quadrati 2° — b?= (a + b) (a = b), * 2 termini f a

differenza di cubi 2° — b* = (a — b} (a? + ab + 6°),

somma di cubi a° + i = (a + b) (a? = ab + b2); . 3 termini

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* 4 termini ——> cubo di binomio a° + 3a°b + 3ab® + b' = (a + b)*; » 6 termini

——x quadrato di trinomio a? + b° + c' + 2ab + 2ac + 2bc = {a + b + c)?.

Se non siamo ancora riusciti a scomporre il polinomio, proviamo a ricondurlo a una differenza di quadrati in cui almeno uno dei due non è un monomio. zione cas

P o w chela

4. Scomposizione con il metodo di Ruffini.

ilrnatodo di Futfini è tapiù

Il polinomio P(x) ha 4 termini. Seguendo in ordine lo schema, verifichiamo che non possiamo eseguire né u n raccoglimento a fattore comune né u n raccoglimento parziale e che P(x) non può essere il cubo di u n binomio,

inboriosa, proviamo ad applicare: prima tutti gli attri metodi: A è l'ulilimaaprionei,. lag

Poiché P{1) = 0, scomponiamo con il metodo di Ruffini.

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e Scomponiamo.

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( x =- 1){x® la regola Applicando ) 1}{ + 1 0 x+ 25). (x) == (x g d i Ruffini, otteniamo: P(x) pp

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e Verifichiamo se tutti i fattori sono irriducibili.

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Il secondo fattore di P{x) è u n polinomio di secondo grado con 3 termini.

È riducibile e in particolare è il quadrato di un binomio. Scomponiamo:

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duelbile, dobblamae ulteriarmanta fino a ottenere pon

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irriducibili.

P(x) = (x — 1) {x® + 10x + 25) = ( x — 1} (x +5), Tutti i fattori sono irriducibili, quindi abbiamo terminato. TEST Quanti fattori a coefficienti interi

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Trova l'eventuale errore e spiega perché l'uguaglianza è sbagliata.

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TEST Solo uno dei seguenti p o l i n o mèi irriduci-

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Calcola mentalmente | seguenti quozienti, utilizzando le scomposizioni In fattori.

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185) {(x° + 3x°+3x +1) : (x +1)

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399

RIEPILOGO « L a scomposizione del polinomi [{x + 4 } ( x= 3}(x + 3)]

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| a ( a+ 19 { a 1}*]

268 LIL

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2a? — 2a°b — 18a + 18ab [2e(1 — b}(a + 3}{a — 3)]

23x22

[a {& - 2a)

a t ( x ì+ 1) — 2a

Lo

=

2z2)]

La? a t + 60° — Salo

xÉ + 16x°+ 64 RZ

+ xy + y - ) ]

B i n t 6 n t nat

16a°b --Lb

[b(2a + 3b)]

y}(x"

=

— 2y)(x + y5)(x - y2)]

[(x + 2y)(x

xt

(a? + 2b}(2x — y) — b(b + 2}(2x — y) a (x +1) - 2 a ( x +1) + x + 1

4 x 3+ 4 ? x

xt

[ x ' ( x— 5 ]

dat + 4 — 8a?

"i

[(a = 1j}{a° + a + 1 } ]

2ax® — bx® — 2ay* + by

pu

— 492° — 14a2b — ab’

— 3a6 + 3a 1

EC

[7(x -

1}(x+ 1}(x° + 1)]

3(a2 + b2) — 9(a? + p2}ì

E

[6(2 — x + y ( 2 + x

24 - 6 ( x - }

— 2xb® — 4xb — 2x

Li

[2ab(b — a}(3 ab — 2)]

| 256) a? — 4ax + 4xÈ — {aq — 2x)° 92 — Sy + 6 3xy! + 3y*

( x+ 2 y }+ (x — 2y}

x X x = 2x1+ 2

a

a —b

gp

[2(2y — x x »)]

+4

[(a — 1}{a + 1}{a — 2}{a +23]

nl 1 - b ql a 4 +a+ta +l-

2

([{+1 a + +1-b3 al a + 1 + ) 3a

[{a+2}(a" + 1}{a + 1}(a — 1)]

a — 6a — a + 30

[(a + 2}{a = 3}{a = 5)]

x' + 2x5 = x t 2 [ x ( x ° + 1 } ( x ?+ 2 } ( x= 1 ) i x+ 1)]

sec

[2x(x? + 12y*)]

xi — 4x2 — 17x22 + 6x. [xCx + 2){x xt

=

yi+ 2xy = xy

=

3}(3x

=

13]

[(x+yF(x-»)]

i

3-3}

=

a + att

[x

+ 2ab — 6?

a

seu

LI 1]

[ ( x= y}{x — y - 3y*)|

5a

LIL

=

att

=

pi

=

2(x° + 1}{x + 1}{x - 1)]

2 6+ 46 — 1 0 8— 128

[(a — b}{1 — a + 6 ]

[ C a+t 82} (a + b}(a — b)]

at — 2 a ' + 1 i Li] CEL

Li Le

Èi i:

=

Li

N

yy

[ 3 ( + D(2y — Di» - 2)]

Li Ra

(x

=

=

a-a-2+2a%

— 2 x(1 + 5 0 — y } 0 + » )

I) pi

2 5 7 69° 257)

at

[x(x — 2}{x + 2)}{x + 5)]

LL

2 7799 2

[(a

4x2 + 5x3 — 20x.

xt

[ - 2 x ( b+ 1})"]

6a2b* — 4ab? + 4a2b — 6a'b?

0

(3la" + b*){1 = 3a° — 38-)]

»)]

SE:

LIT]

x -_-7x°+ l6x

[265 (t + 1}{t + 3 } ( t- 23] [(2° + 1} {a+ 1}'(a — 1}:]

=

12

[(x-2 =} (x-3}]

401

ESERC IZI

(a+2}?-1

+2 7 y—9x

[(x 3 y } ( 2—xy + 3 } ( 2—xy = 33]

ec

2 a

O

O

e

e o

D O D E D a D a D a DO D e ola O D e d a D e ala d o D e D a D e o

|

E

e

a

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oe oa DO a

a

o D a D E a e o a D e DE E

D e D a DE E

a D e ole E

O ala RE c e o a d o SD o a

e

e D a ale ole a a d e D a ole ole a

dre l e

l l MCD e ll mem fra polinomi l a alle l e

E

e

a

E c e o a allo ale E

e D a E ale l a

d e ale o a o e a a DE o

c o ale cielo m t a

am

FONDAMENTALI Trovare ll M C D e il mom fra polinomi

e u e dla mule

Lio

Determiniamo il MCD e il mem fra i polinomi: a? + 2a°— 3a; Sa -—5a; a ° - a’. n

o

a

a

ae Dm

o

a

E

E

a

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O

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o

O

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ap om a

o

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o

a

a

PP PR o o

og O o

o

AOP o

OP O o

o UP o i ooo a n

n

a

Scomponiamo i tre polinomi in fattori irriducibili e mettiamo in colonna i fattori, da

+ 2a? — 3a = ala® + 2a — 3) = ala — 1) {a +3)

Sa° = 5a = Sala? = 1) = Sala

a —a

a { ( a -1 ) {a +3) 5a

1) {a + 1)

=

= a2(] — a) =-a°(a - 1)

(a + 1 }

1):

{a

— - l2: (2-1)

"in

nelle scomposizioni pracedenti c'è ll fattore {a

EEA

- 1), quindi raccogliamo -1 In {1 - a}

Mace

fattori

I

i r r i d u c i bcomuni, ili ciascuno presa

iconoscere | fattori comiint:

una sola volta con l'esponente

minore:Il mera è il prodotto ditutti

i

'

duttile per

|

Luco Ilp r o d o tdit otutti | fattori

.{a ( 2 -- 1 ) M C D ==1 . 21:42:

non comuni i fattoriirriducibili, unaesola nreso

mem = 5 - a ° - ( a - 1 ) : ( a + 3 } - ( a + 1 )

volta con l'esponente maggiore.

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere sa hal capito. Determina il M C D e i l m e m fra i seguenti polinomi.

3a b + 3ab;

6 a + 6a2b;

2a° b2 + 2ab°,

2x = 2;

xt

ax +3.

dxi — x i

4dx° — 4x + 1;

6x3,

6x0”;

3x4 — 27x?,

2x° + 6x2.

x}

xy;

xy

2x

+ 2y:;

xi

xt

2x

321 8-

x;

EJ

+ 1;

=

yi,

x

=

1;

xt

N

mem = 6{x 1j(x + 1)]

€

[MCD = 2x — 1; mem = 3x(2x — 1}°]

LÌ

[ M C D=

1;

=

[MCD = x% mem = 6 x (îx — 3 } ( x+ 3)]

xi y i , x + y2 + 2xy.

yP;

xe + xt - x

1.

= x — yimem = xy(x — y)(x + y)]

[MCD

[MCD = x + y; mem = 2(x + y}}{x

=

y})]

[MCD = {x + 1}{x 1}; mem = {x + 1}j'{x 1}] =

=

12x +8;

xt- 4 x + 4,

a'— 4 a °+b4ab2;

a t i — 4b4,

[MCOD = a 2b; mem = ab! (a — 2b} (a + 2b)]

3 x t y+ 6xy.

" — 2)] |[MCD= 3y(x +2); mem = 6 x y(x* + 2 )(x

6

a*b — 2 a ,

1;

[MCD = ala + b} mem = 6a°b(a + b)|

+ 2492; 3xty= 125; + 24x23 6x°y?

b 27ab?, 9 a—*glab?; 3 2 4 3a’—1 8 a +

[MCD = 2 — x; mem = (2

=

xY (4 + 2x + x*5]

=

18a2b — 6a. ° = 3 b Y(a + 3b5] [MCD = 3ala = 3b} mem = 1 8 4(a

3 2 5 8x5 — 2x + 1 — 4xÈ;

a? — ab — 2a + 2b;

3 2 7 2x° = 50x;

|MCD = 1 — 2x; mem = (1 — 2x}'{1 + 2x)]

4x2 — 4x + 1 ;

1 — 4x2,

bp - 2b-ab+2a,;

4-2a+ab-—2b.

x1- 125x;

xt

= 1; [MCD

mem = (a

— b}{a — 2}{b — 2)]

2x3 = ]5x?,

[MCD = x(x — 5); mem = 2x'{x — 5}(x + 5}(x + 3}(x? + 5 x+ 25)]

E]

(2° + 9x}( x? + dx + 4); (x2 — 4}{ x? + 9); 6-x-

x’;

x -_-7x+6;

x

dx,

x

3x + 2 ,

= x + 2; mem = x(x +2} { x ' + 9 } ( —x2)] [MCD [MCD = 2

=

x; mem = ( x + 3}{1 — x}{2

=

x)]

403

2 a

O

O

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D O D E D a D a D a DO D e ola O D e d a D e ala d o D e D a D e o

|

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e D a ale ole a a d e D a ole ole a

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E c e o a allo ale E

e D a E ale l a

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FONDAMENTALI Trovare ll M C D e il mom fra polinomi

e u e dla mule

Lio

Determiniamo il MCD e il mem fra i polinomi: a? + 2a°— 3a; Sa -—5a; a ° - a’. n

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Scomponiamo i tre polinomi in fattori irriducibili e mettiamo in colonna i fattori, da

+ 2a? — 3a = ala® + 2a — 3) = ala — 1) {a +3)

Sa° = 5a = Sala? = 1) = Sala

a —a

a { ( a -1 ) {a +3) 5a

1) {a + 1)

=

= a2(] — a) =-a°(a - 1)

(a + 1 }

1):

{a

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nelle scomposizioni pracedenti c'è ll fattore {a

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- 1), quindi raccogliamo -1 In {1 - a}

Mace

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I

i r r i d u c i bcomuni, ili ciascuno presa

iconoscere | fattori comiint:

una sola volta con l'esponente

minore:Il mera è il prodotto ditutti

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'

duttile per

|

Luco Ilp r o d o tdit otutti | fattori

.{a ( 2 -- 1 ) M C D ==1 . 21:42:

non comuni i fattoriirriducibili, unaesola nreso

mem = 5 - a ° - ( a - 1 ) : ( a + 3 } - ( a + 1 )

volta con l'esponente maggiore.

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere sa hal capito. Determina il M C D e i l m e m fra i seguenti polinomi.

3a b + 3ab;

6 a + 6a2b;

2a° b2 + 2ab°,

2x = 2;

xt

ax +3.

dxi — x i

4dx° — 4x + 1;

6x3,

6x0”;

3x4 — 27x?,

2x° + 6x2.

x}

xy;

xy

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x;

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yi,

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[MCD = 2x — 1; mem = 3x(2x — 1}°]

LÌ

[ M C D=

1;

=

[MCD = x% mem = 6 x (îx — 3 } ( x+ 3)]

xi y i , x + y2 + 2xy.

yP;

xe + xt - x

1.

= x — yimem = xy(x — y)(x + y)]

[MCD

[MCD = x + y; mem = 2(x + y}}{x

=

y})]

[MCD = {x + 1}{x 1}; mem = {x + 1}j'{x 1}] =

=

12x +8;

xt- 4 x + 4,

a'— 4 a °+b4ab2;

a t i — 4b4,

[MCOD = a 2b; mem = ab! (a — 2b} (a + 2b)]

3 x t y+ 6xy.

" — 2)] |[MCD= 3y(x +2); mem = 6 x y(x* + 2 )(x

6

a*b — 2 a ,

1;

[MCD = ala + b} mem = 6a°b(a + b)|

+ 2492; 3xty= 125; + 24x23 6x°y?

b 27ab?, 9 a—*glab?; 3 2 4 3a’—1 8 a +

[MCD = 2 — x; mem = (2

=

xY (4 + 2x + x*5]

=

18a2b — 6a. ° = 3 b Y(a + 3b5] [MCD = 3ala = 3b} mem = 1 8 4(a

3 2 5 8x5 — 2x + 1 — 4xÈ;

a? — ab — 2a + 2b;

3 2 7 2x° = 50x;

|MCD = 1 — 2x; mem = (1 — 2x}'{1 + 2x)]

4x2 — 4x + 1 ;

1 — 4x2,

bp - 2b-ab+2a,;

4-2a+ab-—2b.

x1- 125x;

xt

= 1; [MCD

mem = (a

— b}{a — 2}{b — 2)]

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[MCD = x(x — 5); mem = 2x'{x — 5}(x + 5}(x + 3}(x? + 5 x+ 25)]

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(2° + 9x}( x? + dx + 4); (x2 — 4}{ x? + 9); 6-x-

x’;

x -_-7x+6;

x

dx,

x

3x + 2 ,

= x + 2; mem = x(x +2} { x ' + 9 } ( —x2)] [MCD [MCD = 2

=

x; mem = ( x + 3}{1 — x}{2

=

x)]

403

Fondamentali alla prova

GUARDA! 4 % Su ZTE questa

E

RAccOGLIMENTO A FATTORE COMUNE Quale delle seguenti uguaglianze èfalsa?

={x+y)m

mx + my

DB]

ax+bx+x=x(a+b+1)

nuova

a m + m b + m = mi{a + b )

o]

A

ax' +

DI]

Pompletam altrante

bx® = (a + b)x°

RACCOGLIMENTO PARZIALE Indica se le seguenti uguaglianze sono vere o false.

xt 4 etgie = ( 2 x?) (x® — 2) xt xt? xt + 2 = (x2- 1) ( y - 1) _ gl xl ] = x2( 7 1) - 2 2 1) =

d. 35 =

=

2y*— 4 + 2y9° = (y4 + 2) (y* - 2)

TRINOMI PARTICOLARI 1polinomi 2x°® — Sx + 2 e x? — 7x +

a.

abb = ci = (ab® + e ) (e2 = ab3)

b.

x

y = ( x y ) ("+ x)

+1

bi = ( a + 1 - b } ( a + 1 + b ) V|

cdi

seguenti uguaglianze sono v e r oefalse. | < ||*

a le Z ADUE QUADRATI I n d i cse D I F F E R E NDI

10 hanno un binomio fattore comune. Quale?

d. x ° - ( y + 1 = ) 2(x-y+1)(x+y+1)

QUADRATO DI UN BINOMIO Tra i seguenti polinomi, solo uno è l o sviluppo di u n quadrato d i binomio. Qua-

le? Motiva la risposta, A]

x*+x+1

B|

x t - 4xi— 4

©]

xi+1- 2x

Dj

+1+2y*

QUADRATO DI UN TRINOMIO Scomponi il seguente polinomio:

9x2 + y4 + Le — 6xyt + 3x i. =

CUBO DI UN BINOMIO Completa le seguenti uguaglianze.

a. 8 — | _ _ | + 6 b - L _ j = Q _ j E

Lp

b.

x

++

3x9 +x6=(__J+L__D*

s0MMA 0 DIFFERENZA DI DUE CUBI TIbinomio 27a°x* — 8a* è scomponibile in uno solo dei seguenti modi.

Quale? A] B|

(3ax— 2a) x? + 4a2) ( 3 a x— 2a)(9a°

©] DD]

x? — 1 2 a °+x4a?) (3ax = 2a}({9a2 — 2)(9x? + 6x +4) at(3x

SCOMPOSIZIONE CON LA REGOLA DI RUFFINI Scomponi in fattori il polinomio

x°+ xt = 2x3+ 2x? — 8 uti-

lizzando la regola di Ruffini. EE]

M O & mem FRA POLINOMI Il MCD e il mem deipolinomi 4a*b" + SONo: A]

MCD = 4b°(a + 2} mem = 32gi°{a + 2} {a = 2).

B|

MCD =

462(a + 24 mem = 32ab'(a + 2} (a — 2).

e ] MCD = 4b2(a + 2} mem = 8ab*(a + 2) (a = 2). D|

MCD = 8 a {a + 2} (a — 2); mem = 46°(a + 2).

846°, 4 a p?è — 166, 822b® + 32ab°+ 32b°

VERIFICA DELLE COMPETENZE

lp

Esercizi a pagina 416

RE) 1 GaoGebra

Se B = 1, la frazione algebrica E diventa il polinomio A , quindi ogni monomio o

polinomio può essere considerato una frazione algebrica il cui denominatore è il monomio 1.

L’insierne delle frazioni algebriche include quindi l'insieme dei polinomi. p l ESEMPIO da + b si identifica con la frazione algebrica 4 a tb,

P e Pa o Pa UA D A O a D e DO UO SP P e DOO A

Datii polinomi A e 8, con 8 diverso dal polinomio nullo, la frazione L i si chiama frazione algebrica.

SU RO DOP P e O P PA A O

DEFINIZIONE

M P OP OP 0 0 O

non esatta, tra due polinomi qualsiasi.

A DO P O D

E

Nei numeri interi abbiamo introdotto le frazioni per indicare un rapporto tra due numeri che non sempre dà come risultato un numero intero. Analogamente, nel calcolo letterale introduciamo le frazioni algebriche, che indicano la divisione, anche

UN PO DO UE ORO DO Q D

DA

p | ESEMPIO (x - 1 ) : x, x :(2x + 1), 3x* :(x*— 1) non sono polinomi.

DO I E

O

Abbiamo osservato che, fra polinomi, non sempre la divisione è possibile.

GUARDA!

DDA

i

C h e cos'é u n a frazione a l g e b r i c a

DA D D

L e frazioni algebriche

DA

DO DO DA D O DO DA DA D D

E P DA D E

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

409

-

2 A

O

E ce o

DO D E o a D e D a l o

e ca

o

a

e

ue

a

n

due a

oe a

e

ae

a dea e

a

e

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E

PR

O

E

A

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Do

O

DO

e De

a

E

A

a

a OP a

e e

Oa

Le frazioni equivalenti e la semplificazione

ore A e v e

e

n

e

PR

O

n

e

re o

n

p e are " i

le

r e pure D r u a une r e Sa o r nile u t me

E

ire

e

a

or pe

ore die u e done pure "Goo l e Du a r pae a

a

n

E

d r M e SEO

Equivalenza tra frazioni

Frazioni numeriche

Frazioni algebriche

Definizione di

aquivalenza

e a d = bc;

pe

Esempio

mE

e

AD = B C ;

d. b, c, d rappresentano numeri

A, B, C, D rappresentano polinomi,

interi, con b E 0 e d E 0,

conBAEO0ADAZO0O.

i

2 , infatti:

-

-

ab.

nl:

« O N AE OA È E 0, infatti;

3-35 = 105;

(a

5:21 = 105.

(ab — b°) - a = aîb — ab,

=

b) ab = a b = a b :

DD L a semplificazione delle frazioni algebriche * Esercizi a pagine 420

Come per le frazioni numeriche, passiamo da una frazione algebrica a una equivalente applicando la proprietà invariantiva, cioè moltiplicando o dividendo numeratore e denominatore per uno stesso polinomio, diverso dal polinomio nullo. TEORI A

a

I | ESEMPIO 1 8 +1)

a- 1 -

a

(a

o

i {a+1) _ a ° - 1

ala+1)

a t a : c C o n C . Ea:t

0Aab1.

1 a +1)

Applicando la proprietà invariantiva, possiamo semplificare una frazione algebrica per ridurla ail minimi termini. È necessario scomporre i n fattori numeratore e denominatore e poi dividere numeratore e denominatore per i fattori comuni, dopo averli posti diversi da 0,

La tabella seguente illustra il procedimento, che è lo stesso che si segue per semplificare una frazione numerica.

Procedimento

Frazioni numeriche

Frazioni algebriche

a b + 2a°b® + a b a + 307b + 3 a8”"+ ab"

Vogliamo semplificare la

126

frazione:

4

Scomponiamo in fattori

2.32.7

ab{a?+2ab+b)

numeratore e denominatore e poniamo le C.E.:

2:3

ala” + 3a7b + 3 a b + bb) C.E:a 40 A a t - b

Dividiamo numeratore e denominatore per | fattori

3.2 j ‘35

Nb(a+ 6 x(a + bY

_ abl(a+b}

ala +b}y

comuni:

La frazione ridotta ai minimi termini è:

7 3

b

a+b 411

CAPITOLO 9

e

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Nella semplificazione occorre fare attenzione a semplificare solo i fattori, mai gli

QQ esercizio

addendi.

Correggi Le semplificazioni Trova gli errori e, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, correggili.

i Per esempio, non possiamo semplificare FETO Per verificare che non è possibile fare una semplificazione come P S

proviamo a sostituire alle lettere dei numeri.

AR “yo

Per esempio, sea = 2 e b = 9: _ 9

9

2+9 11

mentre

a

b. datx a t x , __1

7.7

x s-

_i

2+1 3

ex

e

P La riduzione allo stesso denominatore * Esercizi a pagina 423

La proprietà invariantiva serve anche per ridurre più frazioni algebriche allo stesso denominatore; si sceglie il mem dei denominatoriper semplificarei calcoli successivi. I È ESEMPIO Riduciamo a denominatore comune

x+3

2 xy"

x

TEORIA

Calcoliamo il mem(x*; xy) = x°y, con C.E: x # 0A y 0: y

RW ESERCIZIO

”

-

Riduci allo stesso

ia

x+3 _ xi

(C+3)y

denominatore

2 _ 2x xy = xy

x yy

Riduci le seguenti frazioni a denominatore comune:

Y

&

x

“

lai

‘x

FETI

Le operazioni con le frazioni algebriche DD

L’addizione e la sottrazione di frazioni algebriche * Esercizi a pagina 425

DEFINIZIONE

h

La somma algebrica di due o più frazioni algebriche che hanno lo stesso denominatore è la frazione algebrica che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma algebrica dei numeratori:

+

CE conD#0.

-G=4tE

|

IP | ESEMPIO

3a

a-1

2a

A

a -1a - 1 -

_ 3a+ba-7a _

a-1

a

rp.

“ a - g i C È : a#2.

Per sommare due o più frazioni con denominatore diverso bisogna prima ridurle allo stesso denominatore e poi sommare i numeratori, come avviene per le frazioni numeriche.

412

n

VIDEO

Addlzione e sottrazione

di frazioni algebriche

CAPITOLO 9

e

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Nella semplificazione occorre fare attenzione a semplificare solo i fattori, mai gli

QQ esercizio

addendi.

Correggi Le semplificazioni Trova gli errori e, dopo aver determinato le condizioni di esistenza, correggili.

i Per esempio, non possiamo semplificare FETO Per verificare che non è possibile fare una semplificazione come P S

proviamo a sostituire alle lettere dei numeri.

AR “yo

Per esempio, sea = 2 e b = 9: _ 9

9

2+9 11

mentre

a

b. datx a t x , __1

7.7

x s-

_i

2+1 3

ex

e

P La riduzione allo stesso denominatore * Esercizi a pagina 423

La proprietà invariantiva serve anche per ridurre più frazioni algebriche allo stesso denominatore; si sceglie il mem dei denominatoriper semplificarei calcoli successivi. I È ESEMPIO Riduciamo a denominatore comune

x+3

2 xy"

x

TEORIA

Calcoliamo il mem(x*; xy) = x°y, con C.E: x # 0A y 0: y

RW ESERCIZIO

”

-

Riduci allo stesso

ia

x+3 _ xi

(C+3)y

denominatore

2 _ 2x xy = xy

x yy

Riduci le seguenti frazioni a denominatore comune:

Y

&

x

“

lai

‘x

FETI

Le operazioni con le frazioni algebriche DD

L’addizione e la sottrazione di frazioni algebriche * Esercizi a pagina 425

DEFINIZIONE

h

La somma algebrica di due o più frazioni algebriche che hanno lo stesso denominatore è la frazione algebrica che ha per denominatore lo stesso denominatore e per numeratore la somma algebrica dei numeratori:

+

CE conD#0.

-G=4tE

|

IP | ESEMPIO

3a

a-1

2a

A

a -1a - 1 -

_ 3a+ba-7a _

a-1

a

rp.

“ a - g i C È : a#2.

Per sommare due o più frazioni con denominatore diverso bisogna prima ridurle allo stesso denominatore e poi sommare i numeratori, come avviene per le frazioni numeriche.

412

n

VIDEO

Addlzione e sottrazione

di frazioni algebriche

CAPITOLO 9

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

O L a moltiplicazione d i frazioni algebriche * Esercizi a pagina 427

DEFINIZIONE

7

Il prodotto di due o più frazioni algebriche è una frazione algebrica che ha per numeratore il prodottodei numeratori e per denominatore il prodotto dei con B,D#E0.

3.

denominatori: L e L =

O

Moltiplicazione

Procedimento

Frazioni numeriche

La moltiplicazione data è:

25 14

a +2ab +6

21 40

Scomponiamo in fattori

52

i numeratori e i denominatori | 3-7

Frazioni algebriche at- ab

a + aîb

ab-b2

ala-b)

2.7

(a+b}}

2%-5

b(a-b) ala +b)

e poniamo le C.E.:

CE:a#0Ab#0Aa ib

Semplifichiamo:

5

27

5

37 n a 1 2

(a+b}*}

4a--8î

b a 65 a l a m ) a I

La divisione d i frazioni algebric he dh il

>Esercizia pagina 429

DEFINIZIONE

Il quoziente di due frazioni algebriche è la frazione algebrica che si ottiene moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda:

iAb. C = D ,

L I I

I I LI LI LI L I I

1 LI LI I

LI

conB,C,D#0.

I I

I I

e.

i

usten t o

rr

The quotlent cf tao algebra fracgtions is the product of the first algebraie fraction times the reciproca! of tha second one.

QWY esERCIZIO Frazione reciproca

I I

Le condizioni di esistenza sono B # O e D # 0 per l’esistenza delle frazioni algebriche, I Cetarmina la frazione reciproca e le relative C.E.: I LI C È 0 perché sia possibile eseguire la divisione, I a: Edx + 2 , bh. x- 4 , a

I i ESEMPIO

2x2, x-)

x-1

xi

x

|

1

__ x - 1

‘(xt y j x = y )

xy

(x+3}(35)

201) P_i

_2(x-1),

=2(x+y))

C E : x # y AX E - Y A x#1. C.E. della divisore frazioni miziali non multo

B La potenz a d i frazion i algebri che

I I I I I I I I I i I I I I I I I I

Li

Lapotenza di una frazione algebrica èla frazione algebrica che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore:

LI LI

LI LI

seguente espressione:

I

I L I

a+b >_ 1. ( = ) 2. ( 2 )

I I I I

a+ b y {at (e)

(a+

.

2

2byp* C.E.: = :

‘CE. a

a

2b # 0 ; Onb#O.

algebriche Indica le C.E e semplifica la

LI

> | ESEMPIO

Potenza di frazioni

I I

I I

A CONHE Z.

Esegui la seguenta divisione: x i 1 2x +2 ro

I Li I LI I

(3)=

algebriche

> Esercizi a pagina 432 &Y esercizio

DEFINIZIONE

I

ESERCIZIO

Divistone di frazioni

I

I I i I I I I 1 1 I i

GET T T anopaeoenta FLYaeog Vale la regola introdotta peri numeri: ‘

(E) ( 2 ) conA Bd l e n e N .

)

CAPITOLO 9

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

O L a moltiplicazione d i frazioni algebriche * Esercizi a pagina 427

DEFINIZIONE

7

Il prodotto di due o più frazioni algebriche è una frazione algebrica che ha per numeratore il prodottodei numeratori e per denominatore il prodotto dei con B,D#E0.

3.

denominatori: L e L =

O

Moltiplicazione

Procedimento

Frazioni numeriche

La moltiplicazione data è:

25 14

a +2ab +6

21 40

Scomponiamo in fattori

52

i numeratori e i denominatori | 3-7

Frazioni algebriche at- ab

a + aîb

ab-b2

ala-b)

2.7

(a+b}}

2%-5

b(a-b) ala +b)

e poniamo le C.E.:

CE:a#0Ab#0Aa ib

Semplifichiamo:

5

27

5

37 n a 1 2

(a+b}*}

4a--8î

b a 65 a l a m ) a I

La divisione d i frazioni algebric he dh il

>Esercizia pagina 429

DEFINIZIONE

Il quoziente di due frazioni algebriche è la frazione algebrica che si ottiene moltiplicando la prima frazione per la reciproca della seconda:

iAb. C = D ,

L I I

I I LI LI LI L I I

1 LI LI I

LI

conB,C,D#0.

I I

I I

e.

i

usten t o

rr

The quotlent cf tao algebra fracgtions is the product of the first algebraie fraction times the reciproca! of tha second one.

QWY esERCIZIO Frazione reciproca

I I

Le condizioni di esistenza sono B # O e D # 0 per l’esistenza delle frazioni algebriche, I Cetarmina la frazione reciproca e le relative C.E.: I LI C È 0 perché sia possibile eseguire la divisione, I a: Edx + 2 , bh. x- 4 , a

I i ESEMPIO

2x2, x-)

x-1

xi

x

|

1

__ x - 1

‘(xt y j x = y )

xy

(x+3}(35)

201) P_i

_2(x-1),

=2(x+y))

C E : x # y AX E - Y A x#1. C.E. della divisore frazioni miziali non multo

B La potenz a d i frazion i algebri che

I I I I I I I I I i I I I I I I I I

Li

Lapotenza di una frazione algebrica èla frazione algebrica che ha per numeratore la potenza del numeratore e per denominatore la potenza del denominatore:

LI LI

LI LI

seguente espressione:

I

I L I

a+b >_ 1. ( = ) 2. ( 2 )

I I I I

a+ b y {at (e)

(a+

.

2

2byp* C.E.: = :

‘CE. a

a

2b # 0 ; Onb#O.

algebriche Indica le C.E e semplifica la

LI

> | ESEMPIO

Potenza di frazioni

I I

I I

A CONHE Z.

Esegui la seguenta divisione: x i 1 2x +2 ro

I Li I LI I

(3)=

algebriche

> Esercizi a pagina 432 &Y esercizio

DEFINIZIONE

I

ESERCIZIO

Divistone di frazioni

I

I I i I I I I 1 1 I i

GET T T anopaeoenta FLYaeog Vale la regola introdotta peri numeri: ‘

(E) ( 2 ) conA Bd l e n e N .

)

CAPITOLO 9

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

ESERCIZI

ue

7 Prova tu è GacGabra

E

Le frazioni algebriche (

ati.

interattiva

> Teoria a pagina 409

Che cos'è una frazione algebrica VERO Ò FALSO?

iI

Ilie

a. I polinomi sono frazioni algebriche. b. Una frazione algebrica con numeratore nullo è uguale a 1. d. Una frazione algebrica con denominatore uguale a un numero diverso da 0 è un polinomio.

Pb L e condizioni d i esistenza delle frazioni algebriche i

APNEA

Perché la frazione algebrica L E I

Lili

iI

c. L'espressione 2x”!(x + 2) è una frazione algebrica.

ci

[_]-1=]

> Teoria a pagina 410

ha significato Ya € KR?

ESERCIZI

Le)

FONDAMENTALI Determinare le condizioni di esistenza di una trazione algebrica Troviamo le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche: a. * T Y . p. 23x71 e 2x-5, ad ta e i f 3a+2b |

ny

© agio

dali

4

badi

fab

ln tutte le frazioni sigebriche ponieme il deneminmtore diverso da fi,

2xy # 0

a

CE: x # 0 A y #0.

oondizioni di esistenza| ( 2 LaC.E di 4. sono:Bsi8.

lamento

di

|

O l prodotto

b. 2 x + 3 # 0 0

xt

40

CE: x #3. { x + 2 } { x - 2) F O

scomponiamo In fattori

legge di

x+2F0Ax-2F0-

CE: x E-2Ax #+2,

annullamento

del prodotto

In modo equivalente scriviamo: C.E.: x # +2. ‘CE.

(E{E\ Per la legge di annullamento t ou, a dei fattori del p r o d o tnessuno deve

d. a°+13#0.

Questo è vero per ogni numero reale a, infatti poiché è sempre vero che a? > 0, la somma a ° + 1 è sempre un numero positivo, Quindi CE:

va

=R .

3a) é 0. e a — 270° E 0 = a t ( a—* 27) è 0 = at(a — 3 } ( a + 9 + Li

raccogliamo e

differenza di due cubi

Per la legge di annullamento del prodotto + PR2 E 0 N a --3 E 0 h 22 4 9+9+ 3a 0 |

da cui C.E: a # 0A a st 3.

416

è uguale a DUf solo quadrato è E12) n .Un numero alLquedrato a

al annulla per alcun valore della variabile.

CAPITOLO 9

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

ESERCIZI

ue

7 Prova tu è GacGabra

E

Le frazioni algebriche (

ati.

interattiva

> Teoria a pagina 409

Che cos'è una frazione algebrica VERO Ò FALSO?

iI

Ilie

a. I polinomi sono frazioni algebriche. b. Una frazione algebrica con numeratore nullo è uguale a 1. d. Una frazione algebrica con denominatore uguale a un numero diverso da 0 è un polinomio.

Pb L e condizioni d i esistenza delle frazioni algebriche i

APNEA

Perché la frazione algebrica L E I

Lili

iI

c. L'espressione 2x”!(x + 2) è una frazione algebrica.

ci

[_]-1=]

> Teoria a pagina 410

ha significato Ya € KR?

ESERCIZI

Le)

FONDAMENTALI Determinare le condizioni di esistenza di una trazione algebrica Troviamo le condizioni di esistenza delle seguenti frazioni algebriche: a. * T Y . p. 23x71 e 2x-5, ad ta e i f 3a+2b |

ny

© agio

dali

4

badi

fab

ln tutte le frazioni sigebriche ponieme il deneminmtore diverso da fi,

2xy # 0

a

CE: x # 0 A y #0.

oondizioni di esistenza| ( 2 LaC.E di 4. sono:Bsi8.

lamento

di

|

O l prodotto

b. 2 x + 3 # 0 0

xt

40

CE: x #3. { x + 2 } { x - 2) F O

scomponiamo In fattori

legge di

x+2F0Ax-2F0-

CE: x E-2Ax #+2,

annullamento

del prodotto

In modo equivalente scriviamo: C.E.: x # +2. ‘CE.

(E{E\ Per la legge di annullamento t ou, a dei fattori del p r o d o tnessuno deve

d. a°+13#0.

Questo è vero per ogni numero reale a, infatti poiché è sempre vero che a? > 0, la somma a ° + 1 è sempre un numero positivo, Quindi CE:

va

=R .

3a) é 0. e a — 270° E 0 = a t ( a—* 27) è 0 = at(a — 3 } ( a + 9 + Li

raccogliamo e

differenza di due cubi

Per la legge di annullamento del prodotto + PR2 E 0 N a --3 E 0 h 22 4 9+9+ 3a 0 |

da cui C.E: a # 0A a st 3.

416

è uguale a DUf solo quadrato è E12) n .Un numero alLquedrato a

al annulla per alcun valore della variabile.

CAPITOLO 9

x

e

+ 3x

2x_.

x+I*

a

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

x'-_

x + ax"

x i _ 6x2

O

V E R O FALSO?

x-2.

7x°

2x:+ 10x

x +9?

l1-x’

( x + 5 0 ( 3 -x 1)"

8-2xì

x. xi

x+2°’

4èî*

(x'+1P

sxi+1 2x- 1 °

x

La frazione i : # +2,

per a =-2, a. perde significato

vj]

LP

Cc. hacome C . E .a:

b. si annulla p e ra = 4.

vj]

LF

-1, e d. p e ra = 1 a s s uilm valore

vj

LF

vj]

LF

si annulla per x =+ 1? Motiva

È vero che la fonzione f(x) = d a

Di OA

EI

x+1 xl

xi]

x-6_. e

4°

la risposta. Poi rappresenta con GeoGebra la funzione e verifica graficamente la tua risposta. 4

Scrivi una frazione algebrica che non sia definita per x = 4 e che si annulliper

CA

ESERCIZI

x = 0 e x = - 4 , Rappresentala con GeoGebra e verifica che soddisfa le condizioni richieste.

MATEMATICA PER L’AGENDA 2030 Biocapacità e impronta ecologica

ZI ij

«Esaurite le risorse del pianeta Terra nel 2018». Così annunciavano i quotidiani l'1 agosto 2018, Quel giorno era stata superata la quantità di risorse che il nostro

_

2030

pianeta produce ogni anno e per i restanti 5 mesi sono state intaccate le riserve energetiche della Terra. Questo dato è stato ricavato a partire dal calcolo di due indicatori ecologici:

* l'impronta ecologicaglobaleEF, un indicatore che misura, in termini di ettari di superficie, i l consumo annuale di risorse L a ed ecosistemi rinnovabili del pianeta; * la biocapacità totale BC, un indicatore che misura, sempre in ettari di superficie, la capacità della Terra di rigenerare le risorse e gli ecosistemi in un anno. Sel’impronta ecologica supera la biocapacità, allora il sisterna sta consumando più risorse di quante riesca aprodurre o rigenerare. i

Pr

i

re

ATTIVITÀ La biocapacità pro capite Per ogni essere umano è possibile determinare questo valore:

BC

BCP = >

dove BC2P è la biocapacità pro capite, BC è la biocapacità totale della Terra ep è la popolazione mondiale. a. Se BC è stata stimata pari a 10 miliardi di ettari e p = 7,9 miliardi di persone, qual è la biocapacità pro capite?

b. Tenendo fisso il valore di BC, come varierà negli anni la biocapacità pro capite al variare del tasso di crescita annuo percentuale k della popolazione mondiale? Crea un modello e fai una stima per il prossimo decennio, tenendo conto delle previsioni sui tassi di crescita della popolazione mondiale.

Fai una ricerca sull'Overshoot Day della Terra. Come è variato dal 2018 a oggi? Cerca anche l’andamento dell'Overshoot Day dell'Italia. Che cosa noti?

I» UN PASSO I N PIÙ

418

CAPITOLO 9

x

e

+ 3x

2x_.

x+I*

a

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

x'-_

x + ax"

x i _ 6x2

O

V E R O FALSO?

x-2.

7x°

2x:+ 10x

x +9?

l1-x’

( x + 5 0 ( 3 -x 1)"

8-2xì

x. xi

x+2°’

4èî*

(x'+1P

sxi+1 2x- 1 °

x

La frazione i : # +2,

per a =-2, a. perde significato

vj]

LP

Cc. hacome C . E .a:

b. si annulla p e ra = 4.

vj]

LF

-1, e d. p e ra = 1 a s s uilm valore

vj

LF

vj]

LF

si annulla per x =+ 1? Motiva

È vero che la fonzione f(x) = d a

Di OA

EI

x+1 xl

xi]

x-6_. e

4°

la risposta. Poi rappresenta con GeoGebra la funzione e verifica graficamente la tua risposta. 4

Scrivi una frazione algebrica che non sia definita per x = 4 e che si annulliper

CA

ESERCIZI

x = 0 e x = - 4 , Rappresentala con GeoGebra e verifica che soddisfa le condizioni richieste.

MATEMATICA PER L’AGENDA 2030 Biocapacità e impronta ecologica

ZI ij

«Esaurite le risorse del pianeta Terra nel 2018». Così annunciavano i quotidiani l'1 agosto 2018, Quel giorno era stata superata la quantità di risorse che il nostro

_

2030

pianeta produce ogni anno e per i restanti 5 mesi sono state intaccate le riserve energetiche della Terra. Questo dato è stato ricavato a partire dal calcolo di due indicatori ecologici:

* l'impronta ecologicaglobaleEF, un indicatore che misura, in termini di ettari di superficie, i l consumo annuale di risorse L a ed ecosistemi rinnovabili del pianeta; * la biocapacità totale BC, un indicatore che misura, sempre in ettari di superficie, la capacità della Terra di rigenerare le risorse e gli ecosistemi in un anno. Sel’impronta ecologica supera la biocapacità, allora il sisterna sta consumando più risorse di quante riesca aprodurre o rigenerare. i

Pr

i

re

ATTIVITÀ La biocapacità pro capite Per ogni essere umano è possibile determinare questo valore:

BC

BCP = >

dove BC2P è la biocapacità pro capite, BC è la biocapacità totale della Terra ep è la popolazione mondiale. a. Se BC è stata stimata pari a 10 miliardi di ettari e p = 7,9 miliardi di persone, qual è la biocapacità pro capite?

b. Tenendo fisso il valore di BC, come varierà negli anni la biocapacità pro capite al variare del tasso di crescita annuo percentuale k della popolazione mondiale? Crea un modello e fai una stima per il prossimo decennio, tenendo conto delle previsioni sui tassi di crescita della popolazione mondiale.

Fai una ricerca sull'Overshoot Day della Terra. Come è variato dal 2018 a oggi? Cerca anche l’andamento dell'Overshoot Day dell'Italia. Che cosa noti?

I» UN PASSO I N PIÙ

418

CAPITOLO 9

a

a

a OA

o

lm

o

E

e OO

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

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O

O

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O

Re

E

O

O

O

PO PO

e E

PO R e

e a d uno o u e mono ode mune alle mule mellito cda sanre vee ngi a e E

e Il denominatore ab + b? si scompone in |__Ka + b}. Ciò significa che la seconda frazione ha il denominatore uguale a quello della prima frazione, moltiplicato per |__|

C.E.: a #-bAb#EL_1 #

Per ottenere una frazione equivalente dobbiamo moltiplicare per |__]il numeratore:

2b __L( S a

3a

a+b

2 b )__ —3a°b+2

L_i(a + 8 )

a b+ b

LL

COMPLETA la seguenti uguaglianze. Supponi verificate l e condizioni d i asistenza.

Li Li '

'

2a+3 _

i :

-

x-2 _

!

1

x+4 _

b_ La

x+ty

=

ly

I

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ar

1

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x +x+1

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x-l1 ESERCIZI

.

Le

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—8xy

a

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’

1-x%

Î-xy

so,

semplificazione delle frazioni algebriche E ] Attività interattiva

+ Teoria a pagina 411 |

FONDAMENTALI Semplificare una frazione algebrica

Dopo aver determinato le condizioni di esistenza, semplifichiamo le frazioni algebriche. a. 15a°b® x dx + 4 e 7x + 6

3x7

3a*b

=

12

‘xt

x- 6

guend

a. Determiniamo le condizioni di esistenza:

una frazione algebrica:

3 a‘bh E 0 — CE: a 0Ab#E0O,

#

Semplifichiamo:

5 a bp

15425

_

SE

ap afro dai 3487 somplifichlamo dividiamo dividiamo | coefficienti

numerici

per

per

scomponiamao in tettori il numeratore e ll denominatore;

;

”

g

Mathi

fichi

Sp

a

* determiniamo le C.E; * dividiama il PuMeFENOTE e

Ildenominatoreper|

fattori comuni.

| ‘

a = MCD (a®; a) tb = MCD {b2: b°)

b. Scomponiamo in fattori il denominatore e determiniamo le condizioni di esistenza della frazione algebrica:

dx? = 12 = 3{x? — 4) = U x + 2 j { x = 2) — CE: x E+2. Scomponiamo anche il numeratore, riscriviamo la frazione data e semplifichiamo. ascompoeniamo

xi

dx +4

3x2

420

in fattori re a

12

samplifichiamo i termini comuni ra 1

(x-27

3(x2{x

_

x-

+ 2 ) 3(x+2)"

CAPITOLO 9

a

a

a OA

o

lm

o

E

e OO

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

O

Se

e

O

e

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E

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O

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e a d uno o u e mono ode mune alle mule mellito cda sanre vee ngi a e E

e Il denominatore ab + b? si scompone in |__Ka + b}. Ciò significa che la seconda frazione ha il denominatore uguale a quello della prima frazione, moltiplicato per |__|

C.E.: a #-bAb#EL_1 #

Per ottenere una frazione equivalente dobbiamo moltiplicare per |__]il numeratore:

2b __L( S a

3a

a+b

2 b )__ —3a°b+2

L_i(a + 8 )

a b+ b

LL

COMPLETA la seguenti uguaglianze. Supponi verificate l e condizioni d i asistenza.

Li Li '

'

2a+3 _

i :

-

x-2 _

!

1

x+4 _

b_ La

x+ty

=

ly

I

X-2Y

i

x+2

1’

a-3b _

ar

1

x

'

x +x+1

MIO

3x + 2 _ 3 x 2 +2x

_x!-4

x-l1 ESERCIZI

.

Le

3h

( 3 a+ b

xy +1 _

—8xy

a

al

3a+b

’

1-x%

Î-xy

so,

semplificazione delle frazioni algebriche E ] Attività interattiva

+ Teoria a pagina 411 |

FONDAMENTALI Semplificare una frazione algebrica

Dopo aver determinato le condizioni di esistenza, semplifichiamo le frazioni algebriche. a. 15a°b® x dx + 4 e 7x + 6

3x7

3a*b

=

12

‘xt

x- 6

guend

a. Determiniamo le condizioni di esistenza:

una frazione algebrica:

3 a‘bh E 0 — CE: a 0Ab#E0O,

#

Semplifichiamo:

5 a bp

15425

_

SE

ap afro dai 3487 somplifichlamo dividiamo dividiamo | coefficienti

numerici

per

per

scomponiamao in tettori il numeratore e ll denominatore;

;

”

g

Mathi

fichi

Sp

a

* determiniamo le C.E; * dividiama il PuMeFENOTE e

Ildenominatoreper|

fattori comuni.

| ‘

a = MCD (a®; a) tb = MCD {b2: b°)

b. Scomponiamo in fattori il denominatore e determiniamo le condizioni di esistenza della frazione algebrica:

dx? = 12 = 3{x? — 4) = U x + 2 j { x = 2) — CE: x E+2. Scomponiamo anche il numeratore, riscriviamo la frazione data e semplifichiamo. ascompoeniamo

xi

dx +4

3x2

420

in fattori re a

12

samplifichiamo i termini comuni ra 1

(x-27

3(x2{x

_

x-

+ 2 ) 3(x+2)"

CAPITOLO 9 =

so

3x5 + l2x

]2x

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

ì

6a + 2ax ’

'

=

at

1. 4x?—4x+1

2ax + 2x dad - Î *

x

ax - x + 3 a - 3 .

tx

xy

è) 2 a a t x 4 -2xy ” ESERCIZI

S| 2 a i

i sm

2xt

xi 2x

4a 4

x +2 x 8

4 a — 4a? a -_ 201 + a

( x - 2 ) + 2x

x -7x+6 2°

a

+2

x* + x x

I

4ay + I2y

62 IA a. L a s

b. # 1 + l

xl

Fa

A gue

B|

E

,

A

2-5 [ 2 - x q+36-»)]

6ax® — 6ay?

at-x2

30a2b2

x'+ax+aî 3

2a(x+y)

x

| 44.1

a"b abi"

a-

=

+4a +12"

_ Xx

=

i,

f.

l;

|’

3006]

2 ( x + 2 ) a-b), ' 2

2(y-1)|

x-Î

7a + t 3

xt

x+ 1 )

(x

+

y}ì

2

+1

=

o

RT

xy;

xXx}

|

CC x + t 4x t xy+ ye

2

35

h. ( x ) (y-x

1 = xx+ yl'

i.

i a- _

= 1; 1.

Quale affermazione fra le seguenti è vera per le espressioni 1 3 0 e T ox y, con x e y due numeri

Entrambe valgono 1.

Cc] Entrambe valgono xy, BD]

La prima vale xy e la seconda vale 1.

Interno fratto esterno Ricava il rapporto tra l'area del quadrato

interno e l'area del rettangolo esterno, x+5

A

4(2x + 3 }

i

2x+5)

e

( x +5)? 2(0x + 3)

2x + 3

2x+3

422

2

y * 3xl!

= 30! + 4

e. x

1+5;

=

è

a-1, Y+3 x(x+2)] x+t1' g t 2-x

at

3x5

diversi da 0? A | La prima vale xy e la seconda vale 0, i

a+tl'x+1'

Trova l'eventuale errore e, se c'è, spiega perché l'uguaglianza è falsa. 1 g- S E = =4-a; d = = ia d. x

+

CL.

2x-1 x+2 a°- 4]

22° + 8 "

aa"

*

+]

a-2)

a*- 16

By? — 8

'

#5

’a-2'

at+ta+t]

x a

?

A4+x-y

(a+1}j(a'+1) a + 2 a + 2

4a+4'

3x- 3a

o,

2(x° +8)

2x2 + 2 x - 120

7

(Ponsempliti s a p p i

xi + xy

6 x l y— 12xy

x

*x-1,

a+tb

6x® = 6xyi

9xTy — 18x57 *

I ”y - 1 ,

at+ab+b

|

==

1°

4-x1

a? — 10a + 2 5 a 25

4

=

x + 4x2+ 4:

9

p-3y*

3

si

4.

2°

xx

2x'+ x

3x1 + 3

a —4 at

sernplif.;

3

UT

ax—-2x-a+2'

NN

x-3 a+] x+1) 2a 2‘ x = 3 )

4x — 4y + (x — y}?

ax+2x-a-2,

a

1

pic

x

401 + x)

6x + 9

=x

bo

‘4a

a_n

i

=

ag

8

61]

A

x

14a — 76 .

Ha + 1 6 ##C

x dx 3

a

|

2x + 1) °

x'+16

60)

ax + 2ax + x 2x+2ax

x°- 1 (x + (x!

p -y -21 y - 3

}

x2-9 E

Be + 4a, 4a +1

5)

(x+3)

,

# ] Nessuna delle precedenti.

e

e

2 +3

[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007]

CAPITOLO 9 =

so

3x5 + l2x

]2x

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

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I

4ay + I2y

62 IA a. L a s

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Fa

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B|

E

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A

2-5 [ 2 - x q+36-»)]

6ax® — 6ay?

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3006]

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35

h. ( x ) (y-x

1 = xx+ yl'

i.

i a- _

= 1; 1.

Quale affermazione fra le seguenti è vera per le espressioni 1 3 0 e T ox y, con x e y due numeri

Entrambe valgono 1.

Cc] Entrambe valgono xy, BD]

La prima vale xy e la seconda vale 1.

Interno fratto esterno Ricava il rapporto tra l'area del quadrato

interno e l'area del rettangolo esterno, x+5

A

4(2x + 3 }

i

2x+5)

e

( x +5)? 2(0x + 3)

2x + 3

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2

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= 30! + 4

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1+5;

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3x5

diversi da 0? A | La prima vale xy e la seconda vale 0, i

a+tl'x+1'

Trova l'eventuale errore e, se c'è, spiega perché l'uguaglianza è falsa. 1 g- S E = =4-a; d = = ia d. x

+

CL.

2x-1 x+2 a°- 4]

22° + 8 "

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*

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a-2)

a*- 16

By? — 8

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#5

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A4+x-y

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7

(Ponsempliti s a p p i

xi + xy

6 x l y— 12xy

x

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9xTy — 18x57 *

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2°

xx

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x2-9 E

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5)

(x+3)

,

# ] Nessuna delle precedenti.

e

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2 +3

[USA Catawba College NCCTM Mathematics Contest, 2007]

CAPITOLO 9 dl

a

E

a

e

a

e

a e c a due lee o o e e a

e

e

ue a

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

gie une die e

n

dee e

Da

O

e

e

O

E

a

e qa

e

O

O

e

a OE DO D a

ae ue ue

O

o lle ole ala ala a

a l o D E dre a a

e DA Da

e

a

E ca

a Da Da a

FAI IL PUNTO SULLE COMPETENZE

oa Da Da a

olmo ala allo a e l a d o ala aloe a

ala d o

ore E alle ma alle a e cla ale n e d e a e i o

lee n e dla me

GUARDAI

Le frazioni algebriche e le frazioni equivalenti

Fai questi esercizi anche su ZTE

vuro o FaLso?

I | Ai"Le)

a”

perde di significato per a = - 1.

a IT

+

è quiequivalentea ente a —3» per x 0 ,

b.’ 2=

xi

e

vj

vj

2) non può essere semplificata,

vil"

v]

LF

LF]

[F

v i [F]

d. x° + 2x — 1 è una frazione algebrica. ASSOCGIA a ogni frazione algebrica le sue condizioni di esistenza.

1. ‘

3x2+ 2

b. x # 0 A x #3

ESERCIZI

5x2

3

x

a x=-1

4

4dx+1

’

d x#-3Ax#-2

cui siannulla. 4

x

2 x! — 1 ‘ x-1

3,

b. x = 1

e x=0

xi

x

‘ x + xi

xi+x

‘

1

‘ E - 3x1

x l Ax E L

c

un valore per ASSOCIA a ogni frazione algebrica 1

*

3,

’ x T +Sx +6

a x#-1

,

tx

2,

1

d . N e s s uxn& R.

VERO O FALSO? &

v][r

(=x)

x

“

l+y 4-7

d.

x +1

__1+} 447 =_ = x - 1

v][F

Trasforma ogni frazione in una frazione equivalente ma con denominatore opposto. a.

H

x+I1

20)

bp. L =

E

_ x?

_2-x 7x1

o

4a 1 .

b.

ui

TEST

x

2x

|a

DI:

_y+2,

x+2

d.

a-b'

>, Per a = 6 assume il valore: 7 5— 12a? La frazione algebrica 3a*

LL)

A|

HH

O.

B|

6.

12.

c|

D|

36.

TEST Quale delle seguenti semplificazioni è errata? Supponi verificate le C.E.

Li]

=

E

x +x _ x + 1

"ai

i

x?

xitx

-

x2

x+I

©

x +x _ 1 + x

x”

x

5

x'+x

x'+x

Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza. X x ?— 10x +25

x b

27

=7x +10 -

a

* Ga - 3a!

xy À

+ 3+ x xy t +3 xt-1

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n ve

e

a

CAPITOLO 9 dl

a

E

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LE FRAZIONI ALGEBRICHE

gie une die e

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FAI IL PUNTO SULLE COMPETENZE

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olmo ala allo a e l a d o ala aloe a

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ore E alle ma alle a e cla ale n e d e a e i o

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GUARDAI

Le frazioni algebriche e le frazioni equivalenti

Fai questi esercizi anche su ZTE

vuro o FaLso?

I | Ai"Le)

a”

perde di significato per a = - 1.

a IT

+

è quiequivalentea ente a —3» per x 0 ,

b.’ 2=

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2) non può essere semplificata,

vil"

v]

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d. x° + 2x — 1 è una frazione algebrica. ASSOCGIA a ogni frazione algebrica le sue condizioni di esistenza.

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ESERCIZI

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x

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cui siannulla. 4

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b. x = 1

e x=0

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x

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xi+x

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‘ E - 3x1

x l Ax E L

c

un valore per ASSOCIA a ogni frazione algebrica 1

*

3,

’ x T +Sx +6

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,

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2,

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d . N e s s uxn& R.

VERO O FALSO? &

v][r

(=x)

x

“

l+y 4-7

d.

x +1

__1+} 447 =_ = x - 1

v][F

Trasforma ogni frazione in una frazione equivalente ma con denominatore opposto. a.

H

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20)

bp. L =

E

_ x?

_2-x 7x1

o

4a 1 .

b.

ui

TEST

x

2x

|a

DI:

_y+2,

x+2

d.

a-b'

>, Per a = 6 assume il valore: 7 5— 12a? La frazione algebrica 3a*

LL)

A|

HH

O.

B|

6.

12.

c|

D|

36.

TEST Quale delle seguenti semplificazioni è errata? Supponi verificate le C.E.

Li]

=

E

x +x _ x + 1

"ai

i

x?

xitx

-

x2

x+I

©

x +x _ 1 + x

x”

x

5

x'+x

x'+x

Semplifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza. X x ?— 10x +25

x b

27

=7x +10 -

a

* Ga - 3a!

xy À

+ 3+ x xy t +3 xt-1

_ _x+1

x"+1

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e

a

CAPITOLO 9 dl

da

e

a

D e ma odore a e dm alla E

mo a

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

a a lare l e dolo D a ciale mo ale l o

e m e t a mm e

E mule mo ole ame a

mo ale dre ale ala lee ma ala

a

e

e dle l o

a e e ala ala a e l a alla D a ale a a d a d a

e o

D a d e DE

o Da Da oe oa

a DO a

olo

b. Nella seconda frazione scomponiamo il denominatore mediante raccoglimento parziale: a b= a + b = 1 = a ( b— 1) + 1(b— 1) = ( b - 1 ) { a+ 1). Quindi otteniamo:

a -abt+20__

a_

a+1

(b-1}{(a+1)

_b

1-è'

CE:a E-1Ab#1

Osserviamo che 1 — b = —(b — 1) e svolgiamo i calcoli: LD _ p ba + t a t - a b + 2 a + a b + b _

La -ab+2a

a__

a+tT" (b6-1jla+1)

b-1

(b — 1}{a +1)

H

_ a l a + 1 ) + b ( a + 1 ) - ( a + Tj(a+b ) _ a+tb

a+a+ub+b

( b - Da ti

(-1Xa +1)

-1j(a+1)

E-1

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere sa hal capito, Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni d i frazioni algebriche, semplificando l l risultato quando è

possibile.

ESERCIZI

’ n5 d i r i i 3 I bai

1,2 MER

Sat

x?

7

da Za 11

bi

ii 2 ax

-

4alx2*

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P

2a

5.

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BUG

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3x

n

LL

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_

3x

2-2xTt

2x-2y

Gy

Or

i A

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ab+ be

a+t2 _ 1 l i _ a + 1 ata qa at 2a-_}î

xy

_ lx

bb)”

3x+1* 1

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+7

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EZESARz

at

a

1

3a-b

5a°- ab

2a,

A x+4y

3x-3y

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2

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ta 2 a

3a+b

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x txt=x+]1

a

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Vogt

97

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36

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i

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x

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LE FRAZIONI ALGEBRICHE

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D a d e DE

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a DO a

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b. Nella seconda frazione scomponiamo il denominatore mediante raccoglimento parziale: a b= a + b = 1 = a ( b— 1) + 1(b— 1) = ( b - 1 ) { a+ 1). Quindi otteniamo:

a -abt+20__

a_

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CE:a E-1Ab#1

Osserviamo che 1 — b = —(b — 1) e svolgiamo i calcoli: LD _ p ba + t a t - a b + 2 a + a b + b _

La -ab+2a

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PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere sa hal capito, Esegui le seguenti addizioni e sottrazioni d i frazioni algebriche, semplificando l l risultato quando è

possibile.

ESERCIZI

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i

_x+4y,

lia

®

peb+tib S o , x -_-x+2) xi ’ 6a-b

a+b Za

3

e

1

3.

3h 2

Eb

bb _ 5 , 1 + 3at 2abî Ga

92

i

1 _ 2

_ 2.

___b

-ab a+b a

3a b+a'

pi

b' + ab

a'-

abi

47° + 4 y + 1 _ 4 y ' + 1 + 4y

4y — 8y*

a+t1_a-1_ abi ab Ix_

Y+3x

y.

atb-a°+a+b ab{a-1)

YI +9 3xy-9x5 0 yi g u i

+ 1 , __ 4a + 1 da+4a°

4a-8al 1 2 da

7

2x+1

l2a*

x

3 e L e operazioni con le frazioni algebriche x+2

x

x+3

y-3

x i xy 2+x x+3

ma #80

x

a- 1

x+3' xi+x-6 2x+4 _ 3x!+13x 8 , dx=63 1x9

yp5y

3

xd

x xy’

a +2a + 1 at -_-2a+1'

xi-]

1,6

y

E

+125,

x471

P=57 +25)

IZ

T

1,

at-

2-X°

5}

O VF125

FE

x- 1

pel

xt -

E 2x'(x- 1)

___|1

+21

*°

__ 1 3

2a" + 6 a+1

x(x 2 )

xy —

x

un

aa

1

xi L s i: += 3xi+Sx-2

rasa I

l+a

1 ext

2x3

x__

=:

x-2°

TI

2

x-y'

3 x 71

+2 x RE

L i i+)

TIZIA

x

2

xy

2x5, xF7 107

xx

1 x-|'

xt

4x2

x

+ = 33]

x 1) |

=

Rapporti geometrici Su un segmento AB di misura x > 0 sono costruiti un quadrato ABCD e

A

un rettangolo ABC'D' la cui altezza C'3 supera di 2 unità la base AB, Detto R(x) il rapporto tra l’area del

rettangolo e l'area del quadrato, e detto P(x) il rapporto tra i loro perimetri, esprimi la somma AR(x) + Pix} | 2x + 3

come frazione algebrica ridotta ai minimi termini,

NA

Trova gli errori e spiega perché le uguaglianze sono sbagliate. 2, 2_ 2. 1_1_ i 11 _ 12,

UD

+=

ari P T

Se

a

tao

O La moltiplicazione di frazioni algebriche |[j

b __2ab

O

pae

Attività interattiva

> Teoria a pagina 414

|

|

FONDAMENTALI Moltiplicare frazioni algebriche

g

Eseguiamo le seguenti moltiplicazioni:

x

ob

a

32

A A , CÈ.A L

x

2x8

4x4

Rei

Ea

a

1__1\

“ ( e a)at

a

0

ap

mA O s

a. Dividiamo | coefficienti 3 e 9 per il fattore comune 3; dividiamo le parti letterali per i fattori comuni eseguendo la differenza degli esponenti: Le condizioni di esistenza prime vanno determinate

Que E I

I i

b.

x i

(x ©.

4 io

x > xi

X(2=x)

(x+2)! =

2{x+2)

2Xx

i

i

=

#

Ripr

) scomponiamo è semplifichiamo 2

Le

25)

=- 2

=-1

CE:x#0Ax#+2.

Occorre svolgere prima i calcoli dentro le parentesi tonde e, in ultimo, la moltiplicazione:

(1-4)

|

= | Ari.

CE. aFO0Aa#1.

P R O VTU. A Svolkgi un ssercizio slmile Interattivo per v e d e rse e hai capito.

ESERC IZI

A

CAPITOLO 9

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

Esegui le seguenti moltiplicazioni di frazioni algebriche,

2x3 126

:b

”

DI

SS

Met alpe

Ai uu

10xì

1

12a°b*

—5xy" ( -

2a) ( -

3y-3x al

)

a

dpi

ESERCIZI

Tr

2a

ax x-1

(=)

2 x t yi

|

x+y

3(2b + a )

]

+ ia

x - 2 x + 1 39° = 3x

20

2 4 °+ 2 a _ 6 - 12a

P-8

+0 XI

x+3

___ b + 2

b-2 7 x) S x ( "Y x+y ' 4 - 2 b + b *

44+2b+ bb"

+ 9y! = 6xy x y + 38 xy + yi

122

(x +2)’ 2-8

al-a-2"

2a-]

3x3

a]

[9

(l1-x

y

*

x +x-6,

2-4

i

- 2, - e

102°? 15b

xt

40° x + a ]

1

5p4

xi

2b-a 2x-2y'

|-6- 4)

(GT

35

(2)

(732) ( E )

omB a b

Ai

12b

10a?

3 eos

ria

Sab

Ba ( 2 2 )

75)

\

a

TL

a

A

e

{3y x ) l3x°y Xx 4(3a + b ) '

3xy xi"

Semplifica le seguenti espressioni con addizioni, sottrazioni e moltiplicazioni.

FE a

sr

2-2)

|

n,

+34) (3a - 1 2 ) G t : (ea) 1 ea: ( 0 - 3+3)

AT

(1+11-2)

(3a

(La-2+

ea

(Ge)

sr

|

(-3+5) =

(b+ 2)

(+)

ee 260). L2ab

[9a?; 4b(a — 36)]

na=

GR

[agita+2)

HE

(ga):

[6-1;2) e

2

(x-2+3)'

(x-ZNx+ 7) api:

o

(Pri)

131) («-20)(1+ i + ) 428

=

2:

sa

|

3

=

|

(+e) _ tx

(x+=+4)(2x E Z

= (x°= 8; ( x + 2}]

CAPITOLO 9

-

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

1.3. A

a+b . a-b a - 5 ' 2a- 1 0

2. a-1l,

5a-5b .

a+l'

a

3ab

lie:

3a (-2ab),

x 2

1

54(b-

4x°y?

xl

5x5 10x10

mai

3x . x=-1l . 6 . x=5 2x-T0 xi)

|,

5x5

WS”

|;

A

y

yo x )

3x : ( x - 1 . 6x ) x-5 \dx-10 °° xi-1

0

343a?

10 xt

VTOx

9)

21b® ' 96x12 x( x + 1 ) 24

xt t x

xl.

1,

3(6-3)

|

4x!y? : { e y ,

TO

0

di

7%

TTEA

Lr.

12

ey

de°yi

ESERCIZI

xi),

6

2x6]

15ab ’ 35a"y=" 49ab*

P

(x=-1.,

15

4x2, l6xtyt e t

49ab

"N

:{

[2-62

(SF)

FILE

( 1 6 , . 8xlyi Ì:

15x

2

lis - 55

3x_

3}.

x]

3a°b

{_5y"

i15ab 35aîyi

n

|

xy?

top:

S e r 5 6 6- 3);

i

2

pi

3x°y rar

ELLI DI

a a-b'*

‘

—-l2ab (--53-ab);

x-2y

2(a+b)) a-b 2 ( a + 1 ) S t a- bb}

È

+1: 7

36x! ( x - 1} {x +1},

Semplifica l e seguenti espressioni con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divialoni.

Xx+ty x y , x+y’ x-y 1 _1\./1__1j].

pr

3

-

E

a.

4 ( x - y ) 3(x*— y°) ? y*) (x +y) * 2(x+

'

x+y

{24-1_

alt

xi

1

SO

3x__

x-3)

323)

SL:

x ( x- 9)| 3(x°

3 x = 3 CC 3x2=3

‘x+T

x*°+1+3x2 + 3x

150

impossibile

x, 9 x 3x-3

SPORE

x =]

14

a r 4a+3)

fx

‘(1

xi]

I)

2a4-5 _

( 4 3 7 ai

xx Mn

x-Yy xTy

x-y

(2-7)G6-7) 5

ET 148

(2 3

+ Sx

pa

l

‘(1+2 +32)

|

1_@2\.f,_b-a+2a3b\ . / _ 1 , , ( 1 - 3 2 ) : ( 2 2

va

-

(2° (=

}: n

sy

+1

2/a+tb

al

b

+ ab)"

zia IA A]

Let 4

B]

—-2

1

(

A

a + bp

(5

= + 5

ra

La D]

2

|

|

xt x )

24 e y |

|

aq”

1

1

LE]

a

e)

zo

in

tl):

=

1)

xy)

3}.

da+3 . at+2a-3

az

e]

3)

xy

Vee), 1 _ 1 Ar: (5-2)

(+=)

APE

ll

x+y 1

2 | x°+x=-2

ar

[a

(z- a)

a)

di

_a\_

Ze

154

}:(

2ab

E):

(z

=

I).

H

2a

(a-1}Y |

be an identity in x. The value of B+ C is: E)

—-4

[USA North Carolina State High School Mathematica Content, 2003)

430

CAPITOLO 9

-

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

1.3. A

a+b . a-b a - 5 ' 2a- 1 0

2. a-1l,

5a-5b .

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36x! ( x - 1} {x +1},

Semplifica l e seguenti espressioni con addizioni, sottrazioni, moltiplicazioni e divialoni.

Xx+ty x y , x+y’ x-y 1 _1\./1__1j].

pr

3

-

E

a.

4 ( x - y ) 3(x*— y°) ? y*) (x +y) * 2(x+

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1

SO

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323)

SL:

x ( x- 9)| 3(x°

3 x = 3 CC 3x2=3

‘x+T

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150

impossibile

x, 9 x 3x-3

SPORE

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14

a r 4a+3)

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I)

2a4-5 _

( 4 3 7 ai

xx Mn

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(2-7)G6-7) 5

ET 148

(2 3

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l

‘(1+2 +32)

|

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zia IA A]

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B]

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A

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|

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|

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be an identity in x. The value of B+ C is: E)

—-4

[USA North Carolina State High School Mathematica Content, 2003)

430

CAPITOLO 9

uc

e

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

A

Calcola l'area della figura, 3

d o v eb > 1,

‘ll perimetro del triangolo è =

2 (xx- 3= 1) o n x

L]

+2

|

2b+d

A ##O

i

> 3. Trovail lato mancante. 6

2)

| x{x - 3)

[

si

b+2

P

b-1

La potenza d i frazioni algebriche |

> Teoria a pagina 414

Attività interattiva

8

FONDAMENTALI Calcolare potenze di frazioni algebriche

A

Semplifichiamo le seguenti potenze di frazioni algebriche:

p.

_ _3abi 2

‘{

2a7, È

a.

e DO DE E DE DA E DE DA DO o

de

Fa)

e De E D a D e DA o D e D a E DE D o D e o

Da DD

E De O E De Da E

mr

AV H

’

eb

(-—

E D o D A DE DA D a DO

o D o DO e o D e DO E D e D o DO o

Da DUE

DE ale ola E

e a ae a e re mme a

nà peri L L

Fi

daparli

nè

;

ne mme ce mr l e alle aa dre l e l l

re a

DA O

o

E DE

a. L'esponente è pari, quindi il risultato è non negativo. Eleviamo al quadrato il numeratore e il deno-

minatore, dopo aver determinato le C.E. e semplificato la frazione algebrica: P.

I

4obo a CE: at0Ac#0.

ESERCIZI

_, ( _23AA | = t 2G a cbs}

np.

b. L'esponente è dispari, quindi resta il segno della base. Prima di eseguire la potenza, determiniamo le C.E. e semplifichiamo la frazione algebrica:

-

a + 2ab+b1/ rate)

|

(a+by"'

(a+b

|

R i PROVA TU, Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. Semplifica, quando possibile, le seguenti espressioni. (-

( 3a°b );

325

4

6 1862

TT!

3ab

e

a+ 165) ( < -b

1 :b+b6 )

xy

(pl: 167

x2y

a+ 1

è

;

NE

x° + Ì x i +2xy +35

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N

Vv

}*

a+i\

2g):

2x

È

LALA

20°? — 2ab! } (Spie

b

8(a + by

E

|impossibile perché..,;] ( P I ( x — 5y}

-2 l xyi x {x+yY'

i

22 /f,_ (

( x +1)"

ZI

( x? — l0xy+ 25y* |

(5=7)

Ézi

gp

(a)

(1 - i )x

2725

55 lap

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dp

7"

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9g1bt

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CAPITOLO 9

uc

e

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

A

Calcola l'area della figura, 3

d o v eb > 1,

‘ll perimetro del triangolo è =

2 (xx- 3= 1) o n x

L]

+2

|

2b+d

A ##O

i

> 3. Trovail lato mancante. 6

2)

| x{x - 3)

[

si

b+2

P

b-1

La potenza d i frazioni algebriche |

> Teoria a pagina 414

Attività interattiva

8

FONDAMENTALI Calcolare potenze di frazioni algebriche

A

Semplifichiamo le seguenti potenze di frazioni algebriche:

p.

_ _3abi 2

‘{

2a7, È

a.

e DO DE E DE DA E DE DA DO o

de

Fa)

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a. L'esponente è pari, quindi il risultato è non negativo. Eleviamo al quadrato il numeratore e il deno-

minatore, dopo aver determinato le C.E. e semplificato la frazione algebrica: P.

I

4obo a CE: at0Ac#0.

ESERCIZI

_, ( _23AA | = t 2G a cbs}

np.

b. L'esponente è dispari, quindi resta il segno della base. Prima di eseguire la potenza, determiniamo le C.E. e semplifichiamo la frazione algebrica:

-

a + 2ab+b1/ rate)

|

(a+by"'

(a+b

|

R i PROVA TU, Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. Semplifica, quando possibile, le seguenti espressioni. (-

( 3a°b );

325

4

6 1862

TT!

3ab

e

a+ 165) ( < -b

1 :b+b6 )

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(pl: 167

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CAPITOLO 9

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

a+3b _ 2 a - b __ 4 a ? + 9b2 + 2 - b

_2- kx

35kixè 27

1 l1l-x . 1 + x T=x - { 1 - T 1 4 x ) T+x 2) 22 + 3 2 + 1

3 x '+ Sx (1- x } ( 1

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[=] 10

* AZ

-

| ] —ia | ]

[=]

( 4 - 5 +2)

9a pe

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leali: }

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28{x + y}

CC

(ZH

ESERCIZI

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(4

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36

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CAPITOLO 9

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

a+3b _ 2 a - b __ 4 a ? + 9b2 + 2 - b

_2- kx

35kixè 27

1 l1l-x . 1 + x T=x - { 1 - T 1 4 x ) T+x 2) 22 + 3 2 + 1

3 x '+ Sx (1- x } ( 1

+

[=] 10

* AZ

-

| ] —ia | ]

[=]

( 4 - 5 +2)

9a pe

‘ ( a5+)

' Lo

19 ina

[1]

200 ( 1 - 2 ) ; ( 7 5 +5 = + 15)

leali: }

+p?

aa

_ t-p

{t+p

tp

ALIA

[priva di senso perché...]

‘{x- y)

=

(- ) -

=,

E

ec

+x}

Li

2-22) 3 + z - 227° ( $ + i + 2 ) (+46) 2 a

]

|

28{x + y}

CC

(ZH

ESERCIZI

| - 3 ( k + x°})

71

. 1 4 x+ l4y X i + Sx +4. 2 x + 2 9 xi+7x+12 3x+9 l1+x l-x

(4

4 __k

PET

ski bi

b

6ab

36

2a

o

[2] [a°- a + 1]

fs

FED)

t-Pp.

{ S x — 2y}]

x t 4y5 _—_

ta 47)

(+

2

x-8

x+6

(i

( 207

a

_

a-2

dad

sec

4

):

j.

H

1

[x+1]

tr - 1

|

o 4 a 2)

+a-2

0-0 5

(e):

(2):

[a]

" a"+a-2 a

ad - d - 2

a (157-178) (123 - ) (1-12) (P++1-2T)

1 _2xi,

i (1

+42)

E ( x 2 ) :(1+ x

x?

1-x

TETI

EI (ire 434

1

5):

|

5

a_i

4

a+2'

a-2

* =2) :

a+ll!'’ a t - a - 2

a __ _ @ a

L

ay? È

(| x+2y _ 2 y - x

+»)

_2x

(1-5) x 3+ x

x - T 1 * x + x =-=x-]1

5 12) (2)

|

CAPITOLO 9

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

Semplifica le seguenti espressioni.

RE

( + 9 :G-NG-N:(312+)+243 ‘ a + 2a = 8

8&w | ! { 24y

4x

4(x+ 2y)?

+5

(2)

-]7121

”

[_T=12]

.

a-4_____a+2 G -S5a + 6 2 3 - 1 2 )

(22)

e \

a }. x°+ 6x2+ 12x + 8

x-1

Sx +5

pe

ba — 2 x

TT

MER ASSOCIA a ciascuna espressionele sue condizioni di esistenza.

LL

2 4ab ‘a?

abb?

‘ ‘a-7 b+1

‘a

4ab. b + 1

4

Cab 7bE0, -1.

(241Y

(rr

7

)

d 2#7, b # 0 .

V E R OO FALSO?

a+1\!

a ( 5) ESERCIZI

3.

Ro

b. 2 7 , b E - 1 .

a bo. n

b+1

b 2)

È

hi

x+1

/a+1\‘: _ a + 1

=

(5)

( 0.

aumento del 3%. Quale espressione fornisce il costo di una confezione prima dell’aumento?

+ +3, ++: Considera la sequenza: 1 +1, + + a. Scrivi altri due elementi e il termine generale sotto forma di unica frazione. b. Calcola il valore del decimo termine. IA con

Un gruppo di genitori decide di organizzare una festa per i bambini in un locale animatore, Il gruppo è formato da coppie con un figlio, tranne cinque coppie che ne hanno due.

a. Sapendo che il costo della sala, che ammonta a 1000 €, è suddiviso per il numero di famiglie mentre il costo dell'animazione, pari a 200 €, per il numero di bambini, scrivi le frazioni che, in funzione del numero x di famiglie, rappresentano quanto dovrà pagare ogni famiglia con un figlio e quanto ogni famiglia con due figli.

b. Se le famiglie che organizzano la festa sono 20, quanto pagherà ciascuna famiglia? I

A

Data l'espressione

x+1

=

(1) to le condizioni di esistenza.

436

=T |

ricava la frazione algebrica equivalente, dopo aver determina-

CAPITOLO 9

e

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Indica quali delle seguenti frazioni algebriche hanno come C.E,: Yx € R , Motiva la risposta.

Tra le C.E. dell'espressione algebrica

x

.

-

peo

b.

bisogna porre x # 0, x # - 1 e x # - 7 ? Perché?

x]?

Spiega qual è l'errore commesso in ciascuna delle seguenti semplificazioni.

EP

E

x+t4 _ x+7

xy

=

;

— 3)?

B ar pi (x

è

a+]

=

2x2?

d.

+

=x+y

aa f.

2- a -2 x*+b

seria

VERIFICA DELLE COMPETENZE

UTILIZZARE T E C N I C H E E P R O C E D U R E D I C A L C O L O

Semplificazioni e condizioni d i esistenza

E

indica le condizioni di esistenza e determina i valori per cui si annullano le seguenti frazioni:

LI]

E

9a —a

x ! - 6x + 8 DA

l6xy*— 16x

EF

Li Ina=zi0x=40

=1]

Sempllifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza.

=

A

RT

l16x? = RE

9y?

a + 2a +1.

a b + 9b — Gab

xt

ab-9b

a + 4a +3?

6xp *

36x°-

RE

2a-b!— 2ab*

-4 yi + 4 p + 4 ° yy

.

—-

36x5- 24x74 dx?

a -22-1

x

2ab

|

2

y-

a ’ ab-1' y + è 4 x + 3 ya + 1 a-3)

x‘

a+t3ia+t3

| 3 x 4 1x4 a + )

x! + a + 1 + 2ax + 2x + 2a

4

_2b

x ‘ a t a-b

3ab" - 3 7 "

a

4a?

x,

xt

uu

a x+

Saxi

6 a ,x ,

sb?

2x4 x

30a7x

i

x(3x-D)°

i

x-a-]

Operazioni con la frazioni algetriche Semplifica l e seguenti espressioni dopo aver determinato le condizioni d i esistenza.

|

(3-3) ): RI ( E HI (27-51-45) (1-2): +25)

a

2

Li

Fi

[pz

ML

aa (22-25 - ga t)t a 6 (+2) 2 - 2 -43” ( +L E EE (255 a s t a ) ia

438

EFP

e,

=

PE

|

a.

4

2-42)

[1] [0]

CAPITOLO 9

e

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

Indica quali delle seguenti frazioni algebriche hanno come C.E,: Yx € R , Motiva la risposta.

Tra le C.E. dell'espressione algebrica

x

.

-

peo

b.

bisogna porre x # 0, x # - 1 e x # - 7 ? Perché?

x]?

Spiega qual è l'errore commesso in ciascuna delle seguenti semplificazioni.

EP

E

x+t4 _ x+7

xy

=

;

— 3)?

B ar pi (x

è

a+]

=

2x2?

d.

+

=x+y

aa f.

2- a -2 x*+b

seria

VERIFICA DELLE COMPETENZE

UTILIZZARE T E C N I C H E E P R O C E D U R E D I C A L C O L O

Semplificazioni e condizioni d i esistenza

E

indica le condizioni di esistenza e determina i valori per cui si annullano le seguenti frazioni:

LI]

E

9a —a

x ! - 6x + 8 DA

l6xy*— 16x

EF

Li Ina=zi0x=40

=1]

Sempllifica le seguenti frazioni algebriche dopo aver determinato le condizioni di esistenza.

=

A

RT

l16x? = RE

9y?

a + 2a +1.

a b + 9b — Gab

xt

ab-9b

a + 4a +3?

6xp *

36x°-

RE

2a-b!— 2ab*

-4 yi + 4 p + 4 ° yy

.

—-

36x5- 24x74 dx?

a -22-1

x

2ab

|

2

y-

a ’ ab-1' y + è 4 x + 3 ya + 1 a-3)

x‘

a+t3ia+t3

| 3 x 4 1x4 a + )

x! + a + 1 + 2ax + 2x + 2a

4

_2b

x ‘ a t a-b

3ab" - 3 7 "

a

4a?

x,

xt

uu

a x+

Saxi

6 a ,x ,

sb?

2x4 x

30a7x

i

x(3x-D)°

i

x-a-]

Operazioni con la frazioni algetriche Semplifica l e seguenti espressioni dopo aver determinato le condizioni d i esistenza.

|

(3-3) ): RI ( E HI (27-51-45) (1-2): +25)

a

2

Li

Fi

[pz

ML

aa (22-25 - ga t)t a 6 (+2) 2 - 2 -43” ( +L E EE (255 a s t a ) ia

438

EFP

e,

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PE

|

a.

4

2-42)

[1] [0]

CAPITOLO 9 e

A

O

E

e M o D a m r alla D a Da Dre E

LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

a D o DA o

De Da da

E

a

e D a DE o e D a alle l a o

o e D a ale are cere ome l o ale cielo D a

e ale E

a D a DO E o a

a D E E d a o a DO DO D o D a O A D E D a D a OO DO D e c a

Prove d i verifica E

a o e o a D o alle cla are

mr,orova GUARDA!

©

Punteggiototale:L__)/

a DE

Soluzioni delle pro

100

prove

vero o Faso? a

VIIF

LI —_3)2

d r . con x 2,hanno entrambe valore 1.

e

3 =2 -— b. Le frazioni

vjlie

c. Una frazione algebrica perde significato per i valori che annullano il denominatore. 1_1_i di 7 3 2 x

iL ‘ll

=

Lira

fl Determina le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche: 2a a IT

.

a-l]l

b. G a t o :

Sa

©

6

L_J]/18

VERIFICA DELLE COMPETENZE

Semplificale frazioni algebriche: a

ay +ax+2y+2x Durden

9a 9 Ta4r3i

9 - 3y

“ 3atzaty

i

Li’

Esegui le seguenti operazioni: a

5

1 +5

3xty

Zu:

xt + 4xy+ 43

b. x y

.

L _ | / 20

Semplifica l’espressione:

n

DD RE D A DA RA RA S A DR SA DA

SUP RA RA RA S P DA DA

E

PP

DA

O

DO PO

7) V E T

2x + xy 2y È

xl A

O

O

OP

A

DO DO

O

A

E

O

O

o e

O

a

O

x

_1}

{1

25x-50

x-y

25y (2-2)

O

O

O

O

O

o

o e

o

o e

er

e mo

L_l/26

e a r mme mne n e a l

e e amo o

o ele e

mo ome altre e e a e n o

ere md lee ome d o alal a e l e o

ere n

d o o alare n n

o do

Punteggio totale: L__)/ 100

1

semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo aver determinato le C.E,

a Fi

x

+4

4

-10y '

bd

at - 9

+3x1 3x3 at

d

“

3ab=90b

L_1/18

Sempllifica le seguenti espressioni.

3 + 2a% a+1 ) L L a I

a

(=

x° = ]

(ERI WD)

ML

a +4a -12

ao)

a - 4 3a + 5

L_J]/ 20

°°, 20x?

‘Ho

L_j/22

4 a 2 ) xt 4 d x + 4 f x 3x + 2 N! 3x +6 ) rare - 4

Calcola della figura a lato {a 0).

>

il perimetro

a

i

L_J/22 av

A

sl

a?

da a+1

L_|/1 8

mo n

nie u a

CAPITOLO 9 e

A

O

E

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LE FRAZIONI ALGEBRICHE

e

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Punteggiototale:L__)/

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Soluzioni delle pro

100

prove

vero o Faso? a

VIIF

LI —_3)2

d r . con x 2,hanno entrambe valore 1.

e

3 =2 -— b. Le frazioni

vjlie

c. Una frazione algebrica perde significato per i valori che annullano il denominatore. 1_1_i di 7 3 2 x

iL ‘ll

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Lira

fl Determina le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche: 2a a IT

.

a-l]l

b. G a t o :

Sa

©

6

L_J]/18

VERIFICA DELLE COMPETENZE

Semplificale frazioni algebriche: a

ay +ax+2y+2x Durden

9a 9 Ta4r3i

9 - 3y

“ 3atzaty

i

Li’

Esegui le seguenti operazioni: a

5

1 +5

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Zu:

xt + 4xy+ 43

b. x y

.

L _ | / 20

Semplifica l’espressione:

n

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1

semplifica le seguenti frazioni algebriche, dopo aver determinato le C.E,

a Fi

x

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L_1/18

Sempllifica le seguenti espressioni.

3 + 2a% a+1 ) L L a I

a

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x° = ]

(ERI WD)

ML

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°°, 20x?

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Calcola della figura a lato {a 0).

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il perimetro

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A

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a?

da a+1

L_|/1 8

mo n

nie u a

e

LE EQUAZIONI LINEARI o

CAPITOLO 10

i

ESEMPIO Verifichiamo che l'uguaglianza

a leo a

P|

o a O

O

è un'identità. Eseguiamo i calcoli nei due membri separatamente,

a

a

a

4ala + b) = (a + 2b}° + 3a° — 4 ?

Riconosci le identità

a.

5°

+8 = la + 4 ) l + a2):

b. 3a + t d i b = - d-3b a = bh = a:

O

a

A

A DO

a

Quali fra le seguenti uguaglianze sono identità?

E. (a + 5] {a = 5) = at — 25.

A DO

a

a

Ogni termine presente al primo membro dell'uguaglianza è presente anche al secondo e viceversa, quindi è un'identità.

O

Secondo membro: (2 + 288" + 3a° = 4b° = a° + 4ab+ 4l2 + 30° = 4 ? = 40" + 4ab,

a

a

O

Primo membro: 4a (a + b) = 4 a + 4ab.

QW EserRcIZIO

O Oa a O O DO D a O o a

Possiamo quindi dire che l'uguaglianza L i = b è un'identità solo se a # 0,

a m a ale

oa a

frazione non può avere denominatore nullo.

a

I | ESEMPIO La frazione algebrica a b ha significato solo se a # 0, in quanto una

a Da

Di solito sottintendiamo che l'insieme numerico in cui consideriamo vera un'identità è KR, privato eventualmente dei valori per cui le espressioni letterali non hanno significato. Trovare questi valori serve a precisare le condizioni di esistenza (C.E.).

O

a O

L e condizioni di esistenza di un'identità

O oa a a a lee a e u o l a olmo leo l o

a

zioni algebriche, dobbiamo imporre la condizione che i loro denominatori devono essere diversi da 0.

a

a

L e equazioni

|

ESEMPIO

1. 2 — 3y = 5 è un'equazione nell’incognita y; 2. x + 3 y = 7 è un'equazione in due incognite, x e y.

442

O DO DO A O a O DA o a A Do a o e O a e Da a a a Da ne la

I

l a Dia a

a

quazione.

a

Chiamiamo incognite le lettere per le quali cerchiamo i valori che rendono l'uguaglianza verificata; questi valori, se esistono, si chiamano soluzioni o radici dell’e-

Da O

O

Come per l'identità, l'espressione a sinistra del segno di uguaglianza èil primo membro, quella a destra è il secondo membro.

a

A

IP | ESEMPIO L'uguaglianza 3x + 5 = x — 3 è vera per x = - 4 .

A DO e

a Da

a

le si cercano i valori, da attribuire a una o più lettere, che la rendono vera.

a

Un'equazione è un'uguaglianza dove compaiono espressioniletteraliper la qua-

a. Spiega perché non è un'identità. b. Trova, per tentativi, i l rende vera.

a

DEFINIZIONE

1 + 2 x = 7.

valore di x e N c h ela

e

In generale, data un'uguaglianza fra due espressioni letterali, ci si può chiedere per quali valori delle lettere essa è vera.

Considera l'uguaglianza

o DO O

Si può dimostrare che esiste un solo valore che, sostituito a x, rende veral’uguaglianza. Questo valore è il numero 1, infatti: 2+3:1=5-41,

Trova x

o

sua

QQ EsercIZIO

a D o DO e

non è verificata: per esempio, x = - 1 , x = 0, x = E I

a

a

L'uguaglianza 2 + 3x = 5x non è un'identità, perché esistono valori di x per i quali

o

O

O

a

a

Che cos'è un'equazione

d l e n a ola lle lla

TEORIA

O

In generale, se applichiamo il concetto di identità a espressioni che contengono fra-

a Da O

a

ossia C.E.: a # 0.

i

usten t o

rr

An equatlon is an equality between two expressions

{called terms] containing letters, which can be true for certain numbers substituted to the Lettore.

2 e Le equazioni L'insieme dei valori che possono essere assunti dall'incognita è detto insieme di definizione © dominio. Quando non daremo indicazioni diverse, l'insieme di defi-

nizione sarà l’insieme dei numeri reali R. In questo capitolo ci occuperemo di equazioni con una sola incognita.

Li LI Li Li

I 1 Li Li i Li Li L

i

Pb Le soluzioni di un'equazione

* Esercizi a pagina 459

I Li LI }

Li Li Li } i Li Li

Risolvere un'equazione significa determinare tutte le sue soluzioni, cioè tutti i valori che, sostituiti alle incognite, verificano l'uguaglianza. Questi valori costituiscono } l’insleme delle soluzioni dell’equazione, I

ESEMPIO L'equazione x° = 4 ha due soluzioni: i

x=

2 ex = - 2 .

Infatti, (2)° = 4 e(—- 2)! = 4,

L'insieme delle soluzioni si può indicare anche con S. Nell'esempio, 5 = {2, —2}.

h Li Li Li }

Li I Li Li Li Li I Li Li

Y

EsERcIZIO

Verifica se è soluzione Stabilisci quale dei

valori indicati è soluzione dell'equazione

+ x l x + 2) = [x - 1]?

Per verificare se un numero è soluzione, basta sostituirlo all’incognita e calcolare Li a. X=5 separatamente i valori del primo e secondo membro, per controllare se sono uguali. LiLi b . x = - 2 }

ESEMPIO L'equazione 2x = 3 nell’incognita x ha soluzione x = è . in R . In3 33 nell'equazione, si ottiene l'uguaglianza vera 2 - 3 fatti, sostituendo = 3,

In generale individuare una soluzione non garantisce che non ne esistano altre. Inoltre, unl’equazione può avere soluzione in un insieme numerico, ma non averla in un insieme più ristretto,

}

Li i Li ' }

Li LI

LI I i Li

i I Li

P_Q

ESEMPIO L'equazione 2x = 1 ha soluzione nell'insieme ($, ma non ha soluzione nell'insieme N .

nessun numero naturale moltiplicato per 2 dà 1.

Db | diversi tipi d i equazioni

> Esercizi a pagina 460

Un'equazione può essere: e intera se l’incognita è presente soltanto nei numeratori,

squazioni Se non è specificato un dominio particolare, le equazioni intere hanno come dominio l'insieme R, Le equazioni fratte hanno comme dominio R, con l'esclusione dei valori cha rendano nulli è danominatori.

i LI]

Li i }

L

Infatti, x = + è un numero razionale ed è soluzione dell'equazione, mentre

I l deminio delle

}

Li LI I Li Li h I Li L LI Li Li

W

esErciZIO

Scluzioni in domini diversi Verifica che l'aquazione dx = 15:

ha soluzione in Z; non ha soluzione in N .

e ®

L Li Li Li i Li LI L

L

per esempio: > = 1 + 7 x ;

Li LI

LI

e fratta se l'incognita compare in uno o più denominatori delle frazioni presenti,

per esempio: =

= + - 1.

Inoltre, se consideriamo le lettere presenti, un'equazione può essere: e numerica se oltre all'incognita contiene solo numeri, per esempio: 2x — 2 . = i e

letterale se oltre all'incognita contiene altre lettere che indicano coefficienti; le lettere che non sono incognite sono dette parametri e possono assumere qualsiasi valore nell'insieme numerico considerato, per esempio: {1 — 2a}x = 3a + 1 è un'equazione letterale nell’incognita x con da come parametro,

b Li Li } i LI h Li Li Li Li Li Li Li Li Li I Li I Li I Li Li Li i Li Li Li Li Li Li i Li Li

i

EsERcCIZIO Classifica la equazioni Per ognuna delle seguenti equazioni nell'incognita x,

indica se è numerica a letterala, Intera è fratta.

x+2 = 1 E b.

1 "8 12

|A 4 g

=

a+ò

di 4x+3 =

TEORI A

p

Li i i LI LI i i

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

Considerando le soluzioni, un'equazione è:

e determinata se ha un numero finito di soluzioni,

e identità Ogni identità, considerata

per esempio: x + 5 = 8 ha una sola soluzione, che è 3;

coma equazione, è indeterminata perché ha

e indeterminata se ha infinite soluzioni,

infinite soluzioni. Tuttavia,

per esempio: data l’equazione x + x = 2x, l’insieme delle soluzioni è S$ = R , cioè l’uguaglianza è vera per ogni valore reale di x; in simboli: x + x = 2x, Yx € R ;

e impossibile se non ha soluzioni,

non tutte le equazioni indeterminate sono idarntità. Per esempio, l'equazione

| x | = - x è indeterminata

per esempio: x + 1 = x non ha soluzioni, perché la somma fra un numero e 1 non può essere uguale al numero stesso.

B La forma normale d i un'equazione e l l suo grado * Esercizi a pagina 450

perché, per definizione di valore assoluto, ha infinite soluzioni: i numeri reali x 2 0, Eppure, non è verificata per tutti | valori di R per cui è

definita. Fer esempio, non è verificata par x = 1. Dunque non è un'identità,

Consideriamo il polinomio P{x) = 3x° — 2x + 5, ridotto a forma normale, ovvero nella forma in cui non compaiono monomi simili fra loro. Se poniamo P{x) = 0, otteniamo un'equazione scritta in forma normale (o forma

TEORIA

canonica):

3x2 — dx + 5 = 0, Il termine senza l’incognita si chiama termine noto.

Il grado dell’equazione è il grado del polinomio ridotto a forma normale, ossia il massimo esponente con cui l'incognita compare nell'equazione in forma normale.

L'equazione 3x° — 2x + 5 = 0 è di secondo grado. Prima la forma normale, pol il grade

IP | ESEMPIO

1. 3x — 6 = 0 è un'equazione di primo grado. 2,

4 x — 5x2 — 2x + 1 = 0 è un'equazione di terzo grado.

3. L'equazione 3x° + 5x — 1 = 3x — 2x® — x? = 0 non è di secondo grado. Infatti, l'equazione non è scritta in forma normale e, se riduciamo i termini

simili, diventa 2x — 1 = 0 che è un'equazione di primo grado. 4. ax? + ax = 0 è un’equazione di secondo grado rispetto all’incognita x (se a # 0), e un'equazione di terzo grado rispetto all'incognita a (se x # 0). In questo capitolo ci occuperemo della risoluzione di equazioni di primo grado, dette

Prima di trovare i l grade di uti'equazione, occorre ridurla a forma normala, Infatti, può capitare che i l termine di

grado massimo si semplifichi.

QQ esERrcIZIO Trova l l grado Determina il grado delle seguenti equazioni nell'intognita x.

anche equazioni lineari.

p . 2 x t - x ! ' + x= 0

|

principi d i equivalenza

L e equazioni equivalenti

b. (x-1|°+1=0 C. SX + a ! + x= 0 d. (x? 1] lx? + 1) = 0

> Esercizi a pagina 461

Le equazioni 4x — 2 = 10 e 4x = 12 sono entrambe definite in R e hanno entrambe come unica soluzione x = 3, Diciamo che le due equazioni sono equivalenti.

HH LISTEN TO IT DEFINIZION E

Due equazioni definite nello stesso insieme e contenenti le stesse incognite sl

dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme delle soluzioni.

444

Equivalent equationa are equations that have the same unkrnowne and the same solutions.

(2,

3 e | principi di equivalenza L'equivalenza tra equazioni è una relazione di equivalenza nell'insieme delle equazioni perché gode delle proprietà riflessiva, simmetrica e transitiva, 2x-3=-|1

Equazioni a insieme

non sono equivalenti, perché la soluzione della prima equazione è x = 5 e la soluzione della seconda è x= 1.

i

Le equazioni definite in Z

nan sona definite nello stesso insieme, possiamo

3x-2=4

e x}- 4 = 0

di definizione comune

Quando due equazioni

chiederci se sono equivalenti

non sono equivalenti, pur avendo una soluzione in comune. Infatti la prima equazione ha come unica soluzione x = 2, mentre la seconda ha due soluzioni, x= 2 e x = — 2. Se definiamo le stesse equazioni in N , entrambe hanno come unica solu-

nell'insieme di definizione

comune. Per esempio, le equazioni

xl

zione x = 2, quindi sono equivalenti.

0 ex-1=0 non sona equivalenti, pur

Per risolvere un'equazione cercheremo di trasformarla, via via, in equazioni equivalenti più semplici, fino a giungere a un'equazione in cui sia immediato trovare

avendo entrambe come unica soluzione x = 1. Infatti

l’insierne delle soluzioni. Indicheremo il passaggio da un'equazione a una equivalente con una freccia. Per esempio, per le due equazioni iniziali possiamo scrivere: dx

2=10

— dxr= 12.

Le regole di trasformazione di un'equazione in altre equazioni a essa equivalenti sono stabilite da due princìpi, chiamati principi di equivalenza.

Bb I l primo principio d i equivalenza

> Esercizi a pagina 461

Il primo principio di equivalenza si basa sulla prima legge di monotonia.

la prima è definita in R e la seconda in E — {0}. Tuttavia, se definiamo entrambe le

equazioni in R — {0}, dato che hanno la stessa soluzione, possiamo considerarie equivalenti.

TEORI A

Le equazioni x-1=4 e

DEFimonotonia Se a entrambi | membri

di un'uguaglianza fra

Primo principio di equivalenza

espressioni numeriche

Se aggiungiamo o sottraiamo a entrambi i membri di un'equazione, definita In un insieme, uno stesso numero o espressione letterale, definiti nello stesso insieme, otteniamo un'equazione equivalente.

resta valida,

P_

| ESEMPIO L'equazione 2x = 6 ha come soluzione x = 3, Addizioniamo 5 a entrambi i membri e otteniamo

2X+5=6+5, ossia 2x+5=11, La soluzione di questa equazione è x = 3, quindi è equivalente a quella data, Osservazione. Se addizioniamo a entrambi i membri di 2x = 6 la frazione algebrica — Ly, otteniamo: 2x

+

1 =5

_

=

6+

1 =:

La soluzione di quest'ultima equazione non è x = 3, perchéper questo valore dell'incognita la frazione n a

perde significato. L'equazione ottenuta non è equivalente a

quella di partenza.Infatti,mentre 2x = 6 è definita nell'insiemeR,la frazione u a

ha significato solo nell'insieme R - {3}. In generale, il primo principio può essere applicato solo se le espressioni che si

addizionano o si sottraggono hanno significato nel dominio dell'equazione di partenza.

aggiungiamo o togliamo uno stesso numero, l'uguaglianza

E

Listen t o Tr

You can obtain an aquation equivalent to a given one by adding or subtracting the sare number or expression with lattars from both sides.

(a

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

O L e applicazioni del primo principio

> Esercizi a pagina 442

Dal primo principio derivano due regole pratiche, utili nella risoluzione delle equazioni: il trasporto e la cancellazione. Partiamo da u n esempio.

I È ESEMPIO Risolviamo l'equazione 7x = 6x + 3. Per eliminare il termine + éx dal secondo membro, addizioniamo a entrambi i membri il termine — 6x: 7x— —-6 x = 6x+t3-6x-

=

7Zx-6x=+3

=

x=3ì.

semplifichiamo |

asommiamo i termini

termini opposti nel

nei prime membro

seconda membro

Poiché abbiamo applicato il primo principio, le equazioni Xx = 6 x + 3

e

x=3

sono equivalenti. Dunque il valore 3, soluzione immediata della seconda equazione, è anche soluzione della prima.

TEORIA

Possiamo rendere più rapido il procedimento se osserviamo che, quando eliminiamo da un membro un termine, grazie al primo principio di equivalenza, esso ricompare

nell'altro membro con il segno cambiato. Possiamo quindi formulare la regola del trasporto.

a ì

Un po' di equilibrio

Il trasporto Data un'equazione, se ne ottiene una equivalente se si trasporta un termine da un membro all'altro, cambiandolo di segno. Infatti, applicando i l primo principio di equivalenza all'equazione generica

At

MATEMATICA INTORNO A NOI

t a = B(x), otteniamo:

Una bilancia a bracci uguali è in equilibrio quando su entrambi i

piatti sono posti oggetti di uguale peso. Par stabilire quanto pesano gli oggetti che confrontiamo, è Necessario avere à

disposizione qualche peso noto. Per questo le bilance vengono vendute con pesi di ottone di 5,

aggiungiamo - 4 aa entrambi | membri p

10, 20, 40, 50, 100, 200, 500 g.

ESEMPIO

#

Pz

cx + 1

-

7% = 6 x +

Con considerazioni analoghe possiamo enunciare la regola di cancellazione.

La cancellazione Termini uguali presenti in entrambi i membri di un'equazione possono essere

Hai una bilancia e

due paesi, da 10 g e da 40 g. Cone puoi separare, usando una volta sola i pesi tarati, 1B00 gq di mais in due mucchi, da 400 q e da 1400 g?

cancellati, ottenendo un'equazione equivalente. k

Infatti, applicando il primo principio di equivalenza all’equazione generica

A l x }+ a = B(x} + a, otteniamo: L=

Bk

— AO + A A = B ( ) +4 A

maoa entrambi | membri a g g i u n g i a—

A G= BO,

W ESERCIZIO Appilca le regole Scrivi un'equazione equivalente a X-2+3=-Z-x

in moda che i l sacando

i

membro sia nullo. Applica Le

«-.

446

-

x+f=4+9

-

x=4

regole di cancellazione e del trasporto.

3 e | principi di equivalenza

P l l secondo principio d i equivalenza

> Esercizi a pagina 462

Il secondo principio di equivalenza si basa sulla seconda legge di monotonia.

Seconda legge di monctonia Se moltiplichiamo a

i

dividiamo entrambi | membri

Secondo principio di equivalenza Se moltiplichiamo o dividiamo entrambi i membri di un'equazione per uno stesso numero o espressione letterale, definiti nell'insieme di definizione dell'equazione e diversi da zero, otteniamo un'equazione equivalente. IP | ESEMPIO E » = 10 ha come soluzione x = 15, perché + 15 = 10,

Moltiplichiamo i due membri per 3 e otteniamo l'equazione: 3:3x=3-10,

ossia

2 x = 30,

La soluzione di questa equazione è 15, quindi è equivalente a quella data.

di un'uguaglianza fra espressioni numeriche per uno stesso numaro diverse da zero, l'uguaglianza resta vallda.

i

Listen t o

rr

You can abtain an equation equivalent to a given one by multipiying or dividing both

"i

h

terms by the same number or expression with letters

{different from zero],

Osservazione. Non possiamo dividere i membri di un'equazione per 0 perché la divisione per Ò non ha significato. E se moltiplicassimo entrambi i membri per 0, che cosa succederebbe? Prendiamo, per esempio, l’equazione 3x = 6, che ha come soluzione 2. MoltiplichiaTEORI A

mo per 0 i due membri:0- 3x =0:-6 — O: x = 0 . Questa equazione ha come soluzione tutti i numeri reali. L'equazione ottenuta non è quindi equivalente a quella data.

Queste considerazioni si estendono al caso delle espressioniletterali. Semoltiplichiamo per un'espressione letterale dobbiamo verificare che sia diversa da zero per ogni

valore che appartiene al dominio dell'equazione.Infatti, se moltiplichiamo entrambi i membri dell'equazione precedente per x — 1, otteniamo l’equazione 3 x ( x - 1 ) = 6-(x- 1)

che non è equivalente a quella data perché ammette tra le soluzioni anche x = 1, che non verifica l'equazione 3x = 6. Osserviamo che il valore x = 1 è proprio quello che annulla x - 1,

P L e applicazioni d e l secondo principio > Esercizi a pagina 463 1. Se tutti i termini di un'equazione hanno un fattore numerico comune diverso da 0, dividendo ogni termine per quel fattore si ottiene un'equazione equivalente. P_i

ESEMPIO Nell'equazione 3x + 9 = 24 i termini 3x, 9 e 24 sono tutti divisibili per 3, pertanto possiamo dividere ciascun termine per 3, ottenendo l'equazione x + 3 = 8 , equivalente a quella data.

2. Se in un'equazione sono presenti termini con coefficienti frazionari, sì ottiene un'equazione equivalente a coefficienti interi riducendo tutti i termini allo stesso denominatore (mem dei denominatori) e moltiplicando entrambi | membri per

il denominatore comune. I

&W ESERCIZIO Caccia all'errore Trova gli errori e correggili.

i ESEMPIO

i. 2x0 = 0 — x = 2;

F=xtg i

=

O

3x = 6x+10

b.

g1e r 0e xm-7;

1

stesso denominatore: moltiplichiamo per 6 entrambi i membri memd2, 3) = 6

&

XS pm 2 2lx+5) + x = 2

447

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

Dal secondo principio di equivalenza deriva la regola del cambiamento di segno.

I I

Cambiando segno a tutti i termini di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente.

I I I

e

La regola deriva dal secondo principio perché cambiare il segno a tutti i termini dell'equazione equivale a moltiplicare entrambi i membri dell'equazioneper - 1 .

| ESEMPIO —- Sx + 8 = - 2 3

— Sx - 8 = 2 3

Le equazioni numeriche inte re

I I I

I I I I I I I 1 I 1 1 1 Li 1

#

EsuRCIZIO Riconosci le regole

Indica con quale regola si può ottenere ciascuna delle seguenti equazioni à partire da -x +7 = 3 x - 7 - x, Di

7 = 3x7

Db. x F = = +7 + ta x d x

xmm 7-7

1 1 I 1

I

Le equazioni numeriche intere sono le equazioni a coefficienti numerici in cui l'incognita non è presente in alcun denominatore, p | ESEMPIO È un'equazione numerica intera: L x - 3 = i .

TEORIA

I I I I I I

I

Alx) = B(x) — -— Aix) = - B ( x )

‘B

I

I I I I

Il cambiamento di segno

I

I

Osservazione. L'aggettivo «intere» è riferito all'incognita e non ai coefficienti, che possono essere frazionari,

B L a risoluzione d i un'equazione numerica intera

> Esercizi a pagina 464

I 1 1 1 I I 1

I 1 I 1 1 LI 1 1 1 I I I

I I I I

I I I I I

Applicando i principi di equivalenza, è sempre possibile trasformare un'equazione di

I I I

primo grado intera nell'incognita x in un'equazione equivalente scritta nella forma II I I

ax = b ,

I I I

ovvero tale che il primo membro contenga soloil termine conl'incognita eil secondo II I membro contenga solo il termine noto, Se 2 # 0, per risolvere un'equazione scritta I in questa forma, grazie al secondo principio di equivalenza basta dividere entrambi II

I

viveo

Risoluzione di squazioni

numeriche intere a principi di equivalenza Risolvi la seguente equazione

numerica intera applicando i principi di equivalenza. Leg

x

=

x

I

I I I I I I 1 I 1 1 1 1 1 1 i

i membri per il coefficiente di x, ottenendo: b Xx

I | ESEMPIO Risolviamo la seguente equazione.

Confronta la tua risoluzione con quella proposta nel video,

1

e applichiamo

4Ax-9+ 4 - 1 =

6x + 9 + 2 x +5

l a regola

d i cancallazione

5 "iduciamo i

termini simil

1 I I

I I I I I

4x—- 1 0 =-—-4x + 1 4

— > applichiamo l a regola del trasporto, spostando nel primo membro | termini con l'Incognita

e nel secondo membra | termini noti

4

+ 4x = 14 + 1 0

— 5 sommiarmo | termini simili per giungere alla f o r m a ax = b

Bx = 24 5 dividiamo entrambi | membri per Il coetficiente di x, cioè 8 =B x_ 24 =

x=3

— x = 3 è a soluzione

I I I I

I I I I

I I I I

I I i I I I I 1 1 1 i

QW EsERcIZIO Risolvl un'equazione

numerica Intera Trova le soluzioni della seguenti equazioni precisando

per ogni passaggio quale principio di equivalenza

applichi. a. B x - 5 = 5 + 3 x

b. s(x+4)=2+23x

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

Dal secondo principio di equivalenza deriva la regola del cambiamento di segno.

I I

Cambiando segno a tutti i termini di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente.

I I I

e

La regola deriva dal secondo principio perché cambiare il segno a tutti i termini dell'equazione equivale a moltiplicare entrambi i membri dell'equazioneper - 1 .

| ESEMPIO —- Sx + 8 = - 2 3

— Sx - 8 = 2 3

Le equazioni numeriche inte re

I I I

I I I I I I I 1 I 1 1 1 Li 1

#

EsuRCIZIO Riconosci le regole

Indica con quale regola si può ottenere ciascuna delle seguenti equazioni à partire da -x +7 = 3 x - 7 - x, Di

7 = 3x7

Db. x F = = +7 + ta x d x

xmm 7-7

1 1 I 1

I

Le equazioni numeriche intere sono le equazioni a coefficienti numerici in cui l'incognita non è presente in alcun denominatore, p | ESEMPIO È un'equazione numerica intera: L x - 3 = i .

TEORIA

I I I I I I

I

Alx) = B(x) — -— Aix) = - B ( x )

‘B

I

I I I I

Il cambiamento di segno

I

I

Osservazione. L'aggettivo «intere» è riferito all'incognita e non ai coefficienti, che possono essere frazionari,

B L a risoluzione d i un'equazione numerica intera

> Esercizi a pagina 464

I 1 1 1 I I 1

I 1 I 1 1 LI 1 1 1 I I I

I I I I

I I I I I

Applicando i principi di equivalenza, è sempre possibile trasformare un'equazione di

I I I

primo grado intera nell'incognita x in un'equazione equivalente scritta nella forma II I I

ax = b ,

I I I

ovvero tale che il primo membro contenga soloil termine conl'incognita eil secondo II I membro contenga solo il termine noto, Se 2 # 0, per risolvere un'equazione scritta I in questa forma, grazie al secondo principio di equivalenza basta dividere entrambi II

I

viveo

Risoluzione di squazioni

numeriche intere a principi di equivalenza Risolvi la seguente equazione

numerica intera applicando i principi di equivalenza. Leg

x

=

x

I

I I I I I I 1 I 1 1 1 1 1 1 i

i membri per il coefficiente di x, ottenendo: b Xx

I | ESEMPIO Risolviamo la seguente equazione.

Confronta la tua risoluzione con quella proposta nel video,

1

e applichiamo

4Ax-9+ 4 - 1 =

6x + 9 + 2 x +5

l a regola

d i cancallazione

5 "iduciamo i

termini simil

1 I I

I I I I I

4x—- 1 0 =-—-4x + 1 4

— > applichiamo l a regola del trasporto, spostando nel primo membro | termini con l'Incognita

e nel secondo membra | termini noti

4

+ 4x = 14 + 1 0

— 5 sommiarmo | termini simili per giungere alla f o r m a ax = b

Bx = 24 5 dividiamo entrambi | membri per Il coetficiente di x, cioè 8 =B x_ 24 =

x=3

— x = 3 è a soluzione

I I I I

I I I I

I I I I

I I i I I I I 1 1 1 i

QW EsERcIZIO Risolvl un'equazione

numerica Intera Trova le soluzioni della seguenti equazioni precisando

per ogni passaggio quale principio di equivalenza

applichi. a. B x - 5 = 5 + 3 x

b. s(x+4)=2+23x

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

Dal secondo principio di equivalenza deriva la regola del cambiamento di segno.

I I

Cambiando segno a tutti i termini di un'equazione, si ottiene un'equazione equivalente.

I I I

e

La regola deriva dal secondo principio perché cambiare il segno a tutti i termini dell'equazione equivale a moltiplicare entrambi i membri dell'equazioneper - 1 .

| ESEMPIO —- Sx + 8 = - 2 3

— Sx - 8 = 2 3

Le equazioni numeriche inte re

I I I

I I I I I I I 1 I 1 1 1 Li 1

#

EsuRCIZIO Riconosci le regole

Indica con quale regola si può ottenere ciascuna delle seguenti equazioni à partire da -x +7 = 3 x - 7 - x, Di

7 = 3x7

Db. x F = = +7 + ta x d x

xmm 7-7

1 1 I 1

I

Le equazioni numeriche intere sono le equazioni a coefficienti numerici in cui l'incognita non è presente in alcun denominatore, p | ESEMPIO È un'equazione numerica intera: L x - 3 = i .

TEORIA

I I I I I I

I

Alx) = B(x) — -— Aix) = - B ( x )

‘B

I

I I I I

Il cambiamento di segno

I

I

Osservazione. L'aggettivo «intere» è riferito all'incognita e non ai coefficienti, che possono essere frazionari,

B L a risoluzione d i un'equazione numerica intera

> Esercizi a pagina 464

I 1 1 1 I I 1

I 1 I 1 1 LI 1 1 1 I I I

I I I I

I I I I I

Applicando i principi di equivalenza, è sempre possibile trasformare un'equazione di

I I I

primo grado intera nell'incognita x in un'equazione equivalente scritta nella forma II I I

ax = b ,

I I I

ovvero tale che il primo membro contenga soloil termine conl'incognita eil secondo II I membro contenga solo il termine noto, Se 2 # 0, per risolvere un'equazione scritta I in questa forma, grazie al secondo principio di equivalenza basta dividere entrambi II

I

viveo

Risoluzione di squazioni

numeriche intere a principi di equivalenza Risolvi la seguente equazione

numerica intera applicando i principi di equivalenza. Leg

x

=

x

I

I I I I I I 1 I 1 1 1 1 1 1 i

i membri per il coefficiente di x, ottenendo: b Xx

I | ESEMPIO Risolviamo la seguente equazione.

Confronta la tua risoluzione con quella proposta nel video,

1

e applichiamo

4Ax-9+ 4 - 1 =

6x + 9 + 2 x +5

l a regola

d i cancallazione

5 "iduciamo i

termini simil

1 I I

I I I I I

4x—- 1 0 =-—-4x + 1 4

— > applichiamo l a regola del trasporto, spostando nel primo membro | termini con l'Incognita

e nel secondo membra | termini noti

4

+ 4x = 14 + 1 0

— 5 sommiarmo | termini simili per giungere alla f o r m a ax = b

Bx = 24 5 dividiamo entrambi | membri per Il coetficiente di x, cioè 8 =B x_ 24 =

x=3

— x = 3 è a soluzione

I I I I

I I I I

I I I I

I I i I I I I 1 1 1 i

QW EsERcIZIO Risolvl un'equazione

numerica Intera Trova le soluzioni della seguenti equazioni precisando

per ogni passaggio quale principio di equivalenza

applichi. a. B x - 5 = 5 + 3 x

b. s(x+4)=2+23x

5

e

L o COLLEGAMENTI MATEMATICI Mstodi a confronto

Equazioni e problemi

Un problema con le equazioni linaari

Ci sono problemi che hai imparato a risolvereprima di conoscere le equazioni, ma

Par Natale, i nonni pralevano

che la formalizzazione attraverso le equazioni rende molto più semplici.

in banca 1600 € per i regali

Considera per esempio il seguente:

ai nipoti. Dopo pochi giorni, con i l 27% di ciò che è rimasto sul conto, acquistano

«La somma di due numeri è 22 euno è i $ dell'altro. Quali sono i due numeri?»

Senza conoscere le equazioni come si risolve questo problema? Probabilmente nel modo seguente. Il primo numero può essere pensato diviso in 6 parti uguali, di cui se ne prendono 5 per ottenere il secondo. La loro somma è quindi costituita da 11 parti uguali. Pertanto ogni parte è 22:11 = 2. Il primo numero è allora 2 : 6 = 12 e ll secondo 2 : 5 = 10, e la loro somma è 22. Quindi:

-

W

EsERrRcIZIO

Risolvi il seguente problema con un'equazione e con u n metodo diverso. Quale

preferisci? Perché”?

6 + 5 x =132 — l i x = 132 — x = 12.

Di due numeri naturali, sai

Ritroviamo,in modo più veloce, che il numero maggiore è 12 el'altro è 2 1 2 = 10.

che uno supera l'altro di 3 e la loro somma è 13, Quali gono i numeri?

Db

IDEE PER LE COMPETENZE

\. < ) Le equazioni e il papiro di Rhind Gli antichi volevano risolvere problemi matematici simili ai nostri, ma spesso procedevano per tentativi o con metodi em-

pirici. Oggi abbiamo a disposizione l’algebra e le sue regole ben formalizzate, quindi possiamo risolvere gli stessi problemi con

più semplicità e usando metodi generali.

Ln

Ecco uno dei problemi algebrici del papiro di Rhind: «Se sommiamo a un mucchio la sua settima parte e otteniamo 19, quant'è i] mucchio?». Con il termine «mucchio» gli Egizi indicavano una generica quan.

e

.

.

.

,

La scriba seduto, 2620-23 e

vitva, Parigi, useo del Louvre,

tità, che con i simboli moderni possiamo chiamare x. Per risolvere il problema, gli Egizi procedevano per tentativi, assegnando al «mucchio» un numero casuale, in questo caso 7, e poi impostavano una proporzione per risalire al risultato corretto. Questo procedimento

è detto metodo dellafalsa posizione.

Vediamo come si applica in questo caso: * Se sommiamo a 7 la sua settima parte otteniamo 7 + + ‘ 7 = 8 , n o n 19.

e Impostiamo la proporzione 7 : 8 = x :19 e risolviamola: x = 2 1 9 = 1 3 3

Gli Egizi avrebbero ottenuto 1 ,

Come possiamo risolvere il problema con le equazioni?

Traduciamo in simboli il problema: x + d x = 19, mucchio

settima parte del mucchio

451

TEORI A

x+2x=22

dei due prellevi? Qual è stata l a spesa per l'auto?

Applica p ù metodi

Risolviamo il problema con un'equazione. Indichiamo con x il numero maggiore.

L'altro numero è x

un'automobile. N e l conto

rastano 13286 €. Quale somma era presente prima

5

e

L o COLLEGAMENTI MATEMATICI Mstodi a confronto

Equazioni e problemi

Un problema con le equazioni linaari

Ci sono problemi che hai imparato a risolvereprima di conoscere le equazioni, ma

Par Natale, i nonni pralevano

che la formalizzazione attraverso le equazioni rende molto più semplici.

in banca 1600 € per i regali

Considera per esempio il seguente:

ai nipoti. Dopo pochi giorni, con i l 27% di ciò che è rimasto sul conto, acquistano

«La somma di due numeri è 22 euno è i $ dell'altro. Quali sono i due numeri?»

Senza conoscere le equazioni come si risolve questo problema? Probabilmente nel modo seguente. Il primo numero può essere pensato diviso in 6 parti uguali, di cui se ne prendono 5 per ottenere il secondo. La loro somma è quindi costituita da 11 parti uguali. Pertanto ogni parte è 22:11 = 2. Il primo numero è allora 2 : 6 = 12 e ll secondo 2 : 5 = 10, e la loro somma è 22. Quindi:

-

W

EsERrRcIZIO

Risolvi il seguente problema con un'equazione e con u n metodo diverso. Quale

preferisci? Perché”?

6 + 5 x =132 — l i x = 132 — x = 12.

Di due numeri naturali, sai

Ritroviamo,in modo più veloce, che il numero maggiore è 12 el'altro è 2 1 2 = 10.

che uno supera l'altro di 3 e la loro somma è 13, Quali gono i numeri?

Db

IDEE PER LE COMPETENZE

\. < ) Le equazioni e il papiro di Rhind Gli antichi volevano risolvere problemi matematici simili ai nostri, ma spesso procedevano per tentativi o con metodi em-

pirici. Oggi abbiamo a disposizione l’algebra e le sue regole ben formalizzate, quindi possiamo risolvere gli stessi problemi con

più semplicità e usando metodi generali.

Ln

Ecco uno dei problemi algebrici del papiro di Rhind: «Se sommiamo a un mucchio la sua settima parte e otteniamo 19, quant'è i] mucchio?». Con il termine «mucchio» gli Egizi indicavano una generica quan.

e

.

.

.

,

La scriba seduto, 2620-23 e

vitva, Parigi, useo del Louvre,

tità, che con i simboli moderni possiamo chiamare x. Per risolvere il problema, gli Egizi procedevano per tentativi, assegnando al «mucchio» un numero casuale, in questo caso 7, e poi impostavano una proporzione per risalire al risultato corretto. Questo procedimento

è detto metodo dellafalsa posizione.

Vediamo come si applica in questo caso: * Se sommiamo a 7 la sua settima parte otteniamo 7 + + ‘ 7 = 8 , n o n 19.

e Impostiamo la proporzione 7 : 8 = x :19 e risolviamola: x = 2 1 9 = 1 3 3

Gli Egizi avrebbero ottenuto 1 ,

Come possiamo risolvere il problema con le equazioni?

Traduciamo in simboli il problema: x + d x = 19, mucchio

settima parte del mucchio

451

TEORI A

x+2x=22

dei due prellevi? Qual è stata l a spesa per l'auto?

Applica p ù metodi

Risolviamo il problema con un'equazione. Indichiamo con x il numero maggiore.

L'altro numero è x

un'automobile. N e l conto

rastano 13286 €. Quale somma era presente prima

6 e Le equazioni fratte Le richieste del problema sono le misure dei segmenti AB e CD. Scegliamo l’incognita: x = A H .

Scriviamo per quali condizioni è accettabile la soluzione: poiché x è la misura della lunghezza di un segmento, sl deve avere x > 0.

W

EsERcIZIO Cambia incognita Risolvi i l problema a fianco scegliendo coma incognita

x = CD.

Scriviamo le relazioni fornite dal problema:

AB+CD=41

e

AE=+lCD+8.

Sostituiamo ad A B l’incognita x nella prima relazione e determiniamo CD:

CD=41-x,

x+CD=41 -

Ricaviamo l’equazione risolvente. Sostituendo AB e CD nella seconda relazione, otteniamo l'equazione risolvente:

x = (41 -x)+8. Risolviamo l'equazione: x=

Z41F

x

+8

=

2x=41-x+16

+

3x=57 -

x =!

Poiché 19

> 0, la soluzione è accettabile.

Scriviamo la risposta al problema: AB=19, C D= 41 - 1 9= 22,

Se consideriamo la lunghezza, scriviamo: A B = l9cm, CD=22 cm.

A

TEORI A

7 Verifichiamo se la soluzione è accettabile. EsERcCIZIO

Rifletti sulla soluzione Un rettangolo ha i l perimetro di BO cm. Sa la base supera la metà dell'altezza di 42 em, quanto sono lunghe la base e l'altezza?

L e equazioni fratte Un’equazione è fratta se l’incognita compare in almeno un denominatore dei suoi termini.

Sono equazioni numeriche fratte: =

1

x-Î1- " x = 1

" IT

2x

Listen t o

n

A ratlonal equation is an equation in which the unknown appaars In the denominator of at ieast ona of

PI i ESEMPIO x

i

tha terme. i

T=

O

PP L a risoluzione d i un'equazione numerica fratta * Esercizi a pagina 481

Per risolvere un'equazione numerica fratta, dobbiamo innanzitutto determinare le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche presenti. Poi possiamo ricondurci a un'equazione intera applicando i principi di equivalenza. L'eventuale soluzione dell'equazione intera è accettabile solo serispetta le condizioni

i

vino

Equazioni fratte

di esistenza.

453

6 e Le equazioni fratte Le richieste del problema sono le misure dei segmenti AB e CD. Scegliamo l’incognita: x = A H .

Scriviamo per quali condizioni è accettabile la soluzione: poiché x è la misura della lunghezza di un segmento, sl deve avere x > 0.

W

EsERcIZIO Cambia incognita Risolvi i l problema a fianco scegliendo coma incognita

x = CD.

Scriviamo le relazioni fornite dal problema:

AB+CD=41

e

AE=+lCD+8.

Sostituiamo ad A B l’incognita x nella prima relazione e determiniamo CD:

CD=41-x,

x+CD=41 -

Ricaviamo l’equazione risolvente. Sostituendo AB e CD nella seconda relazione, otteniamo l'equazione risolvente:

x = (41 -x)+8. Risolviamo l'equazione: x=

Z41F

x

+8

=

2x=41-x+16

+

3x=57 -

x =!

Poiché 19

> 0, la soluzione è accettabile.

Scriviamo la risposta al problema: AB=19, C D= 41 - 1 9= 22,

Se consideriamo la lunghezza, scriviamo: A B = l9cm, CD=22 cm.

A

TEORI A

7 Verifichiamo se la soluzione è accettabile. EsERcCIZIO

Rifletti sulla soluzione Un rettangolo ha i l perimetro di BO cm. Sa la base supera la metà dell'altezza di 42 em, quanto sono lunghe la base e l'altezza?

L e equazioni fratte Un’equazione è fratta se l’incognita compare in almeno un denominatore dei suoi termini.

Sono equazioni numeriche fratte: =

1

x-Î1- " x = 1

" IT

2x

Listen t o

n

A ratlonal equation is an equation in which the unknown appaars In the denominator of at ieast ona of

PI i ESEMPIO x

i

tha terme. i

T=

O

PP L a risoluzione d i un'equazione numerica fratta * Esercizi a pagina 481

Per risolvere un'equazione numerica fratta, dobbiamo innanzitutto determinare le condizioni di esistenza delle frazioni algebriche presenti. Poi possiamo ricondurci a un'equazione intera applicando i principi di equivalenza. L'eventuale soluzione dell'equazione intera è accettabile solo serispetta le condizioni

i

vino

Equazioni fratte

di esistenza.

453

7 * L e equazioni letterali A DA E

E

ma cio lar

E dle ma o

e

aa

e dmn cre D e a a d e

e

a De o

da

e Da ae a

a DO mme ale cdm allo E chele a a D e ole E D e D a d e

E

a

ae

e

E quo ala DE c e

a D e SD a a i a D a D E D o DO O

DO D o o o DO D a D o D a D A D E D a D D

D a D e a a D a DO o a

e DA D o D e o a D e D E D a e D A D E D e D a D a a

ca

O

A ale a

oa

o

L e equazioni letterali Le equazioni letterali contengono, oltre alle incognite, altre lettere, i parametri.

I {| ESEMPIO L'equazione, nell'incognita x: (e + 1)x =

a

e

x

sale 3)

—-a=x

è letterale intera, con param etri a e b;

èletteralefratta, con parametro a.

Per particolari valori numerici attribuiti ai parametri, un'equazione letterale diventa numerica e, in genere, le soluzioni dell'equazione dipendono dai valori attribuiti ai parametri.

BD L e equazioni letterali intere

> Esercizi a pagina 488

Per risolvere un'equazione letterale intera dobbiamo arrivare, mediante i princìpi di equivalenza, alla forma Ax = 5 e determinare poi per quali valori dei parametri l’equazione è determinata, indeterminata © impossibile, Pf ESEMPIO Risolviamo l'equazione, nell'incognita x, con parametro a. TEORI A

a

a x — 3a = 2x 3 portiamo al primo membro | termini con l'iIncogrita # al secondo membro gli altri

5 raccogliamox

ax — 2 x= 3a

{a — 2 ) x= 3a Discussione Si possono dividere i due membri per (a — 2) solo se è verificata la condizione: a-2#E0,

ossia

W esercizio Fal la discussione Risolvi è discuti la seguente

ag2.

equazione nell'incognita x, al

variare del parametro a in R .

In questo caso, l'equazione è determinata e la soluzione è

( x + a + 2 ) a= a! = x

La soluzione dell'equazione è una funzione di a. Per analizzare il caso a = 2, sostituiamo 2 ad a nell’equazione

n

VIDEO

Equazioni letterali intere

Risolvi e discuti la seguente

(a — 2)x = 3a,

equazione nall’incognita x, al variare del parametro in lt.

' Troviamo: i

O x==3 : 73 : 2

x

=&

=6 =

l'equazione è Impossibile Î

|

In sintesi: e se qa # 2, l'equazione è determinata e la soluzione è x = 2 ; e se a = 2, l'equazione è impossibile,

BD Le equazioni letterali fratte

> Esercizi a pagina 490

Un'equazione letterale fratta ha l'incognita che compare in almeno uno dei denominatori dei suoi termini. Oltre alle eventuali C.E. per i parametri presenti nei denominatori, dobbiamo quindi tener conto delle C.E. dovute alla presenza dell'incognita al denominatore.

r t2

X-2 _

Sx +d

7 * L e equazioni letterali A DA E

E

ma cio lar

E dle ma o

e

aa

e dmn cre D e a a d e

e

a De o

da

e Da ae a

a DO mme ale cdm allo E chele a a D e ole E D e D a d e

E

a

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e

E quo ala DE c e

a D e SD a a i a D a D E D o DO O

DO D o o o DO D a D o D a D A D E D a D D

D a D e a a D a DO o a

e DA D o D e o a D e D E D a e D A D E D e D a D a a

ca

O

A ale a

oa

o

L e equazioni letterali Le equazioni letterali contengono, oltre alle incognite, altre lettere, i parametri.

I {| ESEMPIO L'equazione, nell'incognita x: (e + 1)x =

a

e

x

sale 3)

—-a=x

è letterale intera, con param etri a e b;

èletteralefratta, con parametro a.

Per particolari valori numerici attribuiti ai parametri, un'equazione letterale diventa numerica e, in genere, le soluzioni dell'equazione dipendono dai valori attribuiti ai parametri.

BD L e equazioni letterali intere

> Esercizi a pagina 488

Per risolvere un'equazione letterale intera dobbiamo arrivare, mediante i princìpi di equivalenza, alla forma Ax = 5 e determinare poi per quali valori dei parametri l’equazione è determinata, indeterminata © impossibile, Pf ESEMPIO Risolviamo l'equazione, nell'incognita x, con parametro a. TEORI A

a

a x — 3a = 2x 3 portiamo al primo membro | termini con l'iIncogrita # al secondo membro gli altri

5 raccogliamox

ax — 2 x= 3a

{a — 2 ) x= 3a Discussione Si possono dividere i due membri per (a — 2) solo se è verificata la condizione: a-2#E0,

ossia

W esercizio Fal la discussione Risolvi è discuti la seguente

ag2.

equazione nell'incognita x, al

variare del parametro a in R .

In questo caso, l'equazione è determinata e la soluzione è

( x + a + 2 ) a= a! = x

La soluzione dell'equazione è una funzione di a. Per analizzare il caso a = 2, sostituiamo 2 ad a nell’equazione

n

VIDEO

Equazioni letterali intere

Risolvi e discuti la seguente

(a — 2)x = 3a,

equazione nall’incognita x, al variare del parametro in lt.

' Troviamo: i

O x==3 : 73 : 2

x

=&

=6 =

l'equazione è Impossibile Î

|

In sintesi: e se qa # 2, l'equazione è determinata e la soluzione è x = 2 ; e se a = 2, l'equazione è impossibile,

BD Le equazioni letterali fratte

> Esercizi a pagina 490

Un'equazione letterale fratta ha l'incognita che compare in almeno uno dei denominatori dei suoi termini. Oltre alle eventuali C.E. per i parametri presenti nei denominatori, dobbiamo quindi tener conto delle C.E. dovute alla presenza dell'incognita al denominatore.

r t2

X-2 _

Sx +d

GUARDA!

Mappa dei fondamentali

{mn

—_

E

mm

mnum

Simtesi in? lingue

EQUAZIONI È un'equazione:

v ’È in forma normale: 4x} + 3 = 0 .

3x+1=7 _ x=2. soluzione incognita 3-2+1=7

grado & Non è In forma normale: 2x2 + 1 = 3x + 2x2,

4

44

4

4 444...

.

....

...

........

CLASSIFICAZIONE

PRINCÌPI D I EQUIVALENZA

# Intera

e P r i m o p r i n c i p i o d i equivalenza

e Fratta

gp

$xX+5=2x

2 3x = 1 + x 5 2 3x S x = 1 + Sx Sx

=x

primo principio

C.E.: x s 1

+3

e Letterale

e Numarica Zx=2x-1

i regola del trasporto

4 x - 5a = x XX

e Determinata

= 1-5x +2 = x= 1 -5x

regola di cancellazione e Secondo principio d i equivalenza

numero finito di soluzioni è

=Xx = 76 = xX-3

TEORIA

i

Indetermin ata

3x+12=6x -9 -

S x = 2 x + 3 x _ — Infinite soluzioni

xl aa a] >

secondo principio

e Impossib ile

X + 6 =3 x

x? = - 1 — non ha soluzioni

uo

S=+3x

regola del cambiamento di segno Li Li

d l ul do la du + o

i

o

u i ui alma Sla ue do aa dl a e ae O a n

Oa

O

O e oa

ae

e e a

ae o ae Re ao a i ee e ie ne el ale o ml ila ae ae ciao uo ai

|

| EQUAZIONI LINEARI Sono riconducibili alla forma: a x = b , con a , b e k . # Equazione determinata:

-

e Equazione Indeterminata:

e Equazione Impossibile:

a=0 e b=0,

a = 0 e b#0,

a x = b — 0x = 0 ,

ax = b —Ox=b,.

ww = - 6

3x -x-x=0

4x+2-2x

X =-2

0x=0-vxER

2x - 2x = - 1 - 2 Ox = - 3 - d i x e k R

am0,ax=b

x=È,

FONDAMENTALI ALLA PROVA

> pag. 494

4x

=

=-1+2x

GUARDA!

Mappa dei fondamentali

{mn

—_

E

mm

mnum

Simtesi in? lingue

EQUAZIONI È un'equazione:

v ’È in forma normale: 4x} + 3 = 0 .

3x+1=7 _ x=2. soluzione incognita 3-2+1=7

grado & Non è In forma normale: 2x2 + 1 = 3x + 2x2,

4

44

4

4 444...

.

....

...

........

CLASSIFICAZIONE

PRINCÌPI D I EQUIVALENZA

# Intera

e P r i m o p r i n c i p i o d i equivalenza

e Fratta

gp

$xX+5=2x

2 3x = 1 + x 5 2 3x S x = 1 + Sx Sx

=x

primo principio

C.E.: x s 1

+3

e Letterale

e Numarica Zx=2x-1

i regola del trasporto

4 x - 5a = x XX

e Determinata

= 1-5x +2 = x= 1 -5x

regola di cancellazione e Secondo principio d i equivalenza

numero finito di soluzioni è

=Xx = 76 = xX-3

TEORIA

i

Indetermin ata

3x+12=6x -9 -

S x = 2 x + 3 x _ — Infinite soluzioni

xl aa a] >

secondo principio

e Impossib ile

X + 6 =3 x

x? = - 1 — non ha soluzioni

uo

S=+3x

regola del cambiamento di segno Li Li

d l ul do la du + o

i

o

u i ui alma Sla ue do aa dl a e ae O a n

Oa

O

O e oa

ae

e e a

ae o ae Re ao a i ee e ie ne el ale o ml ila ae ae ciao uo ai

|

| EQUAZIONI LINEARI Sono riconducibili alla forma: a x = b , con a , b e k . # Equazione determinata:

-

e Equazione Indeterminata:

e Equazione Impossibile:

a=0 e b=0,

a = 0 e b#0,

a x = b — 0x = 0 ,

ax = b —Ox=b,.

ww = - 6

3x -x-x=0

4x+2-2x

X =-2

0x=0-vxER

2x - 2x = - 1 - 2 Ox = - 3 - d i x e k R

am0,ax=b

x=È,

FONDAMENTALI ALLA PROVA

> pag. 494

4x

=

=-1+2x

2 e Le equazioni

|

Semplifichiamo il primo membro:

12. a-]

=

2a _

14200091) _ 1 + 2 0

“=

al

a]

20° 2 a + 1

a-l

=

Semplifichiamo il secondo membro:

20°

A t l i nlecfrazioni h é alge-

2 a 1 _ 2a°-2a+1

a-1

a-1l

b r i c hnel e due membri abbiano significato, bisogna |

a-]l

Le due espressioni sono uguali. Indichiamo le C.E: a- 1 # 0 — a

che ciascun denominatore sia divervo del.

1,

Se a # 1, l'uguaglianza è un'identità. PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. Stabllisci s e le seguenti uguaglianze sono identità e, i n caso affermativo, scrivi le condizioni di esistenza,

12

+ -21_1 1 4a2

E

a] ”

5”

so

|

bao+ b

+1

+

(si; a # 0Ab # 0]

-

1a

35

2

+

ia

a _ L l u__

a-2

a

2

a+1l [l;

2y 7-97!

(sl; a 0]

[no]

a-2a "a-è

[no]

1 _ 1+a(2+1) 4 a *+ala+1)=

16

a _ a +xt 1 t b =,__1_a-b: Lx -p_+1

0]

(sl; a

_y-| EEE]

i

a E 0A n

3

2]

[no]

z

FI E

i

L e equazioni Le

soluzioni d i un'equazione

VERO O FALSO?

* Teoria a pagina 443

pe

-

a. Le equazioni sono particolari identità.

aL

b. L'uguaglianza 3x + 5 = 8x è un'identità,

vj

LF

v]

[Fr

anti

=

€.

y = 3 è soluzione dell'equazione + 0 + 2) =y-1.

se un

‘èpoluzione di un

I\ plousostitulemo all'incognilmi r Uenza è vera,I L

pPumero è soluzione, _

DI fianco a ogni equazione sono scritti alcuni valori; stabilisci se sono soluzioni dell'equazione.

l - x = 2 x +7;

X=3,

| _LeT+]

x=-2.

(y- 2 +14=8y-3y;

2b2e) 2xx + 1

x = - 4 , x x=-3.

6x = 13;

x = 0 è soluzione di una sola delle seguenti equazioni. Quale?

2-3x |2 A 4 ty

TEST

9°

y=3,

y=-2,

s0c

A I

La

ri

XX

LI 0

_

G|

4x

Di

x=idi+tx

=

0

95

+1==

x

1 x=g, =,

zi

x x=2.

Qual è il valore di x che soddisfa l’eA quazione 3(2x — 1) + 2x = 21? A _

_

3

-1L

11

&

ra

BD)

3

2 e Le equazioni

|

Semplifichiamo il primo membro:

12. a-]

=

2a _

14200091) _ 1 + 2 0

“=

al

a]

20° 2 a + 1

a-l

=

Semplifichiamo il secondo membro:

20°

A t l i nlecfrazioni h é alge-

2 a 1 _ 2a°-2a+1

a-1

a-1l

b r i c hnel e due membri abbiano significato, bisogna |

a-]l

Le due espressioni sono uguali. Indichiamo le C.E: a- 1 # 0 — a

che ciascun denominatore sia divervo del.

1,

Se a # 1, l'uguaglianza è un'identità. PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. Stabllisci s e le seguenti uguaglianze sono identità e, i n caso affermativo, scrivi le condizioni di esistenza,

12

+ -21_1 1 4a2

E

a] ”

5”

so

|

bao+ b

+1

+

(si; a # 0Ab # 0]

-

1a

35

2

+

ia

a _ L l u__

a-2

a

2

a+1l [l;

2y 7-97!

(sl; a 0]

[no]

a-2a "a-è

[no]

1 _ 1+a(2+1) 4 a *+ala+1)=

16

a _ a +xt 1 t b =,__1_a-b: Lx -p_+1

0]

(sl; a

_y-| EEE]

i

a E 0A n

3

2]

[no]

z

FI E

i

L e equazioni Le

soluzioni d i un'equazione

VERO O FALSO?

* Teoria a pagina 443

pe

-

a. Le equazioni sono particolari identità.

aL

b. L'uguaglianza 3x + 5 = 8x è un'identità,

vj

LF

v]

[Fr

anti

=

€.

y = 3 è soluzione dell'equazione + 0 + 2) =y-1.

se un

‘èpoluzione di un

I\ plousostitulemo all'incognilmi r Uenza è vera,I L

pPumero è soluzione, _

DI fianco a ogni equazione sono scritti alcuni valori; stabilisci se sono soluzioni dell'equazione.

l - x = 2 x +7;

X=3,

| _LeT+]

x=-2.

(y- 2 +14=8y-3y;

2b2e) 2xx + 1

x = - 4 , x x=-3.

6x = 13;

x = 0 è soluzione di una sola delle seguenti equazioni. Quale?

2-3x |2 A 4 ty

TEST

9°

y=3,

y=-2,

s0c

A I

La

ri

XX

LI 0

_

G|

4x

Di

x=idi+tx

=

0

95

+1==

x

1 x=g, =,

zi

x x=2.

Qual è il valore di x che soddisfa l’eA quazione 3(2x — 1) + 2x = 21? A _

_

3

-1L

11

&

ra

BD)

3

3 e | principi di equivalenza Riduci a forma normale le seguenti equazioni letterali nell'iIncognita x e scrivi il grado e ll termine noto di ciascuna. Supponi che | costficianti dell'incognita non s i annullino. ax

+ad'=-x=-q4=0

bx + 2 b - b ' - x =0

sua

age

2ax-Sx+a-x=0

(4ax

suo

sec

|

principi d i equivalenza

- 2 } { x1) °+ -2ax° =0

tivi

interattiva

> Teoria a pagina 444

Le equazioni equivalenti VERO O FALSO?

36

Due equazioni aventi i primi e i secondi membri rispettivamente uguali sono equivalenti. b. Due equazioni equivalenti hanno i primi e i secondi membri rispettivamente uguali.

vj]

LF

c. Se due equazioni hanno almeno una soluzione in comune, allora sono equivalenti.

vj]

LE

d. Due equazioni definite nello stesso insieme, con la stessa incognita e lo stesso insieme di soluzioni sono equivalenti.

Lv]

LF

e. Le equazioni impossibili, definite nello stesso insieme, sono tutte fra loro equivalenti.

Vv]

Le

ASSOCIA

n e a quellaequi- 7 i osinistra ognie q u a z a

TEST

F

Le seguenti equazioni sono equivalenti a

x = - 2 , tranne una, Quale?

valente a destra. 1. 2 x + 1 = | 1

4

2 2x-1=0

b. x = - 2

3. x - 2 = 0

a

4. - x - 2 = 0

d. x = 0

X=2

x=1

Al

x+1=2x+3

B|

2x+1=-3

€] 2 x + 3 = 0 Dj

3{x + 2 } = 2(x + 2 )

Stabilisci se le seguenti coppie di equazioni sono equivalenti, sapendo che hanno una sola soluzione, che è uguale a u n o del numeri scritti a fianco.

3x=15=0 e -3x+15=0; puo

EE

sv+i0=0 e 15x+30=0;

=5,5,L, 2-23.

3x-2=0 e 6x-4=0;

-1,2,2.

-8x+1=0

par

L e l+)

E

e 32x-1=0,

> Teoria a pagina 448

O I l primo principio d i equivalenza

È data l'equazione S x + 1 = x + L i Quale, fra le seguenti equazioni, è stata ricavata applicando in modo corretto il primo principio di equivalenza? TEST

|1 - 1

NA

A Fx+tl-x-1=x+3-x-1

&

Z3x+tx=3+1

Li

D

Zxt1-1=x+1_x

Zx+1+x=+

Per ogni equazione proposta, scrivine altre due a essa equivalenti, applicando il primo

principio d i equivalenza.

ER]

6x + 1 0 = 8x+6;

3x+7=x-5.

A

=

La

=1+2. 461

ESERC IZI

a

3 e | principi di equivalenza Riduci a forma normale le seguenti equazioni letterali nell'iIncognita x e scrivi il grado e ll termine noto di ciascuna. Supponi che | costficianti dell'incognita non s i annullino. ax

+ad'=-x=-q4=0

bx + 2 b - b ' - x =0

sua

age

2ax-Sx+a-x=0

(4ax

suo

sec

|

principi d i equivalenza

- 2 } { x1) °+ -2ax° =0

tivi

interattiva

> Teoria a pagina 444

Le equazioni equivalenti VERO O FALSO?

36

Due equazioni aventi i primi e i secondi membri rispettivamente uguali sono equivalenti. b. Due equazioni equivalenti hanno i primi e i secondi membri rispettivamente uguali.

vj]

LF

c. Se due equazioni hanno almeno una soluzione in comune, allora sono equivalenti.

vj]

LE

d. Due equazioni definite nello stesso insieme, con la stessa incognita e lo stesso insieme di soluzioni sono equivalenti.

Lv]

LF

e. Le equazioni impossibili, definite nello stesso insieme, sono tutte fra loro equivalenti.

Vv]

Le

ASSOCIA

n e a quellaequi- 7 i osinistra ognie q u a z a

TEST

F

Le seguenti equazioni sono equivalenti a

x = - 2 , tranne una, Quale?

valente a destra. 1. 2 x + 1 = | 1

4

2 2x-1=0

b. x = - 2

3. x - 2 = 0

a

4. - x - 2 = 0

d. x = 0

X=2

x=1

Al

x+1=2x+3

B|

2x+1=-3

€] 2 x + 3 = 0 Dj

3{x + 2 } = 2(x + 2 )

Stabilisci se le seguenti coppie di equazioni sono equivalenti, sapendo che hanno una sola soluzione, che è uguale a u n o del numeri scritti a fianco.

3x=15=0 e -3x+15=0; puo

EE

sv+i0=0 e 15x+30=0;

=5,5,L, 2-23.

3x-2=0 e 6x-4=0;

-1,2,2.

-8x+1=0

par

L e l+)

E

e 32x-1=0,

> Teoria a pagina 448

O I l primo principio d i equivalenza

È data l'equazione S x + 1 = x + L i Quale, fra le seguenti equazioni, è stata ricavata applicando in modo corretto il primo principio di equivalenza? TEST

|1 - 1

NA

A Fx+tl-x-1=x+3-x-1

&

Z3x+tx=3+1

Li

D

Zxt1-1=x+1_x

Zx+1+x=+

Per ogni equazione proposta, scrivine altre due a essa equivalenti, applicando il primo

principio d i equivalenza.

ER]

6x + 1 0 = 8x+6;

3x+7=x-5.

A

=

La

=1+2. 461

ESERC IZI

a

3 e | principi di equivalenza

tb E L=)

TEST È data l'equazione 2x — 1 =

3 x—+ . Solo una delle seguenti equazioni è stata ottenuta

Quale, fra le seguenti equazioni, non è stata otte-

nuta applicando correttamentei principi di

applicando in modo corretto il secondo principio di equivalenza. Quale?

equivalenza?

6x-3=9x-1

Al

Considera l'equazione 1 + 3x = x3 —-2.

TEST

Sx = - 2 - 1

A

3x-

5]

-2-6x=-Sx+4

o]

L(2x-1)= 1(3x-1) 2 x - 1 + 3 = 3x

e -1-3x=2-

D]

2x-3x=-+3+1

O]

B]

A

x

5 + 15x = 15x — 10

Per ogni equazione proposta scrivine altre due a essa equivalenti, applicando l l secondo

iprinetpio d i equivalenza.

e

ola dee ma r e

e

n ade ma

me

ne a

oe

e a

e oo

E oe

e Da Ue a

E DD

DO

DE

o

De

DE Dale ole D D

o

ale E

E ol

De o

D a SE D E DE D D

DoD

e DO O

O E D e D e A Dre o

a

DE D E D D

DE O

DE Do o

DA Dre

OD

o

DA Dr

Per ogni equazione scrivine altre due a essa equivalenti, applicando entrambi i principi di

A CE

DO D A CO

DO E E

CO D E D e

O oe AE DoD

equivalenza.

1 1__3_ 1-2x, Cc. 1 - 5 x - 3 = 3 x + % : 6 =1Per risolvere le seguenti equazioni applica Il secondo principio di equivalenza seguendo le indicazioni scritte a flanco. x-5

fx +1

b

_ ]-3x.

7g = :

24

73

:

2x = 10

dividi per 2,

-llx=5

d i v i dper i -11.

E =-+

moltiplica per >

fx

moltiplica per -1L,

soc

LAI

—-x=15

moltiplica per — 1.

3 x = +£

moltiplica per 3.

Ei

EA T

LE

= Li

[=]

O L e applicazioni del secondo principio Ha

> Teoria a pagina 447

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Risolvi l'equazione 4x — 12 = 24x + 8, scrivendo quali regole applichi. E

4x — 1 2 = 24x + 8

E

F O DO N

F O DO D E I

AO DO SO S R O D E DO

O

O

E S E DO SEO O

3

e

I

do

me a

dle

me cene me l e ne e

e

E

PE ER E

E

AE SE

) secondo principio: dividiamo entrambi

' irusporterex alsecondo. , imembri per 4 inmodo che L a s i x al secondo membro ) regola del trasporto: trasportiamo

x-|_j=6x+|_]

membro e | termini numerici al primo mambro

} secondo principio: dividiamo | due membri p e r 5

— -5=[_|]

—-3|_J2=G6x|_]x

cosfficiente sia

-1=|_|

del applicare sancora laregola }

La soluzione è x = - 1 .

C'aguagliun de destra za vel

FRisolvi le saguenti aquazioni, scrivendo quali regole applichi.

x — 24 = 48x + 16

E

[-1]

277% - 9 =

1 8 ( x- 1) + 45x

[4]

quo

pu

(1

=

x ) + 10(2 = 2x) = 15

=

(2)

20x

E

pe

6 ( x + 2 ) - 120 - x ) = 1 8 ( 4 - 2 x ) + 2 4

EA+T+, e

dn

re ue n

e a e me u o u e u r a l

e ale nolo n e a

ao

e

E

Dn ol

a

a

E

a

a

E

O

O ae E

o

O ce

E

E

O oe a

E

DO E

ie ae

re le

a

n e d r ale lla n o lee alare omne ola

e

E

e a

EE a

DD

e

E E DO DO CDS E E

E

e E

E

DO

o

DO E

E

DO COS E

E E DO A E

o

E

DA E

E

O Da DO

E1) T N A Become aware of your process Solve the equation 3x + 7 = x = land write down eachmove LA] you make during the process. Explain why your moves are correct.

ini

Perché per cambiarei segni a entrambii membri di un'equazione si applica il secondo prin-

cipio di equivalenza? Questo vale anche nel caso dell’equazione —2x = 07?Perché?

463

ESERC IZI

se

3 e | principi di equivalenza

tb E L=)

TEST È data l'equazione 2x — 1 =

3 x—+ . Solo una delle seguenti equazioni è stata ottenuta

Quale, fra le seguenti equazioni, non è stata otte-

nuta applicando correttamentei principi di

applicando in modo corretto il secondo principio di equivalenza. Quale?

equivalenza?

6x-3=9x-1

Al

Considera l'equazione 1 + 3x = x3 —-2.

TEST

Sx = - 2 - 1

A

3x-

5]

-2-6x=-Sx+4

o]

L(2x-1)= 1(3x-1) 2 x - 1 + 3 = 3x

e -1-3x=2-

D]

2x-3x=-+3+1

O]

B]

A

x

5 + 15x = 15x — 10

Per ogni equazione proposta scrivine altre due a essa equivalenti, applicando l l secondo

iprinetpio d i equivalenza.

e

ola dee ma r e

e

n ade ma

me

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e a

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e Da Ue a

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e DO O

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Per ogni equazione scrivine altre due a essa equivalenti, applicando entrambi i principi di

A CE

DO D A CO

DO E E

CO D E D e

O oe AE DoD

equivalenza.

1 1__3_ 1-2x, Cc. 1 - 5 x - 3 = 3 x + % : 6 =1Per risolvere le seguenti equazioni applica Il secondo principio di equivalenza seguendo le indicazioni scritte a flanco. x-5

fx +1

b

_ ]-3x.

7g = :

24

73

:

2x = 10

dividi per 2,

-llx=5

d i v i dper i -11.

E =-+

moltiplica per >

fx

moltiplica per -1L,

soc

LAI

—-x=15

moltiplica per — 1.

3 x = +£

moltiplica per 3.

Ei

EA T

LE

= Li

[=]

O L e applicazioni del secondo principio Ha

> Teoria a pagina 447

COMPLETA LO SVOLGIMENTO Risolvi l'equazione 4x — 12 = 24x + 8, scrivendo quali regole applichi. E

4x — 1 2 = 24x + 8

E

F O DO N

F O DO D E I

AO DO SO S R O D E DO

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3

e

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E

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) secondo principio: dividiamo entrambi

' irusporterex alsecondo. , imembri per 4 inmodo che L a s i x al secondo membro ) regola del trasporto: trasportiamo

x-|_j=6x+|_]

membro e | termini numerici al primo mambro

} secondo principio: dividiamo | due membri p e r 5

— -5=[_|]

—-3|_J2=G6x|_]x

cosfficiente sia

-1=|_|

del applicare sancora laregola }

La soluzione è x = - 1 .

C'aguagliun de destra za vel

FRisolvi le saguenti aquazioni, scrivendo quali regole applichi.

x — 24 = 48x + 16

E

[-1]

277% - 9 =

1 8 ( x- 1) + 45x

[4]

quo

pu

(1

=

x ) + 10(2 = 2x) = 15

=

(2)

20x

E

pe

6 ( x + 2 ) - 120 - x ) = 1 8 ( 4 - 2 x ) + 2 4

EA+T+, e

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re ue n

e a e me u o u e u r a l

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E1) T N A Become aware of your process Solve the equation 3x + 7 = x = land write down eachmove LA] you make during the process. Explain why your moves are correct.

ini

Perché per cambiarei segni a entrambii membri di un'equazione si applica il secondo prin-

cipio di equivalenza? Questo vale anche nel caso dell’equazione —2x = 07?Perché?

463

ESERC IZI

se

4 e L e equazioni numeriche intere

Perché due equazioni impossibili definite nello stesso insieme possono considerarsi equivalenti?

uc

Che cosa si intende per «equazione impossibile»? Stabilisci se l’equazione 2ax + 5 = 4x — a, nell’incognita x, è impossibile per a = 0.

2

Et °°

Che cosa si intende per «equazione indeterminata»? Stabilisci se l'equazione ax + 4 = 2ax + 6a, nell'incognita x, è indeterminata per a = 0, Considera le equazioni:

a

EI

x! + 2 x + 1 = ( x + 1 ) ° ,

b. 3 x - = 7 = 3(x - 2), Solo ce è equivalente all'equazione x + 2 = O, Perché?

Fa

xtl=x-3,

Flavia vuole distribuire 24 matite in due portapenne

A

° in modo che nel primo siano il doppio di quelle contenute nel secondo. Ci riesce? Giustifica la tua risposta medianteun'equazione eil controllo della sua

,

i

N

-

soluzione.

ESERC IZI

>

La risoluzione delle equazioni numeriche intere FONDAMENTALI Risolvere un'equazione numerica intera Risolviamo le seguenti equazioni nell'insieme dei numeri reali: |

+3:

+3 =

a. { ( 3 x - ) + T 0 - )

c 5 ( x = - 2 ) + 1 - 2=x2 + 3(x = 2).

b. dx 5 = 2(x - 2) + 2x - 1;

+3

a (2x-F)+Ta-)+t1=l

l 0 x - 6 + 3 - 3 x + 4 _ 1+6x 13

) mem (2; 3; 4; 6; 12) = 12

+3

+3 =

xt

n

} sliminiamo le parentesi

) appiichiamo i l secondo principio maottipiicando p e r12 sntrambl | membri

l0x-6+3-3x+4=1+6x riduclamo i termini simili 7x-6x = 1 - 1 # appiichiamo i principi di equivalenza =0 x= L'equazione è determinata e la soluzione è x = 0.

b 4 r - 5 = 2 ( x - 2 ) + 2 x 1 = 4 x 5 = 2x-4+2x- 1 dx -5= 4x5 = 4Ax-4dx=5-5 + x =0,

(armo

=2 una soluzione

>

12) re 0

L'equazione è indeterminata: ogni numero reale moltiplicato per Ò dà 0. cc 5(x 2 ) + 1 IX

GF= 3 x 4

2x = 2 + 3 ( x - 2 ) +

IX

ba -mrengiirinieniar

— Sx-10+1-2x=2+3x-6

3x = 9 - 4

— D x= 5 .

L'equazione è impossibile: nessun numero moltiplicato per Ò dà come risultato 5.

\Y

sua di l, equazione b determinata

CA

— rm

se È i 0, equazione nessuna soluzione

PROVA TU. Svolgi un ssercizio simile Interattivo per vedere se hai capito.

i '

4 e L e equazioni numeriche intere

Perché due equazioni impossibili definite nello stesso insieme possono considerarsi equivalenti?

uc

Che cosa si intende per «equazione impossibile»? Stabilisci se l’equazione 2ax + 5 = 4x — a, nell’incognita x, è impossibile per a = 0.

2

Et °°

Che cosa si intende per «equazione indeterminata»? Stabilisci se l'equazione ax + 4 = 2ax + 6a, nell'incognita x, è indeterminata per a = 0, Considera le equazioni:

a

EI

x! + 2 x + 1 = ( x + 1 ) ° ,

b. 3 x - = 7 = 3(x - 2), Solo ce è equivalente all'equazione x + 2 = O, Perché?

Fa

xtl=x-3,

Flavia vuole distribuire 24 matite in due portapenne

A

° in modo che nel primo siano il doppio di quelle contenute nel secondo. Ci riesce? Giustifica la tua risposta medianteun'equazione eil controllo della sua

,

i

N

-

soluzione.

ESERC IZI

>

La risoluzione delle equazioni numeriche intere FONDAMENTALI Risolvere un'equazione numerica intera Risolviamo le seguenti equazioni nell'insieme dei numeri reali: |

+3:

+3 =

a. { ( 3 x - ) + T 0 - )

c 5 ( x = - 2 ) + 1 - 2=x2 + 3(x = 2).

b. dx 5 = 2(x - 2) + 2x - 1;

+3

a (2x-F)+Ta-)+t1=l

l 0 x - 6 + 3 - 3 x + 4 _ 1+6x 13

) mem (2; 3; 4; 6; 12) = 12

+3

+3 =

xt

n

} sliminiamo le parentesi

) appiichiamo i l secondo principio maottipiicando p e r12 sntrambl | membri

l0x-6+3-3x+4=1+6x riduclamo i termini simili 7x-6x = 1 - 1 # appiichiamo i principi di equivalenza =0 x= L'equazione è determinata e la soluzione è x = 0.

b 4 r - 5 = 2 ( x - 2 ) + 2 x 1 = 4 x 5 = 2x-4+2x- 1 dx -5= 4x5 = 4Ax-4dx=5-5 + x =0,

(armo

=2 una soluzione

>

12) re 0

L'equazione è indeterminata: ogni numero reale moltiplicato per Ò dà 0. cc 5(x 2 ) + 1 IX

GF= 3 x 4

2x = 2 + 3 ( x - 2 ) +

IX

ba -mrengiirinieniar

— Sx-10+1-2x=2+3x-6

3x = 9 - 4

— D x= 5 .

L'equazione è impossibile: nessun numero moltiplicato per Ò dà come risultato 5.

\Y

sua di l, equazione b determinata

CA

— rm

se È i 0, equazione nessuna soluzione

PROVA TU. Svolgi un ssercizio simile Interattivo per vedere se hai capito.

i '

4 e L e equazioni numeriche intere

+

@x- Dix-9 +3(x- 353 +2)|= G62- 2)

1

(E + 2 ) x - + E = LF + Liax+ 1) - SZ ( x - 1 ) - 2

2

EEA 500 -xX0 + ] + 3 x 4 2 = Zx01+ x) + (x + 4 )

1

13]

4)

-L@+-ta-30]=(@-x)-t(x-2)

3*(1- 3)+ 100 - 2 ) - 3 =G(1+5-5)

[1]

G)= 0 - 3 2 )

[-5]

FT g r + z i

- 2(4-3x)- (x

G r 2x)(3x 2 ) - 3 x 7

Li(x-2)(x-3)]- 2 = L x 144) ( x

+2

(2x3)

ili

6x)-

Le(x+ 1 ) ] - 1

(x (2x3)

L(x-1)-2x(1-d)= i

x-2-x-

(2)

= ix ++

e:

dg*

pe dra 3-3]

a

Pa

304)

Jeep

pl)

12]

10)

[1]

o

pt

pa A

148) t x

|-$

2 ( x s N(x+ 3) = (2+1! - 2

[0]

il

LE Pe MR a e a

peg)

(+4)

}

0,3x=3(x-g)*+1

RL 2)

PE

(xi + 3) # 2 1 )

[0] -x)

4

+0

sez

+5x)

=

2(3+x)

AD) 5

=x+2-4x

2 + (3x1) (32-21 )(3x+ 2 ) + 3x= 3 1

(2x +2X1

2-1)

a

x) =

(+

20 7 2

252

e

(@-32-3x)+@-2|-(-5)-3x=1-x(x-5)

17) [impossibile]

6 x 1 ) — 3 + ( 1 7 — 5x2) — 2x

12x31)+ seed) lg ( +

[2]

d)2x-3)+4

|indeterminata]

A

|] 467

i

4 e L e equazioni numeriche intere

+

@x- Dix-9 +3(x- 353 +2)|= G62- 2)

1

(E + 2 ) x - + E = LF + Liax+ 1) - SZ ( x - 1 ) - 2

2

EEA 500 -xX0 + ] + 3 x 4 2 = Zx01+ x) + (x + 4 )

1

13]

4)

-L@+-ta-30]=(@-x)-t(x-2)

3*(1- 3)+ 100 - 2 ) - 3 =G(1+5-5)

[1]

G)= 0 - 3 2 )

[-5]

FT g r + z i

- 2(4-3x)- (x

G r 2x)(3x 2 ) - 3 x 7

Li(x-2)(x-3)]- 2 = L x 144) ( x

+2

(2x3)

ili

6x)-

Le(x+ 1 ) ] - 1

(x (2x3)

L(x-1)-2x(1-d)= i

x-2-x-

(2)

= ix ++

e:

dg*

pe dra 3-3]

a

Pa

304)

Jeep

pl)

12]

10)

[1]

o

pt

pa A

148) t x

|-$

2 ( x s N(x+ 3) = (2+1! - 2

[0]

il

LE Pe MR a e a

peg)

(+4)

}

0,3x=3(x-g)*+1

RL 2)

PE

(xi + 3) # 2 1 )

[0] -x)

4

+0

sez

+5x)

=

2(3+x)

AD) 5

=x+2-4x

2 + (3x1) (32-21 )(3x+ 2 ) + 3x= 3 1

(2x +2X1

2-1)

a

x) =

(+

20 7 2

252

e

(@-32-3x)+@-2|-(-5)-3x=1-x(x-5)

17) [impossibile]

6 x 1 ) — 3 + ( 1 7 — 5x2) — 2x

12x31)+ seed) lg ( +

[2]

d)2x-3)+4

|indeterminata]

A

|] 467

i

4 e L e equazioni numeriche intere

e

+2

-_3x = 0 — d e t 2 x 3 ) = 0 — x ( x + 3 ( x -1) = 0 ll

nil

scomponiamo ll primo membre i n fattori

riconosciamo ll trinomio particolare

Per la legge di annullamento del prodotto poniamo ognuno dei tre fattori uguale a 0: x =0;

x+3=0

—-— x = - 3 ;

— x=1l.

xXx-]=0

Le soluzioni dell'equazione sono tre: 0, —3 e 1. PROVA TU, Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito. Risolvi le seguenti equazioni utilizzando la legge di annullamento del prodotto,

Lele L1-1=) Lat]

La

(x-3)(x+6)=0

|-6:3|

x(x!- 36) = 0

[0; + 6]

L=,

3al-a=0

[03]

2x'- 162 = 0

[+3]

LL)

x -_-9x = 0

(9; + 3] sec

2 -5x+6=0 TEST

RE] EEC

(23)

x - 5 = x ! - 25

[-4;5]

= = 160

[20,4]

2 0 ° 402

ESERC IZI

Lie]

Le seguenti equazioni hanno tutte lo stesso insieme soluzione tranne una. Quale?

L= A]

x-3=0

Bs)

(x-3} =0

cc]

(p] x2+9=0

(x-3P=0

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

GUARDA!

Fai questiesercizi

La risoluzione delle equazioni

numeriche intere TEST

anche s i

Considera l'equazione

2 ( - x + 3) + 4x = -7(x + A),

Quale valore deve assumere A affinché l'equazione abbia soluzione x = —-3? Al

B|

-3

ci O

Dj

—-1

Un’equazione numerica intera indeterminata nell'incognita x è verificata anche per x = . b. Un'equazione numerica intera impossibile è equivalente all'equazione Ox = 1. a,

€.

Se un'equazione numerica intera ammette infinite soluzioni, allora è impossibile,

d. Un'equazione numerica intera a coefficienti interi è sempre determinata. TEST A]

I

Quale tra le seguenti equazioni è indeterminata?

2x2+x=x(2x+1)

Bx=x+1

Cc] 3 x + 1 = 2(x +2)

TEST Quale tra le seguenti e q u a z i è o equivalente ni a 3(x + 1) A]

®

DIE

VERO O FALSO?

[ < =| di quella di A. Calcola l’ampiezza dei tre angoli del triangolo, [60*; 80°; 40°]

264Un angolo a viene diviso da due sernirette,uscenti dal vertice di a , in tre angoli: A . B , C . L'ampiezza di A supera di 20° + dell’ampiezza dell'angolo iniziale,I ampiezza di È equivale ai I dell’ampiezza dell'an-

golo a — A e infine C ha un'ampiezza corrispondente ai i dell’angolo a. Qual è l'ampiezza di a? [120°] Segmenti, perimetri e aree gu

Determina le lunghezze dei segmenti AB e CD, sapendo che AB supera CD di 18 cm e che |33 cm; 15 cm]

5 A B= 11CD. i

. 3

2 6 7 Calcola la lunghezza dei segmenti AB e CD, “°° sapendo che la loro differenza è 4 cm e la loro somma è 26 cm.

{11 cm; 15 cm]

'

Due segmenti sono uno i 3 dell'altro e la loro 268, Sono dati due segmenti, di cui uno supera l'altro “ d i 6 cm e il maggiore è il triplo del minore. Caldifferenzaè pari a 16 em, Determinala lunghezza dei due segmenti.

[24 cm; 40 cm]

cola la lunghezza dei due segmenti. |3 cm; 9 cm]

477

ESERC IZI

|_L-T+]

5

e

Equazioni e problemi

Risolviamo l’equazione:

Sx+x+3x+5 = 180 — 9x + 4x + 12x +20 = 720 — 25x = 700 — x = 28. Poiché 0

< 28 < 180, la soluzione è accettabile.

Ricaviamo le ampiezze di A e C :

A=Zx

_

A= 26° = 6 3

C=3x+5

=

E m = 3 . - 2 8 +=589,

Le ampiezze di A , B e C sono rispettivamente 63°, 28°, 89°, PROVA TU. Svolgi un esercizio simile Interattivo per vedere se hai capito.

ITA

I n un triangolo isoscele, ciascuno degli angoli alla base è pari a l = dell'angolo al vertice, Determinal’am[40°;40°;100°] piezza di ciascun angolo del triangolo.

La differenza tra le ampiezze di due angoli complementari è di 36°, Calcola l'ampiezza di ciascun angolo. Lil

[27"; 63°]

Determina l'ampiezza di due angoli adiacenti, sapendo che uno è i È dell'altro,

(72°;108°|

U n quadrilatero convesso ha gli angoli che soddisfano le seguenti relazioni: D = 8; B = L E ; B = 80°, Determina le misure dei quattro angoli.

(40°; 80°; 160°; 80°]

Calcola l'ampiezza di due angoli, sapendo che l'ampiezza della loro somma è di 240° e che il supplementaLI I)

re del primo angolo è equivalente al doppio del supplementare del secondo.

ET Te]

l'ampiezza dell'angolo.

(100°; 140°]

La somma di un angolo e del supplementare del proprio complementare ha un'ampiezza di 120°. Calcola [15°]

o angolo piatto AO viene diviso, da due semirette con origine in O,in tre angoli: C, D , E. Sapendo che

Iì S . di D equivalgono ai E di È e che l'ampiezza di È supera la metà di È di 50°, calcola l'ampiezza di C,

D

ed

(60°;

È.

40°;

80°]

In un triangolo ABC, l'ampiezza dell'angolo A supera di 20° quella dell'angolo C , el'angolo esterno all'an-

golo È ha un'ampiezza uguale ai > di quella di A. Calcola l’ampiezza dei tre angoli del triangolo, [60*; 80°; 40°]

264Un angolo a viene diviso da due sernirette,uscenti dal vertice di a , in tre angoli: A . B , C . L'ampiezza di A supera di 20° + dell’ampiezza dell'angolo iniziale,I ampiezza di È equivale ai I dell’ampiezza dell'an-

golo a — A e infine C ha un'ampiezza corrispondente ai i dell’angolo a. Qual è l'ampiezza di a? [120°] Segmenti, perimetri e aree gu

Determina le lunghezze dei segmenti AB e CD, sapendo che AB supera CD di 18 cm e che |33 cm; 15 cm]

5 A B= 11CD. i

. 3

2 6 7 Calcola la lunghezza dei segmenti AB e CD, “°° sapendo che la loro differenza è 4 cm e la loro somma è 26 cm.

{11 cm; 15 cm]

'

Due segmenti sono uno i 3 dell'altro e la loro 268, Sono dati due segmenti, di cui uno supera l'altro “ d i 6 cm e il maggiore è il triplo del minore. Caldifferenzaè pari a 16 em, Determinala lunghezza dei due segmenti.

[24 cm; 40 cm]

cola la lunghezza dei due segmenti. |3 cm; 9 cm]

477

ESERC IZI

|_L-T+]

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

Geometria solida In un cilindro, la differenza tra l'altezza e il raggio di base è di 12 em, mentre il loro rapporto è + . Calcola

°°°

il volume del cilindro,

[1701 x cm"

In un cilindro,il rapporto tra l'altezza e il raggio di base è + , mentre 1L_ jella loro somma è uguale a 11 cm. CL

Trova l’area della superficie totale e il volume del cilindro,

A

(14087 cm°; 71687 cm°]

In una scatola a forma di parallelepipedo, la somma delle tre dimensioni è di 41 em. Il lato

°°° minore differisce di 3 cm dal secondo, mentre il maggiore è uguale ai E del secondo. Se verso nella scatola 2 litri di acqua, questa fuoriesce? Perché? IA

£ S| È

Determina gli elementi richiesti, utilizzando le informazioni fornite in figura.

alt cit cx

!

cm a+*+b+cae95 p

7

i

c uguale a

dal

e”

e

AB + AC = 39 cm

e

.

Superficie totale? Volume?

[5004 c n ]

Superficie totale?

i

" 45 cm

o

|A

k

AE = BC

i

perimetro di base

i

re x

i Da

i

[no]

[1296 cm°; 2160 cm")

ù FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

GUARDA!

Le equazioni lineari e | problemi

Fai questi esercizi anche s u ZTE

TEST Il numero x, sommato alla sua metà, è uguale al triplo del numero stesso diminuito di 1. Quale delle seguenti equazioni permette di determinare x? A

x+3x=3x-1

s x+3x=1-3x

|

x + 2 x = 3x - 1

D

x-Lx=3x-1

VERO O FALSO? Roberta ha x euro nel portafoglio e compra una borsa a 70 euro, poi spende u n terzo dei

soldi

rimasti per acquistare degli stivali. Dopo gli acquisti a Roberta rimangono 220 euro.

a. L'equazione risolvente è x — (70 + L x ) = 220. b. L'equazione risolvente è x — [70 + +

E

- 70)] = 220.

iL vj

|

c. Roberta inizialmente aveva 400 euro.

vj

|

d. Non è possibile determinare quanti soldi aveva inizialmente Roberta.

vj]

LF

ERE

La stampante laser L i n un minuto stampa il triplo delle pagine della stampante deskjet D. Quan-

do L e D lavorano contemporaneamente, stampano in tutto 24 pagine al minuto. Se D viene sostituita con una stampante laser identica a L, quante pagine potranno essere stampate complessivamentein un minuto? A] 30

E

8) 36

C| 48

Dj 24

Il perimetro di un triangolo è 190 em. Determina la lunghezza dei tre lati sapendo che il lato maggiore è il doppio del lato minore e che il terzo lato è i i del lato minore.

480

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

Geometria solida In un cilindro, la differenza tra l'altezza e il raggio di base è di 12 em, mentre il loro rapporto è + . Calcola

°°°

il volume del cilindro,

[1701 x cm"

In un cilindro,il rapporto tra l'altezza e il raggio di base è + , mentre 1L_ jella loro somma è uguale a 11 cm. CL

Trova l’area della superficie totale e il volume del cilindro,

A

(14087 cm°; 71687 cm°]

In una scatola a forma di parallelepipedo, la somma delle tre dimensioni è di 41 em. Il lato

°°° minore differisce di 3 cm dal secondo, mentre il maggiore è uguale ai E del secondo. Se verso nella scatola 2 litri di acqua, questa fuoriesce? Perché? IA

£ S| È

Determina gli elementi richiesti, utilizzando le informazioni fornite in figura.

alt cit cx

!

cm a+*+b+cae95 p

7

i

c uguale a

dal

e”

e

AB + AC = 39 cm

e

.

Superficie totale? Volume?

[5004 c n ]

Superficie totale?

i

" 45 cm

o

|A

k

AE = BC

i

perimetro di base

i

re x

i Da

i

[no]

[1296 cm°; 2160 cm")

ù FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

GUARDA!

Le equazioni lineari e | problemi

Fai questi esercizi anche s u ZTE

TEST Il numero x, sommato alla sua metà, è uguale al triplo del numero stesso diminuito di 1. Quale delle seguenti equazioni permette di determinare x? A

x+3x=3x-1

s x+3x=1-3x

|

x + 2 x = 3x - 1

D

x-Lx=3x-1

VERO O FALSO? Roberta ha x euro nel portafoglio e compra una borsa a 70 euro, poi spende u n terzo dei

soldi

rimasti per acquistare degli stivali. Dopo gli acquisti a Roberta rimangono 220 euro.

a. L'equazione risolvente è x — (70 + L x ) = 220. b. L'equazione risolvente è x — [70 + +

E

- 70)] = 220.

iL vj

|

c. Roberta inizialmente aveva 400 euro.

vj

|

d. Non è possibile determinare quanti soldi aveva inizialmente Roberta.

vj]

LF

ERE

La stampante laser L i n un minuto stampa il triplo delle pagine della stampante deskjet D. Quan-

do L e D lavorano contemporaneamente, stampano in tutto 24 pagine al minuto. Se D viene sostituita con una stampante laser identica a L, quante pagine potranno essere stampate complessivamentein un minuto? A] 30

E

8) 36

C| 48

Dj 24

Il perimetro di un triangolo è 190 em. Determina la lunghezza dei tre lati sapendo che il lato maggiore è il doppio del lato minore e che il terzo lato è i i del lato minore.

480

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

ASSOGIA a ogni equazione le corrispondenti condizioni di esistenza. poc

x

_

1. + 3 7

x-1_

1=0

_2x _ 2-35 = 0

2: l 1 + - + ]

a xE-1,xE2

E

3. +

b. x E - 1 , x # 0

DI

xx

0

4. ( x - 2 }

e xE-2

x-2

d x#E2

Trova le condizioni di esistenza per le seguenti equazioni fratte. rm

2,1

we! 1,

Para

299

i,

[x # 0 ] 5

2

F Rx-1_ x

-

ol

2-5 =I x 4

x +4x

Sx

x (XF 0 x # 3 :

=

RT

OA

* =

=? [x £+1,x E-1,x È 2) |

|

©

x +

1

A

1,

1

1

+7 +S F R

I

[x #-3,x E 0, x 1 ]

*

‘a

'

[x #0]

ria

1

7

2-2)

[x #0, x #-1] A

asa

X# 5

ae

=

[x # - 3 , x #+3, x #0, x #-1]

Scrivi un'equazione numerica fratta le cui condizioni di esistenza siano x # > x # - L

ESERCIZI

st

La risoluzione delle equazioni numeriche fratte |

FONDAMENTALI Risolvere un'equazione numerica fratta

Risolviamo l'equazione E L I e

e

E

cele ine ale nie den dle ale alal D n aloe l e a

ade lle alal a e ale nale a e allo o l

+ le al

all able ala ala a

2 AE” ale lee D e alal alle

une cme a

molle e

8

Ex + =. e ale

me o e ole

cdl

e

De a

o

E

oe o

Ue EE Mo o

o

E

De o

CE O

DO e

E

E

E

E

olo D D

DE o

e

A

E o

clero

DE

De Da

Scomponiamo in fattori i denominatori e ricaviamo le C.E.:

3

5

(x+2)(x-3)

x(x+2)

3

5

=

x+2

+

pu?

3 - x )*F3-x""x-35

|

'

di u'equasone risoluzione

2

2

la C.E dun Oetorminare

C E : x E- 2 A x E 3 A x E 0 .

Riduciamo allo stesso denominatore, mem dei denominatori, e lo eliminiamo:

3x + 5(x — 3} _ 2x{x — 3) — 2x(x + 2)

x ( x+ 2 } ( x— 3)

x(x+2}(x — 3)

oltinlichiamo | d

ì pisano

pri

diversoda 0 perle C.E

Zx + 5 (x — 3) = 2 x ( x— 3) — 2 x ( x+ 2).

Risolviamo l'equazione intera ottenuta:

x + Sx =15 = 2

=

x Doll

=

dx

2

B a 15 = = 10x

=

Controlliamo se la soluzione è accettabile,

18x= 15

=

x

==,

La soluzioni sono accettabili ]

Il valore E è diverso da O, —2 e 3, quindi x = 2 è accettabile. PROVA TU. Svolgi un esercizio almile interattivo per vedere ae hai capito.

482

|

CAPITOLO 10

e

LE EQUAZIONI LINEARI

ASSOGIA a ogni equazione le corrispondenti condizioni di esistenza. poc

x

_

1. + 3 7

x-1_

1=0

_2x _ 2-35 = 0

2: l 1 + - + ]

a xE-1,xE2

E

3. +

b. x E - 1 , x # 0

DI

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4. ( x - 2 }

e xE-2

x-2

d x#E2

Trova le condizioni di esistenza per le seguenti equazioni fratte. rm

2,1

we! 1,

Para

299

i,

[x # 0 ] 5

2

F Rx-1_ x

-

ol

2-5 =I x 4

x +4x

Sx

x (XF 0 x # 3 :

=

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|

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[x #-3,x E 0, x 1 ]

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[x #0, x #-1] A

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X# 5

ae

=

[x # - 3 , x #+3, x #0, x #-1]

Scrivi un'equazione numerica fratta le cui condizioni di esistenza siano x # > x # - L

ESERCIZI

st

La risoluzione delle equazioni numeriche fratte |

FONDAMENTALI Risolvere un'equazione numerica fratta

Risolviamo l'equazione E L I e

e

E

cele ine ale nie den dle ale alal D n aloe l e a

ade lle alal a e ale nale a e allo o l

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2 AE” ale lee D e alal alle

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Scomponiamo in fattori i denominatori e ricaviamo le C.E.:

3

5

(x+2)(x-3)

x(x+2)

3

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x+2

+

pu?

3 - x )*F3-x""x-35

|

'

di u'equasone risoluzione

2

2

la C.E dun Oetorminare

C E : x E- 2 A x E 3 A x E 0 .

Riduciamo allo stesso denominatore, mem dei denominatori, e lo eliminiamo:

3x + 5(x — 3} _ 2x{x — 3) — 2x(x + 2)

x ( x+ 2 } ( x— 3)

x(x+2}(x — 3)

oltinlichiamo | d

ì pisano

pri

diversoda 0 perle C.E

Zx + 5 (x — 3) = 2 x ( x— 3) — 2 x ( x+ 2).

Risolviamo l'equazione intera ottenuta:

x + Sx =15 = 2

=

x Doll

=

dx

2

B a 15 = = 10x

=

Controlliamo se la soluzione è accettabile,

18x= 15

=

x

==,

La soluzioni sono accettabili ]

Il valore E è diverso da O, —2 e 3, quindi x = 2 è accettabile. PROVA TU. Svolgi un esercizio almile interattivo per vedere ae hai capito.

482

|

CAPITOLO 10

e

3-2x- g r

LE EQUAZIONI LINEARI

7

=2-

128% +16 _ 6 , 2 0 4 2 =

Gia Tu =

ra re

ax+ 1 0 6

limpossibile

e + ET

7x + 2 , Sx+4 _ 34x'+43x—2

I

2-35+

x

a

=

2

[-)

10 - x

11

+ 2xiz 3a

[>

SEE = 3x4 SETE+ EHI

Tt(+5)-

|-3] [7]

a i 0 +6x+2 = E e

DELe

sia ESERCIZI

(E

+ x - 1):( 1 -

REL

LL OR

gp) = ( x ) !

i

2

[impossibile]

a + sx + 74 26432 L NE = 1 0 + 12x +4 _ 2 4 7 °

362 sx +3

s x +ax+1 - Sla 1I6 i sx+ 3

}

1-2) (aaa) ( B E (583 + ) 365 (x12

+ 2).

A

È

Quante sono le soluzioni dell'equa-

O

[impossibile]

—a

nf a A

Find It Does there exist a num-

uu

zione P T

E]

1-4)

-3

3x-1

Al

[1]

oa

(x=_2 + 3 x - 1 ) - 1 = = 2

dei UU

[3]

x-1

= 2? sj

i

ber x such that T E 3 = 4? If so, find it; other-

[e] 2

wise explain why not.

[D] Più di 2,

Grace: «Ho risolto le due equazioni =x=-5 _ 1 (x 3 ) e 2x°+1] 21

A

dx ="=3=3;

3+2x

+=

“ho

visto che sono equivalenti». Simone: «Dopo aver risolto la prima, posso già dirti che ti sbagli!», Spiega perché Simone ha ragione.

A Equivalenze Una sola tra le seguenti equazioni è equivalente all’equazione {x® —1) = (x + 3)2+2, **° sesìconsiderano entrambe definite nel dominio comune. Quale? n

3x0+ x + 2 xi

3x0 x + 2x

all

4

=_3 I-=x

x+ÎI

x

L=? x

1

x_i

x+1 ti

LL x

CAPITOLO 10

e

3-2x- g r

LE EQUAZIONI LINEARI

7

=2-

128% +16 _ 6 , 2 0 4 2 =

Gia Tu =

ra re

ax+ 1 0 6

limpossibile

e + ET

7x + 2 , Sx+4 _ 34x'+43x—2

I

2-35+

x

a

=

2

[-)

10 - x

11

+ 2xiz 3a

[>

SEE = 3x4 SETE+ EHI

Tt(+5)-

|-3] [7]

a i 0 +6x+2 = E e

DELe

sia ESERCIZI

(E

+ x - 1):( 1 -

REL

LL OR

gp) = ( x ) !

i

2

[impossibile]

a + sx + 74 26432 L NE = 1 0 + 12x +4 _ 2 4 7 °

362 sx +3

s x +ax+1 - Sla 1I6 i sx+ 3

}

1-2) (aaa) ( B E (583 + ) 365 (x12

+ 2).

A

È

Quante sono le soluzioni dell'equa-

O

[impossibile]

—a

nf a A

Find It Does there exist a num-

uu

zione P T

E]

1-4)

-3

3x-1

Al

[1]

oa

(x=_2 + 3 x - 1 ) - 1 = = 2

dei UU

[3]

x-1

= 2? sj

i

ber x such that T E 3 = 4? If so, find it; other-

[e] 2

wise explain why not.

[D] Più di 2,

Grace: «Ho risolto le due equazioni =x=-5 _ 1 (x 3 ) e 2x°+1] 21

A

dx ="=3=3;

3+2x

+=

“ho

visto che sono equivalenti». Simone: «Dopo aver risolto la prima, posso già dirti che ti sbagli!», Spiega perché Simone ha ragione.

A Equivalenze Una sola tra le seguenti equazioni è equivalente all’equazione {x® —1) = (x + 3)2+2, **° sesìconsiderano entrambe definite nel dominio comune. Quale? n

3x0+ x + 2 xi

3x0 x + 2x

all

4

=_3 I-=x

x+ÎI

x

L=? x

1

x_i

x+1 ti

LL x

CAPITOLO 10

LE EQUAZIONI LINEARI

e

Problemi geometrici

Nel trapezio isoscele ABCDla differenza fra la base maggiore AB ela minore CD misura 6 cm. Sapendo che LIA]

AD

LI

determina le misure delle basi del trapezio.

[16 cm, 10 j i

In un rettangolo,la base è i E ; dell’altezza e il rapporto tra il perimetro e l'altezza aumentata di 4 cm è l i LA)

Calcola l’area del rettangolo.

°°

(48 cm]

La somma fra la base maggiore e l’altezza di un trapezio rettangolo è 60 cem; la base minore è uguale alla base maggiore diminuita della metà dell'altezza; il rapporto fra la somma della base minore con l'altezza e

la base maggiore diminuita dell'altezza è uguale a 2 , Calcola l'area del trapezio.

Problemi 38

|

COMPLETA LO SVOLGIMENTO U n catering prepara u n rinfre-

°

[700 cm?)

ini

sco basandosi esattamente sul numero di partecipanti fornito al momento della prenotazione. Il giorno stesso viene

n

La

'1

comunicato che gli ospiti sono 5 in più del previsto. Si decide di diminuire la quantità di ogni porzione mediamente del 10%, in modo da poter servire tutti i commensali presenti

I ha

'

ESERCIZI

senza avere rimanenze. Quanti sono i partecipanti al rinfre-

sco al momento della prenotazione? Poiché la quantità di cibo è costante, la poniamo uguale a 1 per semplicità. Chiamiamo x il numero di

partecipanti al momento della prenotazione, con x € N . La quantità iniziale di ogni porzione è L , con x#L_}

Non dobbiamo porre ulteriori Li

Se gli ospiti sono 5 in più, la quantità di ogni porzione diventao condizioni perché se x € N allora x +5 # 0, La quantità di ogni porzione dopo la diminuzione del 10% è: L I

|

1 =;

con x # 0 .

Poiché non devono esserci rimanenze, otteniamo l'equazione:

L=

ld

= _Kx+5) - x = L

La soluzione è accettabile perché 45 è un numero naturale diverso da 0. Il numero di partecipanti al momento della prenotazione è 45,

A 99

Nei piano regolatore di un Comune è previsto che,in un terreno di nuova edificazione,per

ogni x metri quadrati occupati dall'edificio ce ne siano x + 400 occupati da verde privato. Il rapporto tra

superficie verde e superficie edificata deve essere di 5 a 1. Quale deve essere la superficie occupata da un nuovo edificio per soddisfare le disposizioni comunali?

[100 m°]

390 A Una soluzione ha una concentrazione del 20%. Una seconda soluzione di 100 mL, composta dallo stesso tipo di solvente e dallo stesso tipo di soluto, ha una concentrazione del 5%, Se mescoli le due soluzioni, ottieni una soluzione con una concentrazione del 15%, Qual è il volume, in mL della prima soluzione?

[200 mL]

In un'industria alimentare viene sbucciata ogni giorno una stessa

oto priapatete A:

quantità di patate. L'industria ha u n pelapatate profes-

sionale A. Viene acquistato un secondo pelapatate B. I tempi impiegati a sbucciare l'intera quantità sono indicati nei fogliet-

ti a fianco. Quante ore servono per sbucciare tutte le patate se è in funzione solo il pelapatate B?

486

[30]

Pa

entrambi |

lpeopatate:

CAPITOLO 10

LE EQUAZIONI LINEARI

e

Problemi geometrici

Nel trapezio isoscele ABCDla differenza fra la base maggiore AB ela minore CD misura 6 cm. Sapendo che LIA]

AD

LI

determina le misure delle basi del trapezio.

[16 cm, 10 j i

In un rettangolo,la base è i E ; dell’altezza e il rapporto tra il perimetro e l'altezza aumentata di 4 cm è l i LA)

Calcola l’area del rettangolo.

°°

(48 cm]

La somma fra la base maggiore e l’altezza di un trapezio rettangolo è 60 cem; la base minore è uguale alla base maggiore diminuita della metà dell'altezza; il rapporto fra la somma della base minore con l'altezza e

la base maggiore diminuita dell'altezza è uguale a 2 , Calcola l'area del trapezio.

Problemi 38

|

COMPLETA LO SVOLGIMENTO U n catering prepara u n rinfre-

°

[700 cm?)

ini

sco basandosi esattamente sul numero di partecipanti fornito al momento della prenotazione. Il giorno stesso viene

n

La

'1

comunicato che gli ospiti sono 5 in più del previsto. Si decide di diminuire la quantità di ogni porzione mediamente del 10%, in modo da poter servire tutti i commensali presenti

I ha

'

ESERCIZI

senza avere rimanenze. Quanti sono i partecipanti al rinfre-

sco al momento della prenotazione? Poiché la quantità di cibo è costante, la poniamo uguale a 1 per semplicità. Chiamiamo x il numero di

partecipanti al momento della prenotazione, con x € N . La quantità iniziale di ogni porzione è L , con x#L_}

Non dobbiamo porre ulteriori Li

Se gli ospiti sono 5 in più, la quantità di ogni porzione diventao condizioni perché se x € N allora x +5 # 0, La quantità di ogni porzione dopo la diminuzione del 10% è: L I

|

1 =;

con x # 0 .

Poiché non devono esserci rimanenze, otteniamo l'equazione:

L=

ld

= _Kx+5) - x = L

La soluzione è accettabile perché 45 è un numero naturale diverso da 0. Il numero di partecipanti al momento della prenotazione è 45,

A 99

Nei piano regolatore di un Comune è previsto che,in un terreno di nuova edificazione,per

ogni x metri quadrati occupati dall'edificio ce ne siano x + 400 occupati da verde privato. Il rapporto tra

superficie verde e superficie edificata deve essere di 5 a 1. Quale deve essere la superficie occupata da un nuovo edificio per soddisfare le disposizioni comunali?

[100 m°]

390 A Una soluzione ha una concentrazione del 20%. Una seconda soluzione di 100 mL, composta dallo stesso tipo di solvente e dallo stesso tipo di soluto, ha una concentrazione del 5%, Se mescoli le due soluzioni, ottieni una soluzione con una concentrazione del 15%, Qual è il volume, in mL della prima soluzione?

[200 mL]

In un'industria alimentare viene sbucciata ogni giorno una stessa

oto priapatete A:

quantità di patate. L'industria ha u n pelapatate profes-

sionale A. Viene acquistato un secondo pelapatate B. I tempi impiegati a sbucciare l'intera quantità sono indicati nei fogliet-

ti a fianco. Quante ore servono per sbucciare tutte le patate se è in funzione solo il pelapatate B?

486

[30]

Pa

entrambi |

lpeopatate:

CAPITOLO 10 a

e

e

e

e

LE EQUAZIONI LINEARI

D e n a mie S e c o me ale doo D o a a m e e doo a o alal mo o e

n

le

e

ca

e

e gue g e doo l e une alto

e

e

e

ue lo

e

dla

a oe

e a e dle l m

E o

a

re E dA

a

E De Da De E Da de

a DE ao aa

a D A OE o

oa DE da aa

O DE Do De a

EE De

a o e DO D a c e

A EE De

a

O DO D a a a

a DO

a aa oa Da DE o

L e equazioni letterali Le equazioni letterali intere

Attività interattiva

> Teoria a pagina 455

VERO O FALSO?

°°

Tuttele equazioni in cui compaiono almeno due incognite sono letterali. b. Le equazioni intere possono anche essere letterali. a,

€.

vj

LF

vj

LF

vj]

LF

vj

LF

Nelle equazioni letterali intere la discussione riguarda solamente le lettere diverse dall'incognita.

d. In tutte le equazioni letterali intere si devono porre delle condizioni sui valori che possono assumere le lettere.

TEST Quale, fra le seguenti equazioni, h a come soluzione x = 1 se a # O ed è indeterminata se a = 0? goc

Al

a x= 1

Bi d x

=7

C|

dx - x = 0

Dj]

ax = a - 1 l

FONDAMENTALI Risolvere un'equazione letterale intera Risolviamo l’equazione ax + 4 = x + 4a°, nell'incognita x.

y

|

ESERCIZI

Scriviamo l'equazione nella forma Ax = B:

Dapo saver scrittol'equazione nelle

forme Ax = &, convienescomperre

a x - x = 4 0 ° 4 — (a - 1)x = 4(a — 1)(a + 1). a —1 di x. mo C o n s i d e rili acoefficiente

in fattori A e 8.

Discussione,

Nella discussione, analtz-

è: e Sea - 1 = 0 - a = 1, l'equazione

A di x siamo ilcosfficiante nel due casi Am Da A t 0 4

La rispettiva determin ismo

( 1 - 1 ) j x = 4 - 1 - 4 — O0x=0 — equazione indeterminata.

in soluzione due casi 10 deldell’aquazione

e S ea - 1 # 0 — a # 1, dividiamo entrambi i membri per a _— 1: i.

+1)(a1) x =_ 4/2a1}j{a i i

!

+ 1) — equazione determinata.

x=4a+ (21 )

In sintesi: e se a # 1, l'equazione è determinata e la soluzione è x = 4{a + 1); e se a = 1, l’equazione è indeterminata. |

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedare se hal capito.

Risolvi è discuti, quando è necessario, le seguenti equazioni letterali intere nell'incognita x .

bx+b=0

E 395

EI e ]

a x - 3a“ = 0

ax =x+da

[a # 0, x = 3a; a = 0, indet.]

[aL x=

401

b { x - 2 ) + b + 1 = 0 |b E#0,x = 5 1 ,

b = 0 , imp.]

[x = a]

6x — 3(x + 2a) = a + 4(x — 22)

1 a = 1, imp. Wie

gi

bx - 2 = 0 I

[x==]

2a — 3x = 7a — Sx

[b # 0 , x =-1;b = 0, indet.]

le]

488

[x = 4a]

[Ie]

3 9 8 2ax - a = 0

ED]

2x — 4(3x — a) = 6(a — 2x) + 6a

b#0,x=ji1b=0, imp.

T+]

ax+2-a=0

[ a # 0 , x = + ; a =0, indet.

lato

x=4i;a=0,

imp.

la#-1,x=

I]

(a+1)x = 3

EU

axt+2x=2a0+4

p i a = - 1 , imp]

[a#-2,x=2;a=-2,

indet)

aa Da Dr

CAPITOLO 10 a

e

e

e

e

LE EQUAZIONI LINEARI

D e n a mie S e c o me ale doo D o a a m e e doo a o alal mo o e

n

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L e equazioni letterali Le equazioni letterali intere

Attività interattiva

> Teoria a pagina 455

VERO O FALSO?

°°

Tuttele equazioni in cui compaiono almeno due incognite sono letterali. b. Le equazioni intere possono anche essere letterali. a,

€.

vj

LF

vj

LF

vj]

LF

vj

LF

Nelle equazioni letterali intere la discussione riguarda solamente le lettere diverse dall'incognita.

d. In tutte le equazioni letterali intere si devono porre delle condizioni sui valori che possono assumere le lettere.

TEST Quale, fra le seguenti equazioni, h a come soluzione x = 1 se a # O ed è indeterminata se a = 0? goc

Al

a x= 1

Bi d x

=7

C|

dx - x = 0

Dj]

ax = a - 1 l

FONDAMENTALI Risolvere un'equazione letterale intera Risolviamo l’equazione ax + 4 = x + 4a°, nell'incognita x.

y

|

ESERCIZI

Scriviamo l'equazione nella forma Ax = B:

Dapo saver scrittol'equazione nelle

forme Ax = &, convienescomperre

a x - x = 4 0 ° 4 — (a - 1)x = 4(a — 1)(a + 1). a —1 di x. mo C o n s i d e rili acoefficiente

in fattori A e 8.

Discussione,

Nella discussione, analtz-

è: e Sea - 1 = 0 - a = 1, l'equazione

A di x siamo ilcosfficiante nel due casi Am Da A t 0 4

La rispettiva determin ismo

( 1 - 1 ) j x = 4 - 1 - 4 — O0x=0 — equazione indeterminata.

in soluzione due casi 10 deldell’aquazione

e S ea - 1 # 0 — a # 1, dividiamo entrambi i membri per a _— 1: i.

+1)(a1) x =_ 4/2a1}j{a i i

!

+ 1) — equazione determinata.

x=4a+ (21 )

In sintesi: e se a # 1, l'equazione è determinata e la soluzione è x = 4{a + 1); e se a = 1, l’equazione è indeterminata. |

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedare se hal capito.

Risolvi è discuti, quando è necessario, le seguenti equazioni letterali intere nell'incognita x .

bx+b=0

E 395

EI e ]

a x - 3a“ = 0

ax =x+da

[a # 0, x = 3a; a = 0, indet.]

[aL x=

401

b { x - 2 ) + b + 1 = 0 |b E#0,x = 5 1 ,

b = 0 , imp.]

[x = a]

6x — 3(x + 2a) = a + 4(x — 22)

1 a = 1, imp. Wie

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bx - 2 = 0 I

[x==]

2a — 3x = 7a — Sx

[b # 0 , x =-1;b = 0, indet.]

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488

[x = 4a]

[Ie]

3 9 8 2ax - a = 0

ED]

2x — 4(3x — a) = 6(a — 2x) + 6a

b#0,x=ji1b=0, imp.

T+]

ax+2-a=0

[ a # 0 , x = + ; a =0, indet.

lato

x=4i;a=0,

imp.

la#-1,x=

I]

(a+1)x = 3

EU

axt+2x=2a0+4

p i a = - 1 , imp]

[a#-2,x=2;a=-2,

indet)

aa Da Dr

CAPITOLO 10

LE EQUAZIONI LINEARI

e

x+l_o

+

|a = 0, senza significato; a # 0, x = s a

[1-1

417

LA

==

E = 0), senza significato;a # 0, x = a l

(_T-1=]

18

®

|b = 0, senza significato; b # 0 Ab # 6,x = -=zib = 6, imp.

=

+ 2x3

i

= 2 , imp.

| a = 0, senza significato; a # 0 Na # 2,x = G a

i1=+

Al

gu

”

+

I

pe

[b=-1V b =2 senza significato; b = 0 imp. b # - 1 A b # 2 h b

=x

#0, x =

LL

2x +16b _ 3x + 1 _ S5=-3x

2

Sr x

0-4

peo

= Fi

x=_ 5g) 8-56)

O

sti

4,20).

lot

en

a+3

4nbaa

_ (la- 1 a E

6)

fossa

(PE 0NbAE-1,x = 4 ; b = 0, indet; b = 1, senza significato]

ESERCIZI

Li ii

4bx + b + 3 , x + 2 _ 3 x - 1 , 2

“za

CI

+ 5-b

=

b t 0Nb#t5,x=

54% i

TEST Considera l'equazione i falsa, Quale?

|

i

2

=

> Teoria a pagina 485

Attività interattiva

P _ L e equazioni letterali fratte

_ bh + 6b 25 25

= 0 nell’incognita x, Una sola fra le seguenti affermazioniè [©] Per a # 0, l'equazione è impossibile.

A|

Le C.E. sono x E a A x E a .

B|

È equivalente a { x + a ) - ( x - a ) = 0.

D]

Per a = 0, x = 0 non è soluzione dell'equazione.

FONDAMENTALI Risolvere un'equazione letterale fratta

2(a-4) _ _ _3ax__a-4 x, Risolviamo x - D B x - 1 ) x - T ' 3 x - 1 . nell’incognita Pin

oli

enoni

Le condizioni di esistenza sono: x E LA x # 1 Eliminiamo i denominatori e scriviamo l'equazione intera nella forma Ax = B: 2la — 4) = 3ax(a — 4) = 3al(a — 4)}x = 2{a — 4).

Discussione. @ Se a = Ù, 0x = - 8 , allora l'equazione è impossibile. e Se a — 4 = 0, ossia a = 4, Ox = 0, allora l'equazione è indeterminata, ma con x # 1 x d . e Se a # 0 Aa # 4 , x = + .

pl

atti

La soluzione trovata è accettabile solo se x # 1 Ax # 7 , quindi solo se:

+1

_agp2.

Se l'equazioneè indeterminata o determinata,confrontiamola solualene:| ..pomI valori di a cociusiporle C.E. etti

490

CAPITOLO 10

LE EQUAZIONI LINEARI

e

x+l_o

+

|a = 0, senza significato; a # 0, x = s a

[1-1

417

LA

==

E = 0), senza significato;a # 0, x = a l

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18

®

|b = 0, senza significato; b # 0 Ab # 6,x = -=zib = 6, imp.

=

+ 2x3

i

= 2 , imp.

| a = 0, senza significato; a # 0 Na # 2,x = G a

i1=+

Al

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”

+

I

pe

[b=-1V b =2 senza significato; b = 0 imp. b # - 1 A b # 2 h b

=x

#0, x =

LL

2x +16b _ 3x + 1 _ S5=-3x

2

Sr x

0-4

peo

= Fi

x=_ 5g) 8-56)

O

sti

4,20).

lot

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a+3

4nbaa

_ (la- 1 a E

6)

fossa

(PE 0NbAE-1,x = 4 ; b = 0, indet; b = 1, senza significato]

ESERCIZI

Li ii

4bx + b + 3 , x + 2 _ 3 x - 1 , 2

“za

CI

+ 5-b

=

b t 0Nb#t5,x=

54% i

TEST Considera l'equazione i falsa, Quale?

|

i

2

=

> Teoria a pagina 485

Attività interattiva

P _ L e equazioni letterali fratte

_ bh + 6b 25 25

= 0 nell’incognita x, Una sola fra le seguenti affermazioniè [©] Per a # 0, l'equazione è impossibile.

A|

Le C.E. sono x E a A x E a .

B|

È equivalente a { x + a ) - ( x - a ) = 0.

D]

Per a = 0, x = 0 non è soluzione dell'equazione.

FONDAMENTALI Risolvere un'equazione letterale fratta

2(a-4) _ _ _3ax__a-4 x, Risolviamo x - D B x - 1 ) x - T ' 3 x - 1 . nell’incognita Pin

oli

enoni

Le condizioni di esistenza sono: x E LA x # 1 Eliminiamo i denominatori e scriviamo l'equazione intera nella forma Ax = B: 2la — 4) = 3ax(a — 4) = 3al(a — 4)}x = 2{a — 4).

Discussione. @ Se a = Ù, 0x = - 8 , allora l'equazione è impossibile. e Se a — 4 = 0, ossia a = 4, Ox = 0, allora l'equazione è indeterminata, ma con x # 1 x d . e Se a # 0 Aa # 4 , x = + .

pl

atti

La soluzione trovata è accettabile solo se x # 1 Ax # 7 , quindi solo se:

+1

_agp2.

Se l'equazioneè indeterminata o determinata,confrontiamola solualene:| ..pomI valori di a cociusiporle C.E. etti

490

CAPITOLO 10 ag

e

—1 =

a[ 3)

LE EQUAZIONI LINEARI LE

[ b # E + 1x, =-2;b = l L i n d e t con . , x # 2 ; b =-1, imp.]

- 1 = - 1 / 1 --)}

(a EF 0 A E L

x = a+1l;a = - 1 , imp.;a = O, senza significato]

Risolvere un'equazione rispetto a una lettera indicata Considera l'equazione letterale ax + by + c = 0.

°°

a, Se l'incognita è x, per quali valori di a l’equazione è determinata?

b. Se l'incognita è», per quali valori di b l'equazione è impossibile o indeterminata? c. Se l'incognita è c, l'equazione può risultare indeterminata? Risolvi le seguenti equazioni rispetto a ogni lettera che vi compara.

2x-4y+1=0;

x=3+20,

ab + x = Sab;

3ax-a+b= 2a.

dx

2x+-Za=-+La.

Lei

LL)

y=2x+6-2y;

2kx+5 =0.

LTT]

3a = 0 ;

E TeTa]

da +1;

Ku «=> Eri

a==p

2+ _, b + 1 = 1. — az

o

Sax ax

x + t 3=a L i

2

2x-zax = 1.

3

= ESERCIZI

TEST Una legge fisica sì scrive nella forma F = m a , con m e a diversi da zero. Quale tra le seguenti relazioni esprime la stessa legge?

a=m'F

Al

B

m=F

[©] a=-E

D]

m=q-F

TEST In un moto rettilineo uniformemente accelerato la velocità », la velocità iniziale v,, l’accelerazione a e il tempo # sono legati dalla seguente formula: v = vo+ at. Quale delle seguenti formule dà a in funzione delle altre variabili?

a

A

=

i

i

a=—+Vv

ci

a

po vo

Dj

a

f

Nel moto uniforme, la formula s = vt + s, esprime la posizione s in funzione del tempo ft, della velocità ve

"*° della posizione iniziale so. Trova v conoscendo le altre grandezze. La forza con cui si attraggono due masse rm, e ma ha modulo F = G i ,

I

e

®*

dove G è una costante e d è la

distanza tra i centri delle due masse.

a. Se si raddoppiano | valori delle due masse, che cosa accade al valore di F? b. Se la distanza si dimezza, cosa accade a F?

| a quadruplica; b) quadruplica; x + 5 è equivalente alla disequazione

a

a

la

a

E

x — 3 > 5, ottenuta aggiungendo — x a entrambi i membri.

|

lo a o o a e a DA a e DA a o

lee olmo e

a

a Da

Dal secondo principio si deduce che: e sesi cambia il segno di tutti i termini, sì deve cambiare il verso della disequazione.

e A DO a a

Se si moltiplica o si divide per un'espressioneletterale, oltre aimporre eventuali C,E., occorre aggiungere la condizione che l'espressione per cui si moltiplica o si divide non si annulli e distinguere se assume segno positivo o negativo,

a

DA DO

o

x-22>-5

> 2a

2 >2

CE:a #0,

=

Se le disequazioni sono equivalenti, indica i l principio

di equivalenza applicato. Se non lo sono, spiega l'errore COMMESSO.

dx SdF X* - 5

D

b. "pg

LA >

- 35 x: .

XxX < - 5 :

Pep

Li

7

> ar

x Esercizi a pagina 514

a a e a

MATEMATICA

Un artigiano, per produrra vasi in ceramica, deve acquistare una nuova attrezzatura e ha dus possibilità...

i

a A a a

minata, impossibile o sempre verificata.

a

Per l'insierne delle soluzioni distinguiamo tre casi:la disequazionepuò essere deter-

i

i

3

d x2 b .

a

ax > b,

e

ax = b,

a

a x Teoria a pagina 503

Attività interattiva

& Ci

ASSOCIA a Ogni disequazione della prima riga la sua equivalente della seconda riga, sug

1. 2 x - 1 < 1

x3

a

2. 2 x < 1

b.

x> 1

Mi

> 2x

3. -2x < - 1

4. - 1

e x 0 è equivalente a x < 0? Perché? E la disequazione —2x < 0 è equivalenteax > 2?

2

Indica in base a quale principio le seguenti coppie di disequazioni sono equivalenti.

EI

a

e

a

2

A

DO

e

e

O

x>-3

- 1 2

o lee a

e ale

a mia lee

o lee ala l e m e clelia cioe alma lee aloe a ale

a ala m o a cena o e

a alma l a mo miao c o

a me

VERO O FALSO?

°°

a, Se-2x

> O, allorax < 2,

b. Se 4x > 3 , allora x

> 17

ce. Se —x < 4, allora 2x < - 8 .

Vv]

LF]

d, Se L x

< 3, allora x < 6.

vj]

LF [F

LAS Li

e. Se -6x < - 1 8 , allora 3 < x.

v]

LL

f. Se 3x > 0, allora x > 5 .

iL

A Make u p an inequality Write at least 3 inequalities that have the following interval as their “ s o l u t i o n : x > 5,

513

2 e Le disequazioni ' Li i I i

A

Per ogni rappresentazione grafica scrivi ll corrispondente intervallo sia mediante le

parentasi quadre sia mediante le disuguaglianze.

i 4

‘I

19

1

-é

h

—

i

"Fo

d

I.

pe—

++

2

-2

C—

3

fie——5

l

”

a

bh

d

C

L]

Li '

‘EI 20

|

1

-3

'

1

LI

-1

a

5

2

b

7

c

’

(e 3 4

®©

d

Un piatto viene considerato:

| A

e À

-4

ipercalorico se i valori energetici sono maggiori di 600kcal;

e

e normocalorico se i valori energetici sono compresi tra 200 kcal e 600 kcal] (estremi inclusi);

a

iù

e ipocalorico se i valori energetici sono minori di 200 kcal,

Descrivi queste situazioni con degli intervalli e rappresentali in tutti i modi possibili.

N L e disequazioni equivalenti

> Teoria a pagina 503

Attività interattiva

& Ci

ASSOCIA a Ogni disequazione della prima riga la sua equivalente della seconda riga, sug

1. 2 x - 1 < 1

x3

a

2. 2 x < 1

b.

x> 1

Mi

> 2x

3. -2x < - 1

4. - 1

e x 0 è equivalente a x < 0? Perché? E la disequazione —2x < 0 è equivalenteax > 2?

2

Indica in base a quale principio le seguenti coppie di disequazioni sono equivalenti.

EI

a

e

a

2

A

DO

e

e

O

x>-3

- 1 2

o lee a

e ale

a mia lee

o lee ala l e m e clelia cioe alma lee aloe a ale

a ala m o a cena o e

a alma l a mo miao c o

a me

VERO O FALSO?

°°

a, Se-2x

> O, allorax < 2,

b. Se 4x > 3 , allora x

> 17

ce. Se —x < 4, allora 2x < - 8 .

Vv]

LF]

d, Se L x

< 3, allora x < 6.

vj]

LF [F

LAS Li

e. Se -6x < - 1 8 , allora 3 < x.

v]

LL

f. Se 3x > 0, allora x > 5 .

iL

A Make u p an inequality Write at least 3 inequalities that have the following interval as their “ s o l u t i o n : x > 5,

513

3 e Le disequazioni intere

E

>

420

EE

2] €

K]

I[e--5|

E

[x>-2

i

[impossibile]

5) + L( X L

=

|

gui)

eco

lx < 0) |x 2(x+3)-2(x-3)

|x-2

i

[impossibile]

5) + L( X L

=

|

gui)

eco

lx < 0) |x 2(x+3)-2(x-3)

|x di quello di un quadrato di [0 < x < 10)

lato 3 cm?

[3 m]

problemi E N Andrea e Simone devono andare a Milano per lavoro. Andrea si tratterrà meno di 4 giorni, Simone più di 5. L'agenzia a cui si rivolgono propone due alternative: COMPLETA LO SVOLGIMENTO

guy

1. spese di viaggio 120 € e spese giornaliere di soggiorno 90 €;

2. spese di viaggio 100 € e spese giornaliere di soggiorno 95 €,

Quale proposta è più conveniente per Andrea? È per Simone? DEE

PLL

LE

n

n

na

Se x è il numero dei giorni

E

al

Ln

Lala

al

a

la

a

aa

ELE

EE LL

518

k+L__}

2. S = |

k+L_}

E

dipermanenza e $ è la spesa totale per

la trasferta, le offerte si traducono nelle seguenti espressioni: 1. 5 = |

[x >+4+ ]

PE

3 * L e disequazioni intere Calcoliamo per quali valori di x conviene la prima proposta, ossia per quali valori di x la spesa $ nel caso | della spesa 5 nel caso 2: 1 è| L__lx + 1 2 0 - 1 0

x >-1

ESERC IZI

Rappresentiamo le soluzioni delle disequazioni. 2

-1

degliinsjessi La acre colorata iarlica l'intersezione

xs2

delle soluzioni, cioè le sviluzioni comuni alle due divequazioni. x>-1

aus

n i - 1 < x = 2 , ossia ]-1;2]. Le s o l u z i osono: E

E

E

E

E

e

E

E

o

AR E

e

O

e

O

o

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O

RO

Oo

E

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E

RO D o

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O

Oo

O

O

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A

O

ao

O

ao

E

O

AO o

O

o

OO O

DO AO

Oo

oO a

4 PROVA Tu. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito. Risolvi i seguenti sistemi d i disequazioni. 108 eo

I]

| I” Lo

09

=

x

[x > 6]

6>0

ple&x>o i +

fera


(ela

2 limpossibile]

eo

73

[-10

> 12 —

6

2a 6x > x

_2
6]

< 4Ax(x +1)

2 3 (2x—2>x+1

[(-3 - 1 0

x >-1

ESERC IZI

Rappresentiamo le soluzioni delle disequazioni. 2

-1

degliinsjessi La acre colorata iarlica l'intersezione

xs2

delle soluzioni, cioè le sviluzioni comuni alle due divequazioni. x>-1

aus

n i - 1 < x = 2 , ossia ]-1;2]. Le s o l u z i osono: E

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4 PROVA Tu. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito. Risolvi i seguenti sistemi d i disequazioni. 108 eo

I]

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[x > 6]

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2 limpossibile]

eo

73

[-10

> 12 —

6

2a 6x > x

_2
6]

< 4Ax(x +1)

2 3 (2x—2>x+1

[(-3 1]

E

E

E

OO o

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a

E

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ae

E

E

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E

E

ni

E

O a

E

o

o

O

E

a

ali ell c e mie alle

e

me

e

e

a

Risohlvi i seguenti sistemi,

[20raspe7 L x COMPLETA inserendo i

3-2x>5(1 2

ear

x)

anche su ZTE MM"

—-5+x(4+ x) < { x 1 { x

{2x — 1 } —5 = (2x + 3}{2x — 3)

524

a

A u n torneo di minigolf possono partecipare al massimo 28 giocatori. Per orgaINA nizzare il torneo si spendono 1 5 0€, più 7 € per ogni partecipante. La quota di iscrizione è di 1 6€.Quanti [ 1 7£ = 28] devono essere i giocatori affinché gli organizzatori n o n vadano i n perdita?

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE | sistemi di disequazioni

ER

E

Maura deve ordinare succhi di frutta e aranciate per il suo bar. In base alle consumazioni che si fanno giornalmente, i succhi di frutta devono essere il doppio delle aranciate. La quantità di bevande da ordinare non può superare i 900 pezzi e,per poter usufruire di uno sconto, i succhi di frutta devono essere almeno 150. Quante aranciate può ordinare per [da 75 a 300] rispettare le due condizioni?

x

LI

ae lle

+1)

+3(3x+2)> 3(22-2) 3% 3x5 > in modo che i sistemi risultino impossibili. 7x-2=3x+1

b.

}3-x|_j0 5x + 3 > - 1 l x - 1

5

Lo studio del segno di un prodotto

e

VERO O FALSO? Le seguenti affermazioni si riferiscono al sistema {; — 0 a. Se a > O Ab > O allora il sistema è impossibile.

[v]

b. Se a = 1 A b =—2 allora il sistema è sempre verificato. €

Se b = 0 allora il sistema è impossibile.

d. Se a < 0A b > 0 allora una soluzione è x = 2. °°

E °°

[F

vY|

LF

v]

[F]

v]

LF}

Considera un rettangolo con base di misura b e altezza b + 3. Quali valori può assumere b affinché la sommaffai 2 dell'area del rettangolo e l’area di un triangolo con la stessa base ma altezza dimezzata rispetto a quella del rettangolo sia maggiore dell'area di u n quadrato di lato b + 1?

ONG

rest Un’associazione organizza una festa di beneficenza. Gli organizzatori acquistano 150kit di benvenuto al prezzo di 6 € ciascuno e affittano il luogo dell'eventoper 540 €. La quota di partecipazione è di 12 € a persona. Una volta coperte le spese,il resto del ricavato andrà in beneficenza. Indica con x il numero d i partecipanti. a. Quanti devono esserei partecipanti affinché si possano devolvere dei soldiin beneficenza? A]

120 < x £ 150

Bj

x > 120

c|

80 < x < 150

x > 45

Dj]

b. Come cambia tale n u m e serciascun o partecipante effettua anche una donazione di 6 €? 60 < x

< 150

Bj

80

< x < 150

c|

x = 60

x

Dj]

> 30

L o studio del segno di u n prodotto >t e o r i aa pagina so7 Studia i l segno dei seguenti prodotti. Dai risultati ottenuti, deduci i l segno per i valori indicati a fianco.

x(x + 8),

x=-3,0,3.

Li

(3x + 2}{x + 6 ) ,

x=-7,-1,2.

5(x + 3}(2x — 1),

x=-4,0,4.

L o l+

( x —4X6x +1),

x =—-1,0,1.

gog

Bu

1 (x+=3}X2x1).

(3

x=—1,0,1.

— 2x){(4x — 1{2x

— 3},

x=0,1,2.

FONDAMENTALI Risolvere una disequazione con lo studio del segno di un prodotto Risolviamo la disequazione (x + 3}{6 — x) = 0 .

qg

|

Studiamo il segno di ognuno dei fattori: e x+3>0 — x>-3; ® 6-x2>0 — -x2-6 — x< 6 .

Poniam ciascuna e o fattore > &, dui verso della disequazione.

Compiliamo il quadro dei segni.

Nella lettura finale del quadro dei segni, consideriamoIl | verso della disequazione iniziate e includiamo | valori che annuliano Il prodotto solo se i prodotto è 50201

Poiché si richiede che il prodotto sia negativo o nullo,le solu-

zioni della disequazione sono

ul

=

xXxS - _ 3 V x = 6 r e e S e SE SP SUP O

e SR

O

O

O

O

O

O

O

O

O

O

e SNO O

De e

O

S e DO e

e

e Se o e

Su p o ORO O

O

OO OO e

s e SO S e SO e

O

o e o e ao ole o e m l e lee a

lo le

a e ae a a e aio oe a l a e ae c e O a aloe a e a e a e a a a e e c i

e O c e C a a a cio a U e c a

[ } PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

525

ESERCIZI

A]

CAPITOLO 1 1 + L E DISEQUAZIONI LINEARI Risohai le seguenti disequazioni.

>0

(x-5(x+2)

#0

>0

(4 -x}{x +1)

”

= ( x - 1 { x + 6 ( 6 - x } ) = 0 [x = < - 6 v 1 = < xSg]

[3=x= 7]|

(x-3)(x-7)=0

x0

1|

1 12!

( x +x-2){x__]1)=0

x'— 5x0 + 6 2 8]

x +6x2+ 12x+8 > 0

[x#+]

4x2 — 4 x + 1 > 0 x 16]

[x # 0 ] [x > - 2 ]

Lt

x +

xt2 5 x 2 5

> 0 [5 < x 0

Vv x

x

> 5]

[x 2]

[x Z£-2v2=x=5]

5x2 4x +20 = 0

2x(x — 1} {x?+4) < O

[x=0vx=1]

L e disequazioni fratte

3»

numeriche fratte

L e disequazioni

VA

Perché puoi dire che la disequazione V I E

calcolo? |

< - 1 è impossibile, senza effettuare alcun

Hz

FONDAMENTALI Risolvere una disequazione fratta .

.

2x + 3

Risolviamo la disequazione fratta 7 - 7 3 Le

re

* Teoria a pagina 508

Attività interattiva

e

e

e

De

e Se

O

De

oe

E

e SO

A

O

S e g e SO

e

OO SO

O

O

e SO

e

e

SP

SO

O

OP ge

e Se

O

15 e

e

O

e

E

O

x-1 FT

e

GO O

e

O

e

e SO So I g o sog gg male a p n e e

ge e

oe

gore ogg

ur

malore molle one onore g e ago agnese

suo our u e

l e mole ale mole me ale

ue amd

n

ue

Ue

e

De

Scomponiamo in fattori il primo denominatore, calcoliamo il mom e poniamo le C.E.: mem [4(x + 18 ( x + 1 ) ] = 4(x + 1 ) , C E : x #-1.

Riduciamo la disequazione nella forma N 2x+3 _ , _ x - 1 1 xFi 4x1)

=

7”

< 0:

2x + 3 - 1 -{4x + 4 ) — 4{x — 1) 0 a(x+1)

—6x + 3

="

- xi)

N e del denominatore D, ponendo segni deln umeratore i o Per studiare il segno della frazione, s t u d i a m N

> Oe D > 0: N >0-—6x+3>0 D

—

x
DBe 0 > 0,indipendentenvenita del simbel E , 0 — x > - 1 . 1

-1

Compiliamo il quadro dei segni, aggiungendo la riga 4 , ottenuta con la r e g o l a dei segni.

Q u a nAidsi oennmulta, anche +17 si annulla; quande si N

annulla

D, 757 non esiste e lo indichiarno cen 2,

i

segno d i N

+

segno d i D

-

segno di |

+ 0

|

+

"i"

a

+

bi

ESERCIZI

LL) [=

Li ln

6x2+13x4 > 0 (x? — 6x+9){x +2) > 0

[-2=x=2)

ax‘ -6a = 0

LL)

i co i

[x = 0 ]

L i L1+]

pod

“5°

16x+ < 0 LA Le)

Be

ER

[x > - 2 ]

Pec

buo

EA

[ 2 < x < 3]

Lil,

#00

CAPITOLO 1 1 + L E DISEQUAZIONI LINEARI La disequazione richiede che la frazione sia negativa o nulla, quindi scegliamo le zone evidenziate in

giallo. Le soluzioni si ottengono dall’unione di due intervalli: x 1] [x >

>

Po

[x < - 1 v x > 0 ]

x x+ l > o

uu

lx

ud

> 0

ESERC IZI

,

o 0)

uu

2 x ]x + 1

puo

ZA

A

2x +1

x

203

-

E

[x1]

0 =

0

+ |

-

|

deqgueaionei

non si accettano le soluzioni d i B(x) = 0 .

Nel caso c si utilizza invece lo schema grafico dei sistemi, che è u n modo per rappresentare nello stesso schem a le soluzioni delle disequazioni A (x) = Ù e B(x)

> 0.

3

è

2

l'insianne delle soluzioni della disequazione a cui si Le soluzione del sistema è l'iniarguzione degli intilerni delle

Alxl > 0

La soluzione del sistema è data dai valori di x che verificano contemporaneamente tutte le disequazioni. e Scriviamo le soluzioni.

Le disequazioni a e b hanno le stesse soluzioni escluso il valore 4, non accettabile perché annulla il denominatore della disequazione fratta. a

x=-3Vx24;

b. x = - 3 V x > 4 ;

€

- 0 hanno le stesse soluzioni? #15

1-x

+

E le disequazioni ( x 1) (x — 4) :

22

-

x

1

+

> 0 e 212-> 0? x-1>0

La disequazione 2 7 7 > 0 eil sistema [ 5 a

a»

hanno le stesse soluzioni?? Perché? A

520

ESERCIZI

e

8

229

1

> 20

it

[x

i

x 4 x=? —dx + 36 = 0 [ x

(x < 0 A x # 2 ]

LL i

6

x

_ 33;

5

[x

L A 4x2

x 4]

< 3]

iu

-

{ x-3X4-x*)

ars

i

[ x < - 1 v 0 = Z x 3, allora 5x > 3x.

[©] Se x > y, allora 4 > 2, Dj]

S ex > y. allora —x < - y .

DISEGQUAZIONI NUMERICHE INTERE Risotvi le seguenti disequazioni.

124 11 i x > 1

Q G&-464+2 -x(01 +x) + 1 1 < 4x I

xE x 3 -S

@x = 1) - (x + 2 ) ( 4 x 1 ) + 1 1 x 2 3

7x 1 +FAI

VERIFICA DELLE COMPETENZE

P R O B L E MCON I LE DISEQUAZIONI R i s o il v seguenti i problemi,

I

Determina quali numeri naturali # godono della proprietà seguente: diminuendo il numero del 25%, si ottiene u n numero minore d i 33.

U n rettangolo ha un lato che è i > dell’altro. Quali valori può assumere la misura x del lato maggiore affinché il perimetro del rettangolo risulti maggiore di quello di u n quadrato di lato 6 cm? Andrea, per andare in piscina, può scegliere tra due diverse possibilità: 140 € di iscrizione annuale più 2 € per ogni ingresso; 20 € per la tessera di socio più 8 € per ogni ingresso. Per quanti ingressi risulta preferibile la seconda possibilità?

ER

i I Disequazioni s i s t e mD

1 "1

{-2x+12>o

Associa a ogni sistema il suo insieme delle soluzioni. 6 x + 8 >—-2(3x + 2 ) D 0 e x + 2 > 0 sono equivalenti nell'insieme di definizione comune. [v]

[F

[v]

[F

d. La disequazione 1 x 2 < 1 ha soluzione x< 2 V x > 1.

Competenze alla prova R n

Competenze alla prova ARGOMENTARE E DIMOSTRARE 2-x=0

2 -

i +3) 0 e x - 2 > O hanno le stesse soluzioni. ©

Le disequazioni x* + 3x? > 0 e x + 5 < x — 7 hanno le stesse soluzioni.

à . Usistema]

[v] [F]

3“

x? 3 ( x +3+) ” H{5x- + )

x+3 > 3x(x- 1) - 2 5 2

(xD (3x + 1)(1

=

3x) + 2(1

=

|x< è |x=3

3x) > { x - 1 } - x { 6 + x )

< (1-3 ) -(1x-1 )}+ 3 - x X 3 + )

[ v x eR]

2x(x-3x)-3(3x+4) a

E

(x

2) - [

ee

>0

[x > 1]

(3x — 1)® + 4(x — 2}(x + 2) — 2 6 — 52) (1 + x) > 5 ( - 1 — 20) (1 — 20) + 3(x — 4)" — 42

Risolvi i seguenti sistemi di disequazioni.

la > - 3 ]

( a + 1)(a— 2) < 22 + 1 7a + 5 a —- 3)

< 12a

(2x — 1 } < 2(2x + 1){x — 3)

E

l(x-)(x+D) > 2 + x 2 - 2 ( x - 1 )

ji Lia

[impossibile] j

1}? + 2(x® — 2) = 3 ( x+ 1 } { x - 1)

2x{x — 3) + ( x +28 >

5+3x

1

[x

0

CAPITOLO 1 1 + L E DISEQUAZIONI LINEARI

1 ) >—2(x°+ 3) —2 x ( x —

3

—xX{1+x)=x'+1

2-0

ano

3]

> 2(52+1)

Disequazioni mumeriche fratte Risolvi le seguenti disequazioni numeriche fratte.

2x+1 x =_5 < O

3

1

[-34x

_ 5x4

x -=3

2

a412=90 2

a

1

le Esercizi a pagina 555

La frequenza assoluta F. o frequenza, di una modalità qualitativa o quantitativa

The frequency ot a specific

è il numero delle unità statistiche chep r e s e n t aquella n o modalità.

quality is the number of

statistical units within the considered population that

| ESEMPIO Un'indagine svolta su 24 studenti di una classe, relativa ai mezzi di trasporto con cui si recano a scuola, ha dato i seguenti risultati.

I

present that quality.

Legenda: A-automobile; M-motorino o scooter; P-a piedi; C-bicicletta; B-autobus o pullman. A , B , M , M , P .A . A, B P . B C , A, B B , B C , P, B A , C.C, A, M, B.

Contando la frequenza di ciascuna modalità costruiamo la relativa tabella. Modalità

| FrequenzaF

motorino/scooter

bicicletta Totale

A |

La somina delle

| E |

autobus/pullman

frequenze rappresenta i l numero totale d i unità

statistiche considerate, che spesso viene riportato nelle tabelle nella riga Totale.

e

a piedi

a |

automobile

24

L'insieme delle coppie ordinate di cui il primo elemento è la modalità e il secondo la

frequenza corrispondente viene detto distribuzione d i frequenza. Spesso è interessante confrontare il valore della frequenza con il numero totale delle

unità statistiche. Infatti siamo in situazioni diverse se, per esempio, la frequenza di una modalitàè 6 rispettoa u n totaledi 24 o se, i n v e c eè ,6 rispetto a u n totaledi 240,

Per questo motivo viene calcolata la frequenza relativa, di cui diamo la definizione. DEFINIZIONE

La frequenza relativa f di una particolare modalità è il rapporto fra la frequen-

za F della modalità stessa e il numero totale # delle unità statistiche: f= —,

b-

dl

TEORIA

H i usrentorr

DEFINIZIONE

CAPITOLO 1 2 * LA STATISTICA Nell'esempio precedente la frequenza della modalità «automobile» è 6, ossia 6 stu-

denti su 24 raggiungono la scuolain automobile; pertanto la frequenza relativa è

Y

EsERcIZIO Frequenza assoluta, relativa

percentuale e

I n un campione di 3500

La frequenza relativa può essere espressa anche in percentuale, moltiplicandola per 100:la frequenza percentuale della modalità automobile è 25%. Questo significa che, in una distribuzione con le stesse caratteristiche di quella data, su un campione di 100 studenti 25 vanno a scuola in automobile. IP |

ESEMPIO Integriamo la tabella dell’esempio precedente con la frequenza relativa e la frequenza relativa percentuale, approssimata al decimo,

persone, i l 27% ha quardato una certa trasmissione

televisiva. Calcola, utilizzando la formula inversa F = f - n , il

numero delle persone del

campione che ha quardato la trasmissione.

Distribuzione d e l l e f r e q u e n z e a s s o l u t e e r e l a t i v e

TEOR IA

Modalità

Frequenza F

Frequenza | Frequenza relativa relativa f | percentuale f x

automobile

6

1

25,0%

a piedi

3

+

12,5%

autobus/pullman

8

4

33,3%

motorino/scooter

3

+

12,5%

Sas che A = 30, & = 5%,

4

ps

16,7%

è costituito da 200 unità statistiche.

24

1

Qy EsERcIZIO Calcola le frequenza Considera x i , x , X3, X; Comme modalità d i u n carattere.

f = 20%, e che i l campione

bicicletta Totale

Compila la tabella delle frequenze assolute e relative.

100,0%

Osserva la tabella dell’esempio: la somma delle frequenze relative alle diverse moa 1, la somma delle frequenze relative percentuali è uguale a100%. dalitàèuguale (Questa è una proprietà generale, vera sempre. Diamo ora la definizione seguente. DEFINIZIONE

Consideriamo u n carattere quantitativo e ordiniamo in modo crescente le sue modalità. La frequenza cumulata di una modalitàèla somma delle frequenze

delle modalità minori o uguali a essa.

_

'

I | ESEMPIO Alle selezioni per entrare a far parte di una squadra di pallavolo si presentano 20 candidate, che hanno le seguenti età (in anni): 20, 21, 20, 21, 19, 22, 20, 21, 22, 20, 21, 21, 23, 20, 22, 21, 19, 20, 19, 20. Compiliamo la tabella delle frequenze assolute e delle frequenze cumulate. Età

Frequenza assoluta

19

3

3

20

7

7+3=10

Considera l'esempio a fianco.

21

6

6 + 1 0 = 16

Quante sono le candidate che

22

3

3 + 1 6 = 19

23

1

19 + 1 = 20

E quelle che ne hanno meno di 22? Rispondi consultando

Frequenza cumulata |

Osservandola colonna della frequenza cumulata possiamo ricavarerapidamente alcune informazioni. Per esempio, le candidate che hanno al più 21 anni corrispondono alla frequenza cumulata associata alla modalità 21, quindi sono

16. Le candidate cheh a n npiù o di 19 anni e meno di 22 anni sono 16 — 3 = 13,

A

EsERcIZIO

Frequenze cumulate

hiarumwoòopiù di 21 anni?

la tabella.

1 e | dati statistici

La frequenza cumulata, oltre cheper caratteri quantitativi, può essereanchecalcolata per caratteriqualitativi con un ordinamento naturale(i giorni della settimana,i mesi, i titoli di studio e così via). Per convenzione si usa l'ordine crescente. IDEE PER L E COMPETENZE

Frequenze e recensioni Nella vita quotidiana spesso ci troviamo in situazioni in cui prendiamo delle decisioni sulla base di dati, ma per interpretare correttamente i dati che riceviamo non ci basta considerare le frequenze assolute: dobbiamo analizzarle in relazione al numero complessivo dei dati a cui si riferiscono. Consideriamo, per esempio, la situazione d i Chiara, che vuole scegliere u n ristorante per una cena attraverso un’app di recensioni. Dopo una prima ricerca, è indecisa fra due ristoranti: A casa tua, che ha 203 like e 147

dislike, eMangiar sano, che ha 160 like e 90 dislike. Fidandosi delle recensioni, Chiara pensa che sceglierà A casa tua, perché ha 203 recensioni positive, mentre Mangiar sano ne ha solo 160. Ha ragione?

A casa tua, fra like e dislike, ha 350 recensioni.

La percentuale di like rispetto al totale è 203. = 0,58 = 58%. La sua percentuale di like rispetto al totale è E

= 0,64 = 64%.

=

Chiara non ha ragione, perché per ogni 100 recensioni, il numero di like è maggiore per Mangiar sano. L'esempio di Chiara ci fa capire l’importanza di confrontare le frequenze con il numero complessivo delle unità per analizzare i dati in modo corretto. L e classi di frequenza

Studiamo l'altezza di un gruppo di studentesse di 15 anni (tabella a lato). Abbiamo messo i loro nomi in ordine alfabetico e poi assegnato u n numero d'ordine.

i i

:

In casi come questo, è utile raggruppare le modalità in classi, determinando la frequenza di ogni classe. Suddividiamo dunque le misure in cinque classi come nella ; tabella qui sotto. Approssimiamo all’unità la frequenza relativa percentuale. : D i solito l'estremo inferiore di ciascuna classe viene considerato escluso dalla classe, i mentre quello superiore incluso. Per esempio, nella tabella seguente il valore 1,60 è | relativo alla classe 1,55-1,60 e non alla classe 1,60-1,65. ' Fa eccezione la prima classe, nella quale è incluso anche l'estremo inferiore. i

1 2 3 4 5 6

1,36 1,64 1,62 1,68 1,69 1,76

:

7

1,75

'

-

I

Clagge

Frequenza

Frequenza relativa percentuale

1,55-1,60

2

11%

1,60-1,65

5

26%

1,65-1,70

7

37%

1,70-1,75

4

1,75-1,80

1

0

169

'

Il

1,65

21%

'

2

173

5%

:

13

1.68

Il raggruppamento in classi fornisce meno informazioni (per esempio, non sappia- ! m o quanto misurano esattamente le 7 altezze comprese fra 1,65 e 1,70 m), però |

14 15

1,67 1,66

fornisce una sintesi più leggibile del fenomeno.

'

D i ogni classe è spesso utile calcolare il valore centrale, che si ottiene dividendo |; per 2 la somma degli estremi della classe. Per esempio,il valore centrale della classe

1,60-1,65è 1 8 0 41.65 ossia 1,625.

EC

16

1,60

17

1,64 167

18

1,74

TEORIA

Mangiar sano ha in tutto 250 recensioni.

Rn

CAPITOLO 1 2 e L A STATISTICA

BD Le serie statistiche e le serie storiche

=»Esercizi a pagina 557

Una serie statistica èuna tabella che associa le modalità di un carattere qualitativo (mutabile statistica) alle frequenze corrispondenti o alle misure (intensità) corrispondenti. Anche l'intensità, infatti, può essere considerata come u n tipo particolare di frequenza. Possiamo rappresentarla con una tabella. Le serie statistiche sono dette: e rettilinee: quando le modalità hanno un ordine logico di successione, da una posizione iniziale a una finale {per esempio,il titolo di studio); e cidiche: quando è stabilito u n ordine con cui si succedono le modalità, ma non è possibile stabilire qual è il primo termine, ameno di non stabilire una convenzione {per esempio, le stagioni); il ciclo può essere ripetuto; * sconnesse: quando l’ordine delle modalità indicate nella prima colonna della tabella è del tutto arbitrario (per esempio, u n elenco di attività sportive}.

Una serie è detta dicotomica quando la mutabile statistica presenta solo due modalità, che si escludono a vicenda (per esempio, il carattere indagato «essere andato al cinema ieri» ha solo due modalità; «sì» e «no»). IP | ESEMPIO Nella tabella qui sotto è riportato il numero di iscritti (frequenza) nell’anno scolastico 2020/2021 alle scuole statali di ogni ordine. La serie è ret4

tilinea.

cz

La seconda tabella riporta per quattro famiglie il reddito annuo (intensità) re-

ui

lativo all'anno 2020.La serie è sconnessa.

Hi

usten

t o mr

A statistical series is a sel of data categories vath their frequencies.

UL

Li]

Li Li I LI]

Li] Li LI]

Li LI Li |] I)

Li I L)

LI L] LI LI]

LI)

i LI]

i LI i] I] LI]

L LI I L] LI i] LI]

Reddito #6)

Tipo di scuola

iscritti

Famiglia

Scuola dell'infanzia

876 232

Rossi

27 000

2 384 026

Bronn

41050

Scuola primaria

Scuola secondaria di primo grado | 1612116

Bianchi

37 820

Scuola secondaria di secondo grado |

Verdi

29 400

2635110

U n caso frequente di serie statistica è la serie storica, dove la modalità qualitativa è rappresentata da una successione temporale (anni, mesi, ...). Per esempio, la tabella a lato fornisce l’andamento della produzione di mais in un'a-

zienda agricola. Queste seriepermettono di studiare l’andamento di un fenomeno nel tempo (trend) individuare componenti cicliche più o meno regolari e isolare elementi anomali o L'individuazione del trend permette di formulare previsioni per il futuro.

B L e seriazioni statistiche

> Esercizi a pagina 557

Una seriazione statistica è una tabella che associale modalità di u n carattere quantitativo (variabile statistica) alle frequenze corrispondenti. Possiamo rappresentarla con una tabella.

U n esempio di seriazione statistica è proposto nella tabella qui sotto, in cui i 250

appartamenti gestiti da un'agenzia immobiliare sono stati suddivisi secondo le modalità del carattere quantitativo «numero di locali». MHumero di locali

1

2

3

4

5

6

Humero d i appartamenti

10

42

76

80

34

8

542

L] Li E LI I E Li Li I I I i I I E l LI I b Li |]

Li i] i ’ Li Li i LI Li i E L] I LI LI Li]

I] ’ E I i Li Li LI Li E Li t I I I Li I I Li i I I LI i Li Li LI I i I Li I I Ù

Li I I I i I I Li t I Li Li i] LI Li Li LI Li Li i |] E Li LI LI Li

Anno | Produzione | di mals fi} 2008 540

2009 > 010

610

2012

590

320

H m LISTEN T O I T A variate is a quantity which may take any of the values of

a specified set with a specified

relative frequency.

I F Tabelle in riga Le tabelle possono essere disposte sia per colonne, come quelle considerate finora, sia per righe, come quella a fianco.

q

b

2 * L a rappresentazione grafica dei dati

Bb L e tabelle a doppia entrata Nella tabella di seguito, riportiamo il voto finale in inglese e in tedesco dei quindici studenti promossi di una classe. Abbiamo associato a ogni studente il numero dell’elenco alfabetico della classe. HMumero d’ordi

1|2|3

| 4/5

V o t o in inpi

7 IG

| 8& | 6 1 8

Voto n tedesco

| S|

E | 6|

| 617

||

[171718

9 |1I0]11]112|113|14}| 15 | |8& |] 6 1 6 1

617

| 7|7

6 | 6|7|8|7|9|6|7|6|7|6]|8

Per interpretare l'andamento dei due voti possiamo costruire una tabella a doppia entrata che può essere letta sia nel senso delle righe sia nel senso delle colonne. Questa tabella permette d i

- tedesco |

7 | e | o | Totale

|

hi i

ingleseeintedesco,m ’ aanche

D o la tabella a doppia Amalizza

‘10°

di leggere immediatamente

7

1]

quanti sono gli studenti che

8

2|1l0/1

Totale

7]4|31|1

hanno u n certo voto i n tede-

entrata

2]|3]0

Considera la t a b e lal a doppia

15

sco e contemporaneamente un altro voto in inglese. Per esempio, se vogliamo sapere quanti studenti hanno 8 in

e 7 in tedesco,leggiamoil valore che si trova all'incrocio f r ala terza riga e la inglese seconda colonna, ossia 1. Le tabelle a doppia entrata permettono di osservare le unità statistiche sotto due

caratteri. Quando entrambi i caratteri sono quantitativi, come nell'esempio precedente, abbiamo le tabelle di correlazione. Se almeno uno dei caratteri è qualitativo, abbiamo le tabelle di contingenza.

L a rappresentazione grafica dei dati Gli ortogrammi e i diagrammi a blocchi

B

* Esercizi a pagina 557

le frequenze della tabella di pagina 539 riferita al Riportiamo su un asse verticale mezzo di trasporto utilizzato dagli studenti.

Sull’asse orizzontale segniamo tanti segmenti quante sono le modalità, tutti della

numero di studenti [frequenza]

stessa lunghezza. Per ogni segmento trac-

81 77

un rettangolo che ha per altezza la corrispondente frequenza.

sl F A sll e

i

ciamo

&l

La rappresentazione che otteniamo è detta

|

ortogramma. In esso a ogni frequenza cor-

|

risponde u n rettangolo che ha l’altezzaproporzionale alla frequenza stessa.

—

DE

2) E

lall=l

c

E 2

*||2

è

_

mezzo di trasporto

entrata sui voti in tedesco e in inglese riportata a lato. Qual è la percentuale degli studenti che hanno preso 8 in

tedesco e 7 in inglese? Tra i soli studenti che hanno preso 7 in tedesco, qual è la percentuale di quelli che dit

hanno preso 7 i n inglese?

TEORIA

conoscere quanti sono comstudenti che

plessivamente gli

Voto In

CAPITOLO 1 2 * LA STATISTICA I rettangoli possono anche essere disposti con la base sull'asse verticale. Le frequenze sono riportate sull'asse orizzontale e le mo-

modalità di trasporto

dalità sono segnate sull’asse verticale. In questo caso la rappresentazione si chiama

autobus / pullman

diagramma a blocchi (figura a lato). a piedi

Lr

LE

o

O,

— a,

— O.

—E_— a,

N

.

123458678

* Esercizi a pagina 558

BD Gli istogrammi

Consideriamo la rilevazione delle altezze delle

(iron

studentesse di pagina 541. Per rappresentare la distribuzione di frequenze, riportiamo sull'asse

si |

orizzontale i valori degli estremi delle classi, ottenendo così dei segmenti le cui lunghezze rappre-

|

a

&1

H i u s t e nto rr A histogram s a type of statistical qraph in which rectangles proportional in area to (he class frequentcies are erected on sections of the

sentano le a m p i e z z eintervalli(figura lato). Disegniamo poi dei rettangoli che hanno per

S| 2}

horizontal axis. The wikith of each section represents the

basi tali segmenti e la cui area è proporzionale

17

cormespondirg dass interval

alla frequenza della classe. Otteniamo così una

o

1,55 1,50 1,685 1.701,75 1,80 misura dell'altezza [m]

of the variate.

rappresentazione detta istogramma. Se le classi, come nel nostro esempio, hanno tutte la stessa ampiezza, anche in u n

istogramma, come in u n ortogramma,è sufficiente prendere rettangoli con le altezze proporzionali alle frequenze. Se in u n istogramma si congiungono i punti medi dei lati superiori dei rettangoli, si ottiene una spezzata, chiamata anche poligono delle frequenze (figura a). Ogni

vertice del poligono delle frequenze corrisponde al valore centrale di una classe. Se le classi hanno la stessa ampiezza, di solito si considerano come vertici della spezzata anche i punti corrispondenti ai valori centrali delle classi immediatamente pre-

cedente e immediatamente successiva a quelle per le quali la frequenza è diversa da 0. Queste classi hanno frequenza 0 . Per esempio, nell’istogramma della figura a,

Un protliema di

rappresentazione dei dati statistici

consideriamo anche i valori centrali 1,525 e 1,825 delle classi 1,50-1,55 e 1,80-1,85.

Un istogramma può aiutare

Si può verificare che i n tal modola somma delle aree deirettangoli dell’istogramma

a migliorare la consegna di pacchi di un corriere.

1525 1575 1,625 1,575 1,7251,775 1825

© — N tw bd un o

è uguale all'area delimitata dall'asse orizzontale e dal poligono delle frequenze (figura b).

DS = h w n uv o i E

TECR IA

degli

ptudentesse

2 * L a rappresentazione grafica dei dati

Bb | diagrammi cartesiani

* Esercizi a pagina 559

Consideriamo la distribuzione di frequenze riportata nella tabella di seguito, che descrive quante imprese artigiane, fra quelle scelte come campione, hanno un certo numero di dipendenti. Riportiamo sull'asse delle ascisse il numero dei dipendenti e sull’asse delle ordinate le frequenze. Dopo aver segnato i punti, li colleghiamo, e la spezzata che otteniamo rappresenta la forma della distribuzione delle frequenze. Questa rappresentazione è detta diagramma cartesiano. I m p r e s e e n u m e r o d i dipendenti

Frequenza

b a | Sh |

Go | N

Nunvero dipendenti

frequenza

10 81 &1 41 24

123

4 85 è

Con i diagrammi cartesiani si rappresentano spessole serie storiche,dovela spezzata evidenzia l’andamento di un fenomeno nel tempo. Per esempio la spezzata seguente mette in evidenza l’andamento dei prezzi di un

(ESERCIZIO

prodotto in tempi successivi.

riferiscono all'andamento

Uiagramma cartesiano

Le coppe seguenti si annuale del numero dei residenti in un Comune:

vuo Anno

Prezzo (6)

2016

5,80

77

(2007; 8460); (2010: 8485);

&.5T

2017

6,40

2018

6,60

2019

6,20

2020

6,80

(2007: 8450]; (2008; 8490];

(2011: 8494):

(2012: 8502].

Rappresenta la serie storica

6+

mediante una tabella e un

diagramma cartesiano. “015

2016 2017 2018 2019 2020 2021

> Esercizi a pagina 560 bp G l i areogrammi L'’areogramma, detto anche diagramma circolare o diagramma a torta, è particolarmente utile per rappresentare le frequenze relative percentuali. Si presenta come u n cerchio che viene suddiviso i n tanti settori circolari. Ognuno d i

Hi

sten

to

rr

A pie c h a r tis a diagram in which a circle is broken down

questi settori corrisponde a una modalità qualitativa o quantitativa e ha un'ampiezza {e quindi una superficie) proporzionale alle frequenze.

into its constituent parts. A number of degrees out af the total of 360° is allocated

Gli angoli al centro dei diversi settori hanno ampiezza proporzionale alle frequenze percentuali.

proportionaliy to the total

Per determinare l'ampiezza x corrispondente a una certa frequenza relativa percentualefx, si utilizza la proporzione: x

7 360°

=

fa

100

x =

360° -fi i

represented by each part.

TEORIA

numero dipendenti imprese artigiane

CAPITOLO 1 2 e LA STATISTICA I

| ESEMPIO Nella tabella a fianco, consideriamo le frequenze relative percentuali dell’altezza delle studentesse già esaminate in un esempio precedente. 1,75 - 1,80 1 , 5 5- 1.60 L'ampiezza dell'angolo al centro del set-

CGiassa

fa

1,55-1,60

11%

tore circolare corrispondente alla classe 1,60-1,65, che ha frequenza relativa per-

1,60-1,65

265%

1,65-1,70

37%

centuale 26%, è:

1,70-1,75

21%

_ 360° 2 6 _ = x = - — 00

1,75-1,80

59%

936".

Allo stesso modo si r i c a v ale n oampiezze degli altri settori.

1 , 4 0- 1,45

C O N I L FOGLIO D I CALCOLO L a valutazione d i una

verifica

p_ Altre rappresentazioni

* Esercizi a pagina 561

Gli ideogrammi utilizzano figure che richiamano il contenuto del fenomeno e ne danno una visione immediata.Le figurehanno dimensioni diverse,con areeproporzionali ai dati che rappresentano. IP

elettronico che: &.

dente ideogramma. Notiamo subito che il numero di automobili vendute è au-

permetta di registrarei voti ottenuti;

bb. dia i n uscita le frequenze

dei voti raggruppati if

| ESEMPIO Consideriamo la serie storica della tabella seguente, che riporta il numero di automobili vendute da un concessionario. Disegniamo il corrispon-

TEOR IA

Per valutare una verifica,

imposta un foglie di calcolo

classi: ©

rappresenti la situazione con un areogramma,.

menitato negli anni. Automobili v e n d u t e

Amo

Numero automobili vendute

2017

161

2018

194

2019

215

2020

257

MATEMATICA INTORNO A NOI il fumo fa male?

2019

I l fumo rappresenta uno

2020

dei principali fattori di rischio nell’insorgenza di

numerose patologie che colpiscono in primo luogo

I] cartogrammi sono grafici utilizzati per rappresentare dati relativi ad aree geogra-

fiche. Si costruiscono utilizzando una carta geografica del territorio considerato e segnando le varie aree con colori diversi, o con segni convenzionali come puntini più o meno fitti o diversi tipi di tratteggio. Una legenda accompagnala rappresentazione per consentire la lettura del fenomeno considerato. I | ESEMPIO A n a l i z z i ailmcartogramo

ma in figura relativo al numero di operatori del settore formaggi DOP per

regione italiana {anno 2009). Il cartogramma fa risaltare, l'assenza di operatori in Liguria e Abruzzo: in queste regioni, secondo questa rilevazione, non esistono formaggi DOP. Inoltre, evidenzia che la regione con il

maggior numero di operatori è la Sar-

degna.

l'apparato respiratorio e quello cardiovascolare. * Perché possiamo affermare che, i n chi smette d i fumare,

i l rischio si riduce progressivamente fino

ad avvicinarsi a quello dei non fumatori?

3 e Gli indici d i posizione centrale

R O MATEMATICA PER IMMAGINI ll radar dello studente

Il g r a f i cin o figura si

chiama grafico radar ed è una rappresenta-

zione dei datiutile per visualizzare contemporaneamente tre o più

caratteri di una unità statistica. Per esempio, il grafico in figura mostra il rendimento scolastico di due studenti, Anja e Roberto. Su ogni asse uscente dal centro è rappresentato il voto d i fine anno i n una materia. Osservando ogni assepossiamo, a colpo d'occhio,confrontare i risultati dei due studenti. Inoltre maggiore è l’area racchiusa dal poligono corrispondente a uno studente, maggiore è il rendimento complessivo.

fisica

SCIenze

I grafici radar sono utili in diversi ambiti. Li potresti usare, per esempio, per confrontare smartphone diversi rispetto a più caratteristiche, come la durata della batteria, il prezzo, la risoluzione dello schermo, la capacità

di memoria... I grafici radar si possono usare anche per visualizzare come sono cambiate nel tempo le caratteristiche di una stessa unità statistica. Per esempio, per vedere in modo immediato se il rendimento di Anja in ogni disciplina è migliorato, peggiorato o rimasto costante, potremmo sovrapporre il grafico radar dei voti del primo quadrimestre scolastico a quello relativo al secondo quadrimestre. TEORIA

!

i i

Gli indici di posizione centrale

” :

1

1,77

In statistica si cerca spesso di riassumere una serie di dati con u n numero (compreso ! tra il minimo e il massimo valore della distribuzione) che esprima sinteticamente il i fenomeno:per questo motivo esistono gli indici diposizione centrale, comela media, |

2 3 4

1,69 1,69 1,73

5

1,62

la

mediana e l a moda.

' i

.

a

-

-

'

6

1,70

> Esercizi a p a g i n a 563 |

-

168

Supponiamo di voler confrontare l'altezza del gruppo di studentesse della tabella di pagina 541, che chiamiamo gruppo A, con quella delle studentesse del gruppo, che ! ‘ chiamiamo gruppo B, di cui riportiamo i valori nella tabella qui a lato.

8 9

164 77%

10

1,68

12

1,75

13

1,68

O L a media aritmetica

|

i

Affiancando le tabelle delle frequenze dei due gruppi, scopriamo che non è facile 1 ' effettuare un confronto. ' Ciasse

Frequenza g r u p p o A

| Frequenza gruppo 8

ld!

’ 1

1,72

Li

1,55-1,60

2

0

‘

14

1,77

1,60-1,65

5

2

'

15

1,73

1,65-1,70

7

7

'

16

1,66

1,70-1,75

4

4

'

1,75-1,80

1

3

'

LISTEN TO IT

: :

mean, is delined as the sum of the terms draded by the

Calcolando, invece, la media aritmetica relativa ai due gruppi di dati, otteniamo un'informazione sintetica sulla distribuzione dei dati.

The arithnmetic Mean, or

number of terms.

547

CAPITOLO 1 2 * L A STATISTICA

DEFINIZIONE

L a media aritmetica M, o media, di una sequenza di quoziente fra la loro somma e il numero tr.

7

INTORNO A N O I

numeri x;, X» . -

La velocità madia

Un'auto di Formula 1 è impegnata, per u n test, a percorrere 30 giri di u n circuito: percorre ì primi 15

tx

_ Xitxzt

M= Li

a

ari

a una velocità media di 150 k m / he gli altri 15 à una

La media aritmetica M , dei dati del gruppoA è — 156

Ma

+1,64+1,62 +... + 1,64 + 1,67 + 1,74 19

velocità media di 210 km/h. =

a Qual è là velocità media

1,672,

della vettura sui 30 giri?

b. I risultato cambierebbe

mentre la media aritmetica M,; dei dati del gruppo 5 è Me

_ 1 , 7 7 +1,69 +1,69 +... 16

+1,77 +1,735+ 1,66

=

se | giri percorsi fossero

22 a 150 k h e Z2 a

= 1,704.

210 km/h? d I DE

E

o

l o lee

e

colle ole elle lle e

E

o

E

E

E

DE

E

Poiché Me > Ma, possiamo dire che le studentesse delg r u p pBohanno mediamente un'altezza maggiore di quelle del gruppo A.

Negli esempi precedenti abbiamo utilizzato la media come valore di sintela zona della distribuzione dove si addensano maggiormente i risultati. Quando u n valore di sintesi ha questa proprietà, diciamo che è u n buon indice di posizione centrale. Come vedremo, n o n sempre la media è u n buon indice di posizione centrale.

PP L a media ponderata

Per determinare la media aritmetica del numero giornaliero di clienti calcoliamo: 1 2 volte

" 1 volte

1 4 volte

S vole

7 volte

1 2 volte

‘ 1 vole

... — 4+...+4+5+...+5+6+...+6+7 +... +7+ 8 + . . . + 8 + 9 + . . . + 9 + 1 0 ++10

M-

12+11+14+8+7+12+11

'

Scriviamo in maniera più sintetica il numeratore, moltiplicando ogni valore (il nu-

mero di clienti in un giorno) per la sua frequenza (il numero di giorni che si è presentato quel numero di clienti); otteniamo:

9 - 1121 _ 517 4 - 1 2 + 5 - 1 1 + 6 - 1 4 + 7 - 8 + 4 + 8 - 7 ++10

M =

12+1i+i4+8+7+12+1i

n”

|]

| Sh | u f | eh

Consideriamo la tabella a lato, dove è riportato il numero dei giorni in cui c'è stato u n certo numero di clienti in u n negozio di scarpe durante il periodo dei saldi estivi.

pia

* Esercizi a pagina 564

O | oe |

TEOR IA

si, ossia come u n valore che riassume una caratteristica di u n insieme di dati. Inoltre possiamo notare che, in questi esempi. la media si trova proprio nel-

12

10

11

6,89 i

Durante il periodo dei saldi estivi, in media si sono presentati in negozio quasi 7

t i giorno. d i e n al La media calcolata in questo modo è un caso particolare di un tipo di media più

generale.

4

EsERCIZIO Media ponderata

Un campione di 40 famiglie

DEFINIZIONE

è così costituita: 4 famiglie

Data una sequenza di numeri X,, Xx .... t, CON associati i numeri pi. Pr... P m detti pesi, chiamiamo media aritmetica ponderata M , il quoziente fra la somma dei prodottideinumeri per i loro pesi e la somma dei pesi stessi.

sone formate da u n solo componente, 14 famiglie da 2 componenti, 19 famiglie da 3 componenti, 3 famiglie da & componenti. Calcola la media ponderata del numero dei componenti

M.= P

L

X p + x2par+ Phitpit...

+ XP + Pa

_i

del nucleo familiare.

3 e Gli indici d i posizione centrale Li

La media a r i t m e t iècun a caso particolare di media ponderata in cui tutti i pesi sono ILI LI

uguali.

Li LI I i

( Y EsERcCIZIO Trova l'errore Nell'ultimo mese Marco

Se calcoliamo la media aritmetica ponderata nel caso di dati raggruppati in classi, Li

ha comprato tre volte le

possiamo assumere come valori x;, X » -..;x, i valori centrali di ogni classe ecome pesi le frequenze.In questo casoil valore ottenuto per la media aritmetica ponderata può essere diverso dalla media aritmetica dei dati.

pesche. La prima settimana ha comprato 4 kg a 12,20 €. la seconda 3kg a 9,60 € e

IP

# ESEMPIO Calcoliamo la media aritmetica ponderata relativa al gruppo A (ta-

Li Li LI I

Li Li I LI

Li i LI)

bella di pagina 547):

Li L i

_ 1,575:2+1,625-5+1,675:7+1,725:4+1,775:1 _

M,=

LI i

2+5+7+4+ 1]

=

1

Li L

1,667.

l'ultima volta ha preso 5 kg spendendo 13 €.

Marco conclude che ha comprato le pesche a un

prezzo medio di 11,50 €E/kg. Quale errore ha commesso?

Li]

Il valore ottenuto è diverso,anche se dipoco,dalla media aritmetica 1,672 che si ottiene facendo la somma delle singole altezze e dividendo per 19, in quanto in

ggni classe abbiamo sostituito ai valori della classe il valore centralemoltiplicato

' Li i i LI

' i L)

LI L]

per la relativa frequenza. La media ponderata è particolarmente significativa quando i pesi servono per indicare l’importanza dei diversi valori.

i i LI i 1

LI LI i il Li]

I | ESEMPIO A i cinque quesiti di una prova som-

i

L

i

P

LI i Li]

_2-14+4-2,54+4-14+2-14+8-25 _ =475. IF35FIFIT25 M,=

2 4 4 ;

1 2,5 1 I

8

2,5

LI L i

TEORIA

mativa viene attribuita una diversa importanza. 1 punti ottenuti per ogni quesito da uno studente sono quelli della tabella a destra, dove sono anche riportati i pesi da attribuire a ciascun quesito. Calcoliamo la media ponderata:

LI)

LI i i ' ' L]

i LI)

LI i LI)

|

LI ' i i i

Il valore che otteniamo è maggiore di quello della media aritmetica semplice Li ( M = 4), perché i punteggi più alti sono stati conseguiti nei quesiti ai quali è stata data maggiore importanza.

LI)

Li LI LI i i

1

e . L'indaginestatisticaela media

Mm

Li

o

I n un'indagine statistica sono spesso identificabili due fasi

fondamentali:il rilevamento dei datie l'elaborazione deidati. In questa seconda fase vengono spesso utilizzate le medie. La raccolta completa dei dati può essere molto lunga e costosa

nel caso d i popolazioni numerose. Per questo motivo la maggior parte delle raccolte di dati è effettuata su un campione. Le informazioni volute si possono ottenere facendo compilare u n questionario, che di solito è anonimo.

Una volta raccolti i questionari compilati, e si contano i questionari per sapere il numero effettivo delle unità che costituiscono il campione; si contano le diverse risposte date a ciascuna domanda predisponendo tabelle di spoglio;

si rappresentano graficamente i dati; si elaborano i dati con i metodi matematici più opportuni; si interpretano i dati e si traggono conclusioni che possano essere valide per tutta la popolazione.

Rn

CAPITOLO 1 2 e L A STATISTICA Riportiamo u n esempio di rappresentazione grafica dei dati, relativi aun'indagine Istat compiuta su u n campione di popolazione italiana, che mostra le percentuali di persone, divise per fasce di età, che hanno incontrato gli amici più di una volta a settimana nel 2019.

40%

30%

30,5%

-

%

21

22

23,9%

20%.

-

— 18,7%

10%

-

-

+}

610 anni

1 1 - 1 4 15-17 18-19 2 0 - 2 4 25-34 anni anni anni anni anni

35-44 anni

45-54 anni

55-59 anni

60-64 anni

65-74 anni

75 anni e più

TEOR IA

m osi tratta di un ortogramma (e non d i un istogramma) perché, anche se le classi hanno amO s s e r v i a che

piezza diversa, i rettangoli hanno tutti la stessa larghezza ed è la loro altezza (e non la loro area) a essere proporzionale alla percentuale. Come esempio di elaborazione dei dati, nell'ipotesi che sia stato intervistato lo stesso numero di persone per ogni età, calcoliamo la percentuale media di persone che hanno incontrato gli amici più di una volta a settimana. Consideriamo le percentuali dell’ortogramma come le modalità quantitative di cui dobbiamo calcolare la media, e l'ampiezza delle classi d’età come il «peso» di ogni modalità. Per esempio,la modalità 30,5% relativa alla fascia 6-10 anni ha peso 5. Assegniamo all'ultima classe, quella «75 anni e più», ampiezza 21, così da

considerarela fascia 75-95 anni. Otteniamo la media: 2387 2 6 , 5 . M = 30,5-5+36,8-4+...+ 2 3 , 9 - 1 0 + 1 8 , 7 - 2 1 =" 5+47+..F i o 12]

Estendendo il risultato del campione all’interapopolazione, concludiamo che, nel 2019, il 26,5% degli italiani dai 6 ai 95 anni ha incontrato gli amici più di una volta a settimana.

Fai una ricerca per approfondire l'argomento. Sul sito dell'Istat (istat.it), nella sezione Informazioni e servizi/Per studenti e docenti/Pacchetti didattici, puoi trovare alcuni documenti per capire e usare al meglio le statistiche. Un documento è dedicato al metodo di indagine statistica.Puoi consultare anche la sezione

I

Dati alla mano, che ti aiuterà a capire dati, concetti e termini usati spesso in T V e sui giornali.

BB La mediana

z i 545 > E s e r ca ipagina

8, 12, 7, 9%, 4, 10, 55. i sette valori seguenti: Consideriamo C a l c o l i a mlao media aritmetica:

M= 84121749 44410455 15.

15 non è un buon indice di posizione centrale in quanto tutti i numeri, tranne 55, sono minori di 15. È proprio la presenza del numero 55, molto maggiore degli altri,

che «sposta» il valore medio rispetto alla posizione centrale. Preferiamo allora scegliere un altro indice di posizione centrale,in questo modo: e disponiamo i numeri in ordine crescente (o decrescente): 4, 7, 8,

9, 10, 12, 55;

e scegliamo il valore 9, che sta al centro. Tale valore è detto mediana.

La mediana di una sequenza dispari di numeri suddivide la sequenza in due gruppi contenenti lo stesso numero di elementi.

550

4 e Gli indici di variabilità Si può determinare la mediana anche se il numero dei dati è pari. Cerchiamo, per

7

esempio, la mediana di questi otto valori:

Definizione di mediana

Rn

EsERcIZIO

La mediana delle altezze dei 24 ragazzi di una classe è

36, 22, 41, 8 , 33, 46, 38, 44.

1,48 m. Sapendo che uno dei

Dopo averli disposti in ordine crescente,

ragazzi è alto proprio 1,68 m, alirveno un altro studente deve essere alto 1,48 m.

8. 22. 33, 36, 38, 41, 44, 46,

36 e 38. c adue valori centrali, lamedia a r i t m e t idei prendiamo come mediana

Spiega perché.

La mediana è: LISTEN TO I T

M, è: D a t ala sequenza ordinata di # numeri x,, X>, ---+ Xi», lam e d i a n a

il valore centrale, se n è dispari; e la media aritinetica dei due valori centrali, se #t è pari. @

PP L a moda

=” Esercizi a pagina 566

Y

EsERCIZIO

Hadiana è m a d a

1 , 7 , 3 5 , 3, 15, 2, 10, 3, 12, 4

| prezzi delle banane lin €/kg). rilevati in un certo giorno a l

TEORIA

mercato di una città, erano

crescente: i o l senso e o r d i n i a m in 1, 2, 2, 3 3 3 3 ,

«i

habes.

i valori Consideriamo 38235

The median ts that value of the variate which divides the total freguency into two

i Sequenti: 1 , 9 5 : 1 , 9 5 . 1,85:

3 , 4, 3 5 7 , 8, 10, 12, 15.

1,95: 2,10; 1,65; 2,10. Trova la

mediana è la moda,

Usserviamo che il 3 ha una frequenza molto maggiore rispetto agli altri e che diversi altri valori presenti si trovano vicino al 3.I n questo caso si preferisce assumere come indice di posizione centrale tale numero, che viene chiamato moda.

H i ustentomr

DEFINIZIONE

Date l e modalità qualitative o quantitative X;, Xx» ... Xx» si chiama moda M, la modalità a cui corrispondela frequenza massima.

The made is that value of the variate which is assumed by the greatest number ot members of the population.

La moda indica il valore più «presente» nella distribuzione. Ci sono serie di dati che

hanno più di una moda. Consideriamo,per esempio,i risultati di u n compito in classe riportati nella tabella a

fianco.La distribuzione è bimodale,ossiaha due valori distinti per la moda: infatti ha per moda sia 5 sia 7. Ciò significa che nella classe si possono distinguere due gruppi

di studenti: uno sufficiente e uno insufficiente. Questo tipo di informazione sarebbe

V o t i d i u n compito

Voti

4|5|6|7 |8

Frequenza |2,9|3]9|2

andato perso se avessimo riassunto i risultati del compito con la media o la mediana, che, come puoi verificare, valgono entrambe 6.

‘4

Gli indici d i variabilità

Le due sequenze di valori: a. 12, 24, 32, 43, 56, 74, 88;

b . 42, 43, 44, 46, 49, 52, 53

sono costituite dallo stesso numero di valori e, per entrambe, la media è 47. Tuttavia, la distribuzione dei valori intorno al valore medio 47 è diversa per le due

sequenze: i valori della seconda sequenza sono più vicini al valore medio, mentre quelli della prima sono più sparsi.

551

DL

i!

CAPITOLO 1 2 * LA STATISTICA I n statistica, per indicare questo fatto, si dice che le due sequenze hanno diversa e d i s p e r s i oon variabilità. Per misurare la dispersione si usano indici di variabilità come il campo di variazione, lo scarto semplice medio e la deviazione standard.

P Il campo di variazione

> Esercizi a pagina 588

A

EsERCIZIO

bedia e campo di variazione

DEFINIZIONE

Calcola la media

Il campo di variazione K di una sequenza di numeri è la differenza fra il valore r evalore minore. e il maggio

di variazione dei periodi di

Per esempio, nella sequenza a il campo di variazione è K, = 88 — 12 = 76, nella sequenza b è Kp = 53 — 42 = 11. Osserviamo che è Kj < K,. Come previsto.

L o scarto semplice medio

> Esercizi a pagina 548

è

il campo

passaggio della cometa di Halley, che hanno intervalli

disequali a causa dell'effetto gravitazionale dei pianeti Giove & Saturno. | perdi, in anni, degli ultimi dodici

passaggi sono stati: 75,8: T h , 16,9. 76,3; 74,9, 76,1; T5.,2; 7.6: 77.0: 79,1: 77h: LA

Il campo di variazione non è un indice molto accurato, in quanto tiene conto soltanTECR IA

to del primo e dell’ultimo valore e non di quelli intermedi. Inoltre non tiene conto delle frequenze.

Consideriamo le due sequenze di numeri:

14556

7, 7, 7, 12;

d 1 , 1 , 2 3, 3, 10, 11, 11, 12

che hanno lo stesso numero di valori, la stessa media, 6, e lo stesso campo di variazione, 11. Tuttavia i valori della sequenza d sono più lontani dal valore della media

6 di quelli della sequenza c.

Cerchiamo un indice che permetta di rilevare questa differenza.

Per ogni valore della s e q u ecncalcoliamo za lo scarto a s s o l udalla t o media, che è la differenza in valore a s s o l ufra t oil valore s t e s se o la media aritmetica.Indichiamo con 5, il primo scarto, con 5. il secondo e così via.

S=|1-6|=5,

$$, =|5-=6}=1,

$7=|7-6|=1,

$=|4—-6|=2,

5

Se=|7—-6|=1,

5

S s =|7-6|=1,

=|5-6|=1,

=i6-6|=0,

S e=|12 — 6 | =6 .

Calcoliamo ora l amedia aritmetica degli scarti, chec h i a m i ascarto m o semplice medio e indichiamo con S.. poiché riferito alla sequenza c: $

e

=

5+2+1+1+0+1+1+1+6

9

=2.

Ripetendo ilprocedimento per la sequenzad, otteniamolo scarto semplicemedio Sx _ S5+5+4+3+3+4+5+5+6 Lo

=

4,4.

Osserviamo che S, > S.: in d i valori sonomediamente più lontani dalla loro media.

552

EsERcCIZIO Scarto semplice medio

È stato rilevato per dieci

Il valore2 dello scarto semplice medio ci dice che,mediamente, i valori della sequenza c si discostano di 2 dalla media.

Si

Y

giorni consecutivi i l prezzo

lin £/kg) della zucca «piacentina» i n u n mercato generale all'ingrosso di frutta e verdura:

1,25: 1,10; 1,10, 1,15, 1,106: 1,05: 1,00; 0,95; 0,90; 1,05.

Calcola lo scarto semplice medio.

4 e Gli indici di variabilità +

i s t a n z adalla media

Gli scarti dalla media

Lo scarto (0 scostamento) semplice medio 5 di una sequenza di numeri X;, X» Xn È lamedia aritmetica dei valori a s s o l udegli t i scarti dei numeri stessi dalla sc;

M. loro media aritmetica

sono considerati in valore

assoluto, perché ciò che interessa è la distanza di ogni dato dalla media e non se il dato è minore o rmnaggione del

valore medio stesso. —

dn

Osservazione. Non avremmo potuto utilizzare la media degli scarti perché vale la prima proprietà della media aritmetica: la media aritmetica degli scarti, non con-

siderati in valore assoluto, è sempre uguale a 0. Dimostriamo questa proprietà. I

È DIMOSTRAZIONE

Indicati C o n Xx, X7 - - . ; Xa i d i v e rdati s i e con M la loro media aritmetica,lamedia

degli scarti è: M)+(x.

— M}+

Xi t x a t

xt

M)

a

FX

=

n volte

FX MM... n

e

xa t i

+ (x

sa

n

Mo

NM =

a p t xa t i ”

FT Ka

E M=M-M=0. E

E

TEORIA

{x1—

i

> Esercizi a pagina 569

Bb L a deviazione standard

La deviazione standard èu n indice più sensibile delprecedente e si basa sulla secondaproprietà della media aritmetica:la somma dei quadrati degli scarti dalla media a r i t m e t i cèa sempre minore della somma dei quadrati degli scarti da un valore Se si tiene come valore di riferimento la media aritmetica, la somma dei quadrati

degli scarti assume il valore minimo.

Consideriamo otto valori 4, 7,

9, 13, 14, 18, 21,

34, la cuimedia aritmetica è 15.

Per ogni valore calcoliamo lo scarto e lo eleviamo al quadrato. I valori che si ottengono si chiamano scarti quadratici. ( 4 1 5 1 = 121;

( 7 - 1 5 = 64;

(9-15 = 36

( 1 3 - 1 5 = 4;

(14-15 = 1 ;

(18-15 =%

( 2 1 - 1 5 =36,

(34 — 1 5 }= 361.

C a l c o l i alammedia o degli scarti quadratici, chiamata varianza, che si indica con o? {si legge «sigma al quadrato»):

=

121

+64 +36 + 4 +1 + 9 4 36 + 361 = 7%.

A

ESERCIZIO Deviazione standard Unazienda agricola ha

La radice quadratadella varianzaprendeil nome di deviazione standard ed è indicata con la lettera greca d (si legge «sigma»): d = 7 9 — 8,8882.

La deviazione standard 6 o scarto quadratico medio di una sequenza di numeTÀ X1, X2, ..., X n È la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli scarti

dei numeri stessi dalla loro media aritmetica.

a= A

quantità di patate [m quintalal:

1500, 1400, 1600, 1300, 1200, 1400.

DEFINIZIONE

q

prodotto in se: diversi anni consecutivi Le seguenti

M Y +(x:-MY + . . + { ( x 7 MY}

d

Calcola la deviazione standard della produzione.

GUARDA!

Mappa dei fondamentali

appainterattira

S i n t ein s i7lingue

STATISTICA Frequenze, indici e rappresentazioni grafiche sono utili per organizzare i dati raccolti in un'indagine statistica. Vediamolo con u n unico esempio: i voti di Marco all'università. E]

a n

FREQUENZE

: | INDICI

Consideriamo i voti ottenuti da Marco nei primi 1 0 esami all'università:

: ”

LI

FE

Voto

:

fx

f

TEORI A

q

24

1

0,1

10%

25

3

0,3

30%

27

1

0,1

10%

: ' ‘

M-Xi+X2a+..+Xo ri

'

L_—_—

M=

numero dei termini

24 + 25-3+27+28:2+30-3 = 27,2. 10

:

Mediana: i n una successione crescente, AM,

:

2

0,2

20%

'

è il valore centrale se n è dispari, la media dei due valori centrali se n è pari,

3

0,3

30%

:

24, 25, 2 5 , 25, 27, 28, 28, 30, 30, 3 0 .

:'a

. . Me = 27,5 Moda: M,. indica i l valore o i valori che

à '

hanno frequenza maggiore; My: 25 e 30.

: |

DI variabilità

'

Deviazione standard:

58 30

* D i posizione centrale Media aritmetica:

relati

uenza relativa freq percentuale:

luta frequenza assoluta: quante volte è stato ottenuto i l voto

( F - 100)%

:

frequenza relativa

f=

pi

Er)

{n = 10, numero degli esami sostenuti)

:

o =a

MY + + (xa MY i

Li]

Li Li Li | i

o -\/24-27.27 + . + 3 0 27,2} = 2,23.

Li Li Li] I]

:

ch

RAPPRESENTAZIONI GRAFICHE DEI DATI e Ortogramma

24

25

27

voti

e Diagramma cartesiano

28 3 0

FONDAMENTALI ALLA PROVA

_

Areogramma

rt

24 25 26 27 28 29 30 voti

> pag. 572

#

25 30%

ESERCIZI | dati statistici Popolazione, unità statistiche, carattere, modalità > Teoria a pagina 537 e 538 po

F E R A Scrivi u n carattere qualitativo e u n carattere quantitativo che potresti rilevare sulla popolazione della tua classe. |

FONDAMENTALI Riconoscere gli elementi di una rilevazione statistica

dei libri. Quali sonola popolaIn una biblioteca viene effettuata un'indagine sulla durata del prestito zione, le unità statistiche, il carattere € lemodalità?

Possiamo assumere come popolazione di questa indagine le persone che frequentano la biblioteca; quindi l’unità statistica è il singolo utente della biblioteca. Il carattere da rilevare è la durata di un prestito ed è quanda 8 a 15 giorni, da 16 a 30 giorni, oltre 30 giorni. titativo. Le modalità potrebbero essere: da 1 a 7 giorni, E

E

lee o e ele ele E

Re

E

E

o e DE

E

E

E

ce

E

E

DE DE a e e

E

ele e l e

E

e

E

E

E

DE

E

o

o

ole e

E

e

E

E

De a e

E

E

cole D e l e

E

oe e

E

e o

E

o

e

E

e

E

E

o

DE D e D e =

e

OD

o a

o

o

o

DO DODO DOO DO

O

DO

o Ro DO

I n ognuna delle seguenti indagini statistiche indica quali sono la popolazione, le unità statistiche e it carattere. Indica, inoltre, s e i l carattere è di tipo qualitativo o quantitativo e fai esempi d i modalità possibili.

E "99

In una scuola viene svolta un'indagine sull’altezza degli studenti iscritti.

All’Università di Bologna è stata effettuata una "°° rilevazione sui diversi tipi di scuola superioreda cui provenivano gli iscritti al primo anno. Liri)

A Milano è stata effettuata un'indagine sull'età delle persone che si sono recate allo stadio per il

DER In un Comune si svolge un'indagine sull'uso dei "9° diversi mezzi di trasporto. E

All’interno di un parco naturale viene fatta ° ° un'indagine sul tipo di uccelli presenti. Un'indagine rileva il numero di partite della E “°°

superlegadi pallavolo che ogni anno si sono concluse al tie break negli ultimi trent'anni.

derby cittadino.

O Le tabelle d i frequenza L$

> Teoria à pagina 539

Attività interattiva

FONDAMENTALI Determinare le frequenze 2 I dati che seguono si riferiscono all’età, in anni compiuti, di persone che hanno conseguito la patente presso un'autoscuola in un certo periodo: 18, 20, 18, 19, 21, 24, 18, 30, 31, 24, 19, 20, 19, 18, 18, 18, |

25, 22, 25, 24, 18, 19, 27, 21, 32, 28, 18, 21, 24, 23, 25, 30, 18, 23. Compiliamo la tabella di frequenze e calcoliamo le frequenze relative, esprimendole anche in percentuale.

Raggruppiamoi dati in classi.Per esempio, consideriamole

tre classi:18-22, 22-27, 27-32.

Ciassi

Contiamo poi il numero delle persone per ogni classe, cioè

18-22

19

19

la frequenza della classe, e compiliamo la tabella delle frequenze e delle frequenze cumulate.

22-27 27-37

10 5

10 + 19 = 29 5+29=34

Totale

34

|

Frequenza

cunndata

p

ESERCIZI

e

CAPITOLO 1 2 * L A STATISTICA Per calcolare le frequenze relative, dividiamo il numero di persone di ogni classe per il numero totale. Otteniamo i seguenti valori (approssimati): età

18-22:

=

19

34 10

22-27:

34

che: Controfiiamao

= 0.56;

®

0,29;

37.32: =

ll totale delle frequenze relative sia 1 e quello delle frequenza relative percentuali sia 100%;

x

* la frequenza cumulata relativa all'ultimo modelltà

sia uguale al totale delle frequenza assoluta.

0,15.

Le frequenze percentuali si ottengono moltiplicando per 100 le frequenze relative calcolate: età:

0 , 5 6- 100 = 56%: 0,29- 100 = 29%; 0 , 1 5 100 = 15%.

18-22: 22-27: 27-32:

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

ESERCI ZI

Per ognuno dei seguenti esercizi raggruppa i dati i n classi, compila la tabella con le frequenze assolute e cumulate, poi calcola le frequenze relative, esprimendole anche i n percentuale.

i

Pioggia caduta quotidianamente nel mese di marzo in una certa località, espressa in millimetri:

7

2 , 3 , 3 5 , 4 6 , 8 , 5 5 0 0 0 1 , 1 , 4 2 , 5 , 1 , 0 9 , 0 , 0 , 1 , 2 , 2 , 0 , 1 , 0 , 1 , 2 , 4 ,0 , 3 .

N u m e r o delle autovetture noleggiate quotidianamente da una società nel corso di u n mese: 4,10,12, 25, 20, 22, 25,13, 12, 12, 10, 20, 25, 25, 10, 10, 13, 10, 10, 22, 22, 20, 13, 12,10, 14, 13, 2,5, 8.

‘n LI

‘RL i

A un Esame di Stato i candidati hanno conseguito il diploma con i seguenti punteggi (in centesimi):

#00

i

Punteggio

‘

N. di candidati

60 | 64 | 70 | 722 | 78 | 80 | 84 | 88 | 94 | 100 1 | 2]|4]|1|/2[|5[{3|2]3]|2

!

Per poter partecipare a un concorso occorre aver conseguito il diploma con u n punteggio di almeno 80/100.

‘

e a rconcorso? che può p a r t e c i pal Qual è la percentuale dei candidati

:

A]

20%

50%

|

Cc]

60%

BD]

80%

Li

‘ E H Nella seguente tabella, d rappresenta la distanza în metri fra l'abitazione e la scuola di ciascuno degli alun‘ # 2 2 ni di una classe. ' ! !

:' ”i Li LÌ

i

Distanza in metri della scuola

Numero

Li]

< d < 1000 | 1 0 0 0= d < 1500 | 1 5 0 0< d < 5

8

2

in

2000 | 2 0 0 0< d < 2500

7

3

oli alunni che a b i t a naomeno di 1 km dalla scuola? a. Quanti s o n g b . Qual è l a percentuale d i alunni che abitano a meno di 1,5 k m dalla scuola?

LI Li

1 0 0< d < 500 | 500

A)

15%

REA

|

20%

C|

40%

D|

60%

È Fora del caffè Una macchina confeziona scatole ciascuna contenente 30 capsule di caffè. Si

è possibile indicare di caffè contenuta in una capsula per v e r i f i c aser e *"* effettua una misura della quantità 240 g come il contenuto complessivo di una scatola. I] campione considerato è costituito da 20 capsule, i valori rilevati in g sono: 8,1; 7,8; 8,8; 7,95; 7,9; 8,1; 8,0; 8,0; 7,7; 7,45 8,1; 8,65 8,3; 8,0; 7,9; 8,3; 8,3; 8,1; 7,9; 7,7.

a. Raggruppa i dati utilizzando 4 classi di uguale ampiezza. b. Determina le frequenze e le frequenze relative. € . Ritieni che sia corretto indicare 240 g come contenuto della confezione?

2 e L a rappresentazione grafica dei dati A

‘1 cani pastore scozzesi (Collie) presentano fra le caratteristiche proprie della loro razza

"°° un'altezza di circa 60 cm. In un allevamento sono state misurate le altezze e si sono ottenuti i seguenti valori espressi in cm. 58,1 | 60,8 | 61,7 | 60.5 | 61,4 | 60,1 | 60,2 | 55.5 | 63,5 | 59.3 | 56,2 | 59,3 | 58,0 | 60,2 | 55,3 55,5 | 58,9 | 59,2 | 53,0 | 59,7 | 58,9 | 59,1 | 56,2 | 57,7 | 58,3 | 59,6 | 61,0 | 61,7 | 57,7 | 62,1

58,8 | 56,3 | 64,9 | 59,0 | 56,2 | 54,9 | 54,6 | 61,2 | 62,7 | 59,4 | 63,6 | 59,5 | 60,2 | 61,7 | 62,9

a. Raggruppa le unità statistiche con classi di ampiezza 2 cm.

b. Individua la classe che ha la frequenza maggiore. c. Calcola quanti cani hanno un'altezza inferiore a 59 c m o superiore a 61 cm. id. I valori esaminati confermano la caratteristica tipica dell'altezza? Motiva la tua risposta.

> Teoria a pagina 542

DB L e serie e le seriazioni statistiche

Fai almeno tre esempi di serie statistiche e tre di seriazioni statistiche.

Una macchina produce dispositivi meccanici di precisione molto delicati e una [amogisuoa L E E percentuale variabile di giorno in giorno non è accettata in quanto difettosa. Nel corso di una settimana lavorativa, dal lunedì al venerdì, i pezzi prodotti sono stati 150, 160, 200, 180 e 120 e le percentuali di pezzi scartati sono state 20%, 15%, 25%, 15% e 10%. Determina le tabelle delle frequenze assolute dei disposi-

COMPLETA

le tabelle. Indica se si tratta di serie o di seriazioni statistiche.

In una biblioteca sono presenti 1200 volumi di generi diversi.

Lt)

U n negozio di abbigliamento ha venduto u n modello di cappotto nelle varie taglie.

Taglia

Numero

Percentuale |

30%

46

L___|

10% 25%

Genere

Quantità | Percentuale

Gialli

LL]

Fantascienza

180

L___]

48

15

Narrativa

L___|

35%

50

21

240

IL___]j

52

L___]

Avventura

e ngi e

l e ume e l o e ale n e ale o e O l e ciao n e lee m e l e ome lee ian up ue une l e nin emi ou u l

o

tivi conformi alle s p e c i f iecdi h equelli non accettati. Stabilisci se si tratta di serie o di seriazioni statistiche.

L_] L___]

L a rappresentazione grafica dei dati Gli ortogrammi e i diagrammi a blocchi

le altuzza del E{\ Negliortognammi

> Teoria a pagina 543

“99

"99

La serie statisticanella tabella riassume come ha festeggiato l’ultim a notte dell'anno una popolazione d i 200 persone. Rappresenta i dati con un ortogramima e con un diagramma a

) guli sono proporzionali alle freguai Modalità

blocchi.

in casa con amici in casa con parenti

Un’agenzia u t i l i z z25 a guide turistiche, ognuna specializzata in

n

una sola lingua straniera: 9 in inglese, 6 in francese, 4 in tedesco e

in un locale I

piazza

Frequenza

46 8 33

pa

pozzi

6 in spagnolo. Rappresenta la serie statistica con una tabella, u n

I N viaggio

35

ortogramma e u n diagramma a blocchi.

non ha festeggiato

10

ESERCIZI

“PANCIA

Rn

CAPITOLO 1 2 e L A STATISTICA

Bb Gli istogrammi

> Teoria a pagina 544

Attività interattiva

ACCRESCI L E COMPETENZE

Costruire u n istogramma Disegniamo gli istogrammi delle seguenti distribuzioni. a. Classe

Frequenza

b.

Classe Frequenza

13,4-14,4

14,4-15,4

15,4-16,4

16,4-17,4

17,4-18,4

6

7

8

1

2

140-150

150-180

180-200

200-210

210-220

10

27

12

2

1

e R a p p r e s e n t ila am distribuzione o a: classi della stessa ampiezza.

Sull’asse orizzontale disegniamo i segmenti

i

ESERC IZI

che rappresentano le classi. Per ogni classe dobbiamo disegnare u n rettangolo che abbia

per base il segmento che rappresenta la sua

scogliera la altezza

classe e altezza tale che l’area del rettangolo

sia proporzionale alla frequenza della dlasse. Otteniamo il grafico a lato.

_

I

uguali allefrequenze i o alle assolute

ppporeenzo

i A

3

E:

+ m o one b: classi di ampiezza diversa. distribuzi tia e R a p p r e s e nla

196 T A T A TRA 7 A T A

Per ogni rettangolo,l'altezza da rappresentare è proporzionale al valore ottenuto con: proporzionale all

a

frequenza altezza = ampiezza della classe

La amplarze non seno ugunti, ma i

i

vanariadrprbeibonsiagrieigii

i

|__ proporzionale alla basa

pu

Compiliamo allora la seguente tabella.

140-150

10

10

10:10= 1

150-180

27

30

2 7 : 3 0= 0,9

180-200

12

20

1 2 : 2 0= 0,6

200-210

2

10

2 : 1 0 = 0,2

210-220

]

10

1 : 1 0 = 0,1

Nell'istogramma prendiamo basi e altezzeproporzionali rispettivaai valori della t e r zeadella quarta colonna della tabella. mente

-

|

140 150

180

200 210 220

2 e L a rappresentazione grafica dei dati A un annuncio per un posto di lavoro rispondono 50 candidati. Cinque hanno tra i 18 e i 20 anni, 12 hanno un'età compresa tra i 20 e i 25 anni, 18 hanno tra i 25 e i 30 anni, 14 hanno tra i 30 e i 40 anni e gli altri tra i 40 e i 60 anni. Rappresenta i dati con un istogramma.

E

Rappresenta con un istogramma i prezzi al kg delle fragole rilevati su 40 imprese ortofrutticole, considerando la seguente suddivisione in classi. Prezzo (E/kg) x; | 1,80-2,20 | 2,20-2,50 | 2,50-2,70 | 2,70-2,90 | 2,90-3,20 | 3,20-3,50 | 3,50-3,80 N . imprese F,

3

&

12

8

6

3

2

Raggruppa in classi 1 seguenti dati, relativi all’età dei partecipanti aun convegno di agenti di commercio, e, dopo aver compilato la tabella di frequenza e calcolato le frequenze relative percentuali, rappresentali

graficamente. 38, 40, 41, 40, 43, 40, 40, 40, 42, 43, 45, 43, 48, 46, 45, 48, 50, 51, 40, 42, 40, 40, 42, 45, 43, 43, 46, 48, 48, 41, 50, 48, 46, 46, 43, 44, 44, 46.

i diagrammi

cartesiani

LI

» Teoria a pagina 545

Attività interattiva

Anni

2014

2015

2016

2017

2018

2019

2020

63

89

115

72

95

118

125

N . correntisti

Effettua la rappresentazione grafica dell'andamento con u n diagramma cartesiano.

po

La seguente serie statistica è relativa al numero di clienti che nel corso di una settimana hanno effettuato acquisti nel reparto abbigliamento sportivo di un centro commerciale. Rappresenta le sue frequenze relative con u n diagramma cartesiano.

Giorno

lunedì

martedì

mercoledì

giovedì

venerdì

sabato

45

BO

128

56

122

209

MHumaero clienti

Sergio nel primo bimestre del 2021ha consumato 35 m° di acqua. A fine 2021 sullabolletta Sergio trova le #0

variazioni percentuali di ognuno degli altri bimestri rispetto al bimestre precedente. Bimestre

Variazione percentuale

Il

+20%

III

—9,5%

IV

Li

VI

+26,3%

—16,6%

—11,1%

Scrivi la serie storica e rappresentala con un diagramma cartesiano. Ln)

Per decidere se incrementare o meno il A numero di distributori automatici in una scuola, una ditta

Numero di prodotti acquistati nette sn game alle

_sool

ha analizzato il numero di prodotti acquistati ogni giorno

€

nelle macchinette già installate.

E ano

I risultati sono rappresentati nel diagramma cartesiano in

=

|

figura.

5 100)

a. Disegna l’ortogramma corrispondente. b. Calcola quanti studenti hanno acquistato in un giorno

2

più d i due prodotti.

0 ?

;

; , numeso diprodotti i

! modalità quantitative discrete

ESERCIZI

La serie storica studia l’andamento del numero dei correntisti presso un'agenzia bancaria in un Comune dove quell’agenzia nei primi tre anni h a operato i n condizioni d i monopalio.

CAPITOLO 1 2 e LA STATISTICA Bb Gli

areogrammi

Rn

=» Teoria a pagina 545

Attività interattiva

Se l'angolo al centro di u n settore di u n areogramma misura %)°, la frequenza relativa percentuale della modalità corrispondente è

TEST 22

A|

90%.

B|

50%.

©|

25%.

DI]

32,4%.

La tabella mostra la superficie delle varie province della Campania.

A Lt

-

(22) Per rappresentare un arsogramme

Avellino

2792

CL]

Benevento

2071

NNSSSS

Caserta

2639

Napoli

1171

omispondenta e omo ERRSSSA pasa = : 100 -— a=M0P.

Salerno

4922

|

-

cullemola frequenza relativa

i’

fa dottamodattà,poi troviamol'ampiezza

ls,

”

Quale dei seguenti diagrammi descrive graficamente i dati della tabella?

ESERC IZI

4

3

2

1

A]

1

Bj

2

ce]

3

Dj]

4

Un gruppo di 80 personeha fornito le seguenti valutazioni su u n romanzoche è risultato vincitore a un premio letterario. Rappresenta graficamente con u n areogramma il risultato dell'indagine.

®"°

Valutazione

|

Ottimo

Discreto

Interessante

Banale

Negativo

Numero di lettori

|

15

35

16

8

6

Le temperature rilevate alle ore 14 nel mese di maggio in una località balneare sono le seguenti. Temperatura ("C}

Numero di giornate

18-23

|

23-28

|

|

33-38

2

8

14

7

28-33

|

=

EA

a a. Rappresenta con un a r e o g r a mlamdistribuzione.

b. Qual è la percentuale delle giornate in cui la temperatura è [b) = 77,4%; = 67,7%| stata più di 2 3 °C? E al più 2 8 °C?

e

i

A

“ta

latte fresco prodotto e imbottigliato da un'impresa casearia ha un prezzo di vendiconsigliato per i consumatori di 1,56 € al litro. Da una verifica risulta che questa indicazione non è seguita da alcuni rivenditori e ci sono variazioni di prezzo rispetto al valore consigliato presso 50 punti vendita,

Variazioni di prezzo

Rivenditori

— 5%

—- 2%

+ 5%

+10%

6

12

20

8

|

+15% 4

Fffettua la rappresentazione grafica che ritieni più opportuna e determina: a. il numero dei rivenditori che hanno contenuto la variazione del prezzo entro il +5%;

b. il numero dei rivenditori che hanno aumentato il prezzo oltre quello consigliato; c. la percentuale dei rivenditori che hanno aumentato il prezzo d i oltre il 5%.

[a} 38; b} 32; c}) 24%]

2 * L a rappresentazione grafica dei dati

> Teoria a pagina 546

b Altre rappresentazioni MATEMATICA P E R L’AGENDA 2 0 3 0

#

Obiettivi e traguardi per l’Italia

a

AGE In figura trovi una rappresentazione grafica, pubblicata dall’OECD (Organizza2030 zione per la cooperazione e lo sviluppo economico), relativa alla situazione dell’Italia nel 2019 rispetto al raggiungimento dei traguardi previsti dall’Agenda 2030. Ogni barra uscente dal centro corrisponde a u n traguardo: più è lunga, più siamo vicini al raggiungimento del traguardo, che è il

cerchio tratteggiato in grigio. ] traguardi sono raggruppati neirelativi obiettivi, identificati dal corrispondente colore e simbolo (nel cerchio intermedio}. Non sono rappresentati tutti i 169 traguardi perché non di tutti erano disponibili i dati necessari. Goals

LL] 10: Reduce inequality

CY 2: Health

@} 12: Sustainableproduction

@

+]

4: Education

I

CY 7 Eneroy

@

16: Institutions

@

@

17: Impiementation

ATTIVITÀ

|

12: Climate

@ 5: Sender equality 3 1 4 0cears O ) 6 Water 1 5 : Bicaiversity © Econo

arr"

,

i

ESERCIZI

1: Eradicate poverty

e

La situazione al 2019 Analizza il grafico e rispondi alle seguenti domande.

a. Quanti traguardi aveva raggiunto l'Italia nel 2019?

b. In quali obiettivi il nostro Paese mostra i risultati migliori? In quali i peggiori? c. Quali criticità e punti di forza rilevi in questo tipo di rappresentazione dei dati? I

UN PASSO I N PIÙ Cerca nel W e b la rappresentazione della situazione italiana precedente (2017) e confron-

tala con il grafico sopra (2019). Descrivi le differenze che noti.

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE I dati, le frequenze e le rappresentazioni

Chiamiamo x ,

GUARDA! Fai questi esercizi

gg

X2, X3, xs le modalità di u n certo carattere, rilevato su una popolazione di 200 unità statisti-

"che. Sappiamo che fl = 10%, = 64 e f = f1- Determina le restanti frequenze assolute e percentuali.

u n istogramma.

[v][F

JE

fesso

In un areogramma le aree dei settori circolari sono proporzionali alla frequenza. Sull’asse verticale di u n ortogramma sono riportate le frequenze. Negli istogrammi le aree dei rettangoli sono proporzionali alle frequenze. 1diagrammi cartesiani sono spesso usatiper rappresentare fenomeni storici. Il poligono delle frequenze si ottiene unendo i vertici dei lati superiori dei rettangoli di

< | |«|| «||
Teoria a pagina 552

ll campo d i variazione E L : Determina il campo di variazione delle seguenti sequenze di numeri. po

ang

-1;-2.

5-7;

; 6. a 1 0 ; 4 ; 1 ; 79;

d.

b. 27; 12; 3 7 ;48; 15. e 53-45-88,

e 4 1 : 3 1 ; 3,5. -5. f. 5 - 5

A

ff” Xenia dm - C a m p odi |

[a) 9; b ) 36; c) 13; d}

°°

_

6;e) 4; f) 0 ]

Una stazione meteorologica nelle Alpi ha misurato le temperature, in gradi centigradi (°C),

durante un giorno di dicembre.1dati raccolti sono riportati nella tabella. Ora

1|4|7

Tempershra |] — 8 a.

| 10]13

| 16 | 19 | 22

-3 |

11-33 | 6

|-10| 1 0 ]

+1|

Qual è l’escursione termica, cioè la differenza tra la temperatura massima e la temperatura minima, nel giorno considerato? Risposta: |

__|°C.

b. Qual è la temperatura media Ty relativa alle misure riportate in tabella? Risposta: Ty

=|__|°C.

> Teoria a pagina 552

b L o scarto semplice medio

ESERC IZI

i

*fl Determina lo scarto semplice medio nelle seguenti sequenze di numeri.

a

2 4 7 ; 12,21.

d. - 1 ; - 2 ; - 4 ; 1 ; 5 ;

bh 2 0 ; 1 ; 1 ; 2 ; 0. ©

33333;

e

3.

—20; — 12:

4.

— 5; 0; 2: 8: 34.

E 3 ; 5 ; 3 ; 6 : 31. ; [a) 5.84; b) 0.8; c) 0; d}) 2,83; e) =11,71; 11.3]

I Li

Nelle seguenti sequenze di numeri, verifica che la media aritmetica degli scarti, non in valore assoluto, è uguale a 0.

a 53:46:81.

b

3:41;

7 : 2: 9.

Calcola la media e lo scarto semplice medio del numero di viag®%

I

i

giatoriche hanno utilizzato il treno nel corso di una settimana

,

in u n determinato tratto della linea ferroviaria. Giorno

L u | M a | M e | G i | Ye | Sa | D o

Viaggiatori | 2 0 5 | 2 0 0 | 270 | 2 8 0 | 3 2 0 | 1 8 0 |

i

_

85

[220; 60]

Nella tabella seguente è riportatala distribuzione del numero dei figli dei dipendenti di un'impresa. Calco“°° la lo scarto semplice medio. Figli

0

Froquonza

5

2

]

18 | 11

3

4

4

2

[0,825]

Si è rilevato il consumo di pane in kg in un campione di 30 persone. Calcolalo scarto semplice medio. Li

Consumo pane {ko}

N. persone

0-0,2 | 0,2-0,4 | 0,4-0,6 | 0,6-0,8 | 0,8-1

4

18

4

3

1

[circa 0,141kg]

4 e Gli indici di variabilità

O L a deviazione standard

* Teoria a pagina 553

I FONDAMENTALI Calcolare gli indici di variabilità I n un'impresa di confezioni si sono impiegati questi tempi, espressi in minuti, per effettuare il controllo qualità della produzione:

12,14, 13, 10,17, 11, 19, 15, 16, 18. Considerando i tempi impiegati, determiniamo: a. il tempo medio; c. lo scarto semplice medio; d. la deviazione standard. b. il campo di variazione; a. Il tempo medio è la media aritmetica M dei tempi impiegati: 12 + 1 4 + 1 3 + 1 0 + 1 7 + 1 1 + 1 9 + 1 5 + 1 6 + 1 8

10

M=

_0145 =

=

145.

Il tempo medio è di 14,5 minuti. b. Il campo di variazione è la differenza fra il valore massimo e il valore minimo:

c. Disponiamo i dati nella prima colonna di una tabella, poi completiamo la tabel-

la calcolando gli scarti, gli s c a rin t i valore assoluto, i quadrati degli scarti.

Lo scarto semplice medio è &

2 —

10

—_ 2 . 5 .

d. La deviazione standardè {i

4 2 0 = 2,87.

=

FREE

s-

AE

media

L deviazione standard

Tempo Scarto o o

ESERCIZI

K=19-10=9%.

al quadrato

12

—2,5

2,5

6,25

14

—0,5

0,5

0,25

13 10 17

—1.5

1,5

2,25

—4,5

4,5

20,25

+2,5

2,5

11

—3,5

3,5

12,25

19 15

+4,5 +0,5

4,5 0,5

20,25 0,25

16

+1,5

1,5

2,25

18 Totale=145|

+3,5 0

3,5 25

12,25 82,50

6,25

[3] PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito. la deviazione standard delle seguenti di numeri: sequenze

Calcola BO

5:75: 9; 11.

meo p o s s

n

0,3; 1,2; 3,2; 4,5; 6,3.

E | 11 + ]

A

Durante una settimana di misurazioni,

una stazione di monitoraggio del campo elettrico ha rilevato i seguenti dati (il valore di riferimento normativo è 6 V/m): Valore massano

1:1;1;1.

22; 25; 27; 30; 31.

2-3

4-7.

11;

- 2.2. -3; 3.

[a)2,24; b}2,18; c)0; d)3,29; e) 1,87; 2 , 1 6 ]

Frequenza

1

4

1

1

Calcola la deviazione standard della distribuzion e descritta dalla tabella. [0,0357 V/m]

CAPITOLO 1 2 * LA STATISTICA

LL a t

I tempi, in secondi, ottenuti in una gara di corsa dei 1 0 0m tra 10 studenti sono stati i seguenti:

14,4; 13,5; 16,2; 15,8; 14,0; 15,2; 16,9; 15,6; 16,5; 15,0. a. V e r i f i cche a la somma degli scarti dalla media è nulla e verificacon u n esempio che la somma dei loro quadrati è minima. b. Calcola la deviazione standard.

[b) 1,05)

In occasione della finale dei 10000 metri maschili dei Mondiali di Atletica 2007, sono stati registrati i seguenti tempi à ogni passaggio ai 1000 metri: 244,15; 5:27,32: B:12,93; 10:57,82; 13:42,98: 16:28,83; 19:12,74: 21:54,58: 24:35,57: 27:05,90.

do

Calcola il tempo medio impiegato per percorrere 1000 metri e la deviazione standard. (suGGEMMENTO I tempi sono espressi in minuti: secondi, centesimi di secondo. Per svolgere i calcoli può [2:42,59; 0:04, 35] esserti utile trasformare tutti i tempi in centesimi di secondo.)

I n una certa località, nel corso di una giornata estiva sono state rilevate le seguenti temperature in gradi Celsius: 19,0; 22,5; 26,0; 28,0; 26,0; 21,0; 24,0; 27,5; 28,0; 24,0. Determina la temperatura media, il campo di variazione (escursione termica), lo scarto semplice medio e la deviazione standard.

ESERC IZI

[24,6 °C; 9,0 °C; 2,5 *C;2,91 °C]

a ragione? La professoressa Rossi vuole verificare il livello delle conoscenze in scienze M a r t i nha

A ho

nelle classi 1A e 1B. Decide di somministrare lo stesso test nelle due classi. Elahorando i punteggi del test,

ottiene i seguenti risultati.

|

Ciasse1A

Classe 1 6

Media aritmetica

6,5

6.9

Scarto quadratico medio fo deviazione standard)

1,1

2,3

La professoressa chiede a Martina, una sua alunna di 1B, di commentare i risultati ottenuti dagli alunni delle due classi. Martina afferma che i risultati indicano che gli alunni delle due classi hanno lo stesso livello medio di conoscenze, ma gli studenti della classe 1A hanno ottenuto complessivamente punteggi più vicini alla media. Martina ha ragione? Scegli una delle due risposte e completa la frase.

Sì. perché ... EN

No, perché ...

Luca ha preso in gestione il bar di una bocciofila e vuole farsi un'idea dell’età della clientela. Fa un’indagine fra gli iscritti alla bocciofila e ottiene la seguente distribuzione. Età

Numero di iscritti

Fino a 30

30-40

40)-50

50-60

80-70

oltre 70

5

8

13

20

35

14

Calcola lo scarto semplice medio e la deviazione standard, ponendo il limite inferiore della prima classe a [11,2; 13,66] 20 e il limite superiore dell’ultima a 80.

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE Gli indici di posizione e di variabilità LL)

GUARDA! Fai questi esercizi

anche su ZTE

D a un'indagine sul numero di animali domedi animali stici per abitazione effettuata suu n gruppo di Numero di famiglia | famiglie, emergono i dati in tabella. a. Determina la media aritmetica, la mediana e la moda.

o

]

2

3

1

'

_+4 | 7 | 4 | 2 | 1

b. Qual è la percentuale di famiglie che hanno un numero di animali inferiore alla moda?

4 e Gli indici di variabilità

numero dipendenti

dei giorni E M vERo o FALSO? Il grafico mostra la distribuzione "2°

di assenza dei dipendenti di un'azienda nel mese di febbraio. a. La percentuale di dipendenti che hanno fatto meno di tre giorni di assenza è circa del 40,63%. |v} LF b. Il massimo numero di giorni di assenza nel mese

10 ? KA

8

AI iz

a

|

è stato di 9 giorni.

La moda della distribuzione è 9, d. Il numero m e d i o d i giorni di a s s e nèz uguale a al numero di giorni di assenza più frequente.

&

o

v|

LF

A

vj

LF

’

ò v|

0

LF

1

2

3

4

5

giorni d i assenza

In una macelleria sono stati serviti 282 clienti nel corso di una settimana. Feo

Giorno

Chenti

Lun | Mar | Mer | Gio | Ven | Sab | Dom

35

43

28

52

67

57

0

Calcola la media, lo scarto semplice medio e la deviazione standard del numero di clienti serviti giornalmente.

A

L’'areogramma in figura rappresenta la sud-

za. Indica quale tra le seguenti affermazioni è corretta. A]

Non è possibile determinare la media delle età degli iscritti.

' 10nni

8]

La moda è 11 anni.

®

G|

Lamedia approssimata all'unità è 11 anni.

D|

Lam e d i a n è 10 a anni.

2 anni

In una scuola ci sono mediamente 22 alunni per classe. Nel 60% delle classi ci sono 21 a l u n nnel i , 30% classi ci sono 24 alunni. Quanti alunni ci sono mediamente nelle altre classi?

"delle

E

°°

CCA Da gennaio a maggio,la quantità media di corrente consumata mensilmente dalla famiglia di Annalisa è di 290 kWh. La corrente consumata nei mesi di gennaio, febbraio, marzo e aprile è stata rispettivamente di 296 kWh, 288 kWh, 300 k W h e 292 kWh. Qual è il campo di variazione del consumo di corrente tra gennaio e maggio?

E "9

Test

La quantità media di latte assunta giornalmente da una famiglia in una settimana è 800 mL. Dal

lunedì al sabato sono stati consumati rispettivamente 650 mL, 900 mL, 800 mL, 600 mL, 750 m L e 850 mL. Quanto latte è stato consumato la domenica? A|

A

800 mL

8|

1050 mL.

€|

950 mL

BD]

900 mI.

Per ridurre al minimo e controllare gli errori di misura di una grandezza fisica, si misura più vol-

*** tela grandezza in esame e si considerala media Mcome valoreprobabile.L'incertezza viene calcolata come la metà del campo di variazione delle misure. 128 alunni di una classe misurano la lunghezza di un tavolo ottenendo i seguenti risultati. Lunghezza (cm)

Frequenze

120,4

120,6

121,6

121,2

121,7

122,0

6

12

6

2

1

1

a. Qual è la lunghezza probabile del tavolo? Approssima il risultato a una cifra decimale. b. Quanto vale l'incertezza della misura?

571

ESERCIZI

**° divisione percentuale,per età, degli iscritti auna scuola di dan-

CAPITOLO 1 2 * LA STATISTICA

GUARDA!

E

RLeEMENTI D I UNA RILEVAZIONE STATISTICA All’anagrafe di u n Comune si fa

un'indagine per conoscere il numero dei nati ogni giorno del mese di giugno

Pompletamenteu l nuova

"altra

2021e il loro sesso. Quali affermazioni sono vere e quali false? v [v]

a. La popolazione statistica è costituita dai giorni dei mesi di giugno. b. Le unità statistiche sono le bambine e i bambini nati nel mese di giugno 2021. €.

[F

v]

I caratteri dell'indagine sono due: il sesso e il giorno di nascita.

d. Il carattere «giorno di nascita» presenta 366 modalità, una per ogni giorno dell’anno

vw] [F

(compresoil 29 febbraio per gli anni bisestili).

[v]

e. Il carattere «sesso» è di tipo qualitativo. FREQUENZE Sono stati interpellati 40 utenti sulla qualità di un servizio. I livelli di

Le

valutazione erano:

1 (insufficiente), S (sufficiente), B (buono), O (ottimo). Risposte:

B B B I L L B S S S S O L B B I L I S , SS. , S S L I L L B B S S S S I L I L I L OO,1,155, Per la modalità «B», calcola le frequenze assoluta, cumulata, relativa (scritta in forma decimale) e percenVERIFICA DELLE COMPETENZE

tuale. ORTOGRAMMA

Nel diagramma in figura è rappresentata la distribuzione dei voti dell'ultima verifica di

storia di una classe di 20 alunni. Quale affermazione èfalsa?

;

frequenza

A|

5

Il 25% degli studenti ha ottenuto come voto 7.

e ] Più del 50% della classe è risultata insufficiente.

3

2

e ] Il 25% degli studenti ha ottenuto come v o t o4 oppure 5.

10 -A A A

1 DI 3 “egli studenti ha ottenuto come voto 4 [P]

ra

DIAGRAMMA CARTESIANO U n ' i n d a g ha ine coinvolto 420 persone per determinare il numero di giorni di smart working effettuati in una settimana lavorativa. La distribuzione ottenuta è

50

rappresentata nel diagramma cartesiano.

100

Qual è la frequenza relativa di 3 giorni di smart working?

|)

e

Sa

; numero

50

INDICI DI POSIZIONE CENTRALE Agli abitanti di u n piccolo Comune è stato chiesto u nn n o

sul servizio di pulizia delle strade in base alla scala da 0 (pessimo) a 5 (ottimo). L'indagine ha fornito la seguente distribuzione. Determina la media aritmetica, la mediana e la moda. Giudizio

0

1

2

3

4

5

Frequenze | 115 | 165 | 198 | 156 | 125 | 2 4

INDICI DI VARIABILITÀ A u n estremo di una molla lunga 20 cm, posta in verticale, vengono appese dei pesi

da 100 g per 8 volte successive. Le misure degli allungamenti in cm della molla sono: 34; 3,5; 3,3; 3,6; 3,5; 3,4; 3,5; 3,4. Calcola il campo di variazione, lo scarto semplice medio e la deviazione standard.

572

Competenze alla prova R n

Competenze alla prova ARGOMENTARE E DIMOSTRARE

E "92

In un'indagine sulle preferenze degli italiani nell’ambito degli istituti di credito si fanno le rilevazioni su due diversi campioni. Dalle indagini sui due campioni si arriva a conclusioni diverse.È possibile o è stato commesso qualche errore? Motiva la tua risposta.

Su una popolazione di n unità statistiche tutti i dati di un carattere quantitativo sono risultati uguali a x,

°°

Dimostra che: a. la media, la moda e la mediana sono uguali a

x;

b. il c a m pdi o variazione, lo scarto semplice medio e la d e v i a z i ostandard ne sono uguali a 0. Dimostra che la media aritmetica è il numero che, sostituito a tutti i dati, lascia inalterata la somma. geo

Usando il significato della varianza spiega perché, se g* è la varianza di una serie di dati X,, Xx, - . - x»»,alloSi fanno due indagini, entrambe su una popolazione di 10 unità statistiche. Si ottengono due distribuzioni: ""®

la prima ha media 0 e deviazione standard 1 e la s e c o n d haa media 1 e deviazione standard O. Di quale delle due distribuzioni puoi conoscere la moda e la mediana? Perché? ANALIZZARE E INTERPRETARE DATI E GRAFICI

puo

IN FORMA GRAFICA 1] risultati d i un'indagine sul colore dei capelli, raccolti su u n campione di 40 persone, sono riportati nell'orto-

194 12} 11}

18,59%

i

A]

ide lle:

«capelli biondi»?

dei

gramma in figura. Qual è la frequenza relativa della modalità 10}

c|

40%

D | 22,5%

E "99

g dediche

|]

DA

DI seguente grafico visualizza l'andamento delle temperature rilevate a mezzogiorno per una settimana (nel grafico L = lunedì, M = martedì, Mer = mercoledì ecc.) in due città italiane: Firenze (linea tratteggiata) e Napoli (linea continua).

Quale tra le seguenti affermazioni è vera? A]

B|

Per cinque volte, a mezzogiorno, a Napoli faceva più caldo che a Firenze.

Da lunedì a venerdì, amezzogiorno, aNapoli facevapiù caldo che a Firenze.

C|

D]

In tre giorni, a mezzogiorno, la temperatura nelle due città era la stessa.

Nelle due città non si è mai registrata la stessa temperatura.

temperature

VERIFICA DELLE COMPETENZE

" " ° r a la varianza dix1+3, x2 +3, .... xx + 3 è ancora d2.

Rn

CAPITOLO 1 2 e L A STATISTICA

°°

Dai voti di una prova scritta dimatematica, effettuata in due classi distinte si sono ricavate le seguenti distribuzioni di frequenze. Sezione B Sezione A : a. Per ciascuna serie determina enza $requ 10 4 frequenza a media, moda,m e d i aendeviai

zione standard.

10

b. Nella sezione A uno studente

4

vere affinché i voti medi delle

2

due classi risultino uguali tra loro? È possibile?

or

[a}

E

B

deve ancora effettuare la prova. Che valutazione dovrebbe rice-

AO

Ta

=

0,96;

Up

=

6

i

e

1,32]

1A grafici seguenti rappresentano l'andamento delle vendite effettuate da altrettanti venditori, nel

VERIFICA DELLE COMPETENZE

c o rdi so sette settimane.

ll

Qual è stato il miglior A]

1

A&

La l e]

venditore:

2

c]

3

[D] 4

E ] Non si può rispondere in base ai grafici.

RISOLVERE P R O B L E M I

E °°

U n gruppo di lavoratori e lavoratrici è stato intervistato sul tempo impiegato per recarsi da casa al lavoro. 1 dati raccolti, espressi in minuti, sono: 30, 15, 10, 25, 30, 15, 20, 60, 15, 120, 30, 15, 60, 30, 30. Calcola la media, la moda e la mediana dei tempi. [33,6; 30; 30] U n gruppo di 16 studentesse è stato intervistato sulle attività sportive praticate. 1 risultati sono i seguenti:

“°° calcio, ginnastica artistica, ciclismo,calcio,pallacanestro,ciclismo, ginnastica artistica, pallavolo,ciclismo, pallacanestro, calcio, ginnastica artistica, pallavolo. pallacanestro, ciclismo, ginnastica artistica. Raggruppa i dati e compila la tabella di frequenza; poi calcola le frequenze relative e percentuali.

Gli iscritti alla facoltà di scienze politiche provengono per il 40% *%°

dal liceo classico, per il 20% dal liceo scientifico e per la parte restante da altre scuole. Rappresenta graficamente la situazione

o i

N

art,

Le preferenze sul formato della pasta di 10 persone intervistate sono riportate nella seguente tabella. Lat

Formato Frequenza

Pasta lunga

Pasta corta

Pastina

50%

30%

20%

Rappresenta con u n ortogramma la situazione che emerge dai dati.

574

Competenze alla prova R n La tabella riporta la produzione d i grano e d i mais,

Azienda

"°° espressain tonnellate, di tre aziende agricole nell'anno

| agricola

EE

|

produzione

| Produzione

grano (0

mais (}

2021.

Belstare

85

45

metta contemporaneamentein evidenza le due produzioni di cereali.

Coltivatori Naturaterra

31 46

i 40

Effettua un’opportuna rappresentazione grafica che

Gli s t u d edi n tuna i classe sono suddivisi secondo i l | Numero bri | Numero studenti "”°

numero di libri letti annualmente.

0-2

Calcola le frequenze relative percentuali e, ponendo la

[54

5

chiusura dell'ultima classe di frequenza a 10, la media

Lé

8

aritmetica e la deviazione standard.

68

4

oltre 8

2

(4.72; 2,28]

I]

3

Michele si prepara all'ultimo compito in classe di matematica dell’anno; lo affronta con tranquillità, sapendo che se prenderà 10 avrà la media del 9, mentre prendendo 5 la media diverrà 8. Quanti compiti ha già fatto quest'anno Michele? TEST

A]

2

Bj

3

cc] 4

Dj

5

E ] I dati non sono sufficienti per dare la risposta. [Olimpiadi della matematica, Giochi di Archimede, 2004]

COSTRUIRE E UTILIZZARE MODELLI

La seriazione statistica rappresentata nella A M E C C A NEI CMACCHINE ae

a

meccanici

"

-

2

riporiati da 26 automezzi di un'impresa di ge

tabella è relativa al numero d i guasti i

di

N

o[1[2[3[4

a media aritspedizioni nei primi 30 000 km. C a l c o lla

metica, la mediana e la moda.

°°

[1,6; 1,5; 1]

I

N u m e rdio automezzi | 5 | 8 | 7 | 4 ] | 2

La percentuale di stanze occupate nell'hotel Miramare nei mesi di giugno, luglio è agosto è mediamente del 92%, mentre negli altri 9 mesi è mediamente del 46%. Calcola:

||

i

a. la percentuale media di stanze occupate durante l’intero anno;

b. la percentuale media di stanze occupate tra marzo e settembre.

A **

Il

sE

ri

L'esame delle caratteristiche di tre automobili diverse ha fornito le seguenti valutazioni (da

1a 10). Quale automobile ritieni sia la migliore confrontando le medie delle caratteristiche?

Auto A

5

8

6

7

Auto B

5

6

8

7

5

6

7

8

Aulo C

|

5 |

a 5

575

VERIFICA DELLE COMPETENZE

***

CAPITOLO 1 2 * LA STATISTICA

© ©m o

Prove d i verifi ca

GUARDA! =

PROVA A

1)

Punteggio totale: |__|/ 100

Soluzioni

delle prova

Raggruppa in classi i seguenti dati, relativi alla crescita di piante ornamentali, espressa in centimetri al mese. Dopo aver compilato la tabella di frequenza e calcolato le frequenze relative percentuali, rappresenta i dati graficamente.

10,12, 11,8, 9, 8,8, 10, 11, 12, 15, 15, 8, 20, 20, 10, 16, 16,9, 9, 10, 10, 10, 10, 11,12, 12, 12, 18, 18, 18, 9, 9, 15, 15, 16, 16, 15, 16, 16, 15, 16, 16, 16, 9, 9, 8, 11, 16, 12, 20, 18, 18.

L_1735

Per un anno vengono rilevati giornalmente i consumi di acqua potabile in un Comune di piccole dimensioni. Si è ottenuta la distribuzione della tabella. Effettua una rappresentazione grafica dei dati e calcola la media del consumo giornaliero. Consumo (nm)

VERIFICA DELLE COMPETENZE

Numero di giorni

0-200 | 200-300 | 300-500 | 500-800 | 8800-1000

40}

88

156

47

34

L_]7 25

fl ll numero di figli in età scolare, per nucleo familiare, di una piccola città è rappresentato nel grafico. a. Calcola il numero medio di figli in età scolare per famiglia.

sa

b. Se i nuclei familiari sono 450, quante famiglie hanno più di €.

‘

un figlio in età scolare? È quante al massimo 2? Quanti sono i ragazzi in età scolare?

1

ko)

©»

totale:|__|/100

Punteggio

Nel corso di una giornata sono state misurate le durate delle corse, da u n capolinea

all’altro, dei filobus di una certa linea. I valori rilevati, in minuti, sono: 48, 47, 49, 50, 49, 48, 47, 46, 48, 50, 51, 46, 48, 48, 49, 47, 47, 48, 50, 51, 45, 46, 42, 45, 43, 51, 50.

|__j/2 5

Qual è la percentuale di corse con una durata minore di 50 minuti?

La quantità di mele (in kg) ven-

[“Giomo

mi

Mal Mel Gi | vel

sa

duta in una settimana da u n agri-

kg di mele | 18 | 23 | 28 | 25 | 25 | 38 coltore è indicata nella tabella. Effettua una rappresentazione grafica dei dati e calcola il peso medio giornaliero di mele vendute e il campo di variazione.

|L_j7 30

Un’associazione di consumatori ha misurato la durata di alcune pile da 1,5 volt, confrontando pile costose con altre più economiche.Le prove sono state effettuate scaricando le pile mediante torce elettriche. Le durate in ore sono state le seguenti. Durata {ore}

46

47

48

49

50

51

52

Humero di pile costosa

1

3

6

21

14

4

1

MHumero di pileeconomiche

&

24

10

é

2

0

0

a. Rappresenta le due distribuzioni e calcola gli indici di posizione centrale. b. Le due distribuzioni confermano chele pile meno costosehanno una durata inferiore alle pile più costose? Motiva la risposta.

576

L_]/45

CAPITOLO

_ E I DO D I E E DI 0 E E SE E e PR SE E o Pe E

GUARDA!

OO O DO D E DE DO DO E O A

tentativi e si possono commettere errori.

CO D O O + O 4 SO DO 0 DO O E AO O 0

La tecnologia elettronica con cui sono realizzati i computer attuali richiede che i numeri memorizzati ed elaborati da un computer siano codificati in formato binario, utilizzando cioè esclusivamente le cifre «O» e «1»: è infatti molto più affidabile ed economico realizzare circuiti elettronici che distinguono tra due soli stati, che non tra i

O

Tutto ciò che un computer può memorizzare e gestire è rappresentato mediante codici numerici.

O UO O

O

Numeri e bit

+ O

DO DO E

Numeri e informazione digitale

O

O DO DO

+ a

Per avvicinarsi al pensiero computazionale è utile esercitarsi con il coding, termine inglese che significa programmazione. Uno dei linguaggi più usati èPython.

8 Codici Python

O

e abilità diproblem solving,perchè nel progettare le soluzioni si devono fare diversi

Li

O

e processi logici e creativi, perché si impara a scomporre u n problema i n più parti per risolverlo u n passo alla volta,

SE DE c l

E

delpensiero computazionale. Questo metodo sviluppa:

DO e

«Il pensiero computazionale sarà un'abilità fondamentale usata da tutto il mondo entro la metà del 21° secolo. Come lo è adesso leggere, scrivere e fare di conto. Il pensiero computazionale completa e combina il pensiero matematico e ingegneristico». Con queste parole la scienziata informatica Jeannette Wing descrive l’importanza

E

O

E

E

E

DI DI Dl

I L CODING

0

E

dieci stati diversi necessari per identificare le cifre di un numero in formato decimale. Copyright © 20273 Zanichelli editore SpA. Bologna Q u e s file t o è urea rsterdaore ordine dir corsa di matera ica de blassionivo Banrggiarvarii, Grazialla Barozzi x Ama Trifora

1

I L CODING Nel sistema di numerazione posizionale e decimaleil contributo di una singola cifra al valore di un numero è determinato dalla posizione che essa occupa nella scrittura del numero stesso a partire dalla cifra più a destra, secondo una regola fondata sulle potenze di 10.

&— 2

+

10

+

0

+

2000

&—

&—

| ESEMPIO Nel numero 2012 le due cifre «2» sono rappresentate dallo stesso simbolo, ma denotano valori diversi dipendenti dalla posizione assunta nella scrittura del numero, rispettivamente 2 migliaia e 2 unità; il valore del numero 2012 è infatti interpretabile nel modo seguente.

&—

IP

TEORIA

Il numero 2012 rappresenta una quantità diversa dal numero 212 (circa dieci volte maggiore): il nostro sistema numerico posizionale non può fare ameno del simbolo «0» per indicare una posizione (in questo caso quella delle centinaia)

anche nel caso in cui questa n o n contribuisca direttamente al valore del numero. L'adozione del sistema posizionale presenta vantaggi irrinunciabili, ma la scelta della base dieci non è migliore di altre, se non per il fatto che le dita delle nostre mani sono esattamente dieci! Il sistema d i numerazione binario necessita solo di due cifre {«O» e «1») ed è per questo motivo che è stato adottato come sistema numerico per i dispositivi elettronici

dei computer, che discriminano facilmente due stati fisici distinti (come la presenza o assenza d i tensione o d i corrente elettrica, di polarizzazione ottica, d i magnetizza-

512 (2%

1024 (2%)

pa

x

*

pi

x

x

128

64

32

8

4

2

e

e

16 2)

A.

x

pi

2565 (2

» xE

zione e così via}. Lo schema seguente consente di interpretare la struttura di u n numero binario.

x

2)

(2%

2

25

I | ESEMPIO Il numero binario 11111011100 si può convertire nella scrittura in base 10 determinando il contributo al valore complessivo di ciascuna delle cifre che lo compongono. |

*

*

x

x

*

pa

x

*

x

x

pi

219

”

2

2?

2°

2°

2

2

2?

2!

2

+4 1024 + 5 1 2

++

++it+it+it i i i

+256 +128 + 6

+0

+16

+8

+4

Copyright © 2023 Zanichelli editore Sp A. Bologna Q u e s fike t o è urea rsberdrorie ordinare die corsi di materna ica di basis

+0

+0

=2129 3

Barga,

Graziella Barozzi & Arma Tritone

I L CODING Ogni singola cifra di u n numero binario prende il nome di bit (contrazione dei termini binary digit, «cifra binaria»). 1computer memorizzano ed elaborano piccoli gruppi di bit di dimensione fissa: 8 (byte), 16 (word), 32 (dword, abbreviazione di double word) o 64 (qword o quad word).

Limitare il numero di cifre utilizzate per rappresentare i numeri significa limitare il massimo valore rappresentabile. I

fl ESEMPIO La convenzionale unità di misura per la quantità di memoria di u n computer è il byte, composto da 8 bit. Il valore più grande rappresentabile con u n byte è il numero binario costituito da una sequenza di otto simboli «1»:

11111111= 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 = 2550. U n byte può assumere 256 (2°) configurazioni di bit diverse che codificano i valori numerici compresi tra 0 e 255 inclusi. Così come il numero più grande rappresentabile in base dieci con sole quattro cifre è 9999, unnumero binario d i 10 bit puòr a p p r e s e n come t a r emassimo valore: 111111111Lia = 10230 o»

p L a codifica numerica del testo TEORIA

Dato che qualsiasi informazione memorizzata in un computer o trasmessa in rete è rappresentata da codici numerici, anche i simboli tipografici che costituiscono u n testo — per esempio il testo di u n ebook — hanno una codifica numerica.

Nei primi decenni della storia dell'informatica {gli anni Cinquanta e Sessanta del secolo scorso) ogni produttore di computer utilizzava una propria codifica, rendendo

difficoltoso lo scambio di dati testuali tra computer diversi. Per ovviare a questo problema nel 1963 (con un'importante revisione nel 1967) è

stato formalizzato i] codice ASCII (American Standard Codefor Information Interchange) che ancora oggi costituisce la base per la rappresentazione in forma nume-

rica dei caratteri che compongono il testo.

Nella tabella seguente è riportata la codifica numerica dei caratteri ASCII del 1967. Codice nunesrico | 32

Carattere

3 3 | 34 | 35 | 36 | 37 | 38 | 39 | 40 | 41 | 42 | 435 | 44 | 45 | 46 | 47

spazio |!

|"

|#*# [$$ | '% | & [ ° ° DX | )

Codice numerico | 48 | 49 | 50 | 51 | 52 | 53 | 54 | 55 | 56 | 57 | Carattere

0

Codice numerico | 65 Carattere

|1 |

[213

66

A |B

|

[4

67

|C

|

15

6

68 | 69 | 70

|D

JE

JE

|

RIS

[IT

|]U [ Y I

[8

71 | 72

|

88 |

W IX

{9

73

[|G ] H | ] I

Codice numerico | 82 | 83 | 84 | 85 | 86 | 87 |

Carattora

[7

|

[*

58 | 59 | 60 |

|:

74

|]

|

| +

Dl;

75

|

[|


|?

|

64

|l@

76 | 77 | 78 | 79 | 80 | SI

JK |L

|M

IN

]OQO | P

|]Q

89 | 90 | 91 | 92 | 93 | 94 | 95 | 96 | 97 | 98

|Y

]Z

I

[_YX | ]

|A

“la

lb

Codice numerico | 99 | 100 |101 |102 |103 |104 | 105 |106 |107 |108 |109 |110 |111 |112 |113 |114 115 | Carattere c |d |e |f le |h li li |k |1 |m |n [o lp la |r ls | Codice numerico

[116 |117

[118 | 1 1 9

Carattore

t

xv

ju

|w

[120 [x

[121 |y

[122 (124 |124 [zz

D£

|125 | 126

[|

Copyright © 2023 Zanichelli editore S.p.A.Bologna Q u e s file t o è urea rstberdaore ordinare dir corsi di matera ica da blasziosino Barra,

{|}

|

23 Graziolla Barozzi x Ama Trifora

I L CODING

|

I

ESEMPIO

L'espressione

Ciao mondo!

ai caratteri degli 11 numeri corrispondenti è codificata in ASCII dalla sequenza

che la compongono: 67 1 0 597 111 32 109 111 1109 100 111 33

Può sembrare che la codifica ASCII impieghi i numeri esclusivamente come valori

simbolici per rappresentarei caratteri tipografici allo scopo di renderli memorizzabida parte d i u n computer. Ciò è solo parzialmente vero: per come è stato progettato

li

lo standard ASCII, alcune tipiche operazioni sui caratteri alfabetici possono essere

immediatamente tradotte i n operazioni sui corrispondenti codici numerici. I

| ESEMPIO L'ordinamento alfabetico di due caratteri può essere stabilito confrontando i rispettivi codici numerici: il carattere «Y», codice ASCII 89, segue

nell'ordinamento alfabetico il simbolo «X», che ha codice ASCII 88.

In seguito il codice ASCII è stato esteso in modo da impiegare tutti gli 8 bit che cos t i t u i s c oun n obyte: i valoricompresi tra 1 2 8e 255 (11111111, = 1+2+4+8+ + 16 + 32 + 64 + 128 = 255 è il massimo numero rappresentabile con 8 bit) codificano simboli non compresi nel set base come, per esempio, i caratteri accentati della lingua italiana. La diffusa necessità di utilizzare simboli estranei all'alfabeto latino ha portato alla definizione di Unicode, uno standard di codifica dei caratteri tipografici universale

capace di rappresentare tutti i simboli delle varie lingue del mondo, comprese quelle non più in uso; comprende per esempio gli ideogrammi cinesi e anche i geroglifici egizi.

AaBbCeDdEÉ NOYVYAZXKMAu v

vwEvVbELY AF E E 2 tt

La codifica Unicode deve rappresentare decine di migliaia di caratteri tipografici e di simboli grafici e non può essere limitata ai numeri compresi tra 0 e 255; il modo

con cui Unicode codifica i caratteri e i simboli mediante valori numerici è piuttosto complesso, ma — e non è u n caso — i codici numerici compresi tra 0 e 127 rappresentano gli stessi caratteri tipografici del codice ASCII.

I P_ESEMPIO La parola greca {in questo caso composta da caratteri minuscoli) EVPNKA

è il famoso «eureka» attribuito ad Archimede ed è codificata in Unicode dalla seguente sequenza composta da 6 valori numerici:

949, 965, 961, 951, 954, MS. Copyright © 2023 Zanichelli editore SpA. Q u e s ft io è urea rsberasore ordinare dire corsi di matera ica da basito Berger, Graziolla Barozzi è Anna Triora

TEORIA

La scelta di ricorrere ai numeri tra 0 e 127 era inizialmente motivata dall'intenz i o ndi e impiegare 7 bit per la codifica dei caratteri: 1111111, = 1 + 2 + 4 + 8 + + 16 + 32 + 64 = 127 è il massimo numero rappresentabile con soli 7 bit. Come puoi osservare nella tabella, la codifica ASCII originale prevedeva i soli caratteri tipografici della lingua inglese.

I L CODING

Bb L a codifica numerica delle immagini Lo scanner consente al computer di acquisire l'immagine di una fotografia o di u n disegno; dato che il computer è i n grado di memorizzare esclusivamente numeri e di effettuare calcoli numerici, l'immagine acquisita deve necessariamente essere

codificata in un formato digitale, cioè numerico. Il processo di digitalizzazione avviene in due fasi: discretizzazione e quantizzazione. e Discretizzazione: la superficie dell’immagine viene suddivisa in una griglia di

celle — denominate pixel — a ciascuna delle quali corrisponde un colore unico; questa caratteristica risulta chiaramente visibile se si effettua lo zoom di un’im-

o

IN

>”

Sotto l'aspetto geometrico il processo di digitalizzazione — in particolare la fase di

discretizzazione — realizza la trasformazione di uno spazio continuo in uno spazio discreto. Nel caso continuo il piano è costituito da infiniti punti e una sua partelimitata — come una figura — è a sua volta costituita da infiniti punti, indipendentemente dalle dimensioni. Nel caso discreto il piano, essendo infinito, è sempre costituito da infiniti punti, ma ogni sua parte limitata è costituita da un numero finito di punti: un modello intuitivo del piano discreto èil foglio quadrettato se si considerano come punti i singoli quadretti. IP

| ESEMPIO Una fotografia in bianco e nero di 12,5 cm di larghezzaper 7,2 cm di altezza può essere digitalizzata in un'immagine di 1250 per 720 pixel (oppure di 625 per 360 pixel, ma anche di 1875 per 1080 pixel}. Nel processo di digitalizzazione la fotografia viene trasformata in una griglia di numeri — denominata bitmap — avente 1250 colonne e 720 righe e quindi 1250 - 720 = 900000 celle, ciascuna delle quali contiene un numero che esprime il valore di luminosità del pixel corrispondente. Nel mondo reale le immagini hanno una dimensione fisica che può essere misurata (in centimetri o in millimetri, oppure in pollici), ma le immagini digitali hanno una dimensione che esprime il numero di pixel che le compongono. Entrambe le dimensioni sono significative, per motivi diversi: nel primo caso si può calcolare la minima quantità d i carta

necessaria per la stampa (12,5 7,2 = 90 cm°), nel secondo la quantità di me:

moria occupata nel computer (900000 pixel corrispondenti, in questo caso,

a 900 000 byte). Il dispositivo di scansione — lo scanner — che effettua la digitalizzazione delleimmagini consente di impostare la risoluzione di acquisizione, di solito espressa in punti

per pollice (dots per inch, dpi): è possibile cioè selezionare il numero di pixel della griglia di suddivisione dell'immagine originale. © 20171 Z a n i c h e leditore li S.p.A. t o è urea rsterasrore ordinare die corta di v b a Q u e s fike

ica de blaseionino,Borgaro, Graziolla Barozzi è Anna Tritone

TEORIA

è*

magine digitale. Quantizzazione: una grandezza si definisce quantizzata quando può assumere come valore solo i multipli di una quantità indivisibile. Il colore di ciascuna delle celle (pixel) definite dalla griglia viene codificato mediante un valore numerico; nel caso di immagini in «bianco e nero», o per meglio dire in «toni di grigio», è possibile utilizzare lo schema seguente, dove al nero corrisponde O e al bianco il massimo numero che si intende utilizzare (normalmente si impiega un byte per memorizzare ogni singolo pixel di un'immagine digitale in toni di grigio: in questo caso il valore del bianco è il massimo numero rappresentabile con 8 bit, cioè 255).

I L CODING Tale scelta è importante: au n maggiore numero di pixelper uni-

tà di lunghezza (una maggiore risoluzione) corrisponde infatti, com’è illustrato dalle immagini che seguono, una migliore qua-

lità visiva dei dettagli dell'immagine digitale. Se digitalizziamo la stessa fotografia,impiegando un numero dipixel minore o maggiore, varia la dimensione della porzione di immagine rappresentata con u n singolo pixel e, di conseguenza, con u n unico colore uniforme.

Come mostrano le immagini precedenti, più essa è grande {perché è piccolo il numero di pixel selezionato), minore è la possibilità di conservare i dettagli originali e minore è la risoluzione di acquisizione dell'immagine. Oggi lo scanner è u n dispositivo poco utilizzato perché le fotografie sono normalmente realizzate con fotocamere di tipo digitale che applicano il processo di digitalizzazione direttamente all'immagine della realtà catturata dall'obiettivo e proiettata su u n sensore elettronico sensibile alla luce. In questo caso,la risoluzione dell'immagine digitale è data dalle caratteristiche tecniche della fotocamera che sono normalmente espresse come numero di pixel della superficie del sensore.

| ESEMPIO La risoluzione di una fotocamera digitale dotata di u n sensore di 4 9 2 x83264 pixel, cioè più di 16 milioni di pixel, viene commercialmente definita pari a 16 megapixel. TEORIA

IP

L e Immagini digitali a colori

Quasi tutti i colori che il nostro occhio può vedere si possono ottenere combinando, in varie proporzioni di intensità, la luce di tre fonti luminose colorate: una rossa, una

verde e una blu. Questo è il principio della sintesi additiva dei colori, o sintesi RGB dalleiniziali dei nomi inglesi dei tre colori primari che la realizzano: Red, Green, Blue. M a il metodo di combinazione dei colori più comune — perché realizzato con la sem-

plice mescolanza delle tinte — è la sintesi sottrattiva o sintesì CMY, dalle iniziali inglesi dei tre colori primari c h lea realizzano: Cyan (azzurro),Magenta (violetto), Yellow (giallo). Le combinazioni di due colori di uno schema rappresentano i colori primari dell'altro. Per esempio, nella sintesi additiva il giallo è dato dalla sovrapposizione del rosso e del verde;nella sintesi sottrattiva il verde è dato dalla sovrappo-

definita CMYK (CMY + black) e nota come quadricromia. Com'è possibile rappresentare u n colore per mezzo di u n codice numerico?

O DE E DO D E S E O O 4 SE

Copyright © 2023 Zanichelli editore SpA. t o è urea rsterasore ordinare die corsi di materna ica di basis Q u e s fib

Bergson, Graziolla Barozzi è Anna Triora

E

n

DA D I

malmente basata sulla sintesi additiva RGB e prevede di esprimere numericamente il contributo di ciascuna componente cromatica primaria {rosso, verde e blu) alla formazione del colore stesso.

0

O

La codifica numerica impiegata per la digitalizzazione delle immagini a colori è nor-

+ SO VO DR O

utilizzano invece una variante della sintesi sottrattiva CMY che comprende il nero,

O DO SO O D E

Nel caso della sintesi additiva il nero è dato dall'assenza di colore, mentre i l bianco dalla sovrapposizione dei tre colori primari; nel caso della sintesi sottrattiva il bianco è l'assenza di colori, mentre il nero è la combinazione dei tre colori primari. Qualunque sia lo schema, ogni colore è quindi sintetizzabile come combinazione di soli tre colori fondamentali. La sintesi additiva RGB può essere realizzata solo mediante sorgenti luminose, come avviene nel caso dei pixel di un monitor;le stampanti

DA DO D E S E DO DA D a e

sizione del giallo e dell’azzurro.

I | ESEMPIO Uno strumento software per la definizione di u n colore consente di

Perché il suono possa essere digitalizzato deve prima di tutto essere trasformato in e elettrico:il microfono effettua questa trasformazione generando un'onda elettrica che riproduce fedelmente l'andamento nel tempo dell'onda sonora. L'analisi della variazione nel tempo dell'onda elettrica generata daun microfono mediante uno strumento di misura elettronico mostra u n andamento come il seguente.

un

Copyright © 2073 Zanichelli editore SpA. t o è urea rsterdaore ordine dis corsa di matera lita de blassionvo Banrggiarviari, Grazialla Barozzi x Ama Triforae Q u e s file

DO DO S E O DO D E 0 O 4 DO O O O O OO DO DR D O D S 2 O SO 0 E O DO O DO DO E DR CO O O O DE O DO D E DE O OP DO DO DO O O DD DO O

come suoni.

O DO

L'audio digitale è codificato mediante una sequenza di valori numerici: per capire come questo sia possibile, ricordiamo che il suono è un'onda meccanica che si propaga nell’aria producendo variazioni di pressione che il nostro orecchio interpreta

O

registra direttamente le onde che costituiscono l'informazione audio o video.

SE

contenuti — in particolare audio e video — erano di solito memorizzati in formato analogico, prevalentemente su supporti di tipo magnetico. U n supporto analogico

E

stesso schema di funzionamento (tablet, smartphone, media player eccetera), molti

DA I

Il termine digitale viene utilizzato per i contenuti codificati in formato numerico. Prima della diffusione del computer e dei dispositivi che sono di fatto basati sullo

O

di tipo digitale.

E

Praticamente tutti i dispositivi che utilizziamo per riprodurre brani musicali sono

‘0

O L a codifica numerica del suono

O

O

0

numerici 1458, 0, 0.

AE D E DE DO DO 2

secondo caso le quantità di rosso, verde e blu sono invece definite dai valori

O

ne rappresentano rispettivamente le quantità di rosso, di verde e di blu; nel

DA O DA

Nel primo caso il blu selezionato è definito dai valori numerici 53, 8, 182 che

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TEORIA

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impostare e visualizzare il contributo delle singole componenti RGB.

DO D E O DE D E EE DOO OO DO 0

un singolo byte di memoria del computer, o di un analogo dispositivo.

DE DO S E DO O

numerici compresi tra 0 e il valore massimo stabilito. Nella realtà ogni componenteprimaria di un colore è codificata mediante un numero intero compreso tra 0 e 255, che è il valore massimo rappresentabile utilizzando

E

In u n dispositivo funzionante secondo il principio della sintesi RGB, per esempio il monitor di un computer, ciascuno dei tre colori primari può essere dosato da 0 a una quantità massima alla quale possiamo assegnare u n valore numerico arbitrario in modo che quantità intermedie di colore possano essere rappresentate con valori

DO E D E S o

I L CODING

I L CODING DL DE SA E

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Nel grafico è possibile riconoscerele duecaratteristiche fondamentalidi un'ondasonora. e La frequenza: è il numero di oscillazioni che l'onda effettua in un secondo e determina la tonalità del suono. Nella musica ogni singola nota ha una frequenza caratteristica; l’orecchio umano è in grado di percepire suoni la cui frequenza è

compresa tra 20 e 20 000 oscillazioni per secondo: l'unità di misura della frequenza che esprime il numero di oscillazioni per secondo è l’hertz (Hz).

*

L'ampiezza: è la quota raggiunta dall’onda in uno specifico istante e determina l'intensità del suono.

La digitalizzazione del suono, cioè la sua trasformazione in una sequenza di valori numerici, viene effettuata da un dispositivo elettronico denominato ADC (Analog to Digital Converter) che opera sull'onda elettrica generata da u n microfono ( o da u n

dispositivo diverso,per esempio l'amplificatore di uno strumento musicale elettrico)

TEORIA

a

in due fasi: campionamento e quantizzazione. e Campionamento: l’ampiezza dell'onda sonora viene misurata a istanti regolari

nel tempo {questi particolari punti dell'onda sono gli unici presi in considerazione per la codifica del suono). Li

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e Quantizzazione: una volta stabilito un valore corrispondente alla massima ampiezza (a quella corrisponde il valore 0}, la sequenza delle misure dell’ampiezza

dell'onda viene codificata mediante una sequenza di numeri interi proporzionali

alle singole ampiezze. ©

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© 2123 Zanrhelli editore S.p.A. Bologna Q u e s fibke t o è urea esteriore ordinare dir corta di imvberma lica de blaszioninvo Banrggiarvarii, Graziolla Barozzi è Ama Tritone

e

I L CODING Il valore massimo di quantizzazione è determinato dal numero di bit che si intendono usare per rappresentare le misure delle ampiezze. I

| ESEMPIO Utilizzando 8 bit, il massimo valore di quantizzazione è pari a 255.

La precisione con cui l’onda viene codificata numericamente dipende sia dall’intervallo temporale che intercorre tra u n punto di campionamento e il successivo,sia dal numero dibit usatiper la quantizzazione.Infatti intervalli di campionamento grandi

riducono il numero di punti mediante i quali l’onda viene rappresentata, mentre con bassi valori massimi di quantizzazione la differenza di ampiezza tra u n numero

e il successivo si estendeportando a codificare con lo stesso valore misure diverse. 10

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È ESEMPIO Per la digitalizzazione del suono utilizzata nella realizzazione dei CDD audio viene impiegata una frequenza di campionamento di 44 100 campioni per secondo e un valore massimo di quantizzazione pari a 65 5 3 5in: altre parole, i numeri sono rappresentati utilizzando 16 bit. Un

brano

musicale

di

3

minuti

viene

rappresentato

mediante

44 100 - 60 - 3 = 7938000 valori numerici di 16 bit, cioè 2 byte ciascuno: tenendo conto che i brani musicali sono normalmente registrati in modalità «stereo» utilizzando contemporaneamente due canali audio, esso occupa 7938000 - 2-2 = 31752000 byte di memoria. La riproduzione dell'audio digitale avviene convertendo nuovamente la sequenza numerica che lo rappresenta in un segnale elettrico mediante un dispositivo DAC {Digital to Analog Converter); successivamente le casse, o le cuffie, trasformano il segnale elettrico in un'onda sonora analogica.

Problemi e algoritmi Siamo spesso portati a pensare a u n «problema» in termini numerici, ma nella vita di tutti i giorni un problema è riferibile a una qualsiasi situazione che necessiti di una strategia risolutiva per poter essere affrontata. In questi casi si ha l'esigenza di applicare un procedimento che, partendo da una situazione iniziale data, consenta di raggiungere una situazione finale migliore. U n preblema ben formulato deve contenere tutti gli elementi necessari per poter progettare u n metodo risolutivo che permetta di ottenere il risultato voluto.

U n metodo risolutivo deve essere espresso in termini di azioni chiare ed effettivamente alla portata di chi {o che cosa) dovrà eseguirle. Copyright © 2073 Zanichelli editore SpA. Q u e s ft io è urea rsterdsore ordinare die corta di imvberma lica de blassionivo Beragiarvarii, Giraziolla Barozzi è Anna Tritone

TEORIA

a

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O pesce

" gesta

I L CODING Il termine a l g o r i t m èo utilizzato per indicare un procedimentorisolutivo,cioè un insieme di istruzionila cui esecuzione risolve u n problema. Spesso non esiste un unico algoritmo per risolvere

alternati-

problema.

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del percorso per uscire da un labirinto è La ricerca u n problema che può essere risolto adottando diversi algoritmi, che dipendono anche dalla moda-

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u n problema: possono esistere strategie

ve, alcune più efficaci e altre ancora più laboriose, ma che conducono in ogni caso alla risoluzione del

E

lità con cui il labirinto viene descritto e dalle infor-

mazioni che abbiamo (per esempio, se si possiede DR a e

n

O meno una mappa).

TEORIA

E

E

e un'ora equivale a 60 minuti, cioè a 3600 secondi (60 - 60 = 3600).

D e DO DEE DO OO DO A SUO O DO

Affrontiamo ora il seguente problema: data una misura di u n intervallo di tempo espressa in secondi, convertirla in ore, minuti e secondi, Lo si può risolvere con i calcoli descritti nell'esempio, tenendo conto che: e u n minuto equivale a 60 secondi;

O DO O DO E

A

B Problemi, algoritmi e variabili

E

E

I | ESEMPIO 6990 secondi corri-

tato.

:

M = INT(S 60),

E E E O OO DO DE DO SO AO DO S E DO DO E SO O A +

e il nuovo valore di S come parte rimanente dei secondi:

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CO DO E

+ A s s e g n i aamHoe a M il valore 0. # Se il valore S è maggiore o uguale a 60 calcoliamo il valore di M come segue,

O

della divisione contenuta tra parentesi, mantenendo la sola parte intera come risul-

O O

I n esso la notazione INT(...) indica che si trascurano le cifre decimali del risultato

OO O DO

In generale, se chiamiamo 5 il numero di secondi fornito e indichiamo con M e H rispettivamente il numero di minuti e il numero di ore da calcolare, possiamo così definire il seguente procedimento risolutivo.

O O

si hanno 56 minuti; sottraendo il numero di secondi che costituiscono 56 minuti (60 - 56 = 3360) da 3390, si ottiene infine il numero d i secondi residui, ossia 30.

O DO O

3600 secondi d a 6990 n e restano 3390, dividendo 3390 per 6 0 sì h a 56,5, per cui

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secondi. Infatti dividendo 6990 per 3600 si ottiene 1,94166... per cui si tratta di 1 sola ora (cioé 3600 secondi); sottratti

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spondono a 1 ora, 56minutie 30

Se il valore di M risulta essere maggiore o uguale a 60 calcoliamo il valore di H,

DI i

e il nuovo valore d i M come parte rimanente dei minuti:

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M = M — ( H - 60).

10 Bergson, Graziolla Barozzi è Anna Triora

I L CODING I

È ESEMPIO Sia $ uguale a 8210 secondi.

Convertiamo $ in ore, minuti, secondi. Poiché 8210 > 60, calcoliamo M = INT(8210:6 0) = 136 $ = 8210 — (136 - 60) = 50.

Dato che M

> 60, calcoliamo

H = I N T ( 1 3:660) = 2 e d i nuovo M = 136 — (2 - 60) = 16.

Al termine del procedimento H = 2 , M = 16 e S = 50, quindi 8210 s = 2h, 16 mm, 50 s.

H. M e Sprendono il nome di variabili e sono utilizzateper contenerei valori di dati e risultati, esattamente come nelle formule delle scienze applicate e delle espressioni algebriche.

®

TEORIA

L'algoritmo per convertire in ore, minuti e secondi u n intervallo di tempo espresso in secondi può essere descritto sinteticamente mediante una sequenza di istruzioni. S5-_

* M-—0eH-O0. e Se S = 60, allora M — IN'T(S : 60) e 5 — $ — M 6 0 . e Se M = 60,

allora H — INT(M : 60)

e M — M-H-6.

che ha i] significato di far assumere Il simbolo « —» è un operatore diassegnamento alla variabile che sta alla sua sinistra il risultato del calcolo dell'espressione che sta alla sua destra. Osserviamo che: è l'ordine di valutazione delle formule è fondamentale per la correttezza del calcolo, perché il valore assegnato a una variabile può essere utilizzato successivamente nella valutazione di una nuova espressione; è sono state utilizzate variabili per rappresentare quantità il cui valore numerico non è noto perché ancora da determinare, oppure perché varia in relazione all’us o che n e viene fatto nell’algoritmo; è

le variabili permettono la memorizzazione di valori numerici {istruzioni come

x«M — M — H - 602 modificano il valore di una variabile); e la variabile $ contiene inizialmente il numero di secondi che rappresenta il dato del problema da risolvere mediante l'algoritmo; e l'assegnamento del valore ottenuto come risultato della valutazione d i un’espres-

sione a una variabile può essere condizionato dal fatto che essa, o un'altra variabile, assuma o meno determinati valori (istruzione Se... allora...). Una variabile può essere vista come un contenitore caratterizzato da due elementi; e

il nome: è un'etichetta che la identifica e la distingue dalle altre variabili e che

rimane costante durante l’esecuzione dell'algoritmo; e il valore: è il contenuto associato al nome della variabile in uno specifico istante dell’esecuzione dell'algoritmo, e normalmente varia nel corso dell'esecuzione

dell’algoritmo. Copyright © 2023 Zanichelli editore SpA, Q u e s ft io è urea esteraaore ordinare dire corsi di materna ica di basis

Baerganesori, Graziolla Barozzi è Anna Triora

11

I L CODING Dal momento che una variabile può contenere un unico valore in uno specifico istante, l’uso dell'operatore di assegnamento «--» permette di modificare il contenuto di una variabile:il valore corrente della variabile viene distrutto e sostituito da uno nuovo. IP | ESEMPIO Nell'algoritmo descritto in precedenza, se M contiene il valore 2 e

S il valore 135, dopo l'esecuzione dell'istruzione $ — 5 — M - 60 il valore di 5 sarà 15. L'ordine di esecuzione dell’assegnamento prevede infatti prima la valutazione dell’espressione & — M - 60 (135 — 60 - 2 = 15) e poi la memorizzazione del

risultato nella variabile 5.

Algoritmi e d esecutori Con un algoritmo scriviamo le istruzioni necessarie alla risoluzione di un determinato problema, o di più problemi simili. Di solito, u n algoritmo opera s u dati di

ingresso (input} per fornire risultati in uscita (output). U n algoritmo deve presentare le seguenti caratteristiche. #*

Finitezza: deve prevedere un numero finito di istruzioni.

e Terminazione: deve terminare dopo l'esecuzione di u n numero finito di istruTEORIA

ZIONI.

Esistono particolari procedimenti di calcolo che, pur essendo corretti, non possiedono una fine (un esempio è il procedimento per il calcolo delle cifre decimali di x

che sono infinite): procedimenti di questo tipo sono dettimetodi di computazione. IP E ESEMPIO Il procedimento

e dato u n numero naturaleN ,

e aggiungi l a N ,

e vai all'istruzione 1

non è un algoritmo,perché l'esecuzione delle ultime due istruzioni avviene senza mai avere fine, in contrasto con la proprietà di terminazione. e Determinatezza: ogni istruzione dell'algoritmo deve specificare senza ambiguità

l’azione da intraprendere. IP | ESEMPIO Il procedimento

e dati due numeri M e N, e se M èmolto minore di N allora calcolare N — M, altrimenti calcolare M + N, e fornire il risultato ottenuto non costituisce u n algoritmo, dato che, senza u n criterio per stabilire quando

un numero è «molto minore» di u n altro, non è possibile eseguire l'istruzione corretta ( N — M o M + N}.

e Effettività: l'azione specificata in ogni istruzione dell'algoritmo deve essere ese-

guibile da parte dell’esecutore che deve applicare il procedimento; non ha senso prevedere in un algoritmo azioni che l'esecutore non è in grado di svolgere. e Generalità: u n algoritmo dovrebbe essere progettato per risolvere non uno spe-

cifico problema, ma un insieme di problemi simili. I

|

ESEMPIO È di scarsa utilità progettare u n algoritmo per calcolare la radice

quadrata di uno specifico numero, per esempio 4; è invece utile u n algoritino

generale per calcolare la radice quadrata di u n qualsiasi numero positivo. Copyright © 2073 Zanichelli editore SpA. t o è urea rsberdsorie ordinare die corsi di v b a Q u e s file

ica de blaszionnio Berger, Graziolla Barozzi è Ama Tritone

12

I L CODING Nell’elencare le proprietà di u n algoritmo abbiamo usato il

StockThing # Shuattersiock

termine esecutore per identificare «chi» o «che cosa» deve eseguire un algoritmo. Possiamo classificare gli esecutori in due categorie: e esecutori intelligenti, e esecutori automatici.

Gli esecutori intelligenti sono in grado di affrontarela risoluzione di un problema applicando la conoscenza acquisita nel corso della propria attività precedente; un esecutore intelligente ha la capacità di aumentare la propria conoscenza via via che affronta e

i I

i LI LI i

risolve nuovi tipi di problemi. L'uomo è l’esempio più evidente di questa tipologia LI di esecutori. LI LI

un determinato problema eseguendo meccanicamentele istruzioni di u n algoritmo, in genere senza accumulare alcuna conoscenza nel corso della propria attività. I vantaggi che gli esecutori automatici presentano rispetto a quelli intelligenti riguar-

dano la precisione e la velocità con cui sono in grado di eseguire le istruzioni di un algoritmo. I computer sono l’esempio più notevole di esecutori automatici, ma anche una semplice lavatrice può essere considerata un esecutore meccanico dei programmi di

lavaggio predefiniti.

LI LI i LI L]

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TEORIA

Alla seconda categoria appartengono invece esecutori che affrontano la soluzione di

LI

Per verificare la validità di un algoritmo, è possibile utilizzare una tabella che permetta

di tenere traccia dei valori assunti dalle singole variabili nel corso dell'esecuzione delle istruzioni, in modo da simulare il processo di esecuzione di un esecutore automatico. IP | ESEMPIO Per trasformare 8210 secondi in ore, minuti e secondi, la tabella di

traccia dei valori delle variabili è la seguente.

|

Istruzione

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$ 100 nell'altro).

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o |

Valutiamo le due diverse possibilità: e se il valore attribuito inizialmente alla variabile N è minore di 100, le due soluzioni sono equivalenti; * se il valore iniziale della variabile N è maggiore di 100, impiegando l’algoritmo «1» sì ottiene come risultato il valore 0, che è corretto, mentre con l’algoritmmo «2» il risultato assume il valore 1, che è ovviamente errato.

Per conferma riportiamo le tabelle di traccia dei due algoritmi nel caso in cui alla variabile N sia attribuito u n valore iniziale uguale a 99, Copyright © 20273 Zanichelli editore SpA. Bologna Q u e s file t o è urea rsterdsrore ordinare dies corsi di m b e

20

ica de blaseionio Baerggiarvarii, Graziolla Barozzi è Ama Trifora

I L CODING

Algoritnto 1: controllo «im testa»

Istruzione

N

Leggi N

99

C-0

99

0

( N = 100)

99

0

N -— N + 2

101

C-CT+1

CT | Condizione

Vera

Algoritmo 2: controllo «in coda»

Istruzione

N | € | Condizione

Leggi N

99

C-0

9% | 0

N—-N+2

101

O

0

C-C+1

101

1

101

1

( N > 100)

101

1

( N = 100)

101

1

Scrivi C

101

1

Scrivi C

101

|

Falsa

|

Vera

i

1

LI

-

e N sia ugualea 101. cui il v a l o rdi ino D i seguito i n v e cileconfronto nel c a s A l g o r i t m2ocontrollo «in coda»

C | Condizione

Istruzione

N | € | Condizione

Istruzione

N

Leggi N

101

Leggi N

101

C-0

101 | O

C-0

101 | O

( N = 100)

101 | ©

N— N+2

103 | 0

Scrivi C

101

C-C+1

103

O

Falsa

(N

> 100)

1

103 | I 103

Vera

1

predisporre una variabile Somma, posta inizialmente uguale al valore 0, che alla fine conterrà il risultato;

a OO DO RE DE a OO DO O DO A OO O O + DO O O O DO E O A E E DO O I 4

E

7. tornare al punto 3.

O

O

variabile Somma, 4. se invece N è maggiore di 0, leggere u n numero; 5. sommare il valore del numero letto al contenuto della variabile Somma; fi. diminuire di 1 il valore di N ;

Copyright © 2023 Zanichelli editore SpA, Q u e s ft io è urea rsterasore ordinare die corsi di materna ica di basis

O O O

2. leggere il valore di N, cioè la quantità di numeri da leggere e sommare; 3. se N è uguale a 0, il procedimento termina fornendo in output il valore della

O DO O DD DO OO O O

ovvero u n tipo di ciclo dove il numero delle ripetizioni è noto a priori. U n algoritmo che deve calcolare la somma di N numeri, ciascuno dei quali fornito come valore di input, può essere basato sul seguente schema risolutivo:

O E

di istruzioni deve essere ripetuto, è possibile fare ricorso a un ciclo determinato,

O

Se tra i dati di ingresso dell'algoritmo si dispone del numero di volte che u n gruppo

O

I cicli utilizzati negli algoritmi dell’esempio precedente sono indeterminati: l’esecutore non è in grado di stabilire a priori quante volte dovrà ripetere il ciclo, perché questo deve essere ripetuto fino a quando la condizione di arresto non risulti verificata.

n

a

a u Do

Scrivi C

TEORIA

Algoritmmo 1: controllo «in testa»

Baerganesori, Graziolla Barozzi è Anna Triora

21

TEORIA

I L CODING

Nel DAB è evidente il ruolo delle singole variabili utilizzate dall’algoritmo. F

N

indica quanti numeri devono essere elaborati ed è usata per

controllare l’esecuzione del ciclo: viene utilizzata come contatore

Aumero

è utilizzata per la lettura dei singoli valori da sommare

:

è la variabile che alla fine del procedimento conterrà il risultato; è posta inizialmente uguale a Ò e in seguito sommata ripetutamente al valore Numero: variabili utilizzate i n questo modo sono definite accumulatori

Un modo alternativo di utilizzare una variabile come contatore è quello di inizializzarla a O e incrementarne il valore d i 1 finché n o n contiene il valore del numero d i

ripetizioni del ciclo desiderato.

Nel caso di un ciclo determinato si conosce esattamenteil numero di ripetizioni del ciclo.Nel caso di u n ciclo indeterminato il numero di ripetizioni non è noto a priori, poiché la terminazione del ciclo dipende dal verificarsi omeno della condizione che ne controlla l'arresto. Nel caso di controllo in testa, sela condizione non diventa mai falsa (o, nel caso di controllo in coda, se la condizione non diventa mai vera) il cido viene ripetuto infinite volte e l’esecuzione dell'algoritmo non termina. Affinché u n ciclo indeterminato sia ben progettato, è necessario che le istruzioni al suo interno garantiscano che la condizione di controllo possa assumere prima o poi un valore che comporti la fine del ciclo stesso. Copyright © 20273 Zanichelli editore SpA. Bologna t o è urea rsterdaore ordine diri corsa di matera ica de blassionivo Berger, Graziolla Barozzi è Anna Tritone Q u e s file

bo)

I L CODING I E ESEMPIO [Il ciclo dell'algoritmo descritto dal seguente DAB termina dopo es-

Programmare c o n Python I linguaggi di programmazione Per far sì che un algoritmo venga eseguito, è necessario fornirlo all’esecutore in una

forma per lui comprensibile. Se l’esecutore è unapersona cheparla italiano, affinché sia in grado di comprendere il significato di u n algoritmo ed eseguirlo, sarà suffi-

ciente trasformarlo in una sequenza di istruzioni scritte in italiano; ma se l’esecutore è u n americano, l'algoritmo dovrà probabilmente essere tradotto i n

inglese. Questi

linguaggi per la descrizione degli algoritmi sono detti naturali. Se l’esecutore è una macchina,il linguaggio da utilizzare deve seguire regole sintattichepiù rigorose di quelle di u n linguaggio naturale,allo scopo di renderel’algoritmo privo di qualsiasi ambiguità. Così come esistono molte lingue naturali e molti dialetti, esistono svariati linguaggi per computer, definiti linguaggi di programmazione. Una sequenza di istruzioni scritta in u n linguaggio di programmazione si chiama programma.

Linguaggi di alto livello Come tutte le informazioni memorizzate in un computer, anche le istruzioni che costituiscono un programma sono sequenze di numeri binari. L'insieme delle istruzioni binarie (e delle regole che ne consentono la composizione) che un computer è in grado

di di eseguire è definito linguaggio macchina. Ogni computer,o meglio,ogni tipologia microprocessore, vale a dire il componente elettronico che sovrintende alle funzioni

di elaborazione delle informazioni,possiede u n proprio linguaggio macchina. U n programma i n linguaggio macchina è molto difficile da scrivere e interpretare

per u n essere umano. Ha inoltre il limite di non funzionare su un tipo di computer diverso da quello per cui è stato scritto. Copyright © 2073 Zanichelli editore SpA. t o è utsa esterdaore ordine die corsa di matera ica da blaszioniio Berger, Graziolla Barozzi è Anna Tritone Q u e s file

TEORIA

sere stato eseguito esattamente nove volte. Infatti dopo aver aggiunto per nove volte il valore 1 alla variabile N , inizialmente posta uguale a 1, questa assume il valore 10 e la condizione risulta falsa, comportando la terminazione del ciclo.

DO E DOGO DO DO SE DOO DO D E E O DO DO 0 DO OO DO D e OO DO DO 0 AO

È possibile fare un'importante distinzione tra tipologie di linguaggi in funzione di

o

Uomo — Linguaggio di alto livello — Traduzionein linguaggio macchina — Computer

O CO OO O

Per semplificare il lavoro dei tecnici, sono stati creati diversi linguaggi di programmazione che, per quanto formali, sì avvicinano sempre più a quelli naturali e sono quindi più semplici da comprendere per l’uomo. Sono stati definiti linguaggi d i alto livello e consentono di scrivere programmi che non dipendono dal particolare computer a disposizione. Prima di essere eseguito, un programma scritto in un qualsiasi l i n g u a g gdii oprogrammazione deve essere tradotto nel linguaggio macchina: l'unico comprensibile da u n computer. La traduzione è svolta dal computer stesso tramite appositi programmi.

E Se

I L CODING

O DOO DR O

DO O

come e quando avviene questa operazione.

E

E

In alcuni casi,la traduzione in linguaggio macchina avviene durante l'esecuzione del programma: un apposito software, denominato interprete,individua l'istruzione da eseguire, la traduce e la esegue (cioè la fornisce al sistema che si occupa dell'esecuzione vera e propria), per poi passare all'istruzione successiva, fino a che non trova quella che identifica la fine del programma stesso.

DO SE D E DO DO D E E OO DOO DE OP O DO

+

Linguaggi interpretati e linguaggi compilati

Azione

estrazione dell'istruzione i n

e

e

E

TEORIA

Sulla le

computer

interprete

interprete

Chi

—_ _

tenuto in una lingua non conosciuta da coloro che ascoltano.

—_- —_ —_ —_- —_ —_ _

Sluc ralisck

E

E

Questo processo è simile a quello compiuto da un interprete che traduce simultaneamente u n discorso

traduzione dell'istruzione (int ione)

estrazione dell'istruzione in linguaggio macchina

de

J

E e E E i E e de a — —_ — e -

u}

E

tra, producendo u n nuovo documento.

e

esperto che traduce un articolo da una l i n g uin a un'al-

—

Questo processo è simile a quello compiuto da u n

—

ntte_abriut_marimier ! $tritiersiock

questo caso compilatore.

—

separata dalla fase di esecuzione.Il software che effettuala traduzione si definisce in

—

Altri tipi di linguaggi di programmazione prevedono che la fase di traduzione sia

D e DO DO E

2

0 Po

“IP

C i c l o d i esecuzione

Chi

compilatore

computer

traduzione del programma

esecuzione del programma

(compilazione)

in

linguaggio macchina

L'esecuzione di u n programma interpretato è più lenta rispetto a quella di u n analo-

go programma compilato, perché ogni istruzione deve essere tradotta al momento dell'esecuzione. Copyright © 2024 Zanichelli editore S.p.A Bologna Q u e s file t o è urea rsterasorie ordirer dee corsi di materna ica di basis

24 Baerganesori, Graziolla Barozzi è Anna Triora

I L CODING La fase di traduzione di u n programma compilato è più lenta, ma poi l’esecuzione

del programma tradotto è veloce,perché ciò che viene eseguito è scritto in linguaggio macchina. U n programma scritto in u n linguaggio compilato deve essere però compilato nuovamente prima di essere eseguito su un diverso tipo di computer.

Un punto a favore dei linguaggi interpretati è dato dal fatto che è possibile fornire lo stesso

programma a computer di tipologie diverse: è sufficiente che su ogni sistema

sia presentel'interprete di quel linguaggio.Questa caratteristica si chiamaportabilità. Traduzione con approccio misto Esistono linguaggi per i quali la fase di traduzione prevede un approccio misto tra i due metodi precedenti: in questi casi l'esecuzione di u n programma comporta una fase di pre-compilazione.Il codice viene tradotto in un linguaggio intermedio, denominato byte-code, concepito per essere eseguito non da un computer reale ma da una macchina virtuale, cioè da u n software che simulail comportamento di u n computer. Questo codice viene successivamente interpretato e quindi eseguito dalla macchina virtuale. L'esecuzione del byte-code risulta comunque più veloce di quanto sarebbe quella di u n analogo programma totalmente interpretato. L'operazione di pre-compilazione, inoltre, avviene soltanto alla prima esecuzione di u n programma ( o solo dopo una sua modifica) rendendo veloci le esecuzioni successive. >> r a g g i o= 2 — —

——

>»> p igreco = 3 . 1 4 1 €F Par i decimali s i usa i l

punto, non l a virgola

>>> araa delcerchio = p i greco * raggio * " 2 >>> p r i n t [ a r e a del cerchio) 12.566 4

>> >>> B = 12 »»> b= 7 >> h = 3 >>> area deltrapezio = (BB + b

*ah # 2

>>> p r i n t i a r e adel trapezio 28.5

>>> |

I nomi delle variabili devono essere stringhe di caratteri prive di spazi. È possibile — anzi consigliato — utilizzare simboli nei nomi, se ciò facilita la comprensione del loro significato. Per esempio,le variabili che contengono il valore delle due aree calcolate nell’esempio precedente utilizzano il carattere _ nel nome allo scopo di renderlo più leggibile.

I nomi di variabili non possono iniziare con numeri e Python distingue tra lettere maiuscole e minuscole. Nell'esempio precedente B e b rappresentano la base maggiore e la base minore del trapezio e in Python è sufficiente utilizzare il maiuscolo e il minuscolo per distinguerle. Inoltre, come separatore tra parte intera e decimale di un numero, si impiega il punto e non la virgola. Se non diversamente specificato, il risultato di un'espressione che coinvolge soltanto numeri interi è un numero intero; per esempio, la divisione tra

due numeri interi restituisce la parte intera del risultato. Gli operatori matematici in Python sono i seguenti:

+ somma — sottrazione * moltiplicazione

** clevamento a potenza (5**3 = 5°)

/ divisione 11divisione intera (7//2 = 3) % modulo o resto (14%4 = 2), Copyright © 2023 Zanichelli editore SpA. t o è urea rsterdsore ordinare die corsi di materna ica di basis Q u e s file

Baerganesori, Graziolla Barozzi è Anna Triora

TEORIA

e

I L CODING IP EB E S E M P I O

|

U remitato m i n Mel Deloy etimoM i n e

> > a = fi

dlue n u m e r sono i interi:

il r i s u l t a t oè la parte ntera della divisione.

o

> > > b = 14

U n o dei due numeri è

>>> p r i n t i a #7 b } # divisione intera

scritto i n forma decimalee,

Pi a 7 b } id divisione >>> p r i n t AIA FASSA

valore p r e c e d e n t e ,porta

>>> |

b e n c habbia é il medesimo a o t t e n e rilerisultato della

J

o

Le

division ineforma decimale.

E

Tutto ciò che segue il simbolo # è ignorato dalla macchina virtuale di Python: in questo modo è possibile inserire dei commenti nel codice.

”

i

b Input e output

Per inserire dati numerici si utilizza l'istruzione input, che assegna alla variabile ‘ indicata il valore imrnesso da tastiera. Il comando consente di far apparire u n mes- ‘ ' saggio che guida l’utente nell'inserimento del dato. Il comando input consente di assegnare a una variabile una sequenza di caratteriim- i messi da tastiera. La variabile sarà di conseguenza riconosciuta come di tipo stringa. ‘

I) |

!

ESEMP IO LÀ Sler 1TA

mil

=

> > nom a NEUE T oo

-

a

*

tt cirtami_y

L a shell di Python visualizza «|

1 icon coloriji diversi:

Coma t ì chiami? Chiara

:

le stringhe,

>>> p r i n t i nomea }

chiara

l'input,

I

>>> |

=

l'output.

Se invece di una stringa si vuole immettere u n numero intero, occorre convertire il risultato con il comando int. Per inserire u n numero con la virgola invece si usa

float. IP | ESEM PIO

m i tatea e P r HA Pe Dieg Sipiire Madre Hay input ( “Quanti 15 — hai? Quanti anni >>> p r i n t i eta )

>>> a t a =

int{

=

_appi babe T T

>>> |

Al momento di eseguire a _-x-}-1-

‘1 l'istruzione input,

‘l'interprete visualizza il ‘+ M e s s a g gei orimane in ‘attesa dell'inserimento del i ‘valore da tastiera, che sarà *|

i

:

poi assegnato alla variabile,

L

Dato che una stringa è una sequenza ordinata di caratteri, èpossibile far riferimento a ogni elemento tramite la sua posizione, che in Python si indica tra parentesi quadre. In Python e in molti altri linguaggi di programmazione si inizia a contare da zero: il primo carattere della stringa s sarà quindi s[0]. Per le stringhe Python prevede alcune operazioni predefinite, come la funzione, len(s) abbreviazione del termine inglese length, «lunghezza». Che restituisce il numero d i caratteri che compongono la stringa s.

' }

' 1

: 1

Per visualizzare risultati e informazioni si usa il comando print.È possibile stampare '

valore d i una o più variabili e concatenarli tra loro per ottenere risultati più arti- } colati. Da notare che l’operatore + applicato a variabili di tipo numerico restituisce ' come risultato la somma dei valori; il medesimo operatore applicato a variabili di

il

Copyright © 2024 Zanichelli editore S.p.A. Bologna Q u e s file t o è urea rsterdaore ordine diri corsa di matera ica de bllassionivo Banrggiamviarii, Graziella Barozzi x Ama Triborae

28

TEORIA

La sintassi del comando è nome_variabile = input (“Messaggio da far apparire”).

I L CODING tipo stringa restituisce una nuova stringa equivalente alla concatenazione delle due. Per concatenare numeri e stringhe in un'istruzione print si usa la virgola. PD | ESEMPIO Pa

1A aa

-

I

UU

> > a = 12 > > b = 17 print(i

>

x

È

i

“ a + b}

1%

>>> >>> 3 1

o

“MELO”

> > 532 = "GRANO" > > 4 & al + a2 >> print{ 3 } pt >

s*i n i

>

s_fine = 3 [ - 1 } | uìitimo alemento

22> 2”

print ("= inivia

| È

MELOGRANO

= as[0] # primo slemento

sm m = len{

“caratteri”} con 3 a

a ì c o n ® , 4i n i ,

—

" t e r m i n a c o n " , +»fine,

" a h a " , +fium,

H termina con © e h a 9 caratteri

>>> _

_

—.—

‘neh G i

B Dal singolo comando a l programma TEORIA

La possibilità di veder eseguito immediatamente ciascun comando fornito all’interprete di Python è molto comoda per poter muovere i primi passi con questo linguag-

gio, ma per eseguire un algoritmo è necessario,in genere, scrivere un programma.

La voce New File del menu File consente di attivare una finestra nella quale scrivere programmi in Python. IP

f ESEMPIO Scriviamo u n programma in Python che calcoli l’area del cerchio avente come raggio quello fornito come dato in ingresso.

Di a m i

pi_greco + 3.1416

aretino-

Ci

p i greco = 3.1416

raggio = float { input '

-

Leggi raggio

=

maine,il ione DLE

Rn DE Poma ln Gipi Milione Mina ("Inserisci

il

valore del raggio:

q * r a g g i o* * 2 a r v a = pipig r e c o * q

"}}

prist{("L 'area del cerchio d i raggio”, raggio, " è pari a ” , area}

area #-q* pi_greco

Prima di eseguire un programma scritto in Python occorre salvarlo in u n file, cui sarà

associata l'estensione .py. Per esempio, il programma precedente potrebbe essere salvato nel file di nome Area delcerchio.py. Copyright © 2073 Zanichelli editore SpA. t o è urea rsterdsore ordine diri corsa di materia licia di blassionvo B a r r a , Q u e s file

Graziolla Barozzi è Anna Tritone

I L CODING Se dalmenu Run si seleziona la voce Run Module, la macchina virtuale, denominata Python Virtual Machine (PVM), si occuperà in primo luogo di effettuare la traduzione del codice in byte-code, generando un nuovo file di estensione .pyc, poi di interpretare il byte-code e passare alla macchina reale le istruzioni da eseguire. Chi

editor di Python

PVYM

Azione

stesura programma

traduzione in byte-code | interpretazione

Prodotto

nome_programmapy | nomeprogramma pyc | linguaggio macchina | risultato

PVM

computer

esecuzione

Per il programmatore l’intero processo appare come a carico della G U I di Python e questo rende semplice e rapido lo sviluppo e la verifica di applicazioni in questo

linguaggio. Quando si comanda l'esecuzione di un programma, infatti, il controllo torna nuovamente alla shell, che consente l'immissione dei dati e la visualizzazione dei risultati. Nella figura seguente si può vedere il risultato dell'esecuzione del programma Area_del_cerchio descritto prima. -

Là Pyimaa L a Snai

Inserisci

>

valore del raggio:

il

Dx

i 10

del cerchio d i raggio 1 0 . 0 è pari a 314.15999999999997

=

>>> LL

TEORIA

L E A nol pg: Morea i r a n

—_.

I

—

TI

bp Strutture d i selezione Durante l'esecuzione di un algoritmo, una struttura di selezione consente di seguire strade diversein funzione delverificarsi diuna determinata condizione;neldiagramma a blocchi è rappresentata con un rombo e si traduce in Python nel comando if.

Condizione è u n enunciato logico, cioè una proposizione che può essere o vera O falsa. Esempi di espressioni di questo tipo sono a==1, alfa< beta,x!=y. Gli operatori relazionali in Python sono i seguenti:

< minore, maggiore, >= maggiore o uguale,

1= diverso, = = uguale {con il significato di confronto e non di assegnazione).

Se la condizione risulta vera, viene eseguito il blocco di istruzioni se vera; altrimenti

sono eseguite le istruzioni del blocco sefalsa. Da notare che nel caso di una condizione di uguaglianza si deve utilizzare il doppio = e che in generale è obbligatorio porre il simbolo : dopo la condizione. Copyright © 20273 Zanichelli editore SpA. Bologna t o è urea rsterasore ordinare die corta di imbarca da blaszionio Berger, Graziolla Barozzi è Anna Tritone Q u e s fibe

30

I L CODING I f ESEMPIO Scriviamo u n programma in Python per verificare se u n numero intero # è divisibile per u n altro numero intero d, dove entrambi i numeri sono

forniti in ingresso.

ep

tn

dp do

dg

.

.

O

e"

er

i

i n tarita ia: P h } un rulez = Lat d i p e t ( E n i r i r i = i n t idiogpat ( " : n s e 1 . : SC) D e Ramero> i n t e r o d idiverso

a resto resto

i.

Pa en

tengono a uno e u n solo piano.

4. Considerata una retta su un piano, c'è almeno un punto del piano che non appartiene alla retta.

B

FP.Q. R. allineati

A

*

[77 =

QQ EsERCIZIO Dimostra con i postutati Utilizzaredo i postulati di appartenenza, dirnmastra

che tre punti distinti e non alleati inderaduano tre rette distinte.

2 e | postulati di appartenenza e d'ordine x Analizziamo l’espressione «una e una sola» che compare nel secondo postulato: e

PROBLEMA M e t t e rinebolla

una:e s p r i m il econcetto di esistenza.Dati due punti distintiA e B e s i s una t e retta che passa per A e B, ossia A e B appartengono alla retta

e una sola: esprime il concetto

La livella a bolla è uno strumento che verifica

l’orizzontalità di un piano. Quando la livella è posta su un piano orizzontale, la bolla d'aria compare al centro di una zona prestabilita

di unicità. La retta

A e B apparten, per A e B è u n i c aossia passante

gono a una sola retta.

Possiamo quindi affermarec h eA eB individuanouna

dello strumento.

retta, che chiamiamo retta AB.

Se diciamo: «Per due punti passa una e una sola retta», escludiamo che tutte le linee disegnate nella figura a lato siano rette. La retta AB è unica ed è quella evidenziata. U n a conseguenza

Usa una livella a bolla per mettere un piano

del secondo postulato è che due

in orizzontale. Indica i l

rette distinte possono avere al più un punto in comu-

procedimento usato e | postulati su cui si basa.

ne. Infatti, se avessero più di u n punto in comune, sarebbero coincidenti. Due rette che hanno u n punto

TEORIA

i n comune si dicono incidenti.

I postulati d'ordine

Ogni retta può essere orientata stabilendo su di essa un verso di percorrenza, che consente di mettere i n relazione i suoi punti. Nell’esempio della figura a lato, diciamo

che A precede B, oppure che B segue A, perché, percorrendo la retta nel verso fissato, incontriamo prima A e poi B. Valgono i seguenti postulati d’ordine.

A

POSTULATI

1. Se A

€

B sono due punti distintid i una

EB

cede C.

n”

‘

EsERCIZIO

Rifletti sui postulati d'ordine

La

e o EB precede A. retta,0 A p r e c e dB,

2. Se A precede Be EB precede C, allora A pre-

retta orientata

A

A precede B B precede C

Spiega perché, se diciamo che fra due punti su una retta ce n è almeno uno, possiano

anche dere che fra i due punti

ce ne sono infiniti,

A precede

3. Preso un punto A su una retta, c'è almeno

un punto che precede A e uno che segue

A. 4. Presi due punti B e C su una retta, con B che precede C, c'è almeno un punto A della retta che segue B e precede C.

4

EsERCI ZIO

Grdina | punti su due rette

incidenti

Due rette orientate r e s sì

miersecano nel punto P. |

Per il postulato 1, la relazione tra i punti della retta orientata è antisimmetrica; per il postulato 2, vale la proprietà transitiva, quindi la relazione considerata è una rela-

zione d'ordine. Poiché per il postulato 1non esistono punti che non possono essere confrontati, è una relazione d'ordine totale.

Il postulato 3 dice che una retta è illimitata: su una retta non esistono né un primo punto, né u n ultimo,

puniti A, È, 0 appartengono alla retta r e i punti È e F appartengono alla retta 5.

Rappresenta graficamente le due rette, sapendo che: # E segue P ma non segue FE: * È precede P e segue DD;

* A segue È ma non precede P.

G5

CAPITOLO G 1 * L A GEOMETRIA DEL PIANO Il p o s t u l a t4oafferma invece che la retta è un insieme denso: fra due punti distinti

esiste sempre un altro punto. Dai postulati d'ordine, considerati insieme a quelli di appartenenza, si può dedurre che: e per u n punto d i u n piano passano infinite rette; e ogni piano contiene infiniti punti e infinite rette. L'insieme delle infinite rette di u n piano che passano per un punto P del piano stesso si chiamafascioproprio di rette e P è il centro delfascio.

e, LL

fascio di rette

IDEE PER LE COMPETENZE

L e linee della metro

d iimbattercinei postulati d'ordine.U n esempio noto sono le mappe della Nella vita di tutti i giorni capita metro, efficaci perchè nascono dalla semplificazione dei percorsi reali, dei quali conservano solo gli elementi essenziali. Tali elementi vengono rappresentati con punti e rette e applicando i postulati d'ordine.

Negli anni Trenta del Novecento l’ingegnere Harry Beck rivoluzionò il modo di rappresentarei percorsi della metropolitana introducendo le mappe con linee e punti che ancora oggi osserviamo nelle stazioni e sulle TEOR IA

metro.

-

A favore della leggibilità,eliminò qualunque riferimento alla topografia reale della città, modificando anche distanze e proporzioni.

”

|

Ai

Nella sua mappa di Londra, le stazioni sono punti perfettamente allineati lungo i percorsi della metropolitana, schematizzati con porzioni di rette. La District Line è una delle linee più trafficate della metropolitana

a

i si

E

di Londra. Sulla mappa,le stazioni della tratta fra South Kensington e Westminster sono tutte allineate e rispettano le seguenti

condizioni: 1 . Sloane Square segue South Kensington e precede Westminster; 2. South Kensington precede St. James's Park, che precede Westminster;

3. Victoria precede St. James’s Park e segue Sloane Square. Quali stazioni incontriamo in ordine sulla District Line tra South Kensington e Westminster? Possiamo schematizzare i vincoli così: 1 £

K

E

Li

K

P

wi

FR PO

K = South Kensington e

e

5 = Sloane Square i

n

V = Victoria

P = St. James’s Park

ri

—————— — — —

i ————

——

W = Westminster

Riportando le indicazioni sulla stessa retta orientata, otteniamo il seguente ordine delle stazioni: South Kensington, Sloane Square, Victoria, St. James’s Park, Westminster.

I

Le aziende utilizzano lo strumento della dead line per pianificare le loro attività. Che cos'è? Come puoi

applicarlo alla tua vita scolastica? I

Le linee del tempo usate in storia sono disposizioni di eventi su rette orientate. Disegnane alcune e descri-

vile dal punto d i vista geometrico.

3 e L e figure fondamentali x

L e figure fondamentali L e semirette

> Esercizi a pagina 622

H i Listen t o

DEFINIZIONE

Data una retta o r i e n t a t ae u n s u o punto O , chiamiamo semirette: | I Insieme

formato

da

O

Ln d a

Pa

0

'

“o

Li

tutti

DL

A ray is the set of points on a line that either all precede or all follow a grven point.

D 4

ne

i

mr

C———

i punti che lo seguono;

0

e l'insieme formato d a (O e d a tutti

i punti che lo precedono.

j

Il punto O si chiama origine della semiretta. Dalla definizione segue che su una retta esistono due semirette opposte, aventi la stessa origine. L'origine è il solo punto che due semirette opposte hanno in comune.

Pb | segmenti

> Esercizi a pagina 622

UD

DEFINIZIONE

Hm LISTEN TO IT

Data una retta orientata e due suoi

A seginent is the set of points

punti A e B, con A che precede B,

chiamiamo segmento

A B l'insieme

ii

con——————

narnia

ò

the segment.

pa

dei punti della retta formato da A, da

B e dai punti che seguono A e precedono B.

}

I punti A e B si chiamano estremi del segmento, i punti compresi fra A e B sono i punti interni del segmento. U n segmento è nullo se i suoi estremi coincidono, ossia

se è privo di punti interni. Il segmento nullo è costituito da u n solo punto. o la D a t i punti A e B, possiamo pensare la retta AB divisa in tre parti: il s e g m e n tAB, semiretta di origine A che non contiene B e la semiretta di origine B che non contiene

A. Queste due semirette vengono dette prolungamenti del segmento AB. Due segmenti sono consecutivi se hanno in comune soltanto un estremo; sono adiacenti quando sono consecutivi e appartengono alla stessa retta.

Bb L e poligonali

> Esercizi a pagina 622

' prolungamenti

EB

A

AC e BC non adiacenti EB

A

A Be BC consecutivi AB: e BC adiacenti

D

cui: e u n s e g m e net il o suo successivo SONO Sempre consecutivi ma non

adiacenti;

\

/

DEFINIZIONE Unapoligonale è una figura costituita da u n insieme ordinato di segmenti i n

=

A

E

C

‘4 A

e ogni estremo dei segmenti appartiene al massimo a due di essi.

G7

CAPITOLO G 1 * L A GEOMETRIA DEL PIANO Una poligonale è chiusa sel’ultimo estremo coincide con il primo. In caso contrario la poligonale è aperta. 1 segmenti di una poligonale si dicono anche lati della poligonale. Una poligonale è intrecciata se almeno due suoi lati (non consecutivi) si intersecano. In caso contrario è semplice. E

C

A = F< >

C =

E

a. Poligonale chiusa.

C o

pe

pr”

prio

E

estremo

b. Poligonale aperta.

t.

Poligonale intrecciata.

>» Esercizi a pagina 623

Bb | semipiani

TEOR IA

La definizione di semiretta è possibile perché u n punto divide una retta in modo che, «muovendosi» sulla retta, per passare da una semiretta all'altra bisogna «attraversare» il punto. Il seguente postulato serve per introdurre un concetto analogo per il piano.

POSTULATO Postulato di partizione del piano mediante una retta Una retta di un piano divide i punti del piano che non le appartengono in due insiemi distinti tali che: @ se due punti appartengono allo stesso insieme, allora il segmento di cui sono estremi non interseca la retta;

* se appartengono a insiemi diversi, allora il segmento interseca la retta. Il postulato dice che una retta r (figura a lato) divide i punti del piano in due insiemi a e PBin modo che, per passare dall'insieme cd all'insieme p, dobbiamo «attraversare» r; mentre questo non succede se «restiamo», per esempio, in B. DEFINIZIONE Considerata una retta r d i u n

piano, un semipiano di origine 7 è l'insieme dei punti di r e di uno dei due insiemi in aui il piano è

RS non mterseca r

origine

semipiano P A N i

j

semipiano

d i v i s oda r.

Diciamo che i due semipiani originati da una retta in u n piano sono opposti.La retta origine di entrambi è la loro intersezione.

> Esercizi a pagina 624

Bb Figure convesse, figure concave

W DEFINIZIONE

Una figura è convessa se due suoi punti qualsiasi sono estremi di u n segmento tutto contenuto nella figura. I n caso contrario la figura è concava.

figura convessa

figura concava

ESERCIZIO intersezione e unione di fiqure convesse

e

L’intersezione di due figure

4

a

Rette, semirette, segmenti, piani e semipiani sono figure convesse.

Convesse è ancora una figura COMMESSA.

Mostra con un esempio che, invece, l'unione di due figure Commesse non sempre da luogo a una figura convessa.

3 e L e figure fondamentali x

> Fsercizi a pagina 623

pb G l i angoli DEFINIZIONE

angolo

angolo

H H LISTEN TO IT An angle can be considered as either ol the two parts of

Un angolo è ciascuna delle due parti

by two the plane bordered

di piano individuate da due semirette aventi la stessa origine, incluse le due

rays with a common endpoint. & W ESERCIZIO

L e due semirette sono i lati dell’ango-

di semipiani

lo; il punto di origine in comune è il

Fai un esempio di come un angolo può essere ottenuto

ti

dell’angolo.

q

k

tramite l'intersezione di due semi jiari,

I punti che appartengono all’angolo, ma non ai suoi lati, sono i punti interni dell’angolo. Indichiamo un angolo di vertice O e con latilesemirette a e b con il simbolo a b oppure, se non specifichiamo il vertice, con ab. U n angolo si può anche indicare con una lettera greca (per esempio: a , BB, 1 } .

W ESERCIZIO

Quando due angoli hanno i n comune soltanto il vertice e un lato, si dicono

Spiega perché gli angoli & e

consecutivi.

6 delle seguenti tre figure

Due angoli consecutivi i cui lati non comuni appartengono alla stessa retta si

nonn

um.

dicono adiacenti.

A IP i ESEMPIO

Esercizi a pagina 624 Se disegniamo un punto su un foglio e muoviamo la matita, senza staccarla dal foglio,

BD L e linee piane

otteniamo una linea.Diremo che una linea piana è un insieme di punti ottenuti dal movimento corttinuo di u n punto del piano.

La retta può essere vista come un caso particolare di linea. Ogni linea che non sia una retta, una semiretta o un seg-

arco

mento viene detta linea curva o semplicemente corva. U n tratto di curva compreso fra due suoi punti viene detto estremi arco; i due punti si chiamano estremi. Ogni linea è percorribile in due versi opposti. Immaginiamo di percorrere una linea, partendo da un suo punto, sempre nello stesso verso. Se a fine percorso arriviamo nuovamente al punto di partenza,la linea è chiusa;in caso contrario la linea è aperta. Se poi, durante il percorso, incontriamo uno stesso punto, diverso da quello di partenza, più di una volta, allora la linea è intrecciata. In caso contrario è semplice.

Linea semplice chiusa alan.

A

Ogni linea semplice chiusa divide l’insieme dei punti del piano che non le appartengono in due regioni: una che contiene segmenti, ma non rette; l’altra che contiene

anche rette. I punti della prima regione si dicono interni alla linea, quelli della seconda si dicono esterni.

G10

Linea intrecciata aperta

3 e L e figure fondamentali x

P o s t u l adit opartizione del pianom e d i a nuna t e linea chiusa Una linea che congiunge un punto interno e un punto esterno di una linea chiusa la interseca in almeno un punto. Consideriamo u n punto C e tutti i punti P, (Q, R. . . . tali che CP = C Q = CR...

Diciamo che P, Q, R, ... hanno distanza uguale da C. L'insieme di tali punti è una particolare linea chiusa non intrecciata: la circonferenza.

HM usrento nr Dati su un p i a niopunti C eP, la circonferenza di centro C e raggio CP è l'insieme dei punti del piano che

i

LD

A cirdle can b e defined as the

set of points with the same distance from a point.

centro___

hanno da C distanza uguale a quella diP.

CR

A

circonterenza

è&CP aCQ

arcofB B

La parte di circonferenza compresa fra due suoi punti è u n arco.

L'insieme dei punti di una circonferenza e di tutti quelli interni a essa è un cerchio. TEORIA

Ammettiamo il seguente postulato della circonferenza. POSTULATO

Presi a piacere, in un piano, un punto e un segmento, esiste una sola circonferenza che ha per centro quel punto e per raggio quel segmento.

PB | poligoni

> Esercizi a pagina 624

DEFINIZIONE

Un poligono è l'insieme dei punti di una poligonale chiusa e non intrecciata e di tutti i suoi punti interni. In generale, u n poligono può essere convesso o concavo. Per brevità, se non faremo

altre precisazioni, useremo il terminepoligono per indicare un poligono convesso. In un poligono: e i segmenti che formano la poligonale sono i lati; i loro

poligono

estremi sono i vertici; e gli angoli convessi formati dalle semirette d i lati conse-

cutivi sono gli angoli del poligono, o angoli interni; e

gli angoli adiacenti agli angoli interni sono gli angoli esterni; a ciascun angolo interno corrispondono due angoli

angolo

EsERCIZIO Disegna poligoni concavi @ compressi

diagonali

esterni; @*

(

isegmenti che hanno per estremi due vertici del poligono che non appartengono allo stesso lato sono le diagonali.

Disegna se è possibile u n triangolo concavo, un quadrilatero concavo, u n

poligono di 5 lati conca e UNO CONYesso.

G11

CAPITOLO G 1

»*

Rn

L A GEOMETRIA DEL PIANO

Diagonali di un poligono

) Un poligono con tutti i lati congruenti è equilatero, con tutti gli angoli con-

Ci può dinwastrare che in un poligono di n lati i l numero

| gruenti è equiamgolo. Un poligono è regolare se è equilatero ed equiangolo. |

' d delle diagonali è:

Classifichiamo i poligoni in base al numero dei lati:

’

Cc

B

ennagono 9, u n decagono 10 e via dicendo.

D

A

L e operazioni conisegmenti e con gli angoli TECGRIA

' '

'

esagono regolare

ll confronto

ana)

'

E

F

d=

:

u n triangolo ha 3 lati, u n quadrilatero 4, u n pentagon o 5, U n esagono 6, u n ettagono 7, u n ottagono 8, u n

|:

;

> Esercizi a pagina 626

Confrontare due segmenti o due angoli significa stabilire se sono o non sono congruenti e,in quest'ultimo caso, quale dei due è maggiore.

'

Esaminiamo i procedimentiper il confronto di segmenti e di angoli.

'

Confronto di segmenti

'

Confronto di angoli

Dati i segmenti AB e PO, sovrapponiaDati gli angoli ab es, sovrapponiamo : moli tra loro con u n movimento rigido, | il primo al secondo con u n movimento ' ' rigido, in modo che a coincida con r. in modo che A coincida con P.

Si verifica uno solo dei seguenti casi: è

con Q; AB = PO se B coincide

Si verifica uno solo dei seguenti casi: I

E

A ti

:

ab = 15 se b coincide con s;

esercizio

fra:

sal

b/

PEA

'

’ C o n f r o nit asegmenti

AB = PO se

’ Osserv leafigure sotto.

-

Ns

ab=rs

a

e AB < PQ se B è interno a PQ;

Completa inserendo uno dei | simboli < , = , > .

''

_

_= e =ab < rs se bè interna a 15;

FGL_Jec PFL__]AB

ABL_JEF FaL__]F6

è AB|__|EG

EB

b

MA

e

A B< PÒ P=A

A

B

e

p

' :

5

ab»

a

BR

5

i

b

b

D

#

?

!

ab > Fs sebè esterna a15.

P=À

G12

_

’ e pi lA

ab PO

Zi

_

rsa

a

B

B

A

Ad

AB > PQ se B è esterno a PO. A

b

y

r=à

!

'

>

4 e L e operazioni con i segmenti e con gli angoli

b L’addizione e la sottrazione

> Esercizi a pagina 624

Analizziamo i procedimenti per sommare due segmenti o due angoli convessi. Addizione e sottrazione di segmenti Addizione e sottrazione di angoli e Se due segmenti AB e BC sono adia- | e Se due angoli ab e bc sono conseè l'angolo cutivi, la loro somma centi, la loro somma è il segmento scriviamo: ab + be = o + BC = AC. AC; s c r i v i a mAB

Addizione di tre ti s e g m e nangoli

ac;

ae.

”

=

=

=

AC AB + B L

. A

@®

#

B

C

Se due segmenti non sono adiacenti, otteniamo la loro somma spostandoli con u n movimento rigido, in modo che lo diventino. B

A_,

O

da sommare sono tre,

€

al

=

b

determinamo la somma dei

-

primi due e poi sornmiamo i l terzo a l risultato ottenuto.

=

ac è ab + bc ®

o

Se i segmenti lo gli arkyoli)

Se due angoli non sono consecutivi, otteniamo la loro somma spostandoli con u n movimento rigido, i n modo che l o diventino.

D

e PO=AB + CD

TEORIA

|

pasab+ cd

_

e

P

Se AB + BC = AC. diciamo che BC | e» Se ab + bc = ac,diciamo che be è la differenza tra dac c e a b e scriviamo è la differenza tra AC e AB e scriviabe = a c -

m o BC = AC — AB. A

B

pa

i—

Cc

ab. per la Casiparticolari

€

differenza

BC 2 AC - AB

b

besac-ab

La differenza tra due segmenti [o angoli] congruenti è il segmento [o l'angolo] nullo,

La differenza AB — CD fra due segmenti qualsiasi AB e C D non esiste

se AR
E F .s i A B= CD ed E F= GH. allora AB + EF = C D GH. Inoltre,

sottrazione Per l'addizione e la

ha a n c h eche AB — EF = C D— GH.

sottrazione di segnenti,

Per il postulato relativo agli angoli valgono considerazioni analoghe.

oppure di angoli, valgono proprietà analoghe a quelle

Valgono inoltre le seguenti proprietà.

delle operazioni con | numeri: proprietà commutativa e

#

1. Dati quattro segmenti AB, CD, EF, GH, se AB > C D ed EF > G H allora associativa per l’addizione: AB + EF >CD+4+GH,se AB < CD ed EF < GH allora AB + EF < CD + GH, ossia * proprietà rvarrantrva per la sottrazione. somme di segmenti disuguali nello stesso senso sono disuguali nello stesso senso.

G13

Rn

CAPITOLO G1 e L A GEOMETRIA DEL PIANO 2. Dati quattro angoli al, B, 7, è, se a > B e y > è allora a + > B+è,. se a < B i e Y < è allora a +Y < B + è, ossia somme di angoli disuguali nello stesso senso è sono disuguali nello stesso senso

&=3

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1

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i

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> E s e r c i zai pagina 627 1

e i sottomultipli

Multipli e sottomultipli di segmenti

Multipli e sottomultipli di angoli

e D a t iun numero n a t u r a 5l ee un segmento AB, il | e Dati un numero naturale # e un angolo a, l' o PBmultiplodi a secondon è: segmento CD m u l t i p l odi AB secondo n è + la somma di n segmenti congruenti ad AB, se * la somma di #1 angoli congruenti ad cr, se # > 1; n>1; a U , s e n =1 ; -

AB, sen = 1;

* l'angolo nullo, se n = 0.

t o se n = 0. . il s e g m e nnullo,

In simboli: B

Se it £ 0, CD è diviso in n parti congruenti ad AR

Se n £ 0, B è diviso in # parti congruenti ad a e diciamo anche che a è sottomultiplo d i f secondo # .

secondo rt».

e diciamo anche che AB è sottomultiplo di CD secondo n. 1 A B

TECORIA

= na, chesi legge «B è multiplo di a

In simboli: CD = nAB, che si legge «CD èmultiplo di AB secondo ti».

In simboli: AB = + CD,

u— f e

che si legge «AB è un # -

O E ANN O

esimo di CD»,

CD

1 In simboli: a = = , che si legge «a è un n-esimo |

i

di B».

A

AB

AB=LcD

pesa

Wa

a= l p

e Se n # 0, con la scrittura PQ =

A B indichiamo

PQ = m{-L AB), ossia che PQ è multiplo secondo m del sottomultiplo secondo n di AB.

.

Se n # 0 , con È = “La indichiamo è = m{--a),

ossia che è è multiplo secondo m del sottomultiplo

secondo n di a.

Per poter definire sempre i multipli di u n angolo, è necessario estendere il concetto

di angolo ad angoli maggiori di un angolo giro. Consideriamo un angolo a Vb e u n verso di rotazione,per esempio quello antiorario, come nella figura a lato. L'angolo può essere pensato come l'insieme delle semirette

che si ottengono facendo ruotare, nel verso scelto, la semiretta a fino a farla coincidere con b. Consideriamo ora tutte le semirette che si ottengono da una rotazione della semiretta a, come quella della figura a lato: l’angolo aVb ottenuto dal movimento di a fino a sovrapporsi a b

dopo aver effettuato u n giro completo è u n angolo maggiore d i u n

angolo giro.

La diversa e più ampia definizione di angolo che abbiamo esaminato permette di ottenere sempre la somma di due angoli.

G14

h

4 e L e operazioni con i segmenti e con gli angoli x I

I ESEMPIO Considerati gli angoli ab e cd della figura, l'angolo Pa = ab+cd ‘‘ ( 4

: :

giro. olo giro d i un angolo esisteed è maggiore di é

iore

a

(

‘+

n

:

paz ab + cd

d

a

h

a B

p

EsERrRcIZIO Rappresenta I multipli e Disegna tre angoli

PB. Y tali che

a,

i

a=ifer=gue.

LI LI i

Completa:

‘

*gasl_ _|7;

i i

©

b

* sella,

1 LI]

I L]

* f= E

+’.

i

O I l punto medio d i u n segmento e la bisettrice di

un angolo

DEFINIZIONI Punto medio di un segmento

Bisettrice di un angolo

Il punto medio di un segmento è il

La bisettrice di un angolo è la semiret-

punto che lo divide in due segmenti

ta uscente dal vertice che divide l'an-

congruenti.

golo in due angoli congruenti.

bisettrice

punto medio i

\

A

LI

' > Esercizi a pagina 628 ” ”

4

voeo

Individuazione del punto Descriviamo la costruzione

‘per individuare A punto medio di un segmento.

:: i

< lr

vieo

:‘

Costruzione della bisettrice

+

Descriviamo la costruzione

o ni

un angolo ' di

"i

i

| per trovare la bisettrice di un _

-

'

-

angolo.

'

Valgono i seguenti postulati.

i

POSTULATI ® Per u n segmento qualsiasi, esiste ed è unico il punto medio. e Per u n angolo qualsiasi, esiste ed è unica la bisettrice. @ Esiste ed è unico il sottomultiplo di u n segmento, oppure di u n angolo,

secondo u n qualsiasi numero naturale diverso da 0. e Multipli o sottomultipli secondo lo stesso numero di segmenti congruenti, oppure di angoli congruenti, sono congruenti.

i

i ' '

t ‘ '

!

B L e definizioni e i teoremi relativi agli angoli

MA '

* Esercizi a pagina 628

E STORIA

Che

DEFINIZIONE Un

angolo

che

cos'è un angolo?

‘ N e g l i Elementi di Euclide ' alcune definizioni relative

Angoli retti, acuti, ottusi

sia:

’ ‘

agli angoli sano diverse da quelle a cui siamo

‘

abituati:

controntiamole,

e metà di u n angolo piatto è u n angolo retto;

‘EN Risolizione-

e minore di un angolo retto è un angolo acuto; ' . . e maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto è ottuso.

: ' :

|

un esercizio in più = di ricerca: Angoli, N ia. orolooi

Attività

,

argolo ottuso

angolo acuto

SPO O

A SIA DO a

O

angolo retto

DO S O A SP DO O

A P D O RO A

AP

A SO 0

DO O na

CAPITOLO G 1 * L A GEOMETRIA DEL PIANO

A

A

DOO DO

a SP

EsERcIZIO Dimostra una congruenza Tutti gli angoli retti sono conqruenti. Dimestralo.

DO DO OP

lo indichiamo con 27.

A DO DO

Indicheremo l'angolo retto con L I Poiché tutti gli angoli piatti, essendo semipiani, sono congruenti, anche tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro. Inoltre, possiamo vedere l'angolo giro come il doppio di un angolo piatto e quindi

EsERcIZIO

e A DO A

DEFINIZIONE

a DO O a A A a OA DA DO DA DA

a+p2zn

«+p =>

a+pB=2z

2 B + 7 = x5=-

Tesi a = B.

B + y = 5 , dacui B=3—-17. Poiché tutti gli angoli retti sono congruenti fra loro e differenze di angoli ordinatamente congruenti sono congruenti, si deduce che a = B.

G16

SUP DO DO OP I

a

Y

DO OO I

Per l'ipotesi 2:

1

O DE OP E

Aa+1= 5 . dacui- a = La 3-7.

DO SU O

PI | DIMOSTRAZIONE

O DO POP A

NA

TEOREMA Se due angoli sono complementari di uno stesso angolo, o di angoli ordinatamente congruenti, allora sono congruenti.

S P DO O P R P D A O E R P SO DO DO SO S P DE SO DO S E DOO O

Angoli complementari di uno stesso angolo

S R DOP DA SO D A SO

O DO S P DO DO SO

A

Osserviamo che gli angoli adiacenti sono supplementari.

Per l'ipotesi 1: Li

A SOA DR E

a e B esptementari

PO DA DA SE SPA PA E

a e B complementari

O DO N

a è B supplementari

Ipotesi l. a + y = < = ;

I n ogni frase scegli la parola

ira le due indicate che rende vera l'affermazione. * I l supplementare di un

armgolo acuto è un angolo acute/ottuso. * I l complementare di u n

argolo retto è un angolo

S A DIA DA

O PP UA DA

dd

|

DE N

ZO

|

CO

LL

D D DD S F

TEOR IA

Due angoli sono supplementari se la loro somma è un angolo piatto. Due angoli sono complementari se la loro somma è un angolo retto. Due angoli sono esplementari se la loro sommaè un angolo giro.

Classifica gli angoli

retto/nullo. e L'esplementare di un

arvgolo ottuso è u n angolo

CONCavo/convesso. ®

l l complementare di u n

angolo acuto è un arvgolo

aculto/ottuso.

5 * Lunghezze, ampiezze, misure R n Gli angolio p p o s t a i l vertice DEFIMIZIONE

4

Due angoli si dicono opposti al vertice se hanno i n comuneil vertice e se i lati di un angolo sonoi prolungamenti dei lati dell'altro.

aventi la stessa origine 0,

EsERCIZIO Verifica la comprensione dei termini Disegna quattro semirette

EI

Possiamo dire, in modo equivalente, che se due angoli sono opposti al vertice,allora hanno in comune il vertice e i loro lati appartengono alle stesse rette.

chiamandole In sersò orario a, bh, c e d i n modo che a l b e cOd siano opposti al vertice. Come sono gli angoli albe bOc? E gli angoli bOc e a d ?

i

TEODREMA

Se due angoli sono opposti al vertice, allora sono

u s r e nto rr

Upposite angles are conqruent.

congruenti.

E adi

=

C O N GEOGEBRA

Angoli opposti a l vertice

b_

Costruisci due angoli opposti

a l vertice. Muovi gli elementi Uberti della tua costruzione e

Tesi a = B.

verifica che | due angoli sono congruenti.

i DIMOSTRAZIONE

a . i n d i c h i a mcon o y l'angolo | b. O s s e r v i a che m o o e y sono | ©.O s s e n n ache m oanche B e y

bd".

a+7 =

7

adiacenti e quindi supplemen-

sono supplernentari:

tari: a + y ar n

B+y=7.

poiché adiacenti, quindi a = 1 - 1 ;

B + 7 = x poiché adiacenti, quindi PB= 1 - 7 . Poiché tutti gli angolipiatti sono congruenti fra loro e differenze di angoli congruenti sono congruenti, si deduce che & =

p.

Nel dimostrare il teorema precedente abbiamo anche dimostrato che angoli supplementari dello stesso angolo, o di angoli ordinatamente congruenti, sono congruenti, utilizzando uno schema analogo a quello del teorema degli angoli complementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti.

Lunghezze, ampiezze, misure =» Esercizi a pagina 634

L e lunghezze e le ampiezze L a relazione d i congruenza fra segmenti è una relazione d i equivalenza.

Possiamo allora dividere l'insieme dei segmentiin classi di equivalenza,ognuna contenente tutti i segmenti fra loro congruenti. Ogni classe di equivalenza indica una proprietà comune ai segmenti che le appartengono: la lunghezza.

G17

TEORIA

Ipotesi a e PB o p p o salt ivertice. I

COSTRUISCI

A S A DA A DI o

DEFINIZIONE

stessa lunghezza

A DR DA DO SOA DA DA

estremi di un segmento che abbia quella lunghezza (AB,PO,EF, ...}.

A

EesERcIZIO Calcola la lunghezza

AB e BC sono due segmenti adiacenti è M è i l punto

medio di BC. AC s 2 AM e BC = 30 cm. Qual e la Lunghezza di AB?

A Pa DA

Quanto detto per segmenti e lunghezze può essere ripetuto per angoli e ampiezze.

A

A

A

La distanza fra due punti è la lunghezza del segmento che congiunge i due punti.

a D A D a DR

DEFINIZIONE

A DA DA

A Da DA

A

Le lunghezze si possono confrontare, sommare e sottrarre riferendosi ai segmenti relativi. In particolare, il perimetro di un poligono è la lunghezza della somma dei suoi lati.

A DA CA

Indichiamo una lunghezza con una lettera minuscola (a. b, c. ...} © precisando gli

a

Due segmenti congruenti hanno lunghezza uguale.

O UA DIE DO O

A

La lunghezza di un segmento è la dasse di equivalenza, della relazione di congruenza fra segmenti. a cui appartiene il segmento.

e DA

A no v o

CAPITOLO G 1 * L A GEOMETRIA DEL PIANO

E

stessa ampierra

a a

L'ampiezza di un angolo è la classe di equivalenza, della relazione di congruenza

a

a

a

DEFINIZIONE

o a Da A VO NO D R S A SA o

a

BD Le misure Per misurare la lunghezza di u n segmento P@Q, fissiamo la lunghezza di u n altro numero

ESEMPIO Se consideriamo i segmenti della figura e prendiamo come unità

dim i s ula r alunghezza di AB,indicandola con i, si ha: PO

=

3

3

A1B=5"

+

AA

PO=

4

Di solito utilizziamo come unità di misura per le lunghezze il metro ( m )e i suoi multipli è sottomultipli. Per esempio,il centimetro (cm) è il sottomultiplo del metro

secondo 100.

O DO N DO

questo caso la misura è un numero reale di cui, nei problemi, si può utilizzare un valore approssimato.

G18

A SE SR E SA SPO D a ma a

Il concetto di misura può essere esteso anche al caso di lunghezze incommensurabili. tali cioè che la misura di una rispetto all'altra non è un numero razionale. In

è

imiiò

L=

O DE O DA SIP DO A DO P I S I PO DO NOP N A DPF O D E o

IP |

A DUO N

AC, .... che indicano segmenti o lunghezze.

A DO DIO A DR DOO DO

Indichiamo le misure con simboli come PO, ED, AC. ... Le misure sono dei numeri, quindi questi simboli non vanno confusi con PQ, ED,

o

le lunghezze PQ e AB è z .

A VR D I

z ee AB sono commensurabili. ad AB e che le l u n g h e zPQQ fra Possiamo scrivere l'uguaglianza come rapportoL e = = e dire cheil rapporto

S l DA DA D A D A

a rispetto o nullo, diciamo che L I è la misura dellal u n g h e zdizP(2 razionalepositivo

S P D O DOO E

E

segmento AB, non nullo, come unità d i misura: se PQ = “LAB, con z

DO DO RO OP DO DOP DOP E

DO NOP N

Indichiamo le ampiezze con gli stessi simboli degli angoli (ABC, ab, a, ...).

DO DO DO

Due angoli congruenti hanno ampiezza uguale.

OP

TECORIA

fra angoli, a cui appartiene l’angolo.

A

E

A EsERCIZIO Determina La misura di un segmento Sul segmento AR consudera il punto P tale che AP = SAB.

Qual è la misura della lunghezza di PE rispetto ad AB?

5 * Lunghezze, ampiezze, misure x I E ESEMPIO Calcoliamo la misura di BC, sapendo che ABC è u n triangolo rettangolo e che A B = 3 e AC=4. A Applichiamo il teorema di Pitagora: B C = V A C ' -AB? = ya2-—32%

=f7 = 2,6.

Per le misure delle ampiezze degli angoli valgono considerazioni analoghe a quelle viste per le lunghezze e le loro misure. Se a e B sono le ampiezze di due angoli e a = “LB, con sitivo o nullo, diciamo che

LL

numero razionale po-

è la misura di a rispetto a B.

* Riusciresti a trovare i l Hord usando solo u n

comune orologio da

TEORIA

polso e I l Sole?

1a"

ESPLORA CON GEOGEBRA Multipli e sottomutltipli di u n segmento 1. Costruiamo un segmento AB di lunghezza fissa che misura a. è Selezioniamo lo strumento SLIDER e inseriamo il parametro a. Facciamo variare lo slider dal valore

minimo 0 al valore massimo 10, con incremento 1. - LUNGHEZZA FISSA, coe C o n l o strumento S E G M E N T O

struiamo un segmento AB e digitiamo a nel campo della

lunghezza. 2. Costruiamo il segmento CD multiplo di AB secondo 1. e Creiamo un altro SLIDER per il parametro 7 che varia da 0 e Con lo strumento SEGMENTO-LUNGHEZZA FISSA, co-

È e

struiamo un segmento CD digitando 7 * a per la lunghezza. 3.

=

a 10, con incremento 1. LA

kh

I l metodo più pratico per «individuare i l Nord» anche in un luogo inesplorato

a disposizione questo strumento.

360°

Utilizziamo come unità di misura delle ampiezze degli angoli il grado sessagesimale, sottomultiplo secondo 360 dell’angolo giro. U n angolo piatto ha ampiezza 180°, u n angolo retto 40°.

tenza bussola

è l'uso della bussola. Non sernpre però si ha

Indichiamo la misura dell’ampieza d i u n angolo ancora con a .

MATEMATICA WTORNOÒO A NOI

Esploriamo la figura. Muoviamo gli slider e osserviamo quali valori assume CD al v a r i adir e n, tenendo f i s slaa lunghezza del s e g m e nAB, t oper esempio con a = A B= 5.

e

e dere alare ere pure cla gue u e

e

mpg go og gue curo ogg g e cpu og male g l e nale ere e nere alle

E

salle l e DE o r our cale fre nale alle e e cure rollin

alle ha char nola alle e cur alle male culo ole cir c e ole ole

E

e De De nale cale AR E ale sE

e Me a

SUD e DD Se UO DD DD O ale SIE OD a l U r De I

A

e E SE De I

A EE

PP QHA PROVA TU

a. Ripeti lacostruzione con C D= L a .

Come cambia TD al variare di 1? Quale valore non può assumere n?

b. Con u n procedimento analogo a quello utilizzato p e ri segmenti, studia i multipli e i sottomultipli di u n angolo.

Gig

GUARDA!

Mappa dei fondamentali

appainteratira

Sintesi in 7 lingue

ENTI PRIMITIVI, SEMIRETTE, SEMIPIANI punto T retta

€

i

Ni

.*

iÈ

piano

PEPE T L T T I T T T I T T I T T T I T T I T I T I T I T I T T I T T I T L T I

F

\e

TILT

semiretta

origine

-

TITETITTITTITLTITITLTITO

& DELITTI

ENO,

pio.

i

” ANGOLI

a è

fl sono consecutivi

B e Y sono adiacenti

_

B e & sono opposti al

Vv ———

vertice

TEORI A

e”

ADDIZIONE E SOTTRAZIONE A B e BC sono adiacenti

“

AP

ab e bc sono consecutivi

Cc

b

ACz=AB+BC AB i AC — BC, BC è AC — AB

3 E = 3 b+ be ab = 36 - be. be = 3è - ab

a

ia

MULTIPLI E SOTTOMULTIPLI a_i

A

CD

B

AB =

ei

c |A

P

= 3AB —

D a

a multiplo secondo 4 del

di AB

N

LCD — AB sottomultiplo 3

P M e= R E Q

AO. A

M

CD multiplo

Q

n

a

1 PU 2

=

|

M punto medio

di PÒ

LUNGHEZZE, AMPIEZZE E MISURE

FONDAMENTALI ALLA FROVA

“=3B

d i CD

> pag. G39

au

sottomultiplo d i pi secondo 3 |

ESERCIZI

SUO 5 Prova tu

3 GeoGebra eu

se

e

Oggetti geometrici e proprietà > Teoria a pagina 6 1 VERO O FALSO?

[v] LF]

a. Un ente geometrico primitivo non viene definito. b. U n punto è una figura geometrica. U n teorema è una proposizione che si deduce dai postulati.

d. Postulati e teoremi sono enunciati accettati come veri.

ER

Scrivi di fianco a ogni enunciato se è una defini-

LF

v]

[Fr]

v||F

Trasforma le frasi nella forma «Se... allora..». pu

zione o una proprietà.

a. «Ogni corpo non vincolato cade verso il centro della Terra.» b. «Immergendo un corpo caldo in acqua fred-

circolo verticale di un astro e il meridiano delluogo

a. «Azimut è l'angolo compreso tra il

di osservazione.»

da, essa si riscalda.»

b. «Il cielo è azzurro.» © «Il poliuretano è una materia plastica usata in fibre sintetiche, vernici e adesivi.»

c. «Una pallina lanciata verso l'alto ricade a terra.» d. «Toccando il fuoco, ci si brucia»

Scrivi la proposizione inversa del teorema seguente e indica se è sempre vera. «Due numeriinteri oppostihannoper sommaO.»

postulati d i appartenenza e d’ordine

|

=” l'eoria a pagina 6 4

| Attività interattiva VERO O FALSO? bog

v]

b. Esiste un solo piano che passa per due punti.

v|lF

Per due punti distinti passano una sola retta e un solo piano.

©

o

o

E

i

E

o

E

E

n

e

o

E

E

o

e

E

E

c e oe

E

E

e o

o

E

o

E

E

E

E

E

e

E

E

E

oi

E

i

E

i

o

o

nie

o

E

Considera la retta orientata in figura che ha il verso di percorrenza indicato dalla freccia. Indica quali affermazioni sono vere.

o

i

E

o

E

i

ie

E

E

E

o

E

COMPLETA 2°

E

E

a

oo

E

E

E

E

e

E

E

i

E

E

E

E

E

E

e

E

E

E

E

E

E

E

E

E

E

ae

seguenti frasi inserenile se p o s s i ble

e »lettere corrispondenti o le do «segue», « p r e c e d

ai punti (il verso di percorrenza della retta in fipuine

a

A ————v

o— l — | l e — —

D

ij

E

AL______|]B

Bl____ | A

E. a. C precede

€. d. A precede

AL_____|]D:

DL______ ] A

D. b. E precede

A. e. B segue

Csegue|___|;

Cl

C. D segue

B. £. E segue

C precede|___};

D precede]

€

[F]

[v] E

ra è indicato dalla freccia).

|:

C

e

LF

vj]

d. Esiste sempre un solo piano che passa per una retta e per un punto che non appartiene alla retta. le

[F]

a. Per tre punti distinti passa sempre u n solo piano.

| A; |.

ESERCIZI

€.

vj]

CAPITOLO G 1

Lat

L A GEOMETRIA DEL PIANO

osserna Su s t r a deasu pista I m m a g idi

A

En

»*

R a p p r e s esulla n t aretta orientata i punti A, B, C, #00

vare due foto di c o m p e t i z idi o nciclismo i con gli atleti non affiancati: una su strada, come una tappa del Giro d’Italia, € una su pista, come quella

D , E, F i n modo che: A segua B ma non C ; D precedaA ma non B: E p r e c e d5ae segua F.

KuIu

sotto. Puoi ricostruire, con certezza, la dassifica dei ciclisti ritratti, in entrambi i casi? Perché?

Posiziona sulla retta orientata i punti A , 5, C, D , E, F in modo che: B preceda A e segua Di C preceda D e segua E; F preceda solamente due dei punti già rappresentati. Quali punti precedono F? Rappresenta su una rettà orientata i punti A , B,

C, D, E, F sapendo che: A segue B, C e D, non necessariamente in questo ordine; C non precede D ed £; B segue D e precede E; F segue C ma non segue A. Due rette orientate 7 e s si intersecano nel punto A . I puntiB, C, D appartengono alla retta r e i p u n t i PeQ

D, A B e preceda appartengono alla retta s. Disegna le due rette in modo che B segua A ma non DD, € segua

ESERC IZI

segua P_ma non QQ.

L e figure fondamentali

ari:

interattiva

» Teoria a pagina 6 7

L e semirette, i segmenti e le poligonali VERO © FALSO? Lt

t)

Due segmenti adiacenti sono anche

a.

a. L'intersezione del segmento AB

v][F

anche adiacenti.

o

RE o mie EE

E

le lo e

oo mere alal E

ele

E

E

e

o

E

E

do

E

ER

E

E

E

E

a e ES E

o

a

b . L’'intersezione della semiretta B C ,

di origine A, è B.

v|iF a

E

O

D o oO

O

O

o

o

Co

E

De

O

a

cio

E

VERO O FALSO? sO

E

O

o

E

O

o

mode E

E

in comune sono consecutivi.

b. Due segmenti adiacenti possono avere anche più di u n punto in comune. | Y | | F |Y|

{F

A]

E

E

e

E

EE e

E

EE

vw] [F E

ae

E

ES o

E

ES E

e

DR

E

oa

O

O

o

E

B]

Alle 18.

c|

O

o

ci

C

©.

Alle 19.

Tv] F |Y

AD e DIC sono segmenti consecutivi. | V|

d. ABCD è una poligonale chiusa.

D]

Alle 20.

E

LF

LL

AB e CD sono segmenti adiacenti. [v]

A che ora la lancetta delle ore e quella dei minuti sono poste come due segmenti adiacenti?

Alle 17.

ES o DE

a r vfigura O s s e la

b. AB e BC sono segmenti adiacenti.

e. TEST

oe

segmento AB.

d. Due segmenti che appartengono alla stessa retta si dicono adiacenti. pio

Lat

o

a. A e B sono punti interni del

appartenSe due segmenti consecutivi

gono alla stessa retta, sono adiacenti.

E

>

LF

YI

e a

v E R O0 FALSO?

a. Due segmenti con soltanto u n estremo

€

[F

di origine E, con la semiretta AH,

Teoria a pagina 68 e 69

le scritture osservando la figura e utilizzandi do i simboli € , &, 1) ( a e B sono i due semipi ani

COMPLETA

origine 7).

VERO O FALSO? a. Due angoli consecutivi sono anche adiacenti.

°°° v]

[F]

v]

[e]

[v]

[F]

v]

[Fr]

v]

[e]

Scrivi tutte le coppie di angoli consecutivi e di angoli adiacenti che vedi nella figura.

b. Due angoli adiacenti sono €.

anche consecutivi. Se due angoli hanno il vertice in comune, allora sono consecutivi.

a

id. Se un angolo ha i lati coincidenti,

allora è nullo. e. I n u n angolo piatto i lati

coincidono.

G23

ESERCIZI

ha

CAPITOLO G1

«*

Rn

LA GEOMETRIA DEL PIANO

> Teoria a pagina 68

BP Figure convesse, figure concave Stabilisci se le seguenti figure sono concave o cConvesse.

24 vero o raso?

Ei DI ET

è una a. ABCDEF figura concava.

[xv]

b. Y è concavo.

v]iF

c. B è concavo.

VI

d.

&

D

è convesso.

{F

a

=

=

Con esempie aiutandoti con

un disegno, fai vedere che: a. l'intersezione di due figure concave può ESSETE CONveEssa;

Cc

b . l’unione d i due figure concave può essere

[F

CONVessA. v]{Fl

A

B

ESERC IZI

b L a congruenza delle figure 4

> Teoria a pagina 610

VERO o FALSO?

a

©656 66

oo

Tuttii punti sono congruenti. b. Tutte le semirette sono congruenti. €.

Se due figure sono uguali, allora sono congruenti.

d. Se due figure sono congruenti, allora sono uguali. e. Una retta è u n segmento non possono essere congruenti.

f. U n angolo e un semipiano non possono essere congruenti.

A

È possibile che una figura concava sia congruente a una convessa?

sac

B

FE puo

®"°

Le linee piane

> Teoria a pagina 6 1 0

YFANCA Disegna una curva aperta intrecciata, una semplice chiusa. e una intrecciata chiusa. HE Spiega perché il percorso di un circuito di go-kart deve essere una linea chiusa e non intrecciata. Per quali sport si può tracciare comepercorso una linea aperta? Fai qualche esempio.

Bb | poligoni

i

Attività interattiva

> Teoria a pagina 6 1 1

V E R O FALSO? LL i t

l enumero dei vertici. il onumero dei lati èu g u a al a. In un p o l i g o n b. In un poligono il numero degli angoli esterni èmaggiore di quello degli angoli interni. c. Un poligono è

equilatero se e solo se è equiangolo.

n ocinque diagonali. d. Un p e n t a g oha

G24

v]

[F

vj

|"

v]

[F

Mv] LF

3 e L e figure fondamentali

EV "99

Fra le figure seguenti, individuai poligoni, specificando se sono concavi o convessi. Motiva le risposte.

eo

Scrivi poi i lori nomi secondo la classificazionei n base al numero dei lati.

| EE

È vero che due poligoni congruenti hanno lo stesso numero di lati? È vera la proposizione inversa?

A

Lele,

a. 10 lati;

b. 11 lati;

Costruisci un poligono d i c. 12 lati; d. 13 lati.

Per ognunodi essi traccia le diagonali.Muovi gli e l e m eliberi n t i della tua costruzione. Che cosa osservi, se il poligono è concavo?

A Cruran unt e pranzo, siedono a tavola 14 persone. Ciascuna di esse conosce la persona seduta alla sua d e s t reaalla sua sinistra, ma non le altre. Quante presentazioni devono essere fatte? Perché?

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

Fai questi esercizi

lteoremi, i postulati e le figure geometriche E

°°

TEST

E

29

d i due numeri naturali èpari se almeno uno di: «Il prodotto Quale tra i seguenti è il teorema inverso

dei due fattori è pari»? A|

E

ESERCIZI

GUARDA!

Il prodotto di due numeri naturali pari èu n numero pari.

| Se il prodotto di due numeri naturali è pari, allora almeno uno dei due fattori è dispari.

G|

Se il prodotto di due numeri naturali è pari, allora almeno uno dei due fattori è pari.

D

Il prodotto di due numeri naturali è dispari se i due fattori sono entrambi dispari. Ina occasione di un convegno sulle energie

CA

A

C

E

D

E

E

rinnova bili, sei relatrici sono sedute a un tavolo come indi-

cato i n figura.

n esola volta, in questomodo: dialoro i n t e r v i euna Ognun e A parla prima di C e dopo E;

e

Fparla primadi Ee dopo Bi;

e C parla prima di D.

Indica l'ordine degli interventi. V E R OO FALSO?

a r vfigura. O s s ela CL

AR

A

D

vY]

[F]

b. AP e PB sono consecutivi,

v]

[F]

€ AP e PD sono adiacenti. d. C De PD sono adiacenti.

vj]

LF

v]

[#1]

o A ] aVe ed eVd.

c|

eVd e cVb.

v]

[Fl

B ] aVe e aVd.

D]

dV b e cVb.

a.

€.

AB e CD sono consecutivi.

AB e PB sono consecutivi.

=

e

Db

G25

Rn

CAPITOLO G1 = LA GEOMETRIA DEL PIANO COMPLETA

a.

inserendo «consecutivi», «adiacenti», «Concavo», «convesso» oppure un angolo della figura.

a0b e bOc sono |

|

c

b. a0Oc e|___|sono adiacenti. &

L_ljle cOd sono consecutivi,

d.

bOd è |

|

a0d è |

|

Determina il numero delle diagonali di un poligono di

a

Slati;

b. 8lati;

c. 12 lati.

L e operazioni con i segmenti e con gli angoli > Teoria a pagina 612

Il confronto

7 v e r oo Falso?

ESERC IZI

Ii

c

°°

in

iii

B

A

i

> loi CE.

mid mid

al_}ò miL_]ò

c. BE > AB.

v]

TL] o

[F

— Y

\w

JI:

|

> Teoria a pagina 613

Bb L’addizione e la sottrazione L’addizione e la sottrazione di segmenti

x

to

Attività interattiva

VERO O FALSO? Lt

a. Due segmenti sono sempre sommabili.

v]

[Fr

b. La differenza fra segmenti gode della proprietà associativa.

vw]

[F

v]

[F

iv]

[F

€.

Somme di segmenti non congruenti non sono mai congruenti.

d. La differenza di due segmenti può essere il segmento nullo,

TEST Osserva la figura nella quale EC = CG = AC e | segmenti contrassegnati con lo stesso simbolo sono tra

‘loro congruenti. Il segmento A B+ BC è congruente a: Lat)

'

A]

AB + CD.

cl

i

B|

AB+CG.

Dj

ì

‘ET ai

'

BC + CD. FG.

Il s e g m e nEC t o— CD è minore di: A|

B

— BC CCG

G|

BC.

AB.

Dj]

AD.

F |

B

4 Considera i segmenti in figura e

e

Le operazioni con i segmenti e con gli angoli

disegna, se è possibile, i segmenti richiesti.

AB+CD; CD+EF; EF+GH;

pap

GH+AB.

00

e AB-CD; EHI A15cp

E

F

al

Lo

a

A B - EF; EF-GH; GH-CD GH; GH-

CD.

7 D

L’addizione e la sottrazione di angoli

G

Attività interattiva

La somma di due angoli convessi è sempre u n angolo convesso?

loRNA Li)

In ognuna delle seguenti situazioni esegui, se possibile, le operazioni richieste.

MA dd a + ; a - E.

e aa-p;p-a

bh a+pBh.p-a

a a + : a - E.

ESERCIZI

ZI

Considera gli angoli in figura e disegna, se è possibile, gli angoli richiesti. | _]+i )

peo

a+;

a+ò:

B+y

+y+ò.

B-a;

B-3

a-1

è-a.

|

’

Disegna due angoliinmodo c h ela loro somma sia un angolo piatto e che la loro differenza siacongruente = a uno dei due.

> Teoria a pagina 614

O | multipli e i sottomulttipli I multipli e è sottomuttipli di segmenti COMPLETA

scrivendo le relazioni esistenti fra le seguenti coppie di segmenti.

BO00

H

e

o

|————

4

N

5

| MI

L

|_mggrnal A

B

2z T

iii

Fa

ì

CD =

EF=

HE =

AB =

MN =

ST =

sz | T

|

L T=

Dato un segmento AB scelto a piacere, disegna i segmenti congruenti a 2AB, L A B e Z AB. Ln

Disegna quattro segmenti consecutivi ma non adiacenti tali che la somma dei primi due sia congruente alla

*"* differenza tra il doppio del terzo e la metà del quarto.

G27

CAPITOLO G 1

L A GEOMETRIA DEL PIANO

»*

I multipli e i sottomultiplid i angoli

(EX

COMPLETA

scrivendo le relazioni esistenti fra le seguenti coppie di angoli.

|l e i n)

B

suo

COMPLETA

ave=| | a v e

€. f v g

B=L_

ja

con un numero, osservando la figura.

a. aVve=|__]aVvb

b.

ù

=|_ | a

d . dVc=|__]bVc

e.

aVf-_eVf= |_ 1 a V b

f. Jve=|

|eVe

”» Teoria a pagina 615

Disegna due segmenti adiacenti e di ognuno determina il punto medio. Lt

uao

V E R OO FALSO?

che: Dalla figura deduciamo

= dOc. a0b

vilF

a.

diBOd. b. cè bisettrice c

d.

a0e. a6b — 2b64d è l'angolo nullo.

c è bisettriced i

e. b O d

= 3 ae.

vi

[F

vi

]F

VI

[F

v] n

e

'|

N

'

BD Le definizioni e i teoremi relativi agli angoli { $

Attività interattiva

# Teoria a pagina 6 1 5

D i s e g un n aangolo acuto, un angolo retto e un angolo ottuso. Per o g n u n degli o angoli d i s e g un n aangolo "°° adiacente a esso e un angolo consecutivo ma non adiacente.

°°

Disegna un angolo acuto e un suo complementare, un ottuso e u n suo supplementare.

angolo retto e un suo supplementare, un angolo

VERO O FALSO?

"°° a. A volte due angoli acuti sono complementari. b . A volte due angoli ottusi sono supplementari. €

La somma di due angoli acuti è sempre un angolo acuto.

d. Se due angoli sono supplementari, uno è acuto e uno è ottuso. e. La somma di un angolo retto e un angolo acuto è sempre un angolo ottuso.

ojsjolei

ESERC IZI

Bb I l punto medio d i u n segmento e la bisettrice d i u n angolo

e Figure e dimostrazioni

V E R OO FALSO? Rispondi osservando la

figura.

a. d& è complementaredi 7.

v]

bh. a e .

vi|F

LF

B

di è. c. B è supplem entare

vi

[F

d. p = è.

vj

|F

vj]

LF

vj]

LF

di a . e. È è complementare f. a e sono opposti al vertice.

—

e &

je

PI |

Per ogni angolo indicato disegna, se possibile, un suo complementare e un suo supplementare,

fra i seguenti Per ogni figura scrivi il termine relativo a ogni angolo e a ogni coppia di angoli,scegliendolo (più termini possono essere validi per la stessa figura): angolo giro, retto, acuto, ottuso, convesso, concavo, angoli adiacenti, consecutivi, complementari, supplementari, opposti al vertice.

dd

e

i

_}

Figure e dimostrazioni p Dalla figura alla sua descrizione I FONDAMENTALI R i c o n o s c eler eproprietà di una figura

Dopo aver osservato la figura, descriviamola in modo che essa da una persona che n o nla vede. possa essere riprodotta Per descrivere questa figura specifichiamo che: AB; # c'è un segmento e il punto D sta sul segmento AB e AD è la quarta parte di AB; e il punto C non appartiene alla retta AB; ®

———————————————_

c

-

A /

e 7

A

- À

i

A

D

mr

sono tracciati i segmenti CD e BC.

In modo sintetico possiamo scrivere: DEAB

A D = + AB;

CD e BC sono segmenti

consecutivi non adiacenti.

una figura identica a quella data perché, per esemi n triprodurre Queste informazioni non sono s u f f i c i eper pio, non abbiamo specificato la posizione delpunto C rispetto ad AB. Tuttavia sono sufficientiper ottenere una figura che abbia tutte le proprietà che ci interessano. []

Prova TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

ESERCIZI

°°

Rn

CAPITOLO G1 e LA GEOMETRIA DEL PIANO Negli esercizi seguenti, per ogni figura proposta descrivi le proprietà presenti, in modo che possa essere riprodotta d a una persona che non la vede.

Le)

PB Dalla descrizione alla figura |

FONDAMENTALI Tradurre dal testo alla figura

Rappresentiamo la figura corrispondente alla descrizione: AB, BC, CD, DE sono segmenti; D E AB; EBC = 5-1; E e C si trovano nello stesso semipiano rispetto E

D e QU

Pe

E

De

e

e

qua D e

O

O

De

O

e

O

O

gue e

D e DO

O

O

De

e gue Su u e omne SO

e gue

O

uo

e gue doge e

e

OP

O

DO

e u r c a u e Doe u o D e DO

PO

O

DO

e DO D e u e u e gu ddu p e ooo p e

e ue uo

e gue u a u e s u m l aloe omo. n l omo o

e m e doo o

e ur au ul

m l alan

Dalla descrizione deduciamo che la figura è composta da quattro segmenti consecutivi, di cui gli ultimi ESERC IZI

due formano u n angolo retto. L'estremo D del terzo segmento appartiene ad AB. Poiché non è specificato che AD DE, il punto D non si deve scegliere in modo particolare, ossia non deve essere il punto medio di AB. Allo stesso modo il segmento BC non deve essere adiacente ad AF. La figura richiesta è la a. Le figure b e c, pur soddisfacendo le condizioni poste, non sono accettabili in

=

quanto sono presenti delle proprietà in più rispetto a quelle descritte. Quendo si deve tradurre in rappresentazione grafica un testo fatto di parole o di simboli, è bene num

dimegaare mai | cosi purticolari, a mano che neo siano proprio quelli rirhbiosti.

Negli esercizi seguenti, per ogni descrizione, disegna la figura corrispondente.

6

r apunto A su PÒ e un punto B su QR. Dati i segmenti consecutivi PQ e (IR, c o n s i d eun

LI

AB, BC, CD, DE sono segmenti; E € BC; BE a EC.

| 67,

aOb + bOc + cOd =

x; a0b = 1bOd.

a b , bOc, cAd, A E

ad ae. Oc: Ad non è interna

e Figure e dimostrazioni EE

Quale delle seguenti figure è la più opportuna per raffigurare la seguente descrizione simbolica? «ABC triangolo qualunque; M E AB;P punto medio di CM.»

Test

Cc

B

c

c

M

P al

ATE] A

c

P M

B|[CI] A

MM

BilD]

A

La

M

ht

B

B Teoremi sui segmenti pm

I FONDAMENTALI D i m o s t r aun r etrorema sui segmenti

3

Sulla retta orientata r disegniamo, nell’ordine, tre punti A ,B e C, e il punto medio M di BC. Dimostriamo

che B M

= AC AB.

D i s e g n i ala mfigura. o =

}

inner.

M

C

ESERCIZI

se A

Scriviano ipotesi e tesi. I

. 1. AB, BM, MC segmenti - € ri potesi

.

Tesi B M = À

A C=;- AB —.

2. B M = MC.

Per la definizione di somma di segmenti: AC = AB + BM + MC. Per l'ipotesi 2: AC AB + E M + BM. Per la definizione di multiplo di un segmento: AC = AB + 28M.

=

dimostrazione, dobbiamo a r epareggia... g i u s t i f i cogni

Poiché differenze di segmenti congruenti sono conpruenti:

A C — AB = AB + 2BM — AB — AC — AB = 2BM.

= B M perché metà di segmenti congruenti sono congruenti.

Quindi AG

Per la proprietà simmetrica della congruenza: B M = A C A B . Dimostrazione alternativa

P e lra definizione di multiploesottomultiplo di un segmento, la tesi richiesta è equivalente alla seguente: Tesi A C — AB = 2BM.

A v o l aè pomsibila trovera

Osserviamo che:

dimostrazioni diversaper

e

A C— AB

= BC per la definizione di differenza fra segmenti;

e

* BC = B M + MC per la definizione di somma fra segmenti. Dall’ipotesi 2 deduciamo: BC = B M + B M e, per la definizione di multiplo di u n segmento, vale che:

BC = 2BM.

Dalla prima relazione concludiamo che: AC — AB = BC = 2BM. [|

PRovA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

G31

CAPITOLO G 1 * L A GEOMETRIA DEL PIANO Disegna sulla stessa retta i segmenti congruenti 00

Disegna sulla stessa retta i segmenti congruenti AB e CDP. Dimostra che il punto medio d i AD è anche punto medio di BC. {suGGERIMENTO Devi utilizzarela proprietà secondola quale differen-

#0

AB e CD. Dimostra che anche AC e B D sono congruenti. (sUGGERIMENTO Utilizza la proprietà secondo la quale somme di segmenti congruenti sono congruenti.}

Lat

ze d i segmenti congruenti sono congruenti.)

Disegna due segmenti adiacenti e congruenti, i e €. a puntim e dD AO e OB, e c o n s i d ei rloro

EE

r a DC = AD + CB. D i m o s tche

Disegna due segmenti, AB e CD, appartenenti alla stessa retta, uno interno all’altro, in modo

che abbiano lo stesso punto medio. Dimostra che i segmenti AC e 8D sono congruenti.

Considera tre segmenti adiacenti, AB, BC e CD, puo

con AB = CD. Dimostra che il punto m e d i oM di BC è anche punto medio di AD.

Sulla semiretta Oa disegna tre punti, A, B, €, in

modo che sia OA = EC. Dimostra che OB= AC.

4 Su una retta considera, nell'ordine, i punti A, B e C in modo che sia AB = 2BC e disegna il punto medio °° M di AB. Dimostra che i segmenti AC e M B hanno lo stesso punto medio.

ESERC IZI

P_ Teoremi sugli angoli

DE} Attività interattiva

| FONDAMENTALI Dimostrareu n teorema sugli angoli Disegniamo due angoli, a b e cOd, il secondo interno al primo, in modo che entrambi abbiano la stessa bisettrice Os. Dimostriamo che a O c= dOb.

Disegniamo la figura,indicando con a l'angolo a s e con a'l'angolo sb,con B l’angolo cOs e con B' l'angolo sOd,con 7 l'angolo aOc e con Y l'angolo dOb. Scriviamo ipotesi è tesi:

Per praticità, a volta

Ipotesi

2. B = p " .

può essere utile r i n o m i n a rgli e angoli

1=T.

greche.

Tesi

1. a d ;

utilizzando le letiare

Scriviamo la dimostrazione, spiegando i

vari

passaggi. Dimostrazione

Eseguendo la sottrazione fra angoli risulta che: ( 2 5 Somme o differenze di angoli congruenti

seno congruenti.

1=a-B

T=d-P. Le due sottrazioni hanno congruenti il minuendo, per l'ipotesi 1, e il sottraendo, per l'ipotesi 2, quindi Y = 1". perché differenze di angoli congruenti. e

e

e

ue

dae S e e

SO SO

N

SIP

e

O

SO

ae Se

Sue l e p e ON SO SO OO SO S I SO SO SO SO OA

e

So

uu u e su

cul

oe sue vue uu cune slm mr

alare m l mule nelle aller alle male ale

o e a e siae onde are sul

colle alla aule molle nolo allo mole dare air a l e sul alla dle alle ola d r ale dle dle lle alle alle alle die ale ole «dle 2

alle < D

Due angoli congruenti, aOb e cOd,hannoi n comune l'angolo cOb.Dimostra che la bisettrice Os dell’angolo cOb è anche bisettrice dell'angolo aÒd.

e Figure e dimostrazioni

Dimostrazione

L'angolo sOt si può esprimere come somma degli angoli sOb e|___}| pertanto: = Z-(a0b+|__).

Verifica che la bisettrice dell'angolo convesso «Ob è anche bisettrice dell’angolo concavo cOd, dove c è il prolungamento della semiretta b e d è quello della semiretta a. Poi dimostra

Hm I ]

=

la proprietà.

Due angoli, a b e bÒc, sono adiacenti, come indicato nella figura. Dimostra che le loro bisettrici formano u n angolo retto.

{succERmMENTO Considera È + a e Y+pB...)

E

Due angoli retti, 206 e cOd, hanno in comune l'angolo cOb. Dimostra che cOb e aOd sono supplemen-

peo

tari.

ACCRESCI L E COMPETENZE Dimostrare che tre punti sono allineati Disegniamo due angoli opposti al vertice. Chiamiamo O il loro vertice comune e prendiamo due punti,P e QQ, sulle rispettive bisettrici. Dimostriamo che i punti O, P e Q sono allineati. e Disegniamo la figura.

Per realizzare una figura chiara e per usare una notazione adeguata nella dimostrazione,conviene considerare anche quattro punti,A,B, Ce DD, sui

quattro lati degli angoli.In questo modo possiamo indicare tutti gli angoli della figura senza ambiguità.

ESERCIZI

s O=t sOb+|__) = 2a0b+

CAPITOLO G 1 * L A GEOMETRIA DEL PIANO

leoipotesi e la tesi. e Scriviam Il teorema si può riscrivere così: «se tracciamo le bisettrici di due angoli opposti al vertice, allora i p u n t iP e Q presi sulle rispettive bisettrici sono allineati con il vertice O comune ai due angoli». Ipotesi AOB e COD opposti al vertice;

OPbisettrice di AOB; Tesi

OQbisettrice di COD. P O , Q allineati.

e Scriviamo la dimostrazione.

ha | E A, Pa diu n

FOO è ua angelo giallo, ovvie

Scriviamo POQ come somma di angoli:

= i La

i

POQ = POB + BOD + DOO. = COD perché angoli opposti al vertice. Osserviamo che A O B O Pe 00Q sono le loro bisettrici, quindi:

AOP= P O B= COQ = QOD.

Inoltre, A O C= BOD perché angoli opposti al vertice. L'angolo giro, cioè 2%,può essere visto come la somma

di angoli a due a due congruenti, quindi possiamo scrivere: ESERC IZI

Tr. =Q =2x — P O B + B O D + D O 2POB +2BOD+2D00Q= 2% — 2(POB+BOD+DOQ Poiché POB + B O D + D O Q = POO, allora POOQ è u n angolo piatto, quindi P, O e Q sono allineati.

E ao

L ebisettrici Os e Ot dei due angoli consecutivi aOb e bOc formano u n angolo retto. Disegna gli angoli e dimostra che due punti qualsiasi, presi rispettivamente uno su Oa e l’altro su Or,

sono allineati con O. Lat)

Nella figura gli angoli Oc, c e e bOd sono retti. Dimostra che l'angolo piatto aOeè divisoi n quattro angoli a due a due congruenti. {suGGERMENTO Utilizza la proprietà: angoli complementari di uno stesso angolo sono...)

Considera tre punti A, B e C allineati, con E interno al segmento AC. Nei due semipiani opposti individuati dalla retta AC, individua

Le

rispettivamente u npunto D e u n punto £ , in modo tale che DBA sia congruente a CBE. r a i punti D, B ed E sono allineati. D i m o s t che

Lunghezze, ampiezze, misure

ati:

interattivo

> Teoria a pagina 617 Segmenti

I FONDAMENTALI Risolvere u nproblema con misure e lunghezze Gianna deve realizzare lo schizzo in pianta del progetto per uno stand espositivo. Per farlo ha tracciato

un segmento AC e collocato su di esso un punto B tale che BC = 2 AB. Ha inoltre segnatoM e N, i punti medi di AB e BC, appuntandosi che M N = 12,4 cm. La sua cliente Frances sta analizzando il progetto e

vorrebbe sapere la lunghezza di AB, ma non ha il righello, Come può determinarla, conoscendo la costruzione fatta da Gianna? ole lla ollare lla alle molare l t

alla ale c e d e l a

e

e

o ml

a o e l a ame cele l e a ale a

le

ee a a ole e c a tte e a e a i

cio a a i

a a molto o a ale alle ala e lea cia a lla ala a l a

e a e cela ole c e a ola colma sla mia a a e a a o

e a e a a olmo elia aula l a l a alma mole e

e l e cia i

a a

ie

5 e Lunghezze, ampiezze, misure

R a p p r e s e n tla i afigura m o e scriviamo i dati e la richiesta.

=

BC

EN = NC;

AB;

A M = ME;

AB=?

Scridiame in simbolila relazioni rappranantate nella figure |

M N = 12,4 cm.

e indicate nel telo, insierae sile lunghezza conseriute.

Osserviamo che:

*

e MN = MB + BN per costruzione;

= AB, essendo AM = MB per ipotesi; e

e MB

1

BN==5BC, essendo B N = NC per ipotesi; BC = +3 AB per ipotesi.

_ - 1 1 - 1 1 5 4 Quindi MN = MB + BN = 3 AB+=3BC = 5 A B + => zFAB= A B +

a

- 3 A B = 5 MN.

-

— AB=

MN=,

3

li

Passiamo dalle congruenze tra segmenti alle uguaglianze tra misure.

Possiu scrivere m n oln due nedi:

12,4=9,3.

e = 9,3 cm. AB = 9,3 o p p u rABS

Quindi il segmento AB è lungo 9,3 cm. Or

RP

E

OA SO

RP

OA SO R P

O

SOA P P O P I A

e

OP SOA OE SO SO P e SO S e u e o e u e male e

I

e

oe o

u e u e mu u e ale n

one olo

e oe

o

u e u e vue ole mme u e roma e SRP OA SO SO

O

VON O

SOA SON O

OO S P DO SO

O

OP D O ON O P

O

SO SO

N

SO a

u e sue u u malore vue um ome u e Su Su

ESERCIZI

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo par vedere se hai capito.

Utilizzando le informazioni fornite, trova le lunghezze richieste. #00

AC=?

E

AD=?

e

A B = 9 c m , BC = -2 AB.

Bc A C - BC = 3 BC, AB=6 cm.

A

I

La

A

A CI

= TAB,

AG

Lil)

A C = 6 4 c m ,MB = > BN.

AC + AB = 33 cm.

C N = ? AM=?

AB =?

A H

La somma dei segmenti adiacenti AB, BC e CD puo

è 49 cm. Trova le loro lunghezze, sapendo che A C è i 2 di CD e chela differenza frail triplodi CD e DE è 46 cm.

1 ss

Su una semiretta orientata di origine O, considera,nell'ordine, i punti A, B,C,D. Sapendo che

OA = CD, AB = 2BC, BC + CD = 20 cm e che

a. le l u n g h e d zizCH e e AB;

O D= 46 cm, determina le lunghezze dei seg-

b. la lunghezza di BC. [ a }7 em, 8,4 cm; b} = 8,2 em]

[11 em; 10 e m ;28 cm]

e

m e n t i AC OA.

Il

[ A C= 18 cm; OA = 14 cm]

Rn

CAPITOLO G1 = LA GEOMETRIA DEL PIANO

lunghezza d i AB? [A] 4 cm.

costiU n metro da falegname, (A t u i t doa sette segmenti incernierati agli estremi, se disteso completamente è lungo 1,4 metri. Determina la lunghezza in centimetri di ciascun

[B] 12 cm.

di.

Se Dè il punto medio di AC e Cè il punto che BD = 12cm.qualèla medio d i AR, sapendo

EF °°

Test

&|

“°°

segmento, trascurando la dimensione degli sno[20 cm]

16 cm.

[D] 32 cm.

e

[E] Nessuna delle precedenti. [USA C a t a College w b a NCCTM Mathematics Contest,2005]

Angoli EE

ComPLETA

se è possibile, con le ampiezze mancanti.

ESERC IZI

EE

°°°

Li

27°

Angolo

LI LI

Complementare

L_]

40°

L_J

Supplementare

L_]

L_1

70°

Esplementare

L_]

L__]

ComPpLETA

a.

di@ = Il complementare

37° è | _ _ _ }

®09

passata d a l l3ealle 12. Qual èl'ampiezza dell’an-

Bj

c]

tuo orologio da polso segna le 12:00,

(Bj

100°

[e]

110°

[p]

180° 120°

|

dito

Dj

Qual è l'ampiezza dell'angolo cheha descritto la

[4] 90°

La lancetta delle ore di un orologio è tt?

èL__}

lancetta dei minuti dalle 11:40 a orat

278°

golo descritto! A] 270°

|

d. La metà della terza parte di un angolo piatto

TEST Il

L__]

|]

A

inserendo l'ampiezza.

b. La quarta parte di un angolo piatto è | k c& Il supplementare di PB = 115° è |

°°

LI

IA °°

120°

Maths in English Translate the

following statements from symbols to words: a

ABC= 45.9°%;

b.

JK = A Q .

somma

L'ampiezza della di due angoli è 112°. peS a pche end uno goOl0 angoloè P go consecutivi è CONgruente ai > dell’alseo tro, determina le ampiezze dei due angoli e dei loro supplementari. [64°; 48°; 116%;132°]

Determina le ampiezze di due angoli supplementari che differiscono di 46°.

(113°;67°]

Lil

EI]

Due angoli complementari sono tali che uno è i E della metà dell'altro. Trova le loro ampiezze. [75°;15°]

gu

Le semirette a, b, c, dhanno origine comune nel vertice O e sono dispostei n modo tale che b siala bisettri*"*" cedell’angolo aOc ec siala bisettrice dell'angolo a0d.Determina l'ampiezza dell'angolo formato dalle due bisettrici, sapendo che aOb è il complementare d i cOd.

[30°]

A C o m p l e m e€nsupplementare tare Ricava la misura di un angolo tale che la differenza tra il suo *** supplementare eil doppio del suo complementare sia 48°. [48°] [CAN

John Abbott College, Final Exam, 2003]

5 e Lunghezze, ampiezze, misure Determina le ampiezze di ai, Pi, Y e è utilizzando

i dati in figura.

e

Utilizzando i dati in figura, determina l’ampiez-

°°“ za dell'angolo in giallo.

[77°]

Osservando le figure, determina le ampiezze degli angoli incogniti. f

#bù

i

a

20 a

Ax

€

&

?

107

;

1

+

ESERCIZI

GPU

x [1°

#

d

3

MATEMATICA PER L'’AGENDA 2030 L'angolo dei pannelli solari I pannelli solari fotovoltaici convertono le radiazioni solari in energia elettrica. Il

loro impiego permette di risparmiare sui consumi e di utilizzare energia rinnovabile e prodotta senza emissioni di CO... Il massimo della produzion e d i energia si ottiene quando i raggi solari incidono sulla superficie del pannello formando angoli retti. Il pannello deve quindi presentare un'inclinazione, rispetto al terreno, che dipende dalla latitudine a cui è installato. I

_

Il sole della Sicilia A Palermo (latitudine circa 38° N ) deve essere installato un pannello fotovoltaico. Le inclinazioni dei raggi del Solerispetto al terreno amezzogiorno del solstizio d'estate ATTIVITÀ

{S.E.) e del solstizio d'inverno (S.1,) sono due somme di angoli, date

=

rispettivamente dalle formule (approssimate} N ° —a l l e n o

+23°

co

S0°-— allen

20°,

dove 23° è l'ampiezza approssimata dell'angolo che l’asse terrestre forma con la perpendicolare al piano nel quale giace l'orbita del nostro pianeta.

b

G37

CAPITOLO G 1

»*

L A GEOMETRIA DEL PIANO

Calcola l'inclinazione dei raggi del Sole durante S.E. e S.I. b. Aiutandoti con un disegno, spiega perché l'angolo ottimale di inclinazione del pannello è il complementare dei risultati del punto precedente. c. Calcola l'inclinazione ottimale del pannello in corrispondenza sia del S.E. sia del S.I. a.

PD

UN P A S SINOPIÙ Fai tre esempi di produzioni di energia senza emissioni di CO, spiegando il principio su cui si basano.

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE | segmenti e gli angoli COMPLETA |

À

aa Di A

o s s e r v a nladfigura. o

NO

La

a e sue |

UL EB

|inin-j_i4

E

F

B

ESERC IZI

a. AB=|L__1DB

d. EF=L__j]CD

a

b. A C = | c

|AB

ar L__]=2 CD

e. EF f

=|

|AB

lina 3 CD=S 5L_]

|B;

d P=L__lt;

b B=|

la;

e a-Ba =l__ }|

e

la

f

a=)

1=|

|(a+B).

1=|

v afigura. O FALSO? O s s e rla VERO a. d e PB sono adiacenti.

Lv] LF]

b. È e è sono opposti al vertice.

[v] [+]

€

È e 7 sono supplementari

d. a e y

sono ottusi.

Considera su una retta orientata il segmentoPO e sia T'unpunto della retta esterno aPQ. Dimostra che il segmento che ha per estremi il punto Te il punto medio del segmentoPO è congruente alla metà della somma dei segmenti PT e QT.

E R S i a nAB. o BC e CD tre segmenti adiacenti e M, N e Q ri i s p e t t i v ipunti medi, Sai che MO = 60 cin, MN = CD € AB = 24cm.

7 712]

vj

LE

vj

LF

pf a

i

Calcola leampiezze di tre angoliconsecutivi a , B e y. sapendo c h ela loro s o m mèaun angolo concavo che misura 290° e che & e Y sono entrambi supplementari di B.

MEM Determina leampiezze deglia n g oa,l iB e Ò in figura, sapendo che 7 è bisettrice di 1.

D e t e r mle i nlunghezze a di BC e CD.

[)

a

+47]

10°

20° £

Determina le ampiezze di due angoli sapendo che la loro differenza è 30° e la loro somma è 66°, Qual è la misura dell’ampiezza del minore rispetto a quella del maggiore?

i

.

‘”

Fondamentali alla prova

GUARDA! |

SEMIRETTE E SEGMENTI

Su ZTE questa

Prroletanerto

Completale seguenti affermazioni.

nuova

Nella figura a lato: |O;

a. è rappresentata una semiretta s d i| b.

ci sono due s e g m e nPQt ie QR|

€.

uno dei due s e g m ePQ n t ie OR non

non|

ù

i

|;

ZL

[s

i

O

Jas.

P

Indica se le seguenti affermazioni sono v e o re false. a. L'angolo aOd è u n semipiano. vj] LF

SEMIPIANI E ANGOLI

LL

c. aÒb e cOd sono consecutivi.

vi]

LE

bOc e cOd sono consecutivi.

v|

LF

POLIGONI

o

d

a

o n ivere o false. a le seguenti a f f e r m a z isono I n d i cse BC

tato maggiore nelle coppie seguenti.

C>A

maggiore. k-_

EsERcI ZIO

i

ar

b r . a. e A L BE.

d. AB, BC. e. AB, AC.

CAPITOLO G 2 + | TRIANGOLI

P L e relazioni fra i lati di u n triangolo

* Esercizi a pagina 669 VERIFICA CON GEOGEBRA

—_—

TEOREMA

Disuguaglianze triangolari I n u n triangolo, ogni lato è 1. minore della somma

Disuguaglianze triangolari Per costruire u n triangolo, fai variare le lunghezze dei tre

ABC triangolo.

AB < AC + BC;

degli altri due; 2. maggiore della loro dif-

|

AB > AC - BC Icon AC 2 BCI.

|A

segrnenti che consideri come lati. Che cosa accade quando le disuguaglianze triangolari

non sono verificate? E quando

ferenza.

sono verificate?

La via più breve La prima disuguaglianza triangolare descrive una proprietà geometrica che applichiamo spesso nella realtà: se i collegamenti in linea retta fra tre luoghi A, B, €

sono dello stesso tipo, per andare più rapidamente da A a B scegliamo il collegamento diretto enon andiamo d aA a C e poi da Ca B. Lunghezze e lati

Poiché la seconda disuguaglianza triangolare segue dalla prima, è sufficiente verificare che sia valida quest'ultima. Quindi, dati tre numeri reali positivi a, b e c, questi possono rappresentare le lunghezze dei lati di un triangolo se e s o l ose:

a
BC allora Y > a .

A

AC < A B + SC,

AC FONDAMENTALI ALLA PROVA

> pag. G72

> AB -— BC

{ c o nAB > SC).

ESERCIZI Prime definizioni sui triangoli Triangoli, lati,

angoli

* Teoria a pagina 643

Con riferimento ai triangoli della figura, risolvi i seguenti esercizi.

°°°

BB.

—

o

ABe BC.

In ogni triangolo colora gli angoli adiacenti al Eff I n ogni triangolo disegna un angolo esterno di °°° vertice A. lato AR.

°° ge

In ogni triangolo colora l'angolo compreso fra i lati

o

a

o

e

e

A 99

e

o

e

a

e

a

op

a

apr

a

e oe

e og

g i o g ogg g e g e g e ope o g ogg cure puro pale cure mne ore ore ope o e u e are ole ou due g e o g

g e e e geo g e o g

g e pa geo opa g a

e S R o e e e e e o g gue g e egg g e ogg ogg clan g e o g ope ego our g e ope pale u e nre ore e e u e eue o u ure l e

Disegna un triangolo e mostra che a ogni angolo interno corrispondono due angoli esterni,

Spiega perché essi sono congruenti.

> Teoria a pagina 644

PP Bisettrici, mediane, altezze EM 5°

gle ome ogg ore e u e our o t o

Per ciascuno dei segmenti CL, A M e B Nin figura, indica se è mediana, altezza o bisettrice. Per

°°

Nel triangolo della figura traccia: a. la mediana relativa al lato CR;

la mediana e l'altezza, specifica i lati a cui sono

b. la bisettrice di ACB;

relativi;p e r l a bisettrice,

c . l'altezza relativa a l lato A R ;

indica l’angolo.

d. l'altezza relativa al lato AC.

C M N

A"

B

In un triangolo ABC qualsiasi, costruisci la bisettrice di ciascun angolo esterno di vertice B.

La classificazione dei triangoli rispetto ai lati e agli angoli J Attività interattiva >» Teoria a pagina 645 Disegna, se possibile, un triangolo: a. ottusangolo isoscele;

A %

b.acutangolo scaleno;

e

O E

DD

> O

DA O

U P U E DD O

UO O

E

E

DD O

CO DO SO» O I E

SO DE OE I O SO I

O

AO

O DO

4 SU DO DO O

O

OOO O

O

SU O

O

O

DD DOD OO O

DO CO CO O

D D DU D e 0

IE

[j] PROVA TU. Svoigi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito. Disegna i triangoli ABC e RST in modo che F É Considera i triangoli ABC e ACD in figura. AB = RS e che siano congruenti gli angoli | “°° Dopo aver tracciato le bisettriciBP e DQ rispettivamente degli angoli B e DI, con Pe Q su AC, esterni di vertici A e R e quelli di vertici È e $. Dimostra che i triangoli sono congruenti. dimostra che BP = DQ. B Dato un triangolo ABC, sia K il punto in cui la bisettrice dell'angolo A incontra il lato BC. Da K traccia una retta che formi due angoli retti con A Ke che intersechi la rettaAB in E e la retta AC in

triangolo ADE è isoscele. s tilr a D.D i m oche

G61

ESERCIZI

ABC la bisettrice dell'angolo A interseca il lato BC în D. Tracciamo da D la semiretta che Nel triangolo

n

CAPITOLO G 2 e | TRIANGOLI

ACCRESCI L E COMPETENZE Applicare più criteri di congruenza

B

Nella figura,

0

Cc

OE = EB = OD = DA.

Dimostriamo che i triangoli APC e BEC sono congruenti. e Leggiamo la figura.

Dalla figura possiamo ricavare che i triangoli ADC e BEC hanno un lato congruente: DA Dobbiamo ricavare altri dati. Osserviamo che nella figura sono presenti altri due triangoli: OBD e OAE.

= EB per ipotesi. i

E

e Troviamo la relazione fra i due triangoli OBD e OAF.

1 triangoli OBD e OAE hanno: e O D = O E per ipotesi;

C

OA = OB perché somme di segmenti congruenti;

e

* l'angolo ACOB in comune.

D

ESERC IZI

Quindi sono congruenti per il primo criterio di congruenza, D i conseguenza abbiamo anche OAE = OBD e ODE = OFA. e

A

D i m o s t r iche a mADC o e BEC sono congruenti.

I triangoli ADC e BEC hanno: e D A = EB per ipotesi;

ricomerea tutiti nora Sf iL

in questo caso,richiemiame ll

angoli supplementaridi

pa Li p.oogolicongrumntisono e OAE = O D per quanto dimostrato in precedenza; e BDA = AEB perché angoli supplementari degli angoli congruenti ODE = OEA.

Quindi sono congruenti per il secondo criterio.

°°

Disegna un segmento A Be due s e m i r eat e t eb, di origine A e B da parti opposte rispetto ad AB, che forman o con AB angoli congruenti. P e ril punto medio P di AB traccia una r e t t ar che intersecaa in C e b in D. Dimostra che ACP = PDB e che PCB = ADP. Da u n punto P della bisettrice r dell'angolo AOP traccia una retta che forma quattro angoli congruenti con

*** r e interseca i lati dell'angolo AOR, o i loro prolungamenti, in C e D. Dimostra che, preso un punto Q qualunque di OP, si ha QC QP.

=

‘B

L e proprietà del triangolo isoscele l l teorema del triangolo isoscele

Attività interattiva

Il triangolo ABC della figura è isoscele sulla b a s AeB e inoltre CE = CD.Dimostra chei triangoliABD e ABE

COMPLETA L O SVOLGIMENTO

sono congruenti.

G62

> Teoria a pagina 649

4 e L e proprietà del triangolo isoscele

I] triangoli ABD e ABEhanno:

e AB in comune; ®

DB = AE perché somme di segmenti|

e

EAB =

| per ipotesi;

perché A B C è un triangolo isoscele per ipotesi.

Quindi sono congruenti per il | _ _ |

criterio.

Dimostra che due triangoli isosceli sono con- E E ll triangolo ABC è isoscele sulla base AB, po

gruenti se hanno congruenti la base e un angolo a essa adiacente.

°°

DA = BE e FDA = FEB. D i m o s t rche a i triangoli DCE e AFB sono isosceli.

Disegna u n triangolo isoscele di base AB e verLL]

tice C. Sui lati obliqui scegli due punti, 5 su AC

su

=

eT CA, in modo che risulti CS CT. Dimostra che: a. i triangoli SBC e ACT sono congruenti;

a:

b. i triangoli ABT e ABS sono congruenti.

-

'

——

Ret

'

ED

:

uilta

ESERCIZI

Congiungendo i punti medi dei tre lati di u n triangolo isoscele si ottiene u n nuovo triangolo. Dimostra che anche il triangolo ottenuto è

isoscele.

A robust isosceles triangle

A

c tisosceles triangle (make sure it remains an isosceles triangle whenever a. Use GeoGebra to c o n s t r uan

you d r a ag vertex!). b. Describe how you made the construction. ©

D o two of its angles remain congruent as you drag it? Explain why or why not.

O L’inverso del teorema del triangolo isoscele |

> Teoria à pagina 649

FONDAMENTALI Applicare l'inverso del teorema del triangolo isoscele

Nel triangolo isoscele ABC, le bisettrici A E e B F degli angoli alla base si incontrano nel punto M . Dimostriamo che A M = ME. Ipotesi

1.

ABC è un triangolo isoscele di base AB; Tesi A M= MB.

Cc

|

2. AE è bisettrice dell'angoloA ; 3.BF è bisettrice dell'angolo 8 . F

E

Dimostrazione

ll triangolo isoscele ABC ha gli -

-

.

angoli alla base congruenti, ossia A = È. i

Poiché AE è bisettrice dell'angolo A, risulta MAR =

o

analogo, per l'ipotesi 3, risulta MBA

i

15.

—A;

ji

A

in modo

i |

E) seun triangoloha dueangolli 2 = —-B. Quindi MAB = MBA. c o n g r u eallora n t i ,è iscscele. |

O

Il triangolo ABMha gli angoli alla base AB congruenti, q u i n dèiisoscele. I n particolare, nel triangolo ABM risulta A M = ME. [j] PRovA TU. Svoigi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

*”

È

i

CAPITOLO G 2 + | TRIANGOLI Nel triangolo isoscele ABC, di vertice C, disegna le bisettrici AE e BF degli angoli alla base, indicando con

t r aME = MF. M il loro punto di intersezione.D i m o s che

°°

]

AB e CD si intersecano nel punto H , distinto dal loro punto medio, in modo che A H = H D e segmenti

C H = HE. Detto K il punto di intersezione delle rette AC e BD, dimostra che il triangolo CKB è isoscele.

°°

Nel triangolo isoscele ABC, le bisettrici degli angoli esterni adiacenti alla base AB si incontrano in un pun-

"°° to DI dalla parte opposta di C rispetto ad AB. Dimostra che: a.

di È e D. b. CD è bisettrice

A BèDisoscele;

Nel triangolo ABC prolunga il lato AC di un segmento CE = CB e il lato BC di un segmento C F= CA. Indica con Dil punto di intersezione dei prolungamenti d i AB e di FE. Dimostra che il triangolo ADF è isoscele.

***

> Teoria a pagina 650

b L a bisettrice nel triangolo isoscele 1

Facendo riferimento

C

Disegna due triangoli isosceli diversi fra loro,

°° alla figura, dimostra ESERC IZI

E

e

0

Se

O O SO S P OO

e

e SUO O D E > O

S O SO D e SUO SU O O O

O OO S e Pe AE E

e

o base.Dimostra tici C e D opposti r i s p e t talla che il segmento DC divide a metà la base AB.

E

D

8

A e

ARCe ABD, posti sulla stessa base AB, con i ver-

9%

che CH è l'altezza relativa al lato DE del triangolo CDE.

Re E

E

E

Ro E

E

o

e

e

e a

o

A

e SE SO PO E

O

DU O

e

E

O

U P U e DD E

A

A

DD UO U O o

O

O OO U P D e

e I

O

AO DO E

O

OOO S e I

O

SUD 0

OP

O

A Se IO I

SP IO a

SD E P

Nel triangolo isoscele ABC di base AB segna sulla bisettrice CH un punto P.La semiretta AP incontra BC

= PEC. chePFC AC nel puntoF.Dimostra nel punto E e la semiretta BP incontra Dimostra che, se in un triangolo la bisettrice di un angolo è anche la mediana del lato opposto, allora il triangolo è isoscele. (suasemmeNTO Prolunga la bisettrice, oltre il lato opposto, di un segmento congruente al segmento di bisettrice e congiungi l'estremo ottenuto con uno dei vertici della base.)

BD L e proprietà del triangolo equilatero °°

> Teoria a pagina 651

Sui tre lati di un triangolo equilatero ABC considera tre punti, R, S e 7, in modo che risulti AR Congiungi i trepunti. Dimostra cheil triangolo R S Tè equilatero.

= BS = CT.

Disegna un triangolo equilatero, poi traccia le mediane e dimostra che sono congruenti. Len

2

e

Prolunga i lati del triangolo equilatero ABC (nello stesso verso) rispettivamente dei segmenti AD, BE e CF congruenti fra loro. Dimostra che il triangolo DEF è equilatero.

Nel triangolo equilatero ABC disegna le bisettrici degli angoli A e B. Indica con E il loro punto di interse-

°°

zione, Dimostra c h ei triangoli ABE, BEC e AEC sono congruenti.

*%

A DI tricloruro di boro BOI, ha una struttura planare tale per cui gli angoli di legame CI—B—Cl sono di 120° e le distanze di legame B—CI sono uguali. Dimostra che gli atomi di cloro sono i vertici di un triangolo equilatero.

CI

x

CI

N .CI

4 e L e proprietà del triangolo isoscele x E OO Disegna un triangolo equilatero nella finestra grafica di GeoGebra. a. Traccia le mediane e verifica che sono congruenti, indicando quali comandi hai usato per la verifica. b. Puoi dire lo stesso delle altezze? Perché? E per le bisettrici?

A,C e dEe i gi i vertici Considera u n esagono regolare ABCDEF e c o n g i u n o IA vertici B , D e F, ottenendo due triangoli. Dimostra che i due triangoli sono equilateri. Riproduci questa costruzione con il software e verifica che i due triangoli sono equilateri.

Soi tre lati di un triangolo isoscele ABC costruisci, esternamente al triangolo, tre

o CA

°°“ triangoli equilateri ABP, BCQ, CAR a. Come puoi classificare il triangolo POR rispetto ai lati? b. Verifica con GeoGebra la tua congettura e poi dimostrala.

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE l l secondo criterio di congruenza

GUARDA! Fai questi esercizi

e i triangoli isosceli

E M n ciascuna delle seguenti figure,utilizzandole informazioni segnatein colore,indica le coppie di triango**° li che sono congruentiin base al secondo criterio.

EF

MN IASZI v E R OO FALSO?

Osserva la figura e rispondi motivando la risposta.

LT

e

2 . C A R = CRA

vi|F

b. C A R= BEC

v]

[er

B C= BE

Vj]

LF

d. B E D= BDE

vi

[e

€

"09

ESERCIZI

anche s u

Utilizzando le informazioni della figura, dimostra che il t r i a n g o lABC o è isoscele.

"ABC

A

s

Sui lati obliqui AC e BC del triangolo isoscele considera i punti D ed E i n modo che CDP = CE. Prolunga la base AB di due segmenti congruenti PÀ e EQ. Dimostra che:

D

a

D P = EQ:

b. EP = DO.

A

E

E

B

CAPITOLO G 2 + | TRIANGOLI Test

chei triangoli ACD e A'C'D' sono congruenti.

hanno congruenti:

“°°

S

2

se Due triangoli isosceli sono congruenti

i o n ifigura per dimostrare E Usa le i n f o r m a z della

i due angoli alla base.

la base. l’angolo al vertice. Nessuna delle precedentirisposteè corretta.

MERO O FALSO?

a. La bisettrice dell'angolo al vertice di u n triangolo isoscele forma due angoli retti con la base. [v] b. Avere due angoli congruenti è condizione sufficiente affinché u n triangolo sia isoscele,

v]

B e k>FD, d i m o s che

B

L e relazioni fra | lati di u n triangolo

Attività interattiva

> Teoria a pagina 654

Dimostra che in ogni triangolo il doppio di u n lato è sempre minore della somma dei tre lati.

E E Sia ABC un triangolo qualsiasi. Siano H e K due punti di AB.Dimostra che il semiperimetro del triangolo Li

EZ po

C H E è minore d i A C + CE.

D i s e g un n aangolo a0b. Sulla semiretta Oa scegli due punti A e C in modo che OA sia minore di OC. Ana-

logamente sulla semiretta Ob scegli altridue p u n t i B, e D, in modo che OB siam i n o r e d i OD.Congiungi A a AD BC > A C BD. con D' e B con C. D i m o s t rche

+

+

ESERCIZI

a.

CAPITOLO G 2 + | TRIANGOLI Proprietà geometriche e misure TEST

Quale delle seguenti terne di numeri non può rappresentare le misure dei tre lati di un triangolo?

Lie,

A

7, 5 , 10.

Bj

4 5, 7.

ci 4 , 5, 10.

DI

4 , 7, 10.

n Matteo ha a disposizione alcune cannucce di diversa lunghezza e vuole utilizzarle per costruire dei trianeco goli. Con quale, tra le seguenti terne di misure, # 0 riuscirà a costruire u n triangolo? A|

6 cm; 6 cm; 6 cm.

B|

7 cm; 7 cm; 4 cm.

|

3 c m ;4 cm; 5 cm.

Dj

2 cm; 7 cm; 12 cm.

Un triangolo ha un lato di 6 cm e uno di 10 cm. Quale tra le seguenti ton può essere la misura della lunz aterzo lato? g h e zdel

2°

A|6,5cm

|t|15,5cm

|e6|10cm

[bb] 1 7 c m

"i CoMPLETA le seguenti terne, che rappresentano le misure dei lati di un triangolo, indicando in ciascun caso ° fra quali valori deve essere compresa la lunghezza del terzo lato. < AC < __]cm. a. AB = 4 cm, BC= 6 c m , | _ _ | c m b. FE=59 cm, DF=5

cm,|__jcm < DE 180° DAC+

D

A

B

RISOLVERE PROBLEMI

A L S Con tre bastoncini lunghi 12 cm, 4 cm, 3 cin, che cosa è possibile ottenere? oo A|

Un triangolo isoscele.

E|

U n triangolo scaleno.

Cc|

Un triangolo rettangolo.

D|

Nessun tipo di triangolo.

CA LL]

Utilizzando tutti i 52 m di corda a disposizione devi contornare completamente un'aiuola

triangolare. I lati dell'aiuola sono tali che il secondo misura i 2 . del primo e il terzo è la metà del primo. Calcola le lunghezze dei lati e stabilisci se con essi è possibile costruire un triangolo. [24 m ; 16 m ; 12 m ; si]

Le lunghezze dei lati di un triangolo sono AB = 15 cm, BC = 13 cm, AC = 22 cm. Indica se il triangolo DO

esiste e, in quel caso, qual è l'angolo minore,

G75

VERIFICA DELLE COMPETENZE

*"° sandoin base a quale criterio.

CAPITOLO G 2 + | TRIANGOLI

Prove d i verifi ca

© ©m o

GUARDA! =

|__|/ 100

-_-
Esercizi a pagina 6101

a

PB I l criterio d i parallelismo

O O

E

e

O O

Per indicare che due rette r ed s sono parallele, scriviamo: r / s.

G79

CAPITOLO G 3 » LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI Più in generale, vale questo criterio.

TEOREMA

)

Criterio di parallelismo

!

Se due rette, incontrandone una terza, formano e

angoli alterni (interni o esterni) congruenti, oppure

e angoli corrispondenti congruenti, oppure

e angoli coniugati (interni o esterni) supplementari,

_

allora sono parallele.

Una qualsiasi delle ipotesi è una condizione sufficiente per il parallelismo delle rette.

Per dimostrare il teorema basta notare che ogni caso è riconducibile a quello degli

angoli alterni interni congruenti, come proposto qui di seguito. Y

Y

-

FI corrispo

a alterni esterni

TECR IA

6.

congruenti

6

/

-

6

ch

coniugali interni

Pb

corrispondenti

supplementari

coniugali esterni supplementari

:

:

£

È

a. a = y e B = è perché oppo-

b. x = perché opposti al,

sti al vertice. Quindi se y = fi,

vertice, quindi se a y , anche | quindi, se anche a e è sono

anche a = f .

a =B.

©.

B e © sono supplementari,

d. B e r sono supplementari, quindi, se anche y e © sono supplementari, allora B = y . Poiché y = a , i n quanto oppo-

supplementari, allora & = fp.

sti a l vertice, allora B s a .

EDue rette perpendicolari a una stessa retta sono parallele,

I

Infatti, nella figura a lato le due rette a e b formano con r angoli corrispondenti congruenti, in quanto retti, quindi le rette sono parallele.

p L a parallela per u n punto a una retta > Esercizi a pagina 6102 TEOREMA

n

z a parallela E s i s t e ndella

Dati una retta re un punto P che non le appartiene, esiste sempre una retta passante per P e parallela a r.

|

IP fl DIMOSTRAZIONE

Tracciamo per Pla retta s perpendicolare a r, che esisteper il teoremadi esistenza e unicità della perpendicolare {figura a lato). Per P tracciamo la retta £ perpendicolare a 5. che esiste per lo stesso teorema. r e f sono entrambe perpendicolari a s, quindi r / t.

La costruzione che abbiamo appena visto garantisce l’esistenza della parallela, ma non è l’unica costruzione possibile. Nella figura a pagina successiva ci sono i passi per o t t e n ela r eparallela a r passante per P tracciando con riga e compasso angoli alterni interni congruenti.

2 e L e rette parallele x

Costruzione di una retta parallela passante per u n

punto

a. Disegniamo una retta r e b. Disegniamo due archi di | © Disegnianmo un arco di un punto P_ esterno a essa. raggio AR. uno di centro P e | raggio PB e centro A, che Da Ptracciamo PA, che forma | uno di centro A, e chiamiamo | interseca nel punto È l'arco

B il punto di intersezione fra | di centro Pe raggio AP che

l'angolo & conr.

quest'ultimo arco è la rettà r.| avevamo disegnato nel passaggio precedente. Tracciamao infine la retta PO e i segmenti AC e PB.

COSTRUISCI

i

CON GEOGEBRA

Esistenza della parallela

Nella costruzione abbiamo fatto i n modo che AB

Con GeoGebra ripeti la

= P C e A C = PS.

costruzione della parallela

Inoltre, ABP e PCA hanno il lato AP in comune, quindi i triangoli sono con- 1 che abbiamo proposto con -

a

poi la retta con i l comando

In particolare, sono congruenti gli angoli alterni interni a e PB.

RETTA PARALLELAe verifica la

Pertanto la retta a cui appartiene il segmento CP è parallela a 7.

correttezza della

costrtaion

a

»Esercizi a pagina &107

A DOO DO OP A DO SUP N

ir e Yy angoli interni non adiacenti,

S P DOO OP S P D O RO DE S A DOP DO AOP P O DA AOP DOP E

DO P O

Tesi è = a +

Ipotesi 1. ABC è un triangolo; 2. è angolo esterno,

PA DO I

In un triangolo ogni angolo esterno è congruente alla somma dei due angoli _

A

|

DA PA A

TEOREMA Teorema dell'angolo esterno

E

piùforte tra u n angolo esterno e gli angoli interni d i u n triangolo.

SO DO S P DOP S E DO DO

Nel capitolo G2 abbiamo visto il teorema dell'angolo esterno (maggiore): in un triangolo, ogniangolo esterno èmaggioredi ciascuno dei due angoli interni non adiacenti a esso. Grazie alle proprietà delle rette parallele possiamo dimostrare una relazione

A OE RP

A

O

O A

> Esercizi a pagina 6104

I

TECGRIA

o

ll teorema dell’angolo esterno di u n triangolo

E i u s t e nto Tr The sum of the internal angles of a triangle is a straight angle, that is an angle

vath sides on a straight une.

H 3 e L e proprietà degli angoli dei poligoni I

ESPLORA CON GEOGEBRA

È DIMOSTRAZIONE

e In B, l’angolo esterno È è adiacente all’angolo B,

i

Somma degli angoli interni di

quindi: è + PB = x .

un triangolo

e Per il teorema dell'angolo esterno: È = a + 7. e S o s t i t u e nnella d o prima relazione: a +1+B x.

Disegna un triangolo. Muovi

=

quindi gli elementi liberi della tua costruzione e verifica com

lo strumento ANGOLO che la somma degli angoli mterni

Corollario 1. In ogni triangolo rettangolo gli angoli acuti sono complementari.

è sempre congruente a un

Corollario 2. Ogni angolo di un triangolo equilatero è la terza parte di un angolo piatto.

angolo piatto.

Secondo criterio di congruenza del triangoli generalizzato Nel seguito, con secondo criterio di congruenza intenderemo una forma più generale di quella che conosci. Per applicare il criterio in questa forma non è necessario che gli angoli congruenti siano quelli adiacenti al lato congruente.

7

TEOREMA ctongruenti.

Y

IP E DIMOSTRAZIONE

Dimostriamo il teorema nel caso in cui il lato congruente non sia compreso tra

i due angoli congruenti. Ipotesi A C = PR;

AN AN

Tesi ABC = POR

EsERCIZIO

Seconda criterio generalizzato

Nei Lriangoli AGC, DEF e POR si ha: AL = EF u Qin,

B=E=P,

E-D=R. Quali triangoli sono congruenti?

Eu n

Dimostriamo che C = & . Per ipotesi A = P e B = O . quindi A+B = P + Ò . + B+C=x Per il teorema della somma degli angoli interni di un triangolo, A +

e P + Q + & R= x , da cui: C = x — {A +B) = 7

-(P+ 0 ) = kR.

Itriangoli ABC ePOR hanno quindi: A = P per ipotesi;A C = PR per ipotesi;

C = R per quanto appena dimostrato, Quindi sono congruenti per il secondo

criterio, nella forma particolare che già conosci.

B L a s o m m a degli angoli interni d i u n poligono

» Esercizi a pagina 610%

CONVessoO

WY ESERCIZIO TEOREMA

In un poligono convesso di {n

bh

Angoli interni di un poligono

lati, la somma degli angoli interni a, B, 1 . . .è

— 2} angoli piatti:

+ B + 1 + . . . = (#-— 2)x.

regolare Calcola l'ampiezza degli angoli interni di un pentagono, di u n ottagono e di u n dodecagono regolari.

TEORIA

Secondo criterio di congruenza generalizzato Due triangoli sono congruenti se hanno u n lato e due angoli ordinatamente

CAPITOLO G 3 » LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI

& lali

7 lati

& U n poligono di é lati

b. U n poligono di 7 lati

€. Un poligono di 8 lati

viene scomposto in

vierve scomposto in

viene scomposto in

& triangoli.

5 triangoli.

6 triangoli.

Generalizzando gli esempi,possiamo affermare cheun poligono din lati viene diviso in #1 — 2 triangoli dalle diagonali che partono da ogni vertice, quindi la somma degli angoli interni è {n — 2) 7 .

IDEE PER L E COMPETENZE

e

L'utilità dell’esagono

TEOR IA

Nel costruire le celle dei loro alveari, le api utilizzano la figura geometrica migliore per occupare tutto lo spazio a disposizione e, nello stesso tempo, usare la quantità minima di cera. Stiamo parlando dell’esagono regolare.

nd ’%

a

Vediamo perché. Gli unici poligoni regolari che avvicinati fra loro ricoprono completamente il piano, senza lasciare parti vuote, sono il triangolo equila-

‘4

tero, il quadrato e l’esagono regolare. Spieghiamo il motivo nel caso

dell’esagono, considerando che la somma dei suo angoli interni ha ampiezza

(6 — 2) - 180° = 720°,

Quindi ogni angolo interno dell'esagono misura

220

120,

Come vediamo nella figura,avvicinando tre esagoniin modo che

abbiano un vertice in comune, la somma dei loro angoli interni con quel vertice è 360°: non restano parti vuote. C o n gli esagoni

regolari possiamo quindi ricoprire il piano. Per le api, questo vuol dire utilizzare tutto lo spazio dell’alveare o per le celle. Si può inoltre dimostrare che, dati un triangolo equilatero, u n quadrato e un esagono regolare con lo stessoperimetro, l’esapgono

ha area maggiore. Per le api, ciò significa che, con la stessa quantità di cera,l’utilizzo dell’esagono regolare permette di immagazzinare più miele. i I

120°N

42

i

-

on

Spiega perché con ottagoni regolari non puoi ottenere u n ricoprimento del piano. Il preoccupante calo delle api e degli altri insetti impollinatori, osservato nel mondo negli

ultimi anni, ostacola fortementel’obiettivo 2 dell'Agenda 2030. Approfondiscil'argomento.

4 e | criteri di congruenza dei triangoli rettangoli

( Y EsERCIZIO

Bb L a somma degli angoli esterni di u n poligono CONVESSO

|

* Esercizi a pagina 6109

TEOREMA La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è un angolo giro.

Per ogni vertice del poligono si considera solo uno dei due possibili angoli esterni, che sono tra d i loro congruenti. La somma degli angoli esterni non dipende dunque dalnumero deilati delpoligono

Angoli esterni di u n poligono

Dimostra i l teorema partendo dalla considerazione che in u n poligono di a lati la somma degli angoli esterni e degli arxyoli interni è congruente a fi angoli piatti. E

considerato. In particolare, anche in u n triangolo la somma degli angoli esterni è congruente a u n angolo giro.

Il teorema della somma degli angoli esterni di un poligono convesso è collegato alla vita quotidiana in modo molto immediato. Immagina un'aiuola pentagonale convessa e poi prova a pensare d i camminare attorno a essa, lungo il suo recinto.

Se parti dalpuntoA, q u a n arrivi d o in B, per seguire il lato BC, devi cambiare direzione. Per fare ciò devi ruotare su te stesso di un angolo che è proprio l'angolo esterno di vertice B. TEORIA

Ogni angolo esterno rappresenta dunque il cambiamento di direzione necessario per seguire il percorso.

Una volta tornato al punto di partenza, nella stessa posizione, cioè con direzione AB, hai ruotato complessivamente su te stesso d i u n

angolo giro.

‘B

| criteri d i congruenza dei

triangoli rettangoli

>Eserciziapagina 1 1 1

Se due triangoli sono rettangoli, hanno senz altro l'angolo retto congruente; pertanto, per stabilire se sono congruenti,basta trovare, oltre all'angolo retto, altri due ele-

menti che siano rispettivamente congruenti (e non tre, come avviene per i triangoli

in generale), di cui almeno uno sia un lato. TEOREMA

Y esercizio

Primo criterio: due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettiva-

Applica il secondo criterio

mente congruenti i due cateti.

Considera le rette a è b incidenti nel punto O. Fissa su a, da parti opposte rispetto a O, due punti, A è B, in modo che le proiezioni di AQ e 0 8

Secondo criterio: due triangolirettangoli sono congruenti sehanno congruenti rispettivamente u n cateto e u n angolo acuto corrispondenti. ‘Terzo criterio: due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti rispettivamente l’ipotenusa e u n angolo acuto. —

sulla retta b siano congruenti. Dimostra che AO = 08.

—_

Nella figura della pagina seguente dimostriamo questi criteri usando i criteri di congruenza dei triangoli qualunque.

G87

CAPITOLO G 3 » LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI

a. Primo criterio. | triangoli hanno

b. Secondo criterio, | triangoli hanno

congruenti due lati l i cateti) e l'angolo fra essi compreso [l'angolo

congruenti due angoli [uno acuto e l’altro retto] e un lato [il cateto],

retto), quindi sono congruenti per i l prirno criterio di congruenza.

quindi sona conqruenti per i l secondo criterio di congruenza generalizzato.

TEOREMA

c. Terzo criterio. | triangoli hanno congruenti due angoli [uno acuto e

l’altro retto] e un lato {l’ipotenusal, quindi sono conqruenti per i l secondo criterio generalizzato.

WA ESERCIZIO

=

ABC A'B'C"

Quarto criterio: due triangoli rettan-

Apglica il quarto criterio

goli sono congruenti se hanno con-

Dirrastra che se un triangolo

pruenti rispettivamente l’ipotenusa e

allora è soscele.

ha due altezze congruenti,

un cateto.

TEQORIA

La mediana relativa all’ipotenusa Utilizzando i criteri di congruenza dei triangoli rettangoli, si può dimostrare il seguente teorema. -

TEOREMA

i

i

ESPLORA C O N GEOGERBRA

Mediana relativa

In u n triangolo rettangolo la medianarelativa

all'ipotenusa

all’ipotenusa è congruente alla metà dell’ipotenusa stessa.

Disegna un triangolo rettangolo e La mediana

relativa all'ipotermusa. Muovi quendi gli elementi Liberi della tua costruzione e verifica i l teorema.

BD L a distanza tra due rette parallele TEOREMA

i

Rette p a r a l l e leedistanza d i p u n t di a rette Se due rette 7 e 5 sono parallele, la distanza di u n punto di 7 da s e la distanza d i un punto di s da r sono congruenti.

Ipotesi

Tesi

rfs: AB distanza di A da 5 ; CD distanza di C da r.

W

AB = CO.

Per dinmwostrare i l teorema, conqgiungi A con È e applica il

ESERCIZIO

Dimostra il teerema

terzo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

La distanza di A da s coincide con la distanza di B da r, perché AB è perpendicolare sia a 7 Sia a 5, quindi possiamo dire che tutti i punti di r hanno da s la stessa distanza che tutti i punti di shanno da r. Diamo allora la seguente definizione. DEFINIZIONE

La distanza tra due rette parallele è la distanza

di un qualsiasi punto di una delle rette dall'altra. C

5 e ll parallelogramma n

I l parallelogramma Liri

a

> > Esercizi pagina €113

i

EH

stento rr

Un parallelogramma è un quadrilate-

AB CD

A parallelogram can be

ro che ha i lati opposti paralleli.

AD ABC

defined a g eas a quadrilateral p

:

lati

s

s

«i:

|=

GO altezza

Chiamiamo centro di un parallelogramma il punto di incontro delle sue diagonali. Il segmento che da u n

N altezzaD E

vertice del parallelogramma cade perpendicolare sul

centro

lato opposto, o sul suo prolungamento, si chiama altezza.

B L e proprietà dei parallelogrammi Esaminiamo tre condizioni necessarie affinché un quadrilatero sia un parallelogramma.

-

Seun quadrilatero è un parallelogramma allora: 1. i lati opposti sono a due a due congruenti; 2 gli angoli opposti sono a due a due congruenti,

Ci

4

[>

PARALLELOGRAMMA È u n quadrilatero con | lati opposti

D

C

paralleli.

Proprietà:

M

iL

A=C,B=D; A + D = B + C =180°

A B= CD, BC = AD, AM=MC,BM=MD; 8

A La Go no

n

OE

OPE P E

O

A

O E

| RETTANGOLO

|

e

A DO E O I

ea

ER a

ER a a

a a fe

POD

Oo

PO

O

SEO

DO

ROMBO

IP O

I

SE RS a oO SRO ERO UO E a a

4

| QUADRATO

_.]

= | < =| x TEORIA

Proprietà: A C= BD.

Proprietà: AC 1 BD; A Ce BD bisettrici degli angoli.

o AC 1 BD; s p a rBD; A Ce BD bisettrici degli angoli.

TRAPEZIO È u n quadrilatero che h a solo d u e lati

I seguenti quadrilateri sono trapezi particolari,

paralleli.

e Trapezio Iisoscele: i lati obliqui sono base minore D

D

Cc

lati

ABCD

Proprietà: A=BebD=C

obliqui

:

g

A

— altezza ALL

congruenti.

Cc

B

H |_base maggiore

AC BD

-

PR

* Trapezio rettangolo: uno dei lati obliqui è perpendicolare alle basi.

Proprietà:

D

A+D=B8+C=180°.

i

C

NN Fi]

A

LE CORRISPONDENZE I N UN FASCIO D I RETTE PARALLELE

]

Dato un fascio d i rette parallele tagliato da due trasversali, a segmenti congruenti sull’una

orrspondono segmenti congruenti sull’altra. ipotesi

Tesi

AMmMB, CAN mNB.

M N # AC. M N m + AC.

FONDAMENTALI ALLA PROVA > pag. G129

a a MA; CN mamNE.

M N 4 # DE, M N a Line + DC).

alle ont allo u r mln m r mol m r ole nola

me o n

ere n

pl

e Si

n

u o u e u e sure vuo une malo ene.lee e e m e n

ml

e

e a e onde e n e o e

me a n

e ae oe

re

e nre o

nl

a n nolo alle D e a

o

ale olo ale a l

a

ale a a l

ole ore ole D l

olo alle ola ale

me l e

le

E

alle u l

m e vue v u m e r e

ESERCIZI

1Atbviàineratin

N x

11 Prova hu

n

Le rette perpendi colari ( $ tivi

7 GeoGebra

interattiva

> Teoria a pagina 677

EN

Disegna le perpendicolari a r, s e £ che passano per P

—

+

|

aP

:

Lp

t

La]

Pe|

ep

j

E F Da P tracciale perpendicolari alle rette dei lati del triangolo ABC.

A

a

E

O

a

RR e E

A

O

o

O

a

O

o a

N

a

a

OO D a

ao

N

RO apo a t

o

E

o

O

E

O

o

RE

O E

E

E

O AR Do

Disegna gli assi dei lati deii seguenti triangoli. vo

E

D L DL D L D L D L DEA DO DE UFO D I DDA DE E

UP PO D O

I

E

U A DUE E

A D A U A U P IPO OP D e DOP OPE DIA D E O O

A

E

>

am. Efo a

ESERC IZI

Let)

E

O

E

E

AR

OR A

E i

DO O

o

a

A

O

a

ao

O

a

A

O

AO O

o

RO DO O

o

o

o

E

E

e

RO Do

o a

O

e

E

Ea E at a e e a e a

i

a

Traccia le proiezioni ortogonali dei punti A e B e dei segmenti DC

ed EF sulla retta r. Indica poi i segmenti che rappresentano le distanze di A da r e di B dar. A DA I

DA D E OP DOP OP CA DO COR PO OP CUP DO

A DO

E

OO OP U E DA O DOO U P DO DA O D A DOP OOO U P DO O A DOP D A OP OOO O P OO DA OO D A DOP OOO D O O

A 0

OA DOP OO DOP D A O DO

a

4

questi diversi casi: AB interseca r; AB ha u n estremo su 7; AB è su una retta perpendicolare a 7.

SPA

A che cosa corrisponde la proiezione di un segmento sul proprio asse?

Dimostrazioni

|

FONDAMENTALI Dimostrare con le rette perpendicolari

Sull’asse r del seginento PO, dalla stessaparte rispetto a PQ, consideriamo due punti A e B. Dimostriamo che PAB = BAQ.

G99

CAPITOLO G 3 A

e

Dr

e

a

e

Su u l

R P DE R e R I OP

I

RP

I

e

OR SO SODI N

n

LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI O

EP Se

O

e

SUP D A DO D I

O

I

Se OP

O

OP PO SUE O

OR S O I O SOT e p OP OE SOA r e AO

O

e

O

R I SOI NA

O

S P D e ROD OP SUA O T O O R P I O

e

OO NOP I O OP I O

Re Se

O

B BAQ PA=

Tesi

e PQ; Ipotesi 1. r a s sdi 2. A, Ber.

e

e ee ue uo

o ere mole mole l e

n

me

n o

e

e

ole u e mole O

' ib

|

e

e

|

Dimostrazione

Chiamiamo M il punto di intersezione di r e PO. I triangoli APM e AMO hanno: * PM MQ perché r è l’asse di PQ, quindi lo incontra nel punto medioM ;

=

e PMA =

+

Ji

pr“

!

AMO perché angoli retti formati dall’asse r e PQ;

e A M in comune.

Sepore che ura ruttar è avne di un segrnento

Dunque i triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. In particolare PA = AQ.

Fd fornisce due ipotesi:

In modo analogo dimostriamo che i triangoli BPMeBMQ sono congruenti.

“7

è perpendicolare

In particolare PS = 8Q. I triangoli PAB e BAQ hanno: *

PA = AQ per la dimostrazione precedente;

PB = BQ per la dimostrazione precedente; e AB in comune. #

ESERCIZI

Dunque sono congruenti per il terzo criterio di congruenza. e

up ue

e

cur

A

o uu

e

la

ole one lune ale mule l a

elle lee u l

ola allen c o are ode ale lle ale mo alle dle ale l e ole dae ale dae r e mne m l lle d o a e

P R O VTU. A Svolgi un esercizio

e alare l e alare n a alle mne ale aloe affe

oe a e

nlle e

o nie a

a

ale

e

ale

e

a oo

a

e

a

E

o Do

e

e

aa oe

i

DO

o e

ae

E

e ae De a

simile interattivo per vedere sa hal capito.

Dimostra che, se in u n triangolo la bisettrice di u n angolo interno è perpendicolare al lato opposto, allora

°°

il triangolo è isoscele. Dato il triangolo isoscele ABC, per gli estremi della base AB traccia due rette che si incontrano nel punto D e che formano angoli congruenti con i lati A C e CB. Dimostra che C D è perpendicolare a d AB. E OA

Disegna un angolo AOS8 e la sua bisettrice f. Da un punto P appartenente a t,

conduci una retta a essa perpendicolare, che incontra i lati dell'angolo nei punti C e D. Verifica con Geo-

Gebra che P è il punto medio di CD e poi dimostralo. E CA

Disegna due triangoli isosceli, ABC € ABD, con la base AB in comune e i ver-

tici C e D dalla stessa parte rispetto ad AB. Verifica con GeoGebra che la retta CD è l’asse di AB e poi dimostralo.

ACCRESCI L E COMPETENZE Dimostrare che due rette sono perpendicolari Dimostriamo che le bisettrici di due angoli adiacenti sono tra loro perpendicolari. n

a

o

n

E

n

n

n

nn

nn

na

En

n

n

n

a

Enna

n

a

n

n

an

a

e Scriviamo ipotesi e tesi e disegniamo la figura. Ipotesi

AOC, COB adiacenti; OP bisettrice di A O C; OQ bisettrice di COBB.

Tesi

G100

OP 1

cQ

l'Provarela 2 Àlparallelismo tra rette squivala a

tra

a

a

a

n

a

a

a

n

a

a

n

n

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E

a

a

n

a

n

o

a

a

a

a

a

a

a

n

E

a

ue

o m e u o u r molo v u vue

2 e L e rette parallele n mln r e molla alle o e ala c e n o une ola a e mie a

n nol n l

me m l

l e are n l

m l c n ala mln e

ele e

a e ce

andre cene n e o e

me a o

e ae

e

re

e nre o

nl

a n nolo alle D e E

o

ale olo ale a l

a

ale cia ala n l

m r ole ala l a

me come v e vie lle vue u a

e D i m o s t r i a che m o POQ = +

O

PO D e SUP P A OO

VOI

O

e

O

De

O

O

o

OR

I

SO

e AO O I

I

Pe DO

A

SE

E

Mu v u

la congruenza ir o segmenti p

Scriviamo una catena di congruenze che inizia con POQ e

termina con L A giustificando ogni passaggio.

I

OP e OQ bisettrici di AOC e COR

somma di angoli consecutivi

Fan

Pan

POÒQ= POÒC+ COQ = 1 AGC+ 1 CO = -1(AOC+ COB) = 5AOB = 5 Le

et

somma di angoli consecutivi

EI CA "°° a

i

multiplo di u n angolo

AOB = *

Utilizzando le informazioni in figura, dimostra che

Beche le loro bisettrici sono perpendicolari.

a. Formano quattro angoli interni e quattro esterni.

b. Due angoli corrispondenti sono entrambi esterni o interni.

Z

Se

c. Due angoli coniugati sono dalla stessa parte della trasversale.

d. Due angoli alterni sono da parti opposte della trasversale.

COMPLETA

indicando per ogni figura d i quale coppia d i angoli si tratta.

|

PD Il criterio di parallelismo E

|

Attività interattiva

rette sono parallele e qual è la trasversale consi-

“°°

building a bench for her back yard. She has cut

derata se:

one end of the legs at

a. ACB = CBD;

anangiecale houla A t what angle sho

pe;

b. D C B supple-

mentare di CHE: ’

c. CBA pi = DEB; d. CDB = DBE.

> Teoria a pagina 679

YOU A MATHS A carpenter’s work Frances is

Riferendoti alla figura, indica quali coppie di °°°

"|

Le seguenti proposizioni si riferiscono a due rette tagliate da u n a trasversale.

[n

VERO O FALSO?

gue

n]

E

|a

> Teoria a pagina 679

Rette tagliate d a u n a trasversale

ij

she cut the other end

to be sure that the top of the bench is parallel] t o the ground?

G101

ESERC IZI

L e rette parallele e l s e Le)

alle u r allo u r

n

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI A

Dr

e

R P OA DO PRA e D e D e

e

A

Sue u o u e u n alle m e doo r n r n

ue

e

e ome u e

e

ml

n

u n l e m e ole n l

me ole

or

e

nr ml o

e

o

ue

me n

e ae

e

e

re

ue

r e lee S o

A

e

O

a

So u e

e emo u e o e due e

o

e le

ale mln a

l e ale e e l r

al

allo a o o

ole

e ale ala nolo e ale alal mole alle mme alare r m lane m e

Dimostrazioni

FONDAMENTALI Applicare il criterio di parallelismo Dato il triangolo ABC, prolunghiamo la mediana A M di u n segmento M D congruente ad A M . Dimostriamo che la retta D B è parallela ad AC e la retta CD è parallela ad AB.

|

Ipotesi 1. ABC triangolo qualunque; 2. A M mediana relativa a BC: 3. M D

È

D

= AM.

1. DE 7 AC, 2. CD 7 AB.

Tesi

A

Dimostrazione @

Dimostriamo che i triangoli ACM e BMD sono congruenti. Essi hanno: - C M= MB, perché M è punto medio di BC: - A M = M D),, per ipotesi; - AMC = BMD , perché opposti al vertice.

ESERCIZI

Quindii triangoli ACM e BMD sono congruenti, per il primo criterio di congruenza dei triangoli. peratielismo best Per applicareIl criterio di e Deduciamo la congruenza di due angoli. duare una sola coppia di angoli alterni o corrisponIn particolarei triangoli hanno C A M= BDM. ® Dimostriamoche le rette BD e AC sono parallele. denti congruanti o coniugatisupplementari. Gli angoli C A M e B D M sono alterni interni delle rette A C e BD, tagliate dalla trasversale A D e sono congruenti, quindi le rette B D e AC sono parallele, per il criterio di parallelismo. a Dimostriamo in modo analogo la tesi 2.

I triangoli ARM e DCM sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli, quindi risulta CD #7 AB, sempre per il criterio di parallelismo. a

E.

O DL DA

DL

O

DO

o SO o

A DO

O

O

I

O

O

o

O

o

O

O

O

DO

O

SUO O

O

Do

O DO D S D S D O

O

O

O

O

Do

O

O

DOS D a

O

SO

O

O

DO

O

DO

O

D O O A OO

O

O

DO

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OO ON

O

OO

O

O

DO

o DO DN DO

o DO

O

DO

O

DO a

DO

O

o DO Sua o . a o mu alma a i o

P R OTU. V ASvolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito. Dato il triangolo acutangolo ABC, nel semipiano individuato da AB che non contiene C, traccia il segmentoA D congruente a B C i n modo che abbia in comune con il triangolo soltanto A e che

Bu

D A B = CBA. Dimostra che la retta B D è parallela alla retta A C .

°°

In un triangolo isoscele ABC di base AB, dal vertice A, nel semipiano individuato dalla retta AB e che non contiene il triangolo, traccia una semiretta che formi con AB un angolo congruente all'angolo interno di vertice A. Dimostra che la semiretta è parallela a CB.

Dimostra che la bisettrice dell'angolo esterno al vertice di un triangolo isoscele è parallela alla base del triangolo. (sucgerimentOo Considera l'altezza relativa alla base del triangolo.) E

OA

Sulla bisettrice dell'angolo X O Y considera u n punto A e su OY u n punto B

che O B = BA.

"tale

a. Verifica con GeoGebra che BA / OX e poi dimostralo.

b. ‘Traccia da B la perpendicolare a OA che incontra OX in C e dimostra che OB / AC, poi fai la verifica corn GeoGebra.

OB L a parallela per u n punto a una retta Li

de)

> Teoria a pagina 680

Considera tre rette con direzioni diverse e u n punto P esterno a ognuna di esse. Disegna con riga e compasso le rette passanti per P e parallele alle rette che hai tracciato.

G102

ml

une u e u e m l v u vue

2 e L e rette parallele n mr ro

n e rue rallo mme o

rue s u pla

e So

e

o

u e u e sure S o cune malo ene.lee e e m e o m l

e a e m l mine

ee

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le ne ae ae

me are mne m l

mln nolo m l

l e are nello onde e

are see m l

ume n l

me mele ale

nl

o r ole n a

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me aloe come a e

le

m l clelia

ie

e

e

O

OP

e

O

Pa oe

e rue u e m o ale mln aller mule m r vmle mulo mme ama u e

e E u Ru v u

in ogni figura traccia le parallele ad AC © ad AB passantiper P.

A Li i)

e

C

p

/

Ro

D

US

Cc

A

B

A

B

A

p

EB

L’inverso del criterio d i parallelismo [ $ Wal

Nella figura, che rappresenta due rette parallele tagliate da una trasversale, scrivi i numeri relativi a tutti gli angoli congruenti all'angolo da.

> Teoria a pagina 682

Attività interattiva

Nella figura, che rappresenta due rette parallele tagliate da una trasversale, scrivi i numeri relativi

“°°

a tutti gli angoli supplementari dell'angolo B.

Le figure rappresentano due rette parallele tagliate da due trasversali; esprimi ciascun angolo, indicato c o n i l relativo numero, come frazione dall'angolo piatto n . Lin

Lit]

Dimostrazioni

Due rette parallele formano con una trasversale

Due rette parallele formano con una trasversale

“°° angoli alterni interni congruenti. Dimostra che

°°° angoli alterni interni congruenti. Dimostra che

gli angoli corrispondenti sono congruenti.

gli angoli alterni esterni sono anch'essi congruenti.

i

|

FONDAMENTALI Applicare l’inverso del criterio di parallelismo

q

Consideriamo le rette parallele a e b. Sulle due rette scegliamo due segmenti congruenti AB e CD, AB su a e CD su b. Dimostriamo che i segmenti AC e B D sono congruenti. E

PE S E D E E < P SP < P S e o

Ipotesi

o

P E PE

1.27

o

PE o i

PE

e UU SPE DPI D U

E

Tesi

O

DD

Pe DD DD

e DD SU D E O

=

A C= BD. |

CO O o Pe O

DD D O

O

e

O

SU DD O

O

SU D D

P I P E PE I U

o

oe UN

e

I

I

co

o DE I e

ce

oe Pe a ci

a ci

E

P E AR i

Ea

e

E

PE

E

E

E

PE A

E

B

A

2. AB = CD. |

Pe O

WE

; E

i |

è

Li tesi supperiece di tracciare BC ed considerare i iriengoli ABC @ SCO.

b G103

ESERC IZI

alle u r allo u r u l

A

Dr

e

R P OA DO SOA De D e

ge

e

MOI r e I D O P

E

DR SUP SODI O

PP oe RT

I

E

SO OOO SOA O I OO

E

o e OT

O

OP PO SOA O

OR S O O I SOT OO OP OE SOA O P O O OO

Doe e

O

O

D e OO O A O O R P o e

O

SOA OP

O

OOO OO

O

O

O A OO OA

O

A

A

e Dimostriamo che i triangoli ABC e BCD sono congruenti.

O P SO

Pe ue

O

è

o

o ere mole ome l e o n

n ru

ml

e

ole e mole O

e

e

e

ue

6

Essi hanno:

— AB = CD per ipotesi;

i

a

— BC in comune;

b

ù

C

— ABC = BCD perché angoli alterni interni delle rette parallele a e b tagliate dalla trasversale BC. Quindi, i due triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza. Deduciamo la congruenza d i due segmenti.

*

In particolare, i triangoli hanno: AC = BD. o

n

a

DL a DL o

O

E

SA a

E

O

E

a

a

O

E

O

o

E

o

O

a

DO a DA o SO o DA o SO a

F R O VTU. A Svolgi un esercizio

E

a

O

a

O

a

O

a

A

Da

O

O

O

A

DA o DO O

#0

tali che CA = 5 D . Congiungi C con D e

ESERCIZI

chiama O il punto di intersezione fra CD e AB. Dimostra che O è il punto medio di AB e di CD. Date due rette parallele tagliate da una trasver-

LA)

O

O

DO O

Do O

O

O

SUO O

o

O

O

O

o

O

a

DOO o DO O

DO a

o

O

SU

O

a

DO SO e o

golo A e fissa su di essa un punto P. Per P conduci la parallela al lato AC che interseca AB o il suo prolungamento in Q. Dimostra che il triangolo APQ è isoscele.

sti individuati dalla retta AB considera due pun-

Oo

OO O

Nel triangolo ABC traccia la bisettrice dell’an-

Dagli estremi di u n segmento A B traccia due

CeD

o

simile interattivo per vedere se hai capito.

rette parallele. Su tali rette e nei semipiani oppoti

O

E

O

Angoli congruenti Nella figura

PA #// QB. Se C è u n punto della regione di pia-

sale e tracciate le bisettrici di due angoli alterni

n o delimitata dalle due parallele e d a AB, dimo-

interni, dimostra che queste sono parallele.

stra che A C B = PAC 4 QBC.

Disegna u n triangolo isoscele ABC e poi traccia una retta parallela alla base AB, che incontra i lati obliqui nei punti E e F. Dimostra che: a. il triangolo CEF è isoscele; b. l'altezza del triangolo ABC rispetto alla base AB e l’altezza del triangolo CEF rispetto alla base EF appartengono alla stessa retta.

La

A

Cc o

k

B t

ca

Siano «Ob e due angoli tali che a è parallela a c e b parallela

COCA

D a ogni vertice del triangolo ABC traccia la ret-

i

al lato opposto. Dimostra che i tre che s i formano sono congruenti al triangolo ABC,

a d. Dimostra che anche le loro bisettrici sono parallele, aiutandoti con una figura dinamica.

ta parallela

triangoli

Proprietà geometriche e misure

A puo

Determina le misure delle ampiezze degli angoli formati dalle rette parallele a e b con

la trasversale #.

124”

76”

G104

o m e u o u r molo v u vue

2 e L e rette parallele n alle o r allo u r mule u r r m u e vue u l

uma a

re n

pla

e SO

e

a

re

e

ue uu ue ml

ne

oe

ene m e

e

me n

ume ade o r

e

n

ue

me

ne l e

ee ole are m l

m l mln l o

mme l e almeno m l n

ne

A Nella figura tre matite sono parallele. Determina le ampiezze di tutti gli angoli indicati utilizzando le informazioni for-

a

e

e

o

me O

O P SONO O

OP

O

Pe

o

ue

e

u e mole SO

O

OO P O S e OO SO AOP OA OO

A

S e OO

A

O

P A AO OA

O

SN

E

OOO

O

OP

O

RP e

O

S e Su

EA Trova le ampiezze di tutti gli angoli della figura. è

nite.

afb 145°

=

a-p=12° _3

x b

do cheil triangolo ABC è isoscele e che la ret-

B=i"

ta a è parallela al

alb

lato AB.

[276°]

B

Pe|

=

Determ ina le misure degli angoli indicati con il punto interrogativo, sapen-

at

Cc

sa

FAI IL PUNTO SULLE COMPETENZE L e rette perpendicolari e parallele

GUARDA! Fal questi esercizi anche su ZTE

VERO O FALSO? 99

a. b. c. d. €.

Dati u n punto P e una retta r, esiste sempre almeno una retta passante per Pe perpendicolarear. [v] La proiezione ortogonale di u n segmento su una retta r è sempre minore del segmento dato. | vj] La proiezione ortogonale di u n punto su una retta è u n punto. vi] La distanza di u n punto da una retta è u n segmento, vi] Per un punto del piano appartenente a una retta r passano infinite rette perpendicolari a r. vi]

[F

LF LF \F

LF

Dimostra che, se il quadrilatero ABCD è tale che il vertice A coincide con il punto di intersezione degli assi dei lati BC e CD, allora ABD = ADB. VERÒ O FALSO?

a. Se due rette formano con una terza retta angoli coniugati interni supplementari,

allora sono parallele.

v] E

b. Se due rette formano con una terza retta angoli coniugati interni congruenti,

allora sono parallele. €.

LF

vj]

LF

Se due rette formano con una terza retta incidente angoli alterni esterni congruenti,

allora sono parallele. seu

vj

Dal punto medio M di un segmento PQ traccia una retta r, distinta da PO, Fissa su r, da parti opposte rispetto aM , due punti S e 7 tali che M S = MT. Dimostra che la retta P Tè parallela alla retta QS.

Due rette parallele formano con una trasversale angoli alterni interni congruenti. Dimostra che sono supLIT

plementari:

a. gli angoli coniugati interni;

b. gli angoli coniugati esterni.

D

G105

ESERCIZI

9a

o le inforx lcon Troval ' a n g o A mazioni indicate.

n

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI A

R P SO R P OA VO SOA e DO D e

E

O

O

O

a a u e u o mole O

SOA O

O

PP

O

e S e A P OOO SO OO OOO DOP D e

O

O

OP GP OE

O

OR VON O A OT U O R P

E

OA RP I O

e

u a spo u e u e dae o e SOA O O OP e

O

SOA O P

A

OOO OOO e

O E O A PO O O S e

o

u e une e e u e mole l e

mme aloe o l

ndr ale are min ome n l

m l ome e mole e vue n

ae ue

Da un p u n tDodel l a t oAC del triangolo ABC traccia le parallele ai lati CB e AB che intersecano i lati AB e CB, rispettivamente nei punti E e F. Dimostra che D E B = DFB.

4

DE D L

A

DE

D O DE D O D A D E E

E

DO o

A

ER

DA OP OPA DO D o D O UO D A

IPA DO D A DO c o DO URI D A D e

o D A UO DE D o U A DO DA OP UP DO DO

O

DA DD D A o

DD

DE DO DD E A I

Do

D O DO

A

PD

UU OO O A UU OA U P O UU DU

A UU DDA O

e UU DO O

DI

A POE OOO D E D A OP O

UA SU OO DO D A E D E

Trova le misure delle ampiezze degli angoli indicati in rosso sapendo che a / b.

O

Nella figura, la retta | è parallela alla

I due angoli a e B sono coniugati interni forma“°° ti da due rette parallele tagliate da una trasversale. Sapendo che l’ampiezza d i a supera d i 40°

55°.Quanretta rm.La misura dell'angoloD AèC to misura la somma degli angoli: x + y ? el

55° 110°

e]

125°

Dj]

135°

ESERCIZI

Al

l

i 2 dell’ampiezza di PB, determina le ampiezze di a e f.

DI

À

x 95°

m

B

C

L e proprietà degli angoli dei poligoni > Teoria a pagina 684

l l teorema dell’angolo esterno d i u n triangolo COMPLETA LO SVOLGIMENTO 20

Nel triangolo isoscele ABC prolunga la base

C

A B di u n segmento B E = AC. Dimostra che l’angolo ABC è doppio di BEC. o

n

dn la clero

Ipotesi

o

O

OO o

e

e

o

e

E

o

o

e

o

o

o

o

e ale ame c e doo ame alle a

1. ABC triangolo| 2. BE prolungamento di

a

o

a

b

e

a

a aa

ee

e

e

e

a

a

o

a

o ao

le ce

o

m e dee lee

e

i n a o ila m o

|__]=2BEC

Tesi

.

|__|} A

3.|__]= AC.

B

E

Dimostrazione e Dimostriamo che il triangolo BEC è isoscele.

BE = AC perl’ipotesi ___| AC = BC perchélati congruenti del triangolo]| quindi per la proprie-

tà |

| BE = | ___|eil triangolo BEC è|

I

* Deduciamo la congruenza degli angoli. In particolare gli angoli RÉECe|__| sono congruenti perché angoli alla _ | __|di u n triangolo[ } e Dimostriamo la tesi. L’angolo ABC è u n angolo} | del triangolo EBC, quindi per il teorema dell’angolo esterno di u n triangolo: ABC = BEC + L _ t Essendo B E C= |___ |si ha: A B C =2|__|

°°

Disegna un triangolo isoscele ABC e prolunga la base AB di un segmento B E= BC. Congiungi E con C e prolunga tale segmento di un segmento CF scelto a piacere. Dimostra che l’angolo ACFè il triplo dell’angolo AEC.

G106

ml

u e u e u e mole v u u e

3 e L e proprietà degli angoli dei poligoni n EF

Disegna u n triangolo isosceleABC di base A Bi n modo che l'angolo A sia doppio dell'angolo al vertice È . La bisettrice AD dell'angolo A divide il triangolo datoi n due triangoli, ADC e ABD. Dimostra chei due triangoli sono isosceli.

La somma degli angoli interni di u n triangolo $

Attività interattiva

> leoria a pagina G84

FONDAMENTALI Applicare il teorema della somma degli angoli interni di u n triangolo Disegniamo u n triangolo acutangolo ABC e tracciamo le rette r e s perpendicolari ad AB, passanti rispettivamente per A e per PB.

|

a. Dimostriamo che +75.

b. Chiamati a l’angolo formato da r con CA e B l'angolo formato da s con CB, dimostriamo c h el'angolo È è congruente alla somma di a e B. Ipotesi

1.7 L AR,

Tesi 1 , 7 /

2 . 5 1 AB.

5;

2 . C= a + B.

Dimostrazione e Dimostriamo ilparallelismo delle due rette. Le rette r

€ $

sono entrambe perpendicolari ad AB, quindi sono

®

ESERC IZI

parallele, perché sappiamo che se due rette sono perpendicolari a una stessa retta allora sono parallele. Scriviamo due relazioni sull'angolo piatto. a e l'angolo CAB sono complementari, B e l’angolo CBA sono complementari, quindi:a

+B+

CAB+

= 7. CHA

D'altra parte: ACBR + CAR + C B A= a, perché somma degli angoli interni del triangolo ABC, e Dimostriamao la tesi 2.

Confrontando le due relazioni, ricaviamo che: ACB = a + p. E e

e De a

e E a

e Ea

e LE

a ar E e Lo E e en

e Tora

e capito. [ E PROVA TU. Svoigi un esercizio simile interattivo per v e d eserhai Disegna u n triangolo acutangolo ABC. Dimostra che la somma dei complementari degli angoli interni A ,

È e È è un angolo retto. Sia ABC un triangolo isoscele di vertice A. Prolunga il lato AB di un segmento E OA AP = AB. Muovi gli elementi liberi e verifica che la retta PC è sempre perpendicolare a BC.

Nel triangolo isoscele ABC, di base BC, disegna l'altezza B H relativa al lato obliquo AC. Dimostra che B A C= 2HBC. Applicazioni delle proprietà angolari dei triangoli rettangoli Li

È dato u n triangolo rettangolo con u n angolo acuto doppio dell'altro. Dimostra che l’ipotenusa è doppia del cateto minore.

Disegna un triangolo A B Ci n modo che l'angolo À sia congruente alla somma degli altri due angoli È e C. LA

Dimostra che il triangoloè rettangolo i n À .

Nel triangolo rettangolo ABC di ipotenusa AB, l’altezza CH relativa ad AB divide ABC in due triangoli rettangoli ACH e CHB. Dimostra che tali triangoli hanno gli angoli congruenti a quelli di ABC.

G107

n

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI A

Dr

e

R P P A SO SUA e D e Dgr D e N I NOP R I R P e

OR SONE SOA O

RP Se

I

O

e SOT OOO SOA O

O

e m e m e u o e e ole c n

e ur

ml

e

e um u e

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e

e

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ue

re le

n

e ue ae le re

e m e mole u e

e de

e

o

e le

ale mln a

line ale e e l r

al

allo a o o a ole

e ale ala nolo e ale alal nie ale mme alare r m lane m e

Proprietà geometriche e misure iI I N C A Li

Li ù La wo è

i :

Determina le misure delle ampiezze degli angoli indicati in rosso. uu

50 ii

?

'

'

90°

134°

!

2

145°

i I]

ib I] LI

E I] Hi a

a

o

a

Su E RO CO CO E

O

N

O

E

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E

O

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O

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DO O

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O

O

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O

A

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E

O

E

O

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O

O

O

O

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o

O

RD

O

SO N

N

O

OR O DR S S

Su mu um

i

75 2 '

#00

#0

#0

; i i

'

130°

!

ESERCIZI

EF E I I i LI I

COMPLETA

la seguente tabella.

angolo a

angolo Bf

22°

22°

rispetto agli angoli

angolo y

rispetto ai lati

equilatero

41°

ottusangolo

27°

rettangolo isoscele

124°

‘A

Determina l'ampiezza di a e B.

{56 evo

ix

ao»

TT

A L]

i] L]

|]

”

..B

I] Li

i] Li

i] LI

i i]

A ia

Find the measures Find the measures x and », in degrees,

knowing that E D / AB.

G108

isoscele

ml

ue ue ue ml vu ue

3 e L e proprietà degli angoli dei poligoni n alle ont allo u r mln u r culo n e mme u l

O

A

Pe

OA

O

OOO SOA R P O E PO O E DOT SOA OO P A OE

DE R P

O

A

SOT I

PO O E SOR S P ODIO O

O

OP S e O T O E R O ODA SUO D I

E

P e SO OO O I

O

O

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O

SOA OP OO O T

A

P P SOA O

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O

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O

OOO OO P P OO

O

De

O

SI

OE

I

O

e SOI e

O

SG a e D r

MATEMATICA PER L’AGENDA 2030 La geometria della bicicletta

gf e

Ogni volta che scegliamo di spostarci in bicicletta, anziché in automobile, evitiamo

2AGENDA 020

e

SO

re

O

re

e

e Sr

O

oe

o

ur Se

re

l’ernissione di sostanzeinquinanti nell’aria e contribuiamo alla lotta contro il cambiamento climatico.Il funzionamento della bicicletta si deve anche alla sua geometria. I

ATTIVITÀ L'angolo di sterzo In una bicicletta l’angolo di sterzo è l'angolo acuto che la forcella (AC in figura) forma con una retta A B parallela al terreno.

a. Trova l'ampiezza dell’angolo di sterzo della bicicletta in

figura, utilizzando le informazioni fornite,

ì

62°

b. Spiega perché l'angolo di sterzo si può misurare prolun-

gando il segmento che contiene la forcella e considerando

Ricostruisci lo schema geometrico di un modello di bicicletta reale o trovato sul Web. Stima le misure degli angoli e indicale sul disegno, assicurandoti di rispettare le proprietà geometriche che conosci. UN PASSO I N PIÙ

ESERC IZI

I

D

É

DB L a s o m m a degli angoli interni e d esterni d i u n poligono convesso * Teoria a pagina 685 e 6B7 VERO O FALSO? Lola)

a. La somma degli angoli interni di un pentagono convesso è 37.

v]

b . La somma degli angoli esterni di u n esagono è congruente a quattro angoli piatti. €.

vj

LF

lv]

fF

La somma degli angoli interni di u n poligono convesso di 7 lati è congruente a ( + — 1) volte la somma degli angoli esterni dello stesso poligono.

L N In u n quadrilatero LMNP, le bisettrici dei due angoli adiacenti LMN e MNP si intersecanonel punto Q. °°

I

Dimostra che l'ampiezza di M O N è uguale alla semisomma delle ampiezze degli angoli L e P .

Trova il numero dei lati di un poligono regolare in cui ogni angolo interno misura 135°. sa

A

Determina l’angolo x.

gua

Xx

108

144° 607,

148°

In figura sono rappresentati un ottagono regolare e un triangolo equilatero aven9

ti u n lato in comune. Quanto misura l'angolo a?

Pe|

l’angolo A D E che tale prolungamento forma con il terreno.

y:

G109

I

SO RO SO NOA O A De D e

O

1

ge

e NA OP So R P

OR SON O A

I

O

OO P P

A

O

OP S e AOP OOO SO

A

e me ue

O

o

une ale o e

O

O

VON

A

OO

I

e OE OA

O

IA

PO e

e

o e u e l e SO P A o e

O

O

So u e

e u o u e o e due e

o

e

e ala

A

O

CONA e

e

O

OA

O

ue me e

OO OO PN o o

e oe

e u e mole O

e

e

e

Determina le misure degli angoliindicati.

[ x = 60%; y = 50°]

#0

Trova le ampiezze degli angoli interni a, B, y , È di un quadrilatero, utilizzando i dati forniti.

Dj

2

=P:

d=>B.

[70°; 140°; 90°; 60°]

è=27-70°,

(82°; 102°; 82°; 94°]

B+1=230%

y=a;

B=a+20%

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE Le proprietà degli angoli dei poligoni i

i

i

i

i

GUARDA! Fai quesi questi i esercizi esercizi

i

ESERCIZI

A Osserva la figura, in cui AD è parallelo a EC. L’angolo x è uguale a:

B|

a+B. 2B- ca.

e]

180° — a .

D|

180° — B.

Al

°°°

C '

In u n triangolo ABC un angolo esterno è congruente alla somma dell'angolo interno a esso adiacente con u n o degli altri due angoli interni, Dimostra che il triangolo è isoscele, Determina le misure delle ampiezze degli angoli indicati in rosso.

E

LI

3

e

Del

E

E

a i lle me ER l e

E

DE c e

O

ale AR OO c i o

A

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E

mel ER E

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o

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E

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e

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E

lee E

E

E

E

RR o TO a

E

e

o o E

O

a

E

Marco mandala pallinain buca dopo benquatOA E ° ° tro rimbalzi sulle sponde del tavolo da biliardo in figura. Quali sono le misure degli angoli a, P e 7?

L'ultimo tratto D O percorso dalla pallina è parallelo alla direzione della stecca? Motiva l a risposta.

G110

SER A

O E

O

e PO AR e Oo E

Re e E a

E

E

SG SRO e O A o A

e

e

e Ao o

e O a t PE

E

a

E

Re

e

o

u e u o u e mole v u vue

4

e |

criteri d i congruenza dei triangoli rettangoli n

A

I n natura alcuni fiori hanno approssimativamenteil profilo di un pentagono regolare, come quello in figura. Trova le ampiezze di a, B, 7.

°°

A

Nell’esagono regolare della fi-

gura, che rappresenta la pianta dell’abitato storico di Grammichele, in Sicilia, trova le ampiezze di a, B, Y, È, © .

\Levd retta

” Teoria a pagina 6687

Attività interattiva

ngoli

VERO © FALSO? 0g

a. Affinché due triangoli rettangoli siano congruenti, devono avere almeno u n lato congruente. [v]

[F

b. Due triangoli rettangoli aventi u n cateto in comune sono congruenti.

v]

[e

v]

Fr

€.

Due triangoli rettangoli e isosceli aventi le ipotenuse congruenti sono congruenti.

Dimostrazioni EX

Indica per ciascuno dei seguenti casi quale criterio di congruenza dei triangoli rettangoli permette di stabilire la congruenza dei due triangoli disegnati.

LB

In u n triangolo ottusangolo ABC, con angolo ottuso di vertice A, prolunga l'altezza CH relativa al lato AB di un segmento H D congruente a CH. Dimostra che i triangoli ABC e ABD sono congruenti,

E

ila

*"°

Dimostra che in ogni triangolo isoscele il punto medio della base ha la stessa distanza dai lati obliqui.

=]

|a

LA i

Lt

8

°° 48 Li

Utilizzando un opportuno criterio di congruenza dei triangoli rettangoli dimostra che in un triangolo isoscele l'altezza relativa alla base è anche mediana e bisettrice.

Dimostra che, se due triangoli rettangoli hanno un cateto e la mediana relativa all’altro cateto ordinatamente congruenti, allora sono congruenti. Dimostra che due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno congruenti: a.

LI

ti

l'altezza relativa all’ipotenusa e la bisettrice dell’angolo retto; è

+

&

*

b. u n cateto e la bisettrice dell’angolo acuto adiacente. ER 282

Per il punto medio M del segmento AB traccia una retta r qualunque. Proietta gli estremi del segmento sulla retta r e indica con C la proiezione di A , con E la proiezione di 8. Dimostra che A C = BE.

G111

Pe|

criteri d i congruenza dei triangoli

ESERC IZI

|

‘BB

n

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI I

rn

e

e

a

Su n l

e D e De R P

A

S e u o u e u a mole O

OA

O

O

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O

r e ole S P V A SO

A

OOO D e D e

O

I

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N

OR VON O A OT U O R P

E

OA RP I O RO

a

apre u e u e l e

o e SOA O O

O

e

O

SOA O P

O

OOO P e O E

O

O A OO A A

O

A

o e Sue a e m e une m o o u r

ll

alle ale o l

e omo male m e

me m e

male o

ue n

a e u e ume u e u e u e mole v u u e

Sui lati dell'angolo convesso 4Ob scegli due segmenti congruenti OA e OB. Traccia per i punti A e 3 le rette perpendicolari ai lati a cui appartengono. Tali rette si incontrano nel punto E. Dimostra che il punto E appartiene alla bisettrice dell'angolo di partenza.

Disegna u n triangolo ABC e la mediana CM, prolungata oltre la base AB. Conduci dal vertice A il segment o A F e dal vertice B il segmento BE, entrambi perpendicolari a C M . Dimostra che A F = BE. In u n triangolo isoscele le altezze relative ai lati obliqui si incontrano in un E CA punto che appartiene all’asse della base. Verificalo con GeoGebra e poi dimostralo.

=

Dal vertice A del triangolo rettangolo ABC traccia la mediana A M e l'altezza A H relative all’ipotenusa BC. Dimostra che la bisettrice dell'angolo M A H è anche bisettrice dell’angolo retto.

E T Considera le rette a e b incidenti nel punto O. Fissa su a, da parti opposte rispetto a O, due punti, A e B, e **" indica rispettivamente con C e D le loro proiezioni sulla retta b. Dimostra che, se AO = OB, allora i triangoli ACO e BDO sono congruenti.

Riepilogo: L e rette perpendicolari e parallele TEST Osserva la figura.

N o

TEST Una delle seguenti proposizioni è falsa.

Se la retta r è la parallela allato AB condotta per il vertice C, allora:

WI

aj

ò

= a+B.

“°° Quale? Due triangoli rettangoli sono congruenti se hanno rispettivamente congruenti:

i

A]

l’ipotenusa e u n cateto.

B)

l’ipotenusa e l'angolo retto.

È +1=7x.

Cc]

un c a t eet o un angolo acuto.

= PB.

Dj]

l’ipotenusa e u n angolo acuto,

W

i sj

cc] Dj

EF

ò=0Q.

è

an

A Qual è la somma degli angoli a, b. c. di, e, f nella figura disegnata sotto?

#0

Lari)

Trova le ampiezze di tutti gli angoli della figura, i n c u ai Lcebld. =

:

A | U n angolo piatto, ossia 180°. B|

Tre angoli retti, ossia 270°,

€|

Due angoli piatti, ossia 360°.

a

c

D | Cinque queangoli angretti, ossia 450°,

d e r lle

l o lle

°°°

EC ®52

n

r e lee e

n ale ale m l m l

me u r

cer mola dee e

nr nl

e

ue n

ue ue ue

e

mln

e a l e eee e a e dee m r o e

‘

4

o

lee

mo mole

e ner n

or

al

molo u l

l e mule m e molare mln

me alare l l

md molo o r d e n l

e

mo ala

nl

ome u e

ao

r e a e are mme l a mln r m

28°

e

e omo e e

o ee

me ame o e

Ii

le re

den ole a o lee n l

E

n

ml a

Dimostra che le bisettrici di due angoli coniugati interni, formati da due rette parallele con una trasversale, sono perpendicolari.

Disegna un triangolo isoscele ABC sulla base BC e sul lato AB segna un punto P. Traccia la retta passante per PF,parallela alla bisettrice dell'angolo ACB e indica con M e N le intersezioni di detta parallela con le rette dei lati AC e BC. Dimostra che CM = CN.

G112

5 e l l parallelogramma n In un triangolo ABC, rettangolo in A, tracciala

il lato BC è la bisettrice dell’angolo POD. Con le

bisettrice dell'angolo in C, cheintersecail cateto

informazioni indicate, determina le ampiezze di

AB nelpunto DI.Dal punto D conducila perpen-

ciascun angolo presente in figura.

dicolare D E all'ipotenusa BC. Dimostra che CD è perpendicolare ad AE.

E

[63°; 52°; ...]

D

_c

Ano

E

In u n triangolo ABC, isoscele sulla base BC, “traccia l'altezza AK e prolunga il lato AB dalla parte di A di un segmento AD = AC. Dimostra che l'altezza A H del triangolo ACD è parallela a BC e che il triangolo AHC è congruente al triangolo ABK.

|

128°

P

A

E

Calcola l'ampiezza degli

A |i )

E

angoli interni del pentagono convesso ABCDE i n figura.

Il quadrilatero A B C D h a tutti gli angoli e i lati

[110°; 110°; 90°; 70°; 160°] #BG

O

C

.

+

congruenti. Considera le informazioni i n figura. Qual è l'ampiezza dell'angolo x? [30°] D

G

C

Pe|

"2

Nella figura,la rettaED è parallela alla retta AB e

FE

Ho

B

ESERC IZI

x F

A

A e

die r e pere ame e mule. mole e ale

o alle alle a e a e l e

e mole aloe r e a

e

aloe amd l e ore mule mo o e

me e mule o o mule ale aloe ile

e a e ale n l v e ale a o alle dae gine e u o a e

ole ome l o aule g e

o

e

e De Ue

O

e dle o e

e

Re

e

E e

e Se

e

u e o e aloe g e DO Oa

a) e

ge

e

e

gue u e l o

omologo

allo a u ale alle E

Nel triangolo acutangolo ABC considera un punto qualsiasi E della base AB. Sia M il punto medio di AE e sia N il punto medio di EB. Traccia per M e per N le perpendicolari al lato AB che incontrino rispettivamente le rette A C e CB nei punti R e 5. Dimostra che RES =

ACE.

A Sotto la torre La cima della torre in figura è Lo vista dal punto A sotto un angolo di ampiezza a ; dal punto Bla cima si vede sotto un angolo di ampiezza doppia. Dimostra che: a. il triangolo A B C è isoscele.

b. €.

sela misurad i a non è 0, CD è minore di

AB; du = 30° se e solo se BC è bisettrice dell'angolo ACD.

Il

parallelogramma

E

Attività interattiva

fr E

za OD

* Teoria a pagina 689

VERÒ © FALSO?

a. In u n parallelogramma le diagonali non sono mai perpendicolari.

v] Le]

b. U n parallelogramma è diviso da una sua diagonale in due triangoli congruenti.

v ] [F

€.

U n parallelogramma non può avere angoli retti.

d. U n parallelogramma ha gli angoli adiacenti allo stesso lato supplementari.

n

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI e

Dre e

u e Sua m r lee

e

e

A

e

O

Se uo

e

o ul

e

o

eu n

ue oo

re

me S e

OA SO

A

SO

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e

o

une ale o e

e

ue ue

o

u n u o lore l e n e

e

e

e

e

ue

ue

re le

e

e

e ae le re

e

e mole u e

e de

e

o

e le

ale mln a

line ale e e l r

al

allo a o o a ole

e ale ala nolo e ale alal nie ale mme alare r m lane m e

TEST Fai riferimento a l parallelogramma in figura.

'

95

Fra le seguenti congruenze solo una è vera, Quale?

:

A]

AB=AD

[©]

:

B|

A B = CD

o]

|

AB=BD

6.

A

A=D &

] 96 | Solo una delle seguenti congruen ze èfalsa. Quale?

'

&

8,

A.tB.= 1

a]

A=C

c]

|

B.=DB.

BD]

A+ C n

i

i

(EHM vERO o FALso? U n quadrilatero è u n parallelogramma se ha:

a. due coppie di angoli congruenti.

LF

b. una coppia di lati paralleli e congruenti. c. le diagonali congruenti,

vj]

LF

vj

LF

d. i lati opposti congruenti.

vj]

LF

E O

Cc.

Costruisci con riga e compasso il parallelogramma che ha AB come lato e C comepunto di intersezione delle diagonali.Poi ripeti la costruzione con GeoGebra e verificala,

ESERCIZI

vj]

A”

B

Dimostrazioni

I FONDAMENTALI Applicare le proprietà del parallelogramma È dato il parallelogramma ABCD, con le sue diagonali che sì intersecano in O. Scelti i punti È su OB e F su OD in modo che OE = OF, dirmostriamo che i triangoli ABE e DCF sono congruenti. a

up o

E

a

O

Ipotesi

O

DE RO DS DU ES O

O PO DR A

O

DO DOO OO DA DN OS DO DR O

DO DR DO NS DO DS

A

RO D D

O

O DO

O

O

DOS O

RO DO D O O OA O

DO

RO O

DO DOO O

RO D D

O

O

ODO D O P O OO

DO DR DO N

PO DU

DD

DA

O

O

O

O

DO O

e OO

PO SO a

1. ABCD parallelogramma;

i

-

2. 0 E = OF.

Tesi

O

A B E = DCF.

Dimostrazione

Dimostriamo la congruenza dei triangoli ABE e DCF. Essi hanno:

A

e

AB = DC, perché lati opposti di un parallelogramma;

.

ABE p a

terni tormati

'

individui

perché ango d a i

np

e AB tagliati dalla trasversale DB;

‘età d e l

Deraliai

B

i

in questo caso, oltre alta proprietà dei lati paralleli, usiamo quella riguardante l'uguaglianza dei lati opposti e quelle riguerdente le disgonali che si tagliano a matà.

e BE = DEF, perché differenze di segmenti congruenti (OB = OD, perché O è punto medio della diagonale BD del parallelogramma e OE = OF per l'ipotesi 2).

Pertanto i triangoli sono congruenti per il primo criterio di congruenza dei triangoli. A Svolgi un esercizio P R O VTU.

simile interattivo per vadere sa hai capito.

Nel parallelogramma ABCD traccia le perpen-

dicolari da A e da B alla retta CD e chiama

[1]

Disegna un parallelogramma ABCD e traccia le

“°° bisettrici degli angoli interni A e B. Esse sì

rispettivamente H e K i loro piedi. Dimostra che

incontrano in E. Dimostra che AÉB è u n ango-

i triangoli A H D e B K C sono congruenti.

lo retto.

G114

ml

ue ue ue ml vu ue

5 e l l parallelogramma n mln u r mule n e r e all

mme o

ue su

pla

e SO

e

O

e

u e u e u o u e mulo

A

I

PE RP

A

SO I O

O

OE

SN O A

A

O

O

PP oe

O

SO SOA OA S O POI

O

e De OT

A

O

PO SUE

O

SOA OP OO O T

A

P P SOA O A OP I O P P

O

OP SO

O

D A OO S P OO Roe D e

O

S A OE O I R O

e SO E P SO S I

O

OR

O

SO

e

O

OP o

e

e

e

ue

a E r me m r

I FONDAMENTALI Dimostrare che u n quadrilatero è u n parallelogramma e u n punto Q sulla retta s, con r / s. Per il punto medio M d i P Q conduciamo una retta { che interseca 7 e s, rispettivamente, in R e S. Dimostriamo che PRQS è un paral-

Scegliamo u n punto P

sulla retta r

lelogramma.

Ipotesi

1 . 7 75 2. PM MQ:

=

3.REtNT

4 .5 E t n s .

Tesi

PROQSparallelogramma.

Per dimostrare che unquedriiatero è u n

peralislogramma possiamo far vedere che è soddistatta una delle quattro condizioni

lelogramima.

sufficienti del paralistogrammi.

Pe|

Per costruzione, la diagonale SR taglia a metà la diagonale

PQ. Se dimostriamo che anchela diagonalePÒ taglia ametà la diagonale SA, possiamo concludere che PQRS è un paralDimostrazione I triangoli P M R e M Q

hanno:

* P M = M Q per ipotesi;

ESERC IZI

alle um allo u r

e RPM = MQS perché angoli alterni interni formati dalle rette parallele r e 5 tagliate da PQ; e

PMR = SMO perché angoli opposti al vertice.

Quindi i triangoli sono congruenti per il

secondo criterio. I n particolare: S M = MR.

Poiché P M = MQ e SM = MR, il quadrilatero PRQS ha le diagonali che si tagliano a metà, quindi è un

parallelogramma. ui

re a l m t d e e sere mo me DO E ciao mollo l e dare a r e e Dole E

E

RS

e

D o Date l e Da S e a l a l

oo l o DE o

D E ale lor d r DA DD O ciale A e

a

DR m l o l alone o

E

O ale D e

e e l e a ale fior olo dior l n

le

o

e e DE o

O alle A d e

O

a

DE DO O CR CO DE o l S r

O 0

DU: DE d A

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hail capito.

"22

Due rette parallele a e b intersecano la trasversale £, rispettivamente nei punti A e 8. Scegli sulle parallele, dalla stessa parte rispetto a 1, i segmenti congruenti AD e BC. Dimostra che il quadrilatero ABCD è un

parallelogramma.

99

Disegna u n triangolo A B Ce la mediana CM. Prolunga C M diu n segmento M E = CM. Dimostra che AEBC è un parallelogramma.

°°

Nel triangolo ABC, prolunga il lato AC di un segmento CE = ACe il lato BC di un segmento CF = BC. Dimostra che il quadrilatero ABEF è un parallelogramma.

1 0 4 Nel parallelogramma ARCO, sui lati opposti A D e BC scegli due segmenti congruenti AF e CE. Dimostra “9 che BEDF è un parallelogramma.

Nel parallelogramma ABCD prolunga, sempre nello stesso verso, ogni lato in modo da ottenere i segmen"ti

BM, CN,DE, AF congruenti fra loro. Dimostra che EFMN è un parallelogramma.

Nel parallelogramma ABCD segna quattro punti, uno su ogni lato, E, F. M , N in modo che risultino con*

gruentii segmenti AE, BF, CM, DN. Dimostra che EFMN è u n parallelogramma.

Nel triangolo isoscele ABC di base AB, prolunga il lato AC e considera sulla bisettrice dell’angolo esterno di

*"* vertice C un punto E tale che CE = AB, Dimostra che ABEC è un parallelogramma,

G115

n

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI A

Dr

e

R P Sua Su m l

e

e

De

e

O

Se uo

e

o alle e

oo

rn rm ue i

e ole o e

e

ml

e u n mln m e ode n l

me

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e

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e

o

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me o

e ae

e

e

re

ue

re le

n

e ue ae ne re

e m e mole u e

e de

e

o

e le

ale mln a

line ale e e l r

al

allo a o o a ole

e ale ala nolo e ale alal nie ale mme alare r m lane m e

Con le misure

E E ] Trova le ampiezze degli angoli del parallelogramma in figura. Lat)

[106°; 74°]

ABCO è un parallelogramma. Trova l'ampiezza dell'angolo x. jo

IA

e

Li le

o

i

Li

la)

> re

e

e

e DO

ESERCIZI

nuo

e DO

e

e

e

O

OO

e

O

e

e

O

e

O

e

e

ee Se

O

e

O

e Se

N

e

a

ha

L-]

Ma

= E Y

e È Ò

A

O

e Se

e

O

Se

e

e

O

Se

e

OO

e

O

ee

e

e

Calcola le ampiezze degli angoli interni di u n parallelogramma sapendo che due angoli consecutivi sono l’uno il doppio dell’altro.

COMPLETA LO SVOLGIMENTO

e

O

O

e Se

e Se

“°°

e

O

Se

e

e

e SO

e

O

oe

Se Se Se

O

oe

e

e SO

e Se

O

e

e

e OO

ee

O

Se

e Se Se Se

e

oe

e

oe

ge

ore are are m l

La somma di tre angoli interni consecutivi di u n parallelogramma è 230°. Calcola le ampiezze degli angoli interni del parallelogramma.

Il perimetro di un parallelogramma ABCD è 45 m. Trova le misure di due

lati consecutivi, sapendo che uno è i dell'altro.

Poniamo AB > BC. Scriviamo le relazioni fornite nel testo: AB + BC + CD + DA = 45:

RC=

FL}

Esprimiamo il perimetro in funzione di AH:

p=AB+BC+CD+ DA = 2 4 5 + 2 _ | = 2 2 1|as=205+| 5+2.| |ar=|_ |as. nei parallelkogranwkmni

i

lati opposti sono congruanti

Il perimetro è 45 m , quindi:

|_|ag=45 -

A5=45.|

|

— AB5=|_}

I lati consecutivi del parallelogramma misurano quindi 12 m e 10,5 m.

EEE U n lato di un parallelogramma è i z dell'altro. 4 ®%2

Sapendo che il perimetro è 90 cm, calcola le inisure dei lati. (35 cm; 10 cm]

G116

“°°

Calcola le misure dei lati di un parallelogramma sapendo che il perimetro è lungo 0,52 hm e che i lati differiscono d i 10 dmn. [13,5 m; 12,5 m]

ml

ue ue ue ml vu ue

6 e I l rettangolo n alle ome allo u r mule u r mule n e mme u l

O

A

Pe

OA

O

OP SOA R P O E RN O E DOT SOA OO D A DUE DO D E R P

A

SOT I

PP

O

SOR S P ODIO O

O

OP S e

O

SO SUO O

OOO D I I O R P SO OO

A

O

e oe

o vue une o

male mo u l

oe oe

e ml

e

e e e u e u e lle o e

A

A

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

E

e SODI e

O

SO u e D r

e

De

e

O

e

e

Su

e

0

ur Se ur

Fai questi esercizi anche su ZTE

vi

LF

b. A e D sono angoli congruenti.

vj

LF

v]|F

AB / DC e AB = DE.

d. la diagonale AC taglia a metà la diagonale AD.

*n2

a

VERO O FALSO? Il quadrilatero ABCD è u n parallelogramma se: a. B e sono angoli supplementari. €.

(E

por

GUARDA!

| parallelog rammi 1 °°

O O D e OP OA OT O I

vj]

LF

Nel parallelogramma ABCD indica con P il punto di incontro delle diagonali e traccia le bisettrici degli angoli DAP e BCP che intersecano la diagonale DB rispettivamente nei punti Q e R. Dimostra che ARCQ è un parallelogramma.

Due parallelogrammiABCD eDCEFhannoil lato CDin comune. Considerando i diversicasipossibili, dimo-

E

*°

stra che, congiungendo i vertici non comuni, evitando che risulti una figura intrecciata, si ottiene ancora un

(x è espresso incme x > 1 ) .

°°

D

A

4x+2

La differenza di duelati consecutivi di un parallelogramma èlunga 2 m. Calcolal’altezza del varallelo gran ma, sapendo che la proiezione del lato minore su quello maggiore è lunga 16 m e che il perimetro è lungo 84 m .

A

Nei seguenti parallelogrammi determina le ampiezze degli angoli indicati in rosso.

g

e

Il retta

ngolo

Attività interattiva

»* Teoria a pagina 690

a. Se u n quadrilatero ha due angoli retti, allora è u n rettangolo. b. U n quadrilatero che h a tre angoli retti è u n rettangolo. € . Se u n quadrilatero h a l e diagonali congruenti, allora è u n rettangolo,

d. Le diagonali di u n rettangolo n o n sono m a i perpendicolari, EI)

SoS (216 )

VERÒ 6 FALSO?

Quale fra le seguenti condizioni è sufficiente affinché un quadrilatero sia un rettangolo?

A

L_1+T2)

A| B

I lati opposti siano congruenti e un angolo sia retto.

| Le diagonali si dividano a metà.

RIE] A O

°°

|©

|] I lati opposti siano paralleli.

D

| Le diagonali siano congruenti eun angolo siaretto,

Paolo: «Se h o u n quadrilatero PQORS tale che P Q è congruente a RS e SQ è congruente a RP,

che cosa posso aggiungere per essere sicuro che sia un rettangolo?».Pietro: «SP è congruente aRQ!». Majida: «PQ è parallelo a RS!». Chi ha ragione? Motiva la risposta.

[entrambi]

G117

ESERC IZI

Osserva la figura e calcola il perimetro del parallelogramma

mm OA

Pe|

parallelogramma.

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI A

e

e De De

GEA u e u u u r mu u e

e dono m e

e

e

o

e ole e

e ml

e a

m l m e ala n e m l ole n r

e ur

mln n

e

e ue

me e n

oe en o

u e u e u e m o mole e c e

So

e

r e mle amre mole o e

e

rue o

e mole ale m l ale

e

a e oe nre allo

ala a n

o ale D e l r

o l alle

a

l e ciale molle alle

ma alare. e

alunne mme e

Dimostrazioni | FONDAMENTALI Dimostrare che u n quadrilatero è u n rettangolo Nel triangolo isoscele ABC di vertice C, prolunghiamo i lati AC e BC dei segmenti CE e CF congruenti a BC. Dimostriamo che il quadrilatero ABEF è un rettangolo.

1. ABC triangolo isoscele;

Ipotesi

F

E

A

B

2. CE prolungamento di AC; CF prolungamento di BC; 3. CE = CF = CA = CE.

ABEF rettangolo.

Tesi

Dimostrazione @ Dimostriamo che il quadrilatero ABEF è un parallelogramma. Le diagonali AE e B F hanno lo stesso punto medio C, quindi ABEF è u n parallelogramma.

Dimostriamo che ABEF è un rettangolo.

#

ESERCIZI

Le stesse diagonali sono anche congruenti, perché somme di segmenti congruenti, Il parallelogramma ABEF, avendo le diagonali congruenti, è un rettangolo. re

re

e

e

Pe

e

e

OO V S

A

O

OP

e

e

e

e

e OO v e

a o e ola o e o e u e v l

alone a

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ina a e l o u e lee o o

e olonese o e

a

O

lla

o

Se

o

a e lle

e

a

O

e

Un quadrilatero è un rettangolo se è un parallelogramma con gli angeli i congruenti oppure sa è un persllelogramma con le diagonali congruanti, O

e

e

O

O

e Do

O

oO D e

a

o e O a Ore a

pre o e

e d e ore ON o

DO

e Do o

e De ae

e De

a

u a alle ala all

A Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere sa hai capito. P R O VTU.

EFT:] Nel triangolo ABC, isoscele sulla base BC, traccia l’altezza A H e la parallela per H al lato AB. La perpendiseo colare per € a BC interseca tale parallela in P. Dimostra che AHCP è u n rettangolo.

Nel parallelogramma ABCD traccia le altezze DE e CF. LL)

a. Dimostra che EFCD è un rettangolo. b. Considera su A D u n punto P e su CB u n punto @Q in modo che A P = EQ. Dimostra che EFQP è u n parallelogramma.

Con le misure

IA #0

# #0

vada e p.

l'angolo in C in due parti, delle quali una è i L a

Pra: pr

|Lei)

OA

La diagonale AC del rettangolo ABCD divide

Nel seguente rettangolo tro-

dell’altra. Determina le ampiezze dei quattro angoli formati dalle diagonali del rettangolo.

Plaza Mayor è una delle più belle piazze di

Hz

=

-

Madrid ed è famosa per essere completamente porticata H a

forma rettangolare e una dimensione supera di 8 metri i 2 dell'altra. U n turista che vuole percorrere tutti i portici deve camminare per 446 metri.

Quanto sono lunghi i lati della piazza?

=

Lo Il perimetro di un rettangolo è 28 cm. Trova le misure dei lati, sapendo chela base èi L i dell'altezza. G118

e u r mola u n u e

7 * l l rombo n e

e Se

A

Dre R I S e

e

De

e

DG D e ODI g e OO e u e sure u o sue mulo O

O

OE R P O A SOT I O

O

O

Ie

O

O

a

ue uo

r i some nale

me me mln nolo

mln l e

e

a

O

e

e

e

a Se o

e

p n g e u e mg g e ooo u o

o mune mil

e

le

le

E

nell u l

la

s o ola u l

o

ale

n olo ale nelle chele n l

all

nda a r

ve o

ue ru

u e uma u e u e Ru Ru v u

* Teoria a pagina 691

Attività interattiva

bo

Il rom

o

VERO O FALSO? po

a. U n quadrilatero con le diagonali congruenti è un rombo.

[v]

[F

b . U n parallelogramma è u n rombo, m a u n rombo n o n è u n parallelogramma.

[v]

F

c Le diagonali di u n rombo lo dividono in quattro triangoli rettangoli congruenti,

(v][F

d. U n quadrilatero con le diagonali perpendicolari può non essere un rombo,

v]

[F

Dimostrazioni

Dato il rombo ABCD, traccia le sue diagonali. Prolunga il lato AB di un segmento BE congruente al lato e congiungi E con C. Dimostra che:

COMPLETA LO SVOLGIMENTO “9°

a. l'angolo ACE è retto;

b. CE è parallelo a DB. Ipotesi

1, ABCD|

2. BE

E

=|__| con BE prolungamento di]

__| ESERC IZI

alle u r alla a

= "T'esì 1. A G E 2.|__]AZl_L

Dimostrazion e

e Consideriamo il triangolo ACE:

a +L_jJ+L_j+P =qz, perché somma degli angoli|

| di u n triangolo.

e Prendiamo in esame i triangoli ABC e CRE.

Essi sono entrambi isosceli per ipotesi, quindi

da=_] e Pali) hé ®

li alla|

| d i triangoli

isosceli

Sostituiamo nella relazione precedente. Aata+t+Ll _]J+lL_]J=l|

sua+B= Ll l i

Ate =

— 2a6+L _]J=L_] —

i.

dividiamo per 2

e Dimostriamo che CE #/ DE.

Il quadrilatero BECDha i lati BE e C D | to i suoi lati CE e|__|sono |

] e paralleli, quindi è

un|

|

pertan-

Ì

Nel rombo ABCD,M , N,E e F sono i punti medi dei lati. Dimostra che il quadrilateroMNEF è un rettangolo. g0U

29

Nel rombo ABCD l'angolo A è doppio dell'angolo B . Dimostra che la diagonale minore AC è congruente al lato del rombo.

G119

CAPITOLO G 3

e

LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI

I FONDAMENTALI Dimostrare che u n quadrilatero è un rombo Disegniamo u n triangolo ABC ela bisettrice CDdell’angolo C. Dal puntoD' tracciamole parallele ad ACe aBC. Indicate conE e Fle intersezioni delle parallele tracciate rispettivamente conBC e AC, dimostriamo che DECF è u n rombo,

Ipotesi

C

1. A C D = DCB; 2. D E #/ AC;

E

3. D F 4 BC.

F

Tesi DECF rombo. A

Dimostrazione * Consideriamo il quadrilatero DECF. Esso è un parallelogramma perché per ipotesi D E 4 FC e D F / CE.

:

g e condizione sulficianta1

dazione

Dimostriamo che DECF è un rombo. Applichiamo la condizione sufficiente 2 perché per ipotesi CD è bisettrice di FCE.

#

D

a

|

unle dagonali

Condizione selficiente 2 Seun parallelograrmma ha una diagonale binettrice di un angolo,allora è un rombp,

ESERCIZI

Quindi DECF è un rombo. =

a

e DO

O

RA N A SA OA SO

e

o

u e u e lee OA OA

A

O

O

O

A

O

O

O

OA

o

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e

f o nola

me

o

e

e

n a

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ndo m e

ore n

o

e n

e ul

n

A

O

A

A

o

o o

e

e ade e

dee o

re

A

e

e

e

o eu

o rule mole omo e

o

e

e ue ca a

mire

P R O VTU. A Svolgi un esercizio simile interattivo per vedere se hai capito.

E T ) Dimostra che, se su una diagonale di un rombo si prendono due punti equidistanti dagli estremi, unendo Ln tali punti con gli altri due vertici del rombo si ottiene un altro rombo. i UO

A B C D è u n Pparallelogramma, c o n AB > AD. Su DC pprendiu n P punto E i n modo che EAD = A E D . D a E

traccia la parallela a BC, che incontra AB in F. Dimostra che ADEF è un rombo.

C o n le misure Lil)

Considera il triangolo equilatero ABC di perimetro 24 cm e la bisettrice BD dell'angolo in B. Conduci da D le parallele ai lati CH e AB che incontrano i lati stessiin E e F. Determina il perimetro del rombo DEBF. [16 cm]

OA

‘Trova tutti gli angoli del rombo della figura.

LA)

o Pa a 1 3 4 Calcola il perimetro di un rombo, sapendo chela somma delle lunghezze delle diagonali è 42 cm e che una La

Lal)

è

2 dell’altra.

Calcola il lato di un rombo, sapendo che la somma delle lunghezze delle diagonali è 112 m e la loro differenza è 16 m. Le diagonali di u n rettangolo ABCD sono lunghe 37 cm. Qual è il perimetro del rombo ottenuto con-

LL

giungendo i punti medi dei lati del rettangolo?

G120

& e l l quadrato n a RR S e DA S e R I S r S I

E

Spa DD D e SODI g e R e P e u e sue vuo une mulo OO

Pe RP

quad

Il

6

I

A

SO R O

O

e

A

S P OO e a o e e u o

rato

r e some lane e e n e

e

o

ie

l e are molle ale

a

oe

e OA g e o

e

e

e

ue

o gue a o m r

e

e

e vue molle n r ale molle u o nola a n l e

ale ala l r

rolla olo ale l e

e mia alle a o e S e

e

OA

A

P e O O SO SO SO Su Su

* Teoria a pagina 672

Attività interattiva

VERO O FALSO?

a

n u n quadrato le diagonali si tagliano scambievolmente a metà. b. U n quadrilatero che ha le diagonali congruenti e perpendicolari è u n quadrato. c. Ogni diagonale divide u n quadrato in due triangoli rettangoli isosceli congruenti. d. L'insieme dei quadrati è l’unione dell'insieme dei rettangoli e di quello dei rombi.

555

Dimostrazioni |

|

FONDAMENTALI Dimostrare che u n quadrilatero è u n quadrato

Consideriamo il triangolo rettangolo isoscele ABC, con angolo retto i n A , Prolunghiamo la mediana A M d i u n segmento M E congruente a d A M . Dimostriamo che il quadrilatero ABEC è u n quadrato. [Ipotesi

Tesi

1. ABC triangolo rettangolo isoscele; 2. A M mediana; 3. M E = AM, con M E prolungamento di AM.

'

ABEC quadrato.

i

(

|

Dimostrazione e

Dimostriamo che ABEC è unparallelogramma. Le diagonali BC e AE si tagliano scambievolmente a metà, quindi ABEC è un parallelogramma.

quadrilatero è un quadrato

Dimostriamoche il triangolo ABM è rettangolo.

#

B

x

A

Nel triangolo isoscele ABC, la mediana A M è

Per drechee n

ranieri

ira

anche altezza, quindi l'angolo AMB è retto. e Deduciamo che ABEC è un rombo.

Le diagonali AE e BC del parallelogramma ABEC risultano perpendicolari, quindi ABEC è u n rombo. e Deduciamo che A B E C è u n quadrato.

i

Poiché il parallelogramma ABEC è un rombo e CAB è retto, allora ABEC è u n quadrato. d l e sele

a E male m t e m l dle ale cdm m l e ale n e alare ale e calle ale t e aa o e lle lle a e a e e m l alate ame a are E are e E DD e DD ole E

e a

E D e chele o

D e SO

e O l e mme D e ODE D e DO D e E a a DE RE o l D e e RE D e SO UA I

De E

OO D E D e D E DO O

DO D e

e I

U e DE D O E

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile i n t e r a t t i vper o vedere se hai capito.

EEE] Nel quadrato ABCD indica con M , N, E e F i punti medi dei lati. Dimostra che MNEF è un "9 quadrato. Se M , N, E e F sono diversi dai punti medi deilati, ma tali che A M = BN = EC = DF, si può ancora dire che MNEF è un quadrato?

Disegna un quadrato ABCD e prolunga AB di " * * un segmento BE,BC di un segmento CF, CD di un segmento DG, DA di un segmento AH, tutti congruenti fra loro. Dimostra che EFGH è un quadrato.

C o n le misure

Er]

**°

*"*

Costruisci, internamente al quadrato ABCD, il triangolo equilatero BCP e determina gli angoli dei quattro triangoli che si ottengono dal quadrato congiungendo P con i quattro vertici del quadrato.

NA

In figura, ABCD è u n quadrato e DEF u n triangolo equilatero.

a. Calcola l'ampiezza di AED. b. Dimostra che i segmenti DB ed EF sono tra loro perpendicolari. [a} 75°]

ESERC IZI

alle u r alla a

CAPITOLO G 3

e

LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE

GUARDA!

| rettangoli, i rombi e i quadrati

Fai questi esercizi anche s u ZTE

sp

iL.

M E A È dato un quadrilatero con le diagonali perpendicolari che si dimezzano scambievolmente. °°

Alberto afferma: «Di sicuro si tratta di u n quadrato». Barbara afferma: «Non è detto che sia u n quadrato, m a d i sicuro è u n rombo». Carla afferma: «Non è detto che sia u n quadrato, ma di sicuro è u n rettangolo».

Daniele afferma: «Si tratta certamente di u n quadrilatero a forma di aquilone». Chi ha ragione? A]

Alberto.

B|

Barbara.

€|

Carla.

D|

Daniele.

In figura, ABCD è un quadrato e la retta r interseca la OA diagonale AC e i lati AD, BC rispettivamente nei punti P, 5, R. Sapendo che CPR = 70°, trova le ampiezze degli angoli del quadrilatero ABRP.

ESERCIZI

i

Sea + della base di un rettangolo aggiungi i E dell'altezza, ottieni un segmento lungo 10 cm. Calcola il perimetro del rettangolo, sapendo che la base supera l’altezza di 8 cm.

o , b supera di 10 cm l'altezza h. In un rombo, che ha il perimetro doppio di quello del o lbase In un r e t t a n g la

di b,h ed €. , € supera lalunghezza della base delrettangolodi 5 cm. Calcola lelunghezze “ r e t t a n g o lilolato HH

Dato il rettangolo ABCD, chiama O il suo centro e traccia la parallela alla diagonale BD passante per A e la parallela alla diagonale AC passante per B. Detto P il punto di intersezione tra le due rette, dimostra che: a. APBO è un rombo;

b. la somma delle diagonali di APRO è congruente al semiperimetro del rettangolo ABCD. (EE

Dato il triangolo rettangolo ABC, con l’angolo retto in A , da u n punto P dell’ipotenusa traccia il segmento

"°° P Hperpendicolare ad AB e poi PK perpendicolare ad AC. Dimostra che AHPK è un rettangolo.

**°

I n un rettangolo ABCD il lato AB è il triplo di BC. Sapendo che il perimetro è 256 cm, calcola le lunghezze dei lati CD e AD.

Il tra pezio

:

I

Attività interattiva

> Teoria a pagina 693

a. Il trapezio è un particolare parallelogramma. b. Gli angoli alla base di u n trapezio sono sempre congruenti. c . I n u n trapezio rettangolo l e diagonali sono perpendicolari fra loro.

d. In un trapezio isoscele le diagonali sono congruenti, Qual è il numero massimo di angoli acuti che può avere u n trapezio?

O |Lele)

A|

G122

1

Bj

2

cl

3

DÌ

4

5556 4]

VERO O FALSO? |lele)

9 e ll trapezio n A 22

Una figura ha: due lati uguali. una coppia di lati paralleli € due angoli ottusi. Quale può essere tra

le seguenti figure? A|

Triangolo ottusangolo.

[Bj]

Trapezio isoscele.

[6]

Trapezio rettangolo.

Parallelogramma.

|b]

OA "°°

Always, sometimes or never? Complete the following sentences with always, sometimes,or never t o make the sentences true.

a. The diagonals o f a trapezium

are|

| congruent.

| 360°.

b. The sum of the measures of the angles of a trapezium is} €.

| bisects one o f the angles o f the trapezium.

One diagonal o f a trapezium |

d. Three sides of a trapezium are|

| congruent. | congruent.

e Two pairs o f opposite sides o f a trapezium are|

Dimostrazioni | FONDAMENTALI Dimostrare che u n quadrilatero è u n trapezio Disegniamo il triangolo isoscele ABC di base AB e le altezze A H e BK. Dimostriamo che ABHK è un

trapezio isoscele.

[Ipotesi 1. ABC triangolo isoscele;

(

Tesi

ESERC IZI

2. AH 1 BC e BK 1 AC. ABHK trapezio isoscele,

Dimostrazione

e

|

Dimostriamo la congruenza dei triangoli ABH e ABK. ABH e A B Ksono triangoli rettangoli ehanno: — C A B= CBA perché angoli alla base di un triangolo isoscele; — A Ri n comune. Quindi ABH ABK per il terzo criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare, A K = BH. Dimostriamo che CKH è isoscele. CK CH perché differenza di segmenti congruenti, quindi CKH è iso-

H

=

#

A

B qa

=

vanni

due soli tatiperelieti.|

scele. e Dimostriamo che C K H= CAB e K H / AB. i

KCH e ACB sono due triangoli isosceli aventi lo stesso angolo al vertice C, quindi C KH = C HK = C A B= CBA, perché angoli alla base di triangoli isosceli con stesso angolo al vertice. CKH = CAB sono angoli corrispondenti delle rette K H e AB, tagliate dalla trasversale CA, quindiK H è parallela a AB. e Dimostriamo la tesi,

AB #/ KH, perciò ABHK è un trapezio e, essendo A K = HA, il trapezio è isoscele. A

R P OA R F

A

R E SO EAT SONE SO S A SU

e

u e a o a u mulo omne mne u u

e mole u e lee e ume mln slm cmd e

me ala cul molle dere e

a l a r ee mula mole e mole e

e ule ale mmlere.m a l ee n

cre

nre

mle m r dee u e

me m l

cme ulto ale mllo

e

l e ole mer alle l r

E

o

a

o o S E cele ilo

e De E

E

oe

ao a

D e DE D o

o vedere se hai capito. PROVA TU. Svolgi un esercizio simile i n t e r a t t i vper

Dimostra che le diagonali di un trapezio isoscele sono congruenti. Dimostra che i n u n trapezio isoscele le proiezioni dei lati obliqui sulla base maggiore sono congruenti,

Considera i triangoli isosceli ABC e ADE, di vertice A. Dimostra che se EC è parallelo a DE, allora BCDE è 92

gu

u n trapezio isoscele.

In u n trapezio ABCD,le diagonali AC e BD, incontrandosi nel punto O, formano i triangoli isosceli ABO e CDO. Dimostra che il trapezio è isoscele.

G123

n

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI rn

I

e

RP a

Sa n l

e D e De R P

SO a a u e u o mole O

A

OA

O

PP

O

O

r e ole S P V A SO OO OO D e Doe

O

I

Sue ale Roe

O

OR VON O A O P

O

OP

E

OA RP I O

e

a

apre u e u e lee o e SOA O O

O

oe

O

SOA O P O A

O

OOO OO O P I A

OO I A

e

O

Re Se

e ae ue uo

o are l l

molle ade o e n

oa

mule m e

me u e

mule e

e

a a e u e ume u e u e u e mole v u u e

Le diagonali diun trapezio isoscelelo scompongono in quattro triangoli.Dimostra che solo due dei quattro "°

""

triangoli sono congruenti, mentre gli altri due, pur essendo diversi, hanno gli angoli congruenti e sono isosceli. Dimostra che due trapezi sono congruenti se hanno ordinatamente congruenti le basi, l’altezza e una diagonale.(succermENTO Dimostra che i trapezi hanno ordinatamente congruenti tutti i lati e tutti gli angoli.)

Dimostra che, se due trapezi hanno i lati corrispondenti tra loro congruenti, allora sono congruenti. #0

C o n le misure

Utilizza le informazioni s u i trapezi delle figure per trovare le ampiezze degli angoli indicati in rosso. 154 so

HE

uu

[ a = 26°; BP = 46% y = 108°]

Hi

Il 29

quadrilatero ABCD è un trapezio. Quali sono le ampiezze degli

C

D

Se AHCD è u n trapezio rettangolo, quali sono le ampiezze degli

°°

45°

8

angoli Y e Ò?

angoli a e B?

[x = 18% è =63°]

[ u = 38°;B = 142°]

fy12°

B

H

A

RO

Determina la ampiezze dagli angoli dai seguenti trapezi. 157)

158 |

7

L158

159

(72°; 108°]

[62°; 118°; 78°]

Nella figura, ABCD è un trapezio isoscele, CP è parallelo aDA, DP è paral-

°°

lelo a CB. Trova le misure degli angoli interni del trapezio.

C

D

[74°; 106°]

A

F p

Bi

ESERCIZI

[ a = PB= 25% Y = 103°]

161

SVOLGIMENTO ABCD è un trapezio rettangolo con gli angoli retti in A e D e tale che ACB=90°, a. Esprimi in funzione di x = CAB le ampiezze degli angoli dei due triangoli in cui la diagonale AC divide il trapezio. b. Sapendo che AD = DC, determina l’ampiezza di x e il rapporto tra AC e BC. COMPLETA LO

O

DA

A

DA

A

DA

O

ORA P e OO

O

O

e DO

A

DA

O

DO PO OO

O

OR

O

O

AO O A OO

N

O

O

O

O

O

e

lo

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O

O

O A PO D A

O

O

PO

O

O

O

e ORA PO OO

O

O

A

O

O

OA

O

ON

O

OA

O

DOO DO

A

O

PO

O

O

O

o

ao

A

O

AO

O

PO

O

O

O

O . N A PO

o

9 e ll trapezio n Disegniamo u n trapezio rettangolo in A e D e con l'angolo ACB=9%0°%. Indichiamo con x l'angolo C AB.

le

gp

a. Nel triangolo ACB si ha ACB=90° e CAB=x, quindi C B A =|___ FP x, poiché la somma degli angoli interni del triangolo =

è uguale a 180°.

x

Nel triangolo ADC si ha A D C= 90° e D A C =|

Lpoiché l’ango-

lo DAB=|__P. Consideriamo le rette DC / AB tagliate dalla trasversale |__|

Gli angoli CAB e|___]sono alterni interni, quindi CAB = ACD, da cui ACD=|_|

b. Consideriamo ora l'ipotesi aggiuntiva A D = DC; il triangolo ADC è

port

D__

rettangolo e isoscele. Quindi DCA DAC e DCA + D A C= 90°, da cui:

=

— x=)__P.

A

8

Anche il triangolo ACB è rettangolo isoscele, perciò AC =|___Je il loro rapporto 4

LL)

Pe|

Dalla relazione CR A = 90° — x, sapendo che x = 45°, si ricava che CRA =|__f.

vale 1.

EA I n un triangolo isoscele ABC di base AB, si indichi con D l'intersezione della bisettrice di CAB con EC e con E l'intersezione dellabisettrice di CÉA con AC. Si consideri il trapezio isoscele ABDE. Quanto vale il rapporto tra la base minore e il lato obliquo? A

+

Bj

1

c|2

D]

Il rapporto dipende dall’ampiezzadiACB.

un trapezio isoscele gli angoli adiacenti a un lato obliquo sono uno i + dell'altro. Quali sono le ampiezLo Izen degli angoli del trapezio? [54°; 126°]

Lt)

A Da un triangolo equilatero MNO di lato 6 cm viene tagliato via un triangolo equilatero di vertice in O e lato 2 cm. Il perimetro del quadrilatero rimanente è: A)

12 cm.

B|

14 cm.

c|

16 cm.

Dj]

18 cm.

E|

20 cm.

L’area d i un trapezio isoscele misura 800 cm? e la somma delle basi è 50 cm. Trova il rapporto tra base gua

minore e base maggiore, sapendo che il lato obliquo è > dell'altezza.

FAI I L PUNTO SULLE COMPETENZE I trapezi

a

Ea

GUARDA! Fai questi esercizi anche su ZTE

VERO O FALSO?

a. U n trapezio non può mai avere u n solo angolo retto.

b. Nel trapezio isoscele le diagonali sono bisettrici degli angoli interni.

vi||F

(v]

ÉF

c. U n parallelogramma è anche un trapezio.

vj

LF

d. In un trapezio gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo sono complementari.

vj]

LF

ESERC IZI

x+x=__P

n

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI I

R P SO RO SO

ORO

OA e

e

e

e NI

re

RP o

I

CA

MR OO O A

O

o

ee uo

r e come S e OA SO

A

O

e me ue

o

une ale o e

O

O

VON

A

OA

A

O

O

A

O

I A PO e

e

u e u e l e SO P A

OA

O

e

O

ae OP

ONT OOO S e O E O A PO OA SO

O

o

o e une o e u e une l e

mo mo ol

mole a e ore n

me m l

m e l e u e mule o

ue n

a e u e ume u e u e u e mole v u u e

Utilizza le informazioni sui trapezi delle figure per determinare le misure delle ampiezze

degli angoli indicati i n rosso. 2 Li

2°

#0

0°

[+]

4 #0

forma di trapezio rettangolo. La sua base minore coincide con la base maggiore di un terreno confiì.

nante in vendita, anch'esso a forma di trapezio ret-

tangolo. La linea di confine è lunga 420 m, inoltre i lati obliqui dei due terreni sono congruenti e uno è il prolungamento dell'altro. Elena decide di comprare il

ie

;

|

'

i

terreno confinante.

“pe

E

-

a. Dimostra che il terreno totale avrà ancora la forma

ESERCIZI

di un trapezio rettangolo. b. Se Elena decidesse di recintare solo le basi del terreno totale quanti metri di steccato dovrebbe procurarsi? e

dere ale ale

a Se

a

e

e

ae

e ande u e

a ao

e

a

clone o alle lee a

e

a

e

o

lee culee mula l o

o

e

e

r e ale a a

o olo

e ome lee alle o e lee a e

re e

O

a

e

e

e

a

o e a o ome e o e a e olmo ale a alle molle o a

e

lla

e

e ale c e a a ola a

e

e

a

lle

a

e la

e o e are l a

are lare vnle aloe alle mula. ma v e

a

Calcola le lunghezze delle basi di u n trapezio

Disegna u n trapezio isoscele con i lati obliqui

isoscele che ha il lato di 13 cm, il perimetro di 50 cm e la differenza delle basi di 10 cm.

“**° congruentialla base minore. Dimostra che le diagonali sono bisettrici degli angoli adiacenti alla base maggiore. _ -

Determina le ampiez-

|

E io in figura.

|

Disegna il trapezio isoscele ABCD di base mag-

e depli angoli del tra-

20

e

mi

uu

giore AB. Sul prolungamento di= AD, dalla parte di A, prendi un punto E e da E traccia la paralE

lela ad AB, che incontri la retta CE in F. Dimo-

42°

4

stra che EFBA è un trapezio isoscele.

L e corrispondenze i n u n fascio d i rette pa

ral

» Teoria a pagina 695

Attività interattiva

lele

E E ] Test Nel triangolo ABC, M è il punto medio del lato AB eN quello del lato AC.

°°

A

Possiamo dire che: A|

MN= AM.

|B]

AM= AN.

(6]

BC= AM+MN.

|P]

BC = 2MN.

Dimostrazioni

I FONDAMENTALI Applicare il teorema del fascio di rette parallele Consideriamo il triangolo ABC e la sua mediana CM. L e N sono i punti medi rispettivamente di AC e CB. Tracciamo i segmenti LN, M L e MN. Dimostriamo che il punto P di intersezione fra i segmenti C M e LN è punto medio sia di CM sia di LN.

1 0 e L e corrispondenze in u n fascio d i rette parallele n mln u r made n r lane nol

ml

o ur

ole

e cla

a

e

re

e

sue vuo cune mollo ene aloe e

e

A

OP OA

O

O

O

OO

O

O

PO PP

O

e S e SO D A SO O I

I

RT

O

O

O I OA

re ee

e OO O T

o

OT

A

RP

O

SOA RP I O

e

o

u e mme vue l e SO PO O O

O

D e S P OA O T OO

A

PO OO SUP SNA OO P A PO D e

S P SUO O I

O

O

R P o e R T DO S A mu c u

3. NB = NC. Dimostrazione

e Dimostriamo che il quadrilatero LMNC è un parallelogramma. M N # LC, perché M e N sono i punti medi dei lati AB e CB del triangolo ABC,e il segmento che uniscei punti medi di due lati di un triangolo è parallelo al terzo lato. Analogamente L M #/ CN, perché M eL sono i punti medi dei lati AB e AC di ABC. Quindi LMNC è u n parallelogramma. punti radi di due lati è peraliiuio al terze inte.

-

e Dimostriamo la tesi. In un parallelogramma le diagonali si tagliano a metà, quindi PC = P M e PL = PN. e

ue la

r e m e u r u e cme u e alan ale sla

e sore ome cune cure alle mne u u alle a r ole helle E lar ore ole vue u e SUR simo alle nelle alare l e

ore alle ind alle a f

alal l r

alle e ale mme alle u e code alle calle d e a

aloe a

cme alle lee alare i

l à alle

mt ae

Me ae al

ale o

E

De o

oe

E

De

e

a

e

e

RR a

E

DE

De

e

PROVA TU. Svolgi un esercizio simile interattivo per v e d e rse e hai capito.

Lea

Li)

Nel parallelogramma ABCD, detto O il punto di intersezione delle diagonali, indica con E, F, G, H ì punti medi dei segmenti OA, OB, OC, OD. Dimostra che il quadrilatero EFGH è un parallelogramma. Dimostra che, congiungendo i punti medi dei lati d i u n quadrilatero qualunque, si ottiene u n parallelogranima. I n quale caso il parallelogramma è u n rettangolo? I n quale u n quadrato?

1 6 9 Nel rettangolo ABCD, indica con E,F, G, H i punti medi dei lati. Dimostra cheEFGH è un rombo. po

Nel trapezio ABCD,indica conE e F ì punti medi deilati obliqui. Dimostra che EF dimezzale diagonali del LL)

trapezio.

Con le misure Lita,

Dal punto medio M della base AB di un triangolo isoscele traccia il segmento M H perpendicolare al lato CB. Se M H = 12 cm, qual è la lunghezza dell'altezza AK relativa a CB?

Dal centro V delparallelogramma ABCD conducila retta a parallela adAB, Dal vertice D'traccia,esternamen-

Lidl)

te alparallelogramma, una retta b che incontra a in P e il prolungamento del lato AB in Q. Se A B = 36 cme

AQ

ea

= AB, qual è la lunghezza di PV?

[26 cm]

ANNE Nei triangolo ABC in figura, M N è parallelo ad AB e il perimetro è 56 cm. Quatito misura MN?

{10 cm]

ANN Ne! trapezio ABCD in figu*"° ra, EeFsonoi punti medi dei duelati non paralleli. Determina la misura delle basi del trapezio. [20; 14]

C D

dx M

N

+

2x+4 21 + 7

CL

Ì

xX+3 A À

Ax

B

dx +4

G127

Pe|

(2() In un triangolo A segmento che congiunge i

ESERC IZI

alle u r allo u r

CAPITOLO G 3 e LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI A

O

e De

SO DO S I S a

e

e

e

O

SP

O

OOO SO DO P P

DO

OP

E

e

OP ROD A

e

e

og

O

e

O

e

E

O

ee

e

e

O

O

O

SUO E

O

oe

O

Se

O

OO e

O

O

O

SP

O

ae Se

e

O P OP I O

SO

SO ONE e SO OP

O

O

e

ag

o ape

sue u e me mole olim no ole o

o e e ale ale mole a

l e ala die ole l e ale e aloe me l a

Riepilogo: Parallelogrammi e trapezi TEST U n a sola fra le seguenti affermazioni èfalsa. Quale? Lt)

A|

Un parallelogramma ha i lati a due a due congruenti.

B|

Puoi considerare u n parallelogramma come la parte di piano comune a due strisce.

©|

Due lati consecutivi di un rettangolo sono perpendicolari.

PD]

Il punto d'incontro delle diagonali di un rettangolo è equidistante dai vertici.

A|

Quale delle seguenti affermazioni èfalsa: Ogni rettangolo è anche un rombo.

Cc]

Ogni quadrato è anche un rombo.

E|

Ogni rettangolo è anche un parallelogramma.

D]

Ogni rettangolo ha le diagonali uguali,

A tia)

A

e

O

#0

S P SOA V E R P SO R P SUR OP O A

O

O

SE

O

IA

OO P A

O

O

OR O P OA S P OO

O

O E D O OA

O

OP SO PA NOP OO P A

O

Pe

e

R P S R O A RON

O

P P o e SO O A OO

Utilizza i diagrammi di Eulero-Venn per rappresentare l'insieme dei quadrilateri e tutti i suoi sottoinsiemi, tenendo conto in particolare del sottoinsieme deiparallelogrammi e di quello

ESERCIZI

Lt)

e

R P SOR SO P A SUP P I

OR

O

SOA PO P E O E DOP TOA O P I O RO

O

O P ONE O

PO P O AO O E I A

OA

A

O

O

e OOO O

O

e

e une u e sue u e malo molli mln

I fiammiferi in figura formano u n quadrato e quattro triangoli

equilateri. Dimostra che i vertici

dei triangoli non

dei trapezi. #0

O

Enuncia il teorema espresso A dalla seguente figura e dalle relative ipotesi e tesi. C

Ipotesi 1. A N = NC; 2 . A B #/M N . Tesi

CM

= MB.

appartenenti ai lati del quadrato

iniziale sono i vertici di u n secondo quadrato.

Dimostra che due quadrilateri chehanno i quattro lati e u n angolo ordinatamente congruenti sono congruenti.

A

Dimostra che se due parallelogrammi hanno LIT

ordinatamente congruenti due lati e l'angolo fra essi compreso, allora sono congruenti.

(sucGERIMENTO Dimostra che i parallelogrammi hanno ordinatamente congruenti tutti i lati e tutti gli angoli.)

Sui cateti di un triangolo rettangolo, disegna i quadrati esterni a esso.Dimostra che due diagonali dei quadrati sono parallele e due sono segmenti adiacenti.

Dimostra che due quadrilateri AO che hanno congruenti tre lati e i due angoli compresi tra loro sono congruenti. Che quadrilateri ottieni se i due angoli sono supplementari? Disegna u n parallelogramma ABCD e u n secon-

do parallelogramma, EFMN, inscritto nel prim o , i n m o d o che il vertice E stia sul lato AB, F su BC, M su CD e N su DA. Dimostra che AE = C Me BF = DN.

Nel parallelogramma ABCDprolunga illato AB di un segmento BM = BC e il lato AD di un seg-

Dimostra che due parallelogrammi che hanno ordinatamente congruenti le diagonali e uno

degli angoli che esse individuano intersecandosi sono congruenti.

0

Dimostra che due parallelogrammi che hanno ordinatamente congruenti una diagonale e gli angoli che essa forma con due lati consecutivi sono congruenti.

G128

mento D N = DC, Dimostra che i punti M , C, N

sono allineati. (suoGERriIMENTO Devi dimostrare che l’angolo M C N è un angolo piatto.)

Le bisettrici degli angoli opposti B e D di u n parallelogramma ABCD intersecano la retta DC in E e la retta AB in F. Dimostra che: a. BEDF è u n parallelogramma;

b. AC eEFsi tagliano scambievolmente ametà.

e

e

are mola u r u e

Fondamentali alla prova

GUARDA! Su ZTE questa

REVTE PERPENDICOLARI E PARALLELE

Affinché due rette siano:

completamente

a. perpendicolari, è sufficiente che siano incidenti.

vj

LF

b. perpendicolari, è necessario che n o n siano parallele,

vj]

LF

[vj]

LF

€.

parallele, è sufficiente che siano perpendicolari a una stessa retta.

Sulla bisettrice Oc dell'angolo acuto aQb scegli u n punto P e costruisci l’asse del segmento OP, che interseca

CRITERIO D I PARALLELISMO

INVERSO DEL CRITERIO D I PARALLELISMO Dato

il triangolo ABC, dal vertice B traccia la parallela ad AC e su di essa considera il punto D in

= AC.

la semiretta Ob nel punto Q. Dimostra che PQ è parallelo alla semniretta 2 .

Dimostra che ABC & ABD.

PAGELEMA CON L'INVERSO DEL CRITERIO DI PA-

SOMMA DEGLI ANGOLI INTERNI I I UN TRIANGOLO

RALLELISMO Le rette gialle in figura sono paral-

Nella figura l'ampiezza indicata con x è:

lele. Determina x e y. -

modo che A D non intersechi B C e che B D

Al

-

35° 50

”

Bj

20°.

45

Li

ci 30°,

a

DI]

25°,

x

DIMOSTRAZIONI SUL PARALLELOGRAMMA Nel parallelogramma ABCD, prolunga la diagonale BD da entrambe le parti di due segmenti congruentiBE eDF. Dimostra che AECFè un paral-

i

"

lelogramma. PROBLEMA CON IL PARALLELOGRAMMA I n u n parallelogramma u n angolo è inferiore d i 40° rispetto all’altro

atigolo interno adiacente allo stesso lato. Calcola le ampiezze degli angoli del parallelogramma.

La somma della base e dell’altezza di un rettangolo è 8 m. Calcola le lun-

PROBLEMA CON I L RETTANGOLO

ghezze dei lati del rettangolo, sapendo che la base è il triplo dell'altezza. Rompo

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

a. Se u n quadrilatero ha le diagonali perpendicolari, allora è u n rombo. b. Se u n parallelogramma ha due lati consecutivi congruenti, allora èu n rombo. €.

U n rombo non può avere quattro angoli congruenti.

d. U n quadrilatero avente quattro lati congruenti è un rombo. QUADRATO A|

U n parallelogramma è u n quadrato se ha:

le diagonali perpendicolari.

5| le diagonali congruenti.

I

e) ls) el Le

EM

PimosTRAZIONI SUL TRAFEZIO

©|

gli angoli retti.

D|

le diagonali perpendicolari e congruenti,

Disegna u n trapezio isoscele ABCD e le due diagonali AC e BD, che si

incontrano nel punto O. Dimostra che AO = OB e OC = OD.

G129

VERIFICA DELLE COMPETENZE

EM

Lì prova e un'altra

j

CAPITOLO G3 e

Dr

e

Pe

Su Su m l

e

O

De R P

A

e

SO u o u e o o l e OO O A

O

LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI I

RP Se

O

e

SOT V A SOA O I OA DOP o e OT

O

OO

O

IE

O

OR O E O I SOT I p

OP OE SOA O P O O RO

g a p o u e u e m e o e SOA O

O

o e S o vue une u o u e o e d e

e

o

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n mln ale e e l e

al

allo a o o a ole

e ale ala nolo e ale alal nie ale mme alare r m lane m e

Competenze alla prova ARGOMENTARE Ratte parallele

è perpendicolari

È possibile che la proiezione di u n segmento su una retta sia maggiore del segmento stesso? E congruente? 29

Giustifica le risposte. È possibile che la proiezione di u n segmento su una retta si riduca a u n punto? Giustifica la risposta, illu-

° ° strandola con una figura. Quanto vale la somma degli angoli interni di un esagono? E di un poligono con m + 2 lati? La da

TEST Al]

Date due rette incidenti, quanti angoli retti è sufficiente che formino affinché siano perpendicolari?

1

Bj

2

cc]

3

Dj

4

Considera due rette r e s tagliate da una trasversale { che formano angoli alterni esterni supplementari tra loro non congruenti. Che cosa è possibile dedurre?

VERIFICA DELLE COMPETENZE

TEST A|

r e s sono parallele.

C|

r e s sono incidenti.

B|

r e t sono perpendicolari.

D|

r e s possono essere parallele o incidenti.

TEST ®°

Considera due rette parallele tagliate da una trasversale.In quale dei seguenti casi la trasversale non

è perpendicolare alle altre due rette? A]

Due angoli coniugati interni sono congruenti.

B|

Due angoli alterni esterni sono supplementari.

[e] {D]

Due angoli corrispondenti sono supplementari.

Due angoli alterni esterni sono complementari,

TEST U n angolo esterno adiacente a u n angolo alla base di u n triangolo isoscele misura 135°. Che cosa si

°°° può affermare con certezza riguardo al triangolo? A|

È u n triangolo acutangolo.

c|

È u n triangolo rettangolo.

EB|

È un triangolo ottusangolo.

D]

Non può esistere u n triangolo con queste caratteristiche.

GQuadrilateri 8

°°

TEST Quale delle seguenti condizioni non è sufficiente per provare che u n parallelogramma

“°°

A quali condizioni u n rombo può essere u n quadrato?

sia un rettangolo? A| B|

Le diagonali sono congruenti.

Tutti gli angoli sono congruenti. D | Le diagonali sono perpendicolari. . ' E | Uno degli angoli è retto. gli ang USA Northern State Universi NIvVETSIÙY: OGrtuiern 50th Annual Mathematics Contest, 200] Perché il trapezio, pur avendo gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo supplementari, non è un parallelogramma?

G130

Avere le diagonali perpendicolari è condizione e sufficiente, oppure necessaria ma i

i

l

necessaria

non sufficiente, affinché un quadrilatero sia u n

Due angoli adiacenti sono congruenti.

c|

uo

ia

rombo? Giustifica la risposta. le n ” è un E F Per affermare che un parallelogramma *“° rombo, è sufficiente dire che un angolo è diviso a metà dalla diagonale che passa per il suo vertice? Giustifica la risposta. +

+

Le altezze di un rombo sono congruenti. Perché?

°°

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CAPITOLO G3 e

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LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI I

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Competenze alla prova ARGOMENTARE Ratte parallele

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È possibile che la proiezione di u n segmento su una retta sia maggiore del segmento stesso? E congruente? 29

Giustifica le risposte. È possibile che la proiezione di u n segmento su una retta si riduca a u n punto? Giustifica la risposta, illu-

° ° strandola con una figura. Quanto vale la somma degli angoli interni di un esagono? E di un poligono con m + 2 lati? La da

TEST Al]

Date due rette incidenti, quanti angoli retti è sufficiente che formino affinché siano perpendicolari?

1

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Considera due rette r e s tagliate da una trasversale { che formano angoli alterni esterni supplementari tra loro non congruenti. Che cosa è possibile dedurre?

VERIFICA DELLE COMPETENZE

TEST A|

r e s sono parallele.

C|

r e s sono incidenti.

B|

r e t sono perpendicolari.

D|

r e s possono essere parallele o incidenti.

TEST ®°

Considera due rette parallele tagliate da una trasversale.In quale dei seguenti casi la trasversale non

è perpendicolare alle altre due rette? A]

Due angoli coniugati interni sono congruenti.

B|

Due angoli alterni esterni sono supplementari.

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Due angoli corrispondenti sono supplementari.

Due angoli alterni esterni sono complementari,

TEST U n angolo esterno adiacente a u n angolo alla base di u n triangolo isoscele misura 135°. Che cosa si

°°° può affermare con certezza riguardo al triangolo? A|

È u n triangolo acutangolo.

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È un triangolo ottusangolo.

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Non può esistere u n triangolo con queste caratteristiche.

GQuadrilateri 8

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TEST Quale delle seguenti condizioni non è sufficiente per provare che u n parallelogramma

“°°

A quali condizioni u n rombo può essere u n quadrato?

sia un rettangolo? A| B|

Le diagonali sono congruenti.

Tutti gli angoli sono congruenti. D | Le diagonali sono perpendicolari. . ' E | Uno degli angoli è retto. gli ang USA Northern State Universi NIvVETSIÙY: OGrtuiern 50th Annual Mathematics Contest, 200] Perché il trapezio, pur avendo gli angoli adiacenti a ciascun lato obliquo supplementari, non è un parallelogramma?

G130

Avere le diagonali perpendicolari è condizione e sufficiente, oppure necessaria ma i

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necessaria

non sufficiente, affinché un quadrilatero sia u n

Due angoli adiacenti sono congruenti.

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Le altezze di un rombo sono congruenti. Perché?

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CAPITOLO G3 A

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LE RETTE, | PARALLELOGRAMMI E | TRAPEZI

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allo a o ola ale dae ale polo velo e m l alal nie ale mme ale r m lane m e

Sapendo che le rette re s sono parallelee CD è bisettrice dell'an-

°°

golo ACBF, determinale ampiezze degli angoli seguenti. b.

a. ACE;

CBD;

DCB;

c.

d.

FAC. ‘ili

[a} 45°; b) 75% c} 30°; d} 135°]

U n poligono regolare ha l'angolo esterno di 12". Quanti lati ha il poligono? Quanto vale la somma degli

°°° angoli interni del poligono? Nella figura è rappresentato un pentagono regolare. ‘Trova l'ampiezza x dell'angolo indicato.

[36°]

i

sessix GQuadrilateri

VERIFICA DELLE COMPETENZE

TEST

ABCD è u n parallelogramma, e valgonole

TEST

**°

seguenti relazioni:

AA' = BB’= CC' = DD. Il quadrilatero A'B'C'D' è: A]

-

A]

u n quadrato.

5]

un rombo ma non un

ettango]

Cc]

p|

Db|

un quadrato. u n parallelogramma.

a

{

B

D

un parallelogramima ma non u n rettangolo.

u n rettangoo. S|

C

quadrato.

.

u n rombo.

M , N , P, Q sono i punti medi dei lati del

rombo ABCD, Il quadrilatero M N P Q è:

M

A

u n rettangolo,

Nelle seguenti figure i dati sono contraddittori. Dimostralo.

IA Li

a

C

Ò

/3

b

O

v

Lo

47°

7 cm 17 cm

B

A

A ABCD è u n parallelogramma VERO O FALSO?

& cm ABCD è u n trapezio

ABCO è u n parallelogramma

Rispondi osservando la figura,nella quale le rette a, b, c, d ed e sono parallele.

a. AD e I G sono segmenti corrispondenti. b. Se BC = IH, allora D E= GF. c. Se I H = GE, allora BC = DE. d.

Se BC = DE, allora BC = DE = I H = GF.

*

v|

LF

:

vi]

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v]

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[a} 45°; b) 75% c} 30°; d} 135°]

U n poligono regolare ha l'angolo esterno di 12". Quanti lati ha il poligono? Quanto vale la somma degli

°°° angoli interni del poligono? Nella figura è rappresentato un pentagono regolare. ‘Trova l'ampiezza x dell'angolo indicato.

[36°]

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sessix GQuadrilateri

VERIFICA DELLE COMPETENZE

TEST

ABCD è u n parallelogramma, e valgonole

TEST

**°

seguenti relazioni:

AA' = BB’= CC' = DD. Il quadrilatero A'B'C'D' è: A]

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rombo ABCD, Il quadrilatero M N P Q è:

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Nelle seguenti figure i dati sono contraddittori. Dimostralo.

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B

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A ABCD è u n parallelogramma VERO O FALSO?

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Rispondi osservando la figura,nella quale le rette a, b, c, d ed e sono parallele.

a. AD e I G sono segmenti corrispondenti. b. Se BC = IH, allora D E= GF. c. Se I H = GE, allora BC = DE. d.

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eva GUARDA!

=

PROVA A

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Soluzio ni

"5 delle

Punteggio totale: |__)/ 100

prove

Di u n triangolo ABC si sa che A +8 = 75°. S i a n M oe N i punti m e ddei i lati ACe CB,

TEST

e P il punto di intersezione degli assi degli stessi lati. Qual è l'ampiezza dell'angolo M P N ?

1 dati non sono sufficienti.

A]

a]

90°

©]

75°

60°

D]

L_|/10 Ae C e s u b i

Disegna un angolo acuto di vertice O e lati a e b. Su a considera i punti punti B e D in modo che OA = OB e OC = OD. Dimostra che: b. la bisettrice di aOb è asse di CD. a. ABè parallelo a CD;

(__|]730

AM relativa all'ipotenusa formal'angolo AMB Nel triangolo rettangolo ABC,lamediana di ampiezza 84°. Determina le ampiezze degli angoli acuti di ABC, Determina x e y sapendo che AB ed ED sono parallele e che ABC e DEC sono triangoli isosceli sulle basi A C

L__]/15

A

Dal punto medio M della base BC di un triangolo isoscele ABC traccia le perpendicola-

L__|]/ 25

ri M H e MK ai lati obliqui AB e AC. Dimostra che il triangolo AHK è isoscele. e

o f cla n l

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Punteggio totale: |__]/ 100

Le seguenti proposizioni sono vere o false? Motiva le risposte.

a. U n quadrilatero con tre angoli retti èu n quadrato. b. U n trapezio rettangolo può non avere alcun angolo acuto. c. U n parallelogramma con le diagonali perpendicolari è u n quadrato.

d. U n rombo che ha un angolo retto è un quadrato.

I |A

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VERIFICA DELLE COMPETENZE

e CE.

Prolunga nello stesso verso i lati del rettangolo ABCD dei segmenti A M , BN, CP, D Q in modo che A M CP e B N D Q . Dimostra che MNPQ è u n parallelogramma.

=

=

In figura,DCGH è un quadrato e BEFC un rettangolo. Del parallelogramma ABCD determina: a. le ampiezze degli angoli interni; b. il perimetro, sapendo che quello di DCGH è 60 cm e che EFha lunghezza 7 cm.

L_|/1 6 L_|]/18

154°

H

L_J /16 Prolunga i lati A B e A D del rombo ABCD, rispettivamente, dei due segmenti congruen-

ti AP e AQ. Dimostra che il quadrilatero DPQB è un trapezio isoscele.

L_]/25

Il lato obliquo e l'altezza di un trapezio rettangolo misurano rispettivamente 13 cm e 12 cm.

Sapendo che la base maggiore è - della base minore, determina il perimetro. G134

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prove

Di u n triangolo ABC si sa che A +8 = 75°. S i a n M oe N i punti m e ddei i lati ACe CB,

TEST

e P il punto di intersezione degli assi degli stessi lati. Qual è l'ampiezza dell'angolo M P N ?

1 dati non sono sufficienti.

A]

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D]

L_|/10 Ae C e s u b i

Disegna un angolo acuto di vertice O e lati a e b. Su a considera i punti punti B e D in modo che OA = OB e OC = OD. Dimostra che: b. la bisettrice di aOb è asse di CD. a. ABè parallelo a CD;

(__|]730

AM relativa all'ipotenusa formal'angolo AMB Nel triangolo rettangolo ABC,lamediana di ampiezza 84°. Determina le ampiezze degli angoli acuti di ABC, Determina x e y sapendo che AB ed ED sono parallele e che ABC e DEC sono triangoli isosceli sulle basi A C

L__]/15

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Dal punto medio M della base BC di un triangolo isoscele ABC traccia le perpendicola-

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ri M H e MK ai lati obliqui AB e AC. Dimostra che il triangolo AHK è isoscele. e

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Le seguenti proposizioni sono vere o false? Motiva le risposte.

a. U n quadrilatero con tre angoli retti èu n quadrato. b. U n trapezio rettangolo può non avere alcun angolo acuto. c. U n parallelogramma con le diagonali perpendicolari è u n quadrato.

d. U n rombo che ha un angolo retto è un quadrato.

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VERIFICA DELLE COMPETENZE

e CE.

Prolunga nello stesso verso i lati del rettangolo ABCD dei segmenti A M , BN, CP, D Q in modo che A M CP e B N D Q . Dimostra che MNPQ è u n parallelogramma.

=

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In figura,DCGH è un quadrato e BEFC un rettangolo. Del parallelogramma ABCD determina: a. le ampiezze degli angoli interni; b. il perimetro, sapendo che quello di DCGH è 60 cm e che EFha lunghezza 7 cm.

L_|/1 6 L_|]/18

154°

H

L_J /16 Prolunga i lati A B e A D del rombo ABCD, rispettivamente, dei due segmenti congruen-

ti AP e AQ. Dimostra che il quadrilatero DPQB è un trapezio isoscele.

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Il lato obliquo e l'altezza di un trapezio rettangolo misurano rispettivamente 13 cm e 12 cm.

Sapendo che la base maggiore è - della base minore, determina il perimetro. G134

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Criterio di parallelismo

Coppie di angoli supplementari

Coppie di angoli congruenti

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Tasi

AM m MB. CNmNB.

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D

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as AC.

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Ipotesi

Tesi

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f#DC;

-LIAB +DC),

A

“E

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=" ”

4 toniugati interni

alterni interni

x 6.alora a 4 b .

N

1

QUADRILA TERI

Parallalogramma

FRettangolo

Quadrilatero con i lati opposti paralleli.

Parallelogramma con quattro angoli retti.

Proprietà: A B& CD, BC è AD:

C

D

M

Proprietà: AC a BD.

C

1)

A=C.B=b: AM & MC, BM & MD; è = 180°. n= A+D=B+C=

B

A

È

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-

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5

A

'

Perimetro: p = 2ÎAB + BCI.

Rombo

Quadrato

Parallelogramma con quattro lati congruenti.

Parallelogramma con quattro lati congruenti e quattro angoli retti.

Proprietà:

D ©

À

B

Proprietà:

C

a)

A C1 BO:

AC = BD; AC 1 BD;

AC e BD bisettrici degli angoli.

AL e BD bisettrici degli angoli.

Perimetro p = 4AB.

A

Perimetro: p = 4AB.

B

Trapezio

Trapezio iscecele

Quadrilatero con due soli lati paralleli.

Trapezio con i lati obliqui congruenti.

DoD [ C C '

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i i tezza

base minore Proprietà: obliqui

B base maggiore

Proprietà:

A+D=É6+C= 180°.

lati

alri H

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Perimetro: p = AB + BC + CD + AD.

D

a

Cc

A=B,D = ; i

AC = BO. Perimetro:

p = AB + CD + 2BC.

EEA

I diritti ce pubbiicazionei, produzione, comunicazione, distribuzione, tragerizione, traduzione, noleggio, prestito, esecuzione, slaborazione n quasi fonma 0 opera, di irimmortzzazione: anche

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wr zan

iche),

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T a i fobotopia possono sttene sffetbuate

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con altra

negli seercoi

conmimmrciali commnzionati 5.LA.E.

H+HFE+

di ugo colletta} possono asse sflattuate, nei l i m i del 15% di caacun volume, diro pagamento alta S.1.A.E, del compernao prevesto dall'art. 66, conmemii 4 a 5, della impe 22 aprile 1941 n , 833.

Per l e riproduzioni aa uso non parsonale (ad ssempio: professionale, sconomico, cormmenciale, s t r u m e nci t i studio colletthea, come dispense e simili] l'editore potrà concadare a pagamento

Corso di Porta Fomiana, n. 108 2122 Kilerio m e i [email protected] a sito web www.cisanedi.ory L ' e d i t o r eper , quanno d i progiria spettanza, conskiera rane ke

Anna Baccaglini-Frank, Chiara Pellerotti, Anna Mera Bartolucci, Siria Bernmsmriuti, Devide Barngamini, Andrea Betti, Ludovica Biondi, Sara Bonansea, Daniela Boni, Silvana Calabria, Roberto Gerani, Craniala Cipolloni, Marco D'Amaro, Adriano Denmattà,

Paolo Maurizio Ciaghi, Sebastiano Don, Maria Falvrene, Francesca Fern, Valentine Folloni, Chiarà Francia, Luisa Francia, Baastrice Franzolini, Ferdinando Guai, Silvia Gerola, Fobart Ghattas, Lorenzo Gihazzi, Fiobarto Gialkdini, Vincenzi Giudice,

opere fuori del proprio cateiogo

DPearsela Gouthier, Francesca Incensi, Mario Luciani, Chiara Lugli, Robertà Macchina, Darmy Maknouz, Luca Malagoli, Maria Chiara Manzini, Lorenzo M ini,

acditoriale. La loro fotocopia per | aci esemplari eslatenti nelle bibàotaeche è consentita, panche oltre il m i t edel 15%, non essendo concorrenziale all'opera. Non possono considerarsi rare le opere di cuiesista, nai catalogo dell'editore, uNa Successiva edizione, ra ki opare pressanti |n 2atalogii

Madia Moretti, Marta Movati, Maria Luisa Pagani, Marta Pamoni, Domenico Peduilà,

liaria Pellati, Sebastiano Penocchiòo, Sara Pertetti, Nicola Piazza, Claudia Pissco, Laura Polenta, Monica Prandini, Luciano Revelli, Angela Maria Ripamonti,

EF

+b4

opere

di altri ediiori o le antologiche, Nei contratti di cessione: e sich, per bitilotectee, statuti di istruzione, m u s e a i archivi, la facoltà di cui all'art 71 - ter legge diritto d'autore. Per p e r m e s di s i riproduzione, drrersi dalle fotocopie rivolgersi a ufficiocontrattritranicthaelli kt

L i c e n z eper riassunto, citezione e riproduzione parnisle a uso didettico con mexri digliul

2] s a c l u s i v a m e npar t e finalità i l l u s t r a t i vaeuso didattico, rei limiti di quanto giustificato dello scopo finatà ductrativa i consegue con ebermpi, cheanmenti,

COMmmerti, spiegazioni, domande, nei corso di una lerioria}; b j sotto la responaabilità di un l a t i t u di t oestruzione, nai suoi locali a In altro luogo a in un ambianta

eiettronico SICU, ACcessitili solo al prersonale docente di tale Istituto e agli alunni o studenti

F I A PERE +thd+ E

L a citazione, l a r i p r o d u z i o nee d nassunto, se fatti con meza digitali, sono c c o r m v e n(art t i t i #0 bia

bag HU ciiritho dianiorai, limitatamente a brani © p a r t idi opera, non commerciale perseguito. (La

Maria Fia Riva, Antonia Rotteglia, Francesca Auzzi, Raffaele Santoro, Chiare Severini, Giecomo Tommei, Alessia Toroli, Giulia Zani, Lorenza Zuffi — Stegmura dell'attività Come anmatzzere i dati cimaticr Paolo Da Pelo, Andrea Zancliati, Wonderful Education — Stesura delle schede e degli esercizi con Geotebra: Valentina Angelini — Slegura degli esercizi Youaldaths: Anna Baccagini-Frank,Andrea Betti, Roberta Maroni Mieini, i, a capitolo i comano Giuseppe Di Palma, Fiorenzo F o r m i c htiongio — S t e g u rdel Formmago Togli. Giulia Zani — Fievislone creativa del c a p i t oIll ocoding. Stefania Borghi, Lara Rossi

— Comezione e reviskore degli esercizi: Silvia Bastia, Roberko Bonora, Maria Letizia Comado,

Francesca Anna Alcclo

Eri al corsa d i studi i r coi be parti ca opere sono utitzzate, 6] a condizioneche, par i meatenali aducativi, non siano disponitili u l riemcato lIcenzae volontarie

che autorizzano tali usi. Zanichelli pifre BO

al marcato dua tipi di

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e comunque irifsriore al 40% dall'opera. Per usufruina ci tall Ecerze occore seguire ke intruzionei

Progattazione esecutiva a sviluppo scitawmrare Bookiab: c u l Fiagktzzazionedall'abocok Prepanké Halia, Battipogiia

Strmura è raalkzzazionie: Davide Begarnini Coordinamento dalla stesura degli asercizi ZTE: Veronika Fadotova Golaborazio alla n estesura dei testi: Jacopo Belliori, L u d o v i tBiondi, à Satana Don,

slimriamiziona

di malfunzionamenti presenti al monanto della creazione dell'opera. Zanichelli garantisca inoltre che fa risorsa digitali di questo volume sctbo il suo controflo saranno accessibili, a pertina

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Coordinamento redazionale; Fabio Bettani Stesura e realizzazione: Davide Bergamini della stesura dei Prove tu. Veronika Fedokna Coominamento

dall'acquisto, per Lutta l a durete della normale utilizzazione didattica dell'opera. Passio cuesio periodo, alcune o tutte le some potrebbero non essere più accessi o disponibili: per maggiori

Collaborazione alla stesura del testi; Sara Bbonansaa, Annalisa Castellucci, PAoberto tiakini, Marco QGuglkelmino, Roberta Maccheroni, Federico kiunini,

informazioni, kiggi mczankchell.i/hacoricatalogo

Bianca Sanna Bissani, Giulia Zani, Lorenzo Zulfi — Fgvisione: Sara Di Auzza, Luca Qrementieri, Angela Marchescti, Bianca Sanna Blssani, Faolo Scarpat, llaria Zaramella — Sviluppo software: Libre sc, Torino

Soluzioni degli everoizi è altri svolgimenti di compiti steegrati L a soluzioni degli stanmcizi, compresi | passaggi che portano ss risultati a cli altri svokgirvarii di compiti assegnati, sono tutelate dalla legge sul diritto d'autore n quanto slatborezioni ci eaenckzi a loro volta considerati opere crestive tutelate, e pertanto non possono susere diffuma, comunicata

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opera o da parti di esta è le itthità contiaibe non sorio corpenÎtite,

L'editore mente a diapostzione degli studenti non vedenti, ipovedenti, disabili motor o con dizhurbi Specitici di apprendimento | fila patf in cui sono memorizzate le pagine di quasto Ilibro, Il formato chi fila piarirvartte Fingrandarmmito ciei canativari cel terto. è la lettura rimane softrrare c r i Disc. L a mormmiazioni su coma ottenenà i fikr stro su v a . ranichielli.ittacuolarbisctgii-educaltivi-apochi

Gruzie a chi ci e g u a l egli errori S e g n a l a gii t e ernori e la proposte di comezione su www.ranichelli.iu'cormazioni. Conmtrollareme

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opera con srsterna qualità

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Piero Chessa an C h r i s t iBlasco, e — F i e d a z i oenrealizzazione: Elcon srl, Torino si i n t7eingue: A u c d i k i o sIn

B a h r | C a i chi utilizzazioni libere srrirmeati della lacgge. L'editore p u ò concedere u n a i c i .

Zarichelli adiboarae S. A certificato Certitariref

ari,Bologna

Esercizi ZTE F a il punto sulle compatenza e Fondamentali alla prova:

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Goordanamento redazionale: Fabio Fattani

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La garanzia di aggiomamanto

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L'autorizzazio è nstrettamente e naen ata all'intibae educativo l l e e n z i o d ee non r oè trasferibile I n alcun modo a a qualsiasi! titolo.

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Fievialone creativa del testi è degli esercizi: Silvia Bastia, bMaria Letizia Conmmdo, Mariagrazia Fabbri, Foberta Maccheroni, Luca Malagoli, Cecita Perazzo,

Francesca Anna Riccio, Francesca Ruzzi, Chiara Severini, Giulia Zani H#FHF14

La r i c h i e svanno t e nokia a CLEAR edi Centro Licenze è Autortzzazioni p e rle Riproduzioni Editoriali

Composizione a impaginazione: Litolncisa, Bologna Disegni: Graffito, Cusano Milanino, Luca Pacchiani Ficarca iconografica: Byblos, Faenza, Giulia Menagon, Flena Aossi, Ghuiia Tosatti

— Stesura degli stendi a delle rubriche: Alessia Angelini, Laura Aquidanti,

l'autorizzazione a riprodurre un numero di pagine non superkone al 15% delle prolne del pregente vol,

Progetto grailoo della pagine di Educazione civica, finanziaria, STEM: Studio fvo, Bologna

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Iegon

Correzione di bozze e rilettura testi: Claudia Bosi Segreteria ci redazione: Daborah Lorenzini, Foszalla Frezzatlo Progetto grafico: Byblos, Faenza

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Copyright 6 2023 Zanichelli editore S.p.A, Bologna [B9681dar]

Audio Listen to ft: — Stesura testi: Anna BaccaglinkFrank — Raallzzazione: formicablu 4 , Bologna

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Progetto qrafico: M i g u eSal l A QC...Bologna kigaziona: Studio Svo, Bologna, Federica Fedele Fiaakzzazione: Francegmca Fonti — I m m a g idi n ecopertina: Forth Fall Briga, Scozia, Regno Unito. Egor Baliasov / Alarmy Stock Photo

Frirna edizione: 2010 Seconda edizione: 2016 Terza edizione: riarzo 2023

F i a t a r r p aprima : tirntura E

43

2

1

223

2A

2025 2006 2027

a Banca d'Italia per aver collaborato $1 r i n g r a z ila alla stesura degli esercizi di educazione finanziaria.

CGuesto ibro è stampato su carta che rispetta le foreste. via

Zanichelli.it/chisiamersostanibittà

Stampa: La Fotocromo Emiliana Via Sardegna 30, 40060 Osteria Grande (Bologna) per conto di Zanichelli editore S.p.A Via iImario 34, 40126 Bologna

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I diritti ce pubbiicazionei, produzione, comunicazione, distribuzione, tragerizione, traduzione, noleggio, prestito, esecuzione, slaborazione n quasi fonma 0 opera, di irimmortzzazione: anche

Cgil e di adattamento totale o poarziale su fuppiorti di cusisiazi tipo » cor qualsiasi nmazziò icompreae la copie digitali a suono riservati per tutti 1 pasai L'acquisto dalla presente copia dell'opera non Impiica i irasterimernto del suddetti diritti né li esaurisce.

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di ugo colletta} possono asse sflattuate, nei l i m i del 15% di caacun volume, diro pagamento alta S.1.A.E, del compernao prevesto dall'art. 66, conmemii 4 a 5, della impe 22 aprile 1941 n , 833.

Per l e riproduzioni aa uso non parsonale (ad ssempio: professionale, sconomico, cormmenciale, s t r u m e nci t i studio colletthea, come dispense e simili] l'editore potrà concadare a pagamento

Corso di Porta Fomiana, n. 108 2122 Kilerio m e i [email protected] a sito web www.cisanedi.ory L ' e d i t o r eper , quanno d i progiria spettanza, conskiera rane ke

Anna Baccaglini-Frank, Chiara Pellerotti, Anna Mera Bartolucci, Siria Bernmsmriuti, Devide Barngamini, Andrea Betti, Ludovica Biondi, Sara Bonansea, Daniela Boni, Silvana Calabria, Roberto Gerani, Craniala Cipolloni, Marco D'Amaro, Adriano Denmattà,

Paolo Maurizio Ciaghi, Sebastiano Don, Maria Falvrene, Francesca Fern, Valentine Folloni, Chiarà Francia, Luisa Francia, Baastrice Franzolini, Ferdinando Guai, Silvia Gerola, Fobart Ghattas, Lorenzo Gihazzi, Fiobarto Gialkdini, Vincenzi Giudice,

opere fuori del proprio cateiogo

DPearsela Gouthier, Francesca Incensi, Mario Luciani, Chiara Lugli, Robertà Macchina, Darmy Maknouz, Luca Malagoli, Maria Chiara Manzini, Lorenzo M ini,

acditoriale. La loro fotocopia per | aci esemplari eslatenti nelle bibàotaeche è consentita, panche oltre il m i t edel 15%, non essendo concorrenziale all'opera. Non possono considerarsi rare le opere di cuiesista, nai catalogo dell'editore, uNa Successiva edizione, ra ki opare pressanti |n 2atalogii

Madia Moretti, Marta Movati, Maria Luisa Pagani, Marta Pamoni, Domenico Peduilà,

liaria Pellati, Sebastiano Penocchiòo, Sara Pertetti, Nicola Piazza, Claudia Pissco, Laura Polenta, Monica Prandini, Luciano Revelli, Angela Maria Ripamonti,

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opere

di altri ediiori o le antologiche, Nei contratti di cessione: e sich, per bitilotectee, statuti di istruzione, m u s e a i archivi, la facoltà di cui all'art 71 - ter legge diritto d'autore. Per p e r m e s di s i riproduzione, drrersi dalle fotocopie rivolgersi a ufficiocontrattritranicthaelli kt

L i c e n z eper riassunto, citezione e riproduzione parnisle a uso didettico con mexri digliul

2] s a c l u s i v a m e npar t e finalità i l l u s t r a t i vaeuso didattico, rei limiti di quanto giustificato dello scopo finatà ductrativa i consegue con ebermpi, cheanmenti,

COMmmerti, spiegazioni, domande, nei corso di una lerioria}; b j sotto la responaabilità di un l a t i t u di t oestruzione, nai suoi locali a In altro luogo a in un ambianta

eiettronico SICU, ACcessitili solo al prersonale docente di tale Istituto e agli alunni o studenti

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