Matemáticas Financieras

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Gran número de ejemplos resueltos con más de un método, con la finalidad de comprobar los resultados obtenidos. Situaciones de la vida real para aplicar las fórmulas y facilitar la comprensión. En los dos primeros capítulos se ofrece un repaso tanto de las reglas y los procedimientos del álgebra elemental, como de las progresiones aritméticas y geométricas. Se incluye un número considerable de gráficas, principalmente las que se refieren a los diagramas de tiempo; así como tablas y cuadros de amortización de créditos y de constitución de fondos. Se agregaron nuevos temas, entre los que destacan: razones y ecuaciones de proporcionalidad, amortizaciones, la regla comercial y el descuento compuesto.

Villalobos

En esta tercera edición actualizada de Matemáticas financieras se conservan las características esenciales que han resultado útiles y atractivas para los usuarios de ediciones anteriores:

TERCERA EDICIÓN

En el apéndice de la obra se podrán encontrar: 1. Las respuestas a los problemas propuestos en todos los capítulos. 2. Un glosario financiero. 3. El instructivo para calculadora científica y financiera HP. 4. Tablas financieras. Este apéndice, junto con otras herramientas, está disponible en la página: www.pearsoneducacion.net/villalobos

TERCERA EDICIÓN

José Luis Villalobos Visítenos en: www.pearsoneducacion.net

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Matemáticas financieras Tercera edición

Ing. José Luis Villalobos Maestría en Enseñanza de las Matemáticas Universidad Autónoma de Guadalajara

Revisión técnica Lic. Ma. del Carmen Pérez Huerta Directora de Administración Financiera Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Estado de México Dr. Elías Ramírez Ramírez Profesor Investigador Departamento de Contablidad y Finanzas Intituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus Ciudad de México Karl Von Eicken Coordinador de Métodos Cuantitativos en Finanzas Universidad Nacional Autónoma de Honduras

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Datos de catalogación bibliográfica VILLALOBOS, JOSÉ LUIS Matemáticas financieras. Tercera edición










PEARSON EDUCACIÓN, México, 2007 ISBN: 978-970-26-0754-0 Área: Universitarios Formato: 18.5 ⫻ 23.5 cm

Editor: Editor de desarrollo: Supervisor de Producción:

Páginas: 608

Luis Miguel Cruz Castillo e-mail: [email protected] Felipe Hernández Carrasco Rodrigo Romero Villalobos

TERCERA EDICIÓN, 2007 D.R. © 2007 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco 500, 5° piso Col. Industrial Atoto 53519 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031 Prentice-Hall es una marca registrada de Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperación de información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabación o cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor. El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes. ISBN 10: 970-26-0754-X ISBN 13: 978-970-26-0754-0 Impreso en México. Printed in Mexico. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 10 09 08 07

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Contenido

Prólogo

ix

Agradecimientos

xii

Al estudiante

xiii

Capítulo 1 Fundamentos de matemáticas

1

1.1 Los números Redondeo de números

2 2

1.2 Exponentes, radicales y leyes de exponentes

3

1.3 Expresiones algebraicas, ecuaciones y solución de ecuaciones Expresiones algebraicas Ecuaciones Solución de ecuaciones Ecuaciones lineales

8 8 9 10 10

1.4 Tanto por ciento y porcentaje en serie

14

1.5 Razones y variación proporcional Proporción inversa Proporción mixta

20 22 22

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iv

Contenido

1.6 Logaritmos, exponenciales y sus propiedades Propiedades de los logaritmos

27 29

1.7 Logaritmos comunes, naturales y ecuaciones

32

1.8 Problemas de aplicación

38

Capítulo 2 Series y sucesiones

59

2.1 Terminología y clasificación de las sucesiones

60

2.2 Progresiones aritméticas Suma de los primeros términos

64 67

2.3 Progresiones geométricas Suma de los primeros términos

71 74

2.4 Algunas aplicaciones Pérdida del poder adquisitivo

79 84

Capítulo 3 Interés y descuento simple

93

3.1 Algunas definiciones Interés simple e interés compuesto

94 96

3.2 Interés simple Fórmula del interés simple

96 98

3.3 Diagramas de tiempo

105

3.4 Descuento simple Fórmula general

112 114

3.5 Interés simple exacto y comercial

120

3.6 Amortización con interés simple Amortización de renta fija Amortización de renta variable Intereses sobre saldos insolutos (renta fija) Relación entre interés simple e interés global Saldo insoluto

128 128 130 132 136 137

3.7 Ejemplos de aplicación Unidades de inversión (UDIS) Tarjeta de crédito Inversión en CETES El factoraje

142 142 143 146 147

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Contenido

v

Capítulo 4 Interés compuesto

161

4.1 Introducción Variación constante Variación no constante

162 163 164

4.2 Interés compuesto

168

4.3 Tasas equivalentes, efectiva y nominal

178

4.4 Regla comercial y descuento compuesto Descuento compuesto

186 191

4.5 Diagramas de tiempo, fecha focal y ecuaciones de valor

196

4.6 Algunos problemas de aplicación Flujo de caja Reestructuración de un crédito automotriz Constitución de un fideicomiso con tasa variable Plazos equivalentes

208 208 210 212 215

Capítulo 5 Anualidades

227

5.1 Definiciones y clasificación de las anualidades Clasificación de las anualidades Según las fechas inicial y terminal del plazo Según los pagos De acuerdo con la primera renta Según los intervalos de pago

228 229 229 229 229 230

5.2 Monto de una anualidad anticipada Tasa de interés variable

233 239

5.3 Valor presente de las anualidades ordinarias Ajuste del número de rentas Anualidad general

245 249 251

5.4 Rentas equivalentes Rentas anticipadas Rentas vencidas Anualidad general

255 255 257 260

5.5 Anualidad diferida Tasa variable de interés Anualidad General

264 267 268

5.6 Perpetuidades

273

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vi

Contenido

5.7 Algunos problemas de aplicación Costo estimado por consumo de agua Aportaciones a un fondo para el retiro Pagos equivalentes en dos anualidades Utilidades en cultivo de agave Ahorro para estudios profesionales Deuda externa del país Alquiler de viviendas Inversión a plazo fijo en el Banco del Ahorro Nacional Préstamos con periodo de gracia Crédito hipotecario con renta variable Capítulo 6 Amortización de créditos

280 280 280 281 283 284 285 286 287 288 289 303

6.1 Definiciones y sistemas de amortización Amortización gradual Amortización constante Amortización con renta variable

304 304 304 304

6.2 Amortización gradual Renta mínima

305 306

6.3 Saldo insoluto, derechos transferidos y cuadros de amortización Cuadro de amortización

312 314

6.4 Amortización constante Intereses en la amortización constante

319 323

6.5 Amortización de renta variable Variación aritmética Variación geométrica

328 328 333

6.6 Problemas de aplicación Traspaso de un bien considerado su plusvalía Amortización de un crédito del Infonavit

339 340 349

Capítulo 7 Constitución de fondos

363

7.1 Conceptos generales y definiciones

364

7.2 Fondo de renta fija

364

7.3 Cuadro de constitución de fondos

369

7.4 Fondos de renta variable Variación aritmética Variación geométrica

375 375 381

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Contenido

vii

7.5 Problemas de aplicación Rentas que varían aritméticamente en bloques Intereses en un fondo de renta variable Fondo de renta variable considerando inflación Fondo de ahorro para el retiro, Afore Capítulo 8 Acciones, bonos y obligaciones

388 388 391 392 393 403

8.1 Introducción Los certificados de la Tesorería de la Federación (Cetes) Pagaré bancario Aceptaciones bancarias Bonos ajustables del gobierno federal o ajustabonos Bonos de Desarrollo del Gobierno Federal (Bondes) Certificados de participación ordinarios (Cpos) Bonos de la Tesorería de la Federación (Tesobonos) Papel comercial Bonos bancarios

404 404 405 405 405 405 405 405 406 406

8.2 Bonos y obligaciones Fechas Valores Partes Rendimientos y tasas

406 407 407 408 408

8.3 Transferencia de bonos y obligaciones

410

8.4 Prima y descuento

419

8.5 Valor contable Acumulación del descuento Amortización de la prima

426 426 429

8.6 Precio entre fechas de cupón Precio de mercado Precio neto o efectivo

435 435 439

8.7 Obtención de la tasa de rendimiento Tasa promedio Método de interpolación Método iterativo Compraventa entre fechas de cupón

446 447 450 451 452

8.8 Acciones y otros títulos de inversión Compra con descuento Compraventa con tasa efectiva Denominación en dólares

458 460 463 464

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viii

Contenido

Capítulo 9 Anualidades contingentes

475

9.1 Probabilidad de un evento Los números en las probabilidades Probabilidad de dos o más eventos

476 478 479

9.2 Esperanza matemática

486

9.3 Valor presente de un pago contingente

494

9.4 Tablas de mortalidad Probabilidad de que una persona de x años, viva n años más Probabilidad de que teniendo x años no se cumplan los x + n Probabilidad de que una persona de x años fallezca entre los x + m y los x + m + n años de edad Símbolos o valores de conmutación

500 503 503

9.5 Rentas vitalicias Rentas vitalicias anticipadas Anualidades vitalicias diferidas

512 518 519

Capítulo 10 Depreciación de activos

531

504 505

10.1 Definiciones y conceptos Métodos

532 533

10.2 Método de la línea recta Cuadro de depreciación Depreciación con inflación en el método de la línea recta

534 535 536

10.3 Método de unidades de producción o de servicio Valor contable Depreciación con inflación

544 545 547

10.4 Método de la suma de dígitos Valor contable Depreciación con inflación en el método de la suma de dígitos

552 553 557

10.5 Método de la tasa fija Depreciación de tasa fija con inflación

561 566

10.6 Método del fondo de amortización Valor contable Depreciación con inflación en el método del fondo de amortización

572 575 577

Índice analítico

591

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Prólogo

Porque en los tiempos modernos todo mundo aspirar a lograr el máximo beneficio como comprador y los más atractivos rendimientos como inversionista, loas matemáticas financieras se han constituido en una de las áreas más útiles e interesantes de la matemática aplicada. La realidad financiera y comercial en nuestros países demanda cada vez más un mayor número de profesionales y personal capacitado para asesorar y dar orientación apropiada a quienes disponen de capitales para invertir y ponerlos a generar interese y otros beneficios, así como a quines se ven en la necesidad de conseguir dinero prestado ya sea en efectivo, en bienes o en servicios. A estos profesionales —administradores, actuarios, contadores, economistas y hombres de negocios en general— se dedica esta obra, que es resultado de un esfuerzo por mostrar, de forma clara, sencilla y accesible, los procedimientos y las técnicas que nos permiten conocer cómo el dinero pierde o cambia su valor y capacidad de compra con el paso del tiempo; decimos esto porque es posible asegurar que el estudio de la matemática de las finanzas se reduce a ello, a aprender cómo utilizar de manera correcta las herramientas y la metodología para trasladar, en el tiempo y de forma simbólica, los capitales y los montos que intervienen en cualquier operación de carácter financiero y comercial. Este tercera edición, con algunas novedades, conserva las características esenciales que resultaron útiles y atractivas para los lectores de las ediciones anteriores, entre las que destacan: • Una gran cantidad de ejemplos se han resuelto con más de un método, principalmente para comprobar los resultados, ya que saber que algo está bien hecho es altamente motivante para quienes estudian matemáticas o cualquier otra área del conocimiento o actividad del ser humano.

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x

Prólogo

• Suponiendo situaciones de la vida real, se justifican casi todas las fórmulas y resultan de fácil comprensión, aun para quienes no habían tenido contacto con los temas que aquí se abordan. • Creemos que los principales obstáculos en el aprendizaje de las matemáticas son la carencia y el olvido de los conocimientos básicos de nuestros estudiantes, por eso es que se han incluido los primeros capítulos, donde se repasan las reglas y los procedimientos del álgebra elemental, así como las progresiones aritméticas y geométricas. Consideramos que con ello, se facilitarán, en buena medida, la comprensión y la asimilación de los capítulos posteriores, aunque, es justo agregarlo, no se perderá continuidad si no se incluyen en un curso regular de matemáticas financieras. • Con la idea de que una imagen dice más que mil palabras, se añadieron gráficas, principalmente las que se refieren a los diagramas de tiempo, los cuales, como se verá a partir del capítulo tercero, son útiles para representar y visualizar las cantidades de dinero en el tiempo, lo que facilita el procedimiento y la resolución de los problemas propuestos. • Se incluyen tablas y cuadros de amortización de créditos y de constitución de fondos, que ilustran las formas en que se amortiza o se reduce un préstamo, así como la forma en que crece el capital que se acumula en un fondo, cuya utilidad inmediata estriba en que tales cuadros constituyen por sí mismos un importante método para comprobar los resultados analíticos. En el apéndice que puede consultar en www.pearsoneducacion.net/villalobos se incluyen: • • • •

Las respuestas de los problemas pares e impares propuestos. Un glosario de términos financieros que se vienen en el libro. Un instructivo para calculadora científica, pero también útil para la financiera HP 12 C. Varias tablas financieras, incluyendo la primera, que ha resultado muy útil para calcular plazos cuando los tiempos se miden en días. • También viene una tabla de las aplicaciones que aparecen al final de cada capítulo. Las novedades de esta tercera edición que destacan son: • Se han actualizado las cantidades de dinero, los tiempos y los plazos, pero sobre todo las tasas de interés y de descuento en todos los problemas propuestos y resueltos, para acercarlos más a la realidad actual de los países latinoamericanos. • En forma adicional a los ejercicios de falso y verdadero, de completar oraciones y de respuestas breves, se han incluido problemas de opción múltiple, lo que enriquece las oportunidades de repasar y reafirmar los conocimientos adquiridos en el aula. También se incrementó el número de ejemplos de aplicación en cada capítulo. Asimismo, se adicionaron temas que no se trataron en la edición anterior, entre los que sobresalen: • Razones y ecuaciones de proporcionalidad (capítulo 1).

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Prólogo

xi

• Amortizaciones con interés simple (capítulo 3). • La regla comercial y el descuento compuesto, así como las operaciones con interés compuesto (capítulo 4). • Un instructivo de solución de problemas con calculadora financiera, además del que se tenía para la científica. • El estudio de las anualidades contingentes y las rentas vitalicias, que es la novedad más importante, así como una sección de temas de probabilidades (capítulo 9).

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Agradecimientos

A todos los profesores que utilizan y recomiendan mi libro como texto u obra de consulta en sus cursos, a quienes también agradezco sus valiosas sugerencias e importantes comentarios para esta tercera edición. A Pearson Educación, a los editores Luis Cruz Castillo y Felipe Hernández Carrasco, así como a todo el personal que de alguna manera participo o a realización y también a los involucrados en la promoción de este libro. A los revisores técnicos, por su tiempo y experiencia vertidos en el mejoramiento de la calidad del proyecto. A quienes me ayudaron con la captura del material manuscrito y con la resolución de algunos problemas y ejercicios propuestos. Los docentes que adopten el libro en sus cursos conseguirán el manual del maestro, un banco de preguntas adicionales y un generador de exámenes a través de la editorial. Sus comentarios, sugerencias y opiniones sobre el trabajo que tienen en sus manos serán bienvenidos en la dirección electrónica del autor: [email protected], o en la editorial.

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Al estudiante

Es probable que tu interés y tu entusiasmo por aprender matemáticas no sea tan importante como tu dedicación y preferencia por otras asignaturas, por lo que hacer referencia a las causas que dieron lugar a estas actitudes o pretender justificarlas no es tan importante como encauzarlas a la búsqueda de recursos que propicien tal vez no el gusto por las matemáticas, pero sí su mejor comprensión , sobre todo en un sentido conceptual y de contexto, sin menosprecio de su utilidad práctica, que es fundamental. Creemos conveniente recordar lo siguiente, que puede ayudarte a lograr mejores resultados al final de tus cursos, particularmente de matemáticas: • Sabemos de profesionistas muy destacados que probablemente no fueron estudiantes sobresalientes, pero ten en cuenta que prepararse mejor cada día incrementa las posibilidades de éxito en el ejercicio profesional. Es común que los mejores alumnos logren los mejores empleos o sean los mejores empleadores. • Recuerda que es necesario, pero no suficiente, entender lo que en el aula tus profesores te explican, de seguro de la mejor manera posible, pero también es indispensable que después repases y reafirmes lo que ahí te enseñaron. La mejor manera de lograr lo anterior será que realices todos los ejercicios y las experiencias de aprendizaje que te encomienden; de otra forma, tal vez se logre el éxito en la enseñanza, pero no en el aprendizaje, binomio fundamental en nuestra actividad como docente o como alumnos. • Sabemos que nadie nace sabiendo, por lo que para aprender es necesario que clarifiques todas las dudas e inquietudes que surjan en tus clases: No temas preguntar ni pienses en el qué dirán, recuerda que es mejor hacer preguntas tontas que quedarse en la ignorancia

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xiv

Al estudiante

toda la vida, y que si no preguntas tu presencia en la universidad será inútil, lo mismo que los esfuerzos, los sacrificios y la abstención de entretenimientos que conlleva ser un buen estudiante. • No te desesperes y no abandones tu actividad de aprendizaje cuando no sepas ni cómo empezar a resolver un problema o no llegues a la solución correcta. Recuerda que aun con mucha práctica y experiencia no siempre se obtienen respuestas acertadas en un primer intento, y no pocas veces es indispensable armarse de paciencia y perseverancia para lograrlo. Deseamos fervientemente que en esta tercera edición encuentres el soporte y el complemento adecuados de la insustituible labor, orientación y enseñanzas del profesor. Además, nos será muy satisfactorio saber que nos constituiremos en una parte importante de tu preparación y desarrollo profesionales. J. LUIS VILLALOBOS PÉREZ

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Capítulo í

Fundamentos

Contenido de la unidad úmeros

1.3 Expresiones algebraicas, ecuaciones y solución de ecuaciones 1.4 ón proporcional 1.6 Logaritmos, exponenciales y sus propiedades 1.7 1.8 Problemas de aplicación

En este primer capítulo se examinan algunos conceptos básicos del álgebra ordinaria, que son importantes en el estudio y el aprendizaje de las matemáticas financieras y otras áreas de la matemática aplicada. Se inicia con algunas propiedades de los números, los exponentes y sus leyes, así como la simplificación y las operaciones elementales de expresiones algebraicas. Sin profundizar en el tema, se dan los elementos indispensables para plantear y resolver ecuaciones, principalmente lineales, ya que en casi todos los capítulos subsecuentes se requiere que el estudiante tenga la habilidad y la destreza para encontrar la solución de las ecuaciones. Posteriormente se trata el tema de logaritmos, que son particularmente importantes, por ejemplo, para resolver ecuaciones donde la incógnita es el exponente, que es una situación que se presenta cuando

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2

Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

se requiere conocer el plazo de una inversión o el número de pagos para amortizar un crédito. También se analiza el concepto de tanto por ciento, el cual es fundamental en cualquier estudio de índole financiera o comercial. El capítulo concluye con el planteamiento y la resolución de problemas de aplicación. Puesto que quizás este capítulo es uno de los más arduos del curso, el autor recomienda estudiarlo con una buena dosis de paciencia, detenimiento y muchas ganas de aprender, teniendo en cuenta que su cabal comprensión y asimilación facilitarán el estudio de los que siguen.

1.1 Los números Hablar de matemáticas aplicadas en cualquiera de sus especialidades es referirse a números. Por ello, nuestro punto de partida es una breve introducción al estudio de las propiedades y las reglas, como aquellas que se utilizan en las operaciones con números. Diariamente se manejan cantidades que se representan mediante diferentes tipos de números, como los enteros, los fraccionarios, los positivos, los negativos, los pares, etcétera. Todos ellos forman parte de lo que se conoce como el conjunto de los números reales. Por supuesto que existen otros números que no pertenecen a ese conjunto, los que no son reales, los llamados imaginarios, pero poco tienen que ver con la matemática de los negocios y las finanzas. Dos de estos números son, por ejemplo, las dos soluciones de la ecuación: x2 + 1 = 0 x2 = −1 x = ± −1 Es decir, números imaginarios que se denotan con ± i.

Redondeo de números El criterio más generalizado para redondear los números es el que considera lo siguiente: a) Si el primer dígito que se desprecia es mayor que cinco, entonces el que se retiene se incrementa en 1; por ejemplo: 42.53621, con dos decimales queda: 42.54. b) Si el primer dígito que se desprecia es menor que cinco, el que se retiene no cambia; por ejemplo, el redondeo de 2.328543 a cuatro decimales es 2.3285. c) Si el primer dígito que se desprecia es igual a 5, hay dos opciones: l. El último dígito que se retiene se incrementa en uno; si a la derecha del 5 hay, por lo menos, uno que sea mayor que cero, por ejemplo, 5.085013 se redondea como 5.09 con dos decimales. 2. Si a la derecha del 5 hay sólo ceros y el último que se retiene es par, éste no cambia, pero se incrementa en uno si es impar. Por ejemplo, 425.32500 o 425.325 se redondea a 425.32, y 0.8375 se redondea a 0.838, con tres decimales. Para tener mayor precisión en el resultado final, se recomienda no hacer el redondeo en las operaciones y resultados parciales, sino hasta el final.

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1.2: Exponentes, radicales y leyes de exponentes

3

Ejemplo 1 Al redondear el número X = 17.42379035 a siete, cinco, tres y una cifra decimal, queda, respectivamente: X = 17.4237904 Con siete decimales X = 17.42379 Con cinco decimales X = 17.424 Con tres decimales X = 17.4 Con una cifra decimal

1.2 Exponentes, radicales y leyes de exponentes La enésima potencia de un número.

Definición 1.1 Si a es un número real y n es entero positivo, entonces, la enésima potencia de a se define como: a n = a( a)...( a) 1424 3 n factores

donde a es la base y n es el exponente. Note que la enésima potencia de un número es una multiplicación sucesiva.

Ejemplo 1 C 7 4 1 0

Ⲑ

x

9

ⴚ

5

6

ⴙ

2

3

ⴝ 8

.

ⴝ

a) La segunda potencia de 3 es 9 porque 32 = (3)(3) = 9. b) La cuarta potencia de (−5) es 625 ya que (−5)4 = (−5)( −5)( −5)( −5) = 625. c) La vigésima potencia de 1.0215 es (1.0215)20 = 1.530267728 Notas*: i. Recuerde que al multiplicar o dividir dos números con el mismo signo, el resultado es positivo; mientras que será negativo cuando tengan signo contrario. ii. Si el exponente de un número es muy grande o se involucran decimales, es necesario recurrir a la calculadora electrónica para obtener la potencia del número.

* En el apéndice B (véase www.pearsoneducacion.net/villalobos) están las instrucciones para calculadoras con lógica operacional RPN (Reverse Polish Notation).

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4

Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

Cuando el exponente es cero o negativo, se aplica la siguiente definición:

Definición 1.2 Si a es diferente de cero, entonces, a0 = 1 y si el exponente es negativo, entonces, a −n = 1 an Esto significa que todo número diferente de 0, elevado a la potencia 0, es igual a 1 y un exponente negativo se hace positivo o, mejor dicho, cambia su signo si se pasa al denominador de una fracción; y también en este caso, la base debe ser diferente de 0 porque no se puede dividir entre cero

Ejemplo 2 C 7 4 1

Ⲑ

x

8

9

ⴚ

5

6

ⴙ

2

3

ⴝ

.

0

a) (32.5)0 = 1

e)

ⴝ

b)

(1 + i)−1 = 1 (1 + i)

f) 0–3 no está definido, la base no debe ser cero.

c) (−382.45)0 = 1 d)

A 1 −4 = A(1.053) = A(0.813366938) 4 = (A) (1.053) (1.053)4

(3 − x )−5 = 1 (3 − x )5 Los exponentes fraccionarios indican raíces de números que involucran radicandos, ya que así se llama lo que está dentro del símbolo y se aplica la siguiente definición:

Definición 1.3 La raíz enésima de b es n

b =b

1

n

= a, siempre que an = b

Cuando el orden de la raíz n, es par, b debe ser no negativo.

Ejemplo 3 ⴝ

Ⲑ

x

7

8

9

ⴚ

4

5

6

ⴙ

1

2

3

C

0

.

ⴝ

a) La raíz cúbica de 125 es 5 porque 53 = 125 b) La raíz cuarta de 81 es 3 o −3 porque 34 = 81 y (−3)4 = 81 c) La raíz doceava de 35.82135 es 12 35.82135

= 1.347447426 porque (1.347447426)12 = 35.82135

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1.2: Exponentes, radicales y leyes de exponentes

5

Para simplificar expresiones algebraicas y resolver ecuaciones, se emplean las siguientes leyes exponenciales:

Leyes de exponentes • En la multiplicación de dos números con la misma base, se suman los exponentes y en la división se restan, es decir: aman = am+n y = am−n, siempre que a ≠ 0 • La enésima potencia del producto de dos números es igual al producto de las potencias, y la potencia enésima del cociente de dos números es igual al cociente de las potencias, esto es: am/an

(ab)n = anbn y (a/b)n = an/bn, siempre que b ≠ 0 • La enésima potencia de la potencia emésima de un número, se obtiene multiplicando las potencias, es decir: (am)n = amn

Ejemplo 4 a) b) c) d) e)

32(35) = 32 + 5 = 37 52(5)−3 = 52 +(−3) = 5−1 = 1/5 85/83 = 85−3 = 82 (7xy)3 = 73x3y3

(

6

(1 + x )

)

6

= 1 + x,

1 + x debe ser positivo o cero

El 6 de la potencia, se elimina con el 6 de la raíz en el último inciso, porque si un número se eleva a la potencia n y después se le saca la raíz enésima, o viceversa, entonces resulta el mismo número, es decir, n

a n = (an)1/n = an(1/n) = a n/n = al = a

Advertencia La raíz del producto de dos números es igual al producto de las raíces, pero esto no se cumple para la suma. Por ejemplo: 4+ 9

4 + 9 no es igual a

Note, además, que si el exponente de a es de la forma m/n, entonces: am/n= am(1/n) =

n

am

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6

Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

Ejemplo 5 ⴝ

Ⲑ

x

7

8

9

ⴚ

4

5

6

ⴙ

1

2

3

C

0

.

82/3 = 82(1/3)

también: 82/3 = 8(1/3)2

ⴝ

= 3 82 =

3

=

64 = 4

( 8) 3

2

= 22 = 4

Ejercicios 1.2 En los problemas 1 a 12, obtenga una expresión equivalente. 1. (−3)4

5. 2−3

2. 025

6. 84/3

3. (35)10

7. [(435)5]0

4.

(15)0

8.

3

1, 000

9.

(

5

1+ i / 3

)

5

10. (256)1/4 11. (−3.28)0 12. (35.4025)1/2

En los problemas 13 a 18, complete la frase. 13. La raíz cúbica de 64 es 4 porque ____________________________________________________ 14.

5

32 = 2, ya que __________________________________________________________________

15. Puesto que 34 = 81, entonces, la raíz _____________ de _____________ es _________________ 16. La tercera potencia de l0 es 1,000, entonces, la raíz _____________ de___ es ______________ 17. 0−10 no está definido porque _________________________________________________________ 18. 3−3 = 1/27 porque __________________________________________________________________ En los problemas 19 a 28, escriba una expresión equivalente y simplifique. 19. (3)4(3)2

23. (5453)/58

20. 5−1(56)

24. (−2)7(−2)−3/(−2)3

(70x3y−1)2

25.

x y

22. 43/(4−143)

26.

8 32

21.

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27. 28.

(

3

1+ y

)

6

x + y / ( x + y)

3

2

1.2: Exponentes, radicales y leyes de exponentes

7

En los problemas 29 a 40, obtenga las raíces y las potencias indicadas con el auxilio de una calculadora electrónica. 33. (3.775)3/2

37. (25.08) −5

30. (3.281)3/4

34. (43.8)2/3

38. (1.0081)10

31. (8.289)1/3

35.

29.

32.

3

4

25.3

5

39. (457.6)5/4

84.39

36. (114.25) −3

425 − 3 41.3 n

Recuerde que a m/n = (am)1/n=

6

40.

1.0253

a m donde a > o si n es par

En los problemas 41 a 49, que se refieren a la sección 1.1, redondee el número dado a seis, cinco, tres y dos cifras decimales. 41. 81.23210547

44. 10.0372593

47. 701.40102503

42. 50.48638976

45. 0.00396589

48. 8.08031253

43. 3.9950013

46. 31.45628763

49. 16.37905391

En los problemas 50 a 63, seleccione la opción correcta, justificando la elección. x 2 + y2

50. Es una expresión equivalente a

b) (x2 + y2)1/2

a) x + y

c) (x2) 1/2 + (y2) 1/2

51. Obtenga una expresión equivalente a a) [21/3 + (i/3)1/3]3

(

3

2+i 3

b) 2 + i/3

b)

3

64 4

c)

( )

53. Al simplificar la expresión 56

−1

(

d)

3

2

2

e) Otra

3

8 + i 3 27

e) Otra

3

3

64

)

( )

4

d) 2 2

4

e) Otra

53 queda:

b) 5−2

a) 52

4

( x) + ( y)

3

2 3 + (i 3)

c)

52. Es una expresión que no es equivalente a (64) a) 256

)

d)

c) 5−9

d) 5−3

e) Otra

d) 3 81 = 3−2

e) Otra

d) ( x + y)

e) Otra

54. La raíz cuarta de 81 es igual a 3, porque a) 34 = 81

b) (81)1/3 = 4

c)

55. Es una expresión equivalente a ( x + y) a) ( x + y)

1

4

b) ( x + y)

13

56. Si se simplifica la expresión a) − 1 3

b)

1

3

3

43

x+y c) ( x + y)

12

(−3)4

81 = 32

(−3)

−2

(−3)−3

5

12

9

4

resulta

c) 3

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d) (−3)24

e) Otra

8

Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

57. Al simplificar a) (−4)−2

[(−4)

4

(−4)−3

]

−2

resulta

b) (−4)−14

c) (−4)24

d)(−4)5

e) Otra

c) (5xy)−9

d) (5y)−9

e) Otra

58. Una expresión equivalente a 53 x0 y−3 es a) (5xy)0

b) (5/y)3

59. (x + 3)−3 no está definida, cuando x = −3 porque a) El exponente y x son iguales c) No existe la división entre 0 e) Otra

b) El 3 de la base tiene signo contrario al exponente d) La suma del exponente y la constante de la base es igual a 0

60. Una expresión más simple para 50 a3 b4 a−3 es b) a−9 b4

a) b4

61. Un valor equivalente a [ 4( −2)]

3

62. Al simplificar la expresión a) x + y

d) 5b4 / a6

c) no existe

d) 8

e) Otra

es:

b) −32

a) 32

c) 5a0 b4 5

x + y ( x + y)

b) 1

3

4

( x + y)

3

e) Otra

5

5 4

, resulta:

c) 0

d) ( x + y)

5

2

e) Otra

63. Al redondear z = 43.2535001 a tres cifras decimales queda a) 43.253

b) 43.254

c) 43.255

d) 43.2535

e) Otra

1.3 Expresiones algebraicas, ecuaciones y solución de ecuaciones Expresiones algebraicas El proceso que seguimos cuando nos enfrentamos a los problemas de cualquier área del conocimiento donde intervengan las matemáticas consiste básicamente de tres etapas: 1. 2. 3.

Planteamiento del problema, utilizando un modelo matemático, por ejemplo, una ecuación. Solución o desarrollo del modelo que se ha planteado, es decir, resolver la ecuación. Comprobar los resultados, si ello es posible, pero principalmente interpretarlos correctamente.

Con la habilidad algebraica, el uso de la calculadora electrónica y la extraordinaria rapidez y precisión de la computadora se facilita la segunda etapa de este proceso; sin embargo, la primera es en realidad la más difícil, puesto que en ésta es donde intervienen el razonamien-

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1.3: Expresiones algebraicas, ecuaciones y solución de ecuaciones

9

to y, en buena medida, la creatividad y experiencia de quienes están resolviendo el problema; además de que de esta primera etapa depende la buena interpretación del resultado. Sólo por mencionar un ejemplo, suponga usted que un artículo para el aseo personal se vende en $9.50 la pieza. ¿Cuántos puede comprar la señora González con $75.00? Planteamiento Si x es el número de piezas entonces debe cumplirse que 9.50x = 75 Solución Se resuelve la ecuación dividiendo ambos lados por 9.50 x = 75/9.50

o

x = 7.8947

Interpretación Puesto que x debe ser un número entero, no se venden fracciones de pieza, y la señora González puede comprar siete piezas.

Definición 1.4 Expresión algebraica es el resultado de combinar números y letras relacionándolos mediante las operaciones de suma, resta, multiplicación, división y exponenciación.

Ejemplo 1 Las siguientes son expresiones algebraicas: a) 3x2 − 2n

d)

b) (5 − x)(10 + 3x)

e) (1 + i/12)3

c) l0x + 4.2

f) C + Cin

1+ i / 6

g)

1 − (1 + ni )(1 + i p)

− np

(i p ) 2

Ecuaciones

Definición 1.5 Ecuación es el resultado de igualar dos expresiones algebraicas que se llaman lados o miembros de la ecuación.

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10

Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

Ejemplo 2 Las siguientes son ecuaciones: a) x2 – l = (x − l) (x + l) b) 3x + 2/3 = x c) x + 3 = x2 − 2

d) I = Cin e) x3 − 2x = 0 f) M = C(l + in)

g) 3 1 + i = 3.52 h) A = bh/2

Solución de ecuaciones Resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores de las incógnitas que las hacen verdaderas. Tales valores forman la solución de la ecuación.

Para resolver una ecuación: Dependiendo del tipo de ecuación es el método que se emplea para hallar su solución; no obstante, las tres propiedades básicas que se emplean en la mayoría de las ecuaciones son las siguientes: a) Se suma, o se resta, cualquier número a los dos miembros de la ecuación (propiedad aditiva). b) Se multiplican los dos lados por cualquier número que no sea cero (propiedad multiplicativa). c) Cualquier parte de la ecuación se reemplaza por otra igual (principio de sustitución). Note usted que como consecuencia de la propiedad multiplicativa podemos elevar a la misma potencia los dos miembros de la ecuación, así como también sacar la misma raíz enésima. También es cierto que al aplicar cuando menos una vez estas propiedades, se obtiene, se dice, una ecuación equivalente a la original.

Ecuaciones lineales De acuerdo con su forma y las incógnitas que presentan, las ecuaciones son lineales, cuadráticas, cúbicas, exponenciales, logarítmicas, etcétera, y de una o más variables o incógnitas. A continuación se estudian las lineales.

Definición 1.6 Las ecuaciones lineales con una variable x tienen la forma: ax + b = 0 donde a ≠ 0

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1.3: Expresiones algebraicas, ecuaciones y solución de ecuaciones

11

Ejemplo 3 C 7 4 1 0

Ⲑ

x

8

9

ⴚ

5

6

ⴙ

2

3

ⴝ

.

Las siguientes son ecuaciones lineales. Tal como están, o en su forma reducida, resuélvalas.

ⴝ

a) 3x + 5 = 8 − x

c) (l + i/4)12 = 1.25

b) x + 2/3 = 5 − x/2

d) 3,750 = 4,175(1 − 3d)

e)

4

3 − x = 1.2832

solución En todos los casos, el objetivo es aislar la incógnita, dejándola sola en un lado de la ecuación. a) Se suma una x a ambos lados de la ecuación, o como comúnmente se dice: la x que está restando se pasa sumando al lado izquierdo. También se resta un 5 de cada lado, se suman los términos semejantes y se divide entre 4. Finalmente el cociente es la solución de la ecuación, es decir: 3x + 5 = 8 − x 3x + x = 8 − 5 4x = 3 o x = 3/4 es la solución, que se comprueba sustituyendo este valor por x en la ecuación dada.

b) Aunque hay otras opciones, se recomienda comenzar eliminando las fracciones. Para ello se multiplican los dos miembros por 6, el común denominador. Después se resta un 4, y se suma 3x a los dos lados de la ecuación. Por último, todo se divide entre 9 para obtener la solución, esto es, (x + 2/3 = 5 − x/2)6 6x + 4 = 30 − 3x (2/3)6 = 4 y (x/2)6 = 3x 6x + 3x = 30 − 4 9x = 26 – x = 26/9 o x = 2.8 La testa, o línea horizontal, sobre el 8 indica que éste se repite indefinidamente, sin límite. c) En este caso hay que despejar la incógnita i, y para eso notamos que “estorban” el 12 del exponente, el 1 del paréntesis y el 4 que divide a la incógnita i. El 12 se elimina sacando la raíz doceava a ambos lados, el 1 pasa restando y, finalmente, el 4 pasa multiplicando al lado derecho de la ecuación. Será más claro si lo hacemos. (1 + i/4)12 = 1.25 1 + i/4 = 12 1.25 = 1.0187692 i/4 = 0.018769265 i = (0.018769265)4 = 0.07507706

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12

Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

Cabe decir que ésta no es la solución única de la ecuación, ya que una ecuación de grado n, o con exponente n, entero, tiene n soluciones, algunas reales y otras imaginarias. d) En esta ecuación se dividen los dos miembros de la igualdad entre 4,175. Posteriormente se resta la unidad y, por último, se divide entre (−3). 3,750 = 4,175(1 − 3d) 3,750/4,175 = 1 − 3d 0.898203593 − 1 = −3d (−0.101796407)/(−3) = d o d = 0.033932136 e) Para eliminar la raíz cuarta, se eleva a la potencia 4, el 3 pasa restando y, por último, se multiplica por (−1). 4

3 − x = 1.2832 3 − x = (1.2832)4 −x = 2.711298937 − 3 −x = −0.2887701063

o

x = 0.288701063

La solución de cada ecuación se comprueba reemplazándola en la original. Por ejemplo, al comprobar la última, quedaría: 4

3 - 0.288701063 = 4 2.711298937 = 1.2832

En la última sección de este capítulo se plantean y se resuelven problemas de aplicación empleando ecuaciones lineales y otras.

Ejercicios 1.3 l. Explique brevemente los conceptos de expresión algebraica y ecuación. 2. ¿Qué forma tienen las ecuaciones lineales con una incógnita? 3. ¿Cuáles son las tres propiedades básicas que se utilizan para resolver ecuaciones? 4. ¿Cuáles son las ecuaciones equivalentes? 5. ¿Qué es la solución de una ecuación?

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1.3: Expresiones algebraicas, ecuaciones y solución de ecuaciones

13

En los problemas 6 a 31, despeje la incógnita. 6. 3x + 2 = 0

15. (1/4)(x − 3) = 5 − x

7. 4 − 2x = 0

16. 3/x + 2/3 = 2

8. x/3 + 4 = x − 3/2

17. 3/(x − 2) = 4 − 1/3

9. 5x − 4 = 2 − x/2

18.

x + 3 = 2.8

10. 100 = 80(1 + 1.5n)

19.

2 − x = 42.5

11. 11 − 0.3x = 0.83

20. (1 +

12. 300 = 17.2(x − 2)

21. (1 + x/3)8 = 1.276 3

i/4)4

24.

26. 3(x + 4) = 5.2

14. 75.3 = 42.8(1 + 2d)

23. (1 + i/6)6 = 1.083

27.

x − 3 = 2.35

28.

x2 − 4 = 1− x

29. 2 + x =

4 + x2

30. x / 2 = 1 + x 2 4

x−2 =3

22.

4 − x = 1.935

25. (1 + i)3 = 4.82

= 22.5

13. y/5 + 2y − 4/3 = 2

4

31. x2/(x − 2) = (x + 2)

En los problemas 32 a 44, seleccione la opción correcta, justificándola. 32. La solución de la ecuación

x + 2 + 3.5 = 0 es c) x = −2 − 3.5

a) x = 10.25 b) x = 14.25

d) No hay solución

e) Otra

d) x ≠ 0

e) Otra

d) φ*

e) Otra

d) {−6, 6}

e) Otra

d) φ

e) Otra

d) {3>4}

e) Otra

d) φ

e) Otra

d) x = −1

e) Otra

33. Al resolver la ecuación 2/x + 3/4 = 5/x resulta a) x = 4

b) x = 1>4

c) x = −4

34. ¿Cuál es el conjunto solución de la ecuación a) {−2, 3}

b) {3}

c) {−2}

35. ¿Cuál es el conjunto solución de a) {−6}

x + 6 = x?

b) {2}

12

4 + x 2 = 1? c) {16}

2 36. ¿Cuál es la solución de la ecuación x 3 + 2 − x 9 = 0 ?

a) {−3, 3}

b) {3}

c) {−3}

37. Obtenga la solución de la ecuación 3 − x = 2 x a) {1}

b) {−1, 3>4}

c) {−1}

38. Halle la solución de la ecuación (x − 3)/4 = x/4 a) {2}

b) {0}

c) {−1}

39. Despeje la incógnita si 2x2/(x + 1) − x + 1 = 0 a) x = 1 *

b) No hay solución

c) x = 1 o x = −1

Recuerde que φ es el conjunto vacío y, en este caso, indica que la ecuación no tiene solución.

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14

Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

40. ¿Cuál es la solución de la ecuación x/3 + x/3 = x?

{

a) 3

2

}

{

}

{

b) − 2 3

c) 3

2, − 3

2

}

{

}

d) − 2 3 , 2 3

e) Otra

d) t = −1

e) Otra

41. Al despejar t de la ecuación 63.9 = 21.3(t2 + 2) queda: a) t = 1

b) t = ±2

42. Al despejar i de la ecuación a) i = 4,240.3478

12 1 + i

b) i = 0.4993

12 = 1.631 queda, aproximadamente: c) i =341.3623

6

3 − 1 d = 2 quedará:

b) d = 1/61

c) d = −1/61

43. Si se despeja d de la ecuación a) d = −61

c) t = ±1

d) 12.0416

e) Otra

d) d = −1.8775

e) Otra

d) i = −3.4

e) Otra

44. La solución de la ecuación (3 − i)5 = 32 es: a) i = 1

b) i = ±1

c) i = −1

1.4 Tanto por ciento y porcentaje en serie En la televisión y otros medios informativos se comunican a diario noticias y comerciales que se refieren a porcentajes. Veamos algunos ejemplos: Al cierre de ayer la Bolsa de Valores subió 2.3 puntos porcentuales. La inflación del mes anterior fue de 0.73%. Los Certificados de la Tesorería de la Federación, CETES, se cotizan con el 7.51% de descuento. El revelado y la impresión de los rollos fotográficos tienen un 30% de descuento, y muchas otras en las que interviene el tanto por ciento que definimos a continuación. Genéricamente, el X por ciento, denotado como X% de un número, es el resultado de multiplicar ese número por la fracción X/100, es decir:

Definición 1.7 El X% de A es (X/100)A o (XA)/100

Ejemplo 1 C 7 4 1 0

Ⲑ

x

8

9

ⴚ

5

6

ⴙ

2

3

ⴝ

.

ⴝ

a) El 30% de 700 es 210 porque (30/100)700 = 210 b) 500 es el 125% de 400 porque (125/100)400 = 500 c) El X % de 7,350 es igual a 1,874.25 significa que X = 25.5 porque (X/100)7,350 = 1,874.25 y esto implica que X = 1,874.25(100)/7,350 o X = 25.5%

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1.4: Tanto por ciento y porcentaje en serie

15

Ejemplo 2 Juan Gómez pagó $427.50 por un par de zapatos ¿Cuál era el precio si los compró con el 25% de descuento?

solución Juan pagó el 75% del precio original P y por eso debe cumplirse que: (75/100)P = 427.50 de donde P = 427.50(100)/75

o

P = $570.00

Ejemplo 3 Los intereses, I, que durante un año devenga un capital C que se invierte al 8.5% de interes anual están determinados por I = Ci en este caso la tasa de interés es i = 8.5/100 o i = 0 0.085. Por lo tanto, un capital de $15,000 genera I = 15,000(0.085) o I = $1,275.00 por concepto de intereses

Note que a) Para obtener el X% de un número A, se corre el punto decimal en X, dos lugares a la izquierda y luego se multiplica por A. Por ejemplo, el 32.7% de 128 es 0.327(128) = 41.856. b) El X% de un número A es numéricamente igual al A% del número X; por ejemplo, el 40% de 70 es igual al 70% de 40 y esto es igual a 28, porque 0.40(70) = 0.70(40) = 28 c) Existen porcentajes sucesivos, en serie, o en cadena; esto es, que el X% del Y% de un número A, estará definido por (X/100)(Y/100)A. Así, por ejemplo, el 20% del 35% del número 4,700 es 329, porque esto significa que (0.20)(0.35) 4,700 = 329 Puesto que (0.20)(0.35) = 0.07, la ecuación última puede reescribirse como (0.07)4,700 = 329 Por eso se dice que el 7% de un número A es equivalente al 20 del 35% de A.

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Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

Ejemplo 4 Anticipo en la compra de una computadora El licenciado Pérez compró una computadora en $22,500 con un anticipo del 30%. ¿De cuánto fue tal anticipo?

solución El 30% de 22,500 es A = (30/100)(22,500) = 0.30(22,500) = $6,750 El anticipo es, por lo tanto, de $6,750.

Ejemplo 5 Comparación de porcentajes ¿Qué le conviene más a un empleado que recibe un aumento salarial? ¿Primero un 20% y poco después un 7% adicional, o recibir un 28% en total?

solución Suponiendo que su salario original es S, después del primer incremento, éste será: S1 = S + (0.20)S S1 = (1 + 0.20)S S1 = (1.20)S Después del segundo incremento, su salario será un 7% mayor: S2 = S1 + (0.07)S1 S2 = (1.07)S1 S2 = (1.07)(1.20)S

porque S1 = (1.20)S

S2 = (1.284)S ya que (1.07) (1.20) = 1.284 es decir, S2 = (1 + 0.284)S Este resultado representa un incremento total del 28.4%, cifra que es un poco mayor que el 28% de la segunda opción.

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1.4: Tanto por ciento y porcentaje en serie

17

Ejemplo 6 Cálculo del precio anterior a partir del precio actual El precio de un refrigerador es de $7,650, ¿cuánto costaba hace un año si aumentó un l2.5%?

solución Si el precio anterior es X, entonces el aumento es un 12.5% de X y el precio actual es:

de donde

X + (0.125)X = 7,650 (1 + 0.125)X = 7,650 porque (1.l25)X = 7,650 X = 7,650/1.125 o

ax+bx=(a+b)x X = $6,800

Ejemplo 7 Porcentaje de reducción en cartera vencida ¿En qué porcentaje se redujo la cartera vencida si actualmente es de $138 millones y antes era de $150 millones?

solución La cartera vencida se redujo en 12 millones de pesos y el porcentaje de reducción es X tal que: (X/100)150 = 12 de donde X = 12(100)/150 = 8 o X = 8% Solución alterna Otra manera de obtener este resultado es comparando las dos cantidades, es decir, dividiendo la última entre la primera y multiplicando el resultado por 100: (138,000/150,000)(100) = 92 Esto se interpreta diciendo que la última cantidad es igual al 92% de la original y por eso se redujo un 8%, número que resulta de restar el 92 del 100%.

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Capítulo 1: Fundamentos de matemáticas

Ejercicios 1.4 1. Escriba cinco ejemplos reales que involucren porcentajes. En los problemas 2 a 15, complete la frase. 2. El 23% de 500 es _________________. 3. El 19.8% de _________________ es 720. 4. _________________ es el 27.2% de 250. 5. 84.5 es el _________________% del 32% de 1,250. 6. 0.285 es el 75% de _________________. 7. El 98% de 98 es _________________. 8. El 200% de _________________ es 12,320. 9. El 0.5% de 428.5 es _________________. 10. _________________ es el 23.5% de 82.4. 11. El 21.5% del 70.8% de _________________ es 75.8. 12. 49.3 es el 15% del _________________ % de 125. 13. El 125% de _________________ es 105.8. 14. _________________ es el 190% de 705. 15. _________________ es el 28.3% del 70.2% de 1,230. 16. ¿Cuánto se paga por un traje que tiene el 35% de descuento y su precio es de $4,750? 17. ¿Cuánto valía el dólar si ahora se cotiza en $12.25 y aumentó un 1.75%? 18. ¿Cuál es el precio de un automóvil nuevo si el año pasado costaba $180,000 y subió un 5.08%? 19. ¿Cuánto recibe un empleado que, por su desempeño, se hizo acreedor a un premio del 95% del equivalente al 18% de su salario anual, el cual es de $34,250? 20. ¿Qué porcentaje sobre el precio del billete ofrece la Lotería Nacional en el primer premio, si es equivalente a 10,000 veces el precio que se paga por participar? 21. El salario mínimo diario es de $48.60. ¿De cuánto será el mes próximo si se ha aprobado 5.3% de incremento? 22. La deuda externa de un país se redujo 8.4%. ¿De cuánto era si ahora es de $5,000 millones de dólares? 23. ¿Cuántos desempleados habrá el año próximo si ahora hay 5,200 y se estima que este número se reducirá en 6.25%?

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1.4: Tanto por ciento y porcentaje en serie

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24. El patronato del Ahorro Nacional ofrece un premio equivalente a 500 veces los intereses devengados durante un mes. ¿A qué porcentaje sobre dichos intereses corresponde el premio? En los problemas 25 a 40, encuent