Matemáticas financieras para las NIFF 958772948X, 9789587729481

Citation preview

matemticas financieras para las niif

l e o n a r do

s a m pay o n a z a

matemticas financieras para las niif

   

Sampayo Naza, Leonardo Matemáticas financieras para las NIIF / Leonardo Sampayo Naza - Bogotá: Universidad Externado de Colombia. 2018. 393 páginas ; 24 cm. Nota bibliográfica ISBN: 9789587729481 1. Matemáticas financieras -- Normas internacionales 2. Finanzas -- Normas internacionales 3. Interés -- Normas internacionales 4. Inversiones -- Normas internacionales 5. Análisis financiero -- Normas internacionales I. Autores secundarios II. Universidad Externado de Colombia III. Título IV. Título 332.0151

SCDD 21

Catalogación en la fuente -- Universidad Externado de Colombia. Biblioteca. EAP. Julio de 2018

ISBN 978-958-772-948-1 © 18, leonardo sampayo naza © 18,     Calle  n.º - Este, Bogotá Teléfono ( )   [email protected] www.uexternado.edu.co Primera edición: agosto de 18 Diseño de cubierta: Departamento de Publicaciones Corrección de estilo: Óscar Torres Angarita Composición: Marco Robayo Impresión y encuadernación: Xpress Estudio Gráfico y Digital S.A.S. - Xpress Kimpres Tiraje: de  a . ejemplares Impreso en Colombia Printed in Colombia Prohibida la reproducción o cita impresa o electrónica total o parcial de esta obra, sin autorización expresa y por escrito del Departamento de Publicaciones de la Universidad Externado de Colombia. Las opiniones expresadas en esta obra son responsabilidad del autor.

A mi abuelita Nono, quien me enseñó a ser apasionado y me brindó todo su amor y cariño. A mis ahijados Benjamín Oliveira, Luisa Sampayo y Hannah Quemba.

agradecimientos La realización de este libro no habría sido posible sin el apoyo y acompañamiento de una serie de colaboradores y amigos. Quisiera agradecer al doctor Juan Carlos Henao, rector de la Universidad Externado de Colombia, su interés en promover, en todas las áreas de estudio, la investigación y la publicación de trabajos que amplíen los procesos pedagógicos y de análisis, debate y profundización del conocimiento; a la Facultad de Finanzas, Gobierno y Relaciones Internacionales de la Universidad Externado de Colombia, en cabeza del decano, el doctor Roberto Hinestrosa Rey, y su equipo directivo: Clara Rey y Juan Pablo Mejía Calle; a la Facultad de Contaduría Pública de la Universidad Externado de Colombia, en cabeza del decano, el doctor Juan Manuel Guerrero, y María Elena Escobar de quienes siempre he recibido un apoyo incondicional. Un agradecimiento muy especial a mis colaboradores Laura Junca, Natalia Hernández, Diego González y Sebastián González, quienes con su trabajo, esfuerzo y dedicación fueron fundamentales en la revisión del texto. A los profesores Juan Carlos Calvo, David Cohen y Nataly Restrepo, que a través de sus comentarios, opiniones, recomendaciones y estrategias me orientaron en todo momento. A mis alumnos, que a lo largo de los años me han formado como docente y de quienes sigo aprendiendo cada día. A todo el equipo del Centro de Educación Virtual y del Departamento de Publicaciones de la Universidad Externado de Colombia que con su trabajo y profesionalismo hicieron posible la creación de uno de los primeros libros enriquecidos del país. Gracias a mi esposa e hijos, a mis padres y hermanos, sobrinos, tíos, primos, pues ustedes me dan la fuerza, el apoyo, la comprensión y el amor necesario para seguir adelante. A todos de corazón mil y mil gracias.

c o n t e n i do Presentación

15

Utilización de los códigos qr y descarga de la calculadora financiera niif

17

Capítulo 1 Las tasas de interés 19 1.1 Interés simple 21 1.2 Interés compuesto 22 1.2.1 Clasificación del interés compuesto 23 1.2.2 Relación entre una tasa nominal y una tasa efectiva 25 1.2.3 Relación entre una tasa anticipada y una vencida 28 1.2.4 Conversión de tasas con el método del trapecio 29 1.2.5 Conversión de tasas con la calculadora financiera niif 35 1.3 El interés continuo 36 1.4 Las tasas variables o indexadas 40 1.4.1 dtf 41 1.4.2 Índice de precios al consumidor 43 1.4.3 Indicador bancario de referencia 46 1.4.4 Prime 51 1.4.5 Libor 55 1.5 Tasas reales o deflactadas 56 Ejercicios propuestos Capítulo 1 59 Capítulo 2 El valor del dinero en el tiempo 63 2.1 El valor del dinero en el tiempo, con interés simple 65 2.2 El valor del dinero en el tiempo, con interés compuesto 75 2.3 El valor del dinero en el tiempo, con interés continuo 88 Ejercicios propuestos Capítulo 2 96 Capítulo 3 Series de tiempo 103 3.1 Series de tiempo uniforme 105 3.1.1 El valor presente y el valor futuro de una serie uniforme 105 3.1.2 Serie uniforme perpetua 128 3.1.3 Serie uniforme anticipada 130





Matemáticas financieras para las niif

3.2 Series de tiempo variables 133 3.2.1 Serie variable de comportamiento aritmético 134 3.2.2 Serie variable de comportamiento geométrico 137 3.2.3 Serie variable perpetua 143 Ejercicios propuestos Capítulo 3 151 Capítulo 4 Tabla de amortización y capitalización 157 4.1 Tabla de amortización en pesos 159 4.2 Tabla de amortización en otra moneda 164 4.3 Tabla de amortización en uvr 171 4.4 Tabla de amortización con costo amortizado 177 4.5 Tabla de capitalización 188 Ejercicios propuestos Capítulo 4 191 Capítulo 5 Identidad financiera 199 5.1 Concepto de identidad financiera 201 5.2 Aplicación: periodos de gracia 231 5.3 Aplicación: abonos extraordinarios 248 Ejercicios propuestos Capítulo 5 267 Capítulo 6 Herramientas de evaluación 271 6.1 El valor presente de un flujo de efectivo 273 6.1.1 El valor presente de un flujo de valores individuales 273 6.1.2 El valor presente de un flujo con series uniformes 279 6.1.3 El valor presente de un flujo con periodos irregulares 286 6.1.4 El valor presente de un flujo de valores individuales con múltiples tasas de descuento 293 6.1.5 El valor presente de un flujo con series uniformes y múltiples tasas de descuento 299 6.1.6 El valor presente de un flujo con periodos irregulares y múltiples tasas de descuento 306 6.2 El valor futuro de un flujo de efectivo 318 6.2.1 El valor futuro de un flujo de valores individuales 318 6.2.2 El valor futuro de un flujo con series uniformes 324 6.2.3 El valor futuro de un flujo con periodos irregulares 332

Contenido

6.2.4 El valor futuro de un flujo de valores individuales con múltiples tasas de descuento 339 6.2.5 El valor futuro de un flujo con series uniformes y múltiples tasas de descuento 345 6.2.6 El valor futuro de un flujo con periodos irregulares y múltiples tasas de descuento 352 6.3 La tasa de interés en una relación de flujos de efectivo 361 6.3.1 La tasa de interés en una relación de flujos individuales 362 6.3.2 La tasa de interés en una relación de series uniformes 370 6.3.3 La tasa de interés en una relación de flujos irregulares 379 Ejercicios propuestos Capítulo 6 388 Bibliografía

393



p r e s e n ta c i  n En el mundo globalizado se hace completamente necesaria la estandarización del lenguaje contable que asegure que todos estemos hablando en el mismo idioma. Surgen las normas internacionales de información financiera (niif) como una especie de pacto en la búsqueda de una información financiera comparable, transparente y consistente. Cerca del 50% de las normas exigen en alguna medida operaciones matemáticas que involucran operaciones financieras, y esto hace que tanto los responsables de la información financiera como los empresarios y la gerencia requieran refrescar los conocimientos en matemáticas financieras. Para muchos, el tema de las matemáticas financieras trae recuerdos traumáticos; para otros, estos conceptos se han olvidado por el paso del tiempo. Por consiguiente, se hace necesario adquirir herramientas innovadoras, modernas, creativas que nos permitan comprender sin dolor las matemáticas financieras. Teniendo en cuenta esta necesidad, surgió la idea de este libro, donde se podrá encontrar justo lo que se necesita y con las herramientas hechas a la medida para que usted se pueda convertir en todo un experto en la materia. ¿Cuáles son esos temas de las matemáticas financieras que deberíamos convertir en fortalezas? Matemáticas financieras para las niif se compone de 6 capítulos: Capítulo 1: Las tasas de interés. Capítulo 2: El valor del dinero en el tiempo. Capítulo 3: Series de tiempo. Capítulo 4: Tabla de amortización y capitalización. Capítulo 5: Identidad financiera. Capítulo 6: Herramientas de evaluación. En el capítulo 1 se estudia la diferencia entre interés simple y compuesto, la clasificación del interés compuesto, la relación entre las tasas nominales y las efectivas, la relación entre las tasas anticipadas y las vencidas y la conversión de tasas. También se aborda el tema de las tasas continuas que son utilizadas en la valoración de derivados y se estudian las tasas variables. En el capítulo 2 se estudia el principio básico financiero del valor del dinero en el tiempo, que prácticamente es la razón de ser de las matemáti



Matemáticas financieras para las niif

cas financieras en las niif. Se aborda el principio del valor del dinero en el tiempo desde la perspectiva del interés simple, el compuesto y el continuo. En el capítulo 3 se aborda el tema de las series de tiempo, donde se encuentran las series de tiempo uniformes, también llamadas anualidades, y las series de tiempo variables, también llamadas gradientes. En el capítulo 4 se trata el tema de las tablas de amortización en pesos, moneda extranjera y uvr, tanto en el sistema de cuota fija como en el sistema de abonos constantes a capital. También se estudian las tablas de amortización con costo amortizado y las tablas de capitalización. El capítulo 5 incluye el concepto de identidad financiera, también llamado ecuaciones de valor, que nos muestra cómo opera la lógica de las matemáticas financieras y permite la solución de problemas financieros complejos. Se estudian aplicaciones como los periodos de gracia, los abonos pactados y no pactados. También la técnica del “dato fantasma” que nos permite resolver problemas financieros complejos sin ser expertos en matemáticas financieras. En el capítulo 6 se analizan los tres cálculos más repetitivos en cuanto a las niif se refiere: el cálculo del valor presente de un flujo de efectivo, el cálculo del valor futuro de un flujo de efectivo y el cálculo de una tasa de interés en una relación de flujos de efectivo. El libro incluye la “calculadora financiera niif”, una aplicación construida en la hoja de cálculo, que permite la solución de cálculos financieros de forma rápida, eficiente y sin el desgaste matemático tradicional. Todos los temas se abordan de manera manual, con la utilización de la hoja de cálculo y con la calculadora financiera niif. Muchos de los problemas financieros complejos son resueltos con la técnica llamada “dato fantasma” que permite resolver ejercicios financieros complejos sin ser un experto en matemáticas financieras. El libro contiene una gran cantidad de ejercicios ambientados en su mayor parte bajo un entorno de niif y al finalizar cada capítulo se encuentran unos ejercicios propuestos que ponen a prueba los conocimientos adquiridos. El texto utiliza un lenguaje del día tras día, de fácil comprensión y libre de tecnicismos que agradan al oído pero que perjudican la comprensión. Sus aportes son muy valiosos; todo comentario, sugerencia, recomendación, corrección o simplemente si desea interactuar con el autor, podrá escribir al correo [email protected] Bienvenido a esta aventura que, sin duda alguna, será la base para comprender el mundo de las niif. Leonardo Sampayo Naza

utilización de los códigos qr y d e s c a r g a d e l a c a l c u l a do r a f i n a n c i e r a n i i f El libro de Matemáticas financieras para las niif es un texto enriquecido, pues contiene material multimedia, audio y videos complementarios que sin duda alguna mejorarán la experiencia. El acceso al material complementario se realiza a través de códigos qr que se encuentran a lo largo del libro y que son utilizados para visualizar más de 50 videos y para descargar la calculadora financiera niif. Para poder leer los códigos qr que se encuentran a lo largo del libro, es preciso tener instalada una aplicación que permita la lectura de estos códigos en el dispositivo, ya sea smartphone o tablet, desde el cual podrá visualizar los videos. Para que la aplicación funcione, el dispositivo debe disponer de cámara fotográfica. Para instalar la aplicación puede ingresar a Google Play o al App Store de su dispositivo y escribir qr en el buscador y descargar la aplicación de su preferencia. Se recomiendan las siguientes aplicaciones: para dispositivos ios: qr Code Reader o Code Scanner, Skaner Kodów qr, y para dispositivo Android: qr Code Reader, qr Code Pro y Escáner de qr/Código de Barras. Puede visualizar los videos en su computador copiando el enlace desde su dispositivo móvil y enviándolo a su correo electrónico donde podrá abrir el enlace enviado. Para descargar la calculadora financiera niif, lea el qr que se encuentra en la parte inferior de esta hoja, digite su correo electrónico y haga clic en el botón ‘enviar’. Posteriormente, al correo electrónico que registró llegará un mensaje con el asunto: Calculadora financiera niif, en el cual encontrará un enlace que permite la descarga en su computador. La calculadora financiera niif se puede utilizar en cualquier computador, siempre y cuando contenga el Excel de Microsoft Office.



captulo 1

Las tasas de interés

La tasa de interés corresponde al precio del dinero en el mercado financiero; este concepto es fundamental si se quiere dominar a ese “monstruo” al que llaman matemáticas financieras. En niif debemos diferenciar dos tipos de tasas de interés: el interés simple y el interés compuesto. Siempre que hagamos referencia a las niif, debemos estar conectados con el concepto de interés compuesto que es el que se utiliza en el mercado financiero. En este capítulo también estudiaremos el concepto del interés continuo, ya que se requiere en la valoración de instrumentos financieros complejos como lo son los derivados. También se estudiará el concepto de tasas variables o indexadas que son utilizadas en muchas operaciones financieras con el fin de mitigar el riesgo de tasa de interés y finalmente se estudiará el concepto de tasa real, y así poder tener en cuenta el impacto de la inflación en una tasa de interés.

1.1 inters simple El interés simple es el que se calcula teniendo como base el valor inicial de la inversión; la base nunca cambia, puesto que no existe la capitalización de intereses. Este tipo de interés no es aplicable dentro del contexto de las normas internacionales de información financiera; por tal razón, se abordará de modo informativo. Ejemplo 1.1: una persona invierte $100 a un plazo de 4 años y a una tasa de interés simple del 10% anual; calcular el valor final de la inversión y la rentabilidad obtenida.

Valor inicial: $100

Año Tasa Interés Acumulado

1 10% $10 $110

2 10% $10 $120

3 10% $10 $130

4 10% $10 $140

Valor final: $140

Solución: La tasa de interés es del 10% anual durante los 4 años; los intereses se calculan multiplicando el valor inicial de la inversión por la tasa de interés: $100 x 10% = $10. Obsérvese que durante los 4 años el interés es el mismo, ya que el interés siempre se calcula teniendo como referencia el valor inicial de la inversión. El valor acumulado se calcula tomando para el primer año el valor inicial más los intereses ganados: $100 + $10 = $110. Para el segundo año se toma el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese periodo: 



Matemáticas financieras para las niif

$110 + $10 = $120. Para el tercer año se toma el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese periodo: $120 + $10 = $130. Finalmente, para el cuarto año se toma el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese periodo: $130 + $10 = $140. Como la inversión inicial fue de $100 y al final la inversión retorna la suma de $140, se puede deducir que la rentabilidad obtenida fue del 40%. Respuesta: el valor final de la inversión es $140, es decir que se obtiene una rentabilidad del 40%.

1.2 inters compuesto Mientras que el interés simple se calcula teniendo como base el valor inicial de la inversión, en el interés compuesto la base cambia periodo tras periodo, ya que los intereses se van acumulando y forman parte de un nuevo capital; es decir, en el interés compuesto existe la capitalización de los intereses, mientras que en el interés simple no hay capitalización de intereses. Este tipo de interés es el que se aplica en el contexto de las normas internacionales de información financiera. Ejemplo 1.2: una persona invierte $100 a un plazo de 4 años y a una tasa de interés compuesto del 10% anual; calcular el valor final de la inversión y la rentabilidad obtenida. Solución:

Valor inicial: $100

Año Tasa Interés Acumulado

1 10% $10 $110

2 10% $11 $121

3 4 10% 10% Valor final: $146,41 $12,1 $13,31 $133,1 $146,41

La tasa de interés es del 10% anual durante los 4 años. Para el primer año el interés se calcula multiplicando el valor inicial de la inversión por la tasa de interés: $100 x 10% = $10. El valor acumulado se calcula tomando el valor inicial más los intereses ganados: $100 + $10 = $110. Para el segundo año se calcula el interés tomando como base $110, es decir, $110 x 10% =11; para el acumulado, tomamos el valor acumulado del periodo anterior más los nuevos intereses ganados en ese periodo: $110 + $11 = $121. Para el tercer año se calcula el interés tomando como base $121, es decir, $121 x 10% =12,1; para el acumulado, tomamos el valor acumulado del periodo

Las tasas de interés

anterior más los nuevos intereses ganados en ese periodo: $121 + $12,1 = $133,1. Para el cuarto año el interés se calcula tomando como base $133,1, es decir, $133,1 x 10% =13,31, y se toma el valor acumulado más los nuevos intereses ganados en ese periodo: $133,1 + $13,31 = $146,41. Como la inversión inicial fue de $100 y al final la inversión retorna la suma de $146,41, se puede deducir que la rentabilidad obtenida fue del 46,41%. Respuesta: el valor final de la inversión es de $146,41, es decir que se obtiene una rentabilidad del 46,41%. Entonces, ¿cuál es la diferencia entre el interés simple y el compuesto? Mientras que en el interés simple los intereses se calculan tomando como referencia la misma base, es decir, el valor inicial, en el interés compuesto esta base cambia ya que los intereses se van acumulando al capital. Dicho de otra forma, en el interés simple no existe la capitalización de intereses, mientras que en el interés compuesto, sí. El sistema financiero funciona con el criterio del interés compuesto. Sin embargo, las personas que no manejan adecuadamente los conceptos financieros terminan utilizando el interés simple. Teniendo en cuenta el ejercicio anterior, al preguntarle a alguien: si usted se gana una tasa del 10% en un periodo, entonces, ¿en cuatro periodos cuánto se gana? Lo más probable es que conteste 40%, cuando realmente se estaría ganando el 46,41%. Lo cierto es que estamos tan acostumbrados a la regla de tres, que creemos que todo lo podemos resolver de esa forma. La regla de tres es válida para el interés simple, pero cuando hablamos de las niif nos referimos a interés compuesto, en el cual existe la capitalización de intereses. En conclusión, queda rotundamente prohibido utilizar la regla de tres en una tasa de interés compuesto.

1.2.1 clasificacin del inters compuesto El interés compuesto debe tener un nombre, un primer apellido y un segundo apellido. Con respecto al nombre: la tasa puede ser nominal o efectiva. La tasa nominal es una tasa que toma como referencia todo el año e indica la periodicidad en la que se van a capitalizar los intereses. A la tasa nominal también se la llama convertible, capitalizable, compuesta o con causación. La tasa efectiva es la que se paga en cada uno de los periodos en los que se capitaliza la tasa nominal. La tasa efectiva también se llama tasa periódi-





Matemáticas financieras para las niif

ca; en el léxico actual, la tasa efectiva puede tener cualquier periodicidad: efectiva anual, efectiva mensual, efectiva trimestral, efectiva semestral, etc. Sin embargo, en el léxico antiguo la única tasa efectiva que puede existir es la efectiva anual y a cualquier otra periodicidad se la llama tasa periódica, es decir: efectiva anual, periódica mensual, periódica trimestral, periódica semestral, etc. Apodo: el apodo más común para nombrar una tasa es utilizar la letra “E” para una tasa efectiva o periódica y las letras “N” o “C” para una tasa nominal, convertible, capitalizable o compuesta. Con respecto al primer apellido: el primer apellido de las tasas indica su periodicidad, es decir que podría ser anual, mensual, trimestral, bimensual, bimestral, semestral o cualquier otro tipo de periodicidad. Apodo: el apodo con relación al primer apellido está dado por la primera letra de su periodicidad, es decir, utilizaremos “A” para una tasa anual, “M” para una tasa mensual, “T” para una tasa trimestral, “S” para una tasa semestral. Para cualquier periodo diferente a los anteriores es mejor no poner ningún apodo, ya que se pueden presentar confusiones. Por ejemplo, una tasa del 2%Eb podría ser interpretada como efectiva bimestral para unos y para otros como efectiva bimensual; bimestral significa cada dos meses, mientras que bimensual significa dos veces en el mes. Con respecto al segundo apellido: las tasas pueden ser anticipadas o vencidas. En teoría, las tasas son anticipadas cuando los intereses se pagan al principio del periodo y vencidas cuando se pagan al final del periodo. En la realidad, las tasas anticipadas lucen más pequeñas que las tasas vencidas y es por eso que en algún momento las entidades financieras publicaban las tasas de forma anticipada cuando colocaban dinero y las publicaban vencidas cuando captaban dinero. En la práctica, siempre se trabaja con las tasas vencidas; aunque por costumbre en Colombia existen las tasas anticipadas, al realizar cualquier cálculo financiero se debe trabajar con tasas vencidas. Apodo: con relación al segundo apellido, cuando la tasa es anticipada se utiliza la letra “a” y cuando la tasa es vencida lo normal es que no se le coloque ningún apodo, aunque muchas personas utilizan la letra “v” de “vencida”. Cuando en normas internacionales de información financiera se hace referencia a una tasa de interés, se está hablando generalmente de tasas expresadas de manera efectiva anual.

Las tasas de interés

c la s i f i c ac i  n d e l i n t e r  s c o m p u e s to Nombre Nominal (N) (C) o Convertible Capitalizable Compuesta Causación

Primer apellido Mensual (M) Trimestral (T) Semestral (S)

Segundo apellido Anticipada (a)

Efectiva (E) o periódica

Anual (A) Mensual (M) Trimestral (T) Semestral (S)

Anticipada (a)

Vencida

Vencida

Las formas en las que las personas se refieren a una tasa de interés no se encuentran estandarizadas del todo, así que podemos encontrar diferentes versiones al expresar una tasa. Ejemplo 1.3: nombrar las siguientes tasas de interés: A. 13%EA B. 16%CTa C. 5%ESa D. 14%NM Respuesta: A. 13% efectiva anual vencida B. 16% nominal trimestre anticipado C. 5% efectiva semestre anticipado D. 14% nominal mensual vencido

1 . 2 . 2 r e l a c i  n e n t r e u n a ta s a n o m i n a l y u n a ta s a e f e c t i va Ejemplo 1.4: explicar la relación entre una tasa efectiva o periódica, una tasa efectiva anual y una tasa nominal del 20% CT.





Matemáticas financieras para las niif

Solución: Las tasas nominales siempre toman como referencia todo el año. La barra ubicada debajo de la tasa toma como referencia todo un año desde el principio hasta el final. 20% CT (nominal trimestral)

Esta barra representa un año

La tasa del 20% se convierte, se capitaliza, se causa de manera trimestral, es decir que se capitaliza 4 veces en el año, ya que hay 4 trimestres en un año. Tomamos la barra que representa un año y la dividimos en cuatro secciones. 20% CT (nominal trimestral)

Esta barra representa un año

Si la tasa fuese nominal mensual, la barra se divide en 12; si la tasa fuese nominal semestral, se divide en 2; si la tasa fuese nominal bimestral, se divide en 6; si la tasa fuese nominal bimensual, se divide en 24. Si el 20%, por ser una tasa nominal, toma como referencia todo el año y si la tasa se convierte de manera trimestral, es decir, 4 veces en el año, ¿qué valor debe ir en cada una de las secciones para que dé como resultado el 20%? 20% CT (nominal trimestral)

5%

5%

5%

5%

5% ET (efectiva o periodica trimestral)

Esta barra representa un año

En cada sección debe haber un 5%, el cual corresponde a la tasa efectiva trimestral o periódica trimestral, es decir que una tasa efectiva o periódica se obtiene cuando tomamos la tasa nominal y la dividimos entre 4 porque hay 4 trimestres en el año, es decir:

Las tasas de interés

Tasa efectiva = Tasa nominal/número de periodos en el año

Es decir, 20% / 4 = 5%. Si tenemos una tasa efectiva o periódica y queremos la tasa nominal, entonces: Tasa efectiva = tasa nominal x número de periodos en el año

Es decir, 5% x 4 = 20%. Ahora vamos a invertir $100 teniendo en cuenta que estamos hablando de interés compuesto.

Valor inicial: $100

Trimestre Tasa Interés Acumulado

1 5% 5 105

2 3 4 5% 5% 5% Valor final: $121,551 5,25 5,51 5,791 110,25 1115,76 121,55

Al final del año obtendremos la suma de $121,55; es decir que en un año nos ganamos $21,55, lo que equivale al 21,55%, y esta es la tasa más popular de todas, la cual recibe el nombre de efectiva anual. Teniendo en cuenta los conceptos anteriores, ¿en dónde realizaría su inversión: en un negocio que renta el 20%CT, en otro que renta el 5%ET o en otro que renta el 21,55%EA? Como se puede dar cuenta, las tres tasas son exactamente iguales, es decir, equivalentes. Resulta importante manejar el concepto de equivalencias de tasa, ya que si alguien no maneja las finanzas podría invertir a una tasa del 21,55%EA creyendo que en esa alternativa su dinero renta más; también alguien que necesite dinero podría endeudarse al 5%ET creyendo que esa alternativa es la más económica. El ejemplo anterior sirve para entender el concepto de una tasa nominal, una efectiva o periódica y una tasa efectiva anual, pero de ninguna manera es una herramienta que sirva para realizar equivalencias de tasas.





Matemáticas financieras para las niif

1 . 2 . 3 r e l a c i  n e n t r e u n a ta s a a n t i c i pa d a y u na v e n c i da Ejemplo 1.5: explicar la relación existente entre una tasa anticipada y una tasa vencida, suponiendo un 20%EAa (efectiva anual anticipada) Solución: Suponiendo que el valor futuro de una inversión es de $100 con una rentabilidad del 20%EAa, el valor inicial de la inversión correspondería a $80, ya que el 20% de 100 corresponde a $20, y $100 - $20 =$80. $100 100 - 20% = 80 i = 25% $80

Si a 100 le quito el 20% la respuesta es 80, pero ¿si a 80 le sumo el 20%? 80 x 1,2 = 96; entonces, si el valor inicial es de 80 y el valor final es 100, ¿cuál es la tasa? (100 / 80) - 1 x 100 = 0,25, es decir, el 25%. El 20%EAa (efectiva anual anticipada) corresponde al 25%EA (efectiva anual vencida), es decir que ambas tasas son equivalentes. Si tenemos una tasa anticipada, ¿cómo obtenemos una tasa equivalente vencida? Tasa efectiva = tasa anticipada / (1 - tasa anticipada)

Es decir 0,20/(1-0,2) = 0,25, lo que significa 25%EA. En esta fórmula las tasas deben estar efectivas y divididas entre 100. Si tenemos una tasa vencida, ¿cómo obtenemos una tasa equivalente anticipada? Tasa anticipada = tasa vencida / (1 + tasa vencida)

Es decir 0,25/(1+0,25) = 0,20, lo que significa 20%EAa. En esta fórmula las tasas deben ser efectivas y divididas entre 100. Cuando las tasas se expresan de manera anticipada, se ven más pequeñas que las tasas vencidas, y ese es un argumento para la utilización de las tasas anticipadas en Colombia. Sin embargo, debemos tener presente que en un

Las tasas de interés

cálculo financiero jamás utilizaremos una tasa anticipada y si tenemos una tasa expresada en términos anticipados lo primero que debemos hacer es convertirla a vencida para poder desarrollar las operaciones financieras sin ningún inconveniente. Atención: con el objetivo de evitar confusiones, debemos referirnos a una tasa de interés haciendo énfasis en su nombre, primer apellido y segundo apellido. Las tasas pueden expresarse en escalas diferentes y no se pueden resolver mediante regla de tres. Es necesario dominar los métodos de conversión de tasas, que consisten en poner una tasa en términos de otra y que, desde el punto de vista financiero, surtan el mismo efecto. Por último, jamás trabajaremos con una tasa anticipada, siempre vencidas.

1 . 2 . 4 c o n v e r s i  n d e ta s a s c o n e l m  t odo d e l t r a p e c i o Como ya sabemos, una tasa se puede expresar en términos de otra y esta operación se conoce como conversión de tasas o equivalencia de tasas. Realizaremos esta operación mediante una forma manual y con la calculadora financiera niif. Para realizar las conversiones de tasas manualmente, utilizaremos el método al que he llamado el trapecio. m  t odo d e l t r a p e c i o Lo que tengo 2

± ± E (1 ± E) = (1 ± X) E

E=N/P 1

N

Lo que quiero 3

N=ExP N

4

Para utilizar este método, lo primero que debemos hacer es identificar dónde estamos y para dónde vamos; después efectuamos las operaciones que indica el trapecio, teniendo en cuenta que las tasas deben estar divididas entre 100 y que a lo largo del proceso no podemos redondear los decimales. Finalmente, utilizaremos (+) cuando las tasas sean vencidas y (-) cuando las tasas sean anticipadas.





Matemáticas financieras para las niif

De la estación 1 a la estación 2 tomaremos una tasa nominal y la convertiremos a efectiva, de la estación 2 a la estación 3 cambiaremos los apellidos de las tasas y de la estación 3 a la estación 4 tomaremos una tasa efectiva y la transformaremos en nominal. Ejemplo 1.7: calcular la tasa nominal semestral equivalente a una tasa del 22%NT (nominal trimestral). Solución: Lo que tengo 2

Lo que quiero

± ± E (1 ± E) = (1 ± X) E

E=N/P 1

N

3

N=ExP N

4

La tasa que tenemos es una tasa nominal y la tasa que queremos es también una tasa nominal; por tal razón, debemos ir de la estación 1 a la estación 4 en el trapecio. Primer paso: de la estación 1 a la estación 2, debemos pasar el 22%NT a ET; tomamos la tasa del 22% y la dividimos entre 100 y después la pasamos a efectiva dividiéndola entre 4 porque hay 4 trimestres en un año. E = N /P E= 0,22/4 E = 0,055, es decir, 5,5%ET Segundo paso: de la estación 2 a la estación 3 está el convertidor de apellidos, donde la tasa que tenemos es trimestral vencida y la que queremos es semestral vencida. Dentro del primer paréntesis, la información es con relación a la tasa que tenemos; como la tasa que tenemos es vencida, tomamos el 1 y le sumamos la tasa efectiva dividida entre 100 y el exponente será 4 positivo por tratarse de una tasa trimestral vencida. En el segundo paréntesis la información es con relación a la tasa que queremos; el exponente será 2 positivo por tratarse de una tasa semestral vencida. El objetivo es despejar X de la ecuación; el exponente del lado derecho pasa a dividir al exponente del lado izquierdo y el 1 que está sumando pasa al otro lado a restar.

Las tasas de interés

(1 + 0,05)4 = (1 + X)2 (1,055)(4/2) = (1 + X) (1,055)2 - 1 = X X = 0,113025, es decir, el 11,3025%ES. Tercer paso: de la estación 3 a la estación 4, debemos pasar el 11,3025%ES a NS; para ello, tomamos la tasa del 0,113025 y la pasamos a nominal multiplicándola por 2 porque hay 2 semestres en un año. N=ExP E= 0,113025 x 2 E = 0,22605, es decir, 22,605%NS Respuesta: 22%NT es equivalente al 22,605%NS. Ejemplo 1.8: calcular la tasa efectiva anual equivalente a una tasa del 18%NMa (nominal mensual anticipada). Solución: Lo que tengo 2

± ± E (1 ± E) = (1 ± X) E

E=N/P 1

Lo que quiero 3

N=ExP

N

N

4

La tasa que tenemos es una tasa nominal y la tasa que queremos es una tasa efectiva; por tal razón, debemos ir de la estación 1 a la estación 3 en el trapecio. Primer paso: de la estación 1 a la estación 2, debemos pasar el 18%NMa a EMa. Tomamos la tasa del 18%, la dividimos entre 100 y después la pasamos a efectiva dividiéndola entre 12 porque hay 12 meses en un año. E = N /P E= 0,18/12 E = 0,015, es decir, 1,5%EMa





Matemáticas financieras para las niif

Segundo paso: de la estación 2 a la estación 3 está el convertidor de apellidos, donde la tasa que tenemos es mensual anticipada y la que queremos es anual vencida. En el primer paréntesis la información es con relación a la tasa que tenemos; como la tasa que tenemos es anticipada, tomamos el 1 y le restamos la tasa efectiva dividida entre 100 y el exponente será 12 negativo por tratarse de una tasa mensual anticipada. En el segundo paréntesis la información es con relación a la tasa que queremos; el exponente será 1 positivo por tratarse de una tasa anual vencida. El objetivo es despejar X de la ecuación; el exponente del lado derecho pasa a dividir al exponente del lado izquierdo y el 1 que está sumando pasa al otro lado a restar. (1 - 0,015)-12 = (1 - X)1 (0,985)(-12/1) = (1 + X) (0,985)-12 - 1 = X X = 0,198851067, es decir, el 19,8851067%EA. Tercer paso: no hay tercer paso porque me piden una tasa efectiva, y no nominal; por eso, debo llegar solamente a la estación 3, y no a la 4. Respuesta: 18%NMa es equivalente al 19,8851067%EA. Ejemplo 1.9: calcular la tasa nominal trimestre anticipado equivalente a una tasa del 1%EM (efectiva mensual). Solución: Lo que tengo 2

± ± E (1 ± E) = (1 ± X) E

E=N/P 1

N

Lo que quiero 3

N=ExP N

4

La tasa que tenemos es una tasa efectiva y la tasa que queremos es una tasa nominal; por tal razón, debemos ir de la estación 2 a la estación 4 en el trapecio.

Las tasas de interés

Primer paso: no hay primer paso porque ya tenemos una tasa efectiva, así que comenzamos desde la estación 2. Segundo paso: de la estación 2 a la estación 3 está el convertidor de apellidos, donde la tasa que tenemos es mensual vencida y la que queremos es trimestral anticipada. En el primer paréntesis la información es con relación a la tasa que tenemos; como la tasa que tenemos es vencida, tomamos el 1 y le sumamos la tasa efectiva dividida entre 100 y el exponente será 12 positivo, por tratarse de una tasa mensual vencida. En el segundo paréntesis, la información es con relación a la tasa que queremos; el exponente será 4 negativo por tratarse de una tasa trimestral anticipada y la X será negativa. El objetivo es despejar X de la ecuación; el exponente del lado derecho pasa a dividir al exponente del lado izquierdo y el 1 que está sumando pasa al otro lado a restar. (1 + 0,01)12 = (1 - X)-4 (1,01)(12/-4) = (1 - X) (1, 01)-3 - 1 = - X -X = -0,029409852 X = 0,029409852, es decir, el 2,9409852%ETa. Tercer paso: de la estación 3 a la estación 4, debemos pasar el 2,9409852%ETa a NTa; tomamos la tasa del 0,029409852 y la pasamos a nominal multiplicándola por 4 porque hay 4 trimestres en un año. N=ExP E= 0,029409852 x 4 E = 0,117639408, es decir, 11,7639408%NTa Respuesta: 1%EM es equivalente al 11,7639408%NTa. Ejemplo 1.10: calcular la tasa efectiva bimestral anticipada equivalente a una tasa del 0,05%E diario base 365 anticipada.





Matemáticas financieras para las niif

Solución: Lo que tengo 2

± ± E (1 ± E) = (1 ± X) E

E=N/P 1

N

Lo que quiero 3

N=ExP N

4

La tasa que tenemos es una tasa efectiva y la tasa que queremos también es una tasa efectiva; por tal razón, debemos ir de la estación 2 a la estación 3 en el trapecio. Primer paso: no hay primer paso porque ya tenemos una tasa efectiva; así que comenzamos desde la estación 2. Segundo paso: de la estación 2 a la estación 3 está el convertidor de apellidos, donde la tasa que tenemos es diaria base 365 anticipada y la que queremos es bimestral anticipada. En el primer paréntesis la información es con relación a la tasa que tenemos; como la tasa que tenemos es anticipada, tomamos el 1 y le restamos la tasa efectiva dividida entre 100, el exponente será 365 negativo por tratarse de una tasa diaria base 365 anticipada. En el segundo paréntesis la información es con relación a la tasa que queremos; el exponente será 6 negativo por tratarse de una tasa bimestral anticipada y la X será negativa. El objetivo es despejar X de la ecuación; el exponente del lado derecho pasa a dividir al exponente del lado izquierdo y el 1 que está sumando pasa al otro lado a restar. (1 - 0,0005)-365 = (1 - X)-6 (0,9995)(-365/-6) = (1 - X) (0,9995)(-365/-6) - 1 = -X -X = -0,029966113 X = 0,029966113, es decir, 2,9966113%E bimestral anticipada. Tercer paso: no hay tercer paso porque nos piden una tasa efectiva, y no la nominal; por eso, debemos llegar solamente a la estación 3, y no a la 4. Respuesta: 0,05% E diaria base 365 anticipada es equivalente a 2,9966113% E bimestral anticipada.

Las tasas de interés

1 . 2 . 5 c o n v e r s i  n d e ta s a s c o n l a c a l c u l a do r a financiera niif En la calculadora financiera niif ingresamos a tasas de interés y luego a tasas fijas donde introducimos la tasa que tenemos e indicamos su nombre y apellido; al otro lado especificamos el nombre y el apellido de la tasa que queremos y automáticamente se realiza la conversión. Ejemplo 1.11: calcular la tasa nominal trimestral anticipada equivalente a una tasa del 13% CS. Solución: Lo que tengo Tasa

13,00%

Lo que quiero Tipo

Nominal

Tipo

Nominal

Periodo

Trimestral

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Anticipada

Ven / Ant

Vencida

Resultado

12,39873351%

Respuesta: 13%CS es equivalente a 12,39873351%CTa. Ejemplo 1.12: calcular la tasa efectiva mensual equivalente a una tasa del 16% C bimestral anticipada. Solución: Lo que tengo Tasa

16,00%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Mensuall

Periodo

Bimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

1,36060676%

Respuesta: 16%C bimestral anticipada es equivalente a 1,36060676%EM.





Matemáticas financieras para las niif

Ejemplo 1.13: calcular la tasa efectiva diaria base 360 equivalente a una tasa del 5% ET. Solución: Lo que tengo Tasa

5,00%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Diaria B360

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

0,05422599%

Respuesta: 5%ET es equivalente a 0,05422599%E diaria base 360. Ejemplo 1.14: calcular la tasa convertible bimensual anticipada equivalente a una tasa del 0,045% E diaria base 365 anticipada. Solución: Lo que tengo Tasa

0,045%

Lo que quiero Tipo

Nominal

Tipo

Efectiva

Periodo

Bimensual

Periodo

Diaria B365

Ven / Ant

Anticipada

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

16,37259522%

Respuesta: 0,045%E diaria base 365 anticipada es equivalente a 16,37259522%C bimensual anticipada.

1 . 3 e l i n t e r  s c o n t i n uo El interés continuo es un tipo de interés compuesto que maneja periodos muy pequeños, inferiores a un día. Esto hace que, cuanto más pequeños sean, más veces se repitan los periodos en el año, haciendo que su número crezca de una forma indefinida.

Las tasas de interés

El interés continuo se utiliza en los contextos donde se maneja hiperinflación o en aquellos mercados que manejan periodos de capitalización muy cortos, por ejemplo los mercados bursátiles, donde los precios de las acciones cambian continuamente en el transcurso del día. En el entorno de las niif el tipo de interés continuo es importante, ya que muchos instrumentos financieros, como los derivados, es decir, forward, futuros y opciones, son valorados con tasas continuas. Una tasa de interés efectiva anual se puede convertir a una tasa de interés continuo sacando el logaritmo natural de la tasa efectiva anual dividida en 100 más 1. Interés continuo = Ln (1 + tasa efectiva anual)

Ejemplo 1.15: calcular la tasa de interés continuo equivalente a una tasa del 16% efectivo anual. Solución: Interés continuo = Ln (1+tasa efectiva anual) Interés continuo = Ln (1+0,16) Interés continuo = Ln (1,16) Interés continuo = 0,148420005, es decir, 14,8420005% continuo. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera niif; ingresamos a tasas de interés y luego a tasas fijas y se introducen los datos así: Tasa E. A.

16,0000000%

Tasa continua

14,84200051%

Respuesta: 16%EA es equivalente a 14,8420005% continuo. Una tasa de interés continuo se puede convertir a una tasa de interés efectiva tomando e, que corresponde al número Euler o constante de Napier (2,71828182846), y se eleva al interés continuo dividido entre 100; al resultado le restamos 1.





Matemáticas financieras para las niif

Interés efectivo anual = e(Interés continuo) - 1)

Ejemplo 1.16: calcular la tasa de interés efectiva anual equivalente a una tasa del 18% continua. Solución: Interés efectivo anual Interés efectivo anual Interés efectivo anual Interés efectivo anual

= e interés continuo - 1 = 2,71828182846 0,18 - 1 = 1,197217363 – 1 = 0,197217363, es decir, 19,7217363%EA.

Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas fijas, así: Tasa continua

18,0000000%

Tasa E. A.

niif,

tasas de interés,

19,72173631%

Respuesta: 18% continuo es equivalente a 19,7217363EA. Ejemplo 1.17: calcular la tasa de interés continuo equivalente a una tasa del 6% efectivo semestral. Solución: Primero convertimos la tasa del 6% ES a EA, es decir, de la estación 2 a la estación 3 del trapecio. (1 + 0,06)2 = (1 + X)1 (1,06)(2/1) = (1 +X) (1,06)2 -1 = X X = 0,1236 Finalmente convertimos la tasa del 12,36% EA a interés continuo:

Las tasas de interés

Interés continuo = Ln (1+tasa efectiva anual) Interés continuo = Ln (1+0,1236) Interés continuo = Ln (1,1236) Interés continuo = 0,1165378162, es decir, 11,65378162% continuo. También podemos utilizar el convertidor de tasas fijas de la calculadora financiera niif, así: Convertimos la tasa del 6%ES a EA. Lo que tengo Tasa

6,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Anual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

12,360000000%

Finalmente, convertimos la tasa del 12,36%EA a interés continuo: Tasa E. A.

12,3600000%

Tasa continua

11,65378162%

Respuesta: 6%ES es equivalente a 11,65378162% continuo. Ejemplo 1.18: calcular la tasa de interés efectiva mensual equivalente a una tasa del 13% continua. Solución: Primero convertimos la tasa del 13% continua a efectiva anual: Interés efectivo anual = e interés continuo - 1 Interés efectivo anual = 2,71828182846 0,13 – 1 Interés efectivo anual = 1,138828383 – 1 Interés efectivo anual = 0,138828383, es decir, 13,8828383%EA. Finalmente, convertimos la tasa del 13,8828383%EA a EM, es decir, de la estación 2 a la estación 3 del trapecio.





Matemáticas financieras para las niif

(1 + 0,138828383)1 = (1 + X)12 (1,138828383)(1/12) = (1 +X) (1,138828383)0,083333333 - 1 = X X = 0,010892226, es decir 1,0892226%EM También podemos utilizar el convertidor de tasas fijas de la calculadora financiera niif así: Convertimos la tasa del 13% continua a efectiva anual. Tasa continua

13,0000000%

Tasa E. A.

13,882838332%

Convertimos la tasa del 13,8828383%EA a EM. Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

13,8828383%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Mensual

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

1,089222637%

Respuesta: 13% de interés continuo es equivalente a 1,0892226%EM.

1 . 4 l a s ta s a s va r i a b l e s o i n d e x a d a s Las tasas variables o indexadas son un tipo de tasas que pueden aumentar o disminuir durante la vigencia de la operación financiera y fueron diseñadas con el fin de mitigar el riesgo de tasas de interés; este riesgo es al que nos enfrentamos cuando las tasas de interés suben o bajan y dependiendo de la situación en la que nos encontremos podemos ganar o perder. Las tasas variables están compuestas por dos partes: la primera corresponde a una tasa de referencia y la segunda corresponde a unos puntos o spread; la tasa de referencia puede cambiar, pero el spread se mantiene fijo y hace que las tasas se comporten de manera variable. Las tasas de referencia más utilizadas en Colombia son dtf, ipc e ibr, mientras que a escala internacional las tasas más utilizadas son la Libor y la Prime.

Las tasas de interés

1.4.1 dtf Es el promedio de la tasa de captación mediante certificados de depósito a término fijo (cdt) a 90 días de bancos, corporaciones y compañías de financiamiento comercial. Es calculado cada semana por el Banco de la República y se expresa en términos de nominal trimestre anticipado, aunque por disposición de la Superintendencia la dtf se debe publicar en términos efectivo anual. Para sumar los puntos sobre el dtf se requiere que se encuentre expresado como nominal trimestre anticipado; los puntos se suman o se restan directamente, ya que también se encuentran expresados como nominal trimestre anticipado, y el resultado, el cual llamaremos tasa total, también queda expresado como nominal trimestre anticipado. Después de sumarle los puntos la tasa resultante puede ser convertida a cualquier otra tasa de acuerdo con las necesidades. TT(NTa) = dtf (NTa) ± puntos (NTa)

Ejemplo 1.19: calcular la tasa total equivalente al dtf + 4,5. dtf = 5% CTa. Solución: Lo primero que debemos hacer es verificar que la dtf se encuentre expresada en términos CTa y después le sumamos los puntos directamente, ya que los puntos también se encuentran expresados en términos nominal trimestre anticipado. TT = dtf ± puntos TT = 5 + 4,5 TT = 9,5. Es decir, 9,5% CTa. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así:

niif,

tasas de interés,





Matemáticas financieras para las niif

DTF

5,000000%

CTa

Puntos

4,500000%

CTa

Tasa total

9,500000%

CTa

Respuesta: la tasa total es del 9,5% CTa. Ejemplo 1.20: calcular la tasa total equivalente al dtf - 2. dtf = 0,7% EM. Solución: Lo primero que debemos hacer es convertir el dtf del 0,7% EM a CTa, ya sea utilizando el trapecio o la calculadora financiera niif; eso nos da como resultado una dtf del 8,283757734% CTa y después le sumamos los puntos directamente, ya que se supone que los puntos se encuentran expresados también en términos nominal trimestre anticipado. TT = dtf ± puntos TT = 8,283757734 - 2 TT = 6,283757734. Es decir 6,283757734% CTa. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: DTF

8,283758%

CTa

Puntos

-2,000000%

CTa

Tasa total

6,283758%

CTa

niif,

tasas de interés,

Respuesta: la tasa total es del 6,283757734% CTa. Ejemplo 1.21: calcular la tasa efectiva semestral equivalente al dtf + 3,5. dtf = 5% EA.

Las tasas de interés

Solución: Lo primero que debemos hacer es convertir el dtf del 5% EA a CTa, ya sea utilizando el trapecio o la calculadora financiera niif; eso nos da como resultado una dtf del 4,849381031% CTa y después le sumamos los puntos directamente, ya que se supone que los puntos también se encuentran expresados en términos nominal trimestre anticipado. TT = dtf ± puntos TT = 4,849381031 + 3,5 TT = 8,349381031. Es decir, 8,349381031% CTa. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: DTF

4,849381%

CTa

Puntos

3,500000%

CTa

Tasa total

8,349381%

CTa

niif,

tasas de interés,

Utilizando el trapecio o la calculadora financiera niif, convertimos la tasa total del 8,349381031%CTa a ES, lo que nos da como resultado una tasa del 4,309136011% ES. Respuesta: la tasa total es del 4,309136011% ES.

1 . 4 . 2  n d i c e d e p r e c i o s a l c o n s u m i do r El índice de precios al consumidor (ipc) muestra el comportamiento de los precios de los bienes y servicios que componen la canasta familiar; es calculado por el dane y se expresa en términos efectivos anuales. El ipc cobra importancia debido a que la mayoría de créditos en el país se encuentran atados a la unidad de valor real (uvr) y el ipc es la variable que hace que la uvr modifique su valor.





Matemáticas financieras para las niif

Para sumar los puntos sobre el ipc, se requiere que se encuentre expresado en términos efectivos anuales; los puntos también se encuentran en términos efectivos anuales y el resultado, es decir, la tasa total, también queda expresada en términos efectivos anuales; aplicamos el principio financiero que dice que dos tasas efectivas no se pueden sumar ni restar directamente, así que es necesario utilizar el concepto de tasas combinadas. Las tasas deben ir divididas entre 100. TT(EA) = ipc (EA) ± puntos (EA) ± (ipc (EA) x puntos (EA))

Ejemplo 1.22: calcular la tasa total equivalente al ipc + 9. ipc = 7% EA. Solución: Lo primero que debemos hacer es verificar que el ipc se encuentre expresado en términos EA y después le sumamos los puntos mediante tasas combinadas. Se supone que los puntos también se encuentran expresados en términos efectivos anuales; téngase presente que tanto el ipc como los puntos deben estar divididos entre 100. TT = ipc ± puntos ± (ipc x puntos) TT = 0,07 + 0,09 + (0,07 x 0,09) TT = 0,1663. Es decir, 16,63% EA. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: IPC

7,000000%

EA

Puntos

9,000000%

EA

Tasa total

16,630000%

EA

niif,

tasas de interés,

Respuesta: la tasa total es del 16,63% EA. Ejemplo 1.23: calcular la tasa total equivalente al ipc - 3. ipc = 5% ES.

Las tasas de interés

Solución: Lo primero que debemos hacer es convertir el ipc del 5% ES a EA; eso nos da como resultado un ipc del 10,25% EA y después le sumamos los puntos mediante tasas combinadas. Se supone que los puntos también se encuentran expresados en términos efectivos anuales; téngase presente que tanto el ipc como los puntos deben estar divididos entre 100. TT = ipc ± puntos ± (ipc x puntos) TT = 0,1025 - 0,03 - (0,1025 x 0,03) TT = 0,069425. Es decir, 6,9425% EA. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: IPC

10,250000%

EA

Puntos

-3,000000%

EA

Tasa total

6,942500%

EA

niif,

tasas de interés,

Respuesta: la tasa total es del 6,9425% EA. Ejemplo 1.24: calcular la tasa efectiva trimestral equivalente al dtf = 0,7% EMa.

dtf

+ 6.

Solución: Primero convertimos el ipc del 0,7% EMa a EA, lo cual nos da como resultado un ipc del 8,795020426% EA y después le sumamos los puntos mediante tasas combinadas. Se supone que los puntos también se encuentran expresados en términos efectivos anuales; téngase presente que tanto el ipc como los puntos deben estar divididos entre 100. TT = ipc ± puntos ± (ipc x puntos) TT = 0,0879502 + 0,06 + (0,0879502 x 0,06) TT = 0,15322722. Es decir, 15,322722% EA.





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: IPC

8,795020%

EA

Puntos

6,000000%

EA

Tasa total

15,322722%

EA

niif,

tasas de interés,

Respuesta: la tasa total es del 15,322722% EA.

1 . 4 . 3 i n d i c a do r b a n c a r i o d e r e f e r e n c i a El indicador bancario de referencia (ibr) busca reflejar la liquidez del mercado monetario de Colombia; nos muestra el precio al que los bancos están dispuestos a ofrecer o a captar recursos en el mercado monetario. Este es un indicador desarrollado por el sector privado, con el respaldo del Banco de la República y otras entidades; pretende mostrar correctamente el costo del dinero en el mercado monetario. El ibr se presenta de forma diaria u overnight, mensual, trimestral y semestral. El indicados se puede presentar de forma efectiva y hace referencia a una tasa efectiva anual, pero también se puede encontrar de forma nominal, haciendo referencia a una tasa expresada en términos nominal diaria vencida base 360 para el ibr overnight, nominal mensual vencida para el ibr a 1 mes, nominal trimestral vencida para el ibr a 3 meses y nominal semestral vencida para el ibr a 6 meses. Para adicionarle puntos al ibr, depende del tipo de ibr que se esté utilizando: ibr

overnight

Para sumar los puntos sobre el ibr overnight, se requiere que se encuentre expresado como nominal diaria vencida en base 360; los puntos se suman o se restan directamente, ya que también se encuentran expresados como nominal diaria vencida en base 360 y el resultado, el cual llamaremos tasa total, también queda expresado como nominal diaria vencida en base 360.

Las tasas de interés

Después de sumarle los puntos, la tasa resultante puede ser convertida a cualquier otra tasa de acuerdo a las necesidades. TT(N diaria B360) = ibr (N diaria B360) ± puntos (N diaria B360)

Ejemplo 1.25: calcular la tasa efectiva mensual equivalente al ibr overnight + 5,6. ibr overnight = 6,2% nominal. Solución: Cuando el ibr overnight se encuentre expresado en términos nominales, es porque la tasa se encuentra en términos nominal diaria vencida base 360 y debemos adicionar los puntos directamente, ya que los puntos también se encuentran expresados en términos nominal diaria vencida base 360. TT = ibr ± puntos TT = 6,2 + 5,6 TT = 11,8. Es decir, 11,8% C diaria base 360. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: overnight

6,200000%

C diaria B360

Puntos

5,600000%

C diaria B360

Tasa total

11,800000%

C diaria B360

IBR

niif,

tasas de interés,

Utilizando el trapecio o la calculadora financiera niif, convertimos la tasa total del 11,8% C diario base 360 a EM; eso nos da como resultado una tasa del 0,988021227% EM. Respuesta: la tasa total es del 0,988021227% EM.





Matemáticas financieras para las niif

ibr

1 mes

Para sumar los puntos sobre el ibr a 1 mes, se requiere que se encuentre expresado como nominal mes vencido; los puntos se suman o se restan directamente, ya que también se encuentran expresados como nominal mes vencido y el resultado, el cual llamaremos tasa total, también queda expresado como nominal mes vencido. Después de sumarle los puntos, la tasa resultante puede ser convertida a cualquier otra tasa de acuerdo a las necesidades. TT(NM) = ibr (NM) ± puntos (NM)

Ejemplo 1.26: calcular la tasa efectiva bimestral equivalente al ibr 1 mes + 3,6. ibr 1 mes = 5,4% nominal. Solución: Cuando el ibr 1 mes se encuentre expresado en términos nominales, es porque la tasa se encuentra en términos nominal mensual y debemos adicionar los puntos directamente, ya que los puntos también se encuentran expresados en términos nominal mensual. TT = ibr ± puntos TT = 5,4 + 3,6 TT = 9. Es decir, 9% CM. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: 1 mes

5,400000%

CM

Puntos

3,600000%

CM

Tasa total

9,000000%

CM

IBR

niif,

tasas de interés,

Utilizando el trapecio o la calculadora financiera niif, convertimos la tasa total del 9% CM a E bimestral; eso nos da como resultado una tasa del 1,505625% E bimestral.

Las tasas de interés

Respuesta: la tasa total es del 1,505625% E bimestral. ibr

3 meses

Para sumar los puntos sobre el ibr a 3 meses, se requiere que se encuentre expresado como nominal trimestre vencido: los puntos se suman o se restan directamente, ya que también se encuentran expresados como nominal trimestre vencido y el resultado, el cual llamaremos tasa total, también queda expresado como nominal trimestre vencido. Después de sumarle los puntos, la tasa resultante puede ser convertida a cualquier otra tasa de acuerdo a las necesidades. TT(NT) = ibr (NT) ± puntos (NT)

Ejemplo 1.27: calcular la tasa efectiva semestral equivalente al ibr 3 meses + 4,7. ibr 3 meses = 6% nominal. Solución: Cuando el ibr 3 meses se encuentre expresado en términos nominales, es porque la tasa se encuentra en términos nominal trimestral y debemos adicionar los puntos directamente, ya que los puntos también se encuentran expresados en términos nominal trimestral. TT = ibr ± puntos TT = 6 + 4,7 TT = 10,7. Es decir, 10,7% CT. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: 3 mes

6,000000%

CT

Puntos

4,700000%

CT

Tasa total

10,700000%

CT

IBR

niif,

tasas de interés,





Matemáticas financieras para las niif

Utilizando el trapecio o la calculadora financiera niif, convertimos la tasa total del 10,7% CT a ES, lo que nos da como resultado una tasa del 5,421556250% ES. Respuesta: la tasa total es del 5,421556250% ES. ibr

6 meses

Para sumar los puntos sobre el ibr a 6 meses, se requiere que se encuentre expresado como nominal semestre vencido; los puntos se suman o se restan directamente, ya que también se encuentran expresados como nominal semestre vencido y el resultado, el cual llamaremos tasa total, también queda expresado como nominal semestre vencido. Después de sumarle los puntos, la tasa resultante puede ser convertida a cualquier otra tasa de acuerdo a las necesidades. TT(NS) = ibr (NS) ± puntos (NS)

Ejemplo 1.28: calcular la tasa efectiva anual equivalente al ibr 6 meses + 3,8. ibr 6 meses = 7,3% nominal. Solución: Cuando el ibr 6 meses se encuentre expresado en términos nominales, es porque la tasa se encuentra en términos nominal semestral y debemos adicionar los puntos directamente, ya que los puntos también se encuentran expresados en términos nominal semestral. TT = ibr ± puntos TT = 7,3 + 3,8 TT = 11,1. Es decir, 11,1% CS. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así:

niif,

tasas de interés,

Las tasas de interés

6 mes

7,300000%

CS

Puntos

3,800000%

CS

Tasa total

11,100000%

CS

IBR

Utilizando el trapecio o la calculadora financiera niif, convertimos la tasa total del 11,1% CS a EA; eso nos da como resultado una tasa del 11,408025% EA. Respuesta: la tasa total es del 11,408025% EA. Nota: con relación al ibr, trate de buscar el valor en términos nominales para poder adicionar los puntos; no intente convertir la tasa efectiva a nominal, ya que la Superintendencia Financiera realiza este cálculo con un manejo de decimales diferente y tendrá un pequeño desfase con relación a la conversión tradicional.

1.4.4 prime Es la tasa preferencial a la que se negocian los créditos en moneda extranjera; corresponde al promedio de la tasa cobrada por los bancos de los Estados Unidos a los créditos adquiridos por las empresas más importantes de ese país. La prime se expresa en términos efectivos anuales, y aunque en teoría los puntos adicionales o spread deberían sumarse mediante tasas combinadas, en la realidad, por practicidad y costumbre, los puntos se suman directamente, ya que se aduce que la prime y el spread son tan pequeños que prácticamente es lo mismo sumar los puntos mediante tasas combinadas que sumar los puntos directamente. TT(EA) = prime (EA) ± puntos (EA)

Ejemplo 1.29: calcular la tasa total equivalente al prime + 5. Prime = 4% EA. Solución: Lo primero que debemos hacer es verificar que la prime se encuentre expresada en términos EA y después le sumamos los puntos directamente, ya que aunque en teoría los puntos adicionales o spread de tasas efectivas





Matemáticas financieras para las niif

deberían sumarse mediante tasas combinadas, en la realidad, por practicidad y costumbre, los puntos se suman directamente. TT = prime ± puntos TT = 4 + 5 TT = 9. Es decir, 9% EA. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: Prime

4,000000%

EA

Puntos

5,000000%

EA

Tasa total

9,000000%

EA

niif,

tasas de interés,

Respuesta: la tasa total es del 9% EA. Ejemplo 1.30: una empresa colombiana solicita un préstamo al Total Bank de Miami, el cual cobra un interés de prime + 8; la prime equivale al 5,5% EA. Calcular el costo de la financiación suponiendo: A. Que el peso se devalúa en un 3% anual frente al dólar. B. Que el peso se revalúa en un 2% anual frente al dólar. Solución: A. El peso se devalúa en un 3% anual frente al dólar Lo primero que debemos hacer es calcular la tasa total; con la tasa prime no tenemos ningún inconveniente, ya que se encuentra expresada en términos efectivos anuales y los puntos se le suman directamente. TT = prime ± puntos TT = 5, 5 + 8 TT = 13,5. Es decir, 13,5% EA.

Las tasas de interés

Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: Prime

5,500000%

EA

Puntos

8,000000%

EA

Tasa total

13,500000%

EA

niif,

tasas de interés,

El banco cobra una tasa equivalente al 13,5% EA; sin embargo, el peso se devalúa un 3% anual frente al dólar; esta devaluación juega en contra de los intereses de la empresa colombiana, ya que, cuando va a pagar sus cuotas en dólares, el valor del dólar se ha incrementado por efectos de la devaluación del peso. Si queremos calcular el costo del préstamo, es necesario tener en cuenta tanto el 13,5% EA cobrado por el banco como la devaluación del 3% anual del peso frente al dólar; estas tasas deben sumarse, pero no directamente sino mediante tasas combinadas, así: TT = tasa cobrada por el banco + devaluación + (tasa cobrada por el banco x devaluación) TT = 0,135 + 0,03 + (0,135 x 0,03) TT = 0,16905. Es decir, 16,905% EA. Calculadora financiera niif También podemos utilizar el convertidor de tasas variables de la calculadora financiera niif en tasa combinada, donde en tasa 1 se ingresa la tasa cobrada por el banco y en tasa 2 se ingresa la devaluación con valor positivo. Tasa 1

13,500000%

EA

Tasa 2

3,000000%

EA

Tasa combinada

16,905000%

EA

Respuesta: el costo total del préstamo es del 16,905% EA.





Matemáticas financieras para las niif

B. El peso se revalúa en un 2% anual frente al dólar Lo primero que debemos hacer es calcular la tasa total; con la tasa prime no tenemos ningún inconveniente, ya que se encuentra expresada en términos efectivos anuales y los puntos se le suman directamente. TT = prime ± puntos TT = 5, 5 + 8 TT = 13,5. Es decir, 13,5% EA. Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: Prime

5,500000%

EA

Puntos

8,000000%

EA

Tasa total

13,500000%

EA

niif,

tasas de interés,

El banco cobra una tasa equivalente al 13,5% EA; sin embargo, el peso se revalúa en un 2% anual frente al dólar; esta revaluación juega a favor de los intereses de la empresa colombiana, ya que, cuando va a pagar sus cuotas en dólares, el valor del dólar ha disminuido por efectos de la revaluación del peso, es decir que compra los dólares más baratos en el momento de pagar la obligación. Si queremos calcular el costo del préstamo, es necesario tener en cuenta tanto el 13,5% EA cobrado por el banco como la revaluación del 2% anual del peso frente al dólar; estas tasas se deben restar, pero no directamente, sino mediante tasas combinadas, así: TT = tasa cobrada por el banco - revaluación - (tasa cobrada por el banco x revaluación) TT = 0,135 - 0,02 - (0,135 x 0,02) TT = 0,1123. Es decir, 11,23%EA.

Las tasas de interés

Calculadora financiera niif También podemos utilizar el convertidor de tasas variables de la calculadora financiera niif en tasa combinada, donde en tasa 1 se ingresa la tasa cobrada por el banco y en tasa 2 se ingresa la revaluación con valor negativo. Tasa 1

13,500000%

EA

Tasa 2

-2,000000%

EA

Tasa combinada

11,230000%

EA

Respuesta: el costo total del préstamo es del 11,23% EA.

1 . 4 . 5 l i bo r Es una referencia utilizada a escala mundial e indica la tasa a la que se prestan los bancos entre sí; la libor se calcula de manera diaria y está expresada en términos efectivos anuales. Hasta antes de 2014 esta tasa era calculada por la Asociación de Banqueros Británicos (bba); sin embargo, a raíz de los escándalos suscitados en 2012, cuando se manipuló la libor con el objetivo de que algunos bancos lograran beneficios económicos, se decidió en 2013 que la operadora de la bolsa de Nueva York sea la encargada de calcular el valor de la libor. La libor es calculada diariamente para las 10 divisas más importantes, dentro de las cuales se encuentra el euro, la libra esterlina, el yen, el dólar estadounidense, el dólar canadiense, el dólar australiano, el dólar neozelandés, la corona danesa, la corona sueca y el franco suizo; además, la libor se calcula teniendo en cuenta 15 vencimientos: diario, a una semana, a dos semanas, a 1 mes, a 2 meses, a 3, a 4, a 5, a 6, a 7, a 8, a 9, a 10, a 11 y a 12 meses. Es decir que todos los días se publican 150 tasas libor. Dependiendo de la moneda y el plazo del negocio financiero, se elige cuál libor hay que utilizar. Al igual que la prime, la libor se expresa en términos efectivos anuales y, aunque en teoría los puntos adicionales o spread deberían sumarse mediante tasas combinadas, en la práctica los puntos se suman o se restan directamente. TT(EA) = libor (EA) ± puntos (EA)





Matemáticas financieras para las niif

Ejemplo 1.31: calcular la tasa total equivalente a la libor + 275 puntos básicos, suponiendo una libor del 3,75%EA. Solución: Siempre requerimos la libor expresada en términos efectivos anuales, ya que los puntos son efectivos anuales; los puntos se suman o se restan directamente. En este ejemplo no tenemos problema con la libor, ya que se encuentra en términos efectivos anuales (3,75%EA), pero, ¿qué hacemos con los 275 puntos básicos? Un punto básico corresponde a la centésima parte de un punto porcentual, así que, si queremos convertir los puntos básicos a una tasa común, lo que debemos hacer es tomar los puntos básicos y dividirlos entre 100. 275 puntos básicos / 100 = 2,75%, es decir: TT = libor ± puntos TT = 3,75 + 2,75 TT = 6,5% EA Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: Libor Puntos básicos Tasa total

3,750000%

EA

275

EA

6,500000%

EA

niif,

tasas de interés,

Respuesta: la tasa total es de 6,5% EA.

1 . 5 ta s a s r e a l e s o d e f l a c ta d a s ¿Qué país ofrece una mayor rentabilidad: el país A, que ofrece una rentabilidad del 60%EA, o el país B, que ofrece una rentabilidad del 12%EA? Aparentemente el país A ofrece una mayor rentabilidad.

Las tasas de interés

Ahora: ¿cuál es su opinión si se sabe que la inflación en el país A es del 55% anual, mientras que la inflación en el país B es del 3% anual? ¿Seguiría creyendo que en el país A encontraremos una mayor rentabilidad comparada con la rentabilidad que podríamos encontrar en el país B? Para poder comparar las rentabilidades ofrecidas en ambos países, deberíamos quitar la inflación y así determinar la rentabilidad que realmente se ofrece en cada país. La tasa que se obtiene después de tomar la rentabilidad y quitarle la inflación se conoce con el nombre de tasa real o deflactada. La tasa de interés antes de quitarle la inflación se conoce con el nombre de tasa nominal; este concepto nada tiene que ver con la clasificación del interés compuesto donde según el nombre las tasas pueden ser o nominales o efectivas; se llaman igual, pero estamos hablando de dos cosas diferentes. Sin embargo, así como en teoría 2 tasas efectivas no se pueden sumar directamente, 2 tasas efectivas no se pueden restar directamente y es necesario utilizar el concepto de tasas combinadas; de esta forma, si queremos calcular una tasa real, debemos utilizar la siguiente ecuación: Tasa real (EA) = (tasa nominal (EA) - inflación anual) / (1 + inflación anual)

Ejemplo 1.32: calcular la tasa real y así determinar qué país ofrece una mayor rentabilidad: el país A, que ofrece una rentabilidad del 60%EA, o el país B, que ofrece una rentabilidad del 12%EA. La inflación en el país A es del 55% anual, mientras que la inflación en el país B es del 3% anual. Solución: Tasa real del país A: Tasa real país A = tasa nominal - inflación) / (1 + inflación) Tasa real país A = (0,60 – 0,55) / (1 + 0,55) Tasa real país A = 0,05/1,55 Tasa real país A = 0,032258. Es decir, 3,2258% EA Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así:

niif,

tasas de interés,





Matemáticas financieras para las niif

Tasa nominal

60,000000%

EA

Inflación

55,000000%

EA

Tasa real

3,225806%

EA

Tasa real del país B: Tasa real país B = tasa nominal - inflación) / (1 + inflación) Tasa real país B = (0,12 – 0,03) / (1 + 0,03) Tasa real país B = 0,09/1,03 Tasa real país B = 0,087378641. Es decir, 8,7378641% EA Calculadora financiera niif También podemos utilizar la calculadora financiera tasas variables, así: Tasa nominal

12,000000%

EA

Inflación

3,000000%

EA

Tasa real

8,737864%

EA

niif,

tasas de interés,

Respuesta: aunque en términos nominales la rentabilidad del país A (60%EA) es mayor que la rentabilidad en el país B (12%EA), en términos reales, es decir, quitándole el efecto de la inflación, la rentabilidad real del país A (3,2258%EA) es menor que la rentabilidad real del país B (8,7378641%EA).

Las tasas de interés

ejercicios propuestos captulo 1 l a s ta s a s d e i n t e r  s 1. Tasas fijas: realizar las siguientes conversiones de tasas de interés utilizando el método del trapecio y confirmando con el uso de la calculadora financiera niif: a. 16% CT a C diario base 365 b. 18% CS a C bimensual c. 14% CTa a CMa d. 21% CMa a CSa e. 12% C bimestral a CMa f. 20% CSa a EA g. 0,04% E diario base 366 a EM h. 7% ES a E bimestral i. 1,3% EMa a ESa j. 0,5% E bimensual anticipada a ETa k. 4% ET a EMa l. 11% EA a ESa m. 1,4% EMa a ET n. 2,5% ETa a EA o. 19% C diario base 365 a ETa p. 9% ES a CTa q. 0,6% E bimensual anticipada a CS r. 15% CTa a EMa s. 2,8% Ebimestral anticipada a CSa t. 23% CMa a E diaria base 365

Respuesta: 15,69165728% C diario base 365 Respuesta: 17,29757596% C bimensual Respuesta: 14,16658532% CMa Respuesta: 20,10240810% CSa Respuesta: 11,82294843% CMa Respuesta: 23,45679012% EA Respuesta: 1,22722543% EM Respuesta: 2,28091218% E bimestral Respuesta: 7,55085138% ESa Respuesta: 2,96274906% ETa Respuesta: 1,29884831% EMa Respuesta: 5,08420042% ESa Respuesta: 4,32040277% ET Respuesta: 10,65767400% EA Respuesta: 4,63777414% ETa Respuesta: 16,86948591% CTa Respuesta: 14,97768552% CS Respuesta: 1,26595889% EMa Respuesta: 16,33399040% CSa Respuesta: 0,063645654% E diaria base 365

2. Tasas continuas: realizar las siguientes conversiones de tasas de interés utilizando el método manual y confirmando con el uso de la calculadora financiera niif: a. 19% EA a continua b. 15% continua a EA c. 6% ESa a continua d. 11% continua a CM e. 5% ET a continua f. 13% continua a E bimestral g. 17% C bimensual a continua h. 14% continua a EMa i. 0,04% E diario base 360 a continua j. 16% continua a E diario base 365

Respuesta: 17,39533071% continua Respuesta: 16,18342427% EA Respuesta: 12,37508074% continua Respuesta: 11,05057107% CM Respuesta: 19,516065668% continua Respuesta: 2,190309333% E bimestral Respuesta: 16,940074482% continua Respuesta: 1,1598875% EMa Respuesta: 14,397120768% continua Respuesta: 0,043845226% E diario base 365





Matemáticas financieras para las niif

3. Tasas variables: realizar las siguientes conversiones de tasas variables o indexadas, utilizando el método manual y confirmando con el uso de la calculadora financiera niif: a. Calcular la tasa nominal trimestre anticipado, equivalente al dtf + 4,5. dtf = 6% CTa. Respuesta: 10,5% CTa b. Calcular la tasa efectiva mensual, equivalente al dtf + 3,8. dtf = 5,4% EA. Respuesta: 0,76358291% EM c. Calcular la tasa efectiva anual, equivalente al dtf - 3. dtf = 3,5% ES. Respuesta: 3,914495578% EA d. Calcular la tasa efectiva anual, equivalente al ipc + 7. ipc = 5,5% EA. Respuesta: 12,885% EA e. Calcular la tasa efectiva trimestral, equivalente al ipc + 6,4. ipc = 0,7% EM. Respuesta: 3,710760438% ET f. Calcular la tasa efectiva bimestral, equivalente al ipc – 2,5. ipc = 2% ET. Respuesta: 0,902257713% E bimestral g. Calcular la tasa efectiva trimestral equivalente al ibr overnight + 4,5. ibr overnight = 5,6% nominal. Respuesta: 2,556784945% ET h. Calcular la tasa nominal semestral equivalente al ibr 1 mes + 5,4. ibr 1 mes = 6,2% nominal. Respuesta: 11,883972816% CS i. Calcular la tasa efectiva anual equivalente al ibr 3 meses + 6. ibr 3 meses = 6,75% nominal. Respuesta: 13,372666803% EA

Las tasas de interés

j. Calcular la tasa nominal mensual equivalente al ibr 6 meses + 8. ibr 6 meses = 7,15% nominal. Respuesta: 14,692840813% CM k. Calcular la tasa efectiva anual, equivalente a la prime + 5,2. Prime = 4% EA. Respuesta: 9,2% EA l. Calcular la tasa efectiva mensual, equivalente a la prime + 2,6. Prime = 2% ES. Respuesta: 0,537175055% EM m. Calcular la tasa efectiva bimensual, equivalente a la prime + 3,7. Prime = 1% E bimestral. Respuesta: 0,392283912% E bimensual n. Calcular la tasa efectiva anual, equivalente a la libor + 280 PB. Libor = 3,8% EA. Respuesta: 6,6% EA o. Calcular la tasa efectiva semestral, equivalente a la libor + 340 PB. Libor = 1,5% ET. Respuesta: 4,659617361%ES p. Calcular la tasa efectiva mensual, equivalente a la libor + 175 PB. Libor = 2,5% ES. Respuesta: 0,550717361% EM 4. Tasa real: la siguiente información corresponde a la tasa a la cual en promedio cada uno de los países en cuestión les prestan a los clientes preferenciales y su respectiva inflación: Argentina ee.uu. Colombia Sudáfrica Tailandia

Tasa de colocación EA 26,5% 4,0% 12,0% 10,0% 7,0%

Inflación anual 14,3% 1,6% 8,2% 6,2% 1,8%





Matemáticas financieras para las niif

Con la información anterior, realizar un ranking donde se pueda evidenciar de mayor a menor la tasa real que se cobra en cada uno de los países. Respuesta: 1 2 3 4 5

Argentina Tailandia Sudáfrica Colombia ee.uu.

Tasa real EA 10,67% 5,11% 3,58% 3,51% 2,36%

captulo 2

El valor del dinero en el tiempo

El valor del dinero en el tiempo hace referencia a un principio básico de las finanzas que nos dice que $100 de hoy no son lo mismo que $100 de mañana; el dinero toma valores diferentes a través del tiempo y mucho más si lo vemos a la luz de una tasa de interés. Entonces, ¿cómo relacionar pesos de hoy con pesos de mañana?, ¿cómo relacionar pesos de hoy con pesos del pasado? Este es precisamente el reto al que nos enfrentamos con las niif, ya que se puede sumar pesos de hoy con pesos de mañana, pero no desde el punto de vista matemático, sino desde el punto de vista financiero. La relación del valor del dinero en el tiempo se puede presentar con interés simple, interés compuesto e interés continuo, pero son estos dos últimos los que se utilizan a la luz de las niif.

2 . 1 e l va l o r d e l d i n e r o e n e l t i e m p o , con inters simple En el interés simple no existe la capitalización de intereses y aunque en el sistema financiero formal no se usa este tipo de interés, su uso se presenta en ciertas operaciones puntuales, por ejemplo en cálculos de descuentos, en el cobro de intereses de mora de ciertas entidades gubernamentales y en el sector financiero informal en el que encontramos los prestamistas, casas de empeño, los gota a gota, etc. La ecuación básica del valor del dinero en el tiempo, cuando se habla de interés simple, es la siguiente: VF = VP x (1 + (N x i))

Donde: VF: valor final o monto. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que retorna dicha inversión; cuando hablamos de un crédito, corresponde al valor por cancelar para pagar una obligación. VP: valor presente. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que se invierte; cuando hablamos de un crédito, corresponde al préstamo que se solicita. N: tiempo durante el cual se realiza una inversión o el plazo de un préstamo.





Matemáticas financieras para las niif

i: tasa de interés. Corresponde al porcentaje ofrecido en una inversión o que se cobra en un préstamo. Atención: cuando se utiliza la ecuación del valor del dinero en el tiempo con interés simple, debemos tener presente que el tiempo y la tasa deben estar expresados en la misma unidad de medida. En caso de que el tiempo y la tasa de interés no manejen la misma periodicidad, el problema se puede resolver mediante una regla de 3, ya sea cambiando el tiempo, la tasa o ambos. Tenga presente que lo anterior ocurre solo para el interés simple y el interés continuo, y no para el interés compuesto.

Ejemplo 2.1: calcular el valor final de una inversión de $8.000.000 que se realiza en un fondo que renta el 12% anual simple después de transcurridos 30 meses. Gráfica: VF = ? –––––––– N = 30 meses ––––––––– i = 12% anual simple VP = $8.000.000

Solución: Observe que el tiempo se encuentra expresado en meses y la tasa de interés simple se encuentra expresada en años, así que debemos resolver el problema utilizando alguna de las siguientes estrategias: Estrategia 1: cambiar el tiempo Cambiamos el tiempo mediante una simple regla de 3; si un año tiene 12 meses, ¿30 meses cuántos años son? Tomamos 30 y lo dividimos entre 12 y eso nos da como resultado 2,5 años. Tenga en cuenta que si cambiamos el tiempo mediante una regla de 3, debemos utilizar todos los decimales, en caso de que existan. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual y la calculadora financiera niif.

El valor del dinero en el tiempo

Fórmula manual VF = VP x (1 + (N x i)) VF = 8.000.000 x (1 + (2,5 x 0,12)) VF = 8.000.000 x (1 + 0,3) VF = 8.000.000 x 1,3 VF = 10.400.000 Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés simple y seleccionamos la alternativa de valor futuro e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor futuro simple

Valor presente (VP)

8.000.000,00 2,50000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

12,000000000%

Valor futuro (VF)

$10.400.000,00

Estrategia 2: cambiar la tasa Cambiamos la tasa mediante una regla de 3 por tratarse de interés simple; si la tasa es del 12% anual simple y la necesitamos mensual simple, dividimos la tasa entre 12 porque 1 año tiene 12 meses y eso da como resultado una tasa del 1% mensual simple. No se olvide de utilizar todos los decimales, en caso de que existan. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + (N x i)) VF = 8.000.000 x (1 + (30 x 0,01)) VF = 8.000.000 x (1 + 0,3) VF = 8.000.000 x 1,3 VF = 10.400.000





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés simple y seleccionamos la alternativa de valor futuro e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor futuro simple

Valor presente (VP) Tiempo (n)

8.000.000,00 30,00000

Tasa de interés (i)

1,000000000%

Valor futuro (VF)

$10.400.000,00

Respuesta: el valor futuro es $10.400.000. Ejemplo 2.2: calcular el valor inicial de una inversión si después de transcurridos 21 bimestres, a una tasa de interés del 8% semestral simple, retorna la suma de $10.000.000. Gráfica: VF = $10.000.000 –––––––– N = 21 bimestres ––––––––– i = 8% semestral simple VP = ?

Solución: Observe que el tiempo se encuentra expresado en bimestres y la tasa de interés simple se encuentra expresada en semestres, así que debemos resolver el problema utilizando alguna de las siguientes estrategias: Estrategia 1: cambiar el tiempo Cambiamos el tiempo mediante una simple regla de 3: si un semestre tiene 3 bimestres, ¿21 bimestres cuántos semestres son? Tomamos 21 y lo dividimos entre 3 y eso nos da como resultado 7 semestres. Tenga en cuenta

El valor del dinero en el tiempo

que, si cambiamos el tiempo mediante regla de 3, debemos utilizar todos los decimales en caso de que existan. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + (N x i)) 10.000.000 = VP x (1 + (7 x 0,08)) 10.000.000 = VP x (1 + 0,56) VP = 10.000.000 / 1,56 VP = 6.410.256,41 Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés simple y seleccionamos la alternativa de valor presente e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor presente simple

Valor futuro (VF)

10.000.000,00 7

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

8,000000000%

Valor presente (VP)

$6.410.256,41

Estrategia 2: cambiar la tasa Cambiamos la tasa mediante una regla de 3 por tratarse de interés simple; si la tasa es del 8% semestral simple y la necesitamos bimestral simple, dividimos la tasa entre 3 porque 1 semestre tiene 3 bimestres y eso da como resultado una tasa del 2,6666666666% bimestral simple. No se olvide de utilizar todos los decimales, en caso de que existan. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual y la calculadora financiera niif.





Matemáticas financieras para las niif

Fórmula manual VF = VP x (1 + (N x i)) 10.000.000 = VP x (1 + (21 x 0,0266666666)) 10.000.000 = VP x (1 + 0,56) VP = 10.000.000 / 1,56 VP = 6.410.256,41 Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés simple y seleccionamos la alternativa de valor presente e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor presente simple

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

10.000.000,00 21

Tasa de interés (i)

2,66666667%

Valor presente (VP)

$6.410.256,41

Respuesta: el valor presente es $6.410.256,41. Ejemplo 2.3: ¿a qué tasa mensual simple $2.000.000 se convierten en $2.400.000 en 9 trimestres? Gráfica: VF = $2.400.000 –––––––– N = 9 trimestres ––––––––– i = ? mensual simple VP = $2.000.000

Solución: Observe que el tiempo se encuentra expresado en trimestres y la tasa la piden mensual simple así que debemos resolver el problema utilizando alguna de las siguientes estrategias:

El valor del dinero en el tiempo

Estrategia 1: cambiar el tiempo Cambiamos el tiempo mediante una simple regla de 3; si un trimestre tiene 3 meses, ¿9 trimestres cuántos meses son? Tomamos 9 y lo multiplicamos por 3 y eso nos da como resultado 27 meses. Tenga en cuenta que si cambiamos el tiempo mediante regla de 3, debemos utilizar todos los decimales, en caso de que existan. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + (N x i)) 2.400.000 = 2.000.000 x (1 + (27 x i)) 2.400.000 / 2.000.000 = 1 + (27 x i) 1,2 = 1 + (27 x i) 1,2 - 1 = 27 x i 0,2 = 27 x i i = 0,2 / 27 i = 0,0074074 Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés simple y seleccionamos la alternativa de tasa de interés e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de la tasa de interés simple

Valor presente (VP)

2.000.000,00

Valor futuro (VF)

2.400.000,00

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

27,00 0,74074%





Matemáticas financieras para las niif

Estrategia 2: cambiar la tasa Utilizamos el tiempo en trimestres, razón por la cual la tasa da en términos trimestral simple; sin embargo, la tasa se solicita en términos mensual simple, razón por la cual se toma la tasa y se divide entre 3. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + (N x i)) 2.400.000 = 2.000.000 x (1 + (9 x i)) 2.400.000 / 2.000.000 = 1 + (9 x i) 1,2 = 1 + (9 x i) 1,2 - 1 = 9 x i 0,2 = 9 x i i = 0,2 / 9 i = 0,022222225 La tasa del 2,2222% trimestral simple se divide entre 3 para obtener la tasa mensual simple. 2,2222% / 3 = 0,74074% mensual simple. Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés simple y seleccionamos la alternativa de tasa de interés e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de la tasa de interés simple

Valor presente (VP)

2.000.000,00

Valor futuro (VF)

2.400.000,00

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

9,00 2,22222%

La tasa del 2,2222% trimestral simple se divide entre 3 para obtener la tasa mensual simple. 2,2222% / 3 = 0,74074% mensual simple.

El valor del dinero en el tiempo

Respuesta: la tasa es de 0,74074% mensual simple. Ejemplo 2.4: ¿en cuántos semestres $5.000.000 se convierten en $7.500.000 en un fondo que ofrece una rentabilidad del 20% anual simple? Gráfica: VF = $7.500.000 –––––––– N = ? semestres ––––––––– i = 20% anual simple VP = $5.000.000

Observe que el tiempo se requiere en semestres, pero la tasa está expresada en años, así que debemos resolver el problema utilizando alguna de las siguientes estrategias: Estrategia 1: cambiar el tiempo Dejamos la tasa del 20% anual simple y al obtener el tiempo estará expresado en años y mediante una regla de 3 se convierte a semestres. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + (N x i)) 7.500.000 = 5.000.000 x (1 + (N x 0,20)) 7.500.000 / 5.000.000 = 1 + (N x 0,20) 1,5 = 1+ (N x 0,20) 1,5 - 1 = N x 0,20 0,5 = N x 0,20 N = 0,5 / 0,2 N = 2,5 años Tomamos los 2,5 años y los multiplicamos por 2, ya que un año tiene 2 semestres, lo que nos da como resultado 5 semestres.





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés simple y seleccionamos la alternativa de tiempo e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo del tiempo simple

Valor presente (VP)

5.000.000,00

Valor futuro (VF)

7.500.000,00

Tasa de interés (i)

20,00000%

Tiempo (n)

2,5000000

La respuesta es 2,5 años, que equivalen a 5 semestres. Estrategia 2: cambiar la tasa Como el tiempo es requerido en semestres, se toma la tasa del 20% anual simple y se divide entre 2 para obtener la tasa expresada en términos semestral simple; así que 20%/2 = 10% semestral simple. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + (N x i)) 7.500.000 = 5.000.000 x (1 + (N x 0,10)) 7.500.000 / 5.000.000 = 1 + (N x 0,10) 1,5 = 1 + (N x 0,10) 1,5 - 1 = N x 0,10 0,5 = N x 0,10 N = 0,5 / 0,1 N = 5 semestres

El valor del dinero en el tiempo

Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés simple y seleccionamos la alternativa de tiempo e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo del tiempo simple

Valor presente (VP)

5.000.000,00

Valor futuro (VF)

7.500.000,00

Tasa de interés (i)

10,00000%

Tiempo (n)

5,0000000

Respuesta: el tiempo es de 5 semestres.

2 . 2 e l va l o r d e l d i n e r o en el tiempo, con inters compuesto En el interés compuesto sí existe la capitalización de intereses; el interés compuesto es el sistema con el que opera el sistema financiero formal: bancos, corporaciones financieras, compañías de financiamiento, cooperativas financieras, almacenes generales de depósito, fiduciarias, aseguradoras, reaseguradoras, administradoras de fondo de pensiones y cesantías, mercado de valores, bolsa de valores, corredores de bolsa, etc. El interés compuesto es de suma importancia en el entorno de las niif ya que todos los cálculos y operaciones financieras deben desarrollarse en un entorno donde se maneja la capitalización de intereses. No se debe confundir el anatocismo con el interés compuesto, ya que el anatocismo es castigado mientras que el interés compuesto es permitido por la ley. La diferencia de conceptos radica en que el anatocismo implica el cobro de intereses sobre el interés; en el interés compuesto la capitalización no es el cobro de intereses sobre los intereses atrasados, sino de intereses sobre intereses que se convierten en capital. La ecuación básica del valor del dinero en el tiempo, cuando se habla de interés compuesto, es la siguiente: VF = VP x (1 + i)N





Matemáticas financieras para las niif

Donde: VF: valor final o monto final. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que retorna dicha inversión. Cuando hablamos de un crédito, corresponde al valor que debemos asumir al pagar la obligación. VP: valor presente. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que se invierte. Cuando hablamos de un crédito, corresponde al préstamo que se solicita. N: tiempo. Corresponde al lapso durante el cual se realiza una inversión o al plazo de un préstamo. i: tasa de interés. Corresponde a la tasa de interés ofrecida en una inversión o la tasa de interés cobrada en un préstamo. En una operación de valor del dinero en el tiempo, la tasa de interés debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. La tasa debe ser siempre efectiva, es decir, si la tasa está expresada en términos nominales, obligatoriamente debe convertirse a efectiva o periódica. 2. La tasa debe ser siempre vencida, es decir, si la tasa está expresada en términos anticipados, obligatoriamente debe convertirse a vencida. 3. La tasa debe estar en términos porcentuales, es decir, si la tasa es del 10% se trabaja con 0,10 y no con 10. 4. La tasa y el tiempo deben estar expresados en la misma unidad de medida; es decir, si el tiempo está en meses, la tasa debe ser efectivo mensual; si el tiempo está en semestres, la tasa debe ser efectivo semestral. Atención: para utilizar la ecuación del valor del dinero en el tiempo, cuando hablamos de interés compuesto debemos tener presente que el tiempo y la tasa deben estar expresados en la misma unidad de medida. En caso de que el tiempo y la tasa de interés no manejen la misma periodicidad, el problema se puede resolver cambiando el tiempo mediante una regla de tres, cambiando la tasa mediante conversión de tasas o cambiando ambos.

El valor del dinero en el tiempo

Tenga presente que en el interés simple y en el continuo la tasa de interés sí se podía cambiar mediante regla de tres, pero en el interés compuesto esto queda rotundamente prohibido y se hace necesario utilizar cualquiera de los métodos de conversión de tasas estudiados en el capítulo anterior.

Ejemplo 2.5. Valor actual de un activo: calcular el valor de una venta a crédito, si el registro contable de la venta fue de $60.000.000 y el pago se realiza 18 meses después de haberse concretado, con una tasa de descuento del 15%EA. Valor actual de un activo: consiste en traer a valor presente, es decir, a pesos de hoy cada uno de los flujos de efectivo que genera un activo a una tasa de descuento representativa. Gráfica: VF = ? valor de la venta a plazo –––––––– N = 18 meses ––––––––– i = 15% EA VP = $60.000.000 Valor del activo Valor del registro de la venta

Solución: Antes de plantear el ejercicio debemos verificar las características de la tasa de interés, y vemos que la tasa del 15%EA es efectiva, vencida y está en términos porcentuales. El único problema es que el tiempo se encuentra en meses y la tasa se encuentra en años; por tal razón, procedemos a resolver el problema utilizando alguna de las siguientes estrategias: Estrategia 1: cambiar el tiempo Cambiamos el tiempo mediante una simple regla de 3: si un año tiene 12 meses, ¿18 meses cuántos años son? Tomamos 18 y lo dividimos entre 12 y eso nos da como resultado 1,5 años. Tenga en cuenta que si se cambia el tiempo mediante una regla de 3 se deben utilizar todos los decimales, en caso de que existan. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif.





Matemáticas financieras para las niif

Fórmula manual VF = VP x (1 + i)N VF = 60.000.000 x (1 + 0,15)1,5 VF = 60.000.000 x 1,233237609 VF= 73.994.256,53 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100, además el tiempo y la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo, en este caso tasa anual y tiempo en años. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras y buscamos la función VF e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo la tasa debe ser 15% o 0,15, pero de ninguna manera debe ser 15, el VA se introduce con signo negativo, en pago y en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés compuesto y seleccionamos la alternativa de valor futuro e introducimos los datos de la siguiente manera:

El valor del dinero en el tiempo

VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP)

60.000.000,00 1,50000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

15,000000000%

Valor futuro (VF)

$73.994.256,53

Estrategia 2: cambiar la tasa La falta de coordinación entre la periodicidad del tiempo y la periodicidad de la tasa también se puede resolver cambiando la tasa mediante el método de conversión de tasas; de ninguna manera se puede emplear la regla de 3, ya que estamos trabajando con el interés compuesto. Por tal razón, convertimos la tasa del 15%EA (efectiva anual) a EM (efectiva mensual vencida), lo que da como resultado 1,171491692% E.M. (efectiva mensual vencida). Tenga en cuenta que si cambiamos la tasa de interés debemos utilizar todos los decimales (por lo menos 9), en caso de que existan. Lo que tengo Tasa

15,000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Mensual

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

1,171491692%

Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + i)N VF = 60.000.000 x (1 + 0,01171491692)18 VF = 60.000.000 x 1,233237609 VF = 73.994.256,53





Matemáticas financieras para las niif

Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, el tiempo y la tasa se encuentran en la misma unidad de medida, en este caso tasa mensual y tiempo en meses. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras y buscamos la función VF e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo la tasa debe ser 1,171491692% o 0,01171491692, pero de ninguna manera debe ser 1,171491692; el VA se introduce con signo negativo, en pago y en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés compuesto y seleccionamos la alternativa de valor futuro e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

60.000.000,00 18,00000

Tasa de interés (i)

1,171491692%

Valor futuro (VF)

$73.994.256,53

El valor del dinero en el tiempo

Respuesta: el valor de la venta es de $73.994.256,53. Ejemplo 2.6. Valor actual de un pasivo: se debe la suma de $50.000.000 pagaderos en 10 trimestres; valorar la deuda a pesos de hoy si la tasa de descuento es del 20% CSa (nominal semestre anticipado). Valor actual de un pasivo: consiste en traer a valor presente, es decir, a pesos de hoy cada uno de los flujos de efectivo que se deben pagar en una obligación, utilizando una tasa de descuento representativa. Gráfica: VF = $50.000.000 –––––––– N = 10 trimestres ––––––––– i = 20% CSa VP = ?

Solución: Se podría preguntar cuál es la razón de convertir una tasa si se puede cambiar el tiempo mediante una simple regla de 3. Pues bien, en casos como el del presente ejercicio de nada sirve cambiar el tiempo si de todas formas se debe cambiar la tasa, ya que esta tasa se encuentra de forma nominal, anticipada y fuera de eso el tiempo y la tasa tienen periodicidad diferente. Debemos entonces convertir la tasa del 20% CSa (nominal semestre anticipado) a una tasa de ET (efectiva trimestral vencida). Lo que tengo Tasa

20,000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Trimestral

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

5,409255339%

Trabajaremos con una tasa del 5,409255339%ET; como recalcamos anteriormente, debemos utilizar todos los decimales, es decir que no podemos redondear la tasa. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif.





Matemáticas financieras para las niif

Fórmula manual VF = VP x (1 + i)N 50.000.000 = VP x (1 + 0,05409255339)10 50.000.000 = VP x 1,693508781 VP= 50.000.000/1,693508781 VP= $29.524.500 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, el tiempo y la tasa se encuentran en la misma unidad de medida, en este caso tasa trimestral y tiempo en trimestres. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras y buscamos la función VA e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo la tasa debe ser 5,409255339% o 0,05409255339, pero de ninguna manera debe ser 5,409255339, el VF va con signo negativo, en pago y en tipo no va ningún dato.

El valor del dinero en el tiempo

Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés compuesto y seleccionamos la alternativa de valor presente e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

50.000.000,00 10

Tasa de interés (i)

5,40925534%

Valor presente (VP)

$29.524.500,00

Respuesta: la deuda a pesos de hoy es de $29.524.500. Ejemplo 2.7. Valor en uso de un activo: una planta eléctrica es alquilada mediante un contrato a 30 meses por un único monto de $1.800 millones pagaderos al final. La planta eléctrica se puede vender por $800 millones finalizado el contrato (valor residual). Si el valor en uso del activo se estimó en $2.000 millones, calcular la tasa de descuento efectiva anual que se utilizó para determinar el valor en uso del activo. Valor en uso de un activo: es el valor actual de los flujos de efectivo futuros esperados de todos los activos que se esperan mantener en el largo plazo, valorados a pesos de hoy según una tasa de descuento. Gráfica: VF = $2.600 millones Arrendamiento + valor residual ––––––– N = 30 meses –––––––– i=? VP = $2.000 millones Valor en uso

Solución: Debemos tener presente que la tasa de interés la preguntan en efectiva anual; por tal razón, si trabajamos con 30 meses, al despejar la tasa nos va a dar como resultado una tasa efectiva mensual y después mediante conversión





Matemáticas financieras para las niif

de tasas la pasamos a efectiva anual; también podemos resolver el ejercicio tomando los 30 meses y pasándolos a años mediante la regla de 3, lo cual da como resultado 2,5 años y de esta manera cuando despejemos la tasa de la ecuación nos quedara efectiva anual. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + i)N 2.600 = 2.000 x (1 + i)2,5 (2.600/2.000) = (1 + i)2,5 1,3 = (1 + i)2,5 (1,3)(1/2,5) = 1 + i 1,110650307 = 1 + i 1,110650307-1 = i i = 0,110650307 Al despejar la tasa se encuentra dividida entre 100; por tal razón, la multiplicamos por 100 para poder expresarla en términos porcentuales, o sea 11,0650307% EA. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras y buscamos la función tasa e introducimos los valores de la siguiente manera:

El valor del dinero en el tiempo

En la hoja de cálculo el VA y el VF deben tener signo contrario, es decir, uno debe ser positivo y el otro negativo, sin importar cuál. Si VA y VF lo introducimos con el mismo signo aparecerá el mensaje #¡NUM!; en pago y en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés compuesto y seleccionamos la alternativa de tasa e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de la tasa de interés compuesto

Valor presente (VP)

2.000.000,00

Valor futuro (VF)

2.600.000,00

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

2,50 11,06503%

Respuesta: la tasa de descuento es del 11,0650307% EA. Ejemplo 2.8. Valor residual de un activo: una central de impresiones adquiere un plotter por un valor de $20.000.000. Cuando el activo se considere depreciado se podrá vender por un 60% de su valor original. Si el valor residual del activo se calcula en $10.000.000 con una inflación del 3% anual, estimar la vida útil del activo en meses.





Matemáticas financieras para las niif

Valor residual de un activo: el valor residual de un activo corresponde al monto a precios de hoy que se estima que la empresa podría obtener por la venta de sus activos al finalizar su vida útil, una vez deducidos los costos estimados para realizar dicha venta, como publicidad y comisiones de venta. Gráfica: El plotter que hoy vale $20.000.000 se puede vender en $12.000.000 (20.000.000 x 0,6); el valor residual de un activo consiste en traer a precios de hoy lo que se podría obtener por la venta de un activo en el futuro. VF = $12.000.000 (20.000.000 x 0,6) ––––––––––– N = ? –––––––––––– i = 3% anual VP = $10.000.000 Valor residual del activo

Solución: Para resolver este ejercicio debemos tener presente que la tasa de interés se encuentra expresada en efectiva anual. Por tal razón, si trabajamos con la tasa del 3%EA al despejar el tiempo, el resultado va a estar expresado en términos anuales. Sin embargo, lo que nos preguntan es el tiempo en términos mensuales; por tal razón, mediante una regla de 3 pasamos los años a meses. Este mismo ejercicio también se pudo haber resuelto convirtiendo la inflación a E.M. (efectivo mensual), de tal manera que al despejar el tiempo este quedará expresado en meses. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual VF = VP x (1 + i)N 12.000.000 = 10.000.000 x (1 + 0,03)N (12.000.000/10.000.000) = (1 + 0,03)N 1,2 = (1,03)N Log 1,2 = N x Log 1,03 N = Log 1,2 / Log 1,03

El valor del dinero en el tiempo

N = 0,079181246/1,012837225 N = 6,16809 años El tiempo es de 6,16809 años (6,16809 x 12), es decir, 74 meses. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras y buscamos la función nper e introducimos los valores de la siguiente manera:

El tiempo es de 6,16809 años que equivale a 74 meses. En la hoja de cálculo el valor presente y el valor futuro deben tener signo contrario, es decir, uno debe ser positivo y el otro negativo, sin importar cuál. Si VA y VF lo introducimos con el mismo signo aparecerá el mensaje #¡NUM!; en pago y en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés compuesto y seleccionamos la alternativa de tiempo e introducimos los datos de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

VDT

cálculo del tiempo compuesto

Valor presente (VP)

10.000.000,00

Valor futuro (VF)

12.000.000,00

Tasa de interés (i)

3,00000000%

Tiempo (n)

6,1681

El tiempo es de 6,16809 años que equivalen a 74 meses. Respuesta: la vida útil del activo es de 74 meses.

2 . 3 e l va l o r d e l d i n e r o e n e l t i e m p o , c o n i n t e r  s c o n t i n uo Comprender la mecánica del valor del dinero en el tiempo con el uso del interés continuo resulta ser de gran importancia en las niif, sobre todo cuando hablamos de la valoración de instrumentos financieros complejos como los futuros, los forwards y las opciones. La ecuación básica del valor del dinero en el tiempo cuando se habla de interés continuo es la siguiente: VF = VP x e(i x N)

Donde: VF: valor final o monto. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que retorna dicha inversión. Cuando hablamos de un crédito, corresponde al valor a pagar por una obligación. VP: valor presente. Cuando hablamos de una inversión, corresponde al valor que se invierte. Cuando hablamos de un crédito, corresponde al préstamo que se solicita. N: tiempo durante el cual se realiza una inversión o plazo de un préstamo.

El valor del dinero en el tiempo

i: tasa de interés continua. Corresponde a la tasa de interés ofrecida en una inversión o la tasa de interés cobrada en un préstamo. e: número Euler o también se conoce como la constante de Napier. Este valor equivale a 2,71828182846. Atención: para utilizar la ecuación de valor del dinero en el tiempo del interés continuo debemos tener presente que el tiempo y la tasa deben estar expresados en la misma unidad de medida. En caso de que el tiempo y la tasa de interés no manejen la misma periodicidad, el problema se puede resolver mediante una regla de 3, ya sea cambiando el tiempo o la tasa o ambos. Tenga presente que lo anterior ocurre solamente para el interés continuo, no para el interés compuesto, y nunca se podrá cambiar la tasa de interés mediante una regla de 3.

Ejemplo 2.9: calcular el valor final de una inversión de $16.000.000 que se realiza en un fondo que renta el 15% capitalizable continuamente después de transcurridos 36 meses. Gráfica: VF = ? –––––––––– N = 36 meses––––––––– i = 15% capitalizable continuamente VP = $16.000.000

Solución: Cambiando el tiempo: las tasas continuas son nominales, por eso tienden a estar anualizadas y como el tiempo está expresado en meses podemos convertir el tiempo a años: 36/12 = 3 años. Entonces: VF = VP x e(i x N) VF = 16.000.000 x 2,71828182846(0,15 x 3) VF = 16.000.000 x 2,718281828460,45 VF = 16.000.000 x 1,568312185 VF = 25.092.994,96





Matemáticas financieras para las niif

Cambiando la tasa: las tasas continuas son nominales, por eso tienden a estar anualizadas y como el tiempo está expresado en meses podemos convertir la tasa a mensual así: 0,15/12 = 0,0125. Entonces: VF = VP x e(i x N) VF = 16.000.000 x 2,71828182846(0,0125 x 36) VF = 16.000.000 x 2,718281828460,45 VF = 16.000.000 x 1,568312185 VF = 25.092.994,96 Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés continuo y seleccionamos la alternativa de valor futuro e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor futuro continuo

Valor presente (VP) Tiempo (n)

16.000.000,00 3,00000

Interés continuo (i)

15,000000000%

Valor futuro (VF)

$25.092.994,97

Respuesta: el valor final de la inversión es de $25.092.994,96. Ejemplo 2.10: calcular el valor inicial de una inversión si después de transcurridos 15 bimestres, a una tasa de interés del 12% capitalizable continuamente, retorna la suma de $25.000.000. Gráfica: VF = $25.000.000 ––––––––– N = 15 bimestres––––––––– i = 12% capitalizable continuamente VP = ?

El valor del dinero en el tiempo

Solución: Cambiando el tiempo: las tasas continuas son nominales, por eso tienden a estar anualizadas y como el tiempo está expresado en bimestres podemos convertir el tiempo a años: 15/6 = 2,5 años. Entonces: VF = VP x e(i x N) 25.000.000 = VP x 2,71828182846(0,12 x 2,5) 25.000.000 = VP x 2,718281828460,3 25.000.000 = VP x 1,349858808 VP = 25.000.000/1,349858808 VP = 18.520.455,51 Cambiando la tasa: las tasas continuas son nominales, por eso tienden a estar anualizadas y como el tiempo está expresado en bimestres podemos convertir la tasa a mensual así: 0,12/6 = 0,02. Entonces: VF = VP x e(i x N) 25.000.000 = VP x 2,71828182846(0,02 x 15) 25.000.000 = VP x 2,718281828460,3 25.000.000 = VP x 1,349858808 VP = 25.000.000/1,349858808 VP = 18.520.455,51 Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés continuo y seleccionamos la alternativa de valor presente e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor presente continuo

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

25.000.000,00 2,50000

Interés continuo (i)

12,000000000%

Valor presente (VP)

$18.520.455,52





Matemáticas financieras para las niif

Respuesta: el valor inicial de la inversión es de $18.520.455,51. Ejemplo 2.11: ¿a qué tasa capitalizable continuamente $500.000 se convierten en $950.000 en 16 trimestres? Gráfica: VF = $950.000 ––––––––– N = 16 trimestres––––––––– i = ? capitalizable continuamente VP = $500.000

Solución: Cambiando el tiempo: las tasas continuas son nominales, por eso tienden a estar anualizadas y como el tiempo está expresado en trimestres podemos convertir el tiempo a años: 16/4 = 4 años. Entonces: VF = VP x e(i x N) 950.000 = 500.000 x 2,71828182846(i x 4) 950.000/500.000 = 2,71828182846(i x 4) 1,9 = 2,71828182846(i x 4) Log 1,9 = (i x 4) x Log 2,71828182846 (i x 4) = Log 1,9 / Log 2,71828182846 (i x 4) = 0,641853886 i = 0,641853886/4 i = 0,160463472 Cambiando la tasa: las tasas continuas son nominales, por eso tienden a estar anualizadas y como el tiempo está expresado en trimestres al despejar la tasa se debe multiplicar por 4 para obtener el resultado; recuerde que esto se puede hacer solamente con las tasas continuas. Entonces: VF = VP x e(i x N) 950.000 = 500.000 x 2,71828182846(i x 16) 950.000/500.000 = 2,71828182846(i x 16) 1,9 = 2,71828182846(i x 16)

El valor del dinero en el tiempo

Log 1,9 = (i x 16) x Log 2,71828182846 (i x 16) = Log 1,9 / Log 2,71828182846 (i x 16) = 0,641853886 i = 0,641853886/16 i = 0,040115868 Para anualizar la tasa se debe multiplicar por 4, es decir, 0,040115868 x 4 = 0,160463472 Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés continuo y seleccionamos la alternativa de tasa e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de la tasa de interés continuo

Valor presente (VP)

500.000,00

Valor futuro (VF)

950.000,00

Tiempo (n) Interés continuo (i)

4,00 16,046347%

Respuesta: la tasa es del 16,0463472% capitalizable continuamente. E jemplo 2.12: ¿en cuántos semestres $30.000.000 se convierten en $45.000.000 en un fondo que ofrece una rentabilidad del 19% capitalizable continuamente? Gráfica: VF = $45.000.000 ––––––––– N = ? semestres––––––––– i = 19% capitalizable continuamente VP = $30.000.000

Solución: Cambiando el tiempo: las tasas continuas son nominales, por eso tienden a estar anualizadas y como el tiempo se requiere en semestres podemos





Matemáticas financieras para las niif

calcularlo anual y luego la tasa se convierte a semestres multiplicándola por 2. Entonces: VF = VP x e(i x N) 45.000.000 = 30.000.000 x 2,71828182846(0,19 x N) 45.000.000/30.000.000 = 2,71828182846(0,19 x N) 1,5 = 2,71828182846(0,19 x N) Log 1,5 = (0,19 x N) x Log 2,71828182846 (0,19 x N) = Log 1,5 / Log 2,71828182846 (0,19 x N) = 0,405465108108 N = 0,405465108108 / 0,19 N = 2,13 años El tiempo es de 2,134 años (2,134 x 2), es decir, 4,268 semestres. Cambiando la tasa: las tasas continuas son nominales, por eso tienden a estar anualizadas y como el tiempo se requiere en semestres podemos dividir la tasa entre 2 para que el tiempo quede expresado en semestres, así: 0,19/2 = 0,095. Entonces: VF = VP x e(i x N) 45.000.000 = 30.000.000 x 2,71828182846(0,095 x N) 45.000.000/30.000.000 = 2,71828182846(0,095 x N) 1,5 = 2,71828182846(0,095 x N) Log 1,5 = (0,095 x N) x Log 2,71828182846 (0,095 x N) = Log 1,5 / Log 2,71828182846 (0,095 x N) = 0,405465108108 N = 0,405465108108 / 0,095 N = 4,268 semestres Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés continuo y seleccionamos la alternativa de tiempo e introducimos los datos de la siguiente manera:

El valor del dinero en el tiempo

VDT

cálculo del tiempo continuo

Valor presente (VP)

30.000.000,00

Valor futuro (VF)

45.000.000,00

Interés continuo (i) Tiempo (n)

9,500000% 4,2681

Respuesta: el tiempo es de 4,268 semestres.





Matemáticas financieras para las niif

ejercicios propuestos captulo 2 va l o r d e l d i n e r o e n e l t i e m p o , con inters simple 1. Calcular el valor final de una inversión de $5.500.000: 3,5 años

35 bimestres

19 trimestres

3,5 años 8.580.000,00 8.965.000,00 10.120.000,00

35 bimestres 10.633.333,33 11.275.000,00 13.200.000,00

19 trimestres 9.680.000,00 10.202.500,00 11.770.000,00

4% trimestral simple 9% semestral simple 2% mensual simple

Respuesta: 4% trimestral simple 9% semestral simple 2% mensual simple

2. Calcular el valor inicial de una inversión que retorna la suma de $11.200.000: 9 semestres

44 quincenas

25 meses

9 semestres 6.686.567,16 5.758.354,76 6.378.132,12

44 quincenas 8.784.313,73 8.086.642,60 8.562.691,13

25 meses 8.533.333,33 7.791.304,35 8.296.296,30

15% anual simple 3,5% bimestral simple 0,7% bimensual simple

Respuesta: 15% anual simple 3,5% bimestral simple 0,7% bimensual simple

3. Calcular en cuántos meses una inversión de $6.000.000 retorna la suma de $7.200.000 en un título que ofrece una rentabilidad del: A. 2,4% bimestral simple. B. 3,2% trimestral simple. C. 5,6% semestral simple.

El valor del dinero en el tiempo

Respuesta: A. El valor invertido debe permanecer 16,66 meses. B. El valor invertido debe permanecer 18,75 meses. C. El valor invertido debe permanecer 21,42 meses. 4. A qué tasa anual simple una inversión de $12.000.000 retorna la suma de $15.000.000 a un plazo de: A. 62 quincenas. B. 37 meses. C. 23 bimestres. Respuesta: A. La tasa es del 9,677% anual simple. B. La tasa es del 8,108% anual simple. C. La tasa es del 6,521% anual simple.

va l o r d e l d i n e r o e n e l t i e m p o , con inters compuesto 1. Valor actual de un pasivo: calcular el valor de una deuda si su valor actual es de $45.000.000 teniendo en cuenta el plazo y la tasa de descuento según la tabla siguiente: 3,5 años

30 bimestres

17 trimestres

7% ESa 20% NMa 13% CTa 0,7% bimensual

Valor actual de un pasivo: consiste en traer a valor presente, es decir, a pesos de hoy cada uno de los flujos de efectivo que se deben pagar en una obligación, utilizando una tasa de descuento representativa.





Matemáticas financieras para las niif

Respuesta: 7% ESa 20% NMa 13% CTa 0,7% bimensual

3,5 años 74.787.992,17 91.155.009,55 71.465.902,43 80.851.492,31

30 bimestres 92.978.605,48 123.357.863,29 87.135.081,14 103.931.927,14

17 trimestres 83.388.747,56 106.040.969,47 78.912.528,84 91.668.159,19

2. Valor actual de un activo: calcular el valor al que debe registrarse una venta de $64.000.000 teniendo en cuenta el plazo y la tasa de descuento según la tabla siguiente: 75 meses

140 quincenas

15 semestres

14% C diario base 360 16% EAa 17% C bimestral 4% ETa

Valor actual de un activo: consiste en traer a valor presente, es decir, a pesos de hoy cada uno de los flujos de efectivo que genera un activo a una tasa de descuento representativa. Respuesta: 14% C diario base 360 16% EAa 17% C bimestral 4% ETa

75 meses 26.683.707,63 21.524.125,31 22.446.995,12 23.065.389,88

140 quincenas 28.286.231,64 23.145.992,57 24.070.937,00 24.689.298,19

15 semestres 22.400.587,74 17.309.105,28 18.203.456,48 18.806.889,17

3. Valor residual de un activo: una máquina excavadora fue adquirida por un valor de $850 millones. Cuando el activo se considere depreciado se podrá vender por un 80% de su valor original. Si el valor residual del activo se estima en $520 millones, estimar la vida útil del activo en años si la tasa de descuento utilizada fue de: A. 1,1%EMa. B. 2,8%Ebimestral C. 21%CTa

El valor del dinero en el tiempo

Valor residual de un activo: el valor residual de un activo corresponde al monto a precios de hoy que se estima que la empresa podría obtener por la venta de sus activos al finalizar su vida útil, una vez deducidos los costos estimados para realizar dicha venta, como publicidad y comisiones de venta. Respuesta: A. Vida útil de 2,02 años. B. Vida útil de 1,61 años. C. Vida útil de 1,24 años. 4. Valor en uso de un activo: una grúa para construcción es alquilada mediante un contrato a 21 meses por un único monto de $200 millones pagaderos al final. La grúa se puede vender por $160 millones finalizado el contrato. Si el valor en uso del activo se estimó en $300 millones, calcule la tasa de descuento que se utilizó para determinar el valor en uso del activo y exprésela en términos: A. EAa. B. CSa. C. N diaria base 365. Valor en uso de un activo: es el valor actual de los flujos de efectivo futuros esperados de todos los activos que se espera mantener en el largo plazo, valorados a pesos de hoy según una tasa de descuento. Respuesta: A. 9,89402845%EAa. B. 10,15166943%CSa. C. 10,41986169%N diaria base 365.





Matemáticas financieras para las niif

va l o r d e l d i n e r o e n e l t i e m p o , c o n i n t e r  s c o n t i n uo 1. Calcular el valor final de una inversión de $16.500.000: 15 semestres

26 trimestres

28 bimestres

15 semestres 47.151.243,45 73.947.869,66 92.606.596,99

26 trimestres 40.991.321,80 60.543.395,02 73.579.053,12

28 bimestres 31.711.954,21 41.959.032,02 48.264.375,16

14% anual capitalizable continuamente 20% anual capitalizable continuamente 23% anual capitalizable continuamente

Respuesta: 14% anual capitalizable continuamente 20% anual capitalizable continuamente 23% anual capitalizable continuamente

2. Calcular el valor inicial de una inversión que retorna la suma de $42.700.000: 3,5 años

85 quincenas

56 meses

3,5 años 29.055.242,17 25.259.414,06 21.959.479,63

85 quincenas 28.922.377,02 25.102.035,04 21.786.320,08

56 meses 25.555.832,97 21.204.192,47 17.593.548,17

11% anual capitalizable continuamente 15% anual capitalizable continuamente 19% anual capitalizable continuamente

Respuesta: 11% anual capitalizable continuamente 15% anual capitalizable continuamente 19% anual capitalizable continuamente

3. Calcular en cuántos trimestres una inversión de $3.500.000 retorna la suma de $5.000.000 en un título que ofrece una rentabilidad del: A. 9% capitalizable continuamente. B. 13% capitalizable continuamente. C. 7% capitalizable continuamente. Respuesta: A. El valor invertido debe permanecer 15,85 trimestres. B. El valor invertido debe permanecer 10,97 trimestres. C. El valor invertido debe permanecer 20,38 trimestres.

El valor del dinero en el tiempo

4. A qué tasa capitalizable continuamente una inversión de $18.000.000 retorna la suma de $24.000.000 a un plazo de: A. 20 bimestres. B. 7 semestres. C. 11 trimestres. Respuesta: A. La tasa es del 8,630% capitalizable continuamente. B. La tasa es del 8,219% capitalizable continuamente. C. La tasa es del 10,461% capitalizable continuamente.



captulo 3

Series de tiempo

3.1 series de tiempo uniforme También se conocen con el nombre de anualidades y consisten en una serie de pagos idénticos realizados en intervalos de tiempo iguales y a una misma tasa de interés. El concepto de anualidades es útil en el entorno de las niif ya que permite resolver todos aquellos casos que presenten cuotas o pagos fijos o iguales en intervalos de tiempos iguales, como lo podrían llegar a ser las cuotas de un crédito hipotecario o de vehículo, un crédito de libre inversión, la cuota a ahorrar en un fondo de capitalización, etc.

3 . 1 . 1 e l va l o r p r e s e n t e y e l va l o r futuro de una serie uniforme Valor presente: con el concepto de valor presente se podrán resolver todos los ejercicios de operaciones crediticias, en donde se adquiera un préstamo hoy, a un valor presente, y el pago se realice a través de cuotas iguales. Ejemplo: el cálculo de las cuotas de algunos créditos hipotecarios, créditos para la adquisición de un vehículo, el pago de las cuotas de un crédito rotativo, etc. El valor presente de una serie uniforme está dado por la siguiente ecuación: 1-(1 + i)-N VP = P x –––––––––– i

Donde: VP: valor presente de una anualidad. Corresponde al valor del préstamo, crédito u obligación. P: pago o cuota. Corresponde al valor de los pagos o de las cuotas iguales a pagar con el objetivo de cancelar una obligación. N: número de cuotas. La N en anualidades no hace referencia al tiempo sino al número de cuotas efectuadas en un determinado lapso. Por ejemplo, en un crédito de cuotas mensuales a un plazo de 2 años la N será 24; en un





Matemáticas financieras para las niif

crédito de cuotas semestrales a un plazo de 2 años la N será 4; en un crédito de cuotas trimestrales a un plazo de 2 años la N será 8. i: tasa de interés cobrada por la entidad financiera. Sin embargo, no puede ser cualquier tasa de interés, ya que debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. La tasa debe ser efectiva siempre. Es decir, si la tasa está expresada en términos nominales, obligatoriamente se debe convertir a efectiva o periódica. 2. La tasa debe ser siempre vencida. Es decir, si la tasa está expresada en términos anticipados, obligatoriamente se debe convertir a vencida. 3. La tasa debe estar en términos porcentuales. Es decir, si la tasa es del 5% se trabaja con 0,05 y no con 5. 4. La tasa y las cuotas deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo. Es decir, si las cuotas son mensuales, la tasa debe ser efectiva mensual; si las cuotas son trimestrales, la tasa debe ser efectiva trimestral; si las cuotas son semestrales, la tasa debe ser efectiva semestral. Atención: para utilizar la ecuación del valor presente de una anualidad debemos tener en cuenta que la periodicidad de las cuotas y la de la tasa deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo; en caso de que las cuotas y la tasa de interés no manejen la misma periodicidad, el problema se puede resolver cambiando únicamente la tasa. La periodicidad de las cuotas siempre se debe respetar. Tenga presente que, en las operaciones del valor del dinero en el tiempo, se podría cambiar el tiempo o la tasa, pero en las operaciones con anualidades se puede cambiar solo la tasa.

Valor futuro: con el concepto de valor futuro es posible resolver todos los ejercicios con operaciones de fondos de capitalización o fondos de ahorro programado, donde se desea reunir una cantidad de dinero en el futuro, y para lograr dicho objetivo se ahorran cuotas periódicas en un fondo. Ejemplo: la cuota a ahorrar para comprar un carro en el futuro, la cuota a ahorrar para pagar las próximas vacaciones en Europa, la cuota a ahorrar para garantizar los estudios de mi hijo cuando entre a la universidad, etc. El valor futuro de una serie uniforme está dado por la siguiente ecuación: (1 + i)N - 1 VF = P x –––––––––– i

Series de tiempo

Donde: VF: valor futuro de una anualidad. Corresponde al valor a ahorrar o el valor a reunir en un fondo de ahorro programado o en un fondo de capitalización. P: pago o cuota. Corresponde al valor de los pagos o de las cuotas a ahorrar para reunir una cantidad de dinero en el futuro. N: número de cuotas. La N en anualidades no corresponde al tiempo, sino al número de cuotas o pagos que se ahorran en un fondo en un lapso. i: tasa de interés. Es la tasa que paga una entidad financiera o fondo de capitalización por ahorrar el dinero en dicho fondo. Sin embargo, no puede ser cualquier tasa de interés, ya que debe cumplir con las siguientes condiciones: 1. La tasa debe ser siempre efectiva. Es decir, si la tasa está expresada en términos nominales, obligatoriamente se debe convertir a efectiva o periódica. 2. La tasa debe ser siempre vencida. Es decir, si la tasa está expresada en términos anticipados, obligatoriamente se debe convertir a vencida. 3. La tasa debe estar en términos porcentuales. Es decir, si la tasa es del 10% se trabaja con 0,10 y no con 10. 4. La tasa y las cuotas deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo. Es decir, si las cuotas son mensuales, la tasa debe ser efectiva mensual; si las cuotas son trimestrales, la tasa debe ser efectiva trimestral; si las cuotas son semestrales, la tasa debe ser efectiva semestral. Atención: para utilizar la ecuación del valor futuro de una anualidad, se debe tener presente que la periodicidad de las cuotas y la tasa deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo; en caso de que las cuotas y la tasa de interés no manejen la misma periodicidad, el problema se puede resolver cambiando únicamente la tasa. La periodicidad de las cuotas se debe respetar siempre. Tenga presente que, en las operaciones del valor del dinero en el tiempo, se podría cambiar el tiempo o la tasa, pero en las operaciones con anualidades se puede cambiar solo la tasa.

Ejemplo 3.1. Valor actual de un pasivo: una empresa tiene un crédito por el cual paga cuotas fijas mensuales de $800.000. Calcular el valor actual del pasivo





Matemáticas financieras para las niif

si la obligación vence en 10 años y la entidad financiera cobra un interés del 17% CSa (nominal semestre anticipado). Valor actual de un pasivo: consiste en traer a valor presente, es decir, a pesos de hoy cada uno de los flujos de efectivo que se deben pagar en una obligación, utilizando una tasa de descuento representativa. Gráfica: P = $800.000 0

120 cuotas mensuales

1 i = 17%CSa

VP = ? Valor actual de un pasivo

Solución: Como queremos calcular el valor actual de un pasivo, lo que debemos hallar es el valor presente de una anualidad, el plazo restante de la obligación es de 10 años, pero la periodicidad de las cuotas es mensual, y es por ello que trabajaremos con un número de cuotas de 120 (10x12). Debemos entonces convertir la tasa del 17% CSa (nominal semestre anticipado) a una tasa EM (efectiva mensual vencida). Ya que las cuotas son mensuales, trabajaremos con una tasa del 1,491534217%EM; como se mencionó, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa. Lo que tengo Tasa

17,000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Mensual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

1,491534217%

Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif.

Series de tiempo

Fórmula manual 1-(1 + i)-N VP = P x –––––––––– i 1 - (1 + 0,01491534217)-120 VP = 800.000 x ––––––––––––––––––––––– 0,01491534217 VP = 800.000 x 55,700473056 VP = 44.560.378,45 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son mensuales y la tasa debe ser efectiva mensual. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función VA e introducimos los valores de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

En la hoja de cálculo, la tasa debe ser 1,72447681911% o 0,0172447681911, pero de ninguna manera debe ser 1,72447681911. El pago va con signo negativo para que VA tenga signo positivo; en VF y en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades) seleccionamos la alternativa de valor presente e introducimos los datos de la siguiente manera: Cálculo del valor presente de una anualidad 800.000

Cuota (r)

120

Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

1,4915342168%

Valor presente (vp)

$44.560.378,45

Respuesta: el valor actual del pasivo es de $44.560.378,45. Ejemplo 3.2 Desde hace 8 años una empresa ahorra 1.000.000 de pesos quincenales en un fondo de inversión. Si el fondo renta en promedio un 10% CTa (nominal trimestre anticipado), valorar la inversión a pesos de hoy. Gráfica: P = $1.000.000 1

192 cuotas quincenales i = 10%CTa VF = ?

Solución: Como hablamos de una persona que ahorra cuotas periódicas en un fondo de empleados, lo que debemos calcular es el valor futuro de una anualidad. El plazo del ahorro es de 8 años, pero la periodicidad de las cuotas es quincenal, razón por la cual trabajaremos con un número de cuotas de 192. Seguidamente, debemos convertir la tasa del 10% CTa (nominal trimestre anticipado) a una tasa efectiva bimensual, ya que las cuotas son quince-

Series de tiempo

nales, y al resolver la operación obtendremos una tasa del 0,422854986% efectiva bimensual. Como se mencionó, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa. Lo que tengo Tasa

10,000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Bimensual

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

0,422854986%

Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual (1 + i)N -1 VP = P x –––––––––– i (1 + 0,00422854986)192 - 1 VF = 1.000.000 x ––––––––––––––––––––––– 0,00422854986 VF = 1.000.000 x 295,20518 VF = $295.205.184 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son quincenales y la tasa debe ser efectiva bimensual. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función VF e introducimos los valores de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

En la hoja de cálculo, la tasa debe ser 0,422854986% o 0,00422854986, pero de ninguna manera debe ser 0,422854986. El pago va con signo negativo para que VF tenga signo positivo; en VA y en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades) seleccionamos la alternativa de valor futuro e introducimos los datos de la siguiente manera: Cálculo del valor futuro de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

1.000.000 192

Tasa de interés (i)

0,4228549858%

Valor futuro (vf)

$295.205.183,97

Respuesta: la valoración de la inversión es de $295.205.184. Ejemplo 3.3: una empresa desea adquirir un camión con refrigeración para distribuir sus productos; el vehículo tiene un valor de 60.000.000 de pesos y una entidad financiera está dispuesta a prestarle el 90% del valor del vehículo mediante el pago de cuotas mensuales iguales a un plazo de 5 años y a una tasa de interés del 20,5% EA. Calcular el valor de la cuota a pagar.

Series de tiempo

Gráfica: P=? 0

1

60 cuotas mensuales i = 20,5%EA

VP = $54.000.000 (60.000.000 x 0,9)

Solución: Como hablamos de un crédito para adquirir un vehículo mediante el pago de cuotas iguales, lo que debemos calcular es el valor de la cuota del valor presente de una anualidad. Como el plazo del crédito es de 5 años, pero la periodicidad de las cuotas es mensual, trabajaremos con un número de 60 cuotas mensuales. Debemos entonces convertir la tasa del 20,5% EA (efectiva anual) a una tasa efectiva mensual, ya que las cuotas son mensuales, por lo que trabajaremos con una tasa del 1,566133705% efectiva mensual. Debemos utilizar todos los decimales; no podemos redondear la tasa. Lo que tengo Tasa

20,500%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Mensual

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

1,566133705%

El valor presente corresponde al 90% de $60.000.000, es decir, $54.000.000. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual 1 - (1 + i)-N VP = P x –––––––––– i





Matemáticas financieras para las niif

1 - (1 + 0,01566133705)-60 54.000.000 = P x ––––––––––––––––––––––– 0,01566133705 54.000.000 = P x 38,718995 P = 54.000.000 / 38,718995 P = 1.394.664,3 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son mensuales y la tasa debe ser efectiva mensual. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función pago e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo, la tasa debe ser 1,566133705% o 0,01566133705, pero de ninguna manera debe ser 1,566133705. El VA lleva signo negativo para que pago tenga signo positivo; en VF y en tipo no va ningún dato.

Series de tiempo

Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades), valor presente, seleccionamos la alternativa de cuota e introducimos los datos de la siguiente manera: Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n)

54.000.000 60

Tasa de interés (i)

1,5661337%

Cuota (r)

$1.394.664,3

Respuesta: el valor de la cuota a pagar es de $1.394.664,3 Ejemplo 3.4: la gerencia de la fábrica desea reemplazar su tecnología en 6 años. Para tal fin, decide realizar ahorros trimestrales en un fondo de ahorro programado que ofrece una rentabilidad del 10%C bimestral. Calcular el valor de la cuota a ahorrar si actualmente la tecnología se valora en $220.000.000 y la inflación promedio para los próximos años se estima en un 2% anual. Gráfica: P=? 1

24 cuotas trimestrales i = 10%C bimestral VF = $247.755.732,2

Solución: Como hablamos de ahorrar cuotas para cambiar la tecnología, lo que debemos calcular es el valor de la cuota del valor futuro de una anualidad. El valor de la tecnología en la actualidad es de $220.000.000. Sin embargo, de nada sirve ahorrar $220.000.000 en 6 años porque seguramente la nueva tecnología tendrá un costo mayor debido al efecto del poder adquisitivo de la moneda; así que lo primero que haremos será calcular el valor futuro de la nueva máquina mediante una operación de valor del dinero en el tiempo.





Matemáticas financieras para las niif

Fórmula manual VF = VP x (1 + i)N VF = 220.000.000 x (1 + 0,02)6 VF = 220.000.000 x 1,126162419 VF= 247.755.732,2 Hoja de cálculo

Calculadora financiera niif En valor del dinero en el tiempo ubicamos interés compuesto y seleccionamos la alternativa de valor futuro e introducimos los datos de la siguiente manera: VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP) Tiempo (n)

220.00.000 6

Tasa de interés (i)

2,000000000%

Valor futuro (VF)

$247.755.732,2

La nueva tecnología tendrá un valor de $ 247.755.732,2 en 6 años, el cual corresponde al valor futuro de la anualidad. Como el plazo es de 6 años, pero

Series de tiempo

la periodicidad de las cuotas es trimestral, trabajaremos con un número de 24 cuotas trimestrales. Debemos entonces convertir la tasa del 10%C bimestral (nominal bimestral) a una tasa efectiva trimestral, ya que las cuotas son trimestrales, por lo que trabajaremos con una tasa del 2,510387911% efectiva trimestral. Lo que tengo Tasa

10,000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Trimestral

Periodo

Bimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

2,510387911%

Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual (1 + i)N - 1 VF = P x –––––––––– i (1 + 0,02510387911)24 -1 247.755.732,2 = P x ––––––––––––––––––––– 0,02510387911 247.755.732,2 = P x 32,39062878 P = 247.755.732,2 / 32,39062878 P = 7.648.994,21 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son trimestrales y la tasa debe ser efectiva trimestral.





Matemáticas financieras para las niif

Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función pago e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo, la tasa debe ser 2,510387911% o 0,02510387911, pero de ninguna manera debe ser 2,510387911. El pago va con signo negativo para que VF tenga signo positivo, en VA y en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades), valor futuro, seleccionamos la alternativa de cuota e introducimos los datos de la siguiente manera: Cálculo de una cuota del VF de una anualidad Valor futuro (vf) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Cuota (r)

247.755.732,20 24 2,5103879108% $7.648.994,22

Respuesta: el valor de la cuota a ahorrar es de $7.648.994,21.

Series de tiempo

Ejemplo 3.5. Valor actual de un activo: una venta fue financiada mediante el pago de cuotas bimestrales iguales de $2.180.498 y fue registrada por $42.000.000. Si la tasa de descuento fue de 22% CMa (nominal mensual anticipado), calcular el número de cuotas con las que se difirió la venta. Valor actual de un activo: el valor actual de un activo consiste en traer a valor presente, es decir, a pesos de hoy cada uno de los flujos de efectivo que genera un activo a una tasa de descuento representativa. Gráfica: P = $2.180.498 0

n = cuotas bimestrales

1

i = 22% CMa VP = $42.000.000 Valor actual de un activo

Solución: Debemos calcular el número de cuotas del valor presente de una anualidad. Se convierte la tasa del 22% CMa (nominal mensual anticipado) a una tasa efectiva bimestral, ya que las cuotas son bimestrales, por lo que trabajaremos con una tasa del 3,770022570% E bimestral (efectiva bimestral). Lo que tengo Tasa

22,000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Bimestral

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

3.770022570%

Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif.





Matemáticas financieras para las niif

Fórmula manual 1 - (1 + i)-N VP = P x ––––––––––– i 1 - (1 + 0,03770022570)-N 42.000.000 = 2.180.498 x ––––––––––––––––––––– 0,03770022570 42.000.000/ 2.180.498 x 0,0377002257 = 1 - (1 + 0,03770022570)-N 0,726168737 = 1 - (1 + 0,03770022570)-N 0,726168737 – 1 = - (1, 03770022570)-N -0,273831263 = - (1, 03770022570)-N 0,273831263 = (1, 03770022570)-N Log 0,273831263 = - N x Log 1,0377002257 - N = Log 0,273831263 / Log 1,0377002257 - N = -0,56251697 / 0,016071911 - N = - 35 N = 35 Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función nper e introducimos los valores de la siguiente manera:

Series de tiempo

En la hoja de cálculo, la tasa debe ser 3,770022570% o 0,03770022570, pero de ninguna manera debe ser 3,770022570. El VP y el pago deben tener signos contrarios; en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades), valor presente, seleccionamos la alternativa de no cuotas e introducimos los datos de la siguiente manera: Cálculo de número de cuotas del VP de una anualidad Valor presente (vp)

42,000,000

Cuota (r)

2,180,498

Tasa de interés (i) Número de cuotas (n)

3.7700226% 35.00

Respuesta: la venta se difirió a 35 cuotas bimestrales. Ejemplo 3.6: un microempresario desea reunir la suma de $18.000.000 mediante el ahorro de cuotas iguales quincenales de $878.626. Calcular el número de cuotas a ahorrar en un fondo de ahorro programado que ofrece una rentabilidad del 1,5% ETa (efectivo trimestral anticipado). Gráfica: P = $878.626 1

N = ? quincenas i = 1,5% ETa VF = $18.000.000

Solución: Debemos calcular el número de cuotas del valor futuro de una anualidad, pero antes se convierte la tasa del 1,5% ETa a una tasa efectiva bimensual, ya que las cuotas tienen una periodicidad quincenal. Por lo tanto, trabajaremos con una tasa del 0,252211483% E bimensual.





Matemáticas financieras para las niif

Lo que tengo Tasa

1.500%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Bimensual

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

0.252211483%

Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual (1 + i)N - 1 VF = P x –––––––––– i (1 + 0,00252211483)N -1 18.000.000 = 878.626 x –––––––––––––––––––––– 0,00252211483 18.000.000/ 878.626 x 0,00252211483 = (1 + 0,00252211483)N -1 0,051669387 = (1 + 0,00252211483)N -1 0,051669387 + 1 = (1,00252211483)N 1,051669387 = (1,00252211483)N Log 1,051669387 = N x Log 1,00252211483 N = Log 1,051669387 / Log 1,00252211483 N = 0,021879232 / 0,001093962 N = 20 Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función nper e introducimos los valores de la siguiente manera:

Series de tiempo

En la hoja de cálculo la tasa debe ser 0,252211483% o 0,00252211483, pero de ninguna manera debe ser 0,252211483. El VF y el pago deben tener signos contrarios, en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades), valor futuro, seleccionamos la alternativa de no cuotas e introducimos los datos de la siguiente manera: Cálculo del número de cuotas del VF de una anualidad Valor futuro (vf) Cuota (r) Tasa de interés (i) Número de cuotas (n)

18,000,000 878,626 0.2522114829% 20.00

Respuesta: se deben ahorrar 20 cuotas quincenales. Ejemplo 3.7. Valor en uso de una unidad generadora de efectivo: una nueva unidad de negocio genera un flujo de efectivo de $1.400.000 bimestrales a un plazo de 4 años; si el valor en uso de esta nueva unidad de negocios se estima en $30.000.000, calcular la tasa libre de riesgo efectiva anual a la que se descontaron los flujos de efectivo.





Matemáticas financieras para las niif

Valor en uso de una unidad generadora de efectivo: consiste en traer a valor presente los flujos de efectivo futuros de una unidad generadora de efectivo, valorados a pesos de hoy a una tasa de descuento determinada. Gráfica: P = $1.400.000 0

1

24 bimestres

i = ? EA VP = $30.000.000 Valor en uso

Solución: Debemos calcular la tasa de interés del valor presente de una anualidad. Sin embargo, las cuotas son bimestrales y nos piden una tasa efectiva anual. Por lo tanto, debemos calcular la tasa efectiva bimestral y después convertirla a efectiva anual. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual 1 - (1 + i)-N VP = P x ––––––––––– i 1 - (1 + i)-24 30.000.000 = 1.400.000 x ––––––––––– i Calcular la tasa de interés de una anualidad por métodos algebraicos, es decir, despejando la ecuación, resulta ser prácticamente imposible; por tal razón, deberíamos calcular la tasa mediante un proceso llamado interpolación. Despejar la tasa de interés en una anualidad de forma manual mediante interpolación no vale la pena por ser desgastante; además, la tasa la podemos calcular fácilmente utilizando la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif.

Series de tiempo

Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función tasa e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo el VP y el pago deben tener signos contrarios, en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades), valor presente, seleccionamos la alternativa de tasa e introducimos los datos de la siguiente manera: Cálculo de la tasa del VP de una anualidad Valor presente (vp)

30000000

Cuota (p)

1400000

Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

24 0,9272220%

Como las cuotas son bimestrales, la tasa es 0,927222%E bimestral, así que debemos convertirla a efectiva anual, es decir, 20,10248548% EA.





Matemáticas financieras para las niif

Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

0,9272220%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Anual

Periodo

Bimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

5,693898391%

Respuesta: la tasa libre de riesgo utilizada es del 5,693898391%EA. Ejemplo 3.8: calcular la tasa efectiva anual que debe ofrecer un fondo de capitalización si se quiere reunir la suma de $20.000.000 mediante el ahorro de cuotas semestrales iguales de $1.400.000 a un plazo de 5 años. Gráfica: P = $1.400.000 10 semestres

1 i=?

VF = $20.000.000

Solución: Debemos calcular la tasa de interés del valor futuro de una anualidad. Sin embargo, las cuotas son semestrales y nos piden una tasa efectiva anual; por lo tanto, calculamos la tasa efectiva semestral y después la convertimos a efectiva anual. Resolveremos el ejercicio utilizando la fórmula manual, la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Fórmula manual (1 + i)N - 1 VF = P x –––––––––– i (1 + i)10 - 1 20.000.000 = 1.400.000 x –––––––––– i

Series de tiempo

Calcular la tasa de interés de una anualidad por métodos algebraicos, es decir, despejando la ecuación, resulta ser prácticamente imposible; por tal razón, deberíamos calcular la tasa mediante un proceso llamado interpolación. Despejar la tasa de interés en una anualidad de forma manual mediante interpolación no vale la pena, sobre todo si la podemos calcular utilizando la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función tasa e introducimos los valores de la siguiente manera:

En la hoja de cálculo el VF y el pago deben tener signos contrarios, en tipo no va ningún dato. Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades), valor futuro, seleccionamos la alternativa de tasa e introducimos los datos de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

Cálculo de la tasa del VF de una anualidad Valor futuro (vf)

20.000.000

Cuota (p)

1.400.000

Número de cuotas (n)

10 7,7057728128%

Tasa de interés (i)

Como las cuotas son semestrales, la tasa es 7,7057728128%ES, así que debemos convertirla a efectiva anual, es decir, 16,005334972%EA. Lo que tengo Tasa

7,706%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Anual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

16,005334972%

Respuesta: el fondo debe ofrecer una rentabilidad del 16,005334972%EA.

3 . 1 . 2 s e r i e u n i f o r m e p e r p e t ua Una anualidad perpetua corresponde a una serie de cuotas o pagos iguales que tienden al infinito, es decir que esta anualidad no tiene un número de cuotas definido, ya que las cuotas se repiten a perpetuidad. En el entorno de las niif las anualidades perpetuas se pueden utilizar cuando se estudia el concepto de valor de continuidad. Cuando un capital se invierte a determinada tasa de interés y solamente se retira el valor correspondiente a los intereses, el capital no cambia y se puede seguir retirando de manera indefinida el valor de los intereses. Así que el valor presente de una anualidad perpetua se calcula tomando la cuota y dividiéndola entre la tasa de interés: VP anualidad perpetua = P / i

Series de tiempo

Ejemplo 3.9. Valor de continuidad: si el flujo de caja anual proyectado es de $245 millones de pesos y se estima que dichos flujos permanecerán constantes en el tiempo, calcular el valor de continuidad suponiendo una tasa de descuento del 6%ES. Valor de continuidad: en los modelos de flujo descontados, el valor residual nos indica cuánto podría valer la empresa en un momento determinado; consiste en traer a valor presente los flujos de efectivo proyectados a perpetuidad a una tasa de descuento determinada. Gráfica: P = $245 millones 0

1

∞ años

i = 6%ES VP = ? Valor de continuidad

Solución: Debemos calcular el valor presente de una serie uniforme perpetua, pero antes se convierte la tasa del 6% ES a una tasa efectiva anual, ya que los flujos de efectivo tienen una periodicidad anual. Por lo tanto, trabajaremos con una tasa del 12,64% EA. Lo que tengo Tasa

6,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Anual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

Fórmula manual VP anualidad perpetua = P / i VP anualidad perpetua = 245 / 0,1236 VP anualidad perpetua = $1.982,2 millones.

12,360000000%





Matemáticas financieras para las niif

Hoja de cálculo No existe ninguna función que realice esta operación. Calculadora financiera niif En series uniformes (anualidades), valor presente, seleccionamos la alternativa de infinita e introducimos los datos de la siguiente manera: Cálculo del valor presente de una anualidad perpetua 245

Cuota (p)

12,3600000000%

Tasa de interés (i)

$1.982,20

Valor presente (vp)

Respuesta: el valor de continuidad equivale a $1.982,2 millones.

3 . 1 . 3 s e r i e u n i f o r m e a n t i c i pa d a Una anualidad o serie uniforme anticipada es aquella cuya primera cuota se efectúa al inicio del periodo, a diferencia de una anualidad vencida cuya primera cuota se efectúa al final del periodo. Serie uniforme vencida

0

500

500

500

500

1

2

3

4

Serie uniforme anticipada 500 0

500 1

500 2

500 3

4

Series de tiempo

El que una serie uniforme sea vencida o anticipada no tiene nada que ver con la tasa de interés, ya que esta siempre deberá ser vencida, así la anualidad sea anticipada. En un 95% de los casos las anualidades son vencidas. En el caso en el que en una anualidad no se haga referencia a si es vencida o anticipada, se da por entendido que es vencida; mientras que una anualidad anticipada debe obligatoriamente indicar su carácter de anticipada. El valor presente de una serie uniforme anticipada está dado por la siguiente ecuación: 1 - (1 + i)-N VP anticipada = P x –––––––––– x (1 + i)1 i

Ejemplo 3.10. Valor presente de un canon de arrendamiento: un contrato de arrendamiento a 3 años estipula el pago de un canon mensual de $2.800.000 pagaderos de manera anticipada; calcular el valor presente de los cánones de arrendamiento si la tasa de descuento es equivalente al dtf del 8%EA. Valor presente de un canon de arrendamiento: este cálculo es esencial para poder definir si un arriendo es financiero u operativo. Una de las condiciones dice que cuando el valor presente del canon de arrendamiento sea superior al 90% del valor razonable del activo se considera un arrendamiento financiero, de lo contrario se considera como operativo. Gráfica: Canon de arrendamiento = $2.800.000 0

1

35

36 meses

i = 8%EA VP = ? Valor presente del canon de arrendamiento

Solución: Lo que debemos hallar es el valor presente de una anualidad; el contrato tiene un plazo de 3 años, pero la periodicidad de las cuotas de arrendamiento es mensual, y es por ello que trabajaremos con un número de cuotas de 36 (3x12). Debemos entonces convertir la tasa del 8% EA (efectiva anual) a una tasa EM (efectiva mensual vencida). Ya que las cuotas son mensuales, traba-





Matemáticas financieras para las niif

jaremos con una tasa del 0,643403011%EM; como se mencionó, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa. Lo que tengo Tasa

8,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Mensual

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

0,643403011%

Fórmula manual 1 - (1 + i)-N VP anticipada = P x –––––––––– x (1 + i)1 i 1 - (1 + 0,00643403011)-36 VP anticipada = 2.800.000 x ––––––––––––––––––––– x (1 + 0,00643403011)1 0,00643403011

VP anticipada = 2.800.000 x 32,043331389 x 1,00643403011 VP = 90.298.597,61 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son mensuales y la tasa debe ser efectiva mensual. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo, nos ubicamos en la celda donde queremos la respuesta, ingresamos a las funciones Fx y en seleccionar una categoría escogemos financieras, buscamos la función VA e introducimos los valores de la siguiente manera:

Series de tiempo

En la hoja de cálculo, la tasa debe ser 0,643403011% o 0,00643403011, pero de ninguna manera debe ser 0,643403011. El pago va con signo negativo para que VA tenga signo positivo, en VF y en tipo va el número 1 por tratarse de una anualidad anticipada; he aquí la diferencia con una anualidad vencida en la cual en tipo no se colocaba ningún valor. Calculadora financiera niif Por tratarse de una operación poco usual, este cálculo no está incluido en la calculadora financiera niif. Respuesta: el valor presente del canon de arrendamiento es de $90.298.597,61.

3 . 2 s e r i e s d e t i e m p o va r i a b l e s Las series de tiempo variables son conocidas también con el nombre de gradientes y, a diferencia de las anualidades, las cuotas del gradiente no son fijas. En un gradiente las cuotas pueden crecer o decrecer con un comportamiento aritmético o geométrico, que mantienen intervalos de tiempos iguales y a una misma tasa de interés.





Matemáticas financieras para las niif

3 . 2 . 1 s e r i e va r i a b l e d e c o m p o r ta m i e n t o aritmtico Los gradientes aritméticos o lineales son una serie de valores que crecen o decrecen en un valor constante en pesos o cualquier valor monetario, en intervalos de tiempos iguales y a una misma tasa de interés. El valor presente de un gradiente aritmético se calcula mediante la siguiente ecuación: VPGA = P x

L 1 - (1 +i)-N ± i i

1 - (1 +i)-N i

- N (1 + i)-N

Donde: VPGA: valor presente del gradiente aritmético. P: pago o cuota. Corresponde al valor de la primera cuota o el primer pago del gradiente. N: número de cuotas o pagos del gradiente. L: variación aritmética o lineal del gradiente. i: tasa de interés, la cual debe ser siempre efectiva, vencida, en términos porcentuales y sin corto circuito, es decir que debe tener la misma periodicidad de las cuotas o pagos del gradiente. Atención: al igual que con las anualidades, en los gradientes la periodicidad de las cuotas y la tasa deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo. En caso contrario, el problema se debe resolver cambiando únicamente la tasa; la periodicidad de las cuotas siempre debe respetarse. La fórmula maneja un signo (+/–). Utilizamos (+) si el gradiente es creciente o (–) si el gradiente es decreciente.

Ejemplo 3.11. Valor actual de un pasivo: una compañía presenta una obligación por la cual paga cuotas trimestrales de $3.400.000 crecientes en $450.000 cada periodo. Calcular el valor actual del pasivo si la obligación vence en

Series de tiempo

8 años y el prestamista cobra un interés del 1,3% EM (efectivo mensual vencido). Valor actual de un pasivo: consiste en traer a valor presente, es decir, a pesos de hoy cada uno de los flujos de efectivo que se deben pagar en una obligación, utilizando una tasa de descuento representativa. Gráfica: L = $450.000 P = $3.400.000

0

1

32 cuotas trimestrales i = 1,3%EM

VP = ? Valor actual de un pasivo

Solución: Como queremos calcular el valor actual de un pasivo, lo que debemos hallar es el valor presente de un gradiente aritmético; el plazo restante de la obligación es de 8 años, pero la periodicidad de las cuotas es trimestral, y es por ello que trabajaremos con un número de cuotas de 32 (4 x 8). Debemos entonces convertir la tasa del 1,3% EM (efectivo mensual vencida) a una tasa ET (efectivo trimestral vencida). Ya que las cuotas son mensuales, trabajaremos con una tasa del 3,950919700%ET; como se mencionó, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa. Lo que tengo Tasa

1,3000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Trimestral

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

3,950919700%

Resolveremos el ejercicio utilizando múltiples formas:





Matemáticas financieras para las niif

Fórmula manual VPGA = P x

1 - (1 +i)-N

VPGA = 3.400.000

i

±

L 1 - (1 +i)-N - N (1 + i)-N i i

1 - (1 + 0,0395)-32 0,0395

+

450.000 1 - (1 + 0,0395)-32 0,0395

0,0395

- 32 (1 + 0,0395)-32

VPGA = 61.151.634,28 + 11.389.753,125 [17,985774788 - 9,26087382] VPGA = 61.151.634,28 + 11.389.753,125 x 8,725087406 VPGA = 61.151.634,28 + 99.376.591,55 VPGA = 160.528.225,83 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son trimestrales y la tasa debe ser efectiva trimestral. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo no existen funciones para las series variables o gradientes. Calculadora financiera niif En series variables (gradientes) seleccionamos la alternativa de valor presente de un gradiente aritmético vpga e introducimos los datos de la siguiente manera: Valor presente de un gradiente aritmético Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Lineal (L) Valor presente (vp)

3.400.000 32 3,9509197000% 450000,00 $160.528.225,84

Series de tiempo

Respuesta: el valor actual del pasivo es de $160.528.225,84.

3 . 2 . 2 s e r i e va r i a b l e d e c o m p o r ta m i e n t o geomtrico Los gradientes geométricos son una serie de valores que crecen o decrecen en términos porcentuales, en intervalos de tiempos iguales y a una misma tasa de interés. El valor presente de un gradiente geométrico se calcula mediante la siguiente ecuación: VPGG (G ≠ i) = P x

(1 ± G)N x (1 + i)-N- 1 ±G-i

Donde: VPGG (G≠i): valor presente del gradiente geométrico cuando G ≠ i. P: pago o cuota. Corresponde al valor de la primera cuota o el primer pago del gradiente. N: número de cuotas o pagos del gradiente. G: corresponde a la variación porcentual del gradiente. i: tasa de interés, la cual debe ser siempre efectiva, vencida, en términos porcentuales y sin corto circuito, es decir que debe tener la misma periodicidad de las cuotas o pagos del gradiente. La ecuación anterior sirve solo cuando el crecimiento del gradiente y la tasa de interés son diferentes, es decir cuando G ≠ i, ya que, si fueran iguales, con la ecuación anterior el denominador sería cero y ocasionaría una indeterminación; es por eso que debemos emplear una ecuación diferente para cuando G = i. El valor presente de un gradiente geométrico cuando G = i se calcula mediante la siguiente ecuación:





Matemáticas financieras para las niif

VPGG (G = i) =

PxN 1+i

Donde: VPGG (G=i): valor presente del gradiente geométrico cuando G = i. P: pago o cuota. Corresponde al valor de la primera cuota o el primer pago del gradiente. N: número de cuotas o pagos del gradiente. i: tasa de interés, la cual debe ser siempre efectiva, vencida, en términos porcentuales y sin corto circuito, es decir que debe tener la misma periodicidad de las cuotas o pagos del gradiente; el valor de i corresponde también al valor del crecimiento del gradiente. Atención: al igual que con las anualidades, en los gradientes la periodicidad de las cuotas y la tasa deben estar expresadas en la misma unidad de tiempo. En caso contrario, el problema se debe resolver cambiando únicamente la tasa; la periodicidad de las cuotas se debe respetar siempre. La fórmula maneja un signo (+/-). Utilizamos (+) si el gradiente es creciente o (-) si el gradiente es decreciente.

Ejemplo 3.12. Valor actual de un activo: una empresa de consultoría ejecuta un contrato para prestar sus servicios a una multinacional y acuerdan un pago de $14.000.000 bimestrales crecientes en un 2% cada periodo. Calcular el valor actual del activo si el contrato vence en 3 años y se utiliza una tasa de descuento del 4% ES (efectivo semestral vencida). Valor actual de un activo: el valor actual de un activo consiste en traer a valor presente, es decir, a pesos de hoy, cada uno de los flujos de efectivo que genera un activo a una tasa de descuento representativa.

Series de tiempo

Gráfica: G = 2% P = $14.000.000

0

1

18 cuotas bimestrales i = 4%ES

VP = ? Valor actual de un activo

Solución: Como queremos calcular el valor actual de un activo, lo que debemos hallar es el valor presente de un gradiente geométrico; el plazo del contrato es de 3 años, pero la periodicidad de las cuotas es bimestral, y es por ello que trabajaremos con un número de cuotas de 18 (6x3). Debemos entonces convertir la tasa del 4% ES (efectiva semestral vencida) a una tasa E bimestral. Ya que las cuotas son bimestrales, trabajaremos con una tasa del 1,315940382%E bimestral; como se mencionó, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa. Lo que tengo Tasa

4,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Bimestral

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

1,315940382%

Resolveremos el ejercicio utilizando múltiples formas: Fórmula manual Como el crecimiento del gradiente y la tasa de interés son diferentes, debemos utilizar la fórmula de valor presente de un gradiente geométrico cuando G ≠ i.





Matemáticas financieras para las niif

N -N VPGG (G ≠ i) = P x (1 ± G) x (1 + i) - 1 ±G-i

VPGG (G ≠ i) = 14.000.000 x

(1 + 0,02)18 x (1 + 0,01315940382)-18- 1

VPGG (G ≠ i) = 14.000.000 x

1,428246248 x 0,790314526 - 1

VPGG (G ≠ i) = 14.000.000 x

1,128763756 - 1 0,006840596

VPGG (G ≠ i) = 14.000.000 x

0,128763756 0,006840596

0,02 - 0,01315940382

0,006840596

VPGG (G ≠ i) = 14.000.000 x 18,8231469827 VPGG (G ≠ i) = 263.528.577,57 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son bimestrales y la tasa debe ser efectiva bimestral. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo no existen funciones para las series variables o gradientes. Calculadora financiera niif En series variables (gradientes) seleccionamos la alternativa de valor presente de un gradiente geométrico cuando G ≠ i VPGGDIF e introducimos los datos de la siguiente manera:

Series de tiempo

Valor presente de un gradiente geométrico G ≠ 1 14.000.000

Cuota (p)

18

Número de cuotas (n)

1,3159403820%

Tasa de interés (i)

2,000%

Geométrico (g)

$263.528.577,56

Valor presente (vp)

Respuesta: el valor actual del activo es de $263.528.577,57. Ejemplo 3.13. Valor en uso de un activo: mediante un contrato a 5 años, una empresa da en arriendo una retroexcavadora que genera un flujo de efectivo de $20.000.000 cada semestre, crecientes en un 3% cada periodo. Calcular el valor en uso de la retroexcavadora si la tasa libre de riesgo es del 6,09% EA. Valor en uso de un activo: valor actual de los flujos de efectivo futuros esperados de todos los activos que se espera mantener en el largo plazo, valorados a pesos de hoy según una tasa de descuento. Gráfica: G = 3% P = $20.000.000

0

1

10 cuotas semestrales i = 6,09%EA

VP = ? Valor en uso de un activo

Solución: Como queremos calcular el valor actual de un activo, lo que debemos hallar es el valor presente de un gradiente geométrico; el plazo del contrato es de 5 años, pero la periodicidad de las cuotas es semestral, y es por ello que trabajaremos con un número de cuotas de 10 (2x5). Debemos entonces convertir la tasa del 6.09% EA (efectivo anual vencida) a una tasa ES (efectiva semestral vencida). Ya que las cuotas son semestrales, trabajaremos con una tasa del 3%ES; como se mencionó, debemos utilizar todos los decimales y no podemos redondear la tasa.





Matemáticas financieras para las niif

Lo que tengo Tasa

6,0900000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Semestral

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

3,000000000%

Resolveremos el ejercicio utilizando múltiples formas: Fórmula manual Como el crecimiento del gradiente y la tasa de interés son el mismo, debemos utilizar la fórmula de valor presente de un gradiente geométrico cuando G = i. PxN VPGG (G = i) = ––––– 1+i 20.000.000 x 10 VPGG (G = i) = ––––––––––––– 1 + 0,03 20.000.000 VPGG (G = i) = –––––––––– 1,03 VPGG (G = i) = 194.174.757,28 Observe que en el planteamiento manual la tasa debe ir dividida entre 100; además, la periodicidad de las cuotas y la periodicidad de la tasa se encuentran en la misma unidad de tiempo. En este caso, las cuotas son semestrales y la tasa debe ser efectiva semestral. Hoja de cálculo En la hoja de cálculo no existen funciones para las series variables o gradientes.

Series de tiempo

Calculadora financiera niif En series variables (gradientes) seleccionamos la alternativa de valor presente de un gradiente geométrico cuando G = i VPGGIG e introducimos los datos de la manera siguiente: Valor presente de un gradiente geométrico G = i Cuota (p) Número de cuotas (n)

20.000.000 10

Tasa de interés (i)

3,0000000000%

Valor presente (vp)

$194.174.757,28

Respuesta: el valor en uso del activo es de $194.174.757,28.

3 . 2 . 3 s e r i e va r i a b l e p e r p e t u a Una serie variable perpetua corresponde a una serie de cuotas o pagos que varían de manera aritmética o geométrica y que tienden al infinito, es decir que este gradiente no tiene un número de cuotas definido, ya que las cuotas se repiten a perpetuidad. El valor presente de un gradiente aritmético infinito o perpetuo se calcula mediante la siguiente ecuación: P L VPGAINF = –– ± ––– i i2

Donde: VPGAINF: valor presente de un gradiente aritmético perpetuo o infinito. P: pago o cuota. Corresponde al valor de la primera cuota o el primer pago del gradiente. L: variación aritmética o lineal del gradiente.





Matemáticas financieras para las niif

i: tasa de interés, la cual debe ser siempre efectiva, vencida, en términos porcentuales y sin corto circuito, es decir que debe tener la misma periodicidad de las cuotas o pagos del gradiente. El valor presente de un gradiente geométrico infinito o perpetuo se calcula mediante la siguiente ecuación: P VPGGINF = ––––– i-G

Donde: VPGGINF: valor presente de un gradiente geométrico perpetuo o infinito. P: pago o cuota. Corresponde al valor de la primera cuota o el primer pago del gradiente. i: tasa de interés, la cual debe ser siempre efectiva, vencida, en términos porcentuales y sin corto circuito, es decir que debe tener la misma periodicidad de las cuotas o pagos del gradiente. G: variación porcentual del gradiente. Atención: el valor presente de un gradiente geométrico perpetuo o infinito se puede calcular solamente si la tasa de interés es mayor que el crecimiento del gradiente; si la tasa de interés es menor o igual que el crecimiento del gradiente, el valor presente será infinito.

Ejemplo 3.14. Valor de continuidad: si el flujo de caja anual proyectado es de $170 millones y se estima que dichos flujos se incrementan en $15 millones cada año, calcular el valor de continuidad suponiendo una tasa de descuento del 10%CM. Valor de continuidad: en los modelos de flujo descontados, el valor residual nos indica cuánto podría valer la empresa en un momento determinado; consiste en traer a valor presente los flujos de efectivo proyectados a perpetuidad a una tasa de descuento determinada.

Series de tiempo

Gráfica: L = $15 millones P = $170 millones

∞ 0

1

cuotas anuales i = 10%CM

VP = ? Valor de continuidad

Solución: Debemos calcular el valor presente de un gradiente aritmético, pero antes se convierte la tasa del 10% CM a una tasa efectiva anual, ya que los flujos de efectivo tienen una periodicidad anual. Por lo tanto, trabajaremos con una tasa del 10,471306744%EA. Lo que tengo Tasa

10,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Anual

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

10,471306744%

Fórmula manual 170 15 VPGAINF = –––––––––– + ––––––––––– 0,104713... 0,104713...2 VPGAINF = 1.623,48 + 1.368,01 VPGAINF = 2.991,49 millones Hoja de cálculo No existe ninguna función que realice esta operación.





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif En series variables (gradientes) seleccionamos la alternativa de valor presente de un gradiente aritmético infinito VPGAINF e introducimos los datos de la siguiente manera: Valor presente de un gradiente aritmético infinito 170

Cuota (p) Tasa de interés (i)

10,4713067441% 15,00

Lineal (L) Valor presente (vp)

$2.991,49

Respuesta: el valor de continuidad equivale a $2.991,49 millones. Ejemplo 3.15. Valor de continuidad: si el flujo de caja semestral proyectado es de $45 millones y se estima que dichos flujos se incrementan en un 3% cada semestre, calcular el valor de continuidad suponiendo una tasa de descuento del 2%ET. Valor de continuidad: en los modelos de flujo descontados, el valor residual nos indica cuánto podría valer la empresa en un momento determinado; consiste en traer a valor presente los flujos de efectivo proyectados a perpetuidad a una tasa de descuento determinada. Gráfica: G = 3% P = $45 millones

∞ 0

1

cuotas semestrales i = 2%ET

VP = ? Valor de continuidad

Solución: Debemos calcular el valor presente de un gradiente geométrico, pero antes se convierte la tasa del 2% ET a una tasa efectiva semestral, ya que

Series de tiempo

los flujos de efectivo tienen una periodicidad semestral. Por lo tanto, trabajaremos con una tasa del 4,04%ES. Lo que tengo Tasa

2,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Semestral

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

4,040000000%

Fórmula manual P VPGGINF = ––––– i-G 45 VPGGINF = ––––––––––– 0,0404 - 0,03 45 VPGGINF = –––––– 0,0104 VPGGINF= 4.326,92 millones Hoja de cálculo No existe ninguna función que realice esta operación. Calculadora financiera niif En series variables (gradientes) seleccionamos la alternativa de valor presente de un gradiente geométrico infinito VPGGINF e introducimos los datos de la manera siguiente:





Matemáticas financieras para las niif

Valor presente de un gradiente geométrico infinito 45

Cuota (p) Tasa de interés (i) Geométrico (g) Valor presente (vp)

4,0400000000% 3,000% $4.326,92

Respuesta: el valor de continuidad equivale a $4.326,92 millones. Ejemplo 3.16. Valor de continuidad: si el flujo de caja anual proyectado es de $90 millones y se estima que dichos flujos se incrementan en un 15% cada año, calcular el valor de continuidad suponiendo una tasa de descuento del 4%ES. Valor de continuidad: en los modelos de flujo descontados, el valor residual nos indica cuánto podría valer la empresa en un momento determinado; consiste en traer a valor presente los flujos de efectivo proyectados a perpetuidad a una tasa de descuento determinada. Gráfica: G = 15% P = $90 millones

∞ 0

1

cuotas anuales i = 4%ES

VP = ? Valor de continuidad

Solución: Debemos calcular el valor presente de un gradiente geométrico, pero antes se convierte la tasa del 4% ES a una tasa efectiva anual, ya que los flujos de efectivo tienen una periodicidad anual. Por lo tanto, trabajaremos con una tasa del 8,16%EA.

Series de tiempo

Lo que tengo Tasa

4,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Anual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

8,160000000%

Fórmula manual P VPGGINF = ––––– i-G 90 VPGGINF = ––––––––––– 0,0816 - 0,15 90 VPGGINF = –––––– -0,0684 VPGGINF= -1.315,78 millones Atención: observe que la respuesta no es lógica, pues en esta operación un resultado negativo carece de sentido. Esto ocurrió porque el crecimiento del gradiente es mayor que la tasa de descuento y cuando eso pasa la respuesta es: infinito.

Hoja de cálculo No existe ninguna función que realice esta operación. Calculadora financiera niif En series variables (gradientes) seleccionamos la alternativa de valor presente de un gradiente geométrico infinito VPGGINF e introducimos los datos de la manera siguiente:





Matemáticas financieras para las niif

Valor presente de un gradiente geométrico infinito Cuota (p) Tasa de interés (i)

90 8,1600000000%

Geométrico (g)

15,000%

Valor presente (vp)

Infinito

Respuesta: el valor de continuidad tiende al infinito.

Series de tiempo

ejercicios propuestos captulo 3 series uniformes 1. Una compañía adquiere una bodega por un valor de $600 millones; el 80% se obtiene mediante un crédito a un plazo de 10 años y el pago de cuotas iguales. Calcular el valor de la cuota a pagar: Cuota mensual

Cuota bimestral

Cuota quincenal

Cuota mensual $10,4277 $9,4818 $8,6894

Cuota bimestral $21,0599 $19,1267 $17,5102

Cuota quincenal $5,1885 $4,7207 $4,3284

11% ESa 21% NT 18% C diaria base 360

Respuesta: 11% ESa 21% NT 18% C diaria base 360

Cifras en millones de pesos.

2. La junta directiva de una empresa ha decidido realizar una reconversión tecnológica en 8 años; para lograr su objetivo, decide ahorrar cuotas periódicas iguales en un fondo de capitalización. Calcular el valor de la cuota a ahorrar si actualmente la maquinaria tiene un valor de $2.400 millones y se espera una inflación del 2% anual para los próximos 8 años. Cuota anual

Cuota semestral

Cuota trimestral

Cuota anual $295,4564 $280,2297 $215,4444

Cuota semestral $145,9591 $137,9476 $104,2836

Cuota trimestral $72,5425 $68,4403 $51,3094

0,4% EMa 6% EAa 0,035% E diaria base 365

Respuesta: 0,4% EMa 6% EAa 0,035% E diaria base 365

Cifras en millones de pesos.





Matemáticas financieras para las niif

3. Valor actual de un pasivo: una obligación estipula el pago de cuotas fijas mensuales de $970.000; si la obligación vence en 9 años, calcular el valor actual del pasivo con una tasa de descuento: A. 7%ESa. B. 0,9%E bimensual. C. 17%NMa. Respuesta: A. $58.124.979,42 B. $45.901.833,95 C. $53.043.347,79 4. Los socios de una empresa acuerdan realizar una reserva voluntaria de $3.500.000 cada trimestre para un fin específico durante 6 años; calcular el valor ahorrado si se invierten los recursos en un fondo de capitalización que ofrece una rentabilidad: A. 0,6%EM. B. 8%CSa. C. 10%EA. Respuesta: A. $104.053.223,98 B. $107.286.690,46 C. $111.988.816,4 5. Valor actual de un activo: una venta es registrada por un valor de $4.400.000; a cuántas cuotas se difiere la venta si: A. La tasa de descuento es del 26%EA y las cuotas son de $322.640 mensuales. B. La tasa de descuento es del 1,6%EMa y las cuotas son de $480.301 mensuales. C. La tasa de descuento es del 23%CT y las cuotas son de $413.029 mensuales.

Series de tiempo

Respuesta: A. La venta se difirió a 16 pagos mensuales. B. La venta se difirió a 10 pagos mensuales. C. La venta se difirió a 12 pagos mensuales. 6. Una persona desea reunir la suma de $26.000.000 mediante el ahorro de cuotas iguales; en cuántos periodos logrará su objetivo si deposita su dinero en un fondo bajo las siguientes condiciones: A. El fondo ofrece una rentabilidad del 1%E bimestral y ahorra cuotas trimestrales de $1.268.534. B. El fondo ofrece una rentabilidad del 3%ESa y ahorra cuotas bimestrales de $2.047.734. C. El fondo ofrece una rentabilidad del 8%EA y ahorra cuotas bimensuales de $1.000.473. Respuesta: A. Debe ahorrar 18 cuotas trimestrales. B. Debe ahorrar 12 cuotas bimestrales. C. Debe ahorrar 25 cuotas bimensuales. 7. Valor presente de un canon de arrendamiento: un contrato de arrendamiento a 5 años estipula el pago de un canon bimestral de $8.000.000. Si el valor presente de los cánones de arrendamiento es de $200.000.000, calcular la tasa de descuento y expresarla en: A. EA. B. NMa. C. E diaria base 366. Respuesta: A. La tasa de descuento es de 1,219...%E bimestral, equivalente a 7,541…%EA. B. La tasa de descuento es de 1,219...%E bimestral, equivalente al 7,24829...%NMa. C. La tasa de descuento es de 1,219...%E bimestral, equivalente al 0,019866099% E diaria base 366.





Matemáticas financieras para las niif

8. Una persona desea adquirir un vehículo en 4 años; para lograr su objetivo, decide realizar un ahorro de cuotas quincenales iguales de $420.000 en un fondo de capitalización. El vehículo actualmente tiene un valor de $41.000.000 y se espera una inflación del 3% anual para los próximos 4 años. Calcular la rentabilidad que debe ofrecer el fondo de capitalización y representarla en: A. ET. B. NSa. C. E bimestral anticipada. Respuesta: A. El fondo renta un 0,2782736897% E bimensual, equivalente al 1,6813008%ET. B. El fondo renta un 0,2782736897% E bimensual, equivalente al 6,5593205%NSa. C. El fondo renta un 0,2782736897% E bimensual, equivalentes al 1,1053940%E bimestral anticipada. 9. Valor de continuidad: si el flujo de caja semestral proyectado es de $65 millones y se estima que dichos flujos permanecerán constantes en el tiempo, calcular el valor de continuidad suponiendo una tasa de descuento del 2,5%ET. Respuesta: el valor de continuidad es de $1.283,95 millones. 10. Valor actual de un pasivo: una obligación estipula el pago de cuotas fijas trimestrales de $2,450.000 de forma anticipada; si la obligación vence en 4 años, calcular el valor actual del pasivo con una tasa de descuento: A. 1,5%EM. B. 2,8% ETa. C. 19%CS. Respuesta: A. $28.639.600,46 B. $31.952.017,26 C. $28.506.439,86

Series de tiempo

s e r i e s va r i a b l e s 1. Valor actual de un pasivo: una empresa presenta una obligación por la cual paga cuotas mensuales de $1.300.000 crecientes en $50.000 cada periodo. Calcular el valor actual del pasivo si la obligación vence en 5 años y se utiliza una tasa de descuento del: A. 14%EA. B. 17% CMa. C. 8%ES. Respuesta: A. $114.366.319,95 B. $102.609.544,83 C. $107.470.763,54 2. Valor en uso de un activo: una empresa da en arriendo al distrito una máquina recubridora de asfalto mediante un contrato a 6 años que genera un flujo de efectivo de $18.000.000 cada trimestre, crecientes en un 2% cada periodo. Calcular el valor en uso de la máquina recubridora de asfalto si la tasa libre de riesgo es: A. 0,8% EM. B. 9% CTa. C. 4,04% ES. Respuesta: A. $402.523.112,28 B. $408.259.323,16 C. $423.529.411,76 3. Valor de continuidad: si el flujo de caja semestral proyectado es de $42 millones y se estima que dicho flujo se incrementa en $4 millones cada semestre, calcular el valor de continuidad suponiendo una tasa de descuento de:





Matemáticas financieras para las niif

A. 10% EA. B. 3% ETa. C. 12% CM. Respuesta: A. El valor de continuidad equivale a $2.539,55 millones. B. El valor de continuidad equivale a $1.682,51 millones. C. El valor de continuidad equivale a $1.739,58 millones. 4. Valor de continuidad: si el flujo de caja anual proyectado es de $60 millones y se estima que dicho flujo se incrementa en un 6% cada año, calcular el valor de continuidad suponiendo una tasa de descuento de: A. 15% C bimensual B. 16% C bimestral C. 0,4% EM Respuesta: A. El valor de continuidad equivale a $592,35 millones. B. El valor de continuidad equivale a $540,28 millones. C. El valor de continuidad tiende al infinito.

captulo 4

Tabla de amortización y capitalización

Una tabla de amortización descompone cada una de las cuotas de un crédito. Las cuotas que se pagan en una operación crediticia tienen dos componentes: por un lado se pagan intereses y por el otro se realiza un abono a capital, también conocido como amortización. Aunque existen muchos tipos de tablas de amortización, básicamente se pueden agrupar en dos. El primero consiste en construir una tabla de amortización que maneje cuotas fijas, es decir, una anualidad; mientras que en el segundo se pueden manejar abonos constantes a capital, lo que daría lugar a cuotas variables. Estudiaremos las tablas de amortización en pesos, en moneda extranjera y en uvr, tanto con el sistema de cuotas fijas como con el sistema de abonos constantes a capital. El concepto de tabla de amortización resulta ser fundamental en el entorno de las niif, sobre todo cuando se hace referencia al costo amortizado que también se abordará en este capítulo. Por otro lado, la tabla de capitalización nos permite observar cómo, periodo tras periodo, mediante el ahorro de cuotas y la acumulación de intereses, es posible reunir un valor determinado.

4 . 1 ta b l a d e a m o r t i z a c i  n e n p e s o s Ejemplo 4.1: una deuda de $5.000 será cubierta mediante el pago de 5 cuotas anuales a una tasa de interés del 10%EA. Construir la tabla de amortización si: A. Las cuotas son iguales. B. Con abonos constantes a capital. Solución: A. Las cuotas son iguales. Si las cuotas son iguales, lo primero que debemos hacer es calcular el valor de la cuota mediante el valor presente de una anualidad: tenemos un valor presente de $5.000, un número de cuotas de 5 y una tasa de interés del 10%EA con la que no tendremos ningún inconveniente, ya que las cuotas también son anuales. Al calcular el valor de la cuota, nos da como resultado $1.319.





Matemáticas financieras para las niif

Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

5.000,00 5 10,0000000% $1.318,99

Cuota (p)

Una tabla de amortización con cuota fija presenta las siguientes columnas: periodo, saldo, interés, cuota y amortización. Saldo: se calcula tomando el saldo del periodo anterior menos la amortización, excepto el saldo del periodo cero que corresponde al valor del préstamo. Interés: se calcula tomando el saldo del periodo anterior y se multiplica por la tasa de interés. Cuota: se halla mediante el cálculo de la cuota del valor presente de una anualidad. Amortización: se calcula restando al valor de la cuota los intereses. Tabla de amortización con cuota fija Periodo 0 1 2 3 4 5

Saldo 5000,0 4181,0 3280,1 2289,1 1199,1 0,0

Interés

Cuota

Amortización

500,0 418,1 328,0 228,9 119,9

1319,0 1319,0 1319,0 1319,0 1319,0

819,0 900,9 991,0 1090,1 1199,1

El saldo de la deuda en el periodo cero corresponde al valor del préstamo, es decir, $5.000. La cuota se calcula mediante anualidad y por ser cuota fija los $1.319 se repiten desde el periodo 1 hasta el periodo 5. Ahora debemos descomponer cada una de las cuotas y determinar qué parte corresponde a intereses y qué parte corresponde a amortización. 1. Periodo 1: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda del periodo anterior para multiplicarlo por la tasa de interés: $5.000 x 10% = $500. La amortización se calcula tomando la cuota y restándole el interés: $1.319 - $500 = $819. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el

Tabla de amortización y capitalización

saldo del periodo anterior y restándole la amortización del periodo actual: $5000 - $819 = $4.181. 2. Periodo 2: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda y multiplicándolo por la tasa de interés: $4.181 x 10% = $418. La amortización se calcula tomando la cuota y restándole el interés: $1.319 - $418 = $900,9. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior y restándole la amortización del periodo actual: $4.181 - $900,9 = $3.280,1. 3. Periodo 3: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda y multiplicándolo por la tasa de interés $3.280,1 x 10% = $328. La amortización se calcula tomando la cuota y restándole el interés $1.319 - $328 = $991. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior y restándole la amortización del periodo actual: $3.280,1 - $328 = $2.289,1. 4. Periodo 4: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda y multiplicándolo por la tasa de interés: $2.289,1 x 10% = $228,9. La amortización se calcula tomando la cuota y restándole el interés: $1.319 - $228,9 = $1.090,1. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior y restándole la amortización del periodo actual: $2.289,1 - $1.090,1 = $1.199,1. 5. Periodo 5: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda y multiplicándolo por la tasa de interés: $1.199,1 x 10% = $119,9. La amortización se calcula tomando la cuota y restándole el interés: $1.319 - $119,9 = $1.199,1. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior y restándole la amortización: $1.199,1 - $1.199,1 = $0. Recuerde que el último saldo de una tabla de amortización debe ser siempre cero. El manejar cuotas fijas tiene sus ventajas y sus desventajas. Por un lado, produce estabilidad, ya que usted conoce el valor de la cuota de principio a fin, factor que ayuda a planear el flujo de caja. Mientras que, por el otro lado, cuando se tienen cuotas fijas, se toma la tasa del día de la negociación y si la tasa de interés sube o baja usted puede ganar o perder, ocasionando un riesgo que se conoce como riesgo de tasa de interés. Con el objeto de mitigar este riesgo de tasa de interés, se ha venido utilizando el sistema de abonos constantes a capital, en el cual las cuotas son variables y la amortización se mantiene constante. En este caso, se pueden ajustar los intereses en cualquier momento del crédito y el saldo de la deuda en el último periodo siempre va a ser cero.





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif En tabla de amortización, pesos, seleccionamos la alternativa de cuota fija e introducimos los datos de la siguiente manera: Tabla de amortización cuota fija en pesos Valor presente (vp) Número de cuotas (n)

5.0000 5

Tasa de interés (i)

10,0000000%

Cuota (r)

$1.318,98740

En la parte inferior se construye la tabla automáticamente. B. Abonos constantes a capital. En este sistema las cuotas varían en todos los periodos, mientras que la amortización permanece constante. La amortización se calcula tomando simplemente el valor de la deuda y dividiéndolo entre el número de cuotas. En este caso la amortización será: $5.000 / 5 = $1.000. Una tabla de amortización con abonos constantes a capital presenta las siguientes columnas: periodo, saldo, interés, cuota y amortización. Saldo: se calcula tomando el saldo del periodo anterior menos la amortización del periodo actual, excepto el saldo del periodo cero que corresponde al valor del préstamo. Interés: se calcula tomando el saldo del periodo anterior y multiplicándolo por la tasa de interés. Cuota: se calcula tomando la amortización y sumándole los intereses. Amortización: se calcula tomando el valor de la deuda y dividiéndolo entre el número de cuotas.

Tabla de amortización y capitalización

Tabla de amortización con abonos constantes a capital Periodo 0 1 2 3 4 5

Saldo 5000,0 4000,0 3000,0 2000,0 1000,0 0,0

Interés

Cuota

Amortización

500,0 400,0 300,0 200,0 100,0

1500,0 1400,0 1300,0 1200,0 1100,0

1000,0 1000,0 1000,0 1000,0 1000,0

1. Periodo 0: el saldo de la deuda en el periodo cero corresponde al valor del préstamo, es decir, $5.000. La amortización se calcula tomando la deuda y se divide entre el número de cuotas, es decir, $5.000 / 5 = $1.000 y se repite desde el periodo 1 al periodo 5. 2. Periodo 1: los intereses se calculan tomando el saldo del periodo anterior de la deuda y se multiplica por la tasa de interés: $5.000 x 10% = $500. La cuota se calcula sumando la amortización con los intereses: $1.000 + $500 = $1.500. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior y restándole la amortización $5.000 - $1.000 = $4.000. 3. Periodo 2: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda y multiplicándolo por la tasa de interés: $4.000 x 10% = $400. La cuota se calcula tomando la amortización más los intereses $1.000 + $400 = $1.400. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior y restándole la amortización: $4.000 - $1.000 = $3.000. 4. Periodo 3: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda y multiplicándolo por la tasa de interés: $3.000 x 10% = $300. La cuota se calcula tomando la amortización más los intereses $1.000 + $300 = $1.300. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior y restándole la amortización: $3.000 - $1.000 = $2.000. 5. Periodo 4: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda y multiplicándolo por la tasa de interés: $2.000 x 10% = $200. La cuota se calcula tomando la amortización más los intereses: $1.000 + $200 = $1.200. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior y restándole la amortización: $2.000 - $1.000 = $1.000. 6. Periodo 5: los intereses se calculan tomando el saldo de la deuda y multiplicándolo por la tasa de interés: $1.000 x 10% = $100. La cuota se calcula tomando la amortización más los intereses $1.000 + $100 = $1.100. El nuevo saldo de la deuda se calcula tomando el saldo del periodo anterior





Matemáticas financieras para las niif

y restándole la amortización: $1.000 - $1.000 = $0. El último saldo de una tabla de amortización debe ser siempre cero. Este ejercicio se resolvió utilizando una tasa del 10%; sin embargo, si para el periodo 2 la tasa sube al 13%, se liquidan los intereses al 13% y si para el periodo 3 la tasa baja al 8%, se liquidan los intereses al 8%. Calculadora financiera niif En tabla de amortización, pesos, seleccionamos la alternativa de abono constante e introducimos los datos de la siguiente manera: Tabla de amortización abonos constante a capital en pesos Valor presente (vp) Número de cuotas (n)

5.000 5 $1.000,00

Amortización

La tasa se introduce en las celdas de entrada; en el sistema de abonos constantes a capital la tasa puede cambiar de un periodo a otro. PERIODO 0 1 2 3 4 5

TASA INTERÉS 10% 10% 10% 10% 10%

En la parte inferior se construye la tabla automáticamente.

4 . 2 ta b l a d e a m o r t i z a c i  n e n o t r a m o n e d a Cuando se adquiere un crédito en moneda extranjera, se construye la tabla de amortización, ya sea con cuotas fijas o con abonos constantes a capital; después se proyecta la tasa de cambio teniendo en cuenta la tasa de paridad; posteriormente se construye la tabla de amortización en la moneda original del prestatario y, finalmente, se calcula una diferencia en cambio que puede ser una pérdida o una ganancia dependiendo de si la moneda se devalúa o se revalúa.

Tabla de amortización y capitalización

Ejemplo 4.2: una empresa colombiana solicita un crédito de 30.000 dólares mediante el pago de cuotas anuales a un plazo de 5 años y a una tasa de interés del 4%ES. La tasa de cambio el día del desembolso es de $2.800 por dólar. La inflación proyectada para los próximos años es la siguiente: Año 1 3,0% 2,5%

Inflación Colombia Inflación EE.UU.

Año 2 2,9% 2,6%

Año 3 2,8% 2,8%

Año 4 2,6% 3,0%

Año 5 2,5% 3,2%

Construir la tabla de amortización en dólares y en pesos, suponiendo: A. Cuotas iguales en dólares. B. Abonos constantes a capital en dólares. Solución: A. Las cuotas son iguales en dólares. Primero resolvemos el corto circuito, ya que la tasa es semestral y las cuotas son anuales, así que 4%ES equivale al 8,16%EA. Lo que tengo Tasa

4%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Anual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

8,16%

Ahora calculamos el valor de las cuotas iguales en dólares, utilizando cualquiera de los métodos estudiados, mediante el cálculo de una cuota del valor presente de una anualidad:





Matemáticas financieras para las niif

Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n)

30.0000 5

Tasa de interés (i)

8,1600000%

Cuota (p)

$7.545,40579

Con esta información procedemos a construir la tabla de amortización en dólares de la misma manera que una tabla de amortización con cuota fija en pesos. Tabla de amortización con cuota fija en dólares Años

Saldo dólares

Interés dólares

Cuota dólares

Amortización dólares

0 1 2 3 4 5

30.000,00 24.902,59 19.389,24 13.426,00 6.976,15 0,0

2.448,00 2.032,05 1.582,16 1.095,56 569,25

7.545,41 7.545,41 7.545,41 7.545,41 7.545,41

5.097,41 5.513,35 5.963,24 6.449,84 6.976,15

Para poder construir la tabla de amortización en pesos debemos estimar la tasa de paridad cambiaria y así poder proyectar la tasa de cambio: Tasa de paridad = (Infl. Col – Infl. EE.UU.) / (1+Infl. EE.UU.) Año 1 = (0,030-0,025) / (1,025) = 0,004878 Año 2 = (0,029-0,026) / (1,026) = 0,002924 Año 3 = (0,028-0,028) / (1,028) = 0,000000 Año 4 = (0,026-0,030) / (1,030) = -0,003883 Año 5 = (0,025-0,032) / (1,032) = -0,006783 La tasa de paridad nos indica que en teoría durante los años 1 y 2 el peso se debería devaluar frente al dólar, durante el año 3 la tasa de cambio no debería cambiar y durante los años 4 y 5 el peso se debería revaluar frente al dólar.

Tabla de amortización y capitalización

Teniendo la proyección de la tasa de paridad, procedemos a la proyección de la tasa de cambio: Año 0 = 2.800 Año 1 = 2.800 x (1 + 0,004878) = 2.813,6585 Año 2 = 2.813,6585 x (1 + 0,002924) = 2.821,8856 Año 3 = 2.821,8856 x (1 + 0,000000) = 2.821,8856 Año 4 = 2.821,8856 x (1 - 0,003883) = 2.810,9268 Año 5 = 2.810,9268 x (1 - 0,006783) = 2.791,8605 Tabla de amortización con cuota fija en dólares convertida a pesos Ahora solo debemos multiplicar cada uno de los valores en dólares por el valor proyectado de la tasa de cambio y así obtener la tabla de amortización en pesos. Años

Infl. Col.

Infl. EE.UU.

1

3,0%

2,5%

0,004878 2.813,6585 70.067.396,78 6.887.836,10 21.230.195,41 14.342.359,32 -409.756,10

2

2,9%

2,6%

0,002924 2.821,8856 54.714.217,62 5.734.217,41 21.292.272,01 15.558.054,60 -204.875,43

3

2,8%

2,8%

0,000000 2.821,8856 37.886.625,77 4.464.680,16 21.292.272,01 16.827.591,85

4

2,6%

3,0%

-0,003883 2.810,9268 19.609.452,31 3.079.542,65 21.209.583,57 18.130.040,92 147.132,53

5

2,5%

3,2%

-0,006783 2.791,8605

0

Tasa paridad

Tasa cambio

Saldo pesos

2.800,00

84.000.000,00

0,0

Interés pesos

Cuota pesos

Amortización pesos

Diferencia cambio

0,00

1.589.277,70 21.065.720,12 19.476.442,41 133.009,85

La última columna de la tabla anterior se refiere a la diferencia en cambio, que puede ser pérdida o ganancia dependiendo de si hay devaluación o revaluación del peso frente al dólar. La diferencia en cambio se calcula tomando el saldo en pesos del periodo 0 – saldo en pesos del periodo 1 – amortización en pesos del periodo 1, y se continúa con la secuencia: Año 1 = 84.000.000,00 - 70.067.396,78 - 14.342.359,32 = -409.756,10 Año 2 = 70.067.396,78 - 54.714.217,62 - 15.558.054,60 = -204.875,43 Año 3 = 54.714.217,62 - 37.886.625,77 - 16.827.591,85 = 0 Año 4 = 37.886.625,77 - 19.609.452,31 - 18.130.040,92 = 147.132,53 Año 5 = 19.609.452,31 - 0 - 19.476.442,41 = 133.009,85





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif En tabla de amortización, otra moneda, seleccionamos la alternativa de cuota fija e introducimos los datos de la siguiente manera: Tabla de amortización cuota fija en otra moneda Valor presente moneda X Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

30.000 5 8,1600000%

Tasa de cambio $/X

2.800

Cuota moneda X (p)

$7.545,41

La inflación de Colombia y la inflación del país en cuya moneda se contrajo la obligación, en este caso la inflación en los Estados Unidos por tratarse de un crédito en dólares, se introduce en las celdas de entrada. INF. COL

INF X

3,00% 2,90% 2,80% 2,60% 2,50%

2,50% 2,60% 2,80% 3,00% 3,20%

Con esta información se construye la tabla automáticamente. B. Abonos constantes a capital en dólares. Primero resolvemos el corto circuito, ya que la tasa es semestral y las cuotas son anuales, así: 4%ES equivale al 8,16%EA. Ahora calculamos el valor de la amortización en dólares tomando el valor de la deuda en dólares y dividiéndolo entre el número de cuotas. En este caso la amortización será 30.000 / 5 = 6.000. Con esta información procedemos a construir la tabla de amortización en dólares de la misma manera que una tabla de amortización con abonos constantes a capital en pesos.

Tabla de amortización y capitalización

Tabla de amortización con abonos constantes a capital en dólares Años

Saldo dólares

Interés dólares

Cuota dólares

Amortización dólares

0 1 2 3 4 5

30.000,00 24.000,00 18.000,00 12.000,00 6.000,00 0,0

2.448,00 1.958,40 1.468,80 979,20 489,60

8.448,00 7.958,40 7.468,80 6.979,20 6.489,60

6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00 6.000,00

Para poder construir la tabla de amortización en pesos debemos estimar la tasa de paridad cambiaria y así poder proyectar la tasa de cambio: Tasa de paridad = (Infl. Col – Infl. ee.uu.)/(1+Infl. ee.uu.) Año 1 = (0,030-0,025)/(1,025) = 0,004878 Año 2 = (0,029-0,026)/(1,026) = 0,002924 Año 3 = (0,028-0,028)/(1,028) = 0,000000 Año 4 = (0,026-0,030)/(1,030) = -0,003883 Año 5 = (0,025-0,032)/(1,032) = -0,006783 La tasa de paridad nos indica que en teoría durante los años 1 y 2 el peso se debería devaluar frente al dólar, durante el año 3 la tasa de cambio no debería cambiar y durante los años 4 y 5 el peso se debería revaluar frente al dólar. Teniendo la proyección de la tasa de paridad, procedemos a la proyección de la tasa de cambio: Año 0 = 2.800 Año 1 = 2.800 x (1 + 0,004878) = 2.813,6585 Año 2 = 2.813,6585 x (1 + 0,002924) = 2.821,8856 Año 3 = 2.821,8856 x (1 + 0,000000) = 2.821,8856 Año 4 = 2.821,8856 x (1 - 0,003883) = 2.810,9268 Año 5 = 2.810,9268 x (1 - 0,006783) = 2.791,8605





Matemáticas financieras para las niif

Tabla de amortización con abonos constantes a capital en dólares convertida a pesos Ahora solo debemos multiplicar cada uno de los valores en dólares por el valor proyectado de la tasa de cambio y así obtener la tabla en pesos. Años

Infl. Col.

Infl. EE.UU.

1

3,0%

2,5%

0,004878 2.813,6585 67.527.804,88 6.887.836,10 23.769.787,32 16.881.951,22 -409.756,10

2

2,9%

2,6%

0,002924 2.821,8856 50.793.940,95 5.526,380,78 22.457.694,43 16.931.313,65 -197.449,72

3

2,8%

2,8%

0,000000 2.821,8856 33.862.627,30 4.144.785,58 21.076.099,23 16.931.313,65

4

2,6%

3,0%

-0,003883 2.810,9268 16.865.560,98 2.752.459,55 19.618.020,53 16.865.560,98 131.505,35

5

2,5%

3,2%

-0,006783 2.791,8605

0

Tasa paridad

Tasa cambio

Saldo pesos

2.800,00

84.000.000,00

0,0

Interés pesos

Cuota pesos

Amortización pesos

Diferencia cambio

0,00

1.366.894,88 18.118.057,67 16.751.162,79 114.398,18

La última columna de la tabla anterior hace referencia a la diferencia en cambio, que además puede ser pérdida o ganancia dependiendo de si hay devaluación o revaluación del peso frente al dólar. La diferencia en cambio se calcula tomando el saldo en pesos del periodo 0 – saldo en pesos del periodo 1 – amortización en pesos del periodo 1, y se continúa con la secuencia: Año 1 = 84.000.000,00 - 67.527.804,88 - 16.881.951,22 = -409.756,10 Año 2 = 67.527.804,88 - 50.793.940,95 - 16.931.313,65 = -197.449,72 Año 3 = 50.793.940,95 - 33.862.627,30 - 16.931.313,65 = 0 Año 4 = 33.862.627,30 - 16.865.560,98 - 16.865.560,98 = 131.505,35 Año 5 = 16.865.560,98 - 0 - 16.751.162,79 = 114.398,18 Calculadora financiera niif En tabla de amortización, otra moneda, seleccionamos la alternativa de abono constante e introducimos los datos de la siguiente manera:

Tabla de amortización y capitalización

Tabla de amortización abono constante a capital en otra moneda Valor presente moneda X Número de cuotas (n)

30.0000 5

Tasa de cambio $/X

2.800

Cuota moneda X (p)

6.000,00

La tasa se introduce en las celdas de entrada, en el sistema de abonos constantes a capital la tasa puede cambiar de un periodo a otro. PERIODO 0 1 2 3 4 5

TASA INTERÉS 8,16000000% 8,16000000% 8,16000000% 8,16000000% 8,16000000%

La inflación de Colombia y la inflación del país en cuya moneda se contrajo la obligación, en este caso la inflación en los Estados Unidos por tratarse de un crédito en dólares, se introduce en las celdas de entrada. INF. COL

INF X

3,00% 2,90% 2,80% 2,60% 2,50%

2,50% 2,60% 2,80% 3,00% 3,20%

Con esta información se construye la tabla automáticamente.

4 . 3 ta b l a d e a m o r t i z a c i  n e n u v r La unidad de valor real (uvr) refleja el poder adquisitivo y se basa en los cambios del índice de precios al consumidor (ipc) en un periodo determinado. La uvr es una unidad que sirve como base para determinar la estructura de los créditos hipotecarios.





Matemáticas financieras para las niif

Ejemplo 4.3: una deuda de $5.000.000 será cubierta mediante el pago de cuotas semestrales a un plazo de 3 años en uvr. La uvr el día del desembolso es de $250 y se estima una inflación semestral del 2,5% para el primer semestre con un crecimiento del 0,5% en los semestres posteriores. La tasa de interés cobrada por la entidad financiera corresponde a un 12,36%EA por encima de la inflación. Construir la tabla de amortización en uvr y en pesos suponiendo: A. Cuotas iguales en uvr. B. Abonos constantes a capital en uvr. Solución: A. Las cuotas son iguales en uvr Primero debemos convertir la deuda en uvr así: $5.000.000 / 250 = 20.000. Después resolvemos el corto circuito, ya que la tasa es anual y las cuotas son semestrales, así que 12,36%EA equivale al 6%ES. Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

12,3600000%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Semestral

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

6,000000000%

Ahora calculamos el valor de las cuotas iguales en uvr, utilizando cualquiera de los métodos estudiados, mediante el cálculo de una cuota del valor presente de una anualidad: Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n)

20.0000 6

Tasa de interés (i)

6,0000000%

Cuota (p)

$4.067,25257

Tabla de amortización y capitalización

Con esta información procedemos a construir la tabla de amortización en uvr de la misma manera que una tabla de amortización con cuota fija en pesos. Tabla de amortización con cuota fija en uvr Semestre 0 1 2 3 4 5 6

Saldo uvr 20.000,00 17.132,75 14.093,46 10.871,82 7.456,87 3.837,03 0,00

Interés uvr

Cuota uvr

Amortización uvr

1.200,00 1.027,96 845,61 652,31 447,41 230,22

4.067,25 4.067,25 4.067,25 4.067,25 4.067,25 4.067,25

2.867,25 3.039,29 3.221,64 3.414,94 3.619,84 3.837,03

Para poder construir la tabla de amortización en pesos, debemos proyectar el valor de la uvr teniendo en cuenta la inflación proyectada que equivale al 2,5% para el primer semestre y que se incrementa en un 0,5% cada semestre. Semestre 0 = 250 Semestre 1 = 250 x 1,025 = 256,25 Semestre 2 = 256,25 x 1,030 = 263,9375 Semestre 3 = 263,9375 x 1,035 = 273,1753 Semestre 4 = 273,1753 x 1,040 = 284,1023 Semestre 5 = 284,1023 x 1,045 = 296,8869 Semestre 6 = 296,8869 x 1,050 = 311,7312 Tabla de amortización con cuota fija uvr en pesos Ahora solo debemos multiplicar cada uno de los valores en uvr por el valor proyectado de la uvr y así obtener la tabla en pesos. Semestre

Inflación

0

Valor uvr

Saldo pesos

250,00

5.000.000

Interés pesos

Cuota pesos

Amortización pesos

1

2,5%

256,2500

4.390.266,68

307.500,00

1.042.233,33

734.733,33

2

3,0%

263,9375

3.719.792,83

271.318,48

1.073.500,32

802.181,84

3

3,5%

273,1753

2.969.911,88

230.999,13

1.111.072,84

880.073,70

4

4,0%

284,1023

2.118.515,11

185.322,50

1.155.515,75

970.193,25

5

4,5%

296,8869

1.139.165,22

132.830,90

1.207.513,96

1.074.683,06

6

5,0%

311,7313

0,00

71.767,41

1.267.889,66

1.196.122,25





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif En tabla de amortización, uvr, seleccionamos la alternativa de cuota fija e introducimos los datos de la siguiente manera: Tabla de amortización cuota fija en UVR Valor presente en pesos Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor de la UVR

5.000.000 6 6,0000000% 250

Valor presente en UVR

20.000,00

Cuota en UVR

4.067,25

El ipc es el indicador que afecta al comportamiento de la uvr, así que ingresamos el ipc semestral, ya que las cuotas son semestrales, y las ubicamos en las celdas de entrada. IPC 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%

Con esta información se construye la tabla automáticamente. B. Abonos constantes a capital en uvr Primero convertimos la deuda en uvr así: $5.000.000 / 250 = 20.000. Después resolvemos el corto circuito, ya que la tasa es anual y las cuotas son semestrales, así que 12,36%EA equivale al 6%ES. Ahora calculamos el valor de la amortización en uvr tomando el valor de la deuda en uvr y se divide entre el número de cuotas. En este caso la amortización será: 20.000 / 6 = 3.333,33.

Tabla de amortización y capitalización

Con esta información procedemos a construir la tabla de amortización en uvr de la misma manera que una tabla de amortización con abonos constantes a capital en pesos. Tabla de amortización con abonos constantes a capital en uvr Semestre 0 1 2 3 4 5 6

Saldo uvr 20.000,00 16.666,67 13.333,33 10.000,00 6.666.67 3.333,33 0,00

Interés uvr

Cuota uvr

Amortización uvr

1.200,00 1.000,00 800,00 600,00 400,00 200,00

4.533,33 4.333,33 4.133,33 3.933,33 3.733,33 3.533,33

3.333,33 3.333,33 3.333,33 3.333,33 3.333,33 3.333,33

Para poder construir la tabla de amortización en pesos, proyectamos el valor de la uvr teniendo en cuenta la inflación proyectada que equivale al 2,5% para el primer semestre y que se incrementa en un 0,5% cada semestre. Semestre 0 = 250 Semestre 1 = 250 x 1,025 = 256,25 Semestre 2 = 256,25 x 1,030 = 263,9375 Semestre 3 = 263,9375 x 1,035 = 273,1753 Semestre 4 = 273,1753 x 1,040 = 284,1023 Semestre 5 = 284,1023 x 1,045 = 296,8869 Semestre 6 = 296,8869 x 1,050 = 311,7312 Tabla de amortización con abonos constantes a capital uvr en pesos Ahora solo debemos multiplicar cada uno de los valores en uvr por el valor proyectado de la uvr y así obtener la tabla en pesos. Semestre

Inflación

0

Valor uvr

Saldo pesos

250,00

5.000.000,00

Interés pesos

Cuota pesos

Amortización pesos

1

2,5%

256,2500

4.270.833,33

307.500,00

1.161.666,67

854.166,67

2

3,0%

263,9375

3.519.166,67

263.937,50

1.143.729,17

879.791,67

3

3,5%

273,1753

2.731.753,13

218.540,25

1.129.124,63

910.584,38

4

4,0%

284,1023

1.894.015,50

170.461,40

1.117.469,15

947.007,75

5

4,5%

296,8869

989.623,10

118.754,77

1.108.377,87

989.623,10

6

5,0%

311,7313

0,00

62.346,26

1.101.450,51

1.039.104,25





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif En tabla de amortización, uvr, seleccionamos la alternativa de abono constante e introducimos los datos de la siguiente manera: Tabla de amortización abonos constantes a capital en UVR Valor presente en pesos Número de cuotas (n) Valor de la UVR

5.000.000 6 250

Valor presente en UVR

20.000,00

Amortización en UVR

3.333,33

La tasa se introduce en las celdas de entrada; en el sistema de abonos constantes a capital la tasa puede cambiar de un periodo a otro. PERIODO 0 1 2 3 4 5 6

TASA INTERÉS 6,000000000% 6,000000000% 6,000000000% 6,000000000% 6,000000000% 6,000000000%

El ipc es el indicador que afecta al comportamiento de la uvr, así que ingresamos el ipc semestral, ya que las cuotas son semestrales y las ubicamos en las celdas de entrada. IPC 2,50% 3,00% 3,50% 4,00% 4,50% 5,00%

Con esta información se construye la tabla automáticamente.

Tabla de amortización y capitalización

4 . 4 ta b l a d e a m o r t i z a c i  n c o n c o s t o a m o r t i z a do El costo amortizado es el importe al que inicialmente fue valorado un activo financiero o un pasivo financiero, menos los reembolsos de principal que se hubieran producido, más o menos, según proceda, la parte imputada en la cuenta de pérdidas y ganancias, mediante la utilización del método del tipo de interés efectivo, de la diferencia entre el importe inicial y el valor de reembolso en el vencimiento y, para el caso de los activos financieros, menos cualquier reducción de valor por deterioro que hubiera sido reconocida, ya sea directamente como una disminución del importe del activo o mediante una cuenta correctora de su valor. Esta definición es un poco compleja de entender, pero con el desarrollo de ejercicios se clarifica el concepto. Antes de niif la tabla de amortización tradicional servía tanto de carácter informativo como para el registro contable de la operación. A la luz de las niif la tabla de amortización tradicional solo es de carácter informativo y muestra el valor de un crédito en un momento determinado; sin embargo, para el registro contable de la operación es necesario tener en cuenta los sobrecostos en caso de tratarse de un pasivo financiero. Para el cálculo del costo amortizado de un pasivo financiero, tenemos en cuenta algunos sobrecostos inherentes al crédito, por ejemplo el estudio de crédito, el estudio de títulos, avalúos, gastos notariales, gastos de registros, etc. Ejemplo 4.4. Costo amortizado de un pasivo financiero con cuota fija: una deuda de 250 millones será cancelada mediante el pago de 12 cuotas semestrales iguales a una tasa de interés del 4,5%ET; los sobrecostos correspondientes al estudio de crédito, estudio de títulos y avalúos ascienden a 15 millones. Construir la tabla de amortización tradicional y la tabla de amortización teniendo en cuenta el costo amortizado. Solución Lo primero que debemos hacer es resolver el corto circuito ya que las cuotas son semestrales y la tasa de interés es del 4,5%ET; utilizando la calculadora financiera niif, tasas de interés, tasas fijas, obtenemos la tasa efectiva semestral:





Matemáticas financieras para las niif

Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

4,5000000%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Semestral

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

9,202500000%

Después de obtener la tasa apropiada, procedemos a calcular la cuota fija utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidades), valor presente, cuota, es decir, el cálculo de la cuota del valor presente de una anualidad: Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp)

250

Número de cuotas (n)

12

Tasa de interés (i) Cuota (p)

9,2025000% $35,26962

Después de obtener la cuota, procedemos a construir la tabla de amortización con cuota fija, tal y como vimos al inicio de este capítulo. Tabla de amortización tradicional con cuota fija Esta tabla de amortización es la que las entidades financieras les entregan a sus clientes a título informativo, pero a la luz de las niif esta tabla no tendrá ninguna validez en cuanto al registro contable del pasivo financiero, ya que no involucra los sobrecostos.

Tabla de amortización y capitalización

Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Saldo 250,00 237,74 224,34 209,72 193,75 176,31 157,27 136,47 113,76 88,96 61,87 32,30 0,00

Interés   23,01 21,88 20,65 19,30 17,83 16,22 14,47 12,56 10,47 8,19 5,69 2,97

Cuota 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27

Amortización   12,26 13,39 14,62 15,97 17,44 19,04 20,80 22,71 24,80 27,08 29,58 32,30

Resulta que la persona que solicitó el crédito de 250 millones no recibe verdaderamente 250 millones, ya que debió utilizar 15 millones en lo que denominamos sobrecostos, correspondientes a estudios de crédito, avalúos, estudio de títulos, gastos notariales, etc. Así que el solicitante del crédito recibe 250 millones, pero debe pagar 15 millones en sobrecostos, es decir que en realidad es como si le hubiesen prestado 235 millones (250-15) y tiene que pagar 12 cuotas semestrales de 35,26962 millones. Este hecho hace que la tasa de interés sea en realidad más alta que la que originalmente se pactó; entonces, ¿cuál será la tasa del crédito teniendo en cuenta los sobrecostos? Para poder calcular la tasa, tenemos 2 alternativas. La primera consiste en usar la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidades), valor presente, tasa, es decir, utilizar el cálculo de la tasa del valor presente de una anualidad ya que las cuotas son iguales: Cálculo de la tasa del VP de una anualidad Valor presente (vp) Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

235 35,26962 12 10,4596133%





Matemáticas financieras para las niif

La tasa es 10,4596133%ES, ya que las cuotas son semestrales. La segunda alternativa consiste en usar la calculadora financiera niif; ingresamos a la aplicación llamada flujo de caja 1 donde ingresamos los datos de la siguiente manera: Valor

n.º veces

FC0

-235,0000

1

FC1

35,26962

12

En el FC0 se introduce el valor -235 que resulta de tomar el valor del crédito menos los sobrecostos y signo negativo; este valor se repite solo una vez, así que en número de veces se introduce 1. En el FC1 se introduce el valor 35,26962 que corresponde al valor de la cuota y se repite de seguido 12 veces por tratarse de cuotas iguales. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, se hace clic sobre el ícono tir.

Pegar tasa

Tasa de interés VPN

Convertir tasa

VFN

Menú principal

TIR

10,4596133%

Borrar

La tasa es 10,4596133%ES, ya que las cuotas son semestrales. Esta tasa que acabamos de calcular se conoce en el contexto de las niif como tasa efectiva que corresponde nada más ni nada menos que a la tasa interna de retorno, tir. Ahora recalculamos la tabla de amortización como si el crédito hubiese sido de 235 millones y no de 250 millones y como si la tasa de interés hubiese sido del 10,4596133%ES y no del 9,2025%ES. En esta nueva tabla de amortización lo único que no cambia es el valor de la cuota que seguirá siendo de

Tabla de amortización y capitalización

35,26962 millones; el interés se calcula tomando el saldo del periodo anterior multiplicado por la tir o tasa efectiva y la amortización se calcula tomando la cuota y restándole el interés. Tabla con costo amortizado y cuota fija Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Saldo 235,00 224,31 212,50 199,46 185,05 169,14 151,56 132,14 110,70 87,01 60,84 31,93 0,00

Interés   24,58 23,46 22,23 20,86 19,36 17,69 15,85 13,82 11,58 9,10 6,36 3,34

Cuota   35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27 35,27

Amortización   10,69 11,81 13,04 14,41 15,91 17,58 19,42 21,45 23,69 26,17 28,91 31,93

Esta última tabla es la que deberá ser utilizada por la empresa con el fin de contabilizar el crédito. La definición técnica del costo amortizado nos dice: Costo amortizado = importe neto (el valor del préstamo menos los sobrecostos) + interés (calculados mediante tir) – Pagos realizados (cuota) Costo amortizado del periodo 1 = 235 + 24,58 – 35,27 Costo amortizado del periodo 1 = 224,31 Costo amortizado del periodo 2 = 224,31 + 23,46 – 35,27 Costo amortizado del periodo 2 = 212,5 Costo amortizado del periodo 3 = 212,5 + 22,23 – 35,27 Costo amortizado del periodo 3 = 199,46 Y continuamos así hasta el semestre 12.





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif El proceso anterior se realizó a modo explicativo; sin embargo, podemos usar la calculadora financiera niif, tabla de amortización con costo amortizado, cuota fija, donde automáticamente podemos comparar la tabla de amortización tradicional y la tabla de amortización teniendo en cuenta el costo amortizado. Los datos deben ingresarse de la siguiente manera: Tabla de amortización con costo amortizado y cuota fija Valor presente (vp) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Sobrecostos % Cuota (p)

Menú principal

250,0000

Borrar

12

Convertir tasa

9,2025000%

Pegar tasa

6% $35,26962

TIR 10,459613%

Debe tenerse presente que los sobrecostos se ingresan de manera porcentual, si el crédito es de 250 millones y los sobrecostos 15 millones entonces los sobrecostos en forma porcentual resultan de (15/250) x 100, es decir, el 6%. Automáticamente aparecen las dos tablas de amortización. Ejemplo 4.5. Costo amortizado de un pasivo financiero con abonos constantes a capital: una deuda de 300 millones será cancelada mediante el pago de 15 cuotas anuales con abonos constantes a capital, a una tasa de interés del 22%CSa; los sobrecostos ascienden al 4% del valor del crédito. Construir la tabla de amortización tradicional y la tabla de amortización teniendo en cuenta el costo amortizado. Solución Lo primero que se hace es resolver el corto circuito, ya que las cuotas son anuales y la tasa de interés es del 22%CSa; utilizando la calculadora financiera niif, tasas de interés, tasas fijas, se obtiene la tasa efectiva anual:

Tabla de amortización y capitalización

Lo que tengo Tasa

22,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Anual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

26,246686024%

Después de obtener la tasa apropiada, se calcula la amortización simplemente tomando el valor de la deuda y se divide entre el número de cuotas. En este caso la amortización será: 300 / 15 = 20 millones. Después de obtener la amortización, se construye la tabla de amortización con abonos constantes a capital tal y como vimos al iniciar este capítulo. Tabla de amortización tradicional con abonos constantes a capital Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Saldo 300,00 280,00 260,00 240,00 220,00 200,00 180,00 160,00 140,00 120,00 100,00 80,00 60,00 40,00 20,00 0,00

Interés   78,74 73,49 68,24 62,99 57,74 52,49 47,24 41,99 36,75 31,50 26,25 21,00 15,75 10,50 5,25

Cuota 98,7401 93,4907 88,2414 82,9920 77,7427 72,4934 67,2440 61,9947 56,7454 51,4960 46,2467 40,9973 35,7480 30,4987 25,2493

Amortización   20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00 20,00

Quien solicita el crédito de 300 millones, verdaderamente es como si recibiera 288 millones, ya que el 4% del crédito corresponde a los sobrecostos. Este hecho hace que la tasa de interés sea en realidad más alta que la que originalmente se pactó; entonces, se calcula la tasa del crédito teniendo en cuenta los sobrecostos.





Matemáticas financieras para las niif

Para poder calcular la tasa, a diferencia del ejemplo anterior, solo tenemos una alternativa, ya que no podremos utilizar el concepto de anualidad porque cuando se tienen abonos constantes a capital es la amortización la que es constante y las cuotas son diferentes. Así que hallaremos la tasa efectiva (tir) con la utilización de la calculadora financiera niif en la aplicación llamada flujo de caja 1 donde se ingresan los datos de la siguiente manera: Valor

n.º veces

FC0

-288,0000

1

FC1

98,7401

1

FC2

93,4907

1

FC3

88,2414

1

FC4

82,9920

1

FC5

77,7427

1

FC6

72,4934

1

FC7

67,2440

1

FC8

61,9947

1

FC9

56,7454

1

FC10

51,4960

1

FC11

46,2467

1

FC12

40,9973

1

FC13

35,7480

1

FC14

30,4987

1

FC15

25,2493

1

En el FC0 se introduce el valor -288 que resulta de tomar el valor del crédito menos los sobrecostos, con signo negativo; este valor se repite solo una vez, así que en número de veces se introduce 1. En el FC1 se introduce el valor de la cuota en el periodo 1, es decir: 98,7401 y se repite solo una vez.

Tabla de amortización y capitalización

En el FC2 se introduce el valor de la cuota en el periodo 2, es decir: 93,4907 y se repite solo una vez. En el FC3 se introduce el valor de la cuota en el periodo 3, es decir: 88,2414 y se repite solo una vez. En el FC4 se introduce el valor de la cuota en el periodo 4, es decir: 82,9920 y se repite solo una vez. En el FC5 se introduce el valor de la cuota en el periodo 5, es decir: 77,7427 y se repite solo una vez. En el FC6 se introduce el valor de la cuota en el periodo 6, es decir: 72,4934 y se repite solo una vez. En el FC7 se introduce el valor de la cuota en el periodo 7, es decir: 67,2440 y se repite solo una vez. En el FC8 se introduce el valor de la cuota en el periodo 8, es decir: 61,9947 y se repite solo una vez. En el FC9 se introduce el valor de la cuota en el periodo 9, es decir: 56,7454 y se repite solo una vez. En el FC10 se introduce el valor de la cuota en el periodo 10, es decir: 51,4960 y se repite solo una vez. En el FC11 se introduce el valor de la cuota en el periodo 11, es decir: 46,2467 y se repite solo una vez. En el FC12 se introduce el valor de la cuota en el periodo 12, es decir: 40,9973 y se repite solo una vez. En el FC13 se introduce el valor de la cuota en el periodo 13, es decir: 35,7480 y se repite solo una vez. En el FC14 se introduce el valor de la cuota en el periodo 14, es decir: 30,4987 y se repite solo una vez. En el FC15 se introduce el valor de la cuota en el periodo 15, es decir: 25,2492 y se repite solo una vez. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, se hace clic sobre el ícono tir.





Matemáticas financieras para las niif

Pegar tasa

Tasa de interés VPN

Convertir tasa

VFN

Menú principal

TIR

Borrar

27,6939323%

La tasa es 27,6939323%EA, ya que las cuotas son anuales. Esta tasa se conoce en el contexto de las niif como tasa efectiva que corresponde a la tasa interna de retorno, tir. Ahora recalculamos la tabla de amortización como si el crédito hubiese sido de 288 millones y no de 300 millones y como si la tasa de interés hubiese sido del 27,6939323%EA y no del 26,246686%EA. Observe que la cuota es la misma en ambas tablas, el interés se calcula tomando el saldo del periodo anterior multiplicado por la tir o tasa efectiva y la amortización se calcula tomando la cuota y restándole el interés. Tabla con costo amortizado y abonos constantes a capital Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Saldo 288,00 269,02 250,03 231,03 212,02 192,99 173,95 154,88 135,78 116,63 97,44 78,17 58,83 39,37 19,77 0,00

Interés

Cuota

Amortización

79,76 74,50 69,24 63,98 58,72 53,45 48,17 42,89 37,60 32,30 26,98 21,65 16,29 10,90 5,48

98,74 93,49 88,24 82,99 77,74 72,49 67,24 61,99 56,75 51,50 46,25 41,00 35,75 30,50 25,25

18,98 18,99 19,00 19,01 19,03 19,05 19,07 19,10 19,14 19,20 19,26 19,35 19,46 19,60 19,77

Tabla de amortización y capitalización

Esta última tabla es la que deberá ser utilizada por la empresa con el fin de contabilizar el crédito. La definición técnica del costo amortizado nos dice: Costo amortizado = importe neto (el valor del préstamo menos los sobrecostos) + interés (calculados mediante tir) – pagos realizados (cuota) Costo amortizado del periodo 1 = 288 + 79,76 – 98,74 Costo amortizado del periodo 1 = 269,02 Costo amortizado del periodo 2 = 269,02 + 74,5 – 93,49 Costo amortizado del periodo 2 = 250,03 Costo amortizado del periodo 3 = 250,03 + 69,24 – 88,24 Costo amortizado del periodo 3 = 231,03 Y se continúa así hasta el año 15. Calculadora financiera niif El proceso anterior se realizó a modo explicativo; sin embargo, se puede usar la calculadora financiera niif, tabla de amortización con costo amortizado, abonos constantes, donde automáticamente podemos comparar la tabla de amortización tradicional y la tabla de amortización teniendo en cuenta el costo amortizado. Los datos deben ingresarse de la siguiente manera: Tabla de amortización con costo amortizado y abonos constantes a capital

Menú principal

Valor presente (vp)

300

Borrar

Número de cuotas (n)

15

Convertir tasa

26,2466860%

Pegar tasa

Tasa de interés (i) Sobrecostos % Amortización (A)

4% $20,0

TIR 27,69393%

En la parte inferior aparecen las dos tablas de amortización.





Matemáticas financieras para las niif

4 . 5 ta b l a d e c a p i ta l i z a c i  n Una tabla de capitalización permite observar cómo periodo tras periodo, mediante el ahorro de cuotas y la acumulación de intereses, es posible reunir un valor determinado. Ejemplo 4.6: construir la tabla de capitalización si se quiere reunir la suma de $4.000 mediante el ahorro de 4 cuotas anuales iguales a una tasa de interés del 5%EA. Solución Como las cuotas son iguales, lo primero que debemos hacer es calcular el valor de la cuota utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidades), valor futuro, cuota, es decir, cálculo de una cuota del VF de una anualidad. Tenemos un valor futuro de $4.000, un número de cuotas de 4 y una tasa de interés del 5%EA con la que no tendremos ningún inconveniente, ya que las cuotas también son anuales. Al calcular el valor de la cuota nos da como resultado $928. Cálculo de una cuota del VF de una anualidad Valor futuro (vf) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Cuota (p)

4.000 4 5,0000000000% $928,05

Una tabla de capitalización presenta las siguientes columnas: periodo, acumulado, interés, depósito e incremento. Depósito: se halla mediante el cálculo de la cuota del valor futuro de una anualidad. Interés: se calcula tomando el acumulado del periodo anterior y se multiplica por la tasa de interés, excepto en el primer periodo que el interés es de cero. Incremento: se calcula tomando el valor del depósito y se le suman los intereses.

Tabla de amortización y capitalización

Acumulado: se calcula tomando el acumulado del periodo anterior más el incremento del periodo actual, excepto en el periodo 1, donde el acumulado corresponde al incremento de dicho periodo. Tabla de capitalización con cuota fija Periodo 1 2 3 4

Acumulado 928,0 1902,5 2925,7 4000,0

Interés 0,0 46,4 95,1 146,3

Depósito 928,0 928,0 928,0 928,0

Incremento 928,0 974,4 1023,2 1074,3

La tabla de capitalización comienza en el periodo 1 y no en el periodo 0. El depósito se calcula hallando la cuota del valor futuro de una anualidad y este valor se repite desde el periodo 1 hasta el periodo 4. 1. Periodo 1: los intereses siempre serán de cero. El incremento se calcula tomando el depósito y sumándole los intereses $928 + $0 = $928. El acumulado del periodo 1 corresponde al incremento de dicho periodo, es decir, $928. 2. Periodo 2: los intereses se calculan tomando el acumulado del periodo anterior para multiplicarlo por la tasa de interés: $928 x 5% = $46,4. El incremento se calcula tomando el depósito y se le suman los intereses: $928 + $46,4 = $974,4. El acumulado se calcula tomando el acumulado del periodo anterior más el incremento $928 + $974,4 = $1.902,5. 3. Periodo 3: los intereses se calculan tomando el acumulado del periodo anterior para multiplicarlo por la tasa de interés $1.902,5 x 5% = $95,1. El incremento se calcula tomando el depósito y se le suman los intereses $928 + $95,1 = $1.023,2. El acumulado se calcula tomando el acumulado del periodo anterior más el incremento $1.902,5 + $1.023,2 = $2.925,7. 4. Periodo 4: los intereses se calculan tomando el acumulado del periodo anterior y se multiplica por la tasa de interés $2.925,7 x 5% = $146,3. El incremento se calcula tomando el depósito y se le suman los intereses $928 + $146,3 = $1.074,3. El acumulado se calcula tomando el acumulado del periodo anterior más el incremento $2.925,7 + $1.074,3 = $4.000. El acumulado del último periodo de una tabla de capitalización corresponde al valor que queremos ahorrar.





Matemáticas financieras para las niif

Calculadora financiera niif En tabla de capitalización se ingresan los datos de la siguiente manera: Tabla de capitalización Valor futuro (vf) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Cuota (p)

4.000 4 5,0000000000% $928,04733

En la parte inferior se construye automáticamente la tabla de capitalización.

Tabla de amortización y capitalización

ejercicios propuestos captulo 4 ta b l a d e a m o r t i z a c i  n y c a p i ta l i z a c i  n 1. Tabla de amortización en pesos: una deuda de $4.000.000 será cubierta mediante el pago de 10 cuotas trimestrales iguales a una tasa de interés del 12,36%ES; construir la tabla de amortización si: A. Las cuotas son iguales. B. Con abonos constantes a capital. Respuesta: A. Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saldo 4.000.000,0 3.696.528,2 3.374.848,0 3.033.867,1 2.672.427,3 2.289.301,1 1.883.187,3 1.452.706,7 996.397,3 512.709,3 0,0

Interés

Cuota

Amortización

240.000,0 221.791,7 202.490,9 182.032,0 160.345,6 137.358,1 112.991,2 87.162,4 59.783,8 30.762,6

543.471,8 543.471,8 543.471,8 543.471,8 543.471,8 543.471,8 543.471,8 543.471,8 543.471,8 543.471,8

Interés

Cuota

Amortización

240.000,0 216.000,0 192.000,0 168.000,0 144.000,0 120.000,0 96.000,0 72.000,0 48.000,0 24.000,0

640.000,0 616.000,0 592.000,0 568.000,0 544.000,0 520.000,0 496.000,0 472.000,0 448.000,0 424.000,0

400.000,0 400.000,0 400.000,0 400.000,0 400.000,0 400.000,0 400.000,0 400.000,0 400.000,0 400.000,0

303.471,8 321.680,1 340.980,9 361.439,8 383.126,2 406.113,8 430.480,6 456.309,4 483.688,0 512.709,3

B. Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saldo 4.000.000,0 3.600.000,0 3.200.000,0 2.800.000,0 2.400.000,0 2.000.000,0 1.600.000,0 1.200.000,0 800.000,0 400.000,0 –





Matemáticas financieras para las niif

2. Tabla de amortización en dólares: una empresa colombiana utiliza 30.000 dólares del cupo de su crédito rotativo en Charlotte, mediante el pago de cuotas mensuales a un plazo de un año a una tasa de interés del 10,5% EA. La tasa de cambio el día del desembolso es de $2.500 pesos por dólar. La inflación proyectada para los próximos meses es la siguiente: Mes 1

Mes 2

Mes 3

Mes 4

Mes 5

Mes 6

Mes 7

Mes 8

Mes 9

Mes 10

Mes 11

Mes 12

Inf. Colombia 0,50%

0,45%

0,40%

0,35%

0,38%

0,42%

0,50%

0,55%

0,58%

0,60%

0,62%

0,65%

Inf. EE.UU.

0,62%

0,60%

0,58%

0,55%

0,50%

0,50%

0,48%

0,45%

0,40%

0,40%

0,35%

0,65%

Construir la tabla de amortización en dólares y en pesos si: A. Las cuotas son iguales en dólares B. Con abonos constantes a capital en dólares Respuesta: A. Tabla de amortización con cuota fija en dólares Meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Saldo USD 30.000,00 27.612,81 25.205,68 22.778,44 20.330,91 17.862,9 15.374,34 12.865,0 10.334,60 7.783,1 5.210,29 2.616,0 0,00

Interés USD

Cuota USD

Amortización USD

250,65 230,71 210,60 190,32 169,87 149,25 128,46 107,49 86,35 65,03 43,53 21,86

2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84 2.637,84

2.387,19 2.407,13 2.427,24 2.447,52 2.467,97 2.488,59 2.509,39 2.530,35 2.551,49 2.572,81 2.594,31 2.615,99

Tabla de amortización y capitalización

Tabla de amortización con cuota fija en dólares convertida a pesos Meses

Infl Col.

Infl. EE.UU.

1

0,50%

0,65%

2

0,45%

3

Tasa paridad

Cuota pesos

Amort. pesos

Dif. cambio

-0,001490 2.496,2742 68.929.152,32 625.702,79

6.584.777,00

5.959.074,20

111.773,47

0,62%

-0,001690 2.492,0567 62.813.983,73 574.940,78

6.573.651,85

5.998.711,07

116.457,52

0,40%

0,60%

-0,001988 2.487,1023 56.652.299,30 523.777,23

6.560.582,96

6.036.805,73

124.878,70

4

0,35%

0,58%

-0,002287 2.481,4150 50.449.426,14 472.256,38

6.545.580,63

6.073.324,25

129.548,90

5

0,38%

0,55%

-0,001691 2.477,2196

420.800,16

6.534.514,01

6.113.713,86

85.294,90

6

0,42%

0,50%

-0,000796 2.475,2477 38.055.305,59 369.424,82

6.529.312,41

6.159.887,59

35.224,21

7

0,50%

0,50%

0,000000

2.475,2477

31.843.951,2

317.958,00

6.529.312,41

6.211.354,41

0,00

8

0,55%

0,48%

0,000697

2.476,9721

25.598.521

266.246,52

6.533.861,09

6.267.614,57

-22.184,28

0

Tasa cambio

Saldo pesos

2.500,00

75.000.000,00

44.250.417,4

Interés pesos

9

0,58%

0,45%

0,001294

2.480,1778

19.303.489,2

214.156,43

6.542.317,06

6.328.160,64

-33.129,00

10

0,60%

0,40%

0,001992

2.485,1183

12.948.198

161.604,94

6.555.349,57

6.393.744,63

-38.453,17

11

0,62%

0,40%

0,002191

2.490,5638

6.515.277,7

108.421,27

6.569.713,88

6.461.292,61

-28.372,54

12

0,65%

0,35%

0,002990

2.498,0095

0

54.598,90

6.589.354,28

6.534.755,38

-19.477,66

B. Tabla de amortización con abonos constantes a capital en dólares Meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Saldo USD 30.000,00 27.500,00 25.000,00 22.500,00 20.000,00 17.500,0 15.000,00 12.500,0 10.000,00 7.500,0 5.000,00 2.500,0 0,00

Interés USD

Cuota USD

Amortización USD

250,65 229,77 208,88 187,99 167,10 146,22 125,33 104,44 83,55 62,66 41,78 20,89

2.750,65 2.729,77 2.708,88 2.687,99 2.667,10 2.646,22 2.625,33 2.604,44 2.583,55 2.562,66 2.541,78 2.520,89

2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00 2.500,00





Matemáticas financieras para las niif

Tabla de amortización con abonos constantes a capital en dólares convertida a pesos Meses

Infl Col.

Infl. EE.UU.

1

0,50%

0,65%

2

0,45%

3

Tasa paridad

Cuota pesos

Amort. pesos

Dif. cambio

-0,001490 2.496,2742 68.647.540,98 625.702,79

6.866.388,34

6.240.685,54

111.773,47

0,62%

-0,001690 2.492,0567 62.301.417,50 572.591,85

6.802.733,60

6.230.141,75

115.981,73

0,40%

0,60%

-0,001988 2.487,1023 55.959.802,04 519.503,18

6.737.258,96

6.217.755,78

123.859,68

4

0,35%

0,58%

-0,002287 2.481,4150 49.628.299,28 466.483,69

6.670.021,10

6.203.537,41

127.965,35

5

0,38%

0,55%

-0,001691 2.477,2196

413.951,11

6.607.000,20

6.193.049,08

83.906,62

6

0,42%

0,50%

-0,000796 2.475,2477 37.128.715,76 361.918,90

6.550.038,19

6.188.119,29

34.508,53

7

0,50%

0,50%

0,000000

2.475,2477

30.940.596,5

310.216,20

6.498.335,49

6.188.119,29

0,00

8

0,55%

0,48%

0,000697

2.476,9721

24.769.721

258.693,60

6.451.123,88

6.192.430,28

-21.554,95

0

Tasa cambio

Saldo pesos

2.500,00

75.000.000,00

43.351.343,6

Interés pesos

9

0,58%

0,45%

0,001294

2.480,1778

18.601.333,1

207.222,71

6.407.667,09

6.200.444,38

-32.056,38

10

0,60%

0,40%

0,001992

2.485,1183

12.425.592

155.726,63

6.368.522,49

6.212.795,86

-37.054,45

11

0,62%

0,40%

0,002191

2.490,5638

6.226.409,6

104.045,24

6.330.454,80

6.226.409,56

-27.227,39

12

0,65%

0,35%

0,002990

2.498,0095

0

52.178,14

6.297.201,78

6.245.023,64

-18.614,08

3. Tabla de amortización en uvr: una deuda de $60.000.000 será cancelada mediante el pago de cuotas bimestrales a un plazo de 18 meses en uvr. La uvr el día del desembolso es de $250 y se estima una inflación bimestral del 1,5% para el primer periodo con un crecimiento del 0,1% en los periodos posteriores. La tasa de interés cobrada por la entidad financiera corresponde a un 14%EA por encima de la inflación. Construir la tabla de amortización en uvr y en pesos si: A. Las cuotas son iguales en uvr B. Con abonos constantes a capital en uvr

Tabla de amortización y capitalización

Respuesta: A. Tabla de amortización con cuota fija en uvr Bimestres 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Saldo uvr 240.000,00 215.602,69 190.666,72 165.180,22 139.131,02 112.506,69 85.294,55 57.481,61 29.054,62 0,0

Interés uvr

Cuota uvr

Amortización uvr

5.298,78 4.760,13 4.209,59 3.646,89 3.071,77 2.483,95 1.883,15 1.269,09 641,47

29.696,09 29.696,09 29.696,09 29.696,09 29.696,09 29.696,09 29.696,09 29.696,09 29.696,09

24.397,31 24.935,96 25.486,51 26.049,20 26.624,32 27.212,14 27.812,94 28.427,00 29.054,62

Tabla de amortización con cuota fija uvr en pesos Bimestres 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Inflación

Valor uvr

Saldo pesos

1,5% 1,6% 1,7% 1,8% 1,9% 2,0% 2,1% 2,2% 2,3%

250,00 253,7500 257,8100 262,1928 266,9122 271,9836 277,4232 283,2491 289,4806 296,1387

60.000.000,00 54.709.181,71 49.155.787,96 43.309.058,92 37.135.771,00 30.599.972,17 23.662.691,14 16.281.617,29 8.410.748,07 0,0

Interés pesos

Cuota pesos

Amortización pesos

1.344.564,76 1.227.208,51 1.103.722,88 973.399,14 835.470,39 689.105,37 533.401,59 367.377,77 189.965,48

7.535.383,05 7.655.949,18 7.786.100,31 7.926.250,12 8.076.848,87 8.238.385,85 8.411.391,95 8.596.442,57 8.794.160,75

6.190.818,29 6.428.740,66 6.682.377,43 6.952.850,98 7.241.378,48 7.549.280,48 7.877.990,36 8.229.064,81 8.604.195,27

B. Tabla de amortización con abonos constantes a capital en uvr Bimestres 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Saldo uvr 240.000,00 213.333,33 186.666,67 160.000,00 133.333,33 106.666,67 80.000,00 53.333,33 26.666,67 0,0

Interés uvr

Cuota uvr

Amortización uvr

5.298,78 4.710,02 4.121,27 3.532,52 2.943,77 2.355,01 1.766,26 1.177,51 588,75

31.965,44 31.376,69 30.787,94 30.199,18 29.610,43 29.021,68 28.432,93 27.844,17 27.255,42

26.666,67 26.666,67 26.666,67 26.666,67 26.666,67 26.666,67 26.666,67 26.666,67 26.666,67





Matemáticas financieras para las niif

Tabla de amortización con abonos constantes a capital uvr en pesos Bimestres

Inflación

Valor uvr

Saldo pesos

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

1,5% 1,6% 1,7% 1,8% 1,9% 2,0% 2,1% 2,2% 2,3%

250,00 253,7500 257,8100 262,1928 266,9122 271,9836 277,4232 283,2491 289,4806 296,1387

60.000.000,00 54.133.333,33 48.124.533,33 41.950.843,20 35.588.298,65 29.011.581,06 22.193.859,51 15.106.620,37 7.719.483,01 0,0

Interés pesos

Cuota pesos

Amortización pesos

1.344.564,76 1.214.291,37 1.080.567,54 942.872,36 800.655,78 653.335,12 500.291,36 340.865,18 174.352,54

8.111.231,43 8.089.224,71 8.072.374,74 8.060.532,09 8.053.551,04 8.051.288,29 8.053.601,55 8.060.348,19 8.071.383,66

6.766.666,67 6.874.933,33 6.991.807,20 7.117.659,73 7.252.895,26 7.397.953,17 7.553.310,19 7.719.483,01 7.897.031,12

4. Costo amortizado de un pasivo financiero con cuota fija: una deuda de 170 millones será cancelada mediante el pago de 8 cuotas anuales iguales a una tasa de interés del 0,95%EM; los sobrecostos correspondientes al estudio de crédito, estudio de títulos y avalúos ascienden a 13,6 millones. Construir la tabla de amortización tradicional y la tabla de amortización teniendo en cuenta el costo amortizado. Respuesta: Tabla de amortización tradicional con cuota fija Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Saldo 170,00 156,19 140,71 123,38 103,96 82,22 57,85 30,57 0,00

Interés

Cuota

Amortización

20,43 18,77 16,91 14,82 12,49 9,88 6,95 3,67

34,24 34,24 34,24 34,24 34,24 34,24 34,24 34,24

13,81 15,47 17,33 19,42 21,75 24,36 27,29 30,57

Tasa efectiva (tir): 14,461996%EA

Tabla de amortización y capitalización

Tabla con costo amortizado y cuota fija Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Saldo 156,40 144,78 131,48 116,25 98,83 78,88 56,05 29,91 0,00

Interés

Cuota

Amortización

22,62 20,94 19,01 16,81 14,29 11,41 8,11 4,33

34,24 34,24 34,24 34,24 34,24 34,24 34,24 34,24

11,62 13,30 15,23 17,43 19,95 22,83 26,13 29,91

5. Costo amortizado de un pasivo financiero con abonos constantes a capital: una deuda de 140 millones será cancelada mediante el pago de 6 cuotas semestrales con abonos constantes a capital, a una tasa de interés del 18%EA; los sobrecostos correspondientes al estudio de crédito, estudio de títulos y avalúos ascienden a 12,6 millones. Construir la tabla de amortización tradicional y la tabla de amortización teniendo en cuenta el costo amortizado. Respuesta: Tabla de amortización tradicional con abonos constantes a capital Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Saldo 140,00 116,67 93,33 70,00 46,67 23,33 0,00

Interés

Cuota

Amortización

12,08 10,07 8,05 6,04 4,03 2,01

35,4123 33,3991 31,3860 29,3728 27,3596 25,3465

23,33 23,33 23,33 23,33 23,33 23,33

Tasa efectiva (tir): 12,06367%ES.





Matemáticas financieras para las niif

Tabla con costo amortizado y abonos constantes a capital Periodo 0 1 2 3 4 5 6

Saldo 127,40 107,36 86,91 66,01 44,60 22,62 0,00

Interés

Cuota

Amortización

15,37 12,95 10,48 7,96 5,38 2,73

35,41 33,40 31,39 29,37 27,36 25,35

20,04 20,45 20,90 21,41 21,98 22,62

6. Tabla de capitalización: construir la tabla de capitalización si se quiere reunir la suma de $18.000.000 mediante el ahorro de cuotas semestrales iguales a un plazo de 4 años y a una tasa de interés del 10%NTa. Respuesta: Periodo 0 1 2 3 4 5 6 7 8

Acumulado

Interés

Depósito

Incremento

1.871.957,12 3.841.142,79 5.912.607,00 8.091.662,05 10.383.896,17 12.795.187,81 15.331.720,76 18.000.000,00

97.228,54 199.507,09 307.097,93 420.276,99 539.334,51 664.575,83 796.322,12

1.871.957,12 1.871.957,12 1.871.957,12 1.871.957,12 1.871.957,12 1.871.957,12 1.871.957,12 1.871.957,12

1.871.957,12 1.969.185,67 2.071.464,21 2.179.055,05 2.292.234,11 2.411.291,64 2.536.532,95 2.668.279,24

captulo 5

Identidad financiera

5. 1 c o n c e p to d e i d e n t i da d f i na n c i e ra Las identidades financieras también son conocidas por el nombre ecuaciones de valor. Todo problema financiero en el que se involucran varios valores monetarios, y que tengan desde luego presente el principio de valor del dinero en el tiempo, se puede plantear a partir de un flujo de caja que no es más que una línea de tiempo en la cual los ingresos se grafican para un lado y los egresos para el otro, o las deudas se grafican para un lado y los pagos de esas deudas para el otro, o también que las inversiones se grafican para un lado y los retiros de esas inversiones para el otro. Lo importante es nunca combinar las entradas con las salidas, las deudas con los pagos y las inversiones con los retiros en un mismo lado de la gráfica. Para resolver una identidad financiera se deben seguir estos principios básicos: 1. Todo lo de arriba llevado a la fecha focal debe ser igual a todo lo de abajo llevado a la fecha focal. 2. El valor presente de una anualidad cae siempre un periodo antes de su primera cuota. 3. El valor futuro de una anualidad cae siempre conjuntamente con su última cuota.

Como no se pueden sumar pesos de hoy con pesos de mañana, todos y cada uno de los elementos que conforman la identidad financiera deben ser llevados a una fecha específica, que recibe el nombre de fecha focal. Usted puede elegir la fecha focal que quiera y la respuesta siempre va a ser la misma. Otro elemento que hay que tener en cuenta es que las anualidades se pueden desarrollar empleando el concepto de valor presente, valor futuro e inclusive mezclar ambos conceptos y la respuesta debe ser exactamente la misma. Con el objetivo de explicar el funcionamiento de la lógica financiera para la solución de problemas complejos, desarrollaremos un ejemplo donde lo importante será el desarrollo matemático-financiero y no el planteamiento de un problema específico, es decir partiremos de una gráfica y luego procederemos a hallar el interrogante en cuestión. Ejemplo 5.1: teniendo en cuenta el planteamiento gráfico, calcular el valor de X con una tasa de interés del 10%EA, utilizando: 



Matemáticas financieras para las niif

A. Fecha focal en 8 y valor presente en las anualidades. B. Fecha focal en 16 y valor futuro en las anualidades. C. Fecha focal en 12 y combinando valor presente y futuro en las anualidades. Elemento 3 Elemento 2 $ 2.500 $ 2.000

Elemento 1 $ 3.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

$ 1.000 Elemento 7

13

14

15

16

X Elemento 6

17

Elemento 4 $ 1.500

18

19

20 AÑOS

$ 500 Elemento 5

El objetivo del presente ejercicio es calcular el valor de X desde el punto de vista financiero, ya que debemos tener en cuenta el principio del valor del dinero en el tiempo. En la parte superior de la gráfica podemos observar 4 elementos; los elementos 1 y 2 corresponden a anualidades, pues los valores se repiten varias veces, y los elementos 3 y 4 corresponden a pagos ya que solo se repiten una sola vez. En la parte inferior de la gráfica podemos observar 3 elementos; los elementos 5 y 7 corresponden a anualidades ya que los valores se repiten varias veces y el elemento 6 corresponde a un pago, pues solo se repite una vez y además es la incógnita del ejercicio. El objetivo es demostrar que usted puede elegir la fecha focal que quiera y puede utilizar valor presente o valor futuro en las anualidades; inclusive, puede combinar anualidades con valor presente y otras con valor futuro y el resultado será el mismo. A. Utilizando fecha focal en 8 y valor presente en las anualidades. Gráfica: Elemento 1

0

1

2

3

Elemento 3 Elemento 2 $ 2.500 $ 2.000

Fecha focal

4

5

6

7

8

9

10

11

$ 1.000 Elemento 7

12

13

14

X Elemento 6

15

16

17

Elemento 4 $ 1.500

18

$ 500 Elemento 5

19

20 AÑOS

Identidad financiera

Planteamiento: Todos los elementos de la parte superior del flujo, es decir, los elementos 1, 2, 3 y 4, deben trasladarse a la fecha focal e igualarse a todos los elementos de la parte inferior, es decir, los elementos 5, 6 y 7 que deben trasladarse a la fecha focal. Elemento 1: es una anualidad conformada por 7 pagos anuales de $3.000 y que se resuelve utilizando valor presente de una anualidad. 1 - (1,10)-7 VP = 3.000 x ––––––––– 0,10 VP = 14.605,26 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor presente de una anualidad. Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

3.000 7 10,0000000000% $14.605,26

Al resolver la anualidad utilizando valor presente, debemos tener en cuenta que el valor presente de una anualidad cae un periodo antes de su primera cuota; como la primera cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 1, el valor presente cae en el periodo 0 y debemos trasladarlo hasta el periodo 8, en donde se encuentra la fecha focal. Para poder mover un valor monetario a través del tiempo, utilizaremos un vehículo de transporte el cual llamaremos el transmilenio financiero. El transmilenio financiero es simplemente (1 + i)n





Matemáticas financieras para las niif

Donde: i: tasa de interés, la cual debe ser siempre efectiva, vencida, expresada en términos porcentuales y no debe tener corto circuito, es decir que la periodicidad de la tasa debe tener la misma periodicidad de la escala del flujo de caja. n: corresponde al número de periodos o estaciones que un valor debe recorrer para llegar a la fecha focal. El número de estaciones será positivo si el valor lo vamos a trasladar al futuro, o sea hacia delante, y el (n) será negativo si el valor se encuentra en el futuro y debemos trasladarlo al pasado, es decir, si vamos a retroceder en el tiempo. Para este ejercicio el transmilenio será (1,10). Como la escala del ejercicio se encuentra en años, debemos utilizar la tasa del 10% EA. Esta tasa se divide en 100, le sumamos 1 queda un transmilenio de (1,10). Ahora, ¿cómo montamos $14.605,26 en el transmilenio? El transmilenio será el valor que multiplique al valor monetario para moverlo en el tiempo y tendrá que ser elevado al número de estaciones que debe recorrer hasta la fecha focal, ya sea hacia el futuro o el pasado, y queda así 14.605,26 x (1,10)n. n = corresponde al número de estaciones que debemos recorrer para llegar a la fecha focal; si estamos en el periodo 0 y debemos llegar al periodo 8, debemos recorrer 8 estaciones hacia adelante. Será positivo cuando el transmilenio avance en el tiempo y será negativo cuando retroceda; en este caso serán 8 estaciones positivas porque nos desplazamos hacia adelante. El elemento 1 queda entonces así: 14.605,25 x (1,10)8 Al resolver la operación en forma manual, el elemento 1 nos queda 31.307,66. El transmilenio financiero es simplemente una operación de valor del dinero en el tiempo, que también puede ser resuelta en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $14.605,26 se encuentran en el presente (periodo 0) y debemos trasladarlos al valor futuro (periodo 8) así:

Identidad financiera

VDT

cálculo de valor futuro 14.605,26

Valor presente (VP)

8,00000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (VF)

$31.307,66

Elemento 2: es una anualidad conformada por 4 pagos anuales de $2.000 y que se resuelve utilizando valor presente de una anualidad. 1 - (1,10)-4 VP = 2.000 x –––––––––– 0,10 VP = 14.605,26 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor presente de una anualidad. Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

2.000 4 10,0000000000% $6.339,73

Al resolver la anualidad utilizando valor presente, debemos tener en cuenta que el valor presente de una anualidad cae un periodo antes de su primera cuota. Como la primera cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 13, el valor presente cae en el periodo 12. Si estamos en el periodo 12 y debemos llegar a la fecha focal en el periodo 8, debemos retroceder 4 estaciones utilizando el transmilenio financiero así: 6.339,73 x (1,10)-4 Al resolver de forma manual el elemento 2 nos queda 4.330,12.





Matemáticas financieras para las niif

También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $6.339,73 se encuentran en el futuro (periodo 12) y debemos trasladarlos al valor presente (periodo 8) así: VDT

cálculo de valor presente 6.339,73

Valor futuro (VF)

4

Tiempo (n)

10,0000000000%

Tasa de interés (i) Valor presente (VP)

$4.330,12

Elemento 3: es un pago de $2.500, no es una anualidad, ya que el valor se repite una sola vez. Los valores que se repiten una sola vez se encuentran ubicados en el mismo lugar, es decir en el periodo 15, y debemos trasladarlos hasta el periodo 8 que es la fecha focal; por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 7 estaciones: 2.500 x (1,10)-7 Al resolver de forma manual el elemento 3 nos da como resultado 1.282,89. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $2.500 se encuentran en el futuro (periodo 15) y debemos trasladarlos al valor presente (periodo 8) así: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n) Tasa de interés (i) Valor presente (VP)

2.500,00 7 10,0000000000% $1.282,90

Elemento 4: es un pago de $1.500, no es una anualidad, ya que el valor se repite una sola vez. Los valores que se repiten una sola vez se encuentran ubicados en el mismo lugar, es decir en el periodo 18, y debemos trasladarlos

Identidad financiera

hasta el periodo 8 que es la fecha focal; por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 10 estaciones así: 1.500 x (1,10)-10 Al resolver de forma manual el elemento 4 nos da como resultado 578,31. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $1.500 se encuentran en el futuro (periodo 18) y debemos trasladarlos al valor presente (periodo 8) así: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n) Tasa de interés (i) Valor presente (VP)

1.500,00 10 10,0000000000% $578,31

Elemento 5: es una anualidad conformada por 5 pagos anuales de $500 y que se resuelve utilizando valor presente de una anualidad. 1 - (1,10)-5 VP = 500 x –––––––––– 0,10 VP = 1.895,39 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor presente de una anualidad. Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

500 5 10,0000000000% $1.895,39





Matemáticas financieras para las niif

Al resolver la anualidad utilizando valor presente, debemos tener en cuenta que el valor presente de una anualidad cae un periodo antes de su primera cuota. Como la primera cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 16, el valor presente cae en el periodo 15. Si estamos en el periodo 15 y debemos llegar a la fecha focal en el periodo 8, debemos retroceder 7 estaciones utilizando el transmilenio financiero. 1.895,39 x (1,10)-7 Al resolver de forma manual el elemento 5 nos queda 972,63. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $1.895,39 se encuentran en el futuro (periodo 15) y debemos trasladarlos al valor presente (periodo 8) así: VDT

cálculo de valor presente 1.895,39

Valor futuro (VF)

7

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor presente (VP)

$972,64

Elemento 6: es un pago de $X que se encuentra en el periodo 12, que debemos trasladarlo hasta el periodo 8, que es la fecha focal; por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 4 estaciones: X x (1,10)-4 Este elemento no se resuelve sino hasta el final porque contiene la incógnita del ejercicio. Elemento 7: es una anualidad conformada por 3 pagos anuales de $1.000 y que se resuelve utilizando valor presente de una anualidad. 1 - (1,10)-3 VP = 1.000 x ––––––––– 0,10 VP = 2.486,85

Identidad financiera

También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor presente de una anualidad. Cálculo del valor presente de una anualidad 1.000

Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

3 10,0000000000% $2.486,85

Al resolver la anualidad utilizando valor presente, debemos tener en cuenta que el valor presente de una anualidad cae un periodo antes de su primera cuota. Como la primera cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 9, el valor presente cae en el periodo 8, el cual es justamente la fecha focal y, por lo tanto, no se requiere del transmilenio financiero. Resumiendo, como todos los elementos de arriba llevados a la fecha focal deben ser iguales a todos los elementos de abajo llevados a la fecha focal, el planteamiento es el siguiente: 1 -(1,10)-7 1 - (1,10)-4 3.000 x ––––––––– x (1,10)8 + 2.000 x ––––––––– x (1,10)-4 + 2.500 x (1,10)-7 + 1.500 x (1,10)-10 = 0,10 0,10 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

1 - (1,10)-3 1 - (1,10)-5 500 x ––––––––– x (1,10)-7 + X x (1,10)-4 + 1.000 x ––––––––– 0,10 0,10 Elemento 5

Elemento 6

Elemento 7

Solución: Tomamos las respuestas de cada uno de los elementos: 31.307,66 + 4.330,12 + 1.282,89 + 578,31 = 972,63 + X x (1,10)-4 + 2.486,85 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3 Elemento 4 Elemento 5

Elemento 6

Elemento 7

Elemento 4





Matemáticas financieras para las niif

Despejamos la incógnita X: 34.039,5 = 0,68301345537 X 34.039,5 / 0,68301345537 = X X = $49.837,23. Respuesta: X = $49.837,23. B. Utilizando fecha focal en 16 y valor futuro en las anualidades. Gráfica: Fecha focal Elemento 3 Elemento 2 $ 2.500 Elemento 4 $ 2.000 $ 1.500

Elemento 1 $ 3.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

$ 1.000 Elemento 7

12

13

14

X Elemento 6

15

16

17

18

19

20 AÑOS

$ 500 Elemento 5

Planteamiento: Todos los elementos de la parte superior del flujo, es decir, los elementos 1, 2, 3 y 4, deben trasladarse a la fecha focal e igualarlos a todos los elementos de la parte inferior, es decir, los elementos 5, 6 y 7 que deben trasladarse a la fecha focal. Elemento 1: es una anualidad conformada por 7 pagos anuales de $3.000 y que se resuelve utilizando valor futuro de una anualidad. (1,10)7 - 1 VF = 3.000 x –––––––– 0,10 VF = 28.461,51 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor futuro de una anualidad.

Identidad financiera

Cálculo del valor futuro de una anualidad 3.000

Cuota (p) Número de cuotas (n)

7

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (vf)

$28.461,51

Al resolver la anualidad utilizando valor futuro, debemos tener en cuenta que el valor futuro de una anualidad cae conjuntamente con su última cuota; como la última cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 7, el valor futuro cae en el periodo 7. Si estamos en el periodo 7 y debemos llegar a la fecha focal en el periodo 16, debemos adelantar 9 estaciones utilizando el transmilenio financiero. 28.461,51 x (1,10)9 Al resolver de forma manual el elemento 1 nos queda como resultado 67.110,75. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $28.461,51 se encuentran en el presente (periodo 7) y debemos trasladarlos al valor futuro (periodo 16) así: VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP) Tiempo (n)

28.461,51 9,00000

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (VF)

$67.110,76

Elemento 2: es una anualidad conformada por 4 pagos anuales de $2.000 y que se resuelve utilizando valor futuro de una anualidad.





Matemáticas financieras para las niif

(1,10)4 - 1 VF = 2.000 x –––––––– 0,10 VF = 9.282 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor futuro de una anualidad. Cálculo del valor futuro de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

2.000 4

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (vf)

$9.282,00

Al resolver la anualidad utilizando valor futuro, debemos tener en cuenta que el valor futuro de una anualidad cae conjuntamente con su última cuota; como la última cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 16, el valor futuro cae en el periodo 16, el cual es justamente en la fecha focal; por lo tanto, no se requiere del transmilenio financiero. Elemento 3: es un pago de $2.500, no es una anualidad, ya que el valor se repite una sola vez. Los valores que se repiten una sola vez se encuentran ubicados en el mismo lugar, es decir en el periodo 15, y debemos trasladarlos hasta el periodo 16 que es la fecha focal; por tal razón, el transmilenio financiero debe adelantar 1 estación así: 2.500 x (1,10)1 Al resolver de forma manual el elemento 3 nos queda como resultado 2.750. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $2.500 se encuentran en el presente (periodo 15) y debemos trasladarlos al valor futuro (periodo 16) así:

Identidad financiera

VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP)

2.500,00

Tiempo (n)

1,00000

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (VF)

$2.750,00

Elemento 4: es un pago de $1.500, no es una anualidad, ya que el valor se repite una sola vez. Los valores que se repiten una sola vez se encuentran ubicados en el mismo lugar, es decir en el periodo 18, y debemos trasladarlos hasta el periodo 16 que es la fecha focal; por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 2 estaciones: 1.500 x (1,10)-2 Al resolver de forma manual el elemento 4 nos queda como resultado 1.239,67. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $1.500 se encuentran en el futuro (periodo 18) y debemos trasladarlos al presente (periodo 16) así: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n) Tasa de interés (i) Valor presente (VP)

1.500,00 2 10,0000000000% $1.239,67

Elemento 5: es una anualidad conformada por 5 pagos anuales de $500 y que se resuelve utilizando valor futuro de una anualidad. (1,10)5 -1 VF = 500 x –––––––– 0,10 VF = 3.052,55





Matemáticas financieras para las niif

También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor futuro de una anualidad. Cálculo del valor futuro de una anualidad 500

Cuota (p) Número de cuotas (n)

5

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (vf)

$3.052,55

Al resolver la anualidad utilizando valor futuro, debemos tener en cuenta que el valor futuro de una anualidad cae conjuntamente con su última cuota; como la última cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 20, el valor futuro cae en el periodo 20. Si estamos en el periodo 20 y debemos llegar a la fecha focal en el periodo 16, debemos retroceder 4 estaciones utilizando el transmilenio financiero. 3.052,55 x (1,10)-4 Al resolver de forma manual el elemento 5 nos queda como resultado 2.084,93. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $3.052,55 se encuentran en el futuro (periodo 20) y debemos trasladarlos al valor presente (periodo 16) así: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n) Tasa de interés (i) Valor presente (VP)

3.052,55 4 10,0000000000% $2.084,93

Elemento 6: es un pago de $X que se encuentra en el periodo 12 y debemos trasladarlo hasta el periodo 16, que es la fecha focal, por tal razón el transmilenio financiero debe adelantar 4 estaciones así:

Identidad financiera

X x (1,10)4 Elemento 7: es una anualidad conformada por 3 pagos anuales de $1.000 y que se resuelve utilizando valor futuro de una anualidad. (1,10)3 -1 VF = 1.000 x –––––––– 0,10 VF = 3.310 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor futuro de una anualidad. Cálculo del valor futuro de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

1.000 3

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (vf)

$3.310,00

Al resolver la anualidad utilizando valor futuro, debemos tener en cuenta que el valor futuro de una anualidad cae conjuntamente con su última cuota; como la última cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 11, el valor futuro cae en el periodo 11. Si estamos en el periodo 11 y debemos llegar a la fecha focal en el periodo 16, debemos adelantar 5 estaciones utilizando el transmilenio financiero. 3.310 x (1,10)5 Al resolver de forma manual el elemento 7 nos queda como resultado 5.330,78. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $3.310 se encuentran en el presente (periodo 11) y debemos trasladarlos al valor futuro (periodo 16) así:





Matemáticas financieras para las niif

VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP)

3.310,00

Tiempo (n)

5,00000

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (VF)

$5.330,79

Resumiendo, como todos los elementos de arriba llevados a la fecha focal deben ser iguales a todos los elementos de abajo llevados a la fecha focal, el planteamiento es el siguiente: (1,10)7 - 1 (1,10)4 -1 3.000 x ––––––––– x (1,10)9 + 2.000 x ––––––––– + 2.500 x (1,10)1 + 1.500 x (1,10)-2 = 0,10 0,10 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

(1,10)3 - 1 (1,10)5 -1 500 x –––––––– x (1,10)4 + X x (1,10)-4 + 1.000 x ––––––––– x (1,10)5 0,10 0,10 Elemento 5

Elemento 6

Elemento 7

Solución: Tomamos las respuestas de cada uno de los elementos: 67.110,75 + 9.282 + 2.750 + 1.239,67 = 2.084,93 + X x (1,10)4 + 5.330,78 Elemento 1

Elemento 2 Elemento 3 Elemento 4 Elemento 5

Despejamos la incógnita X: 72.966,71 = 1,4641 X 72.966,71 / 1,4641 = X X = $ 49.837,23. Respuesta: X = $ 49.837,23.

Elemento 6

Elemento 7

Identidad financiera

C. Utilizando fecha focal en 12 y combinando valor presente y valor futuro en las anualidades. Gráfica: Fecha focal Elemento 3 Elemento 2 $ 2.500 $ 2.000

Elemento 1 $ 3.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

$ 1.000 Elemento 7

12

13

14

X Elemento 6

15

16

17

Elemento 4 $ 1.500

18

19

20 AÑOS

$ 500 Elemento 5

Planteamiento: Todos los elementos de la parte superior del flujo, es decir, los elementos 1, 2, 3 y 4, deben trasladarse a la fecha focal e igualarlos a todos los elementos de la parte inferior, es decir, los elementos 5, 6 y 7 que deben trasladarse a la fecha focal. Esta vez vamos a combinar valor presente y valor futuro en las anualidades, así que los elementos 2 y 5 los resolveremos utilizando valor presente de una anualidad y los elementos 1 y 7 los resolveremos utilizando valor futuro de una anualidad. Elemento 1: es una anualidad conformada por 7 pagos anuales de $3.000 y que se resuelve utilizando valor futuro de una anualidad. (1,10)7 - 1 VF = 3.000 x –––––––– 0,10 VF = 28.461,51 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor futuro de una anualidad.





Matemáticas financieras para las niif

Cálculo del valor futuro de una anualidad 3.000

Cuota (p) Número de cuotas (n)

7

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (vf)

$28.461,51

Al resolver la anualidad utilizando valor futuro, debemos tener en cuenta que el valor futuro de una anualidad cae conjuntamente con su última cuota; como la última cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 7, el valor futuro cae en el periodo 7. Si estamos en el periodo 7 y debemos llegar a la fecha focal en el periodo 12, debemos adelantar 5 estaciones utilizando el transmilenio financiero. 28.461,51 x (1,10)5 Al resolver de forma manual el elemento 1 nos queda como resultado 45.837,54. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $28.461,51 se encuentran en el presente (periodo 7) y debemos trasladarlos al valor futuro (periodo 12) así: VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP) Tiempo (n)

28.461,51 5,00000

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (VF)

$45.837,55

Elemento 2: es una anualidad conformada por 4 pagos anuales de $2.000 y que se resuelve utilizando valor presente de una anualidad.

Identidad financiera

1 - (1,10)-4 VP = 2.000 x ––––––––– 0,10 VP = 6.339,73 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor presente de una anualidad. Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

2.000 4 10,0000000000% $6.339,73

Al resolver la anualidad utilizando valor presente, debemos tener en cuenta que el valor presente de una anualidad cae un periodo antes de su primera cuota. Como la primera cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 13, el valor presente cae en el periodo 12, justamente donde se encuentra ubicada nuestra fecha focal, así que no se requiere ningún transmilenio financiero. Elemento 3: es un pago de $2.500, no es una anualidad, ya que el valor se repite una sola vez. Los valores que se repiten una sola vez se encuentran ubicados en el mismo lugar, es decir en el periodo 15, y debemos trasladarlos hasta el periodo 12 que es la fecha focal; por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 3 estaciones: 2.500 x (1,10)-3 Al resolver de forma manual el elemento 3 nos queda como resultado 1.878,29. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $2.500 se encuentran en el futuro (periodo 15) y debemos trasladarlos al valor presente (periodo 12) así:





Matemáticas financieras para las niif

VDT

cálculo de valor presente 2.500,00

Valor futuro (VF)

3

Tiempo (n)

10,0000000000%

Tasa de interés (i) Valor presente (VP)

$1.878,29

Elemento 4: es un pago de $1.500, no es una anualidad, ya que el valor se repite una sola vez. Los valores que se repiten una sola vez se encuentran ubicados en el mismo lugar, es decir en el periodo 18, y debemos trasladarlos hasta el periodo 12 que es la fecha focal; por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 6 estaciones: 1.500 x (1,10)-6 Al resolver de forma manual el elemento 4 nos queda como resultado 846,71. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $1.500 se encuentran en el futuro (periodo 18) y debemos trasladarlos al presente (periodo 12) así: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n) Tasa de interés (i) Valor presente (VP)

1.500,00 6 10,0000000000% $846,71

Elemento 5: es una anualidad conformada por 5 pagos anuales de $500 y que se resuelve utilizando valor presente de una anualidad. 1 - (1,10)-5 VP = 500 x –––––––––– 0,10 VP = 1.895,39

Identidad financiera

También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor presente de una anualidad. Cálculo del valor presente de una anualidad 500

Cuota (p) Número de cuotas (n)

5 10,0000000000%

Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

$1.895,39

Al resolver la anualidad utilizando valor presente, debemos tener en cuenta que el valor presente de una anualidad cae un periodo antes de su primera cuota. Como la primera cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 16, el valor presente cae en el periodo 15. Si estamos en el periodo 15 y debemos llegar a la fecha focal en el periodo 12, debemos retroceder 3 estaciones utilizando el transmilenio financiero. 1.895,39 x (1,10)-3 Al resolver de forma manual el elemento 5 nos queda 1.424,03. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $1.895,39 se encuentran en el futuro (periodo 15) y debemos trasladarlos al valor presente (periodo 12) así: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n) Tasa de interés (i) Valor presente (VP)

1.895,39 3 10,0000000000% $1.424,03

Elemento 6: es un pago de $X que se encuentra en el periodo 12, justamente en la fecha focal, así que no debemos tomar el transmilenio financiero y el elemento 6 queda simplemente como X.





Matemáticas financieras para las niif

Elemento 7: es una anualidad conformada por 3 pagos anuales de $1.000 y que se resuelve utilizando valor futuro de una anualidad. (1,10)3 -1 VF = 1.000 x –––––––– 0,10 VF = 3.310 También se puede resolver en la calculadora financiera niif utilizando cálculo del valor futuro de una anualidad. Cálculo del valor futuro de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

1.000 3

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (vf)

$3.310,00

Al resolver la anualidad utilizando valor futuro, debemos tener en cuenta que el valor futuro de una anualidad cae conjuntamente con su última cuota; como la última cuota de la anualidad se encuentra en el periodo 11, el valor futuro cae en el periodo 11. Si estamos en el periodo 11 y debemos llegar a la fecha focal en el periodo 12, debemos adelantar 1 estación utilizando el transmilenio financiero. 3.310 x (1,10)1 Al resolver de forma manual el elemento 7 nos queda como resultado 3.641. También podemos obtener el resultado en el menú VDT de la calculadora financiera niif. Los $3.310 se encuentran en el presente (periodo 11) y debemos trasladarlos al valor futuro (periodo 12) así:

Identidad financiera

VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP)

3.310,00

Tiempo (n)

1,00000

Tasa de interés (i)

10,0000000000%

Valor futuro (VF)

$3.641,00

Resumiendo, como todos los elementos de arriba llevados a la fecha focal deben ser iguales a todos los elementos de abajo llevados a la fecha focal, el planteamiento es el siguiente: 1 - (1,10)-4 (1,10)7 -1 3.000 x –––––––– x (1,10)5 + 2.000 x ––––––––– + 2.500 x (1,10)-3 + 1.500 x (1,10)-6 = 0,10 0,10 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

(1,10)3 -1 1 - (1,10)-5 500 x ––––––––– x (1,10)-3 + X + 1.000 x –––––––– (1,10)1 0,10 0,10 Elemento 5

Elemento 6

Elemento 7

Solución: Tomamos las respuestas de cada uno de los elementos así: 45.837,54 + 6.339,73 + 1.878,28 + 846,71 = 1.424,03 + X + 3.641 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3 Elemento 4 Elemento 5 Elemento 6 Elemento 7

Despejamos la incógnita X: Respuesta: X = $49.837,23. Como se puede dar cuenta, en los 3 planteamientos la respuesta fue la misma, es decir, usted decide si utiliza valor presente o valor futuro de una anualidad y también puede elegir cualquier fecha focal. Sin embargo, se recomienda utilizar una fecha focal donde el elemento que contiene la incógnita no tenga que tomar el transmilenio financiero; en este ejercicio el planteamiento





Matemáticas financieras para las niif

más fácil fue el C, ya que la fecha focal se encuentra justamente donde se encuentra la incógnita. Ejemplo 5.2: calcular el valor de P, es decir, de la cuota o del pago de la anualidad, con una tasa de interés del 16,64% EA. A. Utilizando fecha focal en 9 y valor presente en las anualidades. B. Utilizando fecha focal en 7 y valor futuro en las anualidades. C. Utilizando fecha focal en 13 y combinando valor presente y futuro en las anualidades. Elemento 2 $ 5.000

Elemento 1 $ 2.000

0

1

2

3

4

5

6

Elemento 3 $ 2.500

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18 SEMESTRES

P=? Elemento 4

A. Utilizando fecha focal en 9 y valor presente en las anualidades. Gráfica: Elemento 2 $ 5.000

Elemento 1 $ 2.000

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

Fecha focal

8

9

10

11

Elemento 3 $ 2.500

12

13

14

15

16

17

18 SEMESTRES

P=? Elemento 4

Planteamiento: 1- (1,08)-8 1 – (1,08)-5 1 - (1,08)-4 2.000 x ––––––––– x (1,08)10 + 5.000 x (1,08)4 + 2.500 x ––––––––– x (1,08)-4 = P x ––––––––– 0,08 0,08 0,08 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Solución: Tomamos las respuestas de cada uno de los elementos:

Elemento 4

Identidad financiera

1 - (1,08)-4 24.813,12 + 6.802,44 + 7.336,89 = P x –––––––– 0,08 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

1 -(1,08)-4 38.952,45 = P x ––––––––– 0,08 Podemos despejar P de forma manual: 38.952,45 = P x 3,31212684005 P = 38.952,45 / 3,31212684005 P = $ 11.760,56 También podemos obtener el resultado en el menú anualidad, en cálculo de la cuota del valor presente de una anualidad en la calculadora financiera niif. Cálculo de una cuota del VP de una anualidad 38.952,45

Valor presente (vp)

4

Número de cuotas (n)

8,0000000%

Tasa de interés (i)

$11.760,56

Cuota (p)

Respuesta: P = $ 11.760,56. B. Utilizando fecha focal en 7 y valor futuro en las anualidades. Gráfica: Elemento 2 Fecha focal $ 5.000

Elemento 1 $ 2.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

Elemento 3 $ 2.500

9

10

11

12

P=? Elemento 4

13

14

15

16

17

18 SEMESTRES





Matemáticas financieras para las niif

Planteamiento: (1,08)8 - 1 (1,08)5-1 (1,08)4 -1 2.000 x ––––––––– + 5.000 x (1,08)2 + 2.500 x –––––––– x (1,08)-11 = P x ––––––––x (1,08)-6 0,08 0,08 0,08 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

Solución: Tomamos las respuestas de cada uno de los elementos: (1,08)4 -1 21.273,25 + 5.832 + 6.290,21 = P x ––––––– x (1,08)-6 0,08 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3

Elemento 4

(1,08)4 - 1 33.395,46 = P x –––––––– x (1,08)-6 0,08 Podemos despejar P de forma manual: 33.395,46 = P x 4,506112 x 0,63016962688 33.395,46 = P x 2,83961491773 P= 33.395,46 / 2,83961491773 P = $11.760,56 También podemos despejar P utilizando VDT, siempre y cuando la anualidad de la incógnita no tenga transmilenio. Sin embargo, en este caso la anualidad sí tiene transmilenio, entonces lo que debemos hacer es tomar el transmilenio que se encuentra multiplicando y lo pasamos a dividir, después de eso podremos despejar la incógnita utilizando VDT. Esto no se puede resolver utilizando VDT. (1,08)4 - 1 33.395,46 = P x –––––––– x (1,08)-6 0,08 Entonces:

Identidad financiera

(1,08)4 - 1 33.395,46 = P x –––––––– x 0,63016962688 0,08 (1,08)4 - 1 33.395,46/0,63016962688 = P x –––––––– 0,08 (1,08)4 - 1 52.994,40 = P x –––––––– 0,08 También podemos obtener el resultado en el menú anualidad, en cálculo de la cuota del valor futuro de una anualidad en la calculadora financiera niif. Cálculo de una cuota del VF de una anualidad 52.994,40

Valor futuro (vf)

4

Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

8,0000000000%

Cuota (p)

$11.760,56

Este planteamiento no es tan recomendable ya que el elemento que tiene la incógnita no se encontraba en la fecha focal; recuerde que es recomendable ubicar la fecha focal de tal forma que el elemento donde se encuentre la incógnita no requiera de transmilenio financiero. Respuesta: P = $ 11.760,56. C. Utilizando fecha focal en 13 y combinando valor presente y futuro en las anualidades.





Matemáticas financieras para las niif

Gráfica: Elemento 2 $ 5.000

Elemento 1 $ 2.000

0

1

2

3

4

5

6

Elemento 3 $ 2.500

7

8

9

10

11

12

P=? Elemento 4

13

14

15

16

17

18 SEMESTRES

Fecha focal

Planteamiento: Utilizamos valor presente en el elemento 3 y valor futuro en los elementos 1 y 4. (1,00)8 -1 1 - (1,08)-5 (1,08)4 -1 2.000 x –––––––– x (1,08)6 + 5.000 x (1,08)8 + 2.500 x ––––––––– = P x –––––––– 0,08 0,08 0,08 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Solución: Tomamos las respuestas de cada uno de los elementos: (1,08)4 -1 33.757,98 + 9.254,65 + 9.981,77 = P x –––––––– 0,08 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

(1,08)4 -1 52.994,4 = P x ––––––– 0,08 Podemos despejar P de forma manual: 52.994,4 = P x 4,506112 P = 52.994,4 / 4,506112 P = $ 11.760,56

Elemento 4

Elemento 4

Identidad financiera

También podemos obtener el resultado en el menú anualidad, en cálculo de la cuota del valor presente de una anualidad en la calculadora financiera niif. Cálculo de una cuota del VP de una anualidad 38.952,45

Valor presente (vp)

4

Número de cuotas (n)

8,0000000%

Tasa de interés (i)

$11.760,56

Cuota (p)

Respuesta: P = $ 11.760,56. Ejemplo 5.3: calcular el valor de N, es decir, el número de cuotas o pagos de una anualidad, con una tasa de interés del 20% CT, utilizando la fecha focal y combinando valor presente y futuro en las anualidades según su conveniencia. Elemento 1 $ 5.000

0

1

Elemento 2 $ 3.000

2

3

4

5

6

7

Elemento 3 $ 3.500

8

9

10

11

$ 1.500 Elemento 5

12

13

14 ……N

15

16

17

18

19 TRIMESTRES

16

17

18

19 TRIMESTRES

$ 4.362,76 Elemento 4

Gráfica: Elemento 1 $ 5.000

0

1

Elemento 2 $ 3.000

2

3

4

5

6

Fecha focal

7

8

9

10

11

12

Elemento 3 $ 3.500

13

14

15

……N $ 1.500 Elemento 5

$ 4.362,76 Elemento 4

Planteamiento: Todos los elementos de la parte superior del flujo, es decir, los elementos 1, 2 y 3 deben trasladarse a la fecha focal; trabajaremos con una tasa efectiva trimestral, ya que la escala del ejercicio también está dada en trimestres, así que utilizaremos una tasa del 5%ET. Teniendo en cuenta las características





Matemáticas financieras para las niif

del ejercicio elegiremos el periodo 10 como fecha focal; el elemento 1 requiere de transmilenio; el elemento 2 lo calcularemos con valor futuro para evitar el transmilenio; el elemento 3 lo plantearemos con valor presente y a su vez requerirá de transmilenio; el elemento 4 lo calcularemos con valor presente para evitar el transmilenio y el elemento 5 lo plantearemos con valor futuro y además requerirá hacer uso de transmilenio. 6

-7

-N

4

(1,05) -1 + 3.500 x 1––––––––– - (1,05) x (1,05)-2 = 4.362,76 x –––––––––– 1 - (1,05) + 1.500 x (1,05) - 1 x (1,05)5 –––––––– 5.000 x (1,05)10 + 3.000 x ––––––––– 0,05 0,05 0,05 0,05 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

Elemento 5

Solución: Tomamos las respuestas de cada uno de los elementos: 1 - (1,05)-N 8.144,47 + 20.405,73 + 18.369,43 = 4.362,76 x ––––––––– + 8.251,39 0,05 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

1 - (1,05)-N 38.668,24 = 4.362,76 x ––––––––– 0,05 Podemos despejar N de forma manual: 1 - (1,05)-N 38.668,24 = 4.362,76 x ––––––––– 0,05 38.668,24 x 0,05/4.362,76 = 1 - (1,05)-N 0,443162585 = 1- (1,05)-N 0,443162585 -1 = - (1,05)-N -0,556837415 = - (1,05)-N 0,556837415 = (1,05)-N Log 0,556837415 = -N Log 1,05 -N = Log 0,516647 / Log 1,05 -N = -0,254271591/0,02118929907

Elemento 4

Elemento 5

Identidad financiera

-N = -12 N = 12 También podemos obtener el resultado en el menú anualidad, en cálculo del número de cuotas del valor presente de una anualidad en la calculadora financiera niif. Cálculo de número de cuotas del VP de una anualidad Valor presente (vp)

38.668,24

Cuota (p)

4.362,76

Tasa de interés (i) Número de cuotas (n)

5,0000000% 12,00

Respuesta: N = 12

5 . 2 a p l i c a c i  n : p e r i odo s d e g r a c i a Los periodos de gracia son aquellos en donde no se paga absolutamente nada (periodo de gracia muerto) o en su defecto solo se pagan intereses (periodo de gracia con pago de interés). Esta es una característica de los créditos de fomento o créditos blandos. Ejemplo 5.4: una deuda de $25.000 será cancelada mediante el pago de 10 cuotas semestrales iguales a una tasa de interés del 18,81%EA; calcular el valor de la cuota utilizando el planteamiento matemático y confirmar utilizando la técnica del dato fantasma, si: A. No existen periodos de gracia. B. Los 5 primeros periodos son periodos de gracia muertos. C. Los 5 primeros periodos son periodos de gracia con pago de interés. D. Los 4 primeros periodos son periodos de gracia muertos y los 6 siguientes periodos son periodos de gracia con pago de interés.





Matemáticas financieras para las niif

Solución: A. No existen periodos de gracia. Gráfica: Fecha focal

Elemento 1 P= ?

0

1

10 SEMESTRES i = 9%ES

$ 25.000 Elemento 2

Planteamiento: Realizamos el planteamiento utilizando la fecha focal en el periodo cero y valor presente de una anualidad en el elemento 1. 1 - (1,09)-10 P x ––––––––– = 25.000 0,09 Elemento 1

Elemento 2

Despeje manual: P x 6,41765770116 = 25.000 P = 25.000 / 6,41765770116 P = 3.895,5 Despeje utilizando la calculadora financiera niif. Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Cuota (p)

25.000,00 10 9,0000000% $3.895,50

Identidad financiera

Dato fantasma: La técnica del dato fantasma nos permite resolver problemas financieros complejos sin la necesidad de ser expertos en matemáticas financieras; eso suena un poco irreal; sin embargo, con la correcta aplicación de esta técnica lo podrá lograr. Lo primero que vamos a hacer es ingresar al menú dato fantasma en la calculadora financiera niif; aquí encontraremos una especie de tabla de amortización, pero la columna de cuota no tiene ningún tipo de formulación. A continuación, ingresamos los datos de la siguiente manera: Técnica del dato fantasma 25.000

Valor del préstamo

10

Número de periodos Tasa de interés

9,0000000%

Dato fantasma

$2.000,00

En valor del préstamo ingresamos los $25.000, en número de periodos ingresamos 10, ya que tenemos 10 cuotas semestrales y es por eso que se utiliza una tasa del 9%ES. En dato fantasma se debe escribir cualquier número, no importa cuál sea este valor, en este caso utilizaremos un valor de $2.000, sin ninguna razón en especial. Ahora nos ubicamos en la celda F21, ingresamos el signo de igual (=), hacemos clic en el dato fantasma (E13) y fijamos la celda con F4 o función (fn) F4. El dato en la celda F21 queda así: = $E$13; finalmente, arrastramos esta fórmula hasta el final de la tabla, que queda de la siguiente forma: Período 0

Saldo 25.000,00

Interés

Cuota

Amortización

1 2 3 4 5 6 7

25.250,00 25.522,50 25.819,53 26.143,28 26.496,18 26.880,83 27.300,11

2.250,00 2.272,50 2.297,03 2.323,76 2.352,90 2.384,66 2.419,28

2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00

-250,00 -272,50 -297,03 -323,76 -352,90 -384,66 -419,28





Matemáticas financieras para las niif

Período 8 9 10

Saldo 27.757,12 28.255,26 28.798,23

Interés 2.457,01 2.498,14 2.542,97

Cuota 2.000,00 2.000,00 2.000,00

Amortización -457,01 -498,14 -542,97

Como se puede observar, la respuesta no era $2.000; esto lo sabemos porque si la respuesta fuese la correcta el saldo en el último periodo debería ser cero. Nos ubicamos en la celda D30 cuyo valor es de $28.798,23 y después ingresamos por datos, luego por análisis y si o por análisis de hipótesis dependiendo de la versión de Excel con la que se dispone y finalmente seleccionamos la alternativa de buscar objetivo. Buscar objetivo Definir la celda:

D30

Con el valor:

0

Cambiando la celda: $E$13 Aceptar

Cancelar

En definir la celda ingresamos D30 que corresponde al saldo de la deuda en el último periodo de la tabla de amortización, en donde dice con el valor vamos a ingresar siempre cero, ya que en una tabla de amortización bien hecha el último saldo de la deuda debe ser cero y finalmente en donde dice cambiando la celda vamos a hacer clic siempre en el dato fantasma y se termina con aceptar. Automáticamente se recalcula el valor de la cuota y además queda lista la tabla de amortización así: Período 0 1 2 3 4 5 6

Saldo 25.000,00 23.354,50 21.560,90 19.605,88 17.474,91 15.152,15 12.620,34

Interés

Cuota

Amortización

2.250,00 2.101,90 1.940,48 1.764,53 1.572,74 1.363,69

3.895,50 3.895,50 3.895,50 3.895,50 3.895,50 3.895,50

1.645,50 1.793,60 1.955,02 2.130,97 2.322,76 2.531,81

Identidad financiera

Período 7 8 9 10

Saldo 9.860,66 6.852,62 3.573,86 0,00

Interés 1.135,83 887,46 616,74 321,65

Cuota 3.895,50 3.895,50 3.895,50 3.895,50

Amortización 2.759,67 3.008,04 3.278,77 3.573,86

Respuesta: las cuotas son de $3.895,5. B. Los 5 primeros periodos son periodos de gracia muertos. Gráfica: Fecha focal

0

+ 1

+ 2

+ 3

+ 4

Elemento 1 P=? + 5

6

15 SEMESTRES i = 9%ES

25.000 Elemento 2

Planteamiento: Realizamos el planteamiento utilizando fecha focal en el periodo 5 y valor presente de una anualidad en el elemento 1; el elemento 2 requiere transmilenio hasta la fecha focal. Los 5 primeros periodos son periodos de gracia muertos; por esa razón, no se paga absolutamente nada. 1 - (1,09)-10 P x ––––––––– = 25.000 x (1 + 0,09)5 0,09 Elemento 1

Elemento 2

Despeje manual: P x 6,41765770116 = 38.465,59 P = 38.465,59 / 6,41765770116 P = 5.993,71





Matemáticas financieras para las niif

Despeje utilizando la calculadora financiera niif. 1 - (1,09)-10 P x ––––––––– = 38.465,59 0,09 Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

38.465,59 10 9,0000000% $5.993,71

Cuota (p)

Dato fantasma: Primero ingresamos al menú dato fantasma en la calculadora financiera niif e ingresamos los datos de la siguiente manera: Técnica del dato fantasma Valor del préstamo Número de periodos

25.000 15

Tasa de interés

9,0000000%

Dato fantasma

$2.000,00

En el valor del préstamo ingresamos los $25.000, en número de periodos ingresamos 15 correspondientes a los 5 periodos de gracia muerto más las 10 cuotas semestrales, en tasa de interés el 9%ES, en dato fantasma se debe escribir cualquier número, no importa cuál sea este valor; en este caso utilizaremos un valor de $2.000, sin ninguna razón en especial. Ahora nos ubicamos en la celda F21 e ingresamos el número 0 y lo arrastramos hasta la celda F25 y aquí se ven reflejados los 5 periodos de gracia muertos. Después nos ubicamos en la celda F26, ingresamos el signo de igual (=), hacemos clic en el dato fantasma (E13) y fijamos la celda con F4 o función

Identidad financiera

(fn) F4. El dato en la celda F26 queda así: = $E$13. Finalmente arrastramos esta fórmula hasta el final de la tabla, que queda de la siguiente forma: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Saldo 25.000,00 27.250,00 29.702,50 32.375,73 35.289,54 38.465,60 39.927,50 41.520,98 43.257,87 45.151,07 47.214,67 49.463,99 51.915,75 54.588,17 57.501,10 60.676,20

Interés

Cuota

Amortización

2.250,00 2.452,50 2.673,23 2.913,82 3.176,06 3.461,90 3.593,48 3.736,89 3.893,21 4.063,60 4.249,32 4.451,76 4.672,42 4.912,94 5.175,10

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00

-2.250,00 -2.452,50 -2.673,23 -2.913,82 -3.176,06 -1.461,90 -1.593,48 -1.736,89 -1.893,21 -2.063,60 -2.249,32 -2.451,76 -2.672,42 -2.912,94 -3.175,10

Como podemos observar, la respuesta no era $2.000, esto lo sabemos porque si la respuesta fuese la correcta el saldo en el último periodo debería ser cero. Nos ubicamos en la celda D35 cuyo valor es $60.676,20 y después ingresamos por datos, luego por análisis y si o por análisis de hipótesis dependiendo de la versión de Excel con la que se trabaja y finalmente seleccionamos la alternativa buscar objetivo. Buscar objetivo Definir la celda:

D35

Con el valor:

0

Cambiando la celda: $E$13 Aceptar

Cancelar

En definir la celda ingresamos D35 que corresponde al saldo de la deuda en el último periodo de la tabla de amortización, en donde dice con el valor





Matemáticas financieras para las niif

ingresamos siempre cero, ya que en una tabla de amortización bien hecha el último saldo de la deuda debe ser cero y finalmente en donde dice cambiando la celda hacemos clic siempre en el dato fantasma y terminamos con aceptar. Automáticamente se recalcula el valor de la cuota y además queda lista la tabla de amortización así: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Saldo 25.000,00 27.250,00 29.702,50 32.375,73 35.289,54 38.465,60 35.933,79 33.174,12 30.166,08 26.887,31 23.313,45 19.417,95 15.171,85 10.543,61 5.498,82 0,00

Interés

Cuota

Amortización

2.250,00 2.452,50 2.673,23 2.913,82 3.176,06 3.461,90 3.234,04 2.985,67 2.714,95 2.419,86 2.098,21 1.747,62 1.365,47 948,92 494,89

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 5.993,71 5.993,71 5.993,71 5.993,71 5.993,71 5.993,71 5.993,71 5.993,71 5.993,71 5.993,71

-2.250,00 -2.452,50 -2.673,23 -2.913,82 -3.176,06 2.531,81 2.759,67 3.008,04 3.278,77 3.573,86 3.895,50 4.246,10 4.628,25 5.044,79 5.498,82

Respuesta: las cuotas son de $5.993,71. C. Los 5 primeros periodos son periodos de gracia con pago de interés. Gráfica: P=?

0

1

2

3

4

5

Elemento 1

6

15 SEMESTRES i = 9%ES

$25.000 Elemento 2

Antes de realizar el planteamiento, calculamos el valor de los intereses que se pagan durante los primeros 5 periodos, siguiendo 2 pasos:

Identidad financiera

Paso 1: debemos trasladar el valor de la deuda un periodo antes de que comience el pago del primer interés. Sin embargo, este paso no tiene sentido en este ejercicio, ya que la deuda de $25.000 se encuentra en el periodo cero, justamente un periodo antes del primer pago de interés que se encuentra en el periodo 1, así que el resultado en este paso 1 es simplemente $25.000. Paso 2: debemos tomar el dato del paso 1 y lo multiplicamos por la tasa de interés. i = 25.000 x 0,09 i = 2.250 En la gráfica se forma una nueva anualidad que corresponde al valor de los intereses que van desde el periodo 1 al periodo 5. Elemento 1

Fecha focal

Elemento 2 P=?

I = $2.250 0

1

2

3

4

5

6

15 SEMESTRES i = 9%ES

$25.000 Elemento 3

Planteamiento: Realizamos el planteamiento utilizando fecha focal en el periodo 5, valor futuro de una anualidad en el elemento 1, valor presente de una anualidad en el elemento 2 y el elemento 3 requiere de transmilenio hasta la fecha focal. Los 5 primeros periodos son periodos con pago de interés; por esa razón, se forma una anualidad con los intereses. (1,09)5 - 1 1 - (1,09)-10 2.250 x ––––––––– + P x ––––––––– = 25.000 x (1 + 0,09)5 0,09 0,09 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3





Matemáticas financieras para las niif

Despeje manual: 13.465,59 + P x 6,41765770116 = 38.465,59 P x 6,41765770116 = 38.465,59 - 13.465,59 P x 6,41765770116 = 25.000 P = 25.000 / 6,41765770116 P = 3.895,5 Despeje utilizando la calculadora financiera niif: 1 - (1,09)-10 13.465,59 + P x ––––––––– = 38.465,59 0,09 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

1 - (1,09)-10 P x ––––––––– = 38.465,59 - 13.465,59 0,09 1 - (1,09)-10 P x ––––––––– = 25.000 0,09 Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Cuota (p)

25.000,00 10 9,0000000% $3.895,50

Dato fantasma: Primero entramos al menú dato fantasma en la calculadora financiera niif e ingresamos los datos de la siguiente manera:

Identidad financiera

Técnica del dato fantasma 25.000

Valor del préstamo

15

Número de periodos Tasa de interés

9,0000000%

Dato fantasma

$2.000,00

En el valor del préstamo ingresamos los $25.000, en número de periodos ingresamos 15 correspondientes a los 5 periodos de gracia con pago de interés más las 10 cuotas semestrales, en tasa de interés el 9%ES, en dato fantasma se debe escribir cualquier número, no importa cuál sea este valor, en este caso utilizaremos un valor de $2.000, sin ninguna razón en especial. Ahora nos ubicamos en la celda E21 y copiamos el valor de $2.250 correspondiente al valor del periodo de gracia con pago de intereses; en la celda F21, con pegado especial valores, fijamos la celda con F4 o función (fn) F4 y lo arrastramos hasta la celda F25 y aquí se ven reflejados los 5 periodos de gracia con pago de interés. Después nos ubicamos en la celda F26, ingresamos el signo de igual (=), hacemos clic en el dato fantasma (E13) y fijamos la celda con F4 o función (fn) F4. El dato en la celda F26 queda así: =$E$13; finalmente, arrastramos esta fórmula hasta el final de la tabla, que queda de la siguiente forma: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Saldo 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.250,00 25.522,50 25.819,53 26.143,28 26.496,18 26.880,83 27.300,11 27.757,12 28.255,26 28.798,23

Interés

Cuota

Amortización

2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.272,50 2.297,03 2.323,76 2.352,90 2.384,66 2.419,28 2.457,01 2.498,14 2.542,97

2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -250,00 -272,50 -297,03 -323,76 -352,90 -384,66 -419,28 -457,01 -498,14 -542,97





Matemáticas financieras para las niif

Como se puede observar, la respuesta no era $2.000, esto lo sabemos porque si la respuesta fuese la correcta el saldo en el último periodo debería ser cero. Nos ubicamos en la celda D35 cuyo valor es de $28.798,23 y después ingresamos por datos, luego por análisis y si o por análisis de hipótesis dependiendo de la versión de Excel con la que se dispone y finalmente seleccionamos la alternativa buscar objetivo. Buscar objetivo Definir la celda:

D35

Con el valor:

0

Cambiando la celda: $E$13 Aceptar

Cancelar

En definir la celda ingresamos D35 que corresponde al saldo de la deuda en el último periodo de la tabla de amortización; en donde dice con el valor ingresamos siempre cero, ya que en una tabla de amortización bien hecha el último saldo de la deuda debe ser cero, y finalmente en donde dice cambiando la celda hacemos siempre clic en el dato fantasma y terminamos con aceptar. Automáticamente se recalcula el valor de la cuota y además queda lista la tabla de amortización así: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Saldo 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 25.000,00 23.354,50 21.560,90 19.605,88 17.474,91 15.152,15 12.620,34 9.860,66

Interés

Cuota

Amortización

2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.101,90 1.940,48 1.764,53 1.572,74 1.363,69 1.135,83

2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 2.250,00 3.895,50 3.895,50 3.895,50 3.895,50 3.895,50 3.895,50 3.895,50

0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 1.645,50 1.793,60 1.955,02 2.130,97 2.322,76 2.531,81 2.759,67

Identidad financiera

Período 13 14 15

Saldo 6.852,62 3.573,86 0,00

Interés 887,46 616,74 321,65

Cuota 3.895,50 3.895,50 3.895,50

Amortización 3.008,04 3.278,77 3.573,86

Respuesta: las cuotas son de $3.895,5. D. Los 4 primeros periodos son de gracia muertos y los 6 siguientes periodos son periodos de gracia con pago de interés. Gráfica: Elemento 1 P=?

0

+ 1

+ 2

+ 3

+ 4

5

$25.000 Elemento 2

6

7

8

9

10

11

20 SEMESTRES i = 9%ES

Antes de realizar el planteamiento, calculamos el valor de los intereses que se pagan durante el periodo 5 al 10 siguiendo 2 pasos: Paso 1: trasladamos el valor de la deuda un periodo antes de que comience el pago del primer interés. La deuda de $25.000 se encuentra en el periodo cero y la trasladamos al periodo 4, ya que el pago de interés comienza en el periodo 5. 25.000 x (1 + 0,09)4 El valor es 35.289,54. Paso 2: tomamos el dato del paso 1 y lo multiplicamos por la tasa de interés. i = 35.289,54 x 0,09 i = 3.176,05 En la gráfica se forma una nueva anualidad, que corresponde al valor de los intereses, la cual va desde el periodo 5 hasta el periodo 10.





Matemáticas financieras para las niif

Fecha focal

Elemento 1

0

+ 1

+ 2

+ 3

+ 4

Elemento 2 P=?

I = $3.176,05 5

6

7

8

9

10

20 SEMESTRES

11 i = 9%ES

$25.000 Elemento 3

Planteamiento: Realizamos el planteamiento utilizando fecha focal en el periodo 10, valor futuro de una anualidad en el elemento 1, valor presente de una anualidad en el elemento 2 y el elemento 3 requiere de transmilenio hasta la fecha focal. Del periodo 5 al 10 se forma una anualidad con los intereses. (1,09)6 - 1 1 - (1,09)-10 3.176,05 x ––––––––– + P x –––––––––– = 25.000 x (1 + 0,09)10 0,09 0,09 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Despeje manual: 23.894,55 + P x 6,41765770116 = 59.184,09 P x 6,41765770116 = 59.184,09 - 23.894,55 P x 6,41765770116 = 35.289,53 P = 35.289,53/ 6,41765770116 P = 5.498,82 Despeje utilizando la calculadora financiera niif. 1 - (1,09)-10 23.894,55 + P x ––––––––– = 59.184,09 0,09 Elemento 1

Elemento 2 Elemento 3

1 - (1,09)-10 P x ––––––––– = 59.184,09 - 23.894,55 0,09

Identidad financiera

1 - (1,09)-10 P x ––––––––– = 35.289,53 0,09 Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

35.289,53 10 9,0000000% $5.498,82

Cuota (p)

Dato fantasma: Primero entramos al menú dato fantasma en la calculadora financiera niif e ingresamos los datos de la siguiente manera: Técnica del dato fantasma Valor del préstamo Número de periodos

25.000 20

Tasa de interés

9,0000000%

Dato fantasma

$2.000,00

En el valor del préstamo ingresamos los $25.000, en número de periodos ingresamos 20 correspondientes a los 4 periodos de gracia muerto más los 6 periodos de gracia con pago de interés más las 10 cuotas semestrales, en tasa de interés el 9%ES, en dato fantasma se escribe cualquier número, no importa cuál sea este valor, en este caso utilizaremos un valor de $2.000, sin ninguna razón en especial. Ahora nos ubicamos en la celda E21 e ingresamos el número 0 y lo arrastramos hasta la celda F24 y aquí se ven reflejados los 4 periodos de gracia muertos. Nos ubicamos en la celda E25 y copiamos el valor de $3.176,06 correspondiente al valor del periodo de gracia con pago de intereses; en la celda F25, con pegado especial valores, fijamos la celda con F4 o función (fn) F4





Matemáticas financieras para las niif

y lo arrastramos hasta la celda F30 y aquí se ven reflejados los 6 periodos de gracia con pago de interés. Después nos ubicamos en la celda F31, ingresamos el signo de igual (=), hacemos clic en el dato fantasma (E13) y fijamos la celda con F4 o función (fn) F4. El dato en la celda F26 queda así: = $E$13. Finalmente arrastramos esta fórmula hasta el final de la tabla, que queda de la siguiente forma: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Saldo 25.000,00 27.250,00 29.702,50 32.375,73 35.289,54 35.289,54 35.289,54 35.289,54 35.289,54 35.289,54 35.289,54 36.465,60 37.747,50 39.144,78 40.667,81 42.327,91 44.137,42 46.109,79 48.259,67 50.603,04 53.157,32

Interés

Cuota

Amortización

2.250,00 2.452,50 2.673,23 2.913,82 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.281,90 3.397,28 3.523,03 3.660,10 3.809,51 3.972,37 4.149,88 4.343,37 4.554,27

0,00 0,00 0,00 0,00 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00 2.000,00

-2.250,00 -2.452,50 -2.673,23 -2.913,82 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 -1.176,06 -1.281,90 -1.397,28 -1.523,03 -1.660,10 -1.809,51 -1.972,37 -2.149,88 -2.343,37 -2.554,27

Como se puede observar, la respuesta no era $2.000, esto lo sabemos porque si la respuesta fuese la correcta el saldo en el último periodo debería ser cero. Nos ubicamos en la celda D40 cuyo valor es de $53.157,32 e ingresamos por datos, luego por análisis y si o por análisis de hipótesis dependiendo de la versión de Excel con la que se trabaje y finalmente seleccionamos la alternativa de buscar objetivo.

Identidad financiera

Buscar objetivo Definir la celda:

D40

Con el valor:

0

Cambiando la celda: $E$13 Aceptar

Cancelar

En definir la celda ingresamos D40 que corresponde al saldo de la deuda en el último periodo de la tabla de amortización, en donde dice con el valor ingresamos siempre cero ya que en una tabla de amortización bien hecha el último saldo de la deuda debe ser cero y finalmente en donde dice cambiando la celda hacemos siempre clic en el dato fantasma y terminamos con aceptar. Automáticamente se recalcula el valor de la cuota y además queda lista la tabla de amortización así: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Saldo 25.000,00 27.250,00 29.702,50 32.375,73 35.289,54 35.289,54 35.289,54 35.289,54 35.289,54 35.289,54 35.289,54 32.966,78 30.434,97 27.675,30 24.667,26 21.388,49 17.814,63 13.919,13 9.673,03 5.044,79 0,00

Interés

Cuota

Amortización

2.250,00 2.452,50 2.673,23 2.913,82 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 2.967,01 2.739,15 2.490,78 2.220,05 1.924,96 1.603,32 1.252,72 870,57 454,03

0,00 0,00 0,00 0,00 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 3.176,06 5.498,82 5.498,82 5.498,82 5.498,82 5.498,82 5.498,82 5.498,82 5.498,82 5.498,82 5.498,82

-2.250,00 -2.452,50 -2.673,23 -2.913,82 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 2.322,76 2.531,81 2.759,67 3.008,04 3.278,77 3.573,86 3.895,50 4.246,10 4.628,25 5.044,79





Matemáticas financieras para las niif

Respuesta: las cuotas son de $5.498,82.

5 . 3 a p l i c a c i  n : a bo n o s e x t r a o r d i n a r i o s A continuación, vamos a estudiar cómo se puede modificar la estructura de los créditos a través de los abonos extraordinarios, que pueden ser pactados o no pactados. Los primeros son aquellos que se pactan desde el inicio en el contrato y buscan que el valor de la cuota sea inferior; normalmente este tipo de abonos se pactan en junio y en diciembre aprovechando la prima laboral. Los abonos extraordinarios no pactados son aquellos que se realizan de manera voluntaria y en cualquier momento y tienen como objetivo la disminución de las cuotas, la disminución del plazo o la combinación de ambos. Ejemplo 5.5: una deuda de $4.500.000 será cancelada mediante el pago de cuotas trimestrales iguales a un plazo de 4 años y a una tasa de interés del 19%EA. A. Calcular el valor de la cuota. B. Calcular el valor de la cuota si se efectúa un abono extraordinario de $800.000, pactado conjuntamente con la cuota existente en el periodo 4, y otro abono extraordinario de $500.000, pactado conjuntamente con la cuota existente en el periodo 8. C. Si se realiza un abono extraordinario no pactado de $1.000.000, hecho conjuntamente con la cuota ordinaria 3, calcular el valor de la nueva cuota si se quiere reducir la cuota manteniendo el plazo original. D. Si se realiza un abono extraordinario no pactado de $1.500.000, hecho conjuntamente con la cuota ordinaria 5, ¿hasta qué periodo deberá pagar, si se desea reducir el plazo manteniendo la cuota original? y ¿con qué pago hecho conjuntamente con la última cuota cancelará totalmente la obligación? Solución: A. Calcular el valor de la cuota.

Identidad financiera

Gráfica: Fecha focal

0

Elemento 1 P= ?

1

16 TRIMESTRES i = 19%EA es decir: 4,4447802% ET.

$ 4.500.000 Elemento 2

Planteamiento: Realizamos el planteamiento utilizando fecha focal en el periodo cero y valor presente de una anualidad en el elemento 1. Debemos convertir la tasa del 19%EA a ET, ya que las cuotas son trimestrales, es decir, 4,4447802% ET. 1 - (1,0444...)-16 P x ––––––––––––– = 4.500.000 0,0444... Elemento 1

Elemento 2

Despejamos la cuota: P x 11,279101 = 4.500.000 P = 4.500.000 / 11,279101 P = 398.967,97 Despeje utilizando la calculadora financiera niif. Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n)

4.5000.000,00 16

Tasa de interés (i)

4,4447802%

Cuota (p)

$398.967,97





Matemáticas financieras para las niif

Dato fantasma: Primero entramos al menú dato fantasma en la calculadora financiera niif e ingresamos los datos de la siguiente manera: Técnica del dato fantasma 4.500.000

Valor del préstamo

16

Número de periodos Tasa de interés

4,4447802%

Dato fantasma

$100.000,00

En el valor del préstamo ingresamos los $4.500.000, en número de periodos ingresamos 16 y ya que tenemos 16 cuotas trimestrales utilizamos una tasa del 4,4447802%ET. En dato fantasma se escribe cualquier número, no importa cuál sea este valor; en este caso utilizaremos un valor de $100.000, sin ninguna razón en especial. Ahora nos ubicamos en la celda F21, ingresamos el signo de igual (=), hacemos clic en el dato fantasma (E13) y fijamos la celda con F4 o función (fn) F4. El dato en la celda F21 queda así: =$E$13; finalmente arrastramos esta fórmula hasta el final de la tabla, que queda de la siguiente forma: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Saldo 4.500.000,00 4.600.015,11 4.704.475,67 4.813.579,28 4.927.532,29 5.046.550,28 5.170.858,34 5.300.691,63 5.436.295,73 5.577.927,12 5.725.853,72 5.880.355,34 6.041.724,21 6.210.265,57 6.386.298,23 6.570.155,15 6.762.184,10

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 204.460,56 209.103,60 213.953,02 219.017,98 224.308,07 229.833,29 235.604,09 241.631,40 247.926,60 254.501,61 261.368,87 268.541,36 276.032,66 283.856,92 292.028,96

100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00

-100.015,11 -104.460,56 -109.103,60 -113.953,02 -119.017,98 -124.308,07 -129.833,29 -135.604,09 -141.631,40 -147.926,60 -154.501,61 -161.368,87 -168.541,36 -176.032,66 -183.856,92 -192.028,96

Identidad financiera

Como se puede observar, la respuesta no era $100.000, esto lo sabemos porque si la respuesta fuese la correcta el saldo en el último periodo debería ser cero. Nos ubicamos en la celda D36 cuyo valor es de $6.762.184,10 y después ingresamos por datos, luego por análisis y si o por análisis de hipótesis dependiendo de la versión de Excel con la que se trabaje y finalmente seleccionamos la alternativa buscar objetivo. Buscar objetivo Definir la celda:

D36

Con el valor:

0

Cambiando la celda: $E$13 Aceptar

Cancelar

En definir la celda ingresamos D36 que corresponde al saldo de la deuda en el último periodo de la tabla de amortización, en donde dice con el valor ingresamos siempre cero, ya que en una tabla de amortización bien hecha el último saldo de la deuda debe ser cero, y finalmente en donde dice cambiando la celda siempre vamos a hacer clic en el dato fantasma y se termina con aceptar. Automáticamente se recalcula el valor de la cuota y además queda lista la tabla de amortización así: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Saldo 4.500.000,00 4.301.047,14 4.093.251,27 3.876.219,32 3.649.540,78 3.412.786,88 3.165.509,79 2.907.241,77 2.637.494,31 2.355.757,17 2.061.497,43 1.754.158,49

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 191.172,09 181.936,02 172.289,43 162.214,07 151.690,88 140.699,95 129.220,51 117.230,83 104.708,23 91.629,03

398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97

198.952,86 207.795,88 217.031,95 226.678,54 236.753,90 247.277,09 258.268,02 269.747,46 281.737,14 294.259,74 307.338,94





Matemáticas financieras para las niif

Período 12 13 14 15 16

Saldo 1.433.159,01 1.097.891,81 747.722,72 381.989,38 0,00

Interés 77.968,49 63.700,77 48.798,88 33.234,63 16.978,59

Cuota 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97

Amortización 320.999,48 335.267,20 350.169,09 365.733,34 381.989,38

Respuesta: las cuotas son de $398.967,97. B. Calcular el valor de la cuota si se efectúa un abono extraordinario de $800.000 pactado conjuntamente con la cuota existente en el periodo 4 y otro abono extraordinario de $500.000 pactado conjuntamente con la cuota existente en el periodo 8. Gráfica: Elemento 2

Elemento 3

Fecha focal

Elemento 1 P=?

$800.000

$500.000

0

1

4

8

16 TRIMESTRES

i = 19% EA, es decir: 4,4447802% ET $4.500.000 Elemento 4

Planteamiento: Un abono extraordinario pactado es aquel abono que se fija desde el momento en que se adquiere el crédito y se convierte en un abono obligatorio. Por lo general, las personas pactan este tipo de abonos en junio y en diciembre, porque es cuando reciben las primas laborales, con el objetivo de pagar unas cuotas más bajas desde el principio hasta el final de la obligación. Utilizaremos en el planteamiento fecha focal en cero y valor presente de una anualidad para el elemento 1.

Identidad financiera

1 - (1,0444...)-16 P x ––––––––––––– + 800.000 x (1,0444)-4 + 500.000 x (1,0444)-8 = 4.500.000 0,0444... Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

Despejamos la cuota: 1 - (1,0444...)-16 P x ––––––––––––– + 672.268,91 + 353.082,41 = 4.500.000 0,0444... Elemento 1

Elemento 2 Elemento 3

Elemento 4

1 - (1,0444...)-16 P x ––––––––––––– = 4.500.000 - 672.268,91 - 353.082,41 0,0444...

1 - (1,0444...)-16 P x ––––––––––––– = 3.474.648,68 0,0444...

P x 11,279101 = 3.474.648,68 P = 3.474.648,68 / 11,279101 P = $308.060,78 Despeje utilizando la calculadora financiera niif. Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n)

3.474.648,68 16

Tasa de interés (i)

4,4447802%

Cuota (p)

$308.060,78

Dato fantasma: Primero entramos al menú dato fantasma en la calculadora financiera niif e ingresamos los datos de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

Técnica del dato fantasma 4.500.000

Valor del préstamo

16

Número de periodos Tasa de interés

4,4447802%

Dato fantasma

$100.000,00

En el valor del préstamo ingresamos los $4.500.000, en número de periodos ingresamos 16 y ya que tenemos 16 cuotas trimestrales utilizamos una tasa del 4,4447802%ET. En dato fantasma se debe escribir cualquier número, no importa cuál sea este valor, en este caso utilizaremos un valor de $100.000, sin ninguna razón en especial. Ahora nos ubicamos en la celda F21, ingresamos el signo de igual (=), hacemos clic en el dato fantasma (E13) y fijamos la celda con F4 o función (fn) F4. El dato en la celda F21 queda así: =$E$13. Finalmente arrastramos esta fórmula hasta el final de la tabla. Antes de aplicar el buscar objetivo se deben reflejar los abonos pactados, así que nos ubicamos en la cuota del periodo 4, es decir en la celda F24, y se le adiciona el primer abono pactado de $800.000, con lo cual queda así: =+$E$13+ 800.000, o sea $900.000. Después de eso nos ubicamos en la cuota del periodo 8, es decir en la celda F28, y se le adiciona el segundo abono pactado de $500.000, de manera que queda así: =+$E$13+500.000, o sea $600.000. Al realizar estas modificaciones, la tabla de amortización queda de la siguiente forma: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Saldo 4.500.000,00 4.600.015,11 4.704.475,67 4.813.579,28 4.127.532,29 4.210.992,03 4.298.161,37 4.389.205,20 3.984.295,73 4.061.388,91

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 204.460,56 209.103,60 213.953,02 183.459,74 187.169,34 191.043,83 195.090,52 177.093,19

100.000,00 100.000,00 100.000,00 900.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 600.000,00 100.000,00

-100.015,11 -104.460,56 -109.103,60 686.046,98 -83.459,74 -87.169,34 -91.043,83 404.909,48 -77.093,19

Identidad financiera

Período 10 11 12 13 14 15 16

Saldo 4.141.908,72 4.226.007,46 4.313.844,21 4.405.585,10 4.501.403,68 4.601.481,18 4.706.006,90

Interés 180.519,81 184.098,74 187.836,74 191.740,89 195.818,58 200.077,50 204.525,73

Cuota 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00

Amortización -80.519,81 -84.098,74 -87.836,74 -91.740,89 -95.818,58 -100.077,50 -104.525,73

Como se puede observar, la respuesta no era $100.000, esto lo sabemos porque si la respuesta fuese la correcta el saldo en el último periodo debería ser cero. Nos ubicamos en la celda D36 cuyo valor es de $4.706.006,90 y después ingresamos por datos, luego por análisis y si o por análisis de hipótesis dependiendo de la versión de Excel con la que se trabaje, y finalmente seleccionamos la alternativa de buscar objetivo. Buscar objetivo Definir la celda:

D36

Con el valor:

0

Cambiando la celda: $E$13 Aceptar

Cancelar

En definir la celda ingresamos D36 que corresponde al saldo de la deuda en el último periodo de la tabla de amortización, en donde dice con el valor siempre ingresamos cero, ya que en una tabla de amortización bien hecha el último saldo de la deuda debe ser cero y finalmente en donde dice cambiando la celda hacemos siempre clic en el dato fantasma y se termina con aceptar. Automáticamente se recalcula el valor de la cuota y además queda lista la tabla de amortización así: Período 0 1 2 3 4

Saldo 4.500.000,00 4.391.954,33 4.279.106,26 4.161.242,34 3.238.139,64

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 195.212,72 190.196,87 184.958,08

308.060,78 308.060,78 308.060,78 1.108.060,78

108.045,67 112.848,07 117.863,92 923.102,71





Matemáticas financieras para las niif

Período 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Saldo 3.074.007,04 2.902.579,12 2.723.531,60 2.036.525,81 1.818.984,12 1.591.773,18 1.354.463,22 1.106.605,35 847.730,74 577.349,72 294.950,87 0,00

Interés 143.928,19 136.632,86 129.013,26 121.054,99 90.519,10 80.849,85 70.750,82 60.202,91 49.186,18 37.679,77 25.661,93 13.109,92

Cuota 308.060,78 308.060,78 308.060,78 808.060,78 308.060,78 308.060,78 308.060,78 308.060,78 308.060,78 308.060,78 308.060,78 308.060,78

Amortización 164.132,59 171.427,93 179.047,52 687.005,79 217.541,69 227.210,94 237.309,96 247.857,87 258.874,61 270.381,02 282.398,86 294.950,87

Respuesta: si se pactan los abonos, las cuotas serán de $308.060,78. C. Si se realiza un abono extraordinario no pactado de $1.000.000 hecho conjuntamente con la cuota ordinaria 3, calcular el valor de la nueva cuota si se quiere reducir la cuota manteniendo el plazo original. Gráfica: Elemento 1 $398.967,97

VF

Elemento 2 $1.000.000 Elemento 3 P=?

0

1

3

VP

4

16 TRIMESTRES

i = 19%EA es decir. 4,4447802% ET. $4.500.000 Elemento 4

Fecha focal

Planteamiento: Un abono extraordinario no pactado es el abono que se realiza de manera voluntaria y en cualquier momento; al realizar este tipo de abonos, el prestatario podrá elegir entre la disminución de las cuotas, la disminución del plazo o una combinación de ambas; en este caso se quiere disminuir la cuota y mantener el plazo original.

Identidad financiera

Cuando el abono es no pactado, las primeras cuotas corresponden a las cuotas originales, es decir, $398.967,97, valor que fue calculado en el numeral A de este ejercicio. En el periodo 3 se ve reflejado el abono extraordinario no pactado de $1.000.000. Del periodo 4 al 16 se genera una nueva anualidad cuya incógnita es el valor de la nueva. Utilizaremos en el planteamiento fecha focal en el periodo 3. (1,0444...)3 -1 1 - (1,0444...)-13 398.967,97 x ––––––––––– + 1.000.000 + P x ––––––––––––– = 4.500.000 x (1,0444...)3 0,0444... 0,0444... Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Despejamos la cuota: 1 - (1,0444...)-13 1.250.891,86 + 1.000.000 + P x ––––––––––––– = 5.127.111,18 0,0444... Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

1 - (1,0444...)-13 P x ––––––––––––– = 5.127.111,18 - 1.250.891,86 - 1.000.000 0,0444... 1 - (1,0444...)-13 P x ––––––––––––– = 2.876.219,32 0,0444...

P x 9,715615352 = 2.876.219,32 P = 2.876.219,32 / 9,715615352 P = $296.040,88 Despeje utilizando la calculadora financiera niif. Cálculo de una cuota del VP de una anualidad Valor presente (vp) Número de cuotas (n)

2.876.219,32 13

Tasa de interés (i)

4,4447802%

Cuota (p)

$296.040,88

Elemento 4





Matemáticas financieras para las niif

Dato fantasma: Primero vamos al menú dato fantasma en la calculadora financiera ingresamos los datos de la siguiente manera:

niif

e

Técnica del dato fantasma Valor del préstamo Número de periodos

4.500.000 16

Tasa de interés

4,4447802%

Dato fantasma

$100.000,00

En el valor del préstamo ingresamos los $4.500.000, en número de periodos ingresamos 16 y ya que tenemos 16 cuotas trimestrales se utiliza una tasa del 4,4447802%ET. En dato fantasma se debe escribir cualquier número, no importa cuál sea este valor, en este caso utilizaremos un valor de $100.000, sin ninguna razón en especial. Ahora nos ubicamos en la celda F21 y digitamos el valor de la cuota original, es decir, el valor de la cuota sin tener en cuenta ningún tipo de abono, el valor al que hacemos referencia es $ 398.967,97, el cual se obtuvo en la parte A de este mismo ejercicio. Arrastramos el valor de la cuota hasta el periodo 3, momento en el cual se debe tener en cuenta el abono extraordinario no pactado. Nos ubicamos en la celda F23 y al valor de la cuota existente en ese periodo le anteponemos el signo = para así poder adicionar el abono no pactado de $1.000.000; el dato en la celda F23 queda así: =398.967,97 + 1.000.000, o sea $1.398.967,97. Antes de aplicar el buscar objetivo nos ubicamos en la celda F24, ingresamos el signo de igual (=), hacemos clic en el dato fantasma (E13) y fijamos la celda con F4 o función (fn) F4. El dato en la celda F24 queda así: =$E$13. Finalmente arrastramos esta fórmula hasta el final de la tabla. Al realizar estas modificaciones, la tabla de amortización queda de la siguiente forma:

Identidad financiera

Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Saldo 4.500.000,00 4.301.047,14 4.093.251,26 2.876.219,31 2.904.060,94 2.933.140,07 2.963.511,70 2.995.233,28 3.028.364,82 3.062.968,98 3.099.111,21 3.136.859,90 3.176.286,42 3.217.465,38 3.260.474,64 3.305.395,57 3.352.313,14

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 191.172,09 181.936,02 127.841,63 129.079,13 130.371,63 131.721,58 133.131,54 134.604,16 136.142,24 137.748,68 139.426,53 141.178,95 143.009,26 144.920,93 146.917,57

398.967,97 398.967,97 1.398.967,97 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00 100.000,00

198.952,86 207.795,88 1.217.031,95 -27.841,63 -29.079,13 -30.371,63 -31.721,58 -33.131,54 -34.604,16 -36.142,24 -37.748,68 -39.426,53 -41.178,95 -43.009,26 -44.920,93 -46.917,57

Como se puede observar, la respuesta no era $100.000, esto lo sabemos porque si la respuesta fuese la correcta el saldo en el último periodo debería ser cero. Nos ubicamos en la celda D36 cuyo valor es de $3.352.313,14 y después ingresamos por datos, luego por análisis y si o por análisis de hipótesis dependiendo de la versión de Excel con la que se trabaje y finalmente seleccionamos la alternativa de buscar objetivo. Buscar objetivo Definir la celda:

D36

Con el valor:

0

Cambiando la celda: $E$13 Aceptar

Cancelar

En definir la celda ingresamos D36 que corresponde al saldo de la deuda en el último periodo de la tabla de amortización, en donde dice con el valor ingresamos siempre cero ya que en una tabla de amortización bien hecha el





Matemáticas financieras para las niif

último saldo de la deuda debe ser cero y finalmente en donde dice cambiando la celda hacemos siempre clic en el dato fantasma y terminamos con aceptar. Automáticamente se recalcula el valor de la cuota y además la tabla de amortización queda lista así: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Saldo 4.500.000,00 4.301.047,14 4.093.251,26 2.876.219,31 2.708.020,06 2.532.344,72 2.348.861,00 2.157.221,83 1.957.064,72 1.748.011,07 1.529.665,44 1.301.614,82 1.063.427,86 814.654,01 554.822,71 283.442,48 0,00

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 191.172,09 181.936,02 127.841,63 120.365,54 112.557,16 104.401,71 95.883,77 86.987,23 77.695,25 67.990,27 57.853,92 47.267,03 36.209,58 24.660,65 12.598,40

398.967,97 398.967,97 1.398.967,97 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88 296.040,88

198.952,86 207.795,88 1.217.031,95 168.199,25 175.675,34 183.483,72 191.639,17 200.157,11 209.053,65 218.345,63 228.050,61 238.186,96 248.773,85 259.831,30 271.380,23 283.442,48

Respuesta: la nueva cuota será de $296.040,88. D. Si se realiza un abono extraordinario no pactado de $1.500.000 conjuntamente con la cuota ordinaria 5, ¿hasta qué periodo deberá pagar si se desea reducir el plazo manteniendo la cuota original? y ¿con qué pago hecho conjuntamente con la última cuota cancelará totalmente la obligación? Gráfica: Elemento 2 Fecha focal

Elemento 1

VP

$1.500.000

$398.967,97

TRIMESTRES 0

1

5

i = 19%EA es decir; 4,4447802% ET. $4.500.000 Elemento 3

N=?

Identidad financiera

Planteamiento: Recuerde que el abono extraordinario no pactado es el abono que se efectúa en cualquier momento y de manera voluntaria. Por tal razón, las cuotas que se pagan corresponden a las cuotas originales sin tener en cuenta el abono, es decir, $398.967,97 que se realizan desde el periodo 1 hasta el periodo N formando una anualidad. Conjuntamente con el quinto pago, se efectúa el abono extraordinario no pactado de $1.500.000 y cuando esto ocurre usted debe elegir entre disminuir la cuota y/o disminuir el plazo. En este caso se ha optado por disminuir el plazo manteniendo la cuota original, así que como la cuota no cambia tendremos una sola anualidad cuya incógnita es el número de cuotas N. Utilizaremos en el planteamiento fecha focal en el periodo 0 y valor presente para la anualidad. 1 - (1.0444...)-N 398.967,97 x ––––––––––––– + 1.500.000 x (1,0444)-5 = 4.500.000 0,0444... Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Despejamos el número de cuotas: 1 - (1.0444...)-N 398.967,97 x ––––––––––––– + 1.206.861,85 = 4.500.000 0,0444... Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

1 - (1.0444...)-N 398.967,97 x –––––––––––––– = 4.500.000 - 1.206.861,85 0,0444... 1 - (1.0444...)-N 398.967,97 x –––––––––––––– = 3.293.138,15 0,0444... 1 - (1.0444...)-N = 3.293.138,15 x 0,0444… / 398.967,97 1 - (1.0444...)-N = 0,36687845 - (1.0444...)-N = 0,36687845 - 1 - (1.0444...)-N = -0,63312154





Matemáticas financieras para las niif

(1.0444...)-N = 0,63312154 - N x LOG 1,0444.. = LOG 0,63312154 - N = LOG 0,63312154 / LOG 1,0444… - N = -0,19851291 / 0,0188867… - N = -10,5 N= 10,5 Despeje utilizando la calculadora financiera niif. Cálculo de número de cuotas del VP de una anualidad 3.293.138,15

Valor presente (vp)

398.967,97

Cuota (p)

4,4447802%

Tasa de interés (i)

10,51

Número de cuotas (n)

Al efectuar el abono, el número de cuotas se reduce a 10,510702451. Esto no es una respuesta lógica, ya que el número de cuotas debe corresponder a un valor entero, así que debemos redondear la respuesta. Si aproximamos a 11 cuotas resultamos pagando más de la cuenta y si redondeamos a 10 cuotas le quedaremos debiendo al banco. Vamos a pagar 10 cuotas trimestrales exactas y quedaremos debiendo un saldo que calcularemos a continuación.

Elemento 1 $398.967,97

0

1

VF

Elemento 2

Elemento 3

$1.500.000

X= ?

5

10 TRIMESTRES

i : 19%EA es decir: 4,4447802% ET. $4.500.000 Elemento 4

Fecha focal

Identidad financiera

Utilizaremos en el planteamiento fecha focal en el periodo 10 y valor futuro para la única anualidad. (1,0444...)10-1 398.967,97 x ––––––––––– + 1.500.000 x (1,0444...)5 + X = 4.500.000 x (1,0444...)10 0,0444... Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

4.890.024,84 + 1.864.339,33 + X = 6.951.522,25 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

X

= 6.951.522,25 - 4.890.024,84 - 1.864.339,33

X

= 197.158,07

A modo de truco, es posible hallar el valor del pago adicional mediante una operación de VDT, utilizando la calculadora financiera niif. Se introduce la cuota, la tasa de interés, en N se toman todos los decimales que acompañan el número de cuotas, es decir, como el número de cuotas fue de 10,510702451, tomaremos los números decimales 0,510702451 y finalmente le preguntamos el valor presente. Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

398.968 0,510702451 4,4447802173% $197.158,07

Dato fantasma: Primero vamos al menú dato fantasma en la calculadora financiera ingresamos los datos de la siguiente manera:

niif

e





Matemáticas financieras para las niif

Técnica del dato fantasma 4.500.000

Valor del préstamo

16

Número de periodos Tasa de interés

4,4447802%

Dato fantasma

En el valor del préstamo ingresamos los $4.500.000, en número de periodos ingresamos 16 y ya que tenemos 16 cuotas trimestrales se utiliza una tasa del 4,4447802%ET. En dato fantasma no escribimos ningún dato. Ahora nos ubicamos en la celda F21 y digitamos el valor de la cuota original, es decir el valor de la cuota sin tener en cuenta ningún tipo de abono; el valor al que hacemos referencia es $ 398.967,97 el cual se obtuvo en la parte A de este mismo ejercicio. Arrastramos el valor de la cuota hasta el periodo 16, el saldo de la tabla en el periodo 16 debe ser 0. Nos ubicamos en la celda F25 y al valor de la cuota existente en ese periodo le anteponemos el signo = para así poder adicionar el abono no pactado de $1.500.000; el dato en la celda F25 queda así: =398.967,97 + 1.500.000, o sea $1.898.967,97. Al realizar estas modificaciones, la tabla de amortización queda de la siguiente forma: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Saldo 4.500.000,00 4.301.047,14 4.093.251,26 3.876.219,31 3.649.540,77 1.912.786,87 1.598.838,07 1.270.934,94 928.457,24 570.757,15 197.158,08 -193.046,65 -600.595,12 -1.026.258,22 -1.470.841,11 -1.935.184,74 -2.420.167,41

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 191.172,09 181.936,02 172.289,43 162.214,07 85.019,17 71.064,84 56.490,26 41.267,88 25.368,90 8.763,24 -8.580,50 -26.695,13 -45.614,92 -65.375,65 -86.014,71

398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 1.898.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97

198.952,86 207.795,88 217.031,95 226.678,54 1.736.753,90 313.948,80 327.903,13 342.477,71 357.700,09 373.599,07 390.204,73 407.548,47 425.663,10 444.582,89 464.343,62 484.982,68

Identidad financiera

Cuando el objetivo del abono extraordinario no pactado es el de reducir el plazo, no se utiliza el buscar objetivo. Lo que se debe hacer es mediante observación ubicar en qué periodo el saldo de la deuda cambia de signo: 10 11

197.158,08 -193.046,65

25.368,90 8.763,24

398.967,97 398.967,97

373.599,07 390.204,73

Lo anterior significa que con el abono el número de cuotas se debe reducir a 10 por ser el último saldo con signo positivo. Nos ubicamos en la celda E9 y cambiamos el número de periodos a 10; la tabla nos queda de la siguiente manera: Período 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Saldo 4.500.000,00 4.301.047,14 4.093.251,26 3.876.219,31 3.649.540,77 1.912.786,87 1.598.838,07 1.270.934,94 928.457,24 570.757,15 197.158,08

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 191.172,09 181.936,02 172.289,43 162.214,07 85.019,17 71.064,84 56.490,26 41.267,88 25.368,90

398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 1.898.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97

198.952,86 207.795,88 217.031,95 226.678,54 1.736.753,90 313.948,80 327.903,13 342.477,71 357.700,09 373.599,07

Como se puede observar, el saldo de la deuda en el periodo 10 no es de 0, es de $197.158,08 que precisamente corresponde al pago adicional hecho con la última cuota para cancelar totalmente la obligación. Nos ubicamos en la celda F30 y al valor de la cuota existente en ese periodo le anteponemos el signo = para así poder sumar el abono adicional de $197.158,08; el dato en la celda F30 queda así: =398.967,97 + 197.158,08, o sea $1.898.967,97. La tabla de amortización es entonces: Período 0 1 2 3 4 5

Saldo 4.500.000,00 4.301.047,14 4.093.251,26 3.876.219,31 3.649.540,77 1.912.786,87

Interés

Cuota

Amortización

200.015,11 191.172,09 181.936,02 172.289,43 162.214,07

398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 1.898.967,97

198.952,86 207.795,88 217.031,95 226.678,54 1.736.753,90





Matemáticas financieras para las niif

Período 6 7 8 9 10

Saldo 1.598.838,07 1.270.934,94 928.457,24 570.757,15 0,00

Interés 85.019,17 71.064,84 56.490,26 41.267,88 25.368,90

Cuota 398.967,97 398.967,97 398.967,97 398.967,97 596.126,05

Amortización 313.948,80 327.903,13 342.477,71 357.700,09 570.757,15

Respuesta: se deben pagar cuotas hasta el periodo 10 y efectuar un pago adicional de $197.158,07.

Identidad financiera

ejercicios propuestos captulo 5 i d e n t i da d f i na n c i e ra 1. Identidad financiera: calcular el valor de X con una tasa de interés del 18% CTa. Elemento 1 $ 1.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

I = O,770351%Ebimensual

9

Elemento 2 X= ?

Elemento 3 $ 1.500

10

12

11

13

14

15

16

17

$ 4.000

$ 5.000

Elemento 4

Elemento 5

18 QUINCENAS

Respuesta: X = 16.776,41. 2. Identidad financiera: calcular el valor de P con una tasa de interés del 3% E bimestral. Elemento 2 Elemento 1

$ 5.000

Elemento 3

$ 4.000

0

1

$ 4.500

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15 TRIMESTRES $ 8.000

P=? Elemento 4

Elemento 5

Respuesta: P = 13.918,14. 3. Identidad financiera: calcular el valor de N con una tasa de interés del 16% anual anticipada (EAa). Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

$ 5.000

$ 4.000

$ 4.500

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13 ….. N

$ 2.000

$ 4.234

Elemento 4

Elemento 5

Respuesta: N = 8.

14

15

16 BIMESTRES





Matemáticas financieras para las niif

4. Periodos de gracia: una deuda de $15.000.000 será cancelada mediante el pago de 16 cuotas bimestrales iguales a una tasa de interés del 16% CSa; hallar el valor de la cuota si: A. No existe periodo de gracia. B. Los 3 primeros periodos son de gracia muertos. C. Los 6 primeros periodos son de gracia con pago de interés. D. Los 5 primeros periodos son de gracia muertos y los 4 siguientes son periodos de gracia con pago de interés. Verificar los resultados utilizando la técnica de dato fantasma. Respuesta: A. Las cuotas son de $1.177.643,14. B. Las cuotas son de $1.280.046,89. C. Las cuotas son de $1.177.643,14. D. Las cuotas son de $1.353.216,63. 5. Abonos extraordinarios: una deuda de $46.500.000 será cancelada mediante el pago de cuotas mensuales iguales a un plazo de 5 años y a una tasa de interés del 0,58% E bimensual. A. Calcular el valor de la cuota. B. Calcular el valor de la cuota si se efectúa un abono extraordinario de $7.000.000 pactado conjuntamente con la cuota existente en el periodo 14 y otro abono extraordinario de $6.500.000 pactado conjuntamente con la cuota existente en el periodo 27. C. Si se realiza un abono extraordinario no pactado de $16.000.000 hecho conjuntamente con la cuota ordinaria 15, calcular el valor de la nueva cuota si se quiere reducir la cuota manteniendo el plazo original. D. Si se realiza un abono extraordinario no pactado de $12.000.000 hecho conjuntamente con la cuota ordinaria 9, ¿hasta qué periodo deberá pagar si se desea reducir el plazo manteniendo la cuota original? y ¿con qué pago

Identidad financiera

hecho conjuntamente con la última cuota ordinaria cancelará totalmente la obligación? Verificar los resultados utilizando la técnica de dato fantasma. Respuesta: A. Las cuotas serán de $1.081.018,48. B. Si se pactan los abonos las cuotas serán de $832.036,08. C. La nueva cuota será de $ 622.292,19. D. Se deben pagar cuotas hasta el periodo 41 con un pago extra de $957.617,34. 6. Periodos de gracia y abonos extraordinarios: una deuda de $60.000.000 será pagada de la siguiente manera: – 10 periodos mensuales de gracia muertos. – 15 periodos mensuales de gracia con pago de interés. – 72 cuotas mensuales iguales. – Tasa de interés del 19% CSa. A. Calcular el valor de la cuota mensual. B. Calcular el valor de la cuota mensual si se pacta un abono extraordinario de $18.000.000, hecho conjuntamente con la cuota ordinaria 15 y otro de $14.000.000 realizado exactamente 5 años después del desembolso del crédito. C. Calcular el valor de la nueva cuota si se realiza un abono extraordinario no pactado de $21.000.000, hecho conjuntamente con la cuota ordinaria 18, si se quiere reducir la cuota manteniendo el plazo original. D. Si se realiza un abono extraordinario no pactado de $24.000.000, hecho conjuntamente con la cuota ordinaria 16, ¿hasta qué periodo deberá pagar si se quiere reducir el plazo manteniendo la cuota original? y ¿con qué pago hecho conjuntamente con la última cuota ordinaria cancelará totalmente el crédito?





Matemáticas financieras para las niif

Verificar los resultados utilizando la técnica de dato fantasma. Respuesta: A. Las cuotas serán de $1.702.694,44. B. Si se pactan los abonos, las cuotas serán de $1.177.774,55. C. La nueva cuota será de $1.108.379,4. D. Se deben pagar cuotas hasta el periodo 68, con un pago adicional de $1.237.719,9.

captulo 6

Herramientas de evaluación

En este capítulo realizaremos cálculos repetitivos que frecuentemente se implementan en la gran mayoría de las operaciones financieras a la luz de las niif; estos cálculos los desarrollaremos de forma manual, con el uso de la hoja de cálculo y con la calculadora financiera niif. La idea es brindar herramientas suficientes para lograr 3 objetivos concretos: 1. Calcular el valor presente de un flujo de efectivo. 2. Calcular el valor futuro de un flujo de efectivo. 3. Calcular una tasa en una relación de flujos de efectivo. Realizaremos operaciones trasladando flujos con valores diferentes, trasladando flujos con valores iguales, es decir, con series uniformes (anualidades) y operaciones con periodos irregulares, es decir, con la utilización de fechas.

6 . 1 e l va l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o d e e f e c t i vo Este cálculo se convierte en la operación más común en el entorno de las niif; toma un flujo de efectivo futuro y lo trae a pesos de hoy; esta es la base para la valoración de instrumentos financieros.

6 . 1 . 1 e l va l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o d e va l o r e s i n d i v i du a l e s Ejemplo 6.1. Valor actual de un pasivo financiero: un proveedor financia una compra a plazos mediante el pago de $15.000.000 en 3 meses, $22.000.000 en 7 meses y $25.000.000 en un año. Calcular el valor del registro de la compra a pesos de hoy suponiendo una tasa de descuento del 15%EA. Solución: En el entorno de la contabilidad tradicional se hubiese registrado la compra de la siguiente manera: Valor de la compra = 15.000.000 + 22.000.000 + 25.000.000 Valor de la compra = 62.000.000 



Matemáticas financieras para las niif

Este es precisamente el tipo de errores que a la luz de las niif no podemos volver a cometer, ya que no se puede sumar pesos de hoy con pesos del futuro y es preciso traer cada uno de los valores a pesos de hoy utilizando una tasa de descuento. Con relación a la tasa de descuento, podemos observar que esta se encuentra en términos efectivos anuales y la periodicidad de los flujos es en meses; eso quiere decir que se tiene “corto circuito” y que se puede resolver convirtiendo la tasa del 15%EA a EM; así que: Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

15,00%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Mensual

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

1,17149169%

Gráfica: Todo ejercicio financiero parte de un flujo de caja que es una línea de tiempo, en la cual los ingresos se grafican para un lado y los egresos se grafican para el otro; lo cual es lo mismo que decir que las entradas se grafican para un lado y las salidas se grafican para el otro.

Elemento 3 Elemento 2 Elemento 1 $ 15.000.000

Fecha focal

0

1

$ 25.000.000

$ 22.000.000

2

3

4

5

6

7

8

9

Tasa del 15%EA que equivale al 1,17149169198534%EM X

10

11

12 MESES

Herramientas de evaluación

Planteamiento manual: Elemento 1: es un pago de $15.000.000 que se encuentra ubicado en el mes 3 y que debe trasladar a pesos de hoy, es decir, al mes 0. Por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 3 estaciones: 15.000.000 x (1,0117149169)-3 Al resolver la operación en forma manual, el elemento 1 nos queda: $14.484.943,28. Recuerde que el transmilenio es simplemente una operación de valor del dinero en el tiempo, que puede ser resuelta en la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente; los $15.000.000 se encuentran en el futuro y necesitamos traerlos al presente; así que: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF)

15.000.000 3

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

1.17149169%

Valor presente (VP)

$14.484.943,28

Elemento 2: es un pago de $22.000.000 que se encuentra ubicado en el mes 7 y debe trasladarse a pesos de hoy, es decir, al mes 0. Por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 7 estaciones: 22.000.000 x (1,0117149169)-7 Al resolver de forma manual el elemento 2 nos queda: $20.277.555,90. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $22.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos a valor presente; así que:





Matemáticas financieras para las niif

VDT

cálculo de valor presente 22.000.000

Valor futuro (VF)

7

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

1.17149169%

Valor presente (VP)

$20.277.555,90

Elemento 3: es un pago de $25.000.000 que se encuentra ubicado en el mes 12 y debe trasladarse a pesos de hoy, es decir, al mes 0; por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 12 estaciones: 25.000.000 x (1,0117149169)-12 Al resolver de forma manual el elemento 2 nos queda $21.739.130,43. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $25.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

25.000.000 12

Tasa de interés (i)

1.17149169%

Valor presente (VP)

$21.739.130,43

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: X = 15.000.000 x (1,0117149169)-3 + 22.000.000 x (1,0117149169)-7 + 25.000.000 x (1,0117149169)-12 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3

Es decir: X = 14.484.943,28 + 20.277.555,90 + 21.739.130,43 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3

Herramientas de evaluación

X = 56.501.629,61 Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo lo primero que se debe hacer es plantear el flujo de caja, teniendo en cuenta que en los periodos en que no hay valores monetarios debemos rellenar con ceros (A1:B14), después se pega la tasa de interés del 1,17149169%EM en una celda (E2). Ver tabla. La forma de calcular el valor presente de un flujo de efectivo utilizando la hoja de cálculo es mediante la función VNA. La función pregunta la tasa y se selecciona la celda donde se encuentra la tasa (E2) y pregunta valor 1 y en ese espacio debemos ingresar el rango de datos donde se encuentra el flujo de efectivo. Es aquí donde se encuentra la principal complicación, ya que la función VNA calcula el valor presente de un flujo un periodo antes del primer dato, razón por la cual se debe introducir el primer dato comenzando desde el periodo 1 y no desde el periodo cero (B3:B14). Al final de la fórmula debemos sumar el valor que se encuentra ubicado en el periodo cero (B2).

Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 1, ingresamos los datos de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

Valor

n.º veces

FC0

0,00

3

FC1

15.000.000,00

1

FC2

0,00

3

FC3

22.000.000,00

1

FC4

0,00

4

FC5

25.000.000,00

1

En el FC0 se introduce el valor 0 y se repite de seguido en los meses 0, 1 y 2, así que en número de veces se introduce el número de veces que se repite el cero, es decir, 3. En el FC1 se introduce el valor 15.000.000 que se encuentra en el periodo 3 y que se repite solamente una vez. En el FC2 se introduce el valor 0 y se repite de seguido en los meses 4, 5 y 6, así que en número de veces se introduce el número de veces que se repite el cero, es decir, 3. En el FC3 se introduce el valor 22.000.000 que se encuentra en el periodo 7 y que se repite solamente una vez. En el FC4 se introduce el valor 0 y se repite de seguido en los meses 8, 9, 10 y 11, así que en número de veces se introduce el número de veces que se repite el cero, es decir, 4. En el FC3 se introduce el valor 25.000.000 que se encuentra en el periodo 12 y que se repite solamente una vez. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos pegar la tasa de interés y finalmente hacemos clic sobre el ícono VPN que significa valor presente neto y que hace lo mismo que la función VNA (valor actual neto), ya que busca traer a pesos de hoy un flujo de efectivo.

Herramientas de evaluación

Tasa de interés VPN

1,17149169%

Pegar tasa

56.501.629,61

Convertir tasa

VFN

Menú principal

TIR

Borrar

Respuesta: la compra se debe registrar por $56.501.629,61.

6 . 1 . 2 e l va l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o con series uniformes Ejemplo 6.2. Valor actual de un pasivo financiero: calcular el valor de un crédito si hacen falta por pagar 12 cuotas trimestrales. Las 4 primeras cuotas por un valor de $2.000.000 cada una, las 4 siguientes por un valor de $2.500.000 cada una y las 4 últimas por un valor de $3.000.000; suponga una tasa de interés del 1,3%EMa. Solución: La tasa cobrada por la entidad financiera se encuentra en términos de efectiva mensual anticipada y la periodicidad de los flujos se encuentra en trimestres; eso quiere decir que se tiene “corto circuito” y que se puede resolver convirtiendo la tasa del 1,3%EMa a ET; así que: Lo que tengo Tasa

1,300%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Trimestral

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

4,003640635%





Matemáticas financieras para las niif

Gráfica: Las cuotas o pagos de una anualidad pueden ser vencidos o anticipados; serán vencidos cuando los pagos se efectúen al final de cada periodo y anticipados cuando los pagos se efectúan al inicio de cada periodo. En este caso, como no se define si las cuotas son anticipadas o vencidas, se presumirá siempre que son vencidas. Por esa razón, en el periodo cero no hay ningún valor y la primera cuota va ubicada al finalizar el primer trimestre. Cuando las anualidades son anticipadas, obligatoriamente se debe hacer énfasis en ese detalle y en ese caso la primera cuota estaría ubicada en el periodo cero. El elemento 1 corresponde a una anualidad de $2.000.000 cuyas cuotas se repiten desde el periodo 1 al 4; el elemento 2 corresponde a una anualidad de $2.500.000 cuyas cuotas se repiten desde el periodo 5 al 8, y finalmente el elemento 3 corresponde a una anualidad de $3.000.000 cuyas cuotas se repiten del periodo 9 al 12. Fecha focal Elemento 3 $ 3.000.000

Elemento 2 $ 2.500.000

Elemento 1 $ 2.000.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12 TRIMESTRES

Tasa del 1,3%EMa que equivale al 4,003640635%ET X

Planteamiento manual: Elemento 1: es una anualidad de $2.000.000 a la que se le puede aplicar valor presente de una anualidad. Siempre que se le aplique valor presente a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor presente de toda anualidad cae 1 periodo antes de su primera cuota y como la primera cuota se encuentra en el periodo 1 el valor presente cae justo en el periodo 0 y, por encontrarse en la fecha focal, no requiere de transmilenio.

Herramientas de evaluación

1 - (1 + 0,0400364)-4 VP = 2.000.000 x ––––––––––––––––– 0,0400364 VP = 7.259.167,60 También podemos obtener el valor presente de una anualidad por medio de la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor presente y de nuevo valor presente: Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

2.000.000 4 4,0036406350% $7.259.167,60

Elemento 2: es una anualidad de $2.500.000 a la que se le puede aplicar valor presente de una anualidad. 1 - (1 + 0,0400364)-4 VP = 2.500.000 x ––––––––––––––––– 0,0400364 VP = 9.073.959,50 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor presente y de nuevo valor presente: Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n) Tasa de interés (i) Valor presente (vp)

2.500.000 4 4,0036406350% $9.073.959,50





Matemáticas financieras para las niif

Siempre que se le aplique valor presente a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor presente de toda anualidad cae 1 periodo antes de su primera cuota y, como la primera cuota se encuentra en el periodo 5, el valor presente cae justo en el periodo 4 y requiere del transmilenio financiero para llegar al periodo cero: 1 - (1 + 0,0400364)-4 VP = 2.500.000 x ––––––––––––––––– x (1,0400364)-4 0,0400364 VP = 9.073.959,50 x (1,0400364)-4 VP = 7.755.372,61 O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor presente: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

9.073.960 4

Tasa de interés (i)

4,00364063%

Valor presente (VP)

$7.755.372,61

Elemento 3: es una anualidad de $3.000.000 a la que se le puede aplicar valor presente de una anualidad. 1 - (1 + 0,0400364)-4 VP = 3.000.000 x –––––––––––––––––– 0,0400364 VP = 10.888.751,4 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor presente y de nuevo valor presente:

Herramientas de evaluación

Cálculo del valor presente de una anualidad 3.000.000

Cuota (p) Número de cuotas (n)

4

Tasa de interés (i)

4,0036406350%

Valor presente (vp)

$10.888.751,40

Siempre que se le aplique valor presente a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor presente de toda anualidad cae 1 periodo antes de su primera cuota, y como la primera cuota se encuentra en el periodo 9 el valor presente cae justo en el periodo 8 y requiere del transmilenio financiero para llegar al periodo cero: 1 - (1 + 0,0400364)-4 VP = 3.000.000 x ––––––––––––––––– x (1,0400364)-8 0,0400364 VP = 10.888.751,4 x (1,0400364)-8 VP = 7.954.076,19 O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor presente: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

10.888.751 8

Tasa de interés (i)

4,00364063%

Valor presente (VP)

$7.954.076,19

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

1 - (1 + 0,0400364)-4 1 - (1 + 0,0400364)-4 X = 2.000.000 x –––––––––––––––– + 2.500.000 x –––––––––––––––– x (1,0400364)-4 + 0,0400364 0,0400364 Elemento 1

Elemento 2

1 - (1 + 0,0400364)-4 3.000.000 x ––––––––––––––––– x (1,0400364)-8 0,0400364 Elemento 3

Es decir: X =

7.259.167,60 Elemento 1

X =

22.968.616,4

+ 7.755.372,61 + 7.954.076,19 Elemento 2 Elemento 3

Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo lo primero que se debe hacer es plantear el flujo de caja teniendo en cuenta que en los periodos en que no hay valores monetarios debemos rellenar con ceros (A1:B14); después se pega la tasa de interés del 4,00364063%ET en una celda (E2). Ver tabla. La forma de calcular el valor presente de un flujo de efectivo utilizando la hoja de cálculo es mediante la función VNA. La función pregunta la tasa y se selecciona la celda donde se encuentra la tasa (E2) y pregunta valor 1 y en ese espacio se debe ingresar el rango de datos donde se encuentra el flujo de efectivo. Es aquí donde se encuentra la principal complicación, ya que la función VNA calcula el valor presente de un flujo un periodo antes del primer dato, razón por la cual se debe introducir el primer dato comenzando desde el periodo 1 y no desde el periodo cero (B3:B14); al final de la fórmula se suma el valor que se encuentra ubicado en el periodo cero (B2).

Herramientas de evaluación

Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 1, se ingresan los datos de la siguiente manera: Valor

n.º veces

FC0

0,00

1

FC1

2.000.000,00

4

FC2

2.500.000,00

4

FC3

3.000.000,00

4

En el FC0 se introduce el valor 0 que se encuentra en el periodo 0 y que se repite solamente una vez. En el FC1 se introduce el valor 2.000.000 y se repite de seguido en los trimestres 1, 2, 3 y 4; así que en número de veces se introduce 4. En el FC2 se introduce el valor 2.500.000 y se repite de seguido en los trimestres 5, 6, 7 y 8; así que en número de veces se introduce 4. En el FC3 se introduce el valor 3.000.000 y se repite de seguido en los trimestres 9, 10, 11 y 12; así que en número de veces se introduce 4. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos pegar la tasa de interés y finalmente hacemos clic sobre el ícono VPN que significa valor presente neto y que hace lo mismo





Matemáticas financieras para las niif

que la función VNA (valor actual neto), ya que busca traer a pesos de hoy un flujo de efectivo.

Tasa de interés VPN

4,00364063%

Pegar tasa

22.968.616,41

Convertir tasa

VFN

Menú principal

TIR

Borrar

Respuesta: el valor de la deuda es de $22.968.616,4.

6 . 1 . 3 e l va l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o c o n p e r i odo s i r r e g u l a r e s Ejemplo 6.3. Valor actual de un activo: hoy 28/10/2015 se realiza una venta que será pagada a plazos de la siguiente manera: El 12/03/2016 la suma de $12.000.000. El 20/07/2016 la suma de $16.000.000. El 15/01/2017 la suma de $19.000.000. El 13/06/2017 la suma de $23.000.000. Calcular el valor de la venta hoy 28/10/2015, suponiendo una tasa de descuento del 12%EA. Solución: Hablamos de un periodo irregular cuando los flujos de efectivo no tienen la misma periodicidad, es decir, cada flujo de efectivo se encuentra ubicado en fechas diferentes. Ya se sabe que a la luz de las niif no podemos sumar directamente el valor de los pagos y que para determinar el valor de la venta los pagos se deben sumar financieramente y no matemáticamente.

Herramientas de evaluación

Gráfica: Los elementos 1, 2, 3 y 4 corresponden a los pagos que deben ser valorados a pesos de hoy 28/10/2015. Fecha focal Elemento 2 Elemento 1

Elemento 3

Elemento 4

$ 19.000.000

$ 23.000.000

15/01/2017

13/06/2017

$ 16.000.000

$ 12.000.000

28/10/2015

12/03/2016

20/07/2016 Tasa del 12%EA

X

Planteamiento manual: Todos los valores debemos trasladarlos al 28/10/2015 utilizando como tasa el 12% EA, razón por la cual la distancia entre fecha y fecha la expresaremos en términos anuales; de esta forma, la tasa y el tiempo estarán expresados en términos de años y no tendremos corto circuito. Elemento 1: es un valor de $12.000.000 que se encuentra en el 12/03/2016 y debemos trasladarlo al 28/10/2015; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. Utilizaremos base 365, ya que en esta es que se deben realizar las operaciones entre fechas en el entorno de las niif. Este cálculo se puede hacer de una forma sencilla colocando cada fecha en una celda de Excel y luego se realiza la resta de las fechas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 12/03/2016 28/10/2015 136,00 B1 - B2

Esto da como resultado 136 días, la celda B3 debe tener un formato de número y no de fecha. Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero para retroceder 136 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 136/365.





Matemáticas financieras para las niif

12.000.000 x (1,12)-(136/365) Al resolver de forma manual el elemento 1 nos queda $ 11.503.830,55. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $12.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF)

12.000.000

Tiempo (n) 136/365

0,37260274

Tasa de interés (i)

12,00000000%

Valor presente (VP)

$11.503.830,55

Elemento 2: es un valor de $16.000.000 que se encuentra en el 20/07/2016 y debemos trasladarlo al 28/10/2015; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 20/07/2016 28/10/2015 266,00 B1 - B2

Esto da como resultado 266 días, la celda B3 debe tener un formato de número y no de fecha. Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero para retroceder 266 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 266/365. 16.000.000 x (1,12)-(266/365) Al resolver de forma manual el elemento 2 nos queda $14.731.653,86.

Herramientas de evaluación

Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $16.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que: VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n) 266/365

16.000.000 0,728767123

Tasa de interés (i)

12,00000000%

Valor presente (VP)

$14.731.653,86

Elemento 3: es un valor de $19.000.000 que se encuentra en el 15/01/2017 y debemos trasladarlo al 28/10/2015; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 15/01/2017 28/10/2015 445,00 B1 - B2

Esto da como resultado 445 días, la celda B3 debe tener un formato de número y no de fecha. Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero para retroceder 445 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 445/365. 19.000.000 x (1,12)-(445/365) Al resolver de forma manual el elemento 3 nos queda $ 16.548.097,32. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $19.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que:





Matemáticas financieras para las niif

VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF) Tiempo (n) 445/365

19.000.000 1,219178082

Tasa de interés (i)

12,00000000%

Valor presente (VP)

$16.548.097,32

Elemento 4: es un valor de $23.000.000 que se encuentra en el 13/06/2017 y debemos trasladarlo al 28/10/2015; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 13/06/2017 28/10/2015 594,00 B1 - B2

Esto da como resultado 594 días; la celda B3 debe tener un formato de número y no de fecha. Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero para retroceder 594 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 594/365. 23.000.000 x (1,12)-(594/365) Al resolver de forma manual el elemento 4 nos queda $19.126.282,26. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $23.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que:

Herramientas de evaluación

VDT

cálculo de valor presente

Valor futuro (VF)

23.000.000

Tiempo (n) 594/365

1,62739726

Tasa de interés (i)

12,00000000%

Valor presente (VP)

$19.126.282,26

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: X =12.000.000 x (1,12) - (136/365) + 16.000.000 x (1,12) - (266/365)+ 19.000.000 x (1,12) - (445/365) + 23.000.000 x (1,12) - (594/365) Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Elemento 4

Es decir: X = 11.503.830,55 + 14.731.653,86 + 16.548.097,32 + 19.126.282,26 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Elemento 4

X = $61.909.863,99 Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo lo primero que se debe hacer es plantear el ejercicio teniendo en cuenta que se deben ingresar tanto las fechas en orden cronológico como los valores monetarios. Después se pega la tasa de interés, la cual debe estar expresada en términos efectivos anuales, es decir, 12%EA y la ubicamos en la celda (E2). La forma de calcular el valor presente de un flujo de efectivo con periodos irregulares utilizando la hoja de cálculo es mediante la función VNA NO PER. La función pregunta la tasa y se selecciona la celda donde se encuentra la tasa (E2) y pregunta valores; en ese espacio debemos ingresar el rango de datos donde se encuentra el flujo de efectivo, es decir (B2:B6). Luego pregunta fechas; en ese espacio debemos ingresar el rango de datos donde se encuentran las fechas, es decir, (A2:A6).





Matemáticas financieras para las niif

Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 2, que está diseñada para realizar cálculos que involucren fechas, e ingresamos los datos de la siguiente manera: Fecha DD/MM/AAAA

Valor

28/10/2015

0

12/03/2016

12000000

20/07/2016

16000000

15/01/2017

19000000

13/06/2017

23000000

La primera fecha es aquella en la que queremos realizar la valoración y luego se ingresan las otras fechas en orden cronológico con sus respectivos valores. Después de introducir y verificar que tanto las fechas como los valores sean los correctos, debemos pegar la tasa de interés que va a ser utilizada como tasa de descuento y que en esta aplicación debe ser ingresada siempre en términos efectivos anuales, luego hacemos clic sobre el ícono VPN, que significa valor presente neto y que hace lo mismo que la función VNA NO PER, la cual busca traer a pesos de hoy un flujo de efectivo que se encuentre ubicado en fechas específicas.

Herramientas de evaluación

Tasa de interés EA VPN

Pegar tasa

12.00000000%

Convertir tasa

61.909.863,99

VFN

Menú principal

TIR EA

Borrar

Respuesta: el valor de la venta fue de $61.909.863,99.

6 . 1 . 4 e l va l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o d e va l o r e s i n d i v i du a l e s c o n m  lt i p l e s ta s a s d e d e s c u e n t o Ejemplo 6.4. Valor actual de un activo financiero: un título ofrece pagar $3.500.000 en 5 meses, $5.200.000 en 1 año y $10.000.000 en 17 meses. Valorar el título suponiendo una tasa de descuento del 16% CSa hasta el mes 10 y de ahí en adelante la tasa es del 9,5% ESa. Solución: La tasa de descuento se encuentra en términos nominal semestre anticipado durante los primeros 10 meses y efectivo semestre anticipado durante el tiempo restante; como la periodicidad de los flujos se encuentra en meses, se debe convertir la tasa a efectiva mensual: Lo que tengo Tasa

16,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Mensual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

1,399394609%





Matemáticas financieras para las niif

Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

9,5000000%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Mensual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

1,677588347%

Gráfica: Los flujos que genera el título se grafican para un lado y la valoración se grafica para el lado contrario: Elemento 3 Elemento 2 Elemento 1 Fecha focal

0

1

$ 10.000.000

$ 5.200.000

$ 3.500.000

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17 MESES

Tasa del 16%CSa que equivale al 1,399394609%EM X

Tasa del 9,5%ESa que equivale al 1,677588347%EM

Planteamiento: Elemento 1: es un flujo de $3.500.000 que se encuentra ubicado en el mes 5 y que debe trasladarse a pesos de hoy, es decir, al mes 0. Por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 5 estaciones utilizando la tasa del 1,399394609%EM, así: 3.500.000 x (1,01399394609)-5 Al resolver la operación en forma manual, el elemento 1 nos queda $3.265.060,51. Recuerde que el transmilenio es simplemente una operación de valor del dinero en el tiempo, que puede ser resuelta con la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente; los $3.500.000 se encuentran en el futuro y necesitamos traerlos al presente; así que:

Herramientas de evaluación

VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

3.500.000,00 5

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

1,39939461%

Valor presente (VP)

$3.265.060,51

Elemento 2: es un flujo de $5.200.000 que se encuentra ubicado en el mes 12 y que debe trasladarse a pesos de hoy, es decir, al mes 0. Por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 2 estaciones utilizando una tasa del 1,677588347%EM y luego retrocede 10 estaciones utilizando la tasa del 1,399394609%EM, así: 5.200.000 x (1,01677588347)-2 x (1,01399394609)-10 Al resolver la operación en forma manual, el elemento 2 nos queda $4.377.228,81. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $5.200.000 se encuentran en el futuro y necesitamos traerlos al presente; así que: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

5.200.000,00 2

Tasa de interés (i)

1,67758835%

Valor presente (VP)

$5.029.824,94

Y luego:





Matemáticas financieras para las niif

VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

5.029.824,94 10

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

1,39939461%

Valor presente (VP)

$4.377.228,81

Elemento 3: es un flujo de $10.000.000 que se encuentra ubicado en el mes 17 y que debe trasladarse a pesos de hoy, es decir, al mes 0. Por tal razón, el transmilenio financiero debe retroceder 7 estaciones utilizando una tasa del 1,677588347%EM y luego retrocede 10 estaciones utilizando la tasa del 1,399394609%EM, así: 10.000.000 x (1,01677588347)-7 x (1,01399394609)-10 Al resolver la operación en forma manual, el elemento 3 nos queda $7.745.861,39. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $10.000.000 se encuentran en el futuro y necesitamos traerlos al presente; así que: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

10.000.000,00 7

Tasa de interés (i)

1,67758835%

Valor presente (VP)

$8.900.683,18

Y luego:

Herramientas de evaluación

VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

8.900.683,18 10

Tasa de interés (i)

1,39939461%

Valor presente (VP)

$7.745.861,39

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: X = 3.500.000 x (1,01399394609)-5 + 5.200.000 x (1,01677588347)-2 x (1,01399394609)-10 Elemento 1 Elemento 2 + 10.000.000 x (1,01677588347)-7 x (1,01399394609)-10 Elemento 3

Es decir: X = 3.265.060,51 + 4.377.228,81 + 7.745.861,39 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 X = 15.388.150,71 Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo no es práctica la solución de problemas con múltiples tasas de descuento ya que las funciones financieras con las que cuenta trabajan con una sola tasa de descuento y la única manera de resolver este tipo de problemas es por partes, tal y como se puede apreciar en el método manual. Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 3, que está diseñada para realizar cálculos que involucren flujos de efectivo con múltiples tasas de descuento, ingresamos los datos de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

Valor

n.º veces

Tasa

FC0

0,00

5

1,39939461%

FC1

3.500.000,00

1

1,39939461%

FC2

0,00

5

1,39939461%

FC3

0,00

1

1,67758835%

FC4

5.200.000,00

1

1,67758835%

FC5

0,00

4

1,67758835%

FC6

10.000.000,00

1

1,67758835%

En el FC0 se introduce el valor 0 que se encuentra en los periodos 0, 1, 2, 3 y 4; así que en número de veces se introduce 5, con una tasa de interés del 1,399394609%EM. En el FC1 se introduce el valor 3.500.000 que se encuentra en el periodo 5; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 1,399394609%EM. En el FC2 se introduce el valor 0 que se encuentra en los periodos 6, 7, 8, 9 y 10; así que en número de veces se introduce 5, con una tasa de interés del 1,399394609%EM. En el FC3 se introduce el valor 0 que se encuentra en el periodo 11; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 1,677588347%EM. En el FC4 se introduce el valor 5.200.000 que se encuentra en el periodo 12; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 1,677588347%EM. En el FC5 se introduce el valor 0 que se encuentra en los periodos 13, 14, 15 y 16; así que en número de veces se introduce 4, con una tasa de interés del 1,677588347%EM. En el FC6 se introduce el valor 10.000.000 que se encuentra en el periodo 17; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 1,677588347%EM. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos hacer clic sobre el ícono VPN que significa valor presente neto y que hace lo mismo que la función VNA (valor actual

Herramientas de evaluación

neto), con la diferencia que podemos utilizar varias tasas de descuento; sin embargo, el objetivo es el mismo: traer a pesos de hoy un flujo de efectivo. VPN

15.388.150,71

VFN

Convertir tasa Menú principal

Borrar

Respuesta: el valor del título es $15.388.150,71.

6 . 1 . 5 e l va l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o c o n s e r i e s u n i f o r m e s y m  lt i p l e s ta s a s d e d e s c u e n t o Ejemplo 6.5. Valor actual de un pasivo financiero: calcular el valor de un crédito si hacen falta por pagar 18 cuotas bimestrales. Durante el primer año las cuotas tienen un valor de $5.000.000 cada una, para el segundo año las cuotas tienen un valor de $6.500.000 cada una y para el tercer año las cuotas tienen un valor de $9.000.000 cada una. Suponga una tasa de interés del 14%CMa para el primer año, 16%CTa para el segundo año y 18%CSa para el tercer año. Solución: La tasa de descuento se encuentra en términos nominal mensual anticipado durante el primer año, nominal trimestral anticipado durante el segundo año y nominal semestre anticipado durante el tercer año. Como la periodicidad de los flujos se encuentra en bimestres, se debe convertir la tasa a efectiva bimestral:





Matemáticas financieras para las niif

Lo que tengo Tasa

14,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Bimestral

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

Lo que tengo Tasa

16,0000000%

2,374811246%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Bimestral

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

Lo que tengo Tasa

18,0000000%

2,758836430%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Bimestral

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

3,193625130%

Gráfica: Las cuotas a pagar se grafican para un lado y la valoración de la deuda se grafica para el lado contrario:

Herramientas de evaluación

Elemento 3 Elemento 2 Elemento 1

$ 10.000.000

$ 8.000.000

$ 5.000.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18 BIMESTRES

Tasa del 14%CMa que equivale al 2,37481125%Ebimestral. X

Tasa del 16%CTa que equivale al 2,758836430%Ebimestral.

Fecha focal

Tasa del 18%CSa que equivale al 3,193625130%Ebimestral.

Planteamiento manual: Elemento 1: es una anualidad de $5.000.000 a la que se le puede aplicar valor presente de una anualidad. Siempre que se le aplique valor presente a una anualidad, se debe tener en cuenta que el valor presente de toda anualidad cae 1 periodo antes de su primera cuota y como la primera cuota se encuentra en el periodo 1 el valor presente cae justo en el periodo 0 y no requiere de transmilenio por encontrarse en la fecha focal. 1 - (1 + 0,0237481125)-6 VP = 5.000.000 x –––––––––––––––––––– 0,0237481125 VP = 27.656.306,81 También podemos obtener el valor presente de una anualidad por medio de la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor presente y de nuevo valor presente. Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

5.000.000 6

Tasa de interés (i)

2,3748112464%

Valor presente (vp)

$27.656.306,81





Matemáticas financieras para las niif

Elemento 2: es una anualidad de $8.000.000 a la que se le puede aplicar valor presente de una anualidad. 1 - (1 + 0,0275883643)-6 VP = 8.000.000 x –––––––––––––––––––– 0,0275883643 VP = 43.686.081,08 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor presente y de nuevo valor presente: Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

8.000.000 6

Tasa de interés (i)

2,7588364304%

Valor presente (vp)

$43.686.081,08

Siempre que se le aplique valor presente a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor presente de toda anualidad cae 1 periodo antes de su primera cuota y como la primera cuota se encuentra en el periodo 7, el valor presente cae justo en el periodo 6 y requiere del transmilenio financiero para llegar al periodo cero, así: 1 - (1 + 0,0275883643)-6 VP = 8.000.000 x –––––––––––––––––––– x (1,0237481125)-6 0,0275883643 VP = 43.686.081,08 x (1,0237481125)-6 VP = 37.947.607,79 O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor presente:

niif,

valor del dinero en el

Herramientas de evaluación

VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF) Tiempo (n)

43.686.081,08 6

Tasa de interés (i)

2,37481125%

Valor presente (VP)

$37.947.607,79

Elemento 3: es una anualidad de $10.000.000 a la que se le puede aplicar valor presente de una anualidad. 1 - (1 + 0,0319362513)-6 VP = 10.000.000 x –––––––––––––––––––– 0,0319362513 VP = 53.825.979,25 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor presente y de nuevo valor presente: Cálculo del valor presente de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

10.000.000 6

Tasa de interés (i)

3,1936251302%

Valor presente (vp)

$53.825.979,25

Siempre que se le aplique valor presente a una anualidad, se debe tener en cuenta que el valor presente de toda anualidad cae 1 periodo antes de su primera cuota, y como la primera cuota se encuentra en el periodo 13 el valor presente cae justo en el periodo 12, es decir que se requiere del transmilenio financiero para llegar al periodo 6 y otro para llegar al periodo cero:





Matemáticas financieras para las niif

1 - (1 + 0,0319362513)-6 VP = 10.000.000 x –––––––––––––––––––– x (1,0275883643)-6 x (1,0237481125)-6 0,0319362513

VP = 53.825.979,25 x (1,0275883643)-6 x (1,0237481125)-6 VP = 39.711.673,36 O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor presente: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor presente compuesto 53.825.979,25

Valor futuro (VF)

6

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

2,75883643%

Valor presente (VP)

$45.716.910,32

Y luego: VDT

cálculo de valor presente compuesto 45.716.910,32

Valor futuro (VF)

6

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

2,37481125%

Valor presente (VP)

$39.711.673,36

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: 1 - (1 + 0,0237481125)-6 1 - (1 + 0,0275883643)-6 X = 5.000.000 x ––––––––––––––––––– + 8.000.000 x –––––––––––––––––––– x (1,0237481125)-6 + 0,0237481125 0,0275883643 Elemento 1

Elemento 2

Herramientas de evaluación

1 - (1 + 0,0319362513)-6 10.000.000 x –––––––––––––––––––– x (1,0275883643)-6 x (1,0237481125)-6 0,0319362513 Elemento 3

Es decir: X = 27.656.306,81 + 37.947.607,79 + 39.711.673,36 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 X =

105.315.587,96

Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo no es práctica la solución de problemas con múltiples tasas de descuento ya que las funciones financieras con las que cuenta trabajan con una sola tasa de descuento y la única manera de resolver este tipo de problemas es por partes, tal y como se puede apreciar en el método manual. Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 3, que está diseñada para realizar cálculos que involucren flujos de efectivo con múltiples tasas de descuento, ingresamos los datos de la siguiente manera: Valor

n.º veces

Tasa

FC0

0,00

1

2,37481125%

FC1

5.000.000,00

6

2,37481125%

FC2

8.000.000,00

6

2,75883643%

FC3

10.000.000,00

6

3,19362513%

En el FC0 se introduce el valor 0 que se encuentra en el periodo 0; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 2,37481125%Ebimestral. En el FC1 se introduce el valor 5.000.000 que se encuentra en los periodos 1, 2, 3, 4, 5 y 6; así que en número de veces se introduce 6, con una tasa de interés del 2,37481125%Ebimestral.





Matemáticas financieras para las niif

En el FC2 se introduce el valor 8.000.000 que se encuentra en los periodos 7, 8, 9, 10, 11 y 12; así que en número de veces se introduce 6, con una tasa de interés del 2,75883643%Ebimestral. En el FC3 se introduce el valor 10.000.000 que se encuentra en los periodos 13, 14, 15, 16, 17 y 18; así que en número de veces se introduce 6, con una tasa de interés del 3,19362513%Ebimestral. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos debemos hacer clic sobre el ícono VPN que significa valor presente neto y que hace lo mismo que la función VNA (valor actual neto), con la diferencia que podemos utilizar varias tasas de descuento; sin embargo, el objetivo es el mismo, traer a pesos de hoy un flujo de efectivo. VPN

105.315.587,96

VFN

Convertir tasa Menú principal

Borrar

Respuesta: la valoración de la deuda es $105.315.587,96.

6 . 1 . 6 e l va l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o c o n p e r i odo s i r r e g u l a r e s y m  lt i p l e s ta s a s d e d e s c u e n t o Ejemplo 6.6. Valor actual de un activo: hoy 25/03/2017 se realiza una venta que será pagada a plazos de la siguiente manera: El 30/06/2017 la suma de $9.000.000. El 17/10/2017 la suma de $13.000.000. El 22/01/2018 la suma de $18.000.000. El 14/06/2018 la suma de $26.000.000.

Herramientas de evaluación

Calcular el valor al que se debe registrar la venta el día de hoy 25/03/2017, suponiendo una tasa de descuento del 10%EA hasta el 15/09/2017, del 15%EA hasta el 20/03/2018 y 20%EA de ahí en adelante. Solución: Hablamos de un periodo irregular cuando los flujos de efectivo no tienen la misma periodicidad, es decir, cada flujo de efectivo se encuentra ubicado en fechas diferentes. Ya se sabe que a la luz de las niif no podemos sumar directamente el valor de los pagos y que para determinar el valor de la venta los pagos se deben sumar financiera y no matemáticamente. Gráfica: Los elementos 1, 2, 3 y 4 corresponden a los pagos que deben ser valorados a pesos de hoy 25/03/2017. Fecha focal

Elemento 2 $ 13.000.000

Elemento 1 $ 9.000.000

25/03/2017

30/06/2017

X

15/09/2017

17/10/2017

Elemento 3 $ 18.000.000

22/01/2018

Elemento 4 $ 26.000.000

20/03/2018

14/06/2018

Tasa del 10%EA. Tasa del 15%EA. Tasa del 20%EA.

Planteamiento manual: Todos los valores debemos trasladarlos al 25/03/2017 utilizando las diferentes tasas de descuento que se encuentran expresadas en términos efectivos anuales, razón por la cual la distancia entre fecha y fecha la expresaremos en términos anuales; de esta forma, la tasa y el tiempo estarán expresados en términos de años y no tendremos corto circuito. Elemento 1: es un valor de $9.000.000 que se encuentra en el 30/06/2017 y debemos trasladarlo al 25/03/2017; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. Utilizaremos base 365, ya que en esta es que se deben realizar las operaciones entre fechas en el entorno de las niif.





Matemáticas financieras para las niif

Este cálculo se puede hacer de una forma sencilla colocando cada fecha en una celda de Excel y luego se realiza la resta de las fechas. A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

1 2 3 4

B 30/06/2017 25/03/2017 97 B1 - B2

Esto da como resultado 97 días; la celda B3 debe tener un formato de número y no de fecha. Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero para retroceder 97 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 97/365. 9.000.000 x (1,10)-(97/365) Al resolver de forma manual el elemento 1 nos queda: $8.774.901,73. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $9.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

9.000.000,00

Tiempo (n) (97/365)

0,265753425

Tasa de interés (i)

10,00000000%

Valor presente (VP)

$8.774.901,73

Elemento 2: es un valor de $13.000.000 que se encuentra en el 17/10/2017 y debemos trasladarlo al 15/09/2017 con una tasa del 15%EA y luego lo trasladamos del 15/09/2017 al 25/03/2017 con una tasa del 10%EA; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre estas fechas.

Herramientas de evaluación

1 2 3 4

1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 17/10/2017 15/09/2017 32 B1 - B2

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 15/09/2017 25/03/2017 174 B1 - B2

Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero del 15%EA para retroceder 32 días y 10%EA para retroceder 174 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 32/365 y 174/365. 13.000.000 x (1,15)-(32/365) x (1,10)-(174/365) Al resolver de forma manual el elemento 2 nos queda $ 12.271.269,51. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $13.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

13.000.000,00

Tiempo (n) (32/365)

0,087671233

Tasa de interés (i)

15,00000000%

Valor presente (VP)

$12.841.681,60

Y luego:





Matemáticas financieras para las niif

VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

12.841.681,60

Tiempo (n) (174/365)

0,476712329

Tasa de interés (i)

10,00000000%

Valor presente (VP)

$12.271.269,51

Elemento 3: es un valor de $18.000.000 que se encuentra en el 22/01/2018 y debemos trasladarlo al 15/09/2017 con una tasa del 15%EA y luego lo trasladamos del 15/09/2017 al 25/03/2017 con una tasa del 10%EA; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre estas fechas. 1 2 3 4

1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 22/01/2018 15/09/2017 129 B1 - B2

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 15/09/2017 25/03/2017 174 B1 - B2

Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero del 15%EA para retroceder 129 días y 10%EA para retroceder 174 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 129/365 y 174/365. 18.000.000 x (1,15)-(129/365) x (1,10)-(174/365) Al resolver de forma manual, el elemento 2 nos queda $ 16.371.481,75. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $18.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que:

Herramientas de evaluación

VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

18.000.000,00

Tiempo (n) (129/365)

0,353424658

Tasa de interés (i)

15,00000000%

Valor presente (VP)

$17.132.486,24

Y luego: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

17.132.486,24

Tiempo (n) (174/365)

0,476712329

Tasa de interés (i)

10,00000000%

Valor presente (VP)

$16.371.481,75

Elemento 4: es un valor de $26.000.000 que se encuentra en el 14/06/2018 y debemos trasladarlo al 20/03/2018 con una tasa del 20%EA, luego del 20/03/2018 al 15/09/2017 con una tasa del 15%EA y finalmente del 15/09/2017 al 25/03/2017 con una tasa del 10%EA; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre estas fechas. 1 2 3 4

1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 14/06/2018 20/03/2018 86 B1 - B2

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 20/03/2018 15/09/2017 186 B1 - B2





Matemáticas financieras para las niif

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

1 2 3 4

B 15/09/2017 25/03/2017 174 B1 - B2

Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero del 20%EA para retroceder 86 días, 15%EA para retroceder 186 días y finalmente 10%EA para retroceder 174 días. Como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 86/365, 186/365 y 174/365. 26.000.000 x (1,20)-(86/365) x (1,15)-(186/365) x (1,10)-(174/365) Al resolver de forma manual el elemento 2 nos queda $22.164.277,92. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor presente, los $26.000.000 se encuentran en el futuro y debemos trasladarlos al valor presente; así que: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

26.000.000,00

Tiempo (n) (86/365)

0,235616438

Tasa de interés (i)

20,00000000%

Valor presente (VP)

$24.906.743,30

Luego: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

24.906.743,30

Tiempo (n) (186/365)

0,509589041

Tasa de interés (i)

15,00000000%

Valor presente (VP)

$23.194.552,10

Herramientas de evaluación

Finalmente: VDT

cálculo de valor presente compuesto

Valor futuro (VF)

23.194.552,10

Tiempo (n) (174/365)

0,476712329

Tasa de interés (i)

10,00000000%

Valor presente (VP)

$22.164.277,92

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: X = 9.000.000 x (1,10)-(97/365) + 13.000.000 x (1,15)-(32/365) x (1,10)-(174/365) + Elemento 1

Elemento 2

18.000.000 x (1,15)-(129/365) x (1,10)-(174/365) + 26.000.000 x (1,20)-(86/365) x (1,15)-(186/365) x (1,10)-(174/365) Elemento 3

Elemento 4

Es decir: X = 8.774.901,73 + 12.271.269,51 + 16.371.481,75 + 22.164.277,92 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Elemento 4

X = $59.581.930,91 Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo no es práctica la solución de problemas con múltiples tasas de descuento, ya que las funciones financieras con las que cuenta trabajan con una sola tasa de descuento y la única manera de resolver este tipo de problemas es por partes, tal y como se puede apreciar en el método manual.





Matemáticas financieras para las niif

Planteamiento con calculadora financiera niif: Debemos ingresar los datos con un flujo de caja en días, razón por la cual primero convertimos las diferentes tasas de descuento a efectiva diaria en una base 365 de la siguiente manera: Lo que tengo Tasa

10,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Diaria B365

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

Lo que tengo Tasa

15,0000000%

0,026115788%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Diaria B365

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

Lo que tengo Tasa

20,0000000%

0,038298275%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Diaria B365

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

0,049963589%

Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 3, que está diseñada para realizar cálculos que involucren flujos de efectivo con múltiples tasas de descuento, ingresamos el flujo de caja con flujos de efectivo diarios:

Herramientas de evaluación

Valor

n.º veces

Tasa

FC0

0,00

97

0,02611579%

FC1

9.000.000,00

1

0,02611579%

FC2

0,00

77

0,02611579%

FC3

0,00

31

0,03829828%

FC4

13.000.000,00

1

0,03829828%

FC5

0,00

96

0,03829828%

FC6

18.000.000,00

1

0,03829828%

FC7

0,00

57

0,03829828%

FC8

0,00

85

0,04996359%

FC9

26.000.000,00

1

0,04996359%

Le recomiendo que observe la gráfica del ejercicio para que pueda comprender la forma como se deben ingresar los valores en el flujo de caja. En el FC0 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 25/03/2017 hasta el 29/06/2017, así que: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 29/06/2017 25/03/2017 96 B1 - B2

A los 96 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1, ya que al realizar la resta de dos fechas seguidas el resultado es 1; sin embargo, de verdad transcurren 2 días (usted paga una noche de hotel, pero disfruta dos días). Así que en número de veces se introduce 97, con una tasa de interés del 0,02611579%E diario base 365. En el FC1 se introduce el valor 9.000.000 que se encuentra en la fecha 30/06/2017; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,02611579%E diario base 365. En el FC2 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 01/07/2017 hasta el 15/09/2017, así que:





Matemáticas financieras para las niif

1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 15/09/2017 01/07/2017 76 B1 - B2

A los 76 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1, entonces en número de veces se introduce 77, con una tasa de interés del 0,02611579%E diario base 365. En el FC3 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 16/09/2017 hasta el 16/10/2017, así que: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 16/10/2017 16/09/2017 30 B1 - B2

A los 30 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1, entonces en número de veces se introduce 31, con una tasa de interés del 0,03829828%E diario base 365. En el FC4 se introduce el valor 13.000.000 que se encuentra en la fecha 17/10/2017; por tanto, en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,03829828%E diario base 365. En el FC5 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 18/10/2017 hasta el 21/01/2018; entonces: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 21/01/2018 18/10/2017 95 B1 - B2

A los 95 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1; así que en número de veces se introduce 96, con una tasa de interés del 0,03829828%E diario base 365. En el FC6 se introduce el valor 18.000.000 que se encuentra en la fecha 22/01/2018; entonces, en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,03829828%E diario base 365.

Herramientas de evaluación

En el FC7 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 23/01/2018 hasta el 20/03/2018; por tanto: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 20/03/2018 23/01/2018 56 B1 - B2

A los 56 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1; así que en número de veces se introduce 57, con una tasa de interés del 0,03829828%E diario base 365. En el FC8 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 21/03/2018 hasta el 13/06/2018; entonces: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 13/06/2018 21/03/2018 84 B1 - B2

A los 84 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1, de modo que en número de veces se introduce 85, con una tasa de interés del 0,04996359%E diario base 365. En el FC9 se introduce el valor 26.000.000 que se encuentra en la fecha 22/01/2018; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,04996359%E diario base 365. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos debemos hacer clic sobre el ícono VPN que significa valor presente neto y que hace lo mismo que la función VNA (valor actual neto), con la diferencia que podemos utilizar varias tasas de descuento; sin embargo, el objetivo es el mismo: traer a pesos de hoy un flujo de efectivo.





Matemáticas financieras para las niif

VPN

59.581.930,91

VFN

Convertir tasa Menú principal

Borrar

Respuesta: el valor con el que se debe registrar la venta es $59.581.930,91.

6 . 2 e l va l o r f u t u r o d e u n f l u j o d e e f e c t i vo Este cálculo consiste en trasladar un flujo de efectivo al futuro con una determinada tasa de descuento, aunque más que una tasa de descuento debiese llamarse tasa de capitalización en el caso de las inversiones y tasa de interés moratorio en el caso de las obligaciones. Aunque este tipo de cálculo es menos común en el entorno de las niif que el cálculo del valor presente de un flujo, resulta favorable dominar la técnica, sobre todo porque en ciertas ocasiones se requerirá.

6 . 2 . 1 e l va l o r f u t u r o d e u n f l u j o d e va l o r e s i n d i v i du a l e s Ejemplo 6.7: si se invirtió la suma de $8.000.000 en febrero del año pasado, $10.000.000 en octubre del año pasado y $13.000.000 en abril de este año, valorar las inversiones en el mes de agosto de este año suponiendo una rentabilidad promedio del 9%CMa. Solución: Al igual que en el cálculo del valor presente de un flujo de efectivo, no se pueden sumar los valores directamente y es necesario realizar estos cálculos desde el punto de vista financiero. Con relación a la tasa de descuento, podemos observar que la tasa se encuentra en términos de nominal mensual anticipado y la periodicidad de los flujos se encuentra en meses; eso quiere decir que se tiene “corto circuito” y que se puede resolver convirtiendo la tasa del 9%CMa a EM; por consiguiente:

Herramientas de evaluación

Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

9,000%

Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Mensual

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

0,755667506%

Gráfica: Todo ejercicio financiero parte de un flujo de caja que es una línea de tiempo en la cual los ingresos se grafican para un lado y los egresos se grafican para el otro; que es lo mismo que decir que las entradas se grafican para un lado y las salidas se grafican para el otro; entonces:

Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

$ 8.000.000

$ 10.000.000

$ 13.000.000

FEB

MAR ABR

MAY JUN

JUL

AGO SEP

OCT NOV DIC

ENE

FEB

MAR ABR

MAY JUN

JUL

AGO

Tasa del 9%CMa que equivale al 0,755667506297231%EM X

Planteamiento manual: Elemento 1: es una inversión de $8.000.000 que se encuentra ubicada en el mes de febrero del año pasado y que debe valorarse a pesos de agosto de este año, razón por la cual utilizaremos el transmilenio financiero, el cual debe recorrer 18 estaciones hacia delante; por lo tanto, va con signo positivo: como la tasa es del 0,7556675069%EM el transmilenio será de (1,007556675069); por tanto: 8.000.000 x (1,007556675069)18 Al resolver la operación en forma manual el elemento 1 nos queda $9.160.954,14.





Matemáticas financieras para las niif

El transmilenio es simplemente una operación de valor del dinero en el tiempo, que puede ser resuelta en la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor futuro; los $8.000.000 se encuentran en el pasado y necesitamos llevarlos al futuro: VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP)

8.000.000 18

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

0,755667506%

Valor futuro (VF)

$9.160.954,14

Elemento 2: es una inversión de $10.000.000 que se encuentra ubicada en el mes de octubre del año pasado y que debe valorarse a pesos de agosto de este año; razón por la cual utilizaremos el transmilenio financiero, el cual debe recorrer 10 estaciones hacia delante; por lo tanto, va con signo positivo. 10.000.000 x (1,007556675069)10 Al resolver la operación en forma manual el elemento 2 nos queda $10.781.888,73. O también utilizando la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP) Tiempo (n)

10.000.000 10

Tasa de interés (i)

0,755667506%

Valor futuro (VF)

$10.781.888,73

Elemento 3: es una inversión de $13.000.000 que se encuentra ubicada en el mes de abril de este año y que debe valorarse a pesos de agosto de este año; razón por la cual utilizaremos el transmilenio financiero, el cual debe recorrer 4 estaciones hacia delante; por lo tanto, va con signo positivo.

Herramientas de evaluación

13.000.000 x (1,007556675069)4 Al resolver la operación en forma manual, el elemento 3 nos queda $13.397.423,64. O también utilizando la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP) Tiempo (n)

13.000.000 4

Tasa de interés (i)

0,755667506%

Valor futuro (VF)

$13.397.423,64

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: X = 8.000.000 x (1,007556675069)18 + 10.000.000 x (1,007556675069)10 + 13.000.000 x (1,007556675069)4 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3

Es decir: X = 9.160.954,14 + 10.781.888,73 + 13.397.423,64 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 X =

$33.340.266,51

Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo, lo primero que se debe hacer es plantear el flujo de caja teniendo en cuenta que en los periodos en que no hay valores monetarios debemos rellenar con ceros (A1:B20), después se pega la tasa de interés del 0,7556675069%EM en una celda (E2). Lamentablemente, no existe una función en la hoja de cálculo que sea capaz de trasladar un flujo de efectivo al futuro; sin embargo, es posible calcular el valor futuro de un flujo de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

Debemos calcular el valor presente del flujo mediante la utilización de la función VNA. La función pregunta la tasa y se selecciona la celda donde se encuentra la tasa (E2) y pregunta valor 1 y en ese espacio debemos ingresar el rango de datos donde se encuentra el flujo de efectivo. Es aquí donde se encuentra la principal complicación, ya que la función VNA calcula el valor presente de un flujo un periodo antes del primer dato, razón por la cual se debe introducir el primer dato comenzando desde el periodo 1 y no desde el periodo cero (B3:B20). Al final de la fórmula debemos sumar el valor que se encuentra ubicado en el periodo cero (B2). El valor presente del flujo nos da como resultado $29.115.103,95, valor que se encuentra ubicado en febrero del año anterior. Resulta que, aunque no exista una función que pueda trasladar un flujo de efectivo al futuro, sí se puede enviar un único valor al futuro mediante la utilización de la función FX VF, donde en tasa ingresaremos el 0,75566751%EM que se encuentra ubicado en (E2), en NPER ingresamos 18, ya que de febrero del año anterior a agosto de este año hay exactamente 18 meses y en VA ingresamos con signo negativo el valor presente del flujo, es decir, $29.115.103,95 (E8), en pago y en tipo no ingresamos ningún valor, y luego damos aceptar.

Planteamiento con la calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 1, ingresamos los datos de la siguiente manera:

Herramientas de evaluación

Valor

n.º veces

FC0

8.000.000,00

1

FC1

0,00

7

FC2

10,000.000,00

1

FC3

0,00

5

FC4

13.000.000,00

1

FC5

0,00

4

En el FC0 se introduce el valor 8.000.000 y se repite solo una vez, así que en número de veces se introduce 1. En el FC1 se introduce el valor 0 y se repite de seguido 7 veces, así que en número de veces se introduce el número de veces que se repite el cero, es decir, 7. En el FC2 se introduce el valor 10.000.000 y se repite solo una vez, así que en número de veces se introduce 1. En el FC3 se introduce el valor 0 y se repite de seguido 5 veces, así que en número de veces se introduce el número de veces que se repite el cero, es decir, 5. En el FC4 se introduce el valor 13.000.000 y se repite solo una vez, así que en número de veces se introduce 1. En el FC5 se introduce el valor 0 y se repite de seguido 4 veces, así que en número de veces se introduce el número de veces que se repite el cero, es decir, 4. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos pegar la tasa de interés y finalmente hacemos clic sobre el ícono VFN que significa valor futuro neto, el cual busca llevar a pesos del futuro un flujo de efectivo.





Matemáticas financieras para las niif

Tasa de interés VPN

VFN

Pegar tasa

0,75566751%

Convertir tasa

33.340.266,52

Menú principal

TIR

Borrar

Respuesta: las inversiones se valoran en $33.340.266,51.

6 . 2 . 2 e l va l o r f u t u r o d e u n f l u j o con series uniformes Ejemplo 6.8: una empresa determinó realizar una reserva bimestral desde hace 4 años en un fondo que reconoce un interés del 8%CSa. Durante el primer año, la reserva bimestral fue de $5.000.000, durante el segundo año el valor fue de $8.000.000, en el tercer año fue de $10.000.000 y en el último año fue de $15.000.000. Valorar la reserva a pesos de hoy. Solución: Ya sabemos que no podemos sumar la reserva directamente y es necesario realizar estos cálculos desde el punto de vista financiero, es decir, trasladando los valores al futuro teniendo en cuenta la rentabilidad ofrecida en el fondo. Con relación a la tasa, podemos observar que esta se encuentra en términos de nominal semestre anticipado y la periodicidad de los flujos se encuentra en bimestres; eso quiere decir que se tiene “corto circuito” y que se puede resolver convirtiendo la tasa del 8%CSa a E bimestral; por consiguiente:

Herramientas de evaluación

Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

8,000%

Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Bimestral

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

1,370033260%

Gráfica: Todo ejercicio financiero parte de un flujo de caja que es una línea de tiempo en la cual los ingresos se grafican para un lado y los egresos se grafican para el otro; lo cual es lo mismo que decir que las entradas se grafican para un lado y las salidas se grafican para el otro; entonces: Fecha focal Elemento 4 $ 15.000.000

Elemento 3 $ 10.000.000

Elemento 2 $ 8.000.000

Elemento 1 $ 5.000.000 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

24 BIMESTRES

Tasa del 8%CSa que equivale al 1,37003326%Ebimestral. X

Planteamiento manual: Elemento 1: es una anualidad de $5.000.000 a la que se le puede aplicar valor futuro de una anualidad. (1 + 0,01370...)6 - 1 VP = 5.000.000 x –––––––––––––––– 0,01370... VP = 31.046.488,7 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor futuro y de nuevo valor futuro:





Matemáticas financieras para las niif

Cálculo del valor futuro de una anualidad 5000000

Cuota (p) Número de cuotas (n)

6

Tasa de interés (i)

1,3700332596%

Valor futuro (vf)

$31.046.488,78

Cuando se le aplique valor futuro a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor futuro de toda anualidad cae siempre conjuntamente con su última cuota, es decir, en el periodo 6, y se requiere del transmilenio financiero para trasladar el valor hasta el periodo 24, así: (1 + 0,01370...)6 - 1 VF = 5.000.000 x –––––––––––––––– x (1,01370...)18 0,01370... VF = 31.046.488,7 x (1,01370...)18 VF = 39.662.957,28 O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

valor del dinero en el

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP) Tiempo (n)

niif,

31.046.489 18

Tasa de interés (i)

1,370033260%

Valor futuro (VF)

$39.662.957,29

Elemento 2: es una anualidad de $8.000.000 a la que se le puede aplicar valor futuro de una anualidad.

Herramientas de evaluación

(1 + 0,01370...)6 - 1 VP = 8.000.000 x –––––––––––––––– 0,01370... VP = 49.674.382,05 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor futuro y de nuevo valor futuro: Cálculo del valor futuro de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

8000000 6

Tasa de interés (i)

1,3700332596%

Valor futuro (vf)

$49.674.382,05

Cuando se le aplique valor futuro a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor futuro de toda anualidad cae siempre conjuntamente con su última cuota, es decir, en el periodo 12, y se requiere del transmilenio financiero para trasladar el valor hasta el periodo 24: (1 + 0,01370...)6 - 1 VF = 8.000.000 x –––––––––––––––– x (1,01370...)12 0,01370... VF = 49.674.382,05 x (1,01370...)12 VF = 58.485.410,3 O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro:

niif,

valor del dinero en el





Matemáticas financieras para las niif

VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP) Tiempo (n)

49.674.382 12

Tasa de interés (i)

1,370033260%

Valor futuro (VF)

$58.485.410,30

Elemento 3: es una anualidad de $10.000.000 a la que se le puede aplicar valor futuro de una anualidad. (1 + 0,01370...)6 -1 VP = 10.000.000 x –––––––––––––––– 0,01370... VP = 62.092.977,56 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor futuro y de nuevo valor futuro: Cálculo del valor futuro de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

10000000 6

Tasa de interés (i)

1,3700332596%

Valor futuro (vf)

$62.092.977,56

Cuando se le aplique valor futuro a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor futuro de toda anualidad cae siempre conjuntamente con su última cuota, es decir, en el periodo 18 y se requiere del transmilenio financiero para trasladar el valor hasta el periodo 24, así: (1 + 0,01370...)6 -1 VF = 10.000.000 x –––––––––––––––– x (1,01370...)6 0,01370...

Herramientas de evaluación

VF = 62.092.977,56 x (1,01370...)6 VF = 67.375.192,67 O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP) Tiempo (n)

62.092.978 6

Tasa de interés (i)

1,370033260%

Valor futuro (VF)

$67.375.192,67

Elemento 4: es una anualidad de $15.000.000 a la que se le puede aplicar valor futuro de una anualidad. (1 + 0,01370...)6 -1 VP = 15.000.000 x –––––––––––––––– 0,01370... VP = 93.139.466,34 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor futuro y de nuevo valor futuro: Cálculo del valor futuro de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

15000000 6

Tasa de interés (i)

1,3700332596%

Valor futuro (vf)

$93.139.466,34

Cuando se le aplique valor futuro a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor futuro de toda anualidad cae siempre conjuntamente con su





Matemáticas financieras para las niif

última cuota, es decir, en el periodo 24; por lo tanto, no se requiere del transmilenio financiero. Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: (1 + 0,01370...)6 -1 (1 + 0,01370...)6 -1 X = 5.000.000 x ––––––––––––––– x (1,01370...)18 + 8.000.000 x –––––––––––––––– x (1,01370...)12 + 0,01370... 0,01370... Elemento 1

Elemento 2

(1 + 0,01370...)6 -1 (1 + 0,01370...)6 -1 10.000.000 x ––––––––––––––– x (1,01370...)6 + 15.000.000 x ––––––––––––––– 0,01370... 0,01370... Elemento 3 Elemento 4

Es decir: X = 39.662.957,28 + 58.485.410,3 + 67.375.192,67 + 93.139.466,34 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Elemento 4 X =

$258.663.026,6

Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo lo primero que se debe hacer es plantear el flujo de caja teniendo en cuenta que en los periodos en que no hay valores monetarios debemos rellenar con ceros (A1:B26); después se pega la tasa de interés del 1,370033260%E bimestral en una celda (E2). Como comentamos anteriormente, no existe una función en la hoja de cálculo que sea capaz de trasladar un flujo de efectivo al futuro; sin embargo, es posible calcular el valor futuro de un flujo de la siguiente manera: Calculamos el valor presente del flujo mediante la utilización de la función VNA. La función pregunta la tasa y se selecciona la celda donde se encuentra la tasa (E2); pregunta valor 1 y en ese espacio se ingresa el rango de datos donde se encuentra el flujo de efectivo. Es aquí donde se encuentra la principal complicación, ya que la función VNA calcula el valor presente de un flujo un periodo antes del primer dato; razón por la cual se debe introducir el primer dato comenzando desde el periodo 1 y no desde el periodo cero (B3:B26). Al final de la fórmula sumamos el valor que se encuentra ubicado en el periodo cero (B2).

Herramientas de evaluación

El valor presente del flujo nos da como resultado $186.596.811,85, valor que se encuentra ubicado en el periodo cero. Resulta que, aunque no exista una función que pueda trasladar un flujo de efectivo al futuro, sí se puede enviar un único valor al futuro mediante la utilización de la función FX VF donde en tasa ingresaremos el 1,370033260%Ebimestral que se encuentra ubicado en (E2), en NPER ingresamos 24, ya que del periodo 0 al periodo 24 hay exactamente 24 bimestres y en VA ingresamos con signo negativo el valor presente del flujo, es decir, $186.596.811,85 (E8); en pago y en tipo no ingresamos ningún valor, y luego le damos aceptar.

Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 1, se ingresan los datos de la siguiente manera: Valor

n.º veces

FC0

0,00

1

FC1

5.000.000,00

6

FC2

8.000.000,00

6

FC3

10.000.000,00

6

FC4

15.000.000,00

6

En el FC0 se introduce el valor 0 y se repite solo una vez, así que en número de veces se introduce 1.





Matemáticas financieras para las niif

En el FC1 se introduce el valor 5.000.000 y se repite de seguido 6 veces. En el FC2 se introduce el valor 8.000.000 y se repite de seguido 6 veces. En el FC3 se introduce el valor 10.000.000 y se repite de seguido 6 veces. En el FC4 se introduce el valor 15.000.000 y se repite de seguido 6 veces. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, pegamos la tasa de interés y finalmente hacemos clic sobre el ícono VFN, que significa valor futuro neto, el cual busca llevar a pesos del futuro un flujo de efectivo.

Tasa de interés VPN

VFN

Pegar tasa

1,37003326%

Convertir tasa

258.663.026,60

Menú principal

TIR

Borrar

Respuesta: el valor de las reservas es de $258.663.026,6.

6 . 2 . 3 e l va l o r f u t u r o d e u n f l u j o c o n p e r i odo s i r r e g u l a r e s Ejemplo 6.9: una empresa presenta las siguientes facturas vencidas: Factura 1 con vencimiento el 15/04/2014 por un valor de $16.000.000. Factura 2 con vencimiento el 21/10/2014 por un valor de $24.000.000. Factura 3 con vencimiento el 30/05/2015 por un valor de $30.000.000. El día 08/09/2015 se llegó a un acuerdo con el acreedor y se pagarán las facturas teniendo en cuenta un interés moratorio del 1,4%EMa. Calcular el valor del único pago que cancelará totalmente las obligaciones.

Herramientas de evaluación

Solución: Se habla de un periodo irregular cuando los flujos de efectivo no tienen la misma periodicidad, es decir, cada flujo de efectivo se encuentra ubicado en fechas diferentes. Ya sabemos que a la luz de las niif no se puede sumar directamente el valor de los pagos y para determinar el valor de las obligaciones se deben sumar financiera y no matemáticamente. Podemos observar que la tasa se encuentra en términos de efectiva mensual anticipado y la periodicidad de los flujos se encuentra en fechas específicas; eso implica que por configuración de las herramientas empleadas en la hoja de cálculo tengamos que convertir la tasa del 1,4%EMa a EA; entonces: Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

1,400%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Anual

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

18,434169971%

Gráfica: Los elementos 1, 2 y 3 corresponden a las facturas vencidas que deben ser canceladas teniendo en cuenta los intereses moratorios en la fecha 08/09/2015.

Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

$ 16.000.000

$ 24.000.000

$ 30.000.000

15/04/2014

21/10/2014

30/05/2015

08/09/2015

Tasa del 1,4%EMa que equivale al 18,434169971%EA. X

Planteamiento manual: Trasladamos todos los valores al 08/09/2015 utilizando como tasa el 18,434169971% EA; razón por la cual la distancia entre fecha y fecha la





Matemáticas financieras para las niif

expresaremos en términos anuales; de esta forma, la tasa y el tiempo estarán expresados en términos de años y no tendremos corto circuito. Elemento 1: es un valor de $16.000.000 que se encuentra en el 15/04/2014 y debemos trasladarlo al 08/09/2015, razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. Utilizaremos base 365, ya que en esta es que se deben realizar las operaciones entre fechas en el entorno de las niif. Este cálculo se puede hacer de una forma sencilla colocando cada fecha en una celda de Excel y luego se realiza la resta entre ambas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 08/09/2015 15/04/2014 511,00 B1 - B2

Esto da como resultado 511 días; la celda B3 debe tener un formato de número, no de fecha. Ahora utilizamos el transmilenio financiero para avanzar 511 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 511/365. 16.000.000 x (1,18434169971)(511/365) Al resolver de forma manual el elemento 1 nos queda $20.276.258,14. Utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor futuro; los $16.000.000 se encuentran en el presente y debemos trasladarlos al valor futuro; por tanto: VDT

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP)

16.000.000

Tiempo (n) 511/365

1,40000

Tasa de interés (i)

18,434169971%

Valor futuro (VF)

$20.276.258,14

Herramientas de evaluación

Elemento 2: es un valor de $24.000.000 que se encuentra en el 21/10/2014 y debemos trasladarlo al 08/09/2015; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 08/09/2015 21/10/2014 322,00 B1 - B2

Esto da como resultado 322 días; la celda B3 debe tener un formato de número y no de fecha. Ahora utilizamos el transmilenio financiero para adelantar 322 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 322/365. 24.000.000 x (1,18434169971)(322/365) Al resolver de forma manual, el elemento 2 queda $27.863.268,85. O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP)

24.000.000

Tiempo (n) 322/365

0,88219

Tasa de interés (i)

18,434169971%

Valor futuro (VF)

$27.863.268,85

Elemento 3: es un valor de $30.000.000 que se encuentra en el 30/05/2015 y debemos trasladarlo al 08/09/2015, razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas.





Matemáticas financieras para las niif

1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 08/09/2015 30/05/2015 101,00 B1 - B2

Esto da como resultado 101 días; la celda B3 debe tener un formato de número, no de fecha. Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero para avanzar 322 días, pero como la tasa de interés se encuentra expresada en EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 101/365. 30.000.000 x (1,18434169971)(101/365) Al resolver de forma manual, el elemento 3 nos queda $31.437.880,02. O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor futuro

Valor presente (VP)

30.000.000

Tiempo (n) 101/365

0,27671

Tasa de interés (i)

18,434169971%

Valor futuro (VF)

$31.437.880,02

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: X = 16.000.000 x (1,18434169...)(511/365) + 24.000.000 x (1,18434169...)(322/365) + 30.000.000 x (1,18434169...)(101/365) Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3

Es decir: X = 20.276.258,14 + 27.863.268,85 + 31.437.880,02 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 X = $79.577.407,01

Herramientas de evaluación

Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo lo primero que se debe hacer es plantear el ejercicio teniendo en cuenta que se deben ingresar tanto las fechas en orden cronológico como los valores monetarios. Después se pega la tasa de interés, la cual debe estar expresada en términos efectivos anuales, es decir, 18,434169971%EA y la ubicamos en la celda (E2). No existe una función que calcule directamente el valor futuro de un flujo de efectivo con periodos irregulares, pero sí podemos calcular el valor presente convirtiéndolo en un solo valor con la función VNA NO PER y luego dicho valor se traslada al futuro utilizando la función VF. Primero calculamos el valor presente de un flujo de efectivo con periodos irregulares utilizando la hoja de cálculo mediante la función VNA NO PER. La función pregunta la tasa y se selecciona la celda donde se encuentra la tasa (E2) y pregunta valores; en ese espacio debemos ingresar el rango de datos donde se encuentra el flujo de efectivo, es decir, (B2:B5). Luego pregunta fechas; en ese espacio debemos ingresar el rango de datos donde se encuentran las fechas, es decir, (A2:A5), esto nos da un valor de $62.794.550,33 que se encuentra ubicado en el 15/04/2014 y que trasladaremos al 08/09/2015 utilizando la función VF. La función pregunta la tasa e introducimos (E2), pregunta el tiempo e introducimos (511/365), el cual expresamos en términos efectivos anuales para no tener corto circuito con la tasa que también se encuentra expresada en términos de efectiva anual y finalmente ingresamos como valor actual (E4) con signo negativo y que corresponde al valor presente del flujo de efectivo.





Matemáticas financieras para las niif

Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 2, que está diseñada para realizar cálculos que involucran fechas, e ingresamos los datos de la siguiente manera: Fecha DD/MM/AAAA

Valor

15/04/2014

16000000

21/10/2014

24000000

30/05/2015

30000000

08/09/2015

0

La primera fecha es la fecha en la que queremos realizar la valoración y luego se ingresan las otras fechas en orden cronológico con sus respectivos valores. Después de introducir y verificar que tanto las fechas como los valores sean los correctos, debemos pegar la tasa de interés que va a ser utilizada como tasa de descuento y que en esta aplicación debe ser ingresada siempre en términos efectivos anuales, luego hacemos clic sobre el ícono VFN, que significa valor futuro neto y lo que hace es trasladar un flujo de efectivo ubicado en fechas específicas en el futuro.

Tasa de interés EA

18,43416997%

VPN

VFN

TIR EA

Pegar tasa

Convertir tasa

79.577.407,02

Menú principal

Borrar

Respuesta: el valor del pago deberá ser de $79.577.407,01.

Herramientas de evaluación

6 . 2 . 4 e l va l o r f u t u r o d e u n f l u j o d e va l o r e s i n d i v i du a l e s c o n m  lt i p l e s ta s a s d e d e s c u e n t o Ejemplo 6.10: si se invirtió la suma de $12.000.000 en enero del año pasado, $19.000.000 en agosto del año pasado y $22.000.000 en junio de este año, valorar las inversiones en el mes de diciembre de este año suponiendo una rentabilidad promedio del 8%CMa hasta mayo del año pasado, 10%CT hasta diciembre del año pasado y 8%ES de ahí en adelante. Solución: La tasa de descuento se encuentra en términos nominal mensual anticipado, nominal trimestral y efectivo semestral; como la periodicidad de los flujos se encuentra en meses, se debe convertir la tasa a efectiva mensual: Lo que tengo Tasa

8,0000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Mensual

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

Lo que tengo Tasa

10,0000000%

0,671140940% Lo que quiero

Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Mensual

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

Lo que tengo Tasa

8,0000000%

0,826483761% Lo que quiero

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Mensual

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

1,290945696%





Matemáticas financieras para las niif

Gráfica: Todo ejercicio financiero parte de un flujo de caja que es una línea de tiempo, en la cual las inversiones se grafican para un lado y la valoración de esas inversiones se grafica para el otro, así que:

Elemento 1 $ 12.000.000

Elemento 2 $ 19.000.000

Elemento 3 $ 22.000.000 Fecha focal

ENE FEB MARABR MAYJUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC ENE FEB MARABR MAYJUN JUL AGO SEP OCT NOV DIC Tasa del 8%CMa que equivale al 0,67114093960%EM. Tasa del 10%CT que equivale al 0,82648376091%EM. Tasa del 8%ES que equivale al 1,29094569635%EM.

X

Planteamiento manual: Elemento 1: es una inversión de $12.000.000 que se encuentra ubicada en el mes de enero del año pasado y que debe valorarse a pesos de diciembre de este año. Por esta razón, el transmilenio financiero debe adelantar 4 estaciones utilizando una tasa del 0,67114093960%EM, luego adelanta 7 estaciones utilizando la tasa del 0,82648376091%EM y finalmente adelanta 12 estaciones utilizando la tasa del 1,29094569635%EM; así que: 12.000.000 x (1,006711409396)4 x (1,0082648376091)7 x (1,0129094569635)12 Al resolver la operación en forma manual, el elemento 1 nos queda $15.228.988,97. El transmilenio es simplemente una operación de valor del dinero en el tiempo, que puede ser resuelta en la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor futuro; los $12.000.000 se encuentran en el pasado y necesitamos llevarlos al futuro; así que:

Herramientas de evaluación

VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP)

12.000.000,00 4,00000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

0,671140940%

Valor futuro (VF)

$12.325.405,28

Luego: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP)

12.325.405,28 7,00000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

0,826483761%

Valor futuro (VF)

$13.056.403,44

Finalmente: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

13.056.403,44 12,00000

Tasa de interés (i)

1,290945696%

Valor futuro (VF)

$15.228.988,97

Elemento 2: es una inversión de $19.000.000 que se encuentra ubicada en el mes de agosto del año pasado y que debe valorarse a pesos de diciembre de este año; por esta razón, el transmilenio financiero debe adelantar 4 estaciones utilizando una tasa del 0,82648376091%EM y finalmente adelanta 12 estaciones utilizando la tasa del 1,29094569635%EM; así que: 19.000.000 x (1,0082648376091)4 x (1,0129094569635)12





Matemáticas financieras para las niif

Al resolver la operación en forma manual, el elemento 2 nos queda $22.903.381,08. O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP)

19.000.000,00 4,00000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

0,826483761%

Valor futuro (VF)

$19.635.957,71

Finalmente: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

19.635.957,71 12,00000

Tasa de interés (i)

1,290945696%

Valor futuro (VF)

$22.903.381,08

Elemento 3: es una inversión de $22.000.000 que se encuentra ubicada en el mes de junio de este año y que debe valorarse a pesos de diciembre de este año; razón por la cual utilizaremos el transmilenio financiero, el cual debe adelantar 6 estaciones con una tasa del 1,29094569635%EM; así que: 22.000.000 x (1,0129094569635)6 Al resolver la operación en forma manual, el elemento 3 nos queda $23.760.000. O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro:

niif,

valor del dinero en el

Herramientas de evaluación

VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

22.000.000,00 6,00000

Tasa de interés (i)

1,290945696%

Valor futuro (VF)

$23.760.000,00

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: X = 12.000.000 x (1,006711409396)4 x (1,0082648376091)7 x (1,0129094569635)12 + Elemento 1 19.000.000 x (1,0082648376091)4 x (1,0129094569635)12 + 22.000.000 x (1,0129094569635)6 Elemento 2 Elemento 3

Es decir: X = 15.228.988,97 + 22.903.381,08 + 23.760.000 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 X = $61.892.370,05 Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo no es práctica la solución de problemas con múltiples tasas de descuento ya que las funciones financieras con las que cuenta trabajan con una sola tasa de descuento y la única manera de resolver este tipo de problemas es por partes, tal y como se puede apreciar en el método manual. Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 3, que está diseñada para realizar cálculos que involucren flujos de efectivo con múltiples tasas de descuento, ingresamos los datos de la siguiente manera:





Matemáticas financieras para las niif

Valor

n.º veces

Tasa

FC0

12.000.000,00

1

0,6714094%

FC1

0,00

4

0,6714094%

FC2

0,00

2

0,82648376%

FC3

19.000.000,00

1

0,82648376%

FC4

0,00

4

0,82648376%

FC5

0,00

5

1,29094570%

FC6

22.000.000,00

1

1,29094570%

FC7

0,00

6

1,29094570%

En el FC0 se introduce el valor 12.000.000 que se encuentra en enero; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,67114093960%EM. En el FC1 se introduce el valor 0 que se encuentra de febrero a mayo; así que en número de veces se introduce 4, con una tasa de interés del 0,67114093960%EM. En el FC2 se introduce el valor 0 que se encuentra en junio y julio; así que en número de veces se introduce 2, con una tasa de interés del 0,82648376091%EM. En el FC3 se introduce el valor 19.000.000 que se encuentra en agosto; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,82648376091%EM. En el FC4 se introduce el valor 0 que se encuentra de septiembre a diciembre; así que en número de veces se introduce 4, con una tasa de interés del 0,82648376091%EM. En el FC5 se introduce el valor 0 que se encuentra de enero a mayo; así que en número de veces se introduce 5, con una tasa de interés del 1,29094569635%EM. En el FC6 se introduce el valor 22.000.000 que se encuentra en junio; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 1,29094569635%EM. En el FC7 se introduce el valor 0 que se encuentra de julio a diciembre; así que en número de veces se introduce 6, con una tasa de interés del 1,29094569635%EM.

Herramientas de evaluación

Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos pegar la tasa de interés y finalmente hacemos clic sobre el ícono VFN que significa valor futuro neto, el cual busca llevar a pesos del futuro un flujo de efectivo. VPN

VFN

Convertir tasa

61.892.370,05

Menú principal

Borrar

Respuesta: las inversiones se valoran en $61.892.370,05.

6 . 2 . 5 e l va l o r f u t u r o d e u n f l u j o c o n s e r i e s u n i f o r m e s y m  lt i p l e s ta s a s d e d e s c u e n t o Ejemplo 6.11: una compañía determinó realizar una reserva para reposición de activos desde hace 6 años en un fondo que reconoce un interés del 4%ESa durante los primeros dos años, donde la reserva es de $15.000.000 cada trimestre; 2,5%ETa durante los siguientes dos años, donde la reserva es de $20.000.000 cada trimestre; finalmente, 15%CM durante los últimos dos años, donde la reserva es de $25.000.000 cada trimestre. Valorar la reserva a pesos de hoy. Solución: La tasa de descuento se encuentra en términos efectivo semestre anticipado, efectivo trimestre anticipado y nominal mensual; como la periodicidad de las cuotas se encuentra en trimestres, se debe convertir la tasa a efectiva trimestral:





Matemáticas financieras para las niif

Lo que tengo Tasa

Lo que quiero

4,0000000%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Trimestral

Periodo

Semestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

Lo que tengo Tasa

2,06072616%

Lo que quiero

2,5000000%

Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Trimestral

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

Lo que tengo Tasa

2,564102564%

Lo que quiero

15,0000000%

Tipo

Efectiva

Tipo

Nominal

Periodo

Trimestral

Periodo

Mensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

3,797070312%

Gráfica: Todo ejercicio financiero parte de un flujo de caja que es una línea de tiempo, en la cual las reservas se grafican para un lado y la valoración de esas reservas se grafican para el otro; así que: Fecha focal

Elemento 1 $ 15.000.000 0

1

2

3

Elemento 3 $ 25.000.000

Elemento 2 $ 20.000.000 4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

Tasa del 4%ESa que equivale al 2,06207261597%ET. Tasa del 2,5%ETa que equivale al 2,5641025641%ET. Tasa del 15%CM que equivale al 3,7970703125%ET.

21

22

23

24 TRIMESTRES X

Herramientas de evaluación

Planteamiento manual: Elemento 1: es una anualidad de $5.000.000 a la que se le puede aplicar valor futuro de una anualidad. (1 + 0,0206207...)8 - 1 VP = 15.000.000 x –––––––––––––––––– 0,0206207... VP = $129.027.245,13 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor futuro y de nuevo valor futuro: Cálculo del valor futuro de una anualidad Cuota (p) Número de cuotas (n)

15.000.000 8

Tasa de interés (i)

2,0620726160%

Valor futuro (vf)

$129.027.245,13

Siempre que se le aplique valor futuro a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor futuro de toda anualidad cae siempre conjuntamente con su última cuota, es decir, en el periodo 8; por esta razón, el transmilenio financiero debe adelantar 8 estaciones utilizando una tasa del 2,5641025641%ET y finalmente adelanta 8 estaciones utilizando la tasa del 3,7970703125%ET hasta llegar a la fecha focal en el periodo 24; así que: (1 + 0,0206207...)8 -1 VF = 15.000.000 x ––––––––––––––––– x (1, 025641...)8 x (1,0379707...)8 0,0206207... VF = 129.027.245,13 x (1, 025641...)8 x (1,0379707...)8 VF = 212.875.295,79





Matemáticas financieras para las niif

O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP)

129.027.245,13 8,00000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

2,564102564%

Valor futuro (VF)

$157.995.420,51

Luego: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

157.995.420,51 8,00000

Tasa de interés (i)

3,797070312%

Valor futuro (VF)

$212.875.295,79

Elemento 2: es una anualidad de $8.000.000 a la que se le puede aplicar valor futuro de una anualidad. (1 + 0,025641...)8 - 1 VP = 20.000.000 x ––––––––––––––––– 0,025641... VP = 175.119.423,61 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor futuro y de nuevo valor futuro:

Herramientas de evaluación

Cálculo del valor futuro de una anualidad 20.000.000

Cuota (p) Número de cuotas (n)

8

Tasa de interés (i)

2,5641025641%

Valor futuro (vf)

$175.119.423,61

Siempre que se le aplique valor futuro a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor futuro de toda anualidad cae siempre conjuntamente con su última cuota, es decir, en el periodo 16; por esta razón, el transmilenio financiero debe adelantar 8 estaciones utilizando una tasa del 3,7970703125%ET hasta llegar a la fecha focal en el periodo 24; así que: (1 + 0,025641...)8 - 1 VF = 20.000.000 x ––––––––––––––––– x (1,0379707...)8 0,025641... VF = 175.119.423,61 x (1,0379707...)8 VF = 235.947.339,34 O también utilizando la calculadora financiera tiempo, interés compuesto, valor futuro: VDT

niif,

valor del dinero en el

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

175.119.423,61 8,00000

Tasa de interés (i)

3,797070312%

Valor futuro (VF)

$235.947.339,34

Elemento 3: es una anualidad de $10.000.000 a la que se le puede aplicar valor futuro de una anualidad.





Matemáticas financieras para las niif

(1 + 0,03797...)8 -1 VP = 25.000.000 x ––––––––––––––– 0,03797... VP = 228.696.746,32 O también utilizando la calculadora financiera niif, series uniformes (anualidad), valor futuro y de nuevo valor futuro: Cálculo del valor futuro de una anualidad 25.000.000

Cuota (p)

8

Número de cuotas (n) Tasa de interés (i)

3,7970703125%

Valor futuro (vf)

$228.696.746,32

Siempre que se le aplique valor futuro a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor futuro de toda anualidad cae siempre conjuntamente con su última cuota, es decir, en el periodo 24, justamente donde se encuentra la fecha focal; así que en esta ocasión no se requiere del transmilenio financiero. Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: (1 + 0,0206207...)8 - 1 X = 15.000.000 x –––––––––––––––––– x (1,025641...)8 x (1,0379707...)8 + 0,0206207... Elemento 1 (1 + 0,025641...)8 - 1 (1 + 0,03797...)8 -1 20.000.000 x ––––––––––––––––– x (1,0379707..)8 + 25.000.000 x ––––––––––––––– 0,025641... 0,03797... Elemento 2

Es decir: X = 212.875.295,79 + 235.947.339,34 + 228.696.746,32 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 X = $677.519.381,46

Elemento 3

Herramientas de evaluación

Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo no es práctica la solución de problemas con múltiples tasas de descuento ya que las funciones financieras con las que cuenta trabajan con una sola tasa de descuento y la única manera de resolver este tipo de problemas es por partes, tal y como se puede apreciar en el método manual. Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 3, que está diseñada para realizar cálculos que involucren flujos de efectivo con múltiples tasas de descuento, ingresamos los datos de la siguiente manera: Valor

n.º veces

Tasa

FC0

0,00

1

2,06207262%

FC1

15.000.000,00

8

2,06207262%

FC2

20.000.000,00

8

2,56410256%

FC3

25.000.000,00

8

3,79707031%

En el FC0 se introduce el valor 0 que se encuentra en el trimestre 0; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 2,06207261597%ET. En el FC1 se introduce el valor 15.000.000 que se encuentra desde el trimestre 1 hasta el 8; así que en número de veces se introduce 8, con una tasa de interés del 2,06207261597%ET. En el FC2 se introduce el valor 20.000.000 que se encuentra desde el trimestre 9 hasta el 16; así que en número de veces se introduce 2, con una tasa de interés del 2,56410256410%ET. En el FC3 se introduce el valor 25.000.000 que se encuentra desde el trimestre 17 hasta el 24; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 3,79707031250%ET. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos pegar la tasa de interés y finalmente hacemos clic sobre el ícono VFN que significa valor futuro neto, el cual busca llevar a pesos del futuro un flujo de efectivo.





Matemáticas financieras para las niif

VPN

VFN

Convertir tasa

677.519.381,46

Menú principal

Borrar

Respuesta: el valor de las reservas es de $677.519.381,46.

6 . 2 . 6 e l va l o r f u t u r o d e u n f l u j o c o n p e r i odo s i r r e g u l a r e s y m  lt i p l e s ta s a s d e d e s c u e n t o Ejemplo 6.12: una empresa presenta las siguientes facturas vencidas: Factura 1 con vencimiento el 22/08/2016 por un valor de $11.000.000. Factura 2 con vencimiento el 18/11/2016 por un valor de $16.000.000. Factura 3 con vencimiento el 13/08/2017 por un valor de $23.000.000. El día 25/05/2018 se acordó con el acreedor el pago de las facturas teniendo en cuenta un interés moratorio del 0,8%Ebimensual hasta el 20/09/2016, 3,7%Ebimestral hasta el 30/03/2017 y un 21%EAa de ahí en adelante. Calcular el valor del único pago que cancelará totalmente las obligaciones. Solución: Hablamos de un periodo irregular cuando los flujos de efectivo no tienen la misma periodicidad, es decir, cada flujo de efectivo se encuentra ubicado en fechas diferentes. Ya se sabe que a la luz de las niif no podemos sumar directamente el valor de los pagos y que para determinar el pago de las obligaciones se deben sumar financiera y no matemáticamente. Podemos observar que las tasas se encuentran en términos efectivo bimensual, efectivo bimestral y efectivo anual anticipado; la idea es trabajar con el tiempo en años, es decir que para no tener corto circuito podemos

Herramientas de evaluación

convertir la tasa a efectiva diaria en una base 365 ya que en esta es que trabajan las niif; así que: Lo que tengo Tasa

0,8000000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Diaria B365

Periodo

Bimensual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

Lo que tengo Tasa

3,7000000%

0,052407172%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Diaria B365

Periodo

Bimenstral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

Lo que tengo Tasa

21,0000000%

0,059741557%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Diaria B365

Periodo

Anual

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Anticipada

Resultado

0,064602320%

Gráfica: Los elementos 1, 2 y 3 corresponden a las facturas vencidas que deben ser canceladas teniendo en cuenta los intereses moratorios en la fecha 25/05/2018.





Matemáticas financieras para las niif

Fecha focal Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

$ 11.000.000

$ 16.000.000

$ 23.000.000

22/08/2016

20/09/2016

18/11/2016

30/03/2017

13/08/2017

25/05/2018

Tasa del 0,8%Ebimensual que equivale al 0,052407172...%E diario base 365. Tasa del 3,7%Ebimestral que equivale al 0,059741557...%E diario base 365.

X

Tasa del 21%EAa que equivale al 0,06460231955425...%E diario base 365.

Planteamiento manual: Elemento 1: es un valor de $11.000.000 que se encuentra en el 22/08/2016 y debemos trasladarlo al 20/09/2016 con una tasa del 0,052407172%E diaria base 365 y luego lo trasladamos del 20/09/2016 al 30/03/2017 con una tasa del 0,0597415575% E diaria base 365 y finalmente del 30/03/2017 al 25/05/2018 con una tasa del 0,0646023196%E diaria base 365. Debemos calcular el número de días que hay entre estas fechas. 1 2 3 4

1 2 3 4

1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 20/09/2016 22/08/2016 29,00 B1 - B2

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 30/03/2017 20/09/2016 191,00 B1 - B2

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 25/05/2018 30/03/2017 421,00 B1 - B2

Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero del 0,052407172%E diaria base 365 para adelantar 29 días, 0,0597415575% E diaria base 365 para

Herramientas de evaluación

adelantar 191 días y 0,0646023196%E diaria base 365 para adelantar 421 días; así que: 11.000.000 x (1,00052407172)29 x (1,000597415575)191 x (1,000646023196)421 Al resolver de forma manual, el elemento 1 nos queda: $16.429.025,65. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor futuro, entonces: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP)

11.000.000,00 29,00000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

0,052407172%

Valor futuro (VF)

$11.168.411,28

Luego: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP)

11.168.411,28 191,00000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

0,059741557%

Valor futuro (VF)

$12.517.925.73

Finalmente: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

12.517.925,73 421,00000

Tasa de interés (i)

0,064602320%

Valor futuro (VF)

$16.429.025,65





Matemáticas financieras para las niif

Elemento 2: es un valor de $16.000.000 que se encuentra en el 18/11/2016 y debemos trasladarlo al 30/03/2017 con una tasa del 0,0597415575% E diaria base 365 y del 30/03/2017 al 25/05/2018 con una tasa del 0,0646023196%E diaria base 365. Debemos calcular el número de días que hay entre estas fechas. 1 2 3 4

1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 30/03/2017 18/11/2016 132,00 B1 - B2

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 25/05/2018 30/03/2017 421,00 B1 - B2

Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero del 0,0597415575% E diaria base 365 para adelantar 132 días y 0,0646023196%E diaria base 365 para adelantar 421 días; así que: 16.000.000 x (1,000597415575)132 x (1,000646023196)421 Al resolver de forma manual, el elemento 2 nos queda $ 22.721.508,42. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor futuro, entonces: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

16.000.000,00 132,00000

Tasa de interés (i)

0,059741557%

Valor futuro (VF)

$17.312.417,73

Herramientas de evaluación

Luego: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP)

17.312.417,73 421,00000

Tiempo (n) Tasa de interés (i)

0,064602320%

Valor futuro (VF)

$22.721.508,42

Elemento 3: es un valor de $23.000.000 que se encuentra en el 13/08/2017 y debemos trasladarlo al 25/05/2018 con una tasa del 0,0646023196%E diaria base 365. Debemos calcular el número de días que hay entre estas fechas. A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

1 2 3 4

B 25/05/2018 13/08/2017 285,00 B1 - B2

Ahora debemos utilizar el transmilenio financiero del 0,0646023196% E diaria base 365 para adelantar 285 días; así que: 23.000.000 x (1,000646023196)285 Al resolver de forma manual, el elemento 3 nos queda: $ 27.647.944,37. Si utilizamos la calculadora financiera niif, valor del dinero en el tiempo, interés compuesto, valor futuro, entonces: VDT

cálculo de valor futuro compuesto

Valor presente (VP) Tiempo (n)

23.000.000,00 285,00000

Tasa de interés (i)

0,064602320%

Valor futuro (VF)

$27.647.944,37





Matemáticas financieras para las niif

Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: X = 11.000.000 x (1,00052407172)29 x (1,000597415575)191 x (1,000646023196)421 + Elemento 1 16.000.000 x (1,000597415575)132 x (1,000646023196)421 + 23.000.000 x (1,000646023196)285 Elemento 2 Elemento 3

Es decir: X = 16.429.025,65 + 22.721.508,42 + 27.647.944,37 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 X = $66.798.478,44 Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo no es práctica la solución de problemas con múltiples tasas de descuento ya que las funciones financieras con las que cuenta trabajan con una sola tasa de descuento y la única manera de resolver este tipo de problemas es por partes, tal y como se puede apreciar en el método manual. Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 3, que está diseñada para realizar cálculos que involucren flujos de efectivo con múltiples tasas de descuento, ingresamos el flujo de caja con flujos de efectivo diarios:

Herramientas de evaluación

Valor

n.º veces

Tasa

FC0

11.000.000,00

1

0,05240717%

FC1

0,00

29

0,05240717%

FC2

0,00

58

0,05974156%

FC3

16.000.000,00

1

0,05974156%

FC4

0,00

132

0,05974156%

FC5

0,00

135

0,06460232%

FC6

23.000.000,00

1

0,06460232%

FC7

0,00

285

0,06460232%

Le recomiendo que observe la gráfica del ejercicio para que pueda comprender la forma como se deben ingresar los valores en el flujo de caja. En el FC0 se introduce el valor 11.000.000 que se encuentra en la fecha 22/08/2016; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,05240717%E diario base 365. En el FC1 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 23/08/2016 hasta el 20/09/2016; así que: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 20/09/2016 23/08/2016 28,00 B1 - B2

A los 28 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1; así que en número de veces se introduce 29, con una tasa de interés del 0,05240717%E diario base 365. En el FC2 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 21/09/2016 hasta el 17/11/2016; así que: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 17/11/2016 21/09/2016 57,00 B1 - B2





Matemáticas financieras para las niif

A los 57 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1; así que en número de veces se introduce 58, con una tasa de interés del 0,05974155748%E diario base 365. En el FC3 se introduce el valor 16.000.000 que se encuentra en la fecha 18/11/2016; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,05974155748%E diario base 365. En el FC4 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 19/11/2016 hasta el 30/03/2017; así que: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 30/03/2017 19/11/2016 131,00 B1 - B2

A los 131 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1; así que en número de veces se introduce 132, con una tasa de interés del 0,05974155748%E diario base 365. En el FC5 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 31/03/2017 hasta el 12/08/2017; así que: 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 12/08/2017 31/03/2017 134,00 B1 - B2

A los 134 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1; así que en número de veces se introduce 135, con una tasa de interés del 0,06460231955%E diario base 365. En el FC6 se introduce el valor 23.000.000 que se encuentra en la fecha 13/08/2017; así que en número de veces se introduce 1, con una tasa de interés del 0,06460231955%E diario base 365. En el FC7 se introduce el valor 0; este valor se repite desde el 31/03/2017 hasta el 12/08/2017; así que:

Herramientas de evaluación

1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 25/05/2018 14/08/2017 284,00 B1 - B2

A los 284 días que hay entre estas dos fechas se le suma 1; así que en número de veces se introduce 285, con una tasa de interés del 0,06460231955%E diario base 365. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos hacer clic sobre el ícono VPN que significa valor presente neto y que hace lo mismo que la función VNA (valor actual neto), con la diferencia que podemos utilizar varias tasas de descuento; sin embargo, el objetivo es el mismo, traer a pesos de hoy un flujo de efectivo. VPN

VFN

Convertir tasa

66.798.478,44

Menú principal

Borrar

Respuesta: las obligaciones serán canceladas con un único pago de $66.798.478,44.

6 . 3 l a ta s a d e i n t e r  s e n u n a r e l a c i  n d e f l u j o s d e e f e c t i vo Este cálculo se realiza con una frecuencia intermedia en las operaciones matemáticas niif; sin embargo, su nivel de complejidad en los cálculos manuales hace necesario dominar la técnica utilizando la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif. El cálculo de esta tasa es lo que se conoce en la literatura de las normas como tasa efectiva y es pilar fundamental del concepto del costo amortizado.





Matemáticas financieras para las niif

6 . 3 . 1 l a ta s a d e i n t e r  s e n u n a r e l a c i  n d e f l u j o s i n d i v i du a l e s Ejemplo 6.13. Valor actual de un pasivo: la compra de un vehículo fue valorada en $45.000.000 y fue financiada directamente por el concesionario mediante un pago de $15.000.000 efectuado el día de hoy, un pago de $20.000.000 en 2 años y un pago de $25.000.000 en 5 años. Calcular la tasa de descuento efectiva anual a la que se valoró el pasivo. Solución: Para este tipo de ejercicio la incógnita es la tasa; debemos realizar el planteamiento gráfico e igualar la parte superior con la parte inferior de la gráfica en un mismo punto, mediante la utilización del transmilenio financiero, cuya incógnita será precisamente la tasa de interés. Como el valor del vehículo es de $45.000.000, pero se debe pagar una cuota inicial de $15.000.000, el valor a financiar será de $30.000.000. Gráfica: La deuda de $30.000.000 se grafica hacia abajo, mientras que los pagos de $20.000.000 en el año 2 y de $25.000.000 en el año 5 se grafican hacia arriba. Elemento 2 Elemento 1

$ 25.000.000

$ 20.000.000

0

1

2

3

4

5 AÑOS

Tasa = ? $ 30.000.000 Elemento 3

Planteamiento manual: Elemento 1: es un pago de $20.000.000 que se encuentra ubicado en el año 2 y que debe trasladarse a pesos de hoy, es decir, en el año 0.

Herramientas de evaluación

Para poder mover un valor monetario a través del tiempo, utilizaremos el transmilenio financiero, pero como en este ejercicio la incógnita es la tasa, el elemento 1 se plantea de la siguiente manera: 20.000.000 x (1 + X)-2 Elemento 2: es un pago de $25.000.000 que se encuentra ubicado en el año 5 y que debe trasladarse a pesos de hoy, es decir, en el año 0. Para poder mover un valor monetario a través del tiempo, utilizaremos el transmilenio financiero, pero como en este ejercicio la incógnita es la tasa, el elemento 2 se plantea de la siguiente manera: 25.000.000 x (1 + X)-5 Elemento 3: es un pasivo de $30.000.000 que se encuentra ubicado en el año 0, razón por la cual este valor no hay que trasladarlo a ningún lado y el elemento 3 simplemente corresponde a un valor de $30.000.000. Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: 20.000.000 x (1 + X)-2 + 25.000.000 x (1 + X)-5 = 30.000.000 Elemento 1 Elemento 2 Elemento 3 Ahora debemos despejar la incógnita X, lo cual resulta ser prácticamente imposible con métodos algebraicos tradicionales, razón por la cual debemos utilizar un método llamado interpolación. La interpolación es un método que sirve para despejar una variable que con el álgebra no se puede despejar; el primer paso de la interpolación consiste en dejar uno de los 2 lados de la ecuación en cero, es decir: 20.000.000 x (1 + X)-2 + 25.000.000 x (1 + X)-5 - 30.000.000 = 0 El siguiente paso consiste en estimar varias posibles respuestas y reemplazarlas en la ecuación de tal manera que al desarrollarla obtengamos una respuesta positiva y otra negativa; las posibles respuestas para este ejercicio podrían ser por ejemplo 5%, 10% y 15%; reemplazaremos cada una de estas tasas en la ecuación y analizaremos los resultados.





Matemáticas financieras para las niif

Reemplazamos con una tasa del 5% en la ecuación: 20.000.000 x (1 + 0,05)-2 + 25.000.000 x (1 + 0,05)-5 - 30.000.000 = ? 18.140.589,57 + 19.588.154,16 – 30.000.000 = ? = 7.728.743,73 Al reemplazar el 5% en la ecuación, no nos dio cero, nos dio 7.728.743,73; eso significa que 5% no es la respuesta; así que probaremos con otra tasa. Reemplazamos con una tasa del 10% en la ecuación: 20.000.000 x (1 + 0,10)-2 + 25.000.000 x (1 + 0,10)-5 - 30.000.000 = ? 16.528.925,62 + 15.523.033,07 – 30.000.000 = ? = 2.051.958,69 Al reemplazar el 10% en la ecuación no nos dio cero, nos dio 2.051.958,69; eso significa que 10% no es la respuesta; sin embargo, el resultado se acerca más a cero que cuando utilizamos el 5%. La idea no es probar y probar hasta que nos dé cero, sino hasta que obtengamos una respuesta con signo positivo y otra con signo negativo, y hasta el momento tanto la tasa del 5% como la del 10% arrojaron resultados con signo positivo; así que reemplazaremos el 15% en la ecuación para ver qué sucede. Reemplazamos con una tasa del 15% en la ecuación: 20.000.000 x (1 + 0,15)-2 + 25.000.000 x (1 + 0,15)-5 - 30.000.000 = ? 15.122.873,34 + 12.429.418,34 – 30.000.000 = ? = -2.447.708,27 Al reemplazar el 15% en la ecuación, no nos dio cero, nos dio -2.447.708,27; eso significa que 15% tampoco es la respuesta; sin embargo, ya tenemos una tasa que al reemplazarla en la ecuación la respuesta es negativa; si tengo varios resultados positivos y varios negativos trabajaremos con los que más

Herramientas de evaluación

se acerquen a cero, es decir, trabajaremos con la tasa del 10% y 15%; así que desecharemos la del 5% por ser el resultado que más se aleja de cero. El próximo paso consiste en desarrollar el siguiente esquema: 0,1 ➜ 2.051.958,69 X ➜ 0 0,15 ➜ -2.447.708,27 Con 10% el resultado fue 2.051.958,69, con el 15% el resultado fue -2.447.708,27, pero si tuviésemos la repuesta correcta el resultado debería ser cero. Para poder obtener X, es decir, la tasa que al ser reemplazada en el planteamiento nos dé como resultado cero, debemos seguir el siguiente esquema: A

➜ C

X

➜ 0

B

➜ D

Entonces: A-X C-0 ––––– = –––––– A-B C-D Donde la idea es despejar la X de la ecuación anterior. Ahora resolveremos el ejercicio utilizando el esquema antes mencionado: 0,10 ➜ 2.051.958,69 X

➜ 0

0,15 ➜ -2,447,708,27





Matemáticas financieras para las niif

Entonces: 0,10 - X 2.051.958,69 - 0 ––––––––– = –––––––––––––––––––––––– 0,10 - 0,15 2.051.958,69 - -2.447.708,27 Despejamos X: 0,10 - X 2.051.958,69 ––––––––– = ––––––––––– - 0,05 4.499.666,96 0,10 - X ––––––––– = 0,45602 - 0,05 0,10 - X = 0,45602 x -0,05 0,10 - X = -0,02280 X = 0,10 + 0,0228 X = 0,1228 Al despejar la X la respuesta nos da 0,1228, es decir, 12,28% EA. La respuesta siempre será efectiva y en este caso anual porque la escala en la que se desarrolló el ejercicio se encuentra en términos de años. Los resultados obtenidos mediante un proceso de interpolación suelen ser un poco inexactos y todo depende de que los datos positivos y negativos no se alejen mucho de cero. Vamos a reemplazar el 12,28% en la ecuación para ver si la respuesta nos da cero: 20.000.000 x (1 + 0,1228)-2 + 25.000.000 x (1 + 0,1228)-5 - 30.000.000 = ? 15.864.456,11 + 14.009.672,68 – 30.000.000 = ? = -125.871,19

Herramientas de evaluación

Al reemplazar la tasa del 12,28% en la ecuación la respuesta se acercó más a cero, pero no es exacta; si nosotros quisiéramos calcular un resultado más exacto, deberíamos realizar una segunda interpolación. Ya sabemos que al reemplazar el 12,28% en la ecuación, el desarrollo nos dio -125.871,19; ahora requerimos de otra tasa que al reemplazarla en la ecuación nos dé un número positivo; podríamos probar con una tasa del 12%. Reemplazamos una tasa del 12% en la ecuación: 20.000.000 x (1 + 0,12)-2 + 25.000.000 x (1 + 0,12)-5 - 30.000.000 = ? 15.943.877,55 + 14.185.671,39 – 30.000.000 = ? = 129.548,94 Al reemplazar el 12% en la ecuación, aunque la respuesta no nos dio cero, tenemos nuevamente un resultado positivo y otro negativo muy cercano a cero; por tal razón, el resultado de esta segunda interpolación va a ser más exacto. 0,12 ➜ 129.548,94 X

➜ 0

0,1228 ➜ -125.871,19 Entonces: 0,12 - X 129.548,94 - 0 ––––––––––– = –––––––––––––––––––– 0,12 - 0,1228 129.548,94 - -125.871,19 Despejamos X: 0,12 - X 129.548,94 ––––––––––– = ––––––––––– 0,1228 255,420,13





Matemáticas financieras para las niif

0,12 - X ––––––––––– = 0,50720 0,1228 0,12 - X = 0,50720 x - 0,0028 0,12 - X = -0,0014 X = 0,12 + 0,0014 X = 0,1214 Al despejar la X la respuesta nos da 0,1214, es decir, 12,14% EA. La respuesta siempre será efectiva y en este caso anual porque la escala en la que se desarrolló el ejercicio se encuentra en términos de años. Los resultados obtenidos mediante una segunda interpolación son casi exactos y no se justifica reemplazar la tasa en la ecuación y mucho menos realizar una tercera interpolación. La tasa a la cual nos financia el concesionario es del 12,14% EA. Como puede observar, el cálculo de la tasa mediante un proceso manual es largo y engorroso, razón por la cual resolver este tipo de ejercicios utilizando la hoja de cálculo y la calculadora financiera niif resulta ser una mejor opción. Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo, lo primero que se debe hacer es plantear el flujo de caja teniendo en cuenta que el valor del préstamo se introduce con signo negativo en el periodo 0 y que los pagos se introducen con signo positivo en los periodos 2 y 5. En los periodos en donde no hay valores monetarios debemos rellenar con ceros (B4:C9). Debemos calcular la tasa del flujo mediante la utilización de la función FX TIR. La función pregunta los valores y se seleccionan las celdas donde se encuentra el flujo de efectivo (C4:C9) y después pregunta estimar, donde no se introduce ningún valor. Cuando hacemos clic en aceptar debemos tener presente que la respuesta debe ir con formato de porcentaje y que siempre debemos ajustar la respuesta con varios decimales, ya que esta función siempre redondea la respuesta.

Herramientas de evaluación

Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 1, ingresamos los datos de la siguiente manera: Valor

n.º veces

FC0

-30.000.000,00

1

FC1

0,00

1

FC2

20.000.000,00

1

FC3

0,00

2

FC4

25.000.000,00

1

En el FC0 se introduce el valor -30.000.000 y se repite solo una vez, así que en número de veces se introduce 1. En el FC1 se introduce el valor 0 y se repite de seguido 1 vez. En el FC2 se introduce el valor 20.000.000 y se repite de seguido 1 vez. En el FC3 se introduce el valor 0 y se repite de seguido 2 veces. En el FC4 se introduce el valor 25.000.000 y se repite de seguido 1 vez. Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos hacer clic sobre el ícono TIR que significa tasa interna de retorno, la cual busca calcular la tasa en una relación de flujos de efectivo.





Matemáticas financieras para las niif

Pegar tasa

Tasa de interés VPN

Convertir tasa

VFN

Menú principal

TIR

12,142%

Borrar

Respuesta: el valor de la tasa de descuento fue del 12,14%EA. La tasa siempre será efectiva, vencida y en la misma periodicidad de los flujos de efectivo; al observar la gráfica, la escala se encuentra en años, razón por la cual la tasa queda expresada en términos efectivos anuales.

6 . 3 . 2 l a ta s a d e i n t e r  s e n u n a r e l a c i  n de series uniformes Ejemplo 6.14. Valor actual de un activo: un activo financiero garantiza un flujo de efectivo de $8.000.000 cada 3 meses durante los primeros 2 años y $12.000.000 cada 3 meses durante los siguientes 2 años. Si el activo financiero es valorado el día de hoy por $115.000.000, calcular la tasa efectiva anual a la que fue descontado el activo. Solución: Para poder calcular la tasa debemos tener presente que los flujos de efectivo se encuentran en una escala trimestral y que como los valores se repiten estamos hablando de una anualidad de 8 cuotas trimestrales de $8.000.000 y otra anualidad de 8 cuotas trimestrales de $12.000.000. Gráfica: Realizamos el planteamiento gráfico mediante la utilización de un flujo de caja, en el cual los flujos de efectivo que genera el título se grafican para un lado y el valor al que fue valorado se grafica para el otro:

Herramientas de evaluación

Elemento 2 $ 12.000.000 Elemento 1 $ 8.000.000

0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16 TRIMESTRES

Tasa = ? $ 115.000.000 Elemento 3

Planteamiento manual: Elemento 1: es una anualidad de $8.000.000 a la que se le puede aplicar valor presente de una anualidad. 1 - (1 + X)-8 VP = 8.000.000 x –––––––––– X Siempre que se le aplique valor presente a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor presente de toda anualidad cae siempre un periodo antes de su primera cuota; como la primera cuota se encuentra ubicada en el periodo 1, el valor presente cae en el periodo 0 y no se requiere de transmilenio financiero. Elemento 2: es una anualidad de $12.000.000 a la que se le puede aplicar valor presente de una anualidad. 1 - (1 + X)-8 VP = 12.000.000 x ––––––––––– X Siempre que se le aplique valor presente a una anualidad se debe tener en cuenta que el valor presente de toda anualidad cae siempre un periodo antes de su primera cuota; como la primera cuota se encuentra ubicada en el periodo 9, el valor presente cae en el periodo 8, es decir que se requiere de un transmilenio financiero para desplazar el valor al periodo 0, así: 1 - (1 + X)-8 VP = 12.000.000 x ––––––––––– x (1 + X)-8 X





Matemáticas financieras para las niif

Elemento 3: es un único valor de $115.000.000 que se encuentra ubicado en el periodo 0 y no se requiere de transmilenio financiero. Si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: 1 - (1 + X)-8 1 - (1 + X)-8 8.000.000 x –––––––––– + 12.000.000 x ––––––––––– x (1 + X)-8 = 115.000.000 X X Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Ahora debemos despejar la incógnita X, lo que resulta prácticamente imposible con métodos algebraicos tradicionales, razón por la cual debemos utilizar el método de interpolación. La interpolación es un método que sirve para despejar una variable que con el álgebra no se puede despejar; el primer paso de la interpolación consiste en dejar uno de los 2 lados de la ecuación en cero, es decir: 1 - (1 + X)-8 1 - (1 + X)-8 8.000.000 x –––––––––– + 12.000.000 x ––––––––––– x (1 + X)-8 - 115.000.000 = 0 X X

El siguiente paso consiste en estimar varias posibles respuestas y reemplazarlas en la ecuación de tal manera que al desarrollarla obtengamos una respuesta positiva y otra negativa; las posibles respuestas para este ejercicio podrían ser por ejemplo 1%, 3% y 5%. En el ejemplo 5.7 utilizamos unas tasas mayores, ya que la escala del flujo de efectivo se encontraba en términos de años, pero en este caso como la escala del flujo se encuentra en trimestres utilizamos unas tasas menores. Reemplazamos con una tasa del 1% en la ecuación: 1 - (1 + 0,01)-8 1 - (1 + 0,01)-8 8.000.000 x –––––––––––– + 12.000.000 x ––––––––––––– x (1 + 0,01)-8 - 115.000.000 = ? 0,01 0,01 61.213.422,01 + 84.794.352,33 – 115.000.000 = ? = 31.007.774,34

Herramientas de evaluación

Al reemplazar el 1% en la ecuación, no nos dio cero sino 31.007.774,34; eso significa que 1% no es la respuesta, así que probaremos con otra tasa. Reemplazamos con una tasa del 3% en la ecuación: 1 - (1 + 0,03)-8 1 - (1 + 0,03)-8 8.000.000 x –––––––––––– + 12.000.000 x ––––––––––––– x (1 + 0,03)-8 - 115.000.000 = ? 0,03 0,03 56.157.537,51 + 66.496.918,03 – 115.000.000 = ? = 7.654.455,55

Al reemplazar el 3% en la ecuación, no nos dio cero sino 7.654.455,55; eso significa que 3% no es la respuesta; sin embargo, el resultado se acerca más a cero que cuando utilizamos 1%. Recuerde que la idea no es probar y probar hasta que nos dé cero, sino hasta que obtengamos una respuesta con signo positivo y otra con signo negativo. Hasta el momento tanto la tasa del 1% como la del 3% arrojaron resultados con signo positivo, así que reemplazaremos el 5% en la ecuación para ver qué sucede. Reemplazamos con una tasa del 5% en la ecuación: 1 - (1 + 0,05)-8 1 - (1 + 0,05)-8 8.000.000 x –––––––––––– + 12.000.000 x ––––––––––––– x (1 + 0,05)-8 - 115.000.000 = ? 0,05 0,05 51.705.702,07 + 52.494.681,61 – 115.000.000 = ? = -10.799.616,31

Al reemplazar el 5% en la ecuación, no nos dio cero sino -10.799.616,31, eso significa que 5% tampoco es la respuesta; sin embargo, ya tenemos una tasa que, al reemplazarla en la ecuación, la respuesta es negativa; si tenemos varios resultados positivos y varios negativos, trabajaremos con los que más se acerquen a cero. Utilizamos las tasas de 3% y 5%, así que desechamos la del 1% por ser el resultado que más se aleja de 0. El siguiente paso consiste en desarrollar este esquema:





Matemáticas financieras para las niif

0,03 ➜ 7.654.455,55 X ➜ 0 0,05 ➜ -10.799.616,31 Con 3% el resultado fue 7.654.455,55, con 5% el resultado fue -10.799.616,31, pero si tuviésemos la repuesta correcta el resultado debería ser cero. Para poder obtener X, es decir, la tasa que al ser reemplazada en el planteamiento nos dé como resultado cero, debemos seguir el siguiente esquema: A

➜ C

X

➜ 0

B

➜ D

Entonces: A-X C-0 ––––– = –––––– A-B C-D Donde la idea es despejar la X de la ecuación anterior. Ahora resolveremos el ejercicio utilizando el esquema antes mencionado: 0,03 ➜ 7.654.455,55 X

➜ 0

0,05 ➜ -10.799.616,31 Entonces: 0,03 - X 7654455,55 - 0 ––––––––– = –––––––––––––––––––––– 0,03 - 0,05 7654455,55 - -1079616,31

Herramientas de evaluación

Despejamos X: 0,03 - X 7654455,55 ––––––– = ––––––––––– - 0,02 18454071,86 0,03 - X ––––––– = 0,41478 - 0,02 0,03 - X = 0,41478 x -0,02 0,03 - X = -0,0083 X = 0,03 + 0,0083 X = 0,0383 Al despejar la X, la respuesta nos da 0,0383, es decir, 3,83% ET. La respuesta siempre será efectiva y en este caso trimestral porque la escala en la que se desarrolló el ejercicio se encuentra en términos de trimestres. Los resultados obtenidos mediante un proceso de interpolación suelen ser un poco inexactos y todo depende de que los datos positivos y negativos no se alejen mucho de cero. Vamos a reemplazar el 3,83% en la ecuación para ver si la respuesta nos da cero: 1 - (1 + 0,0383)-8 1 - (1 + 0,0383)-8 8.000.000 x –––––––––––––– + 12.000.000 x –––––––––––––– x (1 + 0,0383)-8 - 115.000.000 = ? 0,0383 0,0383 54.242.077,28 + 60.234.421 – 115.000.000 = ? = -523.501,7

Al reemplazar la tasa del 3,83% en la ecuación, la respuesta se acercó más a cero, pero no es exacta; si queremos calcular un resultado más exacto, deberíamos realizar una segunda interpolación.





Matemáticas financieras para las niif

Ya sabemos que al reemplazar el 3,83% en la ecuación, el desarrollo nos dio -523.501,7; ahora requerimos otra tasa que al reemplazarla en la ecuación nos dé un número positivo; podríamos probar con una tasa del 3,5%. Reemplazamos una tasa del 3,5% en la ecuación: 1 - (1 + 0,035)-8 1 - (1 + 0,035)-8 8.000.000 x –––––––––––––– + 12.000.000 x –––––––––––––– x (1 + 0,035)-8 - 115.000.000 = ? 0,035 0,035 54.991.644,29 + 62.641.935,25 – 115.000.000 = ? = 2.633.579,55

Al reemplazar el 3,5% en la ecuación, aunque la respuesta no nos dio cero, tenemos nuevamente un resultado positivo y otro negativo muy cercano a cero, por tal razón el resultado de esta segunda interpolación va a ser más exacto. 0,035 ➜ 2.633.579,55 X

➜ 0

0,0383 ➜ -523.501,70 Entonces: 0,035 - X 2633579,55 - 0 –––––––––––– = –––––––––––––––––––– 0,035 - 0,0383 2633579,55 - -523501,7 Despejamos X: 0,035 - X 2633579,55 –––––––– = ––––––––––– - 0,0033 3157081,25

Herramientas de evaluación

0,035 - X –––––––– = 0,834182 - 0,0033 0,035 - X = 0,834182 x -0,0033 0,035 X = -0,00275 X = 0,035 + 0,0027 X = 0,0377 Al despejar la X, la respuesta nos da 0,0377, es decir, 3,77% ET. La respuesta siempre será efectiva y en este caso trimestral porque la escala en la que se desarrolló el ejercicio se encuentra en términos de trimestres; sin embargo, la tasa la piden efectiva anual, razón por la cual realizamos la conversión de la tasa, lo que nos da como respuesta 15,96%EA. Lo que tengo Tasa

3,7700000%

Lo que quiero Tipo

Efectiva

Tipo

Efectiva

Periodo

Anual

Periodo

Trimestral

Ven / Ant

Vencida

Ven / Ant

Vencida

Resultado

15,954409060%

Los resultados obtenidos mediante una segunda interpolación son casi exactos y no se justifica remplazar la tasa en la ecuación y mucho menos realizar una tercera interpolación. La tasa a la cual descontaron el activo es del 15,96% EA. Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo, lo primero que se debe hacer es plantear el flujo de caja teniendo en cuenta que el valor al que se vendió el documento se introduce con signo negativo en el periodo 0 y que los flujos de efectivo que genera el título se introducen con signo positivo desde el periodo 1 al 16.





Matemáticas financieras para las niif

Debemos calcular la tasa del flujo mediante la función FX TIR. La función pregunta los valores y se seleccionan las celdas donde se encuentra el flujo de efectivo (C4:C20) y después pide estimar dónde no se introduce ningún valor. Cuando hacemos clic en aceptar debemos tener presente que la respuesta debe ir con formato de porcentaje y que siempre debemos ajustar la respuesta con varios decimales, ya que esta función siempre redondea la respuesta.

La tasa a la cual descontaron el activo es del 3,77%ET que equivale al 15,96% EA. Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 1, ingresamos los datos de la siguiente manera: Valor

n.º veces

FC0

-115.000.000,00

1

FC1

8.000.000,00

8

FC2

12.000.000,00

8

En el FC0 se introduce el valor -115.000.000 y se repite solo una vez, así que en número de veces se introduce 1. En el FC1 se introduce el valor 8.000.000 y se repite de seguido 8 veces. En el FC2 se introduce el valor 12.000.000 y se repite de seguido 8 veces.

Herramientas de evaluación

Después de introducir y verificar que el flujo de caja se encuentre con los valores correctos, debemos hacer clic sobre el ícono TIR, que significa tasa interna de retorno, la cual busca calcular la tasa en una relación de flujos de efectivo.

Pegar tasa

Tasa de interés VPN

Convertir tasa

VFN

Menú principal

TIR

3,77%

Borrar

Respuesta: la tasa a la cual descontaron el activo es del 3,77%ET que equivale al 15,96% EA.

6 . 3 . 3 l a ta s a d e i n t e r  s e n u n a r e l a c i  n de flujos irregulares Ejemplo 6.15: el 27/04/2017 se deposita la suma de $14.000.000 en un fondo de inversión, el 06/08/2017 se deposita la suma de $22.000.000 y el 13/12/2017 se deposita la suma de $25.000.000. Dichas inversiones fueron retiradas el 27/08/2018 por un valor de $65.000.000. Calcular la tasa efectiva anual a la cual rentaron las inversiones. Solución: Hablamos de un flujo de efectivo irregular cuando los valores monetarios no tienen la misma distancia entre ellos, es decir, cada flujo de efectivo se encuentra ubicado en fechas distintas. Ya se sabe que a la luz de las niif no podemos sumar directamente el valor de las diferentes inversiones, ya que debemos considerar el concepto del valor del dinero en el tiempo.





Matemáticas financieras para las niif

Gráfica: Los elementos 1, 2 y 3 corresponden a las inversiones realizadas y el elemento 4 corresponde al retiro de las inversiones.

Elemento 1 $ 14.000.000

27/04/2017

Elemento 2 $ 22.000.000

06/08/2017

Elemento 3 $ 25.000.000

13/12/2017

27/08/2018

Tasa = ? $ 65.000.000 Elemento 4

Planteamiento manual: Todos los valores los trasladamos al 27/08/2018 y como el objetivo es calcular la tasa efectiva anual, la distancia entre fecha y fecha la expresaremos en términos anuales; de esta forma, la tasa y el tiempo estarán expresados en términos de años y no tendremos corto circuito. Elemento 1: es un valor de $14.000.000 que se encuentra en el 27/04/2017 y debemos trasladarlo al 27/08/2018; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. Utilizaremos base 365, ya que es en esta que se deben realizar las operaciones entre fechas en el entorno de las niif. Este cálculo se puede hacer de una forma sencilla colocando cada fecha en una celda de Excel y luego se realiza la resta entre ellas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 27/08/2018 27/04/2017 487,00 B1 - B2

Esto da como resultado 487 días; la celda B3 debe tener un formato de número, no de fecha. Ahora debemos utilizar un transmilenio financiero desconocido para adelantar 487 días, pero como la tasa de interés la queremos efectiva anual, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 487/365.

Herramientas de evaluación

14.000.000 x (1 + x)(487/365) Elemento 2: es un valor de $22.000.000 que se encuentra en el 06/08/2017 y debemos trasladarlo al 27/08/2018; razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 27/08/2018 06/08/2017 386,00 B1 - B2

Esto da como resultado 386 días. Ahora debemos utilizar un transmilenio financiero desconocido para adelantar 386 días, pero, como la tasa de interés la queremos EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 386/365. 22.000.000 x (1 + x)(386/365) Elemento 3: es un valor de $25.000.000 que se encuentra en el 13/12/2017 y debemos trasladarlo al 27/08/2018, razón por la cual calculamos el número de días que hay entre esas dos fechas. 1 2 3 4

A Fecha 1 Fecha 2 Días base 365

B 27/08/2018 13/12/2017 257,00 B1 - B2

Esto da como resultado 257 días. Ahora debemos utilizar un transmilenio financiero desconocido para adelantar 386 días, pero, como la tasa de interés la queremos EA, el tiempo se debe expresar en términos anuales, es decir, 257/365. 25.000.000 x (1 + x)257/365)





Matemáticas financieras para las niif

Elemento 4: es un valor de $65.000.000 que se encuentra justamente en el 27/08/2018, así que no lo trasladamos a ningún lado. Los elementos 1, 2 y 3 debemos igualarlos con el elemento 4; si unimos todos los elementos, el planteamiento queda de la siguiente manera: 14.000.000 x (1 + X)(487/365) + 22.000.000 x (1 + X)(386/365) + 25.000.000 x (1 + X)(257/365) = 65.000.000 Elemento 1

Elemento 2

Elemento 3

Elemento 4

Ahora despejamos la incógnita X utilizando el método de interpolación. El primer paso de la interpolación consiste en dejar 1 de los 2 lados de la ecuación en cero, es decir: 14.000.000 x (1 + X)(487/365) + 22.000.000 x (1 + X)(386/365) + 25.000.000 x (1 + X)(257/365) - 65.000.000 = 0

El paso siguiente consiste en estimar varias posibles respuestas y reemplazarlas en la ecuación, de tal manera que al desarrollarla obtengamos una respuesta positiva y otra negativa; las respuestas para este ejercicio podrían ser, por ejemplo, 5%, 10% y 15%. Reemplazamos con una tasa del 5% en la ecuación: 14.000.000 x (1 + 0,05)(487/365) + 22.000.000 x (1 + 0,05)(386/365) + 25.000.000 x (1 + 0,05)(257/365) - 65.000.000 = ? 14.941.692,19 + 23.164.935,23 + 25.873.763,09 – 65.000.000 = ? = -1.019.609,48

Al reemplazar el 5% en la ecuación, no nos dio cero, nos dio -1.019.609,48; eso significa que 5% no es la respuesta, así que probaremos con otra tasa. Reemplazamos con una tasa del 10% en la ecuación: 14.000.000 x (1 + 0,10)(487/365) + 22.000.000 x (1 + 0,10)(386/365) + 25.000.000 x (1 + 0,10)(257/365) - 65.000.000 = ? 15.898.497,54 + 24.333.067,61 + 26.735.295,9 - 65.000.000 = ? = 1.966.861,05

Al reemplazar el 10% en la ecuación, no nos dio cero, nos dio 1.966.861,05; eso significa que, aunque el 10% tampoco es la respuesta, ya tenemos un resultado positivo y otro negativo, es decir que la respuesta se encuentra entre

Herramientas de evaluación

5% y 10%. No vale la pena intentar con la tasa del 15%, ya que al remplazar este número en la ecuación el resultado se alejará demasiado del cero. El próximo paso consiste en desarrollar este esquema: 0,05 ➜ -1.019.609,48 X ➜ 0 0,1 ➜ 1.966.861,05 Con 5% el resultado fue -1.019.609,48, con 10% el resultado fue 1.966.861,05, pero si tuviésemos la repuesta correcta el resultado debería ser cero. Para poder obtener X, es decir, la tasa que al ser reemplazada en el planteamiento nos dé como resultado cero, debemos seguir el esquema siguiente: A

➜ C

X

➜ 0

B

➜ D

Entonces: A-X C-0 ––––– = –––––– A-B C-D Donde la idea es despejar la X de la ecuación anterior. Ahora resolveremos el ejercicio utilizando el esquema antes mencionado: 0,05 ➜ -1.019.609,48 X

➜ 0

0,1

➜ 1.966.861,05





Matemáticas financieras para las niif

Entonces: 0,05 - X -1019609,48 –––––––––––– = –––––––––––––––––––– 0,05 - 0,10 -1019609,48 -1966861,05 Despejamos X: 0,05 - X -1019609,48 –––––––– = ––––––––––– -0,05 -2986470,53 0,05 - X –––––––– = 0,341410 - 0,05 0,05 - X = 0,341410 x -0,05 0,05 X = -0,01707 X = 0,05 + 0,01707 X = 0,06707 Al despejar la X, la respuesta nos da 0,06707, es decir, 6,707% EA. La respuesta siempre será efectiva y en este caso anual porque la escala en la que se desarrolló el ejercicio se encuentra en términos de años al tomar el número de días y dividirlo entre 365. Los resultados obtenidos mediante un proceso de interpolación suelen ser un poco inexactos; todo depende de que los datos positivos y negativos no se alejen mucho de cero. Vamos a reemplazar el 6,707% en la ecuación para ver si la respuesta nos da cero: 14.000.000 x (1 + 0,06707)(487/365) + 22.000.000 x (1 + 0,06707)(386/365) + 25.000.000 x (1 + 0,06707)(257/365) - 65.000.000 = ? 15.266.670,4 + 23.563.383,35 + 26.169.227,76 – 65.000.000 = ? = -718,48

Herramientas de evaluación

Al reemplazar la tasa del 6,707% en la ecuación, la respuesta nos dio -718,48, que es un valor muy cercano a cero y como las cifras del flujo de caja se encuentran en términos de millones, no se justifica realizar una segunda interpolación, ya que el desajuste solamente implicaría cambios en las milésimas de la tasa. Por lo tanto, la tasa a la cual rentaron las inversiones es del 6,707% EA. Planteamiento con hoja de cálculo: En una hoja de cálculo lo primero que se hace es plantear el ejercicio teniendo en cuenta que se deben ingresar tanto las fechas en orden cronológico como los valores monetarios. Para calcular una tasa de interés cuando tenemos un flujo de caja irregular, es decir, cuando se manejan flujos de caja ubicados en fechas específicas y que la distancia entre flujo y flujo no es la misma, utilizamos la función TIR NO PER. La función pregunta valores; en ese espacio ingresamos el rango de datos donde se encuentra el flujo de efectivo, es decir, (B2:B5). Luego pregunta fechas; en ese espacio ingresamos el rango de datos donde se encuentran las fechas, es decir, (A2:A5). En estimar no se introduce ningún valor. Al hacer clic en aceptar debemos tener presente que la respuesta debe ir con formato de porcentaje y que siempre se ajusta la respuesta con varios decimales, ya que esta función siempre redondea la respuesta.





Matemáticas financieras para las niif

Cuando se utiliza la función FX TIR NO.PER, el resultado siempre estará dado en términos efectivos anuales; por tanto, la respuesta es 6,708%EA. Planteamiento con calculadora financiera niif: Utilizando la calculadora financiera niif, flujos de caja y flujo de caja 2, que está diseñada para realizar cálculos que involucran fechas, ingresamos los datos de la siguiente manera: Fecha DD/MM/AAAA

Valor

27/04/2017

14.000.000

06/08/2017

22.000.000

13/12/2017

25.000.000

27/08/2018

-65.000.000

Las fechas se introducen en orden cronológico con sus respectivos valores. Después de introducir y verificar que tanto las fechas como los valores sean los correctos, hacemos clic sobre el ícono TIR que significa tasa interna de retorno y que hace lo mismo de la función TIR NO.PER, la cual busca calcular la tasa efectiva anual en una relación de flujos de efectivo que se encuentren ubicados en fechas específicas.

Herramientas de evaluación

Pegar tasa

Tasa de interés EA VPN

Convertir tasa

VFN

Menú principal

TIR EA

6,7082036133%

Borrar

Cuando se utiliza el flujo de caja 2 de la calculadora financiera niif, el resultado de la tir siempre estará dado en términos efectivos anuales. Respuesta: la tasa a la cual rentaron las inversiones fue del 6,708% EA.





Matemáticas financieras para las niif

ejercicios propuestos captulo 6 h e r r a m i e n ta s d e e va l u a c i  n e l va l o r p r e s e n t e d e u n f l u j o d e e f e c t i vo 1. Valor actual de un activo: una empresa realiza una venta a plazos mediante un primer pago de $8.000.000 en 1 mes, $12.000.000 en 6 meses y $15.000.000 en 10 meses. Calcular el valor del registro de la venta a pesos de hoy suponiendo una tasa de descuento del 6%ES. Respuesta: la venta se debe registrar por un valor de $32.855.215,61. 2. Valor actual de un activo: un título genera un flujo de efectivo de $2.000.000 cada bimestre; dicho flujo permanece constante, pero cada 2 años se incrementa en $500.000. Valorar el título si su vencimiento es exactamente en 6 años, suponiendo una tasa de descuento del 9%EA. Respuesta: el valor del título es de $68.174.357,30. 3. Valor actual de un pasivo: hoy 17/02/2016 se realiza una compra que será pagada a plazos de la siguiente manera: El 26/10/2016 la suma de $6.000.000. El 12/04/2017 la suma de $8.500.000. El 23/11/2017 la suma de $11.000.000. El 03/03/2018 la suma de $14.000.000. Calcular el valor de registro de la compra el día de hoy suponiendo una tasa de descuento del 0,8%EMa. Respuesta: el valor de la compra es de $33.998.407,71. 4. Valor actual de un activo financiero: un documento financiero estipula el pago de $4.800.000 en 3 meses, $7.600.000 en 10 meses, $9.300.000 en año y medio, $12.800.000 en 22 meses y $15.000.000 en dos años y medio. Valorar el documento suponiendo una tasa de descuento del 0,9% EMa hasta el

Herramientas de evaluación

mes 7, 0,4%E bimensual hasta completar el año, 15%EA hasta el mes 19, 3,3%ETa hasta el mes 27 y de ahí en adelante la tasa es del 2,2% Ebimestral. Respuesta: el valor del documento es de $40.784.682,20. 5. Valor actual de un pasivo financiero: valorar una deuda si hacen falta por pagar 60 cuotas mensuales. Durante el primer año se deben cuotas mensuales fijas por un valor de $7.700.000; estas cuotas permanecen constantes en el año, pero de un año a otro se incrementan en un 6,8%. Suponga una tasa de interés del 1%EMa para el primer año, 17%Cbimensual para el segundo año, 16%Cbimestral para el tercer año, 4,8%ETa para el cuarto año y 20%CSa para el quinto año. Respuesta: el valor de la deuda es de $360.122.966,86. 6. Valor actual de un activo: hoy 15/04/2018 se realiza una venta que será pagada a plazos de la siguiente manera: El 15/04/2018 la suma de $12.000.000. El 27/10/2018 la suma de $15.000.000. El 30/06/2019 la suma de $19.000.000. El 23/11/2019 la suma de $23.000.000. El 19/09/2020 la suma de $25.000.000. El 13/05/2021 la suma de $27.500.000. Calcular el valor al que se debe registrar la venta el día de hoy 15/04/2018, suponiendo una tasa de descuento del 12%CS hasta el 29/03/2019, del 14%CM hasta el 24/05/2020 y del 17%CTa de ahí en adelante. Respuesta: la venta se debe registrar por un valor de $96.999.953,03.

e l va l o r f u t u r o d e u n f l u j o d e e f e c t i vo 1. Si se debía la suma de $3.000.000 en abril del año antepasado, $7.000.000 en marzo del año pasado y $9.000.000 en junio de este año, calcular las deudas en el mes de diciembre de este año suponiendo una tasa de interés moratorio del 17%CS.





Matemáticas financieras para las niif

Respuesta: el valor de las deudas es de $ 23.713.589,96. 2. El tesorero de una empresa planea ahorros de 12 cuotas mensuales de $4.500.000 durante el primer año empezando el primero de ellos el día de hoy, 12 cuotas mensuales de $6.000.000 durante el segundo año, 12 cuotas mensuales de $8.000.000 durante el tercer año, 12 cuotas mensuales de $10.000.000 durante el cuarto año y 12 cuotas mensuales de $15.000.000 durante el quinto año. Calcular el valor ahorrado el final del quinto año suponiendo que los recursos rentan el 2,5% ETa. Nota: observe que el primer ahorro se efectuó el día de hoy, es decir, en el periodo cero; eso significa que la anualidad es anticipada. Respuesta: el valor ahorrado es de $643.478.689,94. 3. Una empresa tiene los siguientes compromisos: Compromiso 1 con vencimiento el 11/02/2015 por un valor de $5.500.000. Compromiso 2 con vencimiento el 30/06/2015 por un valor de $7.000.000. Compromiso 3 con vencimiento el 08/12/2015 por un valor de $9.500.000. Compromiso 4 con vencimiento el 22/03/2016 por un valor de $11.000.000. Estos compromisos fueron renegociados a una tasa de interés del 23% N bimestral mediante un único pago efectuado el 17/07/2016. Calcular el valor del pago con el cual se cancelarán todos los compromisos. Respuesta: el valor a pagar es de $39.189.106,38. 4. Un fallo judicial ordenó el pago el día de hoy de las siguientes deudas: $120.000.000 de hace 15 años, $210.000.000 de hace 9 años y $250.000.000 de hace 3 años. Valorar las deudas suponiendo un interés remuneratorio del 1,3%EM durante los últimos 5 años, 1,8%EM durante los siguientes 5 años y 2,1%EM durante los otros 5 años. Respuesta: El valor a pagar es de $4.114.571.403,38.

Herramientas de evaluación

5. Un exsocio solicita un préstamo a la empresa de $500.000 cada bimestre durante el primer año, $1.000.000 cada bimestre durante el segundo año, $1.500.000 cada bimestre durante el tercer año. Un año después del último desembolso el socio se retira de la sociedad y acuerda realizar un cruce de cuentas. Valorar la cuenta por cobrar al exsocio suponiendo una tasa remuneratoria del 18%EA durante el primer año, 22%EA durante el segundo, 24%EA durante el tercero y 25%EA durante el cuarto año. Respuesta: el pago realizado por el exsocio debió ser de $28.532.329,86. 6. Una empresa realizó las siguientes inversiones: Inversión 1 realizada el 14/03/2014 por un valor de $20.000.000. Inversión 2 realizada el 30/07/2015 por un valor de $24.000.000. Inversión 3 realizada el 18/04/2016 por un valor de $30.000.000. Inversión 4 realizada el 21/01/2017 por un valor de $36.000.000. Valorar las inversiones el día 15/05/2019 teniendo en cuenta una tasa de interés del 10%CSa hasta el 13/01/2015, 3,1%ETa hasta el 20/12/2015, 13%CM hasta el 27/11/2016, 16%EA hasta el 31/07/2018 y 2,6% Ebimestral de ahí en adelante. Respuesta: el valor de las inversiones a 15/05/2019 es de $179.252.424,32.

l a ta s a d e i n t e r  s e n u n a r e l a c i  n d e f l u j o s d e e f e c t i vo 1. Valor actual de un activo: una venta se registró el día de hoy por un valor de $45.000.000, pero este valor será pagado mediante un cheque al día por un valor de $20.000.000, un cheque de $12.000.000 para pago en 4 meses y otro cheque de $15.000.000 para pago en 6 meses. Calcular la tasa efectiva anual de descuento que se utilizó para registrar la venta. Respuesta: la tasa que se cobró fue del 1,519…%EM que equivale al 19,836…%EA.





Matemáticas financieras para las niif

2. Valor actual de un pasivo: una obligación es valorada en $95.000.000; aún queda pendiente el pago de cuotas semestrales de $12.000.000 durante los próximos 5 años, cuotas semestrales de $15.000.000 durante los siguientes 5 años y cuotas semestrales de $18.000.000 durante los últimos 5 años. Calcular la tasa de descuento efectiva mensual que se utilizó para valorar la obligación. Respuesta: la tasa de descuento fue del 13,349..%ES que equivale al 2,11…%EM. 3. Valor actual de un activo: el 15/10/2015 se valoró un título financiero por $15.000.000. El título generaba el siguiente flujo de efectivo: El 28/02/2016 la suma de $3.500.000. El 11/08/2016 la suma de $4.500.000. El 13/03/2017 la suma de $5.000.000. El 17/01/2018 la suma de $6.000.000. Calcular la tasa de descuento efectiva trimestral con la que se valoró el título. Respuesta: la tasa de descuento es del 19,88…%EA que equivale al 4,6377…%ET.

bibliografa Sampayo, L. (2016). Manual de operaciones financieras. Bogotá: Universidad Externado de Colombia. Sampayo, L. (2016). Taller de operaciones financieras. Bogotá: Universidad Externado de Colombia.



Editado por el Departamento de Publicaciones de la Universidad Externado de Colombia en agosto de 18 Se compuso en caracteres Ehrhardt Regular de 2 puntos y se imprimió sobre Bond Bahía de 7 gramos Bogotá (Colombia) Post tenebras spero lucem