Maschinenelemente 1 [2., verb. und erw. Aufl.] 9783486593457

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Oldenbourg Lehrbücher für Ingenieure Herausgegeben von Prof. Dr.-Ing.Helmut Geupel

Maschinenelemente 1 von Prof. Dr. Hubert Hinzen

2., verbesserte und erweiterte Auflage

Oldenbourg Verlag München Wien

Prof. Dr. Hubert Hinzen studierte an der RWTH Aachen und promovierte dort über die „Funktionsfähigkeit und Gebrauchsdauer von Klemmkörperfreiläufen im Schaltbetrieb“. Anschließend leitete er bei einem Nürnberger Unternehmen ein knappes Jahrzehnt die Entwicklung und Optimierung von Schleifmaschinen für die Halbleiterindustrie. 1994 wurde er als Professor für die Fächer Maschinenelemente und Werkzeugmaschinen an die Fachhochschule Trier berufen. Neben seiner Lehrtätigkeit in Trier und am „Institut Universitaire de Technologie de Bourgogne“ in Dijon beschäftigt er sich mit vielfältigen Problemen der Antriebstechnik und des Werkzeugmaschinenbaus und widmet sich mit Vorliebe der Optimierung von Reifen für den Straßenradrennsport.

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© 2007 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Kathrin Mönch Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Gesamtherstellung: Druckhaus „Thomas Müntzer“ GmbH, Bad Langensalza ISBN 978-3-486-58081-5

Inhalt Vorwort.................................................................................................................................. XI Einleitung ............................................................................................................................XIII Literatur ...........................................................................................................................XVIII 0 0.1 0.1.1 0.1.1.1 0.1.1.2 0.1.1.3 0.1.1.4 0.1.2 0.1.2.1 0.1.2.2 0.1.2.3 0.1.2.4 0.1.2.5

Grundlagen der Festigkeitslehre ............................................................................ 1 Normalspannung (B) .................................................................................................. 2 Zug und Druck (B) ..................................................................................................... 2 Zug- und Druckspannung (B)..................................................................................... 2 Werkstoffverhalten bei Zug und Druck (B) ............................................................... 3 Sicherheitsnachweis (B) ........................................................................................... 10 Spannungs-Dehnungsverhalten von Verbundwerkstoffen (E)................................. 11 Biegung (B) .............................................................................................................. 12 Biegespannung (B) ................................................................................................... 12 Flächen- und Widerstandsmomente genormter Profile(B) ...................................... 17 Axiales Flächenmoment und Widerstandsmoment eines Rechtecks Wax (B) ......... 20 Axiales Flächenmoment und Widerstandsmoment weiterer Grundmuster (B) ....... 21 Axiales Flächenmoment und Widerstandsmoment zusammengesetzter Querschnitte (E) ....................................................................................................... 23 0.1.2.6 Querschnittsoptimierung eines Biegebalkens (V).................................................... 26 0.1.2.7 Balken gleicher Biegefestigkeit (E) ......................................................................... 31 0.2 0.2.1 0.2.2 0.2.3 0.2.3.1 0.2.3.2 0.2.3.3 0.3 0.3.1 0.3.2 0.3.3 0.4 0.4.1 0.4.2 0.5

Tangentialspannung (B) ........................................................................................... 32 Querkraftschub (B)................................................................................................... 32 Werkstoffverhalten bei Schub (B)............................................................................ 34 Torsion (B) ............................................................................................................... 35 Torsionsschub (B) .................................................................................................... 35 Polares Widerstandsmoment Wpol (B) ...................................................................... 38 Querschnittsoptimierung Torsion (V) ...................................................................... 40 Knickung (V)............................................................................................................ 41 Elastische Knickung (V) .......................................................................................... 41 Plastische Knickung (V)........................................................................................... 47 Einspannbedingungen (V)........................................................................................ 49 Anhang ..................................................................................................................... 50 Literatur .................................................................................................................... 50 Normen ..................................................................................................................... 51 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre............................................................. 52

VI

Inhalt

1

Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit........................................................................ 71

1.1

Überlagerung von Spannungszuständen (B) ............................................................ 71

1.2 1.2.1

Zeitlich veränderliche Belastung (B) ....................................................................... 74 Modellfälle zeitlich veränderlicher Beanspruchung (B) .......................................... 75

1.3

Darstellung des Belastungszustandes im Smith-Diagramm (B) .............................. 77

1.4 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.5 1.4.6

Belastung von Achsen und Wellen (B) .................................................................... 78 Lagerung von Achsen (B) ........................................................................................ 78 Lagerung von Wellen (B)......................................................................................... 80 Lagerung mit einem einzigen Lager (B) .................................................................. 84 Fest-Los-Lagerung (B) ............................................................................................. 85 Umlaufbiegung (B)................................................................................................... 86 Achsen und Wellen gleicher Biegefestigkeit (E) ..................................................... 87

1.5

Werkstoffkundlich zulässige Belastung bei zeitlich veränderlicher Beanspruchung (E) ................................................................................................... 89 1.5.1 Betriebsfestigkeit (E)................................................................................................ 89 1.5.2 Dauerfestigkeitskennwerte (E) ................................................................................. 90 1.5.3 Darstellung der zulässigen Bauteilbelastung im Smith-Diagramm (E) .................. 93 1.5.3.1 Erste Verkleinerung durch Größeneinfluß (E) ......................................................... 95 1.5.3.2 Zweite Verkleinerung durch Kerbwirkungszahl und Oberflächenbeiwert (E) ....... 97 1.6

Festigkeitsnachweis bei zeitlich veränderlicher Belastung (E).............................. 104

1.7

Vordimensionierung (V) ........................................................................................ 108

1.8 1.8.1 1.8.2

Anhang ................................................................................................................... 109 Literatur .................................................................................................................. 109 Normen................................................................................................................... 110

1.9

Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit ...................................................... 113

2

Federn und weitere elastische Bauteilverformungen........................................ 135

2.1 2.1.1 2.1.1.1 2.1.1.2 2.1.1.3 2.1.2 2.1.3 2.1.4

Grundbegriffe (B)................................................................................................... 137 Federsteifigkeit (B)................................................................................................. 137 Steifigkeit einer Modellfeder (B) ........................................................................... 138 Federkennlinie (B).................................................................................................. 140 Zusammenschalten mehrerer Federn (B) ............................................................... 141 Belastbarkeit von Federn (B) ................................................................................. 144 Federungsarbeit (B) ................................................................................................ 145 Federreibung (Hysterese) (B)................................................................................. 146

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.2.1 2.2.2.2 2.2.2.3

Einige Bauformen metallischer Federn (B)............................................................ 148 Drehstabfeder (B) ................................................................................................... 150 Schraubenfeder als Zug-/Druckfeder (B) ............................................................... 154 Belastbarkeit (B)..................................................................................................... 154 Steifigkeit (B) ......................................................................................................... 157 Parametervariation Schraubenfeder (E) ................................................................. 160

Inhalt

VII

2.2.2.4 2.2.3 2.2.3.1 2.2.3.2 2.2.3.3 2.2.3.4 2.2.3.5 2.2.3.6 2.2.4 2.2.4.1 2.2.4.2 2.2.5 2.2.6 2.2.6.1 2.2.6.2

Knickgefährdung (V) ............................................................................................. 162 Biegefeder (B) ........................................................................................................ 163 Biegebalken einzeln (B) ......................................................................................... 163 Parallel und hintereinander geschaltete Biegebalken (V) ...................................... 170 Unsymmetrisch belasteter Biegebalken (V)........................................................... 172 Abgestufter Biegebalken (V).................................................................................. 175 Schenkelfeder mit starren Schenkeln (E) ............................................................... 179 Schenkelfeder mit elastischen Schenkeln (V) ........................................................ 182 Ringfeder (E) .......................................................................................................... 183 Ansatz reibungsfrei (E) .......................................................................................... 184 Ansatz reibungsbehaftet (E) ................................................................................... 188 Tellerfeder (E) ........................................................................................................ 192 Teilplastische Verformung metallischer Federn (V).............................................. 195 Vorrecken einer Biegefeder (V) ............................................................................. 196 Vorrecken einer Drehstabfeder (V)........................................................................ 198

2.3

Feder und Dämpfer (V) .......................................................................................... 200

2.4

Feder als Bestandteil eines schwingungsfähigen Systems (V) .............................. 204

2.5 2.5.1 2.5.2

Einige Bauformen nicht-metallischer Federn (V) .................................................. 210 Gasfeder (V) ........................................................................................................... 210 Gummifedern (V) ................................................................................................... 214

2.6 2.6.1 2.6.2 2.6.3

Federbauformen und Federwerkstoffe im Vergleich (E) ....................................... 217 Formnutzzahl (E).................................................................................................... 217 Werkstoffeignung (V) ............................................................................................ 223 Die Feder mit dem maximalen Arbeitsaufnahmevermögen (V)............................ 225

2.7 2.7.1 2.7.2

Anhang ................................................................................................................... 226 Literatur .................................................................................................................. 226 Normen ................................................................................................................... 227

2.8

Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen ........................... 229

3

Verbindungselemente und Verbindungstechniken ........................................... 253

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.4.1 3.1.4.2 3.1.4.3

Nieten (B) ............................................................................................................... 253 Querkraftschub eines einzelnen kaltgeschlagenen Niets (B) ............................... 255 Lochleibungsdruck eines einzelnen kaltgeschlagenen Niets (B) .......................... 256 Zulässige Werkstoffbelastung eines kaltgeschlagenen Niets (B) ......................... 257 Lastverteilung auf mehrere Nieten (B)................................................................... 257 Querkraftbelastete Nietverbindung (B) .................................................................. 258 Momentenbelastete Nietverbindung (B) ................................................................ 259 Überlagerung von Querkraft- und Momentenbelastung (B) .................................. 261

3.2

Stifte (E) ................................................................................................................. 263

3.3 3.3.1

Löten (E)................................................................................................................. 265 Löttemperatur (E) ................................................................................................... 266

VIII

Inhalt

3.3.2 3.3.3 3.3.4

Lötverfahren (E) ..................................................................................................... 266 Festigkeitsberechnung von Lötverbindungen (E) .................................................. 268 Gestaltung von Lötverbindungen (E) ..................................................................... 268

3.4

Kleben (E) .............................................................................................................. 271

3.5 3.5.1 3.5.2 3.5.3 3.5.3.1 3.5.3.2 3.5.4 3.5.4.1 3.5.4.2 3.5.4.3 3.5.4.4 3.5.5 3.5.6

Schweißen (E) ........................................................................................................ 274 Schweißverfahren (E)............................................................................................. 275 Schweißbarkeit der Werkstoffe (V) ....................................................................... 276 Nahtformen (E)....................................................................................................... 277 Stumpfnaht (E) ....................................................................................................... 277 Kehlnaht (E) ........................................................................................................... 278 Festigkeitsberechnung von Schweißverbindungen (E) .......................................... 280 Tatsächliche Spannungen (E)................................................................................. 280 Zulässige Spannungen (E)...................................................................................... 287 Zulässige Spannung bei statischer Belastung (E)................................................... 288 Zulässige Spannung bei dynamischer Belastung (V)............................................. 288 Eigenspannungen (E) ............................................................................................. 294 Gestaltung von Schweißverbindungen (E)............................................................. 296

3.6 3.6.1 3.6.2

Anhang ................................................................................................................... 302 Literatur .................................................................................................................. 302 Normen ................................................................................................................... 303

3.7

Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken............................... 305

4

Schrauben.............................................................................................................. 321

4.1

Geometrie der Schraube (B)................................................................................... 322

4.2 4.2.1 4.2.2 4.2.3 4.2.4

Kräfte und Momente beim Anziehen der Schraube (B)......................................... 326 Modellvorstellung reibungsfrei (B)........................................................................ 326 Gewindereibung (B) ............................................................................................... 327 Kopfreibung (B) ..................................................................................................... 331 Selbsthemmung (B) ................................................................................................ 332

4.3 4.3.1 4.3.2 4.3.3 4.3.4 4.3.4.1 4.3.4.2

Festigkeitsnachweis von Schraubverbindungen (B) .............................................. 333 Tatsächliche Spannungen (B)................................................................................. 333 Zulässige Spannungen (B)...................................................................................... 336 Sicherheitsnachweis (B) ......................................................................................... 337 Flächenpressung im Gewinde (E) .......................................................................... 337 Flächenpressung Bewegungsschraube (E) ............................................................. 337 Flächenpressung Befestigungsschraube (E)........................................................... 338

4.4 4.4.1 4.4.2

Vorspannen von Schraubverbindungen (E) ........................................................... 339 Vorspannung und Verformung (E)......................................................................... 340 Thermisches Anziehen und andere thermische Einflüsse (V) .............................. 346

4.5 4.5.1

Betriebskraftbelastung der Schraube (B) ............................................................... 348 Querkraftbeanspruchte Schraubverbindungen (B)................................................. 348

Inhalt

IX

4.5.2 4.5.2.1 4.5.2.2 4.5.3 4.5.3.1 4.5.3.2 4.5.3.3 4.5.4

Längskraftbeanspruchte Schraubverbindungen (B) ............................................... 350 Statische Betriebskraft (B) ..................................................................................... 350 Dynamische Betriebskraft (E) ................................................................................ 353 Zusammenspiel der Steifigkeiten (E) ..................................................................... 355 Schraubensteifigkeit (E) ......................................................................................... 356 Zwischenlagensteifigkeit (E).................................................................................. 360 Krafteinleitung innerhalb verspannter Teile (V) .................................................... 361 Schraubverbindungen mit kombinierter Längs- und Querkraftbeanspruchung (V) ................................................................................. 364

4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4

Gestaltung von Befestigungsschraubverbindungen (E) ......................................... 368 Schraubentypen (E) ................................................................................................ 368 Schraubensicherungen (E)...................................................................................... 369 Unterlegscheiben (E) .............................................................................................. 370 Torsionsfreies Anziehen (E)................................................................................... 370

4.7 4.7.1 4.7.2 4.7.2.1 4.7.2.2 4.7.2.3 4.7.2.4

Besonderheiten der Bewegungsschraube (E) ......................................................... 371 Schraubenwirkungsgrad (E) ................................................................................... 372 Minimierung der Gewindereibung (E) ................................................................... 375 Optimaler Gewindesteigungswinkel (E) ................................................................ 375 Optimierung der Materialpaarung (E).................................................................... 376 Optimierung des Flankenwinkels (V) .................................................................... 376 Optimierung des Reibzustandes (V)....................................................................... 377

4.8 4.8.1 4.8.2

Anhang ................................................................................................................... 378 Literatur .................................................................................................................. 378 Normen ................................................................................................................... 380

4.9

Aufgaben: Schrauben ............................................................................................. 382

Index..................................................................................................................................... 405

X

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Inhalt

Vorwort Das Fach Maschinenelemente… hat im deutschsprachigen Raum eine lange Tradition: Bevor sich der Student mit der Komplexität einer vollständigen Maschine beschäftigt, macht er sich mit deren Komponenten vertraut. Dabei wird die Maschine in ihre leichter überschaubaren Elemente aufgegliedert, die in abgewandelter Form immer wieder Verwendung finden und deshalb das Basisrepertoire des Maschinenbaus darstellen. Das Fach Maschinenelemente wird so zum entscheidenden Wegbereiter für eine ganze Reihe weiterführender Fächer und ist damit auch ein wichtiger Meilenstein auf dem Weg ins Berufsleben. Wie kaum ein anderes Fach des Maschinenbaustudiums treten die Maschinenelemente mit anderen Lehrfächern in vielfältige Wechselwirkung, für die das folgende Schema eine grobe Orientierung versucht:

Fachvorlesungen z.B. über Fördertechnik, Werkzeugmaschinen, Fahrzeugtechnik Maschinendynamik

Konstruktionslehre

CAD / CAM

Antriebstechnik

Maschinenelemente Werkstoffkunde

Mechanik

Statik, Festigkeitslehre, Dynamik

Technisches Zeichnen Grundlagen des Konstruiernes

Darstellende Geometrie

Mathematik

Hauptstudium

Grundstudium

Physik

„Probieren geht über studieren“ So übertrieben diese Volksweisheit auch formuliert sein mag, sie bringt einen wichtigen Sachverhalt der Maschinenelemente auf den Punkt: Erst durch selbständiges Bearbeiten von Problemstellungen wird Wissen in Können überführt. Optimal ist der ständige Wechsel von Stoffvermittlung in Form der Vorlesung und Stoffverarbeitung als Übung. Aus diesem

XII

Vorwort

Grund ist jedem Kapitel ein Aufgabenteil angehängt, der sich genau auf diesen Lehrstoff bezieht und in ähnlicher Weise gegliedert ist. Im Vorlesungsteil sind auch entsprechende Hinweise angebracht, an welcher Stelle welche Aufgabe eingeschoben werden kann. Dabei sind die Aufgaben knapp und prägnant im Stil von Prüfungsaufgaben gehalten. Die Lösungen zu den Aufgaben werden auf der Internetseite des Buches über die Homepage des Verlages bereitgestellt: www.oldenbourg.de Die Aufgaben können unter Zuhilfenahme des Normenwerkes leicht zu kleinen Konstruktionsübungen erweitert werden. Normen werden nur dort wiedergegeben, wo sie für die Vermittlung des Lehrstoffs unverzichtbar sind und für das Bearbeiten von Beispielaufgaben benötigt werden. Auf die weitläufige Wiedergabe weiterer Normen wird an dieser Stelle verzichtet. Ähnlich wie in der Praxis muß der Student und spätere Anwender hier selbständig weitere Unterlagen beschaffen. Weiterhin ist am Ende eines jeden Kapitels ein ausführliches Verzeichnis an Fachliteratur und Normen angefügt.

Ein herzliches Dankeschön… gilt allen, die an der Entstehung dieses Buches mitgewirkt haben: Dabei haben sich vor allen Dingen die Studenten der Fachhochschule und Trier und des „Institut Universitaire de Technologie de Bourgogne“ in Dijon hervorgetan, die mit zahllosen Anmerkungen, Fragen und Bildbeiträgen die Mosaiksteinchen geliefert haben, mit denen die Struktur dieses Lehrkonzepts ausgefüllt worden ist. Weiterhin sei den Kollegen anderer Hochschulen gedankt, die mit ihren zahlreichen Zuschriften zur Erstauflage manche Diskussion in Gang gebracht und viele Verbesserungsbeiträge geliefert haben.

Einleitung

XIII

Einleitung Auswahl und Reihenfolge der Maschinenelemente Die Anzahl der Maschinenelemente ist im Laufe der Zeit so vielfältig geworden, daß im Rahmen dieses Grundlagenfachs eine Konzentration auf das Wesentliche vorgenommen werden muß. Die dadurch bedingte Auswahl orientiert sich sinnvollerweise an den folgenden Aspekten: • Es kann nicht Ziel einer allgemeingültigen Lehre sein, möglichst viele Maschinenelemente zu präsentieren, die dann nur oberflächlich angegangen werden können. Vielmehr sollten einige repräsentative Maschinenelemente intensiv erarbeitet werden. • Man sollte sich vorrangig mit denjenigen Maschinenelementen beschäftigen, die für die „Methoden des Fachs“ besonders wichtig sind. Die spezielle Kenntnis eines einzelnen Maschinenelementes steht dabei weniger im Vordergrund als vielmehr das Bestreben, zentrale, allgemeingültige Aussage zu erarbeiten, die sich mit gewissen Modifikationen auch auf andere Maschinenelemente übertragen lassen oder zumindest bei deren Erfassung behilflich sind. Damit wird der Student gezielt darauf vorbereitetet, sich ohne fremde Hilfe mit weiteren Maschinenelementen vertraut zu machen, auf die hier nicht gesondert eingegangen werden kann. • Ein Lehrbuch über Maschinenelemente muß in erster Linie auf die Befähigung hinwirken, mit weiterführender Fachliteratur umzugehen. Aus Zeit- und Platzmangel kann es aber nicht Ziel eines Grundlagenfachs sein, den Stoff im Stil vertiefender Fachliteratur zu behandeln. • Der Nutzen des Studiums kann nicht darin bestehen, Fertigkeiten zu erarbeiten, die auf ein Spezialgebiet beschränkt sind. Es geht vielmehr darum, Fähigkeiten von allgemeingültigem Nutzen zu vermitteln. • Im Sinne einer möglichst effizienten Ausbildung wird im vorliegenden Lehrbuch die Reihenfolge der Maschinenelemente so angelegt, daß zunächst von möglichst einfachen, für den Studienanfänger überschaubaren Zusammenhängen ausgegangen wird und dann bei jedem weiteren Schritt neue Sachverhalte in gezielter Dosierung hinzukommen. Einerseits ist zuviel Neues auf einmal schwer verdaulich, andererseits ist aber auch zuviel Redundanz langweilig bis einschläfernd.

Der ingenieurmäßig sinnvolle Ansatz Das vorliegende Buch widmet sich besonders dem Problem, ingenieurmäßig sinnvolle Ansätze zu formulieren. In der Mathematik, aber auch in der klassischen Physik und der Me-

XIV

Einleitung

chanik hat es der Student mit klaren, kaum anzweifelbaren Aussagen zu tun. Im Gegensatz dazu müssen im Fach Maschinenelemente zunehmend unschärfere Ansätze formuliert werden, was häufig zu einer Gratwanderung führt: • Einerseits soll eine übertriebene „Verwissenschaftlichung“ vermieden werden, weil damit zuweilen sehr komplexe Ansätze und aufwendige Berechnungen verbunden sind, die für ingenieurmäßiges Arbeiten häufig untauglich sind. • Andererseits sind Dimensionierungsangaben, die auf „bewährten Größengleichungen“ beruhen und in der betrieblichen Praxis noch weit verbreitet sind, ebenfalls unbrauchbar. Solche „Erfahrungsformeln“ sind häufig in ihrem Anwendungsbereich stark eingeschränkt, verleiten zum bloßen „Formelmanagement“ und gaukeln vielfach eine Sicherheit vor, die sich bei exakter Analyse häufig als zweifelhaft herausstellt. Sie sind deshalb für eine allgemeingültige Lehre kaum geeignet. Problematisch wird diese Gratwanderung bei komplexen Maschinenelementen (beispielsweise Wälzlager, Gleitlager oder Zahnräder). Das vorliegende Buch diskutiert die Problematik zwar in seiner Vielschichtigkeit grundsätzlich an, für die weitere Behandlung des Sachverhaltes wird jedoch unter Verzicht auf allzu aufwendige rechnerische Beschreibungen eine ingenieurmäßig sinnvolle Vereinfachung gesucht („der Ingenieur muß nicht alles wissen, er muß sich aber zu helfen wissen“). Der Aufwand muß schließlich immer im vernünftigen Verhältnis zum Nutzen stehen. Der Ingenieur strebt stets eine Maschine mit bestmöglichem „Wirkungsgrad“ (= Nutzen / Aufwand) an, dieses Streben muß aber schließlich auch seinen eigenen Arbeitsstil betreffen. Die moderne Datenverarbeitung gibt dem Studenten ein überaus präzises Rechenwerkzeug an die Hand, dessen numerisch akkurate Ergebnisse aber nicht selten für Mißverständnisse sorgen: Tatsächlich sind die Eingangsgrößen für eine Berechnung (beispielsweise die Annahme oder die Messung der angreifenden Kraft) schon so ungenau, daß die rechnerisch mögliche Präzision bei der Darstellung des Ergebnisses häufig trügerisch ist. Das Fach Maschinenelemente eignet sich besonders dazu, den Umgang mit diesen Unschärfen zu erlernen, die für den weiteren Verlauf des Studiums und erst recht für die berufliche Praxis typisch sind.

Anmerkungen für den Dozenten Bei aller Diskussion über Maschinenelemente im konkreten Fall ist der Überblick über Zusammenhänge besonders wichtig. Insofern ist es angebracht, Einzelaussagen nicht isoliert im Raum stehen zu lassen, sondern zur zentralen, strukturierten Aussage zu verallgemeinern. Dies soll an folgendem Beispiel erläutert werden:

Einleitung fortschreitende Lehraussage

XV konkretes Maschinenelement

Diagramm

Zugstab Belastung in ihrer einfachsten Form

F

σ

F

σ

Zugstabfeder F

F

elastische Verformung

f

vorgespannte Schraube Parallelschaltung Zug/Druck

FBL

FBL

angestellte Lagerung axiale Verspannung einer Welle

Fax

CL1

CL2

fax

Querpreßverband vorher

reibschlüssige Momentenübertragung

nachher Nabe µ

Welle

Mt

Nabe

Mt

Welle

Im Kapitel 0 (Grundlagen der Festigkeitslehre) wird vom Spannungs-Dehnungs-Diagramm der Werkstoffkunde ausgegangen. Für ein Bauteil mit konkreten Abmessungen kann daraus das Federdiagramm abgeleitet werden, auch wenn es sich bei diesem Bauteil gar nicht um eine Feder handelt (Kapitel 2). Das Federdiagramm in Doppelanordnung wird für eine Parallelschaltung von Schraube und Zwischenlage zum Verspannungsdiagramm erweitert (Kapi-

XVI

Einleitung

tel 4). Die Anstellung zweier Axiallager läßt sich ebenfalls im Verspannungsdiagramm darstellen, die Federkennlinien sind jedoch nicht linear. Die radiale Verspannung eines Radiallagers unterliegt gleichen Gesetzmäßigkeiten, wegen der Zweidimensionalität läßt sich das Problem jedoch nicht im Verspannungsdiagramm wiedergeben, sondern es muß die Vektorrechnung bemüht werden. Die vorherige Beschäftigung mit dem Verspannungsschaubild erleichtert diesen Übergang ganz wesentlich. Der Verspannungszustand eines Querpreßverbandes läßt sich ebenfalls im Verspannungsdiagramm dokumentieren, allerdings wird hier die Belastung nicht in Form einer Kraft, sondern einer Flächenpressung aufgetragen. Da die Paßtoleranz als Variation des Federweges ebenfalls im Diagramm sichtbar gemacht werden kann, läßt sich der Einfluß aller entscheidenden Parameter auf die Momentenübertragbarkeit des Querpreßverbandes leicht darstellen, was bei alleiniger Betrachtung der Dimensionierungsgleichungen kaum möglich ist. In den weiterführenden Lehrveranstaltungen wie beispielsweise Werkzeugmaschinen und FE-Methode läßt sich mancher Sachverhalt mit Hilfe des Verspannungsdiagramm zumindest verdeutlichen. Das Verspannungsschaubild ist damit eine wesentliche kapitelübergreifende, zentrale Aussage des Fachs Maschinenelemente. Diese Vorgehensweise der „zentralen Aussage“ läßt sich in modifizierter Form immer wieder anwenden. Beispielsweise ist die für den Riementrieb benötigte Eytelwein’sche Gleichung eben nicht nur für den Riementrieb, sondern auch für den Schnurtrieb (Tonbandgerät, Plattenspieler, Papiervorschub im Drucker), für den Bandschleifer, für den Gurtförderer (Förderband) und für die Treibscheiben (Fördertechnik) nutzbar. Und schließlich braucht die Stunde nicht vorgerückt zu sein, um den Korken im Flaschenhals als Querpreßverband zu betrachten, dessen Reibschluß mit einem Korkenzieher beim Öffnen der Flasche mit Axialkraft oder Torsionsmoment gezielt überwunden werden muß, während er bei der Welle-Nabe-Verbindung stets unterschritten werden soll. Auch wenn das konkrete Maschinenelement im Vordergrund steht, wird eine Isolierung auf das einzelne Element vermieden. Der Übergang zu den weiterführenden Lehrveranstaltungen gelingt dann am besten, wenn das einzelne Element so frühzeitig wie möglich im Zusammenspiel mit seinen Nachbarelementen bzw. seiner konstruktiven Umgebung betrachtet wird. Wenn beispielsweise eine Schraubverbindung erörtert wird, so sollte der Student erkennen, wo die Belastung herkommt. Eine Angabe wie „... die Schraube wird mit soundso viel Newton belastet“ fördert nicht das Erfassen übergeordneter Zusammenhänge, sondern verharrt in der Isolation des einzelnen Elementes. Im Eingangskapitel (Grundlagen der Festigkeitslehre) werden die Lastannahmen ganz einfach als Gewichts-, Seil- oder Kettenkräfte angebracht. Mit fortschreitendem Stoff können dann mehrere Maschinenelemente miteinander verknüpft werden (beispielsweise ein Kegelpreßverband als Welle-Nabe-Verbindung mit Schraube oder ein Riementrieb mit der Dauerfestigkeit der Getriebewelle), so daß das Zusammenspiel der Kräfte in einen komplexeren Zusammenhang gestellt werden kann. Wo immer es möglich und sinnvoll erscheint, wird das Zusammenspiel mit benachbarten Maschinenelementen betrachtet, denn das einzelne Maschinenelement ist eben nur Bestandteil der Maschine. Besonders die Übungsbeispiele betonen diese Grundsätzlichkeit immer wieder und werden damit zum integralen Bestandteil des vorliegenden Lehrbuchs. Auf diese Weise werden die wesentlichen Grundlagen sowohl für die weiterführenden Fachvorlesungen des Hauptstudiums als auch schließlich auf die spätere berufliche Tätigkeit geschaffen.

Einleitung

XVII

In vielen Fällen ist es wünschenswert, den Stoffumfang dieses Buches gezielt zu reduzieren, weil die Anzahl der Semesterwochenstunden nicht den vollen Umfang zuläßt oder weil das Fach Maschinenelemente nicht für Maschinenbauer, sondern für Studenten benachbarter Disziplinen (z.B. Elektrotechnik, Wirtschaftsingenieurwesen, Mikrosystemtechnik) aufbereitet wird. Bei dieser Reduzierung des Stoffumfang besteht die Gefahr, daß Lücken gerissen werden, die die Bearbeitung des weiteren Stoffs mit schwer überwindbaren Hindernissen belegen. Um dieser Gefahr zu begegnen, werden die Lehrinhalte in drei Kategorien eingeteilt: • Basis: Die mit B markierten Abschnitte sind nicht nur für das Verständnis des vorliegenden Kapitels, sondern auch für die Bearbeitung weiterer Abschnitte von grundlegender Bedeutung und sollten im Sinne einer geschlossenen Darstellung der Lehrinhalte nicht ausgelassen werden. • Erweiterung: Die mit E bezeichneten Abschnitte erweitern das Basiswissen maßvoll und erarbeiten zusätzliche Ausführungsformen und Bauformen. Weiterreichende Fragestellungen und Perspektiven differenzieren die grundsätzlichen Erkenntnisse und runden das Basiswissen ab. • Vertiefung: Die mit einem V versehenen Abschnitte vertiefen einzelne Sachverhalte der Maschinenelemente, wobei die für das Fach typischen Methoden zur Anwendung kommen. Sie sind zwar für das Verständnis des Fachs durchaus vorteilhaft, aber zuweilen etwas zeitaufwendig. Es wurde darauf geachtet, daß sich diese Ausführungen nicht in fachspezifischen Details verlieren. Schließlich ist eine Anhäufung von Spezialwissen im Hinblick auf ein allgemeingültiges Studium für ein Grundlagenfach fehl am Platze und bleibt weiterführenden Lehrveranstaltungen und der speziellen Fachliteratur vorbehalten. Das oben angegebene Schema kann allerdings nur ein grobes Raster vorgeben, welches eine weitere Differenzierung ermöglicht.

Literatur Die einzelnen Kapitel verweisen in ihrem jeweiligen Schlußabschnitt auf die weiterführende Fachliteratur. In Ergänzung dazu versucht die folgende Auflistung, die Literatur zusammenzustellen, die die Gesamtheit der Maschinenelemente darstellt bzw. zu deren Verständnis beiträgt: [1]

Aublin, Michel et al.: Systèmes Mécaniques, Théorie et Dimensionnement. Dunod, 1998

[2]

Beitz; Küttner: Dubbel, Taschenbuch für den Maschinenbau. Springer 1995

[3]

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Steinhilper, W.; Röper, R.: Maschinen- und Konstruktionselemente, Band 1–3. Springer

0.1 Normalspannung (B)

0

1

Grundlagen der Festigkeitslehre

Das Fach Maschinenelemente beginnt meist mit dem technischen Zeichnen: Zunächst steht die Frage nach der korrekten zweidimensionalen Darstellung von einfachen dreidimensionalen Maschinenelementen im Vordergrund. Im weiteren Laufe dieser Betrachtungen werden zunehmend auch die funktions- und fertigungsgerechte Gestaltung dieser Teile berücksichtigt, so daß die Fragen der zeichnerischen Darstellung durch konstruktive Überlegungen ergänzt werden. Die Dimensionierung dieser Bauteile stellt schließlich den Schwerpunkt des Fachs Maschinenelemente dar: Die Funktionstauglichkeit und Betriebssicherheit eines einzelnen Bauteils hängt vor allen Dingen davon ab, ob es den Belastungen, denen es ausgesetzt ist, standhält. Dabei können zwei Modellfälle unterschieden werden: • Ist das Bauteil zu klein, zu schlank oder zu dünn ausgelegt, dann wird es der Belastung nicht standhalten und versagen (Unterdimensionierung). • Ist dieses Bauteil zu dick, zu wuchtig oder zu voluminös ausgelegt, dann wird nicht nur unnötig viel von möglicherweise teurem Material eingesetzt, sondern das Bauteil ist auch zu groß, zu schwer oder zu sperrig, was z.B. im Fahrzeugbau oder erst recht im Flugzeugbau nicht akzeptiert werden kann (Überdimensionierung). Ein Bauteil ist also optimalerweise genau so dimensioniert, daß die Belastungen ohne Versagen oder Schaden aufgenommen werden, andererseits aber auch der Materialeinsatz minimiert wird. Dazu müssen die Bauteile entsprechend den Gesetzmäßigkeiten der Festigkeitslehre ausgelegt werden. Das vorliegende Kapitel widmet sich dieser grundsätzlichen Problematik und stellt damit ein Bindeglied zur Festigkeitslehre her. Die Kenntnisse dieses Grundlagenfachs sind bei den Studenten des Maschinenbaus wegen der Fächeraufteilung auf die Semester unterschiedlich ausgebildet und so versucht das vorliegende Kapitel, die für die Maschinenelemente erforderlichen Kenntnisse der Festigkeitslehre zusammenzufassen, wobei auf die für dieses Fachgebiet übliche gründliche Darstellung verzichtet wird. Die nachfolgenden Ausführungen sind so angelegt, daß notfalls auch ohne die vorherige Bearbeitung der Festigkeitslehre ein Einstieg in die Maschinenelemente möglich ist. Studenten mit ausreichenden Kenntnissen dieses Fachs können auf das vorliegende Kapitel teilweise oder sogar gänzlich verzichten, was durch die Kennzeichnung als Kapitel 0 angedeutet werden soll. Im vorliegenden Kapitel wird vereinfachend angenommen, daß sich die Belastung im Laufe der Zeit nicht ändert. Diese sog. „statische“ Belastung ist einfacher zu beschreiben als eine solche, die sich zeitlich ändert und als „dynamisch“ bezeichnet wird. Im Gegensatz zum Bauingenieurwesen ist diese Randbedingung für den Maschinenbau zwar eher unzutreffend, aber für eine erste Betrachtung wird vorausgesetzt, daß die Belastung konstant ist bzw. so langsam aufgebracht wird, daß sie für das Bauteil als konstant angesehen werden. Eine solche Last wird als „quasistatisch“ bezeichnet.

2

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

0.1

Normalspannung (B)

0.1.1

Zug und Druck (B)

Ausgangspunkt für die folgenden Überlegungen ist ein einfaches Stahlseil. Wenn dieses Stahlseil beispielsweise unter einer gewissen Zugkraft F reißt, dann wird ein dickeres Stahlseil derselben Belastung u.U. widerstehen können. Die Kraft alleine ist also nicht ausschlaggebend für das Versagen oder Standhalten des Seils, sondern entscheidend ist die spezifische Belastung. Zur Kennzeichnung dieser spezifischen Belastung wird die sog. Spannung σ („Sigma“) als Quotient von belastender Kraft und der (metallischen) Querschnittsfläche des Seils A formuliert:

F Gl. 0.1 A Die Spannung wird meist in N/mm² angegeben, neuerdings wird auch vielfach die Einheit MPa verwendet, wobei die dabei ermittelten Zahlenwerte völlig identisch sind: σ=

1 MPa = 1 ⋅ 106

N N N = 1 ⋅ 106 6 =1 m2 10 mm 2 mm 2

Die vorstehende Definition der Spannung ist auch insofern einleuchtend, weil sich nach ihr die spezifische Belastung nicht ändert, wenn man beispielsweise bei doppelter Kraft gleichzeitig die Querschnittsfläche verdoppelt. Die spezifische Belastung und damit die Beanspruchung des Werkstoffs sind in beiden Fällen gleich. Man kann sich diesen Sachverhalt am hier vorliegenden Fall eines Seils auch folgendermaßen modellhaft vorstellen: Die Spannung wird als die Kraft aufgefaßt, die eine einzelne Faser des Seils belastet. Verschieden dicke Seile unterscheiden sich dann nur dadurch, daß sie entsprechend ihrer Dicke mehr oder weniger dieser gleichartigen Fasern enthalten. Durch die Normierung der belastenden Kraft auf die lastübertragende Fläche wird übrigens auch klar, daß die Festigkeit des Bauteils bei dieser ersten Betrachtung unabhängig von der Formgebung dieser Fläche ist, der beim Seil vorliegende Kreisquerschnitt kann also auch durch andere geometrische Muster (z.B. Vielfachanordnung vieler kleiner Kreisquerschnitte oder auch Quadrat oder Rechteck) ersetzt werden, ohne daß sich dabei die Beanspruchung ändert. Für die Formgebung dieser lastübertragenden Fläche sind meistens technologische oder auch konstruktive Erfordernisse maßgebend, so läßt sich beispielsweise ein Seil am einfachsten mit einem Kreisquerschnitt herstellen. Die hier vorliegende Spannung ist dadurch gekennzeichnet, daß sie als Folge der sie hervorrufenden Kraft normal auf der Querschnittsfläche A steht.

0.1.1.1

Zug- und Druckspannung (B)

Das Seil ist so beschaffen, daß es nur Zugkräfte als Zugspannung aufnehmen kann. Die Betrachtung an einem festen Körper wie z.B. eine zylindrische Stange erlaubt auch noch eine weitere Belastung: Eine Druckkraft FD würde nach ähnlicher Definition eine Druckspannung σD hervorrufen. Demzufolge kann eine Stange (in der Statik „Stab“) sowohl Zugkräfte FZ als Zugspannung σZ als auch Druckkräfte FD als Druckspannung σD aufnehmen. Dieser Zug- und Druckspannungszustand läßt sich sinnbildlich folgendermaßen verdeutlichen:

0.1 Normalspannung Zugkraft FZ ruft Zugspannung σZ hervor

FZ

FZ F σZ = Z A

3 Druckkraft FD ruft Druckspannung σD hervor

FD σZ

σD

σZ

σD FD σD =

FD A

Bild 0.1: Zug- und Druckspannung.

Damit ist also für diesen einfachen Fall der quasistatischen Belastung die entscheidende Lastkenngröße formuliert. Für eine beliebige Schnittebene im Stab lassen sich die dort wirkenden Spannungen nach dem Prinzip „actio = reactio“ sowohl in der einen als auch in der anderen Richtung auftragen. Wird ein Stab auf Druck belastet, so besteht im allgemeinen Fall auch die Gefahr, daß er ausknickt (mehr darüber im Abschnitt 0.3).

0.1.1.2

Werkstoffverhalten bei Zug und Druck (B)

Die Kenntnis der im Bauteil wirkenden Spannung alleine sagt aber noch nichts darüber aus, ob das Bauteil der Belastung standhält oder nicht. Zur Klärung dieser Frage ist es nötig, seine Belastungsfähigkeit zu klären. Zu diesem Zweck wird der Werkstoff einer definierten Zugbelastung ausgesetzt und dabei sein Verhalten beobachtet. Dabei bedient man sich sog. Zugprüfmaschinen, deren schematischer Aufbau im folgenden Bild wiedergegeben ist:

Bild 0.2: Standardisierte Zugprobe und Zerreißmaschine schematisch.

4

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Wird die auf den Stab einwirkende Zugspannung zunehmend größer, so wird dieser unter dem Einfluß der Belastung geringfügig länger werden. Diese Längung verbleibt zunächst im Promille-Bereich und ist mit dem bloßen Auge nicht wahrnehmbar. Sie ist außerdem rein elastisch, d.h. bei Zurücknahme der Zugbelastung nimmt der Zugstab wieder seine ursprüngliche Länge an, er federt in seine Ausgangslage zurück. Dieser Sachverhalt läßt sich anschaulich im sog. Spannungs-Dehnungs-Diagramm darstellen:

Bild 0.3: Elastischer Bereich des Spannungs-Dehnungs-Diagramms.

Auf der Abszisse ist die Längung des Zugstabes zunächst als absolute Längenänderung ΔL aufgetragen. Zur Verallgemeinerung dieser Aussage ist es jedoch sinnvoll, auch diese Größe zu normieren: Die Längenänderung ΔL wird auf die Ursprungslänge L bezogen und als „relative Längenänderung ε“ bezeichnet: ε=

ΔL L

Gl. 0.2

Mit der Formulierung der Spannung σ und der relativen Längenänderung ε läßt sich das Verformungsverhalten eines Werkstoffes unabhängig von den speziellen Bauteilabmessungen ausdrücken. Die Steigung der Gerade im Spannungs-Dehnungs-Diagramm läßt sich als Geradengleichung der Form y = m ⋅ x auftragen. Mit den hier verwendeten Bezeichnungen für Abszisse und Ordinate ergibt sich die Formulierung σ=E⋅ε

Gl. 0.3

Die Größe E wird dabei zunächst einmal als rein rechnerisches Steigungsmaß der dadurch entstandenen Geraden aufgefaßt, die auch „Hooke’sche Gerade“ genannt wird. Tatsächlich ist der Zahlenwert von E nur vom Werkstoff abhängig und wird mit „Elastizitätsmodul“ bezeichnet. Da ε dimensionslos ist, muß der Elastizitätsmodul E die Dimension einer Spannung, also N/mm² annehmen. Die folgende Tabelle beziffert den Elastizitätsmodul einiger gebräuchlicher Werkstoffe (von der weiter rechts aufgeführten Spalte wird weiter unten noch die Rede sein):

0.1 Normalspannung Werkstoff Gummi Balsaholz (längs zur Faserrichtung) Teakholz (längs zur Faserrichtung) Magnesium Aluminium Gußeisen GG 20 Gußeisen GG 30 Gußeisen GG 40 Gußeisen GGG 38 - GGG 72 CuZn 37 nach DIN 17628 Grauguß CuSn 6 nach DIN 17628 Kupfer CuNi18Zn20 nach DIN 17663 nichtrostende Stähle nach DIN 17224 warmgeformte Stähle nach DIN 17221 Stahlguß GS kaltgezogene Drähte nach DIN 17223 kaltgewalzte Stahlbänder nach DIN 17222 Stahl allgemein Molybdän Wolfram

5 Elastizitätsmodul in N/mm² Schubmodul in N/mm² bis ca. 45 ca. 4.000 10.400–10.900 40.000–45.000 72.000 105.000 125.000 125.000–155.000 175.000–185.000 110.000 110.000 115.000 125.000 140.000 176.600 196.200 200.000–215.000 206.000 206.000 215.000 338.000 400.000

27.000 40.000 48.000 63.500–71.300 43.000 46.000

81.000

82.000 150.000

Da eine grundsätzliche Forderung an Bauteile des Maschinenbaus darin bestehen kann, sich unter Belastung möglichst wenig zu verformen, wird in vielen Fällen eine möglichst steile Gerade im Spannungs-Dehnungs-Diagramm angestrebt. Dies ist aber gleichbedeutend mit der Forderung nach einem möglichst hohen Elastizitätsmodul. Eine diesbezügliche Spitzenstellung nehmen die Stähle ein, was auch ein wesentlicher Grund dafür ist, daß Stähle im Maschinenbau bevorzugt eingesetzt werden. Molybdän weist zwar einen noch deutlich höheren Elastizitätsmodul auf, kann aber wegen seiner hohen Kosten nur in Ausnahmefällen als Konstruktionswerkstoff angewendet werden. Im Gegensatz zum Gußeisen ist der Elastizitätsmodul von Stählen annähernd unabhängig von der Werkstoffestigkeit. Gummi kommt als Konstruktionswerkstoff im Maschinenbau nur dann in Frage, wenn bewußt große Verformungen angestrebt werden, was bei Federn (Kapitel 2) der Fall ist. In diesem Fall ist ein geringer E-Modul vorteilhaft. Die Aussagekraft des Spannungs-Dehnungs-Diagramms gilt natürlich in beide Richtungen: Einerseits gibt diese Darstellung wieder, daß bei einer gewissen Spannung σ eine entsprechende Werkstoffdeformation ε eintritt, andererseits wird damit aber auch ausgesagt, daß eine dem Bauteil aufgezwungene Verformung ε eine Spannung σ zur Folge hat.

6

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Die im obigen Diagramm skizzierte Hooke’sche Gerade gibt nur den rein elastischen Bereich des Werkstoffverhaltens wieder: Wird die belastende Spannung zurückgenommen, so federt der Werkstoff wieder in seine Ursprungslänge (ε = 0) zurück. Analog dazu gilt folgende Aussage: Wird eine Werkstoffdeformation ε zurückgenommen, so geht auch die im Werkstoff herrschende Spannung σ wieder zurück. Die Elastizitätsgerade des Spannungs-Dehnungs-Diagramms setzt sich allerdings nicht beliebig fort. Im folgenden Bild ist der weitere Verlauf dieses Diagramms modellhaft skizziert.

Bild 0.4: Spannungs-Dehnungs-Diagramm.

Zum besseren Verständnis wird die Deformation ε als unabhängige Variable betrachtet. Bei weiter fortschreitender Dehnung weicht das reale Werkstoffverhalten zunehmend von der Hooke’schen Geraden ab. Die Spannung, bei der die Elastizitätsgerade verlassen wird, wird Streckgrenze genannt und mit Re bezeichnet. Dabei wird die Bezeichnung R aus dem angelsächsischen „Resistance“ abgeleitet und der Index e deutet auf das rein elastische Verhalten hin. Wird der Zugstab über diese Streckgrenze hinaus gedehnt, dann steigt zunächst je nach Werkstoff die Spannung kaum an bzw. sie fällt sogar etwas ab. Es schließt sich ein Bereich an, in dem sich die Spannung σ nicht wesentlich ändert, während die Dehnung ε zunehmend fortschreitet. Bei weiterhin ansteigender Dehnung erhöht sich die Spannung wieder bis zu einem Maximalwert, den man Zugfestigkeit Rm nennt, wobei der Index m so viel wie „maximum“ bedeutet. Nach Erreichen dieses Wertes fällt die auf den Ausgangsquerschnitt bezogene Spannung schließlich wieder ab. Dieser Spannungsabfall geht mit der Einschnürung (s. Bild 0.5) der Werkstoffprobe einher. Während der Zugstab über weite Teile seiner Erstreckung seine zylindrische Form und damit seine ursprüngliche Querschnittsfläche nur unwesentlich ändert, kommt es in einem lokal begrenzten Bereich zu einer deutlichen Verjüngung der Probenquerschnittsfläche. Da aber die in der Einschnürung verbleibende Restquerschnittsfläche meßtechnisch nicht so ohne weiteres erfaßt werden kann, beschränkt man sich in der Formulierung der Spannung σ = F / A auf den ursprünglich vorhandenen Ausgangsquerschnitt im lastlosen Zustand A. Die so ermittelte „Nenn“-Spannung ist dann zunehmend kleiner als die im Einschnürungsbereich tatsächlich vorliegende „wahre“ Spannung, die weiterhin ansteigt. In diesem Bereich ist deshalb auch die Formulierung der Dehnung ε als Quotient ΔL / L problematisch. Diese Diffe-

0.1 Normalspannung

7

Bild 0.5: Verhalten eines duktilen Werkstoffs im Zugversuch.

renzierung ist an dieser Stelle der Betrachtung jedoch noch gegenstandslos, weil damit ein Bauteilversagen herbeigeführt wird, welches im Rahmen der hier betrachteten Maschinenelemente ohnehin nicht zugelassen werden kann. Bereits unmittelbar nach dem Überschreiten der Streckgrenze ist die Dehnung ε nicht mehr rein elastisch, sondern teilweise plastisch, was sich durch folgenden Versuch nachweisen läßt: Wird das Bauteil über die Streckgrenze hinaus belastet und anschließend wieder entlastet, so wandert der Belastungspunkt wegen der zwischenzeitlich eingetretenen teilplastischen Verformung nicht etwa auf dem gleichen Kurvenzug zum Ausgangspunkt zurück, sondern er bewegt sich parallel zur Elastizitätsgeraden abwärts, bis daß schließlich bei völliger Entlastung (σ = 0) eine plastische Dehnung ε zurückbleibt, die nicht mehr zurückfedert. In diesem Fall setzt sich die dadurch bedingte Dehnung ε aus einem elastischen und einem plastischen Anteil zusammen.

Bild 0.6: Elastische und plastische Dehnung.

8

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Braucht auf die Verformung des Bauteils keine Rücksicht genommen zu werden, so kann der Werkstoff bei quasistatischer Belastung im Extremfall bis zum Wert Rm belastet werden. Diese für den Werkstoffkundler interessante Fragestellung ist für den Maschinenbauer allerdings nicht von vorrangiger Wichtigkeit. Da man im Maschinenbau meist plastische Dehnungen auszuschließen versucht, ist normalerweise die Streckgrenze der größtmögliche Spannungswert, den man dem Werkstoff unter optimalen Bedingungen (quasistatische, einmalige Belastung) zumuten kann. Für diese Spannung wird meist folgende Indizierung verwendet: Zulässige Spannung für Zugbelastung:

Re

(Streckgrenze)

Zulässige Spannung für Druckbelastung:

σdF

(Quetschgrenze)

Der Index „dF“ steht für „Druckfließ“. Versuchstechnisch sind diese Werte aber nicht immer mit der gewünschten Genauigkeit zu ermitteln, da je nach Werkstoffbeschaffenheit eine ausgeprägte Streckgrenze nicht vorhanden ist. Insofern hat die sog. 0,2-Dehngrenze Rp0,2 als ein weiterer Werkstoffkennwert eine größere praktische Bedeutung erlangt. Dieser Wert gibt die Spannung an, bei der nach der Entlastung eine bleibende (plastische) Dehnung von 0,2% noch zugelassen wird: Zulässige Spannung für Zugbelastung:

σz zul = Rp0,2

Die folgenden Tabellen nennen für einige im Maschinenbau übliche metallische Werkstoffe die 0,2-Dehngrenze Rp0,2: Gußeisen nach DIN 1693

Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

GGG-40

0.7040

250

GGG-60

0.7050

380

GGG-70

0.7070

440

Stahlguß nach DIN 1681

Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

GS-38

1.0416

190

GS-45

1.0443

230

GS-52

1.0551

260

GS-60

1.0553

300

GS-62

1.0555

350

GS-70

1.0554

420

0.1 Normalspannung Baustähle nach DIN 17100

9 Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

St 33

1.0035

175 – 180

RSt 37-2 (S 235)

1.0038

225 –235

St 44-3 (S 275)

1.0144

265 – 275

St 50-2 (E 295)

1.0050

285 – 295

St 52-3 (S 335)

1.0570

345 – 355

St 60-2 (E 335)

1.0060

325 – 335

St 70-2 (E 360)

1.0070

355 – 365

Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

C35

1.0501

365

C45

1.0503

410

C60

1.0601

490

28Mn6

1.5065

490

34Cr4

1.7033

590

41Cr4

1.7035

665

34CrMo4

1.7220

665

42CrMo4

1.7225

765

34CrNiMo6

1.6582

885

30CrNiMo8

1.6580

1030

Werkstoffnummer

Re bzw. Rp0,2 in N/mm²

C10

1.0301

295

Ck15

1.1141

355

15Cr3

1.7015

440

16MnCr5

1.7131

590

20MnCr5

1.7147

700

25MoCr4

1.7325

685

15CrNi6

1.5919

635

18CrNi8

1.5920

800

17CrNiMo6

1.6587

785

20MoCrS4

1.7323

590

Vergütungsstähle nach DIN 17200

Einsatzstähle nach DIN 17210

10

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Die bei GGG, GS und St nachgestellten Zahlenangaben geben die Zugfestigkeit in der historischen Einheit [kp/mm²] an. Die elastisch ausnutzbare Werkstoffspannung ist natürlich deutlich geringer. Aufgaben 0.1 und 0.2

0.1.1.3

Sicherheitsnachweis (B)

Ein Bauteil hält also einer einachsigen, quasistatischen Normalspannungsbelastung stand, wenn die tatsächliche Zug- oder Druckspannung σtats kleiner ist als die zulässige, durch den Werkstoff vorgegebene Spannung σzul, wobei der Wert für σzul hier zunächst mit Re bzw. Rp0,2 gleichgesetzt wird: σtats ≤ σzul

Gl. 0.4

Meist ist jedoch eine differenziertere Information erwünscht: Es soll angegeben werden, wie weit der Belastungszustand noch von der Versagensgrenze entfernt ist. Dies führt auf die Definition der Sicherheit S: S=

σ zul σ tats

Gl. 0.5

Diese Sicherheit drückt in anschaulicher Weise aus, wie viele „Reserven“ das Bauteil gegenüber einer möglichen Überlast hat: • Sicherheitsfaktoren von S < 1 können nicht angewendet werden, weil in diesem Fall das Bauteil planmäßig versagen bzw. plastisch deformiert werden würde. • Ist S = 1 (d.h. σtats = σzul), so sind die Werkstoffreserven völlig erschöpft, eine auch nur geringfügige Überlast oder auch nur eine geringfügige Unsicherheit bei der Ermittlung von σvorh würde zum Versagen bzw. zu einer plastischen Deformation des Bauteils führen. Eine Sicherheit von 1 ist deshalb ebenfalls nicht praktikabel. • Es werden also stets Sicherheiten von über 1 angestrebt. Ist beispielsweise S = 2, so könnte das Bauteil eine doppelte Belastung aufnehmen, bevor es versagt. Da die Belastung in aller Regel nicht genau bestimmt werden kann, strebt man stets eine Sicherheit an, die größer als 1 ist. Andererseits führt eine hohe Sicherheit aber auch zu einem hohen Materialeinsatz, der mit überflüssigem Gewicht (Fahrzeug- und Flugzeugbau) oder hohen Kosten verbunden ist. Wie bereits eingangs bemerkt wurde, treffen die vorstehenden Betrachtungen und Festigkeitswerte nur für quasistatische, also weitgehend ruhende Belastung zu. Dieser Belastungszustand ist für den Werkstoff besonders vorteilhaft zu ertragen. Er tritt im Maschinenbau nicht häufig auf und ist eher typisch für den Stahlbau und das Bauingenieurwesen. Im weiteren Verlauf dieser Betrachtungen wird noch erörtert werden, daß eine nicht quasistatische Belastung dazu führt, daß je nach Betriebsbedingungen wesentlich geringere als die oben angegebenen zulässigen Spannungen ertragen werden können. Aufgabe 0.3

0.1 Normalspannung

0.1.1.4

11

Spannungs-Dehnungsverhalten von Verbundwerkstoffen (E)

Die bisherigen Betrachtungen beziehen sich auf homogene Werkstoffe. Will man die vorteilhaften Eigenschaften von zwei Werkstoffen miteinander kombinieren, so kann man sie in einem einzigen Bauteil miteinander vereinigen, wodurch die sog. Verbundwerkstoffe (z.B. Stahlbeton, glasfaserverstärkter Kunststoff) entstehen. Bei Belastung wird beiden Einzelwerkstoffen die gleiche Dehnung aufgezwungen. Das Werkstoffverhalten dieser Kombination läßt sich am Spannungs-Dehnungs-Diagramm leicht erklären. Zunächst wird ein Förderband untersucht, welches in dieser ersten Betrachtung lediglich Zugkräfte aufnimmt (weiteres s. Kap. 7, Band II, Abschnitt Riementriebe): Förderband Gummi

Förderband Stahl/Gummi

Fz ges

St

St

Fz ges

ε

σz

ε

σz

Fz ges

Fz ges

Bild 0.7: Förderband.

Besteht das Förderband ausschließlich aus Gummi (obere Bildhälfte), so stellt sich sowohl eine homogene Deformation als auch eine homogene Zugspannungsverteilung ein, die schließlich die Gesamtzugkraft FZ = σGummi ⋅ AGummi ergibt. Werden jedoch Stahlseile in das Förderband eingelegt, so setzt sich die Gesamtkraft aus den Anteilen von Gummi und Stahl zusammen: FZges = ASt ⋅ σSt + AGummi ⋅ σGummi

Gl. 0.6

Bild 0.8: Spannungs-Dehnungs-Diagramm Förderband.

12

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Die im Stahl und im Gummi hervorgerufenen Spannungen verhalten sich proportional zur Dehnung: σSt = ESt ⋅ ε und σGummi = EGummi ⋅ ε Gl. 0.7 Die Dehnung ε ist für Stahl und Gummi gleich, da sich die beiden Werkstoffe nicht voneinander ablösen dürfen. Wegen der deutlich unterschiedlichen E-Module ist die Zugspannung im Stahlseil jedoch sehr viel höher als die im Gummi. FZges = ε ⋅ (ASt ⋅ ESt + AGummi ⋅ EGummi)

Gl. 0.8

Die Gesamtbelastbarkeit dieser Werkstoffkombination FZmax hängt dann von der zulässigen Verformung εmax (s. Bild 0.8) ab: FZmax = εmax ⋅ (ASt ⋅ ESt + AGummi ⋅ EGummi)

Gl. 0.9

Während der Stahl bei dieser gemeinsamen Verformung bis an seine Elastizitätsgrenze beansprucht wird, hat das Gummi dabei seine maximale Belastbarkeit noch lange nicht erreicht. Eine eventuelle Überlast würde also zunächst einmal die Stahleinlage zerstören. Aufgabe 0.4

0.1.2

Biegung (B)

0.1.2.1

Biegespannung (B)

Die vorangegangenen Betrachtungen orientierten sich am denkbar einfachsten Fall der reinen Zug- bzw. Druckbelastung, der in der Praxis eher selten auftritt.

Bild 0.9: Biegebalken.

Wird entsprechend Bild 0.9 ein „einseitig eingespannter Balken“ am freien Ende mit einer senkrecht gerichteten Kraft belastet, so erfährt der Balken eine Biegebeanspruchung. Der Begriff „Balken“ ist dabei nicht nur auf den Holzbalken beschränkt, sondern meint im Sinne der Mechanik alle Bauteile, die mit Biegung belastet werden. Die maßgebende Schnittreaktion im Balken ist zunächst das Biegemoment Mb, welches sich als Produkt aus belastender Kraft F und Hebelarm h ergibt: Mb = F ⋅ h

Gl. 0.10

0.1 Normalspannung

13

In einer ersten Betrachtung wird hier ein Balken mit symmetrischem Querschnitt angenommen. Bereits mit dem Spannungs-Dehnungs-Diagramm wurde dokumentiert, daß jede Belastung eine Verformung zur Folge hat. Während sich der Zugstab unter dem Einfluß einer Kraft längt, wird der Balken unter dem Einfluß des belastenden Biegemomentes gebogen: 0

0

Δ

0

Δ

ε ε

0

0

ε

Δ

Bild 0.10: Absolute und relative Verformungen des Biegebalkens.

a.

Absolute elastische Verformungen

Die Durchbiegung des Balkens läßt sich an jedem beliebigen Punkt des Balkens durch ein Kreisbogensegment mit dem an dieser Stelle vorliegenden Radius r beschreiben. Aus der Durchbiegung des Balkens und den damit verbundenen Verformungen lassen sich zunächst folgende qualitative Schlußfolgerungen ableiten: An der Oberkante des Balkens wird der Werkstoff gedehnt, weil die Ursprungslänge des unbelasteten Balkenelementes L0 durch die Balkenkrümmung auf L0 + ΔL vergrößert worden ist. An der Unterkante des Balkens wird der Werkstoff aus ähnlichen Gründen von L0 auf L0 – ΔL gestaucht. In der Mitte des Balkens mit symmetrischem Querschnitt wird der Werkstoff weder gedehnt noch gestaucht. Diesen Ort nennt man deshalb die „neutrale Faser“ des Balkens. Auf der Suche nach einem quantitativen Zusammenhang lassen sich zunächst einmal der durch die äußere Randfaser gebildete Kreisbogen und der durch die neutrale Faser markierte Kreisbogen zueinander ins Verhältnis setzen: L0 + ΔL L0 = r + z max r

Gl. 0.11

Eine ähnliche Betrachtung kann auch für eine beliebige Faser mit der Länge L angestellt werden, deren Lage durch die Koordinate z gekennzeichnet ist: L L = 0 r+z r

⇒

L = L0 ⋅

r+z r

Gl. 0.12

14 b.

0 Grundlagen der Festigkeitslehre Relative elastische Verformungen

An allen anderen Stellen des Balkenquerschnitts verhält sich die Verformung proportional: Ausgehend von der neutralen Faser tritt nach oben hin immer mehr Längung auf, bis die maximale Längung an der Balkenoberkante erreicht ist. Unterhalb der neutralen Faser wird der Werkstoff zunehmend gestaucht, bis die maximale Stauchung an der Balkenunterkante erreicht ist. Dadurch ergibt sich die dargestellte dreieckförmige Verformungsverteilung ε = f(z). Setzt man für diesen Fall die relative Dehnung ε = ΔL / L0 an, so ergibt sich: L − L0 ε= = L0

L0 ⋅

r+z − L0 z+r z+r−r z r −1 = = = L0 r r r

Gl. 0.13

Durch Kürzen von L0 wird die Gleichung von der speziellen Länge des Balkenelementes unabhängig.

+$

+%


88 erreicht. Wenn der Schlankheitsgrad kleiner als dieser Grenzwert ist, liegt plastische Knickung vor. Die folgende Darstellung nach [0.2] gibt diesen Zusammenhang für St60 wieder:

48

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Bild 0.35: Knickspannung für St60 (aus [0.2] Bd. 2).

Dabei lassen sich grundsätzlich drei Bereiche unterscheiden: • Bei kurzen, dicken Stäben (kleines λ) besteht keine Knickgefahr, hier ist nur die reine Druckbelastung maßgebend (Quetschgrenze). • Bei langen, schlanken Stäben tritt der oben beschriebene Fall der „elastischen Knickung“ ein, der durch den hyperbelförmigen Verlauf der Knickspannung nach Euler beschrieben wird. • Dazwischen kann es noch zu einer sog. plastischen Knickung kommen, die nach Tetmajer beschrieben wird. Da ein analytischer Ansatz für die plastische Knickung kaum möglich ist, behilft man sich mit Versuchen und Messungen, deren Ergebnisse in eine rechnerische Funktion gefaßt werden. Die folgende Tabelle gibt beispielhaft einige im Maschinenbau verwendeten Werkstoffe wieder: St37:

St60: GG18

0 < λ < 60:

σK = 240 N/mm²

60 < λ < 104:

σK = 310 N/mm² – 1,14 N/mm² ⋅ λ

λ > 104:

elastische Knickung

0 < λ < 88:

σK = 335 N/mm² – 0,62 N/mm² ⋅ λ

λ > 88:

elastische Knickung

0 < λ < 80

σK = 776 N/mm² – 12 N/mm² ⋅ λ + 0,053 N/mm² ⋅ λ²

λ > 80:

elastische Knickung

0.3 Knickung (V)

49

In der folgenden Darstellung nach [0.2] ist die Knickspannung für einige im Maschinenbau üblichen Werkstoffe grafisch gegenübergestellt:

Bild 0.36: Knickspannung einiger Maschinenbauwerkstoffe (aus [0.2] Bd. 2).

Für GG ergibt sich dabei ein fließender Übergang zwischen elastischem und plastischem Bereich.

0.3.3

Einspannbedingungen (V)

Sämtliche vorangegangenen Betrachtungen gingen von standardisierten Einspannbedingungen aus: An beiden Stabenden wird die Kraft über ein Gelenk eingeleitet bzw. abgestützt (Fall 2 des nachstehenden Schemas). Tatsächlich sind jedoch auch noch weitere Einbaufälle möglich, die sich aber praktisch alle mit den weiteren drei Fällen identifizieren lassen oder zumindest zur sicheren Seite hin abschätzen lassen.

Bild 0.37: Einspannfälle Knickung (aus [0.2], Bd. 2).

50

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Fall 2 (Grundfall) beschreibt einen Bogen mit in der Mitte senkrechter Tangente. Fall 1 beschreibt ebenfalls einen Bogen, dessen senkrechte Tangente aber am unteren Balkenende durch die feste Einspannung erzwungen wird. Fall 1 läßt sich aus Fall 2 einfach durch Verdopplung der Knicklänge ableiten. Der Schlankheitgrad ist entsprechend zu verdoppeln. Fall 4 ergibt sich in entsprechend umgekehrter Weise und Fall 3 präsentiert sich als Mischfall zwischen den Fällen 2 und 4 mit einer freien Knicklänge, die dem 0,7-fachen der Konstruktionslänge entspricht. Aufgaben 0.21 und 0.22

0.4

Anhang

0.4.1

Literatur

[0.1]

Agne, Klaus; Agne, Simon: Technische Mechanik in der Feinwerktechnik. Vieweg 1988

[0.2]

Assmann, Bruno; Selke, Peter: Technische Mechanik, Band 1 –3. Oldenbourg 2006

[0.3]

Böge, Alfred: Formeln und Tabellen zur Mechanik und Festigkeitslehre, Band 1 und 2. Vieweg 1994

[0.4]

Dankert, H.; Dankert, J.: Technische Mechanik computerunterstützt. Teubner 1995

[0.5]

Dietman, H.: Einführung in die Elastizitäts- und Festigkeitslehre. Kroner 1992

[0.6]

DIN-Taschenbuch 69: Stahlhochbau. Beuth

[0.7]

Fink K.; Rohrbach, C.: Handbuch der Spannungs- und Dehnungsmessung. VDIVerlag 1965

[0.8]

Gross; Hauger; Schnell: Technische Mechanik. Springer 2005

[0.9]

Hänchen, R.: Neue Festigkeitsberechnung für den Maschinenbau. Hanser 1967

[0.10]

Holzmann G.; Meyer H.; Schumpick G.: Technische Mechanik. Band 1: Statik. Teubner 1990

[0.11]

Hütte: Taschenbuch der Stoffkunde. Berlin

[0.12]

Issler, L.; Ruoß, H.; Häfele, P.: Festigkeitslehre – Grundlagen. Springer 1995

[0.13]

NN: Werkstoffhandbuch Stahl und Eisen. Düsseldorf 1974

[0.14]

NN: Werkstoffhandbuch Nichteisenmetalle. Düsseldorf 1960

[0.15]

Oberbach: Kunststoffkennwerte für Konstrukteure. München 1974

[0.16]

Schweigerer S.: Festigkeitsberechnung im Dampfkessel-, Behälter- und Rohrleitungsbau. Springer 1978

0.4 Anhang

0.4.2

51

Normen

[0.17]

DIN 1013-1: Warmgewalzter Rundstahl für allgemeine Verwendung

[0.18]

DIN 1013-2: Warmgewalzter Rundstahl für besondere Verwendung

[0.19]

DIN 1014-1 und DIN 1014-2: Warmgewalzter Vierkantstahl

[0.20]

DIN 1015: Warmgewalzter Sechskantstahl

[0.21]

DIN EN 10048: Warmgewalzter Bandstahl

[0.22]

DIN 1017-1: Warmgewalzter Flachstahl für allgemeine Verwendung

[0.23]

DIN 1018: Warmgewalzter Halbrundstahl und Flachhalbrundstahl

[0.24]

DIN 1022: Warmgewalzter gleichschenkliger scharfkantiger Winkelstahl (LS-Stahl)

[0.25]

DIN EN 10055: Warmgewalzter gleichschenkliger T-Stahl mit gerundeten Kanten und Übergängen

[0.26]

DIN 1025-1: Warmgewalzte I-Träger – schmale I-Träger

[0.27]

DIN 1025-2: Warmgewalzte I-Träger – I-Träger, IPB-Reihe

[0.28]

DIN 1025-3: Warmgewalzte I-Träger – breite Träger, leichte Ausführung

[0.29]

DIN 1025-4: Warmgewalzte I-Träger – breite Träger, verstärkte Ausführung

[0.30]

DIN 1025-5: Warmgewalzte I-Träger – mittelbreite I-Träger, IPE-Reihe

[0.31]

DIN 1026: Warmgewalzter rundkantiger U-Stahl

[0.32]

DIN 1027: Warmgewalzter rundkantiger Z-Stahl

[0.33]

DIN 1028: Warmgewalzter gleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl

[0.34]

DIN 1029: Warmgewalzter ungleichschenkliger rundkantiger Winkelstahl

52

0.5

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

Spannungs-Dehnungs-Diagramm A.0.1 Verformung und Belastbarkeit (B) Gegeben ist das nachfolgend modellhaft skizzierte Spannungs-Dehnungs-Diagramm. Der Zugstab hat eine Länge von 200 mm und einen Durchmesser von 10 mm.

Die Probe wird mit einer Zugkraft von 7 kN, 14 kN und 21 kN belastet. Ermitteln Sie für diese Belastungen maßstäblich aus dem Diagramm die relativen und absoluten, elastischen und plastischen Verformungen: Zugbelastung [kN]

7

14

21

-3

εelast [10 ] εplast [10-3] ΔLelast [µm] ΔLplast [µm] Wie groß ist der Elastizitätsmodul dieses Werkstoffs? Wie groß ist die maximale Kraft Fmaxelast, die dieser Werkstoffprobe zugemutet werden kann, wenn eine plastische Verformung ausgeschlossen werden soll? Wie groß ist die maximale Kraft Fmaxplast, die diese Werkstoffprobe aufnehmen kann, wenn eine plastische Verformung zugelassen wird?

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre A.0.2

53

Werkstoffvergleich (B)

In unten skizziertem Spannungs-Dehnungs-Diagramm sind drei Werkstoffe gegenübergestellt. Kreuzen Sie die jeweils richtige Antwort an!

Werkstoff

I

II

III

Welcher Werkstoff weist den geringsten Elastizitätsmodul auf? Welcher Werkstoff hat die geringste Steifigkeit? Welcher Werkstoff weist die größte Streckgrenze auf? Welcher Werkstoff erträgt die geringste Bruchlast? Welcher Werkstoff zeigt beim Bruch die geringste plastische Dehnung?

Zugspannung A.0.3

Zugspannung homogener Werkstoffe (B)

a) Eine runde, stabförmige Probe mit 10 mm Durchmesser wird aus St60 gefertigt. Mit welcher Kraft darf sie in Längsrichtung maximal belastet werden, wenn eine plastische Verformung in jedem Fall ausgeschlossen werden soll? b) Eine quadratische, stabförmige Probe mit 12 mm Kantenlänge besteht aus dem Werkstoff 42CrMo4 und wird mit einer Kraft von 60 kN in Längsrichtung belastet. Wie groß ist die Sicherheit?

54

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Zugspannung Verbundwerkstoff A.0.4

Förderband (V)

Ein Förderband aus Gummi soll zur Verbesserung seiner Zugfestigkeit mit Stahleinlagen versehen werden. In einem ersten Entwurf wird vorgeschlagen, nach untenstehender Skizze 5 Stahleinlagen einzubetten, die aus 10 Litzen mit je 0,5 mm Durchmesser bestehen.

Für die Werkstoffe Stahl und Gummi sind die folgenden Kennwerte gegeben: Stahl

E-Modul [N/mm²]

σzul [N/mm²]

210 000

600

45

12

Gummi

Mit welcher statischen Zugkraft Fmax kann der Fördergurt maximal belastet werden, wenn weder das Gummi noch die Stahleinlage über die zulässige Spannung hinaus belastet werden dürfen? Die Zugfestigkeit dieses ersten Entwurfs ist unbefriedigend. Welche Maßnahmen würden unter Beibehaltung sämtlicher anderen Parameter die Belastbarkeit des Förderbandes steigern? ja Stahleinlage weglassen Anzahl der Stahleinlagen verringern Anzahl der Stahleinlagen erhöhen Querschnittsfläche Gummi erhöhen Querschnittsfläche Gummi verringern σzul des Stahls erhöhen σzul des Gummis erhöhen

nein

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

55

Biegung mit genormten Halbzeugen A.0.5

U-Profil nach Norm (B)

Ein warmgewalzter U-Stahl 40 × 20 nach DIN 1026 wird in der unten dargestellten Weise belastet.

Wie groß ist die größte auftretende Biegespannung? Wie groß ist die Sicherheit bezüglich dieser Biegespannung, wenn das Material St52-3 (Werkstoff-Nr. 1.0570) verwendet wird? A.0.6

I-Profil (B)

Ein warmgewalzter I-Träger 120 nach DIN 1025 T1 aus dem Material St44-3 (WerkstoffNr. 1.0144) wird in der unten dargestellten Weise belastet.

a) groß ist die auftretende Biegespannung? Wie groß ist die Sicherheit bezüglich dieser Biegespannung? Hält das Bauteil dieser Belastung stand? b) Wie groß ist die Biegespannung, wenn die Kraft senkrecht zu der oben angegebenen Lastrichtung wirkt? Wie groß ist dann die Sicherheit bezüglich Biegung? Hält das Bauteil dieser Belastung stand?

Biegung, Suche nach der kritischen Stelle innerhalb eines Bauteils A.0.7

Hubvorrichtung mit starrem Ausleger (B)

Gegeben ist die unten skizzierte Hubvorrichtung mit den angegebenen Abmessungen.

56

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Es soll eine Last von maximal 1200 kg angehoben werden. a) Ermitteln Sie die Größe und Richtung der resultierenden Kraft! b) Tragen Sie graphisch die Größe des Biegemomentes über der gesamten Konstruktion auf! c) An welcher Stelle der Konstruktion tritt das größte Biegemoment auf? d) Berechnen Sie das größte Biegemoment! e) Die zulässige Biegespannung beträgt σbzul = 150 N/mm², wobei dieser Wert die Sicherheit bereits berücksichtigt. Wählen Sie ein genormtes I-Profil aus, welches das vorliegende Biegemoment aufnehmen kann.

Biegung mit veränderlichem Kraftangriffspunkt A.0.8

Hubvorrichtung mit höhenverstellbarem Ausleger (B)

Gegeben ist die unten skizzierte Hubvorrichtung, mit der eine maximale Masse von 785 kg angehoben werden soll. Der Schwenkarm des Auslegers ist am linken Ende drehbar am Gestell angelenkt. Das Hubseil wird über die beiden dargestellten Rollen geführt, wovon die linke auf der gleichen Achse angebracht ist wie der schwenkbare Ausleger selber, der aus zwei warmgewalzten, rundkantigen U-Trägern nach DIN 1026 besteht. Der Ausleger kann durch einen Hydraulikzylinder aus der Horizontalen um 60° angehoben werden. Die Festigkeit des Auslegers soll betrachtet werden. Dabei wird nur auf Biegung dimensioniert, wobei eine Spannung von 60 N/mm² zugelassen werden kann.

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

57

a) In welcher Stellung erfährt der Ausleger seine höchste Biegebeanspruchung, wenn der Winkel ϕ aus der hier dargestellten Horizontalen nach oben gezählt wird? b) Wie groß ist in dieser Stellung das größte auf den Ausleger wirkende Biegemoment? c) Welches Widerstandsmoment müssen dann beide U-Träger gemeinsam mindestens aufweisen? d) Welcher U-Stahl (Kurzzeichen) muß verwendet werden? A.0.9

Hallenkran (E)

Diese Aufgabe erfordert Grundkenntnisse der Differentialrechnung! Gegeben ist der unten skizzierte einfache Hallenkran, mit dem Lasten angehoben und in der Horizontalen verfahren werden können. Bei der folgenden Berechnung sind Eigengewichte zu vernachlässigen.

a) Skizzieren Sie für eine beliebige Stellung der Katze qualitativ den Biegemomentenverlauf in der Kranbrücke. b) Ermitteln Sie rechnerisch die Stellung xK der Katze, für die das Biegemoment in der Kranbrücke am größten ist. c) Es werden zwei schmale I-Träger I200 verwendet. Die zulässige Biegespannung des Werkstoffs beträgt σbzul = 160 N/mm². Wie groß ist die maximale Last m, die dieser Kran anheben darf?

58 A.0.10

0 Grundlagen der Festigkeitslehre Rollenlaufbahn (E)

An die unten skizzierten Fördereinrichtung werden Lasten mit einer Masse von bis zu 11,96 t angehängt und in der Horizontalen verfahren.

Für die Dimensionierung der Rollenlaufbahn können folgende Annahmen getroffen werden: • Für die Festigkeit ist nur der Biegeanteil maßgebend. • Das Eigengewicht des Trägers ist zu vernachlässigen. • Die Last verteilt sich gleichmäßig auf vier Laufrollen, die auf der Innenseite des Untergurtes des I-Profils abrollen. Die Laufschiene wird als Profil I 180 schmaler Bauart ausgeführt. • Unter Berücksichtigung einer erforderlichen Sicherheit kann eine Biegespannung von σbzul = 140 N/mm² zugelassen werden. • Die Laufschiene wird abschnittsweise mit der Länge a an die Decke montiert, wobei die Befestigung als Gelenk angenommen werden kann. • Es muß damit gerechnet werden, daß eine ganze Anzahl von Laufkatzen in rascher Folge die Rollenbahn befahren, wobei jedoch sichergestellt ist, daß sich nur jeweils eine einzige Laufkatze auf einem Laufbahnabschnitt befindet. a) Welche Stellung der Katze x ist für die Belastung des Trägers kritisch? b) Wie lang darf der einzelne Laufbahnabschnitt amax höchstens sein? A.0.11

Brücke (V)

Diese Aufgabe erfordert Grundkenntnisse der Differentialrechnung! Eine Brücke mit einer Spannweite von 5800 mm wird von einem Fahrzeug mit einem Gesamtgewicht von 720 kg befahren. Das Tragelement dieser Brücke besteht aus mehreren nebeneinander verlegten I-Trägern I80 nach DIN 1025 T1, die „hochkant“ verlegt sind. Die zulässige Spannung des Trägerwerkstoffs beträgt 120 N/mm² und es wird eine Sicherheit von S = 2 gefordert. Die Gesamtmasse des Fahrzeuges wird im Verhältnis 1 :1,2 auf Vorder- und Hinterachse verteilt. Das Fahrzeug hat einen Achsstand von 2300 mm.

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

59

Für die Festigkeitsberechnung können folgende vereinfachende Annahmen getroffen werden: • Alle Träger werden gleichmäßig belastet. • Das Eigengewicht der Brücke wird vernachlässigt. • Für die Festigkeitsbetrachtung ist nur die Biegebelastung maßgebend Die Festigkeit der Träger ist zu dimensionieren. Gehen Sie dazu folgendermaßen vor: a) Bestimmen Sie die Achslast hinten GH und die Achslast vorne GV! b) Ermitteln Sie die Hinterachsstellung xH, für die die Biegemomentenbelastung im Träger maximal ist. c) Wie groß ist das maximale Biegemoment Mbmax, welches den Träger belasten kann? d) Wie groß ist die Anzahl der Profile n, die mindestens parallel nebeneinander angeordnet werden müssen, damit die Brücke der Belastung standhält?

60

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Biegung mit zusammengesetzten, symmetrischen Querschnitten A.0.12

Unwuchtantrieb (B) Der nebenstehend skizzierte Doppel-T-Träger wird senkrecht auf einer Grundebene befestigt. Auf die Kopfplatte wird ein Motor montiert, auf dessen Welle eine Umwuchtmasse von 12 kg rotiert. Weitere Massewirkungen sind zu vernachlässigen. Die Biegespannung im Träger darf einen Wert von 120 N/mm² nicht überschreiten. a) Mit welcher Drehzahl darf der Motor maximal rotieren, wenn die Unwuchtwirkung wie dargestellt wirkt? b) Wie hoch darf die Motordrehzahl maximal werden, wenn der Motor senkrecht zur dargestellten Lage montiert wird, so daß die Unwuchtwirkung in die Zeichenebene hinein wirksam wird? Berechnen Sie zweckmäßigerweise entsprechend dem untenstehenden Schema für jede der beiden Aufgabenstellungen zunächst das axiale Flächenmoment Iax, das axiale Widerstandsmoment Wax, das zulässige Biegemoment Mbzul, die an der Motorachse zulässige horizontal gerichtete Zentrifugalkraft Fzul und die zulässige Winkelgeschwindigkeit ωzul. a 4

Iax

mm

Wax

mm3

Mbzul

Nmm

Fzul

N

ωzul

s-1

nzul

min-1

b

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

61

Biegung mit zusammengesetzten, unsymmetrischen Querschnitten A.0.13

Biegebelastung einseitig eingespannter, nicht genormter U-Träger (B)

Der unten skizzierte U-Träger wird in senkrechter Richtung mit einem Gewicht von 80 kg belastet.

Wie groß darf der Hebelarm L dieser Biegebelastung maximal werden, wenn im Träger eine Spannung von 120 N/mm² zugelassen ist? A.0.14

Doppelseitig aufgestützter Biegebalken (B)

Gegeben ist ein (nicht genormter) U-Träger mit folgenden Abmessungen:

Der Träger wird beidseitig auf einer Spannweite von 1800 mm abgestützt und mittig mit einer Gewichtskraft belastet. Der Werkstoff darf mit einer maximalen Biegespannung von 145 N/mm² belastet werden. Wie groß darf dieses Gewicht maximal sein?

Balken gleicher Biegefestigkeit A.0.15

Balken mit rechteckigem Querschnitt (E)

Gegeben ist der unten skizzierte Biegebalken, an dessen auskragendem Ende eine Last von 100 kg angebracht ist.

62

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

a) Wie groß ist die größte Biegespannung? b) Wie müßte bei konstanter Balkenhöhe von 80 mm die Balkenbreite über der Kraglänge beschaffen sein, wenn der Balken als „Balken gleicher Biegefestigkeit“ dimensioniert werden soll? c) Wie müßte bei konstanter Balkenbreite von 140 mm die Balkenhöhe über der Kraglänge beschaffen sein, wenn der Balken als „Balken gleicher Biegefestigkeit“ dimensioniert werden soll? A.0.16

Doppel-T-Träger gleicher Biegefestigkeit (E)

Der unten dargestellte einseitig eingespannte Balken wird auf einem Hebelarm von 1480 mm mit einer Masse von 3,2 t belastet. Der Werkstoff darf mit einer maximalen Biegespannung σbzul = 150 N/mm² beansprucht werden. Der Träger wird aus einem Halbzeug in Form eines I-Trägers nach DIN 1025 T2 gefertigt, dessen Querbleche zur Krafteinleitungsstelle hin so verjüngt werden, daß in erster grober Näherung ein Balken gleicher Biegefestigkeit entsteht.

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

63

a) Welche Höhe muß der Träger mindestens aufweisen? b) Ab welchem Wert xb dürfen die Querbleche gänzlich abgetrennt werden, so daß nur noch das hochkant stehende Blech übrigbleibt? c) Welche Breite bc müssen die Querbleche im Schnitt A-A (auf halbem Abstand zwischen Wand und Krafteinleitungsstelle) aufweisen? A.0.17

Optimierung der Trägerhöhe (E)

Gegeben ist das unten skizzierte Gestell einer Hubvorrichtung: Eine Masse von 3 t wird mit einem Seil angehoben, welches in der dargestellten Weise über eine Rolle geführt wird. Die Rolle ist symmetrisch zwischen zwei Blechen mit 16 mm Wandstärke montiert. Um ein seitliches Ausbeulen zu verhindern, sind die beiden Bleche mit Schrauben und Hülsen untereinander verbunden (Schnitt X-X). Diese Schrauben liegen in der neutralen Faser und beeinträchtigen die Belastbarkeit nicht. Der Werkstoff darf mit einer Biegespannung von 150 N/mm² belastet werden. Für die Festigkeitsberechnung wird nur die Biegung als dominante Belastung berücksichtigt. Die Höhe der Seitenwangen h ist so zu dimensionieren, daß sich abschnittsweise ein Balken gleicher Biegefestigkeit ergibt. Im Bereich zwischen A und B einerseits und zwischen D und E andererseits wird die Höhe h aus konstruktiven Gründen konstant gehalten. Berechnen Sie die an den Stellen A – E minimal erforderliche Balkenhöhe h. Tragen Sie zweckmäßigerweise das jeweils vorliegende Biegemoment und das erforderliche Widerstandsmoment als Zwischenergebnis ein.

A Mb

Nm

Wax

mm³

h

mm

B

C

D

E

64

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Schubspannung A.0.18

Querkraftschub (B)

Aus einem Blechband (St52 mit Schubstreckgrenze τtS = 190 N/mm²) sollen fortlaufend Blechronden ausgestanzt werden.

Welche Kraft F ist für diesen Stanzvorgang erforderlich, wenn angenommen werden soll, daß das Dreifache der Streckgrenze aufgebracht werden muß, um den Stanzvorgang sicher auszuführen. A.0.19

Torsionsschub (B)

Das unten dargestellte Rohr wird über einen Hebelarm auf Torsion belastet. Durch die Stützlagerung wird das Rohr von sämtlichen Biege- und Querkrafteinflüssen befreit.

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

65

Wie groß ist die Torsionsspannung an der Einspannstelle des Rohres, wenn der Rohraußendurchmesser 36 mm und der Rohrinnendurchmesser 30 mm beträgt? A.0.20

Rennradlenker (E)

Ein klassischer Rennradlenker ist in seiner Belastung zu überprüfen, wobei zwei kritische Betriebszustände zu unterscheiden sind:

66

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Vollbremsung: Bei Vollbremsung muß im ungünstigsten Fall davon ausgegangen werden, daß sowohl die gesamte Gewichtskraft als auch die gesamte Bremskraft des Fahrers am Lenker abgestützt wird. In diesem Fall wirkt an jeder Hälfte des Lenkerbügels an der bezeichneten Stelle eine Kraft von 550 N, die unter einem Winkel von 45° angreift. Berechnen Sie die Belastung an der kritischen Stelle des Lenkerbügels, die im Wesentlichen aus Biegung besteht! Mbmax

[Nm]

Wax

[mm³]

σbmax

[N/mm²]

Wiegetritt: Beim Wiegetritt geht der Fahrer aus dem Sattel, so daß die durch das Treten verursachten Kräfte nur am Lenker abgestützt werden können. Dabei wird im ungünstigsten Fall an der bereits zuvor bezeichneten Krafteinleitungsstelle eine parallel zum Steuerrohr gerichtete Kraft von 150 N eingeleitet, die an einem Lenkerende nach oben und am anderen Ende nach unten gerichtet ist. Die Belastung auf den Lenkerbügel ist geringer als die bei Vollbremsung, aber der Vorbau (Verbindungsstück zwischen Lenkerbügel und Steuerrohr) ist nun zu untersuchen, wobei die Belastung im waagerechten Teil des Vorbaus im Wesentlichen aus Torsion und im senkrechten Teil des Vorbaus aus Biegung besteht. waagerechter Teil des Vorbaus

senkrechter Teil des Vorbaus

Mtmax

[Nm]

Mbmax

[Nm]

Wpol

[mm³]

Wax

[mm³]

τtmax

[N/mm²]

σbmax

[N/mm²]

Knickung A.0.21

Dreibeiniger Tisch (V)

Ein dreibeiniges, tischförmiges Gebilde wird zentrisch mit einer Kraft belastet. Die Tischplatte ist in Form eines gleichseitigen Dreiecks ausgeführt. Die drei Tischbeine sollen entweder mit einem Stangenprofil kreisrunden Querschnitts (links) oder mit einem Rohr (rechts) bestückt werden. In dieser vergleichenden Gegenüberstellung sollen beide Querschnitte gleichen Flächeninhalt aufweisen (gleiches Konstruktionsgewicht). Beide Profile sind aus St37 gefertigt. Die Tischbeine sind in der Tischplatte fest eingespannt. Reibkrafteinflüsse zwischen Tischbein und Untergrund werden sicherheitshalber vernachlässigt. Bei den drei unten aufgeführten Tischbeinlängen soll die zulässige Gesamttischbelastung Fgeszul (jeweils letzte Zeile) ermittelt werden. Zur Dokumentation Ihrer Ergebnisse bedienen Sie sich zweckmäßigerweise des untenstehenden Schemas.

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

67

freie Knicklänge s [mm] = Tischbeinlänge Flächenmoment Iax [mm4] = Schlankheitsgrad λ = 300 mm O elastische oder O plastische Knickung ? Knickspannung σK [N/mm²] = zulässige Tischbelastung Fgeszul [N] =

freie Knicklänge s [mm] = Flächenmoment Iax [mm4] = Schlankheitsgrad λ = O elastische oder O plastische Knickung ? Knickspannung σK [N/mm²] = zulässige Tischbelastung Fgeszul [N] =

freie Knicklänge s [mm] = Tischbeinlänge Flächenmoment Iax [mm4] = Schlankheitsgrad λ = 800 mm O elastische oder O plastische Knickung ? Knickspannung σK [N/mm²] = zulässige Tischbelastung Fgeszul [N] =

freie Knicklänge s [mm] = Flächenmoment Iax [mm4] = Schlankheitsgrad λ = O elastische oder O plastische Knickung ? Knickspannung σK [N/mm²] = zulässige Tischbelastung Fgeszul [N] =

freie Knicklänge s [mm] = Tischbeinlänge Flächenmoment Iax [mm4] = Schlankheitsgrad λ = 2000 mm O elastische oder O plastische Knickung ? Knickspannung σK [N/mm²] = zulässige Tischbelastung Fgeszul [N] =

freie Knicklänge s [mm] = Flächenmoment Iax [mm4] = Schlankheitsgrad λ = O elastische oder O plastische Knickung ? Knickspannung σK [N/mm²] = zulässige Tischbelastung Fgeszul [N] =

A.0.22

Triebwerk Dampflokomotive (V)

Der Dampfdruck einer Güterzugdampflokomotive wird gemäß der untenstehenden Skizze ausgehend vom Kolben auf die Kolbenstange und dann über den Kreuzkopf und die sogenannte Treibstange auf die Antriebsräder übertragen. Massenkräfte bleiben unberücksichtigt.

68

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

Sowohl die Kolbenstange als auch die Treibstange sind knickgefährdet. Sicherheitshalber wird angenommen, daß ein Dampfdruck von 12 bar in jeder beliebigen Kolbenstellung wirksam werden kann. Unter dieser Voraussetzung ist die Knickungsgefährdung dann besonders kritisch, wenn sich die Kolbenstange im linken Totpunkt befindet, weil in dieser Stellung die Knicklänge am größten ist. Die Kolbenstange wird zwar durch den Kolben und die Dichtungen geführt, da diese Abstützung jedoch nicht eindeutig geklärt werden kann, soll sicherheitshalber angenommen werden, daß die Kolbenstange am Kolben gelenkig angebunden ist. a) Wie groß ist die Längskraft, mit der die beiden Stangen im kritischen Fall auf Knickung beansprucht werden? b) Die folgende Skizze gibt den Querschnitt von Kolbenstange und Treibstange an.

Querschnittsfläche Kolbenstange

Querschnittsfläche Treibstange

Berechnen Sie alle weiteren geometrischen Größen zur Beschreibung des Knickverhaltens, wobei Sie sich zweckmäßigerweise der untenstehenden Tabelle bedienen: Querschnittfläche A [mm²] Kolbenstange Treibstange

min. Flächenträgheitsmoment Iax [mm4]

Trägheitsradius i [mm]

Schlankheitsgrad λ [–]

0.5 Aufgaben: Grundlagen der Festigkeitslehre

69

c) Sowohl Kolben- als auch Treibstange bestehen aus St60. Welche Sicherheit gegen Ausknicken liegt vor? Orientieren Sie sich bei der Berechnung zweckmäßigerweise an untenstehendem Schema. Knickung elastisch oder plastisch? Kolbenstange

O elastisch O plastisch

Treibstange

O elastisch O plastisch

Nennspannung

Knickspannung

[N/mm²]

[N/mm²]

Knicksicherheit

70

uipuu

0 Grundlagen der Festigkeitslehre

71

1

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

In Erweiterung des Eingangskapitels ist das reale Bauteil in einer realen Maschine einem komplexen Belastungszustand ausgesetzt, der zuweilen nur mit erheblichem Aufwand erfaßt werden kann. Die in Kapitel 0 praktizierte Vorgehensweise enthielt zunächst modellhafte Vereinfachungen, die zwar von der praktischen Wirklichkeit wegführten, aber den Aufwand zur Behandlung des Problems reduzierten und damit das Verständnis erleichterten. Im weiteren Verlauf dieses Kapitels entfallen diese Vereinfachungen schrittweise, so daß in zunehmendem Maße ein praxisgerechter Zustand erfaßt werden kann. Eine vollkommene Übereinstimmung des Rechenmodells mit der praktischen Wirklichkeit ist aber meist nicht zu erzielen, da die Formulierung des Ansatzes zu komplex und der Rechenaufwand zu hoch wird. Die Aufgabe des praktisch tätigen Ingenieurs ist es häufig, mit möglichst geringem Aufwand ein möglichst präzises Ergebnis anzustreben. Dieses Vorgehen erfordert eine zunehmende Verknüpfung mit dem Fachgebiet „Werkstoffkunde“, wobei die dynamische Belastung und die Betriebsfestigkeit eine zentrale Rolle spielen. In diesem Rahmen ist dabei eine Konzentration auf die im Maschinenbau vorrangig verwendeten metallischen Werkstoffe angebracht. Die Dynamik einer Belastung kann von sehr komplexer Natur sein. Um diese Fragestellung im überschaubaren Rahmen zu belassen, werden die damit verbundenen Sachverhalte im Rahmen dieses Kapitels an Achsen und Wellen erläutert, die für den Maschinenbau überaus wichtige Bauteile darstellen.

1.1

Überlagerung von Spannungszuständen (B)

Die folgende Tabelle stellt die im vorangegangenen Kapitel formulierten Spannungen noch einmal im Zusammenhang dar: Normalspannung elementare Form

σ ZD =

abgewandelte Form

σb =

F A

Mb Wax

Schubspannung τQ =

τt =

F A

Mt Wpol

72

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Die Betrachtungen von Kapitel 0 beschränkten sich darauf, nur jeweils eine einzige Belastungsform zu untersuchen. Die dabei vorgestellten Beispiele wurden so angelegt, daß diese Lastannahmen auch modellhaft zutrafen. Die technische Realität sieht aber oft sehr viel komplexer aus, weil in den meisten Fällen mehrere verschiedene Belastungsformen gleichzeitig auf das Bauteil einwirken. Damit stellt sich die Frage, wie das Nebeneinander verschiedener Belastungsformen für den Festigkeitsnachweis zu bewerten ist. Eine Gesamtspannung läßt sich dann einfach ermitteln, wenn es sich entweder um die Zusammensetzung mehrerer Normalspannungen, oder aber um eine Zusammensetzung mehrerer Tangentialspannungen handelt. Wie die folgenden Beispiele zeigen, können in diesen Fällen die einzelnen Spannungsanteile einfach unter Berücksichtigung ihres Vorzeichens addiert werden.

d

d

d

d

∅

Querkraft- und Torsionsschub

∅

Querkraft schub

∅

Zug und Biegung

∅

Zug

⊗F h

F σz

⊗F h

F

σz

τQ

τQ

+

+

σb

τt

=

=

σges

τges

Bild 1.1: Überlagerung von Spannungszuständen.

1.1 Überlagerung von Spannungszuständen (B)

73

Im linken Beispiel wird ein in der Decke fest eingespannter Balken am unteren Ende mit einem Querbalken verbunden. Wird das Gebilde rein zentrisch auf Zug belastet, so hat der Querbalken überhaupt keine Bedeutung, im senkrechten Balken stellt sich die darunter skizzierte reine Zugspannung σZ ein. Wirkt die Kraft F jedoch nicht zentrisch, sondern wird sie am Querbalken als Hebelarm eingeleitet, so entsteht zusätzlich ein Biegemoment, welches im senkrechten Balken eine zusätzliche Biegespannung hervorruft. Die Gesamtbelastung ergibt sich dann als Superposition von Zugspannung σZ und σb:

Die gleiche Vorgehensweise läßt sich auch dann anwenden, wenn die Kraft F in die Zeichenebene hinein wirkt: Greift sie zentrisch an (links), so resultiert daraus eine über dem Querschnitt konstante Schubspannung τQ. Wenn die Kraft F am Querbalken eingeleitet wird, so wird ein zusätzliches Torsionsmoment hervorgerufen, das sich im senkrechten Torsionsstab als Torsionsspannung τt abstützt. Die Gesamtbelastung läßt sich dann als Superposition von τt und τQ formulieren:

σges = σb + σZ ≤ σzul

τges = τt + τQ ≤ τzul τ bzw. S = zul Gl. 1.2 τQ + τ t

σzul bzw. S = σZ + σb

Gl. 1.1

Aus dieser Überlegung wird auch unmittelbar klar, daß auf der rechten Seite des senkrechten Balkens die höchste Beanspruchung vorliegt. Ein mögliches Bauteilversagen würde also von dieser Stelle seinen Ausgang nehmen.

Auch in diesem Fall liegt die höchste Belastung auf der rechten Seite. Mit der Annahme eines sehr kurzen Torsionsstabes soll modellhaft sichergestellt werden, daß durch die belastende Kraft F bezüglich der Einspannung keine Biegebelastung auftritt. Die dadurch entstehende Normalspannung könnte mit den voranstehenden Überlegungen nicht in Einklang gebracht werden.

Aufgaben 1.1 bis 1.3 Die zuvor aufgeführten Beispiele beschränken sich darauf, daß entweder nur Normalspannungen oder nur Tangentialspannungen vorliegen. Der allgemeine Fall besteht aber darin, daß das Bauteil gleichermaßen mit Normalspannungen und Tangentialspannungen belastet wird. Die dabei auftretenden einzelnen Spannungen lassen sich nicht ohne weiteres addieren. Wird ein Bauteil einem solchen überlagerten Spannungszustand ausgesetzt, so stellt sich die Frage, mit welcher Spannung ein Festigkeitsnachweis geführt werden soll. In der Festigkeitslehre und in der Werkstoffkunde hat es deshalb immer wieder Versuche gegeben, aus den einzelnen Spannungsanteilen σ und τ nach bestimmten Ansätzen eine sog. „Vergleichsspannung“ zu formulieren. Diese Modellvorstellungen sind so angelegt, daß die so errechnete Vergleichsspannung σV von der Werkstoffbeanspruchung her gleichbedeutend ist mit dem

74

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

zuvor beschriebenen Normalspannungszustand. Aus diesem Grund wird die Vergleichsspannung ebenfalls mit σ bezeichnet, obwohl diese Spannung neben den Normalspannungen auch Tangentialspannungen beinhaltet. Grundlage für diese Kennzeichnung ist der Umstand, daß in den allermeisten Fällen die Normalspannung den größeren Belastungsanteil einbringt. Zu diesem Zweck wurden eine Reihe von Festigkeitshypothesen entwickelt. Auf dieses werkstoffkundliche Problem soll jedoch an dieser Stelle nicht vertiefend eingegangen werden. Für die im weiteren Verlauf noch zu diskutierenden Anwendungsfälle hat sich vor allen Dingen die sog. „Gestaltänderungsenergie-Hypothese“ bewährt. Diese Hypothese mündet für die im Maschinenbau verwendeten Stahlwerkstoffe in der relativ einfachen Formulierung: σV = σges ² + 3 ⋅ τges ² ≤ σ zul (Stahl)

Gl. 1.3

Dabei setzen sich die Einzelkomponenten σges und τges jeweils aus den einachsigen Überlagerungen nach der vorstehenden Überlegung zusammen: σges = σb + σZD

und

τges = τt + τQ

Gl. 1.4

Die nach dieser Hypothese errechnete Vergleichsspannung läßt sich in anschaulicher, aber nicht ganz wissenschaftlicher Weise interpretieren als Hypotenuse in einem Dreieck, in dem die Normalspannung σges und die Tangentialspannung τges senkrecht aufeinander stehen. Da aber normale Stahlwerkstoffe gegenüber Schub weniger belastbar sind, muß die Tangentialspannung mit dem oben aufgeführten „Gewichtungsfaktor“ (in diesem Falle 3) versehen werden. Für Schweißwerkstoffe hingegen gilt eine ähnliche Formulierung, die berücksichtigt, daß dieses Material gegenüber Schubbelastung weniger empfindlich ist: σ v = σges ² + α 0 ⋅ τges ²

(Schweißwerkstoff)

Gl. 1.5

Der „Gewichtungsfaktor“ α0 wird für statische Last mit 1 und für dynamische Belastung mit 2 angenommen. Weitere Aspekte der Festigkeit von Schweißverbindungen werden im Kapitel 3 (Verbindungstechniken und Verbindungselemente) aufgegriffen werden. Weitergehende Erörterungen zur Formulierung der Vergleichsspannung sollen der Werkstoffkunde und der Festigkeitslehre vorbehalten bleiben (z.B. [1.5], Kapitel 8 und 9). Aufgaben 1.4 und 1.5

1.2

Zeitlich veränderliche Belastung (B)

Alle bisherigen Betrachtungen bezogen sich auf den „quasistatischen Belastungszustand“: Die Belastung (Kraft, Moment) und die daraus resultierenden Spannungen (σ und τ) ändern sich nicht bzw. so langsam, daß dies für die Bauteilbelastung ohne Bedeutung ist. Der zeitliche Verlauf dieser Belastung läßt sich grafisch als horizontale Gerade verdeutlichen:

1.1 Überlagerung von Spannungszuständen (B)

75

Bild 1.2: Quasistatischer und zeitlich veränderlicher Belastungsverlauf.

Sowohl die Kräfte und Momente als auch die Spannungen zeigen dabei qualitativ den gleichen konstanten Verlauf. Der Fall der quasistatischen Belastung tritt im praktischen Maschinenbau allerdings eher selten auf, denn schließlich ist die Bewegung und die damit verbundene Laständerung ja das kennzeichnende Merkmal einer Maschine. Die die Maschine und deren Komponenten belastenden Kräfte und Momente werden vielmehr im allgemeinen Fall zeitlich nicht konstante Spannungszustände hervorrufen. Aber selbst bei zeitlich veränderlicher Belastung behalten alle bisherigen Betrachtungen und Berechnungen für die Normalspannungen σ aufgrund von Längskräften und Biegemomenten und für die Schubspannungen τ aufgrund von Querkräften und Torsionsmomenten weiterhin ihre Gültigkeit. Es muß allerdings in einer erweiterten Betrachtung die zeitliche Veränderung der Belastung berücksichtigt werden.

1.2.1

Modellfälle zeitlich veränderlicher Beanspruchung (B)

Der in Bild 1.2 dargestellte zeitlich veränderliche Belastungsverlauf ist rechnerisch nicht ohne weiteres zu beschreiben, so daß man auch hier zunächst nach modellhaften Vereinfachungen sucht. Es läßt sich eine Kennzahl κ formulieren, die als Quotient aus der unteren und der oberen Belastung definiert ist: κ=

Fu M bu M tu σu τu = = = = Fo M bo M to σo τo

Gl. 1.6

Dabei bezeichnet der Index „u“ jeweils den unteren und der Index „o“ den oberen Belastungswert. Für den Fall der rein statischen Belastung sind Zähler und Nenner gleich und damit ist κ = 1. Werkstoffkundliche Beobachtungen zeigen, daß zumindest für die im Maschinenbau verwendeten Metalle eine einheitliche Betrachtung der Belastungsfunktion als modellhafte dynamische Sinusfunktion mit einem überlagerten statischen Anteil ausreicht und in seinem zeitlichen Verlauf nicht weiter differenziert werden braucht, auch wenn der tatsächlich auftretende Belastungsverlauf nicht sinusförmig ist, sondern komplexere Anteile enthält. Weiterhin sind die dabei auftretenden Belastungsgeschwindigkeiten bzw. die damit angenommen modellhaften Frequenzen von untergeordneter Bedeutung. Bei der weiteren Schematisierung der dynamischen Belastung lassen sich die Modellfälle nach Bild 1.3 unterscheiden.

76

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

wechselnde Belastung Die wechselnde Belastung entspricht in ihrem modellhaften Verlauf einer Sinusfunktion, die mit der Angabe einer Ausschlagsspannung σa als Amplitude eindeutig beschrieben werden kann. In diesem speziellen Fall ist die Mittelspannung σm null: σm = 0 Wahlweise kann dieser Sachverhalt auch durch die Angabe der Oberspannung σo und der Unterspannung σu beschrieben werden, die hier jedoch genausogroß sind wie die Ausschlagsspannung σa: σo = σa σu = –σa In diesem Fall ist κ=

σu = −1 σo

schwellende Belastung Die schwellende Belastung pendelt zwischen einem Maximalwert σo und einem Minimalwert σu = 0. Daraus ergibt sich eine Sinusfunktion mit dem Mittelwert σm: σm =

σo und σa = σm 2 σo = 2 ⋅ σm

Dieser Fall wird als „Zugschwellbelastung“ bezeichnet. In diesem Fall ist σu =0 σo Die schwellende Belastung kann auch ausschließlich als Druckspannung vorliegen. In diesem Fall ist κ=

σo = 0 σm = –σa σu = –2 ⋅ σa

allgemein veränderliche Belastung Der etwas allgemeinere Fall stellt sich als Sinusfunktion dar, deren Mittelwert σm eine beliebige Lage einnimmt und von der Ausschlagspannung σa überlagert wird. Dieser Belastungsverlauf läßt sich dann kennzeichnen entweder durch: σo = σm + σa und σu = σm – σa oder wahlweise durch: σo + σ u 2 und σ − σu σa = o 2 Dabei nimmt κ einen Wert zwischen –1 und 1 an: σm =

−1 ≤ κ =

σu ≤1 σo

Bild 1.3: Modellfälle zeitlich veränderlicher Belastungen.

In der Zusammenstellung von Bild 1.3 wird κ als Verhältnismäßigkeit der Normalspannung σ betrachtet, aber grundsätzlich läßt sich der Wert von κ auch als Quotient der Schubspannung τ, der Kraft F oder des Momentes M ausdrücken.

1.3 Darstellung des Belastungszustandes im Smith-Diagramm (B)

1.3

77

Darstellung des Belastungszustandes im Smith-Diagramm (B)

Die Festigkeitsnachweise für statische Belastung der Form σtats ≤ σzul bzw. τtats ≤ τzul könnte man graphisch als „eindimensionales Problem” auf dem Zahlenstrahl darstellen. Diese Aussage an sich ist trivial, soll aber beim Verständnis der folgenden Erweiterung helfen: Wenn sich die Belastung aus statischem und dynamischem Anteil zusammensetzt, so liegt ein „zweidimensionales“ Problem vor, welches zunächst einmal nach der Darstellung des Belastungszustandes in der zweidimensionalen Ebene verlangt. In einem weiteren Schritt wird dann in dieser zweidimensionalen Ebene das werkstoffkundlich zulässige Gebiet abgesteckt. In der Gegenüberstellung des zweidimensionalen Belastungszustandes und der zweidimensional zulässigen Belastung kann dann schließlich der Sicherheitsnachweis geführt werden. Die Dynamik eines jeden Belastungsverlaufs läßt sich in Diagrammform eindeutig darstellen, in dem die zeitlich veränderliche Spannung σ über der zeitlich unveränderlichen Spannung σm aufgetragen wird:

Bild 1.4: SmithDiagramm schematisch.

Die statische Belastung als einfachster Belastungsfall findet sich dann auf der Winkelhalbierenden des Diagramms wieder (σ = σo = σm = σu; σa = 0). Je größer die statische Belastung wird, desto mehr bewegt sich der Lastpunkt auf der Winkelhalbierenden aufwärts. Bei zeitlich veränderlicher Belastung kann eine Mittelspannung σm als zeitlich konstanter Wert formuliert werden, der sich auch hier auf der Winkelhalbierenden wiederfindet. Die aktuelle Spannung σ pendelt aber um diesen Mittelwert herum auf der Senkrechten zwischen σo und σu, der Lastzustand stellt sich als Strecke zwischen σo und σu dar. Da jedoch sowohl σo als auch σu zur σm-Achse den gleichen Abstand aufweisen, kann der Lastzustand auch durch die bloße Lage des Punktes σo eindeutig beschrieben werden. Diese Darstellung des dynamischen Lastverlaufs wird Smith-Diagramm genannt. In diesem Diagramm lassen sich natürlich auch die bereits diskutierten Modellfälle darstellen (Bild 1.4, rechter Bildteil): • Jeder statische Lastzustand liegt auf der Winkelhalbierenden, weil kein σa-Anteil vorhanden ist: σ = σm. In diesem Fall ist κ = σu / σo = 1.

78

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

• Wechselnde Belastungen finden sich auf der σ-Achse wieder, weil ein σm-Anteil nicht vorhanden ist. In diesem Fall ist κ = σu / σo = –1. • Schwellende Belastungen finden sich auf einer Geraden wieder, die die Steigung 2 aufweist (Steigungswinkel = arctan 2 = 63,4°). In diesem Fall ist κ = σu / σo = 0. Grundsätzlich gilt, daß die Dynamik des Betriebszustandes mit zunehmender Steigung der κGeraden ansteigt und daß die Belastung mit der Entfernung vom Koordinatenursprung zunimmt. Das Smith-Diagramm ist für alle weiteren Betrachtungen von überragender Bedeutung, weil sich damit nicht nur die Bauteilbelastungen, sondern auch die werkstoffkundlich zulässigen Beanspruchungen in besonders anschaulicher Weise darstellen lassen.

1.4

Belastung von Achsen und Wellen (B)

Kennzeichnendes Merkmal einer Maschine ist die Bewegung, die in vielen Fällen als Rotation von Achsen und Wellen auftritt. Deren Dimensionierung ist also ein besonders wichtiges und häufiges Problem des Maschinenbaus. Zwischen diesen beiden Begriffen besteht definitionsgemäß der folgende Unterschied: • Wellen übertragen ein Torsionsmoment und drehen sich dabei (Beispiel: Motor treibt Pumpe oder Getriebe an). • Achsen übertragen im Gegensatz zu Wellen kein Torsionsmoment, wobei es unerheblich ist, ob sich die Achse dreht oder nicht (Beispiel: Lagerung Seilrolle). Achsen und Wellen müssen gelagert werden. Lager sind zwar erst Gegenstand von Kapitel 5, Band II, für die Abstützung der Kräfte von Achsen und Wellen müssen jedoch an dieser Stelle bereits einige grundsätzliche Betrachtungen bezüglich des Lastübertragungsverhaltens von Lagern angestellt werden.

1.4.1

Lagerung von Achsen (B)

Die in Bild 1.5 vorgenommene Gegenüberstellung führt in die Fragestellung der Belastung von Achsen ein, wobei beispielhaft von der Lagerung einer einfachen Seilumlenkrolle ausgegangen wird. Die dabei eingeleitete Belastung rührt nur vom umzulenkenden Seil her, die resultierende Kraft wirkt rein radial.

1.4 Belastung von Achsen und Wellen (B)

79

Lagerung beidseitig

Lagerung fliegend

F

Achse feststehend

F

Mb

Mb

Mb

F/2

F

F/2

FKugel

Mb

F

F

h

Achse drehend

Mb FKugel

Mb

F

FLager

F/2

F/2 Mb

FLager Bild 1.5: Lagerung von Achsen.

80

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Wird die Lagerung zwischen Achse und Seilrolle angebracht, so dreht sich die Achse nicht (obere Bildzeile). Wird die Achse an beiden Ende an das Gestell angekoppelt (links), so ergibt sich die sog. „beidseitige Lagerung“. Wird die Achse einseitig an die Umgebung angebunden (oben rechts), so liegt eine sog. „fliegende Lagerung“ vor. Bezüglich ihrer Dimensionierung kann die Achse in beiden Fällen als Biegebalken betrachtet werden, der mit dem hier skizzierten Biegemomentenverlauf Mb belastet wird. Die Belastung ist zwar bei beidseitiger Lagerung erheblich geringer, aber die fliegende Lagerung bietet den Vorteil der vereinfachten Montage und Austauschbarkeit der Seilrolle. Die beidseitige Lagerung kann auch so modifiziert werden, daß die Seilrolle fest auf der Achse angebracht wird, wobei die Drehbewegung dann zwischen der Achse und dem Gestell stattfindet (Darstellung unten links). Die Größe des Biegemomentes ändert sich gegenüber dem darüber skizzierten Fall nicht. Bei dem Versuch, die fliegende Lagerung in ähnlicher Weise mit einer drehenden Achse auszuführen (mittlere Detailskizze rechts), treten jedoch Probleme auf: Würde man versuchen, die Lagerung mit nur einem einzigen Lager auszustatten, so müßte der „drehbare Biegebalken“ im Sinne der Mechanik mit einer „festen Einspannung“ im Lager abgestützt werden, wobei das Lager aber trotzdem eine Drehung zulassen müßte. Durch elastische Deformation in der Kugelkontaktzone entsteht nur ein kurzer, hier übertrieben groß dargestellter Hebelarm h, auf dem sich das Biegemoment Mb abstützen kann. Dadurch wäre die auf die Kugel wirkende Kraft unzulässig groß. Die Lagerung darf also nur dann mit einem einzigen Lager bestückt werden, wenn sichergestellt ist, daß kein nennenswertes Biegemoment im Lager übertragen wird. Dieses Problem kann nur durch die paarweise Anordnung von zwei Lagern gelöst werden (Detailskizze unten rechts). Das durch die fliegende Lagerung in die Welle eingeleitete Biegemoment wird auf die Radialkraft zweier Lager, die einen gewissen axialen Abstand zueinander aufweisen, aufgestützt. Dabei wird jedoch sowohl das die Achse belastende Biegemoment als auch die Radialkraft auf das Lager größer als bei der beidseitigen Lagerung.

1.4.2

Lagerung von Wellen (B)

Bei der Betrachtung der Belastung von Wellen können die zuvor angestellten Überlegungen in ähnlicher Form übernommen werden. Die zusätzliche Torsionsbelastung der Welle macht allerdings noch einige weitere Überlegungen erforderlich:

Mt Mt

Lager

Wird das durch die Welle übertragene Torsionsmoment sowohl querkraftfrei eingeleitet als auch wieder querkraftfrei abgeleitet, so wird zwar die Welle auf ihrer gesamten Länge durch das Torsionsmoment belastet, es treten aber keine weiteren Belastungen auf. Die Lager dienen in diesem Falle nur zur Führung der Welle, nehmen keine Kraft auf und können ggf. weggelassen werden (beispielsweise Mittelteil einer Gelenkwelle).

Bild 1.6: Welle Momenteneinleitung querkraftfrei – querkraftfrei

1.4 Belastung von Achsen und Wellen (B)

FLager

Mt

Mt Mb FLager

81 Torsionsmomente werden durch Elemente der Antriebstechnik (Zahnräder, Riemenscheiben, Kupplungen usw.) in die Welle eingeleitet, wodurch zusätzliche Belastungen in der Welle hervorgerufen werden. Das hier abgebildete Kettenrad beispielsweise bringt das Torsionsmoment mit dem Produkt aus Kettenkraft und Kettenradradius als Hebelarm ein. Die Kettenkraft belastet die Welle als „drehbaren Biegebalken“ wie im zuvor betrachteten Fall der drehbaren, fliegend gelagerten Achse. Der Biegebalken muß an den Lagerstellen abgestützt werden, was die Lager mit einer Kraft belastet.

FKette

Mt Mt

Wird das Kettenrad zwischen die beiden Lager plaziert, so ergeben sich ähnliche Konsequenzen, allerdings wird die Welle wie ein doppelseitig aufgestützter Biegebalken belastet.

FLager Mb FLager

FKette

Bild 1.7: Welle Momenteneinleitung querkraftbehaftet – querkraftfrei.

82

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit Wird das Torsionsmoment sowohl querkraftbehaftet eingeleitet als auch querkraftbehaftet abgeleitet und werden beide Krafteinleitungsstellen fliegend ausgeführt, so ergibt sich die nebenstehende Belastung. Da hier vereinfachend eine symmetrische Anordnung angenommen wurde, ist auch die Biegemomentenverteilung symmetrisch.

Mt Mb FLager

FKette

FLager FKette

Mt FLager

Wird das Torsionsmoment querkraftbehaftet über eine fliegende Lagerung eingeleitet und querkraftbehaftet über eine beidseitig abgestützte Lagerung abgeleitet, so erfährt die Welle die nebenstehend skizzierte Lastverteilung.

Mb

FLager

FKette

FKette Bild 1.8: Welle Momenteneinleitung querkraftbehaftet – querkraftbehaftet.

Neben den hier skizzierten Lagerungen sind auch weitere Kombinationen von fliegender und beidseitiger Lagerung möglich. Zusätzliche Varianten ergeben sich, wenn die Welle über mehr als zwei Momenteneinleitungs- bzw. -ableitungsstellen verfügt. In den hier diskutierten Darstellungen wirken die Kräfte alle in einer Ebene. Im allgemeinen Fall greifen die Kräfte nicht nur in einer Ebene an, so daß eine räumliche Betrachtung erforderlich wird. In diesen Fällen ist es dann meist übersichtlicher, die wirkenden Kräfte komponentenweise in zwei zueinander senkrechte Ebenen zu zerlegen. Eine differenzierte Analyse dieser Bedingungen ist sowohl für die Dimensionierung der Lager als auch für die Festigkeitsberechnung der Welle erforderlich. In vielen Fällen ergibt es sich, daß sowohl für Achsen als auch für Wellen die Biegebeanspruchung die für die Festigkeitsberechnung vorherrschende Belastungsart ist. Das einzelne Lager kann in aller Regel kein Biegemoment übertragen. Schließt die Umgebungskonstruktion und die Lasteinleitung eine Biegemomentenbelastung an der Lagerstelle

1.4 Belastung von Achsen und Wellen (B)

83

aus, so wird die Lösung besonders einfach (Abschnitt 1.4.3). Muß hingegen im allgemeinen Fall ein Biegemoment übertragen werden, so sind zwei Lager erforderlich, die im Abstand untereinander den Hebelarm zur Verfügung stellen, auf dem das zu übertragende Biegemoment abgestützt werden kann (Abschnitt 1.4.4.). Diese einfache Modellüberlegung kann in dieser Form aber noch nicht technische Realität werden, denn es treten zwei wesentliche Probleme auf: Auch wenn keine Axialkräfte auftreten, so muß die Welle relativ zum Gehäuse axial geführt werden. Dies bringt fertigungs- bzw. montagetechnische Probleme mit sich, da zwar axial festgelegt werden muß, die einzelnen Lager aber untereinander nicht axial verklemmt werden dürfen. Dieses Problem wird dadurch verschärft, daß Welle und Gehäuse i.a. unterschiedliche Wärmeausdehnungen erfahren. Bei Auftreten von Axialkräften soll das System nicht statisch überbestimmt sein. Es muß vielmehr durch konstruktive Maßnahmen festgelegt werden, welches der beiden Lager die Axialkraft aufnimmt. Zur weiteren Diskussion dieses Sachverhaltes ist es angebracht, neben dem zuvor aufgeführten radialen Rillenkugellager noch einige weitere einfache Lagerbauformen zu betrachten: radial Gleitlager radial

axial

radial und axial

Gleitlager axial

Gleitlager radial und axial

Frad

Frad

Gleitlager

Fax

Ein einfaches Gleitlager in Form einer auf der Innenseite spielbehafteten und außen in der Umgebungskonstruktion eingepreßten Hülse kann nur Radialkräfte übertragen.

Eine plane Anordnung der kreisringförmigen Kontaktfläche erlaubt nur eine Übertragung von Axialkraft, die angesetzte kurze Hülse dient nur zur Führung.

Fax

Die Kombination der beide links aufgeführten Konstruktionen erlaubt die Übertragung von Radial- und Axialkraft.

84

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit Wälzlager radial

Wälzlager radial und axial

Wälzlager axial

Frad

Frad

Fax Wälzlager

Fax

Dieses Kugellager kann nur Radialkraft übertragen, da der Außenring mit Spiel in das Gehäuse eingefügt und axial nicht abgestützt ist.

Das Axialrillenkugellager kann nur Axialkraft übertragen, weil Radialkräfte die Kugeln aus ihrer Laufrille herausheben würden.

Wird der Innenring axial auf der Welle und der Außenring axial im Gehäuse abgestützt, so können sowohl Radial- als auch Axialkräfte übertragen werden.

Bild 1.9: Kraftübertragung durch verschiedene Lagerbauformen.

Es gibt zwar noch eine ganze Reihe weiterer Bauformen von Wälzlagern und neben Gleitund Wälzlagern noch weitere Lagerungsarten, die grundsätzliche Unterscheidung nach Radiallager, Axiallager und kombiniertem Radial-/Axiallager bleibt jedoch stets erhalten.

1.4.3

Lagerung mit einem einzigen Lager (B)

Ein einzelnes Lager kann nur dann für sich alleine als funktionsfähige Lagerung verwendet werden, wenn eine Biegemomentenbelastung ausgeschlossen ist. Dies trifft bei Rillenkugellagern dann zu, wenn sichergestellt ist, daß die belastende Kraft nur in der durch die Kugeln aufgespannten Ebene wirkt. Dieser Fall liegt beispielsweise bei der Lagerung einer Riemenspannrolle vor (s. Bild 1.10).

Bild 1.10: Riemenspannrolle.

1.4 Belastung von Achsen und Wellen (B)

85

Diese Spannrolle besteht aus einem Zapfen mit eingearbeiteten Laufbahnen, dem Kugelkranz und dem Außenring mit aufgespritzter Riemenscheibe aus Kunststoff. Die Bohrung für die Schraube zur Befestigung der Achse am Maschinengestell ist exzentrisch angeordnet, so daß sich durch Drehen des Zapfens um seine Schraubbefestigung die Riemenspannung variieren läßt. Weiterhin können viele Seilrollen aus der Fördertechnik ähnlich gelagert werden: Durch die Lage des Seils ist die Wirkungslinie der auf die Lagerung wirkenden Kraft bekannt. Das einzelne Lager muß nur noch genau in dieser Krafteinleitungsebene angeordnet werden, womit dann sichergestellt ist, daß das Lager nicht mit einem Biegemoment belastet wird.

1.4.4

Fest-Los-Lagerung (B)

Die klassische Bauform einer Wälzlagerung mit zwei Wälzlagern zur Aufnahme von Kräften und eines zusätzlichen Biegemomentes ist die sog. Fest-Los-Lagerung. In Bild 1.11 ist diese Lageranordnung in modellhaft einfacher Version dargestellt:

Bild 1.11: Fest-Los-Lagerungen.

In allen aufgeführten Konstruktionsbeispielen nehmen beide Lager entsprechend den konstruktiv vorgegebenen Abständen und den damit verbundenen Hebelarmen Radialkräfte auf. Im Fall a wird die in die Welle eingeleitete Axialkraft ausschließlich vom linken Festlager aufgenommen, weil der Lagerinnenring fest mit der Welle und der Lageraußenring fest mit dem Gehäuse verbunden sind. Das rechts angeordnete Loslager ist zwar ebenfalls fest mit der Welle verbunden, aber aufgrund des Schiebesitzes im Gehäuse weicht es jeglicher Axialbelastung aus und überbrückt Montage- und Fertigungsfehler. Im Fall b ist der aus den gleichen Gründen angestrebte Schiebesitz zwischen Innenring und Welle angeordnet. Bei den

86

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Fällen c und d ist das rechte Lager ebenfalls Loslager, weil die hier verwendeten Rollenbzw. Nadellager aufgrund ihrer Konstruktion jeglicher Axialkraft ausweichen, obwohl der Innenring fest mit der Welle und der Außenring fest mit dem Gehäuse verbunden ist. Die axiale Festlegung der Lagerringe wird hier einheitlich mit Wellenabsätzen und Federringen ausgeführt. Weitere Konstruktionsvarianten werden im Kapitel Lagerungen (Band II) erläutert.

1.4.5

Umlaufbiegung (B)

Durch die Drehung ändert sich die relative Lage von Welle oder Achse bezüglich der Umgebungskonstruktion und damit auch die Richtung der auf sie wirkenden Belastungen in Form von Querkraft und Biegung. Zur Klärung der dabei entstehenden Belastungsverhältnisse wird die folgende Fallunterscheidung näher analysiert:

zeitlicher Verlauf der Biegespannung

zeitlicher Verlauf der Biegespannung

Im hier dargestellten Fall der mit der Achse oder Welle verbundenen Unwucht läuft die belastende Kraft und damit die Biegemomentenbelastung mit der Welle oder Achse um. Da sich dabei die relative Lage von Belastung und Welle zueinander nicht ändert, ergibt sich für die Festigkeitsbetrachtung der Achse oder Welle ein Biegemoment, welches eine statische Biegespannung hervorruft.

Ist die Belastung hingegen raumfest, während die Welle oder Achse rotiert (Beispiel Kettenrieb, Zahnrad, Riementrieb), so ergibt sich dadurch für die Festigkeitsbetrachtung der Welle ein Biegemoment, welches eine dynamische Biegespannung hervorruft, weil sich die relative Lage von Belastung und Welle zueinander durch die Drehung der Welle ständig ändert. Ein Lastspiel entspricht dabei einer Umdrehung der Welle.

Bild 1.12: Welle oder Achse bei Biegung und Umlaufbiegung.

1.4 Belastung von Achsen und Wellen (B)

87

Eine ähnliche Differenzierung ist auch bei der Querkraftbelastung angebracht. Diese Gegenüberstellung kann jedoch zunächst nur als modellhaft gelten. Im praktischen Anwendungsfall müssen in der Regel noch weitere Differenzierungen getroffen werden. Aufgaben 1.6 bis 1.10

1.4.6

Achsen und Wellen gleicher Biegefestigkeit (E)

Bereits im Abschnitt 0.1.2.7 wurde der Balken gleicher Biegefestigkeit betrachtet. Auch Wellen und Achsen lassen sich als „drehbare Balken gleicher Biegefestigkeit“ ausführen.

FKl

FKr Bild 1.13: Kettenradwelle.

Am Umfang der Kettenräder werden Kettenzugkräfte in der in Bild 1.13 angedeuteten Weise nach unten eingeleitet. Neben der Torsionsbelastung ergibt sich gemeinsam mit den in den Lagern hervorgerufenen Reaktionskräften entlang der Welle eine Biegemomentenverteilung, die ihr Maximum am rechten Lager erfährt. Würde man daraus eine Welle konstanten Durchmessers dimensionieren, so ergäbe sich der in Bild 1.14 dargestellt Zylinder.

88

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit 265 200 80

FLr

FLl

X

FKl

FKr

Bild 1.14: Welle gleicher Biegefestigkeit.

∅90

∅154

Wird jedoch die Welle an jedem Ort x nur mit dem jeweils minimal erforderlichen Wellendurchmesser d(x) ausgeführt, so ergibt sich der dargestellte zigarrenförmige Rotationskörper als Welle gleicher Biegefestigkeit. Die ausgeführte Welle kann aber dieser festigkeitsmäßig optimalen Kontur aus fertigungstechnischen und konstruktiven Gründen nicht exakt folgen, sondern wird meist stufenförmig mit zylindrischen Abschnitten (hier beispielhaft ausgeführt in Bild 1.15) ausgeführt. In diesem Fall muß allerdings sichergestellt sein, daß durch die ausgeführte Konstruktion die Form des Idealkörpers an keiner Stelle unterschritten wird.

80

120

Bild 1.15: Konstruktiv ausgeführte Kettenradwelle.

65

1.5 Werkstoffkundlich zulässige Belastung

89

Die obige Betrachtung geht von der Biegebelastung als dominantem Belastungsanteil aus. Im allgemeinen Fall kommen jedoch noch weitere Belastungen hinzu, die ggf. in einer endgültigen Dimensionierung zu berücksichtigen sind.

1.5

Werkstoffkundlich zulässige Belastung bei zeitlich veränderlicher Beanspruchung (E)

Wird ein Bauteil dynamisch belastet, so stellt sich ebenso wie bei quasistatischer Belastung die entscheidende Frage, ob das Bauteil dieser Belastung standhält oder nicht. Bei dynamischer Belastung ist der Festigkeitsnachweis jedoch komplexer als bei quasistatischer Belastung, weil der Parameter Zeit bzw. Lastwechselzahl bei der Festlegung der zulässigen Werkstoffbeanspruchung mit berücksichtigt werden muß. Auch unterhalb der Streckgrenze liegende Belastungen führen zu Schäden durch Anrißbildung und Rißfortschritt schließlich zum Versagen des Bauteils. Diese Beobachtung macht deutlich, daß auch in diesem Bereich im Werkstoff mikroplastische Vorgänge ablaufen, die schließlich durch Anhäufung der schädigenden Wirkung eines jeden Lastspiels das Versagen des Bauteils durch Werkstoffermüdung herbeiführen.

1.5.1

Betriebsfestigkeit (E)

Zunächst einmal ist die folgende qualitative werkstoffkundliche Beobachtung bei der dynamischen Bauteilbelastung wichtig: • Liegt ein hohes Lastniveau (Kraft, Moment, Spannung) vor, versagt das Bauteil nach einer relativ geringen Lastwechselzahl. Wird das Lastniveau abgesenkt, wird die Lastwechselzahl bis zum Versagen des Bauteils immer höher. • Wird das Lastniveau unter einen gewissen Wert abgesenkt, versagt das Bauteil nicht mehr, es „hält ewig“. • Versuchstechnisch läßt sich beobachten, daß das Versagen des Bauteils nicht eine Funktion der Betriebsdauer ist, sondern vielmehr von der Anzahl der aufgebrachten Lastwechsel abhängt. Diese Beobachtungen lassen sich im sog. „Wöhlerdiagramm“, Bild 1.16 anschaulich zusammenfassen.

90

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Bild 1.16: Wöhlerdiagramm schematisch.

Das Versagen des Bauteils ist bei hohem Lastniveau nur eine Frage der Zeit. Trägt man die Lastwechselzahl LW logarithmisch auf, so bildet sich der linke Bereich als abfallende Gerade ab. Dieser funktionale Zusammenhang zwischen Last und Lastwechselzahl wird „Zeitfestigkeitsbereich“ genannt. Im rechten Bereich der Kurve hält das Bauteil dauernd der Belastung stand, deshalb nennt man ihn „Dauerfestigkeitsbereich“. Die Zeitfestigkeit und die Dauerfestigkeit ergeben zusammen die Betriebsfestigkeit. Die Versuchsbeobachtungen zeigen weiterhin, daß bei Stahlwerkstoffen ungeachtet seiner Festigkeitswerte der Übergang von der Zeitfestigkeit zur Dauerfestigkeit bei etwa 2 ⋅ 106 . . . 107 Lastwechseln liegt. Bei Nichteisenmetallen und deren Legierungen sowie bei austenitischen Stählen kann eine Dauerfestigkeit nicht beobachtet werden, so daß auch bei Lastwechselzahlen von 107 noch mit einem Bauteilversagen zu rechnen ist. Wöhlerlinien können sowohl für Normalspannung als auch für Schubspannung und für jede beliebige Zusammensetzung von statischer und dynamischer Belastung versuchstechnisch erstellt werden. In der Praxis genügt es jedoch, das Wöhlerdiagramm für die schwellende und die wechselnde Belastung zu ermitteln. Die statische Belastung als weiterer Modellfall ist ja ohnehin von der Lastwechselzahl unabhängig.

1.5.2

Dauerfestigkeitskennwerte (E)

Da Maschinen in aller Regel eine Lastwechselzahl von 2⋅106 Lastwechsel überdauern sollen, werden sie und damit deren Bauteile meist dauerfest ausgelegt, so daß vor allen Dingen die zulässigen Werte für den Dauerfestigkeitsbereich interessieren. Zeitfestigkeitswerte werden nur für spezielle Anwendungen benötigt und sind nicht Gegenstand der vorliegenden Betrachtungen. Die Dauerfestigkeitswerte werden versuchstechnisch ermittelt und in Tabellen zusammengestellt. Die für die weiteren Betrachtungen benötigten Materialkennwerte sind: Lastaufbringung

Zug/Druck

Biegung

(Torsions-)Schub

statisch κ = +1

Zugstreckgrenze σzS

Biegestreckgrenze σbS

Torsionsstreckgrenze τtS

schwellend κ=0

Zugschwellfestigkeit Biegeschwellfestigkeit Torsionsschwellfestigkeit σzSch σbSch τtSch

wechselnd κ = –1

Zugwechselfestigkeit Biegewechselfestigkeit Torsionswechselfestigkeit σzW σbW τtW

1.5 Werkstoffkundlich zulässige Belastung

91

Natürlich sind die praktisch auftretenden Lastfälle weiter zu differenzieren, da sie ein beliebiges –1 ≤ κ ≤ 1 aufweisen. Die weiteren Betrachtungen werden jedoch zeigen, daß sich der allgemeine Praxisfall mit den oben aufgeführten Materialkennwerten eingrenzen läßt. Aus umfangreichen Versuchen wurden die folgenden Materialkennwerte gewonnen. Alle Werte sind in [N/mm²] bzw. in [MPa] angegeben. Baustähle nach

Zug/Druck

Biegung

(Torsions-)Schub

DIN 17100 Rm

σzS

σzSch

σzW

σbS

σbSch

σbW

τtS

τtSch

τtW

St34

340–420

220

220

160

300

280

170

130

130

100

St37

370–450

240

240

170

340

320

190

140

140

110

St42

420–500

270

270

190

380

380

220

150

150

130

St50

500–600

320

320

220

450

400

250

180

180

150

St52

520–620

340

340

240

450

400

270

190

190

160

St60

600–720

380

380

260

540

530

320

220

220

180

St70

700–850

450

450

320

620

620

370

260

260

200

Vergütungsstähle nach

Zug/Druck

Biegung

(Torsions-)Schub

DIN 17200 Rm

σzS

σzSch

σzW

σbS

σbSch

σbW

τtS

τtSch

τtW

C22

500 –600

300

280

210

410

350

250

170

160

140

C35, Ck35

600 –720

350

330

250

450

450

300

190

190

160

C45, Ck45

650 –800

390

390

290

530

530

350

210

210

170

C60, Ck60

750 –900

450

450

340

600

600

400

260

260

200

24CrMo4

650 –800

450

450

320

600

600

350

260

260

200

30Mn5

800 –950

450

450

320

630

600

350

260

260

200

40Mn4

800 –950

450

450

320

630

600

350

260

260

200

37MnSi3

900–1050

550

550

360

700

680

400

320

320

230

37MnSi5

900–1050

550

550

360

700

680

400

320

320

230

41Cr4, 34Cr4

950–1100

550

550

360

800

690

400

320

320

230

42CrMo4

1000–1200

700

700

400

1000

770

450

400

400

260

34CrNiMo6

1000–1200

800

780

450

1100

880

500

460

460

290

50CrMo4

1250–1300

900

790

450

1260

850

500

470

470

290

30CrNiMo8

1250–1450

900

850

500

1260

960

550

500

500

320

92

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Einsatzstähle nach

Zug/Druck

Biegung

(Torsions-)Schub

DIN 17210 Rm

σzS

σzSch

σzW

σbS

σbSch

σbW

τtS

τtSch

τtW

C10, Ck10

420 –520

250

250

190

350

350

220

150

150

130

C15, Ck15

500 –620

300

300

230

420

420

250

180

180

150

15Cr3

600 –850

400

400

270

520

300

250

170

16MnCr5

800–1100

600

600

360

840

670

400

350

350

230

20MnCr5

1000–1300

700

700

450

1000

850

500

410

410

300

18CrNi8

1200–1450

800

800

530

1100 1040

600

460

460

350

Federstahl nach

Zug/Druck

Biegung

(Torsions-)Schub

DIN 17221 und 17222 Rm

σzS

σzSch

σzW

σbS

σbSch

σbW

τtS

τtSch

τtW

55Si7

1300–1500 1100

700

430

1000

560

480

350

50CrV4

1350–1700 1200

750

470

1100

620

530

390

65SiCr5

1500–1700 1350

800

490

1150

640

550

400

Grauguß nach DIN 1691 Rm

Zug/Druck σzS

Biegung

(Torsions-) Schub

σzSch

σzW

σbS

σbSch

σbW

τtS

τtSch

τtW

GG-15

110 –150

65

40

240

110

70

90

70

GG-20

150 –200

80

50

300

140

90

110

80

GG-25

190 –250

100

60

360

175

110

130

90

GG-30

230 –300

110

70

420

200

130

150

100

GG-35

280 –350

130

80

450

230

150

180

120

Temperguß nach DIN 1692 Rm

Zug/Druck σzS

Biegung

σzSch

σzW

σbS

(Torsions-) Schub

σbSch

σbW

250

140

τtS

τtSch

τtW

130

100

GTW-35

350

180

100

GTW-40

400

200

140

280

330

200

180

280

120

GTS-35

350

150

80

280

220

120

190

180

100

GTS-45

450

220

160

360

370

220

220

210

130

1.5 Werkstoffkundlich zulässige Belastung Gußeisen mit Kugelgraphit

93

Zug/Druck

Biegung

(Torsions-)Schub

nach DIN 1693 Rm

σzS

σzSch

σzW

σbS

σbSch

σbW

τtS

τtSch

τtW

GGG-38

380 –420

250

200

110

300

300

190

200

170

100

GGG-42

420 –500

280

230

130

400

350

210

230

200

120

GGG-50

500 –600

350

260

150

500

430

250

300

250

150

GGG-60

600 –700

420

320

180

600

510

300

350

290

170

GGG-70

700 –900

500

380

210

690

600

350

400

340

200

Stahlguß DIN 1681

Zug/Druck

Biegung

(Torsions-) Schub

Rm

σzS

σzSch

σzW

σbS

σbSch

σbW

τtS

τtSch

τtW

GS-38

380

180

180

130

260

260

160

110

110

95

GS-45

450

220

220

150

300

300

190

130

130

110

GS-52

520

250

250

180

350

350

220

150

150

130

GS-60

600

360

360

210

500

500

260

210

210

140

Aufgabe 1.11

1.5.3

Darstellung der zulässigen Bauteilbelastung im Smith-Diagramm (E)

Um die Festigkeit eines Bauteils nachzuweisen, müssen die tatsächlich auftretenden Spannungen mit den oben genannten zulässigen Spannungen verglichen werden. Eine einfache Gegenüberstellung σvorh ≤ σzul ist hier allerdings nicht möglich, weil i.a. eine Überlagerung von statischer und dynamischer Belastung vorliegt. Da das Smith-Diagramm eine Differenzierung nach statischem und dynamischem Anteil ermöglicht, liegt es nahe, den Sicherheitsnachweis mit Hilfe dieses Diagramms zu führen. Zunächst muß abgeklärt werden, welcher Werkstoff vorliegt, und ob Zug/Druck, Biegung oder Schub als vorwiegend bzw. kritisch zu betrachten sind. Dabei interessieren die drei für die vorherrschende Belastungsart maßgebenden Werkstoffkennwerte Streckgrenze, Schwellfestigkeit und Wechselfestigkeit Für das folgende Beispiel sei angenommen, daß die Biegebelastung vorherrscht und daß der Werkstoff 42CrMo4 verwendet wird. Damit sind die folgenden drei Werkstoffkennwerte maßgebend: 42CrMo4

σbS = 1000 N/mm²

σbSch = 770 N/mm²

σbW = 450 N/mm²

94

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Daraus ergibt sich im Smith-Diagramm folgende grafische Konstruktion:

Bild 1.17: Dauerfestigkeitsschaubild Werkstoffprobe.

• Die Streckgrenze (hier σbS = 1000 N/mm²) wird bei D als Abzissenwert auf der Geraden mit 45° Steigung aufgetragen, weil dort keinerlei Dynamik vorhanden ist. • Die Wechselfestigkeit (hier σbW = 450 N/mm²) wird als Abzissenwert dort markiert, wo die Mittelspannung null ist, also bei σm = 0. Die Wechselfestigkeit wird sowohl nach oben (Punkt A des Diagramms) als auch nach unten (Punkt G) aufgetragen, weil eine wechselnde Belastung definitionsgemäß den gleichen positiven Maximalwert wie negativen Minimalwert aufweist. • Die Schwellfestigkeit (hier σbSch = 770 N/mm²) wird als Ordinatenwert BF aufgetragen, wobei der Abszissenwert zwischen OF = σm = σbSch / 2 ist. Damit befindet sich der Punkt B auf einer Geraden mit der Steigung arctan 2 = 63,4° (κ = 0). Während die zuvor genannten und aufgetragenen Werkstoffkennwerte nur die Belastbarkeitsgrenze für rein statischen (Punkt D), rein schwellenden (Punkt B bzw. F) oder rein wechselnden Betrieb (Punkt A bzw. G) angeben, wird durch Verbindung der Punkte A über B hinaus nach C mit einer waagerechten Verbindung nach D einerseits und von G über F

1.5 Werkstoffkundlich zulässige Belastung

95

hinaus bis E und dann in direkter Verbindung nach D andererseits im Diagramm graphisch das Gebiet abgegrenzt, in dem sich der Betriebspunkt für ein beliebiges Mischverhältnis von statischer und dynamischer Belastung befinden muß, wenn das betrachtete Bauteil dauerfest sein soll. Bei der graphischen Konstruktion des Dauerfestigkeitsschaubildes lassen sich noch einige zeichnerische Vereinfachungen praktizieren: • Der tatsächliche Lastpunkt wandert während eines Lastspiels bei konstantem σm (Abzissenwert) auf und ab, wobei der obere Lastpunkt und der untere Lastpunkt gleichweit von der Winkelhalbierenden entfernt sind. Bei einer Überlastung wird also die obere Begrenzungslinie ABCD und die untere Begrenzungslinie GFED des dauerfesten Gebietes gleichzeitig erreicht. Die Aussage „untere Grenzlinie erreicht“ und „obere Grenzlinie erreicht“ ergeben also gleiche Informationen. Aus diesem Grunde braucht man also nur die obere Grenzlinie zu zeichnen und kann dabei auf die Darstellung des unteren Quadranten ganz verzichten. Bei dieser Vorgehensweise wird also kein ganzes Lastspiel zwischen σo und σu, sondern nur noch die Oberspannung σo betrachtet. Daher wird die senkrechte Achse nicht mehr mit σ, sondern mit σo bezeichnet. • Der im Diagramm mit γ bezeichnete Winkel weist für die verschiedenen metallischen Werkstoffe sehr große Ähnlichkeit auf. Somit kann das Dauerfestigkeitsschaubild auch ohne Angabe der Schwellfestigkeit (im vorangegangenen Beispiel σbSch = 770 N/mm²) gezeichnet werden. Man braucht dann lediglich die Gesetzmäßigkeiten zu beachten, daß γ ≈ 40° ist. Diese Näherungslösung führt jedoch zuweilen zu kleinen Ungenauigkeiten. Im obigen Beispiel wurde exemplarisch ein auf Biegung beanspruchtes Bauteil betrachtet. In genau der gleichen Weise lassen sich auch die Modellfälle Zug/Druck bzw. Schub- und Torsionsbelastung unter Berücksichtigung der jeweils gegebenen Materialkennwerte behandeln. Wird eine Vergleichsspannung σv gebildet, so ist in vielen praktischen Fällen die Biegung vorherrschend, so daß für diesen Fall das Dauerfestigkeitsschaubild für die zulässigen Biegewerte zu erstellen ist. Das zuvor gewonnene Dauerfestigkeitsschaubild ist nur vorläufig, da es an idealisierte Bauteileigenschaften gebunden ist. Es wurde vorausgesetzt, daß das Bauteil • 10 mm im Durchmesser mißt, • eine glatte, polierte Oberfläche hat, • kreisrund ist und eine ebene, gleichmäßige Gestalt ohne Unregelmäßigkeiten aufweist. In den weiteren Abschnitten sind also noch einige Differenzierungen nötig, die noch eine Modifizierung des oben konstruierten Schaubilds erforderlich machen. Daraus resultiert eine stufenweise Verkleinerung des zulässigen Gebietes im Dauerfestigkeitsschaubild.

1.5.3.1

Erste Verkleinerung durch Größeneinfluß (E)

Die oben aufgeführten Tabellenwerte für σzul können jedoch nicht ohne weiteres übernommen werden. Im praktischen Biegeversuch stellt sich nämlich heraus, daß noch ein weiterer Aspekt berücksichtigt werden muß: Die Tabellenwerte wurden im Versuch für standardisierte Proben ermittelt, die kreisrund sind und 10 mm Durchmesser aufweisen. Obwohl die Bauteilgeometrie durch die Normierung auf die Spannung bereits berücksichtigt wird, stellt man

96

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

in Werkstoffversuchen fest, daß im Falle der Biegebeanspruchung bei Bauteilen größeren Querschnitts eine geringere, bei Bauteilen kleineren Querschnitts eine höhere Spannung ertragen werden kann. Diesem Sachverhalt, der in der Werkstoffkunde weiter ausgeführt wird, trägt man durch Einführung eines sog. Größenbeiwertes bG Rechnung. Aus der folgenden Tabelle kann dieser Größenfaktor bG für kreisrunde Querschnitte mit dem Durchmesser d näherungsweise ermittelt werden:

Größenbeiwert bG 1 0,95 0,9

bG 0,85 0,8 0,75 0,7 0

10

20

30

40

50

60

70

80 100 120

d[mm] Bild 1.18: Größenbeiwert bG.

Für andere als kreisrunde Querschnitte kann näherungsweise angenommen werden: • bei Biegung für Quadrat: Kantenlänge ≅ d, • bei Biegung für Rechteck: in Biegeebene (Biegerichtung) liegende Kantenlänge ≅ d, • bei Torsion (s.u.) für Quadrat und Rechteck: Flächendiagonale ≅ d. Der Größeneinfluß bleibt unberücksichtigt, also der Größenbeiwert bG = 1 ist zu setzen bei • einfacher Zug- und Druckbeanspruchung, • gewalzten, geschmiedeten oder gegossenen Bauteilen.

1.5 Werkstoffkundlich zulässige Belastung

97

Orientiert man sich weiterhin an den genannten Zahlenwerten und nimmt man an, daß das betrachtete Bauteil 20 mm Durchmesser aufweist, so ergibt sich aus dem obigen Diagramm ein Größenbeiwert bG = 0,94, um den alle drei Materialkennwerte von 42CrMo4 verkleinert werden müssen. Daraus gewinnt man Werte mit ähnlicher Indizierung, die allerdings mit dem Index „Strich“ (′) gekennzeichnet sind: σbS′

= bG ⋅ σbS

= 0,94 ⋅ 1000 N/mm² = 940 N/mm²

Gl. 1.7

σbSch′ = bG ⋅ σbSch = 0,94 ⋅ 770 N/mm²

= 724 N/mm²

Gl. 1.8

σbW′

= 423 N/mm²

Gl. 1.9

= bG ⋅ σbW

= 0,94 ⋅ 450 N/mm²

Das in der vorangegangenen geometrischen Konstruktion ermittelte Gebiet wird nun mit diesen Werten verkleinert wiedergegeben. Aus oben genannten Gründen beschränkt sich das folgende Diagramm auf die obere Begrenzungslinie A-B-C-D.

Bild 1.19: Dauerfestigkeitsschaubild erste Verkleinerung.

1.5.3.2

Zweite Verkleinerung durch Kerbwirkungszahl und Oberflächenbeiwert (E)

Zu den weiteren vereinfachenden Annahmen gehörte auch, daß das untersuchte Bauteil eine polierte und völlig regelmäßige Begrenzungsfläche in Form eines idealen Kreiszylinders aufweist. Auch diese Voraussetzungen sind in der Praxis kaum gegeben und müssen durch weitere Verkleinerungen des zulässigen Gebietes berücksichtigt werden.

98

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Wie aus der Werkstoffkunde bekannt ist, wird die Festigkeit eines Bauteils durch Unregelmäßigkeiten bezüglich seiner Gestalt z.T. ganz erheblich geschwächt. Diese Abweichungen werden als „Kerbe“ bezeichnet. Dabei ist dieser Ausdruck nicht nur im engeren Sinne zu verstehen, also als bewußt oder zufällig eingebrachte Ritze oder Riefe. Vielmehr bezeichnet der werkstoffkundliche Ausdruck „Kerbe“ jede Abweichung der Bauteilgeometrie von einer idealen zylindrischen Probenform. Bei der idealen Probe mit ebenen Begrenzungsflächen kann eine homogene Spannungsverteilung angenommen werden. Wird die Begrenzungsfläche uneben, weist sie also „Kerben“ auf, so wird diese homogene Spannungsverteilung z.T. erheblich gestört. Wie die folgende Gegenüberstellung deutlich macht, sind die Auswirkungen einer Kerbe bei statischer und dynamischer Belastung allerdings grundverschieden:

Bild 1.20: Kerbwirkung.

I.

Ausgangspunkt für die weiteren Überlegungen sei der bereits zuvor erwähnte Zugstab. Wird der Zugstab belastet, so stellt sich eine homogene Spannungsverteilung ein. σ nenn =

F A

Die tatsächliche Spannung entspricht unter diesen modellhaften Bedingungen genau der Nennspannung. II. Wird ein gekerbter Stab betrachtet, der an der dünnsten Stelle die gleiche Querschnittsfläche aufweist wie der ungekerbte, so ergibt sich im Kerbgrund wegen der Mehrachsigkeit des Spannungszustandes eine Spannungsüberhöhung, die im elastischen Bereich mit der sog. Formzahl αk erfaßt wird: αk =

σ max σ nenn

Die Größe der Formzahl αk kann sowohl versuchstechnisch (Reißlackverfahren, Dehnungsmeßstreifen, Spannungsoptik) als auch theoretisch (rechnerisch mit Hilfe der Finite-Elemente-Methode) bestimmt werden. III. Bei weiterhin steigender Last wird in den Bereichen größter Spannung die Streckgrenze erreicht. Das Bauteil versagt jedoch noch nicht sofort, weil der Werkstoff bei Überschreiten der Streckgrenze zu fließen beginnt und damit der Spannungsüberhöhung aus-

1.5 Werkstoffkundlich zulässige Belastung

99

weicht. Dabei werden weiter innen liegende Bereiche zunehmend an der Lastübertragung beteiligt, durch das Fließen wird die Spannung gleichmäßiger verteilt. Diese modellhafte Betrachtung setzt allerdings voraus, daß der Werkstoff ideal fließfähig ist und auch die Zeit zum Fließen hat. IV. Bei weiterer Lasterhöhung fließen zunehmend weiter innen liegende Bereiche des Zugstabes, bis schließlich die gesamte Querschnittsfläche bis an die Streckgrenze belastet wird. Wird die Last noch weiter gesteigert, so wird das Bauteil versagen. Im Augenblick des Versagens stellt sich also eine Spannungsverteilung wie im ungekerbten Stab ein (Fall I). Für die Bauteildimensionierung ergeben sich daraus folgende Konsequenzen: • Bei allmählicher, also quasistatischer Lastaufbringung hat die Kerbwirkung keinen Einfluß auf die zulässige Belastung. Die Belastbarkeit des Bauteils ist identisch mit der des ungekerbten Stabes. • Bei dynamischer Belastung stellt sich der gleiche Sachverhalt allerdings völlig anders dar: Der zeitliche Verlauf der Belastung läßt ein Fließen des Werkstoffs nur bedingt zu. Es wird sich also qualitativ eine Spannungsverteilung einstellen, wie sie bei der Erläuterung der Formziffer αk (Fall II) skizziert worden ist. Werkstoffkundliche Beobachtungen zeigen jedoch, daß sich im allgemeinen Fall eine Kerbe im Bauteil nicht so verheerend auswirkt, wie es die Größe der Formzahl αk erwarten läßt. Die dann eintretende praktische Spannungserhöhung wird durch die Kerbwirkungszahl βk beschrieben: βk =

σ Aglatt σ Age ker bt

Dabei steht σA für die zulässige Ausschlagsspannung, da nur der dynamische Belastungsanteil betroffen ist. Wegen des eingeschränkten Fließverhaltens ist βK einerseits größer als 1, andererseits muß βk aber auch immer kleiner als αk sein: 1 ≤ βk ≤ αk Im Gegensatz zur Formzahl αk läßt sich die Kerbwirkungszahl βk nur versuchstechnisch ermitteln. Die Kerbwirkungszahl βK ist für die verschiedensten Bauteilgeometrien und Werkstoffe tabelliert, im folgenden sind nur einige Beipiele angegeben. Dabei muß in bestimmten Fällen nach βkb für Biegung und βkt für Torsion unterschieden werden. a. Kerbwirkunszahl βk für Seegerringeinstiche sowie Keil- und Kerbzahnwellen Einstiche für Seeger-Ringe bei Rm = 600 N/mm² und d = 20 mm:

βk = 1,6

Einstiche für Seeger-Ringe bei Rm = 600 N/mm² und d = 40 mm:

βk = 1,9

Keilwellen:

βk = 3–5

Kerbzahnwellen:

βk = 2–2,5

100

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

b. Kerbwirkungszahl βkb für Biegung von Wellen mit Absätzen

Form E

∅D

∅d

∅D

∅d

∅D

Form D

30

Form C

r

∅d

∅D

∅d

∅D

∅d

∅d

Form B

r

∅D

r

Form A

r

r

Form F

Bild 1.21: Kerbwirkungszahl Wellenabsätze.

Wellenwerkstoff mit Rm [N/mm²] Form

A–C

D

r/d

400 –600

800

1000

1200

0,00

2,2 –2,7

3,40

3,50

4,50

0,05

1,7 –1,8

2,10

2,30

2,80

0,10

1,50

1,70

1,80

2,10

0,15

1,40

1,50

1,60

1,70

0,20

1,30

1,35

1,40

1,60

0,25

1,25

1,30

1,35

1,50

0,10

1,36

1,64

1,68

1,72

0,20

1,22

1,40

1,42

1,45

0,30

1,18

1,32

1,34

1,36

0,40

1,13

1,24

1,26

1,27

0,60

1,10

1,16

1,17

1,18

1,10

1,20

1,30

1,40

E, F

Die Werte für die Formen A bis D gelten für ein Durchmesserverhältnis von D/d = 2. Für andere Durchmesserverhältnisse muß noch eine Korrektur eingeführt werden: βkb = 1 + c1 ⋅ (βkb(D/d=2) – 1) wobei der Beiwert c1 folgender Tabelle zu entnehmen ist: D/d

2,0

1,8

1,6

1,5

1,4

1,3

1,2

1,0

c1

1,00

0,95

0,85

0,78

0,70

0,58

0,44

0,00

c. Kerbwirkungszahl βkt für Wellenabsätze bei Torsion d: kleiner Wellen-∅; D(großer Wellen-∅) = 1,4⋅d; r: Ausrundungsradius in der Kehle r/d

0,025

0,050

0,075

0,100

0,150

0,200

0,250

0,300

Rm = 600 Rm = 1000

1,60 1,76

1,40 1,51

1,27 1,35

1,20 1,26

1,12 1,17

1,08 1,13

1,08 1,12

1,08 1,12

1.5 Werkstoffkundlich zulässige Belastung

101

Diese Werte gelten für ein Durchmesserverhältnis von D/d = 1,4. Für andere Durchmesserverhältnisse muß noch eine Korrektur eingeführt werden: βkt = 1 + c2 ⋅ (βkt(D/d=1,4) – 1) wobei der Beiwert c2 folgender Tabelle zu entnehmen ist: D/d

1,40

1,35

1,30

1,25

1,20

1,15

1,10

1,00

c2

1,00

0,98

0,93

0,90

0,80

0,68

0,50

0,00

d. Kerbwirkungszahl βkb bei Biegung von Wellen mit Querbohrungen d: ∅ der Querbohrung; D: ∅ der Welle d/D

Rm = 400

Rm = 500

Rm = 1000

0,1

1,40

1,50

1,55

0,2

1,45

1,60

1,65

0,3

1,40

1,55

1,70

0,4

1,35

1,50

1,65

0,6

1,25

1,35

1,45

e. Kerbwirkungszahl βk bei Biegung und Torsion von Wellen mit eingefräster Längsnut Rm [N/mm²] βkb βkt

300

400

500

600

700

800

Scheibenfräser

1,40

1,45

1,50

1,55

1,58

1,62

Fingerfräser

1,60

1,70

1,80

1,90

2,00

2,10

Scheibenfräser

1,30

1,40

1,60

Fingerfräser

1,50

1,70

2,00

Die Kerbwirkungszahl βk steigt mit zunehmender Werkstoffestigkeit an, weil hochfeste Werkstoffe weniger fließfähig sind. Die höhere Grundfestigkeit eines Werkstoffs geht also teilweise wieder durch die höhere Kerbwirkungszahl verloren. Neben der makroskopischen Kerbe, die die Abweichung der Bauteilgeometrie vom idealen zylindrischen Stab erfaßt, macht sich an der Oberfläche eine Mikrokerbe als Abweichung von der idealen polierten Probe bemerkbar, die durch den Oberflächenbeiwert b0 beschrieben wird. Insgesamt ergibt sich also für die Berücksichtigung des makroskopischen und des mikroskopischen Kerbeinflusses: σazul = σ A ⋅

bO βk

Gl. 1.10

102

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Da beide Einflüsse die zulässige Spannung verkleinern, ist βk stets größer, bO stets kleiner als 1. Der Oberflächenbeiwert b0 kann folgender Tabelle entnommen werden: Oberflächenbeiwert bo

1

poliert fein geschliffen geschliffen oder fein geschlichtet

0,9

geschlichtet 0,8

geschruppt

bo 0,7 0,6 0,5 mit Walzhaut

0,4 300

400

500

600

700

800

1000

Rm[N/mm2] Bild 1.22: Oberflächenbeiwert bO

Aus diesem Diagramm lassen sich zwei Feststellungen ableiten: • Die Bauteilschwächung wird um so intensiver, je grober die Bearbeitung und damit die Oberfläche ist. • Bei höherer Grundfestigkeit weist der Werkstoff eine geringere Fließfähigkeit auf, was zu einer steigenden Beeinträchtigung durch die Mikrokerbe führt. Das wegen des Größenbeiwertes bG bereits verkleinerte Dauerfestigkeitsschaubild muß also wegen der beiden Kerbeinflüsse einer zweiten Reduktion unterzogen werden. Dabei ist allerdings zu berücksichtigen, daß diese Verkleinerung aus oben genannten Gründen nur den dynamischen Belastungsanteil betrifft.

1.5 Werkstoffkundlich zulässige Belastung

103

Mit dieser zweiten Reduktion gewinnt man die sog. Gestaltdauerfestigkeitswerte, die mit einem „G“ indiziert werden (Bild 1.23). • Der Wert für σbW′ wird von der Verkleinerung voll erfaßt, weil an dieser Stelle nur dynamische Beanspruchung vorliegt. σGbW =

bO ′ ⋅ σbW βk

Gl. 1.11

• Der Wert für σbS′ wird von der Verkleinerung überhaupt nicht beeinflußt, da die Belastung rein statisch ist.

Bild 1.23: Dauerfestigkeitsschaubild zweite Verkleinerung.

• Zur Vervollständigung der zweiten Verkleinerung bietet sich der Punkt an, an dem der Kurvenzug der ersten Verkleinerung einen Knick aufweist. An dieser Stelle wird der dynamische Anteil σAK′ auf σGAK verkleinert: σGAK =

bO ′ ⋅ σ AK βk

Gl. 1.12

Der für die Rechnung notwendige Wert σAK′ ist in der bisherigen Berechnung noch nicht aufgetaucht und muß aus der ersten Reduktion des Diagramms abgelesen werden.

104

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Zur weiteren Verfolgung des begonnenen Zahlenbeispiels seien folgende Annahmen getroffen: βk = 1,5 und

bO = 0,78

(geschruppt)

Außerdem wird σAK′ aus dem Diagramm mit 320 N/mm² abgelesen. Daraus ergeben sich die folgenden weiteren Zahlenwerte: σGbW =

bO ′ 0, 78 ⋅ σ bW = ⋅ 423 N / mm² = 220 N / mm² βk 1, 5

Gl. 1.13

σGAK =

bO ′ 0, 78 ⋅ σ AK = ⋅ 320 N / mm² = 166 N / mm² βk 1, 5

Gl. 1.14

Das nach der zweiten Reduktion entstandene graphische Gebilde wird als „Gestaltdauerfestigkeitsschaubild“ bezeichnet. Es macht auf anschauliche Weise deutlich, wie stark die zunächst sehr hohe Festigkeit der idealen Probe im realen Fall geschwächt wird. Aufgabe 1.12

1.6

Festigkeitsnachweis bei zeitlich veränderlicher Belastung (E)

Stellt man die Aussagen der beiden vorangegangenen Abschnitte zusammen, so läßt sich der Festigkeitsnachweis bei zeitlich veränderlicher Belastung folgendermaßen formulieren: Das Bauteil ist dann dauerfest, wenn der in Abschnitt 1.3 ermittelte Belastungspunkt der tatsächlichen Spannung innerhalb des in Abschnitt 1.5 ermittelten Gebietes der zulässigen Spannung liegt. Diese Vorgehensweise läßt sich mit den folgenden beiden Spezialfällen in Zusammenhang bringen: • Ist die Belastung rein statisch, so ergibt sich die zulässige Spannung als Zahlenwert, der aus den Werkstofftabellen entnommen wird und ggf. um den Größenbeiwert bG reduziert wird. Der Festigkeitsnachweis ist als „eindimensionales“ Problem (σtats ≤ σzul) auf der Winkelhalbierenden des Smith-Diagramms darstellbar. Die Konstruktion des Diagramms erübrigt sich in diesem Fall. • Ist die Belastung rein dynamisch (wechselnd), so ergibt sich die zulässige Spannung als Zahlenwert, der aus den Werkstofftabellen entnommen wird und um die Kerbwirkungszahl βK, den Oberflächenbeiwert bO und ggf. um den Größenbeiwert bG reduziert wird. Dieser spezielle Festigkeitsnachweis läßt sich ebenfalls als „eindimensionales“ Problem (σtats ≤ σzul) auf der Ordinaten des Smith-Diagramms ausführen. Die Konstruktion des Diagramms wäre auch in diesem Fall überflüssig.

1.6 Festigkeitsnachweis bei zeitlich veränderlicher Belastung (E)

105

Bei allgemeiner, zeitlich veränderlicher Belastung ist die Konstruktion des Smith-Diagramms allerdings unerläßlich, da es sich um ein „zweidimensionales“ Problem handelt. Mit der einfachen Feststellung „Bauteil ist dauerfest“ oder „nicht dauerfest“ gibt man sich in der Regel jedoch nicht zufrieden, sondern man strebt die Formulierung eines Sicherheitsfaktors als Quotient aus zulässiger zu tatsächlicher Spannung an. Zu diesem Zweck wird nochmals das oben hergeleitete Beispiel betrachtet, wobei wegen der Übersichtlichkeit der Darstellung nur die Konstellation nach der zweiten Reduktion eingezeichnet ist (Bild 1.24).

Bild 1.24: Sicherheitsnachweis im Dauerfestigkeitsschaubild.

Zur Formulierung der Sicherheit muß nun die Frage geklärt werden, in welche Richtung die Überlast den Betriebspunkt verlagert. Dazu muß die von außen auf das Bauteil wirkende Belastung näher analysiert werden. Es sei beispielhaft folgender Fall angenommen:

n = 1480 min−1 r

0 =4

mm

mU = 60 g mM = 19 kg

20

a = 1700 mm

Bild 1.25: Dynamisch belasteter Biegebalken.

106

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Die Festigkeit dieses Biegebalkens wird wie zuvor an der Einspannstelle überprüft, weil dort insgesamt die höchste Belastung vorliegt. Die Belastung wird am freien Ende des Biegebalkens durch einen auf dem Biegebalken befestigten Motor eingeleitet, der eine Unwuchtmasse antreibt. Das axiale Widerstandsmoment an der Einspannstelle beträgt Wax =

b ⋅ h² (20 mm)³ = = 1333 mm³ 6 6

Die statische Biegespannung an der Einspannstelle wird praktisch ausschließlich durch das Motorgewicht hervorgerufen, weil die Unwuchtmasse als vernachlässigbar klein betrachtet werden kann: σbstat

M m ⋅g⋅a = bstat = M = Wax Wax

m ⋅ 1700 mm s² = 238 N / mm² 1333 mm³

19 kg ⋅ 9, 81

Die dynamische Biegespannung an der Einspannstelle wird durch die Unwuchtmasse hervorgerufen, die mit ω = π ⋅ n / 30 = 155 s–1 rotiert: σbdyn =

M bdyn Wax

m ⋅ r ⋅ ω² ⋅ a 0, 060 kg ⋅ 0, 04 m ⋅ (155 s = U = Wax 1333 mm³

)

−1 2

⋅ 1700 mm

= 74 N / mm²

Zur Festlegung der Sicherheit gilt weiterhin die allgemeingültige Formulierung: S=

σzul σ tats

Für das Erreichen von σzul, also für die angenommene Überlastung sind verschiedene Modellfälle denkbar, die sich in einer verschiedenartigen Verlagerung des Lastpunktes im Dauerfestigkeitsschaubild ausdrücken: I II III

Überlast durch

σstat

σdyn

größere Motormasse mM

steigt mit mM (linear)

unverändert

größere Unwuchtmasse mU

unverändert

steigt mit mU (linear)

größeren Unwuchtradius r

unverändert

steigt mit r (linear)

höhere Winkelgeschwindigkeit ω

unverändert

steigt mit ω (quadratisch)

größeren Hebelarm a

steigt mit a (linear)

steigt mit a (linear)

Entsprechend der speziellen Überlastannahme bewegt sich der Lastpunkt im Smith-Diagramm in eine ganz bestimmte Richtung und verläßt dabei das „zulässige“ Gebiet an einer für den Überlastfall charakteristischen Stelle. Demzufolge ergeben sich für die Berechnung der Sicherheit Zahlenwerte, die von der jeweiligen Überlastannahme abhängen. I. Der Betriebspunkt wandert auf einer Parallelen zur Winkelhalbierenden (dynamische Belastung bleibt konstant und statische Belastung steigt) nach rechts oben und verläßt in diesem Beispiel bei (abgelesenen) 875 N/mm² das „erlaubte“ Gebiet. Die dabei vorlie-

1.6 Festigkeitsnachweis bei zeitlich veränderlicher Belastung (E)

107

gende zulässige statische Spannung beträgt σstatzul = 800 N/mm². Die ohne Überlast vorliegende Mittelspannung σstat = 238 N/mm² darf also bis σstatzul = 800 N/mm² gesteigert werden, erst darüber hinaus ist die Dauerfestigkeit nicht mehr gegeben. Die Sicherheit formuliert sich also zu σstatzul 800 N / mm² = = 3, 36 Gl. 1.15 σstat 238 N / mm² II. Der Betriebspunkt wandert senkrecht nach oben (statische Belastung konstant, dynamische Belastung steigt) und verläßt in diesem Beispiel bei (abgelesenen) 430 N/mm² das „erlaubte“ Gebiet. Die dabei vorliegende zulässige dynamische Spannung beträgt σdynzul = 195 N/mm². Die ohne Überlast vorliegende Mittelspannung σdyn = 74 N/mm² darf also bis σdynzul = 195 N/mm² gesteigert werden, erst darüber hinaus ist die Dauerfestigkeit nicht mehr gegeben. Die Sicherheit formuliert sich also zu SI =

SII =

σdynzul σdyn

=

195 N / mm² = 2, 64 74 N / mm²

Gl. 1.16

III. Der Betriebspunkt bewegt sich auf einem Leitstrahl, der den Lastpunkt mit dem Koordinatenursprung verbindet, weiter vom Koordinatenursprung weg (statische und dynamische Belastung steigen in gleichem Maße, κ = const.) und verläßt in diesem Beispiel bei (abgelesenen) 725 N/mm² das „zulässige“ Gebiet. Die ohne Überlast vorliegende Spannung σstat + σdyn = 238 N/mm² + 74 N/mm² = 312 N/mm² darf also bis (σstat + σdyn)zul = 725 N/mm² gesteigert werden, erst darüber hinaus ist die Dauerfestigkeit nicht mehr gegeben. Die Sicherheit formuliert sich damit zu SIII =

(σstat + σdyn ) zul σstat + σdyn

=

725 N / mm² = 2, 32 (238 + 74)N / mm²

Gl. 1.17

Der Zahlenwert der Sicherheit hängt besonders in diesem Fall von der Zeichengenauigkeit ab. Aus diesem Grunde ist es meist hilfreich, den Steigungswinkel des Leitstrahls α ganz einfach rechnerisch zu ermitteln:

α = arctan

σstat + σdyn

hier: σstat 238 N / mm² + 74 N / mm² α = arctan = 52, 7° 238 N / mm² Soweit dieses einführende Beispiel. Die in der Praxis auftretenden Überlastfälle sind aber normalerweise nicht so leicht zu differenzieren. In vielen Fällen müssen Überlastannahmen genauer analysiert werden (s. Übungsbeispiele). Aufgaben 1.13 bis 1.24

108

1.7

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Vordimensionierung (V)

Die bisher geschilderte Vorgehensweise hatte zum Ziel, ein Bauteil, welches in seinen Abmessungen bereits festgelegt ist, auf Festigkeit zu untersuchen. In der Praxis tritt aber auch das Problem auf, daß das Bauteil in Folge von bekannten Belastungen erst dimensioniert werden muß. Die oben angegebenen Gleichungen sind aber bezüglich dieser Problemstellung nicht ohne weiteres aufzulösen. In einem ersten Schritt müßte die Dimensionierung des Bauteils „erraten“ werden, um dann in einem Festigkeitsnachweis zu ermitteln, ob diese Dimensionierung auch ausreicht. Auf diese Weise wären dann mehrere aufeinanderfolgende Festigkeitsnachweise mit jeweils korrigierten Abmessungen erforderlich, um ein Bauteil endgültig dauerfest auszulegen. Die Bauteildimensionierung wird damit zum iterativen Prozeß, der einen gewissen rechnerischen Aufwand erfordert. Um diesen Aufwand zu reduzieren, werden die Abmessungen des Bauteils in einem ersten Iterationsschritt unter stark vereinfachenden Annahmen grob berechnet. Diese Berechnung wird mit Vordimensionierung bezeichnet und vollzieht sich folgendermaßen: Die tatsächliche Spannung σvorh bzw. τvorh im Bauteil wird bei der Vordimensionierung auf eine einzige, auf die vorherrschende Beanspruchungsart reduziert. Dabei läßt sich entsprechend der zu erwartenden vorherrschenden Belastungsart eine der vier folgenden Gleichungen der elementaren Festigkeitslehre ansetzen: FZD σ ZDzul

bei vorherrschender Zug-/Druckbelastung

σ ZD =

FZD A

A≥

bei vorherrschender Biegebelastung

σb =

Mb Wax

Wax ≥

Q A

A≥

Mt Wpol

Wpol ≥

bei vorherrschender Querkraftbelastung bei vorherrschender Torsionsbelastung

τQ =

τt =

Mb σ bzul Q τzul Mt τzul

Unter Ausnutzung der jeweils letztgenannten Gleichung ergibt sich dann vorläufig entweder eine erforderliche Querschnittsfläche A oder ein erforderliches Widerstandsmoment Wax bzw. Wpol. Die Entscheidung, nach welcher der vier o.g. Gleichungen die Vordimensionierung vorzunehmen ist, orientiert sich an artverwandten Dimensionierungsproblemen. Bei Getriebewellen beispielsweise ist die vorherrschende Belastungsart die Biegebelastung. Die zulässige Spannung σzul bzw. τzul hängt ab von • dem verwendeten Werkstoff mit seinen bereits oben aufgeführten Materialkennwerten (z.B. σbS, σbSch und σbW für Biegung), • der vorherrschenden Belastungsart (Zug/Druck, Biegung oder Torsion), • dem zeitlichen Belastungsverlauf, wobei nach „vorwiegend wechselnd“ (–1,0 ≤ κ < –0,5), „vorwiegend schwellend“ (–0,5 ≤ κ ≤ 0,75) und „vorwiegend statisch“ (0,75 < κ ≤ 1) unterschieden wird.

1.8 Anhang

109

Die Werkstoffkennwerte werden sowohl für den statischen als auch für den dynamischen Lastverlauf um den Faktor bG/S verkleinert. Bei dynamischer Belastung wird zusätzlich um den Quotienten b0/βk reduziert. Die schwellende Belastung wird in diesem Zusammenhang als Mischfall zwischen statischer und wechselnder Belastung betrachtet. Damit drückt sich die zulässige Spannung wie folgt aus: vorwiegend wechselnd:

vorwiegend schwellend:

vorwiegend statisch:

–1,0 ≤ κ < -0,5

–0,5 ≤ κ ≤ 0,75

0,75 < κ ≤ 1

vorwiegend Zug/Druck

σzul =

bG bO ⋅ ⋅ σ ZW S βk

σzul =

bG S

1 1 b  ⋅  + ⋅ O  ⋅ σ ZSch  2 2 βk 

σ zul =

bG ⋅ σ ZS S

vorwiegend Biegung

σzul =

bG bO ⋅ ⋅ σ bW S βk

σzul =

bG  1 1 bO  ⋅  + ⋅  ⋅ σ bSch S  2 2 βk 

σzul =

bG ⋅ σ bS S

vorwiegend Schub

τzul =

bG bO ⋅ ⋅ τtW S βk

τzul =

bG S

1 1 b  ⋅  + ⋅ O  ⋅ τ tSch  2 2 βk 

τzul =

bG ⋅ τtS S

Mit Hilfe dieser Angaben kann leicht eine erste Dimensionierung als Vordimensionierung vorgenommen werden. Die so gewonnenen Maßangaben sind dann Ausgangspunkt für einen vollständigen Dauerfestigkeitsnachweis mit Hilfe des Smith-Diagramms. Unter Umständen ergibt sich daraus die Notwendigkeit, die Dimensionierung nochmals zu korrigieren, so daß ein weiterer Festigkeitsnachweis erforderlich wird.

1.8

Anhang

1.8.1

Literatur

[1.1]

Agne, Klaus; Agne, Simon: Technische Mechanik in der Feinwerktechnik. Vieweg 1988

[1.2]

Assmann, Bruno; Selke, Peter: Technische Mechanik, Band 1 –3. Oldenbourg 2006

[1.3]

Biederbick, K.: Kunststoffe kurz und bündig. Würzburg 1970

[1.4]

Böge, Alfred: Formeln und Tabellen zur Mechanik und Festigkeitslehre, Band 1 und 2. Vieweg 1994

[1.5]

Buxbaum, O.: Betriebsfestigkeit. Stahleisenverlag 1986

[1.6]

Dankert, H.; Dankert, J.: Technische Mechanik computerunterstützt. Teubner 1995

[1.7]

Dietman, H.: Einführung in die Elastizitäts- und Festigkeitslehre. Kroner 1992

[1.8]

DIN-Taschenbuch 69: Stahlhochbau. Beuth

[1.9]

Domke, W.: Werkstoffkunde und Werkstoffprüfung. Essen 1982

110

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

[1.10]

Fink K.; Rohrbach, C.: Handbuch der Spannungs- und Dehnungsmessung. VDIVerlag 1965

[1.11]

Fronius, S.: Antriebselemente. VEB-Verlag 1982

[1.12]

Gross; Hauger; Schnell: Technische Mechanik. Springer 2005

[1.13]

Haibach, E.: Betriebsfestigkeit – Verfahren und Daten zur Bauteilberechnung. VDIVerlag 1989

[1.14]

Hänchen, R.: Neue Festigkeitsberechnung für den Maschinenbau. Hanser 1967

[1.15]

Holzmann G.; Meyer H.; Schumpick G.: Technische Mechanik. Band 1 – 3. Teubner 1990

[1.16]

Hütte: Taschenbuch der Stoffkunde. Berlin

[1.17]

Issler, L.; Ruoß, H.; Häfele, P.: Festigkeitslehre – Grundlagen. Springer 1995

[1.18]

Neuber, H.: Kerbspannungslehre. Verlag 1988

[1.19]

NN: Werkstoffhandbuch Stahl und Eisen. Düsseldorf 1974

[1.20]

NN: Werkstoffhandbuch Nichteisenmetalle. Düsseldorf 1960

[1.21]

Oberbach: Kunststoffkennwerte für Konstrukteure. München 1974

[1.22]

Schmidt, F.: Berechnung und Gestaltung von Wellen. Konstruktionsbücher Band 10. Springer 1967

[1.23]

Schmitt-Thomas, Karlheinz G.: Metallkunde für das Maschinenwesen. Springer

[1.24]

Schweigerer S.: Festigkeitsberechnung im Dampfkessel-, Behälter- und Rohrleitungsbau. Springer 1978

[1.25]

Tauscher, H.: Berechnung der Dauerfestigkeit. Leipzig 1964

[1.26]

VDI-Richtlinie 2227: Festigkeit bei wiederholter Beanspruchung; Zeit- und Dauerfestigkeit metallischer Werkstoffe, insbesonder von Stählen. VDI-Verlag

[1.27]

Zammert, W.U.: Betriebsfestigkeitsberechnung. Vieweg 1985

1.8.2

Normen

[1.28]

DIN 1651: Automatenstähle

[1.29]

DIN 1681: Stahlguß für allgemeine Verwendungszwecke

[1.30]

DIN 1691: Gußeisen mit Lamellengraphit (Grauguß)

[1.31]

DIN 1692: Temperguß; Begriffe; Eigenschaften

[1.32]

DIN 1693 T1: Gußeisen mit Kugelgraphit; Werkstoffsorten, unlegiert und niedriglegiert

[1.33]

DIN 1693 T2: Gußeisen mit Kugelgraphit; unlegiert und niedriglegiert; Eigenschaften im angegossenen Probestück

[1.34]

DIN 1694: Austenitisches Gußeisen

1.8 Anhang

111

[1.35]

DIN 1712: Aluminium

[1.36]

DIN 1725: Aluminiumlegierungen; Knetlegierungen

[1.37]

DIN 1729: Magnesiumlegierungen

[1.38]

DIN 4114: Stahlbau; Stabilitätsfälle (Knickung, Kippung, Beulung), Berechnungsgrundlagen, Vorschriften

[1.39]

DIN 7728: Kunststoffe

[1.40]

DIN 17006: Eisen und Stahl; Systematische Benennung, Stahlguß, Grauguß, Hartguß, Temperguß

[1.41]

DIN 17007: Werkstoffnummern

[1.42]

DIN 17100: Allgemeine Baustähle, Gütenormen

[1.43]

DIN 17111: Kohlenstoffarme, unlegierte Stähle für Schrauben, Muttern und Niete

[1.44]

DIN E 17200: Vergütungsstähle

[1.45]

DIN 17210: Einsatzstähle

[1.46]

DIN 17221 und 17222: Federstahl

[1.47]

DIN 17240: Warmfeste und hochwarmfeste Werkstoffe für Schrauben und Muttern

[1.48]

DIN 17245: Warmfester ferritischer Stahlguß

[1.49]

DIN 17445: Nichtrostender Stahlguß

[1.50]

DIN 50100, DIN 50113, DIN 50142: Wöhlerdiagramme, Smithdiagramme

[1.51]

DIN 50103 T1: Prüfung metallischer Werkstoffe; Härteprüfung nach Rockwell; Verfahren C, A, B, F

[1.52]

DIN 50106: Prüfung metallischer Werkstoffe; Druckversuch

[1.53]

DIN 50115: Prüfung metallischer Werkstoffe; Kerbschlagbiegeversuch

[1.54]

DIN 50118: Prüfung metallischer Werkstoffe; Zugstandversuch unter Zugbeanspruchung

[1.55]

DIN 50133: Prüfung metallischer Werkstoffe; Härteprüfung nach Vickers; Bereich HV 5 bis HV 100

[1.56]

DIN 50141: Prüfung metallischer Werkstoffe; Scherversuch

[1.57]

DIN 50145: Prüfung metallischer Werkstoffe; Zugversuch

[1.58]

DIN 50150: Prüfung von Stahl und Stahlguß; Umwertungstabelle für Vickershärte, Brinellhärte, Rockwellhärte und Zugfestigkeit

[1.59]

DIN 50551: Prüfung metallischer Werkstoffe; Härteprüfung nach Brinell

112

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

1.9

Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Zusammengesetzte Spannungen A.1.1

Transporteinrichtung mit Laufkatze (B)

Grundgestell: Die unten dargestellte Transporteinrichtung besteht aus einem senkrecht und einem waagereecht angeordneten Träger, die jeweils aus dem Halbzeug IPB100 nach DIN 1025 T2 gefertigt worden sind. An der Öse der horizontal beweglichen Laufkatze können Massen bis 2,5 t angehängt und in der Horizontalen verfahren werden. Das Eigengewicht der Konstruktion bleibt unberücksichtigt.

Der senkrecht angeordnete Träger soll bezüglich seiner Festigkeit betrachtet werden. Klären Sie zunächst, an welcher Stelle er am höchsten belastet wird. O

höchste Belastung am oberen Ende des Trägers

O

höchste Belastung am unteren Ende des Trägers

O

das obere und untere Ende des Trägers erfahren die gleiche Belastung

Berechnen Sie die Spannungen an der festigkeitsmäßig kritischen Stelle für die unten aufgeführten, von der Mittellinie aus gezählten Verfahrwege. für x = 0 σZ [N/mm²] σb [N/mm²] σges [N/mm²]

für x = 200 mm

für x = 400 mm

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

113

Wie groß darf der Verfahrweg x maximal werden, wenn für den Werkstoff eine maximale Normalspannung von 150 N/mm² zugelassen wird? Laufkatze: Die Transportvorrichtung wird mit einer Laufkatze betrieben, die im folgenden detaillierter betrachtet werden soll:

a5

∅25

a5

7.5

A

B

C 65 120

Diese Laufkatze ist an drei Stellen in ihrer Festigkeit zu überprüfen: a) Wie groß ist die Biegespannung an der Einspannstelle des Bolzens (Stelle A)? b) Wie groß ist die Biegespannung an der rechten unteren Ecke der U-förmigen Gestellkonstruktion (Stelle B)? c) Wie groß ist die Biegespannung in der Mitte der U-förmigen Gestellkonstruktion (Stelle C)?

114 A.1.2

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit Kragarm mit doppeltem U-Träger (B)

Mit der unten skizzierten Vorrichtung wird eine Last von 760 kg angehoben. Der auskragende Tragarm besteht aus zwei U-Trägern U120 nach DIN 1026. Der Durchmesser der Rolle beträgt 260 mm.

a) b) c) d)

Wo tritt die größte Belastung im Kragbalken auf? Berechnen Sie die Zug-/Druckspannung an dieser Stelle! Berechnen Sie die Biegespannung an dieser Stelle! Wie groß ist die größte Normalspannung an dieser Stelle?

A.1.3

Kranhaken (B)

Mit dem untenstehenden Kranhaken wird eine Last von 500 kg angehoben. Im schraffierten, T-förmigen Querschnitt ist die höchste Belastung zu erwarten.

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

115

Ermitteln Sie zunächst die Querschnittsfläche A und das Flächenmoment Iax! Berechnen Sie die Spannungen an der linken und rechten Randfaser im schraffierten Querschnitt! linke Randfaser

rechte Randfaser

Zug-/Druckspannung σZD [N/mm²] Biegespannung σb [N/mm²] gesamte Normalspannung σges [N/mm²]

Quasistatische Vergleichsspannung A.1.4

Kran mit I-Trägern (B)

Gegeben ist der unten skizzierte Kran, mit dem Lasten von 8t angehoben werden können. Die Laufrolle am rechten Ende des Kragarmes wird in der dargestellten Weise zwischen zwei Trägern I 260 nach DIN 1025 T1 angebracht. Es kann vorausgesetzt werden, daß die Last quasistatisch aufgebracht wird.

a) Berechnen Sie die an der Einspannstelle vorliegenden Kräfte (Längskraft L und Querkraft Q) sowie das dort vorliegende Biegemoment Mb! b) Berechnen Sie die jeweils daraus resultierenden Spannungen! c) Berechnen Sie die an der Einspannstelle vorliegende Vergleichsspannung σv!

116 A.1.5

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit Bohrrohr für Erdbohrungen (B) Das nebenstehende Gerät wird im Tiefbau zum Einbringen von Erdbohrungen benutzt. Die Bohrlöcher werden beim Hochziehen des Bohrgestänges mit Beton aufgefüllt. Diese Betonsäule dient als Fundament für den Hochbau (z.B. für den Brückenbau). Werden eine Reihe solcher Säulen nebeneinander angeordnet, so entsteht eine geschlossene Wand, mit der auf der einen Seite ein benachbartes Gebäude abstützt wird, während auf der anderen Seite eine Baugrube ausgehoben werden kann. Das Bohrgestänge besteht aus einem außenliegenden Rohr und einer innenliegenden Förderschnecke, die beide unten stirnseitig mit Schneiden bestückt sind. Rohr und Schnecke werden abschnittsweise mit Kupplungen zusammengesetzt und gegenläufig angetrieben. Das außenliegende Rohr kann sowohl einwandig (Bild links und Aufgabenteil 1) als auch doppelwandig (Bild unten und Aufgabenteil 2) ausgeführt werden. Benutzen Sie zur Dokumentierung Ihrer Ergebnisse das untenstehende Schema.

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

117

einwandiges Rohr

doppelwandiges Rohr

Mt

[kNm]

360

585

[kNm]

Mt

FD

[kN]

300

490

[kN]

FD

D

[mm]

368

600

[mm]

Da

d

[mm]

333

576

[mm]

da

536

[mm]

Di

520

[mm]

di

A

[mm²]

[mm²]

A

Wpol

[mm³]

[mm³]

Wpol

σD

[N/mm²]

[N/mm²]

σD

τt

[N/mm²]

[N/mm²]

τt

σV

[N/mm²]

[N/mm²]

σV

Einwandiges Rohr: In einem ersten Fall wird ein einwandiges Rohr mit einem Außendurchmesser D und einem Innendurchmesser d verwendet, welches mit einem Torsionsmoment Mt und einer Druckkraft FD belastet wird. Berechnen Sie die Querschnittsfläche A, das polare Widerstandsmoment Wpol, die Druckspannung σD, die Torsionsspannung τt und die Vergleichsspannung σV. Doppelwandiges Rohr: In einem zweiten Anwendungsfall wird ein doppelwandiges Rohr verwendet, bei dem nach Außendurchmesser des Außenrohres Da, Innendurchmesser des Außenrohres da, Außendurchmesser des Innenrohres Di und Innendurchmesser des Innenrohres di unterschieden wird. In den Raum zwischen den beiden Rohren ist ein wendelförmiger Rundstab eingebracht, der die beiden Rohrwandungen auf Distanz hält, aber ansonsten auf das Festigkeitsverhalten keinen Einfluß nimmt. Berechnen Sie auch für diesen Fall die in der unteren Tabellenhälfte aufgeführten Kenngrößen.

1.9.1

Unterscheidung statisch-dynamische Spannung

A.1.6

Wagenachse (B)

Gegeben ist die unten skizzierte Achse eines Wagens. Der Wagen wiegt 325 kg und es kann angenommen werden, daß sich diese Last auf alle vier Räder gleichmäßig verteilt.

118

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Der Achsenwerkstoff kann mit einer statischen Biegespannung von σzulstat = 120 N/mm² und dynamischen Biegespannung von σzuldyn = 60 N/mm² belastet werden. a)

Skizzieren Sie in dem Schema unterhalb des Bildes qualitativ die Biegemomentenfläche entlang der Wagenachse. b) Berechnen Sie das größte Biegemoment in der Achse. c) Wie groß muß der Achsendurchmesser d mindestens sein, wenn die Achse relativ zum Wagen keine Drehung ausführt und die Räder auf der Achse gelagert sind? d) Wie groß muß der Achsendurchmesser d mindestens sein, wenn die Achse am Wagen gelagert ist und die Räder mit der Achse umlaufen? A.1.7

Belastung von Achsen und Wellen (B)

Nachfolgend ist eine fliegende Anordnung einer Achse bzw. Welle skizziert, die auf sechs verschiedene Arten (Aufgabenteile a)– f) belastet wird. Da die Welle bzw. Achse einen gleichbleibenden Durchmesser von 20 mm aufweist, ist deren Festigkeit im Bereich des vorderen Lagers kritisch. An dieser Stelle sind die vorliegenden Spannungen zu ermitteln.

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit a)

119

b)

a) Die stillstehende Achse wird am vorderen Ende mit einer Masse von 50 kg belastet. Klären Sie zunächst, welche der im folgenden Schema aufgeführten Belastungen tatsächlich vorliegen und welche nicht. Wie hoch sind die auftretenden Belastungen und die daraus resultierenden Spannungen? Errechnen Sie schließlich die Vergeichsspannung! L [N] =

σZD [N/mm²] =

Q [N] =

τQ [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σb [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τt [N/mm²] = σv [N/mm²] =

b) Die stillstehende Welle wird an einem doppelarmigen Hebel mit einer Masse von 50 kg über den dargestellten Seilmechanismus belastet. Welche Belastungen treten nun auf? Wie hoch sind die tatsächlich vorliegenden Belastungen und welche Spannungen werden dadurch verursacht? L [N] =

σZD [N/mm²] =

Q [N] =

τQ [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σb [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τt [N/mm²] = σv [N/mm²] =

120

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

c)

d)

c) Die weiterhin stillstehende Welle wird an einem einarmigen Hebel mit einer Masse von 50 kg belastet. Ermitteln Sie ebenfalls die vorliegenden Belastungen und die daraus resultierenden Spannungen! L [N] =

σZD [N/mm²] =

Q [N] =

τQ [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σb [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τt [N/mm²] = σv [N/mm²] =

d) Die bereits unter c) betrachtete Anordnung wird nun in eine Drehung versetzt, die sich allerdings so langsam vollzieht, daß weiterhin von einer quasistatischen Belastung ausgegangen werden kann. Die durch die Drehung verursachte Laständerung macht es erforderlich, die Belastung und die daraus resultierenden Spannungen in Funktion des Winkels α zu betrachten. Nutzen Sie zur Darstellung der Ergebnisse das unten aufgeführte Schema: α = 0° Q [N] τQ [N/mm²] Mb [Nm] σb [N/mm²] Mt [Nm] τt [N/mm²] σV [N/mm²]

α = 90°

α = 180°

α = 270°

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit e)

121

f)

e) Die Belastung wird nunmehr durch eine Zahnriemenscheibe eingeleitet, wobei die Zugtrumkraft 490,5 N beträgt und die Leertrumkraft vernachlässigt werden kann. Durch die schnelle Drehung der Welle wird eine Unterscheidung nach statischer und dynamischer Belastung erforderlich. Ermitteln Sie nach untenstehendem Schema die Belastungen und die daraus resultierenden statischen und Spannungen und formulieren Sie schließlich für beide Anteile eine Vergleichsspannung! statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

f) Wird die Achse mit dem einarmigen Hebel aus Beispiel c) senkrecht angeordnet und mit einer Drehzahl von n = 100 min–1 betrieben, so tritt eine Zentrifugalkraft auf. Die Unterscheidung nach statischer und dynamischer Spannung muß hier aus der Sicht der sich drehenden Achse getroffen werden.

122

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

A.1.8

Welle Kettentrieb (B)

Gegeben ist der unten dargestellte Kettentrieb, mit dem ein Torsionsmoment von 150 Nm übertragen wird.

Alle Kettenkräfte sind nach unten gerichtet und greifen an den hier bezeichneten Wirkradien der Kettenräder an. Es kann angenommen werden, daß nur im Zugtrum der Kette eine Kraft vorliegt, während der Leertrum ohne Belastung ist. Die kritische Belastung ist an einer der beiden Lagerstellen zu erwarten. Versuchen Sie zunächst abzuklären, an welcher der beiden Lagerstellen A oder B die größere Belastung auftritt. Sollte Ihnen dies gelingen, so brauchen Sie nur eins der beiden unten aufgeführten Schemata zu bearbeiten, andernfalls sind beide Schemata auszufüllen.

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit Stelle A

statisch

123 dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

Stelle B

statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

A.1.9

Welle Reibradgetriebe (E)

Das unten dargestellte Reibradgetriebe überträgt 771 W bei einer Drehzahl der Zwischenwelle von 150 min–1. Beide Reibradpaarungen sind als Stahlrad – Gummirad (aufvulkanisiert) ausgeführt, der Reibwert beträgt 0,7.

124

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Die Welle mißt 30 mm im Durchmesser und die kritische Belastung ist an einer der beiden Lagerstellen zu erwarten. Berechnen Sie die dort vorliegenden Belastungen (Längskraft L, Querkraft Q, Biegemoment Mb und Torsionsmoment Mt) sowie die daraus resultierenden Spannungen und entscheiden Sie, ob diese Spannungen statisch oder dynamisch wirken. Versuchen Sie zunächst abzuklären, an welcher der beiden Lagerstellen A (links) oder B (rechts) die größere Belastung auftritt. Sollte Ihnen dies gelingen, so brauchen Sie nur eins der beiden unten aufgeführten Schemata zu bearbeiten, andernfalls sind beide Schemata auszufüllen. Stelle A

statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

Stelle B

statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit A.1.10

125

Tretkurbel Fahrrad (E)

Die Belastung der unten abgebildeten Fahrradtretkurbel soll berechnet werden.

Es kann vorausgesetzt werden, daß der Radfahrer während der Abwärtsbewegung (α = 0° bis α = 180°) das Pedal mit seinem gesamten Körpergewicht von 100 kg belastet und während der Aufwärtsbewegung (α = 180° bis α = 360°) das Pedal vollständig entlastet. Sicherheitshalber ist anzunehmen, daß im gefährdeten Schnitt B die volle Tretkurbellänge als Hebelarm wirksam wird. Die Ausrundungen im Querschnitt B können vernachlässigt werden. Ermitteln Sie für die unten angegebenen Winkelstellungen der Tretkurbel die im Schnitt B vorliegende Längskraft L [N], die Querkraft Q [N], das Biegemoment Mb [Nm] sowie das Torsionsmoment Mt [Nm]. Berechnen Sie die sich daraus ergebenden Spannungen und ermitteln Sie schließlich die Vergleichsspannung. kurz nach α = 0°

bei α = 90°

kurz vor α = 180°

L=

σZD =

L=

σZD =

L=

σZD =

Q=

τQ =

Q=

τQ =

Q=

τQ =

Mb =

σb =

Mb =

σb =

Mb =

σb =

Mt =

τt =

Mt =

τt =

Mt =

τt =

σV =

σV =

σV =

126

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Betriebsfestigkeit A.1.11

Wöhlerkurve (E)

Der Baustahl St52 wird bezüglich seiner Gebrauchsdauer betrachtet. Bei einer Versuchsreihe mit polierten Proben ohne jede Kerbe und mit einem Durchmesser von 10 mm wird festgestellt, daß die Proben, die mit einer Biegewechselspannung von 650 N/mm² belastet werden, im Mittelwert nach 1000 Lastwechseln versagen. Die Grenzlastspielzahl liegt bei 2 ⋅ 106 Lastwechseln und es kann angenommen werden, daß die Steigung der Zeitfestigkeitsgerade für alle hier vorliegenden Belastungsarten gleich ist.

Ermitteln Sie die voraussichtliche ertragbare Lastwechselzahl für die in der untenstehenden Tabelle aufgeführten Belastungen. Markieren Sie ggf., ob das Bauteil dauerfest ist. 200 N/mm² Biegung wechselnd Biegung schwellend Zug wechselnd Zug schwellend

300 N/mm² 400 N/mm² 500 N/mm² 600 N/mm²

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

127

Dauerfestigkeitsnachweis A.1.12

Smith-Diagramm (E)

Eine auf Biegung belastete Werkstoffprobe aus St52 (S335) soll bezüglich ihrer Dauerfestigkeit untersucht werden. Das Bauteil wird mit σbstat = 200 N/mm² und σbdyn = 50 N/mm² belastet. Zeichnen Sie den Lastpunkt L in das untenstehende Smith-Diagramm ein! 500

σo 400

300

200

100

100

200

300

400

σm

500

Zeichnen Sie für die folgenden Betrachtungen das maßstäbliche Dauerfestigkeitsschaubild!

128

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit ∅ 10 mm

SI =

bO = 1

SII =

βk = 1

SIII =

∅ 50 mm

SI =

Wie groß sind die Sicherheiten, wenn eine Probe von 50 mm Durchmesser untersucht wird?

bO = 1

SII =

βk = 1

SIII =

Wie groß sind die Sicherheiten, wenn eine Probe von 50 mm Durchmesser untersucht wird und wenn eine reale Oberfläche und eine Kerbwirkung angenommen wird?

∅ 50 mm

SI =

bO = 0,8

SII =

βk = 2,5

SIII =

Wie groß ist die Sicherheit gegenüber Dauerbruch für eine standardisierte Werkstoffprobe?

Sicherheit SI:

Die Überlast wird bei konstanter dynamischer Last durch eine Überhöhung der statischen Last verursacht.

Sicherheit SII:

Die Überlast wird bei konstanter statischer Last durch eine Überhöhung der dynamischen Last verursacht.

Sicherheit SIII:

Die Überlast wird durch eine gleich große Überhöhung von statischer und dynamischer Last verursacht.

A.1.13

Kettengetriebene Hubtrommel

Die nachfolgende Skizze zeigt eine Hubtrommel mit Lagerung, deren Antrieb über eine Kette erfolgt.

Es kann angenommen werden, daß der in der Seitenansicht wiedergegebene rechte Teil des Kettentriebes keinerlei Zugkräfte aufnimmt (Leertrum), der links angeordnete Zugtrum verläuft parallel zur Zeichenebene. Während eines Hubvorganges kann das Seil im allgemeinen

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

129

Fall von einer beliebigen Stelle der Hubtrommel ablaufen. Die festigkeitsmäßig kritische Situation liegt jedoch dann vor, wenn sich das lastaufnehmende Seilende auf der rechten Seite der Seiltrommel bei der Stelle X befindet. Beschleunigungsvorgänge können in dieser Betrachtung vernachlässigt werden. Ermitteln Sie sämtliche an der Stelle X vorliegenden Schnittreaktionen (Kräfte und Momente). Berechnen Sie die an dieser Stelle vorliegenden Spannungen sowie die statischen und dynamischen Vergleichsspannungen. Bedienen Sie sich zur Dokumentation der Ergebnisse des folgenden Schemas. statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

Es wird der Stahl C45 verwendet, an der gefährdeten Stelle X ist die Oberfläche geschlichtet und die Kerbwirkungszahl βk beträgt 1,8. Zeichnen Sie das dazugehörende Dauerfestigkeitsschaubild! Wie groß ist die Sicherheit gegen Dauerbruch an dieser Stelle? A.1.21

Gurtförderer

Die untenstehende Skizze zeigt die Antriebstrommel eines Gurtförderers (Förderbandes):

130

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Durch den Zug des Förderbandes (Vorspannung und Betriebskraft) wird auf die Trommel eine zentrische Last von 272 kN ausgeübt. Die am rechten Wellenende eingebrachte Leistung beträgt 430 kW. Das Förderband wird mit einer Geschwindigkeit von 5,2 m/s bewegt. An der Stelle X ist der Dauerfestigkeitsnachweis zu führen. Zur Sicherstellung von Zwischenergebnissen füllen Sie bitte die folgende Tabelle aus: statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

Der Wellenwerkstoff ist St37, die Kerbwirkungszahl beträgt βkb = 1,3, die Oberfläche ist geschruppt. a) Ist die Welle dauerfest? b) Wie groß ist die Sicherheit gegenüber Dauerfestigkeit, wenn die Überlast dadurch herbeigeführt wird, daß bei konstanter Vorspannung des Fördergurtes dem Antriebsmotor zunehmend mehr Leistung abverlangt wird? A.1.22

Kettenförderer (E)

Gegeben ist die unten skizzierte Antriebswelle eines Kettenförderer, die auf Dauerfestigkeit zu untersuchen ist. Der Kettenförderer besteht aus einer Endlosgliederkette, auf die einzelne becherförmige Behälter montiert sind. Es kann angenommen werden, daß diese Behälter in einem hier nicht dargestellten unteren Umkehrpunkt aufgefüllt und an der hier dargestellten obenliegenden Antriebswelle entleert werden.

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

131

Das Gewicht der Förderkette mitsamt den Behältern beträgt 1,6 t, in die sich aufwärts bewegende Behältern wird ein Fördergut mit einer Gesamtmasse von 240 kg eingefüllt. Die daraus für die Antriebswelle resultierenden Belastungen können als zeitlich konstant angenommen werden. Die Vorspannung der Förderkette ist ohne Einfluß auf die Festigkeitsbetrachtung. Der Antrieb wird von rechts quer- und längskraftfrei über eine Kupplung eingeleitet. Der Dauerfestigkeitsnachweis ist an der mit X bezeichneten Stelle zu führen, an der eine Kerbwirkungszahl β = 1,9 vorliegt. Die Welle besteht aus Stahl 41Cr4 und ist geschlichtet. Klären Sie zunächst die an dieser Stelle vorliegende Belastung anhand des folgenden Schemas: statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Q [N] =

τQstat [N/mm²] =

τQdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

Mt [Nm] =

τtstat [N/mm²] =

τtdyn [N/mm²] =

σvstat [N/mm²] =

σvdyn [N/mm²] =

a)

Klären Sie anhand eines Dauerfestigkeitsschaubildes, ob die Welle dauerfest ist oder nicht. b) Wie groß ist die Sicherheit gegen Dauerbruch, wenn angenommen werden kann, daß eine Überlastung durch eine Überfüllung der Transportbehälter herbeigeführt wird? c) Zur Vermeidung des Überlastfalles wird die Kupplung als Sicherheitskupplung ausgeführt. Bei welchem Moment muß die Kupplung durchrutschen, damit eine Schädigung der Welle ausgeschlossen ist? A.1.23

Trommelwelle Haushaltswaschmaschine (E) Die Trommel der nebenstehend skizzierten Haushaltswaschmaschine wird von der Frontseite (im Bild rechts) befüllt. Die Trommelwelle ist fliegend in zwei Rillenkugellagern gelagert. Am linken Ende der Trommelwelle ist die Riemenscheibe für den Antrieb befestigt. Masse der Trommel: 5,5 kg Masse des Füllgutes (nasse Wäsche): 6,5 kg Unwuchtradius des Füllgutes: 130 mm

Die Trommelwelle soll bei Lager A auf Festigkeit untersucht werden. Dazu können folgende Annahmen getroffen werden: • • • •

Der von der linken Seite eingeleitete Riemenzug ist vernachlässigbar klein. Querkrafteinflüsse brauchen nicht berücksichtigt zu werden. Beschleunigungsmomente spielen ebenfalls keine Rolle. Die Wirkungslinien der Massewirkungen können bei F angenommen werden.

132

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

Die größte Wellenbelastung tritt ein, wenn die Maschine mit 600 min–1 schleudert. a) Berechnen Sie die dann vorliegenden Biegemomente, die die Welle statisch und dynamisch belasten. b) An der kritischen Stelle A weist die Welle einen Durchmesser von 40 mm auf. Berechnen Sie die vorliegende statische und dynamische Spannung! Tragen Sie diesen Lastzustand in ein maßstäbliches Dauerfestigkeitsschaubild ein! c) Der Wellenwerkstoff sei C45. Die Welle ist geschlichtet, ein Seegerringeinstich verursacht eine Kerbwirkung mit βkb = 1,9. Ergänzen Sie das Dauerfestigkeitsschaubild entsprechend! d) Wie groß ist die Sicherheit gegen Dauerbruch, wenn eine Überlastung durch das Einfüllen einer größeren Wäschemenge herbeigeführt wird? e) Wie groß ist die Sicherheit gegen Dauerbruch, wenn eine Überlastung durch eine überhöhte Schleuderdrehzahl herbeigeführt wird? A.1.24

Radsatzlagerung Rangierlokomotive (E) Die nebenstehende Skizze zeigt prinzipiell die „außengelagerte“ Radsatzlagerung einer dieselhydraulischen Rangierlokomotive. Das Dienstgewicht der Lokomotive beträgt 45 t, welches sich gleichmäßig auf alle sechs Räder verteilt. Wegen der Fahrdynamik muß jedoch angenommen werden, daß die tatsächliche Belastung 30% über dem so errechneten Nennwert liegt. Die nebenstehende Zeichnung gibt die wesentlichen konstruktiven Details einer solchen Lagerung wieder. Die Radsatzwelle soll im Bereich der Ausrundung des Wellenzapfens auf Dauerfestigkeit überprüft werden. An der nachzurechnenden Stelle ist die Oberfläche geschruppt und die Kerbwirkungszahl βk = 1,3.

1.9 Aufgaben: Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

133

a) Prüfen Sie unter diesen vereinfachenden Annahmen nach, welche Sicherheit gegen Dauerbruch vorliegen würde, wenn die Welle aus St37 bestünde. b) Die geforderte Sicherheit beträgt S = 2,5. Suchen Sie aus den Tabellen S. einen beliebigen Werkstoff aus, der diese Forderung möglichst knapp erfüllt (Überdimensionierung vermeiden).

134

uilpuzöiu

1 Achsen, Wellen, Betriebsfestigkeit

2

Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Bereits aus der Werkstoffkunde, der Festigkeitslehre und aus den „Grundlagen der Dimensionierung metallischer Bauteile“ (Kap. 1) ist das Spannungs-Dehnungs-Diagramm bekannt, welches die Spannung σ über der relativen Verformung ε = ΔL / L beschreibt (linke Bildhälfte):

Bild 2.1: Elastische Werkstoffdeformation als Grundlage für Federn.

Abgesehen von einigen speziellen Fällen werden in der Technik Anwendungen angestrebt, die im elastischen Bereich verbleiben, weil plastische Verformungen in aller Regel die Funktion des Bauteils beeinträchtigen und meist zu dessen Zerstörung führen. Während die linke Darstellung das Werkstoffverhalten unabhängig von seinen konstruktiven Abmessungen wiedergibt, läßt sich die Hooke’sche Gerade für ein konkret dimensioniertes Bauteil auch als Funktion der Zugkraft F = σ ⋅ A über der Längenausdehnung f = ε ⋅ L darstellen (rechte Bildhälfte). Grundsätzlich muß jedes Bauteil als deformierbarer Körper angesehen werden, dessen Verformungsverhalten sich in dieser Weise darstellen läßt. Bezüglich der spannungsbzw. kraftbedingten Verformungen lassen sich ganz grob drei Bereiche differenzieren: I. In die im Kapitel 1 betrachteten Fälle spielte die Höhe der elastischen Verformungen keine besondere Rolle, die Steigung der Geraden ist also ohne Bedeutung für die Funktion des Bauteils. Es ist lediglich zu berücksichtigen, daß das Bauteil den auftretenden Belastungen standhält.

136

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

II. In manchen Fällen (z.B. Werkzeugmaschinenbau, Präzisionsmaschinenbau) sind selbst elastische Verformungen unerwünscht. Verformt sich beispielsweise eine Welle unter der anliegenden Belastung, so wird dadurch die Geometrie des Zahneingriffs beeinträchtigt. Würde sich eine Bohrmaschine unter dem Einfluß der Bohrkraft verformen, so wäre das Arbeitsergebnis ungenau. In solchen Fällen wird versucht, die elastischen Verformungen durch entsprechende konstruktive Maßnahmen möglichst zu minimieren, es wird also eine möglichst steile Gerade angestrebt. Dies läßt sich im vorliegenden modellhaften Fall beispielsweise durch eine möglichst geringe Länge L des Bauteils realisieren. III. In wiederum anderen Fällen sollen die elastischen Verformungen möglichst groß sein, die Gerade soll also möglichst flach verlaufen. Dies läßt sich im vorliegenden modellhaften Fall beispielsweise durch eine möglichst große Länge L des Bauteils verwirklichen. Wird dieses Ziel durch diese oder andere konstruktive Maßnahmen besonders gefördert, so ist das Bauteil eine Feder. Federn finden in der Technik vielfältige Anwendungen. Die folgende Auflistung versucht eine Systematisierung und gibt dabei einige Beispiele an: • Sollen Kräfte gemessen werden, so läßt sich deren Betrag unter Ausnutzung der Federwirkung einfach als Deformation ablesen (z.B. Federwaage). • Soll andererseits eine definierte Kraft aufgebracht werden, so kann der gleiche Sachverhalt in umgekehrter Weise ausgenutzt werden (z.B. Kupplungseinrückkraft, Ventilkraft) Beim Drehmomentenschlüssel tritt dieser Zusammenhang nicht als Längenänderung, sondern als Winkeländerung auf. • Soll eine Last bei statischer Überbestimmtheit übertragen werden, so läßt sich durch Anbringung federnder Zwischenelemente die Lastverteilung gezielt optimieren. (Beispiel: Ein vierbeiniger Tisch würde auf unebenem Untergrund die Last nur auf drei Beinen abstützen können. Würden die vier Tischbeine jedoch mit sehr nachgiebigen Federn ausgestattet werden, so könnten alle vier Tischbeine zur Lastübertragung herangezogen werden.) • Wenn es darum geht, zerstörerische Energien „unschädlich“ zu machen, so kann die überschüssige Energie von einer Feder aufgenommen (z.B. Pufferfeder) und durch weitere Maßnahmen („Dämpfung“) in Wärme überführt werden. • Weiterhin sind bestimmte Federn auch in der Lage, die in ihnen gespeicherte Energie zu einem anderen Zeitpunkt wieder abzugeben und übernehmen dabei die Funktion eines Energiespeichers (z.B. Uhrfeder, Federmotor eines Spielzeuges, Luftgewehr). • Durch gezielte Kopplung von Federn und Massen entstehen schwingungsfähige Systeme mit definierten Schwingfrequenzen (z.B. Rüttler, Schwingsiebe, Förderer). Da grundsätzlich jedes reale Bauteil als deformierbarer Körper betrachtet werden muß, treffen alle Aussagen dieses Kapitels nicht nur für Federn zu, sondern sind auch für alle anderen elastischen Verformungsanalysen anwendbar, wobei möglicherweise die rechnerische Beschreibung des Problems entsprechend anzupassen ist. Beispielsweise muß auch die Schraube (Kap. 4) häufig als (sehr steife) Zugfeder betrachtet werden, wenn die Belastung der Schraube geklärt werden soll.

2.1 Grundbegriffe (B)

2.1

Grundbegriffe (B)

2.1.1

Federsteifigkeit (B)

137

Ungeachtet ihrer speziellen Bauform ist die oben bereits betrachtete Steigung der Hooke’schen Geraden die wichtigste Kenngröße der Feder. Sie wird Steifigkeit c genannt und ist in Falle eines linearen Verlaufs definiert als F Federsteifigkeit Gl. 2.1 f Die Steifigkeit c gibt also eine einfache Beziehung zwischen der an der Feder angreifenden Kraft F und der dabei auftretenden Verformung f an und lehnt sich in dieser Definition an den aus der Werkstoffkunde bekannten Zusammenhang E = σ / ε an. In älteren Publikationen wird die Steifigkeit c auch als „Federrate R“ bezeichnet. Zuweilen ist es vorteilhafter, diesen Zusammenhang als „Nachgiebigkeit“ δ auszudrücken, die dem Kehrwert der Steifigkeit entspricht: f δ= Federnachgiebigkeit Gl. 2.2 F Das Verformungsverhalten und damit die Steifigkeit einer Feder scheinen zwar von einer schier unübersehbaren Vielfalt von Parametern beeinflußt zu werden, diese können aber in drei Gruppen geordnet werden: c=

• Federwerkstoff • Konstruktive Abmessungen • Art der Belastung der Feder Wie die Betrachtung des Spannungs-Dehnungs-Diagramms im Kapitel 0 bereits andeutet, drückt sich der werkstoffspezifische Einfluß durch den Elastizitätsmodul E (bei Normalspannungsbelastung) und durch den Schubmodul G (bei Schubspannungsbelastung) aus. Die folgende Tabelle spezifiziert diese Betrachtung auf die wichtigsten metallischen Federwerkstoffe und ordnet sie nach steigender Verformungswilligkeit, also fallendem Elastizitätsmodul: Werkstoff

E [N/mm²]

G [N/mm²]

Federstahldraht (patentiert gezogen) DIN 17223 T1 Stähle nach DIN 17221 Federstahldraht (unlegiert) DIN 17223 T2 (FD und VD) Nichtrostende Stähle DIN 17224 X7CrNiAl177 Nichtrostende Stähle DIN 17224 X12CrNi177 Nichtrostende Stähle DIN 17224 X5CrNiMo1810 Kupfer-Kobalt-Beryllium-Leg. CuCoBe nach DIN 17682 Kupfer-Beryllium-Leg. CuBe2 nach DIN 17682 Zinnbronze CuSn6F95 nach DIN 17682 federhart gezogen Kupfer-Zink-Leg. CuZn 36 F70 DIN 17682 federhart gezogen

206 000 206 000

81 500 78 500

200 000 195 000 185 000 180 000 130 000 120 000

79 500 73 000 70 000 68 000 48 000 47 000

115 000 110 000

42 000 39 000

138

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

2.1.1.1

Steifigkeit einer Modellfeder (B)

Um einen Überblick über die beiden anderen Einflußgrößen zu gewinnen, wird in der folgenden modellhaften Betrachtung ein zylindrischer Körper drei verschiedenen Belastungen ausgesetzt, wobei versucht wird, die dabei auftretende Steifigkeit durch eine Gleichung zu beschreiben: Zug/Druck

L

L

ΔL

Mt

F

γ

f F

Biegung

Torsion

F

L

ϕ

E

Mt

A

G, I pol

d

f E, I ax

Bild 2.2: Modellfeder als Zug-/Druck-, Torsions- und Biegefeder.

Zug-/Drucksteifigkeit Zunächst wird der eingangs erwähnte Fall betrachtet, daß dieser zylindrische Körper auf Zug beansprucht wird und demzufolge als Zugfeder zu dimensionieren ist. Seine diesbezügliche Zugsteifigkeit cZ läßt sich rechnerisch beschreiben, wenn man zunächst σ = E ⋅ ε ansetzt. Die Spannung wird durch σ = F / A und die Dehnung durch ε = ΔL / L ausgedrückt:⋅ F ΔL = E⋅ A L

Die Längenänderung ΔL steht hier für den Federweg f. Durch Umstellen der Gleichung erhält man F A = E⋅ f L

⇒

cZ = E ⋅

A L

Gl. 2.3

Die linke Gleichungsseite mit ihrem Quotienten F/f beschreibt bereits explizit die Zugsteifigkeit cZ. Die gleiche Formulierung gilt grundsätzlich auch dann, wenn der Körper auf Druck belastet wird. Realistische Zahlenwerte von E, A und L ergeben für eine solche stabförmige Zugfeder jedoch eine sehr hohe Steifigkeit. Die Querschnittsfläche A darf ein gewisses Mindestmaß nicht unterschreiten, da sonst die zulässige Spannung überschritten wird. Die Feder muß also sehr lang ausgeführt werden und ist deshalb konstruktiv schlecht anzuordnen. Aus diesem Grunde werden häufig modifizierte Bauformen angewendet (s. Bild 2.9.). Torsionssteifigkeit Der gleiche zylindrische Körper kann auch auf Torsion belastet werden. Während die o.g. Beziehungen für „translatorische“ Federn verwendet werden (translatorische Kraft ruft translatorische Verformung hervor), liegt hier eine Torsionsfeder vor: Die rotatorische Belastung in Form eines Torsionsmomentes Mt ruft eine rotatorische Verformung in Form eines Ver-

2.1 Grundbegriffe (B)

139

drehwinkels ϕ hervor. In diesem Fall wird die Federsteifigkeit sinnvollerweise als Verdrehsteifigkeit ct definiert: cT =

Mt ϕ

Gl. 2.4

Zur rechnerischen Beschreibung der Torsionssteifigkeit mit Werkstoff- und Konstruktionsdaten lassen sich die beiden folgenden Gleichungen der elementaren Festigkeitslehre formulieren und untereinander gleichsetzen: τ=

Mt Wpol

τ=G⋅γ ⇒

Mt = G⋅γ Wpol

Gl. 2.5

Durch die Verdrehung verlagert sich ein Punkt am Umfang der vorderen Stirnfläche um einen Kreisbogenabschnitt u, der von der Achse des Zylinders unter dem Verdrehwinkel ϕ und von der Einspannstelle unter dem Scherwinkel γ gesehen wird. Wenn beide Winkel in Bogenmaß ausgedrückt werden, läßt sich die folgende geometrische Beziehung formulieren: γ ⋅L = ϕ⋅

d 2

⇒

γ=

ϕ⋅d 2⋅L

Durch Einsetzen dieses Ausdrucks in Gleichung 2.5 erhält man: Mt ϕ⋅d = G⋅ Wpol 2⋅L

Durch Umstellen der Gleichung wird die Torsionssteifigkeit cT explizit ausgedrückt: W ⋅d Mt = G ⋅ pol ϕ 2⋅L

Setzt man nun noch für Wpol = 2 ⋅ Ipol / d ein, so vereinfacht sich der Ausdruck zu: cT =

I Mt = G ⋅ pol ϕ L

Gl. 2.6

Bei Benutzung dieser Gleichung ist allerdings stets zu berücksichtigen, daß der Winkel ϕ in Bogenmaß einzusetzen ist. Daraus ergibt sich die Dimension der Torsionssteifigkeit cT in [Nm].

140

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Biegesteifigkeit In einer dritten Betrachtung wird der gleiche zylindrische Körper auf Biegung belastet. Die Kraft F verursacht in diesem Fall eine Verformung f senkrecht zur Balkenachse. Nach der elementaren Festigkeitslehre läßt sich die Durchbiegung f eines einseitig eingespannten Balkens der Länge L beschreiben durch f=

L3 ⋅F 3 ⋅ Iax ⋅ E

Gl. 2.7

(die Herleitung zu dieser Gleichung ist u.a. in [2.1, Kap. 4] zu finden). Durch Umstellung ergibt sich die Biegesteifigkeit cB zu cB =

2.1.1.2

F 3 ⋅ Iax = E⋅ f L³

Gl. 2.8

Federkennlinie (B)

Die obige Grundsatzbetrachtung ging davon aus, daß zwischen Kraft und Verformung ein linearer Zusammenhang besteht, was für viele technische, besonders für die metallischen Federn auch tatsächlich zutrifft und eine lineare Steifigkeitskennlinie zur Folge hat. In diesem Fall läßt sich die Steifigkeit durch einen einzigen Zahlenwert angeben. Der allgemeine Fall liegt jedoch dann vor, wenn der Zusammenhang zwischen Kraft und Verformung nicht linear ist. Man spricht dann von einer „degressiven“ bzw. von einer „progressiven“ Kennlinie.

Bild 2.3: Steifigkeitskennlinien.

2.1 Grundbegriffe (B)

141

Im Falle einer nicht-linearen Kennlinie läßt sich die Steifigkeit nicht durch einen einzigen Zahlenwert angeben, sondern hier wird in der Regel die Steifigkeit durch einen entsprechenden Kurvenzug wiedergegeben. Die Formulierung der Steifigkeit muß dann punktweise bzw. differenziell erfolgen: c=

ΔF dF = Δf df

Gl. 2.9

In den meisten Fällen werden solche Federkennlinien durch ein graphisches Diagramm beschrieben. Nur selten gelingt es, die nichtlineare Steifigkeit mit vernünftigem Aufwand in Form einer mathematischen Funktion geschlossen darzustellen.

2.1.1.3

Zusammenschalten mehrerer Federn (B)

In vielen Fällen wird eine Feder nicht einzeln eingesetzt, sondern mit anderen Federn kombiniert. Dabei ist man vor allen Dingen bemüht, das Verformungsverhalten der ganzen Federkombination durch eine Gesamtsteifigkeit cges auszudrücken. Dabei gibt es grundsätzlich nur zwei verschiedene Anordnungsmöglichkeiten. In den folgenden Darstellungen wird die einzelne Feder symbolisch als Schraubenfeder dargestellt, es kommen allerdings sämtliche Federbauformen in Frage.

Parallelschaltung

Hintereinanderschaltung

142

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Kennzeichnend für die Parallelschaltung ist der Umstand, daß sich die Gesamtkraft F auf mehrere Federn aufteilt und daß die Federwege gleich sind: F = F1 + F2 und f1 = f2 = f Versucht man, für die Kombination dieser beiden Federn c1 und c2 eine Gesamtsteifigkeit cPS zu formulieren, so muß angesetzt werden: c PS =

F F1 + F2 F1 F2 = = + f f f f

Bei einer Hintereinanderschaltung addieren sich die Federwege, während die Federkräfte gleich groß sind: fges = f 1+ f2 und F = F1 = F2 Die gesuchte Gesamtsteifigkeit cHS formuliert sich zu:

cHS =

Mit f1 = F / c1 und f2 = F / c2 wird dann c HS =

c PS = c1 + c 2

Die Gesamtsteifigkeit ergibt sich also denkbar einfach aus der Summe der Einzelsteifigkeiten. Dieser Zusammenhang gilt natürlich auch dann, wenn die einzelnen Steifigkeiten unterschiedliche Größe haben. Es können auch weitere Federn parallel geschaltet werden, die Gesamtsteifigkeit ergibt sich stets als Summe der Einzelsteifigkeiten von n Federn.

F F = fges f1 + f2

F 1 = F F 1 1 + + c1 c 2 c1 c 2

oder

1 1 1 = + c HS c1 c 2

Die Gesamtnachgiebigkeit ergibt sich in diesem Fall also aus der Summe der Einzelnachgiebigkeiten. Dieser Zusammenhang gilt natürlich auch dann, wenn die einzelnen Steifigkeiten unterschiedliche Größe haben. Es können auch weitere Federn hintereinander geschaltet werden, die Gesamtnachgiebigkeit ergibt sich stets als Summe der Einzelnachgiebigkeiten von n Federn.

Bild 2.4: Schaltungsarten von Federn.

Zusammenfassend ergibt sich das folgende Schema: Federweg Federkraft

Gesamtfeder

Parallelschaltung gleiche Federwege Addition der Federkräfte

Hintereinanderschaltung Addition der Federwege gleiche Federkräfte

Gesamtsteifigkeit ergibt sich als die Summe der Einzelsteifigkeiten

Gesamtnachgiebigkeit ergibt sich als die Summe der Einzelnachgiebigkeiten

cPS = c1 + c2 + c3 +... + cn

1 1 1 1 1 bzw. = + + + ... + c HS c1 c 2 c3 cn

δHS = δ1 + δ2 + δ3 + ... + δn Gl. 2.10

Gl. 2.11

2.1 Grundbegriffe (B)

143

Auch andere Energiespeicher können in Parallel- oder Hintereinanderschaltung angeordnet werden (z.B. Induktivitäten und Kapazitäten in der Elektrotechnik). Die daraus abgeleiteten Gleichungen weisen alle die gleiche Systematik auf. Alle denkbaren Zusammenstellungen von Federn lassen sich durch ein möglicherweise vielfältiges Zusammenspiel von Parallel- und Hintereinanderschaltungen beschreiben. Darüber hinaus lassen sich alle Kombinationen elastisch deformierbarer Körper auf eine u. U. sehr komplexe Kombination von Parallel- und Hintereinanderschaltungen einzelner Steifigkeiten zurückführen. Unter Ausnutzung der obigen Zusammenhänge ist es dann möglich, eine beliebige Anordnung von Federn formal als eine einzige Feder mit der Gesamtsteifigkeit cges zu betrachten. Die folgenden beiden Beispiele sind so angelegt, daß ausgehend von linearen Einzelsteifigkeiten eine Gesamtsteifigkeit zustande kommt, die zwar auch abschnittsweise linear ist, insgesamt aber einen progressiven (Bild 2.5) bzw. degressiven (Bild 2.6) Verlauf nimmt.

Bild 2.5: Progressive Gesamtsteifigkeit aus linearen Einzelsteifigkeiten.

Für Bild 2.5 gilt: • Innerhalb des Abschnittes a ist nur die mittlere Feder im Eingriff, die Gesamtsteifigkeit cges beruht also lediglich auf der Einzelsteifigkeit der mittleren Feder: cges = c. • Nach Überbrückung des Federweges a kommen auch die beiden seitlichen Federn in Eingriff, es liegt also eine Parallelschaltung von drei Federn vor. In diesem Bereich beträgt die Gesamtsteifigkeit cges = 3 ⋅ c. Für Bild 2.6 gilt: • An beiden Seiten eines horizontal verschiebbaren Blocks wird je eine Feder angebracht, die aufgrund ihrer Anordnung nur Druckkräfte aufnehmen kann, beim Versuch der Einleitung von Zugkräften aber abhebt (linke Bildhälfte oben). Dieses System wird zwischen die beiden senkrechten Wände montiert (unten), wobei jede der beiden Federn um den Betrag b vorgespannt werden muß (unten). Bezüglich dieser Vorspannung liegt eine Hintereinanderschaltung von Federn vor, da beide Federn mit der gleichen Vorspannkraft belastet werden und die beiden Vorspannwege b sich zu einem gesamten Vorspannweg summieren. In diesem Zustand wirkt allerdings zunächst von außen keine Kraft F auf das System.

144

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

• Von dieser lastlosen Mittelstellung aus wird der Federweg f gezählt (rechte Bildhälfte). Greift nun eine äußere Kraft F an, so sind bezüglich dieser Belastung die beiden Federn parallel geschaltet, weil sie gleiche Federwege aufnehmen. Die Gesamtsteifigkeit ergibt sich als Summe der Einzelsteifigkeiten: cges = 2 ⋅ c. • Hat der Federweg f die Wegstrecke b überbrückt, so ist die linke Druckfeder völlig entspannt. Man könnte sie sogar entfernen, ohne das System dadurch zu beeinträchtigen. Die darüber hinaus vorliegende Gesamtsteifigkeit reduziert sich also auf die Steifigkeit einer einzelnen Feder: cges = c.

Bild 2.6: Degressive Gesamtsteifigkeit aus linearen Einzelsteifigkeiten.

2.1.2

Belastbarkeit von Federn (B)

Die vorangegangenen modellhaften Herleitungen widmeten sich ausschließlich dem Aspekt der Steifigkeit. Da Federn bewußt Verformungen zulassen sollen, wird meist eine eher geringe Steifigkeit angestrebt, sie werden also möglichst „dünn“ und „schlank“ dimensioniert (geringe Querschnittsfläche A, geringes Flächenmoment Ipol und Iax). Wie aber bereits im Bild 2.1 klar wurde, ist die Länge der Hookeschen Geraden begrenzt, es ist also wie bei jedem anderen Bauteil auch der Aspekt der Belastbarkeit zu berücksichtigen: Die Feder muß so dimensioniert werden, daß die vorliegenden Belastungen tatsächlich ohne Schädigung oder gar Zerstörung aufgenommen werden können. Dies führt zu der Forderung nach einer eher großzügigen Dimensionierung (große Querschnittsfläche A, hohes Widerstandsmoment Wpol und Wax). Eine Überdimensionierung ist aber meist nicht sinnvoll, da dadurch die Feder zu hart wird. Die Forderungen nach geringer Steifigkeit einerseits und ausreichender Belastbarkeit andererseits stellen einen Widerspruch dar, dem nur durch Verwendung hochwertiger Werkstoffe begegnet werden kann: Die optimale Feder wird aus einem hochbelastbaren Werkstoff gefertigt und ist eher knapp dimensioniert. Die Festigkeitswerte von Federwerkstoffen hängen stark von der verwendeten Federbauform ab, so daß Werkstoffkennwerte erst weiter unten angegeben werden. Prinzipiell sind jedoch auch bei Federn die entsprechenden im Kapitel 1 aufgeführten Festigkeitsansätze zu berücksichtigen.

2.1 Grundbegriffe (B)

145

Aufgaben 2.1 bis 2.3

2.1.3

Federungsarbeit (B)

Zu den wesentlichen Aufgaben einer Feder gehört die Speicherung mechanischer Arbeit. Aus den Grundlagen der Mechanik ist die translatorische Arbeit Wtrans als Produkt aus Kraft F und Weg s bzw. die rotatorische Arbeit Wrot aus Moment M und Verdrehwinkel ϕ bekannt: Wtrans = F ⋅ s

bzw.

Wrot = M ⋅ ϕ

Gl. 2.12

Diese einfache Formulierung setzt jedoch voraus, daß die Kraft F während des gesamten Weges s bzw. das Moment M während des gesamten Verdrehwinkels ϕ konstant ist. Bei Federn nimmt die Kraft F und das Moment M allerdings mit zunehmendem Federweg f bzw. zunehmendem Verdrehwinkel ϕ zu, so daß für die in der Feder gespeicherte Arbeit eine integrale Formulierung angesetzt werden muß: Wtrans = ∫ F(f) ⋅ df

bzw.

Wrot = ∫ M(ϕ) ⋅ dϕ

Gl. 2.13

Damit läßt sich die in der Feder gespeicherte Arbeit in anschaulicher Weise als Fläche unterhalb der Federkennlinie darstellen.

Arbeit bei linearer Federkennlinie

Arbeit bei progressiver Federkennlinie

Bild 2.7: Federungsarbeit.

Da im Falle der linearen Federkennlinie die Kraft im Laufe des Federweges linear mit dem Federweg anwächst, läßt sich die in der Feder gespeicherte Arbeit einfach als Fläche eines rechtwinkligen Dreiecks, also als halbe Rechteckfläche ausdrücken: Wtrans =

F⋅f 2

bzw. Wrot =

Mt ⋅ ϕ 2

Gl. 2.14

146

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Bei Nutzung dieser beiden Gleichungen muß sowohl die Belastung als auch die Verformung bekannt sein. Beide Größen sind jedoch über die Steifigkeit gekoppelt, so daß sich auch formulieren läßt: c=

F f

⇒

F = c⋅f

eingesetzt in Gl. 2.14 c=

F f

⇒

f=

Wtrans =

F² 2⋅c

Gl. 2.15

F c

c ⋅f ² Gl. 2.16 2 Auf ähnliche Weise gewinnt man für die rotatorische Federarbeit die folgenden Ausdrücke:

eingesetzt in Gl. 2.14

Wtrans =

Mt ² 2 ⋅ cT c Wrot = T ⋅ ϕ² 2 Wrot =

und

2.1.4

Gl. 2.17 Gl. 2.18

Federreibung (Hysterese) (B)

Alle bisherigen Betrachtungen gingen von einer reibungsfreien Feder aus. Tatsächlich treten jedoch bei jeder realen Feder Reibeinflüsse auf, die sich an der folgenden Modellvorstellung diskutieren lassen (Bild 2.8). Eine reibungsfreie, auf Zug und Druck belastbare Schraubenfeder wird waagerecht angeordnet. Während ihr linkes Ende mit dem festen Gestell verbunden ist, wird rechts eine Masse angelenkt, die aufgrund ihrer Gewichtskraft die Normalkraft FN auf den Untergrund ausübt. Mit der Kraft Fges wird das System nun in horizontaler Richtung so langsam bewegt, daß Massenkräfte keine Rolle spielen. Liegt zwischen Masse und Unterlage keine Reibung vor, so besteht zwischen der Auslenkung f und der in das System einzubringenden Gesamtkraft Fges ein Zusammenhang, der sich durch die Steifigkeit cFeder ausdrücken läßt: Fges = c ⋅ f

2.1 Grundbegriffe (B)

147

Bild 2.8: Reibungsbehaftete Feder.

Wird jedoch zwischen Masse und Unterlage Reibung wirksam, so setzt sich die von außen in das Federsystem einzuleitende Kraft Fges stets aus der Summe von Federkraft FF und der Reibkraft FR zusammen: Fges = c ⋅ f + FR Der Einfachheit halber wird nicht nach Haftreibung und Gleitreibung unterschieden. Wird das System ausgehend von der ungespannten Lage bei A nach rechts ausgelenkt, so muß erst die Reibkraft FR überwunden werden, bevor sich die Feder bei B zu verformen beginnt. Da sich die Gesamtkraft bei der weiteren Federdehnung aus (hier konstanter) Reibkraft und Federkraft zusammensetzt, vollzieht sich die Belastung auf einer Geraden, die parallel zur Steifigkeitskennlinie liegt. Wird die Bewegung des Systems bei C gestoppt und die in das System eingeleitete Gesamtkraft wieder reduziert, so bewegt sich das System zunächst nicht, weil es von der Reibung daran gehindert wird. Erst wenn die nun in umgekehrter, der Bewegung entgegengesetzt gerichtete Reibkraft überwunden wird, gerät das System bei D in Bewegung. Wird die von außen eingeleitete Gesamtkraft völlig zurückgenommen, so stoppt die Rückfederung allerdings bei E. Um das System über F wieder in die Ausgangslage A zurück zu befördern, muß die Gesamtkraft nach links angelegt werden. Wird die Feder über den Punkt F hinaus zusammengedrückt, so kann diese Stauchung bei G wieder umgekehrt werden. Eine Rückbewegung tritt aber erst dann wieder ein, wenn bei H die nunmehr wieder nach links wirkende Reibkraft überwunden ist. Der Vorgang bleibt bei I wieder stehen, wenn nicht erneut durch Umkehr der Gesamtkraft die Ausgangslage angesteuert wird.

148

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Im Federdiagramm muß also i.a. Fall nach einer Belastungs- und einer Entlastungskennlinie unterschieden werden: Für die Belastung der Feder ist der obere, für die Entlastung der untere Kurvenzug maßgebend. In diesem Modellfall sind sowohl die Belastungs- als auch die Entlastungskurve bezüglich ihrer Kraft jeweils um den Ordinatenwert FR von der idealen, reibungsfreien Steifigkeitskennlinie entfernt. Für die Federungsarbeit ergeben sich daraus beispielhaft für ein Lastspiel über ABCDEFA folgende Konsequenzen: • Die von der Feder aufgenommene Arbeit erscheint hier als Fläche unter der Belastungskurve. • Die von der Feder abgegebene Arbeit wird durch die Fläche unter der Entlastungskurve repräsentiert. • Die als Differenz dazwischen liegende Fläche stellt die Arbeit dar, die im Gesamtsystem in Wärme umgesetzt wird. Diese Umsetzung von mechanischer Arbeit in Wärme wird auch als „Reibungshysterese“ bezeichnet und läßt sich im Federdiagramm stets als ein geschlossener Kurvenzug darstellen, der die in Wärme umgesetzte Arbeit in einer Rechtsdrehung umfährt. • Die Federhysterese ist unerwünscht, wenn die in der Feder gespeicherte Arbeit später wieder genutzt werden soll (Beispiel Uhrfeder). In diesen Fällen wird bei der Konstruktion der Feder darauf geachtet, sämtliche Hystereseeinflüsse soweit wie möglich zurückzudrängen. • Die Federhysterese ist jedoch erwünscht, wenn die Feder nicht nur Stöße aufnehmen soll, sondern auch die dabei aufgenommene Arbeit dem System entzogen werden soll. In solchen Fällen werden parallel zur Feder reibungsbehaftete Elemente vorgesehen bzw. in das Gesamtsystem integriert (z.B. Eisenbahnpuffer). In Erweiterung der hier vorgestellten Modellvorstellung ist die Reibkraft nicht immer konstant, sondern kann sich beispielsweise auch proportional zur Federkraft verhalten. Auf die konstruktive Realisierung wird in den folgenden Abschnitten noch näher eingegangen.

2.2

Einige Bauformen metallischer Federn (B)

Die eingangs angesprochene Verwendung eines zylindrischen Körpers als Zugfeder, Biegefeder und Torsionsfeder ergab jeweils einen Ansatz für die rechnerische Beschreibung dieser Feder. Diese zunächst nur modellhafte Betrachtung soll nun für einige technisch reale Federn erweitert werden. Bild 2.9 skizziert die wichtigsten Federbauformen und nimmt eine systematische Einteilung nach Zug- bzw. Druckbeanspruchung, Torsionsbeanspruchung und Biegebeanspruchung vor. Weiterhin wird unterschieden, ob die Feder reibungsfrei bzw. reibungsarm ist (mittleres Bilddrittel) oder die Feder einen erheblichen Reibungsanteil aufweist (unteres Bilddrittel).

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

149 Torsion

Zug/Druck ΔL f

Modellfeder

L

L

F

F E

A

ϕ

d

F

Mt

γ

Mt

Biegung

G, Ipol

L

f E, I ax

Biegebalken einseitig Torisonsstab Biegebalken beidseitig

ausgeführte Konstruktion

Zugstab

Tellerfeder wechselsinning

Schraubenfeder Schenkelfeder

Zylinderfeder

Blattfeder einseitig

ausgeführte Konstruktion mit Dämpfung

Ringfeder Torsionsstab mit Reibscheibe

Gummifeder

Bild 2.9: Einteilung und Bauformen metallischer Federn.

Blattfeder beidseitig

Tellerfeder gleichsinnig

150

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Bei der weiteren Differenzierung nach Bauformen wird man feststellen, daß es eine fast unüberschaubar große Vielfalt von verschiedenen Konstruktionsvarianten gibt. Im Rahmen der folgenden Zusammenstellung ist eine Konzentration auf einige charakteristische Bauformen angebracht. Dabei werden vor allen Dingen jene Bauformen behandelt, die für das grundsätzliche Verständnis des gesamten Sachgebietes besonders förderlich sind.

2.2.1

Drehstabfeder (B)

Die Steifigkeit einer Drehstabfeder wurde bereits mit Gl. 2.6 beschrieben zu cT =

I Mt π ⋅ d4 = G ⋅ pol = G ⋅ ϕ L 32 ⋅ L

Steifigkeit

Die so ausgedrückte Steifigkeit bezieht sich auf den Winkel ϕ in Bogenmaß und nicht etwa in Grad. Im Sinne einer geringen Steifigkeit kann der Federdurchmesser zwar minimiert werden, muß aber das Festigkeitskriterium respektieren: Mtmax = τzul ⋅ Wpol = τzul ⋅

π ⋅ d3 16

Belastbarkeit

Gl. 2.19

Dabei wird die Feder lediglich als „Welle“ betrachtet, deren Belastbarkeit nicht von deren Länge abhängt. Bei der Dimensionierung einer Drehstabfeder ist es deshalb angebracht, zunächst den Durchmesser der Feder nach dem zu erwartenden Moment festzulegen und anschließend die Steifigkeit mit der Federlänge zu bestimmen. Bei der Festigkeitsberechnung von Federn muß aus werkstoffkundlicher Sicht nach statischer und dynamischer Belastung differenziert werden. Bild 2.10 gibt in Form einer Wöhlerlinie beispielhaft die zulässige Ausschlagsspannung an, wenn die Mittelspannung 600 N/mm² beträgt.

Bild 2.10: Wöhlerlinie Drehstabfeder (nach [2.6]).

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

151

Bei einem Torsionsstab tritt an der Mantelfläche die höchste Schubspannung auf. Aus diesem Grunde wird bei Drehstabfedern die Oberfläche meist besonders behandelt, um einen guten Oberflächenbeiwert zu erzielen. Dabei werden der Schubmodul und damit die Elastizität des Werkstoffs nicht verändert. Für den oben angeführten Werkstoff wurde die Oberfläche geschliffen und anschließend kugelgestrahlt: Kleine Hartmetallkugeln werden mit hoher Geschwindigkeit auf die Oberfläche geschleudert, um dort eine Kaltverfestigung des Werkstoffs hervorzurufen. Wenn dann die tatsächliche Torsionsbeanspruchung angelegt wird, so wird diese durch die Überlagerung mit der durch die Kugelstrahlung bedingten Druckeigenspannung stets reduziert, der festigkeitsmäßig kritische Maximalwert wird also erst bei höherer Belastung erreicht. Das vorliegende Diagramm gilt nur für die statische Mittelspannung von 600 N/mm². Liegt ein anderer statischer Belastungsanteil vor, so läßt sich die Dauerfestigkeit auch hier in einem Smith-Diagramm darstellen:

Bild 2.11: Smith-Diagramm nach [2.6].

Da die Feder wegen der kugelgestrahlten, also kaltverfestigten Oberfläche nur in eine Richtung beansprucht werden darf, enden die Kurvenzüge an der Grenze zur Schwellfestigkeit (κ = 0). Der schraffierte Bereich repräsentiert die Zeitfestigkeit zwischen N = 2 ⋅ 105 und der Dauerfestigkeit von N = 2 ⋅ 106 für eine Überlebenswahrscheinlichkeit von 90%. Die Bilder 2.12 bis 2.14 veranschaulichen den Einfluß der verschiedenen Konstruktions- und Werkstoffparameter auf die Kenndaten der Drehstabfeder:

Bild 2.12: Variation des Federstabdurchmesser (L = 320 mm, τzul = 500 N/mm², G = 70000 N/mm²).

152

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Wird der Federstabdurchmesser vergrößert, so steigen die Steifigkeit in der vierten Potenz und die Belastbarkeit in der dritten Potenz.

Bild 2.13: Variation der Federlänge (d = 22 mm, τzul = 500 N/mm², G = 70000 N/mm²).

Mit zunehmender Länge wird die Feder mit hyperbolischer Funktion weicher, während die Belastbarkeit davon nicht betroffen ist.

Bild 2.14: Variation der zulässigen Torsionsspannung (Mt = 1045 Nm, ct = 5031 Nm, G = 70000 N/mm², ρ = 7,84 kg/dm³).

Wird die zulässige Schubspannung durch Werkstoffauswahl oder Kugelstrahlen gesteigert, so ergeben sich bei optimaler Ausnutzung die folgenden Konsequenzen: • Bei gleicher Belastung kann ein zunehmend kleinerer Stabdurchmesser d verwendet werden (die Feder wird nur als „Welle“ betrachtet). • Unter Beibehaltung der Steifigkeit kann daraufhin die Federlänge L reduziert werden. • Beide vorgenannten Konsequenzen reduzieren das Konstruktionsgewicht m der Feder.

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

153

Ein besonderes Problem bei der Verwendung von Drehstabfedern besteht darin, das Torsionsmoment in den Drehstab einzuleiten. In der Regel greift man auf besonders hochwertige und kerbunempfindliche Welle-Nabe-Verbindungen (Weiteres s. Kap. 6, Band II) zurück, das folgende Bild gibt in der oberen Hälfte zwei Beispiele an:

Bild 2.15: Drehstabfedern und Drehstabbündel nach [2.6].

Der fließende Übergang zwischen Feder und Einspannung wirft allerdings das Problem auf, daß die für die Verformung maßgebende Länge der Drehstabfeder nicht ohne weiteres zu ermitteln ist und häufig als Erfahrungswert formuliert wird. Wie Bild 2.15 zeigt, können Drehstabfedern auch zu einem Bündel zusammengefaßt werden, was in erster grober Näherung einer Parallelschaltung der einzelnen Federstäbe entspricht. Durch die Reibung der einzelnen Flachstäbe untereinander kommt es zu einer Hysterese. Das Bild 2.16 zeigt die Hinterradfederung eines Kraftfahrzeuges, welche mit Drehstabfedern ausgerüstet ist.

Bild 2.16: Drehstabfeder mit einstellbarer Drehmomentenstütze nach [2.6].

Die Drehstabfeder ist unten links im Bild angelenkt und verläuft diagonal durch das Bild. Die durch das Rad eingeleitete Belastung wirkt über einen Hebelarm als Torsion auf den Drehstab. Ein in der Nähe des Hebels angebrachtes Gelenk nimmt die Querkräfte auf, so daß die Drehstabfeder selbst kein nennenswertes Biegemoment erfährt. Mit der einstellbaren Drehmomentenstütze unten links im Bild kann die Vorspannung der Feder variiert werden. Die senkrecht stehenden zylindrischen Bauteile sind Dämpfer, die erst später in die Betrachtung einbezogen werden (s. Abschnitt 2.3). Aufgaben 2.4 bis 2.5

154

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

2.2.2

Schraubenfeder als Zug-/Druckfeder (B)

Eine auf Zug bzw. Druck beanspruchte Schraubenfeder entsteht dadurch, daß die zuvor vorgestellte Drehstabfeder schraubenförmig gewendelt angeordnet wird:

Bild 2.17: Schraubenfeder.

2.2.2.1

Belastbarkeit (B)

Die zentrisch auf die Feder wirkende Kraft F belastet den Federdraht an jeder beliebigen Schnittstelle mit dem Torsionsmoment Mt, wobei der halbe mittlere Windungsdurchmesser Dm/2 als Hebelarm wirksam wird: Mt = F ⋅

Dm 2

Gl. 2.20

Für die Festigkeitsbetrachtung der Feder wird deshalb angesetzt: τt =

Mt Wpol

τt =

16 ⋅ M t 8 ⋅ F ⋅ D m = π ⋅ d3 π ⋅ d3

mit

Wpol =

π ⋅ d³ 16

d: Drahtdurchmesser Gl. 2.21

Dieser ideale Torsionsspannungsansatz trifft die Realität jedoch nur unzureichend, da die Kraft F einen zusätzlichen Querkraftschub in Längsrichtung der Feder hervorruft und wegen der Drahtkrümmung an der Innenseite eine Überhöhung aufweist.

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

155

Bild 2.18: Schubspannungsüberhöhung Schraubenfeder.

Um diesen Einfluß zu berücksichtigen, muß die oben berechnete Torsionsspannung mit einem sog. „Wahl’schen Faktor“ K multipliziert werden: τmax = τt ⋅ K =

8 ⋅ F ⋅ Dm ⋅K π ⋅ d3

Gl. 2.22

Für den Faktor K gibt die Literatur mehrere Gleichungen an, deren Zahlenergebnisse sich aber kaum voneinander unterscheiden: 2

5 d 7  d   d  K = 1+ ⋅ + ⋅  +  4 Dm 8  Dm   Dm 

3

Gl. 2.23

Der in dieser Gleichung mehrfach auftretende Quotient Dm / d wird auch als „Wicklungsverhältnis“ w bezeichnet. Dadurch vereinfacht sich die Berechnung von K formal zu: 2

5 1 7 1 1 K = 1+ ⋅ + ⋅  +   4 w 8 w w

3

mit

w=

Dm d

Gl. 2.24

Die graphische Darstellung dieser Gleichung entsprechend Bild 2.17 macht die quantitative Abhängigkeit von K deutlich:

F

2,0

2,0

1,8

1,8

f

K

1,6

1,6

K

M

ϕ

q

1,4

1,4

q 1,2 1,0 2,0

1,2

4,0

6,0

8,0

10,0

12,0

14,0

1,0 16,0

w

Bild 2.19: Überhöhungsfaktoren K und q für schraubenförmig gewendelte Federn.

156

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Dabei ist zunächst nur der Kurvenzug für K von Interesse. Der Faktor K strebt für große Wicklungsverhältnisse gegen 1 (nahezu ideale Torsionsspannungsverteilung), für kleiner werdende Wicklungsverhältnisse wird er zunehmend größer, weil der Querkrafteinfluß und die Drahtkrümmung an Bedeutung gewinnen. Durch Umstellung von Gleichung 2.22 kann dann die Belastbarkeit der Feder formuliert werden: Fmax =

π ⋅ d3 ⋅ τzul K ⋅ 8 ⋅ Dm

Gl. 2.25

Bei vorgegebener Belastung Fmax und vorgegebenem Werkstoff mit zulässiger Schubspannung τzul kann die Feder durch Anpassung des Drahtdurchmessers oder des Windungsdurchmessers dimensioniert werden: d min =

oder

3

D m max =

Fmax ⋅ K ⋅ 8 ⋅ D m π ⋅ τzul

Gl. 2.26

π ⋅ d3 ⋅ τzul K ⋅ 8 ⋅ Fmax

Gl. 2.27

In beiden Fällen ist der Faktor K zunächst unbekannt und es wäre rechnerisch sehr aufwendig, ihn nach Gl. 2.23 einzuführen. In solchen Fällen setzt man vorläufig den Faktor K = 1, und mit den daraus sich provisorisch ergebenden Federabmessungen kann dann das endgültige Wicklungsverhältnis und der endgültige Faktor K iterativ ermittelt werden. Schraubenfedern werden in vielen Fällen dynamisch beansprucht, so daß eine Abschätzung gegenüber einem statischen und dynamischen Schubspannungsgrenzwert notwendig wird. Ähnlich wie bei Drehstabfedern lassen sich auch für Schraubenfedern die Materialkenndaten durch ein Wöhlerdiagramm und durch ein Smith-Diagramm wiedergeben (hier beispielhaft für den Werkstoff nach DIN 17221, kugelgestrahlt und „gesetzt“ (s. Abschnitt 2.2.6) mit geschälter und geschliffener Oberfläche):

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

157

Bild 2.20: Wöhlerkurve und Smith-Diagramm einer warmgeformten Schraubendruckfeder (nach [2.6]).

2.2.2.2

Steifigkeit (B)

Auch die Steifigkeit kann in Analogie zur Drehstabfeder nach Gl. 2.6 formuliert werden: cT =

I Mt = G ⋅ pol ϕ L

mit

I pol =

π ⋅ d4 32

Für das Torsionsmoment läßt sich auch wie in Gl. 2.20 der Ausdruck Mt = F ⋅ Dm/2 einführen. Die Verformung der Drehstabfeder ϕ äußert sich hier als Längenänderung der Feder f. Der geometrische Zusammenhang beider Größen läßt sich mit Bild 2.21 klären:

158

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Dm

F

2

f

ϕ

Bild 2.21: Verformungen an der schraubenförmig gewendelten Zug-/Druckfeder.

f = ϕ⋅

Dm 2

⇒

ϕ=

f 2⋅f = Dm Dm 2

Gl. 2.28

Die Länge des gewundenen Federstabes L ergibt sich aus dem Umfang der kreisförmigen Wendel auf dem Windungsdurchmesser Dm: L = π ⋅ Dm ⋅ iw wobei iw die Anzahl der federnden Windungen bedeutet. Werden diese geometrischen Zusammenhänge in Gleichung 2.6 eingesetzt, so wird das Verformungsverhalten der schraubenförmig gewendelten Zug-/Druckfeder beschrieben: π ⋅ d4 Dm 32 2 = G⋅ 2⋅f π ⋅ Dm ⋅ i w Dm

F⋅

⇒

2

F ⋅ Dm π ⋅ d4 = G⋅ 4⋅f 32 ⋅ π ⋅ D m ⋅ i w

Dieser Ausdruck enthält bereits implizit den Ausdruck F / f als Gesamtsteifigkeit c der Schraubenfeder. Stellt man die Gleichung entsprechend um, so folgt für die Steifigkeit c:

c=

F d4 = G⋅ 3 f 8 ⋅ Dm ⋅ i w

Gl. 2.29

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

159

Da besonders bei Druckfedern die an der Umgebungskonstruktion anliegenden Windungen nicht federn können, muß die rechnerische Anzahl der federnden Windungen um zwei weitere Windungen erhöht werden, so daß sich die Anzahl der gesamten Windungszahl iges ergibt zu: iges = iw + 2 Die Dimensionierung einer Schraubenfeder geht praktischerweise zunächst von der Belastbarkeit aus: Der Drahtdurchmesser d und der Windungsdurchmesser Dm werden nach Gl. 2.22 bis 2.27 so bemessen, daß keine unzulässig hohen Schubspannungen auftreten und damit die Belastbarkeit der Feder gewährleistet ist. Die gewünschte Steifigkeit wird dann durch eine entsprechende Anzahl von federnden Windungen realisiert, wobei die Belastbarkeit dann nicht mehr beeinträchtigt wird. Für diese Vorgehensweise ist es vorteilhaft, die obige Gleichung nach der Anzahl der federnden Windungen iw aufzulösen: iw = G ⋅

d4 3 8 ⋅ Dm ⋅ c

Gl. 2.30

Das Verhalten der Feder bezüglich Belastbarkeit und Steifigkeit läßt sich mit folgendem Schaubild übersichtlich zusammenfassen:

Bild 2.22: Steifigkeit und Belastbarkeit einer Schraubenfeder.

Durch die zulässige Schubspannung des Federwerkstoffs ist im Zugbereich der Feder die Zugfestigkeitsgrenze und in ihrem Druckbereich die Druckfestigkeitsgrenze vorgegeben. Im Druckbereich kann die Feder so konstruiert werden, daß vor Erreichen der Festigkeitsgrenze die Blocklänge erreicht wird, d.h. daß die Feder so weit zusammengedrückt wird, daß die

160

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Windungen aufeinander liegen und eine weitere Verformung und damit eine Überlastung des Federwerkstoffs nicht möglich sind. Die oben dargestellte Feder ist sowohl auf Druck als auch auf Zug belastbar, was in der Praxis eher selten ist. Praktisch werden Federn entweder als reine Zugfeder mit Öse zur Krafteinleitung oder aber als reine Druckfeder mit aufeinanderliegenden, angeschliffenen Endwindungen ausgeführt.

2.2.2.3

Parametervariation Schraubenfeder (E)

Die Konstruktions- und Werkstoffdaten der Schraubenfeder nehmen in vielfältiger Weise auf deren Belastbarkeit und Steifigkeit Einfluß. Die folgenden Parametervariationen sollen diese Abhängigkeiten exemplarisch deutlich machen. Es soll eine Schraubenfeder entworfen werden, die mit Fmax = 200 N belastet werden kann und eine Steifigkeit c = 2 N/mm aufweist. Dazu wird ein Stahlwerkstoff mit dem Schubmodul G = 70.000 N/mm² und dem spezifischen Gewicht von ρ = 7,84 g/cm³ verwendet. Der werkstoffkundlich zulässige Torsionsschub τtzul soll 200, 400, 600 und 800 N/mm² betragen.

Bild 2.23: Maximaler Windungsdurchmesser.

Wird der Federdrahtdurchmesser vergrößert, so steigt damit dessen Torsionsbelastbarkeit fast in der dritten Potenz, es kann also ein zunehmend größerer Windungsradius als Hebelarm für diese Torsion zugelassen werden (Belastbarkeit der Feder).

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

161

Bild 2.24: Erforderliche Windungszahl.

Da mit steigendem Drahtdurchmesser festigkeitsmäßig ein größerer Windungsdurchmesser zugelassen werden kann, reduziert sich die zur Erzielung der vorgegebenen Steifigkeit erforderliche Windungszahl. Um zu geringe Windungszahlen zu vermeiden, darf der Federdrahtdurchmesser jedoch nicht zu groß sein.

Bild 2.25: Federmasse.

Bei der Ermittlung der Federmasse spielt der Federdrahtdurchmesser keine wesentliche Rolle. Lediglich für kleine Drahtdurchmesser ist ein leichter Anstieg zu verzeichnen, da der Wahl’sche Faktor größer wird. In diesem Zusammenhang wird klar, daß hohe zulässige Schubspannungen sehr leichte Federn ergeben. Minderwertige Werkstoffe hingegen erhöhen die Konstruktionsmasse erheblich. Die optimale Feder vermeidet also zu enge Windungen und besteht aus einem hochwertigen Werkstoff. Aufgaben 2.6 bis 2.12

162

2.2.2.4

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Knickgefährdung (V)

Werden lange, schlanke Schraubendruckfedern nicht geführt, so besteht Knickgefahr. In Anlehnung an die Knickberechnung aus Kapitel 0.3 kann hier eine Kurve angegeben werden, die den Bereich der Knicksicherheit von dem der Knickgefahr abgrenzt.

f L0 L0 λ= Dm f: Federweg ξK =

Gl. 2.31 Gl. 2.32

L0: Länge der ungespannten Feder Bild 2.26: Knickgrenze Schraubendruckfedern nach [2.6].

Schraubendruckfedern sind mit steigendem Federweg und abnehmendem Windungsdurchmesser zunehmend knickgefährdet. Aus dieser Darstellung geht hervor, daß eine Schraubendruckfeder mit νλ < 2,633 auf jeden Fall knicksicher ist. Der Abszissenwert berücksichtigt die Art und Weise, wie die Feder an die Umgebungskonstruktion angebunden ist. Dazu wird der Beiwert ν formuliert:

Bild 2.27: Beiwert ν für die Knickgefährdung von Schraubendruckfedern nach [2.6].

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

2.2.3

Biegefeder (B)

2.2.3.1

Biegebalken einzeln (B)

163

Die in Bild 2.3 vorgestellte einfache Biegefeder wird in folgendem Bild als erste Ausführungsform aufgegriffen und weiter differenziert. In allen drei Fällen ist der Biegebalken auf der linken Seite fest eingespannt. Balken belastet mit Einzelkraft

Balken gleicher Biegefestigkeit belastet mit Einzelkraft

Balken belastet mit konstantem Moment

F

F

Seitenansicht

Mb

Draufsicht

F

F

F

Spannung

Moment

Mb

Mb

Mb

Mb

σb

σb

σb

Balkenkrümmung

F

Bild 2.28: Biegebalken.

Mb

F

F

Balkenkrümmung

Belastung, Spannung

164

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen Das Biegemoment ist das Produkt aus konstanter Kraft und linear anwachsendem Hebelarm, woraus sich die dargestellte dreieckförmige Biegemomentenverteilung ergibt. Da der Balken auf seiner ganzen Lange einen konstanten Querschnitt aufweist, ist die Biegespannungsverteilung ebenfalls dreieckförmig.

Am Ende des Biegebalkens wird ein dazu senkrechter, starrer, gleichlanger Hebelarm angeordnet. Wird an dessen Ende die gleiche Kraft eingeleitet, so wird der Biegebalken auf seiner ganzen Länge mit einem konstanten Biegemoment belastet, die Biegespannungsverteilung ist dann ebenfalls konstant.

Wird der Biegebalken wie im Ausgangsbeispiel an seinem Ende mit einer Kraft belastet, so ergibt sich ebenfalls eine dreieckförmige Biegemomentenbelastung. Wird der Biegebalken aber als Balken gleicher Biegefestigkeit ausgeführt, so ist die Biegespannungsverteilung konstant.

Die Krümmung verhält sich umgekehrt proportional zur Spannung: An der Einspannung ist die Spannung groß, der Krümmungsradius ist klein. Weiter nach rechts wird die Spannung zunehmend kleiner und damit der Krümmungsradius größer. Am rechten Balkenende ist der Krümmungsradius unendlich groß.

Der an der Einspannung vorliegende minimale Krümmungsradius wird entlang der gesamten Balkenlänge beibehalten. Die Krümmung des gesamten Balkens ist deshalb kreisbogenförmig. Der Federweg f ist also trotz gleicher Beschaffenheit der Feder und gleicher belastender Kraft größer als im vorherigen Fall.

Da der Balken als Balken gleicher Biegefestigkeit ausgeführt ist, liegt auch hier überall gleiche Krümmung vor. Der Federweg f ist genau so groß wie der im vorherigen Fall, die Feder selbst beansprucht aber nur die Hälfte der Masse des ersten Falls.

Durchbiegung

Die nach außen wirkenden Verformungen machen sich am rechten Federende als Federweg f oder Neigung f′ bemerkbar. Die elementare Festigkeitslehre stellt dafür die folgenden Gleichungen bereit: 1 L3 f= ⋅ ⋅F 3 Iax ⋅ E

f = 4⋅

L3 ⋅F b ⋅ h3 ⋅ E

Gl. 2.33

f=

1 L2 ⋅ ⋅M 2 Iax ⋅ E

f = 6⋅

L2 ⋅M b ⋅ h3 ⋅ E

Gl. 2.34

f=

1 L3 ⋅ ⋅F 2 Iax ⋅ E

f = 6⋅

L3 ⋅F b ⋅ h3 ⋅ E

Gl. 2.35

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

Neigung

1 L2 f'= ⋅ ⋅F 2 Iax ⋅ E f ' = 6⋅

L2 ⋅F b ⋅ h3 ⋅ E

f'=

165 L ⋅M Iax ⋅ E

f ' = 12 ⋅

L ⋅M b ⋅ h3 ⋅ E

Gl. 2.37

Gl. 2.36

f'=

L2 ⋅F Iax ⋅ E

f ' = 12 ⋅

L2 ⋅F b ⋅ h3 ⋅ E

Gl. 2.38

Neben diesem Verformungsverhalten muß die Feder auch auf Belastbarkeit überprüft werden:

Belastbarkeit

σb =

Mb F⋅L = Wax b ⋅ h 2 6

6 ⋅ Fmax ⋅ L = σzul b ⋅ h2

Fmax = σ zul ⋅

b ⋅ h2 6⋅L

Gl. 2.39

σb =

Mb Mb = Wax b ⋅ h 2 6

6 ⋅ M b max = σzul b ⋅ h2

M b max = σzul ⋅

Gl. 2.40

b ⋅ h2 6

wie erster Fall:

Fmax = σzul ⋅

b ⋅ h2 6⋅L

Gl. 2.41

Wenn die von der Feder aufnehmbare Energie formuliert werden soll, dann werden zunächst die grundsätzlichen Gleichungen nach 2.1.3 angesetzt, wobei die beiden äußeren Federn als translatorische Federn und die mittlere als rotatorische Feder aufzufassen sind. Die Federverformungen werden in Funktion der Belastung und schließlich die Belastbarkeit in Funktion der zulässigen Spannung ausgedrückt:

166

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen Wtrans =

Fmax ⋅ f max 2

Wrot =

M max ⋅ ϕmax 2

Wtrans =

Fmax ⋅ f max 2

ϕmax = f′max mit Gl. 2.33

Federarbeit

=

Fmax ⋅

= 2⋅

4 ⋅ L3 ⋅ Fmax b ⋅ h3 ⋅ E 2

=

L3 2 ⋅ Fmax b ⋅ h3 ⋅ E

12 ⋅ L ⋅ M max b ⋅ h3 ⋅ E 2

=

L ⋅ M 2b max b ⋅ h3 ⋅ E

Fmax ⋅

= 3⋅

2

=

6⋅L  b ⋅ h2  ⋅  σ zul ⋅  3 b⋅h ⋅E  6 

=

6 ⋅ L ⋅ b2 ⋅ h 4 2 ⋅ σ zul b ⋅ h 3 ⋅ E ⋅ 36

1 L⋅b⋅h 2 ⋅ ⋅ σ zul 18 E

1 L⋅b⋅h 2 = ⋅ ⋅ σ zul 6 E

Gl. 2.42

Gl. 2.43

6 ⋅ L3 ⋅ Fmax b ⋅ h3 ⋅ E 2

L3 2 ⋅ Fmax b ⋅ h3 ⋅ E

mit Gl. 2.40

2 ⋅ L3  b ⋅ h2  = ⋅ σ ⋅   zul b ⋅ h3 ⋅ E  6⋅L 

=

M max ⋅

= 6⋅

mit Gl. 2.39

2 ⋅ L3 ⋅ b 2 ⋅ h 4 = ⋅ σ2zul b ⋅ h 3 ⋅ E ⋅ 36 ⋅ L2

mit Gl. 2.35

mit Gl. 2.34

mit Gl. 2.41 2

3 ⋅ L3  b ⋅ h2  = ⋅ σ ⋅   zul b ⋅ h3 ⋅ E  6⋅L  =

3 ⋅ L3 ⋅ b 2 ⋅ h 4 ⋅ σ2zul b ⋅ h 3 ⋅ E ⋅ 36 ⋅ L2

=

1 L⋅b⋅h 2 ⋅ ⋅ σ zul 12 E

2

Gl. 2.44

Vergleicht man die speicherbaren Federenergien untereinander, so kann die mittlere Feder die meiste Arbeit aufnehmen. Setzt man deren Speicherfähigkeit zu 100%, so lassen sich die beiden anderen Fälle relativ dazu folgendermaßen ausdrücken: Vergleich Federarbeit Biegefeder 33,3%

100%

50%

Berücksichtigt man, daß die rechte Feder relativ zu den beiden anderen nur die Hälfte des Konstruktionsvolumens beansprucht, so liegt es nahe, die speicherbare Arbeit auf das Volumen zu beziehen. In diesem Fall sieht die Verhältnismäßigkeit folgendermaßen aus: Vergleich volumenbezogene Federarbeit Biegefeder 33,3%

100%

100%

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

167

Soll eine Feder bezüglich ihres Energiespeichervermögens optimiert werden, so muß sie so geformt und belastet werden, daß alle ihre Bereiche mit möglichst gleichgroßer, aber immerhin noch zulässiger Spannung belastet werden. Diese Diskussion betrifft nicht nur die Biegefeder und wird im Abschnitt 2.6.1 (Formnutzzahl) allgemeingültig weitergeführt. In der technischen Praxis hat diese Dreiecksfeder allerdings kaum Bedeutung. Wie Bild 2.29 jedoch zeigt, kann die Dreiecksfeder in entsprechende Streifen geschnitten und zu einer Blattfeder zusammengeschichtet werden:

Bild 2.29: Dreiecksfeder wird zur Blattfeder.

Bezüglich ihres Verformungsverhaltens erfordert die geschichtete Blattfeder also zunächst die gleiche rechnerische Modellbildung wie die Dreiecksfeder. Allerdings reiben die Federblätter der Blattfeder bei Verformung aneinander, wodurch es zu Reibungsverlusten und zu einer bewußten Federhysterese kommt. Die Blattfeder setzt folglich im Gegensatz zur Dreiecksfeder gezielt Bewegungsenergie in Wärme um. In der technischen Realität ist die Dreiecksfeder jedoch nicht praktikabel, da am rechten Ende keine Querschnittsfläche zur Übertragung des Querkraftschubes zur Verfügung steht. Wird die Feder so geformt, daß auch an dieser Stelle genügend Querschnittsfläche vorhanden ist, so entsteht die Trapezfeder. Bild 2.30 zeigt eine zur Blattfeder geschichtete Trapezfeder gleich in doppelter Ausführung: Die linke und rechte Hälfte dieser Feder können jeweils als einzelne Trapezfeder betrachtet werden, die dann im Gesamtverbund miteinander parallel geschaltet sind. Dadurch wird das Problem der festen Einspannung umgangen.

168

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

F

I = 500

F

I = 500

+

+

1 Blattquerschnitt 100×12 4

2F=Fg

+

3

178 298 418 538 658 778 898

2 Bund inkl. Mittelwarzen nach DIN 1571 5

b´ =100

b = b´× n = 800

b´/2 = 50

130

100

Bild 2.30: Trapezfeder als Blattfedern. Korrekturfaktor kTF für Trapezfeder 1,5

kTF

b

b′

1,4 1,3 1,2 1,1

b′ b

1,0 0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

Trapezfeder, rechteckförmige und dreieckförmige Blattfeder unterscheiden sich nicht hinsichtlich ihrer Belastbarkeit, wenn am Einspannquerschnitt gleiche Abmessungen vorausgesetzt wurden. In ihrem Verformungsverhalten ist die Trapezfeder mit ihrem Federweg fTF und ihrer Steifigkeit cTF zwischen rechteckförmiger und dreieckförmiger Blattfeder anzusiedeln. In diesem Fall sind zunächst die Werte für die Rechteckfeder zu berechnen und dann mit dem Faktor kTr nach nebenstehendem Diagramm zu korrigieren. Federweg:

f TF = k TF ⋅ f RF

Steifigkeit:

cTF =

Trapezfeder Dreieckfeder

Rechteckfeder

Bild 2.31: Korrekturfaktor kTF für Trapezfeder.

c RF k TF

Gl. 2.45 Gl. 2.46

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

169

Nach der linken Hälfte von Bild 2.32 ließe sich der „Körper konstanter Biegefestigkeit“ auch mit konstanter Breite und entsprechend angepaßter Höhe realisieren. Diese Variante wird beispielsweise für die Gestaltung eines Schwimmbadsprungbretts praktiziert, stellt aber fertigungstechnisch besondere Anforderungen.

Bild 2.32: Blattfedern als Biegebalken konstanter Biegefestigkeit.

Bei dynamischer Beanspruchung zeigt auch die Belastbarkeit von Blattfederwerkstoffen eine ausgeprägte Differenzierung nach Zeitfestigkeit und Dauerfestigkeit, was in folgendem Bild beispielhaft dokumentiert ist:

170

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Bild 2.33: Wöhlerkurve für Blattfedern (nach [2.6]).

2.2.3.2

Parallel und hintereinander geschaltete Biegebalken (V)

Das folgende Bild gibt beispielhaft einige konstruktive Anordnungen von Blattfedern an. In den unteren Zeilen ist zunächst die jeweils vorliegende Gesamtsteifigkeit cges der Steifigkeit des einseitig eingespannten Biegebalkens cBB und die Gesamtbelastbarkeit Fges der Belastbarkeit FBB gegenübergestellt. Die Darstellung wird in der untersten Zeile mit einer Gegenüberstellung der speicherbaren Arbeit Wges relativ zu WBB ergänzt.

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

Der als Ausgangsfall dienende einseitig eingespannte Biegebalken als Modellfall der Festigkeitslehre kann in der technischen Realität wegen der „festen Einspannung“ einigen Konstruktionsaufwand erfordern.

Wird dieser Biegebalken jedoch mit doppelter Länge ausgeführt, so kann das Gesamtsystem mittig mit der Kraft 2F belastet werden, es entsteht eine Doppelanordnung von zwei parallelgeschalteten, „einseitig eingespannten Biegebalken“, ohne daß dabei die feste Einspannung konstruktiv realisiert werden muß.

cBB

cges = 2 ⋅ cBB

WBB =

oberer/unterer Balken: Parallelschaltung

Fges = 2 ⋅ FBB

FBB ² 2 ⋅ c BB

Fges = 2 ⋅ FBB

Fges ( 2FBB ) = 4FBB2 = 2 ⋅ cges 2 ⋅ c BB 4c BB 2

c BB = c BB 2

linke/rechte Balkenhälfte: Hintereinanderschaltung

in Parallelschaltung

Wges =

Der doppelt lange Biegebalken kann auch an beiden Seiten fest eingespannt werden. Die Relativbewegung von rechter und linker Seite zueinander wird konstruktiv erleichtert, wenn diese Anordnung in doppelter Ausführung parallel geschaltet wird. Gegenüber dem einfachen, einseitig eingespannten Balken werden Belastbarkeit und Federweg verdoppelt.

cges = 2 ⋅

linker/rechter Balken

FBB

171

2

Wges = 2 ⋅ WBB

Wges =

Fges ² (2 FBB )² 4 FBB ² = = 2 ⋅ cges 2c BB 2c BB

Wges = 4 ⋅ WBB

Bild 2.34: Zusammenschaltung mehrerer Blattfedern.

Das folgende Bild zeigt beispielhaft eine konstruktive Ausführung des mittleren der oberen aufgeführten Modellfälle in Kombination mit der zuvor ausgeführten Blattfeder als Feder gleicher Biegefestigkeit. Dieser Anwendungsfall aus der Fahrzeugtechnik ist noch um Dämpfer (s. Abschnitt 2.3) erweitert.

172

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Bild 2.35: Blattfedern zur Federung eines Kraftfahrzeuges (nach [2.6]).

Aufgabe 2.13

2.2.3.3

Unsymmetrisch belasteter Biegebalken (V)

In der Mitte von Bild 2.34 wurde ein beidseitig abgestützter Biegebalken betrachtet, wobei es die symmetrische Belastung erlaubte, das Gesamtsystem als Parallelschaltung von zwei untereinander gleichen Biegebalken aufzufassen. Ist die Belastung nicht symmetrisch, so läßt sich eine differenzierte Betrachtung nach Bild 2.36 anstellen.

Bild 2.36: Unsymmetrisch belasteter Biegebalken.

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

173

Zur Ermittlung der Auflagerkräfte wird die Summe der Momente am linken Auflager formuliert: ∑ML = 0⇒ FR =

FM ⋅ LL = FR ⋅ Lges

LL ⋅ FM Lges

und

FL =

LR ⋅ FM Lges

Gl. 2.47

In diesem Fall läßt sich das Gesamtsystem in den linken Biegebalken mit der Länge LL und den rechten Biegebalken mit der Länge LR aufgliedern, die jeder für sich mit den Gleichungen 2.7 und 2.8 beschrieben werden können:

f=

L3 ⋅F 3 ⋅ Iax ⋅ E

und

cB =

F 3 ⋅ Iax = E⋅ f L³

Die für diesen Modellfall wichtige Voraussetzung der „festen Einspannung“ wird hier modellhaft dadurch sichergestellt, daß auf der Wirkungslinie von FM eine Tangente an den durchgebogenen Balken gelegt wird (mittlere Skizze von Bild 2.36). Dadurch entsteht auf der linken Seite ein Teilsystem mit der Belastung FL und der Durchbiegung flinks‚ und auf der rechten Seite ein solches mit der Belastung FR und der Durchbiegung frechts: f links =

3

LL ⋅ FL 3 ⋅ Iax ⋅ E

und

f rechts =

3

LR ⋅ FR 3 ⋅ Iax ⋅ E

Gl. 2.48

Werden die Kräfte FR und FL durch die Kraft FM nach Gleichung 2.47 ersetzt, so ergibt sich

und

3

f links =

LL L ⋅ R ⋅ FM 3 ⋅ Iax ⋅ E L ges

f rechts =

LR L ⋅ L ⋅ FM 3 ⋅ Iax ⋅ E L ges

Gl. 2.49

3

Gl. 2.50

Bei einem Kraftangriff durch FM wird nach der Steifigkeit cM =

FM fM

gesucht. Es ergibt sich also die Frage, den Federweg fM als Funktion von flinks und frechts auszudrücken. Zu diesem Zweck wird zu der oben bezeichneten Tangente am unteren Endpunkt von fM eine Parallele durch den oberen Anfangspunkt von fM gelegt. Dann kann die Ähnlichkeit der beiden schraffierten Dreiecke ausgenutzt werden: f links − f M f M − f rechts = LL LR

⇒

LL ⋅ fM – LL ⋅ frechts = LR ⋅ flinks – LR ⋅ fM

fM ⋅ (LR + LL) = LL ⋅ frechts + LR ⋅ flinks ⇒

fM =

L L ⋅ f rechts + L R ⋅ f links Lges

174

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Setzt man für flinks und frechts die Ausdrücke aus Gleichung 2.49 und 2.50 ein, so ergibt sich LL ⋅ fM =

3

3

LR ⋅ LL LL ⋅ LR ⋅ FM + L R ⋅ ⋅ FM 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅ Lges 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅ Lges Lges

fM =

2 3 2 3 L ⋅ LR ⋅ ( LR + LL ) LL ⋅ LR + LR ⋅ LL ⋅ FM = L ⋅ FM 2 2 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅ Lges 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅ Lges

fM =

L2L ⋅ L2R 1 L2 ⋅ L2 ⋅ FM = ⋅ L R ⋅ FM 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅ L ges 3 ⋅ Iax ⋅ E L ges

2

2

Gl. 2.51

Durch Umstellung dieser Gleichung gewinnt man den gewünschten Ausdruck für die Steifigkeit bei Kraftangriff durch FM: cM =

L FM = 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅ 2 ges 2 fM LL ⋅ LR

Gl. 2.52

Es kann aber auch die Frage auftreten, welche Steifigkeit sich ergibt, wenn das System auf der linken Seite und in der Mitte an die Umgebung angebunden ist und der Kraftangriff durch FR auf der rechten Seite stattfindet (unteres Drittel von Bild 2.36). In diesem Fall deformiert sich das Gesamtsystem nach der Darstellung des unteren Bilddrittels. Die Verformung auf der rechten Seite fR setzt sich dann nicht nur aus dem Betrag frechts zusammen, sondern es ist noch die durch die Durchbiegung auf der linken Seite bedingte Verformung fL∗ hinzuzuzählen:

cR =

FR FR = f R f rechts + f L*

Gl. 2.53

Zur Erfassung von fL∗ wird die Ähnlichkeit der beiden im unteren Drittel von Bild 2.36 schraffierten Dreiecke ausgenutzt: f links f L* = LL LR

⇒

*

fL =

LR ⋅ f links LL

Gl. 2.54

Setzt man für flinks den Ausdruck von Gleichung 2.48 ein, so ergibt sich *

fL =

3

LR LL ⋅ ⋅ FL L L 3 ⋅ Iax ⋅ E

Gl. 2.55

Das Momentengleichgewicht um den Angriffspunkt von FM ergibt: FL ⋅ LL = LR ⋅ FR

⇒

FL =

LR ⋅ FR LL

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

175

Setzt man diesen Ausdruck in Gleichung 2.55 ein, so gewinnt man: *

fL = *

fL =

3

LR LL L ⋅ ⋅ R ⋅ FR L L 3 ⋅ Iax ⋅ E L L 2

L2R ⋅ L3L L ⋅ LL ⋅ FR = R ⋅ FR L ⋅ 3 ⋅ Iax ⋅ E 3 ⋅ Iax ⋅ E

Gl. 2.56

2 L

Durch Einsetzen von Gleichung 2.48 und Gleichung 2.56 in Gleichung 2.53 ergibt sich cR zu cR =

cR =

FR

3

2

LR L ⋅ LL ⋅ FR + R ⋅ FR 3 ⋅ Iax ⋅ E 3 ⋅ Iax ⋅ E

=

3 ⋅ Iax ⋅ E 3⋅I ⋅E = 2 ax 2 LR + LR ⋅ LL LR ⋅ ( LR + LL ) 3

3 ⋅ Iax ⋅ E 1 = 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅ 2 2 L R ⋅ Lges L R ⋅ Lges

Gl. 2.57

In analoger Weise läßt sich der Fall betrachten, daß das Gesamtsystem in der Mitte und rechts gelagert ist und der Kraftangriff am linken Ende stattfindet. Dann ergibt sich cL =

3 ⋅ Iax ⋅ E 1 = 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅ 2 2 L L ⋅ Lges L L ⋅ Lges

Gl. 2.58

Die Gleichungen dieses Abschnitts lassen sich folgendermaßen in übersichtlicher Weise zusammenstellen:

Steifigkeit

Federweg

Kraftangriff und Federweg

2.2.3.4

links

Mitte

fL =

fM =

1 ⋅ L2L ⋅ L ges ⋅ FL 3 ⋅ Iax ⋅ E

cL = = 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅

FL fL 1 L2L ⋅ L ges

1

rechts fR =

2 L

2 R

L ⋅L ⋅ FM 3 ⋅ Iax ⋅ E L ges ⋅

cM =

FM fM

= 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅

cR =

L ges 2 L

1 ⋅ L2R ⋅ L ges ⋅ FR 3 ⋅ Iax ⋅ E

2 R

L ⋅L

= 3 ⋅ Iax ⋅ E ⋅

FR fR 1 L2R ⋅ L ges

Abgestufter Biegebalken (V)

Für den einseitig eingespannten Biegebalken des Abschnitts 2.2.3.1 wurde davon ausgegangen, daß sich das Flächenmoment Iax entlang des Biegebalkens nicht ändert. Ist dies nicht der Fall, dann kann versucht werden, den Biegebalken in Abschnitte zu zerlegen, die jeweils für sich mit Gleichungen des einseitig eingespannten Biegebalkens zumindest annäherungsweise erfaßt werden können. Bild 2.37 zeigt beispielhaft einen aus vier Abschnitten bestehenden Biegebalken:

176

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

I a×4

I a×3

I a×2

I a×1

F fA + fB fN3 = f3′* (L1+L2)

L4

L3

L2

L1

f3′

B3 A3

Bild 2.37: Biegebalken mit vier Abschnitten.

Über dem gesamten Biegebalken wird sich die unten im Bild dargestellte dreieckförmige Biegemomentenverteilung einstellen. In dieser Darstellung werden die Abschnitte 1, 2 und 4 als starr angenommen und nur die Deformation von Abschnitt 3 betrachtet. Zur Ermittlung der Gesamtdeformation des Balkens müssen dann vier Einzelfälle überlagert werden: • • • •

Abschnitt 1 elastisch und Abschnitte 2, 3 und 4 starr Abschnitt 2 elastisch und Abschnitte 1, 3 und 4 starr Abschnitt 3 elastisch und Abschnitte 1, 2 und 4 starr Abschnitt 4 elastisch und Abschnitte 1, 2 und 3 starr

Für die weitere Betrachtung wird zunächst nur die Auslenkung am rechten Ende des Gesamtbalkens aufgrund der Deformation im Abschnitt 3 rechnerisch beschrieben. Im diesem Bereich ergibt sich die schraffiert dargestellte Momentenbelastung, die sich ihrerseits wiederum aus dem dreieckförmigen Anteil A3 und dem rechteckförmigen Anteil B3 zusammensetzt. Dies hat nach Gl. 2.33 und 2.34 die folgenden Verformungen zur Folge:

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

Durchbiegung fD3 am rechten Ende von Abschnitt 3

Summe fD3

177

Fall A: dreieckförmige

Fall B: rechteckförmige

Momentenfläche

Momentenfläche

fA =

fB =

3

L3 ⋅F 3 ⋅ Iax 3 ⋅ E

fB =

2

L3 ⋅ Mb 2 ⋅ Iax 3 ⋅ E 2

L3 ⋅ F ⋅ (L1 + L2 ) 2 ⋅ Iax 3 ⋅ E

 L 3 L 2 ⋅ ( L 2 + L1 )  F F  L L + L2  2 fA + fB =  3 + 3 = 3 + 1  ⋅  ⋅ L3 ⋅  3 2 3 2 I ⋅ E I ⋅E   ax 3 ax 3  

Gl. 2.59 Die Durchbiegung fD3 tritt sowohl am rechten Ende von Abschnitt 3 als auch als Verformungsanteil am rechten Ende des Gesamtbalkens auf. Weiterhin kommt es am rechten Ende des Gesamtbalkens zu einer Verformung aufgrund der Neigung am rechten Ende des dritten Balkenabschnitts. Die am Balken auftretende Neigung läßt sich nach Gl. 2.36 und 2.37 ebenfalls als Summe von Fall A und Fall B ermitteln:

Neigung f 3′ am rechten Ende von Abschnitt 3

Summe f 3′

Fall A: dreieckförmige

Fall B: rechteckförmige

Momentenfläche

Momentenfläche

′ fA =

2

L3 ⋅F 2 ⋅ Iax 3 ⋅ E

′ fB = ′ fB =

L3 ⋅ Mb Iax 3 ⋅ E

L3 ⋅ F ⋅ (L1 + L2 ) Iax 3 ⋅ E

2  F F L  ′ ′ L f A + f B =  3 + ( L1 + L 2 ) ⋅ L3  ⋅ =  3 + L1 + L 2  ⋅ L3 ⋅ 2 I ⋅ E 2 I   ax 3 ⋅ E   ax 3

Gl. 2.60 Diese Neigung f3′ tritt sowohl am rechten Ende des Abschnitts 3 als auch an der Krafteinleitungsstelle am rechten Ende des Gesamtbalkens auf. Weiterhin wird durch die Neigung f3′ eine zusätzliche neigungsbedingte Durchbiegung fN3 am rechten Ende des Gesamtbalkens hervorgerufen: F L  ′ f N 3 = f 3 ⋅ ( L1 + L 2 ) =  3 + L1 + L 2  ⋅ L3 ⋅ ( L1 + L2 ) ⋅ Iax 3 ⋅ E  2 

Gl. 2.61

Damit ergibt sich die durch Abschnitt 3 hervorgerufene Gesamtdurchbiegung am rechten Ende des Gesamtbalkens als Summe der bereits am Ende des Abschnitts 3 vorliegenden Durchbiegungen fD3 nach Gl. 2.59 und dem neigungsbedingten Anteil fN3 nach Gl. 2.61:

178

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen  L L + L 2  2  L 3  F  f 3 = f D 3 + f N 3 =  3 + 1  ⋅ L3 +  + L1 + L2  ⋅ L3 ⋅ ( L1 + L2 )  ⋅ 2   2   3  Iax 3 ⋅ E  L 2 L ⋅ ( L1 + L2 )  L3  F  f3 = f D3 + f N 3 =  3 + 3 +  + L1 + L2  ⋅ ( L1 + L2 )  ⋅ L3 ⋅ 3 2 2 I   ax 3 ⋅ E  

Gl. 2.62

Diese Gleichung findet sich zunächst einmal in der dritten Zeile des folgenden Schemas wieder. Für die Abschnitte 1, 2 und 4 lassen sich die Durchbiegungen in ähnlicher Weise formulieren: fges = f1 + f2 + f3 + f4  L 2 0 ⋅ L1  F  L1  f1 =  1 +  + 0 ⋅  + 0   ⋅ L1 ⋅ 2  Iax1 ⋅ E  2    3  L 2 L ⋅ L  F L  f 2 =  2 + 1 2  + L1 ⋅  2 + L1   ⋅ L2 ⋅ 2  Iax 2 ⋅ E  2    3  L 2 ( L + L 2 ) ⋅ L 3  F  L3  f 3 =  3 + 1  + ( L1 + L2 ) ⋅  + L1 + L2   ⋅ L3 ⋅ 3 2 2 I    ax 3 ⋅ E    L 2 ( L + L 2 + L 3 ) ⋅ L 4  F  L4  f 4 =  4 + 1 + L1 + L2 + L3   ⋅ L 4 ⋅  + ( L1 + L2 + L3 ) ⋅  2 Iax 4 ⋅ E  2    3 

Gl. 2.63 Bei der Vervollständigung dieses Schemas für die Verformungen in den anderen Abschnitten kann man sich zu Nutze machen, daß sich die in den bisherigen Gleichungen beobachteten Gesetzmäßigkeiten zu einer Reihenentwicklung ergänzen lassen. Für die Neigungen läßt sich eine ähnliche Zusammenstellung formulieren: fges′ = f1′ + f2′ + f3′ + f4′ 2

′ f1 =

L1 F L  ⋅ F =  1 + 0  ⋅ L1 ⋅ 2 ⋅ Iax1 ⋅ E Iax1 ⋅ E  2 

′ f2 =

L2 L ⋅L F L  ⋅ F + 1 2 ⋅ F =  2 + L1  ⋅ L2 ⋅ 2 ⋅ Iax 2 ⋅ E Iax 2 ⋅ E Iax 2 ⋅ E  2 

′ f3 =

( L + L 2 ) ⋅ L3 ⋅ F =  L3 + L + L  ⋅ L ⋅ F L3 ⋅F+ 1 1 2 3  2 ⋅ Iax 3 ⋅ E Iax 3 ⋅ E Iax 3 ⋅ E  2 

′ f4 =

2 ( L + L 2 + L3 ) ⋅ L 4 ⋅ F =  L 4 + L + L + L  ⋅ L ⋅ F L4 ⋅F+ 1 1 2 3 4  Iax 4 ⋅ E Iax 4 ⋅ E 2 ⋅ Iax 4 ⋅ E  2 

2

2

Gl. 2.64

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

179

Mit diesen Gleichungen läßt sich die Verformung eines vierfach gestuften Biegebalkens ermitteln. Darüber hinaus kann dieses Gleichungssystem auch für beliebig viele Abstufungen erweitert werden, so daß schließlich auch das Verformungsverhalten eines Biegebalkens mit stetig sich veränderndem Querschnitt näherungsweise beschrieben werden kann. Diese Näherung wird um so genauer, in je mehr Abschnitte der Biegebalken zerlegt wird. Der dafür erforderliche Rechenaufwand wird aber sehr schnell so groß, daß dafür sinnvollerweise automatisierte Rechenverfahren angewendet werden. Damit ist ein erster wesentlicher Schritt zur sog. „Finite-Elemente-Berechnung“ getan, aus der schließlich für den gesamten Biegebalken eine an der Krafteinleitungsstelle wirksame lineare Gesamtsteifigkeit cges = F / fges ermittelt werden kann. Aufgaben 2.14 und 2.15

2.2.3.5

Schenkelfeder mit starren Schenkeln (E)

Wie die Schraubenfeder besteht auch die Schenkelfeder aus einem schraubenförmig gewendelten Federdraht. Die Lasteinleitung, die Materialbeanspruchung und die Verformung sind jedoch völlig verschieden. Die folgende Gegenüberstellung macht diese Unterschiedlichkeit deutlich: Schraubenfeder als Zug-/Druckfeder

Unterscheidungsmerkmale

Schenkelfeder als Drehfeder

Zug-/Druckkraft F

Lasteinleitung als

Torsionsmoment Mt

Federweg f

Verformung

Verdrehwinkel ϕ

Torsionsschub τt

Materialbelastung

Biegespannung σb

Ösen bzw. angelegte Enden zur Krafteinleitung

Konstruktion

Schenkel zur Momenteneinleitung

Bild 2.38: Unterscheidungsmerkmale Schraubenfeder – Schenkelfeder.

Gewundene Schenkelfedern werden häufig dazu benutzt, Hebel, Deckel oder Klappen mit einer definierten Kraft in einer Endlage Kraft festzuhalten. Das folgende Bild zeigt einen typischen Einbaufall: Wird der Hebel bewegt oder die Klappe bzw. der Deckel geöffnet, so wird die Feder zunehmend gespannt, so daß die Kraft ansteigt. Nach dem Loslassen wird eine Schließbewegung selbsttätig eingeleitet. Einer der beiden Schenkel wird mit dem festen Gestell verbunden, während der andere Schenkel mit einer gewissen Vorspannung am beweglichen Teil eingehängt wird. Die Anzahl der federnden Windungen soll 2 nicht unterschreiten. Bild 2.39: Einbaubeispiel Schenkelfeder.

180

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Bild 2.40 veranschaulicht die Beanspruchung der Schenkelfeder: Mb

F

D

F

Ød

Mb

h

F

F

h

h

σb

π * D* i

σb

σb

Bild 2.40: Belastung Schenkelfeder.

Es werden zunächst die folgenden modellhaften Vereinfachungen getroffen: • Die am Schenkel mit der Länge h angreifende Kraft F läßt sich in ihrer Wirkung durch das Moment Mb = F ⋅ h ersetzen (obere Bildhälfte). • Die rechnerische Beschreibung der Feder wird vereinfacht, wenn man den gewundenen Federdraht modellhaft durch einen abgewickelten Biegebalken ersetzt (untere Bildhälfte). Im Federdraht wird das Moment Mb = F ⋅ h auf seiner gesamten Länge in voller Höhe wirksam. Dadurch wird eine Verformungsanalyse nach Gleichung 2.37 möglich. • Eigentlich handelt es sich hier um einen Biegebalken, der in seinem Windungsbereich mit einem konstanten Biegemoment und an seinen Schenkeln mit einem dreieckförmigen Biegemoment belastet wird. Bei der folgenden rechnerischen Beschreibung wird zunächst nur die Federung der Windungen betrachtet und die der Schenkel vernachlässigt. Diese Vereinfachung trifft besonders bei hoher Anzahl an federnden Windungen zu. Zur exakten Analyse wird die Vereinfachung in Abschnitt 2.2.3.6 wieder aufgehoben.

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

181

Zur Überprüfung der Belastbarkeit der Feder wird zunächst nur die Biegespannung σb formuliert, wobei ein Federdraht mit kreisrundem Querschnitt angenommen wird: σb = q ⋅

Mb F⋅h = q⋅ ≤ σbzul π ⋅ d3 Wax 32

Gl. 2.65

Der Faktor q berücksichtigt die durch die räumliche Anordnung der Windungen bedingte Ungleichmäßigkeit der Spannungsverteilung sowie die Überlagerung der Biegung durch Zug- und Druckspannung und ist damit im weiteren Sinne vergleichbar mit dem Wahl’schen Faktor K der auf Zug oder Druck belasteten Schraubenfedern. Er berechnet sich zu q=

w + 0,07 w − 0,75

mit

w=

D d

Gl. 2.66

Ähnlich wie bei Schraubenfedern ist nach DIN 2088 auch bei Schenkelfedern ein Wicklungsverhältnis w = D/d definiert, welches nicht kleiner als 4 und nicht größer als 20 sein soll. Der Faktor q hat tendenziell einen ähnlichen Verlauf wie der Wahl’sche Faktor K bei auf Zug oder Druck beanspruchten Schraubenfedern (Gl. 2.23/24) und ist ihm deshalb auch in Bild 2.19 gegenübergestellt. Das Festigkeitskriterium ist dann erfüllt, wenn die tatsächlich eingeleitete Biegespannung σb kleiner ist als der zulässige Biegespannung σbzul. Wegen der Stabilität sollen Schenkelfedern nur so belastet werden, daß sich die Windungen bei Belastung zunehmend verengen, nicht aber aufweiten. Zur Formulierung der Steifigkeit wird die Schenkelfeder in ihrer Modellvorstellung von Bild 2.28 als Biegebalken betrachtet, der entlang seiner gesamten Länge mit einem konstanten Biegemoment belastet wird, wofür in Gleichung 2.37 bereits der folgende Ausdruck verwendet worden ist: L f′ = ⋅M Iax ⋅ E Die in dieser Gleichung formulierte Neigung f′ am Balkenende ist gleichbedeutend mit dem Verdrehwinkel ϕ (in Bogenmaß), den die Schenkelfeder bei Belastung mit dem Moment M als Torsionsmoment erfährt: ϕ=

L ⋅M Iax ⋅ E

Gl. 2.67

Durch Umstellen dieser Gleichung läßt sich die Steifigkeit formulieren zu M Iax ⋅ E = = cT ϕ L

Gl. 2.68

Für Federdrähte mit dem häufig verwendeten kreisrunden Querschnitt wird Iax = π ⋅ d4 / 64 und es spezifiziert sich diese Gleichung zu: cT =

M π ⋅ d4 = E⋅ ϕ 64 ⋅ L

Gl. 2.69

182

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Die Balkenlänge L ergibt sich aus den „abgewickelten“ Federwindungen: L=D⋅π⋅i Die Federsteifigkeit erhält dann die endgültige Form

Gl. 2.70

d4 Gl. 2.71 64 ⋅ D ⋅ i Ähnlich wie bei zylindrischen Schraubenfedern geht man auch bei der Dimensionierung der Schenkelfeder meist folgendermaßen vor: Zunächst wird der Windungsdurchmesser D und der Drahtdurchmesser d unter Berücksichtigung der Belastbarkeit und der zulässigen Werkstoffbelastung festgelegt. Anschließend wird die gewünschte Steifigkeit durch eine entsprechende Anzahl an federnden Windungen realisiert. Dazu braucht lediglich die o.g. Gleichung nach i umgestellt zu werden: cT = E ⋅

i = E⋅

d4 cT ⋅ 64 ⋅ D

Gl. 2.72 In Bild 2.40 wurde vereinfachend angenommen, daß sich die an den beiden Schenkelenden angreifenden Kräfte auf einer gemeinsamen Wirkungslinie liegen. Dies trifft im allgemeinen Fall jedoch nicht zu, so daß die Schenkelfeder gegenüber einem Führungsbolzen abgestützt werden muß. Diese zusätzliche Reaktion hat aber normalerweise keinen Einfluß auf die oben angestellten Betrachtungen bezüglich Belastbarkeit und Steifigkeit der Feder.

Bild 2.41: Schenkelfeder und Führungsbolzen.

Um unnötige Kräfte zwischen Feder und Führungsbolzen zu vermeiden, sollen die die Feder belastenden Kräfte möglichst senkrecht zum Schenkel eingeleitet werden. Aufgaben 2.16 bis 2.18

2.2.3.6

Schenkelfeder mit elastischen Schenkeln (V)

Wie bereits in Bild 2.40 dargestellt wurde, handelt es sich hier um einen Biegebalken, der in seinem Windungsbereich mit einem konstanten Biegemoment und an seinen Schenkeln mit einem dreieckförmigen Biegemoment belastet wird. Die in den Gleichungen 2.36 und 2.37 aufgeführten Neigungen müssen entsprechend spezifiziert werden: Schenkel f′ =

1 L2 ⋅ ⋅F 2 Iax ⋅ E

Gl. 2.36

Windungsbereich f′ =

L ⋅M Iax ⋅ E

Gl. 2.37

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

183

Die Verformung (Neigung) des bereits in Bild 2.40 beschriebenen Windungsbereichs und die Verformung (Neigung) des oder der Schenkel addieren sich, es liegt also eine Hintereinanderschaltung von Windungsbereich und Schenkel vor: 1 L2 ′ ′ L ϕges = f Windung + ( 2 ⋅) fSchenkel = Windung ⋅ M + ( 2 ⋅) ⋅ Schenkel ⋅ F Iax ⋅ E 2 Iax ⋅ E

Der Faktor 2 ist dann zu berücksichtigen, wenn die Feder zwei Schenkel aufweist. ϕges =

1  1  ⋅ L Windung ⋅ M + ( 2 ⋅) ⋅ L2Schenkel ⋅ F Iax ⋅ E  2 

Wird für einen kreisrunden Querschnitt Iax = π ⋅ d4 / 64 gesetzt, die Windungslänge LWindung = D ⋅ π ⋅ i (Gl. 2.70) und die am Schenkel wirkende Kraft durch F = M / LSchenkel ausgedrückt, ergibt sich ϕges =

64 1   ⋅ D ⋅ π ⋅ i + ( 2 ⋅) ⋅ LSchenkel  ⋅ M π ⋅ d 4 ⋅ E  2 

Gl. 2.73

Die Federsteifigkeit drückt sich dann aus zu cT =

M π ⋅ d4 1 = E⋅ ⋅ ϕges 64 D ⋅ π ⋅ i + 2 ⋅ 1 ⋅ L ( ) Schenkel 2

Gl. 2.74

Die Belastbarkeit der Feder wird durch die Berücksichtigung der Schenkel nicht beeinträchtigt, weil das im Windungsbereich wirkende Biegemoment in gleicher Höhe auch an die Schenkel belastet. Insofern braucht Gl. 2.65 nicht modifiziert zu werden.

2.2.3

Ringfeder (E)

Wie die Bezeichnung schon besagt, bestehen Ringfedern aus ringförmigen Einzelelementen: Entsprechend der untenstehenden Skizze werden abwechselnd ein etwas größerer Außenring mit an beiden Enden kegeliger Innenfläche und ein etwas kleinerer Innenring mit kegeliger Außenfläche zusammengefügt:

Bild 2.42: Ringfedersäule bestehend aus 16 Halbringen.

184

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Ähnlich wie eine Schraubendruckfeder kann auch eine Ringfeder nur zentrisch auf Druck belastet werden, wobei je zwei benachbarte Ringe an den kegeligen Kontaktflächen ineinandergleiten. Die Außenringe werden dabei gedehnt, also in Tangentialrichtung auf Zug belastet und die innenliegenden Ringe gestaucht, also in Tangentialrichtung auf Druck beansprucht. Zunächst wird nur ein einzelner „Halbring“ betrachtet, die Steifigkeit der gesamten Ringfedersäule ergibt sich dann als Hintereinanderschaltung aller Halbringe. Im Gegensatz zu den anderen hier erläuterten Federbauarten läßt sich im Falle der Ringfeder der Reibungseinfluß und die damit verbundene Federhysterese, die in der Einleitung nur qualitativ angedeutet wurde, durch einen relativ einfachen Ansatz beschreiben. Diese Zusammenhänge werden jedoch leichter verständlich, wenn zunächst der reibungsfreie Fall betrachtet wird:

2.2.3.1

Ansatz reibungsfrei (E)

Die Reibungsfreiheit wird modellhaft dadurch angedeutet, daß an der kegeligen Kontaktfläche fiktive Rollen angenommen werden (obere Hälfte von Bild 2.40):

Bild 2.43: Einzelelement Ringfeder, reibungsfrei.

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

185

Dabei bedeuten: α:

Kegelsteigungswinkel

FN:

an der Kontaktfläche zwischen den beiden Ringen normal wirkende Kraft

Fax:

axial auf die Feder einwirkende Kraft

Frad:

die den Außenring radial nach außen bzw. den Innenring radial nach innen belastende Kraft

Zwischen Fax und der normal auf der Kontaktfläche zwischen den Ringen stehende Kraft FN läßt sich folgende Winkelbeziehung formulieren: sin α =

Fax FN

⇒

FN =

Fax sin α

Gl. 2.75

Erstes Belastbarkeitskriterium: Flächenpressung Die Kraft FN wirkt als Flächenpressung auf der gesamten Kontaktfläche zwischen einem jeweils benachbarten Innen- und Außenring. Fax FN sin α p= = A 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ b′

Gl. 2.76

b′ steht für die Breite der Kontaktfläche zwischen jeweils zwei benachbarten Ringen. Da bei maximaler Last der Innenring fast vollständig in den Außenring eintaucht, kann b′ mit der tatsächlichen axialen Erstreckung des Ringes in Zusammenhang gebracht werden: b b' Damit ergibt sich cos α =

p=

bzw.

⇒

b' =

b cos α

Fax ⋅ cos α Fax = ≤ p zul sin α ⋅ 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ b 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ b ⋅ tan α

Faxzul = 2 ⋅ π ⋅ r ⋅ b ⋅ tanα ⋅ pzul

Gl. 2.77 Gl. 2.78

Die dabei auftretende Flächenpressung p darf die zulässige Flächenpressung pzul nicht überschreiten. Zweites Belastbarkeitskriterium: Ringspannung Weiterhin kann auch der Außenring durch Zugspannung bzw. der Innenring durch Druckspannung überlastet werden. Stellvertretend für beide Fälle wird hier die Zugbeanspruchung des äußeren Halbringes untersucht. Zu diesem Zweck wird der einzelne Halbring in der Draufsicht (untere Hälfte von Bild 2.43) betrachtet und ein Kräftegleichgewicht in x-

186

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Richtung für den ersten Quadranten angesetzt (∑Fx = 0). Die im Halbring wirkende Zugkraft FZ formuliert sich dann zu ϕ= 90°

∫

FZ =

p ⋅ dA ⋅ cos ϕ

mit

dA = r ⋅ dϕ ⋅ b

ϕ= 0 ϕ= 90°

FZ =

∫

ϕ= 90°

p ⋅ r ⋅ dϕ ⋅ b ⋅ cos ϕ = p ⋅ r ⋅ b ⋅

ϕ= 0

∫

ϕ= 0

cos ϕ ⋅ dϕ = p ⋅ r ⋅ b ⋅ [sin ϕ]

ϕ= 90° ϕ= 0

= p⋅r⋅b

Die für die Belastbarkeit maßgebende Zugspannung im Ring kann als homogene Zugspannungsverteilung angenommen werden, weil t ρ

Gl. 2.94

noch mit Sicherheit und trotz aller Reibwertschwankungen erfüllt sein, da andernfalls keine rückstellende Axialkraft wirksam werden würde und die Feder im belasteten Zustand klemmen und bei Entlastung nicht wieder zurückfedern würde. Eine „Selbsthemmung“ muß unter allen Umständen vermieden werden. Wird eine Ringfeder mit F1 belastet, so stellt sich dabei ein Federweg s1 ein. Anschließend kann die Kraft bis auf F2 reduziert werden, ohne daß sich die Feder bewegt. Erst bei weiterer Reduzierung der Kraft auf F3 geht der Federweg um s2 zurück. Bei einer erneuten Belastung bewegt sich die Feder zunächst nicht, erst bei Überschreiten von F4 nimmt der Federweg wieder zu. Wird der hier skizzierte maximale Federweg überschritten, so steigt die Kraft sprunghaft an, weil die Feder „auf Block fährt“, zwei benachbarte Ringe liegen axial aufeinander. Bild 2.47: Steifigkeitskennlinie Ringfeder.

Ein typisches Beispiel für die Anwendung von Ringfedern ist die Federung des Eisenbahnpuffers.

192

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Bild 2.48: Eisenbahnpuffer mit Ringfeder (oben) und mit Kegelfeder (unten).

Während der Puffer mit Ringfeder die bei der Belastung eingebrachte Arbeit zum großen Teil in Wärme umsetzt, fehlt der Hystereseeinfluß beim Puffer älterer Bauart mit Kegelfeder: Die Fahrzeuge schlagen beim Entspannen der Feder kräftig auseinander. Aufgabe 2.19

2.2.5

Tellerfeder (E)

Tellerfedern haben eine ähnliche Form wie Unterlegscheiben, sie sind allerdings nicht flach, sondern leicht kegelig gewölbt und wegen ihrer einfachen Fertigung sehr preisgünstig. Mit zunehmender Axialbelastung wird der Kegel immer flacher gedrückt.

Bild 2.49: Tellerfeder.

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

193 F:

Belastung der Feder

FC:

Belastung der Feder bei Planlage (flachgedrückte Feder)

s:

Federweg

h0 :

Innenhöhe des unbelasteten Federtellers

t:

Nenndicke des Federtellers

A, B, C: Bauformen nach DIN 2093 Die Federkennlinie endet in jedem Fall dort, wo der Federteller völlig flach gedrückt ist (s = h0 bzw. s / h0 = 1). In dieser Stellung ist die normierte Kraft F / FC = 1. Ist die anfängliche Wölbung des Federtellers h0 sehr klein, so liegt näherungsweise ein einachsiger Biegespannungszustand vor und die Kennlinie ist nahezu linear. Mit zunehmender Wölbung des Federtellers h0 wird die Kennlinie degressiv. Bild 2.50: Steifigkeitskennlinie Tellerfeder.

Die Feder weist aufgrund ihrer Fertigung zunächst eine rechteckige Schnittfläche auf (Bild 2.49, links und Mitte), zuweilen werden die Auflageflächen auch bearbeitet (Bild 2.49, rechts). Die Feder wird vorwiegend auf Biegung beansprucht, es tritt zusätzlich aber auch Zug und Druck auf. Da sich Spannungen und Dehnungen im allgemeinen Fall nicht proportional zueinander verhalten, ist die Steifigkeit nicht linear.

a. Einzelfeder, Bezugssteifig keit für die weiteren Betrachtungen b. Parallelschaltung zweier Federn, doppelte Steifigkeit c. Hintereinanderschaltung von vier Federn, Vierteilung der Steifigkeit d. Vierfachhintereinanderschaltung von b, halbe Steifigkeit von a Bild 2.51: Einige Kombinationsmöglichkeiten von Tellerfedern.

194

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Wenn die konstruktiven Umgebungsbedingungen so ausgebildet sind, daß die Feder nicht über die Planlage hinaus deformiert werden kann, so ist auch sichergestellt, daß die Feder nicht zerstört werden kann. Aufgrund ihrer Bauform führt eine Tellerfeder kleine Federwege aus und kann große Kräfte aufnehmen, sie ist also relativ steif. Der besondere Vorteil der Tellerfeder liegt in ihrem kleinen Konstruktionsraum und in ihrer vielfältigen Kombinationsmöglichkeit. Dazu zunächst einige einführende Beispiele. Eine Verallgemeinerung dieser Beobachtung führt zu folgenden Feststellungen: • Parallelschaltung: Durch gleichsinniges Aufeinanderstapeln zu „Paketen“ läßt sich ihre Steifigkeit vervielfachen (multiplizieren). • Hintereinanderschaltung: Durch gegensinniges Aufeinanderstapeln zu „Säulen“ läßt sich ihre Steifigkeit reduzieren (dividieren). Darüber hinaus können aber auch Federpakete mit ungleicher Einzelsteifigkeit zu einer Säule zusammengefügt werden. Auf diese Weise erhält man eine abschnittsweise nahezu lineare, insgesamt jedoch progressive Gesamtfedersteifigkeit.

Bild 2.52: Tellerfedersäule mit progressiver Gesamtsteifigkeit.

In dieser Kennlinie ist auch berücksichtigt, daß die einzelnen Federteller untereinander und gegenüber der Auflage eine Relativbewegung ausführen. Die dabei auftretende Reibung macht sich insgesamt als Federhysterese bemerkbar, die u.U. bewußt ausgenutzt wird. Ähnlich wie bei der Ringfeder verhält sich die Reibung proportional zur Belastung. Die Reibung kann durch die Oberflächenbeschaffenheit und Schmierung in gewissen Grenzen beeinflußt werden. Bei der Gestaltung der konstruktiven Umgebung ist darauf zu achten, daß die Federn geführt werden müssen. Normalerweise werden die Federn innen durch einen Bolzen geführt. Es ist eine gerade Anzahl von Federn anzustreben, die dann so angeordnet werden, daß die erste und letzte Feder sich am Außenrand gegenüber der Umgebung abstützt, so daß die Kippgefahr reduziert wird und die Kraft möglichst zentrisch eingeleitet wird. Wie das nächste Bild beispielhaft zeigt, können Tellerfedern auch zur Vorspannung von Wälzlagerungen benutzt werden.

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

195

Bild 2.53: Wälzlagerung, mit Tellerfedern vorgespannt nach FAG.

Eine Fräse für Holz wird mit 4 kW bei einer Drehzahl von maximal 12.000 min–1 betrieben. Durch die Umgebungskonstruktion wird das rechte Lager zum Festlager und das linke zum Loslager. Zwei Tellerfedern spannen das Loslager mit 500 N vor. Damit wird ein spielfreier Lauf und eine hohe Steifigkeit des Spindelsystems erreicht (s. Kapitel 5, Band 2). Ferner wird durch die Federvorspannung gewährleistet, daß beide Lager auch im Leerlauf zumindest geringfügig belastet werden. In einem unbelasteten, schnell drehenden Lager würde ansonsten die Gefahr bestehen, daß die Kugeln nicht nur abrollen, sondern auch eine verschleißfördernde Gleitbewegung ausführen. Aufgabe 2.20

2.2.6

Teilplastische Verformung metallischer Federn (V)

Bereits im Zusammenhang mit Bild 0.6 wurde das Werkstoffverhalten beim Überschreiten der Streckgrenze beschrieben. Federwerkstoffen mit ihrer möglichst langen Hooke’schen Geraden fehlt allerdings eine ausgeprägte Streckgrenze, so daß sie nahezu stetig vom elastischen in den teilplastischen Bereich übergehen. Bei einmaligem Überschreiten der Streckgrenze und bei erneuter Belastung zeigt sich ein verändertes Spannungs-Dehnungs-Verhalten, welches hier mit der Verformung ε′ (für Normalspannung) bzw. γ′ (für Schubspannung) gekennzeichnet ist. Die dabei verlängerte Hooke’sche Gerade kann bei Federn in mehrfacher Hinsicht genutzt werden:

σ

nich t vo

W

vor ger eck t

rge

rec

Rp

kt

τ

• •

•

W′ ε, γ ε′, γ ′

Bild 2.54: Plastische Vordehnung eines Zugstabes.

Die Feder kann größere Kräfte aufnehmen. Es können größere Federwege zugelassen werden. Das Arbeitsspeichervermögen W = ½ ⋅ F ⋅ f einer „Zugstabfeder“ wird deutlich gesteigert: W′ > W

196

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Dieses gezielte einmalige Belasten bis weit in den plastischen Bereich hinein gehört zur Fertigung der Feder und wird „Vorsetzen“ oder auch „Vorrecken“ genannt. Bei diesem Vorgang muß allerdings darauf geachtet werden, daß die plastische Verformung nicht bis in den Einschnürungsbereich vorangetrieben wird, weil dies lokal unzulässige Verformungen und eine Mehrachsigkeit des Spannungszustandes zur Folge hätte. Auf ähnliche Weise läßt sich auch ein auf Schub belasteten Körper (Bild 0.25) vorrecken. Die Zug- oder Schubfeder erlaubt zwar eine modellhaft einfache Darstellung des Vorrekkens, aber schließlich haben diese Federn eine eher geringe konstruktive Bedeutung. Der Effekt des Vorsetzens ist aber prinzipiell bei allen metallischen Federn anwendbar, erfordert jedoch eine differenzierte Betrachtung.

2.2.6.1

Vorrecken einer Biegefeder (V)

Die folgende Darstellung erläutert das Vorrecken einer Biegefeder: σ

σ

Re

für

R

mi tte

l

für R

gros s

für R = ∞

y

ε

emax

ε y

R=∞

emax

y

ross

Rg t el mit

R

Bild 2.55: Biegefeder, im elastischen Bereich belastet.

el

y

R mitt

emax

R gross

R=∞

y

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B)

197

Es wird eine zunächst gerade Biegefeder symmetrischen Querschnitts (Biegeradius R∞) betrachtet, bei der die Koordinate y von der neutralen Faser nach außen gezählt wird. In diesem Zustand erfährt die Feder keine Verformung und ist daraufhin auch keiner Spannung ausgesetzt. Wird die Feder auf einen relativ großen kreisrunden Radius Rgroß aufgelegt, so wird sie auf ihrer ganzen Länge mit einem konstanten Biegemoment belastet. Der Radius Rgroß ist so gewählt worden, daß die Werkstoffbelastung im elastischen Bereich verbleibt, die Biegefeder also nach der Entlastung wieder ihre ursprüngliche gerade Form annimmt. Die obenstehende Drei-Quadranten-Darstellung macht die sich bei diesem Biegevorgang einstellende Spannungsverteilung deutlich: Bei y = 0 entsteht keinerlei Verformung ε (Quadrant rechts unten), die sich daraus ergebende Spannung σ muß ebenfalls Null sein (Quadrant rechts oben), so daß man sich auch im Nullpunkt des Quadranten links oben befindet. Auch am rechten oberen Ende der Hooke’schen Gerade läßt sich die gleiche Konstruktion ausführen, so daß sich eine maximale Spannung in der Randfaser der Biegefeder ergibt. Alle Zwischenwerte können auf ähnliche Weise dargestellt werden, so daß sich eine lineare Spannungsverteilung ergibt. Dieser an sich triviale Zusammenhang wird hier in dieser Form dargestellt, um die nun folgende Belastung über die Elastizitätsgrenze hinaus ergänzen zu können: σ be im

σ teilplastisch

Vo ck rre en un

elastisch

db ei st lla Vo

y

Ve em rrecken ohne hd Last ε

emax

c na

y

ε

in

le

Rk

in

le

Rk

emax y

Bild 2.56: Biegefeder, im elastisch-plastischen Bereich belastet.

198

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Wird der Biegeradius auf Rklein deutlich verkleinert, so wird die Biegefeder nach der Entlastung nicht wieder ihre ursprüngliche gerade Form annehmen. Für das rechte obere Ende der Hooke’schen Gerade kann ebenfalls ein Punkt konstruiert werden, der nun aber nicht an der Randfaser, sondern weiter innen liegt. Für den Bereich zur neutralen Faser hin stellt sich wie zuvor eine lineare, elastische Spannungsverteilung ein, die jetzt aber sehr viel steiler verläuft. Für den teilplastischen Bereich rechts oberhalb der Hooke’schen Geraden muß die Spannungsverteilung wegen der Nichtlinearität punktweise im linken oberen Quadranten konstruiert werden. Wird die Biegefeder wieder entlastet, so verformt sich der gesamte Querschnitt um einen gemeinsamen Winkel zurück, die Spannungsverteilung im oberen linken Quadranten dreht sich also zentrisch-symmetrisch nach links zurück. Für diese grafische Konstruktion ist eine „Ausgleichsgerade“ vorgesehen, die nach der Rückverformung mit der waagerechten y-Achse zusammenfällt. Die sich nach der Entlastung einstellende Eigenspannungsverteilung weist im vormals elastischen Bereich eine Linearität und darüber hinaus einen nach links ins Negative abfallenden Verlauf auf. Bei vollständiger Entlastung ist kein Biegemoment mehr wirksam, es muß gelten: Mb = 0 =

ymax

∫

σ( y) ⋅ y ⋅ dA

Gl. 2.95

− ymax

Da an der kritischen Stelle die Randfaser eine negative Eigenspannung aufweist, wäre eine umgekehrt gerichtete Biegebelastung der teilplastisch vorgeformten Feder festigkeitsmäßig sehr problematisch. Wenn man einen Biegebalken bewußt zerstören will, dann erreicht man das ja vorteilhafterweise dadurch, daß man ihn wechselweise über die Streckgrenze hinaus verbiegt und diesen Vorgang dann mehrmals in die umgekehrte Richtung wiederholt.

2.2.6.2

Vorrecken einer Drehstabfeder (V)

Das Vorrecken einer Drehstabfeder läßt sich auf ähnliche Weise veranschaulichen:

2.2 Einige Bauformen metallischer Federn (B) τ

199

τ

be im

teilplastisch

Vo rre ck

elastisch

un db

vo lle las tis ch

ei

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m

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r

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m de

Vorrecken oh ne

Last

γ

d 2

γ L

in

ϕ kle

d

ϕ

gr

ϕ =0

γ ϕ

b

r

os

s

d 2 r

Bild 2.57: Drehstabfeder, im elastischen und im elastisch-plastischen Bereich.

Bei einer Drehstabfeder kreisrunden Querschnitts wird die Koordinate r von der Stabmitte nach außen gezählt. In Anlehnung an Bild 2.2 steht dieser Radius r steht über dem Verdrehwinkel der Feder ϕ mit dem Bogenabschnitt b geometrisch in Zusammenhang:

Andererseits steht dieser Bogenabschnitt über die Federlänge L mit dem Scherwinkel γ in geometrischer Beziehung: b=γ⋅L

b=ϕ⋅r Daraus ergibt sich: γ=

ϕ⋅r L

Dieser Sachverhalt ist hier im unteren rechten Quadranten repräsentiert. Die Verdrehung ist so gewählt worden, daß die Werkstoffbelastung im elastischen Bereich verbleibt, die Drehstabfeder nimmt also nach der Entlastung wieder ihre ursprüngliche Form an. Bei r = 0 entsteht keinerlei Verformung γ, der sich daraus ergebende Torsionsschub τ muß ebenfalls null

200

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

sein, so daß man sich auch im Nullpunkt des Quadranten links oben befindet. Auch am rechten oberen Ende der Hooke’schen Gerade läßt sich die gleiche Konstruktion ausführen, so daß sich eine maximale Spannung in der Randfaser der Drehstabfeder ergibt, die Spannungsverteilung zwischen diesen beiden Eckwerten ist linear. Wird der Verdrehwinkel ϕ vergrößert (Quadrant unten rechts), so wird die Feder nach der Entlastung nicht wieder ihre ursprüngliche Lage einnehmen. Für das rechte obere Ende der Hooke’schen Gerade kann ebenfalls ein Punkt konstruiert werden, der nun aber nicht an der Randfaser, sondern weiter innen liegt. Für den Bereich zur neutralen Faser hin stellt sich wie zuvor eine lineare, elastische Spannungsverteilung ein, die jetzt aber sehr viel steiler verläuft. Für den teilplastischen Bereich rechts oberhalb der Hooke’schen Geraden läßt sich die Schubspannungsverteilung punktweise im linken oberen Quadranten konstruieren. Wird die Feder wieder entlastet, so verformt sich die Schubspannungverteilung um einen gemeinsamen Verdrehwinkel zurück, die Spannungsverteilung im oberen linken Quadranten dreht sich also zentrisch-symmetrisch nach links zurück. Für diese grafische Konstruktion ist eine „Ausgleichsgerade“ vorgesehen, die nach der Rückverformung mit der waagerechten r-Achse zusammenfällt. Die sich nach der Entlastung einstellende Eigenspannungsverteilung weist im vormals elastischen Bereich eine Linearität und darüber hinaus einen nach links ins Negative abfallenden Verlauf auf. Bei vollständiger Entlastung ist kein Torsionsmoment mehr wirksam, es muß gelten: Mt = 0 =

rmax

∫

Gl. 2.96

τ(r ) ⋅ r ⋅ dA

− rmax

Auch hier liegt an der kritischen Stelle an der Randfaser eine negative Eigenspannung vor, was eine umgekehrt gerichtete Torsionsbelastung der teilplastisch vorgeformten Feder festigkeitsmäßig sehr problematisch macht. Im späteren Betrieb stellt sich dann je nach anliegendem Torsionsmoment eine Torsionsspannungsverteilung zwischen dem vorgespannten Nullzustand und dem Maximalzustand ein. Eine ähnliche Vorgehensweise kann auch bei Schraubenfedern angewendet werden, die sich ja bekanntlich bezüglich ihres Belastungsverhaltens von der Torsionsstabfeder ableitet.

2.3

Feder und Dämpfer (V)

Bisher wurde die an der Feder wirkende Federkraft FFeder und die möglicherweise zusätzlich wirkende Reibkraft FReib betrachtet. Die Coulomb’sche Reibkraft ist normalkraftproportional, wird durch die Reibzahl µ beschrieben und ist unabhängig von der Geschwindigkeit. auslenkungsproportionale Federkraft Coulomb’sche Reibungskraft (bewegungshemmend) geschwindigkeitsproportionale Dämpfungskraft (bewegungshemmend)

FFeder = c ⋅ f FReib = µ ⋅ FN FD = β ⋅ v

Energie mechanisch nutzbar Reibungsmechanische Energie dämpfer wird in Wärme umgesetzt Flüssigkeitsdämpfer Feder

2.3 Feder und Dämpfer (V)

201

Versucht man jedoch, ein auf der Wasseroberfläche schwimmendes Stück Holz zu bewegen, so wird man feststellen, daß dessen Bewegungswiderstand linear mit der Geschwindigkeit anwächst. In ähnlicher Weise kann auch an einer Feder eine geschwindigkeitsproportionale Dämpfungskraft FD wirken. Sie ist bei den bisher aufgeführten Federn jedoch aufgrund der werkstoffkundlichen Eigenschaften des Metalls so gering, daß sie im Rahmen der hier diskutierten Anwendungen meist vernachlässigt werden kann. Zuweilen wird jedoch durch einen parallel zur Feder angeordneten „Flüssigkeitsdämpfer“ eine solche Kraft bewußt hervorgerufen. Dies läßt sich modellhaft an einem flüssigkeitsgefüllten Zylinder-Kolben-System erläutern:

Bild 2.58: Flüssigkeitsdämpfer.

202

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Der Kolben ist gegenüber der Zylinderwand und die Kolbenstange gegenüber dem Zylinderdeckel abgedichtet. Wird die Kolbenstange mit dem daran befestigten Kolben bewegt, so wird ein Flüssigkeitsaustausch zwischen rechter und linker Kammer erzwungen. Je nach Konstruktion wird die Flüssigkeit den Weg entweder über Bohrungen im Kolben (a) oder über einen außenliegenden Verbindungskanal (b) nehmen. In beiden Fällen wird die Bewegung des Kolbens aber durch einen Strömungswiderstand behindert. Die Höhe des Bewegungswiderstandes hängt weiterhin von der Kolbengeschwindigkeit ab. In dieser Betrachtung wird modellhaft angenommen, daß der Kolben mit einer sinusförmigen Wegfunktion nach Detailskizze d bewegt wird. • Ist die Bewegung schnell, so ist der Strömungswiderstand und damit die Dämpferkraft groß. Ist die Bewegung langsam, so ist der Strömungswiderstand gering und damit die Dämpferkraft klein. Im Grenzfall (Geschwindigkeit = null) ist überhaupt keine Dämpfung zu überwinden. Je größer die Geschwindigkeit, desto größer die Dämpferkraft: Die Flüssigkeitsdämpfung ist im Gegensatz zur Reibungsdämpfung geschwindigkeitsproportional. • In jedem Fall hat die sinusförmige Bewegung Umkehrpunkte. Da dort die Geschwindigkeit null ist, entsteht an dieser Stelle auch keine Dämpferkraft. • Ähnlich wie bei der Coulomb’schen Federreibung entsteht auch in diesem Fall im Laufe eines Bewegungsspiels eine Hystereseschleife. Die darin eingeschlossene Fläche ist als Arbeit zu sehen, die dem mechanischen System entzogen und als Wärme abgeführt wird (hier schraffiert dargestellt für „langsame“ Bewegung). Wird dieser Flüssigkeitsdämpfer mit einer Feder parallel geschaltet, so ergibt sich daraus folgende Zusammenstellung:

Bild 2.59: Parallelschaltung Feder – Flüssigkeitsdämpfer.

2.3 Feder und Dämpfer (V)

203

Bei sehr langsamen, sinusförmigen Kolbenbewegungen macht sich nur die Feder bemerkbar, die Federkennlinie ist also fast hysteresefrei und weist die bekannte Linearität auf. Bei zunehmender Kolbengeschwindigkeit wird die Federkennlinie von einer wachsenden Hystereseschleife überlagert, die auf die Dämpfung zurückzuführen ist. Dieses Verhalten ist besonders im Fahrzeugbau erwünscht: Bei niedrigfrequenter Anregung sollen zur Steigerung des Fahrkomforts große Federwege zugelassen werden. Mit steigender Dynamik muß allerdings dem System zunehmend mehr Bewegungsenergie entzogen werden, was sich durch die Vergrößerung der Hysterseschleife quasi von selbst einstellt. Die folgende Darstellung zeigt schematisch den Unterschied der im Kraftfahrzeugbau verwendeten Einrohr- und Zweirohrdämpfer: Einrohrstoßdämpfer:

Zweirohrstoßdämpfer:

Am unteren Ende der Kolbenstange 1 befindet sich der Kolben mit den darin integrierten Drosselelementen. Beim Einfahren der Kolbenstange 1 wird das unter dem Kolben befindliche Öl verdrängt, es strömt durch die Drosselelemente in den Raum oberhalb des Kolbens. Unterhalb des beweglichen Trennkolbens 2 befindet sich das Gaspolster 3 (Stickstoff unter einem Druck bis 25 bar), welches beim Herunterfahren des Kolbens zusammengedrückt wird und dabei als Feder wirkt, die mit dem Dämpfer hintereinandergeschaltet ist. Beim Ausfahren der Kolbenstange drückt das Gaspolster den Trennkolben in seine Ausgangsstellung zurück. In jedem Fall wird aber durch die vorgespannte Gasfeder das Öl unter Druck gesetzt, wodurch eine Ölverschäumung verhindert wird.

Beim Zweirohrdämpfer wird der Trennkolben durch eine festen Abschlußdeckel mit weiteren Drosselelementen ersetzt. Dadurch kann das Öl in den Zwischenraum zwischen dem inneren und äußeren Zylinder strömen, in dessen oberem Abschnitt sich das Gaspolster (Luft bei einem Druck von 6 – 8 bar) befindet, welches dem Dämpfer eine zusätzliche, hintereinander geschaltete Federeigenschaft verleiht. Diese Konstruktion macht einen Trennkolben und die damit verbundene Abdichtung überflüssig. Der Zweirohrdämpfer muß senkrecht eingebaut werden und weist eine relativ geringe Einbaulänge auf.

Bild 2.60: Kraftfahrzeugstoßdämpfer schematisch.

Bild 2.61 zeigt den einfacher zu überblickenden Einrohrdämpfer mit seinen wesentlichen konstruktiven Details:

204

1 3 5 7

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Gasraum Ölraum Führungsring Dichtungs- und Führungselement

2 4 6 8

beweglicher Trennkolben Arbeitskolben Kolbenstange Nachstellbolzen

Bild 2.61: Einrohrdämpfer.

Eine Feder ist eigentlich nur dann eine Feder, wenn die erste der drei zu Beginn dieses Abschnitts genannten Kräfte die dominierende Rolle spielt. Reibungskräfte (aufgrund von Festkörper- oder Flüssigkeitsreibung) sind keine Federkräfte. Diese an sich sehr klare Fachterminologie wird leider nicht immer konsequent eingehalten, was zuweilen zu Verwirrungen führen kann.

2.4

Feder als Bestandteil eines schwingungsfähigen Systems (V)

Um die Feder als Bestandteil eines schwingungsfähigen Systems zu verstehen, ist ein kleiner Exkurs in die Dynamik angebracht. Die Betrachtung beschränkt sich an dieser Stelle auf den Modellfall des Einmassenschwingers, die spezielle Literatur der Kinetik (z.B. Assmann, Band 3, Kapitel 9) vertieft diesen Sachverhalt. Zur Einführung in die Problematik sei die folgende Anordnung betrachtet: Vmax A m

ωο

Vmax

A

T

t

Bild 2.62: Harmonische, translatorische Bewegung einer Masse.

Eine reibungsfrei (hier durch Rollen angedeutet) geführte Masse wird in der dargestellten Weise mit einem Kurbelmechanismus verbunden. Ist die Koppelstange L ausreichend lang gegenüber dem Kurbelradius A, so führt die Masse eine sinusförmige Bewegung aus. Beim Durchfahren des oberen und unteren Scheitelpunktes liegt die maximale Geschwindigkeit vmax vor, die sich mit der Winkelgeschwindigkeit des Kurbeltriebs ω in Verbindung bringen läßt, s. Gl. 2.97.

2.4 Feder als Bestandteil eines schwingungsfähigen Systems (V) vmax = ω ⋅ A

bzw.

ω=

205

v max A

Gl. 2.97

Die Zeitdauer dieses zyklisch sich wiederholenden Vorganges T läßt sich ausdrücken durch ω=

Winkel Zeit

hier:

ω=

eine Umdrehung 2 ⋅ π = Periodendauer T

Gl. 2.98

Der gleiche sinusförmige Bewegungsablauf läßt sich allerdings auch durch eine Kopplung der Masse mit einer Feder der Steifigkeit c (Bild 2.63 links) hervorrufen: β

C

m

A

m

C

A

f

T

t

f

T

t

Bild 2.63: Ungedämpfte freie Schwingung (links), gedämpfte freie Schwingung (rechts).

Die Gesamtmasse m wird über eine Feder mit der Steifigkeit c an das feste Maschinengestell angebunden. In der ungespannten Lage tritt an der Feder weder eine Verformung noch eine Kraft auf. Wird die Feder aus der ungespannten Lage um den Federweg A ausgelenkt und aus dieser Lage wieder losgelassen, so führt sie eine Schwingung mit der Amplitude A um die ungespannte Lage mit der „Eigenfrequenz“ ω0 aus. Die Eigenfrequenz ω0 dieser Kombination aus Feder und Masse ist für das dynamische Verhalten des Systems von entscheidender Bedeutung. Zur Ermittlung von ω0 wird die in dem System gespeicherte Energie in zwei konkreten Stellungen miteinander verglichen: Im Umkehrpunkt der Schwingung liegt die Energie als in der Feder gespeicherte Arbeit W vor, die als potentielle Energie des System Epot aufgefaßt werden kann: W=

F ⋅ f F ⋅ A c ⋅ A2 = = = E pot 2 2 2

206

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Beim Nulldurchgang durch die ungespannte Lage liegt die Energie in rein kinetischer Form vor, wobei die Geschwindigkeit der Masse den Maximalwert vmax annimmt: E kin =

1 2 ⋅ m ⋅ v max 2

Bei angenommener Hysteresefreiheit müssen nach dem Energieerhaltungssatz beide Energien gleich groß sein, so daß folgt: Ekin = Epot ⇒

c ⋅ A2 1 2 ⋅ m ⋅ v max = 2 2

2

c  v max    = A m  

⇒

v max = A

c m

Gl. 2.99

Wie bereits in Gl. 2.97 ausgeführt wurde, läßt sich der Quotient vmax/A als eine Frequenz deuten, die hier als „Eigenfrequenz“ ω0 (eigentlich „Eigenwinkelgeschwindigkeit“) bezeichnet wird, weil sie diesem System mit der hier vorliegende Steifigkeit und Masse eigen ist: ω0 =

c m

Eigenfrequenz

Gl. 2.100

Der Fall der ungedämpften, freien Schwingung (Bild 2.63 links) kann jedoch nur als idealer Modellfall gelten. Die praktische Beobachtung zeigt, daß die Schwingung unter Beibehaltung der Periodendauer T mehr oder weniger schnell abklingt (Bild 2.63 rechts). Dies ist auf die Hysterese zurückzuführen, die hier als parallelgeschalteter Dämpfer angedeutet ist, in ähnlicher Weise aber auch seine Ursache in Coulomb’scher Reibung haben kann. In der technischen Anwendung ergeben sich daraus zwei Konstellationen: β m

ω

β

m

C

c

t

Bild 2.64: „Nützliche“ Anwendung.

Bild 2.65: „Zerstörerische“ Anwendung.

ω

2.4 Feder als Bestandteil eines schwingungsfähigen Systems (V)

207

Soll eine harmonische Schwingung bewußt ausgeführt werden, so ist das System der ungedämpften freien Schwingung als Idealfall anzustreben.

Findet man jedoch ein Feder-Masse-System vor, welches über die Feder dynamisch angeregt wird, und stimmen die Eigenfrequenz ω0 und die Erregerfrequenz ω überein, so wird dem System ständig Energie zugeführt, die Schwingungsamplitude steigt ständig an, bis die Feder über ihre Belastbarkeit hinaus beansprucht und zerstört wird.

Zur Vermeidung von Energieverlusten und zur Aufrechterhaltung der Amplitude ist die Dämpfung möglichst zu vermeiden.

Die Dämpfung ist in diesem Falle erwünscht, da sie dem System Bewegungsenergie entzieht. Sie muß so groß sein, daß sich die Amplitude nicht vergrößert.

Um die real auftretenden Dämpfungsverluste zu kompensieren, wird das System in der oben dargestellten Weise mit einem Kurbeltrieb gekoppelt, dessen Erregerfrequenz ω genau mit der Eigenfrequenz des Systems ω0 übereinstimmen muß.

Um diese Zerstörung zu verhindern, sollten die Erregerfrequenz ω und die Eigenfrequenz ω0 so modifiziert werden, daß sie möglichst weit auseinander liegen.

Bild 2.66: Blattfeder als Bestandteil eines schwingungsfähigen Systems.

208

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Als Beispiel für den in Bild 2.64 links aufgeführten Fall sei die Anordnung von Bild 2.66 betrachtet, die dazu dient, Brot zu schneiden. Bei der im ersten Bilddrittel skizzierten Version wird das Messer in einer Linearführung angeordnet. Die zum Schneiden erforderliche Bewegung in Horizontalrichtung wird über den links angedeuteten Exzentermechanismus eingeleitet. Dadurch führt das Messer eine Bewegung in Form einer Sinusfunktion aus. Bei höheren Geschwindigkeiten bzw. Drehzahlen wird diese Betriebsweise jedoch zunehmend problematisch, weil dann die durch die Masse mges bedingten Massenkräfte immer größer werden. Wird das System jedoch in der im mittleren Bilddrittel skizzierten Weise betrieben, so wird die Schwingungsfähigkeit des Feder-Masse-Systems vorteilhaft ausgenutzt. Die zyklisch sich wiederholende Energiewandlung zwischen Federenergie und Bewegungsenergie des Messers ist jedoch nur dann möglich, wenn sich der Motor mit einer Frequenz dreht, die der Eigenfrequenz des Feder-Masse-Systems entspricht. Weiterhin ist zu berücksichtigen, daß im praktischen Betrieb Reibungsverluste auftreten und eine Leistung zum Betrieb des Schneidprozesses erforderlich ist. Beide Leistungsanteile sind vom Antriebsmotor in das System einzubringen. Würde man jedoch die oberen Enden der Blattfedern mit dem Antrieb entsprechend der unteren Darstellung des vorangegangenen Bildes koppeln, so würde bei Stillstand des Antriebes das System ebenfalls mit der Eigenkreisfrequenz ω0 schwingen. Würde der Antrieb zusätzlich in Betrieb genommen werden, so würde sich die Schwingungsamplitude A wegen der vom Antrieb zugeführten Energie ständig vergrößern und das System schließlich zerstören. Diese Anordnung ist also für den hier vorgestellten Betrieb einer Brotschneidemaschine nicht nur unbrauchbar, sondern sogar zerstörerisch. Tatsächlich sind solche zerstörerischen Konstellationen in der Praxis zuweilen unvermeidlich. Dazu sei eine Fahrzeugfederung betrachtet, die in der folgenden Darstellung modellhaft auf die wesentlichen Bauteile reduziert wird: Die reale Fahrbahn weist Unregelmäßigkeiten auf, die hier modellhaft als Sinusfunktion angenommen werden. Aus Gründen der Fahrsicherheit und des Komforts muß das (hier als masselos angenommene) Fahrwerk über Federn an die Fahrzeugmasse angekoppelt werden.

Bild 2.67: Fahrzeugfederung schematisch.

2.4 Feder als Bestandteil eines schwingungsfähigen Systems (V)

209

Da sich die Erregerfrequenz ω infolge der Fahrbahnbeschaffenheit und der Fahrgeschwindigkeit ständig ändert, muß mit dem Fall gerechnet werden, daß sie mit der Eigenfrequenz ω0 des Systems zusammentrifft. Um dabei kein Aufschaukeln des Systems und die damit verbundene Zerstörung zu riskieren, müssen parallel zur Feder Dämpfer angebracht werden. Dies erledigt die Blattfeder durch die integrierte Coulomb’sche Reibung quasi automatisch, bei der Verwendung von Schraubenfedern werden externe Flüssigkeitsdämpfer eingesetzt. Die folgende Gegenüberstellung macht deutlich, daß nicht nur eine translatorisch wirkende Feder (hier Schraubenfeder als Zug-/Druckfeder) gegenüber einer translatorisch bewegten Masse ein schwingungsfähiges System nach obiger Betrachtung ergibt. In ähnlicher Weise muß auch eine rotatorische Feder (hier Drehstabfeder) und die sich auf einem Hebelarm befindliche Masse als schwingungsfähiges System aufgefaßt werden:

Ct

Ct m/2

m/2

Θ,J

r

Bild 2.68: Schwingungsfähiges System mit rotatorischer Feder.

Wird das linke System um einen Winkel ϕA ausgelenkt, so ist nach Gl. 2.18 in der Drehstabfeder eine Arbeit gespeichert: c Wrot = T ⋅ ϕ2A Gl. 2.101 2 Die kinetische Energie des Systems beim Nulldurchgang läßt sich beschreiben mit 1 Wkin = ⋅ m ⋅ v2max 2 Die Geschwindigkeit vmax läßt sich als Winkelgeschwindigkeit ausdrücken: 1 v max = ϕ" ⋅ r ⇒ Gl. 2.102 Wkin = ⋅ m ⋅ ϕ" 2 ⋅ r 2 2 Durch Gleichsetzen von Gl. 2.101 und 2.102 gewinnt man: cT 2 1 ⋅ ϕA = ⋅ m ⋅ ϕ" 2 ⋅ r 2 2 2

2

⇒

 ϕ"  cT   = m ⋅ r2  ϕA 

Gl. 2.103

Dabei ergibt sich die Eigenfrequenz zu: ω0 =

ct r² ⋅ m

für diskrete Massen

Gl. 2.104

210

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Diese Formulierung gilt für den Fall, daß die diskrete Masse m auf einem Radius r angeordnet ist. Ist die Masse aber über einen Radienbereich verteilt, so muß integriert werden, was zur Definition des Massenträgheitsmomentes θ führt:

ct θ

ω0 =

für beliebige Massenverteilung

Gl. 2.105

Weitere Ausführungen dazu finden sich in der Literatur zu Dynamik (z.B. Assmann, Band 3). Auch in diesem Fall muß nach anzustrebender „nützlicher“ Anwendung einerseits und zu vermeidender „zerstörerischer“ Anwendung andererseits unterschieden werden. Eine zerstörerische Anwendung liegt beispielsweise dann vor, wenn eine Welle (als Torsionsfeder) mit einer Kupplungsscheibe (als Massenträgheit) gekoppelt ist. In jedem Fall ist die Kenntnis der Eigenfrequenz für die Dimensionierung eines schwingungsfähigen Systems von besonderer Wichtigkeit. Aufgabe 2.21

2.5

Einige Bauformen nicht-metallischer Federn (V)

Bei nicht-metallischen Federn ist es häufig schwierig, Feder und Dämpfer voneinander zu trennen, weil die Werkstoffbeschaffenheit der Feder gleichzeitig dämpfende Eigenschaften verleiht. Vorteilhaft ist dabei jedoch, daß sich damit unter Umständen eine Feder-DämpferKombination verwirklichen läßt, ohne daß dabei der Dämpfer konstruktiv ausgeführt werden muß.

2.5.1

Gasfeder (V)

In einer technischen Gasfeder wirken sowohl Federkraft als auch Reibkräfte. Zur besseren Übersichtlichkeit wird hier zunächst eine unrealistische Modellvorstellung einer Gasfeder als reine Feder vorgestellt. Dazu sei ein mit (kompressiblem) Gas gefülltes Zylinder-KolbenSystem betrachtet:

Bild 2.69: Gasfeder Modellvorstellung.

2.5 Einige Bauformen nicht-metallischer Federn (V)

211

Wenn zunächst nur die Federwirkung des eingeschlossenen Gases betrachtet wird, so stützt sich die auf die Kolbenstange ausgeübte Kraft als Federkraft FFeder auf die unter dem Druck p stehende Fläche A ab: FFeder = p ⋅ A

Gl. 2.106

Das Verhalten des Gases im abgeschlossenen Zylinder kann durch die Gasgleichung (p ⋅ V)n = const. beschrieben werden. Für die isotherme Zustandsänderung kann der Polytropenexponent n = 1 gesetzt werden, so daß sich die einfache Beziehung ergibt: p ⋅ V = const. oder bezogen auf den mit 0 indizierten Ausgangszustand: p 0 ⋅ V0 = p ⋅ V ⇒ p =

p0 ⋅ V0 V

Gl. 2.107

Die Kolbenfläche A steht mit dem Volumen über der aktuellen Länge der Gassäule (L0 – f) in Zusammenhang: V = A ⋅ (L0 – f) Daraus folgt für die Kolbenfläche A: A=

V L0 − f

Gl. 2.108

Setzt man die Gl. 2.107 und Gl. 2.108 in Gl. 2.106 ein, so ergibt sich: FFeder = p ⋅ A =

p0 ⋅ V0 V p ⋅V ⋅ = 0 0 V L0 − f L0 − f

Gl. 2.109

Bei der Konstruktion der Gasfeder werden V0, p0 und L0 festgelegt und können fortan als Konstanten betrachtet werden. Daraus wird ersichtlich, daß eine Federsteifigkeit nicht wie gewohnt als c = F/f formuliert werden kann, die Steifigkeit ist nicht linear. Zwischen dem Federweg f und der Federkraft FFeder besteht vielmehr ein hyperbolischer Zusammenhang der Form y = b / (a – x), der in der oberen Hälfte von Bild 2.69 skizziert ist. Die Steifigkeit der oben modellhaft wiedergegebenen Gasfeder ist stark progressiv und steigt in ihrer rechten Endlage sogar auf unendliche Werte an. Diese Modellvorstellung des luftgefüllten Zylinder-Kolben-Systems findet in modifizierter Form als Luftfederung im Fahrzeugbau Verwendung:

212

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

a) Abrollstempel b) Rollbalg c) Gummihohlfeder als Endanschlag und Federelement bei Ausfall der Druckluftversorgung Da sich bei zunehmender Einfederung die Querschnittsfläche der Rollbälge vergrößert, ergibt sich eine weitere Steigerung der Progressivität der Federkennlinie, was im Fahrzeugbau durchaus erwünscht ist. Durch Variation des Luftdrucks ergibt sich weiterhin die Möglichkeit der Niveauregulierung. Bild 2.70: Rollfederbalg MAN Standardlinienbus.

Auch der Fahrzeugreifen ist zunächst nichts anderes als eine Luftfeder, deren rechnerische Beschreibung allerdings sehr viel aufwendiger ist. Die folgenden Bilder zeigen das Verhalten einer technisch ausgeführten Gasfeder. Die sich real überlagernden Einflüsse von Feder, Dämpfer und Reibungsglied werden in dieser Darstellung sukzessiv zusammengeführt:

Bild 2.71: Dichtungsreibung.

Zunächst wird nur der Reibeinfluß betrachtet: Die rechte Zylinderseite ist noch offen, und an der Kolbenstangendichtung entsteht eine Festkörperreibung, die sich als rechteckförmige Hystereseschleife äußert, die nicht von der Kolbengeschwindigkeit abhängt.

2.5 Einige Bauformen nicht-metallischer Federn (V)

213

Bild 2.72: Gasfeder mit Dichtungsreibung.

Der Zylinder wird nun rechts verschlossen, wobei das eingeschlossene Volumen unter Druck gesetzt, also mit p0 vorgespannt wird. Wird nun die Kolbenstange eingeschoben, so wird das eingeschlossene Gas weiterhin verdichtet. Wegen der vergleichsweise geringen Verdichtung ergibt sich allerdings eine sehr flache Kennlinie mit geringer Steifigkeit cStange, die in diesem Bereich als linear angenommen werden kann.

Bild 2.73: Gasfeder mit Dichtungsreibung und Dämpfung.

214

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

In einem weiteren Schritt dieser Überlegung wird am rechten Ende der Kolbenstange der Kolben angebracht. Wird die Kolbenstange bewegt, so läßt die im Kolben eingebrachte Bohrung Gas in die jeweils gegenüberliegende Kammer strömen. Bei langsamer Kolbengeschwindigkeit kann das Gas nahezu ungehindert strömen, der Kolben zeigt kaum Wirkung (Bild 2.73 oben rechts). Wird der Kolben allerdings zunehmend schneller bewegt, treten zwei Effekte auf (Bild 2.73 unten rechts): • Das Gas wird durch den Drosseleffekt am Strömen in die gegenüberliegende Kammer gehindert, es macht sich die bereits oben diskutierte Dämpfung bemerkbar. • Weiterhin übt das am Strömen gehinderte Gas vorübergehend eine zusätzliche Federwirkung aus, die wegen des großen verdichteten Volumens stark progressiv werden kann und die dann abklingt, wenn der Strömvorgang beendet ist. Sowohl die durch den Kolben bedingte Steifigkeit cKolben als auch der Dämpfungseinfluß steigen mit der Belastungsgeschwindigkeit an. Wie das folgende Bild (Werksbild Stabilus) zeigt, kann die Dämpferwirkung richtungsabhängig realisiert werden. Dabei wird der Strömvorgang durch Variation von Drosselwirkungen mehr oder weniger behindert oder auch freigegeben. a) Bewegt sich der Kolben nach rechts, so liegt die Dichtung links an und das Gas nimmt den hier gezeigten Weg. b) Bewegt sich der Kolben nach links, so liegt die Dichtung rechts an und das Gas nimmt einen anderen Weg mit einem anderen Strömungswiderstand.

Bild 2.74: Dämpferkolben einer Gasfeder.

Dieser Effekt wird beispielsweise gezielt ausgenutzt, wenn die Heckklappe eines Kraftfahrzeuges beim Schließen einen geringen, beim Öffnen jedoch einen hohen Bewegungswiderstand aufweisen soll.

2.5.2

Gummifedern (V)

Gummiwerkstoffe zeigen ein etwas anderes Verformungsverhalten als metallische Werkstoffe. Dazu sei zunächst nur das rein statische Verformungsverhalten betrachtet:

2.5 Einige Bauformen nicht-metallischer Federn (V) •

•

•

215

Bei Druck baucht der Federkörper wegen der hohen elastischen Verformungen und wegen der Inkompressibilität des Werkstoffs sehr stark aus, was eine Vergrößerung der kraftübertragenden Fläche zur Folge hat. Dadurch kommt die Progressivität der Kennlinie zustande. Bei Zugbelastung ist der Effekt genau umgekehrt. Daraus folgt eine degressive Kennlinie. Bei Schubbelastung tritt keine Veränderung der kraftübertragenden Fläche ein, das Verformungsverhalten ist weitgehend linear.

Bild 2.75: Verformungsverhalten Gummi.

In Bild 2.76 sind einige Anwendungsfälle und deren Berechnungsgrundlagen zusammengestellt. Die hier aufgeführten Elastizitäts- und Schubmodule sind form- und materialabhängig. Federkonstruktion und Belastungsart

Belastbarkeit

Steifigkeit

Zylindrische Druckfeder σD =

A=

F A

π⋅d 4

2

c = E⋅

A h

c = G⋅

A L

Scheibenfeder auf Querkraftschub F τ= A

A=b⋅h

gültig für γ=

f ≤ 20° L

Hülsenfeder auf Querkraftschub τ=

F 2 ⋅ π ⋅ ri ⋅ h

c = G⋅

2⋅π⋅h r ln a ri

216

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Federkonstruktion und Belastungsart

Belastbarkeit

Steifigkeit

Scheibenfeder auf Torsionsschub τt =

2 ⋅ M t ⋅ ra

(

4

π ⋅ ra − ri

4

)

ct = G ⋅

(

4

π ⋅ ra − ri 2⋅L

4

)

gültig für ϕ ≤ 20°

Hülsenfeder auf Torsionsschub τt =

Mt 2 2 ⋅ π ⋅ ri ⋅ L

ct = G ⋅

4⋅π⋅L 1 1 − 2 2 ri ra

gültig für ϕ ≤ 40°

Bild 2.76: Belastbarkeit und Steifigkeit einiger Gummifedern.

Bei den in Abschnitt 2.2 betrachteten Federn wurden ausschließlich metallische Werkstoffe verwendet, die keine nennenswerte Dämpfung aufweisen. Gummi besitzt jedoch aufgrund seiner viskoelastischen Beschaffenheit materialimmanente Dämpfungseigenschaften: Der Werkstoff dämpft, ohne daß es dabei zusätzlicher konstruktiver Maßnahmen bedarf. Die Feder- und Dämpferwirkung läßt sich bei diesem Werkstoff nicht mehr ohne weiteres voneinander trennen. Dieser Zusammenhang wird besonders deutlich, wenn man ein Gummielement einer sinusförmigen Verformung unterwirft (Bild 2.77). Ein Gummielement wird zunächst in einem ersten Verformungszyklus mit γ¯ und anschließend einer sinusförmigen Verformungsfunktion γ = f(t) zwangsweise verformt. Dabei wird der links skizzierte zeitliche Schubspannungsverlauf τ = f(t) registriert. Stellt man beide Verläufe gegenüber, so ergibt sich die rechts oben aufgezeichnete Hystereseschleife. Die elastischen und dämpfenden Eigenschaften lassen sich je nach Mischung und Füllstoffanteil in gewissen Grenzen variieren. Das Vorhandensein einer Hysteresschleife ist ein Indikator für die materialimmanente Dämpfung. Die Form und die Größe der Hystereschleife ist von der Belastungsgeschwindigkeit bzw. der Belastungsfrequenz abhängig. Bild 2.77: Hystereseschleife eines Gummielementes.

2.6 Federbauformen und Federwerkstoffe im Vergleich (E)

217

Die Bezifferung des Schub- und Elastizitätsmoduls in der obigen Zusammenstellung ist problematisch, es können keine festen Werte mehr angegeben werden (G = 0,3 ... 1,0 N/mm², E = 2 ... 10 N/mm²). Diese „Material“-Kennwerte sind eben nicht nur material-, sondern auch form- und geschwindigkeits- bzw. frequenzabhängig. Zuweilen wird für Gummifedern auch eine sog. „dynamische“ Steifigkeit angegeben, wobei diese „Steifigkeit“ sowohl die eigentliche Federsteifigkeit als auch die Auswirkungen der begleitenden Dämpfung beinhaltet und nur für eine bestimmte Belastungsgeschwindigkeit bzw. Belastungsfrequenz gilt. Bei der Formulierung einer „dynamischen“ Steifigkeit wird allerdings nicht mehr deutlich, daß die auf das Bauteil ausgeübte Kraft letztlich die Summe aus Feder- und Dämpferkraft ist. Gummifedern lassen sich besonders dort vorteilhaft einsetzen, wo die Feder aus maschinendynamischen Gründen auch eine Dämpferwirkung zeigen soll, ohne daß dabei der Dämpfer selbst konstruktiv ausgeführt werden soll. Wird beispielsweise ein Dieselmotor für eine Lokomotive oder ein Schiff auf seinem Fundament befestigt, so muß neben der Federung auch eine Dämpfung gefordert werden, um diesem federnden System Energie zu entziehen und somit ein unkontrolliertes Aufschwingen des Systems zu verhindern: a

e

Innenteil (Gußteil) mit Gewinde und Querkrafteinleitung über Paßring b Schub- und druckbeanspruchter Gummikörper c Befestigungswinkel (Gußteile) d Zugstege e Rückanschlag für Innenteil a

Bild 2.78: Gummifeder für Lokomotiv- und Schiffsdieselmotoren.

2.6

Federbauformen und Federwerkstoffe im Vergleich (E)

Bei den bisherigen Betrachtungen war die spezielle Federbauform vorgegeben. In einer abschließenden Gegenüberstellung wird versucht, die einzelnen Bauformen miteinander zu vergleichen, um Aspekte für die Auswahl optimaler Federkonstruktionen zu gewinnen. Eine Bewertung von Federwerkstoffen ergänzt diese Betrachtung und schließlich wird nach der Feder mit dem maximalen Arbeitsaufnahmevermögen gefragt.

2.6.1

Formnutzzahl (E)

Am Beispiel der Biegefeder (Abschnitt 2.2.3) wurde bereits festgestellt, daß je nach Formgebung der Feder das Werkstoffvolumen mehr oder weniger sinnvoll zur Aufnahme von Federarbeit ausgenutzt werden kann. Dabei wurde beispielhaft ausgeführt, daß eine dreieckförmige Biegefeder dreimal so viel Arbeit aufnehmen kann wie eine rechteckförmige Biegefeder gleichen Volumens. Im Hinblick auf eine optimale Formgebung der Feder geht es nun darum, diese Einzelbeobachtung zu verallgemeinern.

218

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Dazu sei zunächst die bereits im Zusammenhang mit Bild 2.2 erwähnte Zugstabfeder betrachtet: Alle Volumenelemente dieser Feder erfahren die gleiche Spannung und können demzufolge allesamt bis zur maximal zulässigen Spannung belastet werden. Das Arbeitsspeichervermögen dieser Zugstabfeder ist also optimal ausgenutzt. Der Werkstoff wird zu 100% zur Speicherung von Federarbeit herangezogen, die sog. Formnutzzahl ηW ist in diesem Falle 1. Die Formnutzzahl einer beliebigen Federkonstruktion läßt sich allgemein als Quotient der in der konstruktiv ausgeführten Feder maximal speicherbaren Arbeit Wmax zu der ideal im Werkstoffvolumen speicherbaren Arbeit Wideal der Zugstabfeder formulieren: ηW =

Wmax Wideal

Gl. 2.110

Es ist kein Zufall, daß die Formnutzzahl mit dem Buchstaben η bezeichnet wird, der normalerweise auch für den Wirkungsgrad benutzt wird: Die Formnutzzahl ηW ist ein Wirkungsgrad für die optimale Formgestaltung von Federn. In der Fachliteratur sind dafür auch die Begriffe „Gestaltnutzwert“ und „Volumennutzungsgrad“ zu finden. Die im idealen Zugstab speicherbare Arbeit Wideal errechnet sich zu Wideal =

2

Fzul ⋅ f max Fzul = 2 2⋅c

Die Kraft F läßt sich als Fzul = σzul ⋅ A ausdrücken, und die Steifigkeit einer Zugfeder wurde bereits zu c = E ⋅ A / L hergeleitet. Setzt man diese beiden Ausdrücke in die obige Gleichung ein, so ergibt sich Wideal =

2

σ zul ⋅ A 2 A ⋅ L 2 = ⋅ σ zul E⋅A 2 ⋅ E 2⋅ L

Wenn das Produkt A ⋅ L als das Volumen des Zugstabes V = A ⋅ L identifiziert wird, so gewinnt man: Wideal =

V 2 ⋅ σzul 2⋅E

für Zug-/Druckstabfeder

Gl. 2.111

Aus bereits erläuterten Gründen ist die Zugstabfeder für den technischen Gebrauch weniger geeignet. Im folgenden soll nun versucht werden, für die Biegefeder die speicherbare Arbeit und damit die Formnutzzahl zu bestimmen. Für den einfachen Biegebalken als Rechteckfeder formuliert sich die speicherbare Arbeit Wmax zu Wmax =

2

Fzul ⋅ f max Fzul = 2 2 ⋅ cB

Gl. 2.112

wobei sich die Steifigkeit der Rechteckfeder cB als Biegebalken bereits mit Gl. 2.8 angegeben wurde zu 3⋅I c B = E ⋅ 3ax L

2.6 Federbauformen und Federwerkstoffe im Vergleich (E)

219

Mit Iax = b ⋅ h³/12 folgt:

cB = E ⋅

3⋅

b ⋅ h3 3 12 = E ⋅ b ⋅ h L3 4 ⋅ L3

Gl. 2.113

In Gl. 2.112 darf Fzul einen gewissen Maximalwert nicht überschreiten, der von den Werkstoff- und Konstruktionsdaten abhängt. Um die Kraft Fzul mit den Konstruktions- und Betriebsdaten in Verbindung zu bringen, wird die Biegespannung für die Biegefeder als Biegebalken formuliert, der mit seinem rechteckigen Querschnitt ein Widerstandsmoment von Wax = b ⋅ h² / 6 aufweist: σb =

Mb F⋅L 6⋅F⋅L = = Wax b ⋅ h² b ⋅ h² 6

Der Biegebalken darf also maximal mit der Kraft Fzul =

b ⋅ h² ⋅ σ bzul 6⋅L

Gl. 2.114

belastet werden. Setzt man Gleichungen 2.113 und 2.114 in die Federungsarbeit (Gl. 2.112) ein, so ergibt sich die in der Biegefeder speicherbare Arbeit Wmax zu 2

Wmax

 b ⋅ h2  ⋅ σ zul   2 2 4 2 6⋅L F  = b ⋅ h ⋅ σ zul ⋅ 4 ⋅ L = zul =  3 2 2 b⋅h 2 ⋅ cB 6 ⋅ L ⋅ 2 ⋅ E ⋅ b ⋅ h3 2⋅E⋅ 4⋅L

Wmax =

1 L⋅b⋅h 2 ⋅ ⋅ σ zul 18 E

Auch hier steht der Ausdruck L ⋅ b ⋅ h = V für das Volumen der Feder, so daß folgt: Wmax =

V 2 ⋅ σ zul 18 ⋅ E

Gl. 2.115

Die Formnutzzahl ηW ergibt sich dann nach Gl. 2.110 als Quotient der maximal speicherbaren Arbeit Wmax (Gl. 2.115) zur ideal im Werkstoffvolumen speicherbaren Arbeit Wideal (Gl. 2.111): V 2 ⋅σ Wmax 18 ⋅ E zul 2 1 ηW = = = = V 2 Wideal 18 9 ⋅ σ zul 2⋅E

Gl. 2.116

220

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

In einer rechteckförmigen Biegefeder kann also nur 11% der Arbeit gespeichert werden, die in einer gleich großen und gleich schweren Zugstabfeder gespeichert werden könnte. Wie bereits im Abschnitt 2.2.3.1 diskutiert wurde, wird diese Verhältnismäßigkeit bei der dreieckförmigen Biegefeder verdreifacht, in diesem Fall beträgt die Formnutzzahl ηW = 0,33. Eine schubbelastete Feder kann ähnlich betrachtet werden: In einem schubbelasteten Quader tritt an jeder beliebigen Stelle des Werkstoffvolumens die gleiche Schubspannung auf. Die in dieser idealen Anordnung speicherbare Arbeit Wideal errechnet sich ebenfalls zu Wideal =

2

Fzul ⋅ f max Fzul = 2 2⋅c

Die Kraft Fzul läßt sich als τzul ⋅ A ausdrücken und die Steifigkeit einer Schubfeder formuliert sich analog zu der der Zugfeder zu c = G ⋅ A / L. Setzt man diese beiden Ausdrücke in die obige Gleichung ein, so ergibt sich Wideal =

2

τzul ⋅ A 2 A ⋅ L V 2 2 = ⋅τ = ⋅ τzul für Schubfeder G ⋅ A 2 ⋅ G zul 2 ⋅ G 2⋅ L

Gl. 2.117

Stellvertretend für schubbelastete Federn soll die Formnutzzahl an der Drehstabfeder ermittelt werden, deren gespeicherte Arbeit Wmax sich ausdrückt durch: Wmax =

2

M tzul ⋅ ϕ M tzul = 2 2 ⋅ ct

Gl. 2.118

Das anliegende Moment Mtzul steht mit der Schubspannung τzul in dem bekannten Zusammenhang τzul =

M tzul ⇒ Mtzul = τzul ⋅ Wpol Wpol

Die Verdrehsteifigkeit der Torsionsfeder ct formuliert sich nach Gl. 2.6 zu ct = G ⋅

I pol L

Setzt man die beiden vorgenannten Ausdrücke in die Federungsarbeit (Gl. 2.118) ein, so ergibt sich die optimal in der Drehstabfeder speicherbare Arbeit Wmax zu 2

Wmax =

Wpol ⋅ L 2 ⋅ G ⋅ I pol

⋅ τzul

2

Gl. 2.119

2.6 Federbauformen und Federwerkstoffe im Vergleich (E)

221

Das polare Widerstandsmoment wird mit Wpol = π ⋅ d³/16 und das polare Flächenmoment wird mit Ipol = π ⋅ d4/32 eingesetzt: 2

Wmax

 π ⋅ d³    ⋅L π2 ⋅ d 6 ⋅ L ⋅ 32 π ⋅ d2 ⋅ L 16  2 2  = ⋅ τzul ² = ⋅ τzul = ⋅ τzul 4 2 4 π⋅d 2 ⋅ G ⋅ 16 ⋅ π ⋅ d 16 ⋅ G 2⋅G ⋅ 32

Der Ausdruck π/4 ⋅ d² ⋅ L kann als Volumen der Drehstabfeder V aufgefaßt werden: V=

π ⋅ d2 ⋅L 4

Daraus errechnet sich die in der Drehfeder speicherbare Arbeit Wopt zu Wmax =

V 2 ⋅ τzul 4⋅G

Gl. 2.120

Damit ergibt sich die Formnutzzahl ηW entsprechend Gl. 2.110 zu V 2 ⋅τ Wmax 4 ⋅ G zul 1 ηW = = = V 2 Wideal 2 ⋅ τzul 2⋅G

Gl. 2.121

In einer Drehstabfeder kann also immerhin 50% der Arbeit gespeichert werden, die in einer gleich großen und gleich schweren Schubfeder gespeichert werden könnte. Die oben ermittelten Formnutzzahlen sind in folgendem Schema zusammengefaßt und um einige weitere gebräuchliche Federbauformen erweitert:

222

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

σ - belastet Ringfeder F

τ - belastet

theoret. Grenzfall = 2 reibungsbehaftet ≈ 1, 6 reibungsfrei

F

≈1 Schubfeder

Zug- / Druckfeder F

F

F

1,0

1,0 F

Biegefeder F

F 2

F 2

σb ~ Hebelarm bis

1 3

gröβer als

1 9

Mb

Torsionfeder F

F

F

σb ~ const rohrformiger Drehstab bis 1,0

bis 1

gröβer als

1 3

1 3 *

1 1 = 3 9

1 3

1 4 *

1 1 = 3 12

1 4

Drehstabfeder 0,5 F

F

bis 0,5

quadratischer Drehstab ≈ 0,31 Bild 2.79: Formnutzzahlen einiger Federbauarten.

2.6 Federbauformen und Federwerkstoffe im Vergleich (E)

223

Ausgangspunkt dieser Betrachtungen ist in der zweiten Zeile des Schemas der Modellfall der normalspannungsbelasteten Feder als Zug-/Druckfeder und der schubspannungsbelasteten Feder als Schubfeder mit jeweils der Formnutzzahl 1. Die Ringfeder weist als Zug-/Druckfeder für den (unrealistischen) reibungsfreien Fall ebenfalls eine Formnutzzahl von 1 auf, die für den realen Fall durch die Reibung auf ca. 1,6 gesteigert wird. Mit spitzer werdendem Kegelwinkel kann die Formnutzzahl theoretisch auf 2 erhöht werden, bei diesem Grenzwert würde jedoch Selbsthemmung eintreten. Der über den Wert von 1 hinausgehende Anteil der Formnutzzahl gibt an, wieviel Arbeit durch Reibung in Wärme umgewandelt wird. Bei Biegefedern wird sinnvollerweise nach Federn unterschieden, bei denen sich die Biegespannung σb proportional zum krafteinleitenden Hebelarm verhält (linke Spalte), und solchen, bei denen an jeder Stelle der Randfaser eine gleich große Biegespannung vorliegt (rechte Spalte mit beispielhaften Anwendungen als Biegemoment am Ende eines Biegebalkens, Körper gleicher Biegefestigkeit oder Schenkelfeder). Bei allen diesen Biegefedern wird hier zeilenweise nach der Querschnittsgeometrie unterschieden. Mit der Gleichung 2.116 und mit den Betrachtungen des Abschnitts 2.2.3.1 wurde die Formnutzzahl der Blattfeder (rechteckförmiger Querschnitt) für den rechten Fall mit 1/3 und im linken Fall zu 1/9 ermittelt. Bei Schichtung der Blattfeder in mehrere Lagen kann aufgrund der Reibung mehr Arbeit in die Feder eingeleitet werden, was die Formnutzzahl erhöht. Würde man die (reibungsfreie) Blattfeder an den besonders günstigen Modellfall der Zug-Druckfeder heranführen wollen, so muß das zur Konstruktion verfügbare Volumen möglichst auf die maximale Randfaser konzentriert werden, was sich durch einen I-Querschnitt mit besonders dünnem Verbindungssteg verwirklichen ließe. Ein Kreisquerschnitt kehrt diesen Trend um und führt zu einer Verringerung der Formnutzzahl. Die (an dieser Stelle nicht weiter ausgeführten) Berechnungen zeigen weiterhin, daß für die linke Spalte die Formnutzzahl stets nur ein Drittel des Wertes der rechten Spalte beträgt. Technisch relevante schubspannungsbelastete Federn erlauben keine Steigerung der Formnutzzahl über den Wert 1 hinaus. Für die runde Drehstabfeder wurde mit Gl. 2.121 die Formnutzzahl zu 0,5 abgeleitet, die in ähnlicher Weise auch für die schraubenförmig gewendelte Zug-/Druckfeder gilt, wenn man die Drahtkrümmung außer acht läßt. Würde man den Drehstab rohrförmig ausbilden, kann damit die Formnutzzahl bei besonders dünner Wandstärke bis auf den theoretischen Wert von 1 gesteigert werden, weil dann fast das gesamte Werkstoffvolumen an der Randfaser angeordnet ist und dort mit dem vollen werkstoffkundlich zulässigen Schub belastet werden kann. Wird der Querschnitt hingegen quadratisch ausgebildet, so sinkt die Formnutzzahl auf etwa 0,31. Aufgaben 2.22 bis 2.26

2.6.2

Werkstoffeignung (V)

Die Diskussion um die Formnutzzahl konzentrierte sich auf die Formgebung der Feder. Dieselben Gleichungen können jedoch auch für eine Bewertung des Werkstoffs herangezogen werden. Die folgende Betrachtung zielt darauf ab, die Arbeitsspeicherfähigkeit eines Federwerkstoffs zu formulieren. Auch hier ist die Differenzierung nach Normalspannung einerseits und Schubspannung andererseits angebracht:

224

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen 2

aus Gl. 2.111:

Wideal =

σ zul W σ ² ⋅ V ⇒ ideal = zul 2⋅E V 2⋅E

aus Gl. 2.117:

Wideal =

W τ ² τzul ⋅ V ⇒ ideal = zul V 2⋅G 2⋅G

Gl. 2.122

2

Gl. 2.123

Die Gleichungen wurden in der oben aufgeführten Form umgestellt, weil nun danach gefragt wird, wieviel Arbeit sich idealerweise in einem vorgegebenen Werkstoffvolumen speichern läßt. In den Ausdrücken σzul² / 2E bzw. τzul² / 2G sind lediglich Werkstoffkenndaten enthalten. Der optimale Federwerkstoff muß also eine möglichst hohe Spannung aufnehmen können (Stahl wäre optimal), sollte aber gleichzeitig einen möglichst geringen E-Modul aufweisen (Gummi wäre optimal). Dazu ist die Gegenüberstellung einiger beispielhafter Werkstoffe bei quasistatischer Belastung hilfreich: Normalspannung Werkstoff

σzul

E

[N/mm²] [N/mm²]

Wideal / V [Nmm/mm³]

Tangentialspannung τzul

G

[N/mm²] [N/mm²]

Wideal / V [Nmm/mm³]

Federstahl

1100

206000

2,937

1250

71500

10,927

Baustahl St70

450

210000

0,482

260

71500

0,473

Guß GGG70

500

80000

1,563

400

27000

2,963

CuZn37

265

110000

0,319

190

35000

0,516

CuSn6

460

115000

0,920

300

41000

1,098

CuNi18Zn20

390

140000

0,543

260

42000

0,805

Gummi „hart“

3,2

20

0,256

2,0

1,1

1,818

Gummi „weich“

0,7

4,5

0,054

0,4

0,5

0,160

Diese Gegenüberstellung macht deutlich, weshalb Stahl trotz seiner hoher werkstoffbedingten Steifigkeit der ideale Federwerkstoff ist: Die hohe Belastbarkeit σzul bzw. τzul geht quadratisch ein! Baustahl ist aus diesem Grunde als Federwerkstoff ebenso ungeeignet wie Guß. Gummiwerkstoffe schneiden in dieser Gegenüberstellung ebenfalls ziemlich schlecht ab. Ihre Verwendung kommt nur dann in Frage, wenn die Dämpfungseigenschaften des Werkstoffs vorteilhaft ausgenutzt werden können. In diesem Fall sollten aber vorwiegend harte Gummisorten eingesetzt werden. Gummi ist auch dann sinnvoll einzusetzen, wenn das Federgewicht und nicht wie oben aufgeführt das Federvolumen möglichst gering gehalten werden soll (z.B. Fahrzeugbau). Aus dieser Betrachtung geht auch hervor, daß bei Belastung mit Tangentialspannung in aller Regel mehr Arbeit aufgenommen werden kann als bei Normalspannungsbelastung. Dadurch werden Drehstabfedern und Schraubenfedern favorisiert, auch wenn deren Formnutzzahl mit 0,5 deutlich unter dem Idealwert von 1,0 liegt.

2.6 Federbauformen und Federwerkstoffe im Vergleich (E)

2.6.3

225

Die Feder mit dem maximalen Arbeitsaufnahmevermögen (V)

Die Feder mit dem maximalen Arbeitsaufnahmevermögen ergibt sich aus der gegenüberstellenden Betrachtung der beiden vorangegangenen Abschnitte. Gleichung 2.110 läßt sich umstellen nach Gl. 2.124

Wmax = ηW ⋅ Wideal

Bezieht man diese Gleichung auf das Federvolumen, so gewinnt man mit Wmax W = ηW ⋅ ideal V V

Gl. 2.125

einen Ausdruck, der die von einer realen Feder aufnehmbare Arbeit als einfaches Produkt der Formnutzzahl (Kapitel 2.6.1) und des Werkstoffs (Kapitel 2.6.2) darstellt. Die Auftragung der Formnutzzahl auf der senkrechten Achse und von Wideal / V auf der waagerechten Achse von Bild 2.80 macht die Arbeitsaufnahme der Feder als Produkt dieser beiden Größen, also als Rechteckfläche deutlich. Ringfeder

1,5 η 1,0

Drehstab

0,5

Batken glelcher Biegefestigkeit Blegebalken

WDrehstab 0

Wideal V

[Nmm ] 10 mm 3

Federstahl

St 70

Gummi hart

GGG 70

Gummi hart GGG 70

Schub

St 70

Zug/Druck

5

Bild 2.80: Arbeitsaufnahmevermögen von Federn.

Federstahl

Drehstab Zug/Druck Schub

WRingfeder

W

226

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Sowohl für die Formnutzzahl als auch für den Quotienten Wideal / V sind einige Beispiele aus den vorangehenden beiden Kapiteln aufgeführt, wobei bei letzterem Parameter entsprechend der Differenzierung nach der Tabelle aus Abschnitt 2.6.2 nach Normalspannungsbelastung und Schubspannungsbelastung unterschieden wird. Grundsätzlich lassen sich zwar alle möglichen Kombinationen zwischen beliebiger Formutzzahl und beliebigem Quotienten Wideal / V darstellen, aber sowohl konstruktiv als auch fertigungstechnisch ist nicht jede Kombination sinnvoll. In Bild 2.80 sind zwei besonders vorteilhafte Kombinationen beispielhaft dargestellt: • Führt man die Feder als Drehstabfeder (oder daraus abgeleitet als schraubenförmig gewendelte Zug- oder Druckfeder) aus, so ist deren Formnutzzahl mit 0,5 nicht optimal, aber wenn man den hoch schubspannungsbelastbaren Federstahl verwendet, ergibt sich eine relativ große Arbeitsfläche WDrehstab. Bei Verwendung anderer Werkstoffe wäre die Arbeitsfläche viel kleiner gewesen. Diese Konstruktion ist dann besonders vorteilhaft, wenn die gespeicherte Arbeit mechanisch genutzt werden soll. • Führt man eine Feder als Ringfeder aus, so ist deren Formnutzzahl unschlagbar groß, aber der Werkstoff muß mit Zug- bzw. Druckspannung belastet werden. Selbst Federstahl hat dabei einen deutlich kleineren Kennwert als bei Schubspannungsbelastung, aber das Produkt aus diesen beiden Rechteckseiten ergibt eine große Arbeitsfläche. Die Konstruktion ist dann besonders vorteilhaft, wenn die gespeicherte Arbeit mechanisch „unschädlich“ gemacht und in Wärme umgesetzt werden soll.

2.7

Anhang

2.7.1

Literatur

[2.1]

Assmann, Bruno; Selke, Peter: Technische Mechanik. Band 2: Festigkeitslehre. Oldenbourg 2005

[2.2]

Assmann, Bruno; Selke, Peter: Technische Mechanik. Band 3: Kinematik und Kinetik Oldenbourg 2004

[2.3]

Brügemann, G.: Schrauben- und Tellerfedern im Werkzeug- und Maschinenbau. Fachbuchverlag Leipzig 1953

[2.4]

Damerow, E.: Grundlagen der praktischen Federprüfung. Essen 1953

[2.5]

DIN-Taschenbuch 29: Federn. Beuth 1991

[2.6]

Fischer, F.; Vondracek, H.: Warmgeformte Federn. Hoesch Hohenlimburg AG 1987

[2.7]

Göbel, E.F.: Gummifedern. Berechnung und Gestaltung. Springer 1969

[2.8]

Groß, S.; Lehr, E.: Die Federn, ihre Gestaltung und Berechnung. Berlin-Düsseldorf 1938

[2.9]

Groß, S.; Lehr, E.: Berechnung und Gestaltung von Metallfedern. Berlin-GöttingenHeidelberg 1960

[2.10]

Meissner, M.; Wanke, K.: Handbuch Federn. Berechnung und Gestaltung im Maschinen- und Gerätebau. Verlag Technik 1993

2.7 Anhang

227

[2.11]

VDI-Richtlinie 3361: Zylindrische Druckfedern aus runden oder flachrunden Drähten und Stäben für Stanzwerkzeuge. VDI-Verlag 1964

[2.12]

VDI-Richtlinie 3362: Gummifedern für Stanzwerkzeuge. VDI-Verlag 1964

[2.13]

Wolf, W.A.: Die Schraubenfedern. Essen 1966

2.7.2

Normen

[2.14]

DIN 1777: Federbänder aus Kupfer-Knetlegierungen

[2.15]

DIN 2076: Runder Federdraht; Maße, Gewichte, zulässige Abweichungen

[2.16]

DIN 2088: Zylindrische Schraubendruckfedern aus runden Drähten und Stäben; Berechnung, Konstruktion von Drehfedern (Schenkelfedern)

[2.17]

DIN 2089 T1: Zylindrische Schraubendruckfedern aus runden Drähten und Stäben; Berechnung und Konstruktion

[2.18]

DIN 2089 T2: Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten und Stäben; Berechnung und Konstruktion von Zugfedern

[2.19]

DIN 2090: Zylindrische Schraubendruckfedern aus Flachstahl; Berechnung

[2.20]

DIN 2091: Drehstabfedern mit rundem Querschnitt; Berechnung und Konstruktion

[2.21]

DIN 2092: Tellerfedern; Berechnung

[2.22]

DIN 2093: Tellerfedern; Maße, Werkstoff, Eigenschaften

[2.23]

DIN 2094: Blattfedern für Straßenfahrzeuge; Anforderungen

[2.24]

DIN 2095: Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten; Gütevorschriften für kaltgeformte Druckfedern

[2.25]

DIN 2096 T1: Zylindrische Schraubendruckfedern aus runden Drähten und Stäben; Güteanforderungen bei warmgeformten Druckfedern

[2.26]

DIN 2096 T2: Zylindrische Schraubendruckfedern aus runden Stäben; Güteanforderungen für die Großserienfertigung

[2.27]

DIN 2097: Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten; Gütevorschriften für kaltgeformte Zugfedern

[2.28]

DIN 2098 T1: Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten; Baugrößen für kaltgeformte Druckfedernab 0,5 mm Drahtdurchmesser

[2.29]

DIN E 2099 T1: Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten und Stäben; Angaben für Druckfedern, Vordruck

[2.30]

DIN E 2096 T2: Zylindrische Schraubenfedern aus runden Drähten; Angaben für Zugfedern, Vordruck

[2.31]

DIN ISO 2162: Technische Zeichnungen; Darstellung von Federn

[2.32]

DIN 5544: Parabelfedern für Schienenfahrzeuge

[2.33]

DIN 17221: Warmgewalzte Stähle für vergütbare Federn

228

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

[2.34]

DIN 17222: Kaltgewalzte Stahlbänder für Federn

[2.35]

DIN 17223: Runder Federstahldraht

[2.36]

DIN 17224: Federdraht und Federband aus nicht rostenden Stählen

[2.37]

DIN 17682: Runde Federdrähte aus Kupfer-Knetlegierungen

[2.38]

DIN 53504: Prüfungen von Kautschuk und Elastomeren; Bestimmung von Reißfestigkeit, Zugfestigkeit, Reißdehnung und Spannungswerten im Zugversuch

[2.39]

DIN 53505: Prüfungen von Kautschuk und Elastomeren und Kunststoffen; Härteprüfung nach Shore A und Shore B

[2.40]

DIN 53313: Prüfungen von Kautschuk und Elastomeren; Bestimmung der viskoelastischen Eigenschaften von Elastomeren bei erzwungenen Schwingungen außerhalb der Resonanz

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

229

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen Ersatzfedersteifigkeiten A.2.1

Drei Schraubendruckfedern (B)

Drei Schraubendruckfedern unterschiedlicher Steifigkeit werden in den folgenden beiden Anordnungen zusammengestellt:

Die Einzelfedersteifigkeiten sind: c1 = 6 N/mm c2 = 12 N/mm c3 = 4 N/mm. Berechnen Sie die Gesamtfedersteifigkeit cges links der linken Federkombination und die Gesamtfedersteifigkeit cges rechts der rechten Federkombination. cges links [N/mm] = cges rechts [N/mm] = A.2.2

Gesamtsteifigkeit Schraubenzugfeder (B)

Eine Schraubenzugfeder hat eine lineare Steifigkeit von 200 N/mm. Es stehen mehrere Federn zur Erzielung verschiedener Gesamtsteifigkeiten zur Verfügung. Um die Festigkeit des Federsystems optimal auszunutzen, soll die Belastung aller Federn gleich sein. a) Skizzieren Sie, wie zwei Federn zusammengeschaltet werden müssen, damit eine Gesamtsteifigkeit von 400 N/mm entsteht. b) Skizzieren Sie, wie drei Federn zusammengeschaltet werden müssen, damit eine Gesamtsteifigkeit von 600 N/mm entsteht. c) Skizzieren Sie, wie zwei Federn zusammengeschaltet werden müssen, damit eine Gesamtsteifigkeit von 100 N/mm entsteht. d) Skizzieren Sie, wie vier Federn zusammengeschaltet werden müssen, damit eine Gesamtsteifigkeit von 50 N/mm entsteht. e) Skizzieren Sie, wie sechs Federn zusammengeschaltet werden müssen, damit eine Gesamtsteifigkeit von 300 N/mm entsteht. f) Skizzieren Sie, wie sechs Federn zusammengeschaltet werden müssen, damit eine Gesamtsteifigkeit von 133,3 N/mm entsteht.

230 A.2.1

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen Beidseitige Einspannung (E)

Zwei untereinander gleichartige Federn werden in der unten skizzierten Weise zwischen einen beweglichen Block und eine jeweils benachbarte Wand montiert. An dem beweglichen Block greift eine Betriebskraft FB an, wodurch eine Auslenkung f des Gesamtsystems hervorgerufen wird, die aber stets kleiner als 20 mm bleibt.

600 200

µ=0

F BL f

Für diese Konstruktion stehen verschiedene Federtypen zur Auswahl. Bestimmen Sie jeweils die Gesamtsteifigkeit des Systems. unverformte Federlänge

Steifigkeit einer einzelnen Feder

Druckfeder

200 mm

10 N/mm

Zug-/Druckfeder

200 mm

10 N/mm

Druckfeder

220 mm

10 N/mm

Federbauformen Drehstabfeder A.2.4

Variation von Steifigkeit und Belastbarkeit (B)

Es ist eine Drehstabfeder mit folgenden Werkstoffdaten gegeben: zul. Schubspannung τzul Schubmodul G Dichte ρ

400 N/mm² 70 000 N/mm² 7,84 g/cm³

Steifigkeit des Gesamtsystems

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

231

Zur Dokumentierung der Ergebnisse benutzen Sie bitte das nachstehende Schema: b. gleiche Belastbarkeit doppelte Steifigkeit

a. Ausgangsfall

Federstabdurchmesser d [mm]

22

verformbare Federlänge L [mm]

372

c. doppelte Belastbarkeit gleiche Steifigkeit

Federsteifigkeit ct [Nm] Belastbarkeit Mtmax [Nm] speicherbare Arbeit Wmax [Nm] Federmasse m [g] a) Zunächst wird die Feder a. mit 22 mm Federdrahtdurchmesser und 372 mm Federlänge ausgeführt (Ausgangsfall im obenstehenden Schema). Berechnen Sie zunächst die Steifigkeit, die Belastbarkeit, die speicherbare Arbeit und Masse dieser Konstruktion, vervollständigen Sie also die mittlere Spalte. Bei der Ermittlung der Federmasse ist nur die verformte Federlänge L zu berücksichtigen. b) Eine weitere Feder b. soll unter Beibehaltung der Werkstoffparameter und unter Ausnutzung der zulässigen Schubspannung mit doppelter Steifigkeit ausgeführt werden. Ermitteln Sie sämtliche dazu erforderlichen Federdaten und füllen Sie die linke Spalte vollständig aus. c) Eine weitere Feder c. soll unter Beibehaltung der Werkstoffparameter und unter Ausnutzung der zulässigen Schubspannung mit doppelter Belastbarkeit ausgeführt werden. Ermitteln Sie sämtliche dazu erforderlichen Federdaten und füllen Sie die rechte Spalte vollständig aus. A.2.5

Variation der Momenteneinleitungsstelle (E)

Eine Drehstabfeder mit einem Durchmesser d = 18 mm wird an beiden Seiten fest eingespannt. Der Schubmodul des Federwerkstoffs beträgt G = 70.000 N/mm². Über eine Scheibe mit zwei gegenüberliegend tangential ablaufenden Seilen wird ein Torsionsmoment in die Feder eingeleitet, wobei die Feder weder mit Querkräften noch mit Biegemomenten belastet wird.

232

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Die Schubspannung im Federwerkstoff darf einen Wert von 540 N/mm² nicht überschreiten. Zur Dokumentation Ihrer Ergebnisse bedienen Sie sich des untenstehenden Schemas. Gesucht werden die Werte für das Gesamtsystem, wobei es u.U. sinnvoll sein kann, zuvor die Zahlenwerte für die beiden Einzelsysteme zu ermitteln. a) Im Fall A wird die momenteneinleitende Scheibe wie dargestellt genau mittig zwischen den beiden festen Einspannungen angebracht, wobei sowohl für die rechte als auch für die linke Feder jeweils eine freie Verdrehlänge von LL = LR = 300 mm entsteht. Wie groß ist in diesem Fall die Torsionssteifigkeit des Gesamtsystems cTges und mit welchem maximalen Moment Mtmax darf das System belastet werden? b) Im Fall B wird die momenteneinleitende Scheibe entgegen der Darstellung so montiert, daß eine freie Verdrehlänge von LL = 200 mm und LR = 400 mm entsteht. Wie groß ist in diesem Fall die Torsionssteifigkeit des Gesamtsystems und mit welchem maximalen Moment darf das System belastet werden? c) Im Fall C wird der Hebel in unmittelbarer Nähe der linken Wand montiert (LL = 0 mm und LR = 600 mm). Berechnen Sie die gleichen Werte wie zuvor. Fall A linke Feder maximales Lastmoment Mtmax [Nm] Torsionssteifigkeit cT [Nm] Verdrehwinkel ϕmax [°] bei Maximallast

Fall B rechte Feder

Gesamt- linke system Feder

Fall C rechte Feder

Gesamtsystem

linke Feder

rechte Feder

Gesamtsystem

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

233

Schraubenfeder als Zug-/Druckfeder A.2.6

Windungszahl und Festigkeit (B)

Der Werkstoff einer kaltgeformten Schraubendruckfeder mit einem Drahtdurchmesser d = 4 mm und einem mittleren Windungsdurchmesser Dm = 32 mm weist folgende Daten auf: τzul = 800 N/mm² σzul = 1 000 N/mm²

G = 70 000 N/mm² E = 210 000 N/mm²

Es sollen zwei Federn mit einer Steifigkeit von c = 5 N/mm und c = 10 N/mm dimensioniert werden. Ermitteln Sie, mit welcher maximalen Kraft Fmax die Federn belastet werden dürfen und mit welcher Anzahl an federnden Windungen sie ausgestattet werden müssen.

c [N/mm]

Feder 1

Feder 2

5

10

Fmax [N] iw A.2.7

Federwaage (B)

Es ist eine Schraubenzugfeder für eine Federwaage auszulegen. Dabei soll sich die Feder pro 1 N Belastung um 10 mm dehnen. Es steht ein Federdraht mit 1,0 mm Durchmesser zur Verfügung, der Schubmodul des Werkstoffs ist mit 70.000 N/mm² angegeben. Die zulässige Schubspannung beträgt 600 N/mm². Mit der Federwaage soll eine maximale Kraft von 12 N gemessen werden können. a) Ermitteln Sie einen günstigen mittleren Windungsdurchmesser Dm. Runden Sie den errechneten Wert auf volle Millimeter! b) Mit wie vielen federnden Windungen iw muß dann die Feder ausgestattet werden? A.2.8

Sicherheitsventil Dampflokomotive (E)

Sicherheitsventile sollen Druckbehälter vor unzulässig hohem Druck schützen. Sie werden so konzipiert, daß sie sich beim Überschreiten eines Maximal-Druckes automatisch öffnen. Das untenstehende Bild zeigt das Sicherheitsventil einer Dampflokomotive nach der Bauart Ramsbottom.

234

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Von einem gemeinsamen Gehäuseunterteil zweigen zwei Kanäle zu den beiden Ventilsitzen ab. Die oberhalb der Ventile aufgesetzten Gehäuseoberteile dienen gleichzeitig zur Führung des abgelassenen Dampfes und als Schalldämpfer. Die auf den Ventilen in der Mitte aufsitzenden Druckstifte stützen sich im Lüftungshebel ab, der über die Federspannschraube und den Ausgleichshebel von den beiden am Gehäuseunterteil befestigten Ventilfedern nach unten gezogen wird. Dadurch werden die Ventile so lange auf ihrem Sitz gehalten, bis der auf ihnen lastende Dampfdruck die Federkraft, die auf Kesselhöchstdruck eingestellt ist, übersteigt. Kesselüberdruck, bei dem das Ventil öffnen soll: Ventilhub: Ventilsitzdurchmesser: Anzahl der federnden Windungen iw: mittlerer Windungsdurchmesser Dm: Schubmodul G: Windungsverhältnis w:

12 bar 3 mm 70 mm 10 80 mm 70000 /mm² 5

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

235

Berechnen Sie: a) Wie groß ist die Steifigkeit einer einzelnen Feder? b) Um welchen Weg muß die Feder vorgespannt werden, damit das Ventil tatsächlich bei einem Kesselüberdruck von 12 bar öffnet? c) Bei welchem Kesselüberdruck pmax ist das Ventil ganz geöffnet? d) Welche maximale Schubspannung τmax tritt im Federdraht auf? A.2.9

Fallhammer (E)

In der folgenden Skizze ist ein Fallhammer dargestellt, dessen Masse von 5 kg auf einer Stange von 800 mm Länge montiert ist. Der Hammer wird durch Drehen angehoben und aus einer gewissen Winkelendstellung α wieder fallengelassen. Im unteren Totpunkt wird der Schlag durch eine Schraubenfeder aufgefangen. Im Bereich der Federzusammendrückung kann die Bewegung des Hammers als geradlinig angesehen werden.

Der Federwerkstoffs weist einen Schubmodul von G = 70.000 N/mm² auf und darf mit einer Schubspannung von τzul = 520 N/mm² belastet werden. Der mittlere Windungsdurchmesser beträgt Dm = 30 mm und es sind iw = 24 federnde Windungen vorgesehen. Es stehen die Federdrahtdurchmesser d = 6 mm, 8 mm und 10 mm zur Verfügung. Berechnen Sie, aus welcher maximalen Winkelendstellung α der Hammer jeweils fallengelassen werden kann und welche maximale Federauslenkung fmax dabei zustande kommt. Zur übersichtlichen Dokumentierung der Ergebnisse bedienen Sie sich des untenstehenden Schemas. Federdrahtdurchmesser d

[mm]

Wahl’scher Faktor K

[-]

maximale Federkraft Fmax

[N]

Federsteifigkeit c

[N/mm]

maximaler Federweg fmax

[mm]

speicherbare Federarbeit W [Nm] Winkelendstellung α

[°]

6

8

10

236 A.2.10

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen Abfederung Krankatze (E)

Die Katze eines Kranes mit einer Gesamtmasse von 890 kg ist an ihrer Stirnseite mit zwei federnden Puffern ausgestattet. Die Schraubenfedern haben 17 federnde Windungen, der Drahtdurchmesser beträgt 20 mm, der mittlere Windungsdurchmesser 100 mm. Der Schubmodul des Federwerkstoffs wird mit 70.000 N/mm² angegeben. Die Katze prallt bei ausgeschaltetem Motor mit einer Geschwindigkeit von 2 m/s gegen einen festen Anschlag. Welche Schubspannung wird in der Feder hervorgerufen? Gehen Sie dabei sinnvollerweise folgendermaßen vor: a) b) c) d)

Welche Energie muß die einzelne Feder beim Aufprall aufnehmen? Berechnen Sie die Steifigkeit der oben beschriebenen Feder. Mit welcher Kraft wird die Feder während des Stosses belastet? Wie hoch ist dann die Schubspannung in der Feder?

A.2.11

Schraubenzugfeder, Variation von Steifigkeit und Belastbarkeit (E)

Es ist eine Schraubenzugfeder mit folgenden Werkstoffdaten gegeben: zul. Schubspannung τzul Schubmodul G Dichte ρ

400 N/mm² 70 000 N/mm² 7,84 g/cm³

Zur Dokumentation der Ergebnisse benutzen Sie bitte das nachstehende Schema: gleiche Belastbarkeit doppelte Steifigkeit c. b. Federdrahtdurchmesser d [mm] Windungsdurchmesser Dm [mm] Anzahl federnde Windungen iw Federsteifigkeit c [N/mm] Federbelastbarkeit Fmax [N] speicherbare Arbeit Wmax [Nm] Federmasse m [g]

2 18

Ausgangsfall a. 2 18

doppelte Belastbarkeit gleiche Steifigkeit d. e. 2 18

22

a) Zunächst wird die Feder a. mit 2 mm Federdrahtdurchmesser, 18 mm mittlerem Windungsdurchmesser und 22 federnden Windungen ausgeführt (Ausgangsfall im obigen Schema). Berechnen Sie zunächst Steifigkeit, Belastbarkeit, speicherbare Arbeit und Masse dieser Feder, vervollständigen Sie also die mittlere Spalte. Bei der Ermittlung der Federmasse berücksichtigen Sie nur die Anzahl der federnden Windungen.

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

237

b) Eine weitere Feder b. soll unter Beibehaltung der Werkstoffparameter mit doppelter Steifigkeit ausgeführt werden, wobei der Federdrahtdurchmesser beizubehalten ist und die zulässige Schubspannung vollständig ausgenutzt wird. Ermitteln Sie sämtliche dazu erforderlichen Federdaten. c) Eine weitere Feder c. soll auf ähnliche Weise mit doppelter Steifigkeit ausgeführt werden, wobei der Windungsdurchmesser beizubehalten ist. Ermitteln Sie sämtliche dazu erforderlichen Federdaten und füllen Sie die Spalte c. vollständig aus. d) Eine weitere Feder d. soll gegenüber dem Ausgangsfall a. die doppelte Belastbarkeit aufweisen, wobei der Federdrahtdurchmesser beibehalten wird. Ermitteln Sie sämtliche dazu erforderlichen Federdaten und füllen Sie die Spalte d. vollständig aus. e) Eine weitere Feder e. soll in ähnlicher Weise mit doppelter Belastbarkeit ausgeführt werden, wobei der Windungsdurchmesser beibehalten wird. Ermitteln Sie sämtliche dazu erforderlichen Federdaten und füllen Sie die Spalte e. vollständig aus. A.2.12 Vier schraubenförmig gewendelte Zug-/Druckfedern (E) Eine schraubenförmig gewendelte Zug-/Druckfeder weist folgende Konstruktionsdaten auf: d = 3,6 mm

Dm = 43,2 mm

iW = 4

G = 70 000 N/mm²

τzul = 620 N/mm²

Wie groß sind die Belastbarkeit Fmaxeinzeln und Steifigkeit ceinzeln dieser einzelnen Feder? Welcher Federweg fmaxeinzeln stellt sich bei maximaler Belastung ein? Vier dieser Federn werden nach untenstehender Skizze ohne Vorspannung zwischen zwei feste Wände angeordnet. Die Federn sind untereinander und an den beiden Wänden so angeordnet, daß sowohl Zug- als auch Druckkräfte übertragen werden können.

A

B

C

F

E D

Welche Steifigkeit und welche Belastbarkeit ergibt sich für das Gesamtsystem, wenn eine horizontal gerichtete Kraft an den Punkten A, B, C, D oder E eingeleitet wird. Für die Berechnung der Gesamtsteifigkeit kann es sinnvoll sein, die Verformungen der einzelnen Federn zu ermitteln. A cges [N/mm] f1max [mm] f2max [mm] f3max [mm] f4max [mm] Fgesmax [N]

B

C

D

E

238

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Biegefeder A.2.13

Blattfeder (E)

Die Blattfeder nach folgender Darstellung ist aus dem Werkstoff 54SiCr6 gefertigt, der bei einem Elastizitätsmodul von E = 206.000 N/mm² eine Biegespannung σb = 1130 N/mm² zuläßt.

Das Verhalten der Gesamtfeder kann mit der Modellvorstellung einer spitz zulaufenden Dreieckfeder in ausreichender Genauigkeit beschrieben werden. Es sind mehrere, ähnlich lautende Ansätze zur geometrischen Beschreibung der Dreieckfeder möglich. Die Reibeinflüsse der Feder sind bei dieser Betrachtung zu vernachlässigen. Die durch die Verformung bedingte Veränderung der Hebelarme kann vernachlässigt werden. a) Mit welcher größten Masse kann diese Gesamtfeder statisch belastet werden? b) Wie groß ist die Steifigkeit dieser Gesamtfeder? A.2.14

Abgestufte Rohrfeder (V)

Der Werkstoff der unten dargestellten Rohrverbindung ist nicht bekannt und soll ermittelt werden. Zu diesem Zweck wird die Rohrverbindung in der dargestellten Weise in einer Prüfvorrichtung beidseitig aufgelegt und mittig mit einer Kraft belastet. Dabei wird an der Krafteinleitungsstelle eine Durchbiegung gemessen.

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

239

Es kann angenommen werden, daß • die beiden Rohre an der Überlappungsstelle perfekt miteinander verbunden werden, • durch die Verbindungstechnik an den Überlappungsstellen keine weiteren Verformungen auftreten und • daß es an den Krafteinleitungsstellen zu keinen örtlichen Verformungen kommt. a)

Bei einer Kraft F = 400 N wird eine Durchbiegung von 248 µm gemessen. Besteht der Prüfkörper aus O O O O O O O

Wolfram Molybdän Stahl Kupfer Titan Aluminium Magnesium

(E = 400.000 N/mm²) (E = 338.000 N/mm²) (E = 210.000 N/mm²) (E = 125.000 N/mm²) (E = 115.000 N/mm²) (E = 72.000 N/mm²) (E = 42.000 N/mm²)

b) Welche maximale Biegespannung tritt auf? c) Das Arbeitsaufnahmevermögen dieser rohrförmigen Feder soll gesteigert werden, ohne daß sich diese maximale Biegespannung erhöht. Welche der beiden Änderungen muß vorgenommen werden?

240

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen O geringfügige Verringerung der Wandstärke des Rohres mit dem kleineren Durchmesser O geringfügige Verringerung der Wandstärke des Rohres mit dem größeren Durchmesser

A.2.15

Schwimmbadsprungbrett (V)

Das unten abgebildete Schwimmbadsprungbrett ist aus Esche (E = 14 000 N/mm²) gefertigt. Das Brett ist am hinteren Ende gelenkig mit dem Fundament verbunden, während die vordere Auflagekante durch Verschieben einer Walze variiert werden kann, womit die Federwirkung des Bretts den individuellen Wünschen des Springers angepaßt werden kann.

Steifigkeit: Welche Steifigkeit erfährt der Springer, wenn er von der Vorderkante des Brettes abspringt und die Einstellwalze in die vordere Stellung gebracht worden ist? Welche Steifigkeit ergibt sich für die hintere Endstellung der Walze? Belastbarkeit: Das Brett muß nach den einschlägigen Vorschriften auf Festigkeit überprüft werden. Diese sehen vor, daß eine Masse von 200 kg aus einer Höhe von 4000 mm auf das Brett fallen gelassen wird, ohne daß dabei Materialschäden entstehen dürfen. Welche Biegespannung würde dabei im Brett für die vordere und hintere Endstellung der Walze entstehen? Ermitteln Sie dafür zunächst die vom Brett als Feder aufzunehmende Arbeit, die an der vorderen Brettkante wirkende Kraft und das entstehende größte Biegemoment.

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen vordere Endstellung der Walze Steifigkeit

hintere Endstellung der Walze

N/mm

Arbeit

Nm

Kraft auf die vordere Brettkante

N

max. Biegemoment

Nm

max. Biegespannung

N/mm²

A.2.16

241

Schenkelfeder, Belastbarkeit und Steifigkeit (E)

Eine Schenkelfeder (Drehfeder) hat einen mittleren Windungsdurchmesser von 22 mm bei einem Federdrahtdurchmesser von 2 mm. Die zulässige Spannung des Federwerkstoffs beträgt σbzul = 950 N/mm², der Elastizitätsmodul E = 210000 N/mm². a) Mit welchem Moment darf die Feder maximal belastet werden? b) Wie viele Windungen muß die Feder aufweisen, damit sie bei diesem maximalen Drehmoment einen Verdrehwinkel von 120° einnimmt? A.2.17

Mausefalle (E)

Die unten dargestellte Mausefalle ist mit einer Schenkelfeder ausgestattet. Der Federdraht ist aus Stahl und kann mit einer maximalen Biegespannung von 2400 N/mm² belastet werden.

Das äußere Ende des Schlagbügels beschreibt einen Radius von 40 mm. Reibungseinflüsse und dynamische Effekte bleiben bei dieser Betrachtung ebenso unberücksichtigt wie die Verformung der aus der Feder herausragenden Schenkel. a) Die Feder wird so vorgespannt, daß in der hier dargestellten hinteren Endlage die Belastbarkeit des Federwerkstoffs vollständig ausgenutzt wird. Wie groß ist dann das um die Federachse wirkende Moment? Wie groß ist in der hinteren Endlage die am Schlagbügel der Mausefalle wirksame Kraft? b) Die Falle wird ausgelöst und klappt in die vordere Endstellung. In dieser Stellung soll am Schlagbügel noch eine Kraft von 7 N wirksam werden. Mit wie vielen federnden Windungen muß die Feder ausgestattet werden?

242

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

c)

vordere Endstellung hintere Endstellung

Moment um Federachse M Kraft am Schlagbügel F Steifigkeit ct

N

7

Nmm

Anzahl der federnden Windungen i A.2.18

Nmm

–

Schenkelfeder Batteriefachdeckel (E)

Das Batteriefach einer Spiegelreflexkamera wird mit einer drehbaren Klappe in Form einer Miniaturtür verschlossen. Wird die Klappe entriegelt, so springt sie durch eine Schenkelfeder unterstützt auf und legt dabei einen Winkel von 75° zurück, bevor die Bewegung durch einen Anschlag begrenzt wird. Wird die Klappe hingegen geschlossen, so wird die Feder zunehmend gespannt, so daß in der verriegelten Schließstellung an der Schenkelfeder ein maximales Moment anliegt.

Der Federwerkstoff weist folgende Daten auf: Schubmodul: 58000 N/mm² zulässige Schubspannung: 1500 N/mm²

Elastizitätsmodul: 170 000 N/mm² zulässige Biegespannung: 2200 N/mm²

Die Schenkelfeder wird aus einem Draht mit einem Durchmesser d = 0,25 mm gefertigt und ist auf einer Stange mit 1,4 mm Durchmesser aufgewickelt, die gleichzeitig als Scharnier für die Klappe dient. Um eine einwandfreie Beweglichkeit zu gewährleisten, wird zwischen dieser Stange und dem Federdraht ein Spiel von 0,1 mm auf jeder Seite vorgesehen. Es sind 4 federnde Windungen angebracht. Die Feder wird so stark vorgespannt, wie es die Konstruktions- und Werkstoffdaten erlauben. Die Federung der Schenkel, über die das Moment eingeleitet und abgestützt wird, kann vernachlässigt werden. a) Wie groß ist das an der Drehachse der Klappe anliegende Moment Mgeschlossen, wenn die Klappe geschlossen ist? b) Wie groß ist das an der Drehachse der Klappe anliegende Moment Moffen, wenn die Klappe vollständig geöffnet ist?

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

243

Weitere Federn A.2.19

Ringfeder (E)

Ein Eisenbahnpuffer wird mit einer Ringfeder ausgestattet:

Die Feder besteht aus ringförmigen Elementen, deren Breite und Anzahl aus der obigen Skizze zu entnehmen ist. Die mittlere radiale Dicke des Federelementes beträgt 6,6 mm, der mittlere Radius des ringförmigen Elementes beträgt 85 mm. Der Steigungswinkel an den Konusflächen beträgt α = 14°, der Reibwert kann mit µ = 0,15 angenommen werden. a) Berechnen Sie die maximale Kraft, die axial auf die Feder aufgebracht werden darf, wenn die zulässige Flächenpressung an den Konusflächen zwischen den einzelnen Federelementen p = 60 N/mm² beträgt. b) Wie groß ist die maximale Kraft, die axial auf die Feder aufgebracht werden darf, wenn in den Ringen eine Zug- bzw. Druckspannung von σZD = 700 N/mm² zugelassen werden kann? c) Wie groß ist die Steifigkeit der gesamten Feder im idealisierten reibungsfreien Fall? d) Wie groß ist die Steifigkeit der Feder im realen, reibungsbehafteteten Fall bei Belastung und bei Entlastung? e) Liegt Selbsthemmung vor? Begründen Sie Ihre Antwort! f) Wieviel Energie kann die Feder maximal aufnehmen? g) Wieviel Energie gibt die maximal belastete Feder wieder ab? h) Wieviel Energie wird in Wärme umgewandelt? A.2.20 Tellerfeder (B) Untenstehende Skizze zeigt das Stellglied einer Regeleinrichtung: Mit dem Druck p wird Kraft auf einen Kolben mit der Fläche A ausgeübt, die sich ihrerseits auf eine Federschaltung abstützt. Die Ausgangsstellung des Kolbens wird mit einer Schraube M12 ⋅ 1,25 fixiert. Diese Schraube bewegt sich pro Umdrehung um 1,25 mm in axialer Richtung.

244

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Mit dieser Anordnung wird in der dargestellten Schraubenstellung folgende Steifigkeitskennlinie realisiert:

a) Berechnen Sie die Steifigkeiten der einzelnen Federn c1, c2, c3 und c4. b) Wenn die Schraube um vier weitere Umdrehungen eingeschraubt wird, so ergibt sich eine neue Ausgangsstellung für das Federsystem. Zeichnen Sie in das obige Diagramm für diese neue Ausgangsstellung die dann vorliegende Federkennlinie ein. A.2.21

Feder als Bestandteil eines schwingungsfähigen Systems (E)

Die untenstehende Skizze zeigt die wesentlichen Komponenten einer industriell genutzten Brotschneidemaschine:

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

245

Das 320 g schwere Messer wird mit dem Maschinengestell über vier Blattfedern (1,25 mm dick, 20 mm breit, E = 2,1 ⋅ 105 N/mm², σbW = 400 N/mm²) verbunden, die Biegefedern sind sowohl im Gestell als auch am Messer fest eingespannt. Damit werden zwei Aufgaben übernommen: • Das Messer wird ohne bewegliche Teile geführt. • Die Messermasse bildet mit den Federn ein schwingungsfähiges System, das im Resonanzbereich betrieben wird. a) Wie groß ist die Gesamtfedersteifigkeit cges des Systems? b) Mit welcher Drehzahl nan muß der rechts angedeutete Exzentermechanismus betrieben werden, damit sich das System tatsächlich in der Resonanz befindet? c) Mit welcher Amplitude Amax darf das System maximal betrieben werden?

Formnutzzahl A.2.22

Formnutzzahl Schraubenfeder (E)

Eine Schraubenfeder weist folgende Konstruktionsdaten auf: Federdrahtdurchmesser zulässige Schubspannung zulässige Normalspannung Schubmodul Elastizitätsmodul Anzahl der federnden Windungen a)

d = 2 mm τzul = 760 N/mm² σzul = 960 N/mm² G = 85 000 N/mm² E = 205 000 N/mm² i = 18

Die Feder wird als Zug-/Druckfeder beansprucht. Wie groß ist deren Formnutzzahl ηW für die ausgewiesenen Windungsdurchmesser? Ermitteln Sie sinnvollerweise zunächst die unten aufgeführten Zwischenergebnisse. b) Die Feder wird als Schenkelfeder beansprucht. Wie groß ist deren Formnutzzahl ηW für die ausgewiesenen Windungsdurchmesser? Ermitteln Sie sinnvollerweise zunächst die unten aufgeführten Zwischenergebnisse.

246

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen Zug-/Druckfeder Dm = 8 mm

Dm = 16 mm

Schenkelfeder Dm = 16 mm

Dm = 8 mm

K

q

Fmax

N

Nm

Mmax

c

N/mm

Nmm

ct

V

mm³

mm³

V

Wideal

Nm

Nm

Wideal

Wmax

Nm

Nm

Wmax

ηW A.2.23

ηW Formnutzzahl Schenkelfeder (E)

Die unten dargestellte Schenkelfeder ist aus Stahl gefertigt und läßt eine Biegespannung von 600 N/mm² zu.

Vernachlässigen Sie zunächst die Federwirkung der beiden Schenkel und berechnen Sie in der linken Spalte des untenstehenden Ergebnisschemas die Belastbarkeit und die Steifigkeit. Ermitteln Sie anschließend die Formnutzzahl, wobei Sie zweckmäßigerweise zunächst das Federvolumen, die maximal speicherbare Arbeit und die ideal speicherbare Arbeit formulieren. ohne Schenkel Mmax

[Nm]

c

[Nm]

V

[mm³]

Wmax

[Nm]

Wideal

[Nm]

ηW

[–]

mit Schenkel

Berechnen Sie anschließend sämtliche Werte unter Berücksichtigung der Federwirkung der beiden Schenkel.

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen A.2.24

247

Formnutzzahl Ringfeder (E)

Ein Waggon mit einer Gesamtmasse von 15 t rollt beim Rangieren antriebslos von einen 1 m hohen „Ablaufberg“ herunter. Dieser Rollvorgang über eine Strecke von 100 m unterliegt dem Rollreibungsbeiwert von µRR = 0,003. Anschließend fährt der Waggon auf einen stehenden Zug auf, dessen letzter Waggon stirnseitig ebenfalls mit zwei federnden Puffern ausgestattet ist. Sicherheitshalber wird angenommen, daß sich dieser letzte Waggon des stehenden Zuges während des Aufpralls nicht bewegt.

100m

a) Welche Energie EPuffer wird beim Aufprall von einem einzelnen Puffer aufgenommen? ∅130

14°

80

80

b) Die Feder wird als Ringfeder aus Stahl mit den nebenstehend skizzierten Ringen ausgestattet. Zwischen Innen- und Außenring der Feder wird ein Reibwert von µ = 0,12 wirksam. Vereinfachend kann für Innen- und Außenring der gleiche mittlere Ringdurchmesser angesetzt werden. Wie groß ist das Volumen eines einzelnen Halbringes VHalbring?

∅ 270

c) Wie groß ist die Formnutzzahl der Feder η? d) Der Federwerkstoff darf mit einer Zug-/Druckspannung von maximal 600 N/mm² belastet werden. Es kann angenommen werden, daß die zulässige Flächenpressung der Ringe untereinander nicht überschritten wird. Welche Arbeit WHalbring kann ein Halbring aufnehmen? e) Mit wie vielen Halbringen zHalbring muß die Feder ausgestattet werden? f) Wie groß ist dann die maximal auf die Feder einwirkende Kraft Fmax und der dabei vorliegende Federweg fmax?

248

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Gegenüberstellung Federbauformen A.2.25

Qualitative Gegenüberstellung (E)

In der folgenden Skizze sind qualitativ die Kraft-Weg-Diagramme einiger Federn in Kombination mit Reibungsdämpfern und Flüssigkeitsdämpfern zusammengestellt:

Ordnen Sie die in der folgenden Liste aufgeführten Maschinenelemente durch Ankreuzen den Diagrammen zu: A B C D E F G H I Blattfeder, einschichtig Blattfeder mehrschichtig, nicht vorgespannt Blattfeder mehrschichtig, vorgespannt Dämpfer bei langsamer Sinusschwingung Dämpfer bei schneller Sinusschwingung Drehstabfeder, einlagig Drehstabfeder, mehrlagig Drehfeder (Schenkelfeder) Gummidruckfeder, sinusförmig belastet Luftfeder, ideal und reibungsfrei Luftfeder mit Reibungs- und Flüssigkeitsdämpfer Ringfeder, nicht vorgespannt Ringfeder, vorgespannt Schraubendruckfeder Schraubendruckfeder mit Flüssigkeitsdämpfer Schraubenzugfeder Tellerfeder, einzeln Tellerfeder, mehrfach geschichtet Tellerfedersäule

J K L

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen A.2.26

249

Identifizierung des Federwerkstoffs (E)

Der Werkstoff von vier Federn soll anhand des Verformungsverhaltens und des damit verbundenen Elastizitäts- oder Schubmoduls identifiziert werden. Es kommen die folgenden Werkstoffe in Frage: Werkstoff

E

G

σzul

τzul

N/mm²

N/mm²

N/mm²

N/mm²

Wolfram

400.000

158.000

300

200

Molybdän

338.000

134.000

600

500

Stahl

210.000

83.000

500

400

Kupfer

125.000

49.000

300

200

Titan

115.000

45.000

400

300

Aluminium

72.000

28.000

200

150

Magnesium

42.000

17.000

150

100

Die vier folgenden Einzelaufgaben können unabhängig voneinander gelöst werden. Markieren Sie den Federwerkstoff durch Ankreuzen und tragen Sie die Belastbarkeit in die unterste Zeile ein. Werkstoff

Drehstabfeder

Schraubendruckfeder

Schenkelfeder

Biegefeder

Mtmax [Nm] =

Fmax [N] =

Mtmax [Nm] =

Fmax [N] =

Wolfram Molybdän Stahl Kupfer Titan Aluminium Magnesium

250

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

Drehstabfeder:

Belastet man die hier abgebildete Drehstabfeder mit einem Moment von 150 Nm, so verdreht sie sich an der Lasteinleitungsstelle um 2,03°. Aus welchem Werkstoff besteht die Feder? Mit welchem maximalen Moment darf die Feder belastet werden? Schraubenförmig gewendelte Druckfeder:

Die hier abgebildete Feder weist 4,2 federnde Windungen auf. Es muß eine Kraft von 18,3 N aufgebracht werden, um sie um 3 mm zu verformen. Aus welchem Werkstoff besteht die Feder? Mit welcher Kraft kann die Feder maximal belastet werden? Schenkelfeder:

Belastet man die hier abgebildete Schenkelfeder mit einem Moment von 0,265 Nm, so verdreht sie sich um 16,7°. Aus welchem Werkstoff besteht die Feder? Mit welchem maximalen Moment darf die Feder belastet werden?

2.8 Aufgaben: Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

251

Biegefeder:

Belastet man die hier abgebildete Biegefeder mittig mit einer Kraft von 50 N, so tritt an der Krafteinleitungsstelle eine Durchbiegung von 2,82 mm auf. Aus welchem Werkstoff besteht die Feder? Mit welcher Kraft kann die Feder maximal belastet werden?

252

öguofzri

2 Federn und weitere elastische Bauteilverformungen

3

Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Es versteht sich von selbst, daß eine Maschine aus mehreren Teilen besteht. Aber auch das einzelne Maschinenelement als Bestandteile dieser Maschine ist i.a. nicht „einstückig“, sondern besteht seinerseits wiederum aus mehreren Komponenten. Diese Komponenten können • relativ zueinander beweglich angeordnet werden. In diesem Falle handelt es sich meist um Lagerungen oder Führungen, die im Kapitel 5 (Band II) weiter ausgeführt werden. • Oder sie können relativ zueinander fest fixiert werden, wobei Verbindungstechniken und Verbindungselemente zur Anwendung kommen. Verbindungselemente (z.B. Nieten und Stifte) sind diskrete Elemente, die mit gewissen Einschränkungen meist lösbar sind und wiederverwendet werden können. Die Verbindungstechniken (hier beispielhaft Löten, Kleben und Schweißen) stellen ein „Kontinuum” dar und sind in der Regel nicht lösbar, zur Demontage müssen sie zerstört oder zumindest beschädigt werden. Schrauben gehören zwar auch zu den Verbindungselementen („Befestigungsschraube“), ihnen wird aber in dieser Zusammenstellung ein eigenes Kapitel 4 gewidmet, weil sie auch als Getriebe („Bewegungsschraube“) verwendet werden können. Weiterhin geht das Kapitel 6 (Band II) auf die Welle-Nabe-Verbindungen als einer speziellen Verbindung ein.

3.1

Nieten (B)

Das Nieten gehört zu den ältesten industriell angewendeten Verbindungstechniken. Es hat seinen Ursprung im Stahl-, Behälter- und Kesselbau, wird in diesen Anwendungsbereichen heute aber vielfach durch andere Verbindungstechniken, vor allen Dingen durch das Schweißen ersetzt. Im Leichtbau (Flugzeugbau, Tragflächenbeplankung, Automobilbau) ist das Nieten heute wieder sehr aktuell. Aus technologischer Sicht sind für das Nieten die folgenden Aspekte maßgebend: • Die Verbindung verschiedenartiger Werkstoffe, z.B. das Befestigen von Bremsbelägen auf ihrem Träger, würde die Verwendung vieler anderer Verbindungstechniken ausschließen. Die Verschiedenartigkeit der Werkstoffe hat aber auch beim Nieten seine Grenzen, wo es aufgrund unterschiedlichen Wärmeausdehnungsverhaltens zum Lockern der Verbindung kommen kann oder wo aufgrund einer zu hohen elektrochemischen Potentialdifferenz Korrosionsschäden zu befürchten ist. • Das Nieten beläßt den Grundwerkstoff bei Raumtemperatur und vermeidet damit jede Gefügeänderung wie sie z.B. beim Schweißen unvermeidbar sind.

254

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

• Die Verbindung dünner Bleche, die manche anderen Verbindungstechniken vor unlösbare Probleme stellt, ist für das Nieten in aller Regel kein Problem. Im Fach Maschinenelemente hat die Nietverbindung aus didaktischen Gründen ihren festen Platz behalten, weil daran einfache Probleme der Lastverteilung bei statischer Überbestimmtheit zunächst modellhaft einfach diskutiert werden können. Bild 3.1 stellt die wesentlichen Bestandteile einiger Nietbauformen vor:

Bild 3.1: Einige Nietverbindungen.

Der Niet verfügt im Anlieferungszustand bereits über einen sog. „Setzkopf“. Der gegenüberliegende „Schließkopf“ wird erst nach dem Einfügen des Niets in der gewünschten Weise gestaucht. Eine erste grundsätzliche Unterscheidung von Nietverbindungen differenziert nach Kaltnietung und Warmnietung:

Kaltnietung Stahlnieten bis 8 mm Durchmesser und Nieten aus Kupfer oder Aluminium werden meist kalt vernietet, d.h. der Schließkopf wird bei Umgebungstemperatur plastisch verformt. Die angestrebte Deformierbarkeit kann bei der Auswahl des Nietwerkstoffs dazu führen, daß Materialien verwendet werden, die in ihrer Festigkeit dem Werkstoff der zu verbindenden Teile deutlich unterlegen sind. Der Montagevorgang selbst leitet keine nennenswerte Belastung in den Niet ein. Die so montierte Nietverbindung wird dann im Falle der oben skizzierten äußeren Belastung im wesentlichen mit den von außen angreifenden Kräften belastet.

Warmnietung Größere Stahlnieten müssen jedoch vor dem Einführen in das Nietloch erwärmt werden. Die nach der Montage des erwärmten Niets eintretende Abkühlung und die dadurch verursachte Schrumpfung leitet eine Zugkraft in den Niet ein. Diese thermisch erzeugte Vorspannung FV bleibt dann ständig als Längskraft erhalten, was aus zweierlei Gründen erwünscht sein kann: • Im Behälter- und Rohrleitungsbau ist die Nietverbindung dicht. • Die in die Nietverbindung eingeleiteten Belastungen FNiet werden unter der Vorspannung als Reibkraft übertragen, der Niet bleibt bei der oben skizzierten Lasteinleitung querkraftfrei.

3.1 Nieten (B)

255

Die Dimensionierung des Niets orientiert sich vor allem an der von außen eingeleiteten Belastung FNiet, die als Querkraft den einzelnen Niet belastet. Die nachfolgenden Betrachtungen beschränken sich auf diese Belastungsart.

Die Dimensionierung des Niets orientiert sich an der Zugspannung, die unabhängig von der Höhe der Kraft FNiet durch die Montagelängskraft eingeleitet worden war. Dieser Lastfall wird in der nachfolgenden Betrachtung zunächst ausgespart und im Kapitel „Vorgespannte Schraubverbindungen“ wieder aufgegriffen.

Bild 3.2: Gegenüberstellung Kaltnietung – Warmnietung.

3.1.1

Querkraftschub eines einzelnen kaltgeschlagenen Niets (B)

Die bei der Kaltnietung vorliegende Querkraft belastet den Niet auf Querkraftschub und Lochleibung. Die Schubspannung ergibt sich nach den Gleichungen der elementaren Festigkeitslehre zu τ = FNiet/A, wobei sich die Querschnittsfäche als Kreis zu d² ⋅ π / 4 ausdrücken läßt. Bei einschnittiger Nietverbindung steht eine, bei zweischnittiger Verbindung stehen zwei übertragende Kreisflächen zur Verfügung.

Schubspannungsbelastung bei einschnittiger Nietverbindung

τQ =

FNiet ≤ τzul d² ⋅ π 4

Gl. 3.1

Bild 3.3: Querkraftschub kaltgeschlagener Nietverbindungen.

Schubspannungsbelastung bei zweischnittiger Nietverbindung

τQ =

FNiet ≤ τzul d² ⋅ π 2⋅ 4

Gl. 3.2

256

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

3.1.2

Lochleibungsdruck eines einzelnen kaltgeschlagenen Niets (B)

Die vom Niet übertragene Kraft wird aber nicht nur im Niet selbst wirksam, sondern muß auch als Flächenpressung an die Umgebungskonstruktion abgeleitet werden. Dabei kann in erster Näherung ein Ansatz formuliert werden, der eine gleichmäßige Flächenpressungsverteilung zwischen Niet und Umgebungskonstruktion voraussetzt, s. Bild 3.4.

Bild 3.4: Lochleibungsdruck.

Es herrscht ein Kräftegleichgewicht zwischen der von außen auf den einzelnen Niet eingeleiteten Kraft FNiet und dem Lochleibungsdruck pl. Am Blech 1 mit der Blechstärke s1 läßt sich formulieren: FNiet =

α=180°

∫

p l ⋅ dA ⋅ sin α

α= 0

d FNiet = pl ⋅ ⋅ s1 ⋅ 2

α=180°

∫

d mit dA = dα ⋅ ⋅ s1 2

sin α ⋅ dα

α= 0

d d α=180° FNiet = pl ⋅ ⋅ s1 ⋅ [ − cos α ]α=0 = p1 ⋅ ⋅ s1 ⋅ 2 = p1 ⋅ d ⋅ s1 2 2

Daraus folgt für den Lochleibungsdruck pl eine verblüffend einfache Formulierung, die die belastende Kraft nur auf die projizierte Rechteckfläche des Kreiszylinders bezieht: pl =

FNiet ≤ p zul d ⋅ s1

Gl. 3.3

3.1 Nieten (B)

257

Im allgemeinen Fall müssen beide pressungsübertragenden Stellen bezüglich ihrer Flächenpressung nachkontrolliert werden, wenn • unterschiedliche Materialpaarungen an den beiden pressungsübertragenden Stellen verwendet werden und damit zwei unterschiedliche Werte für pzul vorliegen, • die beiden zu verbindenden Bleche unterschiedliche Blechstärken s aufweisen. Die Kraft FNiet tritt als Kräftepaar auf, deren beide Kräfte einen Hebelarm zueinander aufweisen, so daß der einzelne Niet auch ein Moment zu übertragen hat. Dieser Einfluß wird jedoch bei der hier vorgestellten klassischen Dimensionierung einer Nietverbindung vernachlässigt. Abschnitt 3.2 (Stifte) führt diesen Sachverhalt weiter aus.

3.1.3

Zulässige Werkstoffbelastung eines kaltgeschlagenen Niets (B)

Die tatsächlich vorliegenden Werkstoffbelastungen werden gegenüber den zulässigen Werkstoffbelastungen abgeschätzt: In den meisten Fällen kann für die zulässige Der Wert für den zulässigen LochleibungsSchubspannung angenommen werden: druck pzul wird angesetzt zu τzul =

1 R eNiet ⋅ 3 SNiet

Gl. 3.4

p zul =

R eBlech SBlech

Gl. 3.5

Die Sicherheit SNiet wird in der Regel zu 1,5 Die Sicherheit SBlech wird meist zu 1,2 angeangenommen. Der Faktor 1 / 3 entspricht nommen. der in Gl. 1.3 vorgestellten Umrechnung von Normalspannung in Schubspannung. Die folgende spezifizierte Werkstofftabelle weist für einige gebräuchliche Nietverbindungen die folgenden zulässigen Werte aus: τzul für den Nietwerkstoff pzul in Kombination mit dem Werkstoff der in N/mm² zu verbindenden Bauteile in N/mm² AlMgSi 1 F 28

64

AlMgSi 1 F 28

160

AlCuMg 1 F 40

105

AlCuMg 1 F 40

264

St 37 (S235JR)

140

TU St 34

280

St 52 (S355JO)

210

MR St 44

420

3.1.4

Lastverteilung auf mehrere Nieten (B)

Die bisherigen Betrachtungen gingen davon aus, daß die auf den einzelnen Niet wirkende Kraft bekannt ist. In der Praxis besteht eine Nietverbindung in aller Regel jedoch aus mehre-

258

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

ren Nieten, das System wird dabei statisch unbestimmt. Um die Verteilung der gesamten Kraft auf die einzelnen Nieten zu klären, muß das Kraft-Verformungsverhalten der einzelnen Nieten betrachtet werden.

3.1.4.1

Querkraftbelastete Nietverbindung (B)

Der einfachste Fall liegt dann vor, wenn die Nieten symmetrisch zur Wirkungslinie der belastenden Kraft angeordnet sind. Dazu sei die unten skizzierte Nietverbindung betrachtet: Über einen Bolzen wird eine Kraft in eine Lasche eingebracht, von der sie über vier gleichartige Nieten in eine Trägerkonstruktion abgeleitet wird.

Bild 3.5: Kraft durch den Schwerpunkt der Nietverbindung.

Zur Klärung der Lastverteilung der Kraft Fges auf die einzelnen Nieten wird jeder einzelne Niet mit seiner unmittelbaren Umgebung formal als Feder betrachtet. Das System ist zwar statisch unbestimmt, aber die Gesamtkraft kann zu gleichen Anteilen auf die einzelnen Nieten verteilt werden. Dabei ist die Annahme maßgebend, daß sich die einzelnen Nieten mit ihrer Umgebungskonstruktion bezüglich ihrer Steifigkeit untereinander gleich verhalten. Zur besseren Veranschaulichung des Verformungsverhaltens werden diese Steifigkeiten in der unteren Bildhälfte durch Federn dargestellt, die gleiches Verformungsverhalten aufweisen. Formal kann angesetzt werden: c1 = c2 = c3 = c4

⇒

F1 F2 F3 F4 = = = f1 f 2 f 3 f 4

Da die Federwege f1 bis f4 untereinander gleich sind, kann gefolgert werden: F1 = F2 = F3 = F4 =

Fges 4

Gl. 3.6

3.1 Nieten (B)

259

Diese Vorgehensweise setzt natürlich voraus, daß gleichartige Nieten verwendet werden. Wie das folgende Bild zeigt, gilt die gleiche Lastaufteilung auch dann, wenn die Gesamtkraft in horizontaler Richtung angreift. Die beiden Einzelkomponenten summieren sich zu einer Gesamtkraft Fges, die waagerecht durch die Nietreihe verläuft.

Bild 3.6: Kraftresultierende durch den Schwerpunkt der Nietverbindung.

Kennzeichnendes Merkmal der beiden letztgenannten Beispiele ist der Umstand, daß die belastende Kraft durch den Schwerpunkt S der Nietverbindung verläuft.

3.1.4.2

Momentenbelastete Nietverbindung (B)

Problematischer wird die Betrachtung dann, wenn die Belastung nicht als Querkraft, sondern als Moment in die Nietverbindung eingeleitet wird. Das nachstehende Beispiel betrachtet zunächst den einfach zu überschauenden Fall, daß das Moment querkraftfrei um den Schwerpunkt der Nietververbindung S eingebracht wird:

Bild 3.7: Momentenbelastete Nietverbindung.

260

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Dieses von außen eingeleitete Moment muß auf alle vier Nieten mit ihrem jeweiligen Hebelarm abgestützt werden: Meingeleitet = Mabgestützt

M = 2⋅

Fges 2

⋅ h = Fges ⋅ h = F1 h1 + F2 ⋅ h2 + F3 ⋅ h3 + F4 ⋅ h4

Gl. 3.7

Auch in diesem Fall kann man die Lastverteilung auf die Nieten untereinander leicht übersehen, wenn man die vier Nieten formal als Federsteifigkeit betrachtet: c1 = c2 = c3 = c4

F1 F2 F3 F4 = = = f1 f 2 f 3 f 4

⇒

Gl. 3.8

Durch die Belastung erfährt der in der unteren Bildhälfte ersatzweise skizzierte Balken eine Schiefstellung, die durch den Winkel ϕ gekennzeichnet werden kann. Die einzelnen Federwege f1 bis f4 hängen in diesem Falle von der Entfernung zum Schwerpunkt der Nietverbindung ab: ϕ=

f1 f 2 f 3 f 4 = = = h1 h 2 h 3 h 4

f1 = ϕ ⋅ h1

oder

f2 = ϕ ⋅ h2

f3 = ϕ ⋅ h3

f4 = ϕ ⋅ h4

Setzt man diese Federwege in Gl. 3.8 ein, so ergibt sich F1 F F F = 2 = 3 = 4 ϕ ⋅ h1 ϕ ⋅ h 2 ϕ ⋅ h 3 ϕ ⋅ h 4

F1 F2 F3 F4 = = = h1 h 2 h 3 h 4

⇒

Die von einem einzelnen Niet aufzunehmende Kraft verhält sich also proportional zu seinem Abstand vom Schwerpunkt S der Nietverbindung: F1 =

F1 ⋅ h1 h1

F2 =

F1 ⋅ h2 h1

F3 =

F1 ⋅ h3 h1

F4 =

F1 ⋅ h4 h1

Setzt man diese Ausdrücke in Gl. 3.7 ein, so erhält man: M=

F1 2 F1 2 F1 2 F1 2 F1 ⋅ h1 + ⋅ h 2 + ⋅ h 3 + ⋅ h 4 = ⋅ ( h12 + h 22 + h 32 + h 24 ) h1 h1 h1 h1 h1

Damit läßt sich die Kraft auf den einzelnen Niet berechnen: F1 =

h1 ⋅M h1 ² + h 2 ² + h 3 ² + h 4 ²

Dieser Sachverhalt läßt sich für alle beteiligten Nieten verallgemeinern: Fn =

hn ⋅M ∑ h²

Gl. 3.9

3.1 Nieten (B)

261

Es wäre also wenig sinnvoll, einen weiteren Niet genau im Schwerpunkt der Nietverbindung anzubringen, er würde überhaupt keine Last aufnehmen können. Zur Steigerung der Momentenbelastbarkeit der Nietverbindung ist es vielmehr angebracht, die einzelnen Nieten möglichst weit vom Schwerpunkt entfernt anzuordnen.

3.1.4.3

Überlagerung von Querkraft- und Momentenbelastung (B)

Im allgemeinen Fall wird eine Nietverbindung jedoch mit einer Querkraft und mit einem Moment belastet. Das vorangegangene Beispiel läßt sich dahingehend leicht modifizieren: Das Moment wird nicht durch zwei entgegengesetzt gerichtete Kräfte Fges / 2, sondern durch eine einzige Kraft Fges am Hebelarm h eingeleitet.

Bild 3.8: Nietverbindung unter Querkraft- und Momentenbelastung.

Die Lastaufteilung auf z Nieten vollzieht sich durch eine Überlagerung der beiden vorstehenden Abschnitte: Die Kraft Fges wird in den Schwerpunkt der Nietverbindung verschoben und verteilt sich von dort aus gleichmäßig auf alle vier Nieten, an denen daraufhin die Kräfte Fq1 – Fq4 wirksam werden. Bei der Verlagerung von Fges in den Schwerpunkt der Nietverbindung entsteht ein Moment M = Fges ⋅ h, welches sich durch die Kräfte Fm1 bis Fm4 bemerkbar macht. Die vektorielle Addition von Fq und Fm ergibt schließlich die Kraft am jeweiligen Niet FNiet. Bei der Aufteilung und Zusammenstellung der Kräfte möge folgendes Schema als Orientierungshilfe dienen:

262

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Bild 3.9: Überlagerung von Momenten- und Querkraftbelastung.

Aufgaben 3.1 bis 3.7 Diese Vorgehensweise kommt auch für andere Lastverteilungsprobleme (z.B. Schraubverbindungen, Punktschweißverbindungen, Bolzen- und Stiftverbindungen) in Frage. Die vorstehend getroffenen vereinfachenden Annahmen führen jedoch zu gewissen Einschränkungen in der Gültigkeit dieses Ansatzes, so daß ggf. Erweiterungen oder Modifizierungen notwendig werden. Bei der weiteren Verallgemeinerung dieses Ansatzes sind folgende Aspekte zu berücksichtigen: • Die obige Formulierung ging von der Annahme gleicher Federsteifigkeiten der kraftübertragenden Elemente (gleiche Nieten) aus. Ist dies nicht der Fall (ungleiche Nieten), so müssen auch unterschiedliche Federsteifigkeiten formuliert und in die obige Betrachtung eingebracht werden. • Der obige Ansatz ging davon aus, daß sämtliche Verformungen nur im Verbindungselement Niet stattfinden und daß die anderen im Kraftfluß liegenden Bauteile demgegenüber unendlich steif sind. Ist dies nicht der Fall, so müssen Parallel- bzw. Hintereinanderschaltungen von Einzelsteifigkeiten der im Kraftfluß liegenden Bauteile formuliert werden. • Im obigen Ansatz wurde die Federsteifigkeit als linearer Zusammenhang beschrieben. Ist dies nicht der Fall (z.B. ist die Federsteifigkeit eines kraftübertragenden Wälzkörpers progressiv), so müssen diese Nichtlinearitäten rechnerisch beschrieben und in die obigen Gleichungen eingeführt werden. • Es wurde angenommen, daß die Steifigkeit des kraftübertragenden Gliedes (Niet) unabhängig von der Richtung ist, in der die Kraft eingeleitet wird, die Frage der Steifigkeit wurde sozusagen auf ein eindimensionales Problem reduziert. Im allgemeinen Fall ist die Steifigkeit jedoch von der Krafteinleitungsrichtung abhängig und wird damit zum dreidimensionalen Problem.

3.2 Stifte (E)

263

Der oben aufgeführte Ansatz ist also in fast beliebiger Weise erweiterbar und kann dann auch auf komplexe Fälle angewendet werden. Mit der Komplexität des Problems steigt jedoch der Rechenaufwand und macht sehr bald schon den Einsatz moderner Datenverarbeitung sinnvoll. Diese Vorgehensweise bildet damit auch eine wesentliche Grundlage für die Finite-Elemente-Berechnung.

3.2

Stifte (E) Stifte dienen zur formschlüssigen, unverrückbaren Fixierung zweier Bauteile. Sie werden mit einer Übermaßpassung eingepreßt, wodurch eine Drehbewegung gezielt unterbunden wird. Die nebenstehende Darstellung beschränkt sich auf die Anbindung des Stiftes an das linke Bauteil, während die Krafteinleitung durch das rechte Bauteil hier nur sinnbildlich angedeutet ist.

Bild 3.10: Stift.

Ähnlich wie beim Niet muß auch hier der Querkraftschub betrachtet werden (s. Gl. 3.1 und 3.2, der jedoch in den meisten Fällen unkritisch ist. Weiterhin wird der Stift auf Biegung belastet, wobei die maximale Biegespannung an der Einspannstelle auftritt: σb max =

M b max Wax

s  F⋅ L −  2 =  ≤ σ bzul π ⋅ d³ 32

Gl. 3.10

Bei der Formulierung der Flächenpressung an der Einspannstelle wird ein Problem offensichtlich, welches in den ersten Kapiteln dieses Buches noch ignoriert wurde: Dort wurde die „feste Einspannung“ in Anlehnung an den Begriff der Mechanik immer wieder zitiert (einseitig eingespannter Biegebalken, einseitig eingespannte Blattfeder), es wurde aber noch nicht geklärt, wie sie ausgeführt und dimensioniert wird. Ähnlich wie bei den zuvor betrachteten Nietverbindungen liegt auch hier ein Lastverteilungsproblem vor. Während sich die Last bei Nietverbindungen auf konkrete Lastübertragungselemente aufteilt, stützt sie sich hier auf ein Kontinuum ab.

264

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Die Flächenpressung setzt sich aus zwei Anteilen zusammen. Zunächst wird die Kraft als zentrische Querkraft wirksam, was eine gleichmäßige Flächenpressung pq hervorruft, die mit der Lochleibung eines Nietes vergleichbar ist: pq =

F d ⋅s

Gl. 3.11

Durch die Verlagerung der Kraft F in die Mitte des Einspannabschnittes als Schwerpunkt der Verbindung entsteht ein Moment, welches über die Flächenpressung pm abgestützt werden muß. Es ergibt sich das folgende Momentengleichgewicht um den hier skizzierten Koordinatenursprung: M b = F ⋅ L = Pr essung ⋅ Fläche ⋅ Hebelarm

Mb =

s 2

s 2

∫

p m ⋅ dx ⋅ d ⋅ x = 2 ⋅ d ⋅ ∫ p m ⋅ dx ⋅ x

s − 2

Gl. 3.12

0

Ähnlich wie bei Nietverbindungen kann auch hier angenommen werden, daß sich die Belastung linear zum Schwerpunktsabstand verhält, die Flächenpressungsverteilung kann also formuliert werden zu p m p m max = s x 2

pm =

⇒

2 ⋅ p m max ⋅x s

Daraus folgt für das in Gl. 3.11 angesetzte Momentengleichgewicht: s 2

F⋅L = 2⋅d ⋅ ∫ 0

s 2

2 ⋅ p m max 4 ⋅ p m max ⋅ d ⋅ x ⋅ dx ⋅ x = ⋅ ∫ x² ⋅ dx s s 0 s

4 ⋅ p m max ⋅ d  x³  2 4 ⋅ d s3 d ⋅ s2 F⋅L = ⋅   = p m max ⋅ ⋅ = p m max ⋅ s 3⋅s 8 6  3 0

Löst man diese Gleichung nach pmmax auf, so erhält man: p m max =

6⋅L ⋅F d ⋅ s²

Gl. 3.13

Durch Überlagerung von pq (Gl. 3.11) und pmmax (Gl. 3.13) ergibt sich die für die Festigkeit entscheidende maximale Flächenpressung am rechten Einspannrand zu pges max = p q + p m max = p ges max =

F 6⋅L 6⋅L   1 + ⋅F =  + ⋅F 2 d ⋅s d ⋅s  d ⋅ s d ⋅ s² 

1  6⋅L  ⋅ 1 +  ⋅ F ≤ p zul d ⋅s  s 

Gl. 3.14

3.3 Löten (E)

265

Die zulässigen Werkstoffkennwerte für Schubspannung τzul, Flächenpressung pzul und Biegespannung σbzul können den nachfolgenden Tabellen entnommen werden. pzul in [N/mm²] quasistatisch

schwellend

wechselnd

St 50 / GG

70

50

32

St 50 / GS

80

56

40

St 50 / Rg, Bz

32

22

16

St 50 / St 37

90

63

45

St 50 / St 50

125

90

56

σbzul [N/mm²]

τzul [N/mm²]

quasistatisch

schwellend

wechselnd

quasistatisch

schwellend

wechselnd

9S20 (4.6)

80

56

35

50

35

25

St 50 (6.8)

110

80

50

70

50

35

St 60, C35, C 45 (8.8)

140

100

63

90

63

45

St 70

160

110

70

100

70

50

Aufgaben 3.8 und 3.9

3.3

Löten (E)

Das Löten hat mit dem Schweißen (s. Abschnitt 3.5) eine wesentliche Gemeinsamkeit: Zwei Bauteile werden durch Erschmelzen und anschließendes Erstarren eines metallischen Verbindungsmaterials stoffschlüssig miteinander verbunden. Die beiden Verbindungstechniken unterscheiden sich dennoch ganz wesentlich in folgendem Merkmal: Schweißen

Löten

Das Verbindungsmaterial entspricht in den wesentlichen Eigenschaften und Kenndaten denen des Grundwerkstoffs, es muß also sowohl das Verbindungsmaterial als auch der Grundwerkstoff in den zu verbindenden Randzonen erschmolzen werden.

Das Verbindungsmaterial (Lot) hat i.a. einen wesentlich niedrigeren Schmelzpunkt als der Grundwerkstoff, der in seinen Verbindungszonen nicht erschmolzen wird.

Die Haftung des Lotes am Grundwerkstoff vollzieht sich im Gegensatz zum Schweißen über Diffusion, die von wenigen µm bis zu einigen Millimeter in den Grundwerkstoff hineinwirkt. Durch die Herabsetzung der Verarbeitungstemperatur werden die Arbeitsbedingungen erleichtert und es werden nachteilige Gefügeveränderungen im Grundwerkstoff vermieden. Die Andersartigkeit von Grundmaterial und Verbindungsmaterial kann zur Folge haben, daß

266

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

es zu einer elektrolytischen Zerstörung der Lötstelle kommt, wenn ein zu großer Abstand in der Spannungsreihe der Elemente besteht.

3.3.1

Löttemperatur (E)

Das Lot muß über die sog. Solidustemperatur (Beginn der Erschmelzung) hinaus erhitzt werden, sie braucht aber nicht die sog. Liquidustemperatur (vollständige Erschmelzung) zu erreichen. Die Erschmelzungstemperatur des Grundwerkstoffs darf jedoch auf keinen Fall erreicht werden. Lötverbindungen können nach der Temperatur differenziert werden nach: • Weichlöten: Die Löttemperaturen reichen bis ca. 450°. Die verwendeten Lote basieren wegen des angestrebten niedrigen Schmelzpunktes meist auf Zinn oder Blei. Da dabei nur eine relativ geringe mechanische Festigkeit zu erzielen ist, wird die Weichlötung vor allem dann angewendet, wenn Forderungen nach Dichtigkeit oder elektrischer Leitfähigkeit im Vordergrund stehen (z.B. Kabelanschlüsse, Rohrleitungen mit geringer mechanischer Beanspruchung, Kühler, Dosen, Behälter). Bei Dauerbelastung neigen Weichlötverbindungen zum Kriechen. Wegen der niedrigen Arbeitstemperaturen und der damit verbundenen geringen Wärmeenergie ist das Weichlöten meist einfach zu handhaben. • Hartlöten: Das Hartlöten erfordert Temperaturen von über ca. 450°C. Es werden meist teurere kupfer- oder edelmetallhaltige Lote verwendet. Es kann eine hohe Festigkeit erzielt werden, die teilweise an die des Grundwerkstoffs heranreicht. Aus diesem Grunde ergibt die Hartlötung eine deutlich höhere Belastbarkeit, die z.B. bei druckbeanspruchten Rohrleitungen, Drucktanks, Fahrrad- und Fahrzeugrahmen oder Hartmetallplatten auf Werkzeugträgern ausgenutzt werden kann. • Hochtemperaturlöten: Die Löttemperaturen liegen über 900°. Es werden relativ teure Lote aus Kupfer, Nickel oder Edelmetall verwendet. Neben dem erhöhten Aufwand für den Wärmebedarf ist u.U. auch eine Schutzgasatmosphäre erforderlich, um Oxydation zu verhindern. Es können hohe Belastbarkeiten erzielt werden, die vielfach an die Festigkeit des Grundwerkstoffs heranreichen.

3.3.2

Lötverfahren (E)

Grundsätzlich werden folgende Lötverfahren unterschieden: • Kolbenlöten: Die Erwärmung der Lötstelle und das Abschmelzen des Lotes wird mit einem meist von Hand geführten, gas- oder elektrisch beheizten Lötkolben ausgeführt. Wegen der geringen Arbeitstemperaturen bleibt die Kolbenlötung auf das Weichlöten beschränkt. • Badlöten oder Tauchlöten: Die zu verbindenden Teile werden in ein Bad mit erschmolzenem Lot getaucht. So können in der Massenfertigung mehrere Lötungen gleichzeitig ausgeführt werden, was die Produktivität dieses Verfahrens besonders erhöht. Wenn die Gefahr besteht, daß dem Lötbad beim Eintauchen großer Teile zuviel Wärme entzogen wird und damit die Badtemperatur unzulässig absinkt, kann ein Vorwärmen der Teile sinnvoll sein. Je nach Lot ist eine Flußmittelabdeckung des Lotbades erforderlich. • Flammlöten: Die erforderliche Wärmeenergie wird durch das Abbrennen von Gas zugeführt. Die Flamme darf allerdings nicht direkt auf die mit Flußmittel behandelte Lötstelle gerichtet werden, um dessen Wirksamkeit nicht zu beeinträchtigen. Bei Hart- oder Hoch-

3.3 Löten (E)

• •

• • • • •

•

267

temperaturlötung wird häufig Acetylen als Brenngas unter Hinzugabe von Sauerstoff verwendet. Das Lot wird entweder vor der Erwärmung eingelegt oder während der Erwärmung zugeführt. Warmgaslöten: Elektrisch vorgeheizte Luft wird durch eine Düse auf die Lötstelle geblasen. Das Lot wird entweder vor der Erwärmung eingelegt oder während der Erwärmung zugeführt. Ofenlöten: Die zu verlötenden Teile werden in einem meist gasbeheizten Ofen erwärmt, nachdem zuvor das Flußmittel aufgebracht und das Lot eingelegt worden ist. Häufig wird durch Einleiten einer Schutzgasatmosphäre die Oxydbildung verhindert. Das Verfahren ist besonders vorteilhaft bei der Massenfertigung kleiner Teile. Lichtbogenlöten: Die Wärmezufuhr erfolgt über einen Lichtbogen, dessen Elektrode allerdings im Gegensatz zum Lichtbogenschweißen nicht abgeschmolzen wird. Das Lot selbst wird stromlos hinzugefügt. Induktionslöten: Die Wärme wird durch einen induzierten Wechselstrom im zu verlötenden Teil erzeugt. Zur Verhinderung einer Oxydbildung wird zuweilen eine Schutzgasatmosphäre verwendet, oder aber die Lötung wird im Vakuum ausgeführt. Direktes Widerstandslöten: Die Wärme wird durch Stromfluß durch die zu verlötenden Teile hervorgerufen. Indirektes Widerstandslöten: Die Wärme wird durch Strombeschickung eines externen elektrischen Widerstandes erzeugt. Laserstrahllöten: Die Wärme wird durch Absorption monochromatischer Laserstrahlung eingebracht. Die Laserstrahllötung wird bei hohen Temperaturen verwendet und erfolgt unter Schutzgasatmosphäre. Es können hohe Energiedichten bei minimalen Wärmeeinbringflächen erzielt werden. Elektronenstrahllöten: Aufgrund der hohen Energiedichte können große Bauteile an örtlich begrenzten Lötstellen erwärmt werden.

Grundsätzlich wird unterschieden nach Spaltlöten und Fugenlöten: • Spaltlöten: Das erschmolzene Lot wird durch Kapillarwirkung in den parallelen, 0,05– 0,25 mm weiten Spalt gezogen. Die Bewegung des Lotes ist möglichst zu erleichtern, beispielsweise sind senkrecht zur Fließrichtung angeordnete Bearbeitungsriefen zu vermeiden. • Fugenlöten: Die zu verlötenden Flächen werden in einem Abstand von ca. 0,5 mm zueinander positioniert. Ähnlich wie beim Schweißen kann die Fuge auch X- oder V-förmig vorbereitet werden, wobei die keilförmige Fuge mit erschmolzenem Lot aufgefüllt wird. Da die metallische Verbindung durch Diffusion zustande kommt, ist eine besondere Vorbereitung der Lötflächen erforderlich: • Die Fügestellen müssen sauber sein, die zu verlötenden Flächen sind ggf. mechanisch zu reinigen. • Um die Benetzung mit Lot zu erleichtern, darf die Fläche nicht zu rauh sein; die Rauhtiefe darf nicht über 20 µm betragen. • Oxyde beeinträchtigen die Bindungsfähigkeit und damit die Belastbarkeit. Zur Verhinderung bzw. zur Entfernung von Oxydschichten werden sogenannte Flußmittel (DIN 8511) eingesetzt. Sie werden entweder als Flüssigkeit, Paste oder Pulver aufgetragen oder mit

268

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

dem Lot der Lötstelle zugeführt (Lot als Hohlstab, Lotmantel). Flußmittelreste sind nach dem Lötvorgang zu entfernen, da sie u.U. langfristig chemische Reaktionen und damit Korrosion herbeiführen können.

3.3.3

Festigkeitsberechnung von Lötverbindungen (E)

Auch die Belastbarkeit von Lötverbindungen wird nach den bekannten Ansätzen der elementaren Festigkeitslehre berechnet. In aller Regel beschränkt man sich dabei auf die Annahme eines einachsigen Zug- oder Schubspannungszustandes. σ tats =

F ≤ σ zul A

Gl. 3.15

bzw.

τ tats =

F ≤ τ zul A

Gl. 3.16

Die Beanspruchung sollte vorzugsweise als Schub eingeleitet werden. Die zulässigen Spannungswerte hängen entscheidend von der Größe der Lötflächen, von der Weite des Lötspaltes, von der Lötart, von den Eigenschaften des Lotes und des Flußmittels und von der Arbeitssorgfalt ab. Wegen dieser Unsicherheit empfiehlt die DIN 8525 eine mindestens zweifache Sicherheit. Die folgende Tabelle gibt einige Anhaltswerte für zulässige Schubspannungen beim Hartlöten: Lot

τzul statisch

τzul schwellend

τzul wechselnd

Kupferlot L-Cu

50 ... 70 N/mm²

30 ... 40 N/mm²

15 ... 25 N/mm²

Messinglot L-CuZn

80 ... 90 N/mm²

55 ... 65 N/mm²

15 ... 25 N/mm²

Silberlot L-Ag

50 ... 70 N/mm²

30 ... 40 N/mm²

15 ... 25 N/mm²

Neusilberlot L-CuNi

80 ... 90 N/mm²

55 ... 65 N/mm²

15 ... 25 N/mm²

3.3.4

Gestaltung von Lötverbindungen (E)

Die folgende Gegenüberstellung zeigt einige Beispiele ausgeführter Lötungen, an denen Gestaltungshinweise diskutiert werden.

3.3 Löten (E)

Stumpfstöße sind wegen ihrer geringen Lötfläche ungeeignet. Deshalb sind Überlappung (a), Laschung (b), Doppellaschung (c) und Schäftung (d) vorzuziehen. Durch diese Maßnahmen wird außerdem die äußere Belastung als vorteilhafte Schubspannung und nicht als Zugspannung in die Lötnaht eingeleitet.

269

weniger vorteilhaft

vorteilhaft

Bild 3.11: Blechverbindungen.

Querüberlappungen neigen zum Abheben, weil die Lötnaht ungleichmäßig auf Zug beansprucht wird. Die Falznaht entlastet die Lötnaht, weil die Kraftübertragung auf den Formschluß verlagert wird.

weniger vorteilhaft

vorteilhaft

Bild 3.12: Dünnblechverbindungen.

Steckverbindungen sind zu bevorzugen, weil sie eine größere Verbindungsfläche und damit eine größere Festigkeit aufweisen. Außerdem wird dann die Belastung vorzugsweise als Schubspannung in die Lötnaht eingeleitet. Bild 3.13: Bolzenverbindungen.

weniger vorteilhaft

vorteilhaft

270

Der Lotring muß so eingelegt werden, daß das Eindringen des erschmolzenen Lotes in den Lötspalt möglichst begünstigt wird.

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

weniger vorteilhaft

vorteilhaft

weniger vorteilhaft

vorteilhaft

weniger vorteilhaft

vorteilhaft

Bild 3.14: Löten mit Lötformstück. Stumpf gelötete Rohrverbindungen weisen wegen ihrer kleinen Lötfläche eine geringe Festigkeit auf. Kegelige Stöße vergrößern die Fläche und leiten die Belastung vorzugsweise als Schub ein. Bild 3.15: Rohrverbindungen.

Gesteckte und vermuffte Verbindungen schaffen größere Verbindungsflächen und damit größere Festigkeit. Bei dynamischer Belastung weist die Lötverbindung ein besonders günstiges Festigkeitsverhalten auf, wenn ein möglichst gleichmäßiger Kraftfluß ohne schroffe Übergänge und Steifigkeitssprünge vorliegt. Bild 3.16: Gemuffte Verbindungen.

Aufgaben 3.10 und 3.11

3.4 Kleben (E)

3.4

271

Kleben (E)

Kleben ist ein Sammelbegriff für Verbindungstechniken, bei denen gleichartige oder verschiedenartige Werkstoffe mit einem nichtmetallischen Zusatzwerkstoff (Klebstoff) stoffschlüssig verbunden werden. Die Klebeverbindung ist mechanisch noch deutlich weniger belastbar als eine Hart- oder Hochtemperaturlötverbindung. Dennoch hat sich das Kleben auch im Maschinenbau etabliert und kommt dann in Frage, wenn eine oder mehrere der folgenden Forderungen erhoben werden: • Die zu verbindenden Bauteile dürfen nicht erwärmt und in ihrem Gefüge nicht beeinträchtigt werden. • Es werden verschiedenartige Werkstoffe untereinander verbunden. • Es müssen dünne Werkstücke (Bleche) miteinander verbunden werden, die beim Schweißen wegen einer nicht zu unterschreitenden Schweißnahtdicke besondere Probleme bereiten würde. • Es werden Bauteile miteinander verbunden, die nicht lötbar oder schweißbar sind. • Die Verbindung muß elektrisch isolierend sein. • Es wird eine schwingungs- oder schalldämmende Verbindung gefordert. • Das Fertigungspersonal ist mit anderen qualifizierten Verbindungstechniken nicht vertraut. • Die Verbindung soll Fugen füllen oder dichten. Klebstoffe liegen in flüssiger oder pastöser Form oder als Folie vor. Nach der Art des Abbindens lassen sich unterscheiden: Physikalisch abbindende Klebstoffe

Chemisch abbindende Klebstoffe

•

Kontaktklebstoffe werden beidseitig aufgetragen, abgelüftet und unter kurzem, hohem Druck gefügt.

•

•

Schmelzklebstoffe werden in geschmolzenem Zustand (meist zwischen 150 und 190°C) aufgetragen und vor dem Erstarren gefügt.

Einkomponentenkleber binden meist durch Verflüchtigung eines Lösungsmittels oder durch erhöhte Temperatur ab.

•

•

Plastisole sind lösungsmittelfrei, werden in teigigem Zustand aufgetragen und binden bei Temperaturen von 140 – 200°C ab.

Zweikomponentenkleber werden erst unmittelbar vor der Verarbeitung miteinander vermischt, wodurch die Abbindung in Gang gesetzt wird. Ggf. kann durch erhöhte Temperatur die mechanische Festigkeit der Klebung gesteigert und die Abbindungszeit verkürzt werden.

Die Klebeverbindung hat bezüglich ihrer Festigkeit zwei Dimensionierungsaspekte: • Der Klebstoff muß an der Oberfläche des Grundwerkstoffs haften (Adhäsion). Die Festigkeit und langfristige Haltbarkeit einer Klebeverbindung hängt also ganz entscheidend von der Beschaffenheit und Vorbehandlung der zu verklebenden Flächen ab. Diese müssen grundsätzlich sowohl mechanisch von Rost, Oxyden, Zunder, Farbresten und Schmutz gesäubert, durch Bürsten, Schleifen, Schmirgeln oder Sandstrahlen aufgerauht

272

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

und mit Aceton, Methylenchlorid, Perchloräthylen, Trichloräthylen oder Dampf entfettet werden. • Der Klebstoff muß den Kraftfluß in sich selber übertragen (Kohäsion). Diesen Sachverhalt kann der Anwender vor allen Dingen durch genaue Einhaltung der Verarbeitungshinweise und Mischverhältnisse begünstigen. Die zulässige Schubspannung wird wesentlich beeinflußt durch • die Art und Beschaffenheit des Grundmaterials • Steifigkeit der Umgebungskonstruktion • die Größe des Klebespalts • die Oberflächenrauheit • Einsatztemperatur • Wärmealterung • zeitlicher Belastungsverlauf (statisch, schwellend, wechselnd) • Art der Aushärtung Wegen dieser vielfältigen Einflußparameter lassen sich häufig keine gesicherten Daten für die mechanische Festigkeit eines Klebstoffs angeben. Grundsätzlich gilt folgende grobe Einteilung: Festigkeits- Zulässige Schubklasse spannung

Umgebungsbedingungen Nur für trockene Umgebung geeignet

gering

τzul < 5 N/mm²

mittel

5 N/mm² ≤ τzul Es muß mit ölhaltiger Umge≤10 N/mm² bung gerechnet werden

hoch

τzul > 10 N/mm²

Die Klebeverbindung ist wäßriger Lösung, Öl, Treibstoff oder Lösungsmittel ausgesetzt

Einsatzbeispiele Feinwerktechnik, Modell- oder Möbelbau Maschinen- und Fahrzeugbau Fahrzeug-, Flugzeug-, Schiff- oder Behälterbau

Da der Klebstoff häufig eine sehr viel geringere Festigkeit als der Grundwerkstoff aufweist, kann die Festigkeit der Klebverbindung insgesamt nur durch eine Vergrößerung der Klebefläche gesteigert werden. Dies kann aber nur dann vorteilhaft verwirklicht werden, wenn die Belastung als Schub in die Klebefuge eingeleitet wird. Aus diesem Grunde wird empfohlen, eine Klebung vorzugsweise als schubbelastete Verbindung (Schäftung, Überlappung, Laschung wie bei Lötverbindungen) anzuordnen. Die Festigkeitswerte werden demzufolge ausschließlich als zulässige Schubspannung angegeben. Die Schubspannungsverteilung in einer Klebefuge ist meist ungleichmäßig, was vor allen Dingen auf die für Klebverbindungen typischen großen Überlappungslängen zurückzuführen ist. Bild 3.17 verdeutlicht modellhaft diesen Sachverhalt:

3.4 Kleben (E)

273

Bild 3.17: Spannungsverteilung einer schubbelasteten Klebefuge.

• Das obere Bildviertel gibt schematisch eine unbelastete Klebeverbindung wieder, die Klebefuge selbst ist durch kleine Rechtecke angedeutet. • Wird die Klebefuge belastet (zweites Bildviertel), so erfahren die die Klebefuge repräsentierenden Rechtecke eine parallelogrammförmige Deformation, wobei sich der Scherwinkel γ proportional zur sich einstellenden Schubspannung τ verhält. Die Schubspannungsverteilung ist konstant, weil überall ein gleich großer Scherwinkel auftritt. • Voraussetzung für die gleichmäßige Schubspannungsverteilung war jedoch, daß die Elemente des Grundwerkstoffs bei der Belastung ihre Länge L beibehalten. Tatsächlich ist dies jedoch nicht der Fall, weil auch der zugspannungsbelastete Grundwerkstoff eine Deformation in Form einer relativen Längenänderung ε erfährt. Nur am unbelasteten Ende

274

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

des Grundwerkstoffes bleibt die Länge des Grundwerkstoffelementes L erhalten, während zum belasteten Ende hin jeweils um eine weitere Längenänderung ΔL gedehnt wird. Diese Längenänderung nimmt zur Lasteinleitungsstelle hin immer weiter zu, weil das einzelne Längenelement einer immer größeren Zugbelastung ausgesetzt ist. • Weil zu den beiden Enden der Verbindung hin ein immer weniger belastetes Grundwerkstoffelement der einen Lasche einem zunehmend höher belasteten Grundwerkstoffelement der anderen Lasche gegenübersteht, ergeben sich zunehmend größere Scherwinkel in der Klebefuge. Durch die Proportionalität von Scherwinkel und Schubspannung wird die darunter skizzierte Schubspannungsüberhöhung zum jeweiligen Ende hin hervorgerufen. • Da in allen Belastungsfällen gleiche Zugkräfte FZ vorausgesetzt wurden, müssen beide Schubspannungsverteilungen den gleichen Flächeninhalt ergeben. Wegen der Überhöhung zu den Enden hin muß die Schubspannung in der Mitte geringer sein. • Diese Schubspannungsüberhöhung fällt besonders deutlich aus, wenn die für das Kleben typischen großen Überlappungslängen vorliegen und wenn der Grundwerkstoff wegen seines geringen Elastizitätsmoduls oder seiner geringen Wandstärke besonders verformungswillig ist. • Die Schubspannungsüberhöhung läßt sich reduzieren, wenn die Überlappungslänge so verjüngt wird, daß jedes Grundstoffelement trotz der unterschiedlichen Zugspannung die gleiche Längenänderung ΔL erfährt (letztes Bildviertel). Daraus resultiert letztlich die grundsätzliche Forderung, Steifigkeitssprünge an der Verbindungsstelle zu vermeiden. Grundsätzlich treten diese Probleme des Steifigkeitssprunges auch bei anderen Verbindungstechniken auf. Die wichtigsten Metallklebstoffe sind in den VDI-Richtlinien 2229 zusammengestellt. Für die spezielle Eignung und die Verarbeitung der Kleber sind die Herstellerhinweise zu beachten. Aufgaben 3.14 und 3.15

3.5

Schweißen (E)

Der Begriff „Schweißen“ wird für unterschiedliche Verarbeitungstechniken und für unterschiedliche Werkstoffe verwendet (z.B. in der Kunststofftechnik oder als „Laserschweißen“ sogar in der Augenmedizin). Die folgenden Ausführungen sollen sich jedoch speziell auf das Schweißen metallischer Werkstoffe beziehen und sich dabei besonders auf Stahlwerkstoffe konzentrieren. Innerhalb dieser Gruppe lassen sich die folgenden Anwendungsbereiche unterscheiden: • Verbindungsschweißen als Verbindungstechnik • Flickschweißung zur Reparatur von Rissen und Brüchen • Auftragschweißung zum Aufbringen von verschleißfesten, säure- oder gasdichten Schichten oder zur Erneuerung verschlissener Flächen Die beiden letztgenannten Anwendungen sind jedoch nicht Gegenstand dieses Kapitels. Die Technologie des Schweißens in all’ ihrer Vielfalt ist zu komplex, um an dieser Stelle in knapper Form vorgestellt zu werden. Die folgenden Ausführungen beschränken sich also auf die wesentlichen Verfahrensmerkmale, ansonsten wird eine Konzentration auf die zentrale Frage nach der Festigkeit einer Schweißverbindung versucht.

3.5 Schweißen (E)

275

Das Verbindungsschweißen hat sich im Maschinenbau zu einem Fertigungsverfahren mit besonders breiter Anwendung entwickelt. Es wird vor allen Dingen dort eingesetzt, wo es auf Leichtbau ankommt oder wo Einzel- oder Reparaturfertigung vorliegt. Das Schweißen erspart in vielen Fällen die für andere Herstellungsverfahren notwendigen Gesenke (Schmieden) und Modelle (Gießen) und senkt damit die Fixkosten. Erst bei größeren Stückzahlen werden diese Fertigungsverfahren günstiger, weil deren variable Kosten geringer sind.

3.5.1

Schweißverfahren (E)

Die DIN 1910, T2 unterscheidet das Verbindungsschweißen nach der Gestaltung der Bauteile, der Art des Werkstoffs, den zur Verfügung stehenden Fertigungsmethoden und dem Ablauf des Schweißvorganges. Die Einteilung der Schweißverfahren erfolgt zunächst einmal in die beiden Hauptgruppen Schmelz- und Preßschweißen. Die wichtigsten Verbindungsschweißverfahren sind: Schmelz-Verbindungsschweißen:

Press-Verbindungsschweißen:

Beim Schmelz-Verbindungsschweißen werden die Teile örtlich über die Schmelztemperatur (flüssiger Zustand) hinaus erwärmt.

Beim Press-Verbindungsschweißen erfolgt das Verbinden der Teile unter Anwendung von Kraft bei örtlich begrenzter Erwärmung unter der Schmelztemperatur (teigiger Zustand).

Giesschmelzschweißen Gasschmelzschweißen Lichtbogenschmelzschweißen Strahlschweißen − Lichtstrahlschweißen − Elektronenstrahlschweißen − Laserstrahlschweißen − Plasmastrahlschweißen

Heizelementschweißen Giesspressschweißen Gaspressschweißen Walzschweißen Feuerschweißen Diffusionsschweißen Lichtbogenpressschweißen Kaltpressschweißen Schockschweißen Ultraschallschweißen Reibschweißen Widerstandspresschweißen

Widerstandsschmelzschweißen

In einer weiteren Differenzierung in der unteren Tabellenhälfte wird nach Art der eingesetzten Wärmequelle bzw. nach der Art der Energiezufuhr unterschieden. Weiterhin sind noch verfahrenstechnische Merkmale aufgeführt. Das Ultraschallschweißen vermeidet starke thermische Belastungen der zu verbindenden Teile, wodurch Gefügeveränderungen weitgehend unterbleiben. Beim Widerstandspreßschweißen (z.B. Punktschweißen, Buckelschweißen, Rollnahtschweißen, Abbrennstumpfschweißen) wird die Wärmeenergie als elektrische Energie unter Ausnutzung des elektrischen Widerstandes der Verbindungsstelle eingebracht. Das Reibschweißen nutzt die bei Re-

276

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

lativbewegung unter hoher Pressung entstehende Wärme aus. Werden Teile unter Drehbewegung zusammengefügt, so läßt sich eine besonders hohe Relativgeschwindigkeit und damit eine hohe Temperatur erzielen. Elektronen-, Plasma- und Laserstrahlschweißen sind besonders vorteilhaft, weil sie wegen ihrer hohen Energiekonzentration Schweißungen in eng begrenzten Abmessungen erlauben und deshalb nur kleine Wärmeeinflußzonen haben, was sich vorteilhaft auf die Festigkeit auswirkt. Diese Schweißverfahren benötigen allerdings einen großen peripheren Aufwand, sie können beispielsweise in der Regel nur im Vakuum betrieben werden. Für die Art des Schweißverfahrens werden folgende Kurzbezeichnungen verwendet: G Gasschweißen E Lichtbogenhandschweißen WIG Wolfram-Inertgas-Schweißen (meist mit Argon als Schutzgas) MIG Metall-Inertgas-Schweißen (meist mit Argon als Schutzgas) MAG Metall-Aktivgas-Schweißen (meist mit CO2) UP Unterpulverschweißen

3.5.2

Schweißbarkeit der Werkstoffe (V)

Die Schweißeignung ist eine werkstoffkundlich-metallurgische Frage. Der wichtigste Gesichtspunkt ist dabei die chemische Zusammensetzung des Stahls. Unlegierte Stähle (St50, St60, St70) neigen bei einem Kohlenstoffgehalt von mehr als 0,22% zur Aushärtung und sind dann nur noch bedingt zum Schweißen geeignet. Aufhärtungen lassen sich jedoch durch Vorwärmen und kontrolliertes Abkühlen vermeiden. Die Wirkung von weiteren Legierungselementen auf die Aushärtung ist unterschiedlich. Mangan beispielsweise erhöht nicht nur die Festigkeit, sondern auch die Zähigkeit und wirkt sich damit günstig auf die Schweißbarkeit aus. Es wird deshalb als Hauptlegierungsbestandteil bis ca 1,5% bei Feinkornstählen verwendet. In austenitischen Cr-Ni-Stählen setzt Mangan bis ca. 6% die Rißneigung herab. Ein weiterer wichtiger Aspekt ist die Erschmelzungs- und Vergießungsart. Stähle, die in schweißnahen Zonen aufhärten, verspröden oder zur Rißbildung neigen, sind zum Verschweißen ungeeignet. Dieses Aufhärtungsverhalten tritt besonders in Zonen mit Anreicherungen von Schwefel, Phosphor, Stickstoff und Kohlenstoff (Seigerungen) auf. Deshalb sind beruhigt vergossene Stähle, bei denen mit 0,1 bis 0,3% Silizium Entmischungsvorgänge beim Erstarren vermieden werden, besser zum Schweißen geeignet. Hochbeanspruchte Schweißkonstruktionen sollen sich bei etwaiger Überbelastung möglichst plastisch verformen und nicht etwa mit einem Sprödbruch (verformungslosem Bruch) versagen. Die Neigung zum Sprödbruch wächst mit abnehmender Temperatur, steigender Beanspruchungsgeschwindigkeit und zunehmender Mehrachsigkeit der Beanspruchung (z.B. auch verursacht durch Kerbwirkung oder Anrisse). Außerdem sind Schweißungen in Bereichen, die zuvor kaltverformt worden sind, problematisch und deshalb zu vermeiden.

3.5 Schweißen (E)

3.5.3

277

Nahtformen (E)

Die Nahtform wird durch die Lage der zu verbindenden Teile am Schweißstoß sowie durch die Nahtvorbereitung bestimmt. DIN 8551 und DIN 8552 machen Angaben über Fugenform und Nahtvorbereitung. Grundsätzlich läßt sich zwischen Stumpf- und Kehlnähten unterscheiden.

Stumpfnaht

Kehlnaht

Vorteil: Stumpfnähte sind festigkeitsmäßig gün- Vorteil: Kehlnähte erfordern normalerweise keine stiger, besonders wenn die Nahtwurzel durch Nahtvorbereitung und sind einfacher anzubringen, da eine Gegenlage verschweißt wird. während des Schweißens die richtige Lage der Schweißnaht ertastet werden kann, ohne daß der Schweißer die Naht selbst sehen muß. Nachteil: Die Fuge der Naht muß im allgemei- Nachteil: Kehlnähte sind festigkeitsmäßig ungünstiger. nen Fall durch spanende Bearbeitung vorbereitet werden. Bild 3.18: Stumpfnaht und Kehlnaht.

3.5.3.1

Stumpfnaht (E)

Bei Stumpfnähten ist eine weitere Differenzierung angebracht. Dabei werden Buchstaben verwendet, die die Form der Naht beschreiben:

I-Naht für dünne Bleche (s ≤ 3mm)

V-Naht für dicke Bleche s = 5...15 mm

Bild 3.19: Nahtformen Stumpfnaht.

V-Naht mit Gegenschweißung

HV-Naht (Halb-V-Naht)

X-Naht für Blechdicken s = 10...30 mm

K-Naht

278

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

In allen Fällen ist die Nahtdicke a gleich der Blechdicke s, was für die nachfolgend erläuterte Festigkeitsberechnung der Schweißnaht von besonderer Wichtigkeit ist. Bei dicken Blechen werden Tulpen- oder U-Nähte verwendet. Durch nachträgliches Abarbeiten der Nahtüberhöhung wird die Kerbwirkung verringert und die Dauerfestigkeit verbessert. Werden zwei ungleich dicke Bleche verschweißt, so sollen die dadurch aufeinandertreffenden unterschiedlichen Steifigkeiten durch entsprechende Bearbeitung aneinander angeglichen werden (vgl. Bild 3.17). Ein erhöhter Aufwand für die Nahtvorbereitung ist besonders bei dynamischer Belastung erforderlich. In allen Fällen ist die festigkeitsmäßig maßgebende Nahtdicke der geringeren Blechdicke gleichzusetzen: a = smin. Stumpfnähte für statische Beanspruchung Stumpfnähte für dynamische Beanspruchung brauchbar

besser

optimal

Bild 3.20: Reduzierung von Steifigkeitssprüngen.

3.5.3.2

Kehlnaht (E)

Bei Kehlnähten, die bei überlappten Stößen und T-Stößen angebracht werden, wird nach Wölb-, Flach- und Hohlnaht unterschieden.

Wölbkehlnaht Festigkeitsminderung durch Einbrandkerben an den Übergangsstelle Bild 3.21: Nahtformen Kehlnaht.

Flachkehlnaht wirtschaftlichste Kehlnaht, geringst mögliches Schweißnahtvolumen

Hohlkehlnaht guter Übergang der Kraftlinien in den Grundwerkstoff

3.5 Schweißen (E)

279

Die festigkeitsmäßig maßgebende Nahtdicke a ist bei allen Varianten gleich der Höhe des in den Nahtquerschnitt eingeschriebenen gleichschenkligen Dreiecks (s. auch Bild 3.18 rechts). Die Dicke der Kehlnaht darf beim klassischen Lichtbogenschweißen 3 mm nicht unterschreiten, weil dann das Verfahren nur schwer handhabbar ist, und das 0,7-fache der minimalen Blechdicke nicht überschreiten, weil dann die Gefahr besteht, daß der übermäßige Wärmeeintrag das Material verbrennt: 3 mm ≤ a ≤ 0,7 ⋅ smin

Gl. 3.17

Grundsätzlich kann die Kehlnaht einseitig oder doppelseitig aufgebracht werden:

Doppelkehlnaht

Einseitige Kehlnaht

Die Doppelkehlnaht ergibt eine deutlich höhere Belastbarkeit, weil sich die Gesamtbelastung F in die Zugbelastung FZ1 und FZ2 aufteilt und dabei in der Naht selber keine Biegekomponente auftritt. Diese Nahtform erfordert jedoch eine beidseitige Zugänglichkeit der Schweißstelle.

Die Gesamtkraft F belastet den Nahtquerschnitt auf Zugspannung σZ und Biegespannung σb, wobei sich eine ungünstige Spannungsverteilung und eine geringe Belastbarkeit ergeben. Diese Betrachtung ist allerdings übertrieben modellhaft. Tatsächlich fällt besonders bei dünnen, flexiblen Blechen die Momentenbelastung fast völlig weg.

Bild 3.22: Einseitige und zweiseitige Kehlnaht.

Bei Kehlnähten stehen die Bleche häufig senkrecht zueinander. Bei schräg angesetzten Blechen lassen sich Kehlnähte nur dann einwandfrei ausführen, wenn bei rechtwinkliger Stirnfläche des anzuschweißenden Bleches b ≤ 2 mm und γ ≥ 60° ist. Bild 3.23: Schräg angesetzte Kehlnaht.

280

3.5.4

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Festigkeitsberechnung von Schweißverbindungen (E)

Die Festigkeitsberechnung von Schweißverbindungen erfolgt prinzipiell wie der Festigkeitsnachweis des Grundwerkstoffs: Die Schweißnaht ist dann betriebssicher, wenn die tatsächlich vorliegende Spannung kleiner oder höchstens gleich groß ist wie die zulässige Spannung: σ zul Gl. 3.19 σ tats Im allgemeinen Fall ergibt sich die tatsächliche Spannung σ als Vergleichsspannung σV (s. Abschnitt 1.3.2). Bei der Ermittlung der zulässigen Spannung müssen die spezifisch schweißtechnischen Gesichtspunkte berücksichtigt werden.

σtats ≤ σzul

3.5.4.1

Gl. 3.18

bzw.

S=

Tatsächliche Spannungen (E)

Die Berechnung der Nennspannung in der Schweißnaht ist für viele Anwendungsbereiche gesetzlich vorgeschrieben (Deutsche Bahn, Brückenbau, Fördertechnik, Druckbehälterbau, Kessel- und Rohrleitungsbau, Hochbau, Schiffbau). Für den allgemeinen Maschinenbau gibt es jedoch keine genormten Berechnungsvorschriften. Die im folgenden vorgestellte Vorgehensweise lehnt sich im wesentlichen an die bereits behandelten Grundlagen der Bauteildimensionierung (Kap. 0 und 1) an. Zug- und Druckspannung Die Zug- bzw. Druckspannung errechnet sich wie unter Gl. 0.1 zu σZ / D =

F A

Dabei formuliert sich die Nahtfläche A als Rechteckfläche aus der Nahtlänge L und der Nahtdicke a, so wie sie oben bereits gekennzeichnet worden ist. Bei der Festlegung der für die Festigkeitsberechnung maßgebenden Nahtlänge L müssen jedoch einige schweißtechnische Besonderheiten berücksichtigt werden:

3.5 Schweißen (E)

281

Rechnerische Nahtlänge beim Anschweißen eines runden Rohres auf eine Grundplatte:

Rechnerische Nahtlänge beim Anschweißen eines Rechteckrohres auf eine Grundplatte:

Die spannungsübertragende Fläche der Schweißnaht ergibt sich als Kreisringfläche. Da die Nahtdicke klein gegenüber dem Rohrdurchmesser ist, kann die Kreisringfläche näherungsweise als „abgewickeltes Rechteck“ angenommen werden kann:

Die spannungsübertragende Fläche der Schweißnaht ergibt sich als Summe von Einzelrechteckflächen, wobei sicherheitshalber die Eckquadrate rechnerisch ausgespart werden müssen, weil sie sich aufgrund ihrer geometrischen Lage nicht vollständig an der Lastübertragung beteiligen können:

A=d⋅π⋅a

Gl. 3.20

A = 2 ⋅ (c + b) ⋅ a

Gl. 3.21

Bild 3.24: Schweißnahtfläche.

Die vorangegangenen Beispiele gehen davon aus, daß die Schweißnaht „rundherum“, also ohne Unterbrechung angebracht worden ist. Im nächsten Beispiel ist dies nicht der Fall (Bild 3.25).

282

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

σ=

F 2⋅A

A: nutzbarer Nahtquerschnitt = 2 ⋅ Lrechn ⋅ a L: Nahtlänge nach Abzug der Endkrater hier: Lrechn = Ltats – 2 ⋅ a σ=

F Gl. 3.22 2 ⋅ a ⋅ (L tats − 2 ⋅ a)

Bild 3.25: Rechnerische Nahtlänge.

Die rechnerische Nahtlänge ergibt sich aus der geometrischen Nahtlänge nach Abzug der sog. „Endkrater“. In diesen Abschnitten muß davon ausgegangen werden, daß bei Schweißnahtbeginn noch keine vollständige stoffschlüssige Verbindung vorliegt, da die Erschmelzung gerade erst begonnen hat. Andererseits kann bei Schweißnahtende die Wärmezufuhr nicht vollständig bis zum Ende aufrecht erhalten werden. Die geometrische Nahtlänge wird also an beiden Enden um die Nahtdicke a verkürzt. Um den durch die Endkrater bedingten Festigkeitsverlust zu vermeiden, können in kritischen Fällen vor und hinter der Schweißnaht sog. „Auslaufbleche“ positioniert werden, die meist aus Abfallstücken bestehen und nur dazu dienen, den Erschmelzungsvorgang ordnungsgemäß in Gang zu bringen und abschließend wieder zu beenden. Die Auslaufbleche werden nach dem Schweißvorgang wieder abgetrennt. Schubspannung Die Schubspannung errechnet sich wie in Gl. 0.34 zu τ=

F A Sch

Die Nahtfläche ASch formuliert sich ähnlich wie bei der Zug- und Druckspannung als Rechteckfläche aus der Nahtlänge L (ggf. Endkrater berücksichtigen!) und der Nahtdicke a. Das folgende Bild zeigt dazu einige Beispiele:

3.5 Schweißen (E)

283

Bild 3.26: Schubfläche einer Schweißnaht.

In der vorangegangenen Darstellung liegen alle Nähte in Schubrichtung. Eventuell quer zur Schubrichtung liegende Nähte können aufgrund ihres Verformungsverhaltens keinen vollen Belastungsanteil aufnehmen und haben deshalb für die Festigkeitsbetrachtung keine Bedeutung. Das folgende Bild greift den letzten der drei oben skizzierten Fälle in modifizierter Form noch einmal auf (links) und betrachtet das Lastübertragungsverhalten anhand einer Modellvorstellung (rechts):

Bild 3.27: Schweißnähte quer zur Lastrichtung.

Die Lastübertragung durch die drei Schweißnähte ist gleichbedeutend mit der Lastaufteilung auf drei parallel geschalteten Federn: Zu diesem Zweck ersetzt man die Schweißnähte modellhaft durch dünne Bleche: Das stirnseitig angebrachte Blech ist eine viel weichere Feder als die längsseits angebrachten Bleche, so daß die Kraft vor allen Dingen durch die in Lastrichtung liegenden Bleche übertragen wird. Bei der Schweißverbindung liegen die Verhältnisse ähnlich: Die Übertragung der eingeleiteten Kraft konzentriert sich vor allen Dingen auf die in Schubrichtung liegenden Nahtanteile, die sich gegenüber der belastungsbedingten, elastischen Deformation sehr steif verhalten. Die quer dazu liegenden Nahtanteile sind gegenüber den belastungsbedingten, elastischen Deformationen sehr nachgiebig und weichen damit der Belastung aus, an deren Übertragung sie sich nur in weit geringerem Maße beteiligen können. Sie werden deshalb sicherheitshalber bei der Berechnung ausgespart.

284

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Weiterhin ist zu berücksichtigen, daß bei Schubbelastung der Naht meist auch eine zusätzliche Biegemomentenbelastung vorliegt. In den drei Beispielen des vorletzten Bilds ist bereits skizziert, daß durch den Abstand der Kraft F als actio und als reactio ein Hebelarm h vorliegt, wodurch das Moment M = F ⋅ h hervorgerufen wird. Biegespannung Die Biegespannung ergibt sich wie in Gl. 0.18 zu σb =

Mb Wax

Bei der Ermittlung von Wax wird man aus Gründen der rechnerischen Vereinfachung bestrebt sein, die gesamte Schweißnahtfläche in möglichst einfach zu erfassende Einzelflächen aufzuteilen, wobei sich besonders das Rechteck anbietet. Bei der Berechnung von Wax ist natürlich die Lage der Schweißnähte bezüglich der Biegeachse zu berücksichtigen. Die folgende skizzenhafte Gegenüberstellung zeigt dies besonders deutlich:

Wax =

a ⋅ L² 6

Gl. 3.23

Wax =

L ⋅ a² 6

Gl. 3.24

Bild 3.28: Widerstandsmoment Schweißnaht.

Wie bereits aus Kap. 0 bekannt ist, muß im allgemeinen Fall das Widerstandsmoment Wax aus mehreren Anteilen nach den Gesetzmäßigkeiten der elementaren Festigkeitslehre über das axiale Flächenträgheitsmoment Iax = bh³/12 mit eventuellen Steineranteilen zusammengesetzt und zu Wax = Iax / e errechnet werden. Dazu folgendes Beispiel:

3.5 Schweißen (E)

285

Beispielhafter Belastungsfall

Flächenaufteilung zur Ermittlung des Widerstandsmomentes

Bild 3.29: Biegebelastete Schweißnaht mit Steineranteil.

In manchen Fällen wird durch eine Längskraft im Bauteil ein Biegemoment in der Schweißnaht hervorgerufen. Dieser Fall tritt dann ein, wenn die Schwerelinie von Profil und Schweißnaht nicht übereinstimmen. Dazu folgendes (modellhaft unrealistisches) Beispiel:

Lastfall

Schwerelinien von Naht und Profil

Bild 3.30: Biegebelastung der Schweißnaht durch Längskraft.

286

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Die Schwerpunkte von Profil und Schweißnaht sind in diesem Beispiel besonders einfach zu ermitteln, sie liegen genau im Diagonalkreuz der jeweiligen Rechtecke. Diese beiden Schwerpunkte weisen jedoch einen Abstand p zueinander auf. Die auf der Schwerelinie des Profils als „actio“ übertragene Kraft hat ihre „reactio“ in der Schwerelinie der Schweißnaht. Die Schweißnaht hat also neben ihrer Längskraftbeanspruchung auch ein Biegemoment Mb = F ⋅ p

Gl. 3.25

aufzunehmen. In der Praxis muß meist eine umfangreichere Betrachtung angestellt werden, da sich die Schweißnaht aus mehreren Flächenanteilen zusammensetzt. Diese Biegemomentenbelastung läßt sich jedoch in vielen Fällen vermeiden, in dem man die Schwerelinien von Profil und Schweißnaht durch entsprechend geschicktes Positionieren einzelner Schweißnahtflächen zur Deckung bringt. Dies wäre im vorliegenden Fall ganz einfach durch symmetrische Anordnung der Schweißnähte realisierbar. Bei unsymmetrischen Profilen (T-, L- oder U-Profilen) wird diese Betrachtung schon problematischer (mehr dazu in den Übungsbeispielen). Torsionsspannung Die durch ein Torsionsmoment eingeleitete Schubspannung berechnet sich nach Gl. 0.48 zu τt =

Mt Wpol

wobei das polare Widerstandsmoment Wpol nach der elementaren Festigkeitslehre ermittelt wird. Zuweilen tritt der spezielle Fall auf, daß ein kreisrunder Stab oder ein Rohr mit einer Nabe oder einem sonstigen Anschlußteil verschweißt wird:

Stange in Grundplatte

Rohr an Grundplatte

Bild 3.31: Schubbeanspruchung der Schweißnaht durch Torsion.

Schweißnahtfläche

3.5 Schweißen (E)

287

In diesem speziellen Fall läßt sich das polare Widerstandsmoment als Kreisringfläche besonders einfach ermitteln zu Wpol

(D =

4

− d4 ) ⋅ π

16 ⋅ D

( d + 2 ⋅ a ) 4 − d 4  ⋅ π  = 16 ⋅ ( d + 2 ⋅ a )

Gl. 3.26

Die Berechnung der Widerstandsmomente weiterer Nahtquerschnitte erfolgt nach den Gesetzmäßigkeiten der elementaren Festigkeitslehre (s. auch Kap. 0). Vergleichsspannung Im allgemeinen Fall treten in der Schweißnaht mehrere Beanspruchungsarten gleichzeitig auf, so daß nach Gl. 1.5 eine Vergleichsspannung zu bilden ist: σ V = σ ² + α ⋅ τ2

α = 1 für statische und α = 2 für dynamische Belastung Gl. 3.27

Dabei wird die Normalspannung σ aus Zug/Druck und Biegung und die Tangentialspannung τ aus Querkraftschub und Torsion zusammengesetzt. Der Faktor α = 1 für statische Belastung nach DIN 4100 und α = 2 für dynamische Belastung nach DIN 15018. Bei der Formulierung der Schubspannung τ ist darauf zu achten, daß nur die Nähte zu berücksichtigen sind, die parallel zur Belastungsrichtung verlaufen.

3.5.4.2

Zulässige Spannungen (E)

Die von einer Schweißnaht maximal ertragbare Spannung ist von folgenden Einflußgrößen abhängig: • Werkstoffeigenschaften Sowohl der Grundwerkstoff als auch der Schweißwerkstoff und die Wärmebeeinflussung der Übergangszone nehmen maßgebend Einfluß auf die Festigkeit der Verbindung. Grundsätzlich wird der Schweißwerkstoff so gewählt, daß er in seinen wesentlichen mechanischen und thermischen Eigenschaften denen des Grundwerkstoffs entspricht. • Zeitlicher Beanspruchungsverlauf Die Schweißung stört die Homogenität des Grundwerkstoffes und wirkt sich festigkeitsmäßig stets als Kerbe aus. Während sich aber eine Kerbe bei statischer Last weniger nachteilig bemerkbar macht, wirkt sie sich bei dynamischer Belastung stark festigkeitsmindernd aus. • Geometrie Die Nahtform nimmt in dreierlei Hinsicht Einfluß auf das Dauerfestigkeitsverhalten der Schweißnaht: Die Größe der Naht beeinträchtigt die zulässige Spannung der Naht (vergleichbar mit bG des Dauerfestigkeitsnachweises), die Form selbst macht sich als Kerbe bemerkbar (vergleichbar mit βk des Dauerfestigkeitsnachweises) und schließlich hat eine eventuelle mechanische Nachbearbeitung der Naht über die dadurch hervorgerufene Oberflächenbeschaffenheit Einfluß auf die Dauerfestigkeit der Naht (vergleichbar mit bO des Dauerfestigkeitsnachweises).

288

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

• Zusätzliche Schweißspannungen Die Schweißverbindung wird durch Eigenspannungen und thermisch eingeleitete Schrumpfspannungen zusätzlich belastet. • Schweißnahtgüte Das Dauerfestigkeitsverhalten einer Schweißverbindung ist von der Güte der Naht abhängig. Die DIN 15018 und die nachfolgende Tabelle gibt darüber weitere Auskunft. In diesem Rahmen können nicht alle Einflußgrößen vertiefend behandelt werden, deshalb erfolgt eine Konzentration auf die wichtigsten Parameter.

3.5.4.3

Zulässige Spannung bei statischer Belastung (E)

In der DIN 15018 sind die zulässigen Spannungen für Schweißverbindungen bei statischer Belastung für Anwendungen im Kran- und Maschinenbau festgelegt. Die folgende Tabelle gibt davon einen Auszug in vereinfachter Form wieder: Für differenziertere Berechnungen sind die einschlägigen Normen und (u.U. gesetzlich vorgeschriebene!) Vorschriften zu beachten. Hauptbelastung

Werte gültig für

RSt 37-3 St 52-3 (S235J2G3) (S355J2G3) [N/mm²] [N/mm²]

Grundwerkstoff

160

240

Zug/Druck

Stumpfnaht, gegengeschweißt und durchgestrahlt

160

240

Biegung

Stumpfnaht, nicht durchgestrahlt

150

216

Kehlnaht

105

155

Stumpfnaht

112

168

Halsnaht

98

152

Schub

Aufgaben 3.4 bis 3.17

3.5.4.4

Zulässige Spannung bei dynamischer Belastung (V)

Die Ermittlung der zulässigen Spannung bei dynamischer Belastung erfordert eine komplexere Betrachtung, weil die Kerbwirkung und Nahtform der Schweißnaht deren Belastbarkeit ganz erheblich beeinträchtigen. Je nach Fachgebiet werden dazu unterschiedliche Verfahren herangezogen, die teilweise sogar gestzlich vorgeschrieben sind. An dieser Stelle sei beispielhaft die DV 952 (Dienstvorschrift der Deutschen Bundesbahn) erläutert. Es sei daran erinnert, daß sich die Dynamik einer Belastung durch die Kennzahl κ beschreiben läßt (s. Gl. 1.6): κ = 1 statisch σu τu mit den Modellfällen κ = 0 schwellend κ= = σo τo κ = –1 wechselnd

3.5 Schweißen (E)

289

Die zulässigen Normalspannungen σzul und zulässigen Schubspannungen τzul bei geschweißten Fahrzeugen aus RSt37 und RSt52 werden in Diagrammform dokumentiert (Bild 3.32 und Bild 3.33). Als Oberflächenzustand des Grundwerkstoffs wird Walzhaut angenommen. Der entscheidende Parameter in dieser Diagrammdarstellung ist die mit Großbuchstaben gekennzeichnete Kerbform, die den folgenden Tabellen zu entnehmen ist. Beim Vergleich der Diagramme für RSt37 und RSt52 fällt auch auf, daß St52 zwar eine wesentlich höhere statische Belastung aufzunehmen vermag, aber deutlich dynamikempfindlicher ist als St37. Wenn also St52 gewählt wird, um eine höhere Festigkeit zu erzielen, dann wird der Zugewinn an Werkstoffestigkeit gegenüber St37 durch die höhere Dynamikempfindlichkeit teilweise wieder zunichte gemacht.

Bild 3.32: Zulässige Schweißnahtspannungen bei geschweißten Fahrzeugen aus RSt 37.

290

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Die Kerbfälle A – H sind in der darauffolgenden mehrseitigen Tabelle aufgelistet. Je weiter vorn im Alphabet der den Kerbfall darstellende Buchstabe angeordnet ist, desto unempfindlicher ist der Kerbfall (Ausgangskurvenzug A: nicht geschweißtes Bauteil). Die weiter hinten im Alphabet angeordneten Kerbfälle weisen eine zunehmende Kerbfempfindlichkeit auf, die bei nicht bearbeiteten Kehlnähten besonders ausgeprägt ist.

Bild 3.33: Zulässige Schweißnahtspannungen bei geschweißten Fahrzeugen aus RSt 52.

3.5 Schweißen (E)

291

Linie Darstellung

Beschreibung des Kerbfalls

A

durch Längskraft oder auf Biegung beanspruchte, nicht geschweißte Bauteile (Grundwerkstoff)

B1

Bauteil mit quer zur Kraftrichtung beanspruchter Stumpfnaht; Wurzel gegengeschweißt, Schweißnaht kerbfrei bearbeitet und 100% durchstrahlt

B2

Bauteile verschiedener Dicke mit quer zur Kraftrichtung beanspruchter Stumpfnaht; Wurzel gegengeschweißt, Schweißnaht kerbfrei bearbeitet und 100% durchstrahlt

B3

B4 B5 B6

C1

C2

D1

D2

D3

Trägerstegblech; Querkraftbiegung mit überlagerter Längskraft; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnaht kerbfrei bearbeitet und 100% durchstrahlt Bauteil mit längs zur Kraftrichtung beanspruchter Stumpfnaht; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnaht kerbfrei bearbeitet und 100% durchstrahlt Bauteile mit längs zur Kraftrichtung beanspruchten Koder Kehlnähten; Schweißnahtübergang ggf. bearbeitet und auf Risse geprüft Blechkonstruktionen mit Gurtstößen; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnähte in Kraftrichtung bearbeitet und 100% durchstrahlt durchlaufendes Bauteil mit nichtbelasteten Querversteifungen; K-Nähte kerbfrei bearbeitet und auf Risse geprüft durchlaufendes Bauteil mit angeschweißten Scheiben; K-Nähte kerbfrei bearbeitet und auf Risse geprüft Bauteile mit quer zur Kraftrichtung beanspruchter Stumpfnaht; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnaht stichprobenweise (mind. 10%) durchstrahlt Bauteile mit längs zur Kraftrichtung beanspruchter Stumpfnaht; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnaht stichprobenweise (mind. 10%) durchstrahlt Trägerstegbleche; Querkraftbiegung mit überlagerter Längskraft; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnaht stichprobenweise (mind. 10%) durchstrahlt

292

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Linie Darstellung

Beschreibung des Kerbfalls

D4

Rohrverbindungen mit unterlegten Stumpfnähten; Schweißnaht stichprobenweise (mind. 10%) durchstrahlt

D5

D6

E 1.1 E 1.2

E 1.3 E 1.4

Blechkonstruktion mit Stumpfstößen in Eckverbindungen; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnaht stichprobenweise (mind. 10%) durchstrahlt Eckverbindungen mit Stumpfstößen und Eckblechen an Profilen; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnaht stichprobenweise (mind. 10%) durchstrahlt Bauteile mit quer zur Kraftrichtung beanspruchter Stumpfnaht; abhängig von den Anforderungen Wurzel gegengeschweißt oder nicht gegengeschweißt; Schweißnähte nicht bearbeitet Bauteile mit längs zur Kraftrichtung beanspruchter Stumpfnaht; Schweißnähte nicht bearbeitet Trägerstegbleche; Querkraftbiegung mit überlagerter Längskraft; abhängig von den Anforderungen Wurzel gegengeschweißt oder nicht gegengeschweißt; Schweißnähte nicht bearbeitet Eckverbindungen mit Stumpfstößen und Eckblechen; Schweißnähte nicht bearbeitet

E 1.5

Rohrverbindungen mit quer zur Kraftrichtung beanspruchter Stumpfnaht; Schweißnähte nicht bearbeitet

E 1.6

Rohrverbindung mit einem Vollstab; Schweißnähte nicht bearbeitet

E 1.7

Bauteil mit aufgeschweißter Gurtplatte; K-Nähte sind an den Stirnflächen bearbeitet

E 1.8

Verbindung verschiedener Werkstoffdicken durch eine Stumpfnaht; Wurzel gegengeschweißt; Schweißnähte nicht bearbeitet

3.5 Schweißen (E)

293

Linie Darstellung

Beschreibung des Kerbfalls

E 1.9

durch Kreuzstoß mittels K-Nähte verbundenen Bauteile; Schweißnähte bearbeitet

E1.10

durch K-Nähte verbundene, auf Biegung und Schub beanspruchte Bauteile; K-Nähte bearbeitet

E 5.1

durchlaufendes Bauteil, an das quer zur Kraftrichtung Teile mit bearbeiteten K-Nähten angeschweißt sind

E 5.2

durchlaufendes Bauteil, an das Bauteile durch Stumpfnaht und mit bearbeiteten Kehlnähten angeschweißt werden

E 5.3

Bauteil mit aufgeschweißter Gurtplatte; die Kehlnähte sind an den Stirnflächen bearbeitet

E 5.4

E 5.5

durchlaufendes Bauteil mit einem durchgesteckten, durch K-Nähte verbundenen Bauteil; K-Nähte sind in dem Bereich an den Stirnflächen bearbeitet durch Kreuzstoß mittels K-Nähte verbundene Bauteile; Schweißnähte nicht bearbeitet

E 5.6

auf Schub und Biegung durch nicht bearbeitete K-Nähte verbundenen Bauteile

F1

Stumpfstöße von Profilen ohne Eckbleche; Schweißnähte nicht bearbeitet

F2

durchlaufendes Bauteil mit einem durch nichtbearbeitete Kehlnähte aufgeschweißten Bauteil

F3

Bauteil mit aufgeschweißter Gurtplatte; Schweißnähte nicht bearbeitet

294

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Linie Darstellung

Beschreibung des Kerbfalls

F4

durchlaufendes Bauteil mit einem durchgesteckten, durch Kehlnähte verbundenen Bauteil; Schweißnähte nicht bearbeitet

F5

durch Kreuzstoß mittels Kehlnähten verbundene Bauteile; Schweißnähte nicht bearbeitet

F6

auf Schub und Biegung durch nichtbearbeitete Kehlnähte verbundene Bauteile

G

Stegblechquerstoß; maximale Schubbeanspruchung in Trägernullinie; Linie gilt auch für auf Torsion beanspruchte, nicht geschweißte Bauteile

H

Schubverbindung mit K- oder Kehlnähten zwischen Stegblech und Gurt bei Biegeträgern

Mit zulässiger Spannung (σzul, τzul) einerseits und tatsächlicher Spannung (σtats, τtats) andererseits läßt sich nunmehr eine Sicherheit formulieren: S=

σ zul σ tats

bzw.

S=

τ zul τ tats

Aufgaben 3.18 bis 3.20

3.5.5

Eigenspannungen (E)

Ein weiteres Problem beim Schweißen sind die thermisch im Werkstoff hervorgerufenen Eigenspannungen. Ungeachtet des speziellen Schweißverfahrens ist die Schweißung stets mit einer Wärmezufuhr verbunden, die in aller Regel örtlich begrenzt stattfindet, so daß Temperaturgradienten im Werkstück unvermeidlich sind. Dabei wird eine ebenfalls örtlich unterschiedliche thermische Deformation wirksam. Bild 3.34 zeigt diesen Sachverhalt exemplarisch:

3.5 Schweißen (E)

295 Das Schweißmaterial wird im flüssigen Zustand, also bei hoher Temperatur spannungslos eingebracht. Mit der Abkühlung stellt sich zunächst die stoffschlüssige Verbindung ein und mit sinkender Temperatur werden aufgrund der Schrumpfung Eigenspannungen nicht nur in der Schweißnaht, sondern auch im Bauteil hervorgerufen.

Bild 3.34: Effekt der Schrumpfspannung.

Dieser Effekt bezieht sich nicht nur auf die hier erläuterte Querschrumpfung, sondern macht sich auch als Winkelschrumpfung bemerkbar. Bei der Quantifizierung von Schrumpfspannungen ergeben sich etwa folgende Zahlenwerte für Quer- und Winkelschrumpfung:

Bild 3.35: Schweißschrumpfungen.

Das Vorhandensein von Schrumpfspannungen hat folgende Konsequenzen: • Ist die Konstruktion nachgiebig, so können unerwünschte Verwerfungen entstehen. • Ist die Konstruktion steif, so wird die thermische Deformation behindert und es entstehen Schweißeigenspannungen. Diese Spannungen können die Bruchfestigkeit des Werkstoffs überschreiten und deshalb Risse verursachen.

296

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Ein Abbau der Eigenspannungen kann durch Spannungsarmglühen erreicht werden. Dabei wird das geschweißte Werkstück auf eine Temperatur erhitzt, die so hoch ist, daß sich die Schweißeigenspannungen durch Fließvorgänge abbauen können. Wenn das anschließende Erkalten über die gesamte Konstruktion gleichmäßig erfolgt, so entstehen keine Temperaturgradienten und damit keine neuen Spannungen. Dieser Vorgang wird zuweilen mit dem Richten des Bauteiles kombiniert. Schrumpfungen lassen sich kompensieren, indem die zu verschweißenden Teile so zueinander positioniert werden, daß die zu erwartenden Deformationen vorweggenommen werden.

vor dem Schweißen

nach dem Schweißen

Bild 3.36: Winkelvorgaben.

Es kann auch sinnvoll sein, die zu verschweißenden Teile so zu deformieren, daß die durch den Schrumpfvorgang hervorgerufenen Kräfte die zu verbindenden Teile in die gewünschte Lage ziehen. vor dem Schweißen nach dem Schweißen Bild 3.37: Maßnahmen zur Vermeidung von Schweißverzug.

3.5.6

Gestaltung von Schweißverbindungen (E)

Für die optimale Gestaltung von Schweißkonstruktionen lassen sich eine ganze Reihe von Richtlinien angeben, die im folgenden auszugsweise in knapper Form wiedergegeben sind: • Die Nahtmenge ist nach Möglichkeit zu verringern, weil mit zunehmender Nahtmenge die Wärmebelastung ansteigt, was zu Schrumpfspannungen und zum Verzug führt. Lange, dünne Nähte sind gegenüber kurzen dicken zu bevorzugen. • Weiterhin soll versucht werden, Schweißnähte gänzlich einzusparen, indem Abkant- oder Biegeteile verwendet werden.

3.5 Schweißen (E)

297

Bild 3.38: Verringerung der Nahtmenge durch Verwendung von Abkant- und Biegeteilen.

• Der erste Konstruktionsentwurf geht häufig von einer Zusammenstellung zugeschnittener Blechteile aus. In vielen Fällen bietet sich jedoch auch die vorteilhafte Verwendung von Walzprofilen (U-, T-, Doppel-T-, L-Träger sowie Rohrprofile) als Halbzeuge an. • Weiterhin läßt sich die Anzahl der Einzelteile manchmal durch die Verwendung von Schmiede- und Stahlgußteilen verringern. Das folgende Beispiel zeigt ein DieselmotorRahmenunterteil als Schweißkonstruktion mit eingeschweißtem Lagerstuhl aus Stahlguß.

Bild 3.39: Verringerung der Nahtmenge durch Gemischtbauweise.

• Die Schweißnähte sind nach Möglichkeit so zu plazieren, daß sie nicht an Stellen höchster oder ungünstiger Beanspruchung liegen.

Bild 3.40: Optimale Lage der Schweißnaht relativ zur Beanspruchung.

298

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken Während im linken Fall die Schweißnaht in der äußeren Randfaser plaziert ist und damit maximale Spannung erfährt, liegt sie im rechten Beispiel in der neutralen Faser und wird dabei kaum beansprucht.

Bild 3.41: Optimale Lage der Schweißnaht relativ zur Beanspruchung.

Aufgrund von Toleranzen beim Abtrennen des senkrechten Bleches kann kein durchgehender flächiger Kontakt zwischen dem senkrechten und dem waagerechten Blech vorausgesetzt werden. Die rechnerische Formulierung der Nahtbelastung sollte also sicherheitshalber davon ausgehen, daß der Lastfluß ausschließlich durch die Naht übertragen wird. Der Unterschied zwischen dem linken und rechten Bild besteht also vor allen Dingen darin, daß links die biegebedingte Zugspannung in der kerbgefährdeten Nahtwurzel auftritt (was zu einem Aufweiten der Kerbe führt), während sich in der rechten Skizze die biegebedingte Druckspannung problemlos in der kerbempfindlichen Nahtwurzel abstützen kann. • Die Anhäufung von Schweißnähten ist nach Möglichkeit zu vermeiden.

Bild 3.42: Vermeidung von Nahtanhäufungen.

3.5 Schweißen (E)

299

An Kreuzungsstellen ist eine der beiden Nähte nach Möglichkeit zu unterbrechen, weil mehrachsige Spannungszustände zur Verformungsbehinderung führen und damit die Gefahr der Rißbildung steigern. • Steifigkeitssprünge sind nach Möglichkeit zu vermeiden, da sie zu Spannungsspitzen führen.

Bild 3.43: Vermeidung von Steifigkeitssprüngen.

• Die Belastung soll vorzugsweise im sog. „Schubmittelpunkt“ eingeleitet werden (Berechnung siehe Festigkeitslehre):

Bild 3.44: Kraftangriffspunkt im Schubmittelpunkt.

300

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Greift eine Kraft an einem Biegebalken im Schubmittelpunkt an, so ergibt sich in bekannter Weise eine Biege- und eine Querkraftbelastung (oben links). Liegt jedoch die Wirkungslinie der Kraft außerhalb des Schubmittelpunktes (oben rechts), so überlagert sich eine zusätzliche Torsionsbelastung, die besonders bei offenen, torsionsweichen Profilen zu einer zusätzlichen Torsionsverformung führt. Die unteren beiden Bilder zeigen beispielhaft, wie für einen U-Träger die Krafteinleitung durch einfache konstruktive Maßnahmen optimiert werden kann. • Die Schweißnähte müssen leicht zugänglich und einfach herstellbar sein. Die Nahtform wird auch von der Geometrie und Lage der zu verschweißenden Teile mitbestimmt. • Die zu verschweißenden Teile müssen in der Regel vor dem Schweißen zueinander positioniert werden. Bei geringen Stückzahlen kann es sinnvoll sein, diese Lage durch entsprechende Vorbearbeitung der Teile zu fixieren. Bei größeren Stückzahlen ist dieser Fertigungsaufwand bei jeder neuen Schweißung immer wieder erforderlich, hier sind Schweißvorrichtungen möglicherweise kostengünstiger. • Das folgende Bild zeigt eine Gegenüberstellung von vorteilhafter und weniger vorteilhafter Schweißgestaltung einer Aluminium-Schweißkonstruktion eines dynamisch belasteten Druckbehälters.

Bild 3.45: Geschweißter Druckbehälter.

3.5 Schweißen (E)

301

• Bei Umstellung von Guß- auf Schweißkonstruktionen müssen oft neue Gestaltungsformen gesucht werden.

Bild 3.46: Beispiel für die Umstellung von Guß- auf Schweißkonstruktion.

• Bei Walzstählen werden Hohlkehlen nicht verschweißt, weil an diesen Stellen Seigerungszonen vorhanden sind und weil dort durch den Walz- und Abkühlungsvorgang besonders ungünstige Eigenspannungsverhältnisse vorliegen.

Bild 3.47: Aussparen von Schweißsnähten in Hohlkehlen von Walzprofilen.

302

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

3.6

Anhang

3.6.1

Literatur

[3.1]

Bauer, C.O.: Handbuch der Verbindungstechnik. Hanser 1990

[3.2]

Beckert, M.; Neumann, A.: Grundlagen der Schweißtechnik – Anwendungsbeispiele; Verlag Technik 1991

[3.3]

Boese, U.; Werner, D.; Wirtz, H.: Das Verhalten der Stähle beim Schweißen, Teil II. Düsseldorf 1984

[3.4]

Brockmann, W.: Grundlagen und Stand der Metallklebetechnik; VDI-Verlag 1971

[3.5]

DIN-Taschenbuch 8: Schweißzusätze, Fertigung, Güte und Prüfung. Beuth 1985

[3.6]

DIN-Taschenbuch 65, Schweißtechnik. Beuth 1988

[3.7]

DIN-Taschenbuch 145: Schweißverbindungen. Beuth 1985

[3.8]

DIN-Taschenbuch 196: Löten. Beuth 1989

[3.9]

DS 952 01: Schweißen metallischer Werkstoffe an Schienenfahrzeugen und maschinentechnischen Anlagen. Deutsche Bundesbahn 1991

[3.10] Endlich, F.: Kleb- und Dichtstoffe in der modernen Technik. Essen 1990 [3.11] Fauner-Endlich: Angewandte Klebtechnik. Hanser [3.12] Habenicht: Kleben. Springer [3.13] Käufer, H.: Konstruktive Gestaltung von Klebungen zur Fertigungs- und Festigkeitsoptimierung. Konstruktion 36 (1984), H. 10 [3.14] Kennel, E.: Das Nieten im Stahl- und Leichtmetallbau. München 1951 [3.15] Krist, T.: Metallkleben. Vogel 1970 [3.16] Matting, A.: Metallkleben. Springer [3.17] Mewes, W.: Kleine Schweißkunde für Maschinenbauer. VDI-Verlag 1978 [3.18] Muschard, W.D.: Klebgerechte Gestaltung einer Welle-Nabe-Verbindung. Konstruktion 36 (1984) H. 9 [3.19] Neumann, A.: Schweißtechnisches Handbuch für Konstrukteure. Deutscher Verlag für Schweißtechnik (DVS) 1990 [3.20] Petrunin, J.E.: Handbuch Löttechnik. VEB-Verlag 1988 [3.21] Plath, E.: Taschenbuch der Kitte und Klebstoffe. Wiss. Verlagsgesellschaft Stuttgart [3.22] Rieberer, A.: Schweißgerechtes Konstruieren im Maschinenbau. Deutscher Verlag für Schweißtechnik (DVS) 1989 [3.23] Ruge, J.: Handbuch der Schweißtechnik,. Band 1 – 4. Springer 1991 [3.24] Saechtling, H.; Zebrowski, W.: Kunststoff-Taschenbuch. Hanser [3.25] Sahmel, P.; Veit, H.J.: Grundlagen der Gestaltung geschweißter Stahlkonstruktionen. Deutscher Verlag für Schweißtechnik (DVS) 1989

3.6 Anhang

303

[3.26] Schuler, V.: Schweißtechnisches Konstruieren und Fertigen. Vieweg 1992 [3.27] Strauß, R.: Das Löten für den Praktiker. Franzis 1984 [3.28] VDI-Richtlinie 258: Praxis des Metallklebens. VDI-Verlag 1976 [3.29] VDI-Richtlinie 2229: Metallklebverbindungen, Hinweise für Konstruktion und Fertigung, VDIVerlag [3.30] Witt, W.: Klebverbindungen für hohe Temperaturen. Maschinenmarkt (1970), H. 8

3.6.2

Normen

[3.31] DIN 101: Niete; Technische Lieferbedingungen [3.32] DIN 124: Halbrundniete, Nenndurchmesser 10 bis 36 mm [3.33] DIN 302: Senkniete, Nenndurchmesser 10 bis 36 mm [3.34] DIN 660: Halbrundniete, Nenndurchmesser 1 bis 8 mm [3.35] DIN 661: Senkniete, Nenndurchmesser 1 bis 8 mm [3.36] DIN 662: Linsenniete, Nenndurchmesser 1,6 bis 6 mm [3.37] DIN 674: Flachrundniete [3.38] DIN 675: Flachsenkniete (Riemenniete), Nenndurchmesser 3 bis 5 mm [3.39] DIN 1910 T2: Schweißen; Schweißen von Metallen, Verfahren [3.40] DIN 1912 T5: Zeichnerische Darstellung Schweißen, Löten: Symbole, Bemaßung [3.41] DIN 1913 T1: Stabelektroden für das Verbindungsschweißen von Stahl, unlegiert und niedriglegiert; Einteilung und Bezeichnung, Technische Lieferbedingungen [3.42] DIN 2559 T1: Schweißnahtvorbereitung; Richtlinien für Fugenformen, Schmelzschweißen, von Stumpfstößen an Stahlrohren [3.43] DIN 7331: Hohlniete, zweiteilig [3.44] DIN 7338: Niete für Brems- und Kupplungsbeläge [3.45] DIN 7339: Hohlniete, einteilig, aus Band gezogen [3.46] DIN 7340: Rohrniete, aus Rohr gefertigt [3.47] DIN 7341: Nietstifte [3.48] DIN 8505: Löten [3.49] DIN 8511: Flußmittel zum Löten metallischer Werkstoffe [3.50] DIN 8513: Hartlote [3.51] DIN 8514 T1: Lötbarkeit, Begriffe [3.52] DIN 8515 T1: Fehler an Lötverbindungen aus metallischen Werkstoffen [3.53] DIN 8525: Prüfung von Hartlötverbindungen [3.54] DIN 8528 T2: Schweißbarkeit; Schweißeignung der allgemeinen Baustähle zum Schmelzschweißen

304

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

[3.55] DIN 8529 T1: Stabelektroden für das Verbindungsschweißen von hochfesten Feinkornbaustählen; Basisch umhüllte Stabelektroden; Einteilung, Bezeichnung, Technische Lieferbedingungen [3.56] DIN 8551: Schweißnahtvorbereitung [3.57] DIN 8554 T1: Schweißstäbe für Gasschweißen von ferritischen Stählen [3.58] DIN 8563 T3: Sicherung der Güte von Schweißarbeiten; Schmelzschweißverbindungen an Stahl (ausgenommen Strahlschweißen) [3.59] DIN 8570 T1: Allgemeintoleranzen für Schweißkonstruktionen [3.60] DIN 8593 T7: Fertigungsverfahren Fügen; Fügen durch Löten [3.61] DIN 8593 T8: Fertigungsverfahren Fügen; Fügen durch Kleben; Einordnung, Unterteilung, Begriffe [3.62] DIN 16920: Klebstoffe; Klebstoffverarbeitung, Begriffe [3.63] DIN E 32515: Bewertungsgruppen für Lötverbindungen; hart- und hochtemperaturgelötete Bauteile [3.64] DIN 53281: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen [3.65] DIN 53282: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Winkelschälversuch [3.66] DIN 53283: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Bestimmung der Klebfestigkeit von einschnittig überlappten Klebungen (Zugscherversuch) [3.67] DIN 53284: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Zeitstandversuch an einschnittig überlappten Klebungen [3.68] DIN 53285: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Dauerschwingversuch an einschnittig überlappten Klebungen [3.69] DIN 53286: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Bedingung für die Prüfung bei verschiedenen Temperaturen [3.70] DIN 53287: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Bestimmung der Beständigkeit gegenüber Flüssigkeiten [3.71] DIN 53288: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Zugversuch [3.72] DIN 53289: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Rollschälversuch [3.73] DIN 53452: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Druckscherversuch [3.74] DIN 53454: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Losbrechversuch an geklebten Gewinden [3.75] DIN 53455: Prüfen von Metallklebstoffen und -klebungen; Torsionsscherversuch

3.7 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

3.7

305

Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Nieten A.3.1

Lastverteilung Nietverbindung (B)

Es ist die unten skizzierte Nietverbindung mit zwei gleichen Nieten gegeben. Die Kraft F = 20.000 N greift entweder bei A, B, C, D E oder F an.

Lastverteilung: Welche resultierende Kraft stellt sich daraufhin in den beiden Nieten ein? A

B

C

D

E

F

FNiet1 [N] FNiet2 [N] Dimensionierung des Niets: Betrachten Sie die höchste Belastung für einen einzelnen Niet aus dem vorangegangenen Aufgabenteil. Welche Schubspannung τ und welchen Lochleibungsdruck p erfährt der Niet? A.3.2

Achshalter Güterwaggon (B)

Gegeben ist der unten skizzierte Achshalter eines Güterwaggons, der mit vier Nieten in der dargestellten Weise am Längsträger des Fahrzeugrahmens befestigt ist.

306

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Die Achse mit ihren beiden Rädern ist kopfseitig mit je einem Lager versehen, welches zwischen je zwei Achshaltern vertikal geführt wird. Das einzelne Rad und damit die Lagerung wird mit einer anteiligen Masse von Waggon und Ladegut belastet. Die daraus resultierende vertikale Belastung wird durch die hier skizzierte Blattfeder aufgenommen, belastet die Nieten also nicht. Die Bremskräfte werden in horizontaler Richtung wirksam und belasten den Achshalter und damit die Nietverbindung. Die Horizontalkraft FH kann mit 8800 N angenommen werden. Die Nietverbindung weist Abmessungen nach der obigen Detailskizze auf. a) Wie groß ist die Kraft FNiet, die einen einzelnen Niet maximal belasten kann? b) Wie groß ist die maximale Schubspannung im Niet τQ? c) Wie groß ist der maximal auftretende Lochleibungsdruck pL (Berechnung wie ein kaltgeschlagener Niet)? A.3.3

Kettenblatt Mofa (E)

Der Antrieb eines Mofas erfolgt mittels Kette auf das Hinterrad. Es wird eine Leistung von 1,2 kW bei einer Hinterraddrehzahl von 200 min–1 übertragen.

3.7 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

307

a) Die Leertrumkraft der Kette kann vernachlässigt werden. Wie groß ist die Zugtrumkraft der Kette? b) Das Kettenblatt ist mit 4 Nieten an der Hinterradnabe befestigt. Welche maximale Kraft FNiet kann auf einen einzelnen Niet im Laufe einer Kettenblattumdrehung einwirken? c) Der Durchmesser des Niets soll dimensioniert werden. Die Wandstärken von Kettenblatt und Hinterradnabe sind jeweils 3 mm und erlauben einen Lochleibungsdruck von pLzul = 95 N/mm². Der Niet selbst kann eine Schubspannung von τzul = 65 N/mm² aufnehmen. Wie groß muß dann der Nietdurchmesser mindestens sein? A.3.4

Verbindungslasche I-Träger (B)

Die untenstehende Skizze zeigt einen Ausschnitt aus einer Stahlbaukonstruktion: Zwei Doppel-T-Träger werden in der dargestellten Weise mit zwei Blechen untereinander verbunden, die auf den beiden Seiten des Zwischensteges aufgenietet werden. Sowohl die linke als auch die rechte Verbindung sind jeweils mit 4 untereinander gleichen Nieten bestückt, sie unterscheiden sich allerdings entsprechend der Skizze in der Anordnung der Nieten. Die Nietverbindung wird in der dargestellten Weise mit einer Kraft F = 1800 N belastet.

a) Ermitteln Sie zunächst die Belastungen für jeden einzelnen Niet, wobei sowohl die aus der Querkraft herrührende Belastung Fq als auch die durch das Moment eingeleitete Belastung Fm zu berechnen ist. Zur Darstellung der Ergebnisse bedienen Sie sich des folgenden Schemas, welches vorsieht, die einzelnen Kräfte zur übersichtlichen rechnerischen Weiterverarbeitung nach x- und y-Komponente zu zerlegen. b) Ermitteln Sie sowohl für die linke als auch für die rechte Verbindung die Belastung für den am höchsten belasteten Niet. Bedienen Sie sich dabei ebenfalls des obenstehenden Schemas, welches jedoch nur an den am höchsten beanspruchten Stellen ausgefüllt werden muß. c) Alle Bleche und Profile weisen eine Stärke von 4 mm auf. Die zulässige Schubspannung des Nietwerkstoffs beträgt τzul = 90 N/mm² und es kann ein Lochleibungsdruck von pzul = 120 N/mm² zugelassen werden. Welche Nietdurchmesser müssen für die linke und rechte Nietverbindung gewählt werden?

308

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken linke Verbindung

rechte Verbindung

Fq = Fqx = Fqy =

Fq = Fqx = Fqy =

Fq = Fqx = Fqy =

Fm = Fmx =

Fm = Fmx =

Fm = Fmx =

Fmy =

Fmy =

Fmy =

FNiet =

FNiet =

FNiet = Fq = Fqx = Fqy =

Fq = Fqx = Fqy =

Fm = Fmx = Fmy =

Fm = Fmx = Fmy =

FNiet =

FNiet =

Fq = Fqx = Fqy =

Fq = Fqx = Fqy =

Fq = Fqx = Fqy =

Fm = Fmx =

Fm = Fmx =

Fm = Fmx =

Fmy =

Fmy =

Fmy =

FNiet =

FNiet =

FNiet =

A.3.5

Lagerschild Schaukel (V)

Die untenstehende Skizze zeigt die Befestigung eines Lagerschildes einer Schaukel am Grundgestell. Die Nietverbindung ist einschnittig.

3.7 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

309

Es kann vereinfachend angenommen werden, daß die eingeleitete Kraft konstant 1350 N beträgt. Die Richtung der Kraft variiert zwischen α = ±35°. Die Festigkeit der Nietverbindung soll dimensioniert werden. a) Welcher Winkel α ist kritisch für die Festigkeit der Nietverbindung? b) Berechnen Sie für diese kritische Winkelstellung die querkraft- und momentenbedingte Belastung für alle drei Nieten. Zerlegen Sie diese Kraft komponentenweise nach untenstehendem Schema. c) Welcher Niet ist festigkeitsmäßig am höchsten belastet und wie groß ist die auf ihn einwirkende Gesamtkraft? d) Die zulässige Schubspannung der Nieten beträgt τzul = 90 N/mm² und der zulässige Lochleibungsdruck plzul = 120 N/mm². Nietdurchmesser und Blechdicke sollen ungefähr gleichgroß sein. Wie groß muß dann der Durchmesser eines Niets mindestens sein? Fqx [N]

Niet links

Niet Mitte

Niet rechts

Fqy [N] Fmx [N] Fmy [N] FNiet [N] A.3.6

Kupplungsscheibe (V)

Die untenstehende Skizze zeigt schematisch eine Kupplungsscheibe, die mit insgesamt acht Nieten auf einem Wellenflansch befestigt ist. Über die Nietverbindung wird ein Torsionsmoment querkraftfrei übertragen.

Die rechte Detailskizze zeigt einen einzelnen Niet mit seiner Umgebungskonstruktion. Es kann eine maximale Schubspannung τzul = 60 N/mm² und ein Lochleibungsdruck plzul = 180 N/mm² zugelassen werden.

310

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

a) Mit welcher Kraft FNiet kann ein einzelner Niet dann belastet werden? b) Wie groß ist das insgesamt mit allen acht Nieten übertragbare Moment? A.3.7

Nietverbindung mit 12 Nieten (V)

Entsprechend untenstehender Skizze wird eine aus zwei Blechen bestehende Konsolenkonstruktion mit insgesamt 12 gleichen Nieten (∅25 mm) an zwei T-Trägern befestigt. Die Konsole wird durch eine Kraft F = 50 kN mittig belastet.

a) Ermitteln Sie die Kraft Fges für alle Nieten! Orientieren Sie sich bei der Dokumentation Ihrer Ergebnisse an untenstehendem Schema. Berechnen Sie zweckmäßigerweise zunächst die Anteile Fq und Fm. Zur Ermittlung der Gesamtkraft FNiet ist es zweckmäßig, die zuvor berechneten Werte in x- und y-Komponente zu zerlegen. Niet 1:

Niet 2:

Niet 3:

Niet 4:

Niet 5:

Niet 6:

Fqx [N] Fqy [N] Fmx [N] Fmy [N] FNiet [N] Fqx [N] Fqy [N] Fmx [N] Fmy [N] FNiet [N]

3.7 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

311

b) Ermitteln für den am höchsten belasteten Niet den Querkraftschub und den Lochleibungsdruck!

Stift A.3.8

Stift (B) Gegeben ist die nebenstehende Stiftverbindung mit folgenden Konstruktionsdaten: Durchmesser des Stiftes aus St50: 28 mm Einspannstelle aus GG: s = 36 mm Hebelarm der angreifenden Kraft: L = 52 mm Wie groß darf die Kraft F maximal werden, wenn sie quasistatisch aufgebracht wird. Berüchsichtigen Sie dabei alle Festigkeitsaspekte und füllen Sie zweckmäßigerweise das untenstehende Schema aus. Fmax [N]

aufgrund der Stiftbiegung aufgrund des Querkraftschubes im Stift aufgrund der Pressung an der Einspannstelle insgesamt übertragbar An der vorhandenen Konstruktion werden die unten aufgeführten Veränderungen vorgenommen. Überprüfen Sie, ob und wie sich dabei die übertragbare Kraft Fmax ändert. Fmax wird größer Stiftdurchmesser wird vergrößert Stiftwerkstoff St50 wird durch St70 ersetzt Einspannlänge s wird vergrößert Einspannwerkstoff wird aus St37 gefertigt

Fmax bleibt gleich

Fmax wird kleiner

312 A.3.9

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken Drehmomentenschlüssel (E)

Zur Drehmomentenmessung beim Anziehen von Schrauben wird eine Drehstabfeder nach untenstehender Darstellung eingesetzt: Der Drehmomentenschlüssel wird mit seinem unteren Ende auf die anzuziehende Schraube aufgesetzt. Das am oberen Ende quer eingesteckte Rohr dient als doppelseitiger Hebelarm, an dessen beiden Enden das Moment mittels Handkraft eingeleitet wird. Es kann angenommen werden, daß bei entsprechender Handhabung das Moment querkraftfrei eingebracht wird.

Drehstabfeder: Mit diesem Drehmomentenschlüssel soll ein maximales Anzugsmoment von 120 Nm aufgebracht werden können. Zur Sicherstellung einer ausreichenden Ablesegenauigkeit soll sich die Feder bei maximalem Anzugsmoment um 30° verdrehen. Es wird der Werkstoff 50CrV4 verwendet, der bei einem Schubmodul von G = 70.000 N/mm² eine maximale Schubspannung von 700 N/mm² zuläßt. Berechnen Sie • den Durchmesser der Drehstabfeder d • die (wirksame) Länge der Drehstabfeder Verbindungselement: Das Anzugsmoment wird durch ein am Kopf des Drehmomentenschlüssels quer eingestecktes Rohr eingeleitet. Es kann angenommen werden, daß sich das Schraubenanzugsmoment zu

3.7 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

313

gleichen Anteilen auf die beiden Hebelarme aufteilt. An der Verbindungsstelle hat das Rohr einen Außendurchmesser von 14 mm und steht auf einer axialen Länge von 22 mm mit der Umgebungskonstruktion in Verbindung. Wie groß ist die zwischen Rohr und Umgebungskonstruktion maximal wirksame Pressung?

Löten A.3.10 Verlötete Muffenverbindung (B) Zwei Rohre werden mit einer Muffe zusammengelötet, wobei ein Lot verwendet wird, welches mit τzul = 25 N/mm² belastet werden kann. Es kommen dafür zwei verschiedene Lötungen nach untenstehender Skizze in Frage:

Konstruktionsvariante I

Konstruktionsvariante II

Die Muffe liegt stirnseitig an und umschließt das Rohr an seiner Außenmantelfläche.

Das rotationssymmetrische Verbindungselement liegt stirnseitig und an der Innenmantelfläche des Rohres an.

a) Ermitteln Sie für beide Konstruktionsvarianten das übertragbare Torsionsmoment Mta, wenn die Rohre nur jeweils stirnseitig verlötet werden. b) Ermitteln Sie für beide Konstruktionsvarianten das übertragbare Torsionsmoment Mtb, wenn die Rohre nur jeweils an der Mantelfläche verlötet werden. c) Ermitteln Sie für beide Konstruktionsvarianten das übertragbare Torsionsmoment Mtc, wenn die Rohre sowohl stirnseitig als auch an der Mantelfläche verlötet werden.

314

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

A.3.11 Fahrradmuffe (V) Die untenstehende Skizze benennt die wesentlichen Bestandteile eines Fahrradrahmens. Bei der klassischen Konstruktion aus Stahl werden Oberrohr, Sitzrohr, Unterrohr und Steuerrohr mit Muffen untereinander verbunden: Die Muffe selbst ist ein Feingußteil, in das die Rahmenrohre hineingesteckt und verlötet werden. Die nebenstehende Zeichnung zeigt beispielhaft die Verbindung zwischen dem vorderen Ende des Oberrohrs und der benachbarten Muffe im Schnitt, in der Seitenansicht und in der Draufsicht.

Zur Vermeidung von Steifigkeitssprüngen werden die Muffen mit schlank auslaufenden Enden versehen. Treffen Sie eine vereinfachende, sinnvolle Annahme zur Formulierung der kraftübertragenden Lotfläche als Zylindermantelfläche. Bei der Verarbeitung mit Messinglot und wechselnder Belastung im „Wiegetritt“ kann eine Schubspannung von 15 N/mm² zugelassen werden. a) Welche maximale Zugkraft Fmax kann durch diese Lötverbindung übertragen werden? b) Welches maximale Torsionsmoment Mtmax kann durch diese Lötverbindung übertragen werden?

Kleben A.3.12 Aufgeklebte Lasche (E) Eine Blechlasche wird in der unten dargestellten Weise auf einen Grundträger aufgeklebt, wobei sich eine Klebefläche von 30 mm x 40 mm ergibt. Der Kleber hat eine Scherfestigkeit von 15 N/mm². Bei der folgenden Betrachtung werden ausschließlich Schubspannungen (Torsions- und Querkraftschub) berücksichtigt.

3.7 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

315

a) Wie groß kann die Kraft F werden, wenn sie unter dem Winkel α = 0° angreift? b) Wie groß kann die Kraft F werden, wenn sie unter dem Winkel α = 90° angreift? A.3.13 Zementieren einer Zahnkrone (V) In der Zahnmedizin werden ungesunden oder beschädigten Zähne sog. Kronen aufgesetzt: Die Reste des alten Zahnes werden spanend so bearbeitet, daß ein Kegelstumpf übrigbleibt, der im Rahmen dieser Betrachtungen durch einen Zylinder nach untenstehender Skizze angenähert werden kann:

Es sind folgende Daten gegeben: Zahnstumpfdurchmesser d = 11,83 mm Überlappungshöhe der Krone b = 2,13 mm Zementschichtdicke kT = kN = 0,15 mm Elastizitätsmodul des Zements E = 6000 N/mm² Schubmodul des Zements G = 2400 N/mm² Sowohl Zahnstumpf als auch Krone werden als unendlich starr gegenüber dem Zement angesehen.

316

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

Wird der Zahn zentrisch auf Druck belastet, so verteilt sich diese Druckkraft auf die Zementschicht an der Stirnfläche des Zahnstumpfes und auf die Zementschicht an der Mantelfläche des Zahnstumpfes. Diese Lastverteilung hängt von den Steifigkeiten der Zementschichten ab. Berechnen Sie deshalb zunächst die Steifigkeit der Zementschicht an der Stirnfläche cN und die Steifigkeit der Zementschicht an der Mantelfläche cT. Es wird angenommen, daß eine Prüfperson eine zentrische Belastung von Fges = 300 N auf den Zahn aufbringen kann. Wie teilt sich diese Gesamtkraft Fges in die an der Mantelfläche übertragene Kraft FT und die an der Stirnfläche übertragene Kraft FN auf? Wie groß ist dann die in der Zementschicht an der Stirnseite des Zahnstumpfes hervorgerufene Druckspannung σ und die in der Zementschicht an der Mantelfläche des Zahnstumpfes hervorgerufene Scherspannung τ?

Schweißen Statisch belastete Schweißnaht A.3.14 Rechteckrohr an Wand (B) Die unten dargestellte Hubvorrichtung besteht aus einem Rechteckrohr mit den dargestellten Abmessungen. Am freien Ende des Kragbalkens ist eine Seilrolle angebracht, mit der Lasten bis 64 kg angehoben werden können.

Die Schweißnaht ist in maximal möglicher Schweißnahtdicke auszuführen. Sowohl Grundwerkstoff als auch Schweißnaht bestehen aus St37 Normalgüte. a) b) c) d) e)

Wie groß ist die größtmögliche Schweißnahtdicke? Welche Spannungen treten in der Schweißnaht auf und wie groß sind diese? Wie groß ist die in der Schweißnaht auftretende Vergleichsspannung? Wie groß ist die Sicherheit? Wie groß darf die Last maximal werden, wenn die Sicherheit S = 2 gefordert wird?

A.3.15 Rohr an Wand (B) Die dargestellte Haltevorrichtung besteht aus einem Rohr, welches an einer Wand angeschweißt ist. Am anderen Ende des Rohres ist ein Hebel angeschweißt, der in der dargestellten Weise mit einer Kraft von 750 N quasistatisch belastet wird. Beide Schweißnähte werden

3.7 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

317

mit der maximal möglichen Schweißnahtdicke ausgeführt. Der Querkraftschub kann als vernachlässigbar gering eingestuft werden.

a) Welche der beiden Schweißnähte ist höher belastet? Geben Sie eine qualitative Begründung an, ohne Zahlenwerte zu berechnen! b) Berechnen Sie die Vergleichsspannung der höher belasteten Naht! c) Wie hoch wäre die Vergleichsspannung, wenn es gelänge, auch an der Innenseite des Rohres eine Schweißnaht anzubringen? A.3.16 Bestimmung der Schwerelinie (E) Der unten skizzierte T-Träger wird an einer senkrechten Wand festgeschweißt. Dabei wird eine überall gleich dicke, größtmögliche Schweißnahtdicke angebracht, die auf volle Millimeter zu runden ist. Die Schweißnaht erstreckt sich über den gesamten Profilumfang, in den Hohlkehlen ist allerdings eine 6 mm lange Aussparung vorzusehen. Berücksichtigen Sie an diesen Stellen die Auswirkungen der Endkrater.

a) Ermitteln Sie die Lage der Schwerelinie der Schweißnaht! b) Berechnen Sie das Widerstandsmoment der Schweißnaht! c) Wie groß darf die am Ende des Profils eingeleitete quasistatische Kraft F höchstens werden, wenn die Schweißnaht mit dem Werkstoff St52 als Kehlnaht ausgeführt ist? Die Belastung aufgrund von Querkraftschub kann in dieser Betrachtung vernachlässigt werden.

318

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

A.3.17 Schweißverbindung, Biegespannung durch Längskraftbelastung (V) Ein kurzes Profil U65 nach DIN 1026 wird nach untenstehender Zeichnung senkrecht auf eine Platte geschweißt. Diese Verbindungsstelle ist nicht von unten zugänglich und kann deshalb nur an den drei Außenkanten geschweißt werden, wobei die Schweißnaht mit überall gleichbleibender, größtmöglicher Dicke auszuführen ist. In das Profil wird eine Längskraft von 16 kN eingeleitet.

Sowohl die im Profil als auch die in der Schweißnaht auftretenden Spannungen sind zu bestimmen. Bedienen Sie sich zur Dokumentation der Ergebnisse des untenstehenden Schemas. Die Lage der Schwerelinien sind von der Unterkante des Profils zu zählen. Profil Längskraft Fax Querschnittsfläche A Zug-/Druckspannung σZD

[N]

Schweißnaht 16 000

[mm²] [N/mm²]

Abstand Unterkante Profil – Schwerelinie yP bzw. yN

[mm]

Abstand Schwerelinien Profil-Naht Δy

[mm]

Biegemoment Mb

[Nm]

Widerstandsmoment Wax

[mm³]

Biegespannung σb

[N/mm²]

Gesamtspannung σges

[N/mm²]

Dynamisch belastete Schweißnaht A.3.18 Unwuchtantrieb (E) Gegeben ist der weiter unten skizzierte Unwuchtantrieb: Ein Motor mit der Masse von 25 kg rotiert bei einer Drehzahl von 1500 min–1. Auf der Motorwelle befindet sich eine Unwuchtmasse von 0,5 kg, die um 15 mm exzentrisch angeordnet ist. Für den Kragarm ist ein Normprofil IPB 100 nach DIN 1025T2 vorgesehen. Es ist die Schweißnahtbefestigung des Profils auf der Grundplatte zu betrachten. Die Naht soll sowohl am Steg als auch an den Flanschen

3.7 Aufgaben: Verbindungselemente und Verbindungstechniken

319

mit jeweils größtmöglicher Länge ausgeführt werden, die Hohlkehlen sind jedoch um 12 mm auszusparen.

Der Träger kann als masselos angenommen werden, Querkrafteinflüsse sind zu vernachlässigen. Die Schweißnaht wird mit dem Werkstoff St37 als unbearbeitete Kehlnaht ausgeführt. Wie groß ist die Betriebssicherheit S dieser Schweißnahtverbindung? A.3.19 Schaltkupplung (E) Nebenstehend ist eine einfache Schaltkupplung skizziert: Ist die Kupplung eingekuppelt (oben), so wird unter Ausnutzung der Coulombschen Reibung mit der Axialkraft Fax = 52000N ein maximales Torsionsmoment Mtmax = 1520 Nm übertragen. Bei Wegnahme der Axialkraft wird die Reibung und damit der Momentenfluß aufgehoben, die Kupplung ist ausgekuppelt (unten). Während an der linken Kupplungsscheibe die Momentenübertragung über eine hier nicht näher dargestellt längsverschiebbare Welle-Nabe-Verbindung vollzogen wird, ist die rechte Kupplungsscheibe einfach in der dargestellten Weise auf der Welle festgeschweißt. Es ist davon auszugehen, daß die Kupplung keine Querkräfte aufzunehmen hat und im ungünstigsten Fall ständig ein- und ausgekuppelt wird. Auf beiden Seiten der Kupplungsscheibe wird eine Rundumnaht mit dem Werkstoff St 37 angebracht und es kann angenommen werden, daß beide Nähte gleichmäßig an der Lastübertragung beteiligt sind. Der Kerbfall kann mit „durchlaufendes Bauteil mit einem durchgesteckten, durch Kehlnähte verbundenen Bauteil, Schweißnähte nicht bearbeitet“ beschrieben werden. a) Zwischen welchen Werten schwanken die in der Schweißnaht wirkende Normalspannung σ und die Tangentialspannung τ? b) Berechnen Sie die obere Vergleichsspannung und ermitteln Sie den κ-Wert c) Wie groß ist die zulässige Spannung σzul und die Sicherheit S?

320

3 Verbindungselemente und Verbindungstechniken

A.3.20 Laufrolle Transportwagen (E) Gegeben ist die unten skizzierte Laufrolle eines Transportwagens, welche sich bei Änderung der Fahrtrichtung selbsttätig um eine senkrechte Achse dreht. Die Hülse dieser einfachen Bolzenlagerung ist am Gestell des Wagen festgeschweißt.

Es kann angenommen werden, daß auf das Rad eine zeitlich konstante Kraft von 24 kN wirkt. Es muß damit gerechnet werden, daß sich die Fahrrichtung ständig ändert und daß sich dabei der Lagerzapfen in der Buchse ständig dreht. Die Bauteile sind aus St 37 gefertigt. Es wird eine Kehlnaht angebracht, die anschließend nicht bearbeitet wird. Berechnen Sie die Festigkeit der Schweißnaht. Bedienen Sie sich bei der Dokumentierung der Ergebnisse des untenstehenden Schemas. a) Mit welchen Kräften und Momenten werden die Schweißnähte belastet und wie groß sind diese? b) Wie groß sind die daraus resultierenden statischen und dynamischen Spannungen? c) Wie groß ist der Dynamikfaktor κ und welche zulässigen Spannungen ergeben sich daraus? d) Welche Sicherheit liegt in der Schweißnaht vor? statisch

dynamisch

L [N] =

σZDstat [N/mm²] =

σZDdyn [N/mm²] =

Mb [Nm] =

σbstat [N/mm²] =

σbdyn [N/mm²] =

σgesstat [N/mm²] =

σgesdyn [N/mm²] = κ= σzul [N/mm²] = S=

321

4

4 Schrauben

Schrauben

Die Schraube ist eins der am häufigsten verwendeten Maschinenelemente. Eine erste grobe Einteilung erlaubt die folgende Klassifizierung: Schrauben ohne nennenswerte Betriebsbelastung Bei diesen Schrauben kommt es im wesentlichen auf die Geometrie der Schraube an: • Meßschrauben, Mikrometerschrauben • Einstellschrauben • Verschlußschrauben, Schraubdeckel, Ölablaßschrauben Befestigungsschrauben Diese Schrauben werden durch Kräfte und Momente belastet, werden aber nach der Montage nicht mehr bewegt: • Montageschrauben zum Verbinden und Befestigen • Spannschrauben (Maueranker, Schraubstöcke, Schraubzwingen) Bewegungsschrauben Diese Schrauben werden ebenfalls mechanisch beansprucht, werden aber auch nach der Montage bewegt und dienen damit als Getriebe: • Gewindespindeln (Hub- oder Vorschubspindeln) • Schraubenmechanismen zum Öffnen und Schließen von Ventilen und Schiebern • Drillbohrer, Kinderkreisel Ungeachtet der speziellen Verwendung können für praktisch alle Schrauben die beiden folgenden Aussagen getroffen werden: • Die Schraube setzt Drehbewegung in Längsbewegung um (oder seltener umgekehrt). • Die Schraube setzt Drehmoment in Längskraft um (oder seltener umgekehrt). Die Befestigungsschraube konzentriert sich vornehmlich auf den letztgenannten Gesichtspunkt. Eine exakte Abgrenzung von Befestigungsschraube und Bewegungsschraube läßt sich nicht immer eindeutig vornehmen. Die Schraube einer Spindelpresse dient zunächst zum Aufbringen hoher Kräfte. Da unter dieser hohen Kraft aber noch Bewegungen ausgeführt werden, zählt sie zu den Bewegungsschrauben. Die folgenden Betrachtungen gehen zunächst von der Geometrie der Schraube aus, die für Schrauben ohne nennenswerte Betriebsbelastung meist schon ausreicht. Die weiteren Dimensionierungsaspekte konzentrieren sich vor allen Dingen auf die Befestigungsschraube, die zusätzlichen Besonderheiten der Bewegungsschraube gehen noch darüber hinaus und werden im Abschnitt 4.7 ergänzt. Eine Bewegungsschraube ist ein Getriebe, welches eine

322

4 Schrauben

Hin- und Herbewegung ausführt. Wird die Mutter durch ein Schneckenrad ersetzt, so läßt sich das Schraubenprinzip auch zu einem gleichförmig übersetzenden Getriebe erweitern. Diese Betrachtung würde jedoch den Rahmen dieses Kapitels sprengen.

4.1

Geometrie der Schraube (B)

Bild 4.1 führt die dreidimensionale Geometrie der Schraube unter zulässiger Vereinfachung auf ein zweidimensionales Problem zurück: h

P

α 0

u

ϕ

∅d2

Bild 4.1: Schraubenlinie.

Die aus den Grundlagen der Statik bekannte schiefe Ebene (rechts) wird auf der Mantelfläche eines Zylinders aufgewickelt (links). Die in Schraubenachse gerichtete Koordinate h steht mit der am Umfang angetragenen Koordinate u über den Steigungswinkel ϕ in direktem Zusammenhang: tan ϕ =

h u

⇒

u=

h tan ϕ

Gl. 4.1

Dieser allgemeingültig formulierte Zusammenhang gilt auch für den speziellen Fall von genau einer Schraubenumdrehung: tan ϕ =

p d2 ⋅ π

Gl. 4.2

4.1 Geometrie der Schraube (B)

323

Dabei bedeutet p die Höhe eines Gewindeganges (auch „Gewindesteigung“ genannt). Die Umfangskoordinate u ihrerseits ergibt sich aus der Drehung des Zylinders um den Winkel α, der hier in Bogenmaß einzusetzen ist: u = α⋅

d2 2

Gl. 4.3

Durch Gleichsetzen der Gleichungen 4.1 und 4.3 wird der Zusammenhang zwischen Drehbewegung und Längsbewegung deutlich: h d = α⋅ 2 tan ϕ 2

⇒

h = α⋅

d2 ⋅ tan ϕ 2

Gl. 4.4

Damit die Schraube tatsächlich auch mechanisch beansprucht werden kann, darf der Kontakt zwischen Schraube und Mutter nicht nur auf einen Punkt der Schraubenlinie beschränkt bleiben, sondern es muß zur Kraftübertragung eine Fläche zur Verfügung gestellt werden: • Der Kontakt findet entlang eines gewissen Abschnittes der Schraubenlinie statt, nämlich dort, wo Schraube und Mutter miteinander in Verbindung stehen. • Der Kontakt zwischen Schraube und Mutter findet nicht nur auf dem sog. „Flankendurchmesser“ d2 statt, sondern erstreckt sich zwischen dem Nenndurchmesser d (außen) und dem Kerndurchmesser d3 (innen). Bei der Vielzahl der geometrischen Parameter ist eine Normung der Schraubenabmessungen im Sinne einer möglichst weitreichenden Austauschbarkeit dringend geboten. Die folgende Tabelle gibt die Schraubenabmessungen für das metrische ISO-Regelgewinde nach DIN 13 T 1 und das Trapezgewinde nach DIN 103 auszugsweise wieder.

Bild 4.2: Spitzgewinde nach DIN 13 T 1.

324

4 Schrauben

Gewindenenndurchmesser

Steigung

Flanken Stei-durch- gungsmesser winkel

Kerndurchmesser

Spannungsquerschnitt

polares KernWider- querstands- schnitt moment bei AS

Schlüsselweite

d

P

d2

ϕ

d3

AS

Wpol

A3

SW

[mm]

[mm]

[mm]

[°]

[mm]

[mm²]

[mm³]

[mm²]

[mm]

1,0

0,25

0,838

5,43

0,693

0,460

0,088

0,377

2,5

1,2

0,25

1,038

4,38

0,893

0,732

0,177

0,626

3

1,6

0,35

1,373

4,64

1,170

1,27

0,404

1,075

3,5

2,0

0,40

1,740

4,19

1,509

2,07

0,842

1,788

4

2,5

0,45

2,208

3,71

1,948

3,39

2,381

2,980

5

3,0

0,50

2,675

3,41

2,387

5,03

3,184

4,475

5,5

4,0

0,70

3,545

3,60

3,141

8,78

7,336

7,749

7

5,0

0,80

4,480

3,25

4,019

14,2

15,068

12,69

8

6,0

1,00

5,350

3,41

4,773

20,1

25,461

17,89

10

8,0

1,25

7,188

3,17

6,466

36,6

62,477

32,84

13

10

1,50

9,026

3,03

8,160

58,0

124,585 52,30

17

12

1,75

10,863

2,94

9,853

84,3

218,201 76,25

19

14

2,00

12,701

2,87

11,546

115

349,876 104,7

22

16

2,00

14,701

2,48

13,546

157

553,168 144,1

24

20

2,50

18,367

2,48

16,933

245

1079,60 225,2

30

24

3,00

22,051

2,48

20,319

353

1866,87 324,3

36

30

3,50

27,727

2,30

25,706

561

3744,28 519,0

46

36

4,00

33,402

2,19

31,093

817

6584,42 759,3

55

42

4,50

39,077

2,10

36,479

1121

10586,4 1045

65

48

5,00

44,752

2,04

41,866

1473

15950,1 1377

75

56

5,50

52,428

1,91

49,252

2030

25801,6 1905

85

64

6,00

60,103

1,82

56,639

2676

39050,0 2520

95

4.1 Geometrie der Schraube (B)

325

Bild 4.3: Trapezgewinde nach DIN 103.

Gewindebezeichnung

Flankendurchmesser

Steigungswinkel eingängig

Kerndurch- Kernmesser querschnitt Bolzen Bolzen

polares Widerstandsmoment Bolzen bei A3

d × P [mm]

d2 [mm]

ϕ [°]

d3 [mm]

A3 [mm²]

Wpol [mm³]

Tr 10 × 2

9,0

4,046

7,5

44,2

82,8

Tr 12 × 3

10,5

5,197

8,5

56,7

120,5

Tr 16 × 4

14,0

5,197

11,5

103,9

298,6

Tr 20 × 4

18,0

4,046

15,5

188,7

731,1

Tr 24 × 5

21,5

4,234

18,5

268,8

1243,2

Tr 28 × 5

25,5

3,571

22,5

397,6

2236,5

Tr 32 × 6

29,0

3,768

25,0

490,9

3067,9

Tr 36 × 3

34,5

1,585

32,5

973,1

6740,3

Tr 36 × 6

33,0

3,312

29,0

660,6

4788,7

Tr 36 × 10

31,0

5,863

25,0

490,9

3067,9

Tr 40 × 7

36,5

3,493

32,0

804,2

6433,9

Tr 44 × 7

40,5

3,149

36,0

1017,9

9160,8

Tr 48 × 8

44,0

3,312

39,0

1194,6

11647

Tr 52 × 8

48,0

3,037

43,0

1452,2

15611

Tr 60 × 9

55,5

2,955

50,0

1963,5

24543

Tr 70 × 10

65,0

2,804

59,0

2733,9

40326

Tr 80 × 10

75,0

2,430

69,0

3739,2

64502

Tr 90 × 12

84,0

2,604

77,0

4656,6

89640

Tr 100 × 12

94,0

2,327

87,0

5944,6

129296

Tr 140 × 14

133,0

1,919

124,0

12076

374364

326

4 Schrauben

Der oben erwähnte Flankendurchmesser d2 ist an der Schraube konstruktiv gar nicht vorhanden, sondern er wird nur formuliert, um auf diesem „mittleren Durchmesser“ die Bewegungsverhältnisse besonders einfach darstellen zu können und Kräftewirkungen darauf beziehen zu können (s.u.). Tatsächlich ergibt er sich als arithmetischer Mittelwert zwischen d3 und d: d2 =

d3 + d 2

4.2

Kräfte und Momente beim Anziehen der Schraube (B)

4.2.1

Modellvorstellung reibungsfrei (B)

Gl. 4.5

Die Analogie zur schiefen Ebene macht eine Analyse der an der Schraube wirkenden Kräfte und Momente besonders anschaulich. In einer ersten modellhaften Betrachtung wird ein Schraubenbolzen mit einem „Rechteck“-Gewinde (β = 0°) angenommen, in dessen Nut eine ortsfeste, aber drehbar gelagerte Rolle eingreift. Durch diese Modellvorstellung reduzieren sich alle an der Schraube wirkenden Kräfte auf den Kontaktpunkt zwischen Rolle und Bolzengewinde, der zur Drehachse der Schraube den Abstand d2/2 aufweist. Durch diese Modellvorstellung werden Reibeinflüsse zunächst ausgeschlossen. Im folgenden Schema werden die Kräfte so betrachtet, wie sie auf die Schraube wirken.

Bild 4.4: Kräfte und Momente im reibungsfreien Rechteckgewinde.

4.2 Kräfte und Momente beim Anziehen der Schraube (B)

327

Das in die Schraube eingeleitete Moment M macht sich zunächst an der Rolle als Umfangskraft Fu bemerkbar: M = Fu ⋅

d2 2⋅M ⇒ Fu = 2 d2

Gl. 4.6

An der Kontaktstelle zwischen Rolle und Gewindegang kann eine Kraft nur als Normalkraft FN übertragen werden. Die Umfangskraft Fu ist also nur eine Komponente der dort wirkenden Kräfte. Weiterhin wirkt die Schraubenlängskraft Fax. Beide Komponenten ergeben in ihrer Vektorsumme die Normalkraft FN. Der aus der Geometriebetrachtung gewonnene Gewindesteigungswinkel ϕ tritt auch in diesem Krafteck auf: tan ϕ =

Fu ⇒ Fu = Fax ⋅ tan ϕ Fax

Gl. 4.7

Durch Gleichsetzen der Gleichungen 4.6 und 4.7 gewinnt man für diesen Modellfall (rechteckförmiger Gewindegang, reibungsfreie Kraftübertragung) einen direkten Zusammenhang zwischen Axialkraft und Moment: M = Fax ⋅ tan ϕ ⋅

4.2.2

d2 2

Gl. 4.8

Gewindereibung (B)

Entgegen der obigen Modellvorstellung wird jedoch am Gewinde einer realen Schraube Reibung wirksam, die in diese Überlegung mit einbezogen werden muß. Ähnlich wie bei der Mutt

Mutter

Schraube

ϕ

Mutter

Mutter

Schraube

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ

ϕ+

ϕ−

Fax

Fax

Fu anz = Fax ⋅ tan (ϕ + ρ) für Anziehen der Schraube

Fax

Fu

Fu anz

reibungsbehaftet „Bergauffahrt“

Fu lös

reibungsfrei Fu = Fax ⋅ tan ϕ

reibungsbehaftet „Bergabfahrt“ Fu lös = Fax ⋅ tan (ϕ – ρ) für Lösen der Schraube

Anzugsmoment: M anz = Fax ⋅

d2 ⋅ tan ( ϕ + ρ ) 2

Gl. 4.9

Schraube

ϕ

Lösemoment: M = Fax ⋅

d2 ⋅ tan ϕ 2

Gl. 4.8

Bild 4.5: Kräfte und Momente am reibungsbehafteten Rechteckgewinde.

M lös = Fax ⋅

d2 ⋅ tan ( ϕ − ρ ) 2

Gl. 4.10

328

4 Schrauben

Betrachtung der Ringfeder wird dieser Reibeinfluß durch den Reibwinkel ρ = arctan µ berücksichtigt. Auch bei der Schraube ergibt sich ein Zusammenwirken von „schiefer Ebene“ und Reibeinfluß, was sich an der schematischen Gegenüberstellung in Bild 4.5 übersichtlich diskutieren läßt. Als Ausgangspunkt dient der in der Mitte skizzierte reibungsfreie Fall. Dabei werden die Kräfte so angetragen, wie sie auf die Mutter wirken. In den reibungsbehafteten Fällen wirkt die Kraftresultierende nicht auf der Flächennormalen, sondern ist ihr gegenüber um den Reibwinkel ρ geneigt. Der Reibwinkel ρ wird von dieser Normalen aus in die Richtung aufgetragen, die der Schraubenbewegung entgegengesetzt gerichtet ist (s. auch Ringfeder, Bild 2.45). Für die Kräftewirkung vergrößert sich beim Anziehen der Schraube der Steigungswinkel der schiefen Ebene um ρ („Bergauffahrt“), beim Lösen der Schraube verkleinert er sich um ρ („Bergabfahrt“). Diese Verkleinerung muß zumindest bei Befestigungsschrauben dazu führen, daß die „Bergabfahrt“ nicht selbsttätig in Gang kommt, sondern nur durch eine talwärts gerichtete Umfangskraft eingeleitet werden kann, schließlich soll sich die Schraube nicht unbeabsichtigt lösen. Entsprechend verhalten sich die Umfangskräfte Fu: Beim Anziehen (Bergauffahrt) wird Fuanz entsprechend größer (Gegenkathete zu ϕ + ρ), beim Lösen (Bergabfahrt) wird Fulös entsprechend kleiner und nimmt einen negativen Wert an (Gegenkathete zu ϕ – ρ). Diese Erweiterung muß auch bei der Formulierung des Moments einbezogen werden. Die Reibzahl µ, aus der der Reibwinkel ρ = arctan µ ermittelt wird, ist vom Werkstoff, von der Werkstoffoberfläche, von der Gewindefertigung und vom Schmierungszustand abhängig. Die VDI-Richtlinien VDI 2230 (s. untenstehende Tabelle) geben einen tabellarischen Überblick. In diesem Zusammenhang interessiert zunächst nur die obere Tabellenhälfte (Gewindereibung), die zweite Tabellenhälfte (Kopfreibung) wird weiter unten noch aufgegriffen werden.

4.2 Kräfte und Momente beim Anziehen der Schraube (B) Zahlenwerte für Gewindereibung (oben) und Kopfreibung (unten) nach VDI 2230.

329

330

4 Schrauben

Der Reibwinkel ρ kann mit diesem Zahlenwert jedoch nur für das eingangs angenommene Rechteckgewinde angesetzt werden. Wie Bild 4.6 zeigtt, läßt sich das Kräftegleichgewicht in Axialrichtung modellhaft dadurch verdeutlichen, daß für die Reaktion auf jeder Seite eine Reaktionskraft Fax / 2 angesetzt wird.

Bild 4.6: Reibzahl µ′.

Ist die pressungsübertragende Fläche der Gewindeflanken um den Winkel β/2 (Bildmitte) aus der Radialebene herausgeschwenkt, so ändert sich die Reibwirkung: Die als Normalkraft an den Gewindeflanken wirksamen Kräfte sind ebenfalls um den Winkel β/2 herausgenommen. An dem dabei entstehenden Krafteck (rechtes Bilddrittel) läßt sich formulieren: cos

β Fax = 2 Fax′

⇒

Fax′ =

Fax β cos 2

Die reibungverursachende Normalkraft auf die Gewindeflanken Fax wird also um den Faktor 1 / cos (β/2) vergrößert. Den gleichen Sachverhalt kann man dadurch zum Ausdruck bringen, daß der Reibwert µ in gleicher Weise zum effektiven Reibwert µ′ vergrößert wird: µ′ =

µ cos

β 2

⇒

ρ′ = arctan µ′ = arctan

µ cos

β 2

Gl. 4.11

Wird in den Gleichungen 4.9 und 4.10 anstelle des Reibwinkels ρ der Winkel ρ′ eingeführt, so ergibt sich das im Gewinde wirksame Moment MGew zu: d2 ⋅ tan ( ϕ + ρ′ ) 2 d = Fax ⋅ 2 ⋅ tan ( ϕ − ρ′ ) 2

M Gewanz = Fax ⋅

Gl. 4.12

M Gewlös

Gl. 4.13

4.2 Kräfte und Momente beim Anziehen der Schraube (B)

4.2.3

331

Kopfreibung (B)

Der Schraubenkopf oder die Mutter wird gegen Ende des Anziehvorganges und zu Beginn des Lösevorganges mit der Kraft Fax gegen die Unterlage gedrückt, wobei ein weiteres Reibmoment MKA überwunden werden muß.

Bild 4.7: Kopfreibung.

Auf der Kreisringfläche (di innen, da außen) kommt es zu einer Flächenpressung, die hier auf eine Kraftwirkung am wirksamen Radius rK reduziert werden kann. Das dadurch entstehende Reibmoment kann formuliert werden als MKA = µK ⋅ Fax ⋅ rK

mit

rK ≈

da + di 4

Gl. 4.14

Der konstruktiv nicht vorhandene Hebelarm rK errechnet sich als Mittelwert von einem inneren Radius ri und einem äußeren Radius ra. Bei Normschrauben mit metrischem Gewinde ist da = sw (Schlüsselweite). Das gesamte Schraubenanzugsmoment ergibt sich also zu Mges = MGew + MKA M ges = Fax ⋅

d2 ⋅ tan ( ϕ ± ρ′ ) + Fax ⋅ µ K ⋅ rK 2

d  M ges = Fax ⋅  2 ⋅ tan ( ϕ ± ρ′ ) + µ K ⋅ rK  2  

Gl. 4.15 Gl. 4.16 Gl. 4.17

Für die Berechnung von Schraubverbindung empfiehlt sich meist Gl. 4.16. Sie ist zwar etwas umständlicher, differenziert aber genau nach dem „Gewindeanteil“ MGew, der den Schraubenschaft tatsächlich mechanisch belastet und deshalb bei der Festigkeitsberechnung (s.u.) angesetzt werden muß. Das Kopfreibungsmoment MKA muß zwar auch mit dem Schraubschlüssel beim Anziehen der Schraube aufgebracht werden, belastet aber den Schraubenschaft nicht, da es bereits abgeleitet wird, bevor es den Schraubenschaft überhaupt erst erreicht.

332

4.2.4

4 Schrauben

Selbsthemmung (B)

Eine Befestigungsschraube soll sich nicht von alleine lösen können. Diese Bedingung ist in jedem Fall dann erfüllt, wenn das Gewindemoment zum Lösen der Schraubverbindung in umgekehrter Richtung aufgebracht werden muß, das mit Gl. 4.13 formulierte Moment also negativ ist. M Gewlös = Fax ⋅

d2 ⋅ tan ( ϕ − ρ ') ≤ 0 2

Gl. 4.18

Daraus folgt aber unmittelbar die Forderung, daß der Steigungswinkel des Gewindeganges ϕ kleiner sein muß als der Reibwinkel ρ bzw. ρ′: ϕ 0,044 ist. Dieser Reibwert ist nach der obigen Tabelle für alle denkbaren Schmierzustände und Oberflächenbeschaffenheiten normgerechter Befestigungsschrauben gegeben. In kritischen Fällen ist das Gesamtmoment nach Gl. 4.17 in Ansatz zu bringen, da natürlich auch die Kopfreibung die Schraube am Lösen hindert: d  M geslös = Fax ⋅  2 ⋅ tan ( ϕ − ρ′ ) − µ K ⋅ rK  ≤ 0 2  d2 ⋅ tan ( ϕ − ρ′ ) ≤ µ K ⋅ rK 2 ϕ ≤ arctan

2 ⋅µ K ⋅ rK + ρ′ d2

Gl. 4.20

Bei normalen Konstruktions- und Schmierungsbedingungen sind das Gewindemoment MGew und das Kopfreibungsmoment MKA etwa von gleicher Größenordnung. Zur anschaulichen Betrachtung dieses Sachverhaltes wird eine Schraube nach untenstehender Skizze mit einer Zwischenlage fest verschraubt.

wenn die Verbindung im Gewinde rutscht, dann ist MKA > MGew wenn die Verbindung an der Kopfauflage rutscht, dann ist MKA < MGew Bild 4.8: Vergleich Gewindemoment – Kopfreibungsmoment.

4.3 Festigkeitsnachweis von Schraubverbindungen (B)

333

Soll diese bereits montierte Schraubverbindung noch fester angezogen oder gelöst werden, ohne das jeweils andere Ende der Schraubverbindung getrennt festzuhalten, so können die folgenden Fälle unterschieden werden: wenn sich beim weiteren Anziehen ...

wenn sich in der Anfangsphase des Lösevorganges ...

⇒ MGew > MKA ... das gegenüberliegende Teil mitdreht, dann

... das gegenüberliegende Teil nicht mitdreht, dann

⇒

⇒

d2 ⋅ tan ( ϕ + ρ′ ) ≥ µ K ⋅ rK 2

⇒ MGew > MKA ⇒

d2 ⋅ tan ( ϕ − ρ′ ) ≥ µ K ⋅ rK 2

Gl. 4.21

Gl. 4.22

⇒ MGew < MKA

⇒ MGew < MKA

d2 ⋅ tan ( ϕ + ρ′ ) ≤ µ K ⋅ rK 2

Gl. 4.23

⇒

d2 ⋅ tan ( ϕ − ρ′ ) ≤ µ K ⋅ rK 2

Gl. 4.24

Durch diesen simplen Versuch ohne jede Messung gewinnt man zwei Aussagen, die dabei helfen können, den Zahlenwert des Kopfreibungsmomentes in grober Näherung zu ermitteln. Dies ist besonders dann sehr hilfreich, wenn die Einzelfaktoren des Kopfreibungsmoments rK und µK nur schlecht einzugrenzen sind.

4.3

Festigkeitsnachweis von Schraubverbindungen (B)

Die Festigkeitsberechnung einer Schraube ergibt sich aus den Betrachtungen der Kapitel 0 und 1: Die auf Grund der Belastungen vorliegenden tatsächlichen Spannungen werden berechnet und den werkstoffkundlich zulässigen Spannungen gegenübergestellt.

4.3.1

Tatsächliche Spannungen (B)

Die Belastung einer jeden Schraube ist in den allermeisten Fällen mehrachsig: • Die Schraubenlängskraft belastet die Schraube mit einer Zugspannung. • Das Moment belastet die Schraube mit Torsionsschubspannung. Abgesehen von Ausnahmefällen muß also stets eine Vergleichsspannung σV gebildet werden. Darüber hinausgehende Belastungen, insbesondere Querkraftschub und Biegung, sollen durch konstruktive Maßnahmen ausgeschlossen werden (s.u.).

334

4 Schrauben

Fax

σz

Im Falle einer nicht vorgespannten Bewegungsschraube läßt sich häufig eine direkte Proportionalität zwischen Schraubenmoment (Torsionsschub) und Schraubenlängskraft (Zug-/Druckspannung) herstellen. Im allgemeinen Fall ist das in die Schraube eingeleitete Moment nicht konstant, sondern weist einen dynamischen Anteil auf. Gegebenenfalls sind hier noch weitere Unterscheidungen notwendig, die sich aber nicht verallgemeinern lassen.

FS dyn FS stat t

MGew

τt Mdyn Mstat

t

Bild 4.9: Belastungsverlauf Bewegungsschraube.

Bei Befestigungsschrauben stellt sich dieser Sachverhalt komplexer dar: Fax

Fax σz

Fv

σz

Fax σz

Fv

FS stat

t

t

t

MGew

MGew

M Gew M Gew

τt

τt

τt

t

Beim Anziehen der Schraube wird durch die axial gerichtete Vorspannkraft FV eine Normalspannung σZ und durch das dazu erforderliche Torsionsmoment MGew ein Torsionsschub τt aufgebracht. Beide Lastanteile können als quasistatisch angesehen werden. Selbst wenn die Schraube mit einem Schlagschrauber (also dynamisch) angezogen wird, ist diese Belastung einmalig und beeinträchtigt deshalb die Dauerfestigkeit nicht.

t

Wirkt die nach dem Anziehen der Schraube eingeleitete Betriebskraft quer zur Schraubenachse, so muß diese Betriebskraft durch Reibung an der Trennfuge aufgenommen werden. Dabei bleibt sowohl der durch die Vorspannung hervorgerufene Lastzustand als auch der Torsionsschub in der Schraube gegenüber dem Vorspannungszustand unverändert. Weitere Erläuterungen s. Abschn. 4.5.1.

Bild 4.10: Belastungsverlauf Befestigungsschraube.

FS dyn

t

Wirkt hingegen die Betriebskraft längs zur Schraubenachse, so überlagert sich die Schraubenbetriebskraft der durch die Vorspannung aufgebrachten Vorspannkraft FV, wobei es i.a. zu einer zeitlich nicht konstanten Schraubenlängskraft kommt. In diesem Fall wird nach statischer Schraubenkraft FSstat und dynamischer Schraubenkraft FSdyn unterschieden. Der in der Schraube vorliegende Torsionsschub ändert sich aber gegenüber dem Vorspannungszustand nicht. Weitere Erläuterungen s. Abschn. 4.5.2.

4.3 Festigkeitsnachweis von Schraubverbindungen (B)

335

In jedem Fall muß bei der Festigkeitsberechnung geklärt werden, welcher Schraubendurchmesser für die Berechnung der Spannung maßgebend ist. Durch die Konstruktionsdaten des Gewindes ist der Nenndurchmesser d und der Kerndurchmesser d3 gegeben. A–A

A-Bruch

B-Bruch

B–B

A3

As

A

d3

d3

B

d2

d

d

mit Freidrehung

ohne Freidrehung

Wird bei der Herstellung der Schraube ein Freistich bis zum Gewindegrund vorgesehen, so ist der Kerndurchmesser d3 für die Festigkeitsberechnung maßgebend:

Fehlt jedoch dieser Freistich (z.B. beim „Rollen“ der Gewindegänge, wie es bei der Massenfertigung von Befestigungsschrauben üblich ist), so entsteht als Bruchfläche der hier skizzierte „Spannungsquerschnitt“ AS, der etwas mehr Flächeninhalt zu bieten hat als die Kernfläche A3. A = AS

A = A3 A=

π ⋅ d3 ² 4

AS ≈

Gl. 4.25

1 π 1 π d +d ⋅ ⋅ d3 ² + ⋅  3  2 4 2 4 2 

AS = AS =

Wpol =

π ⋅ d3 ³ 16

Gl. 4.27

2

1 π 1 π ⋅ ⋅ d3 ² + ⋅ ⋅ d2 ² 2 4 2 4

d + d3 π ⋅ d S ² mit d S = 2 4 2

Gl. 4.26

π ⋅ dS ³ 16

Gl. 4.28

Wpol =

Bild 4.11: Spannungsdurchmesser der Schraube.

Dadurch gewinnt man formal den Spannungsdurchmesser dS, der so wie der Flankendurchmesser konstruktiv nicht vorhanden ist. Der Spannungsdurchmesser dS und der Spannungsquerschnitt AS werden häufig auch in den Normtabellen (z.B. in Zusammenhang mit den Bildern 4.3 und 4.4) aufgeführt. Aus diesem Spannungsdurchmesser ergibt sich auch das für die Berechnung der Torsionsspannung maßgebliche polare Widerstandsmoment Wpol.

336

4.3.2

4 Schrauben

Zulässige Spannungen (B)

Das folgende Bild zeigt beispielhaft das Dauerfestigkeitsschaubild für die häufig verwendeten schlußvergüteten und gerollten Schrauben:

Bild 4.12: Dauerfestigkeitsschaubild für schlußvergütete Schrauben mit geschnittenem Gewinde, gepaart mit normalen Druckmuttern.

Bild 4.13: Dauerfestigkeitsschaubild für Schrauben, deren Gewinde durch Rollen nach dem Vergüten hergestellt ist, gepaart mit normalen Druckmuttern.

Wegen der Gewindekerbe sind Schrauben besonders dynamikempfindlich, wobei die zulässige Ausschlagsspannung σA je nach Fertigungsverfahren nahezu unabhängig von der statischen Belastung ist. Aus diesem Grunde vereinfacht sich der i.a. Fall zweidimensionale Festigkeitsnachweis mit Hilfe des Dauerfestigkeitsschaubildes für Schrauben auf getrennte Festigkeitsnachweise für statische und dynamische Belastung. • Statisch zulässige Spannung: Der Wert für σp0,2 wird durch die sog. Festigkeitsklasse oder Schraubengüte ausgedrückt. Die Kennzeichnung „Schraubengüte 12.9“ beispielsweise besagt, daß die Schraube bis an eine Obergrenze von 1200 N/mm² ⋅ 0,9 = 1080 N/mm² belastet werden darf. Die Schraubengüte 10.9 darf demnach bis 900 N/mm² belastet werden, die Schraubengüte 8.8. bis 640 N/mm² usw. Üblich sind die Festigkeitsklassen 3.6, 4.6, 4.8, 5.6, 5.8, 6.8, 8.8, 9.8, 10.9 und 12.9. • Dynamisch zulässige Spannung: Beim Wert für die dynamisch zulässige Spannung σA muß wegen der fertigungstechnisch bedingten Kerbempfindlichkeit nach dem Herstellungsverfahren unterschieden werden: Schlußvergütete Gewinde werden geschnitten und sind deshalb besonders kerbempfindlich. Bei gerollten Gewinden bleibt die Werkstofffaser weitgehend erhalten, so daß die Schraube höher belastet werden kann. Bei der Verwendung anderer Schrauben müssen entsprechende Werkstoffkenndaten herangezogen werden.

4.3 Festigkeitsnachweis von Schraubverbindungen (B)

4.3.3

337

Sicherheitsnachweis (B)

Der Sicherheitsnachweis einer Schraube vollzieht sich also getrennt nach statischem und dynamischem Anteil. Er läßt sich für eine Befestigungsschraube ohne Gewindefreistich durch folgendes Schema wiedergeben:

Belastung Zugkraft Belastung Gewindemoment

statisch

dynamisch

FSstat d M Gew = FSstat ⋅ 2 ⋅ tan ( ϕ + ρ ') 2 Anzugsmoment ohne Kopfreibung

FSdyn

Zugspannung

σ Zstat =

Torsionsspannung

τt =

FSstat AS

– σ Zdyn =

M Gew Wpol

FSdyn AS

–

Vergleichsspannung

σVstat = σ Zstat ² + 3 ⋅ τ t ²

–

Festigkeitsnachweis

σVstat ≤ σ0,2 ? oder σ Sstat = 0, 2 ≥ 1 ? σ Vstat

σZdyn ≤ σA ? oder σ Sdyn = A ≥ 1 ? σ tZdyn

Die Werte für FSstat und FSdyn werden so ermittelt, wie es weiter unten anhand des Verspannungsschaubildes hergeleitet wird. Das den Gewindeschaft belastende Moment MGew ist das Anzugsmoment Mges abzüglich des Kopfreibungsmomentes MKA. Ein dynamisches Torsionsmoment ist bei Befestigungsschrauben in aller Regel nicht vorhanden, tritt aber möglicherweise bei Bewegungsschrauben auf (s.o).

4.3.4

Flächenpressung im Gewinde (E)

Die von der Schraube aufzunehmende Axialkraft belastet nicht nur den Schraubenschaft, sondern muß auch als Flächenpressung an den Flanken des Gewindes übertragen werden. Bei deren genauerer Analyse ergeben sich einige systembedingte Unterschiede zwischen dem Anwendungsfall als Befestigungs- und dem als Bewegungsschraube.

4.3.4.1

Flächenpressung Bewegungsschraube (E)

Bei Bewegungsschrauben kann häufig davon ausgegangen werden, daß sich die zu übertragende Kraft etwa gleichmäßig auf der gesamten Kontaktfläche zwischen Schraube und Mutter als Flächenpressung verteilt, was zu folgendem Ansatz führt: pGew =

Fax

m π ⋅ d2 ⋅ H ⋅ P

≤ p zul

Gl. 4.29

338

4 Schrauben

Dabei bezeichnet H die radiale Erstreckung des Kontaktes zwischen Gewindebolzen und Mutter (Tragtiefe), m steht für die Mutternhöhe und P für die Höhe des Gewindegangs („Gewindesteigung“). Der Quotient m/P gibt also die Gesamtzahl der Gewindegänge der Mutter wieder. Mit H ≈ P / 2 als „Tragtiefe“ für ein normgerechtes Trapezgewinde ergibt sich: pGew =

2 ⋅ Fax ≤ p zul π ⋅ d2 ⋅ m

Gl. 4.30

Die folgende Tabelle gibt Richtwerte für einige typische Materialpaarungen an: Spindel

Mutter

pzul [N/mm²]

Stahl

Bronze

5 – 10

Stahl

Grauguß

2–7

Stahl

Stahl

7,5 – 10

Die Materialpaarung Stahl/Stahl wird bei Bewegungsschrauben wegen der Freßgefahr jedoch nur selten verwendet.

4.3.4.2

Flächenpressung Befestigungsschraube (E)

Für Befestigungsschrauben können wesentlich höhere Flächenpressungen zugelassen werden, weil Fressen in gewissen Grenzen zugelassen werden kann, ohne daß dabei die Funktionsfähigkeit der Schraube beeinträchtigt wird. Die damit verbundenen teilweise plastischen Deformationen im Bereich des Gewindes sind ungleichmäßig und nicht ohne weiteres zu erfassen. Die folgende Modellvorstellung soll diesen Sachverhalt verdeutlichen:

Bild 4.14: Ungleichmäßige Lastverteilung auf die Gewindegänge.

4.3 Festigkeitsnachweis von Schraubverbindungen (B)

339

Der Gewindebolzen ist bezüglich seiner Verformbarkeit eine Zugfeder. Die ihn umgebende Mutter ist aufgrund ihrer Abmessungen eine deutlich härtere Druckfeder. Aus diesem Grund wird in der obigen Modellvorstellung die Mutter als unendlich steif angenommen, während zwischen den einzelnen Gewindegängen des Schraubenschaftes formal die Steifigkeiten c eingeführt werden. Für die Längskraftbelastung der Schraubenverbindung ergeben sich daraus folgende Konsequenzen: • Wird die Schraube von unten mit einer Zugkraft FZ belastet, so werden diese formalen Steifigkeiten gedehnt. Aus diesem Grunde weichen nach oben hin die Gewindegänge der Belastung aus. Dadurch müssen die unteren Gewindegänge anteilig mehr Last übernehmen, während oben die anteilige Last geringer wird. • Wird die Schraube hingegen von oben mit einer Druckkraft FD belastet, so werden die formalen Steifigkeiten gestaucht. In diesem Fall kommt es oben zu einer Lastüberhöhung, während unten eine Entlastung stattfindet. Versucht man, diesen Zusammenhang zahlenmäßig zu erfassen, so ergibt sich beispielhaft folgendes Bild:

Bild 4.15: Flächenpressungsverteilung Normmutter (aus Schraubenvademecum 1991).

Bild 4.16: Flächenpressungsverteilung Zugmutter (aus Schraubenvademecum 1991).

Im in Bild 4.15 dargestellten Fall wird beispielhaft etwa ein Drittel der Gesamtbelastung im ersten Gewindegang übertragen (durchgezogene Linie). Bei hoher Zugbelastung kommt es im ersten Gewindegang zu Fließvorgängen, wodurch sich die Lastverteilung dann zwangsläufig wieder ausgleichen muß (gestrichelte Linie). Um dennoch eine etwas gleichmäßigere Lastverteilung zu erzielen, kann in kritischen Fällen eine sog. Zugmutter eingesetzt werden (Bild 4.16), die den Kraftfluß gezielt auf die hinteren Gewindegänge leitet (durchgezogene Linie). Auch hier tritt bei hohem Lastniveau eine Vergleichmäßigung der Lastverteilung durch Fließvorgänge ein (gestrichelte Linie).

340

4 Schrauben

Das folgende Bild zeigt einige weitere Konstruktionsvarianten, die eine Vergleichmäßigung der Lastverteilung anstreben:

Bild 4.17: Mutternbauformen zum Ausgleich der Pressung im Gewinde. a) Muttergewinde steigt geringfügig stärker als Bolzengewinde, b) Zurücksetzen der ersten Gewindegänge des Mutterngewindes, c) Zugmutter im Schraubloch versenkt, c)Vorstehende Zugmutter

Wird die Schraube in eine Zwischenlage mit geringer Festigkeit eingeschraubt (z.B. Guß, Aluminium oder sogar Holz) oder ist wegen häufiger Einschraub- und Lösevorgänge eine Gewindebeschädigung zu befürchten, dann können auch sog. Einsatzbuchsen oder Gewindeeinsätze verwendet werden:

Bild 4.18: Einsatzbuchse „Ensat“.

4.4

Bild 4.19: Gewindeeinsatz „Heli Coil“.

Vorspannen von Schraubverbindungen (E)

Die durch das Anziehen der Schraube bedingte Vorspannung führt zu einer Belastung der Schraube, auch wenn noch keine Betriebskraft vorliegt. Befestigungsschrauben werden stets, Bewegungsschrauben werden manchmal vorgespannt.

4.4 Vorspannen von Schraubverbindungen (E)

4.4.1

341

Vorspannung und Verformung (E) Fv

As

Az

LK

LK

Fv

Fv Fv Die Schraube wird durch die beim Anziehen aufgebrachte Längskraft als elastischer Körper deformiert, sie verhält sich wie eine (sehr steife) Zugfeder. Wird die Schraube näherungsweise als zylindrischer Körper aufgefaßt, so läßt sich ihre Steifigkeit cS als Zugfeder formulieren:

cS = E S ⋅

AS LK

bzw. δS =

Gl. 4.31

1 LK = Gl. 4.33 cS E S ⋅ A S

Die Kraft, die aufgrund dieser Vorspannung die Schraube dehnt, wirkt aber gleichermaßen auf die Teile, die durch die Schraube verspannt werden („Zwischenlage“). Diese Zwischenlage verhält sich ebenfalls wie ein elastischer, sehr steifer Körper, der durch die Schraubenkraft gestaucht wird. Um eine erste Betrachtung zu erleichtern, wird diese Zwischenlage zunächst als einfache zylindrische Hülse angenommen, so daß sich deren Steifigkeit ebenfalls leicht berechnen läßt.

cZ = E Z ⋅

bzw.

AZ LK

δZ =

Gl. 4.32 1 LK = cZ E Z ⋅ A Z

Gl. 4.34

Bild 4.20: Steifigkeit von Schraube und Zwischenlage.

Ähnlich wie bei Federn kann das Verformungsverhalten auch durch die Angabe der „Nachgiebigkeit“ δ (Kehrwert der Steifigkeit) beschrieben werden. Bild 4.21 zeigt die vorgespannte Kombination Schraube – Zwischenlage links in der technischen Ausführung und rechts als modellhaften Ersatz. Die Schraubensteifigkeit wird dabei zur Federsteifigkeit cS, die Steifigkeit der Zwischenlage durch zwei parallelgeschaltete Federn mit den Steifigkeiten cZ/2 symbolisiert. Das Vorspannen der Schraube mit der Kraft FV wird durch Ziehen an der Feder mit der Schraubensteifigkeit cS versinnbildlicht, als Reaktion darauf verteilt sich die Vorspannkraft je zur Hälfte als FV/2 auf je eine Zwischenlagensteifigkeit cZ/2.

342

4 Schrauben Fv

Fv — 2

Fv — 2

Cz — 2

Cs

Fv — 2

Fv

Schraube mit Zwischenlage

Cz — 2

Fv — 2

Fv

Fv — 2

Cz — 2

Fv — 2

Cz — 2

Cs

Fv — 2

Fv — 2

Fv

Einsatzfedersteifigkeiten

Bild 4.21: Vorspannen von Schraube und Zwischenlage.

Das Zusammenspiel der an Schraube und Zwischenlage wirkenden Kräfte und Verformungen läßt sich mit Hilfe der Steifigkeitskennlinien beschreiben: F[N] Cs

Cz

Fv

F[N]

Fv

f [µm]

Federkennlinie der Schraube Bei einer Vorspannkraft FV wird die Schraube um den Betrag fSV gelängt.

f [µm]

fzv

Federkennlinie der Zwischenlage Bei der gleichen Vorspannkraft FV wird die Zwischenlage ebenfalls entlang ihrer Federkennlinie um fZV deformiert, aber da es sich hier um eine Stauchung handelt, wird diese Verformung in negativer Richtung aufgetragen.

Bild 4.22: Federkennlinie von Schraube und Zwischenlage.

4.4 Vorspannen von Schraubverbindungen (E)

343

Unter der Voraussetzung, daß für beide Diagramme die gleichen Maßstäbe für Kraft und Verformung verwendet werden, lassen sich diese beiden Steifigkeitskennlinien zu einem einzigen Schaubild (Bild 4.23) zusammenfügen, welches man „Verspannungsdiagramm“ nennt. F [N ]

Cz

Cs

Fv

fsv

fzv

f [µm]

fges v

Bild 4.23: Verspannungsdiagramm.

Die Verformung fgesV = fSV + fZV ist genau der Weg, der durch das Verdrehen der Schraube zwischen der ersten, festen Anlage der Kontaktflächen und dem endgültigen Montagezustand in das System eingeleitet werden muß. Dabei entspricht fgesV der Schraubenlängskoordinate h des Abschnittes „Geometrie der Schraube“ (s. Gl. 4.4). Damit läßt sich auch der Winkel α berechnen, um den Schraube und Mutter gegeneinander verdreht werden müssen, um den Vorspannweg fgesV zu verwirklichen: f gesV = α ⋅

α=

d2 ⋅ tan ϕ 2

f gesV

α in Bogenmaß!

d2 ⋅ tan ϕ 2

Gl. 4.35

Durch geometrische Betrachtungen im Verspannungsschaubild läßt sich nun auch eine Beziehung zwischen Vorspannweg fgesV und Vorspannkraft FV herstellen: cS =

FV f SV

⇒

f SV =

FV cS

Gl. 4.36

cZ =

FV f ZV

⇒

fSV =

FV cZ

Gl. 4.37

fgesV = fSV + fZV =

1 1 F FV FV + = FV ⋅  +  = V cS c Z  cS c Z  cges

Gl. 4.38

344

4 Schrauben

Die beiden Steifigkeiten cS und cZ sind in diesem Fall hintereinander geschaltet (vergleiche auch Bild 2.4): Die beiden Federwege werden addiert und die Kraft ist in beiden Federn gleich. Der zur Erzielung einer geforderten Vorspannkraft erforderliche Verdrehwinkel kann durch Einsetzen von Gl. 4.36 in Gl. 4.33 ermittelt werden: 1 1 + c cZ α= S ⋅ FV d2 tan ϕ 2

α in Bogenmaß!

Gl. 4.39

Durch eine Steigerung der Vorspannkraft von Fv auf Fv′ wird die zuvor um fSV gedehnte Schraube nunmehr auf fSV′ gelängt, während sich die Stauchung der Zwischenlage von fZV auf fZV′ erhöht. Dies kann im Diagramm durch eine Parallelverschiebung der Steifigkeitskennlinie der Zwischenlage dargestellt werden: F Cz Fv,

C

Cs

erhöhte Vorspannung Vorspannung

Fv

fsv,

fzv,

fsv

fzv

f, α

f ges v f ges, v

Bild 4.24: Verspannungsdiagramm, Variation der Vorspannkraft.

Bei dieser Vorspannungserhöhung muß die Schraube weiter angezogen werden: Der durch weiteres Drehen der Schraube eingebrachte Vorspannungsweg wird von fgesV auf fgesV′ erhöht. Aufgabe 4.1

4.4.2

Setzen der Schraube

Der Kraftfluß einer vorgespannten Schraubverbindung geht über mehrere Trennfugen hinweg. An diesen Trennfugen liegen nicht etwa geometrisch ideale, sondern technisch reale Oberflächen mit einer fertigungsbedingten Rauheit aufeinander. Das folgende Bild zeigt beispielhaft eine Schraubverbindung, die in diesem Fall vier Trennfugen (einschließlich der Trennfuge im Gewindegang) aufweist.

4.4 Vorspannen von Schraubverbindungen (E) FBL

345

Setzen

L

Setzen Setzen Setzen

FBL

Bild 4.25: Schraubverbindung mit 4 Trennfugen.

Diese Rauhigkeiten werden durch die an der Trennfuge wirkenden Kräfte teilweise plastisch um den Weg ΔfV verformt und eingeebnet, wodurch es zum „Setzen“ der Schraube kommt. Dadurch verringert sich der ursprünglich aufgebrachte Vorspannweg fV um den Setzbetrag ΔfV, was wiederum einen Verlust der ursprünglich aufgebrachten Vorspannkraft Fv um ΔFv zur Folge hat. Dieser Sachverhalt stellt sich im Verspannungsschaubild durch eine Parallelverschiebung der Steifigkeitskennlinien um ΔfV dar: F [N ]

Cz'

Cz

Cs ΔFv

Fv vor dem Setzen Fv nach dem Setzen

a b Δfv

Δfv

f [µm]

Bild 4.26: Vorspannungsverlust durch Setzen der Schraubverbindung.

Aus dem Verspannungsschaubild läßt sich ablesen: cS =

ΔFV a

⇒

a=

ΔFV cS

Gl. 4.40

und c Z =

ΔFV b

⇒

b=

ΔFV cZ

Gl. 4.41

ΔfV = a + b =

1 1 ΔFV ΔFV + = ΔFV ⋅  +  cS cZ  cS c Z 

Gl. 4.42

346

4 Schrauben

Durch Umstellen dieser Gleichung gewinnt man einen expliziten Zusammenhang zwischen dem Verlust an Vorspannweg und dem Verlust an Vorspannkraft: ΔFV =

Δf V 1 1 + cS c Z

Gl. 4.43

Der Setzbetrag einer Schraubverbindung hängt im wesentlichen von der Anzahl und von der Oberflächenbeschaffenheit der Trennfugen ab. Für Schrauben und Zwischenlagen aus Stahl läßt er sich nach der folgenden Tabelle abschätzen: Betriebsanspruchung

Setzbetrag im Gewinde

Setzbetrag bei feinbearbeiteter Oberfläche

Setzbetrag bei geschlichteter Oberfläche

längs

5 µm

2 µm

4 µm

quer oder kombiniert längs/quer

5 µm

4 µm

8 µm

Der Setzbetrag wird gering gehalten durch • geringe Rauhheiten in den Kontaktflächen, • geringe Anzahl der Trennfugen, d.h. Unterlegscheiben (und erst recht einen Stapel von Unterlegscheiben) möglichst vermeiden, • Flächenpressung an den Trennfugen möglichst unterhalb der Streckgrenze halten, so daß keine plastische Verformung der Rauhheiten eintreten kann. Die Auswirkungen des Setzens können gemildert werden durch • hohe Vorspannung, so daß auch nach dem Setzen noch genügend Vorspannkraft zur Verfügung steht, • geringe Steifigkeit der gesamten Schraubverbindung, so daß der Setzbetrag durch Nachfedern der Schraubverbindung aufgenommen werden kann. Ein nachträglicher Ausgleich des Setzbetrages ist durch Nachziehen der Schrauben nach einiger Betriebszeit möglich. Um diesen Vorgang abzukürzen, kann die Schraubverbindung nach der Montage mit Überlast vorbelastet und dann sofort nachgezogen werden.

4.4.3

Thermisches Anziehen und andere thermische Einflüsse (V)

Der in Bild 4.23 skizzierte Verspannungszustand kann nicht nur mechanisch, sondern auch thermisch herbeigeführt werden: Die Schraube wird zunächst auf eine definierte Temperatur erwärmt und anschließend ohne Torsionsbelastung montiert. Beim anschließenden Abkühlen baut sich aufgrund der rückläufigen Wärmedehnung ein definierter Vorspannungszustand auf. Zur Ermittlung der erforderlichen Aufwärmtemperatur der Schraube geht man von der folgenden Gleichung aus:

4.4 Vorspannen von Schraubverbindungen (E) fgesV = LK ⋅ αS ⋅ ΔϑS ⇒ Δ ϑS =

f gesV L K ⋅ αS

347 Gl. 4.44

LK

Klemmlänge der Schraube

αS

Wärmeausdehnungskoeffizient der Schraube 11 ⋅ 10–6/°C für Stahl, weitere Werkstoffe siehe Tabelle 6.1, Band 2

ΔϑS

Aufwärmtemperatur der Schraube

Bei diesem Montageverfahren wird die Schraube nur einer Zugspannung ausgesetzt, eine Torsionsbelastung wird völlig ausgeschlossen. Damit hat das thermische Anziehen viele Gemeinsamkeiten mit dem Warmnieten. Für eine bereits montierte Schraube kann eine Erwärmung aber auch nachteilige Folgen haben: Bild 4.24 beschreibt den Verspannungszustand unter der Voraussetzung, daß alle an der Verbindung beteiligten Bauteile die gleiche Temperatur aufweisen. Zusätzliche Betrachtungen werden nötig, wenn innerhalb der Schraubverbindung (möglicherweise nur kurzfristige) Temperaturgradienten auftreten. In diesem Fall beeinflußt die Wärmedehnung den Federweg, was zu zusätzlichen Verformungen und damit zu zusätzlichen Belastungen führt. Grundsätzlich gelten dabei ähnliche Überlegungen wie im vorangegangenen Abschnitt (Setzen der Schraubverbindung) mit dem Unterschied, daß sich der Vorspannweg durchaus auch vergrößern kann, wodurch die Schraube in ihrer Festigkeit gefährdet werden kann. Diese Problematik soll an folgendem Beispiel diskutiert werden: Cz' Fv nach dem Erwärmen der Zwischenlage Fv vor dem Erwärmen der Zwischenlage

Cz

a b

Cs ΔFv

F[N]

Δfth

Δfth

f [µm]

Bild 4.27: Vorspannungserhöhung durch Erwärmung der Zwischenlage.

Eine bereits montierte Schraubverbindung wird erwärmt, wobei im modellhaften Extremfall davon ausgegangen werden muß, daß sich die Zwischenlage erwärmt, während die Schraube selbst noch ihr ursprüngliches Temperaturniveau beibehält. Durch Wärmeausdehnung der Zwischenlage wird der Vorspannungsweg um Δfth vergrößert, wodurch sich in der oben dargestellten Weise die Vorspannkraft um ΔFV vergrößert. Für die rechnerische Beschreibung dieses Sachverhaltes kann der gleiche Ansatz mit den gleichen Formelzeichen verwendet werden wie im vorangegangenen Abschnitt. Aufgabe 4.2

348

4.5

4 Schrauben

Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

Nach der Montage wird die angezogene Schraube mit einer Längskraft FV belastet, obwohl noch keine äußere Belastung in die Schraubverbindung eingeleitet wird. Eine zusätzlich wirkende Betriebskraft FB kann grundsätzlich in jeder beliebigen Richtung auftreten. Die nachfolgenden Betrachtungen konzentrieren sich jedoch zunächst auf zwei Modellfälle, die sich schließlich so miteinander kombinieren lassen, daß damit alle praktischen Bedürfnisse erfaßt werden können: • Wenn die Betriebskraft FB senkrecht zur Schraubenachse angreift, so liegt eine querkraftbeanspruchte Schraubverbindung vor. Eine solche Betriebskraft wird im weiteren Verlauf dieser Ausführungen mit FBQ bezeichnet. • Greift die Betriebskraft FB hingegen in Richtung der Schraubenachse an, so handelt es sich um eine längskraftbeanspruchte Schraubverbindung. Die dabei wirkende Betriebskraft wird mit FBL indiziert.

4.5.1

Querkraftbeanspruchte Schraubverbindungen (B) F Fv > BQ µ

FBQ τQ

FBQ

p

µ

FBQ

FBQ

p

F Fv > BQ µ Schraubverbindung mit Passschraube Schraubverbindung mit normaler Schraube bei Querkraftbelastung bei Querkraftbelastung

Bild 4.28: Querkraftbelastete Schraubverbindungen.

Eine Schraube kann die von außen in die Verbindung eingeleitete Querkraft nur dann tatsächlich als Querkraft im Schraubenschaft aufnehmen, wenn sie konstruktiv dazu besonders ausgebildet ist. Ähnlich wie bei einer kaltgeschlagenen Nietverbindung muß die Querkraft als Schubspannung und Lochleibungsdruck übertragen werden. τQtats ≤ τQzul

und

ptats ≤ pzul

Gl. 4.45

Dazu darf der Schaft der Schraube im kraftübertragenden Bereich kein Gewinde aufweisen und muß an der Wand der Bohrung fest anliegen. Dies führt zur Konstruktion der sog. Paßschraube. Eine normale Schraube wäre zur Aufnahme von Querkraftschub aufgrund des Ge-

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

349

windes sehr kerbempfindlich, und eine Pressungsübertragung an der Mantelfläche des Gewindes ist kaum möglich, da nur die Gewindespitzen als pressungsübertragende Fläche zur Verfügung stünden. In diesem Fall muß die Schraube so weit vorgespannt werden, daß die als Querkraft eingeleitete Betriebskraft durch die Reibung der verspannten Teile untereinander übertragen werden kann: FV ≥

FBQ µ

Gl. 4.46

Die Schraube wird also nur mit der einmal aufgebrachten Vorspannkraft FV, nicht aber mit der aktuellen Betriebskraft FBQ belastet. Das folgende Bild zeigt zwei Beispiele, bei denen die Paßschraube vorteilhaft angewendet wird:

Bild 4.29: Kupplungsscheibe mit Paßschraube. Zwei gegenüberliegende Flansche einer nichtschaltbaren Kupplung werden über einen Zwischenring zueinander zentriert, die Paßschrauben ermöglichen die Übertragung von Torsionsmoment.

Bild 4.30: Kupplungsscheibe mit Scherbuchse. Die Querkräfte können auch durch eine Scherbuchse aufgenommen, die auf Scherung und Lochleibungsdruck dimensioniert wird. In diesem Fall liegt die Schraube nicht im Hauptkraftfluß.

Paßschrauben werden jedoch wegen der folgenden Nachteile nur in Ausnahmefällen verwendet: • Die Schraube ist wegen der eng tolerierten Außenmantelfläche des Schaftes teuer. • Die Montage der Schraube ist sehr aufwendig. Wenn die Schraubverbindung aus nur einer einzigen Schraube besteht, so müssen die Bohrungen aufgerieben werden. Besteht die Verbindung aus mehreren Schrauben, so besteht zusätzlich das Problem, daß sich die Bohrlöcher der zu verbindenden Teile genau gegenüberstehen müssen, die Lage der Bohrlöcher untereinander muß also genau toleriert werden. Diese Forderung wird häufig dadurch erfüllt, daß die beiden Bauteile in Montageposition gemeinsam gebohrt und aufgerieben werden. Aufgaben 4.3 bis 4.5

350

4 Schrauben

4.5.2

Längskraftbeanspruchte Schraubverbindungen (B)

Fällt die Wirkungslinie der Betriebskraft mit der Schraubenachse zusammen, so wird deren Betrachtung deutlich komplexer. Die Betriebskraft FBL darf nicht etwa zu der Vorspannkraft FV addiert werden, sondern die Schraubenbelastung ergibt sich erst aus einer Betrachtung des Verformungsverhaltens der gesamten Schraubverbindung als Wechselwirkung zwischen Schraube und Zwischenlage.

4.5.2.1

Statische Betriebskraft (B)

Für ein einführendes Beispiel werde ein unter Druck stehender Kessel angenommen, dessen Deckel durch eine Vielzahl von Schrauben befestigt ist. Eine einzelne Schraube dieser Verbindung ist in untenstehendem Schema links angedeutet. Es sei angenommen, daß die durch den Kesselüberdruck hervorgerufene Betriebskraft FBL an der gleichen Stelle angreift wie die Vorspannkraft FV.

FBL

F[N]

Cz

Cs

ΔfB ΔFBS

Fv

ΔFBZ

FBL FS

fSV fSB

FBL

Schraube – Zwischenlage

nach dem Aufbringen der Betriebslast

ΔfB

FZ = FRK

fZV

f [µm]

fZB

nach dem Vorspannen

Verspannungsdiagramm

Bild 4.31: Verspannungsdiagramm mit statischer Zugbetriebskraft.

Die durch die Betriebskraft FBL verursachte Zusatzbelastung der Schraube ist nicht direkt zu ermitteln. Es kann aber leicht erkannt werden, daß die Betriebskraft FBL an der bereits vorgespannten Schraubverbindung eine zusätzliche Verformung ΔfB hervorruft. Der Betriebspunkt am Schnittpunkt von cS und cZ verschiebt sich durch die Aufbringung der Betriebskraft und der dadurch verursachten Verformung um ΔfB. Schraube und Zwischenlage erfahren dabei die folgenden Veränderungen der auf sie wirkenden Kräfte:

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

Schraube

Verformung

Kraft

Die durch die Montage bereits um fSV gelängte Schraube wird zusätzlich um ΔfB auf fSB gedehnt, was im Verspannungsschaubild eine Verlagerung des Betriebspunktes um ΔfB nach rechts bedeutet:

Die Schraubenbelastung wandert auf der cS-Linie nach rechts oben, die die Schraube belastende Kraft wird dadurch um ΔFBS größer. Die Schraubenbelastung ergibt sich schließlich zu FS:

fSB = fSV + ΔfB

Zwischenlage

351

Die Zwischenlage wird ebenfalls um den gleichen Betrag ΔfB gelängt, der Betriebspunkt wird also ebenfalls um diesen Betrag nach rechts verlagert. Da die Zwischenlage aber zuvor durch die Vorspannung um fZV gestaucht worden war, bedeutet die Längung um ΔfB eine teilweise Reduzierung der ursprünglich aufgebrachten Stauchung auf nunmehr fZB. fZB = fZV – ΔfB

FS = FV + ΔFBS Die Belastung der Zwischenlage verlagert sich auf der cZ-Linie nach rechts unten. Die die Zwischenlage belastende Kraft wird dadurch um ΔFBZ reduziert. Die Belastung der Zwischenlage ergibt sich schließlich zu FBZ: FZ = FV – ΔFBZ

In dem um ΔfB verschobenen Betriebszustand muß auch das Gleichgewicht der Kräfte gelten: Aus diesem Grunde bildet sich zwischen den dadurch entstehenden Betriebspunkten für Schraube und Zwischenlage nun die Betriebskraft FBL in der dargestellten Weise ab. Normalerweise wird ΔfB zunächst nicht bekannt sein, sondern es wird vielmehr die Betriebskraft FBL gegeben sein. Dazu wird die Betriebskraft maßstäblich so zwischen die cS-Linie und die cZLinie plaziert, daß sich der Fußpunkt des Kraftvektors auf der Steifigkeitskennlinie der Zwischenlage befindet und die Spitze des Vektors gerade die Steifigkeitskennlinie der Schraube erreicht. Unterhalb von FBL bleibt noch die Restklemmkraft FZ = FRK übrig, mit der die Zwischenlage noch belastet wird. Bei steigender Betriebskraft FBL wird die Restklemmkraft FRK immer kleiner. Aus Gründen der Sicherheit der Schraubverbindung darf diese Restklemmkraft jedoch nicht verschwinden bzw. darf einen gewissen Betrag nicht unterschreiten, da andernfalls ein Klaffen der Fugen oder eine Undichtigkeit der Schraubverbindung auftritt. Wird die Betriebskraft als Druckkraft aufgebracht (z.B. Unterdruck im Kessel), so kann die gleiche Betrachtung angestellt werden, mit dem einzigen Unterschied, daß die betriebskraftbedingte Verformung ΔfB in die umgekehrte Richtung aufgetragen werden muß:

352

4 Schrauben Cz

F[N]

FBL

ΔFBZ

ΔfB

Fv

Cs

FBL

ΔFBS

FZ

ΔfB

Fs FRK fZV

fSV

FBL

nach dem Aufbringen der Betriebslast

Schraube mit Zwischenlage

f [ µ m]

fZB

fSB

nach dem Vorspannen

Verspannungsdiagramm

Bild 4.32: Verspannungsdiagramm mit statischer Druckbetriebskraft.

Die Restklemmkraft FRK bildet sich auch in diesem Fall unterhalb der Betriebskraft FBL ab und ist in diesem Fall genauso groß wie FS. Zur Sicherstellung der Klemmwirkung darf FS einen geforderten Mindestbetrag nicht unterschreiten. Die vorstehenden Überlegungen lassen sich auch rechnerisch erfassen, wobei auch hier die Gleichungen einfach als geometrische Beziehungen aus dem Verspannungsschaubild entnommen werden: ΔFBS ΔF und c Z = BZ Δf B Δf B Beide Gleichungen lassen sich nach ΔfB auflösen und dann gleichsetzen: cS =

Gl. 4.47

ΔFBZ ⋅ cS = ΔFBS ⋅ cZ

Gl. 4.48

Weiterhin gilt: FBL = ΔFBS + ΔFBZ

Gl. 4.49

Die Steifigkeiten cS und cZ lassen sich nach den Gleichungen 4.31 und 4.32 berechnen und die Betriebskraft FBL ist mit den Betriebsbedingungen bekannt. Damit enthalten die beiden Gleichungen 4.45 und 4.46 zwei Unbekannte. Um die Frage nach der kritischen maximalen Schraubenbelastung zu klären, wird ΔFBS gesucht. Dazu wird Gl. 4.46 umgestellt: ΔFBZ = FBL – ΔFBS

Gl. 4.50

Durch Einsetzen von Gl. 4.47 in Gl. 4.45 ergibt sich: (FBL – ΔFBS) ⋅ cS = ΔFBS ⋅ cZ FBL ⋅ cS – ΔFBS ⋅ cS = ΔFBS ⋅ cZ

Gl. 4.51 ⇒

ΔFBS ⋅ (cZ + cS) = FBL ⋅ cS

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

353

Damit gilt für die Zusatzbelastung der Schraube (Steigerung der Last gegenüber dem Vorspannungszustand): ΔFBS = FBL ⋅

cS c Z + cS

Gl. 4.52

Damit nimmt die Schraubenkraft FS folgenden Betrag an: FS = FV + ΔFBS = FV + FBL ⋅

cS c Z + cS

Gl. 4.53

Das Steifigkeitsverhältnis cS / (cS + cZ) wird auch als Verspannungsfaktor Φ bezeichnet: Φ=

cS c Z + cS

⇒

ΔFBS = FBL ⋅ Φ

Gl. 4.54

Analog dazu läßt sich für die Belastungsänderung der Zwischenlage (Reduzierung der Last gegenüber dem Vorspannungszustand) formulieren: ΔFBZ = FBL ⋅

cZ c Z + cS

Gl. 4.55

Daraus ergibt sich unter Verwendung des Verspannungsfaktors Φ: ΔFBZ = FBL ⋅ (1 – Φ)

Gl. 4.56

Aufgaben 4.6 bis 4.8

4.5.2.2

Dynamische Betriebskraft (E)

In Erweiterung der vorangegangenen Betrachtung tritt die Betriebskraft FBL jedoch nicht nur statisch, sondern im allgemeinen Fall als dynamische Betriebskraft auf. Der zunächst einfachste Fall liegt dann vor, wenn die Betriebskraft zwischen den Werten null und FBLmax pendelt, also schwellend aufgebracht wird. Dieser Lastzustand läßt sich im mittleren Drittel von Bild 4.33 darstellen:

354

4 Schrauben Fs

F[ N ]

Cs t

Cz

FBL max

FZ

Fs max

Fs min

F

t

Δf

f [µm]

t

Betriebskraft im Zugbereich Fs

FBL min =0

F[N] t

Cs

Cz FZ

Fs max

FBL max

Fs min

F

t

Δf f [µm]

t

Betriebskraft im Zugschwellbereich Fs

Cz

Cs

F[N]

Fz

FBL min

t

Fs max

Fs min

FBL max

Δf

f [µm]

t

Betriebskraft im Zug-/Druckbereich Bild 4.33: Verspannungsdiagramm mit dynamischer Betriebskraft.

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

355

Sowohl die Schraube als auch die Zwischenlage werden dynamisch beansprucht. Dieser Sachverhalt läßt sich durch eine zusätzlich in das Diagramm eingefügte Zeitachse veranschaulichen. Der rechts im Diagramm eingefügte Betriebskraftverlauf zeigt an, wie sich die Dynamik des Betriebskraftverlaufs auf die Schraubendynamik und die Zwischenlagendynamik verteilt. Die Verformungsdynamik ist als Δf(t) darstellbar. Pendelt die Betriebskraft zwischen einem Minimalwert FBLmin und einem Maximalwert FBLmax, so ist die Betrachtung nach dem oberen Bilddrittel zutreffend. Wird die minimale Betriebskraft zu einer Druckkraft, also negativ, so ergibt sich das Verspannungsschaubild im unteren Bilddrittel. Damit läßt sich auch die tatsächlich auf die Schraube wirkende Kraft durch die Angabe der maximalen Schraubenkraft FSmax und der minimalen Schraubenkraft FSmin charakterisieren. Für die Festigkeitsberechnung der Schraube ist jedoch eine Differenzierung nach statischem Anteil FSstat und dynamischem Anteil FSdyn erforderlich: FSstat =

FS max + FS min FV + ΔFBS max + FV + ΔFBS min = 2 2

FSstat = FV +

FBL max + FBL min cS F +F ⋅ = FV + BL max BL min ⋅ Φ 2 cS + c Z 2

Gl. 4.57 Gl. 4.58

und FSdyn =

FS max − FS min FV + ΔFBS max − FV − ΔFBL min = 2 2

Gl. 4.59

FSdyn =

FBL max − FBL min cS F −F ⋅ = Bmax Bmin ⋅ Φ 2 cS + c Z 2

Gl. 4.60

Aus dieser Gegenüberstellung wird auch ersichtlich, daß die Höhe der Vorspannkraft FV ohne Einfluß auf die kritische dynamische Belastung der Schraube ist. Mit der Variation des Verspannungsfaktors Φ hingegen läßt sich bei vorgegebenem Betriebskraftverlauf die Belastung der Schraube entscheidend beeinflussen, was auf eine gezielte Dimensionierung der beteiligten Steifigkeiten hinausläuft (s. folgender Abschnitt). Die gleiche Überlegung gilt in ähnlicher Weise auch für die Zwischenlage. Da aber die Schraube in ihrer Festigkeit kritischer belastet wird, konzentriert sich die Festigkeitsbetrachtung meist auf die Schraube. Aufgabe 4.9

4.5.3

Zusammenspiel der Steifigkeiten (E)

Wie in den vorangegangenen Abschnitten deutlich wurde, ist die Aufteilung der Betriebskraft FBL auf die Schraubenmehrbelastung ΔFBS und die Veränderung der Zwischenlagenbelastung ΔFBZ von den Steifigkeiten der Schraube cS und der Zwischenlage cZ bzw. vom Verspannungsfaktor Φ abhängig. In vielen Fällen werden diese Steifigkeiten gezielt beeinflußt, um dadurch vor allen Dingen die dynamische Schraubenbelastung zu reduzieren. Dies läßt sich am Beispiel einer schwellenden Betriebskraft besonders deutlich demonstrieren:

356

4 Schrauben

F[N]

Cs hart

FBL min = 0

Cz

Cs weich FS

Fs t

t

Fv FBLmax

FS dyn bei Cs hart

FS dyn bei Cs weich

ΔfB bei Cs hart ΔfB bei Cs weich

f [µm]

Bild 4.34: Einfluß der Schraubensteifigkeit auf die Schraubenkraft.

Die durch die schwellende Betriebskraft FBL (von 0 bis FBLmax) hervorgerufene dynamische Belastung der Schraube kann verringert werden, wenn die Schraubensteifigkeit vermindert wird, die Schraube also nachgiebiger gestaltet wird. Wie das folgende Bild zeigt, kann das gleiche Ziel auch mit einer Steigerung der Zwischenlagensteifigkeit erreicht werden: Cz hart F[N]

FBL min = 0

Cs Cz weich

FS dyn bei cz weich

FS dyn bei cz hart

FS

Fs t

t

Fv FBLmax

ΔfB bei cz hart ΔfB bei cz weich f [µm]

Bild 4.35: Einfluß der Zwischenlagensteifigkeit auf die Schraubenkraft.

Dieser Feststellung kommt eine überragende Bedeutung zu, weil die Schraube wegen ihrer hohen Kerbwirkung im Gewindes besonders dynamikempfindlich ist.

4.5.3.1

Schraubensteifigkeit (E)

Im Eingangsabschnitt 4.4.1 wurde die Steifigkeit der Schraube in erster Näherung als Zugfeder beschrieben: cS = E ⋅

A LK

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

357

Eine genauere Berechnung müßte die Schraube als Hintereinanderschaltung von Schaftanteil mit dem Nenndurchmesser d und Gewindeanteil mit dem Spannungsdurchmesser d3 betrachten. Diese Differenzierung ist jedoch in den meisten Fällen überflüssig, wenn man zur „sicheren Seite hin“, also zur härteren Schraube hin abschätzt und die gesamte Klemmlänge LK mit dem Nenndurchmesser d ansetzt. Die folgenden Möglichkeiten können zur Reduzierung der Schraubensteifigkeiten in Betracht gezogen werden: • E: Aus Gründen der Festigkeit werden hochfeste Schrauben fast immer in Stahl ausgeführt, womit der Elastizitätsmodul leider auf einen hohen Wert festgelegt ist. • A: Die Querschnittsfläche der Schraube kann nur so weit reduziert werden wie es die Festigkeit zuläßt. Hochfeste Schraubenwerkstoffe erlauben kleine Querschnittsflächen und reduzieren damit die Steifigkeit. Die Querschnittsfläche A wurde zunächst vereinfachend als über der Länge konstante Kreisfläche angesetzt. Tatsächlich setzt sich die verformbare Schraubenlänge aber aus der Schaftlänge mit dem Nenndurchmesser d und der Gewindelänge mit dem Durchmesser dS zusammen. Schaftanteil und Gewindeanteil müßten also bei differenzierter Betrachtung einzeln berechnet und dann als Reihenschaltung zusammengefaßt werden. • LK: Große Schraubenlängen verringern die Steifigkeit, ohne daß davon die Festigkeit betroffen ist. Dies führt zur Konstruktion sog. „Dehnschrauben“ (s. Bild 4.36).

Der Schraubendurchmesser wird vorzugsweise an festigkeitsmäßig unbedenklichen Stellen reduziert („Die Kette ist nur so stark wie ihr schwächstes Glied“: Überdimensionierte Kettenglieder können also ohne Gefährdung der Festigkeit abgespeckt werden). Der glatte Schraubenschaft ist im Gegensatz zum kerbbeeinflußten Gewindeteil nicht in seiner Festigkeit gefährdet und kann deshalb im Durchmesser verringert werden. Bild 4.36: Dehnschrauben.

Die nachfolgenden Ausführungen beschreiben die wichtigsten weiteren konstruktiven Möglichkeiten zur Reduzierung der Schraubensteifigkeit:

4 Schrauben

FBL Die Verwendung einer vorteilhaft langen Schraube wird häufig mit einer Hülse kombiniert. Die Hülse weist eine eigene Steifigkeit cHülse auf, die mit der Schraubensteifigkeit cS in Reihe geschaltet ist. Die Gesamtsteifigkeit der Schraube cSges wird also durch das Vorhandensein der Hülse zusätzlich reduziert. Die Gesamtschraubensteifigkeit cSges berechnet sich zu

LZ

Ls

LH

358

FBL

1 cSges

=

1 1 + cS c Hülse

bzw. δSges = δS + δHülse

Gl. 4.61 Gl. 4.62

Bild 4.37: Schraube mit Hülse.

Bild 4.38: Federung des Schraubenkopfs.

Wie das Bild 4.38 als Ergebnis einer Finite-Element-Berechnung beispielhaft demonstriert, federt sowohl der Kopf als auch die Mutter nach. Da dieser Einfluß nur mit großem rechnerischen Aufwand zu erfassen ist, kann er formal dadurch berücksichtigt werden, daß der konstruktiv vorhandene Schraubenschaft zur Berechnung der Steifigkeit formal verlängert wird: Sowohl für die Mutter als auch für den Schraubenkopf wird die Schraubenschaftlänge rechnerisch um je 0,5 ⋅ d vergrößert. Weiterhin werden Schraubenkonstruktionen angewendet, deren Kopf gezielt nachgiebig ausgebildet ist, um die Gesamtsteifigkeit zu reduzieren. Diese Konstruktionen sind besonders bei kurzen Klemmlängen, die selbst nur geringe Nachgiebigkeiten aufweisen, vorteilhaft einsetzbar. Bild 4.39 zeigt einige Ausführungsformen (b–e) im Vergleich zur Normalausführung a:

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

359

Bild 4.39: Nachgiebige Schraubenkopfkonstruktionen (aus Schraubenvademecum 1991).

Anhand der Gegenüberstellung des folgenden Bildes sollen nochmals einige wichtige Einflüsse demonstriert werden:

Bild 4.40: Schrauben mit reduzierter Steifigkeit (aus Schraubenvademecum 1991).

a) Bezugsfall für die nachfolgende Parametervariation b) Schraubenschaft im Sinne einer Dehnschraube verjüngt, dadurch nachgiebigere („weichere“) Schraube c) Anstatt Innensechskantschraube Sechskantschraube mit längerem Schraubenschaft; dadurch zusätzliche Reduktion der Schraubensteifigkeit d) Unterlegscheibe (kurze Hülse) reduziert die Schraubensteifigkeit (Vorsicht: Setzen!) e) Mit zunehmender Höhe der Unterlegscheibe bzw. deren Ausbildung als Hülse wird der unter d) genannte Effekt noch verstärkt

360

4 Schrauben

4.5.3.2

Zwischenlagensteifigkeit (E)

Die Zwischenlage wurde mit Gl. 4.32 bezüglich ihrer Steifigkeit bisher modellhaft als zylindrische Hülse angenommen, was in der technischen Praxis allerdings nur selten der Fall ist (Fall a des Bildes 4.41). Meist handelt es sich um plattenförmige, mehr oder weniger ausgedehnte Körper (Fall b und c), deren Steifigkeitsberechnung sehr viel komplexer ist. Um dennoch den einfachen Ansatz cZ = EZ ⋅ Aers / LZ ausnutzen zu können, behilft man sich damit, daß für dessen Querschnittsfläche eine fiktive „Ersatz“-Fläche Aers formuliert wird: ∅ DA ∅ dK

Lk

∅ DB ∅ DA

∅ 3dK ∅ dK

∅ Ders

∅ Ders

∅ DB

∅ DB

dK < DA ≤ 3dK LK ≤ 8d

DA > 3dk LK ≤ 8d

Bild 4.41: Ersatzfläche für Zwischenlage.

Fall a:

A ers =

π ⋅ ( D2A − D2B ) 4

Gl. 4.63

Fall b: gültig für dK < DA ≤ 3 ⋅ dK und LK ≤ 8 ⋅ d A ers =

Fall c:

  d ⋅L π 2 π D L2  ⋅ ( d K − D2B ) + ⋅  A − 1 ⋅  K K + K  4 8  dK 100    5

gültig für DA > 3 ⋅ dK A ers =

Gl. 4.64

und LK ≤ 8 ⋅ d

2  π  L  ⋅  d K + K  − D2B  4  10  

Gl. 4.65

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

4.5.3.3

361

Krafteinleitung innerhalb verspannter Teile (V)

Die bisherigen Betrachtungen beziehen sich auf den Fall, daß die Betriebskraft FBL an den Auflageflächen von Kopf und Mutter, also an der gleichen Stelle wie die Vorspannkraft FV eingeleitet wird. Dieser Fall wird im Bild 4.42 nochmals aufgegriffen. F[N]

Cz

Cs ΔFBS

Fv FBL

f [ µm] Bild 4.42: Betriebskrafteinleitung an der Kopfauflage.

Wird die Betriebskraft jedoch in einer Ebene eingeleitet, die weiter innen anzunehmen ist, so ändern sich auch die Steifigkeiten, die die Betriebskraft dann vorfindet (Bild 4.43): F [N ]

FBL

L

C's

Cz' n×L

Cz

Cs Cs' ΔFBS

Fv

FBL

FBL

Cz' f [µm]

Bild 4.43: Betriebskrafteinleitung innerhalb der verspannten Teile.

362

4 Schrauben

• Die Zwischenlagensteifigkeit cZ′ bezieht sich nur noch auf den zwischen den beiden Krafteinleitungsebenen verbleibenden Teil der Zwischenlage (n ⋅ L), wird also härter als die ursprüngliche Steifigkeit cZ. • Der nach außen liegende Anteil der Zwischenlage wirkt dann wie eine Hülse und muß deshalb in Hintereinanderschaltung der Schraube zugerechnet werden. Dadurch entsteht eine Schraubensteifigkeit cS′, die weicher ist als die ursprüngliche Schraubensteifigkeit cS. Durch die Verlagerung der Krafteinleitungsebene nach innen wird demzufolge auch die Schraubenzusatzbelastung ΔFBS kleiner, was besonders bei dynamischem Betriebskraftverlauf der Festigkeit der Schraube sehr zugute kommt. Hinsichtlich der Schraubenvorspannung bleiben die ursprünglichen Steifigkeiten cS und cZ erhalten, weil sich die diesbezügliche Krafteinleitungsebene tatsächlich an Kopf- und Mutterauflage befindet, bezüglich der Betriebskraft müssen jedoch die Steifigkeiten cS′ und cZ′ angesetzt werden, woraus sich die jeweils „abknickenden“ Steifigkeitskennlinien ergeben. Je mehr sich die Einleitungsebenen der Betriebskräfte nach innen verlagern, desto geringer wird die der Schraube zugewiesene Steifigkeit cS′ und desto höher wird die der Zwischenlage zuzurechnende Steifigkeit cZ′. Die Nachgiebigkeit der Zwischenlage wird dann auf den Faktor n reduziert, der bei Krafteinleitung am Kopf höchstens 1 werden kann: 1 1 = n⋅ Gl. 4.66 c′Z cZ Die Nachgiebigkeit der Schraube hingegen setzt sich dann zusammen aus der bereits vorher vorhandenen Schraubennachgiebigkeit und dem oben abgezogenen Anteil der Zwischenlagennachgiebigkeit: 1 1 1− n = + c′S c S cZ

Gl. 4.67

Das Verspannungsverhältnis Φ wird dann zu Φ′: Φ′ = n ⋅ Φ

Gl. 4.68

Die durch die Betriebskraft verursachte dynamische Belastung der Schraube wird dadurch kleiner. Ist die Krafteinleitungsebene nicht genau bekannt, so bleibt man mit n = 1 also stets auf der sicheren Seite (deshalb die ursprüngliche Annahme, daß die Betriebskraft am Schraubenkopf eingeleitet wird). Für den theoretischen Grenzfall, daß die Betriebskraft FB genau in der Teilungsebene angreift, trifft die Darstellung Bild 4.44 zu: Sämtliche Steifigkeiten formieren sich in Hintereinanderschaltung zur Schraubensteifigkeit cS′, die Zwischenlagensteifigkeit cZ′ wird unendlich, entartet also zu einer senkrechten Geraden. Dieser Zustand ist insofern erstrebenswert, als dadurch die von außen eingebrachte Betriebskraft FBL keinerlei Zusatzkraft in der Schraube hervorruft: ΔFBS = 0! Um bei der rechnerischen Erfassung der Steifigkeiten keinen Anteil außer acht zu lassen, ist es zuweilen hilfreich, den gesamten Verspannungsfluß zu skizzieren und ihn dann an der Einleitungsstelle der Betriebskraft aufzutrennen.

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B) F[N]

C's

C'z = ∞

FBL

363

Cz

Cs Cs' ΔFBS = 0!

Fv

FBL

FBL Cz' f [ µm]

Bild 4.44: Betriebskrafteinleitung in der Trennfuge.

Bild 4.45 zeigt ein Beispiel, wie durch konstruktive Maßnahmen die Krafteinleitungsebene zur Teilungsebene hin verlagert wird: FBL

FBL

FBL

Verbesserungsbedürftige Wechselfestigkeit: Die Schraube ist kurz und weist damit eine unvorteilhaft hohe Steifigkeit auf. Durch die nach außen gerichtete Wölbung des Deckels greift die Betriebskraft am Schraubenkopf an.

FBL

Verbesserte Ausführung: Die Schraube ist länger und damit nachgiebiger. Der Deckel ist nach innen gewölbt und lenkt damit den Kraftfluß so um, daß die Einleitungsebene der Betriebskraft in der Nähe der Trennfuge angenommen werden kann.

Bild 4.45: Konstruktionsbeispiel Betriebskrafteinleitung innerhalb verspannter Teile.

Aufgaben 4.10 bis 4.14

364

4.5.4

4 Schrauben

Schraubverbindungen mit kombinierter Längs- und Querkraftbeanspruchung (V)

Im allgemeinen Fall wird eine Schraube mit einer Kraft belastet, die weder genau in Richtung der Schraubenachse (Abschnitt 4.5.2) noch genau senkrecht dazu (Abschnitt 4.5.1) wirkt. Diese Kraft läßt sich aber stets komponentenweise in die Kräfte FBL und FBQ zerlegen, die ihrerseits wiederum mit den weiter oben aufgeführten Ansätzen beschrieben werden können. Das folgende Beispiel soll dies zunächst an einem statischen Beispiel verdeutlichen: Schnitt AB

A 2

0° 12

120°

1 12 0°

m

3 B Bild 4.46: Quer- und längskraftbeanspruchte Wandhalterung.

Eine Halterung wird in der dargestellten Weise an einer senkrechten Wand befestigt und nimmt an ihrem rechten Ende eine senkrecht nach unten gerichtete Gewichtsbelastung auf. Die drei Schrauben sind in gleichmäßiger Teilung und in gleichem Abstand zur Lochkreismitte angeordnet, so daß sich der Schwerpunkt der Schraubverbindung in der Mitte des Lochkreises befindet. Die folgende Zusammenstellung führt exemplarisch drei Stellungen auf, in denen die Wandhalterung befestigt werden kann.

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B) Schraube 1

Stellung ×1 20 ˚

1

Cz

Cs

F Fva2

FBL a

f F

Cs

Fvb12

FBLb

0˚ 12 3×

3

Cs Cz

FBLb

FBQ

2

f

Cs

Fvc 1

FBLc

3

Fvb3

µ

f Cz

f

F

12

µ

F

Fva3

µ

f

Cz

23

FBQ

µ

FBQ

c

FBLa

FBQ

µ

2

Cz

23

FBQ

b 3 1

Cs

F

3

3 × 120˚

Cz

Cs

F Fva1

1

Schraube 3

Schraube 2

3

a

2

365

F

Cz

Cs FBLc

23

1

FBQ

FBQ

Fvc 23

µ

µ

f

f

Bild 4.47: Schraubenbelastung Wandhalterung.

Die Gewichtsbelastung wird zunächst als Querkraftbelastung wirksam, die sich gleichmäßig auf alle drei Schrauben als FBQ aufteilt. Da diese Kraft reibschlüssig übertragen werden muß, muß an der Zwischenlage auf jeden Fall die Normalkraft FBQ/µ als Restklemmkraft aufgebracht werden. a) Zunächst sei der Fall betrachtet, daß die Halterung in der Stellung a befestigt ist. Da sich die Schraube 1 in der neutralen Faser der Gesamtverbindung befindet, erfährt sie auch nur diese eine Belastung, so daß FVa1 = FBQ/µ gewährleistet sein muß. Das um den Schwerpunkt der Verbindung eingeleitete Moment stützt sich als Zugkraft FBLa2 in Schraube 2 und als Druckkraft FBLa3 in Schraube 3 ab. Diese beiden Kräfte sind betragsmäßig gleich, da sie den gleichen Abstand zur Schwerelinie der Gesamtverbindung aufweisen. Um an der Zwischenlage weiterhin den Reibschluß sicherzustellen, muß die Schraube 2 mit FVa2 höher als FVa1 vorgespannt werden, während die Vorspannung der Schraube 3 auf FVa3 gegenüber FVa1 erniedrigt werden kann. Wird bei sonst gleichen Bedingungen der Abstand der Gesamtgewichtsbelastung zur Wand vergrößert, so steigt damit bei gleicher Querkraftbelastung das zu übertragende Moment. Dies hat zur Folge, daß die Zugkraft FBLa2 als auch die Druckkraft FBLa3 größer werden. Schraube 2 muß daraufhin höher vorgespannt werden, während die Vorspannung von Schraube 3 reduziert werden kann. Ab einem gewissen Abstand kann auf eine Vorspannung von Schraube 3 gänzlich verzichtet werden, da sich die Kraftübertragungsstelle durch die Momentenbelastung selber vorspannt. Dadurch wird die Schraube überflüssig. b) Befindet sich das System in Stellung b, so ändert sich bezüglich der reibschlüssigen Kraftübertragung von FBQ gegenüber dem Fall a nichts. Im Fall b befindet sich allerdings keine Schraube in der neutralen Faser, so daß alle Schrauben eine zusätzliche Betriebskraft in Längsrichtung aufzunehmen haben. Die Kraft FBLb12 ist wegen des gleichen Abstandes zur neutralen Faser für die Schrauben 1 und 2 gleich groß und wirkt als Zug, so

366

4 Schrauben

daß die Vorspannung FVb12 entsprechend erhöht werden muß, um den Reibschluß an der Zwischenlage sicherzustellen. Die Kraft FBLb3 ist wegen des größeren Abstandes zur neutralen Faser größer als FBLb12 und wirkt als Druck, was eine Reduzierung des Vorspannungsniveaus auf FVb3 erlaubt. c) Der Fall c vertauscht gegenüber b Zug- und Druckbelastung: Schraube 1 muß wegen der relativ hohen Betriebskraft FBLc1 mit FVc1 hoch vorgespannt werden, wohingegen für die Schrauben 2 und 3 wesentlich weniger Vorspannkraft erforderlich ist. Während im vorangegangenen Beispiel die Belastung statisch ist, tritt diese Problematik im folgenden Beispiel als dynamischer Belastungsfall auf: F

2∗F

Cz 2∗FBL

α

180°

Cs 150° 120°

Fv

2∗FBQ

90°

60°

30°

0°

FBL

für µ = 1,0

FRKmin = FBL/

f

Bild 4.48: Quer- und längskraftbeanspruchte Schraubverbindung, zentral belastet, µ = 1,0.

Das Lager einer Welle wird über zwei Schrauben in der dargestellten Weise mit dem Maschinengestell verbunden. Auf die Welle wirkt (z.B. durch Unwuchtwirkung) die Kraft 2 ⋅ FB unter dem sich mit der Drehung der Welle ständig ändernden Winkel α. Da sich die Mitte der Welle genau zwischen den beiden Schrauben und genau in Höhe der Trennfuge der Schraubverbindung befindet, wird jede einzelne Schraube genau mit FB belastet. • Bei α = 0° wird FB als Längskraft FBL (Zug) und bei α = 180° als Längskraft FBL (Druck) wirksam. • Bei α = 90° und α = 270° liegt keine Längskraftbelastung vor, die Kraftübertragung erfolgt ausschließlich als Querkraft FBQ. • Für sämtliche Zwischenstellungen wird FB in seine aktuellen Längskraftkomponente FBL = FB ⋅ cos α und seine Querkraftkomponente FBQ = FB ⋅ sin α zerlegt.

4.5 Betriebskraftbelastung der Schraube (B)

367

Die reibschlüssige Übertragung von FBQ ist auf das Vorhandensein einer Normalkraft zwischen Lagergehäuse und der Maschinenkonstruktion angewiesen. Dazu muß mindestens die Normalkraft FN min =

FBQ FB ⋅ sin α = µ µ

Gl. 4.69

vorhanden sein. Die Vorspannung der Schraube muß so hoch sein, daß diese Normalkraft stets anliegt. Im obigen Bild ist diese Kraft für alle Stellungen des Winkels α aufgetragen, wobei hier aus Gründen der graphischen Darstellung ein unrealistischer Reibwert von µ = 1,0 angesetzt wurde. Die höchste Vorspannkraft ist für etwa α = 60° erforderlich. Bei Werten von größer als 135° ist überhaupt keine Vorspannung mehr erforderlich, weil die Längskraftkomponente FBL genügend Normalkraft hervorruft. Wird für die Reibzahl der realistische Wert µ = 0,1 angenommen, so ergeben sich die folgenden Konsequenzen: • Die größte Vorspannung wird dann erforderlich, wenn die Kraft unter α ≈ 90° angreift. Die zuvor für µ = 1,0 vorgenommene Differenzierung (α ≈ 60°) ist hier praktisch gegenstandslos. • Der Bereich, in dem auf eine Vorspannung völlig verzichtet werden kann (α > 135° für µ = 1,0), verschwindet hier fast völlig. Die Betrachtung der Schraubenbelastung kann also in diesem Fall entkoppelt werden: Bei α = 0° und α = 180° liegt Längskraftbelastung vor, bei α = 90° kommt es zu einer Querkraftbelastung der Schraubverbindung, die dazwischen liegenden Winkelstellungen sind praktisch unkritisch. Der voranstehende Fall war als spezieller Modellfall konstruiert: Die Belastung der gesamten Schraubverbindung läuft durch deren Schwerpunkt (vgl. Bild 3.5ff). Greift die Kraft wie bei einem Stehlager außerhalb dieses Schwerpunktes an, so muß folgende Betrachtung angestellt werden: F

Cz Schraube 1 FBL = b/a∗2F FBL

1

2 2F s a

FBL

b

Cs Fv

Schraube 2 FBL= b/a∗2F

FBQ = F

FBQ = F

FRK min

f

Bild 4.49: Quer- und längskraftbeanspruchte Schraubverbindung, nicht zentral belastet, µ = 0,1.

368

4 Schrauben

Für die Belastungsrichtung α = 0° und α = 180° braucht vom vorangegangenen Fall kein Unterschied gemacht zu werden, es liegt eine reine Längskraftbeanspruchung vor. Bei der hier skizzierten Belastungsrichtung α = 90° ergeben sich jedoch folgende Konsequenzen: • Die Kraft 2 ⋅ FB verteilt sich gleichmäßig je zur Hälfte als FBQ auf beide Schraubverbindungen. Zur reibschlüssigen Kraftübertragung muß eine minimale Normalkraft FBQ / µ vorliegen. • Um den Schwerpunkt der Schraubverbindung ergibt sich ein Moment M = 2 ⋅ FB ⋅ b, welches als M = 2 ⋅ FBL ⋅ a/2 abgestützt werden muß. Die daraus resultierende Längskraftbeanspruchung FBL wirkt für die Schraube 1 als Zug und für die Schraube 2 als Druck. Da der Reibschluß an der Schraube 1 kritisch ist, muß sich die Höhe der Vorspannkraft FV an diesen Randbedingungen orientieren. Wegen der Vielfalt der Parameter können die Zwischenstellungen hier nicht mehr sinnvoll dargestellt werden. Aufgaben 4.15 bis 4.19

4.6

Gestaltung von Befestigungsschraubverbindungen (E)

Das Normenwerk liefert eine umfassende Darstellung über die vielfältigen Bauformen von Schrauben. Weiterhin geben die Fachliteratur und die Firmenschriften vielfältige Hinweise für die konstruktive Gestaltung von Schraubverbindungen. Die nachstehenden Anmerkungen konzentrieren sich daher darauf, einige zusätzliche Aussagen zu machen, die mit dem Kraftübertragungsverhalten von Befestigungsschrauben in Zusammenhang stehen. Sie stellen damit eine übergreifende Ergänzung zu den voranstehenden Ausführungen dar.

4.6.1

Schraubentypen (E)

Bild 4.50: Schraubentypen.

Die Durchsteckschraube (Bild 1.50 links) wird bevorzugt verwendet, sie setzt jedoch die Zugänglichkeit sowohl von der Mutternseite als auch von der Schraubenkopfseite voraus. Die Kopfschraube (Mitte) und die Stiftschraube (rechts) erfordern die spanabhebende und möglicherweise kostenintensive Bearbeitung des Mutterngewindes am Bauteil.

4.6 Gestaltung von Befestigungsschraubverbindungen (E)

4.6.2

369

Schraubensicherungen (E)

Mit der Einführung des Verspannungsschaubildes wurde die Forderung erhoben, daß unter allen Umständen eine Restklemmkraft vorhanden sein muß, um die Selbsthemmungsbedingung ϕ ≤ ρ′ sicherzustellen und ein unbeabsichtigtes Lösen der Schraubverbindung zu verhindern. Wenn die Schraube hoch vorgespannt ist, dann können auch Setzbeträge durch Nachfedern der Schraube aufgenommen und damit unschädlich gemacht werden. Insofern sind alle Maßnahmen zur Erhöhung der Schraubenvorspannung auch gleichzeitig Maßnahmen zur Erhöhung der Sicherheit gegen Lockern Aus diesem Grunde sind zusätzliche Sicherungen nicht erforderlich, häufig unwirksam und zuweilen sogar schädlich. Losdrehsicherung sind nur dann sinnvoll, wenn • die Schraubverbindung querkraftbelastet ist und FBQ dynamisch wirkt. • die Schraubverbindung konstruktiv wenig nachgiebig ausgeführt werden muß (dies ist in der Regel der Fall, wenn das Klemmlängenverhältnis LK/d kleiner als 5 ist). • die bescheidene Festigkeit des Schraubenwerkstoffes (Schraubengüte unterhalb 8.8) keine hohen Vorspannkräfte zuläßt. Element bzw. Methode mitverspannte Federelemente formschlüssig

reibschlüssig

sperrend stoffschlüssig

Wiederverwendbarkeit

Beispiel Federring DIN 127, 128, 7980 Federscheibe DIN 137 Zahnscheibe DIN 6797 Fächerscheibe DIN 6798 Scheibe mit Außennase DIN 432 Kronenmutter DIN 935, 937, 979 Drahtsicherung Mutter mit Polyamidstopfen Mutter mit Klemmteil DIN 980, 982, 985, 986, 6924, 6925 Schraube mit Kunststoffbeschichtung im Gewinde DIN 982, 985, 986, 6924 Kontermutter Sicherungsmutter DIN 7967 gewindefurchende Schraube Schraube/Mutter mit Verzahnung Schraube/Mutter mit Rippen mikroverkapselter Klebstoff Flüssigkeitsklebstoff Silikonpaste im Gewinde

Wirksamkeit

entfällt

unwirksam

nein ja, mit neuem Splint ja, mit neuem Draht entfällt ja

unwirksam bei Festigkeitsklasse 8.8 und darüber, sonst Verliersicherung

ja

Verliersicherung

entfällt

unwirksam, Losdrehen möglich Verliersicherung Losdrehsicherung, wenn die Oberfläche nicht gehärtet ist

ja ja ja ja, 5 mal nein ja

unwirksam Verliersicherung

Losdrehsicherung Losdrehsicherung Verliersicherung

370

4 Schrauben

Schraubensicherungen können formschlüssig, reibschlüssig, sperrend oder stoffschlüssig ausgeführt werden. Verliersicherungen sind gegen teilweises Losdrehen unwirksam, sollen aber zumindest verhindern, daß die Schraubverbindung vollständig auseinander fällt. Die folgende Tabelle gibt einen Überblick über die besonderen Eigenschaften von gebräuchlichen Schraubensicherungen. Mitverspannte Federelemente sind meist unwirksam, weil sie schon bei einem Bruchteil der Vorspannkraft auf Block liegen und dann nur noch als Unterlegscheiben dienen, die durch die zusätzliche Trennfuge den Setzbetrag unnötigerweise erhöhen. Federringe nach DIN 127 beispielsweise liegen schon nach 5% der Nennvorspannkraft von Schrauben der Festigkeitsklasse 8.8 auf Block. Sie können also erst dann wirksam werden, wenn 95% der Vorspannkraft bereits verloren gegangen sind. Die unwirksamen Sicherungselemente stammen noch aus einer Zeit, als es keine objektiven Prüfverfahren gab. Sie werden allerdings auch heute noch in großem Umfang eingesetzt, was vielleicht auch daran liegen mag, daß sie in der Norm verankert sind.

4.6.3

Unterlegscheiben (E)

Unterlegscheiben gefährden durch eine zusätzliche Trennfuge und dem damit verbundenen Setzbetrag den Vorspannungszustand. Sie sollen nur dann verwendet werden, wenn • die Zwischenlage an der Kontaktfläche zur Schraube oder Mutter keine hohe Flächenpressung zuläßt. Dies kann dann der Fall sein, wenn z.B. Holz- oder Kunststoffzwischenlagen verschraubt werden. • die Oberfläche der verschraubten Zwischenlage nicht beschädigt werden darf. Dies ist vor allen Dingen dann der Fall, wenn die Schraubverbindung häufig gelöst und dann wieder angezogen wird. • das Loch in der Zwischenlage ein Langloch ist. Die Unterlegscheibe dient dann dazu, die Krafteinleitung in den Schraubenkopf bzw. in die Mutter zu vergleichmäßigen und verhindert eine Deformation des Langlochs beim Anziehvorgang.

4.6.4

Torsionsfreies Anziehen (E)

Werden Schrauben hoch beansprucht oder unterliegen sie besonderen Sicherheitsanforderungen, so wird häufig das torsionsfreie Anziehen praktiziert, um die daraus resultierenden Schubbelastungen von der Schraube fernzuhalten. Im Abschnitt 4.4.3 „Thermisches Anziehen und weitere thermische Einflüsse“ wurde bereits erläutert, wie durch Erwärmen vor der Montage die Schraube torsionsfrei vorgespannt werden kann. Das Bild 4.51 zeigt weitere drei Varianten, die dieses Ziel durch mechanische Hilfsmittel zu erreichen versuchen:

Bild 4.51: Torsionsfreies Anziehen mechanisch (aus Schraubenvademecum. 1991).

4.7 Besonderheiten der Bewegungsschraube (E)

371

• Im linken Fall endet der Schraubenschaft oben in einem Vierkant, an den ein zweiter Schraubschlüssel angesetzt werden kann. Während des Anziehens wird dort mit dem Gewindereibmoment „gegen gehalten“. Diese Methode ist relativ unzuverlässig, da eine exakte gleichzeitige Kontrolle zweier unterschiedlicher Momente nicht ganz unproblematisch ist. • Im mittleren Fall wird das Gewindemoment über eine Kerbverzahnung an eine Zwischenhülse abgeleitet, die sich ihrerseits über einen Stift formschlüssig an der Umgebungskonstruktion abstützt. Der Abschnitt des Gewindebolzens unterhalb der Kerbverzahnung bleibt damit torsionsmomentenfrei. • Im rechten Beispiel wird die Torsionsbelastung über zwei Kerbverzahnungen gezielt in eine Hülse eingeleitet, die den nunmehr torsionsfreien Schraubenschaft umgibt.

Bild 4.52: Torsionsfreies Anziehen hydraulisch (aus Schraubenvademecum 1991).

Das Bild 4.52 gibt eine Vorrichtung wieder, mit der Schrauben hydraulisch vorgespannt werden können: Nachdem die Schraube ohne nennenswertes Moment vorläufig montiert worden ist, wird die Vorrichtung über das überstehende Ende des Schraubenbolzens gestülpt. Das freie Schraubenende wird von einer Differentialmutter erfaßt und mit einem Hydrauliksystem wird die gewünschte Vorspannkraft eingeleitet. Die Mutter der Schraubverbindung kann dann ohne Moment beigedreht werden. Nach dem Ablassen des Öldrucks kann die Vorrichtung wieder demontiert werden.

4.7

Besonderheiten der Bewegungsschraube (E)

Die bisherigen Erläuterungen konzentrierten sich auf die Schraube als Befestigungsschraube. Kennzeichnendes Merkmal für eine Befestigungsschraube ist das Umsetzen von Drehmoment in Axialkraft. Bei einer Bewegungsschraube wird jedoch zusätzlich unter Last noch eine Bewegung ausgeführt. Dabei können grundsätzlich die beiden folgenden Fälle unterschieden werden:

372

4 Schrauben

• Drehbewegung in Längsbewegung: Diese Kinematik wird im Maschinenbau häufig genutzt, wenn ausgehend von einer motorischen Rotation (z.B. Elektromotor) eine langsame Längsbewegung erzeugt werden soll. Viele Stell- und Positionierbewegungen werden auf diese Art und Weise verwirklicht. Bewegungsschrauben werden auch dann bevorzugt eingesetzt, wenn Bewegungen unter hoher Last auszuführen sind (Spindelpresse, Wagenheber). • Längsbewegung in Drehbewegung: Diese Variante kommt nur relativ selten vor. Eins der wenigen allgemein bekannten Beispiele ist der Drillbohrer: Die Auf- und Abbewegung der Mutter bewirkt eine hin- und hergehende Drehbewegung. Beim Kinderkreisel wird durch das Herunterdrücken der Gewindespindel der mit der Mutter verbundene scheibenförmige Kreiselkörper in Drehung versetzt. Die Bewegungsschraube unterliegt dabei den gleichen Wirkungen von Kräften und Momenten wie die Befestigungsschraube, es besteht kein prinzipieller Unterschied. Es versteht sich von selbst, daß auch bei Bewegungsschrauben ein Kopfreibungsmoment auftritt, welches jedoch nicht so allgemeingültig formuliert werden kann wie bei Befestigungsschrauben, sondern von der konkreten konstruktiven Umgebung abhängt und entsprechend in Ansatz gebracht werden muß. Weiterhin kann bei Bewegungsschrauben auch ein dynamisches Torsionsmoment auftreten. Die bei Befestigungsschrauben vorgestellten Ansätze erfordern also u.U. noch gewisse Modifikationen. Darüber hinaus ist es bei Bewegungsschrauben zuweilen angebracht, noch einige zusätzliche Überlegungen anzustellen:

4.7.1

Schraubenwirkungsgrad (E)

Da die Bewegungsschraube unter dem Aspekt des Getriebes gesehen werden muß, wird in vielen Fällen ein möglichst hoher Wirkungsgrad angestrebt, die Betrachtung des Wirkungsgrades ist also in diesem Fall von besonderer Bedeutung. Ganz allgemein versteht man unter Wirkungsgrad η den Quotienten aus Nutzen und Aufwand. In dem hier vorliegenden Fall ist es angebracht, den Wirkungsgrad als das Verhältnis von Nutzarbeit zu aufgewendeter Arbeit auszudrücken. Wirkungsgrad η =

Nutzen Aufwand

hier:

Nutzarbeit W = nutz aufgewen det e Arbeit Waufw

η=

Gl. 4.70

Weiterhin wird hier die Formulierung der Arbeit W als Produkt aus Kraft F und Weg s benutzt: W=F⋅s

Gl. 4.71

Es wird betrachtet, welche Arbeit aufgewendet werden muß bzw. welche genutzt werden kann, wenn sich die Schraube unter Einwirkung von Axialbelastung und Moment um genau eine Umdrehung bewegt. Wie im Falle der Befestigungsschraube werden die Kraftwirkungen mit Hilfe der Modellvorstellung der schiefen Ebene veranschaulicht, wobei hier aus später noch zu diskutierenden Gründen der Fall ϕ > ρ′ betrachtet wird.

4.7 Besonderheiten der Bewegungsschraube (E)

373

Mutter p

ϕ

Schraube

d2.π ϕ

Fax

Fu L–D Fu D–L

Bild 4.53: Kräfte im Gewinde der Bewegungsschraube.

Bei der Formulierung dieses Wirkungsgrades muß nach der bereits oben vorgenommenen Differenzierung unterschieden werden. Drehbewegung in Längsbewegung

Längsbewegung in Drehbewegung

Wirkungsgrad ηDL: Der Nutzen bei einer Schraubenumdrehung besteht darin, daß die Axialkraft Fax um eine Schraubensteigung p verschoben wird:

Wirkungsgrad ηLD: Der Nutzen bei einer Schraubenumdrehung besteht darin, daß die Umfangskraft Fu um eine Umdrehung auf dem Umfang verschoben wird:

Wnutz = Fax ⋅ p

Wnutz = Fu ⋅ d2 ⋅ π

Gl. 4.72

Der dafür zu leistende Aufwand erfordert, daß die Umfangskraft Fu um eine Umdrehung auf dem Umfang verschoben werden muß: Waufw = Fu ⋅ d2 ⋅ π

Gl. 4.74

Gl. 4.73

Der dafür zu leistende Aufwand erfordert, daß die Axialkraft Fax um eine Schraubensteigung p verschoben werden muß: Waufw = Fax ⋅ p

Gl. 4.75

Nutzen und Aufwand stehen sich bei dieser Betrachtung diametral gegenüber. Der Wirkungsgrad kann also zunächst einmal formuliert werden zu: ηDL =

Fax p ⋅ Fu d 2 ⋅ π

Gl. 4.76

ηLD =

Fu d 2 ⋅ π ⋅ Fax p

Gl. 4.77

Dabei gibt der erste Quotient jeweils das Verhältnis der Kräfte und der zweite Quotient das Verhältnis der Wege wieder. Die dabei auftretenden Kräfte orientieren sich an der Art des Bewegungsablaufes:

374

4 Schrauben

Die Umsetzung von Drehbewegung in Längsbewegung entspricht der „Bergauffahrt“ auf der schiefen Ebene. Unter Berücksichtigung der Reibung formuliert sich folgendes Kraftverhältnis: tan(ϕ + ρ' ) =

Fu Fax

Gl. 4.78

Die Umsetzung von Längsbewegung nach Drehbewegung entspricht der „Bergabfahrt“ auf der schiefen Ebene. Unter Berücksichtigung der Reibung formuliert sich folgendes Kraftverhältnis: tan(ϕ − ρ' ) =

Fu Fax

Gl. 4.79

Weiterhin stehen p und d2 in beiden Fällen in dem bekannten geometrischen Zusammenhang: tan ϕ =

p d2 ⋅ π

⇒

p = d2 ⋅ π ⋅ tanϕ

Gl. 4.80

Damit kann der Wirkungsgrad abschließend formuliert werden zu: ηDL =

1 d ⋅ π ⋅ tan ϕ ⋅ 2 tan ( ϕ + ρ ') d2 ⋅ π

ηDL =

tan ϕ tan (ϕ + ρ')

Gl. 4.81

ηLD =

tan ( ϕ − ρ ') d2 ⋅ π ⋅ 1 d 2 ⋅ π ⋅ tan ϕ

ηLD =

tan (ϕ − ρ') tan ϕ

Gl. 4.82

Die Frage der Selbsthemmung und die des Wirkungsgrades sind miteinander verknüpft. Setzt man in einer ersten groben Betrachtung für kleine Winkel tan ϕ ≈ ϕ (trifft eigentlich nur für Befestigungsschrauben zu), so ergibt sich die folgende Gegenüberstellung: Selbsthemmung, aber 0 < η < 0,5 keine Selbsthemmung, aber 0,5 < η < 1

wenn ϕ < ρ′ wenn ϕ > ρ′

In vielen Fällen ist auch bei der Bewegungsschraube eine Selbsthemmung erwünscht, wenn die Axialbewegung sich nicht selbsttätig in Gang setzen darf. Dies ist beispielsweise bei einem Wagenheber der Fall: Wenn die Last angehoben ist, dann soll sie zunächst angehoben bleiben, auch wenn das Schraubenmoment nicht mehr wirksam ist. In diesem Fall muß wie bei einer Befestigungsschraube die Selbsthemmungsbedingung ϕ < ρ′ erfüllt sein. Dabei muß aber gleichzeitig ein etwas schlechterer Wirkungsgrad (kleiner als 50%) in Kauf genommen werden. Andererseits muß η > 0 erfüllt sein, was auf die Forderung ϕ + ρ′ < 90° hinausläuft. ϕ < 90° – ρ′

nicht möglich, würde klemmen (η < 0) möglich 0