Maschinendynamik [2. verb. und erw. Aufl.] 9783486593389, 9783486578980

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Maschinendynamik von Prof. Dr.-Ing. Uwe Hollburg 2., verbesserte und erweiterte Auflage

Oldenbourg Verlag München Wien

Prof. Dr.-Ing. Uwe Hollburg war nach dem Studium des Maschinenbaus an der Fachhochschule Ulm zunächst als Berechnungsingenieur und als Systemberater in der Fahrzeug- und Computerindustrie beschäftigt. Es folgte ein Maschinenbaustudium an der Technischen Universität in Berlin, wo er im Anschluss fünf Jahre als wissenschaftlicher Assistent am Institut für Mechanik tätig war und auf dem Gebiet der Rotordynamik promovierte. Daraufhin arbeitete er in der Industrie in den Bereichen experimentelle Modalanalyse, Kurzzeitdynamik und Simulation sowie als Leiter einer wissenschaftlichen Arbeitsgruppe zur Entwicklung von Mehrkörperprogrammsystemen (MKS). 1993 folgte der Ruf an die Fachhochschule München, wo er seitdem Professor für Technische Mechanik und Maschinendynamik ist.

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1. Nachdruck 2013 © 2007 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 oldenbourg.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Lektorat: Anton Schmid Herstellung: Anna Grosser Coverentwurf: Kochan & Partner, München Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: Grafik + Druck, München Bindung: Thomas Buchbinderei GmbH, Augsburg ISBN 978-3-486-57898-0 eISBN 978-3-486-59338-9

Vorwort Maschinendynamik ist ein anwendungsbezogenes Fachgebiet, das längst seinen festen Platz als eigenständiges Lehrfach im Rahmen des Maschinenbaustudiums an den Hochschulen gefunden hat. Bedingt durch die beim Betrieb von rotierenden Maschinen auftretenden Erscheinungen, enthält das Fach Maschinendynamik einen großen Anteil an Technischer Mechanik, Strukturmechanik und Schwingungslehre. Angrenzende Fachgebiete sind Elektrotechnik, Regelungstechnik und Numerische Mathematik. Da reale Maschinen äußerst komplex sind, spielt die Modellbildung eine erhebliche Rolle. Eine typische Aufgabe der Maschinendynamik besteht in der Bestimmung der Belastungen bei unterschiedlichen Betriebszuständen, was durch Messung oder durch Simulation erfolgen kann. Damit wird bereits deutlich, dass sowohl die Modellbildung als auch die Interpretation und Bewertung von Untersuchungsergebnissen ein hohes Maß an Grundlagenwissen erfordert. Die mehr formale Anwendung verfügbarer Rechenprogramme auf Problemstellungen der Maschinendynamik führt nicht zum Ziel. Das vorliegende Buch behandelt die Grundlagen der Maschinendynamik. Es gliedert sich in acht Kapitel. Nach Formulierung typischer Problemstellungen werden die wichtigsten kinematischen Beziehungen zusammengestellt und anhand anwendungsorientierter Beispiele dargelegt. Das dritte Kapitel befasst sich mit den Verfahren zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen sowie der Modellbildung. Basierend auf dem Prinzip der virtuellen Arbeit werden die direkten Methoden zur Bildung von Nachgiebigkeits- und Steifigkeitsbeziehungen erläutert und auf praxisbezogene Aufgabenstellungen angewandt. Die zum Verständnis der Maschinendynamik erforderlichen Grundlagen der Schwingungstechnik werden im vierten Kapitel behandelt. Ausführlich wird das Schwingungsverhalten bei unterschiedlichen Anregungsarten dargelegt und durch praktische Beispiele vertieft. Im fünften Kapitel werden lineare Systeme betrachtet. Neben direkten Lösungsmethoden werden modale Verfahren vorgestellt. Anwendungsbezogene Aufgabenstellungen werden geschlossen und auf numerischem Weg bearbeitet. Da der Antrieb einen erheblichen Einfluss auf das Verhalten des Gesamtsystems hat und oftmals die Wechselwirkung zwischen dem mechanischen Teil des Systems und dem Motor zu berücksichtigen ist, scheint es sinnvoll, auf die mechanisch-elektrische Analogie näher einzugehen. Als praktisches Anwendungsbeispiel dafür wird das dynamische Verhalten von Drehstrommotoren simuliert. Im sechsten Kapitel wird das Verhalten schwingungsfähiger Systeme beim Vorhandensein von statischen und dynamischen Unwuchten untersucht. Dem schließt sich eine Betrachtung über die Grundlagen des Auswuchtens starrer Rotoren an. Die beiden letzten Kapitel befassen sich mit dem Biege- und Drehschwingungsverhalten rotierender Wellen. Zunächst wird die glatte Welle, gewissermaßen als Referenz, als Kontinuum betrachtet. Sodann werden diskretisierte Rotormodelle untersucht. Nach den Vorbereitungen vorangegangener Abschnitte bereitet es keine Schwierigkeiten, die finite Elementmethode auf die Modelle anzuwenden. Somit ist es möglich, die zentrale Frage nach den biege- und torsions-

VI

Vorwort

kritischen Drehzahlen für Rotoren mit unterschiedlichen Wellendurchmessern und beliebiger Massen- und Steifigkeitsverteilung, zu beantworten. Die dem Verständnis dienenden praxisorientierten Beispiele erfordern teilweise die Unterstützung durch den Rechner. Während die Modellbildung stets von Hand erfolgt, werden Eigenfrequenzen, Eigenschwingungsformen, Simulationsergebnisse und Formelauswertungen mit Computerprogrammen erzeugt. Im Anhang findet sich eine kurze Zusammenfassung über die Matrizenrechnung. München

U. Hollburg

Inhaltsverzeichnis 1

Einführung

1

1.1

Aufgaben der Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Kinematik

5

2.1 2.1.1 2.1.2

Bewegung des materiellen Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begleitendes Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung der Bewegung in ebenen Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 9

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

Bewegung des starren Körpers im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kardanwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eulerwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeiten und Beschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 13 15 21 23

2.3

Momentanpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.4.7 2.4.8

Kinematik von Koppelgetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufbau von Koppelgetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laufgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphische Ermittlung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. . . . . . . . . Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschleunigungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung des kinematischen Übertragungsverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übertragungsfunktionen für Koppel- und Schwingendrehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . Winkelgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 28 29 30 30 32 36 37 39

3

Verfahren der Dynamik

45

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5

Dynamische Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Massenträgheitsmomente von zusammengesetzten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eulersche Kreiselgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 47 49 51 52

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

Prinzip der virtuellen Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzip der virtuellen Verrückungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D’Alembertsches Prinzip in der Lagrangeschen Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzip der virtuellen Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung statisch unbestimmter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 57 57 60 64

VIII

Inhaltsverzeichnis

3.2.5 3.2.6

Nachgiebigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Steifigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3

Lagrangesche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4

Grundlagen der Schwingungstechnik

4.1

Schwinger mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2

Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3

Bewegungsdifferentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4

Lösung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5

Eigenschwingungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.6

Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraftanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fußpunktanregung über Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fußpunktanregung über Dämpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fliehkraftanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anregung durch Beschleunigungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7

Verhalten in der Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.8 4.8.1 4.8.2

Schwingungsisolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Aktive Schwingungsisolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Passive Schwingungsisolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.9

Periodische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.10 4.10.1

Nichtperiodische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Lösung mit dem Faltungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.11 4.11.1

Transiente Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Stoßartige Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.12

Darstellung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5

Lineare Schwingungssysteme

5.1

Struktur der Bewegungsdifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2 5.2.1

Schwingerkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.3

Verzweigte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4

Eigenschwingungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Ungedämpfte Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Gedämpfte Eigenschwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Symmetrisches Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Transformation in eine spezielle Eigenwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

79

88 88 92 94 95 97 99

145

Inhaltsverzeichnis

IX

5.4.5 5.4.6

Orthogonalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Eigenwerte der Zustandsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.5 5.5.1 5.5.2

Auswahl der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Simultane Vektoriteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3

Modale Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Konservatives Ersatzsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Gedämpftes Schwingungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Proportionale Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.7 5.7.1 5.7.2 5.7.3

Schwingungsantwort bei äußerer Anregung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Direkte Lösung bei harmonischer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Direkte Lösung bei beliebiger Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Modale Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.8

Schwingungstilgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.9 5.9.1 5.9.2 5.9.3

Mechanisch-elektrische Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Spannungsdifferentialgleichungen des Asynchronmotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Drehmomentenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Normierung der Spannungsdifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6

Unwuchterregte Schwingungen

6.1

Statische Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.2

Dynamische Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.3

Statische und dynamische Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.4 6.4.1 6.4.2

Auswuchten starrer Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Kompensation der kinetischen Lagerreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Korrektur der Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6

Elastisch gelagerter starrer Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Bewegungsverhalten scheibenförmiger Rotoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Instationärer Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Betrieb im Nennzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Bewegungsverhalten zylindrischer Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Instationärer Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Nennzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5 6.6.6

Elastische Plattform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Kinematische Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Rückstellkräfte und -momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Schwerpunktsatz im raumfesten Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Drallsatz im körperfesten Hauptachsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Zusammenfassende Darstellung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

211

X

Inhaltsverzeichnis

7

Biegeschwingungen von Wellen

257

7.1 7.1.1

Der transversal schwingende Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Eigenschwingungsverhalten des transversal schwingenden Balkens . . . . . . . . . . . . 259

7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3

Ortsdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Elementmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Element mit Massenexzentrizität und Kreiselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.3 7.3.1 7.3.2

Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Ansätze für die äußere und innere Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Bewegungsgleichung mit Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.4

Biegekritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.5

Schwingungsantwort beim Betrieb der Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

8

Drehschwingungen von Wellen

8.1 8.1.1

Der Drehstab als Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Eigenkreisfrequenzen und Eigenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3

Diskrete Torsionsschwingungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Finites Torsionsschwingungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Einzeldrehmassenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Verzweigter Torsionsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.3

Torsionskritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

8.4 8.4.1 8.4.2

Erzwungene Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Harmonische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Beliebige Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

9

Aufgaben

305

A

Matrizen

331

A.1 A.1.1 A.1.2 A.1.3 A.1.4 A.1.5 A.1.6 A.1.7 A.1.8 A.1.9

Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Anordnungen von Zeilen und Spalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Diagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Bandmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Nullmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Einheitsmatrix, Kronecker-δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Symmetrische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Determinante einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

A.2 A.2.1 A.2.2

Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Gleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Summe und Differenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

283

Inhaltsverzeichnis

XI

A.2.3 A.2.4 A.2.5 A.2.6

Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Bilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

A.3 A.3.1 A.3.2

Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Entwicklung mehrreihiger Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Rechenregeln für Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

A.4 A.4.1

Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

A.5

Orthogonale Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

A.6 A.6.1

Komplexe Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Hermitische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

A.7

Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

B

Symbole

341

Literaturverzeichnis

345

Sachverzeichnis

348

1

Einführung

Der Begriff Maschinendynamik erklärt sich fast von allein. Weist doch das zweite Substantiv, Dynamik [von grch. dynamos], auf die Kraft und ihre Wirkung hin. Als Teilgebiet der Mechanik setzt sich die Dynamik aus den Fächern Statik und Kinetik zusammen. Also wird in der Maschinendynamik die Wechselwirkung zwischen den Bewegungen und den dafür verantwortlichen Kräften untersucht. Obwohl die Mechanik [von grch. mechanike techne] eine der ältesten Wissenschaften ist, das Wort stammt wahrscheinlich von Aristoteles, findet eine ernsthafte Anwendung auf Maschinen erst ab dem Ende des 18. Jhs. statt. Zu diesem Zeitpunkt war das Gebäude der klassischen Mechanik durch Newton, Leibniz, Euler, D’Alembert, Lagrange, den Bernoullis, Hamilton und vielen anderen, errichtet. Außerdem begann sich langsam eine Messtechnik zu entwickeln. Beides, die Theorie und das Experiment, waren und sind Voraussetzungen für das Betreiben einer Wissenschaft. Mit Beginn der Industrialisierung seit Mitte des 19. Jhs. und den Erfindungen von Dampfmaschine, mechanischem Webstuhl, Eisenbahn, Elektromotor, . . . , gewann auch eine Maschinendynamik an Bedeutung. Nachdem die ersten Dampfkessel mit verheerenden Folgen barsten, wurden systematische Berechnungen durchgeführt und Richtlinien erarbeitet. Der Respekt vor den gewaltigen kinetischen Energien in rotierenden Maschinen unterstützte dieses Bemühen nachhaltig. Die Erfindung des Hubkolbenmotors führte zur klassischen Maschinendynamik mit den Kernthemen: Schwungräder, Massenausgleich, Schwingungen und Regler. Obwohl die theoretischen Grundlagen schon geschaffen waren, fehlte es an Möglichkeiten, diese praktisch umzusetzen. Man war darauf angewiesen, die realen komplizierten Sachverhalte so weit zu vereinfachen, dass sie mit griffigen Formeln beschreibbar wurden. Dabei mussten oft schwerwiegende Vernachlässigungen in Kauf genommen werden. Eine Bewertung dynamischer Vorgänge erfolgte meist bei Betrachtung des stationären Sonderfalls. Die stürmische Entwicklung elektronischer Rechner trieb die gesamte Wissenschaft voran. Ab etwa 1960 entstanden leistungsfähige computerorientierte Berechnungsverfahren, wie die Methode der finiten Elemente (FEM) und numerische Programmbibliotheken. Allerdings war die Handhabung noch umständlich und zeitraubend. Der Durchbruch erfolgte mit der Entwicklung des Personal Computers. Heute stehen dem Ingenieur alle Hilfsmittel, wie Compiler, Programmbibliotheken, FE-Programme, CAD-Systeme, Graphik- und Textverarbeitungsprogramme . . . , in anwenderfreundlicher Art zur Verfügung. Neu hinzu gekommen sind ab etwa 1985 Mehrkörperprogrammsysteme. Mit diesem Werkzeug können die im Allgemeinen nichtlinearen Bewegungsdifferentialgleichungen räumlicher Gebilde, Fahrzeuge beispielsweise, aufgestellt und gelöst werden. Man bezeichnet dies als Simulation.

2

1. Einführung

Diese Möglichkeiten befähigen den Ingenieur zur Lösung hoch komplexer Aufgaben. Damit dies auch erfolgreich abgewickelt werden kann, sind stets zwei Anforderungen zu erfüllen. Das erste Problem, das zu bewältigen ist, besteht in der formal richtigen Anwendung des ausgewählten Programmsystems. Die zweite, wichtigere Aufgabe, ist die Bewertung der erzeugten Ergebnisse. Und dies erfordert ein hohes Maß an Grundlagenwissen. Die richtige Reproduktion von Übungsbeispielen aus dem Bedienungshandbuch reicht dazu nicht aus. In diesem Zusammenhang gewinnt die Modellierung an Bedeutung. Ein Modell ist ein ideales Abbild des realen Gegenstandes. Es entsteht durch Beschränkung auf das Wesentliche. Dadurch wird ein konkretes technisches Problem erst mathematisch beschreibbar. So wird beispielsweise eine Maschine, ein Fahrzeug, ein Bauwerk und dergleichen durch Idealisierung in ein physikalisches Ersatzsystem verwandelt. Die Anwendung von Lehrsätzen der Mechanik führt zu einem mathematischem Modell und daraus entsteht letztlich ein numerisches Rechenmodell. Verfügbare Simulationsprogramme unterstützen diese Arbeit. Die Interpretation und die Bewertung derartiger Simulationsergebnisse bleibt nach wie vor dem Ingenieur überlassen. Der Detaillierungsgrad eines Modells hängt wesentlich von der Aufgabenstellung ab. Interessiert beispielsweise das Hub- und Nickschwingungsverhalten eines Fahrzeuges, ist es für eine erste Abschätzung nicht erforderlich, den Rahmen, die Karosserie als elastischen Körper zu betrachten. Es ist einfacher, anhand von Konstruktionsunterlagen ein detailliertes Computermodell zu erstellen, als ein stark vereinfachtes Modell zu entwickeln, welches die wesentlichen Eigenschaften enthält. Unterstellt man, dass beide Vorgehensweisen zu vergleichbaren Resultaten führen, ist eine Interpretation der Ergebnisse anhand des vereinfachten Modells einfacher, da es frei von überflüssigen Informationen ist. Während die erste Vorgehensweise mehr formalen Charakter hat, erfordert die zweite sehr viel Sachkenntnis. In der Praxis schätzt man daher Modelle unterschiedlicher Detaillierungstiefe. Ein weiterer Aspekt ist der Vergleich mit Versuchs- bzw. Messergebnissen. Eine Modellverifikation erfolgt stets anhand von Tests, was beispielsweise in der Luft- und Raumfahrt zwingend vorgeschrieben ist. Ein Vergleich von simulierten mit gemessenen Daten ist nicht so einfach. Während ein Rechenmodell Ergebnisse, beispielsweise in Form von Antwortbeschleunigungen infolge einer definierten Anregung, an sehr vielen Strukturpunkten liefert, können Beschleunigungssensoren aus unterschiedlichen Gründen nur an ausgewählten Stellen appliziert werden. Hier stellt sich die Frage, wo sind die relevanten Messstellen und wie wird der Vergleich eigentlich durchgeführt? Auch diese Fragestellungen erfordern gute Kenntnisse auf dem Gebiet der Maschinendynamik.

1.1

Aufgaben der Maschinendynamik

Die Anwendung der Verfahren der Dynamik auf Problemstellungen im Maschinen- und Fahrzeugbau wäre eine komprimierte Formulierung der Aufgabe für eine Maschinendynamik. Die Vorgehensweise sei an einem typischen Beispiel erläutert. Die zweifach gelagerte Welle trägt drei Scheiben, von denen die mittlere eine Massenexzentrizität aufweist. Dieser Rotor wird durch einen Elektromotor über einen Keilriemen angetrieben. Das System ist auf einem Maschinentisch montiert.

1.1 Aufgaben der Maschinendynamik

3

Abbildung 1.1: Elektrisch angetriebener Rotor montiert auf Maschinentisch.

Aus dem Blickwinkel der Maschinendynamik ergibt sich Folgendes: • Es handelt sich bereits um ein physikalisches Ersatzmodell, dessen äußeres Erscheinungsbild sich nur wenig von der Wirklichkeit unterscheidet. • Bei still stehendem Motor wird das System nur durch die Gewichtskräfte belastet. • Dreht sich der Motor, um die Welle auf die geforderte Nenndrehzahl zu beschleunigen, wirkt an der mittleren Scheibe eine statische Unwucht. Diese entsteht durch die angebrachte Zusatzmasse, da sich der Scheibenschwerpunkt dadurch vom Mittelpunkt entfernt hat. Die Zentrifugalkräfte versuchen die elastische Welle zu verbiegen, es bilden sich Rückstellkräfte, die Welle schwingt. • Dadurch entstehen kinetische Lagerkr¨afte, die den statischen überlagert sind. • Aufgrund der Massenträgheit werden benachbarte Wellenebenen gegeneinander verdreht. Es entstehen zeitlich ver¨anderliche Drehwinkel, die dem Rotordrehwinkel überlagert sind, die Welle führt Torsionsschwingungen aus. Treten am Motor Drehmomentenschwankungen auf, wird dies sofort auf die Welle übertragen. • Diese Biege- und Drehschwingungen übertragen sich auf den elastischen Maschinentisch. Außerdem werden Störkräfte in das Fundament eingeleitet. Die Aufgabe besteht nun darin, Modelle zu erstellen oder auszuwählen, um das dynamische Verhalten analysieren zu können. Dazu gehören als wichtigste Kenngrößen die Eigenfrequenzen. Also muss überlegt werden, wie diese ermittelt werden können und welcher Aufwand dazu erforderlich ist. Anhand der Eigenfrequenzen kann schon eine erste Abschätzung des Betriebsverhaltens vorgenommen werden. Die Schwingungsausschläge in Form von Beschleunigungen,

4

1. Einführung

Geschwindigkeiten, Wegen und Kräften werden hauptsächlich vom Antrieb, aber auch von der Last der Arbeitsmaschine, geprägt. Somit kann es erforderlich sein, ein dynamisches Modell des Elektromotors zu entwickeln. Auf diese Weise entsteht eine Interaktion zwischen den mechanischen und den elektrischen Systemparametern, die es zu berücksichtigen gilt. Nachdem eine Analyse des Istzustandes erfolgt ist, wird man sich Gedanken machen müssen, wie die kinetischen Lagerreaktionen zu minimieren sind. Dazu gehört eine Korrektur der Massenverteilung, denn nur ein ausgewuchteter Rotor läuft störungsfrei. Die Aufgabe könnte auch in der Einhaltung vorgegebener Auslegungskriterien bestehen, beispielsweise: . . . wie muss die Welle bemessen und gelagert werden, damit die erste Biege- oder Torsionseigenfrequenz einen bestimmten Wert annimmt. Es wird ersichtlich, dass die Maschinendynamik nicht nur angewandte Mechanik ist, sondern eng mit anderen Fachgebieten, traditionell mit der Elektrotechnik und der Regelungstechnik, verwoben ist. Eine heutige Maschinendynamik ist mit den Gebieten Elektronik, Informatik, Numerik und Messtechnik verbunden.

Vorwort Maschinendynamik ist ein anwendungsbezogenes Fachgebiet, das längst seinen festen Platz als eigenständiges Lehrfach im Rahmen des Maschinenbaustudiums an den Hochschulen gefunden hat. Bedingt durch die beim Betrieb von rotierenden Maschinen auftretenden Erscheinungen, enthält das Fach Maschinendynamik einen großen Anteil an Technischer Mechanik, Strukturmechanik und Schwingungslehre. Angrenzende Fachgebiete sind Elektrotechnik, Regelungstechnik und Numerische Mathematik. Da reale Maschinen äußerst komplex sind, spielt die Modellbildung eine erhebliche Rolle. Eine typische Aufgabe der Maschinendynamik besteht in der Bestimmung der Belastungen bei unterschiedlichen Betriebszuständen, was durch Messung oder durch Simulation erfolgen kann. Damit wird bereits deutlich, dass sowohl die Modellbildung als auch die Interpretation und Bewertung von Untersuchungsergebnissen ein hohes Maß an Grundlagenwissen erfordert. Die mehr formale Anwendung verfügbarer Rechenprogramme auf Problemstellungen der Maschinendynamik führt nicht zum Ziel. Das vorliegende Buch behandelt die Grundlagen der Maschinendynamik. Es gliedert sich in acht Kapitel. Nach Formulierung typischer Problemstellungen werden die wichtigsten kinematischen Beziehungen zusammengestellt und anhand anwendungsorientierter Beispiele dargelegt. Das dritte Kapitel befasst sich mit den Verfahren zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen sowie der Modellbildung. Basierend auf dem Prinzip der virtuellen Arbeit werden die direkten Methoden zur Bildung von Nachgiebigkeits- und Steifigkeitsbeziehungen erläutert und auf praxisbezogene Aufgabenstellungen angewandt. Die zum Verständnis der Maschinendynamik erforderlichen Grundlagen der Schwingungstechnik werden im vierten Kapitel behandelt. Ausführlich wird das Schwingungsverhalten bei unterschiedlichen Anregungsarten dargelegt und durch praktische Beispiele vertieft. Im fünften Kapitel werden lineare Systeme betrachtet. Neben direkten Lösungsmethoden werden modale Verfahren vorgestellt. Anwendungsbezogene Aufgabenstellungen werden geschlossen und auf numerischem Weg bearbeitet. Da der Antrieb einen erheblichen Einfluss auf das Verhalten des Gesamtsystems hat und oftmals die Wechselwirkung zwischen dem mechanischen Teil des Systems und dem Motor zu berücksichtigen ist, scheint es sinnvoll, auf die mechanisch-elektrische Analogie näher einzugehen. Als praktisches Anwendungsbeispiel dafür wird das dynamische Verhalten von Drehstrommotoren simuliert. Im sechsten Kapitel wird das Verhalten schwingungsfähiger Systeme beim Vorhandensein von statischen und dynamischen Unwuchten untersucht. Dem schließt sich eine Betrachtung über die Grundlagen des Auswuchtens starrer Rotoren an. Die beiden letzten Kapitel befassen sich mit dem Biege- und Drehschwingungsverhalten rotierender Wellen. Zunächst wird die glatte Welle, gewissermaßen als Referenz, als Kontinuum betrachtet. Sodann werden diskretisierte Rotormodelle untersucht. Nach den Vorbereitungen vorangegangener Abschnitte bereitet es keine Schwierigkeiten, die finite Elementmethode auf die Modelle anzuwenden. Somit ist es möglich, die zentrale Frage nach den biege- und torsions-

VI

Vorwort

kritischen Drehzahlen für Rotoren mit unterschiedlichen Wellendurchmessern und beliebiger Massen- und Steifigkeitsverteilung, zu beantworten. Die dem Verständnis dienenden praxisorientierten Beispiele erfordern teilweise die Unterstützung durch den Rechner. Während die Modellbildung stets von Hand erfolgt, werden Eigenfrequenzen, Eigenschwingungsformen, Simulationsergebnisse und Formelauswertungen mit Computerprogrammen erzeugt. Im Anhang findet sich eine kurze Zusammenfassung über die Matrizenrechnung. München

U. Hollburg

Inhaltsverzeichnis 1

Einführung

1

1.1

Aufgaben der Maschinendynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

2

Kinematik

5

2.1 2.1.1 2.1.2

Bewegung des materiellen Punktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begleitendes Dreibein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Darstellung der Bewegung in ebenen Polarkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 5 9

2.2 2.2.1 2.2.2 2.2.3 2.2.4 2.2.5

Bewegung des starren Körpers im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Koordinatentransformationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kardanwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eulerwinkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Geschwindigkeiten und Beschleunigungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativbewegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 12 13 15 21 23

2.3

Momentanpol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

2.4 2.4.1 2.4.2 2.4.3 2.4.4 2.4.5 2.4.6 2.4.7 2.4.8

Kinematik von Koppelgetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufbau von Koppelgetrieben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Laufgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Graphische Ermittlung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen. . . . . . . . . Geschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Beschleunigungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung des kinematischen Übertragungsverhaltens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Übertragungsfunktionen für Koppel- und Schwingendrehwinkel . . . . . . . . . . . . . . . Winkelgeschwindigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27 28 29 30 30 32 36 37 39

3

Verfahren der Dynamik

45

3.1 3.1.1 3.1.2 3.1.3 3.1.4 3.1.5

Dynamische Grundgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Schwerpunktsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Drallsatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Massenträgheitsmomente von zusammengesetzten Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hauptachsentransformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Eulersche Kreiselgleichungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45 45 47 49 51 52

3.2 3.2.1 3.2.2 3.2.3 3.2.4

Prinzip der virtuellen Arbeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzip der virtuellen Verrückungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D’Alembertsches Prinzip in der Lagrangeschen Fassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prinzip der virtuellen Kräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Berechnung statisch unbestimmter Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56 57 57 60 64

VIII

Inhaltsverzeichnis

3.2.5 3.2.6

Nachgiebigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Steifigkeiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.3

Lagrangesche Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

4

Grundlagen der Schwingungstechnik

4.1

Schwinger mit einem Freiheitsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.2

Modellbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

4.3

Bewegungsdifferentialgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

4.4

Lösung der Bewegungsgleichung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.5

Eigenschwingungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.6 4.6.1 4.6.2 4.6.3 4.6.4 4.6.5 4.6.6

Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Kraftanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fußpunktanregung über Feder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fußpunktanregung über Dämpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fliehkraftanregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anregung durch Beschleunigungskräfte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.7

Verhalten in der Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

4.8 4.8.1 4.8.2

Schwingungsisolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Aktive Schwingungsisolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 Passive Schwingungsisolation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

4.9

Periodische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

4.10 4.10.1

Nichtperiodische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 Lösung mit dem Faltungsintegral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

4.11 4.11.1

Transiente Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134 Stoßartige Belastungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

4.12

Darstellung im Frequenzbereich . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

5

Lineare Schwingungssysteme

5.1

Struktur der Bewegungsdifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

5.2 5.2.1

Schwingerkette . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147 Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

5.3

Verzweigte Systeme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

5.4 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.4.4

Eigenschwingungsverhalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Ungedämpfte Eigenschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 Gedämpfte Eigenschwingungen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 Symmetrisches Eigenwertproblem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163 Transformation in eine spezielle Eigenwertaufgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164

79

88 88 92 94 95 97 99

145

Inhaltsverzeichnis

IX

5.4.5 5.4.6

Orthogonalitätsbedingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 Eigenwerte der Zustandsmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167

5.5 5.5.1 5.5.2

Auswahl der Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Jacobi-Verfahren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 Simultane Vektoriteration. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

5.6 5.6.1 5.6.2 5.6.3

Modale Transformation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Konservatives Ersatzsystem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Gedämpftes Schwingungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 Proportionale Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

5.7 5.7.1 5.7.2 5.7.3

Schwingungsantwort bei äußerer Anregung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Direkte Lösung bei harmonischer Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 Direkte Lösung bei beliebiger Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 Modale Analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189

5.8

Schwingungstilgung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194

5.9 5.9.1 5.9.2 5.9.3

Mechanisch-elektrische Analogie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 Spannungsdifferentialgleichungen des Asynchronmotors . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 Drehmomentenbildung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205 Normierung der Spannungsdifferentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

6

Unwuchterregte Schwingungen

6.1

Statische Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

6.2

Dynamische Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213

6.3

Statische und dynamische Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

6.4 6.4.1 6.4.2

Auswuchten starrer Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 Kompensation der kinetischen Lagerreaktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 Korrektur der Massenverteilung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 227

6.5 6.5.1 6.5.2 6.5.3 6.5.4 6.5.5 6.5.6

Elastisch gelagerter starrer Rotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Bewegungsverhalten scheibenförmiger Rotoren. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 Instationärer Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Betrieb im Nennzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 Bewegungsverhalten zylindrischer Rotoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 240 Instationärer Zustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244 Nennzustand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 245

6.6 6.6.1 6.6.2 6.6.3 6.6.4 6.6.5 6.6.6

Elastische Plattform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 Kinematische Beziehungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252 Rückstellkräfte und -momente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254 Schwerpunktsatz im raumfesten Koordinatensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Drallsatz im körperfesten Hauptachsensystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 Zusammenfassende Darstellung der Bewegungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255

211

X

Inhaltsverzeichnis

7

Biegeschwingungen von Wellen

257

7.1 7.1.1

Der transversal schwingende Balken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 257 Eigenschwingungsverhalten des transversal schwingenden Balkens . . . . . . . . . . . . 259

7.2 7.2.1 7.2.2 7.2.3

Ortsdiskretisierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261 Elementmatrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 Gesamtsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266 Element mit Massenexzentrizität und Kreiselwirkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 270

7.3 7.3.1 7.3.2

Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 273 Ansätze für die äußere und innere Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 Bewegungsgleichung mit Dämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

7.4

Biegekritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

7.5

Schwingungsantwort beim Betrieb der Welle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 279

8

Drehschwingungen von Wellen

8.1 8.1.1

Der Drehstab als Kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283 Eigenkreisfrequenzen und Eigenfunktionen. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

8.2 8.2.1 8.2.2 8.2.3

Diskrete Torsionsschwingungsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Finites Torsionsschwingungsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 Einzeldrehmassenmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290 Verzweigter Torsionsstrang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

8.3

Torsionskritische Drehzahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 296

8.4 8.4.1 8.4.2

Erzwungene Torsionsschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Harmonische Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298 Beliebige Anregung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

9

Aufgaben

305

A

Matrizen

331

A.1 A.1.1 A.1.2 A.1.3 A.1.4 A.1.5 A.1.6 A.1.7 A.1.8 A.1.9

Definition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Schreibweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Anordnungen von Zeilen und Spalten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331 Diagonalmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Bandmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Nullmatrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Einheitsmatrix, Kronecker-δ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Transponierte Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Symmetrische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332 Determinante einer Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

A.2 A.2.1 A.2.2

Rechenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Gleichheit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Summe und Differenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333

283

Inhaltsverzeichnis

XI

A.2.3 A.2.4 A.2.5 A.2.6

Multiplikation mit einem Skalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Matrizenmultiplikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333 Quadratische Form . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Bilinearform . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334

A.3 A.3.1 A.3.2

Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334 Entwicklung mehrreihiger Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Rechenregeln für Determinanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335

A.4 A.4.1

Inverse Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 335 Berechnung der inversen Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

A.5

Orthogonale Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

A.6 A.6.1

Komplexe Matrizen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336 Hermitische Matrix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 336

A.7

Beispiele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337

B

Symbole

341

Literaturverzeichnis

345

Sachverzeichnis

348

1

Einführung

Der Begriff Maschinendynamik erklärt sich fast von allein. Weist doch das zweite Substantiv, Dynamik [von grch. dynamos], auf die Kraft und ihre Wirkung hin. Als Teilgebiet der Mechanik setzt sich die Dynamik aus den Fächern Statik und Kinetik zusammen. Also wird in der Maschinendynamik die Wechselwirkung zwischen den Bewegungen und den dafür verantwortlichen Kräften untersucht. Obwohl die Mechanik [von grch. mechanike techne] eine der ältesten Wissenschaften ist, das Wort stammt wahrscheinlich von Aristoteles, findet eine ernsthafte Anwendung auf Maschinen erst ab dem Ende des 18. Jhs. statt. Zu diesem Zeitpunkt war das Gebäude der klassischen Mechanik durch Newton, Leibniz, Euler, D’Alembert, Lagrange, den Bernoullis, Hamilton und vielen anderen, errichtet. Außerdem begann sich langsam eine Messtechnik zu entwickeln. Beides, die Theorie und das Experiment, waren und sind Voraussetzungen für das Betreiben einer Wissenschaft. Mit Beginn der Industrialisierung seit Mitte des 19. Jhs. und den Erfindungen von Dampfmaschine, mechanischem Webstuhl, Eisenbahn, Elektromotor, . . . , gewann auch eine Maschinendynamik an Bedeutung. Nachdem die ersten Dampfkessel mit verheerenden Folgen barsten, wurden systematische Berechnungen durchgeführt und Richtlinien erarbeitet. Der Respekt vor den gewaltigen kinetischen Energien in rotierenden Maschinen unterstützte dieses Bemühen nachhaltig. Die Erfindung des Hubkolbenmotors führte zur klassischen Maschinendynamik mit den Kernthemen: Schwungräder, Massenausgleich, Schwingungen und Regler. Obwohl die theoretischen Grundlagen schon geschaffen waren, fehlte es an Möglichkeiten, diese praktisch umzusetzen. Man war darauf angewiesen, die realen komplizierten Sachverhalte so weit zu vereinfachen, dass sie mit griffigen Formeln beschreibbar wurden. Dabei mussten oft schwerwiegende Vernachlässigungen in Kauf genommen werden. Eine Bewertung dynamischer Vorgänge erfolgte meist bei Betrachtung des stationären Sonderfalls. Die stürmische Entwicklung elektronischer Rechner trieb die gesamte Wissenschaft voran. Ab etwa 1960 entstanden leistungsfähige computerorientierte Berechnungsverfahren, wie die Methode der finiten Elemente (FEM) und numerische Programmbibliotheken. Allerdings war die Handhabung noch umständlich und zeitraubend. Der Durchbruch erfolgte mit der Entwicklung des Personal Computers. Heute stehen dem Ingenieur alle Hilfsmittel, wie Compiler, Programmbibliotheken, FE-Programme, CAD-Systeme, Graphik- und Textverarbeitungsprogramme . . . , in anwenderfreundlicher Art zur Verfügung. Neu hinzu gekommen sind ab etwa 1985 Mehrkörperprogrammsysteme. Mit diesem Werkzeug können die im Allgemeinen nichtlinearen Bewegungsdifferentialgleichungen räumlicher Gebilde, Fahrzeuge beispielsweise, aufgestellt und gelöst werden. Man bezeichnet dies als Simulation.

2

1. Einführung

Diese Möglichkeiten befähigen den Ingenieur zur Lösung hoch komplexer Aufgaben. Damit dies auch erfolgreich abgewickelt werden kann, sind stets zwei Anforderungen zu erfüllen. Das erste Problem, das zu bewältigen ist, besteht in der formal richtigen Anwendung des ausgewählten Programmsystems. Die zweite, wichtigere Aufgabe, ist die Bewertung der erzeugten Ergebnisse. Und dies erfordert ein hohes Maß an Grundlagenwissen. Die richtige Reproduktion von Übungsbeispielen aus dem Bedienungshandbuch reicht dazu nicht aus. In diesem Zusammenhang gewinnt die Modellierung an Bedeutung. Ein Modell ist ein ideales Abbild des realen Gegenstandes. Es entsteht durch Beschränkung auf das Wesentliche. Dadurch wird ein konkretes technisches Problem erst mathematisch beschreibbar. So wird beispielsweise eine Maschine, ein Fahrzeug, ein Bauwerk und dergleichen durch Idealisierung in ein physikalisches Ersatzsystem verwandelt. Die Anwendung von Lehrsätzen der Mechanik führt zu einem mathematischem Modell und daraus entsteht letztlich ein numerisches Rechenmodell. Verfügbare Simulationsprogramme unterstützen diese Arbeit. Die Interpretation und die Bewertung derartiger Simulationsergebnisse bleibt nach wie vor dem Ingenieur überlassen. Der Detaillierungsgrad eines Modells hängt wesentlich von der Aufgabenstellung ab. Interessiert beispielsweise das Hub- und Nickschwingungsverhalten eines Fahrzeuges, ist es für eine erste Abschätzung nicht erforderlich, den Rahmen, die Karosserie als elastischen Körper zu betrachten. Es ist einfacher, anhand von Konstruktionsunterlagen ein detailliertes Computermodell zu erstellen, als ein stark vereinfachtes Modell zu entwickeln, welches die wesentlichen Eigenschaften enthält. Unterstellt man, dass beide Vorgehensweisen zu vergleichbaren Resultaten führen, ist eine Interpretation der Ergebnisse anhand des vereinfachten Modells einfacher, da es frei von überflüssigen Informationen ist. Während die erste Vorgehensweise mehr formalen Charakter hat, erfordert die zweite sehr viel Sachkenntnis. In der Praxis schätzt man daher Modelle unterschiedlicher Detaillierungstiefe. Ein weiterer Aspekt ist der Vergleich mit Versuchs- bzw. Messergebnissen. Eine Modellverifikation erfolgt stets anhand von Tests, was beispielsweise in der Luft- und Raumfahrt zwingend vorgeschrieben ist. Ein Vergleich von simulierten mit gemessenen Daten ist nicht so einfach. Während ein Rechenmodell Ergebnisse, beispielsweise in Form von Antwortbeschleunigungen infolge einer definierten Anregung, an sehr vielen Strukturpunkten liefert, können Beschleunigungssensoren aus unterschiedlichen Gründen nur an ausgewählten Stellen appliziert werden. Hier stellt sich die Frage, wo sind die relevanten Messstellen und wie wird der Vergleich eigentlich durchgeführt? Auch diese Fragestellungen erfordern gute Kenntnisse auf dem Gebiet der Maschinendynamik.

1.1

Aufgaben der Maschinendynamik

Die Anwendung der Verfahren der Dynamik auf Problemstellungen im Maschinen- und Fahrzeugbau wäre eine komprimierte Formulierung der Aufgabe für eine Maschinendynamik. Die Vorgehensweise sei an einem typischen Beispiel erläutert. Die zweifach gelagerte Welle trägt drei Scheiben, von denen die mittlere eine Massenexzentrizität aufweist. Dieser Rotor wird durch einen Elektromotor über einen Keilriemen angetrieben. Das System ist auf einem Maschinentisch montiert.

1.1 Aufgaben der Maschinendynamik

3

Abbildung 1.1: Elektrisch angetriebener Rotor montiert auf Maschinentisch.

Aus dem Blickwinkel der Maschinendynamik ergibt sich Folgendes: • Es handelt sich bereits um ein physikalisches Ersatzmodell, dessen äußeres Erscheinungsbild sich nur wenig von der Wirklichkeit unterscheidet. • Bei still stehendem Motor wird das System nur durch die Gewichtskräfte belastet. • Dreht sich der Motor, um die Welle auf die geforderte Nenndrehzahl zu beschleunigen, wirkt an der mittleren Scheibe eine statische Unwucht. Diese entsteht durch die angebrachte Zusatzmasse, da sich der Scheibenschwerpunkt dadurch vom Mittelpunkt entfernt hat. Die Zentrifugalkräfte versuchen die elastische Welle zu verbiegen, es bilden sich Rückstellkräfte, die Welle schwingt. • Dadurch entstehen kinetische Lagerkr¨afte, die den statischen überlagert sind. • Aufgrund der Massenträgheit werden benachbarte Wellenebenen gegeneinander verdreht. Es entstehen zeitlich ver¨anderliche Drehwinkel, die dem Rotordrehwinkel überlagert sind, die Welle führt Torsionsschwingungen aus. Treten am Motor Drehmomentenschwankungen auf, wird dies sofort auf die Welle übertragen. • Diese Biege- und Drehschwingungen übertragen sich auf den elastischen Maschinentisch. Außerdem werden Störkräfte in das Fundament eingeleitet. Die Aufgabe besteht nun darin, Modelle zu erstellen oder auszuwählen, um das dynamische Verhalten analysieren zu können. Dazu gehören als wichtigste Kenngrößen die Eigenfrequenzen. Also muss überlegt werden, wie diese ermittelt werden können und welcher Aufwand dazu erforderlich ist. Anhand der Eigenfrequenzen kann schon eine erste Abschätzung des Betriebsverhaltens vorgenommen werden. Die Schwingungsausschläge in Form von Beschleunigungen,

4

1. Einführung

Geschwindigkeiten, Wegen und Kräften werden hauptsächlich vom Antrieb, aber auch von der Last der Arbeitsmaschine, geprägt. Somit kann es erforderlich sein, ein dynamisches Modell des Elektromotors zu entwickeln. Auf diese Weise entsteht eine Interaktion zwischen den mechanischen und den elektrischen Systemparametern, die es zu berücksichtigen gilt. Nachdem eine Analyse des Istzustandes erfolgt ist, wird man sich Gedanken machen müssen, wie die kinetischen Lagerreaktionen zu minimieren sind. Dazu gehört eine Korrektur der Massenverteilung, denn nur ein ausgewuchteter Rotor läuft störungsfrei. Die Aufgabe könnte auch in der Einhaltung vorgegebener Auslegungskriterien bestehen, beispielsweise: . . . wie muss die Welle bemessen und gelagert werden, damit die erste Biege- oder Torsionseigenfrequenz einen bestimmten Wert annimmt. Es wird ersichtlich, dass die Maschinendynamik nicht nur angewandte Mechanik ist, sondern eng mit anderen Fachgebieten, traditionell mit der Elektrotechnik und der Regelungstechnik, verwoben ist. Eine heutige Maschinendynamik ist mit den Gebieten Elektronik, Informatik, Numerik und Messtechnik verbunden.

2

Kinematik

In diesem Abschnitt werden die aus der Mechanik bekannten Grundlagen der Kinematik vertieft und erweitert. Es werden Transformationen vom raumfesten ins körperfeste Koordinatensystem behandelt, um die Bewegung starrer Körper im Raum beschreiben zu können. Zur Ermittlung des kinematischen Übertragungsverhaltens von ebenen Koppelgetrieben werden rechnerische und zeichnerische Methoden bereitgestellt.

2.1

Bewegung des materiellen Punktes

Bewegt sich ein Punkt P auf einer räumlichen Bahn s(t), so kann seine Lage eindeutig in einem raumfesten Koordinatensystem durch den Ortsvektor r(t) = rx (t) + ry (t) + rz (t) = r x (t) · ex + r y (t) · ey + r z (t) · ez = {r x (t); r y (t); r z (t)},

(2.1)

bestimmt werden. Durch Differentiation nach der Zeit erhält man den Geschwindigkeitsvektor r˙ = v(t) = vx (t) + vy (t) + vz (t) = {˙r x (t);

r˙y (t);

r˙z (t)}

(2.2)

r¨y (t);

r¨z (t)}.

(2.3)

und den Beschleunigungsvektor r¨ = a(t) = ax (t) + ay (t) + az (t) = {¨r x (t);

Abbildung 2.1: Lage des materiellen Punktes P in einem räumlichen Koordinatensystem.

2.1.1

Begleitendes Dreibein

Der Bewegungsablauf kann besser interpretiert werden, wenn man die Beschreibung in körperfesten Koordinaten vornimmt. Der Geschwindigkeitsvektor als erste zeitliche Ableitung

6

2. Kinematik

des Ortsvektors tangiert demzufolge die Bahnkurve. Damit kann der Tangenteneinheitsvektor gebildet werden et =

v . | v |

(2.4)

Die Geschwindigkeit des Punktes P lässt sich damit sehr einfach deuten als der Betrag der Bahngeschwindigkeit, der in Richtung Bahntangente weist v = v · et .

(2.5)

Die Beschleunigung erhält man durch Differentiation dieser Geschwindigkeit. Allerdings ist zu beachten, dass die Einheitsvektoren körperfester Koordinatensysteme von der Zeit abhängig sind, genauer von s(t). Demnach setzt sich der Beschleunigungsvektor aus zwei Teilen zusammen a = v˙ = v˙ · et + v · e˙t

= v˙ · et + v ·

d et ds · ds dt

= v˙ · et + v2 ·

d et . ds

(2.6)

Nun ist die Ableitung des Tangenteneinheitsvektors nach dem Bogenelement ds definiert durch d et = κ · en . ds

(2.7)

Darin ist κ die Krümmung der Raumkurve und en der Normaleneinheitsvektor, der stets zum Krümmungsmittelpunkt der Bahnkurve weist. Damit lautet der Beschleunigungsvektor a = v˙ · et + v2 · κ · en = at + an .

(2.8)

Der Beschleunigungsvektor besteht also aus zwei Anteilen, der Tangentialkomponente at und der zum Krümmungsmittelpunkt gerichteten Normal- oder Radialkomponente an . Aus den beiden Einheitsvektoren kann durch Vektorproduktbildung der Binormalenvektor eb = et × en

(2.9)

erzeugt werden. Die Vektoren et , en und eb , bilden in dieser Reihenfolge ein Rechtssystem und werden als begleitendes Dreibein bezeichnet. In den Beziehungen (2.5) und (2.8) sind die Sonderfälle der geradlinigen Bewegung und der Kreisbewegung mit konstantem Radius enthalten: • Geradlinige Bewegung im Raum: mit v˙ = s¨ ergibt sich a = s¨ · et , die Translationsbeschleunigung, • Kreisbewegung mit Radius R und Winkelgeschwindigkeit ω(t): mit κ = R1 erhält man die Tangentialbeschleunigung und die Zentripetalbeschleunigung in der Form a = ω˙ · R · et + ω2 · R · en .

2.1 Bewegung des materiellen Punktes

7

Abbildung 2.2: Begleitendes Dreibein.

Für eine vorgelegte Raumkurve in Parameterdarstellung gemäß (2.1) werden die Einheitsvektoren wie folgt berechnet: et =

r˙ , | r˙ |

(2.10)

en =

e˙t | e˙t |

(2.11)

sowie der Binormalenvektor nach (2.9). Benötigt werden noch die Krümmung κ der Bahnkurve sowie die Lage des Krümmungsmittelpunktes rM 1 | e˙t | , = R | r˙ |

(2.12)

rM = r + R · en .

(2.13)

κ=

Der Vollständigkeit halber wird noch auf folgenden Sachverhalt eingegangen: Während die Krümmung als Maß für die Abweichung vom geradlinigen Verlauf angesehen werden kann, ist die Torsion T einer Raumkurve ein Maß für die Abweichung vom ebenen Verlauf. Sie ist definiert durch T=

| e˙b | . | r˙ |

(2.14)

Bewegt sich der Punkt P auf einer Raumkurve, so erfährt das begleitende Dreibein et , en , eb eine Drehung. Die Drehachse heißt Darboux’scher Vektor ϑ = T · et + κ · eb .

(2.15)

8

2. Kinematik

Die Lageänderung des begleitenden Dreibeins in Abhängigkeit vom Bahnparameter s(t) wird durch die Formeln von Frenet beschrieben: d et = κ · en , ds d en = −κ · et + T · eb , ds d eb = −T · en . ds

(2.16) (2.17) (2.18)

Beispiel 2.1: Bewegung eines Punktes auf einer Raumkurve. Ein Punkt bewegt sich geführt auf einer Raumkurve mit der Parameterdarstellung entsprechend (2.1) r = {R · cos ϕ; R · sin ϕ; h ·

ϕ }. 2π

Es handelt sich um eine Schraubenlinie mit dem Grundkreisradius R und der Ganghöhe H = h/2π. Der Bahnparameter ist der zeitlich ver¨anderliche Drehwinkel ϕ(t). Gesucht sind begleitendes Dreibein, Geschwindigkeit und Beschleunigung nach Größe und Richtung.

Abbildung 2.3: Schraubenlinie.

Geg.: R = 5 m, h = 0,1 m, 0 ≤ ϕ ≤ 10π. Lösung: Man kann den Ortsvektor zweimal differenzieren und erhält somit die gesuchten Größen im raumfesten Koordinatensystem. Wenn man die Bewegung unter dem Einfluß von Kräften untersuchen möchte, ist es zweckmäßig, die kinematischen Zusammenhänge im bewegten Dreibein darzustellen. Dabei treten nur Komponenten in Richtung der Bahntangente

2.1 Bewegung des materiellen Punktes

9

und der Normalen auf. Gemäß Kapitel 2.1.1 sind die Richtungen durch den Tangenteneinheitsvektor et =

v , | v |

v = ϕ˙ · {−R · sin ϕ; R · cos ϕ; H},

| v | = ϕ˙ ·



R2 + H 2 ,

1 et = √ · {−R · sin ϕ; R · cos ϕ; H}, 2 a + H2

(2.19)

und den Normaleneinheitsvektor en =

e˙t , | e˙t |

−R · ϕ˙ e˙t = √ · {cos ϕ; sin ϕ; 0}, R2 + H 2

R · ϕ˙ | e˙t | = √ , R2 + H 2

en = −{cos ϕ; sin ϕ; 0}

(2.20)

gegeben. Damit lautet die Geschwindigkeit in Richtung der Bahntangente v = ϕ˙ ·



R2 + H 2 · et .

(2.21)

Den Binormalenvektor erhält man aus dem Vektorprodukt eb = et × en = √

1 R2

+ H2

· {H · sin ϕ; −H · cos ϕ; R}.

(2.22)

Zur Berechnung der Beschleunigung wird die Krümmung benötigt κ =

| e˙t | R . = 2 ˙ R + H2 | v |

(2.23)

Die Beschleunigungskomponenten in Richtung der Bahntangente und des Krümmungsmittelpunktes lauten damit a = v˙ · et + v2 · κ · en = ϕ¨ ·

2.1.2



R2 + H 2 · et + R · ϕ˙ 2 · en .

(2.24)

Darstellung der Bewegung in ebenen Polarkoordinaten

Bei Rotationen um eine feste Drehachse handelt es sich um Bewegungen, die in einer Ebene ablaufen. Zur kinematischen Beschreibung derartiger Vorgänge führt man zweckmäßig Koordinaten ein, welche die Drehbewegungen mitmachen. Betrachtet wird ein materieller Punkt mit variablen Abstand r(t) zur Drehachse, der mit ungleichförmiger Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ = ω(t) rotiert. Die Koordinatensysteme sind durch deren Einheitsvektoren definiert. Während ex , ey raumfest sind, rotiert das System er , eϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ω(t). Dabei

10

2. Kinematik

Abbildung 2.4: Körperfeste Koordinaten bei der ebenen Drehung.

ist er stets zum Punkt P gerichtet, während eϕ die Bahnkurve tangiert. Der radial gerichtete Vektor er entspricht dem negativen Normaleneinheitsvektor en des begleitenden Dreibeins. Der Zusammenhang zwischen den körperfesten und den raumfesten Koordinaten ist gegeben durch er = | er | · cos ϕ · ex + | er | · sin ϕ · ey

und

eϕ = − | eϕ | · sin ϕ · ex + | eϕ | · cos ϕ · ey , er = cos ϕ · ex + sin ϕ · ey ,

also

eϕ = − sin ϕ · ex + cos ϕ · ey .

(2.25)

Differenziert man diese Basisvektoren unter Beachtung der Kettenregel nach der Zeit, ergeben sich folgende wichtige Beziehungen d er dϕ e˙r = · = ϕ˙ · {− sin ϕ; cos ϕ} = ϕ˙ · eϕ , dϕ dt

(2.26)

d eϕ dϕ e˙ϕ = · = ϕ˙ · {− cos ϕ; − sin ϕ} = −ϕ˙ · er . dϕ dt

(2.27)

Der zum bewegten Punkt P weisende Ortsvektor kann damit einfach formuliert werden rP (t) = r(t) · er (t).

(2.28)

Durch Differentiation nach der Zeit erhält man den Geschwindigkeitsvektor. Dieser setzt sich zusammen aus der Relativgeschwindigkeit, mit der sich Punkt P radial bewegt, und der Tangentialgeschwindigkeit vP (t) = r˙ (t) · er (t) + r(t) · ϕ(t) ˙ · eϕ (t).

(2.29)

Nochmaliges Differenzieren liefert die vier Beschleunigungskomponenten aP (t) = [¨r (t) − r(t) · ϕ˙ 2 (t)] · er (t) + [r(t) · ϕ(t) · eϕ (t). ¨ + 2 · r˙ (t) · ϕ(t)] ˙

(2.30)

2.1 Bewegung des materiellen Punktes

.

.

rω

r

eϕ

P

er

ω

..

r

r

eϕ

r

rω

11

P er

2

rω

. 2r ω

ω

Abbildung 2.5: Geschwindigkeits- und Beschleunigungskomponenten von Punkt P.

Im Einzelnen bedeuten : r¨(t)

= Relativbeschleunigung

r(t) · ϕ˙ (t) = zum Drehpunkt gerichtete Zentripetalbeschleunigung r(t) · ϕ(t) = Tangentialbeschleunigung ¨ 2 · r˙(t) · ϕ(t) = Coriolisbeschleunigung. ˙ 2

Beispiel 2.2: Rotierender Stab mit beweglicher Einzelmasse, Abbildung 2.6. Ein Stab aus Stahl mit radial verschiebbarer Masse rotiert nach vorgegebenem Drehzahlgesetz, während sich die Masse mit konstanter Geschwindigkeit v0 verschiebt. An der Stelle a erreicht sie ihre Endposition. Welche Beschleunigungen treten an der Masse auf? Geg.: ωn = 31,4 1/s, tn = 0,8 s, a = 1,25 m, r(0) = r0 = 0,5 m, v0 = 0,15 m/s. Lösung: Der Bewegungsvorgang setzt sich aus zwei Zuständen, der Anlaufphase und dem Nennzustand zusammen. Die Masse hat vom Drehpunkt den Abstand r(t) = r0 + v0 · t, das Drehzahlgesetz im Bereich: 0 ≤ t ≤ tn lautet ω(t) =

ωn · t. tn

Abbildung 2.6: Rotierender Stab mit verschiebbarer Einzelmasse.

12

2. Kinematik Die Masse erreicht nach te =

a − r0 =5s v0

ihre Endposition. Auf die Masse wirken die Radialbeschleunigung ar (t) = −r(t) · ω2 (t) und die Tangentialbeschleunigung at (t) = r(t) ·

ωn + 2 · v0 · ω(t). tn

Am Ende des Anfahrvorganges, nach 0,8 s, betragen diese Beschleunigungen ar (0,8) = −611,3

m s2

und at (0,8) = 33,8

m . s2

Im Nennzustand hat die Masse ihre Endposition erreicht. Es tritt nur die Zentripetalbeschleunigung ar = −a · ω2n = 1232,5

m s2

auf.

Diese ruft am Drehpunkt eine Zugspannung hervor.

2.2

Bewegung des starren Körpers im Raum

Zur vollständigen Beschreibung der Bewegung eines starren Körpers im Raum gehören die Translationen, Ortsvektor rA , Geschwindigkeit vA , und Beschleunigung aA , sowie die rotatori˙ schen Größen Drehwinkel ϕ, Winkelgeschwindigkeit ω und Winkelbeschleunigung ω. Die Translationen werden im raumfesten Koordinatensystem (x R , y R , z R ) formuliert. Im Allgemeinen dreht sich das körperfeste System (x K , y K , z K ) gegenüber dem Referenzsystem um drei Achsen. Zur Beschreibung der Drehbewegung muss ein Zusammenhang zwischen dem körperfesten und dem raumfesten Koordinatensystem hergestellt werden.

2.2.1

Koordinatentransformationen

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, vom raumfesten ins körperfeste Koordinatensystem zu transformieren. Zur Herleitung von Transformationsvorschriften wird untersucht, wie sich ein Vektor in einem gedrehten Koordinatensystem darstellt. Bei der ebenen Rotation in Kapitel 2.1.2 wurde davon bereits Gebrauch gemacht. Da der Körper drei Rotationsfreiheitsgrade hat, muss um drei Koordinatenachsen gedreht werden. Zur Durchführung dieser orthogonalen Transformationen kann man die Kardanwinkel, die Winkel der Flugmechanik, die Eulerwinkel oder die Eulerparameter verwenden.

2.2 Bewegung des starren Körpers im Raum

13 ω

zK zR

yK xK

vA y

aA

A K

zK

zR r A

xK y

y

R

A

R

xR

xR

Abbildung 2.7: Bewegung des starren Körpers. z*

zR

z*

~ z

yK

~ y

y* α⋅

α

yR

xR

x* ~ x

γ⋅

β

⋅

β

y*

xK γ

~ x

~ z

Abbildung 2.8: Drehung der Koordinatensysteme mit Kardanwinkeln.

2.2.2

Kardanwinkel

Gegenüber der raumfesten Basis wird das Koordinatensystem (x ∗ , y∗ , z ∗ ) um den Winkel α mit der Winkelgeschwindigkeit α˙ positiv gedreht. Ein beliebiger Vektor habe im raumfesten System die Koordinaten {x R ; y R ; z R }. Im gedrehten System lauten seine Koordinaten ⎞ ⎛ R ⎞ ⎛ ∗ ⎞ ⎛ x 1 0 0 x ⎝ y∗ ⎠ = ⎝ 0 cos α sin α ⎠ · ⎝ y R ⎠ . (2.31) z∗ 0 − sin α cos α zR Diese Beziehung lautet in Matrizenschreibweise x∗ = Tα · x R .

(2.32)

Im zweiten Schritt wird das Koordinatensystem ( x,  y,  z ) gegenüber dem *-System um den Winkel β mit der Winkelgeschwindigkeit β˙ um die y∗ -Achse gedreht. Damit erhält man die Transformationsmatrix Tβ . Die entsprechende Transformationsvorschrift lautet jetzt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ∗ ⎞  x cos β 0 − sin β x ⎝  ⎠ · ⎝ y∗ ⎠ . y ⎠=⎝ 0 1 0 (2.33)  z sin β 0 cos β z∗  x = Tβ · x∗ .

(2.34)

14

2. Kinematik

Der letzte Schritt kann interpretiert werden, als eine Drehung des körperfesten Koordinatensystems um die  z -Achse mit dem Drehwinkel γ und der Winkelgeschwindigkeit γ˙ ⎛

⎞ ⎛ xK cos γ ⎝ y K ⎠ = ⎝ − sin γ 0 zK

sin γ cos γ 0

⎞ ⎛ ⎞ 0  x 0 ⎠·⎝  y ⎠. 1  z

(2.35)

x K = Tγ · x.

(2.36)

Setzt man die Transformationsvorschrift (2.32) in (2.34) ein, wird zun¨achst x∗ eliminiert. Mit diesem Ausdruck kann in (2.36) noch  x eliminiert werden x K = Tγ · Tβ · Tα · x R .

(2.37)

Damit erhält man die endgültige Form für die Transformation vom raumfesten ins körperfeste Koordinatensystem durch Multiplikation dieser drei Matrizen, genau in dieser Reihenfolge, d.h. von links nach rechts ⎛

⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ R ⎞ xK x cγ sγ 0 cβ 0 −sβ 1 0 0 ⎝ y K ⎠ = ⎝ −sγ cγ 0 ⎠ ⎝ 0 1 0 ⎠ ⎝ 0 cα sα ⎠ ⎝ y R ⎠ . 0 0 1 sβ 0 cβ 0 −sα cα zK zR

(2.38)

Zur Abkürzung wurden die trigonometrischen Funktionen Kosinus und Sinus durch die Buchstaben c und s ersetzt. Damit lautet die Transformationsmatrix ⎛

cαsγ + sαsβcγ cαcγ − sαsβsγ −sαcβ

cβcγ T = Tγ · Tβ · Tα = ⎝ −cβsγ sβ

⎞ sαsγ − cαsβcγ sαcγ + cαsβsγ ⎠ . cαcβ

(2.39)

Diese Matrix ist orthogonal, d.h. die Inverse ist gleich der Transponierten. Damit vereinfacht sich die Rücktransformation vom körperfesten ins raumfeste System. Zusammenfassend gilt (raumfest) → (körperfest)

:

xK

=

T · xR

(körperfest) → (raumfest)

:

xR

=

R · xK ,

(2.40)

wobei R = Tt die transponierte Matrix ist. Für kleine Drehwinkel können die Elemente der Transformationsmatrix linearisiert werden ⎛

1 T = ⎝ −γ β

γ 1 −α

⎞ −β α ⎠. 1

(2.41)

2.2 Bewegung des starren Körpers im Raum

15

Die Winkelgeschwindigkeiten α˙ und β˙ müssen ins körperfeste Koordinatensystem transformiert werden. Sie werden dort mit γ˙ zu einer Resultierenden zusammengefasst ⎛ K ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ωx 0 0 cγ sγ 0 ⎜ ωK ⎟ ⎝ 0 ⎠ + ⎝ −sγ cγ 0 ⎠ · ⎝ β˙ ⎠ ⎝ y ⎠= K γ 0 0 1 0 ˙ ωz ⎛

cγ + ⎝ −sγ 0

sγ cγ 0

⎞ ⎛ 0 cβ 0 ⎠·⎝ 0 1 sβ

⎞ ⎛ ωxK cβcγ ⎜ ωK ⎟ ⎝ −cβsγ ⎝ y ⎠= sβ ωzK

sγ cγ 0

⎞ ⎛ ⎞ α˙ 0 0 ⎠ · ⎝ β˙ ⎠ . 1 γ˙

⎛

0 1 0

⎞ ⎛ −sβ 0 ⎠·⎝ cβ

⎞ α˙ 0 ⎠. 0

(2.42)

(2.43)

Nur im einfachsten Fall, bei einem rotatorischen Freiheitsgrad, wenn beispielsweise α˙ = 0 und β˙ = 0 sind, verbleibt die bekannte Beziehung für die Winkelgeschwindigkeit, ω = γ˙ . Häufig wird für den Vektor der Winkelgeschwindigkeiten die linearisierte Form benötigt, etwa bei der Berechnung von Biegeschwingungen von Wellen ⎛ K ⎞ ⎛ ⎞ ωx α˙ + β˙ · γ ⎜ ωK ⎟ ⎝ ˙ (2.44) β − α˙ · γ ⎠ . ⎝ y ⎠= K γ + α · β ˙ ˙ ωz Die Winkelgeschwindigkeiten ω K können berechnet werden, wie im Kapitel 3 gezeigt wird. Damit kann die Winkellage des Körpers im Raum bestimmt werden. Dazu eignet sich die inverse Form von (2.43). Sie kann nur gebildet werden, wenn der Koeffizient cβ ungleich Null ist ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ K ⎞ ωx α˙ cγ/cβ −sγ/cβ 0 ⎝ β˙ ⎠ = ⎝ sγ cγ 0 ⎠ · ⎝ ω Ky ⎠ . (2.45) −cγ sβ/cβ sγ sβ/cβ 1 γ˙ ωzK Ähnliche Transformationsvorschriften erhält man bei Verwendung der Winkel der Flugmechanik. Die Drehwinkel um die körperfesten Achsen ( x K , y K , z K ), Längs-, Quer-, Hochachse, werden als Roll-, Nick- und Gierwinkel bezeichnet. Dreht man nacheinander um die Achsen z R , y∗ ,  x , erhält man den gesuchten Zusammenhang.

2.2.3

Eulerwinkel

Nach der Methode von Euler wird die Lage des Körpers durch die drei Winkel ψ, ϑ und ϕ, definiert. Die von den raumfesten Koordinaten x R , y R aufgespannte Ebene schneidet die von den körperfesten Koordinaten x K , y K gebildete Ebene unter dem Winkel ϑ. Die Schnittkante

16

2. Kinematik

Abbildung 2.9: Eulerwinkel.

wird als Knotenlinie bezeichnet. Die Winkel ψ und ϕ liegen in der (x R , y R )-Ebene bzw. (x K , y K )-Ebene. Der Winkel ψ liegt zwischen der x R -Achse und der Knotenlinie, während ϕ zwischen der Knotenlinie und der x K -Achse auftritt. Den analytischen Zusammenhang erhält man, entsprechend der Vorgehensweise bei Verwendung von Kardanwinkeln, durch drei orthogonale Koordinatentransformationen. Im ersten Schritt wird um die z R -Achse mit dem Winkel ψ und der Drehgeschwindigkeit ψ˙ gedreht. Man gelangt zum (x ∗ , y∗ , z ∗ )-System. Der Zusammenhang zwischen beiden Systemen ist gegeben durch die Transformationsmatrix ⎛ ⎞ cos ψ sin ψ 0 Tψ = ⎝ − sin ψ cos ψ 0 ⎠ (2.46) 0 0 1 Für die Drehgeschwindigkeit gilt im neuen Koordinatensystem ˙ ψ˙ ∗ = ψ.

(2.47)

˙ Die zweite Drehung erfolgt um die x ∗ -Achse mit dem Winkel ϑ und der Drehgeschwindigkeit ϑ. Der Zusammenhang zwischen dem ∼-System und dem *-System lautet ⎛ ⎞ 1 0 0 cos ϑ sin ϑ ⎠ . Tϑ = ⎝ 0 (2.48) 0 − sin ϑ cos ϑ  ϑ˙ = ϑ˙ ∗ .

Abbildung 2.10: Koordinatentransformationen.

(2.49)

2.2 Bewegung des starren Körpers im Raum Für die Drehgeschwindigkeiten erhält man im ∼-System ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ˙x ψ 0 1 0 0 0 ⎜ ˙ ⎟ ⎝ 0 cos ϑ sin ϑ ⎠ · ⎝ 0 ⎠ = ψ˙ ⎝ sϑ ⎠ . ⎝ ψy ⎠ = ˙ 0 − sin ϑ cos ϑ cϑ ψ˙ z ψ

17

(2.50)

Die letzte Drehung schließlich erfolgt um die  z -Achse mit dem Drehwinkel ϕ und der Drehgeschwindigkeit ϕ˙ ⎛ ⎞ cos ϕ sin ϕ 0 Tϕ = ⎝ − sin ϕ cos ϕ 0 ⎠ . (2.51) 0 0 1 Für die Drehgeschwindigkeit gilt ϑ˙ K =  ϑ˙ .

(2.52)

Die Transformation vom raumfesten ins körperfeste Koordinatensystem wird mit der Matrix ⎛ ⎞ cψcϕ − sψcϑsϕ sψcϕ + cψcϑsϕ sϑsϕ T = Tϕ · Tϑ · Tψ = ⎝ −cψsφ − sψcϑcϕ −sψsϕ + cψcϑcϕ sϑcϕ ⎠ , (2.53) sψsϑ −cψsϑ cϑ vollzogen. Die Drehgeschwindigkeiten werden im körperfesten System zu einem Vektor zusammengefasst ⎛ K ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ωx cϕ sϕ 0 0 ⎜ ωK ⎟ ⎝ −sϕ cϕ 0 ⎠ · ⎝ sϑ ⎠ · ψ˙ ⎝ y ⎠= K 0 0 1 cϑ ωz ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ cϕ sϕ 0 0 ϑ˙ + ⎝ −sϕ cϕ 0 ⎠ · ⎝ 0 ⎠ + ⎝ 0 ⎠ . (2.54) 0 0 1 ϕ˙ 0 Oder zweckmäßig in der Form ⎛ K ⎞ ⎛ ωx sϑsϕ cϕ ⎜ ωK ⎟ ⎝ sϑcϕ −sϕ ⎝ y ⎠= cϑ 0 ωzK

⎞ ⎛ ⎞ 0 ψ˙ 0 ⎠ · ⎝ ϑ˙ ⎠ . 1 ϕ˙

(2.55)

Auch hier kann eine inverse Beziehung gefunden werden, d.h. die zeitlichen Ableitungen der Drehwinkel werden durch die Winkelgeschwindigkeiten ausgedrückt. Zu beachten ist, dass die Matrix (2.55) singulär wird, falls der Koeffizient sin ϑ, Null ist. ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ K ⎞ ωx ψ˙ sϕ/sϑ cϕ/sϑ 0 ⎟ ⎜ ⎝ ϑ˙ ⎠ = ⎝ cϕ −sϕ 0 ⎠ · ⎝ ω Ky ⎠ . (2.56) K −cϑsϕ/sϑ −cϑcϕ/sϑ 1 ϕ˙ ωz

18

2. Kinematik

Beispiel 2.3: Kinematisches Übertragungsverhalten eines Kardangelenkes. Kardangelenke dienen zur Verbindung nicht fluchtender Wellen. Dabei müssen die zu verbindenden Wellen nicht in einer Ebene liegen. Für diesen allgemeinen Fall soll das kinematische Übertragungsverhalten untersucht werden. Geg.: Eingangswinkelgeschwindigkeit ϕ, ˙ Neigungswinkel der Kreuzarme α, β, Kreuzarmlänge e. Lösung: Bezüglich der Modellbildung werden zwei Gabeln 1 und 2 betrachtet, die um 90◦ versetzt, miteinander verbunden sind. Beide Gabeln können unabhängig voneinander um zwei Achsen verdreht werden. In jeder beliebigen Lage stehen die Kreuzarme senkrecht aufeinander. Fasst man diese als Vektoren auf, so muss deren Skalarprodukt stets Null sein. Daraus erhält man eine nichtlineare Bedingungsgleichung für das gesuchte Übertragungsverhalten. Im allgemeinen Fall wird eine Gabel, z.B. Gabel 1, um den bekannten Antriebsdrehwinkel ϕ verdreht. Gleichzeitig sind, im Allgemeinen feste, Neigungen um die Querachse, Winkel α, und die Hochachse, Winkel β, möglich. Gabel 2 wird um den Abtriebsdrehwinkel ψ verdreht. Führt man diese Drehungen durch, gelangt man von den raumfesten Koordinatensystemen ( x1R , y1R , z 1R ), ( x2R , y2R , z 2R ), in das körperfeste System ( x C , yC , z C ). R

Der Kreuzarmvektor von Gabel 1, k1 = { 0; e; 0} wird also vom raumfesten ins körperfeste System mit den Drehwinkeln ϕ um x, α um y und β um z transformiert. Dies kann mit der Transformationsmatrix (2.39) durchgeführt werden, wobei dort die Winkel umbenannt werden müssen β

k1C i = Tij · Tαjk · Tϕkl · k1R l ,

(2.57)

⎛

k1C i

⎞ sα · cβ · sϕ + sβ · cϕ = e · ⎝ −sα · sβ · sϕ + cβ · cϕ ⎠ . −cα · sϕ

(2.58)

ZC

z1 e

2 Kreuzarm α

XC

β

⋅ ψ

ϕ⋅ 1

YC

x1

Abbildung 2.11: Modell eines Kardangelenkes.

1

Y1

2.2 Bewegung des starren Körpers im Raum

19

R

Der Kreuzarmvektor von Gabel 2, k2 = {0; 0; e} wird mit der Transformationsmatrix (2.31) transformiert, wobei für den Drehwinkel ψ einzusetzen ist ⎛ ⎞ 0 ψ k2C i = Tij · k2R j = e · ⎝ sψ ⎠ . (2.59) cψ Das nichtlineare Übertragungsverhalten für den Zusammenhang zwischen Ausgangsdrehwinkel ψ und Eingangsdrehwinkel ϕ, erhält man aus der Orthogonalitätsbedingung k1C i · k2C i = 0 = −sα · sβ · sϕ · sψ + cβ · cϕ · sψ − cψ · cα · sϕ.

(2.60)

Mit dieser Bedingungsgleichung lässt sich das Übertragungsverhalten diskutieren. Dabei sind folgende Spezialfälle möglich: a) keine Neigungen der Kreuzarme, d.h. α = 0, β = 0: cos ϕ · sin ψ − cos ψ · sin ϕ = 0,

(2.61)

das ist nur erfüllt für ψ = ϕ. Es treten keine Drehwinkelschwankungen auf, b) die Kreuzarmneigung findet in der (x, y)-Ebene statt, d.h. α = 0: cos ϕ · sin ψ · cos β − cos ψ · sin ϕ = 0. Multiplikation mit tan ψ =

1 cos ψ·cos ϕ

(2.62)

führt zum Ausdruck

tan ϕ . cos β

(2.63)

Daraus erhält man die Übertragungsfunktion für den Drehwinkel ψ  tan ϕ ψ = arctan . cos β

(2.64)

Die gesuchte Winkelgeschwindigkeit erhält man durch Differentiation nach der Zeit ψ˙ = =

dψ dϕ 1 1 1 · = · · · ϕ˙ 2 ϕ cos β tan2 ϕ dϕ dt cos 1 + cos2 β

cos β · ϕ˙ = H(ϕ, β) · ϕ. ˙ 1 − sin2 β · cos2 ϕ

(2.65)

Die Winkelgeschwindigkeit der Abtriebswelle ψ˙ ergibt sich aus der Übertragungsfunktion H(ϕ, β) multipliziert mit der Winkelgeschwindigkeit der Antriebswelle ϕ. ˙

20

2. Kinematik Übertragungsfunktion H( α, φ)

Übertragungsfunktion H( β, φ)

2

2

1

0.5

β = 10, 20, 30, 45°

H(β, φ ) --->

H(α, φ ) --->

α = 10, 20, 30, 45 ° 1.5

0

100 200 300 Antriebsdrehwinkel φ --->

1.5

1

0.5

0

100 200 300 Antriebsdrehwinkel φ --->

Abbildung 2.12: Übertragungsfunktionen H(α, φ) und H(β, φ) für Kreuzarmneigungen von 10◦ , 20◦ , 30◦ , 45◦ .

Durch die Neigung des Kreuzarmes um den Winkel β, entsteht eine periodische Schwankung der Winkelgeschwindigkeit ψ˙ um den Mittelwert ϕ. ˙ Die Amplitude hängt von der Größe des Neigungswinkels ab. ˙ Für β = 0 ist H(ϕ) = 1, d.h. ϕ˙ = ψ, c) die Kreuzarmneigung findet in der (x, z)-Ebene statt, d.h. β = 0: cos ϕ · sin ψ − cos ψ · cos α · sin ϕ = 0. Multiplikation mit

1 cos ψ·cos ϕ

(2.66)

führt zur Übertragungsfunktion für den Drehwinkel

ψ = arctan(tan ϕ · cos α).

(2.67)

Daraus erhält man die gesuchte Winkelgeschwindigkeit wieder durch Differentiation ψ˙ =

cos α · ϕ˙ = H(ϕ, α) · ϕ. ˙ 1 − sin2 α · sin2 ϕ

(2.68)

Vergleicht man beide Übertragungsfunktionen, stellt man eine Phasenverschiebung um 90◦ fest, d) die Kreuzarmneigung findet in beiden Ebenen statt, d.h. α = 0 und β  = 0: Man gelangt zur Übertragungsfunktion für den Drehwinkel, indem der Ausdruck (2.60) mit 1 1 1 cos ψ · cos α · sin ϕ multipliziert wird

 tan ϕ · cos α ψ = arctan . cos β − sin α · sin β · tan ϕ

(2.69)

2.2 Bewegung des starren Körpers im Raum

21

Übertragungsfunktion H( α, β, φ) 2

H(α, β, φ ) --->

α, β = 10, 20, 30, 45°

1.5

1

0.5

0

100 200 300 Antriebsdrehwinkel φ --->

Abbildung 2.13: Übertragungsfunktionen H(α, β, φ) für Kreuzarmneigungen von 10◦ , 20◦ , 30◦ , 45◦ .

Daraus erhält man, wieder durch Differentiation nach der Zeit, die Winkelgeschwindigkeit der Abtriebswelle ψ˙ =

cos α · cos β · ϕ˙ [cos ϕ · (cos β − sin α · sin β · tan ϕ)]2 + cos2 α · sin2 ϕ

(2.70)

= H(ϕ, α, β) · ϕ. ˙ In der nachstehenden Abbildung sind die Übertragungsfunktionen für gleiche Kreuzarmneigungen, d.h. α = β, dargestellt.

2.2.4

Geschwindigkeiten und Beschleunigungen

Kennt man die Geschwindigkeit eines Punktes des starren Körpers, so kann die Geschwindigkeit anderer Körperpunkte ermittelt werden. Sie setzt sich aus einem translatorischen und einem rotatorischen Anteil zusammen. Wie bei der ebenen Drehung entsteht im Abstand | r | von der Drehachse eine Umfangsgeschwindigkeit ω = {ωx ; ω y ; ωz }, vu = ω × r.

(2.71) (2.72)

vu steht senkrecht auf der von ω und r aufgespannten Ebene. Der Betrag lautet vu = ω · r.

(2.73)

Der Körperpunkt A hat die Geschwindigkeit vA . Die Geschwindigkeit eines beliebigen Körperpunktes B, der den festen Abstand | rBA | zum Punkt A hat, ergibt sich formal durch

22

2. Kinematik vBA

vB B

z

rB

ω rBA

vA A

rA

y

x

Abbildung 2.14: Geschwindigkeitsverteilung am starren Körper.

Differentiation vB = vA +

d r BA . dt

(2.74)

Da der Körper starr ist, ist der Abstand | rBA | zu allen Zeiten konstant. Daher kann vBA nur eine Umfangsgeschwindigkeit sein. Womit die Geschwindigkteit von Punkt B ermittelt werden kann vB = vA + ω × rBA .

(2.75)

Also setzt sich die resultierende Geschwindigkeit zusammen aus der Geschwindigkeit von Punkt A und der Umfangsgeschwindigkeit von Punkt B bezüglich Drehpunkt A vB = vA + vBA .

(2.76)

Damit erhält man gleichzeitig eine Regel für die Differentiation eines Vektors in einem rotierenden System d r BA = ω × rBA . dt

(2.77)

Die Beschleunigungen von Punkt B ergeben sich durch Differentiation von Beziehung (2.75), unter Beachtung obiger Ableitungsregel aB = aA + ω˙ × rBA + ω × (ω × rBA ). Im Einzelnen bedeuten, aB

=

resultierende Beschleunigung von Punkt B

aA

=

Beschleunigung von Punkt A

ω˙ × rBA

=

Tangentialbeschleunigung von Punkt B

ω × (ω × rBA )

=

Zentripetalbeschleunigung von Punkt B.

(2.78)

2.2 Bewegung des starren Körpers im Raum

2.2.5

23

Relativbewegung

Der starre Körper bewege sich, wie vorher behandelt, translatorisch und rotatorisch. Punkt B ist jetzt nicht fest mit dem Körper verbunden, sondern kann sich unabhängig auf diesem mit der Relativgeschwindigkeit vrel bewegen. Relativgeschwindigkeit und Relativbeschleunigung werden im körperfesten Koordinatensystem gemessen, d.h. die Ableitungen werden in Bezug auf dieses System gebildet d(. . . ) = (. . . ) , dt körperfest

(2.79)



r BA ) , vrel =(

(2.80)



arel =( r BA ) .

(2.81)

Davon wurde bereits im Kapitel 2.1 Gebrauch gemacht. Mit der Beziehung (2.75), der Führungsgeschwindigkeit v f , ergibt sich die Geschwindigkeit von Punkt B

vB = vA + ω × rBA + ( r BA ) , vB = v f + vrel .

(2.82) (2.83)

Ebenso wird die obige Ableitungsregel ergänzt

d r BA = ω × rBA + ( r BA ) . dt

Abbildung 2.15: Starrer Körper mit bewegtem Punkt B.

(2.84)

24

2. Kinematik

Die Beschleunigungen erhält man durch Differentiation der Geschwindigkeiten, unter Beachtung der Differentiationsvorschrift d v f d vB d vrel = + , dt dt dt

(2.85)

d v f = aA + ω˙ × rBA + ω × (ω × rBA + vrel ), dt

(2.86)

d vrel = ω × vrel + arel . dt

(2.87)

Zusammengefasst aB = aA + ω˙ × rBA + ω × (ω × rBA ) + 2 · ω × vrel + arel . Im Einzelnen bedeuten a f = aA + ω˙ × rBA + ω × (ω × rBA ) aC

2 · ω × vrel

=

arel



( r BA )

=

2.3

:

Führungsbeschleunigung

:

Coriolisbeschleunigung

:

Relativbeschleunigung.

(2.88)

Momentanpol

Läuft die Bewegung in der Ebene ab, verbleiben zwei translatorische Freiheitsgrade und ein rotatorischer. Die in 2.1.2 angegebenen Beziehungen haben auch in diesem Fall ihre Gültigkeit. Bei der Bewegung starrer Scheiben, kann die Geschwindigkeitsverteilung vorteilhaft durch Momentanpolbeziehungen ermittelt werden. Jede Lageänderung einer Scheibe kann als reine Drehbewegung um einen beliebig weit entfernten Punkt, den Momentanpol bzw. das Momentanzentrum, gedeutet werden. Der Momentanpol liegt im Schnittpunkt zweier Geschwindigkeitslote. vB

⋅

B

A

vA

⋅

vC

⋅ ω

C

M

Abbildung 2.16: Momentanpol.

Haben die Punkte A und B beispielsweise die dargestellten Geschwindigkeiten vA und vB , lässt sich der Momentanpol M ermitteln. Er kann natürlich auch außerhalb der Scheibe liegen.

2.3 Momentanpol

25

Für die Winkelgeschwindigkeit gilt mit den Beträgen der Geschwindigkeiten vA vB ω= = . (2.89) MA MB Man erkennt, dass es sich um Umfangsgeschwindigkeiten handelt. Bei bekannter Lage des Momentanpols kann die Geschwindigkeitsverteilung der Scheibe bestimmt werden. Für einen beliebigen Punkt C, der vom Momentanpol M den Abstand MC hat, ergibt sich die Geschwindigkeit vC = ω · MC.

(2.90)

Der Momentanpol ändert ständig seine Lage. Somit entsteht eine Bahnkurve, auf der er sich bewegt. Diese Bahnkurve kann in der ruhenden und in der bewegten Ebene beschrieben werden. Bezüglich der ruhenden Ebene heißt sie Rastpolbahn, bezüglich der bewegten, Gangpolbahn. Beispiel 2.4: Kinematische Beziehungen für ein Planetengetriebe. Das dargestellte Planetengetriebe besteht aus Hohlrad, Sonnenrad, Steg und Planetenrädern. Diese sind auf dem Planetenradträger drehbar gelagert. Die Übersetzungsstufen werden realisiert durch Blockieren des Hohlrades oder des Sonnenrades. Der Abtrieb erfolgt dann über den Steg. Eine Drehrichtungsumkehr wird durch Festsetzen des Planetenradträgers möglich. Welche Drehzahlen stellen sich in den einzelnen Stufen bei einer konstanten Eingangsdrehzahl n Motor ein? Hohlrad Steg

r02

Sonnenrad

r02

r01

ω

r01

v02 vP v01

v02 vS v01 M

x ωP

Planetenräder

MP

Abbildung 2.17: Planetengetriebe, Geschwindigkeitsverteilung.

Geg.: Teilkreisradien r01 [m], r02 [m], n Motor

U . min

Lösung: Unabhängig von der gewählten Stufe liegt der Momentanpol von Hohlrad, Planetenradträger und Sonnenrad im Zentrum des Getriebes. Mit den Winkelgeschwindigkeiten des Sonnenrades ω01 und des Hohlrades ω02 können die Umfangsgeschwindigkeiten v01 = ω01 · r01

und v02 = ω02 · r02

(2.91)

ermittelt werden. Die Umfangsgeschwindigkeit des Steges wird durch diese Geschwindigkeiten ausgedrückt vs =

1 1 · (v01 + v02 ) = · (ω01 · r01 + ω02 · r02 ). 2 2

(2.92)

26

2. Kinematik Damit lautet die Winkelgeschwindigkeit des Planetenradträgers ωs =

1 2

vs (ω01 · r01 + ω02 · r02 ) . = r01 + r02 · (r01 + r02 )

(2.93)

Das Momentanzentrum eines Planetenrades liegt nicht im Drehpunkt, da dieser sich mit dem Steg bewegt. Für eine beliebige Geschwindigkeitsverteilung v01 , v p , v02 , liegt der Momentanpol außerhalb des Getriebemittelpunktes. Für die Winkelgeschwindigkeit eines Planetenrades gilt mit dem Satz vom Momentanpol ωp =

v01 v02 = . x + r01 x + r02

(2.94)

Daraus wird zunächst der Abstand x ermittelt x =

v02 · r01 − v01 · r02 ω02 − ω01 = r01 · r02 · . v01 − v02 ω01 · r01 − ω02 · r02

(2.95)

Womit die Winkelgeschwindigkeit des Planetenrades lautet ωp =

(ω01 · r01 − ω02 · r02 ) . r01 − r02

(2.96)

Jetzt können die Spezialfälle untersucht werden. 1. Das Hohlrad ist blockiert, d.h. ω02 = 0: Der Antrieb erfolgt über das Sonnenrad ω01 = ω Motor =

π · n Motor , 30

(2.97)

der Abtrieb über den Planetenradträger ωs = ω Motor ·

r01 . r01 + r02

(2.98)

Die Winkelgeschwindigkeit der Planetenräder beträgt ω p = ω Motor ·

r01 , r01 − r02

deren Momentanpole liegen auf dem Hohlrad, x = –r02 .

(2.99)

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

27

2. Das Sonnenrad ist blockiert, d.h. ω01 = 0: Der Antrieb erfolgt über das Hohlrad ω02 = ω Motor =

π · n Motor , 30

(2.100)

der Abtrieb über den Planetenradträger ωs = ω Motor ·

r02 . r01 + r02

(2.101)

Die Winkelgeschwindigkeit der Planetenräder beträgt ω p = ω Motor ·

r02 , r02 − r01

(2.102)

deren Momentanpole liegen auf dem Sonnenrad, x = –r01 . 3. Der Steg ist blockiert, d.h. ωs = 0: Es erfolgt eine Drehrichtungsumkehr. Falls der Antrieb über das Sonnenrad erfolgt, erhält man aus (2.93) die Winkelgeschwindigkeit des Hohlrades ω02 = −ω Motor ·

r01 . r02

(2.103)

Die Winkelgeschwindigkeit der Planetenräder beträgt ω p = ω Motor ·

2 · r01 , r01 − r02

(2.104)

deren Momentanpole liegen auf dem Sonnenrad, x = –r01 . Die Drehzahlen in U/min erhält man mit der obigen Zahlenwertgleichung n=

2.4

30 · ω . π

Kinematik von Koppelgetrieben

Koppelgetriebe dienen zum Umformen von Bewegungen und Drehmomenten bzw. Kräften. Sie haben einen einfachen konstruktiven Aufbau, dafür aber ein nichtlineares kinematisches Übertragungsverhalten. Im Allgemeinen wird eine vorgegebene Rotation in oszillatorische Bewegungen umgewandelt. Durch Modifikation der geometrischen Abmessungen wird der Zusammenhang zwischen Antrieb und Abtrieb nachhaltig beeinflusst. Koppelgetriebe können sehr hohe Kräfte übertragen. Da beim Betrieb sehr hohe Beschleunigungen und auch Beschleunigungssänderungen auftreten, sind die Drehzahlen meist niedriger. Diese Übertragungsgetriebe

28

2. Kinematik

werden bei Baumaschinen, Werkzeugmaschinen, Land- und Luftfahrzeugen, Textilmaschinen usw. eingesetzt. In anderen Anwendungsgebieten geht es darum, Körperpunkte auf vorgegebenen Bahnkurven zu bewegen. Beispiele hierfür sind Möbelscharniere, Garagentore und chirurgische Werkzeuge. Man fasst dies unter dem Begriff Führungsgetriebe zusammen.

2.4.1

Aufbau von Koppelgetrieben

Koppelgetriebe bestehen aus Gliedern und Gelenken, die miteinander verbunden sind. Man unterscheidet zwischen binären, ternären und quaternären Gliedern. Dabei spielt die Anzahl der Gelenke, im einfachsten Fall handelt es sich um Drehgelenke, eine Rolle. So erinnert das binäre Glied an die aus der Mechanik bekannte Pendelstütze. Bei den Verbindungselementen,

binär

ternär

quaternär

Abbildung 2.18: Binäres, ternäres und quaternäres Getriebeglied.

den Gelenken, handelt es sich um Drehgelenke, Festlager, Schiebestücke und Drehschubgelenke. Während Drehgelenk und Festlager bekannt sind, handelt es sich beim Drehschubgelenk um ein Gebilde mit zwei Freiheitsgraden. Es kann sich parallel zur Führung verschieben und gleichzeitig eine Drehung übertragen, wie dies bei einem Kolben mit Pleuel möglich ist. Das Schiebestück, ein Prisma mit Längsbohrung, kann nur verschoben werden, hat also einen Freiheitsgrad. Kombiniert man Glieder und Gelenke, so erhält man eine kinematische Kette. Fixiert man diese am Boden, Fundament, spricht man vom Mechanismus. In der Getriebelehre ist es üblich, diese Verbindung zum Boden als Gestell zu bezeichnen. Wird der Mechanismus angetrieben, handelt es sich um ein Getriebe. Ein wichtiges Unterscheidungskriterium von Koppelgetrieben, ist die

Drehgelenk

Festlager

Drehschubgelenk

Schiebestück

Abbildung 2.19: Einfache Gelenktypen.

Lage der Drehachsen. Sind diese parallel, liegt ein ebenes Getriebe (Mechanismus, kinematische Kette) vor. Kreuzen sich die Drehachsen, wie das beim Schneckengetriebe der Fall ist, handelt es sich um ein räumliches Getriebe. Schneiden sich die Drehachsen in einem Punkt, spricht man vom sphärischen Getriebe, als räumlichem Sonderfall.

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

29

Gestell

kinematische Kette

Mechanismus

Getriebe

Abbildung 2.20: Systematik bei Koppelgetrieben.

2.4.2

Laufgrad

Bevor man auf die kinematischen Fragestellungen näher eingehen kann, ist zu klären, wie viele Freiheitsgrade der Gelenkmechanismus hat. Man bezeichnet dies als Laufgrad. Für ebene Systeme kann folgende Formel verwendet werden L = 3 · (N − 1) − 2 · G 1 − G 2 .

(2.105)

Darin bedeuten N die Anzahl der Glieder, G 1 die Anzahl der Gelenke mit einem Freiheitsgrad und G 2 die Anzahl der Gelenke mit zwei Freiheitsgraden. Das Gestell wird stets als ein Glied gezählt. Beispiel 2.5: Laufgradermittlung. Für den dargestellten Mechanismus und das Getriebe ist jeweils der Laufgrad zu bestimmen! a)

b)

Abbildung 2.21: a) Mechanismus und b) Schubkurbelgetriebe.

Lösung: Der Mechanismus besteht aus 5 Gliedern, dem Gestell und 7 Drehgelenken. Demnach ist der Laufgrad L = 3 · (6 − 1) − 2 · 7 − 0 = 1. Das Getriebe hat 5 Glieder, 5 Drehgelenke und 1 Drehschubgelenk. L = 3 · (5 − 1) − 2 · 5 − 1 = 1.

30

2. Kinematik

2.4.3

Graphische Ermittlung von Geschwindigkeiten und Beschleunigungen

Die graphische Bestimmung der Geschwindigkeits- und Beschleunigungsverteilung ebener Koppelgetriebe erfolgt stets für eine Getriebestellung. In Abhängigkeit von gegebenen Eingangsgrößen werden Geschwindigkeiten und Beschleunigungen für jeden Gelenkpunkt ermittelt.

2.4.4

Geschwindigkeiten

Grundlage für die Ermittlung der Geschwindigkeiten ist die Gleichung (2.76). Die Momentanpolbeziehungen (2.89) werden zur Ergänzung bzw. Kontrolle herangezogen. Die Vorgehensweise wird am folgenden Beispiel erläutert. Beispiel 2.6: Geschwindigkeitsverteilung an einem Koppelgetriebe. Das skizzierte Koppelgetriebe wird an der Kurbel MA mit ω = 10 1/s angetrieben. Für die gezeichnete Lage sind die Geschwindigkeiten der Punkte A, B, P und Q zu ermitteln. Außerdem sind die Winkelgeschwindigkeiten des ternären Gliedes ABP und des binären Gliedes BQ zu bestimmen. Geg.: MA = 25 mm, AB = 60 mm, AP = 75 mm, BP = 30 mm, BQ = 40 mm. B Q

A

ω P

M

Abbildung 2.22: Schubkurbelgetriebe.

Lösung: Punkt A beschreibt eine Kreisbahn. Die Geschwindigkeit vA steht auf MA senkrecht und weist nach links. Die Wirkungslinien der Geschwindigkeiten vP und vQ sind durch die Drehschubgelenke definiert. Das ternäre Glied wird sich drehen. Dadurch treten Umfangsgeschwindigkeiten vBA , vPA und vBP auf, die senkrecht auf den Verbindungen BA, PA und BP stehen. Gleiches gilt für das binäre Glied. Infolge der Drehung tritt die Geschwindigkeit vQ B auf, die auf der Verbindung QB senkrecht steht. Von diesen Umfangsgeschwindigkeiten sind nur deren Wirkungslinien bekannt. v A = ω · MA = 0,25 m/s. Die Geschwindigkeit vP wird durch die bekannte Geschwindigkeit vA und die Umfangsgeschwindigkeit vPA ausgedrückt vP = vA + vPA .

(2.106)

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

31

Abbildung 2.23: Geschwindigkeitspolygon.

Diese Gleichung kann graphisch umgesetzt werden. Die bekannte Geschwindigkeit vA wird nach den Wirkungslinien von vP und vPA zerlegt. Dazu wird ein Geschwindigkeitsmaßstab benötigt, z.B. m v = 0,002

m/s . mm

Die Geschwindigkeit von Punkt B kann ausgedrückt werden durch vB = vA + vBA

=

vP + vBP .

(2.107)

Da vA und vP nach Größe und Richtung bekannt sind und ebenso die Wirkungslinien der Umfangsgeschwindigkeiten, können beide Gleichungen zu einem Vektorpolygon vereinigt werden. Nachdem vB ermittelt wurde, kann auch vQ bestimmt werden vQ = vB + vQ B .

(2.108)

Damit erhält man die Geschwindigkeitsbeträge für die Punkte B, P, Q v B = 0,20

m , s

v P = 0,25

m , s

v Q = 0,20

m . s

Aus den Beträgen der Umfangsgeschwindigkeiten, v BA = 0,11 m/s, v BP = 0,06 m/s, v PA = 0,14 m/s, v Q B = 0,02 m/s kann die Winkelgeschwindigkeit des ternären Gliedes ABP berechnet werden als ω ABP =

v PA v BP v BA = = = 1,87 1/s. AP BP AB

Ebenso die Winkelgeschwindigkeit des binären Gliedes BQ ωQ =

vQ B = 0,6 1/s. BQ

32

2. Kinematik vBA vBP

vA A

ωQ

B

ω ABP

Q vQ

ω

P

M

vQB

vP vPA

Abbildung 2.24: Geschwindigkeitsverteilung am Getriebe.

Um sich den Bewegungsablauf vorstellen zu können, zeichnet man zumindest die Umfangsgeschwindigkeiten in das Getriebe ein. Da Geschwindigkeits- und Wegelement in die gleiche Richtung weisen, erkennt man die Bewegungsrichtung der einzelnen Glieder.

2.4.5

Beschleunigungen

Die Beschleunigungen werden aus den zuvor ermittelten Geschwindigkeiten entwickelt. Da die Getriebeglieder starr sind, treten bei der Rotation nur Zentripetalbeschleunigungen ar und Tangentialbeschleunigungen at , die aufeinander senkrecht stehen, auf. Differenziert man die vektoriellen Gleichungen für die Geschwindigkeitspolygone, erhält man für jeden differenzierten Geschwindigkeitsvektor zwei Beschleunigungskomponenten, nämlich Radial- und Tangentialbeschleunigung. Die Radialbeschleunigungen sind aber bekannt, da die Winkelgeschwindigkeiten zuvor ermittelt wurden. Von den Tangentialkomponenten kennt man deren Wirkungslinien. Damit kann das Beschleunigungspolygon konstruiert werden. Beispiel 2.7: Beschleunigungsermittlung an einem Koppelgetriebe. Für das Koppelgetriebe aus Beispiel 2.6 sind die Beschleunigungen der Punkte A, B, P und Q zu ermitteln. Lösung: Es ist zweckmäßig, die Zentripetalbeschleunigungen in das Getriebe einzuzeichnen. Diese errechnen sich aus den zuvor ermittelten Winkelgeschwindigkeiten a A = a Ar = ω2 · MA = 2,5 m , s2 m = ω2ABP · BP = 0,10 2 , s m 2 = ω ABP · AP = 0,26 2 , s m = ω2Q · BQ = 0,01 2 . s

a BAr = ω2ABP · AB = 0,21 a BPr a PAr a Q Br

m , s2

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

33

a BPr aA

ωQ

B a BAr

ω ABP

Q

A

a QBr

ω P

M

aPAr

Abbildung 2.25: Radialbeschleunigungen.

Mit diesen Zahlenwerten kann ein Beschleunigungsmaßstab festgelegt werden, beispielsweise m a = 0,025

m/s2 . mm

Die Kurbel MA wird mit konstanter Winkelgeschwindigkeit angetrieben. Somit tritt nur eine Zentripetalbeschleunigung auf. Die Wirkungslinien von aP und aQ sind durch die Drehschubgelenke gegeben. Aus der Geschwindigkeitsgleichung (2.106) erhält man durch Differentiation aP = aAr + aPAr + aPAt .

(2.109)

Diese Vektoraddition kann durchgeführt werden, da a und aPAr nach Größe und Richtung bekannt sind. aPAt steht senkrecht auf aPAr und die Wirkungslinie von aP ist vorgegeben. Die Beschleunigung von Punkt B erhält man durch Differentiation von (2.107) aB = aAr + aBAr + aBAt

=

aP + aBPr + aBPt .

(2.110)

Diese Vorschrift besagt, dass an die Spitze von a der Vektor aBAr anzutragen ist. Die Wirkungslinie von aBAt steht darauf senkrecht. Die zweite Vektorgleichung wird analog umgesetzt. Die Wirkungslinien von aBAt und aBPt schneiden sich. Damit ist die Beschleunigung von Punkt B ermittelt. Aus (2.108) ergibt sich die Beschleunigung für den Punkt Q aQ = aB + aQ Br + aQ Bt .

(2.111)

Da die Zentripetalbeschleunigung aQ Br sehr klein gegenüber den anderen Beschleunigungen ist, kann deren Einfluss vernachlässigt werden. Es bereitet keine Schwierigkeiten, diese Vektorgleichung graphisch umzusetzen. Damit sind die Beschleunigungen für diese Getriebestellung ermittelt, m m a B = 2,0 m s2 , a P = 1,3 s2 , a Q = 1,9 s2 .

34

2. Kinematik

Abbildung 2.26: Beschleunigungspolygon.

Beispiel 2.8: Geschwindigkeitsverteilung an einem Schubkurbelgetriebe. Das skizzierte Schubkurbelgetriebe ist in B mit einer drehbar gelagerten Rolle verbunden. Unter Verwendung von Momentanpolbeziehungen ist die Winkelgeschwindigkeit der Rolle zu berechnen. Das Ergebnis soll auf einfache Weise kontrolliert werden. Geg.: MA = 300 mm, AB = 550 mm, BC = 539 mm, MC = 129 mm, r = 110 mm, ω = 33,33 1/s. Lösung: Die Umfangsgeschwindigkeit v A = ω· MA = 10 m/s, steht senkrecht auf MA, während die Wirkungslinie von v B durch das Drehschubgelenk festgelegt ist. Im Schnittpunkt der Geschwindigkeitslote MO liegt der Momentanpol. Somit gilt vA vB BMO =  vB = vA · . AMO BMO AMO A ω ° 60

45°

M

B

r

C

Abbildung 2.27: Schubkurbelgetriebe.

(2.112)

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

35

MO

vA A ω 60°

M

D

45°

B

r

vB

C

Abbildung 2.28: Lage der Momentanpole.

Die Abstände kann man sich überlegen BMO = MC + BC · tan 60◦ = 1062,58 mm, 

 MC 2 2 DMO = BMO + BC + , tan 60◦ MC AMO = DMO − MA − = 778 mm. sin 60◦ Damit ergibt sich für v B = 13,66 m/s. Unterstellt man für das Rad reines Rollen, so liegt dessen Momentanpol auf der Fahrbahn. Die Winkelgeschwindigkeit Ω der Rolle errechnet sich damit zu Ω =

vB = 124,2 1/s. r

Für die dargestellte Lage kann das Ergebnis schnell überprüft werden. Die Beziehung vB = vA + vBA

(2.113)

m/s , graphisch umgesetzt werden, v = 13,66 m/s, v = kann mit dem Maßstab, m v = 0,2 mm B BA 7,07 m/s. Die graphischen Lösungen derartiger Problemstellungen vermitteln einen tiefen Einblick in die Wirkungsweise von Koppelgetrieben. Allerdings wird immer nur eine spezielle Lage betrachtet, was die Allgemeingültigkeit einschränkt. Man wendet graphische Verfahren zur Kontrolle von Computerlösungen an.

36

2. Kinematik

vA

vBA

vB Abbildung 2.29: Geschwindigkeitsdreieck.

2.4.6

Berechnung des kinematischen Übertragungsverhaltens

Zur vollständigen Beurteilung des Bewegungsablaufes von Koppelgetrieben gehören Verschiebung, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck. Unter Ruck versteht man die zeitliche Änderung der Beschleunigung. Der Bewegungsablauf bei Koppelgetrieben ist nicht kontinuierlich, d.h. manche Getriebeglieder erfahren ständig eine Geschwindigkeitsumkehr. Damit ist auch die Beschleunigung nicht konstant. Es treten Stöße auf. Starke Beschleunigungsänderungen bewirken Verschleiß, Schwingungen, Geräusch und hohe Lagerbelastung. Der Ruck ist praktisch ein Kriterium für die Laufqualität. Damit ist auch schon gesagt, dass die kinematischen Beziehungen nichtlinear sind, d.h. die Übertragungsfunktionen lassen sich nicht explizit darstellen. Ein systematischer Lösungsansatz basiert auf der Annahme, dass alle Getriebeglieder starr sind. Damit sind aber deren Abmessungen für jede beliebige Stellung konstant. Fasst man die Abstände von Gelenkpunkten als Vektoren auf, lässt sich eine Schleifengleichung formulieren. Dieser Polygonzug enthält zunächst unbekannte Drehwinkel oder Verschiebungen. Gelingt es diese Unbekannten zu eliminieren, kann eine Eingangs-Ausgangsbeziehung für die Lage aufgestellt werden. Die Übertragungsfunktionen für die Lage haben meist einen komplizierten Aufbau und werden daher numerisch ausgewertet. Zur Berechnung von Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck muss die Übertragungsfunktion für Wege und/oder Winkel nicht differenziert werden. Dies wäre ein sehr mühevolles Unterfangen. Stattdessen wird die vektorielle Schleifengleichung differenziert und nach den interessierenden Größen, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck, aufgelöst. Dazu ist lediglich ein lineares Gleichungssystem zu lösen. Die kinematischen Größen können also rekursiv berechnet werden. Dieses Verfahren läßt sich immer Anwenden, falls in einer Schleife nur zwei Unbekannte auftreten. Es wird im Folgenden exemplarisch am dargestellten viergliedrigen Koppelgetriebe erläutert. Das Getriebe besteht aus der mit ω angetriebenen Kurbel, der Koppel und der Schwinge. Falls das Gelenkviereck umlauffähig ist, wird die vollständige Drehung der Kurbel auf die Schwinge übertragen, die nur eine Pendelbewegung ausführt. Mit den Abmessungen der Glieder, AD = a, AB = b, BC = c und CD = d, ist der Mechanismus definiert. Die Drehwinkel werden von der positiven x-Achse aus gezählt. Der Antrieb, ausgedrückt durch Kurbeldrehwinkel ϕ(t), Winkelgeschwindigkeit ω(t) und gegebenenfalls Winkelbeschleunigung ω(t) ˙ wird als gegeben vorausgesetzt. Gesucht sind in Abhängigkeit dieser Größen Schwingwinkel ψ, Koppeldrehwinkel α und deren zeitliche Ableitungen bis zur 3. Ordnung. Man fasst dies unter dem Begriff kinematisches Übertragungsverhalten zusammen. Man ist dann in der Lage, für jeden beliebigen geometrischen Ort, Bahnkurven und deren Ableitungen berechnen zu können.

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

37 y B

B Koppel

rC α

C Schwinge

Kurbel Schleife

rB

ω

A

D

Gestell

A

C rD

ψ

ϕ

D

x

rA

Abbildung 2.30: Viergliedriges Koppelgetriebe.

2.4.7

Übertragungsfunktionen für Koppel- und Schwingendrehwinkel

Die als starr anzusehenden binären Glieder werden als Vektoren aufgefasst rA rB rC rD

= = = =

−a · ex , b · {cos ψ; sin ψ}, −c · {cos α; sin α}, d · {cos ϕ; sin ϕ}.

(2.114) (2.115) (2.116) (2.117)

Es ist zweckmäßig, die Winkel von der positiven x-Achse aus zu zählen. Für jede beliebige Getriebestellung gilt die Schleifengleichung rA + rB + rC = rD .

(2.118)

In Koordinaten −a + b · cos ψ − c · cos α = d · cos ϕ, b · sin ψ − c · sin α = d · sin ϕ.

(2.119) (2.120)

Diese Gleichungen enthalten den unbekannten Schwingenwinkel ψ und den unbekannten Koppeldrehwinkel α. Der Winkel α wird eliminiert. Dazu werden die umgestellten Gleichungen quadriert und addiert −a + b · cos ψ − d · cos ϕ = c · cos α, b · sin ψ − d · sin ϕ = c · sin α,

cos(ϕ − ψ) =

a2 + b2 − c2 + d 2 a a − · cos ψ + · cos ϕ. 2·b·d d b

(2.121) (2.122)

(2.123)

38

2. Kinematik

Ebenso lässt sich der Schwingendrehwinkel ψ eliminieren a + c · cos α + d · cos ϕ = b · cos ψ, c · sin α + d · sin ϕ = b · sin ψ.

(2.124) (2.125)

Die Gleichungen werden wieder quadriert und addiert cos(ϕ − α) =

a2 − b2 + c2 + d 2 a a − · cos α + · cos ϕ. 2·c·d d c

(2.126)

Für die Verhältnisse der Getriebeabmessungen werden Abkürzungen eingeführt a , b a κ2 = , d κ1 =

(2.127) (2.128)

a2 + b2 − c2 + d 2 , 2·b·d a κ4 = , c κ3 =

κ5 =

(2.129) (2.130)

a2 − b2 + c2 + d 2 . 2·c·d

(2.131)

Damit erhält man zunächst folgende Gleichungen cos(ϕ − ψ) = κ1 · cos ϕ − κ2 · cos ψ + κ3 , cos(ϕ − α) = κ4 · cos ϕ − κ2 · cos α + κ5 .

(2.132) (2.133)

Diese beiden Ausdrücke lösen das Problem noch nicht. Sie stellen vielmehr eine wichtige Beziehung für den konstruktiven Entwurf derartiger Getriebe dar. Für die weitere Vorgehensweise werden die Additionstheoreme rückentwickelt. Man erhält trigonometrische Gleichungen, welche die gesuchten Drehwinkel enthalten. Aus den obigen Ausdrücken entstehen zunächst cos ϕ · cos ψ + sin ϕ · sin ψ = κ1 · cos ϕ − κ2 · cos ψ + κ3 , cos ϕ · cos α + sin ϕ · sin α = κ4 · cos ϕ − κ2 · cos α + κ5 .

(2.134) (2.135)

Zur Auflösung nach den gesuchten Drehwinkeln ψ und α, werden folgende Identitäten verwendet cos x =

1 − tan2 ( 2x ) 1 + tan2 ( 2x )

und

sin x =

2 · tan( 2x ) . 1 + tan2 ( 2x )

(2.136)

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

39

Zur weiteren Vereinfachung wird für tan( 2x ) = t abkürzend geschrieben. Setzt man das in die obigen Formen (2.134) bzw. (2.135) ein, erhält man quadratische Gleichungen für den Tangens der halben Winkel [(1 + κ1 ) · cos ϕ + κ2 + κ3 ] · t 2 − 2 · sin ϕ · t + (κ1 − 1) · cos ϕ − κ2 + κ3 = 0, (2.137)

[(1 + κ4 ) · cos ϕ + κ2 + κ5 ] · t 2 − 2 · sin ϕ · t + (κ4 − 1) · cos ϕ − κ2 + κ5 = 0. (2.138) Diese können gelöst werden. Man erhält jeweils zwei Lösungen für den Schwingendrehwinkel ψ und den Koppeldrehwinkel α  ⎤ sin ϕ+ 1 − (κ1 · cos ϕ + κ3 )2 + κ22 + 2 · κ2 · cos ϕ − ⎦, = 2 · arctan ⎣ (1 + κ1 ) · cos ϕ + κ2 + κ3 ⎡

ψ1,2

(2.139)  ⎤ sin ϕ+ 1 − (κ4 · cos ϕ + κ5 )2 + κ22 + 2 · κ2 · cos ϕ − ⎦. = 2 · arctan ⎣ (1 + κ4 ) · cos ϕ + κ2 + κ5 ⎡

α1,2

(2.140) Damit ist der Zusammenhang zwischen dem vorgegebenen Kurbeldrehwinkel ϕ, dem Schwingendrehwinkel ψ und dem Koppeldrehwinkel α hergestellt. Für jeden Drehwinkel ϕ treten jeweils zwei Drehwinkel ψ und α auf. Das Verhalten wird durch die Abmessungen des Gelenkvierecks bestimmt. In der Getriebelehre wird gezeigt, dass ein derartiger Mechanismus nur dann umlauffähig ist, wenn die Summe der Längen aus kürzestem und längstem Glied kleiner als die Summe der Längen der verbleibenden Glieder ist. Wird diese Bedingung verletzt, werden die Diskriminanten negativ und es gibt keine Lösung. Ist das Kriterium für die Umlauffähigkeit erfüllt, erhält man für jeden Kurbelwinkel zwei Getriebestellungen.

2.4.8

Winkelgeschwindigkeiten

Die Winkelgeschwindigkeiten sowie die höheren zeitlichen Ableitungen erhält man durch Differentiation der Schleifengleichungen (2.119) und (2.120) −b · sin ψ · ψ˙ + c · sin α · α˙ = −d · sin ϕ · ϕ, ˙ ˙ b · cos ψ · ψ − c · cos α · α˙ = d · cos ϕ · ϕ. ˙

(2.141) (2.142)

40

2. Kinematik

Diese beiden Gleichungen enthalten nur die unbekannten Winkelgeschwindigkeiten von Schwinge und Koppel. Es ist zweckmäßig, diese Gleichungen in Matrizenschreibweise darzustellen





 −b · sin ψ c · sin α − sin ϕ ψ˙ · = d · ϕ˙ · . (2.143) b · cos ψ −c · cos α cos ϕ α˙ Aij · ω j = vi .

(2.144)

Dieses Gleichungssystem ist lösbar, falls die Koeffizientendeterminante ungleich Null ist. Dies ist der Fall, wenn das Getriebe umlauffähig ist. Die Determinante wäre Null, falls Schwinge und Koppel eine gestreckte Lage bilden. ωi = Aij−1 · v j .

(2.145)

Damit lautet die Winkelgeschwindigkeit der Schwinge d sin(ϕ − α) · b sin(ψ − α)

(2.146)

d sin(ϕ − ψ) · . c sin(ψ − α)

(2.147)

ψ˙ = ϕ˙ · und der Koppel α˙ = ϕ˙ ·

Es bereitet keine Schwierigkeiten, die Winkelbeschleunigungen und die Stoßfunktionen zu entwickeln. Da Winkel und Winkelgeschwindigkeiten vorliegen, führt die zeitliche Ableitung von (2.144) in der Form (2.145), zur Winkelbeschleunigung. Zunächst wird differenziert ˙ ij · ω j + Aij · ω˙ j = v˙ i . A

(2.148)

Es ist die gleiche Koeffizientenmatrix wie vorher zu invertieren und mit dem Vektor der rechten Seite zu multiplizieren ˙ ij · ω j + v˙ i ). ω˙ l = Ali−1 · (−A

(2.149)

Ein detailliertes Ausrechnen dieser Gleichung ist nicht erforderlich, da die weitere Verarbeitung ohnehin mit dem Computer erfolgt. Um schließlich den Ruck berechnen zu können, muss die Form (2.149) noch einmal abgeleitet werden. Auch hier liegt die gleiche Koeffizientenmatrix vor, der Vektor der rechten Seite wird voluminöser. Somit lautet der Ruck ¨ ij · ω j − 2 · A ˙ ij · ω˙ j + v¨ i ). ω¨ l = Ali−1 · (−A

(2.150)

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

41

Beispiel 2.9: Kinematisches Übertragungsverhalten eines viergliedrigen Koppelgetriebes. Für ein viergliedriges Koppelgetriebe, gemäß Abb. 2.30, mit den Abmessungen AD = 185 mm, AB = 105 mm, BC = 165 mm, CD = 60 mm ist das kinematische Übertragungsverhalten zu berechnen. Die Kurbel CD dreht sich mit 30 U/min. Für eine beliebige Stellung sollen die Berechnungsergebnisse graphisch kontrolliert werden. Lösung: Das Koppelgetriebe ist umlauffähig, da AD + CD ≤ AB + BC ist. Mit den Formeln (2.139) und (2.140) können Schwing- und Koppeldrehwinkel in Abhängigkeit vom Antrieb berechnet werden. Somit kann jeder Punkt des Getriebes dargestellt werden. Beispielsweise ergeben sich für ϕ = 120◦ , ein Koppeldrehwinkel α von –18,75◦ und ein Schwingwinkel ψ von 90,68◦ . Die Winkelgeschwindigkeiten berechnen sich nach (2.146) und (2.147). In Abb. 2.32 sind die Drehwinkel und die Winkelgeschwindigkeiten für eine Kurbelumdrehung dargestellt. Interessant sind die Bahnkurven des Getriebes. Deren Parameterdarstellung kann leicht mit den Vektoren rB und rC erzeugt werden. Für einen beliebigen Punkt K, der auf der Koppel BC liegt, lautet der Ortsvektor rK = rB + BC ·

rC . | rC |

(2.151)

Punkt C beschreibt einen Kreis, Punkt B einen Bogen. Diese Bahnen nennt man Führungskurven. Die zwischen B und C liegenden Punkte heißen Koppelkurven, siehe Abb. 2.33. Die Winkelbeschleunigungen sowie die Stoßfunktionen berechnen sich nach den Formeln (2.149) und (2.150), sie sind in Abb. 2.34 dargestellt. Für die Kurbelstellung ϕ = 120◦ und ω = π = const. berechnet man folgende Größen: Drehwinkel Winkelgeschw. Winkelbeschl. Ruck

[◦] [ 1/s ] [ 1/s2 ] [ 1/s3 ]

: : : :

α α˙ = ω K α¨ = ω˙ K ω¨ K

= = = =

–18,75 –0,59 –2,38 –5,85

ψ ψ˙ = ω S ψ¨ = ω˙ S ω¨ S

= = = =

90,68 1,26 –4,52 –23,44

Graphische Kontrolle: Der Betrag der Geschwindigkeit von Punkt C ergibt sich aus, vC = ω · CD = 0,1885 m/s. Die Geschwindigkeit von Punkt B setzt sich zusammen aus vC und B

α C ψ A

ω

ϕ D

Abbildung 2.31: Getriebestellung für ϕ = 120◦ .

42

2. Kinematik Koppeldrehwinkel

Schwingwinkel

–10

100

80

ψ( φ ) [ Grad ]

α( φ ) [ Grad ]

–20 –30 –40

60

40

–50 –60

0

100 200 300 400 Kurbeldrehwinkel φ [ Grad ]

20

500

0

Winkelgeschw. Koppel

100 200 300 400 Kurbeldrehwinkel φ [ Grad ]

500

Winkelgeschw. Schwinge

1.5

2

1

1

ωS [1/s]

ωK [1/s]

0.5 0 –0.5

0 –1

–1 –2

–1.5 –2

0

100 200 300 400 Kurbeldrehwinkel φ [ Grad ]

–3

500

0

100 200 300 400 Kurbeldrehwinkel φ [ Grad ]

500

Abbildung 2.32: Drehwinkel und Winkelgeschwindigkeiten. Koppelkurve BC → 40mm

Führungskurve Punkt B 110

100

100 80

80

y( φ )

y( φ )

90

70 60

60

40

50 40 –50

0

x( φ )

50

20

100

Koppelkurve BC → 82.5mm

0

50

x( φ )

100

150

Führungskurve Punkt C

100

60

80

40

y( φ )

y( φ )

20 60

0

40 –20 20 0 50

–40 100

x( φ )

150

Abbildung 2.33: Bahnkurven.

200

–60

150

200 x( φ )

250

2.4 Kinematik von Koppelgetrieben

43

der Umfangsgeschwindigkeit vBC vB = vC + vBC .

(2.152)

Diese Gleichung kann graphisch umgesetzt werden. Es ergeben sich die Geschwindigkeiten v B = 0,132 m/s und v BC = 0,098 m/s. Daraus können die Winkelgeschwindigkeiten von Schwinge und Koppel berechnet werden vB = 1,26 m/s, AB v BC = = 0,59 m/s. BC

ωS =

(2.153)

ωK

(2.154)

Diese Größen werden in das Getriebe eingezeichnet. Man erkennt eine positive Drehrichtung der Schwinge und eine negative der Koppel. Mit den Winkelgeschwindigkeiten können die Zentripetalbeschleunigungen berechnet werden, aC = aCr = 0,59 m/s2 , a Br = 0,17 m/s2 und a BCr = 0,058 m/s2 . Diese Beschleunigungen werden ebenfalls eingezeichnet.

Abbildung 2.34: Winkelbeschleunigung und Ruck.

44

2. Kinematik

m/s . Abbildung 2.35: Geschwindigkeitspolygon, mv = 0,004 mm

Abbildung 2.36: Geschwindigkeitsverteilung am Koppelgetriebe. aB

a Br

a Bt a Cr a BCt

a BCr 2 Abbildung 2.37: Beschleunigungspolygon, ma = 0,01 m/s mm .

Aus der Gleichung für die Geschwindigkeiten folgt durch Differentiation aBr

aB = aC + aBC , + aBt = aCr + aBCr + aBCt .

(2.155)

Man erhält folgende Ergebnisse, a Bt = 0,48 m/s2 , a B = 0,50 m/s2 , a BCt = 0,39 m/s2 . Mit den Tangentialkomponenten lassen sich die Winkelbeschleunigungen ermitteln ω˙ K =

a BCt a Bt = 4,5 1/s2 , ω˙ S = = 2,4 1/s2 . BC AB

(2.156)

Die Richtungen erhält man aus dem Beschleunigungspolygon. Beide Tangentialbeschleunigungen wirken im Uhrzeigersinn, sind also negativ. Das heißt, die bevorstehende Bewegungsumkehr kündigt sich an, Koppel und Schwinge werden abgebremst.

3

Verfahren der Dynamik

In diesem Abschnitt werden Verfahren und Methoden zum Lösen von statischen und kinetischen Aufgabenstellungen bereitgestellt. Aus den Grundvorlesungen sind die Anwendung von Schwerpunkt und Drallsatz bekannt. Meist wurden ebene Systeme betrachtet. Daher werden ergänzend räumliche Bewegungen, beispielsweise solche von Rotoren, untersucht. Basierend auf dem Prinzip der virtuellen Arbeiten, gelangen das d’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung, die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen sowie das Kraftgrößenverfahren zur Anwendung.

3.1

Dynamische Grundgesetze

Eine allgemeine Bewegung setzt sich aus Translation und Rotation zusammen. In Abhängigkeit von den äußeren Kräften und Momenten, die am Körper angreifen, interessieren der Bewegungsverlauf in Form von Bahnkurven und die zeitlich veränderlichen Reaktionen. Diese benötigt man zur Beurteilung von Beanspruchungen. Das Schnittprinzip in Verbindung mit Schwerpunkt- und Drallsatz ist der Schlüssel zur Lösung derartiger Problemstellungen.

3.1.1

Schwerpunktsatz

Der Impuls eines starren oder deformierbaren Körpers ist definiert als I =

 v · dm.

(3.1)

(m)

Im Allgemeinen können Volumen und Dichte zeitlich veränderlich sein, Beispiel Raketenstart. Hier wird jedoch die zeitliche Unabhängigkeit des Massenelements vorausgesetzt. Zweckmäßig bezieht man den Impuls auf den Körperschwerpunkt r = rs + rsp , v = vs + ω × rsp ,   I = vs · dm + ω × rsp · dm, (m)

I = vs · m.

(m)

(3.2)

46

3. Verfahren der Dynamik ω

z y

rS

S

m rSP dm

r

x

P

v

Abbildung 3.1: Starrer Körper.

Das zweite Integral ist Null, da es sich um statische Momente bezüglich des Schwerpunktes handelt. Durch Differentiation nach der Zeit entsteht ˙ I = v˙s · m.

(3.3)

Es handelt sich hierbei um Kräfte, d.h. die zeitliche Änderung des Impulses ist nach Newton der Vektor der resultierenden Kraft. Somit lautet der Schwerpunktsatz für Körper mit konstanten Massen R . m · r¨s = F

(3.4)

Beispiel 3.1: Bewegung eines Massenpunktes auf einer räumlichen Bahn. Unter dem Einfluss der Schwerkraft bewegt sich ein Gleitstein auf einer vorgegebenen Raumkurve, in Form einer Schraubenlinie mit dem Radius a und der Ganghöhe h. Der Gleitstein wird auf der Fahrbahn geführt. Zu berechnen sind die Beschleunigungen und die Seitenführungskraft. xR

0

rS rM zR M

FG

m

yR

S

en

μ et

en

FK

S FR

FB

eb et

eb

Abbildung 3.2: Gleitstein auf räumlicher Bahnkurve. Kräfte.

Geg.: m, μ, a, h, g. Lösung: Die kinematischen Beziehungen für diese Bahnkurve sind im Kapitel 2.1.1 dargestellt. Die Ursache der Bewegung ist die Gewichtskraft FG . Zwischen Gleitstein und Fahrbahn besteht Reibung. Daher wird die Gewichtskraft in Richtung Tangente, Antriebskraft und

3.1 Dynamische Grundgesetze

47

Binormale, Aufstandskraft, zerlegt m·g·h Gt = (m · g · ez · et ) · et = √ F · et , a2 + h 2 m·g·a Gb = (m · g · ez · eb ) · eb = √ · eb . F a2 + h 2

(3.5) (3.6)

Nach dem Reaktionsprinzip ruft die Komponente FGb die Aufstandskraft FB hervor. Die Reibungskraft, stets der Bewegung entgegengerichtet, ergibt sich aus Aufstandskraft und Gleitreibungskoeffizient  R = −μ· | FB | · et = F

−m · g · a · μ · et . √ a2 + h 2

(3.7)

Da sich die Masse in Normalenrichtung nicht bewegen kann, tritt eine Seitenführungskraft K = FK · en auf. Es handelt sich um eine Reaktionskraft als Folge der Zentrifugalkraft, die F versucht, die Masse nach außen zu schieben. Der Schwerpunktsatz wird im begleitenden Dreibein formuliert Gt − F R + F K , m · (˙vs · et + vs2 · κ · en ) = F

(3.8)

in Tangentenrichtung ϕ¨ =

g · (h − μ · a) a2 + h 2

(3.9)

und Normalenrichtung FK = m · a · ϕ˙ 2 .

3.1.2

(3.10)

Drallsatz

Für das in Abb. 3.1 dargestellte Massenelement lautet das 2. Newtonsche Grundgesetz  r¨ · dm = dF.

(3.11)

Dieser Ausdruck wird von links vektoriell mit dem Ortsvektor r multipliziert  r × r¨ · dm = r × dF.

(3.12)

Integration über die gesamte Masse liefert  m

r × r¨ · dm =

 m

 =M  (B) r × dF R .

(3.13)

48

3. Verfahren der Dynamik

Die rechte Seite entspricht dem resultierenden Moment bezüglich des raumfesten Bezugspunktes B. Vertauscht man Differentiation und Integration erhält man  d  (B) · r × v · dm = M (3.14) R . dt m

Der Drehimpuls oder Drall eines rotierenden Körpers ist definiert als   (B)  D = r × v · dm = r × (ω × r) · dm. (m)

(3.15)

(m)

Darin wurde berücksichtigt, dass v eine Umfangsgeschwindigkeit ist. Bezeichnet man allgemein den Ortsvektor mit r = {x; y; z} und den Winkelgeschwindigkeitsvektor mit ω = {ωx ; ω y ; ωz }, erhält man nach Berechnung der Vektorprodukte folgenden Ausdruck für den Drallvektor ⎛ ⎞ ⎛ 2 ⎞ ⎛ ⎞  y + z 2 −x · y −x · z Dx ωx ⎝ Dy ⎠ = ⎝ −y · x x 2 + z 2 −y · z ⎠ · ⎝ ω y ⎠ · dm. (3.16) 2 2 Dz ω −z · x −z · y x + y z (m) Die Winkelgeschwindigkeiten hängen nicht von der Masse ab, d.h. die Integration erstreckt sich ausschließlich über die Ortskoordinaten. In der Hauptdiagonalen stehen die axialen Massenträgheitsmomente, die übrigen Integrale ergeben die Deviationsmomente. Diese verschwinden, falls der Körper wenigstens eine Symmetrieebene hat. Wählt man als Bezugspunkt den Körperschwerpunkt, stellt sich der Drallvektor wie folgt dar ⎛ ⎞(S) ⎛ ⎞(S) ⎛ ⎞ Dx Jx −Jxy −Jxz ωx ⎝ D y ⎠ = ⎝ −Jxy Jy −Jyz ⎠ · ⎝ ω y ⎠ , (3.17) Dz −Jxz −Jyz Jz ωz Di(S) = Θij(S) · ω j .

(3.18)

Man nennt Θij Trägheitsmatrix, genauer Trägheitstensor. Sie ist stets symmetrisch. Während die axialen Massenträgheitsmomente immer größer oder gleich Null sind, können die Deviationsmomente auch negativ werden. Dies hat nichts mit den Vorzeichen in der Matrix zu tun, denn diese ergeben sich aus der Berechnung von (3.15) bzw. (3.16). Damit kann der Drallsatz formuliert werden: Die zeitliche Änderung des Drallvektors ist gleich dem resultierenden Moment, bezogen auf einen beliebigen Punkt. Bezugspunkt für Drall und Moment müssen gleich sein. Wählt man den bewegten Schwerpunkt als Referenz, schreibt man  (S) dD  (S) = M R . dt

(3.19)

Man erkennt, beispielsweise im Ausdruck (3.16), dass bei ungünstiger Wahl des Bezugspunktes, die Massenträgheitsmomente zeitlich veränderlich werden können. Daher ist man bestrebt, einen Bezugspunkt zu finden, für den die Massenträgheitsmomente bei der Bewegung zeitlich konstant bleiben.

3.1 Dynamische Grundgesetze

3.1.3

49

Massenträgheitsmomente von zusammengesetzten Körpern

Die axialen Massenträgheitsmomente sowie die Deviationsmomente einfacher Körper sind tabelliert und somit verfügbar. Im Einzelfall kann es erforderlich sein, für spezielle Körperformen die Massenträgheitsmomente durch Integration zu ermitteln. Reale Konstruktionen setzen sich aus einer Vielzahl von bekannten Körpern zusammen. Die Aufgabe, hierfür die Massenträgheitsmomente zu berechnen, stellt sich immer wieder neu. Die zu betrachtende Konstruktion wird in einzelne Teilkörper aufgeteilt. Für jeden Teilkörper können Masse und Massenträgheitsmomente bezüglich seiner Schwerpunktachsen ermittelt werden. In einem beliebigen Bezugskoordinatensystem B werden zunächst die Schwerpunktkoordinaten des Gesamtkörpers berechnet. Mit dem Vektor der Schwerpunktkoordinaten rS und den Teilschwerpunktsabständen ri , erhält man den räumlichen Abstandsvektor ai des i-ten Teilkörpers ai = ri − rS , {axi ; a yi ; azi } = {xi − xs ; yi − ys ; z i − z s }.

(3.20)

Diesen Vektor benötigt man zur Berechnung der Steineranteile. Damit erhält man die axialen Massenträgheitsmomente bezüglich des Gesamtschwerpunktes

Jx(S)

=

n  

 Jxi(S) + m i · (a2yi + azi2 ) ,

i=1

Jy(S) =

n  

 Jyi(S) + m i · (a2xi + azi2 ) ,

i=1

Jz(S) =

n  

 Jzi(S) + m i · (a2xi + a2yi ) .

(3.21)

i=1

zS z Si

zB xS

Teilkörper i

ai

S yS

rS ri

Si x Si

ySi

B

xB

yB

Abbildung 3.3: Koordinatensysteme bei der Berechnung von Massenträgheitsmomenten zusammengesetzter Körper.

50

3. Verfahren der Dynamik

Die Deviationsmomente lauten entsprechend (S) Jxy =

n  (S) (Jxyi + m i · axi · a yi ), i=1

(S) Jxz

n  (S) = (Jxzi + m i · axi · azi ),

(S) Jyz

n  (S) = (Jyzi + m i · a yi · azi ).

i=1

(3.22)

i=1

Beispiel 3.2: Massenträgheitsmomente für einen zusammengesetzten Körper. Für das dargestellte Bauteil aus unterschiedlichen Werkstoffen sind die Massenträgheitsmomente bezüglich des Körperschwerpunktes zu berechnen. Geg.: ρ St = 7850 kg/m3 , ρCu = 8930 kg/m3 , ρ Al = 2700 kg/m3 . St

150

60

250

80

St 30 0

Al Cu

0 30

80

30 0

Cu 80 60

Abbildung 3.4: Bauteil aus Quadern und Zylinder.

Lösung: Das Bauteil wird in Teilkörper aufgeteilt. Zunächst wird die Masse berechnet, sie beträgt 46,7 kg. Die Schwerpunktkoordinaten werden im Bezugskoordinatensystem ermittelt rS = {21,1; 149,2; 48,7} [mm]. Bezüglich des Körperschwerpunktes S berechnet man nach obigen Formeln folgende Massenträgheitsmomente ⎛

Θij(S)

2,005 = ⎝ −0,147 −0,048

−0,147 0,635 −0,340

⎞ −0,048 −0,340 ⎠ [kgm2 ]. 1,818

3.1 Dynamische Grundgesetze zH

51

zB

4

1 S

2

3

yH xB

5

xH

yB

Abbildung 3.5: Aufteilung in Teilkörper. Körperfestes Hauptachsensystem.

3.1.4

Hauptachsentransformation

Wie bei den Flächenmomenten zweiter Ordnung kann man auch hier die Frage stellen, ob es ein Koordinatensystem gibt, in dem keine Deviationsmomente auftreten. Nach dem, aus der Mathematik bekannten Hauptachsentheorem, lässt sich jede symmetrische Matrix auf Diagonalgestalt transformieren. Die Diagonalelemente sind die Eigenwerte der Matrix. Zu jedem Eigenwert gehört ein Eigenvektor. Da die Matrix symmetrisch ist, sind deren Eigenwerte stets reell. Die Eigenvektoren stellen ein orthogonales System dar. Mathematisch wird dieser Sachverhalt durch die Eigenwertgleichung Aij · x j = λ · xi

(3.23)

zum Ausdruck gebracht. Man bezeichnet dies als ein spezielles Eigenwertproblem. Eigenwerte und zugehörige Eigenvektoren werden numerisch bestimmt. In jeder Programmbibliothek finden sich Eigenwertlöser. Der Anwender muss sein Problem, d.h. die Struktur der Matrix, kennen, um den richtigen Algorithmus auszuwählen. Für symmetrische Matrizen eignen sich das JacobiVerfahren und die simultane Vektoriteration. Wendet man dies auf die Trägheitsmatrix Θij(S) an, erhält man die Hauptträgheitsmomente ⎛ ΘijH = ⎝

JxH 0 0

0 JyH 0

0 0 JzH

⎞ ⎠.

(3.24)

Die Hauptträgheitsmomente sind gegenüber den Massenträgheitsmomenten bezüglich des Körperschwerpunktes extremal, d.h. sie enthalten Größt- und Kleinstwert. Im Hauptachsensystem treten keine Deviationsmomente auf.

52

3. Verfahren der Dynamik

Die Lage der Hauptachsen wird bestimmt durch die Eigenvektoren. Die orthonormierten Eigenvektoren sind die Einheitsvektoren jeder Hauptachse  x1

H

= exH ,

 x2

H

= eyH ,

 x3

H

= ezH .

(3.25)

Das Hauptachsensystem liegt im Körperschwerpunkt und ist um dessen Koordinatenachsen verdreht. Man bezeichnet dies als körperfestes Hauptachsensystem. Beispiel 3.3: Ermittlung von Hauptträgheitsmomenten. Für das Bauteil aus Beispiel 3.2 sind die Hauptträgheitsmomente und die Lage der Hauptachsen zu bestimmen. Lösung: Die Trägheitsmatrix wird einer Eigenwertberechnung unterzogen. Wendet man beispielsweise das Jacobi-Verfahren an, erhält man folgende Hauptträgheitsmomente ΘH jj =



JxH = 2,022

JyH = 0,528

JzH = 1,908



[kgm2 ].

Die Lage der Hauptachsen wird durch die Eigenvektoren festgelegt exH = {0,992; −0,081; −0,099}, eyH = {0,104; 0,961; 0,257}, ezH = {0,074; −0,265; 0,961}.

3.1.5

Eulersche Kreiselgleichungen

Im körperfesten Hauptachsensystem sind die drei Massenträgheitsmomente zeitlich unabhängig. Daher ist es naheliegend, den Drallsatz in diesem System zu formulieren. Allerdings ist zu berücksichtigen, dass die zeitlichen Ableitungen in einem bewegten Koordinatensystem durchzuführen sind, siehe Kapitel 2.2.4. Wendet man diese Ableitungsregel auf den Drallvektor im Hauptachsensystem an, ergibt sich  dD dt

H

˙ H H = M  RH . = D + ω H × D

(3.26)

In Komponenten H JxH · ω˙ xH + ω yH · ωzH · (JzH − JyH ) = M Rx , H JyH · ω˙ yH + ωxH · ωzH · (JxH − JzH ) = M Ry , H JzH · ω˙ zH + ωxH · ω yH · (JyH − JxH ) = M Rz .

(3.27)

3.1 Dynamische Grundgesetze

53

Die Lage des Körpers ist gegeben durch die kinematischen Beziehungen (2.43), bei Verwendung von Kardanwinkeln ωxH = α˙ · cos β · cos γ + β˙ · sin γ, ω yH = −α˙ · cos β · sin γ + β˙ · cos γ, ωzH = γ˙ + α˙ · sin β

(3.28)

oder durch den Ausdruck (2.55) für Eulerwinkel ωxH = ψ˙ · sin ϑ · sin ϕ + ϑ˙ · cos ϕ, ω yH = ψ˙ · sin ϑ · cos ϕ − ϑ˙ · sin ϕ, ωzH = ϕ˙ + ψ˙ · cos ϑ.

(3.29)

Der Drallsatz im Hauptachsensystem, die Eulerschen Kreiselgleichungen, enthält mit den kinematischen Beziehungen sechs zu bestimmende zeitabhängige Funktionen ωxH , ω yH , ωzH , α, β, γ oder ψ, ϑ, ϕ. Bei der praktischen Anwendung von (3.27) ist es manchmal sinnvoll, eine andere Darstellungsform zu verwenden. Mit der antimetrischen Matrix der Winkelgeschwindigkeiten ⎛

0  = ⎝ ωzH −ω yH

⎞ ω yH −ωxH ⎠ , 0

−ωzH 0 ωxH

(3.30)

lassen sich die Eulerschen Kreiselgleichungen folgendermaßen schreiben H H ΘijH · ω˙ Hj + Ωij · Θ H jk · ωk = M R i .

(3.31)

Beispiel 3.4: Kinetische Lagerreaktionen für ein Rad mit statischer Unwucht. Ein Rad wird auf einem Prüfstand durch ein konstantes Drehmoment M A angetrieben. Nach tnenn Sekunden wird die konstante Nenndrehzahl n nenn erreicht. Das Rad hat eine Schwerpunktsexzentrizität e, d.h. Radzentrum W und Schwerpunkt S fallen nicht zusammen. Zu berechnen sind die kinetischen Lagerreaktionen. Geg.: M A (t), tnenn , n nenn = 1500 U/min, e = 0,2 mm, m = 20 kg, J (S) . Lösung: Am freigeschnittenen Rad greifen die Gewichtskraft FG = mg sowie die Lagerreaktionen FWx und FWy an. Durch die Exzentrizität rotiert der Schwerpunkt. Mit (2.29) und (2.30) können Geschwindigkeit und Beschleunigung für jede beliebige Stellung des Radschwerpunktes berechnet werden vS = e · ϕ˙ · eϕ ,

(3.32)

aS = e · ϕ¨ · eϕ − e · ϕ˙ · er . 2

(3.33)

54

3. Verfahren der Dynamik y m,J (S)

MA

e

FG

ϕ⋅

S

ϕ

W FWy

x

FWx

Abbildung 3.6: Rotierendes Rad mit Schwerpunktsexzentrizität.

Damit lauten Schwerpunkt- und Drallsatz bezüglich Punkt W m · aS = FWx · ex + (FWy − m · g) · ey , (J

(S)

+ m · e ) · ϕ¨ = M A − m · g · e · cos ϕ. 2

(3.34) (3.35)

Bis zum Erreichen der Nenndrehzahl wird das Rad mit ϕ¨ =

M A − m · g · e · cos ϕ J (S) + m · e2

(3.36)

beschleunigt. Infolge der Exzentrizität treten die kinetischen Lagerkräfte auf, die der statischen Radlast überlagert sind FWx = −m · e · (ϕ¨ · sin ϕ + ϕ˙ 2 · cos ϕ), FWy = m · e · (ϕ¨ · cos ϕ − ϕ˙ 2 · sin ϕ) + m · g.

(3.37) (3.38)

Im Nennzustand sind nur noch die Fliehkräfte vorhanden. Für die gegebenen Daten beträgt deren Maximalwert 98,7 N. Diese Kraft erzeugt eine wechselnde Beanspruchung, die in jedem Fall zu vermeiden ist. Man kann die Schwerpunktsexzentrizität durch statisches Auswuchten praktisch zu Null machen, indem an der Stelle π + ϕ eine Unwuchtmasse m u im Abstand ru vom Radzentrum angebracht wird. Dadurch wird der Gesamtschwerpunkt in Richtung Radzentrum verschoben eneu =

m · e − m u · ru . m + mu

(3.39)

Beispiel 3.5: Kinetische Lagerdrücke einer Welle mit dynamischer Unwucht. Auf einer Welle ist ein homogener zylindrischer Körper schräg aufgekeilt. Im Nennbetrieb sind Antriebsdrehmoment und Drehzahl konstant. Welche kinetischen Lagerreaktionen treten auf? Geg.: a = 675 mm, b = 325 mm, α = 2◦ , B = 80 mm, D = 300 mm, m Welle = 22,2 kg, m Scheibe = 44,4 kg, M A , n nenn = 3000 U/min.

3.1 Dynamische Grundgesetze

55

B

α

FG

FAy

D

FBY xH xR

S

A

ω , MA B

FAz a

zH

yR

b

zR

FBZ

Abbildung 3.7: Welle mit schräg aufgekeilter Scheibe.

Lösung: Der Schwerpunktsatz wird im raumfesten System formuliert, während der Drallsatz im körperfesten Hauptachsensystem aufgestellt wird. Das Hauptachsensystem ist gegenüber dem Referenzsystem um den Winkel α verdreht. Aus dem Schwerpunktsatz folgt 0 = −FAy + FBy , 0 = m Scheibe · g − FAz − FBz .

(3.40) (3.41)

Die raumfesten Größen lassen sich mit der Transformationsmatrix (2.34) und α statt β ins Hauptachsensystem transformieren. Antriebsdrehmoment und Winkelgeschwindigkeitsvektor lauten im Hauptachsensystem  AH = M A · {cos α; 0; sin α}, M

(3.42)

ω HA

(3.43)

= ω · {cos α; 0; sin α}.

Die Winkelgeschwindigkeit der Welle erhält man aus ω = π·n30nenn . Die Lagerreaktionen erzeugen Biegemomente bezüglich des Scheibenschwerpunktes S  (S) = {0; −a · FAz + b · FBz ; a · FAy + b · FBy }. M

(3.44)

Diese raumfesten Momente werden ebenfalls ins Hauptachsensystem transformiert. Zusammengefasst ergeben sich folgende äußere Momente MxH = M A · cos α − (a · FAy + b · FBy ) · sin α, M yH MzH

(3.45)

= −a · FAz + b · FBz ,

(3.46)

= M A · sin α + (a · FAy + b · FBy ) · cos α.

(3.47)

Für konstante Winkelgeschwindigkeit ω und konstantes Drehmoment M A lauten die Eulerschen Gleichungen M A · cos α − (a · FAy + b · FBy ) · sin α = 0, 1 2 · ω · sin 2α · (JxH − JzH ) = −a · FAz + b · FBz , 2 M A · sin α + (a · FAy + b · FBy ) · cos α = 0.

(3.48) (3.49) (3.50)

56

3. Verfahren der Dynamik Die Kombination von (3.41) und (3.49) liefert die vertikalen Lagerreaktionen FAz =

b ω2 · sin 2α · (JxH − JzH ) · m Scheibe · g − , a+b 2 · (a + b)

(3.51)

FBz =

a ω2 · sin 2α · (JxH − JzH ) · m Scheibe · g + . a+b 2 · (a + b)

(3.52)

Den statischen Lagerkräften, denen noch die halbe Gewichtskraft der Welle hinzugefügt werden muss, sind die kinetischen Lagerreaktionen Fkin = + −

ω2 · sin 2α · (JxH − JzH ) 2 · (a + b)

(3.53)

überlagert. Mit den gegebenen Zahlenwerten m¨ussen zun¨achst die Massenträgheitsmomente f¨ur die Scheibe in deren Hauptachsensystem berechnet werden, JxH = 0,5 kgm2 sowie JzH = JyH = 0,273 kgm2 . Die Massentr¨agheitsmomente der Welle werden nicht herangezogen. Setzt man die obigen Daten f¨ur die Massen ein, erhält man die statischen Lagerkräfte FAzstat = 250,4 N,

FBzstat = 402,9 N,

denen folgende kinetische Lagerreaktionen überlagert sind Fkin = + −781 N. Obwohl keine Schwerpunktsexzentrizität vorhanden ist, treten diese kinetischen Lagerdrücke auf. Dies liegt daran, dass die Wellenachse keine Hauptträgheitsachse ist. Durch Anbringen von Ausgleichsmassen an den Seitenflächen des Zylinders kann erreicht werden, dass die Hauptträgheitsachse mit der Drehachse zusammenfällt. Diese Maßnahme wird als dynamisches Auswuchten bezeichnet. Es sei an dieser Stelle schon angemerkt, dass ein rotierender Körper, der gelagert ist, ein so genannter Rotor, statisch und dynamisch ausgewuchtet werden muss.

3.2

Prinzip der virtuellen Arbeiten

Der Arbeitsbegriff wurde definiert als Skalarprodukt aus Kraft und infinitesimalem Wegelement. Beide Vektoren wurden als real vorhanden vorausgesetzt. Nun werden Arbeitsausdrücke betrachtet, bei denen ein Vektor virtuell ist. Dabei handelt es sich um einen gedachten, inifinitesimal kleinen Vektor, der real nicht vorhanden sein muss. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten umfasst das Prinzip der virtuellen Verrückungen oder Verschiebungen, P.d.v.V. und das Prinzip der virtuellen Kräfte, P.d.v.K. Eine virtuelle Arbeit wird formal mit δA bezeichnet.

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

3.2.1

57

Prinzip der virtuellen Verrückungen

Eine virtuelle Verschiebung muss geometrisch verträglich sein. Insbesondere muss sie mit den Lagerungsbedingungen des Systems kompatibel sein. Im Allgemeinen ist der Ortsvektor zu einem Systempunkt eine Funktion der linear unabhängigen Freiheitsgrade. Diese beschreiben die Bewegung des Systems in einem Koordinatensystem eindeutig. Die beliebig vielen Freiheitsgrade werden als generalisierte Koordinaten q j , j = 1, . . . , n bezeichnet. Der Ortsvektor kann überdies noch explizit von der Zeit abhängen r = r(q1 , q2 , . . . , qn ) r = r(q1 , q2 , . . . , qn , t)

: :

skleronom, rheonom.

(3.54) (3.55)

Das Wegelement einer realen Verschiebung bei festgehaltener Zeit lautet dann d r =

∂ r ∂ r ∂ r ∂ r · dq1 + · dq2 + · · · + · dqn = · dq j . ∂q1 ∂q2 ∂qn ∂q j

(3.56)

Das einer virtuellen Verschiebung δ r =

∂ r ∂r ∂ r ∂ r · δq1 + · δq2 + · · · + · δqn = · δq j . ∂q1 ∂q2 ∂qn ∂q j

(3.57)

Eine virtuelle Verrückung verrichtet Arbeit am realen Belastungszustand. Da ein statisches System im Gleichgewicht ist, wenn die resultierenden Belastungsgrößen verschwinden, gilt für die virtuelle Arbeit δ A(e) = 0.

(3.58)

Es herrscht Gleichgewicht, wenn die Arbeit aller eingeprägten Kräfte für jede verträgliche virtuelle Verschiebung verschwindet. Diese Aussage ist also den statischen Gleichgewichtsbedingungen äquivalent.

3.2.2

D’Alembertsches Prinzip in der Lagrangeschen Fassung

Wendet man das P.d.v.V. auf das bekannte D’Alembertsche Prinzip an, erhält man ein sehr wirkungsvolles Verfahren zum Aufstellen von Bewegungsdifferentialgleichungen 0=

n m   ˙ i(e) − m i · r¨si ) · δ  (e) (F rsi + (M j. j − D j ) · δϕ i=1

(3.59)

j=1

Wie beim D’Alembertschen Prinzip wirken Beschleunigungskräfte m i · r¨si und Beschleuni˙ gungsmomente in der Form D j , den jeweiligen Bewegungsrichtungen entgegen. Bei ebenen

58

3. Verfahren der Dynamik

¨ ersetzt. Außerdem greifen am System Systemen wird der abgeleitete Drallvektor durch J (s) j j ·ϕ (e) (e)   die äußeren eingeprägten Kräfte Fi und Momente M j an. Die resultierenden, tatsächlich vorhandenen Kräfte und Momente, verrichten Arbeit an den virtuellen Schwerpunktverschiebungen und Drehwinkeln. Da diese virtuellen Verrückungen beliebig sind, also nicht verschwinden, können nur die eingeklammerten Ausdrücke Null werden. Daraus ergeben sich die gesuchten Bewegungsgleichungen. Beispiel 3.6: Beschleunigung eines Hubwerkes. Das dargestellte Hubwerk besteht aus einem mehrstufigen Stirnradgetriebe mit Seiltrommel, die über ein ideales Seil und masseloser Umlenkrolle mit einer Last verbunden ist. Die Eigenschaften der Räder sind durch deren Trägheitsmomente bezüglich der Drehpunkte und die Teilkreisradien gegeben. Das Motorritzel wird durch ein Drehmoment beschleunigt. Zu ermitteln ist die Winkelbeschleunigung des Hubwerkes. Geg.: M A , J1 , J2 , J3 , J4 , J5 , r1 , r2a , r2i , r3a , r3i , r4 , r5a , r5i , m. Lösung: Zuerst werden die kinematischen Beziehungen ermittelt: Das System hat einen Freiheitsgrad, d.h. alle kinematischen Größen können durch jene von Rad 1 ausgedrückt werden. Da die Drehrichtung von Rad 1 gegeben ist, kann dessen Umfangsgeschwindigkeit auf die anderen Räder übertragen werden. Damit erhält man zunächst allgemein, Geschwindigkeitsverteilung und Drehrichtung der einzelnen Räder. Die Momentanpolbeziehungen ergeben v1 = ϕ˙ 1 · r1 , v2 r3a v3 ϕ˙ 5 = r5a ϕ˙ 3 =

ϕ˙ 2

= =

v1 r2a

=

v3 , r3i v4 , r5i

ϕ˙ 4 y˙

v2 , r2i

= =

=

v3 , r4 v4 .

(3.60)

Zur Abkürzung werden die Übersetzungsverhältnisse eingeführt u1 =

r1 r2a ,

u2

=

r2i r3a ,

u3

=

J 4, r4

J2, r2a , r 2i

masselos

J 3, r 3a , r3i MA

J 5, r 5a , r 5i

m

J1, r1

Abbildung 3.8: Hubwerk mit angehängter Last.

r3i r4 ,

u4

=

r4 r5a .

(3.61)

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

59

Die Winkelgeschwindigkeiten der Räder und die Geschwindigkeit der Masse werden durch ϕ˙ 1 ausgedrückt ϕ˙ 2 = ϕ˙ 1 · u 1 ,

ϕ˙ 3

=

ϕ˙ 1 · u 1 · u 2 ,

ϕ˙ 5 = ϕ˙ 1 · u 1 · u 2 · u 3 · u 4 ,

=

y˙

ϕ˙ 4

=

ϕ˙ 1 · u 1 · u 2 · u 3 ,

ϕ˙ 1 · r5i · u 1 · u 2 · u 3 · u 4 .

(3.62)

Diese Beziehungen können differenziert und integriert werden. Die virtuellen Drehwinkel δϕi sowie die virtuelle Verschiebung δy, unterliegen den gleichen kinematischen Bedingungen wie die realen Auslenkungen. Erteilt man dem Hubwerk eine virtuelle Auslenkung, wird an jedem Rad und an der Einzelmasse Arbeit verrichtet 0 = (M A − J1 · ϕ¨ 1 ) · δϕ1 − J2 · ϕ¨ 2 · δϕ2 − J3 · ϕ¨ 3 · δϕ3 − J4 · ϕ¨ 4 · δϕ4 − J5 · ϕ¨ 5 · δϕ5 − m · (g + y) ¨ · δy.

(3.63)

Setzt man die kinematischen Beziehungen in den Arbeitsausdruck ein, erhält man 0 = {M A − ϕ¨ 1 [J1 + J2 · u 21 + J3 · (u 1 · u 2 )2 + J4 · (u 1 · u 2 · u 3 )2 + J5 · (u 1 · u 2 · u 3 · u 4 )2 + m · (r5i · u 1 · u 2 · u 3 · u 4 )2 ] − m · g · r5i · u 1 · u 2 · u 3 · u 4 } · δϕ1 .

(3.64)

Da die virtuelle Verrückung δϕ1 beliebig ist, kann nur der Klammerausdruck {. . . } Null sein. v1

⋅

⋅

ϕ2

v2

⋅

v2

ϕ3

⋅

ϕ4

ϕ5 v4

v3

v3

v3

⋅

v3

y v3 v2

v2

⋅

ϕ1

v1

v1 v1

Abbildung 3.9: Geschwindigkeitsverteilung am Hubwerk.

60

3. Verfahren der Dynamik Daraus erhält man die Winkelbeschleunigung des Ritzels ϕ¨ 1 =

M A − m · g · r5i · u 1 · u 2 · u 3 · u 4 . Jges

(3.65)

Darin wurden die Massenträgheitsmomente zu Jges zusammengefasst.

3.2.3

Prinzip der virtuellen Kräfte

Virtuelle Belastungen müssen statisch verträglich sein, d.h. sie müssen die Gleichgewichtsbedingungen erfüllen. Das P.d.v.K. liefert für elastisch deformierbare Körper die gesuchten Verformungen. Wird ein Körper durch äußere virtuelle Kräfte belastet, werden innere virtuelle Schnittlasten erzeugt. Dabei verrichten die äußeren virtuellen Kräfte Arbeit an realen Verschiebungen und Drehwinkeln. Die virtuellen Schnittlasten verrichten Arbeit an wirklichen inneren Verzerrungen. Die virtuelle Arbeit der äußeren eingeprägten Kräfte wird dann in virtuelle Formänderungsarbeit δW umgewandelt δ A(e) − δW

= 0.

(3.66)

Das entspricht dem Energiesatz. Für Tragwerke, bestehend aus Stäben und Balken, erhält man hieraus eine Arbeitsgleichung, welche die Grundlage für die Berechnung von Verformungen bildet. Der Verformungszustand eines Balkens ist gegeben durch die Längsverschiebung u, die Durchbiegungen w in der (x, z)-Ebene und v in der (x, y)-Ebene, sowie die Drehwinkel infolge Biegung ϕ y , ϕz und infolge Verdrehung ϕx . Die Torsion wird in dieser Form nur für Stäbe mit Kreis- oder dünnwandigem Hohlquerschnitt berücksichtigt. Die virtuelle äußere Arbeit wäre damit δ A(e) = u · δFx + v · δFy + w · δFz + ϕ y · δM y + ϕz · δMz + ϕx · δMt .

(3.67)

Die virtuellen Schnittlasten ausgedrückt durch Normalkraft δN(x), Querkräfte δQ y (x), δQ z (x), Biegemomente δM y (x), δMz (x) und Torsionsmoment δMt (x) erstrecken sich über den gesamten Balken. Die innere virtuelle Formänderungsarbeit erhält man durch Integration über das Balkentragwerk  δW =

[u (x) · δN(x) + γ y (x) · δQ y (x) + γz (x) · δQ z (x)

(Balken)

− w (x) · δM y (x) + v (x) · δMz (x) + ϕx (x) · δMt (x)] · dx.

(3.68)

Die Verzerrungen des Balkens, ausgedrückt durch die Dehnung u (x), die Krümmungen v (x), w (x), die Schubwinkel γ y , γz und die Drillung ϕx , können durch die bekannten Beziehungen

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

61

eliminiert werden E · I y · w (x) E · Iz · v (x) E · A · u (x) G · It · ϕx (x) G · A Schub · γ y (x) G · A Schub · γz (x)  δW = (Balken)



= = = = = =

−M y (x), Mz (x), N(x), Mt (x), Q y (x), Q z (x).

(3.69) (3.70) (3.71) (3.72) (3.73) (3.74)

Q y (x) N(x) Q z (x) · δN(x) + · δQ y (x) + · δQ z (x) E·A G · A Schub G · A Schub

M y (x) Mz (x) Mt (x) · δM y (x) + · δMz (x) + · δMt (x) · dx. + E · Iy E · Iz G · It

(3.75)

Diese virtuelle Formänderungsarbeit des Balkens enthält die Schnittlasten infolge realer und virtueller Belastung sowie dessen Eigenschaften, ausgedrückt durch Dehnsteifigkeit, Biegesteifigkeiten, Schubsteifigkeiten und Torsionssteifigkeit. Bei der Berechnung von Balkenverformungen geht man folgendermaßen vor: 1. Berechnung der Schnittlasten N(x), Q(x), M(x) und Mt (x) infolge tatsächlicher äußerer Belastungen. 2. Am Ort der gesuchten Verformung, Verschiebung oder Drehwinkel wird eine virtuelle Belastung, Kraft oder Moment, der Größe 1v angebracht. 3. Berechnung der Schnittlasten δN(x), δQ(x), δM(x) und δMt (x) infolge virtueller Belastung 1v . 4. Auswertung  der Integrale mittels Tabelle. Die Integrale der Arbeitsausdrücke haben stets die Form : g(x) · h(x)· dx und stellen die Schnittlasten dar. Für konstanten, linearen und parabelförmigen Verlauf sind die Integrationsergebnisse in Abb. 3.12 tabelliert. 5. Anwendung des P.d.v.K., δ A(e) = δW. Dabei besteht die äußere Arbeit aus realer Verformung und virtueller Belastung der Größe 1, dargestellt als 1v . Die innere Arbeit, ausgedrückt durch reale und virtuelle Schnittlasten, ist ebenfalls von der Größe 1v abhängig. Durch Gleichsetzen von äußerer und innerer Arbeit erhält man die gesuchte Verformung.

Beispiel 3.7: Ermittlung der Durchbiegung mit dem P.d.v.K. Für den skizzierten beidseitig gelenkig gelagerten Balken mit Streckenlast, ist die maximale Durchsenkung zu berechnen. Welchen Einfluss übt dabei die Schubverformung auf die reine Biegung aus?

62

3. Verfahren der Dynamik 1v

q0

a Q(x)

δ Q(x)

+

+ −

q0 a 2

1 2

−

δ M(x)

M(x) +

+

q 0a2

a 4

8

Abbildung 3.10: Realer und virtueller Belastungszustand.

Geg.: a, q0 , E · I, G · A Schub . Lösung: Der Balken wird durch die Gleichlast auf Biegung und Schub beansprucht. Die größte Verformung tritt in Balkenmitte auf. Deshalb wird dort ein äquivalenter virtueller Belastungszustand aufgebracht. Die gesamte Verformung w besteht aus der Durchbiegung w B und der Schubdurchsenkung w S . Die virtuelle äußere Arbeit beträgt δ A(e) = w · 1v

= (w B + w S ) · 1v .

Die virtuelle Formänderungsarbeit aus Biegung und Schub lautet a δW = 0

M(x) · δM(x) · dx + E·I

a 0

Q(x) · δQ(x) · dx. G · A Schub

(3.76)

Die Integrale werden mithilfe der Tabelle berechnet δW =



5 · q0 · a 4 q0 · a 2 v ·1 + · 1v . 384 · E · I 8 · G · A Schub

(3.77)

Daraus erhält man durch Gleichsetzen wB =

5 · q0 · a 4 , 384 · E · I

wS

=

q0 · a 2 . 8 · G · A Schub

(3.78)

Zur Abschätzung der Größenordnung der Schubdurchsenkung wird das Verhältnis von Durchbiegung und Schubdurchsenkung gebildet wS 48 E·I = · . wB 5 G · A Schub · a2

(3.79)

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

63

Abbildung 3.11: Realer Biegemomentenverlauf und virtuelle Lastgruppen.

Für einen Kreisquerschnitt mit dem Radius r beträgt die Schubfläche A Schub = 0,9 ·π · r 2 . Damit lautet das obige Verhältnis wS E  r 2 8 = · · . wB G a 3

(3.80)

Falls die Trägerhöhe klein gegenüber der Balkenlänge ist, wird auch das Verhältnis klein und die Schubverformung darf vernachlässigt werden. Bei fliegend gelagerten Rotoren mit kleinem Lagerabstand darf die Welle nicht mehr als Balken betrachtet werden, da die Voraussetzungen der Balkentheorie nicht mehr gelten. Die Ermittlung der Verformungen reduziert sich auf die Berechnung der inneren Formänderungsarbeit δW.

Beispiel 3.8: Ermittlung von Durchbiegung und Neigung mit dem P.d.v.K. Eine Getriebewelle, Durchmesser 40 mm, wird durch zwei resultierende Kräfte belastet. Zu berechnen sind die Durchbiegungen und die Tangentenneigungen an den Kraftangriffspunkten. Geg.: F1 = 150 N, F2 = 80 N, a = 250 mm, b = 350 mm, E = 2,16·105 N/mm2 . Lösung: Für den statisch bestimmt gelagerten Balken wird zunächst der reale Biegemomentenverlauf M(x), infolge F1 und F2 berechnet. Dann werden an den Kraftangriffspunkten nacheinander virtuelle Kräfte und virtuelle Momente aufgebracht. Für diese Lastfälle werden die virtuellen Schnittlasten δMi (x), i = 1,. . . ,4 berechnet. Nun werden die virtuellen

64

3. Verfahren der Dynamik Schnittlasten mit dem realen Verlauf überlagert  E · I · w1 =

M(x) · δM1 (x) · dx, (l)



E · I · w2 =

M(x) · δM2 (x) · dx, (l)

E · I · w 1 =



M(x) · δM3 (x) · dx, (l)

E·I·

w 2



=

M(x) · δM4 (x) · dx.

(3.81)

(l)

Führt man die Integration mithilfe der Tabelle durch, erhält man: Durchbiegung Durchbiegung Neigung Neigung

3.2.4

w1 w2 w 1 w 2

= = = =

–

0,07034 mm 0,06647 mm 0,01043◦ 0,01081◦ .

Berechnung statisch unbestimmter Systeme

Ein Tragwerk ist statisch unbestimmt, wenn die Anzahl der Gleichgewichtsbedingungen nicht ausreicht, um die Lagerreaktionen bestimmen zu können. Basierend auf dem P.d.v.K. können derartige Aufgabenstellungen mit dem Kraftgrößenverfahren bearbeitet werden. Kraftgrößenverfahren: • Das vorgegebene statisch unbestimmte Tragwerk wird durch Entfernen von Lagern in ein statisch bestimmtes Grundsystem überführt. Dies kann auch durch Einführen von Gelenken oder Freischneiden von Stäben erreicht werden. Infolge der realen Belastungen entstehen an diesen modifizierten Tragwerksstellen Verformungen, die allgemein mit δWi0 bezeichnet werden. Der Index 0 weist auf das Grundsystem hin, während Index i den Ort kennzeichnet. • Durch diese Maßnahme wird die Geometrie des Tragwerks verletzt und muss rückgängig gemacht werden. Dazu werden an diesen Stellen äquivalente Lasten der Größe 1v angebracht. Diese Lasten sollen die entstandenen Verformungen δWik am Grundsystem beseitigen. Der Index k ist ein Zähler für die statische Unbestimmtheit. Da nicht zu erwarten ist, dass die Größe 1v dazu in der Lage ist, wird sie um den Faktor X k verstärkt. • Die resultierende Formänderung am Tragwerksort i, δWi , muss aus Verträglichkeitsgründen Null sein. Daraus erhält man, im Allgemeinen, ein lineares Gleichungssystem für die

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

Abbildung 3.12: Auswertung der Integrale

65



g(x) · h(x) · dx.

66

3. Verfahren der Dynamik statisch Unbestimmten X k , n 

δWik · X k + δWi0 = δWi

=

0.

(3.82)

k=1

Ist das System einfach statisch unbestimmt, erhält man die gesuchte Lagerreaktion aus der Bestimmungsgleichung X1 = −

δW10 . δW11

(3.83)

Beispiel 3.9: Erläuterung des Kraftgrößenverfahrens. Für den dargestellten Balken sind die Lagerreaktionen zu berechnen. Geg.: a, F, E · I Lösung: Das System ist einfach statisch unbestimmt. Als Unbestimmte X 1 wird die Kraft des mittleren Lagers eingeführt. Dieses Lager wird entfernt, es entsteht das statisch bestimmte Grundsystem. Am Ort 1 ergibt sich infolge der realen Belastung eine Durchbiegung, die mit dem P.d.v.K. berechnet werden kann  M0 11 F · a3 w10 = δW10 = δM1 · · dx = − · . (3.84) E·I 6 E·I (4a)

Diese Verformung soll durch X 1 kompensiert werden. Dazu wird am Grundsystem zunächst die Durchbiegung infolge 1v ermittelt  w11 = δW11

=

δM1 ·

δM1 · dx E·I

F

F

(4a)

F a

F a

a

X1

4 a3 · . 3 E·I

a

1

FA

=

1

FB

M0 (x)

+ Fa 1

v

1 a −

δ M1 (x)

Abbildung 3.13: Einfach statisch unbestimmt gelagerter Balken.

(3.85)

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

67

Diese Formänderung wird um den Faktor X 1 verstärkt, damit die resultierende Durchbiegung verschwindet. Daraus erhält man die statisch Unbestimmte X1 = −

δW10 δW11

=

11 · F. 8

(3.86)

Sind die statisch Unbestimmten ermittelt, lassen sich die anderen Größen durch Superposition berechnen (Grundsystem)

FA = FA

(infolge1v )

+ X 1 · FA

5 · F. 16

=

(3.87)

Dies gilt ebenso für Schnittlasten als auch für Formänderungen. Interessieren beispielsweise Biegemoment und Tangentenneigung an einer Stelle x0 , so gilt v

M(x0 ) = M(x0 )(Grundsystem) + X 1 · M(x0 )(infolge1 ) , (infolge1v )

w (x0 ) = w (x0 )(Grundsystem) + X 1 · w (x0 )

(3.88)

.

(3.89)

Beispiel 3.10: Durchbiegung an einem statisch unbestimmten Rahmentragwerk. Der einseitig eingespannte Rahmen mit Rechteckquerschnitt ist am freien Ende zusätzlich durch ein Loslager gestützt. Er wird durch eine Kraft belastet. Am Kraftangriffspunkt soll ein Motor gelagert werden. Daher interessiert an dieser Stelle die Durchbiegung. Der Einfluss von Normal- und Querkraft kann vernachlässigt werden. Geg.: F = 2500 N, b = 60 mm, h = 100 mm, E = 2,16 · 105 N/mm2 . Lösung: Das Rahmentragwerk ist einfach statisch unbestimmt. Durch Entfernen des Loslagers an der Stelle 1 erhält man das Grundsystem. Zur Ermittlung der statisch Unbestimmten X 1 werden die Formänderungen infolge der Lastfälle F und 1v an der Stelle 1 berechnet. Durchbiegung infolge F an der Stelle 1  δW10 =

δM1 · (Rahmen)

M0 · dx E·I

=

−0,1146 ·

F E·I

und infolge 1v ebenfalls an dieser Stelle  δW11 =

δM1 · (Rahmen)

δM1 · dx E·I

=

0,4219 ·

1 . E·I

Damit lautet die gesuchte Lagerkraft X1 = −

δW10 δW11

=

679 N.

(3.90)

68

3. Verfahren der Dynamik Zur Berechnung der senkrechten Verschiebung des Kraftangriffspunktes werden zunächst die Durchbiegungen am Grundsystem infolge der Lastfälle F und 1v berechnet

w(F) =

 δM2 ·

M0 · dx E·I

=

0,0844 mm,

δM1 ·

δM2 · dx E·I

=

−1,064 · 10−4 mm.

(Rahmen) v)

w(1

 = (Rahmen)

Damit verschiebt sich der Kraftangriffspunkt 2 um den Betrag v)

w2 = w(F) + X 1 · w(1

Abbildung 3.14: Rahmentragwerk.

=

0,012 mm.

(3.91)

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

3.2.5

69

Nachgiebigkeiten

Die Ermittlung der Verformungen mit dem P.d.v.K. kann schematisiert werden, indem die Gesamtbelastung in Einzellastfälle aufgeteilt wird. Interessieren beispielsweise die Verformungen an den Lasteinleitungsstellen, können die realen Einzelbelastungen in einer Spalte angeordnet werden, während die virtuellen Zustände in einer Kopfzeile untergebracht werden. So entsteht durch Überlagerung der realen mit den virtuellen Lastzuständen eine Matrix. Jedes Matrixelement liefert einen Verformungsbeitrag. Fasst man die Verformungen in einem Verschiebungsvektor u i und die äußeren Kräfte und Momente in einem Lastvektor f j zusammen, gilt mit der Matrix h ij u i = h ij · f j .

(3.92)

Die Matrix heißt Nachgiebigkeitsmatrix und enthält die Eigenschaften der Struktur, ausgedrückt durch deren Abmessungen und Werkstoff.

Beispiel 3.11:

Kragträger belastet durch Kräfte und Momente.

Der einseitig eingespannte Balken mit konstanter Biegesteifigkeit wird durch Kräfte und Momente belastet. Zu berechnen sind die Durchbiegungen und die Tangentenneigungen (Drehwinkel). Geg.: F1 , F2 , M1 , M2 , E · I, a. l

l

M1

M2 F1

F2

Abbildung 3.15: Kragträger.

Lösung: Die Gesamtbelastung wird aufgeteilt in vier Einzellastfälle. Für jeden Lastfall wird mit dem P.d.v.K. die Verformung an den Lastangriffspunkten berechnet. Dazu werden die realen und virtuellen Belastungen spalten- und zeilenweise angeordnet. Jeder Schnittpunkt bedeutet eine Überlagerung von Schnittlastenverläufen und somit eine Verformung. Man erkennt die Symmetrie der Anordnung. Damit stellen sich Durchbiegungen und Drehwinkel wie folgt dar ⎛

⎞

w1 l ⎜ w2 ⎟ ⎝ ϕ ⎠= 1 E·I ϕ2

⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝

l2 3 5l 2 6 − 2l − 2l

5l 2 6 8l 2 3 − 3l2

− 3l2

−2l

1

− 2l 1

− 2l

⎞

⎛ ⎞ F1 ⎟ ⎟ −2l ⎟ ⎜ F2 ⎟ ⎟ · ⎝ M1 ⎠ . 1 ⎠ M2 2

(3.93)

70

3. Verfahren der Dynamik

Abbildung 3.16: Ermittlung der Verformungen mit dem P.d.v.K.

3.2.6

Steifigkeiten

Bildet man die inverse Beziehung, d.h. löst man die obige Gleichung nach den Belastungen auf, erhält man die Steifigkeiten f i = h ij−1 · u j

=

sij · u j .

(3.94)

Die Steifigkeitsmatrix sij entspricht der inversen Nachgiebigkeitsmatrix, h ij−1 . Sie wird zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen elastischer Systeme benötigt und kann auf direktem Wege bestimmt werden. Dazu wird ein beidseitig eingespannter Balken betrachtet, dem so genannte Einheitsverformungszustände eingeprägt werden. Man stellt sich vor, eine Einspannstelle um den Betrag w = 1 zu verschieben oder um den Winkel ϕ = 1 zu verdrehen. Dabei stellen sich charakteristische Biegelinien ein, die mittels der bekannten Differentialgleichung E · I · w = q(x) = 0 berechnet werden können. Durch Integration erhält man mit den vier Konstanten die Biegelinie in allgemeiner Form

w(x) =

1 1 · C1 · x 3 + · C2 · x 2 + C3 · x + C4 . 6 2

(3.95)

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

71

Durch Anpassen an die Randbedingungen: Fall

w(0)

w (0)

w(l)

w (l)

w(x) mit ξ= xl

w (x)

a)

1

0

0

0

1 − 3 · ξ2 + 2 · ξ3

6 · (2 · ξ − 1) l12

b)

0

−1

0

0

l (−ξ + 2 · ξ 2 − ξ 3 )

2 · (2 − 3 · ξ) 1l

c)

0

0

1

0

3 · ξ2 − 2 · ξ3

6 · (1 − 2 · ξ)/ l12

d)

0

0

0

−1

l ( ξ2 − ξ3 )

2 · (1 − 3 · ξ)/ 1l

lassen sich die Integrationskonstanten und somit die Biegelinien bestimmen. Dabei wurde berücksichtigt, dass zu positiven Drehwinkeln negative Tangentenneigungen gehören. Zu diesen Verformungen gehören Biegemomente und Querkräfte, die man aus den Beziehungen E · I · w (x) = – M(x) und E · I · w (x) = – Q(x) gewinnt. Damit kann ein Zusammenhang zwischen den Randschnittlasten und den eingeprägten Verformungen hergestellt werden. Im Hinblick auf praktische Anwendungen ist es zweckmäßiger, die Steifigkeiten mit dem P.d.v.V. zu ermitteln. Man kann sich vorstellen, dem tatsächlichen Verformungszustand virtuelle zu überlagern. Der reale Einheitsverformungszustand ruft die tatsächlichen Schnittlasten E · I · w (x) hervor. Prägt man jetzt virtuelle Verrückungen ein, die so gewählt werden, dass sie qualitativ den realen Biegelinien entsprechen, können geeignete virtuelle Arbeitsausdrücke formuliert werden. Betrachtet man beispielsweise den realen Verformungszustand a), dem die vier virtuellen Verformungen δa, δb, δc und δd nacheinander überlagert werden, so lautet dafür

Abbildung 3.17: Einheitsverformungszustände am eingespannten Balken.

72

3. Verfahren der Dynamik

das Arbeitsprinzip

F0 · 1v =

l

E I · wa (x) · δwa (x) · dx +

0

E I · wa (x) · δw b (x) · dx

0

l +

EI ·

wa (x)

·

δw c (x)

l · dx +

0

=

l

E I · wa (x) · δw d (x) · dx

0

12 · E I 6 · EI 12 · E I 6 · EI · w(0) − · ϕ0 − · w(l) − · ϕl . l3 l2 l3 l2

(3.96)

Die Koeffizienten der Einheitsverformungen sind die Elemente der 1. Zeile der gesuchten Steifigkeitsmatrix. Bildet man für die anderen Zustände ebenfalls Arbeitsausdrücke, so erhält man die Elemente der Steifigkeitsmatrix durch die Vorschrift l sij = E · I

·w(x)i · w(x) j · dx.

(3.97)

0

Womit die Rückstellkräfte und Momente infolge beliebiger können ⎛ ⎛ ⎞ 12 −6 · l −12 −6 · l F0 E·I ⎜ −6 · l 4 · l2 6 · l 2 · l2 ⎜ M0 ⎟ ⎝ F ⎠= 3 ·⎜ ⎝ −12 6·l 12 6·l l l Ml −6 · l 2 · l 2 6 · l 4 · l 2

Verformungen berechnet werden ⎞ ⎛

⎞ w(0) ⎟ ⎜ ϕ0 ⎟ ⎟·⎜ ⎟ ⎠ ⎝ w(l) ⎠ . ϕl

(3.98)

Deformationsmethode: Zur Ermittlung der Steifigkeitsmatrix eines ebenen Balkentragwerks wird zunächst die Anzahl der Freiheitsgrade in Form von Knotenverschiebungen und Knotenverdrehungen eindeutig festgelegt. Jetzt werden dem System nacheinander tatsächliche Einheitsverformungszustände eingeprägt. Alle anderen Verformungen werden unterdrückt. Dadurch stellen sich für jeden Abschnitt Biegelinien vom Typ des beidseitig eingespannten Balkens ein. Diesem Zustand werden virtuelle Verrückungen, welche gleich orientiert sind wie die realen Verschiebungen, überlagert. Das Arbeitsprinzip liefert dann für jeden überlagerten Balkenabschnitt ein Steifigkeitselement. Die fälligen Integrationen wurden bereits durchgeführt und können der Abbildung 3.18 entnommen werden. Beispiel 3.12: Ermittlung von Steifigkeiten an einem Kragträger. Für den einseitig eingespannten Balken aus Beispiel 3.11 sollen die Elemente der Steifigkeitsmatrix ermittelt werden.

3.2 Prinzip der virtuellen Arbeiten

73

Abbildung 3.18: Auswertung der Integrale



E I · w (x) · δw · dx.

Abbildung 3.19: Freiheitsgrade.

Lösung: Der Balken besteht aus zwei Knotenpunkten. Jeder Knoten kann vertikal ausgelenkt und verdreht werden. Somit hat das System vier Freiheitsgrade. Jedem Knotenpunkt werden nacheinander tatsächliche Verformungen eingeprägt. Zuerst wird Punkt 1 um den Winkel ϕ1 verdreht. Die anderen Freiheitsgrade werden gesperrt. Dann wird Knoten 2 um ϕ2 verdreht. Wieder werden die anderen Freiheitsgrade unterdrückt. Danach werden die Auslenkungen eingeprägt. Zu jedem Verformungszustand gehören Biegelinien, die schon bekannt sind. Die virtuellen Verformungen werden in derselben Art eingeprägt wie die tatsächlichen. Die Überlagerung beider Zustände erfolgt mit den zuvor bereitgestellten Integrationsergebnissen. Es ist zweckmäßig, die realen Verformungszustände in einer Spalte und die virtuellen in einer Zeile anzuordnen. Damit sind die Elemente der Steifigkeitsmatrix bestimmt. Für beliebige Drehwinkel und Auslenkungen stellen sich folgende Rückstellkräfte und Momente ein ⎛

⎞ M1 E·I ⎜ M2 ⎟ ⎝ F ⎠= 3 1 l F2

⎛

8 · l2 ⎜ 2 · l2 ·⎜ ⎝ 0 6·l

2 · l2 4 · l2 −6 · l 6·l

0 −6 · l 24 −12

⎞ ⎛ ϕ1 6·l ϕ ⎟ ⎜ 6·l ⎟ ⎜ 2 · −12 ⎠ ⎝ w1 w2 12

⎞ ⎟ ⎟. ⎠

(3.99)

74

3. Verfahren der Dynamik

Abbildung 3.20: Überlagerung von tatsächlichen mit virtuellen Verformungszuständen.

3.3

Lagrangesche Bewegungsgleichungen

Für Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden, ausgedrückt durch die linear unabhängigen generalisierten Koordinaten qi , erhält man die Bewegungsgleichungen durch Differentiation der potentiellen und kinetischen Energie. Dabei wird die Differenz von kinetischer und potentieller Energie in der Lagrangefunktion L = E −U

(3.100)

zusammengefasst. Damit lauten die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen d dt



∂L ∂ q˙ j

 −

∂L = Q j. ∂q j

(3.101)

Das zu untersuchende System ist konservativ, wenn die rechte Seite Null ist. Dies ist dann der Fall, wenn die beteiligten Kräfte und Momente aus einem Potential ableitbar sind. Das trifft für Gewichtskräfte und elastische Rückstellkräfte und -momente zu. Die Lagrangeschen Gleichungen gelten aber auch für nichtkonservative Systeme. Greifen äußere Belastungen, beispielsweise Antriebsmomente oder Reibungskräfte an, stehen auf der rechten Seite die generalisierten Kräfte Q j . Diese erhält man durch Koeffizientenvergleich von virtuellen Arbeitsausdrücken δA(e) = Q 1 · δq1 + Q 2 · δq2 + · · · + Q n · δqn .

(3.102)

Diese Methode hat, wie das D’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung, den Vorteil, dass nur die linear unabhängigen generalisierten Koordinaten in Erscheinung treten. Daher ist es nicht erforderlich, das Schnittprinzip auf das System anzuwenden. In vielen Fällen interessieren aber nicht nur die Bewegungsgrößen, sondern auch die Lagerreaktionen. Die obigen Gleichungen liefern für jeden Freiheitsgrad die Beschleunigungen. Eine nachgeschaltete Berechnung auf der Basis von Schwerpunkt und Drallsatz liefert dann jede gewünschte Größe.

3.3 Lagrangesche Bewegungsgleichungen

75

Beispiel 3.13: Bewegungsgleichungen einer rotierenden Scheibe mit Pendel. Die dargestellte Scheibe ist außerhalb ihres Schwerpunktes drehbar gelagert. Im Abstand a vom Drehzentrum ist ein Pendel angeordnet. Das System wird mit einem zeitlich veränderlichen Drehmoment angetrieben. Wie lauten die Bewegungsgleichungen? Geg.: M(t), a, b, e, α, m, m Q , J (S) , J (Q) . y Q

b

P

a

M(t)

rPQ

Q

α

P

J(Q),m Q S

rP

(S),

W

J

W

m

ψ

α

rS

Sϕ x

e

Abbildung 3.21: Exzentrisch gelagerte Scheibe mit Pendel. Ortsvektoren.

Lösung: Das System hat zwei Freiheitsgrade, den Drehwinkel der Scheibe ϕ und den des Pendels ψ. Somit lauten die generalisierten Koordinaten, q1 = ϕ und q2 = ψ. Benötigt werden Lage und Geschwindigkeiten der Punkte S und Q. Zunächst werden die Ortsvektoren zu diesen Punkten aufgestellt rS rP rPQ rQ

= = = =

e · {cos ϕ; sin ϕ; 0}, a · {cos(α + ϕ); sin(α + ϕ); 0}, b · {cos ψ; sin ψ; 0}, rP + rPQ .

(3.103)

Die kinetische Energie des Systems besteht aus translatorischen und rotatorischen Anteilen der Scheiben- und Pendelbewegung E =

1 1 1 1 · m · v2S + · J (S) · ϕ˙ 2 + · m Q · v2Q + · J (Q) · ψ˙ 2 . 2 2 2 2

(3.104)

Durch Differentiation der Ortsvektoren erhält man die Geschwindigkeitsvektoren. Benötigt werden deren Skalarprodukte mit sich selbst v2S = e2 · ϕ˙ 2 , v2Q = a2 · ϕ˙ 2 + b2 · ψ˙ 2 + 2 · a · b · ϕ˙ · ψ˙ · cos(α + ϕ − ψ).

(3.105)

Die potentielle Energie lautet U = m · g · r Sy + m Q · g · r Q y .

(3.106)

76

3. Verfahren der Dynamik Jetzt kann die Lagrangefunktion gebildet werden 1 2 (S) 1 · ϕ˙ (J + m · e2 + m Q · a2 ) + · ψ˙ 2 (J (Q) + m Q · b2 ) 2 2 + m Q · a · b · ϕ˙ · ψ˙ · cos(α + ϕ − ψ) − m · g · e · sin ϕ − m Q · g[a · sin(α + ϕ) + b · sin ψ].

L =

(3.107)

Die generalisierte Kraft ergibt sich aus dem Arbeitsausdruck δA(e) = M(t) · δϕ = Q ϕ · δϕ + Q ψ · δψ, also

(3.108)

Q ϕ = M(t).

(3.109)

Jetzt beginnt die eigentliche Arbeit ∂L = ϕ˙ · (J (S) + m · e2 + m Q · a2 ) + m Q · a · b · ψ˙ · cos(α + ϕ − ψ), ∂ ϕ˙ ∂L = ψ˙ · (J (Q) + m Q · b2 ) + m Q · a · b · ϕ˙ · cos(α + ϕ − ψ), ∂ ψ˙

 d ∂L = ϕ¨ · (J (S) + m · e2 + m Q · a2 ) + ψ¨ · m Q · a · b · cos(α + ϕ − ψ) dt ∂ ϕ˙ ˙ − m Q · a · b · ψ˙ · sin(α + ϕ − ψ) · (ϕ˙ − ψ),

 d ∂L = ψ¨ · (J (Q) + m Q · b2 ) + ϕ¨ · m Q · a · b · cos(α + ϕ − ψ) dt ∂ ψ˙ ˙ − m Q · a · b · ϕ˙ · sin(α + ϕ − ψ) · (ϕ˙ − ψ),

∂L = ∂ϕ − ∂L = ∂ψ −

−m Q · a · b · ϕ˙ · ψ˙ · sin(α + ϕ − ψ) − m · g · e · cos(α + ϕ) m Q · g · a · cos ϕ, −m Q · a · b · ϕ˙ · ψ˙ · sin(α + ϕ − ψ) m Q · g · b · cos(α + ϕ).

(3.110)

Für die Massenträgheitsmomente werden folgende Abkürzungen eingeführt Θ11 = J (S) + m · e2 + m Q · a2 , Θ12 = m Q · a · b, Θ22 = J (Q) + m Q · b2 .

(3.111)

3.3 Lagrangesche Bewegungsgleichungen

77

Mit diesen Vorbereitungen können die Differentialgleichungen für die Winkelbeschleunigungen von Scheibe und Pendel aufgestellt werden. Für die Scheibe ergibt sich nach der Vorschrift d dt



∂L ∂ ϕ˙

 −

∂L = Qϕ, ∂ϕ

(3.112)

Θ11 · ϕ¨ + Θ12 · cos(α + ϕ − ψ) · ψ¨ + Θ12 · ψ˙ 2 · sin(α + ϕ − ψ) = M(t) − m · g · e · cos ϕ − m Q · g · a · cos(α + ϕ)

(3.113)

und für das Pendel d dt



∂L ∂ ψ˙

 −

∂L = 0, ∂ψ

(3.114)

Θ22 · ψ¨ + Θ12 · cos(α + ϕ − ψ) · ϕ¨ − Θ12 · ϕ˙ 2 · sin(α + ϕ − ψ) = − m Q · g · b · cos(α + ϕ).

(3.115)

Diese Gleichungen sind gekoppelt und nichtlinear. Eine geschlossene Lösung ist nicht möglich. Deshalb werden derartige Differentialgleichungssysteme numerisch behandelt, was keinerlei Schwierigkeiten bereitet. Dazu werden die obigen Gleichungen zunächst in Matrixform dargestellt. Die Massenträgheitsmomente werden in den Matrizen 

Θ12 · cos(α + ϕ − ψ) Θ11 Θij = (3.116) Θ12 · cos(α + ϕ − ψ) Θ22 und Θij∗

=

0 −Θ12 · sin(α + ϕ − ψ)

Θ12 · sin(α + ϕ − ψ) 0

 (3.117)

zusammengefasst. Das Antriebsdrehmoment sowie die Rückstellmomente werden in einer Spaltenmatrix angeordnet

 M(t) − g · [m · e · cos ϕ + m Q · a · cos(α + ϕ)] fi = . (3.118) −m Q · g · b · cos(α + ϕ) Mit den Winkelbeschleunigungen, x¨tj = ( ϕ¨ ψ¨ ), und den Quadraten der Winkelgeschwindigkeiten, Ω tj = ( ϕ˙ 2 ψ˙ 2 ), lauten die Bewegungsgleichungen Θij · x¨ j − Θij∗ · Ω j = f i .

(3.119)

Die Koeffizientenmatrix des Beschleunigungsvektors enthält in der Nebendiagonalen die zeitlich veränderlichen Drehwinkel. Sie ist problemlos invertierbar. Der zweite Term stellt die Momentenwirkung der Fliehkräfte des Pendels dar.

78

3. Verfahren der Dynamik Die Anwendung numerischer Algorithmen zur Lösung dieses Differentialgleichungssystems erfordert eine Aufbereitung der Gleichung. Zunächst muss der Beschleunigungsvektor isoliert werden. Dies gelingt mit der inversen Massenmatrix Θij−1 x¨i = Θij−1 · (Θ ∗jk · Ωk + f j ).

(3.120)

Jetzt wird ein System von Differentialgleichungen erster Ordnung erzeugt x˙i = vi , v˙ i = Θij−1 · (Θ ∗jk · Ωk + f j ).

(3.121)

t Mit den Anfangsbedingungen für die Drehwinkel, x0i (t = 0) = ( ϕ0 ψ0 ), und die Winkel t geschw indigkeiten, v0i (t = 0) = ( ϕ˙ 0 ψ˙ 0 ), ist die Schnittstelle zur Numerik geschaffen.

4

Grundlagen der Schwingungstechnik

In diesem Kapitel werden lineare Schwingungen mit einem Freiheitsgrad betrachtet. Dabei werden jene Gebiete ausführlich dargelegt, die für das Verständnis einer Maschinendynamik erforderlich sind. In rotierenden Maschinen werden zeitlich veränderliche Vorgänge in Form von Kräften, Momenten und Bewegungen erzeugt. Diese Größen belasten die Maschine selbst und werden an die Umgebung übertragen. Schwingungen sind nicht grundsätzlich schädlich. Viele technische Anwendungen basieren auf Schwingungen. Das prinzipielle Schwingungsverhalten wird bei unterschiedlichen Anregungsarten erläutert. Zunächst werden harmonische und periodische Erregungen behandelt. Dem schließt sich eine Betrachtung über transiente Anregungen an.

4.1

Schwinger mit einem Freiheitsgrad

Schwingungsfähige Systeme mit einem Freiheitsgrad sind solche, deren Lage durch eine skalare Größe, beispielsweise Auslenkung oder Drehwinkel, eindeutig bestimmt wird. Dabei handelt es sich bereits um eine Modellvorstellung, denn ein reales System hat als Kontinuum unendlich viele Freiheitsgrade. Beschränkt man sich auf starre Körper, die durch Gelenke und Kraftelemente, wie Federn und Dämpfer, miteinander verbunden sind, erhält man Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden. Durch Einschränkung von Bewegungsmöglichkeiten oder spezieller Anregung ist es möglich, dass eine Schwingbewegung nur in einer Richtung erfolgt. Die Kenntnis des Verhaltens eines linearen Systems mit einem Freiheitsgrad ist für das Verständnis von Schwingungsvorgängen sehr wichtig.

4.2

Modellbildung

Das in Abb. 4.1 dargestellte System besteht aus einer starren Masse m, einer Feder c und einem Dämpfer r. Die seitlichen Begrenzungen sollen andeuten, dass Pendelungen der Masse auszuschließen sind. Der Zusammenhang zwischen Federkraft FF und Auslenkung sei linear, wie der Abb. 4.2 zu entnehmen ist. Das Dämpfermodell besteht aus einem Zylinder, in dem sich ein Fluid befindet. Der Kolben enthält Bohrungen, durch die das Medium gepresst wird, falls eine Kraft FD wirksam wird. Wird der Kolben langsam bewegt, ist nur eine geringe Kraft erforderlich. Eine schnelle Kolbenbewegung erfordert eine größere Kraft. Die Dämpferkraft FD ist also der Geschwindigkeit v proportional, der Proportionalitätsfaktor r [kg/s] heißt viskose Dämpfung, kurz Dämpfungskonstante. Hierbei handelt es sich um eine Modellvorstellung, die

80

4. Grundlagen der Schwingungstechnik F(t)

m y(t) c

r

u(t)

Abbildung 4.1: Modell eines Einmassenschwingers.

mathematisch einfach zu formulieren ist. Wirkliche Dämpfungen unterliegen meist anderen physikalischen Gesetzen. Man kann sich vorstellen, dass die Masse durch eine zeitlich veränderliche Kraft F(t) angeregt wird. Fährt man beispielsweise mit seinem Auto über eine vielbefahrene Kreuzung, so wird das Fahrzeug im Bereich der Haltelinie, infolge der welligen Fahrbahndecke, vertikal angeregt. Diese Art der Erregung nennt man Fußpunktanregung u(t).

4.3

Bewegungsdifferentialgleichung

Lenkt man die Masse in eine Richtung y(t) aus, so wirken entgegengerichtet die Rückstellkräfte infolge Feder, FF und Dämpfer, FD . Bei einer möglichen Fußpunktanregung u(t), hängen diese vom Relativweg und von der Relativgeschwindigkeit ab FF = c · [y(t) − u(t)],

(4.1)

FD = r · [ y(t) ˙ − u(t)]. ˙

(4.2)

Die Bewegung wird unterstützt durch die anregende Kraft F(t) und durch das Eigengewicht. Die Masse wird frei geschnitten, die Kräfte angetragen und der Schwerpunktsatz formuliert m · y(t) ¨ = −FD − FF + F(t) + m · g. FF [N]

FD [N]

FF

c [N/m]

FF

(4.3)

FD

s [m]

r [kg/s]

FD

Abbildung 4.2: Feder- und Dämpferkennlinie.

v [m/s]

4.3 Bewegungsdifferentialgleichung

81

F(t)

y(t) FG FD

FF

u(t)

Abbildung 4.3: Schnittkräfte am Einmassenschwinger.

Die entstandene Schwingungsgleichung wird so sortiert, dass auf der linken Seite die Systemgrößen Masse, Steifigkeit und Dämpfung stehen, während die Störgrößen rechts angeordnet werden m · y(t) ¨ + r · y(t) ˙ + c · y(t) = m · g + F(t) + r · u(t) ˙ + c · u(t).

(4.4)

Diese Gleichung wird normiert, indem die höchste Ableitung den Koeffizienten 1 hat c F(t) r c r · y(t) + · u(t) ˙ + · y(t) = g + ˙ + · u(t). m m m m m

y(t) ¨ +

Aus dem Quotienten  ω0 =

c m,

(4.5)

folgt die Eigenkreisfrequenz

c 1 [ ] m s

(4.6)

und daraus die Eigenfrequenz f0 =

ω0 [Hz]. 2π

(4.7)

Die Eigenfrequenz hängt nur von den Systemeigenschaften Masse und Steifigkeit ab. Sie ist für die Beurteilung des Schwingungsverhaltens eine bedeutende Größe, gewissermaßen die Visitenkarte des mechanischen Systems. Der Quotient

r m

wird abgekürzt durch

r = 2D · ω0 . m

(4.8)

Darin ist die dimensionslose Größe D, der Dämpfungsgrad. Er wird zweckmäßig in Prozent angegeben. Mit diesen Abkürzungen lautet die Schwingungsgleichung für das System y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) = F(t) + 2D · ω0 · u(t) g+ ˙ + ω20 · u(t). m

(4.9)

82

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

4.4

Lösung der Bewegungsgleichung

Es interessieren stets zwei Fragestellungen: • welches Eigenschwingungsverhalten hat das System und • welche Schwingungsamplituden treten bei einer Anregung auf? Das gesamte Schwingungsverhalten setzt sich also aus den Eigenschwingungen und den erzwungenen Schwingungen zusammen. Obwohl Eigenschwingungen aufgrund der real stets vorhandenen Dämpfung abklingen, sind sie für die Beurteilung von Einschwingvorgängen wichtig. Bevor wir uns damit näher befassen, soll der Einfluss des Eigengewichtes untersucht werden. Betrachtet wird eine Einzelmasse, die auf eine Feder wirkt. Hält man die Masse fest, ist die Feder spannungslos. Gibt man dem Eigengewicht nach, wird die Feder um den Betrag der statischen Ruhelage zusammengedrückt. Die Masse ist im statischen Gleichgewicht.

m ystat m statische

m

Ruhelage

c c

c

y(t)

Abbildung 4.4: Einfluss des Eigengewichtes auf das Schwingungsverhalten.

Lenkt man die Masse zusätzlich aus, entsteht eine Schwingung um die statische Ruhelage, Abb. 4.4. Dieser anschauliche Sachverhalt kann mit Gl. (4.9) näher untersucht werden. Betrachtet man nur den Eigengewichtseinfluss, erhält man die statische Auslenkung durch Nullsetzen der zeitlichen Ableitungen ω20 · ystat = g, ystat =

m·g . c

(4.10) (4.11)

Dies ist die statische Gleichgewichtsbedingung. Überlagert man dieser statischen Auslenkung eine zusätzliche Verschiebung y(t), erhält man den gesamten Weg der Masse Y(t) = ystat + y(t).

(4.12)

4.5 Eigenschwingungsverhalten

83

Setzt man diese Auslenkung in die Bewegungsgleichung (4.9) ohne Dämpfung und zusätzliche Anregungen ein, stellt man fest Y¨ (t) + ω20 · Y(t) = g, y(t) ¨ + ω20 · [y(t) + ystat ] = g, y(t) ¨ + ω20 · y(t) = 0,

(4.13)

d.h. das Eigengewicht bewirkt lediglich eine anfängliche statische Auslenkung. Da die Bewegung um die statische Ruhelage erfolgt, hat das Eigengewicht keinen Einfluss auf das Schwingungsverhalten.

4.5

Eigenschwingungsverhalten

Zur Untersuchung des Eigenschwingungsverhaltens wird die homogene Differentialgleichung, DGL (4.9), herangezogen y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) = 0.

(4.14)

Der Eigenschwingungsansatz yh (t) = C · eλ·t ,

(4.15)

wird zweimal nach der Zeit differenziert und in die DGL eingesetzt (λ2 + 2D · ω0 · λ + ω20 ) · C · eλ·t = 0.

(4.16)

Da die Konstante C beliebig ist und die Exponentialfunktion nicht Null wird, muss der Klammerausdruck verschwinden. Damit erhält man die charakteristische Gleichung λ2 + 2D · ω0 · λ + ω20 = 0 mit der Lösung

  1 2 2 2 + λ1,2 = −2D · ω0 − 4D · ω0 − 4ω0 , 2  2 = −D · ω0 + −ω0 D − 1.

(4.17)

(4.18)

Es gibt also zwei Lösungen, deshalb werden auch zwei freie Konstanten C1 und C2 benötigt. Das Produkt δ = D · ω0

(4.19)

heißt Abklingkonstante. Im Weiteren wird abgekürzt  α = ω0 D2 − 1.

(4.20)

84

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Damit stellt sich die homogene Lösung in der Form yh (t) = e−δ·t · (C1 · eα·t + C2 · e−α·t )

(4.21)

dar. Das Verhalten dieser homogenen Lösung hängt von der Größe der Dämpfung ab. Folgende Fälle sind möglich: • gedämpfte Eigenschwingung mit D ≤ 1, • ungedämpfte Eigenschwingung mit D = 0, • Kriechvorgang mit D ≥ 1. Gedämpfte Eigenschwingung In diesem Fall wird α komplex. Mit der imaginären Einheit √ −1 erhält man  α = j · ω0 1 − D2 . j =

(4.22) (4.23)

Das Produkt  ω D = ω0 1 − D2

(4.24)

wird als Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems bezeichnet. Damit lautet die homogene Lösung yh (t) = e−δ·t · (C1 · ej·ω D ·t + C2 · e−j·ω D ·t ).

(4.25)

Mit der bekannten Eulerschen Beziehung −jx = cos x + j · sin x, e+ −

(4.26)

kann die Gleichung umgeformt werden yh (t) = e−δ·t · [(C1 + C2 ) · cos ω D t + j · (C1 − C2 ) · sin ω D t] .

(4.27)

Summe und Differenz der beiden Konstanten werden zu neuen Konstanten zusammengefasst, c1 = C1 + C2 und c2 = C1 – C2 . Die homogene Lösung setzt sich aus einem Realteil und einem Imaginärteil zusammen. Damit sind aber der Realteil und der Imaginärteil jeweils Lösung der DGL yh (t) = e−δ·t · (c1 · cos ω D t + c2 · sin ω D t).

(4.28)

4.5 Eigenschwingungsverhalten

85

Die Konstanten werden aus den Anfangsbedingungen, dies sind Anfangsauslenkung y0 und Anfangsgeschwindigkeit v0 , zum Zeitpunkt t = 0 yh (t = 0) = y0 y˙h (t = 0) = v0

und bestimmt

(4.29) (4.30)

c1 = y0 , v0 + δ · y0 c2 = . ωD

(4.31) (4.32)

Damit liegt eine allgemeine Lösung für das Eigenschwingungsverhalten vor. Zur Interpretation dieser Lösung ist es zweckmäßig, die beiden harmonischen Funktionen zusammenzufassen. Angestrebt wird die Darstellungsform yh (t) = e−δ·t · A · sin(ω D t + φh ).

(4.33)

Im Gegensatz zur Darstellung (4.28), kann man sich den Funktionsverlauf jetzt leicht vorstellen: Es handelt sich um eine abklingende Sinusschwingung mit einer Anfangsamplitude A. Sie ist gegenüber der reinen Sinusfunktion um den Winkel φh phasenverschoben. Die Schwingung erfolgt mit der Eigenkreisfrequenz ω D . Zur Bestimmung von Amplitude und Phasenverschiebung wird die Form (4.33) zunächst nach dem bekannten Additionstheorem entwickelt yh (t) = A · e−δ·t (sin ω D t · cos φh + cos ω D t · sin φh )

(4.34)

und (4.28) gleichgesetzt c1 · cos ω D t + c2 · sin ω D t = A · (sin ω D t · cos φh + cos ω D t · sin φh ).

(4.35)

Vergleicht man die Koeffizienten von cos ω D t und sin ω D t miteinander, erhält man c1 = A · sin φh , c2 = A · cos φh .

(4.36) (4.37)

Beide Seiten der Gleichungen werden quadriert und addiert. Daraus ergibt sich die Amplitude  A = c21 + c22 , (4.38)  A =

y02 +

v0 + δ · y0 ωD

2 .

Die Phasenverschiebung erhält man durch Division der beiden Gleichungen

 c1 φh = arctan , c2

y0 · ω D φh = arctan v0 + δ · y0

(4.39)

(4.40)

 .

(4.41)

86

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Damit lautet das Eigenschwingungsverhalten des gedämpften Systems 

 v0 + δ · y0 2 −δ·t 2 yh (t) = e · y0 + · sin(ω D t + φh ). ωD

(4.42)

Je nach Größe der Dämpfung spricht man von schwach oder stark gedämpften Eigenschwingungen, die rasch abklingen. Ungedämpfte Eigenschwingung Amplitude und Phasenverschiebung hängen jetzt nur von den Anfangsbedingungen y0 und v0 ab. Dieser Fall muss nicht neu untersucht werden, das Eigenschwingungsverhalten ergibt sich einfach durch Nullsetzen der Dämpfung D 

2 v0 yh (t) = y02 + · sin(ω0 t + φh ), (4.43) ω0

φh = arctan

y0 · ω0 v0

 .

(4.44)

Bei diesem theoretischen Fall würden die Eigenschwingungen nicht abklingen, was bei technischen Problemstellungen nicht der Fall ist. Bei den folgenden Abbildungen handelt es sich um schwach und stärker gedämpfte Eigenschwingungen. Zum Vergleich ist der dämpfungsfreie Fall jedesmal mit dargestellt. D = 0, 10, 20, 30%

D = 0, 40, 50, 60% 100

Amplitude –––> y(t) [ mm ]

Amplitude –––> y(t) [ mm ]

100

50

0

–50

–100

0

2 4 Zeit –––> t [ s ]

6

50

0

–50

–100

0

2 4 Zeit –––> t [ s ]

6

Abbildung 4.5: Unterschiedlich stark gedämpfte Eigenschwingungen.

Aperiodischer Grenzfall Der Übergang von einer stark gedämpften Eigenschwingung zum Kriechen ist gekennzeichnet durch D = 1. In diesem Fall ist α = 0 und λ1 = λ2 =−ω0 . Mit dieser Doppelwurzel stellt sich die

4.5 Eigenschwingungsverhalten

87

allgemeine L¨osung zun¨achst so dar: yh (t) = e−ω0 ·t (c1 + c2 · t). Die Integrationskonstanten c1 und c2 werden wieder aus den Anfangsbedingungen (4.29) und (4.30) bestimmt. Mit c1 = y0 und c2 = v0 + ω0 · y0 lautet die gesuchte L¨osung

v0 yh (t) = y0 · e−ω0 ·t 1 + ( + ω0 ) · t . y0

(4.45)

Auch dieser aperiodische Grenzfall strebt mit wachsendem t gegen Null. Kriechen Ist die Dämpfung größer als 1, werden Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit ebenfalls exponentiell abgebaut. Falls man sich genauer für Kriechvorgänge interessiert, wird die allgemeine homogene Lösung (4.21) wieder aus den Anfangsbedingungen (4.29) und (4.30) entwickelt. Die Konstanten C1 und C2 erhält man als Lösung eines linearen Gleichungssystems C1 =

v0 + y0 · (α + δ) , 2·α

(4.46)

C2 =

−v0 + y0 · (α − δ) . 2·α

(4.47)

Der Kriechvorgang wird damit durch Gleichung (4.21) beschrieben. Die nachstehenden Abbildungen zeigen einige Kriechvorgänge für unterschiedliche Dämpfungen. Zum Vergleich ist der aperiodische Grenzfall ebenfalls dargestellt. Kriechen. D = 1, 1.5, 5, 6 600

500

500

Amplitude ---> y(t) [ mm ]

Amplitude ---> y(t) [ mm ]

Kriechen. D = 1, 2, 3, 4 600

400 300 200 100 0

0

2 4 Zeit ---> t [ s ]

6

Abbildung 4.6: Kriechvorgänge. Aperiodischer Grenzfall.

400 300 200 100 0

0

2 4 Zeit ---> t [ s ]

6

88

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

4.6

Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung

Es ist zu klären, wie das schwingungsfähige System in Abbildung 4.1 auf eine Fremderregung reagiert. Wie dort schon erläutert, kann der Schwinger durch eine zeitlich veränderliche Kraft oder durch eine Fußpunktverschiebung angeregt werden. Es wurde bereits darauf hingewiesen, dass Fliehkräfte kinetische Lagerdrücke hervorrufen. Daher interessiert dieser harmonische Anregungsfall besonders. Auch für die anderen Anregungsarten wird eine harmonische Fremderregung vorausgesetzt. Damit kann das Schwingungsverhalten allgemein untersucht werden, weil geschlossene Lösungen möglich sind. Im Einzelnen werden folgende Anregungsarten detailliert betrachtet. a) Kraftanregung der Masse, b) Fußpunktanregung über Feder, c) Fußpunktanregung über Dämpfer, d) Fliehkraftanregung, e) Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer sowie f) Anregung durch Beschleunigungskräfte. Die Schwingungsantwort wird, je nach Anregung, dargestellt in der Form y p (t) = A · cos(Ωt − φ p ) oder y p (t) = A · sin(Ωt − φ p ),

(4.48) (4.49)

d.h. zu ermitteln sind jeweils die Amplitude A und der Phasenwinkel φ p .

4.6.1

Kraftanregung

Die Bewegungsdifferentialgleichung für diesen Anregungsfall wurde schon aufgestellt. Setzt man in Gl. (4.9) die anderen Störgrößen gleich Null, erhält man die entsprechende rechte Seite. Mit der konstanten Kraftamplitude F0 und der Anregungskreisfrequenz Ω lautet die zu untersuchende Gleichung y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) =

F(t) = m

F0 · cos Ωt. m

(4.50)

Üblicherweise wird eine derartige DGL durch einen Ansatz vom Typ der rechten Seite gelöst. Das wäre beispielsweise die Linearkombination y p (t) = C1 · sin Ωt + C2 · cos Ωt.

(4.51)

4.6 Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung Fußpunktanregung über Feder

Fußpunktanregung über Dämpfer

4

1 sinΩt

Amplitude –––> y(t) [ mm ]

Amplitude [ mm ]

yp(t) 2

0 cosΩt –2

–4

0

2 4 Zeit –––> t [ s ]

0.5 yp(t) 0

–0.5

–1

6

0

Anregung durch Fliehkräfte yp(t)

y (t)

1 0 –1 cosΩt –2 2 4 Zeit –––> t [ s ]

6

Anregung über Feder und Dämpfer

2

0

2 4 Zeit –––> t [ s ]

4

Amplitude –––> y(t) [ mm ]

Amplitude –––> y(t) [ mm ]

3

–3

89

6

p

2

0 cosΩt –2

–4

0

2 4 Zeit –––> t [ s ]

6

Abbildung 4.7: Unterschiedliche harmonische Anregung und Schwingungsantwort.

Dieser Ansatz wird zweimal differenziert und in die DGL eingesetzt sin Ωt · [C1 · (ω20 − Ω 2 ) − C2 · 2D · ω0 · Ω] + cos Ωt · [C2 · (ω20 − Ω 2 ) + C1 · 2D · ω0 · Ω] =

F0 · cos Ωt. m

(4.52)

Es ist an dieser Stelle sinnvoll, eine Abkürzung für das Frequenzverhältnis, Anregungsfrequenz zu Eigenfrequenz, einzuführen. Dieser Quotient wird als Abstimmung bezeichnet η=

Ω . ω0

Klammert man jetzt ω20 = c/m aus, ergibt sich diese Form     sin Ωt · C1 · 1 − η2 − C2 · 2Dη     F0 + cos Ωt · C2 · 1 − η2 + C1 · 2Dη = · cos Ωt. c

(4.53)

(4.54)

90

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Durch einen Koeffizientenvergleich mit den trigonometrischen Funktionen erhält man ein lineares Gleichungssystem für die Konstanten C1 und C2 sin Ωt : C1 · (1 − η2 ) − C2 · 2Dη = 0, cos Ωt : C1 · 2Dη + C2 · (1 − η2 ) =

F0 . c

(4.55)

Als Lösungen dieses Gleichungssystems ergeben sich C1 =

F0 2Dη · , 2 c (1 − η )2 + 4D2 · η2

C2 =

F0 1 − η2 · . c (1 − η2 )2 + 4D2 · η2

(4.56)

Damit wäre die partikuläre Lösung gefunden. Zur besseren Interpretation der Schwingungsantwort wird eine Form, ähnlich der homogenen Lösung, angestrebt y p (t) = A · cos(Ωt − φ p1 ).

(4.57)

Die gleiche Vorgehensweise wie im Kapitel 4.5 führt zu Amplitude und Phasenverschiebungswinkel  A = C12 + C22 tan φ p1 =

C1 C2

 F0 (1 − η2 )2 + 4D2 · η2 · , c (1 − η2 )2 + 4D2 · η2

= =

2Dη . 1 − η2

(4.58) (4.59)

Man erhält die endgültige Form der Amplitude, indem Zähler und Nenner mit dem Wurzelausdruck erweitert werden A =

F0 1 · . c (1 − η2 )2 + 4D2 · η2

(4.60)

Der Wurzelausdruck heißt Amplituden-Frequenzgang oder Übertragungsfunktion 1 α1 (η) =  . 2 2 (1 − η ) + 4D2 · η2

(4.61)

Mit dem Phasenverschiebungswinkel

φ p1

2Dη = arctan 1 − η2

 ,

(4.62)

4.6 Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung

91

lautet die partikuläre Schwingungsantwort infolge Kraftanregung y p (t) = α1 (η) ·

F0 · cos(Ωt − φ p1 ). c

(4.63)

Das System antwortet mit der gleichen harmonischen Anregungsfunktion, jedoch mit der Phasenverschiebung φ p1 , was auf die Dämpfung zurückzuführen ist. Die erzwungene Schwingung eilt der Erregung um den Phasenwinkel nach. Die Amplitude besteht aus der statischen Verschiebung der Masse F0 /c, die mit dem Faktor α1 multipliziert wird. Zur Bewertung der Schwingungsantwort ist es ausreichend, den Betrag der Amplitude zu betrachten y pmax =

F0 · | α1 (η) | . c

(4.64)

In Abbildung 4.8 ist der Betrag dieser Übertragungsfunktion in Abhängigkeit von der Abstimmung dargestellt. Um einen besseren Einblick in das Verhalten dieser Funktion zu bekommen, sind Kurven mit unterschiedlichen Dämpfungen eingezeichnet. Man erkennt Folgendes: • Alle Kurven haben an der Stelle η = 0 den Amplitudenwert 1. • Bei η = 1 sind Anregungs- und Eigenfrequenz gleich, d.h. sie sind in Resonanz. In der Resonanz sind die Amplituden maximal. Sie ergeben sich aus (4.60) mit (4.61) α1 (η = 1) =

1 . 2D

(4.65)

• Je kleiner die Dämpfung ist, desto größer ist die Auslenkung. Ist die Dämpfung gar Null, würde der Schwingungsausschlag gegen unendlich gehen. • Ist keine Dämpfung vorhanden, ist der Ausdruck für den Phasenwinkel, (4.62), in der Resonanz unbestimmt. Er springt dort von Null auf 180◦ . Unabhängig von der Größe einer vorhandenen Dämpfung, beträgt die Phasenverschiebung zwischen Anregung und Schwingungsantwort in der Resonanz, 90◦ , wie aus (4.62) hervorgeht. • Für wachsendes η gehen die Amplituden gegen Null. • Die Maximalwerte treten nicht genau an der Resonanzstelle auf, sie sind leicht nach links verschoben. Das liegt daran, dass die Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems geringfügig kleiner ist, als die des ungedämpften. Die vollständige Schwingungsantwort setzt sich aus dem Eigenschwingungsanteil yh (t) und der erzwungenen Schwingung y p (t) zusammen 

 v0 + δ · y0 2 · sin(ω D t + φh ) ωD   F0 + α1 (η) · · cos Ωt − φ p1 . c

y(t) = e−δ·t ·



y02 +

(4.66)

92

4. Grundlagen der Schwingungstechnik Fußpunktanregung über Feder

Phasendiagramm

6 5

150

--->

D = 0, ..., 1

100

p1(η)

3

D = 0, ..., 1

φ

α1(η) --->

4

2

50

1 0

0

1

η = Ω/ω

2

3

0

0

0

1

η = Ω/ω

2

3

0

Abbildung 4.8: Übertragungsfunktionen und Phasenwinkel bei Kraft- und Fußpunktanregung über Feder.

Diese Gesamtbetrachtung ist immer dann wichtig, wenn Einschwingvorgänge zu untersuchen sind.

4.6.2

Fußpunktanregung über Feder

Anregungsfall b) wird ebenfalls durch die DGL (4.9) beschrieben. Die rechte Seite dieser Gleichung besteht jetzt nur aus ω20 · u(t), wobei die harmonische Fußpunktanregung gegeben sei durch, u(t) = u 0 · cos Ωt y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) = ω20 · u 0 · cos Ωt.

(4.67)

Man gelangt schneller zur Partikulärlösung, indem die rechte Seite der DGL komplex ergänzt wird y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) = ω20 · u 0 · (cos Ωt + j · sin Ωt) = ω20 · u 0 · ej·Ωt .

(4.68)

Damit entsteht eine komplexe DGL. Der Lösungsansatz besteht aus einer ebenfalls komplexen Konstante A∗ , multipliziert mit der Exponentialfunktion y p (t) = A∗ · ej·Ωt .

(4.69)

Zweimal differenziert und in die DGL eingesetzt ergibt A∗ · (−Ω 2 + 2D · ω0 · j · Ω + ω20 ) = ω20 · u 0 .

(4.70)

Mit der Abstimmung (4.53) lautet die komplexe Konstante zunächst A∗ =

u0 . 1 − η2 + 2Dη · j

(4.71)

4.6 Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung

93

Zähler und Nenner werden mit der konjugiert komplexen Zahl multipliziert A∗ =

1−

η2

u0 (1 − η2 − 2Dη · j) · . + 2Dη · j (1 − η2 − 2Dη · j)

(4.72)

Mit der bekannten binomischen Formel entsteht daraus A∗ =

(1 −

  u0 · (1 − η2 ) − 2Dη · j , 2 2 + 4D η

η2 )2

(4.73)

eine komplexe Zahl mit dem Real- und Imaginärteil u0 · (1 − η2 ), (1 − + 4D2 η2 u0 {A∗ } = · 2Dη. (1 − η2 )2 + 4D2 η2

{A∗ } =

η2 )2

(4.74)

Stellt man diese Zahl in der komplexen Ebene dar, erkennt man deren Lage, ausgedrückt durch den polaren Abstand und den Winkel. Der polare Abstand, also der Betrag der komplexen Konstante A∗ , ist die gesuchte Übertragungsfunktion für diesen Anregungsfall | A∗ | =

 u0 · (1 − η2 )2 + 4D2 η2 . (1 − η2 )2 + 4D2 η2

Erweitert man den Zähler und den Nenner mit dem Wurzelausdruck Amplitude u0 | A∗ | =  (1 − η2 )2 + 4D2 η2

= u 0 · α1 (η).

(4.75) √ . . ., ergibt sich folgende

(4.76)

Man erkennt die gleiche Übertragungsfunktion wie bei der Kraftanregung. Den Phasenwinkel entnimmt man ebenfalls der Abb. 4.9, er berechnet sich nach Gl. (4.62). Die vollständige partikuläre Lösung ergibt sich aus obiger Amplitude und reeller, aber phasenverschobener Anregungsfunktion y p (t) = u 0 · α1 (η) · cos(Ωt − φ p1 ).



1– η 2 Φ



2D η

Abbildung 4.9: Komplexe Konstante A∗ bei Fußpunktanregung über Feder.

(4.77)

94

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Die maximale Schwingungsamplitude ergibt sich wieder aus y pmax = u 0 · | α1 (η) | .

(4.78)

Wie bei der Kraftanregung setzt sich die gesamte Schwingungsantwort aus der homogenen und partikulären Lösung zusammen. Kraftanregung und Fußpunktanregung über Feder sind also durch die gleiche Amplitudenfunktion α1 (η) sowie dieselbe Phasenbeziehung gekennzeichnet.

4.6.3

Fußpunktanregung über Dämpfer

Das schwingungsfähige System wird über geschwindigkeitsproportionale Dämpfer angeregt. Die maßgebende Bewegungsgleichung (4.9) enthält als Störgröße auf der rechten Seite die Dämpferkraft, 2D · ω0 · u(t). Mit harmonischer Anregung ist Fall c) beschrieben durch ˙ y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) = −2D · ω0 · Ω · u 0 · sin Ωt.

(4.79)

Auch hier soll die partikuläre Lösung durch eine komplexe Ergänzung erzeugt werden. Dazu wird die rechte Seite um j· cos Ωt erweitert y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) = 2D · ω0 · Ω · u 0 · (− sin Ωt + j · cos Ωt) = 2D · ω0 · Ω · u 0 · j · ej·Ωt .

(4.80)

Auch hier führt der Ansatz (4.69) zum Ziel. Dieselbe Vorgehensweise wie oben liefert zunächst A∗ · (1 − η2 + 2Dη · j) = 2Dη · u 0 · j.

(4.81)

Somit lautet die komplexe Konstante A∗ =

  2Dη · u 0 · 2Dη + j · (1 − η2 ) . 2 2 2 2 (1 − η ) + 4D η

(4.82)

Somit wäre eine komplexe Lösung gefunden y p (t) = A∗ · (cos Ωt + j · sin Ωt).

(4.83)

Die ursprüngliche DGL war aber reell, also interessiert nur der Realteil der Lösung {y p } =

  2Dη · u 0 · 2Dη · cos Ωt − (1 − η2 ) · sin Ωt . 2 2 2 2 (1 − η ) + 4D η

(4.84)

Bildet man wieder die Darstellungsform (4.47), stellt sich die reelle Lösung wie folgt dar 2Dη y p (t) = u 0 ·  · cos(Ωt − φ p2 ) (1 − η2 )2 + 4D2 η2 = u 0 · α2 (η) · cos(Ωt − φ p2 ).

(4.85)

4.6 Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung

95

Darin ist α2 (η) die Übertragungsfunktion infolge Fußpunktanregung über Dämpfer 2Dη α2 (η) =  (1 − η2 )2 + 4D2 η2

φ p2

1 − η2 = arctan 2Dη

und

(4.86)

 ,

(4.87)

der Phasenverschiebungswinkel. Amplituden-Frequenzgang und Phasenbeziehung hätte man auch durch Betragsbildung der komplexen Konstante A∗ (4.81) bestimmen können.

Abbildung 4.10: Übertragungsfunktion und Phasendiagramm infolge Fußpunkterregung über Dämpfer, dargestellt für verschiedene Dämpfungen.

4.6.4

Fliehkraftanregung

In Kapitel 3 wurden kinetische Lagerdrücke infolge von Zentrifugalkräften berechnet. Die Ursache dafür war eine Schwerpunktsexzentrizität. Zur Untersuchung des Schwingungsverhaltens bei umlaufenden Fliehkräften, wird eine elastisch gelagerte Masse betrachtet, die durch rotierende Drehpendel angeregt wird. Betrachtet wird nur die vertikale Verschiebung, Pendelungen seien ausgeschlossen, womit das System nur einen Freiheitsgrad hat. Die Umlaufkreisfrequenz Ω sei konstant, so dass der Drehwinkel durch Ωt gegeben ist. Die Anwendung des Schwerpunktsatzes liefert die Bewegungsdifferentialgleichung mit komplex ergänzter Störfunktion mu · e · Ω 2 · sin Ωt m mu · e =− · Ω 2 · j · ej·Ωt . m

y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y =

(4.88)

96

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

1 2

1 2

mu

m ue Ω

2

1 2

y(t) e

Ω

m

Ωt

Ω

e

m ue Ω

2

y(t)

m

c

r cy(t)

⋅

ry(t)

Abbildung 4.11: Einmassenschwinger bei Fliehkraftanregung.

Mit dem Ansatz (4.68) lautet die komplexe Amplitude A∗ = − =

mu · e η2 (1 − η2 − 2Dη · j) · ·j · 2 m 1 − η + 2Dη · j (1 − η2 − 2Dη · j)

mu · e η2 · · [−j · (1 − η2 ) − 2Dη]. m (1 − η2 )2 + 4D2 η2

(4.89)

Dieselbe Vorgehensweise wie oben, führt zu reeller Amplitude und Phase mu · e η2 · , m (1 − η2 )2 + 4D2 η2

 2Dη = arctan = φ p1 . 1 − η2

| A∗ | =

(4.90)

φ p3

(4.91)

Das Übertragungsverhalten bei Fliehkraftanregung wird durch die Funktion η2 α3 (η) =  (1 − η2 )2 + 4D2 η2

= η2 · α1 (η),

(4.92)

bestimmt. Die partikuläre Lösung, die Schwingungsantwort infolge Fliehkraftanregung, stellt sich damit folgendermaßen dar y p (t) =

mu · e · α3 (η) · sin(Ωt − φ p1 ). m

(4.93)

Die vollständige Lösung besteht wieder aus der Eigenschwingung und der partikulären Schwingungsantwort y(t) = yh (t) + y p (t).

(4.94)

Die folgende Darstellung zeigt den Betrag des Amplituden-Frequenzganges sowie den Phasenwinkel in Abhängigkeit von der Abstimmung für unterschiedliche Dämpfungen. Zur Beurteilung des Schwingungsverhaltens zieht man den Betrag der Amplitude (4.89) und die Phasenverschiebung (4.90) heran. Die Phasenbeziehungen bei Kraftanregung, Fußpunktanregung über Feder und bei Fliehkraftanregung sind gleich.

4.6 Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung

97

Abbildung 4.12: Übertragungsfunktion bei Fliehkraftanregung und Phasendiagramm.

4.6.5

Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer

Die Störfunktion in (4.9) setzt sich aus Feder- und Dämpferkraft zusammen. Diese Kräfte werden durch eine harmonische Bewegung des Fundaments geweckt, u(t) = u 0 · cos Ωt. Andere Anregungen treten nicht auf. Damit wird Fall d) beschrieben durch die DGL y(t) ˙ + ω20 · y(t) = 2D · ω0 · u(t) ˙ + ω20 · u(t) = F(t). ¨ + 2D · ω0 · y(t)

(4.95)

Die Anregung besteht aus zwei harmonischen Funktionen mit unterschiedlichen Amplituden. Wie schon mehrfach gezeigt wurde, lassen sich diese zusammenfassen F(t) = u 0 · (−2D · ω0 · Ω · sin Ωt + ω20 · cos Ωt)  = u 0 · ω20 · 1 + 4D2 η2 · cos[Ωt + arctan(2Dη)]  = u 0 · ω20 · 1 + 4D2 η2 · ej·[Ωt+arctan(2Dη)] .

(4.96)

Dabei wurde wieder komplex ergänzt. Der Exponentialansatz y p (t) = A∗ · ej·[Ωt+arctan(2Dη)]

(4.97)

führt schnell zur komplexen Konstante  1 + 4D2 η2 A = u0 · . 1 − η2 + 2Dη · j ∗

(4.98)

98

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Nenner liefert  1 − η2 − 2Dη · j 1 + 4D2 η2 A = u0 · · 1 − η2 + 2Dη · j 1 − η2 − 2Dη · j  1 + 4D2 η2 = u0 · · (1 − η2 − 2Dη · j). (1 − η2 )2 + 4D2 η2 ∗

(4.99)

Der Maximalwert der Schwingungsantwort ist durch den Betrag der komplexen Konstante gegeben  1 + 4D2 η2

∗

| A | = u0 ·  . (1 − η2 )2 + 4D2 η2

(4.100)

Der Phasenwinkel durch den bekannten Ausdruck

φ p1

2Dη = arctan 1 − η2

 .

(4.101)

Die gesamte Phasenverschiebung setzt sich aus −φ p1 , weil der Imaginärteil negativ ist, und dem obigen Phasenwinkel zusammen

φ p4 φ p4

2Dη = arctan(2Dη) − arctan 1 − η2

 2Dη3 = − arctan . 1 − η2 + 4D2 η2

 , (4.102)

Dabei wurde von der bekannten Regel für das Zusammenfassen zweier Arkustangensfunktionen Gebrauch gemacht. Der Amplituden-Frequenzgang kann dem Ausdruck (4.99) entnommen werden  1 + 4D2 η2

α4 (η) =  (1 − η2 )2 + 4D2 η2

=

 1 + 4D2 η2 · α1 (η).

(4.103)

Die Schwingungsantwort infolge Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer lautet mit diesen Größen y p (t) = u 0 · α4 (η) · cos(Ωt − φ p4 ). Hinzu kommt natürlich noch die homogene Lösung.

(4.104)

4.6 Erzwungene Schwingungen bei harmonischer Anregung Anregung über Feder und Dämpfer

99 Phasendiagramm

6 5

150

--->

D = 0, ..., 1

100

p4

3

φ

α4 (η)--->

4

2

50

1 0

0

1

η = Ω/ω

2

3

0

0

1

0

η = Ω/ω

2

3

0

Abbildung 4.13: Übertragungsfunktion und Phasendiagramm bei Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer bei unterschiedlichen Dämpfungen.

Bei Betrachtung der Übertragungs- und Phasenfunktionen für verschiedene Dämpfungsgrade fällt folgendes auf • Alle Übertragungsfunktionen haben bei η = 0, den Wert 1.

√ • Unabhängig von √ der Größe der Dämpfung gehen alle Kurven durch den Punkt (η = 2, α4 = 1). Für η ≥ 2 werden die Amplituden erstmals ≤ 1. In diesem Bereich werden die Amplituden also verkleinert. Man bezeichnet dieses Gebiet als Abschirmbereich. • Bei genauem Hinsehen erkennt man, dass eine schwache Dämpfung im Abschirmbereich kleinere Amplituden zur Folge hat, als umgekehrt. • In der Resonanz stellt sich die Schwingungsantwort wie folgt dar: √

 1 1 + 4D2 y p (t) = u 0 · · cos Ωt − arctan . 2D 2D

4.6.6

(4.105)

Anregung durch Beschleunigungskräfte

In vielen Fällen interessiert das Verhalten des Schwingers infolge von Beschleunigungen, welche am Fußpunkt eingeleitet werden. Zum Verständnis dieses Sachverhaltes wird ein schwingungsfähiges System in einem Aufzug näher betrachtet. Die Führungsbewegung wird durch die Koordinate u(t) zum Ausdruck gebracht. Dabei könnte es sich auch um eine harmonische Anregung handeln. Ein Beobachter im Aufzug nimmt die Relativbewegung z(t) wahr. Von außen wird das Geschehen durch die Absolutkoordinate y(t) gemessen.

100

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

m

y(t)

z(t)

r

c

u(t)

Abbildung 4.14: Einmassenschwinger in einem bewegten System.

In Absolutkoordinaten ausgedrückt, liegt wieder der Fall der Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer vor m · y(t) − c · [y(t) − u(t)]. ¨ = −r · [ y(t) ˙ − u(t)] ˙ Im Allgemeinen interessiert das Verhalten des Schwingers relativ zu seiner Umgebung. Führt man die Relativkoordinate ein, so stellt sich die Bewegungsgleichung der Masse in folgender Form dar z(t) = y(t) − u(t), z(t) ¨ + 2D · ω0 · z(t) ˙ + ω20 · z(t) = −u(t). ¨

(4.106) (4.107)

Erfolgt beispielsweise die Führungsbewegung harmonisch, ergibt sich dieselbe Anregungsform wie bei der Fliehkraftanregung. Dort war die Amplitude eine Massenexzentrizität, hier handelt es sich um eine Auslenkung u(t) = u 0 · cos Ωt, z(t) ¨ + 2D · ω0 · z(t) ˙ + ω20 · z(t) = u 0 · Ω 2 · cos Ωt.

(4.108)

Die Schwingungsantwort ist wieder bestimmt von der Größe des Amplitudenfaktors α3 (η). Es liegen also keine neuen Erkenntnisse vor. Die Bedeutung dieser Bewegungsgleichung liegt weniger in der Anwendung harmonischer Vorgänge, als bei der Untersuchung von stoßartigen Vorgängen.

4.7

Verhalten in der Resonanz

Beurteilt man das Verhalten in der Resonanz, d.h. Anregungsfrequenz gleich Eigenfrequenz, η = 1, anhand der Übertragungsfunktionen, stellen sich für gedämpfte Systeme maximale Amplituden ein. Ist keine Dämpfung vorhanden, gehen die Amplituden gegen unendlich. Die Frage

4.7 Verhalten in der Resonanz

101

ist, wie wachsen die Amplituden über alle Grenzen? Zur Beantwortung wird der Einmassenschwinger, Fall a), jedoch ohne Dämpfung, bei harmonischer Kraftanregung in der Resonanz untersucht Ω = ω0 , y(t) ¨ + ω20 · y(t) =

F0 · cos ω0 t. m

(4.109)

Im vorliegenden Fall der Resonanz versagen die bisher gewählten Ansätze. Stattdessen muss ein Ansatz gewählt werden, der die Zeit explizit enthält y p (t) = K · t · sin ω0 t.

(4.110)

Dieser spezielle Ansatz wird zweimal differenziert und in die DGL eingesetzt. Ein Koeffizientenvergleich mit der rechten Seite führt zur Konstante K und somit zur Lösung K = y p (t) =

F0 , 2mω0

(4.111)

F0 · t · sin ω0 t. 2mω0

(4.112)

Es handelt sich um eine angefachte Sinusschwingung, deren Amplitude durch die HüllkurF0 ve 2mω begrenzt wird. Es ist also nur eine Frage der Zeit, bis die Schwingungsamplituden 0 Werte erreicht haben, bei denen das System kollabiert. Reale Systeme sind stets dämpfungsbehaftet, d.h. die Amplituden nehmen in der Resonanz Maximalwerte an, die zwar konstant bleiben, aber unzulässig sind. Deshalb ist ein Nennbetrieb in der Resonanz zu vermeiden. Trotzdem ist es möglich, Resonanzen zu durchfahren. Dies muss zügig erfolgen, damit sich das System nicht aufschaukelt. Je nach Größe der Abstimmung, wird die Anregung als: • unterkritisch, η < 1, • kritisch, η = 1, oder • überkritisch, η > 1 bezeichnet. Beispiel 4.1: Elastisch gelagerter Körper bei Kraftanregung. Ein starrer Körper ist drehbar gelagert und an den Enden zusätzlich mit Federn und viskosen Dämpfern gestützt. Er wird am Punkt A durch F0 · cos Ωt angeregt. Zu untersuchen ist das Schwingungsverhalten. Welche dynamischen Kräfte werden in das Fundament eingeleitet?

102

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Abbildung 4.15: Elastisch gelagerter Balken. Kinematik. Kräfte.

Geg.: m = 30 kg, J (S) = 16 kgm2 , a1 = 0,7 m, a2 = 0,9 m, a S = 0,05 m, c1 = 1200 N/m, c2 = 2100 N/m, r1 = 10 kg/s, r2 = 15 kg/s, F0 = 85 N, Ω = 2,5 Hz. Lösung: Das System hat einen Freiheitsgrad, den Drehwinkel ϕ. Wird dem Balken eine Auslenkung um den Drehpunkt W erteilt, stellen sich an den Lagerpunkten Rückstellkräfte ein. Diese erzeugen bezüglich des Drehpunktes Rückstellmomente. Infolge der exzentrischen Lagerung bewirkt das Eigengewicht eine statische Drehung des Systems. Um diese statische Ruhelage schwingt der Körper bei der gegebenen harmonischen Anregung. Zum Aufstellen der Rückstellkräfte sind die Verschiebungen der Anlenkpunkte A und B maßgebend. Bei einer beliebigen Drehung beschreiben diese Punkte Kreisbögen. Die neue Lage ist durch die Verschiebungsvektoren u A und u B gekennzeichnet. Mit den Ortsvektoren, rA = a2 · {cos ϕ; sin ϕ; 0} und rA = a2 · ex , bzw. rB = −a1 · {cos ϕ; sin ϕ; 0} und rB = −a1 · ex , lassen sich die Verschiebungsvektoren u A = rA − rA = a2 · {cos ϕ − 1; sin ϕ; 0}, u B = rB − rB = −a1 · {cos ϕ − 1; sin ϕ; 0}

(4.113)

bestimmen. Die Schrägstellung dieser Verschiebungsvektoren wird durch den Winkel α quantifiziert sin α =

a2 · sin ϕ a1 · sin ϕ sin ϕ = = √ . | u A | | u B | 2(1 − cos ϕ)

(4.114)

Vergleicht man Zähler und Nenner miteinander, stellt man folgende Abweichung voneinander fest sin ϕ f = √ − 1. 2(1 − cos ϕ)

(4.115)

4.7 Verhalten in der Resonanz

103

Für kleine Drehwinkel ϕ kann die Schrägstellung vernachlässigt werden, d.h. die Verschiebungen können durch die Beträge u A = a2 · sin ϕ, u B = a1 · sin ϕ

(4.116)

ersetzt werden. Bei einer Auslenkung von 15◦ stellt sich beispielsweise ein Fehler von −0,9 % ein. Benötigt werden noch die Verschiebungsgeschwindigkeiten u˙ A = a2 · ϕ˙ · cos ϕ, u˙ B = a1 · ϕ˙ · cos ϕ.

(4.117)

Mit diesen Größen können die Rückstellkräfte aufgestellt werden FA = = FB = =

c2 · u A + r2 · u˙ A c2 · a2 · sin ϕ + r2 · ϕ˙ · a2 · cos ϕ, c1 · u B + r1 · u˙ B c1 · a1 · sin ϕ + r1 · ϕ˙ · a1 · cos ϕ.

(4.118) (4.119)

Diese sind den Verschiebungen stets entgegengerichtet. Nach Klärung dieses Sachverhaltes, kann der Drallsatz bezüglich des Drehpunktes formuliert werden (J (S) + m · a2S ) · ϕ¨ = F0 · a2 · cos Ωt + m · g · a S · cos ϕ − FA · a2 · cos ϕ − FB · a1 · cos ϕ.

(4.120)

Mit den Abkürzungen für das Massenträgheitsmoment bezüglich Drehpunkt W J (W) , der Drehfederkonstante c D sowie der Drehdämpfung r D J (W) = J (S) + m · a2S cD = rD =

c1 · a12 r1 · a12

+ c2 · a22 + r2 · a22

=

16,075 kgm2 ,

(4.121)

=

2289 Nm,

(4.122)

=

17,05 Nms

(4.123)

lautet die Bewegungsdifferentialgleichung für den Balken J (W) · ϕ¨ + r D · cos2 ϕϕ˙ + c D · sin ϕ · cos ϕ = F0 · a2 · cos Ωt + m · g · a S · cos ϕ.

(4.124)

Diese nichtlineare Gleichung kann geschlossen nicht so einfach gelöst werden. Für kleine Schwingungen um die statische Ruhelage darf die Gleichung aber linearisiert werden. Bevor eine Linearisierung durchgeführt wird, soll die Neigung des Balkens bestimmt werden.

104

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Dazu werden die zeitlichen Ableitungen Null gesetzt und die Erregerkraft entfernt. Aus den verbleibenden statischen Größen kann die Neigung bestimmt werden

 m · g · aS ϕ0 = arcsin = 0,37◦ . (4.125) cD Um diese statische Ruhelage schwingt das System. Für Drehwinkel ≤ 10◦ kann der Sinus durch sein Argument und der Kosinus durch 1 ersetzt werden. Damit erhält man wieder ein schwingungsfähiges System entsprechend dem Fall a) ϕ(t) ¨ +

rD cD F0 · a2 · ϕ(t) · cos Ωt, ˙ + [W) · ϕ(t) = (W) J J J (W)

ϕ(t) ¨ + 2D · ω0 · ϕ(t) ˙ + ω20 · ϕ(t) =

F0 · a2 j·Ωt ·e . J (W)

(4.126)

Das Eigenschwingungsverhalten wird durch Eigenfrequenz und Dämpfungsgrad bestimmt  1 cD f0 = · = 1,9 Hz, 2·π J (W) rD D = · 100% = 4,5%. 2ω0 · J (W) Die Schwingungsantwort ist geprägt durch Amplitude und Phasenverschiebung. Nach (4.63) ergibt sich mit η = 1,316 und | α1 | = 1,347 folgender Maximalwert für die Amplitude ϕ pmax =

F0 · a2 · | α1 (η) | = 2,58◦ . cD

(4.127)

Den Phasenverschiebungswinkel erhält man aus (4.61), φ p1 = –9,1◦ . Zur Frage, welche Kräfte an den Anlenkpunkten in das Fundament eingeleitet werden, muss die partikuläre Lösung und deren Ableitung herangezogen werden F0 · a2 · α1 (η) · cos(Ωt − φ p1 ), cD F0 · a2 ϕ˙ p (t) = −Ω · · α1 (η) · sin(Ωt − φ p1 ). cD ϕ p (t) =

(4.128)

Drehwinkel und Winkelgeschwindigkeit werden in die linearisierten Lagerkräfte (4.117) und (4.118) eingesetzt FA = c2 · a2 · ϕ p (t) + r2 · a2 · ϕ˙ p (t) =

F0 · a22 · α1 (η) · cD

 c22 + r22 · Ω 2 · cos(Ωt − φ p1 + β A ),

FB = c1 · a1 · ϕ p (t) + r1 · a1 · ϕ˙ p (t)  F0 · a1 · a2 = · α1 (η) · c21 + r12 · Ω 2 · cos(Ωt − φ p1 + β B ), cD

(4.129)

(4.130)

4.7 Verhalten in der Resonanz

105



 r2 · Ω β A = arctan , c2

 r1 · Ω β B = arctan . c1

(4.131)

Beispiel 4.2: Biegefeder mit Einzelmasse. Der einseitig eingespannte, als masselos anzusehende, Balken mit Rechteckquerschnitt trägt am Ende eine Punktmasse. Er wird dort zusätzlich durch eine Feder und einen viskosen Dämpfer gestützt. Im Einzelnen sind zu untersuchen, (a) das Eigenschwingungsverhalten, bei einer Anfangsauslenkung von y0 , (b) die Schwingungsantwort infolge Kraftanregung F(t) = F0 · cos Ωt, mit einer Anregungsfrequenz von 4,5 Hz, (c) das Verhalten in der Resonanz ohne Dämpfung, (d) der Betrieb in der Resonanz mit Dämpfung. Die Ergebnisse sollen in Form von Zeitliniendiagrammen dargestellt werden. Geg.: m = 2 kg, c = 470 N/m, r = 5 kg/s, l = 1 m, h = 6,5 mm, b = 65 mm, E = 2,1·105 N/mm2 , F0 = 2,5 N, y0 = 10 mm.

Abbildung 4.16: Kragträger mit Einzelmasse. Ersatzsystem. Ermittlung der Durchbiegung.

Lösung: Der Balken wird nur durch seine Biegesteifigkeit dargestellt. Seine kontinuierliche Massenverteilung wird nicht berücksichtigt. Damit kann der Balken durch eine Feder mit der Steifigkeit c B ersetzt werden. Diese ist der Zusatzfeder parallel geschaltet. Damit kann das System wieder auf ein Schwingungsmodell, bestehend aus Feder, Masse und Dämpfer zurückgeführt werden.

106

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Die Steifigkeit des Balkens erhält man aus der Durchbiegung, welche man beispielsweise mit dem P.d.v.K. erhält w=

F · l3 , 3 · EI

cB =

F 3 · EI = w l3

=

3 · 2,1 · 1011 · 0,065 · 0,00653 12 · 13

= 937,158 N/m

a) Eigenschwingungsverhalten: Die Eigenschwingung wird durch (4.42) beschrieben. Mit den gegebenen Daten berechnet man zunächst  ω0 = D =

cB + c m r

2ω0 · m

= =

26,53 1/s.

f0

=

4,2 Hz,

0,0471,

δ = D · ω0 = 1,25 1/s,  ω D = ω0 · 1 − D2 = 26,50 1/s. Mit der Anfangsauslenkung y0 erhält man für die homogene Lösung  −δ·t

yh (t) = e

· y0 ·

D2 1+ · sin ω D t + arctan 1 − D2

!√ "# 1 − D2 . D

(4.132)

Man überzeugt sich durch Einsetzen der Zahlenwerte, dass yh (t = 0) = y0 ist, wie es sein muss. Diese Eigenschwingung ist nach 4 Sekunden vollständig abgeklungen. b) Harmonische Kraftanregung mit 4,5 Hz: Die Nähe zur Eigenfrequenz mit η = 1,07, lässt eine beachtliche Amplitudenverstärkung erwarten, α1 (η) = 5,67. Die Maximalamplitude ergibt sich nach (4.63) y pmax =

F0 · | α1 (η) | = 10,07 · 10−3 m. cB + c

Der Phasenverschiebungswinkel gegenüber der anregenden Kosinusfunktion beträgt nach (4.61) 36◦ . Die Anregung ist überkritisch, da die Erregerfrequenz größer als die Eigenfrequenz ist. Somit wird die Resonanz durchfahren, was durch eine leichte Amplitudenerhöhung gekennzeichnet ist.

4.7 Verhalten in der Resonanz

107

c) Verhalten in der Resonanz ohne Dämpfung: Die Schwingungsamplituden wachsen linear an. Angenommen, die Biegefeder wäre aus dem Vergütungsstahl Ck 35, dann würde die Wechselfestigkeit σbw = 310 N/mm2 nach etwa 7 s überschritten. d) Betrieb in der Resonanz mit Dämpfung: Die statische Auslenkung wird um den Faktor 1/2D verstärkt y pmax =

F0 1 · = 18,85 · 10−3 m. c B + c 2D

Mit dieser Maximalamplitude schwingt der Balken in seiner Eigenfrequenz. Aufgrund der Dämpfung wird diese Auslenkung soweit begrenzt, dass ein Dauerbetrieb ohne Schaden möglich wäre. überkritisch η = 1,07. D = 0,05

Eigenschwingung D = 0,05 20

Auslenkung [ mm ] –––>

Auslenkung [ mm ] –––>

10

5

0

–5

–10

0

1

2 3 Zeit t [ s ] –––>

4

10

0

–10

–20

5

0

2

4 6 Zeit t [ s ] –––>

8

10

Abbildung 4.17: a) Eigenschwingung. b) Resonanzdurchfahrt. Resonanz η = 1. D = 0

Resonanz η = 1. D = 0,05 40

200

Auslenkung [ mm ] --->

Auslenkung [ mm ] --->

300

100 0 –100 –200 –300

0

2

6 4 Zeit t [ s ] --->

8

10

20

0

–20

–40

0

2

Abbildung 4.18: c) Resonanz ohne Dämpfung. d) Resonanz mit Dämpfung.

6 4 Zeit t [ s ] --->

8

10

108

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Beispiel 4.3: Kraftanregung einer statisch unbestimmt gelagerten Biegefeder mit Einzelmasse. Der dreifach gelagerte Balken mit Kreisquerschnitt, Durchmesser d, trägt eine Punktmasse, welche durch die Kraft F belastet wird. Welche Amplituden stellen sich ein, falls a) die Kraft F = F0 statisch aufgebracht wird, b) eine harmonische Kraftanregung F(t) = F0 · cos Ωt wirkt? Geg.: a = 200 mm, d = 20 mm, E = 2,1·105 N/mm2 , F0 = 1000 N, m = 25 kg, Ω = 220 1/s.

Abbildung 4.19: Balken mit Einzelmasse. Biegemomentenverläufe am Grundsystem.

Lösung: Der Balken wirkt als eine masselose Biegefeder. Als statisch Unbestimmte wird die Reaktion des mittleren Lagers eingeführt. Dann werden die Formänderungen an diesem Grundsystem infolge der Kraft F und 1v berechnet  δW10 = 4a



δW11 = 4a

M0 · δM1 · dx E·I

=

−

11 · F · a3 , 12 · E · I

(4.133)

δM1 · δM1 · dx E·I

=

−

4 · a3 . 3· E· I

(4.134)

Daraus berechnet sich die Lagerkraft FA X1 =

FA =

−δW10 δW11

=

11 · F. 16

(4.135)

4.7 Verhalten in der Resonanz

109

Bei bekannter Durchbiegung unter der Kraft F, lässt sich die Federkonstante bestimmen. Also muss die Durchbiegung berechnet werden. Diese ergibt sich durch Superposition (Grundsystem)

wF = wF

(infolge1v )

+ X 1 · wF

=

23 · F · a3 . 192 · E · I

(4.136)

Dafür sind keine neuen Schnittlasten zu berechnen denn (Grundsystem)

wF

 = 4a

3 · F · a3 M0 · δM0 · dx = . E·I 4· E· I

(4.137)

Jetzt muss noch die Durchbiegung am Kraftangriffspunkt infolge des Lastfalles 1v berechnet werden. Dazu wird die Kraft F durch 1 ersetzt, (infolge1v )

wF

=

11 · a3 . 12 · E · I

(4.138)

Nach dieser Vorbereitung können die Fragen beantwortet werden. a) Statische Durchbiegung: Wirkt die Last F = F0 statisch, stellt sich nach (4.136) die Durchbiegung w F = 0,581 mm ein. Hinzu kommt noch der Anteil infolge der Gewichtskraft wG = 0,143 mm. Die statische Durchbiegung beträgt damit 0,724 mm. b) Harmonische Kraftanregung: Zuerst werden Eigenkreisfrequenz und Abstimmung berechnet  ω0 = η=

192 · E · I 23 · a3 · m

Ω ω0

= 262,4 1/s,

= 0,8385.

Die Maximalamplitude infolge Kraftanregung ohne Dämpfung ergibt sich damit zu y pmax =

F0 1 · c B 1 − η2

= 1,96 mm.

(4.139)

Beispiel 4.4: Lagerung eines Schwingerregers. Zum Entfernen von Rückständen aus Gussteilen werden gezielt unwuchterregte Stoßbelastungen erzeugt. Dazu dienen Drehstrommotoren mit angeflanschten Exzentern. Die Vibratoren sollen auf ein Gestell aus I-Trägern montiert werden. Wegen der symmetrischen Anordnung kann ein Rahmen durch eine Antriebseinheit, wie skizziert, belastet werden.

110

4. Grundlagen der Schwingungstechnik mu M

ru

Ω r u

mu

mu M

ru

Ω r u

cB b

cB

a

h

a

y(t)

mu

DIN 1025 T1

Abbildung 4.20: Antriebseinheit. Schwingungsmodell.

Im Zuge einer Vordimensionierung, soll der Rahmenquerschnitt festgelegt werden. Geg.: a = 250 mm, b = 450 mm, h = 750 mm, M = 150 kg, m u = 2 kg, ru = 70 mm, n nenn = 3000 U/min, σzul = 250 N/mm2 . Lösung: Der Rahmen wird durch die statische Gewichtskraft und die umlaufenden Fliehkräfte beansprucht. Da sich die beiden Motoren gegenläufig drehen, heben sich die Horizontalkomponenten auf. Die Vertikalkräfte belasten den Rahmen wechselnd, womit an den Lagerpunkten Durchbiegungen auftreten. Es entstehen elastische Rückstellkräfte, welche nach Größe und Richtung gleich sind. Natürlich wird der Rahmen Schwingungen ausführen. In diesem ersten Berechnungsschritt wird das nicht berücksichtigt. Herangezogen werden nur die elastischen Eigenschaften, ausgedrückt durch Biege- und Dehnsteifigkeit des Tragwerks. Damit kann der Rahmen schwingungstechnisch durch zwei Federn ersetzt werden. Die Aufgabenstellung reduziert sich auf den Fall des Einmassenschwingers bei Fliehkraftanregung. Eine erste Abschätzung des Querschnitts beruht auf einer statischen Rechnung: 1 · M · g = 14553 N, 2 Mb = F · a = 3,638 · 105 Ncm, Mb Wb = = 14,55 cm3 . σzul F = m u · ru · Ω 2 +

Dies entspricht dem Profil I-80 mit A = 7,57 cm2 , I y = 77,80 cm4 und W y = 19,50 cm3 . Damit stellt sich eine Spannung von σ = 18 641 N/cm2 ein, die erheblich unter dem zulässigen Wert liegt. Infolge der Belastung biegt sich der Rahmen durch, die Antriebseinheit schwingt. Zur Ermittlung der Schwingungsantwort wird zunächst die Federkonstante des Rahmens bestimmt. Unter Einschluss der Dehnsteifigkeit erhält man mit dem P.d.v.K. die Durchbiegungen an

4.7 Verhalten in der Resonanz

111

den Lagerpunkten der Antriebseinheit und damit die Federkonstante  w= (Rahmen)

$ = F·



M · δM · dx + E · Iy

N · δN · dx E·A

(Rahmen)

%



  # b 2 h b 2 1+ − + a 2·a E·A

2 · a4 · 3 · E · Iy · l

(4.140)

= 1,785 · 10−3 m F = 8,152 · 106 N/m. w

cB =

Spätestens jetzt deutet sich an, dass eine quasistatische Dimensionierung nicht zum Ziel führt. Mit der Eigenfrequenz f 0 , der Abstimmung η und dem Übertragungsfaktor α3 (η), ergibt sich die maximale Amplitude  1 2 · cB · f0 = 2π M η = 0,9529,

= 52,47 Hz,

| α3 | = 9,872, y pmax =

2 · m u · ru · | α3 | = 18,43 · 10−3 m. M

F Fz

Fz

1v

F

+

+ Fa

Ω

F

a

b

v

1

F

F

a

l

h

δM

M F

−

−

−

F

F

− δN

N

F

a2 l

a (a + b) l

Ω

Mg

(4.141)

F

a+b l

a l

Abbildung 4.21: Kräfte am Rahmen. Biegemomente und Normalkraftverlauf.

Die Nähe zur Resonanz erweist sich als äußerst ungünstig. Da die Antriebseinheit direkt auf dem Rahmen gelagert werden soll, muss dessen Steifigkeit erhöht werden. Wählt man das nächst größere Profil aus, ergibt sich sogar noch eine 1,4-fache Reserve zur zulässigen

112

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Biegewechselspannung. Für das Profil I-100 mit A = 10, 6 cm2 , W y = 34, 2 cm3 und I y = 171 cm4 erhält man: c B = 1,753 · 107 N/m, f 0 = 77 Hz, α3 = 0,731

und y pmax = 1,36 · 10−3 m.

Je steifer der Rahmen ausgelegt wird, desto höher werden dessen Eigenfrequenzen, der Betrieb ist unterkritisch. Die elastischen Rückstellkräfte tendieren mit zunehmender Steifigkeit gegen die quasistatische Belastung. Diese Art der direkten Lagerung ist normalerweise nicht anzustreben. In der Praxis erfordert eine starre Schraubenmontage eine hohe Genauigkeit, um lokale Spannungen zu vermeiden. Infolge unvermeidlicher Fertigungstoleranzen ist es meist erforderlich, ein gewisses Spiel zuzulassen. Damit sind aber Nachteile wie Verschleiß und Geräusch verbunden. Außerdem sind starre Lagerungen meist mehrfach statisch unbestimmt. Da Massen- und Steifigkeitsverteilung einer zu lagernden realen Maschine oft unbekannt sind, ist die Berechnung der statischen Lagerreaktionen mit Unsicherheiten verbunden. Daher ist eine elastische Mehrpunktlagerung anzustreben. Es bereitet keine Schwierigkeiten, Lagerkräfte und Verschiebungen zu messen.

4.8

Schwingungsisolation

In den meisten Fällen sind Schwingungen unerwünscht. Daher sind Maßnahmen zu deren Abdämmung erforderlich. Systeme die Schwingungen erzeugen, müssen so gelagert werden, dass möglichst geringe Störkräfte ins Fundament eingeleitet werden. Empfindliche Geräte sollten gegen Fußpunktanregungen geschützt werden. Im Folgenden wird ein Gestell betrachtet, auf dem eine Arbeitsmaschine steht, die im Betrieb Fliehkräfte produziert. In einiger Entfernung befindet sich ein Messgerät. mu Ω

ru M F(t)

Ω

m

u(t)

Abbildung 4.22: Direkte Lagerung von Maschine und Messgerät.

Wie schon im Beispiel (4.4) untersucht, werden die Fliehkräfte direkt in den Rahmen eingeleitet. Der Tisch, als schwingungsfähiges Gebilde, bewirkt am Messgerät eine Fußpunktanregung. Es ist nun naheliegend, als Abhilfemaßnahme Arbeitsmaschine und Messgerät elastisch zu lagern. Dies wird in der Praxis durch Elastomerlager oder Dämpfermatten realisiert. Unterstellt man linear-elastisches Verhalten, kann diese Lagerung wieder durch Federn und geschwindigkeitsproportionale Dämpfer angenähert werden.

4.8 Schwingungsisolation

113

Damit stellt sich die Frage, wie Steifigkeit und Dämpfung der Lagerung zu wählen sind, damit: • die von der Maschine, dem aktiven System, abgestrahlten Kräfte möglichst klein werden, • die Schwingungsantwort am Gerät, dem passiven System, gering ausfällt. Obwohl beide Fragestellungen unterschiedlich sind, werden sie mit demselben AmplitudenFrequenzgang beantwortet.

4.8.1

Aktive Schwingungsisolation

Die elastisch gelagerte Maschine stellt in erster Näherung einen Einmassenschwinger mit Fliehkraftanregung nach (4.87) dar. Da mehrere Federn und Dämpfer parallel geschaltet sind, werden Steifigkeiten und Dämpfungen zusammengefasst, cges = 2 · c, r ges = 2 · r. Der Maximalwert der Fliehkraft für die beiden gegenläufig rotierenden Massen lautet | FZ |max = 2 · m u · ru · Ω 2 .

mu Ω

c

(4.142)

ru M

m

Ω

c

r

c

r

Abbildung 4.23: Elastische Lagerung von Maschine und Gerät.

Die Schwingungsantwort ist gegeben durch (4.92). Damit können die in das Fundament eingeleiteten Feder- und Dämpferkräfte angegeben werden FF = cres ·

2 · m u · ru · α3 (η) · sin(Ωt − φ p1 ), M

FD = −rres ·

2 · m u · ru · Ω · α3 (η) · cos(Ωt − φ p1 ). M

(4.143) (4.144)

Wie die Anregung so sind auch die beiden Kräfte harmonisch und können deshalb zusammengefasst werden   Fres = FF + FD = Fˆ · sin Ωt − φ p1 − β .

(4.145)

114

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Entwicklung des Additionstheorems und Koeffizientenvergleich liefern die resultierende Kraftamplitude Fˆ = 2 · m u · ru · α3 (η) · ω20 ·

 1 + 4D2 · η2 ,

= 2 · m u · ru · Ω 2 · α4 (η)

(4.146)

und den Phasenverschiebungswinkel gegenüber den Einzelkräften β = arctan (2D · η) .

(4.147)

Als Kriterium für eine aktive Schwingungsdämmung dient das Verhältnis & & & & & Ausgangssignal & & FF + F D & & & & & =

⇒ min . & Eingangssignal & & F & Z max max

(4.148)

Dies ist die klassische Definition einer Übertragungsfunktion. Setzt man die gefundenen Größen ein, ergibt sich der schon bekannte Amplituden-Frequenzgang infolge Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer & & & Fˆ & & & & & = | α4 (η) | . & FZ &

(4.149)

Die√ eingeleiteten Kräfte sind also dann kleiner als die Fliehkraft, falls die Abstimmung η kleiner als 2 ist. Bei der Festlegung von Steifigkeits- und Dämpfungskennwerten ist also darauf zu achten, dass der Nennbetrieb im Abschirmbereich liegt und die Dämpfung nicht zu stark ausfällt. Fz mu

ru M

Ω

c

Ω

r

c

FF + FD

Abbildung 4.24: Fundamentkräfte. Übertragungsfunktion α4 (η) nach Abb. 4.13.

Beispiel 4.5: Schwingungsisolation einer elastisch gelagerten Maschine mit Unwucht. Das Antriebssystem aus Beispiel 4.4 soll jetzt zusätzlich viskoelastisch auf dem Rahmen gelagert werden.

4.8 Schwingungsisolation

115

Die in das Tragwerk eingeleiteten Kräfte sollen nicht größer als 5% der Fliehkraft sein. Die Maximalamplitude des schwingenden Motors soll einen Wert von 2 mm nicht überschreiten. Wie sind Lagersteifigkeit und viskose Dämpfung zu wählen, damit diese Forderungen erfüllt werden können? Lösung: Für den Rahmen wird das Profil I-80 nach DIN 1025 T1 ausgewählt. Wie schon ermittelt, beträgt seine Steifigkeit c Rahmen = 1,6304 · 107 N/m. Die Maschine muss zusätzlich elastisch gelagert werden. Unter Berücksichtigung der Rahmensteifigkeit handelt es sich um eine Serienschaltung zweier Federn, die zu einer Ersatzfederkonstante zusammengefasst werden 1 cges

=

1 c Rahmen

+

1 c Zusatz

.

(4.150)

Dieser Feder wird ein geschwindigkeitsproportionaler Dämpfer parallel geschaltet. Die in den Rahmen eingeleitete resultierende Kraft Fmax verteilt sich zu gleichen Teilen auf die beiden Lager. Mit den gegebenen Daten wird der Rahmen nur noch schwellend beansprucht. Die maximale Lagerkraft beträgt Fmax = FG + 0,05 · FZ = M · g + 0,05 · 2 · m u · ru · Ω 2 = 1472+ −1382 N. 1 F = · Fmax = 1427 N. 2

(4.151)

Das verwendete Profil I-80 weist ein Widerstandsmoment von W y = 19,5 cm3 auf, womit sich eine Biegeschwellspannung von σbschw =

F·a = 1829 N/cm2 Wy

ergibt.

Abbildung 4.25: Übertragungsfunktion für die elastisch gelagerte Maschine.

(4.152)

116

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Nun müssen Steifigkeit und Dämpfung so bestimmt werden, dass auch nur 5% der Fliehkraft in den Rahmen eingeleitet werden. Aus der Beziehung für die Abstimmung η = Ω / ω0 , ergibt sich die erforderliche Gesamtsteifigkeit cges =

M · Ω2 . η2

(4.153)

Der Wert der Übertragungsfunktion α4 (η) beträgt 0,05. Also muss η aus der nichtlinearen Beziehung   0,05 · (1 − η2 )2 + 4D2 · η2 − 1 + 4D2 · η2 = 0 (4.154) bestimmt werden. Es handelt sich um ein Nullstellenproblem, welches beispielsweise mit der Bisektionsmethode oder der Regula Falsi gelöst werden kann. Allerdings muss ein Dämpfungsgrad angenommen werden. Führt man diese Berechnungen für unterschiedliche Dämpfungsgrade D durch, erhält man folgende Zahlenwerte bei gefordertem Übertragungsfaktor α4 = 0,05: D[%]

η

cges [ N/m ]

f 0 [ Hz ]

r [ kg/s ]

y pmax [ mm ]

0

4,58

7,05 · 105

10,91

0

1,96

1

4,59

5

7,02 · 10

10,89

205

1,96

3

4,67

6,81 · 105

10,72

606

1,96

5

4,82

6,38 · 10

10,38

979

1,95

10

5,56

4,79 · 105

9,00

1696

1,93

12

6,00

5

4,11 · 10

8,33

1884

1,92

15

6,82

3,18 · 105

7,33

2073

1,91

5

Die Schwingungsamplitude der Maschine berechnet sich nach (4.92), also y pmax = 2 · m u ru · | α3 (η) | /M. Wählt man beispielsweise die Variante mit D = 10% aus, wäre ein Gummilager mit einer Steifigkeit nach (4.153) von c Zusatz =

cges · c Rahmen c Rahmen − cges

= 4,935 · 105 N/m erforderlich.

Bei Maschinen mit unterschiedlichen Nenndrehzahlen ist für die Auslegung der Lagerparameter die kleinste Betriebsdrehzahl zugrunde zu legen. Es ist zu beachten dass für die Schwingungsisolation die Übertragungsfunktion α4 (η) maßgebend ist. Die Schwingungsamplitude der elastisch gelagerten Maschine bei Fliehkrafterregung hängt aber von α3 (η) ab. Eine zufriedenstellende Schwingungsisolation bedeutet nicht zwangsläufig kleine Amplituden. Darf die Amplitude einen Grenzwert nicht überschreiten, besteht nur die Möglichkeit, die Gesamtmasse zu vergrößern, da Lagersteifigkeit und Dämpfung bereits festgelegt sind.

4.8 Schwingungsisolation

4.8.2

117

Passive Schwingungsisolation

Um ein Gerät vor Fundamentschwingungen zu schützen, wird es elastisch gelagert. Dies erfolgt meist durch Dämpfermatten oder einzelne Elastomerlager mit linearer Feder- und Dämpfercharakteristik. Somit handelt es sich um das Schwingungsmodell: Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer mit der Lösung (4.103). Maßgebend für die Schwingungsamplitude ist wieder α4 (η). Eine wirkungsvolle Schwingungsisolation findet im Abschirmbereich statt. Also ist √ die Steifigkeit bei gegebener Masse und Erregerfrequenz so zu bestimmen, dass η größer als 2 wird. Um die Wirksamkeit der Schwingungsisolation im Abschirmbereich nicht zu gefährden, sollte die Dämpfung nicht zu stark gewählt werden. Beispiel 4.6: Passive Schwingungsisolation bei einem Messgerät. In einer Produktionshalle sollen zur Qualitätskontrolle Justierungen durchgeführt werden. Das dazu erforderliche Messgerät mit einer Masse von 150 kg wird starr auf einem Gestell montiert. Nach Inbetriebnahme des Gerätes stellt man Störungen fest. Eine Schwingungsmessung im Bereich des Lagerpunktes ergab harmonische Beschleunigungs-Zeitverläufe mit einer Frequenz von 25 Hz. Aus vorhandenen Beständen könnten drei verschiedene Materialien mit folgenden Eigenschaften verwendet werden: Variante

res. Steifigkeit [ N/m ]

res. viskose Dämpfung [ kg/s ]

1

2,00 · 106

3464

2

1,50 · 10

2400

3

0,75 · 10

1273

6 6

Welche Lagerungsvariante soll verwendet werden? Lösung: Zunächst wird festgestellt, welche Steifigkeit bei einem Betrieb an der Abschirmgrenze erforderlich wäre

 Ω 2 c Abschirm = m · √ = 1,851 · 106 N/m. 2 Man erkennt sofort die wirksamste Lagerung, nämlich Variante 3. Im Einzelnen berechnet man: Variante

Eigenfrequenz f 0 [ Hz ]

Dämpfung D[%]

Abstimmung η

Übertragungsfaktor α4 (η)

1

18,4

10

1,36

1,161

2

15,9

8

1,57

0,693

3

11,3

6

2,22

0,262

118

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

4.9

Periodische Anregung

Ein periodischer Vorgang ist durch eine Wiederholung des Ereignisses nach einer festen Zeit, der Periodendauer T , gekennzeichnet. Die mathematische Bedingung dafür lautet y(t) = y(t + T).

(4.155)

Nach der auf Fourier zurückgehenden Theorie kann jede periodische Funktion y(t) mit der Kreisfrequenz ωT = 2π/T , in eine Summe harmonischer Funktionen zerlegt werden y(t) =

∞  a0   + a j · cos( j · ωT · t) + b j · sin( j · ωT · t) . 2 j=1

(4.156)

Abbildung 4.26: Beispiele für periodische Funktionen.

Die Fourierkoeffizienten a0 , a j und b j werden nach folgenden Formeln berechnet 2 a0 = · T aj = bj =

2 · T 2 · T



T

y(t) · dt,

(4.157)

y(t) · cos( j · ωT · t) · dt,

(4.158)

y(t) · sin( j · ωT · t) · dt.

(4.159)

0



T

0

 0

T

4.9 Periodische Anregung

119

Der Koeffizient a0 /2 stellt den Durchschnitt der Funktion y(t) dar. Bei der Berechnung der Fourierkoeffizienten können mögliche Symmetrien der Funktion y(t) ausgenutzt werden. Handelt es sich um eine gerade Funktion, y(t) = y(−t), welche symmetrisch zur y- Achse ist, dann gilt, b j = 0. Ist die Funktion antisymmetrisch, d.h. y(t) = −y(−t), dann sind die Koeffizienten a j = 0. Die Fourierreihe (4.156) enthält unendlich viele Summanden. Bei der Anwendung wird man die Reihe nach einer gewissen Anzahl von Gliedern abbrechen, man erhält also eine Näherung. Stellt man die Fourierkoeffizienten a j und b j über den vielfachen der Kreisfrequenz j · ωT dar, erhält man das diskrete Fourierspektrum. Beispiel 4.7: Harmonische Analyse einer Halbsinusanregung. Ein schwingungsfähiges System nach Bild 4.1 wird durch eine Folge von halbsinusförmigen Kraftstößen der Form

 πt F(t) = F0 · sin , 0 ≤ t ≤ τ, (4.160) τ angeregt. Der Stoßvorgang mit der Amplitude F0 wiederholt sich alle τ Sekunden. a) Die Anregung ist durch eine Fourierreihe darzustellen. b) Wie reagiert der Einmassenschwinger auf diese Anregung? Geg.: m = 10 kg, c = 3,9478 · 104 N/m, r = 62,83 kg/s, F0 = 100 N, τ = 0,5 s. Lösung: Mit der Periode T = τ und der Kreisfrequenz ωT = 2π/τ, berechnet man nach obigen Formeln 2 a0 = · F0 · τ



τ

0



πt sin τ

 · dt = F0 ·

4 . π

(4.161)

Aufgrund vorliegender Symmetrie sind die Fourierkoeffizienten b j = 0. Für die Koeffizienten a j erhält man unter Verwendung einer Integraltafel 2 a j = · F0 · τ = 2 · F0

 2π j · cos · t · dt τ 0

1 1 + . π(1 + 2 j) π(1 − 2 j) 

τ



πt sin τ





(4.162)

Die gesuchte Funktion stellt sich damit folgendermaßen dar F(t) = F0 ·

∞  2 1 1 + 2F0 · + · cos( j · ωT · t). π π(1 + 2 j) π(1 − 2 j) j=1

(4.163)

Die Anregung besteht aus einer konstanten Kraft und ∞ vielen harmonisch schwingenden Kräften mit unterschiedlichen Kreisfrequenzen.

120

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

F(t) [ N ] --->

100

50

0

0

1

2 Zeit t [ s ] ---->

3

4

Abbildung 4.27: Harmonische Analyse von F(t) = F0 · sin(πt/τ).

Damit ist die Aufgabenstellung wieder auf den Fall einer harmonischen Kraftanregung mit bekannter Lösung zurückgeführt. y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) = f(t) = 2·



F0 1 + a1 · cos(ωT t) + a2 · cos(2ωT t) + · · · + an · cos(nωT t) . m π

(4.164)

Die Eigenfrequenz des Schwingers beträgt 10 Hz, der Dämpfungsgrad 5% und die Erregerfrequenz 2 Hz. Da der Schwinger linear ist, kann die Schwingungsantwort für eine beliebige Anzahl von Reihengliedern superponiert werden. Jede Teillösung besteht aus Partikuläranteilen entsprechend (4.62). Neben der Schwingweite interessieren Schwinggeschwindigkeit und Antwortbeschleunigung. Auswertung und Darstellung dieser Größen kann von Hand nicht mehr durchgeführt werden. Daher ist es naheliegend, die obige Schwingungsdifferentialgleichung numerisch zu lösen, d.h. das Verhalten des Einmassenschwingers infolge dieser transformierten Anregung zu simulieren. Dazu wird die obige Differentialgleichung 2. Ordnung in ein System 1. Ordnung überführt. Dieser Schritt ist erforderlich, da verfügbare Bibliotheksprogramme meist auf die Lösung von Systemen 1. Ordnung zugeschnitten sind. Im Einzelnen geht man so vor: • Auflösen nach der höchsten Ableitung, • Transformation in zwei Differentialgleichungen 1. Ordnung, • Anfangsbedingungen bereitstellen. y(t) ¨ y(t) ˙ v˙ (t) y(t = 0) v(t = 0)

= = = = =

f(t) − 2D · ω0 · y(t) ˙ − ω20 · y(t), v(t), f(t) − 2D · ω0 · y(t) ˙ − ω20 · y(t), y0 , v0 .

(4.165)

4.9 Periodische Anregung

121

Abbildung 4.28: Schwingungsantwort infolge von Halbsinusstößen.

In Abbildung 4.28 sind die Simulationsergebnisse in Form von Zeitliniendiagrammen im Bereich, 0 ≤ t ≤ 8 s dargestellt. Dabei erfolgt die Bewegung aus der Ruhelage, d.h. Anfangsauslenkung und Anfangsgeschwindigkeit sind Null.

Die Anregung durch periodische Ereignisse stellt in der Maschinendynamik fast den Normalfall dar. Wird beispielsweise ein schwingungsfähiges System durch ein Koppelgetriebe in Bewegung gesetzt, handelt es sich um eine periodische Anregung, meist mit der Periodendauer T = 2 ·π. Mit Koppelgetrieben werden gleichförmige Drehbewegungen in ungleichförmige geradlinige Bewegungen umgewandelt. Dabei können Sprünge bei den Geschwindigkeiten und Beschleunigungen auftreten. Eine Änderung im Beschleunigungsverlauf führt zum Ruck. Große Werte für den Ruck rufen Lagerschäden, Geräusche, Ermüdung und Verschleiß hervor.

Beispiel 4.8: Periodische Anregung eines Einmassenschwingers durch ein Schubkurbelgetriebe. In der Versuchstechnik werden Funktionsprüfungen und Betriebsfestigkeitsversuche an Komponenten gerne mithilfe von Schubkurbelgetrieben durchgeführt. Dabei geht es einmal um die Einleitung von hohen periodischen Kräften bei definierten Auslenkungen und deren zeitliche Ableitungen. Durch einfache Änderungen von geometrischen Parametern kann das Betriebsverhalten gezielt verändert werden. Das skizzierte Schubkurbelgetriebe wird mit konstanter Drehzahl angetrieben. Die oszillierende Bewegung des Kolbens wird über eine Feder auf die Masse übertragen, die sich reibungsfrei, aber geschwindigkeitsproportional gedämpft, bewegt.

122

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Abbildung 4.29: Schubkurbelgetriebe gekoppelt mit Einmassenschwinger.

In einem ersten Untersuchungsschritt soll das kinematische Übertragungsverhalten des Kolbens, in Form von Hub, Geschwindigkeit, Beschleunigung und Ruck in Abhängigkeit des Kurbeldrehwinkels ϕ ermittelt werden. Unter Vernachlässigung der Massenwirkung des Schubkurbelgetriebes ist die Bewegungsgleichung aufzustellen und numerisch zu lösen. Geg.: n = 75 U/min, a = 30 mm, l = 200 mm, m = 10 kg, c = 500 N/m, r = 2,5 kg/s. Lösung: Da die Trägheitseigenschaften nicht zu berücksichtigen sind, hat das Schubkurbelgetriebe nur eine kinematische Funktion, es erzeugt eine Fußpunktanregung über die Feder. Also ist der Zusammenhang zwischen dem Kurbelwinkel ϕ(t) und dem Hub s(ϕ) herzustellen. Der Hub ist die Differenz aus gestreckter Lage und den Projektionen von Kurbel- und Koppellänge s(t) = a + l − a · cos ϕ − l · cos α.

(4.166)

Für die Höhe des Dreiecks liest man ab a · sin ϕ = l · sin α.

(4.167)

Mit dem Verhältnis λ = a/l und bekannter trigonometrischer Umformung, lautet der Hub  cos α = 1 − λ2 · sin2 ϕ,    s(t) = a · (1 − cos ϕ) + l 1 − 1 − λ2 · sin2 ϕ .

sin α = λ · sin ϕ.

y rP rW

ϕ

α

x

rK

Abbildung 4.30: Kinematische Schleife für das Schubkurbelgetriebe.

(4.168)

4.9 Periodische Anregung

123

Eine zweimalige Differentiation dieses Ausdrucks ist etwas aufwändig. Deshalb werden die Ableitungen über die Schleifengleichung rW + rP = rK in Komponenten, a · cos ϕ + l · cos α = r K (t), a · sin ϕ − l · sin α = 0 gebildet −a · ϕ˙ · sin ϕ − l · α˙ · sin α = r˙K (t) = s˙(t), a · ϕ˙ · cos ϕ − l · α˙ · cos α = 0.

(4.169) (4.170) (4.171) (4.172) (4.173)

Daraus erhält man die Winkelgeschwindigkeit für die Koppel sowie die Hubgeschwindigkeit α(t) = λ· ˙

cos ϕ · ϕ, ˙ cos α

s˙(t) = −a · ϕ˙ · (sin ϕ + cos ϕ · tan α).

(4.174) (4.175)

Nochmaliges Differenzieren von (4.174) liefert die Winkelbeschleunigung der Koppel α(t) = λ· ¨

cos ϕ sin ϕ · ϕ¨ − λ · · ϕ˙ 2 + tan α · α˙ 2 . cos α cos α

(4.176)

Die Hubbeschleunigung ergibt sich aus (4.172) ebenfalls durch Differentiation s¨(t) = −a · ϕ¨ · sin ϕ − l · α¨ · sin α − a · ϕ˙ 2 · cos ϕ − l · α˙ 2 · cos α.

(4.177)

Die zeitlichen Änderungen von Hub- und Koppelbeschleunigung, die Rucke, erhält man durch nochmaliges Ableiten der Schleifengleichung d(α) cos ϕ ¨ = −λ · ϕ˙ 3 · + 3α¨ · α˙ · tan α − α˙ 3 , dt cos α d(¨s) d(α) ¨ = a · ϕ˙ 3 · sin ϕ − l · · sin α − 3l · α¨ · α˙ · cos α + dt dt a · α˙ 3 · sin α.

(4.178)

(4.179)

Diese Formeln sind rekursiv aufgebaut und für eine Programmierung gut geeignet. Zur Darstellung der Hubbewegung wird die Kurbel um 360◦ gedreht. Für jeden Drehwinkel sind die entsprechenden Formeln auszuwerten. Für eine Darstellung wird der Hub über dem Drehwinkel aufgetragen. Der Vorgang wiederholt sich nach jeder vollen Umdrehung. Die anderen kinematischen Größen werden ebenfalls in Abhängigkeit vom Hub dargestellt. Die Masse wird über die Feder periodisch angeregt. Die Bewegungsgleichung lautet     x(t) ˙ + ω20 x = ω20 a (1 − cos ϕ) + l 1 − 1 − λ2 sin2 ϕ ¨ + 2Dω0 x(t)

(4.180)

124

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Für die konstante Drehzahl ergibt sich der Drehwinkel zu ϕ(t) = Ω · t. Die Bewegungsgleichung wird in ein System erster Ordnung überführt x˙ = v,

    v˙ = ω20 a · (1 − cos Ωt) + l 1 − 1 − λ2 · sin2 Ωt

−2D · ω0 · v − ω20 · x, x(0) = 0, v(0) = 0.

(4.181)

Wie schon angedeutet, soll die Bewegung aus der Ruhelage gestartet werden. Dieses DGL-System kann mit jedem Einschrittverfahren mit automatischer Schrittweitenkontrolle integriert werden, z.B. Runge-Kutta 4. Ordnung, Fehlberg-Verfahren oder sehr effizient, mit der stabilisierten Mittelpunktsregel und Grenzwertextrapolation. In den Zeitliniendiagrammen (Abb. 4.31) sind der Hub s(t) sowie die Bewegung der Masse, ausgedrückt durch x(t), x(t) dargestellt. ˙ und x(t), ¨

Abbildung 4.31: Schwingungsantwort der Masse.

Die Umwandlung von Drehbewegungen in geradlinige oszillierende Bewegungen kann beispielsweise auch durch schwingende Kurbelschleifen erreicht werden. Dabei ensteht wieder eine periodische Bewegung.

4.9 Periodische Anregung

125

Beispiel 4.9: Periodische Anregung eines Winkelhebels durch eine schwingende Kurbelschleife. Der dargestellte Winkelhebel ist im Schwerpunkt (D) gelagert. Er wird durch eine Feder abgestützt und über einen viskosen Dämpfer von einer Kurbelschleife angeregt. Die als masselos anzusehende schwingende Kurbelschleife wird mit konstanter Drehzahl angetrieben. s(t)

b

ψ (t)

r Ω

rD R J

(D)

a

cD

Abbildung 4.32: Schwingende Kurbelschleife mit Winkelhebel.

a) Zu untersuchen ist das kinematische Übertragungsverhalten der Schleife. b) Unter Vernachlässigung der Masseneigenschaften der Kurbelschleife ist die Bewegungsgleichung für den Winkelhebel aufzustellen. c) Das Verhalten des Systems soll numerisch untersucht werden. Die Simulationsergebnisse sind in Form von Zeitliniendiagrammen darzustellen. Geg.: r = 30 mm, R = 350 mm, a = 80 mm, b = 40 mm, J (D) = 0,5 kgm2 , c D = 100 N/m, r D = 5 kg/s, n = 100 U/min. Lösung: a) Kinematisches Übertragungsverhalten. Eine Drehung der Kurbel r um den Winkel ϕ bewirkt eine Schrägstellung der Schwinge um den Winkel α, siehe Abb. (4.33). Damit kann der Weg des Kolbens ausgedrückt werden durch s(t) = (a + b) · tan α.

(4.182)

Andererseits liest man ab a · sin α = r · cos(α + ϕ).

(4.183)

126

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Mit diesen Beziehungen und λ = r/a, errechnet man für den Kolbenweg s(t)

a · sin α = r · cos α · cos ϕ − r · sin α · sin ϕ | · tan α =

λ · cos ϕ , 1 + λ · sin ϕ

1 , a · cos α

cos ϕ , 1 + λ · sin ϕ cos Ωt s(t) = (a + b) · λ · . 1 + λ · sin Ωt

s(ϕ) = (a + b) · λ ·

(4.184)

b

s(t)

r

ϕ α

a

α

Abbildung 4.33: Geometrische Verhältnisse an der Kurbelschleife.

Für konstante Winkelgeschwindigkeit gilt für den Drehwinkel ϕ = Ωt, mit Ω = π · n /30. Geschwindigkeit und Beschleunigung ergeben sich durch Differentiation

s˙(t) = −Ω · (a + b) · λ ·

λ + sin Ωt (1 + λ · sin Ωt)2

s¨(t) = −Ω 2 · cos Ωt · (a + b) · λ ·

1 − λ(sin Ωt + 2λ) . (1 + λ · sin Ωt)3

(4.185) (4.186)

Um sich einen Eindruck zu verschaffen, werden die Formeln für eine volle Kurbeldrehung ausgewertet und graphisch dargestellt.

4.9 Periodische Anregung

127

1

v(φ) [ m/s ] –––>

Hub s(φ) [ mm ] –––>

Kolbengeschw. 50

0

–50

0

0 –0.5 –50

100 200 300 Drehwinkel φ [ Grad ] –––>

100

r(φ) [ m/s ] –––>

10 Beschleunigung

5

3

a(φ) [ m/s 2 ] –––>

0.5

0 –5 –10 –50

0 Hub s(φ) [ mm ] –––>

50

0 Hub s(φ) [ mm ] –––>

50

Ruck

0 –100 –200 –300 –50

0 Hub s(φ) [ mm ] –––>

50

Abbildung 4.34: Kinematisches Übertragungsverhalten der Kurbelschleife.

b) Bewegungsdifferentialgleichung. Der Drallsatz für den im Schwerpunkt gelagerten Winkelhebel lautet J (D) · ψ¨ = −R2 · c D · ψ − r D · R · (R · ψ˙ − s˙(t)).

(4.187)

Mit den üblichen Setzungen

2D · ω0 = ω20 =

r D · R2 , J (D) c D · R2 J (D)

(4.188)

entsteht daraus ψ¨ + 2D · ω0 · ψ˙ + ω20 · ψ = −Ω

λ(a + b) λ + sin Ωt · 2D · ω0 · . R (1 + λ · sin Ωt)2

(4.189)

128

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

c) Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung. Zuerst muss die DGL wieder, wie oben (4.181), in ein System erster Ordnung transformiert werden. Die Anfangsbedingungen sind Null. Der Bewegungsvorgang wurde 20 s simuliert. Dargestellt sind jeweils über der Zeit • die Anregung in Form der Hubgeschwindigkeit v(t) der schwingenden Kurbelschleife, ˙ und Winkelbeschleunigung ψ(t) ¨ des • Drehwinkel ψ(t), Winkelgeschwindigkeit ψ(t) Winkelhebels.

Abbildung 4.35: Simulationsergebnisse für die Bewegung des Winkelhebels.

4.10

Nichtperiodische Anregung

Betrachtet wird ein schwingungsfähiges System, bestehend aus einem Kolben der elastisch und zusätzlich geschwindigkeitsproportional gedämpft ist. Zum Zeitpunkt t ≥ 0 wird der Kolben durch den konstanten Druck p beaufschlagt. Die Kolbenmasse erfährt eine sprunghafte Kraftanregung. Bevor sich ein stationärer Zustand des Systems einstellt, treten kurzzeitige Schwingungen auf. Es handelt sich um einen Einschwingvorgang. Denkbar wäre ein ebenso plötzlicher Druckabfall auf Null. In diesem Fall wäre der KraftZeitverlauf, mit dem die Masse angeregt wird, rechteckig. Ebenso denkbar wären sanftere Druck- bzw. Kraftanstiege in Form von Geraden, Sinus- oder Exponentialfunktionen.

4.10 Nichtperiodische Anregung

129

p F pA

m,A r

c

y(t) t

Abbildung 4.36: Einmassenschwinger mit sprunghafter Kraftanregung.

Kraft / Beschl. --->

1.5 1

0.5 0

0

0.1

0.2 0.3 Zeit [ ms ] --->

0.4

0.5

Abbildung 4.37: Nichtperiodische Anstiegsfunktionen.

Zur Beurteilung der jeweiligen Einschwingvorgänge muss die vollständige Lösung der Bewegungsdifferentialgleichung y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) =

F(t) , m

wobei

y(t) = yh (t) + y p (t)

(4.190) (4.191)

herangezogen werden. Erstrebenswert ist natürlich eine exakte mathematische Lösung, da der Einfluss der Systemparameter auf das Einschwingverhalten einfacher erkannt wird. Dies ist allerdings nur in einfachen Fällen möglich. In der Praxis wird der numerischen Untersuchung der Vorzug gegeben. Im Folgenden wird auf eine geschlossene Lösung näher eingegangen.

4.10.1

Lösung mit dem Faltungsintegral

Das Einschwingverhalten bei beliebiger Anregung wird beschrieben durch τ=t y(t) =

τ=t F(τ) · g(t − τ) · dτ

τ=0

=

F(t − τ) · g(τ) · dτ. τ=0

(4.192)

130

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Darin bedeuten F(t) die beliebige Anregung und g(t) die so genannte Gewichtsfunktion. Für diese gelten folgende Bedingungen g(t) = yh (t),

(4.193)

d i g(t = 0) = 0, i = 0,1, . . . , n − 2, dt i

(4.194)

d n−1 g(t = 0) = 1. dt n−1

(4.195)

Wendet man diese Regeln auf die allgemeine Lösung der homogenen Differentialgleichung zweiter Ordnung an, so ergibt sich die Gewichtsfunktion mit g(t = 0) = yh (t = 0) = c1 , g˙ (t = 0) = y˙h (t = 0) = c2 · ω D , g(t) =

Beispiel 4.10:

(4.196) (4.197)

e−δ·t · sin ω D t. ωD

(4.198)

Anregung durch einen Kraftsprung.

Gemäß der obigen Problemstellung wird der Einmassenschwinger durch einen Kraftsprung beaufschlagt. Zu untersuchen ist der Einschwingvorgang. Geg.: F0 = 1000 N, m = 10 kg, f 0 = 10 Hz, D = 0,05. Lösung: Mit F(t) = F0 für t ≥ 0, lautet die Lösung zunächst F0 −δ·t y(t) = e · m · ωD

t

eδ·τ sin ω D (t − τ) · dτ.

(4.199)

τ=0

Da sich die Integration über τ erstreckt, ist es naheliegend, t und τ zu trennen. Mit dem bekannten Additionstheorem erhält man für das Integral t Int := sin ω D t

δ·τ

e

t cos ω D τ · dτ − cos ω D t

τ=0

eδ·τ sin ω D τ · dτ.

(4.200)

τ=0

Die Lösung dieser Integrationen entnimmt man einer mathematischen Formelsammlung. Nach Zusammenfassung der entstandenen harmonischen Funktionen erhält man für das Integral √ 1 − D2 δ·t 1 Int := ·e − · cos(ω D t − φ), (4.201) ω0 ω0 D φ = arctan √ . 1 − D2

(4.202)

4.10 Nichtperiodische Anregung

131

Damit erhält man für die Schwingungsantwort y(t) =



F0 e−δ·t 1− √ · cos(ω D t − φ) . c 1 − D2

(4.203)

Die Sprunghöhe ergibt sich aus dem Quotienten ymax =

F0 c

= 0,02533 m.

(4.204)

Die Einschwingdauer wird durch die Dämpfung bestimmt.

Abbildung 4.38: Einschwingvorgang infolge Sprungfunktion.

Zur weiteren Beurteilung derartiger Vorgänge ist es sinnvoll, neben der Auslenkung auch Schwinggeschwindigkeit und Beschleunigung zu betrachten. Dazu müssen die Ableitungen von (4.199) gebildet werden. Die Sprungfunktion wird in der Regelungstechnik zu Stabilitätsuntersuchungen einzelner Übertragungsglieder herangezogen. Man interessiert sich für die Änderung des Ausgangssignals, welches sich durch einen Sprung des Eingangssignals ergibt. Die Lösung (4.199) wird als Übergangsfunktion bezeichnet, Abb. 4.38. Bei Verwendung von Anstiegsfunktionen kann man prinzipiell genauso vorgehen wie oben. Der Rechenaufwand wird durch die Integrationen bestimmt. In jedem Fall erfolgen Auswertung und graphische Darstellung numerisch. Daher ist es naheliegend, die vollständige Schwingungsantwort durch Simulation zu gewinnen.

132

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Beispiel 4.11: Einschwingvorgang. Das Einschwingverhalten des obigen Systems mit unveränderten Parametern soll bei unterschiedlichen Anstiegsfunktionen untersucht werden. a) Linearer Anstieg, τ = 0,5 s. b) Sinusförmiger Anstieg, τ = 0,25 s. c) Exponentieller Anstieg, α = 20 1/s. Lösung: a) Einschwingvorgang bei linearem Anstieg auf den Nennwert F0 = 100 N: ! " F0 · τt : 0 ≤ t ≤ τ F(t) = . F0 : t ≥ τ

Abbildung 4.39: a) Schwingungsantwort infolge rampenförmigen Kraftanstiegs.

Der Übergang vom linearen Anstieg auf den konstanten Nennwert wirkt auf das System wie ein Sprung, was besonders am Beschleunigungsverlauf zu erkennen ist. Nach kurzem Überschwingen stellt sich die konstante Auslenkung ein. b) Einschwingvorgang bei sinusförmigem Anstieg auf den Nennwert F0 : Mit Ω = 2π/τ und τ = 0,25 s lautet der Kraftanstieg ! " F0 · (1 − cos Ωt)/2 : 0 ≤ t ≤ τ/2 F(t) = . F0 : t ≥ τ/2 Wieder stellen sich dieselben Zustände, wie konstante Auslenkung und zu Null gehende Geschwindigkeit und Beschleunigung ein. Allerdings in anderer Form. Der Einschwing-

4.10 Nichtperiodische Anregung

133

Abbildung 4.40: b) Schwingungsantwort infolge sinusförmigen Kraftanstiegs.

vorgang wird also durch die Art der Anregung geprägt. Besonderen Einfluss darauf hat die Anstiegszeit. Je eher die konstante Kraftamplitude F0 erreicht wird, desto größer sind Geschwindigkeits- und Beschleunigungssprung. c) Einschwingvorgang bei exponentiellem Anstieg auf den Nennwert F0 :

Abbildung 4.41: c) Schwingungsantwort infolge exponentiellen Kraftanstiegs.

134

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Mit α = 20 1/s lautet die Anstiegsfunktion   F(t) = F0 · 1 − e−αt . Wegen der kurzen Anstiegszeit stellt dieser Anregungsfall für das System eine große Belastung dar. Ein Kriterium für die Beanspruchung eines schwingungsfähigen Systems sind Geschwindigkeits- und Beschleunigungssprung.

4.11

Transiente Anregung

Ändert sich bei periodischen oder aperiodischen Vorgängen in einem kleinen Zeitbereich das Verhalten, handelt es sich um ein transientes Ereignis. Betrachtet man beispielsweise die Schwingungsantwort des Einmassenschwingers infolge harmonischer Anregung, so kann man die abklingende homogene Lösung als transiente Antwort bezeichnen, während der Partikuläranteil stationäre Lösung genannt wird. In der Praxis werden transiente Vorgänge durch Änderungen der Betriebsbedingungen eines Systems hervorgerufen. Als Beispiele dafür sollen das Verhalten eines Asynchronmotors hoher Leistung sowie der Druckverlauf in einem Hydraulikzylinder dienen. Nach dem Anlegen der Spannung baut sich zwischen Stator und Rotor ein Luftspaltmoment auf, welches die Motorwelle in Rotation versetzt. Das Drehmoment pendelt mit der Netzfrequenz, wobei die Amplituden das Nennmoment M N um ein Vielfaches übersteigen. Mit zunehmender Drehzahl der Welle werden

Abbildung 4.42: Beispiele für transiente Vorgänge.

4.11 Transiente Anregung

135

zusätzliche Ströme induziert, welche letztlich zu einem stationären Zustand beitragen. Die Drehmomentenpendelungen werden abgebaut. Nach Überschreiten des Kippmomentes stellt sich der Nennzustand ein. Der Anlaufvorgang ist transient. Treten beispielsweise im stationären Nennbetrieb Netzstörungen auf, welche zu einer kurzzeitigen Spannungsunterbrechung führen, resultieren daraus Drehmomentenstöße. Diese transienten Belastungen beeinflussen das Biege- und Torsionsschwingungsverhalten des Antriebsstranges. Auch der Abschaltvorgang des Systems ruft transiente Belastungen hervor. Der in einem Hydraulikzylinder aufgebaute Druck erzeugt einen Belastungsstoß, der auf den Kolben wirkt. Dadurch wird das schwingungsfähige System kurzzeitig angeregt.

4.11.1

Stoßartige Belastungen

Belastungsstöße sind durch große Amplituden bei kleiner Einwirkzeit gekennzeichnet. Dadurch wird das beaufschlagte schwingungsfähige System, meist aus der Ruhelage heraus, zu kurzzeitigen Schwingungen angeregt. Als Folge davon treten Sprünge bei Auslenkungen, Schwinggeschwindigkeiten und Beschleunigungen auf. Neben den schon genannten Ursachen, können transiente Belastungen bei Montage, Transport oder rauer Handhabung erzeugt werden. Um sicher zu stellen, dass beispielsweise Geräte diesen Umgebungsbelastungen standhalten, werden manchmal so genannte Schockprüfungen durchgeführt. Dazu wird das Prüfobjekt definierten Stoßbelastungen, meist in Halbsinusform, ausgesetzt. Erzeugt werden derartige Anregungen auf Schwingtischen, Falltürmen oder Horizontalschlitten. Kraftanregungen in Form von Halbsinusfunktionen haben auch in der Messtechnik eine besondere Bedeutung. Im Rahmen einer experimentellen Modalanalyse, bei der Eigenschwingungen von Strukturen gemessen werden, erfolgt die Anregung unter anderem durch Hammerschlag. Der Kraft-Zeitverlauf wird durch eine Kraftmessdose erfasst. Erfolgt der Schlag direkt, also Stahl auf Stahl, so ergibt sich ein dreiecksförmiger Anregungsverlauf. Die Form des Impulses kann durch Unterlegen eines Dämpfermaterials so beeinflusst werden, dass ein glatter halbsinusförmiger Kraftverlauf entsteht. Zur Beantwortung der Frage, wie ein schwingungsfähiges System auf eine Schockbelastung reagiert, wird ein System mit einem Freiheitsgrad definiert angeregt. Dabei wird entweder die Masse durch einen Kraftstoß oder der Fußpunkt durch einen Beschleunigungsstoß angeregt. Nur für wenige Stoßformen und dann meist ohne Dämpfung, lässt sich die Schwingungsantwort mathematisch geschlossen herleiten. Die dabei enstehenden Formeln sind sehr unhandlich und müssen in jedem Fall numerisch ausgewertet werden. Im Folgenden wird ein Einmassenschwinger mit einem Freiheitsgrad, der mit unterschiedlichen Kraftcharakteristiken angeregt wird, numerisch untersucht. Aus der Vielfalt möglicher Anregungsformen werden die in der Praxis häufig auftretenden Kraftimpulse: • Halbsinusstoß : F(t) = F0 · sin

π ·t , τ

(4.205)

136

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

• geglätteter Halbsinusstoß : 

1 2π · t F(t) = · F0 · 1 − cos , 2 τ

(4.206)

• exponentiell abklingender Sprung : F(t) = F0 · e−αt ,

mit α = 4,61 s,

(4.207)

• Druckstoß: F(t) = 4 · F0 · (e−αt − e−βt ),

mit α = 8 1/s, β = 16 1/s,

Abbildung 4.43: Schwingungsantwort infolge halbsinusförmiger Anregung.

(4.208)

4.11 Transiente Anregung

137

• Wechselstoß: t t F(t) = F0 · η · e−α τ · sin(2πn ) τ

(4.209)

mit n = 2, η = 1,42 und α = 1,39, • oszillatorischer Stoß: t t F(t) = F0 · η · e−α τ · sin(2πn ) τ mit n = 4, η = 1,12 und α = 0,92 numerisch untersucht. Der Schwinger hat die Systemparameter, m = 10 kg, c = 3,9478 · 104 N/m, r = 62,832 kg/s, womit sich ein Dämpfungsgrad von D = 5 % und eine Eigenfrequenz von f 0 = 10 Hz ergibt.

Abbildung 4.44: Schwingungsantwort infolge exponentiell abklingenden Sprunges und Druckstoß.

138

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Abbildung 4.45: Schwingungsantwort infolge von Wechselstößen.

Die Kraftamplitude F0 beträgt 1000 N und die Einwirkzeit τ ist ≤ 0,5 s. Der Sachverhalt wird durch das bekannte Differentialgleichungssystem 1. Ordnung beschrieben y(t) ˙ = v(t), v˙ (t) =

F(t) − 2D · ω0 · v(t) − ω20 · y(t), m

wobei die Anregung aus der Ruhe, d.h. im eingeschwungenen Zustand, erfolgt. Somit sind die Anfangsbedingungen Null. Die Lösung kann mit jedem Einschrittverfahren mit automatischer Schrittweitenkontrolle erzeugt werden. Möchte man die Integration mit konstanter Schrittweite durchführen, beispielsweise mit Δt = 0,1 ms, erzielt man gute Ergebnisse mit Mehrschrittverfahren. Im vorliegenden Fall wurde das Schwingungsverhalten zwei Sekunden lang simuliert. Man erhält als Lösung die Schwingungsantwort in Form von Auslenkungen, s(t) = y(t), Geschwindigkeiten, v(t) = y(t) ˙ und Beschleunigungen, a(t) = y(t). ¨

4.12 Darstellung im Frequenzbereich

139

Die Simulationsergebnisse zeigen typische Merkmale, die im Einzelnen zu diskutieren sind. • Die Schwingungsantwort wird durch die transiente Anregung geprägt. Dies tritt signifikant bei den einseitig gerichteten halbsinusförmigen Stoßformen auf. Die Zeitverläufe dieser beiden Anregungsarten können durch folgende Merkmale klassifiziert werden: – Die Schwingungsantwort während der Impulsdauer, 0 ≤ t ≤ τ, heißt Primärschwingung. Sie enthält die unmittelbare Impulsantwort. – Die Schwingungsantwort nach dem Impuls, t ≥ τ, heißt Residualschwingung. Es handelt sich stets um eine Sinuswelle mit der Eigenfrequenz des Einmassenschwingers. – Der Maximalwert der Schwingungsantwort tritt entweder bei der Anfangs- oder Restschwingung auf. Für weitergehende Untersuchungen kann sowohl der eine, als auch der andere Extremwert verwendet werden. – Der Minimalwert der Schwingungsantwort liegt entweder im Primärbereich oder im Residuum. Dazu ist es erforderlich, einen Referenzzeitpunkt im Residuum festzulegen, hier beispielsweise te = 1 s, da ja die Schwingung vollständig abklingt. • Wie schon beim Einschaltsprung erläutert, bewirken steile Kraftanstiege Maximalamplituden in der Antwort. • Auch die anderen Anregungsarten rufen im Residuum ein Ausschwingen mit der Eigenfrequenz hervor.

4.12

Darstellung im Frequenzbereich

Zur vollständigen Interpretation von Schwingungen gehören neben Zeit und Amplitude auch die Frequenz. Im Allgemeinen erhält man die Schwingungsantwort im Zeitbereich, etwa durch numerische Intergration. Zusätzlich möchte man wissen, welche Frequenzen, mit welcher Intensität, am Geschehen beteiligt sind. Damit stellt sich die Aufgabe, die diskreten Zeitfunktionen wie Anregung F(t), Schwingweg s(t), Schwinggeschwindigkeit v(t) und Schwingbeschleunigung a(t) in den Frequenzbereich zu transformieren. Dies ist durch eine Integraltransformation möglich. Ist beispielsweise y(t) eine, im Allgemeinen beliebige Zeitfunktion und Y( f) eine Funktion, die nur von der Frequenz abhängt, so schreibt man formal für die Transformation vom Zeit- in den Frequenzbereich und umgekehrt y(t) ⇒ Y( f), ∞ Y( f) =

y(t) · e2πj· f ·t · dt,

−∞

Y( f) ⇒ y(t), ∞ y(t) = −∞

Y( f) · e2πj· f ·t · d f.

(4.210)

140

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Es handelt sich wieder um eine Fouriertransformation, die Integrale heißen Fourierintegrale. Bei der Fouriertransformation einer periodischen Funktion ergibt sich die Lösung als Summe von harmonischen Funktionen mit festen Frequenzen. Das Fourierintegral liefert dagegen das Frequenzspektrum der Funktion y(t). Ist y(t) eine periodische Funktion, erhält man ein diskretes Spektrum mit allen am Aufbau beteiligten Frequenzen. Eine größere Bedeutung haben nichtperiodische bzw. transiente Funktionen, z.B. Kraft- oder Beschleunigungsanregungen. In diesem Fall ergibt sich eine kontinuierliche Spektralfunktion. Die komplexe Exponentialfunktion kann nach Euler in zwei harmonische Anteile aufgeteilt werden. Dementsprechend lässt sich die obige Fouriertransformation in eine Fouriersinus- und Fourierkosinustransformation zerlegen. Nun liegen die Daten aber als diskrete Wertepaare vor. Um eine diskrete Fouriertransformation, abgekürzt DFT, durchführen zu können, muss das Zeitintervall tges = te - t0 , in n äquidistante Stützstellen Δt aufgeteilt werden. Somit werden die Integrale durch Reihen approximiert. In der numerischen Mathematik wird gezeigt, wie sich die Fouriertransformation einer Zeitreihe y(t) in den Frequenzbereich darstellt Y( fl ) = Δt ·

n−1 

y(tk ) · e2πj·k·l/n ,

l = 0, 1, . . . , n − 1.

(4.211)

k=0

Entsprechendes erhält man für die inverse Fouriertransformation, also die Transformation vom Frequenz- in den Zeitbereich y(tl ) =

n−1 1  · Y( f k ) · e−2πj·k·l/n , n k=0

l = 0, 1, . . . , n − 1.

(4.212)

Die so genannte Fast Fourier Transformation, FFT, ist lediglich ein effizienter Algorithmus zur Berechnung der obigen Reihenglieder. Er ist geeignet, auch komplexe Zeitreihen zu transformieren. FFT-Algorithmen sind Bestandteil jeder Programmbibliothek. Um unliebsame Überraschungen zu vermeiden, ist bei der Anwendung von Fouriertransformationen einiges zu beachten: • Die zu transformierenden diskreten Daten werden entweder durch Messung oder Simulation gewonnen. Dabei müssen die n Zahlen mit konstanter Schrittweite Δt, dem Abtastintervall, weggeschrieben werden. Bevor eine FFT durchgeführt wird, muss die größte Eigenfrequenz f max der Zeitreihe abgeschätzt werden. • Bei der Bemessung der Schrittweite muss das Abtasttheorem nach Shannon berücksichtigt werden. Demnach muss die Abtastfrequenz f a = 1/Δt größer als 2· f max sein. Gute Ergebnisse werden mit f a = 2,5· f max erzielt. Wird das Abtasttheorem verletzt, d.h. die digitalen Daten zu grob abgetastet, so kommt es zu spektralen Überschneidungen. Damit werden Frequenzen falsch wiedergegeben.

4.12 Darstellung im Frequenzbereich

141

• Aus dem Abtasttheorem ergibt sich eine Grenzfrequenz, welche Nyquist-Frequenz genannt wird, f N = 1/2Δt. Die Fouriertransformation ist nur für Frequenzen definiert, welche im Intervall 0 ≤ f ≤ f N liegen. Dies entspricht dem Laufindex 1 ≤ l ≤ n/2 − 1. Für l = 0 ist f = 0. • Die DFT ist ebenso wie die kontinuierliche Fouriertransformation symmetrisch zur Amplitudenachse. Deshalb erstreckt sich der Frequenzbereich von − f N bis + f N . • Im Allgemeinen sind die Amplituden komplex. Daher ist es sinnvoll, den Betrag zu bilden. Eine andere Möglichkeit wäre, die Amplituden so zu normieren, dass der Maximalwert 1 ist.

Beispiel 4.12: Fouriertransformation von harmonischen und periodischen Funktionen. a) Die Funktion y1 (t) = sin(2π · 10 · t) liegt im Intervall 0 ≤ t ≤ 1 s in digitalisierter Form vor. Das Zeitinkrement Δt beträgt 0,01 s. Die Funktion ist im Zeitbereich darzustellen, ebenso das diskrete Frequenzspektrum. Lösung a): Man erkennt natürlich sofort, dass f max = 10 Hz ist. Die Abtastfrequenz f a beträgt 1/0,01 = 100 Hz, die Nyquist-Frequenz f N liegt bei 1/0,02 = 50 Hz. Nach dem Abtasttheorem muss die Abtastfrequenz bei mindestens 2,5· f max = 40 Hz liegen. Wendet man einen FFT-Algorithmus auf die Zeitreihe an, erhält man als Ergebnis einen einzigen Zahlenwert, nämlich f = 10 Hz. b) Zu Testzwecken soll die Funktion y2 (t) = sin ω1 · t + sin ω2 · t + sin ω3 · t + sin ω4 · t mit den Kreisfrequenzen ωk = 2π · f k , k = 1, . . . , 4 und f 1 = 10 Hz, f 2 = 20 Hz, f 3 = 30 Hz, f 4 = 40 Hz einer FFT unterworfen werden. Lösung b): Während man bei der Funktion y1 (t) die Frequenzen leicht auszählen kann, das Ergebnis also sofort kennt, ist es bei dieser Funktion schon schwieriger, aus dem Zeitverlauf auf die Frequenzen zu schließen. Es ist aber der Normalfall, eine gemessene oder durch Simulation gewonnene Zeitreihe, zu analysieren. Die Fouriertransformation der zuvor digitalisierten Zeitfunktion y2 (t) ergibt wieder ein diskretes Frequenzspektrum mit den Frequenzen 10, 20, 30 und 40 Hz. Die Größe der Amplituden, genauer der senkrechten Linien, ist den Amplituden der einzelnen Sinusschwingungen proportional. Üblicherweise verwendet man zur Darstellung des diskreten Frequenzspektrums verfügbare Plottprogramme. Dabei kann es passieren, dass statt senkrechter Linien, spitzwinklige Dreiecke gezeichnet werden. Das darf nicht darüber hinweg täuschen, dass es sich bei harmonischen und periodischen Funktionen ausschließlich um diskrete Linienspektren handelt.

142

4. Grundlagen der Schwingungstechnik

Abbildung 4.46: Diskretes Frequenzspektrum einer harmonischen und einer periodischen Funktion.

Beispiel 4.13: Fouriertransformation von nichtperiodischen und transienten Funktionen. Es wurde bereits auf die Bedeutung der in der Praxis häufig in Erscheinung tretenden einseitig gerichteten Stöße hingewiesen. In der Versuchstechnik werden zu Mess- und Prüfzwecken oft Halbsinusstöße verwendet. Diese werden durch einen Hammer mit angeschlossener Kraftmessdose erzeugt. In der Abbildung 4.47 (oben) ist solch ein idealer Halbsinusstoß dargestellt. Nach (4.204) wird diese Anregungsfunktion durch die Maximalamplitude, hier 1 kN und die Einwirkzeit, hier 100 ms, charakterisiert. Daneben ist dieses Signal im Frequenzbereich dargestellt.

Abbildung 4.47: Darstellung halbsinusförmiger Kraftanregungen im Zeit- und im Frequenzbereich.

Mit derartigen Kraftst¨oßen kann eine Struktur, z.B. Fahrzeugkarosserie, Getriebegeh¨ause u.s.w. zu Schwingungen angeregt werden. Diese werden in Form von Beschleunigungen an verschiedenen Punkten gemessen, Schwingungsantwort. Das Eingangssignal, Hammerschlag und die zugeh¨origen Ausgangssignale, Antwortbeschleunigungen, werden in den Frequenzbereich transformiert. Damit k¨onnen zwischen den Beschleunigungsmesspunkten ¨ und dem Anregungsort komplexe Ubertragungsfunktionen in der Form Ausgangssignal /

4.12 Darstellung im Frequenzbereich

143

¨ Eingangssignal gebildet werden. In jeder Ubertragungsfunktion sind alle mechanischen Eigenschaften der Struktur, also Massen-, D¨ampfungs- und Steifigkeitsverteilung enthal¨ ten. Aufgrund der D¨ampfung sind die Ubertragungsfunktionen komplex. Einzelne Spitzen weisen auf Resonanzstellen hin. Zur Auswertung werden Real- und Imagin¨arteil getrennt u¨ ber der Frequenz dargestellt. Im Falle einer Resonanz ist der Realteil Null und der Imagin¨arteil maximal. Die so festgestellte Eigenfrequenz ist an allen Messstellen erkennbar. Diese Vorgehensweise wird als experimentelle Modalanalyse bezeichnet. Die Anregung durch Hammerschlag ist nur eine, aber sehr einfache und wirkungsvolle, M¨oglichkeit. Die Form, insbesondere die Einwirkdauer des Impulses, kann durch Unterlegen von Dämpfermaterialien gezielt beeinflusst werden. Durch Manipulation ist es möglich, auch geglättete Halbsinusstöße zu erzeugen (Abbildung 4.47 unten).

5

Lineare Schwingungssysteme

Gegenstand dieses Abschnittes sind lineare schwingungsfähige Systeme mit endlich vielen Freiheitsgraden. Auf die Modellbildung wird ebenso eingegangen, wie auf das Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichungen. Die inhaltliche Fragestellung ist die gleiche wie beim Einmassenschwinger, nämlich wie sich ein System mit mehreren Freiheitsgraden, bei unterschiedlichen Anregungen verhält. Besonderes Interesse gilt der homogenen Lösung, liefert sie doch Eigenfrequenzen und die diskreten Eigenschwingungsformen des Systems. Bezüglich der partikulären Lösung werden direkte und modale Methoden behandelt. Die Bezeichnung der Matrizen erfolgt symbolisch sowie in Indexschreibweise. Eine Betrachtung über mechanisch-elektrische Analogien schließt diesen Abschnitt ab.

5.1

Struktur der Bewegungsdifferentialgleichungen

Lineare Systeme werden durch die matrizielle Bewegungsdifferentialgleichung M · x¨ (t) + D · x˙ (t) + S · x(t) = f (t)

(5.1)

oder alternativ in Indexschreibweise m ij · x¨ j (t) + dij · x˙ j (t) + sij · x j (t) = f i (t),

i, j = 1, . . . , n

(5.2)

beschrieben. Darin enthält x(t) die physikalischen Koordinaten, das sind im Allgemeinen die n linear unabhängigen Freiheitsgrade des Systems. Die zeitlichen Ableitungen davon, bezeichnet man als Geschwindigkeits- bzw. Beschleunigungsvektor. Dies sind natürlich keine Vektoren im Sinne der Mathematik, sondern Größen, die in einer Spaltenmatrix zusammengefasst sind. M ist die Massenmatrix der Ordnung n × n. Sie ist symmetrisch und positiv definit. Handelt es sich um ein Schwingungssystem, welches nur aus diskreten Einzelmassen oder Massenträgheitsmomenten besteht, so ist die Massenmatrix nur diagonal besetzt. S kennzeichnet die Steifigkeitsmatrix, ebenfalls der Ordnung n × n. Sie enthält die Steifigkeiten. Sie ist stets symmetrisch. Ist das System gefesselt, d.h. elastisch mit dem Fundament verbunden, dann ist die Steifigkeitsmatrix ebenfalls positiv definit. Enthält das Schwingungssystem Starrkörperfreiheitsgrade, wie das beispielsweise bei einer rotierenden Welle oder bei einem Flugkörper der Fall ist, dann ist die Steifigkeitsmatrix nicht positiv definit. D enthält die viskosen Einzeldämpfungen und heißt dementsprechend Dämpfungsmatrix. Sie ist symmetrisch. Steifigkeits- und Dämpfungsmatrix sind tridiagonal, d.h. sie sind nur auf einem diagonal verlaufenden Band besetzt. Das Band enthält lediglich drei Elemente.

146

5. Lineare Schwingungssysteme

f (t) enthält die Anregungen bzw. Störgrößen. Dabei handelt es sich um Kraft- oder Fußpunktanregungen oder um beides. Außerdem kann dieser Vektor noch die Eigengewichte der einzelnen Körper enthalten. Zur vollständigen Beschreibung gehören noch Anfangsbedingungen. Anfangsauslenkungen und Anfangsgeschwindigkeiten zum Zeitpunkt des Schwingungsbeginns werden ebenfalls in Vektoren zusammengefasst x(t = 0) = x0 , x˙ (t = 0) = v0 .

(5.3) (5.4)

Man erkennt, dass das System mit einem Freiheitsgrad, welches abkürzend als Einmassenschwinger bezeichnet wurde, als Sonderfall enthalten ist. Im Weiteren wird man die Erkenntnisse, das Verhalten des Einmassenschwingers betreffend, zu schätzen wissen. Für weitergehende Untersuchungen wie Eigenwertberechnungen und numerische Simulation, ist es nützlich, das DGL-System (5.1) in ein System erster Ordnung zu transformieren. In den vorangegangenen Abschnitten wurde davon bereits Gebrauch gemacht. Zunächst wird (5.1) von links mit der inversen Massenmatrix multipliziert x¨ + M(−1) · D · x˙ + M(−1) · S · x = M(−1) · f (t).

(5.5)

Dann erfolgt die Transformation in ein System erster Ordnung x˙ = v, v˙ = −M(−1) · D · v − M(−1) · S · x + M(−1) · f (t). Das entstandene DGL-System erster Ordnung wird erneut matriziell zusammengefasst







0 I 0 x˙ x = · + . v˙ v −M(−1) · S −M(−1) · D M(−1) · f (t)

(5.6)

(5.7)

Zu beachten ist, dass jedes Matrixelement seinerseits eine (n × n)-Matrix ist. Damit entsteht ein DGL-System erster Ordnung der Größe 2n × 2n. Man nennt diese Formulierung auch Darstellung im Zustandsraum. Formal schreibt man abkürzend z˙ = A · z + y.

(5.8)

Die Formulierungen (5.1) und (5.8) sind gleichwertig. Allerdings ist die Hypermatrix A nicht symmetrisch. Diese Darstellung bzw. Transformation ist stets dann erforderlich, wenn eine numerische Simulation durchgeführt werden soll. Es wurde schon darauf hingewiesen, dass die meisten Algorithmen zur Lösung von Differentialgleichungen, für Systeme erster Ordnung entwickelt wurden. Die erste Aufgabe besteht darin, für eine konkrete Problemstellung ein geeignetes Schwingungsmodell zu entwickeln und dafür die Bewegungsgleichungen aufzustellen. Da jedes lineare System auf obige Differentialgleichung führt, müssen also die Matrizen, dem jeweiligen Problem entsprechend, aufgestellt werden.

5.2 Schwingerkette

5.2

147

Schwingerkette

Ein hintereinandergeschaltetes System, bestehend aus Einzelmassen, Federn und viskosen Dämpfern, bezeichnet man als Schwingerkette. Dabei kann es sich auch um Massenträgheitsmomente, Drehfedern und gegebenenfalls um Drehdämpfer handeln. An jeder Einzelmasse kann eine zeitlich veränderliche Kraft angreifen, zusätzliche Fußpunktanregungen an den Enden wären denkbar. x1

x3

x2

c1

c2

m3

m2

m1

r3

r2

r1

c4

c3

r4

μ=0

Abbildung 5.1: Schwingerkette, bestehend aus drei gekoppelten Massen.

5.2.1

Bewegungsgleichungen

Die Differentialgleichungen für die Bewegung der einzelnen Massen können durch Anwenden des Schwerpunktsatzes oder des D’Alembertschen Prinzips in der Lagrangeschen Fassung aufgestellt werden. Im folgenden Beispiel werden beide Methoden angewandt. Beispiel 5.1: Bewegungsgleichungen für eine Schwingerkette mit drei Freiheitsgraden. Für die oben dargestellte Schwingerkette sind die Bewegungsdifferentialgleichungen aufzustellen und in Matrizen zusammenzufassen. Geg.: m j , c j , r j , FA j (t) = F0 j · cos Ω j t , j = 1, 2, 3. Lösung: Die Bezeichnungen haben dieselbe Bedeutung wie beim System mit einem Freiheitsgrad. Zur Übung werden die Gleichungen nach Newton und dann nach D’Alembert aufgestellt. a) Aufstellen der Gleichungen mit dem Schwerpunktsatz: Die Massen werden freigeschnitten, die Rückstellkräfte angetragen und die Schwerpunktsätze formuliert. Lenkt man m 1 um den Betrag x1 aus, verschiebt sich m 2 um den Betrag x2 . Folglich greifen an der Masse m 1 die Rückstellkräfte F1 (t) = c1 · x1 (t) + r1 · x˙1 (t), F12 (t) = c2 · [x1 (t) − x2 (t)] + r2 · [x˙1 (t) − x˙2 (t)]

(5.9) (5.10)

an. Diese wirken stets der Bewegungsrichtung entgegen. Wird jetzt m 2 um den Betrag x2 ausgelenkt, verschieben sich m 1 und m 3 um x1 bzw. x3 . Damit lauten die an der Masse m 2

148

5. Lineare Schwingungssysteme x1

F1 m1

x2

F12

x3 F23

m2

F3 m3

Abbildung 5.2: Rückstellkräfte an der Schwingerkette.

wirkenden Rückstellkräfte F21 (t) = c2 · [x2 (t) − x1 (t)] + r2 · [x˙2 (t) − x˙1 (t)],

(5.11)

F23 (t) = c3 · [x2 (t) − x3 (t)] + r3 · [x˙2 (t) − x˙3 (t)].

(5.12)

Man erkennt, dass nach dem Newton’schen Reaktionsprinzip F21 = – F12 ist. Dies gilt natürlich auch für F32 = – F23 . Fehlt noch F3 F3 (t) = c4 · x3 (t) + r4 · x˙3 (t).

(5.13)

Die Anwendung des Schwerpunktsatzes liefert die Bewegungsgleichungen für die Massen m 1 · x¨1 (t) = −F1 (t) − F12 (t) + F01 · cos Ω1 t, m 2 · x¨2 (t) = −F21 (t) − F23 (t) + F02 · cos Ω2 t, m 3 · x¨3 (t) = −F3 (t) − F32 (t) + F03 · cos Ω3 t.

(5.14)

m 1 · x¨1 (t) = −c1 · x1 (t) − c2 · [x1 (t) − x2 (t)] − r1 · x˙1 (t) − r2 · [x˙1 (t) − x˙2 (t)] + F01 · cos Ω1 t, m 2 · x¨2 (t) = −c2 · [x2 (t) − x1 (t)] − c3 · [x2 (t) − x3 (t)] − r2 · [x˙2 (t) − x˙1 (t)] − r3 · [x˙2 (t) − x˙3 (t)] + F02 · cos Ω2 t, m 3 · x¨3 (t) = −c3 · [x3 (t) − x2 (t)] − c4 · x3 (t) − r3 · [x˙3 (t) − x˙2 (t)] − r4 · x˙3 (t) + F03 · cos Ω3 t.

(5.15)

Massen, viskose Dämpfungen und Steifigkeiten werden in Matrizen zusammengefasst. Damit stellt sich das obige gekoppelte Differentialgleichungssystem zweiter Ordnung folgendermaßen dar ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ m1 0 0 x¨1 r1 + r2 −r2 0 x˙1 ⎝ 0 m2 0 ⎠ · ⎝ x¨2 ⎠ + ⎝ −r2 r2 + r3 −r3 ⎠ · ⎝ x˙2 ⎠ + 0 0 m3 x¨3 0 −r3 r3 + r4 x˙3 ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ c1 + c2 −c2 0 x1 F01 · cos Ω1 t ⎝ −c2 c2 + c3 −c3 ⎠ · ⎝ x2 ⎠ = ⎝ F02 · cos Ω2 t ⎠ . (5.16) 0 −c3 c3 + c4 x3 F03 · cos Ω3 t Diese matrizielle Darstellung entspricht der Gleichung (5.1) bzw. (5.2) für n = 3.

5.3 Verzweigte Systeme

149

b) Aufstellen der Gleichungen mit dem D’Alembertschen Prinzip in der Lagrangeschen Fassung: Den realen Auslenkungen xi werden die virtuellen Verschiebungen δxi zugeordnet. Die Rückstellkräfte werden als äußere Kräfte aufgefasst. Die virtuellen Arbeiten der Kräfte F1 und F3 sind einfach zu formulieren. Für die Arbeiten der Koppelkräfte können F12 oder F21 und F23 oder F32 verwendet werden. Somit liefert das Prinzip δ A(e) = 0 = −m 1 · x¨1 · δx1 − F12 · (δx1 − δx2 ) + F01 · cos Ω1 t · δx1 − F1 · δx1 − m 2 · x¨2 · δx2 − F23 · (δx2 − δx3 ) + F02 · cos Ω2 t · δx2 − m 3 · x¨3 · δx3 − F3 · δx3 + F03 · cos Ω3 t · δx3 .

(5.17)

Geordnet nach den beliebigen und linear unabhängigen virtuellen Verschiebungen 0 = δx1 · (−m 1 · x¨1 − F1 − F12 + F01 · cos Ω1 t) + δx2 · (−m 2 · x¨2 + F12 − F23 + F02 · cos Ω2 t) + δx3 · (−m 3 · x¨3 + F23 − F3 + F03 · cos Ω3 t).

(5.18)

Jeder Klammerausdruck für sich muss Null sein. Damit erhält man das DGL-System m 1 · x¨1 + F1 + F12 = F01 · cos Ω1 t, m 2 · x¨2 − F12 + F23 = F02 · cos Ω2 t, m 3 · x¨3 + F3 − F23 = F03 · cos Ω3 t.

(5.19)

Resubstituiert man die Rückstellkräfte und ordnet das System, so erhält man wieder das obige Differentialgleichungssystem. Möchte man Schwingerketten mit höheren Freiheitsgraden untersuchen, ist es nicht erforderlich, dafür die Bewegungsgleichungen erneut aufzustellen. Anhand des strukturellen Aufbaus der Systemmatrizen erkennt man die logische Fortentwicklung für mehr als 3 Freiheitsgrade.

5.3

Verzweigte Systeme

Der Normalfall schwingungsfähiger Systeme mit mehreren Freiheitsgraden ist meist beliebig strukturiert. Hängt es doch von der jeweiligen Modellbildung einer realen Problemstellung ab. In der Regel muss für jedes Schwingungsmodell das Differentialgleichungssystem neu aufgestellt werden. Am formalen Aufbau der matriziellen Bewegungsgleichung (5.1) ändert sich jedoch nichts, wie das nächste Beispiel zeigt.

150

5. Lineare Schwingungssysteme

Beispiel 5.2: Vereinfachtes Fahrzeugschwingungsmodell. Das dargestellte Fahrzeugmodell ist geeignet, das Hub- und Nickschwingungsverhalten abzuschätzen. Aus vorangegangenen Berechnungen wurden Dämpfungs- und Steifigkeitsparameter für den Aufbau und die Reifen bestimmt. Für das vereinfachte Modell sollen die Bewegungsdifferentialgleichungen aufgestellt werden. Geg.: m, J (S) , m Rv , m Rh , a, b, cv , ch , rv , rh , c Rv , c Rh , r Rv , r Rh , u v (t), u h (t). a m,J (S)

b

ψ

A rh

B ch

cv

m Rh y

rv

uh

r Rv

B y

B'

A' yv

m Rv c Rv

ψ

y

r Rh c Rh

h

S

A

S

y

h

yv

uv

Abbildung 5.3: Fahrzeugschwingungsmodell. Verschiebungen der Anlenkpunkte.

Lösung: Das Modell besteht aus der gefederten Masse m sowie den Radmassen m Rv und m Rh . Es handelt sich um ein so genanntes Einspurmodell, d.h. um ein halbes Fahrzeug. Betrachtet wird nur die Vertikaldynamik des Fahrzeuges, ausgedrückt durch Hub- und Nickbewegungen. Bei einer Fußpunktanregung, beispielsweise realisiert durch Überfahren von Bodenwellen, kann sich dieser Schwingungszustand einstellen. Das System hat vier Freiheitsgrade, die Auslenkung y(t), die Hubbewegung, den Nickwinkel ψ(t), sowie die Reifeneinfederungen yv (t) und yh (t). Diese Verschiebungen werden als klein vorausgesetzt. Zunächst müssen die kinematischen Beziehungen aufgestellt werden. Bei einer Auslenkung y(t) und einer Drehung ψ(t) um den Schwerpunkt der gefederten Masse, erfahren die Anlenkpunkte A und B die Verschiebungen u A (t) = y(t) + a · sin ψ(t) = y(t) + a · ψ(t),

(5.20)

u B (t) = y(t) − b · sin ψ(t) = y(t) − b · ψ(t).

(5.21)

5.3 Verzweigte Systeme

m,J

151

(S)

S B A mg FA m Rh FRh

FB m Rv FRv

Abbildung 5.4: Rückstellkräfte.

Die Rückstellkräfte wirken den Verschiebungen entgegen. Mit Berücksichtigung der Reifeneinfederungen stellen sich die Kräfte FA = ch · [y(t) + a · ψ(t) − yh (t)] + ˙ − y˙h (t)] rh · [ y(t) ˙ + a · ψ(t)

(5.22)

und FB = cv · [y(t) − b · ψ(t) − yv (t)] + ˙ − y˙v (t)] rv · [ y(t) ˙ − b · ψ(t)

(5.23)

ein. Neben diesen wirken an den Rädern noch die elastischen Rückstellkräfte der Reifen. Unter Beachtung der Fußpunktanregungen lauten die Radaufstandskräfte FRv = c Rv · [yv (t) − u v (t)] + r Rv · [ y˙v (t) − u˙ v (t)],

(5.24)

FRh = c Rh · [yh (t) − u h (t)] + r Rh · [ y˙h (t) − u˙ h (t)].

(5.25)

Damit können die Schwerpunktsätze sowie der Drallsatz formuliert werden m · y(t) ¨ = m · g − F A − FB , ¨ = −FA · a · cos ψ + FB · b · cos ψ J (S) · ψ(t) = −FA · a + FB · b,

(5.26)

(5.27)

m Rv · y¨v (t) = m Rv · g + FB − FRv ,

(5.28)

m Rh · y¨h (t) = m Rh · g + FA − FRh .

(5.29)

152

5. Lineare Schwingungssysteme

Damit erhält man die vollständigen Bewegungsgleichungen, ausgedrückt durch die Größen Vertikal- oder Hubbewegung des Aufbaus: m · y¨ + (rv + rh ) · y˙ + (a · rh − b · rv ) · ψ˙ − rv · y˙v − rh · y˙h + (cv + ch ) · y + (a · ch − b · cv ) · ψ − cv · yv − ch · yh = m · g,

(5.30)

Nickbewegung des Aufbaus: J (S) · ψ¨ + (a2 · rh + b2 · rv ) · ψ˙ + (a · rh − b · rv ) · y˙ + b · rv · y˙v − a · rh · y˙h + (a2 · ch + b2 · cv ) · ψ + (a · ch − b · cv ) · y + b · cv · yv − a · ch · yh = 0, (5.31) Vertikal- oder Hubbewegung der Räder: m Rv · y¨v + (r Rv + rv ) · y˙v + b · rv · ψ˙ − rv · y˙ + (c Rv + cv ) · yv + b · cv · ψ − cv · y = r Rv · u˙ v (t) + c Rv · u v (t),

(5.32)

m Rh · y¨h + (r Rh + rh ) · y˙h − a · rh · ψ˙ − rh · y˙ + (c Rh + ch ) · yh − a · ch · ψ − ch · y = r Rh · u˙ h (t) + c Rh · u h (t).

(5.33)

Eine Weiterverarbeitung dieser vier Gleichungen in Koordinatenschreibweise ist nicht sinnvoll. Deshalb wird eine Darstellung in Matrixform angestrebt. Der Lagevektor x, in dem alle Fahrzeugbewegungen zusammengefasst sind sowie dessen zeitliche Ableitungen, lassen sich folgendermaßen schreiben xt = x˙ t = x¨ t =

  

ψ(t)

y(t) y˙

ψ˙

y˙v

y¨

ψ¨

y¨v

yv (t) yh (t)  y˙h ,  y¨h .



,

(5.34) (5.35) (5.36)

Ebenso werden die Koeffizienten der Beschleunigungen in der Massenmatrix, der Geschwindigkeiten in der Dämpfungsmatrix und die Beiwerte der Verschiebungen in der Steifigkeitsmatrix angeordnet. Massenmatrix: ⎛

m ⎜ 0 M=⎝ 0 0

0 J

(S)

0 0

0 0 m Rv 0

⎞ 0 0 ⎟ 0 ⎠ m Rh

(5.37)

5.3 Verzweigte Systeme

153

Dämpfungsmatrix: ⎛

rv + rh ⎜ a · rh − b · rv D=⎝ −rv −rh

a · rh − b · rv a2 · rh + b2 · rv b · rv −a · rh

−rv b · rv rv + r Rv 0

⎞ −rh −a · rh ⎟ ⎠ 0 rh + r Rh

(5.38)

a · ch − b · cv a2 · ch + b2 · cv b · cv −a · ch

−cv b · cv cv + c Rv 0

⎞ −ch −a · ch ⎟ ⎠ 0 ch + c Rh .

(5.39)

Steifigkeitsmatrix: ⎛

cv + ch ⎜ a · ch − b · cv S=⎝ −cv −ch

Im Vektor der rechten Seite werden die Eigengewichte und die Fußpunktanregungen zusammengefasst. Eigengewichte: f tG =



m

0

m Rv

m Rh



· g.

(5.40)

Fußpunktanregungen: f tu =



0

0

c Rv · u v (t) + r Rv · u˙ v (t)

f = f G + f u.

c Rh · u h (t) + r Rh · u˙ h (t)



,

(5.41) (5.42)

Damit lassen sich die Bewegungsgleichungen wieder durch (5.1) zusammenfassend darstellen M · x¨ (t) + D · x˙ (t) + S · x(t) = f (t).

(5.43)

Die Eigenschaften des Systems werden durch die Massen, Steifigkeiten und Dämpfungen beschrieben. Von ihnen hängt das Eigenschwingungsverhalten sowie die Reaktion auf Störungen von außen ab. Ist also der erste wichtige Schritt, das Aufstellen der Bewegungsgleichungen, erfolgt, kann das Schwingungsverhalten des Systems untersucht werden. Von größter Bedeutung sind die Eigenfrequenzen des Systems. Sie ergeben sich aus der homogenen Schwingungsgleichung. Bei bekannter Anregung, beispielsweise in Form von Antriebsdrehzahlen, zeigt die Lage der Eigenfrequenzen ob Resonanzzustände eintreten können. Es ist zweckmäßig, zwischen freien und gedämpften Schwingungen zu unterscheiden. Da es im Allgemeinen sehr aufwändig ist, die Strukturdämpfung einer Welle, eines Tragflügels oder

154

5. Lineare Schwingungssysteme

eines Maschinenfundaments zu quantifizieren, wird die Dämpfung zunächst vernachlässigt. Durch spezielle Ansätze gelangt man zu brauchbaren Abschätzungen des Dämpfungsverhaltens und somit zu den Eigenfrequenzen des gedämpften Systems. Bezüglich der Anregung spielen die harmonischen Funktionen wieder eine besondere Rolle, da sich die Schwingungsantwort des Systems anschaulich darstellt. Bei beliebigen Anregungen, beispielsweise stoßartigen Belastungen, erfolgt die Schwingungsanalyse numerisch. Dies gilt natürlich auch für Systeme mit mehr als zwei Freiheitsgraden. Im Weiteren wird auf diese Dinge näher eingegangen.

5.4

Eigenschwingungsverhalten

Wie beim Einmassenschwinger erhält man die Eigenschwingungen aus der homogenen Differentialgleichung M · x¨ (t) + D · x˙ (t) + S · x(t) = 0, m ij · x¨ j (t) + dij · x˙ j (t) + sij · x j (t) = 0.

(5.44)

Es ist zweckmäßig, eine Unterteilung in ungedämpfte und gedämpfte Eigenschwingungen vorzunehmen. Im ersten Fall sind die Eigenfrequenzen und die Eigenschwingungsformen reell, sonst reell oder konjugiert komplex.

5.4.1

Ungedämpfte Eigenschwingungen

Die Eigenschaften des schwingungsfähigen Systems werden beschrieben durch deren Massenund Steifigkeitsverteilung. Da die Dämpfung nicht enthalten ist, verbleibt von obiger Gleichung M · x¨ (t) + S · x(t) = 0, m ij · x¨ j (t) + sij · x j (t) = 0.

(5.45)

Man wählt einen Eigenschwingungsansatz x = xˆ · ejωt , x j = xˆ j · ejωt ,

(5.46)

differenziert diesen zweimal und setzt ihn in die homogene Differentialgleichung ein (−ω2 · M + S) · xˆ · ejωt = 0, (−ω2 · m ij + sij ) · xˆ j · ejωt = 0. Darin sind xˆ bzw. xˆ j der Eigenvektor und ω die Eigenkreisfrequenz(en).

(5.47)

5.4 Eigenschwingungsverhalten

155

Die Exponentialfunktion ist ungleich Null, folglich muss das homogene Gleichungssystem (−ω2 · M + S) · xˆ = 0, (−ω2 · m ij + sij ) · xˆ j = 0,

(5.48)

näher untersucht werden. Ein homogenes lineares Gleichungssystem hat nur dann nichttriviale, d.h. von Null verschiedene Lösungen, falls die Koeffizientendeterminante Null ist | (−ω2 · M + S) | = 0, | (−ω2 · m ij + sij ) | = 0.

(5.49)

Man nennt λ = ω2 , Eigenwert. Demnach führt die Ausrechnung der Determinante | (−λ · M + S) | = Pn (λ) = 0, | (−λ · m ij + sij ) | = Pn (λ) = 0,

(5.50)

auf ein charakteristisches Polynom n-ter Ordnung. Dessen Nullstellen, auch als Wurzeln bezeichnet, sind die Eigenwerte des Problems. Aufgrund der Eigenschaften der Matrizen sind diese stets reell. Sind die Eigenwerte bekannt, lässt sich aus dem homogenen Gleichungssystem (5.48), zu jeder Eigenkreisfrequenz ein zugehöriger Eigenvektor ermitteln. Die Eigenvektoren, als Lösung eines homogenen Gleichungssystems, können nur bis auf einen konstanten, aber beliebigen Faktor bestimmt werden. Für Systeme mit zwei Freiheitsgraden ist eine Ermittlung der Eigenfrequenzen und der Eigenvektoren noch von Hand möglich. Für die in Abbildung 5.1 dargestellte Schwingerkette lautet die Bewegungsgleichung für zwei Freiheitsgrade 







0 x¨1 s11 s12 x1 m1 · + · = 0. (5.51) 0 m2 x¨2 s12 s22 x2 Dabei wurden die Steifigkeiten zusammengefasst, s11 = c1 + c2 , s22 = c2 + c3 , sowie s12 = – c2 . Das homogene Gleichungssystem nach (5.48) lautet damit 



s12 xˆ1 s11 − λ · m 1 · = 0. s12 s22 − λ · m 2 xˆ2

(5.52)

Das charakteristische Polynom zweiter Ordnung aus (5.50) 2 P2 (λ) = (s11 − λ · m 1 ) · (s22 − λ · m 2 ) − s12 = 0,

(5.53)

hat die Wurzeln λ1,2 =

 2 2 (s11 m 2 + s22 m 1 )+ − (s11 m 2 + s22 m 1 ) − 4m 1 m 2 (s11 s22 − s12 ) 2m 1 m 2

.

(5.54)

156

5. Lineare Schwingungssysteme

Aus diesen Eigenwerten entstehen die beiden Eigenkreisfrequenzen (nur positive Werte sind technisch sinnvoll)  ω1 = + λ1  ω2 = + λ2 .

(5.55)

Zu diesen Eigenkreisfrequenzen gehören systemspezifische Auslenkungen, welche durch die jeweiligen Eigenvektoren geprägt sind. Zu deren Ermittlung werden nacheinander die Eigenkreisfrequenzen in das homogene Gleichungssystem (5.48) eingesetzt. Da die Eigenvektoren nur bis auf einen konstanten Faktor bestimmbar sind, kann eine Komponente beliebig, z.B. mit 1, vorgegeben werden. Eigenvektor xˆ1 zum Eigenwert λ1 : Mit λ1 = ω21 ist das homogene System zu lösen





 −m 1 · λ1 + s11 s12 1 0 · = . s12 −λ1 · m 2 + s22 xˆ12 0

(5.56)

Da die Komponente xˆ11 gleich 1 gesetzt wurde, erhält man für xˆ12 =

m 1 · λ1 − s11 s12 = . s12 m 2 · λ1 − s22

(5.57)

Eigenvektor xˆ2 zum Eigenwert λ2 : Mit λ2 = ω22 erhält man aus





 −m 1 · λ2 + s11 s12 1 0 · = s12 −λ2 · m 2 + s22 xˆ22 0

(5.58)

die zweite Komponente des Eigenvektors xˆ2 , nämlich xˆ22 =

m 1 · λ2 − s11 s12 = . s12 m 2 · λ2 − s22

(5.59)

Mit den Eigenvektoren erhält man eine Vorstellung davon, wie das System in seiner jeweiligen Eigenfrequenz schwingt. Im Weiteren ist es vorteilhaft, die Eigenvektoren in einer Matrix, der Modalmatrix , anzuordnen

 xˆ11 xˆ21 Ψij = . (5.60) xˆ12 xˆ22 Sind also Eigenkreisfrequenzen und Eigenvektoren ermittelt, erhält man das Eigenschwingungsverhalten aus Gl. (5.48). Wie beim System mit einem Freiheitsgrad wird die komplexe

5.4 Eigenschwingungsverhalten

157

Exponentialfunktion durch Sinus- und Kosinusanteile ersetzt und mit freien Konstanten a j und b j , die an die Anfangsbedingungen anzupassen sind, versehen. Das bedeutet, jeder Eigenvektor wird mit einer Linearkombination von Sinus- und Kosinusfunktionen multipliziert. Diese können in einer Spaltenmatrix der Länge n zusammengefasst werden u j (t) = a( j) · cos ω( j) t + b( j) · sin ω( j) t.

(5.61)

Es wird vereinbart, über die in Klammern stehenden Indizes nicht zu summieren. Damit lautet die Eigenschwingung der i-ten Masse xi (t) = Ψij · u j (t).

(5.62)

Es fehlen noch die Anfangsbedingungen. Zum Zeitpunkt t = 0 können sowohl Anfangsauslenkungen als auch Anfangsgeschwindigkeiten vorhanden sein xi (t = 0) = x0i x˙i (t = 0) = v0i

= Ψij · a( j) , = Ψij · b( j) · ω( j) .

(5.63) (5.64)

Dies sind lineare Gleichungssysteme für die n Konstanten. Mit der inversen Modalmatrix  (−1) lassen sich diese berechnen a j = Ψ jk(−1) · x0k , bj =

1 · Ψ((−1) j)k · v0k . ω( j)

(5.65) (5.66)

Die harmonischen Funktionen können wieder zusammengefasst werden. Alternativ ergibt sich dann, mit neuen Konstanten und Phasenwinkeln, folgende Möglichkeit der Darstellung desselben Sachverhaltes  a2j + b2j , aj φ j = arctan , bj xi (t) = Ψij · c( j) · sin(ω( j) t + φ( j) ). cj =

(5.67) (5.68) (5.69)

Diese Darstellung gilt für lineare Systeme mit n Freiheitsgraden. Speziell für zwei Freiheitsgrade erhält man x1 (t) = xˆ11 · c1 · sin(ω1 t + φ1 ) + xˆ21 · c2 · sin(ω2 t + φ2 ), x2 (t) = xˆ12 · c1 · sin(ω1 t + φ1 ) + xˆ22 · c2 · sin(ω2 t + φ2 ).

(5.70)

158

5. Lineare Schwingungssysteme

Beispiel 5.3: Eigenschwingungen eines gekoppelten Pendelsystems. Das dargestellte System besteht aus zwei drehbar gelagerten Stäben, die mit einer auf Zug und Druck belastbaren Feder gekoppelt sind. Für kleine Auslenkungen sind die Eigenfrequenzen und die Eigenvektoren zu berechnen. Außerdem ist das Eigenschwingungsverhalten bei einer Anfangsauslenkung eines Pendels von 10◦ zu untersuchen. Geg.: m 1 = m 2 = 1 kg, l = 0,5 m, a = 0,1 m, c = 200 N/m, ϕ10 = 10◦ . Lösung: Das System hat zwei Freiheitsgrade, die Drehwinkel ϕ1 und ϕ2 . Zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen wird für jedes Pendel der Drallsatz bezüglich des Drehpunktes formuliert. Eine Auslenkung der Pendel um die Drehwinkel ϕ1 und ϕ2 , ruft die elastische Rückstellkraft F = a · (sin ϕ1 − sin ϕ2 ) · c

(5.71)

hervor. Jeweils in Stabmitte greift die Gewichtskraft an, welche ebenfalls eine Rückstellkraft darstellt. Mit den Massenträgheitsmomenten bezüglich der Drehpunkte J1(D) = m 1 · l 2 /3 und J2(D) = m 2 · l 2 /3, lauten die Drallsätze J1(D) · ϕ¨1 = −F · a · cos ϕ1 − m 1 · g · l/2 · sin ϕ1 ,

(5.72)

J2(D) · ϕ¨2 = +F · a · cos ϕ2 − m 2 · g · l/2 · sin ϕ2

(5.73)

und daraus die gekoppelten nichtlinearen Schwingungsgleichungen 1 J1(D) · ϕ¨1 + c · a2 · (sin ϕ1 − sin ϕ2 ) · cos ϕ1 + m 1 g · l · sin ϕ1 = 0, 2 1 (D) 2 J2 · ϕ¨2 + c · a · (sin ϕ2 − sin ϕ1 ) · cos ϕ2 + m 2 g · l · sin ϕ2 = 0. 2 Für kleine Auslenkungen darf um die Gleichgewichtslage linearisiert werden.

ϕ1

ϕ2

a

c l

F m1

m2

s1 m1 g

s2 m2 g

Abbildung 5.5: Elastisch gekoppeltes Pendelsystem. Rückstellkräfte.

(5.74)

5.4 Eigenschwingungsverhalten

159 10

φ2 [ Grad ] –––>

φ [ Grad ] –––>

10 5

1

0 –5

–10

0

5

10 Zeit [ s ] –––>

15

Ω [ rad/s ] –––>

1 0 –1

2

Ω1 [ rad/s ] –––>

–5 0

5

10 Zeit [ s ] –––>

15

20

0

5

10 Zeit [ s ] –––>

15

20

–2 –10

–5

0 φ2 [ Grad ] –––>

5

10

2

0

5

10 Zeit [ s ] –––>

15

1 0 –1 –2

20

2

Ω [ rad/s ] –––>

2 1 0 –1

2

Ω1 [ rad/s ] –––>

0

–10

20

2

–2

5

–2 –10

–5

0 φ1 [ Grad ] –––>

5

10

1 0 –1

Abbildung 5.6: Eigenschwingungen des gekoppelten Pendelsystems.

Somit ergibt sich in Matrizenschreibweise m · l2 3 = 0.



1 0

0 1



ϕ¨ 1 ϕ¨ 2



+

c · a2 + m · g · l/2 −c · a2

−c · a2 2 c · a + m · g · l/2



ϕ1 ϕ2



(5.75)

Mit den gegebenen Daten erhält man für die Matrixelemente m 11 = m 22 = 0,0833 kgm2 , s11 = s22 = 4,4525 Nm und s12 = −2 Nm. Mit (5.48) bzw. (5.49) erhält man die Eigenfrequenzen, ω1 = 5,4 1/s, f1 = 0,86 Hz und ω2 = 8,8 1/s, f 2 = 1,4 Hz. Die Komponenten der Eigenvektoren berechnen sich aus (5.48), xˆ1t j = [1 1], xˆ2t j = [1 −1]. Sie werden in der Modalmatrix  zusammengefasst. Anhand der Eigenvektoren erkennt man: in der 1. Eigenfrequenz, bei 0,86 Hz, schwingen beide Stäbe gleichphasig, bei 1,4 Hz, gegenphasig.

160

5. Lineare Schwingungssysteme

Zur Ermittlung des Zeitverlaufes der Eigenschwingungen werden zunächst die Konstanten bestimmt. Für n = 2 kann die Modalmatrix leicht von Hand invertiert werden



 1 1 xˆ22 −xˆ21 1 1 (−1)  = · = · . (5.76) −xˆ12 xˆ11 1 −1 xˆ11 · xˆ22 − xˆ12 · xˆ21 2 Zur Kontrolle wird geprüft, ob Ψij · Ψ jk(−1) = δik ist. Wären alle möglichen Anfangsbedingungen vorgegeben, ergäben sich folgende Konstanten







 1 1 a1 1 1 ϕ01 ϕ01 + ϕ02 = · · = · , (5.77) a2 1 −1 ϕ02 ϕ01 − ϕ02 2 2

b1 b2



1 = · 2

!

(ϕ˙ 01 + ϕ˙ 02 )/ω1 (ϕ˙ 01 − ϕ˙ 02 )/ω2

" .

(5.78)

Da nur der erste Stab mit einem Anfangsdrehwinkel ausgelenkt wird, vereinfachen sich die Konstanten, a1 = a2 = ϕ01 /2 = c1 = c2 und b1 = b2 = 0. Für b j → 0 sind die Phasenwinkel φ1 = φ2 = π/2. Damit stellen sich für das Pendelsystem folgende Eigenschwingungen ein ϕ1 (t) =

1 ϕ01 · [sin(5,4t + π/2) + sin(8,8t + π/2)] , 2

ϕ2 (t) =

1 ϕ01 · [sin(5,4t + π/2) − sin(8,8t + π/2)] . 2

5.4.2

(5.79)

Gedämpfte Eigenschwingungen

Das Schwingungsverhalten wird beschrieben durch die homogene DGL (5.1) M · x¨ (t) + D · x˙ (t) + S · x(t) = 0, m ij · x¨ j (t) + dij · x˙ j (t) + sij · x j (t) = 0.

(5.80)

Der reelle Ansatz x j = xˆ j · eλ·t

(5.81)

führt zu dem homogenen Gleichungssystem   m ij · λ2 + dij · λ + sij · xˆ j = 0,

(5.82)

welches nur dann nichttriviale Lösungen hat, falls die Koeffizientendeterminante verschwindet   | m ij · λ2 + dij · λ + sij | = 0.

(5.83)

5.4 Eigenschwingungsverhalten

161

Daraus ergibt sich wieder ein charakteristisches Polynom, allerdings der Ordnung 2n P2n (λ) = a0 + a1 · λ + a2 · λ2 + · · · + a2n · λ2n = 0.

(5.84)

Aufgrund der Eigenschaften der Systemmatrizen hat das Polynom genau 2n Nullstellen, die konjugiert komplex oder reell sein können. Im Falle schwacher Dämpfung sind die Eigenwerte λ j , j = 1, . . . 2n, konjugiert komplex. Zur Erinnerung: beim schwach gedämpften System mit einem Freiheitsgrad lauten die Eigenwerte, vgl. (4.18)  2 λ1,2 = −D · ω0 + −j · ω0 1 − D = −δ+ −j · ω D . Bei schwach gedämpften Systemen mit mehreren Freiheitsgraden, ergeben sich die konjugiert komplexen Eigenwerte λk in der Form λk = {λk } + j · {λk } λk = −Dk · ω0k + j · ω Dk λk+1 = −Dk · ω0k − j · ω Dk .

(5.85) (5.86) (5.87)

Die Realteile der Eigenwerte, die Abklingkonstanten, sind negativ, folglich klingen die Eigenschwingungen ab. Die Imaginärteile können als die Eigenkreisfrequenzen des gedämpften Systems interpretiert werden. Aus den k-ten bzw. (k+1)-ten Eigenwerten erhält man Eigenkreisfrequenz und Dämpfungsgrad ω0k = ω0k+1 =

 2 {λk } + 2 {λk },

{λk } . Dk = −  2 {λk } + 2 {λk }

(5.88) (5.89)

Beispiel 5.4: Eigenschwingungsverhalten von zwei gekoppelten Balken. Zwei drehbar gelagerte starre Balken sind miteinander elastisch verbunden. Zu bestimmen sind die Eigenfrequenzen sowie der Dämpfungsgrad des Systems. Geg.: a = 750 mm, b = 375 mm, e = 250 mm, c1 = 2 · 103 N/m, c2 = 3 · 103 N/m, c3 = 5 · 103 N/m, J1(D) = 3 kgm2 , J2(D) = 5 kgm2 , m 1 = 5 kg, m 2 = 7,5 kg, r1 = 25 kg/s, r2 = 20 kg/s. Lösung: Das System hat zwei Freiheitsgrade, die Drehwinkel ϕ1 und ϕ2 . Würde beispielsweise die äußere Kraft F(t) wirken, stellen sich die Rückstellkräfte F1 , F2 und F3 ein F1 = c1 b · (ϕ1 − ϕ2 ) + r1 b · (ϕ˙ 1 − ϕ˙ 2 ),

(5.90)

F2 = c2 a · (ϕ1 − ϕ2 ) + r2 a · (ϕ˙ 1 − ϕ˙ 2 ),

(5.91)

F3 = c3 a · ϕ2 .

(5.92)

162

5. Lineare Schwingungssysteme F(t)

a J1(D),m1

ϕ1

F(t)

ϕ2

F1

S

F2

r1

c1

r2

c2

m1 g

S

J2(D),m2 e

c3

F3

b

m2 g

Abbildung 5.7: Elastisch gekoppelte Balken. Rückstellkräfte.

Dabei wurden kleine Auslenkungen um die statische Ruhelage unterstellt. Die Anwendung der Drallsätze bezüglich der Drehpunkte D führt zu den Bewegungsgleichungen des gekoppelten Systems J1(D) · ϕ¨ 1 = −F2 · a − F1 · b − m 1 · g · e + F(t) · b

(5.93)

J2(D) · ϕ¨ 2 = F2 · a + F1 · b − F3 · a − m 2 · g · e.

(5.94)

Mit den Abkürzungen für Drehfeder- und Dämpferkonstante c D = c2 a2 + c1 b2 , r D

= r2 a2 + r1 b2 ,

(5.95)

lauten die Gleichungen in Matrizenschreibweise

J1(D) 0

+

cD −c D

0

J2(D)



ϕ¨ 1 ϕ¨ 2

−c D c D + c3 a2



+



ϕ1 ϕ2

−r D rD

rD −r D 

=



ϕ˙ 1 ϕ˙ 2



−m 1 g · e + F(t) · b −m 2 g · e

 .

(5.96)

Zur Berechnung der Eigenkreisfrequenzen wird die rechte Seite Null gesetzt. Die Berechnung der Determinante (5.83) führt zum charakteristischen Polynom 4. Ordnung P4 (λ) = 5,537 · 106 + 4,153 · 104 λ + 2,419 · 104 λ2 + 1,181 · 102 λ3 + 15λ4 = 0.

(5.97)

Die Nullstellen dieses Polynoms, die Eigenwerte, sind konjugiert komplex. Die Beträge entsprechen den Eigenkreisfrequenzen des ungedämpften Systems.

5.4 Eigenschwingungsverhalten

163

Eigenwert

Realteil

Imaginärteil

Betrag

Phase

λk

δ [ 1/s ]

ω D [ 1/s ]

ω0 [ 1/s ]

–δ/ω0 = D

1

–0,2774

16,65

16,65

0,01666

2

–0,2774

–16,65

16,65

0,01666

3

–3,6660

36,30

36,48

0,10030

4

–3,6660

–36,30

36,48

0,10030

Sind die Eigenwerte ermittelt, lassen sich auch die zugehörigen Eigenvektoren aus dem homogenen Gleichungssystem (5.82) bestimmen. Sie sind, entsprechend den Eigenwerten, ebenfalls konjugiert komplex. Somit erhält man die gedämpften Eigenschwingungen, wieder mit Konstanten versehen, die an die Anfangsbedingungen angepasst werden müssen x(t) =

2n 

ck · xˆ k · eλk t .

(5.98)

k=1

Bei Systemen mit mehr als zwei Freiheitsgraden könnten die Eigenwerte ebenfalls aus dem zugehörigen charakteristischen Polynom gewonnen werden. Dafür existieren geeignete numerische Verfahren. Die Eigenwerte, also die Nullstellen des Polynoms, sind jedoch sehr störanfällig. Geringe Abweichungen der Polynomkoeffizienten, die ja aus einer Determinantenberechnung gewonnen werden, führen zu größeren Fehlern bei den Eigenwerten. Deshalb müssen die Koeffizienten mit großer Stellenzahl berechnet werden. Außerdem ist es umständlich, zunächst Eigenwerte zu berechnen und danach die Eigenvektoren. Deshalb gelangen in der Praxis andere Verfahren zur Anwendung.

5.4.3

Symmetrisches Eigenwertproblem

Die bei der Herleitung entstandene Gleichung (5.48) stellt ein allgemeines Eigenwertproblem dar. Man bringt es auf die Form (S − λ · M) · xˆ = 0,   sij − λ · m ij · xˆ j = 0.

(5.99)

Beide Matrizen sind symmetrisch, die Massenmatrix außerdem positiv definit. Obwohl sie bis jetzt nur als reine Diagonalmatrix in Erscheinung trat, kann sie eine Bandstruktur haben oder sogar voll besetzt sein. Besteht das Eigenwertproblem nur aus einer Matrix, also A · xˆ (A − λ · I) · xˆ aij · xˆ j   aij − λ · δij · xˆ j

= = = =

λ · xˆ 0 λ · xˆi 0,

(5.100)

164

5. Lineare Schwingungssysteme

handelt es sich um ein spezielles Eigenwertproblem. Beispielsweise führt die Hauptachsentransformation der Trägheitsmatrix eines unsymmetrischen Körpers auf ein spezielles Eigenwertproblem. Die Eigenwerte entsprechen den drei Hauptträgheitsmomenten, die Eigenvektoren den Eigenachsen, welche die gedrehte Lage des Hauptachsensystems kennzeichnen. Diese gedrehten Eigenachsen, die Eigenvektoren, sind orthogonal. Für symmetrische Matrizen existieren eine Vielzahl numerischer Algorithmen zur Lösung des speziellen Eigenwertproblems. Verfügbare Eigenwertlöser verlangen meist eine symmetrische und positiv definite Matrix, für die Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet werden. Bei Schwingungsaufgaben handelt es sich, die Dämpfung vernachlässigt, stets um allgemeine Eigenwertprobleme. Folglich kann eine Transformation in eine spezielle Eigenwertaufgabe erforderlich sein. In der Praxis wendet man bei Ingenieuraufgaben mathematische Benutzeroberflächen an, oder hat die Möglichkeit, aus einer Programmbibliothek Verfahren auszuwählen. Möchte man sein Schwingungsproblem lösen, besteht die Aufgabe darin, die geeigneten Algorithmen in der richtigen Reihenfolge anzuwenden.

5.4.4

Transformation in eine spezielle Eigenwertaufgabe

Das allgemeine Eigenwertproblem kann in ein spezielles umgeformt werden, ohne dass dabei die Symmetrie verloren geht. Dreh- und Angelpunkt dieser Transformation ist die symmetrische und positiv definite Massenmatrix. Sie kann nach Cholesky in eine untere Links- und eine obere Rechtsdreiecksmatrix zerlegt werden. Die Linksdreiecksmatrix L ist auf der Hauptdiagonalen mit Einsen besetzt und oberhalb davon Null. Die Rechtsdreiecksmatrix R ist nur auf und oberhalb der Hauptdiagonalen besetzt. Aufgrund der angenehmen Eigenschaften von M, gilt sogar M = L · R = Rt · R, m ik = lij · r jk = r ji · r jk .

(5.101)

Das heißt, die Linksdreiecksmatrix entspricht der transponierten Rechtsdreiecksmatrix. Damit läuft die Umformung in folgenden Schritten ab: • gegeben, das allgemeine Eigenwertproblem (S − λ · M) · xˆ = 0, (sij − λ · m ij ) · xˆ j = 0,

(5.102)

• LR-Zerlegung nach Cholesky für positiv definite Matrizen M = Rt · R, m ik = r ji · r jk ,

(5.103)

• das wird oben eingesetzt (S − λ · Rt · R) · xˆ = 0, (sik − λ · r ji · r jk ) · xˆk = 0,

(5.104)

5.4 Eigenschwingungsverhalten

165

• Rechtsdreiecksmatrix R, rkl ausklammern (S · R−1 − λ · Rt ) · R · xˆ = 0, (sij · r −1 jk − λ · rki ) · rkl · xˆl = 0,

(5.105)

• Multiplikation mit der inversen und transponierten Rechtsdreiecksmatrix (Rt )−1 , r−1 ji von links   t −1 (R ) · S · R−1 − λ · (Rt )−1 · Rt · R · xˆ = 0,   −1 −1 r −1 · s · r − λ · r · r · rlm · xˆm = 0. (5.106) jk jl ji kl ji • Damit ist die Umformung abgeschlossen (A − λ · I) · R · xˆ = 0, (amk − λ · δmk ) · rkl · xˆl = 0. Die entstandene Matrix A, amk ist weiterhin symmetrisch. Nach formaler Umbenennung von Indizes, lautet die Rechenvorschrift für die Transformation der Steifigkeitsmatrix in beiden Schreibweisen  −1 A = Rt · S · R−1 , yˆ = R · xˆ , −1 ail = r −1 (5.107) ji · s jk · rkl , yˆl = rlm · xˆm .

(5.108)

Somit können alle numerischen Verfahren für symmetrische Matrizen auf das spezielle Eigenwertproblem (A − λ · I) · yˆ = 0 (aij − λ · δij ) · yˆ j = 0

(5.109)

angewandt werden. Sind die Eigenvektoren y gefunden, so müssen diejenigen des ursprünglichen Allgemeinen Eigenwertproblems aus dem Gleichungssystem R · xˆ = yˆ , rij · xˆ j = yˆi

(5.110)

berechnet werden. Dies stellt aber wegen der Rechtsdreiecksmatrix kein Problem dar. Oft ist die Massenmatrix nur auf der Hauptdiagonalen besetzt. Dieser Sonderfall des Allgemeinen Eigenwertproblems, lässt sich einfacher transformieren. Dazu wird die Identität 1

1

−1

1

M− 2 · M 2 = I, m ij 2 · m jk2 = δik

(5.111)

166

5. Lineare Schwingungssysteme

zwischen dem Klammerausdruck und dem Eigenvektor eingefügt 1

1

(S − λ · M) · M− 2 · M 2 · xˆ = 0, 1   −1 sij − λ · m ij · m jk 2 · m kl2 · xˆl = 0.

(5.112) 1

Multipliziert man die Gleichung noch von links mit M− 2 , ergibt sich   1 1 1 1 1 M− 2 · S · M− 2 − λ · M− 2 · M · M− 2 · M 2 · xˆ = 0,

1  1 −2 − 12 − 12 − 12 2 m ij · s jk · m kl − λ · m ij · m jk · m kl · m lm · xˆm = 0.

(5.113)

Damit entsteht wieder ein spezielles Eigenwertproblem mit symmetrischer Matrix 1

1

A = M− 2 · S · M− 2 , −1

−1

ail = m ij 2 · s jk · m kl 2 ,

(5.114)

1

yˆ = M 2 · xˆ 1

yˆi = m ij2 · xˆ j .

5.4.5

(5.115)

Orthogonalitätsbedingungen

Die Eigenvektoren sind orthogonal, sie spannen einen n- dimensionalen Vektorraum auf. Zum Nachweis der Orthogonalität wird die Eigenwertgleichung (5.99) des i-ten Eigenvektors skalar mit dem j-ten Eigenvektor multipliziert und umgekehrt S · xˆ i = λi · M · xˆ i | ·ˆxtj S · xˆ j = λ j · M · xˆ j |

·ˆxit

⇒ xˆ tj · S · xˆ i = λi · xˆ tj · M · xˆ i ,

(5.116)

⇒

(5.117)

xˆ it

· S · xˆ j = λ j ·

xˆ it

· M · xˆ j .

Beide Matrizen sind symmetrisch und die Eigenwerte verschieden, also λi  = λ j . Dann führt die Subtraktion der beiden Gleichungen zu   0 = λi − λ j · xˆ tj · M · xˆ i . Daraus folgt die Orthogonalitätsbedingung ' 0 für i  = j xˆ tj · M · xˆ i = xˆ tj · M · xˆ j für i = j.

(5.118)

(5.119)

5.4 Eigenschwingungsverhalten

167

Nun ist das Skalarprodukt für i = j eine Konstante, die von der Normierung der Eigenvektoren abhängt. Die Eigenwertverfahren für symmetrische Matrizen führen zur Normierungskonstante Eins. Wendet man die Orthogonalitätsbedingungen auf sämtliche Eigenvektoren an, erhält man die Einheitsmatrix. Dazu werden die Eigenvektoren spaltenweise in der schon bekannten Modalmatrix angeordnet und mit der Massenmatrix, entsprechend der obigen Vorschrift multipliziert  t · M ·  = I, Ψ ji · m jk · Ψkl = δil .

(5.120)

Auch die Steifigkeitsmatrix wurde mit den Eigenvektoren multipliziert. Wendet man also dieselbe Transformation auf die Steifigkeitsmatrix an, ergibt sich eine Diagonalmatrix, welche mit den Eigenwerten besetzt ist. Man bezeichnet diese Matrix als Spektralmatrix  t · S ·  = , Ψ ji · s jk · Ψkl = λil , ' λil =

0 λi

für für

l = i l = i.

(5.121) (5.122)

Man bezeichnet das Ergebnis der Transformation (5.120) auch als modale Massenmatrix oder generalisierte Massenmatrix. Dementsprechend lautet die Spektralmatrix (5.121) modale Steifigkeitsmatrix bzw. generalisierte Steifigkeitsmatrix. Die Orthogonalitätsrelationen bilden die Grundlage für modale Berechnungsverfahren.

5.4.6

Eigenwerte der Zustandsmatrix

Die Dämpfungsmatrix zerstört die Symmetrie des Eigenwertproblems. Die Eigenwerte, bzw. Eigenkreisfrequenzen des gedämpften Systems ergeben sich aus der homogenen Zustandsgleichung (5.8) z˙ = A · z.

(5.123)

Mit dem Ansatz, z = zˆ · eλt , ergibt sich ein spezielles Eigenwertproblem mit reeller, aber unsymmetrischer Matrix A A · zˆ = λ · zˆ .

(5.124)

Es fallen, entsprechend der Ordnung der Matrix, 2n Eigenwerte an. Diese sind konjugiert komplex. Da jedoch nur die positiven Eigenwerte Sinn machen, reduziert sich deren Anzahl auf n. Diese ergeben sich in der Form λk = j · ωk , k = 1, . . . , n.

(5.125)

168

5. Lineare Schwingungssysteme

Anders verhält es sich mit den Eigenvektoren. Da der Zustandsvektor z neben den Verschiebungen auch deren Ableitungen enthält, sind die Eigenvektoren zusätzlich mit den Eigenwerten behaftet

 xˆ k zˆ k = (5.126) λk ·ˆxk . Formal kann auch das ungedämpfte System in den Zustandsraum transformiert werden. Auch dann ist die Hypermatrix A unsymmetrisch, die Eigenwerte aber reell.

5.5

Auswahl der Verfahren

Das Verfahren zum Lösen von Eigenwertaufgaben wird einmal durch die Eigenschaften der Matrizen wie: • reell und symmetrisch, • reell und unsymmetrisch, • komplex, hermitisch, d.h. konjugiert transponiert zur komplexen Matrix oder • komplex und nicht hermitisch bestimmt. Andererseits hängt es von der Problemstellung ab. Interessieren alle Eigenwerte mit allen Eigenvektoren oder nur einige Eigenwerte am Beginn oder Ende des Spektrums. Auch die Größe der Matrizen spielt bei der Wahl des Eigenwertlösers eine bedeutende Rolle. Wobei die Festlegung auf eine bestimmte Anzahl von Freiheitsgraden als Kriterium schwierig ist. Für symmetrische Matrizen stehen ausgefeilte Algorithmen zur Verfügung, die Bestandteil jeder Programmbibliothek sind. Aufgrund der stetigen Zunahme an Prozessorleistung und Speicherkapazität der Computer, gewinnen Verfahren wieder mehr an Bedeutung, die wegen erhöhter Anforderungen an diese Parameter etwas in den Hintergrund verdrängt wurden. Zu nennen sind das Jacobi-Verfahren und die simultane Vektoriteration.

5.5.1

Jacobi-Verfahren

Eine sehr wirkungsvolle Methode ist das Jacobi-Verfahren. Die Methode beruht auf dem Hauptachsentheorem. Es besagt, dass zu jeder symmetrischen Matrix A eine orthogonale Transformationsmatrix T existiert, mit der A auf Diagonalgestalt gebracht werden kann,  = Tt · A · T. Die Diagonalelemente von  sind die Eigenwerte von A. Die Transformation verläuft iterativ, wobei die Elemente der Transformationsmatrix so verändert werden, dass die Elemente oberhalb der Hauptdiagonalen zum Verschwinden gebracht werden. Die Diagonalmatrix mit den Eigenwerten heißt Spektralmatrix. Die Eigenvektoren ergeben sich als Produkt sämtlicher orthogonaler Transformationsmatrizen. Nach Iterationsende sind sie spaltenweise in einer Matrix angeordnet, der so genannten Modalmatrix. Es werden also sämtliche Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A berechnet.

5.5 Auswahl der Verfahren

169

Das Jacobi-Verfahren eignet sich auch für allgemeine Eigenwertprobleme. Dabei ist keine Umformung in eine spezielle Eigenwertaufgabe nötig. Die positiv definite Massenmatrix wird auf Diagonalgestalt gebracht. Dabei wird gleichzeitig die Steifigkeitsmatrix denselben Rotationen unterworfen. Der Vorteil besteht darin, dass die Steifigkeitsmatrix nicht positiv definit sein muss. Somit lassen sich die Eigenwerte ungefesselter Systeme direkt berechnen. Handelt es sich beispielsweise um ein Torsionsschwingungsproblem, berechnet das Jacobi-Verfahren exakt den Starrkörperfreiheitsgrad mit der Eigenfrequenz Null. Die mit dem Jacobi-Verfahren berechneten Eigenvektoren sind so normiert, dass die modale Massenmatrix gleich der Einheitsmatrix ist.

5.5.2

Simultane Vektoriteration

Ein anderes Verfahren, welches symmetrische und positiv definite Matrizen voraussetzt, ist die simultane Vektoriteration. Im Allgemeinen muss zunächst ein spezielles Eigenwertproblem hergestellt werden. Das Prinzip beruht auf der Abspaltung einzelner Eigenwerte. Dabei erstreckt sich die Iteration nicht auf einen einzigen Vektor, sondern auf die gesamte Matrix. Die Aufgabe, die p größten Eigenwerte mit den zugehörigen Eigenvektoren zu bestimmen, wird durch gleichzeitige Iteration von p linear unabhängigen Startvektoren gelöst. Nach jedem Schritt wird aus den iterierten Vektoren eine Orthogonalbasis gebildet. Aus dem ursprünglichen n-dimensionalen Vektorraum wird ein p-dimensionaler Unterraum abgespalten. Besteht das System aus n, beispielsweise 300, Freiheitsgraden, werden also p  n Eigenwerte und Eigenvektoren berechnet. Die Eigenvektoren sind wie beim Jacobi-Verfahren normiert. Beispiel 5.5: Eigenfrequenzen für Fahrzeugschwingungsmodell. Für das Fahrzeugschwingungsmodell, Beispiel 5.2, sollen die Eigenfrequenzen und die Eigenvektoren mit und ohne Berücksichtigung der Dämpfung berechnet werden. Geg.: m = 7000 kg, J (S) = 2350 kgm2 , m Rv = 90 kg, m Rh = 100 kg, a = 2,2 m, b = 1,5 m, cv = 1,2 · 105 N/m, ch = 2,1 · 105 N/m, c Rv = 2 · 105 N/m, c Rh = 4 · 105 N/m, rv = 2 · 103 kg/s, rh = 2 · 103 kg/s, r Rv = 180 kg/s, r Rh = 180 kg/s. Lösung: Mit den gegebenen Daten werden zunächst die Elemente der Matrizen (5.37), (5.38) und (5.39) berechnet. Bei der Massenmatrix ist nicht viel zu tun, deren Diagonalelemente lauten   diag{M} = 7000 2350 90 100 Die Elemente der Dämpfungs- und Steifigkeitsmatrix werden berechnet und abgespeichert, Dämpfungsmatrix: ⎛ 4 1,4 ⎜ 1,4 14,18 D=⎝ −2 3 −2 −4,4

−2 3 2,18 0

⎞ −2 −4,4 ⎟ · 103 0 ⎠ 2,18

170

5. Lineare Schwingungssysteme

Steifigkeitsmatrix: ⎛

3,3 ⎜ 2,82 S=⎝ −1,2 −2,1

2,82 12,86 1,8 −4,62

−1,2 1,8 3,2 0

⎞ −2,1 −4,62 ⎟ 5 ⎠ · 10 . 0 6,1

Das dämpfungsfreie System, man bezeichnet dies auch als konservatives Ersatzsystem, führt auf das allgemeine Eigenwertproblem (5.99). Dessen numerische Lösung liefert die Eigenwerte, aus denen die Eigenfrequenzen berechnet werden. Zu jedem Eigenwert, jeder Eigenfrequenz, gehört ein Eigenvektor: Eigenfrequenzen [ Hz ] NickenAufbau Radvorne

HubAufbau 0,7740

2,9710

Radhinten

9,5585

12,6035

zugehörige Eigenvektoren 1,1812 · 10−2

1,6829 · 10−3

−5,0993 · 10−4

−4,9068 · 10−4

−2,8904 · 10−3

1,9999 · 10−2

2,3457 · 10−3

−3,4242 · 10−3

6,0959 · 10−3

−1,1772 · 10−2

1,0455 · 10−1

−2,2810 · 10−3

1,8846 · 10−3

1,6679 · 10−2

3,9173 · 10−3

9,8503 · 10−2

Die Eigenfrequenzen des gedämpften Systems erhält man aus der Lösung des Eigenwertproblems (5.124): Realteil

Imaginärteil

Betrag

Phase

δ [ 1/s ]

ω D [ 1/s ]

ω0 [ 1/s ]

f0 [ Hz ]

D

−0,1175

4,8650

4,8664

0,7745

0,0241

−1,1546

18,7243

18,7598

2,9857

0,0615

−12,8014

58,5591

59,9420

9,5401

0,2136

−12,2404

77,9439

78,9991

12,5572

0,1551

Die Eigenwerte und Eigenvektoren des konservativen Ersatzsystems werden mit dem JacobiVerfahren und mit der simultanen Vektoriteration mit der identischen Genauigkeit berechnet. Die Darstellung mit vier Dezimalstellen nach dem Komma, dient nur dem Vergleich der auf iterativem Weg ermittelten Zahlenwerte. Kontrolliert man mit den obigen Eigenvektoren die Orthogonalitätsbedingungen (5.120) und (5.121), stellt man fest, dass die Nebendiagonalelemente nicht exakt Null sind. Sie liegen im Bereich von 10−8 , was der Fehlerschranke des verwendeten Algorithmus entspricht.

5.6 Modale Transformation

5.6

171

Modale Transformation

Die physikalischen Koordinaten des Schwingungssystems sind über Steifigkeits- und Dämpfungsterme gekoppelt. Das erschwert die Interpretation von Ergebnissen und erhöht bei sehr großen Systemen den Rechenaufwand. Daher wird eine Entkopplung der Freiheitsgrade angestrebt. Unter Berücksichtigung der Orthogonalität der Eigenvektoren kann dies erreicht werden.

5.6.1

Konservatives Ersatzsystem

Betrachtet wird das homogene und dämpfungsfreie System (5.45) M · x¨ + S · x = 0 m ij · x¨ j + sij · x j = 0

(5.127)

mit den Anfangsbedingungen x(t = 0) = x0 , x j (t = 0) = x0 j ,

x˙ (t = 0) = v0 x˙ j (t = 0) = v0 j .

(5.128)

Für dieses System seien die Eigenwerte, angeordnet in der Spektralmatrix  und die Eigenvektoren, zusammengefasst in der Modalmatrix , bereits ermittelt. Dann wird die homogene Lösung, die Eigenschwingung, nach Eigenvektoren entwickelt. Dazu dient, mit den generalisierten Koordinaten q(t), der Ansatz xh (t) =  · q(t) xhi (t) = Ψij · q j (t).

(5.129)

Diese Transformation wird zweimal differenziert und in die DGL eingesetzt. Dann wird die Gleichung von links mit der transponierten Modalmatrix multipliziert M ·  · q¨ + S ·  · q = 0 | · t  · M ·  · q¨ +  t · S ·  · q = 0 Ψ ji · m jk · Ψkl · q¨l + ψ ji · s jk · Ψkl · ql = 0. t

(5.130)

Man erkennt die Orthogonalitätsbedingungen (5.120) und (5.121). Wendet man diese an, entstehen aus den n gekoppelten Differentialgleichungen zweiter Ordnung, n einzelne Differentialgleichungen vom Typ des Einmassenschwingers q¨i + ω2(i) · q(i) = 0.

(5.131)

Entsprechend müssen die Anfangsbedingungen transformiert werden q(t = 0) =  −1 · x0 , qi (t = 0) = Ψij−1 · x0 j ,

q(t ˙ = 0) =  −1 · v0 q˙i (t = 0) = Ψij−1 · v0 j .

(5.132)

172

5. Lineare Schwingungssysteme

Der weitere Lösungsgang entspricht der Vorgehensweise beim System mit einem Freiheitsgrad. Mit den Konstanten ai und bi lautet dann die j-te generalisierte Koordinate q j (t) = a( j) · cos ω( j) t + b( j) · sin ω( j) t.

(5.133)

Mit den obigen Anfangsbedingungen lassen sich die Konstanten bestimmen a j = Ψ jk−1 · x0k , bj =

1 · Ψ(−1 j)k · v0k . ω( j)

(5.134) (5.135)

Zur Erinnerung, über in Klammern stehende Indizes darf nicht summiert werden. Die homogene Lösung in physikalischen Koordinaten ergibt sich aus (5.129)   xhi (t) = Ψi( j) · a( j) · cos ω( j) t + b( j) · sin ω( j) t .

5.6.2

(5.136)

Gedämpftes Schwingungssystem

Zu untersuchen ist das homogene Differentialgleichungssystem (5.80) M · x¨ + D · x˙ + S · x = 0 m ij · x¨ j + dij · x˙j + sij · x j = 0.

(5.137)

Sind die komplexen Eigenschwingungsformen bekannt, lässt sich das System ebenso entkoppeln, wie das konservative Ersatzsystem. In vielen Fällen ist die reale Dämpfung gar nicht bekannt. Trotzdem möchte man deren Einfluss auf das Schwingungsverhalten studieren. Also ist man auf Schätzungen der Dämpfung angewiesen. Handelt es sich beispielsweise um eine Struktur wie Welle, Fahrzeugkarosserie, Maschinentisch, Tragflügel usw., kann die Dämpfung nur mit hohem Aufwand über eine experimentelle Modalanalyse gewonnen werden. Andererseits sind die Kennwerte von Gummilagern, Stoßdämpfern, Dämpfermatten usw. bekannt, bzw. leichter bestimmbar, sodass eine exakte Berücksichtigung der Dämpfung möglich wäre. Oftmals stehen aber nur die Eigenvektoren des konservativen Ersatzsystems zur Verfügung. Wird die homogene Lösung des gedämpften Systems nach den Eigenvektoren des konservativen Ersatzsystems entwickelt, entsteht keine Entkopplung der physikalischen Koordinaten q¨i + Ψ ji · d jk · Ψkl · q˙l + ω2(i) · q(i) = 0.

(5.138)

Die generalisierte Dämpfungsmatrix Dgen =  t · D ·  dgen il = Ψ ji · d jk · Ψkl ,

(5.139)

5.6 Modale Transformation

173

ist zwar symmetrisch, aber voll besetzt. Trotzdem findet ein gewisser Diagonalisierungseffekt statt, der es rechtfertigt, die Nebendiagonalelemente zu vernachlässigen. Dies führt dann auf eine zwangsweise Entkopplung des Systems. Diese Näherung wird durch einen Vergleich mit den komplexen Eigenkreisfrequenzen kontrolliert. Aus den verbleibenden Diagonalelementen der generalisierten Dämpfungsmatrix werden die modalen Dämpfungen gebildet dmodal k =

dgen (kk) 2 · ω(k)

.

(5.140)

Diese modalen Dämpfungen entsprechen dem Dämpfungsgrad D beim Einmassenschwinger, vgl. (4.8). Außerdem treten sie bei den komplexen Eigenkreisfrequenzen in Erscheinung, D = δ/ω. Damit ist das homogene Schwingungssystem entkoppelt. Die k-te generalisierte Bewegungskoordinate lautet damit q¨k + 2 · dmodal (k) · ω(k) · q˙(k) + ω2(k) · q(k) = 0,

k = 1, . . . n.

(5.141)

Jede einzelne Gleichung kann genauso behandelt werden, wie die DGL (4.14) des Systems mit einem Freiheitsgrad. Mit den modalen Abklingkonstanten δk sowie den gedämpften Eigenkreisfrequenzen ω Dk δk = dmodal (k) · ω(k) ,  2 ω Dk = ω(k) · 1 − dmodal (k) ,

(5.142) (5.143)

lautet die Lösung   qk (t) = e−δ(k) t · a(k) · cos ω D(k) t + c(k) · sin ω D(k) t .

(5.144)

Die Konstanten ak und ck werden wieder aus den Anfangsbedingungen (5.128) bestimmt. Dabei werden die Koeffizienten ak nach (5.134) berechnet, während sich die Konstanten ck wie folgt ergeben ck =

−1 a(k) · δ(k) + ψ(k)l · v0l

ω D(k)

.

(5.145)

Beispiel 5.6: Modale Transformation eines gedämpften Systems. Für die dargestellte Schwingerkette mit zwei Freiheitsgraden ist das Eigenschwingungsverhalten zu untersuchen. Dem System werden Anfangsauslenkungen x01 und x02 eingeprägt. Geg.: m 1 = 10 kg, m 2 = 20 kg, c1 = 104 N/m, c2 = 2 · 104 N/m, c3 = 3 · 104 N/m, r1 = 30 kg/s, r2 = 20 kg/s, r3 = 10 kg/s, x01 = 10 mm, x02 = −15 mm.

174

5. Lineare Schwingungssysteme

c1

r1 m1 c2

x1

r2 m2

x2

c3

r3

Abbildung 5.8: Schwingerkette mit zwei Freiheitsgraden.

Lösung: Zuerst werden die Bewegungsgleichungen aufgestellt und in Matrizen zusammengefasst







m1 0

0 m2

c1 + c2 −c2 10 0

0 20

3 · 104 −2 · 104



x¨1 x¨2

−c2 c2 + c3



x¨1 x¨2



r1 + r2 −r2

+



x1 x2

+

−2 · 104 5 · 104



=

x1 x2

0 0

−20 30

50 −20



−r2 r2 + r3

=

x˙1 x˙2

+

.

(5.146)



0 0

x˙1 x˙2

+

.

Als nächstes werden die komplexen Eigenfrequenzen des gedämpften Systems M · x¨ + D · x˙ + S · x = 0

(5.147)

berechnet. Dazu werden entweder die Nullstellen des Polynoms (5.84) ermittelt oder das Eigenwertproblem (5.124) gelöst. Die Eigenkreisfrequenzen mit positivem Imaginärteil ergeben sich dann in der Form ωk = δk + j · ω Dk , ω1 = −0,7764 1/s + j · 36,2527 1/s, ω2 = −2,4736 1/s + j · 64,6285 1/s.

5.6 Modale Transformation

175

Fehlen noch die Beträge sowie die modalen Dämpfungen der einzelnen Eigenschwingungen:  k ωk = δk2 + ω2Dk fk = ωk /2π Dk = −δk /ωk 1 2

36,2610 1/s 64,6758 1/s

5,711 Hz 10,2935 Hz

0,0214 0,0382.

Die modale Transformation basiert auf den Eigenvektoren des konservativen Ersatzsystems M · x¨ + S · x = 0.

(5.148)

Dessen Eigenkreisfrequenzen und Eigenvektoren werden mit einem numerischen Verfahren, z.B. mit dem Jacobi-Verfahren gelöst. Alternativ können die Nullstellen des charaktristischen Polynoms berechnet werden. Die Eigenvektoren ergeben sich anschließend aus der Lösung des homogenen Gleichungssystems. Das dämpfungsfreie System hat die Eigen(kreis)frequenzen ω1 = 36,2472 1/s, ω2 = 64,7004 1/s,

f 1 = 5,7689 Hz f 2 = 10,2974 Hz.

Die zugehörigen Eigenvektoren sind in der Modalmatrix zusammengefasst:  =

0,2032 0,1713

0,2423 −0,1437

.

Sie sind so normiert, dass die modalen Massen den Zahlenwert Eins haben und die modalen Steifigkeiten den Quadraten der Eigenkreisfrequenzen entsprechen. Die generalisierte Dämpfungsmatrix berechnet sich nach (5.139) Dgen = =



0,1713 50 −20 0,2032 · · −0,1437 −20 30 0,1713



1,4771 1,5526 0 ≈ . 4,9473 0 4,9473

0,2032 0,2423 1,5526 1,4771

0,2423 −0,1437

=

Aus den Diagonalelementen ergeben sich nach (5.140) die modalen Dämpfungen dmodal 1 = 0,02142,

dmodal 2 = 0,03823.

Daraus werden die Abklingkonstanten sowie die Eigenkreisfrequenzen des gedämpften Systems berechnet δ1 = 0,7764, ω D1 = 36,2389,

δ2 = 2,474, ω D2 = 64,6531.

176

5. Lineare Schwingungssysteme

Vergleicht man die Ergebnisse miteinander, stellt man keine nennenswerten Unterschiede zwischen der exakten Lösung des gedämpften Systems und der modalen Analyse des konservativen Ersatzsystems fest. Nachdem die modalen Parameter ermittelt worden sind, lässt sich das Eigenschwingungsverhalten angeben. Zuvor müssen noch die Koeffizienten nach (5.134) und (5.145) berechnet werden a1 = −0,03108,

a2 = 0,06734,

c1 = −6,658 · 10−4 ,

c2 = 2,576 · 10−3 .

Es interessiert die homogene Lösung im Zeitbereich. Dazu muss das modale System (5.144) entsprechend der Vorschrift (5.129) transformiert werden



−δ t

x1 (t) Ψ11 Ψ12 e 1 · (a1 · cos ω D1 t + c1 · sin ω D1 t) = · . x2 (t) Ψ21 Ψ22 e−δ2 t · (a2 · cos ω D2 t + c2 · sin ω D2 t)

5.6.3

Proportionale Dämpfung

Eine andere Möglichkeit der Berücksichtigung modaler Dämpfung besteht darin, einen proportionalen Ansatz der Art D = α · M + β · S, dij = α · m ij + β · sij ,

(5.149)

zu verwenden. Es wird also unterstellt, dass die Dämpfungskräfte zu den Beschleunigungskräften sowie den elastischen Rückstellkräften proportional sind. Dieser Ansatz führt auf eine Diagonalisierung der Dämpfungsmatrix. Die modale Transformation dieses Ansatzes liefert, unter Berücksichtigung der Orthogonalitätsbedingungen, die generalisierten Dämpfungen Dgen = α · I + β · .

(5.150)

Es ist möglich, jede generalisierte Koordinate individuell zu dämpfen, αk , βk , k = 1, . . . , n. Damit stellen sich die Diagonalelemente folgendermaßen dar dgen kk = αk + β(k) · ω2(k) .

(5.151)

Aus diesen Dämpfungswerten lassen sich formal wieder modale Dämpfungen nach (5.140) erzeugen. Somit gilt wieder die generalisierte Bewegungsgleichung (5.141). Obwohl dieser Ansatz bezüglich der Entkopplung der Bewegungsgleichungen exakt ist, liegt die Unsicherheit in der Wahl der Dämpfungsparameter α und β. In der Praxis gelangen proportionale Dämpfungen bei sehr großen Schwingungssystemen zur Anwendung, bei denen die

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung

177

Massen- und Steifigkeitsmatrix auf der Basis der finiten Element-Methode aufgestellt werden. Im Rahmen experimenteller Modalanalysen, bei denen Eigenschwingungsformen gemessen werden, fallen modale Massen, Steifigkeiten und Dämpfungen an. Letztere können dann für Rechenmodelle verwendet werden. Das heißt, die Annahme einer proportionalen Dämpfung erfordert ein Zusammenspiel von Messung und Rechnung.

5.7

Schwingungsantwort bei äußerer Anregung

Es gilt die Bewegungsdifferentialgleichung (5.1). Der Vektor der rechten Seite enthält die Anregungen. Diese können, ebenso wie beim Einmassenschwinger vielschichtig sein, also harmonisch, periodisch, nichtperiodisch oder auch stochastisch. Da es sich um lineare Systeme handelt, dürfen die Schwingungsantworten infolge unterschiedlicher Anregungen superponiert werden. Deshalb ist es naheliegend, den Vektor der rechten Seite entsprechend den Anregungsarten aufzuteilen, beispielsweise f = fG + f1 (t) + f2 (t) + · · · + fn (t).

(5.152)

Sind Eigengewichte fG wirksam, so erfolgen die Schwingungen wieder um die statische Ruhelage. Diese ergibt sich aus der Lösung des linearen Gleichungssystems S · xstat = fG ,

(5.153)

welches durch Nullsetzen der zeitlichen Ableitungen in Gleichung (5.1) entsteht. Einer vollständigen Lösung der Bewegungsgleichung (5.1) von Hand sind enge Grenzen, bedingt durch die Anzahl der Freiheitsgrade und die Art der Erregung, gesetzt. Eine besondere Rolle spielen wieder, im Hinblick auf das Übertragungsverhalten, harmonische Anregungen.

5.7.1

Direkte Lösung bei harmonischer Anregung

Wird ein lineares System durch harmonische Kräfte mit einer festen Frequenz Ω angeregt, so lautet dafür die Bewegungsgleichung M · x¨ + D · x˙ + S · x = f0 · ej·Ωt .

(5.154)

Im Vektor f0 stehen die Kraftamplituden, während die harmonische Anregungsfunktion komplex ergänzt wurde. Der Ansatz vom Typ der rechten Seite x = xˆ · ej·Ωt ,

(5.155)

führt auf ein komplexes lineares Gleichungssystem   −Ω 2 · M + j · D · Ω + S · xˆ = f0 .

(5.156)

178

5. Lineare Schwingungssysteme

Dieses Gleichungssystem kann in ein reelles der Ordnung 2n × 2n überführt werden A · y = b.

(5.157)

Dabei bestehen die Systemmatrix, der Vektor der Unbekannten sowie der Vektor der rechten Seite jeweils aus einem Real- und Imaginärteil A = {A} + j · {A}

(5.158)

= −Ω 2 · M + S + j · Ω · D

(5.159)

y = {y} + j · {y} = xˆ r + j · xˆ i ,

(5.160)

b = {b} + j · {b} = f0 .

(5.161)

Dieses Gleichungssystem wird in Hypermatrizen zusammengefasst # # # S − Ω2 · M −Ω · D xˆ r f0 · = . xˆ i 0 Ω·D S − Ω2 · M

(5.162)

Dieses System wird reell gelöst. Es hat dann eindeutige Lösungen, falls die Koeffizientendeterminante  = Null ist. Als Lösung erhält man für jede physikalische Koordinate einen Real- und Imaginärteil. Daraus kann der Betrag der k-ten Amplitude sowie der k-te Phasenwinkel gebildet werden

  Aˆ k = xˆr2 + xˆi2 , (5.163) φˆ k = arctan



xˆi xˆr



k

.

(5.164)

k

Der Zeitverlauf der Schwingungen ist wieder reell. Er folgt aus (5.154) x(t) = xˆ r · cos Ωt − xˆ i · sin Ωt.

(5.165)

Die k-te Schwingungsantwort des Systems ist gegeben durch   xk (t) = Aˆ k · cos Ωt + φˆ k ,

k = 1, . . . , n.

(5.166)

Der Phasenverschiebungswinkel gibt an, um welchen Betrag die gedämpften Schwingungen der Anregung nacheilen. Handelt es sich um ein ungedämpftes Schwingungssystem, vereinfacht sich die Lösung dahingehend, dass nur das Gleichungssystem der Ordnung n × n   S − Ω 2 · M · xˆ r = f0

(5.167)

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung

179

gelöst werden muss. Der Lösungsvektor enthält die Schwingungsamplituden. Es treten keine Phasenverschiebungen auf. Mit xˆ r = xˆ lautet die k-te Schwingungsantwort des ungedämpften Systems xk (t) = xˆk · cos Ωt.

(5.168)

Das sind die Schwingungsantworten für eine einzelne Anregungsfrequenz Ω. Möchte man, wie beim Einmassenschwinger, einen Amplituden-Frequenzgang zur Bewertung des Schwingungssystems verwenden, so müssen die Gleichungssysteme für verschiedene Anregungsfrequenzen Ω j berechnet werden. Eine Vereinfachung tritt ein, falls keine Dämpfung vorhanden ist oder diese zunächst vernachlässigt wurde. Für ein System mit zwei Freiheitsgraden können die Schwingungsamplituden noch von Hand berechnet werden, wie das folgende Beispiel zeigt. Beispiel 5.7: Schwingungsverhalten einer Welle mit aufgekeilter Scheibe. Die dargestellte Welle mit aufgekeilter Scheibe soll gelagert werden. Bezüglich der Biegewirkung stehen die beiden Lagerungsvarianten beidseitig eingespannt und gelenkig gelagert zur Diskussion. Bei blockiertem Drehfreiheitsgrad wird der Scheibenschwerpunkt harmonisch mit F(t) = F0 ·cos Ωt angeregt. Für beide Lagerungsarten ist das Schwingungsverhalten zu untersuchen. Geg.: m = 15 kg, Jy(S) = 0,25 kgm2 , d1 = 25 mm, d2 = 35 mm, a = 350 mm, b = 500 mm, E = 2,16·1011 N/m2 , F0 = 1000 N, Ω = 50 Hz. (S)

d1

d2

m,J y

S

x F(t) a

b z

Abbildung 5.9: Welle mit außermittig angeordneter Scheibe.

Lösung: Die Untersuchung des Schwingungsverhaltens umfasst: • Aufstellen der Bewegungsgleichungen in Matrizenform, • Berechnung der Eigenfrequenzen, • Ermittlung der statischen Verformungen, • Berechnung der Maximalamplituden infolge der Anregung.

180

5. Lineare Schwingungssysteme

Die Welle wird als statischer Biegeträger betrachtet, d.h. es wird lediglich die Steifigkeit berücksichtigt. Die Massenwirkung beschränkt sich auf die Scheibe. Bei einer vertikalen Auslenkung w der Scheibe, erfährt diese eine zusätzliche Schrägstellung ϕ, womit das System zwei Freiheitsgrade hat. Werden die virtuellen Verrückungen δw und δϕ eingeprägt, stellt sich eine elastische Rückstellkraft FR (w, ϕ) sowie ein Rückstellmoment M R (w, ϕ) ein. Diese Reaktionen sind vom jeweiligen Lagerungsfall abhängig. Die Bewegungsgleichungen werden mit dem D’Alembertschen Prinzip in der Lagrangeschen Fassung aufgestellt   δ A(e) = 0 = −m · w ¨ − FR (w, ϕ) + m · g + F(t) · δw −  (S)  Jy · ϕ¨ + M R (w, ϕ) · δϕ.

(5.169)

Da die virtuellen Verrückungen beliebig sind, müssen die in eckigen Klammern stehenden Ausdrücke verschwinden. Daraus ergeben sich die Bewegungsgleichungen der Scheibe, ausgedrückt durch die vertikale Verschiebung und den Drehwinkel m·w ¨ + FR = m · g + F(t), Jy(S) · ϕ¨ + Mr = 0.

(5.170) (5.171)

Die Rückstellkräfte und -momente werden für den Fall der beidseitigen Einspannung nach der Deformationsmethode aufgestellt und für die statisch bestimmte Lagerung, mit dem P.d.v.K. Sind die Steifigkeiten ermittelt, stellen sich die Reaktionen folgendermaßen dar FR (w, ϕ) = s11 · w + s12 · ϕ,

(5.172)

M R (w, ϕ) = s12 · w + s22 · ϕ.

(5.173)

Werden diese Ausdrücke oben eingesetzt, ist die matrizielle Bewegungsgleichung bis auf die Steifigkeiten sij komplett











m 0 w s11 s12 w mg F0 cos Ωt ¨ + = + . (5.174) 0 Jy(S) ϕ¨ s12 s22 ϕ 0 0 Die statischen Auslenkungen infolge Eigengewicht und konstanter Kraftamplitude berechnen sich nach (5.153). Die Eigenwerte und somit die Eigenfrequenzen erhält man aus (5.54). Die Schwingungsamplituden bei harmonischer Anregung ergeben sich als Lösung des inhomogenen Gleichungssystems (5.167). Voraussetzung für eine eindeutige Lösung ist eine nichtsinguläre Koeffizientenmatrix, d.h. ( ( D0 = ( S − Ω 2 · M (  = 0 2 Ω 4 m · Jy(S) − Ω 2 (s11 Jy(S) + s22 m) + s11 s22 − s12  = 0.

(5.175)

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung

181

Dies ist erfüllt, falls Ω  = ω ist, wenn also keine Resonanz eintritt. In diesem Fall können die Schwingungsamplituden nach der Cramer’schen Regel bestimmt werden ( ( ( F ( s12 2 (S) ( D1 = (( 0 (5.176) 2 (S) ( = F0 · (s22 − Ω J y ), 0 s22 − Ω Jy ( F0 (( = −F0 · s12 . 0 (

( ( s − Ω2m D2 = (( 11 s12

(5.177)

w ˆ =

F0 · (s22 − Ω 2 · Jy(S) ) D1 = , 2 D0 Ω 4 m · Jy(S) − Ω 2 (s11 Jy(S) + s22 m) + s11 s22 − s12

(5.178)

ϕˆ =

D2 −F0 · s12 = . (S) 2 4 2 D0 Ω m · Jy − Ω (s11 Jy(S) + s22 m) + s11 s22 − s12

(5.179)

Welle beidseitig eingespannt: Dem System werden nacheinander die realen Verformungen w und ϕ und dann die virtuellen Verrückungen δw und δϕ eingeprägt. Nach der Deformationsmethode werden die realen mit den virtuellen Verformungen überlagert und nach Tabelle 2, Abb. 3.18 ausgewertet. Daraus ergeben sich mit I1 = π · d14 /64 und I2 = π · d24 /64 die Elemente der Steifigkeitsmatrix sij     ⎤ ⎡ 12 · aI13 + bI23 6 · aI12 − bI22     ⎦. S= E·⎣ (5.180) I1 I2 I1 I2 6 · a2 − b2 4· a + b Mit den gegebenen Daten lautet das DGL-System







15 0 w 2,6867 −0,1790 w ¨ + 106 · = 0 0,25 ϕ¨ −0,1790 0,1746 ϕ =

147,15N 0

+

1000N 0

cos(100πt).

Abbildung 5.10: Ermittlung der Steifigkeiten nach der Deformationsmethode.

(5.181)

182

5. Lineare Schwingungssysteme

Somit können die Fragestellungen beantwortet werden. Eigenfrequenz f [ Hz ]

Eigenvektor xˆ t

64,3 134,5

[1 1,34 ]t [ 1 − 44,86 ]t

stat. Auslenkungen w [ mm ] ϕ[◦ ] 0,4 –

Schwingungsantwort w [ mm ] ϕ[◦ ]

0,02 –

1 –

0,07 –

In der Resonanz, wenn also die Erregerfrequenz mit einer der Eigenfrequenzen zusammenfällt, wachsen die Amplituden über alle Grenzen. Welle gelenkig gelagert: Das System ist statisch bestimmt. Die Rückstellkräfte und damit die Steifigkeiten werden mit dem P.d.v.K. ermittelt. Die Anwendung des Prinzips liefert zunächst die Nachgiebigkeitsmatrix H. v

v

1

1

virtuell −

b/(a+b)

real

+

+ a/(a+b)

ab/(a+b) F

h11 =

h12 =

⎡a b ⎤ ⎢ + ⎥ 3E(a + b) ⎣ I1 I2 ⎦ (ab)2

2

+

⎡ a 2 b2 ⎤ − ⎥ ⎢ I2 ⎥⎦ 3E(a + b) ⎢⎣ I1 ab

2

Fab/(a+b) M

h 22 =

h 12 =

⎡ a 2 b2 ⎤ − ⎥ ⎢ I2 ⎥⎦ 3E(a + b) ⎢⎣ I1 ab

Mb/(a+b)

− +

2

⎡ a 3 b3 ⎤ + ⎢ ⎥ I2 ⎥⎦ 3E(a + b) ⎢⎣ I1 1

2

Ma/(a+b)

Abbildung 5.11: Ermittlung der Nachgiebigkeiten mit dem P.d.v.K.

Durch Invertieren erhält man die Steifigkeitsmatrix. Diesen Vorgang mit allgemeinen Ausdrücken durchzuführen, lohnt sich nicht. Die Elemente der Nachgiebigkeitsmatrix werden berechnet und anschließend wird die Inverse gebildet

6,717 −0,895 S = H−1 = 105 · . (5.182) −0,895 1,310 Gegenüber dem ersten Lagerungsfall ändern sich nur die Elemente der Steifigkeitsmatrix. Der weitere Berechnungsablauf erfolgt genauso wie oben. Durch die gelenkige Lagerung wird das System wesentlich elastischer als bei einer starren Einspannung. Damit sind auch die Eigenfrequenzen niedriger. Im Einzelnen erhält man folgende Ergebnisse:

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung Eigenfrequenz f [ Hz ]

Eigenvektor xˆ t

32,0 115,7

[1 0,74 ]t [ 1 − 81,03 ]t

183

stat. Auslenkungen w [ mm ] ϕ [ ◦ ] 1,6 –

Schwingungsantwort w [ mm ] ϕ[◦]

0,02 –

1,1 –

0,05 –

Eine ideale gelenkige Lagerung für eine Welle lässt sich in der Praxis nicht realisieren. Auch die starre Einspannung entspricht nicht der konstruktiven Wirklichkeit. Ein tragbarer Kompromiß wäre eine elastische Einspannung. Obwohl die Eigenschwingungen rasch abklingen, ist eine Quantifizierung der Dämpfung schwierig. Sie kann aber gemessen werden, beispielsweise durch eine experimentelle Modalanalyse. Bei vielen Problemstellungen ist das Dämpfungsverhalten bekannt und man möchte die Wechselwirkung zwischen Maschine und Fundament untersuchen. Für eine grundsätzliche Abschätzung des Schwingungsverhaltens ist es oft ausreichend, Minimalmodelle zu verwenden. Beispiel 5.8: Wechselwirkung zwischen Maschine und elastischem Gestell. Das dargestellte Antriebssystem ist elastisch auf einem Maschinentisch gelagert. Im Nennbetrieb erzeugt der Motor Fliehkräfte. Außerdem ist mit einer harmonischen Fußpunktanregung, u 0 , f u zu rechnen. Vor Inbetriebnahme der Maschine werden Versuche durchgeführt. Dazu wird der stehende Motor durch eine harmonisch schwingende Kraft, F0 , f F angeregt. In diesem Zusammenhang interessieren die Eigenfrequenzen des Systems sowie die Schwingungsamplituden infolge der unterschiedlichen Anregungen. Geg.: M M = 150 kg, m u = 2 × 2 kg, ru = 70 mm, n n = 3000 U/min, c M = 6,5 · 106 N/m, r M = 5· 103 kg/s, M F = 104 kg, c F = 1,5· 107 N/m, r F = 2· 104 kg/s, u 0 = 1 mm, f u = 35 Hz, F0 = 1000 N, f F = 25 Hz. Lösung: Durch die Rotation entstehen vertikale Kräfte, die den Antrieb selbst und den Maschinentisch anregen. Das idealisierte Ersatzsystem hat also zwei Freiheitsgrade, die Bewegungskoordinaten y M und y F .

mu

ru MM

nn

MM nn

yM(t)

yM(t) rM

cM

cM

MF

F(t)

rM

MF yF (t)

yF (t)

starr

rF

starr

cF

rF

cF

u(t)

Abbildung 5.12: Elastisch gelagerter Antrieb, erregt durch Fliehkräfte, Kraftanregung und Fußpunktanregung.

184

5. Lineare Schwingungssysteme

Die Fußpunktanregung kann auch im Betriebszustand des Antriebs erfolgen. Dasselbe gilt für die Kraftanregung. Berücksichtigt man noch das Eigengewicht, so besteht die Anregung aus vier Anteilen • Eigengewicht f tG = g ·



MM

MF



(5.183)

• Fliehkraftanregung, mit Ωa = π · n n /30 = 100π 1/s lautet diese   f t1 (t) = −2m u · ru · Ωa2 · sin Ωa t 0

(5.184)

• Kraftanregung an der Motormasse, Ωb = 2π · f F = 50π 1/s   f t2 (t) = F0 · cos Ωb t 0

(5.185)

• Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer, u(t) = u 0 · cos Ωc t, Ωc = 2π · f u = 70π 1/s   f t3 (t) = u 0 · 0 c F · cos Ωc t − Ωc · r F · sin Ωc t .

(5.186)

Die Anwendung des Schwerpunktsatzes auf die Teilsysteme liefert die Bewegungsgleichungen für Motor und Gestell











MM 0 y¨M rM −r M y˙M cM −c M yM + + 0 MF y¨F −r M r M + r F y˙F −c M c M + c F yF =

MM MF

+ u0

·g+

−2m u · ru · Ωa2 · sin Ωa t 0

0 c F · cos Ωc t − Ωc · r F · sin Ωc t

+

F0 · cos Ωb t 0



.

(5.187)

Die statische Ruhelage des Systems, um welche die Schwingungen erfolgen, erhält man durch Nullsetzen der zeitlichen Ableitungen. Daraus entsteht ein lineares Gleichungssystem, welches durch Multiplikation der inversen Steifigkeitsmatrix mit dem Vektor der Gewichtskräfte gelöst wird

yM yF

=

stat

cM −c M

−c M cM + cF

−1

MM · · g. MF

(5.188)

Mit den gegebenen Daten federt der Motor um 6,9 mm und der Maschinentisch um 6,6 mm ein.

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung mu ru Ω 2

185

mu ru Ω 2

F(t)

Ωt

MM g

r M(y⋅ M − y⋅ F )

cM(yM − yF )

rF ( y⋅ F −u⋅ )

MF g

cF (yF − u)

Abbildung 5.13: Kräfte am Antriebssystem.

Eigenfrequenzen des Systems: Aus der homogenen DGL erhält man die konjugiert komplexen Eigenwerte und daraus System Motor Gestell

δ [ 1/s ] −0,985 −16,932

ω D [ 1/s ] 38,42 209,09

D[%] 2,6 8,1

ω0 [ 1/s ] 38,43 209,78

f 0 [ Hz ] 6,12 33,39

Die Fremderregungen mit unterschiedlichen Frequenzen können nicht zusammengefasst werden. Das wäre auch nicht sinnvoll, da man sich anhand der einzelnen Schwingungsantworten ein besseres Bild machen kann. Da es sich um ein lineares System handelt, dürfen die vollständigen partikulären Lösungen infolge der einzelnen Anregungen superponiert werden. Die weitere Vorgehensweise entspricht der Methodik des Einmassenschwingers. Die harmonischen Funktionen werden bei Bedarf zusammengefasst und komplex ergänzt. Der komplexe Exponentialansatz führt dann auf ein lineares Gleichungssystem der Ordnung 2n × 2n. Die Koeffizientenmatrix hängt von der jeweiligen Anregungskreisfrequenz ab.

Fliehkraftanregung: Die Anregungskreisfrequenz lautet, Ω = Ωa . Durch komplexe Ergänzung entsteht f 1 (t) = f 01 · j · ej·Ωt , f 01 =

2m u · ru · Ω 2 0

(5.189)

.

186

5. Lineare Schwingungssysteme

Der bekannte Ansatz, y(t) = yˆ ·ej·Ωt , führt wieder auf das inhomogene lineare Gleichungssystem (5.162). Die Koeffizientenmatrix ist stets von der Anregungskreisfrequenz Ω abhängig. Es ist also folgendes Gleichungssystem der Ordnung 4 × 4 zu lösen # # # S − Ω2 · M 0 −Ω · D yˆ r = . (5.190) · f 01 yˆ i Ω·D S − Ω2 · M Mit den gegebenen Daten lautet dies ⎡ −0,8304 −0,6500 −0,6500 −96,5460 ⎢ 107 · ⎣ 0,1571 −0,1571 −0,1571 0,7854 mit der Lösung  yˆ t = 6,213 · 10−4

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 −0,1571 0,1571 yˆr1 0 0,1571 −0,7864 ⎥ ⎢ yˆr2 ⎥ ⎢ ⎥ = , −0,8304 −0,6500 ⎦ ⎣ yˆi1 ⎦ ⎣ 2,7635 · 104 ⎦ −0,6500 −96,5460 yˆi2 0

−9,597 · 10−6

−3,225 · 10−3

2,062 · 10−5

t

[m].

Daraus werden Betrag nach (5.163) und Phasenverschiebungswinkel nach (5.164) gebildet. Die Schwingungsantwort (5.166) für Motor und Gestell lautet damit y M (t) = 3,3 · cos(100πt − 1,38) [mm], y F (t) = 0,023 · cos(100πt − 1,14) [mm]. Das Hauptinteresse gilt den Maximalamplituden. Deshalb wird der Betrag der Amplitude nicht nur für die Umlauffrequenz von 50 Hz berechnet, sondern im interessierenden Bereich 0 ≤ Ωa ≤ 100 · π. Somit erhält man den Amplituden-Frequenzgang. Soll das System in einer anderen Nenndrehzahl betrieben werden, können die zu erwartenden Schwingungsausschläge abgeschätzt werden.

Abbildung 5.14: Amplituden-Frequenzgang bei Fliehkraftanregung.

Kraftanregung am stehenden Motor: Die Anregungskreisfrequenz für diesen Lastfall lautet Ω = Ωb . Ebenso die komplex ergänzte Erregung f 2 (t) = f 02 · ej·Ωt mit den Kraftamplituden, f t02 = [ F0 0 ].

(5.191)

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung

187

Damit wird die Schwingungsantwort durch das folgende Gleichungssystem # # # S − Ω2 · M −Ω · D yˆ r f 02 · = yˆ i 0 Ω·D S − Ω2 · M

(5.192)

beschrieben. Dessen Lösung liefert wieder die Amplituden, welche bei dieser Anregung deutlich geringer ausfallen als bei der Fliehkraftanregung yˆ t =



3,109 · 10−4

−9,298 · 10−6

−8,693 · 10−5

1,262 · 10−6

t

[m].

Betrags- und Phasenbildung führen wieder zur Schwingungsantwort für den Motor und den Maschinentisch y M (t) = 0,323 · cos(50π · t − 0,27) [mm], y F (t) = 0,009 · cos(50π · t − 0,13) [mm]. Obwohl die Auslenkung des Gestells y F sehr klein ist muss mit Schwingbeschleunigungen gerechnet werden, die immerhin bei 0,23 m/s2 liegen. Das Verhalten des Systems im interessierenden Frequenzbereich entnimmt man wieder dem Amplituden-Frequenzgang. Kraftanregung

Kraftanregung 2 yF [ m m ]

yM [ m m ]

2

1

1

0

0 0

10

20 30 f ---> [ Hz ]

40

50

0

10

20 30 f ---> [ Hz ]

40

50

Abbildung 5.15: Amplituden-Frequenzgang bei Kraftanregung.

Fußpunktanregung am Gestell über Feder und Dämpfer: Auch diese Anregungsart lässt sich genauso behandeln wie die vorangegangenen Fälle. Wie beim Einmassenschwinger werden die Anregungen über Feder und Dämpfer zu einer Funktion zusammengefasst und dann wieder komplex ergänzt. Die Anregungsfrequenz heißt jetzt Ω = Ωc f 3 (t) = f 03 · ej·(Ωt+φ) ,  f t03 = [ 0 u 0 · c2F + Ω 2r 2F ],

Ω · rF φ = arctan cF

 .

(5.193)

188

5. Lineare Schwingungssysteme

Der Lösungsansatz lautet jetzt y(t) = yˆ · ej·(Ωt+φ) und führt wieder auf # # # S − Ω2 · M −Ω · D yˆ r f 03 · = . yˆ i 0 Ω·D S − Ω2 · M Mit dem Lösungsvektor  yˆ t = 5,861 · 10−5

−3,424 · 10−5

1,594 · 10−4

−2,789 · 10−6

(5.194)

t

[m]

ergeben sich die gesuchten Amplituden y M (t) = 0,170 · cos(70π · t + 1,22) [mm], y F (t) = 0,034 · cos(70π · t + 0,08) [mm]. Auch hier ergibt sich anhand des Amplituden-Frequenzganges eine bessere Aussage über das Schwingungsverhalten. Fliehkraftanregung

Fliehkraftanregung

20 yF [ m m ]

yM [ m m ]

20

10

0 0

10

20 30 f ---> [ Hz ]

40

50

10

0 0

10

20 30 f ---> [ Hz ]

40

50

Abbildung 5.16: Amplituden-Frequenzgang bei Fußpunktanregung.

5.7.2

Direkte Lösung bei beliebiger Anregung

Wird das schwingungsfähige System durch beliebige Kräfte angeregt M · x¨ + D · x˙ + S · x = f (t), x(t = 0) = x0 , x˙ (t = 0) = v0

(5.195)

erfolgt die Lösung numerisch. Es wurde schon öfters erwähnt, dass dazu das DGL-System zweiter Ordnung in ein System erster Ordnung transformiert werden muss x˙ = v, v˙ = M(−1) · [f (t) − D · v − S · x] .

(5.196)

Für dieses aufbereitete System erster Ordnung mit den obigen Anfangsbedingungen, stehen verschiedene Verfahren zur Verfügung. Wie beim Eigenwertproblem muss man die Eigenschaften des Systems kennen, um die richtige Auswahl zu treffen. Auch hier sagen die Eigenwerte

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung

189

der Zustandsmatrix einiges über die Wahl des Verfahrens aus. Liegen diese beispielsweise um Zehnerpotenzen auseinander, versagen die gängigen Einschrittverfahren vom Typ Runge-Kutta. Dies kann ein Hinweis auf ein steifes Differentialgleichungssystem sein, für das es spezielle Algorithmen gibt. In jedem Fall sollten bei einer neuen Problemstellung verschiedene DGL-Löser zur Kontrolle angewendet werden. Als Lösung erhält man für jeden Freiheitsgrad die Verschiebung und deren zeitliche Ableitungen.

5.7.3

Modale Analyse

Die Entwicklung nach Eigenvektoren lässt sich auch auf das inhomogene DGL-System vorteilhaft anwenden. Durch die Entkopplung entstehen n Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Bei harmonischer Fremderregung treten wieder Übertragungsfunktionen auf, die eine Ähnlichkeit mit denen des Einmassenschwingers aufweisen. Ausgangspunkt der Betrachtung ist wieder das DGL-System (5.154) mit harmonischer Kraftanregung M · x¨ + D · x˙ + S · x = f 0 · ej·Ωt .

(5.197)

Die partikuläre Lösung wird nach den zuvor berechneten Eigenvektoren entsprechend (5.129) entwickelt und dann mit der transponierten Modalmatrix von links multipliziert x(t) =  · q(t),  t · M ·  · q¨ +  t · D ·  · q˙ +  t · S ·  · q =  t · f 0 · ej·Ωt .

(5.198)

Die Anwendung der Orthogonalitätsbedingungen führt zur generalisierten Schwingungsgleichung, deren linke Seite (5.141) entspricht. q¨k + 2dmodal(k) · ω(k) · q˙(k) + ω2(k) · q(k) = Ψlk · f 0l · ej·Ωt .

(5.199)

Das sind n entkoppelte Differentialgleichungen zweiter Ordnung, die harmonisch angeregt werden. Dies erinnert wieder an den Einmassenschwinger mit Kraftanregung. Auch die weitere Behandlung dieser generalisierten Differentialgleichungen läuft ähnlich ab wie dort. Der bekannte Eigenschwingungsansatz qk (t) = qˆk · ej·Ωt

(5.200)

führt zu einer komplexen Übertragungsfunktion und zu den Lösungen im Zeitbereich. Dazu wird der Ansatz differenziert und in die DGL eingesetzt. Dies liefert die k-te generalisierte Amplitude qˆk =

ω2(k)

Ψl(k) · f 0l  . 2 1 − η(k) + 2 · j · dmodal(k) · η(k)

(5.201)

190

5. Lineare Schwingungssysteme

In Anlehnung an vorangegangene Betrachtungen, wurde wieder das Frequenzverhältnis, die Abstimmung ηk =

Ω , k = 1, . . . , n ωk

(5.202)

eingeführt. Nun kann jede Amplitude qˆk mit dem konjugiert komplexen Nenner erweitert werden qˆk =

  Ψl(k) · f 0l 

1 − η2(k) − 2dmodal(k) · η(k) · j . 2 2 ω2(k) 1 − η2(k) + 4dmodal(k) · η2(k)

Somit besteht jede Amplitude aus einem Real- und Imaginärteil {qˆk } =

  Ψl(k) · f 0l 

1 − η2(k) , 2 2 ω2(k) 1 − η2(k) + 4dmodal(k) · η2(k)

(5.203)

{qˆk } =

  Ψl(k) · f 0l 

−2dmodal(k) · η(k) . 2 2 ω2(k) 1 − η2(k) + 4dmodal(k) · η2(k)

(5.204)

Mit (5.203) und (5.204) können die generalisierten Koordinaten berechnet werden qk (t) =



 {qˆk } + j · {qˆk } · ( cos Ωt + j · sin Ωt ) .

(5.205)

Dies ergibt wieder k komplexe und zeitabhängige generalisierte Koordinaten. Berücksichtigt man, dass die Schwingungen reell sind, interessiert nur der Realteil von qk (t). Die verbleibende Differenz der beiden harmonischen Funktionen wird wieder in bekannter Weise zusammengefasst   ( ( qk (t) = (qˆk ( · cos Ωt + φˆ (k) , ( ( (qˆk ( =

(5.206)

Ψl(k) · f 0l ,  2 2 2 2 2 ω(k) · 1 − η(k) + 4dmodal(k) · η(k) !

−2dmodal(k) · η(k) φk = arctan 1 − η2(k)

(5.207)

" .

(5.208)

Das ist aber nichts anderes als der Betrag der komplexen generalisierten Amplitude. Vergleicht man diese Ausdrücke mit der partikulären Lösung des Einmassenschwingers bei Kraft- oder Fußpunktanregung über Feder, ist eine Analogie zur Übertragungsfunktion α1 (η) erkennbar.

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung

191

Handelt es sich um andere harmonische Anregungen, lassen sich entsprechende Transferfunktionen auf dem selben Weg entwickeln. Die generalisierten Koordinaten müssen noch in den Originalraum zurücktransformiert werden. Somit lauten die Auslenkungen   ( ( x j (t) = Ψ j(k) · (qˆ(k) ( · cos Ωt + φˆ (k) .

(5.209)

Beispiel 5.9: Schwingungsantwort einer biegesteifen Struktur. Die dargestellte Struktur besteht aus kreisförmigen Balken, Da , Db , Dc , die biegesteif miteinander verbunden sind. Der Knotenpunkt 1 wird zusätzlich durch eine Feder gestützt. Das System wird am selben Punkt harmonisch durch die Kraft F(t) = F0 · cos Ωt angeregt. Basierend auf der modalen Analyse ist die Schwingungsantwort zu bestimmen. Hinsichtlich der Strukturdämpfung soll eine Proportionalität zur Steifigkeit des Systems mit dem Faktor β berücksichtigt werden. Geg.: m 1 = 10 kg, J1 = 10 kgm2 , J2 = 50 kgm2 , F0 = 1 kN, Ω = 10 Hz, Da = 35 mm, Db = 20 mm, Dc = 15 mm, a = 1 m, b = 0,5 m, c = 0,4 m, E = 2,16· 1011 N/m2 , c F = 105 N/m, β = 10−3 .

Dc

c

F(t) Da

Db

m 2 ,J2

Dc

cF

a

c

m 1 ,J1

b

Abbildung 5.17: Statisch unbestimmtes Tragwerk mit Zusatzfeder und Einzelmassen.

Lösung: Die Knotenpunkte 1 und 2 haben jeweils drei Freiheitsgrade in der zu betrachtenden Ebene. Eine Anregung in horizontaler Richtung erfolgt nicht. Also entfällt die Longitudinalschwingung. Knoten 1 kann sich vertikal bewegen mit w(t) und Verdrehen mit ϕ1 (t). Knoten 2 kann wegen der Dehnsteifigkeiten E c = E · Ac nur sehr geringe Transversalbewegungen ausführen, was im Anschluß noch zu diskutieren ist. Verbleibt noch die Verdrehung mit ϕ2 (t), womit das System drei Freiheitsgrade hat. Diese Bewegungen hängen von der Steifigkeit des Tragwerkes ab. Lenkt man die Knoten entsprechend aus, stellen sich eine Rückstellkraft und zwei Reaktionsmomente, zunächst in allgemeiner Form, ein ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎡ ⎤ Fw s11 s12 s13 w(t) ⎣ M1 ⎦ = ⎣ s12 s22 s23 ⎦ ⎣ ϕ1 (t) ⎦ . (5.210) M2 s13 s23 s33 ϕ2 (t)

192

5. Lineare Schwingungssysteme

Damit können die Bewegungsgleichungen, z.B. mit dem D’Alembertschen Prinzip in der Lagrangeschen Fassung aufgestellt werden δA(e) = 0 =

  −m 1 · w ¨ − Fw − c F · w + m 1 · g + F(t) · δw +     −J1 · ϕ¨ 1 − M1 · δϕ1 + −J2 · ϕ¨ 2 − M2 · δϕ2 .

(5.211)

Die virtuellen Verrückungen sind  = 0, womit die Terme in den Klammern verschwinden müssen. Daraus entsteht ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ m1 0 0 w s11 + c F s12 s13 w ¨ ⎣ 0 J1 0 ⎦ ⎣ ϕ¨ 1 ⎦ + ⎣ s12 s22 s23 ⎦ ⎣ ϕ1 ⎦ = 0 0 J2 ϕ¨ 2 s13 s23 s33 ϕ2 ⎡

⎤ m 1 · g + F0 · cos Ωt ⎣ ⎦. 0 0

(5.212)

Die Ermittlung der Elemente der Steifigkeitsmatrix sij erfolgt nach der Deformationsmethode, vgl. Kap. 3. Dieses Verfahren bietet sich stets an, falls das System statisch unbestimmt ist. Dem Tragwerk werden reale und virtuelle Verformungszustände überlagert. Die Auswertung liefert mit den Biegesteifigkeiten Ba = E ·

π · Db4 π · Da4 π · Dc4 , Bb = E · , Bc = E · , 64 64 64

die gesuchten Elemente. Die Dämpfungsmatrix wird als proportional zur Steifigkeitsmatrix angenommen, also D = β · S. Mit den gegebenen Zahlenwerten lauten die Systemmatrizen: ⎡

10 M=⎣ 0 0 ⎡

0 10 0

⎤ ⎡ 0 2,909 0 ⎦ , S = 105 · ⎣ −0,9547 50 −0,9547

2,909 D = 102 · ⎣ −0,9547 −0,9547

−0,9547 0,6364 0,3182

−0,9547 0,6364 0,3182

⎤ −0,9547 0,3182 ⎦ , 0,8795

⎤ −0,9547 0,3182 ⎦ . 0,8795

Als nächstes werden die Eigen(kreis)frequenzen und Eigenvektoren des konservativen Ersatzsystems berechnet.

5.7 Schwingungsantwort bei äußerer Anregung

193

Abbildung 5.18: Ermittlung der Steifigkeitsmatrix nach der Deformationsmethode.

Eigen(kreis)frequenzen und Modalmatrix: ω1 f1

= =

33,274 5,296

ω2 f2

1/s, Hz,

⎡

0,0494  = ⎣ 0,0052 0,1397

= =

53,807 8,564

1/s, Hz,

ω3 f3

= =

182,248 29,006

1/s Hz

⎤ 0,2942 −0,1070 ⎦ . −0,0200

0,1049 0,2975 −0,0096

Die generalisierte Dämpfungsmatrix stellt sich aufgrund des Ansatzes als reine Diagonalmatrix dar. Im Einzelnen berechnet man folgende modale Parameter: k

ωk

dgen(kk)

δk

ω Dk

1

33,274 1/s

1,107

0,554 1/s

33,269 1/s

2

53,807 1/s

2,895

1,448 1/s

53,788 1/s

3

182,248 1/s

33,210

16,607 1/s

181,489 1/s

k

dmodal(k)

ηk

|qˆ(k) |

φˆ k

1

0,0166

1,89

0,0174

0,0245

2

0,0269

1,17

0,0982

0,171

3

0,0911

0,34

0,01

-0,0711

194

5. Lineare Schwingungssysteme

Die Berechnung der konjugiert komplexen Eigenwerte der zugehörigen Zustandsmatrix nach (5.124) führt zu den gleichen Ergebnissen. Die Strukturantwort im Originalraum lautet damit ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ cos(Ωt + φˆ1 ) w(t) ψ11 |qˆ1 | ψ12 |qˆ2 | ψ13 |qˆ3 | ⎣ ϕ1 (t) ⎦ = ⎣ ψ21 |qˆ1 | ψ22 |qˆ2 | ψ23 |qˆ3 | ⎦ ⎣ cos(Ωt + φˆ2 ) ⎦ . ϕ2 (t) ψ31 |qˆ1 | ψ32 |qˆ2 | ψ33 |qˆ3 | cos(Ωt + φˆ3 )

(5.213)

Die Maximalwerte der Amplituden betragen wmax = 8,3 mm, ϕ1max = 1,7◦ und ϕ2max = 0,1◦ . Bleibt noch zu klären, welchen Einfluss die Dehnsteifigkeit der vertikalen Balken auf die Ergebnisse hat. Die Mitnahme eines weiteren Freiheitsgrades, der Vertikalverschiebung von Knoten 2, führt auf ein System der Ordnung 4 × 4. Wegen der hohen Dehnsteifigkeit enthält die neue Steifigkeitsmatrix ein Diagonalelement welches etwa um drei Zehnerpotenzen höher ist, als der frühere Maximalwert. Die ersten drei Eigenfrequenzen unterscheiden sich von den obigen Ergebnissen nicht. Hinzu kommt eine weitere Frequenz, die bei etwa 500 Hz liegt. Diese Frequenz wird nicht angeregt, daher ist die vertikale Auslenkung von Knoten 2 vernachlässigbar klein. Der Vorteil der modalen Analyse besteht nicht nur im vereinfachten Rechengang, sondern vor allem in der Datenreduktion. Bei Strukturen mit sehr vielen Freiheitsgraden ergeben sich entsprechend hohe Frequenzen. Das Hauptinteresse gilt der Schwingungsantwort im weiteren Bereich der Anregungsfrequenz. Daher ist es naheliegend, nicht nach allen Eigenvektoren zu entwickeln, sondern nur nach einigen am unteren Frequenzspektrum. Dies führt zu einer deutlichen Reduktion von Freiheitsgraden. Hat das System n Freiheitsgrade und wird nach m < n Eigenvektoren entwickelt, ergibt sich für die Modalmatrix die Ordnung n × m. Die Anwendung der Orthogonalitätsbedingungen liefert dann generalisierte Matrizen der Ordnung m × m.

5.8

Schwingungstilgung

Schwingungsfähige Systeme mit mehreren Freiheitsgraden beeinflussen sich gegenseitig. Dies kann unter bestimmten Voraussetzungen dazu führen, dass Amplituden minimal oder sogar Null sind, obwohl eine äußere Anregung vorhanden ist. Zur Klärung dieses Sachverhaltes wird eine Schwingerkette mit zwei Freiheitsgraden betrachtet, bei der die Masse m 1 harmonisch angeregt wird mit F(t) = F0 · ej·Ωt . Die Bewegungsgleichung für Schwingungen um die statische Ruhelage lautet M · y¨ + S · y = f 0 · ej·Ωt ,

m 11 0

0 m 22



y¨1 y¨2

+

s11 s12

s12 s22



y1 y2

=

Mit m 11 = m 1 , m 22 = m 2 , s11 = c1 + c2 , s12 = −c2 und s22 = c2 .

F0 0

· ej·Ωt .

(5.214)

5.8 Schwingungstilgung

195

m2

mT c 2/ 2

y2 (t)

cT

yT (t)

m1 y1 (t)

m1 c 1/ 2

c 1/ 2

F(t)

F(t)

y1 (t)

Abbildung 5.19: Schwingerkette mit zwei Freiheitsgraden. Schwingungstilger.

Der bekannte Ansatz vom Typ der rechten Seite, y = yˆ ·ej·Ωt , führt wieder auf ein lineares Gleichungssystem der Form, A · yˆ = f 0





s12 s11 − Ω 2 m 11 yˆ1 F0 = . (5.215) yˆ2 0 s12 s22 − Ω 2 m 22 Das Gleichungssystem hat eindeutige Lösungen, Amplituden, falls die Determinante der Koeffizientenmatrix ungleich Null ist, D = det{A} = 0. Dann können nach der Cramer’schen Regel die Determinanten D1 und D2 gebildet werden, womit die Größe der Amplituden festliegt ( ( ( F (   s12 ( = F0 · s22 − Ω 2 m 22 , (5.216) D1 = (( 0 2 ( 0 s22 − Ω m 22 ( ( s − Ω 2 m 11 D2 = (( 11 s12

( F0 (( = −F0 · s12 , 0 (

(5.217)

yˆ1 =

D1 F0 · (s22 − Ω 2 m 22 ) = , D D

(5.218)

yˆ2 =

D2 −F0 · s12 = . D D

(5.219)

Jetzt kann die Frage gestellt werden, unter welchen Voraussetzungen die Schwingungsamplitude der harmonisch angeregten Masse m 1 Null wird yˆ1 = 0 =

F0 · (s22 − Ω 2 m 22 ) , D

s22 = Ω 2 m 22 .

(5.220) (5.221)

Der Quotient  ωT =

s22 m 22

 =

c2 m2

(5.222)

196

5. Lineare Schwingungssysteme

heißt Tilger(kreis)frequenz. Die Amplitude der Primärmasse m 1 ist dann Null, wenn exakt die Erreger(kreis)frequenz Ω gleich der Tilger(kreis)frequenz ωT ist. Daraus lässt sich für eine gewählte Tilgermasse m T die erforderliche Tilgersteifigkeit cT ermitteln cT = Ω 2 m T .

(5.223)

Das entstandene Tilgersystem hat zwei Eigenfrequenzen. Die Tilgerfrequenz liegt dazwischen. Bei exakter Einhaltung der Bedingungen ist yˆ1 an der Stelle Ω = ωT Null. Geringfügige Abweichungen lassen die Amplitude schnell ansteigen. In der Praxis ist es nur schwer möglich, die Betriebsbedingungen konstant zu halten, was einer Umsetzung dieser Methode entgegensteht. Gefragt sind kleine Amplituden auch in der Resonanz. Deshalb wird ein viskoser Dämpfer r T der Feder cT parallel geschaltet. Das reduziert die Schwingungsamplituden zwar erheblich, von einer Tilgung kann aber nicht mehr die Rede sein. Beispiel 5.10: Schwingungstilgung bei einem Antriebssystem. Das in Bild a) dargestellte Antriebssystem führt im Nennbetrieb unzulässig hohe Schwingungsamplituden aus. Durch Einbau eines Schwingungstilgers soll das System beruhigt werden. In einem ersten Berechnungsschritt soll der Istzustand der Lagerung analysiert werden. Sodann ist ein Tilgersystem, entsprechend Bild b) auszuwählen und schwingungstechnisch zu bewerten. Schließlich soll noch geprüft werden, welche Auswirkungen ein zusätzlicher Dämpfungstilger auf das Schwingungsverhalten des Systems hat. Geg.: M = 200 kg, m u = 0,05 kg, e = 0,01 m, c = 2,466 · 106 N/m, n = 1500 U/min, r T = 1,0 kg/s, m T = 1 kg. Lösung: Istzustand der Motorlagerung: Es handelt sich um ein System mit einem Freiheitsgrad bei Fliehkraftanregung. Die als konstant anzusehende Umlauffrequenz beträgt f Ω = n/60 = 25 Hz, die Eigenfrequenz f 0 = √ 2 · c/M/2π = 24,993 Hz. Daraus ergibt sich eine Abstimmung von η = 1,00028.

mT M

M e

mu

e

n c

a)

cT

yT

mu

n c

yM

c

c

b)

Abbildung 5.20: a) Istzustand der Motorlagerung, b) zugehöriges Tilgersystem.

5.8 Schwingungstilgung

197

Damit stellt sich eine maximale Schwingungsamplitude von y M max =

mu · e η2 · M |1 − η2 |

= 4, 4 mm

ein, die hier als zu hoch erachtet wird. Entwurf eines Tilgersystems: Die Tilgermasse wird abgeschätzt, hier mit m T = 1,0 kg. Somit ergibt sich eine Tilgersteifigkeit von cT = Ω 2 · m T = 2,467· 104 N/m. Damit ist ein System mit zwei Freiheitsgraden entstanden







y¨ M 2 · c + cT −cT yM M 0 + = −cT cT yT 0 mT y¨T

−m u · e · Ω 2 · sin Ωt 0

.

(5.224)

Aus dem homogenen DGL-System erhält man die beiden Eigenfrequenzen f 1 und f 2 . Diese erhält man entweder aus der Lösung der Allgemeinen Eigenwertaufgabe oder der Nullstellenberechnung des charakteristischen Polynoms. Im Einzelnen ergeben sich für das Beispiel folgende Zahlenwerte, f 1 = 24,13 Hz, f 2 = 25,90 Hz. Die Anregungsfrequenz f Ω = 25 Hz liegt also zwischen diesen Werten. Die Maximalwerte der Amplituden von Motor und Tilger erhält man aus dem Gleichungssystem    t −M · Ω 2 + S · yˆ = f 0 , f t0 = m u · e · Ω 2 0 . Wie nicht anders zu erwarten, ist die Amplitude des Motors Null, die des Tilgers beträgt 0,5 mm. Eine bessere Vorstellung des Schwingungsverhaltens erhält man bei Betrachtung des AmplitudenFrequenzganges • werden die Betriebsbedingungen, hier n = 1500 U/min exakt eingehalten, ist die Amplitude des Motors Null. Der Nullpunkt der Amplitude heißt Tilgerstelle; • geringfügige Abweichungen davon bewirken ein Anwachsen der Schwingungsamplituden. Zu beachten ist der enge Frequenzbereich zwischen den Resonanzstellen, f 1 ≤ f ≤ f2 . In der Praxis lassen sich diese idealen Verhältnisse nur schwer realisieren. Daher wird angestrebt, die Amplituden in der Resonanz zu reduzieren. Dies kann durch einen viskosen Tilgerdämpfer, Parameter r T , erreicht werden, welcher der Feder parallel geschaltet wird. Dadurch entsteht eine Dämpfungsmatrix

1 −1 D = rT · . (5.225) −1 1

198

5. Lineare Schwingungssysteme Motor

0.5 0 20

22

24 26 f ---> [ Hz ]

Tilger

1

yT [ mm ]

yM [ mm ]

1

28

0.5 0 20

30

22

24 26 f ---> [ Hz ]

28

30

28

30

Abbildung 5.21: Amplituden-Frequenzgang des Tilgersystems. Motor

0.5 0 20

22

24 26 f ---> [ Hz ]

Tilger

1

yT [ mm ]

yM [ mm ]

1

28

30

0.5 0 20

22

24 26 f ---> [ Hz ]

Abbildung 5.22: Amplituden-Frequenzgang bei gedämpftem Tilgersystem.

Im Beispiel 5.8 wurde gezeigt, wie man die partikuläre Lösung eines gedämpften Systems bei Fliehkraftanregung gewinnt. Der Amplitudengang zeigt ein deutlich besseres Verhalten der Primärmasse, während der Tilger heftig arbeitet, was man oft in Kauf nimmt.

5.9

Mechanisch-elektrische Analogie

Viele Aufgabenstellungen in der Maschinendynamik sind eng mit der Elektrotechnik verknüpft, denkt man beispielsweise an den Antrieb oder die Regelung von Rotoren. Obwohl sich die Formulierungen in der Mechanik von denen in der theoretischen Elektrotechnik unterscheiden, sind die Differentialgleichungen für die Bewegung oder das RLC-Netz identisch. Wird die Schwingung eines mechanischen Systems durch die Parameter Masse m, Dämpfung r und Steifigkeit c ausgedrückt, sind dies bei elektrischen Systemen Induktivität L, ohmscher Widerstand R und Kapazität C. Zum Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichungen eines mechanischen Systems gelangen Schwerpunkt- und Drallsatz oder vorteilhaft, die auf dem Prinzip der virtuellen Arbeiten basierenden Verfahren, zur Anwendung. Bei elektrischen Schwingkreisen erhält man die beschreibenden Differentialgleichungen mit Hilfe der beiden Kirchhoffschen Gesetze. Nach der 1. Kirchhoffschen Regel ist für jeden Knoten die Summe aller zu- und abfließenden Ströme gleich Null. Die 2. Regel besagt, dass für jede Masche die Summe aller Teilspannungen Null ist.

5.9 Mechanisch-elektrische Analogie

199

Ebenso wie bei mechanischen Systemen können energetische Formulierungen verwendet werden. Somit können mechanisch-elektrisch gekoppelte Systeme beispielsweise mit den Lagrangeschen Gleichungen behandelt werden. Es lassen sich Ähnlichkeitsbeziehungen zwischen Kraft und Spannung sowie Kraft und Strom herstellen. Die nachstehende Tabelle enthält eine Gegenüberstellung dieser Analogien. Mechanisches System

Kraft-Spannungsanalogie

Kraft-Stromanalogie

Kraft F(t)

Spannungsquelle u(t)

Stromquelle i(t)

Anzahl Freiheitsgrade Verschiebung x(t),

Anzahl Maschen  Ladung Q(t) = i · dt

Anzahl Knoten  u · dt

Geschwindigkeit x, ˙

Maschenströme i

Knotenspannungen u

Masse m

Induktivität L

Kapazität C

Dämpfer r

ohmscher Widerstand R

ohmscher Widerstand 1/R

Feder c, k

Kapazität C

Induktivität L

Koppelelemente zwischen den Massen

Bauelement zwischen den Maschen

Bauelement zwischen den Knoten

Schwerpunktsatz, Drallsatz

2. Kirchhoffsches Gesetz +n k=1 u k = 0

1. Kirchhoffsches Gesetz +n k=1 i k = 0

Zum Aufstellen der Differentialgleichungen ist ein Zusammenhang zwischen den mechanischen Wirkungen Trägheits-, Dämpfungs- und Federkraft und den elektrischen Entsprechungen, in Form von Maschengleichungen, erforderlich. Die Grundlage dafür bilden das Ohmsche Gesetz, das Induktionsgesetz sowie die Regel für die Behandlung von Kapazitäten (Kondensatoren) im Wechselstromkreis. Damit wird es möglich, ein mechanisches schwingungsfähiges System in einen elektrischen Schwingkreis umzuwandeln und umgekehrt. Beispiel 5.11: Mechanisch-elektrische Analogie für ein System mit zwei Freiheitsgraden. Die dargestellte mechanische Schwingerkette mit zwei Freiheitsgraden soll in ein elektrisches System umgewandelt werden. Wie lautet dafür das äquivalente Differentialgleichungssystem? Lösung: Das mechanische System besteht aus den beiden Systemen m 1 , c1 , r1 und m 2 , c3 , r3 die mittels Feder c2 und Dämpfer r2 miteinander gekoppelt sind. Folglich wird das elektrische System durch zwei Maschen dargestellt. Die jeweils parallel geschalteten Federn und Dämpfer entsprechen den hintereinander geschalteten Wirkwiderständen und Kapazitäten R1 , C1 und R3 , C3 . Die Massen m 1 und m 2 entsprechen den Induktivitäten L 1 und L 2 . Die mechanischen Koppelelemente sind den Bauelementen R2 und C2 zugeordnet. In den Maschen fließen die Ströme i 1 und i 2 . Die als harmonisch vorausgesetzten Kräfte F1 und F2 sind den treibenden Spannungen u 1 und u 2 ähnlich.

200

5. Lineare Schwingungssysteme

Abbildung 5.23: Wirkung von mechanischen und elektrischen Bauelementen.

5.9 Mechanisch-elektrische Analogie Mechanisches System

r1

Elektrisches System

c1 m1

y1

C1

R1

R3

F1

C3

C2 i1

u1

r2

c2

201

i2

R2

u2

m2

y2

F2 r3

L1

L2

c3

Abbildung 5.24: Mechanische Schwingerkette mit zugeordneten elektrischen Schwingkreisen.

Die Bewegungsdifferentialgleichungen für das mechanische System ergeben sich aus dem Schwerpunktsatz







 0 y¨1 r1 + r2 −r2 y˙1 m1 + + 0 m2 y¨2 −r2 r2 + r3 y˙2





 −c2 c1 + c2 y1 F1 = , (5.226) −c2 c2 + c3 y2 F2 M · y¨ + D · y˙ + S · y = f .

(5.227)

Entsprechend der Kraft-Spannungsanalogie wird für jede Masche das Gleichgewicht der Spannungen gebildet 

 i 1 dt (i 1 − i 2 )dt di 1 − R2 (i 1 − i 2 ) − − L1 0 = u 1 − R1 · i 1 − C1 C2 dt   i 2 dt (i 2 − i 1 )dt di 2 0 = u 2 − R3 · i 2 − − R2 (i 2 − i 1 ) − − L2 . C3 C2 dt

(5.228) (5.229)

Werden die Ströme durch die zeitliche Ableitung der Ladungen ersetzt, also i 1 = dQ 1 /dt und i 2 = dQ 2 /dt, ergibt sich das analoge DGL-System

!

L1 0

0 L2

+ c12 − c12

1 c1



Q¨ 1 Q¨ 2

− c12 1 1 c2 + c3



+

"

R1 + R2 −R2

Q1 Q2

¨ +R·Q ˙ + C · Q = u. L·Q



=

−R2 R2 + R3

u1 u2



Q˙ 1 Q˙ 2

 +

 ,

(5.230)

(5.231)

202

5. Lineare Schwingungssysteme

Die Eigenschaften der Matrizen des mechanischen und elektrischen Systems sind identisch, also symmetrisch und positiv definit. Die mathematische Behandlung im Hinblick auf die Ermittlung von Eigenfrequenzen und Schwingungsamplituden infolge äußerer Anregung, verläuft identisch. Das Prinzip der virtuellen Arbeiten kann auf elektromechanische Systeme erweitert werden. Dazu wird der bekannte Arbeitsausdruck um die virtuelle Arbeit von (Maschen-)Spannung und Ladung δAel = −u · δQ

(5.232)

ergänzt. Mit den Induktivitäten L des elektrischen Systems kann die kinetische Energie gebildet werden E el =

1 · L · Q˙ 2 . 2

(5.233)

Die potentielle Energie ergibt sich aus den kapazitiven Größen C gemäß U el =

1 1 · · Q2. 2 C

(5.234)

Damit ist es möglich, die Bewegungsgleichungen des elektrischen Systems mit den Lagrangeschen Gleichungen (3.101) aufzustellen, was für den elektrischen Schwingkreis aus Beispiel 5.11 demonstriert wird. Das System hat die generalisierten Koordinaten  q1 := Q 1 = q2 := Q 2 =



i 1 · dt,

(5.235)

i 2 · dt.

(5.236)

Mit den Induktivitäten L 1 , L 2 und Kapazitäten C1 , C2 , lassen sich die kinetische und potentielle Energie formulieren 1 2 2 · (L 1 · Q˙ 1 + L 2 · Q˙ 2 ), 2 Q2 1 Q2 (Q 1 − Q 2 )2 = ·( 1 + 2 + ) 2 C1 C3 C2

E el =

(5.237)

U el

(5.238)

und damit die Lagrangesche Funktion L = E el – U el . Die generalisierten Kräfte lassen sich durch Koeffizientenvergleich aus den virtuellen Arbeiten bestimmen gen

gen

δA = Q 1 · δQ 1 + Q 2 · δQ 2 = [u 1 − R1 · Q˙ 1 − R2 · ( Q˙ 1 − Q˙ 2 ) ] · δQ 1 + [u 2 − R3 · Q˙ 2 − R2 · ( Q˙ 2 − Q˙ 1 ) ] · δQ 2 .

(5.239)

5.9 Mechanisch-elektrische Analogie

203

Somit können die Differentiationen, gemäß der Lagrangeschen Vorschrift, durchgeführt werden 

d ∂L ∂L gen − = Q1 , dt ∂ q˙1 ∂q1 1 1 1 L 1 Q¨ 1 + (R1 + R2 ) Q˙ 1 − R2 Q˙ 2 + ( + )Q 1 − Q2 =u 1 , (5.240) C1 C2 C2

 d ∂L ∂L gen = Q2 , − dt ∂ q˙2 ∂q2 1 1 1 L 2 Q¨ 2 + (R2 + R3 ) Q˙ 2 − R2 Q˙ 1 + ( + )Q 2 − Q1 =u 2 . (5.241) C2 C3 C2 Es ergeben sich wieder dieselben Differentialgleichungen wie oben. Der Vorteil dieser Methode besteht weniger in der bequemen Anwendung, vielmehr lassen sich mechanische und elektrische Systeme zu einer Einheit, in Form von Energien und Arbeiten nichtkonservativer Kräfte, zusammenfassen und bearbeiten. Als weiteres Beispiel dazu dient ein vereinfachtes Wicklungsmodell eines Asynchronmotors. Wie in der Elektrotechnik gezeigt wird, können sowohl Gleichstrom-, als auch Drehstrommotoren durch ein zweidimensionales Ersatzmodell abgebildet werden. Es besteht nur aus idealen Wicklungen, die im Stator, Index s und im Rotor, Index r, angeordnet sind. Durch geeignete Transformationen gelangt man zu ruhenden Ersatzwicklungen, die in einem statorfesten Bezugskoordinatensystem definiert sind. Sie werden durch die Hauptinduktivitäten L r , L s und die Widerstände Rr und Rs dargestellt. Dabei wird eine Symmetrie bei den Wicklungen vorausgesetzt. p

ups

ips Rs

Ls

L rs

ω ipr

Lr Rr

Lr

Ls

upr idr

Rr

ids

udr

d Rs

uds L sr

Abbildung 5.25: Elektrisches Ersatzmodell eines Asynchronmotors.

204

5. Lineare Schwingungssysteme

5.9.1

Spannungsdifferentialgleichungen des Asynchronmotors

Berechnungsgrundlage bildet das Induktionsgesetz, wonach jede zeitliche Änderung des magnetischen Flusses eine elektrische Spannung hervorbringt. Da Stator- und Rotorkreis durch einen Luftspalt getrennt sind, entstehen Streuflüsse, welche ebenfalls Spannungen induzieren. Deren Quantifizierung erfolgt durch eine Streuinduktivität L rs = L sr . Dreht sich der Läufer im Magnetfeld, werden weitere, diesmal vorzeichenbehaftete, Spannungen induziert, die von der Rotorwinkelgeschwindigkeit ω abhängen. Im Weiteren wird vorausgesetzt, wovon bereits Gebrauch gemacht wurde, dass die magnetischen Flüsse φ zeitlich konstant sind und durch die ebenfalls konstanten Induktivitäten L ausgedrückt werden können, also u(t) =

dφ di(t) = L· . dt dt

(5.242)

Ein derartiges Modell hat vier elektrische Freiheitsgrade, ausgedrückt durch die Stator- und Rotorströme, i dr , i pr , i ds und i ps . Hinzu kommt der mechanische Drehwinkel ϕ. Damit wird das elektrisch-mechanische System durch die fünf generalisierten Koordinaten       i dr dt i pr dt i ds dt i ps dt ϕ q= (5.243) beschrieben. Die Ströme werden wieder durch die Ladungen ausgedrückt, gemäß   q = Q dr Q pr Q ds Q ps ϕ .

(5.244)

Zur Formulierung des Lagrangeschen Formalismus, werden kinetische Energie und virtuelle Arbeiten gebildet E = E el + E mech 1 2 = · [L s · ( Q˙ 2ds + Q˙ qs ) + L r · ( Q˙ 2dr + Q˙ 2pr )] + 2 1 L sr · ( Q˙ ds · Q˙ dr + Q˙ ps · Q˙ pr ) + · J · ϕ˙ 2 , 2 δA = δAel + δAmech = [−Rr · Q˙ dr − ϕ˙ · (L r · Q˙ pr + L sr · Q˙ ps )] · δQ dr + [−Rr · Q˙ pr + ϕ˙ · (L r · Q˙ dr + L sr · Q˙ ds )] · δQ pr + (u ds − Rs · Q˙ ds ) · δQ ds + (u ps − Rs · Q˙ ps ) · δQ ps + (M A − M L ) · δϕ.

(5.245)

(5.246) gen

Die in eckigen Klammern stehenden Ausdrücke entsprechen den generalisierten Kräften Q j , j = 1, . . . , 5.

5.9 Mechanisch-elektrische Analogie

205

Sie setzen sich aus den treibenden Statorspannungen, den Verlusten infolge der Ohmschen Widerstände, sowie den resultierenden Spannungen, hervorgerufen durch die Rotation des Läufers, zusammen. Das noch unbekannte Antriebsdrehmoment M A , vermindert um eine Last M L , verrichtet Arbeit am Rotordrehwinkel. Da das System keine potentielle Energie enthält, vereinfachen sich die Lagrangeschen Bewegungsgleichungen. Die Ausführung der Rechenvorschrift liefert

 d ∂E gen = Q dr , dt ∂ Q˙ dr L r · Q¨ dr + L rs · Q¨ ds + Rr · Q˙ dr + ϕ˙ · (L r · Q˙ pr + L sr · Q˙ ps ) = 0, 

d ∂E = Q gen pr , dt ∂ Q˙ pr L r · Q¨ pr + L rs · Q¨ ps + Rr · Q˙ pr − ϕ˙ · (L r · Q˙ dr + L sr · Q˙ ds ) = 0, 

d ∂E gen = Q ds , dt ∂ Q˙ ds L s · Q¨ ds + L rs · Q¨ dr + Rs · Q˙ ds = u ds ,

 d ∂E = Q gen ps , dt ∂ Q˙ ps L s · Q¨ ps + L rs · Q¨ pr + Rs · Q˙ ps = u ps ,

 d ∂E = Q ϕgen , dt ∂ Q˙ ϕ J · ϕ¨ = M A − M L .

(5.247)

(5.248)

(5.249)

(5.250)

(5.251)

Die Ladungen werden durch die Ströme ersetzt, Q˙ = i. Damit ergeben sich die Spannungsdifferentialgleichungen für den Asynchronmotor. Sie werden zweckmäßig in Matrizen dargestellt ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ 0 L sr 0 i dr Rr 0 0 0 i dr Lr Lr 0 L sr ⎥ d ⎢ i pr ⎥ 0 0 ⎥ ⎢ i pr ⎥ ⎢ 0 ⎢ 0 Rr )+⎣ ( ⎣ L 0 0 Rs 0 ⎦ ⎣ i ds ⎦ 0 Ls 0 ⎦ dt ⎣ i ds ⎦ sr 0 L sr 0 0 0 Rs 0 Ls i ps i ps ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 Lr 0 L rs i dr 0 0 −L rs 0 ⎥ ⎢ i pr ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ −L r +ϕ˙ ⎣ = , (5.252) 0 0 0 0 ⎦ ⎣ i ds ⎦ ⎣ u ds ⎦ 0 0 0 0 i ps u ps L · s˙ + RΩ · s + ϕ˙ · Gω · s = u.

5.9.2

(5.253)

Drehmomentenbildung

Das Luftspaltmoment M el erhält man aus einer Leistungsbilanz. Dazu wird obige Gleichung von links mit dem Zeilenvektor der elektrischen Ströme st multipliziert. Nach dieser Skalarproduktbildung können die entstandenen Terme folgendermaßen interpretiert werden

206

5. Lineare Schwingungssysteme st · L · s˙ s · RΩ · s ϕ˙ · st · Gω · s st · u t

: : : :

magnetische Leistung, Verluste, mechanische Leistung, gesamte elektrische Leistung.

(5.254)

Aus der mechanischen Leistung ergibt sich das Drehmoment des Motors. Es wird noch mit einem Maschinenparameter, der Polpaarzahl, multipliziert M el =

3 3 · z p · st · Gω · s = · z p · L rs · (i dr · i ps − i pr · i ds ). 2 2

(5.255)

Das Antriebsdrehmoment M A entspricht also dem Luftspaltmoment M el . Diese Gleichungen beschreiben das instationäre Verhalten des Motors. Sie können nur durch numerische Integration, was keinerlei Probleme bereitet, gelöst werden.

5.9.3

Normierung der Spannungsdifferentialgleichungen

Für die Simulation des instationären Hochlaufs und außergewöhnlicher Betriebszustände, ist es sinnvoll, die Gleichungen dimensionslos zu machen. Gründe dafür sind einmal bessere Vergleichsmöglichkeiten unterschiedlicher Motoren und natürlich numerische Erwägungen. Dazu werden mit den Nenngrößen der Maschine wie Nennleistung PN , Nenndrehzahl n N , Nennstrom I N , Nennspannung U N und Netzfrequenz f N , die Nennimpedanz (Scheinwiderstand) und Reaktanzen (Blindwiderstände) gebildet ZN

=

2 UN PN

:

Nennimpedanz [ Ω ]

:

Nennkreisfrequenz [ s−1 ]

ωN

=

π·

nN 30

X sr

=

· L sr

:

Hauptfeldreaktanz [ 1 ]

Xr

=

· Lr

:

Reaktanz der Hauptankerwicklung [ 1 ]

Xs

=

ωN ZN ωN ZN ωN ZN

· Ls

:

Reaktanz der Statorwicklung [ 1 ]

R¯ r

=

Rr ZN

:

bezogener Rotorwiderstand [ 1 ]

R¯ s

=

:

bezogener Statorwiderstand [ 1 ]

s¯

=

Rs ZN s IN

:

bezogene Ströme [ 1 ].

Die Spannungsgleichung (5.253) wird mit dem Faktor √ ωN ωN = 3· Z N · IN UN

1 ] V ·s

(5.256)

ωN ωN · (L · s˙ + RΩ · s + ϕ˙ · Gω · s) = · u. Z N · IN Z N · IN

(5.257)

[

multipliziert

5.9 Mechanisch-elektrische Analogie

207

Stellen sich die am Stator angelegten Spannungen in der Form u=

 1√ 3U N 0 2

0

sin(2π f N t + φs )

t

− cos(2π f N t + φs )

,

(5.258)

mit beliebigem Phasenwinkel φs dar, entsteht daraus u¯ =

 3 ωN 0 2

0

sin(2π f N t + φs )

− cos(2π f N t + φs )

t

.

(5.259)

Somit lautet das normierte Spannungsdifferentialgleichungssystem mit den bezogenen Größen ¯ ω · s¯ = u. ¯ Ω · s¯ + ϕ˙ · G ¯ · s˙¯ + ω N · R L ¯

(5.260)

Dieses gekoppelte DGL-System kann natürlich nicht geschlossen gelöst werden. Für eine numerische Behandlung wird das System nach den höchsten Ableitungen umgestellt   ¯ ω ) · s¯ . ¯ Ω + ϕ˙ · G s˙¯ = L¯ −1 · u¯ − (ω N · R

(5.261)

Dazu muss noch die Matrix der Induktivitäten invertiert werden, was aber keine Probleme bereitet ⎡ ⎤ Xs 0 −X rs 0 1 Xs 0 −X sr ⎥ ⎢ 0 ¯ −1 = L ·⎣ . (5.262) 2 −X sr 0 Xr 0 ⎦ X r · X s − X rs 0 −X sr 0 Xr Auch die mechanische Gleichung für die Drehbewegung muss in ein System erster Ordnung transformiert werden. Wird das Drehmoment (5.255) mit den bezogenen Größen berechnet, ist es ebenfalls dimensionslos. Die Bezugsgröße entspricht dem Nenndrehmoment MN =

PN ωN

=

√ UN · IN 3· ωN

Z N · I N2 . ωN

=

(5.263)

Mit diesem Nenndrehmoment kann die theoretische Anlaufzeit bis zum Erreichen der Nenndrehzahl, genauer Nennkreisfrequenz, ermittelt werden tA =

J · ωN . MN

(5.264)

Somit kann auch die Drehgleichung normiert werden. Dazu wird (5.251) durch das Nenndrehmoment dividiert. Mit obiger Anlaufzeitkonstante entsteht das System erster Ordnung ϕ˙ = ω, ωN ω˙ = · tA



1 ¯ ω · s¯ − M L · z p · s¯t · G 2 MN

 .

(5.265)

208

5. Lineare Schwingungssysteme

Mit (5.261) kann die Simulation des mechanisch-elektrisch gekoppelten Systems durchgeführt werden. Beispiel 5.12: Dynamisches Verhalten eines Asynchronmotors. Das dynamische Verhalten eines Asynchronmotors soll durch digitale Simulation untersucht werden. Dabei interessiert der jeweilige Drehmomenten-Zeitverlauf bei unterschiedlichen Lastcharakteristiken ebenso, wie bei einer Spannungsunterbrechung und beim Abschalten des Motors. Geg.: PN = 3,15 MW, n N = 3000 U/min, I N = 359 A, U N = 6 kV, f N = 50 Hz, z p = 1, J = 100 kgm2 , Rr = 0,186 Ω, Rs = 0,055 Ω, L r = 0,107 H, L s = 0,109 H, L rs = 0,106 H. Lösung: Zunächst werden die Widerstände und die Induktivitäten in dimensionslose Parameter umgerechnet: ω N = 100·π 1/s, X r = 3,494,

R¯ r = 0,01925, X rs = 3,439,

Z N = 9,649 Ω, X s = 3,536,

R¯ s = 0,00569, t A = 3,13 s.

Das Verhalten der angetriebenen Maschinen ist vielschichtig und beliebig kompliziert und umfangreich. Es kann ebenfalls durch entsprechende Differentialgleichungen beschrieben werden. Da dies hier weniger interessiert, wird die Last vereinfachend durch drehzahlabhängige Kennlinien der Form ML = f(ζ) mit der Abkürzung: ζ MN

=

ϕ(t) ˙ , ωN

(5.266)

berücksichtigt: Typ

Lastkennlinie

:

f(ζ)

a0

a1

1

konstant

:

a0

0,7

–

2

proportional

:

a0 · ζ

1,0

–

1,0

–

3

quadratisch

:

a0 · ζ

4

linear abfallend

:

a0 · (1 − a1 · ζ)

0,75

0,5

5

quadratisch abfallend

:

a0 · (1 − a1 · ζ 2 )

0,65

0,5

0,8

0,002.

6

hyperbolisch

:

2

−a1 ·ζ

a0 · e

Das zu integrierende System besteht aus 6 gekoppelten Differentialgleichungen erster Ordnung, Gl.(5.261) und Gl.(5.265). Es wird wird mit der stabilisierenden Mittelpunktsformel und anschließender Grenzwertextrapolation integriert. Andere Verfahren, beispielsweise die vom Typ Runge-Kutta oder Mehrschrittverfahren, sind ebenso geeignet. Die Simulationsergebnisse fallen in Form von Zeitreihen an. Im Einzelnen erhält man Rotorund Statorströme, Luftspaltmoment, Drehwinkel, Drehzahl und Last.

5.9 Mechanisch-elektrische Analogie

209

Motordrehzahl

Last

3000

1

U/min --->

ML / MN --->

←Typ 1

←Typ 3

←Typ 2

2000 ←Typ 4 1000 0

0

1

2

3

0.5

0

4

3000

0

1000

2000

3000

0

1000 2000 n [ U/min ] --->

3000

1

Auslauf ←Typ 5

1000 0

ML / M N --->

U/min --->

Unterbr. 2000

←Typ 6

0

1

2 Zeit t [ s ] --->

3

0.5

0

4

Abbildung 5.26: Drehzahl-Zeitverläufe. Verschiedene Lastcharakteristiken. 10

M / M N –––>

N

M / M –––>

10

0

Last konstant –10

0

1

2

3

4

M / M N –––>

N

M / M –––>

Last quadratisch 0

1

2

3

4

M / M N –––>

N

M / M –––>

0

Last linear abfallend 0

1

2

3

4

3

4

Last quadr. abfallend 0

1

2

3

4

0

Last hyperb. abfallend

–10

0

1

2

3

4

2 Zeit t [ s ] –––>

3

4

M / M N –––>

10

Spannungsunterbrechung

N

2

10

10

M / M –––>

1

0

–10

10

0

–10

0

10

0

–10

Last linear

–10

10

–10

0

0

1

2 Zeit t [ s ] –––>

3

4

Auslauf 0

–10

0

1

Abbildung 5.27: Drehmoment-Zeitverläufe bei verschiedenen Betriebszuständen.

210

5. Lineare Schwingungssysteme

Nach Anlegen der Statorspannungen pendelt das Drehmoment mit der Netzfrequenz, bis sich nach einiger Zeit, das für den Asynchronmotor typische Kippmoment, einstellt. Dann ist der Nennzustand erreicht. Das Drehmoment steht mit dem Lastmoment im Gleichgewicht, die Drehzahl ist konstant. Die Hochlaufzeit hängt vom Massenträgheitsmoment und von der Belastung ab. Eine Spannungsunterbrechung, ein Kurzschluss oder das Abschalten ruft einen Drehmomentenstoß hervor, was mechanische Belastungen bewirkt. Aus dem Motordrehzahl-Zeitverlauf kann ebenfalls auf die Belastung geschlossen werden. Auch die Störung und das Abschalten ist zu erkennen.

6

Unwuchterregte Schwingungen

Rotoren die eine Massenexzentrizität, ausgedrückt durch eine Abweichung des Schwerpunktes von der Drehachse, aufweisen, erzeugen Zentrifugalkräfte. Dadurch werden kinetische Lagerreaktionen hervorgerufen, die den statischen Lagerdrücken überlagert sind. Ist der Rotor elastisch gelagert oder sind die Fliehkräfte so groß, dass er sich ausbiegt, treten als Folge der Exzentrizität, Transversalschwingungen auf. Auch wenn der Rotor statisch im Gleichgewicht ist, also keine Schwerpunktsverschiebung vorhanden ist, kann es auf Grund einer ungünstigen Massenverteilung zu einer Abweichung der Drehachse von der Figurenachse kommen, was ebenfalls zu kinetischen Lagerreaktionen und diesmal zu räumlichen Schwingungsbewegungen führt. Lassen sich diese Einflüsse auf das Bewegungsverhalten des Systems quantifizieren, können geeignete Abhilfemaßnahmen eingeleitet werden.

6.1

Statische Unwucht

Betrachtet wird ein umlaufendes physikalisches Pendel. Die gesamte Masse sei im Schwerpunkt S konzentriert, der zum Drehpunkt W den Abstand e hat. Schwerpunkt und Drehpunkt liegen in einer Ebene, die mit der Drehachse einen rechten Winkel bildet, wie in Abb. 6.1 a). Rotiert das System mit ungleichförmiger Drehzahl tritt neben der Zentripetal- noch eine Tangentialbeschleunigung auf. Die dadurch geweckten Beschleunigungskräfte greifen am Schwerpunkt an. Unterstellt man ausreichende Steifigkeit von Welle und Pendel, so dass weder Longitudinalnoch Transversalschwingungen angeregt werden, treten als Folge der Fliehkräfte die kinetischen Lagerdrücke nach (3.37) bzw. (3.38) auf. Fallen Schwerpunkt und Drehpunkt zusammen, ist das System im statischen Gleichgewicht. Denselben Effekt bewirkt die rotierende Scheibe in Abb. 6.1 b). Das Auswandern des Schwerpunktes vom Drehzentrum kann vielfältige Ursachen haben, beispielsweise durch Inhomogenitäten, Abweichungen von der idealen Kreisform oder auch durch Anbringen von Unwuchtmassen an den Seitenflächen. Durch Anbringen von Ausgleichsmassen oder Wegnehmen von Rotormasse, kann die Schwerpunktsexzentrizität reduziert werden, so dass keine oder nur geringe Fliehkräfte auftreten. Entscheidend ist, dass die Ebene, in der Schwerpunkt und Drehpunkt liegen, senkrecht zur Drehachse steht. Ist das nicht der Fall, wird die Ausgleichsmasse nur an eine Seitenfläche angebracht, entstehen Deviationsmomente, die eine Momentenunwucht hervorrufen. Nur bei Scheiben, die definitionsgemäß ideal dünn sind, spielt dies keine Rolle.

212

6. Unwuchterregte Schwingungen

e

Ω

S

S S Ω

W

e

S

W

W

W

a)

b)

Abbildung 6.1: a) Umlaufendes Pendel. b) Rad mit Schwerpunktsexzentrizität.

Beispiel 6.1: Rad mit mehreren Unwuchtmassen. An einer idealen Scheibe der Masse m = 25 kg sind fünf Unwuchtmassen m ui im Abstand rui vom Drehpunkt angebracht. Die Lage ist durch die Winkel αi definiert. Wie groß ist die Schwerpunktsexzentrizität? Welche Ausgleichsmasse ist mit dem Abstand ra vom Drehpunkt an welcher Stelle anzubringen? Geg.: m u1 = 0,01 kg, m u2 = 0,015 kg, m u3 = 0,01 kg, m u4 = 0,008 kg, m u5 = 0,01 kg, ru1 = 0,165 m, ru2 = 0,175 m, ru3 = 0,18 m, ru4 = 0,17 m, ru5 = 0,185 m, ra = 0,195 m, α1 = 75 ◦ , α2 = 105 ◦ , α3 = 120 ◦ , α4 = 195 ◦ , α5 = 285 ◦ . Lösung: Es wird vorausgesetzt, dass die Unwuchten in der Mittelebene der Scheiben liegen. Somit entsteht lediglich eine Schwerpunktsverschiebung 5 +

xS =

m ui · rui · cos αi

i=1

m+

5 +

=

−0,079 mm

(6.1)

=

0,142 mm.

(6.2)

m ui

i=1 5 +

yS =

m ui · rui · sin αi

i=1

m+

5 +

m ui

i=1

 Der Betrag e = x 2S + y2S = 0,1624 mm ist die Schwerpunktsexzentrizität. Die Lage ergibt sich aus den Schwerpunktkoordinaten. Bezogen auf die positive x-Achse stellt sich ein Winkel von 119,2 ◦ ein. Rotiert die Scheibe, werden infolge dieser Massenexzentrizität Fliehkräfte erzeugt, welche die Lager belasten. Diese kinetischen Lagerkräfte können durch eine Ausgleichsmasse m a kompensiert werden, die vom Drehpunkt den vorgegebenen Abstand ra = 195 mm hat, m a = m ges · e/ra = 0,02086 kg. Sie ist an der gegenüberliegenden Seite, also bei einem Winkel von 299,2 ◦ anzubringen.

6.2 Dynamische Unwucht

213

y 3

2

y 1

mui

M

rui W

αi

S x

mges e

W

x

4

ra ma 5

Abbildung 6.2: Drehbar gelagerte Scheibe mit Unwuchten.

6.2

Dynamische Unwucht

Eine Momentenunwucht entsteht durch Kreiselmomente. Ist die Massenverteilung so, dass eine Rotorhauptachse nicht mit der Drehachse zusammenfällt, werden Momente geweckt, die um die beiden anderen Hauptachsen wirken. Dies ist beispielsweise dann der Fall, wenn Unwuchtmassen an den seitlichen Rotorflächen befestigt sind oder der Drehkörper schräg aufgekeilt ist. Selbst wenn der Rotor statisch im Gleichgewicht ist, also Schwerpunkt S und Wellendurchstoßpunkt W zusammenfallen, kann eine Momentenunwucht und somit kinetische Lagerdrücke auftreten. In der folgenden Abbildung sind Rotoren mit dynamischer Unwucht dargestellt. Bei

a)

b) W=S

c) W=S

W=S

Abbildung 6.3: Rotoren mit dynamischer Unwucht : a) schräg montiertes Drehpendel, b) schief aufgekeilte Scheibe, c) Scheibe mit versetzt angebrachten Unwuchten.

den Varianten a) und b) erkennt man sofort, dass die Figurenachsen nicht mit den Drehachsen zusammenfallen. Bei Variante c) sind die Unwuchten so angebracht, dass keine Schwerpunktsverschiebung entsteht. Alle drei Systeme sind statisch ausgeglichen. Liegt eine Massenverteilung entsprechend c) vor, entstehen Deviationsmomente, welche ebenfalls eine Drehung des Hauptachsensystems bewirken. Beispiel 6.2: Walzenförmiger Rotor mit asymmetrisch angeordneten Bohrungen. Die dargestellte Walze aus Stahl besteht aus einem Hohlzylinder, der an den Stirnseiten mit zwei Flanschen verbunden ist. Jeder Flansch besteht aus einer Scheibe mit angeschweißter Welle. An den gegenüberliegenden Punkten A und B befindet sich jeweils eine Bohrung. (a) Zu berechnen sind sämtliche Massenträgheitsmomente bezüglich des Körperschwerpunktes.

214

6. Unwuchterregte Schwingungen (b) Wie lauten die Massenträgheitsmomente im Hauptachsensystem? (c) Welche kinetischen Lagerdrücke würden den statischen bei einer konstanten Nenndrehzahl von 750 U/min überlagert werden?

Der Abstand der Lagermittelpunkte beträgt 1,2 m. 30

50

y

Ø 240

Ø 60

200

300

A

x

B

200

800

200

Abbildung 6.4: Walzenförmiger Rotor.

Lösung: Der Körperschwerpunkt bleibt im Mittelpunkt der Walze, da die Bohrungen gegensymmetrisch angeordnet sind. a) Massenträgheitsmomente im körperfesten System: Der Körper setzt sich aus sieben Zylindern zusammen. Mit ρ = 7850 kg/m3 , der Dichte für Stahl, ergibt sich eine Masse von 189,07 kg. Nach Gl.(3.21), (3.22) k¨onnen die Massenträgheitsmomente bezüglich der Schwerpunktsachsen berechnet werden ⎛ ⎞ 3,0963 0,0356 0 ⎠ [ kgm2 ]. 0 Θij(S) = ⎝ 0,0356 15,3477 0 0 15,3384 Zu beachten sind die Vorzeichen der Deviationsmomente in der Trägheitsmatrix. Das Deviationsmoment Jxy hat den negativen Wert −0,03561 kgm2 . b) Massenträgheitsmomente im Hauptachsensystem: Es handelt sich um eine spezielle Eigenwertaufgabe. Wie bereits in Kapitel 3 dargelegt ist, sind die Eigenwerte der Trägheitsmatrix die Hauptträgheitsmomente, während die Eigenvektoren die Lage des Hauptachsensystems im Raum angeben. Das Eigenwertproblem wird numerisch, bespielsweise mit dem Jacobi-Verfahren, gelöst. Somit erhält man die Hauptträgheitsmomente, welche sich erst in der vierten Dezimalstelle von obigen Werten unterscheiden   Θii(H) = 3,0962 15,3478 15,3384 [ kgm2 ]. Daraus könnte fälschlich gefolgert werden, dass die beiden Bohrungen der Größe 50 × 30 mm keinen Einfluss auf das Bewegungsverhalten der Walze hätten. Tatsächlich ist aber

6.3 Statische und dynamische Unwucht

215

das Hauptachsensystem geringfügig um die z-Achse verdreht, wie aus den Eigenvektoren hervorgeht , exH = 0,999996 −0,002906 0 , eyH = ezH =

, ,

0,002906 0

0

1

0,999996 -

0

-

,

.

Infolge der beiden gegensymmetrisch angeordneten Bohrungen ist das Hauptachsensystem um 0,163◦ verdreht. c) Kinetische Lagerdrücke: Da das Hauptachsensystem nur um eine Achse verdreht ist, kann die Berechnung der gegensymmetrischen kinetischen Lagerkräfte direkt nach Gl. (3.53) erfolgen. Zu beachten ist allerdings, dass dort das Koordinatensystem anders gewählt wurde. Die Ergebnisse sind natürlich unabhängig von dieser Wahl. Die in y-Richtung weisenden Kräfte lauten mit den gegebenen Daten, Ω = π · n/30 = π·750/30 = π·25 1/s, L = a + b = 1,2 m, α = 0,163◦ Fkin = + −

Ω 2 · sin 2α · (JyH − JxH ) 2·L

= + − 183 N.

(6.3)

Die Eigenvektoren, spaltenweise in einer Matrix Tij angeordnet, vgl. hierzu die Modalmatrix, transformieren vom körperfesten Koordinatensystem ins Hauptachsensystem. Diese Matrix ist orthogonal, d.h. die Transponierte ist gleich der Inversen. Folglich kann diese Matrix dazu verwendet werden, Rückstellmomente und Winkelgeschwindigkeit ins Hauptachsensystem zu transformieren. Entsprechend der Vorgehensweise im Beispiel 3.5, jedoch unter Verwendung der Transformationsmatrix ⎛ ⎞ 0,999996 0,002906 0 Tik = ⎝ −0,002906 0,999996 0 ⎠ 0 0 1 stellen sich die kinetischen Lagerkräfte folgendermaßen dar Fkin =

T11 T31 T32 · Ω 2 · (JxH − JzH ) − T11 T21 T22 · Ω 2 · (JyH − JxH ) L · (T22 T33 − T23 T32 )

.

(6.4)

Setzt man die Zahlen ein, erhält man wieder | Fkin |= 183 N.

6.3

Statische und dynamische Unwucht

Im Allgemeinen handelt es sich um eine Kombination von statischer und dynamischer Unwucht, d.h. Fliehkräfte und Kreiselmomente wirken gleichzeitig. Dies ist immer dann der Fall, wenn der

216

6. Unwuchterregte Schwingungen

Rotor nicht rotationssymmetrisch ist. Auch in diesem Fall können die kinetischen Lagerreaktionen vorteilhaft unter Verwendung der Eigenachsen des Hauptachsensystems berechnet werden. Dies setzt allerdings voraus, dass der Rotor starr ist, also keine elastischen Verformungen im Betriebsbereich erfährt. Ein Körper ist bekanntlich starr, wenn zwei benachbarte Punkte stets denselben Abstand haben. Dies ist eine Fiktion, da jeder Körper mehr oder weniger elastisch ist. Er kann aber als starr angesehen werden, wenn im interessierenden Betriebsbereich keine elastischen Auslenkungen auftreten, d.h. der Rotor läuft unterkritisch. Der walzenförmige Körper in Beispiel 6.2 würde erst bei einer kritischen Drehzahl von etwa 7000 U/min in Biegeresonanz geraten. Seine Nenndrehzahl beträgt aber nur 750 U/min. Deshalb dürfen seine elastischen Eigenschaften bei diesem Nennbetrieb vernachlässigt werden, er wird als starr angesehen. Zur Untersuchung dieses Sachverhaltes wird im Folgenden ein starrer unsymmetrischer Rotor betrachtet, der sich mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ = Ω dreht. Sein Schwerpunkt liegt außerhalb der Verbindungslinie der Lagermittelpunkte. Es interessieren wieder die beim Betrieb auftretenden Lagerreaktionen. Der Rotor wird wegen der Asymmetrie durch Fliehkräfte und y

y

FA z

FB z

A

rSA

S

B

rSB rS

rA

FA y

W

rB

W

a

b

x

e

ϕ

z S

mg

FB y

Abbildung 6.5: Rotor mit statischer und dynamischer Unwucht.

Kreiselmomente angeregt. In einem ersten Berechnungschritt werden Schwerpunktlage und Massenträgheitsmomente berechnet. Obwohl die Wahl des Bezugskoordinatensystems beliebig ist, ist es zweckmäßig, eine Koordinatenachse in die Richtung der Drehachse zu legen. Die Abstände zu den Lagermittelpunkten werden von dort aus gemessen. In diesem Referenzsystem ist der Schwerpunkt S durch die Koordinaten x S , yS und z S festgelegt. Für eine beliebige Drehung des Rotors um den Winkel ϕ = Ω · t lautet der Vektor zum Schwerpunkt rS = {x S ;

e · sin (Ω · t + α) ;

e · cos (Ω · t + α)},

mit der Exzentrizität e und der Phasenbeziehung α  e = y2S + z 2S , yS α = arctan . zS

(6.5)

(6.6) (6.7)

Am freigeschnittenen Rotor wirken die Gewichtskraft und die Lagerreaktionen, welche in zRichtung symmetrisch angesetzt wurden. Der Schwerpunktsatz liefert zunächst −m · e · Ω 2 · sin (Ω · t + α) = −m · g + FA y + FB y ,

(6.8)

−m · e · Ω · cos (Ω · t + α) = FAz + FBz .

(6.9)

2

6.3 Statische und dynamische Unwucht

217

Die Lagerkräfte üben bezüglich des Rotorschwerpunktes Momente aus  (S) = rSA × FA  + rSB × FB,  M (S) Mx = m · g · e · cos (Ω · t + α) ,

(6.10) (6.11)

M y(S) = FAz · (a + x S ) − FBz · (b − x S ),

(6.12)

Mz(S)

(6.13)

= −FA y · (a + x S ) + FB y · (b − x S ).

Löst man beispielsweise (6.8), (6.9) nach den Kräften FA y und FAz auf und setzt dies oben ein, stellen sich die Momente folgendermaßen dar M y(S) = −FBz · (a + b) − (a + x S ) · m · e · Ω 2 · cos (Ω · t + α) ,

(6.14)

Mz(S) = FB y · (a + b) + (a + x S ) · m · e · Ω 2 · sin (Ω · t + α) −m · g · (a + x S ).

(6.15)

Zur Formulierung des Drallsatzes im Hauptachsensystem werden die Massenträgheitsmomente benötigt. Diese werden zunächst im körperfesten System berechnet. Eine Hauptachsentransformation liefert die Eigenwerte in Form der Hauptträgheitsmomente Θii(H) sowie die Eigenvektoren, dargestellt in der Matrix Tik , welche die Transformationen vom körperfesten Koordinatensystem ins Hauptachsensystem sicherstellen.  (S) und die Winkelgeschwindigkeit des Rotors Ins Hauptachsensystem müssen die Momente M ω = Ω · ex transformiert werden ωi(H) = Tik · ωk ,

(6.16)

Mi(H)

(6.17)

= Tik ·

Mk(S) .

Damit können die Euler’schen Kreiselgleichungen für den gesamten Rotor formuliert werden Ω 2 T21 T31 (JzH − JyH ) = T11 Mx(S) + T12 M y(S) + T13 Mz(S) , Ω T11 T31 (JxH Ω 2 T11 T21 (JyH 2

− −

JzH ) JxH )

T21 Mx(S) T31 Mx(S)

= =

+ +

T22 M y(S) T32 M y(S)

+ +

T23 Mz(S) , T33 Mz(S) .

(6.18) (6.19) (6.20)

Aus den beiden letzten Gleichungen können die Kraftkomponenten FB y und FBz mit (6.11), (6.14) und (6.15) ermittelt werden. Die kinetischen Lagerkräfte enthalten die Gewichtskraft, die statische Unwucht sowie die Momentenunwucht. Im Einzelnen erhält man folgende Komponenten aus • Eigengewicht des Rotors FB (stat) = m·g· y

a + xS a+b

(6.21)

218

6. Unwuchterregte Schwingungen

• Zentrifugalkraft infolge statischer Unwucht FB (zent) = −m · e · Ω 2 · sin (Ω · t + α) · y

a + xS a+b

(6.22)

• Momentenunwucht FB (gyro) y

=

     −T11 Ω 2 T31 T32 JxH − JzH − T21 T22 JyH − JxH (a + b) (T22 T33 − T23 T32 )

. (6.23)

Hinzu kommt noch ein Anteil aus dem Rückstellmoment um die Rotorachse, der aber gegenüber den anderen Komponenten sehr klein ist FB (rotx) = m · g · e · cos (Ω · t + α) · y

T21 T32 − T22 T31 . (a + b) (T22 T33 − T23 T32 )

(6.24)

Entsprechende Lagerkraftkomponenten ergeben sich für die z-Richtung FBz(zent) = −m · e · Ω 2 · cos (Ω · t + α) · FBz(gyro)

=

a + xS , a+b

     −T11 Ω 2 T31 T33 JxH − JzH − T21 T23 JyH − JxH (a + b) (T22 T33 − T23 T32 )

FBz(rotx) = −m · g · e · cos (Ω · t + α) ·

(6.25) ,

T23 T31 − T21 T33 . (a + b) (T22 T33 − T23 T32 )

(6.26) (6.27)

Die Kräfte für den Lagerpunkt A berechnen sich nach derselben Art und Weise FA(stat) = m·g· y

b − xS , a+b

FA(zent) = −m · e · Ω 2 · sin (Ω · t + α) · y FA(gyro) = −FB (gyro) , y y FA(rotx) y

=

FA(gyro) = −FBz(gyro) , z =

b − xS , a+b

−FBz(rotx) .

(6.29) (6.30)

−FB (rotx) , y

FA(zent) = −m · e · Ω 2 · cos (Ω · t + α) · z FA(rotx) z

(6.28)

(6.31) b − xS , a+b

(6.32) (6.33) (6.34)

Damit können die dynamischen Lagerdrücke des starren und asymmetrischen Rotors quantifiziert werden.

6.3 Statische und dynamische Unwucht

219

Während die Zentrifugalkräfte harmonisch mit der Zeit veränderlich sind, laufen die gyroskopischen Kräfte mit der Rotorwinkelgeschwindigkeit Ω um. Werden letztere in einem feststehenden Koordinatensystem gemessen, dann stellen sie sich ebenfalls harmonisch dar. Das bedeutet, die Lagerreaktionen infolge statischer Belastung und Fliehkräfte sind im raumfesten Koordinatensystem beschrieben, während die Kreiselkräfte im rotierenden System dargestellt sind. Für eine Darstellung im gleichen Koordinatensystem, ist also eine Transformation der gyroskopischen Lagerreaktionen erforderlich. So erhält man für den Lagerpunkt A (gyro) FA(g) cos Ωt − FA(gyro) sin Ωt, y = FA y z

= FA(gyro) · sin(Ωt − α(gyro) ),

(6.35)

(gyro) sin Ωt + FA(gyro) cos Ωt, FA(g) z = FA y z

FA(gyro)

= FA(gyro) · cos(Ωt − α(gyro) ),   2  2 (gyro) (gyro) = FA y + FAz , !

α(gyro) = arctan

(gyro)

FA y

(6.36) (6.37)

"

(gyro)

FAz

.

(6.38) (g)

(g)

Für das Lager B ergeben sich die entsprechenden Kräfte, FB y und FBz . Formal können die mit (rotx) indizierten Kräfte derselben Vorschrift unterworfen werden. Da diese Kraftanteile jedoch sehr klein gegenüber den anderen Komponenten sind, können sie vernachlässigt werden. Die am Rotor angreifenden Reaktionen lassen sich jetzt zusammenfassen FA(dyn) = FA(stat) + FA(zent) + FA(g) y y y y ,

(6.39)

FA(dyn) z FB (dyn) y FBz(dyn)

(6.40)

= = =

FA(zent) + FA(g) z z , (stat) (zent) FB y + FB y FBz(zent) + FBz(g) .

+

FB (g) y ,

(6.41) (6.42)

Beispiel 6.3: Kinetische Lagerdrücke eines unsymmetrischen Rotors Der dargestellte unsymmetrische starr gelagerte Rotor läuft mit der konstanten Drehzahl von 750 U/min. Zu berechnen sind die beim Betrieb auftretenden Lagerreaktionen. Lösung: Die bei Rotation des Läufers auftretenden dynamischen Lagerdrücke bestehen aus den statischen und kinetischen Reaktionen. Letztere setzen sich aus Fliehkräften und Kreiselkräften zusammen. Das Bezugskoordinatensystem ist so orientiert, dass die x-Achse mit der Drehachse zusammenfällt. Die Abstände vom Wellendurchstoßpunkt W zu den Lagerpunkten A und B betragen jeweils 400 mm.

220

6. Unwuchterregte Schwingungen 0 20 0 40 0 10

200

Ω

y

B b

100

z

200

W

150

x 80

0 20

a

150 A

Abbildung 6.6: Abmessungen des unsymmetrischen Rotors.

• Rotormasse und Schwerpunktkoordinaten: Es wird angenommen dass der Läufer aus Stahl gefertigt ist. Dann beträgt seine Masse m = 94,28 kg. Vom festgelegten Bezugspunkt aus hat der Körperschwerpunkt die Abstände x S = −24,98 mm, yS = 16,65 mm und z S = −41,63 mm. In der Ebene x = const. beträgt die Schwerpunktsexzentrizität e = 44,84 mm. • Massenträgheitsmomente bezüglich des Körperschwerpunktes: Zu berechnen sind nach (3.21) die drei axialen Massenträgheitsmomente Jx(S) = 0,5034 kgm2 , Jy(S) = 2,9188 kgm2 , Jz(S) = 2,8205 kgm2 , sowie nach (3.22) die drei De(S) (S) (S) viationsmomente Jxy = 0,1963 kgm2 , Jxz = −0,0197 kgm2 und Jyz = 0,0131 kgm2 . • Hauptachsentransformation: Für die symmetrische Trägheitsmatrix ⎛ 0,5034 −0,1963 2,9188 Θij(S) = ⎝ −0,1963 0,0197 −0,0131

⎞ 0,0197 −0,0131 ⎠ [ kgm2 ], 2,8205

müssen die Eigenwerte und die Eigenvektoren berechnet werden. Verwendet man beispielsweise die simultane Vektoriteration, ergeben sich als Lösung des vorliegenden speziellen Eigenwertproblems folgende Hauptmassenträgheitsmomente, JxH = 0,4874 kgm2 , JyH = 2,9358 kgm2 und JzH = 2,8196 kgm2 . Die Lage der Hauptachsen gegenüber dem körperfesten Schwerpunktsystem ist durch die Eigenvektoren festgelegt, die in der Transformationsmatrix ⎛ ⎞ 0,9967 0,0792 −0,0168 Tik = ⎝ −0,0805 0,9919 −0,0985 ⎠ 0,0089 0,0996 0,9950 angeordnet sind.

6.3 Statische und dynamische Unwucht

221 y

B

FG

S

y

FB z

x

mg

FB y

W z

S

Fz

e W

A

FAy

FA

Ω

z

z

Fy

Abbildung 6.7: Schnittkräfte am Rotor.

Damit können die dynamischen Lagerdrücke berechnet werden. • Statische Lagerbelastungen infolge Eigengewicht nach (6.21) und (6.28): FA(stat) = 94,28 · 9,81 · y

400 + 24,98 800

=

491 N,

FB (stat) = 94,28 · 9,81 · y

400 − 24,98 800

=

434 N,

u =

FB (stat) y FA(stat) y

=

0,882.

(6.43)

• Kinetische Lagerbelastungen infolge Fliehkraft nach (6.22), (6.25), (6.29) und (6.32): Mit der Umlaufkreisfrequenz Ω = 25π und dem Neigungswinkel der Schwerpunktsexzentrizität α = −0,4, ergeben sich 400 + 24,98 = −94,28 · 0,04484 · (25π)2 · · sin(25πt − 0,4) FA(zent) y 800 = −13853 · sin(25πt − 0,4) N FB (zent) = u · FA(zent) y y

=

−12218 · sin(25πt − 0,4) N

FA(zent) = −94,28 · 0,04484 · (25π)2 · z

400 + 24,98 · cos(25πt − 0,4) 800

= −13853 · cos(25πt − 0,4) N FBz(zent) = u · FA(zent) z

=

−12218 · cos(25πt − 0,4) N

• Kinetische Lagerbelastungen infolge der Kreiselkräfte nach (6.23), (6.26), (6.30) und (6.33): −0,0089 · 0,0996 · (−2,332) − 0,0805 · 0,9919 · 2,448 FA(gyro) = −0,9967· (25π)2 · y 0,8 · (0,9919 · 0,9950 + 0,0985 · 0,0996) = 1491 N

222

6. Unwuchterregte Schwingungen FB (gyro) = −1491 N y FA(gyro) = 0,9967·(25π)2 · z = −309 N

0,0089 · 0,09950 · (−2,332) − 0,0805 · 0,0985 · 2,448 0,8 · (0,9919 · 0,9950 + 0,0985 · 0,0996)

FBz(gyro) = 309 N. Im feststehenden Koordinatensystem lauten diese Kräfte mit  FA(gyro) = FB (gyro) = 14912 + 3092 = 1524 N 

1492 = −78◦ α = arctan −309 α(gyro) = π− | α | = 102◦ ≡ 1,78 FA(g) y = 1524 · sin(25πt − 1,78) N FA(g) z = 1524 · cos(25πt − 1,78) N FB (g) y = 1524 · sin(25πt − 1,78 − π) N FBz(g) = 1524 · cos(25πt − 1,78 − π) N. Die im II. und IV. Quadranten liegenden Phasenverschiebungswinkel werden von der positiven z-Achse aus gezählt. Bewertung der Ergebnisse • Die umlauffrequenten kinetischen Lagerreaktionen sind weitaus größer als die statischen. Dies ist kein Zufall, da die Kräfte quadratisch mit der Rotordrehzahl anwachsen. • Die Fliehkräfte sind größer als die Kreiselkräfte. Infolge der Massenexzentrizität trägt die gesamte Rotormasse zur Fliehkraft bei, während die Kreiselkräfte von der Differenz der Massenträgheitsmomente abhängen. • Die kinetischen Lagerreaktionen verschwinden falls die Schwerpunktsexzentrizität e gleich Null ist und die Hauptachse T11 · ex + T21 · ey + T31 · ez mit der x-Achse des Rotors zusammenfällt. • Ohne weitergehende Maßnahmen kann der Rotor bei dieser Drehzahl nicht betrieben werden.

6.4

Auswuchten starrer Rotoren

Ein Rotor ist frei von Unwuchten, wenn sein Schwerpunkt auf der Drehachse liegt und mindestens eine zentrale Hauptachse mit der Drehachse zusammenfällt. Somit treten keine kinetischen Lagerreaktionen auf.

6.4 Auswuchten starrer Rotoren

223

S

A

B

Abbildung 6.8: Rotor mit statischer und dynamischer Unwucht.

Auswuchten heißt, die Massenverteilung so zu verändern, dass die beim Betrieb auftretenden kinetischen Lagerdrücke Null oder zumindest minimal sind. Im Allgemeinen ist die Massenverteilung eines Rotors nicht bekannt. Eine Bewertung der Laufqualität kann nur anhand gemessener oder – falls ein Simulationsmodell vorliegt – berechneter Lagerreaktionen erfolgen. Da die statischen Lagerkräfte als bekannt vorausgesetzt werden können, verbleiben für die Bewertung des Unwuchtzustandes die kinetischen Lagerdrücke. Diese setzen sich aus zeitlich veränderlichen Fliehkraft- und Kreiselkraftkomponenten zusammen. Während die Zentrifugalkräfte an den Lagerstellen gleichgerichtet sind, wirken die gyroskopischen Komponenten dort als Kräftepaar. EB

Ω

rB S mA

rA

ϕA

mB

B

ϕB

c

b

EA a

A

Abbildung 6.9: Rotor mit Ausgleichsmassen, angebracht an zwei Ebenen.

Der dargestellte, statisch bestimmt gelagerte, unwuchtige Rotor erzeugt beim Lauf die kinetiB(0) (t). Der hochgestellte Index Null weist auf den Istzustand  A(0) (t) und F schen Lagerdrücke F des Rotors hin. Aufgrund der unterschiedlichen Wirkungsrichtung können diese Istwerte in gleichgerichtete Zentrifugalkräfte und entgegengerichtete Kreiselkräfte aufgeteilt werden. Mit den zuvor ermittelten statischen Kräften und dem schon bekannten Verhältnis dieser Lagerkräfte FB (stat) y FA(stat) y

=u

(6.44)

224

6. Unwuchterregte Schwingungen

kann für die Aufteilung der kinetischen Komponenten angesetzt werden FA(zent) + FA(gyro) = FA(0) y y y , u·

FB (zent) y (zent) FA y

+ −

FB (gyro) y (gyro) FA y

= =

FB (0) y (0) FB y .

(6.45) =

(6.46) (6.47)

Bei den bekannten Kräften auf den rechten Seiten handelt es sich um die Maximalwerte der Amplituden, jeweils in vertikaler und horizontaler Richtung. Das entstandene lineare Gleichungssystem hat die eindeutigen Lösungen FA(zent) = y FA(gyro) = y

(0) FA(0) y + FB y

1+u

,

(0) u · FA(0) y − FB y

1+u

(6.48) .

(6.49)

Dieselbe Vorgehensweise führt zur Identifikation der Lagerreaktionen in horizontaler Richtung.

Beispiel 6.4: Zerlegung kinetischer Lagerdrücke in Zentrifugal- und Kreiselkräfte. An einer statisch bestimmt gelagerten rotierenden Welle treten an den Lagerpunkten A und B folgende Kräfte auf FA(vert) –165 N

FB (vert) –104 N

FA(quer) –294 N

FB (quer) –380 N

FA(stat) 248 N

FB (stat) 156 N

Durch welche Kräfte wird die rotierende Welle belastet? Lösung: Die resultierenden kinetischen Lagerdrücke lauten (vert) FA(0) − FA(stat) = −413 N y = FA (vert) FB (0) − FB (stat) = −260 N y = FB (quer) FA(0) = −294 N z = FA

FBz(0) = FB (quer) = −380 N . Mit dem Verhältnis der statischen Lagerkräfte u = 0,628 erhält man aus (6.45) und (6.46) FA(zent) = FA(zent) = y z

−413 − 260 = −413 N, 1 + 0,628

FB (zent) = FBz(zent) = u · FA(zent) = −259 N, y y

6.4 Auswuchten starrer Rotoren FA(gyro) = y

225

−0,628 · 413 + 259 = 0 N, 1 + 0,628

FB (gyro) = −FA(gyro) , y y FA(gyro) = z

−0,628 · 294 + 380 = 120 N, 1 + 0,628

FBz(gyro) = −FA(gyro) . z

6.4.1

Kompensation der kinetischen Lagerreaktionen

Zur Kompensation der kinetischen Kräfte werden am Rotor an zwei Ebenen E A , E B Ausgleichsmassen m A , m B angebracht, s. Abb. 6.9. Die Anordnung an zwei voneinander entfernten Orten ist erforderlich, um auch Kreiselkräfte ausgleichen zu können und um das Momentengleichgewicht nicht zu stören. Sind die Ausgleichsmassen und deren Anordnung am Rotor richtig gewählt, treten beim Lauf keine Störkräfte mehr auf. Es ist sogar möglich, die oben genannten Auswuchtbedingungen nahezu exakt zu erfüllen. FB(0) B

FA(1)

x Ω FB(1)

y FA(0) A

z

Abbildung 6.10: Kräfte am freigeschnittenen Rotor.

 A(1) und F B(1) müssen so gewählt werden, Die bei Rotation des Läufers erzeugten Fliehkräfte F dass die statischen Gleichgewichtsbedingungen erfüllt sind 4 

i = 0 = F

 A(0) + F B(0) + F  A(1) + F B(1) , F

(6.50)

i=1 3 

   i(A) = 0 = ex × F  A(1) a + F B(1) (a + b) + F B(0) (a + b + c) . M

(6.51)

i=1

Diese Kraft- und Momentengleichgewichtsbedingungen führen zu zwei linearen Gleichungssystemen für die Beträge der gesuchten Kompensationskräfte ! " ! " ! " (0) FA(1) FA(0) 1 1 y y + FB y · =− (6.52) a a+b FB (1) FB (0) y y (a + b + c)

226

6. Unwuchterregte Schwingungen !

1

1

a

a+b

" ! ·

FA(1) z FBz(1)

"

! =−

(0) FA(0) z + FBz

"

FBz(0) (a + b + c).

(6.53)

Diese Gleichungssysteme haben die eindeutigen Lösungen a c (0) FA(1) · FB (0) y = −(1 + ) · FA y + y , b b a c (0) FB (1) · FA(0) y = y − (1 + ) · FB y , b b a c (0) FA(1) · FBz(0) , z = −(1 + ) · FA z + b b a c (0) FBz(1) = · FA(0) z − (1 + ) · FBz . b b

(6.54) (6.55) (6.56) (6.57)

Mit diesen Kraftkomponenten können Beträge und Richtungen gebildet werden 

2

2

FA(1) + FA(1) y z , ! " FA(1) y ϕ A = arctan , (1) FAz  2 2 FB = FB (1) + FBz(1) , y ! " FB (1) y ϕ B = arctan . FBz(1) FA =

(6.58) (6.59)

(6.60) (6.61)

 A(0) und F B(0) entsprechen einer konstanten Die kinetischen Lagerreaktionen des Istzustandes F Rotordrehzahl, werden also bei dieser ermittelt. Mit der konstanten Umlaufkreisfrequenz Ω und den frei wählbaren Radien r A und r B ergeben sich die erforderlichen Ausgleichsmassen mA =

FA , r A · Ω2

(6.62)

mB =

FB . r B · Ω2

(6.63)

Diese Ausgleichsmassen berechnen sich unabhängig von der Rotordrehzahl. Obwohl die Kompensationskräfte mit den kinetischen Lagerreaktionen im Gleichgewicht stehen, sind die Ursachen der Störkräfte im Allgemeinen dadurch nicht beseitigt. Nach wie vor kann der Rotor eine Massenexzentrizität und Deviationsmomente haben. Dadurch können bei anderen Betriebszuständen erneut Störkräfte auftreten. Die statischen Gleichgewichtsbedingungen sind für einen vollständigen Ausgleich zwar notwendig aber nicht hinreichend.

6.4 Auswuchten starrer Rotoren

6.4.2

227

Korrektur der Massenverteilung

Falls es möglich ist, eine Aufteilung der kinetischen Lagerdrücke in Zentrifugal- und Kreiselkräfte vorzunehmen, kann die Massenverteilung des Rotors wirkungsvoll korrigiert werden. Elimination der Zentrifugalkräfte: Die Fliehkräfte sind eliminiert, wenn die Massenexzentrizität Null ist. Die dazu erforderlichen Ausgleichsmassen ergeben sich exakt aus den Gleichungen (6.54) bis (6.57) wenn dort die zuvor ermittelten Reaktionen infolge der Zentrifugalkraft eingesetzt werden mA = mB =

  + | − 1 + ab · FA(zent) y |

a b

c b

· FB (zent) | y

r A · Ω2   · FA(zent) − 1 + bc · FB (zent) | y y r B · Ω2

,

.

(6.64)

(6.65)

Sind diese ermittelt, lässt sich damit sogar die Schwerpunktsexzentrizität des Rotors bestimmen e=

m A · rA + m B · rB . m Rotor

(6.66)

Die Ausgleichsmassen m A und m B , an den Ebenen E A und E B angebracht, müssen einen Lagewinkel bilden, der dem Rotorschwerpunkt gegenüberliegt. Hat die Massenexzentrizität e, bezogen auf die horizontale Koordinatenachse den Winkel α S , so lauten die gesuchten Winkel ϕA = ϕB

=

α S + π.

(6.67)

Das Problem besteht also darin, die Lage dieser Wirkungslinie zu finden. Es gibt nur eine eindeutige Lage für welche die Exzentrizität und somit die Fliehkraft verschwinden. Daher könnte man sich vorstellen, den Rotor bei einer niedrigen Drehzahl laufen zu lassen und dabei die kinetischen Lagerkräfte zu bestimmen. Dreht man beide Ausgleichsmassen gleichzeitig um den selben Winkel, findet man schnell das Minimum der kinetischen Lagerkräfte infolge Fliehkraft. Da der Quadrant, in dem der gesuchte Lagewinkel liegt, schnell gefunden ist, reduziert sich der Suchvorgang. Elimination der Kreiselkräfte: Derselbe Rechengang wie oben, jedoch mit den gyroskopischen Lagerreaktionen nach (6.35) und (6.36) führt zu den erforderlichen Ausgleichsmassen. Allerdings stellen die statischen Gleichgewichtsbedingungen nur eine Näherung dar. Aufgrund der Eigenschaften der gegensymmetrischen Kreiselkräfte, sind deren Beträge gleich groß, FA(gyro) = FB (gyro) , siehe (6.37). Mit dieser Resultierenden ergeben sich für die Aus-

228

6. Unwuchterregte Schwingungen

gleichsmassen mKA mKB

  1 + ab + bc = · FA(gyro) , r A · Ω2   1 + bc + ab = · FB (gyro) . r B · Ω2

(6.68)

(6.69)

Sind die Abstände der Lagermittelpunkte zu den Ebenen gleich, sind auch die Massen identisch. Diese Ausgleichsmassen sind am Rotor um 180◦ versetzt anzubringen. Dadurch soll ein bereits korrigierter Schwerpunkt nicht mehr verändert werden. Nun fehlt noch der Lagewinkel dieser phasenverschobenen Anordnung. Stellt man sich denselben Suchprozess wie oben vor, verdreht also dieses Massenpaar gleichzeitig um denselben Winkel, so findet man ebenfalls die gesuchten Nullstellen der kinetischen Lagerdrücke infolge der Kreiselwirkung. Beispiel 6.5: Korrektur der Massenverteilung eines unsymmetrischen Rotors. Der aus Beispiel 6.3 bekannte statisch bestimmt gelagerte Rotor soll bei einer Nenndrehzahl von n nenn = 2000 U/min betrieben werden. Dazu ist es erforderlich, die Massenverteilung so zu verändern, damit die kinetischen Lagerdrücke deutlich reduziert werden. Welche Maßnahmen sind zu ergreifen? Geg.: r A = r B = 100 mm, a = c = 200 mm, b = 400 mm. c EB

b

a

Ω

y

EA

B

x

W

z

A

Abbildung 6.11: Ausgleichsebenen am unsymmetrischen Rotor.

Lösung: Bei einer Testdrehzahl von 750 U/min treten an den Lagerstellen A und B die bereits bekannten Kräfte auf Lastfall statisch kinetisch zentrifugal gyroskopisch

FA y [ N ] 491 –12361 –13852 1492

FAz [ N ] 0 –14161 –13852 –309

FB y [ N ] 434 –13716 –12224 –1492

FBz [ N ] 0 –11916 –12224 309

6.4 Auswuchten starrer Rotoren

229

Zur Kompensation der Zentrifugalkräfte werden die erforderlichen Ausgleichsmassen nach (6.64) und (6.65) berechnet mA = mB =

| (1 +

200 400 )

· 13852 − 200 400 · 12224 | 0,1 · (25 · π)2

=

200 | − 200 400 · 13852 + (1 + 400 ) · 12224 | 0,1 · (25 · π)2

23,78 kg,

=

18,50 kg.

Die Schwerpunktkoordinaten sind für diesen Rotor bekannt, yS = 16,65 mm und z S = −41,63 mm. Somit lautet der gesuchte Lagewinkel für die beiden Ausgleichsmassen

16,65 α = arctan −41,63 ϕA = ϕB

 =

−21,8◦ ,

αS

=

158,2◦ ,

338,2◦ .

=

Der Schwerpunkt liegt im II. Quadranten, entsprechend dem Winkel α S , die Ausgleichsmassen liegen im IV. Quadranten, Winkel ϕ A , ϕ B . Werden diese Massen, etwa in Form von Bleikugeln, mit den Radien 79 mm und 73 mm am Rotor angebracht, liegt der neue Schwerpunkt auf der Drehachse. Somit treten keine Zentrifugalkräfte mehr auf. Die Kreiselkräfte sind dadurch nicht kompensiert. Die dazu notwendigen Ausgleichsmassen betragen nach (6.68) mit m K A = m K B = m K   200  1 + 200 400 + 400 mK = · 14922 + 3092 0,1 · (25 · π)2

=

4,94 kg.

Bezüglich der Anordnung dieser zusätzlichen Ausgleichsmassen am Rotor orientiert man sich zunächst anhand der Richtungen der Kreiselkräfte, etwa nach (6.59)

α K = arctan

EA

1492 −309

 =

90

−78,3◦ .

EB

90 mK rA

S

180

W

rB 0 mA

S

0

180

mB

mK 270

270

Abbildung 6.12: Anordnung der Ausgleichsmassen am Rotor.

230

6. Unwuchterregte Schwingungen

Das entspricht einem Lagewinkel von 101,7◦ . Demnach wären an den Ausgleichsebenen EA und EB jeweils die Massen m K anzubringen, und zwar an den Stellen ϕ K = 101,7◦ und ϕk + 180◦ = 281,7◦ . Diese Korrektur der Massenverteilung führt zu einer Erhöhung der statischen Lagerreaktionen. Eine Massenexzentrizität tritt nicht mehr auf. Bei einer Drehzahl von 2000 U/min würden folgende Lagerkräfte wirken Lastfall statisch zentrifugal gyroskopisch

FA y [ N ] 762 0 37

FAz [ N ] 0 0 922

FB y [ N ] 678 0 –37

FBz [ N ] 0 0 –922 (g)

Bei dieser Modifikation des Rotors würden die restlichen kinetischen Lagerdrücke, FA y = (g) 923 N · sin Ω · t und FAz = 923 N · cos Ω · t wirksam werden. Die Kreiselkräfte sind also noch nicht zufriedenstellend ausgeglichen. Die optimale Position der Ausgleichsmassen ist noch nicht gefunden. Eine Variation der Lage führt bei den Winkeln 94,5◦ / 274,5◦ zu einer Minimalamplitude von 443 N.

Beispiel 6.6: Massenausgleich eines zylindrischen Rotors. Bei der dargestellten Welle aus Leichtmetall wird die Symmetrie durch drei Bohrungen gestört. EA

y

300

200 60

20

EB 50

A

W

B

x

r0

β

100

100

150

400

100

80

Abbildung 6.13: Abmessungen der Welle.

Durch eine gezielte Korrektur der Massenverteilung soll ein Nennbetrieb bei einer Drehzahl von 4500 U/min gewährleistet sein. Geg.: ρ Al = 2400 kg/m3 , r0 = 100 mm, r A = 140 mm, r B = 90 mm, β = 45◦ . Lösung: Infolge der drei Durchgangsbohrungen am linken Flansch entsteht eine Massenexzentrizität. Außerdem ist das Hauptachsensystem des Rotors gegenüber dem körperfesten Bezugsystem verdreht. Deshalb wird der Läufer durch Fliehkräfte und Kreiselmomente belastet. Ohne Massenausgleich würden kinetische Lagerdrücke auftreten, welche die statischen Kräfte um mehr als das Zehnfache überschreiten!

6.4 Auswuchten starrer Rotoren

231

Zunächst werden Rotormasse sowie die Schwerpunktkoordinaten berechnet. Zu deren Beschreibung wird im willkürlich gewählten Bezugspunkt W ein Koordinatensystem definiert. Die Abstände zu den Lagerpunkten A und B betragen, l A = 450 mm und l B = 380 mm. Somit berechnet man für, m Rotor = 41,24 kg, x S = −125,20 mm und yS = z S = -0,4681 mm. Daraus resultiert eine Schwerpunktsexzentrizität von e = 0,66 mm. Die Wirkungslinie dieser Massenexzentrizität nimmt in der (y-z)-Ebene einen Winkel von α = 225◦ ein. Mit diesen Daten kann bereits die Fliehkraft Fz beseitigt werden. Für die Lagerreaktionen erhält man Fz = m Rotor · e · Ω 2

=

6063 N,

FA(zent) = −Fz · y

lB − xS 830

=

−3690 N,

= −Fz · FB (zent) y

l A + xS 830

=

−2373 N.

Nach (6.64) und (6.65) ergeben sich die erforderlichen Ausgleichsmassen mit den Abständen, a = 100 mm, b = 650 mm und c = 80 mm   80 | 1 + 100 650 · 3690 N − 650 · 2373 N | mA = = 0,128 kg 0,14 m · (150π)2 1/s2   80 | − 100 650 · 3690 N + 1 + 650 · 2373 N | mB = = 0,105 kg. 0,09 m · (150π)2 1/s2 Sie werden bei ϕ A = ϕ B = 45◦ am Rotor befestigt. Durch diese Maßnahme liegt der Schwerpunkt auf der Drehachse, womit auch bei beliebigen Drehzahlen keine Fliehkräfte auftreten. Damit ist das Problem noch nicht vollständig gelöst. Bei der geforderten Nenndrehzahl würden infolge der Kreiselwirkung weiterhin pulsierende Lagerkräfte auftreten. Diese könnte man messen oder, wie hier, berechnen. Dazu müssen für den bereits modifizierten Rotor zunächst die Massenträgheitsmomente bestimmt werden. Die neue Masse beträgt 41,48 kg, die Schwerpunktkoordinate x S verschiebt sich auf –124,8 mm, yS und z S sind Null ebenso die Massenexzentrizität e. Im körperfesten System, welches seinen Ursprung im Schwerpunkt hat, erhält man für die Massenträgheitsmomente ⎛ ⎞ 0,334 −0,003 −0,003 2,223 −0,001 ⎠ [ kgm2 ]. Θij(S) = ⎝ −0,003 −0,003 −0,001 2,223 Die Hauptachsentransformation liefert die Hauptträgheitsmomente, JxH = 0,334 kgm2 , JyH = 2,224 kgm2 und JzH = 2,222 kgm2 sowie die Eigenachsen des Rotors exH = { 1,0 eyH ezH

={ 0

0,002 0,707

= { −0,002

0,002 }, −0,707 },

0,707

0,707 }.

232

6. Unwuchterregte Schwingungen

Anhand der Stellung der Eigenvektoren erkennt man: • die Hauptachse x H fällt (fast) mit der Rotordrehachse zusammen, • die (y H -z H )- Ebene des Rotors ist um 45◦ verdreht. Daraus erhält man die gesuchten Lagewinkel für die noch zu bestimmenden Korrekturmassen, nämlich ϕ K = 45◦ für die Ausgleichsebene E A und ϕ K = 180◦ für E B . Mit den neu berechneten Massenparametern können die kinetischen Lagerdrücke nach (6.23) ff. bestimmt werden FA(gyro) = −FB (gyro) = y y FA(gyro) z (gyro) FA

=

−FBz(gyro)

1 N,

= 1095 N,

= 1095 N.

Die Ausgleichsmassen berechnen sich nach (6.68) und (6.69) 90

EA

mA + m KA

90

EB

rA

mB

180

0

rB

0

S

S

180

m KB 270 270

Abbildung 6.14: Anordnung der Ausgleichsmassen an der Welle.

  80 1 + 100 650 + 650 · 1095 N 0,14 m · (150π)2 1/s2   80 1 + 650 + 100 650 = · 1095 N 0,09 m · (150π)2 1/s2

mKA =

=

0,045 kg,

(6.70)

mKB

=

0,070 kg.

(6.71)

Damit sind die Ausgleichsmassen und deren Positionen am Rotor ermittelt: Ausgleichsebene EA EB EB

Masse [ kg ] 0,173 0,105 0,070

Radius [ m ] 0,140 0,090 0,090

Winkel [ ◦ ] 45 45 135

y[m] 0,099 0,064 –0,064

z[m] 0,099 0,064 –0,064

Werden diese Massen zusätzlich am Rotor angebracht, ist er vollständig ausgeglichen, d.h. es treten keine nennenswerten kinetischen Lagerdrücke mehr auf. Die Maximalamplitude der kinetischen Lagerkräfte beträgt bei dieser Drehzahl etwa 1 N! Im Allgemeinen darf jeder Rotor gewisse Restunwuchten aufweisen, welche aber innerhalb gewisser Toleranzen liegen müssen.

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor

6.5

233

Elastisch gelagerter starrer Rotor

Das Bewegungsverhalten eines elastisch gelagerten Läufers, welcher eine Massenexzentrizität aufweist, unterscheidet sich völlig vom starr gelagerten System. Die Bewegungsmöglichkeiten des Rotors sind gelockert, so dass im Allgemeinen sechs Freiheitsgrade vorliegen. Damit hat das System, je nach Art der Lagerung, eine bestimmte Anzahl von Eigenfrequenzen, die infolge der umlauffrequenten Fliehkräfte angeregt werden können. Liegen diese Eigenfrequenzen in der Nähe der Anregungsfrequenz, kann es zu Resonanzen kommen. Da die Fliehkraftanregung proportional dem Quadrat der Drehzahl ist, rechnet man die Eigenfrequenzen der Rotorlagerung ebenfalls in Drehzahlen, so genannte kritische Drehzahlen um. Damit ist klar, dass die Kenntnis der Eigenfrequenzen, bzw. kritischen Drehzahlen, für eine Beurteilung der Rotorlagerung außerordentlich wichtig ist. Neben den Schwingungsamplituden interessiert das Stabilitätsverhalten des Rotorsystems. Man möchte wissen, wie das System auf eine Störung von außen reagiert. Der Rotor durchläuft verschiedene Betriebszustände. Vom Stillstand bis zur Nenndrehzahl ist das Zeitverhalten instationär, da Antriebsmoment und somit die Drehzahl veränderlich sind. Im stationären Nennzustand läuft der Rotor mit konstanter Drehzahl. Das Antriebsmoment kompensiert die Last und vorhandene Bewegungswiderstände. Beim Abschalten des Systems werden, ebenso wie beim Hochlauf, mögliche kritische Drehzahlen durchfahren.

6.5.1

Bewegungsverhalten scheibenförmiger Rotoren

Stellt man sich beispielsweise ein Fahrzeugrad auf einem Prüfstand vor mit dem der Einfluss von Unwuchten auf das Schwingungsverhalten untersucht werden soll, gelangt man zu folgender Modellvorstellung: • Das Rad nebst Reifen wird als starre Scheibe mit drei Freiheitsgraden angesehen. Dies ist möglich, da im interessierenden Drehzahlbereich keine Reifenschwingungen auftreten. • Die Lagerung des Rades sei elastisch, ausgedrückt durch lineare Federn. • Eine Unwucht wird durch Anbringen von Bleigewichten an den Felgenseiten realisiert. • Der Antrieb erfolgt durch einen Elektromotor. n(t)

(S)

S W

cx

e

J ,m

n(t)

rx

S

S

e cy

(S)

J ,m

W W

cx cy

ry

Abbildung 6.15: Elastisch gelagertes Rad. Visko-elastisch gelagerter Hebel.

234

6. Unwuchterregte Schwingungen

Ein derart vereinfachtes Radmodell ist zur realistischen Beschreibung des Bewegungsverhaltens bestens geeignet. Damit können auch neue Auswuchtkonzepte, die auf beweglichen Ausgleichsmassen basieren, bewertet werden. Wird das Rad beispielsweise durch einen exzentrisch gelagerten Hebel ersetzt, ändert sich am Modell nichts. Die Systemparameter sind in beiden Fällen gleich, nämlich Masse m, Massenträgheitsmoment J (S) , Schwerpunktsexzentrizität e, Steifigkeiten cx , c y sowie die viskosen Dämpfungskoeffizienten r x und r y . Im Folgenden soll das Schwingungsverhalten des oben dargestellten visko-elastisch gelagerten Hebels untersucht werden. Der Hebel sei so gelagert, dass nur eine Bewegung in der Ebene stattfinden kann. Dies wird durch die Verschiebungen des Drehpunktes W rW = { x W ; yW ; 0 }

(6.72)

und den Drehwinkel ϕ zum Ausdruck gebracht. Y

re W

rW 0

S

ϕ

FWx

mg

rS

X

FWy

Abbildung 6.16: Verschiebungen von Drehpunkt W und Schwerpunkt S. Kräfte am Hebel.

Der Schwerpunkt dreht sich um diesen Winkel. Für eine beliebige Stellung lauten die Schwerpunktkoordinaten, bezogen auf den festen Bezugspunkt 0 rS = rW + re , rS = { x W + e · cos ϕ ; yW + e · sin ϕ ; 0 }.

(6.73)

Zweimaliges Differenzieren liefert die Schwerpunktsbeschleunigung, siehe hierzu 2.1.2 ⎡ ⎤ x¨W − e · ϕ¨ · sin ϕ − e · ϕ˙ 2 · cos ϕ aS = ⎣ y¨W + e · ϕ¨ · cos ϕ − e · ϕ˙ 2 · sin ϕ ⎦ . (6.74) 0 Wird dem Hebel eine kleine Auslenkung in x W - und yW -Richtung erteilt, entstehen die Rückstellkräfte infolge der Federn und geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer ⎡ ⎤ cx · x W + r x · x˙W W = − ⎣ c y · yW + r y · y˙W ⎦ . F (6.75) 0

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor

235

Die Bewegungsgleichungen erhält man durch Formulieren von Schwerpunktsatz und Drallsatz bezüglich Punkt S

J

(S)

W − m · g · ey , m · aS = F

(6.76)

W . · ϕ¨ · ez = M A (t) · ez + re × F

(6.77)

Daraus entsteht das gekoppelte Differentialgleichungssystem M(t) · z¨ (t) + D(t) · z˙ (t) + S(t) · z(t) − f z (t) = f (t)

(6.78)

mit dem Aufbau ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ m 0 −me sin ϕ x¨W rx 0 0 x˙W ⎣ 0 m me cos ϕ ⎦ ⎣ y¨W ⎦ + ⎣ 0 ry 0 ⎦ ⎣ y˙W ⎦ + (S) ϕ¨ ϕ˙ −r x e sin ϕ r y e cos ϕ 0 0 0 J ⎡

⎤⎡ cx 0 0 ⎣ 0 cy 0 ⎦⎣ −cx e sin ϕ c y e cos ϕ 0

⎡ ⎤ ⎤ ⎡ ⎤ xW 0 cos ϕ yW ⎦ − ⎣ sin ϕ ⎦ · m · e · ϕ˙ 2 = ⎣ −mg ⎦ . M A (t) ϕ˙ 0

(6.79)

Die Kopplung erfolgt über die Drehgleichung, wodurch die Matrizen unsymmetrisch und zeitlich veränderlich werden. Die von der Massenexzentrizität abhängigen Fliehkräfte sind in der Spaltenmatrix f z zusammengefasst. Alternativ können die Bewegungsgleichungen mit den Lagrangeschen Gleichungen oder dem D’Alembertschen Prinzip in der Lagrangeschen Fassung aufgestellt werden. Wählt man beispielsweise letzteres Verfahren, so muss der zugehörige Arbeitsausdruck formuliert werden δ A(e) = [M A (t) − J (S) · ϕ] r S − m · g · δyS ¨ · δϕ − m · aS · δ −FWx · δxw − FW y · δyW .

(6.80)

Für die virtuellen Verrückungen gilt δyS =

∂yS ∂yS · δyW + · δϕ = δyW + e · cos ϕ · δϕ, ∂yW ∂ϕ

δ rS =

∂rS ∂rS ∂ rS · δx W + · δyW + · δϕ ∂x W ∂ yW ∂ϕ

= { δx W − e · sin ϕ · δϕ ; δyW + e · cos ϕ · δϕ ; 0 }.

(6.81)

(6.82)

Daraus ergeben sich die Bewegungsgleichungen für den Rotor 0 = [m(−x¨W + e · ϕ¨ sin ϕ + e · ϕ˙ 2 cos ϕ) − r x · x˙W − cx · x W ] · δx W + [m(− y¨W − e · ϕ¨ cos ϕ + e · ϕ˙ 2 sin ϕ − g) − r y · y˙W − c y · yW ] · δyW + [M A (t) − (J (S) + m · e2 ) · ϕ¨ + m · e(x¨W sin ϕ − y¨W cos ϕ) − m · g · e · cos ϕ] · δϕ.

(6.83)

236

6. Unwuchterregte Schwingungen

Und wieder in Matrizenschreibweise ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ m 0 −me sin ϕ rx x¨W ⎣ 0 m me cos ϕ ⎦ ⎣ y¨W ⎦ + ⎣ 0 ϕ¨ 0 −me sin ϕ me cos ϕ J (S) + me2 ⎡

cx ⎣ 0 0

0 cy 0

0 ry 0

⎤ ⎤⎡ 0 x˙W 0 ⎦ ⎣ y˙W ⎦ + ϕ˙ 0

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 xW cos ϕ 0 ⎦. 0 ⎦ ⎣ yW ⎦ − ⎣ sin ϕ ⎦ · m · e · ϕ˙ 2 = ⎣ −m · g 0 ϕ 0 M A (t) − m · g · e · cos ϕ (6.84)

Beide Formen der Bewegungsgleichungen sind gleichwertig. Die obere enthält die zeitlich veränderlichen elastischen Rückstellkräfte, während die zweite Form der Bewegungsgleichungen Drehmomente aus den Trägheitskräften sowie der Gewichtskraft aufweist. Dies entspricht der Formulierung des Drallsatzes bezogen auf den Drehpunkt W. Genau denselben Gleichungssatz erhält man bei Anwendung der Lagrangeschen Bewegungsgleichungen. Dieses vereinfachte Rotormodell ist auch geeignet, das Verhalten einer biegeelastischen Welle ohne Massenbelegung, welche in der Mitte eine starre Scheibe trägt, zu analysieren.

6.5.2

Instationärer Zustand

Sind Anfahr- oder Abschaltvorgänge zu untersuchen, muss das gekoppelte Differentialgleichungssystem im vorliegenden Umfang gelöst werden. Eine geschlossene Lösung ist jedoch nicht möglich. Daher wird das DGL-System numerisch gelöst. Wie bereits in den letzten Abschnitten gezeigt wurde, muss dazu die Schnittstelle zur Numerik geschaffen werden. Dies geschieht wieder durch Transformation in ein System erster Ordnung z˙ u˙ z(t = 0) u(t = 0)

= = = =

u, M(−1) (t) · [ f (t) − D · u − S · z + f z (t) ] , z0 , u0 .

(6.85)

Unabhängig von der Wahl des Gleichungssatzes ist die Zeitabhängigkeit der Massenmatrix. Es bereitet natürlich keinerlei Schwierigkeiten diese von Hand zu invertieren. Verzichtet man darauf, muss dies in jedem Zeitschritt numerisch erfolgen, was aber hinsichtlich der Simulationszeit unerheblich wäre. Im konkreten Fall einer numerischen Simulation könnte eine, im Allgemeinen zeitlich veränderliche, Last M L (t) berücksichtigt werden.

6.5.3

Betrieb im Nennzustand

Im Nennzustand ist die Drehzahl konstant. Das Nenndrehmoment speist die Last und kompensiert die Bewegungswiderstände. Da ϕ˙ = const. = Ω ist, hat die Drehgleichung keine Bedeutung

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor

237

mehr. Infolge der Massenexzentrizität wird das nunmehr entkoppelte System harmonisch zu Schwingungen angeregt x¨W + 2Dx ω0x · x˙W + ω20x · x W = e · Ω 2 · cos Ωt, y¨W + 2D y ω0y · y˙W +

ω20y

· yW = e · Ω · sin Ωt − g. 2

(6.86) (6.87)

Diese Gleichungen entsprechen dem in Kapitel 4 behandelten Einmassenschwinger bei Fliehkraftanregung. Die dort bereitgestellten Methoden können auf das System angewandt werden. Die Schwingungen erfolgen um die statische Ruhelage η2x xW = e ·  · cos(Ωt − φx ), (1 − η2x )2 + 4D2x η2x

(6.88)

η2y yW = e ·  · sin(Ωt − φ y ). (1 − η2y )2 + 4D2y η2y

(6.89)

Die Bahnkurve des Drehpunktes W beschreibt also eine Ellipse. Beispiel 6.7: Schwingungsverhalten eines elastisch gelagerten Rades mit Massenexzentrizität. Zum Ausprobieren neuer Auswuchttechnologien wurde ein Prüfstand entwickelt, mit dem die bei Rotation eines unwuchtigen Rades auftretenden Beschleunigungen gemessen werden können. Durch geeignete Maßnahmen ist es möglich, die störenden Fliehkräfte während des Laufes zu kompensieren. Für das dargestellte Ersatzmodell sollen Lagerkräfte, Auslenkungen und Beschleunigungen während des Hochlaufes berechnent werden. Der Antrieb erfolgt durch einen Asynchronmotor. Geg.: m = 25 kg, J (S) = 3,5 kgm2 , e = 1 mm, cx = 106 N/m, c y = 9·104 N/m, r x = 0, r y = 1000 kg/s, n N = 1500 U/min, PN = 25 kW, Rr = 0,352 Ω, Rs = 0,097 Ω, L r = 0,179 H, L s = 0,173 H, L rs = 0,172 H, Z N = 13,32 Ω.

Abbildung 6.17: Modell des elastisch gelagerten Rades.

238

6. Unwuchterregte Schwingungen

Lösung: Das Schwingungsverhalten des Rades wird durch Gl. (6.84) beschrieben. Zur realistischen Beschreibung der Resonanzdurchfahrt werden die dynamischen Gleichungen eines Asynchronmotors nach Gl. (5.261) herangezogen. Die Vorgehensweise entspricht dem Beispiel 5.12, jedoch mit anderen Daten. Als Lastmoment dient ein Kennlinienmodell mit rampenförmiger Charakteristik. Als erstes werden die wichtigsten Systemparameter, die Eigenfrequenzen, ermittelt und mit der konstanten Umlauffrequenz verglichen   1 cx 1 cy nN fx = = 31,83 Hz und f y = = 9,55 Hz, f N = = 25 Hz. 2π m 2π m 60 Bis zum Erreichen der Nenndrehzahl wird eine Resonanzfrequenz durchfahren, was bei einer Drehzahl von 573 U/min der Fall ist. Die zweite Eigenfrequenz entspricht einer Drehzahl von 1910 U/min. Im stationären Nennbetrieb führt das unwuchterregte System Schwingungen nach (6.88) und (6.89) aus ηx 0,79

| xW | 1,6 mm

Dx 0

ηy 2,6

Dy 0,33

| yW | 1,1 mm

Die instationäre Resonanzdurchfahrt kann nur numerisch simuliert werden. Das Verhalten wird entscheidend vom Antrieb geprägt. Ausgangspunkt dafür ist (6.84) in der Form (6.85) sowie der bereits vorliegende Antriebsmodul. Für den müssen die Reaktanzen und die bezogenen Widerstände bereitgestellt werden, also X s = 2,041,

X r = 2,109,

R¯ r = 0,0264,

X rs = 2,035,

600

5

Drehmoment

Drehwinkel φ [ rad ] --->

M / M N --->

R¯ s = 0,0073.

0

400 200

-5 0

1

2

3

0

4

0

1

2

3

4

3

4

1

ML / M N --->

Drehzahl

1500 1000

N

n [ U/min ] --->

2000

500 0

Lastmoment

0.5

0

1

2 Zeit t [ s ] --->

3

4

Abbildung 6.18: Betriebsverhalten von Motor und Last.

0

0

1

2 Zeit t [ s ] --->

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor

239

An den Statorspannungen (5.259) ändert sich nichts, was auch ein Vorteil der Normierung ist. Das vorliegende DGL-System 10-ter Ordnung wird im Bereich von 0 ≤ t ≤ 4 s integriert. Da alle Größen, die 4 Ströme, die beiden Auslenkungen und Schwinggeschwindigkeiten, der Rotordrehwinkel sowie die Winkelgeschwindigkeit, zu Beginn der Simulation Null sind, sind auch die Anfangsbedingungen Null. Zunächst soll das Betriebsverhalten des Motors und der Last betrachtet werden. Für die Beurteilung des Schwingungsverhaltens ist die Zeit bis zum Erreichen der Nenndrehzahl maßgebend, denn erst mit wachsender Drehzahl erfolgt die wirkungsvolle Fliehkraftanregung. Die nächsten Zeit-Diagramme enthalten die Bewegung der Radnabe, die Lagerreaktionen sowie die Beschleunigungen des Radzentrums. Die lateralen Schwingungen sind ungedämpft. Die sich abzeichnenden Schwebungen sind auf die Nähe zur Resonanz, η y = 0,79, zurückzuführen. Die Transversalschwingungen werden zunächst durch die Maximalamplituden in der Resonanz bei 573 U/min geprägt. Diese klingen langsam ab, es stellt sich der stationäre Zustand ein.

5

2 0

0

W

–2 –4

Auslenkung

[ mm ] –––>

Auslenkung

y

x W [ mm] –––>

4

–5 0

1

2

3

4

0

4

Fy [ kN ] –––>

Fx [ kN ] –––>

2 0 –2 0

1

2

3

4

2

3

4

2 Zeit t [ s ] –––>

3

4

Lagerreaktion 0 –0.5 0

1

100

Beschleunigung

ay [ m/s 2 ] –––>

2

ax [ m/s ] –––>

3

0.5

–1

4

100 50 0 –50

–100

2

1

Lagerreaktion

–4

1

0

1

2 Zeit t [ s ] –––>

3

4

Beschleunigung 50 0 –50

–100

0

Abbildung 6.19: Schwingungsantwort infolge Fliehkraftanregung.

1

240

6. Unwuchterregte Schwingungen

In der Praxis können Wege, Geschwindigkeiten und Kräfte nur mit erhöhtem Aufwand gemessen werden. Beschleunigungsmessungen benötigen dagegen keinen Referenzpunkt. Die Sensoren werden direkt am Objekt befestigt, was Messung und Auswertung vereinfacht. Daher erfolgt die Bewertung der Laufqualität anhand der Beschleunigungen. Die Schwingungen werden minimiert, wenn die Massenexzentrizität e durch Anbringen einer Ausgleichsmasse kompensiert wird.

6.5.4

Bewegungsverhalten zylindrischer Rotoren

Im Unterschied zum Idealfall der Scheibe, wird jetzt eine starre Welle in elastischen Lagern betrachtet. cB y zw

γ re

B S

cBz B''

W

β

b

A

B' B

yw

β Ω x

uB

FB

cA y

W

cA z

MA

a γ

A A'

uA

A''

FA

Abbildung 6.20: Starre Welle in elastischen Lagern. Auslenkungen.

Der Wellendurchstoßpunkt W liegt auf der Drehachse x. Seine Abstände zu den Lagermittelpunkten A und B kennzeichnen die Schwerpunktlage in x-Richtung. Aufgrund einer Massenexzentrizität fallen Schwerpunkt S und Wellendurchstoßpunkt W nicht zusammen. Das System hat nunmehr 5 Freiheitsgrade, falls man von einer Verschiebung in x-Richtung absieht. Es sind dies der Rotordrehwinkel ϕ, die Drehwinkel β und γ sowie die Verschiebungen yW und z W . Diese letztgenannten elastischen Verformungen werden als klein vorausgesetzt, so dass eine Linearisierung um die statische Ruhelage erfolgen kann. z

ϕ

rw

W re S

rs

y

Abbildung 6.21: Schwerpunktlage des unwuchtigen Rotors.

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor

241

Die rotierende starre Welle kann sich also um die Quer- und Hochachse verschieben und verdrehen und somit Schwingungen ausführen. Der Zusammenhang zwischen dem körperfesten Hauptachsensystem und einem raumfesten Referenzsystem ist durch die Transformationsvorschrift (2.40) gegeben. Aufgrund der als klein vorausgesetzten elastischen Drehwinkel β und γ sowie dem beliebigen Rotordrehwinkel ϕ, gilt für die linearisierte Abbildung, (körperfest) −→ (raumfest), die Matrix ⎛ ⎞ 1 −γ β Rij = ⎝ γ · cos ϕ + β · sin ϕ cos ϕ − sin ϕ ⎠ . (6.90) γ · sin ϕ − β · cos ϕ sin ϕ cos ϕ e Ky Im raumfesten Koordinatensystem stellt sich die Schwerpunktlage der Welle mit reK = e· folgendermaßen dar ⎛ ⎞ −e · γ r Si = Rij · re j + r Wi = ⎝ yW + e · cos ϕ ⎠ . (6.91) z W + e · sin ϕ Durch Differentiation gelangt man zur Beschleunigung ⎛ ⎞ −e · γ¨ a Si = ⎝ y¨W − e · ϕ¨ · sin ϕ − e · ϕ˙ 2 · cos ϕ ⎠ . z¨W + e · ϕ¨ · cos ϕ − e · ϕ˙ 2 · sin ϕ

(6.92)

Jetzt werden noch die Winkelgeschwindigkeiten des Läufers im Hauptachsensystem benötigt ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 0 ϕ˙ cos γ sin γ 0 ϕ˙ + γ · β˙ ⎠. (6.93) ωiK = ⎝ 0 ⎠ + ⎝ − sin γ cos γ 0 ⎠ ⎝ β˙ ⎠ = ⎝ β˙ γ˙ 0 0 1 0 γ˙ Zur Steifigkeitsbeziehung gelangt man durch folgende Überlegung: Wird der Rotor um die Querund Hochachse mit den Winkeln β und γ verdreht sowie in Richtung dieser Achsen mit yW und z W ausgelenkt, erfahren die Anlenkpunkte der Federn die elastischen Verschiebungen u A = { 0 ; yW + a · γ ; z W − a · β }, u B = { 0 ; yW − b · γ ; z W + b · β }.

(6.94)

Diesen Verschiebungsvektoren entgegengerichtet wirken die elastischen Rückstellkräfte  A = −{ 0 ; cA y · (yW + a · γ) ; cAz · (z W − a · β) }, F B = −{ 0 ; cB y · (yW − b · γ) ; cBz · (z W + b · β) }. F

(6.95)

Die Abstände von Punkt W zu eben diesen Anlenkpunkten werden durch die Ortsvektoren rA = { a ; −a · γ ; +a · β }, rB = { −b ; b · γ ; −b · β }

(6.96)

242

6. Unwuchterregte Schwingungen

beschrieben. Damit können die Rückstellmomente bezüglich Punkt W gebildet werden  (W) = rA × F  A + rB × F B . M

(6.97)

Die raumfesten Rückstellkräfte und -momente werden in Matrizen zusammengefasst f W = S · u, ⎡

⎤ ⎡ Fy s11 ⎢ Mz ⎥ ⎢ s12 ⎣ F ⎦=⎣ 0 z My 0

(6.98) s12 s22 0 0

s11 = cA y + cB y s22 = a2 · cA y + b2 · cB y s34 = −a · cAz + b · cBz

0 0 s33 s34

⎤⎡ ⎤ 0 yW 0 ⎥⎢ γ ⎥ . Mit den Elementen s34 ⎦ ⎣ z W ⎦ s44 β

s12 = a · cA y − b · cB y s33 = cAz + cBz s44 = a2 · cAz + b2 · cBz .

(6.99)

(6.100)

Die Rückstellmomente werden zur Formulierung des Drallsatzes im körperfesten Hauptachsensystem benötigt, müssen also transformiert werden. Aufgrund der kleinen Drehwinkel β und γ ändert sich an den Steifigkeitsbeziehungen durch eine solche Transformation nichts. Bei Berücksichtigung einer geschwindigkeitsproportionalen Lagerdämpfung an den Punkten A und B, muss die Dämpfungsmatrix nicht neu bestimmt werden. Der Herleitungsgang entspricht dem der Steifigkeitsmatrix. In einer Dämpfungsmatrix D wären die Steifigkeiten durch die viskosen Dämpfungskoeffizienten r A y , r Az , rB y und rBz zu ersetzen. Die Rückstellkräfte und -momente hätten dann die erweiterte Form f W = D · u˙ + S · u.

(6.101)

Nach diesen Vorbereitungen können die Bewegungsdifferentialgleichungen des starren Läufers in elastischen Lagern aufgestellt werden. Man könnte den Schwerpunktsatz im raumfesten System und den Drallsatz, die Euler’schen Kreiselgleichungen im Hauptachsensystem formulieren. Alternativ könnten die Lagrangeschen Gleichungen oder das D’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung zur Anwendung gelangen. Entscheidet man sich für letzteres, so sind die virtuellen Arbeiten der äußeren eingeprägten Kräfte und Momente für die Welle zu addieren. Im Einzelnen sind dies, die Arbeit der Beschleunigungskräfte, der Beschleunigungsmomente, der elastischen Rückstellkräfte, des Eigengewichts sowie die Arbeit von Antriebsund Lastmoment δA(e) = −m · aS · δ rS   − Jx · ω˙ xK − ω Ky ωzK (Jy − Jz ) · δϕ   − Jy · ω˙ Ky + ωxK ωzK (Jx − Jz ) · δβ   − Jz · ω˙ zK − ωxK ω Ky (Jx − Jy ) · δγ − f W · δu − m · g · ez · δ r S + [M A (t) − M L (t)] · δϕ = 0.

(6.102)

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor

243

Mit den virtuellen Verrückungen ⎞ ⎛ −e · δγ δ r S = ⎝ δyW − e · sin ϕ · δϕ ⎠ , δz W + e · cos ϕ · δϕ δu =



δyW

δγ

δz W

δβ

(6.103)

t

(6.104)

erhält man folgende Form des Prinzips δA(e) = 0 = {. . . } · δϕ + {. . . } · δyW + {. . . } · δβ+ {. . . } · δz W + {. . . } · δγ.

(6.105)

Wegen der Beliebigkeit der virtuellen Verrückungen muss jede geschweifte Klammer für sich verschwinden, womit sich die gekoppelten Differentialgleichungen des Rotors ergeben. Beim ˙ β˙ · γ · β˙ und γ · β¨ auf, die hier Null Ausrechnen der Arbeitsausdrücke treten Terme wie γ˙ · γ · β, gesetzt wurden. Berücksichtigt man noch, dass beim zylindrischen Rotor Jy = Jz ist, lautet das System (Jx + me2 )ϕ¨ − me y¨W sin ϕ + mez¨W cos ϕ + Jx β˙ γ˙ = M A − M L − mge cos ϕ, m y¨W − meϕ¨ sin ϕ − meϕ˙ 2 cos ϕ + s11 yW + s12 γ = 0, ˙ x − Jy ) + s12 yW + s22 γ = 0, (Jz + me2 )γ¨ − ϕ˙ β(J m z¨W + meϕ¨ cos ϕ − meϕ˙ 2 sin ϕ + s34 β + s33 z W = −mg, Jy β¨ + ϕ˙ γ˙ (Jx − Jz ) + s44 β + s34 z W = 0.

(6.106)

Man erkennt die Zweckmäßigkeit der Darstellung in Matrizen M(t) · u¨ W (t) + [G(t) + D] · u˙ W (t) + S · uW (t) = f (t).

(6.107)

Mit dem vollständigen Lagevektor  t u W = ϕ yW γ z W β , lauten Massenmatrix ⎡ Jx + m · e2 ⎢ −m · e sin ϕ ⎢ M=⎢ 0 ⎣ m · e cos ϕ 0 gyroskopische Matrix ⎡ ⎢ ⎢ G=⎢ ⎣

−m · e sin ϕ m 0 0 0

0 −m · e · ϕ˙ · cos ϕ 0 −m · e · ϕ˙ · sin ϕ 0

0 0 0 0 0

(6.108)

0 0 Jz + m · e2 0 0

Jx · β˙ 0 0 0 ϕ˙ · (Jx − Jz )

0 0 0 0 0

m · e cos ϕ 0 0 m 0

0 0 0 0 Jy

0 0 −ϕ˙ · (Jx − Jy ) 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥, ⎦

(6.109)

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.110)

244

6. Unwuchterregte Schwingungen

sowie der Vektor der rechten Seite, der die Anregungen enthält ⎡ ⎤ M A (t) − M L (t) − m · g · e · cos ϕ 0 ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 f =⎢ ⎥. ⎣ ⎦ −m · g 0

(6.111)

Hinsichtlich der Steifigkeits- und Dämpfungsmatrix ist Folgendes zu beachten: Die erste Differentialgleichung beschreibt die Starrkörperdrehung des Rotors. Sie enthält weder Steifigkeit noch Dämpfung. Daher haben S und D die Ordnung vier, während M und G 5×5-Matrizen sind. Deshalb müssen Steifigkeits- und Dämpfungsmatrix jeweils um eine 1. Spalte und 1. Zeile, welche nur Nullen enthält, ergänzt werden. Obwohl die Massenmatrix symmetrisch ist, enthält sie den Rotordrehwinkel ϕ. Durch die Exzentrizität e entsteht also eine zusätzliche Kopplung in der Massenmatrix. In der gyroskopischen Matrix treten sowohl die bereits bekannten Fliehkraftkomponenten als auch die antimetrischen Kreiselterme auf. Zur Beurteilung des Bewegungsverhaltens wird auch hier zwischen veränderlichem und stationärem Zustand unterschieden. Von großer Bedeutung sind natürlich die Eigenfrequenzen des Systems. Da die Anregung der Transversalschwingungen von der Rotordrehzahl abhängt, ist es sinnvoll, die Eigenfrequenzen in Drehzahlen umzurechnen. Eine erste Beurteilung erfolgt anhand dieser kritischen Drehzahlen.

6.5.5

Instationärer Zustand

In der Praxis interessiert die Wechselwirkung zwischen dem Antrieb und der Arbeitsmaschine bei unterschiedlichen Betriebszuständen, beispielsweise: • Resonanzdurchfahrt, • kurzfristige Unterbrechung der Netzspannung beim Hochfahren oder im Nennbetrieb, • Anfahren unter verschiedenen Lastcharakteristiken, • Abschaltvorgang usw. Das erfordert eine Modellbildung des Antriebs – meist handelt es sich um Elektromaschinen. Eine Kopplung zwischen den elektrischen Strömen und dem Antriebsdrehmoment erfolgt über den Rotordrehwinkel. Das Antriebsdrehmoment der Welle hängt also von den elektrischen Strömen und vom mechanischen Drehwinkel ab, M A (t) = M (el) (t). Nur im Nennzustand, wenn Drehmoment und Drehzahl konstant sind, ist das System entkoppelt. Die Beantwortung derartiger wichtiger Fragestellungen erfolgt durch Simulation. Wie beim scheibenförmigen Rotor wird auch hier die Bewegungsgleichung (6.107) in ein System erster Ordnung, entsprechend (6.85), transformiert.

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor

245

Bei den meisten Antriebssystemen ist die Nachgiebigkeit der Lager sehr gering. Sie bewegt sich im Bereich von 0,1 bis 0,6 μm. Daher erfolgt der Betrieb meist unterkritisch, so dass das System als starr angesehen werden darf. Die Biegeelastizität der Welle spielt dagegen eine viel größere Rolle. Da Biege- und Lagersteifigkeit der Welle in Reihe geschaltet sind, ist das Gesamtsystem etwas flexibler, was eine Absenkung der ersten Eigenfrequenz bedeutet. Daher ist in jedem Fall zu prüfen, ob die erste Biegeeigenfrequenz genügend weit, mindestens Faktor 1,5, von der Umlauffrequenz des Rotors entfernt ist, um die Welle als Starrkörper annehmen zu dürfen. Bei anderen Anwendungen ist eine weiche Lagerung des starren Rotors erwünscht. In diesem Fall sind keine Vereinfachungen in den Bewegungsgleichungen möglich.

6.5.6

Nennzustand

Wie beim scheibenförmigen Rotor entfällt die Differentialgleichung bezüglich der Drehachse. Die Anregung erfolgt durch die Fliehkräfte. Das reduzierte System wird durch folgende Gleichung beschrieben M · u(t) ¨ + [G + D] · u(t) ˙ + S · u(t) = f (t). ⎡

m ⎢ 0 ⎣ 0 0 ⎡

0 Jz + m · e2 0 0

0 ⎢ 0 Ω·⎣ 0 0 ⎡

d11 ⎢ d12 ⎣ 0 0 ⎡

s11 ⎢ s12 ⎣ 0 0

0 0 0 Jx − Jz d12 d22 0 0

0 0 d33 d34

s12 s22 0 0

0 0 s33 s34

0 0 m 0

⎤⎡ y ¨W 0 0 ⎥⎢ ⎢ γ¨ 0 ⎦ ⎣ z¨W Jy β¨

0 0 0 0

⎤⎡ 0 −Jx + Jy ⎥ ⎢ ⎦⎣ 0 0

(6.112)

⎤ ⎥ ⎥+ ⎦

(6.113)

⎤ y˙W γ˙ ⎥ + z˙W ⎦ ˙β

(6.114)

⎤⎡ ⎤ y˙W 0 0 ⎥ ⎢ γ˙ ⎥ + d34 ⎦ ⎣ z˙W ⎦ d44 β˙ ⎤⎡ ⎤ ⎡ 0 yW m · e · Ω 2 · cos Ω · t ⎢ 0 ⎥⎢ γ ⎥ ⎢ 0 = s34 ⎦ ⎣ z W ⎦ ⎣ m · e · Ω 2 · sin Ω · t s44 β 0

(6.115)

⎤ ⎥ ⎥. ⎦

(6.116)

Es handelt sich um ein lineares System, welches harmonisch angeregt wird. Wegen der Dämpfung sind die vier Eigenkreisfrequenzen konjugiert komplex. Die Realteile sind negativ, sodass die Eigenschwingungen erwartungsgemäß abklingen. Auch wenn die Lagerdämpfung nicht

246

6. Unwuchterregte Schwingungen

berücksichtigt wird, verbleiben die geschwindigkeitsproportionalen Kreiselterme in der gyroskopischen Matrix G. Das bedeutet eine Abhängigkeit der Eigenfrequenzen von der Drehzahl. Im Allgemeinen wird dadurch das System etwas steifer, was zu höheren Eigenfrequenzen führt. Wobei der sich einstellende Effekt von den Massenträgheitsmomenten mitbestimmt wird. Die Schwingungsamplituden erhält man wieder aus der Lösung des linearen Gleichungssystems der Ordnung (2n×2n), vgl. (5.162), #



−Ω 2 · M + S −Ω · (G + D) fr uˆ r = . (6.117) fi uˆ i Ω · (G + D) −Ω 2 · M + S Mit der komplex ergänzten Anregung ⎡ ⎤ 1 ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ 0 ⎥

⎢ ⎥ fr ⎢ 0 ⎥ = m · e · Ω2 ⎢ ⎥ fi ⎢ 0 ⎥ ⎢ 0 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ −1 ⎦ 0

(6.118)

ergeben sich die Real- und Imaginärteile, aus denen dann die Beträge und Phasenwinkel der einzelnen Schwingungsantworten berechnet werden können. Beispiel 6.8: Schwingungsverhalten eines starren Rotors in elastischen Lagern. Der als starr anzusehende Rotor besteht aus einem Kegelstumpf und zwei zylindrischen Lagerzapfen. An einer Stirnseite befindet sich eine außermittig angeordnete Bohrung. Der Läufer ist elastisch gelagert und soll bei einer Nenndrehzahl von 1500 U/min betrieben werden. Er wird durch den aus Beispiel 5.12 bekannten Asynchronmotor angetrieben. Das Schwingungsverhalten des Rotors ist zu analysieren. Welche Maßnahmen sind zu ergreifen, damit ein störungsfreier Betrieb möglich ist? Geg.: l1 = l3 = 200 mm, l2 = 2000 mm, ra = 100 mm, rb = 150 mm, rc = 100 mm, d = 16 mm, D = 100 mm, h = 500 mm, cA y = 106 N/m, cAz = 0,5 · 106 N/m, cB y = 2 · 106 N/m, cBz = 0,8 · 106 N/m, r A y = r Az = rB y = rBz = 500 kg/s. Lösung: Zunächst muss der Begriff . . . starr anzusehende Rotor . . . präzisiert werden. Der Läufer ist natürlich nicht starr, seine erste Eigenfrequenz liegt bei etwa 75 Hz, was einer Drehzahl von 4500 U/min entspricht. Beträgt die Betriebsdrehzahl beispielsweise 1500 U/min, ist die Anregungsfrequenz genügend weit von der Resonanzstelle entfernt, der Rotor darf als starres System betrachtet werden. Zur Untersuchung des Istzustandes werden die Eigenfrequenzen des starren Rotors in seiner elastischen Bettung benötigt. Die erhält man mit der Massen- und Steifigkeitsmatrix des linearen Ersatzsystems (6.112). Der instationäre Hochlauf, die Resonanzdurchfahrten und der sich einstellende Nominalzustand wird durch Simulation von (6.107) nachgestellt.

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor l3

247

z

γ⋅

cB y

l2

B

h S

l1

W ra cA y

Ød

rc

⋅

β ϕ⋅

MA x

rb

e

rb

cBz

y

A cA z a

ØD

Abbildung 6.22: Abmessungen des starren Rotors in elastischen Lagern.

Zur Beseitigung der Unwucht wird nicht etwa die Axialbohrung zugestopft, sondern Positionen und Ausgleichsmassen gesucht, die eine Kompensation der Störkräfte bewirken. • Bestimmung der Massenparameter Die Wahl des Bezugskoordinatensystems ist beliebig. Wählt man beispielsweise den Lagerpunkt B ergeben sich Masse, Teilschwerpunktsabstände sowie die Massenträgheitsmomente für die Teilkörper Lagerzapfen links, Kegelstumpf, Lagerzapfen rechts und Bohrung oben. i 1 2 3 4 +

m i [ kg ] 12,331 780,950 12,331 –0,789 804,823

xi [ m ] 2,3 1,068 0,1 0,45 —

zi [ m ] 0 0 0 0,1 —

Jx [ kgm2 ] 0,015 6,504 0,015 0,000 6,534

Jy [ kgm2 ] 0,049 1252,788 0,049 –0,017 252,869

Jz [ kgm2 ] 0,049 1252,788 0,049 –0,0017 252,869

Während man die Formeln für den Zylinder in jedem Mechanik-Buch findet, muss für den Kegelstumpf zuweilen die Mathematik bemüht werden. Mit η = rb /ra berechnet man durch Integration in Zylinderkoordinaten

m =

1 η3 − 1 · π · ra2 · l2 · ρ · , 3 η−1

x S = l2 ·

η3 −

η4 −1 4·(η−1)

, vom kleinen Radius ausgehend η3 − 1 3 η5 − 1 Jx = · m · ra2 · 3 , 10 η −1

(6.119) (6.120) (6.121)

248

6. Unwuchterregte Schwingungen Jy(a)

m · r2 = 3 a η −1

#

2 3 5 1 l2 2 (η − 1) + · (η − 1)(6η + 3η + 1) , 20 10 ra

Jy(S) = Jy(a) − m · x 2S

= Jz(S) .

(6.122) (6.123)

Mit den statischen Momenten ergeben sich die Schwerpunktskoordinaten xS = b

=

+ m i · xi + mi

a = l1 + l2 + l3 − x S

= =

1,073 m, 1,327 m,

yS = 0, + m i · zi zS = + = −9,803 · 10−5 m, mi e = 0,098 mm. Die Massenexzentrizität von knapp 1/10 Millimeter ist keinesfalls zu vernachlässigen! Jetzt müssen noch die Steiner-Anteile berechnet werden. Da keine Abstände in y-Richtung vorhanden sind, vereinfacht sich die Auswertung

i 1 2 3 4 +

Jx [ kgm2 ]

Jy [ kgm2 ]

Jz [ kgm2 ]

Jxz [ kgm2 ]

m i (z S −zi )2 0,000 0,000 0,000 −0,008 −0,008

m i [(x S −xi )2 + (z S −zi )2 ] 18,565 0,020 11,674 −0,306 29,953

m i (x S −xi )2 18,565 0,020 11,674 −0,306 29,953

m i (x S −xi )(z S −zi ) 0,001 −0,000 −0,001 0,049 0,049

Das ergibt zusammenfassend Jx(S) = 6,526 kgm2 ,

Jy(S) = Jz(S) = 282,822 kgm2 ,

(S) Jxz = 0,049 kgm2 .

Die übrigen Massenträgheitsmomente sind Null • Bestimmung der Eigenfrequenzen: Als erste Orientierung dienen die Eigenfrequenzen des stehenden und dämpfungsfreien Rotors. Von (6.112) verbleibt dann M · u(t) ¨ + S · u(t) = 0, ⎛

804,821 0 ⎜ M=⎝ 0 0

mit den Matrizen

0 282,822 0 0

0 0 804,821 0

⎞ 0 0 ⎟ ⎠ 0 282,822

und

6.5 Elastisch gelagerter starrer Rotor ⎛

3 ⎜ −0,819 S=⎝ 0 0

−0,819 4,064 0 0

0 0 1,3 0,195

249 ⎞

0

⎟ · 106 . 0,195 ⎠ 1,802

Nun kann eine Eigenwertberechnung durchgeführt werden. Diese liefert die gesuchten Eigenfrequenzen sowie die damit berechneten Drehzahlen i 1 2 3 4

ωi [ 1/s ] 39,8 58,8 80,0 121,0

f i [ Hz ] 6,3 9,4 12,7 19,3

n i [ U/min ] 380 560 764 1155

dimodal 0,017 0,012 0,032 0,021

δi [ 1/s ] −0,658 −0,709 −2,538 −2,486

Es werden also vier Resonanzen, kritische Drehzahlen, bis zum Erreichen der Nenndrehzahl durchfahren. Eine anschließende Eigenwertanalyse für den gedämpften Fall, ergibt zusätzliche Informationen bezüglich des Dämpfungsverhaltens der einzelnen Freiheitsgrade, ausgedrückt durch die Abklingkonstante und den Dämpfungsgrad, Spalten 5 und 6 der Tabelle. • Simulation des instationären Hochlaufes : Numerisch ist Gl. (6.107) in der Form u˙ W = vW , v˙ W = M−1 (t) · [f (t) − S · uW − (G(t) + D) · vW ] , uW (t = 0) = 0 und vW (t = 0)

=

0

(6.124)

zu integrieren. Hinzu kommen noch die vier Motorgleichungen, sodass jetzt 14 DGL erster Ordnung vorhanden sind. Obwohl die zeitabhängige Massenmatrix in jedem Zeitschritt invertiert wird, beträgt die Rechenzeit für 10 s Echtzeitsimulation ca. 20 s. Dafür erhält man eine Fülle von Informationen nämlich, Zeitreihen für • den Antrieb, – Ströme, Luftspaltmoment, Drehwinkel, Drehzahl und Last; • Verschiebungen und Drehungen des Rotorschwerpunktes; • Geschwindigkeiten und Beschleunigungen desselben; • sowie die Lagerreaktionen des Rotors. Die Nenndrehzahl von 1500 U/min wird nach etwa 1,5 s erreicht. Obwohl die vier Resonanzdrehzahlen zügig durchfahren werden, treten Schwingungsausschläge auf, die wesentlich größer sind, als die Amplituden im Nennbetrieb.

250

6. Unwuchterregte Schwingungen

2000

5

zW [ mm ] –––>

U/min –––>

Drehzahl 1500 1000 500 0

0

2

4

0 –5

Bahnkurve Schwerpunkt

–10 –10

6

–5 y

4

5 0 –5 –10

0

4

0 –2 0

2 4 Zeit t [ s ] –––>

0 –2 0

2

4

6

5

Lagerreaktion

2

–4

10

2

–4

6

FB z [ kN ] –––>

FA z [ kN ] –––>

4

2

5

Vertikalbeschl.

Verschiebung a z [ g ] –––>

z W [ mm ] –––>

10

0 [ mm ] –––>

W

6

Lagerreaktion 0

–5

0

2 4 Zeit t [ s ] –––>

6

Abbildung 6.23: Schwingungsantwort des starren Rotors in elastischen Lagern.

Die Beschleunigungen ergeben sich direkt aus v˙ W = . . . und sind ein wichtiges Kriterium für die Bewertung des Schwingungsverhaltens, sie sind im vorliegenden Fall mit knapp 3· g viel zu hoch. Anhand der Zeitliniendiagramme kann man sich die räumliche Bewegung des Rotors kaum vorstellen. Einen besseren Einblick gewinnt man durch eine dreidimensionale Darstellung des Wellendurchstoßpunktes W oder zumindest durch eine Betrachtung seiner Bahnkurve. Diese unwuchterregten Schwingungen können nicht akzeptiert werden. Der Rotor muss statisch und dynamisch ausgewuchtet werden. • Optimierung der Massenverteilung des Rotors: Benötigt werden die dynamischen Lagerreaktionen des Rotors. Im vorliegenden Fall sind diese durch die Resonanzdurchfahrt überhöht und somit unbrauchbar. Die Lagersteifigkeiten sollten so hoch sein, dass der Rotor unterkritisch betrieben wird. Da alle erforderlichen Daten des Rotors zur Verfügung stehen, kann der Massenausgleich auch mit den theoretischen Lagerkräften durchgeführt werden. Die Vorgehensweise entspricht dem Beispiel 6.5.

6.6 Elastische Plattform

251

Als Ausgleichsebenen werden die Stirnflächen des Kegelstumpfes gewählt, EA links, EB rechts. Auch die Radien können frei gewählt werden, beispielsweise 90 mm und 130 mm. Der bekannte Rechnungsgang führt dann zu folgenden Ausgleichsmassen, m A + m K A = 0,342 kg + 0,189 kg und m B = 0,383 kg, m K B = 0,273 kg. Die Positionen können der Abbildung entnommen werden. m A + m KA

mB

13 0

90 S=W

EA

EB

S=W mKB

Abbildung 6.24: Ausgleichsmassen am Rotor.

Eine Kontrollrechnung liefert dann die aktuellen Massenparameter, x S = 126,6 mm, yS = z S = e = 0, Jx(S) = 6,542 kgm2 , Jy(S) = 1284,036 kgm2 , Jz(S) = (S) (S) (S) 1284,042 kgm2 , Jxy = Jxz = Jyz = 0. Die kinetischen Lagerreaktionen sind < 10−4 N.

6.6

Elastische Plattform

In der Praxis tritt häufig der Fall auf, dass ein elektrischer Antrieb, ein Verbrennungsmotor oder ein passives System auf einem Gestell montiert sind, welches selbst elastisch mit dem Boden, dem Fundament, verbunden ist. Dazu gehören auch Geräte, die zur Qualifizierung auf Schwingtischen montiert und gezielt angeregt werden oder die elastische Lagerung von Fahrzeugaggregaten oder auch Kabinen von Nutzfahrzeugen. Die Schwingungsanregung geht entweder vom Objekt selbst aus oder wird von außen eingeleitet. In jedem Fall interessieren Schwingungsbelastungen, beispielsweise in Form von Antwortbeschleunigungen, Lagerreaktionen, ausgedrückt durch Kräfte, Momente und Verschiebungen und natürlich die Eigenfrequenzen. Das Gesamtsystem, bestehend aus dem Objekt und dem elastisch gelagerten Fundament wird meist überkritisch betrieben, d.h. es werden kritische Drehzahlen ständig durchfahren. Stellvertretend für derartige Aufgabenstellungen wird das dargestellte Schwingungsmodell betrachtet. Es besteht aus einem starren Block, welcher durch Federn und viskose Dämpfer mit dem Boden verbunden ist. Es muss angemerkt werden, dass die Parameteridentifizierung der Lager, die Bereitstellung von Massen, Massenträgheitsmomenten und geometrischen Abständen, Gegenstand umfangreicher Untersuchungen ist. Die Plattform wird an einer beliebigen Stelle angeregt, im vorliegenden Fall durch Fliehkräfte, die von einem starren Rotor erzeugt werden. Das System hat demnach sieben Freiheitsgrade, die Starrkörperdrehung ϕ des Rotors, die drei Verschiebungen des Gesamtschwerpunktes S, x S , yS und z S sowie die drei Drehwinkel α, β und γ .

252

6. Unwuchterregte Schwingungen 4

ML

ϕ⋅ W

1

MA

S

3

2

Abbildung 6.25: Starrer Rotor, montiert auf elastischem Fundament.

Dieses System wird durch die erforderlichen Systemparameter Gesamtmasse Rotormasse Exzentrizität Antriebsmoment Lastmoment

: : : : :

mG mR eR MA ML

Trägheitsmomente Trägheitsmoment Abstände S−→ W Abstände S−→ Punkt i Steifigkeiten Punkt i Dämpfungen Punkt i

: : : : : :

JxH , JyH , JzH JR x W , yW , z W ri x , ri y , ri z ci x , ci y , ci z di x , di y , di z

beschrieben. Zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen wird das System frei geschnitten. An i infolge der Federn und, falls berücksichtigt, den Lagerpunkten i greifen die Rückstellkräfte F der viskosen Dämpfer an. Die Wechselwirkung zwischen dem starren Rotor und der Plattform W . erfolgt durch die Reaktion F

Abbildung 6.26: Schnittkräfte am System. Bewegungskoordinaten.

6.6.1

Kinematische Beziehungen

Die elastischen Auslenkungen können als klein vorausgesetzt werden, wodurch eine Linearisierung der Bewegungsgleichungen möglich wird. Ein außerhalb der Plattform stehender Beobachter nimmt die Verschiebungen des Gesamtschwerpunktes S, u S = {x S ; yS ; z S }

6.6 Elastische Plattform

253

sowie die Drehungen um die Koordinatenachsen α, β und γ wahr. Diese Verrückungen werden im Spaltenvektor u∗ = [x S yS z S α β γ ]t angeordnet. Zu diesen elastischen Verformungen kommt noch der Rotordrehwinkel hinzu. Somit wird die Lage des Systems durch  t (6.125) z = x S yS z S α β γ ϕ beschrieben. Der Rotor macht sämtliche Bewegungen der Plattform mit. Die Beschreibung der Drehbewegung ϕ erfolgt also im körperfesten System. Die Transformationsbeziehungen zwischen beiden Koordinatensystemen sind durch (2.40) mit (2.41) definiert. Wird die Plattform um uS ausgelenkt und gleichzeitig verdreht, erfährt der Lagerpunkt i im raumfesten System die Verschiebung ui = uS + R · ri − ri ,

(6.126)

⎡

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ui x xS 1 ⎣ ui y ⎦ = ⎣ yS ⎦ + ⎣ γ ui z zS −β

⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ β ri x ri x −α ⎦ · ⎣ ri y ⎦ − ⎣ ri y ⎦ = ri z ri z 1

−γ 1 α

⎤ x S − γ · ri y + β · ri z ⎣ yS + γ · ri x − α · ri z ⎦ i = 1,2, 3,4. z S − β · ri x + α · ri y ⎡

6.6.2

(6.127)

Rückstellkräfte und -momente

Die Rückstellkräfte ergeben sich aus der Beziehung ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 4 4 0 0 ci x ui x   ⎣ 0 ci y res = − i = − 0 ⎦ · ⎣ ui y ⎦ . F F 0 0 ci z ui z i=1 i=1

(6.128)

Bezüglich des Gesamtschwerpunktes wirkt das resultierende Rückstellmoment  res = − M

4  i . (R · ri ) × F

(6.129)

i=1

Wegen der Linearität dieser Beziehungen, lassen sich Verschiebungen und Drehwinkel ausklammern, womit sich die gesuchte Beziehung ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

Fx Fy Fz Mx My Mz

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎦ ⎣

s11 0 0 0 s15 s16

0 s22 0 s24 0 s26

0 0 s33 s34 s35 0

0 s24 s34 s44 s45 s46

s15 0 s35 s45 s55 s56

s16 s26 0 s46 s56 s66

⎤⎡ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎦⎣

xS yS zS α β γ

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(6.130)

254

6. Unwuchterregte Schwingungen

ergibt. Wobei sich die Elemente der symmetrischen Steifigkeitsmatrix folgendermaßen ergeben s11 = s22 = s33 = s44 = s55 = s66 =

4 +

ci x

i=1 4 + i=1 4 +

s15 =

4 +

ci x ri z

s16 = −

i=1

ci y

s24 = −

4 +

i=1 4 +

(ci y ri z2 + ci z ri 2y )

i=1 4 +

(ci z ri x2 + ci x ri z2 ) i=1 4 + (ci x ri 2y + ci y ri x2 ). i=1

s34 =

4 +

ci y ri z

s26 =

4 +

ci z ri y

s56 = −

4 +

i=1 4 +

ci y ri x

i=1

s35 = −

i=1

s45 = −

ci x ri y

i=1

i=1

ci z

4 +

ci z ri x ri y

s46 = −

4 +

i=1 4 +

ci z ri x (6.131) ci y ri x ri z

i=1

ci x ri y ri z

i=1

Bei Berücksichtigung von viskosen Lagerdämpfungen erhält man eine ebenfalls symmetrische Dämpfungsmatrix D, mit ähnlicher Struktur. Sie enthält statt der Steifigkeitszahlen, die viskosen Dämpfungskoeffizienten.

6.6.3

Anregung

Die Plattform wird durch die Fliehkräfte des Rotors angeregt. Im körperfesten Koordinatensystem treten am Wellendurchstoßpunkt W die Reaktionen FW x = 0, FW y = −m R · e R · (ϕ¨ · sin ϕ + ϕ˙ 2 · cos ϕ),

(6.132) (6.133)

FW z = m R · e R · (ϕ¨ · cos ϕ − ϕ˙ 2 · sin ϕ) + m R · g

(6.134)

auf. Zur Darstellung in raumfesten Koordinaten müssen diese transformiert werden WR = T · F W , F ⎤ ⎡ ⎤ FW xR −γ · FW y + β · FW z ⎣ FW yR ⎦ = ⎣ ⎦. FW y − α · FW z R α · F + F FW z Wy Wz

(6.135)

⎡

Diese Reaktionskraft erzeugt bezüglich des Gesamtschwerpunktes das Moment ⎡ ⎤ yW · FW z − z W · FW y ⎦.  W = rW × F W = ⎣ −x W · FW z M x W · FW y

(6.136)

(6.137)

Es wirkt also im körperfesten Koordinatensystem. Handelt es sich um andere Anregungsarten, beispielsweise um harmonische Kraftanregung, periodische Anregung infolge von Gaskräften bei Verbrennungsmotoren oder um Stoßanregung, kann entsprechend vorgegangen werden.

6.6 Elastische Plattform

6.6.4

255

Schwerpunktsatz im raumfesten Koordinatensystem

Mit den definierten Größen lautet das Newtonsche Grundgesetz res − F WR − m G · g · ez . m G · u¨S = F

6.6.5

(6.138)

Drallsatz im körperfesten Hauptachsensystem

Die Winkelgeschwindigkeiten lauten im körperfesten System nach (2.44) , ω H = α˙ + β˙ · γ ; β˙ − α˙ · γ ; γ˙ + α˙ · β . Die Eulerschen Gleichungen (3.31) vervollständigen die Bewegungsgleichungen H · ω˙ +  · H · ω H = −Mres − MW . H

(6.139)

Hinzu kommt noch die Bewegungsgleichung für den Rotor (J R + m R · e2R ) · ϕ¨ = M A − M L − m R · g · cos ϕ.

6.6.6

(6.140)

Zusammenfassende Darstellung der Bewegungsgleichungen

Die Bewegungsgleichungen für das Gesamtsystem werden zweckmäßig in Matrizen zusammengefasst. Wieder ist zu beachten, dass Steifigkeits- und Dämpfungsmatrix formal um eine 7. Zeile und Spalte, die jedoch nur Nullen enthält, zu erweitern sind, da das Gesamtsystem 7 Freiheitsgrade hat. Man erhält wieder die bekannte Form mit den bekannten Systemmatrizen M(t) · z¨ (t) + [G(t) + D] · z˙ (t) + S · z(t) = f (t).

(6.141)

Die gyroskopische Matrix G, welche den Kreiseleinfluss und die vom Rotor erzeugten Fliehkräfte enthält, besteht außerdem aus vielen Nullen. Daher ist es naheliegend, Kreiselmomente und Fliehkräfte in den getrennten Spaltenmatrizen f gyro und f zent zusammenzufassen. Somit entsteht die gleichwertige Form M(t) · z¨ (t) + D · z˙ (t) + S · z(t) + f gyro (t) + f zent (t) = f (t).

(6.142)

Neben den schon bekannten Elementen der Steifigkeits- und Dämpfungsmatrix erhält man für ⎡ ⎤ mG 0 0 0 0 0 m R e R (γ sin ϕ + β cos ϕ) ⎢ 0 mG 0 0 0 0 −m R e R (sin ϕ + α cos ϕ) ⎥ ⎢ ⎥ 0 mG 0 0 0 m R e R (cos ϕ + α sin ϕ) ⎥ ⎢ 0 ⎢ ⎥ 0 0 Jx γJx 0 m R e R (yW cos ϕ + z W sin ϕ) ⎥ , (6.143) M=⎢ 0 ⎢ 0 ⎥ 0 0 −γJy Jy 0 −m R e R x W cos ϕ ⎢ ⎥ ⎣ 0 ⎦ 0 0 βJz 0 Jz −m R e R x W sin ϕ 2 0 0 0 0 0 0 JR + m R e R

256

6. Unwuchterregte Schwingungen ⎡

f gyro

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ =⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 0 0 ˙ + γ˙ γ)(Jy − Jz ) β˙ γ˙ (Jx − Jy + Jz ) − α( ˙ ββ 2 α˙ γ˙ (Jx − Jy − Jz ) − (α˙ β + β˙ γ˙ γ)(Jz − Jx ) ˙ α˙ β(−J ˙ 2 − β˙ 2 )(Jx − Jy ) x + J y + Jz ) + γ(α 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎦

(6.144)

Obwohl nicht unterstellt werden darf, dass die Drehgeschwindigkeiten α, ˙ β˙ und γ˙ vernachlässigbar klein sind, ist der Einfluss von Ausdrücken der Form α˙ · β˙ · β usw. gering. Deshalb könnten diese Größen, welche klein von höherer Ordnung sind, in f gyro gestrichen werden. ⎡

f zent

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ = ϕ˙ 2 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

m R · e R (γ · cos ϕ − β · sin ϕ) −m R · e R (cos ϕ − α · sin ϕ) −m R · e R (sin ϕ − α · cos ϕ) m R · e R (z W · cos ϕ − yW · sin ϕ) m R · e R · x W · sin ϕ −m R · e R · x W · cos ϕ 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎦

(6.145)

Der Vektor der rechten Seite enthält das zeitlich veränderliche Antriebs- und Lastmoment sowie als weitere wesentliche Größe, das Gesamtgewicht ⎡ ⎤ 0 ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ −m G · g ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 0 f =⎢ (6.146) ⎥. ⎢ ⎥ 0 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ 0 M A (t) − M L (t) Sind die Bewegungsgleichungen des Systems aufgestellt, es fehlen natürlich noch Aussagen über den Antrieb und die Last, kann das Verhalten für eine Vielzahl von praktischen Lastfällen analysiert werden. Von größter Bedeutung ist wieder die Kenntnis über die Lage der Eigenfrequenzen, welche sich aus dem homogenen System ermitteln lassen. Liegen die zugehörigen kritischen Drehzahlen in der Nähe der Betriebsdrehzahl, so ist mit einem Anstieg der Schwingungsamplituden zu rechnen. Eine Quantifizierung erfolgt sinnvoll durch numerische Simulationen.

7

Biegeschwingungen von Wellen

Die Welle als Tragwerkselement wird durch Biegung und Torsion beansprucht. Hinzu kommt eventuell noch eine Schubbeanspruchung. Während die Verdrehung durch äußere Momente entsteht, werden Biegeschwingungen durch Fliehkräfte erzeugt. Dies ist immer dann der Fall, wenn Restunwuchten vorhanden sind. Steigt die Drehzahl, wächst die Fliehkraft, die Welle wird elastisch ausgelenkt und schwingt. Fällt die Umlauffrequenz mit einer Biegeeigenfrequenz zusammen, entsteht Resonanz. Daher werden die Drehzahlen, bei denen Resonanz auftreten könnte, als biegekritische Drehzahlen bezeichnet. Deshalb ist die Kenntnis des Eigenschwingungsverhaltens der Welle von größter Bedeutung. Aufgabe der Maschinendynamik ist es, entsprechende Methoden zu deren Ermittlung bereitzustellen. Natürlich sind andere, oft stoßartige, Erregungen möglich. Diese können vom rotierenden System selbst erzeugt oder von außen, über die Lager eingeleitet werden. Neben den Biegeeigenfrequenzen interessieren die maximalen Schwingungsamplituden infolge unterschiedlicher Anregungen sowie die Laufstabilität. So einfach wie sich eine rotierende Welle auf den ersten Blick darstellt, ist die Beschreibung ihres Biegeschwingungsverhaltens nicht. Obwohl reale Konstruktionen oft anders gestaltet sind, stellt die Welle im einfachsten Fall einen Balken mit kontinuierlicher Massenbelegung dar. Bei vollständiger Homogenität wird die Balkenachse mit dem Schwerpunkt zusammenfallen, sodass keine Massenexzentrizität entsteht. Mögliche Störungen ergeben sich durch Bauteile, die mit der Welle verbunden sind und Unwuchten aufweisen. Von Bedeutung ist die Querschnittsform der Welle. Weicht der Balkenquerschnitt von der Kreisform ab, kann dies zu Instabilitäten beim Lauf führen. Ebenso spielt die Lagerungsart, durch Wälzlager oder Gleitlager, eine bedeutende Rolle. Letztere können die Laufstabilität ebenfalls beeinträchtigen. Das Biegeschwingungsverhalten wird durch die Dämpfung des Läufers beeinflusst. Neben der äußeren, geschwindigkeitsproportionalen Dämpfung, ist die innere Materialdämpfung von Bedeutung, weil dadurch die Stabilität geschwächt wird. Wegen der Komplexität dieser Zusammenhänge, werden derartige Fragestellungen in einem eigenen Fachgebiet, der Rotordynamik, behandelt.

7.1

Der transversal schwingende Balken

Die rotierende Welle stellt ein schwingendes Kontinuum mit unendlich vielen Freiheitsgraden dar. Die Biegelinie w(x, t) hängt von der Ortskoordinate und der Zeit ab. Die elastischen Rückstellkräfte wirken im rotierenden Koordinatensystem. Eine Darstellung in raumfesten Koordinaten macht eine Transformation erforderlich.

258

7. Biegeschwingungen von Wellen

Abbildung 7.1: Massenelement.

Zum Aufstellen der Bewegungsgleichung wird aus dem Balken ein Massenelement der Länge dx herausgeschnitten. Unter den üblichen Voraussetzungen der Biegetheorie und unter Vernachlässigung des Schubeinflusses, liefern Schwerpunkt- und Drallsatz für das Massenelement ∂2w ∂Q · dm = · dx + q(x, t) · dx, 2 ∂t ∂x Jy · β¨ =

∂M · dx − Q(x) · dx. ∂x

(7.1) (7.2)

Darin ist q(x, t) eine beliebige zeitabhängige Streckenlast. Das Massenelement dm wird mit der Dichte ρ durch ρ· A(x) · dx = μ(x) · dx ersetzt. Der Biegewinkel β wird durch die Tangentenneigung − ∂w ∂x ausgedrückt, das Massenträgheitsmoment um die y-Achse durch ρ · I y · dx ∂2w ∂Q · μ · dx = · dx + q(x, t) · dx, ∂t 2 ∂x −ρ · I y ·

∂ My ∂3w = − Q(x). 2 ∂x∂t ∂x

(7.3) (7.4)

Die zweite Gleichung wird nach der Querkraft Q aufgelöst und partiell nach x differenziert

∂2 My ∂Q ∂ ∂3w = + ρ · Iy · . ∂x ∂x 2 ∂x ∂x∂t 2

(7.5)

Der in eckigen Klammern stehende Ausdruck kennzeichnet den Einfluss der Drehträgheit. Das Biegemoment M y wird durch die bekannte DGL für die Biegelinie ersetzt, M y = −E·I y ·w . Dies wird in die erste Gleichung eingesetzt. Auf diese Weise entsteht die gekoppelte partielle Bewegungsdifferentialgleichung für den transversal schwingenden Balken



∂2w ∂ ∂3w ∂2 ∂2w ρ · A(x) · 2 − ρ · I y (x) · + 2 E · I y (x) · 2 = q(x, t). ∂t ∂x ∂x∂t 2 ∂x ∂x (7.6) Unterstellt man konstanten Balkenquerschnitt, vereinfacht sich die Schwingungsgleichung erheblich. Trotzdem ist eine geschlossene Lösung nur für den einfachsten Fall, bei dem die Drehträgheit vernachlässigt wird, möglich.

7.1 Der transversal schwingende Balken

7.1.1

259

Eigenschwingungsverhalten des transversal schwingenden Balkens

Zur Bestimmung der Eigenfrequenzen wird die homogene partielle DGL in der einfachsten Form herangezogen λ2 ·

∂4w ∂2w + 2 = 0. ∂x 4 ∂t

(7.7)

Zur Abkürzung wurde λ2 =

E · Iy ρ·A

gesetzt.

(7.8)

Falls es gelingt, einen Ansatz zu finden, welcher eine Trennung von Orts- und Zeitfunktion herbeiführt, ist eine Lösung möglich. Der Bernoulli-Ansatz w(x, t) = X(x) · T(t) leistet dies.

(7.9)

Wird dieser in die obige DGL eingesetzt ergibt sich zunächst λ2 ·

∂4 X ∂2 T · T + X · = 0. ∂x 4 ∂t 2

(7.10)

Damit kann die Trennung von Orts- und Zeitfunktion vollzogen werden λ2 ·

∂4 X 1 ∂2 T 1 · · + = 0. ∂x 4 X ∂t 2 T

(7.11)

Diese Gleichung kann nur für eine Konstante erfüllt werden λ2 ·

∂4 X 1 · = ω2 ∂x 4 X

beziehungsweise,

∂2 T 1 · = −ω2 . ∂t 2 T

(7.12) (7.13)

Das sind zwei gewöhnliche Differentialgleichungen vierter Ordnung für die Orts- und zweiter Ordnung für die Zeitfunktion d4 X − β 4 · X = 0 mit dx 4 ω2 β4 = 2 , λ d2 T + ω2 · T = 0. dt 2

(7.14) (7.15) (7.16)

260

7. Biegeschwingungen von Wellen

Diese Gleichungen haben die Lösungen T(t) = A · sin(ωt + φh ), siehe Kapitel 4.5 X(x) = c1 · sin βx + c2 · cos βx + c3 · sinh βx + c4 · cosh βx.

(7.17) (7.18)

Die Ortsfunktion mit den freien Konstanten c j , j = 1, . . . , 4 muss an die jeweiligen Randbedingungen des betrachteten Balkens angepasst werden. Daraus ergibt sich eine Eigenwertgleichung für die Parameter β. Ist diese nichtlineare Gleichung gelöst, können die Eigenkreisfrequenzen berechnet werden  E · Iy ωk = βk2 · k = 1, . . . , ∞. (7.19) ρ·A Für den dargestellten Balken mit Lagerungsart e), Einspannung links und Loslager rechts, lauten die Randbedingungen w(0, t) w (0, t) w(l, t) w (l, t)

= = = =

0 0 0 0

= = = =

c2 + c4 , c1 + c3 , c1 sin βl + c2 cos βl + c3 sinh βl + c4 cosh βl, −c1 sin βl − c2 cos βl + c3 sinh βl + c4 cosh βl.

(7.20)

Daraus ergibt sich ein homogenes Gleichungssystem für die Integrationskonstanten c1 und c2 . l a)

b)

c)

d)

e)

Abbildung 7.2: Balken mit unterschiedlichen Lagerungsbedingungen.

Nichttriviale Lösungen können nur dann auftreten, falls die Koeffizientendeterminante ( ( ( sin βl − sinh βl cos βl − cosh βl (( D = 0 = (( ist. (7.21) −(sin βl + sinh βl) −(cos βl + cosh βl) ( Die Berechnung dieser Determinante führt zur Eigenwertgleichung tan βl = tanh βl.

(7.22)

Diese Gleichung kann nur numerisch gelöst werden. Mit einem beliebigen Nullstellenprogramm erhält man beispielsweise für die ersten drei Eigenwerte β j · l := 3,92660

7,06858

10,21018.

Die Ortsfunktion X(x), die so genannte Eigenfunktion, kann nur bis auf eine Konstante ermittelt werden, weil die Integrationskonstanten aus einem homogenen Gleichungssystem berechnet wurden. Im vorliegenden Fall lassen sich alle Konstanten auf c3 zurückführen   X j (x) = c3 · cos β j x · tanh β j x − sin β j x . (7.23)

7.2 Ortsdiskretisierung

261

Die unwesentliche Konstante c3 kann beispielsweise gleich 1 gesetzt werden. Was beim diskreten Schwingungsproblem die Eigenvektoren bedeuten, übernehmen beim Kontinuum die Eigenfunktionen. Zu jedem Eigenwert gehört eine Eigenfunktion. Bei bekannten Eigenfunktionen X j (x) lautet die allgemeine Lösung für den transversal schwingenden Balken w(x, t) =

∞ 

X j (x) · A j sin(ω j t − φh j ).

(7.24)

j=1

Die Eigenfunktionen haben die Eigenschaft, orthogonal zu sein ⎧ l ⎨ 0 für j  = k l 2 X j (x) · X k (x) · dx = X j (x) · dx für j = k. ⎩ x=0

(7.25)

x=0

Diese Tatsache dient als Grundlage für Näherungsverfahren. Die anderen Lagerungsfälle lassen sich in der gleichen Art und Weise erledigen: Eigenwertgleichung cosh βl · cos βl = 1

β1 · l 4,73004

β2 · l 7,85320

β3 · l, . . . 10,99561, . . .

b)

sin βl = 0

π

2π

3π, . . .

c)

cosh βl · cos βl = −1

1,87510

4,69409

7,85476, . . .

d)

cosh βl · cos βl = 1

4,73004

7,85320

10,99561, . . .

Lagerungsfall a)

Die Lagerungsfälle frei/frei und eingespannt/eingespannt haben dieselben elastischen Eigenschwingungsformen. Zum ersteren gehören jedoch Starrkörperverschiebungen mit Eigenfrequenzen gleich Null. Diese Art der Lagerung ergibt sich beispielsweise bei einem schwimmenden Balken oder einem Flugkörper. Die Ergebnisse dieser Betrachtung sind weniger von praktischer Bedeutung, da reale Wellen weder glatt noch exakt diesen Randbedingungen unterworfen sind. Sie dienen vielmehr als Referenz für Näherungen. Diese besteht darin, die Ortsfunktion X(x) des beliebig gearteten Balkens durch so genannte Ansatzfunktionen zu approximieren. Eine andere Möglichkeit besteht darin, die partielle DGL des Balkens durch endliche Differenzenapproximationen zu lösen.

7.2

Ortsdiskretisierung

Es ist naheliegend, die Eigenfunktion des schwingenden Balkens durch die statische Biegelinie w(x) anzunähern. Dies kann nicht durch eine einzige Funktion über die gesamte Balkenlänge erfolgen. Der Fehler wäre zu groß, um brauchbare Ergebnisse zu erhalten. Daher wird die Balkenlänge in einzelne Abschnitte, Elemente, unterteilt. Diese Aufteilung kann immer so erfolgen, dass die Querschnittsparameter konstant sind.

262

7. Biegeschwingungen von Wellen

Wählt man beispielsweise für ein derartiges Balkenelement eine Ansatzfunktion gemäß (3.95) und passt, wie dort bereits durchgeführt, die Integrationskonstanten an die Randbedingungen der möglichen Einheitsverformungszustände an, gelangt man zu folgender Approximation w(x, t) = (1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 ) · w0 (t) + l · (−ξ + 2ξ 2 − ξ 3 ) · β0 (t) + + (3ξ 2 − 2ξ 3 ) · wl (t) + l · (ξ 2 − ξ 3 ) · βl (t) x mit ξ = . l

(7.26)

Dieser Ansatz gilt nur für das Balkenelement der Länge l. Die Endpunkte des Elementes, die Knoten, enthalten die Durchbiegungen w0 (t), wl (t) sowie die Drehwinkel β0 (t) und βl (t). Dieses finite Balkenelement wird also durch zwei Knoten mit jeweils zwei Freiheitsgraden definiert. Der besseren Übersicht wegen, wurden die Deformationen der Knoten numeriert. Da M 0 F0

Ml l

Fl

k+1

k

mL cL

k

mL cL

l

0

Abbildung 7.3: Finites Balkenelement. Element mit Federn und Einzelmassen.

nur eindimensionale Gebilde betrachtet werden, ist der Zusammenhang zwischen Element- und Knotenbezeichnungen denkbar einfach. Hat beispielsweise ein Element die Nummer k, so lautet der linke Knoten ebenfalls k und der rechte k+1.

7.2.1

Elementmatrizen

Der Zusammenhang zwischen den Schnittlasten und Deformationen wurde ebenfalls schon durch (3.98) bereitgestellt. Was fehlt sind Beziehungen für die Masse und die Drehträgheit des Balkenelementes. Außerdem könnten Einzelmassen m L , JL und Federn c L vorhanden sein. Diese werden den Knoten zugeordnet. Das finite Balkenelement hat eine endliche Länge l. Also ist es möglich, auch ein infinitesimales Element der Länge dx zu betrachten. Die Herleitung der Elementmatrizen kann beispielsweise mit den Lagrangeschen Bewegungsgleichungen erfolgen. Die generalisierten Koordinaten sind jetzt die Durchbiegungen und Drehwinkel der beiden Knoten  t qr = w1 β1 w2 β2 . (7.27) Die vier Ansatzfunktionen, die Hermite-Polynome, werden durch ηr gekennzeichnet η1 η2 η3 η4

= = = =

(1 − 3ξ 2 + 2ξ 3 ), l · (−ξ + 2ξ 2 − ξ 3 ), (3ξ 2 − 2ξ 3 ), l · (ξ 2 − ξ 3 ),

(7.28)

7.2 Ortsdiskretisierung

263

womit die Biegelinie für das Element folgendermaßen geschrieben werden kann w(x, t) = ηr (x) · qr (t),

wobei der Zähler r = 1, . . . , 4.

(7.29)

Benötigt werden kinetische und potentielle Energie des finiten Balkenelementes. Diese Energieausdrücke bestehen aus Bereichsgrößen 0 ≤ x ≤ l und Randtermen an den Stellen x = 0 und x = l. Im Bereich lautet die kinetische Energie

E Bereich

1 = · 2

l

1 ρ· A·w ˙ (x, t) · dx + · 2

l

2

x=0

ρ · Iy · w ˙ 2 (x, t) · dx.

(7.30)

x=0

Zur Vereinfachung wurde die zeitliche Ableitung durch den Punkt und die örtliche durch den Strich ersetzt. Das zweite Integral stellt die Rotationsenergie des Balkenelementes dar. Die kinetische Energie der starren Einzelmassen und Massenträgheitsmomente um die y-Achse wird durch die Randwerte der Ansatzfunktion ausgedrückt E Ränder =

1 1 1 · m L1 · w ˙ 2 (0, t) + · m L2 · w ˙ 2 (l, t) + · JL1 · w ˙ 2 (0, t) + 2 2 2 1 + · JL2 · w ˙ 2 (l, t). 2

(7.31)

Die gesamte kinetische Energie ist dann E = E Bereich + E Ränder . Die potentielle Energie des Balkenelementes setzt sich ebenfalls aus dem Bereichsanteil und den Randwerten zusammen

U = U Bereich + URänder

=

1 · 2

l

E · I y · w 2 (x, t) · dx

x=0

1 1 1 + · c L1 · w2 (0, t) + · c L2 · w2 (l, t) + · c DL1 · w 2 (0, t) 2 2 2 1 2 + · c DL2 · w (l, t). 2

(7.32)

Dabei wurden noch mögliche Drehfedern c DL1 , c DL2 an den Elementgrenzen berücksichtigt. Da keine äußere Anregung vorhanden ist, existieren auch keine generalisierten Kräfte. Somit kann die Lagrangesche Rechenvorschrift d dt



∂L ∂ q˙ j

 −

∂L = 0, ∂q j

mit

L = E −U

(7.33)

durchgeführt werden. Da es sich bei der Biegelinie w(x, t) um einen Produktansatz handelt, gestalten sich die Differentiationen nach t und x einfach, also w(x, t) = ηr (x) · q˙r (t) und ˙

264

7. Biegeschwingungen von Wellen

w (x, t) = ηr (x) · qr (t) usw. Anders verhält es sich bei den partiellen Ableitungen nach den generalisierten Koordinaten. Hier gelten folgende Differentiationsvorschriften  2 ∂ w ˙ ∂w ∂ ˙ = 2w(x, t) · = 2w(x, t) · (ηr (x) · q˙r (t)) = ˙ ˙ ∂ q˙ j ∂ q˙ j ∂ q˙ j ' 0 für r  = j = . (7.34) 2w(x, t) · η j (x) für r = j ˙ Diese Ableitung ist also nur von Null verschieden, falls r = j ist. Die gleiche Vorgehensweise führt auch bei den anderen Ableitungen zu einfachen Ausdrücken    ∂ w 2 ∂w ∂  = 2w (x, t) · = 2w (x, t) · ηr (x) · qr (t) = ∂q j ∂q j ∂q j ' 0 für r = j = , (7.35) 2w (x, t) · η j (x) für r = j  2  ' ∂ w ˙ 0 für r  = j = . (7.36) 2 w (x, t) · η (x) für r= j ˙ ∂ q˙ j j Nach diesen Überlegungen können die partiellen Ableitungen der Lagrangeschen Funktion L gebildet werden. Im Einzelnen ergeben sich folgende Ausdrücke d dt



∂L ∂ q˙ j



l ={

l ρA · ηr (x) · η j (x) · dx +

x=0

ρI y · ηr (x) · η j (x) · dx

x=0

+m L1 · ηr (0) · η j (0) + m L2 · ηr (l) · η j (l) +JL1 · ηr (0) · η j (0) + JL2 · ηr (l) · η j (l) } · q¨r (t), ∂L ={ ∂q j

l

(7.37)

E I y · ηr (x) · η j (x) · dx

x=0

+ c L1 · ηr (0) · η j (0) + c L2 · ηr (l) · η j (l) + c DL1 · ηr (0) · η j (0) + c DL2 · ηr (l) · η j (l) } · qr (t).

(7.38)

Die in geschweiften Klammern stehenden Ausdrücke enthalten bekannte Größen, können also berechnet werden. Es handelt sich um die gesuchten Elementmatrizen • Elementmassenmatrix l ρA · ηr (x) · η j (x) · dx = x=0

7.2 Ortsdiskretisierung

265

⎛

−22 · l 4 · l2 −13 · l −3 · l 2

156 ρ· A·l ⎜ −22 ·l ⎜ mˆ ij = 420 ⎝ 54 13 · l

54 −13 · l 156 22 · l

⎞ 13 · l −3 · l 2 ⎟ ⎟. 22 · l ⎠ 4 · l2

(7.39)

• Elementdrehträgheitsmatrix l

ρI y · ηr (x) · η j (x) · dx =

x=0

⎛

mˆ rot ij

−3 · l 4 · l2 3·l −l 2

36 ρ · Iy ⎜ −3 ·l ⎜ = ⎝ −36 30 · l −3 · l

−36 3·l 36 3·l

⎞ −3 · l −l 2 ⎟ ⎟. 3·l ⎠ 4 · l2

(7.40)

• Elementeinzelmassen Die an den Knoten abgebildeten Massen einer Diagonalmatrix ⎛ m L1 0 0 0 JL1 0 0 ⎜ 0 mˆ Lij = ⎝ 0 0 m L2 0 0 0 0 JL2

und Massenträgheitsmomente ergeben sich in Form ⎞ ⎟ ⎠.

(7.41)

• Elementsteifigkeitsmatrix Die Elemente wurden bereits im Zusammenhang mit der Ermittlung von Steifigkeitsbeziehungen, vgl. (3.97), (3.98) berechnet. l x=0

E I y · ηr (x) · η j (x) · dx = ⎛

12 E · Iy ⎜ −6 ·l sˆij = 3 ⎜ ⎝ −12 l −6 · l

−6 · l 4 · l2 6·l 2 · l2

−12 6·l 12 6·l

⎞ −6 · l 2 · l2 ⎟ ⎟. 6·l ⎠ 4 · l2

(7.42)

• Elementeinzelsteifigkeiten Auch die diskreten Steifigkeiten führen zu einer Diagonalmatrix ⎞ ⎛ c L1 0 0 0 c DL1 0 0 ⎟ ⎜ 0 sˆLij = ⎝ . 0 0 c L2 0 ⎠ 0 0 0 c DL2

(7.43)

266

7. Biegeschwingungen von Wellen

Mit diesen Abkürzungen liefern die Lagrangeschen Gleichungen für das finite Balkenelement     mˆ ij + mˆ rot ˆ Lij · q¨ j (t) + sˆij + sˆLij · q j (t) = 0, ij + m m ije · q¨ j (t) + sije · q j (t) = 0.

7.2.2

(7.44)

Gesamtsystem

Die bisherigen Betrachtungen beschränkten sich auf ein einzelnes Balkenelement. Das gesamte Tragwerk besteht aber aus einer Vielzahl derartiger Elemente. Da, wie hergeleitet, die Bewegungsgleichung für ein Element gilt, so muss dies auch für die Verkettung vieler solcher Bausteine gelten. Damit dies auch zutrifft, müssen Verträglichkeiten zu den Nachbarelementen sichergestellt werden. Dies ist gewährleistet, da die Ansatzfunktionen die Rand- und Übergangsbedingungen erfüllen. Besteht der Balken aus N E finiten Elementen, so beträgt die Anzahl der Knoten N K = N E + 1. Somit hat das Tragwerk N = 2 · N K generalisierte Koordinaten, sprich Freiheitsgrade. Jeder Knoten, mit Ausnahme des ersten und des letzten, steht in Wechselwirkung mit dem unmittelbar benachbarten Element. Dadurch enthalten die zugehörigen inneren Knotenkräfte und -momente Steifigkeitsanteile des eigenen und des benachbarten Elementes. Zur Erläuterung dieses Sachverhaltes wird ein Balken mit drei Elementen betrachtet. 1

a ij

2

bij

3

2

1

c ij

4 x

3

z

Abbildung 7.4: Balken, bestehend aus drei Elementen.

Die inneren Schnittkräfte und die generalisierten Koordinaten werden in den Spaltenmatrizen der Länge 8 fS = u=

 

F1

M1

F2

w1

β1

w2

M2 β2

F3 w3

M3 β3

F4 w4

M4 t

β4

t

,

,

(7.45) (7.46)

zusammengefasst. Mit der Steifigkeitsmatrix S gilt dann die bekannte Beziehung f S = S · u.

(7.47)

Die Gesamtsteifigkeitsmatrix S setzt sich aus den drei Elementmatrizen, die hier der besseren Übersicht wegen mit aij , bij und cij bezeichnet wurden, zusammen

7.2 Ortsdiskretisierung ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ S=⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

a11 a12 a13 a14 0 0 0 0

a12 a22 a23 a24 0 0 0 0

267 a13 a23 a33 + b11 a34 + b12 b13 b14 0 0

a14 a24 a34 + b12 a44 + b22 b23 b24 0 0

0 0 b13 b23 b33 + c11 b34 + c12 c13 c14

0 0 b14 b24 b34 + c12 b44 + c22 c23 c24

0 0 0 0 c13 c23 c33 c34

0 0 0 0 c14 c24 c34 c44

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ (7.48) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

Für Knoten 2 ergeben sich dann beispielsweise die Schnittlasten F2 = a13 w1 + a23 β1 + (a33 + b11 )w2 + (a34 + b12 )β2 +b13 w3 + b14 β3 , M2 = a14 w1 + a24 β1 + (a34 + b12 )w2 + (a44 + b22 )β2 +b23 w3 + b24 β3 .

(7.49) (7.50)

Entsprechendes erhält man für den Knoten 3. Dieser Sachverhalt lässt sich leicht programmieren. Die Elementmassenmatrizen werden demselben Einbaualgorithmus unterworfen. Die singulären Steifigkeiten und Massen wurden bereits auf Elementebene behandelt, d.h. sie werden einfach den entsprechenden Hauptdiagonalelementen hinzugefügt. Somit ist ein Gesamtsystem, bestehend aus symmetrischer Massen- und Steifigkeitsmatrix der Ordnung ( N × N ), entstanden. Jedes Matrixelement kann mittels der Knotennummer eindeutig identifiziert werden. Zum Knoten k gehören die Schnittkraft F2k−1 und das Schnittmoment M2k . Was noch fehlt, ist die Berücksichtigung von Randbedingungen. Hierzu gibt es zwei einfache Möglichkeiten. Die erste besteht im Streichen derjenigen Zeile und Spalte, welche im Schnittpunkt einer generalisierten Koordinate liegt, deren Verschiebung oder Verdrehung Null ist. Bei dem Balken nach Abbildung 7.4 treten an den Lagern keine Durchbiegungen auf, d.h. die generalisierten Koordinaten w1 und w4 sind Null. Deshalb werden in den Systemmatrizen jeweils die 1. Zeile und Spalte, sowie die 7. Zeile und Spalte gestrichen. Dabei wird die Ordnung um zwei reduziert, womit eine neue Nummerierung erforderlich wird. Die zweite Möglichkeit besteht darin, die Eigenschaften der Lager durch Federn zu ersetzen. Handelt es sich beispielsweise um eine feste Einspannung, können die Randbedingungen durch den Einbau sehr steifer, (≈ 1012 ), Weg- und Drehfedern realisiert werden. Diese Vorgehensweise entspricht sogar eher der Wirklichkeit, da es weder starre Einspannungen noch ideale Drehgelenke gibt. Die Ordnung der Systemmatrizen bleibt erhalten, ein Umsortieren ist nicht erforderlich. Dieses Verfahren wird als Methode der Finiten Elemente, FEM, bezeichnet und bildet die Grundlage der numerischen Mechanik. Das Ergebnis dieser Generierung ist ein lineares DGL-System der bekannten Art M · u(t) ¨ + S · u(t) = 0.

(7.51)

268

7. Biegeschwingungen von Wellen

Beispiel 7.1: Vergleich von verschiedenen Näherungen mit der exakten Lösung. Zur Erprobung des Verfahrens sollen die ersten drei Eigenkreisfrequenzen eines beidseitig gelenkig gelagerten Balkens, Abb. 7.4, berechnet und mit der exakten Lösung verglichen werden. Der Balken mit konstantem Kreisquerschnitt, Radius r, hat die Länge l und besteht aus Stahl. Um eine Vorstellung von der Genauigkeit zu erhalten, soll die Anzahl der Elemente, von 1 ausgehend, variiert werden. Zum weiteren Vergleich ist der Balken durch eine masselose Biegefeder mit äquivalenter Punktmasse in der Mitte zu ersetzen. Geg.: l = 2000 mm, r = 25 mm, ρ = 7850 kg/m3 , E = 2,1 · 1011 N/m2 . Lösung: Die Untersuchung erfolgt in drei Schritten a) Exakte Lösung. Es handelt sich um den Lagerungsfall b) mit den Kreisfrequenzen für den Balken mit konstantem Kreisquerschnitt 

 k·π 2 r E ωk = · · , k = 1, . . . 3, (7.52) l 2 ρ ωk = 159,523 1s ,

638,094 1s ,

1435,711 1s .

b) Finite-Element-Lösung und Vergleich mit a). Nach der beschriebenen Vorgehensweise sind die Elementmatrizen zu generieren und zu Gesamtmatrizen zusammenzubauen. Sodann müssen die Randbedingungen durch Streichen von Spalten und Zeilen oder durch den Einbau von Ersatzfedern realisiert werden. Mit den Systemmatrizen M und S ist dann das allgemeine Eigenwertproblem zu lösen. Die erzeugten Resultate werden mit den exakten Werten durch Bildung des wahren relativen Fehlers verglichen, also Fk [%] = 100% · ( ωk − ωk )/ωk . In Abhängigkeit von der Anzahl der Elemente N E ergibt sich folgendes Bild: NE 1 2 3 4 5 10 20

ω 1 177,023 160,122 159,620 159,534 159,510 159,494 159,493

F1 11 0,4 0,1 0,0 −0,0 −0,0 −0,0

ω 2 810,717 707,680 645,132 640,119 638,659 637,671 637,607

F2 27 11 1 0,3 0,1 −0,1 −0,1

ω 3 – 1776,931 1590,712 1459,408 1444,916 1433,993 1433,276

F3 – 24 11 2 1 −0,1 −0,2

Die gute Übereinstimmung überrascht nicht, da der verwendete hochwertige Ansatz die Randbedingungen vollständig erfüllt. Er ist im Sinne der Statik exakt. Die Eigenfunktion des schwingenden Balkens stellt sich jedoch anders dar als die Biegelinie. Sie wird durch den statischen Ansatz angenähert, daher ist eine feinere Unterteilung des Balkens erforderlich. Die unteren Eigenfrequenzen werden immer zufriedenstellend approximiert. Deren Kenntnis ist für eine Beurteilung des Schwingungsverhaltens der Welle völlig ausreichend.

7.2 Ortsdiskretisierung

269

Für manche Untersuchungen werden aber die hohen Eigenfrequenzen des Systems benötigt, was eine sehr feine Unterteilung erforderlich machen würde. Dies steht aber im Widerspruch zu den Annahmen der verwendeten Balkentheorie und würde zu fehlerhaften Ergebnissen führen. Daher muss bei derartigen Forderungen ein anderes Verfahren gewählt werden. c) Der Balken als masselose Biegefeder. Aus naheliegenden Gründen möchte man die biegekritische Drehzahl und somit die erste Eigenfrequenz abschätzen. Hierzu bietet sich an, den Balken, die Welle, als masselose Biegefeder abzubilden. Die Balkenmasse wird punktförmig in Wellenmitte oder auch als Streckenlast über die Stützweite angeordnet. Für den ausgewählten statischen Lastfall wird die Formänderungsgröße ermittelt und daraus die Steifigkeit. Es entsteht wieder der Einmassenschwinger. Unter einer mittig angeordneten Last erfährt der Balken die Durchbiegung wB =

F · l3 48 · E · I y

und damit die Steifigkeit c B =

48 · E · I y . l3

Mit der Balkenmasse m B = π·r 2 ·l·ρ ergibt sich die Näherung für die erste Eigenkreisfrequenz  ω 1 =

cB mB

=

2·r · l2



3· E ρ

1 = 111,981 . s

(7.53)

Das entspricht einem Fehler gegenüber der exakten Lösung von 30%. Eine Verbesserung wird auch hier durch eine Aufteilung in mehrere Einzelmassen und Massenträgheitsmomente erzielt. Die zugehörige Steifigkeitsmatrix erhält man mit dem P.d.v.K. oder nach der Deformationsmethode, siehe Kapitel 3.2.6 Die äußerst leistungsfähige Methode der finiten Elemente dient also nur dem Zweck, die reale Struktur, hier der einfachste Fall des Balkens, in Systemmatrizen abzubilden. Das bedeutet nichts anderes, als das Kontinuum mit unendlich vielen Freiheitsgraden in ein diskretes System mit endlich vielen Bewegungsmöglichkeiten abzubilden. Ein realer Rotor besteht aus einer Welle, dem Tragwerkselement, und meist zylindrischen Körpern, die einem bestimmten Zweck dienen. Aufgrund von Imperfektionen der Welle selbst oder durch die montierten Bauteile verursacht, können Biegeschwingungen in zwei Ebenen auftreten. Eine Welle, die eine Massenexzentrizität aufweist, erzeugt mit wachsender Drehzahl Fliehkräfte. Diese rufen elastische Rückstellkräfte hervor, die Welle beginnt in beiden Ebenen zu schwingen. Hat der Balken einen veränderlichen Querschnitt oder trägt er an einer beliebigen Stelle einen Körper, eine Scheibe beispielsweise, stellen sich wegen der Schrägstellung Kreiselmomente ein. Der Einfluss der Kreiselwirkung sowie eine mögliche Massenexzentrizität können ebenfalls auf Elementbasis berücksichtigt werden. Ein anderer wichtiger Gesichtspunkt bei rotierenden Wellen, ist die Dämpfung.

270

7. Biegeschwingungen von Wellen

7.2.3

Element mit Massenexzentrizität und Kreiselwirkung

Betrachtet wird wieder ein finites Balkenelement mit konstantem Kreisquerschnitt. Der Schwerpunkt liegt aber nicht auf der Balkenachse, sondern ist um einen konstanten Betrag e0 verschoben. Bei einer Rotation würden sich also Zentrifugalkräfte einstellen. An den Endpunkten, den Knoten, können zylindrische Körper, die ebenfalls eine Schwerpunktsexzentrizität aufweisen, angebracht werden. Jeder Knoten hat jetzt 4 Freiheitsgrade, die Durchbiegungen in y- und z-Richtung, vk , wk sowie die Drehwinkel um diese Achsen, βk = −w k und γk = vk . Diese zeitabhängigen Knotenverformungen werden für das k-te Element in einer Spaltenmatrix der Länge 8 angeordnet qr =



vk

γk

wk

βk

vk+1

γk+1

wk+1

βk+1

t

.

(7.54)

Die elastischen Auslenkungen sowie die Schnittlasten wirken im körperfesten System, welches mit der Winkelgeschwindigkeit des Rotors α˙ ≡ ϕ˙ umläuft. Rückstellkräfte und -momente im körperfesten Hauptachsensystem, siehe (6.93) sind unabhängig von der Umlaufkreisfrequenz. m L2 2

x

ρ A , EI y, l

Ly2

m L1

β2

e0

1

y,v

γ2

z,w e1

γ1

Ω

v2

Ly2

w2

JLy1 v1

β1 J Ly1 w1

Abbildung 7.5: Rotorelement.

Da diese Verformungen des Läufers als klein vorausgesetzt werden, gilt für die Winkelgeschwindigkeiten im Hauptachsensystem, siehe (6.93) ωH =

,

ϕ˙ − v · w ˙ ;

−w ˙ ;

v˙

-

.

(7.55)

Ebenso gilt für die Schwerpunktkoordinaten des Elementes rS =

,

0;

v(x, t) + e0 · cos ϕ ;

w(x, t) + e0 · sin ϕ

-

.

(7.56)

Es wird wieder derselbe Herleitungsgang wie oben gewählt. Dazu werden die Energieausdrücke für das Element, den Bereich, sowie für die Ränder, also an den Stellen x = 0 und x = l, benötigt.

7.2 Ortsdiskretisierung

271

Sind diese bereitgestellt, kann die Lagrangesche Funktion formuliert werden ρ L = 2

l

[I p · (ϕ˙ − v · w ˙ )2 + I y · (˙v 2 + w ˙ 2 )] · dx

x=0

Aρ + 2

l [(˙v − e0 sin ϕ)2 + (w ˙ + e0 cos ϕ)2 ] · dx x=0

l

E · Iy − · 2

(v 2 + w 2 ) · dx +

x=0

2  JL x 1 (ϕ˙ − v · w { ˙ )2 + (JL y · v˙ 2 + JLz · w ˙ 2 ) 2 2 k=1

mL [(˙v − e · ϕ˙ sin ϕ)2 + (w + ˙ + e · ϕ˙ cos ϕ)2 ] 2 1 − · (c L y · v2 + c Lz · w2 + c DL y · w 2 + c DLz · v 2 )}k . 2

(7.57)

Für beide Biegeebenen werden dieselben Ansatzfunktionen wie oben verwendet. Allerdings muss das unterschiedliche Vorzeichen bei den Tangentenneigungen w und v berücksichtigt werden. Die Anwendung der Lagrangeschen Vorschrift ergibt wieder die Bewegungsdifferentialgleichungen für das Rotorelement, bestehend aus einer Massen-, Drehträgheits-, Kreisel- und Steifigkeitsmatrix   · q¨ j (t) + gˆ ij (Ω) · q˙ j (t) + sˆij · q j (t) = fˆi (t). mˆ ij + mˆ rot ij

(7.58)

An den Zahlenwerten der Matrixelemente hat sich nichts verändert. Wegen der Anordnung der Knotenparameter in der Spaltenmatrix qr ist eine Umsortierung der Matrixelemente erforderlich. Die entstandenen Matrizen der Ordnung 8 × 8 haben folgendes Aussehen • Elementmassenmatrix für den Bereich und die Knoten k und k + 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ Alρ ⎢ ⎢ mˆ ij = ⎢ 420 ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

+ diag



156 22l 0 0 54 −13l 0 0

m Lk

22l 4l 2 0 0 13l −3l 2 0 0

JL yk

m Lk

0 0 156 −22l 0 0 54 13l JL yk

0 0 −22l 4l 2 0 0 −13l −3l 2 m Lk+1

54 13l 0 0 156 −22l 0 0

−13l −3l 2 0 0 −22l 4l 2 0 0

JL yk+1

0 0 54 −13l 0 0 156 22l

m Lk+1

0 0 13l −3l 2 0 0 22l 4l 2 JL yk+1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

t

(7.59)

272

7. Biegeschwingungen von Wellen

• Elementkreiselmatrix für den Bereich und die Knoten k und k + 1. Die Winkelgeschwindigkeit des Rotors ist konstant, Ω, ⎡

0 0 −36 −3l 0 0 36 −3l

⎢ ⎢ ⎢ ρI p ⎢ ⎢ gˆ ij = Ω ⎢ 30l ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡

0 0 0 0 0 0 0 0

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ +⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 0 −3l −4l 2 0 0 3l l2

0 0 0 −JL yk 0 0 0 0

36 −3l 0 0 −36 −3l 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

−3l 4l 2 0 0 3l −l 2 0 0

0 0 36 3l 0 0 −36 3l

0 0 −3l l2 0 0 3l −4l 2

0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0

0 JL yk 0 0 0 0 0 0

−Jlyk+1

−36 3l 0 0 36 3l 0 0

−3l −l 2 0 0 3l 4l 2 0 0 ⎤

0 0 0 0 0 JL yk+1 0 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(7.60)

• Elementdrehträgheitsmatrix für den Bereich ⎡

mˆ rot ij

⎢ ⎢ ⎢ ρI y ⎢ ⎢ = ⎢ 30l ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

36 3l 0 0 −36 3l 0 0

3l 4l 2 0 0 −3l −l 2 0 0

0 0 36 −3l 0 0 −36 −3l

0 0 −3l 4l 2 0 0 3l −l 2

−36 −3l 0 0 36 −3l 0 0

3l −l 2 0 0 −3l 4l 2 0 0

0 0 −36 3l 0 0 36 3l

⎤

0 0 −3l −l 2 0 0 3l 4l 2

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥, ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(7.61)

• Elementsteifigkeitsmatrix für den Bereich und die Knoten k und k + 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ E Iy ⎢ ⎢ sˆij = 3 ⎢ l ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

+ diag



12 6l 0 0 −12 6l 0 0

c L yk

6l 4l 2 0 0 −6l 2l 2 0 0 c DLzk

0 0 12 −6l 0 0 −12 −6l c Lzk

0 0 −6l 4l 2 0 0 6l 2l 2 c DL yk

−12 −6l 0 0 12 −6l 0 0 c L yk+1

6l 2l 2 0 0 −6l 4l 2 0 0

0 0 −12 6l 0 0 12 6l

c DLzk+1

0 0 −6l 2l 2 0 0 6l 4l 2 c Lzk+1

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

c DL yk+1

t

(7.62)

7.3 Dämpfung

273

• Elementfliehkraftvektor für den Bereich und die Knoten k und k + 1 ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ Ω2 ⎢ fˆi = ρAle0 · ⎢ ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎣

cos Ωt 0 sin Ωt 0 cos Ωt 0 sin Ωt 0

⎤

⎡

⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ 2 ⎢ ⎥+Ω ·⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎢ ⎥ ⎦ ⎣

m Lk · ek · cos Ωt 0 m Lk · ek · sin Ωt 0 m Lk+1 · ek+1 · cos Ωt 0 m Lk+1 · ek+1 · sin Ωt 0

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥. ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(7.63)

Der Zusammenbau zu Systemmatrizen der Ordnung (4N K × 4N K ) erfolgt wieder knotenweise. Der Zugriff auf einen bestimmten Knotenparamter in einer der Gesamtmatrizen erfolgt eindeutig über die Elementnummerierung und die lokale Zählung der generalisierten Koordinaten qr . Es ist zweckmäßig, die Randbedingungen des Rotors über Federn zu formulieren, da somit eine Umsortierung der Systemmatrizen unnötig wird. Wie beim einfachen Balkenelement, werden alle geometrischen Freiheitsgrade im zeitabhängigen Verschiebungsvektor u(t) angeordnet. Somit entsteht wie oben, jedoch mit Kreiselmatrix G(Ω) und Fliehkraftanregung f(t) wieder ein gekoppeltes DGL-System M · u(t) ¨ + G(Ω) · u(t) ˙ + S · u(t) = f (t).

(7.64)

Allgemeiner, etwa zur dynamischen Untersuchung von dreidimensionalen Balkentragwerken, enthält das Element noch die Dehn- und Torsionssteifigkeiten. Es entsteht eine Elementmatrix der Ordnung 12 × 12. Meist reicht jedoch eine eindimensionale Betrachtung aus, da keine Kopplungen von Dehnung, Biegung und Torsion vorhanden sind oder diese nur schwach ausgeprägt sind, sodass getrennte Untersuchungen möglich sind. Obwohl die Fliehkraftanregung Biegeschwingungen in beiden Ebenen hervorruft, ist es nicht in jedem Fall nötig, das vollständige DGL-System (7.64) zu verwenden. Das Schwingungsverhalten in den beiden Biegeebenen ist ähnlich. In diesem vereinfachten Fall entfällt die gyroskopische Matrix G und die Zahl der Freiheitsgrade halbiert sich.

7.3

Dämpfung

Schwieriger als erwartet stellt sich die Berücksichtigung der Dämpfung des Rotors dar. Dies liegt weniger in der mathematischen Behandlung, als in der Unkenntnis realer Dämpfungsparameter begründet. Es wird zwischen äußerer und innerer Dämpfung unterschieden, wobei letztere sowohl vom Querschnitt als auch vom Material abhängt. Während die äußere Dämpfung proportional zur Schwinggeschwindigkeit ist, spielt bei der inneren Materialdämpfung die Dehnungsgeschwindigkeit eine Rolle. Vernachlässigt man auch bei dieser Untersuchung den Schubeinfluss, lassen

274

7. Biegeschwingungen von Wellen

sich beide Dämpfungsarten leicht erfassen. Dies erfolgt wieder für das kontinuierliche Balkenelement der Länge dx. Ausgehend von einer Betrachtung am Kontinuum erscheinen die Maßnahmen für das diskretisierte Balkenmodell einsichtiger.

7.3.1

Ansätze für die äußere und innere Dämpfung

Für die äußere Dämpfung wird ein geschwindigkeitsproportionaler Ansatz gewählt. Mit dem kg Dämpfungsparameter ka [ s·m ] entsteht für das Balkenelement eine äußere Belastungsintensität q D = ka ·

∂w(x, t) ∂t

N/m.

(7.65)

Handelt es sich um einen Rotor, dann wirkt eine innere Dämpfungskraft den elastischen Verformungen im körperfesten System, welches sich mit der Umlaufkreisfrequenz dreht, entgegen. Um Schwierigkeiten aus dem Weg zu gehen, wird ein symmetrischer Wellenquerschnitt vorausgesetzt. Mit der Dehnung x (x, t) sowie dem Parameter für die innere Dämpfung ki mit der Einheit [ s ], lautet das viskoelastische Materialgesetz σx (x, t) = E · (x + ki ·

∂x ) ∂t

=

My · z. Iy

(7.66)

Mit der bekannten kinematischen Beziehung für die Dehnung ∂2w , ergibt sich die DGL der Biegelinie, ∂x 2

2  ∂ w ∂3w M y (x, t) = −E · I y + ki · 2 . ∂x 2 ∂x ∂t x = −z ·

(7.67) (7.68)

Damit wird ersichtlich, dass die innere Dämpfung proportional zur Krümmungsgeschwindigkeit angesetzt wird.

7.3.2

Bewegungsgleichung mit Dämpfung

Die Anwendung von Schwerpunkt- und Drallsatz liefert wieder die partielle DGL für den transversalschwingenden Balken unter Einschluss von Drehträgheit sowie innerer und äußerer Dämpfung. Wird beispielsweise ein konstanter Querschnitt vorausgesetzt, ergibt sich diese übersichtlichere Form der Schwingungsgleichung ∂2w ∂4w ∂w ρA 2 − ρI y 2 2 + ka + E Iy ∂t ∂x ∂t ∂t



∂4w ∂5w + k i ∂x 4 ∂x 4 ∂t

 = q(x, t).

(7.69)

Obwohl diese Gleichung nicht geschlossen integriert werden kann, erkennt man deren strukturellen Aufbau, sowie die Abhängigkeiten der Parameter. Wegen der schon erwähnten Proportionalität der inneren Dämpfung zur Biegesteifigkeit, kann der Schluss gezogen werden, auch

7.4 Biegekritische Drehzahlen

275

beim diskretisierten Balkenmodell, die Dämpfungsmatrix proportional zur Steifigkeitsmatrix anzusetzen – mit geeignetem Parameter ki . Die Behandlung der äußeren Dämpfung kann beim System mit endlich vielen Freiheitsgraden durch eine herbeigeführte Proportionalität zur Massenmatrix erfolgen – natürlich wieder mit geeignetem Parameter ka . Die Bereitstellung derartiger Dämpfungsparameter ist weitaus schwieriger, als die Messung von Feder-Dämpferkennlinien von Gummipuffern oder Stoßdämpfern. Im Rahmen von experimentellen Modalanalysen, bei denen das Eigenschwingungsverhalten elastischer Strukturen gemessen wird, fallen modale Dämpfungen an. Diese geben Aufschluss darüber, wie intensiv die einzelnen Eigenschwingungsformen gedämpft werden. Diese Messergebnisse können dann in ein modales Rechenmodell einfließen.

7.4

Biegekritische Drehzahlen

Jeder Rotor stellt ein schwingungsfähiges System mit Eigenfrequenzen und Eigenschwingungsformen (Eigenfunktionen) dar. Beim Balken können dies Longitudinal-, Transversal- oder Torsionsschwingungen sein. Es kommt also auf die Anregungsart an. Biegeschwingungen werden durch zeitlich veränderliche Querkräfte oder auch Biegemomente angeregt. Ein treffendes Beispiel dafür ist die Anregung durch Zentrifugalkräfte. Fällt die Anregungsfrequenz mit einer, in diesem Falle, Biegeeigenfrequenz zusammen, entsteht Resonanz mit der Folge maximaler Schwingungsamplituden, was zu kritischen Zuständen führen kann. Wegen der Abhängigkeit der Erregerfrequenz von der Rotordrehzahl, werden statt der Frequenzen, Drehzahlen miteinander verglichen. Dazu werden die Eigenfrequenzen des Rotors in kritische Drehzahlen n krit [ U/min] = 60 · f B [ Hz ]

=

30 · ω B [ 1/s ] umgerechnet. π

(7.70)

Es geht also darum, die Biegeeigenfrequenzen des Läufers möglichst genau zu bestimmen, um eine Bewertung vornehmen zu können, etwa • erfolgt ein Nennbetrieb unter- oder überkritisch, • wie groß ist der Abstand zur Nenndrehzahl, • werden mehrere biegekritische Drehzahlen durchfahren? Es kann nicht oft genug auf die Wichtigkeit der Kenntnis der Eigenfrequenzen hingewiesen werden. Schon bei den ersten Konstruktionsentwürfen einer Welle, sollten diese abgeschätzt werden.

276

7. Biegeschwingungen von Wellen

Beispiel 7.2: Biegekritische Drehzahlen einer zweifach besetzten Welle. Die statisch bestimmt gelagerte Welle aus Stahl trägt am freien Ende und zwischen den Lagern jeweils eine Scheibe. Wie groß sind die erste und die zweite biegekritische Drehzahl? Geg.: a = 150 mm, b = c = 450 mm, d = 20 mm, E = 2,1 · 105 N/mm2 , m 1 = 2,5 kg, m 13 = 3,5 kg.

Abbildung 7.6: Zweifach besetzte Welle. Aufteilung in finite Elemente.

Lösung: In einem ersten Schritt werden die beiden gesuchten Eigenfrequenzen durch eine Handrechnung abgeschätzt. Dazu wird die Welle durch eine biegeelastische Feder ersetzt, die kontinuierliche Massenverteilung des Balkens bleibt unberücksichtigt. Vernachlässigt man noch die Schrägstellung der Scheiben, verbleibt ein System mit zwei Freiheitsgraden, ausgedrückt durch die Durchbiegungen w1 und w13 . Diese können mit dem P.d.v.K. bestimmt werden. Durch Inversion der entstandenen Nachgiebigkeitsmatrix entsteht die gesuchte Steifigkeitsmatrix. Die Anwendung des Schwerpunktsatzes liefert dann wieder die bekannte Schwingungsgleichung







m1 0 w s11 s12 w1 ¨1 + = 0. (7.71) 0 m 13 w s12 s22 w13 ¨ 13 Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms P2 (λ) = | −M · λ + S | =

0,

(7.72)

entsprechen den Eigenkreisfrequenzen ω1 = Drehzahlen berechnet werden können.

√ √ λ1 und ω2 = λ2 , woraus die biegekritischen

In einem zweiten Schritt werden, wie in der Praxis üblich, die Eigenfrequenzen des Systems mit der Methode der finiten Elemente bestimmt und mit der einfachen Näherung verglichen. • Bestimmung von Nachgiebigkeits- und Steifigkeitsmatrix h ij = 10−6 ·



4,775 −4,604

−4,604 9,208

,

sij = 105 ·

4,044 2,022

2,022 2,097

.

7.4 Biegekritische Drehzahlen

F1

277

v

a

3a

3a

v

1

1

F2 a (+)

(−)

F1

3a/2

F1⋅a

3 h 11 = 7a 3E I

(−)

3 h 12 = 9a 4E

F2 3 h 21 = 9a 4E

h 22 =

9a 2E I

(+)

F2 3a/2

Abbildung 7.7: Bestimmung der Nachgiebigkeiten mit dem P.d.v.K.

• Biegekritische Drehzahlen Aus (7.72) ergibt sich eine quadratische Gleichung mit den Lösungen ω1 = 159,994 1/s und ω2 = 442,805 1/s. Damit lauten die gesuchten biegekritischen Drehzahlen n 1 = 1528 U/min und n 2 = 4228 U/min. • Kontrollrechnung mit der finiten Element Methode Die Welle wird in 21 Elemente der Länge 50 mm aufgeteilt. Die Einzelmassen werden den Knotenpunkten 1 und 13 zugewiesen. Somit entsteht eine Massen- und Steifigkeitsmatrix der Ordnung 44 × 44. Die Lagerungsbedingungen können sehr einfach durch Federn der Steifigkeit 109 N/m realisiert werden. Das Loslager am Knoten 4 wird durch eine dieser Federn ersetzt, das Festlager am Knoten 22 ebenfalls und zusätzlich durch eine Feder in Richtung der Balkenachse. Somit sind die Verschiebungen der Lagerpunkte, wie gefordert, blockiert. Mit den generierten Matrizen M und S können die Eigenwerte und daraus die Eigenfrequenzen des Systems berechnet werden. Anhand der Resultate wird klar, dass nur die unteren Frequenzen für eine Beurteilung sinnvoll sind i 1 2 3 4

Eigenfrequenz [ Hz ] 22,67 67,06 230,27 384,19

Drehzahl [ U/min ] 1360 4024 13816 23051

Der Vergleich mit den zuvor von Hand abgeschätzten Drehzahlen führt zu Abweichungen von 12% für die erste und 5% für die zweite biegekritische Drehzahl.

278

7. Biegeschwingungen von Wellen

Bei den meisten praktischen Anwendungen bleibt keine andere Möglichkeit, als das Eigenschwingungsverhalten durch eine FEM-Rechnung zu analysieren. Die Rotoren haben unterschiedliche Abmessungen, sind mehrfach gelagert und tragen zusätzliche Massen.

Beispiel 7.3: Biegekritische Drehzahlen einer Motorwelle mit unterschiedlichen Abmessungen. Die Welle eines Asynchronmotors überträgt eine Nennleistung von 4,5 MW. Die maximale Nenndrehzahl kann 3000 U/min betragen. Der Läufer hat eine Länge von 3472 mm und einen maximalen Durchmesser von 250 mm. Die zusätzlichen Massen aus Kupplung, Lüfter, Wicklungsträger, Läuferblechpaket und Schleifring betragen 3445 kg. Die Welle ist statisch bestimmt gelagert. Die Lagerelastizitäten sind durch zwei Federn berücksichtigt. Zu ermitteln sind die biegekritischen Drehzahlen des Rotors im interessierenden Bereich. Lösung: Die Aufteilung erfolgte anhand einer Konstruktionszeichnung. Sie kann natürlich auch anders durchgeführt werden. Das gewählte Modell besteht aus 30 Elementen und 31 Knoten. Somit haben die Systemmatrizen die Ordnung 62 × 62. Da nur wenige Eigenwerte und Eigenvektoren am Rande des Spektrums interessieren, ist als Lösungsalgorithmus die simultane Vektoriteration vorzuziehen, weil man die Anzahl der abzuspaltenden Eigenvektoren vorher angeben kann. Die erste Biegeeigenfrequenz liegt bei 48,71 Hz, was einer kritischen Drehzahl von 2922 U/min entspricht. Die zweite Eigenfrequenz liegt bereits bei 152,42 Hz und somit weit außerhalb des geplanten Nennbereiches. Der Motor kann ohne Bedenken mit einer Nenndrehzahl von 1500 U/min laufen. Bei einer Nenndrehzahl von 3000 U/min besteht das Problem nicht im (zügigen) Durchfahren der Biegeresonanz, sondern in der Nähe zu dieser Resonanzstelle, η = 1,027! Folglich sind konstruktive Maßnahmen erforderlich.

Abbildung 7.8: Motorwelle. FE-Modell.

7.5 Schwingungsantwort beim Betrieb der Welle i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31

7.5

xi [ mm ] 0 140 280 330 380 460 540 595 650 760 870 940 1010 1260 1510 1760 2010 2260 2510 2580 2650 2760 2870 2925 2980 3060 3140 3236 3332 3402 3472

Dai [ mm ] 190 190 220 220 180 180 220 220 240 240 270 270 360 360 360 360 360 360 270 270 240 240 220 220 180 180 220 220 120 120 –

Dii [ mm ] – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 50 50 50 50 50 50 50 50 50 –

279 li [ mm ] 140 140 50 50 80 80 55 55 110 110 70 70 250 250 250 250 250 250 70 70 110 110 55 55 80 80 96 96 70 70 –

m i [ kg ] – 390 – – – – – – – – – – – 165 – 2650 – 165 – – – – – – – – – – – – 75

ci [ N/m ] – – – – – 109 – – – – – – – – – – – – – – – – – – – 109 – – – – –

Schwingungsantwort beim Betrieb der Welle

Das Bewegungsverhalten der rotierenden Welle wird durch Gl. (7.64) beschrieben. Die Systemmatrizen werden zweckmäßig mit der Elementmethode aufgestellt. Die Untersuchung des homogenen Systems führt zu den Eigenkreisfrequenzen ω j und zur Modalmatrix Ψij . Um die Schwingungsantwort infolge der Fliehkraftanregung zu erhalten, müsste (7.64) numerisch integriert werden. Die hohe Ordnung der Systemmatrizen stellt an sich kein Problem dar. Vielmehr erweisen sich die sehr hohen Eigenfrequenzen als äußerst ungünstig im Hinblick auf eine numerische Integration. Außerdem interessiert das Schwingungsverhalten im oberen Frequenzbereich, also weit vom Nennbereich entfernt, meist nicht. Daher ist es naheliegend,

280

7. Biegeschwingungen von Wellen

(7.64) durch eine modale Transformation auf ein System mit deutlich weniger Freiheitsgraden qi , i = 1, . . . , n zu reduzieren, vgl. Kapitel 5.5.3   q¨i = Ψijt · f j − G jk · Ψkl · q˙l − ω2(i) · q(i) .

(7.73)

Die Eigenschaften der Welle sind in den modalen Parametern enthalten. Für eine erste Untersuchung des Schwingungsverhaltens, reicht die Betrachtung einer Biegeebene aus, was einer Vernachlässigung der Kreiselwirkung gleichkommt. Beispiel 7.4: Schwingungsantwort einer Welle beim Hochlauf. Die in Bild 7.6 dargestellte Welle wird durch einen Elektromotor, mit den Parametern aus Beispiel 6.7, auf eine Nenndrehzahl von 1500 U/min gebracht. Die am Knotenpunkt 13 befestigte Scheibe hat eine Massenexzentrizität von e13 = 0, 2 mm. Welche Schwingungsamplituden erfahren die Massen m 1 und m 13 ? Lösung: Für den Rotor wurde bereits ein Schwingungsmodell erstellt, siehe Beispiel 7.2. Die durchgeführte Eigenschwingungsberechnung weist einmal auf eine Resonanzdurchfahrt hin und zeigt wie schnell die biegekritischen Drehzahlen anwachsen. Deshalb wird eine Modalanalyse durchgeführt. ϕ⋅ c 22 e13

MA f 13 c4

m 13

m1

Abbildung 7.9: Elastisch gelagerter Rotor mit Massenexzentrizität.

Die starren Lager wurden durch Federn der Steifigkeit c = 1010 N/m ersetzt, dadurch erspart man sich ein Umsortieren der Matrizen. Am Ergebnis ändert sich dadurch nichts. Beschränkt man sich auf eine Biegeebene, so wird das Problem zunächst durch das DGLSystem der Ordnung 44 × 44 beschrieben M · u(t) ¨ + S · u(t) = f13 (t).

(7.74)

Der Erregervektor ist nur an der Position 2 · 13 − 1 = 25 von Null verschieden, mit der Fliehkraft der Scheibe 13 besetzt ⎧ 0 für i = 1, . . . , 24 ⎨ f13 = m 13 · e13 (−ϕ¨ · cos ϕ + ϕ˙ 2 · sin ϕ) für i = 25 . (7.75) ⎩ 0 für i = 26, . . . , 44

7.5 Schwingungsantwort beim Betrieb der Welle

281

Der Drehwinkel des Rotors ϕ wird durch die Motorgleichungen erzeugt. Der Knotenverschiebungsvektor wird nach Eigenvektoren entwickelt. Dabei ist es nicht erforderlich, alle Eigenvektoren zu verwenden. Beschränkt man sich beispielsweise auf die Mitnahme von zweien, sieht die modale Transformation folgendermaßen aus ⎡

⎤ ⎡ u1 ψ11 ⎢ u 2 ⎥ ⎢ ψ12 ⎣ ... ⎦ = ⎣ ... u 44 ψ1 44

⎤ ψ21

ψ22 ⎥ q1 (t) . . . . ⎦ q2 (t) ψ2 44

(7.76)

Die Anwendung der Orthogonalitätsbedingungen führt dann auf das reduzierte DGL-System der Ordnung 2 × 2 q¨1 (t) + ω2(1) · q(1) (t) = ψ1 25 · (−ϕ¨ cos ϕ + ϕ˙ 2 sin ϕ), q¨2 (t) + ω2(2) · q(2) (t) = ψ2 25 · (−ϕ¨ cos ϕ + ϕ˙ 2 sin ϕ).

(7.77)

Dieses System wird, wieder in Verbindung mit den DGL’n für den Antrieb, numerisch integriert. Die erzeugten generalisierten Koordinaten q1 (t) und q2 (t) müssen mit der Beziehung (7.76) wieder in den Originalraum transformiert werden. Dasselbe gilt natürlich auch für die Geschwindigkeiten und Beschleunigungen.

4

1

2

0.5

w13 [ mm ]

w1 [ mm ]

Mit den vorgegebenen Zahlen ergeben sich für die Knotenpunkte 1 und 13 die Verschiebungen w1 (t) und w13 (t)

0 –2 –4

0

2

4

6

0

2

4

6

8

0

2

4 Zeit –––> [ s ]

6

8

v13 [ m/s ]

1

0

1

v [ m/s ]

–0.5 –1

8

0.5

–0.5

0

0

2

4 Zeit –––> [ s ]

6

8

0.5 0 –0.5 –1

Abbildung 7.10: Schwingungsantwort der Knotenpunkte 1 und 13.

8

Drehschwingungen von Wellen

Torsionsschwingungen werden durch zeitlich veränderliche Drehmomente von Antrieb und Last hervorgerufen. Werden die Wellen durch Kardangelenke verbunden, können zusätzliche Gleichlaufschwankungen entstehen. Störungen im Antrieb, etwa Drehmomentenunterbrechungen oder auch Abschaltvorgänge äußern sich durch Stöße und wirken direkt auf die torsionselastische Welle. Daher sind dem dynamischen Verhalten des Motors und der Arbeitsmaschine besondere Aufmerksamkeit zu widmen. Im Allgemeinen sind die Wellenquerschnitte kreisförmig, sodass eine exakte Torsionstheorie zu Grunde gelegt werden kann. Nur in seltenen Fällen wird es möglich sein, Torsionseigenfrequenzen und Drehwinkelamplituden infolge äußerer Erregung, exakt zu bestimmen. Die Wellengestalt sowie die Verteilung der Belastung sprechen dagegen. Daher erfolgt die praktische Berechnung torsionselastischer Wellen mit der Methode der finiten Elemente. Auch in Rädergetrieben muss die Flexibilität der Wellen berücksichtigt werden. In Verbindung mit den ebenfalls elastischen Zahnrädern entstehen nichtlineare Schwingungssysteme deren Behandlung über diese Betrachtung weit hinausgeht.

8.1

Der Drehstab als Kontinuum

Für gerade Stäbe mit kreisförmigen Querschnitt lassen sich die Eigenfrequenzen exakt berechnen. Diese Ergebnisse dienen mehr als Referenz für Näherungsverfahren. Betrachtet wird ein Stab, der an den Enden durch Drehmomente beansprucht wird. Dadurch entsteht eine elastische Verdrehung ϑ(x, t). Aus diesem belasteten Stab wird an der Stelle x ein Massenelement der Länge dx herausgeschnitten und dafür der Drallsatz formuliert

Abbildung 8.1: Torsionsstab. Massenelement.

284

8. Drehschwingungen von Wellen ρ · I p · dx ·

∂2ϑ ∂Mt = −Mt + · dx + Mt , 2 ∂t ∂x ∂ϑ Mt = ∂x G · Ip G ∂2ϑ ∂2ϑ = · ∂t 2 ρ ∂x 2

mit

ensteht daraus,

oder abgekürzt

ϑ¨ = λ2 · ϑ .

(8.1)

Diese partielle DGL zweiter Ordnung beschreibt ebenso das Dehnschwingungsverhalten von Stäben, natürlich mit anderen physikalischen Parametern.

8.1.1

Eigenkreisfrequenzen und Eigenfunktionen

Zur Lösung der homogenen Differentialgleichung dient wieder, der schon beim Biegeproblem erfolgreich verwendete Ansatz (7.9). Er führt zur gleichen Lösung für die Zeitfunktion (7.17). Für die Ortsfunktion erhält man die allgemeine Lösung X(x) = c1 · cos

ω ω x + c2 · sin x. λ λ

(8.2)

Die Konstanten müssen wieder an die Randbedingungen des aktuell gelagerten Torsionsstabes angepasst werden. Sinnvolle Lagerungsarten sind einmal der praktisch wichtige Fall des ungefesselten Stabes sowie die einseitig feste Einspannung und die beidseitige Fixierung. So lauten beispielsweise die Randbedingungen für den ungefesselten Torsionsstab Mt (0, t) = G · I p ·

∂ϑ (0, t) ∂x

=

0

=

c2

Mt (l, t) = G · I p ·

∂ϑ (l, t) ∂x

=

0

=

sin

l a)

l b)

und ω l. λ

(8.3)

l c)

Abbildung 8.2: Lagerungsarten des Torsionsstabes, a) frei, b) einseitig fest eingespannt, c) beidseitig fest eingespannt.

8.2 Diskrete Torsionsschwingungsmodelle

285

Aus der entstandenen Eigenwertgleichung können die Eigenkreisfrequenzen ermittelt werden ωj · l = j · π, nämlich λ  G π ωj = j · · j = 0,1, . . . , ∞. l ρ

(8.4)

Die Ortsfunktion, auch Eigenfunktion genannt, kann nur wieder bis auf einen konstanten Faktor bestimmt werden. Wird dieser, also c1 , gleich 1 gesetzt, ergibt sich die Eigenschwingungsform X j (x) = cos

jπx l

j = 0,1, . . . , ∞.

(8.5)

Die Eigenfunktionen sind orthogonal. Für j = 0 erhält man die Starrkörperdrehung mit der Eigenkreisfrequenz Null. Die anderen Lagerungsfälle lassen sich genauso behandeln. Zusammenfassend ergibt sich mit √ λ = G/ρ folgendes: Lagerungsfall a) b) c)

8.2

Eigenkreisfrequenz ω j [ 1/s ] jπ l λ π 2l (2 j

− 1)λ

jπ l λ

Eigenschwingungsform X j (x)

Laufindex j

cos

jπx l

0, . . . , ∞

sin

jπx l

1, . . . , ∞

sin

jπx l

1, . . . , ∞

Diskrete Torsionsschwingungsmodelle

Die exakte Berechung der Eigenschwingungen von Torsionsstäben ist die Ausnahme. Reale Wellen haben meist keinen konstanten Querschnitt, enthalten zusätzliche Massenträgheitsmomente oder sind verzweigt. Es bereitet keine Schwierigkeiten, ein finites Torsionselement zu entwickeln, welches die Basis für weitreichende Anwendungen bildet. Eine weitere Vereinfachung ergibt sich, wenn die konsistente Massenmatrix durch einzelne polare Massenträgheitsmomente ersetzt wird.

8.2.1

Finites Torsionsschwingungsmodell

Das kreiszylindrische Element der Länge l mit der Dichte ρ und dem Schubmodul G, erfährt bei der Belastung durch Torsionsmomente Mt eine lineare Verdrehung der Form ϑ(x, t) = a0 (t) + a1 (t) · x

mit zu bestimmenden Konstanten.

(8.6)

286

8. Drehschwingungen von Wellen

Abbildung 8.3: Finites Torsionsmodell. Einprägen von Einheitsverdrehungen.

Die Endpunkte, die Knoten 1 und 2, werden nacheinander um die Drehwinkel ϑ1 und ϑ2 verdreht. Durch Anpassen an die Randbedingungen entstehen die beiden Drehwinkelfunktionen χ1 und χ2 . χ1 (0) = ϑ1  χ1 (l) = 0 

=

a0 a1

=

χ1 (x) = (1 − ξ) · ϑ1 χ2 (0) = 0  χ2 (l) = ϑ2 

a0

ϑ1 , ϑ1 − , l

wieder mit ξ = = =

a1

x , l

(8.7)

0, −

χ2 (x) = ξ · ϑ2 .

ϑ2 , l (8.8)

Damit ist ein Ansatz für die Drehwinkelfunktion des Torsionselements gefunden ϑ(x, t) = χ1 (x) · ϑ1 (t) + χ2 (x) · ϑ2 (t), = (1 − ξ) · ϑ1 (t) + ξ · ϑ2 (t).

(8.9)

Die Elementmatrizen ergeben sich auf dieselbe Art und Weise wie beim Biegeproblem. Zur Formulierung der Lagrangeschen Gleichungen (7.33) werden potentielle und kinetische Energie des Elementes benötigt. Die generalisierten Koordinaten lauten jetzt, q1 = ϑ1 und q2 = ϑ2 . Sind noch einzelne Massenträgheitsmomente J p1 , J p2 und zusätzliche Torsionsfedern cT 1 , cT 2 zu berücksichtigen, werden diese den Knotenpunkten zugeordnet. Somit lauten die Energieausdrücke für den Bereich und die Ränder 1 U = · 2

l



G · I p · ϑ 2 (x, t) · dx +

1 · cT 1 · ϑ 2 (0, t) 2

x=0

1 + · cT 2 · ϑ 2 (l, t) und 2

(8.10)

8.2 Diskrete Torsionsschwingungsmodelle

E =

1 · 2

l

287

1 ρ · I p · ϑ˙ 2 (x, t) · dx + + · J p1 · ϑ˙ 2 (0, t) 2

x=0

1 + · J p2 · ϑ˙ 2 (l, t). 2

(8.11)

Die Anwendung des Lagrangeschen Formalismus ergibt wieder eine Bewegungsgleichung, diesmal für das Torsionselement

ρ · Ip · l 2 1 J p1 · + 1 2 0 6 '

G · Ip 1 −1 cT 1 · + + −1 1 0 l '

0 J p2

1

ϑ¨ 1 · ϑ¨ 2

0 cT 2

1

ϑ1 · = 0. ϑ2

(8.12)

Wobei sich die Elemente von Massen- und Steifigkeitsmatrix folgendermaßen berechnen l mˆ ij = ρ · I p ·

χi (x) · χ j (x) · dx

+

Randterme,

(8.13)

+

Randterme.

(8.14)

x=0

l sˆij = G · I p ·





χi (x) · χ j (x) · dx x=0

Der Zusammenbau zur Gesamtmassen- und Steifigkeitsmatrix erfolgt wieder elementweise. Dabei ist zu beachten, dass an den Schnittstellen zum Nachbarelement, die korrespondierenden Matrixelemente zusammenzufassen sind. Beispiel 8.1: Systemmatrizen für einen Torsionsstab. Für den dargestellten Torsionsstab aus Stahl sind die Massen- und die Steifigkeitsmatrix zu generieren. Am Stabende befindet sich eine zusätzliche Drehfeder, am Knoten 2 ein zusätzliches polares Massenträgheitsmoment.

c T1

150

200

3

Ø 40

2

Ø 30

Ø 20

J p2 1

4

250

Abbildung 8.4: Torsionsstab, bestehend aus 3 Elementen.

288

8. Drehschwingungen von Wellen

Geg.: cT 1 = 109 Nm/rad, J p2 = 2· 10−3 kgm2 , G = 0,81· 1011 N/m2 , ρ = 7850 kg/m3 . Lösung: Mit I p = π · d 4 /32 werden zunächst die Elementmatrizen berechnet mˆ ij(1) = 3,083 · 10−6 mˆ ij(2)

−5



= 2,081 · 10

sˆij(1) = 8,482 · 103 sˆij(2) = 3,221 · 104



2 1

1 2

2 1

1 2



+

0 0

,

mˆ ij(3)



1 −1

−1 1

1 −1

−1 1



+

 ,

0 2 · 10−3

 , −5



= 8,221 · 10 109 0

0 0

2 1

1 2

 und

 ,

sˆij(3) = 8,143 · 104



1 −1

−1 1

 .

Nun werden die 3 Elementmatrizen zu Gesamtmatrizen der Ordnung 4×4 zusammengefasst ⎡ (1) ⎤ mˆ 11 mˆ (1) 0 0 12 ⎢ ⎥ ⎢ m (1) m (1) + m (2) (2) m 0 ⎥ ˆ 22 ˆ 11 ˆ 12 ⎢ ˆ 12 ⎥ ⎥ M=⎢ ⎢ ⎥ (2) (2) (3) (3) ⎢ 0 mˆ 12 mˆ 22 + mˆ 11 mˆ 12 ⎥ ⎣ ⎦ 0 ⎡

6,165 −6 ⎢ 3,083 = 10 ⎣ 0 0 ⎡

(1) sˆ11

⎢ ⎢ s(1) ⎢ ˆ12 S=⎢ ⎢ ⎢ 0 ⎣ ⎡

(3) m ˆ 12

0 3,083 2048 20,808 0

0 20,808 206,0 82,205

(1) sˆ12

0

(1) (2) sˆ22 + sˆ11

(2) sˆ12

(2) sˆ12

(2) (3) sˆ22 + sˆ11

0

(3) sˆ12

0

109 ⎢ −8482 =⎣ 0 0

−8482 40689 −32206 0

0 −32206 113636 −81430

mˆ (3) 22

⎤ 0 0 ⎥ 82,205 ⎦ 164,41

0

und

⎤

⎥ 0 ⎥ ⎥ ⎥ (3) ⎥ ⎥ sˆ12 ⎦ (3) sˆ22

⎤ 0 0 ⎥ . −81430 ⎦ 81430

Die Ordnung der Matrizen ergibt sich einfach aus der Anzahl der Knoten n K = n E + 1. Die generalisierten Knotenparameter ϑ j , j = 1, . . . , n K werden in einer Spaltenmatrix, u(t) = [ ϑ1 ϑ2 . . . ϑn K ]t , angeordnet. Somit werden die dynamischen Eigenschaften des Torsionsstabes durch die bekannte lineare Schwingungsgleichung (5.45) beschrieben M · u(t) ¨ + S · u(t) = 0.

(8.15)

8.2 Diskrete Torsionsschwingungsmodelle

289

Der ebenfalls bekannte Eigenschwingungsansatz (5.46) führt wieder auf das allgemeine Eigenwertproblem (5.48) und somit zu den gesuchten Torsionseigen(kreis)frequenzen. Wegen der hohen Ordnung der Systemmatrizen erfolgt die Eigenwertberechnung natürlich numerisch, vgl. Kapitel 5.5. Bei der Berechnung der Torsionseigenfrequenzen ist zu beachten, dass bei frei drehbar gelagerten Stäben, der erste Eigenwert Null ist, Starrkörperdrehung. Beim ungefesselten System ist die Steifigkeitsmatrix nicht positiv definit, was eben zum Eigenwert Null führt. Viele Algorithmen, eine Ausnahme stellt beispielsweise das JacobiVerfahren dar, fordern aber die positive Definitheit beider Matrizen. Wird diese Bedingung verletzt, versagen die Verfahren. Man kann sich nun leicht dadurch behelfen, dass der erste oder der letzte Knoten mit einer Drehfederkonstante, Größenordnung 10−5 Nm/rad, versehen wird.

Beispiel 8.2: Vergleich von Näherungen mit der exakten Lösung. Eine Welle aus Stahl mit konstantem Durchmesser hat eine Länge von 1 m. Durch Vergleiche mit den exakten Lösungen sind Näherungen für die ersten vier Eigenfrequenzen, die sich aufgrund von unterschiedlichen Elementierungen ergeben, zu bewerten. Die Untersuchung soll für die Lagerungsfälle frei und einseitig fest eingespannt durchgeführt werden. Lösungen: Die exakten vier Eigenfrequenzen lauten für die Lagerungen • frei – frei: 1 j ·π · fj = 2π l



 G = 0 ρ

1606,119

3212,238

4818,357



Hz,

• eingespannt – frei: π 1 fj = (2 j − 1) 2π 2l



  G = 803,059 2409,178 4015,297 5621,416 Hz. ρ

Die Näherungsrechnung erfolgt durch Aufteilung in n E finite Torsionselemente. Die Bewertung erfolgt anhand des wahren relativen Fehlers von f j • frei – frei: Anz. Elemente nE 2 5 10 20 30

f1 0 0 0 0 0

Eigenfrequenz [ Hz ] f2 f3 f4 1775,62 – – 1636,91 3434,19 5523,41 1616,94 3273,82 5011,09 1611,96 3233,87 4875,74 1611,20 3226,83 4851,30

wahrer relativer Fehler [ % ] F1 F2 F3 F4 – 10,6 – – – 1,9 6,9 14,6 – 0,7 1,9 4,0 – 0,4 0,7 1,2 – 0,3 0,5 0,7

290

8. Drehschwingungen von Wellen

• eingespannt – frei: Anz. Elemente nE 2 5 10 20 30

f1 824,87 808,36 805,88 805,26 805,22

Eigenfrequenz [ Hz ] f2 f3 2882,54 – 2505,20 4438,41 2437,55 4129,32 2420,74 4051,16 2417,88 4037,16

f4 – 6655,77 5921,58 5706,55 5667,51

wahrer relativer Fehler [ % ] F1 F2 F3 F4 2,7 19,6 – – 0,7 4,0 10,5 18,4 0,4 1,2 2,8 5,3 0,3 0,5 0,9 1,5 0,3 0,4 0,5 0,8

Trotz der günstigen Fehlerentwicklung ist eine Mindestanzahl von Elementen erforderlich, um beispielsweise die erste Eigenfrequenz mit einer Genauigkeit < 1% ermitteln zu können.

8.2.2

Einzeldrehmassenmodell

Eine weitere Vereinfachung der Modellierung besteht in der Abbildung von einzelnen polaren Massenträgheitsmomenten, welche durch Drehfedern miteinander verbunden sind. Während sich die Steifigkeitsmatrix genauso wie beim FE-Modell darstellt, ist die Massenmatrix nur in der Hauptdiagonalen besetzt. Die einzelnen Wellenabschnitte der Längen l j haben konstante Durchmesser d j . Sie werden durch Drehfedern cD j ersetzt cD j =

G · Ipj . lj

(8.16)

Sind die Wellenabschnitte nicht konstant, muss die Drehfederkonstante durch Integration der Gleichung dϑ Mt = dx G · I p (x)

bestimmt werden.

(8.17)

Falls dies Schwierigkeiten bereitet, verwendet man die FE-Modellierung und unterteilt die Abschnitte in mehrere Elemente. Die polaren Massenträgheitsmomente der Wellenabschnitte können den Scheiben zugeteilt werden. Falls erforderlich, z.B. aus numerischen Erwägungen, können an den Wellenenden zusätzliche Drehfedern cT angebracht werden. Beschrieben wird die Bewegung durch die Drehwinkel ϑ j , der Zähler j entspricht der Anzahl der Einzeldrehmassen. Antrieb und Last werden ebenfalls den Scheiben zugeordnet. Beispiel 8.3: Bewegungsgleichungen für einen Torsionsschwinger mit drei Einzeldrehmassen. Für das skizzierte Drehschwingungssystem sind die Bewegungsdifferentialgleichungen aufzustellen. Geg.: G, ρ, li , di , J pi , cT 1 , cT 2 , M A (t), M L (t).

8.2 Diskrete Torsionsschwingungsmodelle

J p1

ϑ2

J p2

ϑ1

Jp3

291

ϑ3

c T1

c T2 MA d1

d2

l1

d3

l2

ML

l3

d4 l4

Abbildung 8.5: Torsionsschwingungsmodell bestehend aus drei Einzeldrehmassen.

Lösung: Der Rotor hat die drei Freiheitsgrade ϑ1 (t), ϑ2 (t), ϑ3 (t). Zunächst werden die Drehfederkonstanten der Wellenabschnitte 1 bis 4 bestimmt cDi =

G · π · di4 . 32 · li

Die Zusatzfedern an den Enden sind den Drehfederkonstanten hintereinander geschaltet, daher werden die resultierenden Steifigkeiten gebildet cD1res =

cT 1 · c D1 cT 1 + c D1

und cD4res =

cT 2 · c D4 . cT 2 + c D4

Die 4 Massenträgheitsmomente der Wellenabschnitte, θi = I pi · li · ρ, können auf die Drehmassen verteilt werden, also beispielsweise 1 J1 = J p1 + θ1 + θ2 , 2 1 J3 = J p3 + θ4 + θ3 . 2

1 1 J2 = J p2 + θ2 + θ3 2 2

und

In der Regel sind die Einzeldrehmassen wesentlich größer, weshalb der Einfluss der θi auf die Eigenfrequenzen unerheblich ist.

J p1

M t1

ϑ2

Jp2

ϑ1

M t2

MA

Abbildung 8.6: Schnittmomente am Rotor.

Jp3

M t3

ϑ3

ML

M t4

292

8. Drehschwingungen von Wellen

Die Drallsätze für die freigeschnittenen Scheiben lauten J1 · ϑ¨1 J2 · ϑ¨2 J3 · ϑ¨3 Mt1 Mt2 Mt3 Mt4

= = = = = = =

−Mt1 − Mt2 , M A + Mt2 − Mt3 , −M L + Mt3 − Mt4 , cD1res · ϑ1 , cD2 · (ϑ1 − ϑ2 ), cD3 · (ϑ2 − ϑ3 ), cD4res · ϑ3 .

(8.18)

Daraus folgen die drei Differentialgleichungen ⎡

⎤⎡ ⎤ ϑ¨ 1 J1 0 0 ⎣ 0 J2 0 ⎦ ⎣ ϑ¨ 2 ⎦ 0 0 J3 ϑ¨ 3 ⎡ cD1res + cD2 −cD2 −cD2 cD2 + cD3 + ⎣ 0 −cD3

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 0 ϑ1 0 ⎦ ⎣ ϑ2 ⎦ = ⎣ M A ⎦ . (8.19) −cD3 cD3 + cD4res ϑ3 −M L

Der Unterschied zur FE-Modellierung besteht lediglich in der Behandlung der Massenmatrix. Für Torsionsschwingerketten mit mehreren Freiheitsgraden müssen die Bewegungsdifferentialgleichungen nicht jedesmal neu aufgestellt werden, da sich an der Struktur nichts ändert. Besteht die Schwingerkette beispielsweise aus n Einzeldrehmassen, so lauten die Elemente für die • diagonal besetzte Massenmatrix m jj = J p j ,

j = 1, . . . , n

(8.20)

• und die tridiagonale Steifigkeitsmatrix s jj = cD j , j = 1 und j = n, s jj = cD j + cD j−1 , j = 2, . . . , n − 1, s jj+1 = s j+1 j = −cD j , j = 1, . . . , n − 1.

(8.21)

Soll eine viskose Drehdämpfung berücksichtigt werden, stellt dies kein Problem dar. Der Aufbau einer Dämpfungsmatrix gestaltet sich genauso wie für die Steifigkeitsmatrix, allerdings mit anderen Parametern, beispielsweise rD j anstatt cD j .

8.2 Diskrete Torsionsschwingungsmodelle

8.2.3

293

Verzweigter Torsionsstrang

Bei verzweigten Systemen werden mehrere Wellen zu Torsionsschwingungen angeregt. Die Wandlung von Drehzahl und Drehmoment erfolgt über Zahnradstufen, Reibräder oder seltener über Keilriemen. Unterstellt man ideale Übertragung, d.h. es tritt kein Schlupf auf und sind bei Zahnrädern deren Steifigkeiten höher als die der Wellen, ändert sich an der Struktur der Systemmatrizen nichts. Lediglich die kinematischen Übertragungsfaktoren treten sowohl bei den Massenträgheitsmomenten als auch bei den Drehsteifigkeiten auf. Zur Erläuterung der Vorgehensweise wird das dargestellte Torsionsschwingungssystem näher untersucht. Es besteht aus zwei Strängen, die über eine starre Stirnradstufe gekoppelt sind.

Abbildung 8.7: Verzweigtes Drehschwingungssystem.

Für die ersten vier Scheiben können die Bewegungsgleichungen sofort formuliert werden J1 · ϑ¨ 1 = M A − cD1 (ϑ1 − ϑ2 ), Jk · ϑ¨ k = −cDk−1 (ϑk − ϑk−1 ) − cDk (ϑk − ϑk+1 ),

k = 2, 3, 4.

(8.22)

Die Stirnradstufe wird frei geschnitten und für beide Räder der Drallsatz formuliert J5 · ϑ¨ 5 = −cD4 (ϑ5 − ϑ4 ) + Fu · a, a a J6 · ϑ¨ 5 · = −cD5 (ϑ5 · − ϑ6 ) − Fu · b. b b

(8.23)

Durch Elimination der Kraft Fu verbleibt die Gleichung J5 + J6

 a 2 b

 

a 2 a ¨ ϑ5 = −cD4 (ϑ5 − ϑ4 ) − cD5 ϑ5 . − ϑ6 b b

(8.24)

294

8. Drehschwingungen von Wellen

Ebenso gilt für die restlichen drei Scheiben a J7 · ϑ¨ 6 = −cD5 (ϑ6 − ϑ5 ) − cD6 (ϑ6 − ϑ7 ), b J8 · ϑ¨ 7 = −cD6 (ϑ7 − ϑ6 ) − cD7 (ϑ7 − ϑ8 ) und J9 · ϑ¨ 8 = −cD7 (ϑ8 − ϑ7 ) − M L .

(8.25)

Anhand der Bewegungsgleichungen erkennt man folgendes • die beiden Torsionsstränge bestehend aus 5 und 4 Drehmassen werden auf ein Schwingungssystem mit 8 Freiheitsgraden reduziert; • die Massenmatrix ist, wie bei einer Welle mit 8 Scheiben, nur in der Hauptdiagonalen besetzt. Am Koppelpunkt werden die Massenträgheitsmomente J5 und J6 mit dem treibend Übersetzungsverhältnis der Zahnradstufe u 5 = getrieben = ab zusammengefasst, also m 55 = J5 + u 25 · J6 ; • auch der strukturelle Aufbau der Steifigkeitsmatrix bleibt erhalten. An der Schnittstelle zur zweiten Welle, Position 5, ändern sich die Steifigkeitszahlen, nämlich s55 = cD4 +u 25 ·cD5 und s56 = s65 = −u 5 · cD5 . Es darf also auf denselben Algorithmus zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen (8.20) und (8.21) zurückgegriffen werden. An den Verzweigungsstellen müssen in den Systemmatrizen die entsprechenden Elemente geändert werden. Es bereitet keine Schwierigkeiten, entsprechende Elementmatrizen, welche die Koppelgrößen enthalten, zu formulieren. Damit kann die Aufgabenstellung direkt mit der FE-Methode gelöst werden. Bei mehrfach verzweigten Torsionssträngen ist es sinnvoll, zum Aufstellen der Bewegungsgleichungen von Hand, das D’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung zu verwenden. Bei Anwendung des Schnittprinzips müssen die Kontaktkräfte zwischen den Rädern eliminiert werden, was einerseits unbequem und andererseits überflüssig ist. Diese Vorgehensweise wird am folgenden Rädergetriebe exemplarisch demonstriert. Das System besteht aus 4 Stirnradstufen mit den Teilkreisradien r0i , i = 1, . . . , 8. Jedem Rad ist ein polares Massenträgheitsmoment J pi zugeordnet. Die Übertragung erfolgt über 3 torsionselastische Wellen. Das Antriebsdrehmoment M A wird am Rad 1 eingeleitet und durch Rad 8, M L , abgegeben. Zuerst müssen die kinematischen Beziehungen aufgestellt werden. Erfolgt die Übertragung von Winkelgeschwindigkeit und Drehmoment ideal, dann gilt für die vier Stirnradstufen ϕ˙ 2 = ϕ˙ 1 ·

r01 r02

=

ϕ˙ 1 · u 1 ,

ϕ˙ 4 = ϕ˙ 3 ·

r03 r04

=

ϕ˙ 3 · u 2 ,

(8.26)

ϕ˙ 6 = ϕ˙ 5 ·

r05 r06

=

ϕ˙ 5 · u 3 ,

ϕ˙ 8 = ϕ˙ 7 ·

r07 r08

=

ϕ˙ 7 · u 4 .

(8.27)

8.2 Diskrete Torsionsschwingungsmodelle

295

ϕ8 ML

ϕ7

cD3

ϕ1 MA

ϕ4

ϕ6 ϕ5

ϕ2 cD2 ϕ3

cD1

Abbildung 8.8: Rädergetriebe mit torsionselastischen Wellen.

Das Getriebe hat also 4 Freiheitsgrade, den Motordrehwinkel ϕ1 und die Winkel ϕ3 , ϕ5 und ϕ7 . Sind diese bekannt, können die Drehzahlen sowie die Drehmomente der anderen Räder berechnet werden. Was für die realen Drehwinkel gilt, ist auch für die virtuellen Verrückungen zulässig δϕ2 = u 1 · δϕ1 , δϕ6 = u 3 · δϕ5 ,

δϕ4 δϕ8

= =

u 2 · δϕ3 , u 4 · δϕ7 .

(8.28)

Nun kann das D’Alembertsche Prinzip in der Lagrangeschen Fassung formuliert werden δA(e) = M A · δϕ1 −

8 

J pk · ϕ¨ k · δϕk − cD1 (ϕ2 − ϕ3 )(δϕ2 − δϕ3 )

k=1

−cD2 (ϕ4 − ϕ5 )(δϕ4 − δϕ5 ) − cD3 (ϕ6 − ϕ7 )(δϕ6 − δϕ7 ) − M L · δϕ8 = 0.

(8.29)

Einsetzen der kinematischen Beziehungen und nach den virtuellen Drehwinkeln ordnen, ergibt 0 = [M A − (J p1 + J p2 · u 21 ) · ϕ¨ 1 − cD1 (ϕ1 · u 1 − ϕ3 ) · u 1 ] · δϕ1 + [−(J p3 + J p4 · u 22 ) · ϕ¨ 3 − cD2 (ϕ3 · u 2 − ϕ5 ) · u 2 + cD1 (ϕ1 · u 1 − ϕ3 )] · δϕ3 + [−(J p5 + J p6 · u 23 ) · ϕ¨ 5 − cD3 (ϕ5 · u 3 − ϕ7 ) · u 3 + cD2 (ϕ3 · u 2 − ϕ5 )] · δϕ5 + [−M L · u 4 − (J p7 + J p8 · u 24 ) · ϕ¨ 7 + cD3 (ϕ5 · u 3 − ϕ7 )] · δϕ7 .

(8.30)

Aufgrund der Beliebigkeit der virtuellen Drehwinkel muss jede eckige Klammer für sich verschwinden, woraus die Bewegungsgleichungen entstehen. Diese werden in Matrizen zusammengefasst   m kk = J p1 + J p2 · u 21 J p3 + J p4 · u 22 J p5 + J p6 · u 23 J p7 + J p8 · u 24 . (8.31)

296

8. Drehschwingungen von Wellen

Die übrigen Elemente der Massenmatrix sind Null. ⎡ cD1 · u 21 −cD1 · u 1 0 ⎢ −cD1 · u 1 cD1 + cD2 · u 2 −cD 2 · u2 2 sik = ⎢ ⎣ 0 −cD2 · u 2 cD2 + cD3 · u 23 0 0 −cD3 · u 3 f i (t) =



M A (t)

0

0

−M L (t) · u 4



⎤ 0 ⎥ 0 ⎥, −cD3 · u 3 ⎦ cD3

.

(8.32)

(8.33)

Mit den Drehwinkeln, u k = [ ϕ1 ϕ3 ϕ5 ϕ7 ] , lautet die Torsionsschwingungsgleichung für das Getriebe m ik · u¨ k (t) + sik · u k (t) = f i (t).

8.3

(8.34)

Torsionskritische Drehzahlen

Entsprechend den biegekritischen Drehzahlen eines Rotors, können auch die Torsionseigenfrequenzen des Systems, f T [ Hz ] = ωT /2π, in Drehzahlen umgerechnet werden, n T = 60· f T [ U/min ]. Der Vergleich mit der aktuellen Wellendrehzahl fällt damit leichter. Die Anregung bei der Torsion erfolgt bekanntlich durch Drehmomente. Sind diese zeitlichen Schwankungen unterworfen, führt das sofort zu einer Rückwirkung auf das drehschwingungsfähige System. Fällt die (oder mehrere) Anregungsfrequenz(en) mit einer Torsionseigenfrequenz zusammen, entstehen Maximalamplituden. Wie bei jedem anderen Schwingungssystem auch, sind Resonanzzustände normalerweise zu verhindern. Im Vergleich zu den biegekritischen Drehzahlen fallen die torsionskritischen höher aus, was bei einer Welle mit Kreisquerschnitt an der größeren Torsionssteifigkeit liegt. Daraus kann aber nicht geschlossen werden, dass der Nennbetrieb stets unterkritisch erfolgt. Werden nämlich zwei oder gar mehrere Wellen durch elastische Kupplungen verbunden, kann dies zu einer beträchtlichen Absenkung der ersten torsionskritischen Drehzahl führen. Daher sind Schwingungsuntersuchungen meist am Gesamtsystem erforderlich. Beispiel 8.4: Torsionskritische Drehzahlen für ein gekoppeltes System. Eine Wasserturbine soll mittels einer elastischen Kompressionshülse mit einem Generator gekoppelt werden. Im Nennbetrieb bei 1500 U/min sind Drehmomentenschwankungen zu erwarten. Im Rahmen einer Eigenschwingungsrechnung sollen die torsionskritischen Drehzahlen vor und nach dem Zusammenbau bestimmt werden. Für das dargestellte vereinfachte Torsionsschwingungsmodell wurden die Massenträgheitsmomente und die Drehsteifigkeiten vorab ermittelt. Geg.: J1 = 80 kgm2 , J2 = 20 kgm2 , J3 = 250 kgm2 , cD1 = 6,39· 105 Nm/rad, cD2 = 1,657· 1014 Nm/rad, cD3 = 1,420· 1014 Nm/rad, cD4 = 1,350· 106 Nm/rad.

8.3 Torsionskritische Drehzahlen ϑ1

ϑ3

ϑ2

c D1

c D2

J1

297

c D3 J3

J2 c D4

c Dk

c D1 J1

J2

J3

Abbildung 8.9: Torsionsschwingungsmodelle für Wasserturbine, Kupplung und Generator.

Lösung: Das Modell der Wasserturbine besteht aus 2 starren Scheiben, die mit der Drehfeder cD1 verbunden sind. Es wird durch die Schwingungsgleichung

J1 0

0 J2



ϑ¨ 1 ϑ¨ 2



+

−cD1 cD1

cD1 −cD1



ϑ1 ϑ2

 = 0,

(8.35)

beschrieben. Die Eigenkreisfrequenzen berechnen sich aus der Beziehung ( ( −J1 · λ + cD1 ( ( −cD1 λ1 = ω1 λ2 =

=

( ( −cD1 ( = 0 = λ · [λJ1 J2 − cD1 (J1 + J2 )], −J2 · λ + cD1 (

0,

Starrkörperdrehung,

cD1 (J1 + J2 ) . ω2 J1 J2

=

 λ2

=

199,84 1/s.

Und daraus Frequenz und torsionskritische Drehzahl f2 =

ω2 , 2π

nT

= 1908 U/min.

Die elastische Kupplung bildet mit den ebenfalls elastischen Wellenenden eine resultierende Drehfeder 1 1 1 1 = + + cDk cD2 cD3 cD4 cDk =



cD2 cD3 cD4 cD3 cD4 + cD2 (cD3 + cD4 )

=

1,37 · 106 Nm/rad.

Im vorliegenden Fall können die Wellenenden als starr angesehen werden. Ist deren Steifigkeit geringer, muss zusammengefasst werden.

298

8. Drehschwingungen von Wellen

Nach dem Zusammenbau der Komponenten ist ein torsionselastisches System mit drei Freiheitsgraden, ausgedrückt durch die ϑ j , entstanden. Dazu gehören zwei Eigenfrequenzen, da die erste wieder Null sein muss. Diese berechnet man wieder aus der homogenen Bewegungsgleichung ⎛

J1 ⎝ 0 0

0 J2 0

⎞⎛ 0 0 ⎠⎝ J3

⎞ ⎛ cD1 ϑ¨ 1 ⎜ −cD1 ϑ¨ 2 ⎠ + ⎝ 0 ϑ¨ 3

−cD1 cD1 + cDk −cDk

⎞⎛ ⎞ 0 ϑ1 −cDk ⎟ ⎝ ϑ2 ⎠ = 0. cDk ⎠ ϑ3 (8.36)

Derselbe Rechengang wie oben führt dann zu f 1 = 0, f 2 = 13,45 Hz und f 3 = 51,74 Hz. Das entspricht den torsionskritischen Drehzahlen n T 1 = 807 U/min und n T 2 = 3105 U/min. Es wird also beim Anlauf des Systems die kritische Drehzahl n T 1 durchfahren. Im überkritischen Nennbetrieb ist der Abstand zur nächsten Drehzahl ausreichend.

8.4

Erzwungene Torsionsschwingungen

Die Anregung des Drehschwingungssystems erfolgt über den Antrieb und die Last. Dabei bilden der Antrieb, die Arbeitsmaschine und die Wellen eine Einheit, d.h. die Wechselwirkungen zwischen den Systemen müssen berücksichtigt werden. Das erfordert Kenntnisse über das dynamische Verhalten von Antrieb und Last. In der Praxis sind die Anregungsarten allerdings vielfältig und können nur selten mathematisch exakt beschrieben werden. Daher besteht eine erste Aufgabe darin, realistische Anregungsarten bereitzustellen. Ist dies geschehen und durch Versuche, z.B. Drehmomentenmessungen, bestätigt, kann ein Torsionsschwingungsmodell kreiert werden, mit dem das Verhalten durch Simulation analysiert und beeinflusst werden kann. Anders als bei den Biegeschwingungen, wo eine genügend hohe Drehzahl nötig ist, erfolgt die Anregung des Torsionsstranges sofort. Ein oszillierendes Drehmoment ruft dementsprechende elastische Drehwinkelschwankungen hervor. Diese elastischen Verformungen sind dem Starrkörperdrehwinkel, dem Rotordrehwinkel, überlagert. Deshalb ist bei einer Torsionsschwingerkette die erste Eigenfrequenz Null, handelt es sich doch um ein ungefesseltes System. Treten keine Drehmomentenänderungen auf, beruhigt sich der lineare Torsionsstrang, d.h. die Amplituden klingen aufgrund einer stets vorhandenen Dämpfung ab. Störungen, hervorgerufen durch plötzliche Laständerungen, Unterbrechungen oder auch Abschaltvorgänge, bewirken kräftige Drehmomentenstöße, die Anregung beginnt erneut.

8.4.1

Harmonische Anregung

Wird die lineare Torsionsschwingerkette durch harmonische Drehmomente angeregt, kann die Schwingungsantwort mit den in Kapitel 5.7 vorgestellten Methoden ermittelt werden. Bei unterschiedlichen Anregungsfrequenzen ergibt sich die gesamte partikuläre Lösung durch Superposition der Teilergebnisse.

8.4 Erzwungene Torsionsschwingungen

8.4.2

299

Beliebige Anregung

Wird das Antriebsmoment, die Last, die Störung mathematisch, durch algebraische oder Differentialgleichungen beschrieben oder liegt sie möglicherweise in Form von Messdaten vor, ist eine numerische Lösung angeraten. Die Art der weiteren Vorgehensweise hängt aber von den Eigenschaften des mechanischen Systems ab. Eine Bewertung erfolgt stets anhand der Eigenfrequenzen. In vielen Fällen stellt man fest, dass nur sehr wenige Eigenfrequenzen des Torsionsstranges im interessierenden Bereich liegen. Um diese jedoch mit ausreichender Genauigkeit berechnen zu können, ist bekanntlich eine Aufteilung in einzelne Wellenabschnitte, Elemente, erforderlich. Das führt zu einem Modell, welches relativ hohe Eigenfrequenzen enthält. Ein derartiges Schwingungsmodell erweist sich als numerisch ungünstig, da die Integrationsschrittweite von der höchsten Frequenz des Systems abhängt. Nur spezielle Algorithmen, die für so genannte steife System geeignet sind, lösen die Aufgabe fehlerfrei. Dieses Problem kann durch die modale Transformation, siehe Kapitel 5.6, umgangen werden. Es ist nicht in jedem Fall erforderlich, nach allen Eigenvektoren zu entwickeln. Eigenvektoren, deren zugehörige Eigenfrequenzen weit vom Anregungsspektrum entfernt liegen, bleiben unberücksichtigt. Damit entsteht ein modales System mit reduzierter Anzahl generalisierter Koordinaten und eliminierten hohen Frequenzen. Beispiel 8.5: Schwingungsantwort einer Torsionsschwingerkette.

J2

J3

J4

J5

J6

Ø D7

J1

Ø D6

Ø D1

Der dargestellte Rotor besteht aus einer konischen Welle der Länge 5a und einem zylindrischen Wellenabschnitt der Länge b.

J7

MA (t)

M L (t) a

a

a

a

a

b

Abbildung 8.10: Torsionsschwingerkette mit 7 Drehmassen.

Die Welle trägt 7 Rotationskörper mit den polaren Massenträgheitsmomenten Jk . An der ersten Drehmasse wirkt das elektrische Antriebsmoment M A (t), welches die Welle auf die Nenndrehzahl n N hochbeschleunigt. Am anderen Wellenende greift das Lastmoment M L , mit rampenförmiger Charakteristik an. Gesucht sind die zeitlich veränderlichen Schnittmomente Mt j , j = 1,. . . , 6. Geg.: a = 200 mm, b = 300 mm, D1 = 80 mm, D6 = 40 mm, D7 = 41 mm, G = 0,81· 1011 N/m2 , ρ = 7850 kg/m3 , α = 1,5· 105 , n N = 3000 U/min. Motordaten: f N = 50 Hz, z p = 1, X r = 3,494, X s = 3,55, X rs = 3,439, R¯r = 0,01925, R¯s = 0,0057. Last: M L /M N = 0,615, wird nach 1,2 s erreicht.

300

8. Drehschwingungen von Wellen

Lösung: Jeder Scheibe wird ein Drehwinkel ϑk zugeordnet, womit der Torsionsstrang 7 Freiheitsgrade hat. Sind diese Drehwinkel bekannt, können die Schnittmomente Mt j , jeweils zwischen zwei Scheiben wirkend, berechnet werden   Mt j = cD j · ϑ j − ϑ j+1 , j = 1, . . . , 6. Zunächst müssen die Drehfederkonstanten cD j berechnet werden. Für einen Kegelstumpf der Länge l mit den Radien r1 < r2 folgt mit der bekannten Torsionsgleichung durch Integration Mt  ϑ(x) ϑ (x) = G · I p (x)

=

Mt G

l x=0

dx  I p (x)

r1

1− r 3 · G · π · r24 cD = ·  3 2 . 2·l r2 −1 r1

(8.37)

Damit können die 6 Wellenabschnitte durch Drehfedern ersetzt werden j 1 2 3 4 5 6

l j [ mm ] 200 200 200 200 200 300

r1 j [ mm ] 36,0 32,0 28,0 24,0 20,0 20,5

r2 j [ mm ] 40,0 36,0 32,0 28,0 24,0 20,5

cD j [ Nm/rad ] 1,314 · 106 8,404 · 105 5,077 · 105 2,850 · 105 1,450 · 105 7,490 · 104

Nachdem die Systemparameter der Welle ermittelt sind, kann die Berechnung der Drehwinkel ϑ j (t) erfolgen. Die Bewegungsgleichung der Torsionsschwingerkette erhält man direkt aus den Beziehungen (8.20) und (8.21), braucht also nicht neu aufgestellt zu werden. Die Massenmatrix ist nur in der Hauptdiagonalen mit den polaren Trägheitsmomenten Jk besetzt   m ii = 30 3 3 3 3 3 3 . Die tridiagonale Steifigkeitsmatrix hat die Hauptdiagonalelemente   sii = 106 · 1,314 2,155 1,348 0,793 0,430 0,213 0,075 . Mit den 6 Steifigkeitszahlen daneben ist die Matrix aufgestellt   sii+1 = −106 · 1,314 0,840 0,508 0,285 0,145 0,075 .

8.4 Erzwungene Torsionsschwingungen

301

Gemäß Aufgabenstellung erfolgt der Antrieb an Drehmasse J1 , während die äußere Last am Massenträgheitsmoment J7 wirkt. Deshalb ist der Erregervektor auch nur an den Positionen 1 und 7 besetzt   f (t) = M A (t) 0 0 0 0 0 −M L (t) . Das mathematische Modell des Rotors erscheint wieder in der üblichen Form M · u(t) ¨ + S · u(t) = f (t) mit u=



ϑ2

ϑ1

ϑ3

ϑ4

ϑ5

ϑ6

ϑ7



.

Nach diesen Vorbereitungen können die Eigenfrequenzen des Systems berechnet werden, sodass eine erste Bewertung möglich wird. Die Steifigkeitsmatrix ist nicht positiv definit, also muss ein Algorithmus zur Lösung des Allgemeinen Eigenwertproblems ausgewählt werden. Das Jacobi-Verfahren ist beispielsweise für diese Aufgabe geeignet und liefert folgende Ergebnisse k 1 2 3 4 5 6 7

ωk [ 1/s ] 0 101,34 210,55 317,69 456,37 656,09 960,66

f k [ Hz ] 0 16,13 33,51 50,56 72,63 104,42 152,89

n T [ U/min ] 0 968 2011 3034 4358 6265 9174

Die Eigenfrequenzen lassen bereits eine erste Beurteilung zu • die 4. Eigenfrequenz liegt mit 50,56 Hz dicht an der Netzfrequenz f N , mit der das Erregerdrehmoment oszilliert. Folglich ist mit überhöhten Drehwinkelamplituden zu rechnen; • die beiden unteren Frequenzen werden durch das Drehmoment M A kaum angeregt, da sich die netzfrequenten Pendelungen sofort nach dem Einschalten einstellen. Das kann sich aber ändern, falls andere Anregungen, z.B. Drehmomentenstöße, auftreten; • die höheren Eigenfrequenzen werden nur schwach angeregt, da der Abstand zur Resonanzfrequenz groß ist. Wobei die interessante Konstellation, dass die beiden letzten Frequenzen Vielfache der Anregungsfrequenz sind, zu beachten sind; • es scheint sinnvoll zu sein, die partikuläre Lösung, die Schwingungsantwort, durch eine modale Transformation zu erzeugen. Das Antriebsdrehmoment wird durch (5.255) beschrieben, hier in dimensionsloser Form M A (t) =

3 · z p · X rs · (sdr · s ps − s pr · sds ), 2

(8.38)

302

8. Drehschwingungen von Wellen

die elektrischen Ströme nach (5.261), also ⎡

⎤ ⎡ sdr Xs 1 ⎢ s pr ⎥ ⎢ 0 ⎣ s ⎦= 2 ⎣ −X sr ds X r X s − X rs s ps 0 ⎧ ⎪ ⎨3

⎡

0 Xs 0 −X sr

⎤ ⎡ 0 0 ⎢ ⎥ ⎢ ω ⎣ · − ωN ⎣ sin(2π f N t) ⎦ ⎪2 N ⎩ − cos(2π f N t)

−X rs 0 Xr 0

⎤ 0 −X sr ⎥ 0 ⎦ Xr

⎤ ⎡ ⎤⎫ Rr sdr X r s pr + X rs s ps ⎪ ⎬ Rr s pr ⎥ ˙ ⎢ −X r sdr − X rs sds ⎥ − ϑ1 ⎣ ⎦ ⎦ Rs sds 0 ⎪ ⎭ Rs s ps 0

(8.39)

Dieser Antrieb wurde bereits öfters verwendet. Er dient als Beispiel für eine dynamische Drehmomentenerzeugung. Der Rotordrehwinkel lautet jetzt ϑ1 . Die Belastungsfunktion, eine Rampe, hat die Form ' t für t ≤ 1,2s 1,2 M L (t) = 0,615 · 1 sonst.

(8.40)

Die mechanische Gleichung wird nach den Eigenvektoren, die spaltenweise in der Modalmatrix  angeordnet sind, entwickelt. ⎡ ⎤ 0,144 −0,075 −0,053 0,040 −0,035 −0,029 −0,024 ⎢ 0,144 −0,057 0,001 −0,052 0,130 0,254 0,475 ⎥ ⎢ ⎥ 0,084 −0,177 0,290 0,306 −0,310 ⎥ ⎢ 0,144 −0,028 ⎢ ⎥ 0,023 0,199 −0,278 0,199 −0,387 0,081 ⎥ .  = ⎢ 0,144 ⎢ 0,144 0,110 0,312 −0,163 −0,399 0,131 −0,010 ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ 0,144 0,259 0,247 0,403 0,147 −0,018 0,001 ⎦ 0,144 0,440 −0,318 −0,132 −0,02 0,001 0,000 Am ersten Eigenvektor erkennt man die Starrkörperdrehung. Die Entwicklung (5.198), (5.199) führt dann auf die generalisierten Gleichungen q¨k (t) + ω2(k) · q(k) (t) = Ψlk · fl (t).

(8.41)

Mit dem gegebenen Parameter α könnte die Dämpfung des Systems berücksichtigt werden. Somit entsteht wieder die programmierfähige Form der Bewegungsdifferentialgleichung q˙k v˙ k qk (0) vk (0)

= = = =

vk ,   Ψlk · fl (t) − ω2(k) · q(k) − α · ω2(k) · v(k) , 0, 0.

(8.42)

Mit dem Motor wird die Torsionsschwingerkette durch (7 × 2 + 4) DGL erster Ordnung beschrieben.

8.4 Erzwungene Torsionsschwingungen

303

Nach jedem Integrationszeitschritt müssen die generalisierten Koordinaten wieder in den Originalraum zurück transformiert werden, also ϑk (t) = Ψkl · ql (t).

(8.43)

Wird die Entwicklung beispielsweise nach den ersten 5 Eigenvektoren durchgeführt, ergibt sich folgendes Bild 10

2000

θ1 –––> [ rad ]

M/MN

Motordrehmoment

1000

0

fN =50 Hz –5

0

2

4 6 Zeit –––> [ s ]

8

0

2

4 6 Zeit –––> [ s ]

8

10

8

10

0.8 0.6

ML/MN

2000

Motordrehzahl

1000 0

500 0

10

3000

n [ U/min ]

Starrkörperdrehwinkel

1500

5

0

2

4 6 Zeit –––> [ s ]

8

0.4

Lastcharakteristik 0.2

10

0

0

2

4 6 Zeit –––> [ s ]

Abbildung 8.11: Bewegungsverhalten des Rotors, Starrkörperanteil.

Das Drehmoment pendelt zunächst mit der Netzfrequenz f N . Nach etwa 6 s ist der Nennzustand, n N , M N , erreicht. Die Welle dreht sich um den Winkel ϑ1 . Die Belastung erfolgt nach der geforderten Kennlinie. Bei Entwicklung nach m < n Eigenvektoren, werden m generalisierte DGL simultan integriert. Die Modalmatrix hat dann die Ordnung ( n × m ). Bei der Rücktransformation entstehen dann wieder n physikalische Koordinaten. Die Drehwinkel und daraus die Schnittmomente Mt j , j = 1, . . . , 6 werden vom Verlauf des Motordrehmomentes geprägt. Nach Anregung der Resonanzfrequenzen f2 -f4 , gehen die Amplituden, je nach Größe der Dämpfung, gegen Null. Wie bei einer Messreihe werden die anfallenden Amplitudenwerte gesammelt und ausgewertet. So kann man sich beispielsweise anhand der Maximalwerte einen Eindruck verschaffen. Für Vergleiche unterschiedlicher Zeitreihen sind quadratische Mittelwerte besser geeignet.

304

8. Drehschwingungen von Wellen

Abbildung 8.12: Torsionsschnittmomente.

Liegt die Zeitreihe beispielsweise in der Form yk , k = 1, . . . , n vor, könnten für eine Bewertung ymax = max{|yk |} das absolute Maximum sowie  1 yeff = · (y12 + y22 + . . . + yn2 ) der quadratische Mittelwert n herangezogen werden.

(8.44) (8.45)

9

Aufgaben

1. Aufgabe: Modell und Eigenfrequenz eines Drehstabes. Der einseitig fest eingespannte Drehstab mit Vollkreisquerschnitt ist am freien Ende mit einem geschwindigkeitsproportionalen Dämpfer verbunden. An dieser Stelle ist die Punktmasse m angebracht. a) Das System soll durch ein vereinfachtes Schwingungsmodell mit einem Freiheitsgrad ersetzt werden. b) Welche Eigenfrequenz hat das Drehstabmodell? Geg.: a = 750 mm, b = 250 mm, d = 35 mm, r = 103 kg/s, E = 2,1·105 N/mm2 , G = 0,81·105 N/mm2 , m = 40 kg.

Abbildung 9.1: Einseitig fest eingespannter Drehstab mit Punktmasse und viskosem Dämpfer. Schwingungsmodell.

Lösung: a) Das einfachste Modell, das hier betrachtet werden soll, besteht aus einem System mit einem Freiheitsgrad, der senkrechten Durchbiegung y. Der als masselos anzusehende Balken wird auf Biegung und Torsion beansprucht. Der Schubeinfluss soll vernachlässigt werden. Somit kann der Drehstab durch einen Einmassenschwinger gemäß Abb. 4.1 ersetzt werden. Während Masse und viskoser Dämpfungskoeffizient gegeben sind, muss die Federsteifigkeit ermittelt werden.

306

9. Aufgaben Unter Berücksichtigung von Biegung und Torsion kann die Verschiebung y für eine beliebige Kraft F mit dem P.d.v.K. nach (3.66) berechnet werden: y =

1 a · Fa · a a · Fb · b 1 b · Fb · b + + . 3 E Iy G Ip 3 E Iy

(9.1)

Mit der Biegesteifigkeit E I y = 2,1·1011 · π· 0,01754 /4 = 15468,97 Nm2 und der Torsionssteifigkeit G I p = 0,81·1011 · π·0,01754 /2 = 11933,20 Nm2 beträgt die Durchbiegung y = 1,3356·10−5 · F [m]. Die gesuchte Federsteifigkeit ergibt sich aus der Beziehung c = F/y = 7,4875·104 N/m.

Abbildung 9.2: Reale und virtuelle Schnittlastenverläufe.

b) Die Bewegung des Ersatzsystems wird durch die Gleichung (4.50) beschrieben. Die Eigenfrequenz des ungedämpften Einmassenschwingers ergibt sich aus (4.7)  1 c f0 = = 6,89 Hz. 2π m Mit dem Dämpfungsgrad aus (4.8) D=

r 2ω0 · m

= 0,29,

kann die Eigenfrequenz des gedämpften Systems (4.24)  f D = f 0 · 1 − D2 = 0,28 Hz bestimmt werden.

2. Aufgabe: Harmonische Kraftanregung eines abgewinkelten Balkens. Der als masselos anzusehende abgewinkelte Balken aus Stahl mit konstantem Rechteckquerschnitt, trägt in der Mitte eine Punktmasse. Für die folgenden Untersuchungen soll eine 2%-ige viskose Dämpfung angenommen werden.

9. Aufgaben

307

a) Durch welche Größen wird das Eigenschwingungsverhalten bestimmt, wenn der Punktmasse eine Anfangsauslenkung von y0 = 10 mm erteilt wird? b) Die Masse wird harmonisch durch F(t) = F0 ·sin Ωt angeregt. Wie lautet die partikuläre Lösung? c) Wie groß ist die Amplitude im Falle von Resonanz? Geg.: a = 100 mm, b = 80 mm, h = 20 mm, m = 5 kg, E = 2,1·105 N/mm2 , F0 = 10 N, Ω = 100π 1/s, E A ⇒ ∞, G A S ⇒ ∞.

Abbildung 9.3: Statisch bestimmt gelagerter Balken mit Punktmasse. Schwingungsmodell.

Lösung: Das Tragwerk wird als Einmassenschwinger mit den Systemparametern m, r und der zu bestimmenden Steifigkeit c abgebildet. Der Freiheitsgrad ist die Durchbiegung y(t). Da die Schubverformung und die Längsdehnung nicht berücksichtigt werden sollen, vereinfacht sich der Ausdruck im P.d.v.K. (3.66) y · 1v =

 (Balken)

M y (x) 2Fa3 18 98 304Fa3 · δM y (x) · dx = ( + )= . E Iy E Iy 4 12 Ebh 3

(9.2)

Die Balkenfederkonstante ergibt sich dann aus der Beziehung c = F/y = 4,421053· 105 N/m. Entsprechend Kapitel 4.3 lautet die Bewegungsgleichung für das Modell y(t) ¨ + 2D · ω0 · y(t) ˙ + ω20 · y(t) =

F0 sin Ωt. m

(9.3)

a) Die homogene Lösung nach (4.42) vereinfacht sich hier, da die Anfangsgeschwindigkeit v0 = 0 ist. Es handelt sich um eine abklingende Sinusschwingung mit der Frequenz von 47,33 Hz.  −δt

yh (t) = y0 · e

·

1 · sin(ω D t + φh ) 1 − D2

= 10 · e−5,95·t · sin(297,36 · t + 1,55) mm, √ 1 − D2 φh = arctan( ) = 1,55 ≡ 88,85◦ . D

(9.4)

(9.5)

308

9. Aufgaben

Abbildung 9.4: Biegemomentenverlauf infolge realer und virtueller Belastung.

b) Die partikuläre Lösung folgt aus (4.63). Die dort angegebene Kosinusfunktion kann mit der Reduktionsformel cos(Ωt−φ p1 +π/2) = − sin(Ωt −φ p1 ) umgeformt werden. Mit der Abstimmung η = 100·π/297,36 = 1,056 ergibt sich der Phasenverschiebungswinkel φ p1 = arctan(0,042/(−0, 116)) = −0,349 ≡ −20◦ . F0 α1 (η) sin(Ωt − φ p1 ) c = −2,262 · 10−5 · 8,09 · sin(100πt + 0,349).

y p (t) = −

(9.6)

Der Balken wird also mit einer Maximalamplitude von 0,18 mm wechselnd beansprucht. Das negative Vorzeichen ist (ausnahmsweise!) nicht von Bedeutung, da durch die Sinusfunktion ständig ein Vorzeichenwechsel erfolgt. c) Resonanz bedeutet Ω = ω0 , d.h. η = 1. Die Amplitude wird durch α1 (η = 1) = 1/2D = 25 maximal und der Phasenwinkel beträgt 90◦ , | y p |=

F0 1 · = 0,57 mm. c 2D

(9.7)

9. Aufgaben

309

3. Aufgabe: Harmonische Kraftanregung eines Rollensystems. Das skizzierte Rollensystem besteht aus einer losen und einer drehbar gelagerten Seilrolle. Das ideale Seil ist am freien Ende mit einer Feder verbunden. Die mit der losen Rolle fest verbundene Masse m wird harmonisch durch F(t) = F01 · sin Ωt +F02 · cos Ωt angeregt. Unter Vernachlässigung der Seilreibung sollen folgende Größen ermittelt werden a) die Eigenfrequenz des Rollensystems b) die Schwingungsantwort der Masse infolge der Kraftanregung! Geg.: r1 = 125 mm, r2 = 62,5 mm, m = 2 kg, J1 = 0,075 kgm2 , J2 = 4,35·10−3 kgm2 , c = 250 N/m, f Ω = 2 Hz, F01 = 22 N, F02 = 54 N.

Abbildung 9.5: Elastisches Rollensystem mit Kraftanregung. Kinematische Beziehungen. Kräfte.

Lösung: Zur Beantwortung der Fragen muss zuerst die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems aufgestellt werden. Begonnen wird stets mit der Aufstellung der kinematischen Beziehungen. Wird die Masse m um den Betrag y ausgelenkt, verschiebt sich der Anlenkpunkt der Feder um den Betrag z. Da das Seil als unelastisch angesehen werden kann, hat das System einen Freiheitsgrad. Gewählt wird die Koordinate y. Die anderen kinematischen Größen werden entsprechend Beziehung (2.89) durch y, y˙ ausgedrückt y˙ 2 y˙ ψ˙ = , ϕ˙ = , z˙ = 2 y. ˙ r1 r2

(9.8)

Wird dem System eine virtuelle Verrückung δy eingeprägt, ergeben sich in Analogie zu oben δψ =

2δy δy , δϕ = , δz = 2δy. r1 r2

(9.9)

310

9. Aufgaben

Zum Aufstellen der Bewegungsdifferentialgleichung wird das P.d.v.V. in Form von (3.59) vorteilhaft angewendet (S) (S) δA(e) = 0 = m(g − y) ¨ · δy + F(t) · δy − J1 ψ¨ · δψ − J2 ϕ¨ · δϕ − c · z · δz.

(9.10)

Mit den kinematischen Beziehungen entsteht die gesuchte DGL !

δA

(e)

y¨ +

J (S) J (S) = 0 = − y¨ m + 12 + 4 22 r1 r2

"

# − 4c · y + F(t) + mg · δy,

4c F(t) mg ·y = + , m red m red m red ! " J1(S) J2(S) m red = m + 2 + 4 2 . r1 r2

(9.11)

(9.12)

(9.13)

a) Der Koeffizient von y ist die Eigenkreisfrequenz ω0 , woraus die gesuchte Eigenfrequenz f 0 bestimmt wird 

 4c = m red

ω0 =

1000 = 9,426 1/s, 11,25

f0 =

1 ω0 = 1,5 Hz. 2π

(9.14)

b) Zunächst wird die aus zwei harmonischen Funktionen gleicher Kreisfrequenz bestehende Anregungsfunktion zusammengefasst, vgl. Kapitel 4.5. Das Eigengewicht bewirkt eine statische Auslenkung, um welche die Schwingung erfolgt. Also interessiert die partikuläre Lösung infolge der Kraftanregung F(t). 



F01 cos Ωt − arctan( ) m red F02 = 58,31 cos(Ωt − 0,39).

y¨ + ω20 y =

2 2 F01 + F02

(9.15)

Der Betrag der Amplitude ergibt sich sinngemäß nach (4.64)  | yp | =

2 2 F01 + F02

4c = 0,075 m.

1 1 = 5,831 · 10−2 | 1 − η2 | | 1 − 1,3332 | (9.16)

9. Aufgaben

311

4. Aufgabe: Rotierendes Rohr mit Einmassenschwinger. In einem Zylinder befindet sich ein elastisch gelagerter Kolben. Das System rotiert mit konstanter Drehzahl. Zwischen Kolben und Rohr herrscht Gleitreibung. Die Masse des Rohres soll nicht berücksichtigt werden. a) Wie lautet die Bewegungsdifferentialgleichung des Systems? b) Welche Eigenfrequenz hat die reibungsfrei schwingende Masse? c) Wie lautet die partikuläre Lösung für den Sonderfall μ = 0? Geg.: r0 = 250 mm, m = 4 kg, c1 = 1,8·105 N/m, c2 = 3,6·105 N/m, μ = 0,25, n = 1200 U/min.

Abbildung 9.6: Rohr mit elastisch fixierter Punktmasse.

Lösung: Der Abstand r0 beschreibt den spannungslosen Zustand der Federn c1 und c2 . Bei einer Verschiebung des Kolbens mit s(t) werden elastische Rückstellkräfte wirksam. Die Masse hat vom Drehpunkt den radialen Abstand r(t) = r0 + s(t). Nach (2.30) wirken am Massenpunkt m die Beschleunigungen ar in radialer und aϕ in tangentialer Richtung ar = s¨(t) − Ω 2 [r0 + s(t)],

(9.17)

aϕ = 2 · Ω · s˙(t).

(9.18)

a) An der freigeschnittenen Masse wirken die Gewichtskraftkomponenten, die elastischen Rückstellkräfte sowie die Gleitreibungskraft. Letztere wirkt stets der Bewegungsrichtung der gleitenden Masse entgegen. Bewegt sich m nach außen, ist die Gleitreibungskraft zum Drehpunkt gerichtet. Schwingt m in Richtung zum Drehpunkt, weist die Reibungskraft nach außen.

312

9. Aufgaben Dieser Sachverhalt kann mit der Vorzeichenfunktion y = signum(x), y = { −1 für x < 0, 0 für x = 0, 1 für x > 0} beschrieben werden. Mit dem bekannten Gleitreibungsgesetz FR = μ · FN und dem Vorzeichen der Schwinggeschwindigkeit s˙Vorzeichen = signum(˙s ) kann die Bewegungsdifferentialgleichung für die Masse formuliert werden. Da die Drehzahl konstant ist, gilt für den Drehwinkel ϕ = Ωt. Für die Vorzeichenfunktion wird abkürzend sgn(˙s) verwendet. Der Schwerpunktsatz in radialer und tangentialer Richtung liefert m · ar = −m · g · sin Ωt − (c1 + c2 ) · s − FR · sgn(˙s),

(9.19)

m · aϕ = −m · g · cos Ωt + FN .

(9.20)

Aufgelöst nach Normal- und Reibungskraft ergibt zunächst FN = m · (aϕ + g · cos Ωt),

(9.21)

FR = μ · m · (aϕ + g · cos Ωt).

(9.22)

Dies wird oben eingesetzt c1 + c2 ar + μ · aϕ · sgn(˙s) + ·s m   = −g · sin Ωt + μ · cos Ωt · sgn(˙s) .

(9.23)

Bewegungsdifferentialgleichung für den schwingenden Kolben

 c1 + c2 2 s¨(t) + 2Ω · μ · sgn(˙s) · s˙(t) + − Ω · s(t) m   = r0 · Ω 2 − g · sin Ωt + μ · cos Ωt · sgn(˙s) .

(9.24)

b) Die Eigenfrequenz erhält man aus der homogenen Bewegungsgleichung ohne Reibung, d.h. μ = 0 und n = 0. Dem ruhenden Kolben wird also nur eine Anfangsauslenkung erteilt.

s¨(t) + ω20 s(t) = 0 und daraus folgt f 0 =

1 2π



c1 + c2 = 58,48 Hz. m

(9.25)

9. Aufgaben

313

Dreht sich das Rohr mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit Ω lautet die Eigenfrequenz f0 =

1 2π



c1 + c2 − Ω 2 = 54,95 Hz. m

(9.26)

c) Wird die stets vorhandene Gleitreibung vernachlässigt, vereinfacht sich die Bewegungsgleichung so, dass eine partikuläre Lösung bequem erzeugt werden kann s¨(t) + ω20 · s(t) = r0 · Ω 2 − g · sin Ωt = f 1 (t) + f 2 (t).

(9.27)

 Partikuläre Lösung infolge f 1 : der Ansatz s p1 = a0 führt hier schnell zum Ziel,

a0 = r0

Ω ω0

2 = r0 η2 .

(9.28)

 Partikuläre Lösung infolge f 2 (t): der Ansatz (4.51) führt hier zu s p2 (t) =

g · sin Ωt. Ω 2 − ω20

(9.29)

 Gesamtlösung durch Superposition der Teillösungen, also s p (t) = s p1 + s p2 (t) = r0 η2 +

g · sin Ωt. Ω 2 − ω20

(9.30)

5. Aufgabe: Dämpfungsbestimmung durch Ausschwingen. Die skizzierte Blattfeder besteht aus einem fest eingespannten Balken mit konstanter Biegesteifigkeit B = E I y . Der am freien Ende angebrachten Punktmasse m wird eine Anfangsauslenkung y0 erteilt. a) Wie lautet die homogene Lösung? b) Wird der Punktmasse die Anfangsauslenkung w0 = 5 mm eingeprägt, ergibt sich die im Bild dargestellte abklingende quasiperiodische Schwingung. Welchen Dämpfungsgrad hat das System, wenn zu den Zeitpunkten t1 = 1 s die Amplitude w1 = 4,41 mm und t2 = 1,5 s die Auslenkung w2 = 4,14 mm gemessen werden?

314

9. Aufgaben

Abbildung 9.7: Einseitig fest eingespannte abgewinkelte Blattfeder

Geg.: E I y = 7 Nm2 , a = 524 mm, b = 262 mm, c = 131 mm, h = 75 mm, m = 1,71 kg, y0 = 5 mm, E A ⇒ ∞, G A S ⇒ ∞. Lösung: Die Kraft F ruft eine Verschiebung w des Angriffspunktes hervor. Bei Nichtberücksichtigung von Dehnung und Schubverformung infolge Normal- und Querkraft, verbleibt die Biegewirkung. Die erforderliche Federkonstante erhält man aus c B = F/w, die Durchbiegung w mit Hilfe des P.d.v.K. 

δM(x) · M(x) · dx E Iy Balken

F 1 2 2 3 3 3 2 2 = (a − b + c) + (b − c) + h(b − c) + c + hc . E Iy 3 3 3

w=

(9.31)

Mit den gegebenen Zahlenwerten b = a/2, c = a/4 lautet der Ausdruck für die Federkonstante cB =

192 · E I y = 271,27 N/m. + 24 ha )

a3 (31

(9.32)

a) Die homogene Lösung ohne Dämpfung folgt aus (4.43) und (4.44) mit v0 = 0  ω0 =

cb = 12,60 1/s, wh (t) = 5 · sin(12,60t + π/2) mm . m

(9.33)

b) Reale schwingungsfähige Systeme denen eine Anfangsauslenkung erteilt wird, kommen nach einer gewissen Zeit zur Ruhe.

9. Aufgaben

315

Abbildung 9.8: Homogene Lösung. Ausschwingvorgang.

Die im Bild dargestellte homogene Lösung wird durch die Funktion wh (t) = A · e−δ·t cos(ω D + φh ) beschrieben. Diese Funktion hat die Periodendauer TD = 1/ f D = 2π/ω D = 0,5 s. Zur Klärung der Frage, wie die Amplituden im Laufe der Zeit abgebaut werden, wird das Verhältnis der Funktionen wh (t) / wh (t + TD ) untersucht wh (t) A · e−δ·t cos(ω D t + φh ) = wh (t + TD ) A · e−δ·(t+TD ) cos[ω D (t + TD ) + φh ] cos(ω D t + φh ) = eδ·TD = eδ·TD . cos(ω D t + 2π + φh )

(9.34)

Dieses Verhältnis ist unabhängig vom Zeitpunkt t und konstant, da sich TD nicht ändert. Deshalb kann es nach dem Dämpfungsgrad D aufgelöst werden ( ( ( wh (t) ( ( ( = δ · Td = const. = ϑ.  D = √ ϑ ln ( . (9.35) wh (t + TD ) ( ϑ 2 + 4π 2

316

9. Aufgaben Mit den gegebenen Zahlenwerten wh (t1 ) = w1 = 4,41 mm und wh (t1 + TD ) = w2 = 4,14 mm, lautet das logarithmische Dekrement ϑ = 0,06284 und daraus der Dämpfungsgrad D = 0,01.

6. Aufgabe: Anregung eines Rahmens durch einen Wechselstoß. Das Ersatzmodell eines Maschinentisches besteht aus einem einseitig fest eingespannten Rahmen mit I-100-Profil nach DIN 1025 Blatt 1. Am freien Ende befindet sich eine Punktmasse, die zusätzlich viskoelastisch gestützt wird. Die Punktmasse wird kurzzeitig durch die Kraft F(t) = F0 · e−α·t · sin Ωt angeregt. a) Wie lautet die homogene Lösung für eine Anfangsauslenkung der Masse von 5 mm? b) Welche partikuläre Lösung stellt sich ein? Geg.: a = 325 mm, b = 200 mm, h = 750 mm, m = 200 kg, r = 1000 kg/s, E = 2,1·105 N/mm2 , c = 5,5·105 N/m, F0 = 1250 N, Ω = 32π 1/s, α = 5 1/s, I y = 171 cm4 .

Abbildung 9.9: Einseitig fest eingespannter Drehstab mit Punktmasse und viskoelastischem Lager

Lösung: Der Rahmen wird vereinfacht durch eine Biegefeder c B ersetzt. Die Federkonstante erhält man aus der Beziehung c B = F/w. Die Durchbiegung am freien Ende wird mit dem P.d.v.K. bestimmt,  M(x) w= · δM(x) · dx By Rahmen ' 1  F b3 a 2 3 2 2 = h(a + b) + b + + 2(a + b) + 2b + 2b(a + b) By 3 6 F = 0,263 · . By

9. Aufgaben

317

Mit der Biegesteifigkeit B y = E I y , ergibt sich die Federkonstante cB =

F = 1,3656 · 106 N/m. w

(9.36)

Somit erhält man wieder ein schwingungsfähiges System mit einem Freiheitsgrad F0 −αt e · sin Ωt, mit den Systemparametern y¨ + 2Dω0 y˙ + ω20 y = m  c + cB r ω0 = = 97,87 1/s, f 0 = 15,58 Hz, D = = 0,0255, m 2mω0  ω D = ω0 1 − D2 = 97,84 1/s und δ = Dω0 = 2,5 1/s.

(9.37)

(9.38)

a) Mit der Anfangsauslenkung y0 und den modalen Parametern kann die homogene Lösung nach (4.39) formuliert werden  δ yh (t) = y0 1 + · e−δt · sin(ω D t + φh ) ωD = 5 · e−2,5t · sin(97,84t + 1,55) mm, ω  D φh = arctan = 1,55. δ

(9.39)

b) Die partikuläre Lösung muss sinngemäß der Vorgehensweise in Kapitel 4.6.1 entwickelt werden. Dazu kann der Ansatz y p (t) = (C1 · sin Ωt + C2 · cos Ωt) · e−αt oder durch komplexe Ergänzung y p (t) = A · e(iΩ−α)t herangezogen werden.

(9.40)

Mit den Abkürzungen für die Abstimmung η = Ω/ω0 und ξ = −α/ω0 erhält man eine modifizierte Übertragungsfunktion A1 (η, ξ) und einen Phasenverschiebungswinkel Φ(η, ξ) 1 A1 (η, ξ) =  2 1 − η2 + 2Dξ + ξ 2 + 4η2 (D + ξ)2 Φ(η, ξ) = arctan

2η(D + ξ) . (1 − η2 + 2Dξ + ξ 2 )

(9.41)

(9.42)

Ist der Abklingfaktor der Erregerkraft α = 0, ergibt sich die bekannte Übertragungsfunktion α1 (η). Die reelle partikuläre Lösung im Zeitbereich lautet dann y p (t) =

F0 A1 (η, ξ) · e−αt · sin(Ωt − Φ) c + cB

(9.43)

318

9. Aufgaben Nun müssen noch die Zahlen eingesetzt werden. Die Anregungsfrequenz liegt dicht an der Eigenfrequenz, was durch den Wert η = 1,027 zum Ausdruck kommt. Das Verhältnis ξ ist mit −0,051 verschwindend klein, so dass ein Unterschied zur Übertragungsfunktion α1 (η) nicht erkennbar wird. Der Amplitudenfaktor A(1,027, −0,051) beträgt 13,14. Wegen der stark abklingenden Exponentialfunktion ( e−5·t ) wirkt die partikuläre Lösung, entsprechend der Anregung, aber nur sehr kurz, y p (t) = 2,27 · 10−3 · 13,14 · e−5t sin(32πt − 0,76).

(9.44)

Abbildung 9.10: Schwingungsverhalten des Rahmens.

In Abbildung 9.10 ist das Schwingungsverhalten der Punktmasse in Form von Zeitliniendiagrammen dargestellt.

7. Aufgabe: Einschwingvorgang eines Rahmens. Das in der 6. Aufgabe beschriebene Rahmentragwerk wird jetzt durch die Kraft F(t) = F0 · sin Ωt belastet. Zum Zeitpunkt t = 0, dem Anregungsbeginn, wird der Punktmasse m eine Anfangsauslenkung von 5 mm erteilt.

9. Aufgaben

319

a) Zu untersuchen ist der Einschwingvorgang des Maschinentisches. b) Wie sieht der Schwingungsverlauf y(t) für die folgenden Situationen η = 0,1 und D = 2,6%, η = 1 und D = 0, η = 2 und D = 5,2% aus? Lösung: Einschwingvorgänge sind durch das gleichzeitige Wirken von Anfangsbedingungen und Fremderregung gekennzeichnet. Die Gesamtlösung setzt sich aus der allgemeinen homogenen Lösung und der speziellen partikulären Lösung zusammen. Mit α = 0 und cges = c + c B lautet diese Lösung y(t) = yh (t) + y p (t) = e−δt (C1 cos ω D t + C2 sin ω D t) +

F0 · α1 (η) cos(Ωt − φ p1 ). cges

(9.45)

Die Anfangsbedingungen y(0) = y0 und y(0) ˙ = v0 müssen jetzt oben eingesetzt werden, also y(0) = yh (0) + y p (0) = y0 und y(0) = y˙h (0) + y˙p (0) = v0 . ˙

(9.46) (9.47)

Damit lassen sich Bedingungen für die beiden Integrationskonstanten ermitteln F0 · α1 (η) · cos φ p1 C1 = y0 − y p (0) = y0 − cges

 1 F0 2 2 C2 = v0 + δ · y0 − · α1 (η) · δ + Ω · sin(φ p1 + ξ) . ωD cges

(9.48) (9.49)

Dabei entstand ξ = arctan(δ/Ω) durch Zusammenfassen von δ · cos φ p1 + Ω · sin φ p1 . Somit kann der Einschwingvorgang untersucht werden. Dazu muss die Formel (9.45) für den Einschwingvorgang y(t) in einem Zeitintervall 0 ≤ t ≤ t E numerisch ausgewertet werden. a) Einschwingvorgang für den Istzustand des Rahmens, F0 = 1250 N, Ω = 32π 1/s, α = 0, f 0 = 15,58 Hz, D = 2,6%: Die Nähe zur Resonanz, η = 1,027, führt zu einer Schwingung mit etwa 16 Hz und einer maximalen Amplitude, die durch die Dämpfung begrenzt wird. Ein Unterschied zwischen homogener und partikulärer Lösung ist nicht erkennbar. b) Einschwingvorgänge für die Spezialfälle b1 ) η = 0,1 und D = 2,6%: bei diesem unterkritischen Betrieb wird das Verhalten zunächst durch die Eigenschwingung geprägt, die jedoch wegen der Dämpfung rasch abklingt. Es stellt sich im Laufe der Zeit eine niederfrequente harmonische Schwingung ein. b2 ) η = 1 und D = 0: in der Resonanz wird die Schwingung angefacht. Die Amplituden werden durch eine Gerade begrenzt, deren Steigung von der Kraftamplitude F0 und der Federkonstante cges bestimmt wird. Eine geringfügige Abweichung von η = 1, führt zu Schwebungen.

320

9. Aufgaben b3 ) η = 2 und D = 5,2%: Überkritischer Betrieb. Die niederfrequente Eigenschwingung klingt ab während sich die erzwungene Bewegung mit der doppelten Frequenz einstellt und das weitere Verhalten bestimmt.

Abbildung 9.11: Einschwingvorgänge des Maschinentisches.

8. Aufgabe: Seismometer. Der dargestellte Mechanismus ist geeignet, Erschütterungen zu messen. Eine vertikale Fußpunktanregung an der Gehäuseunterkante bewirkt einen horizontalen Zeigerausschlag. a) Welche Eigenfrequenz hat das Seismometer? b) Wie groß ist die Anregungsamplitude u 0 , wenn am Gerät der harmonische Zeitverlauf z(t) = z 0 · sin Ωt gemessen wird? Geg.: a = 25 mm, b = 12,5 mm, e = 15 mm, m = 0,05 kg, c1 = 2,5 N/m, c2 = 1,5 N/m, J (S) = 5·10−8 kgm2 , Ω = 100π 1/s, z 0 = 2,5 mm .

9. Aufgaben

321

Abbildung 9.12: Seismometer

Lösung: Zunächst werden die kinematischen Beziehungen aufgestellt. Das System hat ˙ einen Freiheitsgrad, den Zeigerausschlag x. Die Winkelgeschwindigkeit des Hebels ψ, die Schwinggeschwindigkeit der Masse y˙ und die Geschwindigkeit des Anlenkpunktes der beiden Federn x˙ F können durch x˙ ausgedrückt werden. Mit h = b + e x˙ ψ˙ = , h

y˙ =

a · x, ˙ h

x˙F =

b · x. ˙ h

So transformieren sich auch die Verschiebungen und die Beschleunigungen. Da es zweckmäßig ist, zum Aufstellen der Bewegungsgleichung das P.d.v.V. anzuwenden, werden die virtuellen Verrückungen benötigt δψ =

δx a b , δy = · δx, δx F = · δx. h h h

a) Die Eigenfrequenz erhält man aus der Bewegungsdifferentialgleichung. Diese wird mit dem D’Alembertschen Prinzip in der Lagrangeschen Fassung aufgestellt. δA(e) = 0 = −m · y¨ · δy − J (S) · ψ¨ · δψ − c1 · (y − u) · δy − 2c2 · x F · δx F $ #

2

 

2 % a a a b J (S) 0= m + 2 x¨ + c1 x−u · + 2c2 x · δx. h h h h h

(9.50) (9.51)

Wegen der Beliebigkeit der virtuellen Verrückung δx, muss der Klammerausdruck verschwinden. Daraus ergibt sich zunächst #

2

 

2 a J (S) a a b m + 2 x¨ + c1 x−u · + 2c2 x = 0. (9.52) h h h h h Die bis jetzt verwendeten Absolutkoordinaten sind uninteressant, da sich bei einer Erschütterung u(t), der Zeiger relativ dazu bewegt. Der Zeigerausschlag wird durch die Koordinate der Masse relativ zum Gehäuse ausgedrückt, also a z = y − u, = · x − u. h

322

9. Aufgaben Wird diese Transformation in die DGL eingesetzt, ergibt sich die gesuchte Form 



2  a J (S) a b m + · (z¨ + u) + c + 2c ·z ¨ 1 2 h a·h h a·h

2  b = −2c2 · u. a·h

(9.53)

Mit den Abkürzungen für die Koeffizienten der Beschleunigungen und der Auslenkung, m red

cres

 a J (S) =m + h a·h



2  a b = c1 + 2c2 , h a·h

(9.54)

(9.55)

sowie der gesuchten Eigenkreisfrequenz ω0 und einer weiteren Abkürzung ω1 

cres ω0 = 8,06 1/s, f 0 = m red 2π  2 b 2c2 a·h ω21 = = 14,98 1/s2 , m red

ω0 =

= 1,28 Hz,

lautet die DGL, formuliert in der Relativkoordinate z   z¨ + ω2 · z = −u¨ − ω21 · u = u 0 · sin Ωt Ω 2 − ω21 .

(9.56)

b) Da am Gerät ein harmonischer Zeitverlauf festgestellt wurde, kann für die Fußpunktanregung ebenfalls ein harmonischer Verlauf, u(t) = u 0 · sin Ωt, angenommen werden, der dann zu obiger Funktion führt. Es bereitet keine Schwierigkeiten, die partikuläre Lösung zu berechnen

z p (t) = u 0 ·

η2 −



ω1 ω0

1 − η2

2 · sin Ωt

=

z 0 · sin Ωt.

(9.57)

Daraus erhält man die Anregungsamplitude u 0 = z0 ·

1 − η2  2 η2 − ωω10

=

−z 0 .

(9.58)

Da die Eigenfrequenz des Seismometers wesentlich kleiner als die Anregungsfrequenz ist, kommt es zu diesem, für dieses Messprinzip typischen Ergebnis.

9. Aufgaben

323

9. Aufgabe: Rad mit statischer Unwucht und Fußpunktanregung. Ein Fahrzeugrad mit statischer Unwucht Ustat wird infolge eines sogenannten Höhenschlages beim Abrollen auf der Fahrbahn zusätzlich angeregt. Da der Reifen elastisch ist, kann diese Anregung als Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer angesehen werden. Beide Störungen, Fliehkraft und Fußpunktanregung erfolgen umlauffrequent mit der Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ jedoch phasenverschoben durch den Winkel α. a) Durch welche Übertragungsfunktion wird die Schwingungsantwort charakterisiert? b) Welchen Einfluss hat die Phasenverschiebung auf die partikuläre Lösung? Geg.: M, c1 , c2 , r1 , r2 , e, u 0 , Ω, α.

Abbildung 9.13: Elastisch gelagertes Rad mit statischer Unwucht und Höhenschlag

Lösung: Das Rad wird vereinfacht als viskoelastisch gelagerte Scheibe angenommen, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ϕ˙ = Ω = konstant, rotiert. Dann wirken in vertikaler Richtung die Fliehkraftkomponente F1 = M · e · Ω 2 · sin Ωt und die Radkraftschwankung F2 = c2 · u(t) + r2 · u(t) ˙ mit u(t) = u 0 · sin(Ωt − α). Der Schwerpunktsatz in vertikaler Richtung führt zur Bewegungsdifferentialgleichung M · y¨ + (r1 + r2 ) · y˙ + (c1 + c2 ) · y = −F1 + F2 y¨ +

(r1 + r2 ) (c1 + c2 ) −F1 + F2 · y˙ + ·y = . M M M

(9.59) (9.60)

Mit den üblichen Abkürzungen für den Dämpfungsgrad D, die Eigenkreisfrequenz ω0 und die Abstimmung η,  c1 + c2 r1 + r2 Ω ω0 = , 2Dω0 = , η= , M M ω0

324

9. Aufgaben

erhält man die bekannte Form der Schwingungsgleichung für den Einmassenschwinger y¨ + 2Dω0 y˙ + ω20 y =

−F1 + F2 . M

(9.61)

Es ist zweckmäßig, die rechte Seite zusammenzufassen. Siehe hierzu Kapitel 4.8.1. Im ersten Schritt wird die Fußpunktanregung geordnet c  −F1 + F2 r2 2 = −e · Ω 2 · sin Ωt + u 0 · sin(Ωt − α) + · Ω · cos(Ωt − α) (9.62) M M M = u 0 · A1 · sin(Ωt − α + γ) − e · Ω 2 · sin Ωt.

(9.63)

Die Entwicklung des Additionstheorems sowie der Koeffizientenvergleich liefern mit den Abkürzungen ω2 , D2 und η2 und den Phasenwinkeln γ und δ  ω2 =

c2 r2 , 2D2 ω2 = , η2 = η · M M

 c1 1 + , γ = arctan(2D2 η2 ), δ = γ − α, c2

eine rechte Seite, die eine bequeme Lösung durch Superposition gestatten würde  y¨ + 2Dω0 y˙ + ω20 y = u 0 · ω22 1 + (2D2 η2 )2 · sin(Ωt + δ) − e · Ω 2 · sin Ωt = a1 · sin(Ωt + δ) − a2 · sin Ωt.

(9.64) (9.65)

Es bereitet keine Schwierigkeiten, die beiden harmonischen Funktionen mit gleicher Kreisfrequenz, aber verschiedenen Phasenverschiebungen, zu einer gemeinsamen Funktion zusammenzufassen. Die Fleißaufgabe besteht darin, das Additionstheorem sin(Ωt + δ) zu entwickeln und mit sin Ωt einen neuen Ausdruck, a3 · sin(Ωt + ξ), zu formulieren. Mit dem Verhältnis κ = e/u 0 erhält man dann die endgültige rechte Seite a3 = u 0 ·

ω22

    · 1 + (2D2 η2 )2 + κ · η22 · κ · η22 − 2 cos δ · 1 + (2D2 η2 )2

ξ = arctan

sin δ cos δ − a2 /a1

(9.66)

 .

(9.67)

Somit kann die Differentialgleichung y¨ + 2Dω0 y˙ + ω20 y = a3 · sin(Ωt + ξ),

(9.68)

9. Aufgaben

325

wie in Kapitel 4.6.2, gelöst werden. Der dort angegebene Lösungsweg führt zu einer Übertragungsfunktion infolge Fliehkraftanregung und Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer     α5 (η) = α1 (η) · 1 + (2D2 η2 )2 + κ · η22 · κ · η22 − 2 cos δ · 1 + (2D2 η2 )2 .

(9.69)

Die Schwingungsantwort im Zeitbereich, bestehend aus Verschiebung der Radmasse, Schwinggeschwindigkeit und Beschleunigung lautet dann mit der bekannten Phasenverschiebung

φ5 = y p (t) = v p (t) = a p (t) =

 1 − η2 π + arctan , 2Dη 

c2 · α5 (η) · sin(Ωt + ξ + φ5 ), u0 · c1 + c2

 c2 u0 · Ω · · α5 (η) · cos(Ωt + ξ + φ5 ), c1 + c2

 c2 2 −u 0 · Ω · · α5 (η) · sin(Ωt + ξ + φ5 ). c1 + c2

(9.70)

(9.71)

(9.72)

(9.73)

Wichtiger als das Zeitverhalten, ist der Amplituden-Frequenzgang α5 (η). Für u 0 = 0 verbleibt die Fliehkraftanregung α5 (η) ⇒ α3 (η). Ist die Schwerpunktsverschiebung e = 0, wird die Masse nur durch die Radkraftschwankung angeregt, α5 (η) ⇒ α4 (η). Diesen Sachverhalt erkennt man schneller, wenn c1 und r1 gleich Null gesetzt werden. Zu untersuchen wären die Einflüsse – Phasenverschiebung α zwischen den Anregungen F1 und F2 , – Dämpfungsverhältnis D1 /D2 , – Verhältnis κ = e/u 0 . Die Amplitudenfunktion α5 (η) nimmt für η = 0 den Wert 1 an, sie strebt mit wachsender Abstimmung gegen den Wert κ = e/u 0 . Für u 0 = 0 entsteht α3 (η), d.h. reine Fliehkraftanregung. Ist die Schwerpunktsexzentrizität e = 0, verbleibt α4 (η), also Fußpunktanregung über Feder und Dämpfer. Die Amplituden nehmen Größtwerte an, falls die Fliehkraft F1 und die Radkraftschwankung F2 gleichphasig wirken, α = 180◦ . Hierbei ist zu beachten, dass bei der Herleitung die Erregerkräfte F1 und F2 unterschiedliche Vorzeichen hatten. Wirken beide Anregungen gegenphasig, α = 0◦ , nimmt die Amplitude den kleinsten Wert an.

326

9. Aufgaben

Eine Kompensation beider Anregungen erfolgt nicht. Daran ändert weder das Verhältnis der Anregungen e = 1,5·u 0 , noch die Variation der Dämpfungen etwas. Auch die Steifigkeitsverteilung c1 /c2 führt zu keiner Kompensation der Amplituden. Das bedeutet für die Praxis: eine Verdrehung des Reifens auf der Felge führt bestenfalls zu einer Verringerung der Schwingungsamplitude. Wird das Rad auf einer Maschine ideal ausgewuchtet, e = 0, verbleibt stets die Fußpunktanregung u(t).

Abbildung 9.14: Übertragungsfunktion α5 (η) bei gleichzeitiger Fliehkraft- und Fußpunktanregung

10. Aufgabe: Kraftanregung eines Hebels mit Zahnstange. Der drehbar gelagerte starre Hebel wird durch die Kraft F(t) = F0 · cos Ωt angeregt. Sein Zahnsegment greift in die ebenfalls drehbar gelagerte Scheibe ein. a) Durch welche Differentialgleichung wird die Bewegung des Systems, ausgedrückt durch den Drehwinkel des Hebels, beschrieben? b) Wie groß sind die Eigenfrequenz und der Dämpfungsgrad? c) Wie lautet die partikuläre Lösung?

9. Aufgaben

327

Geg.: m 1 = 1,25 kg, J1(S) = 2 kgm2 , J2(0) = 3 kgm2 , a = 300 mm, b = 280 mm, c = 120 mm, R = 200 mm, c1 = 2,4·104 N/m, c2 = 1,0·104 N/m, r1 = 100 kg/s, r2 = 80 kg/s, F0 = 10 N, Ω = 3π 1/s.

Abbildung 9.15: Hebelsystem. Ausgelenkte Lage. Kräfte bei virtueller Auslenkung.

Lösung: Das System hat einen Freiheitsgrad, den Drehwinkel ψ. Wird der Hebel beispielsweise mit der Winkelgeschwindigkeit ψ˙ entgegen dem Uhrzeigersinn verdreht, erfahren Kraftangriffspunkt A, Schwerpunkt S und Zahnsegment Z die Geschwindigkeiten y˙ A , y˙ S und y˙ Z . Letztere erzeugt die Winkelgeschwindigkeit der Scheibe ϕ˙ ˙ y˙S = b · ψ, ˙ y˙Z = (b + R) · ψ, ˙ ϕ˙ = y˙ A = a · ψ,

b+ R ˙ · ψ. c

(9.74)

Wird dem System ein virtueller Drehwinkel δψ eingeprägt, so können die anderen Verrückungen durch diesen ausgedrückt werden δy A = a · δψ, δyS = b · δψ, δy Z = (b + R) · δψ, δϕ =

b+ R · δψ. (9.75) c

328

9. Aufgaben a) Die Bewegungsdifferentialgleichung des Hebels wird wieder vorteilhaft mit dem P.d.v.V. aufgestellt δA(e) = 0 = −M1 · δψ − M2 · δϕ − (FS + m 1 · g) · δyS + [F(t) − FA ] · δy A −(FB + FC ) · c · δϕ = −J1(S) · ψ¨ · δψ − J2(0) · ϕ¨ · δϕ − m 1 · y¨S · δyS + [F(t) − c1 · y A − r1 · y˙ A ] · δy A − m 1 · g · δys − (c · ϕ · c2 + c · ϕ˙ · r2 ) · c · δϕ.

(9.76)

Jetzt müssen die kinematischen Beziehungen in diesen Arbeitsausdruck eingesetzt werden. Damit werden sowohl die realen als auch die virtuellen Größen durch die verbleibende Koordinate ψ ausgedrückt δA

(e)

'

2 # (S) (0) b + R 2 = 0 = − J1 + m 1 b + J2 · ψ¨ c   + r1 a2 + r2 (b + R)2 · ψ˙ 

+ c1 a + c2 (b + R) 2

2



1 · ψ + m 1 gb − F(t) · δψ.

(9.77)

Wegen der Beliebigkeit der virtuellen Verrückung δψ, muss die geschweifte Klammer Null sein. Es ist sinnvoll, die Koeffizienten der Koordinate ψ zusammenzufassen Jges =

J1(S)

+ m1b + 2

J2(0)



b+ R c

2 res. Massenträgheitsmoment,

r D = r1 a2 + r2 (b + R)2 c D = c1 a2 + c2 (b + R)2

Drehdämpferkonstante und Drehfederkonstante. (9.78)

Mit diesen Abkürzungen erhält man wieder die bekannte DGL ψ¨ + 2Dω0 ψ˙ + ω20 ψ = F(t)

a b − m1g . Jges Jges

(9.79)

Die rechte Seite enthält die Kraftanregung und den Einfluss des Eigengewichtes. Bei statischer Betrachtung, Nullsetzen der zeitlichen Ableitungen, lässt sich damit die statische Ruhelage des Systems bestimmen. b) Die Parameter der Eigenschwingung lauten dann mit den Zahlenwerten Jges = 50,10 kgm2 , c D = 4464 Nm/rad und r D = 27,43 Nms/rad ω0 =

1 2π



cD Jges

= 1,5 Hz,

D

=

rD · 100% 2ω0 Jges

= 2,9%.

9. Aufgaben

329

c) Die partikuläre Lösung nach (4.63) infolge Kraftanregung kann sofort hingeschrieben werden, ψ p (t) = ψˆ · α1 (η) cos(Ωt − φ1 ), ψˆ =

F0 · a = c D · ω20

F0 · a cD

wobei der physikalische Faktor

lautet.

ψ p (t) = 6,72 · 10−4 · 17,24 · cos(3πt − 1,52) rad.

(9.80)

Die statische Ruhelage des Hebels ergibt sich dann aus ψstat = −

m1 · g · b . cD

(9.81)

A

Matrizen

A.1

Definition

Eine Matrix ist ein Platzhalter für beliebige Größen, die verschiedene Einheiten haben können. Ein derartiges Schema besteht aus mehreren Zeilen und Spalten. Die Anordnung der Reihen kann ein-, zwei- oder dreidimensional sein.

A.1.1

Schreibweise

Eine Matrix kann symbolisch durch einen Großbuchstaben, z.B. A oder durch einen Kleinbuchstaben mit tiefgestellten Indizes, z.B. aij , gekennzeichnet werden ⎤ a11 a12 . . . a1n a22 . . . a2n ⎥ ⎢ a . A = aij = ⎣ 21 .................... ⎦ am1 am2 . . . amn ⎡

(A.1)

Der erste Index, i, ist der Zeilenzähler, der zweite, j, der Spaltenzähler. Der Zugriff auf ein Matrixelement erfolgt durch Angabe der Zeilen- und Spaltennummer. Im Unterschied dazu, um Verwechslungen zu vermeiden, werden physikalische Vektoren, die stets an eine Basis gebunden sind, durch hochgestellte Pfeile gekennzeichnet, beispielsweise a =

A.1.2

,

ax ;

ay ;

az

-

=

ax · ex + a y · ey + az · ez .

(A.2)

Anordnungen von Zeilen und Spalten

In einer Matrix der Ordnung (m, n) können m × n Elemente untergebracht werden ⎧ ⎨ = n ist die Matrix quadratisch >n ... rechteckig, hoch Ist m ⎩ 0, so heißt sie positiv definit. In diesem Fall heißt auch die Matrix A positiv definit. Q ist nur Null für x = 0.

A.2.6

Bilinearform

Als Bilinearform wird das Skalarprodukt zweier Vektoren B = yt · A · x

A.3

=

aij · x j · yi ,

bezeichnet.

(A.20)

Determinanten

Für den Wert der Determinante einer (2 × 2)-Matrix gilt die Definition ( ( ( a a12 (( D = |A| = (( 11 = a11 · a22 − a12 · a21 . a21 a22 (

(A.21)

A.4 Inverse Matrix

A.3.1

335

Entwicklung mehrreihiger Determinanten

Wird bei einer Determinante die i-te Zeile und die j-te Spalte gestrichen, verbleibt eine Unterdeterminante Aij . Speziell für n = 3 lauten die Unterdeterminanten ( ( ( a11 a12 a13 ( ( ( D = (( a21 a22 a23 (( , (A.22) ( a31 a32 a33 ( ( ( ( ( ( ( ( a22 a23 ( ( a21 a23 ( ( a21 a22 ( ( ( ( ( ( (, , A12 = ( , A13 = ( (A.23) A11 = ( a32 a33 ( a31 a33 ( a31 a32 ( ( ( ( ( ( ( ( a12 a13 ( ( a11 a13 ( ( a11 a12 ( ( ( ( ( ( (, A21 = ( , A22 = ( , A23 = ( (A.24) a32 a33 ( a31 a33 ( a31 a32 ( ( ( ( ( ( ( ( a12 a13 ( ( a11 a13 ( ( a11 a12 ( ( ( (. ( ( ( , A32 = ( , A33 = ( (A.25) A31 = ( a22 a23 ( a21 a23 ( a21 a22 ( Werden die Unterdeterminanten Aij mit den Vorzeichen (−1)(i+ j) multipliziert, entstehen die zu den Elementen aij gehörigen Minoren. Der Wert der Determinante ist gleich der Summe D = (−1)i+ j · aij · Aij

=

a11 · A11 − a12 · A12 + a13 · A13 .

(A.26)

Jede Determinante kann nach den Elementen einer Zeile oder Spalte entwickelt werden.

A.3.2

Rechenregeln für Determinanten

• Werden in einer Determinante zwei Zeilen oder zwei Spalten vertauscht, ändert sich das Vorzeichen. • Der Wert einer Determinante bleibt erhalten, wenn alle Zeilen und Spalten vertauscht werden, D = | aij | = | a ji |. • Sind in einer Determinante zwei Zeilen oder zwei Spalten identisch, so ist sie Null. • Eine Determinante wird mit einem Skalar α multipiziert, indem eine Spalte oder eine Zeile mit dieser Größe multipliziert wird. • Ist die Determinante des Produktes zweier Matrizen zu bestimmen, so sind die Determinanten der beiden Faktoren zu multiplizieren, D = |A · B| = |A| · |B|.

A.4

Inverse Matrix

Die zu einer Matrix A gehörende inverse oder reziproke Matrix heißt A(−1) . Sie existiert nur, falls die Koeffizientendeterminante |A|  = 0 ist. Sie hat die Eigenschaft, dass A · A(−1) = A(−1) · A = E ist. Ist die Matrix invertierbar, ist sie regulär. Anderenfalls singulär.

336

A. Matrizen

A.4.1

Berechnung der inversen Matrix

Mit den Unterdeterminanten (−1)(i+k) ·Aik und der Koeffizientendeterminante |A| einer (n, n)Matrix A, lautet die Inverse ⎡

A(−1)

⎤ A11 −A21 . . . An1 1 ⎢ −A12 A22 . . . An2 ⎥ ·⎣ = . . . . . . . . . . . . . . . . ......... ⎦ |A| A1n A2n . . . Ann

(A.27)

Speziell für n = 2 ergibt sich A=

A.5

a11 a21

a12 a22

. A(−1) =

1 a11 a22 − a12 a21



a22 −a21

−a12 a11

.

(A.28)

Orthogonale Matrix

Eine Matrix heißt orthogonal, wenn die Inverse gleich der Transponierten ist T(−1) = Tt .

A.6

(A.29)

Komplexe Matrizen

Eine √ komplexe Matrix besteht aus zwei reellen Matrizen, die mit der imaginären Einheit j = −1, verknüpft sind A = B + j · C oder aij = bij + j · cij , dabei ist {A} = B Realteil und {A} = C Imaginärteil.

A.6.1

(A.30) (A.31)

Hermitische Matrix

Mit der zu A = B + j · C konjugiert komplexen Matrix A∗ = Bt − j · Ct

lautet die hermitische Matrix A = A∗ .

(A.32)

Dies steht anstelle der Symmetrie von reellen Matrizen. Aus dieser Beziehung folgen B = Bt und C = −Ct , d.h. der Realteil einer hermitischen Matrix ist symmetrisch, der Imaginärteil ist schiefsymmetrisch.

A.7 Beispiele

A.7

337

Beispiele

Gegeben sind die Matrizen: ⎛

1 A=⎝ 4 7 D=

⎞ 3 6 ⎠, 9

2 5 8

100 400

200 500

⎛

⎡

300 600

⎞ −3 −4 ⎠ , 30

−2 20 −4

10 B = ⎝ −2 −3

,

⎤ 1 x = ⎣ 2 ⎦, 3

⎡

0, 01 C = ⎣ −0, 03 0, 5

⎤ 0, 02 −0, 04 ⎦ , 0, 6

⎡

⎤ 4 y = ⎣ 5 ⎦. 6

Gesucht sind folgende Matrizenprodukte: a)

xt · y

x · yt

b)

Lösung: a)



1

⎡

1 c) ⎣ 4 7 ⎡

1 d) ⎣ 4 7

2

3

g)



4

⎤ ⎡ ⎤ 4 1  · ⎣ 5 ⎦ = 32. b) ⎣ 2 ⎦ · 4 6 3

2 5 8

⎤⎡ 3 10 6 ⎦ ⎣ −2 9 −3

100 400

5

6

300 600



⎡

10 ⎣ −2 −3

⎡

0, 01 ⎣ −0, 03 0, 5 −2 20 −4

200 500

300 600

6

26 68 110

148

4 =⎝ 8 12

yt · B

5 10 15

⎤ 79 148 ⎦ 217

9 = ⎣ −19 290

68

g)

⎛



⎡

⎤ 0, 02 145 −0, 04 ⎦ = 289 0, 6

⎤ −3  −4 ⎦ = 12 30

D·C

f)

5

⎤ ⎡ −3 −3 −4 ⎦ = ⎣ 12 30 27

−2 20 −4

⎤ 0, 02 100 ⎦ −0, 04 400 0, 6

200 500

C·D

e)

⎡

⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤ 3 1 14 6 ⎦ ⎣ 2 ⎦ = ⎣ 32 ⎦ . 9 3 50

0, 01 e) ⎣ −0, 03 0, 5

f)

A·B

d)

2 5 8

⎡





c) A · x

⎤ 15 −33 ⎦ . 510

12 −26 400

174 348



.

.

⎞ 6 12 ⎠ . 18

338

A. Matrizen

Gegeben sind die Matrizen: ⎡

1 M = 5⎣ 0 0

⎤ ⎡ 0 1 0 ⎦ , S = 104 ⎣ −0, 6 1 0

0 1 0

⎡

−0, 3835 0 0, 2301

0, 1818  = ⎣ 0, 2740 0, 3031

−0, 6 1, 6 −1

⎤ 0 −1 ⎦ , 1

⎤ −0, 1410 0, 3534 ⎦ . −0, 2350

Wie lauten die Orthogonalitätsbedingungen:  t · M ·  und  t · S ·  Lösung: ⎡

⎤⎡ ⎤ 0, 1818 0, 2740 0, 3031 5 0 0 ⎣ −0, 385 0 0, 2301 ⎦ ⎣ 0 5 0 ⎦ · −0, 1410 0, 3534 −0, 2350 0 0 5 ⎡ ⎤ 0, 1818 −0, 3835 −0, 1410 ⎣ 0, 2740 0 0, 3534 ⎦ = 0, 3031 0, 2301 −0, 2350 ⎡ ⎤ ⎡ 1 0, 0, 191 0, ⎣ 0, 1 0, ⎦ . und  t · S ·  = ⎣ 0, 2000 0, 0, 1 0, 0,

⎤ 0, 0, ⎦ . 5008

Zu invertieren ist die Matrix X: ⎡

0 A 0 B

B 0 C 0

⎤ ⎡ 0 X 11 1 ⎢ −X 12 B ⎥ (−1) . X = ·⎣ 0 ⎦ X 13 |X| C −X 14

( ( A ( |X| = A · (( 0 ( B

0 C 0

B 0 C

A ⎢ 0 X=⎣ B 0

( ( ( ( 0 ( ( (+ B·( B ( ( ( ( 0

A 0 B

B 0 C

( ( ( ( ( (

−X 21 X 22 −X 23 X 24

X 31 −X 32 X 33 −X 34

( ( A = (A · C − B ) · (( B

= (A · C − B 2 )2 . X 12 = X 14 = X 21 = X 23 = X 32 = X 34 = X 41 = X 43 = 0.

2

⎤ −X 41 X 42 ⎥ . −X 43 ⎦ X 44 ( B (( C (

A.7 Beispiele

X 11

X 33

X 13

339

( ( A ( = (( 0 ( B

0 C 0

B 0 C

( ( ( ( ( (

( ( A ( = (( 0 ( 0

0 A B

0 B C

( ( ( ( ( (

( ( 0 ( = (( B ( 0

A 0 B

B 0 C

( ( ( ( ( ( ⎡

X(−1)

= C · (A · C − B 2 )

= X 22 .

= A · (A · C − B 2 )

= X 44 .

= −B · (A · C − B 2 )

C 1 ⎢ 0 = ·⎣ −B A · C − B2 0

0 C 0 −B

−B 0 A 0

= X 24 = X 31 = X 42 .

⎤ 0 −B ⎥ . 0 ⎦ A

B

Symbole

A, A, Aij A∗ A Schub a, a0 , a j j = 1, · · · , ∞ a, a b, b b j j = 1, · · · , ∞ C, c, ck c D , cT D, D, dij (S) (S)  (S) , D(S) D x , D y , Dz d E E·A E · I y , E · Iz G · Ip G · A Schub e, e0 et en eb ex , ey , ez er , eϕ f0 , f f , fi  F F, FA , F (stat) , F (zent) , F (gyro) G gˆ ij G g, g(t) H, h ij h

: Fl¨ache, Amplitude, Koeffizientenmatrix, Zustandsmatrix : komplexe Konstante : Schubfl¨ache : Konstante, Fourierkoeffizienten : Beschleunigungsvektor, Abstandsvektor, Beschleunigung : Abstandsvektor, Abstand : Konstanten, Fourierkoeffizienten : Kapazit¨at, Abstand, Federkonstante, Konstanten : Drehfederkonstante : D¨ampfung, D¨ampfungsgrad, D¨ampfungsmatrix : Drallvektor, Drall bez¨uglich Schwerpunkt : Abstand : Elastizit¨atsmodul, kinetische Energie : Dehnsteifigkeit : Biegesteifigkeiten : Torsionssteifigkeit : Schubsteifigkeit : Exzentrizit¨at : Tangenteneinheitsvektor : Normaleneinheitsvektor : Binormalenvektor : Basisvektoren : mitdrehende Basisvektoren : Eigenfrequenz, Frequenz : Lastvektor, Anregungsvektor : Kraftvektor : Kraft, Lagerreaktion, statische, kinetische infolge Zentrifugalkraft, Kreiselwirkung : gyroskopische Matrix : Elementkreiselmatrix : Schubmodul : Erdbeschleunigung, Gewichtsfunktion : Nachgiebigkeitsmatrix : Gangh¨ohe

342 

g(x) · h(x) · dx It Ip I y , Iz I i Jx , Jy , Jz Jxy , Jxz , Jy z Jp ka , ki k1 , k2 l L L m M, m ij mˆ ij , m ije mˆ rot ij mˆ Lij Mt M y , Mz  M dm N n P(λ) Q q0 Q y, Qz Q i , i = 1, . . . , n qi , i = 1, . . . , n R, Rij R, r r rx , r y , rz s s ds S, sij sˆij , sije sˆLij T, Tij T , T(t)

B. Symbole : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Integral der Arbeitsausdr¨ucke Torsionsfl¨achenmoment 2. Ordnung polares Fl¨achenmoment 2. Ordnung Fl¨achenmomente 2. Ordnung Impulsvektor elektrischer Strom axiale Massentr¨agheitsmomente Deviationsmomente polares Massentr¨agheitsmoment D¨ampfungsparameter, innere, a¨ ußere Kreuzarmvektor L¨ange, Abmessung Laufgrad, Lagrangesche Funktion, Induktivit¨at Induktivit¨atsmatrix Masse Massenmatrix Elementmassenmatrix, finite Elementdrehtr¨agheitsmatrix, finite Elementeinzelmassenmatrix, finite Torsionsmoment Biegemomente Momentenvektor Massenelement Normalkraft Drehzahl charakteristisches Polynom elektrische Ladung Belastungsintensit¨at Querkr¨afte generalisierte Kraft generalisierte Koordinaten Transformationsmatrix Radius, ohmscher Widerstand, D¨ampfungskoeffizient Ortsvektor Koordinaten des Ortsvektors Stromvektor Bahnkurve, Weg Bogenelement Steifigkeitsmatrix Elementsteifigkeitsmatrix, finite Elementeinzelsteifigkeitsmatrix, finite Transformationsmatrix Periodendauer, Torsion einer Raumkurve, Zeitfunktion

B Symbole U u, u i u uk u v, v(x) v,v v, v Wb w, w(x) w,w X k , X(x) x, xi , xiR , xiK x, x(t) x1 , x2 , x3 X y, y(t), yh (t), y p (t) Y( f) ye f f z zp ZN α α, β, γ αi (η), i = 1, . . . , 4 β βk γ δ δij δA δW δ r δϕ, δψ  δF δFx , δFy , δFz δNx , δQ y , δQ z  δM δMt , δM y , δMz , x η, ηx , η y ηk , k = 1, . . . , 4 , Θij , H , ΘijH ϑ

343 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

potentielle Energie Verschiebungsvektor, elektrischer Spannungsvektor Verschiebung, elektrische Spannung ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis Dehnung Durchbiegung, Biegelinie Tangentenneigung, Kr¨ummung Geschwindigkeitsvektor, Geschwindigkeit Widerstandsmoment gegen Biegung Durchbiegung, Biegelinie Tangentenneigung, Kr¨ummung statisch Unbestimmte, Ortsfunktion Spaltenvektor, raumfest, k¨orperfest Abstand, Ortskoordinate, Funktion Hauptachsenbasis Reaktanz Ortskoordinate, Funktion, homogene, partikul¨are L¨osung Fouriertransformierte quadratischer Mittelwert Ortskoordinate Polpaarzahl Nennimpedanz Drehwinkel Kardanwinkel ¨ Amplituden-Frequenzgang, Ubertragungsfunktion Drehwinkel Eigenwerte Drehwinkel Abklingkonstante Kroneckersymbol, Einheitsmatrix virtuelle Arbeit virtuelle Form¨anderungsarbeit virtueller Verschiebungsvektor virtuelle Drehwinkel virtueller Kraftvektor virtuelle Kr¨afte virtuelle Schnittkr¨afte virtueller Momentenvektor virtuelle Schnittmomente Dehnung Abstimmung Formfunktionen, Hermite–Polynome Tr¨agheitsmatrix, im Hauptachsensystem Darboux’scher Vektor

344 κ κi , i = 1, . . . , 5 λk , λik μ, μ(x) ξ  σ τ ϕ ϕ φ χ1 , χ2 ψ ψ, ϑ, ϕ , Ψij ω,  ω K , ω H ω x , ω y , ωz ω0 ωD Ω

B. Symbole : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Kr¨ummung Abk¨urzungen Eigenwert(e) Spektralmatrix Gleitreibungskoeffizient, Massenbelegung Abk¨urzung Dichte Normalspannung Zeit Drehwinkel Drillung Phasenverschiebungswinkel, magnetischer Fluss Ansatzfunktionen f¨ur Torsionsdrehwinkel Drehwinkel Eulerwinkel Modalmatrix Winkelgeschwindigkeitsvektor, k¨orperfest, im Hauptachsensystem Winkelgeschwindigkeiten Eigenkreisfrequenz Eigenkreisfrequenz des ged¨ampften Systems Anregungskreisfrequenz, Umlauffrequenz

Literaturverzeichnis [1] Ahlert, Helmut: Finite Elemente in der Baustatik, Werner Verlag, (2000). Kapitel 3, 7, 8 [2] Assmann, Bruno: Technische Mechanik, Band 1, Band 2, Band 3, Oldenbourg Verlag, M¨unchen, (1999, 2001). Kapitel 2, 3, 4 [3] Bathe, Klaus-J¨urgen: Finite–Element–Methoden, Springer, Berlin, (1990). Kapitel 7, 8 [4] Beitz, W. / K¨uttner, K.: Dubbel. Taschenbuch f¨ur den Maschinenbau, Springer Verlag, Berlin. [5] Brommundt, E. / Sachs, G.: Technische Mechanik, Oldenbourg Verlag, M¨unchen, (1998). Kapitel 2, 3 ¨ [6] Czichos, Horst: HUTTE. Die Grundlagen der Ingenieurwissenschaften, Springer Verlag, Berlin. [7] Deger, Yasar: Die Methode der finiten Elemente, expert, Renningen–Malmsheim, (2001). Kapitel 7, 8 [8] Gasch, R. / Pf¨utzner, H. / Nordmann R.: Rotordynamik, Springer, Heidelberg, (2002). Kapitel 6 [9] Gasch, Robert / Knothe, Klaus: Strukturdynamik, Springer Verlag, (1987). Kapitel 3, 7, 8 [10] Gross, Thomas / Hansen, Dieter: Auswuchttechnik und Schwingungen an rotierenden Maschinen. Normen, Beuth Verlag, Berlin, (1997). Kapitel 6 [11] Grosjean, Jacques: Kinematics and Dynamics of Mechanisms, McGraw-Hill Book Company, London, (1991). Kapitel 2 [12] Genta, Giancarlo: Vibration of structures and machines, Springer, New York, (1993). Kapitel 4, 5 [13] Gummert, Reckling: Mechanik, Vieweg, Braunschweig, (1994). Kapitel 2, 3, 4 [14] Hirschfeld, K.: Baustatik, Springer Verlag, Berlin, (1984). Kapitel 3 [15] Hoffmann, R¨udiger: Signalanalyse und -erkennung, Springer Verlag, Berlin. Kapitel 4 [16] Holzweissig, Franz / Dresig, Hans: Lehrbuch der Maschinendynamik, Hanser Verlag, (1994). [17] Inman, Daniel: Engineering Vibration, Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, (1994). Kapitel 4, 5

346

Literaturverzeichnis

[18] Jung, Michael / Langer, Ulrich: Methode der finiten Elemente f¨ur Ingenieure, Teubner, Stuttgart, (2001). Kapitel 7, 8 [19] J¨urgler, Rudolf: Maschinendynamik, Springer Verlag, Berlin. [20] Justus, Otto: Dynamisches Verhalten elektrischer Maschinen, Vieweg, Braunschweig, (1991). Kapitel 5 [21] Kelkel, Klaus: Auswuchten elastischer Rotoren in isotrop federnder Lagerung, Hochschulvlg, (1978). Kapitel 6 [22] Kerle, H. / Pittschellis, R.: Einf¨uhrung in die Getriebelehre, Teubner Verlag, Stuttgart. Kapitel 2 [23] Klingen, Bruno: Fouriertransformation f¨ur Ingenieur- und Naturwissenschaften, Springer Verlag, Berlin. Kapitel 4 [24] K¨onig, Wolfgang: Propyl¨aen Technikgeschichte, Propyl¨aen, Berlin, (1999). Kapitel 1 [25] Kr¨amer, Erwin: Maschinendynamik, Springer Verlag, Berlin (1984). [26] Kr¨amer, Erwin: Dynamics of rotors and foundations, Springer, Berlin, (1993). Kapitel 4, 6 [27] Luck, Kurt / Modler, Karl: Getriebetechnik, Analyse, Synthese, Optimierung, Springer Verlag, Berlin, (1995). Kapitel 2 [28] Magnus, K.: KREISEL. Theorie und Anwendungen, Springer Verlag, Berlin, (1971). Kapitel 2, 3 [29] Magnus, K.: Schwingungen, Teubner Verlag, Stuttgart, (1976). Kapitel 4 [30] Meißner, Udo F. / Maurial, Andreas: Die Methode der finiten Elemente, Springer, Berlin, (2000). Kapitel 7, 8 [31] Mobley, R. Keith: Vibration fundamentals, Newnes, Boston, (1999). Kapitel 4 [32] Quarteroni, A. / Sacco, R. / Saleri, F.: Numerische Mathematik, Springer, Berlin, (2001). Kapitel 5, 6, 7, 8 [33] Sagirow, P.: Satellitendynamik, BI-Hochschulskripten, Mannheim, (1970). Kapitel 2 [34] Schiehlen, W.: Technische Dynamik, Teubner, Stuttgart, (1986). [35] Schmidt, K. / Trenkler, G.: Moderne Matrix-Algebra, Springer, Berlin, (1998). Kapitel 9 [36] Schneider, Hatto: Auswuchttechnik, Springer, Berlin, (2000). Kapitel 6 [37] Schwarz, Hans R.: Methode der finiten Elemente, Teubner, Stuttgart, (1991). Kapitel 7, 8 [38] Schwarz, Hans R.: FORTRAN-Programme zur Methode der finiten Elemente, Teubner, Stuttgart, (1991). Kapitel 7, 8 [39] Schwarz, Hans R.: Numerische Mathematik, Teubner, Stuttgart, (1997). Kapitel 5

Literaturverzeichnis

347

[40] Stoer, J.: Numerische Mathematik 1, Springer Verlag, Stuttgart, (1999). Kapitel 4, 5 [41] Stoer, J. / Bulirsch, R.: Numerische Mathematik 2, Springer Verlag, Stuttgart, (2000). Kapitel 4, 5 [42] Szabo: Einführung in die Technische Mechanik, Springer Verlag, Berlin, (1975). Kapitel 3 [43] Szabo: Höhere Technische Mechanik, Springer Verlag, Berlin, (1972). Kapitel 3 [44] Szabo: Repetitorium und Übungsbuch der Technischen Mechanik, Springer Verlag, Berlin, (1972). Kapitel 3 [45] Szabo: Geschichte der mechanischen Prinzipien, Birkh¨auser Verlag, Basel und Stuttgart, (1977). Kapitel 1 [46] Ulbrich, Heinz: Maschinendynamik, Teubner Verlag, Stuttgart (1996). [47] Vollmer, Johannes: Getriebetechnik, Grundlagen, Verlag Technik Berlin, M¨unchen, (1991). Kapitel 2 [48] Wahle, Michael: Grundlagen der Maschinen- und Strukturdynamik, Mainz Verlag, (1998). Kapitel 3, 5 [49] Wissmann, J. / M¨uller, H. / Sarnes, K.: Finite Elemente der Strukturdynamik, Springer Verlag Berlin, (2002). Kapitel 3, 7, 8 [50] Ziegler, Gustav: Maschinendynamik, Westarp-Wissenschaften. [51] Zienkiewicz, Olgierd C.: Methode der finiten Elemente, Hanser, M¨unchen, (1984). Kapitel 7, 8 [52] Zurm¨uhl, R.: Matrizen, Springer Verlag, Berlin, (1964). Kapitel 9

Sachverzeichnis Abklingkonstante, 83, 161, 175, 249 Abschaltvorgang, 236, 298 Abschirmbereich, 99, 114, 117 Abstimmung, 89, 96, 101 Abtastfrequenz, 140 Abtasttheorem, 140, 141 Ähnlichkeitsbeziehungen, 199 Amplituden-Frequenzgang, 90, 95, 96, 98, 113, 114, 179, 186–188, 197 Amplitudenfaktor, 100 Anfangsbedingungen, 78, 85–87, 120, 128, 138, 146, 157, 163, 171, 188, 239 Anlaufvorgang, 135 Anlaufzeit, 207 Anlaufzeitkonstante, 207 Anregungsarten, 88, 177 Ansatzfunktion, 261, 262 Hermite-Polynome, 262 Anstiegsfunktion, 131 exponentiell, 132 linear, 132 sinusförmig, 132 Antriebseinheit, 109 aperiodisch, 134 aperiodischer Grenzfall, 86, 87 Arbeitsgleichung, 60 Arbeitsmaschine, 112 Arbeitsprinzip, 72 Asynchronmotor, 134, 203, 237, 278 dynamische Gleichungen, 203 Ausgleichsebenen, 230, 251 Ausgleichsmasse, 56, 211, 225–227, 240 Auswuchten, 223 dynamisch, 56, 223, 250 statisch, 54, 223, 250 Bahnkurve, 6, 45, 250 F¨uhrungskurve, 41

Koppelkurve, 41 Bahnparameter, 8 Balken, 257, 258, 260, 261, 268 Balkenelement, 262, 266, 274 Balkenverformungen, 61 Basisvektoren, 10 begleitendes Dreibein, 5, 6, 47 Binormalenvektor, 6 Normaleneinheitsvektor, 6 Tangenteneinheitsvektor, 6 Belastungsstoß, 135 Bernoulli-Ansatz, 259 Beschleunigungskräfte, 57 Beschleunigungsmomente, 57 Beschleunigungspolygon, 33 Beschleunigungssprung, 133 Beschleunigungsvektor, 6 Betriebsverhalten, 239 Betriebszustand, 206 Bewegungsdifferentialgleichungen, 57, 58, 77, 88, 95, 103, 145, 147, 150, 177, 198, 242, 258, 271, 290, 292, 302 Biegeebenen, 271 Biegeeigenfrequenz, 257 Biegefeder, 105, 268, 269 biegekritische Drehzahl, 269, 275–278, 280, 296 Biegelinie, 257 DGL, 258 Biegemoment, 258 Biegeresonanz, 216, 278 Biegeschwingung, 15 Biegesteifigkeiten, 61 Binormale, 47 Binormalenvektor, 7 Bleigewicht, 233 Bleikugel, 229 Bodenwelle, 150

Sachverzeichnis Bogenelement, 6 charakteristische Gleichung, 83 charakteristisches Polynom, 155 Coriolisbeschleunigung, 11 D’Alembertsches Prinzip, 57 D’Alembertsches Prinzip in der Lagrangeschen Fassung, 57, 74, 147, 149, 242, 294, 295 Dämpfer, 79 Dämpferkraft, 79 Dämpfermodell, 79 Dämpfung, 81–84, 86, 87, 91, 96, 99–101, 105, 107, 109, 113–116, 131, 135 äußere, 273 geschwindigkeitsproportionale, 257 innere, 257 viskose, 80 Dämpfungsgrad, 81, 104, 116, 120, 137, 249 Dämpfungsmatrix, 145 Darboux’scher Vektor, 7 Datenreduktion, 194 Deformationsmethode, 72, 269 Dehnsteifigkeit, 61 Deviationsmomente, 48, 49, 51 Dichte, 45 Differentialgleichung der Biegelinie, 70 direkte Lösung, 177 Drall, 48 Drallvektor, 48 Drallsatz, 45, 47, 48, 52, 53, 55, 103, 127, 151, 158, 162, 198, 235, 242, 258, 274, 283, 292, 293 Drehachse, 7 Drehdämpfung, 103, 292 Drehimpuls, 48 Drehmomentenstoß, 298 Drehpunkt, 22, 58, 103 Drehrichtungsumkehr, 25 Drehstab, 283 Drehträgheit, 258 Drehwinkel, 12 Drehwinkelamplitude, 283 Drehwinkelfunktion, 286 Drehwinkelschwankung, 298

349 Druckverlauf, 134 Durchbiegung, 60, 62, 63, 66–69 Dynamisches Grundgesetz, 45 Eigenachsen, 164 Eigenfrequenz, 81, 89, 91, 100, 104, 106, 107, 111, 112, 120, 137, 139, 140, 259, 283 Eigenfunktion, 261, 285 Eigenkreisfrequenz, 81, 85, 109, 285 des gedämpften Systems, 84, 91 Eigenschwingung, 82, 84, 86, 96, 106 Eigenschwingungsansatz, 83, 154 Eigenschwingungsform, 261, 285 Eigenschwingungsverhalten, 83, 86 Eigenvektor, 51, 52, 156, 214, 232, 299 Eigenwert, 51, 214, 261 Eigenwertgleichung, 51, 260, 285 Eigenwertproblem, 51, 163 allgemeines, 163 spezielles, 164 Einheitsverformung, 70 Einmassenschwinger, 101, 110, 113, 119, 120, 130, 134, 135, 139, 269 Einschaltsprung, 139 Einschwingvorgang, 129, 130, 132 Einspurmodell, 150 Einwirkzeit, 142 elektrische Ladung, 201 elektrische Spannung, 199 elektrischer Schwingkreis, 199 Elektromotor, 233, 280 Ersatzmodell, 203, 237 Ersatzsystem, 246 Ersatzwicklung, 203 Euler, 15 Eulerwinkel, 12, 53 Eulersche Beziehung, 84 Eulersche Kreiselgleichungen, 52, 53, 55, 217, 242 Exzenter, 109 Exzentrizität, 53, 216, 227 F¨uhrungsgeschwindigkeit, 23 F¨uhrungsgetriebe, 28 Fahrzeugmodell, 150 Fahrzeugschwingungsmodell, 150

350 Faltungsintegral, 129 FE-Modell, 290, 292 Feder, 79 Federkraft, 79 Fliehkraft, 54, 112, 221 Fliehkraftanregung, 88, 95, 96, 100, 110, 113, 233, 237, 239, 273, 279 Formänderungsarbeit, 60 Formeln von Frenet, 8 Fourier, 118 Kosinustransformation, 140 Sinustransformation, 140 Fourierintegral, 140 Fourierkoeffizienten, 118, 119 Fourierreihe, 119 Fourierspektrum, 119 Fouriertransformation, 140, 141 inverse, 140 schnelle FFT, 140 Freiheitsgrad, 15, 57, 79, 145, 233, 257, 291 Fremderregung, 88 Frequenzbereich, 139, 140, 142 Frequenzspektrum, 140 Fußpunktanregung, 80, 112, 147, 150, 151 über Dämpfer, 88, 95 über Feder, 88, 94, 96 über Feder und Dämpfer, 88, 100, 114 Gangpolbahn, 25 gefederte Masse, 150 Gelenk, 28 Drehgelenk, 28 Drehschubgelenk, 28 Schiebest¨uck, 28 Gelenkmechanismus, 29 Gelenkviereck, 36 generalisierte Amplitude, 189 Dämpfung, 172 Koordinaten, 57, 74, 171, 202, 204, 262, 286, 299 Kraft, 74 Masse, 167 Steifigkeit, 167 Generator, 296 Geschwindigkeitspolygon, 32

Sachverzeichnis Geschwindigkeitssprung, 133 Geschwindigkeitsvektor, 5 Geschwindigkeitsverteilung, 24 Gestell, 28, 109, 112, 184 gestreckte Lage, 40 Getriebe, 28 ebenes, 28 r¨aumliches, 28 sph¨arisches, 28 Gewichtsfunktion, 130 Gleichlaufschwankungen, 283 Gleitstein, 46 Glieder, 28 bin¨ar, 28 Pendelst¨utze, 28 quatern¨ar, 28 tern¨ar, 28 Grenzfrequenz, 141 Grundsystem, 68 gyroskopische Kräfte, 219 gyroskopische Matrix, 255 Halbsinusstoß, 142 geglättet, 143 Hammerschlag, 142 Hauptachse, 52 Hauptachsensystem, 51, 52, 55, 214, 270 körperfest, 52 Hauptachsentheorem, 51 Hauptachsentransformation, 51 Hauptankerwicklung, 206 Hauptfeldreaktanz, 206 Hauptinduktivität, 203 Hauptträgheitsmomente, 51, 214 Hochlauf, 233 instationär, 206, 249 Hohlrad, 25 Hohlzylinder, 213 homogene Lösung, 84, 87, 90, 98, 106, 134 Hubschwingung, 150 Hubwerk, 58 Hydraulikzylinder, 134 Hypermatrix, 146 Imaginärteil, 84 Impedanz, 206 Impuls, 45, 143

Sachverzeichnis Impulsantwort, 139 Impulsdauer, 139 Induktionsgesetz, 199, 204 Induktivität, 198 instationär, 233 Integraltransformation, 139 Jacobi-Verfahren, 51, 168, 214 Kapazität, 198 Kardangelenk, 18, 283 Kardanwinkel, 12, 53 Kegelstumpf, 246, 251 Massenträgheitsmomente, 248 Schwerpunktskoordinaten, 248 Kennlinien, 208 kinematische Kette, 28 Kippmoment, 135 Kirchhoffsche Regel, 199 Knoten, 262, 267 Knotenlinie, 16 Knotenverformungen, 270 Kolben, 128 komplexe Ergänzung, 92, 94 komplexe Konstante, 94 komplexe Lösung, 94 Kompressionshülse, 296 konservatives Ersatzsystem, 175 konservatives System, 74 Kontaktkraft, 294 Kontinuum, 257, 261, 269, 283 schwingendes, 257 Koordinatenschreibweise, 152 Koordinatensystem gedreht, 12 k¨orperfest, 5, 12, 14 raumfest, 5, 12 Koppeldrehwinkel, 36 Koppelgetriebe, 27, 121 Korrekturmasse, 232 Kr¨ummung, 6 Kr¨ummungsmittelpunkt, 6 Kräftepaar, 223 Kraftanregung, 88, 91, 93, 94, 96, 105, 109, 120 halbsinusförmig, 135 harmonisch, 101, 106, 108, 109

351 sprunghaft, 128 Kraftgrößenverfahren, 64 Kraftsprung, 130 Kraftstoß, 142 Kreisbewegung, 6 Kreiseleinfluss, 255 Kreiselkräfte, 219 Kreiselkraftkomponenten, 223 Kreiselmomente, 213, 216 Kreiselterme, 244 Kreiselwirkung, 228, 269, 280 Kreuzarme, 18 Kriechen, 86 Kriechvorgang, 87 kritisch, 101 kritische Drehzahl, 233, 249 Kupplung, 296 Kurbel, 36 Kurbeldrehwinkel, 122 Kurbelschleife, 124, 125 Kurzschluss, 210 Lagerdrücke dynamische, 219 kinetische, 230 Lagerkräfte kinetische, 227 Lagerreaktionen kinetische, 53, 88, 95, 211–215, 217 statische, 214, 221, 223 Lagewinkel, 227 Lagrangefunktion, 74 Lagrangesche Bewegungsgleichungen, 74, 202, 242, 262, 266, 286 Last, 239 Lastcharakteristik, 244 Laufgrad, 29 Laufqualit¨at, 36 Laufqualität, 223 Leistung, 206 Leistungsbilanz, 205 Linienspektrum, 141 Luftspaltmoment, 134, 205 Masche, 199 Maschengleichungen, 199 Massenausgleich, 230, 250

352

Sachverzeichnis

Massenelement, 45, 47, 283 Massenexzentrizität, 100, 212, 257 Massenmatrix, 145 Massenträgheitsmomente, 48–50, 52 Massenverteilung, 213 Mechanismus, 28 Messgerät, 112 Methode der Finiten Elemente, 267 Modalanalyse, 172, 280 modale Abklingkonstante, 173 Analyse, 189 Berechnungsverfahren, 167 Dämpfung, 173, 275 Dämpfungen, 175 Massenmatrix, 167 Methoden, 145 Parameter, 280 Steifigkeitsmatrix, 167 Transformation, 171, 175, 280, 281, 299 modales Rechenmodell, 275 System, 299 Modalmatrix, 156, 168, 175, 279, 302 Modellbildung, 79, 149 Momentanpol, 24, 26 Momentanzentrum, 24 Momentenunwucht, 211, 213, 217 Motor, 239, 278 Motorwelle, 134, 278

Ortsvektor, 5

Nachgiebigkeiten, 69 Nachgiebigkeitsmatrix, 69 Nennzustand, 135 Netzfrequenz, 134 nichtperiodische Anregung, 128 Nickschwingung, 150 Nickwinkel, 150 Nyquist-Frequenz, 141

Rädergetriebe, 294 Radaufstandskraft, 151 Radialbeschleunigung, 12 Radmodell, 234 Radnabe, 239 Radzentrum, 239 Rampe, 302 Randbedingungen, 260, 267, 273, 284, 286 Rastpolbahn, 25 Raumkurve, 6, 7, 46 Parameterdarstellung, 7 Reaktanz, 206 Reaktionsprinzip, 148 Realteil, 84

Ohm’sches Gesetz, 199 ohmscher Widerstand, 198 Originalraum, 191 Orthogonalitätsbedingungen, 166 Orthogonalitätsrelationen, 167 Ortsfunktion, 260, 284, 285

P.d.v.K., 56, 60, 61, 64, 66, 69, 269 P.d.v.V., 56, 57, 71 partielle DGL, 259, 284 Partikuläranteil, 134 partikuläre Lösung, 90, 92–94, 96, 104 Pendel, 211 Pendelbewegung, 36 Periodendauer, 118 periodische Anregung, 118, 121 periodischer Vorgang, 118 Phasenverschiebung, 20, 85, 104 Phasenverschiebungswinkel, 90 physikalische Koordinaten, 145, 171 physikalisches Pendel, 211 Planetengetriebe, 25 Planetenrad, 25 Planetenradtr¨ager, 25 Polarkoordinaten, 9 Polpaarzahl, 206 Primärmasse, 196 Primärschwingung, 139 Prinzip der virtuellen Arbeit, 198 Prinzip der virtuellen Kräfte, 56 Prinzip der virtuellen Verrückungen, 56 Prisma, 28 Produktansatz, 263 proportionale Dämpfung, 176 Querkraft, 67, 258

Sachverzeichnis Reifeneinfederung, 150 Relativbeschleunigung, 11 Relativbewegung, 23 Relativgeschwindigkeit, 10 Residualschwingung, 139 Residuum, 139 Resonanz, 91, 99–101, 106, 111, 233, 239, 275 mit Dämpfung, 105, 107 ohne Dämpfung, 105, 107 Resonanzdrehzahl, 249 Resonanzdurchfahrt, 107, 238, 244, 280 Resonanzstelle, 91 Restschwingung, 139 Restunwucht, 232 rheonom, 57 Rotor, 134, 203, 211, 213, 216–219, 222, 223, 225–228, 230, 231, 241, 246, 249, 255, 269, 291, 296, 299, 301 elastisch gelagert, 233 frei von Unwuchten, 222 freigeschnitten, 216 mit Ausgleichsmassen, 225 mit dynamischer Unwucht, 213 mit Massenexzentrizität, 211 mit Restunwucht, 232 nicht rotationssymm., 216 scheibenförmig, 235 starr, 216 starr gelagert, 219 unsymmetrisch, 216 unterkritisch, 216 walzenförmig, 213 Rotorachse, 218 Rotorelement, 271 Rotorhauptachse, 213 Rotorlagerung, 233 Rotormodell, 236 Rotorstrom, 204 Rotorsystem, 233 Ruck, 36, 40 Satz von Steiner, 49, 248 Schleifengleichung, 36 Schnittlasten des Balkens Biegemomente, 60

353 Normalkraft, 60 Querkräfte, 60 Torsionsmoment, 60 Schnittprinzip, 45, 294 Schraubenlinie, 8, 46 Schubdurchsenkung, 62 Schubkurbelgetriebe, 34, 121 Schubmodul, 285 Schubsteifigkeiten, 61 Schubverformung, 61 Schwerpunktsatz, 45–47, 55, 80, 95, 147, 148, 151, 184, 198, 201, 216, 235, 242, 258, 274, 276 Schwerpunktsexzentrizität, 53, 95, 211 Schwinge, 36 Schwingendrehwinkel, 38 Schwingerkette, 147 Schwingkreis, 198 Schwingungsantwort, 88, 90, 91, 94, 96, 98, 100, 104, 105, 110, 113 Schwingungsisolation, 112, 116, 117 aktive, 113 passive, 117 Schwingungsmodell, 105 Schwingungstilgung, 194 Seitenführungskraft, 46 Simulation, 131, 206, 236, 239, 244, 246, 256, 298 Simulationsmodell, 223 simultane Vektoriteration, 51, 169 skleronom, 57 Sonnenrad, 25 Spannungsdifferentialgleichungen, 205 Spannungsunterbrechung, 208 Spektralfunktion, 140 Spektralmatrix, 167 Spektrum diskretes, 140 Sprungfunktion, 131 Sprunghöhe, 131 Störfunktion, 97 Störgrößen, 81 Störkräfte, 225 Stab, 11, 283 Starrk¨orperdrehung, 7 Starrkörper, 245 Starrkörperdrehung, 244, 285

354 Starrkörperdrehwinkel, 298 Starrkörperverschiebung, 261 stationär, 233 stationäre Lösung, 134 statisch unbestimmt, 64 statisch Unbestimmte, 67 statische Ruhelage, 82, 162, 177, 184, 194, 237 Stator, 134, 203 Statorspannung, 205 Statorstrom, 204 Statorwicklung, 206 Steg, 25 steifes System, 299 Steifigkeiten, 70 Steifigkeitsmatrix, 70 Steifigkeitsmatrix, 145 Stirnradgetriebe, 58 Stirnradstufe, 293, 294 Stoßfunktion, 40 Stoßanregung, 254 Streckenlast, 258 Strom, 135, 199 Superposition, 67 Tangentenneigung, 63, 67, 69, 71 Tilger, 196 dämpfung, 197 frequenz, 196 masse, 196 steifigkeit, 196 Torsion, 7 einer Raumkurve, 7 kreiszylindrischer Stäbe, 283 Torsionseigenfrequenz, 283, 289, 296 Torsionselement, 285–287, 289 torsionskritische Drehzahl, 296, 297 Torsionsmoment, 285 Torsionsschwingungsmodell, 285 Torsionsstab, 284, 287, 288 ungefesselt, 284 Torsionssteifigkeit, 61 Torsionsstrang, 298 Trägheitsmatrix, 48, 51, 214 Trägheitstensor, 48 Tragwerk, 192 Tragwerkselement, 257, 269

Sachverzeichnis Transferfunktion, 191 Transformation orthogonal, 12 Transformationsmatrix, 13 Transformationsvorschrift, 13 transiente Anregung, 134, 139 Antwort, 134 Belastung, 135 Funktion, 140 Vorgänge, 134 Translationen, 12 Translationsbeschleunigung, 6 transversal, 258 überkritisch, 101, 251, 298 Übersetzungsverhältnis, 294 Übertragungsfaktor, 111, 116 ¨ Ubertragungsfunktion, 19 Übergangsbedingungen, 266 Übertragungsfunktion, 90, 93, 114, 116, 189 ¨ Ubertragungsgetriebe, 27 ¨ Ubertragungsverhalten, 18 Umfangsgeschwindigkeit, 22 umlauff¨ahig, 39 umlauffrequent, 222 Umlaufkreisfrequenz, 221 unterkritisch, 101, 216 Unwucht, 53, 54, 114, 247 dynamische, 213, 215 statische, 211, 217, 218 Unwuchtmasse, 54, 211 Verdrehung, 283 Verlust, 205 Vertikaldynamik, 150 Verzerrungen des Balkens Dehnung, 61 Drillung, 61 Krümmungen, 61 Schubwinkel, 61 Vibrator, 109 virtuelle Arbeit, 56, 149, 204 Drehwinkel, 295 Formänderungsarbeit, 61

Sachverzeichnis Kraft, 60 Schnittlasten, 60 Verformung, 181 Verformungszustände, 192 Verrückung, 180 Verrückungen, 235, 295 Verschiebung, 57, 149 viskoeleastisches Materialgesetz, 274 viskose Dämpfung, 80 Volumen, 45 Wasserturbine, 296 Wechselstromkreis, 199 Welle, 18, 134, 211, 257, 283 Wellendurchstoßpunkt, 213, 250 Wicklung, 203

355 Wicklungsmodell, 203 Widerstand, 203 Winkelgeschwindigkeit, 6 Winkelhebel, 127 Wirkwiderstand, 199 Zahnradstufe, 293, 294 Zeitbereich, 140 Zeitfunktion, 259, 284 Zeitliniendiagramm, 250 Zeitreihe, 140, 303 Zentrifugalkraft, 47 Zentripetalbeschleunigung, 6, 211 Zentrum, 25 Zugspannung, 12 Zylinder, 214

B

Symbole

A, A, Aij A∗ A Schub a, a0 , a j j = 1, · · · , ∞ a, a b, b b j j = 1, · · · , ∞ C, c, ck c D , cT D, D, dij (S) (S)  (S) , D(S) D x , D y , Dz d E E·A E · I y , E · Iz G · Ip G · A Schub e, e0 et en eb ex , ey , ez er , eϕ f0 , f f , fi  F F, FA , F (stat) , F (zent) , F (gyro) G gˆ ij G g, g(t) H, h ij h

: Fl¨ache, Amplitude, Koeffizientenmatrix, Zustandsmatrix : komplexe Konstante : Schubfl¨ache : Konstante, Fourierkoeffizienten : Beschleunigungsvektor, Abstandsvektor, Beschleunigung : Abstandsvektor, Abstand : Konstanten, Fourierkoeffizienten : Kapazit¨at, Abstand, Federkonstante, Konstanten : Drehfederkonstante : D¨ampfung, D¨ampfungsgrad, D¨ampfungsmatrix : Drallvektor, Drall bez¨uglich Schwerpunkt : Abstand : Elastizit¨atsmodul, kinetische Energie : Dehnsteifigkeit : Biegesteifigkeiten : Torsionssteifigkeit : Schubsteifigkeit : Exzentrizit¨at : Tangenteneinheitsvektor : Normaleneinheitsvektor : Binormalenvektor : Basisvektoren : mitdrehende Basisvektoren : Eigenfrequenz, Frequenz : Lastvektor, Anregungsvektor : Kraftvektor : Kraft, Lagerreaktion, statische, kinetische infolge Zentrifugalkraft, Kreiselwirkung : gyroskopische Matrix : Elementkreiselmatrix : Schubmodul : Erdbeschleunigung, Gewichtsfunktion : Nachgiebigkeitsmatrix : Gangh¨ohe

342 

g(x) · h(x) · dx It Ip I y , Iz I i Jx , Jy , Jz Jxy , Jxz , Jy z Jp ka , ki k1 , k2 l L L m M, m ij mˆ ij , m ije mˆ rot ij mˆ Lij Mt M y , Mz  M dm N n P(λ) Q q0 Q y, Qz Q i , i = 1, . . . , n qi , i = 1, . . . , n R, Rij R, r r rx , r y , rz s s ds S, sij sˆij , sije sˆLij T, Tij T , T(t)

B. Symbole : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Integral der Arbeitsausdr¨ucke Torsionsfl¨achenmoment 2. Ordnung polares Fl¨achenmoment 2. Ordnung Fl¨achenmomente 2. Ordnung Impulsvektor elektrischer Strom axiale Massentr¨agheitsmomente Deviationsmomente polares Massentr¨agheitsmoment D¨ampfungsparameter, innere, a¨ ußere Kreuzarmvektor L¨ange, Abmessung Laufgrad, Lagrangesche Funktion, Induktivit¨at Induktivit¨atsmatrix Masse Massenmatrix Elementmassenmatrix, finite Elementdrehtr¨agheitsmatrix, finite Elementeinzelmassenmatrix, finite Torsionsmoment Biegemomente Momentenvektor Massenelement Normalkraft Drehzahl charakteristisches Polynom elektrische Ladung Belastungsintensit¨at Querkr¨afte generalisierte Kraft generalisierte Koordinaten Transformationsmatrix Radius, ohmscher Widerstand, D¨ampfungskoeffizient Ortsvektor Koordinaten des Ortsvektors Stromvektor Bahnkurve, Weg Bogenelement Steifigkeitsmatrix Elementsteifigkeitsmatrix, finite Elementeinzelsteifigkeitsmatrix, finite Transformationsmatrix Periodendauer, Torsion einer Raumkurve, Zeitfunktion

B Symbole U u, u i u uk u v, v(x) v,v v, v Wb w, w(x) w,w X k , X(x) x, xi , xiR , xiK x, x(t) x1 , x2 , x3 X y, y(t), yh (t), y p (t) Y( f) ye f f z zp ZN α α, β, γ αi (η), i = 1, . . . , 4 β βk γ δ δij δA δW δ r δϕ, δψ  δF δFx , δFy , δFz δNx , δQ y , δQ z  δM δMt , δM y , δMz , x η, ηx , η y ηk , k = 1, . . . , 4 , Θij , H , ΘijH ϑ

343 : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

potentielle Energie Verschiebungsvektor, elektrischer Spannungsvektor Verschiebung, elektrische Spannung ¨ Ubersetzungsverh¨ altnis Dehnung Durchbiegung, Biegelinie Tangentenneigung, Kr¨ummung Geschwindigkeitsvektor, Geschwindigkeit Widerstandsmoment gegen Biegung Durchbiegung, Biegelinie Tangentenneigung, Kr¨ummung statisch Unbestimmte, Ortsfunktion Spaltenvektor, raumfest, k¨orperfest Abstand, Ortskoordinate, Funktion Hauptachsenbasis Reaktanz Ortskoordinate, Funktion, homogene, partikul¨are L¨osung Fouriertransformierte quadratischer Mittelwert Ortskoordinate Polpaarzahl Nennimpedanz Drehwinkel Kardanwinkel ¨ Amplituden-Frequenzgang, Ubertragungsfunktion Drehwinkel Eigenwerte Drehwinkel Abklingkonstante Kroneckersymbol, Einheitsmatrix virtuelle Arbeit virtuelle Form¨anderungsarbeit virtueller Verschiebungsvektor virtuelle Drehwinkel virtueller Kraftvektor virtuelle Kr¨afte virtuelle Schnittkr¨afte virtueller Momentenvektor virtuelle Schnittmomente Dehnung Abstimmung Formfunktionen, Hermite–Polynome Tr¨agheitsmatrix, im Hauptachsensystem Darboux’scher Vektor

344 κ κi , i = 1, . . . , 5 λk , λik μ, μ(x) ξ  σ τ ϕ ϕ φ χ1 , χ2 ψ ψ, ϑ, ϕ , Ψij ω,  ω K , ω H ω x , ω y , ωz ω0 ωD Ω

B. Symbole : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :

Kr¨ummung Abk¨urzungen Eigenwert(e) Spektralmatrix Gleitreibungskoeffizient, Massenbelegung Abk¨urzung Dichte Normalspannung Zeit Drehwinkel Drillung Phasenverschiebungswinkel, magnetischer Fluss Ansatzfunktionen f¨ur Torsionsdrehwinkel Drehwinkel Eulerwinkel Modalmatrix Winkelgeschwindigkeitsvektor, k¨orperfest, im Hauptachsensystem Winkelgeschwindigkeiten Eigenkreisfrequenz Eigenkreisfrequenz des ged¨ampften Systems Anregungskreisfrequenz, Umlauffrequenz

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Sachverzeichnis Abklingkonstante, 83, 161, 175, 249 Abschaltvorgang, 236, 298 Abschirmbereich, 99, 114, 117 Abstimmung, 89, 96, 101 Abtastfrequenz, 140 Abtasttheorem, 140, 141 Ähnlichkeitsbeziehungen, 199 Amplituden-Frequenzgang, 90, 95, 96, 98, 113, 114, 179, 186–188, 197 Amplitudenfaktor, 100 Anfangsbedingungen, 78, 85–87, 120, 128, 138, 146, 157, 163, 171, 188, 239 Anlaufvorgang, 135 Anlaufzeit, 207 Anlaufzeitkonstante, 207 Anregungsarten, 88, 177 Ansatzfunktion, 261, 262 Hermite-Polynome, 262 Anstiegsfunktion, 131 exponentiell, 132 linear, 132 sinusförmig, 132 Antriebseinheit, 109 aperiodisch, 134 aperiodischer Grenzfall, 86, 87 Arbeitsgleichung, 60 Arbeitsmaschine, 112 Arbeitsprinzip, 72 Asynchronmotor, 134, 203, 237, 278 dynamische Gleichungen, 203 Ausgleichsebenen, 230, 251 Ausgleichsmasse, 56, 211, 225–227, 240 Auswuchten, 223 dynamisch, 56, 223, 250 statisch, 54, 223, 250 Bahnkurve, 6, 45, 250 F¨uhrungskurve, 41

Koppelkurve, 41 Bahnparameter, 8 Balken, 257, 258, 260, 261, 268 Balkenelement, 262, 266, 274 Balkenverformungen, 61 Basisvektoren, 10 begleitendes Dreibein, 5, 6, 47 Binormalenvektor, 6 Normaleneinheitsvektor, 6 Tangenteneinheitsvektor, 6 Belastungsstoß, 135 Bernoulli-Ansatz, 259 Beschleunigungskräfte, 57 Beschleunigungsmomente, 57 Beschleunigungspolygon, 33 Beschleunigungssprung, 133 Beschleunigungsvektor, 6 Betriebsverhalten, 239 Betriebszustand, 206 Bewegungsdifferentialgleichungen, 57, 58, 77, 88, 95, 103, 145, 147, 150, 177, 198, 242, 258, 271, 290, 292, 302 Biegeebenen, 271 Biegeeigenfrequenz, 257 Biegefeder, 105, 268, 269 biegekritische Drehzahl, 269, 275–278, 280, 296 Biegelinie, 257 DGL, 258 Biegemoment, 258 Biegeresonanz, 216, 278 Biegeschwingung, 15 Biegesteifigkeiten, 61 Binormale, 47 Binormalenvektor, 7 Bleigewicht, 233 Bleikugel, 229 Bodenwelle, 150

Sachverzeichnis Bogenelement, 6 charakteristische Gleichung, 83 charakteristisches Polynom, 155 Coriolisbeschleunigung, 11 D’Alembertsches Prinzip, 57 D’Alembertsches Prinzip in der Lagrangeschen Fassung, 57, 74, 147, 149, 242, 294, 295 Dämpfer, 79 Dämpferkraft, 79 Dämpfermodell, 79 Dämpfung, 81–84, 86, 87, 91, 96, 99–101, 105, 107, 109, 113–116, 131, 135 äußere, 273 geschwindigkeitsproportionale, 257 innere, 257 viskose, 80 Dämpfungsgrad, 81, 104, 116, 120, 137, 249 Dämpfungsmatrix, 145 Darboux’scher Vektor, 7 Datenreduktion, 194 Deformationsmethode, 72, 269 Dehnsteifigkeit, 61 Deviationsmomente, 48, 49, 51 Dichte, 45 Differentialgleichung der Biegelinie, 70 direkte Lösung, 177 Drall, 48 Drallvektor, 48 Drallsatz, 45, 47, 48, 52, 53, 55, 103, 127, 151, 158, 162, 198, 235, 242, 258, 274, 283, 292, 293 Drehachse, 7 Drehdämpfung, 103, 292 Drehimpuls, 48 Drehmomentenstoß, 298 Drehpunkt, 22, 58, 103 Drehrichtungsumkehr, 25 Drehstab, 283 Drehträgheit, 258 Drehwinkel, 12 Drehwinkelamplitude, 283 Drehwinkelfunktion, 286 Drehwinkelschwankung, 298

349 Druckverlauf, 134 Durchbiegung, 60, 62, 63, 66–69 Dynamisches Grundgesetz, 45 Eigenachsen, 164 Eigenfrequenz, 81, 89, 91, 100, 104, 106, 107, 111, 112, 120, 137, 139, 140, 259, 283 Eigenfunktion, 261, 285 Eigenkreisfrequenz, 81, 85, 109, 285 des gedämpften Systems, 84, 91 Eigenschwingung, 82, 84, 86, 96, 106 Eigenschwingungsansatz, 83, 154 Eigenschwingungsform, 261, 285 Eigenschwingungsverhalten, 83, 86 Eigenvektor, 51, 52, 156, 214, 232, 299 Eigenwert, 51, 214, 261 Eigenwertgleichung, 51, 260, 285 Eigenwertproblem, 51, 163 allgemeines, 163 spezielles, 164 Einheitsverformung, 70 Einmassenschwinger, 101, 110, 113, 119, 120, 130, 134, 135, 139, 269 Einschaltsprung, 139 Einschwingvorgang, 129, 130, 132 Einspurmodell, 150 Einwirkzeit, 142 elektrische Ladung, 201 elektrische Spannung, 199 elektrischer Schwingkreis, 199 Elektromotor, 233, 280 Ersatzmodell, 203, 237 Ersatzsystem, 246 Ersatzwicklung, 203 Euler, 15 Eulerwinkel, 12, 53 Eulersche Beziehung, 84 Eulersche Kreiselgleichungen, 52, 53, 55, 217, 242 Exzenter, 109 Exzentrizität, 53, 216, 227 F¨uhrungsgeschwindigkeit, 23 F¨uhrungsgetriebe, 28 Fahrzeugmodell, 150 Fahrzeugschwingungsmodell, 150

350 Faltungsintegral, 129 FE-Modell, 290, 292 Feder, 79 Federkraft, 79 Fliehkraft, 54, 112, 221 Fliehkraftanregung, 88, 95, 96, 100, 110, 113, 233, 237, 239, 273, 279 Formänderungsarbeit, 60 Formeln von Frenet, 8 Fourier, 118 Kosinustransformation, 140 Sinustransformation, 140 Fourierintegral, 140 Fourierkoeffizienten, 118, 119 Fourierreihe, 119 Fourierspektrum, 119 Fouriertransformation, 140, 141 inverse, 140 schnelle FFT, 140 Freiheitsgrad, 15, 57, 79, 145, 233, 257, 291 Fremderregung, 88 Frequenzbereich, 139, 140, 142 Frequenzspektrum, 140 Fußpunktanregung, 80, 112, 147, 150, 151 über Dämpfer, 88, 95 über Feder, 88, 94, 96 über Feder und Dämpfer, 88, 100, 114 Gangpolbahn, 25 gefederte Masse, 150 Gelenk, 28 Drehgelenk, 28 Drehschubgelenk, 28 Schiebest¨uck, 28 Gelenkmechanismus, 29 Gelenkviereck, 36 generalisierte Amplitude, 189 Dämpfung, 172 Koordinaten, 57, 74, 171, 202, 204, 262, 286, 299 Kraft, 74 Masse, 167 Steifigkeit, 167 Generator, 296 Geschwindigkeitspolygon, 32

Sachverzeichnis Geschwindigkeitssprung, 133 Geschwindigkeitsvektor, 5 Geschwindigkeitsverteilung, 24 Gestell, 28, 109, 112, 184 gestreckte Lage, 40 Getriebe, 28 ebenes, 28 r¨aumliches, 28 sph¨arisches, 28 Gewichtsfunktion, 130 Gleichlaufschwankungen, 283 Gleitstein, 46 Glieder, 28 bin¨ar, 28 Pendelst¨utze, 28 quatern¨ar, 28 tern¨ar, 28 Grenzfrequenz, 141 Grundsystem, 68 gyroskopische Kräfte, 219 gyroskopische Matrix, 255 Halbsinusstoß, 142 geglättet, 143 Hammerschlag, 142 Hauptachse, 52 Hauptachsensystem, 51, 52, 55, 214, 270 körperfest, 52 Hauptachsentheorem, 51 Hauptachsentransformation, 51 Hauptankerwicklung, 206 Hauptfeldreaktanz, 206 Hauptinduktivität, 203 Hauptträgheitsmomente, 51, 214 Hochlauf, 233 instationär, 206, 249 Hohlrad, 25 Hohlzylinder, 213 homogene Lösung, 84, 87, 90, 98, 106, 134 Hubschwingung, 150 Hubwerk, 58 Hydraulikzylinder, 134 Hypermatrix, 146 Imaginärteil, 84 Impedanz, 206 Impuls, 45, 143

Sachverzeichnis Impulsantwort, 139 Impulsdauer, 139 Induktionsgesetz, 199, 204 Induktivität, 198 instationär, 233 Integraltransformation, 139 Jacobi-Verfahren, 51, 168, 214 Kapazität, 198 Kardangelenk, 18, 283 Kardanwinkel, 12, 53 Kegelstumpf, 246, 251 Massenträgheitsmomente, 248 Schwerpunktskoordinaten, 248 Kennlinien, 208 kinematische Kette, 28 Kippmoment, 135 Kirchhoffsche Regel, 199 Knoten, 262, 267 Knotenlinie, 16 Knotenverformungen, 270 Kolben, 128 komplexe Ergänzung, 92, 94 komplexe Konstante, 94 komplexe Lösung, 94 Kompressionshülse, 296 konservatives Ersatzsystem, 175 konservatives System, 74 Kontaktkraft, 294 Kontinuum, 257, 261, 269, 283 schwingendes, 257 Koordinatenschreibweise, 152 Koordinatensystem gedreht, 12 k¨orperfest, 5, 12, 14 raumfest, 5, 12 Koppeldrehwinkel, 36 Koppelgetriebe, 27, 121 Korrekturmasse, 232 Kr¨ummung, 6 Kr¨ummungsmittelpunkt, 6 Kräftepaar, 223 Kraftanregung, 88, 91, 93, 94, 96, 105, 109, 120 halbsinusförmig, 135 harmonisch, 101, 106, 108, 109

351 sprunghaft, 128 Kraftgrößenverfahren, 64 Kraftsprung, 130 Kraftstoß, 142 Kreisbewegung, 6 Kreiseleinfluss, 255 Kreiselkräfte, 219 Kreiselkraftkomponenten, 223 Kreiselmomente, 213, 216 Kreiselterme, 244 Kreiselwirkung, 228, 269, 280 Kreuzarme, 18 Kriechen, 86 Kriechvorgang, 87 kritisch, 101 kritische Drehzahl, 233, 249 Kupplung, 296 Kurbel, 36 Kurbeldrehwinkel, 122 Kurbelschleife, 124, 125 Kurzschluss, 210 Lagerdrücke dynamische, 219 kinetische, 230 Lagerkräfte kinetische, 227 Lagerreaktionen kinetische, 53, 88, 95, 211–215, 217 statische, 214, 221, 223 Lagewinkel, 227 Lagrangefunktion, 74 Lagrangesche Bewegungsgleichungen, 74, 202, 242, 262, 266, 286 Last, 239 Lastcharakteristik, 244 Laufgrad, 29 Laufqualit¨at, 36 Laufqualität, 223 Leistung, 206 Leistungsbilanz, 205 Linienspektrum, 141 Luftspaltmoment, 134, 205 Masche, 199 Maschengleichungen, 199 Massenausgleich, 230, 250

352

Sachverzeichnis

Massenelement, 45, 47, 283 Massenexzentrizität, 100, 212, 257 Massenmatrix, 145 Massenträgheitsmomente, 48–50, 52 Massenverteilung, 213 Mechanismus, 28 Messgerät, 112 Methode der Finiten Elemente, 267 Modalanalyse, 172, 280 modale Abklingkonstante, 173 Analyse, 189 Berechnungsverfahren, 167 Dämpfung, 173, 275 Dämpfungen, 175 Massenmatrix, 167 Methoden, 145 Parameter, 280 Steifigkeitsmatrix, 167 Transformation, 171, 175, 280, 281, 299 modales Rechenmodell, 275 System, 299 Modalmatrix, 156, 168, 175, 279, 302 Modellbildung, 79, 149 Momentanpol, 24, 26 Momentanzentrum, 24 Momentenunwucht, 211, 213, 217 Motor, 239, 278 Motorwelle, 134, 278

Ortsvektor, 5

Nachgiebigkeiten, 69 Nachgiebigkeitsmatrix, 69 Nennzustand, 135 Netzfrequenz, 134 nichtperiodische Anregung, 128 Nickschwingung, 150 Nickwinkel, 150 Nyquist-Frequenz, 141

Rädergetriebe, 294 Radaufstandskraft, 151 Radialbeschleunigung, 12 Radmodell, 234 Radnabe, 239 Radzentrum, 239 Rampe, 302 Randbedingungen, 260, 267, 273, 284, 286 Rastpolbahn, 25 Raumkurve, 6, 7, 46 Parameterdarstellung, 7 Reaktanz, 206 Reaktionsprinzip, 148 Realteil, 84

Ohm’sches Gesetz, 199 ohmscher Widerstand, 198 Originalraum, 191 Orthogonalitätsbedingungen, 166 Orthogonalitätsrelationen, 167 Ortsfunktion, 260, 284, 285

P.d.v.K., 56, 60, 61, 64, 66, 69, 269 P.d.v.V., 56, 57, 71 partielle DGL, 259, 284 Partikuläranteil, 134 partikuläre Lösung, 90, 92–94, 96, 104 Pendel, 211 Pendelbewegung, 36 Periodendauer, 118 periodische Anregung, 118, 121 periodischer Vorgang, 118 Phasenverschiebung, 20, 85, 104 Phasenverschiebungswinkel, 90 physikalische Koordinaten, 145, 171 physikalisches Pendel, 211 Planetengetriebe, 25 Planetenrad, 25 Planetenradtr¨ager, 25 Polarkoordinaten, 9 Polpaarzahl, 206 Primärmasse, 196 Primärschwingung, 139 Prinzip der virtuellen Arbeit, 198 Prinzip der virtuellen Kräfte, 56 Prinzip der virtuellen Verrückungen, 56 Prisma, 28 Produktansatz, 263 proportionale Dämpfung, 176 Querkraft, 67, 258

Sachverzeichnis Reifeneinfederung, 150 Relativbeschleunigung, 11 Relativbewegung, 23 Relativgeschwindigkeit, 10 Residualschwingung, 139 Residuum, 139 Resonanz, 91, 99–101, 106, 111, 233, 239, 275 mit Dämpfung, 105, 107 ohne Dämpfung, 105, 107 Resonanzdrehzahl, 249 Resonanzdurchfahrt, 107, 238, 244, 280 Resonanzstelle, 91 Restschwingung, 139 Restunwucht, 232 rheonom, 57 Rotor, 134, 203, 211, 213, 216–219, 222, 223, 225–228, 230, 231, 241, 246, 249, 255, 269, 291, 296, 299, 301 elastisch gelagert, 233 frei von Unwuchten, 222 freigeschnitten, 216 mit Ausgleichsmassen, 225 mit dynamischer Unwucht, 213 mit Massenexzentrizität, 211 mit Restunwucht, 232 nicht rotationssymm., 216 scheibenförmig, 235 starr, 216 starr gelagert, 219 unsymmetrisch, 216 unterkritisch, 216 walzenförmig, 213 Rotorachse, 218 Rotorelement, 271 Rotorhauptachse, 213 Rotorlagerung, 233 Rotormodell, 236 Rotorstrom, 204 Rotorsystem, 233 Ruck, 36, 40 Satz von Steiner, 49, 248 Schleifengleichung, 36 Schnittlasten des Balkens Biegemomente, 60

353 Normalkraft, 60 Querkräfte, 60 Torsionsmoment, 60 Schnittprinzip, 45, 294 Schraubenlinie, 8, 46 Schubdurchsenkung, 62 Schubkurbelgetriebe, 34, 121 Schubmodul, 285 Schubsteifigkeiten, 61 Schubverformung, 61 Schwerpunktsatz, 45–47, 55, 80, 95, 147, 148, 151, 184, 198, 201, 216, 235, 242, 258, 274, 276 Schwerpunktsexzentrizität, 53, 95, 211 Schwinge, 36 Schwingendrehwinkel, 38 Schwingerkette, 147 Schwingkreis, 198 Schwingungsantwort, 88, 90, 91, 94, 96, 98, 100, 104, 105, 110, 113 Schwingungsisolation, 112, 116, 117 aktive, 113 passive, 117 Schwingungsmodell, 105 Schwingungstilgung, 194 Seitenführungskraft, 46 Simulation, 131, 206, 236, 239, 244, 246, 256, 298 Simulationsmodell, 223 simultane Vektoriteration, 51, 169 skleronom, 57 Sonnenrad, 25 Spannungsdifferentialgleichungen, 205 Spannungsunterbrechung, 208 Spektralfunktion, 140 Spektralmatrix, 167 Spektrum diskretes, 140 Sprungfunktion, 131 Sprunghöhe, 131 Störfunktion, 97 Störgrößen, 81 Störkräfte, 225 Stab, 11, 283 Starrk¨orperdrehung, 7 Starrkörper, 245 Starrkörperdrehung, 244, 285

354 Starrkörperdrehwinkel, 298 Starrkörperverschiebung, 261 stationär, 233 stationäre Lösung, 134 statisch unbestimmt, 64 statisch Unbestimmte, 67 statische Ruhelage, 82, 162, 177, 184, 194, 237 Stator, 134, 203 Statorspannung, 205 Statorstrom, 204 Statorwicklung, 206 Steg, 25 steifes System, 299 Steifigkeiten, 70 Steifigkeitsmatrix, 70 Steifigkeitsmatrix, 145 Stirnradgetriebe, 58 Stirnradstufe, 293, 294 Stoßfunktion, 40 Stoßanregung, 254 Streckenlast, 258 Strom, 135, 199 Superposition, 67 Tangentenneigung, 63, 67, 69, 71 Tilger, 196 dämpfung, 197 frequenz, 196 masse, 196 steifigkeit, 196 Torsion, 7 einer Raumkurve, 7 kreiszylindrischer Stäbe, 283 Torsionseigenfrequenz, 283, 289, 296 Torsionselement, 285–287, 289 torsionskritische Drehzahl, 296, 297 Torsionsmoment, 285 Torsionsschwingungsmodell, 285 Torsionsstab, 284, 287, 288 ungefesselt, 284 Torsionssteifigkeit, 61 Torsionsstrang, 298 Trägheitsmatrix, 48, 51, 214 Trägheitstensor, 48 Tragwerk, 192 Tragwerkselement, 257, 269

Sachverzeichnis Transferfunktion, 191 Transformation orthogonal, 12 Transformationsmatrix, 13 Transformationsvorschrift, 13 transiente Anregung, 134, 139 Antwort, 134 Belastung, 135 Funktion, 140 Vorgänge, 134 Translationen, 12 Translationsbeschleunigung, 6 transversal, 258 überkritisch, 101, 251, 298 Übersetzungsverhältnis, 294 Übertragungsfaktor, 111, 116 ¨ Ubertragungsfunktion, 19 Übergangsbedingungen, 266 Übertragungsfunktion, 90, 93, 114, 116, 189 ¨ Ubertragungsgetriebe, 27 ¨ Ubertragungsverhalten, 18 Umfangsgeschwindigkeit, 22 umlauff¨ahig, 39 umlauffrequent, 222 Umlaufkreisfrequenz, 221 unterkritisch, 101, 216 Unwucht, 53, 54, 114, 247 dynamische, 213, 215 statische, 211, 217, 218 Unwuchtmasse, 54, 211 Verdrehung, 283 Verlust, 205 Vertikaldynamik, 150 Verzerrungen des Balkens Dehnung, 61 Drillung, 61 Krümmungen, 61 Schubwinkel, 61 Vibrator, 109 virtuelle Arbeit, 56, 149, 204 Drehwinkel, 295 Formänderungsarbeit, 61

Sachverzeichnis Kraft, 60 Schnittlasten, 60 Verformung, 181 Verformungszustände, 192 Verrückung, 180 Verrückungen, 235, 295 Verschiebung, 57, 149 viskoeleastisches Materialgesetz, 274 viskose Dämpfung, 80 Volumen, 45 Wasserturbine, 296 Wechselstromkreis, 199 Welle, 18, 134, 211, 257, 283 Wellendurchstoßpunkt, 213, 250 Wicklung, 203

355 Wicklungsmodell, 203 Widerstand, 203 Winkelgeschwindigkeit, 6 Winkelhebel, 127 Wirkwiderstand, 199 Zahnradstufe, 293, 294 Zeitbereich, 140 Zeitfunktion, 259, 284 Zeitliniendiagramm, 250 Zeitreihe, 140, 303 Zentrifugalkraft, 47 Zentripetalbeschleunigung, 6, 211 Zentrum, 25 Zugspannung, 12 Zylinder, 214