Manual De Formulas Y Tablas Matematicas

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MANUAL DE FÓRMULAS ’ Y TABLAS MATEMÁTICAS I / ,.’ Mur.rayA. S p i e g e l \

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0

.dmas elementales como álgebra, g,cometría, trigonometría, geometría analítica y cá~blo. ntiene un conjunto de fórmulas y t@lilas matemáticas de gran utilidad práctica. Incluye definiciones, teoremas, gráficas y diagramas para la correcta comprensión y aplicación de las fórmulas.

MANUAL DE FORMULAS Y TABLAS MATEMATICAS 2 400 FORMULAS Y 60 TABLAS MURRAY R. SPIEGEL, Ph. D. Profesor de Matemáticas del Rensselaer Polytechnic Znstitute

l

TRADUCCION

ORLANDO

Y ADAPTACIÓN

GUERRERO

RIBERO

Químico de la Universidad de Alaska

McGRAW-HILL MÉXICO. BUENOS AIRES . CARACAS . GUATEMALA LISBOA l MADRID l NUEVA YORK l PANAMÁ l SAN JUAN SANTAFÉ DE BOGOTÁ l SANTIAGO l SAO PAULO AUCKLAN l HAMBURGO l LONDRES l MILÁN l MONTREAL NUEVA DELHI l PARíS l SAN FRANCISCO. SINGAPUR ST. LOUIS l SIDNEY. TOKIO l TORONTO

,

MANUAL DE FÓRMULAS Y TABLAS MATEMÁTICAS Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor DERECHOS RÉSERVADOS 0 1991-1968, respecto a la primera edición en español por McGRAW-HILLIINTERAMERICANA DE MÉXICO, S. A. de C. V. Atlacomulco 499-501, Fracc. Ind. San Andrés Atoto 53500 Naucalpan de Juárez, Edo. de México Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial, Reg. Núm. 1890

ISBN:970-10-2095-2

1

Traducido de la primera edición en inglés de SCHAUM’S OUTLINE OF MATHEMATICAL HANDBOOK OF FORMULAS AND TABLES Copyright 0 MCMLXVIII, by McGraw-Hill, Inc., U. S. A. ISBN o-07-060224-7 1203456789

P.E-91

Impreso en México Esta obra se termino de Imprimir en Aaosto de 1998 en Prógramas Educativos S. A. de C. V. Calz. Chabacano No. 65-a Col. Asturias Delegación Cuauhtémoc C P. 06850 México, D. F Empresa Certificada por el Instituto Mexicano de Normalización y Certificación A. C. bajo la Norma ISO-9002: 1994/NMX-CC04: 1995 con el Núm. de Registro RSC-048

Se tiraron 1800 ejemplares

9076543216 Printed in Mexico

PROLOGO

El objeto de este manual es el de presentar un conjunto de fórmulas y tablas matemáticas que seguramente serán de valor para los estudiantes e investigadores en materias como las matemáticas, física, ingenieria y otras. Para cumplir este propósito, se ha tenido el cuidado de escoger aquellas fórmulas y tablas que puedan ser de mayor utilidad practica prescindiendo de las fórmulas altamente especializadas que raramente se emplean. No se ha ahorrado esfuerzo para presentar los datos y fórmulas en forma precisa a la vez que concisa para que se puedan encontrar con la mayor confianza y facilidad. Los temas tratados oscilan desde los elementales hasta los avanzados. Entre los temas elementales figuran el álgebra, la geometría, la trigonometría, la geometria analítica y el cálculo. Entre los temas avanzados, figuran las ecuaciones diferenciales, el análisis vectorial, las series de Fourier, las funciones gamma y beta, las funciones de Bessel y de Legendre, las transformadas de Fourier y de Laplace, las funciones elípticas y algunas otras funciones especiales importantes. Este amplio contenido de temas ha sido acogido con el fin de poder proporcionar, en un solo volumen, la mayor parte de los datos matemáticos importantes de utilidad para el estudiante o investigador, cualquiera que sea su área particular de interés o su nivel de aprendizaje. Este libro está dividido en dos partes principales. En la parte 1 están contenidas las fórmulas matemáticas al tiempo que se tratan otros asuntos tales como definiciones, teoremas, gráficas diagramas, etc., que son esenciales para la correcta comprensión y aplicación de las fórmulas. En esta primera parte figuran además amplias tablas de integrales y transformadas de Laplace que pueden ser de gran valor para el estudiante o investigador. La parte II contiene tablas numéricas tales como los valores de las funciones elementales (trigonométricas, logaritmicas, exponenciales, hiperbólicas, etc.) así como también de las funciones de carácter avanzado (de Bessel, de Legendre, elípticas, etc.): Las tablas numéricas correspondientes a cada función se presentan por separado con el objeto de evitar confusiones, especialmente para el principiante en matemáticas. Así por ejemplo, las funciones seno y coseno para ángulos en grados y minutos se presentan en tablas separadas más bien que en una sola tabla, lo cual evita al estudiante el tener que preocuparse acerca de la posibilidad de incurrir en algún error por no buscar en la columna o fila apropiadas. Deseo expresar mis agradecimientos a los diversos autores y editores por haberme otorgado el permiso de tomar datos de sus libros para emplearlos en varias de las tablas de este manual. Las referencias apropiadas aparecen junto con las tablas correspondientes. Me hallo especialmente agradecido del redactor, del extinto Sir Ronald A. Fisher, F. R. S., del Dr. Frank Yates, F. R. S., y de Oliver and Boyd Ltd., Edimburgo, por el permiso para emplear datos de la tabla III de su libro Statistical Tables for Biological, Agricultura1 and Medical Research. Deseo además expresar mi gratitud a Nicola Monti, Henry Hayden y Jack Margolin por su magnífica cooperación editorial. M. R. SPIEGEL

TABLA DE MATERIAS

Página 1.

2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Constantes notables . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

Productos y factores notables . . . . . . . . . . . . . . . . Fórmula del binomio de Newton y coeficientes binomiales Fórmulas geométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . Números complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones exponenciales y logarítmicas . . . . . . . . Funciones hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . Soluciones de las ecuaciones algebraicas . . . . . . . .

10.

Fórmulas de geometria analítica plana . . . . . . . . .

ll.

Curvas planas notables . . . . . . . . . . . . . . . . .

13.

Fórmulas de geometría analítica del espacio . . . . . . Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14.

Integrales indefinidas . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15. 16.

Integrales definidas . . . . . . . . . . . . . . . . . . La función Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12.

17.

La función Beta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18.

Ecuaciones diferenciales básicas y sus soluciones . . .

19.

Series de constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20. 21. 22.

Series de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30.

Series de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31.

Números de Bernoulli y de Euler . . . . . . . . . . . . Fórmulas de análisis vectorial . . . . . . . . . . . . .

Funciones de Legendre . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones asociadas de Legendre . . . . . . . . . . . . Polinomios de Hermite . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios de Laguerre . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios asociados de Laguerre . . . . . . . . . . Polinomios de Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fun ciones .. hipergeometricas

1 2 3 5 ll 21

23 26 32 34 40 46 53 57 94 101 103 104 107 110 114 116 131 1 3 6 146 149 1 5 1 153 1 5 5 157 1 6 0

TABLA DE MATERIAS

Transformadas de Laplace

33.

Transformadas

34.

Funciones

elípticas

35.

Funciones

notables

36.

Desigualdades

37. 38.

Desarrollos en fracciones parciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Productos infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39.

Distribuciones

40.

Momentos de inercia importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Factores de conversión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41.

de

1 7 4

Fourier

1 7 9 diversas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

probabilidad . . . .

de

161

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

185 187 188

189 190

192

194

Ejemplos de problemas para ilustrar el uso de las tablas . . . . . . . . . . . 1.

183

Logaritmos comunes de cuatro cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

202

2. Antilogaritmos comunes de cuatro cifras . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Sen x (x en grados y minutos) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204

4 .

Cos x

m i n u t o s )

207

5.

T a n

m i n u t o s )

208

( x x

e n

( x

g r a d o s

e n

y

g r a d o s

y

206

6. Cot x (x en grados y minutos)

209

7 . Sec x ( x e n g r a d o s y m i n u t o s )

210

8.

Csc x (x en grados y minutos)

211

9.

Funciones

212

1 0 . ll.

trigonométricas

logsenx

naturales

(en

radianes)

216

(xengradosyminutos)

218

12.

logcosx(x en grados y minutos). l o g t a n x ( x e n

m i n u t o s )

220

13.

Conversión de radianes en grados, minutos y segundos o fracciones de grado

222

14.

Conversión

223

15.

Logaritmos naturales 0 neperianos log, x 0 In x

16.

Funciones

de

grados,

g r a d o s minutos

exponenciales

ex

y

y

segundos

en

radianes

224 226 227

18a.

F u n c i o n e s e x p o n e n c i a l e s e-‘. Funciones hiperbólicas senh x

18b.

F u n c i o n e s h i p e r b ó l i c a s cosh x

230

18c.

Funciones hiperbólicas tanh x

232

19.

Factorial de n

234

17.

228

TABLA DE MATERIAS

20.

Función

21.

Coeficientes

22. 23.

Cuadrados, cubos, raíces y recíprocos . . . . . . . . . Factor de cantidad compuesta: (1 + r)” . . . . . . . . . . . . . : . . . . . . . . . . . . . . . . . Factor de valor presente: (1 + r)-” . . ( 1 + r)” - 1 Factor de cantidad compuesta para series uniformes -.-.---r 1- (1 + r)-” . . . . Factor de valor presente para series uniformes r Funciones de Bessel J,(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24. 25. 26. 27. 28. 29.

Gamma . . . . . . . . . . . . . . . binomiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Funciones de Bessel JI (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

235 236 238 240 241 242 243 244 244

Funciones de Bessel Y, (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel Y,(x) . . . . . . . . . . . . . . , . . . . . . . . . . . .

245

30. 31.

Funciones de Bessel Z,(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246

32.

Funciones de Bessel Z,(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel K,(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel K, (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246

Funciones de Bessel Ber (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel Bei (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

246 246 249

39.

Funciones de Bessel Ker (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Funciones de Bessel Kei (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores aproximados de las funciones de Bessel por igualación a cero . . . . . .

40.

Integrales exponencial, de seno y de coseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

251

41. 42.

Polinomios de Legendre P, (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polinomios de Legendre P, (cose) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

252 253

43. 44.

Integrales elípticas completas de primera y segunda especies . . . . . . . . . . .

264

Integral elíptica incompleta de primera especie . . . . . . . . . . . . . . . . .

255

45. 46.

Integral elíptica incompleta de segunda especie . . . . . . . . . . . . . . . . . .

255

Ordenadas de la curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Areas bajo la curva normal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

256

33. 34. 35. 36. 37. 38.

47. 48. 49. 50. 51.

245

247 247

249 250

257

de la distribución t de Student . . . . . . . . . . . . . . .

258

Valores percentiles (Xi) Valores percentiles 95° de la distribución F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Valores percentiles 9 9 ° de la distribución F . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

259 260

Valores percentiles (tp)

de la distribución Ji-cuadrado . . . . . . . . . . . . .

52.

Números aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice de símbolos y notaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Indice .........................................

261 262 263 265

Parte

I

FORMULAS

EL ALFABETO GRIEGO

Alpha

A

N

Beta

B

Xi

z

Gamma

r

Omicron

0

Delta

A

Pi

n

Epsilon

E

Rho

P

Zeta

Z

Sigma

P

Eta

H

Tau

T

Theta

0

Upsilon

Y

Iota

1

Phi

= base de los logaritmos naturales

1.3

fi = 1,41421 35623 73095 0488. . .

1.4

fi = 1,‘73205

08075 68877 2935.. .

1.5

\/5 = 2,23606

79774 99789 6964...

1.6

$2 = 1,25992 1050.. .

1.7

b = 1,44224 9570. . .

1.8

@

1.9

z = 1,24573 0940. . .

1.10

er = 23,14069 26327 79269 006. . .

1.11

~9 = 22,46915 77183 61045 47342 715.. .

1.12

ec = 15,X426

1.13

log,, 2 = 0,30102 99956 63981 19521 37389. . .

1.14

log,, 3 = 0,47712 12547 19662 43729 60279. . .

1.15

log,, e = 0,43429 44819 03251 82765. . .

1.16

log,,

1.17

log, 10 = In 10 = 2,30258 50929 94046 68401 7991.. .

1.18

log, 2 = In 2 = 0.69314 71805 59946 30941 7232.. .

1.19

log, 3 = In 3 = 1,09861 22886 68109 69139 5245.. .

1.20

y = 0.67721 66649 01532 86060

n

= lJ4869

8355.. .

22414 79264 190.. .

?r = 0,49714 98726 94133 85435 12683...

= ;lml

6512..:

= constante de E’okr

1 +; + 5 + . *. ++ln ( >

1.21

ey = 1,78107 24179 90197 9852.. .

1.22

fi = 1,64872 12707 OO128 1468.. .

1.23

\r,

= r( &)

[ v é a s e 1.20]

= 1,77245 38509 05516 02729 8167..

donde r denota la función gamma [véanse las páginas

1.24

r(;) = 2.67893 85347 07748...

1.25

r())

1.26

1 radián

1.27

lo

= 3,62560

99082 21908...

= lSO"/li

= r/180

101.1021.

= 57,29577 95130 8232.. .’

radianes = 0,01745 32925 19943 2957.. radianes

2.1 2.2

(x - y)2 = 22 - 2zy + y2

2.3 2.4

ix + y)3 = ti + 322~ + 3~9 + (x - 1/)3 = 23 - 3Gy + 3~~2 -

2.5

(x + 2/)’ = x’ + 4zSy + 6~2~2

(x + y)2 = 22 + 22y + 112

2.6 2.7 2.8

= (x+u)5 = (z--g)*

x4 z5

2/3 ~3

+ 2/4 - 4x3~ + 6&'y3 - 42~3 + y' + 524~ + 10~3~2 + 10~3~3 + 52~4 + ~5 + 42~3

- io+3 + 5~4 - 2/5 (x+11)6 = x6 + 625~ + 15+/2+ 2023~3 + 15cc2y4 + 6z1P + us (x-y)6 = x6 - 625~ + 1624y2 - 20~3~3 + 15z2@ - 6w5 + uB (x-u)5 = ~5 - 5+ + 10~3~2

2.9 2.10

Los resultados anteriores constituyen casos especiales de’ la fórmula del binomio [véase la página 31.

2.11

22

-

y2

2.12

x3

-

2/3

= (x -

2.13

23

+

y3

= (2 +

2.14

24

-

214

= (x - y)(x +

2.15

25 -

2.i6

25

2.17

2-6 - ya = (2 - y)(x +

2.18

x4

2.19

x’ + 4fl =

+ +

= (2: - uN* + Y)

y5

y5

Acontinuacih entero positivo.

2.20

2.21

2.22

2.23

= (x -

+

y4

y2) g2)

=

r)(z2

+

1/)(04

= (x + 1/)(x'

&y2

+ xy +

- xy +

v)(z2 1/)(22

-

x3y

z3y

y)(z2

(22

+

2/2)

+

.2y2

+

zy3

+

y’)

+ x2$ - xy3 + 1p) + xy +

1/2)(22

- zy + Y2)

+ xy + 2/2)(x2 - xy +

1/2)

(22 + 2xy + 2y2)(22 - 2zy + 2Y2)

se dan algunas formas generales de las factorizaciones anteriores, donde n representa un número

Sin=1,2,3,...

el factorial de n se define asi

3.1

n! =

1.2.3.....~

Por otra parte, el factorial de cero se define asi

-3.2

O!

= 1

Si n = 1,2,3, . . . entonces

3.3

(CC+@

x” + nxn-ly

=

+ e+-3va

+

n(n-3!(n-2)2*-3y3

+ . . . + 2/”

El desarrollo anterior es llamado fórmula del binomio. Se pueden emplear otros valores de n y entonces tenemos una serie infinita [véase series binomiales. página 1101.

La fórmula 3.3 se puede escribir también

3.4

(x+21)”

=

2” + (;)Ply

+ (;)x.-%2

+ (;)am/3 + ... + (;)v

donde los coeficientes, llamados coeficientes binomiales, están dados por

3.5

n 0k

= n(x-l)(n-2)...(n--k+l) k!

3

= n

! k!(n-k)! =

I

4

3.6

LA FORMULA DEL BINOMIO

Y

COEFICIENTES

BINOMIALES

(k) +(&) = (2:) La anterior expresión conduce al triángulo de Pascal [véase la página 2361.

3.7

(0) + (:) + (3 + ‘.’ + (n) =

3.8

(ng) - (;) + (;) - . ..(-1.(n) = 0

3.9

(n> + (“Zl) + (n;2) + ... + (“ny = (-yy)

3.10

(;>

3.11

(;) +

3.12

(;>’ + (;>” + (;>‘+ ... + (n)’ = (?>

3.13

(T>(P) + (X 1) + .** + (P$) = (“P”)

+

(2)

+

(;) +

(4)

+

...

=

2n-1

(;) +

..’

=

2*-l

2”

3.14

3.15

3.16

(2,+2*+.*.+4” chde la suma, P comprende n, + n2 + . . + Ilp = n.

=

q+*yi..

n,!

*“142..

1

.zp “P

tdos los enteros no negativos n,, n2, . . , nP para ios cuales I

4.1

Area = a b

4.2

Perímetro = 2a + 2b b Fìg. 4-1

4.3

Area = bh = ab sen d

4.4

Perímetro

= 2a+2b b Fig. 4-3

4.5

Area = +bh = Jab sen B = \/a(a - a)(a - b)(s - c) donde

8 = #O + b +

C)

= semiperímetro b Fig. 4-3

= a+b+c

4.6

Perímetro

4.7

Area = &h(a

4.0

Perímetro

+ b)

= a+b+h

)

= a + b + h(csc e + esc +)

b Fig. 4-4 5

.

FOHMt’LAS

6

4.9

Area

4.10

Perímetro =

GEOMETRICAS

co9 (ah) = @b2------sen (nln)

= &nb? cotz n b

Fig. 4-5

4.11

Area

4.12

Circunferencia = Sr

= UY*

Fig. 4-6

4.13

Area

4.14

Longituddelarco

=

[e en radianes)

trze 8

r

= ~-6

*

8 Aa 9. Fig. 4-7

4.15

t-=

,/8(8 - cZ)(S - b)(s - C) 8

donde 8 = &a + b -k c) = semiperímetro b Fig. 4-8

4.16

R = donde

abc 4\/8(8 - a)(8 - b)(8 - C)

8 = .&(a + 6 + c) = semiperímetro

Fig. 4-9

.

FORMULAS

4.17

360° Area = *nr2 s e n c = +w2 sen-ñ

4.18

Perímetro

=

2nr~4.31:

=

2nr

7

GEOMETRICAs

180° seny

Fig. 4-10

4.19

Area

= nrOtant

4.20

Perímetro

4.21

Area de la zona sombreada = +t9 (0 - sen e)

=

= n@

2nrtani

~ZIII~ =

Pm-tan5

Fig.

4.22

A r e s

= uab

4.23

Perímetro

=

4a

=

2adpT5

donde

k = d-fa.

Area

4.25

Longitud del arco ABC

=

1 - k2 sen2 (Y de I

[aproximadamente]

Véase las tablas numéricas de la página 254.

4.24

4-12

Fig. 4-13

jab =

@Tis+$In(

4a+@-cG b ,.aC b Fig.,4-14

8

F’ORMULAS

4.24

V o l u m e n = abc

4.27

Area

4.28

Volumen

=

de la superficie

GEOMETRICAS

2(ab + ac + bc)

= Ah = abcsen

e

Fir. 4-16

4.29

4

V o l u m e n = 3~rS

4.30

Areadelasuperficie

4.31

V o l u m e n = &h

4.32

Area

=

44

de la superficie lateral = 2rrh

pir. 4-16

4.33

Volumen

4.34

Area de la superficie

=

,+v

=

;gf$

lateral =

=

&,q

&h cse e = $ =

2wh CM: e Fig. 4-19

‘FORMULAS

4.35

Volumen

4.34

ph - -ph csc B Areade la superficie lateral = pl = s,,

= AZ

= 2 =

9

OEOMETRICAS

Ah csc e

Obsérvese que las fórmulas 4.31 a 4.34 constituyeo casos especiales.

Fig. 4-20

4.37

Volumen

4.38

Areade

4.39

Volumen =

4.40

Volumen (de la región sombreada)

4.41

Area

= &+h

la superficie lateral = r~dm

= UT¿

aAh

= &7N(3r - h)

de la superficie = 2rrh

Fig. 4-23

4.42

volumen

4.43

Area de la superficie lateral

=

@rh(a’ + ab + b*) =

a(a + b) \/hz + (b - ~$2

=

a(a+b)l

Fig. 4-44

FORMULAS

10

4.44

Ama del triángulo ABC = (A + B + C - r)r*

4.45

Volumen = )o?(e + b)(b - a)Z

4.44

Area

4.47

GEOMETRICAS

de la superficie = .Z(bz - aS)

vohnen = +abc

Fig.4.27

4.48

Volumen = frbk

El triángulo ABC tiene un ángulo recto (W’) ángulo A se definen de la siguiente manera:

en C y lados de longitud o, b, c. Las funciones trigonométricas del

5.1

cateto opuesto hipotenusa

senode

A = sen A = % = cos A = % =

cateto adyacente hipotenusa

5.3

tangentede A = tan A = f =

cateto opuesto cateto adyacente

5.4

b cotangente d e A = cotA = ; =

5.2

coseno de A =

5.5

secanrede

A

= sec A

5.6

cosecantede

A

= csc A

cateto CatetO

B

a

adyacente OpUeStO

A

hipotenusa adyacente

= i = cateto = ca -

Fig. 5-1

hipotenusa cateto opuesto

Considérese un sistema de coordenadas xy [veanse las klg. 5-2 y 5.3). Las coordenadas de un punto P en el plano xy son (x.y) con x positiva sobre OX y negativa sobre OX’, y y positiva sobre OY y negativa sobre OY’. La distancia del punto P al origen 0 es positiva y se denota por r = dm. Un ángulo A formado a partir de OX en el sentido contrario al movimiento de las manecillas del reloj es conslderado positiuo. Si el ángulo se forma a partir de OX en el mismo sentido de dicho movimiento, entonces se considera negatiuo. Se llaman eje x y eje y a X’UX y a Y’OY respectivamente. Los diferentes cuadrantes, indicados con los números romanos I, II, III, IV, son llamados respectivamente, primero. segundo, tercero y cuarto cuadrantes. Por ejemplo, en la Fig. 5-2, el ángulo A está en el segundo cuadrante, mientras que en la Fig. 5-3 está en el tercero. Y

Y II

II

1

X

X’

1

X

X’

IV

III

IV

Y’

Y’

Fig. 5-2

Fig. 5-3

. 11

12

FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS

Las funciones trigonométricas de un 4nguloA de cualquier cuadrante se definen así

5.7

senA

5.8

coa A =

5.9

tan A = y/z

5.10

cot A =

5.11

secA

= rlz

5.12

cacA

=

= ylr xlr

xly

rly

N Un mdión es aquel ángulo 8 subtendido en el centro 0 de una circunferencia por un arco MN igual al radio r. Como 2rr radianes

*

ï #

= 360° tenemos que, 0

5.12

1 radián = lEOoh

5.14

lo = r/lEO radianes = 0,174s 32925 19943 2957.. .radianes

= 57,296’77

*

95130 8232.. . o //

Fig.s-4

5.15

&A

=%!!/i

5.16

&A

=- 1

coaA

tanA 5.17

wcA = 1 coa A

5.18

cacA

=-coaA sen A

5.19

sen*A + codA

5.20

ae@ A -tan*A

=

1

5.21

cacL A - cot%A

=

1

= 1

=1 %?“A

senA

cos A

tanA

cot A

WCA

+

+

+

+

+

Oal

l a 0

Oa-

araO

l a 0

0 a -1

+ I

0 a - 1 - 1 a 0

-

CECA +

- I-~ ~ - r - 1-- +

-

a0

+

0 a - -

l

a

-

- a l

- - a - 1

lam

+

-

- 1 a 0

Oa*

- a0

- 1 a -01

-m a - 1

+

-a a 0

0 a-m

+ - a l

- 1 a-e

Oal

-

.

y

13

FIJNCIONES TRIGONOMETRICAS

-Angula A ea

Angula A

grados

radianes

OO

en

0

sen A

0 *uo-ti)

tallA

cot A

0

m

2-G

2+&

160

a/12

300

aI6

4

)\“I

6

450

rf4

?e

1

1

60°

Tl3

46

\/3

46

760

Ka/12

to+m

2+\/3

2-d

900

al2

1

-foo

0

1060

w12

)(G++)

-(z+d)

-(2-d)

1200

2~13

afi

4

-g\/3

1360

3a/4

3fi

-1

-1

1500

Sr/6

-iti

4

16S”

lW12

)\dz- \/2>

-(2-\/3)

-(Zffi)

180’

?r

0

0

-,-

1960

13~112

-*G-- fi)

2-G

2+G

2100

7~16

-4

&\/3

\/3

2260

su/4

-*VT

240”

4af3

--*ti

2660

lW12

270°

3’

1

1

6

tfi

-*(ti+ ti,

2+6

2-\/3

3~12

-1

fin

0

285”

19a/12

-ia + \/2>

-(2 + &i)

-(2 - \/3:

3000

w3

-+\/3

4

-&\/3

3150

w4

-&h

-1

-1

3300

llal

-3

-&fi

4

3460

23~112

-)G- 6,

-(Z-ti)

360°

2a

0

0

32

+ fil ?-

Las tablas de las p á g i n a s 206215 contienen los valores correspondientes a o t r o s á n g u l o s .

FUNCIONES

14

En todas las gráficas x estádado

TRIGONOMETRICAS

en radianes

Fig. 5-6

Fig. 5-5

5.24

5.25

2/ = tanx

y =

cotx

Fig. 5-8

Fig. 5-7

5.26

5.27

1/ = secx

y

=

cscx

ur Y

j\ I

-I

i-

I I

\

\ Fig. 5-9

t

n

//

Fig. 5-10

5.28

sen = -senA

5.29

cos = cosA

5.30

tan

5.31

esc = -excA

5.32

sec (-A) = secA

5.33

cot(--A). = -

(-A) = -km.4 cotA

FUNCIONES

TRIGONOMETRICAS

15

5.34

sen(AiB)

=

senA

cosB

* COSA

senB

5.35

cos(A

“B)

=

COSA

cosB

F senA

senB

5.36

tan(A

-B)

=

tanA f tanB 1 T tanA tanB

5.37

cot(A-CB)

=

cotA cotB r 1 cotA * cotB

90c -c A ECA 2-

-A

- sen

*en

A

180° +- A 772A

cos A

270’= 2 A -37 +- A 2

T senA

- cos

k(360°) 2 A 2kr f A k = entero

A

f senA

cos

cos A

TWlA

-COSA

-CSenA

cos A

tan

-tanA

scotA

*tanA

T cotA

*tanA

CSC

-cscA

T csc A

- secA

ZCSCA

z csc A

-secA

2 csc A

T tan*A

*cotA

TtanA

SW

sec A

cot

- cot A

sen A = u

secA

COSA

= u

tanA = u

cotA

= u

sec A -CcotA

secA = u

senA

u

u/&iz

cos A

v

1/-

llu

tan A

ulm

u

\/u2-=r

cot A

-Iu

llu

ll@?

sec A

11-i

&s

u

csc A

llu

qGFzfu

cscA

\/uz=1/u

ul@=i

Para los otros cuadrantes úsense los signos apropiados según se indica en la tabla precedente.

.

=u

FIJNCIONES

16

TRIGONOMETRICAS

5.38

sen 2A

=

2senAcosA

5.39

cos2A

=

cos2A - senZA

=

1 - 2sen2A

+ si A/2estien

=

2cos2A-1

el 10 IIcuadrantes

si A/2 está en el III o Ncuadrantes

1

+ si A/2 estáen e l 1

(a-c + b)“-l

=

(pz+q)“mdz =

$g$.

(ax + b)” (pz + q)” ~- ’ dz

=

dx s

- ma s

s

=

Caz + b)W + 9) _ bp + aq dz aP 2aP s, fax + b)(m + CT)

dx (pz + q)“-’ &z-i

INTEGRALES

64 14.122

INDEFINIDAS

dx

(ax + b)(px + q) dx

Caz + b)(px + q)

14.123 14.124

s

14.125

$&

dz

2daz + b

=

(px + d d/

INTEGRALES

INDEFINIDAS

14.224

x dx s (x2 - &)3/2

=

14.225

$ fz2f $j3,1

= - e + In (z + \/22Tãj:)

14.226

zJdx s (z2 - =2)3/2

=

14.227

dx s x(x2 _

14.228

s

%2(,2

,,2)3/2

dx -

=

- &)312

&

14.230 14.231

14.232 14.233 14.234 14.235 14.236

14.237 14.238

s s 1

s s

(22

422

x3($2

_

- 1

=

x G=2 a4z

42~2

= =

4

2 I al

a4\/z’Gz--ãs - ,,$&p

2a222&-3

&)3/2

~12)3/2

-

14.241

14.243

(z2 - a2)5/2

6

(22 - a2)7/2

=

(x2 - a2F2 dz = x

(x2 -3a2P/2

a2(%2 - a2)5/2

+

7

_

5

a24m

+ as sef-l z I aI

=

x2

s

(x2 - a2F2 dz = _ ti

s

sen-12 a

xdx s dm

x3dx ___ s \/,z_zz

dx s x&Gz

dx s

Bec- 1%1

_ 3a2x(m + ia4 In (z + 4273) 8

=

(%2

-2x2 a2)3/2

3dm 3 2 +----zaeec-l a I IE

-dG

x ma - x 1 4 . 2 3 22 9 dx ~ = - 2 s @=z 14.240

$5

dx = x(x2 ;a2)5'2 + a*x(x22; a2)3'2 _ a4zy

- &)W* &

- a2)S/2 dx

1 -,sec-1

a2\/22=;;i

=

- a2)312 &

&?(,$

(2* s

@=2-A2

,,2)3/2

14’229 .fti(x22a2)s/2

zs\/op=-29

=

69

ca2 - x2)3'2 3

= -$ln

,2dm

a+&cG

--

2dw

X

- k31n

v

a+&z=2 x

+ $ In (x + dR)

INTEGRALES

70

14.247

s

x3dGdx

=

INDEFINIDAS

_ &(&J - &!)312

(a2-x2)5'2 5

3

14.249

s

gyz -& 22

= -

-B msen-,6!

14.250

s

\/,2_2" pdx 23

=

d&+,("+~) x

s

(a2 - %2)3/2

s

@2 - ~2)3/2

s

(a2 - 22)3/2

14.251 14.252 14.253

14.254 14.255

14.258 14.259

14.260 14.261

14.262

14.263

14.264

dx

j- (m2f

s

,-

z($ - ~2)3/2

F + & 1

=

%2(a2

+@2

-

dx = - ca2

-

x2)3,2dx =

ta2

=

dr

j-!?-$!?&

-

b2

=

=

x

>

8 -5x2)5’2

z(a2 - sy’ 6

+

-

a%(&

+

z2)3’2

a4&F-- x2 16

24

ae + p,-l$

-;2)7’2 _ a2(a2;x*)5’2

-3x2)3’* +

-

lX+\/aY;z-z;

+ 3a%~

iy’

4

dz =

(a2 - z2)3/2 22

z(a2

=

- 2!2)312

- -$

.qzG5

(,2 - 22)3/2 dx

j-(a2-xx2)s’2.dx

s

z - ,,,-1: dm

,,,, =

j- +2 - %2)3/2

s

&2

=

dz

s

a5fGcG

=

dz

22

x

=

zdz

a

a2da _

(a2 - $)3/2 z

(*? - .$)3’2 ---

2x2

-

_

=3

3z\/azr-z;

2 3dm ~ + 2

.

,,,

(a

+

y22)

3 - -=2 ,,,-1:

2

CL+--2 +l

x

>

INTEGRALES INDEFINIDAS

14.265

dx s ax2 + bx + c

71

2 2ax + b -tan-l ____ $G-=3 &rF

=

2as t b - \/b2-4ae 1 - In @=iG c 2ax t b t d= J

Si bz = 4ac, a& + bx + c = a(z + b/2a)2 y entonces se pueden emplear los resultados de las páginas 60-61. Si b = 0 utilícense los resultados de la página 64. Si a o e = 0 empléense los resultados de las páginas W-61. 14.266 14.267

zdx s ax2 + bx + c

= &ln (az*+ bx+ c) - $

dx s ax2 + bx + c

dx dx b2 - 2ac it- $ In (ax2 + bx + c) + 2a2 + bx + c = a s ax2 + bx + c

22 s ax2

14.268

$ Zmdz a&+bx+c

1 4 . 2 6 9

p-1 x”‘-1 dz c x”-2 d x b - - = (m-1)a a s ax2 + bx + c - ã s ax* + bx + c

~xca22~bz+Ej

b dx $ln " ( ax2 + bx + c ) -2c J ax2 + bx + c

=

b2 - 2acI dx 1 2c2 s ax2 + bx + c

14.270

& s xZ(ax2 + bz + c)

14.271

dx s x”(axZ + bx i- c)

14.272

dx s (axz + bx + c)*

=

2a dx 2ax + b (4ac - bz)(axz + bx + c) +mi s ax2 + bx + c

14.273

x dx s @x2 + bz + c)~

=

bx + 2c - (4ac - bz)(ax* + bx + c)

14.274

22 dx s (ax* + bx + ~$2

=

a(4ac

14.275

xm-l x”’ dx s (ax2+ bx+ c)” = - (2n- m - l)a(axz + bx

ax2 + bx + c

=

&ln

=

1 - (n- l)cxl-1

22

(

_ CX

>

a dx b dx - e s x”-‘@x2+ bx+c) - c s xn-z(ax2 + bx + c)

(b2 - 2ac)x + be - b‘J)(axz + bx + c)

b dx 4ac - b2 s ax2 + bx + c 2e

+4ac/

t

c)n-l

t

dx s ax2 + bx + c x”‘-2 dx (m - 1)c (2n-m-1)a s (ax2tbxtc)n

(n - m)b ~“‘-1 dx (2n-m-l)a s (ax* t bx t c)n 14.276 14.277 14.278 14.279

x2n-1 dx s (ax*+bx+c)” s

x(az2

s x2(ax2

=

dx t bz + ~$2 dx t bz + c)2

dx s x”(ax2 t bx t c)n

:s

x2”-3 dz (aS t bx t

c x2”-3 dx c)“-1 - ã s (ax2 t bx t c)n

=

dx b 1 2c(ax2+ bx t c) - 5 s (ax* t bx + c)2

=

-

=

-

cx(ax2

x2”-2 dx -b a s (ax*tbxtc)”

dx s x(ax2 + bx + c)

dx dx 1 - 2 b- 3 -a c s x(ax* t bx t 13)~ + bx t c) 0 s (axz + bx t c)*

1 (m - l)cxm-‘(ax2 _ (m+n-2)b (m - 1)~

t bx t c)n-l

_ (mt2n-3)a (m - 1)~

dx s x”- l(ax2 + 6x t c)n

s

xm-2(a.z2

dx t bz t e)n

INTEGRALES

72

INDEFINIDAS

En las fórmulas siguientes si bz = 4rzc, \/a2’ + bx + c = 6(x + W2a) y entonces pueden emplearse las fórmulas de las páginas 60-61. Si b = 0 utilicense las fórmulas de las páginas 67-70. Si a = 0 o c = 0 utilícense las fórmulas de las páginas 61.62. + 6x + c + 2az + b)

L In (2\/ãdax2

14.280

14.281 14.282

=

zdx

axz+bz+c a

z

s \/ãZ,+bx+c

bdx 2a s, ax2+bx+c

-

dx

22

s, ax* + bx + c ax2 + bx + c + bx +

14.283

14.284

dx s, x axZ+bx+c

dz

s

14.285

=

f bx f c

+f/az2

axZ+bx+cdx

14.286

-

14.288 14.289 14.290 14.291

(ax2

=

14.287

=

S‘/ S” S S

ax2

+ bx + c X

dx

aG+bx+c dx x2

(ax2 + g +

zdx (d + bz +

c)3’2

= =

ex

(2ax + b) \/tcx* + bx + c 4;1

=

ax2 + bx + c dx

VaXL+OX+C

+ bz + 43’3 b(2ax + b) ax2+ bxfc 3 a ---’ 8a2 05 - b(4ac -- b2) 16a2 s, ax2+ bxfc

v

(iz22

+ bx +

daS+bx+c +i -’

ax2 + bx + c 2

= (4ac _ p) ,/ = (b2 _ 4m) 4

S,

+a

5b2 - 4ac 16a*

+ ~

4313

dx aG+bx+c

+C

dx s

2(2ax + b)

aG+bz+c

ax2+bx+edx

S, S, x

dx

aG+bz+c

x

dx ax2+bx+c

ax2 + bx + c

2(bz + 2c)

c)3/3

ax2 + bz + c dx ax2 + bx + c

= cdax2 : bx + e + i J .,,e,Z bx + c - % S (ax2 + 2 +

14-293 14.294

s x2(ax2

t

dx

bs + c)3/2 = -

.x2 cyx

+ 2bz + c

..* - 3 62c?

14.295

s

(az~+bx+c)~+‘f2dx

=

b’ - 2ac + bz + c +--s-

S-d x

S

(ax2

dz + bx +

c)3/3

dz &+bz+c

(2az + b)(aG + bz + c)n+l/? 4a(n + 1) + (2n + 1)(4ac - 62) fh(n+l) .

(ax2 + bx + c)“-“2 dx

,)3’3

INTEGRALES

14.296 14.297

x(azz + bx + ,)n+l,z dx

s

S (az2

=

dx + bx + c)” + 1’*

(=x2 + bx + c)"+~'~ - $ a(2n + 3)

8a(n - 1) (272 - 1)(4ac - b2) s

+

14.298

s

=

14.300 14.301 14.303 14.304 14.305 14.306 14.307 14.308 14.309 14.310

14.311 14.312 14.313 14.314

zdx s 23 + u3

=

(x+d2 ; - ax + a2

x2

x2 - ax + &ln (x + ap

22 dx = + In (23 + s 23 + d dx - 1 a3x s ~2(~3 + a3) =

(cm2

+ bx + c)“+ 1’2 dx

-t

dz + bx c)“-1’2

a2

dx + bx + c)“-l’2

zfaz2

Obsérvese que para las integrales que contienen z-3

. -$& = & 1x1

(axz

s

1 (2n - l)c(ar2 + bx + c)“-1’2 s

14.299

73

2(2a2 + b) (2n - 1)(4ac - b2)(az2 + bx + c)n-1’2

=

dx x(ax2 + bx + c)“+ 1’2

INDEFINIDAS

29

dz + bz + c)“+“2

tan-' 2x - a

1

ll56

a lf3 22 - a a\/3

14.302 & In

s (ax2

- ~5 se remplazan por-n

+ -i-tan4

u3)

b -2c

- ax + (x + a)2

s

CL2

dx ~

=

z(z3 + a3)

22 - a 1 - - tan-l 43 4

dx

s (23=

S S S S S S S S S

xdx (23=

+ ~+ = + aq + = a% + + s + aS + = S

22 dx (23=

-

1

3(%3

dx

423

3a3(23

a3)2

dx

-

xyti

1

-1

-

@3)2

dx

-1

x9x3

dx 24+a4=

1 - In 4a3\r

zdx 24=

&

tan-1

22

a3)

x4 + d

=

23

[Véase

a3

-1

d

+ uxfi + a2

22 - uxfi + a*

>

1 - __

tan-’

2a3fi

- a2

ux&

22

$

22 - uxfi + a2 -LL- In 4a 0

)(222- d4) cosh-’ (zla) + &zd=,

cosh-’ (zla) < 0

+z” cosh-’ (zla) - #zs + 2a2) \/;c”as,

cosh-’ (zla) > 0

&z’ cosh-’ (zla) + 4(z2 + 2d) d=,

cosh-’ (zla) < 0

‘, In2 (2zh)

+ 0” 2*2*2 + 2.4-4.4 1*3(a/z)’ + 2*4*6*6*6 S(a/zY 3. 1 + . . .

ztanh-lidz tanh-1 t dz

ztanh-1: = =

1

- si cosh-‘(z/a) < 0

dx = _ coah-; 0, + si cosh-1 (z/Q) < 0]

INTEGRALES

14.659 14.660 14.661 14.662 14.663 14.664 14.665 14.666

14.667

14.668

14.669 14.670

14.671

INDEFINIDAS

93

s tan-h;: @la) dz = _ tanh-1 (zla)

s s

coth-’ z dx 01

= zcoth-lz

$ iIn(zs-a2)

x coth-’ z dz =

7 + +(x2 - a2) coth-1 f

s

&coth-lE& a

=

!!$ + $ coth-1 z + f In (22 - ~2)

s

coth-’ (zla) dz x

=

-

coth;;W=)

= _

s

s

&

S

sech- 5 dr = 0

s

x sech- 5 dz a

s s

x sech- (xla) + a sen-L (z/a),

sech-*(zla)

> o

x sech-* (z/a) - a sen-1 @la),

sech-l(z/a)

< 0

=

&c2 sech- (z/a) - ,fadm,

sech-‘(z/a)

> 0

+x2 sech- (z/a) + &adn,

sech-‘@la)

< 0

-4 In (a/z) In (4a/2)

sech-; (zla) dz =

- -$-$$

- _1 _* 3(2/a)’ _ - . 2.4.4.4

.

. ’

(da)2 + ~ 1 * 3Wa)4 + . . . 4 In (alz) In (4a/r) + 2.2.2 2.4.4.4 ’ csch-1 ã” dx =

x esch- E 2 asenh-1 z a

sech-l(z/a) sech-l(z/a)

14.673

a&GP x csch-1 z dz = 22’ cs&-l% 2 ~_ [+ si z > 0, - si z < 0] 0. a 2 1 * 3(z/a)’ - + . . . 3 In (da) In (4alz) + -l(zla)2 2.2.2 2.4.4.4 csch-i (da) dx = 3 In(-s/a) ln(-z/4a) - J$$ + !-Gk!Q -. -0. s 2.4.4.4 s

O sech-‘(z/a)

0 < 0

[+ si x > 0, - si z < 01

Sea j(x) definida en el intervalo a 5 z 5 b. Divídase este intervalo en n partes iguales de longitud AZ = (b - a)/n. Entonces la integral definida de f(x) entre x = LI y x = b se define como b

15.1

j(x)dx

sll

=

lim (f(a)Ax “‘Ea

i-

f(a+

Ax)Ax f f(a+ZAz)Az + ...

+ f(a + ( n -

1)Az)Az)

El limite ciertamente existe si j(x) es casicontinua. entonces por el teorema fundamental del cálculo integral el valor de la integral anterior se

Si fl4 = $dd,

puede hallar empleando la fórmula b

15.2

j(x)dx

sa

=

sll

D

bd. -gw)dx dx

=

g(x)

=

Ab)

- da)

(1

Si el intervalo es infinito o si j(x) tiene alguna singularidad en algún punto del intervalo, la integral definida es llamada integral impropia. Tales integrales pueden tratarse como las definidas mediante el empleo de adecuadas operaciones de limite. Por ejemplo,

15.3 15.4 15.5

b

sa

- j(x) dx

=

lim

b-a sD

m s-0I

j(x)dx

b j(x) dx lim O

2~ In b,

b èa >0

i In 2

15.102.

- senax -dx

=

$tanhg

= ê0802 dx = $ sechE so cosh bx "zdz

=

- z”dx s0 senh az

=

so

senhaz

u*

4a2

La suma de esta última serie puede hallarse si n es entero positivo e impar [véase la página 108].

15.116

15.117

15.118

“senhaz& s0 ebz + 1

s0

s0

OD senh IZZ dz eb= - 1

= Zcse- _ 1

2b

b

2a

1 G-$cot%

=

m ffax) i f(") dx

=

{f(O) -f(a)} In $

Esta última es llamada integral de Frullani la cual es válida si f(x) es continua y si

15.119

15.120

‘&dzl

s0 * s4 -0

1

1

5+3+3j+**.

(a+z)m-l(a-z)“-1dz

= (2o)‘+&?&$

51

Q fcx) - fcm) & converge. x

l-(n)

16.1

=

sIl

O

s i n=0,1,2,...

d o n d e O!=l

Cuando R < 0 la función gamma puede ser definida con ayuda de 16.2, por ejemplo,

r(n + 1) = 12

r(n)

16.4

Fig. 16-1

16.5 16.6 16.7

r(+>

r(m++) 1.(-m+@

= =

=\/x . . - 1) fiT 1.3* 5 (2m 2m

m = 1,2,3, .

(-lp2mfi 1 - 3 - 5 . . (2m - 1 )

m = 1,2,3, . . .

101

102

LA

16.8

FUNCION

l-(p)

16.9

GAMMA

p) = T sen pa

Iyl-

221-l I-(z) r(z +

g> =

\/ñIy22)

Esta última se llama fórmula de duplicación.

16.10

r(,,,(,+~)r(z+'~)...r(z+~)

=

mH-m=(2x)(m-1)'2r(mz)

que queda reducida a la fórmula 16.9 cuando m = 2.

16.11

r(z+l)

1.2.3 ... k lim k-.m (z+l)(z+2) ... (z+k) k’

=

1 ro=

16.12

zewjJ(l+~)e-~'"}

La anterior es la manera de representar la función gamma corno producto infinito. constante de Euler.

16.13

P(l)

=

s

e

e-zlnzds

=

La constante y es la

-y

0

16.14

z

=

-y + (+-;) + (;-&)

r(z+l)

=

&oze-z

1 -I

Esta es la llamada serieasintótica

+ 1.1 + (+& + ..'

+ & + & - -139 51.840x3

+ . . . >

de Stirling.

Si en 16.15 se hace x = n entero y positivo, entonces la fórmula de Stirling da una apr”ximación cuando n es suficientemente grande [p. ej. n > lo].

16.16

7&!

-

útil para n !

&nnne-m

donde - se emplea para indica1 que la razón entre los términos a ambos lados se aproxima a 1 a medida que ~t + -.

16.17

17.1

B(m,n)

=

1 s 0

17.2

F-1 (1- t)“-1 dt

B(m,n)

=

m>O,

x>O

w

Mediante el empleo de 16.4, página 101, se puede modificar la definición de B(m, valores m < 0, n < 0.

17.3

B(m,n) = B ( n , m )

17.4

B(m,n)

=

17.5

B(m,n)

=

17.6

B(m,n)

n12

=

2

s0

S

_ senZm-l’v COS*~-~ e de

m

p-1 o (l+ tp+n dt

~R(T +

l)m

*’ p-1 (l- p-1 0

ina

(7 + tp+n

dt

n) para incluir también los

18.1

Separación

flW

BI(Y)

de

dx +

variables

foC4 odu)

du =

18.2

Ecuación lineal de primer orden

18.3

Ekuación

0

de Bernoulli yeCl-n) IPdz = ( 1 - n ) 5

donde v = yl-n. lny

18.4

jP&dx

+ c

Si n = 1, la solución es =

s

(Q-P)dz + c

Ecuación exacta

M(x, g) dx +

N(x, g) dv = 0

d o n d e aMIay = aNJaz.

18.5

Qe(‘-“1

JMa.+J(N-$JMaz)dy

=

E

donde& indica que la integración debe realizarse con respecto a x conservando a y constante.

Ecuación homogénea

53

dz

=

F2! 0x

In2 donde v = gfz.

=

x+c s F(v) - v

Si F(v) = v,

la solución es y = cz

ECUACIONES

DIFERENCIALES

BASICAS

Y

SUS

105

SOLUCIONES

18.6 gF(zy)dx

+ zG(zy)

dy = 0

lnz

=

donde v = zy.

18.7

Ecuación lineal homogénea de segundo orden

s u(G;;~?(u))

Si G(v) = F(v),

+

’

lasolución es zy = c.

Sean m,, m2 las raíces de m2 + am + b = 0.

Entonces ha)

3 casos. Caso 1.

$+a$+by =

%t, nr, reales y distintas: g = clemlz + cpemfl

0 Caso 2.

ml, m2 reales e iguales:

o, 6 son constantes reales.

y =

Caso 3.

mi=p+qi,

c,emG + cflemt=

m,=p-qi:

g = em(cl cos qz + e2 sen qz) donde p = -42, q = dbq.

18.8

Ecuación lineal no homogbnea de segundo orden

$$+ag+

by

=

Hay 3 casos que corresponden

a los de 18.7.

R(z)

a, b son constantes reales.

+ xem+

s

e-m+ R(z) dz

- @W s

ze-‘12 R(z) dz

Caso 3. g

=

em(q coa qz + 02 sen 92) +ep+sen 9

qz

e-p= R(z) cos qz dx s - ev= cos qze-m R(z) sen qz dz s 9

18.9

Ecuación de Euler o de Cauchy Haciendo z = et, la ecuación se convierte en

el du z~d22+azdz+by

=

S(z)

$f +

(,-l)$f + by

=

S(d)

y entonces puede resolverse como se indica en 18.7 y 18.8.

106

ECUACIONES DIFERENCIALES BASICAS Y SUS SOLUCIONES

10.10

Ecuación de Bessel

@ä + z$ + (xw-slqy Gd;5

Y = ClJ,(X2)

= 0 . Véanse

I

18.11

Ecuación transformada de Bessel

10.12

Ecuación de Lepndrez

(l-232 - 2z$ +

n(n+l)y =

las

páginas

+ c,Y,(z)

136-137.

I

0

Y = ,

CIP,@) +

Véanse las páginas 146-148.

%!Q~(Z)

19.1

u -k (a+d) +

(a+2d) +

**+ {Cr +

( n - l)d} = &8(2a

+ (n - l)d} = +l(a + I)

donde 1 = a + (n - 1)d es el último thmino. Los siguientes son algunos

cs808 especiales

19.2

1+2+3+

19.2

1+3+6+.**+(2n-1)

19.4

o+ar+a++ar’+

***

+r

-*.+0+-l

=

+(n+l) =

=

n*

+.f$J

=

a - Tl l - r

donde Z = ur”-t es el último término y r # 1. S i -1 < r < 1, entonces

19.5

Y + ar + ar* + ar’ + . . * = 2l - r

19.6

a +

(ú+d)r +

(a+Bd)fi +

*-* +

{a+(n-l)d)*-1

= F +

donde r Z 1.

rd{l - nrr-1 + (n - l)V} (1 - r)s

Si - 1 < r < 1 , e n t o n c e s

19.7

19.8

a

1p + 2p

+ 3p

+

(a+d)r

+ *. . + no =

+ (0+2d)rZ

+ --- = & +&ji

;y; -+ 1;; B2P(P ++ - ; 2w-2 44;0-1 +

donde el último thrmino de la serie contiene n o d según que números de Bernoulli [véase la página 1141.

.

.

.

p sea par o impar. Las letras Bk denotan los

108

SERIES DE CONSTANTES

A continuación se presentan algunos casos especiaks 19.9

1+2+3+...+n

=

!d!?$Ll

19.10

12 + 33 + 32 + . . . + ,‘d = n(n+

19.11

13 + 25 + 38 +

1;2*+11

- - * + ns = y2 =

(1+2+3+

*** +n)*

19.12 14 + 24 + 34 + . . . + ,4 = n(n+1)(2n+~~(3n*+3~-1) Si S, = 1“+2k+Sk+

.-- +nk donde k y n son enteros positivos, entonces

19.12 (“+ + (“p’>S%

+ . . . +

19.14

1-a+;-;+;-

19.15

1 -++p+;-...

19.16

. . . E ln2 =

2 K = 55+$1n2

I-$++-$,+&...

19.17

1

19.16

$i++L+&

-;+;d+$

19.19

-... =

**-

1 9 . 2 0 l’i+$+$+$+--

r\/z &In(l+fi) -.-+ 4 os9+2

= $

$

19.22

+-&+$-$+...

19.22

$-&++-$+

19.24

$ - -$ + $ - ; + . -. =glrs

19.25

$+y+6i+?i+--

19.26 19.27

r

1

+

--- re =5z =

.

.

6

. 7,,r =720 30.240

111=z 8

+&+$++&+ $+ .p$+...

19.28

$-+~-$+-..

= f =

g$ = s

19.29

,a+p-+...

19.20

+3 +

19.a

+3

19.22

&+&-+&j+&+

&b +

+ &+

d-

= g

19.21

1

+ 1 + s %i

=

-...

$+$+-$-+$+

+

(“;‘>sk = (n+l)k+‘- (n+l)

=

3&i 16

&+&+...

=

y

&+&+...

=

;

***

=

G-8 7

SERIES 19.33

-+-+-+... 12.22.32

19.24

22.32.42

1-A+&a

du =ua-’ 1 so l+d

22p- 1,,2pBp

(2P) ! (22~ -l)@B 2(2P)!

19.26

&+$+&+&+... =

19.27

&-&+$-$+-

1938

& - J- + -L. - -+... 1

1 9 . 2 9

(22~- 1 l)G’B (2P) !

P

tp+‘E 22p + 3(2p) !

+ se* + cosna

seno+sen2a+senih+ 1 + rco(la

1 9 . 4 2

rsena

=

72p+1

52p+1

‘z + cos