Fórmulas y tablas de matemática aplicada [4ª ed.] 9786071511454, 6071511453

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FÓRMULAS Y TABLAS DE MATEMÁTICA APLICADA

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FÓRMULAS Y TABLAS DE MATEMÁTICA APLICADA Cuarta edición

Murray R. Spiegel, PhD Ex profesor y presidente del Departamento de Matemáticas Rensselaer Polytechnic Institute Hartford Graduate Center

Seymour Lipschutz, PhD Departamento de Matemáticas Temple University

John Liu, PhD

Departamento de Matemáticas University of Maryland

Revisión técnica Antonino Pérez Hernández

José Luis Poveda Macías

Centro de Investigación en Materiales Avanzados, S.C.

Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de Yucatán

Ana María López Salgado

Roger Hervé Pech Sánchez

Centro de Enseñanza Técnica Industrial, Plantel Colomos, Guadalajara

Facultad de Ingeniería Universidad Autónoma de Yucatán

Luis Mariano Sesé Sánchez Universidad Nacional de Educación a Distancia (UNED) España



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Director general: .JHVFM
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 ISBN: 978-607-15-1145-4 *4#/
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Mathematical Handbook of Formulas and Tables
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 Printed in Mexico

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PREFACIO Este manual suministra una colección de fórmulas matemáticas y tablas valiosas para estudiantes e investigadores en el campo de las matemáticas, física, ingeniería y otras ciencias. Han sido cuidadosamente incluidas ya que muy probablemente serán más necesarias en la práctica, incluso antes que los resultados especializados, los cuales son raramente usados. Este manual es fácil de usar y contiene material para cursos universitarios de matemáticas y ciencias. De hecho, la primera edición aún se puede encontrar en muchas bibliotecas y oficinas. Es muy probable que sus dueños la hayan llevado consigo desde su época universitaria hasta sus diversos lugares de trabajo. Así, este manual ha sobrevivido a las pruebas del tiempo (mientras que otros textos escolares han sido tirados). Esta nueva edición mantiene el mismo espíritu que la tercera, aunque con algunos cambios. El primero de ellos es que se han borrado las anticuadas tablas, que ahora pueden obtenerse fácilmente en una simple calculadora; además, se eliminaron algunas fórmulas raramente usadas. Sin embargo, el principal cambio se da en las secciones de “Probabilidad” y “Variables aleatorias”, ya que fueron ampliadas con nuevo material. Esas secciones pueden utilizarse tanto en la física como en las ciencias sociales, incluyendo la educación. Los temas que se tratan en este manual van desde lo elemental hasta lo más avanzado. Entre los temas elementales se incluyen aquellos como álgebra, geometría, trigonometría, geometría analítica, probabilidad y estadística y cálculo. Los temas avanzados incluyen aquellos como ecuaciones diferenciales, análisis numérico y análisis vectorial, como las series de Fourier, funciones gamma y beta, funciones de Bessel y Legendre, transformadas de Fourier y Laplace, funciones elípticas y otros de importancia. Este gran alcance de temas fue adoptado para proporcionar, dentro de un simple volumen, más allá de los resultados matemáticos importantes necesarios para estudiantes e investigadores, a pesar de su particular campo de interés o nivel de logro. Este libro se divide en dos partes principales. La parte A presenta fórmulas matemáticas junto con definiciones, teoremas, gráficas, diagramas, etc., esenciales para la propia comprensión y aplicación de las fórmulas. La parte B presenta tablas numéricas. Estas tablas incluyen distribuciones estadísticas básicas (normal, t de Student, ji cuadrado, etc.), funciones avanzadas (Bessel, Legendre, elípticas, etc.), y funciones financieras (compuestas y que presentan valores de una cantidad, y anualidad). McGraw-Hill desea agradecer a los valiosos autores y editores —por ejemplo, a la albacea literaria de Sir Ronald A. Fisher, F. R. S., doctor Frank Yates, F. R. S., y Oliver y Boyd Ltd., Edimburgo, para la tabla III de su libro Tablas estadísticas para investigaciones biológicas, agrícolas y médicas— quienes dieron su permiso para adaptar los datos de sus libros para ser usados en algunas tablas en este manual. Las referencias apropiadas para tales fuentes son dadas después de cada tabla. Finalmente, se desea agradecer al personal del McGraw-Hill Schaum’s Outline Series, especialmente a Charles Wall, por su indefectible cooperación. SEYMOUR LIPSCHUTZ Temple University

v

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CONTENIDO PARTE A

Fórmulas

1

Sección I

Constantes elementales, productos y fórmulas

3

1. 2. 3. 4. 5. 6.

Sección II

Geometría 7. 8. 9. 10. 11.

Sección III

Alfabeto griego y constantes especiales Productos especiales y factorizaciones La fórmula binomial y coeficientes binomiales Números complejos Soluciones de ecuaciones algebraicas Factores de conversión

Sección V

16 22 28 34 41

Funciones elementales trascendentales

43

62

15. 16. 17. 18.

62 67 71 108

Derivadas Integrales indefinidas Tablas de integrales indefinidas especiales Integrales definidas

Ecuaciones diferenciales y análisis vectorial

Series 21. 22. 23. 24.

Sección VII

Series de constantes Series de Taylor Números de Euler y de Bernoulli Series de Fourier

Funciones especiales y polinomiales 25. 26. 27. 28. 29. 30.

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43 53 56

Cálculo

19. Ecuaciones diferenciales básicas y soluciones 20. Fórmulas de análisis vectorial

Sección VI

16

Fórmulas geométricas Fórmulas de la geometría analítica plana Curvas planas especiales Fórmulas de la geometría analítica espacial Momentos de inercia especial

12. Funciones trigonométricas 13. Funciones exponenciales y logaritmos 14. Funciones hiperbólicas

Sección IV

3 5 7 10 13 15

La función gamma La función beta Funciones de Bessel Legendre y funciones asociadas de Legendre Polinomios de Hermite Laguerre y polinomios asociados de Laguerre

116 116 119

134 134 138 142 144

149 149 152 153 164 169 171

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CONTENIDO 31. Polinomios de Chebyshev 32. Funciones hipergeométricas

Sección VIII

Transformadas de Laplace y de Fourier 33. Transformadas de Laplace 34. Transformadas de Fourier

Sección IX

Funciones elípticas y varias funciones especiales 35. Funciones elípticas 36. Varias funciones zeta y de Riemann

Sección X

Productos desiguales e infinitos 37. Desigualdades 38. Productos infinitos

Sección XI

Probabilidad y estadística 39. Estadística descriptiva 40. Probabilidad 41. Variables aleatorias

Sección XII

Métodos numéricos 42. 43. 44. 45. 46. 47.

Interpolación Cuadratura Solución de ecuaciones no lineales Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales Métodos de iteración para sistemas lineales

PARTE B

Tablas

Sección I

Funciones logarítmica, trigonométrica y exponencial 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

Sección II

Cuatro decimales de logaritmos comunes log10 N o log N Sen x (x en grados y minutos) Cos x (x en grados y minutos) Tan x (x en grados y minutos) Conversión de radianes a grados, minutos y segundos o fracción de grados Conversión de grados, minutos y segundos a radianes Logaritmo natural o neperiano loge x o ln x Funciones exponenciales e x Funciones exponenciales e!x Integrales de exponencial, seno y coseno

Factorial y función gamma, coeficientes binomiales 11. Factorial n 12. Función gamma 13. Coeficientes binomiales

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vii 175 178

180 180 193

198 198 203

205 205 207

208 208 217 223

231 231 235 237 239 241 244

247 249 249 251 252 253 254 255 256 258 259 260

261 261 262 263

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viii

CONTENIDO

Sección III

Funciones de Bessel 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.

Sección IV

265

Funciones de Bessel J0(x) Funciones de Bessel J1(x) Funciones de Bessel Y0(x) Funciones de Bessel Y1(x) Funciones de Bessel I0(x) Funciones de Bessel I1(x) Funciones de Bessel K0(x) Funciones de Bessel K1(x) Funciones de Bessel Ber(x) Funciones de Bessel Bei(x) Funciones de Bessel Ker(x) Funciones de Bessel Kei(x) Valores para ceros aproximados de las funciones de Bessel

Polinomios de Legendre

272

27. Polinomios de Legendre Pn(x) 28. Polinomios de Legendre Pn(cos q)

Sección V

Integrales elípticas

Tablas financieras 32. Cantidad compuesta: (1 + r) 33. El valor actualizado de una cantidad: (1 + r)!n (1+ r )n – 1 34. Cantidad de una anualidad: r 1 – (1+ r )!n 35. Valor presente de una anualidad: r

Probabilidad y estadística 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42.

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274 275 275

276 n

Sección VII

272 273

274

29. Integrales elípticas completas de primer y segundo tipo 30. Integral elíptica incompleta de primer tipo 31. Integral elíptica incompleta de segundo tipo

Sección VI

265 265 266 266 267 267 268 268 269 269 270 270 271

Áreas bajo la curva normal estándar Ordenadas de la curva normal estándar Valores percentiles (tp) para la distribución t de Student Valores percentiles ("2p) para la distribución "2 (ji cuadrada) Valores percentiles 95a. para la distribución F Valores percentiles 99a. para la distribución F Números aleatorios

276 277 278 279

280 280 281 282 283 284 285 286

Índice de símbolos y anotaciones especiales

287

Índice analítico

289

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PARTE A

Fórmulas

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Sección I: Constantes elementales, productos y fórmulas

1

Alfabeto griego y constantes especiales

ALFABETO GRIEGO Nombre griego

Letra griega

Nombre griego

Letra griega

Minúsculas

Mayúsculas

Minúsculas Mayúsculas

Alpha

a

A

Nu

n

N

Beta

b

B

Xi

j

&

Gamma

g

!

Omicron

o

O

Delta

d

"

Pi

p

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Epsilon

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r

P

Zeta

z

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Sigma

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Eta

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Tau

t

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Upsilon

y

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Iota

i

I

Phi

f

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Kappa

k

K

Chi

x

X

Lambda

l

%

Psi

c

+

Mu

m

M

Omega

v

,

CONSTANTES ESPECIALES 1.1. p = 3.14159 26535 89793 1.2. e = 2.71828 18284 59045

⎛ 1⎞ = lím ⎜1 + ⎟ n→∞ ⎝ n⎠

n

= base natural de los logaritmos 1.3. g = 0.57721 56649 01532 86060 6512

= constante de Euler

⎛ 1 1 ⎞ 1 = lím ⎜1 + + + … + − ln n⎟ n→∞ ⎝ 2 3 n ⎠

1.4. eγ = 1.78107 24179 90197 9852

[vea 1.3]

3

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4 1.5. 1.6.

ALFABETO GRIEGO Y CONSTANTES ESPECIALES

e = 1.64872 12707 00128 1468

π = Γ( 12 ) = 1.77245 38509 05516 02729 8167 donde es la función gamma [vea 25.1].

1.7. Γ( 13 ) = 2.67893 85347 07748 1.8. Γ( 14 ) = 3.62560 99082 21908 1.9. 1 radián = 180°/p = 57.29577 95130 8232

°

1.10. 1° = p/180 radianes = 0.01745 32925 19943 29576 92

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radianes

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2

Productos especiales y factorizaciones

2.1. ( x + y)2 = x 2 + 2 xy + y 2 2.2. ( x − y)2 = x 2 − 2 xy + y 2 2.3. ( x + y)3 = x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y3 2.4. ( x − y)3 = x 3 − 3x 2 y + 3xy 2 − y3 2.5. ( x + y)4 = x 4 + 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 + 4 xy3 + y 4 2.6. ( x − y)4 = x 4 − 4 x 3 y + 6 x 2 y 2 − 4 xy3 + y 4 2.7. ( x + y)5 = x 5 + 5x 4 y + 10 x 3 y 2 + 10 x 2 y 3 + 5xy 4 + y 5 2.8. ( x − y)5 = x 5 − 5x 4 y + 10 x 3 y 2 − 10 x 2 y3 + 5xy 4 − y5 2.9. ( x + y)6 = x 6 + 6 x 5 y + 15x 4 y 2 + 20 x 3 y3 + 15x 2 y 4 + 6 xy 5 + y 6 2.10. ( x − y)6 = x 6 − 6 x 5 y + 15x 4 y 2 − 20 x 3 y 3 + 15x 2 y 4 − 6 xy5 + y 6 Los resultados 2.1 a 2.10 que se muestran arriba son casos especiales de la fórmula binomial [vea 3.3]. 2.11.

x 2 − y 2 = ( x − y)( x + y)

2.12.

x 3 − y 3 = ( x − y)( x 2 + xy + y 2 )

2.13.

x 3 + y3 = ( x + y)( x 2 − xy + y 2 )

2.14.

x 4 − y 4 = ( x − y)( x + y)( x 2 + y 2 )

2.15.

x 5 − y 5 = ( x − y)( x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 )

2.16.

x 5 + y5 = ( x + y)( x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 )

2.17.

x 6 − y 6 = ( x − y)( x + y)( x 2 + xy + y 2 )( x 2 − xy + y 2 )

5

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6

PRODUCTOS ESPECIALES Y FACTORIZACIONES

2.18.

x 4 + x 2 y 2 + y 4 = ( x 2 + xy + y 2 )( x 2 − xy + y 2 )

2.19.

x 4 + 4 y 4 = ( x 2 + 2 xy + 2 y 2 )( x 2 − 2 xy + 2 y 2 )

Algunas generalizaciones previas están dadas por los siguientes resultados, donde n es un entero positivo. 2.20.

x 2 n+1 − y 2 n+1 = ( x − y)( x 2 n + x 2 n−1 y + x 2 n− 2 y 2 + … + y 2 n ) ⎞ ⎛ ⎞⎛ 2π 4π + y 2⎟ = ( x − y) ⎜ x 2 − 2 xy cos + y 2⎟ ⎜ x 2 − 2 xy cos 2n + 1 2n + 1 ⎠ ⎝ ⎠⎝ … ⎛ x 2 − 2 xy cos 2nπ + y 2⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ 2n + 1

2.21.

x 2 n+1 + y 2 n+1 = ( x + y)( x 2 n − x 2 n−1 y + x 2 n− 2 y 2 − … + y 2 n ) ⎞ ⎛ ⎞⎛ 2π 4π + y 2⎟ = ( x + y) ⎜ x 2 + 2 xy cos + y 2⎟ ⎜ x 2 + 2 xy cos 2n + 1 2n + 1 ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎛ ⎞ 2 nπ …⎜ x 2 + 2 xy cos + y 2⎟ 2n + 1 ⎝ ⎠

2.22.

x 2 n − y 2 n = ( x − y)( x + y)( x n−1 + x n− 2 y + x n−3 y 2 + …)( x n−1 − x n− 2 y + x n−3 y 2 − …) ⎛ ⎞⎛ ⎞ π 2π + y 2⎟ = ( x − y)( x + y) ⎜ x 2 − 2 xy cos + y 2⎟ ⎜ x 2 − 2 xy cos n n ⎝ ⎠⎝ ⎠ … ⎛ x 2 − 2 xy cos (n − 1)π + y 2⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ n

2.23.

⎛ ⎞⎛ ⎞ π 3π x 2 n + y 2 n = ⎜ x 2 + 2 xy cos + y 2⎟ ⎜ x 2 + 2 xy cos + y 2⎟ 2 n 2 n ⎝ ⎠⎝ ⎠ …⎛ x 2 + 2 xy cos (2n − 1)π + y 2⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ 2n

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3

La fórmula binomial y coeficientes binomiales

FACTORIAL n Para n = 1, 2, 3,

, factorial n o n factorial se denota y define por

3.1. n! = n(n − 1) ⋅ …⋅ 3 ⋅ 2 ⋅1 Cero factorial se define por 3.2. 0! = 1 Alternativamente, n factorial se puede definir recursivamente por 0! = 1 EJEMPLO:

y

n! = n (n

1)!

4! = 4 3 2 1 = 24 5! = 5 4 3 2 1 = 5 4! = 5(24) = 120 6! = 6 5! = 6(120) = 720

FÓRMULA BINOMIAL PARA ENTEROS POSITIVOS n Para n = 1, 2, 3,

,

3.3. ( x + y)n = x n + nx n−1 y +

n(n − 1) n− 2 2 n(n − 1)(n − 2) n−3 3 x y + x y + L + yn 2! 3!

Esta se llama fórmula binomial. Se puede extender a otros valores de n y también a una serie infinita [vea 22.4]. EJEMPLO:

a)

(a − 2b)4 = a 4 + 4 a 3 (−2b) + 6a 2 (−2b)2 + 4 a(−2b)3 + (−2b)4 = a 4 − 8a 3b + 24 a 2b 2 − 32ab 3 + 16b 4 Aquí x = a y y = −2b.

b) Vea la figura 3-1a.

COEFICIENTES BINOMIALES La fórmula 3.3 se puede reescribir en la forma 3.4.

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ( x + y)n = x n + ⎜ ⎟ x n−1 y + ⎜ ⎟ x n− 2 y 2 + ⎜ ⎟ x n−3 y 3 + L + ⎜ ⎟ y n ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ n⎠

7

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8

LA FÓRMULA BINOMIAL Y COEFICIENTES BINOMIALES

donde los coeficientes, llamados coeficientes binomiales, están dados por 3.5.

n! ⎛ n⎞ n(n − 1)(n − 2)L (n − k + 1) ⎛ n ⎞ = = ⎜⎝ k⎟⎠ = k! k !(n − k )! ⎜⎝ n − k⎟⎠

EJEMPLO:

⎛ 9⎞ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⎜⎝ 4⎟⎠ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 = 126,

⎛12⎞ 12 ⋅ 11 ⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⎜⎝ 5 ⎟⎠ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 792,

⎛10⎞ ⎛10⎞ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⎜⎝ 7 ⎟⎠ = ⎜⎝ 3 ⎟⎠ = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 = 120

n Observe que ⎛⎜ ⎞⎟ tiene exactamente r factores tanto en el numerador como en el denominador. ⎝ r⎠

Los coeficientes binomiales se pueden ordenar en un arreglo triangular de números, llamado triángulo de Pascal, como se muestra en la figura 3-1b. El triángulo tiene las siguientes dos propiedades: (1) El primero y último número en cada fila es 1. (2) Cada uno de los otros números en el arreglo se puede obtener al sumar los dos números que aparecen arriba de este. Por ejemplo: 10 = 4 + 6

15 = 5 + 10

20 = 10 + 10

La propiedad (2) se puede establecer como sigue: 3.6.

⎛ n⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎜⎝ k⎟⎠ + ⎜⎝ k + 1⎟⎠ = ⎜⎝ k + 1⎟⎠





B

C 












B

C 






B

C




B

C 






B

BC

C



B

C 






B

BC

BC

C


B

C 






B

BC

BC

BC

C

B

C 






B

BC

BC

BC

BC

C
B

C 






B

BC

BC

BC

BC

BC

C














































 






















B

C

Figura 3-1

PROPIEDADES DE LOS COEFICIENTES BINOMIALES A continuación se enlistan propiedades adicionales de los coeficientes binomiales: ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ 3.7. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + L + ⎜ ⎟ = 2n ⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ 3.8. ⎜ ⎟ − ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ − L(−1)n ⎜ ⎟ = 0 ⎝ 0⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠ ⎛ n⎞ ⎛ n + 1⎞ ⎛ n + 2⎞ ⎛ n + m⎞ ⎛ n + m + 1⎞ =⎜ +⎜ +L+ ⎜ ⎟ 3.9. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎟⎠ ⎝ n + 1 ⎠

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LA FÓRMULA BINOMIAL Y COEFICIENTES BINOMIALES

9

n n n 3.10. ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ + ⎛⎜ ⎞⎟ + L = 2n−1 ⎝ 0⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3.11. ⎜ n⎟ + ⎜ n⎟ + ⎜ n⎟ + L = 2n−1 ⎝ 1⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ 5⎠ 2

2

2

2

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ 2n⎞ 3.12. ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + L+ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟ ⎝ 0⎠ ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ n⎠ ⎝ n ⎠ ⎛ m⎞ ⎛ n⎞ ⎛ m⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ m⎞ ⎛ n⎞ ⎛ m + n⎞ + L+ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ = ⎜ 3.13. ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ ⎜ ⎝ 0 ⎠ ⎝ p⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ p − 1⎟⎠ ⎝ p⎠ ⎝ 0⎠ ⎝ p ⎟⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3.14. (1) ⎜ n⎟ + (2) ⎜ n⎟ + (3) ⎜ n⎟ + L + (n) ⎜ n⎟ = n 2n−1 ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ n⎠ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ 3.15. (1) ⎜ n⎟ − (2) ⎜ n⎟ + (3) ⎜ n⎟ − L (−1)n+11 (n) ⎜ n⎟ = 0 ⎝ 1⎠ ⎝ 2⎠ ⎝ 3⎠ ⎝ n⎠

FÓRMULA MULTINOMIAL Sean n1, n2, , nr enteros no negativos tales que n1 + n2 + L + nr = n. Entonces la siguiente expresión, llamada coeficiente multinomial, está definida como sigue: ⎛ ⎞ n! n 3.16. ⎜ = ⎟ ⎝ n1 , n2 , L, nr ⎠ n1! n2!Lnr! EJEMPLO:

7! ⎛ 7 ⎞ ⎜⎝ 2, 3, 2⎟⎠ = 2! 3! 2! = 210,

8 8! ⎛ ⎞ ⎜⎝ 4, 2, 2, 0⎟⎠ = 4! 2! 2! 0! = 420

El nombre de coeficiente multinomial viene de la siguiente fórmula: 3.17.

⎛ ⎞ n n n ( x1 + x 2 + L + x r )n = ∑ ⎜ x x L xrn n , n , , n ⎝ 1 2 L r ⎟⎠ 1 2 1

2

r

donde la suma, denotada por , toma todos los coeficientes multinomiales posibles.

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Números complejos

DEFINICIONES QUE IMPLICAN NÚMEROS COMPLEJOS Un número complejo z es generalmente escrito en la forma z = a + bi donde a y b son números reales e i, llamada unidad imaginaria, tiene la propiedad de que i2 = 1. Los números reales a y b se conocen como partes reales e imaginarias de z = a + bi, respectivamente. El complejo conjugado de z se denota por z; y se define por a + bi = a − bi

Así, a + bi y a

bi son conjugados uno del otro.

IGUALDAD DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS 4.1. a + bi = c + di si y sólo si a = c y b = d

ARITMÉTICA DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS Fórmulas para la suma, resta, multiplicación y división de los siguientes números complejos: 4.2. (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d )i 4.3. (a + bi) − (c + di) = (a − c) + (b − d )i 4.4. (a + bi)(c + di) = (ac − bd ) + (ad + bc)i 4.5.

a + bi a + bi c − di ac + bd ⎛ bc − ad ⎞ = = + • i c + di c + di c − di c 2 + d 2 ⎜⎝ c 2 + d 2 ⎟⎠

Note que las operaciones arriba mostradas se obtienen usando las reglas ordinarias de álgebra y reemplazando i2 por 1 dondequiera que esto ocurra. EJEMPLO:

Suponga que z = 2 + 3i y w = 5

2i. Entonces

z + w = (2 + 3i) + (5 − 2i) = 2 + 5 + 3i − 2i = 7 + i zw = (2 + 3i)(5 − 2i) = 10 + 15i − 4i − 6i 2 = 16 + 11i z = 2 + 3i = 2 − 3i y w = 5 − 2i = 5 + 2i w 5 − 2i (5 − 2i)(2 − 3i) 4 − 19i 4 19 = − i = = = z 2 + 3i (2 + 3i)(2 − 3i) 13 13 13

10

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NÚMEROS COMPLEJOS

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PLANO COMPLEJO Los números reales se pueden representar por puntos sobre una línea, llamada línea real, y, similarmente, los números complejos se pueden representar por puntos en el plano; a dicho plano se le conoce como diagrama de Argand, plano Gaussiano o, simplemente, plano complejo. Específicamente, el punto (a, b) en el plano representa al número complejo z = a + bi. Por ejemplo, el punto P en la figura 4-1 representa el número complejo z = 3 + 4i. El número complejo también puede interpretarse como un vector desde el origen O al punto P. El valor absoluto de un número complejo z = a + bi, escrito | z |, está definido como sigue: 4.6.

| z | = a 2 + b 2 = zz

Se nota que | z | es la distancia desde el origen O al punto z en el plano complejo.

P

y y r O

x O

q x

Ï(x, y) P Ì(x, Ó q) y x

P = (-3, 4) = -3 + 4i Figura 4-1

Figura 4-2

FORMA POLAR DE LOS NÚMEROS COMPLEJOS El punto P en la figura 4-2 con coordenadas (x, y) representa el número complejo z = x + iy. El punto P también puede representarse por coordenadas polares (r, q ). Como x = r cos q y y = r sen q , se tiene que 4.7.

z = x + iy = r (cosθ + i senθ )

la llamada forma polar del número complejo. Frecuentemente se le llama r = | z | = x 2 + y 2 el módulo y a q se le conoce como amplitud de z = x + iy.

MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR 4.8. [r1 (cosθ1 + i senθ1 )][r2 (cosθ 2 + i senθ 2 )] = r1r2 [cos(θ1 + θ 2 ) + i sen(θ1 + θ 2 )] 4.9.

r1 (cosθ1 + i senθ1 ) r1 = [cos(θ1 − θ 2 ) + i sen (θ1 − θ 2 )] r2 (cosθ 2 + i senθ 2 ) r2

TEOREMA DE DE MOIVRE Para cualquier número real p, el teorema de De Moivre establece que 4.10. [r (cosθ + i senθ )] p = r p (cos pθ + i sen pθ )

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NÚMEROS COMPLEJOS

RAÍCES DE NÚMEROS COMPLEJOS Sea p = 1/n donde n es cualquier entero positivo. Entonces, 4.10 se puede escribir 4.11.

⎛ θ + 2kπ θ + 2kπ ⎞ [r (cosθ + i senθ )]1/n = r 1/n ⎜ cos + i sen n n ⎟⎠ ⎝

donde k es cualquier entero. De esta fórmula, se pueden obtener todas las n-ésimas raíces de un número complejo para k = 0, 1, 2, , n 1.

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Soluciones de ecuaciones algebraicas

ECUACIÓN CUADRÁTICA: ax 2 ! bx ! c " 0 5.1.

Soluciones:

− b ± b 2 − 4 ac 2a 4ac es el discriminante, entonces las raíces son x=

Si a, b, c son reales, y si D = b2

i) reales y no iguales si D > 0 ii) reales e iguales si D = 0 iii) complejas conjugadas si D < 0 5.2.

Si x1, x2 son las raíces, entonces x1 + x2 = b/a y x1x2 = c/a.

ECUACIÓN CÚBICA: x 3 ! a1 x 2 ! a2 x ! a3 " 0 Sea

Q=

3a2 − a12 9

R=

9a1a2 − 27a3 − 2a13 54

S = 3 R + Q3 + R2

donde ST =

5.3.

T = 3 R − Q3 + R2

Q.

Soluciones:

⎧x1 = S + T − 13 a1 ⎪ ⎨x 2 = − 12 (S + T ) − 13 a1 + 12 i 3 (S − T ) ⎪x = − 1 (S + T ) − 1 a − 1 i 3 (S − T ) 2 2 3 1 ⎩ 3

Si a1, a2, a3 son reales, y si D = Q3 + R2 es el discriminante, entonces i) una raíz es real y dos son complejas conjugadas si D > 0 ii) todas las raíces son reales y al menos dos son iguales si D = 0 iii) todas las raíces son reales y no iguales si D < 0 Si D < 0, el cálculo se simplifica usando trigonometría. 5.4.

Soluciones:

si D < 0 :

⎧x = 2 −Q cos( 13 θ ) − 13 a 1 ⎪1 1 θ x = 2 − Q cos( + 120 ° ) − 13 a1 ⎨ 2 3 ⎪x = 2 −Q cos( 1 θ + 240° ) − 1 a 3 3 ⎩ 3

donde cosθ = R/ −Q 3

13

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14 5.5.

SOLUCIONES DE ECUACIONES ALGEBRAICAS

x1 + x 2 + x3 = − a1 , x1 x 2 + x 2 x3 + x3 x1 = a2 , x1 x 2 x3 = − a3

donde x1, x2, x3 son las tres raíces.

ECUACIÓN CUÁRTICA: x 4 ! a1 x 3 ! a2 x 2 ! a3 x ! a4 " 0 Sea y1 una raíz real de la siguiente ecuación cúbica: 5.6.

y 3 − a2 y 2 + (a1a3 − 4 a4 ) y + (4 a2 a4 − a32 − a12 a4 ) = 0

Las cuatro raíces de la ecuación cuártica son las cuatro raíces de la siguiente ecuación: 5.7.

(

)

(

)

z 2 + 12 a1 ± a12 − 4a2 + 4 y1 z + 12 y1 m y12 − 4 a4 = 0

Al suponer que todas las raíces de 5.6 son reales, el cálculo se simplifica usando la raíz real particular que produce todos los coeficientes reales en la ecuación cuadrática 5.7.

5.8.

⎧x1 + x 2 + x3 + x 4 = − a1 ⎪⎪x1 x 2 + x 2 x3 + x3 x 4 + x 4 x1 + x1 x3 + x 2 x 4 = a2 ⎨x x x + x x x + x x x + x x x = − a 2 3 4 1 2 4 1 3 4 3 ⎪1 2 3 ⎪⎩x1 x 2 x3 x 4 = x 4

donde x1, x2, x3, x4 son las cuatro raíces.

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Factores de conversión

Longitud 1 kilómetro (km) 1 metro (m) 1 centímetro (cm) 1 milímetro (mm) 1 micra (m) 1 milimicra (mm) 1 angstrom (Å) Área

= 1000 metros (m) = 100 centímetros (cm) = 10 2 m = 10 3 m = 10 6 m = 10 9 m = 10 10 m

1 metro cuadrado (m2) = 10.76 pie2 1 pie cuadrado (pie2) = 929 cm2

1 pulgada (pulg) 1 pie (pie) 1 milla (mi) 1 milímetro 1 centímetro 1 metro 1 kilómetro

= 2.540 cm = 30.48 cm = 1.609 km = 10 3 pulg = 0.3937 pulg = 39.27 pulg = 0.6214 mi

1 milla cuadrada (mi2) = 640 acres 1 acre = 43 560 pie2

Volumen 1 litro (l) = 1 000 cm3 = 1.057 cuarto de galón (qt) = 61.02 pulg3 = 0.03532 pie3 1 metro cúbico (m3) = 1 000 l = 35.32 pie3 1 pie cúbico (pie3) = 7.481 galones americanos = 0.02832 m3 = 28.32 l 1 galón americano (gal) = 231 pulg3 = 3.785 l 1 galón británico = 1.201 galones americanos = 277.4 pulg3 Masa

1 kilogramo (kg) = 2.2046 libras (lb) = 0.06852 slug; 1 lb = 453.6 gm = 0.03108 slug 1 slug = 32.174 lb = 14.59 kg

Velocidad 1 km/hr = 0.2778 m/segundo = 0.6214 mi/hr = 0.9113 pie/segundo 1 mi/hr = 1.467 pie/segundo = 1.609 km/hr = 0.4470 m/segundo Densidad 1 gm/cm3 = 103 kg/m3 = 62.43 lb/pie3 = 1.940 slug/pie3 1 lb/pie3 = 0.01602 gm/cm3; 1 slug/pie3 = 0.5154 gm/cm3 Fuerza

1 newton (N) = 105 dinas = 0.1020 kgf = 0.2248 lbf 1 libra fuerza (lbf) = 4.448 N = 0.4536 kgf = 32.17 libras 1 kilogramo fuerza (kgf) = 2.205 lbf = 9.807 N 1 tonelada corta americana = 2 000 lbf; 1 tonelada larga = 2 240 lbf; 1 tonelada métrica = 2 205 lbf

Energía

1 joule = 1 N m = 107 ergs = 0.7376 lbf pie = 0.2389 cal = 9.481 × 10 4 Btu 1 lbf pie = 1.356 joules = 0.3239 cal = 1.285 × 10 3 Btu 1 caloría (cal) = 4.186 joules = 3.087 lbf pie = 3.968 × 10 3 Btu 1 Btu (British thermal unit) = 778 lbf pie = 1055 joules = 0.293 watt hr 1 kilowatt hora (kw hr) = 3.60 × 106 joules = 860.0 kcal = 3413 Btu 1 electro volt (ev) = 1.602 × 10 19 joule

Potencia

1 watt = 1 joule/seg = 107 ergs/seg = 0.2389 cal/seg 1 caballo de potencia (hp) = 550 lbf pie/seg = 33 000 lbf pie/min = 745.7 watts 1 kilowatt (kw) = 1.341 hp = 737.6 lbf pie/seg = 0.9483 Btu/seg

Presión

1 N/m2 = 10 dinas/cm2 = 9.869 × 10 6 atmósferas = 2.089 × 10 2 lbf/pie2 1 lbf/pulg2 = 6 895 N/m2 = 5.171 cm mercurio = 27.68 pulgada de agua 1 atm = 1.013 × 105 N/m2 = 1.013 × 106 dinas/cm2 = 14.70 lbf/pulg2 = 76 cm mercurio = 406.8 pulgada de agua

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Sección II: Geometría

7

Fórmulas geométricas

RECTÁNGULO DE LONGITUD b Y ANCHO a 7.1. Área = ab 7.2. Perímetro = 2a + 2b

a

b Figura 7-1

PARALELOGRAMO DE ALTURA h Y BASE b 7.3. Área = bh = ab sen u 7.4. Perímetro = 2a + 2b

a

h q b Figura 7-2

TRIÁNGULO DE ALTURA h Y BASE b 7.5. Área = 12 bh = 12 ab senθ = s(s − a)(s − b)(s − c)

a

donde s = 12 (a + b + c) = semiperímetro.

c

h

q b

7.6. Perímetro = a + b + c

Figura 7-3

TRAPECIO DE ALTURA h Y LADOS PARALELOS a Y b 7.7. Área = 12 h (a + b) ⎛ 1 1 ⎞ 7.8. Perímetro = a + b + h ⎜ + θ φ ⎟⎠ sen sen ⎝ = a + b + h (csc θ + csc φ )

a h f

q b Figura 7-4

16

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FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

POLÍGONO REGULAR DE n LADOS, CADA UNO DE LONGITUD b 7.9. Área = 14 nb 2 cot

π cos(π / n) = 14 nb 2 n sen (π / n)

b 2p

§n

7.10. Perímetro = nb

Figura 7-5

CÍRCULO DE RADIO r 7.11. Área = pr2 r

7.12. Perímetro = 2pr Figura 7-6

SECTOR DE CÍRCULO DE RADIO r 7.13. Área = 12 r 2θ [q en radianes] 7.14.

r

Longitud de arco s = rq

8

q r Figura 7-7

RADIO DE CÍRCULO INSCRITO EN UN TRIÁNGULO DE LADOS a, b, c 7.15. r =

s(s − a)(s − b)(s − c) s

donde s = 12 (a + b + c) = semiperímetro.

a

r

c

b Figura 7-8

RADIO DE CÍRCULO CIRCUNSCRITO A UN TRIÁNGULO DE LADOS a, b, c 7.16.

R=

abc 4 s(s − a)(s − b)(s − c)

donde s = 12 (a + b + c) = semiperímetro.

a

c R b

Figura 7-9

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FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

POLÍGONO REGULAR DE n LADOS INSCRITOS EN UN CÍRCULO DE RADIO r 2π 1 2 360° = 2 nr sen n n

7.17. Área = 12 nr 2 sen

7.18. Perímetro = 2nr sen

r

π 180° = 2nr sen n n

Figura 7-10

POLÍGONO REGULAR DE n LADOS CIRCUNSCRITOS EN UN CÍRCULO DE RADIO r 7.19. Área = nr 2 tan

π 180° = nr 2 tan n n

7.20. Perímetro = 2nr tan

r

π 180° = 2nr tan n n Figura 7-11

SEGMENTO DE CÍRCULO DE RADIO r 7.21. Área de parte sombreada = 12 r 2 (θ − sen θ ) r

q

r

Figura 7-12

ELIPSE DE SEMIEJE MAYOR a Y SEMIEJE MENOR b 7.22. Área = pab 7.23. Perímetro = 4 a ∫

π/ 2

0

= 2π

1 2

b

1 − k 2 sen 2 θ dθ

a

(a 2 + b 2 ) [aproximadamente] Figura 7-13

donde k = a 2 − b 2 /a. Vea la tabla 29 para consultar los valores numéricos.

SEGMENTO DE UNA PARÁBOLA 7.24. Área = 23 ab 7.25. Longitud de arco ABC =

B 1 2

b 2 + 16a 2 +

⎛ 4 a + b 2 + 16a 2 ⎞ b2 ln ⎜ ⎟ 8a ⎝ b ⎠

a A

b

C

Figura 7-14

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FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

PARALELEPÍPEDO RECTANGULAR DE LONGITUD a, ALTURA b, ANCHO c 7.26. Volumen = abc

c

7.27. Área de superficie = 2(ab + ac + bc)

b a Figura 7-15

PARALELEPÍPEDO DE ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL A Y ALTURA h 7.28. Volumen = Ah = abc sen q

A h

b

q a Figura 7-16

ESFERA DE RADIO r 7.29. Volumen = 4 π r 3 3

r

7.30. Área de superficie = 4pr2

Figura 7-17

CILINDRO CIRCULAR RECTO DE RADIO r Y ALTURA h 7.31. Volumen = pr2h

r

7.32. Área de superficie lateral = 2prh

h

Figura 7-18

CILINDRO CIRCULAR DE RADIO r Y ALTURA INCLINADA l 7.33. Volumen = pr2h = pr2l sen u 2π rh 7.34. Área de superficie lateral = 2π rl = = 2π rh cscθ senθ

r l

q

h

Figura 7-19

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FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

CILINDRO DE ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL A Y ALTURA INCLINADA l 7.35. Volumen = Ah = Al sen q

p A

7.36. Área de superficie lateral = ph = pl sen q l

Observe que las fórmulas 7.31 a 7.34 son casos especiales de las fórmulas 7.35 y 7.36.

h q Figura 7-20

CONO CIRCULAR RECTO DE RADIO r Y ALTURA h 7.37. Volumen = 13 π r 2h

r

7.38. Área de superficie lateral = π r r 2 + h 2 = π rl

h

l

Figura 7-21

PIRÁMIDE DE ÁREA BASE A Y ALTURA h 7.39. Volumen = 13 Ah h A Figura 7-22

TAPA ESFÉRICA DE RADIO r Y ALTURA h 7.40. Volumen (sombreado en la figura) = 13 π h 2 (3r − h) h

7.41. Área de superficie = 2p rh

r

Figura 7-23

TRONCO DE CONO CIRCULAR RECTO DE RADIOS a, b Y ALTURA h 7.42. Volumen = 13 π h(a 2 + ab + b 2 ) 7.43. Área de superficie lateral = π (a + b) h 2 + (b − a)2 = p (a + b)l

a l

h b Figura 7-24

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FÓRMULAS GEOMÉTRICAS

TRIÁNGULO ESFÉRICO DE ÁNGULOS A, B, C SOBRE LA ESFERA DE RADIO r 7.44. Área de triángulo ABC = (A + B + C

p)r 2 B r A

C

Figura 7-25

TORO DE RADIO INTERIOR a Y RADIO EXTERIOR b 7.45. Volumen = 14 π 2 (a + b)(b − a)2 7.46. Área de superficie = p 2(b2

a2)

a

b

Figura 7-26

ELIPSOIDE DE SEMIEJES a, b, c 7.47. Volumen = 43 π abc

c b a

Figura 7-27

PARABOLOIDE DE REVOLUCIÓN 7.48. Volumen = 12 π b 2 a a

b Figura 7-28

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Fórmulas de la geometría analítica plana

DISTANCIA d ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2) 8.1. d = ( x 2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2

y P1 (x1, y1)

P2 (x2, y2)

d

(y2 - y1)

(x2 - x1) q

x2

x1

x

Figura 8-1

PENDIENTE m DE LA RECTA QUE UNE DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2) 8.2. m =

y2 − y1 = tan θ x 2 − x1

ECUACIÓN DE LA RECTA QUE PASA POR DOS PUNTOS P1(x1, y1) Y P2(x2, y2) 8.3.

y − y1 y2 − y1 = = m o y − y1 = m( x − x1 ) x − x1 x 2 − x1

8.4. y = mx + b donde b = y1 − mx1 =

x 2 y1 − x1 y2 es la intersección sobre el eje y, es decir, la intersección y. x 2 − x1

ECUACIÓN DE LA RECTA EN TÉRMINOS DE LA INTERSECCIÓN DE x EN a Y DE y EN b 0 8.5.

x y + =1 a b

0

y

b a

22

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x

Figura 8-2

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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

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FORMA NORMAL PARA LA ECUACIÓN DE LA RECTA 8.6. x cos a + y sen a = p

y

donde p = distancia perpendicular desde el origen O hasta la recta y a = ángulo de inclinación de la perpendicular con el eje x positivo.

p a

x

O Figura 8-3

ECUACIÓN GENERAL DE LA RECTA 8.7. Ax + By + C = 0

DISTANCIA DESDE EL PUNTO (x1, y1) A LA RECTA Ax ! By ! C " 0 8.8.

Ax1 + By1 + C ± A2 + B 2

donde el signo se escoge de manera que la distancia no sea negativa.

ÁNGULO y 8.9. tan ψ =

ENTRE DOS RECTAS CON PENDIENTES

m1 Y m2

m2 − m1 1 + m1m2

y

Las rectas son paralelas o coincidentes si y sólo si m1 = m2. Las rectas son perpendiculares si y sólo si m2 = 1/m1.

y

pendiente m1 pendiente m2 x

Figura 8-4

ÁREA DE UN TRIÁNGULO CON VÉRTICES EN (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3) 8.10.

x 1 1 Área = ± x 2 2 x3

y1 1 y2 1 y3 1

1 = ± ( x1 y2 + y1 x3 + y3 x 2 − y2 x3 − y1 x 2 − x1 y3 ) 2

donde el signo se escoge de manera que el área no sea negativa. Si el área es cero, todos los puntos pasan sobre una recta.

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y

(x1, y1)

(x2, y2)

(x3, y3) x Figura 8-5

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24

FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN UNA TRASLACIÓN PURA ⎧x = x ′ + x 0 8.11. ⎨ ⎩⎪y = y′ + y0

o

⎧x ′ = x − x 0 ⎨ ⎩⎪y′ = y − y0

y

y' (x0, y0) O'

donde (x, y) son viejas coordenadas (es decir, coordenadas relativas al sistema xy); (x′, y′) son nuevas coordenadas (relativas al sistema x′, y′) y (x0, y0) son las coordenadas del nuevo origen O′ relativo al viejo sistema coordenado xy.

x' x

O Figura 8-6

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN UNA ROTACIÓN PURA ⎧x = x ′ cos α − y′senα 8.12. ⎨ ⎩ y = x ′senα + y′ cos α

o

⎧x ′ = x cos α + y senα ⎨ ⎩ y′ = y cos α − x senα

y

y'

donde el origen del viejo [xy] y nuevo [x′y′] sistema coordenado es el mismo, pero el eje x′ hace un ángulo a con el eje positivo x.

O

x'

a

x

Figura 8-7

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN Y ROTACIÓN

8.13.

⎧x = x ′ cos α − y′ senα + x 0 ⎨ ⎪⎩ y = x ′ senα + y′ cos α + y0 ⎧x ′ = ( x − x 0 )cos α + ( y − y0 ) senα o ⎨ ⎩⎪ y′ = ( y − y0 )cos α − ( x − x 0 ) senα

donde el nuevo origen O′ del sistema coordenado x′y′ tiene coordenadas (x0, y0) relativas al viejo sistema coordenado xy y el eje x′ hace un ángulo a con el eje positivo x.

y

y'

x' O' (x0, y0)

a

x

O Figura 8-8

COORDENADAS POLARES (r, q ) Un punto P se puede localizar mediante coordenadas rectangulares (x, y) o coordenadas polares (r, u). La transformación entre esas coordenadas es como sigue: ⎧ x = r cosθ 8.14. ⎨ ⎩ y = r sen θ

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o

⎧⎪ r = x 2 + y 2 ⎨ −1 ⎩⎪ θ = tan ( y / x)

y

r O

q

Ï(x, y) P Ì(x, q) Ó x

Figura 8-9

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25

FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO R, CON CENTRO EN (x0, y0) 8.15. (x

x0)2 + (y

y0)2 = R2

y R (x0, y0)

x

Figura 8-10

ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA DE RADIO R QUE PASA A TRAVÉS DEL ORIGEN 8.16. r = 2R cos(u

a)

y

donde (r, u) son coordenadas polares de cualquier punto sobre la circunferencia y (R, a) son coordenadas del centro de la circunferencia.

(R, a) R a

x

Figura 8-11

CÓNICAS (ELIPSE, PARÁBOLA O HIPÉRBOLA) Si un punto P se mueve de manera que su distancia desde un punto fijo (llamado foco) dividido por su distancia desde una línea fija (llamada directriz) es una constante ! (llamada excentricidad), entonces la curva descrita por P es llamada cónica (se le nombra así porque tales curvas pueden obtenerse al intersecar un plano y un cono a diferentes ángulos). Si el foco se escoge en el origen O, la ecuación de una cónica en coordenadas polares (r, u) si OQ = p y LM = D (vea la figura 8-12), es 8.17. r =

!D p = 1 − ! cos θ 1 − ! cos θ

La cónica es i) una elipse si ! < 1 ii) una parábola si ! = 1 iii) una hipérbola si ! > 1

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y L

M

P(r, q)

Q r p V

O

q

x

Foco

Directriz D Figura 8-12

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26

FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

ELIPSE CON CENTRO C(x0, y0) Y EJE MAYOR PARALELO AL EJE x y

8.18. Longitud de eje mayor A′A = 2a 8.19. Longitud de eje menor B′B = 2b

B

A'

8.20. La distancia desde el centro C al foco F o F′ es

C

F'

c = a2 − b2

F

A

B' x

O

c a2 − b2 8.21. Excentricidad: ! = = a a

Figura 8-13

8.22. Ecuación en coordenadas rectangulares ( x − x 0 )2 ( y − y0 )2 + =1 a2 b2

8.23. Ecuación en coordenadas polares si C está en O: r 2 =

a 2b 2 a 2 sen 2θ + b 2 cos 2 θ

8.24. Ecuación en coordenadas polares si C está sobre el eje x y F′ está en O: r =

a (1 − ! 2 ) 1 − ! cos θ

8.25. Si P es cualquier punto sobre la elipse, PF + PF′ = 2a Si el eje mayor es paralelo al eje y, intercambie x y y en las fórmulas de arriba o reemplace u por 12 π − θ (o 90 u).

PARÁBOLA CON EJE PARALELO AL EJE x Si el vértice está en A (x0, y0) y la distancia desde A hasta el foco F es a > 0, la ecuación de la parábola es 8.26. (y

y0)2 = 4a(x

8.27. (y

y0)2 = 4a(x

x0) x0)

si la parábola abre a la derecha (figura 8-14) si la parábola abre a la izquierda (figura 8-15)

Si el foco está en el origen (figura 8-16), la ecuación en coordenadas polares es 8.28. r =

2a 1 − cos θ y

y

y

r A (x0, y0)

a

a

F

O

Figura 8-14

F

a

A (x0,y0)

x

O

Figura 8-15

x

x

Figura 8-16

En caso de que el eje sea paralelo al eje y, intercambie x y y o reemplace u por 12 π − θ (o 90

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q O

u).

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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA PLANA

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HIPÉRBOLA CON CENTRO C(x0, y0) Y EJE MAYOR PARALELO AL EJE x H'

H

y

B C A

A'

F'

F

B' x

O G'

G Figura 8-17

8.29. Longitud del eje mayor A′A = 2a 8.30. Longitud del eje menor B′B = 2b 8.31. La distancia desde el centro C al foco F o F′ es c = a 2 + b 2 8.32. Excentricidad: ! =

c = a

a2 + b2 a

8.33. Ecuación en coordenadas rectangulares: 8.34. Pendientes de asíntotas G′H y GH ′ = ±

( x − x 0 )2 ( y − y0 )2 − =1 a2 b2

b a

8.35. Ecuación en coordenadas polares si C está en O: r 2 =

a 2b 2 b 2 cos 2 θ − a 2 sen 2θ

8.36. Ecuación en coordenadas polares si C está sobre el eje x y F′ está en O: r = 8.37. Si P es cualquier punto sobre la hipérbola, PF

a(! 2 − 1) 1 − ! cos θ

PF′ = ±2a (dependiendo de la rama).

Si el eje mayor es paralelo al eje y, intercambie x y y en las fórmulas de arriba o reemplace u por 12 π − θ (o 90 u).

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9

Curvas planas especiales

LEMNISCATA 9.1. Ecuación en coordenadas polares:

y

A

r2 = a2 cos 2u 9.2. Ecuación en coordenadas rectangulares: (x2 + y2)2 = a2(x2

B

a

x

y2) A'

9.3. Ángulo entre AB′ o A′B y el eje x = 45

B' Figura 9-1

9.4. Área de un lazo = a2

CICLOIDE 9.5. Ecuaciones en forma paramétrica: ⎧x = a(φ − sen φ ) ⎨ ⎩ y = a(1 − cos φ )

9.6. Área de un arco = 3p a2 9.7. Longitud de arco de un arco = 8a Esta es una curva descrita por un punto P sobre una circunferencia de radio a que rueda sin deslizarse a lo largo del eje x.

y

P

f

2a

O

2pa

x

Figura 9-2

HIPOCICLOIDE CON CUATRO CÚSPIDES 9.8. Ecuación en coordenadas rectangulares: x2/3 + y2/3 = a2/3

y

9.9. Ecuación en forma paramétrica: ⎧x = a cos3 θ ⎨ ⎩y = a sen 3 θ

a O

P

x

9.10. Área limitada por la curva = 83 π a 2 9.11. Longitud de arco de la curva entera = 6a Esta es una curva descrita por un punto P sobre una circunferencia de radio a/4 que rueda sin deslizarse dentro de un círculo de radio a.

Figura 9-3

28

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29

CURVAS PLANAS ESPECIALES

CARDIOIDE 9.12. Ecuación: r = 2a(1 + cos u)

y

P

9.13. Área sombreada por curva = 6pa2

a B

a

9.14. Longitud de arco de curva = 16a

x

A

Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio a tal como rueda sobre el exterior de un círculo fijo de radio a. La curva es también un caso especial del caracol de Pascal (vea 9.32). Figura 9-4

CATENARIA 9.15. Ecuación: y =

a x /a − x /a x (e + e ) = a cos h 2 a

y

A

Esta es la curva que se forma al colgar una cadena uniforme que se suspende entre dos puntos fijos A y B.

B

a

x

O Figura 9-5

ROSA DE TRES HOJAS 9.16. Ecuación: r = a cos 3u La ecuación r = a sen 3u es una curva similar que se obtiene al rotar la curva de la figura 9-6 en sentido contrario a las manecillas del reloj 30 o p/6 radianes. En general, r = a cos nu o r = a sen nu tiene n hojas si n es impar.

y

a

x

a

x

Figura 9-6

ROSA DE CUATRO HOJAS 9.17. Ecuación: r = a cos 2u La ecuación r = a sen 2u es una curva similar que se obtiene al rotar la curva de la figura 9-7 en sentido contrario a las manecillas del reloj 45 o p/4 radianes. En general, r = a cos nu o r = a sen nu tiene 2n hojas si n es par.

y

Figura 9-7

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CURVAS PLANAS ESPECIALES

EPICICLOIDE 9.18. Ecuaciones paramétricas:

y

⎧ ⎛ a + b⎞ θ ⎪ x = (a + b)cosθ − b cos ⎜ ⎝ b ⎟⎠ ⎪ ⎨ ⎪y = (a + b) senθ − b sen ⎛ a + b ⎞ θ ⎜⎝ b ⎟⎠ ⎪⎩

b a

P

q

x

O

Esta es la curva descrita por un punto P sobre una circunferencia de radio b que rueda sin deslizarse por fuera de un círculo de radio a. La cardioide (figura 9-4) es un caso especial de una epicicloide.

Figura 9-8

HIPOCICLOIDE GENERAL 9.19. Ecuaciones paramétricas:

y

⎧ ⎛ a − b⎞ φ ⎪x = (a − b)cos φ + b cos ⎜ ⎝ b ⎟⎠ ⎪ ⎨ ⎛ a − b⎞ ⎪ ⎪y = (a − b) sen φ − b sen ⎜⎝ b ⎟⎠ φ ⎩

b a

P

x

O

Esta es la curva descrita por un punto P de una circunferencia de radio b que rueda sin deslizarse por dentro de un círculo de radio a. Si b = a/4, la curva es la de la figura 9-3.

Figura 9-9

TROCOIDE ⎧x = aφ − b sen φ 9.20. Ecuaciones paramétricas: ⎨ ⎩ y = a − b cos φ

Ésta es una curva descrita por un punto P a la distancia b desde el centro de una circunferencia de radio a, cuando esta última sigue al eje x. Si b < a, la curva es como la que se muestra en la figura 9-10 y se llama cicloide acortada. Si b > a, la curva es como la que se muestra en la figura 9-11 y se llama cicloide alargada. Si b = a, la curva es el cicloide de la figura 9-2. Z

Z

1 C

1 B 0 Figura 9-10

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C

B Y

0

Y

Figura 9-11

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CURVAS PLANAS ESPECIALES

TRACTRIZ ⎧x = a(ln cot 12 φ − cos φ ) 9.21. Ecuaciones paramétricas: ⎨ ⎩y = a sen φ

Esta es la curva descrita por el punto final P de una cuerda tensa PQ de longitud a cuando el otro extremo Q se mueve a lo largo del eje x.

y P

a

f

O

x

Q

Figura 9-12

BRUJA DE AGNESI 9.22. Ecuaciones en coordenadas rectangulares: y =

8a 3 x + 4a 2

y

2

A

⎧ 9.23. Ecuaciones paramétricas: ⎨x = 2a cot θ ⎩y = a(1 − cos 2θ )

2a

En la figura 9-13, la línea variable OA interseca y = 2a y el círculo de radio a con centro (0, a) en A y B, respectivamente. Cualquier punto P sobre la “bruja” se localiza al construir líneas paralelas a los ejes x y y a través de B y A, respectivamente, y determinar el punto P de intersección.

P

B q

x

O Figura 9-13

FOLIO DE DESCARTES

y

9.24. Ecuación en coordenadas rectangulares: x + y = 3axy 3

3

9.25. Ecuaciones paramétricas: ⎧ 3at ⎪⎪x = 1 + t 3 ⎨ 2 ⎪y = 3at 1 + t3 ⎪⎩

9.26. Área de lazo =

3 2 a 2

x

O

Figura 9-14

9.27. Ecuación de asíntota: x + y + a = 0

INVOLUTA DE UNA CIRCUNFERENCIA

y

9.28. Ecuaciones paramétricas:

P

⎧x = a(cos φ + φ senφ ) ⎨ ⎩y = a(senφ − φ cos φ )

Esta es la curva descrita por el punto extremo P de una cuerda cuando rueda desde una circunferencia de radio a mientras se mantiene tenso.

f O

x

Figura 9-15

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CURVAS PLANAS ESPECIALES

EVOLUTA DE UNA ELIPSE 9.29. Ecuación en coordenadas rectangulares: (ax)2/3 + (by)2/3 = (a2

b2)2/3

y

9.30. Ecuaciones paramétricas:

x

⎧ax = (a 2 − b 2 )cos3 θ ⎨ 2 2 3 ⎩by = (a − b ) sen θ

O

Esta curva es la envolvente de las normales a la elipse x2/a2 + y2/b2 = 1 que se muestra punteada en la figura 9-16.

Figura 9-16

ÓVALOS DE CASSINE 9.31. Ecuación polar: r4 + a4

2a2r2 cos 2u = b4

Esta es la curva descrita por un punto P de manera que el producto de su distancia desde dos puntos fijos (apartados una distancia 2a) es una constante b2. La curva es como la que se muestra en las figuras 9-17 o 9-18, acordando que b < a o b > a, respectivamente. Si b = a, la curva es una lemniscata (figura 9-1). y

y

P P –a

a

O

x

–a

O

Figura 9-17

a

x

Figura 9-18

CARACOL DE PASCAL 9.32. Ecuación polar: r = b + a cos u Sea OQ una línea que une al origen O a cualquier punto Q sobre una circunferencia de diámetro a pasando a través de O. Entonces, la curva es el lugar geométrico de todos los puntos P, de manera que PQ = b. La curva es como en las figuras 9-19 o 9-20, acordando que 2a > b > a, o b < a, respectivamente. Si b = a, la curva es una cardioide (figura 9-4). Si b ! 2a, la curva es convexa. y

y P Q

O P

b

a

Figura 9-19

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x

x

O

Figura 9-20

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CURVAS PLANAS ESPECIALES

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CISOIDE DE DIOCLES 9.33. Ecuación en coordenadas rectangulares:

y

x3 y = 2a − x

S

2

R

9.34. Ecuaciones paramétricas: ⎧x = 2a sen 2θ ⎪ 2a sen 3θ ⎨ ⎪⎩y = cosθ

Esta es la curva descrita por un punto P de manera que la distancia OP = distancia RS. Se usa en el problema de duplicación de un cubo, es decir, encontrar el lado de un cubo que tiene dos veces el volumen de un cubo dado.

P

a

x

O

Figura 9-21

ESPIRAL DE ARQUÍMEDES 9.35. Ecuación polar: r = au

y

x O

Figura 9-22

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10

Fórmulas de la geometría analítica espacial

DISTANCIA d ENTRE DOS PUNTOS P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2) z

10.1. d = ( x 2 − x1 )2 + ( y2 − y1 )2 + (z 2 − z1 )2

P1 (x1, y1, z1)

g

d b

P2 (x2, y2, z2)

a

y

O

x Figura 10-1

COSENOS DIRECTORES DE UNA RECTA QUE UNE A LOS PUNTOS P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2) 10.2. l = cos α =

z − z1 y − y1 x 2 − x1 , m = cos β = 2 , n = cos γ = 2 d d d

donde a, b, g son los ángulos que la línea P1P2 hace con los ejes positivos x, y, z, respectivamente, y d está dado por 10.1 (vea la figura 10-1).

RELACIÓN ENTRE LOS COSENOS DIRECTORES 10.3. cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1 o l 2 + m 2 + n 2 = 1

NÚMEROS DIRECTORES Los números L, M, N, que son proporcionales a los cosenos directores l, m, n, son llamados números directores. La relación entre ellos está dada por 10.4. l =

L L +M +N 2

2

2

M

, m=

L +M +N 2

2

2

, n=

N L + M2 + N2 2

ECUACIONES DE LA RECTA QUE UNEN P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2) EN FORMA ESTÁNDAR 10.5.

x − x1 y − y1 z − z1 = = x 2 − x1 y2 − y1 z 2 − z1

o

x − x1 y − y1 z − z1 = = l m n

Estas son también válidas si l, m, n son reemplazadas por L, M, N, respectivamente.

34

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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL

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ECUACIONES DE LA RECTA QUE UNEN P1(x1, y1, z1) Y P2(x2, y2, z2) EN FORMA PARAMÉTRICA x = x1 + lt , y = y1 + mt , z = z1 + nt

10.6.

Éstas también son válidas si l, m, n son reemplazadas por L, M, N, respectivamente.

ÁNGULO f ENTRE DOS RECTAS CON COSENOS DIRECTORES l1, m1, n1 Y l2, m2, n2 cos φ = l1l2 + m1m2 + n1n2

10.7.

ECUACIÓN GENERAL DE UN PLANO Ax + By + Cz + D = 0

10.8.

(A, B, C, D son constantes)

ECUACIÓN DEL PLANO QUE PASA A TRAVÉS DE LOS PUNTOS (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) y (x3, y3, z3) x − x1 y − y1 z − z1 x 2 − x1 y2 − y1 z 2 − z1 = 0 x3 − x1 y3 − y1 z3 − z1

10.9. o 10.10.

y2 − y1 y3 − y1

z2 − z1 z −z ( x − x1 ) + 2 1 z3 − z1 z3 − z1

x − x1 x 2 − x1 ( y − y1 ) + 2 x3 − x1 x3 − x1

y2 − y1 (z − z1 ) = 0 y3 − y1

ECUACIÓN DEL PLANO POR SUS INTERSECCIONES DE LOS EJES 10.11.

x y z + + =1 a b c

z

donde a, b, c son las intersecciones sobre los ejes x, y, z, respectivamente.

c a

O

b

y

x Figura 10-2

ECUACIÓN DE LA RECTA A TRAVÉS DE (x0, y0, z0) Y PERPENDICULAR AL PLANO Ax + By + Cz + D = 0 10.12.

x − x0 y − y0 z − z0 = = A B C

o x = x 0 + At , y = y0 + Bt , z = z 0 + Ct

Observe que los números directores para una línea perpendicular al plano Ax + By + Cz + D = 0 son A, B, C.

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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL

DISTANCIA DESDE EL PUNTO (x0, y0, z0) AL PLANO Ax ! By ! Cz ! D " 0 10.13.

Ax 0 + By0 + Cz 0 + D ± A2 + B 2 + C 2

donde el signo se escoge de manera que la distancia no sea negativa.

FORMA NORMAL PARA LA ECUACIÓN DEL PLANO 10.14.

x cos α + y cos β + z cos γ = p

z

donde p = distancia perpendicular desde O al plano en P y a, b, g son ángulos ente OP y los ejes positivos x, y, z. g a

P p b

y

O

x Figura 10-3

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN PURA 10.15.

⎧x = x ′ + x 0 ⎪ ⎨y = y′ + y0 ⎪ z = z′ + z 0 ⎩

⎧x ′ = x − x 0 ⎪ o ⎨y′ = y − y0 ⎪ z′ = z − z 0 ⎩

z

z¢ (x0, y0, z0) y¢ O¢

donde (x, y, z) son viejas coordenadas (es decir, coordenadas relativas al sistema xyz); (x′, y′, z′) son nuevas coordenadas (relativas al sistema x′, y′, z′) y (x0, y0, z0) son las coordenadas del nuevo origen O′ relativas al viejo sistema coordenado xyz.

x¢

y

O x Figura 10-4

TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN ROTACIÓN PURA 10.16.

⎧x = l1x ′ + l2 y′ + l3 z ′ ⎪ ⎨y = m1x ′ + m2 y′ + m3 z ′ ⎪ z = n x ′ + n y′ + n z ′ 1 2 3 ⎩

z

z¢

y¢

⎧x ′ = l1x + m1 y + n1z ⎪ o ⎨y′ = l2 x + m2 y + n2 z ⎪z ′ = l x + m y + n z 3 3 3 ⎩

donde los orígenes de los sistemas xyz y x′y′z′ son los mismos y l1, m1, n1; l2, m2, n2; l3, m3, n3 son los cosenos directores de los ejes x′, y′, z′ relativos a los ejes x, y, z, respectivamente.

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y

O

x

x¢ Figura 10-5

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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL

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TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS QUE INVOLUCRAN TRASLACIÓN Y ROTACIÓN ⎧x = l1x ′ + l2 y′ + l3 z ′ + x 0 ⎪ ⎨y = m1x ′ + m2 y′ + m3 z ′ + y0 ⎪ z = n x ′ + n y′ + n z ′ + z 1 2 3 0 ⎩

10.17.

z

⎧x ′ = l1 ( x − x 0 ) + m1 ( y − y0 ) + n1 (z − z 0 ) ⎪ o ⎨y′ = l2 ( x − x 0 ) + m2 ( y − y0 ) + n2 ( z − z0 ) ⎪z ′ = l ( x − x ) + m ( y − y ) + n ( z − z ) 0 3 0 3 0 3 ⎩

z¢

y¢

O¢ (x0, y0, z0) y

O x¢

donde el origen O′ del sistema x′y′z′ tiene coordenadas (x0, y0, z0) relativas al sistema xyz y l1 , m1 , n1; l2 , m2 , n2 ; l3 , m3 , n3 son los cosenos directores de los ejes x′, y′, z′ relativos a los ejes x, y, z, x respectivamente.

Figura 10-6

COORDENADAS CILÍNDRICAS (r, q, z) Un punto P se puede localizar mediante coordenadas cilíndricas (r, u, z) (vea la figura 10-7) así como con coordenadas rectangulares (x, y, z). La transformación entre estas coordenadas es 10.18.

z Ï (x, y, z) P Ì(x, q, z)

⎧r = x 2 + y 2 ⎧x = r cosθ ⎪ ⎪ −1 ⎨y = r sen θ o ⎨θ = tan ( y / x ) ⎪⎩z = z ⎪z = z ⎩

Ó

z

O

y r

q

x

y

x

Figura 10-7

COORDENADAS ESFÉRICAS (r, q, f ) Un punto P se puede localizar mediante coordenadas esféricas (r, u, f) (vea la figura 10-8) así como con coordenadas rectangulares (x, y, z). La transformación entre estas coordenadas es ⎧x = r sen θ cos φ ⎪ ⎨y = r sen θ sen φ ⎪⎩z = r cosθ

10.19.

⎧r = x 2 + y 2 + z 2 ⎪ o ⎨φ = tan −1 ( y / x ) ⎪θ = cos −1 (z / x 2 + y 2 + z 2 ) ⎩

Ï(x, y, z) P Ì(r, q, f)

z

Ó

r q

z y

x x

f y Figura 10-8

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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL

ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS RECTANGULARES 10.20. ( x − x 0 )2 + ( y − y0 )2 + (z − z0 )2 = R 2 z

donde la esfera tiene centro (x0, y0, z0) y radio R.

R (x0, y0, z0)

y

O

x Figura 10-9

ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS CILÍNDRICAS 10.21. r 2 − 2r0 r cos(θ − θ 0 ) + r02 + (z − z0 )2 = R 2 donde la esfera tiene centro (r0, u0, z0) en coordenadas cilíndricas y radio R. Si el centro está en el origen, la ecuación es 10.22. r 2 + z 2 = R 2

ECUACIÓN DE LA ESFERA EN COORDENADAS ESFÉRICAS 10.23. r 2 + r02 − 2r0 r sen θ sen θ 0 cos(φ − φ0 ) = R 2 donde la esfera tiene centro (r0, u0, f0) en coordenadas esféricas y radio R. Si el centro está en el origen, la ecuación es 10.24. r = R

ECUACIÓN DE UN ELIPSOIDE CON CENTRO (x0, y0, z0) Y SEMIEJES a, b, c 10.25.

( x − x 0 )2 ( y − y0 )2 (z − z0 )2 + + =1 a2 b2 c2

z

c a

b y

x Figura 10-10

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FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL

39

CILINDRO ELÍPTICO CON EL EJE z COMO EJE 10.26.

x 2 y2 + =1 a2 b2

z

donde a, b son semiejes de la sección transversal de la elipse. Si b = a, entonces se convierte en un cilindro circular de radio a.

b

a

y

x Figura 10-11

CONO ELÍPTICO CON EL EJE z COMO EJE 10.27.

x 2 y2 z 2 + = a2 b2 c2

z a

b c y

x

Figura 10-12

HIPERBOLOIDE DE UNA HOJA 10.28.

x 2 y2 z 2 + − =1 a2 b2 c2

z

y

O

x Figura 10-13

HIPERBOLOIDE DE DOS HOJAS 10.29.

x 2 y2 z 2 − − =1 a2 b2 c2

y

Observe la orientación de los ejes en la figura 10-14. x O

z Figura 10-14

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40

FÓRMULAS DE LA GEOMETRÍA ANALÍTICA ESPACIAL

PARABOLOIDE ELÍPTICO 10.30.

x 2 y2 z + = a2 b2 c

z a

b c y O

x Figura 10-15

PARABOLOIDE HIPERBÓLICO 10.31.

x 2 y2 z − = a2 b2 c

z

Observe la orientación de los ejes en la figura 10-16.

y

O

x

Figura 10-16

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11

Momentos de inercia especial

La tabla siguiente muestra los momentos de inercia de varios cuerpos rígidos de masa M. En todos los casos se supone que el cuerpo tiene densidad uniforme (es decir, constante). Tipo de cuerpo rígido

Momento de inercia

11.1.

Barra delgada de longitud a

a)

con respecto al eje perpendicular a la barra a través del centro de masa

1 12

Ma 2

b)

con respecto al eje perpendicular a la barra a través de un extremo

1 3

Ma 2

11.2.

Paralelepípedo rectangular con lados a, b, c

a)

con respecto al eje paralelo a c y a través del centro de cara ab

b)

con respecto al eje a través del centro de cara bc y paralelo a c

11.3.

Placa rectangular delgada con lados a, b

a)

con respecto al eje perpendicular a la placa a través del centro

b)

con respecto al eje paralelo de lado b a través del centro

11.4.

Cilindro circular de radio a y altura h

a)

con respecto al eje del cilindro

b)

con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular al eje del cilindro

c)

con respecto al eje coincidente con el diámetro en un extremo

11.5.

Cilindro circular hueco de radio exterior a, radio interior b y altura h

a)

con respecto al eje del cilindro

b)

con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular al eje del cilindro

c)

con respecto al eje coincidente con el diámetro en un extremo

11.6.

Placa circular de radio a

a)

con respecto al eje perpendicular a la placa a través del centro

1 2

Ma 2

b)

con respecto al eje coincidente con un diámetro

1 4

Ma 2

M (a 2 + b 2 ) M (4 a 2 + b 2 )

1 12 1 12

1 12

1 12

Ma 2

1 2

Ma 2

M (4 h 2 + 3a 2 )

1 2 1 12

1 12

M (h 2 + 3a 2 )

1 12 1 12

M (a 2 + b 2 )

M (a 2 + b 2 )

M (3a 2 + 3b 2 + h 2 ) M (3a 2 + 3b 2 + 4 h 2 )

41

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42

MOMENTOS DE INERCIA ESPECIAL

11.7. Placa circular hueca o anillo con radio exterior a y radio interior b a)

con respecto al eje perpendicular al plano de la placa a través del centro

1 2

M (a 2 + b 2 )

b)

con respecto al eje coincidente con un diámetro

1 4

M (a 2 + b 2 )

11.8. Anillo circular delgado de radio a a)

con respecto al eje perpendicular al plano de anillo a través del centro

b)

con respecto al eje coincidente con un diámetro

Ma2 1 2

Ma 2

11.9. Esfera de radio a a)

con respecto al eje coincidente con un diámetro

2 5

Ma 2

b)

con respecto a un eje tangente a la superficie

7 5

Ma 2

11.10. Esfera hueca de radio exterior a y radio interior b a)

con respecto al eje coincidente con un diámetro

b)

con respecto a un eje tangente a la superficie

2 5 2 5

M (a 5 − b 5 )/(a 3 − b 3 )

M (a 5 − b 5 )/(a 3 − b 3 ) + Ma 2

11.11. Cascarón esférico hueco de radio a a)

con respecto al eje coincidente con un diámetro

2 3

Ma 2

b)

con respecto a un eje tangente a la superficie

5 3

Ma 2

11.12. Elipsoide con semiejes a, b, c a)

con respecto al eje coincidente con el semieje c

b)

con respecto al eje tangente a la superficie, paralelo al semieje c y a una distancia a del centro

1 5 1 5

M (a 2 + b 2 ) M (6a 2 + b 2 )

11.13. Cono circular de radio a y altura h 3 10

Ma 2

a)

con respecto al eje del cono

b)

con respecto al eje a través del vértice y perpendicular al eje

3 20

M (a 2 + 4 h 2 )

c)

con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular al eje

3 80

M (4 a 2 + h 2 )

11.14. Toro con radio exterior a y radio interior b a)

con respecto al eje a través del centro de masa y perpendicular al plano del toro

b)

con respecto al eje a través del centro de masa y en el plano del toro

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1 4 1 4

M (7a 2 − 6ab + 3b 2 ) M (9a 2 − 10 ab + 5b 2 )

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Sección III: Funciones elementales trascendentales

12

Funciones trigonométricas

DEFINICIÓN DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS PARA UN TRIÁNGULO RECTÁNGULO El triángulo ABC tiene un ángulo recto (90°) en C y longitud de lados a, b, c. Las funciones trigonométricas del ángulo A están definidas como sigue: 12.1. seno de A = sen A =

a cateto opuesto = c hipotenusa

12.2. coseno de A = cos A =

B

b cateto adyacente = c hipotenusa c

a cateto opuesto = b cateto adyacente b cateto adyacente cotangente de A = cot A = = a cateto opuesto

12.3. tangente de A = tan A = 12.4. 12.5.

A

C

b

c hipotenusa secante de A = sec A = = b cateto adyacente

12.6. cosecante de A = csc A =

a

Figura 12-1

c hipotenusa = a cateto opuesto

EXTENSIONES A ÁNGULOS QUE PUEDEN SER MAYORES A 90° Considere un sistema coordenado xy (vea las figuras 12-2 y 12-3). Un punto P en el plano xy tiene coordenadas (x, y) donde x es considerada como positiva a lo largo de OX y negativa a lo largo de OX′, mientras y es positiva a lo largo de OY y negativa a lo largo de OY′. La distancia desde el origen O al punto P es positiva y se denota por r = x 2 + y 2 . El ángulo A descrito en sentido contrario a las manecillas del reloj desde OX es considerado positivo. Si se describe en sentido de las manecillas del reloj desde OX, se considera negativo. Se nombran X′OX y Y′OY a los ejes x y y, respectivamente. Los cuadrantes denotados por I, II, III y IV son nombrados como el primero, segundo, tercero y cuarto cuadrantes, respectivamente. En la figura 12-2, por ejemplo, el ángulo A está en el segundo cuadrante, mientras que en la figura 12-3, el ángulo A está en el tercer cuadrante. Y I

II

(

P(x , y

y

X¢

Y

r x

II

A

A X

O

x

X¢ y P(x, y)

IV

III Y¢

Figura 12-2

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I

X O r

III

IV Y¢

Figura 12-3

43

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44

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Para un ángulo A en cualquier cuadrante, las funciones trigonométricas de A se definen como sigue:

12.7. sen A = y/r 12.8. cos A = x/r 12.9. tan A = y/x 12.10. cot A = x/y 12.11. sec A = r/x 12.12. csc A = r/y

RELACIÓN ENTRE GRADOS Y RADIANES Un radián es un ángulo q subtendido en el centro O de un círculo mediante un arco MN igual al radio r. Dado que 2p radianes = 360° se tiene 12.13. 1 radián = 180°/p = 57.29577 95130 8232

N r q r O

°

12.14. 1° = p/180 radianes = 0.01745 32925 19943 29576 92

r M

radianes Figura 12-4

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 12.15.

tan A =

sen A cos A

12.19.

sen 2 A + cos 2 A = 1

12.16.

cot A =

1 cos A = tan A sen A

12.20.

sec 2 A − tan 2 A = 1

12.17.

sec A =

1 cos A

12.21.

csc 2 A − cot 2 A = 1

12.18.

csc A =

1 sen A

SIGNOS Y VARIACIONES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Cuadrante I II III IV

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sen A + 0a1 + 1a0 – 0 a –1 – –1 a 0

cos A + 1a0 – 0 a –1 – –1 a 0 + 0a1

tan A + 0a∞ – –∞ a 0 + 0a∞ – –∞ a 0

cot A + ∞a0 – 0 a –∞ + ∞a0 – 0 a –∞

sec A + 1a∞ – –∞ a –1 – –1 a –∞ + ∞a1

csc A + ∞a1 + 1a∞ – –∞ a –1 – –1 a –∞

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45

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

VALORES EXACTOS PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS DE VARIOS ÁNGULOS Ángulo A Ángulo A en grados en radianes 0° 0

sen A 0 1 4

cos A 1

( 6 − 2)

1 4

( 6 + 2)

tan A 0

cot A ∞

sec A 1

csc A ∞

2− 3

2+ 3

6− 2

6+ 2

15°

p/12

30°

p/6

45°

p/4

1 2

2

60°

p/3

1 2

3

75°

5p/12

90°

p/2

105°

7p/12

120°

2p/3

1 2

3

− 12

− 3

− 13 3

–2

135°

3p/4

1 2

2

− 12 2

–1

–1

− 2

2

150°

5p/6

− 12 3

− 13 3

− 3

− 23 3

2

165°

11p/12

− 14 ( 6 + 2 )

− (2 − 3 )

180°

p

–1

0

+∞

195°

13p/12

2− 3

2+ 3

210°

7p/6

− 12

− 12 3

225°

5p/4

− 12 2

− 12 2

1

240°

4p/3

− 12 3

− 12

3

255°

17p/12

270°

3p/2

–1

285°

19p/12

− 14 ( 6 + 2 )

300°

5p/3

− 12 3

315°

7p/4

− 12 2

1 2

330°

11p/6

− 12

1 2

345°

23p/12

− 14 ( 6 − 2 )

360°

2p

0

1 2

1 4

1 2

3

1 2

2

1 4

1 1 4

0

( 6 + 2)

1 4

( 6 − 2)

0

− ( 6 − 2) − ( 6 + 2) 1 4

1 4

− 14 ( 6 + 2 ) − 14 ( 6 − 2 )

2− 3

6+ 2

6− 2

±∞

0

±∞

1

− (2 + 3 ) − ( 6 − 2 )

3

1 3

–1

6− 2 3

2 3

6+ 2

±∞

− ( 6 − 2) − ( 6 + 2)

3

− 23 3

–2

1

− 2

− 2

–2

− 23 3

3

1 3

− ( 6 + 2) − ( 6 − 2)

±∞

0

+∞

–1

− (2 + 3 )

− (2 − 3 )

6+ 2

− ( 6 − 2)

− 3

− 13 3

2

− 23 3

2

–1

–1

2

− 2

3

− 13 3

− 3

− (2 − 3 )

− (2 + 3 )

6− 2

− ( 6 + 2)

0

+∞

1

+∞

( 6 − 2)

( 6 + 2)

1

− (2 − 3 ) − ( 6 + 2 )

2− 3

1 2

1 4

3

2 3

2+ 3

0 1 4

2

2

2+ 3

− 14 ( 6 − 2 ) − (2 + 3 )

1 2

2

2 3

1 3

3

2 3

1

3

( 6 − 2)

3

1

1 2

( 6 + 2)

3

1 3

3

2 3

–2

Para otros ángulos, vea las tablas 2, 3 y 4.

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46

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS En cada gráfica, x está en radianes. 12.22. y = sen x 1

y = cos x

12.23.

y

y

1 p

O

x

2p

3p

-1

-1

x

O p æ 2

3p æ 2

Figura 12-5

Figura 12-6

12.24. y = tan x

12.25.

y = cot x

y

p -æ 2

y

O

p æ 2

p

x

3p æ 2

O p æ 2

Figura 12-7

p 3p æ 2

x

2p

Figura 12-8

12.26. y = sec x

12.27.

y

y = csc x y

2

2 1

1

p -æ 2

5p æ 2

O

p æ 2

p

x O

Figura 12-9

p

x 2p

Figura 12-10

FUNCIONES DE ÁNGULOS NEGATIVOS 12.28. sen(–A) = – sen A

12.29.

cos(–A) = cos A

12.30. tan(–A) = – tan A

12.31. csc(–A) = – csc A

12.32. sec(–A) = sec A

12.33. cot(–A) = – cot A

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

47

ADICIÓN DE FÓRMULAS 12.34. sen (A ± B) = sen A cos B ± cos A sen B 12.35. cos (A ± B) = cos A cos B + sen A sen B 12.36.

tan ( A ± B) =

12.37.

cot ( A ± B) =

tan A ± tan B − tan A tan B 1+ +1 cot A cot B − cot B ± cot A

FUNCIONES DE ÁNGULOS EN TODOS LOS CUADRANTES EN TÉRMINOS DE AQUELLOS EN EL CUADRANTE I 270° ± A 3π ±A 2 – cos A

k(360°) ± A 2kp ± A k = entero

sen

– sen A

90° ± A π ±A 2 cos A

cos

cos A

+ sen A

– cos A

+ sen A

cos A

tan

– tan A

+ cot A

± tan A

+ cot A

± tan A

csc

– csc A

sec A

+ csc A

– sec A

± csc A

sec

sec A

+ csc A

– sec A

± csc A

sec A

cot

– cot A

+ tan A

± cot A

+ tan A

± cot A

–A

180° ± A p±A sen A

± sen A

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES DE ÁNGULOS EN EL CUADRANTE I sen A = u sen A

u

cos A = u

tan A = u

cot A = u

sec A = u

csc A = u

1 − u2

u/ 1 + u 2

1/ 1 + u 2

u 2 − 1/u

1/u

u

1/ 1 + u 2

u/ 1 + u 2

1/u

u2 − 1

1/ u 2 − 1

1/ u 2 − 1

u2 − 1

cos A

1 − u2

tan A

u/ 1 − u 2

1 − u 2 /u

u

1/u

cot A

1 − u 2 /u

u/ 1 − u 2

1/u

u

sec A

1/ 1 − u 2

1/u

1+ u2

1 + u 2 /u

csc A

1/u

1/ 1 − u 2

1 + u 2 /u

1+ u2

u

u/ u 2 − 1

u 2 − 1/u

u/ u 2 − 1 u

Para extensiones a otros cuadrantes, use los signos apropiados que aparecen en la tabla precedente.

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48

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

FÓRMULAS DE DOBLE ÁNGULO 12.38. sen 2A = 2 sen A cos A 12.39. cos 2A = cos2 A – sen2 A = 1 – 2 sen2 A = 2 cos2 A – 1 12.40.

tan 2 A =

2 tan A 1 − tan 2 A

FÓRMULAS DE MEDIO ÁNGULO 12.41.

12.42.

12.43.

A 1 − cos A ⎡+ si A / 2 está en los cuadrantes I o II ⎤ =± ⎢ ⎥ 2 2 ⎢⎣− si A / 2 está en los cuadrantes III o IV⎥⎦ A 1 + cos A ⎡+ si A / 2 está en los cuadrantes I o IV ⎤ cos = ± ⎢ ⎥ 2 2 ⎢⎣− si A / 2 está en los cuadrantes II o III⎥⎦ A 1 − cos A ⎡⎢+ si A / 2 está en los cuadraantes I o III ⎤⎥ tan = ± 2 1 + cos A ⎢⎣− si A / 2 está en los cuadrantes II o IV⎥⎦

sen

=

1 − cos A sen A = = csc A − cot A 1 + cos A sen A

FÓRMULAS DE MÚLTIPLES ÁNGULOS 12.44. sen 3A = 3 sen A – 4 sen3 A 12.45. cos 3A = 4 cos3 A –3 cos A 12.46.

tan 3A =

3 tan A − tan 3 A 1 − 3 tan 2 A

12.47. sen 4A = 4 sen A cos A – 8 sen3 A cos A 12.48. cos 4A = 8 cos4 A – 8 cos2 A + 1 12.49.

tan 4 A =

4 tan A − 4 tan 3 A 1 − 6 tan 2 A + tan 4 A

12.50. sen 5A = 5 sen A – 20 sen3 A + 16 sen5 A 12.51. cos 5A = 16 cos5 A – 20 cos3 A + 5 cos A tan 5 A − 10 tan 3 A + 5 tan A 1 − 10 tan 2 A + 5 tan 4 A Vea también las fórmulas 12.68 y 12.69.

12.52.

tan 5 A =

POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 12.53.

sen 2 A = 12 − 12 cos 2 A

12.57.

sen 4 A = 83 − 12 cos 2 A + 81 cos 4 A

12.54.

cos 2 A = 12 + 12 cos 2 A

12.58.

cos 4 A = 83 + 12 cos 2 A + 18 cos 4 A

12.55.

sen 3 A = 43 sen A − 14 sen 3 A

12.59.

sen 5 A = 85 sen A − 165 sen 3 A + 161 sen 5 A

12.56.

cos 3 A = 43 cos A + 14 cos 3A

12.60.

cos 5 A = 58 cos A + 165 cos 3A + 161 cos 5 A

Vea también las fórmulas 12.70 a 12.73.

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FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

49

SUMA, RESTA Y PRODUCTO DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 12.61.

sen A + sen B = 2 sen 12 ( A + B)cos 12 ( A − B)

12.62.

sen A − sen B = 2 cos 12 ( A + B) sen 12 ( A − B)

12.63.

cos A + cos B = 2 cos 12 ( A + B) cos 12 ( A − B)

12.64.

cos A − cos B = 2 sen 12 ( A + B) sen 12 ( B − A)

12.65.

sen A sen B = 12 {cos( A − B) − cos( A − B)}

12.66.

cos A cos B = 12 {cos( A − B) + cos ( A + B)}

12.67.

sen A cos B = 12 {sen( A − B) + sen( A + B)}

FÓRMULAS GENERALES 12.68.

⎫ ⎧ ⎛ n − 3⎞ ⎛ n − 2⎞ sen nA = sen A ⎨(2 cos A)n−1 − ⎜ (2 cos A)n−3 + ⎜ (2 cos A)n−5 − ⋅⋅⋅⎬ ⎟ ⎟ 2 1 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭ ⎩

12.69.

cos nA =

1⎧ n n ⎛ n − 3⎞ (2 cos A)n − (2 cos A)n− 2 + ⎜ (2 cos A)n− 4 2 ⎨⎩ 1 2 ⎝ 1 ⎟⎠ n ⎛ n − 4⎞ ⎫ − ⎜ (2 cos A)n−6 + ⋅⋅⋅⎬ 3 ⎝ 2 ⎟⎠ ⎭ (−1)n−1 ⎧ ⎛ 2n − 1⎞ ⎛ 2n − 1⎞ ⎪⎫ sen (2n − 3) A + ⋅⋅⋅ (−1)n−1 ⎜ sen A⎬ ⎨sen (2n − 1) A − ⎜ ⎟ ⎟ 2 n−2 1 n − 1 2 ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎪⎭ ⎩

12.70.

sen 2 n−1 A =

12.71.

cos 2 n−1 A =

12.72.

sen 2 n A =

⎫ 1 ⎛ 2n⎞ (−1)n ⎧ ⎛ 2n ⎞ ⎛ 2n⎞ + 2 n−1 ⎨cos 2nA − ⎜ ⎟ cos (2n − 2) A + ⋅⋅⋅ (−1)n−1 ⎜ cos 2 A⎬ ⎟ ⎟ 2n ⎜ 2 ⎝ n⎠ 2 ⎝ n − 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎭ ⎩

12.73.

cos 2 n A =

⎫ 1 ⎛ 2n⎞ 1 ⎧ ⎛ 2n ⎞ ⎛ 2n⎞ cos 2 A⎬ + 2 n−1 ⎨cos 2nA + ⎜ ⎟ cos (2n − 2) A + ⋅⋅⋅ + ⎜ ⎟ ⎟ 2n ⎜ 2 ⎝ n⎠ 2 ⎝ n − 1⎠ ⎝ 1⎠ ⎭ ⎩

1 ⎧ ⎫ ⎛ 2n − 1⎞ ⎛ 2n − 1⎞ cos (2n − 1) A + ⎜ cos (2n − 3) A + ⋅⋅⋅ + ⎜ cos A⎬ 22 n− 2 ⎨⎩ ⎝ 1 ⎟⎠ ⎝ n − 1 ⎟⎠ ⎭

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Si x = sen y, entonces y = sen–1x, es decir, el ángulo cuyo seno es x (o seno inverso de x) es una función de muchos valores de x, la cual es una colección de funciones de simples valores llamados ramas. De manera similar, las otras funciones trigonométricas inversas son de múltiples valores. Para muchos propósitos, una rama particular es requerida. Esta es llamada rama principal, y los valores para esta rama son llamados valores principales.

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50

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

VALORES PRINCIPALES PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Valores principales para x < 0

Valores principales para x ! 0 –1

0 " sen x " p/2

–p/2 " sen–1 x < 0

0 " cos–1 x " p/2

p/2 < cos–1 x " p

0 " tan–1 x < p/2

–p/2 < tan–1 x < 0

0 < cot–1 x " p/2

p/2 < cot–1 x < p

0 " sec–1 x < p/2

p/2 < sec–1 x " p

0 < csc–1 x " p/2

–p/2 " csc–1 x < 0

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS Se supone que los valores principales se usan en todos los casos. 12.74.

sen −1x + cos −1 x = π /2

12.79.

sen −1 (− x ) = −sen −1x

12.75.

tan −1 x + cot −1 x = π / 2

12.80.

cos−1 (− x ) = π − cos−1 x

12.76.

csc −1 x = sen −1 (1/x )

12.81.

cot −1 (− x ) = π − cot −1 x

12.77.

sec−1 x = cos−1 (1/x )

12.82.

sec−1 (− x ) = π − sec−1 x

12.78.

cot −1 x = tan −1 (1/x )

12.83.

csc−1 (− x ) = − csc−1 x

GRÁFICAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS En cada gráfica, y está en radianes. Las porciones sólidas de las curvas corresponden a valores principales. 12.84.

y = sen −1x p

12.85.

y = cos−1 x

y

p

p/2

12.86.

y

y

p/2

p/2

x -1

O

1

-p/2

-p Figura 12-11

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y = tan −1 x

x

x O

-1 -p/2

O

1

-p/2

-p Figura 12-12

Figura 12-13

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51

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 12.87.

y = cot −1 x

12.88.

y = sec−1 x

y = csc−1 x

12.89.

y

y

y p

p

p

p/2

p/2 x

p/2

O 1 -1 -p/2 O

x

-p/2 -p

-p

Figura 12-14

x

O 1

-1

Figura 12-15

Figura 12-16

RELACIÓN ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO PLANO Las siguientes leyes se aplican a cualquier triángulo plano ABC con lados a, b, c y ángulos A, B, C. 12.90. Ley de senos:

a b c = = sen A sen B sen C

A

12.91. Ley de cosenos:

b

c = a + b − 2 ab cos C 2

2

2

c

con relaciones semejantes que involucran los demás lados y ángulos.

C

12.92. Ley de tangentes: a + b tan 12 ( A + B) = a − b tan 12 ( A − B) con relaciones semejantes que involucran los demás lados y ángulos.

a B Figura 12-17

2 s(s − a)(s − b)(s − c) bc donde s = 12 (a + b + c) es el semiperímetro del triángulo. Se pueden obtener las relaciones semejantes que involucran a los ángulos B y C.

12.93.

sen A =

Vea también la fórmula 7.5.

RELACIÓN ENTRE LOS LADOS Y ÁNGULOS DE UN TRIÁNGULO ESFÉRICO El triángulo esférico ABC está sobre la superficie de una esfera, como se muestra en la figura 12-18. Los lados a, b, c (los cuales son arcos de circunferencias grandes) se miden por sus ángulos referidos al centro O de la esfera. A, B, C son los ángulos opuestos a los lados a, b, c, respectivamente. Entonces se tienen los siguientes resultados.

B

12.94. Ley de senos: sen a sen b sen c = = sen A sen B sen C

C O A

12.95. Ley de cosenos: cos a = cos b cos c + sen b sen c cos A cos A = –cos B cos C + sen B sen C cos a con resultados similares que involucran otros lados y ángulos.

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Figura 12-18

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52

FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS

12.96. Ley de tangentes: tan 12 ( A + B) tan 12 (a + b ) = tan 12 ( A − B) tan 12 (a − b )

con resultados similares que involucran otros lados y ángulos. 12.97.

cos

A sen s sen (s − c) = 2 sen b sen c

donde s = 12 (a + b + c). Se tienen resultados semejantes para otros lados y ángulos. 12.98.

cos

a = 2

cos(S − B)cos(S − C ) sen B sen C

donde S = 12 ( A + B + C ). Se tienen resultados semejantes para otros lados y ángulos. Vea también la fórmula 7.44.

REGLAS DE NAPIER PARA TRIÁNGULOS ESFÉRICOS CON ÁNGULOS RECTOS Excepto para el ángulo recto C, existen cinco partes del triángulo esférico ABC el cual, si se arregla en el orden dado en la figura 12-19, serían a, b, A, c, B. a

C b a

b

co-B B

A

co-A co-c

c

Figura 12-20

Figura 12-19

Suponga que esas cantidades se arreglan en una circunferencia como la que aparece en la figura 12-20, donde se agrega el prefijo “co” (indica complemento) a la hipotenusa c y ángulos A y B. Cualquiera de las partes de esta circunferencia es llamada parte media, las dos partes vecinas son conocidas como partes adyacentes, y las dos partes permanentes son llamadas partes opuestas. Entonces las reglas de Napier son: 12.99. El seno de cualquier parte media iguala el producto de las tangentes de las partes adyacentes. 12.100. El seno de cualquier parte media iguala el producto de los cosenos de las partes opuestas. EJEMPLO: Dado que co-A = 90° – A, co-B = 90° – B, se tiene

sen a = tan b (co-B) sen (co-A) = cos a cos (co-B)

o o

sen a = tan b cot B cos A = cos a sen B

Por supuesto, estos se pueden obtener también de los resultados de la ley 12.95.

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13

Funciones exponenciales y logaritmos

LEYES DE EXPONENTES En las siguientes fórmulas, p, q son números reales, mientras que a, b son números positivos, y m, n son positivos enteros. 13.1.

a p ⋅ a q = a p+ q

13.2.

a p /a q = a p−q

13.3.

(a p )q = a pq

13.4.

a 0 = 1, a ≠ 0

13.5.

a − p = 1/a p

13.6.

(ab ) p = a p b p

13.7.

n

13.8.

n

13.9.

n

a = a1/n

a m = a m/n

a/b = n a / n b

En ap, p es llamado exponente, a es la base, y ap es llamada la p-ésima potencia de a. La función y = ax es llamada función exponencial.

LOGARITMOS Y ANTILOGARITMOS Si ap = N, donde a ≠ 0 o 1, entonces p = loga N es llamado logaritmo de N de base a. El número N = ap es llamado antilogaritmo de p de base a, escrito antiloga p. EJEMPLO:

Dado que 32 = 9, se tiene log3 9 = 2, antilog3 2 = 9.

La función y = loga x es llamada función logarítmica.

LEYES DE LOGARITMOS 13.10. loga MN = loga M + loga N 13.11.

log a

M = log a M − log a N N

13.12. loga Mp = p loga M

LOGARITMOS COMUNES Y ANTILOGARITMOS Los logaritmos comunes y antilogaritmos (también llamados Briggsianos) son aquellos en los cuales la base a = 10. El logaritmo común de N se denota mediante log10 N o, brevemente, log N. Para valores numéricos de logaritmos comunes, vea la tabla 1.

LOGARITMOS NATURALES Y ANTILOGARITMOS Los logaritmos naturales y antilogaritmos (también llamados Neperianos) son aquellos en los cuales la base a = e = 2.71828 18 … [vea la página 3]. El logaritmo natural de N se denota mediante loge N o ln N. Para valores numéricos de logaritmos naturales, vea la tabla 7. Para valores de antilogaritmos naturales (es decir, una tabla dando ex para valores de x), vea la tabla 8.

53

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54

FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

CAMBIO DE BASE DE LOGARITMOS

La relación entre los logaritmos de un número N para diferentes bases a y b están dadas por: 13.13.

log a N =

log b N log b a

En particular, 13.14. loge N = ln N = 2.30258 50929 94 13.15. log10 N = log N = 0.43429 44819 03

log10 N loge N

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y EXPONENCIALES 13.16. eiu = cos u + i sen u,

e–iu = cos u – i sen u

Estas son llamadas identidades de Euler. Aquí, i es la unidad imaginaria [vea la página 10]. 13.17.

sen θ =

e iθ − e − iθ 2i

13.18.

cos θ =

eiθ + e−iθ 2

13.19.

tan θ =

⎛ eiθ − e−iθ ⎞ eiθ − e−iθ = −i ⎜ iθ −iθ ⎟ iθ − iθ i (e + e ) ⎝e + e ⎠

13.20.

⎛ eiθ + e−iθ ⎞ cot θ = i ⎜ iθ −iθ ⎟ ⎝e − e ⎠

13.21.

sec θ =

2 eiθ + e−iθ

13.22.

csc θ =

2i eiθ − e−iθ

PERIODICIDAD DE FUNCIONES EXPONENCIALES 13.23. ei(u + 2kp) = eiu

k = entero

Así, se ha visto que ex tiene periodo 2pi.

FORMA POLAR DE NÚMEROS COMPLEJOS EXPRESADOS COMO UN EXPONENCIAL La forma polar (vea la fórmula 4.7) de un número complejo z = x + iy se puede escribir en términos de exponenciales como sigue: 13.24.

z = x + iy = r (cosθ + i senθ ) = re iθ

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FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS

55

OPERACIONES CON NÚMEROS COMPLEJOS EN FORMA POLAR Las fórmulas 4.8 a 4.11 son equivalentes a las siguientes: 13.25.

(r1eiθ )(r2 eiθ ) = r1r2 ei (θ +θ )

13.26.

r1eiθ r = 1 ei (θ −θ ) r2 r2 eiθ

13.27.

(reiθ ) p = r p eipθ

13.28.

(reiθ )1/n = [ rei (θ +2 kπ ) ]1/n = r1/n ei (θ +2 kπ )/n

1

2

1

2

1

1

2

2

(teorema de De Moivre)

LOGARITMO DE UN NÚMERO COMPLEJO 13.29.

ln (reiθ ) = ln r + iθ + 2kπ i

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k = entero

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14

Funciones hiperbólicas

DEFINICIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS 14.1. Seno hiperbólico de x

= senh x =

e x − e− x 2

14.2. Coseno hiperbólico de x

= cosh x =

e x + e− x 2

14.3. Tangente hiperbólica de x

= tanh x =

e x − e− x e x + e− x

14.4. Cotangente hiperbólica de x = coth x =

e x + e− x e x − e− x

= sech x =

2 e + e− x

14.6. Cosecante hiperbólica de x = csch x =

2 e x − e− x

14.5. Secante hiperbólica de x

x

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS 14.7.

tanh x =

senh x cosh x

14.8.

coth x =

1 cosh x = tanh x senh x

14.9.

sech x =

1 cosh x

14.10.

csch x =

1 senh x

14.11.

cosh 2 x − senh 2 x = 1

14.12.

sech 2 x + tanh 2 x = 1

14.13.

coth 2 x − csc h 2 x = 1

FUNCIONES DE ARGUMENTOS NEGATIVOS 14.14. senh (–x) = – senh x

14.15. cosh (–x) = cosh x

14.16. tanh (–x) = – tanh x

14.17. csch (–x) = – csch x

14.18. sech (–x) = sech x

14.19. coth (–x) = – coth x

56

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FUNCIONES HIPERBÓLICAS

57

FÓRMULAS DE ADICIÓN 14.20.

senh ( x ± y) = senh x cosh y ± cosh x senh y

14.21.

cosh( x ± y) = cosh x cosh y ± senh x senh y

14.22.

tanh ( x ± y) =

tanh x ± tanh y 1 ± tanh x tanh y

14.23.

coth ( x ± y) =

coth x coth y ± 1 coth y ± coth x

FÓRMULAS DE ÁNGULO DOBLE 14.24.

senh 2 x = 2 senh x cosh x

14.25.

cosh 2 x = cos h 2 x + sen h 2x = 2 cos h 2x − 1 = 1 + 2 senh 2x

14.26.

tanh 2 x =

2 tan h x 1 + tanh 2 x

FÓRMULAS DE ÁNGULO MEDIO cosh x − 1 [+ si x > 0, − si x < 0] 2

14.27.

senh

x =± 2

14.28.

cosh

cosh x + 1 x = 2 2

14.29.

tanh

x =± 2 =

cosh x − 1 [+ si x > 0, − si x < 0] cosh x + 1

senh x cosh x − 1 = cosh x + 1 senh x

FÓRMULAS DE ÁNGULO MÚLTIPLE 14.30.

senh 3x = 3 senh x + 4 senh 3 x

14.31.

cosh 3x = 4 cosh 3 x − 3 cosh x

14.32.

tanh 3x =

14.33.

senh 4 x = 8 senh 3 x cosh x + 4 senh x cosh x

14.34.

cosh 4 x = 8 cosh 4 x − 8 cosh 2 x + 1

14.35.

tanh 4 x =

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3 tanh x + tanh 3 x 1 + 3 tanh 2 x

4 tanh x + 4 tanh 3 x 1 + 6 tanh 2 x + tanh 4 x

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58

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

POTENCIAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS 14.36.

senh 2 x = 12 cosh 2 x − 12

14.37.

cosh 2 x = 12 cosh 2 x + 12

14.38.

senh 3 x = 14 senh 3x − 43 senh x

14.39.

cosh 3 x = 14 cosh 3x + 43 cosh x

14.40.

senh 4 x = 83 − 12 cosh 2 x + 81 cosh 4 x

14.41.

cosh 4 x = 83 + 12 cosh 2 x + 18 cosh 4 x

SUMA, RESTA Y PRODUCTO DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS 14.42.

senh x + senh y = 2 senh 12 ( x + y)cosh 12 ( x − y)

14.43.

senh x − senh y = 2 cosh 12 ( x + y) senh 12 ( x − y)

14.44.

cosh x + cosh y = 2 cosh 12 ( x + y) cosh 12 ( x − y)

14.45.

cosh x − cosh y = 2 senh 12 ( x + y) senh 12 ( x − y)

14.46.

senh x senh y = 12 {cosh( x + y) − cosh( x − y)}

14.47.

cosh x cosh y = 12 {cosh ( x + y) + cosh ( x − y)}

14.48.

senh x cosh y = 12 {senh ( x + y) + senh ( x − y)}

EXPRESIÓN DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS EN TÉRMINOS DE OTROS En las siguientes expresiones, se supone que x > 0. Si x < 0, use el signo apropiado, como se indica en las fórmulas 14.14 a 14.19. senh x = u senh x

u

cosh x

1+ u2

cosh x = u

tanh x = u

coth x = u

sech x = u

csch x = u

u/ 1 − u 2

1/ u 2 − 1

1 − u 2 /u

1/u

u

1/ 1 − u 2

u/ u 2 − 1

1/u

1 + u 2 /u

u

1/u

1 − u2

1/ 1 + u 2 1+ u2

u2 − 1

tanh x

u/ 1 + u 2

u 2 − 1/u

coth x

u 2 + 1/u

u/ u 2 − 1

1/u

u

1/ 1 − u 2

sech x

1/ 1 + u 2

1/u

1 − u2

u 2 − 1/u

u

u/ 1 + u 2

csch x

1/u

1/ u 2 − 1

1 − u 2 /u

u2 − 1

u/ 1 − u 2

u

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59

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

GRÁFICAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS 14.49. y = senh x

14.50.

y = cosh x

y

14.51.

y = tanh x y

y

1 1 O

x

O

x

O

x

-1 Figura 14-1

Figura 14-2

14.52. y = coth x

Figura 14-3

14.53. y = sech x

y 1

14.54.

y = csch x y

y

1 x

O

O

x

O

x

-1

Figura 14-4

Figura 14-5

Figura 14-6

FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Si x = senh y, entonces y = senh–1 x, a este se le llama seno hiperbólico inverso de x. De manera similar, se definen las otras funciones hiperbólicas inversas. Las funciones hiperbólicas inversas son múltiples valoradas y, como en el caso de las funciones trigonométricas inversas [vea la página 49], se restringen a sí mismas para valores principales en los cuales se pueden considerar como de valor simple. La siguiente lista de funciones muestra los valores principales (salvo que se indique lo contrario) de las funciones hiperbólicas inversas expresadas en términos de funciones logarítmicas, las cuales son tomadas como evaluaciones reales. 14.55.

senh −1x = ln( x + x 2 + 1)

–! < x < !

14.56.

cosh −1 x = ln( x + x 2 − 1)

x"1

14.57.

tanh −1 x =

1 ⎛1 + x ⎞ ln ⎜ ⎟ 2 ⎝1 − x ⎠

−1 < x < 1

14.58.

coth −1 x =

1 ⎛ x + 1⎞ ln 2 ⎜⎝ x − 1⎟⎠

x > 1 o x < −1

14.59.

⎛1 sech −1x = ln ⎜ + ⎝x

14.60.

⎛1 csch −1 x = ln ⎜ + ⎝x

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⎞ 1 1 − x 2 ⎟⎠ ⎞ 1 2 + 1⎟ x ⎠

(cosh −1x > 0 es el valor principal)

0 # x $ 1 (sech −1x > 0 es el valor principal)

x≠0

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60

FUNCIONES HIPERBÓLICAS

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS 14.61.

csch −1x = senh −1 (1/x )

14.62.

sech −1 x = cosh −1 (1/x )

14.63.

coth −1 x = tanh −1 (1/x )

14.64.

senh −1 (− x ) = − senh −1x

14.65.

tanh −1 (− x ) = − tanh −1 x

14.66.

coth −1 (− x ) = − coth −1 x

14.67.

csch−1 (− x ) = −csch−1 x

GRÁFICAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS y = senh −1x

14.68.

14.69.

x

O

14.72.

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-1

1

x

y = sech −1 x

O

Figura 14-11

O

1

x

Figura 14-9

14.73.

y

y

Figura 14-10

x

Figura 14-8

y = coth −1 x

O

y = tanh −1 x y

O 1

Figura 14-7

-1

14.70.

y

y

14.71.

y = cosh −1 x

y = csch−1 x y

1

x

O

x

Figura 14-12

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FUNCIONES HIPERBÓLICAS

61

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS Y TRIGONOMÉTRICAS 14.74.

sen (ix ) = i senh x

14.75.

cos (ix ) = cosh x

14.76.

tan (ix ) = i tanh x

14.77.

csc (ix ) = −i csch x

14.78.

sec (ix ) = sech x

14.79.

cot (ix ) = −i coth x

14.80.

senh (ix ) = i sen x

14.81.

cosh (ix ) = cos x

14.82.

tanh (ix ) = i tan x

14.83.

csch (ix ) = −i csc x

14.84.

sech (ix ) = sec x

14.85.

coth (ix ) = −i cot x

PERIODICIDAD DE FUNCIONES HIPERBÓLICAS En las siguientes expresiones, k es cualquier entero. 14.86.

senh ( x + 2kπ i) = senh x

14.87.

cosh ( x + 2kπ i) = cosh x

14.88.

tanh ( x + kπ i) = tanh x

14.89.

csch ( x + 2 k π i ) = csch x

14.90.

sech ( x + 2 k π i ) = sech x

14.91.

coth ( x + k π i ) = coth x

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 14.92.

sen −1 (ix ) = i sen −1x

14.93.

senh −1 (ix ) = i sen −1x

14.94.

cos−1 x = ± i cosh −1 x

14.95.

cosh −1 x = ± i cos −1 x

14.96.

tan −1 (ix ) = i tanh −1 x

14.97.

tanh −1 (ix ) = i tan −1 x

14.98.

cot −1 (ix ) = i coth −1 x

14.99.

coth −1 (ix ) = −i cot −1 x

14.100.

sec−1 x = ± i sech −1 x

14.101.

sech −1 x = ± i sec −1 x

14.102.

csc−1 (ix ) = −i csch−1 x

14.103.

csch −1 (ix ) = −i csc −1 x

03_Seccion 03_Spiegel(043-061).indd 61

04/12/13 16:43

Sección IV: Cálculo

15

Derivadas

DEFINICIÓN DE UNA DERIVADA Suponga que y ! f (x). La derivada de y o f (x) está definida como 15.1.

dy f ( x + h) − f ( x ) f ( x + ∆x ) − f ( x ) = lím = lím h → 0 ∆ x → 0 dx h ∆x

donde h ! x. La derivada también se denota mediante y, df/dx o f (x). El proceso en el cual se toma una derivada es llamado derivación.

REGLAS GENERALES DE DERIVACIÓN En las siguientes expresiones, u, y, w son funciones de x; mientras que a, b, c, n son constantes (restringidas si se indica); e ! 2.71828 … es la base natural de logaritmos; ln u es el logaritmo natural de u (es decir, el logaritmo para la base e) donde se supone que u " 0 y todos los ángulos están en radianes. 15.2.

d (c) = 0 dx

15.3.

d (cx ) = c dx

15.4.

d (cx n ) = ncx n−1 dx

15.5.

d du d# dw (u ± # ± w ± L) = ± ± ±L dx dx dx dx

15.6.

d du (cu) = c dx dx

15.7.

d d# du +# (u# ) = u dx dx dx

15.8.

d dw d# du + uw + #w (u# w) = u# dx dx dx dx

15.9.

d ⎛ u ⎞ # (du /dx ) − u(d# /dx ) = #2 dx ⎜⎝ # ⎟⎠

15.10.

d n du (u ) = nu n−1 dx dx

15.11.

dy dy du = dx du dx

(Regla de la cadena)

62

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 62

05/12/13 15:59

DERIVADAS 15.12.

du 1 = dx dx/du

15.13.

dy dy/du = dx dx/du

63

DERIVADAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Y FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS 15.14. 15.15. 15.16.

d du sen u = cos u dx dx d du cos u = − sen u dx dx d du tan u = sec 2 u dx dx

15.17.

d du cot u = − csc 2 u dx dx

15.18.

d du sec u = sec u tan u dx dx

15.19.

d du csc u = − csc u cot u dx dx

15.20. 15.21. 15.22. 15.23. 15.24. 15.25.

d 1 du ⎡ π π⎤ sen −1 u = − < sen −1 u < ⎥ ⎢ dx 2⎦ 1 − u 2 dx ⎣ 2 d −1 du [0 < cos −1 u < π ] cos −1 u = dx 1 − u 2 dx d 1 du ⎡ π π⎤ − < tan −1 u < ⎥ tan −1 u = 2⎦ dx 1 + u 2 dx ⎢⎣ 2 d −1 du [0 < cot −1 u < π ] cot −1 u = dx 1 + u 2 dx d 1 du ±1 du ⎡+ si 0 < sec −1 u < π / 2⎤ sec −1 u = = −1 ⎢ ⎥ 2 dx | u | u − 1 dx u u 2 − 1 dx ⎣− si π / 2 < sec u < π ⎦ d du 1 du −1 csc −1 u = = 2 2 dx | u | u − 1 dx u u − 1 dx

⎡− si 0 < csc −1 u < π / 2 ⎤ ⎢+ si − π / 2 < csc −1 u < 0⎥ ⎣ ⎦

DERIVADAS DE FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 15.26.

loga e du d loga u = dx u dx

15.27.

d 1 du d ln u = loge u = dx dx u dx

15.28.

d u du a = a u ln a dx dx

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 63

a ≠ 0, 1

05/12/13 15:59

64 15.29. 15.30.

DERIVADAS d u du e = eu dx dx d ! d! d ! ln u d du = e ! ln u [! ln u] = ! u ! −1 + u ! ln u u = e dx dx dx dx dx

DERIVADAS DE FUNCIONES HIPERBÓLICA E HIPERBÓLICA INVERSA 15.31. 15.32. 15.33.

d du senh u = cosh u dx dx d du cosh u = senh u dx dx d du tanh u = sech 2 u dx dx

15.34.

d du coth u = −csch 2 u dx dx

15.35.

d du sech u = −sech u tanh u dx dx

15.36.

d du csch u = − csch u coth u dx dx

15.37.

d 1 du senh −1 u = 2 dx u + 1 dx

15.38.

d cosh −1 u = dx

15.39.

d 1 du tanh −1 u = dx 1 − u 2 dx

["1 # u # 1]

15.40.

d 1 du coth −1 u = dx 1 − u 2 dx

[u $ 1 o u # "1]

15.41.

d m1 du sech −1u = 2 dx dx u 1− u

15.42.

d −1 1 du du = csch −1u = 2 dx 2 dx dx | u | 1+ u u 1+ u

⎡− si sech −1 u > 0, 0 < u < 1⎤ ⎢+ si sech −1 u < 0, 0 < u < 1⎥ ⎣ ⎦

±1 du u 2 − 1 dx

⎡+ si cosh −1 u > 0, u > 1⎤ ⎢− si cosh −1 u < 0, u > 1⎥ ⎣ ⎦

[" si u $ 0, + si u # 0]

DERIVADAS MAYORES Las derivadas segunda, tercera y mayores se definen como sigue. 15.43. Segunda derivada =

d ⎛ dy⎞ d 2 y = = f ′′( x ) = y ′′ dx ⎜⎝ dx ⎟⎠ dx 2

15.44. Tercera derivada =

d ⎛ d 2 y⎞ d 3 y = = f ′′′( x ) = y ′′′ dx ⎜⎝ dx 2 ⎟⎠ dx 3

15.45. n-ésima derivada =

d ⎛ d n−1 y⎞ d n y = = f (n) ( x ) = y(n) dx ⎜⎝ dx n−1 ⎟⎠ dx n

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DERIVADAS

65

REGLA DE LEIBNIZ PARA DERIVADAS MAYORES DE PRODUCTOS Establezca Dp para la operación 15.46.

dp d pu de manera que D p u = p = la p-ésima derivada de u. Entonces p dx dx

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ D n (u! ) = uD n ! + ⎜ ⎟ ( Du)( D n −1! ) + ⎜ ⎟ ( D 2 u)( D n − 2 ! ) + L + ! D n u 1 ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ donde ⎜ ⎟ , ⎜ ⎟ , ⎝1⎠ ⎝ 2⎠

son los coeficientes binomiales (vea la fórmula 3.5).

Como casos especiales, se tiene 15.47.

d2 d 2u d 2! du d! ( ! ) = + 2 + ! u u dx 2 dx 2 dx 2 dx dx

15.48.

d3 d 3u d 3! du d 2 ! d 2 u d! (u! ) = u 3 + 3 +3 2 +! 3 3 2 dx dx dx dx dx dx dx

DIFERENCIALES Sean y = f(x) y ∆y = f ( x + ∆x ) − f ( x ). Entonces 15.49. donde " 15.50.

∆y f ( x + ∆x ) − f ( x ) dy = f ′( x ) + " = +" = ∆x ∆x dx

0 cuando x

0. Así,

∆y = f ′( x )∆x + " ∆x

Si se denomina x = dx la diferencial de x, entonces se define la diferencial de y como 15.51.

dy = f ′( x ) dx

REGLAS PARA DIFERENCIALES Las reglas para los diferenciales son exactamente análogas a las establecidas para las derivadas. Como ejemplo, podemos ver que 15.52.

d (u ± ! ± w ± L) = du ± d! ± dw ± L

15.53.

d (u! ) = u d! + ! du

15.54.

⎛ u ⎞ ! du − u d! d⎜ ⎟ = !2 ⎝!⎠

15.55.

d (u n ) = nu n−1du

15.56.

d (sen u) = cos u du

15.57.

d (cos u) = − sen u du

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05/12/13 15:59

66

DERIVADAS

DERIVADAS PARCIALES Sea z = f (x, y) una función de la dos variables de x y y. Entonces, se define la derivada parcial de z o f (x, y) con respecto a x, conservando a y como constante, como 15.58.

∂f f ( x + ∆x , y) − f ( x , y) = lím ∂x ∆x→0 ∆x

Esta derivada parcial también es denotada por ∂z/∂x , f x o zx. De manera similar, la derivada parcial de z ! f (x, y) con respecto a y, conservando a x como constante, está definida como 15.59.

∂f f ( x , y + ∆y) − f ( x , y) = lím ∂y ∆y→0 ∆y

Esta derivada parcial también es denotada por ∂z/∂y, f y o zy . Las derivadas parciales de mayor orden se pueden definir como sigue: 15.60.

∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ = , ∂x 2 ∂x ⎜⎝ ∂x ⎟⎠

15.61.

∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ = , ∂x ∂y ∂x ⎜⎝ ∂y⎟⎠

∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ = ∂y 2 ∂y ⎜⎝ ∂y⎟⎠ ∂2 f ∂ ⎛ ∂f ⎞ = ∂y ∂x ∂y ⎜⎝ ∂x ⎟⎠

El resultado en la fórmula 15.61 será igual si la función y sus derivadas parciales son continuas; esto es, en tales casos, el orden de derivación no hace diferencia. Las extensiones para funciones de más de dos variables son exactamente análogas.

DIFERENCIALES MULTIVARIABLES La diferencial de z = f (x, y) está definida como 15.62.

dz = df =

∂f ∂f dx + dy ∂x ∂y

donde dx = x y dy = y. Observe que dz es una función de cuatro variables, nombradas como x, y, dx, dy, y es lineal en las variables dx y dy. Las extensiones de funciones de más de dos variables son exactamente análogas. EJEMPLO:

Sea z = x2 + 5xy + 2y3. Entonces zx = 2x + 5y

y

zy = 5x + 6y2

de ahí dz = (2x + 5y) dx + (5x + 6y2) dy Suponga que se quiere encontrar dz para dx ! 2, dy ! 3 y en el punto P (4, 1), es decir, cuando x ! 4 y y ! 1. Al sustituir, resulta dz = (8 + 5)2 + (20 + 6)3 = 26 + 78 = 104

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16

Integrales indefinidas

DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL INDEFINIDA dy = f ( x ), entonces y es la función cuya derivada es f (x) y se le llama antiderivada de f (x) o integral indefinida dx dy de f (x), denotada por ∫ f ( x ) dx. De manera similar, si y = ∫ f (u) du, entonces = f (u). Como la derivada de du una constante es cero, todas las integrales indefinidas difieren por una constante arbitraria. Para la definición de una integral definida, vea la fórmula 18.1. El proceso de encontrar una integral se llama integración.

Si

REGLAS GENERALES DE INTEGRACIÓN En las siguientes expresiones, u, y, w son funciones de x; mientras que a, b, p, q, n son cualquier constante, restringida si así se indica; e ! 2.71828 . . . es la base de los logaritmos naturales; ln u denota el logaritmo natural de u donde se supone que u " 0 (en general, para extender fórmulas en casos donde u # 0, se reemplaza ln u por ln |u|); todos los ángulos están en radianes; todas las constantes de integración se omiten pero están implícitas. 16.1.

∫ a dx = ax

16.2.

∫ af ( x ) dx = a ∫ f ( x) dx

16.3.

∫ (u ± $ ± w ± L) dx = ∫ u dx ± ∫ $ dx ± ∫ w dx ± L

16.4.

∫ u d$ = u$ − ∫ $ du

(Integración (Integration by porparts) partes)

Para integración generalizada por partes, vea la fórmula 16.48. 1

16.5.

∫ f (ax ) dx = a ∫ f (u) du

16.6.

∫ F{ f ( x )} dx = ∫ F(u) du du = ∫

16.7.

∫ u n du =

16.8.

∫

dx

F (u) where u ! = f ((x) x) du donde f ′( x )

u n+1 , n ≠ −1 (Para (For nn=!−1%1, , seevea 16.la 8)fórmula 16.8) n +1

du = ln u if ln(−u) ifsiuu"00oro ln(%u) u = ln | u |

16.9. 16.10.

∫ e du = e u

∫ au du =

u

∫ eu ln a du =

e u ln a au = , a > 0, a ≠ 1 ln a ln a

67

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68

INTEGRALES INDEFINIDAS

16.11.

∫ sen u du = − cos u

16.12.

∫ cos u du = sen u

16.13.

∫ tan u du = ln sec u = − ln cos u

16.14.

∫ cot u du = ln sen u

16.15.

∫ sec u du = ln (sec u + tan u) = ln tan ⎜⎝ 2 + 4 ⎟⎠

16.16.

∫ csc u du = ln(csc u − cot u) = ln tan 2

16.17.

∫ sec

16.18.

∫ csc

16.19.

∫ tan

16.20.

∫ cot

16.21.

∫ sen

16.22.

∫ cos

16.23.

∫ sec u tan u du = sec u

16.24.

∫ csc u cot u du = − csc u

16.25.

∫ senh u du = cosh u

16.26.

∫ cosh u du = senh u

16.27.

∫ tanh u du = ln cosh u

16.28.

∫ coth u du = ln senh u

16.29.

∫ sech u du = sen

16.30.

∫ csch u du = ln tanh 2

16.31.

∫ sech u du = tanh u

⎛u

π⎞

u

2

u du = tan u

2

u du = − cot u

2

u du = tan u − u

2

u du = − cot u − u

2

u du =

u sen 2u 1 − = (u − sen u cos u) 2 4 2

u du =

u sen 2u 1 + = (u + sen u cos u) 2 4 2

2

−1

(tanh u) o 2 tan −1 e u u

o − coth −1 e u

2

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INTEGRALES INDEFINIDAS 16.32.

∫ csch u du = − coth u

16.33.

∫ tanh u du = u − tanh u

16.34.

∫ coth u du = u − coth u

16.35.

∫ senh u du = 2

senh 2u u 1 − = (senh u cosh u − u) 4 2 2

16.36.

∫ cosh u du =

senh 2u u 1 + = (senh u cosh u + u) 4 2 2

16.37.

∫ sech u tanh u du = −sech u

16.38.

∫ csch u coth u du = − csch u

16.39.

∫u

2

16.40.

∫u

2

16.41.

∫a

2

16.42.

∫

16.43.

69

2

2

2

2

∫

u du 1 = tan −1 a + a2 a u du 1 ⎛ u − a⎞ 1 ln ⎜ = − coth −1 u 2 > a 2 ⎟ 2 = a u a a a 2 + −a ⎝ ⎠ u du 1 ⎛ a + u⎞ 1 = ln = tanh −1 u 2 < a 2 a − u 2 2a ⎜⎝ a − u⎟⎠ a du

a −u 2

= sen −1

2

du u +a 2

2

u a

= ln(u + u 2 + a 2 ) o senh −1

u a

du = ln (u + u 2 − a 2 ) u − a2

16.44.

∫

16.45.

∫u

u −a

16.46.

∫u

du 1 ⎛ a + u2 + a2 ⎞ = − ln ⎜ ⎟ 2 2 a ⎝ u u +a ⎠

16.47.

∫u

du 1 ⎛ a + a2 − u2 ⎞ = − ln ⎜ ⎟ 2 2 a ⎝ u a −u ⎠

16.48.

∫f

2

du 2

(n)

2

=

1 u sec −1 a a

g dx = f ( n −1) g − f ( n − 2) g ′ + f ( n −3) g ′′ − L (−1)n

∫ fg

(n)

dx

Esta es la llamada integración generalizada por partes.

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70

INTEGRALES INDEFINIDAS

TRANSFORMACIONES IMPORTANTES Frecuentemente en la práctica, una integral se puede simplificar usando una apropiada transformación o sustitución junto con la fórmula 16.6. La siguiente lista proporciona algunas transformaciones y sus efectos: 1

16.49.

∫ F(ax + b)dx = a ∫ F(u) du

16.50.

∫ F(

16.51.

∫ F(

16.52.

∫ F(

a 2 − x 2 ) dx = a

∫ F(a cos u) cos u du

donde x = a sen u

16.53.

∫ F(

x 2 + a 2 ) dx = a

∫ F(a sec u) sec

donde x = a tan u

16.54.

∫ F(

x 2 − a 2 ) dx = a

∫ F(a tan u) sec u tan u du

16.55.

∫ F (e

16.56.

∫ F(ln x ) dx = ∫ F(u) e du

16.57.

∫ F ⎜⎝sen

n

donde u = ax + b

ax + b ) dx =

2 a

∫ u F(u) du

donde u = ax + b

ax + b ) dx =

n a

∫u

donde u = n ax + b

ax

) dx =

1 a

∫

n −1

F(u) du

2

u du

F (u) du u

donde u = eax donde u = ln x

u

⎛

−1

x⎞ dx = a a ⎟⎠

donde x = a sec u

∫ F(u)cos u du

donde u = sen −1

x a

De manera similar, se puede aplicar en otras funciones trigonométricas inversas. 16.58.

⎛ 2u

∫ F(sen x, cos x ) dx = 2 ∫ F ⎜⎝ 1 + u

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2

,

1 − u 2 ⎞ du 1 + u 2 ⎟⎠ 1 + u 2

donde u = tan

x 2

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17

Tablas de integrales indefinidas especiales

Aquí se proveen tablas de integrales indefinidas especiales. Como se estableció en la página 67, aquí a, b, p, q, n son constantes, restringidas si así se indica; e ! 2.71828 . . . es la base natural de los logaritmos; ln u denota el logaritmo natural de u, donde se supone que u " 0 (en general, para extender fórmulas en casos donde u # 0 también se reemplaza ln u por ln |u|); todos los ángulos están en radianes y todas las constantes de integración se omiten pero están implícitas. En todos los casos se supone que la división entre cero es excluida. Estas integrales están divididas en tipos, los cuales implican las siguientes expresiones y funciones algebraicas: (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9)

ax $ b ax + b ax $ b y px $ q ax + b y px + q axax++bband and y pxpx++qq 2 2 x $a x2 % a2, x2 " a2 a2 % x2, x2 # a2 x 2 + a2

(10) x 2 − a2 (11) a2 − x 2 (12) ax2 $ bx $ c

(13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21)

ax 2 + bx + c x3 $ a3 x 4 ± a4 x n ± an

sen ax cos ax sen ax y cos ax tan ax cot ax

(25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33)

(22) sec ax (34) (23) csc ax (24) funciones trigonométricas inversas

eax ln x senh ax cosh ax senh ax y cosh ax tanh ax coth ax sech ax csch ax funciones hiperbólicas inversas

Algunas integrales contienen el número de Bernoulli Bn y el número de Euler En definido en el capítulo 23.

(1)

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN ax ! b dx

1

x dx

x

17.1.1.

∫ ax + b = a ln (ax + b)

17.1.2.

∫ ax + b = a − a

17.1.3. 17.1.4. 17.1.5. 17.1.6. 17.1.7.

b 2

ln (ax + b)

x 2dx (ax + b)2 2b(ax + b) b 2 + 3 ln (ax + b) = − ∫ ax + b 2a 3 a3 a dx 1 ⎛ x ⎞ ∫ x (ax + b) = b ln ⎜⎝ ax + b⎟⎠ a ⎛ ax + b⎞ dx 1 ∫ x 2 (ax + b) = − bx + b 2 ln ⎜⎝ x ⎟⎠ dx −1 ∫ (ax + b)2 = a(ax + b) x dx b 1 ∫ (ax + b)2 = a 2 (ax + b) + a 2 ln (ax + b) ax + b b2 2b ln (ax + b) − 3 − 3 a a (ax + b) a 3 dx 1 1 ⎛ x ⎞ = + ln x (ax + b)2 b(ax + b) b 2 ⎜⎝ ax + b⎟⎠ x 2 dx

17.1.8.

∫ (ax + b)

17.1.9.

∫

2

=

71

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72 17.1.10. 17.1.11.

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES dx −a 1 2a ⎛ ax + b⎞ − 2 + 3 ln ⎜ 2 = 2 (ax + b) b (ax + b) b x b ⎝ x ⎟⎠ dx −1 ∫ (ax + b)3 = 2(ax + b)2

∫x

2

x dx

−1 b + a 2 (ax + b) 2a 2 (ax + b)2

17.1.12.

∫ (ax + b)

17.1.13.

x 2 dx 2b b2 1 = − ∫ (ax + b)3 a3 (ax + b) 2a3 (ax + b)2 + a3 ln (ax + b)

17.1.14.

∫ (ax + b)n dx =

17.1.15.

∫ x (ax + b) dx =

3

=

(ax + b)n+1 . Si n = −1, vea la fórmula 17.1.1. (n + 1)a

n

(ax + b)n+ 2 b(ax + b)n+1 − , n ≠ −1, − 2 (n + 2)a 2 (n + 1))a 2

Si n ! "1, "2, vea las fórmulas 17.1.2 y 17.1.7. 17.1.16.

∫x

2

(ax + b)n dx =

(ax + b)n+3 2b(ax + b)n+ 2 b 2 (ax + b)n+1 − + (n + 3)a 3 (n + 2)a 3 (n + 1)a 3

Si n ! "1, "2, "3, vea las fórmulas 17.1.3, 17.1.8 y 17.1.13.

17.1.17.

nb ⎧ x m +1 (ax + b)n m n −1 ⎪ m + n + 1 + m + n + 1 ∫ x (ax + b) dx ⎪⎪ x m (ax + b)n+1 mb m −1 m n n x ( ax + b ) dx = ⎨ (m + n + 1)a − (m + n + 1)a ∫ x (ax + b) dx ∫ ⎪ m +1 n +1 ⎪− x (ax + b) + m + n + 2 x m (ax + b)n+1 dx (n + 1)b (n + 1)b ∫ ⎪⎩

(2) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN AXB 17.2.1.

∫

dx 2 ax + b = a ax + b

17.2.2.

∫

x dx 2(ax − 2b) = ax + b 3a 2 ax + b

17.2.3.

∫

17.2.4.

∫

17.2.5.

∫x

17.2.6.

∫

17.2.7.

x 2 dx 2(3a 2 x 2 − 4 abx + 8b 2 ) = ax + b 15a 3 ax + b ⎧ 1 ⎛ ax + b − b ⎞ ⎪ ln ⎜ ⎟ dx ⎪ b ⎝ ax + b + b ⎠ =⎨ x ax + b ⎪ 2 ax + b tan −1 ⎪ −b ⎩ −b dx 2

ax + b

=−

ax + b a − 2b bx

∫x

dx ax + b

(vea (see 17.2.12.) la fórmula 17.2.12).

2 (ax + b)3 3a 2(3ax − 2b) (ax + b)3 ∫ x ax + b dx = 15a 2 ax + b dx =

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 72

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES 2(15a 2 x 2 − 12abx + 8b 2 ) (ax + b)3 105a 3

17.2.8.

∫ x 2 ax + b dx =

17.2.9.

∫

ax + b dx = 2 ax + b + b x

17.2.10.

∫

ax + b a ax + b dx = − + 2 x x 2

17.2.11.

∫

xm 2 x m ax + b 2mb dx = − ( ) ( 2 m 1 a 2 m + + 1)a ax + b

17.2.12.

∫x

17.2.13.

∫ x m ax + b dx =

17.2.14.

∫

ax + b ax + b a dx = − m m −1 + − 1) 2 ( m x (m − 1) x

∫x

17.2.15.

∫

ax + b −(ax + b)3/ 2 (2m − 5)a dx = − m x (m − 1)bx m −1 (2m − 2)b

∫

17.2.16.

∫ (ax + b)m / 2 dx =

17.2.17.

∫ x (ax + b)m / 2 dx =

17.2.18.

∫ x 2 (ax + b)m / 2 dx =

17.2.19.

(ax + b)m / 2 2(ax + b)m / 2 = +b dx ∫ x m

17.2.20.

∫

17.2.21.

∫ x (ax + b)

(3)

m

∫x

dx

(Vea la fórmula 17.2.12).

ax + b

∫x

dx

(Vea la fórmula 17.2.12).

ax + b

=

∫x

m −1

dx ax + b

2x m 2mb (ax + b)3/ 2 − (2m + 3)a (2m + 3)a

m −1

∫x

m −1

ax + b dx

dx ax + b

ax + b dx x m −1

2(ax + b)( m + 2)/ 2 a 2 (m + 2) 2(ax + b)( m + 4 )/ 2 2b(ax + b)( m + 2)/ 2 − a 2 (m + 2) a 2 (m + 4) 2(ax + b)( m +6)/ 2 4 b(ax + b)( m + 4 )/ 2 2b 2 (ax + b)( m + 2)/ 2 − + a 3 (m + 4) a 3 (m + 2) a 3 (m + 6) (ax + b)( m − 2)/ 2 dx ∫ x

(ax + b)m / 2 (ax + b)( m + 2)/ 2 ma dx = − + 2 2b bx x m/2

x m −1 dx ax + b

∫

dx ax + b (2m − 3)a =− m −1 − ( 2m − 2)b m bx ( ) − 1 ax + b

dx

73

∫

(ax + b)m / 2 dx x

2 1 + (m − 2)b(ax + b)( m − 2)/ 2 b

∫ x (ax + b)

dx

( m − 2 )/ 2

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN ax ! b Y px ! q dx

1

x dx

1

⎛ px + q⎞

17.3.1.

∫ (ax + b)( px + q) = bp − aq ln ⎜⎝ ax + b ⎟⎠

17.3.2.

∫ (ax + b)( px + q) = bp − aq ⎨⎩a ln (ax + b) − p ln ( px + q)⎬⎭

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 73

⎧b

q

⎫

05/12/13 16:00

74

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES dx

1

⎧ 1

1

⎧

⎛ px + q⎞ ⎫

p

17.3.3.

∫ (ax + b) ( px + q) = bp − aq ⎨⎩ax + b + bp − aq ln ⎜⎝ ax + b ⎟⎠ ⎬⎭

17.3.4.

∫ (ax + b) ( px + q) = bp − aq ⎨⎩bp − aq ln ⎜⎝ px + q⎟⎠ − a(ax + b) ⎬⎭

17.3.5.

∫ (ax + b) ( px + q) = (bp − aq)a (ax + b) + (bp − aq)

17.3.6.

∫ (ax + b)

2

x dx

⎛ ax + b ⎞

q

2

x 2 dx

1

b2

2

⎫

b

2

{

2

⎧q2 ⎫ b(bp − 2aq) ln (ax + b)⎬ ⎨ ln ( px + q) + 2 p a ⎩ ⎭

dx 1 −1 n = m −1 n bp aq ( )( ) 1 − − ( px + q) (ax + b) ( px + q)n−1

m

∫ (ax + b)

+ a(m + n − 2) ax + b

dx ( px + q)n−1

m

ax bp − aq ln( px + q) + p p2

17.3.7.

∫ px + q dx =

17.3.8.

⎧ ⎧(ax + b)m +1 ⎫ (ax + b)m −1 + (n − m − 2)a ∫ dx⎬ ⎨ ⎪ n −1 n −1 + q ) ( n 1 )( bp aq ) ( px ( px + q ) − − ⎩ ⎭ ⎪ ⎪ ⎧ (ax + b)m (ax + b)m (ax + b)m −1 ⎫ −1 ∫ ( px + q)n dx = ⎨(n − m − 1) p ⎨⎩( px + q)n−1 + m(bp − aq) ∫ ( px + q)n dx⎬⎭ ⎪ ⎪ −1 ⎧ (ax + b)m (ax + b)m −1 ⎫ a m − ⎨ ⎪ ∫ ( px + q)n−1 dx⎬⎭ n −1 ⎩(n − 1) p ⎩( px + q)

}

(4) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN AXB Y px ! q 17.4.1.

17.4.2.

px + q 2(apx + 3aq − 2bp) dx = ax + b 3a 2 ax + b ⎧ ⎛ p(ax + b) − bp − aq ⎞ 1 ⎪ ln ⎜ ⎟ ⎪ bp − aq p ⎝ p(ax + b) + bp − aq ⎠ dx = ∫ ( px + q) ax + b ⎨ 2 p(ax + b) ⎪ tan −1 ⎪ aq − bp ⎩ aq − bp p

∫

⎧ 2 ax + b bp − aq ⎛ p(ax + b) − bp − aq ⎞ ⎪ + ln ⎜ ⎟ p ⎪ p p ax + b ⎝ p(ax + b) + bp − aq ⎠ dx = ⎨ px + q p(ax + b) ⎪ 2 ax + b 2 aq − bp tan −1 − ⎪ p aq − bp p p ⎩

17.4.3.

∫

17.4.4.

∫ ( px + q)

17.4.5.

∫ ( px + q)

17.4.6.

∫

17.4.7.

∫ ( px + q)

ax + b dx =

n

dx n

ax + b

=

2( px + q)n+1 ax + b bp − aq + (2n + 3) p (2n + 3) p

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 74

n

dx =

( px + q)n ax + b

ax + b (2n − 3)a + (n − 1)(aq − bp)( px + q)n−1 2(n − 1)(aq − bp)

( px + q)n 2( px + q)n ax + b 2n(aq − bp) dx = + (2n + 1)a (2n + 1)a ax + b ax + b

∫

− ax + b a + (n − 1) p( px + q)n−1 2(n − 1) p

∫

∫ ( px + q)

dx n −1

ax + b

( px + q)n−1 dx ax + b

∫ ( px + q)

dx n −1

ax + b

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES

(5)

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN AXB Y px!q

17.5.1.

∫

⎧ ⎪ dx ⎪ =⎨ (ax + b)( px + q) ⎪ ⎪ ⎩

2 ap

ln

2 − ap

(

a( px + q ) + p(ax + b)

tan −1

)

− p(ax + b) a( px + q)

17.5.2.

∫

x dx = (ax + b)( px + q)

(ax + b)( px + q) bp + aq − ap 2ap

17.5.3.

∫

(ax + b)( px + q) dx =

(bp − aq)2 2apx + bp + aq (ax + b)( px + q) − 8ap 4 ap

17.5.4.

∫

px + q dx = ax + b

17.5.5.

∫ ( px + q)

(6)

75

(ax + b)( px + q) aq − bp + 2a a

∫

∫

dx (ax + b)( px + q)

∫

dx (ax + b)( px + q)

dx (ax + b)( px + q)

dx 2 ax + b = (ax + b)( px + q) (aq − bp) px + q

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN x2 ! a2

17.6.1.

∫x

17.6.2.

∫x

2

x dx 1 = tan −1 a + a2 a

x dx 1 = ln ( x 2 + a 2 ) 2 +a 2

2

x 2 dx −1 x 2 2 = x − a tan a x +a

17.6.3.

∫

17.6.4.

∫x

17.6.5.

∫ x(x

17.6.6.

∫x

17.6.7.

∫ x (x

17.6.8.

∫ (x

2

17.6.9.

∫ (x

2

17.6.10.

∫ (x

2

x 3 dx x 2 a2 − ln ( x 2 + a 2 ) 2 2 = 2 2 +a

2

dx 1 1 x = − 2 − 3 tan −1 a (x 2 + a2 ) a x a ⎛ x2 ⎞ dx 1 1 = − 2 2 − 4 ln ⎜ 2 2 2 ⎝ x + a 2 ⎟⎠ +a ) 2a x 2a

3

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 75

⎛ x2 ⎞ dx 1 = 2 ln ⎜ 2 2 ⎝ x + a 2 ⎟⎠ + a ) 2a

2

dx x x 1 = + tan −1 a + a 2 ) 2 2a 2 ( x 2 + a 2 ) 2a 3

x dx −1 2 2 = 2 +a ) 2( x + a 2 )

x x 2 dx 1 −x = + tan −1 a + a 2 )2 2( x 2 + a 2 ) 2a

05/12/13 16:00

76

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES x 3dx a2 1 + ln ( x 2 + a 2 ) = 2 2 2 +a ) 2( x + a 2 ) 2

17.6.11.

∫ (x

17.6.12.

∫ x(x

17.6.13.

∫x

2

2

2

dx 1 1 ⎛ x2 ⎞ 2 2 = 2 2 2 + 4 ln ⎜ 2 +a ) 2a ( x + a ) 2a ⎝ x + a 2 ⎟⎠

dx 1 x 3 x =− 4 − 4 2 − tan −1 a ( x 2 + a 2 )2 a x 2a ( x + a 2 ) 2a 5

dx 1 1 1 ⎛ x2 ⎞ 2 2 = − 4 2 − 4 2 2 − 6 ln ⎜ 2 x (x + a ) 2a x 2a ( x + a ) a ⎝ x + a 2 ⎟⎠

17.6.14.

∫

17.6.15.

∫ (x

2

17.6.16.

∫ (x

2

17.6.17.

∫ x(x

17.6.18.

∫ (x

17.6.19.

∫x

3

2

dx x 2n − 3 = + + a 2 )n 2(n − 1)a 2 ( x 2 + a 2 )n−1 (2n − 2)a 2

2

dx + a 2 )n−1

x dx −1 = + a 2 )n 2(n − 1)( x 2 + a 2 )n−1 2

dx 1 1 2 n = 2 2 2 n −1 + 2 +a ) 2(n − 1)a ( x + a ) a

x m dx = + a 2 )n

2

m

∫ (x

∫ (x

x m − 2 dx − a2 + a 2 )n−1

2

dx 1 = ( x 2 + a 2 )n a 2

∫x

m

∫ x(x

2

dx + a 2 )n−1

x m − 2 dx 2 + a 2 )n

∫ (x

dx 1 − ( x 2 + a 2 )n−1 a 2

∫x

m−2

dx ( x 2 + a 2 )n

(7) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN x2 ! a2, x2 > a2 dx 1 ⎛ x − a⎞ = ln 2 −a 2a ⎜⎝ x + a ⎟⎠

17.7.1.

∫x

2

17.7.2.

∫x

2

17.7.3.

∫x

x 2 dx a ⎛ x − a⎞ = x + ln ⎜ 2 2 ⎝ x + a⎟⎠ − a2

o −

1 x coth −1 a a

x dx 1 = ln ( x 2 − a 2 ) − a2 2

x 3dx x 2 a2 = + ln ( x 2 − a 2 ) x 2 − a2 2 2

17.7.4.

∫

17.7.5.

∫ x(x

17.7.6.

∫ x (x 2

dx 1 ⎛ x 2 − a2 ⎞ 2 = 2 ln ⎜ − a ) 2a ⎝ x 2 ⎟⎠

2

dx 1 1 ⎛ x − a⎞ 2 2 = 2 + 3 ln ⎜ − a ) a x 2a ⎝ x + a⎟⎠

dx 1 1 ⎛ x2 ⎞ = − ln x 3( x 2 − a 2 ) 2a 2 x 2 2a 4 ⎜⎝ x 2 − a 2 ⎟⎠

17.7.7.

∫

17.7.8.

∫ (x

2

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 76

dx −x 1 ⎛ x − a⎞ = − ln − a 2 )2 2a 2 ( x 2 − a 2 ) 4 a 3 ⎜⎝ x + a⎟⎠

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES x dx −1 = − a 2 )2 2( x 2 − a 2 )

17.7.9.

∫ (x

2

17.7.10.

∫ (x

2

17.7.11.

x 3dx −a2 1 = ∫ ( x 2 − a 2 )2 2( x 2 − a 2 ) + 2 ln ( x 2 − a 2 )

17.7.12.

∫ x(x

17.7.13.

∫ x (x

x 2 dx 1 ⎛ x − a⎞ −x = + ln − a 2 )2 2( x 2 − a 2 ) 4 a ⎜⎝ x + a⎟⎠

2

2

dx −1 1 ⎛ x2 ⎞ 2 2 = 2 2 2 + 4 ln ⎜ 2 −a ) 2a ( x − a ) 2a ⎝ x − a 2 ⎟⎠ dx 1 x 3 ⎛ x − a⎞ − 4 2 2 2 = − 4 2 − 5 ln ⎜ −a ) a x 2a ( x − a ) 4 a ⎝ x + a⎟⎠

2

dx 1 1 1 ⎛ x2 ⎞ = − − + ln x 3( x 2 − a 2 )2 2a 4 x 2 2a 4 ( x 2 − a 2 ) a 6 ⎜⎝ x 2 − a 2 ⎟⎠

17.7.14.

∫

17.7.15.

∫ (x

2

17.7.16.

∫ (x

2

17.7.17.

∫ x(x

17.7.18.

∫ (x

17.7.19.

∫x

(8)

77

dx −x 2n − 3 = − − a 2 )n 2(n − 1)a 2 ( x 2 − a 2 )n−1 (2n − 2)a 2

2

dx − a 2 )n−1

x dx −1 = − a 2 )n 2(n − 1)( x 2 − a 2 )n−1 2

dx −1 1 2 n = 2 2 2 n −1 − 2 −a ) 2(n − 1)a ( x − a ) a

x m dx = − a 2 )n

2

m

∫ (x

∫ (x

x m − 2 dx + a2 − a 2 )n−1

2

dx 1 = ( x 2 − a 2 )n a 2

∫x

m−2

∫ x(x

2

dx − a 2 )n−1

x m − 2 dx 2 − a 2 )n

∫ (x

dx 1 − ( x 2 − a 2 )n a 2

∫x

m

dx ( x 2 − a 2 )n−1

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN a2 ! x2, x2 < a2

17.8.1.

∫a

2

17.8.2.

∫a

2

dx 1 ⎛ a + x⎞ = ln 2 −x 2a ⎜⎝ a − x ⎟⎠

1 x tanh −1 a a

x dx 1 = − ln (a 2 − x 2 ) 2 − x2

x 2 dx a ⎛ a + x⎞ = − x + ln ⎜ 2 ⎝ a − x ⎟⎠ a2 − x 2

17.8.3.

∫

17.8.4.

∫a

17.8.5.

∫ x (a

17.8.6.

∫x

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 77

o

x 3dx x 2 a2 = − − ln (a 2 − x 2 ) 2 2 −x 2 2

2

dx 1 ⎛ x2 ⎞ 2 = 2 ln ⎜ 2 − x ) 2a ⎝ a − x 2 ⎟⎠

2

dx 1 1 ⎛ a + x⎞ = − 2 + 3 ln ⎜ (a 2 − x 2 ) a x 2a ⎝ a − x ⎟⎠

05/12/13 16:00

78

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES dx 1 1 ⎛ x2 ⎞ 2 2 = − 2 2 + 4 ln ⎜ 2 (a − x ) 2a x 2a ⎝ a − x 2 ⎟⎠

17.8.7.

∫x

17.8.8.

∫ (a

2

17.8.9.

∫ (a

2

3

dx x 1 ⎛ a + x⎞ = + ln − x 2 )2 2a 2 (a 2 − x 2 ) 4 a 3 ⎜⎝ a − x ⎟⎠ x dx 1 = − x 2 )2 2(a 2 − x 2 )

17.8.10.

x 2 dx x 1 ⎛ a + x⎞ ∫ (a 2 − x 2 )2 = 2(a 2 − x 2 ) − 4a ln ⎜⎝ a − x ⎟⎠

17.8.11.

x 3dx a2 1 = ∫ (a 2 − x 2 )2 2(a 2 − x 2 ) + 2 ln (a 2 − x 2 ) dx 1 1 ⎛ x2 ⎞ = + ln x (a 2 − x 2 )2 2a 2 (a 2 − x 2 ) 2a 4 ⎜⎝ a 2 − x 2 ⎟⎠

17.8.12.

∫

17.8.13.

∫ x (a

2

17.8.14.

∫ x (a

2

17.8.15.

∫ (a

2

17.8.16.

∫ (a

2

17.8.17.

∫ x (a

17.8.18.

x m dx ∫ (a 2 − x 2 ) n = a 2

17.8.19.

∫x

2

3

m

dx −1 x 3 ⎛ a + x⎞ = + + ln − x 2 )2 a 4 x 2a 4 (a 2 − x 2 ) 4 a 5 ⎜⎝ a − x ⎟⎠

dx −1 1 1 ⎛ x2 ⎞ 2 2 = 4 2 + 4 2 2 + 6 ln ⎜ 2 −x ) 2a x 2a (a − x ) a ⎝ a − x 2 ⎟⎠

dx x 2n − 3 = + − x 2 )n 2(n − 1)a 2 (a 2 − x 2 )n−1 (2n − 2)a 2

∫ (a

2

dx − x 2 )n−1

x dx 1 = − x 2 )n 2(n − 1)(a 2 − x 2 )n−1 2

dx 1 1 = + − x 2 )n 2(n − 1)a 2 (a 2 − x 2 )n−1 a 2 x m − 2 dx ∫ (a 2 − x 2 ) n −

dx 1 = (a 2 − x 2 ) n a 2

∫x

m

∫ x (a

2

dx − x 2 )n−1

x m − 2 dx ∫ (a 2 − x 2 )n−1

dx 1 + (a 2 − x 2 )n−1 a 2

∫x

m−2

dx (a 2 − x 2 ) n

(9) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN X A dx

x a

17.9.1.

∫

17.9.2.

∫

x +a x dx = x 2 + a2 x 2 + a2

17.9.3.

∫

x 2 dx x x 2 + a2 a2 = − ln( x + x 2 + a 2 ) 2 2 2 2 x +a

17.9.4.

∫

x 3 dx ( x 2 + a 2 )3 / 2 = − a2 x 2 + a2 2 2 3 x +a

2

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 78

2

= ln( x + x 2 + a 2 ) o senh −1

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES 17.9.5. 17.9.6. 17.9.7. 17.9.8. 17.9.9.

∫

dx 1 ⎛ a + x 2 + a2 ⎞ = − ln ⎟ a ⎜⎝ x x x 2 + a2 ⎠

∫x ∫x

dx x 2 + a2 = − a2 x x 2 + a2

2

⎛ a + x 2 + a2 ⎞ dx x 2 + a2 1 = − + ln 2 2 3 ⎜ ⎟ x 2a x 2a x 2 + a2 ⎝ ⎠

3

x x 2 + a2 a2 + ln ( x + x 2 + a 2 ) ∫ 2 2 2 2 3/ 2 ( ) x a + ∫ x x 2 + a 2 dx = 3 x 2 + a 2 dx =

17.9.10.

∫x

17.9.11.

∫x

x ( x 2 + a 2 )3 / 2 a 2 x x 2 + a 2 a 4 − − ln ( x + x 2 + a 2 ) 4 8 8 2 2 5/ 2 2 2 2 3/ 2 (x + a ) a (x + a ) x 2 + a 2 dx = − 5 3

x 2 + a 2 dx =

2

3

∫

⎛ a + x 2 + a2 ⎞ x 2 + a2 dx = x 2 + a 2 − a ln ⎜ ⎟ x x ⎝ ⎠

17.9.13.

∫

x 2 + a2 x 2 + a2 = − + ln ( x + x 2 + a 2 ) dx x2 x

17.9.14.

∫

x 2 + a2 x 2 + a2 1 ⎛ a + x 2 + a2 ⎞ dx = − − ln 3 2 ⎟ x 2a ⎜⎝ x 2x ⎠

17.9.15.

∫ (x

2

17.9.16.

∫ (x

2

17.9.17.

∫ (x

2

17.9.18.

∫ (x

2

17.9.12.

dx x = + a 2 )3 / 2 a 2 x 2 + a 2 x dx = + a 2 )3 / 2

−1 x + a2

x 2 dx = + a 2 )3 / 2

−x + ln ( x + x 2 + a 2 ) x 2 + a2

2

x 3 dx = x 2 + a2 + + a 2 )3 / 2

a2 x + a2 2

dx 1 1 ⎛ a + x 2 + a2 ⎞ = − ln ⎟ x x ( x 2 + a 2 )3/ 2 a 2 x 2 + a 2 a 3 ⎜⎝ ⎠

17.9.19.

∫

17.9.20.

∫ x (x

2

17.9.21.

∫ x (x

2

17.9.22.

∫ ( x 2 + a 2 )3/ 2 dx =

17.9.23.

79

2

3

dx x 2 + a2 x − 4 2 2 3/ 2 = − a4 x +a ) a x + a2 ⎛ a + x 2 + a2 ⎞ dx 3 3 −1 − 4 2 + 5 ln ⎜ 2 3/ 2 = ⎟ 2 2 2 2 2 x 2a +a ) 2a x x + a 2a x + a ⎝ ⎠

x ( x 2 + a 2 )3/ 2 3a 2 x x 2 + a 2 3 4 + + a ln ( x + x 2 + a 2 ) 4 8 8 2 2 5/ 2 (x + a ) ∫ x ( x 2 + a 2 )3/ 2 dx = 5

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 79

05/12/13 16:00

80

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES

17.9.24.

∫ x 2( x 2 + a 2 )3/ 2 dx =

x ( x 2 + a 2 )5 / 2 a 2 x ( x 2 + a 2 )3 / 2 a 4 x x 2 + a 2 a 6 − − − ln ( x + x 2 + a 2 ) 6 24 16 16

17.9.25.

∫ x (x

( x 2 + a 2 ) 7 / 2 a 2 ( x 2 + a 2 )5 / 2 − 7 5

17.9.26.

∫

⎛ a + x 2 + a2 ⎞ ( x 2 + a 2 )3 / 2 ( x 2 + a 2 )3 / 2 + a 2 x 2 + a 2 − a 3 ln ⎜ dx = ⎟ 3 x x ⎝ ⎠

17.9.27.

∫

( x 2 + a 2 )3 / 2 ( x 2 + a 2 )3 / 2 3 x x 2 + a 2 3 2 + + a ln ( x + x 2 + a 2 ) dx = − 2 x x 2 2

17.9.28.

∫

⎛ a + x 2 + a2 ⎞ ( x 2 + a 2 )3 / 2 ( x 2 + a 2 )3 / 2 3 2 3 dx = − x + a 2 − a ln ⎜ + 3 2 ⎟ x 2 2 x 2x ⎝ ⎠

3

+ a 2 )3/ 2 dx =

2

(10) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN X A dx x −a

∫

x dx x x −a a = + ln ( x + x 2 − a 2 ) 2 2 2 2 x −a

17.10.3.

∫

x 3 dx ( x 2 − a 2 )3 / 2 = + a2 x 2 − a2 3 x 2 − a2

17.10.4.

∫x

17.10.2.

2

2

= ln ( x + x 2 − a 2 ),

2

2

dx x −a 2

2

=

2

∫

x dx

∫

17.10.1.

x −a 2

2

= x 2 − a2

2

1 x sec −1 a a

dx = x 2 − a2

x 2 − a2 a2 x

dx

1 x 2 − a2 x + 3 sec −1 2a 2 x 2 2a a

17.10.5.

∫x

17.10.6.

∫x

17.10.7.

∫

17.10.8.

∫x

17.10.9.

∫x

17.10.10.

∫x

17.10.11.

∫

x 2 − a2 x dx = x 2 − a 2 − a sec −1 x a

∫

x 2 − a2 x 2 − a2 dx = − + ln ( x + x 2 − a 2 ) x x2

17.10.12.

2

3

x 2 − a2

=

x 2 − a 2 dx =

x x 2 − a2 a2 − ln ( x + x 2 − a 2 ) 2 2

x 2 − a 2 dx =

( x 2 − a 2 )3 / 2 3

2

x 2 − a 2 dx =

x ( x 2 − a 2 )3/ 2 a 2 x x 2 − a 2 a 4 + − ln ( x + x 2 − a 2 ) 4 8 8

3

x 2 − a 2 dx =

( x 2 − a 2 )5 / 2 a 2 ( x 2 − a 2 )3 / 2 + 5 3

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 80

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES 1 x 2 − a2 x 2 − a2 x = − + sec −1 dx 3 2 2x 2a x a

17.10.13.

∫

17.10.14.

∫ (x

2

17.10.15.

∫ (x

2

17.10.16.

x 2dx x ∫ ( x 2 − a 2 )3/ 2 = − x 2 − a 2 + ln ( x + x 2 − a 2 )

17.10.17.

x 3 dx ∫ ( x − a 2 )3 / 2 = x 2 − a 2 −

17.10.18.

∫ x(x

dx x =− 2 2 − a 2 )3 / 2 a x − a2 x dx = − a 2 )3 / 2

−1 x − a2 2

2

2

a2 x 2 − a2

dx 1 x −1 = − 3 sec −1 2 3/ 2 2 2 2 −a ) a a a x −a

dx x 2 − a2 x = − − 4 2 2 2 2 3/ 2 4 x (x − a ) a x a x − a2

17.10.19.

∫

17.10.20.

∫x

17.10.21.

∫ (x

17.10.22.

∫ x(x

17.10.23.

∫x

17.10.24.

∫x

17.10.25.

∫

( x 2 − a 2 )3 / 2 ( x 2 − a 2 )3 / 2 x dx = − a 2 x 2 − a 2 + a 3 sec −1 x 3 a

17.10.26.

∫

( x 2 − a 2 )3 / 2 ( x 2 − a 2 )3 / 2 3 x x 2 − a 2 3 2 dx = − + − a ln ( x + x 2 − a 2 ) 2 x 2 2 x

17.10.27.

( x 2 − a 2 )3 / 2 ( x 2 − a 2 )3 / 2 3 x 2 − a 2 3 x = − + − a sec −1 dx ∫ x3 2 2x 2 2 a

(11)

81

3

dx 1 3 3 x = − − sec −1 ( x 2 − a 2 )3 / 2 2a 2 x 2 x 2 − a 2 2a 4 x 2 − a 2 2a 5 a

2

− a 2 )3/ 2 dx = 2

x ( x 2 − a 2 )3/ 2 3a 2 x x 2 − a 2 3 4 − + a ln ( x + x 2 − a 2 ) 4 8 8

− a 2 )3/ 2 dx =

( x 2 − a 2 )5 / 2 5

2

( x 2 − a 2 )3/ 2 dx =

x ( x 2 − a 2 )5 / 2 a 2 x ( x 2 − a 2 )3 / 2 a 4 x x 2 − a 2 a 6 + − + ln ( x + x 2 − a 2 ) 6 24 16 16

3

( x 2 − a 2 )3/ 2 dx =

( x 2 − a 2 ) 7 / 2 a 2 ( x 2 − a 2 )5 / 2 + 7 5

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN A X

17.11.1.

∫

17.11.2.

∫

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 81

dx a2 − x 2

= sen −1

x a

x dx = − a2 − x 2 a2 − x 2

05/12/13 16:00

82 17.11.3.

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES x 2dx

∫

a2 − x 2

∫

17.11.5.

∫x

17.11.6.

∫x

17.11.8. 17.11.9.

x a2 − x 2 a2 x + sen −1 a 2 2

x 3 dx (a 2 − x 2 ) 3 / 2 = − a2 a2 − x 2 3 a2 − x 2

17.11.4.

17.11.7.

=−

∫x

dx 1 ⎛ a + a2 − x 2 ⎞ = − ln ⎜ ⎟ 2 2 a ⎝ x a −x ⎠ dx a2 − x 2 = − a2 x a2 − x 2

2

⎛ a + a2 − x 2 ⎞ dx a2 − x 2 1 = − − ln ⎟ x 2a 2 x 2 2a 3 ⎜⎝ a2 − x 2 ⎠

3

x a2 − x 2 a2 x + sen −1 2 2 a (a 2 − x 2 )3 / 2 2 2 x a x dx − = − ∫ 3

∫

a 2 − x 2 dx =

17.11.10.

∫x

17.11.11.

∫x

a 2 − x 2 dx = −

2

a 2 − x 2 dx =

3

x (a 2 − x 2 )3 / 2 a 2 x a 2 − x 2 a 4 x + + sen −1 4 8 8 a

(a 2 − x 2 )5 / 2 a 2 (a 2 − x 2 )3 / 2 − 5 3

17.11.12.

∫

⎛ a + a2 − x 2 ⎞ a2 − x 2 dx = a 2 − x 2 − a ln ⎜ ⎟ x x ⎝ ⎠

17.11.13.

∫

a2 − x 2 a2 − x 2 x dx = − − sen −1 2 x x a

17.11.14.

∫

a2 − x 2 a2 − x 2 1 ⎛ a + a2 − x 2 ⎞ dx = − + ln 3 2 ⎟ x 2a ⎜⎝ x 2x ⎠

17.11.15.

∫ (a

17.11.16. 17.11.17. 17.11.18.

dx x = − x 2 )3 / 2 a 2 a 2 − x 2 x dx 1 ∫ (a 2 − x 2 )3 / 2 = a 2 − x 2 x 2dx x x = − sen −1 2 2 a − x 2 )3 / 2 a −x 3 x dx a2 ∫ (a 2 − x 2 )3 / 2 = a 2 − x 2 + a 2 − x 2

∫ (a

∫

17.11.20.

∫x ∫

2

dx 1 1 ⎛ a + a2 − x 2 ⎞ = − ln ⎟ x x (a 2 − x 2 )3/ 2 a 2 a 2 − x 2 a 3 ⎜⎝ ⎠

17.11.19.

17.11.21.

2

2

dx a2 − x 2 x + 4 2 2 3/ 2 = − a4 x (a − x ) a a − x2 2

⎛ a + a2 − x 2 ⎞ dx 3 3 −1 = + − l n ⎟ x x 3 (a 2 − x 2 )3/ 2 2a 2 x 2 a 2 − x 2 2a 4 a 2 − x 2 2a 5 ⎜⎝ ⎠

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 82

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES x (a 2 − x 2 )3/ 2 3a 2 x a 2 − x 2 3 4 x + + a seen −1 4 8 8 a (a 2 − x 2 )5 / 2 ∫ x (a 2 − x 2 )3/ 2 dx = − 5

∫ (a

2

17.11.24.

∫x

(a 2 − x 2 )3/ 2dx = −

17.11.25.

∫x

17.11.26.

⎛ a + a2 − x 2 ⎞ (a 2 − x 2 )3 / 2 (a 2 − x 2 )3 / 2 2 2 2 3 dx a a x a ln = + − − ⎟ ⎜ ∫ x x 3 ⎠ ⎝

17.11.27.

∫

17.11.28.

⎛ a + a2 − x 2 ⎞ (a 2 − x 2 )3 / 2 (a 2 − x 2 )3 / 2 3 a 2 − x 2 3 dx a l = − − + n ⎜ ⎟ ∫ x3 2 2 x 2x 2 ⎝ ⎠

17.11.22. 17.11.23.

(12)

83

3

2

− x 2 )3/ 2dx =

(a 2 − x 2 )3/ 2 dx =

x (a 2 − x 2 )5 / 2 a 2 x (a 2 − x 2 )3 / 2 a 4 x a 2 − x 2 a 6 x + + + sen −1 a 6 24 16 16

(a 2 − x 2 ) 7 / 2 a 2 (a 2 − x 2 )5 / 2 − 7 5

(a 2 − x 2 )3 / 2 (a 2 − x 2 )3 / 2 3 x a 2 − x 2 3 2 x dx = − − − a seen −1 2 x x 2 2 a

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN ax2 ! bx ! c

17.12.1.

⎧ 2 2ax + b tan −1 ⎪ 2 4 ac − b 2 dx ⎪ 4 ac − b ∫ ax 2 + bx + c = ⎨ 1 ⎛ 2ax + b − b 2 − 4 ac ⎞ ⎪ ln ⎜ ⎪ b 2 − 4 ac ⎝ 2ax + b + b 2 − 4 ac ⎟⎠ ⎩

Si b 2 = 4 ac, ax 2 + bx + c = a( x + b / 2a)2 y los resultados de las fórmulas 17.1.6 a 17.1.10 y 17.1.14 a 17.1.17 se pueden usar. Si b ! 0, use los resultados de la página 75. Si a o c ! 0, use los resultados de las páginas 71-72. x dx 1 b = ln (ax 2 + bx + c) − 2a + bx + c 2a

∫ ax

17.12.3.

x 2 dx x b b 2 − 2ac 2 ax bx c = − + + + ln ( ) ∫ ax 2 + bx + c a 2a 2 2a 2

17.12.4.

x m dx x m −1 c = ∫ ax + bx + c (m − 1)a − a

2

2

∫

17.12.6.

∫x

2

17.12.7.

∫x

n

17.12.8.

∫ (ax

2

17.12.9.

∫ (ax

2

2

x m − 2 dx b ∫ ax + bx + c − a 2

x2 dx 1 ⎛ ⎞ b ln ⎜ 2 = − x (ax + bx + c) 2c ⎝ ax + bx + c⎟⎠ 2c

17.12.5.

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 83

∫ ax

dx + bx + c

17.12.2.

2

∫ ax

∫ ax

x m−1dx ∫ ax + bx + c 2

dx + bx + c

dx b ⎛ ax 2 + bx + c⎞ 1 b 2 − 2ac = 2 ln ⎜ ⎟⎠ − cx + 2c 2 x2 (ax + bx + c) 2c ⎝

∫x

n −1

dx + bx + c

2

2

dx 1 b =− − (ax 2 + bx + c) (n − 1)cx n−1 c

2

∫ ax

dx a − (ax 2 + bx + c) c

dx 2ax + b 2a = + + bx + c)2 (4 ac − b 2 )(ax 2 + bx + c) 4 ac − b 2 x dx bx + 2c b =− − (4 ac − b 2 )(ax 2 + bx + c) 4 ac − b 2 + bx + c)2

∫ ax

2

2

dx + bx + c

∫x

n− 2

dx (ax 2 + bx + c)

dx + bx + c

∫ ax

2

dx + bx + c

05/12/13 16:00

84

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES

17.12.10.

x 2 dx (b 2 − 2ac) x + bc 2c = ∫ (ax 2 + bx + c)2 a(4ac − b 2 )(ax 2 + bx + c) + 4ac − b 2

17.12.11.

x m dx x m −1 (m − 1)c = − ∫ (ax 2 + bx + c)n (2n − m − 1)a(ax 2 + bx + c)n−1 + (2n − m − 1)a − x 2 n−1dx 1 = + bx + c)n a

17.12.12.

∫ (ax

17.12.13.

∫ x (ax

17.12.14.

∫x

2

17.12.15.

∫x

m

2

2

(n − m )b (2n − m − 1)a

∫ (ax

2

∫ (ax

x 2 n−3 dx c − + bx + c)n−1 a

dx 1 b = − + bx + c)2 2c(ax 2 + bx + c) 2c

2

∫ (ax

dx 1 3a − 2 = − 2 (ax + bx + c) cx (ax + bx + c) c

2

dx + bx + c x m − 2 dx ∫ (ax 2 + bx + c)n

x m −1dx + bx + c)n

∫ (ax 2

x 2 n−3 dx b − + bx + c)n a

2

dx 1 + + bx + c)2 c

∫ (ax

2

∫ ax

2

∫ x (ax

dx 2b 2 − c + bx + c)

dx 1 (m + 2n − 3)a =− − (m − 1)c (ax 2 + bx + c)n (m − 1)cx m −1 (ax 2 + bx + c)n−1 −

(m + n − 2)b (m − 1)c

∫x

m −1

∫ (ax 2

x 2 n− 2 dx + bx + c)n

2

dx + bx + c)

∫ x (ax ∫x

m−2

2

dx + bx + c)2

dx (ax 2 + bx + c)n

dx (ax 2 + bx + c)n

(13) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN AX BXC En los siguientes resultados, si b 2 = 4 ac, ax 2 + bx + c = a ( x + b / 2a) y se pueden utilizar los resultados de la fórmula 17.1. Si b ! 0, use los resultados de la fórmula 17.9. Si a ! 0 o c ! 0, utilice los resultados de 17.2 y 17.5.

17.13.1.

∫

⎧ 1 ln (2 a ax 2 + bx + c + 2ax + b) ⎪ ⎪ dx a =⎨ 2 ax + bx + c ⎪− 1 sen −1 ⎛⎜ 2ax + b ⎞⎟ o 1 senh −1 ⎛⎜ 2ax + b ⎞⎟ ⎪⎩ −a a ⎝ b 2 − 4 ac ⎠ ⎝ 4 ac − b 2 ⎠

17.13.2.

∫

x dx = 2 ax + bx + c

17.13.3.

∫

x 2 dx 2ax − 3b 3b 2 − 4 ac = ax 2 + bx + c + 2 4a 8a 2 ax + bx + c

17.13.4.

ax 2 + bx + c b − 2a a

∫

dx ax + bx + c 2

2

dx ax 2 + bx + c

∫

⎧ 1 ⎛ 2 c ax 2 + bx + c + bx + 2c⎞ ⎪− ln ⎜ ⎟ x dx ⎪ c ⎝ ⎠ ∫ x ax 2 + bx + c = ⎨ 1 ⎛ bx + 2c ⎞ ⎛ bx + 2c ⎞ 1 ⎪ −1 −1 ⎪ −c sen ⎜⎝ | x | b 2 − 4 ac ⎟⎠ o − c senh ⎜⎝ | x | 4 ac − b 2 ⎟⎠ ⎩

17.13.5.

∫x

17.13.6.

∫

2

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 84

dx ax 2 + bx + c b = − − 2c cx ax 2 + bx + c

ax 2 + bx + c dx =

∫x

dx ax + bx + c 2

(2ax + b) ax 2 + bx + c 4 ac − b 2 + 4a 8a

∫

dx ax + bx + c 2

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES 17.13.7.

∫ x ax 2 + bx + c dx =

(ax 2 + bx + c)3/ 2 b(2ax + b) − ax 2 + bx + c 3a 8a 2 −

17.13.8.

∫ x 2 ax 2 + bx + c dx =

b(4 ac − b 2 ) 16a 2

∫

∫

17.13.10.

∫

ax 2 + bx + c ax 2 + bx + c dx = − +a x2 x

17.13.11.

∫ (ax

2

17.13.12.

∫ (ax

2

17.13.13.

∫ (ax

2

17.13.14.

∫ x(ax

17.13.15.

∫x

2

ax + bx + c 2

dx

∫

+

ax + bx + c 2

x 2 dx (2b 2 − 4 ac) x + 2bc 1 + 3/ 2 = 2 2 + bx + c) a(4 ac − b ) ax + bx + c a 2

dx 1 1 = + + bx + c)3/ 2 c ax 2 + bx + c c

∫x

∫

∫x b 2

dx ax + bx + c 2

∫x

dx ax + bx + c 2

dx ax 2 + 2bx + c b 2 − 2ac + 3/ 2 = − 2 (ax + bx + c) 2c 2 c x ax 2 + bx + c

17.13.17.

∫ x (ax 2 + bx + c)n+1/ 2 dx =

17.13.18.

∫ (ax

2

2

2

dx + bx + c)3/ 2

dx + bx + c)3/ 2

dx ax + bx + c 2

b (ax 2 + bx + c)n+3/ 2 − 2a a(2n + 3)

∫ (ax

2

+ bx + c)n+1/ 2 dx

dx 2(2ax + b) = + bx + c)n+1/ 2 (2n − 1)(4 ac − b 2 )(ax 2 + bx + c)n−1/ 2 +

∫ x (ax

∫x

∫ (ax

∫ (ax

(2ax + b)(ax 2 + bx + c)n+1/ 2 (2n + 1)(4 ac − b 2 ) + ∫ (ax 2 + bx + c)n−1/ 2 dx 4 a(n + 1) 8a(n + 1)

∫ (ax

+ bx + c)n+1/ 2 dx =

3b 2c 2

dx ax + bx + c 2

dx b − ax 2 + bx + c 2c

2

2

+c

ax 2 + bx + c dx

x dx 2(bx + 2c) = + bx + c)3/ 2 (b 2 − 4 ac) ax 2 + bx + c

17.13.16.

2

8a(n − 1) (2n − 1)(4 ac − b 2 )

∫ (ax

2

dx + bx + c)n−1/ 2

dx 1 n +1/ 2 = 2 + bx + c) (2n − 1)c(ax + bx + c)n−1/ 2 +

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 85

dx

∫

∫

dx 2(2ax + b) = + bx + c)3/ 2 (4 ac − b 2 ) ax 2 + bx + c

−

17.13.19.

dx ax + bx + c 2

6ax − 5b 5b 2 − 4 ac (ax 2 + bx + c)3/ 2 + 2 24 a 16a 2

ax 2 + bx + c b dx = ax 2 + bx + c + x 2

17.13.9.

85

1 c

∫ x (ax

2

dx b n −1/ 2 − 2c + bx + c)

∫ (ax

2

dx + bx + c)n+1/22

05/12/13 16:00

86

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES

(14) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN x3 ! a3 Observe que para las fórmulas que involucran x3 ! a3 se reemplaza a con !a.

∫

⎛ ( x + a) 2 ⎞ dx 1 1 2x − a ln tan −1 = + ⎜⎝ 2 3 3 2 2⎟ ⎠ 2 x +a 6a x − ax + a a 3 a 3

17.14.2.

∫

x dx 1 ⎛ x 2 − ax + a 2 ⎞ 1 2x − a ln ⎜ tan −1 = + ⎟ 3 3 2 x +a 6a ⎝ ( x + a) ⎠ a 3 a 3

17.14.3.

∫x

17.14.4.

∫ x(x

17.14.1.

x 2 dx 1 = ln ( x 3 + a 3 ) 3 + a3 3 dx 1 ⎛ x3 ⎞ 3 = 3 ln ⎜ 3 + a ) 3a ⎝ x + a 3 ⎟⎠

3

⎛ x 2 − ax + a 2 ⎞ dx 1 1 1 2x − a − tan −1 = − − ln ⎟ ⎜ 2 3 3 3 4 2 4 ⎝ ( x + a) ⎠ a 3 x (x + a ) a x 6a a 3

17.14.5.

∫

17.14.6.

⎛ ( x + a) 2 ⎞ 1 dx x 2 2x − a = + ln ∫ ( x 3 + a3 )2 3a3 ( x 3 + a3 ) 9a5 ⎜⎝ x 2 − ax + a 2 ⎟⎠ + 3a5 3 tan −1 a 3

17.14.7.

∫ (x

17.14.8.

x 2 dx 1 ∫ ( x 3 + a3 )2 = − 3( x 3 + a3 )

17.14.9.

∫ x(x

⎛ x 2 − ax + a 2 ⎞ 1 x dx x2 1 2x − a tan −1 = 3 3 + ln ⎜ + 3 2 3 4 ⎝ ( x + a)2 ⎟⎠ 3a 4 3 +a ) 3a ( x + a ) 18a a 3

3

3

dx 1 1 ⎛ x3 ⎞ 3 2 = 3 3 3 + 6 ln ⎜ 3 +a ) 3a ( x + a ) 3a ⎝ x + a 3 ⎟⎠

dx 1 x2 4 = − − − 6 2 3 3 2 6 6 3 3 (x + a ) a x 3a ( x + a ) 3a

17.14.10.

∫x

17.14.11.

∫x

17.14.12.

∫x

∫x

x dx 3 + a3

(Vea la fórmula 17.14.2).

x m dx x m−2 x m −3dx = − a3 ∫ 3 3 3 +a m−2 x + a3 n

dx −1 1 = − ( x 3 + a 3 ) a 3 (n − 1) x n−1 a 3

∫x

n−3

dx (x 3 + a3 )

(15) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN x4 ! a4 ⎛ x 2 + ax 2 + a 2 ⎞ ⎛ x 2⎞⎤ dx 1 1 ⎡ −1 ⎛ x 2 ⎞ − 3 = ln − tan −1 ⎜1 + tan ⎜1 − ⎢ 4 4 ⎜ ⎟ ⎟ 3 2 2 a a ⎟⎠ ⎥⎥ x +a 4 a 2 ⎝ x − ax 2 + a ⎠ 2a 2 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎦

17.15.1.

∫

17.15.2.

∫x

4

17.15.3.

∫x

⎛ x 2 − ax 2 + a 2 ⎞ ⎛ x 2⎞⎤ x 2 dx 1 1 ⎡ −1 ⎛ x 2 ⎞ −1 − ln ⎜ 2 − − 1 tan tan ⎢ 4 4 = ⎟ ⎜ ⎟ ⎜⎝1 + a ⎟⎠ ⎥ a ⎠ +a 4 a 2 ⎝ x + ax 2 + a 2 ⎠ 2a 2 ⎣⎢ ⎝ ⎥⎦

2 x dx 1 −1 x 4 = 2 tan 2 +a 2a a

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 86

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES x 3 dx 1 ln ( x 4 + a 4 ) 4 4 = 4 x +a

17.15.4.

∫

17.15.5.

∫ x(x

17.15.6.

∫x

2

dx 1 ⎛ x4 ⎞ 4 = 4 ln ⎜ 4 + a ) 4a ⎝ x + a 4 ⎟⎠

4

⎛ x 2 − ax 2 + a 2 ⎞ dx 1 1 − 5 ln ⎜ 2 4 4 = − 4 (x + a ) a x 4 a 2 ⎝ x + ax 2 + a 2 ⎟⎠ +

∫

17.15.8.

∫x ∫

4

2a 5

⎡ −1 ⎛ x 2 ⎞ ⎛ x 2⎞⎤ ⎢tan ⎜1 − a ⎟ − tan −1 ⎜1 + a ⎟ ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎥⎦

dx 1 1 x ⎛ x − a⎞ − 3 tan −1 ⎟ 4 = 3 ln ⎜ x + a a −a 4a ⎝ ⎠ 2a

x dx 1 ⎛ x 2 − a2 ⎞ = ln x 4 − a 4 4 a 2 ⎜⎝ x 2 + a 2 ⎟⎠

17.15.10.

∫x

x x 2 dx 1 ⎛ x − a⎞ 1 ln tan −1 = + 4 a − a 4 4 a ⎜⎝ x + a⎟⎠ 2a

17.15.11.

∫x

x 3dx 1 = ln ( x 4 − a 4 ) 4 − a4 4

dx 1 ⎛ x 4 − a4 ⎞ 4 = 4 ln ⎜ x ( x − a ) 4a ⎝ x 4 ⎟⎠

17.15.12.

∫

17.15.13.

∫x

3

17.15.14.

∫x

3

(16)

1

2 dx 1 1 −1 x = − − tan x 3 (x 4 + a4 ) 2a 4 x 2 2a 6 a2

17.15.7.

17.15.9.

87

4

dx 1 1 1 x ⎛ x − a⎞ = + ln tan −1 + a ( x 4 − a 4 ) a 4 x 4 a 5 ⎜⎝ x + a⎟⎠ 2a 5 dx 1 1 ⎛ x 2 − a2 ⎞ 4 4 = 4 2 + 6 ln ⎜ 2 ( x − a ) 2a x 4a ⎝ x + a 2 ⎟⎠

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN xn ! an

17.16.1. 17.16.2. 17.16.3. 17.16.4. 17.16.5. 17.16.6.

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 87

∫

⎛ xn ⎞ dx 1 = ln ⎜ ⎟ x ( x n + a n ) na n ⎝ x n + a n ⎠

x n−1dx 1 = ln ( x n + a n ) n + an n x m dx x m − n dx x m − n dx ∫ ( x n + a n )r = ∫ ( x n + a n )r −1 − a n ∫ ( x n + a n )r dx 1 dx 1 dx ∫ x m ( x n + a n )r = a n ∫ x m ( x n + a n )r −1 − a n ∫ x m−n ( x n + a n )r

∫x

∫x ∫

⎛ x n + an − an ⎞ dx 1 ln ⎜ n = ⎟ n n n x +a n a ⎝ x + an + an ⎠

dx 1 ⎛ x n − an ⎞ = ln x ( x n − a n ) na n ⎜⎝ x n ⎟⎠

05/12/13 16:00

88

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES x n −1dx 1 = ln ( x n − a n ) n − an n

17.16.7.

∫x

17.16.8.

x m dx x m − n dx x m − n dx n a = + n r n n r n ∫ (x − a ) ∫ ( x − a ) ∫ ( x − a n )r −1

17.16.9.

∫x

n

m

17.16.10.

∫x

17.16.11.

∫x

dx 1 = ( x n − a n )r a n dx x n − an

2

=

n an

∫x

m−n

cos −1

dx 1 − ( x n − a n )r a n

∫x

m

dx ( x n − a n )r −1

an xn

m ⎛ x + a cos[(2k − 1)π /2m]⎞ (2k − 1) pπ x p−1dx 1 sen tan −1 ⎜ = ⎟ ∑ 2m 2m 2 m− p ma 2m +a ⎝ a sen [(2 k − 1)π /2m] ⎠ k =1

−

m ⎞ (2k − 1) pπ ⎛ 2 (2k − 1)π 1 + a 2⎟ cos ln ⎜x + 2ax cos ∑ 2 m− p 2ma 2m 2m ⎝ ⎠ k =1

donde 0 ! p " 2m. 17.16.12.

∫x

m −1 ⎞ kπ x p−1dx 1 kpπ ⎛ 2 cos ln ⎜x − 2ax cos = + a 2⎟ ∑ 2m 2m 2 m− p m 2ma m ⎝ −a ⎠ k =1

−

⎛ x − a coss (kπ /m) ⎞ 1 m−1 kpπ tan −1 ⎜ sen ⎟ 2 m− p ∑ ma m ⎝ a sen (kπ /m) ⎠ k =1 1 {ln ( x − a) + (−1) p ln ( x + a)} 2ma 2 m− p

+

donde 0 ! p " 2m. 17.16.13.

∫x

m ⎛ x + a cos[2kπ /(2m + 1)]⎞ x p−1dx 2(−1) p−1 2kpπ sen = tan −1 ⎜ ⎟ ∑ 2 m+1 2 m+1 2 m − p+1 (2m + 1)a +a 2m + 1 ⎝ a sen [2kπ /(2m + 1)] ⎠ k =1

−

m ⎞ 2kπ (−1) p−1 2kp pπ ⎛ 2 cos + a 2⎟ ln ⎜x + 2ax cos 2 m − p+1 ∑ 2m + 1 (2m + 1)a 2m + 1 ⎝ ⎠ k =1

+

(−1) p−1 ln( x + a) (2m + 1)a 2 m− p+1

donde 0 ! p " 2m # 1. 17.16.14.

m ⎛ x − a cos[2kπ /(2m + 1)]⎞ x p−1dx 2kpπ −2 = ∑ ∫ x 2m+1 − a 2m+1 (2m + 1)a 2m− p+1 k =1 sen 2m + 1 tan −1 ⎝⎜ a sen [2kπ /(2m + 1)] ⎟⎠

+

m ⎞ 1 2kpπ ⎛ 2 2kπ cos ln ⎜ x − 2ax cos + a 2⎟ ∑ 2 m − p+1 (2m + 1)a 2m + 1 ⎝ 2m + 1 ⎠ k =1

+

ln( x − a) (2m + 1)a 2 m − p+1

donde 0 ! p " 2m # 1.

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 88

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES

(17)

89

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN sen ax cos ax a sen ax x cos ax − x sen ax dx = a2 a

17.17.1.

∫ sen ax dx = −

17.17.2.

∫

17.17.3.

∫x

2

sen ax dx =

17.17.4.

∫x

3

⎛3x 2 6 ⎞ ⎛6 x x 3 ⎞ sen ax dx = ⎜ 2 − 4 ⎟ sen ax + ⎜ 3 − ⎟ cos ax a⎠ a ⎠ ⎝a ⎝a

17.17.5.

∫

17.17.6.

sen ax (ax )3 (ax )5 dx = ax − + − ⋅⋅⋅ x 3 ⋅ 3! 5 ⋅ 5!

sen ax sen ax cos ax dx = − +a ∫ dx (Vea la fórmula 17.18.5). x2 x x ax dx 1 1 ∫ sen ax = α ln(csc ax − cot ax ) = α ln tan 2

∫

17.17.7.

x dx 1 ⎪⎧ (ax )3 7(ax )5 … 2(22 n−1 − 1) Bn (ax )2 n+1 …⎪⎫ ax + ⎬ = + + + + ⎨ ∫ sen ax a 2 ⎪ 18 1 800 (2n + 1)! ⎪⎭ ⎩ x sen 2ax ∫ sen 2ax dx = 2 − 4a x 2 x sen 2ax cos 2ax ∫ x sen 2ax dx = 4 − 4a − 8a 2

17.17.8. 17.17.9. 17.17.10.

cos ax cos3 ax + a 3a x sen ax sen 4 ax 3 2 ∫ sen 4ax dx = 8 − 4a + 32a dx 1 ∫ sen 2ax = − a cot ax

∫ sen ax dx = −

17.17.11.

3

17.17.12. 17.17.13.

dx

cos ax

1

∫ sen ax = − 2a sen ax + 2a ln tan

17.17.14. 17.17.15.

⎛ 2 x2 ⎞ 2x sen ax + ⎜ 3 − ⎟ cos ax 2 a a⎠ ⎝a

3

2

sen ( p − q) x sen ( p + q) x − 2( p − q) 2( p + q) ⎛ π ax ⎞ dx 1 ∫ 1 − sen ax = a tan ⎜⎝ 4 + 2 ⎟⎠

∫ sen px sen qx dx =

17.17.16.

x dx

⎛π

x

(Si p = ±q, vea la fórmula 17.17.9).

⎛ π ax ⎞ ax ⎞ 2 + 2 ln sen ⎜ − ⎟ ⎟ 2⎠ a ⎝4 2⎠

17.17.17.

∫ 1 − sen ax = a tan ⎜⎝ 4 +

17.17.18.

∫ 1 + sen ax = − α tan ⎜⎝ 4 −

17.17.19.

∫ 1 + sen ax = − a tan ⎜⎝ 4 −

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 89

ax 2

dx

1

⎛π

ax ⎞ ⎟ 2⎠

x dx

x

⎛π

⎛ π ax ⎞ ax ⎞ 2 + 2 ln sen ⎜ + ⎟ ⎟ 2⎠ a ⎝4 2⎠

05/12/13 16:00

90

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES dx

17.17.20.

∫ (1 − sen ax )

17.17.21.

∫ (1 + sen ax )

17.17.22.

∫

2

=

⎛ π ax ⎞ 1 ⎛ π ax ⎞ 1 tan ⎜ + ⎟ + tan 3 ⎜ + ⎟ 2a ⎝ 4 2 ⎠ 6a ⎝4 2 ⎠

⎛ π ax ⎞ 1 ⎛ π ax ⎞ 1 tan ⎜ − ⎟ − tan 3 ⎜ − ⎟ 2a ⎝ 4 2 ⎠ 6a ⎝4 2 ⎠ 1 ⎧ p tan 2 ax + q 2 tan −1 ⎪ 2 2 p2 − q 2 ⎪⎪a p − q dx =⎨ ⎛ p tan 1 ax + q − q 2 − p2 ⎞ p + q sen ax ⎪ 1 2 ⎟ ln ⎜ ⎪ ⎜ p tan 1 ax + q + q 2 − p2 ⎟ 2 2 a q − p ⎪⎩ ⎠ ⎝ 2 dx

2

=−

(Si p ! ± q, vea las fórmulas 17.17.16 y 17.17.18). 17.17.23.

dx

∫ ( p + q sen ax )

2

=

q cos ax p + 2 2 2 a( p − q )( p + q sen ax ) p − q 2

∫

dx p + q sen ax

(Si p ! ± q, vea las fórmulas 17.17.20 y 17.17.21). p2 + q 2 tan ax p

∫

dx 1 = tan −1 2 2 2 p + q sen ax ap p2 + q 2

17.17.25.

∫

⎧ p2 − q 2 tan ax 1 ⎪ tan −1 p ⎪ ap p2 − q 2 dx = ⎨ ⎛ q 2 − p2 tan ax + p ⎞ p2 − q 2 sen 2ax ⎪ 1 ⎜ ⎟ ln ⎪ ⎜ q 2 − p2 tan ax − p ⎟ 2 2 ap q 2 − p ⎝ ⎠ ⎩

17.17.26.

∫x

17.17.27.

∫

17.17.28.

∫ sen n ax dx = −

17.17.29.

∫ sen

17.17.30.

∫ sen

17.17.24.

sen ax dx = −

m

x m cos ax mx m−1 sen ax m(m − 1) + − a a2 a2

a sen ax sen ax dx = − + xn (n − 1) x n−1 n − 1

∫

cos ax dx x n−1

sen n−1 ax cos ax n − 1 + an n

dx − cos ax n−2 = + n n−1 ax a(n − 1)sen ax n − 1

∫ sen

∫x

m −2

sen ax dx

(Vea las fórmulas 17.18.30).

n− 2

ax dx

dx

∫ sen

n −2

ax

x dx 1 − x cos ax n−2 + = − n ax a(n − 1) sen n−1 ax a 2 (n − 1)(n − 2)sen n− 2 ax n − 1

x dx

∫ sen

n− 2

ax

(18) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN cos ax 17.18.1. 17.18.2. 17.18.3.

sen ax a cos ax x sen ax ∫ x cos ax dx = a 2 + a ⎛ x2 2 ⎞ 2x ∫ x 2 cos ax dx = a 2 cos ax + ⎜⎝ a − a3 ⎟⎠ sen ax

∫ cos ax dx =

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 90

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES 17.18.4.

∫x

17.18.5.

∫

17.18.6. 17.18.7. 17.18.8. 17.18.9. 17.18.10. 17.18.11. 17.18.12.

3

⎛3x 2 6 ⎞ ⎛ x 3 6x ⎞ cos ax dx = ⎜ 2 − 4 ⎟ cos ax + ⎜ − 3 ⎟ sen ax a ⎠ ⎝a ⎝a a ⎠

cos ax (ax )2 (ax )4 (ax )6 … dx = ln x − + − + x 2 ⋅ 2! 4 ⋅ 4 ! 6 ⋅ 6!

cos ax cos ax sen ax dx (Vea dx = − −a ∫ (See 17.17.5.) la fórmula 17.17.5). x x x2 dx 1 1 ⎛ π ax ⎞ ∫ cos ax = a ln (sec ax + tan ax ) = a ln tan ⎜⎝ 4 + 2 ⎟⎠

∫

1 ⎧(ax )2 (ax )4 5(ax )6 … En (ax )2 n+ 2 x dx ⎫ = ∫ cos ax a 2 ⎨⎩ 2 + 8 + 144 + + (2n + 2)(2n)! + …⎬⎭ x sen 2ax ∫ cos2 ax dx = 2 + 4a x 2 x sen 2ax cos 2ax + + 4 4a 8a 2 sen ax sen 3ax ∫ cos3 ax dx = a − 3a 3x sen 2ax sen 4 ax ∫ cos4 ax dx = 8 + 4a + 32a

∫ x cos

2

ax dx =

dx

tan ax a

17.18.13.

∫ cos

17.18.14.

∫ cos

17.18.15.

∫ cos ax cos px dx =

17.18.16.

∫ 1 − cos ax = − a cot

17.18.17.

∫ 1 − cos ax = − a cot

17.18.18.

∫ 1 + cos ax = a tan

17.18.19.

∫ 1 + cos ax = a tan

17.18.20.

∫ (1 − cos ax )

17.18.21.

∫ (1 + cos ax )

17.18.22.

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 91

91

2

ax

=

⎛ π ax ⎞ dx sen ax 1 = + ln tan ⎜ + ⎟ 3 2 ax 2a cos ax 2a ⎝4 2 ⎠

dx

1

ax 2

x dx

x

ax 2 ax + ln sen 2 a2 2

dx

1

ax 2

x dx

x

ax 2 ax + ln cos 2 a2 2

dx

2

=−

2

=

dx

∫

sen(a − p) x sen(a + p) x + 2(a − p) 2(a + p)

(Si a ! ± p, vea la fórmula 17.18.9).

ax 1 ax 1 cot − cot 3 2 2a 2 6a

ax 1 ax 1 tan + tan 3 2 2a 2 6a

⎧ 2 1 tan −1 ( p − q) / ( p + q) tan ax ⎪ 2 2 2 dx ⎪ a p −q =⎨ ⎛ tan 1 ax + (q + p) / (q − p) ⎞ p + q cos ax ⎪ 1 2 ln ⎜ ⎪ a q 2 − p2 ⎝ tan 1 ax − (q + p) / (q − p) ⎟⎠ 2 ⎩

(Si p ! ± q, vea las fórmulas 17.18.16 y 17.18.18).

05/12/13 16:00

92

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES dx

17.18.23.

∫ ( p + q cos ax )

17.18.24.

∫p

2

2

q sen ax p − a(q 2 − p2 )( p + q cos ax ) q 2 − p2

=

∫

(Si p ! ± q, vea las fórmulas 17.18.19 y 17.18.20).

dx p + q cos ax

dx 1 p tan ax = tan −1 2 2 2 2 + q cos ax ap p + q p2 + q 2

1 ⎧ −1 p tan ax ⎪ap p2 − q 2 tan p2 − q 2 dx ⎪ = ⎛ p tan ax − q 2 − p2 ⎞ p2 − q 2 cos 2 ax ⎨ 1 ⎪ ln ⎜ ⎟ 2 2 ⎪ ⎝ p tan ax + q 2 − p2 ⎠ ⎩2ap q − p

17.18.25.

∫

17.18.26.

∫x

17.18.27.

∫

17.18.28.

∫ cos

17.18.29.

∫

17.18.30.

∫ cos

x m sen ax mx m−1 m(m − 1) + 2 cos ax − ∫ x m−2 cos ax dx a a a2 a cos ax cos ax sen ax dx = − − (Seee 17.17.27). 17.17.27.) ∫ x n−1 dx (Vea xn (n − 1) x n−1 n − 1 m

cos ax dx =

sen ax cos n−1 ax n − 1 + an n dx sen ax n−2 = + n n−1 cos ax a(n − 1) cos ax b − 1 n

ax dx =

∫ cos

n −2

ax dx

dx

∫ cos

n −2

ax

x dx x sen ax 1 n−2 = − 2 + n n−1 n −2 ax a(n − 1) cos ax a (n − 1)(n − 2) cos ax n − 1

x dx n −2 ax

∫ cos

(19) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN sen ax Y cos ax 17.19.1.

∫ sen ax cos ax dx =

sen 2ax 2a

17.19.2.

sen px cos qx dx = −

cos( p − q) x cos( p + q) x − 2( p − q) 2( p + q)

17.19.3.

∫ sen ax cos ax dx =

17.19.4.

∫ cos ax sen ax dx = − (n + 1)a

17.19.5.

∫ sen ax cos

17.19.6.

∫ sen ax cos ax = a ln tan ax

17.19.7.

∫

17.19.8.

∫ sen ax cos

17.19.9.

∫

n

sen n+1ax (If nn ! (Si = −"1, 1, see vea17.21.1.) la fórmula 17.21.1). (n + 1)a cos n+1 ax

n

2

2

ax dx =

(If (Sinn=! −1"1, , seevea 17.20.1.) la fórmula 17.20.1).

x sen 4 ax − 8 32a

1

dx

⎛ π ax ⎞ dx 1 1 = ln tan ⎜ + ⎟ − sen ax cos ax a ⎝ 4 2 ⎠ a sen ax 2

dx

2

ax

=

1 ax 1 ln tan + a 2 a cos ax

dx 2 cot 2ax =− sen 2ax cos 2 ax a

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 92

05/12/13 16:00

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES ⎛ ax π ⎞ sen 2ax sen ax 1 dx = − + ln tan ⎜ + ⎟ cos ax a a ⎝ 2 4⎠

17.19.10.

∫

17.19.11.

∫

17.19.12.

∫

17.19.13.

∫ sen ax (1 ± cos ax ) = ± 2a(1 ± cos ax ) + 2a ln tan

17.19.14.

∫ sen ax ± cos ax =

17.19.15.

∫ sen ax ± cos ax = 2

17.19.16.

∫ sen ax ± cos ax = ± 2 + 2a ln (sen ax ± cos ax )

17.19.17.

∫

1 sen ax dx = − ln ( p + q cos ax ) p + q cos ax aq

17.19.18.

∫

1 cos ax dx = ln ( p + q sen ax ) p + q sen ax aq

17.19.19.

∫ ( p + q cos ax )

17.19.20.

∫ ( p + q sen ax )

17.19.21.

∫

⎛ ax + tan −1 (q/p) ⎞ 1 dx = ln tan ⎜ ⎟ 2 p sen ax + q cos ax a p2 + q 2 ⎝ ⎠

∫

⎧ ⎛ p + (r − q) tan(ax / 2 ) ⎞ 2 ⎪ ⎟ tan −1 ⎜⎜ ⎟ ⎪a r 2 − p2 − q 2 r 2 − p2 − q 2 dx ⎝ ⎠ =⎨ ⎛ 2 2 2 p sen ax + q cos ax + r ⎪ p − p + q − r + (r − q) tan (ax / 2 ) ⎞⎟ 1 ⎜ ln ⎪ ⎜ p + p2 + q 2 − r 2 + (r − q) tan (ax / 2 ) ⎟ 2 2 2 ⎝ ⎠ ⎩a p + q − r

cos 2 ax cos ax 1 ax dx = + ln tan sen ax a a 2 ⎛ ax π ⎞ dx 1 1 = + ln tan ⎜ + ⎟ cos ax (1 ± sen ax ) 2a(1 ± sen ax ) 2a ⎝ 2 4⎠ ±

1

dx

dx

sen ax dx

x

sen ax dx

1 ln (sen ax ± cos ax ) 2a 1

n

=

1 aq(n − 1)( p + q cos ax )n−1

n

=

−1 aq(n − 1)( p + q sen ax )n−1

cos ax dx

ax 2

⎛ ax π ⎞ ln tan ⎜ ± ⎟ ⎝ 2 8⎠ a 2 x

cos ax dx

1

1

±

17.19.22.

93

(Si r ! q, vea la fórmula 17.19.23. Si r2 ! p2 " q2 vea la fórmula 17.19.24). ax ⎞ dx 1 ⎛ = ln ⎜q + p tan ⎟ p sen ax + q(1 + cos ax ) ap ⎝ 2⎠

∫

17.19.24.

∫

17.19.25.

∫

⎛ p tan ax ⎞ dx 1 = tan −1 ⎜ ⎟ 2 2 p sen ax + q cos ax apq ⎝ q ⎠

17.19.26.

∫

⎛ p tan ax − q ⎞ dx 1 ln ⎜ = ⎟ 2 2 p sen ax − q cos ax 2apq ⎝ p tan ax + q ⎠

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 93

dx p sen ax + q cos ax ± p2 + q 2 2

2

=

⎛π tan ⎜ 2 2 ⎝4 a p +q −1

±

17.19.23.

ax + tan −1 (q / p) ⎞ ⎟ 2 ⎠

2

2

05/12/13 16:00

94

17.19.27.

17.19.28.

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES ⎧ sen m−1ax cos n+1 ax m − 1 + ⎪⎪− a(m + n) m+n m n = cos sen ax ax dx ⎨ ∫ m+1 n−1 ax ax sen cos n −1 ⎪ + ⎪⎩ a(m + n ) m+n

∫

17.19.29.

∫

17.19.30.

∫

∫ sen ∫ sen

m −2

m

ax cos n ax dx

ax cos n−2 ax dx

⎧ m − 1 sen m−2ax sen m−1ax − ⎪ ∫ cosn−2 ax dx a(n − 1) cos n−1 ax n − 1 ⎪ ⎪ sen m+1ax sen m ax m−n+2 sen m ax dx = ⎨ dx − ∫ n n−1 cos ax n −1 cos n−2 ax ⎪a(n − 1) cos ax − sen m−1ax m − 1 sen m−2ax ⎪ ⎪ a(m − n) coos n−1 ax + m − n ∫ cos n ax dx ⎩ ⎧ − cos m−1 ax m − 1 cos m−2 ax − ⎪ ∫ sen n−2ax dx n−1 ⎪ a(n − 1) sen ax n − 1 ⎪ − cos m+1 ax cos m ax cos m ax m−n+2 dx = ⎨ dx − ∫ n n−1 sen ax sen n−2ax n −1 ⎪a(n − 1) sen ax ⎪ cos m−2 ax cos m−1 ax m −1 dx + ∫ ⎪ a(m − n) sen n−1ax m − n sen n ax ⎩ ⎧ 1 dx m+n−2 + ⎪⎪ ∫ m −1 n−1 m dx n −1 sen ax cos n−2 ax a(n − 1) sen ax cos ax =⎨ m n −1 m+n−2 dx sen ax cos ax ⎪ + ∫ sen m−2ax cosn ax ⎪⎩a(m − 1) sen m−1ax cos n−1 ax m −1

(20) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN tan ax 1

1

17.20.1.

∫ tan ax dx = − a ln cos ax = a ln sec ax

17.20.2.

∫ tan

17.20.3.

∫ tan

17.20.4.

∫ tan n ax sec2 ax dx =

17.20.5.

∫

17.20.6.

∫ tan ax = a ln sen ax

17.20.7.

∫ x tan ax dx =

2

ax dx =

tan ax −x a

3

ax dx =

tan 2 ax 1 + ln cos ax 2a a tan n+1 ax (n + 1)a

sec 2 ax 1 dx = ln tan ax tan ax a dx

1

1 ⎧(ax )3 (ax )5 2(ax )7 … 22 n (22 n − 1) Bn (ax )2 n+1 …⎫ + ⎬ + + + + (2n + 1)! 15 105 a 2 ⎨⎩ 3 ⎭

22 n (22 n − 1) Bn (ax )2 n−1 tan ax (ax )3 2(ax )5 dx = ax + +… + + …+ x 9 75 (2n − 1)(2n)!

17.20.8.

∫

17.20.9.

∫ x tan 2 ax dx =

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 94

x tan ax 1 x2 + 2 ln cos ax − 2 a a

05/12/13 16:01

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES dx px q = + ln (q sen ax + p cos ax ) p + q tan ax p2 + q 2 a( p2 + q 2 )

17.20.10.

∫

17.20.11.

∫ tan

(21)

n

tan n −1 ax − tan n − 2 ax dx (n − 1)a ∫

ax dx =

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN cot ax 1

17.21.1.

∫ cot ax dx = a ln sen ax

17.21.2.

∫ cot

17.21.3.

∫ cot ax dx = −

17.21.4.

∫ cot

17.21.5.

∫

17.21.6.

∫ cot ax = − a ln cos ax

17.21.7.

∫ x cot ax dx =

17.21.8.

22 n Bn (ax )2 n −1 cot ax 1 ax (ax )3 = − − − − L − −L dx ∫ x ax 3 135 (2n − 1)(2n)!

17.21.9.

∫ x cot

2

ax dx = −

3

n

cot ax −x a

cot 2 ax 1 − ln sen ax a 2a

ax csc 2 ax dx = −

cot n+1 ax (n + 1)a

csc 2 ax 1 dx = − ln cot ax cot ax a 1

dx

2

1 a2

ax dx = −

22 n Bn (ax )2 n+1 (ax )3 (ax )5 ⎪⎧ ⎪⎫ − −L − − L⎬ ⎨ax − (2n + 1)! 9 225 ⎪⎩ ⎪⎭

x2 x cot ax 1 + 2 ln sen ax − a a 2

dx px q = 2 2− ln (q sen ax + q cos ax ) 2 p + q cot ax p + q a( p + q 2 )

17.21.10.

∫

17.21.11.

∫ cot ax dx = − (n − 1)a − ∫ cot

(22)

95

cot n −1 ax

n

n−2

ax dx

INTEGRALES QUE INVOLUCRAN sec ax 1

1

⎛ ax

π⎞ + ⎟ 4⎠

17.22.1.

∫ sec ax dx = a ln (sec ax + tan ax ) = a ln tan ⎜⎝ 2

17.22.2.

∫ sec ax dx =

tan ax a

17.22.3.

∫ sec ax dx =

sec ax tan ax 1 + ln (sec ax + tan ax ) 2a 2a

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 95

2

3

05/12/13 16:01

96

TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES sec n ax na

17.22.4.

∫ sec

17.22.5.

∫ sec ax =

17.22.6.

∫ x sec ax dx =

17.22.7.

En (ax )2 n sec ax (ax )2 5(ax )4 61(ax )6 … dx = x + + + + + +… ln ∫ x 4 96 4 320 2n(2n)!

17.22.8.

∫ x sec ax dx = a tan ax + a

17.22.9.

∫ q + p sec ax = q − q ∫ p + q cos ax

17.22.10.

n

ax tan ax dx =

dx

sen ax a E (ax )2 n+ 2 ⎪⎧(ax )2 (ax )4 5(ax )6 ⎪⎫ + L⎬ + + +L+ n ⎨ (2n + 2)(2n)! 8 144 ⎪⎩ 2 ⎪⎭

1 a2

1

x

2

dx

x

∫ secn ax dx =

2

ln cos ax

p

dx

sec n − 2 ax tan ax n − 2 + a(n − 1) n −1

∫ sec

n−2

ax dx

(23) INTEGRALES QUE INVOLUCRAN csc ax 1

1

17.23.1.

∫ csc ax dx = a ln (csc ax − cot ax ) = a ln tan

17.23.2.

∫ csc ax dx = −

cot ax a

17.23.3.

∫ csc ax dx = −

csc ax cot ax 1 ax + ln tan 2a 2a 2

17.23.4.

∫ csc ax cot ax dx = −

17.23.5.

∫ csc ax = −

17.23.6.

∫ x csc ax dx =

17.23.7.

∫

17.23.8.

∫ x csc ax dx = −

17.23.9.

∫ q + p csc ax = q − q ∫

17.23.10.

2

3

n

dx

ax 2

csc n ax na

cos ax a 1 a2

(ax )3 7(ax )5 … 2(22 n−1 − 1) Bn (ax )2 n+1 …⎪⎫ ⎪⎧ + ⎬ + + + ⎨ax + 18 1 800 (2n + 1)! ⎪⎩ ⎪⎭

2(22 n−1 − 1) Bn (ax )2 n−1 csc ax 1 ax 7(ax )3 dx = − + +… + +… + x ax 6 1 080 (2n − 1)(2n)! 2

∫ csc

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 96

n

x cot ax 1 + 2 ln sen ax a a

dx

x

p

dx p + q sen ax

ax dx = −

csc n − 2 ax cot ax n − 2 + a(n − 1) n −1

((Vea See 17.17.22.) la fórmula 17.17.22).

∫ csc

n−2

ax dx

05/12/13 16:01

TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS

97 TABLAS DE INTEGRALES INDEFINIDAS ESPECIALES 97

(24) IIntegrals Involving Inverse Trigonometric Functions (24) NTEGRALES QUE INVOLUCRAN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS INVERSAS xx x dx = x sin −−11 x + a22 − x22 aa dx = x sen aa + a − x

17.24.1. 17.24.1.

sen ∫ sin

17.24.2. 17.24.2.

sin ∫ xx sen

17.24.3. 17.24.3.

∫x

17.24.4. 17.24.4.

∫

17.24.5. 17.24.5.

dx = − sin ∫ sin xx( x/a) dx

17.24.6. 17.24.6. 17.24.7. 17.24.7. 17.24.8. 17.24.8. 17.24.9. 17.24.9. 17.24.10. 17.24.10. 17.24.11. 17.24.11. 17.24.12. 17.24.12.

17.24.13. 17.24.13. 17.24.14. 17.24.14. 17.24.15. 17.24.15. 17.24.16. 17.24.16.

17.24.17. 17.24.17.

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 97

−−11

−−11

22

xx dx =⎛⎛xx22 −aa22⎞⎞ sin−−11 xx + xx aa22−−xx2 2 dx = ⎜⎜ 2 − 4⎟⎟sen a + aa a 4 ⎠⎠ 44 ⎝⎝ 2

x x3 x ((xx22 ++22aa22)) aa22−−xx2 2 sin sin −1 + sen−−11 dx = sen aa 33 aa 99

sin −−11( x /a) x ( x/a)3 1 i 3( x/a)5 1 i 3 i 5( x/a)7 sen + + +! dx = + x a 2i 3i 3 2i 4 i 5i 5 2i 4 i 6i 7i 7 sen−−11 ( x /a) 22

⎛

2

sen−−11( x/a) 1 ⎜⎛⎛aa++ aa2 2−−x x2 2⎞⎟ ⎞ ln − ln ⎟⎟ x a ⎜⎝⎝⎜ xx ⎠⎠ 2

⎞2 ⎛ ⎞2 xx⎞⎟ dx = x ⎜⎛sen −−11 xx⎟⎞ − 2 x + 2 a 2 −2 x 2 s2en −1 −1x x dx = x ⎜sin a ⎟ − 2 x + 2 a − x sin a ⎟ a a⎠ a⎠⎠ ⎝⎝ −1 x x = x cos −−11 xx − a 22 − x 22 ∫∫ cos cos −1 a dx dx = x cos a − a − x a a

∫∫ ⎛⎜⎜sen sin ⎝

−1 −1

∫∫ xx cos cos

−1 −1

x x x a2 − x 2 ⎛ x 2 a2 ⎞ x dx = ⎜⎛ x 2 − a 2⎟⎞ cos −−11 x − x a 2 − x 2 4 a dx = ⎝⎜ 2 − 4 ⎠⎟ cos a − 4⎠ 4 a a ⎝2

x x3 x ( x 2 + 2a 2 ) a 2 − x 2 cos −−11 x dx = x 3 cos −−11 x − ( x 2 + 2a 2 ) a 2 − x 2 9 cos a dx = 3 cos a − 3 9 a a cos−−11 ( x /a) π sen−−11 ( x /a) = π ln x − ∫ sin ( x/a) dx (Vea (See 17.2 la fórmula 24.4.) 17.24.4). ∫ cos x( x/a) dx ∫ x dx = 22 ln x − ∫ xx dx (See 17.224.4.) cos −1 ( x /a) cos −1 ( x /a) 1 ⎛ a + a 2 − x 2 ⎞ dx = − + ln ∫ cos−x12( x/a) cos −x1 ( x/a) a1 ⎜⎝⎛ a + ax 2 − x 2 ⎟⎠⎞ dx = − + ln ⎜ ⎟ ∫ x2 x a ⎝ x ⎠ 2 2 x ⎛ −1 x ⎞ ⎛ −1 x ⎞ ∫ ⎜⎝⎛cos ax⎟⎠ 2 dx = x ⎜⎝⎛cos ax⎟⎠ 2 − 2 x − 2 a 2 − x 2 cos−1 ax ⎞ ⎞ ∫ ⎜⎝cos−1x a⎟⎠ dx = x ⎜⎝cosx −1 aa⎟⎠ − 2 x − 2 a 2 − x 2 cos−1 a ∫ tan −1 ax dx = x tan −1 ax − 2a ln ( x 2 + a 2 ) 2 ) ∫ tan −1 −a1 xdx = x 1tan −21 a −2 2 ln (−1x 2x + aax x = + − tan dx ( x a ) tan ∫ 21 2 ax ax ax ∫ x2 tan −−11 ax dx = 2x 3( x 2 +−1ax2 ) tanax−12 a −a32 2 2 ∫ x tan a dx = 33 tan a − 6 2 + 63 ln ( x + a ) x x ax a −1 x x 2 tan + ln ( x 2 + a 2 ) tan −1 − dx = ∫ tan −1 ( x /aa) x3 ( x /a)a3 (6x /a)5 6 ( x /a)7 ∫ −x1 dx = a − 32 3 + 52 5 − 72 7 + … tan ( x /a) ( x /a) ( x/a) x ( x /a) ∫ tan −1x( x/a) dx = a1− 3−12 x + 1 52 ⎛ x−2 + 7a22 ⎞ + ! ∫ x 2 dx = − x tan a − 2a ln ⎜⎝ x 2 ⎠⎟ tan −1 ( x /a) 1 x 1 ⎛ x 2 + a2 ⎞ ∫ x 2 dx = − x tan −1 a − 2a ln ⎜⎝ x 2 ⎠⎟

∫∫ xx

2 2

05/12/13 16:01

TABLES OF SPECIAL INDEFINITE INTEGRALS

98 98

17.24.18.

17.24.18. 17.24.19. 17.24.19. 17.24.20. 17.24.20. 17.24.21. 17.24.21. 17.24.22. 17.24.22. 17.24.23. 17.24.23.

17.24.24. 17.24.24.

17.24.25. 17.24.25.

17.24.26. 17.24.26.

17.24.27. 17.24.27.

17.24.28. 17.24.28.

17.24.29. 17.24.29.

17.24.30. 17.24.30.

TABLAS DE ESPECIALES x INTEGRALESx INDEFINIDAS a

∫ cot

+ ln (x 2 + a 2 ) dx = x cot −1 a a 2 x a −1 x 2 + ln−1(xx2 + aax ) 1 −1 xdx = x cot ∫∫ cot x cot −a1 dx = ( x 2 +aa 2 ) cot + 2 2 2 a a 1 2 ax −1 x 2 −1 x x = + + cot dx ( x a ) cot ∫ 2 −1a x 2 x 3 −1 x axa 2 2a3 ∫ x cot a dx = 33 cot a + 6 2 − 63 ln ( x 2 + a 2 ) x x ax a −1 x +−1 − ln ( x 2 + a 2 ) cot −1 dx = ∫ xcot2 cot −1 atan ( x6/a) 6 ( x/aa) π3 ∫ cot −1x( x/a) dx = π2 ln x − ∫ tan −1x( x/a) dx (See 17.24.16.) ∫ −1x dx = 2 ln−1 x − ∫ x 2dx 2 (Vea la fórmula 17.24.16). cot ( x/a) cot ( x/a) 1 ⎛ x + a ⎞ ∫ cot −x1 (2x/a) dx = cot −1x( x/a) + 21a ln ⎛⎜⎝ x 2 x+2 a 2 ⎞⎟⎠ ∫ x 2 dx = x + 2a ln ⎜⎝ x 2 ⎟⎠ ⎧ x x π 0 < sec −1 x < π x sec −1 x − a ln ( x + x 2 − a 2 ) ⎪ ⎧ x 0 < sec −1 a < 2 sec −1 x dx = ⎪⎨x sec −1 a − a ln ( x + x 2 − a 2 ) ∫ sec π x a ax 2 −1 a − 1 2 2 dx = ⎨⎪x sec + a ln (x + x − a ) < sec −1 x < π ∫ π x a 2 a − 1 2 2 − 1 ⎩ ⎪x sec + a ln (x + x − a ) < sec a < π 2 a a ⎩ 2 2 2 ⎧ π − aa 2 x π ⎧⎪ xx 2 sec −1 xx − aa xx 2 − < sec < sec −−11 x < x 00 < ⎪⎪ 2 sec −1 a − 2 a −1 x x sec dx = a 22 ∫∫ x sec −1 aa dx = ⎨⎨⎪ xx222 sec −1 xxa + aa xx 222−− aa22 π x π π < sec sec −−11 x < >0,0−, −ififx x< 0

dx

cosh −1 ( x /a) < 0

x m +1 dx − x2

2

∫

x m +1 dx a2 − x 2

x a + a m +1

∫

x m dx

x 1 − a m +1

∫

a2 − x 2

∫

x m dx x 2 + a2

x x m +1 x a csch −1 ± dx = a m +1 a m +1

107

a2 − x 2 x m dx

sech −1 ( x /a) > 0 sech −1 ( x /a) < 0

(+ (+ si if x > 0, 0, − si if x < 0) 0)

05/12/13 16:01

18

Integrales definidas

DEFINICIÓN DE UNA INTEGRAL DEFINIDA Si f (x) está definida en un intervalo a ! x ! b y después se divide dicho intervalo en n partes iguales de longitud "x # (b $ a)/n, entonces la integral definida de f (x) entre x # a y x # b está definida como 18.1.

b

∫

f ( x ) dx = lím { f (a) ∆x + f (a + ∆x ) ∆x + f (a + 2∆x ) ∆x + … + f (a + (n − 1) ∆x ) ∆x} n→∞

a

El límite existirá si f (x) es continua por segmentos. d Si f ( x ) = g( x ), entonces, mediante el teorema fundamental del cálculo integral, la integral definida que se dx muestra arriba puede ser evaluada mediante el resultado 18.2.

∫

b

f ( x ) dx = ∫

a

b d g( x ) dx = g( x ) = g(b) − g(a) a dx

b a

Si el intervalo es infinito o si f (x) tiene una singularidad en algún punto del intervalo, la integral definida es llamada integral impropia y se puede definir mediante el uso apropiado del proceso de límite. Por ejemplo, 18.3.

∫

∞

18.4.

∫

∞

18.5.

∫

b

18.6.

∫

b

b

f ( x ) dx = lím ∫ f ( x ) dx b→∞ a

a

b

−∞

f ( x ) dx = lím ∫ f ( x ) dx a→−∞ a

b→∞

f ( x ) dx = lím ∫

b −∈

f ( x ) dx = lím ∫

b

∈→ 0 α

a

∈→ 0 a +∈

a

f ( x ) dx

si b es un punto singular.

f ( x ) dx

si a es un punto singular.

FÓRMULAS GENERALES QUE INVOLUCRAN INTEGRALES DEFINIDAS b

18.7.

∫

18.8.

∫

a

18.9.

∫

a

18.10.

∫

a

18.11.

∫

a b

a

b

b a

{ f ( x ) ± g( x ) ± h( x ) ± …} dx =

∫

b a

f ( x ) dx ±

∫

b a

b

g( x ) dx ± ∫ h( x ) dx ± … a

b

dondecc isesany cualquier constante. cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx where constant. a

f ( x ) dx = 0 a

f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx b

c

b

a

c

f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx

108

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 108

05/12/13 16:01

INTEGRALES DEFINIDAS 18.12.

b

∫

109

f ( x ) dx = (b − a) f (c) donde where c está is between entre aayand b. b.

a

Este es llamado teorema del valor medio para integrales definidas y es válido si f (x) es continua en a ! x ! b. 18.13.

b

∫

b

f ( x ) g( x ) dx = f (c) ∫ g( x ) dx

a

a

donde where cc is está between entre aayand b. b

Esta es una generalización de la fórmula 18.12 y es válida si f(x) y g(x) son continuas en a ! x ! b y g(x) " 0.

REGLA DE LEIBNIZ PARA DERIVACIÓN DE INTEGRALES 18.14.

d dα

∫

φ 2 (α )

φ 1 (α )

F ( x , α ) dx = ∫

φ 2 (α )

φ 1(α )

dφ dφ ∂F dx + F (φ2 , α ) 2 − F (φ1 , α ) 1 dα dα dα

FÓRMULAS APROXIMADAS PARA INTEGRALES DEFINIDAS En las siguientes expresiones, el intervalo desde x # a a x # b está subdividido en n partes iguales mediante los puntos a # x0, x1, x2, , xn$1, xn # b y sea y0 # f(x0), y1 # f(x1), y2 # f(x2), , yn # f(xn), h # (b $ a)/n. Fórmula rectangular: 18.15.

∫

b

f ( x ) dx ≈ h( y0 + y1 + y2 + … + yn−1 )

a

Fórmula trapezoidal: 18.16.

∫

b

f ( x ) dx ≈

a

h ( y + 2 y1 + 2 y2 + … + 2 yn−1 + yn ) 2 0

Fórmula de Simpson (o fórmula parabólica) para n enteros: 18.17.

∫

b

f ( x ) dx ≈

a

h ( y + 4 y1 + 2 y2 + 4 y3 + … + 2 yn− 2 + 4 yn−1 + yn ) 3 0

INTEGRALES DEFINIDAS QUE INVOLUCRAN EXPRESIONES RACIONALES O IRRACIONALES ∞

18.18.

∫

18.19.

∫

0

18.20.

∫

0

18.21.

∫

18.22.

∫

18.23.

∫

0

dx π = x 2 + a 2 2a

∞

∞

∞ 0

x p−1dx π , 0 < p 0 ⎧⎪π /2 p > 0 ⎪ ∞ sen px ∞ sin px dx = ⎪ ∫∫0 x dx = ⎪⎨⎨ 00 pp == 00 ⎪ 0 x ⎪⎪−π /2 p < 0 ⎪⎩⎩−π /2 p < 0 ⎧ 0 p>q>0 ⎧⎪⎪ 0 p > q > 0 ∞ sen px cos qx ∫ 0∞ sin px xcos qx dx = ⎪⎪⎨π /2 0 < p < q dx = ⎨⎪π /2 0 < p < q ∫0 x ⎪⎪⎩π /4 p = q > 0 ⎪⎩π /4 p = q > 0 ⎧⎪π p/2 0 < p ! q ∞ sen px sen qx dx = ∫ 0∞ sin pxxsin 2 ⎧⎪⎨⎪π p/2 0 < p ! q qx dx = ⎨⎩π q/2 p " q > 0 ∫0 x2 ⎪⎩π q/2 p " q > 0 ∞ sen 2 px πp ∫ 0∞ x2 2 dx = 2 sin px πp ∫∞0 x 2 dx = 2 1 − cos px πp ∫0 ∞ x 2 dx = 2 1 − cos px πp ∫0 x 2 dx = 2

∫∫

π π //22

0 0

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 110

05/12/13 16:01

INTEGRALES DEFINIDAS ∞

18.38.

∫

0

18.39.

∫

0

18.40.

∫

0

18.41.

∫

18.42.

∫

0

18.43.

∫

0

18.44.

∫

∞

∞

cos mx π − ma e 2 2 dx = a 2 x +a x sen mx π dx = e − ma 2 2 x +a 2

∞ 0

sen mx π dx = 2 (1 − e − ma ) x(x 2 + a2 ) 2a

∞

2π

∫

18.47.

∫

dx 2π = a + b sen x a2 − b2 2π a − b2

dx = a + b cos x

π /2

18.46.

0 2π 0

2

cos −1 (b / a) dx = a + b cos x a2 − b2 dx = (a + b sen x )2

∫

2π 0

dx 2π a = 2 2 3/2 2 (a + b cos x ) (a − b )

dx 2π = , 0 < a 1 1/n na 2n

cos ax n dx =

1 π Γ (1/n) cos , 2n na1/n

∞

0

∞

sen x

0 ∞ 0

x

dx =

∫

∞ 0

∞ 0

cos ax 2dx =

cos x x

dx =

m = 0, 1, 2, …

1 π 2 2a

sen ax 2 dx =

∞

∞

a 2 < 1,

n >1

π 2

sen x π dx = , 0 < p 0

π /4

ln (1 + tan x ) dx =

π ln 2 8

⎛ 1 + b cos x ⎞ 1 sec x ln ⎜ dx = {(cos −1 a)2 − (cos −1 b)2} 0 2 ⎝ 1 + a cos x ⎟⎠ ⎛ ⎛sen a sen 2a sen 3a ⎞ a x⎞ ∫ 0 ln ⎜⎝2 sen 2 ⎟⎠ dx = − ⎜⎝ 12 + 22 + 32 + …⎟⎠ π /2

Vea también la fórmula 18.102.

INTEGRALES DEFINIDAS QUE INVOLUCRAN FUNCIONES HIPERBÓLICAS 18.112.

∫

18.113.

∫

18.114.

∫

∞ 0 ∞

0

sen ax π aπ dx = tanh senh bx 2b 2b

cos ax π aπ sech dx = 2b 2b cosh bx

∞ 0

x dx π2 = 2 senh ax 4 a

⎫ ⎧ 1 x n dx 2n+1 − 1 1 1 = n n+1 Γ(n + 1) ⎨ n+1 + n+1 + n+1 + …⎬ 0 senh ax 2 a 2 3 ⎩1 ⎭ Si n es un entero positivo impar, las series se pueden sumar.

18.115.

∫

18.116.

∫

0

18.117.

∫

0

∞

∞

∞

senh ax π aπ 1 − dx = csc bx e +1 2b b 2a senh ax 1 π aπ dx = − cot bx e −1 2a 2b b

INTEGRALES DEFINIDAS VARIADAS 18.118.

∫

f (ax ) − f (bx ) b dx = { f (0) − f (∞)}ln x a

∞ 0

Esta es llamada integral de Frullani. Esta se lleva a cabo si f (x) es continua y 1

18.119.

∫

18.120.

∫

0

∞ 0

f ( x ) − f (∞) dx converge. x

dx 1 1 1 = + + +… x x 11 22 33

a −a

04_Seccion 04_Spiegel(062-115).indd 115

∫

(a + x )m −1 (a − x )n−1 dx = (2a)m + n−1

Γ (m ) Γ (n) Γ (m + n)

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Sección V: Ecuaciones diferenciales y análisis vectorial

19

Ecuaciones diferenciales básicas y soluciones

Ecuaciones diferenciales

Solución

19.1. Separación de variables f1 ( x ) g ( y) dx + ∫ 2 dy = c f2 ( x ) g1 ( y)

∫

f1(x) g1(y) dx + f2(x) g2(y) dy = 0 19.2. Ecuación lineal de primer orden dy + p( x ) y = Q( x ) dx

ye ∫

Pdx

= ∫ Qe ∫

Pdx

dx + c

19.3. Ecuación de Bernoulli dy + P( x ) y = Q( x ) y n dx

!e

∫

(1− n ) Pdx

= (1 − n) ∫ Qe

∫

(1− n ) Pdx

dx + c

donde y = y1 n. Si n = 1, la solución es ln y = ∫ (Q − P) dx + c

19.4.

Ecuación exacta M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0

donde ∂M/∂y = ∂N/∂x.

⎛

∂

⎞

∫ M ∂x + ∫ ⎜⎝ N − ∂y ∫ M ∂x⎟⎠ dy = c donde ∂x indica que la integración será desarrollada con respecto a x, conservando a y constante.

19.5. Ecuación homogénea ⎛ y⎞ dy = F⎜ ⎟ dx ⎝ x⎠

ln x =

d!

∫ F (! ) − ! + c

donde y = y/x. Si F(y) = y, la solución es y = cx.

116

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 116

04/12/13 16:47

ECUACIONES DIFERENCIALES BÁSICAS Y SOLUCIONES

117

19.6. ln x =

y F(xy) dx + x G(xy) dy = 0

G (! ) d!

∫ ! {G(! ) − F (! )} + c

donde y = xy. Si G(y) = F(y), la solución es xy = c. 19.7.

Ecuación lineal homogénea de segundo orden

Si m1, m2 son las raíces de m2 + am + b = 0. Entonces existen tres casos. Caso 1. m1, m2 reales y distintas:

d2y dy +a + by = 0 dx 2 dx

y = c1e m x + c2 e m x 1

2

Caso 2. m1, m2 reales e iguales: y = c1 e m x + c2 x e m x

a, b son constantes reales.

1

1

Caso 3. m1 = p + qi, m2 = p

qi:

y = e px (c1 cos qx + c2 sen qx )

donde p = a/2, q = b − a 2 /4 . 19.8.

Ecuación lineal no homogénea de segundo orden

Existen tres casos que corresponden a las fórmulas que se muestran en el punto 19.7. Caso 1. y = c1e m x + c2 e m x

d2y dy +a + by = R( x ) dx 2 dx

1

+

a, b son constantes reales.

2

em x e − m x R( x ) dx m1 − m2 ∫ 1

1

+

em x e − m x R( x ) dx m2 − m1 ∫ 2

2

Caso 2. y = c1 e m x + c2 x e m x 1

1

+ xe m x ∫ e − m x R( x ) dx 1

1

− e m x ∫ xe − m x R( x ) dx 1

1

Caso 3. y = e px (c1 cos qx + c2 sen qx ) +

e px sen qx − px ∫ e R( x )cos qx dx q −

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 117

e px cos qx − px ∫ e R( x ) sen qx dx q

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118

ECUACIONES DIFERENCIALES BÁSICAS Y SOLUCIONES

19.9. Ecuación de Euler o Cauchy x2

Si x = et, la ecuación se convierte en d2y dy + (a − 1) + by = S (e t ) 2 dt dt

d2y dy + ax + by = S ( x ) dx 2 dx

y entonces se puede resolver como en las fórmulas que se indican en los puntos 19.7 y 19.8. 19.10. Ecuación de Bessel x2

d2y dy +x + (! 2 x 2 − n 2 ) y = 0 dx 2 dx

y = c1 J n (! x ) + c2 Yn (! x )

Vea las fórmulas 27.1 a 27.15.

19.11. Ecuación de Bessel transformada

x2

d2y dy + (2 p + 1) x + (a 2 x 2 r + β 2 ) y = 0 2 dx dx

⎧⎪ ⎛α ⎞ ⎛ α ⎞ ⎫⎪ y = x − p ⎨c1 J q/r ⎜ x r ⎟ + c2 Yq/r ⎜ x r ⎟ ⎬ ⎝r ⎠ ⎝ r ⎠ ⎪⎭ ⎩⎪

donde q =

p2 − β 2 .

19.12. Ecuación de Legendre (1 − x 2 )

d2y dy − 2x + n(n + 1) y = 0 2 dx dx

y = c1 Pn ( x ) + c2 Qn ( x )

Vea las fórmulas 28.1 a 28.48.

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20

Fórmulas de análisis vectorial

VECTORES Y ESCALARES Algunas cantidades en física, como la temperatura, el volumen y la rapidez se pueden especificar por un número real. A esas cantidades se les llama escalares. Otras cantidades como la fuerza, la velocidad y el momento requieren para sus especificaciones tanto dirección como magnitud. Tales cantidades se llaman vectores. Un vector se representa con una flecha o un segmento de línea indicando la dirección. La magnitud del vector se indica con la longitud de la flecha, usando una unidad apropiada.

NOTACIÓN PARA VECTORES Un vector se denota con una letra del tipo negrita, como A (figura 20-1). La magnitud se denota con |A| o A. La cola de la flecha se llama punto inicial, mientras que la cabeza se llama punto terminal.

DEFINICIONES FUNDAMENTALES 1.

Igualdad de vectores. Dos vectores son iguales si tienen la misma magnitud y dirección. Así, A = B (figura 20-1).

2.

Multiplicación de un vector por un escalar. Si m es cualquier número real (escalar), entonces mA es un vector cuya magnitud es |m| veces la magnitud de A y cuya dirección es la misma que A si m > 0 y opuesto si m < 0. Si m = 0, entonces mA = 0 se llama vector cero o nulo.

3.

A B Figura 20-1

Suma de vectores. La suma o resultante de A y B es el vector C = A + B formado al ubicar la posición inicial del punto B sobre el punto terminal A y uniendo el punto inicial de A al punto terminal de B, como se muestra en la figura 20-2b. Esta definición es equivalente a la ley del paralelogramo para adición de vectores, como se indica en la figura 20-2c. El vector A B se define como A + ( B).

B

B

A

C=A+B

A

A

C=A+B

B a)

b)

c)

Figura 20-2

La extensión para las sumas de más de dos vectores es inmediata. Así, en la figura 20-3 se muestra cómo obtener la suma E de los vectores A, B, C y D.

119

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 119

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120

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL C

B B

D

D

A

A

C

E=A+

a)

B+C+

D

b) Figura 20-3

4. Vectores unitarios. Un vector unitario es un vector con magnitud unitaria. Si A es un vector, entonces un vector unitario en la dirección de A es a = A/A, donde A > 0.

LEYES DE ÁLGEBRA VECTORIAL Si A, B, C son vectores y m, n son escalares, entonces: 20.1. A + B = B + A

Ley conmutativa para la adición

20.2. A + (B + C) = (A + B) + C

Ley asociativa para la adición

20.3. m(nA) = (mn)A = n(mA)

Ley asociativa para la multiplicación escalar

20.4. (m + n)A = mA + nA

Ley distributiva

20.5. m(A + B) = mA + mB

Ley distributiva

COMPONENTES DE UN VECTOR Un vector A se puede representar con un punto inicial en el origen de un sistema coordenado rectangular. Si i, j, k son vectores unitarios en las direcciones de los ejes positivos x, y, z, entonces

z

20.6. A = A1i + A2j + A3k

i

donde A1i, A2j, A3k son llamados componentes de vectores de A en las direcciones i, j, k y A1, A2, A3 son llamados componentes de A.

A

k j

A3k A2 j

y A2i

x Figura 20-4

PRODUCTO PUNTO O ESCALAR 20.7. A • B = AB cos q

0!q!p

donde q es el ángulo entre A y B. Resultados fundamentales:

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 120

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121

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL 20.8. A • B = B • A

Ley conmutativa

20.9. A • (B + C) = A • B + A • C

Ley distributiva

20.10. A • B = A1B1 + A2B2 + A3B3 donde A = A1i + A2j + A3k, B = B1i + B2j + B3k.

PRODUCTO CRUZ O VECTORIAL 20.11. A × B = AB sen q u

0!q!p

donde q es el ángulo entre A y B, y u es el vector unitario perpendicular al plano de A y B, de manera que A, B, u formen un sistema de mano derecha (es decir, un tornillo de rosca derecha girado a través de un ángulo menor de 180° formado desde A hasta B avanzará en la dirección de u como se muestra en la figura 20-5). Resultados fundamentales: i 20.12. A × B = A1 B1

j A2 B2

k A3 B3

u

B

A

= ( A2 B3 − A3 B2 )i + ( A3 B1 − A1 B3 ) j + ( A1 B2 − A2 B1 )k

Figura 20-5

20.13. A × B = (B × A) 20.14. A × (B + C) = A × B + A × C 20.15. | A × B | = área de paralelogramos que tienen lados A y B

VARIAS FÓRMULAS QUE CONTIENEN PRODUCTOS PUNTO Y CRUZ 20.16.

A1 A2 A3 A • (B × C) = B1 B2 B3 = A1B2C3 + A2 B3C1 + A3 B1C2 − A3 B2C1 − A2 B1C3 − A1B3C2 C1 C2 C3

20.17. | A • (B × C) | = volumen de un paralelepípedo con lados A, B, C 20.18. A × (B × C) = B(A • C)

C(A • B)

20.19. (A × B) × C = B(A • C)

A(B • C)

20.20.

(A × B) • (C × D) = (A • C)(B • D)

(A • D)(B • C)

20.21. (A × B) × (C × D) = C{A • (B × D)} D{A • (B × C)} = B{A • (C × D)} A{B • (C × D)}

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 121

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FORMULAS FROM VECTOR ANALYSIS

122 122 122

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL

Derivatives Vectors DERIVADASofDE VECTORES

The derivative of aa vector function A(u) == AA11(u)i ++ AA22(u)j ++ AA33(u)k of the variable uu is given by Thederivada derivative A(u) (u)i (u)j (u)k ofde thelascalar scalar variable is givendada by por La de of una vector funciónfunction vectorial A(u) =A (u)i +A (u)j +A (u)k variable escalar u está 1 2 3 dA ddA A((uu ++ ∆∆uu)) −− A A((uu)) dA dA dA dA dA dA dA A == lim A == 111iii+++dA222j j+ j ++ 3 33kkk lim = = lím ∆ u → 0 du du ∆∆uuu du du du du ∆∆uu→→00 du du du ∆ du du du Partial derivatives of function A(x, y, similarly defined. We assume derivatives exist Partial derivatives of aa vector vector y, z) z) are are Wesimilarmente. assume that that all all Las derivadas parciales de unafunction funciónA(x, vectorial A(x,similarly y, z) sondefined. definidas Se derivatives supone queexist todas las unless otherwise specified. unless otherwise specified. derivadas existen, a menos que se especifique otra cosa.

20.22. 20.22. 20.22.

Formulas Involving Derivatives DERIVADAS FÓRMULAS QUE CONTIENEN 20.23. 20.23.

d dB dA ((A ++ iiB A ii B B)) == A Aii B du du du du du du

20.24. 20.24.

dd ddB B ddA A ((A ++ ×× B A ×× B B)) == A A ×× B du du du du du du

20.25.

⎛⎛ ⎛⎛ddB ⎞⎞ dd ddC ddA C⎞⎞ A B {A i (B × C )} = i (B × C ) + A i ⎜ × C⎟ + A i ⎜ B × du du ⎟⎠ du ⎝ ⎝ du ⎠

20.26. 20.26.

A A ii

20.27. 20.27.

ddA A A == 00 A ii du du

dA dA == AA du du du du ifif constant si ||A es constante A|| is is aauna constant

OPERADOR NABLA The Del Operator

El operador nabla está definido por The The operator operator del del is is defined defined by by ∂ ∂ ∂ ∇ = i ∂∂ + j ∂∂ + k ∂∂ ∇ = i ∂x + j ∂y + k ∂z ∂x ∂y ∂z En el siguiente resultado se supone que U = U(x, y, z), V = V(x, y, z), A = A(x, y, z) y B = B(x, y, z) tienen deIn results we assume that U = U(x, y, z), V = V(x, y, z), A = A(x, y, z) and B = B(x, y, z) have In the the following following rivadas parciales.results we assume that U = U(x, y, z), V = V(x, y, z), A = A(x, y, z) and B = B(x, y, z) have partial partial derivatives. derivatives.

20.28. 20.28. 20.28.

GRADIENTE

The Gradient ⎛ ∂ ∂ ∂⎞ ∂U ∂U ∂U 20.29. Gradiente de U = grad U = ∇U = ⎜ i + j + k ⎟ U = j+ k i+ ⎛⎛ ⎝ ∂∂∂x ∂∂∂y ∂∂∂⎞⎞z ⎠ ∂∂U U U U∂z ∂x ∂∂U ∂y ∂∂U 20.29. ii ++ jj ++ kk U == ∇ U == ⎜⎜ii ++ jj ++ kk ⎟⎟ U U == 20.29. Gradient Gradient of of U U == grad grad U ∇U ∂∂yy ∂∂zz⎠⎠ ∂∂xx ∂∂yy ∂∂zz ⎝⎝ ∂∂xx

DIVERGENCIA

The Divergence

⎛ ∂ ∂ ∂⎞ 20.30. Divergencia de A = div A = ∇ • A = ⎜ i + j + k ⎟ • (A1 i + A2 j + A3 k ) ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ⎞ 20.30. 20.30. Divergence Divergence of of A A == div div A A == ∇ ∇ •• A A == ⎜⎜ii∂A1 ++ ∂jjA2 ++ ∂kkA3 ⎟⎟ ii ((AA11ii ++ AA22 jj ++ AA33kk)) =⎝⎝ ∂∂xx + ∂∂yy + ∂∂zz⎠⎠ ∂x ∂y ∂z ∂A11 ∂A22 ∂A33 + = + ∂∂yy ∂∂zz ∂∂xx

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 122 Spiegel_section V_116-133.indd 122

04/12/13 16:47 7/21/08 5:45:08 PM

FORMULAS FROM VECTOR ANALYSIS

123 FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL 123

Curl RThe OTACIONAL 20.31. Rotacional Curl of Ade = curl ∇=× ∇ A× A 20.31. A =Arot= A ⎛ ∂ ∂ ∂⎞ ⎞ = ⎜ i = ⎛+i j∂ + +j k∂ + ⎟k×∂( A i + A j + A k) 1× ( A1i2 + A2 j3+ A3k ) ⎜ ∂ ∂ ∂ x y ⎝ ∂y z ⎠ ∂z ⎟⎠ ⎝ ∂x i ∂ = = ∂x A1

ij ∂ ∂∂xy A2 1

kj ∂ ∂yz A3 2

k ∂ ∂z A3

⎛ ∂A ⎛ ∂A ∂A ⎞ ∂A ⎛⎞ ∂A ⎛ ∂A∂A ⎞∂A ⎞⎛ ∂A ⎛ ∂A∂A ⎞∂A ⎞ = ⎜ =3 ⎜− 3 2−⎟ i +2 ⎜⎟ i +1 ⎜− 1 −3 ⎟ j +3 ⎟⎜ j + 2⎜ − 2 −1 ⎟ k 1 ⎟ k ⎝ ∂y ⎝ ∂y∂z ⎠ ∂z ⎝⎠ ∂z ⎝ ∂z∂x ⎠ ∂x ⎠⎝ ∂x⎝ ∂x∂y ⎠ ∂y ⎠

LThe APLACIANO Laplacian 20.32. 20.32. Laplaciano Laplacian de of U = ∇ 2U = ∇ i (∇U ) =

∂ 2U ∂ 2U ∂ 2U + + 2 ∂x 2 ∂y 2 ∂z

2 2 2 ∂2 A ∂2 A ∂2 A 2 20.33. 20.33. Laplaciano Laplacian de of A = ∇ 2 A = 22 + 22 + 22 ∂x ∂y ∂z

OThe PERADOR BIARMÓNICO Biharmonic Operator 4 2 2 20.34. biarmónico 4 = ∇ 2(∇ U U = ∇ (∇ 2U) ) 20.34. Operador Biharmonic operatoren onUU==∇∇U ∂ 4U ∂ 4U ∂ 4U ∂ 4U ∂ 4U ∂ 4U 4 4 4 4 4 4 == ∂ 4U++ ∂ 4U++ ∂ 4U++22 ∂2 U2 ++22 ∂2 U2 ++22 ∂2 U2 ∂∂yy∂2 ∂zz 2 ∂∂xx 4 ∂∂yy 4 ∂∂zz 4 ∂∂xx ∂2 ∂zz 2 ∂∂xx ∂2 ∂yy 2

VARIAS FÓRMULAS QUE CONTIENEN ∇ Miscellaneous Formulas Involving ∇

20.35. ∇(U + V ) = ∇U + ∇V 20.35. ∇(U + V ) = ∇U + ∇V 20.36.  i !  "   i !   i "

20.36. ∇ i (A + B) = ∇ i A + ∇ i B 20.37. ∇ × (A + B) = ∇ × A + ∇ × B A +B )= 20.37. ∇i ×5(! 20.38. 5∇ i ×!A+5∇ ×iB!

20.39. (UAA) )==(∇ (∇UU) )×i A A++U U((∇ ∇×i A) 20.38. ∇∇× i(U 20.40. i )×sA!+ U

(! ∇U ∇ iא A)s " 20.39. ∇i ×!(UsA") =(" 20.41.  s ! s "  " i  ! " i ! ! i  "  ! i " 20.40. ∇ i (A × B) = B i (∇ × A) − A i (∇ × B) 20.42. 20.41. 20.43. 20.42. 20.44. 20.43. 20.45.

! i "  " i  !  ! i  "  " s  s !  ! s  s " ∇ × (A × B) = (B i ∇) A − B(∇ i A) − (A i ∇)B + A(∇ i B) ∇ × (∇U ) = 0, esto es, el rotacional del gradiente de U es cero. ∇(A i B) = (B i ∇)A + (A i ∇)B + B × (∇ × A) + A × (∇ × B)  i  s !   esto es, la divergencia del rotacional de A es cero. ∇ × (∇U ) = 0, that is, the curl of the gradient of U is zero.  s  s !   i !   !

20.44.

∇ i (∇ × A) = 0, that is, the divergence of the curl of A is zero.

20.45.

∇ × (∇ × A) = ∇(∇ i A) − ∇ 2 A

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 123

04/12/13 16:47

FROM VECTOR ANALYSIS 124 124

FORMULAS FROM VECTOR ANALYSIS FORMULAS FROM VECTOR ANALYSIS

Integrals Involving Vectors Integrals Involving Vectors

FdÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL If 124 A(u) = d B(u). then the indefinite integral of A(u) is as follows: If A(u) = du B(u). then the indefinite integral of A(u) is as follows: du INTEGRALES QUE CONTIENEN VECTORES 20.46. ∫ A(u)du = B(u) + c, c = constant vector d (u)du = B(u) + c, 20.46. A c = constant vector Si A(u) =∫ B(u), entonces la integral indefinida de A(u) es la siguiente: The definite duintegral of A(u) from u = a to u = b in this case is given by The definite integral of A(u) from u = a to u = b in this case is given by 20.46. ∫ bbA(u)du = B(u) + c, cc = vector constant constante vector 20.47. b A(u) du = B(b) − B(a) ∫ 20.47. A(u) du =deBA(u) (b) −desde B(a) u = a hasta u = b en este caso está dada por La integral ∫aaa definida The definite integral can be defined as in 18.1. b integral can be defined as in 18.1. The definite 20.47. ∫ A(u) du = B(b) − B(a) a

Line Integrals La integral definida se establece como en la fórmula 18.1. Line Integrals

z

P1

P2 Consider a space curve C joining two points P11(a11, a22, a33) and Consider ab space C joining twothe points P1into (a1, an2,parts a3) and I NTEGRALES DE P (b , b , ) as incurve Fig.LÍNEA 20-6. Divide curve by C 22 11 22 33 P (b , b , b ) as in Fig. 20-6. Divide the curve into n parts by points (x , y , z ), . . . , (x , y , z ). Then the 2 1 of 2 subdivision 3 11el 1espacio n−1 n−1 n−1 1 11 n−1une n−1 n−1 una curva en C que dos puntos P1the (a1, a2, a3) y (xpConsidere , yp , zp) of subdivision points (x , y , z ), . . . , (x , y , z ). Then line a vector C is n−1 defined as en n partes con 1 y, 1 z) along n−1 P (bintegral , b2y, b3) of como en la1A(x, figura Si divide la n−1 curva 2 1integral line of a vector A(x, y, 20-6. z) along C is defined as puntos de subdivisión (x1, y1, z1), . . . n, (xn 1, yn 1, zn 1). Entonces, la integral n P P de línea de A uni vector y, z) a lo largo 20.48. n A(de dr = ∫ A(x, x pp ,Cy ppestá , z pp )definida i ∆rpp como P A i dr = lim ∑ ∫ cc P nn→∞ 20.48. P →∞ N pp==11 A( x p , y p , z p ) i ∆rp ∑ ∫c A!iidDrR=∫P 0A!iidDrR=lim n→∞ =1 ! X Y Z i $R LÓMp¤ Fig. 20-6 20.48. ° ° P P P P

z z

z P11 P1

22

x

2



C

Nmd

0

P 

where ∆rpp = ∆x ppi + ∆y pp j + ∆z ppk, ∆x pp = x pp++11 − x pp , ∆y pp = y pp++11 − y pp , i + ∆where yp j + ∆ , ∆x p = xthat ∆y∞ y p+largest where p+1 − p =the 1 − yp , ∆z pp = ∆ z ppr++p11 =− ∆ z ppx pand it zispkassumed asx np , → donde ∆ r = ∆ x i + ∆ y j + ∆ z k , ∆ x = x − x , ∆ y = y ∆ z = z − z and where it is assumed that as n → ∞ the largest p p p p p p + 1 p p p + 1 of the magnitudes |!rpp| approaches zero. The result 20.48−isy pa, p p+1 p of the magnitudes |!rp | se approaches zero. Then(see result 20.48 is a ∆ z = z − z y donde supone que, como → ∞, la mayor generalization definite integral 18.1). p p+1 pof the ordinary generalization of the ordinary definite integral (see 18.1). de las magnitudes |!r | se aproxima a cero. El resultado de la fórmula 20.48 The line integral 20.48 can also be written as p Thegeneralización line integral 20.48 also be writtenordinaria as es una de lacan integral definida (vea la fórmula 18.1). La integral de línea de la fórmula 20.48 se puede escribir como 20.49. ∫ A i dr = ∫ ( A1dx + A2 dy + A3 dz) 20.49. ∫CC A i dr = ∫CC ( A11dx + A22 dy + A33 dz ) C

C

using A = A11i + A22j + A33k using AA= =A1Ai +i +A2Aj + usando j +A3Ak k 1

2

3

x x

x

(xpp , ypp , zpp) (xp , yp , zp)

C

P1

11

1

C C

P22 P2

P2 y y

(xp, yp, zp) y

Fig. 20-6 Fig. 20-6 Figura 20-6

dr = dxi + dyj + dzk. dr==dxi dxi++dyj dyj++dzk. dzk. dr

and and y

Properties of Line P ROPIEDADES DEIntegrals INTEGRALES DE LÍNEA Properties of Line Integrals 20.50. 20.50. 20.50. 20.51. 20.51. 20.51.

pp2 2 p pp1 2 1 p1

A i dr = − ∫ P A i dr A i dr = − ∫PP A i dr

P P22 P2 P P11 P1

A i dr = ∫ P A i dr + ∫ P A i dr A i dr = ∫PP A i dr + ∫PP A i dr

∫ ∫ ∫ ∫

P P11

1 22

P2

P P33

P P22

3

11

P1

2

33

P3

INDEPENDENCIA DE Path LA TRAYECTORIA Independence of the

of the Path ining points P1 and P2 inIndependence a region Independence of the Path En!, general, de línea tiene valor que depende de path la trayectoria C que los puntos ivatives are continuous in the a una In general, line integral a value thatun depends on the particular C joining particular points P11 and P2 inune a region integral has In general, a line integral has aembargo, value that depends on the particular path Cderivatives joining points P1derivadas and P22 ininparciales a !, region P y P en una región !. Sin en el caso de A = ∇f o ∇ × A = 0 donde f y sus !. However, in the case of A = ∇f or ∇ × A = 0 where f and its partial are continuous the son 1 2 !. However, in A the case of A = ∇f orof ∇ the × Apath. = 0 where f aand its partial derivatives are continuous in !, the is independent In such case, line integral i d r continuas en ∫!, la integral de línea ! i DR es independiente de la trayectoria. En tal caso, line integral ∫CC A i dr is independent°#of the path. In such a case, C

P2

P 20.52. 20.52. ∫C A i dr = ∫PP A i dr = φ (P22 ) − φ (P11 ) C P 20.52. particular if C is a closed curve, ∫C A i dr = ∫P A i dr = φ (P2 ) − φ (P1 ) where f(P1)) yand ) denotelosthe valuesdeofffen at PP11yand , respectively. InEnparticular a closed curve, donde f(P f(Pf(P ) denotan valores P2, Prespectivamente. particular,if siC Cis es una curva cerrada, 22 2 22 1 where f(P111) and f(P ) denote the values of f at P and P , respectively. In particular if C is a closed curve, 2 1 2 2

2

11

1

7/21/08 5:45:09 PM Spiegel_section Spiegel_section V_116-133.indd V_116-133.indd 124 124 Spiegel_section V_116-133.indd 124 05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 124

7/21/08 7/21/08 5:45:09 5:45:09 PM PM 7/21/08 5:45:09 PM 04/12/13 16:47

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL 20.53.

°

! i DR 

#

°

#

125

! i DR  

donde el círculo sobre el signo integral se usa para enfatizar que C es cerrada.

INTEGRALES MÚLTIPLES

20.54.

yp

!

n→∞

b

∫ ∫ x =a

f2 (x) y = f1 (x)

Q

P

n

∫

G

DA p = x p Dyp

yp + 1

F( x , y) dA = lím ∑ F( x p , y p )∆Ap p=1

siempre que este límite exista. En tal caso, la integral también se puede escribir como 20.55.

y d

—

Sea F(x, y) una función definida en una región ! del plano xy, como en la figura 20-7. Subdivida la región en n partes mediante líneas paralelas a los ejes x y y como se indica. Considere que !Ap = !xp !yp denota un área de una de esas partes. Entonces, la integral de F(x, y) sobre ! está definida como

c

H xp xp + 1

a

x

Figura 20-7

F( x , y) dy dx

{∫

b

⎫ F( x , y) dy⎬ dx ⎭ donde y = f1(x) y y = f2(x) son las ecuaciones de las curvas PHQ y PGQ, respectivamente, y a y b son las coordenadas x de los puntos P y Q. El resultado también se puede escribir como =

20.56.

∫

b

x =a

d

g2( y )

y =c

x = g1( y )

∫ ∫

f2( x )

y = f1( x )

F ( x , y) dx dy =

∫

d y =c

{∫

g2( y ) x = g1( y )

}

F ( x , y) dx dy

donde x = g1(y), x = g2(x) son las ecuaciones de las curvas HPG y HQG, respectivamente, y c y d son las coordenadas y de H y G. Estas son llamadas integrales dobles o integrales de área. Las ideas pueden extenderse similarmente para las integrales triples o de volumen o las integrales múltiples superiores.

INTEGRALES DE SUPERFICIE z

Subdivida la superficie S (vea la figura 20-8) en n elementos de área !Sp, p = 1, 2, . . . , n, si es A(xp, yp, zp ) = Ap, donde (xp, yp, zp ) es un punto P en !Sp. Sea Np una normal unitaria a !Sp en P, entonces la integral de superficie de la componente normal de A sobre S está definida como 20.57.

°

Np

g

DS p S

N

3

! i . D3  LÓM ¤ ! P i . P $3 P Nmd

y

P 

Dxp Dyp x Figura 20-8

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 125

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126

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL

RELACIÓN ENTRE INTEGRALES DE SUPERFICIE Y DOBLES Si ! es la proyección de S sobre el plano xy, entonces (vea la figura 20-8)

°

20.58.

3

! i . D3  °



° !i.

DX DY .iK

TEOREMA DE LA DIVERGENCIA Si S es una superficie cerrada limitando una región de volumen V; y se supone que N es la normal positiva (dibujado hacia afuera) y dS = N dS. Entonces (vea la figura 20-9)

°

20.59.

6

 i ! D6 

°

3

! i D3

El resultado también se llama teorema de Gauss o teorema de Green. z

z N

N S

dS S

dS

C

y

y

x

x

Figura 20-10

Figura 20-9

TEOREMA DE STOKES Si S es una superficie abierta de dos lados limitada por una curva cerrada no intersecada C (curva cerrada simple) como en la figura 20-10. Entonces 20.60.

°

#

! i DR 

°

3

 s ! i D3

donde el círculo sobre la integral se usa para enfatizar que C es cerrada.

TEOREMA DE GREEN EN EL PLANO 20.61.

⎛ ∂Q

AC (P dx + Q dy) = ∫R ⎜⎝ ∂x

−

∂P ⎞ dx dy ∂y ⎟⎠

donde R es el área limitada por la curva cerrada C. Este resultado es un caso especial del teorema de la divergencia o teorema de Stokes.

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127

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL

PRIMERA IDENTIDAD DE GREEN 20.62.

°

6

[F  Y   F i Y ]D6  ° F Y i D3

donde f y y son funciones escalares.

SEGUNDA IDENTIDAD DE GREEN 20.63.

°

6

F  Y Y  F D6 

°

3

F Y Y F i D3

TEOREMAS DE INTEGRALES VARIADAS 20.64.

∫

∇ × A dV =

20.65.

∫

φ dr =

V

C

∫

S

∫

S

dS × A

dS × ∇φ

COORDENADAS CURVILÍNEAS Un punto P en el espacio (vea la figura 20-11) se puede localizar mediante coordenadas rectangulares (x, y, z) o coordenadas curvilíneas (u1, u2, u3), donde las ecuaciones de transformación desde una configuración de coordenadas al otro están dadas por 20.66.

z u3 curva e3

u2 =

x = x (u1, u2 , u3) y = y(u1, u2 , u3)

u1 curva

z = z (u1, u2 , u3)

∂r = h1e1 , ∂u1

P

u3 = c3

u1 = c1

e2 u2 curva y

Si u2 y u3 son constantes, y u1 varía, el vector de posición r = xi + yj + zk de P describe una curva llamada curva coordenada u1. Similarmente, se definen las curvas coordenadas u2 y u3 a través de P. Los vectores ∂r/∂u1, ∂r/∂u2 , ∂r/∂u3 representan vectores tangentes a las curvas coordenadas u1, u2, u3. Si e1, e2, e3 son los vectores unitarios tangentes a esas curvas, se tiene 20.67.

e1

c2

∂r = h2 e 2 , ∂u2

x Figura 20-11

∂r = h3 e 3 ∂u3

donde 20.68.

h1 =

∂r , ∂u1

h2 =

∂r , ∂u2

h3 =

∂r ∂u3

son llamados factores de escala. Si e1, e2, e3 son mutuamente perpendiculares, el sistema de coordenadas curvilíneas es llamado ortogonal.

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 127

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128

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL

FÓRMULAS QUE INVOLUCRAN COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES ∂r ∂r ∂r du1 + du2 + du = h1 du1e1 + h2 du2 e 2 + h3 du3 e 3 ∂u1 ∂u2 ∂u3 3

20.69.

dr =

20.70.

DS   DR i DR  H DU  H DU  H DU

donde ds es el elemento de longitud de arco. Si dV es el elemento de volumen, entonces 20.71.

D6  \ HEDU i H E  DU s H E DU \  HH H DUDU DU 

uR uR uR u X Y Z DU DU DU  DU DU DU s i uU U U    uU uU uU

donde 20.72.

∂x/∂u1 ∂( x , y, z ) = ∂y/∂u1 ∂(u1, u2 , u3 ) ∂z/∂u1

∂x/∂u2 ∂y/∂u2 ∂z/∂u2

∂x/∂u3 ∂y/∂u3 ∂z/∂u3

algunas veces escrito J(x, y, z; u1, u2, u3), se llama el jacobiano de la transformación.

TRANSFORMACIÓN DE INTEGRALES MÚLTIPLES El resultado de la fórmula 20.72 se puede usar para transformar integrales múltiples de coordenadas rectangulares a curvilíneas. Por ejemplo, se tiene 20.73.

∫ ∫ ∫ F ( x , y, z) dx dy dz = ∫ ∫ ∫ G(u , u , u ) 1

2

3

!′

!

∂( x , y, z ) du du du ∂(u1, u2 , u3) 1 2 3

donde !′ es la región dentro de la cual ! está mapeada por la transformación y G(u1, u2, u3) es el valor de F(x, y, z) correspondiendo a la transformación.

GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO En las siguientes ecuaciones, Φ es una función escalar y A = A1e1 + A2e2 + A3e3 es una función de un vector de coordenadas curvilíneas ortogonales u1, u2, u3. 20.74. Gradiente de Φ = grad Φ = ∇Φ Φ=

e1 ∂ Φ e 2 ∂ Φ e 3 ∂ Φ + + h1 ∂u1 h2 du2 h3 ∂u3

20.75. Divergencia de !  DIV !   i ! 

20.76.

 HH H

· ¨ u u u HH ! ¸ H H !  H H !  © uU uU ¹ ª uU

h1e1 h2e 2 1 ∂ ∂ Rotacional de A = rot A = ∇ × A = h1h2h3 ∂u1 ∂u2 h1 A1 h2 A2 =

⎤ ⎤ 1 ⎡ ∂ ∂ 1 ⎡ ∂ ∂ (h1 A1 ) − (h3 A3 )⎥ e 2 (h3 A3 ) − (h2 A2 )⎥ e1 + ⎢ ⎢ h2h3 ⎣ ∂u2 ∂u3 h1h3 ⎣ ∂u3 ∂u1 ⎦ ⎦ +

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h3e 3 ∂ ∂u3 h3 A3

1 h1h2

⎡ ∂ ⎤ ∂ ⎢ ∂u (h2 A2 ) − ∂u (h1 A1 )⎥ e 3 2 ⎣ 1 ⎦

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129

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL 20.77. Laplaciano de Φ = ∇ 2Φ =

1 ⎡ ∂ ⎛ h2h3 ∂ Φ ⎞ ∂ ⎛ h1h2 ∂ Φ ⎞ ⎤ ∂ ⎛ h3h1 ∂ Φ ⎞ + + ⎢ ⎜ ⎥ ⎜ ⎟ ⎟ h1h2h3 ⎢⎣ ∂u1 ⎝ h1 ∂u1 ⎠ ∂u2 ⎝ h2 ∂u2 ⎠ ∂u3 ⎜⎝ h3 ∂u3 ⎟⎠ ⎥⎦

Observe que el operador biarmónico ∇ 4 Φ = ∇ 2 (∇ 2Φ) se puede obtener de la fórmula 20.77.

SISTEMA COORDENADO ORTOGONAL ESPECIAL Coordenadas cilíndricas (r, q, z) (Vea la figura 20-12) 20.78. x = r cos q, 20.79.

h12 = 1,

20.80.

∇ 2Φ =

y = r sen q,

h22 = r 2 ,

z=z

h32 = 1

∂2Φ 1 ∂ Φ 1 ∂2Φ ∂2Φ + + + ∂ r 2 r ∂r r 2 ∂θ 2 ∂z 2 ez

z

z

er

eq P(r, q, f)

er

z

z x f y

y

q r y

x

ef

(r, q, z)

P

y

eq

x

x Figura 20-12. Coordenadas cilíndricas.

Figura 20-13. Coordenadas esféricas.

Coordenadas esféricas (r, q, f) (Vea la figura 20-13) 20.81. x = r sen q cos f, h22 = r 2 ,

y = r sen q sen f,

z = r cos q

h32 = r 2 sen 2 θ

20.82.

h12 = 1,

20.83.

∇ 2Φ =

20.84.

x = (u − ! ),

20.85.

h = h =u +! ,

20.86.

1 ⎛ ∂2Φ ∂2Φ ⎞ ∂2Φ ∇ 2Φ = 2 + + u + ! 2 ⎜⎝ ∂u 2 ∂! 2 ⎟⎠ ∂z 2

1 ∂2Φ 1 ∂ ⎛ 2 ∂Φ ⎞ 1 ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ + 2 r sen θ + 2 2 2 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ r ∂r ⎝ dr ⎠ r sen θ ∂θ ⎝ ∂θ ⎠ r sen θ ∂φ 2

Coordenadas cilíndricas parabólicas (u, y, z) 2

1 2

2 1

2 2

y = u! ,

2

2

2

z=z

h =1 2 3

Las trazas de las superficies coordenadas sobre el plano xy se muestran en la figura 20-14. Estas son parábolas confocales con un eje común.

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 129

y

u=2

!=2

e!

u=1

eu P

u=0

!=0 x

!=1

u = -1

u=-

!=1

2

!=2

Figura 20-14

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130

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL Coordenadas paraboloidales (u, y, f)

20.87. x = uy cos f, donde

y = uy sen f,

u ! 0,

# ! 0,

20.88.

h12 = h22 = u 2 + ! 2 ,

20.89.

∇ 2Φ =

z=

1 2

(u2

y2)

0 " φ < 2π

h32 = u 2 ! 2

1 ∂ 2 u(u + ! ) ∂u 2

⎛ ∂Φ ⎞ 1 1 ∂2Φ ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ ⎜⎝ u ∂u ⎟⎠ + ! (u 2 + ! 2 ) ∂! ⎜⎝ ! ∂! ⎟⎠ + u 2! 2 ∂φ 2

Los dos sistemas de superficies coordenadas se obtienen al girar las parábolas de la figura 20-14 alrededor del eje x, el cual se renombra eje z. Coordenadas cilíndricas elípticas (u, y, z) 20.90. x = a cosh u cos y, donde

u ! 0,

y = a senh u sen y, 0 " # < 2π ,

20.91.

H  H  A  SENH  U  SEN Y

20.92.

& 

z=z

− ∞< z < ∞ H   

¥ u & u & ´ u &     A SENH U  SEN Y ¦§ uU  uY  µ¶ uZ  



!=

! = p/2

Las trazas de las superficies coordenadas sobre el plano xy se muestran en la figura 20-15. Estas son elipses confocales e hipérbolas.

3p

p/3 !=

u=2

/4

5p /6

u = 3/2

!=

e!

!=

/3 2p

!=

y

4 p/

!=

p /6

eu

u=1 !=p

(-a, 0)

u=0

P (a, 0)

!=0 ! = 2p

x

u=1 6 7p/

/4 5p 4p

! = 3p/2

7p

11p

/6

/4

/3 5p

!=

u=2

!=

!=

!=

!=

u = 3/2

/3

!=

Figura 20-15. Coordenadas cilíndricas elípticas.

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 130

04/12/13 16:47

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL

131

Coordenadas esferoidales alargadas (x, h, f) 20.93.

x = a senh ξ sen η cos φ ,

y = a senh ξ sen η sen φ ,

ξ ! 0,

donde 20.94.

h12 = h22 = a 2 (senh 2 ξ sen 2 η),

20.95.

∇ 2Φ =

z = a cosh ξ co os η

0 " η " π,

0 " φ < 2π

h32 = a 2 senh 2 ξ sen 2 η

1 ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ senh ξ a 2 (senh 2 ξ + sen 2 η) senh ξ ∂ξ ⎜⎝ ∂ξ ⎠⎟ +

∂ ⎛ ∂Φ ⎞ 1 1 ∂2Φ + sen η ∂η ⎟⎠ a 2 senh 2 ξ sen 2 η ∂φ 2 a 2 (senh 2 ξ + sen 2 η) sen η ∂η ⎜⎝

Los dos sistemas de superficies coordenadas se obtienen al girar las curvas de la figura 20-15 alrededor del eje x, el cual se renombra eje z. El tercer sistema de coordenadas de superficies se forma mediante los planos que pasan a través de este eje. Coordenadas esferoidales achatadas (x, h, f) 20.96.

x = a cosh ξ cos η cos φ ,

y = a cosh ξ cos η sen φ ,

ξ ! 0,

donde 20.97.

h12 = h22 = a 2 (senh 2ξ + sen 2η),

20.98.

∇ 2Φ =

z = a senh ξ seen η

− π /2 " η " π /2,

0 " φ < 2π

h32 = a 2 cosh 2 ξ cos 2 η

1 ∂ ⎛ ∂Φ ⎞ cosh ξ a 2 ( senh 2 ξ + sen 2 η)cosh ξ ∂ξ ⎜⎝ ∂ξ ⎟⎠ +

∂ ⎛ ∂Φ ⎞ 1 1 ∂2Φ cos η ⎟ + 2 2 2 2 ⎜ ∂η ⎠ a cosh ξ cos η ∂φ 2 a ( senh ξ + sen η)cos η ∂η ⎝ 2

2

Los dos sistemas de superficies coordenadas se obtienen al girar las curvas de la figura 20-15 alrededor del eje y, el cual se renombra eje z. El tercer sistema de coordenadas de superficies se forma mediante los planos que pasan a través de este eje. Coordenadas bipolares (u, y, z)

x=

20.99.

donde

a senh ! , cosh ! − cos u

y=

a sen u , cosh ! − cos u 0 ! u < 2π ,

z=z

−∞< " < ∞,

−∞< z < ∞

o 20.100.

x 2 + (y − a cot u)2 = a 2 csc 2 u,

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 131

( x − a coth ! )2 + y 2 = a 2 csch 2 ! ,

z=z

04/12/13 16:47

132

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL

20.101.

h12 = h22 =

20.102.

∇ 2Φ =

a2 , (cosh ! − cos u)2

h32 = 1

(cosh ! − cos u)2 ⎛ ∂ 2Φ ∂ 2Φ ⎞ ∂ 2Φ ⎜⎝ ∂u 2 + ∂! 2 ⎟⎠ + ∂z 2 a2

Las trazas de las superficies coordenadas sobre el plano xy se muestran en la figura 20-16. 6 p/

e! eu

!=

!=

u=

-0 .5

u

/4 =p

p/2

u=

!=0

y

! = -1

0.5

!=1

(-a, 0) o ! = - !

(a, 0) o ! = ! !=2 u=

3p/

2

! = -2

x

u=

/4 7p /6 1p

1 u=

Figura 20-16. Coordenadas bipolares.

Coordenadas toroidales (u, y, f) A SENH Y COS F COSH Y COS U

20.103.

X

20.104.

H  H 

20.105.

 & 

Y

A SENH Y SEN F COSH Y COS U

A COSH Y COS U 

H 

Z

ASENU COSH Y COS U

A  SENH Y COSH Y COS U 

COSH Y COS U  u ¥  u&´ A uU ¦§ COSH Y COS U uU µ¶ 

COSH Y COS U  u ¥ SENH Y u&´ COSH Y COS U  u &  A  SENH Y uY ¦§ COSH Y COSU uY µ¶ A  SENH Y uH 

Las superficies coordenadas se obtienen al girar las curvas de la figura 20-16 alrededor del eje y, el cual se renombra eje z. Coordenadas cónicas (l, m, v)

"µ v , ab

20.106.

x=

20.107.

h12 = 1,

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 132

y= h22 =

" (µ 2 − a 2 )(v 2 − a 2 ) , a a2 − b2

"2 (µ 2 − v 2 ) , (µ − a 2 )(b 2 − µ 2 ) 2

h32 =

z=

" (µ 2 − b 2 )(v 2 − b 2 ) b b2 − a2

"2 (µ 2 − v 2 ) (v − a 2 )(v 2 − b 2 ) 2

04/12/13 16:47

FÓRMULAS DE ANÁLISIS VECTORIAL

133

Coordenadas elipsoidales confocales (l, m, y)

20.108.

⎧ x2 y2 z2 + + ⎪ a 2 − ! b 2 − ! c 2 − ! = 1, ⎪ z2 y2 ⎪ x2 + 2 + 2 = 1, ⎨ 2 ⎪a − µ b − µ c − µ ⎪ x2 y2 z2 = 1, + 2 + 2 ⎪ 2 ⎩a − v b − v c − v

! < c2 < b2 < a2 c2 < µ < b2 < a2 c2 < b2 < v < a2

o

20.109.

⎧ 2 (a 2 − !)(a 2 − µ )(a 2 − v) ⎪x = (a 2 − b 2 )(a 2 − c 2 ) ⎪ ⎪ 2 (b 2 − !)(b 2 − µ )(b 2 − v) ⎨y = (b 2 − a 2 )(a 2 − c 2 ) ⎪ ⎪ (c 2 − !)(c 2 − µ )(c 2 − v) ⎪z 2 = (c 2 − a 2 )(c 2 − b 2 ) ⎩

20.110.

⎧ 2 ⎪h1 = 4(a 2 ⎪ ⎪ 2 ⎨h2 = 4(a 2 ⎪ ⎪ ⎪h32 = 4(a 2 ⎩

(µ − !)(v − !) − !)(b 2 − !)(c 2 − !) (v − µ )(! − µ ) − µ )(b 2 − µ )(c 2 − µ ) (! − v)(µ − v) − v)(b 2 − v)(c 2 − v)

Coordenadas paraboloidales confocales (l, m, v)

20.111.

⎧ x2 h2 ⎪ a 2 − ! + b 2 − ! = z − !, ⎪ y2 ⎪ x2 + 2 = z − µ, ⎨ 2 ⎪a − µ b − µ ⎪ x2 y2 + 2 = z − v, ⎪ 2 ⎩a − v b − v

− ∞< ! < b 2 b2 < µ < a2 a2 < v < ∞

o ⎧ 2 (a 2 − !)(a 2 − µ )(a 2 − v) ⎪x = b2 − a2 ⎪⎪ ⎨ 2 (b 2 − !)(b 2 − µ )(b 2 − v) ⎪y = a2 − b2 ⎪ ⎪⎩z = ! + µ + v − a 2 − b 2

20.112.

.

20.113.

⎧ 2 (µ − !)(v − !) ⎪h1 = 4(a 2 − !)(b 2 − !) ⎪ ⎪ 2 (v − µ )(! − µ ) ⎨h2 = 4(a 2 − µ )(b 2 − µ ) ⎪ ⎪ (! − v)(µ − v) ⎪h32 = 16(a 2 − v)(b 2 − v) ⎩

05_Seccion 05_Spiegel(116-133).indd 133

04/12/13 16:47

Sección VI: Series

21

Series de constantes

SERIES ARITMÉTICAS 21.1.

a + (a + d ) + (a + 2 d ) + ⋅⋅⋅ + {a + (n − 1)d } = 12 n{2 a + (n − 1)d } = 12 n(a + l )

donde l ! a " (n # 1)d es el último término. Algunos casos especiales son 21.2.

1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n = 12 n(n + 1)

21.3.

1 + 3 + 5 + ⋅⋅⋅ + (2 n − 1) = n 2

SERIES GEOMÉTRICAS 21.4.

a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅⋅⋅ + ar n−1 =

a(1 − r n ) a − rl = 1− r 1− r

donde l ! ar n#1 es el último término y r ≠ 1. Si #1 < r < 1, entonces 21.5.

a + ar + ar 2 + ar 3 + ⋅⋅⋅ =

a 1− r

SERIES ARITMÉTICAS-GEOMÉTRICAS 21.6.

a + (a + d )r + (a + 2 d )r 2 + ⋅⋅⋅ + {a + (n − 1)d }r n−1 =

a(1 − r n ) rd {1 − nr n−1 + (n − 1)r n } + 1− r (1 − r )2

donde r ≠ 1. Si #1 < r < 1, entonces 21.7.

a + (a + d )r + (d + 2 d )r 2 + ⋅⋅⋅ =

a rd + 1 − r (1 − r )2

SUMA DE POTENCIAS DE ENTEROS POSITIVOS 21.8.

1p + 2 p + 3 p + ⋅⋅⋅ + n p =

n p+1 1 p B1 pn p−1 B2 p( p − 1)( p − 2 )n p− 3 + ⋅⋅⋅ + n + − 2! 4! p +1 2

donde las series terminadas en n2 o n, nos recuerdan que p es impar o par, y Bk son los números de Bernoulli (vea la página 142).

134

06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 134

04/12/13 16:56

SERIES DE CONSTANTES

135

Algunos casos especiales son 21.9.

1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n =

n(n + 1) 2

21.10.

12 + 2 2 + 32 + ⋅⋅⋅ + n 2 =

n(n + 1)(2 n + 1) 6

21.11.

13 + 2 3 + 33 + ⋅⋅⋅ + n 3 =

n 2 (n + 1)2 = (1 + 2 + 3 + ⋅⋅⋅ + n )2 4

21.12.

14 + 2 4 + 34 + ⋅⋅⋅ + n 4 =

n(n + 1)(2 n + 1)( 3n 2 + 3n − 1) 30

Si Sk = 1k + 2 k + 3k + ⋅⋅⋅ + n k , donde k y n son enteros positivos, entonces 21.13.

⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞ ⎛ k + 1⎞ k +1 ⎜⎝ 1 ⎟⎠ S1 + ⎜⎝ 2 ⎟⎠ S2 + ⋅⋅⋅ + ⎜⎝ k ⎟⎠ Sk = (n + 1) − (n + 1)

SERIES QUE CONTIENEN RECÍPROCOS DE POTENCIAS DE ENTEROS POSITIVOS 21.14.

1−

1 1 1 1 + − + − ⋅⋅⋅ = ln 2 2 3 4 5

21.15.

1−

π 1 1 1 1 + − + − ⋅⋅⋅ = 4 3 5 7 9

21.16.

1−

π 3 1 1 1 1 1 + − + − ⋅⋅⋅ = + ln 2 4 7 10 13 9 3

21.17.

1−

π 2 1 1 1 1 + − + − ⋅⋅⋅ = + 5 9 13 17 8

21.18.

1 1 1 1 1 π 3 1 − + − + − ⋅⋅⋅ = + ln 2 2 5 8 11 14 9 3

21.19. 21.20. 21.21. 21.22. 21.23. 21.24. 21.25. 21.26.

1 12 1 14 1 16 1 12 1 14 1 16 1 12 1 14

+ + + − − − + +

06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 135

1 22 1 24 1 26 1 22 1 24 1 26 1 32 1 34

1 32 1 + 4 3 1 + 6 3 1 + 2 3 1 + 4 3 1 + 6 3 1 + 2 5 1 + 4 5 +

2 ln (1 + 2 ) 4

1 π2 2 + ⋅⋅⋅ = 6 4 1 π4 + 4 + ⋅⋅⋅ = 90 4 1 π6 + 6 + ⋅⋅⋅ = 945 4 1 π2 − 2 + ⋅⋅⋅ = 12 4 1 7π 4 − 4 + ⋅⋅⋅ = 720 4 1 31π 6 − 6 + ⋅⋅⋅ = 4 30 240 1 π2 + 2 + ⋅⋅⋅ = 8 7 1 π4 + 4 + ⋅⋅⋅ = 96 7 +

04/12/13 16:56

136

SERIES DE CONSTANTES

21.27.

1 1 1 1 π6 6 + 6 + 6 + 6 + ⋅⋅⋅ = 960 1 3 5 7

21.28.

1 1 1 1 π3 − + − + ⋅⋅⋅ = 32 13 33 5 3 7 3

21.29.

1 1 1 1 3π 3 2 3 + 3 − 3 − 3 + ⋅⋅⋅ = 128 1 3 5 7

21.30.

1 1 1 1 1 + + + + ⋅⋅⋅ = 1 3 3 5 5  7 7 9 2

21.31.

1 1 1 1 3 + + + + ⋅⋅⋅ = 13 2 4 35 4 6 4

21.32.

1 1 1 1 π2 −8 + + + + ⋅⋅⋅ = 12 32 32 52 52 72 72 92 16

21.33.

1 1 1 4π 2 − 39 + 2 2 2 + 2 2 2 + ⋅⋅⋅ = 2 2 1 2 3 2 3  4 3 4 5 16

21.34.

1 u a −1du 1 1 1 1 − + − + ⋅⋅⋅ = ∫ 0 1 + ud a a + d a + 2 d a + 3d

21.35.

2 2 p−1π 2 p Bp 1 1 1 1 2p + 2p + 2p + 2 p + ⋅⋅⋅ = (2 p)! 1 2 3 4

21.36.

(2 2 p − 1) π 2 p Bp 1 1 1 1 + + + + ⋅⋅⋅ = 2(2 p)! 12 p 32 p 5 2 p 7 2 p

21.37.

(2 2 p−1 − 1) π 2 p Bp 1 1 1 1 − + − + ⋅⋅⋅ = (2 p)! 12 p 2 2 p 32 p 4 2 p

21.38.

2

1 2 p+1

1

−

1 2 p+1

3

+

1 5

2 p+1

−

1 7

2 p+1

+ ⋅⋅⋅ =

π 2 p+1E p 2 (2 p)! 2 p+ 2

VARIAS SERIES 21.39.

1 sen(n + 1/2)α + cos α + cos 2α + ⋅⋅⋅ + cos nα = 2 2 sen(α /2)

21.40.

sen α + sen 2α + sen 3α + ⋅⋅⋅ + sen nα =

21.41.

1 + r cos α + r 2 cos 2α + r 3 cos 3α + ⋅⋅⋅ =

21.42.

r sen α + r 2 sen 2α + r 3 sen 3α + ⋅⋅⋅ =

21.43.

1 + r cos α + r 2 cos 2α + ⋅⋅⋅ + r n cos nα =

21.44.

r sen α + r 2 sen 2α + ⋅⋅⋅ + r n sen nα =

06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 136

sen[1/2(n + 1)]α sen 1/2nα sen (α /2) 1 − r cos α , |r |< 1 1 − 2r cos α + r 2

r sen α , |r |< 1 1 − 2r cos α + r 2 r n+ 2 cos nα − r n+1 cos(n + 1)α − r cos α + 1 1 − 2 r cos α + r 2

r sen α − r n+1 sen (n + 1) α + r n+ 2 sen nα 1 − 2r cos α + r 2

04/12/13 16:56

SERIES DE CONSTANTES

137

FÓRMULA DE LA SUMA DE EULER-MACLAURIN 21.45.

n −1

∑ F (k ) = ∫

n

0

k =1

1 F (k )dk − {F (0) + F (n)} 2

+

1 1 {F ′′′(n) − F ′′′(0)} {F ′(n) − F (0)} − 12 720

+

1 1 {F ( v ) (n) − F ( v ) (0)} − {F ( vii ) (n) − F ( vii ) (0)} 30 240 1 209 600

+ ⋅⋅⋅ (−1) p−1

Bp (2 p)!

{F ( 2 p−1) (n) − F ( 2 p−1) (0)} + ⋅ ⋅⋅

FÓRMULA DE LA SUMA DE POISSON 21.46.

∞

∞

{

∑ F (k ) = ∑ ∫

k =−∞

06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 137

m =−∞

∞

−∞

}

e 2π imx F ( x )dx

04/12/13 16:56

22

Series de Taylor

SERIES DE TAYLOR PARA FUNCIONES DE UNA VARIABLE 22.1.

f ′′(a)( x − a)2 f ( n−1) (a)( x − a) f ( x ) = f (a) + f ′(a)( x − a) + + ⋅⋅⋅ + (n − 1)! 2!

n−1

+ Rn

donde Rn, es el residuo después de n términos, está dado por cada una de las siguientes formas: 22.2. Forma de Lagrange: Rn = 22.3. Forma de Cauchy: Rn =

f ( n ) (ξ )( x − a )n n!

f ( n ) (ξ )( x − ξ )n−1 ( x − a ) (n − 1)!

El valor x, el cual puede ser diferente en las dos formas, está entre a y x. El resultado se lleva a cabo si f (x) tiene (al menos) derivadas continuas de orden n. Si lím Rn = 0, las series infinitas obtenidas se llaman series de Taylor para f (x) alrededor de x ! a. Si a ! 0, n→∞ las series se llaman series Maclaurin. Estas series, llamadas de potencias, generalmente convergen para todos los valores de x en algún intervalo llamado intervalo de convergencia y divergen para todo x fuera de este intervalo. Algunas series contienen los números de Bernoulli Bn y los números de Euler En definidos en el capítulo 23, en las páginas 142-143.

SERIES BINOMIALES 22.4.

(a + x )n = a n + na n−1 x +

n(n − 1) n− 2 2 n(n − 1)(n − 2 ) n− 3 3 a x + ⋅⋅⋅ a x + 2! 3!

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ ⎛ n⎞ = a n + ⎜ ⎟ a n−1 x + ⎜ ⎟ a n− 2 x 2 + ⎜ ⎟ a n− 3 x 3 + ⋅⋅⋅ ⎝ 3⎠ ⎝1⎠ ⎝ 2⎠

Son casos especiales 22.5.

(a + x )2 = a 2 + 2 ax + x 2

22.6.

(a + x )3 = a 3 + 3a 2 x + 3ax 2 + x 3

22.7.

(a + x )4 = a 4 + 4 a 3 x + 6 a 2 x 2 + 4 ax 3 + x 4

22.8.

(1 + x )−1 = 1 − x + x 2 − x 3 + x 4 − ⋅⋅⋅

"1 < x < 1

22.9.

(1 + x )−2 = 1 − 2 x + 3x 2 − 4 x 3 + 5 x 4 − ⋅⋅⋅

"1 < x < 1

(1 + x )−3 = 1 − 3x + 6 x 2 − 10 x 3 + 15 x 4 − ⋅⋅⋅

"1 < x < 1

22.10.

138

06_Seccion 06_Spiegel(134-148).indd 138

04/12/13 16:56

SERIES DE TAYLOR 22.11.

(1 + x )−1/ 2 = 1 −

1 1 3 2 1 3 5 3 x+ x − x + ⋅⋅⋅ 2 2 4 2 4 6

!1 < x " 1

22.12.

(1 + x )1/ 2 = 1 +

1 1 2 1 3 3 x− x + x − ⋅⋅⋅ 2 2 4 2 4 6

!1 < x " 1

22.13.

(1 + x )−1/ 3 = 1 −

1 14 2 14 7 3 x+ x − x + ⋅⋅⋅ 3 36 36 9

!1 < x " 1

22.14.

(1 + x )1/ 3 = 1 +

2 2 2 5 3 1 x− x + x − ⋅⋅⋅ 3 3 6 3 6 9

139

!1 < x " 1

SERIES PARA FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS 22.15. 22.16. 22.17.

x2 x3 + + ⋅⋅⋅ 2 ! 3! ( x ln a )2 ( x ln a )3 a x = e x ln a = 1 + x ln a + + + ⋅⋅⋅ 2! 3! x2 x3 x4 ln (1 + x ) = x − + − + ⋅⋅⋅ 2 3 4

ex = 1 + x +

22.18.

1 ⎛1 + x⎞ x3 x5 x7 ln ⎜ + + + ⋅⋅⋅ =x+ ⎟ 2 ⎝1 − x⎠ 3 5 7

22.19.

⎪⎧⎛ x − 1⎞ 1 ln x = 2 ⎨⎜ ⎟+ ⎪⎩⎝ x + 1⎠ 3

22.20.

⎛ x − 1⎞ 1 ⎛ x − 1⎞ 1 ⎛ x − 1⎞ ln x = ⎜ + + + ⋅ ⋅⋅ ⎝ x ⎟⎠ 2 ⎜⎝ x ⎟⎠ 3 ⎜⎝ x ⎟⎠

!∞ < x < ∞ !1 < x " 1 !1 < x < 1

3 5 1 ⎛ x − 1⎞ ⎪⎫ ⎛ x − 1⎞ ⎜⎝ x + 1⎟⎠ + 5 ⎜⎝ x + 1⎟⎠ + ⋅⋅⋅⎬ ⎪⎭ 2

!∞ < x < ∞

x>0

3

x#

1 2

SERIES PARA FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 22.21. sen x = x −

x3 x5 x7 + − +L 3! 5! 7!

−∞ < x − 12

cos( x cosh u)du

cosh( x sen θ )dθ =

1 2π

∫

2π

0

e x senθ dθ

EXPANSIÓN ASINTÓTICA 27.103.

Jn ( x ) ~

2 nπ π ⎞ ⎛ cos ⎜ x − − πx 2 4 ⎟⎠ ⎝

donde x es muy grande

27.104.

Yn ( x ) ~

⎛ nπ π ⎞ 2 sen ⎜x − − ⎟ πx 2 4⎠ ⎝

donde x es muy grande

27.105.

Jn ( x ) ~

1 ⎛ ex ⎞ ⎜ ⎟ 2π n ⎝ 2n⎠

27.106.

Yn ( x ) ~ −

27.107.

I n (x) ~

27.108.

2 πn

⎛ ex ⎞ ⎜⎝ 2n⎟⎠

n

donde n es muy grande

−n

ex 2π x e− x K n (x) ~ 2π x

donde n es muy grande donde x es muy grande donde x es muy grande

SERIES ORTOGONALES DE LAS FUNCIONES DE BESSEL Sean λ1 , λ2 , λ3 , ... las raíces positivas de RJ n ( x ) + SxJ n′ ( x ) = 0, n > −1; entonces las siguientes series de expansiones se expresan bajo las condiciones indicadas. S = 0, R ≠ 0, i.e., λ1 , λ2 , λ3 , . . . son las raíces positivas de JN(x) = 0 27.109.

f ( x ) = A1 J n (λ1 x ) + A2 J n (λ2 x ) + A3 J n (λ3 x ) + ⋅⋅⋅

donde 27.110.

Ak =

2 J n2+1 (λ k )

∫

1

0

xf ( x ) J n (λ k x )dx

En particular si n = 0, 27.111.

f ( x ) = A1J 0 (λ1x ) + A2 J 0 (λ2 x ) + A3 J 0 (λ3 x ) + ⋅⋅⋅

donde 27.112.

Ak =

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 161

2 J (λ k ) 2 1

∫

1

0

xf ( x ) J 0 (λ k x )dx

04/12/13 16:57

162

FUNCIONES DE BESSEL R/S > n

27.113.

f ( x ) = A1J n (λ1x ) + A2 J n (λ2 x ) + A3 J n (λ3 x ) + ⋅⋅⋅

donde 27.114.

Ak =

2 J n2 (λ k ) − J n−1 (λ k ) J n+1 (λ k )

∫

1

xf ( x ) J n (λ k x )dx

0

En particular, si n = 0, 27.115.

f ( x ) = A1J 0 (λ1x ) + A2 J 0 (λ2 x ) + A3 J 0 (λ3 x ) + ⋅⋅⋅

donde 27.116.

Ak =

2 J 02 (λ k ) + J12 (λ k )

∫

1

0

xf ( x ) J 0 (λ k x )dx

Las siguientes fórmulas se refieren a la expansión de la función de Bessel donde S ≠ 0. R/S = n 27.117.

f ( x ) = A0 x n + A1J n (λ1x ) + A2 J n (λ2 x ) + ⋅⋅⋅

donde 27.118.

⎧A = 2(n + 1) 1 x n+1 f ( x )dx ∫0 ⎪⎪ 0 ⎨ 2 ⎪A = 2 ⎪⎩ k J n (λ k ) − J n−1 (λ k ) J n+1 (λ k )

1

∫

0

xf ( x ) J n (λ k x )dx

En particular si n = 0 de modo que R = 0 [es decir, l1, l2, l3, … son las raíces positivas de J1 (x) = 0], 27.119.

f ( x ) = A0 + A1J 0 (λ1x ) + A2 J 0 (λ2 x ) + ⋅⋅⋅

donde 27.120.

⎧A = 2 1 xf ( x )dx ∫0 ⎪⎪ 0 ⎨ 1 ⎪A = 2 2 xf ( x ) J 0 (λ k x )dx k ∫ 0 λ J ( ) ⎪⎩ 0 k

R/S < N En este caso, existen dos raíces imaginarias puras ±il0 así como las raíces positivas l1, l2, l3, … y se tiene que 27.121.

f ( x ) = A0 I n (λ0 x ) + A1J n (λ1x ) + A2 J n (λ2 x ) + ⋅⋅⋅

donde

27.122.

2 ⎧ ⎪A0 = I n2 (λ0 ) + I n−1 (λ0 )I n+1 (λ0 ) ⎪ ⎨ 2 ⎪A = ⎪⎩ k J n2 (λ k ) − J n−1 (λ k ) J n+1 (λ k )

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 162

∫

1

0

∫

1

0

xf ( x )I n (λ0 x )dx xf ( x ) J n (λ k x )dx

04/12/13 16:57

FUNCIONES DE BESSEL

163

RESULTADOS DIVERSOS 27.123.

cos( x sen θ ) = J 0 ( x ) + 2 J 2 ( x ) cos 2θ + 2 J 4 ( x ) cos 4θ + ⋅⋅ ⋅

27.124.

sen ( x sen θ ) = 2 J1 ( x ) sen θ + 2 J3 ( x ) sen 3θ + 2 J5 ( x ) sen 5θ + ⋅⋅⋅

27.125.

J n ( x + y) =

∞

∑ J ( x )J

k =−∞

k

n−k

( y)

n = 0, ± 1, ± 2, ...

Esta ecuación se llama fórmula de adición para la función de Bessel. 27.126.

1 = J 0 ( x ) + 2 J 2 ( x ) + ⋅⋅⋅ + 2 J 2 n ( x ) + ⋅⋅⋅

27.127.

x = 2{J1 ( x ) + 3J3 ( x ) + 5J5 ( x ) + ⋅⋅⋅ + (2n + 1) J 2 n+1 ( x ) + ⋅ ⋅⋅}

27.128.

x 2 = 2{4 J 2 ( x ) + 16 J 4 ( x ) + 36 J6 ( x ) + ⋅⋅⋅ + (2n)2 J 2 n ( x ) + ⋅⋅⋅}

27.129.

xJ1 ( x ) = J 2 ( x ) − 2 J 4 ( x ) + 3J6 ( x ) − ⋅⋅⋅ 4

27.130.

1 = J 02 ( x ) + 2 J12 ( x ) + 2 J 22 ( x ) + 2 J32 ( x ) + ⋅⋅⋅

27.131.

J n′′( x ) = 14 {J n− 2 ( x ) − 2 J n ( x ) + J n+ 2 ( x )}

27.132.

J n′′′( x ) = 81 {J n −3 ( x ) − 3J n −1 ( x ) + 3J n+1 ( x ) − J n+3 ( x )}

Las fórmulas 27.131 y 27.132 se pueden generalizar. 27.133. 27.134.

2sen nπ πx 2sen nπ J n ( x ) J− n+1 ( x ) + J− n ( x ) J n−1 ( x ) = πx J n′ ( x ) J − n ( x ) − J −′ n J n ( x ) =

27.135.

J n+1 ( x )Yn ( x ) − J n ( x )Yn+1 ( x ) = J n ( x )Yn′( x ) − J n′ ( x )Yn ( x ) =

27.136.

sen x = 2{J1 ( x ) − J3 ( x ) + J5 ( x ) − ⋅⋅⋅}

27.137.

cos x = J 0 ( x ) − 2 J 2 ( x ) + 2 J 4 ( x ) − ⋅⋅⋅

27.138.

senh x = 2{I1 ( x ) + I 3 ( x ) + I 5 ( x ) + ⋅⋅⋅}

27.139.

cosh x = I 0 ( x ) + 2{I 2 ( x ) + I 4 ( x ) + I 6 ( x ) + ⋅⋅⋅}

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 163

2 πx

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28

Legendre y funciones asociadas de Legendre

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LEGENDRE 28.1.

(1 − x 2 ) y′′ − 2 xy′ + n(n + 1) y = 0

La solución de esta ecuación diferencial se llama función de Legendre de orden n.

POLINOMIO DE LEGENDRE Si n = 0, 1, 2, …, una solución de la fórmula 28.1 es el polinomio de Legendre Pn(x) obtenido por la fórmula de Rodrigues. 28.2.

Pn ( x ) =

1 dn 2 ( x − 1)n 2 n! dx n n

POLINOMIOS ESPECIALES DE LEGENDRE 28.3.

P0 ( x ) = 1

28.7.

P4 ( x ) = 81 (35x 4 − 30 x 2 + 3)

28.4.

P1 ( x ) = x

28.8.

P5 ( x ) = 81 (63x 5 − 70 x 3 + 15x )

28.5.

P2 ( x ) = 12 (3x 2 − 1)

28.9.

P6 ( x ) = 161 (231x 6 − 315x 4 + 105x 2 − 5)

28.6.

P3 ( x ) = 12 (5x 3 − 3x )

28.10.

P7 ( x ) = 161 (429 x 7 − 693x 5 + 315x 3 − 35x )

POLINOMIOS DE LEGENDRE EN TÉRMINOS DE U, DONDE x ! cos U 28.11.

P0 (cos θ ) = 1

28.12.

P1 (cos θ ) = cos θ

28.13.

P2 (cos θ ) = 14 (1 + 3 cos 2θ )

28.14.

P3 (cos θ ) = 81 (3 cosθ + 5 cos 3θ )

28.15.

P4 (cosθ ) =

1 64

(9 + 20 cos 2θ + 35 cos 4θ )

164

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 164

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LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE 28.16. 28.17. 28.18.

165

1 P5 (cos θ ) = 128 (30 cosθ + 35 cos 3θ + 63 cos 5θ )

P6 (cos θ ) =

1 512

(50 + 105 cos 2θ + 126 cos 4θ + 231 cos 6θ )

1 P7 (cosθ ) = 1 024 (175 cosθ + 189 cos 3θ + 231 cos 5θ + 429 cos 7θ )

FUNCIÓN GENERALIZADA PARA POLINOMIOS DE LEGENDRE ∞ 1 = Pn ( x )t n ∑ 1 − 2tx + t 2 n= 0

28.19.

FÓRMULAS RECURRENTES PARA POLINOMIOS DE LEGENDRE 28.20.

(n + 1)Pn+1 ( x ) − (2n + 1) x Pn ( x ) + nPn−1 ( x ) = 0

28.21.

Pn′+1 ( x ) − xPn′( x ) = (n + 1)Pn ( x )

28.22.

xPn′( x ) − Pn′−1 ( x ) = nPn ( x )

28.23.

Pn′+1 ( x ) − Pn′−1 ( x ) = (2n + 1)Pn ( x )

28.24.

( x 2 − 1)Pn′( x ) − nxPn ( x ) − nPn−1 ( x )

ORTOGONALIDAD DE POLINOMIOS DE LEGENDRE 28.25.

∫

1

28.26.

∫

1

−1

−1

Pm ( x )Pn ( x )dx = 0 m ≠ n {Pn ( x )}2 dx =

2 2n + 1

Por 28.25, Pm(x) y Pn(x) se llaman ortogonales en –1 ! x ! 1.

SERIES ORTOGONALES DEL POLINOMIO DE LEGENDRE 28.27.

f ( x ) = A0 P0 ( x ) + A1P1 ( x ) + A2 P2 ( x ) + …

donde 28.28.

Ak =

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 165

2k + 1 1 f ( x )Pk ( x )dx 2 ∫−1

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166

LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

RESULTADOS ESPECIALES QUE CONTIENEN POLINOMIOS DE LEGENDRE 28.29.

Pn (1) = 1

28.30.

Pn (−1) = (−1)n

28.31.

Pn (− x ) = (−1)n Pn ( x )

⎧0 ⎪ 28.32. Pn (0) = ⎨ 1  3  5…(n − 1) ⎪(−1)n / 2 2  4  6… n ⎩ 1 π

∫ (x + π

28.33.

Pn ( x ) =

28.34.

∫ P ( x )dx =

28.35.

| Pn ( x ) | ! 1

28.36.

Pn ( x ) =

0

n impar n par

x 2 − 1 cos φ) dφ n

Pn+1 ( x ) − Pn−1 ( x ) 2n + 1

n

(z 2 − 1)n

1

dz 2 π i Ac (z − x )n+1 n +1

donde C es una curva simple cerrada, teniendo a x como punto interior.

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DE LEGENDRE La solución general de la ecuación de Legendre es 28.37.

y = AU n ( x ) + BVn ( x )

donde 28.38.

Un (x) = 1 −

n(n + 1) 2 n(n − 2)(n + 1)(n + 3) 4 … x + x − 2! 4!

28.39.

Vn ( x ) = x −

(n − 1)(n + 2) 3 (n − 1)(n − 3)(n + 2)(n + 4) 5 … x + x − 3! 5!

Estas series convergen para –1 < x < 1.

FUNCIONES DE LEGENDRE DE SEGUNDO TIPO Si n = 0, 1, 2, … una de las series 28.38 028.39 finaliza. En tales casos, 28.40.

⎧⎪U n ( x ) /U n (1) Pn ( x ) = ⎨ ⎩⎪Vn ( x ) /Vn (1)

n = 0, 2, 4, K n = 1, 3, 5, K

donde 28.41.

U n (1) = (−1)

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 166

n/2

⎡⎛ n ⎞ ⎤ 2 ⎢⎜ ⎟ !⎥ ⎣⎝ 2⎠ ⎦ n

2

n!

n = 0, 2, 4, K

04/12/13 16:57

LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

28.42.

⎡⎛ n − 1⎞ ⎤ Vn (1) = (−1)( n −1) / 2 2n −1 ⎢⎜ ⎟ !⎥ ⎣⎝ 2 ⎠ ⎦

167

2

n!

n = 1, 3, 5,K

La serie no termina y, en tal caso, al multiplicar por una constante adecuada se denota por Qn(x) y se le llama función de Legendre de segundo tipo de orden n. Definimos: 28.43.

⎧⎪U n (1)Vn ( x ) Qn ( x ) = ⎨ ⎩⎪−Vn (1)U n ( x )

n = 0, 2, 4, … n = 1, 3, 5,, …

FUNCIONES ESPECIALES DE LEGENDRE DE SEGUNDO TIPO 28.44.

Q0 ( x ) =

1 ⎛1 + x⎞ ln 2 ⎜⎝ 1 − x ⎟⎠

28.45.

Q1 ( x ) =

x ⎛1 + x⎞ ln −1 2 ⎜⎝ 1 − x ⎟⎠

28.46.

Q2 ( x ) =

3x 2 − 1 ⎛ 1 + x ⎞ 3x ln ⎜ − 4 ⎝ 1 − x ⎟⎠ 2

28.47.

Q3 ( x ) =

5x 3 − 3x ⎛ 1 + x ⎞ 5x 2 2 ln ⎜ − + 4 2 3 ⎝ 1 − x ⎟⎠

Las funciones Qn(x) satisfacen las fórmulas recurrentes exactamente análogas a las fórmulas 28.20 hasta 28.24. Usando estas fórmulas, la solución general de la ecuación de Legendre también se puede escribir como 28.48.

y = APn ( x ) + BQn ( x )

ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA DE LEGENDRE 28.49.

m2 ⎫ ⎧ (1 − x 2 ) y′′ − 2 xy′ + ⎨n(n + 1) − y=0 1 − x 2 ⎬⎭ ⎩

La solución de esta ecuación se llama función asociada de Legendre. Nos enfocaremos al caso donde m y n son enteros no negativos.

FUNCIÓN ASOCIADA DE LEGENDRE DE PRIMER TIPO 28.50.

Pnm ( x ) = (1 − x 2 )m / 2

dm (1 − x 2 )m / 2 d m + n 2 ( x − 1)n m Pn ( x ) = dx 2n n! dx m + n

donde Pn(x) es un polinomio de Legendre (vea la página 164). Entonces se tiene que 28.51.

Pn0 ( x ) = Pn ( x )

28.52.

Pnm ( x ) = 0

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 167

siif m m >> nn

04/12/13 16:57

168

LEGENDRE Y FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE

FUNCIONES ESPECIALES ASOCIADAS CON LEGENDRE DE PRIMER TIPO 28.53.

P11 ( x ) = (1 − x 2 )1/ 2

28.56.

P31 ( x ) = 32 (5x 2 − 1)(1 − x 2 )1/ 2

28.54.

P21 ( x ) = 3x (1 − x 2 )1/ 2

28.57.

P32 ( x ) = 15x (1 − x 2 )

28.55.

P22 ( x ) = 3(1 − x 2 )

28.58.

P33 ( x ) = 15(1 − x 2 )3 / 2

GENERACIÓN DE LA FUNCIÓN PARA 28.59.

0NM  X

∞ (2m)!(1 − x 2 )m / 2 t m m n 2 m +1 / 2 = ∑ Pn ( x )t 2 m !(1 − 2tx + t ) n= m m

FÓRMULAS RECURRENTES 28.60.

(n + 1 − m)Pnm+1 ( x ) − (2n + 1) x Pnm ( x ) + (n + m)Pnm−1 ( x ) = 0

28.61.

Pnm + 2 ( x ) −

2(m + 1) x m +1 P ( x ) + (n − m)(n + m + 1)Pnm ( x ) = 0 (1 − x 2 )1/ 2 n

ORTOGONALIDAD DE 28.62.

∫

28.63.

∫ {P

1

0NM  X

P m ( x )P1m ( x )dx = 0

−1 l

1

−1

m n

( x )} dx = 2

si n ≠ l

2 (n + m)! 2n + 1 (n − m)!

SERIES ORTOGONALES 28.64.

f ( x ) = Am Pmm ( x ) + Am +1Pmm+1 ( x ) + Am + 2 Pmm+ 2 ( x ) + …

donde 28.65.

Ak =

2k + 1 (k − m)! 1 f ( x )Pkm ( x )dx 2 (k + m)! ∫−1

FUNCIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE DE SEGUNDO TIPO 28.66.

Qnm ( x ) = (1 − x 2 )m / 2

dm Q (x) dx m n

donde Qn(x) es la función de Legendre de segundo tipo (vea la página 166). Esta función no tiene límites para x = ± 1, mientras que Pnm ( x ) tiene límites para x = ± 1. La función Qnm ( x ) cumple las mismas relaciones recurrentes para Pnm ( x ) (vea las fórmulas 28.60 y 28.61).

SOLUCIÓN GENERAL DE ECUACIONES ASOCIADAS DE LEGENDRE 28.67.

y = APnm ( x ) + BQnm ( x )

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29

Polinomios de Hermite

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE HERMITE 29.1.

y′′ − 2 xy′ + 2ny = 0

POLINOMIOS DE HERMITE Si n = 0, 1, 2, …, entonces una solución de la ecuación de Hermite es el polinomio de Hermite Hn(x) dado por la fórmula de Rodrigues. 29.2.

H n ( x ) = (−1)n e x

2

d n −x (e ) dx n 2

POLINOMIOS ESPECIALES DE HERMITE 29.3.

H0 (x) = 1

29.7.

H 4 ( x ) = 16 x 4 − 48 x 2 + 12

29.4.

H1 ( x ) = 2 x

29.8.

H 5 ( x ) = 32 x 5 − 160 x 3 + 120 x

29.5.

H2 (x) = 4 x 2 − 2

29.9.

H 6 ( x ) = 64 x 6 − 480 x 4 + 720 x 2 − 120

29.6.

H 3 ( x ) = 8 x 3 − 12 x

29.10.

H 7 ( x ) = 128 x 7 − 1 344 x 5 + 3 360 x 3 − 1 680 x

FUNCIÓN GENERADORA 29.11.

∞

e 2 tx − t = ∑ 2

n= 0

H n ( x )t n n!

FÓRMULAS DE RECURRENCIA 29.12.

H n+1 ( x ) = 2 xH n ( x ) − 2nH n−1 ( x )

29.13.

H n′ ( x ) = 2nH n−1 ( x )

ORTOGONALIDAD DE LOS POLINOMIOS DE HERMITE 29.14.

∫

29.15.

∫

∞ −∞ ∞

−∞

e − x H m ( x ) H n ( x )dx = 0 2

m≠n

e − x {H n ( x )}2 dx = 2n n! π 2

169

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170

POLINOMIOS DE HERMITE

SERIES ORTOGONALES 29.16.

f ( x ) = A0 H 0 ( x ) + A1H1 ( x ) + A2 H 2 ( x ) + …

donde 29.17.

Ak =

1 2 k! π

∫

k

∞

−∞

e − x f ( x ) H k ( x )dx 2

RESULTADOS ESPECIALES n(n − 1) n(n − 1)(n − 2)(n − 3) (2 x )n− 4 − … (2 x ) n − 2 + 2! 1!

29.18.

H n ( x ) = (2 x ) n −

29.19.

H n (− x ) = (−1)n H n ( x )

29.20.

H 2 n−1 (0) = 0

29.21.

H 2 n (0) = (−1)n 2n 1  3  5…(2n − 1)

29.22.

∫

29.23.

d −x {e H n ( x )} = −e − x H n+1 ( x ) dx

29.24.

∫

x

29.25.

∫

∞

29.26.

H n ( x + y) = ∑

x

H n (t )dt =

0

H n+1 ( x ) H n+1 (0) − 2(n + 1) 2(n + 1)

2

0

2

e − t H n (t )dt = H n−1 (0) − e − x H n−1 ( x )

−∞

2

2

t ne − t H n ( xt )dt = π n! Pn ( x ) 2

n

1 ⎛ n⎞ n / 2 ⎜ ⎟ H k ( x 2 ) H n− k ( y 2 ) 2 ⎝ k⎠ k =0

Esta se llama fórmula de adición para los polinomios de Hermite. 29.27.

n

∑ k =0

H k ( x ) H k ( y) H n+1 ( x ) H n ( y) − H n ( x ) H n+1 ( y) = 2k k ! 2n+11 n!( x − y)

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30

Laguerre y polinomios asociados de Laguerre

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LAGUERRE 30.1.

xy ′′ + (1 − x ) y ′ + ny = 0

POLINOMIOS DE LAGUERRE Si n = 0, 1, 2, …, entonces una solución de la ecuación de Laguerre es el polinomio de Laguerre Ln(x) dado por la fórmula de Rodrigues. 30.2.

Ln ( x ) = e x

d n n −x (x e ) dx n

POLINOMIOS ESPECIALES DE LAGUERRE 30.3.

L0 ( x ) = 1

30.4.

L1 ( x ) = − x + 1

30.5.

L2 ( x ) = x 2 − 4 x + 2

30.6.

L3 ( x ) = − x 3 + 9 x 2 − 18 x + 6

30.7.

L4 ( x ) = x 4 − 16 x 3 + 72 x 2 − 96 x + 24

30.8.

L5 ( x ) = − x 5 + 25x 4 − 200 x 3 + 600 x 2 − 600 x + 120

30.9.

L6 ( x ) = x 6 − 36 x 5 + 450 x 4 − 2 400 x 3 + 5 400 x 2 − 4 320 x + 720

30.10.

L7 ( x ) = − x 7 + 49 x 6 − 882 x 5 + 7 350 x 4 − 29 400 x 3 + 52 920 x 2 − 35 280 x + 5 040

FUNCIÓN GENERADORA 30.11.

∞ L ( x )t n e − xt /(1− t ) =∑ n n! 1− t n= 0

171

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 171

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172

LAGUERRE Y POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE

FÓRMULAS DE RECURRENCIA 30.12.

Ln+1 ( x ) − (2n + 1 − x ) Ln ( x ) + n 2 Ln−1 ( x ) = 0

30.13.

Ln′ ( x ) − nLn′−1 ( x ) + nLn −1 ( x ) = 0

30.14.

xLn′ ( x ) = nLn ( x ) − n 2 Ln−1 ( x )

ORTOGONALIDAD DE LOS POLINOMIOS DE LAGUERRE 30.15.

∫

∞

30.16.

∫

∞

0

0

e − x Lm ( x ) Ln ( x )dx = 0

m≠n

e − x {Ln ( x )}2 dx = (n!)2

SERIES ORTOGONALES 30.17.

f ( x ) = A0 L0 ( x ) + A1 L1 ( x ) + A2 L2 ( x ) + …

donde 30.18.

Ak =

1 (k !)2

∫

∞

0

e − x f ( x ) Lk ( x )dx

RESULTADOS ESPECIALES 30.19.

Ln ( 0 ) = n !

30.20.

∫

30.21.

n 2 x n−1 n 2 (n − 1)2 x n− 2 … ⎫ ⎧ Ln ( x ) = (−1)n ⎨x n − + − (−1)n n!⎬ 1 ! 2 ! ⎭ ⎩

x

0

∞

30.22.

∫

30.23.

∑

0

n

k =0

Ln (t )dt = Ln ( x ) −

Ln+1 ( x ) n +1

⎧⎪ 0 x pe − x Ln ( x )dx = ⎨ n 2 ⎩⎪(−1) (n!)

si p < n si p = n

Lk ( x ) Lk ( y) Ln ( x ) Ln+1 ( y) − Ln+1 ( x ) Ln ( y) = (k !)2 (n!)2 ( x − y)

∞

t k Lk ( x ) = e t J 0 (2 xt ) (k !)2 k =0

30.24.

∑

30.25.

Ln ( x ) = ∫ u ne x −u J 0 (2 xu )du

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 172

∞

0

04/12/13 16:57

LAGUERRE Y POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE

173

ECUACIÓN DIFERENCIAL ASOCIADA DE LAGUERRE 30.26.

xy′′ + (m + 1 − x ) y′ + (n − m) y = 0

POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE Las soluciones de la fórmula 30.26 para enteros no negativos m y n están dadas por los polinomios asociados de Laguerre 30.27.

Lmn ( x ) =

dm L (x) dx m n

donde Ln(x) son polinomios de Laguerre (vea la página 171). 30.28.

L0n ( x ) = Ln ( x )

30.29.

Lmn ( x ) = 0

siif m m >> n

POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE ESPECIALES 30.30.

L11 ( x ) = −1

30.35.

L33 ( x ) = −6

30.31.

L12 ( x ) = 2 x − 4

30.36.

L14 ( x ) = 4 x 3 − 48 x 2 + 144 x − 96

30.32.

L22 ( x ) = 2

30.37.

L24 ( x ) = 12 x 2 − 96 x + 144

30.33.

L13 ( x ) = −3x 2 + 18 x − 18

30.38.

L34 ( x ) = 24 x − 96

30.34.

L23 ( x ) = −6 x + 18

30.39.

L44 ( x ) = 24

FUNCIONES GENERALIZADAS PARA Lnm (x) 30.40.

∞ Lm ( x ) n (−1)m t m − xt /(1− t ) =∑ n t m +1 e n! (1 − t ) n= m

FÓRMULAS DE RECURRENCIA 30.41.

n − m +1 m Ln+1 ( x ) + ( x + m − 2n − 1) Lmn ( x ) + n 2 Lmn−1 ( x ) = 0 n +1

30.42.

d m {L ( x )} = Lmn +1 ( x ) dx n

30.43.

d m −x m {x e Ln ( x )} = (m − n − 1) x m −1e − x Lmn −1 ( x ) dx

30.44.

x

d m {L ( x )} = ( x − m) Lmn ( x ) + (m − n − 1) Lmn −1 ( x ) dx n

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 173

04/12/13 16:57

174

LAGUERRE Y POLINOMIOS ASOCIADOS DE LAGUERRE

ORTOGONALIDAD 30.45. 30.46.

∫

∞

∫

∞

0

0

x me − x Lmn ( x ) Lmp ( x )dx = 0 x me − x {Lmn ( x )}2 dx =

p≠n

(n!)3 (n − m)!

SERIES ORTOGONALES 30.47.

f ( x ) = Am Lmm ( x ) + Am +1Lmm +1 ( x ) + Am + 2 Lmm + 2 ( x ) + …

donde 30.48.

Ak =

(k − m)! ∞ m − x m x e Lk ( x ) f ( x )dx (k !)3 ∫0

RESULTADOS ESPECIALES 30.49.

Lmn ( x ) = (−1)n

30.50.

∫

∞

0

{

x m +1e − x {Lmn ( x )}2 dx =

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 174

}

n! n(n − m) n− m−1 n(n − 1)(n − m)(n − m − 1) n− m − 2 … x + x n− m − x + (n − m)! 1! 2! (2n − m + 1)(n!)3 (n − m)!

04/12/13 16:58

31

Polinomios de Chebyshev

ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CHEBYSHEV 31.1.

(1 − x 2 ) y n − xy ′ + n 2 y = 0

n = 0, 1, 2, ...

POLINOMIOS DE CHEBYSHEV DE PRIMER TIPO Una solución de la fórmula 31.1 está dada por 31.2.

⎛ n⎞ ⎛ n⎞ Tn ( x ) = cos (n cos −1 x ) = x n − ⎜ ⎟ x n − 2 (1 − x 2 ) + ⎜ ⎟ x n − 4 (1 − x 2 )2 − L ⎝ 4⎠ ⎝ 2⎠

POLINOMIOS ESPECIALES DE CHEBYSHEV DE PRIMER TIPO 31.3.

T0 ( x ) = 1

31.7.

T4 ( x ) = 8 x 4 − 8 x 2 + 1

31.4.

T1 ( x ) = x

31.8.

T5 ( x ) = 16 x 5 − 20 x 3 + 5x

31.5.

T2 ( x ) = 2 x 2 − 1

31.9.

T6 ( x ) = 32 x 6 − 48 x 4 + 18 x 2 − 1

31.6.

T3 ( x ) = 4 x 3 − 3x

31.10.

T7 ( x ) = 64 x 7 − 112 x 5 + 56 x 3 − 7 x

FUNCIÓN GENERALIZADA PARA Tn (x) 31.11.

∞ 1 − tx n 2 = ∑ Tn ( x )t 1 − 2tx + t n=0

VALORES ESPECIALES 31.12.

Tn (− x ) = (−1)n Tn ( x )

31.14.

Tn (−1) = (−1)n

31.13.

Tn (1) = 1

31.15.

T2 n (0) = (−1)n

31.16.

T2 n+1 (0) = 0

FÓRMULA DE RECURRENCIA PARA Tn (x) 31.17.

Tn+1 ( x ) − 2 xTn ( x ) + Tn−1 ( x ) = 0

175

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 175

04/12/13 16:58

176

POLINOMIOS DE CHEBYSHEV

ORTOGONALIDAD 1

31.18.

∫

31.19.

∫

−1

Tm ( x )Tn ( x ) dx = 0 1− x2

1

m≠n

⎧ π dx = ⎨ ⎩π / 2 1− x

{Tn ( x )}2

−1

2

si n = 0 si n = 1, 2, ...

SERIES ORTOGONALES 31.20.

f ( x ) = 12 A0T0 ( x ) + A1T1 ( x ) + A2T2 ( x ) + …

donde 31.21.

Ak =

2 π

∫

1

−1

f ( x )Tk ( x ) dx 1− x2

POLINOMIOS DE CHEBYSHEV DE SEGUNDO TIPO 31.22.

Un (x) =

sen {(n + 1) cos−1 x} sen (cos−1 x )

⎛n + 1⎞ n−4 ⎛n + 1⎞ n ⎛n + 1⎞ n−2 2 2 2 =⎜ ⎟ x (1 − x ) − … ⎟ x (1 − x ) + ⎜ ⎟x −⎜ ⎝ 5 ⎠ ⎝ 1 ⎠ ⎝ 3 ⎠

POLINOMIOS ESPECIALES DE CHEBYSHEV DE SEGUNDO TIPO 31.23.

U0 (x) = 1

31.27.

U 4 ( x ) = 16 x 4 − 12 x 2 + 1

31.24.

U1 ( x ) = 2 x

31.28.

U 5 ( x ) = 32 x 5 − 32 x 3 + 6 x

31.25.

U2 (x) = 4 x 2 − 1

31.29.

U 6 ( x ) = 64 x 6 − 80 x 4 + 24 x 2 − 1

31.26.

U3 ( x ) = 8 x 3 − 4 x

31.30.

U 7 ( x ) = 128 x 7 − 192 x 5 + 80 x 3 − 8 x

FUNCIÓN GENERALIZADA PARA Un (x) 31.31.

∞ 1 n 2 = ∑ U n ( x )t 1 − 2tx + t n=0

VALORES ESPECIALES 31.32.

U n (− x ) = (−1)nU n ( x )

31.34.

U n (−1) = (−1)n (n + 1)

31.33.

U n (1) = n + 1

31.35.

U 2 n (0) = (−1)n

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 176

31.36.

U 2 n+1 (0) = 0

04/12/13 16:58

POLINOMIOS DE CHEBYSHEV

177

FÓRMULA DE RECURRENCIA PARA Un (x) 31.37.

U n+1 ( x ) − 2 xU n ( x ) + U n−1 ( x ) = 0

ORTOGONALIDAD 31.38.

∫

31.39.

∫

1

1 − x 2 U m ( x )U n ( x )dx = 0

−1 1

−1

1 − x 2 {U n ( x )}2 dx =

m≠n

π 2

SERIES ORTOGONALES 31.40.

… f ( x ) = A0U 0 ( x ) + AU 1 1 ( x ) + A2U 2 ( x ) +

donde 31.41.

Ak =

2 π

∫

1

1 − x 2 f ( x )U k ( x )dx

−1

RELACIÓN ENTRE Tn (x) Y Un (x) 31.42.

Tn ( x ) = U n ( x ) − xU n−1 ( x )

31.43.

(1 − x 2 )U n−1 ( x ) = xTn ( x ) − Tn+1 ( x )

31.44.

Un (x) =

1 π

∫

31.45.

Tn ( x ) =

1 π

∫

1

−1

1

−1

Tn+1 (! )d! (! − x ) 1 − ! 2 1 − ! 2 U n−1 (! ) d! x−!

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CHEBYSHEV 31.46.

⎧AT ( x ) + B 1 − x 2 U ( x ) ⎪ n n −1 y=⎨ 1 − ⎪⎩A + B sen x

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 177

si n = 1, 2, 3, … sii n = 0

04/12/13 16:58

32

Funciones hipergeométricas

ECUACIÓN DIFERENCIAL HIPERGEOMÉTRICA 32.1.

x (1 − x ) y n + {c − (a + b + 1) x}y′ − aby = 0

FUNCIONES HIPERGEOMÉTRICAS Una solución de 32.1 está dada por 32.2.

F (a, b; c; x ) = 1 +

a b a(a + 1)b(b + 1) 2 a(a + 1)(a + 2)b(b + 1)(b + 2) 3 … x+ x + x + 1  2  3  c(c + 1)(c + 2) 1c 1  2  c(c + 1)

Si a, b, c son reales, entonces las series convergen para –1 < x < 1, siempre que c – (a + b) > –1.

CASOS ESPECIALES 32.3.

F (− p,1;1; − x ) = (1 + x ) p

32.8.

F ( 12 , 12 ; 32 ; x 2 ) = (sen−1x ) /x

32.4.

F (1,1; 2; − x ) = [ln (1 + x )]/x

32.9.

F ( 12 ,1; 32 ; − x 2 ) = (tan −1 x ) /x

lím F (1, n;1; x /n) = e x

32.10.

F (1, p; p; x ) = 1/ (1 − x )

32.6.

F ( 12 , − 12 ; 12 ; sen 2 x ) = cos x

32.11.

F (n + 1, − n;1;(1 − x ) / 2) = Pn ( x )

32.7.

F ( 12 ,1;1; sen2 x ) = sec x

32.12.

F (n, − n; 12 ;(1 − x ) / 2) = Tn ( x )

32.5.

n→∞

SOLUCIÓN GENERAL DE LA ECUACIÓN HIPERGEOMÉTRICA Si c, a – b y c – a – b no son todos enteros, entonces la solución general válida para | x | < 1 es 32.13.

y = AF (a, b; c; x ) + Bx 1−c F (a − c + 1, b − c + 1; 2 − c; x )

178

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 178

04/12/13 16:58

FUNCIONES HIPERGEOMÉTRICAS

179

VARIAS PROPIEDADES Γ (c)Γ (c − a − b) Γ (c − a)Γ (c − b)

32.14.

F (a, b; c;1) =

32.15.

d ab F (a, b; c; x ) = F (a + 1, b + 1; c + 1; x ) dx c

32.16.

F (a, b; c; x ) =

32.17.

F (a, b; c; x ) = (1 − x )c− a− b F (c − a, c − b; c; x )

07_Seccion 07_Spiegel(149-179).indd 179

1 Γ (c) u b−1 (1 − u)c− b−1 (1 − ux )− a du Γ (b)Γ (c − b) ∫0

04/12/13 16:58

Sección VIII: Transformadas de Laplace y de Fourier

33

Transformadas de Laplace

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE DE F(t) 33.1.

!{F (t )} =

∫

∞ 0

e − st F (t )dt = f (s)

En general, f (s) existirá para s > a donde a es alguna constante. ! se llama operador de la transformada de Laplace.

DEFINICIÓN DE LA TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE DE f (s) Si !{F(t)} = f (s), entonces se dice que F (t) = !–1{ f (s)} es la transformada inversa de Laplace de f (s). !–1 se llama operador inverso de la transformada de Laplace.

FÓRMULA DE INVERSIÓN COMPLEJA La transformada inversa de Laplace de f (s) se puede encontrar directamente por métodos de teoría de variable compleja. El resultado es

33.2.

F (t ) =

1 c+i∞ st 1 e f (s)ds = lím 2π i ∫c−i∞ 2π i T →∞

∫

c + iT

c − iT

e st f (s)ds

donde c se escoge de modo que todos los puntos singulares de f (s) pasen a la izquierda de la recta Re{s} = c en el plano complejo s.

180

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 180

04/12/13 16:58

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

181

TABLA DE PROPIEDADES GENERALES DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE f (s)

F(t)

33.3.

a f1 (s) + bf2 (s)

aF1 (t ) + bF2 (t )

33.4.

f (s /a)

a F (at )

33.5.

f (s – a)

eatF(t)

33.6.

e–asf (s)

33.7.

sf (s) – F (0)

F ′ (t )

33.8.

s 2 f (s) − sF (0) − F ′(0)

F ′′(t )

33.9.

s n f (s) − s n−1 F (0) − s n− 2 F ′(0) − L − F ( n−1) (0)

F(n)(t)

33.10.

f ′ (s )

–tF(t)

33.11.

f ′′(s)

t2F(t)

33.12.

f (n)(s)

(–1)nt nF(t)

33.13.

f (s ) s

33.14.

f (s ) sn

33.15.

f (s)g(s)

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 181

!(t − a) =

∫ t

t

0

0

∫ L∫

{

F (t − a) t > a 0 t0

1 (s − a) n

t n−1 Γ(n)

eat

n = 1, 2, 3,K

1 (s − a) n

t n−1 , 0! = 1 (n − 1)!

n>0

t n−1e at , 0! = 1 (n − 1)! t n−1e at Γ(n)

33.32.

1 s2 + a2

sen at a

33.33.

s s2 + a2

cos at

33.34.

1 (s − b) 2 + a 2

e bt sen at a

33.35.

s−b (s − b) 2 + a 2

e bt cos at

33.36.

1 s − a2

senh at a

33.37.

s s2 − a2

cosh at

33.38.

1 (s − b) 2 − a 2

e bt senh at a

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 183

2

04/12/13 16:58

184

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

33.39.

f (s)

F(t)

s−b (s − b) 2 − a 2

e bt cosh at

33.40.

1 (s − a)(s − b)

a≠b

e bt − e at b−a

33.41.

s (s − a)(s − b)

a≠b

be bt − ae at b−a

33.42.

1 (s 2 + a 2 ) 2

sen at − at cos at 2a 3

33.43.

s (s 2 + a 2 ) 2

t sen at 2a

33.44.

s2 (s + a 2 ) 2

sen at + at cos at 2a

33.45.

s3 (s 2 + a 2 ) 2

cos at − 12 at sen at

33.46.

s2 − a2 (s 2 + a 2 ) 2

t cos at

33.47.

1 (s 2 − a 2 ) 2

at cosh at −senh at 2a 3

33.48.

s (s 2 − a 2 ) 2

t senh at 2a

33.49.

s2 (s − a 2 ) 2

senh at + at cosh at 2a

33.50.

s3 (s − a 2 ) 2

cosh at + 12 at senh at

33.51.

s2 (s 2 − a 2 )3 / 2

t cosh at

33.52.

1 (s + a 2 )3

(3 − a 2t 2 ) sen at − 3at cos at 8a 5

33.53.

s (s + a 2 ) 3

t sen at − at 2 cos at 8a 3

33.54.

s2 (s + a 2 )3

(1 + a 2t 2 ) sen at − at cos at 8a 3

33.55.

s3 (s + a 2 )3

3t sen at + at 2 cos at 8a

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 184

2

2

2

2

2

2

2

04/12/13 16:58

TRANSFORMADAS DE LAPLACE

185

f (s)

F(t)

33.56.

s4 (s + a 2 ) 3

(3 − a 2t 2 ) sen at + 5at cos at 8a

33.57.

s5 (s 2 + a 2 )3

(8 − a 2t 2 ) cos at − 7at sen at 8

33.58.

3s 2 − a 2 (s 2 + a 2 )3

t 2 sen at 2a

33.59.

s 3 − 3a 2 s (s 2 + a 2 )3

1 2

t 2 cos at

33.60.

s 4 − 6a 2 s 2 + a 4 (s 2 + a 2 ) 4

1 6

t 3 cos at

33.61.

s3 − a2s (s 2 + a 2 ) 4

t 3 sen at 24 a

33.62.

1 (s − a 2 )3

(3 + a 2t 2 ) senh at − 3at cosh at 8a 5

33.63.

s (s − a 2 ) 3

at 2 cosh at − t senh at 8a 3

33.64.

s2 (s − a 2 )3

at cosh at + (a 2t 2 − 1) senh at 8a 3

33.65.

s3 (s − a 2 )3

3t senh at + at 2 cosh at 8a

33.66.

s4 (s − a 2 ) 3

(3 + a 2t 2 ) senh at + 5at cosh at 8a

33.67.

s5 (s 2 − a 2 )3

(8 + a 2t 2 ) cosh at + 7at senh at 8

33.68.

3s 2 + a 2 (s 2 − a 2 )3

t 2 senh at 2a

33.69.

s 3 + 3a 2 s (s 2 − a 2 )3

1 2

t 2 cosh at

33.70.

s 4 + 6a 2 s 2 + a 4 (s 2 − a 2 ) 4

1 6

t 3 cosh at

33.71.

s3 + a2s (s 2 − a 2 ) 4

t 3 senh at 24 a

33.72.

1 s + a3

3at 3at −3at / 2⎪⎫ e at / 2 ⎪⎧ − cos +e ⎨ 3 sen ⎬ 2 2 2 3a ⎩⎪ ⎭⎪

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 185

2

2

2

2

2

2

3

04/12/13 16:58

186

TRANSFORMADAS DE LAPLACE f (s)

F(t)

33.73.

s s3 + a3

3at −3at / 2⎫⎪ e at / 2 ⎧⎪ 3at + 3 sen −e ⎨cos ⎬ 2 3a ⎪⎩ 2 ⎪⎭

33.74.

s2 s + a3

1 ⎛ − at 3at ⎞ e + 2e at / 2 cos 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠

33.75.

1 s3 − a3

3at ⎫⎪ e− at / 2 ⎧⎪ 3at / 2 3at cos e 3 − − sen ⎨ ⎬ 2 ⎪⎭ 3a 2 ⎪⎩ 2

33.76.

s s − a3

3at 3at 3at / 2⎫⎪ e − at / 2 ⎧⎪ − cos +e ⎬ ⎨ 3 sen 2 2 3a ⎩⎪ ⎭⎪

33.77.

s2 s3 − a3

1 ⎛ at 3at ⎞ e + 2e − at / 2 cos 3 ⎜⎝ 2 ⎟⎠

33.78.

1 s 4 + 4a 4

1 (sen at cosh at − cos at senh at ) 4a3

33.79.

s s + 4a 4

sen at senh at 2a 2

33.80.

s2 s 4 + 4a 4

1 (sen at cosh at + cos at senh at ) 2a

33.81.

s3 s + 4a 4

cos at cosh at

33.82.

1 s4 − a4

1 (senh at − sen at ) 2a 3

33.83.

s s − a4

1 (cosh at − cos at ) 2a 2

33.84.

s2 s4 − a4

1 (senh at + sen at ) 2a

33.85.

s3 s − a4

33.86. 33.87.

3

3

4

4

4

4

1 s+a + s+b 1 s s+a

1 2

(cosh at + cos at ) e − bt − e − at 2(b − a) π t 3 erf at a

33.88.

1 s (s − a)

e at erf at a

33.89.

1 s−a +b

⎫ ⎧ 1 e at ⎨ − b e b t erfc(b t )⎬ ⎭ ⎩ πt

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 186

2

04/12/13 16:58

TRANSFORMADAS DE LAPLACE f (s)

F(t)

33.90.

1 s + a2

J 0 (at )

33.91.

1 s − a2

I 0 (at )

2

2

33.92.

( s 2 + a 2 − s) n s2 + a2

n > −1

a n J n (at )

33.93.

(s − s 2 − a 2 ) n s2 − a2

n > −1

a n I n (at )

33.94.

e b(s− s +a ) s2 + a2

J 0 (a t (t + 2b))

33.95.

e− b s +a s2 + a2

⎧J 0 (a t 2 − b 2 ) t > b ⎨ t −1

33.108.

e− a s s

33.109.

e− a

33.110.

1 − e− a s

33.111.

e− a s

33.114.

e− a / s s n+1 ln

n/2

⎛ t⎞ ⎝ a⎠

J n (2 at ) e− a / 4t πt 2

a e− a 2 π t3

s

s

n > −1

⎛ s + a⎞ ⎝ s + b⎠

2

/ 4t

erf (a / 2 t )

s

e− a s s ( s + b)

33.112. 33.113.

πa

erfc(a / 2 t ) a ⎞ ⎛ e b ( bt + a ) erfc ⎜ b t + ⎝ 2 t ⎟⎠ 1 π ta 2 n+1

∫

∞ 0

une−u

2

/ 4 a2t

J 2 n (2 u )du

e − bt − e − at t

33.115.

ln[(s 2 + a 2 ) /a 2 ] 2s

Ci(at )

33.116.

ln[(s + a) /a] s

Ei(at )

33.117.

(γ + ln s) s γ = constante de Euler = .5772156 …

ln t

33.118.

⎛ s2 + a2 ⎞ ln ⎜ 2 ⎝ s + b 2 ⎟⎠

2(cos at − cos bt ) t

33.119.

π 2 (γ + ln s)2 + 6s s γ = constante de Euler = .5772156 …

ln 2 t

33.120.

ln s s

33.121.

ln 2 s s

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 188

−

−(ln t + γ )

γ = constante de Euler = 0.5772156 … (ln t + γ )2 − 16 π 2

γ = constante de Euler = 0.5772156 …

04/12/13 16:58

TRANSFORMADAS DE LAPLACE f (s) 33.122.

Γ ′(n + 1) − Γ (n + 1) ln s s n+1

F(t) n > −1

t n ln t

33.123.

tan −1 (a /s)

sen at t

33.124.

tan −1 (a /s) s

Si(at )

33.125.

e a /s erfc( a /s) s

e −2 at πt

33.126.

es

2

/ 4 a2

erfc(s / 2a)

2a − a t e π

es

2

33.127.

/ 4 a2

erfc(s / 2a) s

erf(at )

2 2

33.128.

e as erfc as s

1 π (t + a)

33.129.

e as Ei(as)

1 t+a

33.130.

⎤ ⎧π ⎫ 1⎡ ⎢cos as ⎨ − Si(as)⎬ − sen asCi(as)⎥ a⎣ ⎩2 ⎭ ⎦

1 t 2 + a2

33.131.

⎧π ⎫ sen as ⎨ − Si(as)⎬ + cos asCi(as) ⎩2 ⎭

t t 2 + a2

33.132.

⎧π ⎫ cos as ⎨ − Si(as)⎬ −sen asCi(as) ⎩2 ⎭ s

tan −1 (t /a)

33.133.

⎧π ⎫ sen as ⎨ − Si(as)⎬ − cos asCi(as) ⎩2 ⎭ s

1 ⎛ t 2 + a2 ⎞ ln 2 ⎜⎝ a 2 ⎟⎠

33.134.

⎡π ⎤ 2 ⎢⎣ 2 − Si(as)⎥⎦ + Ci (as)

1 ⎛ t 2 + a2 ⎞ ln t ⎜⎝ a 2 ⎟⎠

33.135.

0

!(t) = Función nula

33.136.

1

d (t) = Función delta

33.137.

e − as

δ (t − a)

33.138.

e − as s Vea también la entrada 33.163.

"(t − a)

2

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 189

189

04/12/13 16:58

190

TRANSFORMADAS DE LAPLACE f (s)

F(t)

33.139.

senh sx s senh sa

x 2 ∞ (−1)n nπ x nπ t + ∑ sen cos a π n=1 n a a

33.140.

senh sx s cosh sa

4 ∞ (−1)n (2n − 1)π x (2n − 1)π t sen sen ∑ 2a 2a π n=1 2n − 1

33.141.

cosh sx s senh as

t 2 ∞ (−1)n nπ x nπ t + ∑ cos sen a π n=1 n a a

33.142.

cosh sx s cosh sa

33.143.

senh sx 2 s senh sa

33.144.

senh sx s 2 cosh sa

33.145.

cosh sx s senh sa

33.146.

cosh sx s 2 cosh sa

33.147.

cosh sx s 3 cosh sa

33.148. 33.149. 33.150. 33.151. 33.152. 33.153. 33.154. 33.155.

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 190

1+

(2n − 1)π x (2n − 1)π t 4 ∞ (−1)n cos cos 2 − 1 2 2a π∑ n a n =1 xt 2a ∞ (−1)n nπ x nπ t + 2 ∑ 2 sen sen a π n=1 n a a

x+

8a ∞ (−1)n (2n − 1)π x (2n − 1)π t sen cos ∑ 2a 2a π 2 n=1 (2n − 1)2 t 2 2a ∞ (−1)n nπ x ⎛ nπ t ⎞ cos + 1 − cos 2 a a ⎠ 2a π 2 ∑ ⎝ n n =1

2

t+

(2n − 1)π x (2n − 1)π t 8a ∞ (−1)n cos sen ∑ 2a 2a π 2 n=1 (2n − 1)2

1 2 16a 2 (t + x 2 − a 2 ) − 3 2 π

2π ∞ nπ x (−1)n ne − n π t /a sen 2 ∑ a n=1 a

senh x s

2

senh a s cosh x s cosh a s senh x s s cosh a s

π a2

∞

∑ (−1)

cosh x s s 2 cosh a s

2

2

2

(2n − 1)π x 2a

2

2

1 2 ∞ nπ x + (−1)n e − n π t /a cos a a∑ a n =1 2

2

2

nπ x x 2 ∞ (−1)n − n π t /a e + ∑ sen a a π n=1 n 2

s senh a s

s senh a s

(2n − 1)e − ( 2 n−1) π t / 4 a cos 2

senh x s

2

2

2 ∞ (2n − 1)π x ∑ (−1)n−1e−(2n−1) π t / 4 a sen 2a a n=1

s senh a s

senh x s

n −1

2

n =1

cosh x s

cosh x s s cosh a s

(2n − 1)π t (−1)n (2n − 1)π x cos ∑ 3 cos a 2 2a (2n − 1) n=1 ∞

1+

2

2

(2n − 1)π x 4 ∞ (−1)n − ( 2 n−1) π t / 4 a cos e π∑ n 2a 2 − 1 n =1 2

2

2

nπ x xt 2a 2 ∞ (−1)n + (1 − e − n π t /a ) sen ∑ a a π 3 n=1 n 3 2

1 2 16a 2 (x − a2 ) + t − 3 2 π

2

2

(2n − 1)π x (−1)n − ( 2 n−1) π t / 4 a cos ∑ 3 e 2a (2n − 1) n =1 ∞

2

2

2

04/12/13 16:58

191

TRANSFORMADAS DE LAPLACE f (s)

33.156.

33.157.

F(t)

J 0 (ix s ) s J 0 (ia s )

J 0 (ix s ) s 2 J 0 (ia s )

e − λ t /a J 0 (λn x /a) λn J1 (λn ) n =1 ∞

2 n

1 − 2∑

2

donde λl, λ2,… son las raíces positivas de J0(λ) = 0 ∞ e − λ t /a J 0 (λn x /a) 1 2 ( x − a 2 ) + t + 2a 2 ∑ 4 λn3 J1 (λn ) n =1 2 n

2

donde λ1, λ2,… son las raíces positivas de J0(λ) = 0 F(t)

33.158.

1 ⎛ as⎞ tanh ⎝ 2⎠ as 2

1 0

t

2a 4a 6a Figura 33-1 Función de onda triangular

F(t)

33.159.

1 ⎛ as⎞ tanh s ⎝ 2⎠

1 a

2a

3a

4a

t

5a

-1 Figura 33-2 Función de onda cuadrada

F(t)

33.160.

πa ⎛ as⎞ coth ⎝ 2⎠ a2s2 + π 2

1 0

2a

a

3a

t

Figura 33-3 Función de onda seno rectificada

F(t)

33.161.

πa (a 2 s 2 + π 2 )(1 − e − as )

1

a

2a

3a

4a

t

Figura 33-4 Función de onda seno semirrectificada

F(t)

33.162.

− as

1 e − as 2 s(1 − e − as )

1 a 2a 3a 4a Figura 33-5 Función de onda diente de sierra

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 191

t

04/12/13 16:58

192

TRANSFORMADAS DE LAPLACE f (s)

F(t) F(t)

e − as s

1

Vea también la entrada 33.138.

0

33.163.

t

a

Figura 33-6 Función escalón unitario de Heaviside !(t – a) F(t)

e − as (1 − e − !s ) s

33.164.

1 0

t

a+!

a

Figura 33-7 Función de pulso

1 s(1 − e − as )

33.165.

Vea también la entrada 33.102.

3

F(t)

2 1 0

a

2a

3a

4a

t

Figura 33-8 Función escalón

F(t) = n2, n " t < n + 1, n = 0, 1, 2, … F(t)

e − s + e −2 s s(1 − e − s )2

33.166.

4 3 2 1 0

1

2 Figura 33-9

3

t

F(t) = rn, n " t < n + 1, n = 0, 1, 2, … F(t)

1 − e− s s(1 − re − s )

33.167.

Vea también la entrada 33.104.

r 1 0

1

2 Figura 33-10

3

t

⎧sen (π t /a) 0 " t " a F (t ) = ⎨ t>a ⎩0 33.168.

π a(1 + e − as ) a2s2 + π 2

F(t) 1 0

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 192

a Figura 33-11

t

04/12/13 16:58

34

Transformadas de Fourier

TEOREMA DE LA INTEGRAL DE FOURIER ∞

f ( x ) = ∫ {A(α )cos α x + B(α ) sen α x}dα

34.1.

0

donde ⎧ 1 ⎪A(α ) = π ⎨ ⎪B(α ) = 1 ⎪⎩ π

34.2.

∫

∞

∫

∞

−∞

−∞

f ( x )cos α x dx f ( x ) sen α x dx

Las condiciones suficientes bajo las cuales este teorema se cumple son: i)

f (x) y f ′(x) son continuas por segmentos en cada intervalo finito –L < x < L;

ii)

∫

iii)

∞

−∞

| f ( x ) | dx converge;

f (x) se reemplaza por 12 { f ( x + 0) + f ( x − 0)} si x es un punto de discontinuidad.

FORMAS EQUIVALENTES DEL TEOREMA DE LA INTEGRAL DE FOURIER 34.3.

f (x) =

1 2π

∫

∞

f (x) =

1 2π

∫

∞

=

1 2π

∫ ∫

34.4.

34.5.

f (x) =

2 π

∫

α =−∞

−∞

∫

u =−∞

f (u)cos α ( x − u) du dα ∞

e iα x dα ∫ f (u)e − iα u du −∞

∞

∞

−∞

−∞

∞

0

∞

f (u)e iα ( x −u )du dα ∞

sen α x dα ∫ f (u) sen α u du 0

donde f (x) es una función impar [ f ( x) = f (x)]. 34.6.

f (x) =

∞ 2 ∞ cos α x dα ∫ f (u)cos α u du 0 π ∫0

donde f (x) es una función par [ f ( x) = f (x)].

193

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 193

04/12/13 16:58

194

TRANSFORMADAS DE FOURIER

TRANSFORMADA DE FOURIER La transformada de Fourier de f (x) está definida como 34.7.

!{ f ( x )} = F (α ) =

∫

∞ −∞

f ( x )e − iα x dx

Entonces, a partir de la fórmula 34.7 vemos que la transformada inversa de Fourier de F(a ) es 34.8.

! −1{F (α )} = f ( x ) =

1 2π

∫

∞ −∞

F (α )e iα x dα

Se llaman a f (x) y F(a) pares de transformadas de Fourier.

TEOREMA DE CONVOLUCIÓN PARA TRANSFORMADAS DE FOURIER Si F(a) = !{f (x)} y G(a ) = !{g(x)}, entonces 34.9.

1 2π

∫

∞

−∞

∞

F (α )G (α )e iα x dα = ∫ f (u)g( x − u) du = f ∗ g −∞

donde f * g es llamada convolución de f y g. De esta manera, 34.10. !{ f * g} = !{ f} !{g}

TEOREMA DE PARSEVAL Si F(a) = !{ f (x)}, entonces 34.11.

∫

∞

| f ( x ) |2 dx =

−∞

1 2π

∫

∞

| F (α ) |2 dα

−∞

De manera más general, si F(a) = !{ f (x)} y G(a) = !{g(x)}, entonces 34.12.

∫

∞ −∞

f ( x )g( x ) dx =

1 2π

∫

∞ −∞

F (α )G (α ) dα

donde la barra denota el complejo conjugado.

TRANSFORMADA SENO DE FOURIER La transformada seno de Fourier de f (x) está definida como 34.13.

∞

FS (α ) = ! S { f ( x )} = ∫ f ( x ) sen α x dx 0

Entonces, de la fórmula 34.13, la transformada inversa seno de Fourier de FS(a ) es 34.14.

f ( x ) = ! −S1{FS (α )} =

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 194

2 π

∫

∞

0

FS (α ) sen α x dα

04/12/13 16:58

TRANSFORMADAS DE FOURIER

195

TRANSFORMADA COSENO DE FOURIER La transformada coseno de Fourier de f (x) está definida como 34.15.

FC (α ) = ! C { f ( x )} =

∫

∞ 0

f ( x ) cos α x dx

Entonces, de la fórmula 34.15, la transformada inversa coseno de Fourier de FC(a) es 34.16.

2 π

f ( x ) = ! −C1{FC (α )} =

∫

∞ 0

FC (α ) cos α x dα

PARES DE TRANSFORMADAS ESPECIALES DE FOURIER f (x)

F(a )

1 |x|b

2sen bα α

34.18.

1 x + b2

π e − bα b

34.19.

x x 2 + b2

−iπ e − bα

34.20.

f (n)(x)

i na nF(a)

34.21.

x nf (x)

34.22.

f (bx)eitx

34.17.

08_Seccion 08_Spiegel(180-197).indd 195

{

2

in

d nF dα n

1 ⎛ α − t⎞ F b ⎝ b ⎠

04/12/13 16:58

196

TRANSFORMADAS DE FOURIER

TRANSFORMADAS SENO ESPECIALES DE FOURIER f (x)

FS(a )

1 0 1

La igualdad se cumple si y sólo si | a1 | p−1/| b1 | = | a2 | p−1/| b2 | = L = | an | p−1/| bn | . Para p = q = 2, se reduce a la fórmula 37.3.

205

10_Seccion 10_Spiegel(205-207).indd 205

10/12/13 09:57

206

DESIGUALDADES

DESIGUALDAD DE CHEBYSHEV Si a1 ! a2 !… ! an y b1 ! b2 ! … ! bn , entonces 37.10.

⎛ a1 + a2 + L + an ⎞ ⎛ b1 + b2 + L + bn ⎞ a1 b1 + a2 b2 + L + an bn ⎟! ⎟⎜ ⎜ n n n ⎠ ⎠⎝ ⎝

o 37.11.

(a1 + a2 + L + an )(b1 + b2 + L + bn ) ! n(a1 b1 + a2 b2 + L + an bn )

DESIGUALDAD DE MINKOWSKI Si a1, a2,…an, b1, b2,… bn son todas positivas y p > 1, entonces 37.12.

{(a1 + b1) p + (a2 + b2 ) p + L + (an + bn ) p}1/ p ! (a1p + a2p + L + anp )1/ p + (b1p + b2p + L + bnp )1/ p

La igualdad se cumple si y sólo si a1 /b1 = a2 /b2 = L = an /bn .

DESIGUALDAD DE CAUCHY-SCHWARZ PARA INTEGRALES 2

37.13.

⎡ b f ( x )g( x ) dx⎤ ! ⎣⎢∫a ⎦⎥

{∫

b a

}{∫

[ f ( x )]2 dx

b a

}

[g( x )]2 dx

La igualdad se cumple si y sólo si f (x)/g(x) es una constante.

DESIGUALDAD DE HOLDER PARA INTEGRALES 37.14.

∫

b

a

| f ( x )g( x )|dx !

{∫ | f (x)| dx} {∫ |g(x)| dx} b

1/ p

1/q

b

p

q

a

a

donde 1/p + 1/q = 1, p > 1, q > 1. Si p = q = 2, se reduce a la fórmula 37.13. La igualdad se cumple si y sólo si | f ( x )| p−1/| g( x )| es una constante.

IGUALDAD DE MINKOWSKI PARA INTEGRALES Si p > 1, 37.15.

{∫ | f (x) + g(x)| dx} ! {∫ | f (x)| dx} + {∫ |g(x)| dx} b

a

1/ p

p

b

a

1/ p

p

b

1/ p

p

a

La igualdad se cumple si y sólo si f (x)/g(x) es una constante.

10_Seccion 10_Spiegel(205-207).indd 206

10/12/13 09:57

38

Productos infinitos

⎛ x2⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ 38.1. sen x = x ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ … ⎝ x ⎠ ⎝ 4π ⎠ ⎝ 9π ⎠

38.2.

⎛ 4x2 ⎞ ⎛ 4x2 ⎞ ⎛ 4x2 ⎞ cos x = ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − L π ⎠ ⎝ 9π ⎠ ⎝ 25π 2 ⎟⎠ ⎝

38.3.

⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ senh x = x ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ … ⎝ π ⎠ ⎝ 4π ⎠ ⎝ 9π ⎠

38.4.

⎛ 4x2 ⎞ ⎛ 4x2 ⎞ ⎛ 4x2 ⎞ cosh x = ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 + 2 ⎟ ⎜1 + L π ⎠ ⎝ 9π ⎠ ⎝ 25π 2 ⎟⎠ ⎝

38.5.

1 ⎫ ⎧⎛ x ⎫ ⎧⎛ x ⎫ ⎧⎛ x = xeγ x ⎨ 1 + ⎞ e − x ⎬ ⎨ 1 + ⎞ e − x/2 ⎬ ⎨ 1 + ⎞ e − x/3 ⎬ … 1 2 3 Γ( x ) ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎭⎩ ⎭⎩ ⎭ ⎩

Vea también la fórmula 25.11. ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ J 0 ( x ) = ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ L ⎝ !1 ⎠ ⎝ !2 ⎠ ⎝ !3 ⎠ donde l1, l2, l3,… son las raíces positivas de J0(x) = 0.

38.6.

38.7.

⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ ⎛ x2 ⎞ J1( x ) = x ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ ⎜1 − 2 ⎟ L ⎝ !1 ⎠ ⎝ !2 ⎠ ⎝ !3 ⎠

donde l1, l2, l3,… son las raíces positivas de J1(x) = 0. 38.8.

sen x x x x x = cos cos cos cos … x 2 4 8 16

38.9.

π 2 2 4 4 6 6 … =       2 1 3 3 5 5 7

A esta se le llama producto de Wallis.

207

10_Seccion 10_Spiegel(205-207).indd 207

10/12/13 09:57

Sección XI: Probabilidad y estadística

39

Estadística descriptiva

Los datos numéricos x1, x2,… vienen de una muestra aleatoria de una gran población o de la población misma. Se pueden distinguir dos casos usando diferentes notaciones como sigue: n = número de elementos en una muestra, N = número de elementos en la población, x = (leer: x barra) = media de la muestra, s2 = varianza de la muestra, s = desviación estándar de la muestra,

m (leer: mu) = media de la población, s 2 = varianza de la población, s = desviación estándar de la población.

Observe que las letras griegas se usan con la población y son llamadas parámetros, mientras que las letras latinas se usan con las muestras y se llaman estadísticos. Primero se dan las fórmulas para los datos que vienen desde una muestra simple, y estas son seguidas por las fórmulas para la población. Datos agrupados Frecuentemente, los datos de una muestra se recopilan en grupos (datos agrupados). Un grupo se refiere a un conjunto de números, todos con el mismo valor xi, o un conjunto (clase) de números en un intervalo con valor de clase xi. En tal caso, se supone que existen k grupos con un número de elementos fi, denotando el número de elementos en el grupo con valor o valor de clase xi. Así, el número de elementos total es 39.1. n = ∑ fi

Como de costumbre, Σ denotará una suma de todos los valores del índice, a menos que se especifique otra cosa. Por consiguiente, algunas de las fórmulas serán designadas como (a) o (b), donde (a) indica datos no agrupados y (b) indica datos agrupados.

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Media (media aritmética) La media aritmética o, simplemente, media de una muestra x1, x2,…, xn, frecuentemente llamada el “valor promedio”, es la suma de los valores divididos entre el número de valores. Esto es: 39.2(a). Media de la muestra: 39.2(b). Media de la muestra:

x1 + x 2 + … + x n Σ xi = n n f1 x1 + f2 x 2 + L + fk x k Σ fi xi x= = f1 + f2 + L + fk Σ fi x=

Mediana Suponga que los datos x1, x2,…, xn ahora se clasifican en orden ascendente. La mediana de los datos se denota por M o mediana que se define como el “valor medio” o valor que se encuentra al centro de la clasificación ordenada. Esto es:

208

11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 208

09/12/13 09:51

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

39.3(a).

⎧x k +1 ⎪ Mediana = ⎨ x + x k +1 ⎪ k ⎩ 2

209

cuando n es impar y n = 2 k + 1 cuando n es par y n = 2k

La mediana de datos agrupados se obtiene encontrando la función frecuencia acumulada Fs. Específicamente, se define Fs = f1 + f2 + L + fs esto es, Fs es la suma de las frecuencias hasta fs. Entonces: 39.3(b.1).

⎧x j +1 ⎪ Mediana = ⎨ x + x j +1 ⎪ j ⎩ 2

cuando n = 2k + 1 (impar) y Fj < k + 1 ≤ Fj +1 cuando n = 2k (par), y Fj = k

Encontrar la mediana de datos agrupados en clases es más complicado. Primero, se debe encontrar la mediana de la clase m, la clase con el valor mediano, y después se interpola linealmente en la clase usando la fórmula Mediana = Lm + c

39.3(b.2).

(n/2) − Fm −1 fm

donde Lm denota la clase más baja de la mediana de clase y c denota su ancho de clase (longitud del intervalo de clase). Moda La moda es el valor o valores que se presentan con más frecuencia. Así: 39.4.

Moda xm = valor numérico que ocurre el mayor número de veces.

La moda no está definida si cada xm ocurre el mismo número de veces, y cuando la moda está definida, no será única. Medias ponderada y grandes Suponga que cada xi tiene asignado un peso wi ≥ 0. Entonces: w x + w2 x 2 + … + wk x k Σ wi xi = 39.5. Media ponderada x w = 1 1 Σw w + w +… + w 1

2

k

i

Observe que la fórmula 39.2.(b) es un caso especial de la 39.5, donde el peso wi de xi es su frecuencia. Suponga que existen k sistemas de muestras y que cada sistema de muestra tiene ni elementos y una media x., entonces, la media grande, denotada por xi , es la “media de las medias”, donde cada media es ponderada por el número de elementos en su muestra. Específicamente: n1 x1 + n2 x 2 + L + nk x k Σ ni xi = n1 + n2 + L + nk Σ ni

39.6. Media grande x =

Medias geométricas y armónicas La media geométrica (MG) y la media armónica (MA) se definen como sigue: 39.7(a). MG = n x1 x 2 L x n 39.7(b). MG = n x1f x 2f L x kf 1

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2

k

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210

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

n n = 1/x1 + 1/x 2 + L + 1/x n Σ (1/xi ) n n 39.8(b). AM MA = = f1 /x1 + f2 /x 2 + L + fk /x k Σ ( fi /xi )

39.8(a). AM MA =

Relación entre medias aritméticas, geométricas y armónicas 39.9. MA ≤ MG ≤ x– El signo igual solo se utiliza cuando todos los valores muestra son los mismos. Rango medio El rango medio es el promedio de los valores más pequeños x1 y el valor más grande xn. Esto es: 39.10. Rango medio: med =

x1 + x n 2

Media de una población La fórmula para la media de una población m es la siguiente: 39.11(a). Media de una población:

µ=

39.11(b). Media de una población: µ =

x1 + x 2 + L + x N Σ xi = N N f1 x1 + f2 x 2 + L + fk x k Σ fi xi = f1 + f2 + L + fk Σ fi

(Recuerde que N denota el número de elementos en una población). Observe que la fórmula para la media de una población m es la misma que la fórmula para la media de muestra x. Por otra parte, la fórmula para la desviación estándar de la población s no es igual que la fórmula para la desviación estándar de muestra s. (Esta es la razón principal por la que se dan fórmulas separadas para m y x–).

MEDICIÓN DE DISPERSIÓN Varianza y desviación estándar de muestra Aquí, el conjunto de muestras tiene n elementos con media x. 39.12(a). Varianza de la muestra o muestral: 39.12(b). Varianza muestral: 39.13.

s2 =

Σ( xi − x )2 Σ xi2 − (Σ xi )2 /n = n −1 n −1

Σfi ( xi − x )2 Σfi xi2 − (Σ fi xi )2 / Σ fi = ( Σ fi ) − 1 ( Σ fi ) − 1

Desviación estándar de la muestra:

EJEMPLO 39.1:

s2 =

s = Varianza = s 2

Considere la siguiente distribución de frecuencias: xi

1

2

3

4

5

6

fi

8

14

7

12

3

1

Entonces n = Σ fi = 45 y Σ fi xi = 126. Por tanto, mediante la fórmula 39.2(b), Media x =

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Σ xi fi 126 = = 2.8 Σ fi 45

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

211

También, n – 1 = 44 y Σ fi xi2 = 430. Por tanto, mediante las fórmulas 39.12(b) y 39.13, s2 =

430 − (126)2 /45 ≈ 1.75 y s = 1.32 44

Para encontrar la mediana M, primero se deben encontrar las frecuencias acumuladas: F1 = 8,

F2 = 22,

F3 = 29,

F4 = 41,

F5 = 44,

F6 = 45 = n

Aquí, n es impar, y (n + 1)/2 = 23. Por tanto, Mediana M = 23avo valor = 3 El valor 2 ocurre con mayor frecuencia, por tanto Moda = 2 DM y RCM La sigla DM se establece para la desviación media y RCM, para la raíz cuadrática media. Como se vio anteriormente, x es la media de los datos y, para datos agrupados, n = Σ fi. 1 39.14(a). DM = n xi − x

39.15(a). RCM =

1 39.14(b). DM = n fi xi − x

1 (Σ xi2 ) n

39.15(b). RCM =

1 (Σ fi xi2 ) n

Medidas de posición (cuartiles y percentiles) Ahora, se supone que los datos x1, x2,…, xn son arreglados en orden ascendente. 39.16.

Rango de la muestra: xn – x1.

Existen tres cuartiles: el primero (cuartil menor), denotado por Q1 o QL; el segundo (cuartil o mediana), denotado por Q2 o M, y el tercero (mayor cuartil), denotado por Q3 o QU. Estos cuartiles (los cuales esencialmente dividen los datos entre “cuartos”) son definidos como sigue, donde “media” significa n/2 cuando n es par y (n 1)/2 cuando n es impar: 39.17. QL (= Q1) = mediana de la primera mitad de los valores M (= Q2 ) = mediana de los valores QU (= Q3) = mediana de la segunda mitad de los valores 39.18.

Resumen de cinco números: [L, QL, M, QU, H], donde L = x1 (valor menor) y H = xn (valor mayor).

39.19.

Rango intercuartil: QU – QL

39.20.

Rango semiintercuartil:

Q=

QU − QL 2

El k-ésimo percentil, denotado por Pk, es el número para el cual k por ciento de los valores son a lo mucho Pk y (100–k) por ciento de los valores más grandes que Pk. Específicamente: 39.21. Pk = mayor xs, tal que Fs ≤ k/100. Así, QL = 25avo percentil, M = 50avo percentil, QU = 75avo percentil.

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212

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

Estadísticas de alto orden 39.22. El r-ésimo momento: a) mr =

1 Σ xir , n

b) mr =

1 Σ f xr n i i

39.23. El r-ésimo momento alrededor de la media x: a)

µr =

1 Σ ( x i − x )r , n

b)

µr =

1 Σ ( fi x i − x ) r n

39.24. El r-ésimo momento absoluto alrededor de la media x: a)

µr =

r 1 Σ xi − x , n

b)

µr =

1 Σ fi x i − x n

r

39.25. El r-ésimo momento en unidades estándar z alrededor de z = 0: a)

αr =

1 r Σz , n i

b)

αr =

x −x 1 Σ fi zir donde zi = i σ n

Medidas de asimetría o sesgo y Kurtosis

µ3 = α3 σ3

39.26. Coeficiente de asimetría:

γ1 =

39.27. Momento de asimetría:

µ3 2σ 3

39.28. Coeficiente de Kurtosis:

α4 =

39.29. Coeficiente de exceso (Kurtosis):

α4 − 3 =

39.30. Cuartil coeficiente de asimetría:

QU − 2 xˆ + QL Q3 − 2Q2 + Q1 = QU − QL Q3 − Q1

µ4 σ4 µ4 −3 σ4

Varianza y desviación estándar de población Recuerde que N denota el número de valores en la población. 39.31. Varianza de población: σ 2 =

Σ ( xi − x )2 Σ xi2 − (Σ xi )2 /n = N N

39.32. Desviación estándar de población: σ = Varianza = σ 2

DATOS BIVARIADOS Las siguientes fórmulas se aplican a una lista de pares de valores numéricos: ( x1, y1), ( x 2 , y2 ), ( x3, y3),K , ( x n , yn )

donde los primeros valores corresponden a una variable x y los segundos a una variable y. El objetivo primario es determinar si existe una relación matemática, tal como una relación lineal, entre los datos. La gráfica de dispersión de los datos es simplemente una figura de los pares de valores como puntos en un plano coordenado.

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

213

Coeficiente de correlación Un indicador numérico de una relación lineal entre variables x y y es el coeficiente de correlación de muestra r de x y y, definido como sigue: 39.33.

r=

Coeficiente de correlación de muestra:

Σ ( xi − x )( yi − y ) Σ ( xi − x )2 Σ ( yi − y )2

Suponga que el denominador en la fórmula 39.33 no es cero. Una fórmula alternativa para calcular r es: 39.34.

r=

Σ xi yi − (Σ xi )(Σ yi)/n Σ x − (Σ xi )2 /n Σ yi2 − (Σ yi)2 /n 2 i

Las propiedades del coeficiente de correlación r son: 39.35.

1) –1 ! r ! 1 o, equivalentemente, ! r !" 1. 2) r es positivo o negativo si recordamos que y tiende a aumentar o disminuir cuando x aumenta. 3) Mientras más cercano sea |r| de 1, la correlación lineal entre x y y es más fuerte. La covarianza de muestra de x y y se denota y define como sigue: 39.36.

Covarianza de muestra:

sxy =

Σ ( xi − x )( yi − y ) n −1

Mediante la covarianza de muestra, la fórmula 39.33 se puede escribir en la forma compacta: 39.37.

s r = s xys

x y

donde sx y sy son la muestra de las desviaciones estándar de x y y, respectivamente. EJEMPLO 39.2:

Considere los siguientes datos: x y

50 2.5

45 5.0

40 6.2

38 7.4

32 8.3

40 4.7

55 1.8

La gráfica de dispersión de los datos aparece en la figura 39-1. El coeficiente de correlación r para los datos se puede obtener primero al construir la tabla en la figura 39-2. Entonces, mediante la fórmula 39.34, con n = 7, r=

1 431.8 − (300)(35.9) / 7 13 218 − (300)2 / 7 218.67 + (35.9)2 / 7

≈ − 0.9562

Aquí, r es cercano a –11 y la gráfi gráfica ca de dispersión en la fi figura gura 39-1 indica una fuerte relación lineal con pendiente negativa entre x y y.

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mos

214

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

10 8 6 4 2 0

30

40

50

60

Figura 39-1

Figura 39-2

Regresión lineal Considere un conjunto de datos de n puntos Pi (xi, yi). Cualquier línea L (no vertical) se puede definir mediante una ecuación de la forma y = a + bx Considere que y*i denota el valor de y del punto sobre L correspondiente a xi; esto es, yi* = a + bxi . Ahora tenemos di = yi − yi* = yi − (a + bxi ) esto es, di es la distancia vertical (dirigida) entre el punto Pi y la línea, recta, L. La suma del cuadrado de los errores, el error cuadrático entre la recta L y los puntos de los datos está definido por 39.38.

Σ di2 = d12 + d 22 + L + d n2

La recta de mínimos cuadrados o la recta de mejor ajuste o la regresión lineal de y sobre x es, por definición, la recta L, cuyo error cuadrático es tan pequeño como sea posible. Se puede mostrar que tal recta L existe y es única. Las constantes a y b en la ecuación y = a + bx de la recta L de mejor ajuste se pueden obtener de las siguientes dos ecuaciones normales, donde a y b son las incógnitas y n es el número de puntos: 39.39.

⎧⎪ na + (Σ xi ) b = Σ yi ⎨ ⎪⎩(Σ xi )a + (Σ xi2 )b = Σ xi yi

La solución de la ecuación normal anterior es: 39.40.

b=

n Σ xi yi − (Σ xi )(Σ yi ) rs y = ; n Σ xi2 − (Σ xi )2 sx

a=

Σ yi Σ xi −b = y − bx n n

La segunda ecuación dice que el punto ( x , y ) pasa sobre L, y la primera ecuación dice que el punto ( x + sx , y + rs y ) también pasa sobre L. Suponga que se busca la recta L de mejor ajuste para los datos del ejemplo 39.2. Mediante la tabla en la figura 39-2 y n = 7, se obtienen las ecuaciones normales EJEMPLO 39.3:

7a + 300 b = 35.9 300 a + 13 218b = 1 431.8

Al sustituir en la fórmula 39.40 se llega a

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b=

7(1 431.8) − (300)(35.9) = − 0.2959 7(13 218) − (300)2

a=

35.9 300 − (− 0.2959) = 17.8100 7 7

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ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA Así, la línea L de mejor ajuste es

215

y = 17.8100 – 0.2959x

La gráfica de L aparece en la figura 39-3. y

y = 17.8100 – 0.2959x (30, 8.933)

10 8

(42.8571, 5.1286)

6 4 2 0

30

40

50

60

x

Figura 39-3

Ajuste de curva Suponga que tiene n puntos de datos Pi(xi, yi), y que los datos (usando la gráfica de dispersión o el coeficiente de correlación r) no indican una relación lineal entre las variables x y y, pero indican que algunos otros tipos de curva estándares y = f (x) (bien conocidos) aproximan los datos. Entonces, la curva particular C que se usa para aproximar esos datos, llamada curva de mejor ajuste o de mínimos cuadrados, es la curva en la colección, la cual minimiza la suma del cuadrado de los errores Σ di2 = d12 + d 22 + L + d n2

donde di = yi – f (xi). Esos tres tipos de curvas se discuten a continuación. Función polinomial de grado m: y = a0 + a1 x + a2 x 2 + L + am x m Los coeficientes a0 , a1, a2 ,K , am del polinomio de mejor ajuste se pueden obtener al resolver el siguiente sistema de m + 1 de ecuaciones normales: na0 + a1Σ xi + a2 Σ xi2 + … + am Σ xim = Σ yi

39.41.

a0 Σ xi + a1 Σ xi2 + a2 Σ xi3 + … + am Σ xim +1 = Σ xi yi .................................................................................... a0 Σ xim + a1 Σ xim +1 + a2 Σ xim + 2 + … + am Σ xi2 m = Σ xim yi

Curva exponencial:

y = ab x o bien log y = log a + (log b) x

La curva exponencial se usa si la gráfica de dispersión de log y contra x indica una relación lineal. Entonces, log a y log b se obtienen desde los datos transformados. Se sabe que la recta de mejor ajuste L para datos de puntos P′(xi, log yi) es ⎧ na ′ + (Σ xi ) b ′ = Σ (log yi ) 39.42. ⎪⎨ ⎪⎩( Σ xi ) a ′ + ( Σ xi2 ) b ′ = Σ ( xi log yi )

Entonces, a = antilog a′, b = antilog b′. EJEMPLO 39.4:

Considere los siguientes datos que indican crecimiento exponencial: x y

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1 6

2 18

3 55

4 160

5 485

6 1 460

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216

ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

De esta manera, se busca la recta de mejor ajuste L para los siguientes datos: x log y

1 0.7782

2 1.2553

3 1.7404

4 2.2041

5 2.6857

6 3.1644

Usando la ecuación normal 39.42 para L, se obtiene a ′ = 0.3028, b ′ = 0.4767

La antiderivada de a′ y b′ llega, aproximadamente, a = 2.0,

b = 3.0

Así, y = 2(3x) es la curva exponencial requerida C. Los puntos de datos y C están representados en la figura 39-4. 1 600 1 400 1 200 1 000 800 600 400 200 0

1

2

3

4

5

6

7

Figura 39-4

Función de potencia: y = axb o log y = log a + b log x. La curva de potencia se usa si la gráfica de dispersión de log y contra log x indica una relación lineal. Los log a y log b se obtienen desde los datos de puntos transformados. De esta manera, la recta L de mejor ajuste para datos de puntos transformados P′ (log xi, log yi) es 39.43.

⎧⎪ na ′ + Σ (log xi )b = Σ (log yi ) ⎨ ⎪⎩Σ (log xi )a ′ + Σ (log xi )2 b = Σ (log xi log yi )

Entonces, a = antilog a′.

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40

Probabilidad

ESPACIOS DE MUESTRAS Y EVENTOS Sea S un espacio de muestra que consiste en los resultados posibles de un experimento, donde los eventos son subconjuntos de S. El espacio de la muestra, o muestral, S por sí mismo se llama evento seguro, y el conjunto nulo, ∅ evento imposible. Sería conveniente que todos los subconjuntos de S pudieran ser eventos. Desafortunadamente, esto puede llevar a contradicciones cuando una función de probabilidad está definida en los eventos. Así, los eventos son definidos para ser una colección C limitada de subconjuntos de S, como sigue. La clase C de eventos de un espacio simple S forma un σ-campo. Esto es, C tiene las tres propiedades siguientes:

DEFINICIÓN 40.1:

i) S ∈ C ii) Si A1, A2, … pertenecen a C, entonces su unión A1 ∪ A2 ∪ A3 ∪ … pertenece a C iii) Si A ∈ C, entonces su complemento Ac ∈ C Aunque la definición anterior desglosada no menciona intersecciones, la ley de DeMorgan (40.3) dice que el complemento de una unión es la intersección de los complementos. Así, los eventos forman una colección que es cerrada bajo uniones, intersecciones y complementos de sucesiones numerables. Si S es finita, entonces la clase de todos los subconjuntos de S forman un σ-campo. Sin embargo, si S no es numerable, entonces solo los subconjuntos ciertos de S pueden ser los eventos. De hecho, si B es la colección de todos los intervalos abiertos sobre la línea real R, entonces el σ-campo más pequeño que contiene a B es un campo de Borel en R. Si la condición ii) en la definición 40.1 de un σ-campo es reemplazado por uniones finitas, entonces la clase de subconjuntos de S es llamada campo. Así, un σ-campo es un campo, pero no viceversa. Primero, se listan por completo las propiedades básicas del conjunto de operaciones de unión, intersección y complemento. 40.1. Los conjuntos satisfacen las propiedades en la tabla 40-1. Tabla 40-1

Leyes del álgebra de conjuntos

Leyes de idempotencia: (1a) A ∪ A = A

(1b) A ∩ A = A

Leyes asociativas:

(2a) (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)

(2b)

Leyes conmutativas:

(3a) A ∪ B = B ∪ A

(3b) A ∩ B = B ∩ A

Leyes distributivas:

(4a) A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (4b) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B)

Leyes de identidad:

(5a) A ∪ ∅ = A (6a) A ∪ U = U

Leyes de involución:

(7)

(5b) A ∩ U = A (6b) A ∩ ∅ = ∅

(AC)C = A

Leyes complementarias: (8a) A ∪ Ac = U (9a) Uc = ∅ Leyes de DeMorgan:

(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)

(10a) (A ∪ B)c = Ac ∩ Bc

(8b) A ∩ Ac = ∅ (9b) ∅c = U (10b) (A ∩ B)c = Ac ∪ Bc

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218

PROBABILIDAD

40.2. Las siguientes expresiones son equivalentes: i) A ⊆ B, ii) A ∩ B = A, iii) A ∪ B = B. Recuerde que la unión e intersección de cualquier colección de conjuntos está definida como sigue: j

Aj = {x | existe j tal que x ∈ Aj} y

Aj = {x | para cada j, se tiene x ∈ Aj}

j

40.3. (Ley generalizada de DeMorgan) (10a)' (

j

Aj)c =

j

Ajc; (10b)' (

j

Aj)c =

j

Ajc

ESPACIOS Y FUNCIONES DE PROBABILIDAD DEFINICIÓN 40.2: Sea P una función de valor real definida sobre la clase C de eventos de un espacio muestral S. Entonces, P es llamada función de probabilidad, y P(A) es llamada probabilidad de un evento A cuando los siguientes axiomas se llevan a cabo:

Axioma [P1] Para cada evento A, P(A) ≥ 0 Axioma [P2] Para el evento seguro S, P(S) = 1 Axioma [P3] Para cualquier secuencia de eventos mutuamente excluyentes (ajenos) A1, A2, …, P(A1 ∪ A2 ∪ …) = P(A1) + P(A2) + … El triple (S, C, P), o simplemente S cuando C y P son comprendidas, se llama espacio de probabilidad. El axioma [P3] implica un axioma análogo para cualquier número de conjuntos finitos. Esto es: Axioma [P3'] Para cualquier colección finita de eventos mutuamente ajenos A1, A2, …, An, P(A1 ∪ A2 ∪ … ∪ An) = P(A1) + P(A2) + … + P(An) En particular, para dos eventos ajenos A y B, se tiene P(A ∪ B ) = P(A) + P(B). Las siguientes propiedades vienen directamente desde los axiomas anteriores. 40.4. (Regla de complemento) P(Ac) = 1 – P(A). Así, P(∅) = 0. 40.5. (Regla de diferencia) P(A\B) = P(A) – P(A ∩ B). 40.6. (Regla de adición) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B).

(

)

40.7. Para n ≥ 2, P h j=1 Aj ≤ ∑ P( Aj ) j=1 n

n

40.8. (Regla de monotonía) Si A ⊆ B, entonces P(A) ≤ P(B).

LÍMITES DE SECUENCIA DE EVENTOS 40.9. (Continuidad) Suponga que A1, A2, … forman un incremento (o decremento) en la secuencia de eventos monotónicos; esto es, Aj ⊆ Aj+1 (Aj ⊇ Aj+1). Si es A = ∪ j Aj (A = ∩ j Aj), entonces, lím P(An) existe y lím P(An) = P(A) Para cualquier secuencia de eventos A1, A2, …, se define +∞

+∞

lím inf An = h k=1 x j=k Aj

y

+∞

+∞

lím sup An = x k=1 h j=k Aj

Si lím inf An = lím sup An, entonces se le llama a este el conjunto lím An. Observe que lím An existe cuando la sucesión es monótona.

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PROBABILIDAD

219

40.10. Para cualquier secuencia de eventos Aj en un espacio de probabilidad, P(lím inf An) ≤ lím inf P(An) ≤ lím sup P(An) ≤ P(lím sup An) Así, si el lím An existe, entonces P(lím An) = lím P(An). 40.11.

Para cualquier secuencia de eventos Aj en un espacio de probabilidad, P(∪j Aj) ≤

∑

j

P(Aj).

40.12. (Lema de Borel-Cantelli) Suponga que Aj es cualquier secuencia de eventos en un espacio de probabili+∞ dad. Además, suponga que ∑ n=1 P(An) < +∞. Entonces P(lím sup An) = 0. 40.13. (Teorema de extensión) Sea F un campo de subconjuntos de S. Sea P una función sobre F que cumpla los axiomas P1, P2 y P3!. Entonces existe una función única de probabilidad P* sobre el σ-campo más pequeño que contiene a F, de manera que P* es igual a P sobre F.

PROBABILIDAD CONDICIONAL Sea E un evento con P(E) > 0. La probabilidad condicional de un evento A dado en E está denotado y definido como sigue: DEFINICIÓN 40.3:

P( A ∩ E ) P(A|E) = P(E )

40.14.

(Teorema de multiplicación para probabilidad condicional) P(A ∩ B) = P(A)P(B|A). Este teorema se puede generalizar como sigue:

40.15.

P(A1 ∩ … ∩ An) = P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 ∩ A2) … P(An|A1 ∩ … ∩ An 1)

Un lote contiene 12 artículos de los cuales 4 son defectuosos. Del lote se extraen 3 artículos al azar, uno tras otro. Encontrar la probabilidad de que los tres no sean defectuosos.

EJEMPLO 40.1:

La probabilidad de que el primer artículo no sea defectuoso es 8/12. Suponiendo que el primer artículo no sea defectuoso, la probabilidad de que el segundo tampoco lo sea es 7/11. Suponiendo que el primer y segundo artículos no sean defectuosos, la probabilidad de que el tercer artículo no lo sea es 6/10. Así, p=

8 7 6 14 ⋅ ⋅ = 12 11 10 55

PROCESOS ESTOCÁSTICOS Y DIAGRAMAS DE ÁRBOL DE PROBABILIDAD Un proceso estocástico (finito) es una secuencia de experimentos finita, donde cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas. El método conveniente para describir tal proceso es el de diagrama de árbol de probabilidad (figura 40-1), donde el teorema de multiplicación (fórmula 40.14) es usado para calcular la probabilidad de un evento, el cual está representado por una trayectoria del árbol. Sean X, Y, Z tres monedas en una caja, donde X es una moneda justa, Y es una moneda de dos caras y Z es una moneda compensada, con probabilidad de cara 1/3. Una moneda es seleccionada al azar y es lanzada. a) Encontrar P(H), la probabilidad de que aparezca cara. b) Encontrar P(X|H), la probabilidad de que la moneda justa X sea seleccionada si la cara aparece. EJEMPLO 40.2:

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PROBABILIDAD

La probabilidad del diagrama de árbol correspondiente a los dos pasos del proceso estocástico aparece en la figura 40-1a). a) La cara aparece en tres de los caminos (de izquierda a derecha), por tanto, P(H) =

1 1 1 1 1 11 ⋅ + ⋅1 + ⋅ = 3 2 3 3 3 18

b) Las caras X y H solo aparecen a lo largo de la ruta del diagrama de árbol antes presentada, por tanto, P(X ∩ H) =

P(X ∩ H) 1 1 1 1/ 6 3 ⋅ = y así P(X|H) = = = 3 2 6 11 / 18 11 P (H ) 1/2

3%

H

X 1/2

1/3 1/3 o

50%

T

Y

N 30%

1

1/3

D

A

o

H 1/3

H

2/3

T

4%

D

5%

N D

B 20%

Z

C N

a)

b) Figura 40-1

LEY DE PROBABILIDAD TOTAL Y TEOREMA DE BAYES Suponga que E es un evento en un espacio muestral S, y A1, A2, … An son eventos mutuamente excluyentes cuya unión es S, es decir, los eventos A1, A2, …, An forman una partición de S. 40.16. (Ley de probabilidad total) P(E) = P(A1)P(E|A1) + P(A2)P(E|A2) + … + P(An)P(E|An) 40.17. (Fórmula de Bayes) Para k = 1, 2, …, n, P(Ak|E) =

P ( A k )P (E | A k ) P ( A k )P (E | A k ) = | P ( A1 )P (E A1 ) + P ( A 2 )P (E | A 2 ) + ⋅ ⋅ ⋅ + P ( A n )P (E | A n ) P (E )

Tres máquinas, A, B, C, producen 50, 30 y 20% del número total de artículos en una fábrica, respectivamente. Los porcentajes de la producción defectuosa de estas máquinas son, 3, 4 y 5%, respectivamente. Un artículo es seleccionado al azar. EJEMPLO 40.3:

a) Encuentre P(D), la probabilidad del artículo defectuoso. b) Si el artículo es defectuoso, encuentre la probabilidad de que este provenga de la máquina: i) A, ii) B, iii) C. a) Por la fórmula 40.16 (ley de probabilidad total) P(D) = P(A)P(D|A) + P(B)P(D|B) + P(C)P(D|C) = (0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.05) = 0.037 = 3.7% P ( A )P (D | A ) (0.50)(0.03) b) Por la fórmula 40.17 (regla de Bayes), i) P(A|D) = = = 0.405 = 40.5%. Similar0.037 P D ( ) mente,

ii) P(B|D) =

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P(B)P(D | B) P(C)P(D | C) = 32.5%; iii) P(C|D) = = 0.27 = 27.0% P(D) P(D)

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PROBABILIDAD

221

Alternativamente, consideremos este problema como uno de los dos pasos del proceso estocástico con un diagrama de árbol de probabilidad, como en la figura 40-1b). Se encuentra P(D) por adición de las tres trayectorias de probabilidades a D: (0.50)(0.03) + (0.30)(0.04) + (0.20)(0.05) = 0.037 = 3.7% Se encuentra P(A|D) al dividir la trayectoria mostrada antes para A y D mediante la suma de las tres trayectorias para D. (0.50)(0.03)/0.037 = 0.405 = 40.5% De manera similar, se encuentra P(B|D) = 0.325 = 32.5% y P(C|D) = 0.27 = 27.0%.

EVENTOS INDEPENDIENTES DEFINICIÓN 40.4:

40.18.

Los eventos A y B son independientes si P(A ∩ B) = P(A)P(B).

Las siguientes ecuaciones son equivalentes: i) P(A ∩ B) = P(A)P(B), ii) P(A|B) = P(A), iii) P(B|A) = P(B).

Esto es, los eventos A y B son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no influye en la ocurrencia del otro. EJEMPLO 40.4: Considere los siguientes eventos para una familia con niños, donde se supone que el espacio

muestral S es un espacio equiprobable: E = {niños de ambos sexos},

F = {a lo más, un niño}

a) Demuestre que E y F son eventos independientes si una familia tiene tres niños. b) Demuestre que E y F son eventos dependientes si una familia tiene dos niños. a) Aquí, S = {bbb, bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb, ggg}. Así que: E = {bbg, bgb, bgg, gbb, gbg, ggb}, P(E) = 6/8 = 3/4, F = {bgg, gbg, ggb, ggg}, P(F) = 4/8 = 1/2 E ∩ F = {bgg, gbg, ggb}, P(E ∩ F) = 3/8 Así, P(E)P(F) = (3/4)(1/2) = 3/8 = P(E ∩ F). De ahí, E y F son independientes. b) Aquí S = {bb, bg, gb, gg}. Así que: E = {bg, gb}, P(E) = 2/4 = 1/2, F = {bg, gb, gg}, P(F) = 3/4 E ∩ F = {bg, gb}, P(E ∩ F) = 2/4 = 1/2 Así, P(E)P(F) = (1/2)(3/4) = 3/8 ≠ P(E ∩ F). De ahí, E y F son dependientes. Para n > 2, los eventos A1, A2, …, An son independientes si cualquier subconjunto propio de ellos es independiente y P(A1 ∩ A2 ∩ … ∩ An) = P(A1)P(A2) … P(An) DEFINICIÓN 40.5:

Observe que la inducción se usa en esta definición. Una colección de eventos {Aj | j ∈ J} es independiente si, para cualquier n > 0, los conjuntos Aj , Aj , …, Aj son independientes. DEFINICIÓN 40.6: 1

2

n

El concepto de pruebas repetidas independientes, cuando S es un conjunto finito, está normalizado como sigue.

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222

PROBABILIDAD

Sea S un espacio de probabilidad finita. El espacio de probabilidad de n pruebas repetidas e independientes, se denota por Sn y consiste en n-adas ordenadas (s1, s2, …, sn) de elementos de S con la probabilidad de un n-ada definido por DEFINICIÓN 40.7:

P((s1, s2, …, sn)) = P(s1)P(s2) … P(sn) Suponga que siempre que los caballos a, b, c compitan juntos, sus respectivas probabilidades de ganar son 20, 30 y 50%. Esto es, S = {a, b, c} con P(a) = 0.2, P(b) = 0.3 y P(c) = 0.5. Ellos compiten tres veces. Encuentre la probabilidad de que EJEMPLO 40.5:

a) el mismo caballo gane las tres veces b) cada caballo gane una sola vez a) Escribiendo xyz para (x, y, z), se busca la probabilidad del evento A = {aaa, bbb, ccc}. Así, P(aaa) = (0.2)3 = 0.008, P(bbb) = (0.3)3 = 0.027, P(ccc) = (0.5)3 = 0.125 De esta manera, P(A) = 0.008 + 0.027 + 0.125 = 0.160. b) Se busca la probabilidad del evento B = {abc, acb, bac, bca, cab, cba}. Cada elemento en B tiene la misma probabilidad (0.2)(0.3)(0.5) = 0.03. Así que, P(B) = 6(0.03) = 0.18.

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41

Variables aleatorias

Considere un espacio de probabilidad (S, C, P). Una variable aleatoria X sobre el espacio muestra S es una función de S en el conjunto R de números reales, de manera que la preimagen de cada intervalo de R es un evento de S. Si S es una muestra discreta del espacio en el que cada subconjunto de S es un evento, entonces la función real valorada de S es una variable aleatoria. Por otra parte, si S no es contable entonces ciertas funciones de valor real sobre S no pueden ser variables aleatorias. Sea X una variable aleatoria sobre S, donde RX denote el rango de X; esto es, DEFINICIÓN 41.1.

RX = {x | existe s ∈S para el cual X(s) = x} Existen dos casos que se tratan por separado: i) X es una variable aleatoria discreta; esto es, RX es finita o contable, ii) X es una variable aleatoria continua; esto es RX es un continuo de números, tal como un intervalo o una unión de intervalos. Sean X y Y variables aleatorias sobre el mismo espacio muestra S. Entonces, como de costumbre, X + Y, X + k, kX y XY (donde k es un número real) son las funciones de S definidas como siguen (donde s es cualquier punto en S): (X + Y)(s) = X(s) + Y(s), (X + k)(s) = X(s) + k,

(kX)(s) = kX(s), (XY)(s) = X(s)Y(s).

De manera más general, para cualquier función polinomial, exponencial o continua h(t), se define h(X) como una función sobre S definida por [h(X)](s) = h[X(s)] Uno puede mostrar que también esas son variables aleatorias sobre S. La siguiente notación corta es usada: P(X = xi) P(a ≤ X ≤ b) mX o E(X) o simplemente m σ X o Var(X) o simplemente s 2 s X o simplemente s 2

denota la probabilidad de que X = xi. denota la probabilidad de que X pase en el intervalo cerrado [a, b]. denota la media o esperanza matemática de X. denota la varianza de X. denota la desviación estándar de X.

Algunas veces Y es una variable aleatoria, de manera que Y = g(X), esto es, donde Y es alguna función de X.

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Aquí, X es una variable aleatoria con solo un número finito o contable de valores, es decir, RX = {x1, x2, x3, …} donde, x1 < x2 < x3 < …. Entonces, X induce una función f (x) sobre RX como sigue: f (xi) = P(X = xi) = P({s ∈S | X(s) = xi}) La función f (x) tiene las siguientes propiedades: i) f (xi) ≥ 0

y

ii) Σ i f (xi) = 1

Así, f define una función de probabilidad sobre el rango RX de X. El par (xi, f (xi)), usualmente dado por una tabla, se llama la distribución de probabilidad o función masa de probabilidad de X.

223

11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 223

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224

VARIABLES ALEATORIAS

MEDIA 41.1.

µX

Aquí, Y 41.2.

µY

xi f (xi)

E(X)

g(X). g(xi) f (xi)

E(Y)

Aquí, Y

g(X).

VARIANZA Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR 2 41.3. σ X

(xi – m)2 f (xi)

Var(X)

Alternamente, Var(X)

X

s se puede obtener como sigue:

xi2 f (xi) – m2 E(X2) – m2

41.4. Var(X) 41.5.

E((X – m)2)

E(X 2 ) − µ 2

Var( X )

Tanto la varianza Var(X) s 2 como la desviación estándar s miden la extensión compensada de los valores xi alrededor de la media m; sin embargo, la desviación estándar tiene las mismas unidades de m. OBSERVACIÓN:

EJEMPLO 41.1:

Suponga que X tiene la siguiente distribución de probabilidad:

2

x

0.1

f(x)

4

6

8

0.2

0.3

0.4

Entonces: m E(X ) s2 2

s

E(X) xi f (xi) 2(0.1) 4(0.2) 6(0.3) 8(0.4) 2 xi f (xi) 22(0.1) 42(0.2) 62(0.3) 82(0.4) 40 Var(X) E(X2) m2 40 36 4 Var( X )

4

6

2

VARIABLE ALEATORIA CONTINUA Aquí, X es una variable aleatoria con un número continuo de valores. Entonces, X determina una función f (x), llamada función densidad de X, tal que i) f (x)

0

∞

ii) ∫ − ∞ f (x) dx

y

∫

R

f ( x ) dx

1

Además, P(a

X

b)

∫

b a

f (x) dx

MEDIA 41.6. µ X

Aquí, Y 41.7.

µY

∫

E(X)

11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 224

x f (x) dx

g(X).

E(Y)

Aquí, Y

∞ −∞

∫

∞ −∞

g(x) f (x) dx

g(X).

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VARIABLES ALEATORIAS

225

VARIABLE Y DESVIACIÓN ESTÁNDAR 41.8. σ X 2

Var(X)

∫

∞ −∞

(x

Alternamente, Var(X)

∫

41.9. Var(X) 41.10. s X

∞ −∞

x2 f (x)dx

Var( X )

m)2 f (x)dx

E((X

m)2)

s 2 se puede obtener como sigue: m2

E(X2)

m2

E(X 2 ) − µ 2

Sea X la variable aleatoria continua con la siguiente función de densidad: ⎧⎪(1 / 2) x si 0 ≤ x ≤ 2 f (x) ⎨ para cualquier otro valor de x ⎩⎪0

EJEMPLO 41.2:

Entonces:

2

4 ⎡x3 ⎤ ∫ −∞ ⎢⎣ 6 ⎥⎦ ∫0 3 0 4 2 2 1 ∞ ⎡x ⎤ E(X2) ∫ x2 f (x) dx ∫ x3 dx ⎢ ⎥ 2 0 2 −∞ ⎣ 8 ⎦0 16 2 s 2 Var(X) E(X2) m2 2 9 9 2 1 s 2 Var( X ) 9 3 ∞

E(X)

x f (x) dx

2

1 2 x dx 2

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA La función de distribución acumulada F(x) de una variable aleatoria X es la función F: R → R definida por 41.11. F(a) P(X a) La función F está bien definida ya que la inversa del intervalo ( La función F(x) tiene las siguientes propiedades: 41.12. 41.13.

F(a)

F(b) siempre que a

lím F(x)

x→−∞

0

y

, a] es un evento.

b.

lím F(x)

x→+∞

1

Esto es, F(x) es monótona, y el límite de F a la izquierda es 0 y a la derecha es 1. Si X es la variable aleatoria discreta con distribución f (x), entonces F(x) es la siguiente función de pasos: 41.14.

F(x)

∑

xi ≤ x

f (xi)

Si X es la variable aleatoria continua, entonces la función de densidad f (x) de X, se puede obtener desde la función de distribución acumulada F(x) por diferenciación. Esto es, d F(x) F (x) dx Por consiguiente, para una variable aleatoria continua X,

41.15.

f (x)

41.16.

F(x)

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∫

x −∞

f (t) dt

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226

VARIABLES ALEATORIAS

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Considere un experimento con dos resultados, uno denominado éxito (S) y otro denominado fracaso (F). Un número fijo de ensayos independientes de tal experimento se conoce como experimento binomial. La notación B(n, p) denota un experimento binomial con n ensayos independientes y probabilidad p de éxito. [La notación q indica la probabilidad de fracaso]. 41.17.

1–p

n ⎛ n⎞ P(k) = ⎜ ⎟ p kqn k es la probabilidad de k éxitos en B(n, p), donde ⎛⎜ ⎞⎟ es el coeficiente binomial. ⎝ k⎠ ⎝ k⎠

41.18. La probabilidad de por lo menos un éxito en B(n, p) es 1 – qn. El número X de k éxitos en B(n, p) es una variable aleatoria con la siguiente distribución, denominada distribución binomial: k

0

P(k)

qn

m

41.19. Media de B(n, p) 41.20. Varianza de B(n, p)

1

2

⎛ n⎞ ⎜⎝1⎟⎠ p qn

...

⎛ n⎞ 2 n ⎜⎝ 2⎟⎠ p q

1

...

2

n

1

n

⎛ n ⎞ n1 ⎜⎝ n − 1⎟⎠ p q

pn

np. s2

npq, y desviación estándar de B(n, p)

s

npq

EJEMPLO 41.3:

a) Juana dispara a un blanco con probabilidad p 1/3. Así, q de dar en el blanco exactamente dos veces es la siguiente: ⎛6⎞ P(2) = ⎜ ⎟ (1/3)2(2/3)4 ⎝2⎠

2/3. Juana dispara n

15(1/9)(16/81)

80/243

6 veces. La probabilidad

0.329

b) Juan dispara a un blanco con probabilidad p 1/4. Así, q 3/4. Juan dispara n 100 veces. El número esperado m de veces que dará en el blanco y la desviación estándar s son los siguientes: m

np 100(1/4)

25, s 2

npq

100(1/4)(3/4)

75/4 por lo tanto s

2.5

DISTRIBUCIÓN NORMAL La variable aleatoria normal X, cuya función de densidad f posee la conocida forma de campana, mostrada en la figura 41-1, está definida por: 1 2πσ

f(x) =

⎡ 1 ⎛ x − µ⎞ 2⎤ exp ⎢− ⎥ ⎣ 2⎝ σ ⎠ ⎦

Esta distribución se denota por N(m, s 2).

34 % 0.15 %

34 %

2.35 %

2.35 % 13.5 %

μ − 3α

μ − 2α

μ−α

0.15 %

13.5 % μ

μ+α

μ + 2α

μ + 3α

Figura 41-1

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VARIABLES ALEATORIAS 41.21. Media de N(m, s 2) 41.22. Varianza de N(m, s 2)

227

m. s 2, y desviación estándar de N(m, s 2)

s.

REGLA 68-95-99.7 La distribución normal N(m, s 2) cumple la regla 68-95-99.7, que se ilustra en la figura 41-1. Esta regla es: a) Aproximadamente 68% (más precisamente, 68.3%) o casi dos tercios de los puntos de datos (población) está a menos de una desviación estándar de la media. b) Aproximadamente 95% (más precisamente, 95.4%) de los puntos de los datos (población) está a menos de 2 desviaciones estándar de la media. c) Aproximadamente 99.7% de los puntos de los datos (población) está a menos de 3 desviaciones estándar de la media.

DISTRIBUCIÓN NORMAL ESTANDARIZADA N(m, s 2), está la variable aleatoria estandarizada X−µ Z= σ que también es normal con media m 0 y desviación estándar s 1. Por tanto, Z N(0, 1). La función de densidad f para Z es como sigue: 1 e− z /2 φ (z) = 2π Cualquier valor de x en una variable aleatoria normal X puede cambiarse a un valor z por medio de la fórmula: z (x – m)/s.

Como correlato a X

2

EVALUACIÓN DE PROBABILIDADES NORMALES ESTÁNDAR En la tabla 36 se proporciona el área bajo la curva normal f (z) entre 0 y z, como se indica en la imagen en la tabla. Esta área se denota por (z). Al usar la tabla 36 y la simetría de la curva es posible encontrar P(z1 Z z2), es decir, el área de la curva entre dos valores cualesquiera z1 y z2, como se muestra en la figura 41-2: a) z1 < 0 < z2 b) 0 < z1 < z2

c) z1 < z2 < 0 Φ(z2) + Φ(⎥ z1⎥)

z1

0

Φ(z2) – Φ(z1)

0

z2

z1

z2

Φ(⎥ z1⎥) – Φ(⎥ z2⎥) z1

z2 0

Figura 41-2

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228

VARIABLES ALEATORIAS

EJEMPLO 41.4:

Encuentre las siguientes probabilidades:

a) P(–0.5

Z

1.3), b) P(1.4

a) P(–0.5

Z

1.3)

b) P(1.4

Z

c) P(–1.5

2.0)

Z

0.8)

Z

(1.3)

2.0), c) P(–1.5 (0.5)

(2.0) –

0.4032

(1.4)

(1.5) –

Z

–0.8)

0.1915

0.4772 – 0.4192

(0.8)

0.5947

59.47%

0.0580

0.4332 – 0.2881

5.80%

0.1451

14.51%

Dado que el área total bajo la curva normal es 1 y que la mitad del área es 1/2 0.5000, también podemos encontrar “la cola” de una probabilidad de un solo lado de Z, como se muestra en la figura 41-3:

0.5 + Φ (z1) 0.5 − Φ (|z1|)

z1

z1

0

0.5 + Φ (|z1|) 0.5 − Φ (z1)

0

z1

z1

0

Figura 41-3

a) P(Z < z1)

b) P(Z > z1)

EJEMPLO 41.5:

Encuentre las siguientes probabilidades:

a)

P(Z

1.3) b) P(Z

1.5), c) P(Z

a)

P(Z

1.3)

0.5

(1.3)

0.5000

0.4032

0.9032

b)

P(Z

1.5)

0.5 –

(1.5)

0.5000 – 0.4332

0.0668

c) P(Z

–1.6)

0.5 –

(1.6)

1.4)

0.5000 – 0.4452

6.68%

0.0548

5.48%

EVALUACIÓN DE PROBABILIDADES NORMALES ARBITRARIAS Suponga que X es la distribución normal N(m, s 2). Para evaluar P(a X b) primero cambiamos a y b en unidades estándar usando: z1 =

Luego podemos reescribir P(a

X

a−µ b−µ y z2 = σ σ

b) como una ecuación z: P(a

X

b)

P(z1

Z

z2)

que es el área bajo la curva normal estándar entre z1 y z2.

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VARIABLES ALEATORIAS

229

Suponga que las estaturas de los hombres estadounidenses (en pulgadas) están (aproximadamente) distribuidas normalmente con media m 68 y desviación estándar s 2. Encuentre el porcentaje P de hombres estadounidenses que: EJEMPLO 41.6:

a) miden entre a

67 y b

71 pulgadas de estatura, b) por lo menos, miden 6 pies (72 pulgadas) de estatura.

a) Transforme a y b en unidades estándar para obtener z1

(67

68)/2

0.5 y z2

(71

68)/2

1.5

Aquí, z1 < 0 < z2. Por tanto P

P(67

X

71)

(1.5)

P( 0.5

(0.5)

Z

0.4332

1.5)

0.1915

0.6247

Es decir, aproximadamente 62.5% de los hombres estadounidenses miden entre 67 y 71 pulgadas de estatura. b) Transforme a

72 en unidades estándar al obtener z P

P(X

72)

P(Z

2)

0.5

(72

68)/2

(2.0)

2.0. Aquí 0 < z. En consecuencia,

0.5000

0.4772

0.0228

Es decir, aproximadamente 2.3% de los hombres estadounidenses miden por lo menos 6 pies de estatura.

TEOREMA DEL LÍMITE CENTRAL En términos generales, el teorema del límite central (TLC) establece que en cualquier secuencia de ensayos repetidos, la distribución de la media muestral normal tiende a la distribución normal estándar con el incremento del número de ensayos. 41.23. Teorema del límite central: Sea X1, X2, X3, … una secuencia de variables aleatorias independientes con la misma distribución con media m y varianza s 2. Sean Xn

( X1

X2

…

Xn)/n

y

Entonces, para un valor grande de n y cualquier intervalo {a P(a

Zn

b)

x f

P(a

Zn

Xn − µ σ/ n

b}, b)

donde f es la distribución normal estándar.

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ADICIONALES 41.24. Distribución de Poisson:

(x)

∑

t≤x

41.25. Distribución hipergeométrica:

λ t e −λ t!

∑

(x)

t≤x

41.26. Distribución t de Student:

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(x)

⎛r⎞ ⎛ s ⎞ ⎜⎝ t⎟⎠ ⎜⎝ n − t⎟⎠ z ⎛r + s⎞ ⎜⎝ n ⎟⎠

⎛ n + 1⎞ Γ⎜ ⎝ 2 ⎟⎠ nπ Γ (n/2) 1

∫

x −∞

⎛ t 2⎞ ⎜⎝1 + ⎟⎠ n

− ( n +1)/ 2

dt

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230

VARIABLES ALEATORIAS

41.27. Distribución c (ji cuadrada): 2

(x)

2

n/2

⎛ n1 + n 2 ⎞ n /2 n Γ⎜ ⎟ n1 n 2 ⎝ 2 ⎠ Γ (n 1 /2)Γ (n2 /2) 1

41.28.

Distribución F:

11_Seccion 11_Spiegel(208-230).indd 230

(x)

x 1 t(n - 2)/2e-t/2 dt ∫ Γ (n/2) 0

2

/2

∫

x 0

t (n

1

/ 2 ) −1

(n 2 + n 1 t ) − ( n + n 1

2

)/ 2

dt

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Sección XII: Métodos numéricos

42

Interpolación

INTERPOLACIÓN DE LAGRANGE Fórmula de dos puntos 42.1.

p ( x ) = f ( x0 )

x − x0 x − x1 + f ( x1 ) x1 − x 0 x 0 − x1

donde p (x) es un polinomio lineal interpolando dos puntos ( x 0 , f ( x 0 )), ( x1 , f ( x1 )), x 0 ≠ x1

Fórmula general 42.2.

p ( x ) = f ( x 0 ) Ln , 0 ( x ) + f ( x1 ) Ln ,1 ( x ) + L + f ( x n ) Ln , n ( x )

donde Ln , k =

n

∏

i=0,i≠k

x − xi x k − xi

y donde p (x) es un polinomio de n-ésimo orden interpolando n + 1 puntos ( x k , f ( x k )), k = 0, 1, …, n; y xi ≠ x j para i ≠ j

Fórmula del residuo Suponga que f ( x ) ∈ C n+1[a, b]. Entonces existe un ξ ( x ) ∈ (a, b) tal que: 42.3.

f (x) = p (x) +

f n+1 (ξ ( x )) ( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − x n ) (n + 1)!

INTERPOLACIÓN DE NEWTON Fórmula de cociente de diferencias de primer orden 42.4.

f [ x 0 , x1 ] =

f ( x1 ) − f ( x 0 ) x1 − x 0

Fórmula de interpolación de dos puntos 42.5.

p( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x − x 0 )

donde p (x) es un polinomio lineal de interpolación de dos puntos ( x 0 , f ( x 0 )), ( x1 , f ( x1 )), x 0 ≠ x1

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232

INTERPOLACIÓN

Fórmula de cociente de diferencias de segundo orden f [ x1 , x 2 ] − f [ x 0 , x1 ] 42.6. f [ x 0 , x1 , x 2 ] = x2 − x0 Fórmula de interpolación de tres puntos 42.7.

p ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x − x 0 ) + f [ x 0 , x1 , x 2 ]( x − x 0 )( x − x1 )

donde p(x) es un polinomio cuadrático de interpolación de tres puntos ( x 0 , f ( x 0 )), ( x1 , f ( x1 )), ( x 2 , f ( x3 ))

Fórmula general de cociente de diferencias de k-ésimo orden 42.8.

f [ x 0 , x1 ,K , x k } =

f [ x1 , x 2 ,K , x k ] − f [ x 0 , x1 ,K , x k −1 ] xk − x0

Fórmula general de interpolación 42.9.

p ( x ) = f ( x 0 ) + f [ x 0 , x1 ]( x − x 0 ) + L + f [ x 0 , x1 ,K , x n ]( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − x n−1 )

donde p (x) es un polinomio de n-ésimo orden de interpolación de n + 1 puntos ( x k , f ( x k )), k = 0, 1,…, n; y xi ≠ x j para i ≠ j

Fórmula del residuo Suponga que f ( x ) ∈ Cn+1[a, b]. Entonces existe un ξ ( x ) ∈ (a, b) tal que 42.10.

f ( x ) = p( x ) +

f n+1 (ξ ( x )) ( x − x 0 )( x − x1 )L ( x − x n ) (n + 1)!

FÓRMULA DE DIFERENCIA DE NEWTON Diferencia de primer orden en x0 42.11.

∆f ( x 0 ) = f ( x1 ) − f ( x 0 )

Diferencia de segundo orden en x0 42.12.

∆ 2 f ( x 0 ) = ∆f ( x1 ) − ∆f ( x 0 )

Diferencia de k-ésimo orden general en x0 42.13.

∆ k f ( x 0 ) = ∆ k −1 f ( x1 ) − ∆ k −1 f ( x 0 )

Coeficiente binomial 42.14.

⎛ s⎞ s(s − 1)L (s − k + 1) ⎜⎝ k⎟⎠ = k!

Fórmula de diferencia de Newton n

42.15.

⎛ n⎞ p( x ) = ∑ ⎜ ⎟ ∆ k f ( x 0 ) ⎝ k⎠ k =0

donde p (x) es un polinomio de n-ésimo orden de interpolación de n + 1 puntos espaciados iguales ( x k , f ( x k )), x k = x 0 + kh k = 0, 1, K , n

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INTERPOLACIÓN

233

FÓRMULA DE DIFERENCIA REGRESIVA DE NEWTON Diferencia de primer orden regresiva en xn 42.16.

∇f ( x n ) = f ( x n ) − f ( x n−1 )

Diferencia de segundo orden regresiva en xn 42.17.

∇ 2 f ( x n ) = ∇f ( x n ) − ∇f ( x n−1 )

Diferencia de k-ésimo orden general regresiva en xn 42.18.

∇ k f ( x n ) = ∇ k −1 f ( x n ) − ∇ k −1 f ( x n−1 )

Fórmula de diferencia regresiva de Newton ⎛ − n⎞ p( x ) = ∑ (−1) k ⎜ ⎟ ∇ k f ( x n ) ⎝ k⎠ k =0 n

42.19.

donde p (x) es un polinomio de n-ésimo orden de interpolación de n + 1 puntos espaciados iguales ( x k , f ( x k )), x k = x 0 + kh

k = 0, 1, K , n

INTERPOLACIÓN DE HERMITE Polinomios bases de dos puntos 42.20.

x − x 0 ⎞ ( x − x1 )2 x − x1 ⎞ ( x − x 0 )2 ⎛ ⎛ H1,1 = ⎜1 − 2 H1, 0 = ⎜1 − 2 ⎟ 2 , x 0 − x1 ⎠ ( x 0 − x1 ) x1 − x 0 ⎟⎠ ( x1 − x 0 )2 ⎝ ⎝ ( x − x 0 )2 ( x − x1 )2 Hˆ 1,1 = ( x − x1 ) Hˆ 1, 0 = ( x − x 0 ) 2 , ( x 0 − x1 ) ( x1 − x 0 )2

Fórmula de interpolación de dos puntos 42.21.

H 3 ( x ) = f ( x 0 ) H1, 0 + f ( x1 ) H1,1 + f ′( x 0 ) Hˆ 1, 0 + f ′( x1 ) Hˆ 1,1

donde H3(x) es un polinomio de tercer orden, concordante con f (x) y su derivada de primer orden en dos puntos, es decir, H 3 ( x 0 ) = f ( x 0 ), H 3′ ( x 0 ) = f ′( x 0 ),

H 3 ( x1 ) = f ( x1 ), H 3′ ( x1 ) = f ′( x1 )

Polinomios bases generales 42.22.

x − xj ⎞ 2 ⎛ H n , j = ⎜1 − 2 L ( x ), Hˆ n , j = ( x − x j ) L2n , j ( x ) Ln′, j ( x j )⎟⎠ n , j ⎝

donde Ln , j =

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n

∏

i=0,i≠ j

x − xi x j − xi

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INTERPOLACIÓN

Fórmula de interpolación general 42.23.

n

n

j=0

j=0

H 2 n+1 ( x ) = ∑ f ( x j ) H n , j ( x ) + ∑ f ′( x j ) Hˆ n , j ( x )

donde H 2 n+1 ( x ) es un polinomio de (2n + 1)-ésimo orden, concordante con f (x) y su derivada de primer orden en n + 1 puntos, es decir, H 2 n+1 ( x k ) = f ( x k ), H 2′n+1 ( x k ) = f ′( x k )

k = 0, 1, K , n

Fórmula de residuo Suponga que f ( x ) ∈ C2 n+2 [a, b]. Entonces existe un ξ ( x ) ∈ (a, b) de manera que 42.24.

f ( x ) = H 2 n+1 ( x ) +

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f 2 n+ 2 (ξ ( x )) ( x − x 0 )2 ( x − x1 )2 L ( x − x n )2 (2n + 2)!

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43

Cuadratura

REGLA DEL TRAPECIO Regla del trapecio 43.1.

∫

b a

f ( x ) dx ~

b−a [ f (a) + f (b)] 2

Regla compuesta del trapecio 43.2.

∫

b a

f ( x ) dx ~

n −1 ⎞ h⎛ f ( a ) + 2 f (a + ih) + f (b)⎟ ∑ 2 ⎜⎝ ⎠ i =1

donde h = (b − a)/n es un tamaño de la cuadrícula.

REGLA DE SIMPSON Regla de Simpson 43.3.

∫

b a

f ( x ) dx ~

b−a ⎡ ⎤ ⎛ a + b⎞ f (a) + 4 f + f (b)⎥ 6 ⎢⎣ ⎝ 2 ⎠ ⎦

Regla compuesta de Simpson 43.4.

∫

b a

f ( x ) dx ~

n/2 n/2 ⎞ h⎛ f ( x 0 ) + 2∑ f ( x 2i − 2 ) + 4∑ f ( x 2i −1 ) + f ( x n )⎟ ⎜ 3⎝ ⎠ i=2 i =1

donde n par, h = (b − a)/n, xi = a + ih, i = 0, 1, K , n.

REGLA DEL PUNTO MEDIO Regla del punto medio 43.5.

∫

b a

f ( x ) dx ~ (b − a) f

⎛ a + b⎞ ⎝ 2 ⎠

Regla compuesta del punto medio 43.6.

∫

b a

n/2

f ( x ) dx ~ 2h∑ f ( x 2i ) i=0

donde n par, h = (b − a)/(n + 2), xi = a + (i − 1)h, i = −1, 0, K , n + 1.

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236

CUADRATURA

FÓRMULA DE CUADRATURA GAUSSIANA Polinomio de Legendre 43.7.

Pn ( x ) =

1 dn [( x 2 − 1)n ] 2 n ! dx n n

Puntos de abscisa y fórmulas ponderadas Los puntos de abscisa x k( n ) y el coeficiente de ponderación ω k( n ) se definen como sigue: 43.8.

x k( n ) = el k-ésimo cero del polinomio de Legendre Pn(x)

43.9.

ω k( n ) =

2Pn′( x k( n ) )2 1 − x k( n ) 2

Las tablas para las abscisas de Gauss-Legendre y ponderadas aparecen en la figura 43-1. Fórmula de Gauss-Legendre en el intervalo (!1, 1) 43.10.

∫

1 −1

n

f ( x ) dx = ∑ ω k( n ) f ( x k( n ) ) + Rn k =1

Fórmula de Gauss-Legendre en el intervalo general (a, b) 43.11.

∫

b a

f ( x ) dx =

b − a n (n) ⎛ a + b b − a⎞ ωk f + x k( n ) + Rn 2 ∑ 2 2 ⎠ ⎝ k =1

Fórmula de residuo 43.12.

Rn =

(b − a)2 n+1 (n !)4 ( 2 n ) f (ξ ) (2n + 1)[(2n)!]3

para algún a < ξ < b. n

x(n) k

2

0.5773502692

3

0.5773502692 0.7745966692 0.0000000000

4

0.7745966692 0.8611361159 0.3399810436 0.3399810436

5

0.8611361159 0.9061798459 0.5384693101

v(n) k 1.0000000000 1.0000000000 0.5555555556 0.8888888889 0.5555555556 0.3478548451 0.6521451549 0.6521451549 0.3478548451

0.0000000000

0.2369268850 0.4786286705 0.5688888889

0.5384693101

0.4786286705

0.9061798459

0.2369268850

Figura 43-1

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44

Solución de ecuaciones no lineales

Aquí se dan métodos para resolver ecuaciones no lineales, las cuales vienen en dos formas: 44.1. Ecuación no lineal: f (x) = 0 44.2. Ecuación no lineal de punto fijo: x = g(x) Es posible cambiar de la fórmula 44.1 a la 44.2, o de la 44.2 a la 44.1 por el sistema: g( x ) = f ( x ) + x o

f ( x ) = g( x ) − x

Puesto que los métodos son iterativos, existen dos tipos de errores estimados: 44.3.

| f ( x n ) | < ! o | x n+1 − x n | < !

para algún ! > 0 preasignado.

MÉTODO DE BISECCIÓN El siguiente teorema aplica: Teorema del valor intermedio: Suponga que f es continua sobre un intervalo [a, b] y f (a) f (b) < 0. Entonces, existe una raíz x* para f (x) = 0 en (a, b). El método de bisección aproxima tal solución x*. 44.4. Método de bisección: Paso inicial: considere a0 = a y b0 = b. Paso repetitivo: a)

Considere cn = (an + bn )/2.

b)

Si f (an ) f (cn ) < 0, entonces considere an+1 = an y bn+1 = cn; en caso contrario, considere an+1 = cn y bn+1 = bn.

MÉTODO DE NEWTON Método de Newton 44.5.

x n+1 = x n −

f ( xn ) f ′( x n )

Convergencia cuadrática 44.6.

| x n+1 − x ∗ | f ′′( x ∗ ) = n→∞ | x − x ∗ |2 2( f ′( x ∗ ))2 n lím

donde x* es una raíz de la ecuación no lineal 44.1.

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SOLUCIÓN DE ECUACIONES NO LINEALES

MÉTODO DE LA SECANTE Método de la secante 44.7.

x n+1 = x n −

( x n − x n−1 ) f ( x n ) f ( x n ) − f ( x n−1 )

Razón de convergencia 44.8.

| x n+1 − x ∗ | f ′′( x ∗ ) = ∗ ∗ n→∞ | x − x || x − x | 2( f ′( x ∗ ))2 n n −1 lím

donde x* es una raíz de la ecuación no lineal 44.1.

ITERACIÓN DE PUNTO FIJO La siguiente definición y teorema aplican: Definición: Una función g de (a, b) a (a, b) se llama mapeo de contracción si | g ( x ) − g ( y) | ! L | x − y |

para cualquier x , y ∈(a, b)

donde L < 1 es una constante positiva. Teorema de punto fijo: suponga que g es un mapeo de contracción sobre (a, b). Entonces, g tiene un punto fijo único en (a, b). Dado tal mapeo de contracción g, se puede usar el siguiente método. Iteración de punto fijo 44.9.

x n+1 = g( x n )

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45

Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales ordinarias

Aquí se dan métodos para resolver los siguientes problemas de valor inicial de una ecuación diferencial ordinaria: 45.1.

⎧⎪dx = f ( x , t ) ⎨ dt ⎩⎪x (t0 ) = x 0

Los métodos usarán una cuadrícula de cómputo: 45.2.

tn = t0 + nh

donde h es el tamaño de la cuadrícula.

MÉTODOS DE PRIMER ORDEN Método de Euler (método explícito de primer orden) 45.3.

x (t + h) = x (t ) + hf ( x (t ), t )

Método regresivo de Euler (método implícito de primer orden) 45.4.

x (t + h) = x (t ) + hf ( x (t + h), t + h)

MÉTODOS DE SEGUNDO ORDEN Regla del punto medio (método explícito de segundo orden)

45.5.

⎧ * h ⎪⎪x = x (t ) + 2 f ( x (t ), t ) ⎨ ⎛ h⎞ ⎪x (t + h) = x (t ) + hf ⎜ x * , t + ⎟ 2⎠ ⎝ ⎪⎩

Regla del trapecio (método implícito de segundo orden) 45.6.

h x (t + h) = x (t ) + { f ( x (t ), t ) + f ( x (t + h), t + h)} 2

Método de Heun (método explícito de segundo orden) 45.7.

⎧x * = x (t ) + hf ( x (t ), t ) ⎪ h ⎨ * ⎪⎩x (t + h) = x (t ) + 2 { f ( x (t ), t ) + f ( x , t + h)}

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240

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

MÉTODO DE UN SOLO PASO PARA ORDEN SUPERIOR Método de Runge-Kutta de cuarto orden (método explícito de cuarto orden) 45.8.

x (t + h) = x (t ) +

1 (F + 2F2 + 2F3 + F4 ) 6 1

donde F ⎛ F1 = hf ( x , t ), F2 = hf ⎜ x + 1 , t + 2 ⎝

F h⎞ ⎛ , F3 = hf ⎜ x + 2 , t + 2⎟⎠ 2 ⎝

h⎞ , F4 = hf ( x + F3 , t + h) 2⎟⎠

MÉTODOS DE ORDEN SUPERIOR DE PASOS MÚLTIPLES Método de dos pasos de Adams-Bashforth 45.9.

x (t + h) = x (t ) + h

1 ⎛3 f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h)⎞ 2 ⎝2 ⎠

Método de tres pasos de Adams-Bashforth 45.10.

x (t + h) = x (t ) + h

5 4 ⎛ 23 f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h) + f ( x (t − 2h), t − 2h)⎞ 12 3 ⎝ 12 ⎠

Método de cuatro pasos de Adams-Bashforth 45.11.

⎛ 55 ⎞ 59 37 9 x (t + h ) = x (t ) + h ⎜ f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h) + f ( x (t − 2h), t − 2h) − f ( x (t − 3h), t − 3h)⎟ 24 24 24 ⎝ 24 ⎠

Método de Milne 45.12.

x (t + h) = x (t − 3h) + h

8 4 ⎛8 f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h) + f ( x (t − 2h), t − 2h)⎞ 3 3 ⎝3 ⎠

Método de dos pasos de Adams-Moulton 45.13.

x (t + h ) = x (t ) + h

2 1 ⎛5 f ( x (t + h), t + h) + f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h)⎞ 3 12 ⎝ 12 ⎠

Método de tres pasos de Adams-Moulton 45.14.

⎛3 ⎞ 5 1 19 x (t + h) = x (t ) + h ⎜ f ( x (t + h), t + h) + f ( x (t ), t ) − f ( x (t − h), t − h) + f ( x (t − 2h), t − 3h)⎟ 24 24 24 ⎝8 ⎠

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46

Métodos numéricos para ecuaciones diferenciales parciales

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA LA ECUACIÓN DE POISSON La siguiente es la ecuación de Poisson en un dominio (a, b) × (c, d): 46.1.

∇ 2u = f ,

∇2 =

∂2 ∂2 2 + ∂x ∂y 2

Condición de frontera: 46.2.

u ( x , y ) = g ( x , y)

para x = a, b

o

y = c, d

Cuadrícula de cómputo: 46.3.

xi = a + i∆x

para i = 0, 1, …, n

y j = c + j∆y

para j = 0, 1, …, m

donde ∆x = (b − a)/n y ∆y = (d − c)/m son los tamaños de cuadrículas para las variables x y y, respectivamente. Aproximación de diferencias de segundo orden 46.4.

( Dx2 + Dy2 )u( xi , y j ) = f ( xi , y j )

donde Dx2 u( xi , y j ) =

u( xi +1 , y j ) − 2u( xi , y j ) + u( xi −1 , y j ) ∆x 2

Dy2 u( xi , y j ) =

u( xi , y j +1 ) − 2u( xi , y j ) + u( xi , y j −1 ) ∆y 2

Condiciones de frontera de cálculo 46.5. u( x 0 , y j ) = g(a, y j ),

u( x n , y j ) = g(b, y j )

para j = 1, 2, …, m

u( xi , y0 ) = g( xi , c),

u( xi , ym ) = g( xi , d )

para i = 1, 2, …, n

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA LA ECUACIÓN DE CALOR La siguiente es la ecuación de calor en un dominio (a, b) × (c, d ) × (0, T ) : 46.6.

∂u = ∇ 2u ∂t

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242

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

Condiciones de frontera: 46.7.

u ( x , y, t ) = g ( x , y)

para x = a, b

o

y = c, d

Condición inicial: 46.8.

u( x , y, 0) = u0 ( x , y)

Cuadrícula de cómputo: 46.9.

xi = a + i∆x

para i = 0,1, …, n

y j = c + j∆y

para j = 0,1, …, m

t k = k∆t

para k = 0,1, …,

donde ∆x = (b − a)/n, ∆y = (d − c)/m,y ∆t son los tamaños de cuadrículas para las variables x, y y t, respectivamente. Condiciones de frontera de cómputo 46.10. u( x 0 , y j ) = g(a, y j ), u( x n , y j ) = g(b, y j )

para j = 1, 2, …, m

u( xi , y0 ) = g( xi , c), u( xi , ym ) = g( xi , d )

para i = 1, 2, …, n

Condición inicial de cómputo 46.11. u( xi , y j , 0) = u0 ( xi , y j )

para i = 1, 2, …, n; j = 0, 1, …, m

Método de Euler con condición de estabilidad 46.12.

u( xi , y j , t k +1 ) = u( xi , y j , t k ) + ∆t ( Dx2 + Dy2 )u( xi , y j , t k )

46.13.

2∆t 2∆t + !1 ∆x 2 ∆y 2

Método regresivo de Euler (estable incondicional) 46.14.

u( xi , y j , t k +1 ) = u( xi , y j , t k ) + ∆t ( Dx2 + Dy2 )u( xi , y j , t k +1 )

Método de Cranck-Nicholson (estable incondicional) 46.15.

u( xi , y j , t k +1 ) = u( xi , y j , t k ) + ∆t ( Dx2 + Dy2 ){u( xi , y j , t k ) + u( xi , y j , t k +1 )}/2

MÉTODO DE DIFERENCIAS FINITAS PARA LA ECUACIÓN DE ONDA La siguiente es una ecuación de onda en un dominio (a, b) × (c, d ) × (0, T ): 46.16.

∂2u = A2 ∇ 2 u ∂t 2

donde A es una constante que representa la rapidez de la onda.

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MÉTODOS NUMÉRICOS PARA ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

243

Condición de frontera: 46.17.

u ( x , y, t ) = g ( x , y)

para x = a, b o y = c, d

Condición inicial: 46.18.

u( x , y, 0) = u0 ( x , y),

∂u u( x , y, 0) = u1 ( x , y) ∂t

Cuadrícula de cómputo: 46.19.

xi = a + i∆x

para i = 0, 1, …, n

y j = c + j∆y

para j = 0, 1, …, m

t k = k∆t

para k = −1, 0, 1,…

donde ∆x = (b − a)/n, ∆y = (d − c)/m,y ∆t son los tamaños de cuadrículas para las variables x, y y t, respectivamente. Aproximación de diferencias finitas de segundo orden 46.20.

u( xi , y j , t k +1 ) = 2u( xi , y j , t k ) − u( xi , y j , t k −1 ) + ∆t 2 A2 ( Dx2 + Dy2 )u( xi , y j , t k )

Condición de frontera de cómputo 46.21. u( x 0 , y j ) = g(a, y j ), u( x n , y j ) = g(b, y j )

para j = 1, 2, …, m

u( xi , y0 ) = g( xi , c), u( xi , ym ) = g( xi , d )

para i = 1, 2, …, n

Condición inicial de cómputo 46.22. u( xi , y j , t0 ) = u0 ( xi , y j )

para i = 1, 2, …, n; j = 0, 1, …, m

u( xi , y j , t−1 ) = u0 ( xi , y j ) + ∆t 2u1 ( xi , y j )

para i = 1, 2, …, n; j = 0, 1, …, m

Condición de estabilidad 46.23.

∆t ! A mín(∆x , ∆x )

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47

Métodos de iteración para sistemas lineales

MÉTODOS DE ITERACIÓN PARA LA ECUACIÓN DE POISSON La aproximación de diferencias finitas para la ecuación de Poisson es: 47.1.

⎧ui +1, j + ui −1, j + ui , j +1 + ui , j −1 − 4ui , j = fi , j ⎪⎪ para j = 1, 2,…, n – 1 ⎨u0 , j = un , j = 0 ⎪ para i = 1, 2,…, n – 1 ⎪⎩ui ,0 = ui ,n = 0

para i, j = 1, 2,…, n – 1

Los siguientes son tres métodos de iteración para resolver el sistema: Método de Jacobi 47.2.

uik,+j 1 =

1 k (u + uik−1, j + uik, j +1 + uik, j −1 − fi , j ) 4 i +1, j

Método de Gauss-Seidel 47.3.

uik,+j 1 =

1 k (u + uik−+11, j + uik, j +1 + uik,+j −11 − fi , j ) 4 i +1, j

Método de sobrerrelajación sucesiva (SOR) 47.4.

1 k ⎧ * * k * ⎪ui , j = (ui +1, j + ui −1, j + ui , j +1 + ui , j −1 − fi , j ) 4 ⎨ ⎪⎩uik,+j 1 = (1 − ω )uik, j + ω ui*, j

MÉTODOS DE ITERACIÓN PARA SISTEMAS LINEALES GENERALES Considere el sistema lineal 47.5. Ax = b donde A es una matriz de n × n y x y b son n-vectores. Suponga que la matriz de los coeficientes A está particionada como sigue: 47.6. A = D – L – U donde D = diag (A), L es la negativa de la parte estrictamente triangular inferior de A, mientras que U es la negativa de la parte estrictamente triangular superior de A.

244

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09/12/13 10:26

MÉTODOS DE ITERACIÓN PARA SISTEMAS LINEALES

245

Los métodos de cuatro iteraciones para resolver el sistema son: Método de Richardson 47.7.

x k +1 = (I − A) x k + b

Método de Jacobi 47.8.

Dx k +1 = ( L + U ) x k + b

Método de Gauss-Seidel 47.9.

( D − L ) x k +1 = Ux k + b

Método de sobrerrelajación sucesiva (SOR) 47.10.

( D − ω L ) x k +1 = ω (Ux k + b) + (1 − ω ) Dx k

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PARTE B

Tablas

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09/12/13 10:47

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 248

09/12/13 10:47

Sección I: Funciones logarítmica, trigonométrica y exponencial

1

Cuatro decimales de logaritmos comunes log10 N o log N

Partes proporcionales

249

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09/12/13 10:47

1

Cuatro decimales de logaritmos comunes log10 N o log N (continuación)

Partes proporcionales

250

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09/12/13 10:47

2

Sen x

(x en grados y minutos)

251

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 251

09/12/13 10:47

3

Cos x (x en grados y minutos)

252

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4

Tan x (x en grados y minutos)

253

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5

Conversión de radianes a grados, minutos y segundos o fracción de grados

Radianes

Grad.

Min.

Seg.

Fracción de grados

254

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6

Conversión de grados, minutos y segundos a radianes

Grados

Radianes

Minutos

Radianes

Segundos

Radianes

255

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7

Logaritmo natural o neperiano loge x o ln x

ln 10 = 2.30259 2 ln 10 = 4.60517 3 ln 10 = 6.90776

4 ln 10 = 9.21034 5 ln 10 = 11.51293 6 ln 10 = 13.81551

7 ln 10 = 16.11810 8 ln 10 = 18.42068 9 ln 10 = 20.72327

256

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09/12/13 10:47

7

Logaritmo natural o neperiano loge x o ln x (continuación)

257

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8

Funciones exponenciales ex

258

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9

Funciones exponenciales e–x

259

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10

Integrales de exponencial, seno y coseno %I X 

°

d U X

E DU 3I X  U

°

X 

SEN U DU #I  X  U

°

d X

COS U DU U

260

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Sección II: Factorial y función gamma, coeficientes binomiales

11

Factorial n n! = 1  2  3 

n

261

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12

Función gamma ∞

Γ( x ) = ∫ t x −1e − t dt x

para 1 ! x ! 2

[Para otros valores use la fórmula Γ(x + 1) = x Γ(x)]

262

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 262

09/12/13 10:47

13

Coeficientes binomiales n! n(n − 1) (n − k + 1) ⎛ n ⎞ ⎛ n⎞ =⎜ , 0! = 1 ⎜⎝ k⎟⎠ = k !(n − k )! = k! ⎝ n − k⎟⎠

Observe que cada número es la suma de los dos números de la fila de arriba; uno de estos números está en la misma columna y el otro está en la columna precedente (ejemplo, 56 = 35 + 21). El arreglo a menudo se llama triángulo de Pascal (vea la fórmula 3.6, página 8).

263

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 263

09/12/13 10:47

13

Coeficientes binomiales n! n(n − 1) (n − k + 1) ⎛ n ⎞ ⎛ n⎞ =⎜ , 0 ! = 1 (continuación) ⎜⎝ k⎟⎠ = k !(n − k )! = k! ⎝ n − k⎟⎠

⎛ n⎞ ⎛ n ⎞ . Para k > 15 considere que ⎜ ⎟ = ⎜ ⎝ k⎠ ⎝ n − k⎟⎠

264

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Sección III: Funciones de Bessel

14

Funciones de Bessel

15

Funciones de Bessel

J0(x)

J1(x)

265

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09/12/13 10:47

16

Funciones de Bessel

17

Funciones de Bessel

Y0(x)

Y1(x)

266

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18

Funciones de Bessel

19

Funciones de Bessel

I0(x)

I1(x)

267

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20

Funciones de Bessel

21

Funciones de Bessel

K0(x)

K1(x)

268

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22

Funciones de Bessel

23

Funciones de Bessel

Ber(x)

Bei(x)

269

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09/12/13 10:47

24

Funciones de Bessel

25

Funciones de Bessel

Ker(x)

Kei(x)

270

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26

Valores para ceros aproximados de las funciones de Bessel

La siguiente tabla lista las primeras raíces positivas de varias ecuaciones. Observe que para todos los casos, la listas de las raíces sucesivas varían aproximadamente por p = 3.14159. . .

271

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 271

09/12/13 10:47

Sección IV: Polinomios de Legendre

27

Polinomios de Legendre Pn(x) [P0(x) = 1, P1(x) = x]

272

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09/12/13 10:47

28

Polinomios de Legendre Pn(cos !) [P0(cos !) = 1]

273

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09/12/13 10:47

Sección V: Integrales elípticas

29

Integrales elípticas completas de primer y segundo tipo K=∫

π /2

0

dθ 1 − k sen θ 2

2

, E =∫

π /2

0

1 − k 2 sen 2θ dθ , k = sen ψ

274

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 274

09/12/13 10:47

30

31

Integral elíptica incompleta de primer tipo F ( k ,φ ) = ∫

φ

0

dθ 1 − k 2 sen 2θ

, k = senψ

Integral elíptica incompleta de segundo tipo E ( k ,φ ) = ∫

φ

0

1 − k 2 sen 2θ dθ , k = senψ

275

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 275

09/12/13 10:47

Sección VI: Tablas financieras

32

Cantidad compuesta: (1 ! r ) n

Si una P principal es depositada a una tasa de interés r (en decimales) compuesta anualmente, entonces, al final de n años, la cantidad acumulada es A = P(1 + r)n.

276

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 276

09/12/13 10:47

33

El valor actualizado de una cantidad: (1 ! r ) !n

El valor actual de P que ascenderá a A en n años a una tasa de interés r (en decimales) compuesta anualmente es P = A(1 + r)!n.

277

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 277

09/12/13 10:47

34

(1 + r ) n – 1 r Si una P principal es depositada al final de cada año a una tasa de interés r (en decimales) (1 − r )n − 1⎤ compuesta anualmente, entonces, al final de n años la cantidad acumulada es P ⎡⎢ . r ⎣ ⎦⎥ El proceso a menudo se llama anualidad.

Cantidad de una anualidad:

278

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 278

09/12/13 10:47

35

1 – (1 + r )– n r Una anualidad en la que el pago anual al final de cada n años es A en una tasa de interés r (en

Valor presente de una anualidad:

⎡1 − (1 + r ) − n ⎤ decimales) compuesta, tiene anualmente un valor presente A ⎢ ⎥⎦ . r ⎣

279

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 279

09/12/13 10:47

Sección VII: Probabilidad y estadística Áreas bajo la curva normal estándar

36 Observe que:

desde ∞ hasta x x 1 Φ( x ) = e − t / 2dt ∫ −∞ 2π 2

erf (x) = 2 (x 2 )

0

x

1

280

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 280

09/12/13 10:47

37

Ordenadas de la curva normal estándar y=

1 −x e 2π

2

y

/2

0

x

281

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 281

09/12/13 10:47

38

Valores percentiles (tp ) para la distribución t de Student con n grados de libertad (área sombreada = p)

tp

Fuente: R. A. Fisher y F. Yates, Statistical Tables for Biological, Agricultural and Medical Research

282

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 282

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39

Fuente:

Valores percentiles (!2p ) para la distribución !2 ( ji cuadrada )

con n grados de libertad (área sombreada = p)

c p2

Table of percentage points of the !2 distribution,

283

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 283

09/12/13 10:47

Valores percentiles 95a. para la distribución F

40

n1 = grados de libertad para el numerador n2 = grados de libertad para el denominador (área sombreada = .95)

F.95

Fuente: G. W. Snedecor y W. G. Cochran, Statistical Methods

284

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 284

09/12/13 10:47

Valores percentiles 99a. para la distribución F

41

n1 = grados de libertad para el numerador n2 = grados de libertad para el denominador (área sombreada = .99)

F.99

Fuente: G. W. Snedecor y W. G. Cochran, Statistical Methods

285

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 285

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42

Números aleatorios

286

13_End Matters Tablas_Spiegel(247-286).indd 286

09/12/13 10:47

Índice de símbolos y anotaciones especiales La siguiente lista muestra símbolos y anotaciones especiales junto con las páginas sobre la cuales se definen o aparecen primero. Los casos donde un símbolo tiene más de un significado serán aclarados desde el contexto.

Símbolos r coeficiente de correlación de muestra, 213 sxy covarianza de muestra, 213 QU, M, QL cuartiles, 211 s desviación estándar de la muestra, 208, 210 DM desviación media, 211 h1, h2, h3 factores de escala en coordenadas curvilíneas, 127 Kn(x) función Bessel modificada de segundo tipo, 156 B(m, n) función beta, 152 Jn(x) función de Bessel de primer tipo, 153 Yn(x) función de Bessel de segundo tipo, 153 In(x) función de Bessel modificada de primer tipo, 155 Fs función frecuencia acumulada, 209 erfc(x) función de error complementario, 203 erf(x) función de error, 203 Qnm(x) funciones asociadas de Legendre de segundo tipo, 168 Bern(x), Bein(x) funciones de Ber y Bei, 157 Qn(x) funciones de Legendre de segundo tipo, 167 Hn(1)(x), Hn(2)(x) funciones Hankel de primer y segundo tipo, 155 F(a, b; c; x) funciones hipergeométricas, 178 Kern(x), Kein(x) funciones Ker y Kei, 158 Ci(x) integral coseno, 204 C(x) integral coseno de Fresnel, 204 Si(x) integral seno, 203 S(x) integral seno de Fresnel, 204 K = F(k, p /2) integral elíptica completa de primer tipo, 198 E = E(k, p /2) integral elíptica completa de segundo tipo, 198 F(k, f ) integral elíptica incompleta de primer tipo, 198 E(k, f) integral elíptica incompleta de segundo tipo, 198 OF SPECIAL SYMBOLS INDEX 284 Ei(x) integral exponencial, 203 xk(n) k-ésimo cero del polinomio de Legendre Pn(x), 232 log x o log10 x logaritmo común de x, 53 Une(x) Chebyshev polynomials ln x o log x logaritmo natural de x, 53of second kind, 176 Var(X) variance of random H. M. media armónica, 210variable X, 224 sampledemean, grand mean, 208, 209 x, x media muestra, media grande, 208, 209 (n) kth zero of Legendre G. xM. media geométrica, 209polynomial Pn(x), 232 k Yn(x) Besselofunction of matemática second kind,de153 E(X) media esperanza una variable aleatoria X, 223 standardized random variable, 226 BbZ números de Bernoulli, 142 En números de Euler, 142 Hn(x) polinomio de Hermite, 169 m (x) polinomios asociados de Laguerre, 173 GreekLSymbols n Tn(x) polinomios de Chebyshev de primer tipo, 175 ar Urth moment in standard units, 212 de segundo tipo, 176 p pi, 3 (x) polinomios de Chebyshev n g LEuler’s constant, 4 de Laguerre, 171 f spherical coordinate, 38 (x) polinomios n Γ(x) P gamma function, 149de Legendre asociados, 167 1 1 1 m (x) polinomios Φ (p) sum 1 + + + ! + , Φ(0) = 0, 154 n p 2 3 ζ(x) PRieman zeta function, 204 (x) polinomios de Legendre, 164 n m population mean, 208 Φ (x) probability distribution function, 226 q coordinate: cylindrical 37, s population standard deviation, 223 polar, 11, 24; spherical, 38 s2 population variance, 223

AND NOTATIONS

287

Notations A~B |A| 14_End Matters Simbolos_Spiegel(287-288).indd 287

n! ⎛ n⎞

A is asymptotic to B or A/B approaches 1, 151 ⎧ A if A ≥ 0 absolute value of A = ⎨ ⎩− A if A < 0 factorial n, 7

09/12/13 10:52

288

ÍNDICE DE SÍMBOLOS Y ANOTACIONES ESPECIALES

P(A/E) probabilidad condicional de A dado E, 219 RCH raíz cuadrática media, 211 INDEX OF SPECIAL SYMBOLS AND NOTATIONS 284 !, ! 1 transformada de Fourier y transformada inversa de Fourier, 194 ", " 1 transformada de Laplace y transformada inversa de Laplace, 180 INDEX OF SPECIAL SYMBOLS AND NOTATIONS 284 Z variable aleatoria estandarizada, 227 INDEX OF SPECIAL SYMBOLS AND NOTATIONS 284 2 U (x) Chebyshev polynomials of second kind, 176 s varianza de n muestra, 208, 210 INDEX Var(X) variance of X, random X, 224OF 284 Var(X) varianza de variable aleatoria 224 variable INDEX OF SPECIAL SPECIAL SYMBOLS SYMBOLS AND AND NOTATIONS NOTATIONS 284 sample mean, grand mean, 208, 209 , xpolynomials e1,Ue2,(x) e3 vectores xunitarios en coordenadas Chebyshev of second curvilíneas, kind, 176 127 n (n) U Chebyshev polynomials ofof second kind,polynomial 176 xkrandom kth zero i, nj,(x) k vectores unitarios envariable coordenadas 120Pn(x), 232 Var(X) variance of X,Legendre 224rectangulares, Var(X) variancemean, random variable X, 224 Yof (x) Bessel function of second kind, 153 n sample grand mean, 208, 209 xU, (x) x Chebyshev polynomials of 208, second kind,variable, 176 sample grand mean, 209 Z standardized random 226 xx,nn(x) x (n) U Chebyshev polynomials of second 176 kth zeromean, ofofLegendre polynomial Pnkind, (x), 232 Var(X) variance random variable X, 224 k (n) x kth zero of Legendre polynomial P (x), 232 Var(X) variance of random variable X, 224 k n Yxn,(x) Bessel function of second kind, 153 samplefunction mean, grand mean,kind, 208,153 209 x Yxn,(x) Bessel of second sample mean,random grand mean, 208, 209 x(n) standardized variable, 226 xkZ kth zero of Legendre polynomial P (x), 232 (n) Z standardized random variable, 226 ÍMBOLOS GRIEGOS xk Greek kth zeroSymbols of Legendre polynomial Pnn(x), 232 Yn(x) Bessel function of second kind, 153 Yn(x) Bessel function of second kind, 153 standardized random 226 ar momento rth moment invariable, standard units, 212 212 pi,33 aZr r-ésimo en unidades estándar, pp pi, Z standardized random variable, 226 Greek Symbols g Euler’s constant, 4 spherical coordinate, 38 38 g constante de Euler, 3 ff coordenada esférica, 37, Greek Symbols Γ(x) gamma function, 149 1 1 1 Γ(n) función gamma, 149 ar rth moment in standard units, 212 p pi, 3 Φ(p) (p) suma sum 1 + + + ! + , Φ(0) = 0, 154 Φ p 2 3 agr rth in standard pi, 3 ζ(x) Rieman zeta212 function, Greek Symbols ζ(x)moment función deunits, Riemann, 204 204 Euler’s constant, 4zeta fp spherical coordinate, 38 Greek Symbols g Euler’s constant, 4 f spherical coordinate, 38 m population mean, 208 Φ (x) probability distribution function, 226 m media de población, 208 Φ (x) distribución F, 230 Γ(x) function, 149 units, 212 1 ar gamma rth moment in standard pi, 3 1 + 1 + 1s + !population Φ (p)p + 1 , Φ(0)estándar = 0, 154de Γ(x) gamma function, 149 q coordinate: 37, standard deviation, 223223 coordenada: cilíndrica 37, desviación población, ar Rieman rthqmoment in standard units,cylindrical 212 p sum pi, 3 1 + 21 +s31 + ! p ζ(x) zeta function, 204 Φ (p) sum + 38, Φ(0) = 0, 154 g Rieman Euler’s constant, 4 polar, f spherical2coordinate, p38 de población, 322 varianza ζ(x) zeta function, 204 11, 24; spherical, 38 s population variance, 223 polar, 11, 24; esférica, 37, 38 s 223 g Euler’s constant, 4 f spherical coordinate, m population mean, 208 Φ (x) probability Γ(x) gamma function, 149 1 distribution 1 1 function, 226 population mean, 208 37, Φ (x) probability (p) sum 1 + 1 standard Γ(x) gamma function, 149 +distribution Φ (0) = 0226 , 154 1 + ! + 1 ,function, qm coordinate: cylindrical s population 223 p , Φ (0) = 2 + 3 + ! +deviation, ζ(x) Rieman zeta function, 204 Φ (p) sum 1 + 0, 154 q coordinate: cylindrical 37, s population standard deviation, 223 p 2 3 2 ζ(x) Rieman zeta function, 204 polar, 11,mean, 24; spherical, 38 s(x)2 population variance, 223function, 226 m population 208 Φ probability distribution polar, 11,mean, 24; spherical, 38 223function, 226 m population 208 Φs (x) population probabilityvariance, distribution Notations q coordinate: cylindrical 37, s population standard deviation, 223 q coordinate: cylindrical 37, s2 population standard deviation, 223 polar, 11, 24; spherical, 38 s 2 population variance, 223 polar, 11, 24; spherical, s or A/B population variance, A ~ B 38 A is asymptotic to B approaches 1, 151 223 NOTACIONES Notations ⎧ A if A ≥ 0 NotationsA ~ B |A| absolute value of A =1,⎨151 A es asintótica de B o A/B se aproxima A if A < 0 A~B A is asymptotic to B or A/B approaches 1,⎩−151 A~B A is asymptotic to B or« A/B approaches 1, 151 Notations ! SI ! r  n! factorial n, 7 0 A if A ≥ |A| valor absoluto de A = ⎧ ; |z| valor absoluto de un número complejo, 11 Notations |A| absolute value of A = ¬­⎨⎧ A! ifSI A ! ≥0 A ifapproaches A< 0 absolute A ~|A|B A is asymptotic 1, 151 ⎛ n⎞value oftoAB=or⎩⎨−A/B 0 − A if A < binomial coefficients, 8 151 A ~n!B is asymptotic to B or⎩ A/B approaches 1, ⎜⎝ k⎟⎠ 7 nAfactorial, ⎧ A if A ≥ 0 n! factorial n, 7 |A| absolute value of A = 0 A if A ≥ ⎧ n! factorial n, 7 of A = ⎨− A if A < 0 dyabsolute value ⎫binomiales,⎩⎨−8A if A < 0 ⎛ n|A| ⎞ coeficientes = f !( x ) coefficients, 8⎩ ⎪7 ⎜⎝⎛kn⎟⎠⎞n! y! = dxbinomial factorial n, binomial coefficients, 8 derivatives of y or f(x) with respect to x, 62 ⎜⎝ k⎟⎠n! d 2 y factorial n, ⎬⎪7 dy ⎛ ny⎞!! = ⎫ 2 = f !! ( x ), etc. 8 y! = dy = f !( x⎜⎛)n⎟⎞ ⎪⎫ dx binomial coefficients, ⎭ binomial coefficients, 8 respect to x, 62 y! = dx = f !( x⎝⎜)kk⎠⎟ ⎬⎪ derivatives ofyyoorf (x) f(x)con with p ⎝ ⎠ d derivadas de respecto a to x,respect 62,6264 to x, 64 d 22ydx p derivatives of y or pth f(x)derivative with respect x, with ⎬ D = dy ⎫ ⎪ = f=!! f(!x(),x )etc. y!! = yd! =2ydy dx p ⎫ ⎪ ⎭ f x etc = !! ( ), . y!! =ydx ⎪ ! =2dx = f !( x ) ⎭⎪ dx 2 derivatives of y or f(x) with respect to x, 62 f d p ∂f ,⎬⎬ ∂f , ∂derivatives d 2 ydx y orpartial f(x) with x, 62 derivatives, , etc. of with derivative respect torespect x, 64 to65 .⎪ ∂x pth y!! = d 2 y2D=ppf=!! ( xd),ppp etc ∂ x ∂ x ∂ y ⎪ pth derivative with respect to x, 64 dx etc.⎭ y!! = dx 2 pD= f !!= (dx ),U p p-ésima derivada de U, 65 dxD U = dx pp ⎭ ∂( x , y, z ) ∂f ∂f ∂2p2 f dx dp derivative withJacobian, respect to128 x, 64 partial 65 , ∂f , D∂p f= , detc . ∂ f p ∂ ( upth , uderivatives, pth with65 respect to x, 64 ∂x , ∂x , D ∂x ∂y= ,dx 1 , u2derivative 3) partial derivatives, etc. ∂fx ∂fx ∂∂x22∂fy dx p derivadas parciales, 66 ) ∂f , ∂f , ∂(∂x , fy,,zetc. indefinite integral, 67 ∫ f ( x )dxderivatives, ∂∂xf , ∂∂xf , ∂∂(∂xx2∂,yfy,,zetc partial 65 )) . Jacobian, 128 ∂x , ∂x∂,(u∂1x, ∂uy2 ,,uetc partial derivatives, 65 3 . Jacobian, 128 b ∂x ∂x ∂(u∂1x,∂uy2 , u3 ) f ( x )dx definite integral, 108 ∂( xf ,(yx,)zdx ) ∫jacobiano, a indefinite integral, 67 ∂∫( x , y, z ) Jacobian, 128 128 indefinite integral, 67 ∂(u∫1 ,fu(2x,)udx Jacobian, 128 3) A i dr line ∂(ub1 , u2 , u3 ) ∫C integral, 108 integral of A along C, 124 b f ( x )dx definite ∫a∫ fff (((xxx)))dx indefinite 67product of A and B, 120 definite integral, 108 A i indefinida, B integral, dot integral dx indefinite integral, 67 ∫a∫ dx b A i dr line integral of A along C, 124 of A and B, 121 A × B cross product ∫∫ bC fA( xi)dr dx definite integral, 108 line integral of A along C, 124 ∇ del operator, integral definida, definite integral, 108 ∫∫aaC f (Ax )idxB dot product of A and B, 120 122 2 B dot product and 120 ∇cross =∇ i ∇ ofof Laplacian operator, 123 line integral along 124 B product ofAA andB,B,C, 121 ∫∫C AAAAAii××idr 4integral 2integral 2 la of drB line AA along C, 124 de línea de AB, a lo largo de C,123 124 cross product of A and 121 ∇ = ∇ (∇ ) biharmonic operator, C ∇B del 122 dotoperator, product of A and B,B,120 •iB AA producto punto de A y 120 ∇ del operator, 122 2 iB dot product of A and B, 120 ∇ 2 = ∇AA i∇ Laplacian operator, 123 B cross product of A 121 A i×× producto cruz de A and y123 B,B, 121 Laplacian operator, ×∇2BB cross product of A and B, 121 ∇∇44 ==∇∇2A (∇ ) biharmonic operator, 123 ∇ del operator, 122 2 operador Nabla, 122 ∇ 2= ∇2 (∇∇ ) biharmonic operator, 123 ∇ del operator, 122 ∇∇22 == ∇ Laplacianlaplaciano, operator, 123 ∇ ii• ∇ ∇ operador 123 ∇ =∇ ∇ Laplacian operator, 123 ∇444 == ∇ ∇222(∇ (∇222)) biharmonic operator, 123 ∇ operador biarmónico, 123 ∇ = ∇ (∇ ) biharmonic operator, 123

S

A

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Índice analítico

A Adición de vectores, ley del paralelogramo para, 119 Alfabeto griego, 3 Álgebra de conjuntos, 217 Amplitud de z, 11 Ángulo fórmulas de doble, 48 fórmulas de medio, 48 negativo, 43 funciones de, 46 positivo, 43 Antiderivada, 67 Antilogaritmos comunes, 53 naturales, 53 Aproximación de diferencias finitas para la ecuación de Poisson, 244 Área del rectángulo, 16 del trapecio, 16 del triángulo, 16 integrales de, 125 Argumentos negativos, funciones de, 56 Aritmética de los números complejos, 10 Asimetría, coeficiente de, 212 B Base, 53 natural de los logaritmos, 3, 62, 71 Bernoulli definición de números de, 142 fórmula asintótica para números de, 143 números de, 134, 138, 142 tabla de los primeros números de, 142 Binomial(es) coeficientes, 8 distribución, 226 fórmula, 5, 7 series, 138 Bruja de Agnesi, 31 C Cambio de base de logaritmos, 54 Campo de Borel, 217 Cardioide, 29, 30, 32 Caracol de Pascal, 29, 32 Cassine, óvalos de, 32 Catenaria, 29, Cero factorial, 7 Cicloide, 28

acortada, 30 alargada, 30 Cilindro circular de altura inclinada, 19 circular recto, 19 elíptico, 39 Círculo, 17 Cisoide de Diocles, 33 Coeficiente de asimetría, 212 de correlación de muestra, 213 de exceso, 212 de Kurtosis, 212 multinomial, 9 Coeficientes binomiales, 8 propiedades de los, 8 de Fourier, 144 Complejo conjugado de z, 10 número, 10 plano, 11 Componentes de un vector, 120 Conjunto de números, 208 Cónicas, 25. Véase también Elipse, Hipérbola, Parábola Cono circular recto, 20 tronco de, 20 elíptico, 39 Constante de Catalán, 200 Constante de Euler, 3, 112, 150, 154 Constantes, 62 de integración, 67 restringidas, 71 Continuidad, punto de, 144 Convergencia cuadrática, 237 intervalo de, 138 Coordenadas bipolares, 131 especiales, 3 cónicas, 132 elipsoidales confocales, 133 esféricas, 37, 129 esferoidales achatadas, 131 esferoidales alargadas, 131 nuevas, 24 paraboloidales, 130 confocales, 133 polares, 11, 24 rectangulares, 24, 127 toroidales, 132 viejas, 24

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ÍNDICE ANALÍTICO

Coordenadas cilíndricas, 37, 129 elípticas, 130 parabólicas, 129 Coordenadas curvilíneas, 127 ortogonales, 128 fórmulas que involucran, 128 sistema de, 127 Correlación de muestra, coeficiente de, 213 Cosecante hiperbólica de x, 56 Coseno hiperbólico de x, 26 Cosenos directores de una recta, 34 relación entre los, 34 Cotangente hiperbólica de x, 56 Covarianza de muestra, 213 Cruz vectorial, 121 Cuadrantes, 43 Cuartil menor, 211 Cuartiles (QL, M, QU), 211 Curva cerrada simple, 126 de mejor ajuste, 215 de mínimos cuadrados, 215 de potencia, 216 exponencial, 215 D Datos agrupados, 208 bivariados, 212 no agrupados, 208 Definición de eventos, 217 funciones hiperbólicas, 56 la transformada inversa de Laplace, 180 radián, 44 una derivada, 62 una serie de Fourier, 144 Definición de la función beta, 152 gamma, 149 Definición de números de Bernoulli, 142 Euler, 142 Definición de una integral definida, 67, 108 indefinida, 67 Derivación, 62 Derivada(s) de la función gamma, 150 de una función vectorial, 122 de vectores, 122 definición de una, 62 parcial de z, 66 Derivada de funciones exponenciales, 63 hiperbólica, 64 inversa, 64 logarítmicas, 63 trigonométricas, 63 inversas, 63 Derivadas parciales, 66 de mayor orden, 66 de una función vectorial, 122 Desigualdad de Cauchy-Schwarz, 205 para integrales, 206 de Chebyshev, 206

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de Holder, 205 para integrales, 206 de Minkowski, 206 para integrales, 206 del triángulo, 205 Desviación estándar de la muestra, 210 media (DM), 211 Diagrama de árbol de probabilidad, 219 Argand, 11 Diferencial de x, 65 de y, 65 Diferenciales multivariables, 66 reglas para, 65 Directriz, 25 Discontinuidad, punto de, 144 Discriminante, 13 Distancia entre dos puntos, 22 Distribución binomial, 226 de Poisson, 229 de probabilidad, 223 F, 230 hipergeométrica, 229 ji cuadrada, 230 normal, 226 estandarizada, 227 t de Student, 229 Divergencia, 122, 128 del rotacional, 123 teorema de la, 126 División de números complejos, 10 en forma polar, 11 Duplicación de un cubo, 33 E Ecuación cuadrática, 13 cuártica, 14 cúbica, 13 de Bernoulli, 116 de Bessel, 118 transformada, 118 de calor, 241 de Euler o Cauchy, 118 de la circunferencia, 25 de la recta que pasa por dos puntos, 22 de Legendre, 118 de onda, 242 de Poisson, 241 aproximación de diferencias finitas para la, 244 de un elipsoide, 38 del plano por sus intersecciones de los ejes, 35 exacta, 116 Ecuación diferencial de Bessel, 153 modificada, 155 de Chebyshev, 175 de Hermite, 169 de Laguerre, 171 asociada, 173 de Legendre, 164 asociada, 167 hipergeométrica, 178 Ecuación general de la recta, 23

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ÍNDICE ANALÍTICO un plano, 35 homogénea, 116 Ecuación lineal de primer orden, 116 homogénea de segundo orden, 117 no homogénea de segundo orden, 117 Ecuaciones de la esfera, 38 diferenciales básicas, soluciones de, 116-118 Elipse(s), 25 confocales, 130 Elipsoide, 38 Entero positivo, 6 Epicicloide, 30 Error cuadrático, 214 Escala, factores de, 127 Escalares, 119 Esfera, 19 Espacio de muestra, 217 probabilidad, 218 Espiral de Arquímedes, 33 Estadísticos, 208 Euler constante de, 3, 112, 150, 154 definición de números de, 142 identidades de, 54 número de, 71 números de, 138, 142 tabla de los primeros números de, 142 Evento(s) definición de, 217 imposible, 217 independientes, 221 seguro, 217 Evoluta de una elipse, 32 Excentricidad, 25 Exceso, coeficiente de, 212 Expansión asintótica, 161 para la función gamma, 151 Experimento binomial, 226 Exponente, 53 F Factores de escala, 127 Factorial n, 7 Foco, 25 Folio de Descartes, 31 Forma compleja de las series de Fourier, 144 de Cauchy, 138 de Lagrange, 138 normal para la ecuación del plano, 36 polar de los números complejos, 11, 54 Fórmula asintótica para números de Bernoulli, 143 binomial, 5, 7 de Bayes, 220 de cuadratura gaussiana, 236 de diferencia de Newton, 232 de diferencia regresiva de Newton, 233 de duplicación, 150 de Gauss-Legendre, 236 de interpolación de dos puntos de Hermite, 233 de inversión compleja, 180 de recursión, 149 de residuo de Hermite, 234 de Rodrigues, 164, 169, 171 de Simpson para n enteros, 109

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de Stirling, 151 multinomial, 9 parabólica para n enteros, 109 rectangular, 109 trapezoidal, 109 Fórmula de adición para la función de Bessel, 163 para los polinomios de Hermite, 170 Fórmula de la suma de Euler-Maclaurin, 137 Poisson, 137 Fórmulas de adición de funciones hiperbólicas, 57 de doble ángulo de funciones trigonométricas, 48 de medio ángulo de funciones trigonométricas, 48 de múltiples ángulos de funciones trigonométricas, 48 generales de funciones trigonométricas, 49 que contienen operador biarmónico, 123 Fórmulas de ángulo doble de funciones hiperbólicas, 57 medio de funciones hiperbólicas, 57 múltiple de funciones hiperbólicas, 57 Fórmulas recurrentes de la función de Bessel,154 para polinomios de Legendre, 165 Función beta, 152 de cuatro variables, 66 de distribución acumulada, 225 de error, 203 de Legendre de orden n, 164 de Neumann, 153 de probabilidad, 218 de pulso, 192 de Weber, 153 delta, 189 densidad, 224 escalón, 192 unitario de Heaviside, 192 exponencial, 53 frecuencia acumulada, 209 impar, 193 logarítmica, 53 masa de probabilidad, 223 nula, 189 par, 193 zeta de Riemann, 204 Función de Bessel de orden igual a la mitad de un entero impar, 157 de primer tipo de orden n, 153 de segundo tipo de orden n, 153 expansión de la, 162 fórmula de adición para la, 163 gráficas de la, 158 modificada, 157 de primer tipo de orden n, 155 de segundo tipo de orden n, 156 series ortogonales de la, 161 Función gamma, 4, 149 definición de la, 149 expansión asintótica para la, 151 gráfica de la, 149 para n < 0, 149 relación con la función beta, 152 relaciones entre la, 150 valores especiales para la, 150 Función Hankel de primer tipo de orden n, 155 segundo tipo de orden n, 155 Funciones de ángulos negativos, 46

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ÍNDICE ANALÍTICO

de argumentos negativos, 56 de Ber y Bei, 157 de Bessel modificadas de orden n, 155 de dos variables, series de Taylor para, 141 de Legendre de segundo tipo, 166, 167 de onda, 191 de x, 62 exponenciales y logarítmicas, series de Taylor para, 139 hipergeométricas, 178 Ker y Kei, 158 Funciones elípticas, 198 de Jacobi, 199 identidades que contienen, 201 periodos de las, 200 Funciones hiperbólicas, 56 definición de, 56 gráficas de, 59 potencias de, 58 producto de, 58 relación entre, 56 resta de, 58 series de Taylor para, 140 suma de, 58 Funciones hiperbólicas inversas, 59 gráficas de, 60 relación entre, 60 Funciones trigonométricas para un triángulo rectángulo, 43 relación entre, 44 series de Taylor para, 139 signos y variaciones de, 44 Funciones trigonométricas inversas, 49 gráficas de, 50 relación entre, 50 valores principales para, 50

de Parseval, 144 generalizada de Parseval, 144 que contienen funciones elípticas, 201 Igualdad de los números complejos, 10 vectores, 119 Integración constantes de, 67 generalizada por partes, 67, 69 Integral coseno de Fresnel, 204 de Frullani, 115 definida, 124 definición de una, 108 exponencial, 203 impropia, 108 indefinida, 67, 124 seno de Fresnel, 204 Integrales de área, 125 de línea, 124 de superficie, 125 de volumen, 125 dobles, 125 elípticas, 198-200 múltiples, 125 que contienen vectores, 124 triples, 125 Interpolación de Lagrange, 231 de Newton, 231 Intersección, 22 Intervalo de convergencia, 138 Involuta de una circunferencia, 31 Iteración de punto fijo, 238

G

J

Gauss, teorema de, 126 Gradiente de U, 122, 128 Gráfica de dispersión de los datos, 212 la función gamma, 149 Gráficas de funciones hiperbólicas, 59 inversas, 60 funciones trigonométricas, 46 inversas, 50 la función de Bessel, 158 Green primera identidad de, 127 segunda identidad de, 127 teorema de, 126

Jacobi, funciones elípticas de, 199 Jacobiano de la transformación, 128

H Hipérbola, 25, 27 Hiperboloide de dos hojas, 39 una hoja, 39 Hipocicloide con cuatro cúspides, 28 general, 30 I Identidad(es) de Euler, 54

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K k-ésimo percentil, 211 Kurtosis, 212 L Laplaciano, 123, 128 Lema de Borel-Cantelli, 219 Lemniscata, 28 Ley asociativa para la adición, 120 asociativa para la multiplicación escalar, 120 conmutativa para la adición, 120 de cosenos, 51 de DeMorgan, 217, 218 de probabilidad total, 220 de senos, 51 de tangentes, 51 del paralelogramo para adición de vectores, 119 distributiva, 120 Leyes de álgebra vectorial, 120 exponentes, 53 logaritmos, 53 Leyes del álgebra de conjuntos, 217 Límites de secuencia de eventos, 218

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ÍNDICE ANALÍTICO Línea real, 11 Logaritmo de un número complejo, 55 Logaritmos base natural de los, 3, 62, 71 cambio de base de, 54 Briggianos, 53 comunes, 53 naturales, 53, 67, 71 Neperianos, 53 M Magnitud del vector, 119 Mapeo de contracción, 238 Mayor cuartil, 211 Media aritmética, 208 armónica, 209 de la muestra, 208 de las medias, 209 de una población, 210 geométrica, 209 grande, 209 ponderada, 209 Mediana, 208 Medición de dispersión, 210 Medidas de asimetría o sesgo, 212 posición, 211 tendencia central, 208 Método de bisección, 237 de Cranck-Nicholson, 242 de Euler, 239 con condición de estabilidad, 242 de Gauss-Seidel, 244, 245 de Heun, 239 de Jacobi, 244, 245 de la secante, 238 de Milne, 240 de Newton, 237 de Richardson, 245 de Runge-Kutta, 240 regresivo de Euler, 239, 242 SOR (sobrerrelajación sucesiva), 244, 245 Métodos de Adams-Bashforth, 240 Adams-Moulton, 240 diferencias finitas, 241 Moda, 209 Módulo de z, 11 Momentos de inercia de varios cuerpos rígidos, 41 Multiplicación de números complejos, 10 en forma polar, 11 un vector por un escalar, 119 N n-ésima derivada, 64 Notación de la magnitud del vector, 119 un vector, 119 Nuevas coordenadas, 24 Número de Bernoulli, 71 de Euler, 71 Número complejo, 10 forma polar del, 11, 54

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logaritmo de un, 55 raíces de un, 12 valor absoluto de un, 11 Números conjunto de, 208 directores, 34 reales, 10 Números complejos aritmética de los, 10 división de, 10 igualdad de los, 10 multiplicación de, 10 resta de, 10 suma de, 10 Números de Bernoulli, 134, 138, 142 definición de, 142 fórmula asintótica para, 143 tabla de los primeros, 142 Números de Euler, 138, 142 definición de, 142 tabla de los primeros, 142 O Operador biarmónico, 123 de la transformada de Laplace, 180 inverso de la transformada de Laplace, 180 Nabla, 122 Ortogonalidad de los polinomios de Chebyshev, 176, 177 los polinomios de Hermite, 169 los polinomios de Laguerre, 172, 174 los polinomios de Legendre, 165 Óvalos de Cassine, 32 P Parábola(s), 25 confocales con un eje común, 129 que abre a la derecha, 26 que abre a la izquierda, 26 Paraboloide de revolución, 21 elíptico, 40 hiperbólico, 40 Parámetros, 208 Pares de transformadas de Fourier, 194 Parte(s) adyacentes, 52 imaginaria de z, 10 media, 52 opuestas, 52 real de z, 10 Pendiente de la recta que une dos puntos, 22 Periodicidad de funciones hiperbólicas, 61 Periodos de las funciones elípticas, 200 Perímetro del rectángulo, 16 trapecio, 16 triángulo, 16 p-ésima potencia de a, 53 Pirámide, 20 Plano complejo, 11 Gaussiano, 11 Polinomio(s) de Hermite, 169 de Laguerre, 171

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ÍNDICE ANALÍTICO

de Legendre, 236 especiales de Hermite, 169 especiales de Legendre, 164 Polinomios de Chebyshev de primer tipo, 175 de segundo tipo, 176 Potencias de funciones hiperbólicas, 58 trigonométricas, 48 Primera identidad de Green, 127 Probabilidad condicional de un evento, 219 de un evento, 218 distribución de, 223 función masa de, 223 Proceso estocástico, 219 Producto cruz, 121 de funciones hiperbólicas, 58 de funciones trigonométricas, 49 de Wallis, 207 escalar, 120 punto, 120 vectorial, 121 Propiedades de integrales de línea, 124 de los coeficientes binomiales, 8 generales de la transformada de Laplace, 181 Punto de continuidad, 144 de discontinuidad, 144 inicial, 119 terminal, 119

Reglas de Napier, 52 de Simpson, 235 para diferenciales, 65 68-95-99.7, 227 Reglas generales de derivación, 62 integración, 67 Regresión lineal, 214 Relación de la función beta con la función gamma, 152 de Legendre, 202 entre funciones hiperbólicas, 56 inversas, 60 entre funciones trigonométricas, 44 inversas, 50 entre grados y radianes, 44 entre integrales de superficie y dobles, 126 Relaciones entre la función gamma, 150 Representación de un vector, 119 r-ésimo momento, 212 Resta de funciones hiperbólicas, 58 trigonométricas, 49 números complejos, 10 Resultante de vectores, 119 Reversión de series de potencia, 141 Rosa de cuatro hojas, 29 tres hojas, 29 Rotación del gradiente, 123 Rotacional, 123, 128

R

S

Radián, 4 definición de, 44 Raíces de un número complejo, 12 Raíz cuadrática media (RCM), 211 Rama principal, 49 Rango intercuartil, 211 medio, 210 semiintercuartil, 211 Razón de convergencia, 238 Recta cosenos directores de una, 34 de mejor ajuste, 214 de mínimos cuadrados, 214 ecuaciones de la, 34, 35 Rectángulo, 16 área del, 16 perímetro del, 16 Regla de adición, 218 de complemento, 218 de diferencia, 218 de la cadena, 62 de L’Hopital, 154, 156 de monotonía, 218 del punto medio, 235, 239 del trapecio, 235, 239 Regla compuesta de Simpson, 235 del punto medio, 235 del trapecio, 235 Regla de Leibniz para derivación de integrales, 109 para derivadas mayores de productos, 65

Secante hiperbólica de x, 56 Segunda derivada, 64 identidad de Green, 127 Semiperímetro, 16 Seno hiperbólico de x, 56 inverso, 49 Serie asintótica de Stirling, 151 Series aritméticas, 134 aritméticas-geométricas, 134 binomiales, 138 de Maclaurin, 138 de potencias, 138 reversión de, 141 geométricas, 134 ortogonales de las funciones de Bessel, 161 Series de Fourier, 145-148 definición de una, 144 especiales, 145 forma compleja de las, 144 Series de Taylor, 138 para funciones de dos variables, 141 para funciones de una variable, 138 para funciones exponenciales y logarítmicas, 139 para funciones hiperbólicas, 140 para funciones trigonométricas, 139 Signos y variaciones de funciones trigonométricas, 44 Sistema coordenado ortogonal especial, 129 de mano derecha, 121 ortogonal, 127

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ÍNDICE ANALÍTICO Sistema de coordenadas curvilíneas, 127 Solución general de la ecuación de Bessel modificada, 156 de Legendre, 166 diferencial de Bessel, 154 diferencial de Chebyshev, 177 hipergeométrica, 178 Soluciones de ecuaciones diferenciales básicas, 116-118 Stokes, teorema de, 126 Suma de Euler-Maclaurin, fórmula de la, 137 números complejos, 10 Poisson, fórmula de la, 137 potencias de enteros positivos, 134 vectores, 119 Suma de funciones hiperbólicas, 58 trigonométricas, 49 Superficie integrales de, 125 y dobles, relación entre integrales de, 126

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operador de la, 180 operador inverso de la, 180 propiedades generales de la, 181-182 Transformadas especiales de Laplace, 183-192 Trapecio, 16 área del, 16 perímetro del, 16 Triángulo, 16 área del, 16 de Pascal, 8, 263 propiedades del, 8 esférico, 21, 51, 52 perímetro del, 16 plano, 51 rectángulo, funciones trigonométricas para un, 43 Trocoide, 30 Tronco de cono circular, 20 U Unidad imaginaria, 10, 54

T Tangente hiperbólica de x, 56 Tapa esférica, 20 Tendencia central, 208 Teorema de Bayes, 220 de convolución para transformada de Fourier, 194 de De Moivre, 11, 55 de extensión, 219 de Gauss, 126 de Green, 126 en el plano, 126 de la divergencia, 126 de la integral de Fourier, 193 de multiplicación para probabilidad condicional, 219 de Parseval, 194 de punto fijo, 238 de Stokes, 126 del límite central, 229 del valor intermedio, 237 del valor medio, 109 fundamental del cálculo integral, 108 Tercera derivada, 64 Toro, 21 Tractiz, 31 Transformación de coordenadas, 36-37 de integrales múltiples, 128 jacobiano de la, 128 Transformaciones de integrales, 70 Transformada de Fourier, 194 de Landen, 199 inversa de Fourier, 194 inversa de Laplace, 180 Transformada de Laplace, 180 definición de la, 180

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V Valor absoluto de un número complejo, 11 de clase, 208 medio, 208 teorema del, 109 promedio, 208 Valores especiales para la función gamma, 150 principales, 49 para funciones trigonométricas inversas, 50 Variable aleatoria, 223 continua, 223, 224 discreta, 223 estandarizada, 227 normal x, 226 Varianza de la muestra, 210 Vector cero, 119 componentes de un, 120 constante, 124 magnitud del, 119 notación de la magnitud del, 119 nulo, 119 representación de un, 119 unitario, 120 Vectores, 119 derivadas de, 122 igualdad de, 119 integrales que contienen, 124 resultante de, 119 suma de, 119 Viejas coordenadas, 24 Volumen de un paralelepípedo, 121 integrales de, 125

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