Atlas Tematico de Matematicas Analisis y Ejercicios

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(análisis) + ejercicios

IDEA BOOKS, S.A.

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Título de la colección ATLAS TEMÁTICOS Texto e ilustración © 1996 IDEA BOOKS, S.A.

Redacción / Ferran Hurtado, Licenciado en Matemáticas Ilustraciones / Equipo editorial Diseño de la cubierta / Lluís Lladó Teixidó

Printed in Spain by Emegé, Industria Gráfica, Barcelona EDICIÓN 1997

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Las cuarenta y dos fichas de texto de este libro constituyen una síntesis, con profusión de ilustraciones, del Análisis real de una variable, cubriendo el contenido clásico de esta disciplina en el ciclo medio e inicio del superior. En la serie A se trata del con­ junto de los números reales y se define C a partir de R x R, seña­ lándose propiedades que incidirán en temas posteriores. La serie B, elemental sólo en parte de B/1, versa sobre sucesiones y series en R. La serie C introduce las funciones reales de variable real, siendo C/3, sobre sucesiones y series funcionales, correspondien­ te al nivel superior. En la serie D se define la continuidad y se comentan los teoremas más significativos. Las cuestiones sobre continuidad uniforme, sucesiones y series de funciones exceden a quí el nivel elemental. La serie E aborda la derivabilidad y varios temas asociados; optim ización, gráficas, indeterm inaciones, aproximación de raíces, etc. Finalmente, la serie F trata de la inte­ gración y de sus aplicaciones a la medida. Las integrales trigono­ métricas, irracionales e impropias de F/8, F/10 y F/13 se incluyen en el nivel superior, y también los temas de sucesiones y series funcionales que se ven en F/15. Aunque el resumen teórico está salpicado de numerosos proble­ mas y ejemplos, a llí donde no han tenido cabida, oportunidad o abundancia suficiente se ha recurrido a la amplia colección de ejercicios resueltos del final del volumen, cuya numeración (por ejem plo E/7-3) permite buscarlos a partir de la ficha teórica (en este caso la E-7) o, al revés, retroceder a ella desde el ejercicio, si es que conviene consultarla. Esperamos que la obra sea de gran utilidad para sus lectores. EL A U TO R

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De l o s n ú m e r o s r e a l e s a los c o m p l e jo s Si el proceso de contar nos conduce a N, los números naturales, las necesidades de la medida -de dinero, longitudes, pesos, etc - conllevan el uso de fracciones, con lo que se llega hasta los números racionales, Q . En los primeros tiempos de las matemáticas se creía que dada una uni­ dad, pongamos de longitud, cualquier otra longi­ tud era expresión racional de la unidad anterior. En otras palabras, dos longitudes cualesquiera eran conmensurables, es decir, ambas un núme­ ro natural de veces cierta unidad adecuada. El descubrimiento pitagórico de la inconmensurabi­ lidad de la diagonal con el lado del cuadrado (véase fig. 1), dio al traste con tal creencia, pero una construcción y comprensión completa de los nuevos números, los irracionales, puestos al des­ cubierto, hubo de esperar hasta el siglo XIX, con Weierstrass, Cantor y Dedekind. NÚMEROS REALES El cuerpo de los números reales, que se denota por R, es un conjunto que contiene a Q , en el que se tienen una relación entre sus elementos (orden), denotada x < y (o y > x indistintamen­ te), que leeremos x es menor o igual que y (res­ pectivamente, y es mayor o igual que x), y dos operaciones internas, es decir, sendas aplica­ ciones R x R -> R, denotadas (x, y) -*• x + y, (x, y) -*• x • y a las que se da el nombre de suma y producto de números reales, respectivamente, cumpliéndose los axiomas que a continuación se enumeran. Fhra mayor sencillez, están distribuidos en cinco grupos, I a V, e incluso de manera sobreabun­ dante, es decir, puede caracterizarse R mediante una colección más reducida de axiomas, de los cuales se deducirán los que nosotros hemos aña­ dido de más, por razones de claridad. (I). R, con la suma y el producto es un cuerpo conmutativo. Es decir, se cumple: 1.1. x + (y + z) = (x + y) + z V x, y, z ¡s R. 1.2. x + y = y + x V x, y e R. 1.3. Existe un elemento de R, que designaremos 0 (cero), tal que 0 + x = x V x e R . 1.4. Rara cada elemento x de R existe un ele­ mento de R, denotado -x, tal que (—x) + x = 0. 1.5. x ■(y • z) = (x • y) ■z V x , y, z e R. 1.6. x • y = y ■z V x, y z e R. 1.7. Existe un elemento de R, que designaremos 1 (uno), distinto de 0, tal que 1 x = x V x e R . 1.8. Para cada elemento x e R distinto de 0, existe un elemento de R, denotado x A (o tam­

bién 1 ) tal que x • x 1 = 1. I.9 x • (x + y) = x ■y + x ■z

V x, y, z e R.

(II). R está totalmente ordenado com o cuerpo. Desglosadamente: II.1 . Cualesquiera que sean x, y de R, se cum­ ple x < y o bien y < x. 11.2. x = y equivale a que simultáneamente se cumplan x < y e y < x. Escribiremos x < y e y < x. Escribiremos x < y cuando x + y con x < y. 11.3. x < y e y < z implican x < z, cualesquiera que sean x, y z e R. 11.4. Si x, y z e R, de x < y se deduce x + z < y+z. 11.5. Si x, y e R cumplen x > 0, y > 0, se tiene x • y> 0. (III) El orden es arquimediano. Es decir, si x, y e R cumplen 0 < x, 0 < y, existe n e N tal que y < n ■x. Los axiomas de (I), (II) y (III) son también váli­ dos para Q , que también es cuerpo conmutati­ vo totalmente ordenado y arquimediano, por lo que el lector ya está familiarizado con sus con­ secuencias sencillas y con el lenguaje usado. (IV). Q es denso en R. En otras palabras, V x, y e R tales que x < y existe un q-¡ e Q entre ellos, o sea x < q, < y. Obsérvese que, por la misma razón, existirán q2, q3 etc., con x < ... < q3 < q2 < q1 < y. En definitiva, entre cada dos reales distintos hay infinitos racionales. Fára formular el axioma (V) precisamos ciertas definiciones previas. Sean a y b números reales cualesquiera con a < b. Se denomina intervalo abierto de origen y extremo b al conjunto de x e R tales que a < x < b , denotándose tal conjunto por (a, b). Se llama intervalo cerrado de origen a y extremo b al conjunto de í e R tales que a < t< b y se le denota [a, b}. Es habitual llamar intervalo de centro a y radio h a (a - h, a + h). Si c e R, se llama entorno de c a cualquier intervalo (a,b) tal que c e (a, b), en particular los centrados en c. Aunque no se trate de intervalos, es frecuente denotar (a, +°°) al conjunto de x e R tales que a < x (y análogamente para (-°°, a), [a, +°°) y H » , al). Utilizaremos también las notaciones R+ = (0, + C que hace corresponder a ) cada número real a el complejo (a, 0), de parte ( real a y parte imaginaria nula, asocia a diferen­ ) tes números reales diferentes números comple­ \ jos. Además, como / (a, 0) + (b, 0) = (a + b, 0), (a, 0) (b, 0) = (ab, 0), puede identificarse cada real x con el comple­ \ jo (x, 0). O sea, x = (x, 0) V x e R. ( ) Con ello, se tiene la cadena de inclusiones

Teorema fundamental del álgebra. Toda ecuación polinómica de coeficientes complejos tiene al menos una solución en C. Se sigue que anx n + ... + a, x + a0 = 0

(a, e C, an + 0)

tiene exactamente n soluciones en C, eventual­ mente coincidentes entre sí. Si los coeficientes a¡ son reales, las soluciones pueden ser unas reales y otras complejas, pero en este segundo caso con cada solución a + bi (b 0), se presenta también la conjugada, a bi, admitiendo el polinomio el divisor ( ( x - a ) 2+ + b2), que es primo entre los polinomios de coeficientes reales. Como consecuencia, si n es impar habrá, por lo menos, una solución real. Coordenadas polares del plano. Aplicación a C Cada punto del plano cartesiano puede describirse, además de por su abscisa x y su ordenada y (coordenadas cartesianas), por sus coordenadas polares, r y „)"■ Se pueden sumar y multiplicar dos sucesiones término a término obteniéndose una sucesión, y dividirlas si todos los términos de la segunda son distintos de 0 . Una sucesión se dice que es acotada superior­ mente cuando existe un número (cota) mayor o igual que todo término de la sucesión. Análo­ gamente se define la acotación inferior. Cuan­ do se cumplen ambas se habla, sin más, de sucesiones acotadas. Si una sucesión cumple an < a„ + , V n e N se dice que es creciente, y estrictamente crecien­ te cuando an < an+ i V n e N. Análogamente se define el decrecimiento, estricto o no. Las sucesiones constantes son las que tienen todos sus términos iguales entre sí. Un número real a será llamado límite de la sucesión (an) si para cada e > 0 puede hallarse un natural v tal que de a„ en adelante los tér­ minos de la sucesión difieran de a en menos de

s . Es decir, si n > v entonces |a„ - a| < e. Pues­ to que e puede tomarse arbitrariamente peque­ ño, el límite puede concebirse intuitivamente como un valor al cual se parecen tanto como sea imaginable los términos de la sucesión, según ésta avanza. Por ello, será natural tener: Proposición. El límite de una sucesión, si exis­ te, es único. Diremos que una sucesión es divergente si carece de límite y convergente si lo tiene. Si el límite es a, escribiremos lim a„ = a o bien a .

' a,

siendo también frecuente decir que a» tiende a a. • Ejemplo. 7n + 3 7 7n + 3 lim ■—----- + — ,pues — 2n + 1 2 r 2n + 1

7 1 = 0 puede hallarse un natural ¡'tal que si p, q son mayores que v, entonces |dp —3q\ < e. De forma imprecisa, pero intuiti­ va, las sucesiones fundamentales son aquellas cuyos términos son cada vez más parecidos entre sí. Pues bien: Proposición (Criterio de Cauchy). Una sucesión es convergente si, y sólo si, es fundamental. Este criterio, que permite conocer la conver­ gencia sin saber el límite, se cumple por tratar­ se de números reales (que por ello constituyen un cuerpo completo), mas no sería así si nos constriñéramos, por ejemplo, a Q. Decimos que una sucesión diverge a "más infi­ nito" cuando para cada número positivo M existe un término de la sucesión tal que todos los siguientes son mayores que M . En tal caso escribiremos lim a„ = +°c. Análogamente escri­ biremos lim a„ = -n = 0+ o

Utilizaremos también

lim fan = 0_

que indican, respectivamente, que los términos de la sucesión son positivos o negativos de cier­ to lugar en adelante. Si a 0 el resultado es + x, - x o x , determinándose el posible signo según que a sea positivo o negativo y el denomi­ nador 0 , 0+ o 0“ , mediante la regla aritmética de los signos. Si ambas sucesiones tienen lím i­ te 0 , el límite del cociente es indeterminado, lo cual significa que puede exisitir o no, y su valor depende de cada problema concreto: diremos que se presenta la indeterminación 0/0 . Los casos en que una o ambas sucesiones divergen a infinito se hallan recogidos en la tabla contigua en la que aparecen asimismo las indeterminaciones x _ x , x • o, x / x . Es interesante señalar que lim (a0 + a^n + a2n2 + ... + amnm) = ± x

= (lim an)"'"'bJ

siempre y cuando existan tales límites y poten­ cias (el significado de a* cuando x es irracional puede verse en C2). Esta regla se completa con los esquemas siguientes (y con a- * = 1/a+“ ) a = + x a > 1 0 < a < 1 0+ - 1 < a< 0 a< - 1 ¿3+ x

=+

OG - f OC

b =

+x

+xí> =

+x

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0+

b> 0 +

0

3

b 0 V n e N y es lim an = a e R, entonces lim y)a^ ■a2 ■... ■an = a. Stirling. Cuando n tiende a + x puede reem­ plazarse n! por e~n ■nn ■\ Z 2 ñ K

ATLAS DE M ATEM ÁTICAS 14

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Lí mi t e

B/2

ENCYCLOPÉDIE, ou D IC TIO N N A IR E RAISON NÉ

DES SCI ENCES ,

DES ARTS E T DES M É T IE R S , R^* 4a loaba *ra«. *

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Indeterminación

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o c -x

SU CESIO N ES Y SERIES 15

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Indeterminación

X

Sucesiones u series

SERIES DE NÚMEROS REALES

3. (cociente comparativo). a) Si lim (a y b n) = M (=é 0 y de + * ), ambas series convergen o ambas divergen. b) Si M = 0 y X br converge, X an también. c) Si M = + y X bn diverge, X a„ también. 4. (Pringsheim). Si p e R cumple lim nP ■an = M, X an converge si p > 1 y M es finito, y X a„ diverge si p < 1 y M # 0. 5. (Knopp o de condensación). Si (ad es decreciente, X an y X 2n-an convergen o di­ vergen ambas.

A partir de una sucesión [an] formamos otra (s„ = a, + ... + a„} llamada serie infinita y deno­ tad a^ an (o sencillamente, X a„, si el índice n empieza valiendo 1). El emésimo término de la serie es am y snsu enésima suma parcial. Si existe s = lim sn se dice que la serie converge, siendo s su suma, y es divergente de no existir tal límite. • Ejemplo. La serie (1/3) + (1/32) + (1/3-’ ) + ... = X (1/3n)

6. (D'Alembert o de la razón). Si lim '1'1 1 1= M, an X a„ converge si M < 1 y diverge si M > 1.

cumple lim s„ = lim y ( i - - y j = y por lo que converge con suma 1/2. Este es un caso particular de las series geométri­ cas H a r " - 1 = a + ar+ a r 2 + ... + a r n que diver­ gen para r> 1 y convergen con suma (a/( 1 - r)) si r< 1.

7. (Raabe). Si lim n ( l

3n * 1 )= P, X a» an

converge si P > 1 y diverge si P > 1. 8. (Cauchy o de la raíz). Si lim \ /an = M , X an

La serie armónica

converge si M < 1 y diverge si M > 1.

1 + (1/3) + (1/2) + ... = X(1/n) es divergente. La serie armónica generalizada (1/1P) + (1/2P) + (1/3P) + ... = X(l/nP) es convergente si p > 1 y diverge si p < 1.

)

Si X a„ = a y X bn = b entonces X (an + bn) = i = a+ b y X a a n = a a .

Criterio de Dirichlet. Si X an es una serie cual­ quiera cuya sucesión de sumas parciales está acotada, y (bn) es decreciente de límite 0 , X a „ • b„ converge. Criterio de Abel. Si X an converge y {bn} es monótona acotada, X an bn converge, Una serie en que los términos son alternativa­ mente uno positivo, uno negativo, es denominada serie alternada. Si X a„ es alternada, con {|a „|} decreciente y lim a„ = 0, entonces X an converge (y además la enésima suma parcial difiere de la suma total en menos de |an+ ,|).

No afecta a la convergencia la supresión o adi­ \ ción de un número finito de términos. Condición de Cauchy. X an converge si y sólo si V e > 0 3 v s N tal que si n > v, p e N im p lica |a „ + a„ + , + ... + a n + p| < e . • Ejemplos. Como consecuencia, si X an converge, será lim i X [l/(n2 + 3n + 11)] converge por comparación an = 0 (la recíproca es falsa). con armónica generalizada, pues Se dice que X an es absolutamente convergen­ [lAn2 + 3/7 + 11)] < (1/n2). te cuando X |an| converge. Si X a„ converge, X [(4o2 + 5n - 2 )/V (n 2 + D ’ n2] converge, pues pero no absolutamente, se dice que su conver­ usando Pringsheim, gencia es condicional. La convergencia absolu­ ta conlleva la convergencia, pero no al revés lim n2 ■|(4n2 + 5n - 2)A/ (n 2 + 1)’ n2] = 4 aunque sí para series de términos no negativos. X r)5 - e-"3 converge, pues, con el criterio de la Una serie obtenida reordenando una absoluta­ mente convergente es también absolutamente ) razón, lim |(n + 1)5 e _(n+1>3/(n5 e _n3)| = convergente y tiene la misma suma, pero la S = lim [(n + 1 )/n]5 • e n3-(n+l)3 = i . o = 0 reordenada de una condicionalmente conver­ gente puede hacerse diverger o converger a cualquier número deseado. X|n/(4n - I)]'" 1 converge, pues el criterio de Para series de términos positivos, se tiene: la raíz hallamos que lim v ra^= 1/2. 1. La convergencia equivale a la acotación a la sucesión de sumas parciales. La serie alternada siguiente converge: 2. (comparación). Si an < bn a partir de algún (1 /3 )-(1 /5 ) + ... + [(- l ) n + 1/(1 + 2") + ... término. pues ( 1/(1 + 2n)} es decreciente de límite 0 . a) Si X bn converge, X an también; b) Si X an diverge, X bn también.

ATLAS DE M ATEMÁTICAS 16

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Fig. 1 - S¡ la tortuga em pieza la carrera con cierta ventaja sobre Aquiles, cuando éste alcance su posición inicial P0- la tortuga se habrá desplazado a la posición Pv por cercana que sea. Cuando Aquiles llegue a Pv la tortuga ya estará en PT y así sucesiva­ mente, por lo que parece que Aquiles jamás dará alcance a la tortuga. Sin embargo, si suponemos que Aquiles corre diez veces más deprisa que la tortuga y que tarda un segundo en llegar a P0 1

—

10"

=1+ 1 9

por lo que en 1 seg y 1/9 de seg la alacanzará. En un seg y dos décim as la habrá rebasado. La intuición fracasa al parecer que una suma de infinitos términos positivos ha de dar necesariamente infinito.

1

Y Fig. 2 - El área de la región coloreada, suma de las infinitas áreas triangulares, es:

SU CESIO N ES Y SERIES 17

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Fu n c io n e s reales de v a r ia b l e real Una función real de variable real es una apli­ cación f.A -» R donde A C R es llamado domi­ nio de la función y í(A) su recorrido. Suele escribirse y = Ax), diciéndose que x es la varia­ ble independiente e y la variable dependiente. Es decir, se pondrá y = 3 x + 2 para referirse a la función f definida por Ax) = 3 x + 2. Cuando se hace así, se supone que el dominio se extiende a todos los x para los que son posibles las ope­ raciones indicadas. Por ejemplo, el dominio de Ax) = 3 x + 2 es R; sin embargo, la función y = (1 íx / x ) tiene dominio (0, + °°), pues sólo tienen raíz cuadrada real los números no negativos, y 0 no puede aparecer como divisor. A partir de dos funciones f y g, y un número real k, se definen las funciones. (f+ g) (x) = Ax) + gfx), (kf) (x) = k-f (x), Ax) (f ■g) (x) = Ax) ■gfx), — (x) = gix) ( g o l) (x) = g( f ( x) ) llamadas, respectivamente, suma de f y g, pro­ ducto de f por el número k, producto de f y g, y función compuesta de f con g. Sus dominios se tomarán lo más amplios que sea posible en cada caso. Merece especial atención la función compues­ ta g o f. Si f asocia a x un número y, y = Ax), y g asocia a y un número z, z = g(y), la función g o f hace correponder a x el número z (g o f) (x) = g (Ax)) = g(y) = z. Si Ax) = x2 —1 y gfx) = 2x + 3, (g o f) (x) = gfx2 - 1) = 2(x2 - 1) + 3 = 2x2 + 1. Obsérvese que ( f o g) (x) = = A2x + 3) = (2 x + 3)2 - 1 = 4x2 + 12x + 8, por lo que sucede f o g A g o f , salvo en casos muy particulares. Las funciones más sencillas son las polinómicas pfx) = a0+ a , x + ... + anx n, donde a0, ..., an son números reales), cuyo dominio es R, y las fun­ ciones racionales, que se expresan = a0 + ^ x + ...+ a^xn b 0 + O, X + ...+

DnX "

cuyo dominio excluye los números reales que hacen nulo el denominador. La función ffx) = x que asocia cada número a sí mismo, recibe el nombre de función identidad. Si i o g = g o f = /, se dice que g es la función inversa de f (y al revés), escribiéndose g = H . En definitiva, si /ja) = b , es H ( b ) = a. Para la existencia de tal H está claro que no pueden existir elementos a , , a2 con a, A a2, tales que Aa-¡) = b = Aa2), pues entonces no podría hacer­ se simultáneamente M(i>) = a, y H(i>) = a2.

No debe confundirse la función inversa H con la función (1 tf), a menudo llamada recíproca de f. Por ejemplo, si Ax) = 7x + 3, es H (x) = (x - 3)/7 pues ( f o

f) (x) = f~H7x + 3) = -7x +

x- 3 = 77 ' 7 en cambio (1 /f)(x) = 1/(7x + 3) ( f o H ) (x) =/(

3 =x

- +3 = x

Cuando se tiene una ecuación en dos variables x e y, se dice que define implícitamente a y como función de x, cuando se puede despejar y correspondiendo a cada valor de x un solo valor de y que cumpla la igualdad; por ejem­ plo, x2 - 3 xy + 7 = 0 define implícitamente la función y = (x2 + 7)/3x obtenida despejando y de la ecuación anterior. Tomando ejes cartesianos sobre el plano, el conjunto de puntos (x, ffx)) se llama gráfica de la función f. La visualización de la gráfica poporciona una información rápida sobre el comportamiento de f, por lo que es importante su construcción y estudio. Para n valores de la variable x 1( ..., x„ obtenemos n puntos de la gráfica (x ,, ffx,)), ..., (x„ Axn)), que nos orienta­ rán sobre la posición de la figura (fig. 1), pero está claro que por grande que sea n, el paso de cada punto al siguiente puede imaginarse de varias maneras (fig. 2 ). Decimos que una función está acotada supe­ riormente en un conjunto A C R si existe K e R tal que fjx) < K para todo x de A que sea del domino de f. Análogamente se define la acota­ ción inferior. Se dice sencillamente función acotada para expresar que lo está en ambos sen­ tidos. Usualmente A será un intervalo (fig. 3). Se dice que f es creciente en [a, b] cuando para todos los x, y que sean del intervalo y del domi­ nio, con x < y, se tiene Ax) < Ay). Si además se tiene Ax) < Ay), se dice que f es estrictamente creciente. Análogamente se define el decreci­ miento. Formulísticamente, f crece en [a, b\ cuando fjx) - Ay) -> 0 X -

V

para todos los x, y de [a, b] del dominio (se pondría < 0 para el decrecimiento) • Ejemplo Ax) = (x - 1)2 decrece en (-» , 1) y crece en (1, + =°), pues (x - 1 )2 - ( y - 1 )2 (x - y)(x + y - 2) -------------------- = — 7— \ = x +y - 2 x - y (x - y) que es positivo en (1, + «0 y negativo en (- 0 x e R. II. a*-ax= ax+Y V x, y é R. III. (a*)y= ax-y V x, y e R. IV. (a-b)x = ax-b* V x e R. V. a~x = (Max) V x e R . V I. arx= 1 si y sólo si h = 0 V II. Si ax = ay, entonces x = y V III. Si 0 < a < 1, /(x) es estrictamente decrecien­ te, y si a > 1, Ax) es estrictamente creciente. IX. Si a > b> 0 entonces as > b5 Vs e R+ y a( < f / V í e R-. X . V z e R* existe x tal que ax = z. Se llaman funciones hiperbólicas sh x = seno hiper­ bólico de x y ch x = coseno hiperbólico de x a e* + e-* . ex - e-* ch x = — ------- , sh x = — ------(veánse también las gráficas en F/15) La función R+-»R que a x le asigna el y tal que ay = x, inversa de la exponencial de base a, recibe el nombre de función logarítmica de base a. Es decir, y = logax equivale ax = y. Así, a'°gax = x e R+, loga (ax) = x

x e R.

Se pone In x o Lx o Ix en vez de logeX, para desig­ nar a la función logarítmica de base e, también llamada logaritmo neperiano, y para el logaritmo de base 10, o decimal log x en vez de log10x. Las principales propiedades son: I. logax = logay implica x = y II. V y e R existe x e R+ tal que logax = y III. logaa = 1; loga1 = 0 . IV. loga(x-y) = logax + logay V x, y e R+. V- loga - y

= logax - logay

V x, y e R+.

V I. logbM = (logaM)/(logab) V II. Si a > 1, loga es estrictamente creciente, y si 0 < a < 1, loga decrece estrictamente. V III. Si 1 < a < b o bien 0 < a < b < 1 logax > logbx (x > 1); logax < logbx (x < 1) IX . Si 0 < a < 1 < b, para 0 < x < 1 es logax > logbx, y si x < 1 logax < logbx.

ATLAS DE M ATEMÁTICAS 20

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Funciones circulares

Fig. 1 -

y = senx

Fig. 2 -

y = cosx

Fig. 4 -

y = are. sen x

Fig. 5 -

y = are. tg x

FU N C IO N ES REALES DE VA RIABLE REAL 21

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p / p L / d

Funciones reales de v a r i a b l e real

SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES Supongamos que para cada n e N tenemos una función fn de dominio A, es decir, una sucesión de funciones. Rara cada x de A ten­ dremos una sucesión de números {f,,(x)}. Al conjunto de x e A para los cuales {fn(x)} con­ verge, se le llama dom inio de convergencia puntual de {fn}. Si x es uno de tales puntos, se define una función /mediante

2 fno 2 fn. n>1

Se dice que una serie funcional 2 fn es pun­ tualmente convergente si lo es la sucesión {sn} de sumas parciales, cuyo límite se llama enton­ ces suma de la serie; el dominio don le ello ocurre se llama dominio de co n verg en a pun­ tual de la serie. Si la sucesión de sumar parcia­ les es uniformemente convergente, se dirá que 2 fn converge uniformemente. Cuando conver­ ge 2 | fn (x) | se dice que 2 fn(x) converge abso­ lutamente, y donde ello sucede recibe el nom­ bre de dom inio de convergencia absoluta. Criterio de Cauchy. 2 fn converge uniforme­ mente si y sólo si V s > 0 existe v e N tal que si n > v, entonces |fn+1(x) + ... + fn+p[x)| < £ V p e N , V x e A. Criterio de Weierstrass. Si puede hallarse una sucesión {a,,} de reales positivos tal que V x e A es fn(x) < an para cada n e N, entonces 2 fn con­ verge uniformemente y absolutamente en A. Criterio de Dirichlet. Si 2 fn es una serie funcio­ nal de sumas parciales uniformemente acotadas |/j(x) + ... + f„(x) | < M V n e N , V x e A , y {g„} es una sucesión funcional de límite 0 tal que gn(x) > gn+](x) V x e A, V n e N, entonces 2 fn(x) -gn(x) converge uniformemente en A. n> 1

Merecen especial mención las series trigono­ métricas y las de potencias. Las trigonométricas (o de Fourier) tienen por término general fn(x) = ancos(nnx/p) + bnsen(Knx/p),

Ax) = limf„(x) diciéndose que {fn} tiende a f, o que fe s la fun­ ción límite de {/„}, escribiéndose fn —» f o bien limf„ = f. Según vimos (B1) ello significa que Ve > 0 existe d e N tal que si n > tt es | fn(x) - f(x)| < e, donde u dependerá, en principio de e y de x. Si sólo depende de e, se dice que {/„} con­ verge uniformemente hacia f. La convergencia uniforme conlleva la puntual, pero no recípro­ camente. Condición de Cauchy. Una sucesión {f„} de fun­ ciones converge uniformemente en un conjunto A si y sólo si V s > 0 existe v e N tal que si p, q > v entonces V x e A se tiene \fp(x) - fq(x) \ < e. Si {fn} es una sucesión de funciones de dominio A, se llama serie funcional de términos fn a la sucesión {s„= f-¡+f2+ ....+ fn) Las s„ reciben el nombre de sumas parciales. La serie se denota

Criterio de Abel. Si 2 fn converge uniforme­ mente en A y {gn) es una sucesión de funciones crecientes (o todas decrecientes), uniforme­ mente acotadas en A, o sea, 3 M > 0 tal que |g„(x)|< M , V n e N, V x é A, entonces 2 fn(x) gn(x) convergente uniformemente en A.

donde an y bn son números reales. Obsérvese que, si esta serie converge, la suma es una fun­ ción de período 2p, es decir, tal que fn(x) = = Ax + 2p). En F15 damos la condición para que una función de período 2p sea suma de una serie trigonométrica. En sentido inverso, se tiene: Proposición. Si 2 a„ y 2 bn son series numéri­ cas absolutamente convergentes ( a j 2) + 2 [ancos (nnxlp) + bnsen(nnx/p)] converge absoluta y uniformemente en todo R. Una serie de potencias es una serie funcional de forma 2 an(x - a)" donde n e N y a es un real fijo. Existe un intervalo (a - r, a + r) en el que converge absolutamente, siendo divergen­ te si | x —a| > r. En ios extremos del intervalo, la convergencia o no depende de cada caso par­ ticular. El número r se llama radio de conver­ gencia (eventualmente 0 o +=c), se halla mediante r = 1/lim V~an , r = \\m\ajan^ |. Proposición. Una serie de potencias converge uniformemente en todo intervalo cerrado con­ tenido en el dominio de convergencia. Una función f es desarrollable en serie de potencias de (x - a) si es f¡x) = 2 a„(x - a)n para todo x de campo de convergencia de cierta serie de potencias (véase también F/15). Por ejemplo, para - » < x < + * s e n x = _

x3 +

_

x5 +

".

+ (_ i ) ^

.

_

x2n_1 _ _

+

...

y para -1 < x < 1 x" In 11+ x| = x - — + — + . . . + H )11-1 — + ... 2 3 n • Ejemplo (veáse también F/15) 2[(sennx)/n5| converge uniformemente en R, pues |(sennx)/ns| < [1/n5] y 2 | 1/n5] converge (Criterio de Weierstrass) La serie de potencias 2 n -2-3-"xn tiene radio de convergencia 3, pues lim |(x+ 1)2 3_n_1 x n+1 : n-23"nx n| = |x|/3 (ade­ más converge también si x ± 3).

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Funciones exponenciales M logarítmicas

C/3

Fig. 2 - Joan Neper (1550-1617), introductor del cálculo logarítmico.

Fig. 3 - En la regla de cálculo de Oughtreed, las m ultiplicaciones y divisiones se hacen añadiendo o sustrayendo segmentos de dos escalas deslizantes en las que las distancias son proporcionales a los logaritmos.

Fig. 4 - Funciones logarítmicas.

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Funciones

reales

de v a r i a b l e

real

LÍMITE FUNCIONAL Para no referirnos permanentemente al dominio, en adelante, cuando pongamos «fjx) cum ple...» deberá entenderse «Kx), si existe, cum ple...» Se dice que la función /Tiene límite s e R cuan­ do x tiene a a, escribiéndose lim f(x) = s x —>a

si V e > 0 existe S > 0 tal que si x e Dom f y |x - a| < 8, entonces |f(x) - s|. Es decir, intuiti­ vamente, que para x suficientemente cercano a a el valor de Kx) es tan semejante a s como se puede imaginar. Si V s > 0 3 8 > 0 tal que si x e Dom f y x e(a , a + 8) es |/jx) - s| < e, diremos que s es el límite lateral por la derecha de f cuando x tien­ de a a, escribiéndose lím Kx) = s. Análogamente se x —>a+

definiría el límite por la izquierda lim Kx). x —>a~

Proposición. El límite de una función en un punto existe si y sólo si existen los límites late­ rales y, además, coinciden. Diremos que f tienda a +=c cuando x -» a esco­ bándose lim f(x) = + x cuando V M e R existe x —>a

8 > 0 tal que si |x - a| < 8 entonces Kx) > M (intuitivamente Kx) se hace tan grande como sea imaginable para x suficientemente cerca de a). Análogamente se definiría lim Kx) = x —> a

x —>a

Obsérvese que las tres definiciones anteriores corresponden a convenios de símbolos, no a límites propiamente dichos. Se utiliza también el convenio lim Kx) = M que significa que X —H-oc

Vs> 0B/C> 0tal que x > K implica |/jx) - M\ Análogamente se definen lim y el lim X ->

|x| -> +=C

x -» a

dominio (distintos de a) que tiende a a, enton­ ces lim Kan) = b. Al revés, si esta condición se cumple para toda sucesión {an} en las condi­ ciones descritas, entonces lim Kx) = b x —>a

Las dos proposiciones anteriores comportan una analogía completa entre el cáculo de lím i­ tes de sucesiones y funcionales. Se tiene: Proposición. Si existe lim Kx), es único. X —>3

Proposición. Si existen lim Kx) = ex y lim g(x) = ¡5, x —>a

x —>a

entonces existe lim ( f + g) (x) = a + /8, si /J # 0 X —>3

existe lim (Kx))&x) = efi (a y p no ambos nulos). x —>a

Con la inclusión de la simbología infinito, estas reglas se mantienen respetando el esquema descrito en la tabla de B/2. Proposición. Si en un entorno de a se tiene Kx) ág (x) entonces lim Kx) < lim g(x) en caso de x —>a

x —>a

que tales límites existan. Proposición. Si Kx) < gfx) < h(x) en un entorno de a, y lim Kx) - lim h(x), entonces también x

x —>a

existe lim glx) y coincide con los anteriores. X

—>3

Proposición. Si existe lim Kx), entoces en algún X —>3

Si V M e R existe 8> 0 tal que | x - a| < S impli­ que \Kx)\ > M , pondremos lim Kx) = x -

(que no es más que lim

Proposición. Si f es una función tal que lim = fe y an es una sucesión de puntos del

X


b > 0 es lim a* = + * , lim a* = 0

entorno de a la función está acotada. Las afirmaciones anteriores son también ciertas para cada uno de los límites laterales. El esquema A de la página contigua recoge los posibles límites de una función polinómica. • Ejemplo (véanse otros en D/1 y D/2). Consideremos la función . f (6x + 1)/(3x - 2) si x > 1 Kx) = l (x'+3)/(2x) si x < 1 Por el carácter de Kx) habrá que distiguir si la variable está a la izquierda o a la derecha de 1. Como Dom f = R - (0), si a ^ 0 será lim Kx) = lim |(x2 + 3)/2x] = (a2 + 3)/2a X

—>3

X —>3

lim Kx) = |(6x + 1)/(3x + 2 )| = (6a + 1 )/(3a + 2 ) X —>3

lim logax = x —>0

lim b

+

x —» -oo

lim X -> + o c

l i m b* = 0,

según que a < 1, a > 1, respectivamente. Además lim Kx) = lim |(x2 + 3)/2x]=

x —»+*

lim log/rx = + ^ ,

‘

x —>0

x —> 0

log,,x= +=c, lim

x —>0

lim Kx) = lim |(x2 + 3)/2x]= 2;

logbX = - *

X —> 1 "

X —> + o c

Las siguientes proposiciones relacionan el lími­ te funcional con el de sucesiones. Proposición. Si dada una sucesión {a„} cons­ truimos la función Kx) = (an+, - a„) (x - n) + an, x e |n„ n + 11 entonces lim an = b equivale a lim Kx) = b.

X - »1

lim Kx) = lim |(6x + 1)/(3x - 2)1= 7; X —» 1 +

X —>1

por lo que no existe lim Kx). Por otra parte X —>1

lim Kx) = lim l(6x + 1 )/(3x - 2 )]= 2 X-»+ «:

X

lim Kx) = lim |(x2 + 3)/2x]= - *

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L í mi te funcional

ESQUEM A A

b „> 0

b „< 0

+0C

X -4 -o c n impar x - > a -e R

+0C

—oo

-

+00

b0 + bj a + ... +

lim (60 + b^x + ... + bnx n) = Fig. 1 - Posibles límites de una función polinómica.

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p .. L / ^

Continuidad x—

FUNCIONES CONTINUAS Sea f una función ñ A->R. Diremos que f es continua en a e A si y sólo si existe lim Hx) y

x—>0'

Proposición. Si f y g son continuas en a, tamS bién lo serán f + g y f - g , como asimismo (fíg) además, su valor es Ha). Es decir, según la defi­ ( en el supuesto de que g(a) no sea 0 . Proposición. Si g e s continua en a y f io es en nición de límite, fserá continua en a e A si y sólo si para cada e > 0 existe un S > 0 tal que \ g(a), f o g es continua en a. / Las dos proposiciones anteriores se derivan del | x - a| < ¿im p liq u e |/¡x) - /¡a)| < e . Con menor precisión fes continua en a cuando ) cálculo de límites. Su utilidad radica en que a partir de la continuidad de las funciones más para x muy cercano a a, Hx) es muy semejante a Ha). O , visualmente, la gráfica de Hx) en las ) elementales, como las polinómicas, trigonomécercanías de a no debe presentar interrupcio­ \ tricas, exponenciales y logarítmicas (que lo son en todo su dominio), puede demostrarse la nes ni saltos ni oscilaciones. continuidad de funciones de aspecto muy com­ Se dice que fe s continua en un conjunto cuan­ plicado sin tener que recurrir a la definición. do lo es en cada punto. Los puntos en los que f Si una función continua en un punto es allí no es continua son llamados de discontinui­ positiva, también lo es en las cercanías, pues la dad. f será discontinua en a bien porque cuan­ continuidad significa que los valores en las do x tienda a a, Hx) no tienda a un número real, inmediaciones son muy parecidos. Más exacta­ bien porque, existiendo tal número, no coinci­ mente: da con fija). Se usan los siguientes términos: Proposición. Si f e s continua en a, y Ha) > 0, D iscontinuidad evitable: cuando 3 lim Hx) x —>a 3 S > 0 tal que si x e (a - 5, a + 5) entonces pero no es Ha). En tal caso una función Hx) > 0 (análogamente si Ha) es menor que 0). g(x)= Hx) si x¥= a, g(a) = lim /(x) Teorema de Bolzano. Si f es continua en un x-»a intervalo [a, 6 | y Ha) < 0 < Hb), esiste c e(a , b) sí sería continua en a. tal que He) = 0 (véase ilustración en D/2). El D iscontinuidad inevitable de primera especie resultado es análogo para Ha) > 0 > Hb). (o de salto): cuando existen los límites laterales Este teorema, que se obtiene al considerar la y son finitos pero no coinciden. proposición anterior y el mayor de los puntos D iscontinuidad inevitable de segunda especie tales que los x e [a, b] con Hx) > 0 queden a su (o esencial): cuando no existe, o es * , alguno derecha, tiene una clara visualización: si la grá­ de los límites laterales. fica está por debajo del eje de abscisas en a, (Ha) < 0), y por encima en b, (Hb) > 0), en algún • Ejemplo, Hx) ={ X X “ ^ (fig. 1) l4/(x - 3) x > 3 punto c deberá cortar al eje (He) = 0), siempre tiene una discontinuidad esencial en x = 3, pues que no se produzcan interrupciones ni saltos lim Hx) = lim x2 = 9 (D/2 fig 2). Este resultado puede utilizarse para x -» 3 x - x i­ hallar soluciones de ecuaciones de forma apro­ lina Hx) = lim (4 /(x - 3)) = + x xim ada, dividiendo de manera cada vez más x —>3+ x —»3+ fina el intervalo del teorema. Lafunción g(x) = í X X “ 2 (fjK. 2 ) • Ejemplo. Busquemos una solución de x3 14/x x >2 - 4 x + 1 = 0. La función Hx) = x3 - 4 x + 1 es con­ tiene en x = 2 una discontinuidad de salto, pues, tinua en todo R. Como fj l ) = -2 < 0 y lim g(x) = lim x2 = 4 H2) = 1 > 0 , existirá c e (1,2 ) tal que /je) = 0 . x-»2~ x->2“ Avanzando ahora décima a décima f(1,1) lim e(x) = lim (4/x) = 2 x —»2+ x -»2‘ < 0, ... , /j1,8) < 0, /(1,9) > 0. Descendiendo x2 x 0, ftjl ,88) > 0, 1/x x> 1 (fig. 3) /(1,87) > 0, /II ,86) < 0, lo que sitúa la solución 2 x =1 en fjl ,86, 1,87). Así sucesivamente, puede lletiene en x = 1 una discontinuidad evitable pues ■garse, por ejem plo a /X1,86080) < 0 , lim h(x) = lim x2 = 1 = lim A>(x) = lim (1/x) /(1,860801) > 0 con lo que puede tomarse la x-»r x-> r x —>i+ x-> r solución x = 1,860805 y el error cometido no por lo que lim h(x) = 1 # 2 M i). x-» l exceda 5 millonésimas (y se puede seguir apro­ . , .. , . , sen (1/x) x > 0 ximando tanto como se desee). La función s(x = 1 .— 1V ^ x x 3

Í

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Discontinuidades

Fig. 4 - 5 es continua en el origen.

C O N T IN U ID A D 27

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D/l

Continui dad

Proposición. Si fe s continua en [a, b], entonces festá acotada en [a, b\. Es decir, existen números reales í t y m tales que k < f[x) < m V x e la, b]. Además las cotas pueden encontrarse como valores tomados por la propia función: Teorema de Weiertrass. Si fe s continua en [a, b\, entonces f alcanza máximo y mínimo en ¡a, b] es decir, existen a, p e [a, b\ tales que Ha) < f{x) < HP), V x e [a, ¿>|. Este teorema se completa con: Si fes continua en [a, b], donde alcanza un máxi­ mo M = ft.[f)y un mínimo m = f(a), para todo k e (m, M) existe un c e (a, b) tal que He) = k. Es decir, f toma todos los valores intermedios entre su mínimo y su máximo. Se dice que fe s uniformemente continua en el conjunto A cuando para todo e > 0 existe 5> 0 tal que si a, b e A cumple |a - b\ < S, entonces |Ha) - fib)\ < s. Teorema de Heine. Si fe s continua en [a, b], f es uniformemente continua en dicho intervalo.

lim ( - L - _ _ ! _ ) = lim

*-»l\ x —1

: lim X— >1

Hra, — x2

x—>7

( x - 1)(1 - x 3)

49—

es indeterminado 0/0, pero

2- V x - 3 x1 - 49

2 +V x - 3 2 +V x- 3 1 56

2+“ = +oo y 2J

0. Sin embargo

lim (2 + x )W x^0

2+” = +oo

Si lim /(x) = 0+, lim (1 +/tx))/b) = e, y si lim g(x) = oo l¡m (1 + —— )1/gb g(x) Por ejemplo, : lim (1 + — ■ ■ *-»i+ V x- 1

• Ejemplos. 3x2 + 14x2 + 20x - 8 Al sustituir x por - 2 en. '2x4 + 8x3 + 7x2- 4x - 4 obtenemos la indeterminación 0/0. Sin embargo 3x2+ 14x2 + 20x - 8 = (x + 2)2 (3x + 2), 2x4+ 8x3 + 7x2- 4x - 4 = (x + 2)2 (2x2 - 1),

lim

( x - 1 ) ( - 1 — x — x2) — ( x — 1)

lim (2 + x)Vx = 2 X que no existe pues

Si en el cálculo de límites cuando x->a las fun­ ciones que intervienen son continuas en a, bas­ tará sustituir x por a en la expresión cuyo lím i­ te se busca y, eventualmente, resolver una posible indeterminación.

-2

( x - 1 ) ( 1 - x 3)

lim ___________ 4 - < * - 3>_________ x-»7 (x + 7 ) (x - 7)(2 + V i n )

Cálculo de limites funcionales

lim

H l

4

Convergencia uniforme y continuidad Si [fn] es una sucesión funcional que converge en A uniformemente a f, y cada fes continua en un punto x0 e A, también fe s continua en x0. Si la serie 2 f„ converge uniformemente en A hacia la función f, y cada f„ es contina en x0 e A, también f e s continua en x0. En particular, toda función desarrollable en serie de poten­ cias es continua en todo punto del intervalo de convergencia.

1-X3/

3x2 + 14x + 2 0 x - 8 2 x 4 + 8x3+ 7 x 2 - 4 x -

V x+ 1

= lint (1 + — ■ — x->i+ V x- 1 -e ¡¡m y / x + 1 = e V " 2

Algunos límites se calculan cambiando la variable:

,. V ^ x- 8 lim -------------= lim x_^64 ’s/'x - 4 x_>64 , lim

x - 64 ---------------------( ^ 7 - 4) (V3T+ 8)

\ / ~ x - 8 V ~ x+ 8 i / x - 4 y /x + 8 1 ..

x - 64

=—rl |m -------- : 1 6 x—>64 _ 4

(haciendo x = y3, x—>64 equivale a y—>4) 1

3x+ 2 4 2x2 - 1 ~ 7

y3 - 64

:— lim 2---1 6 y->4 y - 4

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3

Propiedades d é l a s funciones continuas

Fig. 1 - Frecuentem ente el volumen de un aparato de radio no responde con continuidad al mando regulador: una pequeña variación en su posición a veces acrecienta enor­ memente el sonido sin pasar por los volúmenes interme­ dios.

n

.p

Fig. 2 - Teorema de Bolzano. Si la gráfica está en a por debajo de la horizontal, en b por encim a y es continua en [a, b] (no se rompe), parece claro que deberá «cortarla». La dificultad está en la «densidad» de la horizontal.

Fig. 3 - En el intervalo [a, b] la función alcan za en a su valor máximo y en p su valor mínimo. En el intervalo [b, c] el valor mínimo lo toma en y y el máximo en c.

C O N TIN U ID A D 29

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Funciones derivobles Se dice que la función f es derivable en el punto a, cuando existe el límite Ax) - Ka) lim ■ x —»a

cuyo valor, en tal caso, se denota f(a) y se deno­ mina derivada d e fe n el punto a. Son expresio­ nes absolutamente equivalentes a la anterior f'(a) = lim - />-»o n

Las recíprocas, sin embargo, no son ciertas. • Ejemplos. La función (fig. 3 )

. • tu i- --------7--------+ Ax) “ o bien f( a\) = lim A x ->o

sin más quehacer x -

Si a tiene un entorno contenido en el dominio de f, la derivada f'(a) existe si y sólo si existen las derivadas laterales, f_'(a) y f((a) y, además, coinciden. La relación entre funciones continuas y funcio­ nes derivables es la siguiente: Proposición. Si ftiene derivadas laterales (igua­ les o no) en el punto a, entonces fe s continua en a. Corolario. Si fe s derivable en a, fe s continua

Ax

a = h = Ax.

f x2

c. Aa + h ) - fia) , Si observamos q u e ^-------- es la pen­ diente de la recta secante que corta a la gráfica de fe n los puntos (a fia)) y (a Aa + h)), y recor­ damos que la tangente a la gráfica en el punto de abscisa a no es sino la posición límite de tales secantes (véase fig. 1), tendremos: La derivada de f en el punto de abscisa a, es la pendiente de la recta tangente a la curva y = f(x) en el punto (a, f(a)). • Ejemplo. La derivada de la función f{x) = x2 en el punto 2 es el número 4 pues

es continua en x = 1, pues lim

Ax) = lim

X -»l

Ax) = 1 = /(l);

X -> 1 +

pero fn o es derivable en 1, ya que ,.

lim

lim x-»!-1

Ax) - 1 ,. — = lim x- 1 Ax) - 1 X - 1

x2 - 1 X - 1

-

= lim

X->1+

= 2 = f '(1)

—

- 3 = f '+(l)

X —1

La función (fig. 4)

-

A x ) - A 2) x 2 —'X2 , lim --------- ^= lim r— =4 x->2 X 2 x_>2 X 2

si x < 1

2 - x3 si x > 1

por lo que la recta tangente a la parábola y = x2 (fig. 2) en el punto (2, 4) es y - 4 = 4(x - 2) o sea 4 x - y - 4 = 0. La inexistencia de tangente conlleva la inexisten­ cia de la derivada. Ambos conceptos son identificabies salvo en las tangentes verticales, de pen­ diente no finita, en cuyo caso, aunque escribamos ,. A x )-A a ) lim ------------= oo x-a

*-> a

el límite (es decir, f'(a)), no existe propiamente. Se dice que fe s derivable p o r la izquierda en el punto a cuando existe el límite lateral Ah) - Aa) ,. lim ----------x-a cuyo valor se denota f/(a) y se denomina deri­ vada lateral de f por la izquierda en el punto a. Sería la pendiente de la tangente por la izquier­ da, posición límite de las secantes por la izquierda. Análogamente, si existiera, se defini­ ría la derivada por la derecha f+(a) tomando el límite para x->a+ que correspondería a la tan­ gente por la derecha (véase fig. 3).

x sen (1/x) si x # 0 gix) = {

0

si x = 0

es continua en el origen, pues el seno está entre -1 y 1, |xsen(1/x)|< |x|, con lo que hallamos lim xsen (1/x) = 0 (= g(0)). x->0 En cambio lim

= lim

x- » 0 +

X -0

X —>0+

sen — X

que sería g'+(0) no existe, como tampoco gLIO). Los dos ejemplos anteriores ponen de manifies­ to que la continuidad no permite asegurar la existencia de la derivada, ni siquiera de las laterales. Rara funciones sencillas, la no derivabilidad en un punto se reconocerá en la gráfica porque la función no será ahí continua, o bien siéndolo, presenta un ángulo. Pueden encontrarse funciones, aunque no sen­ cillas, continuas en todos los puntos y no deri­ vables en ninguno, como la suma de la serie 2 (D (2 n+1x))/2"+l donde D(y) es la distancia de y al entero más próximo (véase lámina E/2).

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Interpretación geométrica

Fig. 3 - Tangentes laterales no coincidentes.

Fig. 4 - Inexistencia de tangentes laterales.

FU N C IO N ES DERIVABLES 31

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Funciones

derivadles

CÁLCULO DE DERIVADAS

(PCI - ((] ' fj

La función que asigna a cada número real el valor que en él tiene la derivada de f(a llí donde ésta exista), recibe el nombre de función deri­ vada de f, y se denota f '. • Ejemplo. Sea f(x) = x2. La derivada en a es

por lo que la función derivada de fe s f'(x) = 2x, o sea (x2)' = 2x. El dominio de f ' no será, en general, igual al de f, sino un subconjunto de él (pero en lo sucesivo no nos detendremos en tales consideraciones). La función derivada de f ‘ es denominada fun­ ción derivada segunda de f, denotada f" . O sea, (f'Y = f" . Por recurrencia se define fi>\ enésima derivada de la función f. El cálculo directo de las derivadas de las fun­ ciones más sencillas, y la obtención de unas reglas de derivación, permiten eludir el recurso a la definición cuando se buscan derivadas de funciones elementales.

' fn)*(a) —f'](a) • f2(a) ■... • fn(a) +

+ fj (a) • f '2(a) ■f3(a) • ■f„(a) + + fj (a) • f2(a) ■f ' ¡(a) ■... • f„(a) + + fj(a) • f2(a) • ... • f„_,(a) • f'n(a). [RCG]. (fj o f2 o . . . o fn)'(a) = f',((f2 o . . . o fn)(a)). f ' 2({f3 o ... o f„)(a)) •...• f ' n^ (fn(á)) ■f ' n(a). Derivadas de las funciones elementales Funciones constantes. Usando la definición de f', si ffx) = K (K e R) entonces f'(x) = 0, además ( M ' = K'- f+ K ■f '= 0 ■f+ K- f = K ■f'. Función potencial de exponente natural. La derivada de f(x) = xn es f'(x) = nx"-1. • Ejemplos. Sea ffx) = 2x3 + 3 x - 7. Si f'(x) = 2 • (x3)' + 3 • (x)' - (-7)' = = 2 ■3x2 + 3 - 1 - 0 = 6 x 3 + 3 3x - 5 (3x - 5)' (x2 + 3) - (3x - 5) (x2 + 3)' x2 + 3} _ (x2 + 3)2 3 (x2 + 3) - (3x - 5) 2 x (x2 + 3)2

- 3x2 + f Ox + 9 x4 + 6x2 + 9

Reglas de derivación [S] Derivada de la suma. Si f y g son derivables en a, también lo es f + g, siendo (f + g)'(á) = f'(a) + g'(a). [P] Derivada del producto. Si fg son derivables en a, también lo es fg , siendo (,f ■g)'(a) = f'(a) g(a) + Ha)g'(a). |C] Derivada del cociente. Si fy g s o n derivables en a, con g(a) # 0, también lo es f/g, siendo g

(g(a))2

[RC] Regla de la cadena (derivada de la fun­ ción compuesta). Si fe s derivable en a y g lo es en Ha), g o fe s derivable en a, siendo (go f)'(a) = g ’(f{a)) • f'(a). [P] Derivada de la función inversa. Se tiene

1

f(x) = (x2 + 1) + (x3 + 2) + (x4 + 3) f(x) = 2 x • (x3+ 2) + (x4 + 3) + + (x2 + 1) 3x2 ■(x4 + 3) + (x2 + 1)(x3 + 2) • 4x3. Para derivar g(x) = (x2 + 3)17, basta tener en cuenta que si p(x) = x2 + 3 y q(x) = x 17 se tiene g = q o p, c((a) - 17a16, p'(a) = 2 a con lo que g'(x) = q'(p(x))-p'(x) = q'(x2 + 3) ■ 2 x = = 1 7(x2 + 3)16 ■2x. Derivada de las funciones circulares. Con la definición y sen x - sen a = 2 eos X ^ 3 sen se obtiene la derivada del seno. Como eos x = = sen( -j- - x), aplicando [RC]: (sen x)' = eos x, (eos x)' = - sen x

(si existen las expresiones involucradas). Las generalizaciones de [S], [P] y [RC], obteni­ bles por recurrencia, son: ISG]. (fj + fj + ... + fnTía) —f ' r (a) + f'2(a) + ... + f'„(a).

(x) + 6 W

. / N / X / X Z Ü n, 1 1 3 1 5

y = í] (x) + f2W + /3(x) + f4(x)

\ A A A A A A A A A A A A A A A A A /

y = /4CX)

y = ^(x) + f2(x) + 4(x) + Fig. 1 - Aproximaciones sucesivas de la función continua en todo punto, pero no derivable en ninguno, £ fn(x) donde fn(x) ■ = [D (2n+1 x)]/2"+1 siendo D(y) la distancia de y al entero más cercano. n¿

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Funciones

derivadles

Para las funciones circulares inversas, es (arctg x)' = 1 / (1 + x2)

— (x2 + 1)-2« • 2x = , 2 x — 3 3^ (x2 + l) 2

(arcsen x)' = 1 / y/1 - x2

(e (x2 + 3)y = e

(x2

+ 3) . 2 x

(árceos x)' = -1 / \/1 - x2 Derivada de la función logarítmica. Como

[ l n( x 2 + 3 ) ] ' = - ^ — (x2 + 3)

_j_ I n x - Ina , , x , x_ 1 -------------- = ln — x- a a

é2x x

la definición de /', y [RC], nos dan (ln x)' = 1/x, (longax)' = 1 / (x • ln a). También se tiene

2 e2x • x - e2x x2

(ln | x | ) ' = ^ - .

(sen e*)' = (eos ex) • e*.

Derivación logarítmica. Si fixj = (g(x)Wx) toman­ do logaritmos, ln Ax) = b(x) ■ln g(x), con lo que, derivando,

f2(x) = eos 7x, f ' 2(x) = -sen 7x ■(7x)',

fj(x) = 7 eos x, f',(x ) = -7 sen x f'yix) = -sen 7x • 7.

Íg= b '(x)lngíx) + b ( x ) . ^

/3(x) = x • eos 7, f '3(x) = eos 7. f'(x) = Ax) lh '(x) ln gix) + h(x) •

Ig(x) Es usual no memorizar esta fórmula, pero sí el procedimiento. Derivada de la función exponencial. Con [I], o con derivación logarítmica, resulta (a*)' = ax ■ln a

f4(x) = eos (x7) ■f '4(x) = -sen(x7) • (x7)' f ' 4(x) = - 7x6sen (x7). f5(x) = cos7x, f ' 5(x) = -7 cos6x (eos x)' f's(x) = - 7cos6x sen x . = cos(7x),

4 (x )

(a e R)

f ' 6 (x )

y, en particular, (e*)' = ex. (Obsérvese la mayor sencillez proporcionada por logaritmos y exponenciales de base e). A partir de aquí es inmediato obtener las derivadas de las funciones hiperbólicas definidas en C/3 1 (sh x)' = ch x, (ch x)' = sh x (th x)' = ^. Derivada de la función potencial. Si k e R, por derivación logarítmica se obtiene

f 7( x )

• ln

7

( 7 X)

■sen

• ( 7 X)',

( 7 X).

= - 7 C0SX • ln 7 ■sen

fB(x) = (eos 7)x, f ' a(x) = (eos fg (x )

=

x 0057, / 'g ( x )

= eos

7 )x

x )'

x.

ln eos

7.

7 x * cos7)_1.

(cos3(3x2 + 1))' = = 3cos2(3x2 + 1) • (-sen (3x2 + 1)) • 6x. Ax) =

[(xs

+ 3X4 +

f'(x) = 5[(x5 + • Ejemplos.

X

= 7cosx, f'y(x) = 7cosx ln 7(cos f ' 7 (x )

Si

(xkY = k • xk- ]

= -sen

f ' 6(x )

=-7

3X4

1)8 + sen32x]5,

+ 1)8 + sen32 x]4 •

■[8 (x5 + 3x4 + 1)(5x4 +12x3) + 3 sen32 x ■cos2x-2]

(x 7 - - 5 - x 5 + 2 x 3 + 7 ^ - 1 0 )' =

(x2 ex sen x)' = = 2 xe* sen x + x2 ex sen x + x2 excos x.

r = (7x< --^ -x* + 6x2 + ^ - .

{'tyxr T T + ^ 2 Y = I(x2 + I )373 + $ T 2 y =

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Significado físico

t/ ,í

Fig. 1 - Leonard Euler (1707-1783), uno de los más impor­ tantes m atem áticos de la historia, especialmente en el campo del Análisis.

Fig. 2 - La velocidad o variación del espacio recorrido en fun­ ción del tiempo sólo puede definirse en sentido instantáneo mediante el uso de la derivada.

80 km/h

40 km/h

20

0

km/h km/h

Fig. 3 - La aceleración instantánea es el límite del cociente del incremento de velocidad por el incremento de tiempo, cuando este último tiende a cero, es decir, la derivada de la velocidad con respecto al tiempo.

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Funciones

derivables

[sen3x • cos4x]' =

cos (x2 + e* • sen cosx cosx + x senx, ■(2x + e* ■sen - + e* •cos cosx cos2x

= (3sen2x • cosx) • cos4x + + sen3x -(4cos3x ■(-senx)) = 3sen3x cos5x - 4 sen4x cos3x. [gsen 4 X]' _

Sea Hx) = (senx) x / x . Tomando logaritmos In Hx) = x /x • In senx. Derivando

gsen 4x . c o s 4 X . 4

[senfe2*)]' = cos é2* ■e2* • 2 . (xsen 2 ey _

H x)

se n 2 e • X ^ " 2 e “ '.

[cos(ln(x3 - 1))]' = —sen(ln(x3 - 1)) ■

1

3x2 x3 - 1

f'(x) = (senx) x /x

(- s e n (x - U )

cos(x - 1)

) Derivando - g 'M gM

3 cos2(x - 1) • (-sen(x - 1)).

1 1 + x2

le ,

1 X

,

In senx -

k '(x) = 1 + Inx, k(x)

es decir (xx)' = xx + xx Inx. Tendremos , senx f ,(* ) = xSenx • (cosx ■Inx + ------f '2(x) = (senx)x • (In senx +

X

cosx

)

f 3(x) = cosxx ■(xx + xx Inx).

|log3(sh 10**)]' = 1

f ' 2(x) f2(x)

In k(x) = x ■Inx, :

[arctg3(arctg2(arctg x))]'= = 3 arctg2(arctg2(arctg x))1 2 arctg(arctg x) ■ 1 + arctg4(arctg x)

sh 10x2

•

Rara la tercera, pongamos k(x) = xx; será

6x5 5 ln4(x6) ■ x6

1 In 3

1 2 e x- 1

Derivem os f,(x ) = x561” 1, f2(x) = (senx)x, f3(x) = senxx. In f|(x) = senx ■Inx, In f2(x) = x • In senx, con lo

1 cos2(cos4(,n5(x6))) ■

4 cos3(ln5(x6)) • (—sen(ln5(x6)).

1 1 + arctg2 x

1 ln(2 e * - 1)

/

f't(x ) . que 7 = cosx • Inx + s e n x 11(x)

[tg3(cos4(ln5(x6)))] - 3 tg2(cos4(ln5(x6)))

= -senx • ln[ln(2 e* - 1)] +

depejándose a continuación g ’.

[ln(cos3( x - 1))]' 1 cos3(x - 1)

x/xco sx + — -------

Sea g(x) = [ln (2 e*- 1)]cosx. Tomando logaritmos In g(x) = cos x • ln[ln(2 e * - 1)].

[ln3(c o s (x - 1))]' =

1

In senx 2 x /x

[ln(cos(x3 - 1))]' = 1 ■■(-sen(x3 - 1)) • 3x2. cos(x3 - 1)

= 3 ln2(c o s (x - 1))

l /— cosx ■In senx + x / x ■------

2 \/x

■ch 10*2 ■10x2 • In 10 • 2 x.

Rara derivar h(x) = (senx)[(x2 +3)c“ '0"] pongamos j(x) = (x2 + 3)C05l° x' Será h(x) = (senx)i(x), In h(x) = j(x) ■In senx, con lo que bastará hallar j'( x ). Como In j(x) = cos (10X • In (x2 + 3), tendremos 2x j'( x ) = (x2 + 3 )co sio x [ e o s 1 0X ■-^ -+ 3

Sea g(x) = V sen (x2 + e* ■sen ■ +(-sen 10x) 10x ln 10 In (x2 + 3)] g '(x) = — sen x2 + e* • s e n ------3 L ' cosx

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Tabla de d e r i v a d a s

II

FUNCIÓN

DERIVADA

f ‘(x) = 0

FUNCIÓN

F / 4

DERIVADA

Kx) = arcsenx f,(x)= v n ^

«x) = xM K e R)

f\x) = k ■x*-’

En particular g(x) = x

g'(x) = 1

Hx) = \/x

h'(x) = ---- L m’t¡/xm~]

/Kx) = \/x

Kx) = arccosx

fM

Kx) = arctgx

í ‘{x) =

Kx) = arccotgx k '{X)=2 ^ Kx) = arcsecx

Kx) = Inx

2 1 1 -X 2

n x ) = 1 +x2

Í(X)

x V * 2-1

nx)

x V x 2 -1

Kx) = logax

1 i— 1 r x >-------x Ina

Kx) = arccosecx

Kx) = e*

f'(x) = e*

Kx) = shx

K'(x) = chx

Kx) = a*

f'(x) = a* • Ina

Kx) = chx

K'(x) = shx

Kx) = senx

f\x) = cosx Kx) = tghx

Kx) = cosx

f'iX)= ch2x

f ‘(x) = -senx Kx) = cotghx

Kx) = tgx

K'(x) = — í-=— cos2x

Kx) = cotgx

K'(x) =

Kx) = secx

. senx f(x) = ----5— cos2x

Kx) = cosecx

. -cosx F (x) = ----5--sen2x

Kx) = argshx

f'(X> = sh2x

f (x) = - T 4 = r V *2 + 1

1

sen2x Kx) = argchx

Kx) = arctghx

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''W = 1 -X 2

Funciones derivables

TEOREMAS SOBRE FUNCIONES DERIVABLES

(Hb) - Ha)) ■g'(c) = (g(b) - g(a)) ■f'(c).

Si A es un subconjunto del dominio de una fun­ ción f, se dice que f alcanza en A su máximo absoluto en el punto a e A, cuando Ha) es el mayor valor que la función toma cuando la variable recorre A. Es decir, Hx) < Ha) V x e A. Análogamente se define el mínimo absoluto. Por ejemplo, 1 es el máximo absoluto de la función Hx) = senx en R, alcazándose en los puntos

Los dos teoremas anteriores permiten llegar al siguiente, muy importante por sus consecuencias: Teorema del valor medio (o de Lagrange). Si f es continua en [a, b] y derivable en (a, b), exis­ te algún c e(a, b) tal que

^ - + 2bt

(fceZ)

Se dice que f tiene un máximo relativo (o local) en a, cuando Hx) < Ha) para todos los x de algún entorno de a distintos de a (aunque algu­ nos autores ponen 0, para que el problema tenga sentido. En la práctica real, sin embargo, por imperati­ vos estéticos, comerciales o industriales, como en nuestro ejemplo podría ser el que se tratara de latas que hubieran de ser abarcadas con la mano, o condiciones de apilado de los bido­ nes, o limitaciones en la cadena de fabricación, puede suceder que el dominio se vea afectado por una restricción, por ejemplo 0 < h0, se trata de un mínimo relativo. Como además T(0) = 24 ,6 , 71100) = 50,6, T(4\/2) = 24,18, es también mínimo absoluto en [0 , 100], interva­ lo fuera del cual nuestro individuo tendría que retroceder, por lo que no hay mejor solución.

donde T acotaría la altura deseada de los bido­ nes. Entonces, si T > n]/4 K/k el mínimo absolu­ to coincide con el anterior mínimo relativo, pero si T es menor que tal valor, el punto ~y/4 K/'n carecería de sentido en el contexto del problema, 0 < h < T, por lo que, siendo la fun­ ción decreciente en tal intervalo, el mínimo absoluto se alcanzaría en h = T, como puede apreciarse en la gráfica de la función A(h) de la figura 3.

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Optimización por m á x i m o s q mí n i m o s

Fig. 1 - Rectángulos del mismo perímetro con área diferente.

Fig. 2 - Cilindros del mismo volumen con área lateral diferente

Fig. 3 - G ráfica de la función A(h).

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F / c t / b

Funciones derivables

REGLA DE L'HÓPITAL. INDETERMINACIONES Teorema de L'Hopital [RH]. Si f y gson derivables en un entorno a, con

1 lim ( — x-»o t\ x x-»n cotgx

es indeterminado de la foma

x _ o o . Aplicando [RH]

lim Ax) = lim g(x)

x—>a

x—>a

lim ( x->o' x

siendo ambos 0, o ambos infinitos, entonces lim M x-»a g(x)

x tgx

f'(x) x->a g'(x)

= |im — +

'

siempre y cuando este segundo límite exista (o sea infinito). El resultado es también cierto si x -> +=c o x -» -oo, a condición de que existan las derivadas en las semirrectas adecuadas. Si el segundo límite de [RH] es nuevamente indeter­ minado de la forma 0/0 o s»/00 se reitera el pro­ cedimiento, si es que se dan las condiciones. Como veremos a continuación, este teorema resuelve otros muchos casos de indeterminación. Si lim (f- g) es ¡determinado de la forma °° - 0 valor fuera B, sería ln B = lim tgx • Inx = x—>0 .. Inx .. 2 senx cosx _ = lim — -— = - lim = 0. x->0 cotgx x->0 1 Por lo tanto, B = e° = 1. lim (— ) es indeterminado de la forma « A Si x-»o \ x /

lim — - 6nx es indeterminado de la forma °c/oc. x-»o cotgx

su valor fuera M , sería ln M = lim x • ln (1/x) =

Aplicando [RH] ln senx lim x->0 cotgx

cosx/senx = lim x-»0 - 1/sen2x

= -lim senx eos x = 0 . x-»0

X—>0

,. In(1/x) ,. (-x/x2) n = lim — — = lim , , . = U. x—>0

x-^0 (—1/^ )

tras aplicar [RH] y simplificar. Será M = e° = 1 .

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Indeterminaciones

^ ^

Fíg. 1 - La figura recoge diferentes funciones de límite 0 para x -> 0 . Sin embargo, los límites de sus cocientes toman diferentes valores, midiendo comparativamente la «rapidez» con que se acercan a 0. «. x3 lim — - 0 *->0 x

..

lim

*->0

x 3 + 1x x

.. senx lim = 1 x-tO x = 2

V*

lim —------= oo x

*-*0

La función ^ x es la que se acerca más «lentamente» a 0, y x3 la más «rápida».

Fig. 2 - G uillaum e de L'Hópital (1661-1704).

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Funciones derivables

EQUIVALENCIA DE VARIABLES

Si 3p ^ 0, el polinomio + a^x + ... + apXP es un infinito de orden p, para x—»oc Proposición. Para x—>=a. Si Ax) lim —— = m * 0 . x-»a gM serán equivalentes f y m - g . Si f y g son equivalentes para x->a, como se tiene f = (f/g) ■g, tendremos que si f aparece como factor o divisor en una expresión cuyo límite para x->a queremos hallar, puede ser reemplazada por g sin que se altere el límite, pues estaríamos multiplicando o dividiendo por 1. Son, por ejemplo, equivalentes, x y senx, para x->0. Por ello, el siguiente límite, que median­ te la Regla de L'Hópital conllevaría una tediosa derivación, ahora es ..

sen5x

_

x-ÍJo 9x5cos36x

x5 x™o 9x5cos36x

(lo g aX )m, X " , fox, XP*

(a, b > 1; m, n, p > 0 ) llamados infinito logarít­ m ico, potencial, exponencial y potencial-expo­ nencial, respectivamente, siendo el orden de cada uno inferior al del siguiente, según se han enumerado. Si lim fjx) = 0, decimos que fe s un infinitésimo X—>3

para x->a. Si f y g son infinitésimos para x->a, cuando

sea infinito, cero, o finito no nulo, diremos, res­ pectivamente, que el orden del infinitésimo fes menor, mayor o igual que el de g. En particular, diremos que el orden de f e s menor, mayor o igual que n según resulte de compararlo con (x - a)n. Por ejemplo, para x-»0, sen27x es un infinitésimo de orden dos, pues lim j(sen27x)/x2] = 49.

,.

1

xhS 9cos36x

_

1

x->0

9

Infinitos e infinitésimos Si es infinito el límite de ffx) para x—>a, donde a es un número real o también +=°, -a. Si f y g son infinitos para x->a, tales que

El orden mide la «rapidez» con que ftiende a 0 (véase la figura contigua). Está claro que si fe s un infinito para x->a, (Mf) será un infinitésimo. Así se obtiene: Proposición. Si a un infinitésimo se le suma uno de orden superior, se obtiene un infinitési­ mo equivalente al primero. Orden de contacto de dos curvas

diremos que f es un infinito de mayor orden que g cuando a sea infinito, que f tiene menor orden que g cuando a = 0 , y que son infinitos del mismo orden cuando a sea finito no nulo. Si f es un infinito para x-»+=c, x->=° o x->«, decimos que su orden es mayor, igual o menor que m según resulte de compararlo con xm. Si f es un infinito para x->a (e R), decimos que su orden es mayor, igual o menor que m según resulte de compararlo con 1/(x - a)m. Se puede decir, intuitivamente, que el orden mide la ra­ pidez con que f tiende a =°. Proposición. Si a un infinito se le suma uno de orden inferior se obtiene un infinito equivalen­ te al primero. La diferencia de dos infinitos equivalentes es otro de orden no inferior, o una función no infinita. Obsérvese que la suma de dos infinitos del mismo orden tiene resultado indeterminado.

Si dos funciones f(x) y g(x) cumplen Ha) = g{á), con lo que sus gráficas se cortan, la diferencia e(h) = Ha + h) - g(a + h) será un infinitésimo cuando h->0. Tal diferencia no es más que la porción de ordenada comprendida entre las dos gráficas en el punto de abscisa a + h de las cercanías de a. Diremos que las dos curvas tie­ nen en (a Ha)) un contacto de orden m cuando e(h) sea un infinitésimo de orden m + 1. Se tiene Proposición. Si las funciones f y g tienen igua­ les las m primeras derivadas en un punto a en el que Ha) = g(a), siendo finitas pero distintas las de orden m + 1,1a curvas y = Hx) y y = g(x) tie­ nen en (a, Ha)) un contacto de orden m. Obsérvese que si el contacto es de primer orden o más, será Ha) = g(a), f'(a) = g '(a), con lo que las curvas tienen en (a, Ha)) la misma tangente: se dice que en ese punto son tangen­ tes entre sí.

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Infinitésimas. Contacto

P / P t / 0

Ax) = senx

g(x) = x

h(x) = ln(1 + x)

ZtO) = 0

g tiene su valor absoluto acotado porM en el intervalo, será

S

3!

- ( x - a)3 + ... +

H a) r¡\

n o) 2!

HO) + ... + p P - x " + R„(x),

En la anterior expresión, que liga los coefi­ cientes del polinomio con sus derivadas, se basa el método de aproximación polinómica de Taylor: Supongamos que fadm lte al menos n derivados f ‘(a), f “ (á), .. ., H a ) en el punto a. Construimos los polinomios

f"(a) p„(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + (x - a)2 + 2!

(x - a)2 +

recibe el nombre de fórmula de Taylor para fen torno al punto a. Cuando a = 0 la fórmula de Taylor se escribirá

nKa) (x - a)n m\

p ,(x) = Ha) + f ‘ (a)(x - a)

Ha) + - y p (x - a) + —p

f"(a ) Ha) ( x - a)3 + ... + (x - a) + Rn(x), 3!

(x - a)2 +

p0(x) = Ha)

Hx) - p„(x) = 0. (x - a)n

\ /

(x -a )" ,

) recibiendo pnl(x) el nombre de m-ésimo poli­ V nomio de Taylor de la función fe n el punto a. ' Desde k = 0 hasta k = n tendremos p£(a) = H a ) por lo que, según se dijo en E/8, Proposición. La gráfica / y la de su enésimo

I n(x)| —

(n + 1 )!

expresión que nos permite estimar el error. Pueden ser también útiles las expresiones R Jx) =

ni p

(X - a)P(x - ?)"+1-P

(forma de Schlomilch, con 0 < p < n + 1), que para p = 1 es la forma de Cauchy /n+1) © ■( x - a )( x - tyn. Rn(x) ■ n\

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Aproximación polinómica

Fig. 1 - Brook Taylor (1685-1731).

Fig. 2 - C o lín M acLaurin (1698-1746).

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ría '

Fig. 3 - Louis de Lagrange (1736-1813).

Funciones derivables

Desarrollo de la función exponencial. Si Kx) = = e*, se tinen /">(*) = e*, con lo que /")(0) = 1, V n e N, luego el desarrollo de MacLaurin es X" X"’1'1 e0* + n! + (n + 1)!

e* = 1 + x + ■ 2!

SI para calcular e°-12 tomamos el segundo poli­ nomio, se obtiene el valor e0-12 = 1 + 0,12 + (0,12)2/2 = 1,1272 Como el tercer término complementario es r 2( x ) = x3 e* 6, teniendo en cuenta que ge* < eü,i2 < 2, una acotación posible será |R2(x)| < (0,12)3 2/6 = 0,000576. Desarrollo de las funciones circulares. Las derivadas sucesivas de g(x) = senx cumplen (0) = 0,

(0) = (-1)",

obteniéndose el desarrollo X3

x5

x7

senx = x - 3 r + - ^ - - 7 r + . . . + v2n-1 + (_1 )n - 1

+l U

v2n

---------- +

(2 n - 1)1

)n —

se n 0 X

1 1 (2 n)l 5 ™

Si calculamos ^ 1,21 a través de este desarrollo hasta el grado 2, tomaremos (1 + 0 ,2 1 )1 '3 = 1 + l o , 2 1

J

+ = | ( 0 , 2 1 ) 2 = 1 ,0 6 5 1 .

IO

Podemos acotar el error mediante

mm ------------- (1,21)-2/3 . (0 ,2 1 ) < 0 , 0 0 0 5 7 6

que corresponde al valor 0 = 1, el «peor posi­ ble», por lo que la inexactitud d e ^2 1,21 = = 1,0651 no llega a 6 diezmilésimas. Desarrollo de la función logarítmica. Como el logaritmo y sus derivadas no están definidos para x = 0, no puede hacerse el desarrollo de M acLaurin. En vez de tomar el desarrollo de Taylor en x = 1, es preferible tomar el desarro­ llo de MacLaurin de ln(1 + x). Se tiene por lo que la deriva a enésima en el origen es (- ly ^ f n - 1) 1, y el desarrollo

r2 x4 x6 —+ 4 i" “ 6r

(- 1)nx2n (- 1)"+1x2n+l +— - + — jz---- ttt senSx. (2 n)l (2 n + 1)! Si, por ejemplo, quisiéramos calcular eos 89°, que es eos [(rc/2 ) - (tt/180)] desarrollaríamos cosx en torno a tt/2. Veríamos entonces que basta llegar al grado 3 para que el error sea menor que una millonésima. Desarrollo de la función potencial. Si h(x) = xk y k no es un número natural, no puede hacerse el desarrollo de MacLaurin. Desarrollaremos f(x) = 1 + xk que sí es indefinidamente derivable en el origen, teniéndose /nl(x) = k(k - 1) ■... ■(k - n +1 )(1 + x)k~n, con lo que /">(0) = k(k - 1) • ... • (k - n + 1), y el desarrollo será, con 0 e (0, 1), (1 + x)* = 1 + kx +

k ( k - 1) ■... • (Ar —n) (1 + ex^-n+l ■xn+1 (n + 1)!

(ln(1 + x))"> = (-D ^ H n - 1)! ■(1 + x K

Análogamente cosx = 1

k (k - 1) • ... ■(fc —n + 1) + --------------- ;---------------- X" + n!

k k - 1)

x3 i „ x2 ln(1 + x) = x - — + — -

,^ ,

+

xn

(-1)

7r + 7m

x4

1

o +e)«i A"

donde 0 e (0, 1). Pueden verse en la lámina adjunta las gráficas de varias aproximaciones sucesivas. Para calcular In 1,1 con un error menor que una dizmilésima, al tomar x = 0,1 será 1 < (1 + 8x) < 1, 1, con lo que [1/(1 + 0x)] < 1 y el resto enésimo quedará acotado por [1/(n+ 1)10n+1] en valor absoluto. Habrá de ser — ~ rr —r < o sea 104 < (n + 1)10"+1 n + 1 10 n+1 104 desigualdad que ya se satisface para n - 3, por lo que bastará tomar In 1,1

1 10

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1 200

3000

: 0,0050.

Aproxi maci ón polinómica F / m del l o g a r i t m o

Fig. 1 - Función ln(1 + x)

Fig. 2 - ln(1 + x) aproximado (en torno a 0) por x.

Fig. 5 - Com paración de las aproxim aciones.

FU N C IO N ES DERIVABLES 49

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Funciones derivables

ESTUDIO LOCAL DE LAS GRÁFICAS DE FUNCIONES Supondremos en adelante que las funciones genéricas que aparezcan poseen tantas deriva­ das como convenga a la exposición. Posición con respecto a la tangente Puesto que la ecuación y = g(x) de la recta tan­ gente en un punto de abscisa a, a la curva y = Hx) es g(x) = Ha) + f ‘(a)(x - a), al sustraer del desarrollo de Taylor Hx) = Ha) + f'(a)(x - a) +

f “ (a) ( x - a)2 + ... 2!

obtenemos Hx) - g(x) =

2!

( x - a)2 + -

^ p ( x - a )3 +

3!

expresión cuyo significado, en las cercanías de a, es /a ordenada de la función menos la orde­ nada de la tangente, y según que sea positiva o negativa, que la curva esté por encima o por debajo de la tangente, respectivamente. Sabe­ mos que si a un infinitésimo se le suma otro de orden superior, se obtiene un infinitésimo equi­ valente al primero (E/8). Al ser (x - á)n un infi­ nitésimo de orden n para x —>a, el signo de Hx) - g(x) dependerá tan sólo del signo de la primera derivada, empezando con la segunda, que sea no nula en a. Proposición. Si, empezando por la segunda derivada, la primera que no es nula en a es fh> (a), se dan los casos I. n par y ft’>(a) < 0. La función está por debajo de la tangente, con la concavidad dirigida hacia las y negativas (fig. 1). II. n par y /"> (a) > 0. La función está por enci­ ma de la tangente, con la concavidad hacia las y positivas (fig. 1). III. n impar. La función atraviesa la tangente (fig. 1). En este caso se dice que la función tiene en el punto (a, Ha)) un punto de inflexión (o, ( sencillamente, una inflexión). Máximos y mínimos relativos

( Ya sabemos (E/5) que para que una función alcance en a un extremo relativo, es impres­ cindible que f'(a) = 0 , pero que ello no basta. \ Pero ahora podemos precisar la posición con ( respecto a la tangente: I

Proposición. Condición necesaria y suficiente para que una función Hx) con derivadas sucesi­ vas alcance en a un máximo relativo es que la primera derivada no nula en a sea de orden par y de valor negativo. La condición para un míni­ mo relativo es que la primera derivada no nula sea de orden par y positiva. Por lo tanto, para hallar máximos y mínimos relativos de y = Hx), habremos de buscar los puntos singulares, es decir, resolver la ecuación Hx) = 0 examinando después el valor de las sucesivas derivadas en tales puntos. Para hallar las inflexiones de la curva y = Hx), resolveremos la ecuación f "(x) = 0, exami­ nando las siguientes derivadas en los puntos solución. • Ejemplos. La función Hx) = - ( x - 3 )4 tiene deri­ vada f ‘(x) = - 4 ( x - 3)3, nula solamente en x = 3. Siendo f"(x) = -1 2 (x - i’ ) 2,Hll(x) = -2 4 (x - 3), f v(x) = -2 4 , tendremos H(3) = 0, HK3) = 0, f™(3) = 0, f v(3) = 24 y en x = 3 se presenta un máximo relativo. No hay inflexiones porque el único punto en que HHx) es nula es precisa­ mente en x = 3 (fig. 2). La función gfx) = (1/5)x5 + x - 2 tiene derivada g '(x) = x4 + 1, que no es nula en ningún punto, por lo que la curva carece de máximos y míni­ mos locales. Su segunda derivada es g "(x) = = 4x3, nula para x = 0. Como g "'(x ) = 12x2, glv(x) = 24x, gv = 24, se tiene g"(0) = 0,

g "H 0)

= 0, g'nO) = 0, gV(0) = 24,

por lo que la función presentará en x = 0 su única inflexión (fig. 3). La función h(x) = (x + 1)4 tiene derivada h'(x) = = 4(x + 1)3, nula en x = -1 , siendo /)"(-!) = 0, /)'"(-1) = 0, hlv(- 1) = 24 > 0 por lo que, en x = - 1, b(x) alcanza un mínimo relativo (fig. 2), careciendo de inflexiones pues h"(x) = 12 (x + 1)4, nula sólo en x = - 1 . La función j(x) = (IM jx 4 + x tiene derivada j \ x ) = x3 + 1, nula tan sólo en x = - 1, siendo j"(x) = 3x2, /'(-1 ) = 3 > 0, por lo que en x = -1 se presenta un mínimo relativo. Por otra parte, la derivada segunda es nula en x = 0. Como /«(O) = 0, y™(0 ) = 0, j iv(0 ) = 6 en x = 0 la función es cóncava hacia las y positivas (fig. 3), careciendo de puntos de inflexión.

--------------------- -

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Estudio local de l a s g r á f i c a s de f u n c i o n e s

Fig- 2 - Concavidades sin inflexión.

F . , ,

Fig. 3 - Abajo: cambio de concavidad (inflexión).

r*?’ 4. *>ara x - a estas dos funciones carecen de derivada finita, por lo que acudimos a la representación para hablar de inflexiones.

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Funciones úerivables

D IREC CIO N ES A SIN TÓ TIC A S. ASÍNTOTAS Para cada valor d e m e R podemos considerar la familia de rectas y = mx + k (k cualquiera). Se trata de la fam ilia de paralelas de pendiente m, todas ellas en la misma dirección. Si tenemos una curva de manera que resulta ser que cuando (x, y) pertenece a ella, se tiene lim

x-»

+ 00

—Y— = m (m X

e

R),

ello significará, intuitivamente, que la curva se aleja hacia la derecha (x—>+=*=) en la misma dirección que las rectas y = m x + k. En esta situación se dice que la dirección de pendien­ te m es una dirección asintótica de la curva (por la derecha). Reemplazando x->-H* por x > -x! tendremos el concepto de dirección asintótica por la izquierda. Puede además suceder que, al alejarse idefinidamente, la distancia de los puntos de la curva a una recta tiende a cero: diremos que tal recta es una asíntota de la curva. Puede pensarse la situación imaginando que la curva, al alejarse hacia el infinito, tiende a confundirse con una recta. Por supuesto, si una curva tiene a una recta por asíntota, también tendrá la dirección asintótica que corresponde a dicha recta. Sin embargo, una curva puede tener la misma dirección asintótica que una fam ilia de parale­ las, pero no tener a ninguna de ellas como asín­ tota. Veamos antes cómo se formalizan estas nociones. Hx) Proposición. Si lim m (m X—>+=C además lim (/(x) - mx) = n (n e R) la recta

puede ser directamente reconocido por la con­ dición única, de que n = lim Hx) exista y sea finito. x->* Si a e R y se tiene lim Hx) =

. -00 o 00

x—» a

decimos que la recta x = a es una asíntota ver­ tical de la curva y = Hx). Este concepto puede ampliarse considerando límites laterales x->a+ y x->a~. Es usual llamar asíntotas oblicuas a las que no son ni horizontales ni verticales. • Ejemplos. La curva y = senx (fig. 2) tiene la dirección asintótica del eje y = 0, pues .. senx lim =0

X-»oc

X

(derecha e izquierda), pero como el límite de senx para x->x¡ no existe, no se aleja hiperbóli­ camente ni parabólicamente. La curva y = (x senx)/4 se aleja infinitamente, pero sin dirección asintótica, pues no existe lim senx (fig. 3). La curva y = x / x + sen(7t/x) + n x se aleja para­ bólicamente en la dirección de y = ttx (fig. 4) pues ,. x /x + sen (7 t/x) + nx lim — = 71 x-> + 00

X

lim

X —> +

La

c u rv a y

(x / x +

s e n (7 t/x ))

= +«=.

=C

= sen (7 t/x)

s e a l e j a h ip e r b ó lic a m e n t e

(fig . 1 ) c o n a s ín to t a y = 0 p u e s lim

X—>*

sen (7t/x) = 0

X—> +*>

y = m x + n es una asíntota por la derecha de la curva y = Hx). La misma proposición caracteriza a las asínto­ tas por la izquierda sin más que tomar ambos límites con x—>-=c. Obsérvese que pueden darse los siguientes casos: a) m no existe. No hay dirección asintótica. b) Existen m y n, ambos números reales. Hay asíntota. Se dice que la curva se aleja hiperbó­ licamente. c) Existe m e R y n e s + x o -=°. Diremos que la curva se aleja parabólicamente. No hay asíntota, pero sí dirección asintótica. d) Existe m e R pero no existe n (ni finito ni infinito). La curva se aleja en la dirección asin­ tótica, pero ni hiperbólicamente ni parabólica­ mente (sin asíntota, desde luego). En el caso particular en que m = O y n e R, ten­ dremos una asíntota horizontal. Este caso

En la figura 5 pueden verse difirentes casos de asíntotas verticales. Sean

1

r

Hx)

- si x > 4

^ T ' g (x )= / Z J ' h (x )= ( r si x < 4

Se tiene 1

1

1

lim —r - = lim —r - = lim *_>o+

x2

x->0

x2

lim — = + x, lim x—>2+ X —2 x->2_ X

lim x->2

lim

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X -2

- 1, lim

— 7 = -t00

x -^ 0

x¿

1 r

Z

: —00

Representación gráfica

Fig. 1 - Alejam iento hiperbólico por la derecha, con asíntota y = 0.

Fig. 2 - Alejam iento no hiperbólico y no parabólico, pero con dirección asintótica según el eje.

F'g- 4 - A lejam iento parabólico (curva verde)

Fig. 5 - Varias asíntotas verticales,

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F . , p L 7 1

Funciones derivables

TR A ZA D O DE LA G R Á FICA DE LAS FU N CIO N ES Para proceder a representar gráficamente una función, conviene resolver los puntos que a continuación se exponen: — Dom inio de la función. — Posibles simetrías elementales. Si Ax) = = A-x) V x e R, la gráfica es simétrica respec­ to al eje de ordenadas, si A-x) = -Ax) V x e R, simétrica respecto al origen. — Zonas de crecimiento y de decrecimiento. — Concavidades. — Máximos, mínimos y puntos de inflexión. — Comportamiento asintótico. — Construcción de algún punto de la gráfica. En particular, es usual hallar los valores de x que dan una y nula, y qué valor de y se obtie­ ne para x = 0 (intersección con los ejes). Para trazar la gráfica, se representan las asínto­ tas, máximos, mínimos, inflexiones y puntos conocidos, atendiéndose, finalmente, a las ins­ trucciones sobre concavidades, crecimiento y decrecimiento. • Ejemplos. Representar gráficam ente la función „ s

El domino de la función es R - {2}, en todo el cual es continua. Su derivada, que existe en todo el dominio, es

-W -2 6 L g W (x2 + 4 )3 ' el signo de g" sigue el esquema

0

0

+

-

1 -4

0 +

1 0

-

1--------------------------4

lim X->°0

x3 - 2 x2 - 8 x(2x2 + 8 ) 1- 2x2 - 8 2x2 + 8

J _ 2 ' = -1

(x - 2)3

^

0

H 2

0

se observa en primer lugar que el dominio es todo R, pues todas las operaciones indicadas pueden hacerse para cualquier valor real de x. La derivada primera es ,. . x4 + 12x2 ^ 3 \x — 3 / 1 x->=o\ X + 3 / la recta y = 1 es asíntota horizontal por ambos lados. Puede verse la gráfica en la figura 3.

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Represenroción gráfica

Fig. 1 - G ráfica de la función y ~ —— ^ 2

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F . , _ L 7 1

Funciones derivables

Como

Representar gráficamente j(x) ='y/1 - x2. Su dominio es todo R, siendo la función par y, por ello, simétrica su gráfica respecto al eje de ordenadas. Es continua en todo punto, pero su derivada -2 x

i'(x) :

no es finita en los puntos de abscisa -1 y 1. El signo / es negativo en (0 ,1) U (1, + *), positivo en ( - * , -1) U (-1, 0) y es nula en 0. La segun­ da derivada es positiva en ( - » , -1) U (1, +=) y negativa en (- 1, 1), no anulándose. No hay asíntota horizontal, pues

i/T

- =

x + 2 arccotgx _ ,. y - 1, lim 2arcco tg x = 0 , X x—M-sc

lim

2L ± 2arccotgx = 1 J .

2arccotg x = 2it,

y = x es asíntota por la derecha mientras que y = x + 2n lo es por la izquierda (fig. 5).

V ( T - x2)2'

lim

Ilm X-Í+3C

0,

Representar gráficamente f(x) = (ln x )/V x . El dominio de f(x) es R+.

'

f es positiva en (-=, e2), nula en e2 y negativa en (e2, + »). f es negativa en (- * , e823), nula en e®/3 y positiva en (e®/3, + x) por lo que

\

(e2, 2 e-1,) habrá un máximo y en ^e823,

e~j

X-»oc

i

y como lim X— tendremos que la curva se aleja parabólicamen­ te en la dirección asintótica del eje horizontal. Véase toda esta información en la figura 1. Representar gráficamente la función fc(x) =

|x| |x|

{i'

/

una inflexión. _ .. Inx Como lim = — ^ x -» 0 + V X

Inx = + x, lim — ^ - = 0. x -» -»

V x

x = 0 es asíntota vertical e y = 0 es asíntota horizontal por la derecha (fig. 3). Representar gráficamente

x *0 x =0

u(x) = cosx - cos2x.

Se trata de una función par, por lo que basta estudiar x* para x > 0. El dominio de k es R, siendo continua en todo punto, pues el único peligroso sería x = 0 y, sin embargo, lim x* = 1 x -> 0 +

La derivada de xx es xx • (1 + Inx) finita para x > 0, siendo su signo negativo en (0 , e~'), nulo en (1/e) y positivo en (e_1, + x) y además lim xx(l + Inx) = - x . x—>0

Es una función par y de período 2ti, por lo que basta su estudio para x e [0, 7t| u' es positiva en (0, n/3), negativa en (n/3, Jt) y nula en 0, 7c/3 y 7t • u" es positiva en (0, a) U ((3, jt), negativa en (a, |3) y nula en a y p, donde 1 + V33 . 1 - V33 a = árceos — ------- , p = árceo s ----- . O o No hay asíntotas, pero sí la dirección asintótica y = 0 (fig. 6).

k"(x) - x x(1 + Inx)2 + xx_1 es positiva V x > 0, por lo que en (e_1, (e_1)e_1), que es aproximadamente (0,37, 0,69), habrá un mínimo. Atendiendo a la simetría, tendremos la figura 2 . Representar gráficamente la función s(x) = x + 2 arcotg x. En una función impar, definida en todo R. s' es positva en (- x , -1) U (1, + x), negativa en (- 1, 1) y nula en -1 y 1. s" es negativa en (- x , 0), positiva en (0, + *) y nula en 0 . Se presenta, por tanto, un m ínimo en (1, 1 + it/2), un máximo en (- 1, 1 + tt/2) y una inflexión en (0, 7t).

Representar gráficamente v(x) = e5enx. El dominio es todo R, y tiene período 2ji por lo que se estudia en [-jt, ji]. v ' es negativa en (-Jt, - n /2 ) U (Jt/2 ,Jt), positiva en (-Jt/2 , n/2) y nula en ± Jt/2. v" es positiva en (-Jt, a) U (P, Jt), negativa en (a, P) y nula en a y en p donde V ? - 1 a = are sen -re ­

2

teniendo mínimo en (-Jt/2 , 1/e), máximo en (n/2, e) e inflexiones en los puntos de abscisa a y p. Carece de asíntotas pero se aleja en la dirección horizontal (fig. 4)

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Representación gráfica

fix iH x * o \ > n ,x = o

V

Fig. 3 - G ráfica de y = ——

V*

Fig. 5 - G ráfica de y - x + 2 arcotgx.

Fig. S - G ráfica de y = eos* - eos2*

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j

7

F / 1 4

Funciones

derivadles

CÁLCULO APROXIMADO DE RAÍCES DE ECUACIONES Una vez hallados los Intervalos en los que la ecuación Ax) = 0 tenga solución única (separa­ ción de raíces) hay diversos métodos para resol­ ver aproximadamente la ecuación. Si fe s con­ tinua en un intervalo [a, b] de su dominio, y tía) • f(b) < 0, el Teorema de Bolzano (D/2) nos asegura la existencia de una raíz en (a, b). Si f'ix) es siempre positiva o siempre negativa en [a, b\ tal raíz será única. El propio Teorema de Bolzano nos proporciona un método para hallarla, aunque los hay menos lentos. Método de las cuerdas (o de las partes propor­ cionales) Si a es la raíz única de Ax) = 0 en [a, b], reem­ plazando la curva y = Ax) por la cuerda desde (a, f{a)), hasta (b, f(b)) se obtiene (fig. 1) la pri­ mera aproximación

X i = a - i b r W ( b~ a)' repitiéndose el procedimiento en aquel de los intervalos [a, x ,], [x1; b] en cuyos extremos f tome valores de signo opuesto. Él error absolu­ to a - x n de la enésima aproximación puede acotarse por

Método de iteración Si k * 0 los x que cumplan Ax) = 0 son los mis­ mos que satisfacen x = x - k ■Ax), con lo que estamos intersectando y = x con y = x - k ■Ax) en vez de cortar y = 0 con y = Ax), tal como hacíamos anteriormente (fig. 4). Si se toma A: tal que |1 - k ■f'(x) \ sea pequeño en un entorno de xn (en particular si 1 - k ■f' ( x 0) = 0 ) , se tienen las sucesivas aproximaciones XfH-1 = x n ~ k ’ Axn) • Ejemplo. Resolver aproximadamente la ecua­ ción x2 - 2 Inx - 3 = 0. La representación gráfica (fig. 5) nos muestra la presencia de una raíz en (0, 1) y otra en (2, e). Hallaremos esta última. Por el método de las cuerdas es x0 = 2 , x , = 2 -

(e - 2,1 ) = 2,118,

x3 = 2 , 121, x4 = 2, 122, x5 = 2, 122, valor que tomaremos ya al haberse estancado la sucesión. Como en [2, e] 2 (x2 - 1 x

f'ix) = -

, ^ ~

1L

< 6 ,39,

2

el error se puede acotar por Q-°018 < 0 0003 6,39 U'UUUJ-

6,39

Por el método de Newton (simplificado) tenemos f'ix ) = 2 (x2 - 1)/x, f “ (x) = 2 (x2 - 1)/x2

donde m es el mínimo de la derivada f'(x) en la, b], supuesta existente y no nula. Método de Newton Si f'{x) # 0 y f"(x) 0 V x e|a, b] cumpliéndo­ se f(a) ■f(b)< 0 y además Aa) ■f'(a) > 0, se pueden hallar aproximaciones sucesivas mediante Axn) x0 = a , x n+1 = x n - — . A este método se le llama también el de las tan­ gentes, pues se reemplaza la curva por las tan­ gentes en los sucesivos puntos (x„, Ax,,)) (fig. 2 ). La última condición exigida, fia) ■f ' ( a ) > 0 (o bien fib) ■f “ (b) > 0 ) nos asegura la mejora de la aproximación. Puede verse un contraejem­ plo en la figura 3. El error absoluto se acota como en el Método de las cuerdas. A menudo fixn)

no nulas en [2, el. Además A2) ■ Ae) < 0, A2) ■f" (2) < 0, Ae) ■f “(é) > 0 , por lo que será Ae) x0 = e= 2,71 8, x, = e - y p - = 2 ,21, f ‘(e) x2 = 2,21 - -

x4 = 2,124, x5 = 2,122, x6 = 2,122 mientras que por el método no simplificado es x0 = e, x,

Ae) “ 2,21, f'ie)

-•>11 '

ñ2'21) “ 2,125, «'(2,21)

X¿

X, =

2,122,

x4 =

2,122.

Por iteración, si hacemos 1 - k ■f'(2) = 0 obte­ nemos k = 1/3, por lo que la sucesión es xo = 2 Xl = 2- —jjp- — 2,128 x2 =

fia )

«2 ,21) - = 2,146, x3 = 2,129, f'(é)

2 ,1 2 8 -

X3 = 2 i 1 2 2 _ « M 2 2 )

más sencillo y de una exactitud similar.

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2,122 •

2 , 1 22 .

Soluciones c / 1 q aproximadas ' 1b

Fig. 3 - * i sería una aproxim ación peor que x0.

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Integración INTEGRAL DEFINIDA

Si Hx) < g(x), es í ba Hx) dx < j ba g(x) dx

Sea fu ñ a función acotada en [a, b] y a = x0 < x , < ... < xn = h una subdivisión del intervalo [a, b]. Si tomamos n puntos t¡ e [x ^ , x¡¡ la suma 2 Ht¡) (x¡ - x M ) se dice que es una suma integral de fe n [a, b]. Cada valor Ht¡) ( x ¡ - x M ) representa el área de un paralelogramo (fig. 1), tomada negativamente si Ht¡) < 0. Si existe límite de las sumas integrales cuando n tiende a infinito de tal manera que la mayor de las diferencias x ¡ - x¡_-¡ tienda a 0, recibe el nom­ bre de integral definida de f entre a y b, dicién­ dose también que fes integrabie-Riemann en [a, b] (aunque en adelante diremos integrable, sim­ plemente). La integral definida se denota , Hx) dx y se interpreta como área de la región limitada por y = f(x), y = 0 , x = a y x = b (fig. 2 ) cuando Hx) > 0 en a, b, y como suma algebraica de áreas si el signo de fvaría, computando negati­ vamente las figuras bajo el eje (fig. 3). • Ejemplo. Hallar el área limitada por x = 0, x = k , y = 0 e y = e x. Dividamos el segmento [0, k] en n partes iguales ~k 2 k " k A k n n _n n y tomemos t¡ como el primer punto de cada subintervalo. La suma integral es 0 ,n- .

f

A

k

m=1 n 6 con lo que el área es lim

n

lim

1 - e*

1r

I a Hx) dx= X ■(b - a). donde inf fe n [a, b] < X sup fe n [a, b]. Además, si fe s continua en [a, b], existe c e [a, b] tal que X = He) (fig. 4) AI valor X que aparece en el teorema, Ib 1 X =Hx) dx, se le llama valor medio de la función fe n el intervalo [a, b}. Esta noción, que promedia los infinitos valores de fe n el intervalo, generaliza de manera natural el concepto de media arit­ mética de un número finito de cantidades. • Ejemplo. Si para hallar la media de Hx) = x2 en [0, 1] promediamos sus valores en 0, 1 obtene­ mos O2 + (ir)2 + ■ ■ ■+ (Ar)2 + I n+1

fe

a Hx) g(x) dx = g(a)

- eK •k - 1,

e* dx = ek - 1. F (X ) ■

(f + g)(x) dx =

Hx) dx +

g(x) dx.

a ■Hx) dx = a ■ ■

Hx) dx

V a e R.

b

Hx) d x .

Hx) dx = 0.

b

Hx) dx = 1

^ Hx) dx.

Teorema fundamental del cálculo integral. Si f es integrable en [a, b], la función integral

Propiedades de las funciones integrables

Hx) dx = -

2n+ 1 bn

valor que es diferente para cada n. Si n tiende a infinito, el valor límite es 1/3, el mismo que se obtiene buscando la X del teorema precedente.

'b

k

luego

fb

Segundo teorema del valor medio. Si f y g son continuas en [a, b] siendo g positiva decrecien­ te, existe c e (a, b) tal que

k e° + en k + .. + e~ — n ' k

Proposición. Si f es continua en [a, b] también es integrable en [a, b]. Proposición. Si fe s discontinua tan sólo en un número finito (o infinito numerable) de puntos de [a, b], fe s integrable en [a, b]. Primer teorema del valor medio. Si f es inte­ grable en [a, 6], existe X tal que

Hx) dx +

Hx) dx .

b

a ■dx = a • (6 - a).

Ht) dt

es continua en ja, b] y además, si f era continua en x0, F e s derivable en x0, siendo F(x0) = f(x0). Regla de Barrow. Si fes integrable en [a, b] y G es una primitiva de f, es decir, una función tal que G'(x) = Hx), se tiene Hx) dx = G(b) - G(a) I Debe señalarse la importancia de esta última propiedad, pues permite calcular integrales definidas mediante primitivas de las funciones y ya no como límite de sumas integrales. Es usual denotar G(b) - G(a) = [G(x)]b.

ATLAS DE M ATEM ÁTICAS 60

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Integral definida

,

,,

Fig. 4 - El área encerrada en la figura de la izquierda coincide, según el teorem a del valor medio, con la de un rectángulo con la misma base y cuya altura (valor medio) es el valor de la función en cierto punto del intervalo.

IN TEG RACIO N 61

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Integración

C A LC U LO DE PRIM ITIVAS

- 1n|x3 + 3 x - 5| + C.

Si Fe s una primitiva de f, es decir, F= f, las res­ tantes primitivas se obtienen (según se dijo en E/5), sumando a F cualquier constante C. El conjunto de primitivas de f se denomina inte­ gral indefinida de f y se denota j Hx) d x , por lo que, si Fes una primitiva de f, pondremos j (fx) dx = F(x) + C. El conocimiento directo de las derivadas con­ lleva el conocimiento de la integral indefinida en sentido contrario. Estas integrales directas se hallan recogidas en la tabla adjunta. Por otra parte, la derivación de función de función — o regla de la cadena— , nos permite considerar como inmediatas las integrales recogidas en la tabla de la página siguiente. Puden ya integrar­ se numerosas funciones con estas tablas y las dos reglas que siguen:

dx =

■dx = I n 11nx ] + C.

e*

dx = arcsen e* + C

V i - e2x ch(5 + x / x )

1

=2

ch(5 + x /x ) dx --

2 Vx

= 2 s h v 'x + C. 1

■dx -

x V l + ln2x

- dx = V i + (Inx)2

- arcsh (Inx) + C.

j (f + g)(x) dx = \ fx ) dx + \ g(x) dx, \ m ■t\x) dx - m Jfx ) dx V m -senm . dx = s e c W ± C

eos-?7Ü)

Fíg. 1 - John W allis (1616-1703).

C

f fo-

7 dx = a resen f x ) * C

.VJ . ~ (W

,

f ^ F rfx = arOg/ix)+ C _Qx)

dx = arcsec/tx) + C

f a ) V ( íx ) ) 2 - 1

f'(x) • sh/(x) • dx = ehfx) + C

f'(x) • eh/íx) • dx = shfx) + C

¿ J | L < í x = tSh/ix) + C eh2fx)

^^

dx = argsh/tx) + C

V(«x))2 + 1 ■^ — dx = argeh/tx) + C

V(/íx))2 - 1 1 - [ftx))2 Fig. 2 - Isaac Barrow (1630-1677).

dx = argtghrtx) + C

Fig. 3 - Integrales inmediatas.

IN TEG RACIÓ N 65

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/ n

Integración

IN TEG R A C IÓ N POR PARTES

Cuando una función que se desea Integrar tiene derivada sencilla es a veces conveniente Inte­ grar por partes, usando como segundo factor un 1. Por ejemplo, la integral

La fórmula de integración p o r partes \ Hx) ■g (x ) ■dx = f(x) ■g(x) - j f ( x ) ■g d x ) ■dx puede usarse cuando (a) la función que se desea integrar se pueda concebir como producto, de tal modo que (b) a un factor se le pueda hallar una primitiva, no complicadamente, y (c) tal primitiva y la derivada del otro factor pro­ porcionen una integral más sencilla que la anterior.

\ Inx dx se resuelve haciendo Hx) = Inx, g (x ) = 1 con lo que f ‘ (x) = —

E = x Inx - j 1 • dx = x Inx - x + C.

• Ejemplos. La Integral A = ¡x cosx dx puede resolverse haciendo

En algunas ocasiones la aplicación reiterada del método conduce a ecuaciones en la Inte­ gral que se busca. Por ejemplo, en

f= x, g = cosx,

F = j sen Inx ■dx

con lo que f = 1, g = senx, y es A = x senx - j senx • dx = x senx + cosx + C.

Hx) = sen Inx, g'(x) = 1, f ‘(x) = ■ — eos Inx, g x ) = x;

Inx

La Integral 8 =

, gfx) = x y será

dx puede resolverse F = x sen Inx - j eos Inx dx

V *

haciendo

y si para esta última ponemos f= Inx, g = M x f x , /j(x) = eos Inx, g 'i(x) = 1,

con lo que f = — , g = 2 x / x , siendo f \ (x) = - — 1

B = 2 x / x Inx 1

= 2\ / x ln x - 2

2 x/x dx =

sen Inx, g ,(x) = x,

llegamos a

dx = 2 x / x Inx - A x/x + C. (

F = x sen Inx - x eos Inx -

J sen Inx dx,

por lo que , , xse n I n x - x e o s Inx sen Inx dx = -------------- ^-------------+ L .

La Integral D = — dx puede solucionarse por 2* partes, haciendo

con lo que f'(x) = 2x, gfx) ■ D--

-1 2 X ■In2 '

-x2

2* ■In 2

Hx) = aresenx, g (x) = x, con lo f'(x)

dx.

2*

In 2

Resolviendo esta nueva integral por partes f,( x ) = X,

g

G =

1 j (x ) = -

2x

x2 - , gx) = — - ,

1 vT"

x^aresenx

= dx = o x/T ^ x1

'

1 f iM = h g x ) = 527* In2 D =

x aresenx dx puede resolverse

La integral haciendo

Hx) = x2, g (x ) = 2* '

2

2

lx /2

cos2f f-sení dt) sent

(tras haber hecho el cambio x = cosí en la últi­ ma integral),

2x dx = 2* Inx 2* • ln22 ln22 2X -x2 2x + C. 2 X In 2 2X • ln22 2X ln32

[ f - V

ATLAS DE M ATEM ÁTICAS 66

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sen 2 f

Arquímedes

Cuadratura de la parábola

Espiral de Arquímedes

íedá dentada

Arquímedes (287-216 a .C .), uno de los mayores sabios de la humanidad, precursor del cálculo integral (método de exhaución), descubridor, entre otras cosas, de la Ley de la Palanca, del Principio de Empuje, de los volúmenes de los sólidos de rotación, inven­ tor del tornillo sin fin, y de la rueda dentada. Se mostraba tan satisfecho de haber establecido la proporción de volumen entre una esfera y un cilindro circunscrito que la hizo esculpir en su tumba, posteriormente descubierta por Cicerón.

IN TEG RACIÓ N 67

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Integración

IN TEG R A C IÓ N DE FU N CIO N ES RACIONALES Resolveremos la Integral

algunas son múltiples: Q(x) = (x - a, )mi • .

P[x) dx donde P y Q(x)

^ x> _ ^ 1.1

Q son polinomios. Supondremos que el grado de P e s estrictamente inferior al de Q (si no, dividiendo, P(x) = Q(x) ■c(x) + R(x) y P/Q = j c + J R1Q) y que el coeficiente de mayor grado de Q es 1 (si no, se le saca de factor común fuera de la integral). Caso I. Las rafees de Q(x) son reales y simples:

Q(x)

J

M.roi

A \.i

( x - a ,) 2

( x - a ,)mi "2,m2 ( x - a2)m2

+ ... + (x - ar)

(x - ar)2

+

..

A r,mr

( x - ar)n

una vez hallados los coeficientes indetermina­ dos A ¡i bastará tener en cuenta que si m * 1

P(x) A, A2 A„ = ---- — + — — + ... + — , Q(x) x - a1 x - a2 x - an

donde A-¡, A2, ..., A n son coeficientes indeter­ minados; tras hallarlos, será Pix) dx = Q(x)

,

( x - a ,)

. A 2.\ , ^2.2 (x - a2) (x -' a2>2 +

Q(x) = ( x - a ,) ( x - a2) • ... ■( x - an). Pongamos

' (x - ar)n

Pondremos

í

A , A dx = (x - a)m (1 - m)(x - a)m

+C

Ejemplo. Resolver

■dx =

J=

= A , In |x —a ,| + ... + A „ ln |x —a„| + C.

3 x 5 - 2X4 - 2 3 x 3 + 3 x 2 + 7 2 x + 2 8

x6 + x5 - 10x4 - 8x3 + 32x2 + 16x - 32

dx

Para encontrar A ,, ..., A„, al sumar las fraccio­ nes se obtiene

El denominador se descompone en (x - 1) (x —2 )2 (x + 2)3 por lo que escribiremos

FXx) = A , (x - a2) ■... • (x - a„) +

3xs - 2X4 - 23x3 + 3x2 +72x + 28 A x6 + x5 - 10x4 - 8x3 + 32x2 + 16 x - 32~ x - 1 +

+ A2(x - a-])(x - a:!) ■... ■( x - a„) + ... +

B x- 2

+ A n( x - a,) • ... • ( x - an_,), pudiéndose igualar cada coeficiente de P(x) con el del mismo grado del polinomio de la derecha, efectuando previamente los productos y sumas indicados. También es posible dar a x, en ambos miembros de la igualdad, tantos valores como coeficientes haya que determinar, obteniéndose nuevamente un sistema. Sin embargo, en este Caso I, lo más rápido es dar a x los valores a-¡, ..., an. Ejemplo. Hallar / =

4x2 —12 x —10 x* - 2 x 2 - 5 x + 6

D (x + 2)

E F (x + 2)2 (x + 2)3 '

Efectuando la suma de fracciones e igualando numeradores, tendremos 3xs _ 2X4 - 23x3 + 3x2 + 72x + 28 = = A ( x - 2)2 (x + 2)3 + 8 ( x - 1) ( x - 2) (x + 2)3 + + C(x - 1) (x + 2)3 + D (x - 1) (x - 2)2 (x + 2)2 + + E(x - 1) ( x - 2 ) 2 (x + 2) + F(x - 1) ( x - 2 ) 2. Dando a x los valores 1, 2, -2 , 0, -1 , -3, obte­ nemos, respectivamente,

dx.

81 = 27A, 64 = 64C, -4 8 = -48 F,

x3 - 2x2 - 5 x + 6 = (x - 1)(x - 3)(x + 2 ), 4x2 - 12x - 10 x3 - 2x2 - 5 x + 6

C (x -2 )2

28 = 32A + 1 6 6 - 8 C - 1 6 D - 8 E - 4 F ,

B C _ A _____________ x-1 + x - 3 + x + 2'

-23 = 9A - 6B - 2 C - 18 D - 1 8 F - 18F, -42 7 = -2 5 A - 20B + 4 C + 100D +

4x2 - 12 x —10 = A(x - 3)(x + 2) +

+ 1 0 0 F - 100F.

+ B(x - 1)(x + 2) + C(x - 1)(x - 3).

sistema cuya solución es A = 3, B - -2, C = 1, D = 2, F = -1 , F = 1, por lo que

Haciendo sucesivamente x = 1, x = 3, x = -2 , obtenemos, -1 8 = -6A , -10 = 10B, 30 = 15C o sea A = 3, B = - 1 , C = 2 , por lo que

I = 3 ln |x - 1 1 - 2 In |x —2[ -

/ = 3 In|x —1 1 —In¡x —3 1 + 2 ln |x + 2|+ C + 2 ln |x + 2 1 + Caso II. Las raíces de Q(x) son reales, pero

ATLAS DE M ATEMÁTICAS 68

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x +2

1 ( x _ 2)2

1 2(x + 2)2

+C

Bonaventura Cavalieri

F/5

Fig. 1 - Bonaventura Cavalieri (1598-1647) enunció el principio según el cual tienen igual volumen sólidos cuyas secciones por cada plano de una familia de planos paralelos tengan igual área.

es decir: nR2

2 R -^ x R 2

2R = y

nR3 .

IN TEG RACIÓ N 69

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Infegración

Caso III. Q(x) tiene algunas raíces imaginarias, pero simples. Si a + b i es una de tales raíces, también lo es a - bi, por lo que producen un factor primo ((x - a)2 + b2) (b * 0) en la descomposición; a tal factor se le asocia una fracción Mx + N ( x - a ) 2 + b2 '

Q(x) = ( x - c ,)mi • ... ■( x - cr)mr-

que se añade a las descritas en el Caso II, sien­ do M y N coeficientes indeterminados, Para integrar se aplica la fórmula Mx + N — (x

. M . „ ,, ,,, dx = — ln ( ( x - a ) 2 + b2) +

Arla + N x• arctg b 6 b

• [ ( x - a ,) 2 + b ^ i- ... • [ ( x - as)2 + b |" s. designemos Q i(x) = ( x - c ,)mi - 1 • ... • ( x - c r)mr —1. • [ ( x - a ,) 2 + ¿>2]ni —1• ... • [(x —as)2 + bgAr1. Poniendo

-+ C

Halladas por el método de Ruffini las raíces 2 y S 3 del denominador, se tiene x4 —9x3 + 39x2 - 89 x + 78 = = ( x - 2) (x - 3) (x2 —4 x + 13) siendo las raíces de este último factor

donde P^x) es un polinomio de coeficientes indeterminados de grado inferior en una uni­ dad de Q ](x); bastará hallar los coeficientes por los métodos ya descritos e integrar término a término. • Ejemplo.

x®-6x7 + 6x6- 1 2 x 5- 1 2 x 4 + 27x3- 31x2 + 6x + 5 (x2 + 1)3 (x + 2)2 ( x - 1)

8x3 - 47x2 + 1 2 9 x - 170 x4 - 9x3 + 39x2 - 89x + 78 B x- 3

x - ar

A cx + B c ( x - as)2 + b2 '

Resolver la integral indefinida W d e la función

=2 ± 3/

por lo que la descomposición será

A x - 2

- a-¡

LQi(x) A jX + 8, (x - a ,)2 + b\

8x3 - 47x2 + 129x- 170 dx. x4 —9x3 + 39x2 - 89x + 78

4 ± V i 6 - 52

PÁx)

m QM

Ejemplo. H allar la integral K--

Caso IV. Q(x) presenta alguna raíz imaginaria múltiple. Aunque es posible utilizar un procedimiento semejante al del Caso II, es preferible aplicar directamente el llamado Método de Hermite (que, por otra parte, puede usarse también en los casos II y III). Si

La fracción racional

C x+ D ( x - 2)2 + 32

Efectuando la suma de fracciones e igualando denominadores, obtenemos 8x3 - 47x2 + 1 2 9 x - 170 = = A (x - 3) (x2 - 4 x + 3) + + B(x - 2) (x2 —4 x + 13) + + (C x + D) (x - 2) (x - 3) = = (A + B + Q x 3 + (-7 A - 68 - 5 C + D)x2 + + (25A + 2 1 8 + 6 C - 5D)x + (-39A - 268 + 6D). Igualando coeficientes se halla un sistema cuya solución es A = 4, B = 1, C = 3, O = 2, con lo que tendremos

p(x) que deseamos inte­ q(x)

grar, la descompondremos de la forma A x4 + 8x3 + Cx2 + D x + E (x2 + 1)2 ( x - 2)

p(x) _ q(x)

F x- 1

C x- 2

Mx + N x2 + 1

Una vez efectuada la derivada, se suman las fracciones; igualando numeradores se obtiene un sistema de ecuaciones en los coeficientes cuyas soluciones son A = 1, 8 = C = D = 0, E = -1 , F = 2, C = -1 , A4 = 3, N = 2, por lo que tv =

x4 - ! (X2 + 1 )2 (X - 2)

+ 2 ln |x —1 1- ln |x —2 1 +

/C = 4 ln |x —2 1 + ln |x —3 1 + + ~y ln (x2 - 4 x + 13) + - j- arctg * - 2 + C

+ — ln(x2 + 1) + arctgx + C.

ATLAS DE M ATEMÁTICAS 70

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Johannes Hepler

p#c h /b

Fig. 2.

Fig. 1 - Johannes Kepler (1571-1630).

Fig. 3.

^ ~ ^e P*er estableció que los planetas describen órbitas elípticas (arriba) barriendo áreas iguales en tiempos iguales (fig. 2). Fue observando el planeta M arte como descubrió (fig. 3) que es la elipse la que posee tal propiedad. Estudió también los volúmenes de los cuerpos engendrados al girar sobre la cuerda un segmento circular, a los que llamó citriformes o meliformes (limón y manzana), según girase la porción menor o la mayor (fig. 4).

IN TEG RACIÓ N 71

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Integración

INTEGRALES TRIGONOMÉTRICAS I.

Para resolver

- - x + C. tg r-1

integrales de las formas

J sen ax ■eos fax • dx, ¡ sen ax • sen fax • dx y

j eos ax ■eos fax • dx,

La integral I -

se utilizan las fórmulas senax • eos fax = y (sen (a + b) x + sen (a - fa) x),

1

dx mediante el

2 + 3senx+ 2co sx

cambio t = tg y se transforma en 1 1 df = T ln|1 + 3 f| + C : 1 + 3f

senax ■senfax = — (eos (a - fa) x - eos (a + fa) x),

1

1 cosax • cosfax = y (eos (a + fa) x + eos (a - fa) x).

ln|1 + 3 tg — | + C

Ejemplo. Este método general conduce frecuentemente a cálculos engorrosos. Veamos a continuación algunas alternativas para ciertos casos singula­ res.

sen7x • sen3x dx = — (cos4x - cosí Ox) dx =

o

sen4x -

2U

senl Ox + C

III. Si R(senx, cosx) = R(-senx, -cosx) , puede hacerse el cambio y = tgx (o sea, x = arctgy)

II. Fbra resolver integrales de la forma con lo que

j R(senx, eosx)dx, donde R (senx, cosx) es una función racional (es decir, cociente de polinomios en las varia­ bles senx y cosx), se utiliza el cambio

J L _ : , cosx = — ! = , d x = - ^ - 2 V Í + y2 1 + X2

V i • Ejemplo.

t = tg — (o sea, x = 2 arctgt)

La integral

con lo que 21 1 + fi

,

1

L= COSX :

1-t2 2dt , dx = 1 + f2 1 + f2 '

se transforma, haciendo t = tg — , en

transformándose la integral anterior en una racional en la variable f.

L =

senx dx hacien- \ •Ejemplos. La integral J = 1 - senx

+ 6f2 + 3 f - 2

J=

2t 11 + t2

_J

1 + y2

1 + f2

dt =

4f dt, ( f - 1)2 (í + 1)

racional que se resuelve según vimos en F/5F/6, siendo 2 2 \ —2 , —- rr— =— 7~ )dt = — — - 2 a r c t g f + C = ,( í- 1 ) 2 f2 + 1 / f-1 6

( :

dt

mientras que al hacer y = tgx es

do t = tg — tg se transforma en 2t 1 + f2

■dx

sen2x + 3senx cosx - 4 cos2x

3y 1 + y2

dy y2 + 3 y - 4

4 1 + y2

\y _1

dy_ 1 + y2 r

y +4-

dy-

= y - (ln |y - 11 - ln [y + 4| + C =

=-

4

-

(In |tgx - 1 1- In|tgx + 4| + C =

ATLAS DE M ATEM ÁTICAS 72

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Isaac Newton

Portada de Principios Matemáticos de Filosofía Natural.

r / 7

11

Sistema solar

Descomposición de la luz

Isaac Newton (1642-1727), uno de los mayores genios de todos los tiempos, fue el creador (con Leibniz) del cálculo infinitesimal y descubridor de la naturaleza de la luz y de la Ley de la gravitación universal. Sus Principios M atem áticos d e Filosofía Natural han fundamentado la ciencia moderna y sus métodos.

IN TEG RACIÓ N 73

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Integración

IV. Si m, n e Z, pongamos lm n = j senmx • cosnx ■dx Esta integral se resuelve, en general, mediante recurrencia sobre m y n (fórmulas de reduc­ ción), lo que se obtiene integrando por partes o por métodos más singularizados, como los que se expondrán tras un primer ejemplo. • Ejemplo. lmo = lm = j senmx dx (m > 2), al hacer f(x) = s e n ^ 'x , g'(x) = senx, cos2x = = 1 - sen2x nos da lm = l(m - 1) /„_2 - cosx ■senm-1x]/m.

Tras hacer 1 — sen2x + cos2x en el numerador por partes se obtiene una fórmula de reduc­ ción. dx

Ejemplo. ; 5 ;

=á +

sen2x + cos2x dx = sen5x

cosx c o s x ------— sen3x

dx =

con lo que, integrando por partes, 5

cosx 4sen4x

3

1 4

3

cosx 5 4sen4x + 4

,

pudiéndose proseguir la reducción. IV a. Cuando m (o n) es impar positivo, por ejemplo, n = 2 k + 1, será cos2(í+,x = (1 - se^ x)* • cosx por lo que el cambio f = senx racionali­ za la integral (cosx = y si m es impar). • Ejemplo. } sen8x-cos3x d x= jsen8x- (1 -se n 2x) - cosx • dx = = j í»(1 - fi) dt = (P/9) - (f>V 1 1) + C = sen9x 11

-+ C

IV f. Si m y n son uno par positivo y el otro impar negativo, se utiliza en el numerador 1 = sen2x + cos2x para pasar a tipos anteriores. • Ejemplo.

senx ■cosx = (sen2x )/2

'1 - cos2x^z/1 + cos2xl dx = 2 / \ 2

(1 - cos2x - cos22x + cos32x) dx =

x sen2x x sen4x sen32x 8 16 16 16 ' 48 + C (Usando IV b en el tercer sumando y IV a en el cuarto).

Ejemplo.

dx senzx ■cos^x

( cosx \sen2x

IV c. Si m y n son ambos pares negativos, o ambos impares negativos, se usa directamente y = tgx (véase final de la serie F/7). IV d. Si m y n son pares de signo opuesto se hace y = tgx, o, eventualmente, se usa en el numerador sen2x + cos2x = 1 y luego y = tgx. dx ,n 2 k + 1

dx ■y

(sen2x + cos2x)2 dx sen2x • cos’ x

2 CO SX

sen2x \ dx cos3x /

que proporcionan tipos ya conocidos. V. } tgnx dx y j cotgnx • dx son inmediatas para n = 1, 2 , y si n > 2. se separa del integrando

1

tg2x =

1

CO S2X

IV e.

dx

IV g. Si m y n son negativos y de paridad opues­ ta, se pone en el numerador 1 = (sen2x + + cos2x)k de modo que 2 k exceda o iguale el grado de senx y cosx en el denominador.

• Ejemplo.

1

dx

resolviéndose éstas según IV e.

IV b. Cuando m y n son pares positivos, se sue­ len usar las fórmulas cos2x = (1 + cos2x)/2 , sen2x = (1 - cos2 x )/2

sen4x-cos2x-dx

1 - cos2x dx cos5x

1d x -

9 = ----15- -1 cotg2x 0 xn = M, siendo q el denominador de p. PnOO

dx = P „ V a x 2 + bx +c +

m+1 IV 3. Cuando •

V a x 2 + bx + c

- p e Z, haciéndose

ax“ n + b = W, siendo q e l denominador de p.

dx V ax2 + bx + c

• Ejemplo. La integral

donde P „ _ , es un polinomio indeterminado de grado n - 1, cuyos coeficientes se hallan deri­ vando (a también). Ejemplo. Para hallar K =

x3 + 1

S = j x2 (i + x4 ) 3 dx,

dx hacemos

tratándose de una binomia con m = —dx

V x2+ 1

( /

•p = — ;

2

m+ 1

=2 ,

por lo cjue =

(1

+ X4 )

3 — x 4 dx = 3 f2 dt, x 4 dx = 4t2 dt, 4

que al derivar nos da x3 + 1

1

1

dx

V x2+ r = (ax2 + b x + c) V x2 + 1 + i

(j x

puede escribirse de la forma

V x2 + 1 x3 + 1

á /i^ + V x ~ V^3

= (2ax + b) V x2 + 1+

A

x 2 dx = x4 ■x 4 dx = (í3 -1) • 4f2 dt,

V x2+ 1

por lo que + (ax2 + b x + c) ■

V x2 + 1

V x2+ 1

S=

4f7 (f3 - D - 4 f 2 'd í = — - d + C,

con lo que, multiplicándolo todo por V x 2 +1, 1 2 se obtiente a = y 6 = 0, c = - y a = 1

donde sólo resta sustituir f= '’y / 1 -1- V x 3.

Por lo tanto, x2 - 2

K = -

1

V x2+ 1 +

dx =

V x 2 +1 x2 - 2

V 1. j p(y,

V x 2 + 1 + arg shx + C.

III'. Las integrales

V 2.

dx (a x +(3)n V a x 2 + bx +c

transforman en las III con el cambio previo (a x + ¡3) = t - 1. IV.

V. Las integrales } R\x, V a x 2 + b x + c j dx, si se escribe el radicando como suma o resta de cua­ drados, se transforman en

Las integrales llamadas binomias J x m (a + bxn)Pdx,

donde m, n y p son fracciones irreducibles, se integran elementalmente en los casos siguientes;

Vm2-

y2) dy

j R[y, Vm2+ y2)

dy

V 3. j /?(y, V y 2 - m2) dy que se pueden resolver, mediante V 1. y = m senz o y = m thz, V 2. y = m tgz o y = m shz, V 3. y = m secz o y = m chz.

ATLAS DE M ATEMÁTICAS 78

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respectivamente,

Cálculo r / i n integral * ' , u

Augustin Cauchy (1789-1857)

Bernhard Riemann (1826-

Henry Lebesgue (1875-1941)

f'8- 1 - Personalidades del mundo de las M atem áticas, que, aparte de sus otras importantísimas contribuciones a esta ciencia, tuvieron especial papel en el desarrollo del cálculo integral.

IN TEG RACIO N 79

i

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Integración

APLICACIONES DEL CÁLCULO INTEGRAL Áreas planas Según vimos, la integral \ a ftx) dx nos da la suma algebraica de las áreas de las regiones limitadas por la curva y = f(x), el eje de absci­ sas y las verticales x = a y x = ¿>, computándo­ se como negativas las de las zonas bajo el eje, por lo que habrá de integrarse en cada interva­ lo en que f no se anule y tomar el valor absolu­ to del resultado. • Ejemplos. El área que encierran el eje y una semionda de y = senx es (fig. 1) Jo

senx dx = -cosx = 1 + 1 Jo

Hallemos el área entre x = 0,5 y x = 6 limitada por el eje de abscisas y la función

debiendo restarse varias de estas expresiones si es necesario, por ejemplo, si los radios cortan en más de un punto. • Ejemplos. El área de la elipse —, t+ , , = 1 es, a2 o2 usando la simetría (fig. 6), S=4

tras hacer x = a ■cosí y usar F/8-IV b. Obsérvese que para a = b = r tenemos una circunferencia. El área de la luneta limitada por las curvas y = x2 e y = x3 entre los puntos de abscisa 0 y 1 (fig. 4), es

El área A limitada (fig. 5) por las curvas y = senx e y = cos2x entre n/6 y 3tt/2, al haber un punto de corte intermedio en x = 5tt/6 la hallaremos mediante [5rc/6

|

(senx - cos2x) dx =

f6

= [-cosx-

Ax) dx = F(6) - F(0,5) = -3,0736984.

El área de una figura limitada por y = í(x) e y = g(x) y dos verticales x = a, x = b, será el valor absoluto de

J

1 V =4 - . 4 Jo 12 '

(x2 —x3) dx =

x3 - 8x2 + 1 7 x - 10 Ax) = ------------ r------------- . Como en [0,5, 6] la función corta al eje en los puntos de abscisa 1, 2 y 5 (fig. 3), hallaremos el área en cada segmento. AI ser primitiva de ffx) F(x) = x - 8 Inx - (17/x) + (5/x2) se tiene F( 1) F(0,5) = -3,04 51 77 4, F(2) - F(1) = 0,204823, F(5) - F(2) = -0,280326, F(6) - F(5) = 0,046982, cuyos valores absolutos sumamos para obtener el área 3,5773084. En cambio

dx = nab

'

sen2x n5lt/6 2 J*/6~

y como [-cosx ,

3VT

\ ri 2

sen2x ]3,t/2 _ 2

3VT

'

3 V T ^^

J Slt/6

9 V J-4

4

= 2,897.

(Ax) - g(x)) dx

calculada como diferencia de las áreas bajo ellas (fig. 2); del mismo modo se halla el área ence­ rrada por las curvas si se cortan en puntos de abscisa a y b, teniendo en cuenta que si se cor­ tan en puntos intermedios habrá que calcular varias integrales y sumar sus valores absolutos. Si la curva y = Ax) viene descrita paramétricamente por las ecuaciones x = a(f), y = p(f), la integral que nos da el área sería

Si una circunferencia de radio r rueda sin des­ lizar sobre una recta, su punto de contacto ini­ cial describe, hasta volver al eje, una cicloide (fig. 7), cuyas ecuaciones paramétricas son x = r (t - sení), y = r(1 - cosí), con lo que el área encerrada es t2n T= /(I - cosí) • ti 1 - eost) dt = 3nr2 'o (tras usar F/8-IV b)

| y dx = f p(f) • a'(f) • dt a J 'i donde q y f2 son tales que c(q ) = a, o(t2) = b. En coordenadas polares, el área limitada por la curva r = /(cp) y los radios de argumento rp, y rp2 es 1 —

í^2

r2 ■dcp ,

El área encerrada por la cardioide r= a( 1 + cosrp) (fig. 1 de F/12) es 2 [~Y

J (Di

ATLAS DE M ATEMÁTICAS 80

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a2 ( 1 + coscp)2 d0 U a

A = 2nr (2reR) = 4n2rR,

X—>P

p = +co en el Caso I. a) Si a * 0, a * » , las integrales de fíx) y gfx) convergen o divergen ambas. b) Si a = 0 y la integral de g(x) converge, la de fíx) también. c) Si a = o» y la integral de g(x) diverge, la de fíx) también. • Ejemplos.

Inx • dx = lim I 0

e -> 0

Inx • dx =

e -r0 > b

= -1

L

por lo que es convergente (área en fig. 2). dx

i:-

(x-1 )2

dx

dx

lim £—>0

V = n r 2 (2nR) = 2n2r2R.

J

integral llamada convergente de existir y ser fini­ to tal límite. Puede aplicarse la Regla de Barrow con cualquier primitiva de f, para x * c. Si, para x -» c, fíx) es un infinito de orden m, la anterior integral converge cuando m < 1 y diverge si m > 1. Las integrales de I y II son llamadas, respectiva­ mente, impropias de primera y segunda espe­ cie, habándose de tercera especie en caso de concurrir ambas situaciones. Siempre valdrán: Criterio de comparación. Si | fíx) | < g(x) y con­ verge la integral de g, también converge la inte­ gral de f. Si 0 < h(x) < fíx) y la integral de h diverge, también la de f. Criterio del cociente. Sea fíx) • gfx) > 0 y lim (fíx)/g(x)) = a , donde p = c en el Caso II, y

= lim [x • Inx - x] • Ejemplo. Una circunferencia C d e radio r gira en torno a un eje que dista R de su centro (.R > r), engendrando un cuerpo llamado toro (fig. 1). Por simetría el centro de gravedad de círculo y circunferencia es el centro de C. El área lateral del toro y su volumen serán

fíx) dx] ,

J c+ e

(X -1 )2

J 1+e

(X —

1)2 _

es decir, diverge (fig. 3). INTEGRALES IMPROPIAS I. Si fíx) es continua en [a, +°°], definimos r+» rr fíx) dx = lim fíx) dx, ¡ a

r—y+cc Ja

f+“

I

fíx) dx

y

J

1+

X2

r-H-ce

[arctg x]

~r

=n,

convergiendo, por tanto (fig. 5).

integral impropia denominada convergente si el límite existe y es finito y divergente en caso contrario. Análogamente se definen b

— - j - = lim

f J-o c

fíx) dx.

En particular, si para x —> » , fíx) es un infinité­ simo de orden m, la integral í+“ fíx) dx converge si m > 1 y diverge si m < 1.

r

dx

: lim

con lo que diverge también

ATLAS DE M ATEMÁTICAS 84

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[in

: +3°,

J

dx (fig. 4).

T e o r e m a s de G u l d i n . Integrales impropias

y = Inx

Fig. 1 - Toro.

Fig. 2 - Á rea finita.

IN TEG RACIÓ N 85

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p / i g

Integración

INTEGRACIÓN NUMÉRICA

se tiene

Cuando la integral í^/jx)dí no puede calcularse mediante primitivas, ni como límite de sumas integrales, se recurre a métodos de evaluación aproximada.

Í

k

con error

/(x) d x

Método de los trapecios. Consiste en subdividir el intervalo [a, 61 en n subintervalos [X0, X ,], [x ,, x2], ..., [x „ _ |, x„],

5 = y (T + 4 I+ 2 P ),

f ■w

de igual longitud 8 = x ; + , - x¡ = (b - a)/n y en cada uno de ellos, poniendo = y¡ susti­ tuir el arco de curva desde (x;, y¡) a (xí+1, yi+-¡) por la recta que une estos puntos. Sumando las áreas -con signo- de estos trapecios (fig. 1), se obtiene la aproximación

ó4
( b - a) N ' " ~ 5

el error obtenido no excede e . • Ejemplo. Hallar In2 con error inferior a una millonésima. Buscaremos, por el Método de Simpson,

J ^ x ) dx = 8 ( ^ 2+ Y* + y, + ••• + yn- 1).

>2 1 ■d x . 1x

Si M = m áx|f"(x)[ en [a, b], el error absoluto, E, se puede acotar mediante 82

E< —

(b -a )M .

Para conseguir un error inferior a e habrá de tomarse n > —

( í , _ a ) ' N'

siendo N = máx | f v(x)| en [a, b}. Tomando

— donde 8 se habrá tomado

Como év (x) = 24 x-5 < 24, habrá de ser S4 < 18CV , 1° 6 = 0,000075 24 1 con lo que 8á +

+ Yn- i

/

error cometido por E

< | j R n(x)| d x í S y y f g í — < 0 ,0 0 2 1 .

P= y2+ y4+ ... + yn- 2

ATLAS DE M ATEM ÁTICAS 86

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Integración numérica

IN TEG RACIÓ N 87

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c

/

i a

Integración SUCESIONES Y SERIES FUNCIONALES: DERIVACIÓN E INTEGRACIÓN

ao , V y + 2*

Proposición. Si { fn} es una sucesión de funcio­ nes derivables tales que {f'„ ) converge unifor­ memente a g en (a, b) y en algún x0 e (a, b) {f„(x0)} converge, entonces [fn] converge unifor­ memente en (a, b) hacia cierta f que, además, cumple f'(x) = g(x).

/, Knx u 7tnx \ (¿n cos ~ p — + bn sen — — J

cuyos coeficientes son

A

= y - | o W • cos

■d x ,

= y - | o /(x) • sen

■d x ,

converge hacia fí.x) si fe s continua en x, y hacia

Proposición. Si {f„} es una sucesión de funcio­ nes integrables que convergen uniformemente a f en [a, b], entonces f es integrable y { J* fn(t)dt] converge uniformemente a j * Hfídt.

“r (lim Hx) + lim Hx)) en caso contrario. Los l *->0 x->0 límites de integración 0 , 2 P pueden sustituirse por k, k + 2 P c o n k í{x) dx = 2 n fn (x) dx. 3 Ja Proposición. La suma de una serie de potencias 2 an (x - x0)n es derivable e integrable en su dominio de convergencia absoluta, siendo su derivada y función integral las sumas de las correspondientes término a término.

1

x ■2~* d x = lim r-»+o.

x In2 + T 2 *ln2 2

1 + In2 2 ln22 La función Hx) de período 2tt definida por y = x en l - n , ji] (fig. 1) tiene el siguiente desa­ rrollo de Fourier, cuyos coeficientes han sido hallados mediante las condiciones de Dirichlet,

Series de Taylor Entre las series de potencias tienen singular interés las de Taylor: si fe s infinitamente deri­ vable en a, la serie

2

2

Hx) = — senx - — sen2 x + ... +

(a) (x - a)n n!

+ — (-1 )n+1 sennx + ... n

se llama serie de Taylor de fe n a. Tal serie con­ verge hacia Hx) solamente cuando la sucesión de restos enésimos tiende a 0. Cualquier serie de potencias convergentes es, precisamente, la serie de Taylor de su función suma.

El desarrollo en serie de potencias de arctg x es tedioso, pero como (1/(1-x)) = 1 + x + x2 + ... + x " + ... converge en |x| < 1, cambiando la variable por - x 2, e integrando, en (-1 , 1) será

Series de Fourier Condiciones de Dirichlet. Si f e s una función de período 2 P, definida en [0, 2P |, salvo quizás en un número finito de puntos, tal que f y f son continuas en [0, 2 P] salvo (salvo en finitos pun­ tos), entonces la serie trigonométrica (o de Fourier)

1

1 + x2

= 1 —x2 + x^ + ... + (—1)nx2n + ...,

a rc tg x = x -—

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+—

( - 1) + - + - 2n+1

.

Series trig o n o m é t r ic a s . r / i c Funciones hiperbólicas l _ / , b

—5 jj^——

-3;

Fig. 1 - Función periódica.

Fig. 2 - Joseph Fourier (1768-1830).

Fig. 4 - Los cables suspendidos por sus extremos adoptan la forma de una catenaria, que es la de los cosenos hiperbólicos.

IN TEG RACIÓ N 89

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Ejercicio A/1-1. Demuéstrese que si la fracción racional p/q (p y q primos entre sí) es una solución de la ecuación polinómica a0 + a ,x + ... + anxn = 0, donde cada a¡ es un entero, entonces p es divi­ sor de a0 y q es divisor de an. Apliqúese este resultado para demostrar que V T , " V f y \ Í2 + V5"son números irracionales. Si p/q fuera solución, tendríamos a0 + a,(p/q) + ... + an(p/q)n = 0, con lo que, multiplicando por qn, anp n + a ^ p "-1 + ... + a ,p q"-1 + a0 qn = 0, de donde anPn = - q (an-iP"“ 1 +

+ ao

aoqn = ~P (aiq "-1 + ... + a„p"-i).

En la primera vemos que a„pn es múltiplo de q, con lo que ha de serlo an, pues p es primo con q. Análogamente en la segunda a0 es múltiplo de p por serlo a0qn. Ahora vemos que x2 - 3 = 0 no tiene solución racional, pues ésta habría de tener numerador ±1 o ±3 (divisores de a0 = 3) y el denominador ±1 (divisores de a2 = 1), pero -1 , 1, -3 , 3 no tienen cuadrado t Q considerando x3 - 7 = 0. Finalmente, si V 2 + V iT = x, ele­ 3. Del mismo modo se ve que vando al cuadrado, x2 = 7 + 2 V i 0 o sea x2 - 7 = 2 V T O ; elevando al cuadrado x4 - 14x2 + 49 = 40, o sea x4 - 14x2 + 9 = 0, que sólo podría tener las soluciones racionales ±1, ±3, ±9, ninguna de las cuales cumple la ecuación, de donde resulta lo propuesto.

Ejercicio A/3-1. Resolver la ecuación x2 - 4 x + 13 = 0. Descomponer en C el polinomio de la izquierda. Sera x =

4 ± V 16 -4-1 3

=

4 ± V O fT

=

4 ± 6/

„ = 2 ± 3/.

Tendremos x2 - 4 x + 13 = ( x - 2)2 + 32 = [ x - (2 + 3/)] [ x - (2 - 3/)|. El polinomio carece de raíces reales, por lo que no admite divisores de grado 1 con coeficientes reales, pero sí con coeficientes complejos.

Ejercicio A/3-2. Hallar en forma polar. Apliqúese para descomponer (en R) el polinomio x4 + 1. Si una solución es sK, ha de ser (s^)" = ra o sea s" = r, np - a = 2 kn. De ello resultan como argu­ mentos posibles -5p y + y y - , y + y y - - 2, ..., j¡- +

( n - 1) y el módulo ha de ser s = \ / T , la única

raíz enésima real y positiva de r. Rara descomponer x4 + 1, resolvemos x4 + 1 = 0 . Será x4 = -1 , x = 'ty - T = * = 13tV4- * = 15jV4' x = 17H/4- Así Pues

por lo que x = 1^4,

x4 + 1 _ (x - 1^4) (x - 17^4) (x - 13ll/4) (x - 15lt/4) -

Ejercicio B/1-1. Estudiar la monotonía (crecimiento y decrecimiento) de la sucesión de término general an = 2 n + 1 ' as^como su acotación. Los cinco primeros términos de la sucesión son - y - ,

, -y-

ca^a uno de ellos

mayor que el anterior, lo que sugiere que comprobemos si es creciente: a „ < a w l equivale a

2 n +1

+ \\ + ] 2 ( n + 1) + 1

o se a

EJERCICIO S DE M ATEM ÁTICAS 91

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2n + 1

2n + 2

Ejercicios resueltos

al ser los denominadores positivos para todo n, podemos multiplicar por ambos los dos miembros de la desigualdad, sin que ésta altere su sentido, con lo que a„ < a„+, equivale ahora a (7n + 3) (2n + 2) < (2n + 1) ( 7n + 10) es decir 14n2 + 20n + 6 < 14n2 + 27 n + 10 que simplificada es 0 < 7n + 4. Al ser esta última cierta para todo n e N, lo mismo ocurre con la primera de la cadena de desigualdades equivalentes, luego la sucesión cumple an < an_ , V n, siendo estrictamente cre­ ciente. Como sus términos son todos positivos, tenemos la acotación 0 < an. Para n muy grande 7n + 3 es muy parecido a 7n y 2n + 1 lo es a 2 n, lo que sugiere que an será muy semejante a 7/2. Parece, pues, razonable, intentar demostrar la acotación an < 4. Ello equivaldría a —

+ ^ < 4 qU6/ a su

vez, equivale a 7 n + 3 < 8 n + 4 y ésta a 0 < n + 1 que se satisface para todo n natural, con lo que 0 < a „ < 4 V n e N y l a sucesión está acotada.

Ejercicio B/1-2. La sucesión de término general c„ =

^

tiene ^m'te

Hállese el lugar a

partir del cual los términos de la sucesión difieren del límite en menos de 0,000001. La sucesión crece estrictamente, manteniéndose todos los términos por debajo del límite. Queremos que —^

c n < 0 , 0 0 0 0 0 1 , es decir —^-----4 " +

12

< ° ' 000001'

clue podemos e scrib ir

+ + < 0,000001 o también — < 0,000001, lo que equivale a —— ----- < n + 3, 4n+12 n+3 ' -1 n 0,000001 es decir 1000000 0 V n, y lim j - 5— = lim — criterio de la raíz, tenemos lim x / ff= 1

= e“A

- = 1, aplicando el

Ejercicio B/2-8. Hallar lim 't/ñí Consideremos la sucesión an = n. Se tiene lim a„ = +°°. Aplicando ahora el criterio de la media geo­ métrica, lim y /ñ í = x/a , ■... • a„ = +00

Ejercicio B/2-9. Hallar lim

n El límite del numerador es +, según se ha visto en B/2-8, luego estamos ante una indeterminación °% °. Aplicando la fórmula de Stirling, se tiene i„

lim

Vñ\ n

Ve~ n ■nn ■(271n )'« ,. e-' ■n ■(2n)U2n ■rt'/2n , , , 1 = lim = e _ l-l -1 = — n n e

= l i m -------------------------

donde se ha hecho que lim n1/2n = lim (n1/n)1/2 = 1,/2 = 1, usando B/2-7.

EJERCICIOS DE M ATEM ÁTICAS 93

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Ejercicios resueltos

Ejercicio B/2-10. Calcular lim — + 2 + ••• + n2 n3 Consideremos las sucesiones {a„} y {bn} definidas por an = I 2 + 22 + ... + n2 y bn = n3. Ambas diver­ gen a +. Además |im ^

^ = |im (12 + 22 + ... + n2) - ( 1 2 + 22 + ... + ( n - 1 ) 2) =____________ ,g ______ bn - bn_, rfl - (n - 1)3 3n2 - 3n + 1

^ 3 '

a 1 por lo que, aplicando el Criterio de Stolz, lim —A - = -5-, que es el límite buscado. un j

Ejercicio B/3-1. Estudiar la convergencia de la serie 2 3^3 + 5n - 2 ' Haciendo cociente comparativo con la armónica lim

/(i

( 7 n2 - 2n + 3 1 \ 3 n3 + 5n - 2 j'

= lim

7n3 - 2 n 2 + 3n 3n3 + 5n - 2

_ 7 3 '

éste es un real no nulo, luego ambas tienen el mismo carácter, y la serie estudiada diverge. n • 5 • ... • (4n - 3)\2 V 4 • 8 • ... • (4n) I

Ejercicio B/3-2. Estudiar la convergencia de la serie 2 Utilicemos el Criterio de Raabe. Como

/ / 4n + 1 \2\ sera lim n (l - ( 4n + 4 ) ) = lim n

I

ro I C

/ 1 ■5 • ,. ■(4n + 1) y 'II 1 • 5 ■ .. - ( 4 n - 3 ) \ 2 \ 4 - 8 . . . • (4n + 4) )/ { 4 ■8 •

,t 4 r + 1 \2 \ 4n + 4 /

(4n + 4)2 - (4n + 1)2 .. 40n2 + 15n 40 . --------= l.m 16n2 + 32n+T ^ " l e " ' P° r '°

que converge. Obsérvese que al ser lim (a ^ a ^ ) = 1, el Criterio de la razón no hubiera decidido.

(-1 )n + 1

Ejercicio B/3-3. Estudiar la convergencia de 2 ——z—— p - . (_1 )n + 1 La serie 2 —— ^ ------ es convergente, pues es una geométrica de razón -1/2. En consecuencia, sus sumas parciales están acotadas. Ademas, la sucesión

j es decreciente y acotada. Aplicando

el Criterio de Dirichlet, vemos ahora que la serie objeto de estudio converge.

(n + 1)1 nn Aplicando el Criterio de la razón, veamos que converge: Ejercicio B/3-4. Estudiar la convergencia de la serie 2

lim (an+I/a„) = lim

[/ (n + 1)! \ { (n + 1)n+1 1

nn = lim ~ + = lim (n + 1)n+1 (n + 1)n lim (1 +

n+1

-1

nn j.

: lim

n+1

=e

,. (n+ 1)!nn = nm — 7- -----' = n! n + 1 n+1

n+ 1 n+1

= lim (1 +

= e-1

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n+1

-< 1

Ejercicios resueltos

Ejercicio B/3-5. Estudiar la convergencia de 2 -

.

Como la sucesión f — 1 es decreciente, 2 — y 2 2 " ---- = 2 — convergen o divergen ambas, Ln J n • z" n •zn n por Criterio de Knopp. Pero esta última es la serie armónica, divergente, con lo que también diver­ ge la estudiada.

Ejercicio B/3-6. Estudiar la convergencia de la serie 2

4n 7n- 1

Aplicando el Criterio de la raíz:

l¡mVKKr^=lim ( 7 ^ r ) ) =

2.

por lo que, cualquiera

que sea el valor de q, g presenta en 5 una discontinuidad inevitable de primera especie. Ejercicio D/2-1. Hallar M = lim (**— 3 x + 2 \ 1/(x n i \x2 - 6x + 5/ Resolvamos primero, mediante descomposición, la indeterminación 0/0 de la base: lim x->i

x2 - 3 x + 2 x2 - 6 x + 5

(x - 1) (x - 2) -1 1 /1 = lim ------------------= ----- = ------. Por tanto M = [— ) m ( x - 1) ( x - 5 ) -4 4

Ejercicio D/2-2. Sea /jx) = — + J x — Hallar x * - 3 x J + 2x2 Para hallar el primero dividiremos el numerador y que es x2. Para el segundo, por el de mayor grado, x5 + 7x3 - 4x2 lim — x-> o x6 - 3 x 3+ 2 x 2

= 0.

lim /jx) y lim /jx). x-»o x->+~ el denominador por el término de menor grado que es x6:

x3 + 7x - 4 = lim ----------------- = -2, x -« ü x4 - 3x + 2 1

7

4

x5 + 7x3 - 4x2 lim ------------------x —x +°° x6 - 3x4 + 2x2

E JE R C IC IO S D E M A T EM A T IC A S

99

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H8

11

Ejercicios resueltos

r-

• • rw -, , II llno

h

h -*o

h

= lim

o

8 + 12/i + 6/i2 + /73 + 2 - 1 0 ¡------------------- =

n

.. h3 + 6/r2 + 12/7 = lim ------------,---------= 12. /1-»o h Consiguientemente fe s derivable en x = 2 y es f'(2) = 12, lo que nos dice que la ecuación de la recta tangente pedida es y - 10 = 12(x —2).

Ejercicio E/1-2. Demostrar que la gráfica dada por la función /fx) = |x - 2| carece de tangente en el punto x = 2. En efecto, es Hx) = x - 2 si x > 2 y Hx) = 2 - x si x < 2. Por tanto, será: f'(2 ) = lim +

h-> 0+

f (2) = lim

h -> o-

+

= lim ——r — — f / y

h

h - , 0*

h

f l + Z g - M ) = |im Í f ° /i

h - ,o -

h

’

= -1,

lo que indica que las tangentes por la derecha y por la izquierda a la gráfica dada por f e n el punto de abscisa x = 2 sí existen, pero que son distintas, en otras palabras, f carece de tangente en dicho punto.

Ejercicio E/2-1. Hallar los puntos de la curva dada por /jx) = x3 + 9x2 - 9x + 15 donde la tangente es paralela a la recta y - 12 x + 5. La pendiente de la recta dada es 12. Luego, buscamos puntos x tales que f\x) = 12. Por tanto, resol­ vemos la ecuación 3x2 + 18 x - 9 = 12, obteniendo como resultado x = 1 y x = - 7 , que correspon­ den a los puntos (1, 16) y ( - 7 , 1 76).

Ejercicio E/5-1. Demostrar que si fe s continua en [a, b] y derivable en (a, b) con Ha) = Hb), enton­ ces entre dos raíces consecutivas de f en (a, b), existe a lo sumo una raíz de f. En efecto, así es, ya que si c y d pertenecen a (a, b) y son tales que f'(c) = f'(d) = 0, siendo además raíces consecutivas de f\ y entre ellas hubiera dos raíces p y q de f, es decir, si fuese Hp) = Hq) = 0 con c < p < q < d, por el teorema de Rolle existiría un valor f tal que p < t< q con f\t) = 0, contra­ diciéndose el hecho de ser c y d raíces consecutivas de f'.

A TLA S D É M A T EM A T IC A S 100

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Ejercicios resueltos

Ejercicio E/5-2. Averiguar cuántas raíces tiene la ecuación 2x3 - 9x2 + 12x + 1 = 0 . dx) = 2 x3 - 9x2 + 12 x + 1 es continua en todo R por ser polinóm ica. Su derivada A'(x) = 6x2 - 18x + 12 tiene dos únicas raíces que son x = 1 y x = 2. Luego, en el intervalo (1, 2) hay a lo sumo una raíz de A. Como M ) = 6 y f{2) = 5, si hubiese una raíz de Centre 1 y 2, la función en parte del inter­ valo (1, 2) sería creciente, cosa no posible pues f\x) < 0 en todos los puntos de dicho intervalo. A partir de x = 2 la función es siempre creciente, pues es f'(x) > 0 para x > 2, con lo cual la ecua­ ción no tiene ninguna raíz mayor que 2. La función es en (- » , 1) creciente, por ser ahí su deriva­ da positiva, con lo cual en (- » , 1) hay a lo sumo una raíz, pero como todo polinomio de grado impar tiene cuando menos una raíz real, la ecuación dada tiene exactamente una raíz que se halla en (-, 1).

Ejercicio E/5-3. Comprobar si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy para las funcio­ nes f(x) = senx y g(x) = cosx en el intervalo [0, n/2] y hallar el valor intermedio. Las funciones seno y coseno son derivables y por tanto continuas en todo R. Es cos (n/2) - cosO = -1 , y (cos)'(x) = -senx, una función que no se anula en ningún punto del inter­ valo (0, n/2), por tanto, existe í e (0, n/2) tal que sen(;t/2) - senO _ 1 cos(it/2) - cosO -1

sen'f cos'f

cost -se n f'

de donde tdebe cumplirse que senf = cosf, lo que Indica que es f = 7t/4.

X3

Ejercicio E/5-4. Hallar dónde crece y decrece fí,x) = —¿ 3x2(x2 "| ^ x3 . 2 x X^ 3x2 Es f'(x) = -------- ------------------ = _(x2— W

P0r tanto

s'§ no de f es en todo punto distinto de

+1 y de -1 igual al signo de x4 - 3x2. Al descomponerse dicho polinomio en la forma x2(x2 - 3), queda claro que f' es en el intervalo (-, v T ) positiva, y por tanto Acreciente en dicho intervalo, que f' es en el intervalo (-V 3 J + V 3 ) negativa, y por tanto Adecreciente en dicho intervalo, exclu­ yendo claro está los puntos +1 y - 1 , y por fin que A'es positiva en (+ V T , +), y por tanto Acreciente en dicho intervalo.

Ejercicio E/6-1. Se sustituye el lado superior de una ventana rectangular de perímetro 10 m por una semicircunferencia. Hallar las dimensiones que ha de tener la ventana para que la luz que deje entrar sea máxima. Sea x el radio de la circunferencia y 2 y la altura de la ventana. Será y = — - x. La luz que entrará será máxima cuando la función área í[x) = 4 xy + —1^- = 4 x Es A'(x) = 10 - 8x + 7tx, lo que implica que x = ^ ^

- xj i

es un punto crítico de f, y como f"(x) = -8 + jt,

en dicho punto hay un máximo. Así pues, los lados de la ventana deberán medir

presente un máximo.

y 8- n '

— 571 . 8 - rt

E JE R C IC IO S D E M ATEMÁTICAS

101

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Ejercicios resueltos

Ejercicio E/6-2. Dividir un alambre de 1 m de longitud en dos trozos, de modo que la suma de las áreas del cuadrado y del círculo formados con ellos sea mínima. Sean x y 1 - x las longitudes en metros de los dos trozos. El cuadrado de perímetro x tiene una super­ ficie de x2/16 m2 y la circunferencia de perímetro 1 - x tiene una superficie de (1 - x)2/2rt m2. Luego buscamos para que la función Hx) = |yg- +

x2 ~

Presente un mínimo.

Es í\x) = f4- + — ) x - — . Lo que nos indica que sólo x = 8/(8 + tc) es punto crítico de f. \o re / 7t Como es f\x) = (-1- +

> 0, para dicho punto / presenta un mínimo.

Consiguientemente los dos trozos de alambre deben medir

^

y

” — m.

Ejercicio E/6-3. La suma de todas las aristas de un prisma recto de base cuadrada es 96 cm. Hallar las dimensiones del de volumen máximo y este volumen máximo. Sean x e y las longitudes de las aristas distintas de dicho prisma. Deberá ser 8 x + 4 y = 96, de donde, y = 24 - 2x. El volumen de dicho prisma viene dado por v(x) = x2 • y = x2(24 - 2x) = 24 x2 - 2x3. Por ser V'(x) = 4 8 x - 6x2, los puntos críticos de la función V(x) son x = 0 y x = 8. Es obvio que la solución x = 0 no interesa (no hay prisma), y por otra parte, por ser V"(x) = 48 - 12x, es V"(8) = -8 , lo que indica que el volumen máximo se alcanza cuando la arista de la base mide 8 cm. En este caso, por ser y = 24 - 2 x = 8, se deduce que el prisma en cuestión es un cubo. Por tanto, el volumen del mismo valdrá 83 = 512 cm3.

e* —1 Ejercicio E/7-1. Calcular lim — =-----. 1 x -»o 2 x Se trata de una indeterminación del tipo 0/0. Aplicando [RH] tenemos: e* - 1 .. e* 1 lim — = lim — = — . 2x x —io 2 2

x -> o

Ejercicio E/7-2. Calcular lim

(1 + x)n - 1 - nx

( 1 + x ) n - 1 - nx ,. n(1 + x)n~1 - n ,. n(n - 1) (1 + x )^ 2 n (n - 1 ) lim — x = lim =--------- = lim - ----------2x Obsérvese que se ha aplicado la regla de L'Hopital dos veces.

Ejercicio E/7-3. Calcular lim

(e* - x2).

X - » +

Se presenta indeterminación de tipo - r- x 2) = lim

lim

pX

x2 ■l ~ - 1) = lim x2 ■lim

..

—^ = lim

'— >+O0 X1

X —»+ oo

pX

..

2x = lim

X^+oo

1 .

qX

— = +00,

¿

habiendo aplicado dos veces la regla de L'Hopital, será lim

{— - i ) = +°° - 1 - +00- Por l° ‘fue

el límite ¡nicialmente buscado es (+«>) • (+) = +«>.

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Ejercicios

Ejercicio E/7-4. Calcular lim Pongamos lim

.

resueltos

x'.

x ' = A. Tomando logaritmos neperianos, obtenemos:

.

..

i

i

i

1°*

-

I-

x *

In A = lim (Inx') = lim x ■ Inx = lint — -— = lim — — = lim l-x) = 0 *-.«• \ -o »-.()+ X ' -»• n i '-*(>• x xPor tanto, será InA = 0, o lo que es igual, .4 = c° = I, es decir, el límite pedido vale 1.

Ejercicio E/7-5. Calcular lim ( * + | ) ' + ' . El límite propuesto presenta la indeterminación del tipo 1". Tomando logaritmos se tendrá, llaman­ do A al valor del límite pedido, que: In A = In

lim

x + I

(x + 1 )-

Así, pues, el límite propuesto valdrá e^2.

Ejercicio E/7-6. Calcular lim

(e 5* + 5x)1/v.

X -> +n. Llamando A al límite pedido y tomando logaritmos, se tiene:

lnA = l¡ m - ! H .(e3,/ x

54 = |¡m x-»-™

3- f + 5 =Mm _ 9 C ' = ,¡m e ! ' + 5x v^+o. 3e2* + 5

27X = 9 eu

de donde, el límite propuesto vale e f.

Ejercicio E/7-7. Calcular lim x-»o*

_Jn ícos3x) In (cos2x)

Es l¡m In (cos3x) x-.o* In (cos2x)

|jm (-3sen3x)/lcos3x) _ |. '-»()«■ (-2sen2x)/(cos2x) »-»o *

3 • sen3x • cos2x 2 • sen2x ■ cos3x

= |¡m ^ e n y . | im J ■ cos2x = |¡m 3 ■ cos3x . X = A . J . = j , sen2x x — » t>' 2 - cos2x x-*o+ 2 • cos2x 2 2 2 4 Obsérvese que en el cuarto paso se ha utilizado el hecho de que el límite de un producto es el pro­ ducto de los límites a fin de simplificar operaciones.

E JE R C IC IO S D E M A T EM Á T IC A S

103

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Ejercicios resueltos

Ejercicio E/7-8. Calcular lim^ (1 - x) ■tg p p -j Este límite presenta la indeterminación 0 ■

,

Ahora bien, escribiéndolo de la forma

lim X-* 1

« (¥ ) 1 1 - x

,

presenta la indeterminación del tipo oa/», pudiendo entonces aplicar la RH, obteniendo:

lim

Mf)

>l

1

= lim

x-> 1

_ / TTX\ eos- r y )

■2 • (1 - x) • (-1)

=lim x-> I

2 ■C O S

H\ K2rX- \/ • s e n \ n2 x \¡ • hfn\ \2r

1- x = lim ------------- = lim X > 11 >i /nx\ x— -> (— )

\2 j

—s e n

-1 (f n x \ i 2)

k

2 =— . Jt

2

Ejercicio E/7-9. Calcular lim (1 + sen2x)1/2x. x^O El límite propuesto presenta la indeterminación 1“ Tomando logaritmos y llamando A a dicho lím i­ te, tendremos: -

i . In (1 + sen2x) ,. InA = lim t— - = lim — x -o

2x

x^o

cos2.v — = 1,

,

I + sen2x

de donde se deduce que el límite pedido vale e.

Ejercicio E/8-1. Demostrar que en x = 0: (a) tgx - x y x !/3; (b) x - senx y x 5/6; (c) 1 - cosx y x2/2, son parejas de infinitésimos equivalentes.

(a) Es lim v

= ]¡m 0

X !

n O

cos2x X2

= |¡m

■ , 5g^

-

X2 • COS2 X

= im — _ X ->

0

X2

x ^ O

coszx

3 de donde, los infinitésimos tgx - x y xJ/3 son equivalentes en el origen. „ .. x-se n x .. 1 - cosx .. senx (o) Es lim ; = lim ------ ~------ = lim = 1, í -x o x' x ->o x2 v , ;í x IT ~ lo que prueba que las parejas de infinitésimos dadas en (£>) y en (c) son equivalentes.

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Ejercicios resueltos

E je rcicio E/8-2. Hallar el orden de contacto de las curvas Hx) = 6x2 - 8x + 3 y g(x) = x4 en el punto de abscisa x = 1. Es /O) = g(1) = 1 ■Luego, las curvas dadas por f y g se cortan en el punto (1, 1). Por otra parte, es f'O ) = g'(1) = 4, f"(1) = g"( 1) = 12 y 0 = f" \ 1) * g'"(1) = 24, lo que pone de mani­ fiesto que las gráficas dadas por f y por g presentan un contacto de orden 2 en el punto (1, 1).

E jercicio E/9-1. Demostrar que

senx = sena + (cosa) (x - a) -

(sena) • (x - a)2 2!

(cos0) ■(x - a)3 3!

donde 0 está entre a y x. Utilizar este desarrollo para calcular sen 51° evaluando el error cometido. Tomando Hx) - senx, es f(x) = cosx, f"(x) - -senx y í"'(x) = -cosx, de donde, es Ha) = sena, f'(a) = cosa, f"(a) = -sena y f"'(0) = -cos0. Sustituyendo entonces en la fórmula de Taylor en el caso n = 2, es decir: en f"(a) ■(x - a)2 /(x) = Ha) + f'(a) ■(x - a) + 2!

f"(0 ) • (x - a)3 3!

donde 0 está entre a y x, se obtiene el resultado deseado. Entonces, si tomamos, x = 45n/180 - 45° y a = 517c/180 = 51°, se tendrá que es x - a = tu/30. U tili­ zando lafórmula en cuestión y recordando que es sen 45° = eos 45° = V 2 /2 , obtenemos: íp n c í o _ V T

2

,V2( Tí\ 2

UO /

( V 2 /2 ) ■ (jc/30)2 2!

(COS0) ■ (tc/30)3

3!

Si tomamos como sen 51° la suma de los tres primeros términos tendremos que sen 51° = 0,7775 y que el error cometido será Id s - jJ ÍB ÍI < ±

&

) T 0,0002,

es decir, menor que 2 diezmilésimas, con lo que al dar sen 51° = 0,7775 damos tres decimales exac­ tos.

Ejercicio E/9-2. Demostrar que la catenaria y = a ■ch(x/a) para pequeños valores de x puede apro­ ximarse por la parábola y = a + (x2/2a). Desarrollaremos en serie de MacLaurin la función Hx) = a • ch(x/a) hasta el término de segundo grado. Es Hx) = a ■ch(x/a), f\x) = sh(x/a), f"(x) = (1/a) • ch(x/a) y f"'(x) = (1 la2) ■sh(x/a), y por tanto, es H0) = a, f'{0) = 0 y f"(0) = 1/a. 4 ' S X2 Asi pues, es UHx) = a +— +

Al ser | ^ m . x 3

a

? "$ )

¡ I I x3, donde 0 esta entre 0 y x.

„ a - X3 3!

= - 6a2 L - II s h Aa l |

el límite de dicha expresión cuando x tiende a 0 es 0. Luego, para valores x tales que |x| —> 0, es f(x) = a +-^—. 2a

E JER C IC IO S DE M ATEM ÁTICAS

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Ejercicios resueltos

Ejercicio E/9-3. Obtener el desarrollo de MacLaurin de la función shx. Es shx = ---fix ) =

. Consiguientemente se tendrá: , f"(x) =

,n x) =

, y en general C»(x) =

Por tanto, es HO) = 0, f'(0) = 1, f"(0) = 0, t"'l0) = 1,

ef + (—1 y /é”(f) = ---------

• fx-t _

Luego, el desarrollo pedido es

x : x5 315!

shx = X + - X - + — + ... + -

x" - 1 ef + (-1 )nt 1 • e4 — + ----- \ - L - — E _ x " (n - 1)! 2 ■n!

donde t es un punto intermedio entre 0 y x.

Ejercicio E/11-1. Hallar máximos, mínimos y puntos de inflexión de la función Ax) = (1/7) ■x7 - xP. Es f\ x ) = x6 - 6x5 = x5(x - 6), de donde los puntos críticos son x = 0 y x = 6. Es f'\x ) = 6x5 - 30X4 = 6\4( x - 5), de donde, f"(0) = 0 y f" (6) = 65, lo que nos dice que en x = 6 se presenta un mínimo. Por otro lado, las soluciones de f'Xx) = 0 son x = 0 y x = 5. Es f" \ x ) = 30X4 - 120x3 = 30x3(x - 4), lo que nos dice que f " \ 0) = 0 y f" '(5) * 0, y que en conse­ cuencia en x = 5 hay un punto de inflexión. Es M x ) = 120x3 - 360x2, f'Xx) = 360x2 - 720x y tvl(x) = 720x - 720, de donde la primera derivada que no se anula en x = 0 es la de orden 6, y como fv,(0) = -720, en x = 0 se presenta un máximo. Así, pues, f presenta un mínimo en x = 6, un máximo en x = 0 y un punto de inflexión en x = 5.

Ejercicio E/12-1 . Estudiar el comportamiento asintótico para x —> ±~ de las funciones f(x) = x + 2X, g(x) = |lnx]2, h(x) = x + senx Se tiene lim X - * +«>

x + ~— = + « . |¡m X

X -> -■»

x + 2— = 1, lim X

|(x + 2*) - xj = 0

X —* -oo

por lo que x + 2* carece de dirección asintótica para x —» +°°, pero se aleja hiperbólicamente, según la asíntota y = x para x —> (Inx)2 Como lim — —— = 0, lim (Inx)2 = +°°, la curva y = gíx) se aleja parabólicamente cuando x —> +°° en la dirección horizontal. Al ser lim x + senx _ -p y no ex¡sq r |¡m

+ senx) - x], la curva se aleja en ambos sentidos según

la dirección de y = x, pero no lo hace ni hiperbólica ni parabólicamente.

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Ejercicios resuelTos

Ejercicio E/13-1. Estudiar y representar gráficamente la función Hx) ■

senx • cosx senx + cosx

Al ser Hx) = Hx + 2jc), fe s periódica de período 2n y bastará, pues, con estudiarla en el intervalo [0, 2ti]. La función dejará de estar definida y de ser continua sólo en los puntos en los que se anula el deno­ minador, es decir, para los x tales que en senx + cosx = 0, o sea para x = (3n)/4 y x = (7 tc)/4. A s í , pues, en general, f está definida y es continua en el conjunto D = R - l ~ - + 2kx, -^ L + 2kiti. 4 ' ~4~ T Los puntos en los que corta a los ejes corresponden a las abscisas 0,

2

3jt tt, 4p-, 2n. Rasemos a estudiar " "

2

el crecimiento de f. Rara ello: ^ . _

(cos2x - sen2x) (senx + cosx) - senx • cosx (cosx - senx) _ cos3x - sen3x (senx + cosx)2 (senx + cosx)2

lo que nos dice que los puntos críticos corresponden a los x tales que cosx = senx, es decir, son x = jt/4, y x = 571/4. Mejor aún, el signo de f en el Intervalo [0, 2tt] viene dado según indica el siguiente esquema:

f+ / 0

- \

E

t

0

jz_ 4

_

\

0

+

/

+ / ’

1--------------------1--------------------1 37t 4

5tt 4

7k 4

El 2n

lo que, aparte de indicar el comportamiento de fe n cuanto a crecimiento y decrecimiento, indica que en x = tt/4 se presenta un máximo y que en x = 57t/4 se presenta un mínimo. Pasemos a estudiar la derivada segunda. Es: _

-3co sx senx (senx + cosx)3 - 2(cos3x - sen3x) (cos2x - sen2x) (senx + cosx)4

quedando el signo de la misma descrito en el esquema: -

E

+

+

1------------------- 1------------------- 1------------------- 1

0

r 4

"

3ii 4

'

"

5jt 4

'

"

7n ^ 4

i ** 2n

lo que indica que fe s cóncava hacia y < 0 en [0, 3k/4), cóncava hacia y > 0 en (3tt/4, 7tt/4) y cón­ cava hacia y < 0 en (7tt/4, 2 teJ . Nótese que los puntos x = 37t/4 y x = 7tt/4 no son de inflexión ya que no pertenecen al dominio de f. Por fin, indiquemos que las rectas x = 3n/4 y x = 7rc/4 son asíntotas verticales, como el lector com­ probará fácilmente. Así las cosas, la gráfica de fserá:

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Ejercicios resuelfos

Ejercicio E/13-2. Estudiar y representar gráficamente la función t(x) = x ■e,/x. El dominio de fe s R - {0}. La función /no es par ni impar ni corta a los ejes. Es f\x) = e1/x ■^1 - -Á-j, con lo que las zonas de crecimiento y decrecimiento vienen dadas por

'

+

/

-

\

+

/

- - - - - - - - - i- - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - o

i

lo que en particular nos dice que en x = 1 hay un mínimo. Es f"(x) = (1/x3) • e1/x, con lo cual las concavidades de / son como se indica

0 Es lim Ax) = +°o, lo que implica que x = 0 es una asíntota vertical. x-*o+ Por otro lado es lim Ax) = lim x • e1/x = lim - x ■^ 1/x = lim = 0, x->ox->ox -»o+ x^o+ e1/x lo que unido al hecho de ser Ax) < 0, para todo x e R" nos da el comportamiento de /en un entor­ no del origen. Además, es lim

_ A É _ _ |¡m

x —>+°°

X

lim

ei/x = 1 = Iim

x —>+°°

x —>

(/ fx )- x ) = lim

y X

( A x )- x ) = 1,

lo que implica que y = x + 1 es asíntota oblicua por ambos lados. La gráfica de fe s :

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Ejercicios

resueltos

Ejercicio E/13-3. Estudiar y representar gráficamente la función Hx) = x + Inx. Está claro que R+ es el dominio de /. Por otra parte, por ser f\ x ) = 1 + (1/x), es /' positiva en todo el dominio de f, lo que indica que / es estrictamente creciente, lo que unido al hecho de ser f|1/e) = (1/e) - 1 < 0 y /J1) = 1 > 0 , nos dice, haciendo uso del teorema de Bolzano, que la gráfica de /corta exactamente al eje de abscisas en un punto que está comprendido entre 1/e y 1. A con­ secuencia de ser /estrictamente creciente es obvio que /carece de máximos y mínimos. Por otro lado, es f"(x) = -1/x2, es decir, es f"(x) < 0, para todo x de R+, lo que nos dice que /es cón­ cava hacia y < 0 en todo su dominio. Comprobemos ahora el comportamiento asintótico de /. Es: lim

x - » 0+

Hx) = im

-x 0*

(x + Inx) = lim

X-»0+

x + lint

:: ->0+

Inx = -

lo que indica que la recta x = 0 es asíntota vertical. Por otra parte es: f(x) X

= lim

1+

Inx x

lo que nos dice que /carece de asíntotas horizontales e Inclinadas, pero que se aleja de forma para­ bólica en dirección horizontal cuando x tiende hacia más infinito.

Ejercicio E/13-4. Estudiar y representar gráficamente la función Hx) = Es t de dominio R - 1-1, +1 j. En dicho dominio /es continua y derivable. Además /es una función par, es decir, su gráfica es simétrica respecto del eje de ordenadas. Por tanto, estudiaremos la fun­ ción para valores mayores que 1. x2 - 2x Es /'(x) =• (x2 1 )3/2 ' ^ue8 °' si x > 1, el signo de f' es igual al signo de x3 - 2x, y por tanto al de x(x2 - 2), lo que nos dice que el crecimiento de /viene dado según el esquema:

/'

\

+ / VT

es decir, estrictamente decreciente en el intervalo (1, V 2 ) , estrictamente creciente en el intervalo ( V I , +c»), y con un mínimo en el punto x = V 2 .

E JER C IC IO S DE M A T EM Á T IC A S

109

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Ejercicios resuellas

Es f"(x) =~j^ — 1 j5/2 , por lo que para todo x la función es cóncava hacia y > 0. Es lim lim = lim -

(x2 -

fí V/\

/jx) = +, lim _ Í * L = |¡m

v/

-= 1 0, f\ - 3) > 0, f\ - 2) > 0, n - 1) < 0, f\0) < 0, f\ 1) < 0, f'(2) > 0, f\ 3) < 0, f\ 4) < 0, f\ 5) < 0, f'(b) < 0, f \ 7) > 0 y f' tiene sus raíces en (-2, -1), (1, 2), (2, 3) y (6, 7). De los intervalos en que tenemos separadas las raíces de fsólo en (2, 3) presenta f' un punto de anu­ lación. Vamos a proceder en él mediante el Teorema de Bolzano. Tomaremos como primera apro­ ximación el punto medio del intervalo, a continuación el de la mitad de intervalo en que f tenga cambio de signo, y así sucesivamente. Está claro que si la raíz está entre a y 6, y se toma la aproxi­ mación (a + b)/2, el error máximo es medio intervalo, o sea, (b - a)/2. Tendremos x-¡ = (2 + 3)/2 = 2,5. Como fi2,5) > 0, x2 = (2 + 2,5)/2 = 2,25. Al ser fi2,25) < 0, x3 = (2,25 + 2,5)/2 = 2,375. Reiterando el procedimiento, llegamos, por ejemplo, a x26 = 2,42 9 8851 6, siendo el error acotable por (3 - 2)/226 = 0,000000015.

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En (-3, -2 ) f'y f " no se anulan (/""tiene una raíz en (-1, 0), una en (2, 3) y una en (5, 6)). Como í{-3) ■,- W , > O, p e e m o s „

elM M c , de

x2 = -2,49136655 -

49136655)

N « „ „

con x„ = -3 . A t a , „ „

. .3 - «

.

_ 2, „ , j 6655

= ~2 '36391534 Y así sucesivamente hasta, por ejemplo,

xb = 2,1910834. Como f es positiva y decreciente en [-3, -2 ], toma el valor mínimo en -2 ,, , . I/ j-2 ,36391534) r (- 2) = 460, pudiéndose acotar el error por ------- —-------- = 0,00000000045 I 460 I En (0, 1) aplicaremos el Método de las cuerdas. Será x-¡ = 0 — ^ ^ \ o ) Como /j0,56122449) < 0, será x2 = 0 -

= 0r3 - 3x2 + 4 x + 7 (x2 - 4 x + 7)2

[ ax + b T 7] [Lx2 * 2 - 4 x + 7\

x2 - 4x + 7

de donde obtenemos x3 - 3x2 + 4 x + 7 _ (x2 - 4 x + 7) ■a - (ax + b) (2x - 4) (x2 - 4x + 7)2 (x2 - 4 x + 7)2

X2

- 4x

+

7

mx3 + (-a - 4m + n)x2 + (-26 + 7m - 4 n)x + (7a + 4b + 7rí) (x2 - 4x + 7)2 lo que nos conduce al sistema m= cuya solución es Así pues

1,

- a - 4ra + n = - 3 ,

- 2 b + 7 m - 4 n = 4,7a + 4b + 7n = 7

m = 1, n = 4/3, a = 1/3, b = -7/3. x 3 - 3x2 + 4 x + 7 _ f (1 / 3 ) x - (7/3)1' (x2 - 4 x + 7)2 L x2 - 4 x + 7

x + (4/3) x2 - 4 x + 7 '

J

f x3 - 3 x + 4 x + 7 J (x2 - 4 x + 7)2

■ (1 /3 )x- (7/3) x2 - 4x + 7

f x + (4/3) , J x2- 4 x + 7

(1 /3 )x- (7/3) 1 | ,, „ ,, , 10 x- 2 ^ = — s— r-----=- + n (x2 - 4x + 7) h 7= a re te + C. x2 - 4 x + 7 2 3V I 6 V Í

Ejercicio F/6-4. Resolver la integral / = J j p p j dx. Para descomponer el denominador x 4 + 1 es necesario hallar las raíces de este polinomio que son las raíces cuartas de - 1, es decir, tomando complejos, las raíces cuartas de 1180» que son 145», 1135«, 1225o y 13is=, o bien, escritas en forma binómica v T 2

V Í -_Y2~ 2 '' 2

v i 2

•_ v i _ '' 2

V 2 2

• v i _ v i ' 2 2

lo que nos dice que

ATLAS D E M A T EM Á T IC A S 116

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•

Ejercicios

resueltos

Esta descomposición del polinomio x4 + 1 nos permitirá escribir Ax + B

1

C x+ D

x4 + 1 para ciertos números reales A, B, C y D que deben de cumplir que: 1 = (Ax + B) (x2 + \ Í1 x + 1) + (C x + O) (x2 - \ í l x +1), o lo que es igual, que 1 = (A + Q x 3 + ( V T A + B - V 2 C + D)x2 + (A + V T B + C -

V I D )x + (B + O),

lo que nos conduce al sistema A + + C =0 V2A+ B -V 2 C + D =0 A + V2B+ C -V 2 D =0 B+ + D = 1, que tiene por solución A =

-1 2V2

Luego, será:

/=

1 x + A2V 2 2

- J ^ x + Adx +

2V2

2

dx.

Así, pues, resulta ser

' =Jx*TT ' +

=“ Í V T ln (*2- V 2 * + 1) +^ 7 T arcts ^ In (x2 - V 2 x + 1) + ~ ,

arctg (V 2 x + i ) + C,

Ejercicio F/7-1. Calcular J sen4x • cos2x • dx. La expresión sen4x • cos2x se puede escribir del modo ~ (senóx + sen2x). Por tanto, será J

sen4x • cos2x • dx = -i- • í sen6x • dx + 4 - • í sen2x ■d x = • cosóx - — cos2x + C. 2 J 2 1 12 4

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Ejercicios resueltos

Ejercicio F/7-2. Resolver la integral /= [ ] + cosx J 1 + senx

• dx.

Haciendo el cambio tg - y = f será: i . ' - r

■J*

1 |

2t

1+ -] —

La fracción ■

+

1 + f2

J (f + 1)2 ■(fi + 1)

fi

se descompone en suma de fracciones de la forma A _+ (f+ 1)2

B , C t+ D f+ 1 t2 + 1 '

donde 1 = /\(f2 + 1) + fi(f + 1) (f2 + 1) + (Cf +D) (fi + 2f + 1), lo que nos dice que A = 1/2, B = 1/2, C = -1/2 y D = 0, de donde:

= 4- [-- L . - L . + Í - .

-

~2

t+ 1

2 1+tg^

In (t+

1 ) - - 1 - l n ( t 2 + 1) + c ] =

+ 2 • ln (t + 1) - ln (t2 + 1) + C =

+ 2 - ln ( t g - f + 1j - l n (tg2 4 + 1) + C v 2 / \ 2

Ejercicio F/8-1. Calcular la integral: (a) tg6x ■dx.

_ r ,

,

Es / tg&x • dx =

=

f

sen2x n2 cos2x

[tg 4 x — L - d x - J t g * * cos2x J °

J °

.

,

f 1 - cos2x

*g4x ■d x = j — •

dx

=

5

“ N tg2x' dx +í tg2x

_

[J

J

■tg4x • dx =

- c OS2X

cos2x

' dx] =^ ^

5

3

J

cos2x

5

3

°

2x

_

~H r +Jtg2x' dx z x _ x+c

°

A TLA S DÉ M A T EM Á T IC A S

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Ejercicios resueltos

f COS^ ^X

Ejercicio F/8-2. Resolver la integral J seni x r fc o s11x Es r— J sen2x

• dx.

, fc o s 10x - c o s x , f (1 - sen2x)5 dx = = ■dx = -------- ■dsenx, J sen2x 1 sen2x

y portanto, haciendo el cambio senx = f, la integral se convierte en

J(1 - f 2)5 d (_J 1 - 5f2 + 1 0r> - 10(6 + 5(6 _ fio _ d f= =¡ (t2 - 5 + 10f2 - 10Í4 + 5 f>- (») •

=

5 í + 1|L 3+ ^ - _ ^ _ + c,

lo que, deshaciendo el cambio, indica que la integral propuesta vale: - — ^_____ 5 • senx + 10sf n3* + 5

Sef X -

+ C.

Ejercicio F/8-3. Calcular H = ¡ sen33 x • cos23 x • dx. Es H = f sen23x ■cos23x • sen3x ■dx = - - j - ¡ (1 - cos23x) ■cos23x ■dcos3x = J L [f cos43 x • d c o s3 x- J cos23x ■dcos3x] = 3 1 1 ir coss3xv 3 L 5

cos33x I + c. 3

Ejercicio F/8-4. Calcular J sen22 x • cos22 x • dx. Es / = f sen22x • cos22 x • dx = J (sen2x • cos2x)2 • dx = = i - J s e n 24 x - dx = - j - J 1~ c° s8x ■dx = l =

Ejercicio F/8-4. Resolver la integral

8

■sen4x]2- dx =

[ ^ - ^ { c o s 8 x - dx] =

- - L • sen8x + C. 64

dx.

Será I = í — dx = í — L — ■— ■dx = f (1 + tg2x)2 ■tg'x • dx, J cos6x J cos4x cos2x 1 lo que haciendo el cambio tgx = I nos permite escribir: / = J 0 + f2)2 • dt = j 0 + 2f2 + t4) • df = f + | - • f3 + Á- • f3 + C = = tgx + | - • tg3x + i

■tg3x + C.

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i

Ejercicios resueltos

Ejercicio F/8-5. Resolver la integral J Es

senJx • co s5x

dx.

1= J se rvx •---1— ■dx= f cosec3x cos3x J

tg2x /) V2' (1 ' + tg2x)l/2' u • = / (1 +w tg 'x ' d

• secx • tg'x • dx = b J x tg3x =

•tg'x ■dx -

lo que haciendo tgx = f nos permite escribir:

, = J J ^ ± lg .tfr=J.

+ 2 ) - x 2H x = [ f + 2 x ^

=f .

Ejercicio F/11-3. Hallar el área de la figura limitada por la lemniscata de Bernoulli r2 = a2 ■cos2rp. Como la curva es simétrica, determinamos primero el área de una cuarta parte, siendo ésta r

A =Y Í f a2- C0s2(p ■d 1 y diverge si cc < 1. fX — d x = l i m [in x]* = lim [in K - In a l = +~. X /C-i+oo L la X-.+o° L >

Luego, para a = 1 la integral es divergente, y por el criterio de comparación lo será para a < 1. Sea ahora, pues, a > 1. Será: í +“ — ■dx = lim J,i Xa K por seHim

[* j t “

■ dx = lim [ f '* 1 = lim ^1~a /C-i +L1 —OCJc3 K-.+ 0.1-C X

1- a

1- a

= 0, a consecuencia de ser a > 1 . Luego, la integral es convergente para a > 1.

Ejercicio F/14-1. Calcular j

1^

dxpor el Método de los trapecios y por el Método de Simpson,

tomando en ambos casos n = 4. Calcular 7t aprovechando el resultado obtenido en ambos métodos, comparando de este modo la bondad de los mismos. (a) Subdividiendo [0, 11 en cuatro partes iguales, tendremos S = 1/4 y la siguiente tabla de valores

Yo = 1

= 1 /4

CsJ

y

x,

II

x0 = 0

X

X

y2 = 0 ,8 0 0 0

y, = 0 ,9 4 1 2

= 3 /4

x4 = 1

= 0 ,6 4 0 0

y 4 = 0 ,5 0 0 0

x¡ y¡

de donde, por la fórmula de los trapecios será: í ' , 1 , ■dx= 4 “ 1 + iL 5000 + 0,942 + 0,8000 + 0,7828] = - L (3,1312), J o 1 + x2 4 L 2 J 4 Como por otro lado, es j ’ — J

2- dx = [arctgx]¿ = -5-, por éste método, y con esta subdivisión del

intervalo, tenemos que es n - 3,1312. (b) Con la misma subdivisión que en el apartado (a) y por tanto, con la misma tabla de valores, ten­ dremos por el Método de Simpson que ' dx = “ ¡V K 0000 + ° ' 50001 + 4(0,9412 + 0,6400) + 2(0,8000)] = -i- 13,1416| lo que pone de manifiesto que por este método y con la misma subdivisión del intervalo el valor hallado para 7t es de 3,1416, lo que indica ya, de cierto modo, que la precisión lograda con el Méto­ do de Simpson suele ser superior a la que se logra con el Método de los trapecios.

E IE R C IC IO S DE M ATEMATICAS

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Ejercicio F/14-2. Calcular

senx2 ■ dx, por el Método de Taylor, y valorar el error cometido.

Sabemos que es V3

v-5 5!

v7 7!

,

,

y2n+1 (2n+1)!

senx = X - ^ 7 + ^ 0 - ^ 7 + ... + (-1 )n+l - - x r — T T T + -

3!

(seíl)(2/7+2V0) ' (2n + 2)!

estando 0 comprendido entre O y x. Por tanto, será

senxt =

... + H)n+, . 3!

5!

7!

+jsen y^ e, . x4n+4 (2 n + 1)!

(2 n + 2)!

con O < 0 < x. Luego, si tomamos

i

o\

1 L3

3! 1 42

5!

7! /

,1 1.320

L 3

1 1 75.600

J

7- 3!

258.019 831.600

11-5!

15 ■7!Jo

nnmcoi

cometemos un error e que cumple:

sen