Maß und Integral [Reprint 2022 ed.] 9783112657904

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G. P. Tolstow MaB und Integral

Mathematische Lehrbücher und Monographien Herausgegeben von der Akademie der Wissenschaften der D D R Institut für Mathematik

I. Abteilung Mathematische Lehrbücher Band 34 Maß und Integral von G. P. Tolstow

Maß und Integral von G. P. Tolstow

In deutscher Sprache herausgegeben von Doz. Dr. rer. nat. habil. Rolf Kühne Technische Universität Dresden

Mit 230 Abbildungen

AKADEMIE-VERLAG 1981

BERLIN

reoprHtt N A B J I O B H I Mepa H ÜHTerpaji

TOJICTOB

© rjiaBHan pe^annHH n3HKo-MaTeMaTHHecKoft JimepaTypu

H3«aTeJibCTBa «Hayna», 1976 Deutsche Übersetzung Dr.Thomas Ewers Dr. Reinhard Höppner

Erschienen im Akademie-Verlag, DDR -1080 Berlin, Leipziger Str. 3—4 Lektor: Dr. Reinhard Höppner © der deutschsprachigen Ausgabe Akademie-Verlag Berlin 1981 Lizenznummer: 202 • 100/411/81 Gesamtherstellung: IV/2/14 VEB Druckerei »Gottfried Wilhelm Leibniz«, 4450 Gräfenhainichen • 5624 Bestellnummer: 762 7791 (6568) • LSV 1034 Printed in GDR DDR 2 8 , - M ISSN 0076-5422

Vorwort zur deutschen Ausgabe

Das vorliegende Buch ist eine aus Vorlesungen entstandene ausführliche Einführung in die Maß- und Integrationstheorie. Neben den im Vorwort des Autors benannten Besonderheiten der Darstellung sei noch darauf hingewiesen, daß hier der Begriff des Maßes und der Mengenfunktion ausschließlich im Sinne endlichwertiger Maße bzw. Mengenfunktionen verstanden wird; diese sind im allgemeinen nicht auf aRingen, sondern lediglich auf Ringen (bzw. allgemeineren Mengensystemen) definiert, wodurch die in der Regel als a-endlich bezeichneten Maße in die Betrachtungen einbezogen sind. Die deutschsprachliche Gestaltung des Textes lehnt sich eng an die Darstellungsweise des Autors an, die durch Einfachheit, Anschaulichkeit und intuitive Erläuterungen geprägt wird. Die Bearbeitung beschränkt sich neben den für deutschsprachige Leser erforderlichen Anmerkungen auf notwendige Korrekturen, wobei wir dem Autor für die Übersendung eines Fehlerverzeichnisses zu Dank verpflichtet sind. Besonderer Dank gebührt auch den Herren Dr. T. E W E R S und Dr. R. H Ö P P N E B , die über ihre eigentliche Aufgabe als Übersetzer hinaus wesentlichen Anteil an der mathematischen Fassung der Übersetzung haben; Herrn Dr. R. H Ö P P N E B als gleichzeitig verantwortlichem Lektor des Verlages sei außerdem für die ausgezeichnete Zusammenarbeit in allen technischen Fragen sehr gedankt. Dresden, den 12. August 1979

R . KÜHNE

Vorwort

Dieses Buch entstand durch gründliche Überarbeitung einer Vorlesung, die der Autor in den letzten J a h r e n mit dem Ziel gehalten hat, Lücken zu schließen, die bei der Ausbildung von Studenten in einem üblichen Kurs Analysis auf dem Gebiet der Maß- und Integrationstheorie bestehen, und damit insbesondere die Grundlage f ü r eine moderne Behandlung wahrscheinlichkeitstheoretischer Disziplinen zu schaffen. Das Buch verlangt vom Leser einfache Grundkenntnisse in Mengenlehre, Differentialund Integralrechnung sowie über mehrdimensionale Euklidische und metrische R ä u m e einschließlich der Begriffe offener und abgeschlossener Mengen. Der Inhalt des Buches besteht aus Elementen der Maßtheorie, Ausführungen zu meßbaren Funktionen, zur Theorie des abstrakten LEBESGUE-Integrals (einschließlich des Satzes von F U B I N I ) , zur Theorie gewöhnlicher L E B E S G U E - und L E B E S G U E STIELTJES-Integrale sowie über Mengenfunktionen (einschließlich des Begriffes der Variation einer Mengenfunktion und des Satzes von R A D O N - N I K O D Y M ) . Insgesamt gesehen nimmt das Buch eine Stellung zwischen Monographie und Lehrbuch ein. Es enthält fast keine gesonderten Übungsaufgaben, d a f ü r jedoch eine hinreichend große Anzahl illustrierender Beispiele, Bemerkungen und Ergänzungen. Die Art und Weise der Darstellung weicht (bis auf wenige Ausnahmen) in starkem Maße von bekannten Werken wie denen von S . S A K S , P . H A L M O S , G. E. S C H I L O W , A. N. K O L M O G O R O W und S. W. F O M I N U. a. ab. Das Integral einer positiven Funktion wird auf geometrischer Grundlage als „Flächeninhalt" eines entsprechenden krummlinigen Trapezes im kartesischen Produktraum des betrachteten abstrakten Raumes und der Zahlengeraden eingeführt. Infolgedessen erscheinen eine ganze Reihe von Eigenschaften des abstrakten Integrals entweder als einfache Analogien elementargeometrischer Sachverhalte oder aber — in Konvergenzsätzen - als Umformulierung der Stetigkeitseigenschaft -(3)) existiert

Ait'3l{i=l,2,...,n),

(3')

was nur für A{ = 0 (i= 1, 2, . . . , n) möglich ist, d. h., es gilt

#

Aussage 2. Ein Halbring ist abgeschlossen bezüglich endlicher Durchschnittsbildung. Der B e w e i s ergibt sich unmittelbar aus (l)=>-(2). Aussage 3. Ist % ein Halbring, so ist der von % erzeugte Ring die Klasse SC aller Mengen E, die eine endliche Zerlegting der Art E=\jAit i=1 gestatten.

. . . ,n) ,

(4)

B e w e i s : Wir zeigen, daß 3i ein Ring ist. Seien E£3C und D£3i. Dann gibt es Zerlegungen der Art (4): n E=\J Ait i=1

D=[J

m J=i

Bj,

B^K

.

(5)

(i) Zunächst folgt

(u n

\

/ m

\

n m

Ai n U BA = U U {Ai n B^) , i=i eine/ endliche \,=i /Zerlegung i=ij=i in Mengen der Form AinB^% d . h . , EnD besitzt (vgl. (1)=>(2)), also gilt EnD 6SC. Die Klasse SC ist daher abgeschlossen bezüglich endlicher Durchschnittsbildung. 2 Integral

18

1. E i n f ü h r u n g (ii) Weiterhin folgt n m E\D = U A{\ U B,= 4=1 j-1

n m U ii ¿=13=1

(A^B,).!)

m E\D besitzt also eine endliche Zerlegung in Mengen der Art p] (A^B-) (i= 1, 2, . . . , n). 3=1 Nach (5) ist und wegen (1)=>(3) folgt A ^ B ^ S i , nach Beweisschritt (i) m also D (A^B^dSt. E\D ist damit eine endliche Vereinigung von endlichen Ver3=1 einigungen disjunkter Mengen aus d. h., es gilt E\D^3i. (iii) Durch E u D = (E\D) u D ist eine Zerlegung von E u D in zwei Mengen E\D und D£3i gegeben (vgl. Abb. 13). E uD ist damit eine endliche Vereinigung von disjunkten Mengen aus 3f, d. h. E u D^äi. E

Wegen (ii) und (iii) ist 3C ein Ring. Offenbar enthält jeder Ring 3i', der % enthält, auch alle Mengen der Art (4), 3i ist also der von 3£ erzeugte Ring # Betrachten wir noch einmal den Halbring % aller halboffenen Intervalle der Art [a, ß) der Zahlengeraden, die in einer festen Menge E enthalten sind (vgl. Beispiel 2). Gemäß Aussage 3 ist der von 3C erzeugte Ring 3C gerade die Klasse, die aus allen rechtsoffenen Intervallen und den endlichen Vereinigungen disjunkter derartiger Intervalle besteht. Dieser Ring wurde in Beispiel 10 in 1.1 betrachtet.

1.3.

-liE2) [IE}uE2)] *(IE,)2*UE2)Z Ej-W) £2-U,2) Abb. 24

2

Abb. 26

Abb. 25

Aussage 1. Gilt 0 ( d . h . enthält die Klasse SC, auf der F definiert ist, die leere Menge), so gilt F(Q) = 0. Insbesondere ist dies der Fall, wenn SC ein Ring oder ein Halbring ist. B e w e i s : Da durch 0 = 0 u 0 eine Zerlegung von 0 gegeben ist (die zu dieser Zerlegung gehörenden Teilmengen haben tatsächlich keine gemeinsamen Elemente!), gilt f (0) = F(0) + F(0), also F(0) = 0 • Aussage 2. Ist Ez>E', EiSi,

E'Cäi und E\E'^3C (vgl. Abb. 26), so gilt

F(E\E') = F(E)-F(E')

.

Insbesondere ist dies der Fall, wenn 31 ein King ist und die Beziehungen E'iSC gelten.

Ez>E',

E£3i,

B e w e i s : E besitzt eine d u r c h , E = (E\E') u E' gegebene Zerlegung. Daher ist F(E) = F(E\E') + F(E'), also gilt die Behauptung • Folgerung. Ist 3C ein King, so gelten F (En E') = F(E) + F(E') - F (E n E') , F (E\E') = F(E) - F(E') + F (E'\E) . B e w e i s : Es gilt E u E' = E u (E'\E), und durch diese Gleichung ist eine Zerlegung der Menge E u E' gegeben. Weiterhin gilt E'\E = E'\(E n E'), wobei E'z> (E n E') ist. Alle aufgeführten Mengen liegen im Ring SC. Dabei gilt F (E u E') = F\E) + F (E'\E) = F(E) + (F(E') -F(EnE'))

.

Entsprechend folgt aus E n E' = E'\(E'\E)

E\E' = E\(E' nE), die Beziehung

F (E\E') = F(E) -F(E'nE)

= F(E) - (F(E') - F

= F(E) - F(E') + F (E'\E)

(E'\E))

%

Aussage 3. Sind F und 0 additiv und auf ein und derselben Klasse Si definiert, so sind die auf 3i definierten Mengenfunktionen cF (c = const) und F±G ebenfalls additiv. n

B e w e i s : Ist durch E= gegeben, so ist cF(E)=c

n

2 w

F(E) ±G(E)=2

U Ei eine endliche Zerlegung von E^Si in Mengen 8= 1

= n

i =1

n

2

C

W

n + 2 W

. n

= . 2 (F(Ei)±G(Ei)) ( = 1

•

E^Si

26

1. Einführung

Bemerkung. Das Produkt additiver Mengenfunktionen ist i. a. keine additive Mengenfunktion (vgl. das oben über die Quadrate von Strecken oder Flächen Gesagte). Aussage 4. Ist 3i ein Ring, so genügt es zur Definition der endlichen Additivität, nur die Additivität für zwei Summanden zu fordern. Daraus folgt die Richtigkeit der Bedingung (1) für eine beliebige endliche Anzahl von Summanden. m B e w e i s : Ist durch E = IJ En eine Zerlegung von E in Mengen End&C gegeben, so gilt "= 1 m \ Im \ m

(

u EnUFiEj+FiEj+F U • «=2 / \»=3 /= »=1 Eine Mengenfunktion F heißt a-additiv (oder abzahlbar additiv), wenn für jede höchstens abzählbare Zerlegung einer Menge E£3i, die durch E = (J En, Knd3i, gegeben ist, gilt " F(E) = 2 F{En) • n

(2)

Nach Definition konvergiert die in (2) stehende Reihe und zwar offenbar bei beliebiger Umordnung der Summanden gegen denselben Wert F(E); d. h., diese Reihe ist sogar a b s o l u t konvergent. Ein triviales Beispiel einer a-additiven Mengenfunktion auf einer beliebigen Klasse 3£ ist durch F(E)= 0 f ü r alle Ed SU gegeben. Weitere Beispiele ff-additiver Mengenfunktionen sind die Länge von Intervallen und die Fläche von Rechtecken (vgl. Beispiele 1 und 4). Dies folgt aus der in Kapitel 2 dargelegten Theorie. Wir wollen deshalb hier auf Beweise dieser Aussagen verzichten (zumal sie schon in diesen einfachen Fällen mit einigen Schwierigkeiten verbunden sind). Aus der Definition ist zu ersehen, daß jede c-additive Mengenfunktion F auch endlich-additiv ist. Das Umgekehrte gilt i. a. nicht (vgl. Abschnitt 2.4). Die Aussagen 1 bis 3 können offenbar auf den Fall «r-additiver Mengenfunktionen übertragen werden.

1.6.

Die Stetigkeit einer auf einem Ring definierten s o

se

tzit man ihre Summe, wie üblich, gleich

und die Ungleichung (5) ist trivialerweise erfüllt.

35

2.1. Eigenschaften von Maßen

Aussage 6. Ist ¡i a-additiv, dann ist/x auch stetig im Sinne von Abschnitt 1.6, d. h. für n oder «

mit Ent$TL (n = l, 2, . . .), EeS>H, gilt stets lim /t{E ) = ft(E) . n-*- n Folgerung 1. Ist EnfSTi (« = 1 , 2 , . . .), E = \jEna$l,

dann gilt

n

lim // i U \k = l

Et\=n(E). /

Folgerung 2. Ist En^S>H (n = 1 , 2 , . . .), £ = f] #„65)11, da/m n lim/i( n — U=i

B

/

=-«(£) •

Von besonderer Bedeutung ist folgende Bemerkung. In 2.2 und 2.3 werden wir zeigen, daß ein beliebiges auf einem Halbring 3Ü definiertes Maß fi auf den von H erzeugten Ring 3)1t erweitert werden kann. Folglich läßt sich ein solches Maß ¡x auch als ein auf einem Ring definiertes Maß ansehen. Die Aussagen 1 bis 6 sind demnach auch für auf einem H a l b r i n g definierte Maße richtig. Abschließend verweisen wir auf ein besonders wichtiges Beispiel. Der Maßbegriff ist die Grundlage der modernen Wahrscheinlichkeitstheorie, was auch in der dort verwendeten Terminologie seinen Ausdruck findet. Wahrscheinlichkeitsmaß heißt jedes cr-additive Maß ¡x, das auf einer a-Algebra definiert ist und auf der Einheit E0 dieser Algebra den Wert 1 annimmt: fi(E0) = 1. In der Wahrscheinlichkeitstheorie ist E0 der sogenannte Kaimt der Elementarereignisse (die konkrete Gestalt der Elementarereignisse spielt dabei keine Rolle). Die Mengen EdSTi heißen zufällige Ereignisse, E0 speziell wird das sichere Ereignis, 0 das unmögliche Ereignis genannt. Der Wert f.i(E) des Wahrscheinlichkeitsmaßes /j, heißt Wahrscheinlichkeit des zufälligen Ereignisses E. Die Wahrscheinlichkeit ft(E0) des sicheren Ereignisses ist 1, die Wahrscheinlichkeit /x(0) des unmöglichen Ereignisses ist Null. Allgemein gilt 1. Die Wahrscheinlichkeit kann also als Spezialfall des Maßes aufgefaßt werden. Die Maße im obigen Beispiel 2 sind W T ahrscheinlichkeitsmaße. Das Maß in Beispiel 3 ist offenbar genau dann ein Wahrscheinlichkeitsmaß, wenn 2 = 1 gilt. n Dabei ist pn die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses {xn} oder eines beliebigen Ereignisses E~ijXn mit E$xk für alle k + n.

3»

36

2. Das Maß

2.2.

Erweiterung von Maßen - Aufgabenstellung

Daß Maß ra sei auf einer Klasse % von Mengen definiert, die in einer größeren Klasse enthalten sind. Das Maß fi heißt Erweiterung (oder auch Fortsetzung) des Maßes m von der Klasse % auf die Klasse of\i, wenn n auf S\i definiert ist und fi(E) = m(E) für alle E gilt. Das Problem der Erweiterung von Maßen spielt in der Maßtheorie eine zentrale Rolle. Im Grunde genommen beschäftigt sich bereits die Elementargeometrie mit solchen Problemen, wo der zunächst für Rechtecke eingeführte Begriff der Fläche auf Vielecke und schließlich auf kompliziertere Flächen (wie z. B. Kreis, Kreissektor und Kreissegment) erweitert wird; analog verhält es sich mit dem Volumen von Körpern. Das Lebesgue-Maß1), das wir in Kapitel 3 behandeln werden, ist eine sehr weitreichende Verallgemeinerung der Begriffe Länge, Fläche bzw. Volumen. So ist das l i n e a r e LEBESGUE-Maß eine E r w e i t e r u n g des elementaren linearen Maßes, der Länge einer Strecke. Das e b e n e LEBESÖUE-Maß ist eine E r w e i t e r u n g des elementaren ebenen Maßes, der Fläche eines Rechtecks. Das r ä u m l i c h e LEBESGUEMaß ist eine E r w e i t e r u n g des elementaren räumlichen Maßes, des Volumens eines Quaders. Zunächst ergeben sich zwei Fragen: 1. Ist es stets möglich, ein auf einer b e l i e b i g e n Klasse % definiertes Maß auf den von % erzeugten Ring zu erweitern? 2. Falls eine solche Erweiterung möglich ist, ist sie dann eindeutig? Bereits einfache Beispiele zeigen, daß im allgemeinen Fall die beiden Fragen negativ beantwortet werden müssen. Besteht z. B. die Klasse % aus drei beliebigen nichtleeren Mengen A, B und C, für die AcG, BczC und An B = 0, Au B + C gelten (vgl. Abb. 33) und setzen wir m(A) = m(B) =m(C) = 1 , so ist ra offensichtlich ein Maß. Der von % erzeugte Ring müßte die Menge A u B enthalten. Für diese Menge ergäbe die uns interessierende Erweiterung und

fi (A u B) = n{A) + fi{B) = m(A) + m{B) = 2 H {A u B)^n(C)

=m(C) = l ,

was nicht möglich ist. Die Klasse % soll nun aus zwei Mengen A und B bestehen, für die A(\B-i= 0, A

Abb. 33 Abb. 34 L) H . LEBESGUE (1875—1941) war ©in bedeutender französischer Mathematiker und gehört zu den Begründern der'Maßtheorie.

2.3. Erweiterung vom Halbring auf den Ring

37

A\B^$ und .BVI 4=0 gelten mögen (vgl. Abb. 34). Wir setzen m(Ä)=m{B) = 1. Dann ist m offensichtlich ein Maß. Der von % erzeugte Ring besteht aus den Mengen ®,A,B,A\)B,An

B, A\B, B\A, (A\B) u (B\A) .

Wir setzen 0 1 a l*(E) = 2 —a 1 —a 2-2«

für für für für für für

¿7 = 0, E = A oder E = B, E = Ac\B, E = A uB, E = A\B oder E — B\A, E= (A\B)u(B\A),

wobei a eine beliebige reelle Zahl ist, die lediglich der Bedingung O ^ a ^ l genügt. Es ist leicht zu zeigen, daß /u ein Maß ist, das offenbar eine Erweiterung von m darstellt. Für verschiedene Werte von a erhalten wir dann verschiedene Erweiterungen. Im folgenden Abschnitt werden wir zeigen, daß die Erweiterung eines Maßes von einem H a l b r i n g auf den von ihm erzeugten Ring stets m ö g l i c h und e i n d e u t i g ist. Gerade dieser Fall aber ist für die Anwendungen von besonderem Interesse. Man kann schließlich darüber hinaus fragen, ob es möglich ist, ein auf einem Ring Sit definiertes Maß auf eine größere Klasse von Mengen zu erweitern, z. B. auf die in Abschnitt 2.8 definierten Klassen a(oHt) und ; « t - i . « t ) 1 ) fc = l (vgl. (6)). Eine analoge Eigenschaft

gilt für

Ay.

Wir definieren weiter ;«,ß-,y,d)

die s o g e n a n n t e zweite

= Ay(Ax(r. ß); 7,«) = \{ y» • • •) - ?>(«. y, • • •); v,«) = (y>^

= MAv(v>

a

6

> ß)>

= ( y> yo) • (Wo) Cx.yl

Abb. 49

Abb. 50

Mit Hilfe des Lemmas konstruieren wir eine Folge ( x n y n / , ) < wobei die xnin und y. k monoton wachsende Folgen sein mögen (vgl. Abb. 50). Offenbar ist dann E

«k=i(x>

y):

*=x- xnk>

y^y^y«^

eine monoton wachsende Mengenfolge mit (J En = {(x, y): aSKx0, ySi/ dJ •

yn = y «1. '> y> • •

«n» w)

(180

v~vo< wv^vo W-*W0,atn^tvSU>0 A ( a X a a W erfüllt ist.- xy...w( P'> l> 0'» 2> 2/0; • • •; n> o)

Folgerung. Für die a-Additivität des Maßes (14') ist hinreichend, daß für jeden Punkt (^o» 2/o> • • • > Wo) die Beziehung lim H) und .. . ,

(n = 1, 2, . . .), darstellen. B e w e i s : (i) Die cr-Menge Q besitzt nach Definition eine Darstellung Q— (J Bn, £„P, dann gilt

p(Q)^ii{P).

B e w e i s : Es genügt, den Beweis für endliches fi(Q) zu führen. Sei dazu Q=\J

An,

Ai