Das Integral und seine geometrischen Anwendungen [Reprint 2022 ed.] 9783112669228, 9783112669211

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3

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Forschung und Studium Eine

Sammlung

mathematischer Monographien herausgegeben

für S t u d i e r e n d e

von

Dr. Gerhard Kowalewski o. P r o f e s s o r an der Deutschen technischen

Hochschule zu

Prag

Heft 1

Das Integral und

seine geometrischen Anwendungen von

Gerhard Kowalewski ¡Mit F i g u r e n

Leipzig Verlag

von

Veit

&

Comp.

1910' ia

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ffi!"

Verlag von Veit dl Comp, in

Leipzig

Funktionentheoretische Vorlesungen von

Heinrich Burkhardt,

o. Professor der Mathematik an d e r Technischen Hochschule München.

Zwei Bünde. Mit z a h l r e i c h e n F i g u r e n im T e x t , gr. 8.

geh. 22 Jt 60 3jt, geb. in Ganzleinen 25 Jt 60 ty.

Ersten Bandes erstes Heft. Algebraische Analysis. Zweite, durchgesehene und vermehrte Auflage 1908. geh. 5 Jt 60 geb. in Ganzleinen 6 Jt 60 3p. Ersten Bandes zweites Heft.

Einführung in die Theorie der analytischen Funktionen einer

komplexen Veränderlichen. Dritte, durchgesehene und vermehrte Auflage. 1908. geh. 7 Jt, geb. in Ganzleinen 8 Jt. Zweiter Band. Elliptische Funktionen. Zweite, durchgesehene und verbesserte Auflage. 1P06. geh. 10 Jt, geb. in Ganzleinen 11 Jl.

Anwendung der

Differential- und Integralrechnung auf

Geometrie. Von

Dr. Georg Scheffers,

o. Professor an der Technischen Hochschule Charlottenburg.

Zwei Bände. M i t v i e l e n F i g u r e n im T e x t . Lex. 8.

geh. 26 Jt, geb. in Ganzleinen 28 Jt.

E r s t e r B a n d . Einführung in die Theorie der Kurven in der Ebene und im Räume. Zweite, verbesserte und vermehrte Auflage. 1910. geh. 13 J(, geb. in Ganzleinen 14 Jh. Z w e i t e r B a n d . Einführung in die Theorie der Flächen. 1902. geh. 13 Jt, geb. in Ganzleinen 14 Ji.

Lehrbuch der

analytischen Geometrie von

Dr. Friedrich Schur,

o. Professor an der Universität Straßburg.

Mit z a h l r e i c h e n F i g u r e n im T e x t . 8. 1898. geh. 6 Jl, geb. in Ganzleinen 7 Jt.

Forschung und Studium Eine Sammlung mathematischer Monographien für Studierende herausgegeben von

Dr. G e r h a r d

Kowalewski

o. P r o f e s s o r an der Deutschen technischen H o c h s c h u l e zu

=

^

=

=

Prag

Heft 1

Das Integral und

seine geometrischen Anwendungen von

Gerhard Kowalewski Mit Figuren

Leipzig Verlag

von

Veit

1910

& Comp.

Druck von Metzger & Wittig in Leipzig

Diese Sammlung will dazu beitragen, die große Kluft zwischen Forschung und Studium zu überbrücken. Der Universitätsunterricht bringt, wenn man von ganz bedeutenden Forschungs- und Arbeitszentren wie z. B. Göttingen absieht, die Studierenden in der Regel nicht so weit, daß sie die Fortschritte der mathematischen Wissenschaft mit einigem Verständnis verfolgen können. Und doch wäre es ein unschätzbarer Vorteil, wenn die Fortschritte auf dem Gebiete der Mathematik schneller und tiefer, als es jetzt geschieht, in das allgemeine mathematische Bewußtsein eindrängen. Unsere Monographien wollen dem Studierenden das Verständnis des Neuen in jeder nur möglichen Weise erleichtern. Deshalb legen wir den größten Wert auf Klarheit und Einfachheit der Darstellung, sowie auf die sorgfältige Durchführung der einzelnen Beweise. Das erste Heft bringt die moderne Behandlung der einfachen und der Doppelintegrale, und es wird darin z. B. die Transformation der Doppelintegrale in völlig strenger und doch ziemlich einfacher Weise erledigt. Daß dies möglich ist, haben die Arbeiten der neueren französischen Forscher (z. B. die von BAIRE) gezeigt. Das nächste Heft wird sich mit dem LEBESGUE sehen Integral beschäftigen. Weitere Hefte sollen die quadratischen Formen mit unendlich vielen Veränderlichen, die Integralgleichungen, die Theorie von F E E C H E T , das Uniformisierungsproblem usw. zum Gegenstand haben. P r a g , Mai 1910. Gerhard Kowalewski

w ir setzen die Theorie der Irrationalzahlen als bekannt voraus, 1 ebenso die geometrische Deutung der Zahlen, Zahlenpaare und Zahlentripel (die Grundlage der analytischen Geometrie). Es seien hier aber einige Definitionen und Sätze hervorgehoben, die im folgenden häufig zur Anwendung kommen. 1. Das I n t e r v a l l (a, b) besteht aus allen Zahlen x, die den Bedingungen a sS £ 6 genügen, a und b sind die G r e n z e n von (a, Ii). Die Zahlen des Intervalls, die von den Grenzen verschieden sind, also den Ungleichungen a < x < b genügen, bilden das I n n e r e von (a, lj). Als eine U m g e b u n g von x wird jedes Intervall bezeichnet, das x in seinem Inneren enthält. 2 . Eine Z a h l e n f o l g e oder F o l g e entsteht, wenn man sich jedes Glied der unendlichen Nummernreihe 1, 2, 3, . . . durch irgend eine (rationale oder irrationale) Zahl ersetzt denkt, also jedes n durch eine Zahl x„. Die Zahlenfolge heißt b e s c h r ä n k t , wenn alle ihre Glieder in einem Intervall ( a , V) enthalten sind. Fallen in j e d e Umgebung von h unendlich viele Glieder der Folge xz, x.2, x3, . . s o nennt man h einen H ä u f u n g s w e r t von x1, x2, x3, ... Jede beschränkte Zahlenfolge hat wenigstens einen H ä u f u n g s w e r t . Unter den Häufungswerten einer solchen Folge gibt es einen größten und einen kleinsten. 3 . lim x — g bedeutet, daß in jeder Umgebung von g f a s t a l l e 2 Glieder der Folge xx, x2, x3, . . . liegen. Man nennt die Folge k o n v e r g e n t und g ihren G r e n z w e r t (oder auch den Grenzwert von xn bei unendlich zunehmendem n). Man sagt auch, daß die Folge (oder a;J nach g konvergiert. Alle T e i l f o l g e n 3 einer k o n v e r g e n t e n Folge k o n v e r g i e r e n n a c h d e m s e l b e n G r e n z w e r t wie die ganze F o l g e . 1

Vgl. Teubner). 2 Fast 3 Eine unterdrückt. F & S I

meine „Grundzüge der Differential- und Integralrechnung" (Leipzig, alle = alle mit einer endlichen Anzahl Ausnahmen. Teilfolge entsteht dadurch, daß man in der Folge gewisse Glieder Z. B. sind x3, xt, x5, . . . und x2, xt, xs, . . . Teilfolgen von xlt x.2, x3, .. . 1

2

Gerhard

Kowalewski

Ist lim xn = lim yn = g, so konvergiert auch d/ie Folge xx, yl, x2, y2, . . . nach g. Wenn x„n ^— %n ^—y Jn ünd lim x n = lim«c/ n= o, ' so ist auch lim xn = g. Jede konvergente Folge ist beschränkt und der Grenzwert ihr einziger Häufungswert. Umgekehrt ist jede beschränkte Folge mit nur einem Häufungswert konvergent und der Häufungswert ihr Grenzwert. K o n v e r g e n t e F o l g e n und b e s c h r ä n k t e Folgen mit einem einzigen H ä u f u n g s w e r t sind ein und dasselbe. «j, x2, X3, . . . heißt monoton, wenn ^ ^ — — • • • (°d er x x x i = 2 = s — • • •)• Eine monotone Folge ist dann und n u r dann k o n v e r g e n t , wenn sie b e s c h r ä n k t ist. Sie kann nämlich nicht mehr als einen Häufungswert haben. Ist lim xn = g und xv xv x.}, . . . monoton, so wird g von keinem xn übertreffen (untertroffen). Man hat lim II xn I1 = I I lim nx„ \ ' I, lim [xn + yn) = lim xn + lim yn, lim

=

lim

x

n

lim

l

Jn>

vorausgesetzt, daß lim xn, lim yn, lim % existieren und lim x =)= 0 ist. Aus xn < yn folgt lim xn ^ lim yn, falls lim xn, lim yn existieren. Wenn h ein H ä u f u n g s w e r t der Folge xv x2, x3, . . . ist, so l ä ß t sich aus i h r eine T e i l f o l g e x^, x2, x3', . . . h e r a u s h e b e n , die nach h k o n v e r g i e r t (lim x ' = h). 4. Konvergenzkriterium. Die Folge xv x2, x3, . . . ist dann und n u r dann k o n v e r g e n t , wenn jede T e i l f o l g e x^, x2, x3', . . . die R e l a t i o n lim (xn - xn') = 0 erfüllt. Daß die Bedingung notwendig ist, ergibt sich aus Nr. 3. Um zu erkennen, daß sie auch hinreichend ist, zeigt man zunächst, daß die Folge xv x2, xs, . . . beschränkt ist. Wäre sie es nicht, so gäbe es zu jedem xy unendlich viele Xfi, die von ihm z. B. um mehr als 1 abweichen. Die Teilfolge x^, x2, x.}', . . . ließe sich dann so einrichten, daß immer | xn — x^ | > 1 ist. Das widerspräche aber der Voraussetzung lim (xn — xn') = 0. Demnach ist xv x2, x3, . . . beschränkt und hat wenigstens einen Häufungswert h. Wählt man nun die Teilfolge x2, x3, . . . derart, daß lim x^ = h ist, so folgt aus lim [xn — x¿) — 0 und lim x n' = h sofort lim xn = h.

Das Integral und seine geometrischen Anwendungen

3

Erstes Kapitel.

Das e i n f a c h e Integral. § 1.

Stetige Funktionen.

Ist jeder Zahl x in (a, b) eine Zahl fix) zugeordnet, so sagt man, es ist in (a, b) eine F u n k t i o n fix) definiert. Wir können die Zahlenpaare x, f[x) als cartesische Punktkoordinaten in einer Ebene betrachten. Dann erhalten wir die B i l d k u r v e von f[x). f(x) heißt an der Stelle x0 s t e t i g , wenn aus immer folgt

lim xn = x0n

lim f(xn) = f{x0).

Dabei wird natürlich vorausgesetzt, daß die Glieder der Folge xv x2, x3, . . . alle in (a, b) liegen. Die Aussage ,,f(x) ist in dem Intervall (a, tí) stetig1' bedeutet, daß f'x) an jeder Stelle in (a, tí) stetig ist. Wir beweisen jetzt folgenden Satz: Satz 1. W e n n die F u n k t i o n f{x) in (a, tí) s t e t i g i s t , so g i b t es u n t e r i h r e n W e r t e n e i n e n g r ö ß t e n und einen k l e i n s t e n (Satz von

WEIEKSTRASS).

Wir wollen ein in (a, tí) enthaltenes Intervall (u, ß) einen a u s g e z e i c h n e t e n T e i l von (a, tí) nennen, wenn es in (a, ß) wenigstens ebenso große Funktionswerte gibt wie in (a, b), wenn also zu jedem Funktionswert in (a, b) ein mindestens ebenso großer in (u, ß) vorhanden ist. Teilt man (a, b) mit Hilfe von c = \{a b) in (a, c) und (c, tí), so ist wenigstens eins der beiden Intervalle (a, c), (c, b) ein a u s g e z e i c h n e t e r T e i l von (a, b). Sonst gäbe es nämlich in ( a , b) einen Funktionswert fix-^, der alle Funktionswerte in ( a , o) übertritt't, und einen Funktionswert f{x2), der alle Funktionswerte in (c, tí) übertrifft. Einer der beiden Funktionswerte f(x1), f{x.,) müßte dann alle Funktionswerte in ( a , b) übertreffen, also auch sich selbst. In (a, b) gibt es also eine ausgezeichnete Hälfte (av bx), in (alt b^ aber aus demselben Grunde eine ausgezeichnete Hälfte (a,¿, b.,) usw. Die Folge a, av a2, . . . ist aufsteigend, die Folge b, bv b.,, . . . absteigend und beide sind beschränkt. Nach S. 2 existieren also die Grenzwerte Da

lim an', lim bn . a 7 lim (ó — «n* J = lim ^ „„ — 0, V n OI

so ist

lim a = lim b .

Gerhard Kowalewski

4

Nennen wir diesen gemeinsamen Grenzwert x0, so ist lfeicht zu zeigen, daß f(x0) von keinem Funktionswert in (a, übertroffen wird. Nehmen wir in (a, b) irgend einen Funktionswert f{x). In (av gibt es wenigstens ebenso große Funktionswerte wie in (a, 6). Es läßt sich also x 1 in (a1> fej) so wählen, daß f { x ^ ^ f { x ) ist. In (a 0 , gibt es wenigstens ebenso große Funktionswerte wie in ( a v ft,). Es läßt sich also x2 in (a2, so wählen, daß f{xt) 2 : fix^] ist. So geht es weiter. Man gewinnt eine aufsteigende Folge wobei xn in (an, ist.

f{*)> fixi)> /fco). liegt, so daß

lim a;n = u Wegen der Stetigkeit hat man lim f(xn) = f{x0).

Es ergibt sich also, da der Grenzwert einer aufsteigenden Folge von keinem Glied der Folge übertroffen wird, a ^ m Wendet man die obige Betrachtung auf die stetige Funktion — f(x) an, so gelangt man zu dem kleinsten Wert von f(x). Eine wichtige Eigenschaft der stetigen Funktionen ist die folgende: Satz 2. Wenn f(x) in (a, ti) s t e t i g ist, so f o l g t aus lim [xn - yn) = 0 immer lim \f{xn) - f ^ ) } = 0. Die beiden Folgen xx, x2, x3, . . . und ylt y2, y3, . . . liegen natürlich in (a, b). Nach Satz 1 ist die Folge f{x^) — f(yx), f{x2) — f[y*), • • • beschränkt. H sei ein Häufungswert dieser Folge. Dann gibt es eine Teilfolge f f r i ) - f&i')' / " « ) ~ /% 2 ')- • • d i e n a ch H konvergiert. jj, j 2 , J 3 , . . . sei eine konvergente Teilfolge von x^, x.,', x3', . . . und J ihr Grenzwert, t)2, . . . die entsprechende Teilfolge von y^ . y2 , y3, . . . Dann ist wegen lim (xn — yn) = 0 lim

Sn= lim und wegen der Stetigkeit von f{x) mithin

i'

lim flrB) = W f o J = As).

Die beschränkte Folge f[xj) — fiyx), f(x2) — f(y2), . . . hat also nur den Häufungswert Null, d. h. sie konvergiert nach Null. Man kann den Beweis auch ohne Zuhilfenahme von Satz 1 führen. Wäre nicht limj/"(a;n) — f{yn) } = 0, so ließe sich um 0 eine Umgebung

Das Integral und seine geometrischen Anwendungen

5

—s, e) konstruieren, die nicht fast alle Glieder der Folge enthält. Unendlich viele f{xn) - f{yn), etwa /"( zeigt also dasselbe Verhalten wie

(ax,

größer oder kleiner a

^,

b1 = b.

ist, so gibt es in b^ eine Hälfte (a2, &2), so daß f[a.,) < G < f{b2). Sobald man durch Fortsetzung dieses Verfahrens zu der Gleichung f (a" ^

j

=

G gelangt,

bricht

es ab.

Dann ist

aber auch der Satz

bewiesen. Tritt ein solcher Abschluß des Verfahrens nicht ein, so haben an und bn einen gemeinsamen Grenzwert g und wegen der Stetigkeit ist lim f{an) = f(g)

und

lim f(bn) =

f{g).

Aus f K )
©(8a)> © ( 3 a ) ) • • • konvergent ist. Damit ist unser Satz bewiesen. Denken wir uns jetzt wieder unter © ( 3 i ' ) > © ( 3 / ) > © (83')» ••• e i Q e beliebige ausgezeichnete Summenfolge, nicht mehr eine Teilfolge von @ ( 8 i ) > @(3 2 )> @(8 3 )> • • • w i ß soeben, dann ersehen wir aus (**), daß alle ausgezeichneten Summenfolgen e i n e m und demselben G r e n z w e r t zustreben. Diesen Grenzwert bezeichnet man mit

b Jf(x)

dx

a

und nennt ihn das von a bis b genommene (oder erstreckte) der Funktion

§ 3.

Integral

f(x).

Anderer Existenzbeweis des Integrals einer stetigen Funktion.

Man kann den in § 2 gegebenen Beweis auch ohne Benutzung des allgemeinen Konvergenzkriteriums auf S. 2 führen.

Man kommt schon

mit dem Satz aus, daß eine beschränkte monotone Zahlenfolge stets konvergent ist. 3 „ bedeute die Zerlegung von ( a , 6) in 2 " gleiche Teile. In jedem Teilintervall (a, ß) suche man den g r ö ß t e n Funktionswert M(a, ß) heraus (vgl. Satz 1 in § 1) und bilde die Summe

Beim Übergange von © ( 3 „ ) z u © ( 8 „ + i ) w i r , i jedes Glied {ß — a) M(a, durch eine Summe zweier Glieder ersetzt

(r - «) M{a, 7)+ M{a,

y),

M(y,

(ß-

y) H{y, ß).

ß) sind die größten Werte von f[x) in (a,

ß)

(y = ; ' ) bzw. (y,

ß).

Infolgedessen hat man

M(a,y)^M{a,ß), M{y,

ß)^M(a,ß)

und

(y - et) M(cc, y) + (ß - y) M(y, ß) g (;- - «) M[a, ß) + [ß - y) M(a, ß) =

{ß-a)M{a,ß).

Daraus ersieht man, daß © ( 3 „ +1) = ® ( 3 J ist.

©(3i)> © ( 3 2 ) ,

©(33), . . .

ist

also

eine

absteigende

Zahlenfolge.

Das Integral und seine geometrischen Anwendungen

9

b) den kleinsten W e r t von f(x) in (a , I j ) , SO ist

Verstehen w i r unter m[a,

M{a,

ß)^m{a,

b)

und @ (3„) = 2 ( ß - «) ß) ^ 2 iß (a. h) = {b-a)m [a, b). Die Folge ©(8i)> © ( 8 9 ) ) ©(83)» ••• ist somit beschränkt. Daher existiert lim @ ( 8 J . Nimmt

man

nun

irgend

© ( 3 / ) , s t e t i g i s t u n d x0, xlt . . xp W e r t e a u s sind, so g i l t i m m e r die G l e i c h u n g :

beliebige

X, Xo "p T» Jf{x) dx+Jf(x) dx + . . . + Jf(x) dx + Jf(x

Jf(x)dx. @ (3) = («! - a) + {x2 - xj /'(|2) + ... + (b X

§ 5.

Die Funktion

a

Wir wollen die Summe

zwischen zwei Grenzen einschließen. Wenn wir a < b annehmen und mit /'(|'j den kleinsten, mit f{ den größten Wert von f[x) in (a, ti) bezeichnen,1 so ist mithin auch

(b - a) fig) ff[x) dx^ib-a) b

a

oder

b

a

Aus § 1 können wir entnehmen, daß in (a, V) eine Stelle | existiert, so daß

-öhr/Md* = f® b

wird, d. h.

a

f f(x)dx = (b-a)f(£) b

1

f(x)

ist in (a, by stetig wie bisher.

Das Integral und seine geometrischen Anwendungen

oder auch

11

f f(x) dx = (a — b) /\|). a

t

Nun seien x, x + h zwei verschiedene Werte aus (a, b~y, also h Dann ist nach § 4 x+ h

x+ h

x

J"f(x)dx= Jf(x)dx-\a

also

a

x+ h

0.

Jf{x)dx, x

x

J f(x) dx - J f{x) dx = hf(x + a

frh).

(0^ tf^ 1)

a

Die Funktion X

F[x) - J f{x) dx

{a^x^b)

a

hat Hernach die Eigenschaft-, daß

ist (0

& sS 1).

Lassen wir h nach Null konvergieren, so wird lim

(x + ff-h) = x,

also wegen der Stetigkeit von f[x) lim mithin r

lim

f{x + & h) = f{x),

F(x + h) '- F(x) -i k

-

,, . f{x).

In der Sprache der Differentialrechnung bedeutet dies, daß F(x) in ( a , 6) ü b e r a l l e i n e A b l e i t u n g h a t u n d d a ß d i e s e A b l e i t u n g g l e i c h f(x) ist. In Formeln:

F'{x) = f(x). Wir sehen also, daß es zu jeder stetigen Funktion f(x) eine S t a m m f u n k t i o n F(x) gibt, d. h. eine Funktion, deren Ableitung gleich f(x) ist. Mit F{x) ist auch F{x) + C eine Stammfunktion von f{x), wobei C eine beliebige Konstante bedeutet. Damit sind aber auch alle Stammfunktionen von f(x) erschöpft. Man beweist nämlich in der Differentialrechnung, daß eine Funktion mit der Ableitung Null eine Konstante ist. Haben aber F{x) und 0(x) beide die Ableitung f{x), so hat G{x) — F{x) die Ableitung Null. Es ist also G [x) = Fix) + C.

12

Gerhard

§ 6.

Kowalewski

Der Riemann sehe Integralbegriff.

Auch wenn f{x) in (a, V) nicht überall stetig ist, können wir ausgezeichnete Summenfolgen im Sinne von § 2 bilden. RIEMANN 1 nennt f ( x ) in ( a , V ) i n t e g r i e r b a r , wenn j e d e ausg e z e i c h n e t e S u m m e n f o l g e k o n v e r g e n t ist. Alle ausgezeichneten Summenfolgen haben alsdann denselben Grenzwert. _ Sind nämlich © ( 3 J , © (&), © (3 S ). • • • @ (3i'J. @ (3,'), @ (83')» • • • zwei ausgezeichnete Summenfolgen, so ist auch ©(Öx), ©(3x0, © (3a)> ©(32'), • • • eine solche. Alle Teilfolgen einer konvergenten Zahlenfolge haben aber denselben Grenzwert. Den gemeinsamen Grenzwert aller ausgezeichneten Summenfolgen der integrierbaren Funktion f ( x ) nennt RIEMANN das von a bis b genommene (oder erstreckte) I n t e g r a l dieser Funktion und bezeichnet ihn mit b

JV(* Wir wollen jetzt untersuchen, welche Eigenschaften eine Funktion haben muß, um im RIEM ANN sehen Sinne integrierbar zu sein. Zunächst beweisen wir folgenden Satz: W e n n f(x) in (a, b") i n t e g r i e r b a r ist, so l ä ß t sieh j e d e m p o s i t i v e n 6 ein p o s i t i v e s S g e g e n ü b e r s t e l l e n , d e r a r t , daß 1

@(3 ) - /

m

d x

••• b

eine ausgezeichnete ©-Folge, die nicht nach J ' f i x ) d x konvergiert, wie es a

die Integrierbarkeit von f(x) Ist nun 3

eine

verlangt.

Zerlegung,

Damit ist unser Satz bewiesen.

deren Teilintervalle

kleiner als d sind,

so hat man t -

t

+

f

b f{x)

J

a

f{x)

dx,

a

und es ist ganz gleichgültig, wie die Werte

...,

die in dem

Ausdruck © (3) =

[x,

-

(z2 -

a) f f a ) +

z j /'(|2)

+

... +

( & -

V

)

l

f(i

p

)

vorkommen, in den bezüglichen Teilintervallen liegen. Wir

wollen z. B.

bestimmt lassen.

,

|

festhalten

und

^

in ( a , x^) un-

x ^ )

fl£p)

Setzen wir

b f

f{x)

d x - i x

2

-

X,)

f(|a)

-

...

-

(b -

=

K ,

a

so folgt aus den obigen Ungleichungen

xi

fix)

ist

also

in

(a., xj)

— a

—

—

beschränkt,

xl

— a

d. h. die Funktionswerte

liegen

zwischen zwei festen Grenzen. Dasselbe gilt für die übrigen Teilintervalle.

f[x)

ist also auch in

( a , by beschränkt. Wenn

die

Funktion

muß sie b e s c h r ä n k t

f(x)

in

integrierbar

(a,b~y

sein

soll,

sein.

Bevor wir die Untersuchung weiterführen, wollen wir eine Ausdrucksweise erklären, die wir dabei gebrauchen werden. Wenn

es in e i n e m I n t e r v a l l (a,

ß)

z w e i S t e l l e n x, x

gibt,

so daß fix) -

i s t , so s a g e n w i r , daß in (cc, ß) a l s ö ist. Jetzt folge.

f i x ) >

8

d i e S c h w a n k u n g v o n f[x)

größer

Dabei setzen wir d > 0 voraus. ausgezeichnete

Summen-

W i r wollen in Qn alle diejenigen Teilintervalle (c/., ß)

ins Auge

fassen, in

sei

@(3i)>

©(3,).

©(83)? •••

eine

welchen die Schwankung größer als ¿ ' ( > 0) ist.

Summe dieser Teilintervalle, also Tn = 2

iß ~~ a)-

rn

sei die

Wählen wir in jedem

14

Gerhard

Kowalewski:

(u, ßy die Stellen x und x so, daß fix) — fix) > s wird und ersetzen wir das zugehörige Glied von © ( 3 J das eine Mal durch (ß ~

das andere Mal durch

«)f[x),

(ß-«)f(xV so entstehen zwei Summen für welche offenbar

©n - Sa- • • • die E i g e n s c h a f t lim rH = 0. Dabei bedeutet Tn die Summe derjenigen Teilintervalle von 3 n , in denen die Schwankung von f{x) größer als 8 ist. Die positive Zahl 8 darf man beliebig wählen. Die beiden R I E M A N N sehen Bedingungen sind für die Integrierbarkeit nicht nur notwendig, sondern auch h i n r e i c h e n d . © ( 3 ) , © ( 3 ) seien irgend zwei Summen von f(x). Q sei die Zerlegung, die durch die Teilpunkte von 3 und 3 ' bewirkt wird, und © ( 3 ) eine zu 3 gehörige Summe. Da f(x) in (a, b) beschränkt ist, läßt sich die Zahl M so wählen, daß man in dem ganzen Intervall \f{x)\^M hat. Ist r bei 3 ( T ' bei 3') die Summe der Teilintervalle, in denen die Schwankung von f{x) sich größer als $ ( > 0) erweist, 2 so wird und ebenso mithin

¡©OO-SCSlI^ajfT'+

5(6-0),

I ® (3) - @ (8') | ^ 2 M (r + T-) + 2 8 (b Die übrigen Glieder von © ( 3 0 lassen wir ungeändert. In jedem solchen Teilintervall ist die Differenz zweier höchstens gleich 2 M. Vgl. übrigens S. 6.

a).

1

s

Funktionswerte

Das Integral und seine geometrischen Anwendungen

15

Nun sei © ( 3 J , © (Bs)» © (83)1 • • • e ^ n e beliebige ausgezeichnete Summenfolge und 0) e r f ü l l t ist. Sie ist es dann von selbst bei j e d e r ausgezeichneten Zerlegungsfolge. 3i 1 $2' 03 > • • • s e i eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge mit der Eigenschaft lim rn = 0 (für jedes positive S) und 3i > 32'> 83'> ••• irgend eine andere ausgezeichnete Zerlegungsfolge. Nehmen wir ein 3»> bei welchem tv < ^ ist (i > 0). Die Teilintervalle irgend eines 3 n ' zerfallen in zwei Klassen, 1. solche, die in einem der p Teilintervalle von 3 V liegen, 2. solche, die einen Teilpunkt von 3 V in ihrem Innern enthalten. Zur letzten Klasse gehören offenbar nicht mehr als p — 1 Teilintervalle und ihre Summe ist also höchstens gleich (p — 1) intervall von 3 n ' bedeutet.

wenn e ' das Maximal-

Bei fast allen 3„' ist aber (p — 1) sn'
Teilintervall

vorkommen, die um mehr als 3

f(yn)

Man hätte dann lim (x — ?/ ) = V n Jn>

0.

aber nicht lim \f{xn)

-

f{yn)\ =

Das widerspricht dem Satz 2 in § 1. erfüllt.

Es ist nicht nur lim r n = 0 ,

gleich Null.

0.

Die Bedingung 2 ist also ebenfalls 7

sondern es sind sogar fast alle r.11 ö

Das Integral und seins geometrischen Anwendungen

21

Integrierbare unstetige Funktionen. f[x) sei in (ci, b~) beschränkt. Eine Stelle x dieses Intervalls, an der f[x) nicht stetig ist, nennt man eine U n s t e t i g k e i t s s t e l l e . Wir wollen eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge >

§

sein, so muß wegen auch

im

-

m

\

^

Ifix) -

\

m

-

f i x ) I >

W

)

\

8

sein.

rn ist also bei f ix) sicher nicht größer als bei fix). Wenn fix) in (a, V) integrierbar ist und fix;) beständig größer bleibt als eine positive Zahl k, so ist auch 1 : fix) in (a, V) integrierbar. Die Bedingung 1 ist erfüllt, weil beständig II — fix) ist.

l
k2d=d'.

Ist r n ' fr ) bei 3 die Summe der Teilintervalle, in denen die \ n> Schwankung von fix) ( l : f{xj} größer als S'[S) ist, so hat man sicher rn ^ Tn '. Durchläuft ,p,„ eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge, so wird 1

lim t n ' = 0,

T

§ 9.

mithin

lim r n = 0 .

Die Funktion J

f{x)dx.

a

f{x) sei in (a, by integrierbar. Wir wollen die schon in § 5 (für den Fall eines stetigen f(x)J behandelte Funktion X

F(x) = J"f(x) dx a

betrachten, und zwar soll gezeigt werden, daß F(x) in (ci, by stetig und von beschränkter Variation ist. Daß f(x) von beschränkter Variation ist, läßt sich auf folgende Weise erkennen. Wir wissen, daß mit f(x) auch \f(x)\ integrierbar ist, ebenso f[x) + | f(x) |. Setzen wir nun X

82 > 83 > • • • durchlaufen, so wird bei fast allen 3„ (p'-l)en{M(a,b)-m(a,b)\


3 (3 2 '), . . .

auch später

ausgezeichnete

Summen-

folgen, so gilt dasselbe von © ($,), © (g/), © ( g , ) , © (Q,'), . . . Da alle Teilfolgen dieser konvergenten Zahlenfolge demselben Grenzwert zustreben, so ist lim © ( 3 „ ) = lim © (8„').

Das Integral und seine geometrischen Anwendungen

| © ( 3 ) - JJf{x,y)dxdy

37

,

V)dxdy

ist, obwohl die Maximaldiagonale von 3 „ kleiner als 1 ¡ n ist. @ ( 3 a ) , 0), wenn sich die Punkte p und p' so in (et, ß\ y, dy wählen lassen, daß AP)

-

AP') > o-

wird. 3 sei eine Zerlegung von (a,b-, o, dy und r die Summe der Teilrechtecke, in denen die Schwankung von fix, y) sich größer als a erweist. Wir wollen aus dem Ausdruck @ (3) zwei neue Ausdrücke ® (3) und @ (3) ableiten, und zwar in folgender Weise. In jedem Teilrechteck rff. Läßt man 3 eine ausgezeichnete Zerlegungsfolge wird, wenn fix, y) in (a,b\ c, dy integrierbar ist, lim @ ( 3 ) = lim @ ( 3 )

=ff

fix,

y) dx

durchlaufen, so

dy,

mithin lim r = 0. Folgende Bedingungen sind also für die Integrierbarkeit von f[x, y) in (a, b-, c, dy n o t w e n d i g : 1. fix, y) ist in (a, b; o, dy beschränkt. 2. Ist 3i> 3a> Sa» ••• e i n e ausgezeichnete Zerlegungsfolge für i n denen die Schwankung von f x , y) größer als ©CSi)) ® (3s)> - • • ^ beliebige ausgezeichnete Summenfolge und © ( 3 / ) , ©(3 2 '), @ 3 a ' ) , . . . irgend eine Teilfolge von ihr. Da lim t 11— 0 ist,7 so wird bei fast allen 3 das rn', also auch bei fast allen 3 ' das rn' kleiner als a sein. 1 die Ungleichung ©(3J-©(3„') 3a'> 83'i ••• irgend eine andere ausgezeichnete Zerlegungsfolge. Die Teilrechtecke von 3 n ' zerfallen in bezug auf 3 v in zwei Klassen: 1. solche, die in einem der p q Teilrechtecke von 3 V enthalten sind, 2. solche, die diese Eigenschaft nicht haben. Die Summe der Rechtecke zweiter Klasse ist kleiner als { ( p - l)(d-e)

+ {q-

l)(b-a)}r,n'.

Mit tj n ' bezeichnen wir die Maximaldiagonale von 3 n 'Offenbar gilt die Ungleichung < 1

+

— 1) (d — C) +

— 1) [b - a)}

T„ ist die Summe der Teilrechtecke von in denen die Schwankung sich größer als a erweist. Dieselbe Bedeutung hat r„' für Qn'.

39

Das Integral und seine geometrischen Anwendungen

Wegen lim rn = 0 läßt sich v so wählen, daß rv
0).

Dann sind fast alle T ' kleiner als e (weil lim rjn' = 0). Damit haben wir bewiesen, daß lim r ' = 0 ist. (u, ß; y, dy sei in (a, b\ o, et) enthalten und fix, y) in (a, b; c, d~) integrierbar. Dann läßt sich zeigen, daß f(x, y) a u c h in (u, ß\ y,