Liniengeometrie mit Anwendungen [Reprint 2019 ed.] 9783111562902, 9783111191751

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S a m m l u n g Schubert X X X XV"

Liniengeometrie mit Anwendungen von

Dr. Konrad Zindler Professor an der Universität I n n s b r u c k

I. Band Mit 8 7

Figuren

Neudrudi

W a l t e r d e G r u y t e r k' nicht nur parallel, sondern auch gleich der entsprechenden Strecke k, ist. Wenn wir nun die um die Kanten durch n

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Fig. 31.

schränkende Voraussetzungen gemacht, die nicht alle wesentlich sind, müssen aber bezüglich einer umfassenderen Theorie auf folgende Schriften verweisen: Cremona-Migotti, die reciproken Figuren in der graph. Statik (Zeitschr. d. österr. Ingenieur- u. Architektenver. 1873); F. Schnr, Üb. d. recipr. Fig. d. graph. Statik*) und besonders: F. Schur, Über ebene einfache F a c h y e r k e (Math. Annalen, Bd. 48).

§ 27. Das Polarsystem eines Umdrehungsparaboloides. Wir setzen in diesem § die Kenntnis der allgemeinen Polareigenschaften der Flächen zweiten Grades voraus (Vergl. S. S., Bd. XXV, § 4). Wenn eine Meridianparabel eines Umdrehungsparaboloides P in der Bildebene B liegt (Fig. 32), gx die senkrechte Projektion einer Geraden g || B ist, dl der zu gl konjugierte Durchmesser der Meridianparabel, G und D die Ebenen durch gx beziehungsweise dv die zu B senkrecht *) (Zeitschr. f. Math. n. Phys. Bd. 40.)

Übungsaufgaben.

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sind; so ist D die Darchmesserebene für die zu gi parallelen Sehnen von P; m. a. W. die Polarebene des tinendlich fernen Punktes dieser Sehnen. Wenn also eine Gerade g zu parallel ist, so liegt ihre Polare g' in D. Projiziert man g und g' auf eine zur Umdrehungsachse senkrechte Ebene, so sind die projizierenden Ebenen beziehungsweise parallel und senkrecht zu B , also auf einander senkrecht. Daraus ««• folgt: Satz 41: Zwei p o l a r e Geraden eines U m d r e h u n g s p a r a b o l o i d e s ergeben auf eine zur Achse s e n k r e c h t e Ebene p r o j i z i e r t , zwei auf e i n a n d e r senkrechte Gerade. Dieses Polarsystem ist ebenso wie das NullsyBtem ein Spezialfall der allgemeinen räumlichen Korrelation. Sucht man zu einem Polyeder das entsprechende im Polarsystem, projiziert dann beide Polyeder etwa auf die ScheitelTangentialebene von P und dreht schliefslich das eine um 90°, so erhält man zwei Netze, welche dieselben Eigenschaften, wie die im § 25 betrachteten, haben. Dies war der Weg, auf dem zuerst Maxwell die Theorie der Korrelationen fUr die graphische Statik verwertete; vgl. Hauck, Über die Beziehung des Nulls, u. lin. Strahlenkompl. zum Polarsyst. des Eotationsparaboloides (Zeitschr. f. Math. u. Phys., Bd. 31, 1886).

Übungsaufgaben: 14. a) Bezüglich welcher von allen durch einen Punkt P gehenden Achsen hat ein Kräftesystem das gröfste Moment? b) Die Momente bezüglich aller durch P gehenden Achsen Bind den Abschnitten proportional, die durch eine gewisse Kugeliläche auf diesen Achsen bestimmt werden; c) Wenn die Momente bezüglich dreier Achsen durch P gegeben sind,

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n . Anwendungen auf Bewegungslehre, Mechanik etc.

das Moment bezüglich einer vierten Achse durch P zu finden. 15. a) Die Momente bezüglich der Achsen in einer Ebene E sind den Abständen dieser Achsen vom Nullpunkt von E proportional, b) Ans den Momenten bezüglich dreier Achsen in E das Moment bezüglich einer vierten Achse in E zu konstruieren. 16. Es sind anter den möglichen Zerlegungen einer Dyname in ein Kraftkrenz diejenigen herauszusuchen, bei denen die beiden Kräfte a) einen gleichen Betrag haben, b) auf einander senkrecht stehen, c) bei denen beides zugleich stattfindet. 17. Bei einer allgemeinen Bewegung eines starreu Körpers gehen in jedem Augenblick a) die Normalebenen der Bahnen aller Punkte einer Ebene durch einen bestimmten Pnnkt dieser Ebene; b) die Normalebenen der Bahnen aller Punkte einer Geraden g wieder durch eine Gerade g'. Wenn g und g' verschieden sind, so sind die GeschwindigkeitsVektoren aller Punkte von g dieselben, als ob sich g um g' drehen wttrde; wenn g mit g' identisch ist, sind die Vektoren aller Punkte von g auf g senkrecht. 18. Wir fassen von einem sich bewegenden starren Körper eine Gerade g ins Auge, a) Welcher Punkt derselben hat die geringste Geschwindigkeit? b) Welche Grenzlage hat der Fufspunkt ihres kürzesten Abstands von einer Nachbarlage? 19. Die senkrechten Projektionen zweier Polaren auf eine Ebene E schneiden sich auf der Charakteristik von E (Mannheim, Géométrie cinématique, S. 105). 20. Wie vereinfacht sich in § 22 die Aufsuchung der Momentanwindung in dem am Schlufs dieses § erwähnten Spezialfall? 21. Es sind die Kugelgebiete, die für den Punkt A der Fig. 25 erreichbar sind, genauer zu ermitteln. 22. Es sind in einem Nullsystem mit der Achse A die reciproken Polyeder zu ermitteln a) zu einem Tetraeder, von dem eine Höhe in A fällt; b) zu a) einem Oktaeder, ß) einem Würfel, von denen zwei gegenüberliegende Ecken

Übungsaufgaben.

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in A fallen. Es sind die Überlegungen und Sätze des § 25 an diesen Beispielen in konkreto zn verfolgen. 23. Zn dem in Fig. 31 dargestellten Fachwerk ist der reciproke Kräfteplan zn konstruieren, wenn auf alle Knotenpunkte der wagrechten Strecke AB gleich grofse lotrechte Kräfte wirken. 24. Wenn man ein Polarsystem eines Umdrehungsparaboloides mit der Achse a und dem Parameter 2p um a um 90° dreht und dann bezüglich der Scheiteltangentialebene spiegelt, so bildet es mit der ursprunglichen Lage ein Nullsystem vom Parameter t — p.

ELL Abschnitt.

Linienzeiger, Stabzeiger und Gleichungen zwischen ihnen.*) § 28. Begriff der Linienzeiger. Die Geraden des Raums bilden eine vierfache Mannigfaltigkeit (s. Einleitung). Man braucht also, um eine einzelne Gerade festzulegen, (mindestens) vier Zahlen, die man die Z e i g e r (Koordinaten) der Geraden nennt. Diese für die Gerade charakteristischen Zahlen können noch in sehr verschiedener Weise gewählt werden: Z. B. kann man an die Darstellung der Geraden in einem Parallelsystem 1)

x = rz - f e, y = sz + ff

ankntlpfen (x, y, z sind die laufenden Zeiger) und die vier Zahlen r, s, Q, a, welche die Gerade vollkommen bestimmen und umgekehrt einer solchen eindeutig zugeordnet sind, als Zeiger definieren. Aber dieses Zeigersystem hätte einen grofsen Übelstand: Wllrde man eine Transformation desselben vornehmen, so würden die Gleichungen 1) Ubergehen in 2) 3/ = r V + q', y' = «V + o' und die neuen Zeiger r',»', a' müssen aus den alten berechnet werden können, wenn die Lage der neuen Zeiger*) Als Einleitung zu diesem Abschnitt kann der Absclmitt III in S. S. IX (Analyt. Geom. des Baumes, I. Teil) nachgelesen werden, wo die rechtwinkligen homogenen Linienzeiger unabhängig von den tetraedrischen Zeigern aufgestellt werden, als deren Spezialfall sie hier erscheinen.

§ 29. Homogene Punkt- und Ebenenzeiger.

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achsen gegen die alten gegeben ist. Dabei wllrde sich herausstellen, dafs die Formeln, welche die neuen Linienzeiger als Funktion der alten (oder umgekehrt) darstellen, in diesen Zeigern n i c h t l i n e a r sind. Um Bich davon zu überzeugen, genügt es, einen Spezialfall zu betrachten: Wir denken uns das ursprüngliche Parallelsystem rechtwinklig und nehmen dann eine eyklische Vertauschung der Zeigerachsen vor, also: Die Gleichungen 1) gehen dadurch über in y'=rx'-\-

z'=sx'-\-a.

Wir müssen jetzt diese Gleichungen durch Auflösung nach x', y' auf die Form 2) bringen:

durch Vergleich mit 2) finden wir: a s sq

—

ra

s

Eine algebraische Gleichung zwischen Linienzeigern würde daher durch Zeigertransformation ihren Grad ändern. Während also bei den sonst üblichen Zeigersystemen der Grad etwas fllr ein algebraisches geometrisches Gebilde charakteristisches ist, würde hier der Grad nicht nur vom Gebilde selbst, sondern auch vom Zeigersystem abhängen. Deshalb werden wir a n d e r e Gröfsen, die wir im Zusammenhang mit den tctraedrischen Punkt- und Ebenenzeigern einfuhren, als Linienzeiger definieren.

§ 29. Homogene Paukt- imd Ebenenzeiger. Wir stellen in diesem und den beiden folgenden Paragraphen die wichtigsten Eigenschaften der homogenen Punktund Ebenenzeiger zusammen, um uns leichter darauf berufen zu können; soweit hier nicht auch die Beweise mit auf-

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HL Linienzeiger, Stabzeiger u. Gleichungen zwischen ihnen.

genommen sind, verweifen wir anf die ausführliche Darstellung in Killings Lehrbach der analytischen Geometrie, 1901 (IL Teil). a) Definition: Wir wählen ein „Zeigertetraeder" oder „Gnmdtetraeder", für jede seiner Ebenen eine positive Seite and bezeichnen die Abstände eines beliebigen Punktes P yon diesen Ebenen mit du dt, d3t d4. Als Zeiger des Punktes P werden vier Zahlen definiert, die sich verhalten wie diese Abstände, wenn jeder mit einer willkürlichen Mafseinheit gemessen wird. Mifst man dt mit der Einheit so ist d{: e( die neue Mafszahl. Wenn 1 so können also 3)

Qxi = xidi(i = 1 , 2 , 3, 4)

als Definitionsgleichangen der Zeiger gelten. Die vier Zahlen x, sind fest fUr alle Punkte des Raums; q ist ein willkürlicher Proportionalitätsfaktor. Es sei E eine Ebene, bei der wir eine positive und eine negative Seite unterscheiden und