Les Sphériques de Théodose de Tripoli / œuvres traduites pour la première fois du grec en français avec une introduction et des notes par Paul ver Eecke [Nouveau tirage ed.] 2853671607

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LES SPHERIQUES DE

THÉODOSE DE TRIPOLI ŒUVRES TR ADUITES POUR LA PREMIÈRE FOIS

AVEC

UNE

DU

GR EC

EN

FR ANÇAIS

INTRODUCTION

ET

DES

NOTES

PAR

PAUL

VER EECKE

INGÉNIEUR DES MINES

INSPECTEUR GÉNÉRAL DU TRAVAIL

La sphère est la plus parfaite de toutes les figures. , (TIMÉE DE LOCRES, chap. I, 9). NOUVEAU TIRAGE

Ouvrage publié sous les auspices de

là Fondation Universitaire de Belg1'.que.

LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE ET TECHNIQUE ALBERT BLANCHARD 9,

RUE

DE

MËDICIS, 1959

PARIS

'

LES SPHERIQUES DE

'

THEODOSE

DE

TRIPOLI

DU

MÊME

AUTEUR :

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V I TO CARAV ELLI. Le Traité des hosoèdres, broch u re de 28 pages, ré i m p r i mée d'après l e tome 4 9 ( 1935) de « MATHES I S » . -

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LES SPHERIQUES DE

THÉODOSE DE TRIPOLI ŒUVRES TRA D UITES POUR LA PREMIÈRE FOIS

AVEC

UNE

DU

GR EC

EN

FRANÇA IS

INTRODUCTION

ET

DES

NOTES

PAR

PAUL

VER EECKE

INGÉNIEUR DllS MINES

INSPECTEUR GÉNÉRAL DU TRAVAIL

La sphère est la plus parfaite de toutes les figures. (TIMÉE DE LOCRES, chap. I, 9), NOUVEAU TIRAGE

Ouvrage publié sous les auspices de la Fondation Universitaire

de Belg1"que.

LIBRAIRIE SCIENTIFIQUE ET TECHNIQUE ALBERT 9,

RUE

DE

BLANCHARD MËDICIS, PARIS 1959

A

J.-L.

HEIBERG,

Professeur à l'Université de Copenhague.

PRÉFACE

L'art de restaurer un monument intéressant du passé ne consiste souvent qu'à le débarrasser des constructions parasites qui sont venues au cours des temps altérer ses formes architecturales, à remettre en relief la pureté de ses lignes primitives, et à rétablir son ornementation dans sa sévérité traditionnelle. Cet art ne s'applique pas seulement aux monuments édifiés par la main des générations qui nous ont précédés dans le culte du beau, mais aussi aux ouvrages de l'esprit élaborés par ceux qui ont été nos grands ancêtres dans les divers domaines de la science. Nous nous sommes déjà essayé à cet art en traduisant en français l es œuvres d'Archimède, d'Apollonius et de Diophante, avec le souci constant de les débarrasser de la poussière des commentaires anciens, et de les dégager de l 'enveloppement des mathématiques modernes, de manière à remettre en lumière leur puissance et leur grandeur solitaires. Nous tentons la même chose en publiant maintenant une première traduction française des Sphériques de Théodose de Tripoli. Et, bien que monument secondaire de l'archéologie mathématique, n'ayant ni l'ampleur ni la valeur intrinsèque des chefs-d'œuvre des maîtres de la science grecque auxquels nous avons consacré nos précédents travaux, nous croyons qu'il n'en mérite pas moins d'être connu et médité par ceux qu'anime le goût de l'histoire des sciences. Anvers, 1926.

INTRODUCTION

Celui qui servait de guide dans le passage d'une rivière , Théétète , disait que l'eau ferait voir elle-même com­ bien elle était profonde .

(PLATON).

L'histoire ne consacre pas touj-0urs la mémoire des hommes dans la mesure où le temps a respecté ce qu'ils ont accompli. On sait tout -0u presque tout de la vie et de la personnalité de ceux qui furent les maîtres du monde dans !'Antiquité, et dont les monuments ont été ruinés ou les empires détruits. O n ne sait rien ou presque rien que le nom de ceux qui furent les maîtres de la pensée dans le même passé reculé, et dont les travaux nous ont été conservés dans leur intégrité. La durée éphémère ou la pérennité des résultats compensent ainsi en > . (Voir : Collection des Universités de France, publiée sous le patronage de l'Association Guillaume Budé. Platon, Œuv.res co mplètes, tome VIII, deuxièm e partie, (Théétète). Texte établi et traduit par M. A. DIÈS, p. 247).

XX

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

commentaires anciens dont on ne possède plus que des fragments recueillis dans divers ouvrages. Le plus important par son étendue et pour sa valeur propre est de Pappus d'Alexandrie ( 1 ) , géomètre grec de la fin du IV" siècle, dont l'ouvrage, intitulé Collections Mathéma­ tiques est particulièrement précieux au point de vue de l'histoire des mathématiques dans l' Antiquité, parce que Pappus y reprend un grand nombre de propositions attribuées par lui à des auteurs qui l'ont précédé, ou puisées dans des ouvrages qui circulaient encore à son époque, mais qui ne nous sont pas parvenus ; reprises faites dans le but de discuter ces propositions, de les commenter et d'y rattacher ses propres travaux en géométrie, en astronomie et en mécanique. C'est dans le Livre VI de l'ouvrage de Pappus, lequel est prin­ cipalement consacré à la sphère et aux propriétés des cercles de la sphère, que se trouv·e réparti le commentaire sur l'ouvrage de Théor . Les œuvres de PAPPUS D'ALEXANDRIE, intitulées

(M:x611p.ix·rnc:xt auv:xywyixt),

Collections Mathématiques.

n'ont pas encore été traduites en français . La première édition complète du texte grec, comprenant les sept livres qui nous s ont parvenus sur les huit dont l'ouvrage se composait, a été donnée par Hultsch à la fin du siècle dernier sous le titre : Pappi A lexandrini Collectionis quae supersunt, e libris manu

scriptis edidit, latine interpretatione et commentariis instruxit Frederic1J-s Hultsch.

Berolini, apud Weidmannos , 1875-78, 3 vol. in-8°. Avant l'apparition de cette savante édition critique , on ne possédait que les éditions partielles e t défectueuses suivantes du texte gre c de Pappus : 1°) un fragmen t du second livre , publié par JEAN WALLIS, à la suite de s on édition d ' A ris­ tarque de Samos (Oxford, en 1668, in-8°), et dans le troisième volume de ses Opera Mathematica ; 2°) une partie de la préface du livre VII, publiée par D AVID GREGORY dans les prolégomènes de s on édition d'Euclide (Oxford, 1703 , in-fol . ) ; 3°) la préface entière du livre VII dans le traité d'APOLLONIUS DE PERGE intitulé : De la Segmentation proportionnelle, traduit de l'arabe en latin par EDMOND HALLEY (Oxford, 1706, in-8°) ; 40) la seconde partie du livre V publiée par Herm. EisEN­ MANN, professeur à !' École Royale des Ponts e t Chaussées (Paris , 1834, in-fol . ) ; 5°) quelques lemmes du livre VII publiés par MEIBOMIUS dans son Dialogus de proportionibus (Hafniae , 1655, in-fol . ) .

O n possédait cependant, depuis l a fi n d u XVJ me siècle , une traduction latine de six livres (depuis le troisième jus qu'à la fin de l'ouvrage ) faite par le célèbre mathé­ maticien italien CoMMANDINI, e t accompagnée d'un commentaire de Gumo UBALD!. L'ouvrage : Pappi A lexandrini Mathematicae Collectiones a Federico Commandino Urbinate in latinum conversae ac commentariis illustratae. Pisauri, 1588, in-4°, fut revu par MANOLESSIUS, e t réimprimé à Bologne , e n 1660, pe t. in-4°, sous le même titre simplement complété par la phrase : « In hac nostra editione ab innumeris, qui­

bus scatebant mendis, et praecipuè in graeco contextu diligenter vindicatae. Et sere­ nissimo Principi Leopoldo Gulielmo A rchiduci A ustriae, etc. dicatae. Bononiae . Ex

Typographia HH. de Ducciis . MDCLX

».

Mentionnons pour mémoire une édition récente du te xte grec des livres VI I et VIII, accompagnée d 'une traduction allemande , s ous le titre : Die Samlung des

Pappus von A lexandriën, griechisck. 1md deutsch herausgegeben von C. ]. Gerhard. Halle 187 r .

INTRODUCTION

XXI

dose ( 1 ) . Il faudrait une véritable analyse de ce livre, qui ne pourrait trouver place dans cette introduction, pour relever, parmi les pro­ positions que Pappus emprunte aux Phénomènes d'Euclide, ou q u' i l tire de s on propre f onds , les propo sition s mêmes de Théodose qu'il reprend i n t é gralemen t , soit pour y apporter des simplifications i mpor ­ tantes dans les démonstrations, soit pour les démontrer d'une manière complètement différente. La plupart des simpl ifi c ations q u'i l introduit dans les d é monstrat io n s de Théodose, et l e s variantes qu'il e n donne sont bas ée s sur la notion et sur les principales propriétés du triangle sphérique, encore totalement absentes dans l'œuvre de Théodose, mais que Pappus c onnaissa it comme étant a cqu i s es à la science par le traité de Ménélaüs. C'est ai nsi que P appus reprend la proposition V du Li vre I I I de Th é od ose, pour en donner deux démonstrations p l u s faciles et plus él é ga ntes , après avoir démontré d'abord quatre l emmes élémentaires sur l e triangle sphérique (2 ) , dont l'un notamment établit que, dans un triangle sphérique, la somme de deux côtés qu elc o nque s est plu s gra n de que le double de l'arc médian mené du milieu du troisiè m e côté au sommet opposé ( 3 ) . Il étend ensuite sa démonstra­ tion à de s cas particuliers de la proposition V de T héo do se, notamment à ceux des arcs commensurables et incommensurables entre eux, et il l a complète ainsi utilement au moyen de quatre nouveaux théorèm es ( 4 ) . La proposition V I du Li vr e I I I de Théodose est celle qui fait l'obj et du commentaire le plus long ; Pappus lui consacre seize lemmes et théo rè mes, lesquels. constituent un véritable complément au Liv r e I I I d e Théodose ( 5 ) . Bien que l'on ne pui s se les considérer comme un véritable commen­ taire des propositions de Théodose, celles-ci ont fait l'objet de quelques scolies de la part de Théon d'Alexandrie dans ses commen­ taires des Phénomènes d'E uclide et de l ' A lmageste d e Ptolémée ( 6 ) . I . Voir PAPPUS, éd . précitée de H ULTSCH, vol. I I , liv. VI, pp. 475-683 , ou trad, latine de COMMANDIN, pp. 181-239. 2 . PAPPUS, éd . H ULTSCH, pp. 475-481 , OU éd . de COMMANDIN, pp. 1 81 - 1 83 . 3 . Nous donnons la démonstration d e PAPPUS en traduction française libre e t résumée dans l a note que nous avons mise à la suite de notre traduction de l a pro­ position V du livre III de THÉODOSE. 4 . PAPP US, éd . de HULTSCH, vol. I I , p. 483-489, ou éd. de la trad. lat. de CoM­ MANDIN, pp. 1 84-187. 5 . PAPPUS, éd. de HULTSCH, vol . I I , pp. 489-519, ou éd. de COMMANDIN, pp. 1 88-

203 . 6. Ces scolies seront publiées prochainement dans l'édition critique des œuvres compl ètes de Théodose par ]. L. HEIBERG.

XXII

LES SPHÉRIQUES DE

THtODOSE DE TRIPOLI

E nfin, on peut considérer comme un commentaire sur les Sphé­ riques l'ensemble des nombreuses scolies que Hultsch a recueillies chez divers a u teu rs , et qui remontent en partie au I I I• siècle et en partie au vne siè c l e ( 1 ) . • • •

Théodose a écrit deux autres ouvrages qui l'ont rangé parmi les pe ti ts astronomes grecs ( 3 ) . Ce sont deux traités intitulés l'un : Des Habitations ( 3 ) , e t l'autre : D es fours et des Nuits (• ) . B ie n que se rapportant plus direct eme n t à l'astronomie que le trai té Des Sphé­ riques, i ls he visent que la théo rie pure en se bornant à démontrer géométriquement certaines observations r appo rtée s dans les écrits d'astronomes antérieurs, et, comme tout principe de la tri go n ométrie sphérique leur fait encore défaut, ils ne mènent en r éal i té à au cun calcul pratique d'astronomie. Le traité Des Habitations contient des propositions démontrées géométriquement concernant les phénomènes célestes qui sont per­ ceptibles pour les habitants de différents lieux de la terre. Ces pro­ positions, dans lesquelles Théodose appelle zone moyenne cel le qui est comprise entre les deux tropiques, et où le jour signifie le temps compris entre le lever et le coucher du soleil, tandis que la nuit signifie le temps compris entre le coucher et le lever suivant ( 5 ) , sont au 1. Scholien zür Sphiirik des Theodosius. Herausgegeben von Fr. Hultsch. (A bhand­ lungen der philologische-historischen Klasse der Konigl. Siichsische Gesellschaft der Wissenschaften. Leipzig, 1887, X, pp. 383-446) .

2. On range d ' ordinaire parmi les petits as tronomes grecs ceux qui , dépassés de loin par le grand astronome Claude Ptolémée , s ont mentionnés , ave c le titre de leurs ouvrages , dans le passage suivant de la Bibliothèque grecque de Fabricius , le quel ne fait du reste que s 'e n rapporter à la nomenclature que Vossius avait déjà d onnée dans la partie de s on ouvrage relative aux Sciences mathématiques : « Prae ­ ter magnam s ynta xim Ptolemaei, quam p.Éycxv cicr't' p o..,, o p.ov appellabant, Ale xan­

drinis in pretio fuit alter Vossius

code x

dictus

(lib. de s cie ntiis math. XXXI I I ,

p.•. xp� ç dcr•povop.oç sive , ut e Pappo § 18, p. 1 63 ) observat, IJ.Lxpôç do:;'t'po­ ·

vop.oup.evo ç , in qua collectione contine bantur hi libri : The odosii Tripolitae s phae ­ ricorum libri I I I , Euclidis data , optica , catoptrica ac phaenome na, The odosii Tri­ politae de habitationibus et noctibus ac die bus libri I I , Au tolyci Pitanaei de s phaera mota , et libri II de ortu atque occasu s tellarum inerrantium , Aris tarchi Samii de magnitudinis ac distantiis s olis ac lunae , Hypsiclis Ale xandrin� àwxcpopLxÔç sive de ascentionibus , Me nelaei s phaericorum libri I I I >>. (Cfr. FABRICIUS. Bi bliotheca graeca, vol. I I , p. 88 de la lre édition, ou vol. IV, p. 1 6 de la réédition de HARLES) . 3. 'ltept O Cxficrswv . 4. 7tsp t 'Hp.e p wv xcx� Nux•wv . 5 . C 'est d 'ailleurs ce qui résulte de la phrase suivante qu 'un comme n tateur

INTRODUCTION

XXIII

nombre de 3ouze, dont n-0us nous bornerons à donner les seuls énoncés dans la traduction française assez libre de Delambre (1) : P roposition I . L'habitant du pôle boréal voit toujours le même hémisphère ; l'autre hémisphère est toujours caché pour lui. Il ne voit aucune étoile se leve r ni se coucher. Proposition I I . L'habitant du cercle équinoxial voit tous les astres se lever et se coucher, et passer un temps égal au-dessus et au-dessous de l'horizon. Proposition I I I . Dans tout lieu compris dans la zone moyenne, le cercle des animaux ( 2 ) est quelquefois perpendiculaire à l'horizon. Proposition IV. Celui dont le point vertical est autant él o i g n é du pôle que le tropique l'est de l'équateur ( 3 ) , celui-là verra six signes de l 'écliptique se lever, et les six autres se coucher . Proposition V. L'habitant de l'équateur verra le méridien couper en d eu x également la moitié de l'écliptique, quand le point solsticial sera dans l'horizon ; alors l'écliptique sera perpendiculaire à l'horizon. Proposition VI. Pour l'habitant de l'équateur, tout arc de 1 80 de g rés de l'écliptique emploie un temps égal à se lever. Il en est de même de deux arcs opposés quelconques. P ro po si t i o n V I I . Si deux horizons ne diffèrent que parce que l ' un «

»

introduit au comme ncement du 1 er livre du second traité Des jours et des Nuits de THÉODOSE : Xpovov -lt(J-É LJ IXÇ XIXÀE� (8eoô0i:r�oi;) TOV à.1to dvet.ToÀTii; swi; oua-ewi;, VUX't"O i; Ô$ -rov dn:b oui:rewi; sw :; d.vix't"o).7ii; . 1 . Histoire de l'A stronomie ancienne par M. D ELAMBRE. Paris , 2 vol. in-40, p. 235 . Ce tte traduction des énoncés des propositions par DELAMBRE devrait être revue d'après le texte gre c au point de vue de la s crupuléuse exactitude . Mais nous avons cru la chose inutile aussi longtemps qu 'on ne disposera pas d 'un te xte grec critique re visant celui de la première édition de Dasypodius . 2 . xn).o:; •t;)v stÀoaoipoç l'l"-rop lrx. 7tep l �lwv, ôoyp.chwv xat d7toip9syp.cht.iv -rw·1 lv iptÀoaocpl� suôox� IJ.'l)O'c:iv-rwv, c'est-à-dire : Histoire philosophique

de la vie, des dogmes et des apophtegmes de ceux qui se sont illustrés dans la philo­ sophie Il fut édité d'abord dans une traduction latine du Père TRAVERSARI, dans

les premiers temps de la typographie , sans lieu ni date , puis dans cette même traduction latine , revue par BEN. BROGNOLI, chez Nic. Jenson, à Venise , en 1475. in fol . Le texte grec fut publié pour la première fois par J. FROBEN, à Bâle e n 1533, in-40, e t réédité un grand nombre de fois jusqu'à la date de l'édition critique gréco­ latine de C. G. CoBET, Paris, 1 862, in-8°. D IOGÈNE-LAERCE a été traduit en français une première fois par FRANÇOIS FOUGEROLLES, à Lyon, e n 1 602, in-8° ; une seconde fois par G I LL E S BOILEAU, Paris , 1 668, 2 vol. in-12°, e t une troisième fois par un anonyme , à Amsterdam , 1758, 3 vol . in-12°. Cette dernière traduction a été contrefaite à Amsterdam, e n 1761 , 3 vol. in-12°, e t a été mal réimprimée à Paris , e n 1796, 2 vol. in-80.

INTRODUCTION

XXXV

résulte donc que Suidas doit avoir confondu Théodose de Tripoli avec un philosophe de l'Ecole sceptique ayant vécu plus d'un siècle après lui ( 1 ) . • • •

Lorsque, au X I I• siècle, les premiers grands humanistes s'atta­ chèrent à introduire en Occident et à traduire en latin des ouvrages que � es Arabes et les Persans avaient empruntés à la Grèce et traduits dans leur propre langue, ils inauguraient effectivement la renaissance des études scientifiques en révélant pour la première fois les écrits de la science hellène bien avant que les textes grecs ne fussent remis au jour. C'est de cette manière indirecte, mais déjà féconde, que furent révélés d'abord en Italie les Eléments d'Euclide, le traité de la Sphère de Ménélaüs, les Arithm étiques de Diophante, l ' A lmag este de Pto­ lémée, et quelques ouvrages détachés d'Archimède (2 ) . Il en a été de même pour les ouvrages de Théodose, dont surgirent plusieurs versions arabes (3 ) , parmi lesquelles une des meilleures, sinon pour une exactitude encore invérifiable, du moins pour ses commentaires, était celle de Kusta Ben Luka el Balabakki ( 4 ) , philosophe chrétien r. Les Vies des plus illustres Philosophes de l'A ntiquité, avec leurs Dogmes, leurs Systèmes, leur Morale et leurs Sentences les plus remarquables, traduites du grec de Diogène-Laërce. Nouvelle édition, avec portraits. A Amsterdam , chez J. H. Schnei­

der, 1761, 3 vol, in-120. Cette traduction anonyme rend comme suit le passage dans le quel D IOGÈNE­ LAERCE mentionne le philosophe Théodas : '' JEnésidème instruisit Zeuxippe , nom­ mé Polites, e t celui-ci Zeuxis , surnommé Goniope . Zeuxis eut s ous sa discipline Antiochus de Laodicée , descendu de Lycus , dont Ménodote de Ni comédie , médecin empyrique , et Théodas de Laodicée prirent les leçons . Ménodote à son tour devint maître d 'Hérodote , fils d 'Arieus, natif de Tarse , qui le fut ensuite de Se xtus Empiri­ cus , duquel on a les dix volumes du Pyrrhonisme et autres beaux ouvrages . Enfin Sextus Saturnin eut pour disciple un nommé Cythénas aussi empyrique ». (Voir vol. I I , TIMON, p. 341 ). . 2 . Voir : Di� Mathematiker und Astronomen der A ra ber und ihre Werke, von

Dr Heinrich Suler, pro/essor am Gymnasium in Zürich (A bhandlungen zur Geschichte der Mathematischen Wissenschaften mit Einschluss ihrer A nwendungen. Leipzig, 1 900, in-8°, t . X de I X-177 pages) . L'auteur a ajouté un supplément à cet ouvrage , en 1902, dans le t. XIV de la même collection, pp. 155-185; sous le titre : Nachtriige und Berichtigungen zur (( Die Mathematiker und A stronomen der Araben und ihre Werke ». 3. On trouvera l'indication des diverses versions arabes des (( Sphériques » de THÉODOSE, dont quelques-unes du XI II e siècle , et même la dernière du xvre siè­ cle , dans J'ouvrage précité de H. S UTER (voir pp. 25, 41 , 77, 152, 155, 1 92 et 224) . 4. Kusta Ben Luka el Balabakki, né à Baalbek e n 864, mort en 923 . Philosophe , méde cin, astronome e t mathématicien, pratiquant la religion chrétienne . Égaleme nt versé dans les langues arabe, syriaque et grecque ; il voyagea dans les pays gre cs .

TEUBNER,

XXXVI

LES

SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

et mathématicien, mort en 923, auteur qui, d'après le c atal o g u e arabe de Ibn Abî Ja' K ûb An-Nadîm (ouvrage connu sous le nom d e Filirist ( 1 ) , compo s é vers l'année 987 de notre ère ) , avait, en outre. commenté les Arithmétiques de Diophante , traduit l 'ouvrage d'Hyp­ siclès d ' Ale xan d ri e et composé une in tro d u ct io n à la géométrie sous forme de questions et de répon ses Les manuscrits arabes des Sphériques de Théodose firent l'objet de plusieurs traductions latines, dont les deux premières furent faites à peu près à la même époque par Gérard de Crémone ( 2 ) et par Platon de Tibur (3 ) , qui furent les plus célèbres t raducteu rs italiens du X I I" siècle ( ) La tra duc t io n de Gérard de Crémone ne fut j am a i s éditée, tandis que celle de Platon de Tibur, après avoir été utilisée en copie manus­ crite, comme la précédente, pendant plus de trois cents ans, fut reprise dans les premiers temps de l'imprimerie pour faire partie, bien que ,

'

.

.

.

et en rapporta e n Syrie u n grand nombre d 'ouvrages s cie nt i fi que s , tels que ceux dt' Théodose , d'Aristarque de Samos, ). (Voir trad . de PEYRARD, p. 30).

plus grand

côté e st

opposé

LIVRE 1 .

9

contre de la surface de la sphère ( 1 ) ; par conséquent, la droite H M est aussi plus grande que la droite A0. De plus, la droite H M est le rayon ( 2 ) du cercle I'A, et la droite A0 est le rayon du cercle AB ; donc, l e cercle I� est plus grand que le cercle AB. On démontrerait pareillement que le cercle I'A est plus grand que tous les cercles situés dans la sphère et ne passant pas par le centre de la sphère; D'autre part, je dis aussi que les cercles AB, E Z sont égaux. En effet, puisq u e les cercles AB, EZ sont également éloignés du centre de la sphère, la droite H0 est donc égale à la droite HK. De plus, puisque le point H est le centre de la sphère, la droite HA est égale à la droite HN ; donc, le carré de la droite AH e s t égal au carré de la droite H N. Mais, les carrés (3 ) des droites AE>, 0H valent le carré de la droite AH, et les carrés des droites NK, KH va l e nt le carré de la droite HN ( 4 ) ; par conséquent, la somme des carrés des droites A0, 0H équivaut aussi à la somme des carrés des droites NK, KH. Or, comme le carré d e la droite 0H est égal au carré de la droit e HK, il s'ensuit que le carré restant de la droite 0A est égal au carré restant de la droite K N ; donc, la droite 0A est égale à la droite KN. Or, la droite 0A est le rayon du cercle AB, et la droite K N est le rayon du cercle E Z ; donc, le rayon d u c e rc le AB est égal au rayon du cercle E Z, [et le cercle AB est donc égal au cercle E ZJ (5 ) . Mais, que le cercle A B soit, au contraire, plus éloigné du centre de la sphère que le cercle E Z ; je dis que le cercle AB est plus petit que le cercle E l . , E n effet, les constructions restant les mêmes, puisque le cercle AB est plus éloigné du c e n t r e de la sphère que le cercle E Z , la droite 0H est donc plus grande que la droite HK. Et puisque la droite HA est égale à la droite H N, vu q ue le point H est le centre de la sphère, et 1. Voir D é fini tions 1 et I I . 2. ·h ix -roü xiv-rpou, li t t érale me n t : l a (d r oit e ) issue d u c e n t re c'est-à-dire le rayon. 3 . C 'est-à-dire la somme des carrés. 4. EUCLIDE, livre 1, prop. 47, dont l'énoncé a été re produit dans une note rela­ tive à la proposition 1. 5. Phrase que présentent les trois premières éditions du texte grec, e t que nous avons placée e ntre crochets pour marquer l'abandon qui en est fait dans la recension inédite de HEIBERG. Il s 'agit probablement d'une conclusion in terpolée , laquelle est d'ailleurs évidente en vertu de la Dé finition I du livre III d'EUCLIDE, énoncée comme suit : >. (Voir trad. de PEYRARD, p. 107). ,

IO

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE D E TRIPOLI

que les points A, N sont situés dans sa surface, il s'ensuit que le carré la droite HA est aussi égal au carré de la droite H N , c'est-à-dire que la somme des carrés des droi­ tes A0, 0 H est égale à la somme des carrés des droites NK, K H . E t, comme le carré de la droite 0H est z plus grand que le carré de la droite KH, le carré restant de la droite A0 est donc plus petit que le carré restant de la droite NK, et la droite A0 est donc plus petite que la droite NK. Or, la droite 0A est le rayon du cercle AB, et la droite N K est le rayon du cercle E Z ; donc, le cercle AB est aussi plus petit que 1 l e c ercle EZ ( ) . Dès lors, parmi les cercles situés dans la sphère, ceux qui passent par le centre de la sphère sont les plus grands, et quant aux autres, ceux qui sont également éloignés du centre de la sphère sont égaux, tandis que ceux qui en sont plus éloignés sont plus petits.

de

P ROPOSITION vpa ( Théorème ) ( 2 ) .

Au reste, nous démontrerons réciproquement que, parmi les cercles situés dans la sphère, les plus grands passent par le centre de la sphère, et que, quant aux autres, ceux qui sont égaux sont également éloignés de part et d'autre du centre, tandis que les plus petits en sont plus él oignés. 1 . On a : H A = H N, d 'où : H A 11 = H N a, d 'où : A0 1 + 0 H 2 = N K 2 + K H 8 • Or, par hypothèse , on a : 0 H > K H ; donc : A0< N K, d'où : cercle AB> .

LIVRE 1

13

que la droite E Z est élevée à angles droits au point d'intersection des deux droites AI', BA qui se coupent mutuellement, elle est aussi per­ pendiculaire sur le plan qui passe par les droites AI', BA ( 1 ) . Or, le plan qui passe par les droites AI', BA est le cercle ABI'A ; donc, la droite E Z est aussi perpendiculaire sur le plan du cercle ABI'A. P R O P O S I T I O N VI I I ( Théorème ) . Si l'on a u n cercle dans une sphère, et si l'on mène, du centre de

la sphère sur le cercle, une perpendiculaire que l'on prolonge de part et d'autre, celle-ci tombera sur les pôles du cercle. Soit le cercle ABI' dans une sphère ; prenons le point A, centre de la sphère ; menons, du point A sur le plan du cercle ABI', la per­ pendiculaire AE, et que cette perpendiculaire rencontre le plan au point E . Le point E est donc le centre du cercle ABI' (2 ) . De plus, prolongeons la droite AE de part et d'autre, et qu'elle rencontre la surface de la sphère aux points Z, H. Je dis que les points Z, H sont les pôles du cercle ABr. En effet, menons transversalement les droites AEr, B E 0, et me­ nons les droites de jonction AZ, Zr, AH, HI'. Dès lors, puisque la droite Z E est perpendiculaire sur z le cercle ABr, elle formera aussi des angles droits avec toutes les droites qui la rencontrent, et qui sont situées dans le plan du cercle ABI' ( 3 ) ; par conséquent, chacun des angles compris sous les droites Z E, EA, sous les droite s Z E , E r, sous les droites Z E , E B et sous les droites Z E, E0 est droit. Et puis- B que la droite A E est égale à la droite E r, et que la droite EZ est commune et à angle s droits, il s'enH I . EUCLIDE, livre XI, prop. 4, dont l'énoncé a été reproduit dans une note précé­ dente 2. Proposition I, corollaire . 3 . EUCLIDE, livre I, définition 3 dont l'énoncé a été reproduit dans une note pr é c éde nt e .

14

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE

TRIPOLI

suit que la base AZ est égale à la base rz ( 1 ) . O n démontrerait pa­ reillement que toutes les droites menées du point Z à la rencontre de la circonférence ABr sont aussi égales entre elles ; par conséquent, le point Z est un pôle du cercle ABP ( 2 ) . O n démontrerait pareillement que le point H est aussi u n pôle ; donc, les points Z , H sont les pôles du cercle ABr. Dès lors, si l'on a un cercle dans une sphère, et si, du centre de la sphère, et ainsi de suite C ) . P ROPOS I T ION I X ( Théorème) . Si l'on a un cercle dans une sphère, et si, de l'un des pôles de ce cercle, on mène une ligne droite perpendiculaire sur le cercle, celle-ci tombera au centre du cercle, et, prolongée, elle tombera sur l'autre pôle du cercle. Soit le cercle ABr dans une sphère ; menons, sur le cercle , d e l'un des pôles A , la perpendiculaire AE qui rencontre le plan du cercle au point E . Prolongeons la perpendiculaire A E , e t qu'elle rencontre la su rface de la sphère au point Z. Je dis que le point E est te centre du c�rcle ABr, et que le point Z est l'autre pôle de ce cercle. En effet, menons, du point E , les droites E A , EB, et menons les droites de jonction A A AB, AZ, B Z . Dès lors, puisque la droite AE est perpendiculaire sur le cercle ABr, elle formera donc a u ssi des angles droits avec toutes les droites qui la rencontrent et qui sont situées dans le cercle ABr. Or, chacune des droites A E , E B, situées dans le plan du cercle ABr, la rencontre ; donc, chacun des angles compris sous les droites A E E A et sous les droites AE , E B est droit. Et puis­ que la droite AA est égale à la droite AB (' ) , il s'ensuit que le carré dè la droite AA est aussi égal au carré de la droite AB. Mais, la somme des carrés des droites A E , E A équivaut au carré de la droite AA, et la somme des carrés des droites B E , E A équivaut au carré de la ,

,

x . EUCLIDE, livre I. prop. 4 : cc Si deux triangles ont deu x côtés égaux à deux côtés , chacun à chacun, et un angle égal à un a ngle , sa voir l'angle compris e n t re les côtés égaux, ces �riangles auron t leurs bases égales , e t c . » (Voir éd . précitée de la traduction de PEYRARD, p. IO) . 2 . Dé finition 5. 3. ut -rŒ s�li� . littéraleme n t : cc e t les (choses ) à la suite », c'es t-�-dire �- la

suite dans l'énoncé de la proposition . 4. Dé finition 5 .

LIVRE

1

15

droite AB ( 1 ) ; donc, la somme des carré s des droites AE, EA é quiva u t à la s omme des carrés des droites B E, EA. Retranchons de p a r t et d'autre le carré de la d ro ite AE, et il s'ensuit que le carré restant, cons­ truit sur l a droite AE, est égal au carré restant, construit sur la droite z E B ; donc, la droite AE est égale à l a droite E B. O n démontrerait pa­ reillement que tout e s les droites tombant du point E sur la l igne :z ABI' so nt aussi égales ; par conséquent, le poi nt E est le centre du cercle ABI'. Je dis, e n outre, que le point Z est l'autre pôle du cercle A BI'. En effet, puisque la droite A E est égale à l a droite E B , et que la droite E Z e st commune et à an gles droits, il s'ensuit que la base A Z e st égale à la base BZ. O n démontrerait pa re i l le m en t que toutes les droites qui tombent du point Z sur la ligne ABI' sont égal es ; par conséquent, le point Z est un pôle du cercle ABI'. Or, on a démontré aussi que le point E est le centre ; donc, le po i nt E est Je centre du ce r c l e ABI', et le point Z est son autre pôl e. PROPO S I T IO N

X

( Théorème ) .

Si l'on a u n cercle dans une sphère, l a d roi te m e n ée par les pôles de ce cercle est perpendiculaire sur le cer c l e , et el1e passera par Je centre du cercle et par ce lui d e l a s phère . Soit le c e rc l e ABI' dans une sphère ; soient les poi n ts E , Z l es pôles du cercle ; menons, par les pôles, la droite qui les relie, et so it E Z cette droi t e Je dis que la d ro ite EZ est pe r p e n d i c u l a i r e sur le cercle ABI', e t qu'elle passera p ar le centre du cercle et par celui de 1 a s phè r e E n effet , que ] a d ro i t e E Z rencontre le pl an d u c e r c l e ABI'A au point H ; menons transversal ement, du point H, les droites AHI'; B HA, et m e no n s les droites de j onction B E , EA, B Z , ZA. Dès l ors, .

.

1.

EUCLIDE, livre I, prop.

47, dont l 'énoncé a été donné dans une note précédente .

16

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE

TRIPOLI

puisque la droite BE est égale à la droite EA ; que la droite EZ est commune ; que les deux droites B E , E Z sont respectivement égales aux deux droites Z E , EA, et que la base B Z est égale à la base ZA, il s'ensuit que l'angle compris sous le s droites B E , E Z est égal à l'an­ gle compris sous les droites AE , EA ( 1 ) . D'autre part, puisque la droite B E est égale à la droite E A ; que l a droite E H est commune ; que les deux droites B E , EH sont éga­ les ( 2 ) aux deux droites E H , E A, l'angle compris sous les droites B E , E H est aussi égal à l'angle com­ pris sous les droites AE, E H . E n z conséquence, la base B H est égale à la base HA ; le triangle E B H est égal au triangle E AH , les angles restants seront égaux aux angles restants, lesquels sous-tendent des côtés égaux, et l'angle compris sous les droites B H , H E est donc égal à l'angle compris sous les droites AH, H E (3 ) . Dès lors, chacun des angles compris sous les droites B H , H E et sous les droites AH, H E est droit, e t l a droite E H est donc à angles droits sur l a droite BA. On démontrera pareillement que la droite E H est aussi à angles droits sur la droite Ar, [et la droite E H Z est à angles droits sur le plan qui passe par les droites BA, Ar, c'est-à-dire sur le cercle ABrA] ( ) ; donc, la droite EZ est perpendiculaire sur le cercle ABrA ( 5 ) . D'autre part, j e dis aussi que cette droite passera par le centre du cercle et par celui de la sphère. En effet, puisque A BrA est un cercle dans une sphère, et que la· '

r. EUCLIDE, livre 1, prop. 8, dont l'énoncé a été donné e n note à la proposi­ tion VII. 2 . Le te xte s ous-ente nd ici : eKa.-:é p ot aKot-:é p � . chacunè à chacune , c'est-à-dire respectiveme nt. 3 . EUCLIDE, livre 1 , prop. 4 : « Si deux triangles ont deux côtés égaux à deu x côtés , chacun à chacun, e t un angle égal à un angle , savoir l 'angle compris e ntre les côtés égaux, ces triangles auront leurs bases égales ; ils seront égaux entre eux, e t les angles restants , opposés aux côtés égaux, seront égaux e ntre eux n . (Voir éd. précitée de la traduction de PEYRARD, p. ro) . 4. Phrase inutile , fort suspe cte d 'interpola tion. 5 . EUCLIDE, livre XI, prop. 4 énoncée dans une note précédente .

·

LIVRE I

droite E H est menée de l'un des pôles du cercle, perpendiculairement au cercle dont elle rencontre le plan au point H, le point H est donc le centre du cercle ABI'A ( 1 ) . Je dis, d'ailleurs, que cette droite pas­ sera aussi par le centre de la sphère. En effet, puisque ABI'A est un cercle dans une sphère, et que la droite E H Z a été élevée du ceritre du cercle, perpendiculairement au plan de ce cercle, le centre de la sphère est donc situé sur la droite E H Z ( 2 ) . En conséquence, la droite E Z passe par le centre de la sphère. Dès lors, la droite E Z est perpendiculaire sur le cercle ABI'A, et passe par le centre de ce cercle et par celui de la sphère. P ROPOS I T I O N X I ( Théorème ) .

Dans J a sphère, les cercles les plus grands C ) se coupent m utuel­ lement en deux parties égales. Que, dans une sphère, les deux cercles les plus grands AB, I'A se coupent mutuellement aux points E , Z ; je dis que les cercles AB, I'A se coupent mutuellement en deux parties égales. En effet, prenons le centre des cercles ( ' ) ; que ce soit le point H, [centre qui est le même que celui de la sphère] ( 5 ) , et menons les droites de jonction E H , HZ. Dès lors, puisque les points E , H , Z sont dans le plan AB, ils sont aussi dans le plan AI' ; par conséquent, les points E, H, Z sont dans l'un et l'autre plans des cercles AB, I'A, et ils sont donc situés sur la section commune de ces plans. Or, la sec­ tion commune de deux plans est tou­ jours une droite ( 6 ) ; donc E H Z 1 . Voir proposition IX. 2 . Voir proposition II, corollaire . . J. ot p.éyLa-.OL xul(Àot , les Cercles les plus grands , c'est-à-dire Ce que nous a ppelons maintenant simplement les grands cercles d 'une sphère . 4. Voir proposition II. 5. Phrase ayant probablement été interpolée pour s 'e n référe r à la proposition VP1• qui est elle-même d 'une authenticité douteuse . 6. EUCLIDE, livre XI , prop. 3, énoncée dans une note précéde nte .

18

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE

TR lPOLI

est une droite. Et puisque le point H est le centre du cercle AB, la droite E Z est donc un diamètre du cercle, et EAZ, ainsi que E BZ, sont des demi-cercles. D 'autre part, puisque le point H est le centre du cercle I'.ô., la droite EZ est donc un diamètre de ce cercle, et EI'Z, ainsi que EAZ, sont des demi-cercles. En conséquence, les cercles A B , I'.ô. se coupent mutuellement en deux parties égales. P ROPOS I T ION X I I ( Théorème ) .

Dans la s ph ère les cercles qui se coupent mutuellement e n deux parties égales sont des cercles les plus grands. Que, dans une sphère, deux cercles AB, I'..ô. se coupent mutuel­ lement en deux parties égales aux points E, Z ; je dis que AB, I'A sont des cercles les plus grands. E n effet, menons la droite de jon cti on E Z ; l a d ro ite E Z est donc­ un diamètre des cercles AB, I'A. Je dis d'ailleurs que cette droite est aussi un diamètre de la sphère. Di­ visons la droite EZ en deux parties égales au point H ; le point H est donc le centre des cercles. Elevons, au point H , la droite HK à angles droits sur le plan du cercle I'.ô., et la droite He à angles droits sur le plan du cercle AB ( 1 ) . Dès lors, puisque le cercle AB est dans une sphère, et que la droite He a été élevée à an g l es droits, du centre de ce cercle, sur le plan du cercle, l e centre de la sphère est donc situé sur la droite H0 ( 2 ) . Nous dé­ montrerons pareillement que ce centre est aussi situé sur la droite H K ; donc, le centre de la sphère est à l'intersection des droites H0, HK. Or, l'intersection de ces droites est le point H ; donc, le point H est le centre de la sphère. Or, le point H est aussi le centre des cercles A B , I'.ô., et les cercles décrits autour du même centre que celui de la sphère ,

XI, pro p . 1 2 : c1 D 'un point donné dans un plan donné, élever perpendiculaire s u r ce plan ». (Voir éd. précitée de Ja tradu ction de PEYRARD, p. 305). 2 . Voir proposition II, corolJaire .

1 . EUCLIDE, livre

une

LIVRE · l

19

�ont des cercles les pl us gr an ds (1) ; par conséquent, les c e rcl es qui se coupent mu t u el l e m ent en deux parties égales dans une sphère sont des cercles les plus gr an d s. P RO P O S I T IO N X I I I

( Théorème ) .

Lorsque, dans une sphère, un c ercle l e plus gra n d coupe u n - des c e rc l es de la s ph è r e à an g l es droits, il le coupe en deux parti e s éga l es. et en passant par ses pôles. Q ue, dans u ne s ph è r e , un cercle le plus g ra n d ABI'A cou pe à angles droits un des cercles E B ZA de l a sphè re ; j e dis qu'il co up e ce c e rcle en deux pa r t ies égales, et qu'il passe par ses pôles. En effet, m e n o ns la dro it e de jonction BA, qui est la sectio n com­ mune des c e rc les , et prenons le poi nt H, cen tre du cercl e A BI'A, leque l est a u ssi celui de la s ph è r e . De plus, menons, du point H, la per pe ndiculaire H0 sur la droite BA ; prolongeons-la de part et d'autre, et qu'elle r e n co ntre la surface de l a s phère a ux points A, r. Dès lors, p u isq u e deux plans, celui du cercle ABI'A et celui du cercle E BZA, sont pe rpen dicul aire s entre N eux, et que l a droite 0A, située dans l ' un d es p l a ns , a été menée à a n g l e s droits sur leur commune section, la JJ "------+9=--7'. droite Ar es t donc aussi à an g l e s droits sur le plan E BZA ( 2 ) . E n c o ns é quen c e, p uisqu e E B ZA es t u n r cercle situé dans l a sphère ; que l a droite H 0 a é t é menée du c e nt r e de la sphère, perpendiculairement sur ce c e r c le , et que c e t te d roite r e nco n t r e le plan du c e r c l e E BZA a u point 0, le point 0 es t donc le c e n t re du c er cl e E B ZA. Par conséqu e n t , B E A , B ZA sont respectivement des demi-cercles, et le ce rc l e A BI'A I . Voir proposition VI. 2 . EUCLIDE , Jivre XI , prop.

4 : (< Un plan es t pe rpe ndiculaire sur un plan l orsque les perpendiculaires , menées dans un seul plan sur la commune se ction des plans , sont perpendiculaires sur l 'autre plan ». (Voir éd. précitée de la traduction de PEYRARD, p.

284).

20

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

coupe donc le cercle E B ZA. en deux parties égales. Or, je dis qu'il passe aussi par ses pôles. En effet, puisque E BZA. est un cercle dans une sphère ; que la droite H 0 est menée du centre de la sphère, per­ pendiculairement sur ce cercle ; que, prolongée de part et d'autre, elle rencontre la surface de la sphère aux points A, r, et que, un cercle étant situé dans une sphère, si l'on mène, du centre de la sphère sur ce cercle, une perpendiculaire que l'on prolonge de part et d'autre, celle-ci tombera sur les pôles du cercle ( 1 ) , il s'ensuit que les points A, r sont les pôles du cercle E B ZA.. En conséquence, le cercle ABrA. coupe le cercle E B ZA. en passant par ses pôles. Or, il le coupe aussi en deux parties égales ; donc, le cercle ABrA. coupe le cercle E B ZA. en deux parties égales, et il passe par ses pôles. PROPOS I T I O N X I V ( Théorème ) . Lorsque, dans une sphère, un cercle le plus grand coupe en deux parties égales un cercle qui n'est pas un des plus grands de la sphère, il le coupe à angles droits et en passant par ses pôles ( 3 ) . Que, dans une sphère, le cercle le plus grand ABrA. coupt en deux parties égales le cercle E B ZA., lequel n'est pas un des plus grands de la sphère ; je dis qu'il coupe ce cercle à angles droits et en passant par ses pôles. En effet, menons la droite de jonction BA., qui est la section com­ mune des cercles. Dès lors, puisque le cercle ABrA. coupe le cer­ cle E BA. en deux parties égales, il s'ensuit que B EA., B ZA. sont respectivement des demi-cercles ; par conséquent, la droite BA. est un diamètre d u cercle E B Z.A.. Dès lors, coupons la droite BA. en deux parties égales au point 0 ; le point 0 est donc le centre du cercle E B Z.A.. D e plus, prenons le point H , centre du cercle ABr.A., lequel est aussi le centre de la sphère, et prolongeons de part et d'autre la droite de jonction H0 qui rencontre la surface de la sphère aux points A, r. Dès lors, puisque E B ZA. est un cercle dans une sphère ; que la droite de jonction H0 est menée par le centre de la sphère sur le centre de ce cercle, il s'ensuit que la droite H0 est perpendiculaire sur le cer­ cle E B ZA., et tous le s plans qui passent par la droite H 0 sont donc 1. 2.

Voir proposition VII I . Voir l a figure d e l a proposition XIII.

LIVRE [

perpendiculaires sur le cercle

21

E B ZA. Or, l ' un des plans qui passent

par la droite H0 est le cercle ABrA ; donc, l e cercle ABrA est aussi perpendiculaire sur le cercle E B ZA, et le cercle A BI'A coupe donc le

cercle

E BZA

à angles droits. Or, j e dis qu'il passe aussi par ses pôles.

En effet, puisque

E B ZA est un cercle dans une sphère ; que la droite

H9 est menée perpendiculairement du centre de la sphère sur ce cercle ; que cette droite est prolongée de part et d'autre, et qu'el le rencontre la surface de la sphère aux points A, r, il s'ensuit que les points

A, r

sont l e s pôles du cercle E B ZA ( 1 ) , et le cercle A B I'D.

coupe donc l e cercle E B Z.ô. en passant par ses pôles. Or, il le coupe

aussi à angles droits ; donc , le cercle ABrA coupe le cercle E B Z.ô. à angl es d roits et en passant par ses pôles.

P RO P O S I T IO N X V ( Th éorème ) . Lorsque, dans une sphère, un cercle le plus grand coupe un des cercles de la sphère en passant par ses pôl es, i l Je coupe en deux parties égales et à angles droits ( 2 ) . Que, dans une sphère, le cercle l e plus grand ABrA coupe l;l n des

cercles E B ZA de la sphère en passant par ses pôles ; je ,dis qu ' il le coupe en deux parties égales et à angles droits.

En effet, que les points A, r soient les pôles du cercle E B Z.ô. ; il est clair d'ai l l eu rs que ces points sont situés sur le cercle A B rA, car le cercle A B rA co upe l e cercle E B ZA en passant par ses pôles, et menons la droite de jonction Ar. Dès lors, puisque E B ZA est un cercle dans une sphère ; que la droite

Ar

a été menée par l es pôles

de ce cercle, et que, si l'on a un cercle dans une sphère, la droite menée par ses pôles est perpendiculaire sur le cercl e, et passe par son centre et par celui de la sphère ( 3 ) , il s'ensuit que la droite Ar est perpen ­ diculaire sur l e cercle

E B ZA, et tous l es plans q u i passent par la

droite Ar sont donc perpendiculaires sur l e cercle E B ZA

(t) .

cercle ABrA est u n des plans qui passent par la d roite Ar

;

Or.

donc

le le

Voir propos ition VI II. Voir la figure de la proposition XIII. 3 . Voir proposition X. 4 . EUCLIDE, livre XI, prop. 18 : >, par opposition avec ce que nous appelons « le rayon sphérique » c'est-à­ drre la longueur de l'arc de grand cercle qui va du pôle d'un cercle de la sphère à un point quelconque de la circonférence de ce cercle . 3. Voir définitions I I I e t IV. 4. EUCLIDE, livre I V, prop. 6 : « Décrire un carré dans un cercle donné ». (Voir éd. précitée de la traduction de PEYRARD, p. 187). 5. C'est-à-dire l a distance polaire . ·

LIVRE 1

ABI'A, elle formera donc aussi des angles droits avec toutes les droites -qui la rencontrent et qui sont situées dans le plan du cercle ABI'A ; par conséquent, la droite E Z est perpendiculaire sur chacune des droites AE, B E , I'E , A E . Et puisque le point E est le centre de la sphère, la droite BE est donc égale à la droite EZ. Or, l a droite EA est commune ; par conséquent, les deux droites B E , EA sont respec­ tivement égales aux deux droites AE, E Z, et l'angle droit compris sous les droites B E , EA est égal à l'angle droit compris sous les droites AE, E Z ; par conséquent, ] a base BA est égale à la base AZ ( 1 ) . Or, la droite A Z est celle qui est menée d u pôle du cercle A BI'A, et la droite BA est le côté du carré inscrit dans le cercle le plus grand ; donc, la droite menée du pôle du cercle ABrA est ég ale au côté du ,c arré inscrit dans le cercle le plu s grand. P RO P O S I T I O N XVI I ( Théorème ) .

S i l 'on a un cercle dans une sphère, et si l a droite menée du pôle de ce cercle est égale au côté du carré inscrit dans un cercle le plus grand, ce cercle sera aussi un cercle le plus grand. Soit, dans une sphère, le cercle ABI' dont le pôle est le point A, et que la droite Ar, menée du pôle de ce cercle, soit égale au côté du carré inscrit dans le cercle le plus grand ; je dis que ABI' est un cercle le plus grand. E tendons, par la droite Ar et par le centre de la sphère, un plan -q ui déterminera un cercle le plus grand comme section dan s la sur­ face de la sphère ( 2 ) . Qu'il déter­ mine le cercle BAI'E ; que la droite B �------� r Br soit la section commune , et me­ nons la droite de jonction AB. Dès lors, la droite Ar est égale à la droite AB ( 3 ) , et chacune des droi­ tes Ar, AB est donc égale au côté E

I.

EucLIDE, livre 1 , prop. 4. 2. Voir proposition VI. 3. Voir dé finition V.

dont l 'énoncé a été donné dans une note antérieure .

24

LES SPHÉRIQU ES DE THÉODOSE DE

TRIPOLI

du carré inscrit dans le cercJe le plus grand. En conséquence, l'arc BAr est un demï-cercle, et la droite Br est donc un diamètre du cercle B E . Et puisque le point A est un pôle du cercle ABr, le cercle A B E r coupe donc le cercle ABr en passant par ses pôles. Donc, puisque dans une sphère, le cercle A B E r coupe le cercle ABr en passant par ses pôles, il le coupe en deux parties égales et à angles droits ( 1 ) . De plus� la droite Br est la section commune de ces cercles ; donc, la droite Br est un diamètre d u cercle A Br. Or, cette droite est aussi un diamètre de la sphère ; donc, le cercle ABI' est un cercle le plus grand. P RO P O S I T ION XV I I I ( Problème ) . Etablir une droite égale au diamètre d'un cercle donné dans une sphère. Soit le cercle A Br donné dans une sphère ; il s'agit d'établir une droite égale au d iamètre du cercle A Br. Prenons des points quelconques A, B, r sur la circonférence du cercle, et construisons un triangle A E Z au moyen de trois droites telles que la droite A E soit égale à celle qui est menée du point A au .r: ..,:;....---+-� z point B, la droite AZ égale à celle menée du point A au point r, et la droite E Z égale à celle menée du point B au point r ( 1 ) . Menons, du point E, la droite EH à angles droits sur la droite EA ; du point Z , la droite Z H à angles droits sur la droite A Z , et menons la droite de jonction AH. Enfin, menons le diamètre A0 du cercle ABr, et menons les droites de j onction AB , Br, rA, re. Dès lors, puisque les deux droites AB, Br sont respectivement égales aux deux droites AE, E Z , et que la base Ar est égale à la base ii.. Z , l'angle compris sous les droites A B , BI' est donc égal à l'angle compris sous les droites �E, E Z . M ais, l'angle compris sous �---+---?.'

"

1 . Voir proposition XV. 2. E UCLIDE, livre 1, prop. 22 : s�ÔOfL•. (Voir éd. précitée de la tradu ction de PEYRARD, p. 143 ) . 2 . Voir l a définition placée e n tête d u livre I I . 3. Voir livre I l , proposition I l . 4. Voir l ivre I I , proposition I l l

LIVRE

II

37

E n conséquence, le cercle le plus grand d é c rit par les pôles Z, H ne peut pas ne point pass e r aussi par le point r. Dè s lors, le cercle le plus grand d é cri t par les pôles des cerc l e s ABr, rAE passera aussi par le point de contact d e ces cercles. est impossi ble.

PROPOS I T ION V ( Théorème ) . Je

Si, dans une sphère, deux cercles sont tangents entre eux, le cercle plus grand décrit par les pôles de l'un des cercles et par le poin t

passera aussi par les pôles de l 'autre cercle. Que, dans une sphèr e , deux cercles ABr, rAE soi e n t tangents entre eux au point r, que le point Z soit un pôle du cercle ABr, et le point H un pôle du cercle I'AE . Je dis que le cercle le pl us grand décrit par les points Z, r passera aussi par le point H . E n effet, qu'il n'en soit pas ainsi ; mais que l e cercle s e présente, si poss i ble, tel qu e le cercle Zr9, et décrivons, par les pôles Z, H , le cercl e l e plus grand Z H , qui passera d on c par le point r ( 1 ) . Menons la droite de jonction Z H . Dès lors, puisque chacun des cer ­ cles ZPH, zre est un cercle le pl us grand, ils se couperont donc mutuellement en deux parties égales ( 2 ) ; par conséquent, ZKr, ZAr sont l'un et l'autre des demi­ cercles, et la droite zr est un diamètre de la sphère, puisqu'elle est aussi un diamètre des cercles les plus grands ZrH , zre. Mais, cette droite est aussi celle qui est menée du pô le du cercle ABr ( 3 ) ; ce qui est impossi b l e . E n conséquence, le cercle le pl us grand décrit par les points Z, r p assera aussi par le point H . de contact

P ROPOS I T I O N V I ( Théorème ) .

Si, dans

une

s ph è r e ,

un

cercle le plus gran d est ta n ge n t à l'un des

1. Voir livre I I , proposition IV. 2. Voir livre I, proposition XI . 3. C'est-à-dire que ce t te droite es t la dis tance polaire du cercle

.A. B I' .

LES SPHÉRIQUES DE THtODOSE DE TRiPOLI

.

cercles de Ja sphère, il sera aussi tangent à un a1,1tre cercle égal et par.allèle à ce cercle. Que, dans une sphère, le cercle le plus grand ABI' soit tangent au point r à l'un des cercles I'A. de la sphère. Je dis qµe le cercle ABr sera aussi tangent à un autre cercle égal et parallèle au cercle I'..6.. Prenons le pôle du cercle I'..6. ( 1 ) , et que ce soit le poinr E . Dé­ crivons, par les points r, E, le cercle le plus grand rE..6.BZH C ) ;. prenons un arc B Z égal à l'arc rE, et décrivons, du pôle Z , le cer­ cle BH à la distance de la droite Z B . Dès lors, puisque deu x cer"'." des ABr, I'..6. sont mutuellement tangents dans une sphère , et que le cercle le plus grand I'E..6.BZH a été décrit par l'un des pôles E et par le point de contact, il s'ensuit que le cercle I'E..6.BZH passera aussi par les pôles du cercle ABr (3 ) . E t puisque, dans une sphère, deux cercles ABr, BH coupent la circonférence du cercle le plus grand rH au même point B, en ayant leurs pôles sur cette circonférence, il s'ensuit que les cercles z ABI', B H sont tangents entre eux ( ' ) . D'autre part, puisque l'arc I'E est égal à l'arc BZ (5 ) , ajou­ tons de part et d'autre l'arc E B. et l'arc entier I'B est donc égal à l'arc entier E Z . Or, l'arc rB est un demi-cercle ; donc, l'arc E Z est aussi u n demi-cercle ; e n sorte que le point E est opposé au point Z suivant un diamètre. De plus, le point E est le pôle du cercle I'..6. ; . donc, le point Z est aussi l'autre pôle du cercle I'..6.. D'autre part, E puisque l'arc E Z est un demi-cer­ cle, et que le point Z est le pôle du cercle BH, il s'ensuit que le point E est aussi l'autre pôle du cercle BH. En conséquence, les cercles I'..6., B H ,. situés autour des mêmes pôles, sont parallèles ( ' ) ; [donc, le cercle r..6.. l.

Voir livre I, proposition XXI.

2. Voir livre 1, proposition XX. 3 . Voir livre Il, proposition V.

4. Voir livre II, proposition Ill. 5. Par hypothèse . 6. Voir livre III, proposition II.

LIVRE II

39

est parallèle au cercle BH] ( 1 ) . Enfin, puisque l'arc I1E èst égal à l arc BZ, le cercle rA est donc aussi égal au cercle BH ( 1 ) . Mais, il lui est aussi parallèle ; donc, le cercle ' ABI' est aussi tangent à un autre cercle BH, égal et parallèle au cercle I'A. '

PROPO S I T I O N VI I ( Théorème ) . Si, dans une sphère, on a des cercles égaux et parallèles, l e cercle

le plus grand qui touche l'un d'eux touchera aussi l'autre. Soient AB, I'A deux cercles égaux et parallèles dans une sphère ; j e dis qu'un cercle le plus grand, tangent au cercle AB, sera aussi tan­ gent au cercle I'A. En effet, qu'un cercle le plus grand AE soit, si possible, tangent au cercle AB au point A, et non tangent au cercle I'A. Dès lors, puis­ que, dans une sphère, un cercle le plus grand AE est tangent à l'un , des cercles AB de cette sphère, il sera aussi tangent à un autre cercle égal et parallèle au cercle AB ( 3 ) . Qu'il soit donc tangent au cercle EZ. En conséquence , puisque le cercle AB est égal et parallèle au cercle EZ, mais que le cercle AB est aussi égal et parallèle au cer­ cle I'A, le cercle I'A est donc aussi égal et parallèle au cercle EZ. Dès lors, on aura trois cercles égaux et parallèles dans une sphère ; ce qui 1 . La phrase placée e ntre crochets doit avoir été interpolée . z

2. En e ffet, si arc r E =arc B Z, on a : corde r E = corde B Z. Dès lors , si, des pôles E e t Z , o n abaisse des perpendiculaires sur les plans des deux cercles , elles tomberon t sur les ce nt��s de ces cercles, e t passeront par le centre de la sphère , e n vertu de la proposition I X du livre I . Donc : triangle r O E = triangle B O Z. Menons les rayons rr, B0 des cercles . Or, les angles en O sont égaux, e t les angles en I e t 0 sont droits ; donc (Eu­ CLIDE, livre l, prop. 26) : triangle r OI = triangle B 0 8, d 'où : rayon rI = rayon B 0 , d 'où, comme dans le texte : cercle r.:1 = cercle B H . 3. Voir livre II, proposition VI . ·

A

LES SPHtRIQUES

DE

THÉODOSE

DE

TRIPOLI

est impossible. E n conséquence, le cercle le plus grand, tangent au cercle AB, ne peut pas ne pas être tangent aussi au cercle rA ; donc il lui est tangent. P ROPOS I T ION VI I I ( Théorème ) . Si, dans une sphère, un cercle le plus grand est oblique par rapport à l'un des cercles de la sphère, il sera tangent à deux cercles égaux entre eux et parallèles au cercle que nous venons de dire. Que, dans une sphère, le cercle le plus grand ABr soit oblique par rapport à l'un des cercles B.ô. de la sphère, [c'est-à-dire qu'il ne passe pas par les pôles de ce cercle] ( 1 ) ; je dis que le cercle A.Br sera tangent à deux cercles égaux entre eux et parallèles au cercle BA. En effet, puisque le cercle ABr est oblique par rapport au cer­ cle BA, le pôle du cercle BA n'est pas situé sur le cercle ABr. Fre­ nons donc le pôle du cercle BA ( 2 ) � e t que ce soit l e point E . Décri­ vons le cercle le plu s grand AEPH par le point E et par l'un des pô­ les d u cercle ABr, et décrivons le cercle AZ à la distance AE du pôle E. Dès lors, le cercle AZ est parallèle au cercle BA ; car ces cercles sont décrits autour des mêmes pôles (3 ) . Et puisque, dans une sphère, deux cercles ABr, AZ coupent la circonféren­ ce d'un cercle le plus grand au même point A, en ayant leurs pôles sur ce cercle le plus grand, ces cercles son tangents entre eux ( ' ) . E n conséquence, le cercle ABP est tangent au cercle AZ. Dès lors, puisque, dans une sphère-, u n cercle le plus grand est tangent à l'un des cercles AZ de la sphère, il sera donc aussi tangent à un autre cercle égal et paraUèle au cercle i. La phrase ToüT' in�, !A-li ÈaTw OLà Twv noÀwv, dorü nous avons placé la traduction e ntre crochets, a probablement été interpolée · 2 . Voir livre I , proposition XXI . 3 . Voir livre I l , proposition II. - 4· Voir livre I l , proposition III. .

LIVRE

II

41

A Z ( 1 ) . Qu'il soit donc tangent a u cercle rH. Dès lors, puisque le cercle AZ est égal et parallèle au cercle rH, mais que le cercle AZ est parallèle au cercle BA, le cercle rH est donc aussi parallèle au

cercle BA. En conséquence, le cercle ABr sera tangent aux deux cercles A Z , rH égaux entre eux et paral lèles au cercle BA.

P ROPOS I T IO N IX ( Théorème ) . Lorsque deux cercles se coupent mutuellement dans une s phè re , et que l'on décrit un cercle le plus grand par leurs pôles, il coupera en deux parties égales les segments isolément pris ( 2 ) de ces cercles. Que deux cercles ZAE B, ZAEr se coupent mutuellement dans une sphère aux points E , Z, et décrivons, par leurs pôles, le cercle le plus grand AI'BA. Je dis que le cercle AI'BA coupe en deux parties égales les segments isolément pris des cercles, c'est-à-dire que l'arc ZA est égal à l'arc A E , l'arc Z B égal à l'arc BE, l'arc zr égal à l'arc I'E, et l'arc ZA égal à l'arc A E . E n effet, que la droite AB soit la section commune d u cercle ArBA et du cercle ZAE B ; la droite I'A la section commune du cercle AI'BA et du cercle ZI'EA, et menons les droites de jonction ZH, H E . Dès lors, puisque les points Z, H, E sont dans le plan du cercle A E B Z , e t qu'ils sont aussi dans le plan d u cercle ZAE I', les points Z, H, E sont donc sur la section commune de ces deux plans. Or, la section commune des deux plans est entiè­ rement ( 3 ) une droite (4) ; donc, la droite ZH est dans le prolongeI. Voir livre Il, proposition VI. 2 . Ta ;:Ï7mÀ71p.p.iv:-i. -rp.�p.cxu TW'\I xux".wv, rément des cercles .

littéralement :

les segments

.

pns sépa­

3. 7tŒv-rwç, c'est-à-dire tout à fait, ou e ntièrement. : « Si deux plans se coupent mutuellement, leur commune section est une ligne droite >>. (Voir éd. précitée de la traduction de

4. EUCLIDE, livre XI, prop. 3

PEYRARD, p. 290).

42

L E S SPHÉRIQUES D E THÉODOSE DE TRIPOLI

ment de la droite H E . Et puisque,dans une sphère, un cercle le plus grand ABI'A coupe un des cercles ZAE B de la sphère en passant par ses pôles, il le coupe en deux parties égales et à angles droits ( 1 ) ;· par conséquent, la droite AB est un diamètre du cercle ZAE B. On démontrera pareillement que la droite rA aussi est un diamètre du cercle ZAEI'. D'autre part, puisque le cercle ArBA est perpendicu­ laire sur chacun des cercles ZA E B , ZAEr, chacun des cercles ZAE B , ZAEI' est donc aussi perpendiculaire sur le cercle AI'BA. Or, si deux plans sont à angles droits sur un plan, leur section commune sera aussi à angles droits sur ce plan ( 1 ) ; donc, la section commune des plans ZAE B, ZAEI' est aussi a angles droits sur le plan AI'BA. Or, la section commune de ces plans est la droite Z H E ; donc, la droite Z H E est aussi perpendiculaire sur l e cercle AI'BA ; e n sorte qu'elle formera aussi des angles droits avec toutes les droites qui la rencontrent et qui sont situées dans le plan du cercle AI'BA ( 2 ) . Or, chacune des droites AB, I'A, situées dans le plan du cercle AI'BA, rencontre la droite Z H E ; donc, la droite Z H E est perpendiculaire à chacllne des. droites AB, I'A, et chacune des droites A B , I'A est donc perpendic u laire à la droite Z H E . Dès lors, puisque, dans le cercle Z A E B , une droite A B . qui passe par le centre, coupe à angles droits une droite qui ne passe pas par le centre, elle la coupera aussi en deux parties égales ( 3 ) ; par conséquent, la droite ZH est égale à la droite H E . Or, la droite H A est commune et à angles droits ; donc l'arc ZA est égal à l'arc A E ('' ) . On démontrera semblablement que l'arc Z B est aussi égal à l'arc B E , l'arc z r égal à l'arc I'E , e t l'arc Z � égal à l'arc AE . E n conséquence, le cercle ArBA. coupe en deux parties égales les segments isolément pris des cercles. 1 . Voir livre I , proposition XV. 2. EUCLIDE, livre XI, proposition 19, dont l'énoncé a été donné dans une note

précédente . 3. E UCLIDE, livre XI, dé finition I II. 4. E UCLIDE, livre III, proposition 3 : « Si, dans u n cercle , une droite qui passe par le centre coupe en deux parties égales une droite qui ne passe pas par le centre , la première droite coupera la seconde à angles droits , et elle la coupera e n deux parties égales ». ( Voir éd . précitée de la traduction de PEYRARD, p. 1 12 ) . 5. Les triangles Z A H , EA H ont l e côté A H commun ; les côtés Z H, H E égaux; et les angles en H droits ; donc, ils sont égaux, e t l'on a : corde ZA = corde AE, d ' où comme dans le te xte : arc ZA = arc AE.

LIVRE

II

43

P RO P OS I T I O N X ( Théorème ) . Si

l'on a des cercles parallèles dans une sphère, et si l'on décrit, par l eurs pôles, des cerc1es les plus grands, les arcs des cercles paral ­ lèles situés entre les cercles les plus grands sont semblables, et les arcs des cercles les plus grands situés entre les cercles parallèles sont égaux ( 1 ) . Soient les cercles parallèles A Br, E Z H 0 dans une sphère, et décrivons, p ar leurs pôles, les cercles les plus grands A E Hr, B Z 0A.. Je dis que les arcs des cercles parallèles situés entre les cercles les pl u s grands sont semblables, c ' est - à - d i r e que l'arc Br est semblable à l'arc Z H , l 'arc rA. semblable à l'arc H0, l'arc A.A semblable à l'arc 0 E , et l ' a r c AB sembl able à l 'arc E Z ; tan dis que les arcs des cercles l es plus grands, si t ués e ntre l es cercles pa r allèles , sont égaux, c'est-à ­ d i r e q u e l es quatre arcs Z B , Hr, 0A., EA sont ég a u x entre eux. En effet, que la droite BA. soit la section commune du cercle A BrA. et du c e rc l e B Z 0A ; la droite Ar la section commune du cer­ cle A BI'A. et du cercle AE Hr ; la droite Z 0 la section commune d u cercle E Z H 0 e t du cercle ZK0, et la droite E H la section commune d u cerc1e E Z H 0 et du cercle EKH . Dès l ors, puisque, dans u ne sphèr e , le ce r c l e le pl us grand A E Hr coupe un des cercles ABI'A. d e la s p h è r e en passant par ses pôles, i l le coupera en deux parties égales et à a n g les droits ( 2 ) ; par conséq u ent , la droite Ar est un diamètre du cercl e A BI'A. . O n démontrera semblablement q ue la droite B A. aussi est u n diamètre du cercle A B I'A. ; donc, le point A est le centre d u cer c l e A B PA.. D ' autre part, puisq ue, dans une sphère, le cercle le plus gra n d AE HP c o up e un des cercles E Z H0 de la sphère en passant pa r ses pôl es, il le coupera en deux parties égales et à angles droits ; par conséquent, l a droite E H est un diamètre du cercle E Z H0. O n A r.

N ous re produisons ci-contre l a figure qui accom­ le te xte gre c 1. ( Voir éd. de la traduction de PEYRARD, p. 155)· 2. La proposition reste vraie pour des arcs re tranchés plus grands que la moitié de l'arc e ntier. 3 . Contraireme nt à ce qui se présente dans les manuscrits et dans les éditions du te xte grec, la version arabe, traduite en latin par VoEGELIN ( 1 529), ne sépare pas ce tte proposition de la précédente , dont elle ne constitue que la réciproque, e t qui utilise , du reste , la même figure . 4. EUCLIDE, livre I I I , prop. 37 : « Dans les cercles égaux, les angles qui s 'appuient sur des arcs égaux sont égaux entre eux, soit qu'ils soient placés à leurs centres ou bien à leurs circonférences >1. ( Voi r éd. de la traduction de PEYRARD, p. 157)·

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

et la droite HK égale à la dro ite 9A ( 1 ) . En conséquence, puisque la droite AM est égale à la droite AN ; droites sur lesquelles la droite AK est égale à la droite AA, la droite restante KM sera donc égale à la droite restante AN. Or, la droite BM aussi est égale à la droite NE ; donc, les deux droites KM, M B sont respectivement égales aux deu x droites AN, N E ; l angle compris sous les droites KM, M B est égal à l'angle compris sous les droites A N , N E , et la base KB est donc égale à la base AE. Et puisque la droite H K est perpendiculaire sur le plan du cercle ABI', elle formera donc aussi des angles droits avec toutes les droites qui la rencontrent et qui sont situées dans le plan du cercle ABI'. Or, la droite KB la rencontre ; donc, l'angle compris sous les droites HK, KB est droit. On démontrerait semblablement que l'angle compris sous les droites 0A, AE est droit aussi. Dès lors, puisque la droite HK est égale à la droite 0A, et la droite KB égale à la droite A E , les deux droites HK, KB sont respectivement égales aux deux droites 0A, AE , et elles comprennent des angles droits ; donc la base HB est égale à la base 0E ( 2 ) . '

P ROPOS I T IO N X I I I ( Théorème ) . Si l'on a des cercles ,parallèles dan s une sphère, et si l'on décrit des cercles les plus grands tangents à l'un de ces cercles et coupant les autres, les arcs des cercles parallèles situés entre les demi-cercles non concourants ( 3 ) des cercles les plus grands sont semblables, tandis que les arcs des cercles les plus grands situés entre les cercles paral­ lèles sont égaux. Soient ABI'A, E ZH0, KA des cercles parallèles dans une sphère, et décrivons les cercles les plu s grands AE KH�T , , B ZA0ATY tan­ gents à l'un des cercles KA aux points K, A, et coupant les cercles restants. Je dis que les arcs des cercles parallèles, situés entre les demi­ cercles non concourants des cercles les plus grands, sont semblables. On reconnaîtra d'ailleurs de la manière suivante les arcs qui sont r . E UCLIDE, livre III, prop. 29, e t livre I , prop. 26, d o nt les énoncés ont été repr oduits dans des notes antérieures 2. EUCLIDE, livre I, prop. 4. 3 . •6°>v cl11V!J-•Ù>•wv lii-c-�xuxÀiwv, littéralemen t : des demi-cercles ne se re ncontrant pas ; c'es t-à-dire des -demi-cercles non concourants

LIVRE Il

49

situés entre les demi-cercles non .concourants : puisque, dans une sphère, les cercles les plus grands se coupent mutuellement en deux parties égales ( 1 ) , il s'ensuit que �KAT est un arc de demi-cercle ; donc, l'arc KAT est plus petit que celui d'un· demi-cercle. D'autre part, puisque T� est un arc de .demi-cercle, l'arc K� HrT est donc plus grand que celui du demi-cercle. Mais l'arc KAT est plus grand que celui d'un demi-cercle, donc, que l'arc KAT soit celui­ d'un demi-cercle. Derechef, puisque �BT est un arc de demi-cercle, l'arc A� B T est donc plus grand que celui d'un demi-cercle. Dès lors, prenons l'arc de demi-cercle A� BY ; il s'ensuit que le demi­ -cercle qui part du point K, c'est-à-dire le demi-cercle KAT, ne se rencontre pas avec le demi-cercle qui part du point A, c'est-à-dire le demi-cercle A� BY. De même, le demi-cercle K�Hr ne se rencon­ tre pas avec le demi-cercle � TY ; donc, les arcs des cercles par�l � lèles situés entre les demi-cercles non concourants des cercles les plus grands sont les arcs K P A , E:SZ, A N B , H00, ITI.::l (2 ) . Dès lors, je dis que les arcs KP A, E :SZ, A N B sont semblables ; que les arcs KP A, HOE>, I'IT.::l sont aussi semblables entre eux ; tandis que les arcs des cercles les plus grands situés entre les cercles parallèles sont égaux, c'est-à-dire que l es quatre arcs E K , K H , ZA, A0 sont égaux entre eux, et que les quatre arcs A E , B Z , HI', 0.::l sont égaux entre eux . . E n effet, prenons le pôle des cercles parallèles ( 3 ) ; que ce soit le point M, et décrivons les cercles les plu s grands MK:S N , MAOIT par le point M et par chacun des points K, A ('' ) . Dès lors, puisque, dans une sphère, deux cercles A E K H I'T, KA sont mutuellement tangents au point K, et que le cercle le plus grand MK:SN a été décrit par les pôles de l'un de ces cercles KA et par le point de contact, il s'ensuit I. EUCLIDE, livre 1, prop. I I . 2 . La proposition n e st établie que pour des arcs de demi-cercles non concourants de gr a nds cercles qui partent des points de contact K e t A. 3 . Voir l i vre 1 , proposition XXI . 4. Voir livre 1, proposition XX. '

LES

.s a

SPHÉRIQU ES DE THÉODOSE D E TRIPOLI

que le cercle MKEN passera aussi par les pôles du cercle A E KHI'T C ) , et qu'il sera perpendiculaire ( 2 ) . On démontrerait de même que le cercle MAOIT passera aussi par les pôles du cercle B ZA0A T, et qu'il lui sera perpendiculaire. D'autre part, puisque, dans les cercles égaux A E K HI'T, B ZA0A T, on a élevé, sur les diamètres, des points K, A, les segments égaux et perpendiculaires de cercle KM, A M et ce qui les continue ; que des arcs égaux KA, MA, plus petits que les moitiés des arcs entiers, ont été retranchés dans ces segments, et que la droite de jonction menée du point M au point A est égale à la droite de jonction menée du point M au point A ( 3 ) , il s'ensuit que ces droites découperont des arcs égaux ( ' ) , et que l'arc AK est donc égal à l'arc AA. Pour les même s raisons, d'ailleurs, l'arc E-K sera aussi égal à l'arc A0. E t puisque deux cercles ABI'A, AEKHI'T se coupent mutuel lement dans une sphère, et que le cercle le plus grand M KEN a été décrit par leurs pôles, ce cercle MKE N coupera donc les segments pris isolément en deux parties égales ( 5 ) ; par con­ séquent, l'arc AEK est égal à l'arc KHI', et l'arc AN égal à l'arc NI'. On démontrerait semblablement que l'arc BA est aussi égal à l'arc AA, et l'arc BIT égal à l'arc �- Dès lors, puisque l'arc AEK est égal à l'arc A 0A ; que l'arc AE K HI' est le double de l'arc AEK, et l'arc A0AB le double de l'arc A0A, il s'ensuit que l'arc AEKHI' est égal à l'arc A0A B . De plus, les cercles sont égaux, car ce sont des cercles les plus grands ; par conséquent, la droite de jonction menée du point A au point r est égale à la droite de jonction menée du point A au point B ( ' ) , et, par suite, l'arc ABI' est égal à l'arc AI'B ( 7 ) . Or, l'arc AN est la moitié de l'arc ABI', et l'arc BIT est la moitié de l'arc BITA ; donc, l'arc AN est égal à l'arc BIT. Ajoutons de part et d'autre l'arc NB, et l'arc entier ANB est donc égal à l'arc -:ntier N BII. De plus, ces arcs appartiennent au même cercle ( ) ; donc, l'arc A N B est semblable à l'arc N BII. Mais l'arc NBII est semblable à l'arc KA ; car, si, dans une sphère, on a des cercles parallèles, par 8

1. Voir 2. Voir 3 . Voir 4. Voir 5. Voir

6. 7. 8.

proposition V.

livre I , proposition XIV.

livre 1 , définition V proposition XI. proposition IX. EUCLIDE, livre III, prop. 29. EUCLIDE, livre Ill, prop. 28. Ces arcs sont pris sur deux grands œrdcs, c'es t-à-dire sur des mêmes cercles .

LIVRE II

51

les pôles desquels on décrit des cercles les plus grands, les arcs des cercles parallèles situés entre les cercles les plus grands sont sem­ blables ( ) De plus, K A, N BI'II sont des arcs de cercles parallèles situés entre les cercles les plus grands M N , MII qui passent par les pôles de ces cercles ; par conséquent, l'arc A N B est aussi semblable à l'arc KA. On démontrerait pareillement que l'arc E S Z aussi est semblable à l'arc KA ; donc, l'arc AB aussi est semblable à l'arc E Z. E t comme l 'on démontrerait encore pareillement que l'arc I'IIA aussi est semblable à l'arc H00, il s'ensuit que les arcs de cercles parallèles ' situé s entre les demi-cercles non concourants des cercles les plus grands sont semblables. Au reste, je dis que, de plus, les arcs des cercles les plus grands situés entre les para�lèles sont égaux. En effet, puisque les quatre arcs A E K, K HI', BZA, A0A sont égaux entre eux, et que, sur ceux-ci, les quatre arcs E K , KH, ZA, A0 sont égaux entre eux, [car le cercle le plus grand KN coupe de la même manière les segments isolés EKH, E S H et ZA0, Z00 en deux parties égales ( 2 ) ; en sorte que l'arc EK est éga l à l 'arc KH ; mais, l'arc EK a été démontré être égal à l'arc Ae ; donc, l'arc KH est aussi égal à l 'arc A0. Mais, l'arc 0A est égal à l'arc AZ ; donc, l'arc A Z est aussi égal à l'arc K H ; en sorte que les quatre arcs E K, K H , ZA, A0 sont égaux] (3 ) , il s'ensuit que les quatre arcs restants A E , B Z , rH, 0A sont égaux entre eux. E n conséquence, les arcs de cercles les plus grands situés entre les cercles parallèles sont 1

.

égaux.

P ROPOS I T IO N X IV ( Problème ) .

Etant donnés, dans une sphère, un cercle plus petit qu'un cercle l e plus grand et un point sur la circonférence de ce cercle, décrire, par ce point, un cercle le plus grand tangent au cercle donné. Soit donné, dans une sphère, le cercle AB plus petit qu'un cercle le plus grand, et soit donné le point B su r la circonférence de ce cercle ; 1 . Voir proposition X. 2 . Voir proposition I X .

3 . La phrase que nous avons placée entre croche ts doit avoir été interpolée par un scoliaste grec

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

il s'agit de décrire, par le point B, un cercle le plus grand tangent au cercle AB. E n effet, que te point I' soit le pôle du cercle AB ; décrivons, par les points I', B, le cercle le plus grand I'BA, et retranchons-en un arc AB égal à celui qui est sous-tendu par le côté du carré inscrit dans un cercle le plus grand ( 1 ) . [Il ne peut d'ailleurs se faire que l'arc Br soit un quad rant, sinon AB serait un cercle le plus grand ( 2 ) ; ce qui est contraire à l'h ypothèse ; donc, l'arc I'B n'est pas un quadrant] ( 3 ) . Décrivons, du pôle A, le cercle E B Z à la distance de la droite AB ; donc, E B Z est un cercle le plus grand ; car la droite menée de son pôle est égale au côté du carré inscrit dans un cercle le plus grand ( ) . D'autre part , puisque, dans une sphère, deux cercles AB, EBZ touchent, au même point B , la circonférence d u cercle l e plus grand BI'A sur laquelle ils ont leurs pôles, ces cercles seront mutuel­ lement tangents (5 ) . Donc, le cercle AB est tangent au cercle E B Z. E n conséquence, on a décrit, par le point donné B , le cercle le plus grand E B Z , lequel est tangent au cercle AB au point B . r

'

P ROPOS I TION X V ( Problème ) . Etant donnés, dans une sphère, un cercle plus petit qu'un cercle le plus grand, et, à la surface de cette sphère, un point situé entre ce cercle et un cercle égal et parallèle, décrire, par ce point, un cercle le plus grand tangent au cercle donné. Soit donné, dans une sphère, le cercle AB plus petit qu'un cercle le plus grand, et soit donné, à la surface de la sphère, le point r situé I . C'est-à-dire retranchons un quadrant 2. Voir livre I , proposition XVI I .

de ce grand cercle .

3 . L a phrase que nous avons placée e ntre croche ts doit avoir é t é interpolée 4. Voir Voir

5.

livre I, proposition proposition I I I .

XVI I .

LIVRE II

53

entre le même cercle AB et un cercle qui lui est égal et parallèle. II s'agit donc de décrire, par le point r, un cercle le plus grand tangent au cercle A B . En effet, prenons le pôle du z cercle AB ( 1 ) , et que ce soit le point A. Décrivons, du pôle A, le cercle rE Z H à la distance Ar, et, par les points A, r, décrivons le cercle le plus grand Ar0 ( 2 ) . L'arc Br est donc plus petit que l'arc que sous-tend le côté du carré inscrit dans le cercle le plus grand, ou il est égal à cet arc, ou il est plus grand que cet arc. Qu'il soit d'abord plus petit. Découpons un arc B0 égal à celui que sous­ tend le côté du carré inscrit dans le cercle le plus grand, et, du pôle 0, décrivons le cercle E B H à la distance B0. Le cercle E B H est donc un cercle le plus grand ( 3 ) , car la droite menée de son pôle est égale au côté du carré inscrit dans un cercle le plus grand. Ce cercle sera aussi tangent au cercle AB ; car, les deux cercles E B H , AB coupent, au même point B, la circonférence du cercle le plus grand ABI'0 sur laquelle ils ont leurs pôles (' ) . Décrivons encore les cercles les plus grands �M E K, A N HA par le point A et par chacun des points E, H , et découpons les arcs E K , HA, tous deux égaux à l'arc re. Dès lors, puisque, dans une sphère, deux cercles E B H , Z ErH se coupent mutuellement, et que le cercle le plus grand ABr0 a été décrit par leurs pôles, il coupera donc en deux parties égales les segments isolé­ ment pris de ces cercles ( 5 ) ; par conséquent, l'arc E r est égal à l'arc rH, et l'arc E B égal à l'arc B H . Et puisque les trois arcs AE , Ar, .D.H sont égaux entre eux ( 6 ) ; car ils sont issus du pôle du cercle Z E H , et que les arcs .D.M, .D.B, .D.N sont aussi égaux entre eux ( 7 ) , I.

2.

3.

4.

5.

6. 7.

Voir Voir Voir Voir Voir Voir Voir

livre I , proposition XXI . livre I , proposition XX. livre I, proposition XVII. proposition III. proposition I X. livre I , dé finition V. livre I , dé finition V.

54

L E S SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

il

s'ensuit que les arcs restants M E , Br, N H sont égaux. Mais, les arcs EK, r0, H A sont aussi égau x entre eux ; donc, les arcs entiers l\1 K, B0, NA sont égaux entre eux. Or, l 'arc B0 est égal à celui que sous-tend le côté du carré inscrit dans l e cercle le plus grand ( 1 ) ; donc, les arcs M K , NA sont aussi égaux à celui que sous-tend le côté du carré. Et puisque, dans une sphère, le cercle le plus grand ABr0 co up e un des cercles Z E r de cette sphère en passant par ses pôles, il le coupe en deux parties é ga les et à angles droits ( 2 ) ; par conséquent, le cercle ABr0 est perpendiculaire sur le cercle Z ErH. On démon­ trerait semblablement que le cercle A N HA aussi est perpendiculaire sur le cercle Z ErH , et que le cercle A M E K est perpendiculaire sur le cercle Z ErH . Menons les droites de jonction A N , Ar, 0E . Dès lors, puisque les segments de cercle r0; HA, é ga u x et perpendiculaires, ont été élevés, avec leur complément, sur les diamètres du cercle Z ErH amenés des points r, H ; que l'on a retranché, de ces segments, des arcs égau x re, HA plus petits que les moitiés des arcs entiers de ces segments, et que l'arc Er est égal à l'arc rH , il s'ensuit que la droite 0 E est éga le à l a droite Ar (3 ) . Or, la droite 0 E est celle du carré (' ) ; donc, la droite Ar est aussi égale au côté du carré inscrit dans le cercle le plus grand. Mais, AN est aussi le côté du carré in scr it dans le cercle le plus gra nd ; donc, la droite rA est égale à la droite AN ; en sorte que le c er cle décrit du pôle A, à la distance Ar, passera aussi par le point N. Qu'il passe par ce point, et soit tel que le cercle I'NS. Dès lors, le cercle rNS est un cercle le plus grand ( 5 ) ; c ar la droite menée de son pôle est égale au côté du carré inscrit dans le cercle le plus grand. Enfin, puisque , c;lans une sphère, deux cer­ cles rNE, A B coupent, au même point N, la circonférence du cercle le plus grand A N HA sur laquelle ils ont leurs pôles, ils seront donc tangents entre eux, et le cercle rNS est donc tangent au cercle AB ( ' ) . r.

2.

Par construction.

Voir livre 1, proposition XV. 3. Voir proposition XII 4. -rt-rpayw-vou ôl Ti 8E, littéralement : Or, la (droite ) 0 E c'est-à-dire que la droite 0E e s t le côté du carré inscrit dans sphère. (Voir livre 1, proposition XVI).

5.

Voir livre 1 , proposition XVI I .

6 . Voir proposition I I I .

(est celle ) du carré, le grand ce rcle de la

LIVRE 11

55

Nous démontrerons semblablement que le cercle décrit du pô l e K, à la distance Kr, passe aussi par l e point M . Si nous menons les droites d e jonction' rK , 0 H , elles s ero nt égales entre elles. En effet, dans le cer c l e Z E rH, les segments de cercle EK, re égaux et perp e ndicu l ai r es ont, de même, été élevés, avec leur co mpl éme n t , sur les diamètres a me n é s des po i n ts 0, E, e t l'on a retranché, des segments ainsi élevés, des arcs égaux EK, re plus petits que les moitiés de leurs arcs entiers, tandis que des arcs éga u x E r, r H ont été retranchés du cercle considéré d'abord . E n c o n sé ­ quence, la d r o i te I'K aussi est é ga le à la droite 0 H ( 1 ) . O r , la droite 0H est le côté d u carré ( 2 ) ; car elle est issue du pôle du cercle le pl u s grand E B H ; donc, la droite r:K est aussi le côt é du carré. M ai s , la d ro i t e KM l' e s t aussi ( 3 ) ; donc l a droite KM e st égale à la droite Kr. En c o nsé q u e nce, le cercle décrit du pôle K, à la dis t a nc e Kr, passe aussi par le p o i n t M ; il sera tel que le cercle I'M O ; il sera ta n ge nt au cercle AB, et le problème est résolu d'une double manière. Dès lors, le cercle le pl us grand rNE et le cercle le plus g ra n d I'MO, s o n t décrits par le p o i n t donné r, l equ el est situé entre le cercle AB et le cercle q u i lui est égal et parallèle ( '' ) . D'autre part, s i l'arc Br est égal à l'arc que sous-tend le côté du carré inscrit dans le ce r c le le pl us grand, et si les constructions sont les mêmes que les pré c é de n t e s , la d émo n s t ratio n sera la suivante : P uis q ue l'arc -6.r est égal à chacun d e s arcs -6. E , Â H ; arcs sur l e squel s l 'arc -6. B e s t égal à c h a c u n des arcs ÂM, Â N , il e n rés ulte que l'arc restant B r est égal à chacun de s arcs N H , E M . Or, l 'a r c B r est celui d u carr é ( 5 ) ; donc, chacun des arcs N H , EM est aussi celu i d u carré ( 6 ) . Dès lors, puisque l'arc N H est celui du carré, mais que r.

Voir proposition XII . Voir livre I , proposition XVI . La d roi te K M e s t aussi égale au côté du carré inscrit dans un grand cercle . 4. Tout le reste de la proposition présente , à partir de cet e ndroit, des remanie ­ me nts qui ont profondément altéré le te xte original de THÉODOSE dans les copies manuscrites qui servirent de base aux premières éditions gre cques de PENA e t de HUNT. L'édition de N IZZE, qui se borne à reproduire les précédentes , place néa n­ moins toute la fin de la démonstration e ntre crochets pour en marquer l'inauthen­ ticité, e t elle consacre une longue note latine à un essai de reconstitution. (C f . éd. précitée de N1zzE, p. 37) . Notre traduction française suit le texte critique de HEI­ BERG, lequel rétablit complètement le passage altéré d'après de meilleurs manus­ crits. 5. L'arc Br es t un quadrant par hypothèse ; donc il est sous-tendu par le côté du carré inscrit dans le grand cercle de la sphère . 6. C 'est-:t-dire que les arcs N H , E M sont aussi des quadrants de grands ce rcle:. . 2. 3.

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

l'arc Hr l'est aussi ( 1 ) , vu que l'arc Hr est issu du pôle du cercle E B H, il s'ensuit que l'arc NH est égal à l'arc rH ( 2 ) . En consé­ quence, le cercle décrit du pôle H, à la distance rH, passe aussi

par le point N. On démontrerait de même que le cercle décrit du pôl e E, à la d i stan ce Er, passe aussi par le point M (3 ) , et le pro­ blème est ainsi résolu d'une double manière. E nfin, si l'arc Br est plus grand qu'un quadrant, complétons le cercle ABr0 j usqu'à l'autre pôle. Dès lors, puisque l'arc, mené du point r au pô le � du cercle parallèle au cercle AB ( ' ) , est pl u s petit qu'un quadrant, vu que l'arc mené du pôle  du cercle AB à l'autre pôle � est un demi-cerGle, et que l'arc Br est plus grand qu'un quadrant, découpons-en un arc égal à celui que sous-tend le côté du carré (5) ; menons les droites de jonction, et , les constructions étant les mêmes que les précédentes, nous démontrerons que le cercle mené par le point donné r est tangent au cercle donné, [c'est-à-dire au cercle AB] ( 6 ) . PROP O S I T I O N XVI

( Théorème ) .

Dans la sphère, les cercles les plus grands qui découpent des arcs semblables de cercles parallèles passent par les pôles de ces parallèles, ou bien sont tangent s au même d'entre ces parallèles. Que dans une sphère, les cercles les plus grands AE HI', B Z0A découpent, dans leur intervalle, des arcs semblables sur des cercles parallèles A B I'A , E Z H0, c'est-à-dire que l 'arc AB soit semblable à l'arc E Z. Je dis que les cercles AE HI', B Z0A passent par les pôles des parallèles, ou bien sont tangents au même d'entre ces paral­ lèles. I.

Voir livre 1 , proposition XVI. 2. On a : arc B r =arc N H. Or, B r étant un quadrant, le point r est le pôle du

grand cercle EBH ; donc, arc r H =arc Br, d'où, comme dans le texte : arc N H =arc r H. 3 . On a : arc B r =arc EM. Or, Br étant un quadrant, le point r est le pôle du grand cercle EB H ; donc, arc rE = arc B r, d'où : arc EM= arc rE, donc, le cercle décrit du pôle E, à la distance rE, passe par le point M. 4. Le pôle cf>, opposé au pôle ll. du cercle AB, n'est pas indiqué sur la figure qui accompagne le texte . 5. C'est-à-dire découpons un quadrant. 6. Les mots que nous avons mis entre crochets ont probablement été interpolés

LIVRE II

57

Le cercle A H I' passe o u non par les pôles des parallèles . Qu'il passe d'abord par les pôles des parallèles ; je dis que le cercle B0.6. passe aussi par les pôles des parallèles, c'est-à-dire que le point K est le pôle des cercles parallèles ABI'.6., E Z H8. E n effet, qu'il n'en soit pas ainsi ; mais qu'un point A soit, si pos­ sible, le pôl e des parallèles, et, par les points A, Z, décrivons le cercle le plus grand AZ M . Dès lors, l'arc A B M est semblable à l'arc E Z ( 1 ) . Mais, l'arc E Z est semblable à l'arc AB ; par conséquent, l'arc AM est aussi semblable à l'arc AB. Or, ces arcs appartiennent au même cercle ; donc, l 'arc AM est é gal à l'arc AB ( 2 ) ; ce qui est im­ possible. Dès lors, le point A n'est pas le pôle des parallèles . On dé­ montrerait semblablement que le pôle n'est autre que le point K ; donc, le point K est le pôle des paral lèles . En conséquence, les cercles AHI', B 0.6. passent par les pôles des parallèles. Mais, qu'au contraire, le cercle AHI' ne passe pas par les pôles des parallèles ; il sera don � tangent au cercle E Z H 0, ou bien oblique sur ce cercle ( 3 ) . Qu'il lui soit d'abord tangent au point E , comme cela se présente dans la seconde figure ( 4 ) ; j e dis que l e cercle Z B sera aussi tan­ g ent ( 5 ) . r.

Voir proposition X.

2. Le te xte critique de HEIBERG abandonne ici un petit commentaire interpolé qui renforce inutilement le rais onnement par l'absurde en disant : fi !-lEl�wv tjj' iÀcicraovL , c'est-à-dire : « le plus grand (arc est égal) au plus pe tit >>. 3 . -fi ÀoÇo� Ëcr-:1J� 7tpo; a1hov, littéralement : « ou bien il sera oblique sur ce

(cercle ) », c'est-à-dire que le plan du cercle A H r ne coupera pas le plan du cercle E Z 0 à angles droits , sinon il passerait par les pôles de ce cercle ; ce qui es t contraire à la se conde hypothèse . 4. Dans les éditions de PENA et de HUNT cette se conde figure présente l'erreur d'avoir l'arc de grand cercle B Z .l passant par le point de contact E des cercles E Z 0, AEr, ce qui est impossible . La figure de l'édition de NIZZE corrige cette erreur. 5. C 'est-à-dire que le cercle Z B sera aussi tangent au cercle E Z H 0.

LES

SPHÉ RIQUES DE THÉODOSE

DE

TRIPOLI

effet, que ce cercle ne soit pas ta n g e n t , s'il se peut ( 1 ) , et, par le point Z, m e no n s le cercle le plus g ra nd zr t a n g e n t au cercle E Z ; de manière que le demi-cercle partant de l 'arc zr ne soit pas con­ courant avec le demi-cercle partant de l'arc EA. D è s lors, l'arc I'A sera 9 se m b l a b l e à l ' a rc E Z ( 2 ) . Mais, l 'arc E Z est semblable à l 'arc AB ( 3 ) ; don c , l 'arc rA est a us s i s e m b lab l e à l 'arc A B . Or, ces arcs font partie x .1 d ' u n même cercle ; par conséquent, l'arc I'A e s t égal à l 'arc AB ; ce qui est imposs i bl e . E n conséquence, le cer c l e B Z.6. ne peut pas ne pas être t a n g e n t au cercle E Z0 ; donc i l l ui B r sera tangent. Mais, que le cercle AHI' soit maintenant obl i q u e sur les paral l è l e s , comme la chose se p r é se n te dans la troisième figure . Dès lors, ce cercle sera tangent à deux cercles égaux entre eux et pa r a llè l es aux cercles ABr.6., E Z H 0 (4 ) . J e dis que le cercle B Z 0 es t aussi oblique sur l es paral lèles, et qu'il sera tangent au même cercle ( 5 ) . E n effet, que le cercle AE H I' soit, si possibl e, tangent à l'un des p a r a l lè l e s ME au point A ; que l e cercle B Z 0.6. n e lui soi t pas tangent, et, par l e - poi n t Z, situé entre le cer­ cle AM et le cercle qui lui est égal En

1 . Le te x te nous para î t prése nter ici une pe t i te la cune q11e l ' on peu t remplir de la manière suivante : . et que chacun des cercles AEB, H E 0 est perpendiculaire sur le cercle AHB0. Menons� r r-------+--ll z

I . Voir livre I , pr oposition XV.

2. 3.

E UCLIDE, livre E UCLIDE, livre

1, proposition 15. 1, proposition 4 .

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

donc, des points r, !:::.. , les perpendiculaires rK , !::..A sur le plan du cercle AH B0, et menons les droites de jonction AK, AB. Dès lors, puisque l'arc E H est égal à l'arc À E 0 ( 1 ) , parce que le point E est le pôle, et puisque, sur ces arcs, l'arc I'E est égal à l'arc E t::.. , il / s'ensuit que l'arc . restant rH est égal à l'arc restant 1:::..0 . En consé­ quence, puisque le segment de ,. �----+--i-------n'7""1 8 cercle H E 0 e st perpendiculaire ; que l'on retranche deux arcs égaux Hr, �0. et que les droites I'K, !::.. A sont menées perpendiculaire­ ment sur le plan du cercle AH B0, il s'ensuit que la droite rK est égale à la droite !::.. A , et que la droite H K est égale à la droite 0A (2 ) . De plus, la droite . entière H Z est égale à la droite entière Z0 ; donc, la droite restante KZ est égale à la droite restante AZ . Or, la droite AZ est aussi égale à la droite BZ ; donc, les droites AK, AB sont égales ( ) Dès lors, puisque la droite AK est égale à la droite AB, et que la droite rK est égale à la droite t::..A , les deux droites AK, Kr sont donc respectivement égales aux deux droites BA, At:l., et l'angle compris sous les droites rK, KA est égal à l'angle compris sous les droites !::.. A , AB ; car chacun de ces angles est droit (' ) . En consé­ ,q uence, la base Ar est égale à la base t::.. B ( 5 ) . E

z

/{

3

.

P ROPOS I T I O N IV ( Théorème ) . Si deux cercles les plus grands se coupent mutuellement dans une sphère ; si l'on retranche sur l'un d'eux des arcs égaux consécutifs de 1 . Voir livre

I, définiti on V . E UCLIDE, livre I , proposition 26, dont l 'énoncé a é t é re produit d a ns une note antérieure . On a donc : arc H r = arc a e , d ' où : corde H r = corde 11 0 . Or, les angles r H K, 11 0 A, mesurés par les arcs égaux r e , Ll H, s ont égaux, tandis que les angles en K et A s ont droits ; donc : triangle r H K = triangle Ll 0 A , d ' où : rK = 11 A, e t H K = 0A. 3. E UCLIDE, livre I, proposition 4. 4. E UCLIDE, livre XI, définition I I I . 5 . E lTCJ.IDE. livre I . proposition 4. 2.

LIVRE Ill

91

part et d'autre du point où ces cercles se coupent mutuellement ; si, par les po ints ainsi déterminés ( 1 ) , l'on mène des plans parallèles, dont l'un rencontre la section commune des plans ( 2 ) en dehors de la sur­ face de la sphère, du côté du point que nous venons de dire ( 3 ) , et si l'un des arcs égaux est plus grand que chacun des arcs découpés j usqu'à ce même point par les plans que l'on a menés, l'arc situé entre Je point et le plan non concourant ( ) est plus gra n d que l'arc du mêm e cercle situé entre le point et le plan concourant. Que deux cercles les plus grands AE B, I'EA se coupent mutuel­ lement dans une sphère au point E. Retranchons, de l'un de ces ce r ­ cles AE B , deux arcs égaux consécutifs A E , E B de part et d'autre du point E . Menons, par les points A, B , les plans parallèles AA, I'B, p armi lesquels le plan AA rencontre la section commune des cercles AEB, I'EA en dehors de z la surface de la sphère, du côté du point E, et que l'un des arcs égaux AE, E B soit plus grand que chacun des arcs I'E , EA. Je , 0�. D'autre part, puisque le cercle OKII est parallèle au cercle AHM, et que le cercl e OKII rencontre la section commune des cercles H0K, A0P à l'intérieur, c'est-à-dire du côté du centre de la sphère, il s'ensuit que le cercle A H M ren­ contrera la section commune des cercles H 0K, AE>P à l'extérieur de la surface de la sphère, du côté du point 0 ( 8 ) . Dès lors, puisque deux cercles les plus grands HE>K, �0P se coupent mutuellement dans une sphère ; que, sur l'un de ces cercles H0K, des arcs égaux consécutifs 1. C 'es t-à-dire perpendiculaireme nt au cercle OKIT, suivant le diamètre partant du point P . 2 . C 'est-à-dire plus pe tit que la moitié de l'arc e ntier du se gment de ce rcle complété éle vé pe rpendiculaireme nt au cercle parallèle O K IT . 3. Voir livre I I I , proposition I . 4 . C 'est-à-dire les cercles A 0 P, O K IT . 5. EUCLIDE, livre III, proposition 28, dont l 'énoncé a été d onné dans une note précédente . 6. La phrase que nous a vons pla cée entre croche ts doit a voir été interpolée ; car elle est inutile , e t elle d ébute par la locution op.o(wç E {7tOVW; qui e s t inusitée dans les démonstrations de THÉODOSE. 7. Par hypothèse . 8. Si l ' on considère le point de conj onction 0, situé dans l'hémisphère d éterminé par le grand cercle A B r , e ntre les cercles parallèles A H M, O K TI , l'interse ction des cercles H 0 K, A E> P passe par ce point, et rencontre le plan du cercle O K TI, à l 'in­ térieur de la s phère , avant de passer par le ce ntre de la s phère , lequel se trouve dans le plan du grand parallèle B Z r ; d onc, ce t te interse ction rencontre le plan du cercle parallèle A H M à l'extérieur de la sphère , au-dessus du point 0 .

96

LES SPHÉRIQUES D E THÉODOSE D E TRIPOLI

K0, 0H sont découpés de part et d'autre du point 0 ; que, par les

points H, K, on a mené les plans parallèles .A.HM, OKII, d'entre lesquels le plan AHM rencontre la. section commune des plans H0K, �0P en dehors de la surface de la sphère, du côté du point 0, et que l'un des arcs égaux K0, 0H est plus grand que chacun des arcs P0, 0� . il s'ensuit que l'arc P0 est aussi grand que l'arc 0� ( 1 ) . Mais, l'arc P0 est égal à l 'arc O N , et l'arc 0� est égal à l'arc NA ( 2 ) ; donc, l 'arc ON est aussi plus grand que l'arc NA ( ) 3

.

P ROPOS I T I O N VI ( Théorème ) . Si le pôle

de

parallèles est situé sur la circonférence d'un cercle

1 .· Voir p ro p os i t i o n I V. 2. Voir livre II, p r op osi tio n X. 3 . La Collection Mathématiq11 e de PAPPUS c o ntie n t une autre dém ons t ra t io n de ce tte propos itio n . Elle es t basée sur les pr oprié tés des t ria n gles s phériques , d arc Z N > arc N H ' arc .... A > arc A M >. BE +arc E O +arc 00 > arc El II +arc IIK ou, (EUCLID E, hv. V, prop. 3 4) : arc llA +arc A M +arc M Z arc Z N + arc N H' arc arc B 0 arc 0KI -z · comme dans le texte : - Aarc .... z > arc H 4. Voir la note relative au même passage de la proposition précéde nte . 5. Voir livre I , proposition XX.

1 10

LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

avec l'arc ZA, l'arc B0 est d o nc à l 'arc AZ comme l'arc 8N est à un arc plus petit que l'arc Z!.M C ) . Or, l'arc B 0 est à l'arc AZ comme l'arc 0K est à l'arc ZA ; donc, l'arc 0K est à l'arc ZA comme l'arc " 0 N est à un arc plus petit que l'arc Z M , et, par permutation, l'arc 0K est à l'arc 0N comme l'arc ZA est à un arc plus petit que l'arc Z M . Or, l'arc 0K est plus petit que l'arc 0N, donc, l'arc AZ est aussi plus petit que l'arc plus petit que l'arc Z M . Mais il est aussi plus grand ; ce qui est impossible ( 2 ) ; par conséquent, l'arc B0 n'est p a s à l'arc AZ c o m m e l'arc 0K est à un arc plus grand que l'arc Z H . Je dis que ce ne sera pas comme l'arc 0 K est à ce dernier arc même. En effet, que l'arc B0 soit, si possible, à l'arc AZ comme l'arc 0K est à l'arc ZH, ainsi que cela se présente dans la troisième figure. Divisons chacun des arcs AZ, ZH en deux parties égales aux points A , M , et, par chacun des points A , M e t par le pôle A , décrivons les cercles les plus grands AN, M:S. Dès lors, puisque les arcs consé­ cutifs AA, AZ sont égaux entre eux, les arcs B N , N0 sont donc consécutivement plus grands l'un que l'autre à partir du plus grand arc B N (3 ) , et l'arc B0 est donc plus grand que le double de l'arc 0 N . O n démontrerait d e même que l'arc K0 est pl us pe t i t que l e double de l'arc 0E . En conséquence, puisque l'arc B0 est plus grand que le double de l'arc 0N, et que l'arc K0 est plus petit que le double de l'arc 0:.S, le rapport de l'arc B0 à l'arc 0N est donc plus grand que celui de l'arc K0 à l'arc 0$, et, par permutation, le rapport de r.

Voir la première partie de la démonstration.

arc B8 arc B N on aura : - ,.= - P arc u. z'"" -. arc . arc B0 arc 0K arc 0K arc 0 N . par hypothese . on a : = Or · d onc : ---- = - -- d ou comme arc Z A arc P ' arc f:l Z arc Z A ' arc 0 K arc Z A Or, arc S K < arc 0 N ; donc : arc ZA< arc P< arc dans le te xte : N = -P . arc ô arc a ZM ; ce qui est impossible , car on a posé : a r c Z A >arc Z M. 3. Voir proposition VI . ' · par p 2. S1. l'o n des1gne ·

'

-

·

un arc p1us petit que l' arc -

--

ZM

-

,

'

LIVRE Ill

III

l'arc B0 à l'arc 0K est plus grand que celui de l'arc N9 à l'arc 0E. Or, l'arc B8 est à l'arc 0K comme l'arc �z est à l'arc ZH ; donc, le rapport de l 'arc N0 à l'arc 0E est plus petit que celui de l'arc �z à l 'arc Z H . Mais, l'arc AZ est à l'arc s Z M comme l'arc �z est à l'arc Z H ; par conséquent le rapport de l'arc 8N à l'arc 0E est plus petit que celui de l'arc AZ à l'arc i M , et, par permutation, l e rapport de l'arc N0 à l'arc AZ est plus petit que celui de l 'arc 8E à l'arc Z M . Dès lors, si nous faisons en sorte que l'arc N8 soit à l'arc AZ comme l'arc 0E est à un autre arc, ce sera à un arc plus grand que l'arc Z M ; ce que l'on a démontré être impos­ sible. En conséquence, l'arc B0 n'est pas à l'arc �z comme l'arc HK est à l'arc Z H . Or, on a démontré que l'arc 0K n'est pas davantage à un arc plus grand ; donc il est à un arc plus petit. Dès lors, l'arc B0 est à l'arc �z comme l'arc 0K est à un arc plus petit que l'arc ZH C ) . P ROPOS I T I O N X I ( Théorème ) .

Si le pôle de parallèles est situé sur la circonférence d'un cercle le plus grand, que coupent à angles droits deux cercles les plus grands, don t l'un est un des paral lèles, et dont l'autre est oblique sur les parallèles ; et si un autre cercle le plus grand, passant par le s pôles 1. La troisième partie de ce tte démonstration se résume comme suit : On a posé : arc AA =arc A Z ; donc (livre III, prop. VI) : arc B N >arc Ne, d'où : arc B N +arc N e = 2 arcs N 0, ou : arc B0>2 arcs N0. De même , on a posé : arc H M =arc M Z ; donc : arc K8 < arc 08, d 'où : arc K8 +arc 08 2 >- c.-• d ou, comme dans le te xte : K e > arc - .!:l. a-· arc arc 0 N arc Ô'.!:l. . arc N e < arc A Z 0 , arc B0 arc A Z r, arc A Z = Or, on a, par hypothese : ; donc : � arc "'.:::. arc z H· arc 0 K arc ZH 0 N arc AZ arc AZ - arc AZ d , ou. : -arc -- "' < 2 arcs AZ, et arc Z H = 2 arcs Z M ; donc : .... arc ZM' arc ""'"" arc ZM arc Z H' arc �0 = arc _08 il fau t avoir arc d, . arc E> N < arc 08 D ' l . es ors , S l on pose . ou . arc AZ arc p ' arc A Z arc Z M " P >arc ZM ; ce qui est impossible en vertu de la première partie de la proposition. •

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LES SPHÉRIQUES DE THÉODOSE DE TRIPOLI

des parallèles, coupe le cercle oblique entre le plus grand des paral­ lèles et celui qui touche le cercle oblique, le rapport du diam è tre de la sphère au diamètre du cercle que touche . le cercle oblique est plus grand que celui de l'arc du plus grand des parallèles, situé entre le cercle le plus grand primitif et le cercle consécutif passant par les pôles, à l'arc du cercle oblique situé entre ces derniers cercles. Que le point A, �itué sur la circonférence du cercle le plus grand ABI', soit le pôle de parallèles, et que deux cercles les plus grands B E I', AE Z coupent le cercle ABI' à angles droits ; le cercle B EI' étant le plus grand des parallèles, et le cercle AE Z étant oblique sur les parallèles. Qu'un autre cercle le plus grand AHK, passant par les ' pôles des parallèles, coupe le cercle AE Z entre le cercle BEr et le cercle que touche le cercle AEZ, et que le cercle A.AM soit celui que touche le cercle AEZ. Je dis que le rapport du diamètre de la sphère au diamètre du cercle A.AM est plus grand que celui de l' �rc B0 à l'arc AH. En effet, décrivons, par le point H, le cercle parallèle N HS, et que les droites AK, AZ , Br, NS, AM, 00, HIT, O H , H P

soient les sections communes des plans. Dès lors, puisque, dans une sphère, le cercle le plus grand A Br coupe · des cercles A.AM, N HS, B E I' de cette sphère en passant par leurs pôles, il les coupe en deux parties égales . et à angles droits ( 1 ) ; par conséquent; les droites AM, NS, BI' sont des diamètres des cercles A.AM, N HS, B EI', et le cercle ABr est perpendicula ire à chacun des cercles A.AM , N H S , B E I'. En conséquence, puisque l'on a des cercles parallèles A.AM , N HS, B E I' dans une sphère, et qu'une droite AK est menée par Jeurs pôles, cette droite AK est donc perpendiculaire sur chacun des cercles A.AM , NHS, B E I', et elle passe par leurs centres et par celui de la sphère ( 2 ) ; en sorte que les points S, Il, 0 sont les centres r . Voir livre I. proposi tion XV. 2 . Voir livre 1, proposition X.

LIVRE III

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des cercles AA M , N H:.S, B E I'. D'autre part, puisque les plans paral­ lèles AAM, N H:,S, BEI' sont coupés par un plan ABr, leurs sections communes sont parallèles ( 1 ) ; par conséquent, les droites AM, N:,S, Br sont parallèles entre elles. Derechef, puisque les deux plans paral­ l èles N H:,S, B E I' sont coupés par un plan AHK, leurs sections com­ munes sont parallèles ; donc, la droite HII est parallèle à la droite 00. Dès lors, puisque deux droites NIT, IIH, qui se . rencontrent mutuel­ lement, sont parallèles à deux droite s BO, 00, qui se rencontrent mutuellement, et qui ne sont pas situées dans le même plan, elles comprendront des angles égaux ( 2 ) ; par conséquent, l'angle compris sous les droites NIT, IIB est égal à l'angle compris sous les droites BO, 00. D'autre part, puisque les cercles N H:.S, AE Z sont perpendicu­ laires sur le cercle ABI', la section commune des cercles N H:S, AE Z est donc aussi perpendiculaire sur le cercle A.Br f " ) . Or, la section commune de ces cercles est la droite H P ; donc, la droite HP est perpendiculaire sur le cercle ABI', et elle formera donc des angles droits avec toutes les droites qui la rencontrent et qui sont situées dans le plan du cercle ABr ( " ) . Or, chacune des droites IIP, PO, située dans le plan du cercle ABr, rencontre la droite HP ; donc chacun des angles compris sous les droites H P , PIT et sous les droites H P , PO est droit. E n outre, puisque la droite AK est perpendiculaire sur la droite N:.S, l'angle compris sous les droites PIT, ITO est dtoit. Dès lors, puisque l'angle compris sous les droites PIT, IIO est droit, l'angle compris sous les droites ITO, OP est donc aigu, et, par suite, la droite OP est plus grande que la droite PIT (5 ) . Posons donc une droite PT égale à la droite IIP, et menons la droite de jonction HT. Dès lors, puisque la droite PT est égale à la droite IIP , et que la droite H P est commune, les deux droites IIP, P H sont donc respec­ tivement égales aux deux droites TP, P H, et l'angle droit compris sous les droites IIP, P H 'est donc égal à l'angle droit compris sous les droites T P , P H . E n conséquence, la base HII est égale à la base H T ; le triangle IIP H est égal au triangle T P H , et les angles restants r. EUCLIDE, 2 . EUCLIDE,

livre XI , proposition 16. (Voir l'énoncé dans une note antérieure) . livre X I , proposition IO : « S i deux droites qui s e touchent sont paral­ lèles à deux droites qui se touchent et qui ne sont pas dans le même plan, ces droites �omprendront des angles égaux ». (Voir éd. de la traduction de PEYRARD, p. 302) :3. EucLIDE, livre XI , proposition 16 . 4. EUCLIDE, livre XI, définition III . 'i· E UCLIDE, livre I, proposition 19. •

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seront égaux aux angles restants que sous-tendent des côtés égaux ( 1 ) ; en sorte que l'angle compris so us les droites HTI, HP est égal à l 'angle compris sous les droites H T, T P . Mais, l'angle compris so ù s. les droites HIT, ITP est égal à l 'angle compris sous les droites 00, OB ; donc, l'angle compris sous les droites HT, TP est aussi égal à l'angle compris sous les droites 00, O B . En outre, puisque l'on a un triangle HOP, ayant un angle droit au point P , et au travers duquel on a mené une droite H T, il s'ensuit que le rapport de la droite OP à la droite P T est plus grand que celui de l'angle compris sous les droites P T , TH à l'angle compris sous les droites PO, OH ( 2 ) . Or, la droite PT est égale à la droite PIT, et l'angle compris sous les droites P T, TH est égal à l'angle compris sous les droites 00, OB ; donc, le rapport de la. droite O P à la droite PIT est aussi plus grand que celui de l'angle compris sous les droites BO, 00 à l'angle compris sous les droites PO, O H . Mais, la droite 0.6 est à la droite .6�, c'est1. EUCLIDE, livre 1, pro posi tion 4. 2 . T H É ODOSE conclut ici à une re la tion entre droites et angles dont il s u ppose la d émonstra t i on connue . La d ém ons tra tion des anciens, qui ne nous est pas parvenue ,. doit c pe nda nt avoir été donnée a va n t l ' ép oque d 'Archimède , pu is que ce dernier l'invoque déjà dans son A rénaire, e n l'énoncant sous la forme de la pr opos i t ion suivante : « Si les côtés a dj a ce n t s à l ' a ngle droit de deux triangles rectangles sont� les uns égaux, et les autres inégaux. le rapport du plus grand au plus pe ti t des angles com pri s sous les côtés inégaux est plus grand que le rapport de la plus grande à la plus pe tite des droites o ppos é s à l ' a ngle droit, mais il est plus pe tit que le ra pport de la plus grande à la plus pe ti te de s droite s ad j a ce nte s à l 'a ngle droit».. (Voir : Les Œuv1es complètes d ' A rchimède tradi1ites dit grec en francais, avec ime· int1oduction et des notes, par Paul Ver Eecke. Paris-Bruxelles, 1 92 1 , gr. in - 80 ;.

e

e

L 'A rénaire, p. 3 61). Bien que cette pro pos i tion soit aisémen t démontrée maintenant par la trigono­ mé trie , elle se démontre géométriquement comme suit : Re pre n ons les deux triangles, rectangles au point P, de la figure du te xte ;. me nons , par le point 0, une par a ll èle à T H , e t , du centr e 0, décrivons un arc de ,.,

cercle

de

rayon

triangl e H OA

,

OH.

Des lors , on .

tn. a ng1e P O H ' Or, tria ngle

a

OT

:

PT

H OA > se cteur

=

AH

Hp

=

H OB, e t.

donc : tr�ang:e

H