Les nombres remarquables 2705614079

Citation preview

FRANÇOIS LE LIONNAIS avec la collaboration de JEAN BRETTE

Les nombres remarquables

HERMANN

ISBN 2 7056 1407 9

© 1983, HERMANN, 293 rue Lecourbe, 75015 Paris

Tous droits de reproduction, même fragmentaires, sous quelque forme que ce soit, y compris photographie, microfilm, bande magnétique, disque ou autre, réservés pour tous pays.

Aux amis de toute ma vie, délicieux et terrifiants,

les nombres

TABLE

Prelude

9

Theme et variations 19

Interlude 141

Postlude 151

Prélude

J. S. Bach, VIe concerto brandebourgeois

On ne lance pas impunément les nombres dans l’univers des enfants.

Je n’avais pas cinq ans que, regardant les tables de multiples des entiers proposées par les couvertures de mes cahiers d’écolier, je m’aperçus que la population des * nombres présentait une certaine régularité. La révélation commença à l’occasion de 5. Tous ses multiples se terminaient alternativement par 5 ou par 0. Le cas de 2 était un peu moins simple : ses multiples se terminaient par tous les nombres pairs, dans leur ordre de succession naturel, la tranche de 6 à 9 ramenant les mêmes fins que de 1 à 4. Les multiples de 4, de 6 et de 8 avaient, en commun avec ceux de 2, d’ignorer les nombres impairs, mais ils en différaient en faisant se succéder les pairs dans un ordre différent non naturel et, pour tout dire, incompréhensible. Je découvris par la suite qu’en les disposant en tableau, les multiples étant placés en colonne, les rangées horizontales - qui auraient pu ne rien offrir d’intéressant - reproduisaient les verticales : 2 4 6 8 10 12 14 16 18

4 8 12 16 20 24 28 32 36

6 12 18 24 30 36 42 48 54

8 16 24 32 40 48 56 64 72

Les autres nombres, les impairs, s’avérèrent plus coriaces. Je ne parle que de 3, 7 et 9 car, dans le cas de 1, je me demandais pourquoi on en donnait les mul­ tiples ; ils sont bien connus, non? Toutefois, je m’aperçus que 9 offrait une particularité curieuse jouant, par rapport à 3 et à 7, un peu le même rôle que 2 par rapport à 4, 6 et 8. En effet ses multiples se terminaient par 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 et 1, soit l’ordre naturel à l’envers, celui-ci étant attesté par les multiples

* J’étais loin à l’époque de connaître la définition qu’Arnauld et Nicole, dans La logique ou PArt de penser publiée en 1662, attribuent au mathématicien hollandais Simon Stevin : Nombre est cela par lequel s’explique la quantité de chaque chose.

Prélude

12

de 1, ce qui justifiait peut-être qu’on leur réservât une place sur mes protègecahiers.

Quant à 3 et 7, c’était le grand mystère. Chacun d’eux exhibait les neuf nombres mis en désordre, le désordre de l’un reproduisant à l’envers le désordre de l’autre. La disposition de ces multiples de 1, 3, 7, 9 en tableau comme pour 2, 4, 6 et 8, laissa entrevoir une règle secrète gouvernant ce désordre : 1 2 3 4 5 6 7 8 9

3 6 9 12 15 18 21 24 27

7 14 21 28 35 42 49 56 63

9 18 27 36 45 54 63 72 81

Il restait encore diverses choses à découvrir : par exemple, le rôle particulier de 5, très différent des autres impairs ; et le surgissement de 0 qui, cependant, n’était pas un nombre ainsi que le sous-entendaient mes protège-cahiers, puis­ qu’ils n’envisageaient pas d’en donner des multiples ; et aussi la signification des chiffres des dizaines qui, à cause de certains trous dans leur succession, ne paraissaient pas mériter qu’on s’y attardât.

Cet intérêt pour les nombres meubla plusieurs mois de mon enfance. Mon intérêt était concentré sur les neuf premiers entiers ; je savais déjà que les suivants recommençaient un ballet identique et évidemment la notion de nombre nonentier ne me venait nullement à l’esprit. Pendant les vacances de l’été 1908, j’avais alors sept ans - je reçus un véritable choc. Par une après-midi où la chaleur était accablante et où je n’avais pas envie de dormir comme on me l’avait suggéré, je m’assis à une table avec un crayon devant du papier. Ma pensée était toute chargée d’une agitation déjà ancienne sur les multiples des entiers. Curieusement j’eus l’idée de confronter, non pas chaque entier avec les autres, mais chaque entier avec lui-même. C’est l’idée de multiplication qui, sans que j’en eusse conscience, s’imposait à moi. Cela donna le résultat suivant : 123456789 1 4 9 16 25 36 49 64 81

autrement dit, j’avais élevé chaque nombre au carré, sans connaitre, bien sûr, cette expression. Avais-je pressenti que ce nouvel exercice pouvait m’apporter une révélation? Subitement, un voile se déchira, me laissant apercevoir dans cet alignement sans intérêt une ordonnance harmonieuse. Mais, pour qu’elle apparût vraiment, il fallait consentir à une amputation : rayer les chiffres des dizaines quand ils apparaissaient et ne conserver que les unités.

13

Prélude

123456789 1 4 9 6 5 6 9 4 1

que je lus :

1 4 9 6 5 6 9 4 1 abcdedcba

Pour un adulte à qui on raconte cette anecdote en lui montrant ce tableau, il n’y a probablement que la constatation d’une banale symétrie. Pour l’enfant qui l’avait trouvée lui-même, sans y avoir été incité, ce fut un éblouissement. En même temps, se dégageait l’impression que je venais d’aborder un domaine très vaste et qui recelait certainement une multitude de trésors cachés. Il ne me restait plus qu’à creuser. J’avais mis la main sur une corne d’abondance dont je pourrais sortir des fruits de saveurs différentes, chaque fois que j’en aurais envie, et cela durant toute ma vie. En effet, cette même méthode qui m’avait fait constater la beauté résultant de la multiplication de chaque entier par lui-même ne pourrait pas me faire défaut si je continuais à la solliciter ; elle ne pouvait pas ne pas apporter de révélations non moins excitantes avec les cubes, puis les puissances successives, et ainsi de suite jusqu’à l’infini. Conclusion pratique : quand, à un moment quelconque de ma vie, je n’aurais rien de passionnant à faire, il me suffirait de partir de la ligne où je m’étais arrêté, de calculer la ligne suivante, de l’examiner, de l’inter­ roger et de découvrir quelle harmonie inédite elle ne pouvait manquer de m’apporter.

Quelle heure était-il au moment où j’eus cette révélation qui devait déterminer, dans une certaine mesure, une partie de ma vie? Trois ou quatre heures de l’après-midi peut-être. Il restait encore pas mal de temps avant le dîner, comment l’employer mieux qu’en continuant l’aventure? Et d’abord, les cubes, en ne conservant que les unités : 123456789 1 4 9 6 5 6 9 4 1 187456329

A première vue, cette nouvelle cueillette se révéla décevante. La symétrie de la deuxième ligne avait disparu; rien d’intéressant ne la remplaçait. Mais j’aurais donné ma tête à couper qu’il était impossible, à ce stade de ma poursuite, que le chaos ait pris possession de la société, jusqu’ici bien organisée, des nombres. Il fallait m’obstiner à chercher. Et tout à coup, une fois de plus, le voile se déchira. Les chiffres occupant des positions symétriques, s’ils n’étaient pas égaux, étaient complémentaires à 10 :

Prélude

14

187456329 a b c d e d' c' b' a' e' Plus tard, mais ce ne fut pas le même jour, je pris conscience que ce phénomène de complémentarité à 10 s’était déjà produit dans la suite naturelle de la première ligne.

Il me restait du temps avant de retrouver le monde des humains, c’est-à-dire mes parents et le dîner familial. J’écrivis la quatrième ligne, celle des puissances 4 : 123456789 1 4 9 6 5 6 9 4 1 187456329 1 6 1 6 5 6 1 6 1

Cette quatrième ligne était plus régulière, plus simple, donc moins coriace que les trois précédentes. En effet, outre la symétrie par rapport au 5 du milieu, chacun de ses deux volets se décomposait à son tour en deux segments dont le second reproduisait le premier : 1

6

et

1

6;

et

1

6

6

1

Le contenu numérique allait donc en s’appauvrissant; ne surnageaient que 1, 5 et 6. J’avais à peine commencé ma cinquième ligne que la vérité éclata :

1, 2, serait la ligne toute entière :

1,

2,

3,

...

3,

4,

Avant de continuer, je compris ce que

5,

6,

7,

8,

9.

En même temps, l’émerveillement s’accompagna d’une évidence désolante. Car il était clair que la ligne suivante (la sixième puissance) ne pourrait que reproduire la deuxième ; la suivante (la septième) la troisième, etc. Je ne pourrais jamais obtenir de lignes différentes des quatre premières ; mon programme de ré­ jouissances était terminé ; les mathématiques étaient épuisées. Comme Nietzsche, j’avais découvert le principe du «retour éternel».

A sept décennies de distance de cette aventure enfantine, je n’ai plus souvenir de mes réactions, que je peux pourtant imaginer. Tôt le lendemain, je me repris à considérer ce qui avait été le champ de bataille de mes 4 x 9 = 36 chiffres, qui était en train de devenir sinon un cimetière du moins un musée. M’avait-il révélé ce qu’il pouvait? Lui avais-je fait exprimer son contenu? La ligne de base, la suite naturelle des chiffres, obéissait à la même complé­ mentarité à 10 que la troisième ligne, celle des cubes . * Ces deux lignes con* Quelques années plus tard, je m’avisai qu’il manquait un chiffre aux deux extrémités de la première et des quatre autres lignes : le zéro. Il me fallut longtemps pour me persuader que cette addition était d’une grande importance, mais cela ne changeait rien aux propriétés déjà découvertes.

15

Prélude

tenaient chacune tous les chiffres, mais dans un ordre rompu et bizarre, dans le cas des cubes. Les effectifs de la ligne des carrés s’appauvrissaient en perdant quatre chiffres : 2, 3, 7, 8, pour ne conserver que 1, 4, 5, 6 et 9. Quant à la ligne des quatrièmes puissances, elle perdait encore 4 et 9 pour ne conserver que 1, 5 et 6.

Je m’aperçus alors que l’on pouvait répartir les neuf, disons plutôt les dix chiffres en quatre familles : • dans la première famille, un seul chiffre, le 5. Il figure une fois, et une seule sur chaque ligne, en son milieu. J’accordais, tout à fait arbitrairement, un droit d’entrée dans la même famille, aux côtés de 5, au zéro ; celui-ci apparaît deux fois, et deux seulement, sur chaque ligne : d’abord au début et puis à la fin ; • la deuxième famille réunissait les chiffres qui se rencontrent sur la deuxième ligne, quatre fois sur la quatrième : 1 et 6 ; • la troisième famille rassemblait le 4 et le 9. Ils font irruption chacun une fois sur les deux lignes impaires, deux fois sur la deuxième ligne (celle des carrés), et disparaissent de la quatrième ligne ; • enfin, dans la quatrième famille, les autres chiffres : 2, 3, 7, 8 ; ils n’ap­ paraissent que dans les puissances impaires. I II III IV

=5,0 =1,6 = 4,9 = 2, 3, 7, 8

Cette classification amenait une constatation amusante. En ajoutant l’un des deux chiffres de la première famille à n’importe quel chiffre de ces quatre familles, on retombait sur un chiffre de la même famille. Petit à petit me vint l’idée que le champ des mathématiques ne se limitait pas aux seuls objets que j’avais considérés auparavant et qu’il pouvait y avoir aussi d’autres méthodes et d’autres stratégies pour y pénétrer. Je n’étais nullement effleuré alors par l’idée qu’il pût exister d’autres objets mathématiques que les nombres entiers. Plus tard au collège de Melun, la rencontre des points d’intersection des hauteurs, des médianes, des bissectrices et des médiatrices du triangle m’apprit l’extension des mathématiques de l’arithmétique à la géométrie. Pendant des mois et des années je me tins aux seuls nombres entiers, les soumettant à mille tactiques. J’essayais, par exemple, d’élever chaque nombre à une puissance dont l’exposant fut égal à lui-même, et ainsi de suite. Ce genre de tâtonnement est le fait aussi bien des amateurs que des spécialistes, mais les résultats sont différents selon ceux qui y recourent. Dix ans après, en Faculté des sciences, j’avais pris con­ science, d’une classe à l’autre, de l’intérêt de certains nombres. Aux entiers de mon enfance s’ajoutaient d’autres nombres, les nombres premiers, et ceux, par exemple, que l’on rencontrait dans les jeux mathématiques. Les nombres ration­ nels, que j’appelais alors nombres fractionnaires, s’ajoutaient pour moi aux

Prélude

16

entiers, mais ils ne m’intéressaient guère; plus séduisants m’apparaîssaient les nombres irrationnels, comme ^/2 ou n. Mais on ne m’avait pas appris au lycée la distinction entre les nombres algébriques et les nombres transcendants. Je commençais à inscrire sur un carnet tous les nombres que je rencontrais et qui me semblaient dignes d’intérêt. Cette liste s’enrichit et s’affina après l’université. Elle finit bientôt par contenir plus d’une centaine d’éléments. Avant la deuxième guerre mondiale, ma collection avait pris la forme d’un fichier où, pour certains nombres, la même fiche présentait plusieurs propriétés différentes.

Les mathématiques n’ont pas le monopole des nombres. Ceux-ci se rencontrent ailleurs. Notamment dans les autres sciences et pratiquement dans la plupart des activités humaines. Mais seuls les nombres distingués par les mathématiques m’intéressaient et me paraissaient dignes d’être recueillis dans mon florilège. J’écartais donc les nombres relevant des sciences expérimentales, physiques, chimiques, naturelles, biologiques, voire psychologiques ou sociologiques, comme la constante de Planck, la constante de gravitation, la constante de structure fine, le nombre d’Avogadro, les nombres nucléaires « magiques », etc. Je fermais la porte à divers nombres traditionnels :

•

d’abord ceux qui ne tirent leur intérêt que de simples comptages comme les trois grâces, les quatre éléments, les neuf muses,

•

ceux qui font image comme les symboles naïfs de l’infini : voir trente-six chandelles, attendre cent-sept ans, etc.

•

et enfin ceux qui remplissent d’espoir ou de crainte, comme la malédiction qui s’attache pour les superstitieux à treize ou, pour les tenants de l’Apo­ calypse, à six-cent-soixante-six, le nombre de la Bête.

J’accueillais par contre quelques nombres issus des canulars de l’humour mathé­ matique. Par exemple le 1 de L'idée fixe du savant Cosinus ou le 2 qui disparaît dans La partie de l'impossible de Jacques Sternberg. Mon embarras croissait pour les nombres des secteurs spécialisés des mathé­ matiques qui n’étaient pas assurés d’un large consensus. Je ne les accueillais que par respect pour la considération qui les entourait dans leurs milieux. J’accueillais aussi, mais à contre-cœur des nombres issus de devinettes de salon. Mes critères n’étaient finalement guère objectifs. Je cédais à mes penchants d’autant plus volontiers que les nombres accueillis étaient cautionnés par de bons mathé­ maticiens.

La plupart des nombres de cette catégorie tiraient leur charme d’eux-mêmes et des vertus du nombre dix. Ils formaient ainsi chacun avec ce nombre une sorte de couple. A côté des nombres « uniques », je devait aussi faire un sort aux familles de nombres dont les éléments étaient intéressants à cause d’une propriété commune.

17

Prélude

Lorsqu’une classe ne comportait que peu d’éléments, deux ou trois, voire quatre ou cinq, je trouvais normal de les accepter tous. Lorsque la famille se révélait plus nombreuse, voire infinie, je prenais la décision de signaler le cas échéant le plus petit, le plus grand, le plus anciennement découvert, le plus illustre.

Je ne tardais pas à m’apercevoir que la grande majorité de mes nombres intéres­ sants était faite des entiers qui pouvaient être mis en ordre. Plusieurs des « réels » non-entiers, presqu’uniquement algébriques ou transcendants, pouvaient y être ajoutés en ordre correct. Il n’était pas question, en avril 1944, d’emporter mon fichier à la prison de Fresnes ou en déportation au camp de Dora. Mais ma mémoire restait intacte et mes chers nombres me rendaient visite chaque jour en compagnie d’autres consolateurs comme la musique, la poésie, l’histoire et les sciences.

A mon retour en mai 1945, mon fichier avait disparu. J’en reconstituai un autre en modifiant ma terminologie et baptisai les pièces de mon herbier Nombres remarquables. Ceci m’amenait à redéfinir mes critères subjectifs de la « remarquabilité». J’accordais ce caractère à des nombres qui avaient compté dans l’histoire de la pensée mathématique. Même ceux qui n’intéressaient plus les mathématiciens d’aujourd’hui, par exemple 5/2, le plus ancien non-rationnel . * Le même cas se posait pour 7c, le plus ancien nombre « transcendant » naturel, qui n’acquit cette qualité qu’au bout de deux millénaires, en 1882 exactement. Aussi pour le premier nombre de Liouville, historiquement le premier transcen­ dant. Mais celui-ci n’était pas « naturel ». Il y avait aussi les erreurs célèbres, de Fermât, d’Euler, etc. ; le défi lancé par Jean de Palerme au pisan Fibonacci à la cour de Philippe II de Hohenstaufen, les dix-sept groupes du pavage de l’Alhambra de Grenade, la conférence muette de Cole de 1903 sur 267 — 1, etc. L’anecdote apportait sa contribution : par exemple, le 1729 de Ramanujan rapporté par Hardy. Aussi les nombres « pittoresques » comme celui des points particuliers actuellement connus sur le « cercle des neuf points » et qui était il y a quelques décennies, paraît-il, 43, ou comme les hypernombres de Queneau. Au-delà des nombres finis, dont certains très grands, ne sont atteints que par les ordinateurs, je fis également place aux nombres transfinis, aux divers alephs, etc., et enfin à quelques nombres issus de la logique mathématique comme le g de Gôdel ou le plus inclassable de tous les nombres de cette collection, défini dans la logique intuitionniste, etc. Ainsi n -F e et n x e, qui posent un problème non résolu : on sait que l’une au moins de ces deux combinaisons est transcendante mais on ignore laquelle et on ne sait pas ce qu’il faut penser de l’autre. * Du fait que la rationnalité des nombres réels était un dogme communément admis, ^/2 n’est apparu comme non-rationnel que lors de la découverte de l’incommensurabilité de la diagonale du carré à son côté 1.

Prélude

18

J’avais parlé de ma cueillette à quelques amis mathématiciens qui m’engageaient à la publier. Je décidai alors de compléter systématiquement la collection. Jean Brette, à qui je parlai de ce projet, fut immédiatement séduit, tant par le caractère inattendu de l’idée que par le fait qu’une telle collection, par sa diversité, pouvait éventuellement révéler au public l’existence de problèmes, voire de pans entiers des mathématiques, qui échappent actuellement aux programmes scolaires.

Au fil des jours, de compilations en tête à tête, la collection s’enrichit alors d’une bonne centaine de nouveaux nombres et cet accroissement qui met une sorte de faîte au petit édifice de mon enfance me touche beaucoup. Toute ma gratitude va ainsi à ceux qui ont encouragé et amélioré mon travail . * FRANÇOIS LE LIONNAIS

*Je tiens particulièrement à remercier Mme Y. Amice, MM. A. Avez, P. Barrucand, Cl. Berge, M. Berger, A. Bouvier, E. Bruins, J.H. Conway, H.M.S. Coxeter, Chvatal, H. Delange, P. Deligne, J. Dieudonné, P. Erdös, R. Graham, M. Gardner, J.C. Herz, P. Huet, J.L. Krivine, J.L. Lagrange, B. Mandelbrot, Ch. Pisot, G. Poitou, J.C. Pont, J.P. Serre, M. Schützenberger, J. Tits, S. Ulam, M. Waldschmidt.

Thème et variations

L. van Beethoven, XVIIe quatuor à cordes, op. J33

Thème et variations

20

Les nombres qui suivent sont remarquables à des degrés divers, nous les avons signalés de la façon suivante : * * * Vaut le déplacement ** Vaut le détour * Très remarquable

0

21

0 • Dans le langage courant, zéro désigne aussi bien un nombre - le plus petit possible dans un comptage - que le chiffre qui le représente. Introduit initialement comme signe dans la numération de position, son statut de nombre ne fut reconnu que beaucoup plus tard. Ses qualités d’élément neutre pour l’addition et d’élément absorbant pour la multiplication le dotent, indirectement, d’un très grand nombre de propriétés triviales qu’il est hors de question de mentionner ici.

• Cardinal de l’ensemble vide, c’est donc le plus petit cardinal. Cette pro­ priété est utilisée pour la construction des nombres entiers. Ainsi, dans son originale construction, Conway le représente par le symbole ( | ), qui signifie que les classes gauche et droite qui le définissent sont vides. J.H. Conway, On numbers and games, New York, Academie Press, 1976

•

Plus petit ordinal.

• L’ensemble réduit à l’élément {0} muni de l’addition est le plus petit groupe possible. Tous les groupes d’ordre 1 sont isomorphes à ce groupe. •

Elément neutre pour l’addition dans N, Z, Q, R, C, etc.

•

Seul nombre réel qui ne soit ni positif ni négatif.

•Elément absorbant pour la multiplication, il est donc le seul multiple commun à tous les entiers. • La forme cubique 3x3 + 4y3 + 5z3 représente 0 dans le corps Qp des nombres p-adiques, quel que soit p. Cela signifie que l’équation :

3x3 -F 4y3 + 5z3 = 0

possède des solutions non triviales modulo p, pour tout p. Cependant, elle ne possède aucune solution entière. Cet exemple est dû à Selmer. On sait également que toute forme cubique sur le corps des nombres p-adiques représente 0 si le nombre des variables est supérieur à 10. •

L’un des deux nombres égaux à la somme des carrés de leurs chiffres.

•

Quelle que soit la base b d’un système de logarithmes, on a Logb 1 = 0.

0,001264489. . .

22

0,001264489. . . 22 7

n

x4(l - x)4 dx 1 + x2

Plus que d’un nombre remarquable, il s’agit là d’une expression remar­ quable par sa symétrie.

0,06598803584... •

e-e, où e = 2,718 ... est la base des logarithmes népériens.

Euler a montré que la fonction f(x) = xx* est définie sur l’intervalle xe[e"e, e1/e]. On notera que e1/e est supérieur à 1.

0,07407407407... •

2/27 Théorie des groupes : soit p premier et f(pm) le nombre de groupes d’ordre pm. Alors f(pm) = pAm* avec lim A = 2/27 m^oo

Higman, Enumerating p-groups I : inequalities, Proc. Lond. Math. Soc. 10

0,0757575757575... •

5/66. B10, le premier nombre de Bernoulli dont le numérateur est différent de 1. Le suivant est B12 = -691/2730. Voir 0,166 ... ; 37 ; 59 ; 67 et 691.

0,092. . . • Constante de Tchebitchev-Sylvester, (1891) : pour x suffisamment grand, il existe au moins un nombre premier vérifiant l’inégalité double :

x 0,477... Chen Jing Run, On the distribution of almost primes in an interval II, Scientia Sinica 22, 1979 p. 253-275

27

0,5

0,5 ***

• Conjecture de Riemann : tous les zéros non triviaux de la fonction d’une variable complexe £(s) sont situés sur la droite Re(s) = 1/2. Cette fonction a été étudiée pour la première fois par Euler, au 18ème siècle. Il a montré, grâce à un calcul formel, l’égalité suivante, pour tout s > 1 :

((s) — 1 + — + — + ••• + — + ••• 2s 3s ns 'I

2s H

37l

57

l

ps

où la somme de gauche est étendue à tous les entiers et le produit de droite aux seuls entiers premiers. Prolongée au plan complexe tout entier (privé de s = 1) par Riemann, cette fonction constitue depuis, d’une certaine façon, un pont entre la distribution régulière des entiers et celle, extrêmement irrégulière, des nombres premiers. A ce titre, elle joue un rôle central en théorie analytique des nombres et fait, depuis plus d’un siècle, l’objet d’études acharnées. En particulier, on sait que cette fonction s’annule en s = — 2, — 4, — 6, ... appelés «zéros triviaux», et que les autres zéros sont situés dans la «bande critique» 0 < Re(s) < 1. On a montré également que : a) ces zéros sont symétriques par rapport à la droite Re(s) = 1/2. b) il existe une infinité de zéros sur cette droite (Hardy). c) un tiers au moins de ces zéros sont sur cette droite (Levinson). d) de plus, l’exploration systématique de la bande critique à l’aide d’ordinateurs, a montré que les 3 500 000 premiers zéros sont bien sur la droite, ce qui est encourageant mais ne remplace évidemment pas un théorème. Une des conséquences de la validité de la conjecture de Riemann concerne, cela n’étonnera personne, la répartition des nombres premiers. Si 7r(x) est le nombre de nombres premiers inférieurs à x, et ’X

Li(x) =

dt/Logt on sait montrer aujourd’hui que : 2

7c(x) = Li(x) + 0 (xexp(-c7Logx) où c est une constante. Si l’hypothèse de Riemann était vraie, on pourrait affiner ce résultat asymptotique ; on aurait alors : n(x) = Li(x) + 0 G/xLogx). Le contraste entre la complexité du problème posé et la simplicité de la constante en jeu (1/2) offre quelques sujets de réflexion aux néophytes (et peutêtre aux autres !) : a) N’est-il pas surprenant que l’étude des nombres premiers, objets «discrets» s’il en est, fasse appel à des fonctions continues? et de variables complexes de surcroît? b) N’est-il pas surprenant qu’un arsenal aussi puissant soit nécessaire pour apporter des lueurs décisives sur les nombres premiers, que l’on rencontre dès l’école communale?

28

0,5495393129. . .

c) Les mathématiques ont la réputation de fournir des résultats précis. On constatera, sur cet exemple, que l’on se bat aussi sur l’ordre de grandeur d’un terme d’erreur : l’approximation, l’encadrement d’une fonction, posent aussi des problèmes mathématiques, (et difficiles). Voir 0,3 3... ; 0,607... ; 0,644... ; 1,202... ; 1,644... ; 14,13 4...

0,5495393129. . . •

— Log C où C est la constante d’Euler.

0,561459483566885... e-c •

Théorème de Mertens : e~c = lim Log x H ( 1 — - | avec p premier, x-*°°

p^x \

P/

où C est la constante d’Euler.

0,5655956245... ovw3 •Dans un triangle quelconque, sin A • sin B • sin C < k A • B • C, avec k = 0,5655... Cela permet de démontrer que l’angle de Brocard œ d’un triangle vérifie 8ü3 < A • B • C. F. Abi Khusam, Elem. Math. 29, 1974

0,5772156649. . . **

•

Constante d’Euler (1734) C = lim Y v — Logn n-oo t 1

Euler a donné seize décimales en 1781 et Sweeney en a calculé 3566 en 1963. Parmi ses définitions, notons les trois suivantes, dont la dernière, qui date de 1976, est due à K. Demys : C = lim(C(s) - l/(s - 1)); S—*1

C = -F'(l)

et

C = lim (x - F(l/x)). X~*OO

On ignore si ce nombre est algébrique ou transcendant, on ne sait même pas s’il est irrationnel.

0,5773502691... • Théorème de Jung : dans le plan, un ensemble de points de diamètre 1 peut toujours être couvert par un disque de rayon A/3/3.

0,644934067. . .

29

0,5926327182. . . • Constante de Lehmer (1938) = cotg (Arcotg 1 — Arcotg 3 + Arcotg 13 — Arcotg 183 4- Arcotg 33973 — • • ■ + (— l)n Arcotg un ---•). La suite un est définie par u0 = 1 ; un+1 = Un +un+ 1.

0,596347355.. . *

•

Appelée constante de Gompertz (1825), elle est égale à

i*00 e-u ------- du.

Jo * + u 00

Euler attribuait cette valeur à la somme de la série divergente £( — l)nn! o

Stieltjes a montré dans sa thèse que le développement de ce nombre en fraction continue est :

1 l2 22 32 2-4-6-8-

0,6045997881... •

00

/ / 2n\

ZVn =^/9. i / \n/ Voir 0,7363... ; 1,082... ; 1,202... ; 1,644...

0,6079271018. . . *

6/tc2 = 1/C(2) où c(s) est la fonction de Riemann. C’est la densité des nombres sans facteurs carrés. Ou encore, c’est la probabilité pour que deux entiers choisis au hasard soient premiers entre eux.

•

Cesaro et Sylvester, 1883

0,618033988. . . •

Inverse du nombre d’or $. Il est égal à — 1.

0,644934067... *

7C2/6 — 1 Soit x un nombre rationnel positif < n2/6 — 1. Alors x peut s’exprimer sous forme d’une somme finie d’inverses de carrés tous distincts. •

R. Graham, On finite sums of unit fractions, Proc. Lond. Math. Soc., 14, 1964, p. 193-207

30

0,6601618

0,6601618 •

Constante de Shah et Wilson, elle est égale à :

0 d - (P - D"2) avec p premier. Voir 1,3203...

0,661707. . . •

(4 4- 17^2 -6^3 + 21 Log(l + ^2) + 42 Log(2 + ^3) - 7 70/10 5 C’est la distance moyenne entre deux points choisis au hasard dans le cube unité. D. Robbins, Average distance between two points in a box, Amer. Math. Monthly, 85.4, 1978, p. 278

0,6725. . . C d C 0,6736. . . • Erdôs a proposé de chercher le plus grand sous-ensemble de [1, n] tel que aucun de ses éléments n’en divise deux autres. Soit f(n) le cardinal de ce sousensemble. Alors, pour n suffisamment grand on a 0,6725 f(n)/n 0,673... K. Lebensold, A divisibility problem, Studies in Applied Math, 56, 1976-77

0,693147805. . . .

Log2=l-l + |-i + |-... On appelle parfois ce nombre : constante de Mercator ou de Gregory.

• Soit f(n) le nombre de décompositions de n en somme de un ou plusieurs nombres premiers consécutifs. Par exemple f(41) = 3 car : 41 = 11 + 13 + 17 = 2 + 3 + 5 + 7 + 11 + 13.

1 x L. Moser a montré que lim-Vf(n) = Log2. x-*oo x 1 L. Moser, Notes on number theory III. On the sum of consecutive primes, Can. Math. Bull. 6 ; 1963

0,7363998587... •

00 2ri\ Z1/ = (2^ + 9)/27 1

/ \ n/

Voir 0,604... ; 1,082... ; 1,202... ; 1,644...

0,8856031944. . .

31

0,75 **

3/4 • Conjecture de Netto : Soient Pi et P2 deux éléments du groupe symétrique Sn. La probabilité pour qu’ils engendrent le groupe entier tend vers 3/4 quand n tend vers l’infini. Cette conjecture a été démontrée en 1967 par J. J. Dixon.

0,764. . . • Le nombre de nombres entiers inférieurs à x qui sont des carrés ou des sommes de deux carrés est : 1/2

N(x) ~ k • x/(Logx)1/2 avec k = Landau, 1908

0,7796355700... 718 (Arcos 1/3-71/3) Le meilleur majorant connu pour la densité d’un empilement de sphères dans R3. C.A. Rogers, The packing of equal spheres, •

Proc. Lond. Math. Soc. 8, 1958

0,812566. . . • Soit Pn le nombre de termes impairs dans les n premières lignes du triangle de Pascal. Alors 0,812... < Pn/nLog 2/Log 3 < 1. H. Harborth, Number of odd binomial coefficients, Notices of Am. Math. Soc., 23, 4, 1976

0,8856031944. . . • Le minimum de la fonction eulérienne T(x) pour x positif. Il est atteint pour x = 1,461321... 00

e-ttx-1 dt et vérifie o

T(x + 1) = xF(x). On a donc, pour x entier positif, T(x + 1) = x!

Voir0,4749... ;0,5772... ; 1,3110... ; 1,4616... ; 1,7724... ;2,6789... ; 3,6256...

32

0,906899682...

0,906899682. . . —— : densité maximale d’un empilement de disques dans le plan.

Voir 6.

0,91596559417721901505. . . Constante de Catalan = p- j2+~2“^ fn/2

fl

F dk avec F =

Elle est égale à 2 Jo

,

(~l)n (2n + l)2

dtp Jo V1 - k2 sin2 cp

1

33

I

Vous me paraissez ignorer gue le N° 1 est la première de toutes les unités. Christophe, L’Idée fixe du Savant Cosinus

•Le plus petit entier positif, c’est aussi le plus petit nombre impair. Cette propriété est quelquefois utilisée pour établir l’existence de solutions à un problème : il suffit de montrer que, si des solutions du problème existent, elles sont en nombre impair. •

Ordre du plus petit groupe.

• Elément neutre pour la multiplication dans N, Z, Q, R, C, etc. Il divise donc chaque entier et est le seul entier positif qui soit égal à son inverse. • Le seul entier qui ne soit divisible par aucun nombre premier. On utilise quelquefois cette propriété pour établir que la solution d’une équation diophantienne est un entier : on montre que c’est un rationnel dont le dénominateur n’est divisible par aucun nombre premier. *

• Théorème de Brouwer : tout champ continu de vecteurs tangents à la sphère S2n comporte au moins un point singulier.

*

• Théorème de Picard : si 0 est un point singulier essentiel isolé d’une fonction holomorphe f(z), alors l’image par f de toute couronne 0 < |z| < e est le plan complexe tout entier ou privé au plus d’un point.

*

• Nombre de dimensions de l’un des deux espaces euclidiens Rn où il existe une mesure additivement finie, invariante par le groupe des déplacements de Rn et coïncidant avec la mesure de Lebesgue sur les ensembles mesurables. Banach

• L’anneau des entiers du corps quadratique complexe Q(i) est factoriel, c’est à dire que chacun de ces entiers, de la forme a + bi, se décompose de manière unique (à l’ordre près) en un produit de nombres premiers. De plus, cet anneau est euclidien, c’est à dire que l’on peut y définir un algorithme de division avec reste. Voir 9 et 1 + i. • L’anneau des entiers Z est, lui aussi, euclidien et donc factoriel. On peut le considérer comme l’anneau des entiers du corps cyclotomique le plus simple : Q(£n), où ^n est racine de l’équation xn — 1 = 0. Z correspond à n = 1. Voir 30.

1

34

• Le seul nombre positif qui ne peut servir de base à un système de loga­ rithmes. Le nombre 1 possède également de nombreuses propriétés arithmétiques. Il est :

•

L’un des deux nombres égaux à la somme des carrés de leurs chiffres.

• L’un des quatre nombres égaux à la somme des factorielles de leurs chiffres.

•

L’un des six nombres égaux à la somme des chiffres de leur cube. Moret Blanc, 1879

•Le seul nombre, avec 7, dont la somme des diviseurs du cube est un carré parfait. Rappelons enfin, bien que ce ne soit pas à proprement parler une pro­ priété, que 1 n’est pas un nombre premier.

35

IJ7628081 . . .

1,060660172... *

•Longueur de l’arête d’un cube du « prince Rupert ». Ce cube est le plus grand que l’on puisse faire passer à travers un cube unité. En d’autres termes, on désire percer un canal de section carrée permettant le passage du cube le plus grand possible. La réponse est |^/2. L’axe du canal n’est pas parallèle à la diagonale du cube unité. Cundy et Rollet, Mathematical models, Oxford, Clarendon Press, 1961, p. 139

1,082323237... .

((4) = p/n4 = 7r4/90 1

36® / Il semble également que l’on ait £(4) = — X 1/n , bien que l’on ne 1/7 / \n/ connaisse aucune démonstration de cette égalité. Voir 1/2 ; 0,604... ; 0,736... ; 1,202... ; 1,644...

1,08366... •

Appelé nombre de Legendre. Celui-ci affirmait, après observation empiri-

que, que le nombre de nombres premiers inférieurs à x vaut Ce nombre n’a qu’un intérêt historique. g

- ——jjjgj— ’

1,17628081 . . . ***

•

La plus grande racine réelle de l’équation x10 + x9 — x7 — x6 — x5 — x4 — x3 + x + 1 = 0.

Le plus petit nombre de Salem connu. Les nombres de Salem sont des entiers algébriques réels supérieurs à 1 dont un conjugué au moins est sur le cercle unité et les autres à l’intérieur de ce cercle. Ce nombre a été découvert par D.H. Lehmer en 1933, et confirmé par D.W. Boyd en 1977. D.H. Lehmer, Factorization of certain cyclotomie functions, Annals of Math. Serie 2, 34, 1933, p. 461-479. D.W. Boyd, Small Salem numbers, Duke Math. Journ. 44, 1977, p. 315-328 C.L. Stewart, Algebraic integers whose conjugates lie near the unit circle. Bull. SMF, 106, 1978, fasc. 2

36

1,1789797444. . .

1,1789797444. . . . •

2? , f'sinu, , =—ou?= I ----- du = 1,85... Jo

71

u

Ce nombre intervient dans le phénomène de Gibbs. Voir 1,85...

1,1996678640257734... Racine de l’équation ex(x — 1) = e-x(x + 1) Ce nombre a été déterminé par Stieltjes qui l’utilisa pour résoudre l’équa­ tion de Kepler z — a = a sin z •

in Goursat, Cours d’analyse, T. 2, p. 120, Paris, Gauthier-Villars, 1942

1,2020569... *

Valeur au point s = 3 de la fonction £(s) de Riemann. On sait depuis Euler 00 1 que les valeurs £(2k) = £ -^ sont transcendantes (elles s’expriment rationnellei n ment en fonction de 7c2k). On ne connait aucune formule analogue pour les valeurs £(2k + 1). Cependant, Apery a démontré en 1978 que ^(3) est irrationnel. Il a utilisé pour cela le développement en fraction continue : •

6 «3)"

•

l6 26 n6 117- 535- ■”34n3 + 51n2+27n + 5-

On connait également le développement en série 2n s00 / C(3) = ^(-ir7n3 2 1 / n.

Voir 1/2 ; 0,604... ; 0,736... ; 1,082... ; 1,644...

1,306951... *

• Soit P = (Db D2, ... ) une suite infinie de disques ouverts disjoints, dont la réunion est, presque partout, le disque unité D. Soit rn le rayon de Dn. Le théorème de Mergelyan-Wesler affirme que ^rn=+°°. Si xeR+ posons Mx(P) = £rn\ 1

1,3203236316...

37

Il est clair que, pour chaque P, il existe un nombre e(P) tel que la série MX(P) diverge si x < e(P) et converge pour x > e(P). Le résultat de MergelyanWesler affirme que 1 < e(P) < 2 pour tout P. Il existe une constante S qui améliore cette minoration et dont la meilleure estimation connue est S = 1,306951 ... Elle peut s’interpréter comme la dimen­ sion fractale de l’ensemble de points non couverts par les disques Dn. Z.A. Melzack, On the solid packing constant for circles, Math, of Comp. 23, 1969 B. B. Mandelbrot, Frac tais, San Francisco, W.H. Freeman, 1977, p. 187

1,31102877714605990523... *

•

Constante de la lemniscate. Elle est égale à :

1 P dx =r2(l/4) 2 1 1 - ? ~ 4 V¿^

La lemniscate est l’ensemble des points M du plan tels que le produit des distances à deux points fixes Pj, P2 est P, MP2 M = Cte = ^Pj P2. Son périmètre est égal à2PtP2• eu avec œ = 1,311.... La constante œ joue donc pour la lemniscate un rôle analogue à celui de n pour le cercle. La lemniscate possède d’autres propriétés communes avec le cercle. En particulier, on peut la diviser en n parties égales à l’aide de la règle et du compas si et seulement si n = 2kp1p2p3 • • • Pj où p¡ = 22’ + 1 est un nombre premier. K.F. Gauss

1,3203236316... **

•

Constante des nombres premiers jumeaux. Elle est égale à : n 2 M

p2 - 2p p2-2P + i

p premier

Un argument probabiliste montre que, s’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, alors le nombre de ceux qui sont situés dans l’intervalle [x, x + a] est de l’ordre de C. —------ avec C = 1,32... Cette loi est très bien confirmée (Logx)2 expérimentalement mais on ignore toujours s’il existe une infinité de tels nombres ; tout au plus sait-on que la série de leurs inverses converge. Voir 1,70195... ; 3 ; 694513810• 2230* ± 1 ViggoBrun

1,3241795...

38

1,3241795... ***

Racine de l’équation x3 — x — 1 = 0. C’est le plus petit nombre de Pisot-Vijayaraghavan. Son existence a été démontrée par Salem en 1944 et sa valeur a été déterminée la même année par Siegel. Les nombres de Pisot sont les entiers algébriques supérieurs à 1 dont tous les conjugués ont un module inférieur à 1. Leur ensemble est fermé.

•

R. Salem, A remarkable class of algebraic numbers. Proof of a conjecture of Vijayaraghavan, Duke Math. Journ., 11, 1944 p. 103-108 C.L. Siegel, Algebraic numbers whose conjugates lie in the unit circle, Duke Math. Journ. 11, 1944 p. 597-602

1,333333333333... Pour toute forme quadratique définie positive, il existe x et y non nuis tels (ax2 + 2bxy + cy2)2 |ac — b2| • 4/3. Plus généralement, on appelle constante de Hermite pour la dimension n la valeur yn = Supminf(x1? x2, . .., xn)/(discrim f)1/n f x> On a donc (y2)2 = 4/3. Blichfeld a montré que yn ^ (1 + ejn/rce avec en -> 0, et e = 2,718... • que

1,3727... • Les nombres 2, 5, 17, 37 sont des nombres premiers de la forme n2 + 1. On ignore s’il existe une infinité de tels nombres mais une conjecture de Hardy et Littlewood affirme que si c’est vrai, alors le nombre des nombres premiers de cette forme, inférieurs à x, est de l’ordre de : P(x)-C7i/Logx

avec

C=

[]

p>2 \ p premier

— = 1,3727...

P — 1

/

1,414213562373. . . Longueur de la diagonale du carré de côté 1. Découvert par les Pythagoriciens, ce nombre passe pour avoir été, his­ toriquement, le premier nombre irrationnel. Colérus, dans son ouvrage De Pythagore à Hilbert, attribue au philosophe Proclos Didachos une citation, qui révèle l’impression faite sur les Grecs par la découverte de l’irrationnel : L "homme qui, le premier, fit sortir du mystère la considération de PIrrationnel pour la livrer au grand jour de la publicité périt, dit-on, dans un naufrage. Ceci est arrivé parce que l’Inexprimable, l’Informel, aurait dû toujours rester caché . ..

39

1,5849662501...

Cet homme, d’après Jamblique, est Hippasos de Métaponte qui réussit le premier à inscrire un dodécaèdre régulier dans la sphère. Il est donc possible, en fait, que le premier nombre irrationnel reconnu comme tel ait été le nombre d’or (1 + ^/5)/2, qui intervient dans cette construction. Le développement de ^/2 en fraction continue est du à Bombelli (1572).

1 -— 1 -— 1 -— 1 ------- ;1------- que 1v on note 1 4-. -— 3 , 1 2+ 2+ 2+ 2 + 2 + ... On remarquera la périodicité de ce développement. C’est le cas pour tout nombre racine d’une équation du second degré à coefficients entiers.

1,44466786100... •

e1/e Limite supérieure de l’intervalle de définition de la fonction f(x) = xxX Voir 0,0659...

1,45136380. . . •

Le nombre de nombres premiers inférieurs à x est, d’après Ramanujan, m Jc logl

où c = 1,4513 ... et g(m) la fonction de Môbius. D’après Soldner, la véritable valeur de c serait 1,4513692346... qui est la racine de l’équation L(x) = 0, avec :

fi £ dt L(x) = lim — £-o Jo Logt

dt Logt

Hardy, Ramanujan, N.Y., Chelsea, 1968, p. 45

1,4616321449. . . • Valeur de x positive pour laquelle la fonction eulérienne F(x) atteint son minimum.

1,5849662501... *

*

v^7 Dimension fractale de la courbe de Von Koch. Log3

40

1,618033988...

1,618033988... = (1 + V5)/2 •

Nombre d’or.

• C’est la racine positive de l’équation x2- x- 1 =0 qui gouverne la règle jde partage + • a =------a + b. en « moyenne et extreme raison »:b a • Ce nombre apparaît naturellement dans la construction du pentagone régulier, auquel les Anciens attachaient des propriétés mystiques. Les Grecs, à qui l’on doit l’appellation de « nombre d’or » ont fait de ce nombre la clé de voûte de leur système esthétique ce qui a été repris récemment par Le Corbusier dans le «Modulor». Puisque esthétique, ce choix peut être discuté. Il est plus curieux que ce nombre, ou la suite de Fibonacci associée, apparaisse également en phyllotaxie. Ce nombre possède, fort heureusement pour cette collection, des propriétés purement mathématiques :

•

Son développement en fraction continue est : (ï) = 1 -|-------------------------- - • •

* *

1+ 1+ 1+ 1+

Voir 1,414...

* • C’est donc le nombre irrationnel qui s’approche le plus mal par des rationnels. Les rationnels qui l’approchent « le mieux » sont les réduites succes­ sives obtenues à partir du développement précédent : ï .

’

1 + 1 = 2-

i

r

1

= 3 -

5.

8 -

13 •

2i -

2’

3’

5’

8 ’

13’

\ +1

Les nombres 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55,... qui apparaissent au numérateur on au dénominateur forment la suite de Fibonacci définie par : Fi = h

F2 = l,

Fn+1 = Fn + F„_1

Voir 12 et 19. (Certains voient dans cette mauvaise approximation rationnelle la raison pour laquelle la suite de Fibonacci apparaît dans la répartition des feuilles autour des tiges de certaines plantes : une telle distribution assurerait l’ensoleillement maximal de ces feuilles.) • Salem a montré que l’ensemble S des nombres de Pisot est fermé. 0 est le plus petit point d’accumulation de cet ensemble. Voir 1,3247... • On a vu que le développement de 0 en fraction continue ne comporte que des 1. On peut également le représenter à l’aide d’une infinité de radicaux : ÿ = V i h- V

41

1,718281828 ...

1,6449340668... •

00 1 2 a2) = z¿=^ i n o

æ / / 2n\ On a également : £(2) = 3^1/n2 ). i

/

\n /

Voir 1/2 ; 0,604... ; 0,736... ; 1,082...

1,6666666666666 • 5/3 : constante de Kolmogoroff. C’est l’exposant du spectre de la turbu­ lence homogène k- 5/3. Bien qu’apparaissant en physique, ce nombre est de nature purement mathématique, étant lié au fait que notre espace est de dimension 3. Effectivement, B.B. Mandelbrot a montré que cet exposant est égal à 5/3 + B avec B = (3 — D)/3 où D est la dimension de l’espace ambiant. B.B. Mandelbrot, Fractals, San Francisco, W.H. Freeman, 1977

1,70195. . . • On ignore s’il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, mais Viggo-Brun a démontré que la série de leurs inverses converge. La meilleure estimation actuelle de la somme de cette série est celle de Fröberg :

E

-H----- ^r = 1,70195 + 6 p p+2

Ici < 10"5

avec 11

premiers

Voir 1,32... ;3;et2,59...1O702.

1,705211 . . . • Soit n un entier et p/1 • p2“2 • • • • pk’k sa décomposition en facteurs pre­ miers. Posons ind(n) = max^). Alors on a : 1 m

Lim —yind(n)= 1,705... m—^oo m 2 Niven, Average of exponents in factoring integers. Proc. Amer. Math. Soc. 22, 1969

1,718281828 ... • e — 1. Considérons une permutation des entiers (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7), par exemple (3, 4, 5, 1, 6, 7, 2). Elle comporte trois séquences monotones croissan­ tes : (3, 4, 5) ; (1, 6, 7) et (2). De telles séquences sont appelées « runs ascendants » et se définissent de façon analogue pour les permutations effectuées sur les entiers 1,2, ..., n. Quand n tend vers l’infini, la longueur moyenne du premier run ascendant tend vers : Lj = e — 1 = 1,7182818 ...

1,7724538509...

42

On a également pour les suivants L2 = e2 — 2e = 1,9524 ... L3 = e3 - 3e2 + 1,5e = 1,9957. . . Il est remarquable que les Ln, qui sont les valeurs au point e de polynômes, tendent vers 2. D. Knuth, The Art of Computer Programming, Reading, Mass., Addison Wesley, 1975

1,7724538509... V^ = r(i/2)

•

1,7810724179... •

ec, où C est la constante d’Euler.

Fisher et Yates, 1938

1,782213978... ***

• Le meilleur majorant connu de la constante KG de Grothendieck. Soit A = (a¡j) une matrice carrée d’ordre n réelle et telle que : X

a¡.jx¡yj

quels que soient x, et yj réels de valeur absolue inférieure à 1.

Ki.j^n

Alors Grothendieck a montré qu’il existe un nombre K, indépendant de A et de n tel que l’on ait

X

ai.j < xi> yj >

^ K, quels que soient les vecteurs

KiJ^n

x¡ et yj de norme inférieure à 1 pris dans un espace de Hilbert quelconque. La constante de Grothendieck est le plus petit réel pour lequel cette inégalité est vérifiée.

Krivine a montré que KG ^--------------- = 1,782... et il conjecture qu’il y a égalité. 2 Log(l 4- ^2) Pour l’heure, il a démontré que 1,676... ^ KG ^ 1,782... J.L. Krivine, Sur la constante de Grothendieck, C.R.A.S., 284, 8, A 1977

1,8519369. . .

43

1,8519369. . . (* n

•

y=

•

sinu , ------au u

Phénomène de Gibbs ; soit G la fonction de période 2tï : G(0) = 0, 7T — X

G(x) = —-— 0 < x < 27i. Le point 0 est une discontinuité isolée, la suite sn des

sommes de Fourier ne converge donc pas uniformément au voisinage de 0. L’ensemble des valeurs d’accumulation de la fonction (n, x) —► sn(x) est l’intervalle [ — y, 7^ appelé intervalle de Gibbs. Il est plus grand que le saut de la fonction

en 0, qui vaut 71. On a— = 1,179... 71

in R. Descombes, Cours d'analyse, Paris, Vuibert, 1962

2

44

Il doit avoir fallu plusieurs siècles pour découvrir qu'un couple de faisans ou une paire de jours étaient des exemples du nombre deux. Bertrand Russell

• Bien qu’étant le plus petit nombre traduisant l’idée de pluriel, le nombre 2 s’est vu reconnaître, dans le langage courant, un statut particulier vis à vis des autres entiers : duel, couple, paire, etc. Cette distinction traduit aussi des propriétés mathématiques : en logique, le vrai et le faux ; en arithmétique, le pair et l’impair, le positif et le négatif, etc. Comme les autres petits entiers, la liste de ses propriétés triviales mériterait un chapitre à elle seule.

•

Le plus petit entier qui peut servir de base de numération.

**

• Le plus petit nombre premier. C’est d’ailleurs le seul nombre premier p tel que l/(p — 1) est un entier.

*

• Le seul nombre premier tel que les groupes multiplicatifs (Z/pn)* ne soient pas tous cycliques : (Z/8)* — Z/2 x Z/2. • Indice du seul sous-groupe invariant non trivial du groupe symétrique Sn pour n > 5. Ce sous-groupe est le groupe alterné An. •

*

Ordre du plus petit corps fini.

• Il n’existe que deux corps quadratiques complexes dont le groupe des unités n’est pas réduit à ( — 1 ; +1). Les unités de Q(^n) sont (1 ; i ; — 1 ; —i) ; celles de 0(^ — 3) sont au nombre de 6 : (----- )

avec j = 0, 1, 2, 3, 4, 5.

• L’anneau des entiers du corps quadratique complexe 0(7^2) est eucli­ dien, et donc factoriel. Voir 9. •Il en est de même pour l’anneau des entiers du corps quadratique réel Q(^). Voir 16. **

• Théorème de Roth (1955) : tout nombre algébrique irrationnel est appro­ chable à l’ordre 2 et pas au-delà. Un nombre x est dit rationnellement approchable à l’ordre n s’il existe un nombre k(x) tel que l’inéquation : |x — p/qI < k(x)/qn possède une infinité de solutions, c’est à dire qu’il existe une infinité de fractions p/q vérifiant l’inégalité ci-dessus.

2

45

*

• Le plus petit élément du second ensemble dérivé de l’ensemble des nombres de Pisot. Voir 1,3247... et 1,618...

* *

• Le plus grand entier n connu pour lequel l’équation xn + yn = zn possède des solutions entières. Exemple : 32 + 42 = 52. Fermât, dans la marge d’un exemplaire de l’Arithmétique de Diophante, affirmait avoir une « preuve mer­ veilleuse mais trop longue pour figurer dans cette marge » du fait que deux est le seul entier pour lequel l’équation ci-dessus possède des solutions non triviales. Malgré des recherches très importantes, notamment celles de Kummer au siècle dernier, on ne sait toujours pas si ce qu’on appelle maintenant « la conjecture de Fermât », ou, improprement, « Le Grand Théorème de Fermât » est vrai ou non pour tout n. On sait cependant qu’il est vrai pour une infinité de valeurs de n et pour n ^ 3 500 000. Voir 37.

*

• Le plus petit nombre super-abondant, c’est-à-dire un nombre n tel que ff(n)/n > cr(k)/k pour tout k < n, où a(n) est la somme des diviseurs de n. Erdôs et Alaoglu ont montré en 1944 qu’il existe une infinité de tels nombres. •

Le plus petit nombre chanceux. Voir 41.

• Caractéristique d’Euler-Poincaré de la sphère. On a donc, pour tous les polyèdres convexes : S - A + F = 2, où S, A, F sont respectivement le nombre des sommets, des arêtes, et des faces de ces polyèdres. • Théorème de Jordan : toute courbe continue sans point double, plane et fermée, sépare le plan en deux régions connexes dont elle est la frontière. • Dimension de l’un des deux espaces Rn pour lesquels il existe une mesure additivement finie, invariante par le groupe des déplacements de Kn et coïncidant avec la mesure de Lebesgue sur les ensembles mesurables. • Dimension, au sens de Hausdorff, de la courbe de Peano, courbe « pathologique » qui passe par tous les points d’un carré. • Dimension fractale de la trajectoire d’un mouvement brownien dans tout espace Rn pour n > 2. B.B. Mandelbrot • Nombre de droites coupant quatre droites données en position générale dans K3. •

Exposant du premier nombre de Mersenne.

•

Le plus petit nombre de Schur : S(l) = 2.

46

2,4048255576. . .

2,4048255576... • Le plus petit zéro de la fonction Jo de Bessel. Ce nombre est transcendant. Les zéros suivants sont 5,52... ; 8,6537... ; 11,7915...

2,5 *

•

5/2=

n

(p2 +

d/(p2

-1).

p premier

2,6180339887. . . • Le carré du nombre d’or ÿ. Considérons un graphe G possédant n sommets et un coloriage de G en  couleurs, tel que deux sommets adjacents soient de couleurs différentes. G. Birkhoff a montré que le nombre des coloriages distincts possibles est donné par un polynôme PG(Â), dépendant de G, et dont le degré est égal au nombre de sommets de G. Un tel polynôme est dit chromatique, et n’a de signification intuitive que pour les valeurs entières positives de I W.T. Tutte a cependant montré que tous les polynômes chromatiques des graphes planaires triangulés possèdent une racine proche de 2,61803... Plus précisément, si n est le nombre de sommets de G, on a PG(2) 05-n. Voir, 3,24. . . W.T. Tutte, On chromatic polynomials and the golden ratio. Journ. of Combin. Theory, 9, 1970

2,6651441426. . . • 2^. Ce nombre est transcendant. Cela découle du théorème de GelfondSchneider qui affirme que si a est un nombre algébrique distinct de 0 et de 1, et si b est algébrique irrationnel, alors ab est transcendant.

2,6789385347... • Valeur, au point 1/3, de la fonction T d’Euler. Ce nombre est transcendant. Choodnovsky a montré que 7t et F(l/3) sont algébriquement indépendants.

2,6854520010. . . *

• Constante de Khintchine : la limite quand n tend vers l’infini de la moyenne géométrique des n premiers quotients partiels de « presque tout » nombre réel oo / 1 \Logk/Log2 développé en fraction continue. On a K = ]~[ 1 + ——— I k=2 \ k(k + 2)y Voir 3,275...

2,723. . .

47

2,718281828459045. . . • Base des logarithmes népériens, ce nombre, appelé e par Euler, est pro­ bablement, après 7i, la constante mathématique la plus célèbre. Son introduction en mathématique coïncide avec la naissance de l’Analyse, discipline où elle intervient partout depuis que Euler eut établi la liaison entre l’exponentielle complexe et les fonctions circulaires en montrant que : eix = cos x + i sin x.

• Hermite, en 1873, montra que e est un nombre transcendant. Ce fut le premier nombre «classique», c’est à dire non construit pour la circonstance, à être reconnu comme transcendant. • Avant ce progrès décisif, Euler avait montré l’irrationnalité de e grâce au développement : æ e = X Vn! 0

• Son importance en Analyse tient, on l’a dit, à la définition de l’exponen­ tielle ex, qui est solution de l’équation différentielle linéaire « la plus simple » : y = y'. On notera, à ce propos, que n intervient par le biais des fonctions circu­ laires dans la résolution de l’équation différentielle linéaire du second ordre « la plus simple » : y = y", et qu’il est remarquable, bien que naturel, que l’on n’ait pas eu le besoin d’introduire de nouvelles constantes supplémentaires pour les équations d’ordre supérieur. •

Intervient également en théorie des nombres. On a, par exemple : e = X-*OO lim \ H Pi /I .

avec Pi premier.

• Bien que la répartition de ses décimales soit apparemment très irrégulière, il existe des représentations extrêmement simples, notamment le développement classique en fraction continue : e

,11111111 1 1 2 H------------------------------------------- - • •----------- • • • 1+2+ 1+ 1+4+ 1+ 1+6+ 2n + 1 +

ou le développement en fraction continue généralisée : 1 e = 1 H--------------------- ------------------- - 1+ 6+ 10+ 2(2n+ 1) +

1.211

2,723. . . 1

Y

1

£-L°g-=-(L°gx)2 + Cl°gx + D + 0(l/x) n^xn 2 où C est la constante d’Euler et D = 2,723... •

in W.J. Ellison, M. Mendès-France, Les nombres premiers, Paris, Hermann, 1975

48

3

3 •

Plus petit nombre premier impair.

• Entier le plus proche de e = 2,718... ; il en résulte que la numération en base 3 est la plus économique en ce qui concerne le nombre de signes à utiliser pour exprimer un nombre n entier quelconque. •

Seul nombre premier p tel que p — 1 soit premier.

•

Seul nombre premier de la forme n2 — 1.

•

Seul nombre premier p qui divise 2P + 1.

• Seul nombre premier p tel que la somme des diviseurs de sa quatrième puissance soit un carré 1 + 3 + 32 + 33 + 34 = 112.

•

22° + 1 = 3.

Plus petit nombre de Fermât premier

• Par conséquent, c’est aussi le plus petit nombre de sommets d’un polygone régulier constructible « à l’aide de la règle et du compas ». Gauss •

Plus petit nombre de Mersenne premier : 3 = 22 — 1.

•

Exposant du second nombre de Mersenne premier.

•

Second nombre « chanceux ». Voir 41.

ne sont jamais des puissances de \n/ nombres entiers pour k > 3 (et n / 0, 1, k — 1 et k bien sûr). Erdôs •

Les coefficients du binôme

•

Tout entier est somme de trois nombres triangulaires.

Gauss

• Second des sept nombres entiers tels que le nombre de ses diviseurs est égal au nombre des entiers inférieurs à n et premiers avec n. Minim, 1894 •

Ordre du plus petit carré gréco-latin.

•

Ordre du plus petit carré magique possible.

• L’anneau des entiers du corps quadratique complexe Q(7“3) est eucli­ dien, et donc factoriel. Voir 9. •Il en est de même pour l’anneau des entiers du corps quadratique réel 0(7^) et pour l’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£3). Voir 16 et 30.

• Lorsque n est supérieur ou égal à cinq, il n’existe que trois types de polyèdroïdes réguliers dans Kn. Ce sont les généralisations du tétraèdre, du cube et de l’octaèdre. Le nombre de leurs sommets est respectivement : n+1,

2n

et

2n.

49

3

• Etant donnés deux réels a et b, l’une des trois relations est vérifiée : a < b ; a = b ou a > b. Cette remarque évidente implique qu’il existe trois types de coniques non dégénérées : l’ellipse, la parabole et l’hyperbole. Il suffit de com­ parer l’excentricité de la conique avec 1.

*

• Paradoxe de Hausdorff : pour n > 3, il n’existe pas de mesure additivement finie et invariante par le groupe des déplacements de Rn. Voir 5 - paradoxe de Banach-Tarski. •La dimension d’une algèbre dimensionnelle sans diviseurs de zéro est de la forme 2n. Si les puissances d’un élément sont associatives alors il existe autant d’algèbres de ce type que d’algèbres de Cayley, c’est à dire 3. • Nombre de polyèdres convexes quasi-réguliers de R3. Un polyèdre quasirégulier est l’intersection d’un polyèdre régulier et de son dual. Toutes ses faces sont des polygones réguliers et tous les sommets sont de degré 4 (ce sont les milieux des arêtes du polyèdre initial). Les trois polyèdres quasi-réguliers sont l’octaèdre, le cuboactèdre et l’icosidodécaèdre.

*

* • Une sphère Sn est dite parallélisable s’il existe sur Sn n champs continus de vecteurs tangents linéairement indépendants. Il n’existe que trois sphères parallélisables, ce sont S1, S3, S7. J.F. Adams, On the non-existence of éléments of Hopf invariant one, Bull. Amer. Math. Soc. (2), 58, 1962

•

Nombre maximal de points doubles d’une quartique non dégénérée.

• Une surface cubique non réglée ne peut contenir que 3, 7, 15 ou 27 droites réelles. • Tout graphe planaire triangulé possède un sommet de degré 3, 4 ou 5. Cette propriété servit de point de départ à Kempe pour sa « démonstration » du théorème des 4 couleurs. • Il existe des matrices orthogonales d’ordre 3 dont tous les éléments sont des rationnels distincts. Par exemple :

0,96 Voir 57.

*

-0,28

0 ’

0,224

0,768

0,6

_0,168

0,576

-0,8_

Benneton

* • Le plus petit nombre premier p tel que p + 2 soit premier. De tels couples (p, p + 2) s’appellent des nombres premiers jumeaux. A l’exception de (3, 5) ils sont tous de la forme 6n ± 1. On ignore s’il en existe une infinité mais un théorème récent de Chen Jing Run affirme qu’il existe une infinité de nombres premiers p tels que p -F 2 ait au plus deux facteurs. On sait également que la série des inverses des nombres premiers jumeaux converge. Voir 1,32032... ; 1,70195...

50

3,14159265358979. . .

3,14159265358979. . . TT • Aire du cercle de rayon 1, c’est de loin la constante la plus célèbre des mathématiques. Apparue initialement en Géométrie, elle intervient aujourd’hui dans les domaines les plus variés : analyse, théorie des nombres, probabilités et statistiques, combinatoire, etc. Les plus grands mathématiciens se sont intéressés depuis plus de 2000 ans aux problèmes posés par ce nombre. Entre l’estimation n ^ (16/9)2, trouvée dans le papyrus Rhind, et le million de décimales calculées par Guilloud et Bouyer en 1976, on rencontre Archimède (3 + 10/71 ^ æ ^ 22/7), Ludolph Van Ceulen, mais aussi Viète, Descartes, Newton, Leibniz, Euler ... C’est à ces derniers, parmi d’autres, que l’on doit l’abondance de « formules » représentant rc, ses multiples, ses puissances, etc. La motivation essentielle de cette recherche était le désir de résoudre la quadrature du cercle par la géométrie, tout d’abord, puis par l’analyse. Les progrès décisifs en ce domaine furent réalisés par Lambert en 1761 qui montra, grâce au développement de la fonction tgx en fraction continue, que ti est irrationnel, puis quelque temps plus tard par Legendre qui établit l’irrationalité de 7i2, et enfin par Lindemann qui, partant des travaux de Hermite sur la trans­ cendance de e, montra en 1882 que n est transcendant.

•Contrairement à e, on ne connaît pas la loi de formation des quotients partiels du développement de n en fraction continue.

qui conduit aux réduites : 3,22/7, 333/106,

355/113,

103993/33102,

etc.

• On sait par ailleurs (Mignotte, 1974) que l’équation (71 — p/q) ^ 1/q20 ne possède qu’un nombre fini de solutions en nombres entiers.

•Il existe un très grand nombre de représentations de 71. Nous n’en retien­ drons que quatre, représentatives de cette variété : 1 1 1 1 1 1 A 1 4=1-3 + 5- y + 9- H’" = ArCg 1

7t

4_ n~

1 32 52 (2n + l)2 +2+2+2+”' 2+

(

’

(Brouncker)

7t . 2 - 2 • 4 ■ 4 • 6 ■ 6 ■ 8 • 8 - - (2n)2 2 - n™ 1 • 3 • 3 • 5 • 5 • 7 • 7 ■ 9 • 9 • • • (2n + l)2

(Wallis)

I^J I- + - I- + - I-

(Viète)

2

/V2V2

2V2V2

2^/2

2^2

3,625609907...

51

La célébrité de n est telle que des poèmes ont été rédigés en français, anglais allemand, afin de mémoriser facilement les premières décimales.* On notera, à ce propos, que la précision actuelle obtenue dans le calcul de n dépasse de très loin celle qui est nécessaire dans des calculs d’applications. Le lecteur rencontrera n tout au long de cette collection. Nous préférons donc ne pas indiquer où, lui laissant ainsi l’agrément de la découverte. * : On trouvera ces poèmes, ainsi que bien d’autres choses, dans le seul ouvrage français complet en la matière : Spécial 7t, Le Petit Archimède, Amiens, 1980.

3,2469796... *

L’une des racines de l’équation x3 — 5x2 -F 6x — 1 = 0. Appelée «nombre d’argent» par Tutte qui constata que certaines racines des polynômes chromatiques des graphes planaires triangulés se groupaient autour de cette valeur. Voir 2,618...

•

3,27582292... *

• Constante de Lévy. Soit pn/qn la nième réduite d’un nombre réel x. Pour presque tout nombre réel, on a lim Æ = e71^12 Log 2 = 3,27... n~*oo

3,625609907... •

Valeur, au point 1/4, de la fonction T d’Euler. Ce nombre est transcendant.

52

4

4 *

* • Toutes les équations algébriques de degré inférieur ou égal à 4 sont résolubles à l’aide de radicaux. *

• Théorème de Lagrange : tout nombre entier peut s’écrire sous la forme d’une somme de quatre carrés. Cette propriété était connue de Diophante et Fermât assurait en posséder la démonstration, mais il a fallu attendre Lagrange en 1772 pour en avoir la confirmation. Pour généraliser ce problème, Waring a proposé de chercher le nombre g(n) tel que tout entier puisse s’exprimer comme une somme de g(n) puissances nièmes. Bien que de nombreux résultats aient été obtenus dans ce sens, en particulier par Hilbert qui a démontré l’existence de g(n) pour tout n, la détermination complète des g(n) n’est pas achevée. • Le plus petit entier pour lequel il existe deux groupes d’ordre n non isomorphes. Ce sont le groupe cyclique Z/4Z et le groupe de Klein des isométries du rectangle. Ces deux groupes sont commutatifs. • L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£4) est euclidien, et donc factoriel. Voir 30. •

L’ordre d’un groupe simple non commutatif est divisible par 4. Feit-Thomson, Solvability of groups of odd order, Pacific Journ. of Math. XIII 1963

• Nombre maximal de régions du plan qui peuvent avoir une frontière commune deux à deux. En terme de graphes, cela signifie que le graphe complet Kn est planaire si et seulement si n est inférieur ou égal à 4. Le graphe Kn est le graphe obtenu en reliant n points deux à deux. Il possède donc n(n — l)/2 arêtes. Un graphe est planaire s’il est possible de trouver une représentation plane de ce graphe telle que les arêtes ne se coupent pas. Voir 5 ; 6 ; 9.

**

• Nombre chromatique de la sphère et du plan. C’est le célèbre théorème des quatre couleurs, résolu en 1976 par Appel, Haken et Koch à l’aide d’ordinateurs. D’une façon générale, Heawood a démontré en 1890 que le nombre chromatique d’une surface de caractéristique c est inférieur ou égal à :

H(c) =

7 + 749 - 24c 2

les crochets désignant l’opérateur partie entière. Bien que donnant la valeur 4 pour la sphère (c = 2), la démonstration de Heawood ne s’appliquait pas à la sphère et le théorème des quatre couleurs comble donc cette lacune. Par ailleurs Ringel et Young ont démontré que H(c) est effectivement le nombre chromatique d’une surface de caractéristique c, à l’exception de la bouteille de Klein, pour laquelle H = 7 alors que son nombre chromatique est 6, ce que l’on sait depuis le début du siècle.

4

53

•

Tout graphe planaire triangulé possède un sommet de degré 3, 4 ou 5. Voir 3.

•

Un graphe planaire 4-connexe possède toujours un cycle hamiltonien. Tutte 1956

Un graphe possède un cycle hamiltonien s’il est possible, en suivant certaines arêtes du graphe, de passer par tous les sommets de ce graphe. La recherche d’un critère général permettant d’assurer l’existence d’un tel cycle dans un graphe quelconque (ou son inexistence) passe pour l’un des problèmes les plus difficiles de la théorie des graphes. • Conjecture de Bieberbach : si f(z) = a0 + a^ + a2z2 + • • • anzn + ••• est une transformation conforme du disque unité sur un domaine quelconque alors |an| < nlaj. 4 est le plus grand indice pour lequel cette conjecture est démontrée. Les résultats pour n = 2, 3, 4 ont été obtenus respectivement par Bieberbach, Lowner, Shiffer et Garbedjian. De plus Hayman a montré en 1954 que la conjecture ne pouvait être fausse que pour un nombre fini d’indices. On sait également qu’elle est vraie pour un domaine convexe ou symétrique. • Théorème de Villarceau : par tout point d’un tore il passe quatre cercles : un méridien, un parallèle, et l’intersection du tore avec le plan bitangent au tore passant par ce point. • Sur une courbe plane convexe fermée, on peut toujours trouver quatre points situés au sommet d’un carré. Schnirelman

*

• Nombre maximal de points coniques d’une surface cubique. La surface de Klein possède effectivement ces quatre points.

*

• Problème de Brocard (1876) : existe-t-il des entiers n tels que n! + 1 soit carré? 4 est le plus petit d’entre eux, les suivants sont 5 et 7 ; il n’y en a pas d’autres inférieurs à 1027. H. Brocard, Nouvelle corr. Math, 1876 • L’un des deux carrés de la forme n3 — 4. L’autre est 121. Ils ont été déterminés par Fermât.

•

Le birapport de quatre points d’une droite est un invariant projectif. Chasles

•Le produit de quatre nombres entiers non nuis, distincts, en progresión arithmétique n’est jamais un carré sauf pour —3, — 1, 1,3. Euler, démontré par Lebesgue, 1863

4,6692016091 . . .

•

54

Nombre de polyèdres réguliers étoilés de R3. Ce sont : • le dodécaèdre de 3ème espèce à faces étoilées. • le dodécaèdre de 3ème espèce à faces convexes. • le dodécaèdre de 7ème espèce. • l’icosaèdre de 7ème espèce.

• Le plus petit échiquier d’ordre n sur lequel on peut placer n reines sans qu’elles soient en prise mutuelle. Le problème de la détermination du nombre de solutions correspondant à un entier n quelconque est encore ouvert.

•

Nombre de sommets et nombre de faces du tétraèdre.

4,6692016091 . . . • Nombre de Feigenbaum (1975). Considérons une fonction f(Â, x) et ses itérations successives Xj = f(x0), x2 = f(xj .... Suivant les valeurs du para­ mètre A, la suite des valeurs x0, Xj ... xn tend vers une limite appelée « attracteur » et qui peut comporter un ou plusieurs points. Soit maintenant une fonction f(Â, x) telle que l’accroissement de  fait doubler le nombre de points de l’attracteur pour certaines valeurs critiques An de I Alors la suite {An} converge et (An+1 - An)/(An - Ah-J tend vers 4,6692 ...

55

5

5 *

* *

• Les équations algébriques de degré n ^ 5 ne sont pas, en général, réso­ lubles par radicaux. Cela découle de la propriété importante suivante : •

Le groupe alterné An est simple pour n ^ 5.

• Le deuxième nombre de Fermât, c’est à dire un nombre premier de la forme 22” + 1. Le pentagone régulier est donc constructible à l’aide de la règle et du compas d’après le théorème de Gauss. Voir 4,2 109.

•La plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes du corps quadratique complexe Q(^d) est égal à 2. Voir 18. • L’anneau des entiers du corps quadratique réel 0(^/5) est euclidien, et donc factoriel. Voir 16.

*

•

Il en est de même de l’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^). Voir 30.

•

Il existe cinq groupes non isomorphes d’ordre p3 lorsque p est premier.

• Degré maximum de transitivité d’un groupe non symétrique (groupes de Mathieu). •

Nombre de groupes de Lie simples exceptionnels.

• Poincaré a énoncé la conjecture suivante : une variété compacte, orientable et simplement connexe de dimension n est-elle homéomorphe à la sphère Sn? Smale a montré que cette conjecture est vraie pour n ^ 5. • M. Nosarevska, en réponse au problème n°47 posé par Banach dans le « Livre écossais », a montré que toute permutation d’un tableau (a^) peut être formée de cinq permutations telle que chacune d’elles laisse ou bien tous les éléments dans leurs lignes ou bien tous les éléments dans leurs colonnes. Trois suffisent si le tableau est fini.

**

• Le plus petit nombre congruent. La renommée de Fibonacci était telle que Frédéric II s’arrêta à Pise en 1225 pour organiser un tournoi mathématique. Ses mathématiciens Théodore et Jean de Palerme proposèrent le problème suivant : Trouver un rationnel dont le carré augmenté ou diminué de cinq soit encore un carré.

56

5

Fibonacci donna la solution x = 41/12. En effet (41/12)2 — 5 = (31/12)2 et (41/12)2 + 5 = (49/12)2. La solution suivante est x = 11 183 412 793 921/2 234 116 132 416. Les nombres n pour lesquels le système d’équations simultanées x2 - n = y2 ; x2 + n = z2 possède des solutions ration­ nelles s’appellent des nombres congruents. Le lecteur en trouvera une table pour n ^ 1000 dans : J. Lagrange, Construction d’une table de nombres congruents, Bull. SMF., suppl. mars 1977

• Problème de Brocard : c’est l’un des trois entiers connus n pour lesquels le nombre n ! + 1 est un carré. Les autres sont 4 et 7. Il n’y en a pas d’autres inférieurs à 1027.

♦ ♦♦

• L’un des trois nombres connus inférieurs à 200 000 tels que (n — 1) ! + 1 = 0 (modn2). Les autres sont 13 et 563. •

L’exposant du troisième nombre de Mersenne ; 25 — 1 = 31.

• Le plus petit des deux entiers dont le cube diminué de 13 est le quadruple d’un nombre triangulaire. Cesaro 1886 •

Le seul nombre de la forme 4x4 + y4 qui soit premier.

•

Le troisième nombre chanceux. Voir 41.

•

Tout graphe planaire triangulé possède un sommet de degré 3, 4 ou 5.

Baudran 1885

• Le graphe complet K5 n’est pas planaire, mais on peut le décomposer en une réunion de deux graphes planaires. On dit que son épaisseur est égale à deux. On ne connaît pas de critère simple, autre que systématique, permettant de déterminer l’épaisseur E d’un graphe quelconque. Cependant, dans le cas des graphes complets, F. Harary et L.W. Beineke ont montré que si n ^ 4 (mod6) alors E(Kn) = [(n + 7)/6]. On sait également que les épaisseurs des graphes Kn, pour n = 4, 10, 22, 28, 34 et 40, sont respectivement égales à 1, 3, 4, 5, 6, 7. J. Meyer, L’épaisseur des graphes complets K34 et K40. Journ. of Comb. Theory 9, 1970

•

Cinq points du plan définissent une conique.

• Newton a montré que toutes les cubiques planes peuvent être obtenues par projection centrale à partir de cinq cubiques gauches.

•

*

Nombre de quadriques non dégénérées.

• Nombre de solides «platoniciens», c’est à dire des polyèdres réguliers convexes de R3. Ce sont le tétraèdre, le cube, l’octaèdre, le dodécaèdre et l’icosaèdre. • Pour n ^ 5, il n’existe que trois polytopes réguliers dans Rn. Ce sont les généralisations respectives du tétraèdre, du cube et de l’octaèdre.

5

57

• Nombre de polyèdres réguliers composés de R3. On les définit comme un ensemble de polyèdres réguliers identiques de centre commun. La «Stella octangula » de Kepler est la plus simple : elle est constituée de deux tétraèdres imbriqués, dont les sommets sont ceux d’un cube. Pour les autres on trouve : Cinq tétraèdres imbriqués dont les sommets sont ceux d’un dodécaèdre (il existe une variété dextrogyre et une lévogyre). Dix tétraèdres dont les sommets sont ceux d’un dodécaèdre (réunion des deux variétés ci-dessus). Cinq cubes dont les sommets sont ceux d’un dodécaèdre. Cinq octaèdres dont les sommets sont ceux d’un icosaèdre.

• Il existe cinq décompositions de l’espace de Lobatchevski à trois dimen­ sions en polyèdres semi-réguliers finis. V.s. Makarov, Studies in discrète geometry, Kishinev, Izdat. Stiinka, 1974

• Dimension de l’espace Rn dans lequel le volume de la boule unité est maximal. *

* • Paradoxe de Banach et Tarski (1924). Si X et Y sont des sous-ensembles de R3 d’intérieurs non vides, alors il existe une partition de X et de Y en un nombre fini de parties disjointes telle que Xj est congruent à Yj pour tout j. R.M. Robinson (1947) a montré que l’on pouvait diviser la boule unité en cinq parties de façon à reconstituer deux boules unité. L’une des parties est réduite à un point. De plus, en 1956, T.J. Dekker et J. De Groot ont montré que chacune des parties pouvait être connexe. K. Stromberg, The Banach-Tarski paradox, Amer. Math. Monthly 86, 3, 1979

•

Le second nombre de Schur : S(2) = 5.

58

5,26378901 . . .

5,26378901 . . . —.n/2

•

La valeur maximale de la fonction Vn = — qui donne le volume de la

boule unité dans Rn. Cette valeur correspond à n = 5. On a :

V5 = 8tt2/1 5 = 5,2637...

5,5 ***

•

11/2 Soit r(n) le coefficient de xn dans le développement de la fonction : g(x) = xfio - x‘)24 = XT(n)x”1

1

Cette fonction, très étudiée depuis Ramanujan, possède de nombreuses propriétés (en particulier elle est multiplicative r(nn') = T(n)T(n') si (n, n') = 1) et vérifie de très belles relations de congruences mod 7, 23 et 691. Un des pro­ blèmes délicats consistait à déterminer l’ordre de grandeur de cette fonction. Ramanujan conjecturait que |r(p)| ^ 2pJ 1/2, pour p premier, P. Deligne a démontré en 1973 que cette conjecture est vraie.

5,859874482... •

7c + e L’un au moins des deux nombres 7c + e et 7c • e est transcendant.

6

59

6 **

• Plus petit nombre parfait pair, c’est à dire égal à la somme de ses diviseurs propres : 6 = 1 + 2 + 3. Euclide a montré que les nombres 2n ~1(2n — 1) sont parfaits si et seulement si 2n — 1 est un nombre premier, (prop. 36, livre IX). De tels nombres premiers s’appellent des nombres de Mersenne, on en connaît actuellement 28. Le problème de l’existence éventuelle d’un nombre parfait impair n’est pas résolu. On sait cependant qu’un tel nombre, s’il existe, comporte au moins huit facteurs premiers dont le plus grand est supérieur à 300 000 et le suivant à 1000.

• C’est aussi le plus petit nombre unitairement parfait. De tels nombres sont définis de la façon suivante : un diviseur d de n est dit unitaire s’il est premier avec le quotient n/d. Un nombre n est unitairement parfait s’il est égal à la somme de ses diviseurs unitaires. On conjecture qu’il n’en existe qu’un nombre fini. Pour l’heure, on en connaît cinq : 6, 60, 90, 87 360 et 218 • 3 • 54 • 7 • 11 • 13 • 19 • 37 • 79 • 109 • 157 • 313. • **

Plus petit entier dont le cube est la somme de trois cubes 63 = 33 + 43 + 53.

P. Erdôs a posé le problème suivant : Peut-on trouver n entiers dont toutes les sommes deux à deux sont des carrés? 6 est la plus grande valeur de n pour laquelle on connaisse une solution. Les six entiers sont : -15 863 902, 17 798 783, 21 126 338, 49 064 546, 82 221218, 447 442 978. J. Lagrange, Thèse 1976 (Reims) •

•

Pour tout entier composé n, il est possible de trouver r ^ 6 entiers r

ai < a2 < a3 < a4 < a5 < ar = n tels que f| ak ! est un carré. En effet, si n = c • d k=l alors l’expression (c — 1)!c!(d — 1)?d!(n — l)!n! est un carré. 527 est le plus petit entier qui nécessite six entiers. P. Erdôs et R.L. Graham, Oldandnew problems and results in combinatorial number theory, Genève, L’Enseignement mathématique, 1980

• à 2.

Le nombre de classes du corps quadratique complexe 0(^-6) est égal

Voir 18. • L’anneau des entiers du corps quadratique réel QG/6) est euclidien, et donc factoriel. Voir 16.

60

6

• Il n’existe pas de carré gréco-latin d’ordre 6. C’est le célèbre problème des trente-six officiers posé par Euler : peut-on former un carré à l’aide de trente-six officiers de six grades distincts et appartenant à six corps d’armée distincts (un seul officier de chaque grade et de chaque armée), de telle façon qu’on ne trouve jamais deux fois le même grade ou le même corps d’armée dans une ligne ou une colonne? Tarry, en 1901, a démontré par exploration systématique, que le problème est insoluble. De plus, sur l’exemple de 2 et de 6, Euler avait conjecturé qu’il n’existait pas de carré gréco-latin d’ordre 4n + 2. Bose, Parker et Shrikande ont montré en 1959 que cette conjecture était fausse en construisant un tel carré d’ordre 10 (n = 2). On sait depuis qu’il existe des carrés gréco-latins de tout ordre sauf 2 et 6. Apparus en mathématique comme des récréations mathématiques, les carrés gréco-latins se sont révélés d’un intérêt considérable en statistique pour la constitution de plans d’expérience.

* **

• Les six sommets du graphe biparti K3 3 ne peuvent être connectés dans le plan sans intersection d’arêtes. C’est le problème bien connu des « trois maisons et des trois usines». Kuratowski a démontré en 1930 l’important résultat : Un graphe est planaire si et seulement si il ne contient aucun sous-graphe isomorphe au graphe K5 ou au graphe K3 3.

*

•

Nombre chromatique de la bouteille de Klein. C’est la seule exception à la formule de Heawood. Voir 4.

• Il existe deux groupes d’ordre 6 : C6 et D3 ; ce dernier, isomorphe au groupe S3 des permutations de 3 éléments, est le plus petit groupe non commutatif.

•

Ordre du groupe des unités du corps quadratique complexe Q(^3). Voir 2.

• Nombre de polytopes réguliers dans R4. Le tableau ci-dessous indique leurs nombres respectifs de sommets, d’arêtes, de faces, de cellules. polytopes

simplexe C16 Hypercube C24 C600 C 120

sommets

arêtes

faces

cellules

5 8 16 24 120 600

10 24 32 96 720 1200

10 32 24 96 1200 720

5 16 8 24 600 120

• Tout espace homogène de Lie à deux dimensions est homèomorphe à l’un des six espace suivants : le plan euclidien le cylindre de révolution

le plan projectif le plan projectif pointé la sphère le tore

6

61

•

Six points de l’espace déterminent une cubique gauche.

• Les six tangentes aux trois points doubles d’une quartique sont tangentes à une même conique. • D’un point on peut mener au plus six tangentes à une cubique. C’est un cas particulier du théorème affirmant que la classe d’une cubique est égale à 3, 4 OU 6.

Salmon, Géométrie analytique ; courbes planes, Paris, Gauthier-Villars, 1884

• Les courbes indécomposables de degré 6 peuvent posséder douze diamètres. Voir 12. • Le plus petit nombre de variables d’énoncé (comptées avec multiplicité) qui se présente dans un système d’axiomes connu pour le calcul des énoncés, admettant comme règles de dérivation le modusponens et la règle de substitution. On ne sait pas s’il est possible de réduire ce nombre. P. Bemays • Nombre de faces du cube, et par conséquent nombre de sommets de l’octaèdre. •

Nombre d’arêtes du tétraèdre.

•

Nombre de Ramsey : R(2, 3, 3) = 6.

7

62

7 *

• Soit q la période du développement décimal de 1/p où p est premier. Alors on a q ^ p — 1. 7 est le plus petit entier pour lequel q = p — 1. 1/7 = 0,142857 142857... Les suivants sont p = 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61,. .. mais on ignore la loi générale de formation de cette suite. •

Le second nombre de Mersenne premier : M3 = 23 — 1.

•

Exposant du quatrième nombre de Mersenne premier.

• L’anneau des entiers du corps quadratique complexe 0(^ — 7) est eucli­ dien, et donc factoriel. Voir 9.

• Il en est de même pour l’anneau des entiers du corps quadratique réel 0(7^) et pour l’anneau des entiers du corps cyclotomique O(^7). Voir 16 et 30. *

• Problème de Waring : tout entier suffisamment grand est décomposable en une somme de sept cubes au plus. Mais Davenport a montré que « presque tout» entier est somme de quatre cubes seulement. Davenport, On Waring’s problem for cubes, Acta Math. 1939 p. 123-143

Voir 23 et 239.

• Le seul entier supérieur à 1 tel que la somme des diviseurs de son cube soit un carré : 1 + 7 + 72 + 73 = 202 Gerono, 1877 *

• Problème de Brocard : c’est l’un des trois entiers connus pour lesquels n ! + 1 est un carré. Il n’y en a pas d’autres inférieurs à 1027. • Le plus petit nombre premier q tel que q2 + 1 est le double d’un carré parfait k2. On en connaît actuellement douze possédant cette propriété. Ils sont donnés par :

(1 + J2)p + (1 - J2)p q=------ ---------------- — 2

avec

p = 3, 5, 7, 19, 29, 47, 59, 163, 257, 421, 937,947.

Les premières valeurs conduisent à q = 7, 41, 239, 9 369 319.. . Ces nombres apparaissent en théorie des groupes finis. En effet l’ordre du groupe simple PSp4(q) est un carré si et seulement si q2 + 1 = 2k2. M. Newman et D. Shanks, Simple groups of square order, Amer. Math. Monthly 86, 4, 1979

*

«La fonction r(n) vérifie les congruences r(n) = 0 (mod 7) pour n = 7m + k avec k = 0, 3, 5, 6 et m entier. Voir 11/2 pour la définition de t. Ce résultat est du à Ramanujan. • Problème de Plateau dans Rn, réfutation d’une conjecture de Bernstein : il existe, dans R8, une surface minimale de dimension 7 possédant un point singu-

7

63

lier. Par suite, il en existe également dans les espaces de dimensions supérieures. Dans les dimensions inférieures, toutes les surfaces minimales sont régulières. Bombieri, De Giorgi et E. Giusti

*

•

La sphère S7 est parallélisable. Voir 3.

•Il est possible de calculer le produit de deux matrices 2 x 2 à l’aide de sept multiplications au lieu de huit par la méthode ordinaire. De plus cette méthode ne fait pas appel à la commutativité de la multiplication des coefficients. Ceux-ci peuvent donc être des matrices. On peut donc décomposer les matrices n x n en blocs dont on calculera les produits en les décomposant à leur tour en blocs plus petits. D’où une méthode pour effectuer des produits de matrice n x n à l’aide de 0(nlog2n) multiplications. V. Strassen, Gaussian élimination is not optimal, Numer. math. 13, 1969

*

• Nombre de sommets du polyèdre de Csazar : ce polyèdre, homéomorphe au tore et dont toutes les faces sont triangulaires, jouit de la propriété de ne posséder aucune diagonale : le graphe de ses arêtes est le graphe complet K7.

*

• Nombre de faces du polyèdre de Szilassi : ce polyèdre est le dual du précédent ; chacune de ses faces, plane et hexagonale, possède une arête commune avec les six autres. On exhibe ainsi une carte sur tore qui nécessite sept couleurs pour son coloriage (7 est le nombre chromatique du tore).

*

• Nombre de droites et nombre de points de la plus petite géométrie finie plane non triviale avec coordonnées dans le corps des entiers modulo 2. (géométrie de Fano). •

Une surface cubique non réglée contient 3, 7, 15 ou 27 droites réelles.

• Nombre de côtés du plus petit polygone régulier dont la construction ne peut pas se faire à l’aide de la règle et du compas.

*

11 existe un graphe de Moore de degré 7 : considérons un graphe régulier * de degré d et de diamètre 2, c’est à dire un graphe dont chaque sommet est l’extrémité de d arêtes et dont la distance de deux sommets quelconques est inférieure ou égale à 2. On montre aisément que ce graphe possède alors au plus d2 + 1 sommets. Si cette borne est atteinte le graphe est appelé graphe de Moore de degré d. Hoffmann et Singleton ont montré que seuls les graphes correspondant à d = 0, 1, 2, 3, 7 et 57 peuvent exister. Les cinq premiers ont été construits, l’existence éventuelle du dernier est un problème ouvert. A. J. Hoffman et R.R. Singleton, On Moore graphs with diameter two and three, IBM Journal of Research and Development, 4, 1960, 497, 504

• Dimension de l’espace Rn dans lequel 1’« Aire (n — l)-dimensionnelle» de la boule unité est maximale. On a A7 = 1 6tt3/1 5.

8

64

8 * *

• Le seul cube qui soit égal à un carré diminué de 1. 23 = 32 — 1. (Euler). Cette constatation a conduit E.C. Catalan à conjecturer en 1844 qu’il n’existe pas deux entiers consécutifs qui soient des puissances parfaites, à l’exception de 8 et 9. En d’autres termes, l’équation xm — yn = 1 n’a pas d’autres solutions (x, y, m, n) que (3, 2, 2, 3). W.J. Lévèque a montré en 1952 qu’il y a au plus une solution si l’on fixe x et y. Cassels a montré qu’il n’existait pas trois entiers consécutifs qui soient des puissances parfaites et l’on sait également que si m et n sont fixés il n’y a qu’un nombre fini de solutions. Enfin R. Tijdeman a montré qu’il existe une constante universelle telle que yn < xm < C pour toute solution. La meilleure majoration de cette constante est due à M. Langevin ; on a : 730

• L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^8) est euclidien et donc factoriel. Voir 30.

• L’un des sept nombres entiers n tels que le nombre de ses diviseurs est égal au nombre des entiers inférieurs à n et premiers avec n. Minim 1894 •

L’un des six nombres égal à la somme des chiffres de son cube. Moret Blanc 1879

*

• Ordre du plus petit carré bi-magique connu. Un carré bi-magique est un carré magique qui reste magique lorsqu’on élève chacun de ses éléments au carré. Ainsi dans ce carré magique d’ordre 8 (et rempli par les entiers de 1 à 64), la somme des carrés des termes de chaque ligne, chaque colonne et chaque diagonale est égale à 11 180. Rouse Bail, Récréations mathématiques 2, Paris, Hermann, 1926

• Dimension de l’algèbre des octonions de Cayley dont la base est (1,0) ; (i, 0) ; ( j, 0) ; (k, 0) ; (0, 1) ; (0, i) ; (0, j) ; (0, k) où (1, i, j, k) est la base canonique sur R de l’algèbre des quaternions de Hamilton. Cette algèbre n’est ni associative, ni commutative. • Les huit tangentes à deux coniques en leurs points communs sont tangentes à une même conique.

•

Une quartique ne peut posséder que huit points d’inflexion réels au plus. Voir 24.

• Hesse a montré que toutes les surfaces du second ordre passant par sept points donnés passent aussi par un huitième. Les distances pj de ces points à un

8,53973422. . .

65

plan quelconque vérifient ^¡p? = 0. Si l’on sépare ces huit points en deux i groupes de quatre, les deux tétraèdres obtenus sont conjugués par rapport à une surface du second ordre. Si les sept points initiaux appartiennent à une même cubique gauche, toutes les quadriques contiennent la cubique entière. Le huitième point est alors un point quelconque de la cubique. P. Serret, Géométrie de direction, Paris, Gauthier-Villars, 1869, p. 311-324

*

•

Une courbe algébrique de degré 8 peut posséder jusqu’à dix-huit diamètres. Voir 12 et 18.

•Nombre maximal de sphères distinctes tangentes aux faces d’un tétraèdre. On les appelle « sphères des combles ». Suivant les valeurs des aires des faces il peut exister cinq, six, sept ou huit sphères répondant au problème. • Nombre de deltaèdres convexes de R3. Ces polyèdres, déterminés par Freudenthal en 1942, ont toutes leurs faces triangulaires équilatérales. Les nombres de ces faces sont respectivement égaux à 4 (tétraèdre), 6, 8 (octaèdre), 10, 12, 14, 16, 20 (icosaèdre).

• Nombre de sommets du cube et par conséquent nombre de faces de l’octaèdre. •

Le plus grand entier m connu tel que le produit m fl (Pn + l)/(Pn - 1). n=l

où pn est le nième nombre premier, est un entier. C’est le cas également pour m = 1, 2, 3 et 4.

8,53973422... n • e. Voir 5,8598...

66

9

9 • **

Hypothèse de Catalan, voir 8.

• Le plus petit entier possédant la propriété suivante : pour toute bicoloration de l’ensemble des nombres de 1 à 9, il existe trois nombres de même couleur en progression arithmétique. Chvatal, Some unknown Van der Waerden numbers. Combinatorial structures and their applications. N.Y., Gordon and Breach, 1970

Plus généralement, Van Der Waerden a démontré que Vk, 3n(k) tel qu’il existe une progression arithmétique unicolore de longueur k dans toute bicolora­ tion de l’ensemble des nombres 1, 2, ..., n(k). Van Der Waerden, Beweis einer Baudetschen Vermutang, Neuw Archief voor Wiskünde 15, 1928

Voir 35 et 178.

• L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£9) est euclidien et donc factoriel. Voir 30. •

Le produit de neuf entiers consécutifs n’est jamais une puissance parfaite. G. Szekeres, 1939

• Il existe un carré magique d’ordre 9 dont les termes, compris entre 1 et 290, sont tels que la somme des termes d’une ligne ou d’une colonne est égale à 848 et que le produit des termes d’une ligne ou d’une colonne est égal à 580 480 783 344 000. • Le graphe complet K9 est le plus petit graphe complet d’épaisseur 3, c’est à dire qu’on ne peut pas représenter à l’aide de deux graphes planaires. Voir 5.

• Une cubique possède au plus neuf points d’inflexion dont trois au plus sont réels. Ces neuf points sont alignés trois par trois sur douze droites. •

*

Neuf points de l’espace définissent une quadrique.

»11 existe neuf types de groupes de Lie simples : • Le groupe linéaire homogène spécial SLHk+1 pour k > 1 • Le k(2k + l)-groupe d’une forme quadratique à 2k + 1 variables pour k>2 • Le k(2k + l)-groupe d’une forme de Pfaff à 2k variables pour k > 3 • Le k(2k — l)-groupe d’une forme quadratique à 2k variables pour k > 4. plus cinq groupes particuliers à 14,. 52, 78, 133, 248 paramètres. *

E. Cartan, La Géométrie des groupes de transformations, Journ. de Math. 9° série, VI, 1927

67

9

**

• Nombre de sommets du polyèdre de Steffen. Ce polyèdre est triangulé, flexible et homéomorphe à la sphère. On a démontré que tout polyèdre possédant strictement moins de huit sommets est rigide. L’existence éventuelle d’un polyèdre flexible à huit sommets est un problème ouvert.

*

• On ne peut diviser un rectangle de côtés entiers en moins de neuf carrés distincts.

* * • Corps quadratiques complexes. Il existe neuf valeurs de d telles que le nombre de classes de diviseurs de Q(7~d) soit égal à 1, c’est à dire dans lesquels tout entier se décompose de manière unique, à l’ordre près, en un produit de facteurs premiers. Ce sont d = 1, 2, 3, 7, 11, 19, 43, 67 et 163. Gauss avait déjà déterminé ces valeurs, mais il a fallu attendre 1966 pour que l’on démontre qu’il n’en existait pas d’autres. On notera également que pour les quatre dernières valeurs, Q^ —d) n’est pas euclidien. Voir 163. •

Nombres de Ramsey : R(2, 3, 4) = 9.

68

10

10 • L’un des sept entiers n tels que le nombre de ses diviseurs est égal au nombre des entiers inférieurs à n et premiers avec n. Minim, 1894

*

* •

Le seul entier connu n qui soit une solution non triviale de l’équation

n! = a!b!

on a 10! = 7!6!

les solutions triviales sont de la forme (k!) ! = (k! — 1) !k!. On peut aussi écrire 10! = 7!5!3!, ce qui donne une solution à l’équation n! = a ! b ! c !. En ce qui concerne cette dernière, on connaît une seconde solution : 16! = 14!5!2!. Le seul autre cas analogue aux précédents, pour n inférieur à 410, est 9! = 7!3!3!2! • La plus petite valeur de d positive pour laquelle le nombre de classes de Q(^/d) est égal à 2. Voir aussi à 18 pour 0(^-0).

• Problème de Plateau. Il n’existe que dix graphes formés d’arcs de grands cercles sur une sphère et tels que les arcs se répartissent à 120° autour de chaque Sommet. Almgren et Taylor, The geometry of soap films and soap bubbles, Scientific American, juillet 1976.

*

• Surface de Kervaire : l’utilisation de formes quadratiques sur F2 permet de construire une surface de dimension 10 qui ne peut être munie d’une structure de variété différentiable ; elle comporte des « pics » et si l’on en supprime locale­ ment un, il en surgit un autre ailleurs. Kervaire, A manifold which does not admit any différentiable structure. Commentarii Math. Helv. 34, 257, 1960.

• Ordre du graphe de Petersen : c’est le plus petit graphe sans cycle hamil­ tonien tel que tout sous-graphe obtenu en ôtant un sommet possède un cycle hamiltonien. Sousselier, 1963, cité par Cl. Berge : Graphes et hypergraphes, Paris, Dunod, 1970

• Nombre de points et nombre de droites de la configuration de Desargues (1636) dans laquelle chaque droite contient trois points et chaque point est l’intersection de trois droites. Son groupe d’automorphismes est le groupe S5.

•

Une courbe indécomposable de degré 10 peut posséder trente diamètres. Voir 12 et 30.

•

Nombre de polytopes étoilés dans R4.

11

69

11 *

»Le plus petit nombre premier p tel que 2P — 1 soit composé. Voir 2047. Les nombres de la forme 2P — 1 avec p premier sont appelés nombres de Mersenne. C’est parmi eux que l’on a découvert, manuellement puis à l’aide d’ordinateurs, les plus grands nombres premiers connus à ce jour. Voir 86243.

• L’anneau des entiers du corps quadratique complexe Q(7~11) est eucli­ dien, et donc factoriel. Voir 9.

• Il en est de même pour l’anneau des entiers du corps quadratique réel QG/ÏT) et pour l’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£n). Voir 16 et 30. • Tout cuboïde pythagoricien (parallélépipède rectangle dont les trois arêtes et les quatre diagonales distinctes sont mesurables en nombres entiers) possède une arête au moins dont la longueur est un multiple de 11. C’est une condition nécessaire mais elle est loin d’être suffisante puisqu’on ne connaît à ce jour aucun cuboïde de ce type et que son existence éventuelle n’est pas prouvée. *

* «Le plus petit « rep-unit » connu. Les rep-units sont des nombres premiers composés de n chiffres « 1 » écrits consécutivement. 11 correspond au cas n = 2. On en connaît trois autres correspondant respectivement à n = 19, 23, 317. On ignore s’il en existe une infinité. •

*

Le quatrième nombre « chanceux ». Voir 41.

«Le plus petit des entiers positifs qui ne soit pas un « nombre convenable ». Si le produit de deux nombres a et b est un nombre convenable et si la forme quadratique ax2 + by2 représente un nombre q d’une seule manière, alors q est premier. Il existe soixante-cinq nombres convenables dont on trouvera la table dans : Z.I. Borevitch et I.R. Chafarevitch, Théorie des nombres, Paris, Gauthier-Villars, 1967, p. 477

• Nombre de sommets du plus petit graphe ne possédant pas de cycle hamiltonien bien que chaque sommet soit de degré supérieur ou égal à 3.

70

12

12

How many does it take to make twelve? O’Henry, The Hanson of the red chief

*

»Le plus petit nombre n dont le produit des diviseurs propres est un carré.

*

• Les diviseurs de 12 permettent de construire un système de congruences couvrant N, c’est à dire une famille de couples (aj, nj telle que tout entier x vérifie l’une des congruences x = ai (mod ni) ; les nj étant strictement croissants. Pour nt = 2 on peut prendre la couverture congruente : (0, 2) ; (0, 3); (1,4); (1,6); (11, 12). Davenport, The higher arithmetic, Londres, Hutchinson, 1952

Le problème de l’existence éventuelle d’une telle couverture congruente pour tout n t a été posé par P. Erdôs. La réponse est positive pour n ^ 9. Voir 120 ; 720 ; 2520 ; 10 080 ; 30 240 ; 75 600 ; 604 800. • L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£12) est euclidien et donc factoriel. Voir 30. **

• Ordre du groupe des isométries du tétraèdre. Ce groupe est formé des permutations paires de quatre éléments. C’est le seul groupe alterné qui ne soit pas simple.

*

• Le nombre maximal de diamètres que peut posséder une courbe indé­ composable de degré m est, en général, égal à m si m est impair et à m + 2 si m est pair. Il existe six exceptions : Pour m = 6 la courbe peut posséder 12 diamètres Pour m = 8 la courbe peut posséder 18 diamètres Pour m = 10, 12, 24 la courbe peut posséder 30 diamètres Pour m = 16 la courbepeut posséder 18 diamètres mais il existe deux types. Pour m = 6 les douze diamètres se répartissent en six couples de diamètres conjugués concourants formant trois rosaces de quatre diamètres et quatre rosaces de six diamètres. Cela découle des propriétés du cube et de son groupe d’isométries. H. Lebesgue, Les coniques, Paris, Gauthier-Villars, 1942 • Empilement de sphères. Dans R3 on peut trouver douze sphères identiques tangentes à une même dernière. Résolu par Hoppe en 1880, ce problème avait fait l’objet d’une polémique entre Newton et Gregory, ce dernier pensait qu’on pouvait atteindre treize. •

Il existe au moins cinq carrés latins orthogonaux d’ordre 12.

71

13

• Coloriage des cartes planes : Heawood a montré que douze couleurs sont suffisantes pour colorier toute carte plane dont chaque pays peut posséder deux composantes connexes. H. Tietze, Famousproblems of mathematics. Baltimore, Graylock Press, 1965

•

Nombre d’arêtes du cube et de l’octaèdre.

• Nombre de sommets de l’icosaèdre et par conséquent nombre de faces du dodécaèdre.

13 **

• L’un des trois nombres connus inférieurs à 200 000 et tels que (n — 1) ! + 1 = 0 (modn2). Les autres sont 5 et 563. •

*

Exposant du cinquième nombre de Mersenne premier.

• D’après une hypothèse de Schinzel, il existe une infinité de progressions arithmétiques en nombres premiers de longueur 13 et de raison 30030. A ce jour on n’en connaît aucune, cependant on en connaît une, due à Seredinski, de longueur 13 et de raison 60 060 ; son premier terme est 4943. Voir 17; 23 143.

• L’anneau des entiers du corps quadratique réel Q(^Ï3) est euclidien et donc factoriel. Son nombre de classes est donc égal à 1. Par contre, le nombre de classes de Q^—13) est égal à 2. Voir 16 et 18. •

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^3) est factoriel. Voir 30.

• Ce nombre jouit aussi de curieuses propriétés dans son écriture en système décimal : la somme des chiffres de son carré est égale au carré de la somme de ”ses chiffres : 1 + 3 = 4, 1 + 6 + 9 = 42. De plus le carré de son symétrique est le symétrique de son carré : 132 = 169 et 312 = 961. N. Brownell, 1767

•Kuratowski a posé le problème suivant : quel est le nombre maximal d’ensembles distincts que l’on peut construire à partir d’un sous-espace topolo­ gique en utilisant seulement les opérations de complément, fermeture et intérieur? La réponse est 13. A. Smith, Kuratowski sets, Amer. Math. Monthly, 85, 4, 1978

• Nombre de points et nombre de droites de la géométrie projective dont les coordonnées sont prises dans le corps des entiers modulo 3.

13 bis

72

13 bis « 13 bis, est-ce un nombre pair ou impair? »

R. Queneau, Le vol d'Icare, Paris, Gallimard, 1968

14 *

•

Dimension de l’algèbre de Lie exceptionnelle G2. Voir 52 ; 78 ; 133 ; 248.

• La plus petite solution de l’équation 0(n) = (n + 1), où ÿ est l’indicateur d’Euler. Voir 0,303... et 5196.

• La plus petite valeur de n pour laquelle l’équation 16.

S. Pillai et A. Brauer

• Nombre de points et nombre de plans de la configuration de Kummer qui est formée par les points doubles de la surface focale de la congruence quadratique de droites la plus générale dans un espace à trois dimensions. Chaque plan contient une conique ; il y a six points sur chaque conique ; par chaque point passent six coniques ; chaque paire de coniques possède deux points en commun et par chaque paire de points passent deux coniques. Kummer, 1863

• Nombre de liaisons issues des combinaisons possibles entre deux proposi­ tions logiques.

• Nombre de polyèdres semi-réguliers convexes de R3. Treize étaient connus d’Archimède, deux furent découverts en 1865 par Catalan, et un par M. Bert en 1945. Un polyèdre est dit semi-régulier si toutes ses faces sont des polygones réguliers et si tous ses sommets sont identiques. • Problème de Waring : tout entier suffisamment grand peut s’écrire sous la forme d’une somme de seize puissances quatrièmes. Davenport, Annals of Math. 40, 1939

17

75

17 • Le seul nombre premier qui soit la somme de quatre nombres premiers consécutifs :

17 = 2 + 3 + 5 + 7. •

Exposant du sixième nombre de Mersenne premier.

•

Le troisième nombre de Fermât premier : 17 = 222 + 1.

• Par conséquent, le polygone régulier à dix-sept côtés est constructible à l’aide de la règle et du compas. Cette construction a été découverte par Gauss à l’âge de dix-neuf ans. • L’anneau des entiers du corps quadratique réel 0(^17) est euclidien et donc factoriel. Voir 16. •

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^17) est factoriel. Voir 30.

•

Le cinquième nombre « chanceux ». Voir 41.

*

• C’est le plus grand entier n tel que l’on puisse trouver n nombres 0 < ai < a2 • • • < an < 1 tels que Vk ^ n les k premiers nombres soient dans des i- 1 £ intervalles différents, avec i ^ k. k ’k

**

• Longueur de la plus longue progression arithmétique connue dont tous les termes sont premiers. Le premier terme est 3 430 751 869 et la raison 87 297 210. S. Weintraub, Seventeen primes in arithmetic progression, Math. Compta. 31, 1977, 1030

* * • Nombres de groupes cristallographiques du plan. On les retrouve tous réalisés dans les décorations de l’Alhambra de Grenade. Une classification très fine permet de distinguer quatre-vingt onze groupes distincts, mais il existe des pavages du plan par des figures identiques à un déplacement près qui ne relèvent pas de ces classifications (pavages sauvages).

18

76

18 »

L’un des six nombres entiers égaux à la somme des chiffres de leur cube. Moret Blanc, 1879

• L’un des sept nombres entiers tels que le nombre de leurs diviseurs soit égal au nombre des entiers inférieurs à eux et premiers avec eux. Minim, 1894 *

• Nombre maximal de diamètres que peut posséder une courbe algébrique de degré 8. Ils peuvent être organisés en neuf couples de diamètres conjugués formant trois rosaces de quatre diamètres et trois rosaces de huit diamètres. Cette exception au théorème général repose sur les propriétés de l’octaèdre et de son groupe. H. Lebesgue, Les coniques, Paris, Gauthier-Villars, 1942.

• Nombre maximal de points d’Eckardt. Ce sont les points d’une surface cubique par lesquels passent trois des vingt-sept droites de la cubique. Le nombre de ces points peut être 1, 2, 3, 6, 9 ou 18. Dans ce dernier cas, il existe six droites de l’espace qui rencontrent simultanément neuf génératrices : ce sont les six arêtes du tétraèdre de Sylvester. *

* • Corps quadratiques complexes Q(V~d). Il existe dix-huit valeurs de d pour lesquelles le nombre de classes de QGy — d) est égal à 2. Ce sont 5, 6, 10, 13, 15, 22, 35, 37, 51, 58, 91, 115, 123, 187, 235, 267, 403, 427. A. Baker, Imaginary quadratic fields with class number 2, Ann. Math. 94, 1971

• Il existe dix-huit familles infinies de groupes simples. Un groupe est simple s’il n’admet pas d’autres sous-groupes distingués que lui-même et {1}. Outre les groupes cycliques d’ordre premier et les groupes alternés An pour n > 5, six familles proviennent de l’étude des groupes classiques. Les dix autres familles, dues à Chevalley, Dickson, Ree, Steinberg et Susuki, sont construites à partir de certaines algèbres de Lie. Il existe cependant vingt-six groupes simples, appelés groupes sporadiques par Burnside, qui échappent à cette classification. •

Nombres de Ramsey : R(2, 3, 6) = R(2, 4, 4) = 18.

• Nombre de segments déterminés par l’intersection des faces d’un tétraèdre ; six sont bornés. Voir 14.

77

19

19 *

*

• Le nombre écrit à l’aide de dix-neuf chiffres « 1 » consécutifs est premier. C’est le second des 4 «rep-units » connus. Voir 11 ; 23 ; 317. •

C’est le plus grand entier connu n tel que le nombre

An = n!-(n-l)!+(n-2)!-------(-1)" soit premier. Les autres sont 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10 et 15. R.K. Guy, Unsolvedproblems in number theory, N.Y., Heidelberg, Berlin, Springer-Verlag, 1981

• Pour qu’un nombre de Fibonacci supérieur ou égal à 5 soit premier, il est nécessaire que son indice le soit également. Cette condition n’est pas suffisante. 19 est le plus petit indice premier tel que le nombre de Fibonacci correspondant soit composé : F19 = 4181 = 37 • 113 Voir 1,618... •

Exposant du septième nombre de Mersenne premier.

•Problème de Waring : tout entier suffisamment grand peut être décomposé en une somme de seize puissances quatrièmes au plus. Cependant on ne sait toujours pas quel est le nombre maximal de puissances quatrièmes nécessaires pour décomposer tout nombre entier. On sait seulement que ce nombre est compris entre 19 et 35. • L’anneau des entiers du corps quadratique complexe Q(7~19) est factoriel mais il n’est pas euclidien. Voir 9. •

L’anneau des entiers du corps quadratique réel QC^/ÏÏ) est euclidien. Voir 16.

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£19) est factoriel. Voir 30.

20

78

20 •

Les courbes algébriques de degré 20 possèdent trente diamètres au plus. Voir 30.

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique QK20) est factoriel. Voir 30.

• Nombre des axiomes utilisés par Hilbert dans sa construction de la géométrie euclidienne. •Nombre de faces de l’icosaèdre et par conséquent nombre de sommets du dodécaèdre.

•Le plus petit indice k pour lequel on ignore si le nombre de Fermât Fk = 22“ + 1 est premier ou composé.

21 •McNeish a énoncé en 1922 la conjecture suivante : si n = HP k’’ a^ors ^e nombre de carrés latins d’ordre n orthogonaux deux à deux est min(Piki — 1). Cette conjecture est fausse : il existe quatre carrés latins d’ordre 21 orthogonaux deux à deux.

*

•

Dimension de l’espace des modules des quartiques complexes.

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^2i) est factoriel. Voir 30.

* • On ne peut paver un carré de côtés entiers à l’aide de carrés tous distincts (sans lacune ni recouvrement) si le nombre de ces carrés est inférieur à-21. Duijvestijn (1976) a découvert à l’aide d’ordinateur un tel pavage du carré de côté 112. Il a également démontré qu’on ne pouvait paver ainsi aucun carré de taille inférieure. Voir 112. Le plus petit carré connu précédemment, de côté 175, était dissécable en vingt-quatre carrés.

22,45915771836104547343. . .

79

• Nombre minimum de carrés distincts de côtés entiers permettant de paver un rectangle a x 2a. Voir 21. •

Le nombre de classes de Q(7~22) est égal à 2. Voir 18.

•

Nombre de carrés latins d’ordre 6 non isomorphes.

• Il existe vingt-deux systèmes minimaux complets d’axiomes permettant de définir une géométrie projective finie plane. Lozanov, Minimal systems of axioms that define a finite projective plane, Bulg. Acad. Nauk. Izv. Math. Inst. 15, 1974

22,45915771836104547343. . . On ignore si ce nombre est rationnel ou non.

80

23

23 *

* • Le plus petit des deux nombres que l’on ne peut pas décomposer en une somme de moins de neuf cubes. L’autre est 239. Voir également 8.

*

»Le nombre formé de vingt-trois chiffres « 1 » consécutifs est premier. C’est le troisième « rep-unit » connu. Voir 11 et aussi 19 et 317.

*

• D’après une hypothèse de Schinzel, il existe une infinité de centaines d’entiers consécutifs contenant vingt-trois nombres premiers. On n’en connaît d’ailleurs aucun autre exemple que ceux qui se produisent dans les premiers entiers. Voir 26.

*

•

Fonction t. La fonction

t

définie à « 11/2 » vérifie la congruence :

r(23n*|- k) = 0 (mod23)

quand k n’est pas résidu quadratique*de 23. *

•

Le plus grand entier n tel qu’aucun des coefficients du binôme/) ne

possède de facteurs carrés. P. Erdôs et R.L. Graham. Old and new problems and results in combinatorial number theory. Genève, L’Enseignement mathématique, 1980

• Pour n inférieur ou égal à 23, le produit de n nombres entiers consécutifs n’est jamais un cube ou une puissance cinquième. Oblath, 1938, publié en 1942 • Il existe un code de Golay binaire de longueur 23 permettant de corriger une, deux ou trois erreurs. Si l’on y ajoute un bit de parité on obtient un code de longueur 24 dont le groupe des automorphismes est le groupe Co 1 de Conway. Voir 4,157 108 et 1,965 105. • Il est possible de calculer le produit de deux matrices 3 x 3 à l’aide de vingt-trois multiplications au lieu de vingt-sept par la méthode usuelle. Cependant cela n’améliore pas les résultats de Strassen. Voir 7. J. Laderman, A non-commutative algorithm for multiplying 3x3 matrices using 23 multiplications, Bull. Amer. Math. Soc., 82, 1976

*

• Soient A et B deux homéomorphismes de la sphère S2 distincts de l’identité. Il existe un nombre fini n de conjugués de A : Hi AH71, H2AH21, ..., HnAH~1 dont le produit est égal à B. On ignore ce nombre mais l’on sait qu’il est inférieur OU égal à 23. S. Ulam, Collection of Mathematic Problems, Intersc. Publ. Inc., 1959

81

23 J 4069264. . .

•La probabilité pour que deux personnes parmi n possèdent la même date anniversaire est supérieure à 1/2 dès que n > 23. Cette observation, liée au fait que notre année compte 365 jours n’est pas une propriété mathématique, elle peut cependant être utile à l’heure de l’apéritif! • Van Wijngaarden raconte que lors de l’anniversaire de la femme d’un de ses amis mathématiciens il trouva la propriété suivante : 23 = 23 + 32 + 2 • 3. Notons que l’équation xÿ = xy + yx + xy admet aussi la solution x = 1, y = 9. •

Nombres de Ramsey : R(2, 3, 7) = 23.

23,10345. . . *

•

00 1 La somme de la série E^°ùn* est un entier qui ne comporte aucun zéro

dans son écriture en bàse 10. Plus que d’un nombre remarquable, il s’agit d’une performance de calcul numérique car la convergence de cette série est effroyable­ ment lente. R.P. Boas et J.W. French, Partial sums of harmonie sériés, Amer. Math. Monthly 78, 1971, 864

23,14069264. . . •

e71. Nombre transcendant en vertu du théorème de Gelfond-Schneider. En effet, c’est une détermination de ( — l)-i. Voir 2,66...

82

24

24 *

• Le plus petit nombre n, différent du cube d’un nombre premier, et dont le produit des diviseurs propres est un cube. Le suivant est 40. P. Halcke, 1719

*

• La somme des carrés des n premiers entiers est un carré si et seulement si n = 1 ou n = 24. 24

£k2 = 702.

E. Lucas, 1873

1

• L’un des sept nombres entiers dont le nombre des diviseurs est égal au nombre des entiers inférieurs à eux et premiers avec eux. Minim, 1894

*

• Ordre du groupe des isométries du cube. Ce groupe est le groupe S4. En effet toute isométrie du cube permute entre elles les quatre diagonales.

*

• La caractéristique d’Euler-Poincaré de toute variété de dimension 4, simplement connexe et spinorielle, est divisible par 24. Rohlin • Les courbes algébriques de degré 24 peuvent posséder au plus trente diamètres. Voir 30. • Une quartique possède au plus vingt-quatre points d’inflexion dont huit au plus sont réels. Zeuthen •

Les diviseurs d¡ de 24 sont les nombres pour lesquels : xy = 1 (mod di)

implique

x = y (modd¡).

• L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^24) est euclidien et donc factoriel. Voir 18.

25 •

Le seul carré qui augmenté de 2 soit égal à un cube.

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique QC^s) est factoriel. Voir 30.

Fermat

27

83

26 • Nombre maximal de nombres premiers pouvant apparaître dans une suite de cent nombres entiers consécutifs. Cette situation ne se produit qu’une fois : dans la suite des entiers de 2 à 101. On a démontré qu’il n’existe qu’un nombre fini de centaines contenant vingt-quatre (ou a fortiori vingt-cinq) nombres premiers mais une hypothèse de Schinzel affirme qu’il en existerait une infinité contenant vingt-trois premiers. •

L’un des six nombres égaux à la somme des chiffres de leur cube. Moret Blanc, 1879 00

•

Somme de la série ^n3/2".

J. Bernoulli

27 •

Le plus grand des six nombres égaux à la somme des chiffres de leur cube. Moret Blanc, 1879

**

• Nombre de droites réelles ou imaginaires appartenant à une surface cubique non réglée. On doit à Salmon la détermination exacte de ce nombre après que Cayley eût démontré qu’il était fini. Ce qui faisait dire à Sylvester : « Surely with as good reason as had Archimede to have the cylinder, cone and sphere engraved on his tombstone might our distinguished countrymen leave testamentary directions for the cubic eikosiheptagram to be engraved on theirs. » Cela aurait pu être puisqu’il existe des modèles solides de tous les cas possibles classés selon la réalité des droites (classification due à Schlâffli).

*

• Sur une cubique non singulière, il existe vingt-sept points d’où l’on peut mener une conique ayant avec la courbe un contact sextiponctuel : ce sont les points de contact des trois tangentes que l’on peut mener par chacun des neuf points d’inflexion de la cubique. Salmon, Géométrie analytique, courbes planes, Paris, Gauthier-Villars, 1884

• *

L’anneau des entiers du corps cyclotomique 0(^7) est factorie. Voir 30.

• Il existe une algèbre de Jordan exceptionnelle de dimension 27. Ses éléments sont des matrices 3 x 3 de la forme :

a c b

(

c i â

b\ a I yJ

où a, P, y sont des réels et a, b, c des éléments de l’algèbre 0 des octonions de Cayley. Voir 8.

• Nombre de régions de R3 déterminées par les plans des faces d’un cube. Une seule est bornée.

84

28

28 *

• Le second nombre parfait connu : 28 = 22(23 — 1). Reconnu comme tel par les mathématiciens grecs. •

C’est aussi le seul nombre parfait qui soit de la forme xn + y11 avec n > 1. T.N. Sinha, Math. Student 42, 336, 1975

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique QK28) est factoriel. Voir 30.

*

• Nombre maximal de bitangentes à la quartique plane la plus générale. Ce fait est lié à l’existence des vingt-sept droites d’une surface cubique : si on projette une surface cubique d’un de ses points P sur un plan, la ramification se fait le long d’une quartique. Les bitangentes à cette quartique sont les images des vingt-sept droites et la trace du plan tangent à la surface au point P. Par conséquent, puisqu’une surface cubique ne peut posséder que trois, sept, quinze ou vingt-sept droites réelles, une quartique ne pourra posséder que quatre, huit, seize ou vingt-huit bitangentes réelles.

*

• Deux variétés différentiables de dimension n, compactes, sans bord et dont le type d’homotopie est celui de la sphère Sn sont équivalentes s’il existe un difféomorphisme de V sur V' qui respecte l’orientation. Le nombre des classes d’équivalence est noté 0n. J. Milnor a montré en 1956 que 07 > 28. On sait aussi que 0t = 02 = 04 = 05 = 06 = 1 ; 03 est inconnu. Pour d’autres particularités topologiques, voir 7. • Le graphe G des sommets et des arêtes d’un polyèdre convexe de R3 est dit simple si tous les sommets sont de degré 3. Si le nombre de ses sommets est inférieur ou égal à 28 alors G possède un cycle hamiltonien. Voir 38. J.W. Butler, Recent advances in graph theory, Proc, second Czeckoslavak Symp., Prague, 1974

•

Il existe une chaîne amiable de longueur 28. Voir 12496 ; 14316.

•Nombre de domaines polygonaux déterminés par l’intersection des plans des faces d’un tétraèdre ; quatre sont bornés. Voir 14.

30

85

29 •

L’anneau des entiers du corps quadratique réel Q(^/29) est euclidien. Voir 16.

• Nombre de topologies distinctes que l’on peut définir sur un ensemble à trois éléments. On ignore le nombre nn de topologies sur un ensemble possédant n éléments dès que n > 9, mais on sait que si p est premier, alors np = 2 (mod p). C. Radoux, Nouvelles propriétés arithmétiques des nombres de Bell. Sémin. Delange Pisot Poitou 22 (1974-75)

• Permet de calculer les nombres pseudo-aléatoires avec 0 < x0 < 1 et xi+1 = 29 • Xj — [29 • Xi] où les crochets désignent la partie entière de 29 • x^

30 • Le plus grand des sept nombres entiers tels que le nombre de ses diviseurs soit égal au nombre des entiers inférieurs à eux et premiers avec eux. Minim, 1894

**

»Le plus grand nombre tel que tous les entiers inférieurs à lui et premiers avec lui sont des nombres premiers.

*

• Nombre maximal de diamètres que peuvent posséder les courbes algébri­ ques de degré 12, 20 ou 24. On peut les organiser en quinze couples de diamètres conjugués formant six rosaces de six diamètres, dix rosaces de six diamètres, quinze rosaces de quatre diamètres. Chaque couple appartient à deux rosaces. Cette exception au théorème général (voir 12) découle des propriétés du dodé­ caèdre et de son groupe. H. Lebesgue, Les coniques, Paris, Gauthier-Villars, 1942

• **

Nombre d’arêtes de l’icosaèdre et du dodécaèdre.

• Corps cyclotomiques. Q(£n) avec ^n = 1. Il existe trente valeurs de n (n ^ 2 mod 4) pour lesquelles les entiers de Q(^n) se décomposent de manière unique en produit de facteurs premiers : n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 33, 35, 36, 40, 44, 45, 48, 60, 84 J.M. Masley, H.M. Montgomery, Cyclotomie fields with unique factorization, J. Reine Angew. Math. 286/287, 1976

De plus, l’anneau des entiers est euclidien pour n = 1, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 15, 16, 20 et 24 et non euclidien pour n = 32.

86

31

31 •

25 — 1 : Troisième nombre de Mersenne premier.

•

Exposant du huitième nombre de Mersenne premier.

• Seul nombre premier connu qui peut s’écrire de deux façons différentes sous la forme (pr — l)/(pd — 1) où p est premier, r > 3 et d > 1. En effet, on a 31 = (25 — l)/(2 — 1) = (53 — l)/(5 — 1). Si l’on supprime la condition « p est premier », il existe une seconde solu­ tion connue : 8191 = (213 - l)/(2 - 1) = (903 - l)/(90 - 1).

32 • Le plus petit entier n pour lequel le nombre de groupes d’ordre n est supérieur à n. En effet il existe cinquante et un groupes d’ordre 32. • L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^32) est factoriel, mais il n’est pas euclidien. Voir 30.

33 *

»Le plus grand entier qui ne peut s’écrire comme somme de nombres triangulaires distincts. En d’autres termes : 00 / 33/yek lavée ek = 0 ou 1. 2 \2/ R. Graham et P. Erdôs, L’Enseignement Mathématique, 1980

•

L’anneau des entiers du corps quadratique réel 0(733) est euclidien. Voir 16.

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^3) est factoriel. Voir 30.

33,0733618. . . •

«Aire» de la boule unité dans R7. Elle est égale à 16n3/15. Voir 7 et aussi 5 et 5,26...

34 • Il existe trente-quatre polyèdres convexes de R3 dont le nombre d’arêtes est égal à 7. •

Nombre de pavages normaux isogonaux et isohédraux du plan. Voir 91.

37

87

35 *

• Nombre de Van der Waerden W(4). Le plus petit entier possédant la propriété suivante : pour toute bicoloration de l’ensemble des entiers de 1 à 35, il existe quatre entiers en progression arithmétique de même couleur. Voir 9 et 178.

*

• Nombre de droites du plus petit espace à trois dimensions dans une géométrie à coordonnées dans le corps F2 des entiers mod 2. Voir 15. •

Le nombre de classes de QG/ —35) est égal à 2. Voir 18.

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£35) est factoriel. Voir 30.

36 •Nombre de segments définis par les plans des faces d’un cube. Seuls 12 sont bornés.

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£36) est factoriel. Voir 30

•

Nombres de Ramsey R(2, 3, 9) = 36.

37 *

* • Le plus petit nombre premier irrégulier. Les nombres premiers irréguliers p sont tels que le nombre de classes de diviseurs de Q(£p) est divisible par p (£p est une racine primitive de l’unité de degré p). Il en découle que ces nombres doivent diviser le numérateur de l’un des p — 3 premiers nombres de Bernoulli. 37 divise le numérateur de B32. Les nombres irréguliers suivants sont 59 et 67. Ces nombres apparaissent dans la résolution du « Grand Théorème de Fermât ». Le lecteur trouvera une table des irréguliers < 4001 dans : Z.I. Borevitch, I. Chafarevitch, Théorie des nombres, Paris, Gauthier-Villars, 1967

•Problème de Waring : tout nombre entier peut être décomposé en une somme de trente-sept puissances cinquièmes au plus. Chen Jing Run, Chinese Math. Acta 6 1965.

•

L’anneau des entiers du corps quadratique réel QG/37) est euclidien. Voir 16.

•

Le nombre de classes de Q(-/^37) est égal à 2. Voir 18.

88

38

38 Constante de l’hexagone magique de Clifford W. Adams. La solution est unique aux isométries près du motif et il n’existe aucune autre configuration analogue, à part l’hexagone trivial (Triggs, 1964). Adams a mis quarantesept ans avant de le découvrir en 1957, mais ayant égaré le papier où il avait noté la solution, il chercha de nouveau cinq ans avant de retrouver ... le papier !

**

• Nombre de sommets du plus petit graphe connu d’un polyèdre de R3 qui soit simple sans posséder de cycle hamiltonien. Voir 28. J.W. Butler, Recent advances in graph theory, Proc, second Czechoslovak. Symp. Prague, 1974

39 Le plus petit entier pour lequel nous ne connaissons aucune propriété remarquable. Le fait d’être le plus petit ne sera pas considéré comme une pro­ priété remarquable afin d’éviter une récurrence redoutable dans la suite de la collection.

40 •

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£40) est factoriel. Voir 30.

•

L’anneau des entiers du corps quadratique réel QG/4Ï) est euclidien. Voir 16.

41

**

Soit g(x) = x2 + x + 41, alors g(x) est premier pour O^x 158.

90

46

46 • Ordre du plus petit graphe connu qui soit planaire, régulier de degré 3 et 3-connexe sans posséder de cycle hamiltonien. W.T. Tutte, On Hamilton circuits, J. London Math. Soc. 21, 1946

47 »Le plus petit entier p tel qu’il existe un entier n vérifiant : 1) p = 1 (mod n)

*

n —1

2) p n’est pas de la forme H Z ai & °ù *es aisont ^es entærs et ^es ^ sont k i=0

les racines nièmes primitives de l’unité.

48 •Pour n supérieur ou égal à 48, il existe toujours un nombre premier compris entre n et 9/8 n. Breush, 1932 Voir 0,09...

• Le produit de quarante-huit impairs consécutifs n’est jamais une puissance parfaite. Oblath, 1942 Voir 9 et 23. • Le plus petit entier dont le produit des diviseurs propres est une puissance quatrième. Le suivant est 80. Voir 12 et 24. P. Halcke, 1719

•

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£48) est factoriel. Voir 30.

50 •

Nombre de sommets du plus grand graphe de Moore connu. Voir 7.

51 • à 2.

Le nombre de classes du corps quadratique complexe 0(7-51) est égal

Voir 18.

91

59

52 **

•

Dimension de l’algèbre de Lie exceptionnelle F4.

• Nombre de points définis par l’intersection des plans des faces d’un dodécaèdre régulier. Voir 14.

54 • Nombre de domaines polygonaux déterminés par les plans des faces d’un cube, six sont bornées. Voir 14.

57 • Le plus petit dénominateur commun possible des éléments d’une matrice d’ordre 3 formée de cosinus directeurs rationnels distincts. Benneton l’a obtenu en utilisant la théorie des quaternions.

•

/53

-23

17

44

37 \16

28

4\ 32

—47/

L’anneau des entiers du corps quadratique réel 0(^57) est euclidien. Voir 16.

58 • à 2.

Le nombre de classes du corps quadratique complexe Q(^/ —58) est égal

Voir 18.

59 •

Le second nombre premier irrégulier. 59 divise le numérateur de B44. Voir 37 et 67.

• Nombre des régions de R3 déterminées par les plans des faces d’un octaèdre régulier ; neuf sont bornées. Voir 14.

92

60

60 *

• Ordre du groupe des isométries de l’icosaèdre, ce groupe est le groupe alterné A5, le plus petit groupe simple non commutatif. • Nombre de droites déterminées par l’intersection des plans des faces d’un dodécaèdre régulier. Voir 14. •

L’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(£60) est factoriel. Voir 30.

•

Le second nombre unitairement parfait connu. Voir 6.

61 Exposant du neuvième nombre de Mersenne premier.

63 *

»11 existe soixante-trois types de pavages normaux isohédraux du plan à l’aide de domaines convexes. Voir 91.

64 •

Le seul carré dont : la somme des chiffres est égale à 1 ) , , r > modulo un carré le produit des chiffres est égal a — 1J

Flood, 1867

65 • La plus petite valeur de l’hypothénuse d’un triangle rectangle pythago­ ricien admettant deux solutions : 652 = 632 + 162 = 562 + 332.

• Le seul nombre de deux chiffres, en numération décimale, tel que la différence entre son carré et celui de son symétrique est égale à un carré. 652 — 562 = 332. Il n’existe pas de situation analogue pour les nombres de trois chiffres. •

Il existe soixante-cinq nombres « convenables » d’Euler. Voir 11.

70

93

66 *

•

Nombre de systèmes itératifs dont l’ordre est plus grand que 3. E.L. Post, Annals of Math. Sérié 5, 1941

67 Le troisième nombre premier «irrégulier» : 67 divise le numérateur de Voir 37 et 59. L’anneau des entiers du corps quadratique complexe Q(7~67) est fac­ toriel, mais il n’est pas euclidien. Voir 9.

Le nombre de Mersenne 267 — 1 n’est pas premier. Lors du congrès international de 1903 Cole se leva et, arrivé au tableau, éleva 2 à la puissance 67 puis, à côté, effectua le produit des facteurs de M67 : •

761838 257 287 x 193 707 221. Toujours sans un mot, il se rassit sous les applaudissements. E.T. Bell lui demandait en 1911 combien de temps il avait mis à décomposer M67 en facteurs. Cole répondit «Trois années de dimanches».

70 **

• Le plus petit nombre qui soit abondant sans être semi-parfait, c’est-à-dire somme d’un sous-ensemble de ses diviseurs. De tels nombres ont été étudiés par Stan Benkovski. Erdôs a offert $10 pour la découverte du premier nombre impair possédant cette propriété et $25 pour la démonstration qu’il n’en existe aucun. De tels nombres sont quelquefois appelés nombres «tordus» ou «étranges». On connaît également 836 et 4030.

**

• A chaque entier n on fait correspondre une suite ak croissante d’entiers telle que a0 = n et ai+1 le plus petit entier premier avec le produit ^ = 303^2 ... a^ Il est évident que cette suite contient tous les nombres premiers supérieurs à n. 70 est le plus grand entier tel que tous les ak(k ^ 1) soient des nombres premiers ou des puissances de nombres premiers. Il existe douze nombres possédant cette propriété : 3, 4, 6, 7, 8, 12, 15, 18, 22, 24, 30, 70. P. Erdôs, A property of 70, Math. mag. 51.4, 1978.

72

94

72 *

• Soit G un groupe cyclique, et S. T deux sous-ensembles de G dont il est la somme directe (c’est-à-dire que tout élément g de G s’écrit, de manière unique sous la forme g = s -F t où se S et te T). Une telle décomposition G = S -F T peut être faite si S est un sous-groupe de G (s’il en existe / {0} et G) et si T contient un représentant de chaque classe de G/S. Mais il en existe d’autres telles que ni S ni T ne sont des sous-groupes. On montre, dans ce cas, que si l’ordre de G est de l’une des formes pn ; pnq ; p2q2 ; p2qr ; pqrs où p, q, r, s sont des nombres premiers distincts, alors l’un des ensembles S, T est périodique, c’est à dire qu’il existe un élément g0 de G tel que S -F g0 = S ou T -F g0 = T. 72 est le plus petit nombre positif qui ne soit pas de cette forme. Le groupe cyclique à soixante-douze éléments se décompose donc sous la forme S -F T avec S, T non périodiques. On peut prendre S = (0, 8, 16, 18, 26, 34) et T = (0, 1, 5, 6, 12, 25, 29, 36, 42, 48, 49, 53) L. Fuchs, Abelian groups. Oxford, Pergamon Press, 1960, p. 316

73 • Problème de Waring : tout nombre entier peut être décomposé en une somme de soixante-treize puissances sixièmes au plus. Pillai, 1940 • La plus grande valeur de d pour laquelle l’anneau des entiers du corps quadratique Q(^d) est euclidien. Voir 16.

77 *

• Tout nombre entier supérieur à 77 peut être décomposé en une somme d’entiers dont la somme des inverses est égale à l’unité. Ex : 78 = 2 -F 6 -F 8 -F 10 -F 12 -F 40

77 ne possède pas cette propriété.

R.L. Graham, A theorem on partition, Journ. of the Australian Math. Soc. 4, 1963, p. 435-441 d.h. Lehmer

83

95

78 **

*

•

Dimension de l’algèbre de Lie exceptionnelle E6.

• Il existe soixante-dix-huit types de cubiques planes non réductibles les unes aux autres par des changements d’axes. Newton en avait découvert soixantedouze.

79 • Le seul nombre connu qu’on ne peut décomposer en moins de dix-neuf puissances quatrièmes : 79 = 4 • 24 + 15 • l4. On ne connaît aucun autre nombre qui en nécessite plus mais on sait que le nombre de puissances quatrièmes nécessaires pour écrire un nombre entier quelconque ne peut excéder trentecinq. On sait également que tout entier suffisamment grand est somme d’au plus seize puissances quatrièmes. • La plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes de diviseurs de QC^d) est égal à 3.

81 *

•

Le plus petit carré décomposable en somme de trois carrés : 81=92 = l2 + 42 + 82.

•

Nombre de types de pavages isohédraux du plan. Voir 91.

• Le plus grand nombre n connu tel que n • 2n — 1 mier. Les autres sont 2, 3, 6, 30, 75. Voir 141.

soit un nombre pre­

82 • La plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes de diviseurs de QG/d) est égal à 4.

83 • L’un des records manuels pour la démonstration du théorème des quatre couleurs : toute carte plane possédant moins de quatre-vingt-trois pays est 4-colorable. Depuis la démonstration du théorème par Appell, Haken et Koch, ce nombre n’est plus très remarquable.

84

96

84 • La plus grande valeur de n pour laquelle l’anneau des entiers du corps cyclotomique Q(^) est factoriel. Voir 30. • Nombre de segments de droite déterminés par l’intersection des plans des faces d’un octaèdre régulier. Trente-six sont bornés. Voir 14.

89 •

Exposant du dixième nombre de Mersenne premier.

90 • Le troisième nombre unitairement parfait connu : 90 = 2 • 32 • 5 et 90 = 1 + 2 + (32-5) + 32 + (2-5) + (2-32) + 5. Voir 6.

91 ***

• Il existe quatre-vingt-onze types de pavages normaux et isogonaux du plan. Trente-quatre sont isohédraux et soixante-trois peuvent être réalisés à l’aide de domaines convexes. Un pavage Tj ; i = 1, 2, ... n est dit isohédral si son groupe de symétries agit transitivement sur les domaines Tp II est dit isogonal si son groupe agit transitivement sur les sommets du pavage. Il est normal si tous les domaines sont bornés. B. Grünbaum et G.C. Shephard, The ninety-one types of isogonal tilings in the plane. Trans. of Amer. Math. Soc., 242, 1978

• Le nombre de classes du corps quadratique complexe Q^ —91) est égal à 2. Voir 18.

105 •Le plus grand nombre n connu tel que tous les nombres n — 2k soient premiers si k vérifie 2 < 2k < n. On en connaît cinq autres : 7, 15, 21, 45, 75. P. Erdôs conjecture que ce sont les seuls.

97

115

107 •

Exposant du onzième nombre de Mersenne premier.

111 •La plus petite constante possible pour un carré magique formé de nombres premiers distincts.

112 ***

• Longueur de l’arête du plus petit carré « parfaitement parfait », c’est-à-dire que l’on peut paver, sans recouvrement ni lacune, à l’aide de carrés tous distincts. Il est décomposable en vingt-et-un carrés et a été découvert en 1978 par A.W. Duijvestijn. Celui-ci a démontré que ce carré est le seul d’ordre 21 (l’ordre est le nombre de carrés requis pour le pavage) et que 21 est le plus petit ordre possible. Les carrés nécessaires au pavage ont pour longueur d’arêtes respectives : 2, 4, 6, 7, 8, 9, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 24, 25, 27, 29, 33, 35, 37, 42, 50. Le premier carré «parfaitement parfait» avait été découvert en 1938 par Brooks, Smith, Stone et Tutte. Il était d’ordre 26 et de côté 608. On raconte que Tutte en avait fait réaliser un modèle en bois qui était posé sur son bureau. Un jour sa maman renversa accidentellement le puzzle pendant une absence de Tutte. Elle parvint avec quelques difficultés à reconstituer le puzzle afin que son fils ne s’en rende pas compte. Peine perdue, elle avait découvert une nouvelle solution ! Voir 21 ; 175.

113 *

•

Valeur de x pour laquelle la fonction

/

[] Pi

\pi 1 égaux à la somme des cubes de leurs chiffres, en système décimal. Les autres sont 370, 371, 407.

154 •Le plus grand nombre n connu inférieur à 230 tel que le nombre n ! + 1 est premier. Les autres valeurs de n sont : 1, 2, 3, 11, 27, 37, 41, 73, 77 et 116.

163 ***

• Le plus grand entier d tel que le nombre de classes de diviseurs de Q^ —d) est égal à 1. Parmi les conséquences de cette propriété, notons : • n2 + n + 41 est premier pour 0 ^ n < 40 ^41 = ^^ -

• Exp(7c^/163) est proche d’un entier. Cet entier vaut 744 — j ( ^ + |.yi63 j où j(z) est la fonction modulaire

j(z) = exp(-2i?iz) -F 744 -F 196 884 exp(2i7tz) + • • • •Problème de Waring : tout nombre entier suffisamment grand peut être décomposé en une somme de cent soixante trois puissances huitièmes au plus. (Il ne s’agit que d’une majoration).

163 4- 2,32. . .10“33 •

F Log((64Q320)3 + 744)~|2 71

C’est certainement l’approximation la plus étonnante d’un entier dans l’univers. J.J. Gould, k, ^, c 1972, T. V

187

101

168 • *

Ordre du groupe linéaire projectif PSL (2, 7). Ce groupe est simple.

Majoration de la constante de Linnik. Soit p(D, k) le plus petit nombre premier appartenant à la progression arithmétique Dn + k avec (D, k) = 1. Alors p(D, k) < D168.

•

Chen Jing Run, Scientia Sinica, 20, 5, 1977

Les meilleures évaluations précédentes ont été obtenues successivement par Linnik : 5448, Pan Chen Tung : 777 en 1958 puis 630 en 1964, et enfin Matti Jutila : 550 en 1970.

175 • Il existe un carré «parfaitement parfait» de côté 175. Il est d’ordre 24 et est composé de carrés d’arêtes : 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 14, 16, 18, 20, 29, 30, 31, 33, 35, 38, 39, 43,51,55, 56, 64,81. Voir 21 et 112.

178 **

• Valeur du nombre de Van der Waerden W(5). Sa détermination a nécessité deux cent dix heures de calcul, ce qui est aussi un record. Voir 9 et 35. R.S. Stevens et R. Shantaram, Computer generated Van der Waerden partitions, Math. Comput. 32, 1978

180 • Nombre de droites déterminées par l’intersection des plans des faces d’un icosaèdre régulier. Voir 14.

185 • Nombre de régions de R3 déterminées par les plans des faces d’un dodé­ caèdre régulier. Soixante-trois sont bornées. Voir 14.

187 • Le nombre de classes du corps quadratique complexe Q(^187) est égal à 2. Voir 18.

202

102

202 •

Le produit de deux cent deux entiers consécutifs n’est jamais un carré. Seimatsu Nahumi, 1915

Ce nombre n’a guère qu’un intérêt historique car P. Erdôs et Rugge ont démontré qu’un produit quelconque d’entiers consécutifs n’est jamais un carré.

216 •

La constante du plus petit carré magique multiplicatif

12 9 2

•

1 6 36

18 4 3

Le plus petit cube qui soit somme de trois cubes : 216 = 63 = 33 + 43 + 53.

220 *

• 220 et 284 forment le plus petit couple de nombres amiables, c’est à dire tels que chacun est égal à la somme des diviseurs propres de l’autre.

226 • Plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes de diviseurs de QC^d) est égal à 8.

227 • Le nombre 2227 — 1 est le plus petit nombre de Mersenne composé dont on ne connaît pas les diviseurs.

230 **

•

Nombre de groupes cristallographiques dans R3.

Fedorov, 1885

235 • La plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes de QG/d) est égal à 6. • Le nombre de classes du corps quadratique complexe QG/ —235) est égal à 2. Voir 18.

103

267

239 **

• Le plus grand des deux entiers dont la décomposition en somme de cubes nécessite neuf cubes : 239 = 2 • 43 + 4 • 33 + 3 • 13. Voir 23. • Le plus grand entier n tel que n ! = ai • a2 • • • • ak avec n < ai < a2 < • • • ^ • •• < ak < 2 • n.

240 •

Longueur de l’un des côtés de la plus petite « brique de Pythagore » connue. Voir 44.

248 **

• Dimension de l’algèbre de Lie exceptionnelle E8. On notera que 248 = 744/3, 744 étant le terme constant du développement de j(z). Voir 163 et 8,08 1053.

256 28 • Nombre de liaisons issues des combinaisons possibles entre trois pro­ positions unies par deux relations.

257 •

223 + 1 Nombre de Fermât premier.

• Par conséquent le polygone régulier à deux cent cinquante sept côtés est constructible à l’aide de la règle et du compas. La construction effective de ce polygone a été découverte par Richelot en 1892.

267 •

Il existe deux cent soixante sept groupes d’ordre 64.

• Le nombre de classes du corps quadratique complexe Q^ —267) est égal à 2. Voir 18.

104

274

274 • Nombre de points déterminés par l’intersection des plans des faces d’un icosaèdre régulier. Voir 14.

282 •

Le plus petit nombre dont on ne sait pas s’il est congruent ou non. Voir 5.

284 •

284 et 220 forment le plus petit couple de nombres amiables connu. Voir 220.

300 • Le produit de trois cents (ou moins) entiers de la forme 6n + 1 n’est jamais une puissance parfaite. R. Oblath, 1942 • Nombre de segments de droite déterminés par l’intersection des faces d’un dodécaèdre régulier. Cent quatre vingt sont bornés. Voir 14.

315 *

• Une quartique étant donnée, il existe trois cent quinze coniques telles que chacune d’elles passe par les points de contact de quatre bitangentes à la quartique. Salmon, Géométrie analytique, Paris, Gauthier-Villars, 1884

317 * * • Le nombre formé de trois cent dix sept chiffres « 1 » est premier. C’est le plus grand «rep-unit» connu. Le prochain candidat posséderait mille trente et un chiffres. Voir 11.

105

427

341 **

• Le plus petit entier n composé qui divise 2n — 2. (La réciproque du petit théorème de Fermât est donc fausse). De tels nombres sont appelés nombres pseudo-premiers ou nombres de Poulet. Voir 161038.

370 • L’un des quatre nombres > 1 égaux à la somme des cubes de leurs chiffres en système décimal. Voir 153 ; 371 ; 407.

371 • L’un des quatre nombres > 1 égaux à la somme des cubes de leurs chiffres en système décimal. Voir 153 ; 370 ; 407.

401 • La plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes de Q(^/d) est égal à 5.

403 • Le nombre de classes du corps quadratique complexe Q^—403) est égal à 2. Voir 18.

407 • L’un des quatre nombres > 1 égaux à la somme des cubes de leurs chiffres en système décimal. Voir 153; 370; 371.

427 • Corps quadratiques complexes. La plus grande valeur de d pour laquelle le nombre de classes de Q(7~d) est égal à 2. Voir 18.

432

106

432 • Nombre de domaines polygonaux déterminés par les plans des faces d’un dodécaèdre régulier. Cent quatre-vingt douze sont bornées. Voir 14.

496 •

24(25 - 1) Le troisième nombre parfait pair. Voir 6.

521 •

Exposant du treizième nombre de Mersenne premier.

527 *

• Pour tout entier n on peut trouver r entiers ai < a2 < • • • < ar = n tels que le produit de leurs factorielles soit un carré. On a démontré que r ^ 6. 527 est le plus petit entier qui requiert'effectivement r = 6.

561 ***

3•11• 17 Le plus petit nombre de Carmichael (ou pseudo-premier absolu), c’est à dire un nombre composé qui divise an — a pour tout entier a premier avec n. On ne sait pas s’il en existe une infinité ; on connaît aussi : 1105, 1729, 2465, 2821, etc. Tous les nombres de Carmichael comportent au moins trois facteurs premiers.

•

563 ***

•

L’un des trois nombres connus inférieurs à 200 000 tels que : (n — 1)! + 1 = 0 (modn2). Les deux autres sont 5 et 13.

•

Nombre de carrés latins non isomorphes d’ordre 7.

577 • La plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes de 0(^/5) est égal à 7.

107

691

607 •

Exposant du quatorzième nombre de Mersenne premier.

641 20 • 25 + 1 Le plus petit facteur du nombre de Fermât : 225 + 1. Ce facteur a été découvert en 1742 par Euler. C’est un cas particulier du théorème suivant : si 22 +1 est composé, ses facteurs sont de la forme k • 2n + 1.

•

645 •

Le second nombre de Poulet. Les suivants sont 1105, 1387, 1905. Voir 161 038.

651 • Pour tout n, on peut trouver n entiers consécutifs qui ne sont pas premiers : il suffit de considérer les nombres (n + 1)! + k avec 2^k^n + l.En fait, une telle suite de n nombres apparaît bien avant (n + 1)! + k. Une conjecture de Shanks affirme que si pn est le plus petit nombre premier qui suit n entiers composés alors logpn ~ n. Le plus grand écart actuellement observé est 651. Il apparaît pour la première fois entre les nombres 2 614 941710 599 et 2 614 941 711 251. R.P. Brent, The first occurence of large gaps between successive primes, Math, comput. 27, 1973

665 • Conjecture de Burnside : tout groupe possédant un nombre fini de générateurs et dans lequel on a la relation xn = 1 est-il fini? La réponse est non. S.I. Adjian a démontré en 1978 que tout groupe libre périodique (xn = 1) avec n impair supérieur à 665 est infini.

691 ***

• Numérateur du nombre de Bernoulli B12 : —691/2730. Par suite 691 est un nombre premier irrégulier. Voir 37. Ramanujan a montré que l’on a la relation de congruence suivante : r(n) = an(n) (mod 691) où or^n) est la somme des puissances onzièmes des diviseurs de n. Pour la définition de la fonction r(n), voir 11/2.

•

108

720

720 • Les diviseurs de 720 permettent de construire un système de congruences couvrant N avec = 4. Pour la définition d’un tel système, voir 12.

729 *

• 93. Tous les nombres de la suite a0 = 729; at = 71 289, a2 = 7 112 889, ... ak = 7 1 ... 1 2 8 8 9 sont des carrés parfaits.

k

k

V. Thébault, Les récréations mathématiques, Gembloux, Duculot, 1943

835 • Nombre de régions de R3 limitées par les plans des faces d’un icosaèdre régulier ; quatre cent soixante treize sont bornées.

836 *

•

Le second nombre « tordu » connu. Voir 70.

945 **

• Le plus petit nombre abondant impair, c’est à dire inférieur à la somme de ses diviseurs. Il est semi-parfait. Voir 70.

952 •

93 + 53 + 23 + 9 • 5 • 2 = 952.

981 • Quel est le plus grand nombre de triplets d’entiers ayant la même somme et le même produit? On connaît actuellement des solutions paramétriques donnant quatre triplets. Le seul exemple connu de cinq triplets a pour somme 981 et pour produit 1425 600. Les triplets sont les suivants : (6, 480, 495) ; (11, 160, 810) ; (12, 144, 825) ; (20, 81, 880) ; (33, 48, 900). J.G. Mauldon, cité par R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Heidelberg, Springer-Verlag, 1981

1500

109

1021 •

Le plus grand nombre premier connu pk tel que le nombre 1 + H Pi so^ i

lui-même premier. Une exploration systématique, jusqu’à 1031, a permis d’en découvrir huit autres : 2, 3, 5, 7, 11, 31, 379, et 1019.

1093 *

* • Le plus petit des deux seuls entiers connus inférieurs à 3 -109 tels que 2P-1 — 1=0 (modp2). Le second est 3511. Les entiers de ce type sont liés à la résolution du « Grand théorème de Fermât » : A. Wieferich a montré en 1909 que si xp + yp = zp possède une solution en nombres entiers avec (xyz, p) = 1, alors p vérifie la congruence ci-dessus. Wieferich, Zum letzten Fermatschen Theorem, J. Reine Angew. Math. 136, 1909

On sait depuis que le « Grand théorème de Fermât » est vrai dans le cas (xyz, p) = 1 pour tout p inférieur à 253 749 889. Lehmer, 1941

1129 • La plus petite valeur de d pour laquelle le nombre de classes de QG/d) est égal à 9.

1152 *

• Nombre d’algèbres distinctes et cohérentes que l’on peut construire en remplaçant le postulat des champs (de l’algèbre ordinaire) par des postulats plus faibles. E.T. Bell, Mathematics, queen and servant of science, Paris, Payot, 1953

1279 •

Exposant du quinzième nombre de Mersenne premier.

1500 • Nombre de segments de droites déterminés par l’intersection des plans des faces d’un icosaèdre régulier. Mille cent quarante sont bornés. Voir 14.

110

1609

1609 *

• Le plus petit discriminant d’un corps algébrique (du cinquième degré) dont le groupe de Galois est le groupe symétrique S5. H. Cohn

1728 *

•

123 Valeur du point i de la fonction modulaire j(z). Voir 163. Cette propriété explique peut-être l’anecdote qui suit.

1729 **

•

Le plus petit entier décomposable de deux façons en somme de deux cubes 1729 = 123 + 1 = 103 + 93

Le mathématicien Hardy rapporte : «Je me souviens que j’allais le voir (Ramanujan) une fois, lorsqu’il résidait à Putney. J’avais pris un taxi portant le numéro 1729 et je remarquai que ce nombre me semblait quelque peu coriace et que j’espérais qu’il ne fut pas un signe défavorable. - Non, me répondit-il, c’est un nombre très intéressant : c’est le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux cubes. Je lui demandai naturellement s’il connaissait la réponse au problème pour les puissances quatrièmes. Il me répondit après un moment de réflexion qu’il ne pouvait trouver aucun exemple et qu’il pensait que le premier nombre de cette catégorie devait être très grand ». On peut noter que cette double décomposition était déjà connue de Frenicle, au dix-septième siècle, et que l’on connaît depuis la solution para­ métrique de l’équation X3 + y3 = U3 + V3. Hardy et Wright, Theory of numbers, Oxford, Oxford Univ. Press, 1975

Quant au second problème, une solution paramétrique partielle a été donnée par Euler. Le plus petit nombre est 635 318 657. Voir aussi 87 539 619. •

1729 = 7 • 13 • 19, le troisième nombre de Carmichaël. Voir 561.

2047 *

• Le plus petit nombre de Mersenne, c’est à dire de la forme 2P — 1 avec p premier, qui soit un nombre composé. On a 2047 = 23 • 89.

3264

111

*

• Il est aussi un super-nombre de Poulet, c’est à dire un nombre de Poulet dont tous les diviseurs d divisent aussi 2d — 2. Voir 341. Beegers a montré en 1951 que tous les super-nombres de Poulet sont impairs. N.G.W.H. Beeger, On even numbers dividing 2m — 2, Amer. Math. Monthly, 58, 1951

2060 • Nombre de domaines polygonaux déterminés par l’intersection des plans des faces d’un icosaèdre régulier. Mille trois cent quarante sont bornées. Voir 14.

2203 •

Exposant du seizième nombre de Mersenne premier.

2281 •

Exposant du dix-septième nombre de Mersenne premier.

2520 • Les diviseurs de 2520 permettent de construire un système de congruences couvrant N, avec ni = 5. Voir 12 pour la définition d’un tel système.

3160 *

R.L. Graham conjecture que 3160 est le plus grand entier n tel que le /2n\ coefficient binomial ( I est premier avec le produit 3 • 5 • 7 • 11. \n/ Pour tout n, 3160 < n < 10110, il existe un diviseur d ^ 11.

•

3217 •

Exposant du dix-huitième nombre de Mersenne premier.

3264 *

• Il existe 3264 coniques tangentes à cinq coniques données « en position générale ». Chasles

112

3310

3310 • Le plus grand indice k pour lequel on sait que le nombre de Fermat Fk est composé. Hugh Williams a montré qu’il est divisible par le nombre 5 • 23313 + 1.

3511 •

Le plus grand des nombres connus tels que 2p-1 — 1=0 (modp2). Voir 1093. Erna H. Pearson, On the congruences (p — 1)!

= —1 and 2P-1 = 1 (modp2), Math. Comput. 17, 82, 1963

4030 •

Le plus grand nombre « tordu » connu. Voir 70.

4253 •

Exposant du dix-neuvième nombre de Mersenne premier.

4423 •

Exposant du vingtième nombre de Mersenne premier.

4514 • La constante d’un carré magique d’ordre 12 composé à l’aide de l’unité et des cent quarante trois premiers nombres premiers impairs.

4863 • Le plus petit nombre entier qui ne peut se décomposer en moins de deux cent soixante treize puissances huitièmes. Voir cependant 163.

4943 • Les nombres de la progression 4943 + k ■ 60 060 sont premiers pour 0 < k < 12. Voir 17.

5186 **

• Le seul nombre n connu vérifiant l’équation (n) = (n + 1) = (n + 2) où 0(n) est l’indicateur d’Euler.

113

7920

6174 *

• Algorithme de Kaprekar : soit un nombre de quatre chiffres ; si l’on calcule la différence entre les deux nombres obtenus en ordonnant les chiffres dans l’ordre croissant et décroissant et que l’on itère, en obtient 6174 quel que soit le nombre de départ en moins de sept itérations. Si l’on part de nombres plus longs, la situation se complique singulièrement, notamment avec l’apparition de cycles. Par ailleurs, Mikio Kano a montré qu’un phénomène analogue se produit, pour des nombres de quatre chiffres, pour les bases 5, 40, 160 et 640. Cela n’ap­ paraît pour aucune autre base < 1000.

6578 *

• Le plus petit entier décomposable de deux façons en sommes de trois puissances quatrièmes : 6578 = l4 + 24 + 94 = 34 + 74 + 84. A. Martin, 1876

7150 • Norme d’un tableau orthogonal d’ordre 4 dont la somme des carrés des termes est constante par lignes, par colonnes et par diagonales. Benneton, 1942 Euler en avait indiqué un de norme 8515.

7442 *

• P. Erdôs a posé le problème suivant : existe-t-il n entiers dont toutes les sommes deux à deux sont des carrés? Pour n = 5 le plus petit quintuplet répon­ dant à la question est 7442, 28 658, 148 583, 177 458, 763 443. Pour n = 6 l’un des termes du seul sextuplet connu est négatif. Voir 6.

7920 ***

24-32-5 11 Ordre du groupe Mn de Mathieu. Ce groupe est le plus petit des groupes sporadiques. Le groupe Mn est le groupe des automorphismes d’un système de Steiner d’indices (4, 5, 11) c’est à dire un ensemble de onze points divisé en blocs de telle façon que chaque bloc contienne cinq points et que quatre points quel­ conques appartiennent exactement à un bloc. Voir 18. J. Tits, Groupes finis simples sporadiques, Sém. Bourbaki, fév. 1970. •

8128

114

8128 •

26(27 — 1) le quatrième nombre parfait. Voir 6.

8191 • C’est le second nombre connu qui peut s’écrire de deux façons sous la forme n = (pr - l)/(pd - 1) avec r > 3 et d > 1. En effet, 8191 = (213 — 1)/ (2 — 1) = (903 — l)/(90 — 1). Goormaghtigh, cité par R.K. Guy, Unsolved problems in number theory, Heidelberg, Springer-Verlag, 1981

•

*

213 — 1. Nombre de Mersenne premier.

• Le nombre 28191 — 1 n’est pas premier, ce qui ruine une ancienne conjec­ ture selon laquelle un nombre de Mersenne dont l’exposant est lui-même un nombre de Mersenne premier serait également premier. On remarquera qu’il est maintenant de tradition que les découvreurs de grands nombres de Mersenne premiers énoncent une nouvelle conjecture sur leur répartition. La dernière en date est celle de Slovinski, détenteur de l’actuel record : « Il existe plus de con­ jectures sur les nombres de Mersenne premiers que de nombres de Mersenne premiers ! » Voir 86243.

9689 •

Exposant du vingt-et-unième nombre de Mersenne premier.

9941 •

Exposant du vingt-deuxième nombre de Mersenne premier.

10080 • Les diviseurs de 10 080 permettent de construire un système de congruences couvrant N avec nj = 6. Voir 12 pour la définition d’un tel système.

11 213 •

Exposant du vingt-troisième nombre de Mersenne premier.

115

17 296

12 496 *

24-ll-71 Soit s(n) la somme des diviseurs propres de n. Le nombre 12 496 est le plus petit connu tel que s5(n) = n. On a s(n) = 24 • 19 • 47, s2(n) = s(s(n)) = 24 • 967, s3(n) = 23 • 23 - 79, s4(n) = 23 • 1783. Découvert par Poulet en 1918, ce quin­ tuplet ne constitue pas la chaîne amiable la plus longue ; on en connaît une de longueur 28. Voir 14316. •

12 758 •Le plus grand entier qui ne peut pas être écrit comme somme de cubes distincts. Voir 128. R.L. Graham

14 264 Voir 12496.

14 288 Voir 12496.

14316 •

Le plus petit terme de la seule « chaîne amiable » de longueur 28 connue. Voir 12496. On ignore s’il existe des « chaînes amiables » de longueur quelconque.

14 536 Voir 12496.

15472 Voir 12496.

17 296 • 18416 et 17 296 forment le second couple de nombres amiables connu. Il est mentionné par Fermât dans une lettre à Roberval (22 septembre 1636). Fermât donne une règle de construction dans une lettre à Mersenne : Les nombres 2n• h• t et 2n• s sont amiables si h = 3-2n — 1, t = 3 •2n-1 — 1 et s = 9 • 22n-1 — 1 sont premiers.

18416

116

18416 Voir 17296.

19 937 •

Exposant du vingt-quatrième nombre de Mersenne premier.

20160 **

• Il existe deux groupes simples d’ordre 20160 (A8 et PSL (3, 4)). On ne connaît pas d’autre situation analogue, si l’on excepte les deux familles de groupes simples PSp2n(q) et PQ2n+1(q).

21 701 • Exposant du vingt-cinquième nombre de Mersenne premier. Découvert en novembre 1978 par L. Nickel et C. Noll.

23143 **

• Premier terme de la plus longue progression arithmétique connue de raison 30 030, et dont les termes consécutifs sont premiers. 25 143 -F 30 030 k est premier pour 0 k 11. Voir 13 et 17. V.A. Golubev

23 209 •

Exposant du vingt-sixième nombre de Mersenne premier.

25 920 *

• Ordre du groupe PSp3(F3) associé aux vingt-sept droites d’une surface cubique.

26 861 **

• Tous les nombres premiers impairs sont de la forme 4n + 1 ou 4n + 3. Soient donc respectivement ^i(x) et rc3(x) le nombre de nombres premiers in­ férieurs à x de type 4n H- 1 et 4n + 3. Alors, pour tout x inférieur à 28861 : ^i(x) < ti3(x). Cette inégalité s’inverse pour x = 26 861 : 7^(26861) = 1 473 et ^3(26 861) = 1472. J. Leech, Note on the distribution of prime numbers. Journ. London Math. Soc. 32, 1957

50625

117

30 240 • Les diviseurs de 30 240 permettent de construire un système de congruences couvrant N avec ni = 7. Pour la définition d’un tel système, voir 12.

40311 • La plus longue suite connue de nombres consécutifs ayant tous le même nombre de diviseurs : on a d (40 311) = d (40 312) = d (40 313) = d (40 314) = d (40315) = 8.

40585 • Le plus grand des deux nombres égaux à la somme des factorielles de leurs chiffres (en système décimal). L’autre est 145. (A part 1 et 2, évidemment).

40755 • Le plus petit nombre qui soit simultanément triangulaire, pentagonal et hexagonal ; c’est-à-dire qui soit solution des équations 2

2

44497 •

Exposant du vingt-septième nombre de Mersenne premier.

45 360 •

Le plus petit entier possédant cent diviseurs.

50625 154 = 44 + 64 + 84 + 94 + 144 La plus petite puissance quatrième qui soit égale à la somme de cinq puissances quatrièmes. Voir 23 854 493 601. .

118

65 537

65 537 • 224 + 1, le quatrième nombre de Fermât premier. Par conséquent le poly­ gone régulier possédant 65 537 côtés est constructible à l’aide de la règle et du compas. La construction effective a été découverte par Hermès dont le manuscrit est conservé à l’université de Göttingen.

75 600 • Les diviseurs de 75600, permettent de construire un système de con­ gruences couvrant N avec ^ = 8. Voir 12 pour la définition d’un tel système.

86243 Exposant du plus grand nombre de Mersenne premier connu. Voir 286243 - 1.

87 360 •

Le quatrième nombre unitairement parfait connu. 87 360 = 26 • 3 • 5 • 7 • 13. Voir 6.

95 040 ***

26-33-511 Ordre du groupe M12 de Mathieu, le second groupe sporadique. C’est, par exemple, le groupe des automorphismes d’un système de Steiner d’indice (5, 6, 12.) Voir 18 et 7920. •

161 038 **

•

2-731103 Le plus petit nombre de Poulet pair. Il a été découvert par Lehmer en 1950 et N.G.W.H. Beeger a montré en 1951 qu’il en existait une infinité. Voir 341. D.H. Lehmer, On the converse of the Fermat’s theory, Amer. Math. Monthly 43, 1950 N.G.W.H. Beeger, On even numbers dividing 2m — 2, Amer. Math. Monthly 58, 1951

1 451 520

119

175 560 ***

•

23 • 3•5•7•11 • 19=19•20•21•22 = 55 • 56•57 Ordre du groupe Ja de Janko, le troisième groupe sporadique. Voir 18.

196 560 *

• Dans l’espace R24 on peut trouver 196 560 sphères identiques tangentes à une même dernière. Cette configuration permet de construire le code de Golay de longueur 24. Voir 23 et 4 157 776 806 543 360 000.

248 832 • La plus petite puissance cinquième qui soit somme de six puissances cinquièmes : 248 832 = 125 = 45 + 55 + 65 + 75 + 95 + 115.

443 520 ***

• Ordre du groupe M22 de Mathieu, le quatrième groupe sporadique. C’est un sous-groupe d’index 2 du groupe des automorphismes du système de Steiner (3, 6, 22). Voir 18 et 7920.

604 800 ***

•

27-33-52 • 7 Ordre du groupe de Hall-Janko, le cinquième groupe sporadique. Voir 18.

• Les diviseurs de ce nombre permettent de construire un système de con­ gruences couvrant N, avec nj = 9. Voir 12 pour la définition d’un tel système.

Bien que ce ne soit pas une propriété mathématique, notons que ce nombre est le plus grand pour lequel nous ayons rencontré deux propriétés.

1 451 520 *

• Ordre du groupe PSp4(F2). Ce groupe est l’un des trois groupes projectifs symplectiques qui ne sont pas simples. C’est aussi le groupe des vingt-huit bitangentes à une quartique plane.

1 676 257

120

1 676 257 •

Nombre de carrés latins d’ordre 8 non isomorphes.

3 321 607 *

• Soit r3 le rang du 3-sous-groupe de Sylow du groupe des classes d’idéaux du corps quadratique QG/ —d) avec d > 0. Le plus petit d pour lequel r3 = 3 est 3 321 607. F. Diaz y Diaz, Sém. Delange Pisot Poitou, Fasc. 2, Exp. G15, Paris, 1975

4 478 976 •La plus petite solution non triviale connue de l’équation xx • yy = zz est x = 126 = 2 985 984 ;y = 68 = 1 679 616 ; z = 211 • 37 = 4 478 976. Chao Ko, Note on the diophantine equation xx yy = zz, J. Chinese Math. Soc., 1940

5134 210 • Le plus grand nombre qui ne peut pas s’exprimer comme somme de puissances quatrièmes distinctes. Voir 128.

9 363 584 •9 437 056 et 9 363 584 sont, historiquement, le troisième couple de nombres amiables connu. Descartes, Lettre à Mersenne, 31 mars 1638

9 437 056 Voir ci-dessus.

10014491 **

• Le plus grand triplet de nombres premiers connu est : 10014491,10014493 et 10014497.

10 200 960 ***

27•32•5 - 7•11 - 23 Ordre du groupe M23 de Mathieu, le sixième groupe sporadique. C’est, par exemple, le groupe des automorphismes du système de Steiner d’indice (4, 7, 23). Voir 18 et 7920. •

87 539 319

121

12 489 781 • Historiquement, et d’après Cajori, c’est le plus grand nombre trouvé dans les textes Mayas.

22 522 960 • Nombre de façons de placer huit fous de même couleur sur un échiquier sans qu’ils soient en prise. Pérou, 1883

33 550 336 •

212(213 — 1) le cinquième nombre parfait pair.

44 352 000 ***

•

2* -32•53- 7■11 Ordre du groupe HiS de Higman Sims, le septième groupe sporadique. Voir 18.

50 232 960 ***

27•35•5•17•19 Ordre du groupe HJM de Higman-Janko-McKay, le huitième groupe sporadique. Voir 18.

•

67 898 771 *

• Le plus grand entier qui ne peut pas être écrit comme somme de puissances cinquièmes distinctes. Voir 128. R.L. Graham

87 539 319 *

• Le plus petit nombre connu qui se décompose de trois façons en somme de deux cubes : 87 539 319 = 1673 + 4363 = 2283 + 4233 = 2553 4- 4143. Voir 1729. Leech, 1957

122

121 174811

121 174811 • On conjecture qu’il existe des progressions arithmétiques arbitrairement longues composées de nombres premiers consécutifs. La plus longue connue, découverte par Lander et Parkin, est 121 174811 + 30 • k avec 0 k 5. L.J. Lander et T. R. Parkin, Consecutive primes in arithmetic progression, Math. Comput. 21, 1967

123 456 789 *

• Soit N = 1234 ... n un nombre écrit en base (n + 1) à l’aide des chiffres 1, 2, 3, ..., n pris dans l’ordre croissant. Soit 2 = ab un multiplicateur à deux chiffres tel que c = a + b soit premier avec n et inférieur à n. Alors le produit P = N • 2 utilise tous les chiffres 1, 2, 3, ..., n convenablement permutés. V. Thébault, Les récréations mathématiques, Gembloux, Duculot, 1943

160 426 514 • Le seul nombre connu décomposable de deux façons en somme de trois puissances sixièmes : 160 426 514 = 36 + 196 + 226 = 106 + 156 + 236. Suba Rao, 1934

175 959 000 • Le second nombre connu qui s’écrit de trois façons comme somme de deux cubes : 175 959 000 = 5603 + 703 = 5253 + 3153 = 5523 + 1983. Fauquemberg, 1906

244 823 040 ***

210•33 • 5 • 7•11-23 Ordre du groupe M24 de Mathieu, le neuvième groupe sporadique. C’est, par exemple, le groupe des automorphismes du système de Steiner d’indices (5, 8, 24). Voir 18 et 7920. •

253 749 889 *

• Le grand théorème de Fermat est vrai pour tout p ^ 253 749 889, lorsque (xyz, p) = 1. Voir 1093. D.H. Lehmer et E. Lehmer, 1941

906180 359

123

635 318 657 *

• Le plus petit nombre connu décomposable de deux façons en somme de deux puissances quatrièmes! 635 318 657 = 1584 + 594 = 1334 + 1344. C’est la réponse à la question de Hardy à Ramanujan. Cette double décomposition a été découverte par Euler. On ignore s’il existe des nombres qui se décomposent de deux façons en somme de deux puissances cinquièmes, mais on conjecture que non. Voir 1729.

666 841 088 *

• Nombre de quadriques tangentes à neuf quadriques données en position générale. Schubert, Kalkül der abzälende Geometrie, Leipzig, Teubner, 1879

843 973 902 • Le plus grand nombre obtenu, en système décimal, comme produit de deux nombres construits à l’aide de tous les chiffres de 1 à 9. 843 973 902 = 9642-87 531.

898128 000 ***

•

27-36-53-7-ll Ordre du groupe de McLaughlin, le dixième groupe sporadique. Voir 18.

906180 359 *

• Conjecture de Polya : pour tout x, il y a plus de nombres inférieurs à x et possédant un nombre impair de facteurs premiers que de nombres en possédant un nombre pair. Plus précisément, soit Q(n) le nombre des facteurs premiers divisant n :

^(n) = X a p“|n

et

L(x) = X (“ l)Q(n),

alors Vx, L(x) ^ 0.

n^x

Cette conjecture est fausse : Haselgrove et Lehman ont montré que L(906 180 359) = 1. C.B. Haselgrove, A disproof of a conjecture of Polya, Mathematica 5, 1958

124

1 026 753 849

1 026 753 849 •

320432 Le plus petit carré parfait utilisant une fois et une seule chacun des chiffres 0, 1, 2, ..., 9. Il existe quatre-vingt-sept solutions à ce problème ; la solution la plus grande est 9 814 072 356 = 99 0662. Si l’on se restreint aux chiffres non nuis, il n’existe que trente solutions. La plus petite est 139 854 276 = 11 8262 ; la plus grande 923 187 456 = 30 3842. V. Thébault, Les récréations mathématiques, Gembloux, Duculot, 1943

1 234 567 891 *

• Le plus petit nombre premier commençant et finissant par « 1 » et formé des chiffres consécutifs écrits dans l’ordre croissant. On connaît trois nombres de ce type : 12 345 678 901234 567 891 et 1 234 567 891 234 567 891 234 567 891. J.S. Madachy, Consecutive digit primes, Journ. of Recreational Math. 2, 1971

3 816 547 290 *

• Le seul nombre formé des dix chiffres 0, 1, ..., 9 tel que les différents nombres formés par les k premiers chiffres sont divisibles par k ;

4 030 387 200 ***

210-33-52-73-17 Ordre du groupe HHM de Held-Highman-McKay, le onzième groupe sporadique. Voir 18.

•

4 294 967 295 3-5-17-257-65537 Produit des cinq nombres premiers de Fermât connus. On peut donc affirmer, tant qu’on en n’a pas trouvé un sixième, qu’un polygone régulier est constructible à l’aide de la règle et du compas si son nombre de côtés est un diviseur de ce nombre multiplié par une puissance de 2. •

4 294 967 297 •L’« erreur » de Fermat : il pensait que tous les nombres de la forme 22” -F 1 sont premiers. Le nombre ci-dessus, qui correspond à n = 5, est divisible par 641 et 6 700 417. Euler

495 766 656 000

125

15 527 402 881 *

• 3534, la seule puissance quatrième connue qui soit la somme de quatre puissances quatrièmes : 3534 = 304 + 1204 + 2724 + 3154. R. Nome, 1911

61 917 364 224 **

• La plus petite puissance cinquième qui soit décomposable en une somme de quatre puissances cinquièmes : 1445 = 275 + 845 + 1105 + 1335. Découverte à l’aide d’ordinateurs par Lander et Parkin en 1967, cette décomposition réfute une conjecture d’Euler qui ne pensait pas qu’elle fût possible. L.J. Lander et T.R. Parkin, Counter-exemple to Euler’s conjecture on sums of like powers, Math. Comput. 72, 1966

137 468 691 328 •

218(219 — 1) le septième nombre parfait pair.

145 926144 000 ***

•

214-33-52-713-29 Ordre du groupe de Rudvalis, le douzième groupe sporadique. Voir 18.

448 345 497 600 ***

•

213•37■ 52 - 7 • 11 •13 Ordre du groupe de Susuki, le treizième groupe sporadique. Voir 18.

460 815 505 920 ***

•

29-34-5-73-11 19-31 Ordre du groupe de O’Nan, le quatorzième groupe sporadique. Voir 18.

495 766 656 000 ***

•

210•37•53•7•11•23 Ordre du groupe Co3 de Conway, le quinzième groupe sporadique. Voir 18.

42 305 421 312 000

126

42 305 421 312 000 ***

•

218-36-53-711-23 Ordre du groupe Co2 de Conway, le seizième groupe sporadique ; Voir 18.

64 561 751 654 400 ***

•

217-39-52-71113 Ordre du groupe Fi22 de Fischer, le dix-septième groupe sporadique. Voir 18.

133 978 259 344 888 **

• Nombre de partitions de 243 en somme d’entiers. Ramanujan conjecturait que : Si ¿ = 5a>7b'ir et 24-2= 1 (mod^), alors le nombre de partitions de m-^ + Â est un multiple de ¿. Ici, on a