Laboratorio de Fisica

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Laboratorio de Física

Miguel Ángel Hidalgo José Medina Departamento de Física Universidad de Alcalá

DVD realizado por Morwen Productions SL Pablo Medina Director

Víctor Berglund Efectos visuales

Helena Careaga Locución

Madrid

México Santafé de Bogotá Buenos Aires Caracas Lima Montevideo San Juan San José Santiago Sa˜o Paulo White Plains

Datos de catalogación bibliográfica

LABORATORIO DE FÍSICA Miguel Ángel Hidalgo y José Medina PEARSON EDUCACIÓN, S.A., Madrid, 2008 ISBN: 978-84-8322-395-6 Materia: Física, 53 Formato 195 # 270 mm

248 Páginas:

Todos los derechos reservados. Queda prohibida, salvo excepción prevista en la Ley, cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública y transformación de esta obra sin contar con autorización de los titulares de propiedad intelectual. La infracción de los derechos mencionados puede ser constitutiva de delito contra la propiedad intelectual (arts. 270 y sgts. Código Penal). DERECHOS RESERVADOS 5 2008 por PEARSON EDUCACIÓN, S.A. Ribera del Loira, 28 28042 Madrid (España) LABORATORIO DE FÍSICA Miguel Ángel Hidalgo y José Medina ISBN: 978-84-8322-395-6 Depósito legal: Equipo editorial: Editor: Miguel Martín-Romo Técnico editorial: Marta Caicoya Equipo de producción: Director: José Antonio Clares Técnico: José Antonio Hernán Diseño de cubierta: Equipo de diseño de PEARSON EDUCACIÓN, S.A. Composición: COPIBOOK, S.L. Impreso por:

IMPRESO EN ESPAÑA - PRINTED IN SPAIN Este libro ha sido impreso con papel y tintas ecológicos

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Contenido

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Introducción al cálculo de errorres y tratamiento de datos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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I.1. I.2. I.3. I.4. I.5.

Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La medida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Los errores y su clasificación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Error absoluto y error relativo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Propagación de errores sistemáticos en determinaciones indirectas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.1. Suma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.2. Diferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.3. Producto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.4. Cociente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.5. General . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I.5.6. Resumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Errores aleatorios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ajuste de una recta por mínimos cuadrados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Cifras significativas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Coma de decimales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 5 5 6 6 7

Unidades y su uso . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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II.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2. Unidades básicas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.1. Metro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.2. Kilogramo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.3. Segundo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.4. Amperio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.5. Kelvin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.6. Mol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.2.7. Candela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.3. Unidades derivadas del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.4. Prefijos del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.5. Unidades aceptadas ajenas al SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.6. Uso del SI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.7. Algunas constantes físicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.8. Alfabeto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 10 10 11 11 11 11 11 12 13 14 14 15 16

Medidas de longitudes, superficies, volúmenes y masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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1.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo I.

I.6. I.7. I.8. I.9. Capítulo II.

Capítulo 1.

vi

Contenido

Capítulo 2.

Capítulo 3.

1.2.1. Piezas a medir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Calibre o pie de rey . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.3. Micrómetro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.4. Balanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1. Longitud de la lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2. Superficie de la lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3. Volumen de la lámina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.4. Superficie de la arandela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.5. Volumen de la arandela . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.6. Volumen del tubo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.7. Medida de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Longitudes, superficies y volúmenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2. Balanza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Velocidad y aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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2.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1. Leyes de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.2. Ecuación del movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3. Movimiento de una partícula bajo una fuerza constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.2. Medida automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.3. Medida fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Deslizamiento sin rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.2. Deslizamiento con rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. Deslizamiento sin rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Deslizamiento con rozamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 29 31 31 32 32 32 32 32 32 35 36 36 36 36

Péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1. Velocidad y aceleración en coordenadas polares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2. Energía de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.3. Equilibrio de una partícula . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4. Péndulo plano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.5. Péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.6. Péndulo compuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1. Estándar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2. Mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3. Medida automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4. Medida fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1. Obtención del periodo del péndulo simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. Obtención de la aceleración de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto . . . . . . . 3.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1. Obtención del periodo del péndulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.2. Obtención de la aceleración de la gravedad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto . . . . . . . 3.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

38 38 39 41 42 45 46 48 48 48 48 48 49 49 49 49 50 50 50 50 51

Contenido

Capítulo 4.

Capítulo 5.

Capítulo 6.

vii

Colisiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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4.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1. Problema de dos cuerpos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. Momento lineal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.3. Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.4. Sistema centro de masas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.5. Colisiones elásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.6. Colisiones inelásticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.3. Medida automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.4. Medida fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Choque frontal elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2. Choque frontal inelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1. Choque frontal elástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.2. Choque frontal inelástico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.3. Coeficiente de restitución . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

54 54 56 56 57 58 60 62 62 62 62 62 62 62 64 65 65 65 65 66

Oscilaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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5.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.1. Oscilador armónico simple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.2. Oscilador armónico amortiguado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.3. Oscilador armónico forzado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.4. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.5. Dos osciladores armónicos simples acoplados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.1.6. Frecuencia de modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1. Mínima . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.2. Mejorado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.3. Medida automática . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.4. Medida fotográfica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.1. Obtención de la constante del muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad . . . . . . . . . . . . 5.3.4. Medida de la frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.6. Medida de la frecuencia de modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1. Obtención de la constante del muelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad . . . . . . . . . . . . 5.4.4. Medida de la frecuencia de resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.6. Medida de la frecuencia de modulación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68 68 73 77 79 81 83 85 85 85 85 85 85 85 86 88 88 90 91 91 92 92 92 92 93 93 93 93 93

Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.1. Compresión y tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

96 97

viii

Contenido

Capítulo 7.

Capítulo 8.

Capítulo 9.

6.1.2. Flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.1.3. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.1. Tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.2. Flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2.3. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.1. Tracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.2. Flexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3.3. Torsión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

103 107 108 110 110 110 111 111 111 113

Fluidos en equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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7.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

116 119 119

Viscosidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

122 124 124

Ecuación de Bernouilli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

128 130 131

Capítulo 10. Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

133

10.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.1. Reflexión y refracción en superficies planas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.2. Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.3. Reflexión y refracción en superficies esféricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.1.4. Lentes delgadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.1. Reflexión . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.2. Refracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.3. Prisma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3.4. Lentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

134 136 140 142 145 147 147 148 150 150 151 153

Capítulo 11. Intensidad de una onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

155

11.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1. Conceptos generales del fenómeno ondulatorio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.2. Ondas acústicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 156 159 160 160

Capítulo 12. Fenómenos característicos de una onda: interferencia, difracción y polarización . . . . .

163

12.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.1. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.2. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.1.3. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.1. Interferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3.2. Difracción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

164 165 166 167 168 168 169 171

Contenido

ix

12.3.3. Polarización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Capítulo 13. Equivalente mecánico del calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

173

13.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

174 178 178

Capítulo 14. Dilatación térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

181

14.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

182 185 185

Capítulo 15. Conductividad térmica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

187

15.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

188 190 190

Capítulo 16. Capacidad de un condensador. Coeficiente de inducción mutua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

193

16.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.1. Capacidad de un condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.1.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.1. Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.2.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.1. Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16.3.2. Autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

194 194 196 198 198 198 198 198 200

Capítulo 17. Corriente continua: leyes de Ohm y Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

203

17.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.1. Ley de Ohm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.2. Circuitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.1.3. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.1. Medida de una resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.2. Resistencias en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.3. Resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.4. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.3.5. Redes serie-paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.1. Medida de una resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.2. Resistencias en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.3. Resistencias en paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.4. Leyes de Kirchhoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.4.5. Redes serie-paralelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

204 205 205 206 208 209 209 210 211 212 212 212 212 213 213 213 213 213

Capítulo 18. Corriente alterna: osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

215

18.1. Introducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.1. Circuito RLC en serie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.2. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1.3. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2. Instrumentación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.1. Osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2.2. Generador de frecuencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

216 216 218 218 219 219 222

x

Contenido

18.2.3. Resistencia, condensador y autoinducción . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3. Método experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.1. Manejo del osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.2. Circuito RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.3. Circuito RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.4. Circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3.5. Resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4. Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.1. Manejo del osciloscopio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.4.2. Circuitos y resonancia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5. Cuestiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222 222 222 223 224 225 227 227 227 228 228

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

229

Índice analítico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

231

Prólogo

En todas las disciplinas científicas, (tales como la Química, Biología, Geología, y sobre todo la Física), así como en las ingenierías, las prácticas de laboratorio han ido perdiendo cada vez mayor presencia como consecuencia del empuje de las simulaciones por ordenador, los llamados applets. Desde nuestro punto de vista, la formación que proporcionan estos no puede ser sustitutiva en ningún caso de la experimentación en un laboratorio, a lo sumo, en el mejor de los casos, pueden ser un complemento de la misma. Y es que hay una inmensa diferencia entre lo que es la búsqueda, estudio y aplicación de una ley física de la naturaleza basándose en la experimentación, respecto a la construcción de un algoritmo basado en dicha ley; y la diferencia está en que, mientras la primera implica aprehender el método científico, clave este de la formación de un futuro científico y de un buen técnico, la segunda supone únicamente la manipulación de un algoritmo preestablecido basado en una ley física, con poco o ningún margen para la aplicación del método científico. Un experimento real podrá sugerir modificaciones sobre el montaje experimental inicial, lo que permitirá indagar en otros aspectos que no estuvieran previstos en la idea de partida, algo que difícilmente puede hacerse con unos applets que limitan completamente la creatividad e iniciativa científica de los estudiantes, ya que todo el camino y todas sus posibilidades, están trazadas de antemano, sin apenas capacidad para la sorpresa y la innovación. Esta, aunque pueda considerarse como un aspecto de orden filosófico, es la clave del método científico y del desarrollo de un espíritu crítico científico. En este sentido, un mal montaje lleva a unos datos erróneos que permiten afinar el espíritu crítico del estudiante, plantearse cuestiones asociadas al mismo, a la adquisición de datos y al análisis de los mismos, aspectos fundamentales en la formación de un científico de difícil implementación con applets. Estos sólo pueden limitarse a proporcionar los datos asociados a una ley física, pero no los errores que conlleva un mal funcionamiento de un generador, un polímetro, una fuente de continua, un osciloscopio, una mala conexión, un mal contacto térmico, la existencia de un rozamiento por un mal diseño de un instrumento, y todo esto, insistimos, es la base de la formación experimental de un científico, de ahí la importancia de llevar a cabo el montaje de cada una de las prácticas. Como afirmaba K. R. Popper: «La ciencia sólo comienza con problemas... a través de un problema adquirimos conciencia de que estamos sosteniendo una teoría. Es el problema el que nos acicatea a aprender, a hacer avanzar nuestro conocimiento, a experimentar y a observar.» (Conjeturas y refutaciones, 1962). De todos modos el presente libro de prácticas tiene una única pretensión: servir de inspiración y apoyo para el diseño e implementación de un laboratorio de Física, eso sí, en función de las condiciones y materiales de que se disponga. Así, pretende servir de plataforma para idear y sugerir otros experimentos, guiones de laboratorio y experiencias de

xii

Contenido

cátedra, para lo que incluimos un DVD en el que se presentan películas de algunas de las prácticas propuestas que incorpora el libro, Pudiendo ayudar, además, a hacerse una idea de los correspondientes montajes. (En el mismo DVD se han incorporado las figuras del libro a color, por si pueden resultar útiles al lector, ya que el libro las incluye en blanco y negro). Finalmente no queremos terminar sin agradecer los apoyos que hemos tenido en la elaboración del presente libro. Desde luego, los más importantes han sido los de nuestros compañeros del Departamento de Física de la Universidad de Alcalá, especialmente Enrique Bronchalo, quien ideó el experimento incluido en el Capítulo 9, Miguel Ramos, el de los Capítulos 11 y 13 y Yolanda Cerrato, el de autoinducción del Capítulo 16. Por último, agradecer a la Universidad de Alcalá, a través del proyecto UAH/EV93 de su convocatoria de Proyectos para la integración de las tecnologías de la información y la comunicación en el proceso de enseñanza-aprendizaje, que ha permitido financiar la elaboración de las películas incluidas en el DVD. MAH y JM Marzo 2008

Introducción al cálculo de errores y tratamiento de datos I.1. Introducción I.2. La medida I.3. Los errores y su clasificación I.4. Error absoluto y error relativo I.5. Propagación de errores sistemáticos en determinaciones indirectas I.5.1. Suma I.5.2. Diferencia I.5.3. Producto I.5.4. Cociente I.5.5. General I.5.6. Resumen I.6. Errores aleatorios I.7. Ajuste de una recta por mínimos cuadrados I.8. Cifras significativas I.9. Coma de decimales

2

Laboratorio de Física

I.1. Introducción La Física, como otras ciencias experimentales, está basada en la medida de magnitudes. Estas medidas tienen un cierto grado de incertidumbre, de tal forma que una magnitud está bien definida sólo si se dan los criterios necesarios para su medida.

I.2. La medida Se entiende por medida de una cierta magnitud, la operación que resulta de compararla con otro valor de la misma magnitud que hemos tomado como patrón. El resultado de esta operación es un número y la unidad elegida. Por ejemplo la longitud de una barra, que se ha comprobado que contiene cincuenta veces la unidad 1 cm, será 50 cm. Se pueden presentar opciones: 1.o 2.o

Medida directa. Resultado de la comparación con una magnitud de la misma especie (caso anterior). Medida indirecta. Después de realizar medidas con magnitudes distintas relacionadas con la que se quiere obtener, su valor se halla operando a través de una expresión matemática. Por ejemplo, obtener el volumen (v) de un cilindro después de medir directamente su diámetro (d) y su altura (h), usando la expresión V % nh(d/2)2.

I.3. Los errores y su clasificación En la práctica es a menudo imposible encontrar el valor cierto o exacto (a) de una magnitud determinada, pero es posible establecer límites (am, aM) dentro de los que está ese valor cierto. Cuanto más próximos sean esos límites más precisa será la medida. El objetivo del cálculo de errores es encontrar esos límites y procurar que sean lo suficientemente pequeños para no afectar a las conclusiones que se puedan inferir de las medidas. Sea el valor exacto a tal que a à (am, aM ), la mejor estimación de esa magnitud es el punto medio A del intervalo, de tal forma que el valor de la magnitud quede definido por a à (A . BA, A ! BA). Donde BA son pequeños intervalos alrededor de A. La medida de una magnitud (A) nos la proporciona: 1.o 2.o

El valor A. El tamaño del intervalo de imprecisión o error uBA, denominado error absoluto de la medida.

De manera que la medida de la magnitud se expresa por A u BA. Este resultado debe expresarse de forma que sea intercambiable con otros experimentadores. Los errores en las medidas pueden provenir de múltiples causas, que los podemos agrupar en dos categorías: Errores sistemáticos. Debidos a 3 causas. 1.o 2.o 3.o

Instrumentales. Debido a las características y precisión de los aparatos. De método. Debido al uso de un método en el que se hace alguna simplificación o a la interferencia de los instrumentos usados con la magnitud que se quiere medir. Personales. Debidos a la pericia del observador.

Introducción al cálculo de errores y tratamientos de datos

3

Errores aleatorios. Que pueden ser debidos a las 3 causas anteriores y a los errores: 4.o

Accidentales. Ocasionados por las variaciones de las condiciones en que se realiza la medida y que escapan al observador. Tales como fluctuaciones de temperatura, de presión, de humedad, de iluminación, de campos eléctricos o magnéticos, etc.

I.4. Error absoluto y error relativo El resultado de una medida debe expresarse dando el valor obtenido (A), la semianchura del intervalo de precisión (BA) y la unidad utilizada, es decir: A u BA (unidad) El error relativo (e) es el cociente: e%

BA 8A8

que frecuentemente se expresa en porcentaje. Cuando sólo se puede realizar una única medida, el error absoluto será la sensibilidad del aparato, que es la división más pequeña de la escala del aparato de medida o, alternativamente, la mitad de esa división más pequeña.

I.5. Propagación de errores sistemáticos en determinaciones indirectas Supongamos que la medida de una magnitud Z se realiza indirectamente a través de la medida directa de dos magnitudes, A y B, relacionadas con Z mediante una función Z % f (A, B) y queremos saber cuál sería el error de la magnitud Z conociendo los errores de A y B. Evidentemente depende del tipo de relación entre A y B.

I.5.1. Suma Z%A!B El resultado de cada una de las medidas es A u BA y B u BB. El error de Z será: Z u BZ % (A u BA) ! (B u BB) % (A u B) u (BA ! BB) por tanto el error absoluto será: BZ % BA ! BB es decir la suma de los errores absolutos, y el error relativo será: e%

BZ BA ! BB % A!B Z

I.5.2. Diferencia Z%A.B El error de Z será: Z u BZ % (A u BA) . (B u BB) % (A . B) u (BA ! BB)

4

Laboratorio de Física

por tanto el error absoluto será: BZ % BA ! BB es decir la suma de los errores absolutos, y el error relativo será: e%

BZ BA ! BB % A.B Z

I.5.3. Producto Z%A B El error de Z será: Z u BZ % (A u BA) (B u BB) % (A B) u (A BB) u (B BA) u (BA BB) por tanto el error absoluto será, despreciando (BA BB): BZ % (A BB) ! (B BA) y el error relativo: e%

BZ BA BB % ! A B Z

la suma de los errores relativos.

I.5.4. Cociente Z%A/B El error relativo se toma como el del producto, por ser el caso más desfavorable: e%

BZ BA BB % ! A B Z

esto es, la suma de los errores relativos. El error absoluto será: BZ % Z

A

B

BA BB ! B A

I.5.5. General Para una función cualquiera: Z % f (A, B, C...) el error absoluto se puede calcular de la forma: BZ %

JA

2 Lf Lf BA ! BB LA LB

B A

2

B A !

2 Lf !ñ BC LC

B

siendo BA, BB, BC, etc. los errores absolutos de las medidas realizadas.

Introducción al cálculo de errores y tratamientos de datos

5

I.5.6. Resumen Tabla I.1. Tabla resumen de propagación de errores Operación

Error

Z%A!B Z%A.B

BZ % BA ! BB

Z%A B Z % A/B Z % f (A, B, C, ...)

e%

BZ BA BB % ! Z A B

BZ %

JA

2

B A

Lf BA LA

!

2

B A

Lf BB LB

!

Lf BC LC

B

2

!ñ

I.6. Errores aleatorios Si se realiza una serie de medidas de una misma magnitud encontramos valores diferentes (x1, x2, x3, ..., xN), lo que demuestra la existencia de errores aleatorios. Estos valores son impredecibles pero generalmente tienen una distribución conocida, esto es, podemos saber con qué frecuencia obtendremos unos u otros (Figura I.1). La mejor estimación del valor de la magnitud es la media aritmética x6 de los N valores obtenidos: N

; xi

i%1 x6 % N

FIGURA I.1. Distribución normal.

y su error Bx6 viene dado por: Bx6 %

p ∂N

6

Laboratorio de Física

donde p es la desviación típica de las medidas que se obtiene de la forma:

p%

J

N

; (xi . x6 )2

i%1

N.1

Se puede demostrar que las medidas forman una distribución dispersa alrededor del punto medio de forma que: 68% están comprendidos en el intervalo x6 u p 95% están comprendidos en el intervalo x6 u 2p

I.7. Ajuste de una recta por mínimos cuadrados Supongamos que tenemos N pares de medidas xi, yi (i % 1...N), siendo y la variable dependiente y x la variable independiente. Suponemos que el error en las medidas de x es despreciable (Bx % 0) y que todas las medidas de y tienen el mismo error By. Pretendemos obtener la recta y % A ! Bx. Aceptando que los mejores valores de A y B son los que maximizan una cierta función de probabilidad o minimizan una cierta función test que no vamos a entrar a explicar, la solución viene dada por: B%

; xi yi . Nx6 y6 ; x2i . Nx6 2

A % y6 . Bx6 y sus errores vienen dados por: BA %

J

BB %

J

; x2i By N(; x2i ) . (; xi)2 N

N(;

x2i ) . (;

xi)2

By

siendo By el error de las medidas de y que viene dado por: By %

J

; (yi . A . Bxi)2 N.2

I.8. Cifras significativas Al realizar una operación matemática con una serie de datos no todas las cifras que se obtienen son significativas (sobre todo cuando esta operación se realiza con una calculadora). El resultado debe tener como cifras significativas las del dato que menos cifras significativas tenga.

Introducción al cálculo de errores y tratamientos de datos

Tabla I.2. Ejemplos Incorrecto

Correcto

2,45 ! 7,5679 % 10,0179

2,45 ! 7,5679 % 10,02

3,657 0,58 % 2,12106

3,657 0,58 % 2,1

4370/852,6 % 5,125498

4370/852,6 % 5,125

6,3 u 0,0834

6,3 u 0,1

8 u 0,712

8u1

I.9. Coma de decimales La coma de decimales siempre debe estar escrita en la parte inferior. Ejemplo: 3,5 escritura correcta. 3’5 falta de ortografía.

7

a

Unidades y su uso II.1. Introducción II.2. Unidades básicas del SI II.2.1. Metro II.2.2. Kilogramo II.2.3. Segundo II.2.4. Amperio II.2.5. Kelvin II.2.6. Mol II.2.7. Candela II.3. Unidades derivadas del SI II.4. Prefijos del SI II.5. Unidades aceptadas ajenas al SI II.6. Uso del SI II.7. Algunas constantes físicas II.8. Alfabeto

10

Laboratorio de Física

II.1. Introducción El Sistema Internacional de unidades (SI) ha sido establecido por la Conferencia General de Pesas y Medidas en sucesivas reuniones entre los años 1954 y 1995, su objeto es suministrar una serie de unidades básicas y derivadas que sean comunes a la ciencia, la tecnología y el uso común, así como normas para el uso correcto de estas unidades. El valor de una magnitud física cualquiera se expresa como un número seguido de una unidad, de tal forma que ese número es sólo un valor particular de la magnitud. Por ejemplo, si decimos que la velocidad de un vehículo es v % 54 km/h % 15 m/s estamos expresando el mismo valor de la magnitud velocidad usando 2 unidades distintas. El SI de unidades está formado por 7 unidades básicas y una serie de unidades derivadas.

II.2. Unidades básicas del SI Las magnitudes básicas que utiliza el SI son por definición independientes entre sí. En la Tabla II-1 se dan éstas con las unidades y símbolos correspondientes. Tabla II.1. Unidades básicas del SI Magnitudes

Unidades del SI

Nombre

Símbolo

Nombre

Símbolo

longitud

l, x, r, ...

metro

m

masa

m

kilogramo

kg

tiempo

t

segundo

s

corriente eléctrica

I, i

amperio

A

temperatura termodinámica

T

kelvin

K

cantidad de sustancia

n

mol

mol

intensidad luminosa

Iv

candela

cd

Los patrones de estas unidades se han de establecer de manera muy precisa, pues en ellas se van a basar todos los trabajos científicos y tecnológicos.

II.2.1. Metro El metro es la unidad de longitud y se define de la forma siguiente: El metro es la longitud del camino recorrido por la luz en el vacío durante un tiempo de 1/299 792 458 segundo. De esto se deduce que la velocidad de la luz en el vacío es exactamente c % 299 792 458 m/s.

II.2.2. Kilogramo El kilogramo es la unidad de masa y corresponde a un objeto fabricado de platino iridiado que se guarda en la Oficina Internacional de Pesas y Medidas de París.

Unidades y su uso

11

II.2.3. Segundo El segundo es la unidad de tiempo y se define como: El segundo es la duración de 9 192 631 770 periodos de la radiación correspondiente a la transición entre los dos niveles hiperfinos del estado fundamental del átomo de cesio 133, cuando éste está en reposo a una temperatura de 0 K.

II.2.4. Amperio El amperio es la unidad de intensidad de corriente eléctrica y se define de la forma: El amperio es la intensidad de una corriente constante que, mantenida en dos conductores paralelos, de longitud infinita, de sección circular despreciable y colocados a la distancia de un metro uno del otro en el vacío, produce entre los dos conductores una fuerza igual a 2 10.7 newton por metro de longitud. Esta definición implica que la permeabilidad en el vacío es exactamente k0 % 4n10.7 H/m.

II.2.5. Kelvin El kelvin es la unidad de temperatura termodinámica y su definición se ha establecido como: El kelvin es la fracción 1/273,16 de la temperatura termodinámica del punto triple del agua. El agua de esta definición está formada por: 0,000 155 76 moles de 2H por mol de 1H; 0,000 376 9 moles de 17O por mol de 16O y 0,002 005 2 moles de 18O por mol de 16O. Un grado centígrado (oC) es, por definición, igual a un kelvin.

II.2.6. Mol Es la unidad de la cantidad de materia y se define como: El mol es la cantidad de materia de un sistema que contiene tantas entidades elementales como los átomos que hay en 0,012 kilogramos de carbono 12. Se refiere a átomos de carbono 12 no ligados, en reposo y en su estado fundamental. Cuando se emplea el mol, las entidades elementales deben ser especificadas y pueden ser átomos, moléculas, iones, electrones u otras partículas o agrupamientos específicos de partículas.

II.2.7. Candela La unidad de intensidad luminosa es la candela que viene definida por: La candela es la intensidad luminosa, en una dirección dada, de una fuente que emite un radiación monocromática de frecuencia 540 # 1012 hercios y la intensidad de radiación en esta dirección es 1/683 vatios por estereoradian.

12

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II.3. Unidades derivadas del SI Son las que están formadas por productos de las unidades básicas (Tabla II.2). Tabla II.2. Algunas unidades derivadas de SI Magnitud derivada Nombre

Unidad derivada del SI Unidades Símbolo equivalentes

Símbolo Nombre

Unidades básicas

ángulo plano

radian

rad

m/m

ángulo sólido

estereoradian

sr

m2/m2

superficie

A, S

metro cuadrado

m2

volumen

V

metro cúbico

m3

velocidad

v

metro por segundo

m s.1

aceleración

a

metro por segundo cuadrado

m s.2

densidad

o

kilogramo por metro cúbico

kg m.3

volumen específico

v

metro cúbico por kilogramo

m3 kg.1

fuerza

F

newton

N

pascal

Pa

N m.2

m.1 kg s.2

julio

J

Nm

m2 kg s.2

presión energía, trabajo, cantidad de calor

E

m kg s.2

momento de una fuerza

newton metro

Nm

m2 kg s.2

tensión superficial

newton por metro

N/m

kg s.2

potencia

watios

J s.1

m2 kg s.3

velocidad angular

radian por segundo

rad s.1

s.1

W

s-1

frecuencia

l

hercios

número de onda

p

metro menos uno

carga eléctrica

q

culombio

C

diferencia de potencial

V

voltio

V

J C.1

m2 kg s.3 A.1

faradio

F

C V.1

m.2 kg.1 s4 A2

ohmio

L

V A.1

m2 kg s.3 A.2

conductancia eléctrica

siemens

S

L.1

m.2 kg.1 s3 A2

inductancia

henry

H

Ls

m2 kg s.2 A.2

flujo magnético

weber

Wb

Vs

m2 kg s.2 A.1

tesla

T

Wb m.2

kg s.2 A.1

V m.1

m kg s.3 A.1

capacidad eléctrica resistencia eléctrica

inducción magnética

R

B

campo eléctrico

voltio por metro

temperatura centígrada

grados centígrados

Hz

m.1

o

C

As

K

Unidades y su uso

13

II.4. Prefijos del SI Los prefijos indican potencias de 10 y son los que se indican el la Tabla II-3. Tabla II.3. Prefijos del SI Factor

Prefijo

Símbolo

1024

yotta

Y

1021

zetta

Z

1018

exa

E

1015

peta

P

1012

tera

T

109

giga

G

10

mega

M

103

kilo

k

102

hecto

h

101

deca

da

10.1

deci

d

10.2

centi

c

10.3

mili

m

10.6

micro

]

10.9

nano

n

10.12

pico

p

10.15

femto

f

10.18

atto

a

10.21

zepto

z

10.24

yocto

y

6

Normas para el uso de los prefijos: 1. 2.

Está prohibido usar prefijos compuestos. Correcto es GV e incorrecto MkV. No se puede usar un prefijo aislado sin la unidad correspondiente. Correcto kg y no k. Correcto 106/m3 y no M/m3. 3. Los exponentes de las unidades afectan al prefijo, es decir, 1 cm2 % 1 cm 1 cm % % 10.4 m2 y no 10.2 m2, o sea un centímetro cuadrado y no la centésima parte de un metro cuadrado. 4. Los prefijos no se deben de usar como potencias de 2. Por ejemplo, 1 kbit%1000 bit no 1024 bit.

14

Laboratorio de Física

5.

La unidad básica de masa es el kilogramo que tradicionalmente se simboliza como kg, siendo la única que tiene un prefijo, sus múltiplos y divisores deben serlo del gramo, es correcto Mg y mg y no es correcto kkg o ]kg.

II.5. Unidades aceptadas ajenas al SI Existen una serie de unidades que, aunque no pertenecen al SI, se consideran aceptables para ciertos ámbitos y aplicaciones (Tabla II-4). Tabla II.4. Unidades ajenas al SI, pero aceptadas para su uso Magnitud

Nombre

Símbolo

Valor en unidades SI

Tiempo

minuto

min

60 s

hora

h

60 min % 3 600 s

día

d

24 h % 86 400 s

o

(n/180) rad

minuto

ñ

(1/60)o(n/10 800) rad

segundo

ññ

(1/60)ñ % (n/648 000) rad

hectárea

ha

1 hm2 % 104 m2

barn

b

100 fm2 % 10.28 m2

Volumen

litro

L, l

1 dm3 % 103 cm3 % 103 m3

Masa

tonelada

t

103 kg

Presión

bar

bar

100 kPa % 105 Pa

milímetros de mercurio

mmHg

133,322 Pa

Viscosidad

poise

P

0,1 Pa s

Longitud

a˚ ngstrom

˚ A

0,1 nm % 100 pm % 10.10 m

unidad astronómica

ua

1,495 978 706 91 1011 m

Energía

electronvoltio

eV

1,602 176 53 1019 J

Masa

unidad de masa atómica unificada

u

1,660 538 86 1027 kg

Ángulo plano grado

Superficie

II.6. Uso del SI Existe una serie de reglas para el correcto uso de las unidades y los símbolos del SI. 1. 2. 3.

Los símbolos de las unidades deben escribirse rectos, no en cursiva. Los símbolos de las unidades hay que escribirlos respetando siempre las mayúsculas y minúsculas, aunque estén al principio de un párrafo. Por ejemplo, kilómetro será km y no Km. Los símbolos de las unidades se escriben igual en singular que en plural. Por ejemplo, 3 m y no 3 ms, esto sería 3 milisegundo.

Unidades y su uso

4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11.

15

Los símbolos de las unidades son entidades matemáticas, no son abreviaturas, por tanto no deben ir seguidas de un punto, salvo cuando la ortografía lo haga necesario. No es correcto escribir ese coche va a más de 50 km/h. de velocidad. En una expresión con varios símbolos, estos deben ir separados por un espacio o un punto alto ( . ), nunca por un aspa (#) o estrella (*). Por ejemplo, ms es milisegundo, m s o m . s es metro segundo y m/s es metro por segundo. No se debe utilizar más de una barra oblicua (/) en una expresión con varios símbolos. Es correcto m . s.2, m/s2, pero no es correcto m/s/s. No se pueden utilizar abreviaturas para los símbolos. Es un grave error usar seg o sec por s (segundo). Debe haber un espacio entre el valor numérico y el símbolo. Correcto es 4 km y no 4km o 4k m. Es correcto 24,5 oC, y no lo es 24,5oC o 24,5o C. En una expresión se debe utilizar una sola unidad de la misma magnitud. Es correcto 5,234 m y no lo es 5 m 23,4 cm. En los valores afectados de un error la unidad debe ser única. Por ejemplo, es correcto 4 ! 1 m y no 4 m ! 1 m. La separación de decimales debe ser un punto o una coma según sea costumbre, en España se utiliza tradicionalmente una coma. Para un número compuesto de una gran cantidad de cifras, estas se pueden separar en grupos de 3 para facilitar la lectura, nunca utilizar puntos o comas. Es correcto 12345,4567 o 12 345,456 7 y no lo es 12.345,4567.

II.7. Algunas constantes físicas Tabla II.5. Algunas constantes físicas Nombre velocidad de la luz en el vacío

Símbolo Valor c

2,997 924 58 108 m s.1

(valor exacto por definición)

k0

4n 10.7 H m.1

permitividad del vacío

e0

1/(k0 c2) % 8,854 187 817 10.12 F m.1

constante de la gravitación

G

6,672 59 10.11 m3 kg.1 s.2

carga elemental

e

1,602 177 33 10.19 C

(valor exacto por definición)

permeabilidad del vacío

masa del electrón

me

9,109 389 7 10.31 kg % 0,510 999 06 MeV

masa del protón

mp

1,672 623 1 10.27 kg % 938,272 31 MeV

masa del neutrón

mn

1,674 928 6 10.27 kg % 939,565 63 MeV

número de Avogadro

NA

6,022 136 7 1023 mol.1

constante de Boltzmann

k

1,380 658 10.23 J K.1 %8,617 385 10.5 eV K.1

número pi

n

3,141 592

número exponencial

e

2,718 281

16

Laboratorio de Física

II.8. Alfabeto Tabla II.6. Alfabeto A

a

alfa

B

b

beta

A

c

gamma

B

d

delta

E

e⑀

épsilon

Z

f

dseda

H

g

eta

C

h␽

zeta

I

␫

iota

K

␬

kappa

D

j

lambda

M

k

mi

N

l

ni

E

m

xi

O

␱

ómicron

F

n

pi

P

oρ

ro

G

pς

sigma

T

q

tau

Y

υ

ípsilon

J

h␸

fi

X

s

ji

K

t

psi

L

u

omega

Medidas de longitudes, superficies, volúmenes y masas 1.1. Introducción 1.2. Instrumentación 1.2.1. Piezas a medir 1.2.2. Calibre o pie de rey 1.2.3. Micrómetro 1.2.4. Balanza 1.3. Método experimental 1.3.1. Longitud de la lámina 1.3.2. Superficie de la lámina 1.3.3. Volumen de la lámina 1.3.4. Superficie de la arandela 1.3.5. Volumen de la arandela 1.3.6. Volumen del tubo 1.3.7. Medida de masas 1.4. Resutados 1.4.1. Longitudes, superficies y volúmenes 1.4.2. Balanza 1.5. Cuestiones

En este experimento se pretenden realizar medidas directas de longitudes pequeñas con aparatos de precisión y medidas indirectas de superficies y volúmenes, usando posteriormente la balanza para determinar sus masas. Se hará un tratamiento de errores.

18

Laboratorio de Física

1.1. Introducción La medida de una magnitud consiste en su comparación con una patrón de igual característica. Por ejemplo, si queremos medir la altura (magnitud) de una mesa, usamos una cinta métrica (patrón). Se van a realizar solamente las medidas directas de una magnitud, la longitud, y, a partir de ellas se obtendrá la superficie y el volumen de un objeto, para después determinar su masa con una balanza.

1.2. Instrumentación 1.2.1. Piezas a medir Se deben tener piezas de distinta forma, como una lámina metálica delgada, un trozo de tubo grueso —mejor de goma que rígido— y una arandela metálica.

1.2.2. Calibre o pie de rey El pie de rey es un instrumento que sirve para medir pequeñas longitudes, tanto exteriores —usando las cuchillas inferiores— como interiores —con las cuchillas superiores— y profundidad —con el vástago de la derecha— (Figura 1.1). La precisión calibre viene determinada por el nonio —inventado por el matemático portugués Pedro Nunes (1492-1577)—, que es una escala que desliza sobre la principal (Figura 1.2), con una longitud igual a un número de divisiones de la escala principal menos una y dividida en un número exacto de divisiones [Figura 1.2(a)]. Con esto se consigue aumentar la precisión de la escala principal, por ejemplo milímetros, siendo el valor de cada una de las divisiones del nonio (n . 1)/n % 9/10 mm, siendo la precisión resultante de 0,1 mm. Supongamos una medida cualquiera, como la de la Figura 1.2(b), en la que la posición de la escala principal antes del 0 del nonio es: N1 % 9 mm la posición de la escala principal en la que coincide un trazo de esta con una del nonio es: N2 % 13 mm el mismo trazo en el nonio es n1, que en milímetros será: n1 % 4

AB

9 mm 10

FIGURA 1.1. Pie de rey.

Capítulo 1. Medidas de longitudes, superficies, volúmenes y masas

19

FIGURA 1.2. Nonio.

la distancia, Bl, que hay desde los 9 mm de la escala principal y el 0 del nonio se obtiene: N2 . N1 % Bl ! n1 Bl % N2 . N1 . n1 % 13 . 9 . 4

9 1 %4 % 0,4 mm 10 10

por tanto, la posición 0 del nonio corresponde a 9,4 mm, que será la longitud obtenida. La medida se realiza de la siguiente manera: 1) actuando sobre el embrague del deslizador se coloca la pieza a medir entre las cuchillas, sin presionar la pieza para no deformarla; 2) se mide su longitud, leyendo la distancia en mm en la escala principal que coincide con el 0 del nonio, y sus decimales en el nonio, según la división que coincida de este con una división de la escala principal.

1.2.3. Micrómetro El micrómetro es un instrumento que sirve para medir dimensiones muy pequeñas. El de la Figura 1.3 es capaz de apreciar 0,01 mm. Fue inventado por el mecánico francés Jean Laurent Palmer en 1848. Esta precisión se consigue gracias a un tornillo micrométrico de precisión, que tiene un número de divisiones (n), de forma que cada vuelta completa recorre un milímetro de la escala principal. Con esto se consigue dividir la precisión de la escala

FIGURA 1.3. Micrómetro o tornillo micrométrico.

20

Laboratorio de Física

principal (mm) en n partes, una precisión de 1/n mm. La medida se realiza de la siguiente manera: actuando sobre el tambor se abre el émbolo una distancia suficiente para colocar la pieza a medir entre las puntas de medida, seguidamente, actuando sobre el embrague se cierra el embolo hasta que resbale. Es importante hacer este segundo paso enroscando con el embrague, y no con el tambor, para evitar el deterioro del instrumento.

1.2.4. Balanza La balanza es un instrumento muy antiguo, que ya aparece en los bajorrelieves del antiguo Egipto (Figura 1.4), y sirve para medir masas. Básicamente está compuesto por un brazo que pivota sobre un soporte fino (Figura 1.5), en uno de cuyos extremos se coloca la masa problema y en el otro una serie de pesas hasta que se consigue el equilibrio, el valor de estas pesas nos da la masa problema. Basado en este principio han existido y existen gran número de variedades de balanzas, en un primer contacto con este instrumento las más usadas son los granatarios (Figura 1.6) y las balanzas mecánicas de precisión (Figura 1.7).

FIGURA 1.4. Gráfico egipcio de una balanza.

FIGURA 1.5. Balanza elemental.

FIGURA 1.6. Granatario.

Capítulo 1. Medidas de longitudes, superficies, volúmenes y masas

21

FIGURA 1.7. Balanzas mecánicas de precisión: (a) de doble platillo y (b) monoplatillo.

1.3. Método experimental Lo que sigue se centrará en la medida de una lamina delgada rígida (de madera o metálica), una arandela metálica y un trozo (de 5 cm aproximadamente) de tubo de goma de paredes gruesas (0,5 cm aproximadamente).

1.3.1. Longitud de la lámina Usando el pie de rey, medir uno de los lados de la lámina una serie de veces (N) en lugares distintos de la pieza, por ejemplo 10, dependiendo del ancho de la lámina, realizando una tabla con estas N medidas. El valor medio de estas medidas será: N

; li

SlaT %

i%1

N

(1.1)

y su error será:

Bla %

J

N

; (li . SlaT)2

i%1

N(N . 1)

(1.2)

de tal manera que expresaremos el resultado de la medida como: la % SlaT u Bla cm

(1.3)

1.3.2. Superficie de la lámina Utilizando el método anterior medir el otro lado de la lámina, lb, obteniendo la superficie como: (1.4) sl % SlaTSlbT

22

Laboratorio de Física

su error será:

A

Blb Bla ! SlaT SlbT

Bsl % sl

B

(1.5)

y el resultado se expresa como: Sl % sl u Bst cm2

(1.6)

1.3.3. Volumen de la lámina Se mide ahora el espesor de la lámina con el micrómetro, también un número de veces (N), obteniendo su valor medio: N

; li

SlcT %

i%1

(1.7)

N

su error:

Blc % y el resultado:

J

N

; (li . SlcT)2

i%1

(1.8)

N(N . 1)

lc % SlcT u Blc cm

(1.9)

vl % SlaTSlbTSlcT

(1.10)

El volumen será: y su error: Bvl % vl siendo el resultado:

A

Blb Blc Bla ! ! SlaT SlbT SlcT

Vl % vl u Bvl cm3

B

(1.11)

(1.12)

1.3.4. Superficie de la arandela Con las cuchillas inferiores del pie de rey se mide N veces el diámetro exterior de la arandela, procurando medir cada vez en posiciones distintas de la misma, obteniendo: N

; dj

SdeT %

j%1

N

(1.13)

y su error

Bde %

J

N

; (dj . SdeT)2

j%1

N(N . 1)

(1.14)

Capítulo 1. Medidas de longitudes, superficies, volúmenes y masas

23

Con las cuchillas superiores se mide el diámetro interior, también en posiciones distintas obteniendose SdiT y Bdi. La superficie se calcula restando la interior de la exterior: sa % n su error: Bsa % y el resultado:

JA

2

2

A B A B SdeT 2

Lsa Bd LSdeT 3

SdiT 2

.n

2

B A !

(1.15)

B

Lsa Bd LSdiT i

2

Sa % sa u Bsa cm2

(1.16)

(1.17)

1.3.5. Volumen de la arandela El volumen se obtiene multiplicando el espesor por la superficie, para lo cual se mide N veces este último con el micrómetro, dando como resultado SeaT y Bea. De tal forma que el volumen vendrá dado por: va % saSeaT

(1.18)

su error:

A

B

Bea Bsa ! sa SeaT

(1.19)

Va % va u Bva cm3

(1.20)

Bva % va y el resultado:

1.3.6. Volumen del tubo Al medir un objeto flexible hay que tener mucho cuidado con no comprimirlo o doblarlo, pues esto falsearía las medidas. El procedimiento para hallar el volumen del trozo de tubo puede ser análogo al empleado con la arandela, salvo para medir la altura en la que se usa el pie de rey o el micrómetro según sea necesario. No obstante, vamos a realizarlo de otra forma, primero se obtendrá el volumen del cilindro como si fuera macizo y luego el volumen del hueco, restando el segundo del primero se obtendrá el volumen del tubo. Mediremos los diámetros interior y exterior como en la arandela, luego la altura, como se hizo con el espesor en los casos anteriores, pero ahora con el pie de rey. Así tendremos tres medidas: di % SdiT u Bdi cm de % SdeT u Bde cm

(1.21)

h % ShT u Bh cm El volumen interior será: vi % n su error: Bvi %

JA

2

A B SdiT 2

Lvi Bdi LSdiT

(1.22)

ShT

2

B A !

Lvi Bh LShT

2

B

(1.23)

24

Laboratorio de Física

y el resultado: Vi % vi u Bvi cm3

(1.24)

El volumen exterior será: ve % n su error: Bve %

JA

2

A B SdeT 2

Lve Bde LSdeT

(1.25)

ShT

2

B A !

2

B

Lv Bh LShT

(1.26)

y el resultado: Ve % ve u Bve cm3

(1.27)

v t % v e . vi

(1.28)

Bvt % Bve ! Bvi

(1.29)

Vt % vt u Bvt cm3

(1.30)

El volumen del tubo será: su error: y el resultado:

1.3.7. Medida de masas Se pretende determinar la masa del objeto anterior, del que se ha determinado su volumen. De tal manera que si conocemos su densidad podemos obtener su masa con m%Vo. La densidad la podemos encontrar con el auxilio de unas tablas de densidades si se conoce el material del que está fabricado. Para el desarrollo del trabajo que se describe a continuación se usa una balanza de doble platillo, como la que se muestra en la Figuras 1.7(a) y 1.8. Una balanza de este tipo es un instrumento muy delicado que se ha de manejar con sumo

FIGURA 1.8. Esquema de una balanza mecánica de doble platillo.

Capítulo 1. Medidas de longitudes, superficies, volúmenes y masas

25

cuidado. Debido a que consta de un brazo que debe estar perfectamente horizontal —equilibrado—, lo primero es ajustar el cero de la balanza, que viene indicado por la escala de desviación, esto se consigue deslizando con cuidado los tornillos de ajuste del cero con el reiter (que se define más adelante) en el centro del brazo. Una vez conseguido, se puede empezar a trabajar.

1.3.7.1. Determinación de la sensibilidad Una balanza es tanto más sensible cuanto una pequeña masa, colocada en uno de los platillos, desplace más el fiel en la escala de desviación, esta sensibilidad depende de la balanza y de la caja de pesas que se use. Las balanzas más sensibles tienen el brazo graduado de acuerdo con el peso que supone colocar un pequeño objeto, llamado reiter, en esa posición, normalmente cada división corresponde a 1 mg. Esto equivale a colocar una pesa de esa masa en el platillo correspondiente. El reiter nos servirá para determinar la sensibilidad de la balanza. Se coloca el reiter en la posición 1, que equivale a 1 mg, y se dispara la balanza con los platillos vacíos, anotando la desviación (si) del cero de la escala de desviación, la sensibilidad será si. Se repite esta medida, colocando en ambos platillos las mismas masas, para varios valores, por ejemplo, 10, 20, 50, 100 y 200 g. Obteniendo así una tabla de sensibilidades y masas, que representada gráficamente, nos dará la curva de sensibilidad.

1.3.7.2. Método directo de pesada Se coloca el objeto problema en uno de los dos platillos (normalmente el de la izquierda) y se equilibra su peso con las pesas y el reiter en el otro platillo, obteniendo así su masa: mO % mpesas!reiter u BmO % mpesas!reiter u 0,001 g

(1.31)

siendo el error la precisión que se consigue con el reiter. Este método es muy impreciso, debido a que no tiene en cuenta los posibles defectos de fabricación.

1.3.7.3. Método de la doble pesada Se realiza una pesada (m1) como la del apartado anterior (1.3.7.2) y otra de la misma forma, pero intercambiando los platillos (m2). La masa será: mO % ∂m1 m2 u BmO g

(1.32)

siendo el error: BmO % 0,001

J

m1 m2 ! m2 m1

(1.33)

Este método fue ideado por el físico alemán Carl Gauss (1777-1855) y corrige los posibles errores de fabricación en la simetría de la balanza.

1.3.7.4. Método de la tara Es el que corrige mejor los posibles defectos del instrumento. Se utiliza un objeto que tiene una masa desconocida, pero ligeramente superior al objeto problema, que se denomina tara (mT) y se coloca en uno de los platillos, mientras que en el otro se coloca el objeto proble-

26

Laboratorio de Física

ma con las pesas suficientes para equilibrar la balanza —siempre con la ayuda del reiter—. De tal forma que tendremos: mT % mO ! mpesas!reiter

(1.34)

a continuación se retira el objeto problema y se vuelve a equilibrar la balanza añadiendo pesas. Teniendo ahora: mT % mñpesas!reiter (1.35) Por tanto la masa problema será: mO % (mñpesas!reiter . mpesas!reiter) u BmO g

(1.36)

siendo ahora el error de 0,002 mg.

1.4. Resultados Los datos y resultados se pueden resumir de la forma siguiente:

1.4.1. Longitudes, superficies y volúmenes Se deben de presentar las tablas de las N medidas realizadas para todos los casos y los resultados obtenidos para longitudes, superficies y volúmenes.

1.4.2. Balanza Se construye la tabla con los datos obtenidos y se dibuja la curva de sensibilidad. Se obtiene la masa por los tres métodos descritos [Ecuaciones (1.31) a (1.36)] y se discuten las diferencias, comparándolas, a su vez, con el dato obtenido a partir de la densidad del material, si es posible.

1.5. Cuestiones 1.

Deducir cuánto aumenta el error si solamente se usa el pie de rey en los Apartados 1.3.4 y 1.3.5.

2.

Hallar la densidad del material usado en los Apartados 1.3.6 y 1.3.7.

Velocidad y aceleración 2.1. Introducción 2.1.1. Leyes de Newton 2.1.2. Ecuación del movimiento 2.1.3. Movimiento de una partícula bajo una fuerza constante 2.2. Instrumentación 2.2.1. Mínima 2.2.2. Medida automática 2.2.3. Medida fotográfica 2.3. Método experimental 2.3.1. Deslizamiento sin rozamiento 2.3.2. Deslizamiento con rozamiento 2.4. Resultados 2.4.1. Deslizamiento sin rozamiento 2.4.2. Deslizamiento con rozamiento 2.5. Cuestiones

En este experimento se pretende obtener la velocidad y la aceleración de un cuerpo que se mueve en un campo de fuerzas constante, como el campo gravitatorio terrestre. Para lo cual se medirán espacios y tiempos a intervalos regulares.

28

Laboratorio de Física

2.1. Introducción La mecánica pretende la descripción del movimiento de un cuerpo a través del tiempo y del espacio, estableciendo un método a partir de leyes y teoremas. La mecánica clásica está basada en los trabajos que establecieron, principalmente, Galileo Galilei (1564-1642) e Isaac Newton (1643-1727) durante los siglos XVI y XVII y es la que se va a utilizar en este capítulo. Su campo de aplicación está limitado a cuerpos que se mueven a velocidades inferiores a la décima parte de la velocidad de la luz y en un espacio comprendido entre 10.10 —tamaño del átomo— y 1020 metros —tamaño de una galaxia—. A velocidades superiores la mecánica pasa a ser relativista, a distancias inferiores se convierte en mecánica cuántica y a mayores tamaños entra en juego la física del cosmos, donde se tiene que usar la teoría general de la relatividad. Esto quiere decir que los principios de los que vamos a partir en mecánica clásica, tienen que ser cambiados para explicar los movimientos que tienen lugar fuera de esos ámbitos. La mecánica se basa en la medida del espacio y del tiempo, por tanto se tiene que comenzar definiendo en qué espacio nos movemos y con qué tiempo medimos. Partimos de un espacio y un tiempo continuos, concepto aplicable en todas las ciencias, esto quiere decir que los hechos suceden en un lugar y en un instante determinados, existiendo magnitudes universales que los miden, por lo que dos observadores pueden hacer medidas comparables para determinar ese lugar y ese instante. En mecánica clásica se restringe el espacio a uno euclídeo y homogéneo de tres dimensiones, esto significa que la relación causa efecto es independiente de la dirección en que suceda (esto no es cierto en física del cosmos). En mecánica clásica el tiempo es universal, por tanto, dos observadores que han sincronizado sus relojes coincidirán siempre sobre el instante en que un acontecimiento ocurre (lo que no es cierto en mecánica relativista). En mecánica clásica la medida —tanto del tiempo como el espacio— sólo está limitada por la precisión de los aparatos, pues, como decía Newton «los errores no pertenecen a las artes, sino a los artífices», por tanto, la medida puede ser tan exacta como estos lo permitan (lo que no sucede en mecánica cuántica). Si un observador quiere determinar la posición de un punto en el espacio en un instante, basta con medir la distancia desde el observador al punto y su orientación en el espacio, o, lo que es lo mismo, establecer el vector de posición (r) del punto (Figura 2.1) y anotar el tiempo con la ayuda de un reloj. Normalmente se utiliza un sistema de ejes coordenados ortogonales, cuyo centro coincide con el observador. El conjunto formado por los ejes y el reloj se denomina sistema de referencia. Así, el vector de posición será: 3

r % x i ! y j ! z k % ; xi e i

(2.1)

i%1

donde x1 % x, x2 % y, x3 % z, e i , j y k (e 1 % i , e 2 % j y e 3 % k ) son los vectores unitarios en las direcciones ortogonales del espacio. La velocidad (v ) se define como la variación del vector de posición con el tiempo: v%

dr dx dy dz % v x i ! vy j ! v z k % i! j! k dt dt dt dt

(2.2)

otras formas de expresar la velocidad serían: v % r5 % x5 i ! y5 j ! z5 k 3

3

3 dxi e i % ; x5 i e i v % ; vi e i % ; i%1 i%1 dt i%1

(2.3)

Capítulo 2. Velocidad y aceleración

29

FIGURA 2.1. Vector de posición de una partícula en n sistema de ejes coordenados cartesianos.

donde los puntos sobre las variables expresan sus derivadas respecto del tiempo y, en la segunda forma, v1 % vx, v2 % vy, v3 % vz. La aceleración es la derivada de la velocidad respecto del tiempo, de la forma: dv d2 r dvx dvy dvz d2 x d2y d2z % 2 %ax i !ay j !az k % i! j! k% 2 i! 2 j! 2 k dt dt dt dt dt dt dt dt

a%

(2.4)

que de las otras formas queda: a % v5 % r5 5 % v5 x i ! v5 y j ! v5 z k % x5 5 i ! y5 5 j ! z5 5 k 3 3 3 dvi d2xi 5 a % ; ai e i % ; ei % ; e % ; v e % ; x5 5i e i i i i 2 i%1 i%1 dt i%1 dt i%1 i%1 3

3

(2.5)

donde los dos puntos significan la derivada segunda del respecto del tiempo y el resto tiene un significado análogo al de las expresiones de la velocidad (2.3). Tanto la posición, como la velocidad y la aceleración, tienen solamente un significado relativo pues están referidas a un sistema de referencia. Por tanto, si tenemos dos cuerpos que se mueven con velocidad relativa uniforme (v % constante, mismo módulo, dirección y sentido, por tanto, aceleración nula) es imposible saber cuál se mueve y cuál está en reposo, este aserto constituye el principio de relatividad en mecánica clásica, que no hay que confundir con la relatividad de Einstein. Se puede deducir de este principio, que dos observadores, que estudian un movimiento, llegarán a los mismos resultados si sus sistemas de referencia se mueven con movimiento relativo uniforme. Por tanto, las leyes de la física expresadas en cualquiera de estos sistemas de referencia con velocidad uniforme serán las mismas, esta hipótesis se denomina invarianza galileana y a estos sistemas de referencia se les llama inerciales. El problema surge al intentar establecer un sistema de referencia patrón que esté fijo (v % 0), en general esto es imposible, pero sí los es para cada problema concreto, lo que se verá a lo largo de este libro.

2.1.1. Leyes de Newton Los principios en los que se basa la mecánica clásica fueron enunciados por Isaac Newton de la forma siguiente: 1.a

Todo cuerpo persevera en su estado de reposo o movimiento uniforme y rectilíneo a menos que sea obligado a cambiarlo por fuerzas que actúen sobre él.

30

Laboratorio de Física

2.a 3.a

El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza y ocurre según la línea recta a lo largo de la cual aquella fuerza se imprime. Con toda acción concurre siempre una reacción igual y contraria: o sea las acciones mutuas de dos cuerpos siempre son iguales y dirigidas en sentidos opuestos.

Aparecen en su libro Philosophiae naturalis principia mathematica (Principios matemáticos de la filosofía natural) publicado en 1687 y se conocen como las leyes de Newton. Estos principios sólo tienen una demostración experimental. Son aplicables a cuerpos puntuales, es decir a partículas (puntos sin dimensiones pero con masa), o a todos aquellos cuerpos que, dado el problema a estudiar, pueden ser considerados como partículas. La 1.a ley es conocida como ley de inercia y establece el concepto de fuerza cero. Un cuerpo sobre el que no actúa ninguna fuerza se denomina cuerpo o partícula libre. La 2.a ley da una definición de fuerza que, matemáticamente, se puede expresar como: F % ma % m

dv d2 r % m 2 % mv5 % mr5 5 dt dt

(2.6)

Newton introdujo un nuevo concepto, que llamó cantidad de movimiento y que hoy se denomina momento lineal, como: dr % mr5 (2.7) p z mv % m dt con el cual la fuerza se puede expresar de la forma: F%

dp % p5 dt

(2.8)

siendo, el factor de proporcionalidad entre la fuerza y el cambio de movimiento, la masa de la partícula (m), que es constante en mecánica clásica. Sabemos cómo medir la velocidad y la aceleración pero para llegar a un conocimiento de la 2.a ley de Newton se necesita obtener una definición precisa de la masa. Para esto hay que apelar a la 3.a ley, que podemos escribir de la forma: F1 %.F2 (2.9) m1 a 1 %.m2 a 2 para dos partículas aisladas de masas m1 y m2 y aceleraciones a 1 y a 2 producidas por la interacción mutua de sus fuerzas: F1 de la partícula m1 sobre m2 y F2 de la partícula m2 sobre m1. Esta expresión se puede escribir: a1 m1 %. m2 a2

(2.10)

donde el signo menos da cuenta de los sentidos inversos de las aceleraciones. De tal forma que, si una de las masas es una masa patrón, podemos conocer la otra haciéndolas interaccionar, pues en el instante del choque, las posibles fuerzas que pueden existir serán despreciables frente a las fuerzas de interacción. Esta es la forma habitual en que se trabaja en los aceleradores de partículas. Otra forma de medir masas es la que se describe en el Capítulo 1, usando una balanza, esta sería la masa gravitatoria, mientras que la obtenida anteriormente es la masa inercial. La masa gravitatoria es el resultado de someter a una masa a un campo de fuerzas gravitatorio y la masa inercial es la que se determina midiendo la aceleración de un cuerpo bajo la acción de una fuerza dada. Las dos masas son iguales dentro de una parte por 100 mil millones.

Capítulo 2. Velocidad y aceleración

31

2.1.2. Ecuación del movimiento La 2.a ley de Newton (2.6) escrita de la forma: F % Fx i ! Fy j ! Fz k % m

d2 r d2y d2z d2x % m i ! j ! k dt 2 dt 2 dt 2 dt 2

A

B

(2.11)

se puede descomponer en tres ecuaciones escalares de la forma: Fx % m

d2x dt 2

d2y Fy % m 2 dt Fz % m

(2.12)

d2z dt 2

que son tres ecuaciones diferenciales de segundo orden, que se pueden resolver para encontrar la expresión del vector de posición en función del tiempo: r(t) % x(t) i ! y(t) j ! z(t) k

(2.13)

esta solución da lugar a dos constantes de integración, pues la Ecuación (2.11) es de segundo orden. Estas constantes se obtienen con las condiciones iniciales, que corresponden a los valores de la posición (r(0)) y la velocidad (v(0)), cuando se pone en marcha el cronómetro (t % 0) para comenzar a resolver el problema. Las Ecuaciones (2.11) o (2.12) se denominan ecuaciones del movimiento de una partícula.

2.1.3. Movimiento de una partícula bajo una fuerza constante Si la fuerza es constante producirá una aceleración también constante sobre la masa de la partícula. Si medimos la velocidad (v 0) en el instante inicial (t % 0) y en otro instante cualquiera (t % t y v ), la aceleración constante (a) será: v . v0 t

(2.14)

dr % v 0 ! at dt

(2.15)

a% de tal forma que nos queda la ecuación: v%

Donde podemos integrar para obtener la expresión del desplazamiento en función del tiempo: dr % v 0 dt ! at dt r t t (2.16) dr % v 0 dt ! a t dt

I

r0

I

0

r % r 0 ! v 0t !

I

0

1 2 at 2

(2.17)

32

Laboratorio de Física

2.2. Instrumentación 2.2.1. Mínima Un plano inclinado para la realización de este experimento se puede conseguir con un perfil en forma de ángulo, que se puede inclinar con la ayuda de un soporte de laboratorio. Se debe pegar al perfil una cinta métrica para medir desplazamientos. Sobre el perfil puede deslizar una bola o un objeto cualquiera, con la sola condición de que el rozamiento sea bajo. No obstante, es mejor usar un carril de bajo rozamiento con una regla graduada incorporada para medir desplazamientos, sobre el que se puede deslizar un carrito que sirve de masa. El carril debería incorporar un sistema de inclinación graduable, aunque esta se puede conseguir con unos bloques de cualquier material. Un cronómetro, una cinta métrica o una regla graduada larga.

2.2.2. Medida automática La sustitución del método manual de medida mediante el cronómetro por un sistema automático en línea con un ordenador, produce una notable mejora en las medidas, no obstante, suele ser de coste elevado. Existen casas comerciales que suministran sistemas automáticos de medida que se pueden acoplar a carriles.

2.2.3. Medida fotográfica Se puede utilizar una cámara fotográfica digital, situada fija en un trípode, que sea capaz de tomar imágenes automáticamente a intervalos regulares de tiempo (modo ráfaga).

2.3. Método experimental 2.3.1. Deslizamiento sin rozamiento Se monta el dispositivo de la Figura 2.2 con un ángulo (h) pequeño, de 10o aproximadamente. En esta Figura 2.2 la masa se mueve bajo la acción de su peso (mg), concretamente de la componente paralela al carril (mg sen h) de la fuerza de la gravedad, pues la componente normal al carril (mg cos h) queda anulada por la reacción de éste (N). Partiendo del reposo, se deja deslizar la masa (m) desde el extremo más alejado del suelo, se mide el tiempo (tl) que tarda en llegar al otro extremo y se calcula la velocidad media (vl%l/tl). La Ecuación (2.17) se puede escribir en este caso de la forma: 1 l % al t 2l 2 2l al % 2 tl

(2.18)

Repetir el procedimiento para diversas distancias recorridas por la masa, por ejemplo, las que se muestran en la Figura 2.3: los 3/4, la mitad y 1/4, de la longitud (l) del carril (Tabla 2.1).

Capítulo 2. Velocidad y aceleración

33

FIGURA 2.2. Fuerzas que actúan sobre una masa en un plano inclinado sin rozamiento.

FIGURA 2.3. Ejemplo de las distancias en que se pueden realizar las medidas del movimiento de una masa en un plano inclinado. El seno ángulo de inclinación se puede obtener dividiendo la altura h por la longitud total del carril l.

Tabla 2.1. Conjunto de medidas y resultados que hay que obtener en cada procedimiento Distancia recorrida

Tiempo transcurrido

Velocidad

Aceleración

l

tl

vl % l/tl

al % 2l/t2l

3l/4

t3l/4

v3l/4 % 3l/4t3l/4

a3l/4 % 3l/2t23l/4

l/2

tl/2

vl/2 % l/2tl/2

al/2 % l/t2l/2

l/4

tl/4

vl/4 % l/4tl/4

al/4 % l/2t2l/4

Se repite el experimento N veces (al menos 5) y se construye una tabla con los datos y los resultados obtenidos. De tal manera, que los valores de cualquiera de las cuatro velocidades serán: N

; vi

v % SvT u Bv %

i%1

N

u Bv

(2.19)

34

Laboratorio de Física

siendo el error

Bv %

J

N

; (vi . SvT)2

i%1

(2.20)

N(N . 1)

Cambiando los datos de la velocidad por los de la aceleración en las Expresiones (2.19) y (2.20) se hallan las cuatro aceleraciones. Con estos resultados se debe obtener una gráfica como la de la Figura 2.4, es decir, las cuatro aceleraciones de la Tabla 2.1 deben ser, aproximadamente, iguales. Con los cuatro valores de la velocidad representar una gráfica de velocidades frente a tiempos (Figura 2.5) y hallar su pendiente con la expresión del ajuste por mínimos cuadrados (Capítulo I): 4

4

4

; v j t j . ; vj ; t j

a%

j%1

j%1

4

4 ; j%1

t 2j .

j%1

(2.21)

2

A B 4

; tj

j%1

pues la pendiente será la aceleración (a), dada por la Ecuación 2.14, teniendo en cuenta que la velocidad inicial del experimento es cero. Su error, según el ajuste por mínimos cuadrados, será: Ba %

J

4 4

4 ; j%1

t 2j .

2

A B 4

Bv

(2.22)

; tj

j%1

FIGURA 2.4. Aceleración en función del tiempo de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza constante.

Escribiendo la segunda ley de Newton (2.6) se obtiene: mg sen h % mañ añ % g sen h

(2.23)

donde g es la aceleración de la gravedad en el lugar donde se realiza el experimento. El seno del ángulo de inclinación se obtiene midiendo h (Figura 2.3), como sen h % h/l. La aceleración añ será el valor teórico, que se debe comparar con los resultados obtenidos experimentalmente y discutir las diferencias.

Capítulo 2. Velocidad y aceleración

35

FIGURA 2.5. Velocidad en función del tiempo de una partícula que se mueve bajo la acción de una fuerza constante.

El experimento se puede repetir para varias masas, lastrando el carrito, y se comprobará que la aceleración no depende de la masa (2.21). También se puede repetir para varias inclinaciones y se constatará que ahora la aceleración si varía (2.23).

2.3.2. Deslizamiento con rozamiento Consideramos una fuerza de rozamiento (FR % bmg cos h) proporcional a la fuerza normal (N) que es la reacción al peso por parte del carril (Figura 2.6). La ecuación del movimiento de la masa será: mg sen h . FR % ma mg sen h . bmg cos h % ma

(2.24)

FIGURA 2.6. Fuerzas que actúan sobre una masa en un plano inclinado con rozamiento.

donde b es el coeficiente de rozamiento, que despejado de la ecuación anterior, nos queda: b % tan h .

a g cos h

(2.25)

Utilizar para la aceleración (a) el valor obtenido con la pendiente, en el apartado anterior y hallar el coeficiente de rozamiento (b) con la Ecuación (2.25). Si se han realizado medidas a distintas inclinaciones, comprobar la dependencia del coeficiente de rozamiento con el ángulo.

36

Laboratorio de Física

2.4. Resultados Los datos y resultados se pueden resumir de la forma siguiente:

2.4.1. Deslizamiento sin rozamiento Se construirá una tabla con los N datos y resultados de las medidas realizadas (l, t, v, a) para los, al menos cuatro, puntos en que se ha medido (l, 3l/4, l/2, l/4). Se representarán las dos gráficas de aceleración y velocidad frente al tiempo (Figura 2.4 y 2.5), calculando la aceleración y su error (2.21 y 2.22). Si se ha medido a distintas inclinaciones y con distintas masas, se construirán las tablas correspondientes y se representará gráficamente la dependencia de la aceleración con el ángulo y la masa.

2.4.2. Deslizamiento con rozamiento Se obtendrá el coeficiente de rozamiento (b). Se estudiarán las posibles fuentes de error.

2.5. Cuestiones 1.

Encontrar y discutir las causas de las discrepancias entre el valor teórico (añ) y el experimental (a) de la aceleración.

2.

Obtener la aceleración de la gravedad utilizando la Expresión (2.23) escrita de la forma: g%

a sen h

y compararla con el valor de la aceleración de la gravedad en el lugar, discutiendo las posibles diferencias.

Péndulo

3.1. Introducción 3.1.1. Velocidad y aceleración en coordenadas polares 3.1.2. Energía de una partícula 3.1.3. Equilibrio de una partícula 3.1.4. Péndulo plano 3.1.5. Péndulo simple 3.1.6. Péndulo compuesto 3.2. Instrumentación 3.2.1. Estándar 3.2.2. Mejorado 3.2.3. Medida automática 3.2.4. Medida fotográfica 3.3. Método experimental 3.3.1. Obtención del periodo del péndulo simple 3.3.2. Obtención de la aceleración de la gravedad 3.3.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto 3.4. Resultados 3.4.1. Obtención del periodo del péndulo 3.4.2. Obtención de la aceleración de la gravedad 3.4.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto 3.5. Cuestiones

Las primeras noticias que se tienen del uso del péndulo datan del siglo X, cuando el árabe egipcio Ibn Yunus lo utilizó como reloj en sus observaciones astronómicas. Hacia 1602 Galileo Galilei estudió el péndulo simple y estableció que su periodo es independiente de la masa y de la amplitud de oscilación. Christian Huygens construyó en 1656 un reloj de péndulo, que perfeccionó en los años sucesivos hasta que obtuvo una precisión de un segundo. Utilizando un péndulo, en 1671 se comprobó que la aceleración de la gravedad varía con la latitud. En este experimento se estudiará el movimiento del péndulo y se deducirá la aceleración de la gravedad en el lugar donde el experimentador se encuentra.

38

Laboratorio de Física

3.1. Introducción 3.1.1. Velocidad y aceleración en coordenadas polares Cuando una partícula se mueve en un plano (Figura 3.1) su posición está determinada por el vector de posición (r): r % xi ! y j

(3.1)

FIGURA 3.1. Trayectoria de una partícula. Se indican: el vector de posición (r) y la velocidad (v) en un punto; las coordenadas cartesianas (x, y) y esféricas (r, h); y los vectores unitarios { i , j } y {e r, e h}.

su velocidad por: dx dy i! j dt dt

(3.2)

d2x d2 y i ! j dt 2 dt 2

(3.3)

v% y su aceleración por: a%

donde x e y son las coordenadas cartesianas del punto de la trayectoria e i y j son los vectores unitarios en el eje X e Y respectivamente. También se puede definir otro sistema de coordenadas, llamadas esféricas, en las que el vector de posición sería simplemente: r % re r

(3.4)

siendo e r un vector unitario en la dirección del vector de posición y existiendo otro vector unitario perpendicular a este (e h), de tal forma que las coordenadas de un punto cualquiera del plano serían la distancia r y el ángulo h. A diferencia del sistema cartesiano, en coordenadas polares los vectores unitarios no permanecen fijos durante el movimiento (Figura 3.2), de tal manera que la velocidad se expresa de la forma: v%

d(re r) dr de r % er ! dt dt dt

(3.5)

En la Figura 3.2 se representa un pequeño desplazamiento (ds) de una partícula a lo largo de una trayectoria, que corresponde a una pequeña variación de la coordenada r (dr) y de la coordenada h (dh), lo que implica una variación en la dirección de los vectores uni-

Capítulo 3. Péndulo

39

tarios (de h y de r). Teniendo en cuenta que para ángulos pequeños el arco es igual al ángulo por el radio y observando la Figura 3.2 podemos deducir que: de r % e h dh

(3.6)

de h % .e r dh

FIGURA 3.2. Desplazamiento entre y de una partícula y los distintos parámetros en coordenadas esféricas.

dividiendo ambos términos por dt no queda: dh de r % eh dt dt

(3.7)

de h dh %.e r dt dt

que son las derivadas respecto del tiempo de los vectores unitarios, que sustituimos en la expresión de la velocidad (3.5) de la forma: v%

dr dh er ! r e dt dt h

(3.8)

La aceleración será: dv d dr dh d2 r dr de r dr dh d2 h dh de h % e r!r e h % 2 e r! ! e h!r 2 e h!r dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt

a%

A

B

(3.9)

sustituyendo (3.7) en (3.9) nos queda: a%

C

d2r dh 2.r dt dt

2

A BD A

er ! r

d2h dr dh e 2 !2 dt dt h dt

B

(3.10)

Obsérvese que cada una de las componentes de la velocidad y la aceleración tiene las dimensiones correctas.

3.1.2. Energía de una partícula El trabajo que realiza una fuerza (F) para desplazar una partícula una distancia dr se define por un escalar, que es la integral entre el estado inicial y el final del producto escalar de la fuerza por el desplazamiento, de la forma: Wz

I

2

F dr 1

(3.11)

40

Laboratorio de Física

el producto escalar se puede obtener de la forma: F dr % ma dr % m

dv dr dt

(3.12)

multiplicando y dividiendo por dt nos queda: F dr % m

dv dr dv 1 dv2 1 dt % m v dt % m dt % d mv2 2 2 dt dt dt dt

A B

(3.13)

Se define la energía cinética como la que tiene una partícula que se mueve con una cierta velocidad, de la forma: 1 T % mv2 2

(3.14)

2 1 1 W % mv2 % m(v22 . v21) % T2 . T1 2 2 1

(3.15)

por tanto la Expresión (3.10) queda:

G

Si T1 b T2 el trabajo es negativo, es decir la partícula ha realizado un trabajo como consecuencia de la disminución de su energía cinética, que ha cedido al medio en el que se mueve. Si T1 a T2 el trabajo es positivo, es decir la fuerza ha realizado un trabajo para aumentar la energía cinética de la partícula, que ha obtenido del medio en el que se mueve. Si la partícula no varía su velocidad, es decir sale del punto 1 con una velocidad y alcanza el punto 2 a la misma velocidad, solamente ha cambiado de posición, pero el trabajo no tiene por que ser nulo pues se ha utilizado para variar su energía potencial. Esta es la propiedad que tienen algunos campos de fuerza para variar su energía en función de la posición. Como el campo gravitatorio terrestre, que es función de la altura, en este caso sería el trabajo necesario para subir un objeto de un punto a otro, estando este último más alto que el primero. El trabajo ahora se utiliza para variar la energía potencial desde V1 a V2, de la forma:

I

2

1

F dr % V1 . V2

(3.16)

esta ecuación se puede escribir de la forma: F % .MV %.

A

LV LV LV i! j! k dy dz dx

B

(3.17)

lo que implica que la fuerza deriva de un potencial. Sumando una constante al potencial (F %.M (V ! constante)) se obtiene la misma fuerza, por lo que sólo tiene sentido hablar de diferencias de potenciales, con otras palabras, la posición del origen de potenciales es arbitrario. La energía (E) de una partícula que se mueve por el espacio variando posición y velocidad será la suma de las dos energías, cinética y potencial: E%T!V%

1 mv2 ! V(x, y, z) 2

(3.18)

Capítulo 3. Péndulo

41

si la energía potencial sólo depende de la posición, como se indica en (3.17), no depende explícitamente ni del tiempo ni de derivadas superiores del vector de posición (velocidad, aceleración), la energía se conserva, es decir, el campo de fuerzas en el que se mueve la partícula es un campo conservativo. Dado que la energía cinética es siempre positiva, la partícula está restringida a moverse en una trayectoria en la que la energía sea siempre menor o igual que la energía potencial (E m V). Para aclarar este concepto veamos un ejemplo, supongamos que una partícula está restringida a moverse en el eje X —su trayectoria es una recta que coincide con el eje X— bajo la acción de una fuerza que deriva de un potencia (V(x)) que sólo es función de la coordenada x, de tal manera que su energía es: 2

AB

dx 1 E% m dt 2

! V(x)

(3.19)

Si se conoce la curva de energía potencial (V(x)), como se representa en la Figura 3.3, y podemos calcular su energía total (E), midiendo en un punto su posición y velocidad, que se representa por la línea E en la Figura 3.3, se puede deducir que la partícula está restringida a moverse entre x1 y x2 o entre x3 e infinito, dependiendo de la posición inicial. Además los puntos x1, x2 y x3 son puntos de retorno en los que la energía total es igual a la potencia (E % V) y por tanto la velocidad es cero, en ellos la partícula cambia de sentido. Se puede deducir: si la posición inicial de la partícula está entre x1 y x2, realizará un movimiento de oscilación entre ambos; si la posición inicial está entre x3 e infinito y se acerca a x%0, decelerará hasta rebotar en x3, volviendo después hacia el infinito.

FIGURA 3.3. Energía potencial V en función del desplazamiento para un movimiento monodimensional. Se indican los puntos entre los que se mueve la partícula en función del valor de la energía total E.

3.1.3. Equilibrio de una partícula Una partícula se encuentra en equilibrio cuando la suma vectorial de las fuerzas que actúan sobre ella es nula (F % 0). En el ejemplo anterior de la Figura 3.3 la fuerza deriva de un potencial conservativo, es decir F %.dV/dx, por tanto los valores que hacen cero esa derivada serán los máximos y mínimos de la función V(x). Los puntos máximos serán posiciones de equilibrio inestable, pues la partícula tiende a alejarse de ellos cuando los abandona, mientras que los mínimos serán de equilibrio estable pues la tendencia es inversa. En la Figura 3.3, la partícula que se mueve entre los puntos x1 y x2 pasa por una posición de equilibrio estable en cada semioscilación. En la Figura 3.4 se representan los valores de equilibrio para esa curva de energía potencial. La condición de equilibrio no implica que la partícula esté quieta, pues F % ma y, al hacerse nula la fuerza, se hace nula la aceleración, por tanto, la velocidad debe ser constante, pero no necesariamente cero.

42

Laboratorio de Física

FIGURA 3.4. Energía potencial V en función del desplazamiento para un movimiento monodimensional. Se indican los puntos de equilibrio estable e inestable.

3.1.4. Péndulo plano Un péndulo plano está compuesto por una partícula de masa m unida al extremo de una varilla rígida, inextensible, de masa despreciable y de longitud ᐉ, que puede girar alrededor de un punto O en el que está sujeta por el extremo opuesto a la masa (Figura 3.5). De tal forma que la masa está obligada a moverse en un arco de circunferencia de centro en O y radio ᐉ. Existe un campo gravitatorio uniforme de aceleración g que actúa en el plano del movimiento y en la dirección perpendicular al eje X, este campo produce la única fuerza que mueve la masa, es decir no existe rozamiento, por lo que el movimiento será ideal. La masa tiene dos posiciones de equilibrio: una estable en (0, 0) y otra inestable en (0, 2ᐉ). Si la partícula se lleva a una posición cualquiera dada por la coordenadas (x, y) y luego se suelta, el péndulo oscilará entre dos posiciones extremas. Al no haber rozamientos, el péndulo alcanza una misma posición máxima en cada oscilación, por tanto la energía se conserva. En cada instante, esa energía será la suma de la energía cinética y la energía potencial y se puede escribir de la forma siguiente: E%T!V%

1 mv2 ! mgy 2

(3.20)

FIGURA 3.5. Representación esquemática del movimiento de un péndulo plano.

siendo v la velocidad en ese punto. De tal forma, que el péndulo se mueve intercambiando energía entre cinética y potencial, como se muestra en la Figura 3.6 para una energía total igual a E3.

Capítulo 3. Péndulo

43

FIGURA 3.6. Energía potencial en función del ángulo de desplazamiento de un péndulo plano y un péndulo simple. Se indican varios niveles de energía.

Usando la Expresión (3.8) para la velocidad en coordenadas esféricas, en el caso del péndulo, el hilo inextensible hace que la coordenada r permanezca constante a lo largo del movimiento, por tanto, sólo existe componente tangencial de la velocidad y la velocidad del péndulo será: v%ᐉ

dh dt

(3.21)

La altura y se puede expresar de la forma: y % ᐉ . ᐉ cos h % ᐉ (1 . cos h)

(3.22)

Sustituyendo en la Expresión (3.20), la energía total en cada instante queda:

AB

1 dh E % T ! V % mᐉ2 dt 2

2

! mgᐉ(1 . cos h)

(3.23)

debido a la conservación de la energía total, su derivada respecto del tiempo debe ser igual a cero, por tanto: d2h dE % mᐉ2 2 ! mgᐉ sen h % 0 dt dt

(3.24)

d2 h g ! sen h % 0 dt 2 ᐉ

(3.25)

simplificando:

que es la ecuación del movimiento del péndulo plano, siendo claramente no lineal. Su velocidad lineal será: v%

J

2[E . mgᐉ(1 . cos h)] m

(3.26)

44

Laboratorio de Física

y su velocidad angular: u%

J

dh % dt

2[E . mgᐉ(1 . cos h)] mᐉ2

(3.27)

teniendo ambas sus valores máximos en el punto de equilibrio estable. En la Figura 3.6 se representa la energía potencial (V % mgᐉ(1 . cos h)) en función del ángulo de desplazamiento (h), donde se tiene 4 casos diferentes: 1.

Energía E1 mayor que la energía potencia máxima (VM % 2mgᐉ) que corresponde a los valores extremos de h (.n y n). En este caso no existe oscilación, la partícula gira alrededor del pivote O con una velocidad lineal máxima:

vM %

J

2E1 m

(3.28)

J

(3.29)

2E1 mᐉ2

(3.30)

J

(3.31)

y mínima: vm %

J

2(E1 . Vm) % m

2(E1 . 2mgᐉ) m

y una velocidad angular máxima:

uM %

J

y mínima:

um % 2.

3.

J

2(E1 . Vm) % mᐉ2

2(E1 . 2mgᐉ) mᐉ2

Energía E2 igual a la energía potencia máxima (VM). En este caso la partícula puede oscilar o girar pasando por velocidades nulas en la posición de equilibrio inestable. Sus velocidades, lineal y angular, máximas serán:

vM %

J

uM %

J

2E2 m 2E2 mᐉ2

(3.32)

(3.33)

Energía E3 menor que la energía potencia máxima (VM). En este caso, la partícula oscila entre los dos puntos, que corresponden a los cortes de la curva de energía potencial con la línea de energía E3. En estos puntos la energía cinética es cero y, por tanto, la velocidad se hace nula; son los puntos de retorno (hr). 4. Energía E4 menor que la energía potencia máxima (VM) y amplitud menor de 10o; el péndulo se convierte en un péndulo simple.

Capítulo 3. Péndulo

45

3.1.5. Péndulo simple Si el péndulo realiza oscilaciones pequeñas, entendiendo por tales las que tienen un desplazamiento máximo —amplitud— inferior a 10o, el seno del ángulo se puede aproximar al valor del ángulo y la ecuación del movimiento (3.25) queda: d2h g ! h% 0 dt 2 ᐉ

(3.34)

que es la de un oscilador armónico simple (ver Capítulo 5 para una explicación detallada). La solución de la ecuación del movimiento puede tomar una de las tres formas siguientes: h(t) % h0 sen (u0t ! r) h(t) % h0 cos (u0t ! d)

(3.35)

h(t) % h1 sen u0t ! h2 cos u0t siendo la frecuencia angular: u0 %

J

g ᐉ

(3.36)

el periodo: T%

2n % 2n u0

J

ᐉ g

(3.37)

y la frecuencia lineal: 1 u0 1 v% % % T 2n 2n

J

g ᐉ

(3.38)

Nótese que r ! d % n/2, pues tanto r como d se toman entre 0 y n. Las constantes de integración, h0 y r , h0 y d o h1 y h2 (según la solución que se utilice) son parejas de constantes que se obtienen con las condiciones iniciales. La constante h0 (h20 % h21 ! h22) se llama amplitud de las oscilaciones y como se ve fácilmente nos da el valor máximo del desplazamiento angular (h), por tanto, la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio estable alcanzando los valores !h0 y .h0 como extremos de su trayectoria, que son los puntos de retorno. El argumento del seno y del coseno, en las dos primeras soluciones, es la fase de las oscilaciones, siendo r y d el valor inicial de la fase, que depende de la elección del origen de tiempos. Tanto la frecuencia angular como la lineal y el periodo no dependen de las condiciones iniciales del movimiento, esta es la característica fundamental de esta oscilación, estando completamente definidas por las propiedades mecánicas del sistema —longitud del hilo y aceleración de la gravedad—. Además, son independientes de la masa de la partícula. La energía conservativa del péndulo simple (Figura 3.7) viene dada por: E%T!V%

AB

dh 1 mᐉ2 dt 2

2

1 ! mgᐉh2 2

(3.39)

46

Laboratorio de Física

FIGURA 3.7. Energía potencial en función del ángulo de desplazamiento de un péndulo simple. Se indica un nivel de energía y los valores de energía cinética y potencial para un ángulo determinado.

Si se toma como origen del sistema de referencia la posición de equilibrio estable (h % 0) y las condiciones iniciales, velocidad nula y desplazamiento h0, se obtiene una solución de la forma: h(t) % h0 cos u0t

(3.40)

obteniéndose la forma cosenoidal de la Figura 3.8. Obsérvese que el movimiento se prolonga hasta un tiempo infinito, alcanzando la amplitud en cada oscilación, esto es lógico porque no hay rozamiento, luego el movimiento es ideal.

FIGURA 3.8. Desplazamiento angular en función del tiempo de un péndulo simple.

3.1.6. Péndulo compuesto Un péndulo compuesto es cualquier objeto rígido que, debido a la gravedad, puede balancearse alrededor de un eje horizontal fijo que lo atraviesa. Supongamos una lámina de masa m como la de la Figura 3.9, que puede oscilar alrededor de un punto O, de tal manera que en un instante cualquiera su centro de gravedad se encuentra en la posición (x, .y), estando éste a una distancia d del punto O. Su energía se puede expresar de forma análoga a la Expresión (3.22), de la forma: E%T!V%

AB

1 dh I dt 2

2

. mgd cos h

(3.41)

Capítulo 3. Péndulo

47

FIGURA 3.9. Representación esquemática del movimiento de un péndulo compuesto.

donde I es el momento de inercia de la lámina respecto de O. Esta energía se conserva, por tanto, como se hizo en (3.24), su derivada será nula: d2 h dE % I 2 ! mgd sen h % 0 dt dt

(3.42)

para oscilaciones pequeñas, de desplazamiento inferior a 10o, podemos poner como en (3.34): d2h mgd ! h%0 I dt 2

(3.43)

comparando con lo que se hizo en el Apartado 3.1.5, la frecuencia angular y el periodo del péndulo compuesto serán: u0 % T%

J

mgd I

(3.44)

J

(3.45)

2n % 2n u0

I mgd

que comparadas con las Expresiones (3.36) y (3.37) tenemos que: ᐉ%

I md

(3.46)

siendo ahora ᐉ la longitud del péndulo equivalente, es decir, la longitud del péndulo simple que tiene el mismo periodo que el péndulo compuesto.

3.2. Instrumentación 3.2.1. Estándar La fabricación de un péndulo simple sólo necesita de un hilo ligero que puede ser de plástico, como un sedal de pescador, o de acero. A este hilo se le engancha una bola de

48

Laboratorio de Física

cualquier material, siempre que sea más pesada que el hilo, de forma que la masa del hilo sea despreciable frente a la de la bola y se suspende por el otro extremo de cualquier soporte. Como el periodo es independiente de la masa de la bola, no hay que conocer esta. En la parte superior se puede colocar un círculo graduado para estar seguro de que las oscilaciones son pequeñas (Figura 3.10). Un péndulo compuesto puede ser simplemente una regla larga con un orificio en un extremo o una lámina metálica con orificios de las que se usan para bricolage. Para medir el periodo de oscilación del movimiento del péndulo se emplea un cronómetro. Es recomendable utilizar uno digital con una precisión de la centésima de segundo. Es necesario aprender a usarlo antes de comenzar las medidas. Para medir la longitud del péndulo se emplea una regla.

FIGURA 3.10. Péndulo.

3.2.2. Mejorado Se puede mejorar la instrumentación usando un pie de rey (Capítulo 1) para medir el diámetro de la bola, obteniendo así su radio que se le sumará a la longitud del hilo.

3.2.3. Medida automática La sustitución del método manual de medida mediante el cronómetro por un sistema automático en línea con un ordenador, produce una mejora en las medidas al eliminar el error del observador, no obstante, suele ser de coste elevado y despersonaliza el experimento.

3.2.4. Medida fotográfica Se puede utilizar una cámara fotográfica digital, situada fija en un trípode, que sea capaz de tomar imágenes automáticamente a intervalos regulares de tiempo (modo ráfaga).

Capítulo 3. Péndulo

49

3.3. Método experimental 3.3.1. Obtención del periodo del péndulo simple Se comienza midiendo con la regla la longitud del péndulo, que es la distancia desde el pivote al centro de la bola (l). Si se utiliza un pie de rey, con este se mide el diámetro de la bola y se obtiene el radio (r). Con la regla se mide la distancia desde el pivote a la bola (l). La longitud ᐉ será: sólo con regla ᐉ % l ! Bl

con regla y pie de rey ᐉ % (l ! r) u (Bl ! Br)

(3.47)

siendo Bl y Br las precisiones de los aparatos de medida, que en la regla suelen ser de un milímetro y en el pie de rey depende del aparato usado y suele venir indicado en el mismo. Para medir el periodo del péndulo se desplaza un ángulo inferior a 10o y se suelta, midiendo con el cronómetro el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones. Téngase en cuenta que una oscilación es el movimiento entre dos amplitudes positivas, es decir es el movimiento de ida y vuelta de la bola. Además, la bola no debe girar sobre su eje ni hacer movimiento extraños, es decir, su diámetro debe moverse como continuación de la oscilación del hilo. Se repite esta medida N veces, al menos 10, teniendo en cuenta que el desplazamiento inicial no tiene que ser necesariamente el mismo, pues el periodo es independiente de las condiciones iniciales. El periodo de cada medida (Ti) será la décima parte del tiempo medido (ti) y el periodo del péndulo será el valor medio de esas 10 medidas: N

; Ti

T % STT u BT %

i%1

u BT

N

(3.48)

siendo, el error BT:

BT %

J

N

; (Ti . STT)2

i%1

(3.49)

N(N . 1)

3.3.2. Obtención de la aceleración de la gravedad De la Expresión (3.37) se obtiene g de la forma: g % 4n2

ᐉ u Bg STT2

(3.50)

usando para ᐉ, bien l o (l ! r) según las medidas realizadas. Siendo, el error Bg: Bg %

JA B A Lg Bl Ll

2

!

Lg BT LT

2

B

(3.51)

3.3.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto Se desplaza un ángulo inferior a 10o y se suelta, midiendo con el cronómetro el tiempo que tarda en realizar 10 oscilaciones. Se tiene que procurar que la lámina no se mueva alrede-

50

Laboratorio de Física

dor del eje vertical. Se repite esta medida N veces, al menos 10, teniendo en cuenta que el desplazamiento inicial no tiene que ser necesariamente el mismo, pues el periodo es independiente de las condiciones iniciales. El periodo de cada medida (Ti) será la décima parte del tiempo medido (ti) y el periodo del péndulo será el valor medio de esas 10 medidas, Expresiones (3.48) y (3.49), dando el resultado T % STT u BT. Con la Ecuación (3.37) y se obtiene la longitud del péndulo equivalente: ᐉ%

gSTT2 u Bᐉ 4n2

(3.52)

usando para g y su error los obtenidos en (3.2), siendo su error: Bᐉ %

JA B A Lᐉ Bg Lg

2

!

2

B

Lᐉ BSTT LSTT

(3.53)

Con la Expresión (3.46) se puede obtener el momento de inercia como: I % mdᐉ

(3.54)

la masa de la lámina se puede medir o bien darla como dato y la distancia d es aproximadamente la mitad de la longitud de la lámina. Aunque este resultado es simplemente estimativo, puede ser un buen ejercicio para que el alumno haga una estimación del momento de inercia.

3.4. Resultados Los datos y resultados se pueden resumir de la forma siguiente:

3.4.1. Obtención del periodo del péndulo Se obtiene una tabla de ti y Ti con las N medidas realizadas y el resultado obtenido para el periodo T [Ecuaciones (3.48) y (3.49)]. Se puede repetir el experimento para diversas longitudes del péndulo y discutir la dependencia con esa longitud.

3.4.2. Obtención de la aceleración de la gravedad Obtener la aceleración de la gravedad [con las Expresiones (3.50) y (3.51)] y compararla con los valores que da la bibliografía en el lugar donde se realizó el experimento. Si se ha repetido para varias longitudes, discutir la dependencia con estas.

3.4.3. Obtención del periodo y la longitud equivalente del péndulo compuesto Se obtiene una tabla de ti y Ti con las N medidas realizadas y el resultado obtenido para el periodo T [Ecuaciones (3.48) y (3.49)]. Se obtiene la longitud del péndulo simple equivalente con las Expresiones (3.52) y (3.53) y el momento de inercia con (3.54).

Capítulo 3. Péndulo

51

3.5. Cuestiones 1.

Deducir analíticamente la dependencia del periodo con la longitud del péndulo.

2.

Deducir analíticamente la dependencia de la aceleración de la gravedad con la longitud del péndulo.

3.

Explicar la dependencia del periodo con la amplitud.

4.

Explicar la diferencia entre un péndulo simple ideal y el que se ha utilizado en el experimento.

5.

Representar analíticamente un diagrama de velocidades en función del ángulo de desplazamiento.

a

Colisiones

4.1. Introducción 4.1.1. Problema de dos cuerpos 4.1.2. Momento lineal 4.1.3. Energía cinética 4.1.4. Sistema centro de masas 4.1.5. Colisiones elásticas 4.1.6. Colisiones inelásticas 4.2. Instrumentación 4.2.1. Mínima 4.2.2. Mejorado 4.2.3. Medida automática 4.2.4. Medida fotográfica 4.3. Método experimental 4.3.1. Choque frontal elástico 4.3.2. Choque frontal inelástico 4.4. Resultados 4.4.1. Choque frontal elástico 4.4.2. Choque frontal inelástico 4.4.3. Coeficiente de restitución 4.5. Cuestiones

En este experimento se estudia el problema de dos cuerpos que interactúan con fuerzas mutuas dentro de un campo exterior de fuerzas. Se aplicará al caso concreto de dos objetos que realizan choque frontales elásticos e inelásticos.

54

Laboratorio de Física

4.1. Introducción 4.1.1. Problema de dos cuerpos Sea un sistema formado por dos partículas, de masas m1 y m2, que interaccionan entre sí con fuerzas interiores (F12 y F21), que cumplen la 3.a ley de Newton: F12 % .F21

(4.1)

y además se mueve en un campo de fuerzas exteriores, que crea sobre cada una de ellas una fuerza (F1 y F2). Las ecuaciones del movimiento, obtenidas a partir de la 2.a ley de Newton (Capítulo 2), serán: d2 r 1 m1 2 % F12 ! F1 dt (4.2) d2 r 2 m2 2 % F21 ! F2 dt siendo r 1 y r 2 los vectores de posición respecto de un sistema de referencia inercial (Capítulo 2), respecto del cual el vector de posición del centro de masas (R) del sistema será (Figura 4.1): m1 r 1 ! m2 r 2 (4.3) R% m1 ! m2

FIGURA 4.1. Coordenadas cartesianas y relativa del sistema de dos cuerpos.

Definimos un vector r que nos da la posición relativa de las dos partículas como: r % r1 . r2

(4.4)

es decir, r será el vector de posición de la partícula m1 respecto de la partícula m2. Las transformaciones inversas serán: m2 r r1 % R ! m1 ! m2 (4.5) m1 r2 % R . r m1 ! m2 Sumando las ecuaciones del movimiento (4.2) tenemos: m1

d2 r 1 d2 r 2 ! m % F12 ! F21 ! F1 ! F2 2 dt 2 dt 2

(4.6)

Capítulo 4. Colisiones

55

Según la definición del centro de masas (4.3): (m1 ! m2)

d2R d2 r 1 d2 r 2 % m ! m 1 2 dt 2 dt 2 dt 2

(4.7)

y con la 3.a ley de Newton (4.1), la Ecuación (4.6) queda: d2 R (m1 ! m2) 2 % F1 ! F2 % F dt

(4.8)

que es la ecuación del movimiento del centro de masas, que es independiente de las fuerzas interiores. Operando con las ecuaciones del movimiento (4.2) podemos obtener: d2 r 1 F12 F1 % ! dt 2 m1 m1 d2 r 2 F21 F2 % ! dt 2 m2 m2

(4.9)

restando queda: d2 r 1 d2 r 2 d2 r F12 F21 F1 F2 . 2 % 2% . ! . dt 2 dt dt m1 m2 m1 m2

(4.10)

teniendo en cuenta la 3.a ley de Newton (4.1) queda: 1 F1 F 2 1 d2 r ! ! . 2 % F12 m1 m 2 dt m1 m2

A

B

(4.11)

que es la ecuación del movimiento relativo, es decir, el movimiento de la partícula m1 referido a m2. Hagamos una restricción al problema suponiendo que las fuerzas exteriores cumplen la condición: F1 F2 % (4.12) m1 m2 que poseen muchos campos de fuerza, por ejemplo, el gravitatorio uniforme. Definimos ahora la masa reducida (k) del sistema de dos partículas como: 1 1 1 z ! k m1 m2 m1m2 m1m2 k% % m1 ! m2 M

(4.13)

siendo M % m1 ! m2 la masa total del sistema. Volviendo a escribir las Ecuaciones (4.8) y (4.11), tendremos una nueva versión de las ecuaciones del movimiento (4.2) de la forma: M

d2R %F dt 2

d2 r k 2 % F12 dt

(4.14)

56

Laboratorio de Física

la primera es la ecuación del movimiento del centro de masas y la segunda es la ecuación del movimiento relativo, es decir, describe el movimiento de una partícula de masa k que se mueve como m1 respecto de m2. Nótese que el sistema de referencia situado en la partícula m2 no es, en general, inercial. En resumen, el movimiento de un sistema de dos partículas se puede desdoblar en el movimiento del centro de masas y en el movimiento relativo de una partícula respecto de la otra. El primero depende de las fuerzas exteriores y el segundo de las interiores.

4.1.2. Momento lineal El momento lineal del sistema de dos partículas será la suma de los momentos lineales de cada una de las dos partículas: P % p 1 ! p 2 % m1 v 1 ! m2 v 2

(4.15)

Derivando respecto del tiempo la definición del centro de masas (4.3) podemos deducir: (m1 ! m2)

dR dR %M % MV % m1 v 1 ! m2 v 2 dt dt

(4.16)

por lo que (4.15) se puede escribir como: P % p 1 ! p 2 % m1 v 1 ! m2 v 2 % MV

(4.17)

Es decir, el momento lineal total es el momento lineal del centro de masas.

4.1.3. Energía cinética La energía cinética total del sistema de dos partículas es la suma de la energía cinética de cada una de ellas: T % T1 ! T2 %

1 1 m1v21 ! m2v22 2 2

(4.18)

Derivando respecto del tiempo las Ecuaciones (4.5) obtenemos las velocidades de las partículas en función de las velocidades del centro de masas y relativa, de la forma: v1 % V !

m2 v m1 ! m2

m1 v2 % V . v m1 ! m2

(4.19)

que sustituidas en (4.18) nos da: 1 1 T % T1 ! T2 % MV2 ! kv2 2 2

(4.20)

la energía cinética total del sistema de dos partículas se expresa aquí como la suma de las energías cinéticas del centro de masas y del movimiento relativo.

Capítulo 4. Colisiones

57

4.1.4. Sistema centro de masas En cierto tipo de problemas es conveniente estudiar el movimiento respecto de un sistema de referencia situado en el centro de masas. En general este sistema de referencia no será inercial salvo que las dos partículas se hallen aisladas, es decir, F % 0, o lo que es lo mismo: M

d2R %0 dt 2

(4.21)

Las distintas magnitudes respecto del sistema de referencia del centro de masas las notaremos con una estrella (*). Observando la Figura 4.2 podemos obtener: r 1 % r*1 ! R r 2 % r*2 ! R

(4.22)

FIGURA 4.2. Coordenadas cartesianas y respecto del centro de masas del sistema de dos cuerpos.

El vector r es independiente del sistema de referencia, por tanto usando las Expresiones (4.5) se puede escribir de la forma: r* 1 % r1 . R %

m2 k r% r m1 m1 ! m2

m1 k r %. r r* 2 % r 2 . R %. m2 m1 ! m2

(4.23)

que nos da los vectores de posición respecto del centro de masas en función del vector relativo r. Siendo aquellas múltiplos de este. En el sistema de referencia centro de masas, los momentos lineales de las dos partículas son iguales y de sentido contrario, ya que de (4.3) se puede obtener: R* %

m1 r*1 ! m2r* 2 %0 m1 ! m2

(4.24)

derivando respecto del tiempo se obtiene: m1

dr*1 dr*2 ! m2 % m1 v*1 ! m2 v*2 % 0 dt dt

(4.25)

58

Laboratorio de Física

es decir, el momento lineal total respecto del centro de masas es igual a cero, por tanto: m1 v* 1 %. m2 v* 2 %k

dr % kv % p* dt

(4.26)

La energía cinética respecto del centro de masas es: T* % T* 1 ! T* 2 %

1 1 1 2 p*2 2 2 m1v* ! m v* % kv % 1 2 2 2 2 2 2k

(4.27)

y la relación entre las dos energías cinéticas en el sistema inercial y centro de masas (4.20) y (4.27) será: 1 (4.28) T % MV2 ! T* 2

4.1.5. Colisiones elásticas Cuando dos partículas interaccionan, su movimiento relativo viene determinado por las fuerzas interiores. Por tanto, la interacción o colisión puede resultar de un contacto o tener lugar a través de los campos de fuerza generados por cada partícula. Como se ha visto antes, si la forma de las fuerzas interiores se conoce se puede resolver el problema con las ecuaciones del movimiento, pero si no se conoce es más útil utilizar la conservación del momento lineal y de la energía cinética, que, desde el punto de vista práctico, es siempre más útil. El problema se puede plantear definiendo un estado inicial —antes de la colisión— y estado final —después de la colisión— (Figura 4.3), de tal forma, que si realizamos medidas para determinar el estado de las partículas en el estado inicial podamos deducir algunos parámetros de las mismas en el estado final. Una colisión se llama elástica cuando no hay pérdida de energía, es decir, la energía cinética total de las dos partículas es la misma antes y después del choque. Consideremos un problema en el cual no existen fuerzas exteriores —o estas se hallan compensadas de alguna manera—, es decir, el sistema de dos partículas se encuentra aislado, por tanto estas se mueven con movimiento uni-

FIGURA 4.3. Esquema de una colisión elástica.

Capítulo 4. Colisiones

59

forme —rectilíneo y a velocidad constante— tanto en el estado inicial como en el final. Por tanto podemos usar un sistema de referencia inercial, llamado sistema laboratorio (SL) en el que una de las dos partículas esté en reposo antes de la colisión. La situación se representa esquemáticamente en la Figura 4.3, siendo las magnitudes utilizadas las que se detallan en la Tabla 4.1, tanto para el sistema laboratorio (SL) como para el sistema de referencia situado en el centro de masas (SCM). Tabla 4.1. Magnitudes que aparecen en un choque elástico m1

masa de la partícula móvil

m2

masa de la partícula fija

u1

velocidad inicial de m1 en el SL

u 2% 0

velocidad inicial de m2 en el SL

v1

velocidad final de m1 en el SL

v2

velocidad final de m2 en el SL

u* 1

velocidad inicial de m1 en el SCM

u*2

velocidad inicial de m2 en el SCM

v* 1

velocidad final de m1 en el SCM

v*2

velocidad final de m2 en el SCM

q1

momento lineal inicial de m1 en el SL

q2 % 0

momento lineal inicial de m2 en el SL

p1

momento lineal final de m1 en el SL

p2

momento lineal final de m2 en el SL

q*

momento lineal inicial de m1 en el SCM

. q*

momento lineal inicial de m2 en el SCM

p*

momento lineal final de m1 en el SCM

. p*

momento lineal final de m2 en el SCM

T1

energía cinética de m1 final en el SL

T2

energía cinética de m2 final en el SL

T* 1

energía cinética de m1 final en el SCM

T* 2

energía cinética de m2 final en el SCM

T0

energía cinética total en estado inicial en el SL

T* 0

energía cinética total en estado inicial en el SCM

V

velocidad del centro de masas en el SL que es uniforme pues el sistema está aislado

h

ángulo de difusión de m1 en el SL, que es el formado por v1 con la dirección inicial

a

ángulo de difusión de m2 en el SL, que es el formado por v2i con la dirección inicial

h*

ángulo de difusión en el SCM

4.1.5.1. Conservación del momento lineal En una colisión elástica se conserva el momento lineal: m1 u 1 % m1 v 1 ! m2 v 2

(4.29)

en el sistema laboratorio su componente X —en la dirección del movimiento— será: m1u1 % m1v1 cos h ! m2v2 cos a

(4.30)

en el sistema laboratorio la componente Y —normal a la dirección del movimiento— será: 0 % m1v1 sen h . m2v2 sen a

(4.31)

60

Laboratorio de Física

4.1.5.2. Conservación de la energía cinética La energía cinética se conserva en una colisión elástica: T0 % T1 ! T2 1 1 1 m1u21 % m1v21 ! m2v22 2 2 2

(4.32)

4.1.5.3. Choques frontales Si las dos partículas chocan frontalmente o, lo que es lo mismo, están restringidas a moverse en una sola dimensión, las Ecuaciones (4.29) y (4.32) serán: m1u1 % m1v1 ! m2v2 m1u21 % m1v21 ! m2v22

(4.33)

suponiendo que conocemos las masas, se pueden obtener las velocidades después del choque en función de la velocidad inicial resolviendo el sistema de Ecuaciones (4.33) de la forma: m1 . m2 v1 % u m1 ! m2 1 (4.34) 2m1 u1 v2 % m1 ! mn2 Si m1 % m2 queda v1 % 0 v2 % u1

(4.35)

es decir, en un choque elástico frontal entre dos partículas de masas iguales, la partícula móvil antes del choque queda en reposo después del choque, mientras que la otra se mueve con la velocidad de la primera, por tanto hay una transferencia total de energía de una partícula a la otra.

4.1.6. Colisiones inelásticas Cuando dos partículas interaccionan modificando su naturaleza se producen los choques inelásticos, en los que se conserva el momento lineal y la energía cinética, si tenemos en cuenta la parte de esta que se cede o se absorbe del medio que las rodea. Consideremos un caso en que chocan dos partículas de masas m1 y m2 (m2 en reposo en el sistema laboratorio) y en el estado final salen dos partículas de masas m3 y m4, que forman ángulos h3 y h4 con la dirección inicial (Figura 4.4). Denominaremos Q a la energía absorbida en la interacción, de tal forma que: Q b 0 choque endoenergético —la energía se absorbe del medio— Q a 0 choque exoenergético —la energía se cede al medio— Q % 0 choque elástico De forma análoga a las Expresiones (4.29), (4.30) y (4.31), la conservación del momento lineal se puede expresar como: m1 u 1 % m3 v 3 ! m4 v 4

(4.36)

Capítulo 4. Colisiones

61

FIGURA 4.4. Esquema de una colisión inelástica.

m1u1 % m3v3 cos h3 ! m4v4 cos h4

(4.37)

0 % m3v3 sen h3 . m4v4 sen h4

(4.38)

y la conservación de la energía: T1 % T3 ! T4 ! Q 1 1 1 m1u21 % m3v23 ! m4v24 ! Q 2 2 2

(4.39)

Si conocemos las masas con las Ecuaciones (4.36) a (4.39) podemos resolver el problema, es decir, midiendo tres magnitudes podemos deducir las otras tres de las seis, 3 velocidades, 2 ángulos y Q. Los choques de cuerpos macroscópicos inertes son siempre inelásticos y endoenergéticos, en los que la energía perdida se transforma en calor, en deformaciones o en ambas. Estos choques pueden ser casi elásticos, como el choque de dos bolas duras, y completamente inelásticos, en los que los dos cuerpos permanecen unidos tras la colisión.

4.1.6.1. Choque frontal inelástico Consideremos uno de estos casos, en el que chocan dos cuerpos: en el estado inicial una masa m1 y velocidad v1 se aproxima a otro de masa m2 en reposo y en el estado final los dos cuerpos salen unidos con velocidad v2, manteniendo la misma dirección antes y después del choque, es decir todos los movimientos están restringidos a una sola dimensión. La conservación del momento angular será: m1v1 % (m1 ! m2)v2

(4.40)

del que deducimos la velocidad final en función de las masas y la velocidad inicial: v2 %

m1 v1 m1 ! m2

(4.41)

La conservación de la energía nos da la pérdida de energía, que será: 1 1 m1m2 2 1 2 1 v % kv Q % m1v21 . (m1 ! m2)v22 % 2 2 m1 ! m2 1 2 1 2

(4.42)

62

Laboratorio de Física

Isaac Newton (1642-1727) comprobó experimentalmente que en un choque frontal el cociente entre las velocidades relativas después y antes del choque es, aproximadamente, constante para dos cuerpos cualesquiera dados. Este valor se denomina coeficiente de restitución e: e%

v2 . v1 u1 . u2

(4.43)

Tiene un valor entre 0 y 1, si e % 1, el choque es perfectamente elástico y si e % 0, es completamente inelástico.

4.2. Instrumentación 4.2.1. Mínima Carril de bajo rozamiento con una regla graduada incorporada para medir desplazamientos, sobre el que se pueden deslizar dos carritos que sirven de masas. El carril debe incorporar un sistema de lanzamiento de carritos. Un cronómetro.

4.2.2. Mejorado La sustitución del carril de bajo rozamiento por uno de aire, produce una mejora sustancial en la realización del experimento. Un carril de aire es un perfil en ángulo con numerosos orificios por los que una bomba crea un colchón de aire por el que deslizan las masas, también debe poseer incorporada una regla graduada para medir desplazamientos y un dispositivo de lanzamiento de masas.

4.2.3. Medida automática La sustitución del método manual de medida mediante el cronómetro por un sistema automático en línea con un ordenador, produce una notable mejora en las medidas, no obstante, suele ser de coste elevado. Existen casas comerciales que suministran sistemas automáticos de medida que se pueden acoplar a carriles.

4.2.4. Medida fotográfica Se puede utilizar una cámara fotográfica digital, situada fija en un trípode, que sea capaz de tomar imágenes automáticamente a intervalos regulares de tiempo (modo ráfaga).

4.3. Método experimental 4.3.1. Choque frontal elástico Se disponen dos masas (carritos en el carril de bajo rozamiento). Se coloca una masa en el extremo con el dispositivo de lanzamiento —masa proyectil— y la otra en el centro del carril —masa blanco—.

Capítulo 4. Colisiones

63

4.3.1.1. Masas iguales Se colocan dos masas iguales (Figura 4.5). Se lanza la primera masa sobre la segunda y se mide el tiempo que tarda desde la salida hasta la colisión (tp) donde se para. Obteniendo la distancia recorrida (dp) en la regla del carril, se calcula la velocidad vp % dp/tp. Se repite el experimento, midiendo ahora el tiempo que la segunda masa tarda desde la colisión al extremo del carril (tb) y obteniendo su velocidad (vb % db/tb). Repetir los dos procedimientos N veces (al menos cinco) y determinar las velocidades como el valor medio, de la forma: N

; vpi

SvpT %

i%1

N

(4.44)

N

; vbi

SvbT %

i%1

N

(4.45)

FIGURA 4.5. Esquema de una colisión elástica frontal de dos masas iguales en un carril de bajo rozamiento.

sus errores serán:

Bvp %

Bvb %

J J

N

; (vpi . SvpT)2

i%1

N(N . 1)

(4.46)

N

; (vbi . SvbT)2

i%1

N(N . 1)

(4.47)

y los resultados: vp % SvpT u Bvp

(4.48)

vb % SvbT u Bvb

(4.49)

4.3.1.2. Masas distintas Colóquese una sobrecarga en la masa blanco (Figura 4.6). Se mide el tiempo que tarda la masa proyectil en alcanzar el blanco (tp) y el espacio recorrido, hallando su velocidad (vp % dp/tp). Se repite el experimento midiendo el tiempo y el espacio de la masa proyectil después de la colisión, obteniendo su velocidad (vpr % dpr/tpr), dado que la masa proyectil rebotará al chocar con el blanco. Se repite de nuevo el experimento y se mide el tiempo y

64

Laboratorio de Física

el espacio de la masa blanco, hallando su velocidad (vb % db/tb). Repetir los tres procedimientos N veces (al menos cinco) y determinar las velocidades como el valor medio, de forma análoga al apartado anterior, dando como resultado: vp % SvpT u Bvp

(4.50)

vpr % SvprT u Bvpr

(4.51)

vb % SvbT u Bvb

(4.52)

FIGURA 4.6. Esquema de una colisión elástica frontal de dos masas distintas (m a mñ) en un carril de bajo rozamiento.

Colóquese ahora una sobrecarga en la masa proyectil (Figura 4.7). Se mide el tiempo que tarda la masa proyectil en alcanzar el blanco (tp) y el espacio recorrido, hallando su velocidad (vp % dp/tp). Se repite el experimento midiendo el tiempo y el espacio de la masa proyectil después de la colisión, obteniendo su velocidad (vpd % dpd/tpd), en este caso, la masa proyectil continuará en la misma dirección después de chocar con el blanco. Se repite de nuevo el experimento y se mide el tiempo y el espacio de la masa blanco, hallando su velocidad (vb % db/tb). Repetir los tres procedimientos N veces, al menos cinco, y determinar las velocidades como el valor medio, de forma análoga al Apartado 4.3.1.1, dando como resultado: vp % SvpT u avp

(4.53)

vpd % SvpdT u Bvpd

(4.54)

vb % SvbT u Bvb

(4.55)

FIGURA 4.7. Esquema de una colisión elástica frontal de dos masas distintas (mñ b m) en un carril de bajo rozamiento.

4.3.2. Choque frontal inelástico Se coloca la posición de partida de la Figura 4.8 con las dos masas iguales, se provee a las masas de un sistema de sujeción para que queden unidas después del choque. El sistema de sujeción suele suministrarse con el equipo del carril, pero si no es así, basta con pegarle un velcro a cada masa. Se mide el tiempo y el espacio de la masa proyectil, hallando su velo-

Capítulo 4. Colisiones

65

cidad (vp % dp/tp). Se repite el experimento midiendo el tiempo y el espacio de las masas proyectil y blanco unidas después de la colisión, obteniendo su velocidad (vpb % dpb/tpb). Repetir los dos procedimientos N veces, al menos cinco, y determinar las velocidades como el valor medio, de forma análoga al Apartado 4.3.1.1, dando como resultado: vp % SvpT u Bvp

(4.56)

vpb % SvpbT u Bvpb

(4.57)

FIGURA 4.8. Esquema de una colisión inelástica frontal de dos masas iguales en un carril de bajo rozamiento.

Si se quiere prolongar el experimento se puede repetir esta parte para masas distintas.

4.4. Resultados Los datos y resultados se pueden resumir de la forma siguiente:

4.4.1. Choque frontal elástico Se construirán las tablas con los N datos del tiempo, la distancia y la velocidad para los tres casos estudiados (Apartados 3.1.1 y 3.1.2). Con las velocidades obtenidas con las Expresiones (4.48) a (4.55), se comprobará si cumplen la conservación el momento lineal y de la energía [Ecuaciones (4.33) a (4.35)], explicando las posibles diferencias. Las masas (m y mñ) se pueden medir con un granatario (Capítulo 1), o bien se pueden dar como datos del experimento, aunque con la última opción, el experimento se puede prolongar demasiado.

4.4.2. Choque frontal inelástico Se construirán las tablas con los N datos del tiempo, la distancia y la velocidad, obteniendo los valores de estas con la Expresión (4.56) y (4.57). Usando la Expresión (4.41) comprobar la relación entre las velocidades y explicar las posibles diferencias. Con la Ecuación (4.42), hallar la energía perdida Q.

4.4.3. Coeficiente de restitución Obtener el coeficiente de restitución (4.43) en todos los casos estudiados y discutir los resultados.

66

Laboratorio de Física

4.5. Cuestiones 1.

¿Por qué la velocidad del centro de masas en el choque elástico permanece constante antes y después del choque? Explica el caso para una bola lanzada contra un muro.

2.

¿Cuál es la velocidad del centro de masas de los choques estudiados en el Apartado 4.3.1?

3.

¿En qué se transforma la energía perdida en la colisión inelástica estudiada?

Oscilaciones

5.1. Introducción 5.1.1. Oscilador armónico simple 5.1.2. Oscilador armónico amortiguado 5.1.3. Oscilador armónico forzado 5.1.4. Resonancia 5.1.5. Dos osciladores armónicos simples acoplados 5.1.6. Frecuencia de modulación 5.2. Instrumentación 5.2.1. Mínima 5.2.2. Mejorado 5.2.3. Medida automática 5.2.4. Medida fotográfica 5.3. Método experimental 5.3.1. Obtención de la constante del muelle 5.3.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento b 5.3.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad 5.3.4. Medida de la frecuencia de resonancia 5.3.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación 5.3.6. Medida de la frecuencia de modulación 5.3.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento 5.4. Resultados 5.4.1. Obtención de la constante del muelle 5.4.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento b 5.4.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad 5.4.4. Medida de la frecuencia de resonancia 5.4.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación 5.4.6. Medida de la frecuencia de modulación 5.4.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento 5.5. Cuestiones En este experimento se pretende estudiar el comportamiento de un oscilador armónico cuando se le deja mover libremente y cuando se le somete a una fuerza exterior con una frecuencia determinada. Además se estudiará el movimiento que resulta al acoplar dos osciladores armónicos que pueden moverse a lo largo de una recta. Se utilizará un sistema formado por dos masas y tres muelles deslizándose por un carril de bajo rozamiento.

68

Laboratorio de Física

5.1. Introducción 5.1.1. Oscilador armónico simple Consideremos una partícula que se puede mover en una dimensión (x), alrededor de una posición de equilibrio estable (Capítulo 3) (Figura 5.1), bajo la acción de un campo de fuerzas conservativo, que deriva de una energía potencial V(x), de tal forma, que si se separa la partícula de esa posición de equilibrio aparece una fuerza, y solamente una fuerza, que es función del desplazamiento (F % F(x) %.dV/dx) que tiende a llevar a la partícula hacia su posición de equilibrio, por lo que se denomina fuerza de restauración o recuperación. Si se establece el origen del sistema de referencia en la posición de equilibrio estable y los desplazamientos son suficientemente pequeños, se puede considerar que la fuerza es una función lineal del desplazamiento, tal que F(x) %.kx, siendo la constante de proporcionalidad (.k) negativa, pues la fuerza de restauración va dirigida siempre hacia la posición de equilibrio estable, por tanto k es siempre positiva. Los sistemas físicos sometidos a esta fuerza se dice que obedecen a la ley de Hooke de la elasticidad. Todas las deformaciones elásticas (sin sobrepasar el límite de elasticidad) siguen la ley de Hooke, como muelles, gomas elásticas, etc. (Capítulo 6). Un cuerpo sometido sólo a esta fuerza, se denomina oscilador armónico simple (OAS) y de la segunda ley de Newton (Capítulo 2): F % ma % m

d 2x i dt 2

(5.1)

FIGURA 5.1. Masa sujeta a un muelle que se mueve en una sola dimensión sin rozamiento. Cuando se separa de la posición de equilibrio estable, aparece una fuerza que tiende a devolver la masa a esa posición.

se deduce su ecuación del movimiento: m

d 2x %.kx dt 2

(5.2)

donde se ha utilizado la expresión escalar, dado que la masa se mueve en una sola dimensión. Haciendo k (5.3) u0 % m

J

Capítulo 5. Oscilaciones

69

La magnitud u0 es la frecuencia angular de oscilación, aunque se le suele llamar simplemente frecuencia. No depende de las condiciones iniciales del movimiento, esta es la característica fundamental de esta oscilación, Además u0 está completamente definida por las propiedades mecánicas del sistema —constante elástica del muelle y masa de la partícula—. Por tanto, nos queda la ecuación del movimiento de la forma: d 2x ! u20 x % 0 dt 2

(5.4)

que es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes constantes, cuya solución es una combinación lineal de la solución exponencial: x(t) % Aept

(5.5)

que sustituida en la ecuación diferencial (5.4) nos da la ecuación característica: p2 ! u20 % 0

(5.6)

p2 %.u20

(5.7)

p %u∂u20 %uiu0

(5.8)

cuyas soluciones son:

siendo, según (5.5), la solución general de la ecuación diferencial, la siguiente: x(t) % A1e p1t ! A2e p2t % A1eiu0t ! A2e.iu0t

(5.9)

Haciendo un cambio de constantes: A1 %

1 id Ae 2

1 A2 % Ae.id 2

(5.10)

sustituyendo en (5.9) tenemos: 1 x(t) % A[ei(u0t!d) ! e.i(u0t!d)] 2

(5.11)

teniendo en cuenta las formas de las exponenciales imaginarias tenemos: ei(u0t!d) % cos (u0t ! d) ! i sen (u0t ! d) e.i(u0t!d) % cos (u0t ! d) . i sen (u0t ! d)

(5.12)

cuya suma es: 2 cos (u0t ! d)

(5.13)

que nos da, sustituyendo en (5.12), la forma de la solución de la ecuación del movimiento: x(t) % A cos (u0t ! d)

(5.14)

70

Laboratorio de Física

Haciendo otro cambio de constantes: 1 A1 % Aeir 2 1 A2 %. Ae.ir 2

(5.15)

sustituyendo igualmente en (5.9) tenemos: 1 x(t) % A[ei(u0t!r) . e.i(u0t!r)] 2

(5.16)

teniendo en cuenta las formas de las exponenciales imaginarias tenemos: ei(u0t!r) % cos (u0t ! r) ! i sen (u0t ! r) e.i(u0t!r) % cos (u0t ! r) . i sen (u0t ! r)

(5.17)

cuya resta es: 2i sen (u0t ! r) que nos da, sustituyendo en (5.16) y eliminando el número imaginario i, la forma de la solución de la ecuación del movimiento: x(t) % A sen (u0t ! r)

(5.18)

Expresando los términos exponenciales de la Ecuación (5.10) de la forma: eiu0t % cos u0t ! i sen u0t e.iu0t % cos u0t . i sen u0t

(5.19)

y sustituyendo en (5.9) nos da: x(t) % (A1 ! A2) cos u0t ! (A1 . A2)i sen u0t

(5.20)

eliminando el número i y haciendo B1 % A1 . A2 y B2 % A1 ! A2 nos queda: x(t) % B1 sen u0t ! B2 cos u0t

(5.21)

Por lo tanto, la solución general de la ecuación del movimiento de un oscilador armónico simple puede tomar una de las tres formas siguientes: x(t) % A sen (u0t ! r)

(5.22)

x(t) % A cos (u0t ! d)

(5.23)

x(t) % B1 sen u0t ! B2 cos u0t

(5.24)

Nótese que r ! d % n/2, pues tanto r como d se toman entre 0 y n. Las constantes de integración, A y r, A y d o B1 y B2 (según la solución que se utilice) son parejas de constantes que se obtienen con las condiciones iniciales. La constante A (A2 % B21 ! B22) se llama amplitud de las oscilaciones y, como se ve fácilmente, nos da el valor máximo del desplazamiento (x), por tanto, la partícula oscila alrededor de la posición de equilibrio estable alcanzando los valores !A y .A como extremos de su trayectoria. El argumento del seno y del coseno, en las dos primeras soluciones, es la fase de las oscilaciones, siendo r y d el valor inicial de la fase, que depende de la elección del origen de tiempos.

Capítulo 5. Oscilaciones

71

Las velocidades y aceleraciones para cada una de las formas de la solución serán: v(t) %

dx % u0 A cos (u0t ! r) dt

dv d 2x a(t) % % 2 %.u20 A sen (u0t ! r) %.u20 x dt dt

(5.26)

dx %.u0 A sen (u0t ! d) dt

(5.27)

dv d 2x % %.u20 A cos (u0t ! d) %.u20 x dt dt 2

(5.28)

dx % u0(B1 cos u0t . B2 sen u0t) dt

(5.29)

dv d 2x % %.u20(B1 sen u0t ! B2 cos u0t) %.u20x dt dt 2

(5.30)

v(t) % a(t) %

v(t) % a(t) %

(5.25)

La representación de estas magnitudes en la solución cosenoidal nos dan las curvas de la Figura 5.2, en la que podemos notar que el desplazamiento y la aceleración están en oposición de fase, mientras que la velocidad está desplazada media fase respecto de las anteriores. Esto quiere decir que, en valor absoluto, la aceleración es máxima cuando lo es el desplazamiento y la velocidad cuando el desplazamiento y la aceleración son nulos. En esa misma Figura 5.2 se ha representado un origen de tiempos en un instante cualquiera (t % 0), siendo las condiciones iniciales x0 y v0, para las cuales las constantes de integración serán: A%

J A B A B A B x20 !

v0 u0

2

(5.31)

d % tan.1 .

v0 u0 x0

(5.32)

r % tan.1 .

u 0 x0 v0

(5.33)

v0 u0

(5.34)

B2 % x0

(5.35)

B1 %

Si consideramos el caso en el que la masa parte del reposo a la distancia máxima desde la posición de equilibrio, o sea las condiciones iniciales en las que la velocidad sea 0 y el desplazamiento, la amplitud A, se obtiene una solución de la forma siguiente a partir de (5.22): (5.36) x(t) % A cos u0t que se representa en la Figura 5.3. Obsérvese que el movimiento se prolonga hasta un tiempo infinito, alcanzando la amplitud en cada oscilación, esto es lógico porque no hay rozamientos, luego el movimiento es ideal. El periodo (T ) se define como el tiempo entre

72

Laboratorio de Física

FIGURA 5.2. Variación, en función de la fase, del desplazamiento, velocidad y aceleración en un oscilador armónico simple.

FIGURA 5.3. Desplazamiento en función del tiempo de un oscilador armónico simple.

sucesivas repeticiones de las mismas condiciones, es decir, las mismas posición y velocidad, o sea el periodo es el tiempo que tarda en dar una oscilación completa. T%

2n % 2n u0

J

m k

(5.37)

que también es independiente de las condiciones iniciales, luego es independiente de la amplitud A de las oscilaciones. Un sistema oscilante con esta propiedad se llama isócrono. La frecuencia lineal (l) es el inverso del periodo y se define como el número de oscilaciones en la unidad de tiempo 1 1 u0 l% % % T 2n 2n

J

k m

(5.38)

y también es independiente de las condiciones iniciales. La energía del oscilador armónico simple se conserva a lo largo del movimiento y es la suma de la energía cinética y la potencial que vienen dadas por las expresiones: T%

1 1 1 mv2 % mu20 A 2 cos2 (u0t ! r) % kA 2 cos2 (u0t ! r) 2 2 2

V %.

I

0

F dx %.k x

I

0

x

x dx %

1 2 1 2 2 kx % kA sen (u0t ! r) 2 2

(5.39)

(5.40)

Capítulo 5. Oscilaciones

73

y la energía total E%T!V%

1 2 kA 2

(5.41)

que es constante y depende de la amplitud y, por tanto, de las condiciones iniciales, igual que las dos energías, cinética y potencial. La Figura 5.4 representa la energía potencial frente al desplazamiento, en ella podemos observar cómo el oscilador cambia su energía entre cinética y potencial a lo largo de su movimiento.

FIGURA 5.4. Energía potencial en función del desplazamiento de un oscilador armónico simple.

5.1.2. Oscilador armónico amortiguado El movimiento del OAS es una idealización del caso real, en el cual existen fuerzas de rozamiento que amortiguan el movimiento de manera que no se alcanza nunca el desplazamiento máximo. Este movimiento se denomina oscilador armónico amortiguado (OAA). Si la partícula se mueve en una dimensión, bajo la acción de una fuerza restauradora lineal (.kx) y una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad (.bv), de forma que la ecuación del movimiento viene dada por: .kx . bv % ma .kx . b operando queda

d 2x dx %m 2 dt dt

(5.42)

d 2x b dx k ! ! x%0 dt 2 m dt m

(5.43)

dx d 2x ! u20 x % 0 2 ! 2b dt dt

(5.44)

resultando

donde b % b/2m es el parámetro de amortiguamiento. La ecuación del movimiento es una ecuación diferencial homogénea de segundo orden de coeficientes constantes, cuya solución es una combinación lineal de la solución exponencial: x(t) % Aept

(5.45)

74

Laboratorio de Física

que sustituida en la ecuación diferencial nos da la ecuación característica: p2 ! 2bp ! u20 % 0

(5.46)

que tiene las dos soluciones siguientes: p %.b u ∂b2 . u20

(5.47)

por tanto, la solución general de la ecuación del movimiento de un OAA será: 2

2

2

2

x(t) % ebt(A1 e∂b .u0 t ! A2 e.∂b .u0 t)

(5.48)

Según sea la relación entre el parámetro de amortiguamiento (b) y la frecuencia del OAS equivalente (u0) se pueden presentar tres casos: 1.

u20 a b2 la Ecuación (5.47) tiene dos valores positivos distintos y el OAA se denomina sobreamortiguado. Si se hace u2 % ∂b2 . u20 la solución (5.48) toma la forma: (5.49) x(t) % e.bt(A1eu2t ! A2e.u2t) que se representa en la Figura 5.5. El movimiento resulta ser una aproximación lenta y monótona a la posición de equilibrio estable, donde la masa se para.

FIGURA 5.5. Desplazamiento en función del tiempo de un oscilador armónico sobreamortiguado.

2.

u20 % b2 la Ecuación (5.47) tiene dos valores positivos iguales (solución doble) y el OAA se denomina oscilador con amortiguamiento crítico. Y la solución toma la forma: (5.50) x(t) % e.bt(A1 ! A2t) Su representación gráfica es similar a la de la Figura 5.5, pero ahora el oscilador tarda menos tiempo en pararse, siempre que las condiciones mecánicas (masa y constante del muelle) sean idénticas. Este resultado es muy importante cuando se construye un aparato que puede oscilar, pero no queremos que lo haga, el ejemplo

Capítulo 5. Oscilaciones

75

más conocido es el de los marcadores de velocidad y revoluciones de un automóvil, en los que la aguja debe pararse instantáneamente. 3. u20 b b2 la Ecuación (5.47) tiene dos valores imaginarios distintos y el OAA se denomina débilmente amortiguado. Si se hace u1 % ∂u20 . b2 la solución (5.48) toma la forma: x(t) % e.bt(A1 eu1t ! A2e.u1t) (5.51) Siguiendo el mismo procedimiento expuesto en el apartado anterior para el OAS la solución general toma una de las formas siguientes: x(t) % Ae.bt sen (u1t ! r)

(5.52)

x(t) % Ae.bt cos (u1t ! d)

(5.53)

x(t) % e

.bt

(B1 sen u1 t ! B2 cos u1t)

(5.54)

La magnitud u1 se llama frecuencia del oscilador armónico amortiguado. Realmente es una seudo-frecuencia, pues no es posible definir una frecuencia en un movimiento amortiguado, ya que no es periódico, es decir, el oscilador no pasa nunca por la misma posición a la misma velocidad. No obstante, para simplificar, se le llama a u1 la frecuencia del OAA, es interesante hacer notar que es menor que la frecuencia natural u0. En la Figura 5.6 se representa el desplazamiento en función del tiempo para diversas relaciones entre el amortiguamiento y la frecuencia natural.

FIGURA 5.6. Desplazamiento en función del tiempo para: oscilador armónico simple (línea continua); oscilador armónico amortiguado con una relación entre amortiguamiento y frecuencia natural de 0,1 (línea de trazos largos) y 0,5 (línea de trazos cortos); amortiguamiento crítico (línea de puntos).

De tal manera, que el OAA se puede considerar como un OAS en el cual la amplitud decrece exponencialmente, dado que el factor e.bt (donde b b 0) envuelve la curva que representa el desplazamiento en función del tiempo y viene dada por: xen %uAe.bt

(5.55)

Su representación gráfica para las condiciones iniciales x0 % A y v0 % 0 tiene la forma de la Figura 5.7. El periodo, o propiamente dicho, el seudoperiodo del OAA será: T1 %

2n 2n 4mn % % u1 ∂u20 . b2 ∂4mk . b2

(5.56)

La energía del OAA será la suma de la cinética y la potencia: 1 1 E % T ! V % mv2 ! kx2 2 2

(5.57)

76

Laboratorio de Física

Vamos a estudiar ahora de qué manera pierde el OAA esa energía. Con la Expresión (5.52) podemos obtener la velocidad en función del tiempo de la forma: v(t) %

dx % Ae.bt [b sen (u1 t ! r) ! u1 cos (u1 t ! r)] dt

(5.58)

FIGURA 5.7. Desplazamiento en función del tiempo: oscilador armónico simple (línea de trazos cortos); oscilador armónico amortiguado (línea continua) y sus envolventes (líneas de trazos largos).

Los valores medios de los cuadrados del desplazamiento (5.54) (Sx2T) y la velocidad (5.58) (Sv2T) serán: Sx2T%A2e.2btSsen2 (u1t!r)T 2

2 .2bt

Sv T%A e

2

[b Ssen

(5.59)

2

(u1t!r)T!u21Scos2(u1t!r)T!2bu1Ssen(u1t!r) cos (u1t!r)T]

si suponemos que las oscilaciones son tan débilmente amortiguadas que la variación del factor exponencial es despreciable. Los valores medios de un seno y de un coseno al cuadrado son 1/2 y el de su producto es igual a 0, por lo que nos queda: Sx2T %

1 2 .2bt A e 2 (5.60)

1 1 Sv2T % A 2 e.2bt (b2 ! u21) % u0 A 2 e.2bt 2 2 Por tanto, la energía media en un periodo será: SET %

1 1 mu0 A 2e.2bt ! kA 2e.2bt 4 4

(5.61)

pero u20 % k/m que sustituida en la ecuación anterior queda: SET %

1 2 .2bt kA e 2

(5.62)

Por otro lado podemos considerar que la energía máxima (E0) que alcanza un OAA es igual a la energía potencial máxima, que será: E0 %

1 2 kA 2

(5.63)

tal que el OAA pierde su energía de la forma: SET % E0e.2bt

(5.64)

Capítulo 5. Oscilaciones

77

si definimos un tiempo T ñ z 1/2b, que denominaremos tiempo de relajación. La expresión anterior nos queda: (5.65) SET % E0 e.t/Tñ de tal manera que al cabo de un tiempo t % T ñ la energía del OAA habrá disminuido en un factor 1/e: E0 (5.66) SET % e Hay que tener en cuenta que el tiempo de relajación no depende de las condiciones iniciales, por lo que se puede conocer a priori por las características mecánicas del problema. O bien de forma experimental, se puede medir T ñ y con él hallar el factor de amortiguamiento. Si hiciéramos un estudio similar para la disminución del desplazamiento, obtendríamos un tiempo de relajación que sería la mitad de T ñ, lo que nos indicaría que la energía se pierde a un ritmo doble que la amplitud. Se define el factor de calidad Q de un sistema oscilante como 2n veces la relación entre la energía máxima almacenada (E) y la energía perdida media por periodo (SBET), es decir: SET (5.67) Q % 2n SBET que es un factor sin dimensiones. La energía perdida por la unidad de tiempo, es decir, el ritmo con que se pierde la energía será: dSET %.2bE0 e.2 bt %.2bSET dt

(5.68)

SBET %.2bSETT1

(5.69)

y en un periodo será: tomando su valor absoluto y sustituyendo en (5.67) nos queda: Q % 2n

u1 SET % 2bSBETT1 2b

(5.70)

Para el caso del amortiguamiento muy débil, queda: Q%

u1 u0 ] 2b 2b

(5.71)

El factor de calidad representa una medida de la falta de amortiguamiento de un oscilador. Para valores elevados de Q el amortiguamiento es débil, lo que hace que la disminución de la amplitud sea muy lenta. En caso contrario, un factor de calidad bajo, la oscilación será rápidamente amortiguada, que es útil en ciertos sistemas mecánicos, por ejemplo la corteza terrestre para las ondas sísmicas.

5.1.3. Oscilador armónico forzado Vamos a considerar ahora la influencia de una fuerza exterior variable (F(t)), lo que dará lugar a las oscilaciones forzadas u oscilador armónico forzado (OAF). La ecuación del movimiento quedará de la forma: .kx . bv ! F(t) % ma (5.72)

78

Laboratorio de Física

o bien: d 2x dx F(t) ! u20 x % 2 ! 2b dt m dt

(5.73)

donde se ha tenido en cuenta el rozamiento b y la frecuencia natural de oscilación u0 estudiados anteriormente. Consideremos aquí sólo el caso particular simple de que la fuerza exterior sea una función armónica de frecuencia u, tal que: F(t) % F0 cos ut

(5.74)

la ecuación del movimiento del OAF será entonces: dx d 2x ! u20 x % a cos ut 2 ! 2b dt dt

(5.75)

donde a % F0/m. Esta ecuación del movimiento es una ecuación diferencial de coeficientes constantes con término independiente de la variable (x). Su solución es la suma de la homogénea (sin término independiente) y una solución particular: x(t) % xh(t) ! xp(t)

(5.76)

como solución de la homogénea se tomará la del oscilador débilmente amortiguado (5.52) escrita de la forma: (5.77) x(t) % B e.bt cos (u1t ! r) en la que B y h se obtendrán con las condiciones iniciales. La solución particular la tomaremos de la forma: xp(t) % A1 sen ut ! A2 cos ut (5.78) los valores de A1 y A2 dependerán de las condiciones mecánicas del problema, para obtenerlos, sustituimos esta solución en la ecuación del movimiento, obteniendo: .A1u2 sen ut . A2u2 cos ut ! 2b(.A2u sen ut ! A1u cos ut) ! ! u20(A1 sen ut ! A2 cos ut) % a cos ut

(5.79)

haciendo operaciones y agrupando términos nos queda: [A1(u20 . u2) . 2buA2] sen ut ! [2buA1 ! A2(u20 . u2) . a] cos ut % 0

(5.80)

teniendo en cuenta que las funciones seno y coseno son linealmente independientes, para que su suma sea igual a cero tiene que serlo cada uno de sus coeficientes, nos quedan dos ecuaciones con dos incógnitas, de las que se obtienen los valores de A1 y A2, que serán: A1 % A2 %

2bua (u20 . u2)2 ! 4b2u2 a(u20 . u2) (u20 . u2)2 ! 4b2u2

(5.81) (5.82)

Teniendo en cuenta la similitud con la Solución (5.24) del OAS, la amplitud será: A % ∂A1 ! A2 %

a ∂(u20 . u2)2 ! 4b2u2

(5.83)

Capítulo 5. Oscilaciones

79

Luego la solución particular será: xp(t) %

A2 [2bu sen ut ! (u20 . u2) cos ut] a

(5.84)

y la solución general de la ecuación del OAF: x(t) % B e.bt cos (u1t ! r) !

A2 [2bu sen ut ! (u20 . u2) cos ut] a

(5.85)

como se dijo anteriormente B y r dependen de las condiciones iniciales. El primer término decrece exponencialmente con el tiempo, de tal manera que al cabo de un intervalo de tiempo suficientemente largo desaparece. A este intervalo se le denomina régimen transitorio (que depende de las condiciones iniciales). Cuando finaliza este tiempo el sistema entra en el régimen estacionario y sólo queda el segundo término de la solución.

A B

x tA

1 % A1 sen ut ! A2 cos ut b

(5.86)

obsérvese que 1/b es el tiempo de relajación en amplitud del OAA. La forma de esta solución nos dice que, en el estado estacionario, el movimiento es oscilatorio armónico —igual que para el OAS— de amplitud A, independiente de las condiciones iniciales (Figura 5.8). Es interesante insistir en que el sistema alcanza siempre el mismo estado estacionario, sean cuales sean las condiciones iniciales. La frecuencia u en el estado estacionario será la de la fuerza exterior y no la natural u0. En este estado estacionario, al mismo tiempo que el sistema absorbe energía (a expensas de la fuerza exterior), la disipa en los rozamientos, luego el balance energético se mantiene constante.

FIGURA 5.8. Dos casos de oscilador armónico forzado. En las figuras superiores las líneas de trazos representan la solución homogénea y las continuas la solución particular. Las figuras inferiores son la suma de ambas, es decir, la solución general.

5.1.4. Resonancia La frecuencia de resonancia en amplitud (uR) es el valor de u que hace máxima la amplitud en el estado estacionario. Para esto suponemos un sistema mecánico dado, es decir, fi-

80

Laboratorio de Física

jamos (suponemos constantes) la frecuencia natural u0 y el parámetro de amortiguamiento b, con lo cual, la amplitud A vendrá determinada por la frecuencia u de la fuerza exterior, para hallar su valor máximo derivamos la Expresión (5.84) y la igualamos a cero, de la forma: dA %0 (5.87) du u%uR

G

para que sea cero la Ecuación (5.84) basta con que sea el argumento de la raíz cuadrada, luego: d [(u20 . u2)2 . 4b2u2] %.4u(u20 . u2) ! 8b2u % 0 (5.88) du la frecuencia de resonancia resulta ser: uR % ∂u20 . 2b2

(5.89)

De acuerdo con este resultado, la frecuencia de resonancia uR disminuye a medida que el parámetro de amortiguamiento b aumenta. Resumamos ahora las tres frecuencias que hemos considerado: OAS

u20 % k/m

OAA

u21 % u20 . b 2

OAF

u2R % u20 . 2b2 % u21 . b2

(5.90)

y nótese que u0 b u1 b uR. El factor de calidad Q, que nos da el grado de amortiguamiento del sistema, lo podemos redefinir como: uR AR (5.91) Qz ] 2b A0 siendo AR la amplitud que alcanza el oscilador en la resonancia (Figura 5.9). Es decir, mientras mayor sea el factor de calidad, mayor será la amplitud que alcanza el oscilador en la resonancia (Figura 5.10). El fenómeno de la resonancia ocurre en todos los sistemas oscilantes y es de gran importancia desde el punto de vista práctico, pues pequeñas fuerzas pueden dar lugar a grandes oscilaciones, si la frecuencia es próxima a la de resonancia.

FIGURA 5.9. Amplitud en función de frecuencia de la fuerza exterior de un oscilador armónico forzado.

Capítulo 5. Oscilaciones

81

FIGURA 5.10. Varias curvas de respuesta de un oscilador a la acción de una fuerza exterior. Se indican los valores del factor de calidad para cada una de ellas.

5.1.5. Dos osciladores armónicos simples acoplados Consideremos ahora sistemas oscilantes que tienen varios grados de libertad, es decir, varias dimensiones, su movimiento puede llegar a ser complicado y, en general, no periódico, pero siempre es posible (aunque no simple) dar unas determinadas condiciones iniciales para que las partes móviles del sistema oscilen a la misma frecuencia. Bajo estas condiciones se dice que el sistema se mueve en un modo normal de oscilación. Un modo se caracteriza por dos propiedades importantes: 1. 2.

Todas las partes móviles se mueven con una misma frecuencia (la frecuencia característica del modo). Todas las partes móviles pasan por la posición de equilibrio estable en el mismo instante.

El número de modos de un sistema es igual al número de grados de libertad del sistema. El movimiento general (condiciones iniciales arbitrarias) es una complicada superposición de los modos de oscilación. Como ejemplo típico de un sistema de este tipo, se considera el formado por dos masas iguales y tres muelles de masas despreciables. Concretamente el problema consiste en acoplar mediante un muelle de constante kñ dos osciladores armónicos simples idénticos, formados por una masas m y un muelle k. Se supone que el sistema está obligado a moverse en la línea que une las masas (eje X), por ejemplo, mediante un carril sin rozamiento (Figura 5.11). Estas oscilaciones se llaman longitudinales. Si no existiese muelle central kñ, las dos masas vibrarían independientemente con movimientos armónicos simples de frecuencias uñ %

J

k m

(5.92)

Se trata, por tanto, de estudiar el efecto de acoplar estos dos osciladores mediante el muelle kñ. En este movimiento existen dos grados de libertad —dado que suponemos las masas de los muelles despreciables— cada uno correspondiente a las posiciones de cada una de las masas, que las tomaremos x1 y x2, distancias medidas desde la posición de equilibrio estable del sistema, es decir, cuando x1 % x2 % 0, en esa posición las fuerzas ejercidas por

82

Laboratorio de Física

los muelles se compensan exactamente. Por supuesto no hay gravedad, ni rozamiento, por tanto el sistema es ideal. Planteando la 2.a ley de Newton (Capítulo 2) se obtienen las ecuaciones del movimiento siguientes: d 2x 1 m 2 %.kx1 . kñ(x1 . x2) dt d 2x 2 m 2 %.kx2 . kñ(x2 . x1) dt

(5.93)

donde las partes derechas son las fuerzas ejercidas por los muelles sobre cada masa. Operando nos queda: d 2x 1 m 2 ! (k ! kñ)x1 . kñx2 % 0 dt (5.94) d 2x 2 m 2 ! (k ! kñ)x2 . kñx1 % 0 dt que corresponde a un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de segundo orden con coeficientes constantes. Sin los terceros términos, las ecuaciones serían independientes entre sí (serían las de dos OAS) y tendríamos vibraciones armónicas independientes de x1 y x2 con frecuencias u0 %

J

k ! kñ m

(5.95)

iguales para los dos OAS. Esta frecuencia sería la correspondiente a la vibración de cada masa si la otra se mantuviese fija. Por tanto, el primer efecto del muelle de acoplamiento es simplemente el de variar la frecuencia de las vibraciones independientes de cada masa, debido al hecho de que cada masa está sometida a dos muelles en vez de a uno sólo. Los terceros términos originan un acoplamiento entre los movimientos de ambas masas, que ya no pueden moverse independientemente. Por un procedimiento matemático similar al empleado para el OAS se obtienen las soluciones del sistema de ecuaciones de la forma: x1(t) % A1 cos (u1t ! r1) ! A2 cos (u2t ! r2) x2(t) % A1 cos (u1t ! r1) . A2 cos (u2t ! r2)

(5.96)

donde: u1 %

J

k m

u2 %

J

k ! 2kñ m

(5.97)

y que tiene cuatro constantes de integración A1, A2, r1 y r2 que se obtienen con las condiciones iniciales x1(0), x2(0), v1(0) y v2(0), dado que tenemos dos ecuaciones diferenciales de segundo orden. Se ve que el movimiento de cada coordenada —grado de libertad— es una superposición de dos vibraciones armónicas simples de frecuencias u1 y u2 —frecuencias de los modos—. La relación entre las amplitudes se denomina configuración del sistema. A un sistema de este tipo se le puede hacer oscilar en un modo dándole unas condiciones iniciales adecuadas (Figura 5.11). Para el modo 1, se aplican las condiciones iniciales x1(0) % x2(0) y v1(0) % v2(0). Este modo se llama simétrico y su representación se ve en la Figura 5.11, donde el muelle de acoplamiento kñ no sufre modificación, de ahí que la fre-

Capítulo 5. Oscilaciones

83

cuencia sea la misma que la de los OAS acoplados (uñ). Las dos masas oscilan en fase a la frecuencia u1. Para el modo 2, se aplican las condiciones iniciales x1(0) %.x2(0) y v1(0) %.v2(0). Este modo se llama antisimétrico, el centro del muelle de acoplamiento (que es el centro de masas) permanece inmóvil. Las masas oscilan en oposición de fase a la frecuencia u2. La frecuencia del modo 2 es más alta que la del modo 1, debido a que entra en juego el muelle de acoplamiento.

FIGURA 5.11. Esquema del movimiento de un sistema formado por dos masas y tres muelles en oscilaciones longitudinales. Se indican las fuerzas que actúan sobre las masas debidas a la tensión de los muelles.

5.1.6. Frecuencia de modulación Impongamos ahora las condiciones iniciales siguientes (Figura 5.12): x1(0) % 0

v1(0) % 0

x2(0) % A

v2(0) % 0

(5.98)

FIGURA 5.12. Esquema del movimiento de un sistema formado por dos masas y tres muelles en oscilaciones longitudinales con las condiciones iniciales x1%0, x2%A, v1%v2%0.

es decir, inicialmente desplazar la masa de la derecha una distancia A y dejar a las dos moverse partiendo del reposo. Con estas condiciones iniciales, las constantes A1, A2, r1 y r2 quedan: r1 % r2 A1 % A2 % A/2 (5.99)

84

Laboratorio de Física

y las soluciones quedan: x1(t) %

A (cos u1t . cos u2t) 2

(5.100)

A x2(t) % (cos u1t ! cos u2t) 2 que también pueden escribirse de la forma: x1(t) % A sen

A A

B A B A

u2 . u1 u1 ! u2 t sen t 2 2

u2 . u1 u1 ! u2 t cos t x2(t) % A cos 2 2

B B

(5.101)

se suprime el signo menos que aparecería en la segunda, pues sólo influiría en el sentido. Si definimos dos frecuencias angulares nuevas, una la frecuencia angular promedio (up) y otra la frecuencia angular de modulación (um) de la forma: up %

u1 ! u2 2

um %

u2 . u1 2

(5.102)

obtenemos: x1(t) % Am1 sen u pt

;

Am1 % A sen um t

x2(t) % Am2 cos upt

;

Am2 % A cos um t

(5.103)

Se tendrá una oscilación (Am1, Am2) de frecuencia baja (um) superpuesta con una de frecuencia alta (up) como se muestra en la Figura 5.13.

FIGURA 5.13. Desplazamiento en función del tiempo para el sistema de dos masas y tres muelles con las condiciones iniciales de la Figura 5.12.

Por tanto, x1 y x2 realizan oscilaciones rápidas de frecuencia up, en las que las amplitudes Am1 y Am2 están moduladas a una frecuencia lenta um. Aunque sólo x1 es inicialmente

Capítulo 5. Oscilaciones

85

distinta de cero, cuando el tiempo aumenta, x1 decrece lentamente. Mientras que x2 partiendo de cero crece también lentamente. Por tanto, la energía se transfiere desde el oscilador de la derecha al de la izquierda. Cuando t % n/2um (un cuarto de periodo), Am1 % 0, toda la energía ha sido transferida. Cuando el tiempo sigue aumentando, la energía vuelve al oscilador de la derecha. Es decir, los osciladores intercambian periódicamente la energía, debido al acoplamiento mutuo.

5.2. Instrumentación 5.2.1. Mínima Carril de bajo rozamiento con una regla graduada incorporada para medir desplazamientos, sobre el que se puede deslizar un carrito que sirve de masa. Tres muelles iguales y ligeros (masa despreciable). Un cronómetro. Un motor de forzamiento de frecuencia variable, para que produzca un movimiento de vaivén en uno de los extremos del sistema, es decir enganchado a uno de los muelles de los extremos, se puede utilizar para hacer que el sistema oscile a una frecuencia determinada.

5.2.2. Mejorado La sustitución del carril de bajo rozamiento por uno de aire produce una mejora sustancial en el número de oscilaciones que se puede medir y por tanto en los resultados. Un carril de aire es un perfil en ángulo con numerosos orificios por los que una bomba crea un colchón de aire por el que se deslizan las masas, también debe poseer incorporada una regla graduada para medir desplazamientos.

5.2.3. Medida automática La sustitución del método manual de medida mediante el cronómetro por un sistema automático en línea con un ordenador, produce una mejora en las medidas al eliminar el error del observador, no obstante, suele ser de coste elevado y despersonaliza el experimento. Existen casas comerciales que suministran sistemas automáticos de medida que se pueden acoplar a carriles.

5.2.4. Medida fotográfica Se puede utilizar una cámara fotográfica digital, situada fija en un trípode, que sea capaz de tomar imágenes automáticamente a intervalos regulares de tiempo (modo ráfaga).

5.3. Método experimental 5.3.1. Obtención de la constante del muelle Se comenzará obteniendo la constante k de uno de los muelles que se supondrá igual al resto. Montar el sistema de la Figura 5.14, desplazar la masa aproximadamente 10 cm desde la posición de equilibrio y dejarla mover partiendo del reposo, cronometrar el tiempo (t) que tarda en dar un número (n) determinado de oscilaciones, este número dependerá del rozamiento del carril, para obtener un buen resultado debe de dar al menos 5 oscilaciones.

86

Laboratorio de Física

Obtener el periodo T (T % t/n). Repetir el experimento N veces (al menos 5) y obtener la constante k usando el valor medio STT de las N medidas como el valor del periodo en la expresión: STT % 2n

J

m 2k

(5.104)

la masa se debe de dar como dato, o bien se puede medir con una balanza (Capítulo 1), aunque esto puede prolongar demasiado el experimento. Obtener el error del periodo con la expresión:

BT % y su valor como:

J

N

; (Ti . STT)2

i%1

(5.105)

N(N . 1)

T % STT u BT s

(5.106)

La constante del muelle se puede obtener de la Ecuación (5.104) como 2n2m SkT % STT2

(5.107)

y su error: Bk %

JA

B

LSkT BT LSTT

2

(5.108a)

Si la masa se ha dado con un error, la expresión para el error de la constante del muelle será: 2 2 LSkT LSkT BT ! Bm (5.108b) Bk % G LST T Lm Siendo el resultado:

J

B A

B

k % SkT u Bk N m.1

(5.109)

5.3.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento b Montar otra vez el sistema de la Figura 5.14 y desplazar la masa aproximadamente 10 cm desde la posición de equilibrio, anotar esta posición usando la regla del carril, soltar la masa y anotar la disminución de amplitud (Añ) (Figura 5.15) que alcanza después de la primera oscilación. Repetir el experimento N veces, al menos cinco, para diferentes valores iniciales de la amplitud. Teniendo en cuenta la expresión de la envolvente (5.55), Añ será la diferencia de los valores de xen para los tiempos t % 0 y t % T1 Añ % A . Ae.bt

(5.110)

usar como valor del periodo T1 el valor aTb obtenido anteriormente en el Apartado 5.3.1.

Capítulo 5. Oscilaciones

87

FIGURA 5.14. Posición inicial para el estudio del movimiento de oscilaciones longitudinales de una masa enganchada a dos muelles, los cuales están sujetos a dos soportes rígidos. Oscilador armónico amortiguado.

FIGURA 5.15. Desplazamiento en función del tiempo de un oscilador armónico amortiguado (línea continua) y sus envolventes (líneas de trazos largos).

Despejando b se obtiene: b %.

A

B

1 Añ ln 1 . T1 A

(5.111)

teniendo en cuenta que b % b/2m, queda que el coeficiente de amortiguamiento de la fuerza de rozamiento será b %.

A

2m Añ ln 1 . A T1

B

(5.112)

Construir una tabla con los N datos obtenidos para Añ, A y b, hallar el valor medio abb y su error:

Bb %

J

N

; (bi . SbT)2

i%1

N(N . 1)

(5.113)

El coeficiente de amortiguamiento será: b % SbT u Bb

N s m.1

(5.114)

88

Laboratorio de Física

5.3.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad Con el mismo montaje de la Figura 5.14, desplazar la masa, aproximadamente 20 cm desde la posición de equilibrio, anotar esta posición mediante el valor que da la regla del carril, soltar la masa y, desde ese instante, medir el tiempo que tarda en que se reduzca a la mitad la amplitud inicial (T1/2), que recibe el nombre de semivida. Repetir el experimento N veces (al menos cinco) para diferentes amplitudes y, usando una ecuación análoga a 5.105, obtener el valor de la semivida como: T1/2 % ST1/2T u BT1/2 s

(5.115)

Teniendo en cuenta la expresión de la envolvente (5.55) queda: A % Ae.bT1/2 2

(5.116)

Despejando b se obtiene: b%

ln 2 T1/2

(5.117)

teniendo en cuenta que b % b/2m queda que el coeficiente de amortiguamiento de la fuerza de rozamiento será: 1,39m (5.118) SbT % ST1/2T y su error: Bb % siendo el resultado:

JA

2

B A

LSbT BT1/2 LST1/2T

!

B

LSbT Bm Lm

2

(5.119)

b % SbT u Bb N s m.1

(5.120)

Teniendo en cuenta la Expresión (5.71) del factor de calidad, podemos obtener: Q%

n T1/2 u1 u1 T1/2 1 2n T1/2 % % % 2 ln 2 T T ln 2 2b 2 ln 2 ST1/2T T

SQT % 4,53

(5.121) (5.122)

el factor de calidad a partir de los valores de la semivida ST1/2T y del periodo (T % STT obtenido en el Apartado 5.3.1). Y su error: BQ % Dando como resultado:

JA

2

B A

LSQT BT1/2 LST1/2T

!

B

LSQT BT LT

2

Q % SQT u BQ

(5.123)

(5.124)

5.3.4. Medida de la frecuencia de resonancia Montar el sistema de la Figura 5.16. Se realizará una serie de medidas a distintas frecuencias del motor, en cada una de las cuales se medirá el periodo y la amplitud en el estado

Capítulo 5. Oscilaciones

89

estacionario. Las condiciones iniciales para cada medida deben ser con la masa en reposo y el motor a un cierto voltaje, que produce una frecuencia determinada. La amplitud (A) se mide en la regla del carril. La frecuencia se obtiene, midiendo el periodo a partir del tiempo que tarda en dar N oscilaciones, hallando su valor medio y usando la expresión u % 2n/T. Representando los valores de A y u, se obtiene una curva como la de la Figura 5.17, que da el valor de la frecuencia de resonancia uR como el correspondiente al máximo de la amplitud.

FIGURA 5.16. Posición inicial para el estudio del movimiento del oscilador armónico forzado.

FIGURA 5.17. Resultados experimentales (x) de la amplitud en función de la frecuencia exterior de un oscilador armónico forzado.

El factor de calidad se obtiene con la expresión: Q%

uR muR % 2b SbT

(5.125)

La frecuencia de resonancia también se puede obtener de la forma: uR % ∂u20 . 2b2 %

J

SbT2 4n2 . STT2 2m2

(5.126)

utilizando en ambas expresiones, para abb el valor obtenido en el Apartado 5.3.3, para el periodo aTb el obtenido en el Apartado 5.3.1 y para m la masa del carrito. De esta forma se tienen dos resultados de la frecuencia de resonancia, uno gráfico y otro calculado. Una alternativa para la realización de esta parte es la calibración previa del motor de forzamiento, es decir, hallar la equivalencia entre los voltios suministrados al motor y las frecuencias del mismo. Basta sólo con construir una tabla de voltios frente a frecuencias, midiendo el tiempo (t) que tarda en realizar un numero determinado de vueltas (por

90

Laboratorio de Física

ejemplo 10) y hallar su periodo (T % t/10) y la frecuencia (u % 2n/T). Con esta tabla sólo habrá que obtener la amplitud de las oscilaciones.

5.3.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación Se montará el dispositivo de la Figura 5.11. Para el modo 1 se medirá el tiempo t1 para n oscilaciones, partiendo del reposo en la posición del modo 1 de la Figura 5.11, con una amplitud de 10 cm aproximadamente. Es necesario hacer los desplazamientos iniciales cuidadosamente para que el muelle central permanezca inalterable. Este procedimiento se repetirá N veces. Para el modo 2 se medirá el tiempo t2 para n oscilaciones, partiendo del reposo en la posición modo 2 dada en la Figura 5.11, con una amplitud aproximada de 10 cm. Ahora es necesario hacer los desplazamientos iniciales, de tal manera que el centro del muelle central permanezca fijo. Se repetirá también N veces. Obtener los periodos T1 y T2 como valor medio de las N medidas realizadas. Obtener las frecuencias angulares con las formulas: Su1T %

2n ST1T

Su2T %

2n ST2T

(5.127)

Calcular los valores de estas frecuencias angulares con la expresiones (usando los valores de k y m obtenidos en el Apartado 5.3.1): uñ1 %

J

k m

uñ2 %

J

3k m

(5.128)

Obtener los errores de los periodos aT1b y aT2b con las expresiones:

BST1T %

J

N

; (T1i . ST1T)2

i%1

N(N . 1)

;

BST2T %

;

Bu2 %

J

N

; (T2i . ST2T)2

i%1

N(N . 1)

(5.129)

y de las frecuencias angulares: Bu1 %

Su1T BST1T ST1T

Buñ1 %

Buñ2 % siendo los resultados:

JA

Luñ1 Bk Lk

JA

Luñ2 Bk Lk

2

B A !

2

B

2

B

2

Luñ1 Bm Lm

B A !

Su2T BST2T ST2T

Luñ2 Bm Lm

(5.130)

(5.131)

u1 % u1 u Bu1

rad/s

u2 % u2 u Bu2

rad/s

uñ1 % uñ1 u Buñ1

rad/s

uñ2 % uñ2 u Buñ2

rad/s

(5.132)

comparar estos resultados haciendo una estimación de los motivos de las posibles diferencias.

Capítulo 5. Oscilaciones

91

5.3.6. Medida de la frecuencia de modulación Se montará el dispositivo de la Figura 5.12. Con las condiciones iniciales de la figura, se medirá directamente el periodo de modulación Tm que es el tiempo que tarda entre el instante inicial y el siguiente paso por la máxima amplitud de la masa que inicialmente se desplaza (Am2), este paso corresponderá al instante en que la otra masa (Am1) vuelva por segunda vez a estar en reposo. Para esto se desplazará una masa una distancia aproximada de 10 cm dejando la otra fija en la posición de equilibrio, se soltarán las dos masas y se medirá el tiempo entre la 1.a y la 3.a vez (Figura 5.13) que se pare la masa que inicialmente se desplaza (masa de la derecha Am2). Esta medida también se puede realizar entre la 2.a y 4.a vez que se pare o, en general, entre 2 paradas alternativas. Se realizarán N medidas y su valor medio nos dará el valor del periodo de modulación, con este valor se obtendrá la frecuencia de modulación um: SumT %

2n STmT

(5.133)

Usando los resultados experimentales de Apartado 5.3.5 calcular el valor de la frecuencia de modulación con la expresión: uñm %

1 (u . u1) 2 2

(5.134)

Obtener el error del periodo de modulación con la expresión:

BTm %

J

N

; (Tmi . STmT)2

i%1

N(N . 1)

(5.135)

y los errores de um con las expresiones: SumT BSTmT STmT

(5.136)

1 (Bu1 ! Bu2) 2

(5.137)

Bum %

Buñm % siendo los resultados: Tm % STmT u BTm s

um % SumT u Bum rad/s uñm % uñm u Buñm rad/s

(5.138)

comparar estos resultados haciendo una estimación de los motivos de las posibles diferencias.

5.3.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento Se montará el dispositivo de la Figura 5.18. Dado que el sistema oscilará a la frecuencia del motor, se puede hacer que el sistema oscile a las frecuencias de los modos y a la de pulsación, que se podrán identificar fácilmente con la mera observación del movimiento.

92

Laboratorio de Física

Para esto, se variará lentamente la frecuencia del motor hasta alcanzar la frecuencia del primer modo de oscilación, de la promedio y del segundo modo. En cada uno de los tres casos se medirá el tiempo (t) en el que se realizan N oscilaciones, obteniendo el periodo T (T % t/N), de los que se pueden deducir las frecuencias angulares. u1 %

2n T1

u2 %

2n T2

up %

2n Tp

um % (up . u1)

(5.139)

Si se desea prolongar el experimento se puede repetir utilizando un muelle central distinto (kñ) a los muelles de los extremos. Teniendo en cuenta que las Expresiones (5.118) deben ser: uñ1 %

J

k m

uñ2 %

J

k ! 2kñ m

(5.140)

FIGURA 5.18. Posición inicial para el estudio del movimiento de un sistema formado por dos masas y tres muelles en oscilaciones longitudinales, con ayuda de un motor que le suministra una fuerza exterior.

5.4. Resultados Los datos y resultados se pueden resumir de la forma siguiente:

5.4.1. Obtención de la constante del muelle Una tabla con los N datos t y T de las N medidas realizadas. El valor medio del periodo con su error y la constante del muelle con su error [Expresiones (5.104) a (5.109)].

5.4.2. Medida del coeficiente de amortiguamiento b Una tabla con los N datos A, Añ y b de las N medidas realizadas. El valor del coeficiente de amortiguamiento [Expresiones (5.110) a (5.114)].

5.4.3. Medida del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad Una tabla con los N valores medidos de la semivida y el valor obtenido [Expresión (5.115)]. Los valores del coeficiente de amortiguamiento y del factor de calidad [Expresiones (5.116) a (5.124)]. Se explicarán las posibles diferencias entre los resultados obtenidos para b en 3.2 y 3.3.

Capítulo 5. Oscilaciones

93

5.4.4. Medida de la frecuencia de resonancia Una tabla con los valores obtenidos para amplitudes y frecuencias. Se representará la curva A(u), para lo cual se puede utilizar un papel milimetrado y dibujar una curva aproximada a mano alzada, o bien, utilizar un ordenador con un programa de representación gráfica. De la gráfica se obtiene el valor de la frecuencia de resonancia, que también se debe de hallar con la Expresión (5.126) utilizando resultados de los apartados anteriores, comparando los resultados obtenidos. Se obtendrá también el factor de calidad del OAF con la Ecuación (5.125).

5.4.5. Medida de la frecuencia de los modos de oscilación Una tabla con los datos t1, T1, t2 y T2 de las N medidas realizadas. Los valores medios de los periodos y las frecuencias angulares, tanto experimentales como calculadas, con sus errores correspondientes [Expresiones (5.127) a (5.132)]. Se explicarán las posibles diferencias entre los valores experimentales y calculados de las frecuencias angulares, que deben ser pequeñas si las medidas se han hecho con cuidado.

5.4.6. Medida de la frecuencia de modulación Una tabla con los N valores medidos del periodo de modulación. El valor medio de estas N medidas con su error. Lo valores del periodo y la frecuencia angular de modulación usando las Expresiones (5.133) a (5.138). Se explicarán las posibles diferencias entre los resultados obtenidos.

5.4.7. Medida de las frecuencias con el motor de forzamiento Se darán los tres valores de los periodos y las frecuencias obtenidos y se compararán con los obtenidos en los apartados anteriores. Si se ha optado por repetir el experimento de las oscilaciones acopladas con un muelle central distinto hay que repetir los datos y resultados. Hay que constatar que los periodos y las frecuencias angulares del primer modo de oscilación son iguales pues en este modo el muelle central no modifica su longitud.

5.5. Cuestiones 1.

Definir con palabras la frecuencia angular de un oscilador armónico simple.

2.

Estudiar el problema de un oscilador armónico simple formado por una masa enganchada a dos muelles distintos, los cuales a su vez están enganchados a dos soportes rígidos.

3.

Estudiar la Figura 5.10 y el movimiento para los distintos valores del factor de calidad.

4.

Estudiar el problema de un sistema formado por dos masas y tres muelles distintos que realiza pequeñas oscilaciones longitudinales.

Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión 6.1. Introducción 6.1.1. Compresión y tracción 6.1.2. Flexión 6.1.3. Torsión 6.2. Instrumentación 6.2.1. Tracción 6.2.2. Flexión 6.2.3. Torsión 6.3. Método experimental 6.3.1. Tracción 6.3.2. Flexión 6.3.3. Torsión

Nuestra experiencia más próxima nos lleva a observar que muchos de los sólidos que nos rodean se deforman cuando se aplica una fuerza sobre ellos; y o bien recuperan su forma una vez dejamos de aplicar dicha fuerza (deformación elástica) o quedan deformados de modo permanente (deformación plástica). En esta práctica estaremos interesados en el primer régimen, el elástico, que presenta cualquier material en su fase inicial de deformación.

96

Laboratorio de Física

6.1. Introducción El sólido rígido se define como aquel en el que la distancia entre dos cualesquiera de elementos básicos permanece invariable durante la aplicación de una fuerza; de modo que un sólido rígido conserva su forma durante todo el proceso dinámico. Esto nos lleva a definir conceptos tan útiles como el de centro de masas que nos permite, por ejemplo, a tratar las traslaciones de todo el volumen del cuerpo como si fuera el de una partícula puntual cuya masa fuera la correspondiente a todo el sólido y cuya posición en función del tiempo viene determinada por la posición del centro de masas. Sin embargo, nuestra experiencia más próxima nos dicta que este tipo de materiales no existen como tales en la naturaleza. Desde un punto de vista más fundamental nos basta con recordar cómo es la forma general de la energía potencial de interacción entre las partículas de cualquier sólido: en uno rígido estas están sometidas a una energía potencial infinita en sus posiciones de equilibrio, lo que las hace infinitamente estables, esto es, no se ven afectadas por perturbación alguna. Por tanto, de cara a considerar el problema del efecto de un conjunto de fuerzas actuando sobre un cuerpo de esta naturaleza, si las distancias entre las diferentes partes del mismo no se ven afectadas unas respecto a otras bajo la aplicación de las fuerzas externas durante el tiempo en que llevamos a cabo un determinado experimento, esto implica que podemos considerarlo como rígido, siendo esta una buena aproximación. Sin embargo, si las fuerzas internas del material son del mismo orden de magnitud que las externas, además de poder producirse traslaciones y rotaciones del sólido como un todo, se producirán desplazamientos de las partículas componentes de sus posiciones de equilibrio, es decir, deformaciones, que, es más, no tienen que ser homogéneas en el volumen del sólido. De esta manera encontramos que, por ejemplo, en condiciones de equilibrio, las fuerzas que actúan sobre todo cuerpo deformable satisfacen las mismas que en el caso de un cuerpo rígido, pero en aquel estas, pese a ser necesarias, no son suficientes. Para centrar aún más las ideas veamos el siguiente ejemplo simple: consideremos una barra AB, como la que se muestra en la Figura 6.1, y apliquemos sobre sus extremos fuerzas del mismo módulo, es decir, 8FA8 % 8FB8, lo que implica que la barra estará en equilibrio desde el punto de vista de la mecánica. Si desde los puntos de aplicación en sus extremos, Figura 6.1(a), trasladamos ambas fuerzas de modo que el punto de aplicación de la fuerza FA sea el punto B y el de la fuerza FB el punto A, Figura 6.1(b), o, ambas fuerzas a cualquier otro punto C sobre su línea de acción en el interior de la barra, Figura 6.1(c), caso de estar tratando con un sólido rígido, no se perturba el equilibrio. Sin embargo, si estudiamos el mismo problema desde el punto de vista de un sólido real, esto es, deformable, en cada uno de los casos anteriores el comportamiento del sólido será distinto. En el primer ejemplo la barra se estira bajo la acción de la fuerzas aplicadas, en el segundo la barra se comprime, y en el último caso no experimenta ninguna deformación. De modo que en un cuerpo deformable, el trasladar el punto de aplicación de las fuerzas a lo largo de la línea de acción, lleva a comportamientos completamente diferentes respecto al común que encontrábamos en el sólido rígido. La hipótesis básica de la teoría clásica de la elasticidad es la de trabajar con medios continuos, es decir, no se tiene en consideración la distribución particular de los átomos, iones o moléculas en el interior del sólido y se emplea en su lugar conceptos como el de densidad, que por ejemplo permite desarrollar un tratamiento simple para las ondas elásticas que pueden propagarse en un material elástico.

Capítulo 6.

Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

97

FIGURA 6.1. Posibles disposiciones de dos fuerzas actuando sobre un material.

Hemos visto que para producir una deformación en un material necesitamos aplicar fuerzas sobre el medio, y que en un caso general llevan aparejada la aparición de momentos de fuerza sobre el mismo material. De modo que en principio el material posee una dinámica traslacional y rotacional. Sin embargo, nosotros en este capítulo no estamos interesados en dichas dinámicas por lo que asumiremos que estamos en condiciones de equilibrio, es decir, se verifica el conjunto de ecuaciones ; Fn % 0

y

n

; Mn % 0

(6.1)

n

Siendo Fn el conjunto de fuerzas que actúa sobre el material y Mn sus correspondientes momentos. Como sabemos, la primera ecuación establece el equilibrio traslacional y la segunda el rotacional. Pero como ya hemos mencionado estas ecuaciones representan condiciones necesarias pero no suficientes. Como veíamos en relación a la Figura 6.1, la barra está en equilibrio si 8FA8 % 8FB8, sin embargo, si el material es real aparecerá una respuesta del mismo, una deformación. Cuando un sólido no está deformado sus diferentes partes se hallan en equilibrio, existiendo una relación espacial determinada entre ellas. Sin embargo, al deformarle bajo la aplicación de una fuerza externa se alcanza una nueva situación de equilibrio en la que se llega a una disposición espacial diferente entre las partes del material. En todos los materiales existe un intervalo para el módulo de la fuerza aplicada para el que una vez que esta se deja de aplicar el material recupera su forma original, esta región es la que se conoce como región elástica (dependiendo del material esta puede ser mayor o menor, esto es, comportarse de dicho modo en un mayor o menor rango de fuerza aplicada). Es más, en esta región se observa que la relación entre la fuerza aplicada y la deformación producida tiene un comportamiento lineal. Una vez que aplicamos una fuerza mayor que la de este intervalo la deformación del material pasa a lo que se conoce como régimen plástico, caracterizado por el hecho de que, una vez que se deja de aplicar la fuerza externa, el material no recupera su forma inicial y queda deformado de manera permanente. Esta última región finaliza en un punto conocido como límite de ruptura del material y en el que este se quiebra.

6.1.1. Compresión y tracción La ley que rige las deformaciones elásticas se conoce como ley de Hooke, y no es más que la generalización a un sólido del oscilador armónico simple que hemos estudiado en capítulos anteriores. Consideremos el problema en el que sobre una barra de un determinado

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Laboratorio de Física

material aplicamos en sus extremos fuerzas de la misma magnitud pero de sentido opuesto, como se muestra en la Figura 6.2 (que como veremos más abajo representa un experimento de tracción). La experiencia nos determina que la deformación en la dirección de aplicación de dicha fuerza es proporcional a la misma, siempre y cuando no entremos en el régimen plástico del material.

FIGURA 6.2. Disposición de las fuerzas en un experimento de tracción.

Con idea de formalizar el problema de la deformación elástica, al estar interesados en el material desde un punto de vista macroscópico, y tomando como referencia la forma como se aborda el problema de los fluidos, en lugar de manejar la fuerza aplicada sobre todos los puntos de la sección de la barra emplearemos el concepto de tensión, es decir, la fuerza aplicada por unidad de superficie, similar al concepto de presión de los fluidos. El usar este concepto nos permitirá establecer relaciones entre la deformación y la tensión independientemente de la geometría y dimensiones del material concreto que estemos analizando. Una vez que establecemos un sistema de referencia para expresar direccionalmente todas las posibles tensiones que pueden aplicarse sobre cada una de las superficies de un determinado material, es inmediato deducir que las tres tensiones básicas son las que se muestran en la Figura 6.3.

FIGURA 6.3. Tensiones elementales sobre la superficie de un material.

Como se observa en esta Figura 6.3 la notación que emplearemos para describir estas tensiones básicas será pnm (n o m % x, y o z) cuyos subíndices tienen el siguiente significado: el primer subíndice proporciona la dirección en la que se aplica la tensión y el segundo la dirección normal a la superficie sobre la que se aplica. Es inmediato ver que cualquier tensión más compleja que actúe sobre el elemento de superficie puede deducirse de estas tres componentes como combinación de las mismas. Por simplicidad nos centraremos en el estudio de un bloque de determinado material preparado en forma de cubo, aunque las conclusiones que extraigamos serán de validez general. Analicemos el conjunto de tensiones «fundamentales» diferentes que se pueden aplicar sobre el mismo. A partir de lo que acabamos de mencionar vemos que las únicas posibles son las indicadas en la Figura 6.4.

Capítulo 6.

Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

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FIGURA 6.4. Conjunto de todas las posibles tensiones básicas actuando sobre un material.

Este bloque está constituido por un conjunto de tres pares de planos paralelos. Así pues, si por cada par de planos tenemos tres posibles tensiones fundamentales, entonces, para el volumen descrito en la figura anterior habrá nueve tensiones diferentes. (La forma de tratar matemáticamente este conjunto de tensiones es con una matriz de 3 # 3.) Sin embargo, hay que tener presente que exigir que el material no rote como un todo implica pij % pji, (i j) como se ve gráficamente en la Figura 6.5.

FIGURA 6.5. Ejemplo de tensiones de cizalla. Si pi j Ç pj i el material rotaría como un todo.

Esta condición conlleva que sólo haya seis tensiones diferentes: pxx; pyy; pzz; pxy; pyz; pzx. Las tres primeras se denominan tensiones hidrostáticas (y son equivalentes al concepto de presión en líquidos); y las tres últimas de cizalla (estas no tienen símil en el estado líquido, siendo una de las características diferenciadoras del estado sólido). En función del signo de las tensiones hidrostáticas comprimimos el material (pnn a 0), o lo estiramos (pnn b 0). Con estas seis componentes podemos describir cualquier tensión sobre un material de geometría arbitraria. Hasta aquí hemos analizado las posibles acciones sobre un sólido. Ahora debemos caracterizar el efecto sobre los materiales de estas acciones, esto es, su deformación. Entenderemos ésta como la variación de las distancias relativas de los diferentes elementos del material. Si en un determinado sistema de coordenadas la posición de un punto del material antes de la deformación viene dada por su vector posición r % (x, y, z) % (x1, x2, x3), (usaremos ambas notaciones indistintamente), al deformarse el sólido su nueva posición será

100

Laboratorio de Física

rñ % (xñ, yñ, zñ) % (xñ1, xñ2, xñ3). En consecuencia, el desplazamiento de este punto debido a la deformación vendrá dado por el vector u % rñ . r (en general dependerá de cada punto de material, es decir, u % u(r)). Sin embargo lo verdaderamente significativo en el fenómeno de deformación es la variación de las distancias relativas de los puntos del material; de este modo, si la distancia entre dos puntos infinitesimalmente próximos del material es antes de la deformación, tras ella su distancia será dr, de forma que du % drñ . dr. Expresando sus componentes en diferenciales tenemos dun % ; n

Lun dxm Lxm

(6.2)

Donde n o m % x, y o z. Así pues la distancia entre los puntos una vez deformado el material vendrá dada por

C

8drñ8%∂[(dx1 !du1)2 !(dx2 !du2)2 !(dx3 !du3)2] % 8dr82 ! 2 ; ; unm dxn dxm Siendo unm %

n

m

Lun Lum ! Lxm Lxn

D

1 2

(6.3)

(6.4)

En la que hemos despreciado por pequeños los términos de segundo orden del tipo dun dum, lo que implica asumir que las deformaciones son pequeñas. (Esta aproximación no es válida en general en el problema de flexión puesto que en este caso el vector desplazamiento puede ser grande para pequeñas deformaciones.) Como es inmediato deducir de la forma de las componentes unm, se verifica que unm % umn. Con idea de aclarar el significado de estas expresiones veremos dos ejemplos fundamentales para los problemas que nos vamos a encontrar en las prácticas propuestas. Consideremos en primer lugar un problema de compresión en la dirección x, pxx. Impondremos la condición de que el material no se deforme en las otras dos direcciones espaciales (esto implica que uyy, uzz % 0). Consideremos entonces dos puntos del medio material cuya separación antes de la deformación es dr % dx1 i ( i es el vector unitario en la dirección x). Al deformar el material obtendremos dxñ1 % ∂[(dx1 ! du1)2] % ∂[dx21 ! 2u11 dx21] % ∂[1 ! 2u11] dx1

(6.5)

Como las distancias son infinitesimales el término de la raíz cuadrada es pequeño y podemos hacer su desarrollo en serie de Taylor quedándonos con los dos primeros términos del mismo. Es decir, dxñ1 ] (1 ! u11) dx1

(6.6)

De donde llegamos a u11(% uxx) ]

dxñ1 . dx1 dx1

(6.7)

De modo que encontramos que los elementos unn, tal que n % x, y, z, representan los incrementos (o decrementos) relativos de la longitud del material en cada una de las tres direcciones espaciales. Estas se denominan deformaciones hidrostáticas, y como demostraremos a continuación llevan aparejadas variaciones de volumen del material. Por el momento no consideraremos los términos no diagonales de la deformaciones, es decir, asumiremos que unm % 0, n Ç m (las condiciones de esta aproximación se entende-

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

101

rán más adelante cuando veamos el significado de estos términos). Entonces, como para cada dirección espacial tenemos dxñn2 % (1 ! 2unn) dx2n

(6.8)

n % x, y o z, las variaciones del volumen del material vendrán dadas como el producto de estas tres componentes, esto es,

A

B

dVñ2 ] dx21 dx22 dx23 % 1 ! 2 ; unn dV2 n

(6.9)

Donde como antes hemos despreciado los términos de segundo orden. Si llevamos a cabo ahora la aproximación de la raíz cuadrada llegamos a la expresión dVñ . dV ] ; unn dV n

(6.10)

Así pues, la variación relativa de un elemento de volumen del cuerpo está determinada por la suma de las componentes diagonales de la matriz de deformación. Si asumimos que la deformaciones son homogéneas en todo el volumen del material, entonces podemos escribir la ecuación anterior como BV ] ; unn V0 n

(6.11)

Y donde V0 corresponde al volumen del material antes de la deformación. El segundo problema que nos plantearemos es aquel en el que aplicamos tensiones en una dirección paralela a alguna de las superficies del material (siguiendo el criterio que establecíamos más arriba, pnm, n Ç m), estos es, tensiones de cizalla. Tomemos de referencia dos puntos del material cuya distancia relativa viene dada por la relación dr % da j . Y asumamos que tras la deformación su distancia viene dada por drñ % da sen a i ! da cos a j , lo que supone asumir que no hay variación del volumen del material, variando sólo su forma (Figura 6.6).

FIGURA 6.6. Deformación producida en un material por la aplicación de una tensión de cizalla.

En consecuencia, a la vista del análisis que acabamos de llevar a cabo más arriba, las únicas deformaciones diferentes de cero serán en este caso unm, n Ç m. Como en el caso que estamos considerando tenemos dxi % dxj % da, entonces

A B

8(drñ . dr)8 % 2 sen

a da ] a da % ∂[1 ! 2uij] da ] uij da 2

(6.12)

102

Laboratorio de Física

Donde para establecer la relación entre la segunda y tercera igualdad hemos supuesto que la deformación de cizalla considerada es pequeña. Así pues, (6.13)

uij % a

Luego las componentes unm, con n Ç m, representan los ángulos asociados a las variaciones de forma del material. Acabamos de describir la forma de tratar las tensiones y las deformaciones, esto es, la causa y el efecto. El siguiente paso que hemos de dar es relacionar ambas magnitudes. Este punto es equivalente al tratar de obtener la constante de restauración de un muelle, una característica intrínseca del mismo y que representa el factor de proporcionalidad entre la fuerza aplicada sobre él y la deformación con la que responde. Sin embargo, en el caso de los sólidos, el problema es un poco más complicado como queda de manifiesto en los experimentos que vamos a analizar a continuación. Comenzaremos por la aplicación de una tensión hidrostática, pnn; observamos que el efecto que se produce en el material no es únicamente una deformación en la dirección de aplicación de la tensión, unn [Figura 6.7(a)], sino que, adicionalmente, el material se deforma en las direcciones perpendiculares a la de aplicación de la tensión, esto es, umm, con m n [Figura 6.7(b)].

FIGURA 6.7. (a) Hipotética deformación bajo la aplicación de una tensión hidrostática (b) Deformación real cuando se somete el material a dicha tensión (El recuadro a trazos representa la forma del material sin deformación).

Esto implica que en un caso general para un medio isótropo las relaciones entre las deformaciones hidrostáticas y todas las posibles tensiones vendrán dadas por las relaciones siguientes 1 uxx % [pxx . l(pyy ! pzz)] E 1 uyy % [pyy . l(pxx ! pzz)] (6.14) E 1 uzz % [pzz . l(pxx ! pyy)] E Las constantes que aparecen son el módulo de Young, E, y el coeficiente de Poisson, l. Para aclarar el significado de este conjunto de ecuaciones planteemos un problema típico de laboratorio. Supongamos un material que se somete a una tracción uniforme de valor p en la dirección x, es decir, pxx % p. Entonces, imponiendo estas condiciones en el sistema de ecuaciones anterior nos quedaría uxx %

1 p, E

uyy %.

l p, E

uzz %.

l p E

(6.15)

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

103

De aquí podemos deducir de forma inmediata el significado del módulo de Young y el coeficiente de Poisson. El primero determina cómo se deforma el material en la dirección de aplicación de la tensión (es equivalente a la constante de restauración de un muelle, k). En cuanto al coeficiente de Poisson, operando sobre las dos primeras ecuaciones anteriores llegamos a uyy %. luxx

(6.16)

Es decir que el coeficiente de Poisson determina la deformación hidrostática en una dirección espacial ortogonal a la de aplicación de la tensión. Este sólo puede variar entre .1 y 12, aunque en la práctica sólo lo hace entre 0 y 12, ya que no se conocen sustancias para las cuales l a 0, es decir, sustancias que se dilatan transversalmente cuando se le estira longitudinalmente. La razón para que sólo pueda tomar valores en este intervalo son muy fundamentales: si consideramos la energía potencial elástica de un sólido isótropo deformado, valores del coeficiente fuera del intervalo mencionado implicarían valores de la energía menores que los correspondientes al sólido sometido a las tensiones externas; esto querría decir que una vez que el sólido comenzara a deformarse, por muy pequeña que fuera la deformación inicial, seguiría deformándose indefinidamente por sí sólo, al tender a un estado de mayor estabilidad. Pero este fenómeno no es físico ya que va en contra de uno de los principios básicos del comportamiento de la naturaleza, la imposibilidad del móvil perpetuo de primera especie, que afirma que no se puede obtener energía de un sistema físico cualesquiera sin aportar una cantidad mayor de la misma mediante la realización de trabajo sobre él. Finalmente, expresaremos sin demostración las ecuaciones que relacionan las tensiones y deformaciones de cizalla, que también para un medio isótropo son: uxy % 2 uxz % 2 uyz % 2 Donde G %

A B A B A B

1!l pxy E 1!l pxz E

(6.17)

1!l pyz E

A B

1 E se denomina módulo de cizalla. 2 1!l

6.1.2. Flexión Cuando apoyamos una viga en sus extremos y la cargamos en algún punto, o en varios a lo largo de la misma, nuestra experiencia es que esta se deforma; volviendo a su forma original si estamos en condiciones elásticas una vez retiramos la carga. Para tratar el problema analíticamente comenzaremos determinando lo que se conoce como elástica de la viga flexionada, la ecuación que nos determina su flexión. Como se observa en la Figura 6.8, la flexión implica una distribución de tensiones no uniforme a lo largo de la sección de la viga, caracterizada por una frontera límite llamada superficie neutra (que en el corte que se muestra en la figura anterior aparece como una línea). Siguiendo el tratamiento del apartado anterior, la relación entre la tensión y su correspondiente deformación en la región elástica viene expresada a través de la relación pxx % Euxx, dependiendo ambas en este caso de la distancia a la línea neutra (aunque su-

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Laboratorio de Física

FIGURA 6.8. Deformación por flexión de una viga. En los detalles se muestra la distribución de tensiones a lo largo de la sección de la misma. (a) Esquema en perspectiva. (b) Corte de la viga.

pondremos que, sin embargo, son uniformes a lo largo de la viga para cada sección infinitesimal). Ahora bien, la deformación ha de estar relacionada con el radio de curvatura de la viga flexionada. Efectivamente, como se muestra en la Figura 6.9, asumiendo primer orden de aproximación, Bl ! l0 % Rh, y como por otro lado Bl % yh, entonces, Bl % yh % y

(Bl ! l0) l0 ]y R R

ú

uxx %

Bx Bl y ] ] x0 l0 R

(6.18)

Así pues, llegamos a la relación pxx % E

y R

(6.19)

El siguiente paso que daremos será la determinación del radio de curvatura de la viga. Implícitamente supondremos en lo que sigue que su flexión es pequeña, de forma que podemos considerar que el radio de curvatura es muy grande. Si observamos el detalle de la deformación que aparece en la Figura 6.10, el arco que determina la flexión lo podemos expresar como ds % ∂dx2 ! dz2 % dx∂1 ! (dz/dx)2

(6.20)

Por otro lado, sabemos que ds % R dh y como h % arctag (x/z) ú

dh %

AB

1 d x dx 2 1 ! (x/z) dx z

(6.21)

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

105

FIGURA 6.9. Corte de la deformación por flexión de una viga.

FIGURA 6.10. Detalle de una deformación por flexión.

De la Figura 6.10 puede deducirse la relación x/z ] dz/dx. Entonces, relacionando las ecuaciones anteriores obtenemos

dx

J AB dz 1! dx

2

%

AB

R d dz dx 1 ! (dz/dx)2 dx dx

(6.22)

de donde llegamos a la expresión para el radio de curvatura d2z d2 z dx2 1 % ] R [1 ! (dz/dx)2]3/2 dx2

(6.23)

106

Laboratorio de Física

La segunda igualdad se obtiene despreciando (dz/dx)2 frente a 1, asumiendo que este término es de segundo orden. Entonces, nos queda pxx % Ey

d2z dx2

(6.24)

Como se ve en la Figura 6.8 las tensiones por encima y por debajo de la superficie neutra tienen signos opuestos, lo que implica que sobre la sección transversal de la viga ha de haber un momento neto respecto a la superficie neutra, y al que denominaremos momento flector. Este vendrá dado por la contribución de todas las tensiones a lo largo de la sección de la viga, es decir, M%

I

ypxx dS % E

S, sección de la viga

d2z dx2

I

y2 dS % EI S, sección de la viga

d2 z dx2

(6.25)

Donde I se conoce como momento de inercia de la sección transversal de la viga, factor determinante en el diseño de las vigas para construcción. Para el caso concreto en el que esta tenga una sección rectangular I % ab3/12, siendo a y b sus correspondientes dimensiones. Por otro lado, este momento flector ha de estar relacionado con las fuerzas externas que actúan sobre la propia viga. Estas lógicamente dependen del problema particular que estudiemos. Aquí analizaremos en detalle los dos casos concretos en los que estaremos interesados para el desarrollo de las dos prácticas de laboratorio propuestas: una viga cargada en su centro [Figura 6.11(a)] y en otra cargada en un extremo y apoyada en una articulación y un apoyo simple [Figura 6.11(b)].

FIGURA 6.11. (a) Viga apoyada en sus extremos y cargada en su centro. (b) Viga empotrada con apoyo y cargada en uno de sus extremos.

Para el primer problema, de cara a relacionar los momentos flectores con las fuerzas externas, tomaremos como origen el centro de la viga, en el punto en el que aplicamos la carga. De este modo, para la viga cargada con un peso P en su centro, el momento flector vendrá dado por M%.

A B A B

P l P l !x ! . x % .Px 2 2 2 2

(6.26)

Siendo máximo en el centro y cero en lo apoyo. Entonces, la elástica nos queda para este problema EI

d2z % . Px dx2

(6.27)

Cuya solución es z(x) % .

P 6EI

3

CA B D l 2

u x3

(6.28)

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

107

El signo ! (.) corresponde a la parte positiva (negativa) del eje de las x. Esta ecuación nos describe el perfil de la viga deformada en función de la dimensión que representa su longitud. Por otro lado, para el caso de una viga empotrada por uno de sus extremos con un apoyo en el centro de la misma, y la carga en el otro extremo, la ecuación de la elástica, referida a un sistema de referencia en el que el origen está en el apoyo,

E

.

z(x) %

6.1.3. Torsión

P EI

P . EI

A A

.

x3 x2 x ! l ! l2 , 12 6 4

x2 x3 x ! l ! l2 , 12 6 4

B

B

F

xa0

xa0

(6.29)

El tercer problema que analizaremos dentro de los fenómenos elásticos es el de torsión. Un esquema del mismo está representado en la Figura 6.12 para una barra cilíndrica.

FIGURA 6.12. Fenómeno de torsión sobre una barra cilíndrica bajo la aplicación de momentos de torsión en sus extremos.

Así si aplicamos un momento a una barra cilíndrica de un determinado material del modo que se muestra en la figura anterior, se produce una deformación, un retorcimiento, que representaremos con el ángulo de deformación de la sección de la barra, h. Este puede expresarse en función del radio de la sección que estemos considerando de la barra, r, su longitud, L, y el ángulo que representa el retorcimiento de toda la barra, h (Figura 6.13) rh ] Lh

ú

h%

r h L

(6.30)

Por otro lado, las tensiones implicadas en este fenómeno son, como se deduce de la figura anterior, de cizalla. Entonces, recordando la forma de la relación entre las tensiones y deformaciones de cizalla, podemos hacer h % p/G, de donde llegamos a la relación p%G

r h L

(6.31)

Siendo G el módulo de cizalla. De modo que el momento de torsión debido a esta tensión de cizalla a un radio r sobre un elemento de volumen determinado por el intervalo (r, r ! dr), Figura 6.14, vendrá dado por dM % rp2nr dr % 2nG

r 2 hr dr L

(6.32)

108

Laboratorio de Física

FIGURA 6.13. Ángulo de retorcimiento de toda la barra.

FIGURA 6.14. Elemento de volumen a un determinado radio de un barra cilíndrica.

Y entonces el momento sobre toda la sección de la barra cilíndrica será M%

I

R 0

G dM % 2n h L

I

R

R4 r dr % nG h 2L 3

0

(6.33)

Siendo R el radio exterior de la barra.

6.2. Instrumentación La medida de deformaciones puede llevarse a cabo con muy poca inversión económica. Basta con las piezas o bloques, vigas y barras que queramos estudiar, algún sistema de apoyos o fijaciones para apoyar durante las experiencias el material que estemos estudiando y un micrómetro comercial como el que se muestra en la Figura 6.15, que permite medir variaciones espaciales con precisión de la micra. Sin embargo, la alternativa a los micrómetros, si se dispone en el laboratorio que se desee montar de suficiente presupuesto, son los extensiómetros (o galgas), que se pueden adquirir en diferentes casas comerciales. Los más extendidos en la actualidad son los basados en la resistencia eléctrica; estos están constituidos por un hilo metálico muy fino dispuesto en forma de rejilla continua (Figura 6.16), adherida a una base muy delgada no conductora, de manera que la mayor parte de su longitud está distribuida paralelamente a una dirección fija.

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

109

FIGURA 6.15. Micrómetro comercial.

FIGURA 6.16. Rejilla de material metálico base para la construcción de una galga extensiométrica.

El fundamento de funcionamiento de este dispositivo experimental se basa en el hecho de que la resistencia eléctrica de un alambre aumenta cuando se alarga, disminuyendo en caso contrario. La ecuación que nos relaciona la resistencia eléctrica de un alambre metálico de resistividad o, longitud l y sección A, es R%o

l A

(6.34)

Admitiremos que el hilo experimenta las mismas deformaciones que la superficie sobre la cual se adhiere. Entonces, una vez que el material se deforme la variación de la resistencia eléctrica puede expresarse como dR do dl dA % ! . o l A R

(6.35)

Si el hilo antes de la deformación tiene un diámetro d0, tras la deformación vendrá dado por

A

d % d0 1 . l

dl l

B

(6.36)

110

Laboratorio de Física

Donde l es el coeficiente de Poisson del material del hilo. La variación de su sección, dA, es debida a la contracción lateral y puede expresarse de forma aproximada como dl dA ] .2l l A

(6.37)

Por otro lado, la variación relativa de la resistividad es proporcional a la variación relativa de volumen del conductor (ley de Bridgman), es decir, dV dl do %C % (1 . 2l) V l o

(6.38)

Siendo C la constante de Bridgman, característica del material conductor empleado. De modo que reagrupando términos llegamos a la expresión dl dR % K % Kunn l R

(6.39)

Donde K % (C ! 1)(1 . 2l) y unn es la variación relativa de longitud de la galga, como ya hemos visto más arriba. De este modo la medición de la variación de la resistencia eléctrica nos permite obtener una lectura directa de la deformación longitudinal producida en la zona de la superficie en la que se ha adherido la galga. La constante K es un parámetro que se denomina factor de sensibilidad de la galga, valor que siempre ha de aportar el fabricante, estando habitualmente entre 2 y 4. La galga se adhiere a la superficie del material obteniendo la deformación relativa longitudinal, unn, para una determinada dirección arbitraria definida por el vector unitario sobre la superficie. Esta estará dada por unn % a2uxx ! b2uyy ! abuxy

(6.40)

Donde a y b son los cosenos directores de la dirección n respecto al sistema de referencia escogido sobre la superficie. Esto implica que hemos de llevar a cabo tres medidas, con tres galgas extensiométricos, con idea de determinar uxx, uyy y uxy. En cualquier caso la descripción de las prácticas propuestas se hará con el material más económico.

6.2.1. Tracción Calibre. Dinamómetros. Pinzas de sujeción. Materiales suficientemente elásticos.

6.2.2. Flexión Vigas de acero de la misma longitud pero distintas secciones. Micrómetro. Soporte para pesas. Pesas. Bases de fijación. Cinta métrica.

6.2.3. Torsión Varillas cilíndricas de materiales metálicos (cobre, latón, aluminio, acero), de diferentes longitudes y radios. Círculo graduado. Dinamómetros. Bases de fijación.

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

111

6.3. Método experimental El objetivo general del conjunto de prácticas que se proponen es obtener las constantes elásticas que determinan la deformación elástica de diferentes materiales.

6.3.1. Tracción Deformar los materiales seleccionados con 7 o 9 tensiones diferentes, cuyos valores determinamos a partir de las lecturas del dinamómetro y de la medida de las secciones del material para cada deformación. (Por simplicidad conviene que los materiales sin deformar tengan geometría cúbica.) Asumiendo que los materiales empleados son isótropos, representar pxx vs uxx, uyy y uzz. Ajustar por mínimos cuadrados, (Capítulo 12), el modelo teórico, expresado en las Ecuaciones 6.15, uxx % p/E, uyy % .lp/E, uzz % .lp/E, a los datos experimentales representados en una gráfica, determinar las dos constantes elásticas, módulo de Young, E, y coeficiente de Poisson, l, de los materiales analizados.

6.3.2. Flexión 1.

Viga de longitud l y momento de inercia I, ambos conocidos, apoyada en sus extremos y cargada en su centro con un peso P. En la Figura 6.17 se presenta la disposición de los diferentes elementos en el experimento propuesto.

FIGURA 6.17. Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experiencia de flexión de un viga apoyada en sus extremos y con carga en el centro.

a) De la Ecuación 6.28 podemos determinar la predicción teórica para la deformación en el centro de la viga (x % 0) z(0) %

Pl3 48EI

(6.41)

Cargando la viga con diferentes pesos, P, (entre 6 y 8), y midiendo con un micrómetro los correspondientes desplazamientos, z, representar los datos en un gráfico P vs z. Ajustar por mínimos cuadrados, (Capítulo 12), el modelo teórico, Ecuación 6.41, a los datos experimentales y de la pendiente de ajuste extraer el módulo de Young E del material de la viga.

112

Laboratorio de Física

b) Manteniendo ahora una carga constante, P, con 6 o 7 vigas del mismo material de la misma longitud l pero distintos momentos de inercia, comparar los resultados experimentales con el comportamiento predicho por la teoría, Ecuación 6.41, y en el que z(0) ] 1/I. c) Finalmente, para una determinada viga de longitud l y momento de inercia I, ambos conocidos, manteniendo una carga constante, P, en el centro medir, desplazando el micrómetro, la flexión en diferentes puntos de la viga. Puesto que hay simetría respecto al centro basta medir en una de las dos partes, bien positiva o negativa, del eje de las x. Realizar unas 8 o 10 medidas a lo largo de la viga y representar en un gráfico x vs z el conjunto de medidas, superponiendo al mismo la curva predicha por la teoría, Ecuación 6.41. 2.

Viga de longitud l y momento de inercia I, ambos conocidos, empotrada, con un apoyo simple y cargada en un extremo. En la Figura 6.18 se presenta la disposición de los diferentes elementos en el experimento propuesto.

FIGURA 6.18. Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experiencia de la flexión de una viga empotrada con apoyo en el centro y cargada en un extremo.

a) De la Ecuación (6.29) podemos obtener la siguiente expresión para la deformación en el extremo de la viga l l3 %. P 2 8EI

A B

z x%

(6.42)

Cargando la viga con diferentes pesos, P, (entre 6 y 8), y midiendo con un micrómetro los correspondientes desplazamientos, z, representar los datos en un gráfico P vs z. Ajustar por mínimos cuadrados, (Capítulo 12), el modelo teórico, Ecuación (6.42), a los datos experimentales y de la pendiente de ajuste extraer el módulo de Young E del material de la viga. b) Para una determinada viga de longitud l y momento de inercia I, ambos conocidos, manteniendo una carga constante, P, medir, desplazando el micrómetro, la flexión en diferentes puntos de la viga. Tomar los datos en 8 o 10 puntos repartidos a ambos lados del apoyo. Realizar unas 8 o 10 medidas a lo largo de la viga y representar en un gráfico x vs z el conjunto de medidas, superponiendo al mismo la curva predicha por la teoría, Ecuación 6.42. La deformación máxima teórica se produce en el punto x%.0,21l. Comprobar si este resultado concuerda con los datos experimentales.

Capítulo 6. Deformaciones elásticas: tracción, flexión y torsión

113

6.3.3. Torsión En la Figura 6.19 se presenta la disposición de los diferentes elementos del experimento propuesto. El desarrollo de la práctica se basa en aplicar diferentes momentos de torsión, M, a una serie de varillas midiendo los correspondientes ángulos de giro, h, en cada caso.

FIGURA 6.19. Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experiencia de torsión.

Para determinar el momento de torsión basta emplear un dinamómetro con el que se aplica una fuerza a un brazo unido a la base de la varilla, procurando mantener un ángulo de 90o entre la fuerza y el brazo, (Figura 6.19), de modo que el momento es simplemente el producto de la fuerza por el brazo. (Es importante no sobrepasar la zona elástica de las varillas, para lo que no deben superarse ángulos de 60o, aproximadamente, para varillas de acero, de 50o para cobre y latón, ni de 30o para el aluminio.) a) Representar en un gráfico el momento de torsión frente al ángulo, h, para cuatro varillas de distinto material pero igual radio R y longitud L, ambos conocidos. El comportamiento que predice la teoría es el de una recta, Ecuación (6.33). A partir del ajuste por mínimos cuadrados, (Capítulo 12), de los datos a esta ecuación determinar el módulo de cizalla, G, de cada uno de los materiales analizados. b) Seleccionar 5 o 6 varillas de uno de los materiales escogidos, del que ya se conoce el módulo de cizalla G, y que posean el mismo radio R pero distinta longitud L, aunque todos conocidos. Aplicar a cada una de las varillas el momento de torsión necesario para que se provoque la misma torsión en cada una. Representar los datos obtenidos en un gráfico L vs M y comparar estos resultados experimentales con el comportamiento predicho por la teoría, Ecuación (6.33), y en el que M ] 1/L. c) Seleccionar 5 o 6 varillas de uno de los materiales escogidos, del que ya se conoce el módulo de cizalla G, y que posean la misma longitud L pero diferente radio R, todos conocidos. Aplicar a cada una de las varillas el momento de torsión necesario para que se provoque la misma torsión en cada una de ellas. Representar los datos obtenidos en un gráfico R vs M y comparar estos resultados experimentales con el comportamiento predicho por la teoría, Ecuación 6.33, y en el que M ] R4.

a

Fluidos en equilibrio

7.1. Introducción 7.2. Instrumentación 7.3. Método experimental

116

Laboratorio de Física

7.1. Introducción Empezaremos introduciendo un concepto básico en el análisis del comportamiento de los fluidos, el concepto de presión, magnitud equivalente a la tensión en sólidos (Capítulo 6). La conveniencia de dicha definición se comprende a posteriori, es decir, cuando queda de manifiesto su utilidad a la hora de expresar las ecuaciones básicas de la estática y dinámica de fluidos, Capítulo 9. Consideremos un elemento de volumen infinitesimal de un fluido en reposo, como se muestra en la Figura 7.1. Definiremos la presión como la fuerza que se ejerce por unidad de superficie, es decir, dF (7.1) p% dS donde dF es el módulo de la fuerza sobre el elemento de volumen considerado y dS su correspondiente superficie.

FIGURA 7.1. Fuerzas actuando sobre un elemento de volumen de geometría cúbica en el seno de un fluido.

De modo que el conjunto de fuerzas que actúan en la dirección z sobre un elemento infinitesimal en equilibrio (Figura 7.1), expresadas en función de esta nueva magnitud, viene dado por (7.2) dFz % pdSk dFñz % .pñdSk % .(p ! dp) dSk

(7.3)

dPf % of gdVf k

(7.4)

donde of es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad y dVf % dSdz el volumen del elemento de volumen considerado. Si este está en equilibrio la suma de las Ecuaciones 7.2, 7.3 y 7.4 ha de ser igual a cero, esto es, .(p ! dp)dS ! pdS ! of gdSdz % 0

(7.5)

dp % of gdz

(7.6)

y, por tanto,

Capítulo 7.

Fluidos en equilibrio

117

que corresponde a la ecuación básica de la estática de fluidos en presencia del campo gravitatorio. Para llevar a cabo la integración de esta ecuación necesitamos conocer cómo es la dependencia de la densidad con la altura, of % of (z). Si suponemos que el fluido es incompresible la densidad es constante en cualquier punto del fluido, of % cte, e integrando podemos determinar la presión a una determinada profundidad z del líquido, dada por la ecuación p(z) % o0 ! of gz (7.7) Donde hemos tomado como origen del eje z la superficie del líquido, y siendo p0 la presión en dicha superficie (y que en la mayoría de las experiencias corresponde a la presión atmosférica). Así pues, en un campo gravitatorio todos los puntos de un líquido a una misma profundidad están sometidos a la misma presión, lo que se conoce por cuestiones históricas como principio de Pascal, aunque no es tal, sino una consecuencia de la segunda ley de Newton aplicada a los fluidos en condiciones estáticas. Una aplicación de (7.1) de gran interés técnico es el de la prensa hidráulica. El esquema básico aparece en la Figura 7.2. En una situación de equilibrio la presión en uno de los extremos de la prensa, p1 % F/S (siendo F la fuerza aplicada, que se supone uniforme en la correspondiente superficie, S), ha de ser la misma que en el otro, p2 % f/s, de modo que podemos establecer la relación S (7.8) F% f s

FIGURA 7.2. Fundamento de la prensa hidráulica.

Otro fenómeno fundamental relacionado con un fluido en equilibrio es el comportamiento de los cuerpos sólidos en el seno del mismo. Este está relacionado con uno de los primeros hitos científicos de la Historia, el principio de Arquímedes: «Todo cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje vertical hacia arriba igual al peso del líquido que desaloja». Para entenderlo basta analizar cuidadosamente el comportamiento de un cuerpo sumergido. Seleccionemos un elemento arbitrario de volumen de un fluido, Vc, (y masa mf ), como se muestra en la Figura 7.3(a). Como veíamos en relación con la Figura 7.1, puesto que este elemento está en equilibrio, esto implica que la segunda ley de Newton es mf

dvf % 0 % Ef . Pf % Ef . mf gk dt

(7.9)

118

Laboratorio de Física

Es decir, la fuerza que el resto de fluido ejerce sobre el elemento considerado, Ef , ha de ser igual a su propio peso Ef % mf gk % of Vcgk

(7.10)

Siendo of la densidad del fluido. Si ahora sustituimos ese elemento por un cuerpo sólido de densidad oc con exactamente la misma geometría y el mismo volumen Vc, Figura 7.3(b), la fuerza que el fluido ejerce sobre este tiene que ser idéntica a 7.10. Sin embargo la atracción gravitatoria sobre el cuerpo será ahora P % .mcgk % .ocVcgk

(7.11)

FIGURA 7.3. Deducción del empuje sobre un cuerpo sólido sumergido en un líquido. (a) Elemento del fluido seleccionado. (b) Sustitución del elemento del fluido por un cuerpo sólido de la misma geometría y volumen.

De modo que la segunda ley de Newton para el cuerpo considerado puede escribirse como dvc dvc % ocVc % Ef . Pc % (mf . mc)gk % (of . oc)Vcgk (7.12) mc dt dt Por tanto, tenemos las siguientes posibilidades: Si oc b of entonces Pc b Ef y el cuerpo cae al fondo. Si oc % of entonces Pc % Ef y queda en equilibrio. Si oc a of entonces Pc a Ef y el cuerpo ascenderá hasta llegar a la superficie, siendo la situación final de equilibrio aquella en la que la parte del mismo que quede sumergido, Vs, permite alcanzar la condición de equilibrio de ambas fuerzas, la gravitatoria sobre el cuerpo y Es, el empuje sobre la parte del cuerpo sumergida. Entonces, tenemos 0 % Es . Pc % (ms . mc)gk % (of Vs . ocVc)gk

(7.13)

Ecuación que nos permite establecer la relación Vs %

oc V of c

(7.14)

Se dice entonces que el cuerpo flota. Un caso particular de la segunda posibilidad, es decir, cuando oc b of , lo analizaremos en detalle en el Capítulo 8.

Capítulo 7.

Fluidos en equilibrio

119

En un cuerpo sumergido, si tiene una distribución homogénea de masa, el centro de gravedad y el centro de empuje (entendiendo este por el centro de gravedad del fluido desalojado), coinciden. Sin embargo, si el cuerpo sumergido no es homogéneo ambos centros no coinciden, siendo la posición de equilibrio aquella en la que ambos centros estén en la misma vertical. En estas circunstancias, si se saca el cuerpo de su posición de equilibrio, aparecerá un par de fuerzas; este será tal que si el centro de empuje está por encima del centro de gravedad habrá un equilibrio estable y tratará el cuerpo de retornar a su posición de equilibrio, mientras que en caso contrario el equilibrio será inestable y el cuerpo volcará.

7.2. Instrumentación Volúmenes de diferentes materiales que floten en mayor o menor medida en agua y con secciones y distribución de masa uniforme. Recipiente transparente suficientemente grande. Pie de rey. Dinamómetro. Balanza.

7.3. Método experimental En el experimento propuesto emplearemos agua como fluido. Determinaremos las densidades medias de diferentes materiales que floten en el agua. De 7.14 podemos obtener oc % of

Vs Vc

(7.15)

De modo que determinando el volumen del cuerpo, Vc, y el correspondiente a la proporción del mismo sumergido, Vs, obtenemos el valor de la densidad (el valor de la densidad del agua a la temperatura de trabajo se ha de tomar de las tablas). El error que se comete en dicha determinación es Boc %

JA

Loc BVc LVc

2

B A !

B

Loc BVs LVs

2

(7.16)

a

Viscosidad

8.1. Introducción 8.2. Instrumentación 8.3. Método experimental

122

Laboratorio de Física

8.1. Introducción A velocidades relativamente bajas un cuerpo que se mueve en el seno de un fluido sufre una fuerza de rozamiento aproximadamente proporcional a su velocidad y dada por la ecuación (8.1) Frozamiento % .kgv Donde el coeficiente k depende del tamaño y forma del cuerpo, y g es una propiedad del fluido que se denomina viscosidad. Si el cuerpo tiene una geometría esférica caracterizada por un radio r el valor del coeficiente k es k % 6nr

(8.2)

En la experiencia en la que estamos interesados, la de caída de un cuerpo de masa m en el campo gravitatorio en el seno de un fluido, además de esta fuerza de rozamiento (8.1) también estará sometido a la acción de la fuerza gravitatoria y el empuje, Figura 8.1, de modo que la ecuación diferencial que rige el movimiento, que por otro lado podemos considerar unidimensional, es dv (8.3) m % . (m . ofluidoVesfera)g . kgv dt donde (8.4) E % ofluidoVesfera g representa la fuerza de empuje sobre la esfera, Capítulo 9, ofluido es la densidad del fluido y Vesfera el volumen de la esfera. La solución de esta ecuación asumiendo como condición inicial v(t % 0) % 0, tiene la forma v(t) % .

A

C

DB

(m . ofluidoVesfera)g kg 1 . exp . t (m . ofluidoVesfera) kg

FIGURA 8.1. Conjunto de fuerzas que actúan sobre un cuerpo que se mueve en el seno de un líquido (E corresponde al empuje).

(8.5)

Capítulo 8.

Viscosidad

123

Si desarrollamos la exponencial de (8.5) en serie de Taylor, considerando los primeros términos nos queda v(t) ] . gt !

1 kg gt2 2 (m . ofluidoVesfera)

(8.6)

De modo que para tiempos pequeños, es decir t @ ((m . ofluidoVesfera)/kg), tendremos (8.7)

v(t) ] .gt

Y se puede despreciar el efecto de rozamiento debido al fluido. Por otro lado, de (8.5) deducimos que para tiempos grandes, t bb, la velocidad del cuerpo en el seno del fluido tiende a un valor constante, conocida como velocidad límite. Efectivamente, bajo estas condiciones el término exponencial de (8.5) se hace despreciable, de modo que nos queda, vlímite % .

(m . ofluidoVesfera) kg

(8.8)

Es decir, el cuerpo cae en el campo gravitatorio con una velocidad constante gracias al rozamiento con el fluido que compensa, junto con el empuje, la acción del campo gravitatorio. Integrando ahora la Ecuación (8.5), asumiendo como condición inicial z(t % 0) % 0, tendríamos z(t)%

kg kg (m.ofluidoVesfera)2 g 1. t.exp . t 2 (m.ofluidoVesfera) (m.ofluidoVesfera) (kg)

A

C

DB

(8.9)

Desarrollando nuevamente la función exponencial en serie de potencias quedándonos en el segundo término obtenemos la expresión 1 1 kg gt 3 z(t) ] . gt 2 ! 6 (m . ofluidoVesfera) 2

(8.10)

Que para tiempos pequeños podemos simplificar como 1 z(t) ] . gt 2 2

(8.11)

Y para tiempos largos nuevamente el término exponencial de (8.9) puede despreciarse, quedándonos z(t) ]

(m . ofluidoVesfera)2 kg g 1. t 2 (m . ofluidoVesfera) (kg)

A

B

(8.12)

Resultado fácilmente interpretable considerando que en esta región temporal el cuerpo se mueve con una velocidad límite constante. Para cuerpos pequeños con velocidades límites elevadas una aproximación mejor es asumir que la fuerza de fricción viene dada por una expresión cuadrática en la velocidad, es decir Frozamiento % bv2

(8.13)

siendo b un coeficiente relacionado con la viscosidad del fluido. Así, teniendo en consideración esta fuerza junto con la de empuje y atracción gravitatoria, e imponiendo las condi-

124

Laboratorio de Física

ciones iniciales z(t % 0) % 0 y v(t % 0) % 0, entonces, de la segunda ley de Newton la solución vendrá dada por v(t) % .

J

(m . ofluidoVesfera)g tan h b

AJ

bg

(m . ofluidoVesfera)

B

t

(8.14)

Que para tiempos muy cortos se reduce de forma aproximada a (8.15)

v(t) ] .gt Y para tiempos largos se puede simplificar como vlímite ] .

J

(m . ofluidoVesfera)g b

(8.16)

Que es también constante en el tiempo, como ocurría con (8.8).

8.2. Instrumentación Tubo transparente de metro y medio de longitud, con divisiones cada 10 cm, y 10 cm de diámetro de sección. Esferas metálicas de distintos diámetros. Calibre con precisión de 0,01 mm. Balanza. Regla graduada. Cronómetro.

8.3. Método experimental El objetivo de esta experiencia es la determinación a partir de la medida de la velocidad límite de una esfera, de la viscosidad de diferentes líquidos tales como la glicerina o el aceite. Se basa en asumir que la fuerza de rozamiento expresada en (8.1) es una buena aproximación para nuestro problema, de modo que de la Ecuación (8.8) llegamos de forma inmediata a la ecuación que nos permite obtener la viscosidad del líquido g%

(m . ofluidoVesfera)g kvlímite

(8.17)

Hay que tener presente que la Expresión (8.17) es en realidad válida para un cuerpo que cae en el seno de un líquido de extensión infinita. En nuestro caso la dimensión finita de la sección del tubo que contiene el fluido nos lleva a tener que considerar la siguiente corrección a esa ecuación g%

(m . ofluidoVesfera)g r 6nrvlímite 1 ! 2, 4 R

A

B

(8.18)

Siendo como antes r el radio de la esfera y R el de la sección del tubo. La demostración, que es compleja, no la presentaremos en este libro pudiéndose encontrar en cualquier manual sobre fluidos. De cara a comparar los valores que obtengamos con los de la bibliografía, y puesto que la viscosidad se ve muy afectada por la temperatura, conviene registrar la temperatura a la que se encuentra el líquido.

Capítulo 8.

Viscosidad

125

En la Figura 8.2 se describe el montaje experimental.

FIGURA 8.2. Disposición de los diferentes elementos en la experiencia.

La experiencia propuesta consiste en dejar caer en el tubo que contiene el líquido las esferas. En primer lugar trataremos de determinar cuándo se alcanza la velocidad límite, para lo que tomaremos a lo largo del tubo intervalos espaciales de la misma dimensión, calculando entonces la velocidad media a partir de los tiempos de recorrido de la esfera por cada uno de ellos. Después de representar gráficamente las velocidades obtenidas podremos fijar a partir de qué división sobre la escala del tubo puede considerarse que la esfera cae con velocidad constante. Así podemos establecer el intervalo espacial de medida, que ha de ser lo más grande posible con idea de disminuir la incidencia de errores como el de paralaje. El siguiente paso es obtener la velocidad límite midiendo el tiempo que tarda cada una de las esferas en recorrer el intervalo que acabamos de fijar. Se realizarán N medidas con N esferas del mismo radio, (por ejemplo 10 esferas es un número aceptable), y así poder reducir sobre todo el error asociado a la medida del tiempo con el cronómetro. De este modo la velocidad límite vendrá dada por vlímite % SvlímiteT u Bvlímite

(8.19)

Donde SvlímiteT %

1 N i ; v N i%1 límite

(8.20)

Siendo vilímite la velocidad límite obtenida para cada una de las N esferas de la experiencia, y

Bvlímite %

J

N

; (vilímite . SvlímiteT)2

i%1

N(N . 1)

(8.21)

126

Laboratorio de Física

Una vez que tengamos esta velocidad determinaremos directamente la viscosidad del líquido a partir de (8.18). El error que comentemos en su determinación es Bg %

JA

Lg Bvlímite Lvlímite

2

B A

2

2

B A B A

Lg Bm Lm

!

!

Lg Br Lr

!

Lg BR LR

2

B

(8.22)

Donde Bm es el error instrumental asociado a la medida de la masa de las esferas

Bm %

J

N

; (mi . SmT)2 i%1

N(N . 1)

(8.23)

Siendo mi la masa de cada una de las N esferas utilizadas en la experiencia y SmT %

1 N i ; m N i%1

el valor medio del conjunto de medidas. Por otro lado, Br es el error asociado con las medidas del radio de las esferas

Br % Donde

J

N

; (ri . SrT)2

i%1

SrT %

N(N . 1) 1 N i ; r N i%1

Finalmente, BR es el error instrumental cometido en la determinación del radio de la sección del tubo empleado. A continuación se ha de repetir la experiencia determinando la viscosidad con un conjunto de esferas de otro radio.

Ecuación de Bernouilli

9.1. Introducción 9.2. Instrumentación 9.3. Método experimental

A continuación describiremos el movimiento de un fluido en condiciones estacionarias, lo que implica que no hay dependencia explícita con el tiempo de las magnitudes físicas básicas que lo describen. Tomaremos además como referencia el caso de un fluido perfecto, esto es, aquél cuyo rozamiento interno puede despreciarse y, por tanto, asumirse que no hay disipación de energía en forma de calor.

128

Laboratorio de Física

9.1. Introducción Como nos ocurría en la descripción de los materiales sólidos (Capítulo 6), los fluidos han de considerarse como un continuo de materia y, por tanto, la magnitud básica para tratar las posibles acciones sobre el fluido es la equivalente a la tensión en sólidos, aunque en este caso se denomina presión (Capítulo 7). Consideremos un elemento de volumen de un líquido en movimiento fluyendo en el interior de un tubo vertical, sometido por tanto al campo gravitatorio, como se muestra en la Figura 9.1. La ecuación de movimiento de dicho elemento será entonces o dz dS

dv % . (p ! dp) dS ! p dS . og dS dz dt

(9.1)

FIGURA 9.1. Elemento de volumen de un líquido en movimiento fluyendo en el interior de un tubo vertical sometido por tanto al campo gravitatorio.

siendo o la densidad del líquido, g la aceleración de la gravedad y v la velocidad del líquido. Haciendo uso de la regla de la cadena tenemos dv dv dv dz % %v dz dt dz dt

(9.2)

De modo que de (9.1) llegamos a v dv !

dp ! g dz % 0 o

(9.3)

Integrando entonces esta ecuación obtenemos v2 ! 2

I

dp ! gz % cte o

(9.4)

Capítulo 9. Ecuación de Bernouilli

129

En caso de que el fluido sea incompresible, esto es, o % cte, podemos llegar a la ecuación de Bernouilli 1 p ! ov2 ! ogz % cte 2

(9.5)

Esta ecuación no representa otra cosa que el teorema de conservación de la densidad de energía del fluido en movimiento. La otra ecuación básica para el estudio del movimiento de un fluido es la que se conoce como ecuación de continuidad. Consideremos el flujo de un fluido en un tubo con dos secciones diferentes, S1 y S2, respectivamente, Figura 9.2. Comparemos la cantidad de masa que pasa por estas dos secciones en un determinado intervalo de tiempo dt. Por S1 fluirá el líquido contenido en el volumen dV1 % S1 dl1 % S1v1 dt, es decir, una masa dm1 % o1 dV1 % S1v1 dt, siendo v1 la velocidad de paso del fluido por esta sección. Por otro lado, por S2 pasará el fluido contenido en dV2 % S2 dl2 % S2v2 dt, esto es, una masa dm2 % o2 dV2 % o2S2v2 dt, siendo v2 la velocidad de paso del fluido por esta segunda sección. Ahora bien, si en el intervalo entre ambas secciones no hay ni fuentes ni sumideros, estas han de ser las mismas y, por tanto, se ha de verificar la ecuación o1S1v1 % o2S2v2

(9.6)

FIGURA 9.2. Flujo de un fluido en un tubo horizontal con dos secciones diferentes.

Un caso importante es el de los fluidos incompresibles, es decir, aquellos para los que se puede asumir que la densidad es la misma en todo el fluido. En este caso, entonces (9.6) se simplificaría de la forma S1v1 % S2v2

(9.7)

A la magnitud Q % Sv se le denomina caudal. De modo que la igualdad (9.7) puede expresarse de forma alternativa diciendo que en condiciones estacionarias el caudal permanece constante. Como ilustración de la aplicación de las Ecuaciones (9.5) y (9.7) veremos algunos ejemplos. En primer lugar nos plantearemos obtener la relación que existe entre las presiones en dos puntos de un líquido en movimiento en el seno de un tubo horizontal con dos secciones diferentes, Figura 9.2. Usando la Ecuación (9.5) para relacionar esos dos puntos y suponiendo que la diferencia de altura es despreciable, obtenemos p1 !

1 2 1 ov1 % p2 ! ov22 2 2

(9.8)

Donde v1 y v2 son las velocidades del líquido en cada una de las regiones. De (9.7) y (9.8) es inmediato deducir que los puntos en los que la sección es menor, es decir, en los

130

Laboratorio de Física

que el fluido lleva mayor velocidad, están sometidos a una presión menor, y viceversa. (Efecto Venturi). Otra aplicación interesante de la Ecuación (9.5) para la experiencia que propondremos en este capítulo es el teorema de Torricelli. Supongamos que tenemos un tubo de sección S1 rellenado con un determinado líquido que dispone en su parte inferior de un orificio de salida de sección S2, Figura 9.3. Queremos entonces determinar la velocidad de salida de descenso del líquido en el tubo. Si suponemos que la presión atmosférica es aproximadamente la misma en la superficie libre del líquido y en la posición del orificio de salida, entonces, de (9.5) obtenemos 1 1 2 ov ! ogh % ov22 2 2 1

(9.9)

FIGURA 9.3. Tubo de sección S1 rellenado con un determinado líquido que dispone en su parte inferior de un orificio de salida de sección S2.

Por otra parte, como de (9.7) tenemos v1 %

S2 v2 S1

(9.10)

Entonces, llegamos a la ecuación v2 %

J A 2gh

S1 S1 . S2

B

(9.11)

En el caso de que podamos hacer la aproximación S1 A S2, entonces, v1 ] 0 y, además, v2 % ∂2gh

(9.12)

9.2. Instrumentación Tubos de vidrio de unos 5 cm de diámetro y un metro aproximadamente de longitud, con divisiones cada cinco centímetros. Espitas de salida adaptables a los tubos con diferentes diámetros. Agua, glicerina, aceite o cualquier otro líquido. Regla graduada. Cronómetro.

Capítulo 9. Ecuación de Bernouilli

131

9.3. Método experimental En la Figura 9.4 mostramos un esquema del montaje de la experiencia propuesta. En ella estudiamos los límites de aplicabilidad de la ecuación de Bernouilli para fluidos de diferente viscosidad.

FIGURA 9.4. Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experiencia. La imagen insertada corresponde a un detalle de una de las espitas de salida empleadas.

Rellenaremos los tubos con diferentes espitas con los líquidos hasta una altura determinada (no tiene que ser la misma para todos los líquidos, aunque cuanto mayor sea de más puntos experimentales dispondremos). La velocidad de descenso de la superficie del líquido en el extremo superior se relaciona con la altura h del modo siguiente vsuperficie % .

dh dt

(9.13)

Donde el signo menos corresponde al sentido del movimiento. Aunque el flujo no es estacionario la velocidad de caída en el tubo es muy lenta y vamos a asumir que (9.11) es aplicable. Entonces, .

dh % c ∂h dt

(9.14)

Siendo c%

J

2gr22 r21 . r22

(9.15)

Donde r1 y r2 corresponden a los radios de cada una de las secciones, de entrada y salida, del tubo. La solución de (9.14) viene dada por la expresión 1 ∂h % ∂h0 . ct 2

(9.16)

132

Laboratorio de Física

Donde h0 es la altura inicial del líquido. Por las hipótesis hechas para llegar a esta ecuación, esta es sólo válida para fluidos ideales. En la experiencia que se propone comprobaremos la validez de (9.15) para diferentes alturas (unos 12 o 14 valores) y para todos y cada uno de los líquidos propuestos. Tomaremos los tiempos de paso por cada una de esas alturas a medida que el fluido desciende en cada tubo. Entonces, representaremos gráficamente los puntos ∂h en función del tiempo, gráfica que ha de presentar una dependencia lineal. Una vez representados los puntos experimentales se trazará la curva teórica (9.16) teniendo en cuenta el correspondiente valor de c. La comparación de esta curva con la distribución de puntos experimentales permite determinar para cada líquido, según se aleje o aproxime más al comportamiento teórico, la validez de la ecuación de Bernouilli, esto es, establecer en qué medida es despreciable el efecto de la viscosidad para cada uno de los líquidos de que dispongamos.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes 10.1. Introducción 10.1.1. Reflexión y refracción en superficies planas 10.1.2. Prisma 10.1.3. Reflexión y refracción en superficies esféricas 10.1.4. Lentes delgadas 10.2. Instrumentación 10.3. Método experimental 10.3.1. Reflexión 10.3.2. Refracción 10.3.3. Prisma 10.3.4. Lentes 10.4. Resultados

En este capítulo se estudia la óptica geométrica u óptica de rayos, que se aplica cuando una onda atraviesa discontinuidades del medio en que viaja cuyas dimensiones sean muy grandes respecto a su longitud de onda. Lo que se va a describir puede aplicarse a cualquier tipo de onda, aunque los experimentos se realizarán en el rango óptico.

134

Laboratorio de Física

10.1. Introducción En el Capítulo 5 (Apartado 5.1.5) se estudió el movimiento de dos osciladores armónicos simples acoplados que realizaba oscilaciones pequeñas alrededor de una posición de equilibrio; supongamos que tenemos el mismo problema pero ahora formado por una serie infinita de masas idénticas conectadas por muelles —de masa despreciables— (Figura 10.1), que está recorrido por una perturbación longitudinal (sinusoidal), de tal forma que cuando pasa por cada una de las masas, esta realiza un movimiento armónico. Si en lugar de un pulso tenemos una serie de ellos, cada masa comenzará a realizar una oscilación armónica simple. De tal forma que las masas oscilan alrededor de su posición de equilibrio, pero la perturbación sí se desplaza a lo largo del sistema de masas y muelles, a este fenómeno se le llama onda monodimensional. Si unimos las masas unas a otras, estaremos pasando de un sistema discreto (masas y muelles) a un sistema continuo (cuerda) (Figura 10.2) y la perturbación se propagará como se muestra en la Figura 10.3, en la que cada punto de la cuerda (x) realiza una oscilación en el tiempo transversal armónica y la perturbación (q) se traslada en el espacio a través de la misma. Es el caso de una cuerda agitada en uno de sus extremos, en el que se produce lo que se denomina un tren de ondas. El movimiento se describe por una expresión análoga a la del Capítulo 5, pero ahora cada una de las masas en lugar de identificarse por un subíndice (1 y 2 en el Apartado 5.1.5 del Capítulo 5) se identifican por la coordenada x, de tal forma que la perturbación q, en lugar se ser qi(t) será q(x, t) función del espacio (x) y del tiempo (t), que se expresa de la forma: q(x, t) % A cos (kx . ut)

FIGURA 10.1. Propagación de una perturbación a lo largo de un sistema discreto.

FIGURA 10.2. Comparación entre un sistema discreto y uno continuo.

FIGURA 10.3. Propagación de una onda sinusoidal o armónica..

(10.1)

Capítulo 10.

135

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

donde A es la amplitud, el término temporal (ut) es el de la oscilación, siendo u la frecuencia angular y el término espacial (kx) es el producto del número de onda angular (k) y la coordenada x. El numero de onda angular es respecto del espacio lo que la frecuencia angular es respecto del tiempo, análogamente existen: la longitud de onda (j) que tiene el mismo significado que el periodo y es la distancia en que se produce una onda completa (Figura 10.3); y un número de onda (p). En resumen tenemos las magnitudes de la Tabla 10.1. Tabla 10.1. Espaciales longitud de onda

Temporales j

periodo

número de onda angular

k % 2n/j

frecuencia angular

número de onda

p % 1/j

frecuencia

Relación T

T % j/v

u % 2n/T

u % vk

l % 1/T

l%v p

siendo v la velocidad de propagación de la onda, que es una característica del medio en que la onda se mueve. La Ecuación (10.1) es la función de onda monodimensional y describe una onda armónica que se propaga en el eje X de izquierda a derecha. Se puede generalizar para una onda monodimensional armónica que se propaga en una dirección cualquiera del espacio, definida por el vector unitario (u): q % A cos (k u r . ut)

(10.2)

donde r es el vector de posición de un punto del espacio afectado por la perturbación. Podemos definir un vector ( k % ku), cuyo módulo es el número de onda angular, tal que (10.2) se expresa como: q % A cos ( k r . ut)

(10.3)

que describe una onda plana (Figura 10.4) que se mueve en la dirección del vector , siempre que lo haga en un medio homogéneo. El lugar geométrico de los puntos que presentan la misma perturbación en el mismo instante se llaman frentes de onda. La línea perpendicular a estos frentes de onda se denomina rayo y para las ondas planas que se mueven en

FIGURA 10.4. Esquema de los frentes de onda de una onda plana que se propaga en un medio homogéneo. El rayo es perpendicular a los frentes de onda planos.

136

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un medio homogéneo son líneas rectas. Las ondas planas se generan en una fuente muy alejada del lugar de observación. Una fuente puntual dará lugar a ondas esféricas, cuyos rayos serán líneas rectas que pasan por la fuente; si el medio en que se propagan es bidimensional darán lugar a ondas circulares, como las que se pueden ver en un estanque de agua quieta al caer un objeto pequeño. Como se ha dicho, las partículas que forman el medio vibran al recibir la perturbación que se propaga, pero ellas no se desplazan con la onda, lo que se traslada es la energía que está dando lugar al tren de ondas.

10.1.1. Reflexión y refracción en superficies planas Si una onda plana que se propaga por un medio homogéneo encuentra una superficie plana que separa ese medio de otro distinto, también homogéneo, se producen los fenómenos de reflexión y refracción, en los cuales la onda reparte la energía que propaga en dos nuevas ondas una que se refleja y vuelve al medio incidente y otra que se transmite al otro medio. Así las tres ondas se pueden expresar, usando (10.3), como: incidente

qi % Ai cos ( k i r . ut)

(10.4)

reflejada

qr % Ar cos ( k r r . ut)

(10.5)

transmitida o refractada

qt % At cos ( k t r . ut)

(10.6)

Datos experimentales demuestran que la frecuencia angular de una onda es independiente del medio en que viaje. Sea cual sea la naturaleza de la perturbación en la superficie de separación debe ser la misma la midamos desde cualquiera de los dos medios, por tanto: qi ! qr % qt

plano de separación

(10.7)

que se ha de cumplir en todos los puntos del plano de separación en cualquier instante; para que esto sea cierto han de ser iguales las fases de la tres Ecuaciones de onda (10.4), (10.5) y (10.6), de la forma: k i r . ut % k r r . ut % k t r . ut

plano de separación

k ir % k rr % k tr

(10.8)

para cualquier punto de vector de posición r de la superficie de separación. Colocando los ejes coordenados como en la Figura 10.5, y haciendo coincidir el rayo incidente con el plano XY, podemos escribir: r % xi ! zk

(10.9)

k % kix i ! kiy j

(10.10)

k r % krx i ! kry j ! krz k

(10.11)

k t % ktx i ! kty j ! ktz k

(10.12)

xkix % xkrz ! zkrz % xktx ! zktz

(10.13)

que sustituidas en (10.8) resulta:

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

137

FIGURA 10.5. Reflexión y refracción de una onda plana en una superficie plana que separa dos medios homogéneos distintos.

Para que esta ecuación se cumpla independientemente de los valores de x y z —debe de cumplirse para cualquier punto del plano de separación— tienen que verificarse las relaciones: krz % ktz % 0

(10.14)

kix % krx % ktx

(10.15)

De (10.14) resulta que las componentes en el eje Z de la onda reflejada y transmitida tienen que ser cero, es decir, la onda incidente, reflejada y refractada se encuentran en el mismo plano (el plano XY en la Figura 10.4). Por otro lado los vectores k se pueden expresar como: kix % ki sen hi krx % kr sen hr

(10.16)

ktx % kt sen ht teniendo en cuenta la relación u%vk, de la Tabla 10.1 se puede deducir que: ki % k r %

u v1

u kt % v2

(10.17)

siendo v1 y v2 las velocidades de propagación en cada uno de los medios. Sustituyendo (10.17) en (10.16) y estas en (10.15), queda: 1 1 1 sen hi % sen hr % sen ht v1 v2 v1

(10.18)

hi % hr

(10.19)

sen hi v1 % % n21 sen ht v2

(10.20)

de las que se deduce que:

138

Laboratorio de Física

Al cociente entre las velocidades de propagación (n21) se le denomina índice de refracción del medio 2 respecto del medio 1, que depende de la naturaleza de la onda y de las propiedades de los medios. En resumen se ha deducido las tres leyes de la reflexión y la refracción (Figura 10.6), que se enuncian de la forma: 1.a 2.a 3.a

Los rayos incidente, reflejado y refractado se encuentran en el mismo plano. El ángulo de los rayos incidente y reflejado son iguales (10.19). El cociente entre los senos de los ángulos de los rayos incidentes y refractados es constante (10.20).

FIGURA 10.6. Plano de incidencia de una onda plana que se refleja y transmite al incidir en el plano de separación de dos medios homogéneos distintos.

La importante tercera ley fue descubierta en el año 984 por el matemático y óptico árabe Ibn Sahl (940-1000); redescubierta, por primera vez, en 1602 por el astrónomo y matemático inglés Thomas Harriot (1560-1621); redescubierta, por segunda vez, en 1621 por el astrónomo y matemático holandés Willebrord Snel van Royen (1580-1626); y por fin redescubierta, por tercera y última vez, en 1637 por el filósofo y matemático francés René Descartes (1596-1650). Ninguno de los redescubridores conocía el trabajo de sus predecesores, por esto, en los países de influencia anglosajona se le conoce como ley de Snell y en los de influencia francesa como ley de Snell-Descartes, estando el primer descubridor injustamente olvidado. Si se define un medio patrón, se puede obtener un índice de refracción para cada medio al compararlo con el patrón, de la forma: n1 %

vp v1

;

n2 %

vp v2

n2 v1 % % n21 n1 v2

(10.21)

donde vp es la velocidad del propagación en el medio patrón, de tal manera que la Expresión (10.20) se puede escribir de la forma: sen hi n2 % % n21 sen ht n1 n1 sen hi % n2 sen ht

(10.22)

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

139

Se pueden presentar dos escenarios distintos según sea la relación entre las velocidades de propagación en los medios, que se ilustran en la Figura 10.7. Cuando (Figura 10.7b) se puede dar la circunstancia en la que el ángulo de refracción sea igual a 90o y el rayo refractado sea paralelo a la superficie de separación de los medios (Figura 10.8), en ese caso al ángulo de incidencia se denomina ángulo crítico (j), de tal manera que para ángulos de incidencia mayores no existe rayo refractado, a este fenómeno se le denomina reflexión total.

FIGURA 10.7. Refracción de una onda plana: (a) cuando el índice de refracción es menor en el medio 1 que en el 2; (b) cuando el índice de refracción es mayor en el medio 1 que en el 2.

FIGURA 10.8. Ángulo crítico (j) cuando el ángulo de refracción es de 90o.

10.1.1.1. Espejos planos En un espejo la energía transmitida por la onda es despreciable, por lo que sólo existe onda reflejada. Si el espejo es plano la imagen de un objeto (Figura 10.9) es de igual tamaño que el objeto, virtual (producida por la prolongación de los rayos reflejados) y derecha.

140

Laboratorio de Física

Para obtener la imagen se colocan los ejes coordenados de tal forma que Y coincida con la superficie del espejo paralelo al objeto y el X perpendicular al espejo y pasando por la base del objeto; se traza un rayo paralelo al eje X, que «rebotara» en el espejo (debido a la segunda ley de la reflexión (10.19), pues inciden perpendicularmente al espejo) y otro rayo que pase por el origen de coordenadas formando un ángulo h con el eje X, la imagen se obtiene prolongando el rayo paralelo y el rayo reflejado, como se muestra en la Figura 10.9.

FIGURA 10.9. Formación de la imagen en un espejo plano.

10.1.2. Prisma Un prisma es un medio compuesto por dos superficies planas que forman un ángulo A de índice de refracción n, y que está rodeado por otro medio, que supondremos de índice de refracción igual a la unidad (Figura 10.10). La trayectoria de un rayo cualquiera que incide sobre una de sus caras se refracta dentro del prisma y se vuelve a refractar al salir del mismo [Figura 10.11(a)]. La ley de la refracción (10.22) se puede escribir, para la primera y segunda refracción de la forma: sen hi % n sen ht sen hñt % n sen hñi

(10.23)

y la relación entre los ángulos como: A % hñi ! ht d % hi ! hñt . A

(10.24)

la última expresión nos da la desviación entre el rayo incidente y el emergente en el prisma. La desviación llega a un valor mínimo (dm) cuando el ángulo de incidencia (hi) es igual al ángulo de refracción (hñt ) del rayo de salida del prisma, en el que se produce una situación de simetría [Figura 10.11(b)]. La desviación aumenta con el ángulo del prisma (A), produciéndose la reflexión total cuando hñi es mayor que el ángulo límite j (Figura 10.12).

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

141

FIGURA 10.10. Prisma.

FIGURA 10.11. (a) Trayectoria de un rayo cualquiera en un prisma. (b) Situación de simetría de un rayo que atraviesa un prisma produciendo el ángulo de mínima desviación.

FIGURA 10.12. Reflexión total en un prisma.

142

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10.1.3. Reflexión y refracción en superficies esféricas Las leyes de la reflexión y refracción se cumplen en cualquier superficie independientemente de su geometría, pues el punto que alcanza el rayo incidente siempre se puede aproximar como una superficie plana infinitesimal.

10.1.3.1. Reflexión Por esto un rayo que incide en una superficie esférica se puede representar como el de la Figura 10.13, en la que: F es el foco (que veremos más adelante); C es el centro de curvatura de la superficie esférica; y los puntos P y Pñ son el corte con el eje X (eje óptico) de un rayo incidente cualquiera y su reflejado —obsérvese que los ángulos h de estos rayos son iguales. De la Figura 10.13 se puede obtener: b % h ! a1

(10.25)

a2 % b ! h por tanto 2b % a1 ! a2

(10.26)

FIGURA 10.13. Trayectoria de un rayo cualquiera en un espejo cóncavo.

Si se supone que estos ángulos son muy pequeños se puede escribir: a1 ] tan a1 ]

h p

a2 ] tan a2 ]

h pñ

b ] tan b ]

(10.27)

h r

que sustituyendo en (10.26) da: 2 1 1 % ! r p pñ

(10.28)

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

143

que es la ecuación de Descartes para la reflexión en una superficie esférica, debido a que no contiene el ángulo a implica que todos los rayos incidentes que pasan por P se reflejan pasando por Pñ, luego Pñ es la imagen de P, por lo que a la Ecuación (10.28) también se le denomina relación objeto-imagen. La aproximación que se ha hecho (10.27) se llama paraxial y los rayos que la cumplen se llaman paraxiales. Si los rayos son paralelos al eje principal (X), la distancia del objeto al centro del espejo (0) es infinito y la Expresión (10.28) queda: pñ %

r 2

(10.29)

es decir todos los rayos paralelos se reflejan pasando por un punto a la mitad del radio del espejo, a ese punto se le denomina foco (F) y su distancia al espejo se le llama distancia focal ( f ). De manera que la Ecuación (10.28) se puede escribir: 1 1 1 % ! f p pñ

(10.30)

La Figura 10.14 nos muestra el comportamiento de los rayos en un espejo cóncavo [Figura 10.14(a)] y convexo [Figura 10.14(b)], obsérvese que los rayos que pasan por el centro de curvatura se reflejan siguiendo la misma trayectoria que los rayos incidentes, debido a la segunda ley de la reflexión (10.19), pues inciden perpendicularmente al espejo.

FIGURA 10.14. Trayectoria de rayos paralelos y perpendiculares en un: (a) espejo cóncavo; (b) espejo convexo.

La formación de la imagen de un objeto en un espejo cóncavo y convexo se lleva a cabo de la misma forma que en un espejo plano (Apartado 10.1.1.1). Trazando un rayo paralelo al eje principal y otro que pase por el centro de curvatura (Figura 10.15): la intersección de los rayos reflejados nos dará la imagen real invertida y más pequeña que el objeto en los espejos cóncavos [Figura 10.15(a)]; mientras que en los espejos convexos la imagen será imaginaria, derecha y más pequeña que el objeto, obteniéndose en la intersección de las prolongaciones de los rayos reflejados [Figura 10.15(b)]. La imagen en los espejos cóncavos está entre el foco y el centro de curvatura del espejo y en los convexos entre el foco y el centro del espejo.

144

Laboratorio de Física

FIGURA 10.15. Formación de la imagen en un: (a) espejo cónvaco; (b) espejo convexo.

10.1.3.2. Refracción Por un procedimiento análogo al realizado en la reflexión (Apartado 10.1.3.1), podemos obtener el rayo refractado producido por un rayo incidente cualquiera que corta al eje X en el punto P, como se muestra en la Figura 10.16 (en la que no se ha dibujado el rayo reflejado), la prolongación de este corta al eje X en el punto Pñ que será la imagen de P y la normal a la superficie de separación en el punto donde incide el rayo incidente es la recta que parte del centro C y atraviesa prolongándose en el medio 2. Si suponemos que los rayos son paraxiales, los ángulos deben de ser muy pequeños, por lo que los senos de los ángulos se pueden aproximar por los ángulos, de tal forma que la ley de la refracción (10.22) se puede escribir de la forma: n1hi % n2ht n1(b . a1) % n2(b . a2)

(10.31)

FIGURA 10.16. Refracción de un rayo cualquiera en una superficie cóncava.

sustituyendo las Expresiones (10.27), que también se cumple aquí, nos queda: n1 . n2 n1 n2 % . r p pñ

(10.32)

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

145

que es la fórmula de Descartes para la refracción en una superficie esférica o relación imagen-objeto. En la Figura 10.17 se muestra la misma situación para un rayo incidiendo en una superficie de separación convexa. Ahora la distancia pñ y el radio (r) son negativos, por tanto la Expresión (10.32) será: n2 . n1 n1 n2 % ! r p pñ

(10.33)

que es la relación imagen-objeto para una superficie de separación convexa.

FIGURA 10.17. Refracción de un rayo cualquiera en una superficie convexa.

10.1.4. Lentes delgadas La lente es un medio transparente limitado por dos superficies curvas o una plana y otra curva, normalmente esféricas. Sólo se estudiarán lentes en las que sus dos caras están tan próximas que su espesor es mucho más pequeño que los radios de las caras que la forman, lo que se denomina lentes delgadas. Un rayo al atravesar la lente sufre dos refracciones, como en el prisma (Apartado 10.1.2), igual que allí consideraremos que la lente está rodeada del mismo medio. En el camino de un rayo a través de la lente se aplica lo estudiado en el apartado anterior (10.1.3) para la refracción en superficies esféricas [(Ecuaciones (10.32) y (10.33)]. Existen lentes convergentes y divergentes (Figura 10.18). En las convergentes,

FIGURA 10.18. Lentes convergentes (plano-convexa y biconvexa) y divergentes (plano-cóncava y bicóncava).

146

Laboratorio de Física

los rayos emergentes se acercan al eje perpendicular a las caras de la lente y en las divergentes se separan. La formación de la imagen de un objeto se realiza trazando un rayo paralelo cuyo emergente pasa por el segundo punto focal (F2) y otro rayo que pase por el centro geométrico (0) de la lente y no se desvía. La imagen en la lente convergente —biconvexa— (Figura 10.19) se formará en la intersección de los rayos emergentes. Si el objeto se encuentra más allá del punto focal F1, la imagen es real e invertida y su tamaño depende de la distancia a que se encuentre el objeto del primer punto focal. A medida que esta distancia sea mayor la imagen será más pequeña y más alejada [Figura 10.19(a)]. Si el objeto está en F1 la imagen se formará en el infinito [Figura 10.19(b)]. Si el objeto está entre el foco y la lente será virtual y en el mismo lado de la lente que se encuentra el objeto [Figura 10.19(c)]. La imagen en la lente divergente —bicóncava— (Figura 10.20) se formará en la intersección del rayo que pasa por 0 y la prolongación del rayo emergente del rayo paralelo, es imaginaria y derecha y su tamaño será mayor a medida que el objeto se acerque a la lente.

FIGURA 10.19. Formación de la imagen en una lente convergente (biconvexa): (a) el objeto más allá del foco primario; (b) el objeto en el foco primario; (c) el objeto entre el foco primario y la lente.

Si denominamos distancia focal ( f ) a la distancia entre el centro de la lente (0) y el foco F1 —que es igual a la distancia entre 0 y F2—, y a las separaciones entre ese centro (0) y el objeto p y la imagen pñ, tal como hacíamos en los espejos, son válidas la relaciones de Descartes (10.32) y (10.33) para los rayos incidentes y emergentes de la lente. Haciendo igual a la unidad el índice de refracción del medio e igual a n el de la lente, se obtiene una relación de la forma:

A

B

1 1 1 1 1 ! % (n . 1) . % %P f r2 r1 p pñ

(10.34)

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

147

FIGURA 10.20. Formación de la imagen en una lente divergente (bicóncava).

donde r1 y r2 son los radios de cada una de las dos caras de la lente y P es la potencia de la lente. Esta ecuación se denomina fórmula de Descartes para una lente delgada y sólo es válida si los rayos son paraxiales.

10.2. Instrumentación Se utilizará un banco de óptica con todos sus accesorios, lo suministran las casas comerciales y existen de un amplio rango de precios, dependiendo de la precisión con que se han fabricado los elementos que lo componen y el número de estos. El banco óptico (Figura 10.21) en sí es una barra graduada para determinar las posiciones de los instrumentos que se van a colocar sobre él. Los accesorios básicos son: una lámpara con una lente condensadora; un soporte para colocar diferentes rendijas (a veces está acoplada a la lámpara) que se utiliza como objeto; una serie de lentes que se colocan en el banco con ayuda de unos soportes; vidrios con formas diferentes (disco, semidisco, prisma y espejos planos, cóncavos y convexos); círculo graduado; y una pantalla. Se ha de disponer de un cuarto oscuro o, al menos, de muy escasa luminosidad.

FIGURA 10.21. Esquema de un banco óptico.

10.3. Método experimental Los componentes de un banco óptico son un material muy frágil y deben manejarse con mucho cuidado para evitar su deterioro. Seguidamente se detallan algunas de las prácticas que se pueden realizar con un banco de óptica, todas realizables con los bancos más comu-

148

Laboratorio de Física

nes. Algunos bancos más avanzados implementan una fuente láser que permiten mejorar y aumentar el número y la variedad de prácticas a realizar. En todas las prácticas hay que procurar que el eje óptico este perfectamente alineado con los elementos colocados en el banco.

10.3.1. Reflexión 10.3.1.1. Espejo plano Móntese el dispositivo de la Figura 10.22, colocando un diafragma que nos proporcione el haz de luz más estrecho posible. Realizar N medidas (al menos 10) a ángulos distintos, variando la inclinación del espejo respecto del eje óptico y construir una tabla con los ángulos de incidencia (hi) y reflexión (hr). Comprobar que son iguales dentro del error del círculo graduado.

FIGURA 10.22. Disposición inicial del banco óptico para el estudio de la reflexión en un espejo plano.

10.3.1.2. Espejo cóncavo Montar el dispositivo de la Figura 10.23, colocando el espejo con la cara cóncava mirando hacia la lámpara. Con los elementos fijos en el banco, mover sobre la mesa la pantalla, lo más próxima posible al banco, hasta obtener una imagen nítida del objeto —tal vez haya que girar ligeramente el espejo sobre su eje vertical—. Aplicando la Expresión (10.30) obtener la distancia focal del espejo ( f ), siendo p la distancia del objeto al espejo y pñ la distancia del espejo a la imagen. Repetir el experimento N veces (al menos 5) para distintas posiciones del espejo y construir una tabla con los N valores de f, p y pñ. Obtener el valor medio de la distancia focal y su error con la expresiones (introducción 1): N

; fi

SfT%

i%1

BS f T %

N

J

(10.35)

N

2

; ( fi . S f T)

i%1

N(N . 1)

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

149

FIGURA 10.23. Disposición inicial del banco óptico para el estudio de la reflexión en un espejo cóncavo.

10.3.1.3. Espejo convexo Debido a la dispersión de los rayos reflejados [Figura 10.15(b)] para obtener la distancia focal de un espejo convexo es necesario utilizar una lente convergente. Primero hay que montar el dispositivo de la Figura 10.24(a) y desplazar la lente hasta obtener una imagen nítida. Sin tocar las posiciones del objeto y lente montar el dispositivo de la Figura 10.24(c), es decir sustituir en el banco la pantalla por el espejo convexo, desplazar este, por el banco, hasta que aparezca en la pantalla, situada en la mesa junto al objeto, una imagen nítida. Con esto lo que se ha conseguido es que el centro del espejo coincida con la imagen obtenida previamente con la lente [Figura 10.24(b) y (d)], de tal forma que la distancia del espejo a la pantalla será el radio del espejo (r), siendo la distancia focal la mitad ( f % r/2). Repetir el experimento N veces (al menos 5) para distintas posiciones de la lente

FIGURA 10.24. Estudio de la reflexión en un espejo convexo: (a) dispositivo inicial del banco óptico para (b) la obtención de la imagen de la lente convergente; (c) dispositivo del banco óptico para d) la obtención de la imagen del espejo.

150

Laboratorio de Física

convergente y construir una tabla con los N valores de f. Obtener el valor medio de la distancia focal y su error con expresiones análogas a las Ecuaciones (10.35).

10.3.2. Refracción Montar el dispositivo de la Figura 10.25 con el diafragma de una rendija horizontal, de forma que el eje óptico coincida con el centro del semidisco. La luz que incide verticalmente en la cara plana por el centro del semidisco se refracta en el interior, pero no se refracta al salir pues incide verticalmente en la cara curva, por tanto se pueden medir los ángulos de refracción como se indica en la Figura 10.25. Realizar N medidas (al menos 5) a diferentes ángulos de incidencia y construya una tabla con los datos hi, ht, sen hi, sen ht e índice de refracción (n) usando la Expresión (10.22). Obtener el valor medio de n y su error con expresiones análogas a las (10.35).

FIGURA 10.25. Disposición del banco óptico para el estudio de la refracción en superficies planas.

Colocar el semidisco con la cara curva mirando a la luz y observar el rayo refractado (ahora el índice de refracción del medio incidente es mayor que del medio emergente), girando lentamente el semidisco llegará un momento en el que el rayo refractado desaparezca, el ángulo en ese instante será el ángulo crítico (j); medirlo.

10.3.3. Prisma Realizar el montaje de la Figura 10.26, el prisma recto con su ángulo de 45o enfrentado a la luz, teniendo cuidado en conseguir que parte del rayo incidente no entre en el prisma, mientras que otra parte se refracta dentro de este. Hacer N medidas (al menos 10) de los ángulos incidente (hi) —comenzando por cero— y emergente (d). Con las Expresiones (10.23) y (10.24) calcular los valores de ht, hñi y hñt, suponiendo que el valor del índice de refracción es el obtenido en el Apartado 3.2 para el semidisco. Construir una tabla con todos estos valores. Representar gráficamente ht frente a hñi y comprobar la relación (10.24): ht % A . hñi

(10.36)

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

151

obteniendo (10.37)

A % ShiT ! ShñiT

BA %

JA

N

; hñij2

j%1 N

N ;

Bhi %

j%1

J

hñij2

2

B A B N

Bhi

(10.38)

. ; hñij j%1

N

; (hi j . A ! hñij)2

j%1

N.2

(10.39)

en la que la ordenada en el origen debe ser el valor del ángulo del prisma 45o. Se puede repetir todo el experimento para otros prismas si se dispone de ellos.

FIGURA 10.26. Disposición del banco óptico para el estudio de la refracción en un prisma.

10.3.4. Lentes Ahora se trata de determinar experimentalmente la distancia focal de una lente utilizando diferentes métodos, para cada uno de ellos se puede utilizar una lente diferente.

10.3.4.1. Convergentes a) Utilización del filamento de la bombilla como objeto. El filamento de la bombilla de la lámpara actuará como un objeto muy lejano que emite rayos paralelos. Montar el dispositivo de la Figura 10.27, dejando fija la pantalla, desplazar la lente hasta obtener la imagen del filamento en la pantalla. Medir la distancia entre pantalla y lente y esa será la distancia focal, su inverso es la potencia de la lente. Repetir el procedimiento N veces (al menos 5) para diferentes posiciones de la pantalla. Construir una tabla con los resultados de la distancia focal ( f ) y la potencia (P) y hallar sus valores medios con sus errores utilizando expresiones análogas a las (10.35).

152

Laboratorio de Física

FIGURA 10.27. Disposición del banco óptico para la determinación de la distancia focal de una lente convergente usando como objeto el filamento de la bombilla de la lámpara.

b) Relación de lentes delgadas (10.34). Móntese el dispositivo de la Figura 10.28 y realizar N medidas (al menos 10) de la distancia objeto-lente (p) y lente-imagen (pñ), para distintas posiciones de la pantalla, obtener la distancia focal y la potencia en cada medida, usando la Expresión (10.34). Construir la tabla correspondiente. Hallar el valor medio y el error de f y P, utilizando expresiones análogas a las (10.35). Representar gráficamente 1/pñ frente 1/p, ajustando a una recta (Capítulo I), cuya ordenada en el origen será la potencia P % 1/ f, que se obtiene con expresiones análogas a las (10.36) a (10.39).

FIGURA 10.28. Disposición del banco óptico para la determinación de la distancia focal de una lente convergente usando como objeto una rendija o una transparencia.

c)

Procedimiento de Bessel (Friedrich Bessel (1784-1846)). Bessel comprobó que para lentes delgadas y rayos paraxiales se cumple la reversibilidad del rayo óptico cuando la distancia objeto-imagen es superior a cuatro veces la distancia focal de la lente, es decir que un objeto y su imagen puntuales son intercambiables (Figura 10.29). Determinó que la distancia focal ( f ) se puede obtener con la expresión: D2 . d2 f% 4D

(10.40)

FIGURA 10.29. Esquema del camino óptico de los rayos según el procedimiento de Bessel.

siendo d la distancia entre las dos posiciones de la lente y D la distancia objeto-imagen. Por tanto si colocamos el objeto y la pantalla fijos en los extremos del banco óp-

Capítulo 10.

Óptica geométrica: reflexión, refracción y lentes

153

tico (Figura 10.28) se formará una imagen nítida en dos posiciones de la lente. Medir estas distancias (d y D). Repetir la medida N veces (al menos 5, dependiendo de la longitud del banco) para distintas posiciones de la pantalla y construir la tabla correspondiente. Obtener la distancia focal y su error con Expresiones análogas a las (10.35).

10.3.4.2. Divergentes Las lentes divergentes no forman imágenes reales (Figura 10.20) por lo que se necesita combinarlas con una lente convergente (Figura 10.30). Se coloca en el banco óptico el objeto y la pantalla centrada en el banco, se interpone entre el objeto y la pantalla la lente convergente y se desliza hasta obtener una imagen nítida, midiendo la distancia entre la lente convergente y su imagen (pc). Seguidamente se coloca la lente divergente entre la lente convergente y la pantalla y se desplaza esta hasta obtener una imagen nítida, midiendo la distancia entre la lente divergente y la imagen del sistema (pñ) y la distancia entre las dos lentes (L). Se ha conseguido con esto obtener las posiciones del objeto y la imagen de la lente divergente, pues, como se indica en la Figura 10.30 el objeto de la lente divergente coincide con la imagen de la convergente y la imagen de la lente divergente coincide con la imagen del sistema de dos lentes. Por tanto la distancia focal de la lente divergente se obtiene con la Expresión (10.34), siendo p % pc . L. Repetir el experimento N veces (al menos 5) para distintas posiciones de la pantalla y obtener el valor medio de la distancia focal, usando Expresiones análogas a las (10.35).

FIGURA 10.30. Esquema del camino óptico de los rayos y disposición del banco óptico para la determinación de la distancia focal de una lente divergente.

10.4. Resultados Construir la tabla de datos y resultados y representar las gráficas que se indican. Tener muy en cuenta los signos de los valores obtenidos en función de los ejes coordenados, cuyo origen se encuentra siempre en el centro del sistema óptico (espejos y lentes) empleado.

a

Intensidad de una onda

11.1. Introducción 11.1.1. Conceptos generales del fenómeno ondulatorio 11.1.2. Ondas acústicas 11.2. Instrumentación 11.3. Método experimental

156

Laboratorio de Física

11.1. Introducción 11.1.1. Conceptos generales del fenómeno ondulatorio La forma genérica de la ecuación diferencial que representa cualquier fenómeno ondulatorio (sin amortiguamiento, Capítulo 5) y asociada a una magnitud física que se propaga en el espacio (t) viene dada por M2t(r, t) .

1 L2t(r, t) %0 v2 Lt 2

(11.1)

Donde el operador M % (L/Lx, L/Ly, L/Lz). Esta t(r, t) puede corresponder a una magnitud escalar, como la presión en el caso de una onda acústica, o a una magnitud vectorial, como el campo eléctrico y magnético en el caso de una onda electromagnética (Capítulo 12). El término v, como veremos más adelante, es la velocidad de propagación de la onda, determinada exclusivamente por las propiedades del medio en el que se propaga. De 11.1 deducimos que una onda representa un fenómeno asociado con un comportamiento temporal y espacial simultáneo, esto es, hay una variación de los valores de la magnitud física t de un punto espacial a otro y, adicionalmente, en cada uno de ellos hay una dependencia con el tiempo. (En este sentido conviene recordar que el fenómeno oscilatorio, Capítulo 5, está relacionado únicamente con una dependencia temporal.) Con idea de llevar a cabo desarrollos más simples, y puesto que la extensión de los resultados y conclusiones que obtengamos en un caso más general será en muchos aspectos inmediata, consideraremos ondas en una dimensión, es decir, que (11.1) se reducirá a L2t(z, t) 1 L2t(z, t) . 2 %0 v Lz2 Lt 2

(11.2)

Esta representa una ecuación de ondas en la que la magnitud física t no depende de la coordenada x e y, es decir, es constante a lo largo de los planos representados por la ecuación general z % constante. Este tipo de ondas se conoce con el nombre de ondas planas (Capítulo 10). Puede demostrarse, aunque no lo haremos aquí, que la solución más general posible de cualquier ecuación de ondas, en particular para (11.2), tiene la forma t(z, t) % f (z . vt) ! g(z ! vt)

(11.3)

donde f y g son funciones arbitrarias cualesquiera y v es la velocidad de propagación de la onda ya que, analizando el argumento de las soluciones anteriores (z u vt), podemos observar en la Figura 11.1(a) que f es una perturbación que se propaga en el sentido positivo de la dirección z con velocidad v, y g en el sentido negativo con la misma velocidad (Figura 11.1(b)). Por otro lado, el hecho de que exista una dirección de propagación implica una relación entre ésta y la variación de la magnitud física que se propaga. Efectivamente, podemos establecer una clasificación de las ondas en dos tipos genéricos, el que se conoce como ondas longitudinales y las ondas transversales. Las primeras se definen como aquellas en las que la variación espacio-temporal de t se produce en la misma dirección que la de propagación, (uno de los ejemplos más representativos es el de las ondas acústicas, Figura 11.2). Por otra parte, en las ondas transversales la variación de t tiene lugar en una dirección perpendicular respecto a la de propagación (a este tipo corresponden las ondas electromagnéticas, Figura 11.3).

Capítulo 11. Intensidad de una onda

157

FIGURA 11.1. Perturbaciones f y g en distintos instantes de tiempo. v es la velocidad de propagación.

FIGURA 11.2. Onda longitudinal típica. Como se observa en la figura, la perturbación de la presión asociada a la onda acústica que se representa se produce en la misma dirección que la de propagación.

FIGURA 11.3. Onda trasversal típica. Como se observa en la figura, la perturbación del campo eléctrico y magnético que se representa se produce en direcciones perpendiculares a la de propagación.

La solución dada por (11.3) es demasiado general y para lo que nos proponemos en este capítulo es suficiente estudiar el comportamiento de una sola onda plana prototipo, la que se conoce como onda armónica plana (Figura 11.4(a)) dada por la ecuación t(z, t) % t0 sen (kz . ut ! h)

(11.4)

158

Laboratorio de Física

FIGURA 11.4. (a) Frente de onda correspondiente a una onda plana. (b) Frente de onda correspondiente a una onda esférica.

Siendo t0 una constante que representa la amplitud máxima de la perturbación de la magnitud t, y h otra que se denomina fase, y cuyo significado está estrechamente relacionado con el que veíamos en el Capítulo 5 para las oscilaciones. El que nos baste estudiar el comportamiento de este tipo de onda reside en el hecho de que cualquier otra onda, por mi compleja que ésta sea, siempre puede expresarse como combinación lineal, suma, de este tipo de ondas. Sustituyendo la Solución (11.4) en (11.2) podemos establecer lo que se conoce como relación de dispersión (Capítulo 10), k%

u v

(11.5)

2n T

(11.6)

donde k se conoce como número de onda, y u%

siendo T el periodo de la onda (Capítulo 5). Echando un vistazo a (11.4) es fácil deducir el significado físico del número de onda; así, viendo el papel que juega dentro de esta ecuación podemos establecer un símil con la frecuencia angular y expresarla como k%

2n j

(11.7)

en la que j se denomina longitud de onda y proporciona información sobre el comportamiento espacial de t, en los mismo términos que el periodo de su comportamiento temporal, esto es, la longitud a partir de la cual el comportamiento de t se repite. De (11.5) deducimos que k y u no pueden escogerse de modo independiente, es más puesto que u está determinada generalmente por la fuente que produce la onda, k queda completamente fijada por dicha relación. El signo del número de onda k nos va a determinar la dirección de propagación de la onda, de modo que si k b 0 esta viajará en la dirección positiva del eje z a velocidad v % u/k, mientras que si k a 0 tendríamos una onda plana que viajaría con la misma velocidad en la dirección negativa de dicho eje. Otro tipo muy importante de onda es el de las ondas esféricas (Figura 11.4(b)). Su relevancia estriba en ser la geometría de las que genera una fuente puntual. Un hecho experimental distintivo de este tipo de ondas respecto a las planas, Ecuación (11.4), es el de que

Capítulo 11. Intensidad de una onda

159

su amplitud disminuye con la inversa de la distancia a la fuente. Así pues, su expresión matemática más elemental tiene la forma t(r, t) %

t0 sen (kr . ut ! h) r

(11.8)

Siendo ahora r la posición radial desde el origen, en nuestro caso la fuente puntual de la onda. Un punto crucial en relación con las ondas es la cuestión de qué se propaga con las mismas. De un análisis detallado podemos concluir que en realidad lo que se propaga es energía, lo que nos obliga a definir una magnitud que permita evaluar esta propagación, de ahí el concepto de intensidad de una onda, que se establece como el promedio de energía por unidad de área y de tiempo I % vE

(11.9)

Siendo E la energía por unidad de volumen.

11.1.2. Ondas acústicas A continuación, y de cara a la experiencia que proponemos en este capítulo, nos centraremos en las ondas de presión, en particular en las acústicas. Estas se producen en un gas y la magnitud que se propaga corresponde a las variaciones de la presión p(r, t), que se producen en un foco emisor. En el caso de una onda de presión plana, la Ecuación (11.2) será L2p(z, t) 1 L2p(z, t) . %0 v Lz2 Lt 2

(11.10)

Siendo la velocidad v%

J

g o0

(11.11)

Donde o0 es la densidad del gas sin perturbar y g el módulo de elasticidad de volumen, dado por la ecuación Lp (11.12) g % o0 Lo 0

A B

Donde la derivada está evaluada en condiciones de equilibrio en el gas (de ahí el subíndice 0). La solución de (11.10) es p(z, t) % p0 sen (kz . ut ! h)

(11.13)

Y la intensidad de la onda plana estará dada por I%

p20 2o0v

(11.14)

La propagación de una onda de presión en un gas habitualmente puede considerarse un proceso adiabático (Capítulo 13), puesto que se considera que no hay intercambio de energía entre los elementos de volumen del gas. En este caso la velocidad (11.10) es, usando la Ecuación (13.25), v%

J

c

p0 o0

(11.15)

160

Laboratorio de Física

Siendo p0 la presión del gas en condiciones de equilibrio y c el coeficiente adiabático, (Capítulo 13). Para el caso de ondas sonoras planas, para las que la intensidad es constante con la distancia, (11.14) (o esféricas a gran distancia de la fuente), es posible un concepto más práctico para establecer la intensidad de un sonido, este es el de presión sonora eficaz, pef (también llamada presión cuadrática media, prms), definido por la relación p2rms %

1 T

I

T

p2(z, t) dt

(11.16)

0

Es decir, que se realiza un promedio temporal de la onda en un periodo. De este modo la intensidad acústica vendrá dada por Ief %

p2rms o0v

(11.17)

Y el interés de esta definición reside en el hecho de que los instrumentos conocidos como sonómetros miden presiones sonoras eficaces. Finalmente, haremos una breve mención a la percepción del sonido por el oído humano. Este, como sabemos, tiene una sensibilidad para cada frecuencia pero, además, hay una intensidad mínima por debajo de la que el sonido no es audible y una máxima por encima de la que produce molestia o dolor. Como este rango de amplitudes es muy amplio se establece un modo alternativo de expresar la intensidad: el decibelio, b (dB), que se define del modo siguiente b % 10 log

prms I % 20 log p0 I0

(11.18)

Siendo I0 % 10.12 Wm.2 una intensidad de referencia y p0 % 2 # 10.5 Pa. (El logaritmo que se toma es en base 10.)

11.2. Instrumentación Sonómetro. Osciloscopio digital. Generador de señales acústicas.

11.3. Método experimental A lo largo de esta experiencia se analizarán señales sonoras procedentes de un generador y producidas en el ambiente. 1. En primer lugar, con un generador que nos proporciona señales acústicas de diferentes niveles de intensidad sonora, fijaremos una señal con idea de determinar el coeficiente de amplificación lineal del sonómetro, lo que nos permite establecer la relación entre la amplitud de la onda sonora y la correspondiente señal eléctrica prms % mV

(11.19)

Capítulo 11. Intensidad de una onda

161

Siendo V el voltaje correspondiente a la señal. Para ello conectaremos la salida del sonómetro al osciloscopio digital y el generador acústico al micrófono del sonómetro. Determinar entonces la amplitud y frecuencia de la señal obtenida, Capítulo 18. Para obtener el coeficiente de amplificación nos basta con el análisis siguiente: a partir del nivel de intensidad sonora podemos hacer, (11.18), b % 20 log

mV prms % 20 log p0 p0

(11.20)

De donde b

m % 1020

p0 V

(11.21)

El error cometido en la determinación será Bm %

JA

B

Lm BV LV

2

(11.22)

Donde hemos supuesto que los errores en b y p0 son despreciables y BV corresponde al error en la determinación del voltaje, que viene dado por la ganancia del osciloscopio (Capítulo 18). 2. En la segunda parte del experimento analizaremos una señal proveniente del ambiente, como por ejemplo la generación de una vocal o la nota producida por algún instrumento. Para ello se llevará a cabo un montaje similar al del apartado anterior. Una vez emitido el sonido y fijada la imagen en el osciloscopio digital trataremos de determinar la presión cuadrática media, prms, aunque, eso sí, la integración reflejada en (11.17) la aproximaremos por la ecuación p2rms %

m2 T

AB

N

; V 2n Bt

(11.23)

n%1

Lo que supone dividir en N partes, correspondiente cada una a un intervalo de tiempo Bt, la imagen obtenida en la pantalla (y que ha de copiarse en papel cebolla). El número N de intervalos que ha de tomarse para que (11.23) sea una buena aproximación de (11.16) depende de lo compleja que sea la señal que se quiere analizar. (En general tomar unos ocho intervalos suele ser suficiente.) Determinar entonces la tensión promedio de la señal en cada uno de ellos, Vn. Así, teniendo en consideración el intervalo de tiempo total analizado, T, y el coeficiente de amplificación lineal, m, podemos calcular la presión cuadrática media. Finalmente, determinar la intensidad de energía asociada a la propagación de la onda acústica asumiendo que la densidad media del aire es de 1290 kg m.3 y la velocidad de propagación 343 m/s.

a

Fenómenos característicos de una onda: interferencia, difracción y polarización 12.1. Introducción 12.1.1. Interferencia 12.1.2. Difracción 12.1.3. Polarización 12.2. Intrumentación 12.3. Método experimental 12.3.1. Interferencia 12.3.2. Difracción 12.3.3. Polarización

En el Capítulo 11 hemos hecho una descripción somera de parte de los conceptos básicos asociados al fenómeno ondulatorio. En este nos plantearemos profundizar aún más en este fenómeno analizando características específicas de las ondas como son la interferencia, la difracción y la polarización. Los dos primeros fenómenos son generales de todo tipo de ondas, bien sean longitudinales o transversales, aunque el tercero, la polarización, lo es de las transversales.

164

Laboratorio de Física

12.1. Introducción En todo lo que viene a continuación tomaremos como referencia las ondas electromagnéticas, cuya existencia se deduce directamente de las ecuaciones de Maxwell, las ecuaciones básicas de cualquier fenómeno relacionado con el campo eléctrico (E ) y magnético (B ). Combinando estas podemos obtener la siguiente ecuación para el campo eléctrico LE L2 E . ke 2 % 0 M E . kp Lt Lt 2

(12.1)

Y una completamente similar para el campo magnético M2B . kp

LB L2 B . ke 2 % 0 Lt Lt

(12.2)

Donde p, e y k corresponden a la conductividad, permitividad eléctrica y permeabilidad magnética del medio en el que se esté propagando la onda. Estas son características que determinan su comportamiento en presencia de un campo eléctrico y magnético. Ambas ecuaciones tienen la misma forma ya que se pueden escribir ambas como M2t(r, t) . kp

Lt(r, t) L2t(r, t) . ke %0 Lt Lt 2

(12.3)

Esta representa una ecuación de ondas amortiguada tridimensional donde el factor que provoca el fenómeno de disipación de energía corresponde al término central, proporcional a la conductividad eléctrica. En este capítulo vamos a asumir que podemos despreciar este término y limitarnos a estudiar la ecuación (Capítulo 11), M2t(r, t) . ke

L2t(r, t) %0 Lt 2

(12.4)

Otra simplificación que haremos será considerar ondas planas en una dimensión, lo que nos lleva a reducir aún más la ecuación anterior a L2t(z, t) L2t(z, t) . ke %0 Lz2 Lt 2

(12.5)

y que representa la ecuación de ondas en las que la magnitud física que se propaga no depende de la coordenada x e y, es decir, es constante para los planos z % constante. El tipo de soluciones de esta ecuación ya lo hemos analizado en el Capítulo 11, de modo que podemos afirmar que la velocidad de propagación de una onda viene determinada por la permitividad eléctrica y la permeabilidad magnética del medio en el que se esté propagando, es decir, v%

1

(12.6)

∂ke Ya discutíamos en el Capítulo 11 que las soluciones de (12.5) toman la forma de ondas planas que se propagan en la dirección z, (11.4).

Capítulo 12.

Fenómenos característicos de una onda: interferencia, difracción y polarización

165

Es habitual expresar (12.6) de la forma v%

c n

(12.7)

Donde n % ∂kr er

(12.8)

se denomina índice de refracción del medio, magnitud sin dimensiones en la que er y kr son la permitividad y permeabilidad relativa del medio, respectivamente, y c es la velocidad de una onda electromagnética en el vacío, igual a c % 1/∂k0 e0. Así pues, el número de onda será en este caso k2 %

u2 % u2ke v2

(12.9)

Como ya discutíamos en el Capítulo 11, las soluciones de (12.5) pueden expresarse en este caso E % E0 sen (kz . ut) B % B0 sen (kz . ut)

(12.10)

donde E0 y B0 son las amplitudes del campo eléctrico y magnético. Sin embargo, si queremos generalizar la expresión de estas ondas armónicas planas de modo que estén expresadas en cualquier dirección espacial, entonces encontramos que lo que llamábamos número de onda, k, es en realidad el módulo de un vector, k, cuya dirección corresponde a la de propagación de la onda, de modo que, en general, en lugar de (12.10) debemos escribir E % E0 sen (k r . ut) B % B0 sen (k r . ut)

(12.11)

Una conclusión muy importante que se obtiene de sustituir estas soluciones en las ecuaciones de Maxwell es el hecho, no sólo de que los campos eléctrico y magnético sean siempre perpendiculares a la dirección de propagación, sino que ambos son mutuamente perpendiculares. A continuación, pasamos a describir los tres fenómenos asociados con las ondas: las interferencias, la difracción y la polarización.

12.1.1. Interferencia Consideremos dos fuentes puntuales separadas una distancia d que emiten ondas esféricas, (11.8), de la misma frecuencia (u) (Figura 12.1), t10 sen (kr1 . ut) r1

(12.12)

t20 sen (kr2 . ut ! h) r2

(12.13)

t1(r1, t) % t2(r2, t) %

166

Laboratorio de Física

FIGURA 12.1.

Proyección en el plano de los frentes de onda correspondiente a dos fuentes puntuales emitiendo ondas esféricas. (Las circunferencias corresponden a los frentes de onda provenientes de cada fuente.)

Siendo ti0 la correspondiente amplitud de la fuente. En todo lo que viene a continuación asumiremos que la fase inicial es cero, esto es, h % 0. Sin embargo, a la vista de estas dos ecuaciones vemos que existe entre ambas un desfase permanente asociado a las distancias relativas de cada una de las fuentes al punto relativo considerado, dado por la expresión 2n (r . r2) (12.14) d % kr1 . kr2 % j 1 En cada punto del espacio se observará entonces la superposición de ambas ondas, (12.12) y (12.13), cuya amplitud resultante estará dada por t0 %

JA B A B A BA B t10 r1

2

!

t20 r2

2

!2

t10 r1

t20 cos d r2

(12.15)

Así pues, en función del desfase espacial (12.14) t0 estará comprendido entre los valores t10 /r1 ! t20 /r2 y t10 /r1 . t20 /r2, dependiendo de que d % 2nn

o

d % (2n ! 1)n

(12.16)

Siendo n un número entero. En el primer caso, tenemos una amplitud máxima, lo que se conoce como interferencia constructiva, y en el segundo una amplitud mínima, eventualmente cero, y se conoce como interferencia destructiva. Estas dos condiciones pueden expresarse de manera equivalente usando (12.14) como r1 . r2 %

E

nj (2n ! 1)j

(12.17)

Siendo el primero el caso de una interferencia constructiva y el segundo destructiva. Una forma de poner de manifiesto este fenómeno es observando el patrón que se produce en una pantalla como consecuencia de las interferencias de ondas provenientes de dos fuentes puntuales (Figura 12.2).

12.1.2. Difracción Como hemos mencionado este es otro de los fenómenos característicos generales de las ondas. Este en particular se observa cuando en la región en la que se esté propagando una

Capítulo 12.

Fenómenos característicos de una onda: interferencia, difracción y polarización

167

FIGURA 12.2. Patrón de interferencias debido a dos fuentes coherentes..

onda se coloca un obstáculo cuyas dimensiones son comparables con la longitud de onda. Así, podemos interceptar la onda o bien con una pantalla que tenga una rendija pequeña que sólo permite el paso de una parte pequeña del frente de onda incidente (Figura 12.3(a)), o bien un objeto cualesquiera, tal como un alambre, un disco, etc., que impide el paso de una parte pequeña del frente de onda (Figura 12.3(b)). Como vemos en estas figuras los patrones de difracción se caracterizan también por una alternancia entre zonas iluminadas y oscuras, como ocurría con las interferencias.

FIGURA 12.3. (a) Fenómeno de difracción debido al paso de la onda por una rendija rectangular muy estrecha y alargada. (b) Difracción producida por la intercepción de una onda mediante un objeto. En ambos casos es claramente visible la alternancia de máxima y mínima intensidad de la onda.

Sin embargo, el tratamiento matemático de este fenómeno es mucho más complicado que el de las interferencias, escapando al nivel de este libro. Dejamos así para las monografías específicas el análisis detallado, describiendo en este capítulo únicamente los resultados fundamentales para llevar a cabo las experiencias propuestas.

12.1.3. Polarización Este es el tercer fenómeno característico del fenómeno ondulatorio como tal aunque en este caso es específico de las ondas transversales, como las ondas electromagnéticas (en particular la luz), o las ondas que se propagan en una cuerda. En lo que viene a continuación supondremos que la dirección de propagación de la onda que estemos considerando es la dirección z, lo que para el caso de las ondas electromagnéticas supone que el campo eléctrico y el magnético siempre oscilan en el plano xy, siendo ambos mutuamente perpendiculares; así, por ejemplo, si el campo eléctrico oscilara en

168

Laboratorio de Física

la dirección x el campo magnético lo hace en la y. En este caso diríamos que la onda está polarizada linealmente, es decir, la variación espacio-temporal del campo eléctrico se realizaría en el plano zx y la del campo magnético en el zy, Figura 12.4(a). Sin embargo, hay otros posibles estados de polarización. En efecto, la solución general del campo eléctrico o magnético en una onda electromagnética tiene la forma t % (t01 sen h1 i ! t02 sen h2 j ) sen (kz . ut)

(12.18)

Siendo i e j los vectores unitarios que determinan las direcciones espaciales x e y, respectivamente, y t01 y t02 las amplitudes de cada una de las componentes espaciales para cada uno de los campos. Así pues, el campo eléctrico a medida que se propaga en la dirección z tendrá en general diferentes orientaciones sobre el plano xy, dependiendo de la diferencia de fase, h1 . h2, que exista entre cada de sus componentes. De modo que si h1 . h2 % 0 o n el campo se dice que está polarizado linealmente, Figura 12.4(a). Si h1 . h2 % n/2 o 3n/2 se dice que lo está circularmente, Figura 12.4(b). Aún hay un detalle importante adicional y es el sentido de giro de cada uno de los campos a medida que propague en la dirección z, denominado helicidad y relacionado con el hecho de si la diferencia de fase es positiva o negativa.

FIGURA 12.4. Variación del campo eléctrico en el fenómeno de propagación de una onda electromagnética (a) linealmente polarizada, (b) circularmente polarizada.

12.2. Instrumentación Banco óptico. Láser. Metro. Diafragmas con una y dos rendijas (de separación d conocida). Cristales polarizadores. Pie de rey. Pantalla. Papel milimetrado.

12.3. Método experimental En la Figura 12.5 se muestra el montaje experimental.

Capítulo 12.

Fenómenos característicos de una onda: interferencia, difracción y polarización

169

FIGURA 12.5. Montaje experimental general.

12.3.1. Interferencia Para evitar los problemas de incoherencia que llevan a que no se forme el diagrama de interferencia, realizaremos el experimento de la doble rendija de Young. Así pues, consideremos un haz de luz proveniente de una fuente, F (en nuestro caso del láser), Figura 12.6, que se hace incidir sobre una pantalla con dos rendijas, SF1 y SF2, separadas una distancia d, y en la que cada una de ellas actuará, a su vez, como una fuente de onda independiente. Colocamos entonces una pantalla en la que observar el patrón de interferencias a una distancia D. Si D A d podemos despreciar la diferencia entre r1 y r2 de modo que expresaremos (12.15) como t0 ]

t10 t10 d ∂2(1 ! cos d) % 2 cos 2 r1 r1

AB

(12.19)

FIGURA 12.6. Experimento de la doble rendija de Young propuesto para nuestro estudio de las interferencias.

170

Laboratorio de Física

Es más, si tenemos en consideración que r1 . r2 % d sen h ] xd/D, Figura 12.7, tenemos d%

2nxd 2n (r1 . r2) ] Dj j

(12.20)

FIGURA 12.7. Esquema de los parámetros involucrados en los fenómenos de interferencias.

Finalmente, puesto que la intensidad es proporcional a la amplitud al cuadrado, Capítulo 11, entonces, podemos escribir I % I0 cos2

A

B

A B

nd sen h nxd ] I0 cos2 j Dj

(12.21)

Siendo I0 la intensidad para h % 0. Los puntos de máxima intensidad corresponden a los puntos sobre la pantalla dados por la expresión x%

nj D d

(12.22)

Siendo n un número entero. De modo que la separación entre dos franjas brillantes consecutivas está dada por Bx %

AB

D j d

(12.23)

En la Figura 12.2 mostramos un patrón de interferencias ideal. Una vez detallado el fundamento teórico específico, a partir del fenómeno de interferencias determinaremos la longitud de onda de la luz emitida por el láser que vamos a emplear a lo largo de este capítulo, (12.22). Para ello hemos de montar en el banco óptico el diafragma con dos rendijas y tomaremos como referencia un máximo próximo al central. Sobre un papel milimetrado fijado en la pantalla marcar el punto central. Variar entonces la distancia entre el diafragma y la pantalla unas diez veces, determinando en cada caso la ubicación del máximo que hayamos tomado como referencia. Representar gráficamente x frente a D. Realizar un ajuste por mínimos cuadrados, (Capítulo I), y de la pendiente obtenida calcular la longitud de onda, (12.22).

Capítulo 12.

Fenómenos característicos de una onda: interferencia, difracción y polarización

171

12.3.2. Difracción En todo lo que viene a continuación nos centraremos en lo que se conoce como difracción de Fraunhoffer. Esta asume que los rayos del haz incidente son paralelos y el patrón de difracción se produce a una distancia muy grande. Vamos a considerar una rendija rectangular muy larga y estrecha de ancho a. En estas condiciones podemos encontrar que las zonas sin iluminación están determinadas por la relación, Figura 12.8, a sen h % nj

(12.24)

donde n es un número entero diferente de cero.

FIGURA 12.8. Esquema de los parámetros involucrados en el fenómeno de difracción.

Realizando un cálculo detallado obtendremos que la intensidad viene determinada por la relación na sen h sen2 j (12.25) I % I0 na sen h 2 j

A

A

B

B

Finalmente, es importante mencionar el hecho de que siempre ambos fenómenos, interferencia y difracción, se superponen en un experimento real, como queda de manifiesto en el de la doble rendija, que se muestra en la Figura 12.9. En este caso la intensidad es

I % I0

A

A

B

na sen h j nd sen h cos2 2 na sen h j j

sen2

B

A

B

(12.26)

En el experimento que se propone orientaremos el láser hacia la pared del laboratorio con idea de que se forme la imagen de difracción a una distancia muy grande. Sobre el papel milimetrado fijado en la pared marcar el punto de incidencia del haz láser. Interceptar este con el diafragma con una rendija de modo que la ilumine de modo uniforme. Dibujar sobre el papel la imagen que se forma indicando los límites de las franjas iluminadas y

172

Laboratorio de Física

FIGURA 12.9. Superposición de los fenómenos de interferencia y difracción en un experimento de doble rendija real.

en oscuridad. La posición del primer mínimo (primera zona oscura) viene dada aproximadamente por x]j

D a

(12.27)

Como se deduce de (12.24). Tomar unos diez valores de la posición de este primer mínimo en función de la distancia entre la pared y la rendija. Representar gráficamente x vs D y realizar un ajuste por mínimos cuadrados (Capítulo I). De la pendiente obtenida, usando el valor de la longitud de onda determinada en el apartado anterior, calcular el ancho a de la rendija empleada en el experimento. ¿Coincide con el valor real?

12.3.3. Polarización En esta parte se pretende poner de manifiesto de forma cualitativa el fenómeno de polarización. Para ello se usarán polarizadores, materiales que absorben las componentes del campo eléctrico en determinadas direcciones gracias a las características físicas del propio polarizador. Intercalando y girando los polarizadores entre la fuente y la pantalla, analizar en qué direcciones de los mismos se produce extinción del haz, esto es, absorción en el material polarizador y, en consecuencia, no hay transmisión.

Equivalente mecánico del calor 13.1. Introducción 13.2. Instrumentación 13.3. Método experimental

174

Laboratorio de Física

13.1. Introducción Cualquier sistema físico en equilibrio puede caracterizarse por poseer una energía total (que también se suele llamar energía interna), U0, constante, es decir, U0 % T ! V

(13.1)

Esta condición física define lo que se denomina estado termodinámico. En (13.1) el término T%

1 N ; mk v2k 2 k%1

(13.2)

representa la energía cinética de las N partículas componentes del sistema (Capítulo 4), siendo mk la masa de cada una de ellas y vk su velocidad correspondiente; y V la energía potencial total, en donde se incluye la acción de las fuerzas de interacción entre todas las partículas y de las fuerzas externas. Cualquier sistema físico inevitablemente experimenta en mayor o menor grado una interacción con su entorno, una de cuyas principales consecuencias es el intercambio de energía entre ambos, lo que conlleva una variación del estado termodinámico del sistema, fenómeno que se conoce como proceso termodinámico. Las interacciones con el entorno pueden siempre descomponerse en dos partes: aquella correspondiente a las interacciones que dan lugar a efectos macroscópicos, medibles, que denominaremos trabajo, W; y aquella otra relacionada con efectos a escala microscópica, no directamente medibles, y que englobaremos en una magnitud que llamaremos calor, Q. Es decir, que la variación de la energía interna de un sistema físico proviene del intercambio de calor con el entorno o de la realización de trabajo. Así podemos establecer el primer principio de la Termodinámica, el principio de conservación de la energía, del modo U . U0 % BU % Q ! W

(13.3)

Siendo U la energía interna correspondiente al nuevo estado termodinámico. Si el proceso termodinámico que sufre el sistema lleva a un cambio de energía pequeño, tanto que puede considerarse infinitesimal, entonces (13.3) se puede expresar como dU % dQ ! dW

(13.4)

Y que representa el primer principio de la Termodinámica en forma diferencial. El que en la Ecuación (13.3) aparezca una diferencia de las energías internas correspondientes al estado inicial y final, lleva a una arbitrariedad en la elección del origen de energías estando obligados a dar un criterio de signos tanto para el trabajo como para el calor. Habitualmente se asume como positivo el trabajo que se realiza sobre el sistema ya que de ese modo su energía interna aumenta y, por tanto, negativo si lo realiza el sistema sobre el exterior (su energía interna entonces disminuye). A continuación, como ilustración, determinaremos la expresión del trabajo para uno de los sistemas simples más extendidos. Supongamos un gas encerrado en un émbolo, una de cuyas paredes es un pistón movible. El gas intercambia energía y momento con las vecindades a través de las colisiones de sus moléculas con las de las paredes. El intercambio de momento entre las moléculas se traduce en la aparición de una fuerza media neta F que

Capítulo 13.

Equivalente mecánico del calor

175

actúa sobre la totalidad del área de la pared. Si denotamos por S a dicha superficie y p a la presión del gas (Capítulo 7), entonces, F % pS

(13.5)

Debido a que el émbolo dispone de una pared movible esta fuerza puede dar lugar al desplazamiento del mismo. Consideremos que este desplazamiento es dx, entonces, el trabajo realizado por el sistema viene dado por la ecuación dW % .Fdx % .pSdx % .pdV

(13.6)

donde dV % Sdx es el cambio que se produce en el volumen del gas. Si este cambia de V a V0, el trabajo externo realizado por el sistema vendrá dado por W%.

I

V

pdV

(13.7)

V0

que implica que ha de existir una relación entre la presión p y el volumen V, lo que se conoce como ecuación de estado (cada sistema físico en equilibrio tiene una). Cada una de estas magnitudes (como la presión, el volumen y la temperatura en el caso del gas), se denomina variable termodinámica. En realidad, estas representan valores promedio de características del sistema físico, (la presión lo es de las interacciones individuales de todos y cada uno de los átomos o moléculas componentes del gas sobre la pared del recipiente que los contiene, y la temperatura la energía cinética de cada uno de ellos). Como hemos mencionado el concepto de ecuación de estado de un sistema implica que podemos establecer una relación entre el conjunto de variables termodinámicas que determinan su equilibrio. Por ejemplo, para un gas podríamos expresar de forma genérica su ecuación de estado de la forma f (p, V, T) % 0

(13.8)

La existencia de esta ecuación de estado permite deducir cómo es un cambio infinitesimal de volumen en el gas, determinado por dV %

A B LV Lp

A B LV LT

dp ! T cte

dT

(13.9)

p cte

Donde los subíndices T constante y p constante implican que las derivadas se toman bajo esas condiciones. Al factor i%.

A B

1 LV V Lp

(13.10) T cte

se le denomina compresibilidad isotérmica (Capítulo 6), y a a%

A B

1 LV V LT

(13.11)

p cte

coeficiente de dilatación cúbica (Capítulo 14). El hecho de que los coeficientes del tipo i y a puedan obtenerse a partir de medidas experimentales (Capítulos 6 y 14) fundamenta en gran medida la Termodinámica. Volviendo nuevamente al problema que estamos tomando como referencia, el gas en un pistón, además del movimiento macroscópico del émbolo, si queremos realizar una

176

Laboratorio de Física

descripción completa del principio de conservación de la energía hemos de tener en consideración también el intercambio de energía que se produce a través de las paredes fijas del émbolo. En este caso no podemos definir un concepto de trabajo. Estos, aunque se producen a nivel microscópico, no pueden computarse. Esto nos lleva a la necesidad de introducir el concepto de calor, Q, con el que tendremos en consideración la energía intercambiada a nivel microscópico entre las moléculas del sistema y del medio que lo rodea. De modo que representa igualmente una transferencia de energía. Cuando dicha transferencia no existe, aun no siendo un sistema aislado, se dice que hay equilibrio térmico, el cual implica que la energía cinética promedio de ambas partes ha de ser la misma, de modo que no hay intercambio neto de energía a través de las colisiones moleculares y, por tanto, sistema y entorno están a la misma temperatura. Por la misma razón que ocurría con el concepto de trabajo nos vemos obligados a establecer un criterio de signos para el calor, habitualmente se considera positivo cuando es absorbido por el sistema y negativo cuando lo pierde. Si las variables de estado determinan el estado de equilibrio del sistema, es razonable pensar que su energía interna ha de depender de dichas variables, aunque puesto que la ecuación de estado establece una ligadura entre ellas, sólo dependerá de las mismas. Siguiendo con el ejemplo que nos está sirviendo de referencia a lo largo de este capítulo, esto implica que podemos provocar una variación infinitesimal de energía interna mediante una variación de presión o de temperatura (o de ambos simultáneamente), es decir, dU %

A B

dp !

A B

dV !

LU Lp

T cte

A B LU LT

dT

(13.12)

dT

(13.13)

p cte

o de forma equivalente dU %

LU LV

T cte

A B LU LT

V cte

Sustituyendo (13.13) en (13.4), usando (13.6), obtenemos

A B LU LV

dV !

T cte

A B LU LT

dT % dQ . pdV

V cte

de donde, operando y dividiendo por dT, llegamos a

C A B D

LU dQ % p! Lp dT

T cte

A B

dV LU ! dT LT

(13.14)

V cte

Si como caso particular consideramos un proceso isócoro (así se denominan los procesos termodinámicos a volumen constante), podemos introducir el concepto de capacidad calorífica a volumen constante como cV %

A B

dQ LU % dT LT

(13.15)

V cte

que, como ocurría con la compresibilidad isotérmica y el coeficiente de dilatación cúbica, es una magnitud que puede medirse experimentalmente. Si hubiéramos partido de (13.12) hubiésemos llegado de modo equivalente al concepto de capacidad calorífica a presión constante dQ LU % (13.16) cp % dT LT p cte

A B

Capítulo 13.

Equivalente mecánico del calor

177

Volviendo al caso del gas ideal, puesto que por definición sus partículas componentes no interactúan entre sí y, por tanto, su energía interna sólo depende de la energía cinética de las mismas, es decir, de la temperatura, U % U(T)

(13.17)

Esto implica que

A B LU Lp

o bien

T cte % 0

A B LU LV

(13.18)

%0

(13.19)

T cte

Así pues, tomando como punto de partida (13.4), y usando (13.6) y (13.15), llegamos a la relación dQ % dU ! pdV % cVdT ! pdV

(13.20)

dQ % cpdT . Vdp

(13.21)

o de forma equivalente

Un proceso de gran interés es el proceso adiabático (Capítulo 11), que representa un proceso en el que no hay intercambio de calor entre el sistema y el exterior, cumpliéndose que dQ % 0. Si seguimos asumiendo un gas ideal, empleando (13.20) y (13.21) llegamos a Vdp % cpdT

(13.22)

pdV % .cVdT Dividiendo la primera ecuación por la segunda, obtenemos cp dV dV dp %. % .c V cV V p

(13.23)

que no podemos integrar mientras no conozcamos c, que se conoce como coeficiente adiabático. En aquéllos casos que podemos asumirlo constante, entonces, pVc % cte

(13.24)

De modo que

A B Lp LV

% .c

S cte

p V

(13.25)

donde con el subíndice S queremos significar que es un proceso adiabático. Con idea de comparar, si recordamos la ecuación de estado para los gases ideales pV % NkT

(13.26)

Siendo N el número total de partículas componentes en el gas y k la constante de Boltzman, derivando en esta la presión respecto al volumen, manteniendo constante la temperatura, llegamos a la expresión

A B Lp LV

%. T cte

p V

(13.27)

178

Laboratorio de Física

Terminaremos esta introducción estableciendo el concepto de equivalente mecánico de calor. La cantidad de trabajo o calor que debería disiparse en el agua —ya fuera, por ejemplo, manteniendo una corriente eléctrica en una resistencia sumergida en ella o mediante un proceso mecánico como la agitación- por unidad de masa para pasar de 14,5 a 15,5 oC se denomina equivalente mecánico del calor, que para el agua resulta ser de 4,186 J/cal. El fundamento de la experiencia que se propone es precisamente la determinación de este factor.

13.2. Instrumentación Termómetros. Vaso Dewar. Fuente de energía eléctrica. Resistencia eléctrica (para el calentamiento del agua). Voltímetro. Amperímetro. Balanza. Cronómetro.

13.3. Método experimental En la Figura 13.1 se presenta una imagen del montaje experimental.

FIGURA 13.1. Montaje experimental.

La finalidad de la experiencia que se propone en este capítulo es la determinación del equivalente mecánico del calor, que utilizaremos para analizar el principio de conservación de la energía, (13.3), e ilustrar las diferentes manifestaciones de la energía en la naturaleza. Para ello estableceremos el balance de energía entre energía mecánica, eléctrica y térmica en el agua. Gracias a la energía mecánica que se obtiene en las centrales eléctricas disponemos de energía eléctrica. Esta, a su vez, la invertiremos en energía térmica mediante una resistencia gracias al efecto Joule (Capítulo 17).

Capítulo 13.

Equivalente mecánico del calor

179

Como cualquier sistema físico el vaso Dewar no consigue un aislamiento perfecto del agua con el entorno. Por tanto, en primer lugar hemos de determinar estas pérdidas, lo que se conoce como equivalente en masa del calorímetro. Para ello tomaremos dos masas de agua similares, una m1 a la temperatura T1 ambiente y otra m2 unos 10 oC por encima del anterior, T2. Mezclar entonces ambas masas de agua en el vaso Dewar, agitando para que se uniformice las temperaturas, midiendo la temperatura de la mezcla conseguida, Tmezcla. A partir de estos datos establecemos el equivalente en masa del calorímetro, Mc, que viene dado por la expresión Mc % m 2

A

B

T2 . Tmezcla . m1 Tmezcla . T1

Cuyo error viene dado por la expresión BMc %

JA

LMc Bm1 Lm1

2

B A !

2

B A

LMc Bm2 Lm2

!

LMc BT1 LT1

2

B A !

LMc BT2 LT2

2

B A !

LMc BT LTmezcla mezcla

2

B

A continuación montaremos el circuito de la Figura 13.2. Con el voltímetro y el amperímetro podremos determinar la potencia disipada en la resistencia calefactora, Pr % IV, y de ella deducir la energía disipada durante un intervalo de tiempo Bt BEr % Qr % IV Bt

FIGURA 13.2. Circuito necesario para llevar a cabo el experimento.

Esta energía la invertiremos en variar la energía interna del agua, lo que se reflejará en un aumento de su temperatura, puesto que en este caso no existe trabajo. Como hemos descrito en la introducción, esta variación puede expresarse como, (13.21), BUagua % mcp BT Siendo cp el calor específico del agua a temperatura ambiente, expresado en calorías por gramo, y que el estudiante ha de buscar en las tablas. Llenaremos ahora el vaso Dewar con agua a temperatura ambiente, T1, en una proporción m ] m1 ! m2. Introducir la resistencia calefactora y encended la fuente cronometrando el tiempo y, simultáneamente, agitando suavemente el agua para que la temperatura se uniformice. Transcurridos unos Bt % 10 minutos, desconectamos la fuente y medimos la temperatura final, T2. Entonces, a partir de los valores experimentales obtenidos determina-

180

Laboratorio de Física

remos la expresión J%

IV Bt cp(Mc ! m)(T2 . T1)

Cuyo error estará dado por

JA B A B A B A

BJ%

2 2 2 2 LJ LJ LJ LJ LJ BV ! BI ! Bt ! B(Mc!m) ! B(T2.T1) LV LI Lt L(Mc!m) L(T2.T1)

B A

2

B

donde B(Mc ! m) % BMc ! Bm % BMc ! B(m1 ! m2) y B(T2 . T1) % BT2 . BT1 ¿Cuál es el valor esperado de J en una experiencia perfecta? Si se encuentran discrepancias entre el valor teórico y el obtenido experimentalmente analizar a qué puede deberse. Es conveniente repetir la experiencia dos veces.

Dilatación térmica

14.1. Introducción 14.2. Instrumentación 14.3. Método experimental

182

Laboratorio de Física

14.1. Introducción En el Capítulo 6 analizábamos las deformaciones que se pueden producir en un sólido cuando este se somete a una determinada tensión. Sin embargo, también se puede provocar una deformación variando su temperatura. Efectivamente, en nuestra experiencia cotidiana alguna vez hemos observado cómo los materiales se dilatan al aumentar su temperatura. Para entender este fenómeno basta tener en consideración la forma específica que tienen la fuerza de interacción existente entre los átomos de un sólido, o de forma equivalente su correspondiente energía potencial, Figura 14.1.

FIGURA 14.1. Energía potencial de interacción (V ) entre dos átomos de un sólido.

A una temperatura de 0 K (temperatura que es inalcanzable, como establece el tercer principio de la Termodinámica), todos los átomos del sólido estarían en equilibrio en sus posiciones de equilibrio, determinadas estas por la estructura de la red cristalina del material, Figura 14.2. Aunque a una temperatura diferente del cero absoluto los átomos disponen de una energía cinética que les lleva a oscilar en torno a esas posiciones de equilibrio, con amplitudes que mientras no sean demasiado grandes podremos tratar como armónicas, Figura 5.1 (Capítulo 5). Sin embargo, ¿qué ocurre cuando estas amplitudes son tales que la aproximación armónica no es válida? (Figura 14.1) —que implica que la fuerza de interacción entre los átomos ya no puede asumirse que sea equivalente a la correspondiente a un oscilador armónico—. Antes de analizar esta cuestión recordaremos por su importancia en el fundamento de esta práctica el concepto de temperatura. Este está asociado a la energía cinética media de los átomos del sistema físico que estemos considerando. De este modo se tiene T%

SEcinéticaT 1 m 2 % Sv T 2 k k

(14.1)

Donde los corchetes S T indican, como siempre, el valor medio de la magnitud que se esté promediando, y k es la constante de Boltzmann cuyo valor es 1,38 # 10.23 J K.1. En general la energía total de un átomo en un sólido a una temperatura diferente de cero estará dada por la expresión Etotal % Ecinética ! V

(14.2)

Capítulo 14. Dilatación térmica

183

FIGURA 14.2. Estructura y disposición tridimensional de los átomos en una red cristalina cúbica. Las barras dispuestas entre los átomos son sólo guías para los ojos.

Siendo V la energía potencial de interacción de cada átomo en el sólido. De modo que en el cero absoluto de temperatura esta energía total se reduciría a Etotal % V

(14.3)

que es la que determina en último término las posiciones de cada átomo en la red cristalográfica. Si ahora suponemos que la temperatura es diferente de cero, gracias al movimiento asociado con la misma, (14.1), cada átomo «explora» la energía potencial a la que está sometido. Sin embargo, si la temperatura no es muy alta, podemos asumir en primera aproximación la energía potencial de cada átomo corresponde a la de un oscilador armónico, Figura 14.1, esto es, 1 (14.4) V ] Varmónico % kr2 2 Siendo r la posición relativa de cada átomo en la estructura cristalina y k la constante de restitución (Capítulo 5), característica de la interacción electromagnética entre los átomos. Si bajo estas condiciones determinamos ahora el valor medio de la distancia entre los átomos, SrT, esta coincidiría con la interatómica de equilibrio, a T % 0 K, r0, que se conoce con el nombre de parámetro de red. Esto implica que en el rango de temperaturas en el que podemos asumir esta aproximación armónica el sólido no se dilata. Pero supongamos que las temperaturas son tales que la energía cinética de cada átomo permite explorar una región de la energía potencial en la que ya no es válida la aproximación armónica y tenemos que tomar un orden mayor en el desarrollo de Taylor de la misma, es decir, 1 (14.5) V ] Vinarmónico % kr2 . Br3 2 donde B es el coeficiente inarmónico. Analicemos bajo estas condiciones lo que supone variar la temperatura del material, Figura 14.3: A T0 los átomos oscilan de manera que la distancia entre ellos varía entre los valores A0 y B0, cuyo valor medio es r0 (en consecuencia estaríamos dentro de la aproximación armónica). A temperatura más alta, T1, la distancia interatómica varía en el intervalo definido por los valores A1 y B1, lo que corresponde a una distancia media entre los átomos r1, y tal que r0 a r1, y así sucesivamente. Como r0 a r1 a r2 a... para T0 a T1 a T2 a..., podemos concluir que al aumentar la temperatura

184

Laboratorio de Física

la amplitud de la oscilación de los átomos aumenta, lo que lleva aparejado que las distancias medias entre ellos también aumentan, es decir, se produce una dilatación del material. De hecho puede deducirse (aunque no lo hagamos aquí porque excede el nivel del presente libro) que a una temperatura T la distancia media entre los átomos está dada por la expresión SrT % 3kT

B k2

(14.6)

FIGURA 14.3. Energía potencial de interacción entre dos átomos de un sólido. Se destacan las distancias medias entre ellos a cada una de las temperaturas analizadas, teniendo en consideración que T0 a T1 a T2 a ...

Toda la descripción que acabamos de hacer corresponde a la imagen microscópica del fenómeno de dilatación, pero ahora debemos de encontrar el modo de tratarlo a nivel macroscópico. Asumiremos que en ningún momento existen fuerzas externas actuando sobre el sólido y que sólo variaremos su temperatura. Las deformaciones que se producen corresponden a un proceso reversible ya que una vez elevada la temperatura del material, si lo llevamos nuevamente a la temperatura inicial T0, el sólido recupera su forma inicial. Este carácter reversible nos permite incorporar este fenómeno en el marco general de la teoría de la elasticidad que desarrollamos en el Capítulo 6. Asumiremos entonces que la deformación asociada con la temperatura es una función lineal de la misma. Si nos limitamos al caso de materiales isótropos, para los cuales la dilatación térmica es la misma en todas las direcciones espaciales, tenemos que unn %

a (T . T0) 3

(14.7)

donde unn, con n % x, y, z, representa los incrementos relativos de la longitud del material en cada una de las tres direcciones espaciales (Capítulo 6), y a se conoce como coeficiente de dilatación térmica. En el caso de materiales con una determinada estructura cristalográfica, las deformaciones que se producen debido a la temperatura son más complejas y han de representarse de la forma aik (T . T0) (14.8) uik % 3 Donde aik corresponde a cada una de las componentes de una matriz simétrica.

185

Capítulo 14. Dilatación térmica

No lo haremos aquí pero puede demostrarse que en el caso de materiales isótropos el coeficiente de dilatación lineal, a, relacionado con la distancia media relativa de los átomos en el sólido a través de la relación a%

k B 1 dSrT % 12 r0 k2 r0 dT

(14.9)

14.2. Instrumentación Tubos de distintos materiales (aluminio, cobre, acero, latón...) adaptables sobre un banco de medida de unos 60 cm de longitud. Micrómetro con precisión de 0,01 mm. Tubos de goma. Alternativa 1: Termómetro. Sistema calefactor y de bombeo de agua caliente. Alternativa 2: Termistor. Generador de vapor de agua. Polímetro para usarlo como óhmetro. Vaso.

14.3. Método experimental El objetivo de la práctica es medir el coeficiente lineal de dilatación para diferentes materiales. En la Figura 14.4(a) se muestra un esquema de la disposición experimental en el caso de la alternativa 1 y en la (b) en el de la alternativa 2.

FIGURA 14.4. (a) Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experiencia correspondiente a la alternativa 1. (b) Para la alternativa 2.

Una vez colocamos el tubo del material en el soporte ponemos el micrómetro a cero, y entonces mediante los tubos de goma se conecta al sistema de bombeo del agua en el caso de la alternativa 1, o al generador del vapor de agua en el de la alternativa 2.

186

Laboratorio de Física

Asumiremos que la temperatura del tubo es uniforme a lo largo del mismo, y se mide con el termómetro directamente sumergido en el baño de agua que se bombea en la primera alternativa, o haciendo una lectura de la respuesta eléctrica del termistor con el polímetro, funcionando como óhmetro en la segunda, buscando la equivalencia de la resistencia en las tablas que proporcionan los fabricantes. Por otro lado, podemos expresar (14.7) de modo equivalente como dl a % (T . T0) l0 3

(14.10)

Siendo l0 la longitud del tubo a la temperatura ambiente, T0 . 1.

Determinar el incremento de longitud que experimentan los tubos de cada uno de los materiales midiendo su correspondiente incremento de longitud respecto a la temperatura ambiente con ayuda del micrómetro, y a partir de la relación (14.10) obtener el coeficiente de dilatación lineal a%

3dl l0 (T . T0)

(14.11)

Hemos de tener presente que la lectura que nos proporciona el micrómetro es directamente la correspondiente a dl. Para que podamos comparar nuestros resultados con los de la bibliografía, a continuación damos los coeficientes de dilatación para algunos materiales que pueden encontrarse fácilmente en forma de tubo: — — — —

Cobre: Oro: Hierro: Plata:

a % 16,6 10.6 K.1 a % 14 10.6 K.1 a % 12 10.6 K.1 a % 19 10.6 K.1

Si tenemos en cuenta el error en la medida realizada con el micrómetro, B(dl); y el correspondiente a la medida de la temperatura, BT, podemos calcular el error en la determinación del coeficiente de dilatación lineal mediante la ecuación Ba % 2.

JA

La B(dl) L(dl)

2

B A

2

B

La ! BT LT

Usando técnicas de difracción de rayos X, electrones o neutrones se pueden conocer los parámetros de las redes cristalinas de los diferentes materiales, en particular de sustancias tan comunes como el cobre, hierro, oro, plata... Y estos valores aparecen en la mayoría de las tablas que se pueden encontrar en las bibliotecas. A partir de ellos a la temperatura ambiente calcular el valor medio de la distancia interatómica a 80 oC para el aluminio y el cobre.

Conductividad térmica

15.1. Introducción 15.2. Instrumentación 15.3. Método experimental

188

Laboratorio de Física

15.1. Introducción Cuando los dos extremos de un cuerpo como el que se muestra en la Figura 15.1 se mantienen a temperaturas diferentes podemos observar que en la región intermedia entre ambos extremos hay una distribución continua de temperaturas a lo largo de la misma. El someter los extremos del material a dos temperaturas diferentes conlleva la aparición de un transporte de energía, el cuál tiene lugar del extremo de mayor temperatura al de menor. Este fenómeno es lo que se denomina de forma genérica conducción del calor. Si por simplicidad suponemos que la dirección del flujo de energía se produce únicamente en la dirección x, la ley fundamental de la conducción de calor está dada por la expresión conocida como ley de Fourier, LT (15.1) jenergía %.K Lx Donde jenergía representa el flujo de energía por unidad de volumen, T la temperatura y K la conductividad térmica del material (sus unidades son W/m K); esta última es una magnitud dependiente de la temperatura y las características del material (como sus impurezas, posibles cambios que se pudieran producir en su estructura interna por el calentamiento continuo o por estar sometido a una gran presión, etc.). El signo menos indica que el flujo de energía se produce en sentido contrario al gradiente de temperatura, que es como se conoce al factor LT/Lx, o sea, de la región con mayor temperatura a la de menor. Ahora trataremos de expresar (15.1) en función de la temperatura. Para ello aplicaremos el principio de conservación de la energía. Tomando como referencia el experimento propuesto en la Figura 15.1, fijándonos en un elemento de volumen infinitesimal del mismo, Figura 15.2, la variación de su energía total (o energía interna como también se conoce) en la unidad de tiempo viene dado por la relación Lj energía BEtotal % S[( jenergía)entrante . ( jenergía)saliente] %.Sdjenergía %. Sdx Bt Lx

(15.2)

Donde djenergía es la diferencia de densidades de flujo de energía entre los extremos del elemento de volumen considerado, y S el área de la sección del mismo que en el caso que tomamos como referencia es perpendicular al flujo de energía. (En los libros de Termodinámica al término BEtotal se le denomina calor y se representa con la letra Q.) Si hay una variación efectiva entre ambos flujos la experiencia nos indica que ha de producirse un aumento de la energía total, Etotal, del elemento de volumen considerado y, en consecuencia, un aumento de la temperatura del mismo. Por otro lado, esta variación de energía puede expresarse en función del calor específico del material considerado, c, (que se define como la energía por unidad de masa necesaria para conseguir elevar la temperatura de un determinado material en un grado), mediante la relación LT LT LT BEtotal %c m%c odv % c oSdx Lt Lt Lt Bt

(15.3)

Siendo o la densidad en el elemento de volumen dv considerado. Igualando (15.2) y (15.3) llegamos a oc

LT Ljenergía %. Lt Lx

(15.4)

189

Capítulo 15. Conductividad térmica

FIGURA 15.1. Esquema de una experiencia típica en la que se pone de manifiesto el fenómeno de la conductividad térmica en el caso de un flujo estacionario. TA b TB y, por tanto, TA b T1 b ñ T7 b TB.

FIGURA 15.2. Detalle de un elemento de volumen de la barra mostrada en la Figura 15.1. Se ha destacado la relación entre los flujos de energía.

Que usando (15.1) nos permite establecer la ecuación de conducción térmica para un determinado material K L2 T LT % (15.5) oc Lx2 Lt Un caso particular importante es el de un flujo estacionario, esto es, un flujo en el que no se produce aumento de temperatura con el tiempo de ninguna parte del cuerpo. Matemáticamente esto se expresa imponiendo LT/Lt % 0, que sustituyendo en (15.5) nos queda L2T %0 Lx2

(15.6)

190

Laboratorio de Física

La solución de esta ecuación nos proporciona la distribución de temperaturas en el material. Efectivamente, si como condiciones de contorno suponemos que las temperaturas de los extremos son TA y TB, y tal que TB a TA (Figura 15.1), T (x) % TB ! (TA . TB)

x l

(15.7)

Siendo l la longitud del material que estamos utilizando, y x la variable que determina cada punto del mismo a lo largo de la dirección en la que existe el flujo de energía, en nuestro caso la dirección x. En un experimento real estas condiciones de estacionaridad se consiguen poniendo en contacto cada extremo del material a un foco de temperatura (entendiendo por foco un sistema cuya temperatura no varía por mucha energía que ceda al entorno). Una conclusión fundamental que sacamos a partir de la forma de esta solución es que los flujos estacionarios no dependen de la conductividad térmica del material que estemos utilizando. De modo que si queremos determinar dicha conductividad deberemos llevar a cabo una experiencia no estacionaria, partiendo nuevamente de (15.5).

15.2. Instrumentación Alternativa 1: Generador de vapor. Recipiente en forma de cilindro de sección S para formar hielo. Vaso para recuperar el agua del deshielo. Vaso para el agua de condensación. Cronómetro. Caja con ventana que sirve de soporte para la experimentación. Piezas de distintos materiales con forma de plancha. Balanza. Calibre. Alternativa 2: Termopares y dispositivo para la lectura de la temperatura. Barras de distintos materiales. Foco caliente (recipiente con agua hirviendo). Foco frío (recipiente con hielo). Aislante térmico adaptable a las barras.

15.3. Método experimental Los objetivos de las experiencias propuestas son, por un lado, la medida de la distribución de temperaturas que se produce en el caso de un flujo estacionario, y por otro, la determinación de la conductividad térmica, K, de distintos materiales. 1.

La primera experiencia propuesta consiste en, empleando los elementos descritos en la alternativa experimental 2, Figura 15.3(b), determinar la distribución de temperaturas en el caso de tener una situación de flujo estacionario, (15.7). Colocando el extremo de cada barra, una en contacto con el recipiente con agua hirviendo y el otro al recipiente con hielo, forrando la barra con algún aislante térmico para evitar la fuga de energía por las paredes de la misma, se medirá, haciendo uso de los termopares, la temperatura en diferentes puntos, fijados previamente, a lo largo de la barra. Los resultados lo representaremos en una gráfica en la que trazaremos también la curva teórica dada por (15.7).

2.

Para llevar a cabo la determinación de la conductividad térmica de los diferentes materiales emplearemos la alternativa experimental 1, Figura 15.3(a). Se conectará el generador de vapor cuyo flujo, a aproximadamente unos 80 oC, se hará pasar por el interior de la caja, (este corresponderá al foco caliente), y donde hay una ventana sobre la que se colocará la plancha de material del que queremos obtener su conductividad térmica. El foco frío lo mantendremos a 0 oC por medio del contacto con el bloque cilíndrico de hielo.

Capítulo 15. Conductividad térmica

191

FIGURA 15.3. (a) Fotografía de la disposición de los diferentes elementos en la experiencia correspondiente a la alternativa 1. (b) Para la alternativa 2.

A partir de la Ecuación (15.3) determinaremos de modo aproximado la conductividad térmica mediante la relación K%

h BEtotal S(TA . TB) Bt

(15.8)

Donde h corresponde al grosor de la plancha de material que se esté analizando y S la sección del foco frío. El término BEtotal /Bt lo determinaremos a partir de la masa de agua fundida que se recoge en un vaso durante un tiempo determinado Bt (sobre 10 minutos), teniendo en consideración que el calor latente del agua en su transición de fase sólido-líquido es L % 3,33 105 J/kg. Entonces, BEtotal % maf L, siendo ma f el agua fundida recogida. El error que se comete en la determinación de la conductividad térmica por el procedimiento descrito será BK %

JA

2

B A

LK BTA LTA

!

2

B A

LK BTB LTB

!

LK Bma f Lmaf

2

B A !

2 LK LK Bh ! BS Lh LS

B A

B

2

Donde Bma f es el error instrumental asociado a la medida con la balanza de la masa de agua fundida, Bh el error instrumental en la medida del grosor de la plancha del material con el calibre, y BS el correspondiente a la medida de la sección del bloque cilíndrico de hielo. Como existen muchos manuales en los que se pueden encontrar los valores de la conductividad térmica para los materiales típicos y en un amplio rango de temperaturas, con ellos podremos comprobar los resultados obtenidos en la experiencia propuesta.

a

Capacidad de un condensador. Coeficiente de inducción mutua 16.1. Introducción 16.1.1. Capacidad de un condensador 16.1.2. Autoinducción 16.2. Instrumentación 16.2.1. Condensador 16.2.2. Autoinducción 16.3. Método experimental 16.3.1. Condensador 16.3.2. Autoinducción

194

Laboratorio de Física

16.1. Introducción 16.1.1. Capacidad de un condensador En condiciones electrostáticas sabemos que la carga depositada en un conductor se localiza completamente en la superficie del mismo. Más aún, se establece que cualquier material metálico es un volumen equipotencial en dichas condiciones. Una de las aplicaciones tecnológicas más importantes de los materiales metálicos es la de almacenamiento de energía eléctrica. Para ello hay que considerar asociaciones de dos conductores. Supongamos dos de ellos inicialmente de geometría arbitraria, como los que se muestran en la Figura 16.1, y en cuyas superficies quedan distribuidas cargas Q1 y Q2. El potencial entonces de cada uno de ellos, Vi, constante, ha de depender de su propia carga y de la del otro conductor, por un lado, y de la geometría y posición relativa de ambos, por otro. Entonces, podemos escribir para cada uno de ellos V1 % g11Q1 ! g12Q2

(16.1)

V2 % g21Q1 ! g22Q2

siendo gii factores asociados a la geometría del conductor i correspondiente, y gij dependientes de la relación geométrica entre ambos conductores.

FIGURA 16.1. Dos conductores de geometría arbitraria cargados uno con carga Q1 y otro con carga Q2.

En correspondencia con la aplicación de almacenamiento de energía eléctrica que hemos mencionado es razonable tratar de definir una magnitud que nos dé idea de la capacidad de almacenaje de una asociación tal de dos conductores. En realidad sólo estaremos interesados en el caso en el que ambos conductores posean cargas iguales en magnitud pero de signo opuesto, es decir, Q1 % Q y Q2 % .Q, puesto que desde un punto de vista práctico conectaremos cada uno de los conductores a un borne de una fuente de tensión. En estas condiciones el sistema de dos conductores así formado se denomina condensador. De modo que (16.1) nos quedaría V1 % (g11 . g12)Q

(16.2)

V2 % (g21 . g22)Q y la diferencia de potencial entre ambos metales será BV % V1 . V2 % (g11 ! g22 . g12 . g21) Q %

Q C

(16.3)

Capítulo 16. Capacidad de un condensador. Coeficiente de inducción mutua

195

donde C es un factor puramente geométrico que se denomina capacidad del condensador. Entonces podemos hacer Q C% (16.4) BV Su unidad es el faradio. Si nos fijamos en (16.4), es inmediato ver que la capacidad nos determina la cantidad de carga que podemos almacenar en el condensador para una diferencia de potencial determinada. De ahí la utilidad de este dispositivo como almacén de carga o, lo que es lo mismo, de energía electrostática. Esta última está dada por la relación Uelectrostática %

1 Q2 1 QBV % % C(BV)2 2 2C 2

(16.5)

En el caso de que el condensador se constituya con dos placas metálicas planas y paralelas, de superficie A cada una y separación entre ambas d, Figura 16.2(a), puede demostrarse que la capacidad es Ae0 (16.6) C0 % d siendo e0 % 8,85 # 1012 C2/N m2 una constante conocida como permitividad del vacío. Y en el caso de que fuera un condensador cilíndrico, Figura 16.2(b), C0 %

2nLe0 b ln a

AB

(16.7)

FIGURA 16.2. (a) Condensador de placas plano paralelas. (b) Condensador cilíndrico.

Pero en realidad en las aplicaciones no se utilizan los condensadores en vacío, tal como lo acabamos de describir, es decir, sin nada en el espaciado entre las placas, sino que se rellena con un material aislante (que habitualmente se denomina dieléctrico) con idea de conseguir una mayor capacidad para unas condiciones geométricas fijadas. La razón de que esto se consiga estriba en el comportamiento del dieléctrico en el seno de un campo eléctrico. Consecuencia de este es la aparición de una polarización de los átomos componentes, esto es, una distorsión que implica el desplazamiento del centro de cargas positivas de cada átomo con respecto al centro de cargas negativas (Figura 16.3(a)). Esto conlleva a su vez la aparición de un campo adicional, el campo dipolar, debido a los propios dipolos, y que se superpone al exterior (Figura 16.3(b)).

196

Laboratorio de Física

FIGURA 16.3. Comportamiento de un material dieléctrico en el interior de un condensador. (a) Polarización electrónica de todos y cada uno de sus átomos componentes debido, por un lado, al campo eléctrico debido a las cargas depositadas en cada una de las placas del condensador y, por otro, al campo dipolar generado por los propios dipolos. (b) Superposición de los dos campos en el interior del condensador.

Esta polarización está caracterizada por una propiedad de cada material que se conoce como permitividad del medio, e, siendo para todos los materiales siempre estrictamente mayor que la del vacío. En un condensador, el efecto de la polarización es reducir la repulsión entre las cargas depositadas en cada una de las placas del mismo (Figura 16.3(b)). O, lo que es lo mismo, la reducción de la diferencia de potencial efectiva entre ambas placas, lo que permite aumentar la capacidad del condensador. Efectivamente, puede demostrarse que en caso de rellenar un condensador plano paralelo con un dieléctrico de permitividad e la capacidad será ahora C%

Ae d

(16.8)

Por tanto, la relación entre un condensador plano paralelo con dieléctrico y en vacío vendrá dada por C%

e C e0 0

(16.9)

Y para un condensador cilíndrico que posee un dieléctrico de permitividad e rellenando el espaciado entre sus placas C%

2nLe b ln a

AB

(16.10)

16.1.2. Autoinducción Debido a la resistencia eléctrica que posee cualquier material conductor, para mantener la intensidad de corriente en un circuito es necesario aplicar una diferencia de potencial de forma permanente, una fuerza electromotriz, f.e.m., e (no confundir su símbolo con la permitividad del medio), lo que supone administrar energía de forma constante a través de una fuente externa. Puesto que, como sabemos, una intensidad de corriente genera un campo magnético es razonable pensar que ha de existir una conexión entre ambos campos: el eléctrico y el magnético. Así, Faraday observó que aparecía en un circuito una fuerza electromotriz cuando o se variaba en el tiempo un campo magnético externo, o la geometría

Capítulo 16. Capacidad de un condensador. Coeficiente de inducción mutua

197

del circuito o la orientación relativa de ambos (o, por supuesto, variando todo esto simultáneamente). A partir de este análisis estableció formalmente su ley de inducción dada por la expresión dJ (16.11) einducida % . dt donde J%

I

B dS

(16.12)

S

es el flujo de campo magnético a través de la superficie definida por el propio circuito, S. (El signo menos de (16.11) implica que el sentido de la fuerza electromotriz inducida es tal que tiende a oponerse al cambio que la provoca.) En el apartado anterior, y en relación con el campo eléctrico, describíamos la importancia tecnológica de una asociación de conductores, lo que denominábamos condensador, como dispositivo para almacenar carga (o energía electrostática), y veíamos en ese caso la utilidad de cara a su descripción física de definir una magnitud relacionada únicamente con la geometría de ambos conductores en aquél caso, el concepto de capacidad (C) (16.4). Parece entonces razonable, en relación con el campo magnético, tratar de encontrar un tratamiento similar para el caso de un conjunto de circuitos en interacción (nos centraremos únicamente en dos). Esto nos llevará a definir el concepto de inductancia, factor geométrico que tiene en consideración no sólo las dimensiones de los circuitos sino también sus orientaciones relativas. Consideremos dos circuitos, C1 y C2, de una cierta geometría, separados uno de otro y con una determinada orientación relativa, por los que circulan intensidades de corriente I1 e I2, Figura 16.4. I1 dará lugar a un campo magnético B1, y debido a este en C2 habrá un flujo magnético, J1r2. A partir de (16.12) puede deducirse que este puede expresarse como J1r2 % M12 I1

(16.13)

FIGURA 16.4. Esquema de dos circuitos interaccionando.

donde el término entre paréntesis, M12, es un factor puramente geométrico denominado coeficiente de inducción mutua de los circuitos 1 y 2 —depende únicamente de las dimensiones y orientaciones relativas de ambos circuitos— (su unidad en el sistema internacional es el henrio (H % m2 kg C.2)). Del mismo modo podemos calcular el flujo de campo magnético sobre C1 debido a C2, pudiéndose establecer que M12 % M21. Si la intensidad de corriente en C1 varía en el tiempo, como consecuencia la fuerza electromotriz inducida en C2 será e1r2 % .

dJ1r2 dI1 % . M12 dt dt

(16.14)

donde estamos suponiendo implícitamente que los circuitos se encuentran en reposo y que su geometría no varía; lo que implica que M12 no tiene dependencia temporal.

198

Laboratorio de Física

Pero además hemos de considerar el hecho de que un circuito por el que circula una intensidad de corriente lleva aparejado un flujo magnético sobre sí mismo, Jiri % Lii Ii, donde el coeficiente geométrico de proporcionalidad Lii % Li se denomina autoinducción del circuito, y depende exclusivamente de su propia geometría. Entonces, si hay una variación temporal de su intensidad de corriente se producirá una fuerza electromotriz (denominada fuerza electromotriz autoinducida o contra fem como le llaman en algunos libros de texto), y estará dada por eiri % .Li

dIi dt

(16.15)

Si reagrupamos los factores que acabamos de discutir podemos llegar al conjunto de ecuaciones que determina las fuerzas electromotrices inducidas en el conjunto de dos circuitos dJ1 dI1 % e1r1 ! e2r1 % .L1 . M21 dt dt dJ2 dI1 % e1r2 ! e2r2 % .M12 . L2 einducida sobre 2 % . dt dt einducida sobre 1 % .

dI2 dt dI2 dt

(16.16)

16.2. Instrumentación 16.2.1. Condensador Fuente de alimentación (con rango entre 0 V y unos 500 V). Condensador de placas paralelas de unos 20 cm de diámetro y separación variable. Amplificador de corriente. Medios dieléctricos adaptables al condensador. Dos voltímetros. Conmutador. Calibre.

16.2.2. Autoinducción Generador de frecuencias. Juego de dos bobinas de distinto diámetro que permitan introducir una en otra (han de conocerse el número de espiras de cada una de ellas, su longitud, sección y radio, tratando, eso sí, de que haya gran diferencia entre el número de espiras y sus secciones). Dos polímetros.

16.3. Método experimental 16.3.1. Condensador En la experiencia que se propone, mediremos la carga adquirida por el condensador con diferentes tensiones proporcionadas por la fuente. En la Figura 16.5 se representa un esquema del circuito que se requiere montar. 1.

Inicialmente conectaremos cada una de las salidas de la fuente de alimentación a cada una de las placas. La separación entre placas se determina con un calibre. Una vez fijada esta elegimos una tensión de trabajo BVfuente con el conmutador de tal manera que la fuente quede conectada al condensador. Tras unos cinco segundos se gira el conmutador para que el que quede conectado al condensador sea el

Capítulo 16. Capacidad de un condensador. Coeficiente de inducción mutua

199

FIGURA 16.5. Montaje del circuito para la experiencia de la capacidad.

amplificador y de ese modo pase la carga del condensador a este último. Haciendo la lectura del voltímetro conectado al amplificador determinamos de forma indirecta la carga a través de la relación Q % f eA BVamplificador(A s)

(16.17)

Donde BVamplificador es la lectura del voltímetro y f eA representa el factor de escala seleccionado del amplificador. El proceso descrito ha de repetirse para diferentes separaciones, d, entre las placas del condensador. Determínese para cada una de las medidas el valor de la capacidad a través de la relación C0 %

Q BVfuente

(16.18)

Hacer una gráfica de 1/d vs C y verificar si el conjunto de puntos experimentales sigue una recta. Realizando un ajuste por mínimos cuadrados (Capítulo I), conociendo la superficie A de cada placa, podemos determinar, a partir de la pendiente de la gráfica anterior, la permitividad del aire. 2. A continuación elegiremos una distancia fija d entre las armaduras (procurando que coincida con el grueso de los materiales dieléctricos que emplearemos en la experiencia 3. Ahora repetiremos el proceso operativo descrito en la experiencia anterior pero ahora para diferentes tensiones de la fuente de alimentación. Si representamos los resultados BVfuente vs Q, y ajustamos los puntos experimentales por mínimos cuadrados (Capítulo I) de la pendiente obtendremos directamente la capacidad del condensador, C0. 3. La última experiencia propuesta es la determinación de la permitividad de diferentes materiales dieléctricos. Fijando el material correspondiente entre las placas del condensador realizaremos diferentes medidas como las que se llevaron a cabo en la experiencia 2 y, determinando del mismo modo la nueva capacidad del condensador, C. De ese modo, a partir de la Ecuación (16.9) podemos calcular la permitividad del medio C e0 (16.19) e% C0 Donde C0 es la capacidad del condensador en vacío para la misma distancia d entre las placas que la establecida cuando se introduce el dieléctrico.

200

Laboratorio de Física

16.3.2. Autoinducción En la Figura 16.6 se presenta un esquema del montaje experimental.

FIGURA 16.6. Montaje del circuito para la experiencia de autoinducción.

El campo magnético de una bobina es uniforme y paralelo al eje de la propia bobina B % k0 Inu

(16.20)

Donde u es el vector unitario que determina la dirección paralela al eje de la espira, I la intensidad de corriente que circula por ella, n la densidad lineal de espiras n % N/l, siendo N el número total de espiras y l la longitud de la bobina, y k0 % 4n # 10.7 m kg/C2 la permeabilidad del vacío. Si a la bobina se le aplica una tensión alterna V(t) % V0 sen (ut) mediante el generador de frecuencias, donde u es la frecuencia angular de la señal y V0 su amplitud (Capítulo 18), la intensidad de corriente que aparece en la bobina es I(t) % I0 sen (ut ! h)

(16.21)

Donde I0 es su amplitud y h la fase (Capítulo 18). El campo magnético que genera entonces la bobina vendrá dado sustituyendo (16.21) en (16.20). El valor de I0 podemos medirlo con un polímetro, que nos proporcionará su valor eficaz, es decir, Ieficaz % I0 /∂2. Insertaremos ahora la bobina de menor radio (que llamaremos bobina interior) en la de mayor (bobina externa). Esta última se conectará al generador de funciones, Figura 16.6. Así pues, teniendo en cuenta la Ecuación (16.16), sabiendo que Jbin % Nbin Sbin Bbex (donde Nbin es el número total de espiras de la bobina interior, Sbin su sección y Bbex el campo generado por la bobina externa), llegamos a la expresión einducida en bobina interior % .L

dIbin dIbex .M dt dt

(16.22)

Capítulo 16. Capacidad de un condensador. Coeficiente de inducción mutua

201

Donde N2bin 2 nr lbin bin

(16.23)

Nbin Next 2 nrbin lext

(16.24)

L % k0 y M % k0

Siendo Next el número total de espiras de la bobina exterior, lbin y lext las longitudes de cada una de las bobinas y rbin y rext los radios de sus secciones. La experiencia que se propone en esta segunda parte de este capítulo es la determinación de la fuerza electromotriz inducida en la bobina interna cuando se aplica una señal alterna en la bobina externa. 1.

Escoger un valor de la frecuencia en el generador de señales. Variar la amplitud de la intensidad de corriente en la bobina externa mediante el cursor del generador (Capítulo 18), tomando simultáneamente entre diez y quince medidas de los voltajes eficaces producidos en la bobina interna. Para ello usar los polímetros de los que se dispone en la experiencia. Teniendo en consideración las características de las bobinas escogidas podemos asumir que L @ M, por lo que (16.22) queda einducida en bobina interior ] .M

dIbex dt

(16.25)

2. Determinar la pendiente de la gráfica de Veficaz frente a Ieficaz realizando el ajuste por mínimos cuadrados (Capítulo I), a partir de los datos obtenidos en el apartado anterior. De ella determinar el coeficiente de inducción mutua. ¿Es acorde con el valor teórico predicho por la Expresión (16.24) y los datos del fabricante de las bobinas? 3. Fijando ahora una amplitud de la intensidad eficaz que circula por la bobina exterior, variar la frecuencia en un amplio rango, determinado por el generador de señales, tomando simultáneamente medidas de los voltajes eficaces obtenidos en la bobina interior. Representar gráficamente Veficaz frente a u. A partir del ajuste por mínimos cuadrados (Capítulo I), determinar la pendiente y de ella obtener nuevamente el coeficiente de inducción mutua. ¿Coincide con el valor obtenido en el apartado 2?

a

Corriente continua: leyes de Ohm y de Kirchhoff 17.1. Introducción 17.1.1. Ley de Ohm 17.1.2. Circuitos 17.1.3. Leyes de Kirchhoff 17.2. Instrumentación 17.3. Método experimental 17.3.1. Medida de una resistencia 17.3.2. Resistencias en serie 17.3.3. Resistencias en paralelo 17.3.4. Leyes de Kirchhoff 17.3.5. Redes serie-paralelo 17.4. Resultados 17.4.1. Medida de una resistencia 17.4.2. Resistencias en serie 17.4.3. Resistencias en paralelo 17.4.4. Leyes de Kirchhoff 17.4.5. Redes serie-paralelo 17.5. Cuestiones

La corriente continua fue descubierta por el físico italiano Alessandro Volta (1745-1827) en 1786, impulsando su uso los trabajos de Thomas Edison (1847-1931) a finales del siglo XIX. Hoy es profusamente usada para suministrar la energía a los aparatos portátiles a través de pilas y baterías, desde los pequeños teléfonos móviles hasta los automóviles y los sumergibles no nucleares. Este experimento pretende estudiar el comportamiento de circuitos simples por los que pasa una corriente continua.

204

Laboratorio de Física

17.1. Introducción Cuando una carga se mueve con movimiento uniforme a través de un conductor se produce una corriente eléctrica continua. Los portadores de carga pueden ser cualquiera, bien partículas individuales, como electrones o protones, bien cuerpos de más tamaño, como iones. Un conductor eléctrico es un material en el que estos portadores de carga se mueven libremente bajo la acción de un campo eléctrico. Aquí se incluye cualquier tipo de conductor: los convencionales hilos metálicos, los semiconductores, gases ionizados, etcétera. La intensidad de corriente eléctrica (I) se define como la cantidad de carga (q) que atraviesa una superficie dada en la unidad de tiempo, y se expresa de la forma: I%

dq dt

(17.1)

Supongamos que tenemos un conductor con el mismo tipo de portadores, todos ellos con la misma carga (q), con una densidad n, moviéndose todos a la misma velocidad v en una dirección del espacio. El espacio recorrido por una carga en un tiempo dt será vdt. La cantidad de carga (dq) que atraviesa un área (BA) en un intervalo de tiempo (dt) será: dq % nqv dtBA

(17.2)

sustituyendo (17.2) en (17.1), se obtiene la corriente eléctrica, que será: I % nqvBA

(17.3)

A la corriente eléctrica por unidad de área se le denomina densidad de corriente (J) y se expresa de la forma: J%

I % nqv BA

(17.4)

Si existen N tipos de portadores de carga, cada uno contribuirá a la corriente eléctrica de la forma indicada en la Expresión (17.3), por tanto tenemos: N

I % ; ni qi vi BA

(17.5)

i%1

Siendo la densidad de corriente: N

J % ; ni qi v i

(17.6)

i%1

o, en forma vectorial: N

J % ; ni qi v i

(17.7)

i%1

Pudiendo escribirse la expresión de la intensidad de corriente eléctrica de la forma I % JBA I % J e nBA

(17.8)

siendo J e n el producto escalar de la densidad de corriente por el vector unitario perpendicular a la superficie BA.

Capítulo 17.

Corriente continua: leyes de Ohm y de Kirchhoff

205

17.1.1. Ley de Ohm El movimiento de los portadores de carga en los materiales se puede producir de muchas formas, tanto naturales como artificiales, de esta última manera la que nos interesa aquí es la que produce un campo eléctrico (E). Experimentalmente se comprobó que para un metal, la relación entre corriente y campo está determinada por la ley de Ohm (Georg Simon Ohm (1787-1854)) escrita de la forma: J % pE

(17.9)

siendo la constante de proporcionalidad (p) la conductividad del material, que depende de la naturaleza de este. Para conductores será alta y para aislantes baja. La magnitud inversa de la conductividad es la resistividad (o), relacionando densidad de corriente y campo eléctrico de la forma: (17.10) E % oJ siendo el campo eléctrico directamente proporcional a la densidad de corriente, esto sólo es correcto para cierto tipo de materiales —muy abundantes en la naturaleza—, que se denominan medios lineales u ohmicos, a los cuales aplicaremos todo lo que sigue. Consideremos un hilo conductor de longitud l y sección A, en cuyos extremos aplicamos una diferencia de potencial V. La densidad de corriente y el campo eléctrico son constantes a lo largo de todo el hilo, por tanto la diferencia de potencial debe ser V % lE y la intensidad de corriente, según (17.8) I % JA. La Ecuación (17.10) se puede expresar de la forma: I V %o A l (17.11) ol V% I A es decir, la diferencia de potencial es proporcional a la intensidad de corriente. La relación (17.11) se puede escribir de la forma: V % RI (17.12) donde R es la resistencia del hilo, R % ol/A. A la Expresión (17.12) se le conoce como la ley de Ohm, aunque la Ecuación (17.9) sea la estrictamente correcta.

17.1.2. Circuitos Un circuito se forma cuando se conectan los dos terminales de un hilo conductor a una fuente de alimentación de corriente continua, así la carga circula de un extremo al otro, siempre en la misma dirección. A lo largo del circuito se intercalan una serie de componentes cada uno de los cuales tiene una cierta resistencia, con lo cual tenemos una red de resistencias (Figura 17.1). Por el circuito circula la misma corriente (I) y entre sus extremos (a y e) hay una diferencia de potencial (V). Si las resistencias están en serie como R1 y R2 (Figura 17.1) existe una resistencia equivalente (Res) que se obtiene aplicando la ley de Ohm (17.12) a cada elemento del circuito, de la forma: Vab % R1I Vbc % R2I Vac % Vab ! Vbc % R1I ! R2I % (R1 ! R2)I % Res I Res % R1 ! R2

(17.13)

206

Laboratorio de Física

FIGURA 17.1. Red de resistencias.

luego la resistencia equivalente de un número (N) de resistencias colocadas en serie es: N

Res % ; Ri

(17.14)

i%1

Si las resistencias están colocadas en paralelo, como las R5 y R6 de la Figura 17.1, la resistencia equivalente (Rep) se obtiene, también aplicando la ley de Ohm, de la forma: Vde % R5 I5 Vde % R6 I6

A

Vde Vde 1 Vde 1 % I5 ! I6 % ! % Vde ! R5 R6 Rep R5 R6 1 1 1 % ! Rep R5 R6

B

(17.15)

luego la resistencia equivalente de un número (N) de resistencias colocadas en paralelo es: N 1 1 %; Rep i%1 Ri

(17.16)

La resistencia equivalente del circuito de la Figura 17.1 se obtiene como se muestra en la Figura 17.2.

17.1.3. Leyes de Kirchhoff No todos los circuitos de resistencias se pueden reducir como se ha explicado en el apartado anterior, por ejemplo el simple circuito puente de la Figura 17.3. Para resolver estos problemas hay que recurrir a las reglas o leyes de Kirchhoff (Gustav Robert Kirchhoff (1824-1887)), que se enuncian de la forma siguiente: 1.a 2.a

La suma algebraica de las intensidades de corriente que concurren en un nodo (puntos a, b, c y d de la Figura 17.3) es cero. La suma algebraica de las diferencias de potencial en una malla (triángulos A y B de la Figura 17.3) es cero.

que se expresan de la forma: 1.a ley (nodo) 2.a ley (malla)

N

; Ii % 0

(17.17)

; Vi % 0

(17.18)

i%1 N i%1

Capítulo 17.

Corriente continua: leyes de Ohm y de Kirchhoff

FIGURA 17.2. Obtención de la resistencia equivalente de una red de resistencias.

FIGURA 17.3. Circuito puente.

207

208

Laboratorio de Física

Si a la Figura 17.3 le conectamos una fuente de alimentación (V) nos quedará la Figura 17.4, que tendrá 4 nudos y 3 mallas, siendo las ecuaciones que se pueden utilizar para su solución: nodo a

I1 ! I4 . I6 % 0

nodo b

I2 ! I5 . I1 % 0

nodo c

I6 . I2 . I3 % 0

nodo d

I3 . I4 . I5 % 0

malla A

R4 I4 . R1 I1 . R5 I5 % 0

malla B

R3 I3 ! R5 I5 . R2 I2 % 0

malla C

.V . R3 I3 . R4 I4 . R6 I6 % 0

(17.19)

(17.20)

en las que se ha tenido en cuenta que las intensidades son positivas si su sentido va hacia el nodo y en las mallas sigue el sentido de las flechas indicadas en las circunferencias. Las 7 Ecuaciones (17.19) y (17.20) nos dan las relaciones entre las 13 incógnitas del circuito, por tanto hay que conocer, al menos 6 datos, que normalmente son el voltaje suministrado por la pila y las resistencias que se montan en el circuito.

FIGURA 17.4. Circuito puente alimentado.

17.2. Instrumentación Se necesita un adaptador para suministrar corriente continua. Un número de multímetros (aparatos que pueden medir tanto voltios como amperios e incluso ohmios) dependiendo de los circuitos que se quieran montar, tres como mínimo. Un reostato o resistencia variable. Una serie de resistencias que se pueden montar fácilmente en una tablilla con unos bornes para su conexión y el número de cables con bananas necesario (Figura 17.5).

Capítulo 17.

Corriente continua: leyes de Ohm y de Kirchhoff

209

FIGURA 17.5. Foto de los aparatos para realizar la práctica.

17.3. Método experimental 17.3.1. Medida de una resistencia Se monta el circuito de la Figura 17.6, donde V y A son un voltímetro y un amperímetro respectivamente y el reostado sirve para variar la intensidad de corriente que pasa por la resistencia R. Se realizan N medidas (al menos 10) de la diferencia de potencial (V) y de la intensidad (I) para diferentes posiciones del reostato, procurando que cubran el mayor rango de medidas. Se construye una tabla con estos resultados, que se representarán en una gráfica (Figura 17.7) cuya pendiente será el valor de la resistencia R (ley de Ohm (17.12)), que se obtiene por ajuste de mínimos cuadrados (Capítulo I) de la forma: N

N

N

; Vi Ii . ; Vi ; Ii

R%

i%1

i%1

N ;

i%1

y su error BR %

JA

i%1

BV %

N

I2i

(17.21)

2

. ; Ii i%1

N N

N ;

siendo el error en el voltaje:

i%1

A B A B N

J

I2i

2

B A B N

BV

(17.22)

. ; Ii i%1

N

; (Vi . RIi)2

i%1

N.2

(17.23)

Se puede comprobar la bondad del resultado comparando el valor obtenido de la resistencia con el valor nominal de esta que viene indicado por el fabricante, bien directamente o utilizando un código de colores.

210

Laboratorio de Física

FIGURA 17.6. Circuito para medir el valor de una resistencia.

FIGURA 17.7. Representación de los datos obtenidos en la medida de una resistencia, la pendiente de la recta de ajuste nos da el valor de la misma.

17.3.2. Resistencias en serie Se monta el circuito de la Figura 17.8 y se repite el procedimiento anterior (Apartado 17.3.1) para cada una de las resistencias (R1, R2 y R3), obteniendo el valor de éstas. Seguidamente con un valor dado de la intensidad (medida en el amperímetro), obtener las diferencias de potencial entre los bornes ab y ac. Repetir el experimento para N valores (al menos 5) distintos de la intensidad del circuito (I), variando la resistencia del reostato. Construir una tabla con los valores obtenidos, a la que se le debe añadir los valores calculados con la Expresión (17.14), con la que las diferencias de potencial serán: Vab % (R1 ! R2)I Vac % (R1 ! R2 ! R3)I

(17.24)

comprobar que los valores experimentales y teóricos coinciden, dentro del margen de error de los voltajes, que, para cualquiera de las dos Expresiones (17.24), es:

BV %

JA ;

LV BRi LRi

2

B A !

LV BI LI

B

2

% ∂I2 ; (BRi)2 ! (; Ri)2(BI)2

siendo el error en la intensidad (BI) la precisión del amperímetro (Capítulo I).

(17.25)

Capítulo 17.

Corriente continua: leyes de Ohm y de Kirchhoff

211

Se pueden montar sólo dos resistencias con lo que se simplifica el experimento y se reduce el coste.

FIGURA 17.8. Circuito de resistencias en serie.

17.3.3. Resistencias en paralelo Utilizando las mismas resistencias, ya conocidas, del apartado anterior (3.2) montar el circuito de la Figura 17.9. Medir las intensidades de corriente (I1, I2 e I3) y el voltaje (V) para N valores (al menos 5) de la intensidad del circuito (I). Construir una tabla añadiendo los valores calculados con la Expresión (17.15), de la forma: I1 %

V R1

; I2 %

V V ; I3 % R2 R3

; I%V

A

1 1 1 ! ! R1 R2 R3

B

(17.26)

comprobar que los valores experimentales y teóricos coinciden, dentro del margen de error de las intensidades, que, para cualquiera de las Expresiones (17.26), es:

BI %

JA ;

2

B A

LI BRi LRi

!

B J A B A B

LI BV LV

2

%

V2 ;

BRi R2i

2

! ;

1 Ri

2

(BV)2

(17.27)

siendo el error en el voltage (BV) la precisión del voltímetro (Capítulo I).

FIGURA 17.9. Circuito de resistencias en paralelo.

Se pueden montar sólo dos resistencias con lo que se simplifica el experimento y se reduce el coste.

212

Laboratorio de Física

17.3.4. Leyes de Kirchhoff Utilizando las mismas resistencias, ya conocidas, del Apartado anterior 17.3.2, montar el circuito de la Figura 17.10. Aplicando las leyes de Kirchhoff [Ecuaciones (17.19) y (17.20)] se obtiene: I1 % I2 ! I3 .V % I1R1 ! I2R2

(17.28)

I2R2 ! I3R3 % 0 Que nos permite calcular las intensidades conociendo el voltaje y las resistencias. Comprobar que estos valores se corresponden con los medidos con los tres amperímetros.

FIGURA 17.10. Circuito con dos mallas de resistencias y alimentación.

17.3.5. Redes serie-paralelo Se puede realizar un experimento análogo combinado resistencias en serie y en paralelo como el que muestra en la Figura 17.11.

FIGURA 17.11. Red de resistencias serie-paralelo.

17.4. Resultados Los datos y resultados se pueden resumir de la forma siguiente:

17.4.1. Medida de una resistencia Se construye una tabla con las N medidas de la diferencia de potencial (V) e intensidad (I) realizadas, que se representan en una gráfica como la de la Figura 17.7. Se obtiene con las Expresiones (17.21), (17.22) y (17.23) el valor de la resistencia y su error, comprobando la exactitud de este valor con el dado por el fabricante.

Capítulo 17.

Corriente continua: leyes de Ohm y de Kirchhoff

213

17.4.2. Resistencias en serie Se construye una tabla con las N medidas de las diferencias de potencial (Vab y Vac) e intensidad (I) realizadas y las calculadas con las Expresiones (17.24) afectadas de su error, dado en la Ecuación (17.25). Comprobar que las diferencias entre los valores medidos y los calculados están dentro de los márgenes de error.

17.4.3. Resistencias en paralelo Se construye una tabla con las N medidas de las intensidades del circuito (I), las intensidades de corriente (I1, I2 e I3) y el voltaje (V) realizadas y las calculadas con las Expresiones (17.26) afectadas de su error dado en la Ecuación (17.27). Comprobar que las diferencias entre los valores medidos y los calculados están dentro de los márgenes de error.

17.4.4. Leyes de Kirchhoff Resolver el circuito de la Figura 17.10 con las Ecuaciones (17.28) para varias combinaciones de datos y comprobar que los resultados coinciden con los valores medidos.

17.4.5. Redes serie-paralelo Establecer las ecuaciones para resolver el circuito con las leyes de Kirchhoff, o bien aplicando la reducción esquematizada en la Figura 17.2, resolviendo primero el circuito en paralelo y luego el circuito en serie.

17.5. Cuestiones 1.

En el resultado 17.4.1. ¿cuál será el valor más fiable el obtenido o el dado por el fabricante?

2.

Comprobar que las Expresiones (17.28) se corresponden con las deducidas de la ley de Ohm (17.12) reduciendo el circuito serie-paralelo de la Figura 17.10 como se hizo en la Figura 17.2.

a

Corriente alterna: osciloscopio 18.1. Introducción 18.1.1. Circuito RLC en serie 18.1.2. Circuito RL 18.1.3. Circuito RC 18.2. Instrumentación 18.2.1. Osciloscopio 18.2.2. Generador de frecuencias 18.2.3. Resistencia, condensador y autoinducción 18.3. Método experimental 18.3.1. Manejo del osciloscopio 18.3.2. Circuito RL 18.3.3. Circuito RC 18.3.4. Circuito RLC 18.3.5. Resonancia 18.4. Resultados 18.4.1. Manejo del osciloscopio 18.4.2. Circuitos y resonancia 18.5. Cuestiones

El físico e ingeniero serbio Nicola Tesla (1856-1943) en 1982 fabricó el primer motor de corriente alterna. George Westinghouse (1846-1914) ideó la primera red eléctrica a gran escala que se mostró mucho mas eficaz que la de Thomas Edison (1847-1931) para la corriente continua, pues con la corriente alterna se pueden obtener voltajes más elevados, lo que permite su transporte a grandes distancias. En esta práctica se estudiará la forma de medir la corriente alterna con un osciloscopio y se aplicará a circuitos serie compuestos por resistencia, autoinducción y condensador.

216

Laboratorio de Física

18.1. Introducción Al contrario que en la corriente continua (Capítulo 17), en la corriente alterna el voltaje y la intensidad varían con el tiempo de forma sinusoidal. De tal manera que el voltaje y la intensidad instantáneas (V(t), I(t)) se pueden expresar de la forma: V(t) % V0 cos ut I(t) % I0 cos (ut . h)

(18.1)

donde V0 e I0 son el voltaje y la intensidad máximas (amplitudes), u la frecuencia angular y h el desfase entre el voltaje y la intensidad (Figura 18.1). Es decir, la corriente alterna se comporta como un oscilador armónico forzado en estado estacionario (Capítulo 5), donde el rozamiento está determinado por la resistencia y la fuerza exterior es el generador de corriente, que equivale a la pila de los circuitos de corriente continua (Capítulo 18).

FIGURA 18.1. Tensión e intensidad de una corriente alterna.

18.1.1. Circuito RLC en serie En un circuito de corriente alterna (Figura 18.2) pueden utilizarse tres tipos de componentes: resistencia (R), autoinducción (L) y condensador (C). La resistencia ya se definió en el Capítulo 18 y la autoinducción y el condensador en el Capítulo 16. Análogamente a lo estudiado para las oscilaciones armónicas forzadas en el Apartado 5.1.3 del Capítulo 5, la ecuación del movimiento de las cargas (q) en el circuito de la Figura 18.2 será: dq 1 d2 q ! q % V0 cos ut L 2 !R dt C dt

FIGURA 18.2. Circuito RLC de corriente alterna.

(18.2)

Capítulo 18.

Corriente alterna: osciloscopio

217

que es una ecuación diferencial de segundo orden, en la que introduciendo la notación exponencial se puede escribir de la forma: dq 1 d2q L 2 ! R ! q % V0 eiut dt C dt

(18.3)

donde cos ut es la parte real de eiut. Pero lo que se mide en los circuitos eléctricos no es la carga sino la intensidad (I), que, como sabemos [Expresión (17.1) del Capítulo 17], se expresa en función de la carga por: I(t) %

dq dt

(18.4)

Derivando respecto del tiempo la Expresión (18.3) y sustituyendo la (18.4), nos queda: dI 1 d2I L 2 ! R ! I % iuV0 eiut dt C dt

(18.5)

Como se hizo en el Capítulo 5 utilizaremos una solución para el régimen estacionario análoga al término independiente de la Ecuación (18.5) de la forma: I(t) % I0 eiut

(18.6)

siendo I0 la amplitud de la intensidad, que puede ser compleja. Sustituyendo en la Expresión (18.5) nos da:

A

.Lu2 ! iRu !

B

1 I eiut % iuV0 eiut C 0

(18.7)

haciendo operaciones queda:

C A

R ! i uL .

BD

1 uC

I0 % V0

(18.8)

Esta ecuación tiene la forma de la ley de Ohm V % RI [Expresión (17.12) del Capítulo 17], sustituyendo la resistencia (R) por una nueva magnitud que se denomina impedancia (Z), de la forma: V0 % ZI0

(18.9)

viniendo dada la impedancia (Z) por:

A

Z % R ! i uL .

B

1 % R ! i (XL ! XC) % 8Z8 eih uC

(18.10)

que está formada por una parte real, que es la resistencia (R), y una parte imaginaria que se denomina reactancia (X), a su vez compuesta por dos términos, la reactancia inductiva (XL % uL) y la reactancia capacitiva (XC %.1/uC). El hecho de que la impedancia sea compleja quiere decir que la fuerza electromotriz (V(t)) y la intensidad (I(t)) no siempre estarán en fase. El módulo de la impedancia será: 8Z8 %

J A

R2 ! uL .

B

1 uC

2

(18.11)

218

Laboratorio de Física

que depende de la frecuencia angular de la tensión suministrada por el generador. Su argumento será: 1 uL . uC h % arctg (18.12) R

A B

lo que indica que la intensidad se puede expresar de la forma dada en (18.1), siendo, según (18.9): V0 (18.13) I0 % 8Z8 de tal forma que la intensidad será máxima cuando el módulo de la impedancia sea mínimo, es decir, cuando: 1 1 uL . %0 ú u% (18.14) uC ∂LC y el desfase h % 0, produciéndose una resonancia en intensidad (Capítulo 5). De las Expresiones (18.11) y (18.13), se puede deducir: V0 %

J

A

I20R2 ! I0uL .

2

B

I0 uC

V0 % ∂V20R ! (V0L . V0C)2

(18.15)

es decir, el módulo del voltaje aplicado (V0) por el generador se relaciona con los voltajes en los bornes de los componentes (V0R, V0L y V0C) por la Expresión anterior (18.15). En el caso de la resonancia, V0 es igual a V0R, pues V0L . V0C es igual a cero.

18.1.2. Circuito RL Si eliminamos el condensador en el circuito de la Figura 18.2 nos queda lo que se denomina circuito RL, que por un procedimiento análogo al del Apartado anterior 18.1.1 se obtienen las expresiones fundamentales siguientes: 8Z8 % ∂R2 ! (uL)2

h % arctg

A B uL R

(18.16) (18.17)

V0 % ∂V20R ! V20L

(18.18)

18.1.3. Circuito RC Eliminando ahora la autoinducción en el circutio RLC se obtiene el circuito RC: 8Z8 %

J A B A B 1 R ! uC 2

h % arctg

1 RuC

V0 % ∂V20R ! V20C

2

(18.19) (18.20) (18.21)

Capítulo 18.

Corriente alterna: osciloscopio

219

18.2. Instrumentación 18.2.1. Osciloscopio El osciloscopio de rayos catódicos es uno de los instrumentos más útiles en un laboratorio ya que permite no sólo medir las diferencias de potencial (tensiones) de las señales que se quieran analizar sino, también, visualizar sus dependencias temporales, siempre que estas tengan periodos comprendidos en el intervalo de tiempo entre 1 y hasta incluso 10.9 s en algunos casos. De modo que cualquier señal del tipo que sea (temperatura, intensidad luminosa, presión de una onda sonora, etc), siempre que sea susceptible de convertirse en tensiones eléctricas, puede analizarse en el osciloscopio. El osciloscopio está constituido por un tubo de rayos catódicos formado por un cañón de electrones, que emite, acelera y focaliza al haz de electrones, un sistema de desviación de dicho haz y una pantalla fosforescente. El sistema de desviación está formado por dos pares de placas, denominadas vertical y horizontal (Figura 18.3), cada uno de los cuales puede conectarse de modo independiente a diferentes tensiones o diferencias de potencial. Estas generan sendos campos eléctricos, mutuamente perpendiculares, que desvían el haz proporcionalmente a su magnitud. Habitualmente las placas horizontales se conectan a lo que se conoce como barrido interno del osciloscopio, esto es, una señal variable en el tiempo que provoca la desviación horizontal controlada del haz de electrones. Es en las placas verticales por las que se introduce la señal a analizar. Variando entonces el barrido conseguimos visualizar la señal conectada a la placas verticales.

FIGURA 18.3. Esquema elemental de un osciloscopio.

18.2.1.1. Descripción La mayoría de los osciloscopios actuales son duales, es decir, pueden analizar dos señales simultáneamente. La Figura 18.4 muestra un osciloscopio estándar de los que se suelen usar en un laboratorio de prácticas, cuyos controles principales se pueden describir de la forma siguiente: 1.

La pantalla (4) representa las curvas V(t) de las señales que se han introducido en el osciloscopio por los conectores (5), por tanto el eje vertical son voltios y el horizontal tiempos. 2. Zona de encendido (recuadro superior en la Figura 18.4), en la que se encuentran: el interruptor (1); el botón de luminosidad (2) y el de enfoque (3) de la pantalla (4). 3. Controles verticales (recuadros inferiores izquierdos en la Figura 18.4), que sirven para variar la escala de voltaje de la pantalla, el de la izquierda para el canal 1 y el

220

Laboratorio de Física

de la derecha para el del 2; son totalmente independientes e idénticos. La pantalla puede mostrar indistintamente uno u otro o los dos a la vez. La señal se introduce en el osciloscopio por el conector (5). El botón rojo (6) debe estar en la posición CAL (calibrado) para que las indicaciones de voltios/división de la escala sean correctas, estos se varían con el botón (7), indicando el factor de escala, que es el valor en voltios de cada una de las divisiones grandes de la escala vertical de la pantalla. Con el botón (8) se puede desplazar verticalmente la curva V(t) que aparece en la pantalla. 4. Controles horizontales (recuadro inferior derecho en la Figura 18.4), que sirven para modificar la escala de tiempos simultáneamente en los dos canales. El botón (12) cumple la misma misión que en el control vertical, mientras que el botón (11) selecciona el valor en segundos de una división grande de la escala horizontal de la pantalla, denominado factor de escala. El botón (14) desplaza horizontalmente las curvas V(t) de los dos canales simultáneamente. 5. Otra zona importante es la de disparo que se controla con los botones (9) y (10). El disparo es el punto en el que el haz de electrones comienza a rastrear la pantalla en cada ciclo, si no hay un buen disparo, la curvas de la pantalla o no se ven o aparecen inestables. Para conseguir un disparo correcto, con el botón (9) se selecciona el canal que queremos que realice el disparo —si sólo se usa uno debe ser ese— y giramos el botón (10) hasta que se encienda el «led» situado a su izquierda.

FIGURA 18.4. Panel frontal de un osciloscopio analógico. Los botones son los siguientes: 1) encendido; 2) luminosidad; 3) enfoque; 4) pantalla; 5) conector del canal 1; 6) calibrado de voltios/división del canal 1; 7) selección del factor de escala (voltios/división) del canal 2; 8) movimiento vertical; 9) selección de disparo; 10) ajuste fino de disparo; 11) selección del factor de escala (tiempo/división); 12) calibrado de tiempo/división; 13) conector de disparo externo; 14) movimiento horizontal.

Todos estos controles sólo sirven para facilitar la medida, nunca modifican la señal de entrada, de tal forma que en cualquier posición de estos, el resultado debe ser el mismo para la misma señal de entrada, pues el osciloscopio es solamente un aparato de medida.

18.2.1.2. Método de medida Las dos medidas básicas que se realizan con el osciloscopio son la amplitud y el periodo de la oscilación (Figura 18.5). Una vez que se ha obtenido una curva en la pantalla, hay que actuar con los controles de voltios/división (7, Figura 18.4) y segundos/división (11, Figura 18.4) para que se vean las crestas de la sinusoide y, al menos, un periodo (curva

Capítulo 18.

Corriente alterna: osciloscopio

221

clara en la Figura 18.6). A continuación se desplaza usando los botones de movimiento (8 y 14, Figura 18.4) hasta que una cresta coincida con el eje vertical central de la pantalla y su adyacente con una de las rayas horizontales, midiendo la distancia de esta a la primera cresta (curva blanca en la Figura 18.6), que, multiplicados por el factor de escala, serán los voltios pico a pico (Vpp), siendo, la mitad la amplitud de la oscilación (V0). Para medir el periodo se actúa de forma análoga, pero utilizando los controles del recuadro inferior derecho de la Figura 18.4 para colocar la curva en la posición que aparece en la Figura 18.7 (curva blanca). Se miden la distancia sobre el eje central horizontal y se multiplica por el factor de escala, en cualquiera de las dos opciones que se muestran en la Figura 18.7.

FIGURA 18.5. Medidas directas con un osciloscopio.

FIGURA 18.6. Forma de medir los voltios pico a pico.

FIGURA 18.7. Forma de medir el periodo.

222

Laboratorio de Física

18.2.2. Generador de frecuencias También llamado frecuencímetro (Figura 18.8), suministra una señal sinusoidal de frecuencia y amplitud variable mediante unos botones de control que permiten variar esos valores.

FIGURA 18.8. Generadores de frecuencias.

18.2.3. Resistencia, condensador y autoinducción Para montar los circuitos se necesita una resistencia, un condensador y una autoinducción, además de cables con bananas (Figura 18.9).

FIGURA 18.9. Componentes para montar los circuitos.

18.3. Método experimental 18.3.1. Manejo del osciloscopio Para aprender a manejar el osciloscopio se pueden realizar dos o tres medidas de las señales producidas por el generador de frecuencias. Se conecta la salida del generador al canal

Capítulo 18.

Corriente alterna: osciloscopio

223

1 del osciloscopio, teniendo en cuenta la correspondencia entre señal y masa indicadas en los dos aparatos y se mide el voltaje pico a pico (Vpp) y el periodo (T) como se ha descrito en el Apartado 18.2.1.2. La primera medida se puede hacer con el generador dando una señal de frecuencia igual a 100 Hz y la amplitud a un tercio del botón de control de amplitudes. La segunda a 1000 Hz y el botón de amplitudes a dos tercios. Si se desea una tercera, se puede realizar a 10 000 Hz y el botón de amplitudes al máximo. En todos los casos se construye una tabla con los resultados de voltaje: factor de escala (voltios/división); número de divisiones pico a pico, Vpp (producto de los dos datos anteriores) y amplitud V0 (Vpp/2); y resultados de periodo: factor de escala (tiempo/división); número de divisiones del periodo, T (producto de los dos datos anteriores) y frecuencia angular u (2n/T).

18.3.2. Circuito RL Se pretende estudiar la respuesta del circuito bajo una tensión de V0 % 2 V a distintas frecuencias. Se realizarán los pasos siguientes: Medir en el osciloscopio la salida del generador Vpp y T. Comprobar que Vpp es igual a 4 V, si no es así variar la amplitud del generador con el botón de control de amplitud. 2. Montar el circuito de la Figura 18.10(a), cuidando de que la toma de tierra (masa) esté conectada a la resistencia. 3. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia [a b de la Figura18.10(a)], cuidando de que la masa coincida con la del circuito y medir la amplitud Vpp. 4. Cambiar los bornes de salida del generador, como se muestra en la Figura 18.10(b). 5. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia [c d de la Figura 18.10(a)], cuidando de que la masa coincida con la masa del circuito y medir la amplitud Vpp. 1.

FIGURA 18.10. Circuitos RL.

El cambio de los bornes de salida del generador nos permite que la medida realizada en el punto 3 nos dé la tensión V0R y la del punto 5 la de V0L. Repetir los puntos 1 a 5 para N (al menos 15) valores distintos de la frecuencia, que deben abarcar todo el rango que pueda suministrar el generador (normalmente de 100 a 100 000 Hz). Con los datos obtenidos elaborar una tabla que contenga: a) La frecuencia suministrada por el generador, con el periodo obtenido en el punto 1 (l % 1/T) y la frecuencia angular u % 2n/T. b) El voltaje suministrado por el generador medido en el punto 1 (V0 % Vpp/2), que debe ser siempre igual a 2 V.

224

Laboratorio de Física

c) El voltaje en los bornes de la resistencia obtenido en el punto 3 (V0R % Vpp/2). d) El voltaje en los bornes de la autoinducción obtenido en el punto 5 (V0L % Vpp/2). e) Con la expresión V0 % ∂V20R ! V20L (18.18) obtener el voltaje suministrado por el generador y compararlo con el obtenido en el punto b. f) El módulo de la impedancia, usando la expresión 8Z8 % ∂R2 ! (uL)2 (18.16). g) La intensidad con la expresión I0 % V0/8Z8 (18.13). h) La reactancia inductiva con la expresión XL % uL y experimentalmente con XLe % V0L/I0. i) Representar una gráfica de la reactancia XLe frente a u y ajustarle una recta por mínimos cuadrados (Capítulo I), cuya pendiente será el valor experimental de la autoinducción, que se obtiene de la forma siguiente: N

N

N

; ui XLei . ; ui ; XLei

L%

i%1

i%1

A

i%1

B A B

N

N

(18.22)

2

N ; u2i . ; ui i%1

i%1

siendo su error:

BL %

JA

N

B A B

N

N

2

BXLe

(18.23)

N ; u2i . ; ui i%1

i%1

y siendo el error de la reactancia inductiva:

BXLe %

J

N

; (XLei . Lui)2

i%1

N.2

(18.24)

18.3.3. Circuito RC Se pretende estudiar la respuesta del circuito bajo una tensión de V0 % 2 V a distintas frecuencias. Se realizarán los pasos siguientes: 1.

Medir en el osciloscopio la salida del generador Vpp y T. Comprobar que Vpp es igual a 4 V, si no es así variar la amplitud del generador con el botón de control de amplitud. 2. Montar el circuito de la Figura 18.11(a), cuidando de que la toma de tierra (masa) esté conectada a la resistencia. 3. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia [a b de la Figura 18.11(a)], cuidando de que la masa coincida con la masa del circuito y medir la amplitud Vpp. 4. Cambiar los bornes de salida del generador, como se muestra en la Figura 18.11(b). 5. Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia [c d de la Figura 18.11(a)], cuidando de que la masa coincida con la del circuito y medir la amplitud Vpp.

Capítulo 18.

Corriente alterna: osciloscopio

225

FIGURA 18.11. Circuitos RC.

Repetir los puntos 1 a 5 para N (al menos 15) valores distintos de la frecuencia, que deben abarcar todo el rango que pueda suministrar el generador (normalmente de 100 a 100 000 Hz). Con los datos obtenidos elaborar una tabla que contenga: a) La frecuencia suministrada por el generador, con el periodo obtenido en el punto 1 (l % 1/T) y la frecuencia angular u % 2n/T. b) El voltaje suministrado por el generador medido en el punto 1 (V0 % Vpp /2), que debe ser siempre igual a 2 V. c) El voltaje en los bornes de la resistencia obtenido en el punto 3 (V0R % Vpp /2). d) El voltaje en los bornes del condensador obtenido en el punto 5 (V0C % Vpp /2). e) Con la expresión V0 % ∂V20R ! V20C (18.21) obtener el voltaje suministrado por el generador y compararlo con el obtenido en el punto b. f) El módulo de la impedancia, usando la expresión 8Z8 % ∂R2 ! (1/uC)2 (18.19). g) La intensidad con la expresión I0 % V0 /8Z8 (18.13). h) La reactancia capacitiva con la expresión 8XC8 % 1/uC y experimentalmente con 8XCe8 % V0C /I0. i) Hallar el valor de la capacidad con la expresión C % 1/u8XCe8 para cada valor de la frecuencia y obtener su valor medio, que será la capacidad experimental del condensador, de la forma siguiente: N

; Ci

SCT %

i%1

N

(18.25)

y su error:

BSCT %

J

N

; (Ci . SCT)2

i%1

N(N . 1)

(18.26)

18.3.4. Circuito RLC Se pretende estudiar la respuesta del circuito bajo una tensión de V0 % 2 V a distintas frecuencias. Se realizarán los pasos siguientes: 1. 2.

Medir en el osciloscopio la salida del generador Vpp y T. Comprobar que Vpp es igual a 4 V, si no es así variar la amplitud del generador con el botón de control de amplitud. Montar el circuito de la Figura 18.12(a), cuidando de que la toma de tierra (masa) esté conectada a la resistencia.

226

Laboratorio de Física

3.

Conectar el osciloscopio a los bornes de la resistencia, cuidando de que la masa coincida con la del circuito y medir la amplitud Vpp. 4. Montar el circuito de la Figura 18.12(b). 5. Conectar el osciloscopio a los bornes de la autoinducción, medir la amplitud Vpp. 6. Montar el circuito de la Figura 18.12(c). 7. Conectar el osciloscopio a los bornes de la autoinducción, medir la amplitud Vpp.

FIGURA 18.12. Circuitos RLC.

Repetir los puntos 1 a 5 para N (al menos 15) valores distintos de la frecuencia, que deben abarcar todo el rango que pueda suministrar el generador (normalmente de 100 a 100 000 Hz). Con los datos obtenidos elaborar una tabla que contenga: a) La frecuencia suministrada por el generador, con el periodo obtenido en el punto 1 (l % 1/T) y la frecuencia angular u % 2n/T. b) El voltaje suministrado por el generador medido en el punto 1 (V0 % Vpp /2), que debe ser siempre igual a 2 V. c) El voltaje en los bornes de la resistencia obtenido en el punto 3 (V0R % Vpp /2). d) El voltaje en los bornes de la autoinducción obtenido en el punto 5 (V0L % Vpp /2). e) El voltaje en los bornes del condensador obtenido en el punto 7 (V0C % Vpp /2). f) Con la expresión V0 % ∂V20R ! (V0L . V0C)2 (18.15) obtener el voltaje suministrado por el generador y compararlo con el obtenido en el punto b. g) El módulo de la impedancia, usando la expresión 8Z8 % ∂R2 ! (uL . 1/uC)2 (18.11). h) La intensidad con las expresiones I0 % V0 /8Z8 (18.13) y I0 % V0R /R, comparando los resultados. i) Con el último valor de I0 (obtenido con V0R y R), recalcular la impedancia con la Expresión (18.13) (8Z8 % V0 /I0) y compararla con el valor obtenido en el punto g. j) La reactancia inductiva con la expresión XL % uL y experimentalmente con XLe % V0L /I0. k) La reactancia capacitiva con la expresión 8XC8 % 1/uC y experimentalmente con 8XCe8 % V0C /I0. l) Calcular la impedancia con la expresión 8Z8 % ∂R2 ! (XLe . 8XCe8)2 y compararla con los valores obtenidos en los puntos g e i. Representar una gráfica de 8Z8 en función de la frecuencia obtenida en el punto a y comprobar que corresponde a la ecuación 8Z8 % ∂R2 ! (uL . 1/uC)2 (18.11). m) Representar gráficamente V0R frente a I0 y obtener, con un ajuste por mínimos cuadrados, el valor experimental de la resistencia R, usando unas expresiones análogas a las (18.22), (18.23) y (18.24).

Capítulo 18.

Corriente alterna: osciloscopio

227

18.3.5. Resonancia Con la Expresión (18.14) y teniendo en cuenta que l % u/2p se obtiene la expresión de la frecuencia lineal en la resonancia de la forma: l%

1 2n∂LC

(18.27)

Con los valores de L y C calcular el valor de la frecuencia de resonancia y fijarla en el generador con 2 V de amplitud. Montar el circuito de la Figura 18.13. Anular la base de tiempos en el osciloscopio, para lo cual hay que: bien girar el mando de tiempo/división (11 en la Figura 18.4) totalmente a la derecha, o bien conectar un interruptor que normalmente está indicado con el símbolo XY. Con esto se consigue que el osciloscopio no muestre una señal de voltaje en función del tiempo, sino que uno de los canales controla el eje vertical, mientras que el otro controla el horizontal, ahora muestra una gráfica voltajevoltaje (voltaje tanto en abscisas como en ordenadas), en nuestro caso aparece una elipse en la pantalla. Mover el control de frecuencias del generador hasta que aparezca una línea recta en la pantalla del osciloscopio, esa será la resonancia, dado que V0 % V0R. Anotar el valor de la frecuencia del generador, seguidamente volver a conectar la base de tiempos del osciloscopio y medir esa frecuencia en el canal 2 del osciloscopio. Comparar estos valores con el obtenido con la Expresión (18.27).

FIGURA 18.13. Circuito RLC para medir resonancia.

18.4. Resultados En el Apartado 18.3 se han relacionado una gran cantidad resultados que se pueden obtener a partir de los datos obtenidos, dependiendo del tiempo de realización de la práctica, estos se pueden acortar, bien reduciendo los resultados o bien eliminando los circuitos RL y RC. También se puede agilizar el trabajo suministrando al alumno una tabla de frecuencias adecuada a la combinación de valores de las resistencia, autoinducción y capacidad, que abarque el rango necesario para la buena realización de la práctica.

18.4.1. Manejo del osciloscopio Construir las dos o tres tablas con los resultados obtenidos, comparar los valores de la frecuencia con los del oscilador y escribir la Expresión (18.1) de voltios en función del tiem-

228

Laboratorio de Física

po, para cada caso. Usando lo explicado en el cálculo de errores (Capítulo I) estimar los errores cometidos en la medida de voltajes y periodos.

18.4.2. Circuitos y resonancia Construir la tabla de datos y resultados y representar las gráficas que se indican. Comparar los distintos valores obtenidos para la misma magnitud y explicar las razones de las posibles diferencias.

18.5. Cuestiones 1.

Si el factor de escala del voltaje es 2 V/división y la medida realizada es de 4,2 divisiones, ¿cuál será el error estimado de la medida de V0?

2.

Explicar cuál es la unidad de medida de la impedancia.

Bibliografía

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Índice analítico A Aceleración, 12, 27, 29-31, 33-39, 41-42, 45, 49-51, 71-72, 116, 128 Aleatorio/a, 1, 3, 5 Alfabeto, 9, 16 Amortiguamiento, 67, 73-75, 77, 80, 86-88, 92, 156 Amplitud, 37, 44-46, 49, 51, 70-73, 75, 77-80, 82, 84, 86, 88-91, 93, 135, 158-161, 165-166, 168, 170, 182, 184, 200-201, 216-217, 220-227 Ángulo crítico, 139, 150 de incidencia, 139, 140 de refracción, 139, 140 Autoinducción, 193, 196, 198, 200, 215-216, 218, 222, 224, 226-227

B Balanza, 17-18, 20-21, 24-26, 30, 86, 124, 178, 190-191 Banco de óptica, 147 Bernouilli, 127, 129, 131-132 Bobina, 198, 200-201

C Calibre, 17-18, 110, 124, 190-191, 198 Campo, 3, 12, 27-28, 30, 40-42, 53-55, 58, 68, 117, 122-123, 128, 156-157, 164-165, 167-168, 172, 195-197, 200, 204-205, 219 eléctrico, 3, 12, 156-157, 164-165, 167-168, 172, 195-197, 204-205, 219 magnético, 164, 168, 196-197, 200 Centro de masas, 53-59, 66, 83, 96 Choque, 30, 53, 58-62, 64-66 elástico, 59-60, 66 frontal, 53, 61-62, 64-65 Circuito, 179, 196-200, 203, 205-213, 215-218, 222-228 RC, 215, 218, 224-225

RL, 215, 218, 223, 227 RLC, 215-216, 225-227 Cizalla, 99, 101-103, 107, 113 Coeficiente de dilatación térmica, 184 de Poisson, 102-103, 110-111 Colisión, 53, 58-61, 63-66, 174, 176 elástica, 53, 58-60, 63-64 inelástica, 53, 60-61, 65-66 Compresión, 95, 97, 100 Condensador, 193-199, 215-216, 218, 222, 225-226 Condiciones iniciales, 31, 45-46, 49-50, 69-73, 75, 77-79, 81-84, 89, 91 Conductividad eléctrica, 164 térmica, 187-191 Coordenadas, 37-39, 42-43, 54, 57, 99, 140 cartesianas, 38, 54, 57 esféricas, 39, 43 polares, 37-38 Corriente alterna, 215, 216 continua, 203, 205, 208, 215-216

D Deformación, 61, 68, 95-105, 107-112, 182, 184 elástica, 68, 95, 97-98, 111 Diferencia de potencial, 12, 40, 194-196, 205-206, 209-210, 212-213, 219 Difracción, 163, 165-167, 171-172, 186 Dilatación térmica, 181, 184 Distancia focal, 143, 146, 148-153

E Ecuación de Descartes, 143 de onda, 156, 164 del movimiento, 27, 31, 35, 43, 45, 55-56, 68-70, 73-74, 77-78, 216

232

Índice analítico

Efecto Joule, 178 Elástica, 53, 58-60, 63-64, 68-69, 95-98, 103, 106-107, 111, 113 Elasticidad, 68, 96, 159, 184 Energía, 12, 14, 37, 39-47, 53, 56, 58-61, 65-66, 68, 72-73, 75-77, 79, 85, 96, 103, 127, 129, 136, 139, 159, 161, 164, 174-179, 182-184, 188-190, 194-197, 203 cinética, 40-42, 44, 46, 53, 56, 58-60, 72, 174-177, 182-183 electrostática, 195, 197 potencial, 40-44, 46, 68, 73, 76, 96, 103, 174, 182-184 Equilibrio, 20, 37, 41-42, 44-46, 68, 70-71, 74, 81, 85-86, 88, 91, 96-97, 115-119, 134, 159-160, 174-176, 182-183 estable, 41-42, 44-46, 68, 70, 74, 81, 119 inestable, 41, 44 Error, 1-6, 15, 17, 21-26, 28, 34, 36, 48-50, 63, 85-88, 90-93, 119, 125-126, 148, 150-153, 161, 179-180, 186, 191, 209-213, 224-225, 228-229 Espacio, 15, 27-28, 40, 63-65, 134-135, 156, 166, 168, 204 Espejo, 139-140, 142-144, 146-149, 153 cóncavo, 142-143, 148-149 convexo, 143-144, 149 plano, 139-140, 143, 147-148 Estado estacionario, 79, 216 final, 58, 60-61 inicial, 39, 58-59, 61, 174

F Factor de escala, 199, 220-221, 223, 228 Flexión, 95, 100, 103-105, 110-112 Foco, 142-143, 146, 159, 190-191 Frecuencia, 5, 11-12, 45, 47, 67, 69, 72, 74-75, 78-85, 88-93, 135-136, 158, 160-161, 165, 198, 200-201, 215-216, 218, 222-227 de modulación, 67, 83, 91, 93 Frecuencímetro, 222 Fuerza, 11-12, 27, 29-35, 39-42, 53-56, 58, 67-68, 73, 77-83, 87-88, 92, 95-98, 102, 106, 113, 116-119, 122-124, 174-175, 182, 184, 196-198, 201, 216-217 de rozamiento, 35, 73, 87-88, 122, 124 exterior, 54-56, 58, 67, 77-81, 92, 216 interior, 54-55, 58 Función de onda, 135

G Galga, 108-110 Galileo, 28, 37 Generador de frecuencias, 198, 200, 215, 222

H Hidrostática, 99-100, 102-103

I Índice de refracción, 138-140, 146, 150, 165 Interacción, 30, 58, 60, 96, 174-175, 182-184, 197 Interferencia, 2, 163, 165-167, 169-172

L Lente, 133, 145-147, 149, 151-153 convergente, 145-146, 149, 152-153 delgada, 133, 145, 147, 152 divergente, 146-147, 153 Ley de Hooke, 68, 97 de Kirchhoff, 203, 206, 212-213 de Newton, 27, 29-31, 34, 54-55, 68, 82, 117-118, 124 de Ohm, 203, 205-206, 209, 213, 217 Línea neutra, 103 Longitud, 2, 10-11, 14, 17-19, 21, 26, 32-33, 37, 42, 45, 47-51, 93, 100, 107-113, 124, 130, 133, 135, 153, 158, 167, 170, 172, 184-186, 190, 198, 200-201, 205 de onda, 133, 135, 158, 167, 170, 172

M Magnitud, 2-3, 5, 10, 12, 14-15, 18, 28, 57, 59, 61, 69, 71, 75, 96, 98, 102, 116, 127-129, 135, 156, 158-159, 164-165, 174-176, 182, 188, 194, 197, 205, 217, 219, 228 Masa, 10, 14-15, 17-18, 20, 24-26, 30-33, 35-37, 42, 45-46, 48, 50, 53-69, 71, 74, 81-89, 91-93, 96, 117, 119, 122, 126, 129, 134, 174, 178-179, 188, 191, 223-226 Mecánica, 20-21, 24, 28-30, 45, 69, 74, 77-78, 96, 178, 229 Medida, 1-6, 10, 17-21, 23-28, 32-33, 35-37, 48-50, 53, 58, 62, 67, 77, 80-81, 85-86, 88-93, 108, 110-112, 119, 124-126, 132, 146, 148 Micrómetro, 17, 19, 22-23, 108-112, 185-186 Modo de oscilación, 67, 81, 90, 92-93 Modulación, 67, 83-84, 91, 93 Módulo de Young, 102-103, 111-112 Momento, 12, 30, 47, 50, 53, 56-61, 65, 97, 100, 106-108, 111-113, 150, 174, 184 de inercia, 47, 50, 106, 111-112 lineal, 30, 53, 56-60, 65 Movimiento relativo, 29, 55-56, 58

N Newton, 11-12, 27-31, 34, 54-55, 62, 68, 82, 117-118, 124

Índice analítico

Nonio, 18-19 Número de onda, 12, 135, 158, 165

O Onda, 12, 77, 96, 133-139, 155-161, 163-170, 172, 219 acústica, 155-157, 159, 161 circular, 136 esférica, 136, 158, 165-166 plana, 135-139, 156-159, 164 Óptica, 133, 147 geométrica, 133 Oscilación, 37, 41-42, 44-49, 67, 69-72, 76-78, 80-81, 83-87, 89-90, 92-93, 134-135, 158, 184, 216, 220-221 Oscilador armónico amortiguado, 67, 73, 75-76, 87 armónico forzado, 67, 77, 79-80, 89, 216 armónico simple, 45, 67-68, 70, 72-73, 75-76, 93, 97 Osciloscopio, 160-161, 215, 219-227

233

Reloj, 28, 37 Rendija, 147, 150, 152, 167-172 Resistencia, 12, 108-110, 178-179, 186, 196, 203, 205-213, 215-217, 222-227 Resonancia, 67, 79-80, 88-89, 93, 215, 218, 227-228 Rozamiento, 27, 32-33, 35-36, 42, 46, 62-65, 67-68, 71, 73, 78-79, 81-82, 85, 87-88, 122-124, 127, 216

S Sistema centro de masas, 53, 57 de referencia, 28-29, 46, 54, 56-57, 59, 68, 98, 107, 110 inercial, 58 Superficie, 12, 14, 17-18, 21-23, 26, 98, 101, 103, 106, 109-110, 116-118, 130-131, 133, 136-137, 139-140, 142-145, 150, 175, 194-195, 197, 199, 204 neutra, 103, 106

P Paraxial, 143-144, 147, 152 Partícula, 11, 27, 29-31, 34-35, 37-42, 44-45, 54-60, 68-70, 73, 96, 136, 174, 177, 204, 229 Péndulo, 37, 42-51 compuesto, 37, 46-50 equivalente, 47, 50 simple, 37, 43-47, 49-51 Periodo, 11, 37, 45, 47-51, 71-72, 75-77, 85-86, 88-93, 135, 158, 160, 219-221, 223, 225-226, 228 Permeabilidad magnética, 164 Permitividad eléctrica, 164 Pie de rey, 17-18, 21-23, 26, 48-49, 119, 168 Polarización, 163, 165, 167-168, 172, 195-196 Presión, 3, 12, 14, 98-99, 116-117, 128-130, 156-157, 159-161, 175-177, 188, 219 Principio de Arquímedes, 117 de la termodinámica, 174, 182 de Pascal, 117 Prisma, 133, 140-141, 145, 147, 150-151 Problema de dos cuerpos, 53-54 Propagación, 1, 3, 5, 134-135, 137-139, 156-159, 161, 164-165, 167-168

R Rayo, 133, 135-136, 138-147, 149-153, 171, 186, 219 incidente, 136, 138, 140, 142-144, 146, 150 reflejado, 139-140, 143-144, 149 refractado, 139, 144, 150 Reflexión, 133, 136-144, 148-149 Refracción, 133, 136-140, 142, 144-146, 150-151, 165 Relatividad, 28-29

T Temperatura, 3, 10-12, 119, 124, 175-177, 179, 182-184, 186, 188-191, 219 Tensión, 102-104, 106-107, 111, 116, 128, 161, 182, 194, 198-200, 216, 218-219, 223-225 Teorema de Torricelli, 130 Tiempo, 10-11, 14, 27-29, 31-36, 39, 41, 43, 45-46, 48-50, 56-57, 62-65, 70-72, 74-77, 79, 84-92, 96, 123-125, 127, 129, 132, 134-135, 156-157, 159, 161, 179, 188-189, 191, 196-197, 204, 216-217, 219-220, 223, 227 Torsión, 95, 107, 110, 113 Tracción, 95, 97-99, 102, 110-111

U Unidad, 2-3, 9-15, 72, 77, 98, 116, 140, 146, 159, 178, 188, 195, 197, 204, 228

V Vaso Dewar, 178-179 Vector de posición, 28-29, 31, 38, 41, 54, 57, 135-136 Velocidad, 10, 12, 15, 27-44, 46, 51, 56, 59-66, 71-73, 75-76, 122-126, 128-131, 135, 137-139, 156-159, 161, 164-165, 174, 204 límite, 123-125 Viscosidad, 14, 121-124, 126, 131-132 Voltios pico a pico, 221 Volumen, 2, 12, 14, 17-18, 22-24, 26, 96, 99-101, 107-108, 110, 116-119, 122, 128-129, 159, 175-177, 188-189, 194