La fundación de una ciudad: sobre la introducción de las matemáticas en la filosofía de Platón

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LEANDRO GARCÍA PONZO

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2012

Todos los derechos reservados. Ni la totalidad ni parte de este libro, incluido el diseño de la cubierta, puede reproducirse o tramitarse por ningún procedimiento electrónico o mecánico. Cualquier forma de reproducción, distribución, comunicación pública o transformación de esta obra solo puede ser realizada con la autorización de sus titulares, salvo excepción prevista por la ley. Diríjase a CEDRO (Centro Español de Derechos Reprográficos) si necesita fotocopiar o escanear algún fragmento de esta obra (www.conlicencia.com; 91 702 19 70 / 93 272 04 47)

Diseño de cubierta: Lorena Díaz

© Copyright by Leandro García Ponzo Madrid, 2012 Editorial DYKINSON, S.L. Meléndez Valdés, 61 - 28015 Madrid Teléfono (+34) 91 544 28 46 - (+34) 91 544 28 69 e-mail: [email protected] http://www.dykinson.es http://www.dykinson.com Consejo editorial véase www.dykinson.com/quienessomos ISBN: 978-84-9031-686-3

Maquetación: Bൺඅൺ඀ඎൾඋ Vൺඅൽංඏංൺ, S.L. [email protected]

Escribí este libro hace casi tres años con la ayuda y el estímulo de mi querido Quintín Racionero Carmona. Él fue también quien me alentó a publicarlo. En todo este tiempo, Quintín tuvo tiempo para enseñar, enfermar, escribir, amar, conversar, viajar, polemizar, bromear y morir, dejándome un dolor insalvable y la felicidad de haber compartido la vida con él. Todo este libro, incluido el prólogo trunco que no pudo escribir, va ofrendado a mi amigo y maestro.

En esta ola de recuerdos que refluye la ciudad se embebe como una esponja y se dilata. Una descripción de Zaira tal como es hoy debería contener todo el pasado de Zaira. Pero la ciudad no cuenta su pasado, lo contiene como las líneas de una mano, escrito en las esquinas de las calles, en las rejas de las ventanas, en los pasamanos de las escaleras, en las antenas de los pararrayos, en las astas de las banderas, cada segmento surcado a su vez por arañazos, muescas, incisiones, comas.

Ítalo Calvino, “Las ciudades Invisibles”

ÍNDICE

AGRADECIMIENTOS ........................................................................15 ADVERTENCIA PRELIMINAR ........................................................17 DOS ACLARACIONES TERMINOLÓGICAS ................................23 INTRODUCCIÓN. UNA HIPÓTESIS DE LECTURA ....................31 PRIMERA PARTE CONDICIONES FORMALES DEL PROBLEMA. HACIA UNA COMPRENSIÓN SINGULAR DEL MISMO DETERMINACIÓN DEL CONCEPTO DE «INDECIDIBILIDAD» ....................................................................................................45 ABANDONO DE LA PERSPECTIVA DE TUBINGA-MILÁN Y ANTICIPACIÓN DE LAS CONSECUENCIAS HERMENÉUTICAS DE LA SUSCRIPCIÓN A LA HIPÓTESIS DE LECTURA ...65 SOBRE PENSAR Y SER .....................................................................87

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Índice

CONTEXTOS DEL MÁTHEMA ......................................................109 1. 2. 3.

Oralidad y Escritura............................................................. 110 Poema, máthema y democracia .......................................... 118 Los Elementos de Euclides y la matemática platónica........ 126

SEGUNDA PARTE. ANÁLISIS DEL CARÁCTER ONTO-LÓGICO DE LAS MATEMÁTICAS A PARTIR DE LA PRESENTACIÓN EFECTUADA EN LOS DIÁLOGOS LA DIVISIÓN DE LAS MATEMÁTICAS. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LAS MATEMÁTICAS EN LOS DIÁLOGOS. RASGOS PRIMARIOS, CLASIFICACIONES INTERNAS Y NIVELES DE TEXTUALIDAD ..............................141 LAS MATEMÁTICAS COMO CIENCIA PROPEDÉUTICA. LA SUSTITUCIÓN DEL PARADIGMA POÉTICO-MIMÉTICO POR EL MATEMÁTICO ...................................................................149 MATEMÁTICAS Y DIALÉCTICA ..................................................173 1. 2. 3.

Cartografía: Doble limitación .............................................. 173 Forma general de la relación ............................................... 176 Objetos o métodos. .............................................................. 180

ESTUDIO DEL MENÓN COMO CASO EJEMPLAR DE LA OPERACIÓN PLATÓNICA DE INTRODUCCIÓN DE LA RACIONALIDAD MATEMÁTICA .................................................185 1. 2. 3.

Exterioridad y selección del ejemplo ................................. 187 Advenimiento e invaginación .............................................. 189 Exceso ................................................................................. 197

Índice

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LA LÍNEA DIVIDIDA: APERTURA PARA UN BREVE ANÁLISIS DE KHÔRA Y DEL SISTEMA QUE CONFORMAN LOS TÉRMINOS «ORDEN, PROPORCIÓN, BELLEZA Y ARMONÍA» .......................................................................................203 1. 2. 3. 4. 5.

Preliminares ......................................................................... 203 Orden, proporción, medida y belleza como formas de lo mismo. Discusión ................................................................ 214 El máthema y las cosas ........................................................ 217 El problema de Khôra.......................................................... 222 «A través» de lo que hay ..................................................... 226

PHILÍA Y MATEMÁTICAS ..............................................................229 1. 2. 3.

Ruptura y localización ......................................................... 230 Comunidad .......................................................................... 233 Ontología ............................................................................. 237 TERCERA PARTE. PROYECCIONES

EL PROBLEMA DE LA RECEPCIÓN. DECISIÓN METODOLÓGICA Y COMPROMISO ONTOLÓGICO .................................245 ¿QUÉ HAY DEL PLATONISMO MATEMÁTICO? BREVE HISTORIA DE UN GIRO QUE HIZO HISTORIA.........................257 FINALES .............................................................................................273 APÉNDICES. PERSPECTIVAS CONTEMPORÁNEAS DEL PROBLEMA MATEMÁTICO EN PLATÓN ODIAR A PLATÓN. EL CASO HEIDEGGER ................................295

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Índice

NUEVA VISITA A PLATÓN. EL CASO BADIOU .........................307 ESQUEMAS Y CUADROS COMPLEMENTARIOS Detalle del Esquema A................................................................. 321 Detalle del Esquema B ................................................................ 323 BIBLIOGRAFÍA Fuentes ......................................................................................... 325 Comentarios y textos de análisis de las fuentes ........................... 326 Sobre el teorema de Gödel y el debate contemporáneo de filosofía de las matemáticas ............................................................... 328 Lecturas de autores contemporáneos ........................................... 328

AGRADECIMIENTOS

Debo este libro, tanto en su construcción como en su motivación más íntima, a la fortuna de haberme encontrado con otros. Cada uno de ellos ha permitido que las siguientes páginas logren cierta consistencia que las hace hoy visibles. Laura Danón, Mariana Cruz, Darío Sandrone, Ramón Cornavaca, Javier Blanco, Daniel Kalpokas, Laura García y Emmanuel Biset han hecho observaciones y críticas tan precisas que muchas veces he vacilado si lo que aquí se considera mi trabajo no les pertenece verdaderamente a ellos. Esta duda jamás se ha presentado en lo concerniente al cariño que les tengo. Ellos también me han aconsejado y contenido en momentos de desorientación tanto teóricos como vitales. En particular, quiero agradecer a Laura D., Ramón y Javier porque han dispensado varias horas para la lectura de una buena parte de las versiones preliminares, haciendo aportes estructurales que muchas veces me han obligado a un cambio de rumbo general. Quintín Racionero Carmona no sólo me ha acompañado durante todo este tiempo en la labor diaria –pese a la distancia geográfica que nos separa– sino que también me ha alentado a seguir trabajando en función de una posible publicación, aquí materializada. Sus sugerencias han sido tan oportunas como estimulantes. También he tendido con él un profundo lazo afectivo que ha propiciado alegría a la tarea cotidiana. Vaya pues mi agradecimiento infinito ante tanta generosidad.

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Fabián Mié me ha proporcionado bibliografía sumamente valiosa. Flavia Dezzutto hizo críticas muy pertinentes con ocasión de una defensa pública de mis ideas a principios de 2010, forzando algún viraje nada menor en la reflexión. No quería dejar de reconocerlo aquí. Tengo la suerte de compartir con Lorena Díaz una bella amistad y la desdicha de no participar de su buen gusto. Ella ha confeccionado las tapas del presente libro.

ADVERTENCIA PRELIMINAR

Por ello procuramos que los niños aprendan las sentencias y las frases que los griegos llaman «khrías», ya que a éstas las puede captar su inteligencia infantil, que ya no podría abarcar más. Pero al hombre con notorio aprovechamiento le resulta vergonzoso ir a recoger florecillas, apoyarse en máximas muy conocidas y compendiadas, y depender de su memoria: debe ya sustentarse en sí mismo. Que exprese tales conceptos sin retenerlos mentalmente; pues resulta indecoroso para uno ya anciano, o que frisa en la ancianidad, obtener sus conocimientos apoyándose en un libro de memoria. “Esto dijo Zenón”: ¿Y tú qué? “Esto dijo Cleantes” ¿Y tú qué? ¿Hasta cuándo te moverás al dictado de otro? Ejerce tú el mando, expón alguna idea que llegue a la posteridad, ofrece algo y que eso sea de tu repuesto. Así, pues, todos esos personajes, nunca creativos, siempre comentadores, agazapados al amparo del prestigio ajeno, no considero que tengan nobleza alguna de espíritu, puesto que nunca se han decidido a poner en práctica siquiera una vez lo que durante largo tiempo habían aprendido. Su memoria la han ejercitado sobre pensamientos de otros; pero no es lo mismo recordar que saber. Recordar supone conservar en la memoria la enseñanza aprendida; por el contrario, saber es hacer suya cualquier doctrina sin depender de un modelo, ni volver en toda ocasión la mirada al maestro. “Esto dijo Zenón”, “esto Cleantes”. Que medie alguna distancia entre ti y el libro. ¿Hasta cuándo has de aprender? Es tiempo ya de

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que enseñes, ¿qué motivo hay para que escuche de ti lo que puedo leer? “Grande es el efecto que produce”, dices, “la viva voz”. Pero no ésta que toma en préstamo palabras ajenas y hace las veces de un escribano. Añade, asimismo, que esos tales que nunca dejan de estar bajo tutela, primeramente, siguen a los anteriores en aquellas cuestiones en que todos han abandonado ya a sus predecesores; después, también le siguen en los temas que todavía se están investigando. Pues, bien: nunca se harían hallazgos si nos contentáramos con los ya realizados. Además, quien va en pos de otro, no descubre nada; mejor dicho, no investiga nada. ¿Y entonces, qué?, ¿No voy a seguir las huellas de los antiguos? Por supuesto tomaré el camino trillado, mas si encontrare otro más accesible y llano, lo potenciaré. Quienes antes que nosotros abordaron estas cuestiones no son dueños sino guías de nuestra mente. La verdad está a disposición de todos. Nadie todavía la ha acaparado. Gran parte de su estudio ha sido encomendado también a la posteridad. Séneca, Epístolas morales a Lucilio, Libro IV, Epístola 33.

El siguiente estudio pertenece al registro filosófico. Con ello se indica que obedece a la ardua tarea del pensamiento bajo un carácter hipotético e inventivo, reconociendo al mismo tiempo la existencia de ciertas tradiciones filosóficas y de algunos problemas –antiguos, actuales, olvidados, reexaminados, desplazados, negados, rebatidos, disueltos. En particular, mi deseo filosófico viene movilizado aquí por el asombroso mecanismo de introducción de la racionalidad matemática en la propuesta filosófica de Platón. Si penetrara siquiera mínimamente sobre este terreno que se adivina escarpado, indicaría al menos la posibilidad de un proyecto más amplio, donde estas páginas se emplazarían como lo que efectivamente son: un proceso de investigación singular, acotado y parcial acerca de una cuestión tan definida como potente. Varios de los conceptos aquí presentados no serán los que Platón empleara en su tiempo. Ni siquiera los que el canon de lectura ha establecido como válidos y de ahí la necesidad de esta breve nota anticipatoria.

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Dependen en cambio no sólo de los límites histórico-lingüísticos sobre los que acierta en insistir una epistemología un tanto policial, sino también, y más profundamente, de la apuesta filosófica que representa en sí misma toda efectuación del pensamiento desde una perspectiva menos local que general, menos retroactiva que prospectiva, menos exegética que propositiva. En efecto, aunque toda reflexión requiere un cuidadoso manejo de las fuentes y una correcta comprensión de los contextos en los cuales los problemas filosóficos son planteados, adecuarla a estos preceptos no prohíbe lanzar una tesis especulativa que exceda la simple consideración metodológica. El objetivo será, entonces, permaneciendo fiel a la excepcionalidad que supone la inserción de las matemáticas en la filosofía platónica y conservando todo el rigor hermenéutico necesario, avanzar sobre el campo filosófico asumiendo que es posible una recepción novedosa e incluso una reconstrucción original del problema en el marco de la historia de la filosofía. Esta advertencia aparece para evitar una asimilación equívoca de lo que sigue. Nada hace presumir el dominio exclusivo de alguna de las corrientes preponderantes en la filosofía actual por sobre las demás. Jugaré de manera estratégica a fin de construir y demostrar mi hipótesis de lectura. En primer lugar, en relación con toda pretensión filológica, estimo difícil que el escrutinio de una cuestión en toda su complejidad pueda agotarse en el estudio de la lengua. Sin embargo, dependo tan profundamente del trabajo que los estudios filológicos han realizado sobre las voces griegas que no puedo sino dejar constancia de ello en estas páginas preliminares. En segundo término, hay que sostener que tampoco se tratará de un desglose histórico de minucioso detalle pues el problema, tomado en su dimensión formal, atañe a la filosofía de modo estructural y no sólo histórico. La reconstrucción situada de las condiciones en que éste fue planteado no estará ausente, pero tampoco ganará predominancia absoluta. Su presencia parcial es la que limita, por otro costado, un posible abordaje de la pregunta descarnado de sus componentes histórico-lingüísiticos. Una anfibología similar se manifiesta con algunas lecturas pertenecientes al ámbito filosófico francés del siglo XX. Recibí considerables influencias de algunos de sus desarrollos (sobre todo en lo concerniente al montaje filosófico de la noción de «indecidibilidad»).

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Finalmente, mi distancia respecto de la corriente anglosajona cuya filiación directa es la filosofía analítica, no sale indemne de esta doble lectura. Por un lado, aquí no se trata de desentrañar presupuestos epistémicos ni determinaciones que en general atañen a la moderna teoría del conocimiento –supuestos de los que quizás esta corriente aún no ha podido desembarazarse– por vía del análisis lingüístico, conceptual o fenoménico. Lo que pesa aquí es, en cierto modo, la intencionada falta de perspectiva histórica que atenta contra cualquier intento de estudio dinámico ampliado. Pienso que no resulta posible disolver los problemas apelando solamente al análisis; mucho menos si se intenta acceder –de manera precaria e incompleta, es cierto– a una época tan distante. Justamente porque el problema matemático trasciende la omnipotencia que presenta al lenguaje como centro de toda indagación filosófica. Utilizaré, no obstante, ciertos desarrollos de la filosofía analítica para observar cuáles son los atolladeros más frecuentes que nos ofrece la cuestión y evaluar si acaso no sería posible localizar en ellos el centro de gravedad de mi hipótesis. De manera que: (a) recurriré oportunamente a buenos argumentos empleados por filósofos analíticos, sólo con fines polémicos, es decir, haciendo de su uso un arma local contra algún tipo de dogmatismo infundado; (b) relevaré algunos de sus avances en la penetración del texto platónico. Quizás gran parte de la pretensión de este escrito sea mostrar la legitimidad y pertinencia de esta operación. Esta nota tiene entonces la función de salvar de antemano algunas dificultades metodológicas y evitar que este escrito se transforme en una diatriba sin sentido. Y por el mismo motivo por el cual la filosofía no debería detenerse más de la cuenta en discutir a sus predecesores y en su lugar abocarse a forzar lo no-dicho que posee toda situación. La filosofía es huérfana. Y es huérfana porque es parricida. Sin embargo, el movimiento debe ser claro: suscribo por entero a varios de los avances efectuados por cada una de estas tres orientaciones y entiendo que no podría ser de otro modo. Nada podría hacer sin estas discusiones previas. Entiendo, a su vez, que es sumamente eficaz la correcta combinación de dichos avances. Acaso la filosofía no sea otra cosa que ese esfuerzo por producir discursivamente esquemas formales cuyo rendimiento depende no sólo de la curiosidad que despiertan las cosas, sino también en gran parte de la recensión que la disciplina hace de su propia historia, entendida ésta

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como el reservorio de las operaciones conceptuales precedentes. La filosofía es apropiación creativa entonces. Y lo que aquí dejo entrever tal vez no sea más que una apuesta radical por esta forma de ejercer el pensamiento bajo pretexto de releer el gesto de su fundación.

DOS ACLARACIONES TERMINOLÓGICAS

I El primer objeto de este apartado es anticipar algunas características de la utilización que haré de un término central para el desarrollo de la tesis. Los griegos utilizaban el sustantivo ȝȐșȘȝĮ (ȝȐșȘȝĮ -ĮIJȠȢ, IJȩ), proveniente del verbo ȝĮșİ૙Ȟ para designar una ‘enseñanza’, ‘estudio’ o incluso una ‘ciencia’. MĮȞșȐȞȦ remite, a su vez, tanto a ‘instruirse’ como también a ‘habituarse, tener la costumbre’; ‘aprender de memoria’; ‘saber, estar informado de algo, conocer’; ‘comprender’; ‘darse cuenta, reconocer’. De esta profusa polisemia, Platón retiene un campo que oscila entre ‘lo que es aprendido’, ‘una enseñanza’, ‘una sentencia breve o un dato aprehensible por la mente de manera completa’ o, finalmente, ‘un estudio en general’. Su versión más específica, es la que da cuenta de ‘un estudio’, pero aludiendo al espectro matemático en particular, siguiendo la línea tardía de las Leyes. Se registran cincuenta apariciones del término en los diálogos, concentrándose veintiuna de éstas en República. Ello conduce a una observación muy simple: la utilización de ȝȐșȘȝĮ está orientada mayoritariamente hacia el campo pedagógico y político. Su uso –y por lo tanto su significado– se halla ligado al conjunto de prácticas discursivas que dirimen el destino de la ciudad, desde su nacimiento hasta su consumación como forma de vida en común. MȐșȘȝĮ tiene que ver con una

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enseñanza que se transmite y se aprende voluntariamente, involucrando a más de un individuo en el proceso de transmisión. Pero ȝȐșȘȝĮ también acusa ser la raíz de lo que fue el inicio de las matemáticas en el pensamiento griego. De ahí que yo fuerce aquí una utilización más o menos dirigida de la palabra. Y es que, en efecto, la inclusión del paradigma matemático en la filosofía de Platón no atiende a otro fin que al establecimiento de una prescripción de la ley inteligible sobre el alma humana. De esta exigencia se desprenderá luego la necesariedad del proyecto político de República-Leyes, la pedagogía del Bien que esboza Platón y también la descripción de la totalidad del universo en términos de aquella ley. El uso que haré de máthema es en este sentido deliberado. Primeramente, intento orientarme hacia la construcción de IJ੹ ȝĮșȒȝĮIJĮ (las ciencias matemáticas) cuya predominancia en esta familia de palabras en lo que hace a número de apariciones en textos clásicos resulta abrumadora, y, a través suyo, hacia IJ੹ ȝĮșȘȝĮIJȚțસ (las matemáticas) referidas no ya a un saber científico sino libradas a la neutralidad de una utilización intuitiva del conjunto de los ‘objetos’ de los que dispone este saber para el desarrollo de su actividad (números, superficies, operadores, igualdades, etc.). La primera utilización de ȝĮșȘȝĮIJȚțસ aparece en Pitágoras durante el siglo VI a.C denotando ‘disciplina’ o ‘ciencia racional’. Al provenir todos los términos del originario ȝȐșȘȝĮ, he decidido preservar su signatura para rubricar y contener las significaciones derivadas posibles. Máthema insiste por ahora sobre tres registros que se solapan sin llegar a confundirse: 1. El referido al proceso de enseñanza. 2. El que atañe a los estudios matemáticos. 3. El que anuncia la nuda existencia de las matemáticas, sin anteponerle la criba que la caracteriza como saber, como estudio o como discurso. Aquí reside quizás uno de los aspectos más interesantes de su semántica. Claro que de la superposición entre estos terrenos se obtienen conceptos tales como ‘la enseñanza de las matemáticas’ o ‘las matemáticas como dispositivo de aprendizaje’. De ahí se extraerá la riqueza del máthema. Pretendo reunir bajo el significante máthema tanto el proceso de enseñanza que reviste la transmisión de las matemáticas como –globalmente– el sentido educativo que comporta la introducción de este

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nuevo tipo de racionalidad opuesto al poético-sofístico hasta entonces imperante. Aunque a veces traducido como ‘conocimiento’ se sabe distinto de lo que los griegos llamaban epistéme. MȐșȘȝĮ no es un corpus acabado que se dispone a ser transmitido, tampoco una luz resplandeciente que constriñe al alma a adherírsele sin opción. Por eso es que puede aparecer como el saber más excelso y a la vez como un simple dato transmitido al pasar. MȐșȘȝĮ es algo mucho más simple, menos fuerte y riguroso, pero no por ello impotente: reviste la singularidad misma del proceso de información del alma. Una enseñanza se diferencia de una ciencia; puede ser su vehículo y darse con arreglo a éstos, pero eso no sucede a priori. Obsérvese el siguiente pasaje de Laques: Laques: Es difícil, Nicias, decir de cualquier tipo de enseñanza [ȝĮșȒȝĮIJȠȢ] que no debe aprenderse. Pues todo conocimiento [ਥʌȓıIJĮıșĮȚ] parece ser bueno. Es el caso de esta enseñanza [ȝȐșȘȝĮ] del manejo de las armas; si es una ciencia, como afirman los que la enseñan y como Nicias dice, debe aprenderse. Pero si no es una ciencia, y engañan los que lo aseguran o resulta ser una enseñanza [ȝȐșȘȝĮ] pero, sin embargo, poco seria, ¿por qué entonces habría de aprenderse?1

El defasaje –incluso terminológico– entre el conocimiento en un sentido fuerte y el significado específico de ȝȐșȘȝĮ se torna patente. MȐșȘȝĮ suele traducirse, además, por ‘esta’ enseñanza, ‘tal’ estudio o ‘ese’ aprendizaje. Es particular, tanto en lo referido al ‘objeto’ enseñado como en lo que denota el instante de su transmisión. La separación de algo así como un estudio, por un lado, y de un objeto de estudio por otro, es imposible en los campos del ȝȐșȘȝĮ. La indiscernibilidad entre ambos polos es una de las características intrínsecas de su semántica. Al respecto, véanse estos pasajes sucesivos de República, donde la primera presentación de ȝȐșȘȝĮ puede traducirse por ‘el estudio supremo’ mientras que la segunda se vierte como ‘el objeto de estudio supremo’ o ‘lo que el estudio supremo enseña’.

1

Laques, 182d.

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-Efectivamente, pero en cuanto a lo que llamas ‘el estudio supremo’ [ȝȑȖȚıIJȠȞ ȝȐșȘȝĮ] y en cuanto a lo que se trata ¿te parece que podemos dejar pasar sin preguntarte qué es? 2 […] Es esto más bien lo que creo, porque con frecuencia me has escuchado decir que la Idea de Bien es el objeto del estudio supremo [IJȠ૨ ਕȖĮșȠ૨ ੁįȑĮ ȝȑȖȚıIJȠȞ ȝȐșȘȝĮ], a partir del cual las cosas justas y todas las demás se vuelven útiles y valiosas.3

MȐșȘȝĮ no deja de nacer, una y otra vez, en la profunda intención educadora de Platón. Es una palabra imitativa: revela en sí misma la distancia respecto de lo real, el ser, de la verdad en cuanto tal. En su peculiaridad se encuentra también el trabajo del filósofo que insiste en la refundación de Atenas y que encuentra en una nueva alternativa pedagógica la fuerza necesaria para encarar esta transformación. He ahí el hondo sentido del máthema: «Eso» aún indeterminado que aparece singularmente en el proceso de enseñanza y que prefigura un tipo de discurso novedoso, acorde con la ley del número y de las proporciones. II El rendimiento de mi hipótesis de lectura depende en gran medida de una clarificación de la noción de metafísica. Se trata de un concepto tan caro para la filosofía como inconsolablemente impenetrable para los filósofos. Utilizaré dos sentidos diferentes del término que distinguiré mediante la adición de un guión separador en uno de los usos, quedando así diferenciados del siguiente modo: “metafísica”, por un lado, y “metafísica”, por otro. Podría preguntarse con justicia cómo es que, dada la distinción que pretendo imponer a ambas nociones, se vuelve necesaria la reunión de ambas bajo un significante, sino idéntico, al menos similar. El caso es que la divergencia no alcanza a borrar una comunidad de origen. 2 República, 504e5. ȀĮ੿ ȝȐȜĮ, ਩ijȘ, [ਙȟȚȠȞ IJઁ įȚĮȞȩȘȝĮ]ǜ ੔ ȝȑȞIJȠȚ ȝȑȖȚıIJȠȞ ȝȐșȘȝĮ țĮ੿ ʌİȡ੿ ੖IJȚ Į੝IJઁ ȜȑȖİȚȢ, Ƞ੅İȚ IJȚȞ’ ਙȞ ıİ, ਩ijȘ, ਕijİ૙ȞĮȚ ȝ੽ ਥȡȦIJȒıĮȞIJĮ IJȓ ਥıIJȚȞ. 3 República, 505a. ਥʌİ੿ ੖IJȚ Ȗİ ਲ IJȠ૨ ਕȖĮșȠ૨ ੁįȑĮ ȝȑȖȚıIJȠȞ ȝȐșȘȝĮ, ʌȠȜȜȐțȚȢ ਕțȒțȠĮȢ, ઞ į੽ țĮ੿ įȓțĮȚĮ țĮ੿ IJਛȜȜĮ ʌȡȠıȤȡȘıȐȝİȞĮ ȤȡȒıȚȝĮ țĮ੿ ੩ijȑȜȚȝĮ ȖȓȖȞİIJĮȚ.

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Heidegger define la metafísica como historia de la interpretación del ser que presupone una forma de pensamiento y un lenguaje que codifican el recorrido de la tradición occidental. La metafísica es el pensamiento occidental en su esencia. Esta historia encierra un profundo olvido: el olvido del olvido de la diferencia ontológica, esto es, la diferencia entre ser y ente. Si bien el ser es “ser del ente” y el ente es “ente del ser”, indicándose de esta manera una inseparabilidad radical entre ambos, resulta que la diferencia debiera ser también perceptible. Sin embargo, la historia que constituye la metafísica ha devenido de una manera precisa confundiendo el ser con el ente y forjando de esta manera un dominio gobernado por el presente. Si el ser [Seyn] coincide en sus albores con algún tipo de eclosión rítmica identificable con la phýsis presocrática y traducible al movimiento de velamiento y des-velamiento recogido por aléetheia será para luego ser subyugado al imperio pres-entificante que lo dispone como un concepto definible, pronunciable y transmisible. La estática que adquiere de este modo el ser será transfundida calladamente desde la idéa platónica, pasando por la ousía de Aristóteles, la specie ciceroniana, el ens summum medieval y el subjektum moderno. Heidegger adivina en este tránsito una constante: el problema del fundamento, soportado modernamente por la búsqueda de la causalidad eficiente. Si cada una de estas nociones comparte algo con las demás es precisamente que puede ser localizado como un «algo» cuya fijeza lo torna susceptible de ser fundamento [hypokhéimênon] de todo lo que hay. Para el pensador alemán, el ser ha sido reducido al ente en su determinación temporal como siempre-presente, generándose de este modo un desplazamiento clave en los orígenes que ha tenido y tiene consecuencias visibles en el acabamiento técnico de la metafísica. Quizás una de las virtudes de la reflexión heideggeriana estriba en reconstruir el secreto philum que nace en la interpretación griega del ser–acaso en Platón– y que culmina con algunas de las amenazas que invadían los principios del siglo veinte (la aniquilación total, la guerra mundial, la perdida de lo humano frente al monstruoso desarrollo técnico-tecnológico, etc.). Para Heidegger comprender este ocultamiento que supone la actitud de la metafísica tradicional, permite develar el existenciario “ser en el mundo” en toda su dimensión y de esa manera resignificar el conocimiento en tanto en éste “[...]gana el “ser ahí” un nuevo “estado de ser” relativamente al mundo

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en cada caso ya descubierto en el “ser ahí”.4 El hombre corre también el riesgo de perder su esencia como ente comprensor que, habitando el lenguaje, yecto en el mundo, experimenta una mutua pertenencia con el ser5. Toda vez que utilice el término “metafísica” entonces estaré refiriéndome a este hilo estructural que inunda la historia de Occidente. Por lo demás, no suscribiré por entero al modo en que Heidegger efectúa su barrido historiográfico. Dicho de otro modo: aún si creo que existe desde los orígenes una tendencia generalizada a la estabilización de lo evanescente, de lo caótico, de la diferencia en sí misma, no asumo que Platón sea el padre de este proceso en el sentido en que Heidegger intenta presentarlo en “La doctrina de Platón acerca de la verdad” 6 ni que las matemáticas –al menos las que se encuentran en la enseñanza platónica– conformen una de sus instancias más férreas como se deja entrever en “La época de la imagen del mundo”7 y “La proposición del fundamento”8, sino que más bien defenderé lo opuesto. Existe también, dentro esta voluntad metafísica, un gesto primario que llamo “de trascendencia” o “de significación”. Heidegger observa –algo ya Nietzsche perseveraba en señalar– que en el planteo platónico se halla un movimiento que, buscando traspasar lo dado, va detrás de un fundamento suprasensible que done no sólo entidad a lo que se presenta ante los sentidos sino también significado, en la medida en que cualquier objeto perteneciente al ámbito del devenir quedará sujeto a un esquema de referencia continua en caso de que se quiera dar cuenta de su esencia. La Idea platónica responderá por cada cosa pues cada cosa participa [méthexys] de la Idea. Se elabora consecuentemente un deseo de trascendencia que, en el caso de Platón, quedará condensado por la 4

Heidegger, M., Ser y Tiempo, Fondo de Cultura Económica, México, 1951, p. 75. Ver Esquema A, p. 263. 6 Heidegger, M. “La doctrina de Platón acerca de la verdad” en Hitos, Alianza, Madrid, 2000. Ciertamente, Platón es uno de los mentores fundamentales de la estructuración metafísica, pero ello no se produce no sin cierto esfuerzo, violencia y mínima conciencia del paso que allí se estaba dando. Sobre todo si se considera que, como intento mostrar, las matemáticas, lejos de contribuir a tal fijación metafísica tendían a la persistencia del instante originario de la diferencia. 7 Heidegger, M. “La época de la imagen del mundo” en Caminos de Bosque, Alianza, Madrid, 1996. 8 Heidegger, M. La proposición del fundamento, Serbal, Barcelona, 1991. 5

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célebre metáfora de la «segunda navegación» que reza: “[…] ¿quieres, Cebes, que te haga una exposición de mi segunda singladura [deúteros ploûs] en la búsqueda de la causa, en la que me ocupé?”9 Allí, la voluntad metafísica queda detenida en la instantánea del deseo mismo, el tránsito, la salida, todo lo que resumo como «proceso de significación». En adelante, toda vez que utilice el término “meta-física” me estaré refiriendo a este intervalo primordial que guía a Occidente. La necesidad de distinguir dicho lapso del otro sentido de metafísica, más acabado y general, es simple: si se promueve el sentido de meta-física identificando solamente esa dinámica de la transgresión, es probable que pueda comprenderse el profundo carácter ontológico del máthema como diferencia, riesgo y evasión y contraponerlo a aquél que le impusiera la interpretación heideggeriana.

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Fedón, 99d.

INTRODUCCIÓN. UNA HIPÓTESIS DE LECTURA

La filosofía, de acuerdo con cierta definición canónica, comparte con las matemáticas al menos dos rasgos. El primero es su carácter abstractivo, determinado por la actividad mental que caracteriza a ambas disciplinas. Por abstractivo deberá entenderse aquí no tanto el descubrimiento de entidades suprasensibles sino más bien la vocación universalizante encerrada en un movimiento del discurso propenso a la formulación de enunciados generales acerca de «lo que hay». Existe una diferencia básica entre abstracto y abstractivo. Mientras abstracto se refiere a la totalidad del conocimiento que se relaciona únicamente con entes sustraídos al acceso sensible y despojados de la actividad propia de un sujeto, abstractivo se corresponde con una voluntad tendiente a la formulación de juicios de carácter general cuya verdad o falsedad viene dada por algún tipo de regla explícita o implícita. La Real Academia Española lo caracteriza como “la virtud de abstraer”. Se trata, en suma, de la distancia entre un punto de vista estático dirigido hacia objetos o cuerpos epistémicos acabados y una perspectiva cinética que observa el mecanismo a partir del cual se constituye un concepto. Desde luego, no son nociones excluyentes sino más bien subsidiarias, pero su diferencia delinea el registro sobre el cual intentará imprimirse esta investigación, a saber, el intento de captación de la dinámica de producción y emergencia de los ‘objetos’ abstractos en la obra platónica.

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El segundo rasgo que comparten filosofía y matemáticas proviene del anhelo por exponer los fundamentos de toda existencia, mediante un lenguaje racional, accesible al pensamiento puro y acorde a principios compartidos por una comunidad de interlocutores. La relación entre filosofía y matemáticas es por lo tanto central para todo Occidente. Han sido los filósofos quienes han monopolizado la indagación respecto de lo que unía o separaba ambos saberes. Nada casual es que Kant situara a Tales, a quien identificaba como matemático, como el iniciador de la filosofía y singularizara en este comienzo común una inseparabilidad de origen que alcanzará nuestros días. Pitágoras consideraba que los números eran los principios [arkhai] de todas las cosas. Aunque no se cuenta con ningún escrito suyo, se sabe que produjo numerosos avances en el campo matemático, incluido el célebre teorema que lleva su nombre, y que fundó una escuela filosófica y religiosa en Crotona, que tuvo muchos adeptos. Pitágoras fue la cabeza de la sociedad con un círculo cercano de seguidores conocido como los mathematikoi. Los estertores de sus enseñanzas no tardarán en aparecer en los desarrollos de Platón. Mal que les pese a filósofos y a matemáticos, sus caminos se han cruzado innumerable cantidad de veces y seguirán haciéndolo: Tales ya conocía ciertos balbuceos de las matemáticas egipcias; Pascal fue considerado un prodigio en matemáticas y formuló uno de los teoremas básicos de la geometría proyectiva que lleva su nombre; Descartes tomó de esta disciplina su ideal de conocimiento y el estilo demostrativo a la vez que publicó un libro sobre teoría de ecuaciones y contribuyó a la geometría analítica y la física matemática; Leibniz, por su parte, enumeró en 1675 los principios básicos del cálculo infinitesimal provocando un encendido debate con Newton respecto de la autoría de los avances; Galileo utilizó el método matemático para algunos de sus descubrimientos más deslumbrantes. Kant mismo reclamaba en el prefacio a la segunda edición de la Crítica de la Razón Pura salvar al conocimiento de su extravío mediante una resolución análoga a aquella que pusiera a las matemáticas y a la física en la “huella segura de la ciencia”. Ya más cerca en el tiempo, Russell, Whitehead, Wittgenstein y Badiou, entre otros, se han acercado más que de soslayo a esta disciplina. Lo que no deja de ser cierto para cada uno de estos casos es que su interés los inclina a reflexionar sobre los descubrimientos matemáticos –propios o ajenos– de un modo filosófico o al menos no solamente matemático.

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Platón falta en esta enumeración porque antes se presenta un aspecto de la relación que quisiera esclarecer brevemente. Se trata, en la inmanencia de lo griego, de la persistencia central del problema de lo uno y lo múltiple; fundamentalmente de lo que puede decirse respecto del tránsito entre ambos. Una cuestión ontológica estimulante de toda formulación relativa al ser por cuanto responde al interrogante: ¿qué hay? Platón mismo se dedica establecer en el Parménides10 que la cuestión es de naturaleza capital. Allí arroja ocho hipótesis acerca de la existencia de lo uno y lo múltiple y se dedica a explorar sus posibles consecuencias. Ahora bien, este interrogante indica desde su esencia a las matemáticas. Incluso habiendo acuerdo generalizado sobre la imposibilidad de confundir en el contexto griego lo uno, la unidad y el “número uno”11, la resolución del tránsito entre lo uno metafísico (el ser elevado a concepto único) y lo múltiple irregular al cual se enfrenta el hombre mediante sus sentidos, entraña tanto la potencia abstractiva de las matemáticas cuanto la conjunción sobre sí mismas de rasgos decisivos del uno (i.e. eternidad e inmutabilidad) y de lo múltiple (i.e. la pluralidad) 12.No casualmente, Euclides define el número como sigue:

10 Aunque la entrada de Sócrates en el diálogo es tardía, habiendo ya sido montada la discusión, es posible verificar por la estructura del mismo que el problema que lo recorre por completo es el de la unidad y la multiplicidad. Desde 127d hasta 130a, se dedica a examinar las dificultades de la multiplicidad; luego, hasta 135d, se abordan los problemas conjuntos de la unidad y de la multiplicidad en relación con diversos niveles de análisis. Finalmente, hasta 166c, el diálogo se dispone a evaluar las dificultades de la unidad. 11 Cfr. Pritchard, P. Plato’s philosophy of mathematics, Akademia Verlag-Sankt Augustin, Alemania, 1995. Capítulo 4 de la primera parte: “Monás cannot denote the numer 1”. La relación entre lo uno y la unidad es un poco más compleja. Basta para anoticiarse de ello reparar en la primera definición del libro VII de los Elementos de Euclides (justo la anterior a la de arithmós, número): “Unidad es aquello en virtud de lo cual cada cosa que existe se llama uno”. Euclides, Elementos, VII. 2. Introducción de L. Vega; traducción de Ma. L. Puertas, Gredos, Madrid, 1994. 12 Cfr. Aristóteles, Metafísica, 1090 b32. Además, en 987b14, dice: “[Platón] afirma, además, que entre las cosas sensibles y las Formas existen entes matemáticos, distintos de las cosas sensibles por ser eternos e inmóviles, y de las Formas porque hay muchos semejantes, mientras que cada Forma es solamente una y la misma”.

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“Un número es una pluralidad compuesta de unidades [monádôn]”.13

La unidad, distinta en términos ontológicos de lo uno pero derivable especulativamente de éste, es la base de todo número. Una colección [sygkeímenon] de unidades conforma un número [arithmós]. Resuena en “pluralidad” [plêthos] la sensación de un múltiple absolutamente diseminado (en oposición al esperable pollá que habla de una multiplicidad controlada) aunque retenido, empero, por el poderío de una reunión que liga unidades de un mismo carácter. Si toda réplica filosófica es la acuciante indagación sobre cómo se produce el paso entre lo uno fundante y todas las cosas, las matemáticas no tardarán en acudir al encuentro con alguna de esas réplicas. Quizás por eso mismo son identificadas con lo intermedio [tò metaxý]. Eso habla de cierta capacidad ontológica del máthema. Como ésta intenta ser una tesis filosófica en el sentido creador que describí antes, el estudio del «caso Platón» dependerá a la vez de un abordaje histórico y sistemático. Presentes y verdaderamente relevantes, los presupuestos de este abordaje proporcionarán un marco general a mi investigación sobre el cual se destacará el instante platónico de inclusión de las matemáticas en la especulación filosófica. Se vuelve histórico en la medida en que se aboca a contextualizar el momento en que las matemáticas y filosofía se acercan de manera por vez primera. Sistemático, en tanto se inclina por el análisis formal de cierto problema, o, podríamos decir, por la repetición de cierto problema, por la insistencia con la que se apresura a caer, por el deseo con el que retorna indefinidamente, dentro de su marcaje histórico singular, pero también incluyendo, en su regreso, algo atemporal. Este doble aspecto me permitió asumir una opinión espinosa respecto de mi labor: la misma estará destinada a liberar la lectura, a propiciar espacios para el riesgo filosófico14 –ese que provee de elementos para perfilar interpretaciones que, aún nutriéndose de los desarrollos tradicio13 Euclides, Elementos, VII. 2. Introducción de L. Vega; traducción de Ma. L. Puertas, Gredos, Madrid, 1994. 14 Pienso, tal vez, en el célebre corolario del poema de Mallarmé “Un coup de dès…”. Allí se dice: “Un pensamiento emite siempre una tirada de dados” aludiendo al azar y al riesgo que éste comporta estructuralmente.

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nales, pretenden mantenerse vivos en sus posibles desvíos. Pero sabiendo que aquello que se toca se encuentra encriptado por condicionamientos históricos (la importación de las matemáticas de Egipto, el surgimiento de la escritura, la compilación de los Elementos de Euclides, el apogeo y caída de la democracia ateniense) y por diagramas estructurales localizables sobre dichas condiciones (advenimiento de lo indecidible15, sutura jerarquizante de saberes16, reorganización parcial del esquema lingüístico en función del mencionado advenimiento17). ¿Otro escrito más sobre Platón entonces? Si y no. Naturalmente, se trata de un análisis de segunda mano sobre uno de los autores más estudiados. El mismo posee, sin embargo, la peculiaridad de no ser un estudio particularizado acerca de un solo diálogo, una sola etapa o incluso un solo pasaje de su obra sino que es transversal a la misma, sin tampoco descansar en una exposición de sobrevuelo acerca de los tópicos más recurrentes de su filosofía. Ni análisis exhaustivo limitado a un signo o construcción gramatical, ni doxografía exterior. Los diálogos aparecerán alternadamente para dar sustento a la hipótesis. La obra de Platón será literalmente fracturada con la aparición del fulgor de lo indecidible. Y así la hipótesis de lectura agujereará el texto metafísico cuando encuentre esa fractura en la médula del escrito platónico, ése al que se ha querido identificar como el primero de la metafísica. Pese a la cautela que invade estas notas, confío en la pujanza de la hipótesis y la viabilidad de su funcionamiento. Por lo tanto, habrá que echarla a rodar sin más: las matemáticas instalan lo indecidible en la filosofìa de Platón. La compleja noción de indecidibilidad será elucidada con fortuna en un próximo apartado, de modo que sólo podría avanzar aquí la simple observación de que se trata de un concepto matemático surgido en el pasado siglo veinte que establece la imposibilidad de de15

Me detendré sobre este punto en la segunda parte de la tesis. Principalmente en “Las matemáticas como ciencia propedéutica. Sustitución del paradigma poético-mimético por el matemático” y en “Estudio del Menón como caso ejemplar de la operación platónica de introducción de la racionalidad matemática en la filosofía”. 16 Para esta cuestión, cfr. “Matemáticas y dialéctica”, también perteneciente a la segunda parte. 17 Cfr. la última parte de “Estudio del Menón como caso ejemplar de la operación platónica de introducción de la racionalidad matemática en la filosofía”. y también “La línea dividida: apertura para un breve anális de Khôra y del sistema que conforman los términos «Orden, Proporción, Belleza y Armonía»”.

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terminar –salvo través del recurso a un metalenguaje independiente– la pertenencia o exclusión de cierta proposición respecto de una situación dada por un conjunto de reglas lingüísticas explícitas (una axiomática). Lo que importa aquí es la clarificación de lo que hace de la filosofía platónica algo relevante para la hipótesis: 1. El nombre de Platón reviste en sí mismo toda garantía de interés filosófico. Poco puede agregarse a los ríos de tinta que han dado cuenta de la preeminencia –pasada y actual– que posee el trayecto especulativo del ateniense. 2. Platón se ubicaría en los albores de Occidente bajo su signo filosófico-metafísico.18 18

En este punto suscribo –no sin algunas reservas– a la lectura heideggeriana que sugiere en resumen que el ser, desde su origen griego como phýsis, acusando además una relación intrínseca con la verdad comprendida como aléetheia, posee una correferencia básica con la noción no vulgar de tiempo (como define Heidegger “Gewesend gegenvertigände Zukunft”, es decir, como “porvenir siendo sido”) que condicionó de modo irrestañable –destinalmente– a la pregunta que interroga por el sentido del ser. En el origen griego, la presencia del ser [Seyn] se manifiesta en la eclosión, el brotar, de la phýsis y entraña un ritmo de aparición y desaparición retenido en la potencia de aléetheia. Aquélla se distingue tanto de cualquier ente particular como de la suma total de ellos. En ese mismo despuntar griego, se entrevé el germen de la obliteración y el olvido. Será fundamentalmente Platón quien, subyugando el ritmo de aléetheia al poderío omnipresente de la idéa (Cfr. Heidegger, M. “La doctrina de Platón acerca de la verdad” en Hitos, Alianza, Madrid, 2000 y Heidegger, M. “La época de la imagen del mundo” en Caminos de Bosque, Alianza, Madrid, 1996) borrará la diferencia ontológica dada entre ser y ente, confundiéndolos al punto de prefigurar desde ese momento al ser como un concepto definible gracias a la primacía presentificante (cabe recordar que “ente” es el participio presente del verbo ser) que constituirá en adelante la metafísica. Del olvido de esta borradura se desprenderá además la pérdida de la esencia del Dasein como ente entre los entes, comprensor y ser-para-la-muerte. Esta última arista es la que intenta ser esclarecida a lo largo Ser y Tiempo. Por lo demás, el motivo de mi demora respecto del esquema heideggeriano está precisamente en que encaramado en su feroz crítica a la culminación técnica de la metafísica y a la forma de subjetividad moderna, identifica como parte distintiva y no menos funcional de dicho acabamiento a la racionalidad matemática. Ésta, entendida como la manipulación de entes en función de axiomas definidos y con arreglo a fenómenos físicos (sea este arreglo dado por vía de comprobación experimental o por mera modelización) condensará el movimiento metafísico que, operando bajo imperio del presente, clausurará la dimensión temporal originaria del ser, perfilando el dominio subjetivo (en el sentido de subjektum como fundamento o hypokhéimenon) de aquellos entes matemáticos. (Cfr. Heidegger, M. “La época de la imagen del mundo” en Caminos de Bosque, Alianza,1998 y Heidegger, M. Serenidad, Serbal, Barcelona, 1994). Si mi hipótesis puede ser verificada no será posible adscribirle por completo a Platón la fijación

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3. Por lo dicho en el punto anterior, y a causa de la especial concepción de la historia de la filosofía que de allí se desprende, el pensamiento platónico posee absoluta actualidad en tanto autoriza, como movimiento discursivo repetible19, a extraer de dicha repetición todas las consecuencias posibles.20 Dada esta tríada, hay que agregar además el anhelo de abandonar toda imagen quietista y homogénea de la ontología platónica o al menos de una parte central de ella, esto es, la que compete al conocimiento matemático. Luego, la hipótesis deberá ser construida, por cuanto involucra conceptos tan extraños a la reflexión platónica como al aparato de la filosofía contemporánea. En segundo término, la hipótesis deberá ser defendida, para lo cual cuento con la intuición básica de que cada capítulo contribuirá lenta y paulatinamente al examen y verificación de la misma, que se encontrará repetida innumerable cantidad de veces pero bajo diferentes modulaciones. Por eso ruego encarecidamente al lector sepa tener la paciencia necesaria para no descarrilar desde un comienzo la lectura. Varias de las operaciones y conceptos que se muestran anunciados tanto en esta introducción como en la primera parte del análisis, encontrarán ecos diestatizante que confunde ser con ente y mucho menos localizar parte de este equívoco en las matemáticas como su forma visible. Mientras el máthema procure la inestabilidad radical de lo indecidible y su polémica política, será difícil que pueda situársele como mostración cúlmine del pensamiento técnico-metafísico. La temporalidad del máthema, cuestión que no será tocada quizáss lo suficiente en mi análisis, no está caracterizada por la primacía del presente en tanto que exige –siempre– un instante de sustracción al posicionarse como un mero intersticio, como un simple entreacto que, a su vez, exige el discurrir, el diferir como procedimiento propio de la diánoia. Un buen ejemplo lingüístico de lo que considero el desacierto heideggeriano estaría dado por el recurso platónico, al querer hablar del máthema, al término hyperphýos que se vierte por “maravillosamente, de modo extraordinario” en República, 525b2. La raíz phýo que lo compone es la misma que la de phýsis y denota “nacer, crecer, hacer salir, engendrar, producir”. De ahí que si este es un rasgo característico del máthema, difícilmente pueda ubicársele como el punto de manifestación de la esencia metafísica por cuanto respeta cierto patrón rítmico de la naturaleza. Para profundizar el eje Platón/Heidegger respecto de la cuestión matemática sugiero al lector remitirse al primer apéndice de esta tesis. 19 Repetición que conlleva, claro está, su par dialéctico: la diferencia. 20 Un palmario ejemplo de tal repetición se encuentra actualmente en la obra del filósofo francés Alain Badiou. Cfr. Badiou, A. El ser y el acontecimiento, Manantial, Bs. As., 1998, Introducción y primera parte. Ver también Infra. Segundo apéndice de esta tesis.

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rectos y mucho más densos en la segunda y tercera partes, cuando no en algún apéndice y/o diagrama. Lo mismo sucede con algunas referencias al texto platónico. Dado que la diferencia de registros se torna patente, he optado por dividir la prueba en tres secciones. Por caso, la Pඋංආൾඋൺ ඉൺඋඍൾ: Cඈඇൽංർංඈඇൾඌ ൿඈඋආൺඅൾඌ ൽൾඅ ඉඋඈൻඅൾආൺ. Hൺർංൺ ඎඇൺ ർඈආඉඋൾඇඌංඬඇ ඌංඇ඀ඎඅൺඋ ൽൾඅ ආංඌආඈ está destinada, en líneas generales, tanto al análisis histórico como al escrutinio estructural de las condiciones de posibilidad de la inserción matemática de lo indecidible. En esta sección, quizás más que en las otras, existen también variaciones en el análisis. Mientras en “Abandono de la perspectiva de Tubinga-Milán y breve anticipación de las consecuencias hermenéuticas de la suscripción a la hipótesis de lectura” intentaré mostrar el estado de la cuestión en el marco de los estudios platónicos y cómo la hipótesis puede ser allí insertada, en “Sobre pensar y ser. Exégesis primaria de los conceptos de «pensar» y «ser» tendiente a la apertura de la orientación epistémica clásica y las modalidades de la inscripción platónica en su interior” me ocuparé de sacar a la luz las bases epistémico-metafísicas que propician la indecidibilidad en el marco estructural fundado por Parménides. Finalmente, en “Contextos del máthema” evaluaré los componentes históricos más relevantes de este fértil terreno. La Sൾ඀ඎඇൽൺ ඉൺඋඍൾ: Aඇගඅංඌංඌ ൽൾඅ ർൺඋගർඍൾඋ ඈඇඍඈ-අඬ඀ංർඈ ൽൾ අൺඌ ආൺඍൾආගඍංർൺඌ ൺ ඉൺඋඍංඋ ൽൾ අൺ ඉඋൾඌൾඇඍൺർංඬඇ ൾൿൾർඍඎൺൽൺ ൾඇ අඈඌ ൽංගඅඈ඀ඈඌ, consistirá en el intento de acceso a las fuentes para emplazar y poner en funcionamiento la hipótesis de lectura. Allí pretendo sostener que los distintos modos de la indecidibilidad se encuentran ya contenidos21 en los dichos de Platón. Considero que es posible ver los seis capítulos que componen esta segunda parte como elementos de un juego de encastre que por sí solos no especifican más que figuras carentes de sentido pero que, al ser conjugados de acuerdo con un principio arbitrario –que puede ser descubierto por ensayo y error–, acusan una dirección general. Ahora bien, ¿cómo es que aparece lo indecidible en relación con las matemáticas? La respuesta no puede ser otra que la siguiente: “de múltiples maneras”. Lo que sucede es que la indecidibilidad se insinuará (insinuación siempre un tanto incipiente por lo que habrá que precipitarla mediante 21 Aquí “contenidos” posee un doble sentido. El primero da cuenta de “incluidos, pertenecientes”; el segundo de “sometidos, subyugados, limitados”.

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el tratamiento filosófico) primero bajo la forma de prefiguraciones, divisiones y tensiones manifestadas en los diálogos, pero después en niveles de lectura inéditos. Por eso, en “Rasgos generales, clasificaciones internas y niveles de textualidad” comenzaré con algunas clasificaciones básicas efectuadas por Platón sobre las matemáticas e intentaré abrir el juego para que el proyecto pedagógico del filósofo se ligue con ellas. En “Las matemáticas como ciencia propedéutica. La sustitución del paradigma poético-mimético por el matemático” señalaré, retomando parte de “Contextos del máthema”, la importancia de la educación matemática dispuesta por Platón, demostrando que su enfrentamiento con la paideia trágica provoca el primer síntoma de indecidibilidad política. Con “Matemáticas y dialéctica” la apuesta es más fuerte. Comprobando que en República se subordina a las matemáticas al conocimiento dialéctico, sugiero que Platón sucumbe a la voluntad de estabilización metafísica por vía de la anulación del riesgo de lo indecidible. Toda esta dinámica de advenimiento del máthema, disputa con el dispositivo poético-sofístico y suspensión momentánea de la lógica de la situación (o, como lo llamaré en otro lado, proceso de «fundación del vacío») quedará recogida por el caso paradigmático del Menón y condensada en “Estudio del Menón como caso ejemplar de la operación platónica de introducción de la racionalidad matemática en la filosofía”. Asimismo, dicha dinámica puede traducirse en un corte estático, caracterizado por las manifestaciones locales de lo indecidible en varios juegos aporéticos relativos de una u otra manera a la ciencia del número, que con suerte lograré exponer en “La línea dividida: apertura para un breve análisis de Khôra y del sistema que conforman los términos «Orden, Proporción, Belleza y Armonía»” y “Philía y matemáticas”. Por último, la Tൾඋർൾඋൺ ඉൺඋඍൾ es la marca más potente del carácter provisorio de este escrito. Los dos capítulos que la componen anhelan ser disparadores de futuras investigaciones. Ya dispuestos sobre el amplio terreno del devenir histórico de la filosofía, “El problema de la recepción. Decisión metodológica y compromiso ontológico” intentará mostrar localmente cómo el paso efectuado por Aristóteles tiende a reasegurar la propia estabilización de la indecidibilidad que Platón realizara en la secuencia Diálogos socráticos-Menón-EutidemoRepública-Parménides. Ataca por eso mismo el corazón de la discusión ontológica griega y no puede ser más que un ligero esbozo de un estudio

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algo prematuro. “¿Qué hay del platonismo matemático? Breve historia de un giro que hizo historia” se muestra un tanto más aventurado. A pesar de que intenta describir qué se considera actualmente “platonismo matemático”, su objetivo es dibujar sobre esta descripción el rostro de lo indecidible proyectándolo históricamente como ‘retorno de lo reprimido’. Si lo indecidible del máthema ha sido sofocado desde siempre, una y otra vez, sin cesar –o al menos ese ha sido el incansable trabajo de la tradición metafísica–, el mismo resurgirá, precisamente en el terreno matemático, reformulado a fin de socavar aquello que lo vino a borrar: la intención de dar fundamento.22 Sin embargo, no porque este capítulo contenga el cierre del constructo que he querido desplegar, pierde su temple tentativo. Estoy convencido de la fuerza de la idea y de que no es casual que las matemáticas –y puntualmente ese nivel de las matemáticas que responde al examen de su arquitectura axiomática básica qua fundaciones imprescriptibles– alberguen el renacimiento del peligro de lo indecidible. Todo gesto prospectivo obliga siempre a relocalizar una problemática en función de nuevos puntos de referencia. Eso sucede tanto con la recensión aristotélica como con el debate que los filósofos de las matemáticas han librado durante los siglos diecinueve y veinte. Esta Tൾඋർൾඋൺ ඉൺඋඍൾ adquirirá por ello el título de Pඋඈඒൾർർංඈඇൾඌ y se ligará intencionadamente con los apéndices. Los mismos corren idéntica suerte que aquélla aunque su visibilidad sea mucho más tímida. Justificar acabadamente su inclusión demandaría excesivo tiempo. Sólo cabe dirimir que en los dos casos se trata de la forma peculiar en que dos autores contemporáneos, Heidegger y Badiou, han asumido y discutido algún aspecto de las ‘matemáticas platónicas’. Dado que se puede demostrar la filiación entre el estado de cosas que constituyó el encuentro frontal entre filosofía y matemáticas, por un lado, y la historia misma de esta relación, es que mantendré también que el modo de acercamiento de Heidegger y Badiou al máthema les otorgará, respectivamente, diversas perspectivas de apertura de la filosofía del siglo veinte.23 22 Gobernado quizás hondamente por la intención filosófica básica de “dar razones” [lógos didonai]. 23 Estaba proyectado en la idea original de esta investigación también un apéndice dedicado a la hipotética disputa entre Wittgenstein y Platón en lo concerniente al problema matemático. La diferencia básica sobre la que se estructuraría el mismo era que mientras

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Desde hace mucho tiempo me he sentido sumamente atraído por el pensamiento Platón. Poco puede agregarse a esta afirmación y, por cierto, no pretendo que se me atribuya un ápice de originalidad por ella. A su vez, el gusto por las matemáticas, que ha sido una constante en mis cavilaciones más íntimas, sumado al convencimiento de que éstas cristalizan más de lo que menudo se cree (incluso de lo que los propios matemáticos creen) y que poseen un estrecho vínculo con la filosofía, no hacía más que conducirme lentamente hacia este foco ardoroso del pensamiento que aquí rodeo. El encuentro con el renovado y original desarrollo de Alain Badiou –en especial su curiosa rehabilitación del platonismo y su recurso a la axiomática de Zermelo-Fraenkel– reforzaron la dirección de la travesía. Preparadas las condiciones, faltaba el golpe de asombro que convocaría, siempre desde un azar incalculable, la intuición de un sitio problemático del que puedan sacarse vastas zonas de indagación y sobre las cuales pudiera planificarse algún tipo de edificación teórica. Y fue así como comencé, ataviado con la imagen standard de las matemáticas platónicas24, a buscar ciertos diálogos representativos que coincidieran con tal imagen. Recuerdo que me detuve bastante en República y Timeo. La sorpresa se parecía al escándalo: nada de lo que yo sabía acerca del tema estaba allí. Ni más mínimo rastro de «entes matemáticos» o de «entes intermedios» que garantizaban el paso reglado de lo uno a lo múltiple. Busqué entonces en algunos comentadores que reiteraban dos alternativas: o bien no le otorgaban mucha importancia al problema y se limitaban a reproducir lo que sus predecesores habían dicho, perpetuando el malentendido, o bien sucedía algo más curioso aún: aquellos que se acercaban a dar una versión coherente de las matemáticas en la doctrina platónica apelaban no al texto de Platón sino, curiosamente, al para Wittgenstein la matemática no expresa pensamiento alguno (Wittgenstein, L. Tractatus logicus-philosophicus, proposición 6.21) –concepción que se mantiene en el tiempo pese a ciertas variaciones observables en las Observaciones sobre los fundamentos de las matemáticas, más próximas a las Investigaciones Filosóficas que al Tractatus– las matemáticas para Platón, en cambio, no pueden jamás ser separadas del acto dianoético mismo, traducido a menudo como “pensamiento discursivo”. Ciertamente, la diferencia en el significado que uno u otro pudieran adscribirle a “pensamiento” es difícilmente precisable. No obstante, se trata de un punto de partida cuya potencia resta aún inexplicada. 24 Imagen que sostiene, en síntesis, que Platón postuló un tipo de entidad intermedia, dispuesta entre la eternidad de las Ideas y el devenir al que se hallan sujetas todas las cosas, que correspondía al pensamiento matemático[diánoia].

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de Aristóteles. Estimé que esto representaba suficiente indicador como para querer profundizar en el tema y proseguí con la lectura de los diálogos confirmando la discontinuidad que éstos presentaban respecto de la imagen standard. El resto fue simplemente encontrar el patrón que sí se repetía en los testimonios. Y era que no había patrón. Ninguna línea, salvo el quiebre de la regla, la evasión y el escape, la inaprehensibilidad y una gran dificultad para conciliar no sólo los pasajes entre sí sino también cada uno de ellos con esa versión canónica que yo hubiera aprendido hace algún tiempo. Luego, había que forjar un concepto que: a. Sea transponible a los escritos platónicos. b. Englobe todas las características que aparecían en los pasajes. c. Tolere el cruce de planos; sea lo suficientemente flexible para incluso torcerse sobre sí mismo. Ese concepto es, como puede preverse, el de indecidibilidad. El esfuerzo por instalarlo en un ámbito tan extraño –y a la vez hondamente presente como lo es el que se desprende del nombre “Platón”– quizás engendre la validez de mi trabajo. No puedo dejar de pensar que, a pesar de las innumerables limitaciones que posee –sumo aquí las muchas que percibo y las interminables que no alcanzó divisar–, he permanecido fiel tanto mis intereses cuanto a mi intuición filosófica más instintiva. Quizás no exista otra forma de decir que bajo la doble impronta del deseo y la labor cotidiana por él gobernada.

PRIMERA PARTE

CONDICIONES FORMALES DEL PROBLEMA. HACIA UNA COMPRENSIÓN SINGULAR DEL MISMO

DETERMINACIÓN DEL CONCEPTO DE «INDECIDIBILIDAD»

La noción de indecidibilidad es menos un artilugio retórico que el nudo que articula mi hipótesis. El máthema instala en la filosofía [de Platón] lo indecidible mismo. Quienes se hayan familiarizado con algunos textos del siglo veinte pertenecientes a la tradición continental, podrían pensar de inmediato que se trata de algún nuevo intento antifundacionalista y «posmoderno» de echar a rodar lo paradójico en el marco de la filosofía platónica. Y aunque no pretendo esconder la impronta de algunas intuiciones derrideanas25, mi intención se aleja de ellas cuando 25

Ciertamente, la consideración que hace Jacques Derrida de la letra matemática merecería una mayor atención de la que puedo le he brindado en estas páginas. Menos por la atención directa que le otorga que por lo que se deja entrever en páginas aisladas de su obra capital De la Gramatología (podría considerarse también el tratamiento que hace del tema en la Introducción a «El origen de la geometría» de Husserl pero en esa instancia la cuestión no alcanza el carácter sinóptico que se observa en De la Gramatología). Allí condensa la idea de que las matemáticas poseen un origen y un soporte por sí mismo subversivo que las liga indefectiblemente a lo indecidible [indécidable]. Resulta lamentable que no extraiga más consecuencias de esta intuición. Sólo por mencionar algunos ejemplos refiero aquí algunos pasajes. “Ya hicimos alusión a la matemática teórica: su escritura, ya se la entienda como grafía sensible (y esto supone ya una identidad, por tanto una idealidad de su forma, lo que en principio vuelve absurda la noción tan corrientemente admitida de “significante sensible”), como síntesis ideal de los significados, como huella operatoria a un nivel distinto o, inclusive, más profundamente, que se la entienda como el pasaje de unos a otros, nunca estuvo ligada a una producción fonética” en Derrida, J. De la Gramatología, Siglo XXI editores, México, 1998, p.17. (Dónde ‘producción

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evita la sumisión del pensamiento a una diferencia maniática donde el lenguaje mismo es síntoma de indecidibilidad. El contraste capital entre esa perspectiva francesa y mi recensión está en una voluntad sistemática algo obsesionada con el cuidado de la lejana lengua griega26, por no menfonética’ indica para Derrida el statu quo dominado por el ejercicio falologocéntrico); “Pero por importante que sea, y aunque sea universal o esté llamado a serlo, este modelo particular que es la escritura fonética no existe: nunca ha existido una práctica que fuese puramente fiel a su principio. Incluso antes de hablar, como lo haremos más adelante, de una infidelidad radical y necesaria a priori, pueden ya señalarse fenómenos masivos en la escritura matemática o en la puntuación, en el espaciamiento en general, que son difíciles de considerar como simples accesorios de la escritura”. Ibíd., p. 52. Y acto seguido comenta: “El simbolismo vacío de la notación escrita –por ejemplo el de la técnica matemática– es también para el intuicionismo husserliano lo que nos exilia lejos de la evidencia clara del sentido, vale decir de la presencia plena del significado en su verdad y abre así la posibilidad de la crisis”. Ibíd., p. 52. Cfr. también pp. 344, 354 y 359. 26 Por todo esto, aunque haya señalado en la advertencia preliminar ciertas reservas básicas en relación con cierta tradición hermenéutica, no dejaré de sustentar mi estudio en los comentarios e introducciones que eruditos han hecho sobre el tema. No puedo dejar de declararme deudor en una primera aproximación a la filosofía de Platón de algunos famosos intérpretes contemporáneos. Por el lado de la Escuela de Tubinga-Milán, debo mencionar: Slezak, T. Leer a Platón, Alianza, Madrid, 1997; Gaiser, K. Platone come scrittore filosofico; saggi sull’ermeneutica dei dialoghi platonici, Bibliopolis, Napoli, 1984; Krämer, H. Platón y los fundamentos de la Metafísica, Monte Ávila, Caracas, 1996 y Reale, G. Por una nueva interpretación de Platón, Herder, Barcelona, 2003. Para un lego como yo nunca deja de ser sumamente útil la Historia de la Filosofía Griega de Guthrie (Guthrie, W.K.C. Historia de la filosofía griega, Gredos, Madrid, 1992), sobre todo en lo concerniente a la ubicación de los diálogos y su contextualización respecto de la cronología absoluta. He recurrido, a su vez, a dos libros canónicos que me han servido –cada uno a su modo– a sumergirme en el mundo platónico. Me refiero, en primer lugar a la Paideia de Jaeger (Jaeger, W. Paideia: Los ideales de la cultura griega, FCE, México, 1984) de donde he extraído algunas consideraciones relevantes respecto de la noción de paideia –el rango y alcance de la misma– como así también del mundo preplatónico y aquél que le tocó habitar y construir al filósofo. A su vez, he localizado en otro de sus libros (Jaeger, W. La teología de los primeros filósofos griegos, FCE, México, 1993) ciertas notas centrales sobre el poema de Parménides que han servido a mi investigación. En segundo lugar, no puedo dejar de nombrar el emblématico Plato de A.E. Taylor (Taylor, A.E. Plato: the man and his work, Methuen, Londres, 1948). Si bien aparece como un tanto desactualizado, su planteo del problema matemático no deja de ser muy importante. Siguiendo el lado de la filosofía de linaje anglosajón, me han sido de suma utilidad algunos artículos del Cambridge Companion to Plato, Richard Kraut ed., Cambridge University Press, 1992. (En especial “Mathematical method and philosophical truth” de Ian Mueller [pp. 170-199]) Finalmente, ya en una tradición que se aleja un tanto del ideal de la preocupación exegética ceñida al texto platónico, quisiera indicar dos libros

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cionar la vocación por forjar un encadenamiento argumental consistente y visible. La parte central de esta tesis (Aඇගඅංඌංඌ ൽൾඅ ർൺඋගർඍൾඋ ඈඇඍඈඅඬ඀ංർඈ ൽൾ අൺඌ ආൺඍൾආගඍංർൺඌ ൺ ඉൺඋඍංඋ ൽൾ අൺ ඉඋൾඌൾඇඍൺർංඬඇ ൾൿൾർඍඎൺൽൺ ൾඇ අඈඌ ൽංගඅඈ඀ඈඌ), concentrando esa voluntad, deberá atravesar la «extrañeza» que provoca la lengua de Platón, tan ajena en su construcción sintáctica como en el mundo que ella proporciona. Es a través de los célebres teoremas de Gödel que se introduce por vez primera el concepto de indecidibilidad desde un punto de vista técnico. En su artículo de 1931 intitulado “Sobre sentencias formalmente indecidibles de ‘Principia Matemática’ y sistemas afines”27,Kurt Gödel demuestra que, en cualquier sistema axiomático, siempre existirá alguna proposición verdadera que no sea ni demostrable ni indemostrable a partir de dichos axiomas. El término “proposiciones indecidibles” se refiere entonces a sentencias que no pueden derivadas sin incluir su negación dentro de un sistema axiomático formal dado. La publicación de este texto generó importantes repercusiones no sólo en la producción lógicomatemática sino también en el área de filosofía de las matemáticas, provocando debates y reestructuraciones que continúan hasta nuestros días28 , incluida la trasposición del concepto a otros campos especulativos. En rigor, su sitio de emergencia se encuentra en el límite entre las matemáticas y otros regímenes discursivos o, quizás más precisamente, en las mismas barreras que encuentra el lenguaje matemático para hablar acerca de sí mismo.29 Este aspecto, que se encontrará en numerosas paque me han servido de referencia: Goldschmidt, V. Platonisme et pensée contemporaine, Vrin, Paris, 1970 y Hyland, D. Questioning Platonism. Continental Interpretations of Plato, State University of New York Press, Albany, 2004. 27 Gödel, K. Sobre sentencias formalmente indecidibles de ‘Principia Matemática’ y sistemas afines, Teorema, Valencia, 1980. Por lo demás, suele ser recomendable para una primera aproximación la versión canónica expuesta en Nagel, E. y Newman, J.R. El teorema de Gödel, Tecnos, Madrid, 2005. 28 Una buena recensión de las consecuencias inmediatas del teorema está en Lucas, J.R. The conceptual roots of mathematics: An essay on the philosophy of mathematics, específicamente el capítulo VIII “The implication of Gödel’s theorem”. Hay también innumerables derivaciones mediatas aplicadas a otros campos del conocimiento de las que poco sentido tendría hablar aquí. Por lo demás, profundizaré algunas de las intuiciones básicas de este teorema en el segundo capítulo de la tercera parte “Platonismo matemático. Breve historia de un giro que hizo historia”. 29 El punto de partida para esta reflexión está dado por el mismo Gödel en su artículo de 1933 “The present situation in the foundation of mathematics” [“La situación presente

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radojas de la matemática moderna –y que depende de un clásico recurso a la autorreferencialidad–, no deja de ser un operador primario de la instauración de lo indecidible en el texto platónico. ¿Por qué entonces el corte, la cesura y la concentración en ese terreno limítrofe? Quizás porque existe una filiación histórica –muy curiosa por cierto– entre la aparición de lo indecidible mediante el máthema griego y su instalación conceptual definitiva en el siglo XX. Mientras que en la época platónica las matemáticas instalan lo indecidible en el seno de la filosofía a causa de su extranjería radical –donde lo indecidible, pongámoslo de este modo, nace como la dialectización entre filosofía y matemáticas–, en el siglo pasado la indecidibilidad hallada en proposiciones matemáticas alcanzó a independizarse como noción filosófica y, mediante un proceso análogo, ha producido fuertes conmociones en todo el terreno teórico. Habrá que proceder con cuidado. Y para ello es necesario distinguir entre una noción “intuitiva” de indecidibilidad y otra más técnica. Aunque ambas están emparentadas, no responden a las mismas exigencias y requieren de cierta elucidación previa. En un sentido exterior, indecidible es la suspensión súbita y obligada de la elección respecto de dos o más alternativas incompatibles entre sí, por falta de razones para cualquier elección. Lo indecidible instala dentro de un horizonte de realidad (las opciones hasta ese momento viables) un elemento suplementario, extraño y perturbador para la lógica de determinada situación. Luego de un intervalo de tiempo, la indecidibilidad puede resolverse en función de una elección deliberada de algún agente individual o colectivo. No obstante, tiende a reaparecer indefectiblemente. Cumple un efecto de propagación tan increíble que, pese a poder ser subsanada en alguna instancia, se sobrepone retornando con plena soberanía. De hecho, en el campo matemático, la radicalidad de la prueba de Gödel estaba menos en el descubrimiento de sentencias formalmente indecidibles que en la garantía de que, dado cualquier sistema axiomático deductivo, incluso cualquiera que haya sido ya modificado ante la presencia de tales sentencias, siempre será posible mostrar la verdad de alguna proposición indecidible en él. en los fundamentos de las matemáticas”]. Hay traducción castellana en sección ‘Historia’ de La Gaceta de la RSME, Vol. 9.3, 2006, pp. 761-788].

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Es un concepto construido a partir de una privación (la no decidibilidad). Se trata de una noción negativa. Sin embargo, casi toda mi labor se consagra a una definición positiva de lo que aquí se presenta como sustraído. Captar el movimiento en su pura prospección, en su crecimiento y potencia. Porque la inscripción del máthema entre proposiciones filosóficas, aunque grave y violenta, perfila una edificación, una suerte de proto-fundación, donde se torna necesario a un mismo tiempo la superación de lo que ya estaba dado y la elevación de una nueva estructura. Platón es la clavija que abre y cierra Occidente así como el máthema es condición necesaria mas no suficiente para esa apertura. Una imagen del trabajo humano es perfecta: levantar cualquier construcción requiere de la previa conformación de los cimientos y éstos, a su vez, necesitan de la excavación del terreno. Las matemáticas serán para la filosofía tanto el acto de barrer con la tierra como el de emplazar en esta hendidura el plano, el diseño, de lo que será la verdadera obra visible. Quita y edificación; dinámica de sustracción y fijación de un vacío primordial en cuya superficie se distribuyen las marcas de lo que podrá asirse, eso hace el máthema. Su positividad queda ciertamente restringida a este doble movimiento, pero no deja de insistir ahí donde se piensa que ha desaparecido por completo. Siempre hay un vocablo dispuesto a recordar que el máthema vive y brota incesantemente. Esos términos son variables y derivan de un sistema de relevos, de sucesiones azarosas que alcanzan a trazar su perímetro y a ofrecérnoslo como algo existente30. La noción “intuitiva” de indecidibilidad –que ancla en su demostración formal– señala que dados dos conjuntos definidos por propiedades diferentes, no se puede saber si el máthema pertenece con exclusividad 30 La secuencia infinita que exige el máthema como operador diferencial –como marca de la diferencia– y que impide la localización de un status ontológico definido para el mismo, posee como característica secundaria una serie de señalamientos lingüísticos dispersos por el texto platónico que dan cuenta de esta inaprehensibilidad e inestabilidad esencial. Sólo por mencionar los más relevantes, habría que reparar en: poreouménê (Rep. 510b): “travesía, tránsito”; aptéon (Rep. 525b6): “emerger, escapar”; hyperphyôs (Rep. 525b2): “de modo extraordinario, maravillosamente”; oneiróttousi (Rep. 533b9): “entre sueños”; ónar ápti (Men. 85c12): “justo como en un sueño”; anóetoi eisin (Eutid. 290b7): “[riesgo] de perder la cabeza”; tís mechanèe tèn toiaútên homologían potè epistémên genésthai; (Rep. 533c6): “¿Qué articifio convertirá semejante encadenamiento en ciencia?”; ta loipá […] diexióntes (Rep. 510c9): “atraviesan el resto” (Desde la firmeza de los supuestos hacia la estabilidad de la conclusión). [VER ESQUEMA B]

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a uno de los dos polos de la tensión (a uno de los dos conjuntos) porque: (a) si pertenece a un conjunto pertenece al otro; (b) se distingue simultáneamente de ambos. Hay algo de básico en esta idea, algo sumamente necesario para una comprensión cabal del fenómeno, que se enuncia así: la indecidibilidad depende, forzosamente, de un momento de indiscernibilidad. Sucede que cuando no es posible decidir –lo que podría pensarse no ya en un plano formal sino también en uno subjetivo– convoca en un comienzo la indistinción entre las alternativas seleccionables, su profunda confusión. El propio teorema de Gödel requiere de la indiscernibilidad sintáctico-semántica entre el nivel matemático (aritmético) y el metamatemático para que la indecidibilidad pueda presentarse. El máthema se debate entre oralidad y escritura, lógos y álogos, Ideas y cosas. Esto significa que no termina por acomodarse dócil y exclusivamente sobre alguna categoría. Así, por ejemplo, posee un aspecto que lo obliga a ser escrito a la vez que tiende a escapar del registro sensible y permanecer en la inteligibilidad que caracteriza al discurso oral para Platón. En este caso, como también en el que se observará acerca del par lógos/álogos, opera de fondo una especie de indiscernibilidad parcial que permite la coexistencia de ambos rasgos en el máthema. De ello da cuenta también el carácter intermedio del mismo en el que ahondaré enseguida. Algo distinto sucede con el par Ideas y cosas, donde el máthema ejercerá su potencia diferenciante, al igual que cuando queda posicionado como dispositivo de ruptura con la pólis democrática: no es la democracia (se opone a ella), pero tampoco es un sistema posterior claramente definido. En este caso, tomará su carácter indecidible en la medida en que no es propiamente elemento de ninguno de los dos conjuntos y sin embargo está constreñido a permanecer en continua conexión disruptiva con ambos. En el marco de esta perspectiva “intuitiva” de la indecidibilidad, ensayaré algunas variaciones. Sin embargo, deberá retenerse que lo indecidible no es propiamente lo que intenta caracterizarse en esta tesis, sino más bien el presupuesto básico que llega para habitar la hipótesis e ir ganando cuerpo con el correr de la exposición. Se trata de un concepto irreemplazable que nace con el comienzo de estas palabras y que pretende subsistir más allá de ellas. El máthema es el nombre de esta continuidad. Lo indecidible es sólo su reverso necesario. Variaciones:

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A. En la medida en que se intenta una delimitación del concepto en el contexto griego y en su lenguaje, la primera detención obligada está en el término lógos. En su inabarcable semántica, pueden encontrarse dos niveles de indecidibilidad: 1. En primera instancia, lógos presenta desde su significación tanto la palabra como la proporción, el orden y la razón. El discurso acerca de las cosas y las cosas mismas poseen caracteres comunes que son captados por este lógos. No hay dos momentos ni dos entidades discretas: lenguaje y mundo. Sencillamente, lógos compromete al mismo tiempo lo que se dice y escribe junto con lo que hay en el mundo, prescindiendo de una falsa separación entre la representación y la cosa, entre sujeto y objeto. Más aún: lógos es el gesto declarativo que identifica arkhée y phýsis, por lo que sería absurdo intentar identificarlo con un simple discurso significante que refiere a unas cosas dispersas en el mundo. Este es el opaco motivo por el cual las matemáticas en tanto pensamiento deberían faltar al debate epistemológico contemporáneo. Y es el primer nivel de indecidibilidad del lógos, el que afectará finalmente a las matemáticas. Poco puede decirse acerca de si las matemáticas “ex-isten” en el universo para ser descubiertas por una facultad mental y condensadas en un procedimiento discursivo o, por el contrario, son sólo una “invención” humana que a posteriori se aplica a la naturaleza. No tendría sentido alguno. Por eso la presente investigación evita también al debate actual de la filosofía de las matemáticas entre realismo y antirrealismo. La indecidibilidad ante una bifurcación que exige elegir entre “entes matemáticos allí disponibles” y “meras intuiciones o nombres similares a flatus vocis” responde en cierta medida al defasaje metodológico que proviene de querer precisar el carácter de las matemáticas griegas, a partir de un desplazamiento “fuera” del contenido semántico del lógos. Efectivamente, nadie mantuvo mejor que los filósofos antiguos ciertos compromisos metafísicos originarios, pero eso no debería ser leído desde una óptica extraña al gesto fundador, al menos si se intenta comprender el espíritu de dichos compromisos. Y todo ello también en la medida en que el lógos es lo que “liga”

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bajo signo de la simultaneidad31 discurso y mundo, proporción del discurso y proporción de las cosas, vinculadas y producidas por su propio funcionamiento. En su seno impide la disolución –que por lo demás resuena como artificiosa y aparente– de este doble aspecto de las matemáticas. 2. El segundo nivel presupone el primero y se pliega a él, aun si no coinciden exactamente. Puesto que lógos era la expresión de un vínculo entre arkhée y phýsis y a la vez proporción, medida, orden, las matemáticas encuentran allí algún tipo de resonancia. El lógos perfila aquello que significa tà mathematiká. Ellas podrían recortarse como un subconjunto de la vastísima semántica de lógos. En efecto, tà mathematiká asume: (a) Su ser como discurso, palabra, lo que se dice de algo, lo que se dice efectuando algo o actualizándolo. El máthema resta indecidible entre la exposición al plano del lenguaje y su máxima aparición en el mundo de las cosas. Y esto en el proceso de re-creación de los entes matemáticos, una y otra vez, sin cesar, por parte de la instauración disruptiva de “un nuevo tipo de discurso” que “dice en symmetría la belleza de la Idea” y logra sustraerse a toda equivocidad de la opinión. (b) El motivo profundo de su existencia como fijación de ciertas características que pertenecen en rigor a las Ideas, que son en sí mismas “aspectos”. La producción de lo matemático responde, según el modo que sugiere el símil de la línea dividida, a la mera aprehensión de rasgos capitales del paradigma. En particular, se trata de la proporción, la medida y la simetría. Fueren lo que fueren los «objetos ideales» matemáticos, ellos conservan y sólo se dedican a conservar –desde el punto de vista ontológico– la medida, la proporción y la simetría que guardan las Ideas entre sí y cada una consigo misma. Son un reaseguro de la identidad, una garantía susceptible de ser trabajada mentalmente (gracias a una operación dianoética) o de ser dibujada sin 31 Cfr. Heidegger, M. Conferencias y artículos, Serbal, Barcelona, 1994, pp. 179-199. Allí dice el autor: “Decir es un dejar-estar-delante-junto que, reunido, reúne”.

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más en la tierra (recurso a esquemas sensibles). Es la forma precisa en que tà mathematiká conforma el subconjunto más representativo de la semántica del lógos: anuda y explicita la significación metrética y proporcional que éste posee desde siempre. El máthema separa estas propiedades y las condensa en un nuevo ámbito intermedio. El rigor que imponen la proporción y la armonía a cada parte del todo [hólon] consigo misma y con las demás, reproduce también el canon de belleza clásico32. Es por eso que Aristóteles puede decir que “las formas más elevadas de lo bello son el orden, la simetría y lo definido y es ahí, sobre todo, donde aparecen las ciencias matemáticas” o “lo bello es el objeto principal de las demostraciones matemáticas”33. Es, de la misma manera, lo que permite que en la actualidad la belleza de las pruebas matemáticas –su simpleza y pulcritud– sea uno de sus criterios de validación. En el preciso acto de fijación, las matemáticas se sustraen a la posibilidad de ser ellas mismas captadas de forma absoluta, sea desde «dentro» del discurso matemático –lo que está prohibido por definición, puesto que el matemático es aquel que opera según ciertas reglas sin saber exactamente en qué se fundan–34, sea desde «fuera» del mismo, pues incluso el dialéctico no puede aseverar ni garantizar la existencia discreta de entes matemáticos. Este problema no es de su interés y tampoco de su campo inmediato de competencia: el dialéctico está más preocupado por la verdad que por la belleza y el máthema, entendido como acto que recorta de la contemplación las propiedades de medida, proporción y simetría, desaparece en su propia efectuación y se condensa, finalmente, en el discurso. La tentación de identificarlo con el hiato mínimo que se produce en ese instante de fijación es grande. Pero las matemáticas involucran todo el proceso (captación-sustracción-localización retroactiva en el lenguaje) que permanece inscripto singularmente en el discurso y que reconduce la potencia del lógos hacia su sitio preciso, haciendo emerger 32 Cfr. Reale, G. Por una nueva interpretación de Platón, Apéndice al capítulo décimo “Los vínculos entre medida, relaciones numéricas, figura y belleza en el arte griego”, Herder, 2003. 33 Aristóteles, 1078b. 34 Cfr. República, 510b; 527a.

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otro nivel de lo indecidible sobre sí. No será posible ubicar a las matemáticas junto a las Ideas ni tampoco con la mera visibilidad del orden que éstas prescriben. Este desajuste es la causa de que pueda establecerse este registro de lo indecidible sobre el plano del lenguaje. B. Una segunda nota de la indecidibilidad que, sin dejar de visitar la cuestión de la lengua anuncia una nueva dimensión de análisis, responde a la definición formal dada más arriba. Las matemáticas han instalado en el seno de la historia de la filosofía un elemento extraño. Si bien es cierto que el establecimiento de los principios lógicos básicos proviene de Parménides, lo que sucede en el caso platónico es por completo distinto. En su célebre poema, Parménides entrelaza pensamiento racional y fuerza emotiva explicitando los principios lógicos que prescriben lo que puede pensarse sobre el ser. En la efectuación pura del poema, la lógica clásica parece dar sus primeros pasos en el marco de una lengua cara a la pedagogía poética del siglo VI y V a.C. Hay un equilibrio, una tensión irresoluble, que ve despuntar el carácter racional de la filosofía griega. Con Platón parecería ser diferente. La introducción «desde el exterior» de un dispositivo que es diverso del estrictamente filosófico (siendo ello comprendido por el propio Platón), marca la pauta de la aparición de un saber suplementario, marginal hasta el momento, que viene a disputarle el centro de la escena a lo cotidiano de la ciudad. La independencia de ese nuevo dispositivo, la separabilidad de su funcionamiento respecto de la situación (i.e. la disputa entre epistéme y doxa), la alteridad radical que plantea en relación con los dispositivos discursivos hasta entonces conocidos, garantizan la instalación de un complejo indecidible. Cuando Platón pone la dialéctica bajo condición matemática, no hace más que articular jerárquicamente. Se ha generado una suerte de invaginación forzada, necesariamente violenta, que no agrada ni a filósofos ni a matemáticos: los unos tienden a la contemplación general sin involucrarse –según el paradigma de la epistéme theoretiké– en los asuntos cotidianos; los otros son técnicos que nada saben sobre los fundamentos de su saber. La delicada torsión exige una pérdida por parte de ambos, por lo que, en adelante, el filósofo estará supeditado al aprendizaje de una ciencia que no le es propia, y cuyas reglas deberá seguir. No hay otro camino para la verdadera filosofía. Por contrapartida, el matemático encuentra su límite allí donde toma la posta el filósofo, pues no sabe, ni podrá saber jamás, lo que opera “detrás” de sus razonamientos. Ellos se desenvuelven mientras

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el principio de consistencia que los gobierna late siempre invisible. Si el matemático se dedicara a evaluar sus presupuestos epistémicos, dejaría de hacer matemáticas; esa es su condena. He ahí todo un instante de aparición política de lo indecidible. Platón cerca el conocimiento de la verdad con el conocimiento de los números, las superficies y los volúmenes. Y ante esa novedad, ante lo que en definitiva no es más que su proyecto político-pedagógico, se produce una interrupción instantánea del juicio. Previo a su restablecimiento, se da un momento de inestabilidad que no puede disimularse más que al precio de dar por supuesta cierta homogeneidad entre matemáticas y filosofía. La interrupción del triplete doxa/tragedia/sofística es posible precisamente gracias a este hiato mínimo que moviliza lo dado, introduciendo «desde fuera» lo extraño y obligando a la demora. La apháiresis es la abstracción que tanto acompaña al pensamiento matemático, y que significa también eso: sustracción, retiro, eliminación de cualidades sensibles inmediatas. Precisamente eso es lo que logra en una primera instancia la seducción entre filosofía y máthema, y también lo que obliga a la detención de una lógica. La clave está en la inscripción en el frontispicio de la Academia: «Que no entre aquí quien no sea geómetra» quiere decir «Aquí comienza sin más y originalmente una nueva posibilidad. Se deberá decidir» Lo indecidible se decide en los diálogos. Se solicita una decisión. Del mismo modo que se entra a la Academia, las matemáticas quedan suturadas y fundamentadas por la dialéctica tal y como se esforzará por transmitir la República.35 No obstante ello, la clave está en captar el momento exiguo en que el máthema surge para desestructurar lo reglado. El «entredós» que media estados de cosas diferentes: uno concreto e histórico, el otro sugerido e ideal. En esa captación se juega la potencia de la indecidibilidad ya no semiológica del máthema, ni ontológica en un sentido estricto, sino más bien política. La indecidibilidad es el nombre de la implosión de un régimen y su pedido de sustitución por otro mientras se está suspendido entre ambos. C. Una tercera dimensión pertenece al registro topológico, es decir, a la disposición «espacial» que adquieren las matemáticas en el esquema 35 Me dedico extensamente a esta cuestión en el capítulo tercero de la segunda parte, intitulado “Matemáticas y dialéctica”. Por el momento, basta con señalar que la articulación en el célebre símil de la línea dividida de República 509d y también, en perspectiva genética de la obra platónica, en la secuencia Diálogos socráticos-Menón-Eutidemo-República.

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onto-epistémico de Platón. Depende del ámbito semiológico iniciado por lógos y del mecanismo político de institución propiciado por las matemáticas. El concepto central aquí es el de tò metaxý. La traducción habitual de dicho término es “lo intermedio”: las matemáticas, al igual que (a) el amor [éros], (b) la amistad [philía], (c) el deseo [epithymía] y (d) el filósofo, son designadas como tò metaxý, pertenecen a un sitio intermedio que no logra identificarse con las Ideas pero que tampoco puede reducirse a la multiplicidad de lo sensible. “Lo intermedio” se define por la errancia, por lo que pueden igualarse ese Amor –hijo de Poros y Penía, la Carencia y la Abundancia, que siempre desea, que nunca deja de moverse, que jamás alcanza la plenitud– con el filósofo que busca la eternidad de la Idea pero que no encuentra en sí mismo su objeto de deseo: el filósofo es un hombre, un alma caída, un muerto en la ciudad. Metaxý articula y reúne dos aspectos radicalmente diversos. Así lo indica Aristóteles: “Y hay que investigar también necesariamente lo siguiente, si hay que afirmar que sólo hay sustancias sensibles o también hay otras aparte de estas y si es único o son muchos los géneros de sustancias, por ejemplo tal cual sostienen quienes hacen las especies y las cosas matemáticas como intermedias entre éstas y las cosas sensibles”36. La disposición establecida por el estagirita depende de la doble participación en la eternidad y en lo plural; conceptos que, dicho sea de paso, no son opuestos ni antagónicos desde una perspectiva ontológica. Para lograr un efecto de oposición debería reconducirse “plural” a “perecedero” o “corruptible”, o bien “eterno” a “uno”. La mediación es entonces una suerte de transición que va desde lo eterno hacia lo que deviene y es múltiple. La encrucijada impide pronunciarse acerca de la existencia o inexistencia de entes matemáticos independientes de la operación dianoética. Sin embargo, ya en el símil de la línea dividida las matemáticas aparecen como lo que separa la pístis (creencia) de la noêsis (intelección), incluso siendo la única partición de la línea que no pareciera tener un objeto propio determinable. Tò metaxý es menos una colección de objetos que poseerían la propiedad de “ser intermedios” que la palabra que designa

36

Aristóteles, Metafísica, 995b13.

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un gesto, un movimiento de introducción en medio de dos instancias. Por eso Platón lo utiliza para calificar la diánoia.37 Existe un significado a menudo olvidado de tò metaxý, mucho menos frecuente, y es el que podría traducirse por “durante” o “mientras tanto”. Abre un segundo sentido –temporal éste– labrador de un horizonte insospechado en la cuestión de la indecidibilidad. La noción de intermediación hasta aquí trabajada obedece a un mapeo topológico y la dirección del análisis está dada por la localización de las matemáticas en función del par dialéctica/creencia y su aparición como defecto respecto de la una y exceso respecto de la otra. Hay allí una delimitación del espacio propio que le pertenece al matemático. El espacio y el tiempo organizan a priori series diferentes: al espacio le corresponde la coexistencia de los elementos componentes mientras que al tiempo le compete la sucesión y la sustitución continua de un elemento por otro. La posibilidad de un sentido temporal de tò metaxý remite a la simultaneidad: dos o más eventos que se dan en un mismo tiempo y con cierta comunidad de origen. Pero ¿simultaneidad de qué? ¿Qué se efectúa al mismo tiempo? ¿Qué es lo que se da allí, que cosas comparten –o incluso componen– un instante? Si se dijo que el tiempo efectivo depende de la sucesión, la simultaneidad es la anulación exacta del mismo. De ahí que suscribiendo a la serie temporal, si se observa con cuidado, el tiempo quedaría anegado en una espacialización de lo que habita simultáneamente, de lo que construye una coexistencia localizable. Esa es la razón por la cual tò metaxý anuda el campo temporal y espacial de su significación. Indisolubles ambas direcciones, resta indagar qué es lo que indica esta simultaneidad de “lo intermedio”. Por un lado, el “durante” sostiene la conjunción de dos rasgos extraños entre sí, la concurrencia de dos o más componentes. Más aún: dice que esta concurrencia es necesaria e insuperable pues no hay “durante” sin la pluralidad equilibrada. Metaxý obliga a la presencia mutua de los componentes. Por otra parte, la indecidibilidad que el máthema presenta es precisamente una muestra de su carácter metaxý, como discurso que actualiza sus objetos en cada proferencia, como armonía captada de las formas y resuelta en el lenguaje, como disrupción política. Cada vez aparece indicada la mutua génesis de dos alternativas, su duración si37

Platón, República, 511.

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multánea luego de un advenimiento inesperado y el deseo –infinito– de la decisión. Este deslumbrante cariz de lo “intermedio” es el que recoge retroactivamente el total de la indecidibilidad y lo pone a jugar en una arquitectura meta-física. En suma, indecidibilidad es aquí el nombre para lo que constriñe a la suspensión del juicio pero porque condensa el ahuecamiento mismo de toda lógica y de toda entidad determinable. El elemento matemático viene a instalarse en medio del discurso filosófico desde la extranjería, llegando tan de súbito que no hay más concepto para designarlo que aquél que conjuga la sustracción y la positividad de lo que permanece tenso. Se tiene entonces: 1. La indecidibilidad de la lengua. (a) No es posible ubicar el máthema como un mero predicado ni tampoco como entidad discreta e independientes del lenguaje que las actualiza. (b) Ya inscriptos en la inmensa semántica de lógos, el máthema intenta encarnarse en significantes como proporción, medida, razón, etc. En este caso, la indecidibilidad se produce entre la existencia plena, adquirida por propio derecho, y su simple aparecer como efecto residual y secundario de un proceso lógico de captación de la Idea. 2. Indecidibilidad política. El máthema es lo que suspende el régimen democrático que defienden sofistas y trágicos, pero es lo que no termina de pronunciar su positividad respecto de la ciudad ideal. 3. Indecidibilidad topológica y temporal que anuda los puntos anteriores y que es señalada aquí porque Platón mismo se encarga de establecer que las matemáticas son tò metaxý en el sentido de la mediación espacial y temporal. La estructura binaria que tò metaxý supone manifiesta que las matemáticas no acaban de resolver los propios ambages de su elaboración efectiva. Existe en los diálogos, además, una tendencia a ligar las matemáticas con expresiones que den cuenta de la complejidad de lo indecidible, constituyéndose un sistema de marcas que testifican el paso del máthema. Así, en República 525b6 se recurre a “aptéon” que suele traducirse por “emerger”, o a veces por “escapar”, intentando mostrar cómo es que las matemáticas evaden el ámbito de lo sensible, al indicar un movimiento de huida, raudo y precipitado. El máthema obtiene parte de su

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relevancia en esta potencia de abandono del sitio previamente asignado. En 510b8 se apela a poreuomenê (“tránsito”, “travesía”) para describir el movimiento típicamente dianoético. Por otra parte, en 525b2 se dice que “el arte de calcular y la aritmética” […] “conducen a la verdad” y lo hacen de “forma maravillosa”. Esta última construcción corresponde al griego hyperphyôs. Un recurso habitual de Platón para referirse a algún concepto cuyo contorno es dudoso, difuso y difícil de aprehender es adscribirle cierto carácter onírico. En lo tocante al máthema lo vemos empleado dos veces. En República 533b9 oneirôttousi38 se vierte por “como en sueños” luego de decir que “las matemáticas captan algo de lo que es” para finalizar advirtiendo que “es imposible ver con ellas en estado de vigilia [hýpar]” y en Menón 85c12 aparecen también “como en sueños” [ósper ónar] tras la dificultosa remembranza del esclavo. En la misma línea del riesgo de la indecidibilidad –y de la fundación de la diferencia– que instaura el máthema, Platón advierte en Eutidemo 290b7 que el mismo trae el riesgo de “perder la cabeza” [anoétoi eisin]. Se asiste menos a un desajuste casual de cada ocurrencia del máthema que a un isomorfismo. Su ley reza que siempre faltará al lugar donde se pretenda anticiparlo. Pero también existe una definición más técnica y ajustada de indecidibilidad. La misma abreva sin dudas en ese complejo ámbito de la indecidibilidad “intuitiva” (quizás demostrarlo sea el esfuerzo de mi investigación) pero se encuentra en el centro de los desarrollos de Gödel. No reproduciré aquí sus pruebas que, aunque no exentas de dificultad, podrían ser seguidas paso a paso por el lector. Sencillamente, me limitaré a recurrir a algunas de sus consecuencias primordiales a fin de indicar el sentido en el que puede pensarse aquí la indecidibilidad. 38

Oneirôttousi proviene de oneirússô que, además de “soñar”, puede significar “tener una polución nocturna”, “una emisión de semen cuando se duerme”. Parte del supuesto de fondo que operará en mi tesis indica que la inestabilidad del máthema intentó ser sofocada por la tradición y que resurgió a principios del siglo veinte con el teorema de Gödel. De ahí que no sea en absoluto descabellado conducir la semántica de oneirússô hacia eso «reprimido» que retorna en sueños como en forma de polución involuntaria. Por lo demás, el proceso de estabilización que depende de la definición de la dialéctica queda declarado por República 533c7: “Por consiguiente, el método dialéctico […] es el único que marcha cancelando supuestos, hasta el principio mismo, a fin de consolidarse allí [ína bebaióstetai]”.

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En esencia, Gödel mostró, por un lado, cómo construir una formula autorreferencial en el lenguaje de un sistema dado que sostuviera que ella misma no era demostrable (fórmula G). Asimismo, verificó que esa fórmula es demostrable en el sistema dado si, y sólo si, era demostrable su negación formal, con lo que, si se intentaba preservar la consistencia del sistema, la fórmula resultaba formalmente indecidible. Como una última etapa de su primer teorema mostró que la formula construida es verdadera. En consecuencia, si la fórmula en cuestión es verdadera y simultáneamente indecidible, los axiomas del sistema –en el caso de Gödel los de la aritmética– adolecen de incompletud. Potenció aún más este primer paso topándose con uno de los más impactantes desarrollos de la matemática moderna: demostró cómo construir una fórmula aritmética que condensara la proposición metamatemática “La aritmética es consistente”. Sea esta proposición C. Demostró que la fórmula ‘C, sí y sólo sí, G’ es formalmente demostrable, por lo que se sigue que la consistencia de la aritmética no puede ser probada por un razonamiento representable en el cálculo aritmético mismo. Con toda evidencia constituiría un desatino trasponer sin más este esquema al que intento despejar en la filosofía de Platón. No obstante, es posible llevar como ejercicio especulativo, con algún esfuerzo, su verdad hacia lo que sucede con la proto-instalación de lo indecidible a través de las matemáticas griegas. Pero ¿qué autoriza a este movimiento? Que, en esencia, lo que Gödel indaga son los fundamentos de las matemáticas, el linde que las separa y a la vez vincula con lo que éstas no son, la radicalidad de su origen arbitrario. Este terreno está claramente presente en el desarrollo platónico. Aún cuando no es de su interés un escrutinio técnico que saque a la luz lo real de dicha estructura, sí hay en sus páginas algunas características que han permanecido invariables: axiomas, reglas y deducción. Gödel manipula los recursos lógicos y matemáticos con los que cuenta a fin de denunciar la falla inscripta desde siempre en el máthema, mientras que Platón no hace sino describirla fugazmente, a tientas, de modo lateral y secundario. Sin embargo, se trata de una descripción palpable cuyas consecuencias deberemos extraer. ¿En dónde puede observarse este procedimiento? Sin dudas en toda referencia platónica a las matemáticas, pero más fundamentalmente en el siguiente esquema. A partir de la indecidibilidad más intuitiva del máthema –la que tiende

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a confundir lenguajes y metalenguajes por cuanto guarda un grado de autorreferencialidad–, Platón aparece como el nombre que incita el despuntar del inconsciente eterno del máthema: no es posible dar cuenta de la consistencia de las matemáticas desde dentro del lenguaje matemático mismo. Resulta asombroso observar cómo se puede alcanzar esa misma conclusión, aún de un modo algo romo, por el simple hecho de observar detenidamente el trabajo de los versados en esta técnica. La combinación de los teoremas de Gödel orientan el pensamiento en esa dirección, marcan su compás preciso: Dado un lenguaje L1, existe una sentencia X escrita en ese lenguaje que representa la proposición metamatemática –perteneciente por ende a un metalenguaje L2– que reza “X no es demostrable”. La clave está aquí en el concepto de representación. El mismo propicia el momento de indiscernibilidad entre L1 y L2, trazado por el puente que subtiende X, que origina la dialéctica de lo indecidible y que provoca el peligro de confundir definitivamente ambas operaciones. Habrá que proceder con sumo cuidado: la indiscernibilidad primaria es necesaria para la indecidibilidad, pero no se confunden. Si además se muestra que X es verdadera, se sugiere que la verdad participa de los riesgos de la indecidibilidad. Pero, y sobre todo, si se hace depender a esta sentencia de otra que representa la proposición metamatemática “La aritmética es consistente”, se puede forzar especulativamente el punto ciego que trae al working mathematician el sometimiento a su propia ley. Su referencia a Platón no podrá ser un caprichoso paralelo sino el reconocimiento de una intuición estructural. Basta con detenerse en los siguientes pasajes, de entre los varios que pueden hallarse, en lo que concierne a la propagación de la indecidibilidad al total de las matemáticas. Nos hallamos ante una imposibilidad inherente al lenguaje matemático: Sócrates: -En esto hay algo que no nos discutirán cuantos sean siquiera un poco expertos en geometría, a saber, que esta ciencia es todo lo contrario de lo que dicen en sus palabras los que tratan con ella Glaucón: -¿Cómo es eso? Sócrates: -Hablan de un modo ridículo aunque forzoso, como si estuvieran obrando o como si todos sus discursos apuntaran a la acción: hablan de ‘cuadrar’, ‘aplicar’, ‘añadir’ y demás palabras de esa

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índole, cuando en realidad todo este estudio es cultivado apuntando al conocimiento.39

El Menón confirmará la impronta al señalar, luego de indicar cómo era posible tener opinión verdadera (algo intermedio entre el conocimiento y la opinión, útil para los hombres de Estado) a partir de un ejemplo y razonamiento matemáticos: Correctamente llamaríamos divinos a los que acabamos de mencionar [los hombres que, sin tener entendimiento, llevan las cosas a buen término], vates, adivinos y poetas todos, y también a los políticos, no menos que de ésos podríamos decir que son divinos e inspirados, puesto que es gracias al hálito del dios y poseídos por él, cómo con sus palabras llevan a buen fin muchos y grandes designios, sin saber nada de lo que dicen.40

Clave hermenéutica, rastro de una constelación dispersa, un pasaje resplandeciente de República –entre los muchos que podrían ser referidos aquí– cierra el perfil, la silueta aún distante del destino matemático: […] mientras se sirven de supuestos, dejándolos inamovibles, no pueden dar cuenta de ellos. Pues bien, si no conocen el principio y anudan la conclusión y los pasos intermedios a algo que no conocen, ¿qué artificio convertirá semejante encadenamiento en ciencia?41

Poco podría decirse sin contemplar este difícil juego de fuerzas que se manifiesta en la dinámica del máthema y se cristaliza en la lengua griega para insistir en lo que filosóficamente autoriza el pensamiento de lo indecidible en cuanto tal. Habrá que mostrar antes cómo Platón hace progresar lo indecidible matemático abrevando en aquel sistema de relevos cuyos elementos caracterizan sus rasgos capitales bajo la forma apareciente del máthema. Y es que ocurre un evento tan extraño, se ofrece al pensamiento algo tan potente, que hay obligación de detenerse. Si la indecidibilidad es constitutiva de las matemáticas, al determinarlas, al 39 40 41

República, 527a. Menón, 98c11. República, 533c3.

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dis-ponerlas como discurso ontológico restringido y como pensamiento, al hacerlas desempeñar un papel preciso, lo que sucede es que se instala lo indecidible en la filosofía de manera irreversible. La fijación de las matemáticas como dispositivo subalterno de la filosofía tiene su costo en la introducción subrepticia de aquello que ha querido enterrarse desde el comienzo.

ABANDONO DE LA PERSPECTIVA DE TUBINGA-MILÁN Y ANTICIPACIÓN DE LAS CONSECUENCIAS HERMENÉUTICAS DE LA SUSCRIPCIÓN A LA HIPÓTESIS DE LECTURA

Suele reconocerse que la filosofía de Platón se articula con cierta arquitectura matemática pues, desde Aristóteles42 en adelante, este punto ha quedado cuanto menos tematizado. Luego, ya en el siglo pasado y a partir de la recensión efectuada por Robin en La théorie platonicienne des idées et des nombres d’aprés Aristote43, la cuestión ha emergido como terreno propicio para la indagación de los comentadores y entre ellos se han destacado Cherniss44, Burnyeat 45, Annas46, Gaiser47 y Pritchard48. Pocos exégetas han dejado de recalcar la relevancia que han tenido las matemáticas para la doctrina platónica señalando que han adquirido a través de los diálogos resonancias en ámbitos tan disímiles 42

Principalmente a través de los libros M y N de la Metafísica. Cfr. Robin, L. La théorie platonicienne des idées et des nombres d’aprés Aristote, París, 1908. 44 Cfr. Cherniss, H. Aristotle’s Criticism of Plato and the Academy, Johns Hopkins Press, Baltimore, 1944 y también Cfr. The Riddle of the Early Academy, University of California Press, Berkeley, 1945. 45 Cfr. Burnyeat, M. F. “Platonism and Mathematics: A Prelude to Discussion”, en Graeser ed., Mathematics and Metaphysics in Aristotle, Berna, 1987. 46 Cfr. Annas, J. Aristotle’s metaphysics: books M and N, Clarendon Aristotle series, Oxford University Press, 1988 y también Cfr. “Aristotle, Number and Time” en Philosophical Quarterly, 1975 47 Cfr. Gaiser, K. Platons ungeschriebene Lehre. Klett-Cotta, Stuttgart, 1998. 48 Cfr. Pritchard, P. Plato’s Philosophy of Mathematics, Academia Verlag, 1995 43

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como la ética, la política, los estudios sobre la naturaleza y los astros, la música, sólo para nombrar algunos. Sin embargo, casi ninguno se ha detenido a pensar cuál es el status preciso de las mismas en el marco de dicha filosofía por dos motivos fundamentales: • Los pasajes que refieren a las matemáticas o a sus términos correlativos están dispersos por varios diálogos, alejados temática y cronológicamente. • Estos pasajes son demasiado equívocos y se encuentran complejamente incrustados en el marco de una teoría de la jerarquización de las ciencias y de los seres. No es sino hasta el descubrimiento de un nuevo paradigma en la interpretación de Platón, que las matemáticas han sido dispuestas como objeto de la indagación profunda por parte de los comentaristas.49 Me refiero al punto de vista de la escuela de Tubinga-Milán representada por Gaiser, Krämer y Reale. La originalidad de esta nueva lectura radica en la rehabilitación de una teoría metafísica unitaria, a partir de los ágrapha dógmata, de “las doctrinas no escritas”, reservadas estratégica y pedagógicamente a la transmisión oral, según consignan los propios autotestimonios de Platón al respecto.50 Gracias a una refinada dialéctica entre oralidad y escritura, el contenido de los diálogos puede ser conjugado con estas enseñanzas a fin de conformar una imagen homogénea de la metafísica platónica. En la constitución jerárquica del ser, los Números Ideales aparecen por debajo de los Principios generadores correlativos de lo Uno y de la Díada Indefinida. Descendiendo un grado más, se encuentran las Ideas Generalísimas o Metaideas y las Ideas Generales y Particulares, 49 Así lo indica Gaiser: “Por todos lados estos dos principios pueden ver acción combinándose, con uno u otro como dominante. Esto puede observarse más claramente en el campo de las matemáticas. Aritmética, geometría, armonía, astronomía, todas contribuyen a revelar ciertas reglas que muestran cómo la unidad se transforma en una pluralidad indefinida, en cualquier sitio en que sea analizada la multiplicidad aparente del mundo natural dentro de figuras cuantificables, formas y números. [...] En este sentido, las matemáticas devinieron el mundo-modelo para Platón que mostraba en la forma más apropiada y general que todas las manifestaciones de la Arete dependen del orden, y el orden de la unidad”. (Gaiser, K., “Plato’s enigmatic lecture «On the Good»” en II Platons Ideenlehre, Dialektik un Prinzipienlehre, p. 274. [La traducción es mía] 50 Cfr. Reale,G. Por una nueva interpretación de Platón, Herder, Barcelona, 2003, p.75. Capítulo: “Los autotestimonios de Platón”.

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que conforman junto con los Números Ideales el total del plano inteligible. Finalmente, ya en dos órdenes inferiores también en relación de subalternación entre sí, se encuentran los «objetos matemáticos» y el ámbito de lo sensible de manera respectiva por lo que las matemáticas sufren un primer desdoblamiento. Por una parte, los entes matemáticos intermedian entre lo sensible y lo ideal. Por otro lado, se distinguen de los Números Ideales, los que se presentan como síntesis numéricas determinantes de la posición relativa de cada Idea respecto de las demás. Así lo registra Krämer: La teoría de las Ideas-Números formula explícitamente la estructura de la relación de los universales sobre bases matemáticas y, por consiguiente, mediante la reducción ontológica, reconduce los universales al ámbito de los Números ideales, de cuya determinación y regularidad participan. Los Números ideales, en el ámbito de los universales, poseen un carácter privilegiado y por ello se presentan como “generados” en primer lugar por los Principios. Estos desempeñan un papel de mediación en la jerarquía del ser entre los Principios y las restantes Ideas, porque representan de forma paradigmática las características del ser, esto es, delimitación, determinación y orden.51

De modo que, en primer lugar, mediando jerárquicamente entre los Principios y las Ideas, se encuentran los Números ideales y las IdeasNúmeros, esto es: las Ideas que poseen una estructura matemática. En lo que respecta al espacio intermedio de los entes matemáticos, habría que decir, si se quiere ser preciso, que el mismo está respaldado por la concurrencia de dos factores: son eternos e inmóviles como las Ideas y los Números Ideales y, por otra parte, son múltiples, es decir que hay muchos de la misma especie, lo que los induce hacia el plano de los objetos sensibles. Este doble carácter, además de conferirle la dimensión intermedia de la realidad, y también una importancia privilegiada en la pedagogía de la Academia, es susceptible de ser pensado como un modelo analógico de la realidad entera, en tanto reúne sobre sí la tensión existente entre lo inteligible y lo sensible. ¿Puede pensarse pues en una matematización 51 Krämer, H., Platón y los fundamentos de la Metafísica, Monte Ávila Editores, Venezuela, 1996, p. 266

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completa del sistema platónico? A priori, y desde esta línea interpretativa, no. El motivo es simple: los Principios son elementos y géneros que están por encima del par matemático-dianoético. Son exactamente metamatemáticos y universales52. Por lo tanto, el movimiento sería inverso: Platón fundamentó metafísicamente la matemática a la vez que modelizó analógicamente –con todos los aspectos que ya sabemos que adquirió este empleo– la génesis y estructura de lo que hay. Pese a la loable tarea que estos exégetas aún llevan a cabo, y asumiendo su singularidad irreductible, quisiera intentar aquí ponerla entre paréntesis. Practicar epokhée tiene un sentido filosófico muy preciso: suspender momentáneamente el juicio o la actitud respecto de algo, siendo este juicio y esta actitud, en este caso, la interpretación de Tubinga-Milán. Es lo que me propongo efectuar en estas notas, con el objeto preciso de sugerir otra lectura posible de la cuestión matemática en la obra platónica. Hipotetizo: es viable abandonar, en lo concerniente a este tema, la hermenéutica efectuada por la mencionada escuela para dar lugar a una alternativa exegética aún incierta pero que se adivina potente. La misma depende, metodológicamente hablando, de la renuncia a reconstruir el problema matemático con el énfasis puesto sobre la tradición indirecta, a la vez que intenta iniciar un tránsito cuidado hacia la idea de que existe en la cuestión matemática desarrollada por Platón una zona tan rica como compleja a ser analizada tanto como problemática local en el marco de la obra platónica, como también a modo de enclave capital de la historia de la filosofía. Esta doble faz conduce a un desplazamiento de la pregunta que interroga por la existencia o inexistencia de entes matemáticos por causa de las siguientes condiciones: a. La epistemología griega delineada y orientada por Parménides no permite el discernimiento de “objetos” y “sujetos”. La identidad entre ser y pensar habla precisamente de la participación de ambos en «lo mismo» y no de una igualdad entre dos términos. De ahí el absurdo que significaría una separación. Incluso alegar que es a partir de esta identidad que puede zanjarse el problema de la existencia de los entes matemáticos –como a menudo se pretende hacer con el paralelo trazado entre las operaciones aní52 Cfr. Krämer, H., Platón y los fundamentos de la Metafísica, Monte Ávila Editores, Venezuela, 1996, p. 153 y ss.

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micas descriptas en el símil de la línea dividida 53 y los “objetos” que a éstas les corresponderían– es, cuanto menos, apresurado. b. La gran mayoría de los pasajes en que Platón toca directa o tangencialmente el tema, elude de modo deliberado la postulación de entes matemáticos definidos. No obstante ello, no hay evidencias fuertes de que dicha elusión responda a un intento por mudar la transmisión de los contenidos matemáticos al ámbito de la oralidad. Giovanni Reale –quizás uno de los más fieles representantes de esta nueva perspectiva–, en sus dos libros capitales acerca de Platón, a la hora de enfrentarse al problema de las matemáticas (sobre todo al de su status ontológico), evita por completo la referencia al texto platónico. Habrá que recordar que el centro de esta línea interpretativa está puesto en que los autotestimonios platónicos dicen que “aquellas cosas de mayor mérito” se sustraen al discurso escrito: Sócrates:- […] Y lo que hemos de anunciar es que si, sabiendo cómo es la verdad, compuso estas cosas, pudiendo acudir en su ayuda cuando tiene que pasar a probar aquello que ha escrito, y es capaz con sus palabras de mostrar lo pobre que quedan las letras, no debe recibir su nombre de aquellas cosas que ha compuesto, sino de aquellas que indican su más alto empeño. Fedro:- ¿Qué nombre le pondrías entonces? Sócrates:- En verdad llamarle sabio me parece, Fedro, demasiado grande, y se le debe otorgar sólo a los dioses; el de filósofo, es decir amante de la sabiduría, o algo por el estilo, se acoplaría mejor con él y le sería más propio. Fedro:- Y en nada estaría fuera de lugar. Sócrates:- Entonces, el que, por el contrario, no tiene cosas de mayor mérito que las que compuso o escribió dándoles vueltas, arriba y abajo, en el curso del tiempo, uniendo unas con otras y separándolas si se tercia, ¿no dirás de él que es un poeta, un autor de discursos o redactor de leyes? Fedro: ¿Qué si no?54

53 54

República, 510a – 511e. Fedro, 278b.

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Sólo las cosas de menor importancia aparecerán escritas, incluso si ello no quiere decir que Platón pretenda la supresión de la escritura. Simplemente se limita a articularla jerárquicamente debajo de la oralidad; sólo las cosas más serias pueblan la oralidad dialéctica. De ello hay que sacar una simple conclusión: que cuando se ve una composición escrita de alguien, el autor no ha considerado estas cuestiones como muy serias, ni él mismo es efectivamente serio, sino que permanecen encerradas en la parte más preciosa de su ser.55 Dicho esto, volvamos a Reale. En el capítulo octavo de Por una nueva interpretación de Platón 56 intitulado “Números ideales, Ideas y números matemáticos como «intermedios» y estructura jerárquica de la realidad” no hay ninguna cita de los diálogos. En su Platón57, simultáneamente, luego de dos detenciones en República para fundamentar la importancia programática que posee la introducción de las matemáticas en la pedagogía platónica, la palabra del ateniense se ausenta totalmente. Hay que hacer síntoma de lo que allí ocurre. ¿Por qué desaparece el texto fuente llegados a este punto? ¿Qué sucede en ese preciso momento donde los comentadores encuentran el hiato máximo entre las fuentes primarias y la tradición indirecta? Quedan dos posibilidades: o bien se asume que la enseñanza de los fundamentos metafísicos de la matemática, es decir, la pregunta por el qué de las matemáticas, se dictaba oralmente en los cursos de Platón, o bien se admite que esa pregunta no es pertinente y que la presentación de las matemáticas en la obra platónica atiende a otro esquema. Hay ciertos pasajes de los diálogos que grafican el atolladero y anuncian la necesidad de una decisión hermenéutica. En el Timeo, por ejemplo, se dice: “Por su parte, las figuras que entran en ella son imágenes de los seres eternos que esos imprimen en ella de una cierta manera difícil de explicar y maravillosa, cuya descripción diferimos por ahora”.58 Se sugiere que la explicación de la fisiología de los entes geométricos es ardua y que, por ello, no podrá brindarse en ese instante. En República se difiere nuevamente una posible pronunciación respecto de la existencia de los objetos matemáticos: 55 56 57 58

Carta VII, 344c4. Reale, G. Op. cit, Herder, 2003. Reale, G. Platón, Herder, Barcelona, 2002. Platón, Timeo, 50c.

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Entonces estaremos satisfechos, como antes, con llamar a la primera parte “ciencia”, a la segunda “pensamiento discursivo”, a la tercera “creencia” y a la cuarta “conjetura”, y a estas dos últimas en conjunto “opinión”, mientras que a las dos primeras en conjunto “inteligencia”, la opinión referida al devenir y la inteligencia a la esencia. Y lo que es las esencia respecto de la opinión; y lo que es la ciencia respecto de la creencia lo es el pensamiento discursivo respecto de la conjetura. En cuanto a la proporción entre sí y a la división en dos de cada uno de los ámbitos correspondientes, o sea, lo opinable y lo inteligible, dejémoslo, Glaucón, para que no tengamos que vérnoslas con discursos mucho más largos que los pronunciados anteriormente.59

La escuela de Tubinga-Milán debería sostener, a partir de estos testimonios, que Platón está posponiendo de manera deliberada tanto la discusión acerca de la correspondencia ontológica de cada una de las operaciones del alma, como la forma en que los triángulos que conforman los elementos primitivos de la materia (imágenes de las Ideas) «entran» el receptáculo. Y, más aún, debería propugnar que después de un tiempo transcurrido, estos contenidos fueron expuestos en el marco de las doctrinas no escritas, esto es, en las famosas conferencias que brindaba Platón a algunos estudiantes seleccionados. Parece un tanto arriesgado asumir que el límite platónico de la escritura deja a las matemáticas –al menos a su porción filosófica– dentro del ámbito de la oralidad dialéctica. Ninguno de los llamados «autotestimonios» de Platón da cuenta de ello y tampoco los fragmentos recién citados. Contra lo que sugiere Migliori60, creo que el segundo pasaje no establece que las matemáticas (y, según se pretende justificar, los «entes matemáticos») pertenezcan pura y exclusivamente al registro oral. Encuentro tres razones para afirmar esto: 1. Sócrates comienza su intervención diciendo “Entonces estaremos satisfechos [Arkései oûn]…” con lo cual se indica que no hay ningún límite real en la exposición de las operaciones anímicas, que ya estaría contenida en lo dicho. 59

Platón, República, 534a.[La cursiva es mía] Migliori, M. “Non entri chi e’ ageométretos” en Filosofia Logica Máthematica dal periodo classico al nostro secolo, Atti del Convegno, Ancona, 1993, p. 33. 60

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2. Dicha intervención abarca la totalidad de las operaciones y no sólo la que corresponde al “pensamiento discursivo” o diánoia. Si se quisiera ser preciso, toda la discusión y no exclusivamente la que corresponde a esta parte de la división debería quedar circunscrita a la transmisión oral. 3. Sócrates, lejos de diferir la posible referencia de cada actividad del alma a un objeto respectivo, detiene la exposición acerca de “la proporción entre sí y […] la división en dos de cada uno de los ámbitos correspondientes, o sea, lo opinable y lo inteligible”, es decir, que lo que aquí se quería tratar ha sido tratado y de manera suficiente. La limitación impuesta por Sócrates de dirige a evitar discursos superfluos y, asimismo, no toca sino exteriormente la cuestión de las matemáticas qua matemáticas. Por lo que, aun si se asumiera que lo que Platón reserva a la transmisión oral es “lo más elevado” [tà timiôtera] se estaría obligado a concluir o bien que las matemáticas no forman parte de dicho campo, o bien que éste contiene elementos que a menudo son expuestos también por la vía escrita. El cambio de ritmo en el desarrollo de República tiene que ver en realidad con el redireccionamiento de la discusión, a fin de no dificultar en demasía el diálogo. Se trata de evitar el exceso, los discursos “más largos”. Esto se traduce menos en una frontera producida por la importancia del tópico tratado, que un desplazamiento necesario con objetivos de claridad argumental, expositiva e incluso dramática. Otro caso que se presenta a priori como problemático es recogido por el Protágoras. Cuando Sócrates pretende concluir que las faltas de nuestra conducta son sólo el resultado de nuestra ignorancia, culmina su discurso haciendo referencia a una ciencia de la medida que deberá producir una “correcta elección del placer y el dolor, […] la exacta apreciación de lo más numeroso y lo más escaso, de lo mayor y lo menor, de lo más alejado y lo más cercano”. Y acto seguido pronuncia: “Qué clase de ciencia y de técnica lo veremos más tarde”.61 Es evidente que Platón no desea proseguir con la exposición del tema; se trata de una interrupción intencionada. Lo que no es claro es que se re-emplace la

61

Platón, Protágoras, 357b.

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cuestión en el marco de las doctrinas no escritas. Para que eso fuera cierto deberíamos: (a) Considerar una ciencia tal como una de las cosas de “mayor mérito”. (b) Que Platón limite su exposición en todos los otros diálogos. De lo contrario, no tendría sentido pensar que la interrupción responda al desplazamiento del tema hacia las doctrinas no escritas. El texto pareciera no sugerirlo. Menos si se considera lo que Sócrates dice enseguida: “Pero me basta [exarkeî] que sea una ciencia para lo que teníamos que demostrar Protágoras y yo como respuesta a vuestras preguntas”., agotando la cuestión en relación con los fines dispuestos por el diálogo. Si no hay necesidad de profundizar no es porque se trate de un saber elevadísimo reservado a la transmisión oral sino porque lo dicho es suficiente y extenderse sería redundante además de engorroso. Por lo demás, ya se sabe que Platón refiere a tópicos “importantes” en el seno mismo de su escritura, de modo que no habría razones para diferir precisamente éste. Sucede que existe, al menos, otro pasaje que remite y extiende la presente cuestión y en éste vuelve a dictaminarse un límite para la exposición con el criterio de mantener la conversación en el marco “del presente propósito”. La detención y posterior redirección encuentra su polo final, de modo endógeno, en los diálogos mismos. No pareciera necesitarse aquí un contenido esotérico. Un mismo pasaje del Político echa luz sobre ambas cuestiones al mismo tiempo: Extranjero: -Entonces, así como en nuestro examen del sofista nos vimos forzados a admitir que el no ser es, puesto que en eso nos hizo refugiarnos el razonamiento, ¿así también ahora nos veremos forzados a admitir que el más y el menos son mensurables, no sólo en su relación recíproca, sino también en relación con la realización del justo medio? Porque, si eso no se admite, no será posible sostener, sin lugar a dudas, que exista el político ni ningún otro individuo de los que poseen una ciencia relativa a las acciones. Joven Sócrates: -También ahora es del todo forzoso admitir eso. Extranjero:- Mayor aún que aquélla, Sócrates, es esta empresa –aunque creo que recordamos muy bien cuán larga fue-, pero sería del todo justo que sobre esta cuestión hiciéramos la afirmación siguiente.

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Joven Sócrates: -¿Cuál? Extranjero: -Que en algún momento habrá necesidad de lo que ahora se dijo para hacer una presentación de lo exacto en sí. Pero si nos atenemos a aquello que, para nuestro presente propósito, está bien y suficientemente probado, nos presta –creo yo– una magnífica ayuda este argumento, según el cual debe sostenerse concomitantemente que todas las artes son conmensurables no sólo en su relación recíproca, sino también respecto de la realización del justo medio; porque, si esta conmensurabilidad existe, existen también las artes, y, si éstas existen, también existe aquélla; si, en cambio, algunos de estos dos términos falta, tampoco existirá jamás el otro. Joven Sócrates:- Esto es cierto; pero ¿qué viene a continuación? Extranjero:- Está claro que podríamos dividir el arte de medir, como dijimos, cortándolo en dos del siguiente modo: ubiquemos en una de sus porciones a todas aquellas artes que miden en relación con sus opuestos un número, una longitud, una profundidad, un ancho, una velocidad; y en la otra, a las que miden en relación con el justo medio, es decir, con lo conveniente, lo oportuno, lo debido y, en general, todo aquello que se halla situado en el medio, alejado de los extremos.62

Que se sugiera aquí la posibilidad de una ulterior profundización no opaca el argumento precedente. Simplemente, se utiliza lo suficiente y satisfactorio para otra conversación que, en este caso, se ocuparía tanto de la ciencia de la medida –como habría de ocuparse de ser respetado el programa del Protágoras– como de “lo exacto en sí”. Es asombroso cómo Platón se encarga de fijar definitivamente los conceptos necesarios y cómo concluye terminantemente el razonamiento: Extranjero: -De hecho, Sócrates, precisamente vamos a repetir aquella expresión que muchos hombres de espíritu se complacen en enunciar una vez y otra como una profunda máxima, a saber, que la ciencia de la medida se aplica a todo lo que deviene. Todas las obras de arte, en efecto, participan en algún modo de la medida. Pero las gentes no están acostumbradas a dividir las cosas según sus especies para estudiarlas; y así, por muy distintas que puedan ser estas clases 62

Político, 284b8-285a. [Cursiva mía]

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de medida, las identifican sin más, con el pretexto de que las juzgan semejantes, y hacen, en cambio, todo lo contrario con otras cosas, al no dividirlas en sus partes, siendo así que el método razonable sería, una vez uno ha advertido que un número determinado de cosas tienen algo en común, no abandonarlas sin haber distinguido, en el seno mismo de esta comunidad, todas las diferencias que constituyen las especies, y en lo que respecta a las desemejanzas de toda clase que uno pueda advertir en una multitud, el método recto sería el no descorazonarse ni desprenderse de las cosas antes de haber conseguido encerrar en una semejanza única todos los rasgos de parentesco que ellas ocultan y antes de haberlas comprendido en la esencia de un género. Pero ya es suficiente con lo dicho acerca de esta cuestión, así como sobre los defectos y los excesos: observemos solamente que hemos encontrado ahí dos géneros de ciencia de la medida y recordemos los caracteres que les hemos asignado. Sócrates el joven: -No los olvidaremos. Extranjero: Concluido este razonamiento, demos entrada a otro, que tiene relación no solamente con la cuestión presente, sino también con todas las conversaciones que suscitan estas discusiones.63

La exposición posee la virtud de (a) retomar sin mayores problemas la discusión del Protágoras (algo sorprendente si se atiende a la cronología absoluta de ambos diálogos); (b) establecer como suficiente lo dicho hasta el momento en lo referente a este tópico; (c) concluir sin más el razonamiento y dar paso a otro, determinando que este nuevo problema, al igual que el anterior, guarda estrecha relación con discusiones precedentes. Las matemáticas, ejemplificadas aquí a través de la metrética o ciencia de la medida, quedan contenidas en la escritura platónica aunque no signifique que de hecho no se pueda profundizar el tema en una instancia ulterior perteneciente al campo de la oralidad. Si se considera que la Escuela de Tubinga-Milán cierne su argumentación sobre la crítica platónica de la escritura y la reticencia a tratar ciertos temas, se observará cómo a partir de este pasaje se conmueve uno de los dos pilares que la sustentan. Podría intentarse la proeza de mostrar que cada una de las frases platónicas tocantes al máthema que anuncian la renuencia a tratar cier63

Platón, Político, 285a-285d.

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tas cuestiones, encuentran su prolongación en algún otro pasaje de los diálogos. Sería un argumento efectivo contra la interpretación que hace pie en las doctrinas no escritas y la tradición indirecta pues se atacaría directamente lo que uno de sus defensores sostiene: En los diálogos hay momentos de la discusión en que el director de la conversación evita discutir el tema propuesto y remite o bien a ocasiones en que ya ha sido discutido –y que no han dejado constancia alguna en los propios diálogos de Platón– o en que se discutirá– y nunca se trataron. […] Es esta dimensión estructural de los «lugares de ahorro» lo que convierte a estos pasos en alusiones, no en meras elusiones.64

En caso de que el tema haya sido discutido en el registro escrito, poco puede aducirse en favor de que el tópico pertenece a las enseñanzas orales. Posteriormente, si se lograra mostrar que hay algún tipo de “constancia” o “rastro” dentro de los diálogos, se atacaría el corazón del argumento. Y una precisión final: de hecho, puede que se trate de alusiones, pero ¿qué garantiza que las mismas se dirijan a las conferencias que Platón pronunciaba hacia el final de su vida ante un selecto grupo de estudiantes? No es mi intención aquí polemizar con la totalidad del paradigma de Tubinga-Milán. Por el momento, pretendo mostrar que el problema de las matemáticas posee, qua problema, un status peculiar que lo posiciona como un punto álgido –casi irresoluble– en lo relativo a las posibles interpretaciones contemporáneas de los diálogos. El carácter crucial que asume lo dispone como una anomalía dentro de este paradigma, que sus defensores deberán sortear. Una lectura detallada de los pasos alusivos más relevantes respalda exactamente la primera parte de mi razonamiento: que cada límite resuena más en el registro dramático-expositivo (como una forma de organización de la información a ser transmitida) que en un corte fundacional. Habrá que tomar algunos pasajes centrales a los que recurre esta última. En Cármides 169d 65, por ejemplo, la alocución socrática 64 José Ramón Arana Marcos a Platón. Doctrinas No Escritas. Antología, Universidad del País Vasco, Bilbao, 1998, p. 22. [Cursiva mía] 65 Critias, al oír mis palabras y al ver mi embarazo, me pareció experimentaba un efecto análogo al que se siente al ver bostezar a alguien: mi embarazo pareció, pese a él, invadirle

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“esta es una cuestión sobre la que podemos volver más adelante” se debe a que Sócrates acepta el carácter provisional de la hipótesis de Critias de que es posible una ciencia de la ciencia, tomándolo como un punto asumido, a la vez que pretende darle continuidad a la conversación después de un atolladero en el cual se dice: “Critias, al oír mis palabras y al ver mi embarazo, me pareció experimentaba un efecto análogo al que se siente al ver bostezar a alguien: mi embarazo pareció, pese a él, invadirle también”. Allí Platón formula claramente: “Entonces, para hacer avanzar la discusión, le dije: […]”. La posibilidad de “volver más adelante” sobre la cuestión, marca también una vía de escape que se presenta menos como un coto al registro escrito que como un recurso argumental interno del diálogo. En la misma línea, Menón 76e presenta un caso especial, puesto que “la imposibilidad de sostener largo tiempo estos razonamientos” proviene de que Sócrates ya no podrá hablar al modo de los trágicos como cuando dijo en lo anterior inmediato que “el color es una emanación de figuras proporcionada a la vista y sensible”. La dislocación tiene que ver con un cambio en el tono socrático, dado que, hasta ese momento, el maestro había estado ironizando al tomar prestadas las palabras de los poetas que tanto agradaban a Menón. Por su parte, Fedro 246a consigna: Sobre su inmortalidad, baste pues con lo dicho. Acerca de su idea debe decirse lo siguiente: describir cómo es el alma sería cosa de una investigación en todos los sentidos y totalmente divina, además de larga; pero decir a qué es semejante puede ser el objeto de una investigación humana y más breve; procedamos por consiguiente así.

Sólo dos cosas para señalar aquí:

también. Pero, afanoso de mantener su reputación, no quería enrojecer ante los asistentes y confesarse incapaz de resolver la dificultad que yo le planteaba. Habló, pues, sin decir nada en claro, solo para disimular su turbación. Entonces, para hacer avanzar la discusión, le dije: -Si te parece bien, Critias, admitiremos por el momento que es posible una ciencia de la ciencia: esta es una cuestión sobre la que podremos volver más adelante; ahora bien: suponiendo determinado este punto, explícame, te ruego, cómo esto permite mejor saber qué es lo que uno sabe y lo que uno no sabe. ¿No es, en efecto, en esto que hemos hecho consistir el conocimiento de sí mismo y la sabiduría?. Platón, Cármides, 169d.

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1. Sobre la inmortalidad del alma, ya “basta con lo dicho”.No hay ninguna necesidad de exceder lo desarrollado. 2. Lo que se elude no es algo que esté al alcance presente ni futuro del discurso del filósofo (en el diálogo Sócrates, en el fondo Platón), sino sólo de una investigación “totalmente divina”. Ello descarta la idea de que se intente profundizar a posteriori sobre la cuestión desde esta perspectiva. Lo único que se puede decir humanamente y de modo más breve, será expuesto en lo sucesivo en ese momento del diálogo (y no habría señales de que algo similar sea expuesto en las enseñanzas orales, aunque pueda ser factible). Algo similar sucede en Timeo 48c, cuando Platón recurre al «razonamiento o mito verosímil». Antes de introducirlo, se dice: “Pero me conformaré con lo que se ha dicho al comenzar”. Ciertamente, se promueve un límite, pero enseguida aparece una clave de conformidad que homogeneiza el diálogo y otorga el carácter de satisfactorio a lo que allí será desarrollado. Incluso la primera utilización en el diálogo del lógos eikós está ligada a la siguiente consideración: “no somos más que hombres y de estas materias no podemos buscar saber más”66, confirmando la trascendencia del problema en general, más allá del despliegue dramático de este diálogo puntual. En resumen, la perspectiva de Tubinga-Milán se encuentra aquí ante dos dificultades: o bien el tópico no podrá ser tratado “ahora ni nunca” puesto que el mismo reviste una oscuridad no escrutable por la condición humana, o bien lo que puede ser dicho, de acuerdo con la limitación inherente a los mortales, permanece como aceptable y es por ello que se efectúan los sucesivos intentos de explicitación del tema por vía escrita. Aunque es cierto que los mismos podrían ser complementados por una exposición oral posterior, habrá que apelar a la cláusula de apertura que declara la conformidad platónica con el tratamiento de tema para invertir la carga de la prueba esperando que se demuestre por qué este pasaje constituiría un claro traspaso a la dimensión de la oralidad. Reale comienza su gran libro con el escolio de la Carta VII :

66

Timeo, 29d.

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En todo caso, al menos puedo decir lo siguiente a propósito de todos los que han escrito y escribirán o pretenden ser competentes en las materias por las que yo me intereso, o porque recibieron mis enseñanzas o de otros o porque lo descubrieron personalmente; en mi opinión, es imposible que hayan comprendido nada de la materia. Desde luego, no hay ni habrá nunca una obra mía que trate de estos temas.67

El loteo de la tarea de comprensión y transmisión se traza de manera transparente, pero el peso específico del pasaje quedará reservado para el discernimiento de ese peri ôn egò spoudádzoo, “aquello que constituye el objeto de mis preocupaciones”, “aquello que me interesa”, “sobre lo que me ocupo”. En suma, todo el juego se resuelve en la determinación de qué fuera lo que Platón desplazará decididamente fuera de su corpus escrito. Se trata, como en Fedro 278b, de «las cosas de mayor mérito»; más bien de lo que representa un objeto de interés para el propio Platón. Nada, más allá de estas definiciones generales jerarquizantes, localiza el tipo de saber que queda reservado a la enseñanza oral, con lo que poco puede establecerse respecto de la pertenencia o no del conocimiento matemático a este campo y menos si se considera –como mostraré más adelante– que el máthema insiste en inscribirse en una zona intermedia cumpliendo una explícita función pedagógica. Platón declarará también en la Carta VII que, incluso si fuera oportuno que «estas cosas» fueran expuestas por escrito, nadie podría hacerlo mejor que él y, sin embargo, sería inútil puesto que éstas no se pueden “expresar satisfactoriamente con destino al vulgo”.68 Se trata de un símbolo preciso. ¿Qué significa esto? ¿Qué consideraciones son autorizadas a ser extraídas de allí? Precisamente que las matemáticas, desempeñando un rol eminentemente educativo, no pueden quedar envueltas en la suma oscuridad volviéndose incomunicables hacia los muchos. Si hubiera una fisiología del máthema, ésta no vacilaría en contener como rasgo primario la presentación de la racionalidad matemática a todos aquellos que poseen pretensiones filosóficas. Aquí hay que recordar que para Platón existen unas matemáticas propias del vulgo69. Además, es necesario recordar que todo desvío en 67 68 69

Carta VII, 341b9. Carta VII, 341d4. Cfr. Filebo, 56d.

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el canal de comunicación tiene que ver con una decisión política que confirma que «estas cosas» no deben decirse a la mayoría, –porque no obtendrían de ellas los beneficios adecuados–70 y no con algún tipo de inefabilidad. Siendo entonces una regla práctica, ¿cómo podría el máthema –que acaso construye ese mismo registro práctico pero en la dirección contraria, es decir, en el afán de inclusión de “los que están afuera” hacia el interior de la Academia– formar parte exacta de «las cosas más serias» destinadas a sustraerse obligatoriamente de las formas escritas? Que no exista un Peri mathematiká de Platón no arguye que el máthema se agregue a ese grupo. Que no se conozca un diálogo platónico destinado a las matemáticas permanece profundamente en verdad ligado a la intuición de que éstas cristalizan la totalidad del proceso de enseñanza y que, por lo tanto, son convocadas como condición de posibilidad de algo y no como el objeto preciso a ser estudiado. Ciertamente, la línea que divide el interior de «las cosas de mayor mérito» y lo que queda en su exterior es sumamente difusa y encarna aquí todo el problema. No queda más que tomar una decisión metodológica en función de una hipótesis de lectura. Sin embargo, lo que intento mostrar por el momento aquí es bastante simple: incluso si el máthema pudiera ser encontrado parcialmente en las enseñanzas orales, su aparición incidental evitaría por regla general que el mismo pudiera ser descripto ontológicamente como algo preciso. El mismo Reale brinda sobre este aspecto información valiosa elaborando un listado de los contenidos que habitan los ágrapha dógmata. Se puede observar que en ninguno de los componentes de dicha lista las matemáticas aparecen siquiera como un elemento subsidiario: Para confirmar cuanto hemos dicho, proponemos una lista de los términos y expresiones con los que Platón indica esos contenidos sobre los que versan sus «doctrinas no escritas»: (1) Lo entero, es decir, el todo; (2) Las cosas más importantes; (3) La naturaleza, esto es, la realidad en su fundamento; (4) El bien; (5) La verdad sobre la virtud y el vicio; 70

Cfr. Carta VII, 344a.

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(6) La verdad y lo falso del ser entero; (7) Las cuestiones más serias; (8) Las elevadas y primordiales cuestiones referentes a la naturaleza.71

La indeterminabilidad de su pertenencia a alguna de estas categorías atestigua en favor de la epokhée ejercida sobre el paradigma de TubingaMilán. Para recapitular desde el comienzo, habría que decir que precisamente porque las matemáticas exigen: (a) el registro de lo visible 72 y, en ese sentido, (b) cierto grado de referencia al mundo (sea bajo su forma de utilización cotidiana y prágmática, sea bajo lo que las describe como ley de ordenamiento armónico de tá panta), es que Platón no las puede sino ubicar, posean éstas el semblante que posean, por debajo de las Ideas o de la dialéctica. Ese es el justo motivo por el cual el tratamiento de las matemáticas, jerárquicamente inferiores a las Ideas y a los supuestos Principios, sea diferido debido a su importancia intrínseca. Aunque es cierto que éstas poseen una relevancia insoslayable en el proyecto pedagógico-político de Platón y también en la estructuración cosmológica, no menos verdadero es que el abordaje directo del máthema como objeto de investigación discreto e independiente no está dado en ningún diálogo73 dado que el interés que reviste es siempre propedéutico o funcional. Por una cuestión lógica, no todo lo que no permanezca contenido en la obra escrita de Platón, puede ser atribuido a las doctrinas no escritas. En consecuencia, contra lo que cree Burnyeat al comienzo de su artículo “Platonism and Mathematics. A Prelude to Discussion”74 e incluso cediéndole al autor el discutible hecho de que Aristóteles y Platón comparten las mismas preguntas como presupuestos teóricos75, 71

Reale, Op. cit., p. 101-102. Cfr. República, 510d7. 73 Ni tampoco en lo que se puede saber de las enseñanzas orales de Platón a partir de los reportes indirectos. 74 Burnyeat, M.F., “Platonism and Mathematics. A Prelude to Discussion”, en Mathematics and Metaphysics in Aristotle, Graeser ed., Berna, 1987, p. 213 y ss. 75 Preguntas que, según Burnyeat, reconducen indefectiblemente el problema matemático hacia una cuestión ontológica. Por lo demás, hay que oponer reservas a este punto de partida en la medida en el autor logra construirlo fundamentalmente a partir de Metafísica M1 (desde 1076a en adelante) y del pasaje de República 534a. Si, en efecto, es Aristóleles 72

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la atribución tajante “todo aquello que no es expuesto en los diálogos” a las Doctrinas No Escritas no es viable y, mucho menos que esa totalidad quede recogida en el reporte aristotélico. Pese a que la pregunta por el status ontológico de las matemáticas sea eludida por Platón y que sus posibles respuestas se hallen desperdigadas como consideraciones laterales a lo largo de todos los diálogos, es gracias al complejo acceso que plantea dicha cuestión que puede decirse que el paradigma de Tubinga-Milán resta subsidiario de una interpretación canónica del problema. El hiato que emerge entre el reporte aristotélico y lo que Platón insinúa en algunos de los pasajes arriba detallados se hace patente y obliga a meditar acerca de la coherencia de una visión organicista. Para ello se impone considerar una hipótesis de tenor filosófico. El supuesto de que las matemáticas instalan lo indecidible mismo en el seno de la filosofía resulta ser tan complejo como eficaz. Su rendimiento puede disponerse sobre dos ámbitos precisos que incluso si son delimitables analíticamente terminarán por confundirse: 1. El ámbito local, que remite a la indecidibilidad emergida de la obra escrita de Platón, en numerosos pasajes de los diálogos y bajo diferentes maneras, según intentaré mostrar en las primeras dos partes de este trabajo. 2. El ámbito histórico-filosófico, donde el enclave indecidible muestra su carácter de momento fundante de la filosofía y de la metafísica occidental. Su surgimiento y la operación que allí se vislumbra y sobre la cual la aún incipiente tradición filosófica manifestada en los siglos V y IV a. C. actuará de inmediato, atestiguan una dinámica que no dejará de repetirse a lo largo de la historia del pensamiento. Descubrir lo indecidible en el texto platónico obliga a confesar la irregularidad, impureza y heterogeneidad de lo que se ha dado en llamar la historia de la metafísica. Aún reconociendo la contingencia general de la historia efectiva, la tendencia de su presentación encubre una forma generalizante bajo el signo de algún procedimiento primario o fundacional. Así es cómo la borradura de la eclosión de la phýsis y de el que pareciera ontologizar las matemáticas en su lectura de la filosofía platónica, no es posible aseverar de antemano cuáles son los presupuestos de Platón desde la propia filosofía del estagirita.

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aléetheia a partir de su interpretación en función de la idéa representan para Heidegger la marca antigua que despliega su fuerza mostrándose en nuestros días como imperio de la técnica. En ese sentido, la historia occidental ha estado dominada por el olvido del olvido de la diferencia ontológica entre ser y ente. Así también es como Hegel y Marx, deudores de la moderna filosofía de la historia, han propiciado una reconstrucción absoluta de los diversos hechos que se plantearan en la historiografía más vasta. Los ejemplos son demasiados. Por lo general, la filosofía presenta su propia historia no sólo como el relato de los vanos intentos precedentes por aprehender la totalidad de lo que hay, sino también esgrimiendo que dichos intentos fallan sobre un punto específico; siendo la intelección de éste la que otorga, a un mismo tiempo, la llave para la superación [Aufhebung] de los equívocos anteriores y para la comprensión totalizante del pasado filosófico. Instalar pues lo indecidible no como categoría operatoria sino más bien como centro ontológico de la fundación sinóptica de la filosofía (i.e. Platón) solicita el convencimiento de que la historia concreta –y su deriva historiográfica– participan en gran medida del azar y de lo extraordinario, que preservan problemas irresueltos, aporías, tensiones, defasajes, innumerables cortes ejercidos sobre documentos, sobre cuerpos, sobre relatos. De ahí que la primera consecuencia que puede advertirse en el ámbito local sea que “Platón”, su nombre, no es –no pueda ser– el símbolo de la fundación como gesto único. Sus textos no son unívocos, ni homogéneos; Platón no es ese Uno que se ha construido, Platón no es ese Uno que se ha dispuesto para derribar. Si lo indecidible visita los diálogos, si allí insiste el lógos como forma de la indecidibilidad y «lo intermedio» como su marca, no será entonces posible extender el significante “Platón” hasta alcanzar un campo continuo, sin depresiones y cimas, sin rupturas ni retrocesos, sin contramarchas. Como si además Platón y sus predecesores no hubieran diagramado un gesto de fundación entre otros posibles, destacándose el religioso-artístico y el político-institucional. Pero tampoco es deseable intentar reunir todas estas interrupciones y reenvíos a una dialéctica que alcance finalmente la estabilidad del Platón de la idéa, del Principio. Porque precisamente los diálogos se han tejido de aquella impureza insalvable de la historia, porque han sido lacerados por las guerras, los proyectos políticos, el auge de la disciplina mate-

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mática, los fracasos biográficos del Platón histórico, la muerte propia y ajena, el misterio que anuncia el descubrimiento del espíritu a través de la palabra, las paradojas del arte clásico y demás, pero también porque su misma construcción dialógica ha tendido a recolectar cada una de las hendiduras y trazos que han liberado las dudas y cavilaciones del escritor, los finales sin salida y las remisiones deliberadas hacia otros textos, la evocación de los grandes poetas y estadistas, el uso del saber popular. No sería erróneo ubicar a Platón en el comienzo de la filosofía y hacerlo acreedor de ciertos desarrollos con claros estertores en la posteridad, pero eso no autoriza –aunque quizás sí explica– la necesidad de adscribirle una figura hermética y única. El modo en que el deseo interpretante ha logrado compactar una imagen standard de Platón produciendo la represión inmediata de todo lo que a ésta se sustraiga, denuncia la vida de una masa informe de hechos y escritos que debía ser resistida como tal y reconducida hacia la tranquilidad de una hermenéutica fijada. Restaría saber qué sucedería en caso de que pudiera hallarse una contra-historia, un relato acerca de lo raro, de lo inestable y ajeno. Considero que ha habido buenos intentos contemporáneos de hacer este barrido a contracorriente.76 La pregunta sería: ¿Cómo es posible una historia de lo indecidible bajo el estandarte de la no unicidad absoluta del pensamiento platónico? O más precisamente: ¿Qué sería de esa historia, de un ejercicio de apropiación tal sino hubiera estabilidad más que pagando el precio de la represión por ello? Esta pregunta es la consecuencia inmediata del abandono de la perspectiva de Tubinga-Milán y la puerta hacia el campo donde se cierne la hipótesis de la indecidibilidad. Una hipótesis como sinónimo de lo inventivo, como forzamiento de la especulación que piensa a través de un concepto matemático contemporáneo la extraña manera en que la filosofía albergó por primera vez, en el pensamiento clásico, precisamente al máthema como instancia de un nuevo tipo de racionalidad. Una historia de lo violento, de lo contranatural no puede ser menos violenta, inaudible y artificial. Aprovecho para prevenir al lector en estas notas 76 No puedo dejar de remitir aquí a dos textos de Jacques Derrida que hacen de esta intuición contra-histórica de potenciación de lo oculto, de lo bloqueado, de lo olvidado del pensamiento antiguo su estandarte. Me refiero a “Ousía y grammé. Nota sobre una nota de Sein und Zeit” en Márgenes de la Filosofía, Editorial Cátedra, Madrid, 1989 y “La farmacia de Platón” en La diseminación, Fundamentos, Madrid, 1997.

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respecto del carácter arbitrario que anima el espíritu de la hipótesis. Es cierto, no podrían presentarse aquí las consecuencias de un proceso aún en ciernes, pero valgan estas palabras como incitación a una lectura tan indulgente como voraz. Hasta aquí pues. Del abandono de la línea de Tubinga-Milán hacia el campo inestable de una sugerencia exegética. De una hipótesis al duro trabajo de su desenvolvimiento. El ámbito local y el histórico convergen finalmente hacia tierra común; las derivaciones políticas de una hipótesis tal remiten al desfondamiento mismo del arkhée y tienden al riesgo mismo de su falta. Y es que no podría ser de otro modo tratándose de la volatilidad misma de lo indecidible.

SOBRE PENSAR Y SER

El poema de Parménides constituye –no menos que otras fuentes– un fértil suelo del cual se alimenta la filosofía platónica. De lo que se conserva de éste pueden extraerse algunos de los aspectos teóricos más importantes que han gobernado el pensamiento clásico y la posteridad, conformando no sólo la antesala de la gran fundación sinóptica elaborada por Platón sino quizás su misma condición, por lo que el estudio parcial de ciertas cualidades del poema atiende a un objetivo de comprensión, sino plena, cuanto menos medianamente contextualizada del problema que aquí se bosqueja. En particular, el tratamiento de las bases epistémicas sentadas por Parménides, permite, a la vez: (a) Una exégesis cuidadosa de la cuestión, gracias a la identificación en ella de elementos parmenídeos. (b) Una lectura en perspectiva de los giros, quiebres e interrupciones que han sufrido esas bases epistémicas desde su surgimiento hasta su recepción platónica, acotada al tema que aquí se pretende pensar. De la conjunción de ambos factores resulta la viabilidad de una contextualización de pasajes determinantes para la concepción matemática de Platón. Por lo demás, el universo discursivo griego afecta de manera irremediable la noción de indecidibilidad que intento desentrañar y es a causa de ello que no podrá evadirse la firma paternal de Parménides.

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Nada más claro para tales fines que evocar la consideración platónica efectuada en el Teeteto77 respecto del eléata: “Venerable y temible”, decía allí y, ciertamente, la relación es un vínculo de filiación admirante, de sujeción a un gesto inaugural, de asunción de elementos que se declaran deudores del célebre poema y, al mismo tiempo, de distancia, de temor que aleja. En el Sofista lo llama “el grande”78 y también “padre” 79, dejando fijado de una vez por todas su presencia, como también lo sugiere la elección de intitular uno de los diálogos con su nombre. De todos modos, la posición permanece indefinida en la medida en que Platón designa sus diálogos con nombres de sofistas o personajes de renombre que habitaban en la Grecia socrática de los cuales pretendía diferenciarse desde un punto de vista especulativo. Aunque no sucede en todos los casos –pienso en República, Simposio, Apología de Sócrates, entre otros– la atribución del título de un diálogo corresponde a una solicitud emancipatoria ejercida en la violencia de la letra. En este entramado de fuerzas se desenvuelve la relación filosófica que se concentra en y se acompaña con la implicación a menudo olvidada de que la estructura de la obra parmenídea se presenta bajo una forma estética que acusa no sólo elementos prefilosóficos sino también un estilo que evoca rasgos de las composiciones poéticas precedentes, rechazando al mismo tiempo algunos de los giros propuesto por filósofos anteriores. En efecto, el poema épico-didáctico de Parménides arraiga en la Teogonía hesiódica a la vez que se aleja de la prosa introducida por Anaximandro.80 Su arquitectura remite a los grandes relatos de la antigüedad y también, al hallar elementos cosmogónicos y de divinidades como el Deseo o la Discordia81, se construye una atmósfera religiosa similar a la que crearon los grandes pedagogos del pasado. El proemio está plagado de referencias homéricas y especialmente hesíodicas82 mientras que la imagen del carro con dos ruedas tirado por un par de 77

Teeteto, 183e. Sofista, 237a. 79 Sofista, 241d. 80 Cfr. Jaeger, W. La teología de los primeros filósofos griegos, FCE, México, 1952, p. 95 y ss. 81 Parménides, Poema, A 37. 82 Cfr. Jaeger, W. Op. cit., p. 96. 78

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yeguas aparece en las Olímpicas de Píndaro.83 Toda vez que se trata de una producción artística (en el sentido amplio de la tékhnê griega) transida por un sentimiento religioso de intimidad donde la voz que guía es la de la diosa, tendiente además a despertar en el auditorio una suerte de empatía producida por el giro iniciático que supone el proemio, la forma de aparecer y desenvolverse del contenido de la enseñanza no puede ser un simple agregado o un accidente de lo que allí se dice. Más aún: ni siquiera es posible una separación tal entre forma y contenido sino desde una perspectiva meramente analítica que aquí no puede prosperar. Se trata más bien de una refinada dialéctica: aquella que media entre la exposición del pensamiento a la lengua en su forma apareciente y loque-aparece quedando de inmediato sujeto al lenguaje, tal vez a su pesar, como sucede en algún caso que el propio Platón se encargará de mostrar. ¿Pero qué es eso que aparece? ¿Qué se ofrece en el poema? ¿Qué se da, se dona, se abre allí? Principalmente los principios lógicos y los axiomas del pensamiento a partir de los cuales se regirá Occidente en adelante. Es eso lo que se encuentra en 25: “Bienvenido seas, tú, que llegas a nuestra mansión con los caballos que te traen; / pues no es un hado infausto el que te movió a recorrer / este camino –bien alejado por cierto de la ruta trillada por los hombres–, / sino la ley divina y la justicia. Es necesario que conozcas toda mi revelación, / y que se halle a tu alcance el intrépido corazón de la Verdad, de hermoso cerco, / tanto como las opiniones de los mortales, que no encierran creencia verdadera”. Allí se prescribe el horizonte de comprensión de lo que sigue; se localiza su carácter legal y divino: “Voy a decírtelo ahora mismo, pero presta atención a mis palabras, / las únicas que se ofrecen al pensamiento de entre los caminos que reviste la búsqueda. / Aquella que afirma que el Ser es y que el No-Ser no es, / significa la vía de la persuasión puesto qué acompaña a la verdad [...]”84.Y luego de afirmar que nada puede expresarse acerca del No-Ser, el poema se dedicará al escrutinio de los atributos del Ser. Lo que aquí se establece en definitiva son las férreas reglas de la especulación clásica que, aunque inseparables del planteo metafísico, pueden ser aisladas formalmente: identidad y no contradicción.

83 84

Píndaro, Olímpicas, 6, 22-26. Parménides, Poema, Fr. II.

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La dialéctica que arroja prospectivamente la obra de Parménides es la de un equilibrio entre la fundación racional del pensamiento –que incluye la estabilidad identitaria esgrimida contra Heráclito– y la forma pretérita de la transmisión poética, caracterizada por la repetición, la memorística, el pedagogismo y la marcada presencia de lo divino. Dado que ni los elementos líricos de la composición ni el contenido de la misma resultan accidentales ni independientes, el equilibrio –tenso– que alcanzan roza la honda esencia de la apertura filosófica parmenídea, en tanto no se observa allí otra cosa que el encuentro entre lo viejo y lo nuevo, la convocación de los grandes padres y el cambio, a manos de la verdad lógica, por un modo de pensar acumulativo y próximo a un esquema deductivo. Pero dicho equilibrio significa aquí más de lo que podía preverse. Se enclava en su corazón el instante pacífico en que el despuntar filosófico cohabitaba con la formulación particularista y repetitiva del poema. En ningún otro lugar de la producción occidental85 se ha condensado de manera tan impresionante el rigor argumental lógico y la exposición en verso como en Parménides. Porque allí también se pronuncia incipientemente el máthema, casi un balbuceo, al borde de la letra, deseando inscribir la palabra filosófica, la enseñanza de la filosofía, con y a través de la racionalidad que le es inherente. Porque se muestra una complicidad íntima que reside en el carácter técnico de ambos; poema y máthema comulgan en tékhnê. Y es que el comienzo griego depende en gran medida de esa labor artesanal que extrae de las cosas el lógos que las enlaza entre sí. Yace en ese trabajo [érgon] no sólo la armonía con que los hombres y mujeres griegos entraban y gozaban de su mundo, sino también la más perfecta voluntad de saber que jamás se haya conocido, aquella que combina la ingenuidad radical, el asombro y el genio necesario para el descubrimiento del espíritu. Pero para ello fue necesaria esta instancia de equilibrio, todo un momento de estabilidad entre antagonistas que será luego disuelto por el asombroso gesto platónico de llamamiento al máthema y de obliteración del poema.

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Se me ocurre que otros grandes ejemplos han quedado definidos por la tradición –no causalemente– como propios del campo artísitico: Mallarmé, Borges, Joyce y, porqué no, Poe.

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Es en el interior de este circuito en donde Parménides postulará su célebre y críptico fragmento tercero: [...] tò gàr autò noeîn estín te kaî eînai ([...] IJઁ Ȗ੹ȡ Į੝IJઁ ȞȠİ૙Ȟ ਥıIJȓȞ IJİ țĮ੿ İੇȞĮȚ.)

La traducción, sumamente dificultosa, podría rezar de manera casi literal: “[...] porque lo mismo es pensar y ser”. Si bien los eruditos no se han puesto de acuerdo acerca de la manera de verter el pasaje y menos en su interpretación final, es posible aseverar la existencia de una relación irreductible, y por tanto básica, entre ser y pensar. La complementación de este verso con 34-36 complejiza aún más el terreno. En cualquier caso, el peso de la exégesis deberá residir en el significado de tò autò como ámbito de reunión de lo estín y eînai, haciendo de la comprensión que se tenga de esta oscura sentencia y de la mismidad allí yaciente, el centro de un principio de lectura que permitirá comprender el eje Parménides-Platón. Curiosamente, es Heidegger el que puede conducir el análisis mediante su escrito El principio de Identidad86 donde se dedica a evaluar el fragmento tercero bajo la directriz del pensamiento de la identidad y la diferencia. Allí reclama: La llamada de la identidad habla desde el ser de lo ente. Pero donde el ser de lo ente toma voz por vez primera y propiamente dentro del pensamiento occidental, en Parménides, allí habla tò autò , lo idéntico, en un sentido casi excesivo. Una de las frases de Parménides dice así: «Lo mismo es en efecto percibir (pensar) que ser.»87

Contra la determinación «metafísica» de la identidad, confundida no sólo con la igualdad –que requiere dos términos y no uno solo– sino también con una especificación que exige por principio la fijación temporal del ser como ente, Heidegger sostendrá que la recuperación del 86 87

Heidegger, M. Identidad y Diferencia, Anthropos, Barcelona, 1990. Ibíd., p. 61.

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profundo sentido de la identidad abierto por Parménides debe leerse en un texto polémico de Platón contra su maestro: Al describir de este modo lo idéntico, resuena una antigua palabra con la que Platón nos hace percibir qué es tal palabra que apunta a otra más antigua aún. En el diálogo «Sofista» 254 d, Platón habla de quietud y movimiento. En este pasaje Platón le hace decir al extranjero: «Ciertamente cada uno de ellos es otro que los otros dos, pero él mismo lo mismo para sí mismo.» Platón no dice sólo: «cada uno es él mismo lo mismo», sino, «cada uno es él mismo lo mismo para sí mismo».88

De ahí que Heidegger pretenda reflexionar acerca de la identidad entre ser y pensar en términos de mutua pertenencia, incluso a riesgo de precipitación. Hay en la identidad una salida, un tránsito y un posterior repliegue de lo mismo consigo mismo y para sí mismo. En la filosofía platónica, ese tránsito queda atado a varios conceptos ligados, a su vez, al ámbito de lo intermedio [tò metaxý], como sucede por ejemplo en el Simposio, donde la identidad es definida a partir de una dinámica de la reconciliación: “[...] de modo que el todo queda unido consigo mismo como un continuo”.89 Así se produce residualmente el esquema de la identidad, la materialidad de este tránsito dialéctico, que está soportado por figuras variables de lo intermedio encargadas de coligar el Todo consigo mismo y de establecer, de ese modo, lo idéntico a sí: eros, epithymía, philía, el lenguaje matemático, el filósofo. Dice Reale a propósito del tema: “Por eso Eros es como el filo-sofo, intermedio-mediador entre ignorancia y sabiduría; nunca completamente ignorante y nunca completamente sabio, sino siempre en busca de más sabiduría y de más riqueza de saber”.90 Todos ellos denotan una fuerza dinámica que tiende a la reunión de las cosas a partir del punto directriz de la Idea. Eso no se encuentra, empero, de manera directa en el poema de Parménides. Sencillamente, lo que allí ve Heidegger es una co-pertenencia de ser y pensar en el corazón de “lo mismo” que abre la traza de la iden88 89 90

Ibíd. Platón, Simposio, 202e6. Reale, G. Op. cit, p. 466.

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tidad, luego sepultada por el pathos de Occidente en tanto y en cuanto ha sido considerada como un mero atributo de la gélida estática del ente: El ser se halla determinado, a partir de una identidad, como un rasgo de ésta. Por el contrario, la identidad pensada posteriormente en la metafísica, es representada como un rasgo del ser. Por lo tanto, a partir de esta identidad representada metafísicamente no podemos pretender determinar la que enuncia Parménides. Aquí, lo distinto, pensar y ser, se piensan como lo mismo. ¿Qué quiere decir esto? Algo totalmente distinto respecto a lo que solemos conocer como enseñanza de la metafísica, a saber, que la identidad pertenece al ser. Parménides dice que el ser tiene su lugar en una identidad. ¿Qué significa aquí identidad? ¿Qué quiere decir en la frase de Parménides la palabra tò autò, lo mismo? Parménides no nos da ninguna respuesta a esta pregunta. Nos sitúa ante un enigma que no debemos esquivar. Tenemos que reconocer que en la aurora del pensar la propia identidad habla mucho antes de llegara ser principio de identidad, y esto en una sentencia que afirma que pensar y ser tienen su lugar en lo mismo y a partir de esto mismo se pertenecen mutuamente.91

Hasta ahí el análisis de Heidegger sirve para conmover la reflexión tradicional acerca de la identidad ayudando, simultáneamente, a una correcta interpretación del apotegma parmenídeo. En adelante se dedicará a indagar ya dentro de su propio marco filosófico por la diferencia ontológica y la mutua correspondencia entre Ser y Dasein. Pero, en lo concerniente a la cuestión que aquí se intenta develar, hay que ir más allá y preguntar: ¿Qué significa la mutua referencia entre ser y pensar actualizada por la comunión en “lo mismo”? Y más aún: ¿Qué significa esta delimitación para la fundación de la teoría del conocimiento clásica y cuál es la forma en que ésta es recibida y procesada por Platón? Todo ello tiene como objeto, vale recordarlo, una aproximación al suelo epistémico sobre el cual se recorta el problema del status ontológico de las matemáticas en la filosofía platónica. Pues bien, he ahí que la identificación de noeîn y eînai encubre un movimiento que, lejos de precisar una igualdad de dos términos o el punto de encuentro de ambos en un 91

Ibíd., p. 68.

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centro neutral, tiende a la sustracción de los límites que los localizan. ¿Se trata de una indiferencia del caos? En lo más mínimo. Por el contrario, la mismidad afirma un “darse” de la identidad en la que lo que a priori se presentaba como disímil se encuentra re-conocido en “lo otro” y recuperado como “lo mismo”. “Pensar” y “ser” son para Parménides nombres para “lo mismo” que conforman “el intrépido corazón de la Verdad”92 pues, en efecto, no hay nada que se ofrezca al pensamiento que no sea, ni nada en absoluto que sea que no pueda ser pensado. La intimidad queda resumida en 30: “Es una y la misma cosa el pensar y aquello por lo que hay pensamiento”. Lo que se desprende de aquí no es otra cosa que la imposibilidad misma de abordar en clave moderna a partir de una dualidad sujeto/ objeto.93 Para un griego post-parmenídeo el pensamiento es el acto de captación de la esencia de algo que se da, que se efectúa, en el pensamiento mismo. Dice Jaeger: “Parménides no puede tener duda alguna acerca de la existencia de este objeto, en cuanto que el ȞȠİ૙Ȟ mismo no es nunca realmente un ȞȠİ૙Ȟ salvo cuando conoce lo real”.94 La identidad 92

Parménides, Poema, 25-5. Incluso para defensores de una tesis que hace de la gnoseología griega una especie de anticipación de los desarrollos modernos, caben ciertas reservas ante la posibilidad de forzar cierto anacronismo brutal. Léase lo que dice al respecto Rodolfo Mondolfo: “Indudablemente, si comparamos la posición céntrica que tiene el problema del conocimiento en la filosofía moderna con la más limitada que tuvo la antigua, tenemos que admitir que ésta no alcanzó una conciencia tan profunda del problema como la moderna, desde Descartes y Locke hasta Kant y sus continuadores. Pero no faltó a los antiguos ni la conciencia del problema, ni la intuición, por lo menos en germen, de soluciones que han tenido trascendencia fundamental en la gnoseología moderna: y puede resultar una indagación singularmente interesante (al mismo tiempo que un acto de justicia histórica) el examen del desarrollo que ese problema tuvo en la filosofía antigua. […] El problema del conocimiento, en efecto, surge muy temprano en la filosofía antigua. Sin embargo, no puede presentarse explícitamente desde el comienzo de la filosofía: los problemas de la vida y del mundo se presentan más inmediata y directamente a la reflexión del hombre, que empieza por concebir a imagen de su vida individual y social la existencia del cosmos y las relaciones entre las cosas”. Mondolfo, R. La infinitud del espíritu y otros escritos de Córdoba, Editorial UNC, Córdoba, 2009, p. 57-58. Creo que el aporte de Mondolfo resulta iluminador dado que desea modelar la historiografía fuera de sus rígidos y fútiles cánones pero preservando la singularidad misma del pensamiento antiguo en su dimensión contextual. Eso es, creo yo, a lo que está apuntando cuando agrega que la investigación de este tópico en la filosofía griega constituiría un acto de justicia histórica. 94 Jaeger, W. Op. cit., p. 105. 93

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clama por la no-diferenciación temporal entre aprehensión y existencia, puesto que pensar y ser comparten, desde siempre, la eternidad en la que se recorta la esencia, la forma o el eîdos. Pero, más profundamente, la identidad prohíbe una exacta distinción ontológica en la que se disgreguen dos ámbitos discretos que, en su encuentro, estructurarían todo conocimiento posible. La indiscernibilidad ontológica está condensada por la lengua griega: tò autò designa no sólo “lo mismo” sino también “lo que es en sí”. Es el modo en que Platón usualmente designa la idea de X (por ejemplo: “la belleza en sí” o “el bien en sí”).95 La utilización de este término, en cuyo interior se fundan mutuamente la mismidad y “lo que es en sí”, señala la indistinción ontológica en la que permanecen “pensar” y “ser”, y esto es menos una falta que una determinación positiva de un espacio sumamente poderoso, quizás el más potente que jamás haya existido, sobre el cual se han asentado los mayores desarrollos de la filosofía y se han erguido los problemas que habrán dado paso a las diferentes épocas de su historia. Así, en el marco de una escolástica básica de la filosofía, esta concepción dialectizada de la copertenencia entre “ser” y “pensar” que hizo de la gnoseología griega la base para Occidente, pasó en el medioevo –en la mayoría de los casos– como la ligazón unificadora de los dos términos a través de la figura de Dios y luego, en la modernidad, a la pregunta por el “ser” del “pensar” como cristal de un sujeto-pilar de toda validación del conocimiento. Finalmente, el desarreglo radical entre ambos conceptos proveyó de la materia para el florecimiento del siglo XIX y especialmente del XX. La aparición de cierto escepticismo contemporáneo, ligado a las actuales tendencias logocentristas (sea bajo su forma analítica, sea bajo su forma hermenéutica) no hacen más que atestiguar que el defasaje entre “pensar” y “ser” –e incluso el juicio al que ambas nociones han sido sometidas por separado– conforman el terreno propicio para la totalidad de la filosofía contemporánea. También es cierto que la identidad presupone, en el marco de la mismidad, dos o más polos de intensidad diferencial. Elementos que tengan la capacidad de diferenciarse en el exiguo contraluz que provoca el vaivén de la mutua remisión. Entender este doble movimiento de la 95 Cfr. Platón, República, 525d. Allí justamente apela a la noción de “número en sí” [autón tôn arithmón]. Cfr. también, Platón, República, 510d.

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identidad, la dialéctica de identidad y diferencia, resultará clave para lo que sigue. Ha llegado pues el momento de insistir entonces en lo que no cesará de presentarse a la hora de intentar resolver la cuestión de la ex-istencia de los entes matemáticos según el planteo de Platón y decir categóricamente algo tan simple que a menudo es fuente de confusión, a saber, que no es viable utilizar la prescripción epistémica de Parménides para demostrar –y garantizar– la realidad “independiente” de “objetos” matemáticos que se encontrarían dispuestos entre las Ideas y las cosas en la jerarquía del ser y ello justamente a causa del complejo encastre de ser y pensar. Si algún fin poseen estas páginas preliminares es preparar el campo de debate que se dará, desde Aristóteles en adelante, acerca del carácter ontológico de las matemáticas en la obra platónica. El caso más patente de un uso inadecuado del poema de Parménides en el marco de la epistemología platónica se da en la lectura del símil de la línea dividida. Abordaré dicha cuestión en detalle a lo largo del capítulo quinto de la segunda parte. Quisiera presentar, sin embargo, algunas consideraciones relevantes a los fines específicos de este apartado. Suele insistirse en que la ausencia de un término específico que designe algo así como “objetos matemáticos” (pese a la referencia positiva a ‘Ideas’, ‘cosas’ y ‘reflejos de las cosas’) puede saldarse asumiendo, gracias a la identidad entre “ser” y “pensar”, que a cada una de las cuatro operaciones anímicas le corresponde un objeto específico. Pero sucede algo por demás llamativo al momento en que Platón comienza a enumerar los objetos que corresponden a cada parte de la línea: (A) Imágenes [eikónes] Platón dirá: “llamo ‘imágenes’ en primer lugar a las sombras [oikías], luego a los reflejos en el agua [ýdasi phantásmata] y en todas las cosas que, por su constitución, son densas [pykná], lisas [leîa] y brillantes [phanà], y a todo lo de esa índole”. 96 (B) La sección de la que (A) ofrece imágenes [Tò toínun hétero títhei ô toûto éoiken], a saber, “los animales [dzôs] que viven en nuestro derredor, así como todo lo que crece [pân tò phyteytòn], y también el género íntegro de las cosas fabricadas por el hombre [skeyaston hólon]”. 97 Ahora bien, cuando le

96 97

República, 509e. República, 510a6.

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toca pasar a la sección de lo inteligible98, la primera parte –que acabará por corresponderle al pensamiento matemático– comienza a marcar su reticencia a ser definida. En particular, lo que fueran sus ‘objetos’ anuncian su temperamento huidizo. ¿Qué indicadores nos da el diálogo de eso? 1. En lugar de recurrir a una enumeración de entes, como se venía efectuando, Platón enunciará: “Por un lado, en la primera parte de ella, el alma, sirviéndose de las cosas antes imitadas como si fueran imágenes […]” 99 Está claro que no puede dar tal enumeración. Es deductible también que hay algo de “impropiedad” peculiar de esta parte de la línea (en el sentido de que no hay algo que le sea propiamente propio, a priori perteneciente a ella) pues debe recurrir conceptualmente a las dos partes inferiores para explicar cómo se delimita su espacio de competencia. “Las cosas antes imitadas” son los objetos de (B), mientras que la posibilidad de tomarlos “como si fueran imágenes” sólo es experimentable a partir del conocimiento de (A). En este vaivén se manifiesta la sustracción de los hipotéticos ‘objetos’ de (C). 2. Inmediatamente después de que Sócrates expone la partición de la sección inteligible, Glaucón lo obliga a reformular su discurso denunciando la falta de claridad de lo anterior: “No he aprendido suficientemente esto que dices” 100–reclama el hermano de Platón. 3. Platón produce un movimiento magistral. Se trata de la primera captación de la esencia de las matemáticas desde un punto de vista metamatemático. Obsérvese la sutileza del siguiente párrafo: Sócrates: -Pues veamos nuevamente; será más fácil que entiendas si te digo esto antes. Creo que sabes que los que se ocupan de geometría y de cálculo suponen lo impar y lo par, las figuras y tres clases de ángulos y cosas afines, según lo que investigan en cada caso. Como si las conocieran, las adoptan como supuestos, y de ahí en adelante no estiman que deban dar cuenta de ellas ni a sí mismos ni a otros, 98 99 100

República, 510b. República, 510b5. República, 510b14.

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como si fueran evidentes a cualquiera; antes bien, partiendo de ellas atraviesan el resto de modo consecuente, para concluir en aquello que proponían al examen.101

Sugiero dividir el texto del siguiente modo: (a) enumeración parcial de las nociones supuestas por los matemáticos; (b) descripción del proceso dianoético. Como puede verse, ningún rastro hay aquí de lo que pudiera ser la materia específica con la que trabaja un matemático, nada de lo que allí es manipulado, tenido por ob-jeto. Por el contrario, sólo se da cuenta de “lo que está antes” –es decir los supuestos–, “lo que está después” –la conclusión– y “lo que está en el medio” como simple proceso o actividad aquí condensada en el sintagma traducido por “atraviesan” [diexióntes teleytôsin]. Los supuestos, y por cierto la conclusión permanecen incólumes. Más adelante dirá que los geómetras “se sirven de supuestos dejándolos inamovibles”102. Lo que se atraviesa es tà loipá,103 “el resto”, lo indeterminado que excede la regla general de la situación. Resulta ser que gran parte de esta esencia tiene que ver con el carácter sustractivo del ‘objeto’ matemático, con la falta misma del sitio donde se lo convoca y donde se esperaría que se presentara. Y el máthema, en lugar de advenir, elude, seduce apareciendo y borrando su existencia al tiempo que no queda más que su singladura. 4. En 511a, al intentar definir el máthema, se dirige a las figuras visibles que trazan los geómetras. Aparece una referencia enigmática a “aquellas cosas en sí”. La traducción castellana, sin comprometerse en efecto con la posibilidad de que “aquellas cosas en sí” designen entes matemáticos, no deja por ello acusar falencias en algún punto. El griego reza autá ekeîna, donde ekeîna tendería a precisar algo, “aquello, aquéllas, ésa”. Pero dado que aquí yace con el autá que funciona como su atributo, es decir, lo que cualifica como “en sí” a ekeîna, lo que sucede es que ese pronombre se dirige hacia su difuminación. No pareciera 101

República, 510c. Platón, República, 533c3. 103 En el Timeo, 53c se encuentra una construcción muy similar donde refiriéndose a “atravesar la demostración”. 102

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haber allí nada que pueda traducirse limpiamente por “cosas”; en cambio, podría pensarse en algo así como “eso en sí”, “aquello en sí”. La reticencia lingüística anuncia, otra vez, la dificultad de asir el fenómeno del máthema. 5. La única construcción –en todos los diálogos– que parecería explicitar algún tipo de entidad a la que se debe el pensamiento discursivo [diánoia] es la de 510e, cuando refiere “discurriendo en vista al Cuadrado en sí y a la Diagonal en sí”. Sobre este punto, sumamente delicado, no puede haber más que una decisión interpretativa: considerar que “el cuadrado en sí” [toû tetragónou autoû] y la “diagonal en sí” [diamétrou autês] se refiere a la Idea del cuadrado y a la Idea de la diagonal respectivamente o si se trata de otro tipo de ‘entidades’ que son tomadas en sí. Un caso similar se presenta en República 525d con la utilización de autôn tôn arithmôn. Acuerdo aquí con Paul Shorey 104, quien argumenta contra la Introducción a la República de Adam, que la utilización de autôn en este caso –y es posible extenderlo a los anteriores– apela a las Ideas en sí mismas y no a un tipo de entidades matemáticas discretas, separadas y esenciales en tanto definidas en y por sí mismas. Deberé prevenirme al mismo tiempo de asumir una posición nominalista que sostendría que los números son meras designaciones para otro tipo de entes (en este caso las Ideas) y para las relaciones entre ellos. Nada más lejos de mi postura. Sólo intento hacer notar la ambigüedad del lenguaje al que Platón somete este pasaje, recurriendo al término más usual para referir a las Ideas, autôn, ligándolo a nociones matemáticas. Lo indiscutible es que una ambigüedad tal resulta deliberada y sintomatiza la pérdida del máthema detrás de la brillantez de la Idea y sólo bajo la marca de lo sensible. Quizás autón permita abrir un campo específico, peculiar y propio del máthema no comprometiéndose por ello con la existencia de ‘entidades’ intermedias. Aquí el complemento perfecto está dado por lo que bulle en la quinta hipótesis del Parménides. Creer 104 Shorey, P. Ideas and Numbers Again, Classical Philology, Vol. 22, N° 2, (Apr. 1927), pp. 213-218. Los argumentos de Shorey son convincentes caso por caso. No tiene sentido reproducir aquí todo el texto, sobre todo si se considera que alude a una controversia entre el autor y el propio Adam.

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en el síntoma o reventar: allí, a partir de 160b, la intencionalidad platónica se dirige a demostrar que, dado que “un Uno no es”, se sigue que hay un ente uno que no existe y que este ente inexistente puede conocerse y distinguirse de las otras cosas. El centro de mi análisis aquí depende de la conceptualización de esta posibilidad: hay un ente, con capacidad de diferenciarse, que, inexiste y, sin embargo, puede conocerse. Que sea Platón mismo el que completa el análisis y extrae todo su despliegue a través del máthema no puede sino perfilar el gigantesco vórtice que esto debería significar para el desarrollo ulterior de la filosofía. Hay algo de monumental y de maravillosamente desatendido en esa intuición. Preveo que ningún análisis ontológico relevante –esté abocado a Platón o no– podrá soslayar la densidad de esa partida crucial sino al precio de su propia debilidad.105 Lo que conduce al sexto y último punto de esta disquisición. 6. De este desplazamiento hacia las Ideas, Platón pasa sin previo aviso, abruptamente, a otro ámbito, ahora habitado por las cosas sensibles. El movimiento encierra una línea que sube y baja rápidamente pero sin detenerse en la localización de entidades de ningún tipo. Para ser precisos, habrá que mencionar que el comienzo del trazo yace en 510b6 –como se dijo en (1)– : “sirviéndose de las cosas antes imitadas como si fueran imágenes”, donde Sócrates pone el acento en los objetos susceptibles de ser conocidos a través de los sentidos. Luego, ya en la continuación de lo que aparecía bajo el signo de la Idea, dirá: “De las cosas mismas que configuran y dibujan hay sombras e imágenes en el agua, y de estas cosas que dibujan se sirven como imágenes”. Que oscile tan raudamente entre la invisibilidad máxima de la Idea y la cruda inmediatez de las cosas no puede sino indicar que el máthema emerge simplemente como la marca de esta dinámica. Su status ontológico no es entonces nulo, sino peculiar. Por todo esto es que sólo una mala interpretación del sentido de la identidad puede conducir al establecimiento de tal correspondencia

105 El mejor análisis que conozco sobre este punto es el de Cornford. Cfr. Cornford, F.M. Platón y Parménides, La balsa de la Medusa, Visor, Madrid, 1989, pp. 309 y ss.

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biunívoca106. El presupuesto de que la identidad puede ser leída como una igualdad, sostenida por dos instancias claramente separadas, ha gobernado la historia de este error y no tanto el hecho de retrotraerse hacia la teoría del conocimiento fundada por Parménides. Eso muestra también la otra cara de mi interés por recuperar la apertura parmenídea: evadir ese malentendido que no ancla sino en el deseo metafísico de una estabilización reificante toda vez que en su punto focal, el máthema, se encuentra la marca de la indecidibilidad. La irresoluble tensión entre las mostraciones de la identidad, entre “ser” y “pensar”, constituye el material cuyo cuerpo alimenta lo indecidible. Existe una segunda razón de la recuperación de Parménides como un sitio válido de la fundación proto-platónica, pero al que se debe acceder de manera cautelosa. Curiosamente, no se ha recaído sobre aquélla 106 La posición de Reale es diamentralmente opuesta a la mía sobre este aspecto. Él dice: “Ahora bien, dado que Platón identificaba la diánoia precisamente con los conocimientos matemáticos, es evidente que los correspondientes entes inteligibles presupuestos por la diánoia son precisamente esos «entes matemáticos» de que hablan las «Doctrinas no escritas», que constituyen el plano intermedio (metaxý) entre las puras Ideas y lo sensible”. Reale, G. Op. cit., p. 356. No encuentro aún de dónde Reale puede concluir que “es evidente” esa correspondecia entre la sección relativa a la dianoia y aquellos «entes matemáticos». Él mismo nota la falta de respaldo del argumento y prosigue: “Esta tesis ha tenido desde hace tiempo sus defensores pero también ha recibido diferentes críticas basadas en el hecho de que Platón no habla expresamente de estos «intermedios» en nuestro diálogo. Ahora bien, a la luz de las «doctrinas no escritas» todo resulta muy claro. Platón evitó hablar en la República expresamente de ello siguiendo el habitual criterio de economía doctrinal”. No alcanzo a comprender cómo Reale logra, asumiendo que no hay ninguna mención explícita de tales entes en los diálogos, defender la tesis contraria. Incluso más: si he podido mostrar en el capítulo segundo de la primera parte “Abandono de la perspectiva de Tubinga-Milán y breve anticipación de las consecuencias hermenéuticas de la suscripción a la hipótesis de lectura” cómo funciona realmente lo que Reale llama la “economía doctrinal” menos sentido tiene aún la defensa del paso de la cuestión matemática al ámbito de la oralidad. Y, para peor, Reale intenta defender el silencio deliberado de Platón apelando con muy mal criterio –y con cierta tendenciosidad– a República 534a. Ese pasaje no sólo no pertenece al texto que refiere a las matemáticas en el símil, sino que Reale simplemente establece una conexión nominal, superflua en este caso, entre proporción y matemáticas, aludiendo que eso muestra la reticencia platónica. Por el contrario, en el pasaje, Platón evitará pronunciarse sobre la relación proporcional existente entre las distintas secciones de la línea y no sobre la cuestión matemática en sí misma. Obsérvese cuidadosamente: “[…] En cuanto a la proporción entre sí y a la división en dos de cada uno de los ámbitos correspondientes, o sea, lo opinable y lo inteligible, dejémoslo, Glaucón, para que no tengamos que vérnoslas con discursos mucho más largos que los pronunciados anteriormente”. República, 534a.

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lo suficiente en lo referido al tema de las matemáticas. Ésta aduce un elemento positivo, posibilitador incluso de la hipótesis de lectura que sugiero. Se trata del mentado «parricidio» que tiene lugar en el Sofista. Allí Platón, encarnado en el Extranjero de Elea, propugna en contra de Parménides que el no ser es. La situación queda ilustrada a partir de este bello pasaje: Extranjero:-Entonces te pediré un favor aún mayor. Teeteto:-¿Cuál? Extranjero:-Que no supongas que soy capaz de cometer una especie de parricidio. Teeteto: ¿Qué? Extranjero:-En efecto, para defendernos, debemos poner a prueba el argumento del padre Parménides y obligar, a lo que no es, a que sea en cierto modo y, recíprocamente, a lo que es, a que de cierto modo no sea. Teeteto:-Es evidente que en la argumentación habrá que sostener con energía algo de esta índole. Extranjero:-¿Cómo no será evidente, que hasta un ciego, como suele decirse, lo vería? Pues hasta que no se refute o no se admita lo dicho, será en vano pretender hablar de discurso o de pensamientos falsos, y de imágenes, figuras, imitaciones y simulacros, así como de las técnicas que se ocupan de ellos, sin caer en el ridículo al verse uno obligado a contradecirse a sí mismo. Teeteto:-Es la pura verdad. Extranjero:-Por eso hay que osar enfrentarse ahora al argumento paterno, o dejarlo por completo tal como es, si algún escrúpulo nos impide hacerlo. Teeteto:-Nada nos lo impedirá. 107

Y luego de esta solemne preparación, el trastorno quedará condensado: Extranjero: - Entonces, según parece, la oposición de una parte de la naturaleza de lo diferente y de aquélla del ser, contrastadas recíprocamente, no es menos real –si es lícito decirlo– que el ser 107

Sofista, 241d.

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mismo, pues aquélla no significa lo contrario de éste sino sólo esto: algo diferente de éste. Teeteto: - Está clarísimo. Extranjero: - ¿Y cómo la llamaremos? Teeteto:- Es evidente que la llamaremos “no ser”, que es aquello que buscamos a causa del sofista. Extranjero: - ¿Entonces, como tú dices, no es para nada inferior a las otras realidades, y se debe tener el coraje para decir que el no ser existe firmemente, y que tiene su propia naturaleza, así como lo grande era grande y lo bello era bello, y, a su vez, lo no grande era no grande y lo no bello, no bello, de tal modo que el no ser en sí era y es no ser, como una forma contada entre muchas otras? ¿O nos queda aún cierta desconfianza al respecto. Teeteto? Teeteto: - Ninguna. Extranjero: - ¿Sabes que hemos desobedecido a Parménides más de lo permitido? Teeteto: - ¿Qué? Extranjero: - Nosotros, yendo en nuestra búsqueda más allá de lo que él permitía examinar, hemos llegado a una demostración. Teeteto: ¿De qué? Extranjero: - Él dice aproximadamente: “Que esto nunca se imponga: que haya cosas que no son. Aparta el pensamiento de este camino de investigación”. Teeteto: - Así dice. Extranjero: - Y bien: nosotros demostramos no sólo que existe lo que no es, sino que pusimos en evidencia la existencia de la forma que corresponde al no ser. Una vez demostrada la existencia de la naturaleza de lo diferente, así como su repartición a lo largo de todas las cosas que existen –las unas en relación a las otras–, nos atrevemos a decir que cada parte suya que está opuesta a lo que es, es realmente, ella misma, lo que no es. Teeteto: Y a mí me parece, Extranjero, que se ha dicho la máxima verdad. Extranjero: - Que no se diga, entonces, que, cuando nos atrevemos a afirmar que el no ser existe, hacemos alusión al contrario del ser. En efecto: respecto del contrario del ser, hace tiempo que le hemos dado la despedida, exista o no, sea captable racionalmente o sea completamente irracional. Sobre lo que acabamos de decir acerca de

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la existencia del no ser, que algún refutadote nos convenza de que no hablamos correctamente, o, en la medida en que ello no sea posible, que se diga lo mismo que decimos nosotros, es decir, que los géneros se mezclan mutuamente, y que el ser y lo diferente pasan a través de todos ellos, y recíprocamente entre sí, y gracias a esta participación lo diferente, al participar del ser, existe, pero no es aquello de lo que participa, sino diferente, y al ser diferente del ser, es necesariamente, y con toda evidencia, algo que no es. El ser, por su parte, como participa de lo diferente viene a ser diferente de los otros géneros, y al ser diferente de todos aquellos, el no ser no es cada uno de ellos, ni la totalidad de ellos, sino sólo él mismo; de este modo –indudablemente– el ser, a su vez, no es infinitas veces respecto de infinitas cosas, y las demás cosas, ya sea individual o colectivamente, en muchos casos son, y en muchos otros, no son. Teeteto: -Es verdad.108

Lo que aquí se ilustra en primer término es la transgresión platónica. Teeteto y el extranjero van “más allá de lo permitido” por Parménides. Pero la clave está en que, a pesar del quiebre de la prescripción, se ha alcanzado una demostración, una verdad. De modo que se prueba, tácitamente, siguiendo la enseñanza heraclítea109, que también hay verdades en aquello desconocido y a priori ilegal. No puede dejar de evocarse aquí el esquema de lo indecidible cuya verdad estaba garantizada pese a no poder ser verificada su pertenencia o no a la situación. Pero ¿qué se descubre más allá de Parménides? ¿Se lo contradice directamente? Está claro que no. Platón dirá: “Que no se diga, entonces, que, cuando nos atrevemos a afirmar que el no ser existe, hacemos alusión al contrario del ser. En efecto: respecto del contrario del ser, hace tiempo que le hemos dado la despedida, exista o no, sea captable racionalmente o sea completamente irracional”. Sobre esa cuestión lo dictaminado por el maestro sigue indemne. Lo que excede el planteo parmenídeo será otra cosa. Eso otro, ese resto se dice así: lo diferente es. (“[…] y gracias a esta participación lo diferente es, al participar del ser, existe”). Y lo que es excedido es pre108

Sofista, 258a11 – 259 b7. Heráclito, Fragmento 18: “Si no se espera lo inesperado, no se lo encontrará. Así de arduo y difícil es”. 109

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cisamente el ser, en tanto lo diferente, que es, resulta diverso de éste: “[…] pero no es aquello de lo que participa [del ser], sino diferente, y al ser diferente del ser, es necesariamente, y con toda evidencia, algo que no es”. Lo que nace del seno del ser, pues participa en él, es la diferencia como entidad, como algo que es. Sin embargo, ésta exige una salida automática de la fijeza del ser y un posicionamiento como su otro. La huida es quizás la confesión del parricidio. Hay algo más, algo «más allá» del ser, que sin embargo participa del éste y que no es el ser mismo: se trata, “con toda evidencia”, de algo que no es. ¿Qué es este no ser que posee una cuota mínima de ser y que se promulga bajo el signo de la diferencia? ¿Por qué Platón distingue de entre todos los géneros al ser y a lo diferente y los hace a éstos atravesar a todos aquéllos (“[…] y que el ser y lo diferente pasan a través de todos ellos”.)? La separación da cuenta de la preeminencia que tenían para él ambos conceptos, eso está claro. Y lo que se dice allí es que la inclusión de la diferencia presupone la infracción de la norma. Pero lo que no se menciona es que esa aparición de la diferencia es forzada por el pensamiento mismo, por ese lógos que toma conciencia de sí e, inclinándose hacia la verdad como se debe hacer, admite la entidad de lo que es diferente del ser, sólo como efecto residual de una argumentación mayor (“Es evidente que la llamaremos “no ser”, que es aquello que buscamos a causa del sofista”.). Platón quiere y no quiere poner a jugar el riesgo de la diferencia. Sabe que es necesario admitirla, pero también encuentra en ella el abismo que puede derribar todo edificio especulativo. De ahí que tenga que introducir la salvedad que atenúa el parricidio: la diferencia, es algo controlado por la participación de “la naturaleza de lo diferente” en el ser mismo. No obstante ello, es el paso incierto que no alcanza nunca a culminar, por lo que será necesario ponerlo en relación con la inscripción de las matemáticas en la obra platónica. Por eso recalcaba hace un momento que la refinada dialéctica de la identidad y la diferencia permite comprender este terreno preparatorio para el máthema. La transgresión platónica es también en el fondo deseo meta-físico que, gobernado por la metáfora de la segunda navegación, pretende la superación del monismo eleático.

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¿Cuál es el objeto de seguir aquí el giro platónico? ¿Qué entraña esta operación que pueda arrojar luz sobre la constitución del máthema? Y bien, el paso es tan certero, tan indudablemente valioso, que se impone proyectarlo sobre la cuestión que aquí me ocupa. El movimiento posee la capacidad de dejar intacta la indiscernibildad de “ser” y “pensar” para todo caso positivo de la identidad, a la vez que extiende cuidadosamente el dominio del pensamiento hacia el no ser, bajo el nombre de la diferencia. Formalmente, podría resumirse así: mientras que todo ser es indiscernible del acto de captación que lo localiza (de ahí la fuerza que cobra dimensionar en su justo término vocablos como idéa o eîdos), no todo pensamiento, que es, lo es respecto del ser. Es decir: es posible que el pensamiento aprehenda el no ser entendido como “lo diferente” respecto del ser. Por eso, la ampliación adquirida por el abandono de la prescripción paterna es clave para el gesto de intrincación entre matemáticas y filosofía. Platón no sólo deviene una síntesis omniabarcante del pensamiento griego gracias a su ruptura con la ley, también brinda las condiciones para el surgimiento del máthema. La razón es tan inmediata como difícil de ver: Eectúa una revolución ontológica y ello compete por igual a la doble raíz óntos y lógos. Ya nada podrá salir limpio de la nueva obligación que asigna al no ser un grado (ínfimo) de ser, puesto que lo que allí sucede es un sobrecompromiso del alcance del lógos en función de su poder-decir, su poder de-signar, lo que se ofrece al pensamiento. El tránsito sólo es susceptible de ser calculado siguiendo una variante de mi hipótesis: es posible una suerte de pensamiento instituyente que, lejos de debatirse entre la falsa dicotomía moderna entre, por una parte, antirrealismo (o conformación de los conceptos a partir de la actividad mental) y, por otra, un realismo básico, soporta el peso de lo indecidible en la medida en que cada entidad [matemática] es actualizada y cobra absoluta realidad en toda presentación de sí misma, sólo en referencia a las Ideas y, simultáneamente, en función de su localización empírica; sustrayéndose sin embargo a la doble fijación establecida, por un lado, por la eternidad de las Formas y, por otro, por la sensibilidad omnipresente que es inherente a todas las cosas. El nombre que brota es el de la diferencia, lo que no-es tal cosa, la negatividad como existente. No quiero extenderme demasiado sobre el efecto desorganizador que ubica como centro de las contemporáneas “filosofías de la diferencia” a

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lo indecidible, pero sí establecer que dicha noción se halla esencialmente asociada a la de diferencia en el punto exacto en que el máthema despierta en la filosofía. La diferencia es lo que nunca puede aprehenderse de inmediato, es lo que cambia, lo que está sujeto al devenir aunque pueda ser delimitado conceptualmente. Y el máthema es precisamente eso: el gesto de diferenciarse de las Ideas y de las cosas. Quizás no haya nada más que pueda afirmarse acerca del pensamiento matemático que eso, que el ademán sustractivo, el abandono y quita de los lugares asignados, que éste encarna. Lo que violentamente grita y desordena sin poder acoplarse de inmediato a un saber estatuido. He ahí su dominio: él no es el ser, aunque participe “de un modo difícil de explicar”, como Khôra, del ser mismo. Por ello es que la preparación ontológica que admite la existencia de la diferencia se vuelve insoslayable a la hora de comprender el emplazamiento de las matemáticas en el texto platónico. Puede ya entreverse la viabilidad que otorga este giro onto-lógico para la implantación del vacío matemático en la filosofía, en las cosas, en el mundo de la pólis. Si lo indecidible es una persistencia sustractiva, «algo» que no puede ser apresado por las reglas lingüísito-políticas de un tiempo, la factibilidad de la designación del no-ser arrastra consigo la facultad de hacer advenir, súbitamente, lo que permanece impresentado y hasta prohibido por la lengua, en el centro de esa lengua, provocando una implosión paradojal y una revuelta política en el mismo momento. La sublevación platónica contra Parménides es punto a punto isomorfa con la incrustación del dispositivo matemático como condición de todo pensamiento posible. De ahí que sea el efecto desestabilizante de ambos procedimientos lo que los reúna desde una perspectiva extendida del problema. Podría incluso decirse –intentaré mostrarlo con el correr de las páginas– que el máthema será la culminación de este giro que va desde el imperio absoluto del ser hacia el deseo (lingüístico) arrojado hacia lo que no-es [mê ón]; es posible hablar de aquél sin necesidad de situarlo, al menos en proyecto homogeneizador, en la jerarquía de los seres tensada por las Ideas –o quizás los primeros principios, aunque no es algo que me competa dirimir– y los reflejos o imágenes de las cosas sensibles. Por lo demás, pretendo que el análisis detallado de los diálogos ayude a completar lo que aquí se manifestare como insuficiente. Pero antes, habrá que detenerse sucintamente en los diferentes planos que configuran el ámbito de nacimiento del máthema.

CONTEXTOS DEL MÁTHEMA

Para obtener un significado dinámico de la inserción de las matemáticas en la filosofía griega, hay que reparar en tres pilares sustanciales con el objetivo de construir una especie de fenomenología del máthema, un escrutinio tanto de sus condiciones materiales –en el sentido de sitios socio-históricos concretos– como de los vestigios que éstas han dejado adheridos a su constitución ontológica. El detalle de cada proceso atiende entonces no sólo al deseo de emplazar correctamente el instante que representa para la historia del pensamiento la intrincación de matemáticas y filosofía, sino también un intento por decodificar los canales de reconstrucción del problema, en la medida en que cada uno convoca dificultades historiográficas. Por lo demás, la resultante será una cartografía que contempla en simultáneo a la(s) situación(es) lingüísticopolítica(s) donde se produjo el advenimiento de lo indecidible.110 El análisis posee tres partes: 1. Encuentro –violento– entre oralidad y escritura. De aquí no sólo se desprenden consideraciones puntuales sobre el carácter ontológico del máthema sino también, en un plano diferente, acerca de las vías de transmisión y enseñanza del mismo. Éstas condicionan, de manera lateral, una decisión acerca de la línea hermenéutica a seguir en la interpretación de la obra de Platón. 110

Ver cuadro comparativo en “Diagramas” al final de esta tesis.

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2. Apogeo y caída de la democracia ateniense. 3. Importancia de la compilación de los Elementos de Euclides hacia finales del siglo III a.C. Discriminación de los componentes platónicos de la matemática allí recogida.

1.

ORALIDAD Y ESCRITURA - Pues bien, oí que había por Náucratis, en Egipto, uno de los antiguos dioses del lugar al que, por cierto, está consagrado el pájaro que llaman Ibis. El nombre de aquella divinidad era el de Theuth. Fue éste quien, primero, descubrió el número y el cálculo, y, también, la geometría y la astronomía, y, además, el juego de damas y el de dados, y, sobre todo, las letras. Fedro, 274c

La cuestión del choque entre oralidad y escritura resulta por demás espinosa no sólo porque depende, como la mayoría de los datos aquí consignados, del irregular registro historiográfico sino también porque abre prospectivamente dos líneas de indagación. La primera, que se debería abocar al intervalo dado entre los siglos VII y V a.C., responde a la pregunta directriz que indaga si la escritura ha tornado posible, o al menos fomentado, el pensamiento abstracto. La meditación acerca del máthema como instancia de dicho pensamiento es capital, sobre todo si se considera la dificultad que se encuentra al querer desentrañar si es factible o no un desarrollo matemático sin una plasmación escrita. La segunda línea involucra elementos metodológicos y hermenéuticos y los proyecta sobre este par específico: del juego entre oralidad y escritura podrían extraerse consecuencias relevantes para la interpretación de la obra platónica. Hay que pensar básicamente en los descubrimientos efectuados por la Escuela de Tubinga-Milán, cuyos defensores han visto en la tradición indirecta y en la postulación de los ágrapha dógmata la posibilidad de una salida coherente y acabada del paradigma schleiermacheriano. Dado que ya me he referido a esta cuestión en el capítulo segundo de esta primera parte, no me detendré nuevamente sobre el mismo. Sin embargo, considero que quizás de la solución que se le brinde a los problemas planteados por la mencionada dialéctica será posible fundamentar –en parte– la adopción o el rechazo del la perspectiva de Tubinga-Milán, aunque ello

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deba centrarse en dos momentos discretos que no deben confundirse: (a) el que define el carácter ontológico del máthema y (b) el que precisa la vía de transmisión de la enseñanza matemática. La escritura alfabética, probablemente de origen fenicio, fue introducida hacia el siglo VIII a.C en la cultura griega. Ella significó una revolución porque permitía registrar de manera perdurable lo que con anterioridad era transmitido por vía oral y porque excedía cualquiera de los intentos previos de dominio sígnico de la lengua, toda vez que se trató de una escritura alfabética (que poseía consonantes importadas del sistema semítico y vocales añadidas) con una potencia expresiva y una flexibilidad inéditas. Durante todo el arco en el que coexistieron la antigua civilización de la oralidad y la de la escritura, el lenguaje griego estuvo gobernado por un esquema memorístico, de transmisión oral que insistía sobre la repetición y la recitación, a veces acompañada por la danza como vehículo del conocimiento, de narraciones que involucraban personajes particulares inmersos en situaciones también individualizables. Esta estructura estaba fundada en unas fuertes codificaciones político-religiosas que dependían por entero de la forma de traspaso de los mensajes de la tradición. Por eso, una de las características del lenguaje de la Grecia oral consistía en que narraba actos y sucesos concretos a partir de un soporte basado en el proceso rítmico que estimulaba la memoria; no cabían ni lo universal ni lo general en este marco. Poco del orden de lo abstracto podía darse hasta la inclusión de la escritura que sí conferiría en cambio: (a) un esquema temporal nuevo posibilitante de la reflexión y dueño de cierto intervalo obligado entre un suceso y su plasmación por escrito (dicho intervalo podría también darse en lo oral pero no por definición, como sí viene dado en la escritura); (b) posibilidad de formalizar –hacer equivaler algún grafo a algún concepto– con mayor potencia analítica en la medida en que, aún compartiendo el grafo cierto carácter “físico” con la voz liberada, exige un grado de permanencia superior en el campo de percepción. En este sentido, Prieto Pérez dice que: Las culturas orales no sólo difieren, con respecto a las culturas escritas, en lo que hace a los modos de expresión, sino también en cuanto se refiere, como ya hemos comenzado a ver, a los procesos

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mentales. ¿Cómo armar, en ellas, una compleja solución analítica? Por contraposición a un contexto escrito, ellas tienden a ser: - Acumulativas antes que analíticas. - Conservadoras y tradicionalistas, por cuanto concentran sus energías en mantener más que innovar; la escritura, al liberar la mente de las funciones repetitivas y memorísticas, habilita espacio y energía para lo nuevo. - Próximas al mundo vital inmediato, y, por ello, volcadas sobre lo situacional y operativo. - De matices agonísticos no sólo en su expresión verbal, sino también en su estilo de vida, al primar la acción, -y por ende el conflicto- en vez de la reflexión. - La educación se promueve por empatía o identificación, en vez del distanciamiento, lejanía y objetividad que la escritura depara en cuanto técnica de separación entre sujeto y objeto.111

Los desarrollos de Bruno Snell en su libro de 1963 Las fuentes del pensamiento europeo, hacen hincapié por su parte en que los hombres de la cultura oral podían expresar –y comprender– más bien acciones que conceptos abstractos, más bien la actividad de ver que la función de la vista. Dice Snell en consonancia con Prieto Pérez: “Hace tiempo que se observó que en lenguajes relativamente primitivos la abstracción no se halla desarrollada, y que, en compensación tales lenguas poseen una riqueza de expresiones referentes a lo concreto sensible, que no se encuentran en lenguas más desarrolladas”. 112 Sin embargo, la penetración de la escritura fue un lento y paulatino proceso. Hasta el siglo VI se revela la existencia de memorizadores [mnemones] que conservaban ciertos datos del pasado para ser reproducidos, y puede percibirse que el primer esfuerzo de mixtura arroja como resultado textos entretejidos por lo oral y lo escrito ya que han sido producidos por el intento de volcar una antigua sabiduría en la inscripción sensible de algún material. El teatro fue otro modo de la resistencia mimético-oral que permaneció en la pólis. Por lo demás, la tragedia y la democracia han sido desde siempre claras deudoras de la oralidad tradicional, aún cuando la 111

Prieto Pérez, J.L, Oralidad y escritura en la Grecia arcaica, s/d. Disponible en Internet, al 30/11/2009, en http://serbal.pntic.mec.es/~cmunoz11/prieto.html 112 Snell, B. Las fuentes del pensamiento europeo. Madrid, ed. Razón y Fe, 1965.

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forma escrita de la ley –visible para todos, ante todos, en marcas sobre piedra para conocimiento general– condensara parte de su espíritu. La escritura poseyó hasta el siglo V una función meramente práctica y organizacional: registros, listados y detalles de documentos públicos y privados. Empero, el avance será tal durante ese siglo y el siguiente que la misma adquirirá una fisiología completamente nueva. Ya en el 403 un decreto de Eucleides crea el Metrôn (archivo de la ciudad) y se suceden una serie de eventos que atestiguarán la estabilización del modo escritural para ciertas actividades públicas. La escritura fue extendida a casi la totalidad de las actividades ciudadanas y el manejo accesible de los signos fue generalizado. Al parecer, su crecimiento ha ido de la mano con un tipo de operación mental original que consistía en “calcular” con objetos puros del intelecto que podían mezclarse, vincularse, disgregarse y sintetizarse gracias a un trabajo estrictamente lógico. El paso de un lenguaje con primacía oral a otro cuyos elementos pueden verse y manipularse, dominados por la vista, indica que sustrayéndose a la resonancia emocional y enfática, la palabra es neutralizada para ser dispuesta por completo por la organización racional. El cambio en la ordenación espacio-temporal que presupone la instalación de la forma escrita anuncia un desplazamiento desde una cultura memorística hacia una de la abstracción. En efecto, si la voz y el tacto se topan con la discontinuidad, sea bajo interrupciones y modulaciones, sea bajo la forma del encuentro con objetos delimitados, la vista por su parte encuentra en la escritura cierta linealidad que conduce al pensamiento del continuo. Es el alfabeto –como escritura fonética– el que ha permitido el vínculo entre lo continuo y lo discontinuo y, en el seno mismo de esa relación, se ha cristalizado el primer momento de la abstracción. Un signo, un código visual, remite a lo uniforme y homogéneo del continuo que aparece como entidad diferida respecto

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de su instante de simbolización. De ahí que escribir sea no simplemente la conformación de un reservorio muerto de grafos sino más bien la condición de todo tránsito dianoético.113 Si el predominio de la escritura indujo el nacimiento del pensar abstracto, habrá que acercarse al momento en que Platón presenta al máthema como eje de su filosofía, puesto que ahí logró abrirse un nuevo sentido del espacio continuo en el que fue posible la geometría (como técnica abstracta proyectada sobre un plano también continuo) permitiendo, a su vez, la puesta en relación de un signo con un conjunto de cosas que reúnen cierta propiedad. Este signo que se vincula con múltiples cosas contadas como conjunto es precisamente lo que los griegos conocían como artihmós y que en nuestros días se ha traducido, no sin costo semántico, como número. Desarrollaré este concepto en el apartado dedicado a la relación entre el texto platónico y Euclides. Ahora bien, bajo pretexto de ese signo, de ese nombre para las varias cosas, de arithmós, aparece el examen de la materia de la cual están forjadas las matemáticas. Dicho en forma interrogativa: ¿Hay matemáticas que no se inscriban en la corporeidad de la letra? Incluso cuando Platón habla de “el número en sí”, ¿se está refiriendo a algo absolutamente invisible analogable en su status ontológico a la Idea? (sin que por ello se esté refiriendo a la Idea de número). Funciona aquí un supuesto que es propiciado por Platón mismo: el paralelo entre escritura y corporeidad. Si bien es cierto que los sonidos son tan “físicos” como las marcas visibles que se desprenden del acto de escribir, hay cierto carácter de la escritura que, a los ojos del filósofo, la posicionan en desventaja con la vívida oralidad que autorizaría a proyectar la jerarquía Ideas/cosas visibles típicamente platónica sobre la dupla oralidad/escritura. En efecto, la oralidad, en contraste con la grafía que es calificada de “mero juego”, está en plena proximidad con la verdad 113 Al respecto existe una cita iluminadora de Hegel: “El aprender a leer y a escribir una escritura alfabética debe ser considerado un medio de formación infinita que nunca se apreciará lo bastante, en cuanto conduce al espíritu desde lo sensible concreto hacia la atención a lo formal, a la palabra sonora y sus elementos abstractos, aportación esencial para fundar y depurar en el sujeto el suelo de la interioridad”., que luego Spengler reelaborará del siguiente modo: “La escritura[...] implica un cambio total en las relaciones del despertar de la conciencia del hombre, en tanto que libera de la tiranía del presente; [...] la actividad de leer y escribir es infinitamente más abstracta que la de hablar y escuchar”.

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del alma. La claridad y la perfección le pertenecen114, su contextura siembra para siempre la dialéctica tornando feliz al alma humana115, por lo que las “cosas más grandes y de mayor mérito” deben ser confiadas a la oralidad y no a la escritura.116 Este punto no decide de inmediato cuestión alguna acerca de si la enseñanza matemática fue destinada por Platón a sus célebres conferencias Acerca del Bien [Peri t’agathou] puesto que el problema de cómo se comunica la disciplina matemática no es finalmente el de cómo Platón articuló su obra escrita con sus enseñanzas orales. Aunque se estaría tentado de plantear el contrafáctico siguiente, a saber: si las matemáticas sólo pueden escribirse, entonces no era posible enseñarlas oralmente (y por tanto el paradigma de Tubinga-Milán perdería fuerza). No obstante, se incurriría en equívoco dado que se confundirían dos sentidos de oralidad –uno general y uno restringido– y dos momentos diferentes del desenvolvimiento de la doctrina platónica. De todos modos, tampoco se puede clausurar este camino de interrogación acerca de la potencial vinculación, quizás contenida en la semántica de máthema, entre su conformación ontológica en el marco del par oralidad/escritura y su forma de transmisión. Por ahora solamente es necesario centrarse en que el máthema se desenvuelve en la mediación dialéctica que existe entre oralidad y escritura en el terreno mismo de su determinación onto-lógica. ¿Cómo es posible dictaminarlo? Sencillamente porque la descripción que se hace del trabajo matemático en los diálogos sugiere una sujeción al plano de la empiria. Aunque en República 525d7 se exija que el discurrir matemático sea acerca de los “números en sí” [autôn ton arithmôn] y no sobre números corpóreos [sómata echontas arithmoùs], la cláusula de cierre del máthema platónico será siempre la de encontrar la referencia inteligible en lo que se halla sometido por principio a la experiencia. Y es que, ya se puede entrever, el máthema nace como acto de diferenciación, como distancia simultánea de la Idea y de las cosas. Por ello insiste en escribirse pese a su naturaleza abstracta; por ello no tiene sentido que Platón hubiera intentado forzar con dificultad esta distinción entre 114 115 116

Cfr. Fedro, 277a. Cfr. Fedro, 276b. Cfr. Carta VII, 341b y Fedro, 278b.

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“número en sí” y “número con cuerpo” sino en la medida en que ambos pueden ser confundidos. Se esmera en mostrar que los matemáticos no proceden de igual manera que los comerciantes o los calculistas que utilizan el número como una cosa más. Pero tampoco como los filósofos. Y por ese motivo recurre a la distinción entre lo que compete al campo estrictamente matemático y lo que es que le es ajeno aunque se encuentren puntos de contacto en sus objetos. Quizás no podría darse de otro modo: si el máthema es la diferencia en sí misma, no cabría sino que se diferenciase de sí mismo, una intradiferenciación, que dé cuenta del movimiento especulativo que de allí se deduce.117 Platón está intentando conducir al lector, a partir de un trastoque violento, hacia el reino sustractivo de la Idea. Por eso el pasaje aquí mencionado comienza diciendo: “Así: este estudio del que estamos hablando eleva notablemente el alma y la obliga a discurrir acerca de los Números en sí […]”. Aunque las matemáticas sean el primer y único paso posible en el ascenso dialéctico hacia la contemplación del Bien, no dejan de pertenecer en cierta medida al dominio sensible, incluso cuando no se trata de una utilización técnica o práctica de sus conceptos y operaciones. El matemático –o incluso el dialéctico que debe ser instruido en esta ciencia– no puede dejar de servirse de diagramas, dibujos, objetos contables, líneas, grafos en general que refieren a –y dependen de– aspectos del plano inteligible que “producen” el máthema. Es sólo esto lo que localiza a la diánoia por debajo del noûs en la jerarquía garantizada por el símil de la línea dividida. No sirve por lo tanto el intento por desdoblar (o incluso triplicar) la entidad de los números o de los conceptos/objetos matemáticos como han sugerido algunos autores118 porque ello desconoce menos una regla de economía metafísica que una nota característica del máthema que dice que “lo matemático” insiste en inscribirse, en efectuarse y aparecer en el ámbito correspondiente al sentido de la vista, en los diagramas explicativos, en las figuras trazadas sobre la tierra con alguna rama. La insistencia es otro nombre para el deseo que invade a todo lo que es tò metaxý: epithymía y máthema devienen lo mismo cuando son contemplados desde un punto de vista 117 Abordaré las clasificaciones internas de las matemáticas en el primer capítulo de la segunda parte. 118 Principalmente, Leon Brunschvicg en su Les étapes de la philosophie mathématique, Blanchard, Paris, 1972.

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topológico-dinámico. Como mostraré más adelante que sucede en el Timeo, las matemáticas son la marca de aquello que habrá sucedido bajo la forma de lo indecidible119 Deseo de la Idea y trazo de ese deseo. Así podría llamarse sin ningún tipo de problemas, casi en un sentido propio, el máthema. Veamos algunos pasajes. El primero y capital se halla en República: Sócrates:- Sabes, por consiguiente, que se sirven de figuras visibles y hacen discursos acerca de ellas, aunque no pensando en éstas sino en aquellas cosas a las cuales éstas se parecen [...]120

Se impone notar cómo el pensamiento matemático es indiscernible del uso [proschôntai] de imágenes como tipo de su localización sensible [horômènois eídesi]. La remisión del máthema a su aparecer visible condensa no sólo la dinámica de lo indecidible sino también la manera en que éste representa el modo general de la escritura, en tanto símbolo perceptible significante, esto es, direccionado a una cosa distinta de sí. El máthema es su significación; es en tanto potencia de escritura que establece una distancia bivalente: distancia del signo con la cosa, distancia del registro sensible del signo respecto del registro inteligible de aquello a-lo-que designa. Más aún, en la medida en que el máthema constituye el movimiento lingüístico que actualiza en su proferencia la entidad de los objetos a los que refiere –sin por ello tratarse de un mero nominalismo, como ya hemos dicho– subtiende su primer rasgo como instancia a-significante. Ciertamente, lo que Platón llama el “número en sí” o la “diagonal en sí”, sólo aprehensible por el pensamiento [diánoia], asume en la unidad de su nombre la pluralidad que construye su carácter ontológico, el destello de la diferencia entre signo e Idea –que no es otra cosa que el latente poder de ruptura con lo sensible que posee el máthema– pero también el retorno de este movimiento hacia su irrenunciable marca sensible, el trazo de su evanescencia: […] Y tanto lo que ingresa como lo que sale son siempre imitaciones de los seres, impresos a partir de ellos de una manera difícil de concebir y admirable que investigaremos más adelante.121 119 120 121

Cfr. Capítulo 6, parte II. República, 510e. Timeo, 50c6.

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Los números, las figuras y los cálculos, aún perteneciendo al espacio de lo inteligible, pretenden aparecer no ya como objetos determinables por completo a través de los sentidos sino como algo que se presenta ante ellos pero con la sola función de remitir más allá de sí mismos. El proceso de sustracción que reviste el máthema es lo que Platón percibe como su nota característica y la razón por la cual lo sitúa en el justo momento de quiebre con la inmediatez de la doxa. De ahí también la suma importancia pedagógica que le adscribe. “Indicar más allá de sí mismo” no alude aquí a otra cosa que al gesto de significación meta-física. Pero, en el contexto en el que piensa Platón, ¿qué es la escritura sino una (posible) manifestación de este gesto? Y, finalmente, ¿no será la tensión dispuesta entre las reservas que el filósofo interpone a la escritura en el Fedro o la Carta VII y su propio acto de escribir la obra dialógica, una forma (general) de lo indecidible mismo? ¿Acaso no es el máthema, otra vez, el encargado de localizar esta gran inestabilidad122 del inicio del texto occidental?

2. POEMA, MÁTHEMA Y DEMOCRACIA La democracia establece una relación de cofundación con el poema. Existe en primer lugar una larga tradición poética que ha recorrido la historia griega hasta el nacimiento de la democracia clásica. El poema es ya antiguo y acusa innumerables variaciones a través del tiempo, por lo que difícilmente podría entenderse la hipótesis como una referencia a un engendramiento simultáneo entre poesía y democracia. Como se sabe, la paideia griega se basaba en las construcciones homéricas y hesiódicas y este condicionamiento incluía absolutamente todas las formas de acción humana y de relación con lo divino que pudieran imaginarse. La repetición de las fiestas, los ciclos naturales, las prescripciones morales más esenciales, en síntesis, la consumación de la voluntad del espíritu griego, quedaba recogida en las páginas de los poetas más célebres y 122

Aquí la inestabilidad remite al indecidible perteneciente al registro estructural que no acaba de resolverse entre su ubicación local en la obra platónica y su emergencia como rasgo primario de la historia de la metafísica.

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eran transmitidas de manera oral, de generación en generación, apelando a una inagotable memoria individual y colectiva. La forma que aquí interesará es la de la tragedia. La democracia, por su parte, al menos en su forma canónica, contemplaba la existencia de una Asamblea [ekklesia], de un Consejo (consejo de los 500 o Boulé) y diversos tribunales [dikasteriai]. Los cargos eran elegidos por sorteo o bien por votación directa, y en la mayoría de los casos un ciudadano podía ocupar una magistratura específica una sola vez en la vida. El término clave que permite comprender la operatoria institucional de la ciudad democrática eshó boulómenos, que apela a algo como “cualquier persona que lo desee”, significando que todo ciudadano estaba capacitado –e incluso persuadido– para alzar la voz y pronunciarse públicamente sobre alguna cuestión debatida. La participación directa en la asamblea aseguraba a los ciudadanos que su opinión era tan válida como la de cualquier otro y que todas las divergencias debían ser sometidas a consideración de “los muchos”. De ahí la importancia de la deliberación y con ella del uso de la palabra. Reside en ese aspecto también el semblante de la Grecia del siglo V a.C. condensado menos por una pesada estructura institucional que por el inesperado aparecer de más y nuevas voces en el espacio de lo público: el démos se pronuncia como ejercicio de lo plural, de lo múltiple en su sentido pleno. Y si la democracia es esta experiencia del entre-los-muchos, de la decisión conjunta aunque disruptiva, la pregunta por su sitio de acontecer se torna imperiosa. Las diferencias existentes entre los historiadores respecto del momento exacto con el que puede identificarse el nacimiento de la democracia oscilan entre la constitución de Solón, las reformas de Clístenes y las modificaciones de Efialtes. He optado por la opción intermedia luego de entender que ni la prefiguración solónica ni las variaciones de Efialtes pesan tanto como la sanción legal llevada a cabo por Clístenes. El arco que barre desde las reformas de Clístenes (aproximadamente en 510 a.C.) y la caída de Atenas bajo hegemonía macedonia (322 a.C.) marca entonces un considerable período donde la democracia floreció para desaparecer definitivamente como experiencia. Habrá que dejar abierta esta cuestión por el momento y pasar al otro frente que es preciso esclarecer: la tragedia.

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Para evitar una exposición en demasía extensa, ensayaré un breve listado de las propiedades de la tragedia que aquí interesan: 1. La tragedia es un régimen que se vio complementado por la forma teatral, una representación donde los personajes que se muestran en escena permiten (a) una identificación emotiva del público respecto de los lugares que ellos ocupan y (b) de los actores respecto de los personajes que encarnan. En el teatro, la vista y el oído se conjugan para otorgar el reconocimiento de lo-otro-de-sí; la alteridad, mediada por su descubrimiento sensorial, es quizás la figura esencial de la tragedia en la medida en que con ella se convoca no ya (sólo) a un otro superior sino a uno en exactas condiciones que el yo primitivo, susceptible de hablar(me) y a la vez radicalmente otro, diverso, pasible de discutir o luchar conmigo en tanto diferente. Por último, el teatro es una forma de aparecer en lo público de las experiencias íntimas de un sujeto individual. El régimen de publicidad es lo que garantiza su eficacia. 2. Asimismo, la tragedia reformula el discurso mítico tanto en lo concerniente a sus personajes como en lo que vertebra la escena del drama. Existe una diferencia palmaria entre la épica y la tragedia, a saber, el héroe trágico, por completo diferente de aquel puesto épico que posee en su interior la duda, la contingencia y la decisión. 3. En su construcción dramática intervienen casi siempre dos o más voces. La palabra es el instrumento de defensa, lucha y construcción de sí. Todo, a través de la interlocución. 4. En su interior se produce el advenimiento de un evento singular que quiebra con la ciega repetición de la cotidianidad. En este sentido, cobra una fuerza inusitada la figura de lo humano como ente decisor librado a su nuda existencia. La týchê adquiere su sentido pleno en el héroe trágico, quien se halla habitualmente dividido y transido por disyuntivas excluyentes, careciendo de garantías, debiendo optar y sujetar su destino a dicha selección. En suma, en el teatro se plasma un debate continuo –y público– acerca de los valores humanos que convoca una ambigüedad irreductible.

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5. La existencia del coro refleja al mismo tiempo la figura de la alteridad y el carácter comunitario del montaje trágico. Las deliberaciones y cavilaciones del héroe siempre son reconducidas al juego de fluctuaciones y oposiciones propias de lo colectivo. Teniendo en cuenta de que el devenir histórico revela que no es sino hasta el siglo V a. C. que la tragedia alcanza su apogeo, puede preguntarse entonces ¿Hay algún conexión entre este modo poético y la emergencia y sostenimiento de la democracia en la pólis? Desde una perspectiva estrictamente historiográfica, la democracia es el régimen que soporta la estructura trágica en su interior. Conviven en absoluta armonía. La pólis fomenta el teatro como forma de esparcimiento y educación. Conocido es el theorikón, un fondo que la ciudad destinaba para la realización de las Grandes Dionisíacas y, a su vez, para ayudar a aquellos que no pudieran costearse el ingreso al espectáculo. La organización de eventos aglutinantes en torno de la tragedia y su puesta teatral era una práctica llevada a cabo en un marco religioso: las Dionisias urbanas. Hay una co-presencia temporal ente democracia y tragedia, pero confluyen más profundamente en el nivel en que se tocan onto-discursivamente. En un primer sentido, la cofundación entre poema y democracia se trata de posibilitación. La democracia es, en el sentido técnico de poiesis, creación, una invención original que aparece de modo acontecimental en la Grecia antigua y que no puede separarse del lenguaje que la hizo posible y del que la sostiene: el de la institución democrática. De igual manera, la recíproca es válida: la democracia es el régimen de la palabra, de la polifonía de lo múltiple, de los logoi y de la deliberación. Dado el esquema que resume la tragedia, es posible intuir de qué modo en su seno se sostiene y reproduce un juego democrático. Ahora bien, ¿es viable establecer una relación estructural entre la política y el arte? ¿Y entre la política y la ciencia? Esta cuestión no puede responderse a la ligera, evidentemente. Las preguntas contienen quizás el punto ciego de toda discusión filosófica que declara que existe una relación biunívoca y necesaria entre ontología y política. Esta afirmación, en su centro, encuentra la superposición, el solapamiento, el mutuo recubrimiento entre ontología y política. No hay un límite ni borde que reúna ambos planos y, topológicamente hablando, se trata de un isomorfismo puro donde a cada punto de un espacio le

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corresponde uno del otro con la misma posición relativa. Sin embargo, hay algo que los distingue, hay una diferencia. Sabemos gracias a Jacques Derrida que la diferencia conjuga el doble sentido del espaciamiento y de la temporalidad. Por un lado, se trata de observar series discretas, objetos y cuerpos separados, heterogéneos, diferentes y, por otro, la diferencia es el preciso acto de diferir, demorar, atrasar el arribo de la Presencia, de los Dioses, de la Muerte. Es en este último sentido es que se puede entender la distinción entre ontología y política. La correspondencia topológica puede hacerse rodar –no sin polémica– 123 en el tiempo, para mostrar un contraluz mínimo, un eclipse exiguo que se produce en el trazo que va desde un par de puntos del conjunto ontológico en su tránsito hacia el otro par que éste prescribe en la política. Pero además, más inmediatamente, porque la ontología es la correcta distribución de los entes de acuerdo a un criterio explícito –o al menos explicitable–, y la política no es sino la organización colectiva de los cuerpos y los lenguajes y de los lugares propios que les son asignados. Se impone, a los fines que aquí me ocupan, mostrar el caso de la ontología poética pre-platónica, su compromiso con la democracia, y la interrupción llevada a cabo por el proyecto de Platón. Se trata menos de un ejercicio especulativo que de una exigencia de todo pensamiento: dar cuenta de cómo opera una descripción del mundo en el mundo mismo. La tragedia, como práctica dispuesta en el espacio público donde intervienen varios personajes –casi siempre representando distintos temperamentos o direcciones de la conducta divina y humana–, es el redil de intercambio de logoi donde el azar renueva períodicamente su debate. La división que se produce en el agente trágico entre lo correcto y lo incorrecto, lo íntimo y lo destinal, le imprime una responsabilidad ante los demás. La tragedia es la reintroducción artístico-técnica de las reglas formales de la democracia; es el espectro soportado por la democracia que devuelve una imagen, un doble, a la democracia misma para fijarla discursivamente. Resume magistralmente Julián Gallego: 123 Este es quizás todo el esfuerzo de Derrida en Ousía y Grammé. Nota sobre una nota de Sein un Zeit: una utilización estratégica del espacio para desbaratar el imperio del tiempo y, simultáneamente, una retención de la dimensión temporal a fin de imposibilitar una extrema topologización de la différAnce. Por lo demás, este doble ataque es el que hace posible la tarea de la deconstrucción.

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Podría decirse entonces que, permanentemente, la situación del ciudadano en la Atenas del siglo V es trágica, porque su condición no es la tensión de un desenlace: su situación ante un dilema es tomar una decisión colectiva en la asamblea que produce efectos que habilitarán la toma de otra decisión ante otro dilema. Es decir, transita de una decisión a otra decisión conquistando soluciones que no son definitivas sino precarias y contingentes. La tragedia es, en este sentido, la promesa de sostenerse en el propio dilema.124

La cofundación entre democracia y poema, estando este último bajo su forma trágica (lo cual no lo exime del triple rasgo del poema, a saber: (a) construcción discursiva que prescribe normas ético-políticas sobre la ciudadanía; (b) creación técnico-artística; (c) tensión entre lo humano y lo divino) insiste más en la co-posibilitación que en la simple coincidencia histórica. Hay allí una homogeneidad de fondo, una comunión formal y material que establece mutua pertenencia y remisión constantes. El elemento que los recorre, dentro de una clasificación epistemológica, es, sin duda, la doxa: la opinión de cada individuo, la puesta en visibilidad de las diversas perspectivas en un espacio propio y comunitario al mismo tiempo, la deliberación, conforman su elemento último. Y entonces, retomando el hilo de este escrito, ¿qué hay del máthema? ¿Qué trae consigo en su destello singular? Platón introduce las matemáticas como dispositivo de ruptura con el complejo doxo-poético-democrático. En el capítulo segundo de la segunda parte me dedicaré a mostrar cómo se produce esta interrupción. Aquí sólo cabe señalar exteriormente y a modo de contextualización el punto exacto en el que las matemáticas disuelven la tríada (complementada por el elemento sofístico). En primer lugar, el máthema, unívoco125, impone su distancia respecto de la maleabilidad y multivocidad de la opinión: las matemáticas son exactas y no son pasibles de deliberación. El acuerdo o concordia que se genera al interior de su práctica es un atributo comúnmente señalado

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Gallego, J. La democracia en tiempos de tragedia. Asamblea ateniense y subjetividad política. Miño y Dávila, Bs.As., 2003, p. 419. 125 República, 525c.

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por Platón.126 Por el mismo motivo, el máthema presentará, contra el anudamiento de sofistas y poetas, la universalidad de un saber no sujeto al cambio, atemporal y no convencional. Las matemáticas son desde la perspectiva platónica, una cristalización del mundo inteligible y no sólo un conjunto de reglas y principios. Finalmente, hay que reparar con cuidado en el sesgo antidemocrático que conlleva el máthema, y no específicamente el lógos matemático sino la introducción platónica del mismo en el corazón de la filosofía. Sabido es que el proyecto político de Platón se dirigía a minar las bases del régimen democrático que, a través del imperio de la fluctuante opinión, había garantizado –había legalizado– la muerte del sabio, del maestro Sócrates, y con ella perdido toda posibilidad de una vida justa y buena. En esa línea, aunque de modo más complejo, se producirá también la progresión entre diálogos tempranos como la Apología de Sócrates y los libros que componen las Leyes, no sólo hacia la notable aparición de un endurecimiento de las normas que reglan el comportamiento adecuado de los ciudadanos sino también, y más hondamente, respecto de una potencial derivación histórica de la pólis otrora ideal. Si el final del libro IX de República se encarga de decir que “en nada hace diferencia si dicho Estado existe o va a existir en algún lado, pues él actuará sólo en esa política, y en ninguna otra” 127 es porque allí se articula una arquitectura formal de la ciudad, acusando que la propuesta no se dirige directamente a su plasmación histórica, al menos no de manera inmediata. El devenir de la posición de Platón, vinculada sin dudas a su biografía y puntualmente a sus incursiones en Siracusa junto a Dión, queda registrado en Leyes bajo el matiz de un emplazamiento posible de la pólis. La misma debe poseer algunas peculiaridades demográficas y geográficas, a la vez que la democracia y la tiranía son descalificadas –al igual que en República– por comprender de manera extrema el concepto de libertad, alejándose ambas de la vida en virtud. Este giro es menos una suerte de pesimismo, como a veces a querido leerse, que una voluntad

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Sobre este punto me permito remitir al capítulo sexto de la segunda parte “Philía y matemáticas”. 127 República, 592b.

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de marcaje concreto y de enrolamiento platónico en el mundo público. Así lo registra la Carta VII: Entonces me sentí obligado a reconocer, en alabanza de la filosofía verdadera, que sólo a partir de ella es posible distinguir lo que es justo, tanto en el terreno de la vida pública como en la privada. Por ello no cesarán los males del género humano hasta que ocupen el poder los filósofos puros y auténticos o bien los que ejercen el poder en las ciudades lleguen a ser filósofos verdaderos, gracias a un especial favor divino.128

La dialéctica que media entre los diálogos primeros y el experimentado Platón de Leyes se resuelve en el pulso antidemocrático y en un Estado fuerte capaz de instituir, mediante la correcta educación, la ciudad más perfecta imaginable. Es posible concebir un relevo de una sustitución poético-mimético por el vacío legaliforme que el máthema instaura. ¿Qué significa aquí vacío? Su sentido es doble. Por un lado, el máthema introduce un vacío en tanto y en cuanto arma un lenguaje simbólico que puede designar indistintamente a cualquier objeto del mundo sensible, fijando un punto de carácter universalizante, abstracto y sin referente inmediato (nótese además el vacío [temporal] al que somete todo acto de diferir a través de signos). La universalidad y, al mismo tiempo, la univocidad del máthema convergen para establecer una ley que, codificada, se aplica a casos variables a una distancia siempre insalvable. El nombre de esta distancia, su singularidad legal y ubicua, es el del vacío. Por otra parte, y justamente a causa de lo anterior, el discurso matemático inserta un vacío local e histórico en el discurso democrático-doxástico puesto que interviene como cesura en la opinión. El quiebre, la suspensión del régimen de la deliberación, trae consigo un vaciamiento de sentido no sólo de la palabra de los muchos, de los logoi ofrecidos, sino del sistema mismo. Y en este gesto de ahuecamiento estriba el movimiento donde la sustracción respecto del mundo sensible coincide con la formulación de un juicio –general– sobre éste, y levanta el vacío de lo-otro-de-lademocracia, algo aún ignorado pero factible. 128

Carta VII, 325d-327c.

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Vacío respecto de la circulación infinita de saberes y del intercambio igualitario de los mismos. Singularidad violenta de su final. Allí comienza el tránsito de las matemáticas para Platón. Y allí termina. La democracia, su apogeo en el siglo V a.C. y su posterior caída, son el fondo donde se recorta, donde hieren desplazándose, las líneas del máthema.

3. LOS ELEMENTOS DE EUCLIDES Y LA MATEMÁTICA PLATÓNICA Hay acuerdo generalizado acerca de que Los Elementos [Stoicheiôn] de Euclides responden a avances de diversos matemáticos que han sido sistematizados y compendiados por Euclides hacia el año 300 a.C., en lo que se forjó como el primer gran esfuerzo sinóptico que conoció la antigüedad. Si se quisiera pensar en un escrito sobre matemáticas o al menos en una compilación adecuada del pensamiento matemático de una época, el primer nombre que advendría sería el de los Elementos. Y la misma respuesta se daría a quien preguntase por el texto científico que más tiempo ha influido sobre la especulación occidental siendo, sin lugar a dudas, el tratado más importante que se ha hecho público sobre el tema. Su carácter exhaustivo y su estilo inmaculado revelan una novedad hasta ese momento inexistente mientras que los trece libros que lo componen, aunque centrados en el estudio de la geometría, recorren casi todas las nociones matemáticas conocidas hasta entonces. Poco o nada se sabe sobre el autor de semejante obra. Sólo que vivió en Alejandría a lo largo del siglo IV a.C. donde participó de un período histórico formidable en lo concerniente a descubrimientos científicos, que luego decayó ferozmente con la instalación del helenismo. Euclides habitó un tiempo prolífico, compartió su vida con los teóricos más ilustres de la época; luego de su muerte, la tradición continuará con Eratóstenes, Nicomedes, Diocles, Perseo, Zenodoro y otros geómetras menores, los astrónomos Hiparco y Tolomeo y el mecánico Erón de Alejandría. Posteriormente, pese al intento de Gemino, Teón y Pappo, la caída se vuelve inminente, y se alcanza un perído de simples comentarios

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y glosas a los descubrimientos efectuados por los sabios ya muertos. A propósito del ambiente intelectual de Euclides, Proclo señala: Euclides debió vivir en el tiempo del primer Tolomeo (306-283 a.C.), ya que Arquímedes, que vino justo después, habla de Euclides; y además se relata que una vez Tolomeo les había preguntado si existía una vía más corta para el estudio de la geometría que aquella de los Elementos, y ellos respondieron que en geometría no hay vías fáciles. Así por lo tanto él es más joven que los escolarcas de Platón, y más viejos que Erastótenes y Arquímedes. 129

Aunque Euclides haya existido de hecho como un personaje histórico y haya aportado cierto porcentaje del desarrollo técnico de las pruebas aparecidas en los Elementos, su actividad consistió fundamentalmente en sistematizar la matemática que se había estado practicando en Grecia, por lo menos, en los dos siglos anteriores. Se sabe que muchos de los teoremas y proposiciones que allí aparecen ya habían sido postulados por estudiosos ilustres en la época: Él compiló sus Elementos recogiendo muchos teoremas de Eudoxo, completando aquello que había comenzado Teeteto y ofreciendo demostraciones exactas de aquéllos que sus predecesores habían efectuado sin el rigor necesario. 130

Pero, ¿Qué sucede con Platón? ¿Qué espectros libera su presencia en Euclides? ¿Por qué es válido o, más aún, imperativo demandar por la materialización platónica en el corpus euclídeo? Quizás cabría resumir la situación en dos puntos: 1. Bajo el nombre de Euclides se halla el esplendor disciplinar de una época. Lejos de poder circunscribir el impactante compendio a la iluminación de una mente puntual, es necesario reconocer que en el hecho de su aparición se esconde un extenso período de trabajo, discusión y transmisión. El texto matemático preexiste a 129 Proclo, Comentario a los“Elementos”, s/d. Citado en Frajese, A. Platone e la máthematica nell mondo antico, Editrice, Roma, 1963, p. 11. [La traducción es mía] 130 Proclo, Comentario a los“Elementos”, s/d. Citado en Frajese, A. Platone e la máthematica nell mondo antico, Editrice, Roma, 1963, p. 11. [La traducción es mía]

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su formulación por parte de Euclides y Teón 131, pero emerge y se manifiesta a través de ellos, lo que autoriza a deducir que (a) Platón conocía una buena cantidad de los avances matemáticos allí recogidos y que (b) también sentó precedentes que encuentran claros estertores en la escritura euclídea. 2. Se sabe que la relación de Platón con los pitagóricos se establece a través de Filolao, contemporáneo de Sócrates. Él divulgó las doctrinas pitagóricas en los célebres tres libros que Platón adquirió por cien monedas132.También lo hizo Arquitas de Tarento, que no casualmente tenía una correspondencia epistolar con el filósofo ateniense.133 A Teeteto, matemático ilustre de su tiempo, que además da nombre a uno de sus diálogos, se le atribuye –a través de un antiguo escolio a los Elementos– el teorema 9 del libro X, sobre el problema de la cuadratura de los irracionales mientras que en otro escolio se lo considera el teórico de dos de los cinco sólidos que Platón presentará en el Timeo134. En Teeteto 143 d, Platón escribe sobre Teodoro de Cirene que es famoso por su conocimiento de la geometría. Ese mismo Teodoro es el que aparece como personaje en la inacabada tetralogía de la cual sólo se posee el Teeteto, el Sofista y el Político. Obsérvese al respecto el reporte de Hösle: A priori es un tanto verosímil que los datos geométricos que se encuentran en Aristóteles se remonten a los años que pasó en la Academia (367-347 a.C.): téngase en consideración que, en matemática, a diferencia de casi todas las otras ciencias, Aristóteles no produjo personalmente ninguna contribución original, y que la Academia era el centro de la investigación matemática de entonces, estableciéndose en ella los presupuestos para los Elementos de Euclides. A propósito 131 Teón de Alejandría fue, aparentemente, el que creó la redacción de los Elementos que ha pervivido hasta las enmiendas efectuadas por Heiberg. 132 Diógenes Laercio, La vida de los filósofos…, VIII, 1, 15; 7, 85. 133 Diógenes Laercio, La vida de los filósofos…, III, 21-22; VIII, 4, 79-81; Platón, Carta VII, 350 a. 134 Cfr. C. Mazzarelli, Presentazione del “Teeteto”, en Platone, Tutti gli scritti, p. 193. Citado en Migliori, M. “Non entri chi e’ ageométretos” en Filosofia Logica Máthematica dal periodo classico al nostro secolo, Atti del Convegno, Ancona, 1993, p. 18.

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de esto mismo es preciso recordar aquí tres cosas: el tratamiento de los valores irracionales por parte de Teeteto, que se encuentra en el libro X de los Elementos; la articulación sistemática, siempre de Teeteto, de los sólidos regulares, que se encuentra en el libro XIII; y la fundamentación, por parte de Eudoxo, de la doctrina general de las proporciones, que tiene lugar en el libro V, la cual, por la precisión con la que se examina lo infinitesimal, atestigua un nivel que de ahí en más sólo alcanzará Dedekind.135

Entonces, dados estos dos puntos, la cuestión será aquí establecer, por un lado, el vínculo específico que poseen las nociones y desarrollos matemáticos presentes en la obra de Platón con los que luego serán albergados por las páginas euclídeas y, por otra parte, a partir del correlato histórico que brindan los Elementos, delimitar el locus representado por Platón en la historia del pensamiento matemático. El testimonio de Proclo respecto de la relación entre la Academia y los Elementos es indiscutible: Euclides era platónico, [...], mejoró los trabajos de Teeteto, [...], se propuso como objetivo final del conjunto de sus Elementos la construcción de los cinco poliedros regulares.

Y agrega: Él compiló sus Elementos recogiendo muchos teoremas de Eudoxo, terminando aquello que había comenzado Teeteto y efectuando demostraciones exactas de aquello que sus predecesores habían dado sin el rigor necesario.136

No será cuestión de sopesar si este último logró influir sobre la producción matemática ulterior gracias a la puesta en relación de filosofía y matemáticas o de saber si Platón anticipó algunas nociones matemáticas modernas y contemporáneas. Aunque podría demostrarse que la segunda

135

Hösle, V. “Zu Platons Philosophie der Zahlen un deren mathematischer und philosophischer Bedeutung”, citado en Reale, G., Platón, Herder, Barcelona, 2002, p.208 136 Proclo, Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides, s/d.

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proposición es susceptible de ser respondida negativamente, no será el objeto de este estudio. Platón se formó en matemáticas con el gran geómetra Teodoro durante un viaje a Cirene (él será uno de los personajes del Teeteto). Luego, trasladándose a Tarento, oirá a Arquitas que enfatizó la relevancia de la educación matemática para la vida buena. Allí mismo, recibirá un gran influjo pitagórico a partir de la exposición que efectuara por escrito Filolao. La forma en que estas tres vertientes penetrarán en la vida espiritual del filósofo ha quedado reflejada en el giro opuscular que se produce inmediatamente después de los diálogos socráticos donde se entrevé el inicio de una edificación propositiva de la filosofía propiamente platónica. La relevancia filosófica del aprendizaje matemático es uno de los puntos seguros en la estructuración de su obra. No por azar estudiarán posteriormente en la Academia el propio Teeteto y Eudoxo, ambos célebres matemáticos, o será atribuido al mismísimo Teeteto la confección del libro decimotercero de los Elementos. En efecto, se produjo en esa época una pequeña evolución del conocimiento matemático –tal y como lo atestigua Proclo–: Leodamas, Arquitas, y Teeteto aumentaron el número de teoremas y los condujeron hacia una conexión más científica; Eudoxo agregó al número de los teoremas universales; los discípulos de Platón llevaron a toda la geometría casi hacia la perfección; y Theudio diseñó un buen código de los “elementos”. Otras mejoras fueron logradas antes de que Euclides completara la estructura.137

Hay una distinción crucial que marcará la historia de las matemáticas. Se trata de la definición euclídea de número. Seguiré en casi todo mi desarrollo el cuidadoso estudio que lleva adelante Paul Pritchard en su Plato’s philosophy of mathematics 138 deteniéndome sólo en los aspectos que considero pertinentes al presente apartado. No puede darse por supuesto que lo que Euclides considera como número es exactamente igual a lo que un matemático moderno identifica con ese nombre. Aunque ha habido numerosos esfuerzos por homoge137

Proclo, Comentario al Libro I de Los Elementos de Euclides, s/d. Citado en Frajese, A. Op. cit.p.14. 138 Cfr. Pritchard, P. Plato’s philosophy of mathematics, Academia Verlag, 1995.

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neizar ambas nociones, se tornan manifiestas algunas diferencias. Al comienzo del libro VII de los Elementos se encuentran las siguientes definiciones: Definición 1. Una unidad [monás] es aquello en virtud de la cual cada una de las cosas que hay, se llama una. Definición 2. Un número es una pluralidad compuesta de unidades [monádôn].

Hay que centrarse aquí en la segunda proposición y salvar algunas dificultades de lectura, puesto que Platón habría suscripto a esta definición. Es necesario comprender que monás no tiende a establecer la existencia de ningún objeto peculiar, que el número 1 no está mencionado y que monás tampoco denota la idea de unidad. Las unidades que componen el número no son más que cosas, objetos contables cualesquiera. Un número es una colección de unidades así definidas y entre un número y las cosas por éste agrupadas no hay un término medio como “el conjunto” o “el concepto” del cual algo es un número sino que, por el contrario, un número es siempre un número de cosas. Nada hay entre un arithmós y las cosas de las que éste hace colección. Platón confirmará esta opinión al decir: Sócrates:- Hablemos, pues, de ellos a continuación. ¿Es lo mismo el número de pies que hay dentro de un pletro y el pletro, o no es lo mismo? Teeteto:-Sí. Sócrates:-¿Y ocurre igual en el caso del estadio? Teeteto:-Sí. Sócrates:-¿También es lo mismo el número de individuos que hay en un ejército y el ejército? ¿No ocurre de manera semejante en todos los casos por el estilo? El número total, efectivamente, es siempre la suma del objeto en cuestión.139

El intento de conformación de algún tipo de entidad abstracta entre las cosas y el arithmós no podría encontrar respaldo en la definición clásica, como sí podría esperarse de una versión post-renacentista del número, donde se lo presenta como un signo remitente a un conjunto 139

Teeteto, 204d.

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tomado como determinación abstracta que, a su vez, reúne cierta cantidad de cosas u objetos (también reales o abstractos).140 Ya desde la Odisea141, arithmós no era más que una colección de cosas cayendo bajo alguna descripción (no una cosa sino siempre [finitas] cosas) y los reportes posteriores –en especial el de Eurípides –142 y de algunos neo-pitagóricos confirmarán que no hay cambio sustancial entre la concepción euclídea y aquella de los matemáticos tempranos aunque sí un hiato marcado con la perspectiva moderna de número, la cual asume, según Pritchard, sintéticamente: (1) un tipo de abstracción diferente a la abstracción ‘imaginativa’ empleada en la matemática griega; (2) un cambio consecuente en lo que entra bajo la definición de operaciones matemáticas; (3) un nuevo criterio para el entendimiento, que posee como su objeto relaciones entre cosas, que ya no son en sí mismas cognoscibles independientemente o con anterioridad a estas relaciones. 143 Ciertamente, la introducción de los numerales arábigos posibilitó la separación conceptual entre arithmós y las cosas de las que éste hace una colección, como así también la integración del trabajo de los algebristas árabes efectuada en el siglo XV. El rasgo diferencial está en esa suerte de intermediación del concepto que constituye el número para los modernos, cosa desconocida para el espíritu griego y, por lo tanto, también ausente en la obra platónica. Habrá que aproximarse ahora a los diálogos a fin de determinar la correspondencia del desarrollo platónico con dicho espíritu. En el Menón aparece una definición de figura [schêma] que luego será recogida por entero por los Elementos: Sócrates:- Con estas palabras vas a comprender a qué le doy el nombre de figura. Digo, en efecto, que una figura es el límite en que acaba un sólido, y lo digo respecto de todas las figuras, de forma que, en resumidas cuentas, definiría la figura como el «el límite del sólido» [stereou péras schêma einai].144 140

Cfr. Pritchard, P. Op. cit. Capítulo 4 de la primera parte “On the difference between ancient greek and post-renaissance mathematics”. [pp. 7-51] 141 Homero, Odisea, 11.448. 142 Cfr. especialmente Eurípides, Hécuba, 1185-6. 143 Cfr. Pritchard, P. Op. cit. p.55. 144 Menón, 75d.

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Euclides, por su parte, dirá en la segunda definición del libro XI: “Superficie es el límite del sólido [stereou de péras epiphaneia]”. A su vez, en el abordaje que Platón hace del cuerpo del mundo en el Timeo se argumenta que: Si, pues, el cuerpo del Mundo hubiera debido ser un plano desprovisto de todo espesor o tercera dimensión, un único término medio hubiera sido suficiente para darse la unidad y darla a los términos concomitantes. Pero, de hecho, convendría que este cuerpo fuera sólido y, para armonizar los sólidos, no ha bastado jamás un solo medio, antes siempre son necesarios dos. Por eso Dios colocó el aire y el agua en medio, entre el fuego y la tierra, y ha dispuesto estos elementos unos por relación a los otros [anà tòn autòn lógon], en la medida en que era posible dentro de una misma relación [...] 145

El filósofo establece que entre dos sólidos es necesario interponer no uno sino dos términos medios. Por lo demás, el vocabulario en lo referido a la proporción es compartido también por Gorgias 465b-c, mientras que la utilización de lógos responde a la República 509d-511e. Se trata de una red de nociones distribuidas por los diálogos que desembocan en los Elementos. Es asombroso ver el razonamiento euclídeo que recoge este pensamiento: “Entre dos números cuadrados hay un solo número medio proporcional [...] Entre dos números cúbicos hay dos números medios proporcionales”.146 Si se considera que los sólidos se corresponden con números cúbicos (que encierran tres dimensiones) el paralelo queda fijado sin mayores problemas. El propio Euclides se encarga de garantizarlo gracias a dos definiciones del libro VII. Allí dice: Definición 17. Cuando dos números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado se llama número plano y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí.

145

Timeo, 32b. Euclides, Elementos, Libro VIII, Proposiciones 11 y 12. Introducción de L. Vega; traducción de MªL. Puertas, Gredos, Madrid, 1994. 146

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Definición 18. Cuando tres números, al multiplicarse entre sí, hacen algún número, el resultado es un número sólido [stereós] y sus lados son los números que se han multiplicado entre sí.

Ambos son partícipes del descubrimiento de que entre dos números enteros cualesquiera es posible encontrar un medio y, en particular, que si esos dos números poseen la propiedad de ser cúbicos, se requerirán dos medios. Hay que notar que aunque formalmente los pasajes son idénticos, Platón insufla en el suyo una complexión metafísica, quizás a causa del contexto en donde se recorta el escrito: el relato verosímil de la creación demiúrgica del cuerpo del Mundo. Es esta diferencia la que insinúa las dos consideraciones más relevantes respecto de la relación Platón-Euclides. Por un lado, la absoluta concomitancia del desarrollo propiamente matemático. Por el otro, el contraluz que deriva de un fondo ontológico-metafísico que, si aún se encontraba parcialmente presente en el momento de la compilación de los Elementos, no se hacía patente en la formulación de sus proposiciones. Tal vez el punto más relevante de la conexión esté dado –casi lateralmente– por el método. La descripción que hace Platón del trabajo de los matemáticos –y en particular de los geómetras– en República pareciera prefigurar el modo en que son expuestas las pruebas más sutiles de Euclides. Se lee en el diálogo: Creo que sabes que los que se ocupan de geometría y de cálculo suponen lo impar y lo par, las figuras y tres clases de ángulos y cosas afines, según lo que investigan en cada caso. Como si las conocieran, las adoptan como supuestos, y de ahí en adelante no estiman que deban dar cuenta de ellas ni a sí mismos ni a otros, como si fueran evidentes a cualquiera; antes bien, partiendo de ellas atraviesan el resto de modo consecuente, para concluir en aquello que proponían al examen.147

Si se compara el procedimiento brevemente descrito por Platón con, por ejemplo, la prueba ofrecida en la primera proposición del libro VIII de los Elementos (correspondiente a la demostración de que dado un intervalo formado por cualquier cantidad de números continuamente 147

República, 510c.

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proporcionales cuyos extremos son números primos entre sí, éstos son los menores de aquellos que guardan la misma razón que ellos) se observa que el procedimiento: (a) Supone la noción de “número continuamente proporcional” y “números primos” dada anteriormente. Una definición es, por lo demás, lo que no se prueba sino lo que se asume para proceder. (b) Dispone además una hipótesis. Allí se dice “Sean […]” [Eàn ôsin], que, en este caso, es lo que se desea probar. Luego supondrá su negación y alcanzará la misma conclusión por el absurdo. (c) Deduce según una regla precisa lo que se deriva de cada instancia de la prueba. En suma, cuando Euclides compila el saber matemático acumulado hasta entonces lo hace con arreglo a la descripción de la actividad de los geómetras que efectuara Platón. Que los conceptos matemáticos utilizados por éste no sean otros que los que Euclides incluye en los Elementos indica al menos dos verdades. La primera, que Platón fue un claro partícipe de la teorización matemática de su tiempo y que su saber bebió directamente de ella. La información biográfica acerca de la educación matemática por él recibida refuerza esta proposición. En segundo término, y con suma relevancia para lo que aquí se disputa, significa que Platón no transgredió ese mismo espíritu y que no pretendió un exceso epistémico respecto del momento que representaba la Grecia clásica en la historia de las matemáticas. No está en discusión aquí si Platón produjo o no algún avance parcial dentro del momento matemático griego (algo, por lo demás, difícil de documentar) sino sólo si Platón perteneció al mundo científico de su tiempo. De esta manera, se impide metodológicamente incurrir en un anacronismo que puede resultar devastador para la comprensión del status ontológico de las matemáticas asignado en su obra. El único aspecto determinante que por ahora se puede adscribir al despliegue matemático en los diálogos es la fundamentación metafísica que inunda al máthema en tanto objeto de intelección, pero bajo ningún punto de vista un avance premonitorio respecto de las modernas concepciones del número. ¿Qué hay de sustantivo en esta consideración? ¿Cuál es su clave de formulación? ¿Qué dice su registro literal? Que, aunque la Academia haya sido un gran centro de intercambio científico de la Atenas clásica y de allí haya surgido algún

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progreso en lo que respecta a las matemáticas, el interés platónico no estaba enfocado en el impulso a la investigación propiamente matemática sino más bien en su pertinencia con relación al dispositivo filosófico. Y que de este terreno ya delimitado brotan tres aristas fundamentales para el posterior análisis del máthema: 1. Que las matemáticas tal y como las conoció Platón poseen intrínsecamente ciertas características –sin necesidad de ser reformuladas– que sirven al discurso filosófico. 2. Que dada la ausencia de trabajo matemático específico (salvo quizás por los estudios posteriores de Eudoxo y Teeteto), la operación que Platón realiza con las matemáticas debe responder a un fin distinto al de simplemente maximizar las investigaciones en esta disciplina. 3. Que, empero, la mencionada operación no deja indemne a las matemáticas desde una perspectiva ontológica. De ahí la importancia de mostrar el paralelo entre el texto platónico y el de los Elementos y de precisar además algunos rasgos del desarrollo histórico de las matemáticas griegas. Ambas cuestiones ayudarán al análisis posterior de los diálogos puesto que delimitan el espectro donde se mueve la matemática platónica, al mismo tiempo que propenden al esclarecimiento de los aspectos que Platón encontró como atractivos en éstas en orden a la consecución de sus fines filosóficos.

SEGUNDA PARTE

ANÁLISIS DEL CARÁCTER ONTOLÓGICO DE LAS MATEMÁTICAS A PARTIR DE LA PRESENTACIÓN EFECTUADA EN LOS DIÁLOGOS

En la presente sección me dedicaré a evaluar la generalidad de las características y funciones que son atribuidas por Platón a las matemáticas a lo largo de su obra escrita. La heterogeneidad y variación que es posible observar al respecto serán preservadas a los fines de garantizar la conformación de una imagen del problema sensible a lo prescripto por los diálogos. Sin lugar a dudas, la pretensión de mi empresa estriba en posibilitar una lectura de la mayoría de las instancias reconduciendo cada una de éstas hacia un horizonte común de comprensión pero justamente por esa causa, intentaré ensayar una lectura detallada de los pasajes agrupándolos en función de su afinidad temática, aunque más fundamentalmente en atención a su rendimiento teórico en relación con otros pasajes del mismo texto, con otros diálogos, con la hipótesis de lectura. Confío en que los vínculos y transacciones entre ellos dispuestos comiencen a nacer de modo subrepticio pero inconmovible. El plan del tratado se presenta como sigue: 1. Consideraciones generales sobre las matemáticas en los diálogos. Rasgos primarios, clasificaciones internas y niveles de textualidad. 2. Las matemáticas como ciencia propedéutica. El intento de sustitución del paradigma poético-mimético por el unívocomatemático. 3. Matemáticas y dialéctica. 4. Estudio del Menón como caso ejemplar de la operación platónica de introducción de la racionalidad matemática en la filosofía. 5. Análisis de las nociones de “Orden, Proporción, Belleza y Armonía”, como así también de la relación de las matemáticas con Khôra (Timeo) en función de las características del máthema

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de acuerdo con la interpretación brindada del símil de la línea dividida. 6. Exploración de la relación entre Philía y matemáticas desde la óptica que emplaza ambos conceptos como tò metaxý. Cada parte presupone la anterior y anticipa las posteriores. Se produce una suerte de superación entre un capítulo y su sucesor de manera que, de lograrse el objetivo de esta investigación, su final será el resultado de una delicada concatenación que tiende a construir lenta y parcialmente el corolario que estuvo, sin embargo, contenido desde siempre en las primeras palabras. Aspiro por ello a que el lector comprenda esto de manera que pueda ir siguiendo el esquema de dicha construcción y, consecuentemente, alcanzar la conclusión que pretende establecer el presente estudio. La elección del orden de los apartados es entonces deliberada e intenta edificar lentamente cierta visibilidad de la hipótesis de lectura en los diálogos, su cuerpo, hallarlo ahí en la materialidad del texto platónico para confirmar que se trata de una propuesta filosófica y no técnica, perteneciente al pensamiento, que se encarga de postular que eso que estaba allí ante nuestros ojos es lo que ahora resulta sorprendente y que, empero, siempre permaneció en ese lugar. Tal vez, el pensamiento no sea más que la capacidad de desordenar un régimen de lectura proyectándolo sobre un espacio aún demasiado novedoso, sobre el riesgo mismo de su exceso, incluso la posibilidad de un cambio de prácticas individuales o colectivas. Los capítulos que siguen se deben a un ejercicio de tal tipo, sin perjuicio de un reconocimiento del fértil terreno propiciado por las diferentes vías filosóficas que han abordado la cuestión directa o indirectamente.

LA DIVISIÓN DE LAS MATEMÁTICAS. CONSIDERACIONES GENERALES SOBRE LAS MATEMÁTICAS EN LOS DIÁLOGOS. RASGOS PRIMARIOS, CLASIFICACIONES INTERNAS Y NIVELES DE TEXTUALIDAD

La evaluación del papel que desempeñan las matemáticas en la filosofía de Platón debe contemplar los más diversos ámbitos. El interés intrínseco que el filósofo poseía por las matemáticas resuena en los rincones más apartados y diversos de su obra. Se encuentran referencias consistentes a las matemáticas en dos tercios de los diálogos, esto es, alrededor de 23 sobre 35 escritos y los tópicos con los que se ponen en relación las matemáticas recorren desde los aspectos cosmológicos y cosmogónicos, pasando por el plano político, la utilización práctica del cálculo, la construcción de templos, hasta la constitución ética del alma humana. ¿Cómo unificar la lectura, de ser posible, de todos los pasajes significativos? Es prácticamente imposible. Sin siquiera considerar los problemas que acarrea la inclusión en el espectro historiográfico de la tradición indirecta, una resolución coherente de la visión matemática que aparece como interior al texto platónico sería sumamente compleja. Queda la vía de intentar exponer sistemáticamente la mayor parte de los rasgos relevantes que Platón atribuye a este saber. Hacer visible las innumerables aristas con las que se presentan las matemáticas en los diálogos puede ayudar a conformar una imagen medianamente ajustada al espíritu platónico. Eso intentaré en lo siguiente: poner a jugar la dinámica de las tensiones, las contradicciones aparentes, las oposiciones e identificaciones, la división, la yuxtaposición de los textos, sus pliegues, las preguntas inscriptas en ellos, las que les son exteriores y que terminan por debatir con aquellas, en suma, la infinitud

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de las letras, la forma en que comienzan a aparecer los perfiles entre las sombras. La silueta de un pensador se traza con la tenacidad y el incansable manejo de sus obras; su semblante se deja entrever «como en sueños» después de largos días de preguntas y aporías. En el Filebo, se distinguen dos dimensiones de cada ciencia: En la ciencia de los conocimientos tenemos, creo yo, una parte que apunta a la producción y otra relativa a la formación y educación. ¿O qué?148

Y reza en consonancia el Político: Extranjero: -De este modo, entonces, divide el conjunto de las ciencias y habla de una ciencia práctica y de otra pura y simplemente cognoscitiva. Joven Sócrates: -Son éstas, pues, según dices, dos especies de la ciencia que en su conjunto es una.149

Ese momento del Filebo es el que comienza con la diaíresis de las ciencias, repitiendo el proceso de Gorgias 464b. Allí, el mecanismo de división sirve para presentar no sólo los saberes que pertenecen con propiedad a la rama más elevada del saber humano y los que no lo hacen, sino también para mostrar cómo algunas de estas ciencias son bifrontes y actúan sobre registros diferenciados, uno teórico y el otro práctico. El primero debe considerarse como una parte “muy pura” [katharôtata] y la otra como “más impura” [akathartótera]. Acto seguido, operando una torsión sutil, señala que “hay que indicar en cada una de ellas, las ciencias que las dirigen”, esto es, delimitar la porción rectora de cada una de las ramas del saber humano. Cada disciplina posee dos partes. Sin embargo, la parte más elevada corresponde a otra ciencia. ¿A cuál? Platón observa:

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Filebo, 55d. Político, 258e3.

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Por ejemplo, si se apartan de todas las ciencias las del número, medida y peso, lo que quedara sería, por así decirlo, nulo. 150

En efecto, la parte “mas pura” de todas las ciencias es aquella que se encarga del número, del peso y de la medida, es decir, las matemáticas. Y cuanta mayor intervención matemática posee un arte, mayor será su perfección, como sucede con la construcción: En cambio, creo yo, a la construcción, el hecho de utilizar muchas medidas e instrumentos, la hace más técnica que otras ciencias, porque le proporciona gran exactitud.151

Su mayor o menor presencia en cada arte constituye el criterio de división global de todas las ciencias; su marca es la que distingue la pureza de lo impuro, lo exacto de lo inexacto, el interior de la Academia de su afuera bárbaro: las matemáticas funcionan como tamiz de selección y diferenciación. Asimismo, hay que hacer notar que a la parte más pura de las ciencias puede corresponderle una ciencia cuyo fin sea la formación de la juventud, esto es, un saber que aunque posea contenidos eminentemente teóricos esté destinada a la educación y a la modificación del alma humana en función de algún orden superior preestablecido. Ellas poseen también una partición interna que Platón no tardará en indicar. De ahí el doble sentido del genitivo que posee el subtítulo de este apartado (“La división de las matemáticas”): - […] Pero, Protarco, ¿No habrá que decir que también éstas son dobles, o qué - ¿Cómo dices? - La aritmética en primer lugar, ¿no hay que decir que hay una de la masa y otra de los que son filósofos? - ¿Dónde hay que poner el linde para separar una y otra aritmética? - No es pequeña la diferencia, Protarco. En efecto, algunos de los que se ocupan de los números cuentan unidades desiguales, como dos ejércitos o dos bueyes, o dos cosas cualesquiera, así sean las más 150 151

Filebo, 55e. Filebo, 56b5.

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pequeñas o las mayores de todas; los otros, en cambio, no los acompañarían a no ser que se dé por sentado que ninguna de las ínfimas unidades difiere de cada una de las demás unidades.152

¿Por qué esta nueva división? ¿Es necesaria? ¿Cuál es su función? O, más aún: ¿Cómo funciona? ¿Por qué funciona? La resolución de esta cuestión convoca elementos hasta aquí ausentes en la discusión. Para entender la necesidad de esta última partición, hay que dejar sentado que el esquema platónico por excelencia es el de división [diaíresis] y jerarquización: ante lo que se presenta como único y homogéneo, Platón descubrirá el hiato, la diferencia local, para finalmente articular –de modo vertical– a los pretendientes surgidos de la partición binaria. No se trata de eliminar residualmente el polo impuro sino más bien de ceñirlos a los dos al lugar natural que les compete y armonizarlos entre sí en una relación funcional.153 Las matemáticas no son la excepción. Se desdoblan en la técnica utilizada para fines contables y la ciencia que se ocupa del número abstracto. Hay que recordar que abstracción aquí significa, en los términos griegos apháiresis, “detracción”, “sustracción” y “despojamiento”. Hay que pensar este concepto, más cercano a Aristóteles, simplemente como un mecanismo que se orienta hacia lo inteligible, separando algo de lo sensible inmediato. Por supuesto, hago primar el carácter negativo de la alfa privativa. Intento dar cuenta de una especie de movimiento discursivo de la sustracción tendiente hacia lo ideal que, aunque real en sí mismo y no generado exclusivamente por el alma humana, se debe a una operación anímica específica. “Dos matemáticas” quiere decir dos aritméticas, dos geometrías, dos estereometrías y dos logísticas. Una, más cercana a un ejercicio con fines prácticos, aplicada a la producción de edificios, navíos u objetos de uso cotidiano. La otra, más elevada, 152

Filebo, 56e. Aunque mediante algunos pasajes uno podría inclinarse a suscribir a la hipótesis de que el autodominio revela un intento de eliminación de las pasiones, yo prefiero la interpretación que conjuga y no pretende separar lo que ha dado en llamarse “Modelo de Autodominio” [The Self-Mastery Model] y el “Modelo de la Armonía” [The Harmony Model]. Sencillamente, creo que la atribución fisiológica correcta a cada una de las partes del alma, arroja que el logistikón debe gobernar sobre la parte irracional y en eso consiste básicamente la posibilidad de armonizar el todo consigo mismo. 153

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ensaya cálculos sabios al servicio de la filosofía.154 Mientras la técnica incide sobre la realidad diferenciada, la otra se aboca al estudio de las colecciones de unidades iguales entre sí: números. La matemática participa, a un mismo tiempo, del ámbito sensible y del inteligible mostrando su funcionalidad dual y, sin embargo, su uso vulgar permanece subordinado a la forma purificada del saber matemático. Muestra de ello es que existe una matemática [técnica] enseñada por los sofistas155 y que en el Gorgias156 se dice que la aritmética no requiere de demasiada actividad manual dado que su función puede ser ejercida casi en su totalidad por vía del discurso. Esta división recoge además, en última instancia, el enfrentamiento entre oralidad y escritura que inundaba el escenario onto-político del tiempo de Platón. El Extranjero dice en el Político –luego de oscilar entre la hipótesis de un gobierno absoluto de la letra escrita como forma de la ley y uno cuya esencia fuera la violación sistemática de la misma– que el único verdaderamente capaz de guiarse de acuerdo con su propio arte, y en orden a su propio ejercicio, será el verdadero político. Su ejercicio infalible y su identificación con el ámbito de la libertad, se ubican allí donde es posible el olvido de la letra. “¿Qué llegaría a ser todo esto [la ciencia entera de los números, bien fuera pura, bien aplicada a los planos, a los volúmenes, al movimiento] guiado de esta forma, gobernado por la letra escrita en lugar de estar regido por el arte?”157. Acto seguido, Platón contrabalancea su tesis, aclarando que “sería un mal mucho mayor en caso de que el gobernante obrara en contra del espíritu de la letra, violando la ley, de acuerdo a sus caprichos personales”.158 Las matemáticas, restan aquí indecidibles entre el plano de la escritura y el de la oralidad. Existiría una ciencia [matemática] del vulgo, ajustado de seguro a la escritura, y otra que le pertenece al político ideal o al sabio, que pareciera no querer permanecer determinada sino por la sutil dialéctica entre oralidad y escritura, algo que no acaba de alejarse de la oscura potencia de lo sensible. 154

Cfr. Filebo, 57a. También en Ion, 531c se dice que “el que posee la ciencia del número es el que habla del mismo excelentemente”.. 155 Cfr. Protágoras, 318d. 156 Gorgias, 450d. 157 Político, 298d. 158 Político, 300a.

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Una división ulterior se presenta. La misma posee un registro diferente a las anteriores pero no deja de centrarse en aquello que Platón considera matemáticas. Se trata de la clasificación de las distintas ramas de este saber: (a) La aritmética, que estudia los números pares e impares en tanto comprenden tal o cual suma de unidades: es lo que nosotros designamos con la palabra numeración.159 (b) La geometría, que se ocupa de las figuras160 y de las proporciones.161 (c) La logística, que consiste en el cálculo de los números, de pares e impares, como cantidad en sí, en su relación recíproca. Aunque posee el mismo objeto de estudio que la aritmética, la logística acentúa en mayor medida la dimensión cuantitativa y no la potencia formalizante propia de aquella.162 A partir de la presentación del programa educativo platónico en República 525a, se expone una progresión: la primera ciencia que debe ser aprendida por guerreros y filósofos es la aritmética, luego la geometría, posteriormente la estereometría o estudio de los volúmenes y, por último, la astronomía. Platón fija un orden de acuerdo con la familiaridad que despierta cada una de las ramas en el educando, pero lo establece con miras al desarrollo de la capacidad abstractiva del mismo. Finalmente, se intuye una distinción más. La misma puede aparecer al principio como exterior y, sin embargo, ataca tan velozmente el centro de la “operación matemática” de Platón, que es imprescindible que sea expuesta aquí. Contempla (a) la utilización de ejemplos matemáticos locales y sin mayor profundidad que Platón efectúa en los diálogos socráticos, (b) el uso de nociones matemáticas ya sea con fines ilustrativos, pedagógicos o analógicos y (c) su uso vinculado a la jerarquía ontológica que intenta trazar en su filosofía. Sin poder desligarlos completamente, la distinción permite entrever las diferentes regiones donde se avista el máthema o, mejor dicho, las capas donde éste puede ser visibilizado. Formulado de otro modo: las matemáticas de Platón no sólo pueden distribuirse de acuerdo con criterios de clasificación contenidos en los 159 160 161 162

Protágoras 357a y Teeteto 198 a. Hipias Menor, 368 a. Gorgias, 465b. Político, 259e.

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diálogos, sino también midiendo estos criterios con el propósito de cambiar sutilmente la dirección de la lectura de los diálogos. El máthema halla diferentes formas de darse, efectuaciones parciales y contextuales que no pueden desconocerse. Basta con observar que, aunque el vocablo empleado sea el mismo, no es idéntico el sentido que adquieren las matemáticas en un pasaje como el de Hipias Mayor 285b o el de Gorgias 450d o el de gran parte de la República. En el primer caso, Platón menciona que “Los espartanos no aman las matemáticas”, en el segundo que “la matemática no es la retórica” y en el tercero básicamente establece la relación de la matemática con la dialéctica, tornándose evidente que la profundidad del ejemplo depende de la relación que posea con la intención platónica de fundación de la filosofía y de la ciudad. Quizás podrían dibujarse algunos conjuntos definidos por el diverso recurso a las matemáticas. Éstos no invalidan ni las clasificaciones anteriormente asumidas ni las particiones que podrán surgir en adelante en este escrito. Pero tampoco dejan de interferir en ellos, de cruzarlos y reconfigurarlos en relación con la intensidad de aparición de cada recurso. Por eso es que vale el intento de distinción. Justamente porque un rastreo de la forma de darse del máthema habla muchas veces mejor que lo que explícitamente se consigna en su interior. Resultaría de esta división que sugiero algo así: (a) el recurso a las matemáticas tomadas en su determinación total, como un saber asociado a ciertos rasgos, sin adentrarse en las sutilezas que las informan. Aquí se ubican casos como el ya mencionado del Hipias Mayor o el del Protágoras 318d cuando se menciona que “Hipias enseña matemáticas”. (b) La descripción de la competencia de los matemáticos y de los conceptos que les son propios, incluyéndose aquí la mención de las distinciones internas del saber matemático. Puede recordarse en este conjunto a Eutifrón 12c donde se afirma que lo impar forma parte del número o el Alcibiades Mayor, 114c que define que el aritmético es competente sobre el número. Tanto en (a) como en (b), el máthema aparece utilizado de manera sumamente explícita. La garantía de dicho uso está dada precisamente por la extranjería que guarda aún la exposición en relación con la orientación metafísica que Platón atribuirá a las matemáticas posteriormente. (c) El uso tanto de nociones matemáticas como de la determinación total de las mismas pero ya en función de un pensamiento ontológico consonante con el deseo de trascendencia que deja al máthema en una especie de función subalterna.

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El caso más patente es el del Timeo, en el cual las matemáticas, la ley del número, se posicionan como un elemento residual del imperativo de ordenamiento del alma y cuerpo del mundo. “Antes de la creación, por cierto, todo esto carecía de proporción y medida. Cuando dios se puso a ordenar el universo, primero dio forma y número al fuego, agua, tierra y aire […]”163 Por eso advertir los estratos de la utilización no tiene que ver con los términos utilizados sino más bien con los vínculos que éstos establecen con el proyecto metafísico-político de Platón. Tal vez convendría más bien hablar de niveles. Niveles de penetración del pensamiento en el saber matemático. O quizás mejor estadios de interpenetración de filosofía y matemáticas. Porque sucede que la discriminación de cada instancia permitirá seguir el peculiar desenvolvimiento de esta relación, establecer la sucesión, analizar las causas del desplazamiento entre un nivel y otro, del trastorno que propició su tránsito, desnaturalizar lo que los hace aparecer como semejantes, permitirá rastrear algo inesperado, un río subterráneo que secretamente vertebra la historia del máthema en el cuerpo de la filosofía.

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Timeo, 53b.

LAS MATEMÁTICAS COMO CIENCIA PROPEDÉUTICA. LA SUSTITUCIÓN DEL PARADIGMA POÉTICO-MIMÉTICO POR EL MATEMÁTICO Digamos, por consiguiente, Adimanto, que las almas bien dotadas, si tropiezan con una mala educación, se vuelven especialmente malas. Republica, 491e.

En virtud de la célebre inscripción que coronaba el frontispicio de la Academia, este capítulo se concentrará en torno de la sentencia “Que no entre aquí el que no sea geómetra”.164 Este era el modo en que Platón distinguía un interior, académico, de su correspondiente exterior: otro, bárbaro, diverso. Es que, se sabe, su filosofía enmascara una operación de división y selección que no merma en la institución de la Academia. Lo que resulta asombroso es el criterio que la prepara, marcándose hondamente en aquel pórtico: el conocimiento de la geometría. Para entrar no es necesario saber filosofía. Ésta se encuentra «adentro». Tampoco ser un habilidoso orador ni un destacado hombre político. Hay que conocer sólo de figuras, lados y diagonales. Por lo que, una 164 Los documentos que testimonian en favor de la existencia de esta cifra emblemática son demasiado recientes como para garantizarla. Algunos bizantinos del siglo XII, otros del siglo VI y, la más antigua, en un discurso del emperador Juliano en el año 362. Independientemente de su localización efectiva, los estudiosos acuerdan en que “es, ciertamente, en su fondo, de inspiración platónica, y, en su forma, puede situarse fácilmente en el contexto de ciertos ámbitos de la vida griega” [Saffrey, H.D., “Ageometreetoos médeis eisitoo. Une inscrption légendaire”, en Revue des Études Grecques 81 (1968) N° 71]

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vez dentro, en el corazón mismo de la enseñanza platónica, habita algo compartido. Ese lenguaje común, ése que todos comprenden al inicio, el que permite balbucear las primeras palabras, es el de la geometría. Comenzar a hablar –tarea filosófica si las hay– será cosa de este saber. Por consiguiente el entender, el oír decir algo, se incluirá en el mismo registro y no tardará en dar sus primeros frutos: unos enseñan y otros aprenden. Y es evidente que en materia de educación, Platón ciñe perfectamente su concepción al concepto clásico de pedagogo [paidagogos] como “el que conduce, el que lleva”. El maestro era el didaskalós, pero que el paso clave en la educación del niño estaba en aquél que lo guiaba con seguridad hasta sus manos. Quien comprende algo puede transmitírselo –siempre– a quien que no lo sabe y, pese a que esta transferencia no deja de ser ardua y tortuosa, preserva su estructura bajo cualquier forma posible de presentación. El esquema peculiar que articula saber y no-saber puede encontrarse en otros sitios del pensamiento platónico: el demiurgo del Timeo, al darle forma al principio material caótico que precede a la formación del universo ordenado [kósmos], no hace más que reproducir la dinámica: Cuando el Artífice de algo, al construir su forma y cualidad, fija constantemente su mirada en el ser inmutable y lo usa de modelo, lo así hecho será necesariamente bello. Pero aquello cuya forma y cualidad hayan sido conformadas por medio de la observación de lo generado, con un modelo generado, no será bello.165

El Artífice que centra su mirada en el ser inmutable tiene la capacidad de ordenar, de informar, aquello otro que no posee aún proporcionalidad y medida. Se trata aquí del mundo, tomado como imagen de “algo”, que recibe la prescripción y la marca, como también sucede con el Sócrates del Menón, que conduce al esclavo de Ánito a la resolución de un problema matemático. Allí observamos más una pedagogía –la conducción paciente de Sócrates-maestro– que la aprehensión inmediata de un objeto a través del don. He ahí la paradoja del filósofo: el hombre que sabe y que enseña, pero que al mismo tiempo no puede habitar eternamente el mundo de 165

Timeo, 27d.

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las Formas, puesto que ignora parcialmente. El filósofo es tò metaxý, intermedio entre los hombres y los dioses, entre el devenir y el ser. El Filósofo, ese diálogo nunca escrito por Platón166, al igual que el érôs del Simposio o el demiurgo del Timeo pertenece a ese espacio que no se deja pensar sino en el límite entre conocimiento y no saber. De ahí que Platón no haya olvidado jamás el mandato socrático; de ahí que Sócrates pueda mostrar en el Menón el recto camino [orthée méthodos] hacia la verdad pero no la pueda decir por sí mismo, siempre inconclusa, a media voz. En esta verdad, en la verdad del ser del filósofo, se incluyen las constantes reservas de Platón para pronunciarse.167 Y el hombre entregado al Bien es el esclavo que logra liberarse de los cerrojos que lo confinan a la oscuridad de la caverna para acceder a la visión –siempre dificultosa– del sol y volver al mundo de las sombras para hablar a los otros, dirigirse a ellos, decirles la verdad, educarlos, persuadirlos, conducirlos él mismo hacia la luz, sin muchas posibilidades de éxito: “Y si intentase desatarlos y conducirlos hacia la luz, ¿no lo matarían, si pudieran tenerlo en sus manos y matarlo?”168 La alteridad, aquel exterior de la Academia, es también un afuera de Atenas, una suerte de radical heterogeneidad del mundo apolíneo que Platón proyecta para esta pólis. Es por todo esto que, de modo sintomático en la construcción de los diálogos, no puede dejar de adscribirle en el Hipias Mayor al espartano el desprecio por las matemáticas: Sócrates: - ¿Les gusta [a los lacedemonios] oírte hablar de geometría? Hipias: - De ningún modo, puesto que, por así decirlo, muchos de ellos ni siquiera conocen los números. Sócrates: - Luego están muy lejos de seguir una disertación tuya sobre el cálculo.

166 En el conjunto de diálogos formado por Sofista y Político falta de manera deliberada completar la trilogía con el diálogo acerca del Filósofo. Platón evade así su propia planificación establecida en Sofista, 216a. 167 Cfr. Reale, G. Por una nueva interpretación de Platón, Herder, Barcelona, 2003, capítulo III: “Los «autotestimonios» de Platón y los testimonios de sus discípulos como fundamentos del nuevo paradigma” 168 República, 517a

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Hipias: -Muy lejos, sin duda, por Zeus.169

Cuando amanece y todos se dan a la labor cotidiana, el filósofo ejerce ese movimiento pendular entre el ser mismo y lo que propiamente no es. Puede, como el demiurgo, conformar lo inconfigurado y el desorden a la forma del ser, mas no identificarse punto a punto con ésta, aunque su tarea presuponga que haya (re)conocido la eternidad que subsiste en el devenir. Sabe el camino, pero no qué hay al final del trayecto, y por eso puede que el que esté por entrar a la Academia entienda o no de filosofía indistintamente. Porque la filosofía se aprende dentro pero la condición para ese aprendizaje es el conocimiento de la geometría, el mancebo adquiere competencia en el centro de la Academia para posteriormente efectuar el necesario movimiento de retorno, diálogo y disyunción respecto de la doxa y de la pólis democrática. Desde entonces la filosofía no es más que un afán divisorio que hiere una situación con la proclama de un criterio propio, intempestivo, dañino. Sin embargo, el elemento que abre la posibilidad, la llave, la clave, el haz, es una rama del saber matemático. ¿Qué hay en las matemáticas que permiten el paso, la ruptura precisa e irreversible con el “afuera”, con lo habitual y corriente, con la doxa, o, dicho de otro modo, con lo que se dice en el juego democrático de las voces atenienses? La respuesta es simple: las matemáticas reúnen sobre sí el único quiebre posible con la realidad sensible sujeta al cambio. Platón es consciente de ello e interviene a tiempo para introducir este arte. Dice en plena búsqueda: “[...] qué estudio, Glaucón, será el que arranque al alma desde lo que deviene hacia lo que es? Al decirlo, pienso a la vez esto: ¿no hemos dicho que tales hombres debían haberse ejercitado ya en la guerra?” Y luego refuerza introduciendo la regla del número en un dominio que le es a priori ajeno: Sócrates: - Por ejemplo, eso común que sirve a todas las artes, operaciones intelectuales y ciencias, y que hay que aprender desde el principio. Glaucón: - ¿A qué te refieres?

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Hipias Mayor, 285b.

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Sócrates: - A esa fruslería por la que se discierne el uno, el dos y el tres, en una palabra, a lo que concierne al número y al cálculo: ¿no sucede de modo tal que todo arte y toda ciencia deben participar de ello?170

Por consiguiente, cuando se dedica a distinguir la aritmética del vulgo de aquella que deben practicar los filósofos, se concentra en la capacidad de abstracción de esta última.171 La diferencia entre dos disciplinas, o más precisamente entre dos formas de una misma disciplina, una orientada hacia la práctica cotidiana, la otra hacia la contemplación filosófica, es propiamente platónica. Repite aquel mecanismo que le es tan propio. El punto de divergencia es uno y único: la posibilidad de superación del mundo sensible. Separación entre los que cuentan unidades desiguales y los que admiten que “en la serie innumerable de las unidades no hay ninguna otra que sea distinta de otra”. Pero puesto que un trazo nunca se produce sin daño, sin el oprobio que despiertan los humores vertidos luego del encuentro, los damnificados aún reclaman. Lejos de constituirse en artistas en el sentido romántico del término, Homero y Hesíodo, no sólo reglaban moralmente la civilización griega sino que eran la fuente de consulta en el ámbito histórico172, religioso, político y natural. Vico comentaba: Si los poemas de Homero son historias civiles de las antiguas costumbres griegas, ellos serán dos grandes tesoros del derecho natural de las gentes de Grecia. 173 170

República, 522c. Cfr. Filebo, 56d 172 Pareciera presentarse cierta complejidad en la conjugación entre poesía e historia, sobre todo atendiendo a la famosa consideración que hace Aristóteles en Poética 1451 b-5: “El historiador y el poeta no se diferencian por decir las cosas en verso o en prosa [...]; la diferencia está en que uno dice lo que ha sucedido, y el otro, lo que podría suceder. Por eso también la poesía es más filosófica que la historia; pues la poesía dice más bien lo general y la historia, lo particular”. Hay que decir, no obstante ello, que el Estagirita ya habita un mundo en que la poesía (y con ésta, el arte en general) ha adquirido un espacio propio que se acerca más a la crítica de sí misma y de la tradición, como lo representa el palmario caso de Aristófanes, que al testimonio siempre heterogéneo de una cadena oral que codificaba, a través de la historia, la moral griega. 173 G.B. Vico, Ciencia Nueva, Tecnos, Madrid, 1995, XX [156] 171

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Y agregaba: Los poemas de Homero encierran dos grandes tesoros del derecho natural de las gentes de Grecia. Pero, sobre todo, por este descubrimiento, se le añade una alabanza brillantísima: la de haber sido Homero el primer historiador que nos ha llegado de todo el mundo gentil; por lo que ahora, sus dos poemas deberán elevarse al alto rango de ser dos grandes tesoros de las costumbres de la antigua Grecia.174

El poder de ruptura que poseen las matemáticas es el que las señala como el dispositivo que se opondrá al orden de la pólis y de su tradición poética175. Platón ensaya en República II, III, X y en Leyes VII su famosa crítica a la poesía.176 Si efectivamente su intención se dirigía a sacudir las bases de la ciudad, ha sabido anticipar muy bien que ésta podía modificarse alterando la materia que la componía. Escribe Havelock: Platón trataba la poesía como si ésta fuese una especie de biblioteca referencial, o un enorme tratado de ética, política y estrategia militar, porque tenía en mente su función inmemorial en las culturas orales, dando así testimonio de que ésta seguía siendo la función de la poesía dentro de la sociedad griega de su tiempo. Por encima de cualquier otra cosa, la poesía es una herramienta didáctica que sirve para transmitir la tradición.177

Platón se percata de que la poesía es más que una composición bella y ante una típica alternativa de las artes que se debaten entre prodesse o delectare (ser útiles o deleitar), en su proyecto terminará decidiendo por cierta utilidad de la misma. Sobre este punto, no pareciera modificar nada en el interior de la producción poética. La poesía tradicional seguirá 174

Ibíd, XXV-XXVI [902-904] Ver Esquema A, p. 263. 176 A diferencia de lo que sostienen varios autores que han identificado metodológicamente la poesía y el mito, Platón no ataca a este último sino que por el contrario lo presenta como un “pensar mediante imágenes” que es funcional al razonamiento a través del lógos. 177 Havelock, E. A., Alle origini della filosofia greca. Una revisione storica, Roma-Bari, 1966 (Hay traducción en inglés: The Preplatonic Thinkers of Greece. A revisionist History). Citado en Reale, G. Platón, Herder, Barcelona, 2002, p. 55. 175

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siendo ese corpus complejo –propio de su composición oral y dramática– que está encargada de animar la existencia griega. Lo que sugiere el ateniense con su crítica es el desplazamiento parcial de la misma y una posterior relocalización del nodo poético-pedagógico178, que ya en el Gorgias179 anunciaba una tragedia sólo al servicio del placer [hedoné] y sin conexión verdadera con la virtud [areté].180 Las críticas de la República, las más precisas y explícitas, se centrarán en las deficiencias que presenta la estructura mimética de la poesía clásica. Havelock y Reale acuerdan en adscribirle a la mímesis poética [griega] una triple dimensión. En primer lugar, se presenta el caso del actor, que es quien debe introducirse en la piel del personaje que representa. En segundo término, está el poeta, quien al momento de escribir una composición, obra «por imitación» respecto de sus personajes. Finalmente, se observa el caso del auditorio, involucrado de una manera altamente emotiva con lo que escribió el poeta y recita el rapsoda. El público, si el poeta y el rapsoda cumplen con su cometido, deberá experimentar en carne propia lo sucedido con Odiseo, deberá poder pronunciar sus palabras nostálgicas, recorrer sus aventuras. Luego de muchos años, el pueblo entero conocerá de memoria lo sucedido, lo alabará, lo incardinará en su práctica cotidiana bajo el nombre ético de virtud o vicio. 178

La cuestión de la proscripción de los poetas trágicos de la ciudad ideal es por demás delicada. En efecto, aunque es evidente que Platón reniega de la educación tradicional sostenida por la filiación épico-trágica, en Leyes VII presenta el contenido de las normas como “una cierta poesía” (811c9) que posiciona a los guardianes de la ley como “poetas de la tragedia más bella y mejor” (817b4). Además, en Leyes IX, afirma el papel central del poeta legislador como educador de la ciudadanía. Empero, la poesía tal y como era conocida por la Atenas del siglo V y IV a.C. será drásticamente modificada en el corazón del planteo platónico en la medida en que su télos habrá sido modificado. Ya en República 379a, se dice: “Glaucón:-En este momento ni tu ni yo somos poetas sino fundadores de un Estado. Y a los fundadores de un Estado corresponde conocer las pautas según las cuales no deben apartarse sus creaciones; mas no corresponde a dichos fundadores componer mitos. Sócrates:- Correcto –dijo–, pero precisamente en relación con este mismo punto: ¿cuáles serían estas pautas referentes al modo de hablar sobre los dioses?”. 179 Gorgias, 501a y ss. 180 Snell señala que paradójicamente es Aristófanes el primero en “moralizar” la poesía. En Las ranas, le reclama a Eurípides el haber corrompido a los atenienses, destruido el viejo espíritu cívico y hecho triunfar la mediocridad moral. Para Aristófanes, la verdadera poesía debe hacer al hombre mejor (1008 y ss.). Cfr. Snell, B. El descubrimiento del espíritu, Capítulo VII: Aristófanes y la estética., Acantilado, Barcelona, 2007, p. 206 y ss.

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Es este foco el que atacará Platón, haciendo de la distinción entre buena y mala mímesis un criterio ético. Mientras la mala mímesis es la imitación indiscriminada de lo malo, la buena mímesis encamina el alma hacia la virtud181. Cierto que también se trata de una suerte de corrección, de adecuada reproducción, entre modelo e imagen, como lo atestigua Sofista 236b7: “parece, pero no se asemeja” [phaínetai mén, éoike dé oú]. De este modo, se establecería la diferencia entre la copia –que se asemeja propiamente al modelo– y la apariencia que, pretendiendo engañar, presenta “lo parecido” como el ser mismo, borrando la posibilidad de una recta semejanza. La separación última es siempre relativa a un imperativo racional de la moral, sobre todo con respecto a la mímesis poética: “Entonces, ¿Cómo ejemplo de qué debemos decir que se expuso ese argumento? ¿No será por casualidad de lo siguiente: de que la raza de poetas no es del todo capaz de conocer bien lo que es bueno de lo que no lo es?”182, argüirá el Ateniense. Pero la ética está fundada como un ámbito universal, más allá del dolor o del placer individual, y se cierne en última instancia sobre la verdad, donde verdad quiere decir tanto el acceso y posesión de la creencia verdadera como la armoniosa estancia del hombre en el universo, en la ciudad y en sí mismo: ¿No podríamos, pues, a manera de conclusión de lo dicho, afirmar que ninguna imitación debe ser juzgada por el placer y la opinión vana, como tampoco debe serlo la igualdad? De ninguna manera, en efecto, porque a uno le parezca bien así o porque las cosas no agraden a otro, lo igual es igual, ni lo simétrico es simétrico, sino que es la verdad, y no cualquier otra cosa, lo que da solidez al juicio.

La norma puede ser relevada en cada paso del procedimiento imitativo: La verdad del poeta reside en imitar lo bello comprendido como “la vida más bella y mejor”, según se recoge en el libro VII de las Leyes, pero, al mismo tiempo, el contenido de la poesía será el modelo ético a imitar por los hombres rectos. Verdad y Bien se intersecan en la arista de la Belleza y el problema de la corrección epistémica y de la rectitud ética 181 182

Cfr. Leyes 801b10 - c1. Leyes 801b10 - c1.

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de la mímesis son uno y el mismo. De ahí, por ejemplo, la ambigüedad del siguiente pasaje: Sócrates: -Lo que en primer lugar hay que censurar –y más que cualquier otra cosa– es sobre todo el caso de las mentiras innobles. Adimanto: -¿A qué llamas así? Sócrates: -Al caso en que se representan mal con el lenguaje los dioses y los héroes, tal como un pintor que no pinta retratos semejantes a lo que se ha propuesto pintar.183

Aquí, sendas distorsiones que registran la copia qua copia y la incorrección ética de la misma terminan por converger. ¿Por qué se confunden ambas líneas? ¿Son acaso siquiera distinguibles? Será necesario profundizar otro tanto en el sentido del ataque platónico. En el libro III de la República, Platón centra sus críticas en la forma de enunciación poética. En primer lugar, divide los enunciados poéticos en tres grupos: a) los del relato indirecto, b) los del relato directo hecho por vía de imitación, c) los que conjugan los dos tipos de relato, el directo con el indirecto. Homero pertenece a este último grupo y, aunque Platón se enfoque en el segundo, sus embates se le harán extensivos dado que “ha sido el primer gran maestro y jefe de escuela de todos nuestros buenos poetas trágicos”.184 Por ello es que el filósofo clama hacia el final del libro X la dolorosa separación respecto de la paternidad homérica185, declarando en ese mismo acto el olvido del linaje y la apertura de uno nuevo: otro nacimiento.186 Y para ello no hay más remedio que el cambio del dispositivo pedagógico que, más ampliamente, manifiesta una dislocación completa en la paideia ateniense.187 En consecuencia, 183

República, 377d10. República, 595d. 185 República, 606e-607d. 186 La idea de otro nacimiento, o de un nacimiento otro, diferente, diferido incluso, autoriza para Platón la utilización de una noble mentira en la República. Al mismo tiempo, remite sin dudas a la instalación de la idea de «autoctonía», lo propio y la raza que se vislumbra ya en el Menéxeno. 187 Paideia significa aquí y en el resto de este escrito aquel complejo concepto que Jaeger delimitara con tanto cuidado en su libro homónimo. Educación, ideal de virtud, forma de vida, ordenación política, se encuentran bajo este significante para configurar un aspecto insoslayable del mundo griego que quizás se presente para nosotros, modernos, ilegible. 184

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Platón comenzará por derrumbar la arquitectura que enmascara la poesía trágica188, la mímesis: ¿Acaso no has observado que, cuando las imitaciones se llevan a cabo desde la juventud y durante mucho tiempo, se instauran en los hábitos y en la naturaleza misma de la persona, en cuanto al cuerpo, a la voz y al pensamiento?189

El auditorio sufre de una suerte de «identificación emotiva»190 que lo conduce a acoplar su manera de actuar al modelo presentado en la obra. De esto se desprende que la imitación compromete la unidad de la personalidad,191 puesto que existen en cada producción poética numerosos modelos posibles. El épos y la tragedia generan una imitación plural y heterogénea192. Lo múltiple es sinónimo de imperfección como oponente ontológico de lo Uno. Por eso la poesía, como la pintura, pertenece al ámbito de la pura doxa y sus enunciados se hallan triplemente alejados de la verdad: son imitaciones de imitaciones, pues pretenden emular los objetos que a su vez imitan a los modelos inteligibles. Las creaciones poéticas pertenecen al reino de las apariencias y no verdaderamente a la realidad193: Sócrates: - El imitador, por ende, no tendrá conocimiento ni opinión recta de las cosas que imita, en cuanto a su bondad o maldad. Glaucón: - Parece que no Sócrates: - ¡Pues encantador es el imitador poético en cuanto a sabiduría de las cosas que hace! Glaucón: - No precisamente encantador.

Toda vez que se refiera en este trabajo a pedagogía, educación, formación y cualquiera de sus derivados, deberá entenderse en este sentido amplio y no en que hace de éstas simples disciplinas parciales del conocimiento humano. 188 Cfr. República, 393c. 189 República, 395d. 190 Cfr. Reale, G. Platón. En búsqueda de la sabiduría secreta, Herder, Barcelona, 2002, p. 63. 191 Cfr. República, 397e. 192 Cfr. República, 397c. 193 Cfr. República, 596e.

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Sócrates: - No obstante, aunque no sepa si cada cosa es buena o mala, imitará de todos modos; sólo que, a lo que parece, ha de imitar lo que pasa por bello para la multitud ignorante. Glaucón: - No podría ser de otro modo. Sócrates: - Entonces parece que estamos razonablemente de acuerdo en que el imitador no conoce nada digno de mención en lo tocante a aquello que imita, sino que la imitación es como un juego194 que no debe ser tomado en serio; y los que se abocan por la poesía trágica, sea en yambos o en metro épico, son todos imitadores como los que más.195

Es casi indiscernible la dimensión epistémica de aquella ética. La distancia respecto de la verdad es “falta de ciencia” de “lo que imita”, pero esta carencia produce un gesto irresponsable pues no se sabe “en qué aspectos es buena o mala cada cosa”, debido a que lo que allí guía es el dictamen de la mayoría. Este riesgo de la poesía no sería de cuidado si no afectara (como de hecho lo hace) a la parte irracional del alma196, lo que expone a la ciudad al desorden, más precisamente al imperio del dolor y el placer, sinónimo de la intemperancia. Platón lanza un saludo un tanto nostálgico a sus padres, que serán abandonados para instaurar ese nuevo horizonte que es el de la filosofía. Vale la pena recorrer con serenidad este extenso pasaje del libro décimo de la República: Sócrates: -Por lo tanto, Glaucón, cuando encuentres a quienes alaban a Homero diciendo que este poeta ha educado a la Hélade, y que 194 La descalificación bajo el signo del juego es habitual en Platón. De hecho, sus dos críticas más célebres, aquella dirigida a la poesía y la que ataca la escritura, comulgan en la utilización de este concepto [paidiá]. Es sintomático que frente a la “seriedad” que sugiere Platón, Nietzsche –ese gran antiplatónico– rehabilite la figura del niño y del juego como nuevo nacimiento [del pensamiento, del hombre, de Occidente]. Cfr. Nietzsche, F. Así habló Zaratustra”.De las tres transformaciones del espíritu”, Alianza Editorial. Allí dice hacia el final del texto: “Tres transformaciones del espíritu os he mencionado: cómo el espíritu se convirtió en camello, y el camello en león, y el león, por fin, en niño”. Algo similar, en lo relativo al recurso al aléa y lo lúdico con propósito de desbancar al platonismo, sucede con los Sprachspiele de Wittgenstein y con el Juego Ideal de Deleuze. 195 República, 602 a11. 196 Cfr. República, 605 a-c.

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con respecto a la administración y educación de los asuntos humanos es digno que se le tome para estudiar, y que hay que disponer toda nuestra vida de acuerdo con lo que prescribe dicho poeta, debemos amarlos y saludarlos como a las mejores personas que sea posible encontrar, y convenir con ellos en que Homero es el más grande poeta y el primero de los trágicos, pero hay que saber también que, en cuanto a poesía, sólo deben admitirse en nuestro Estado los himnos a los dioses y las alabanzas a los hombres buenos. Si en cambio recibes a la Musa dulzona, sea en versos líricos o épicos, el placer y el dolor reinarán en tu Estado en lugar de la ley y de la razón que la comunidad juzgue siempre la mejor. Glaucón: -Es una gran verdad. Sócrates: -Esto es lo que quería decir como disculpa, al retornar a la poesía, por haberla desterrado del Estado, por ser ella de la índole que es: la razón nos lo ha exigido. Y digámosle, además, para que no nos acuse de duros y torpes, que la desavenencia entre la filosofía y la poesía viene de antiguo. […] No obstante, quede dicho que, si la poesía imitativa y dirigida al placer puede alegar alguna razón por la que es necesario que exista en un Estado bien gobernado, la admitiremos complacidos, conscientes como estamos de ser hechizados por ella. Pero sería sacrílego renunciar a lo que creemos verdadero. Dime, amigo mío, ¿no te dejas embrujar tú también por la poesía, sobre todo cuando la contemplas a través de Homero? Glaucón: -Sí, mucho. Sócrates: -¿Será justo, entonces, permitirle regresar a nuestro Estado, una vez hecha su defensa en verso lírico o en cualquier otro tipo de metro?197 Ciertamente, se trata de un abandono complejo, de un despojo tan necesario como indeseado. El motivo es la pretensión de postular una nueva ley en función de otro tipo de racionalidad. Su instauración resolverá un conflicto de vieja data entre la filosofía y la poesía. ¿Qué permanece latente bajo esta antigua diferencia [diaphorá]? ¿Qué hay de ella que resuena con fuerza en el momento en que escribe Platón? La clave está en el carácter dramático de los diálogos. En su libro 197

República, 606e-607d. La idea de un “posible regreso” de Homero a la República ideal permanece sujeta, como señalé en la nota 14, a una funcionalidad respecto del Estado en los términos novedosos en que Platón lo plantea.

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La fragilidad del bien198, Nussbaum establece que: (1) los diálogos son una especie de obra dramática polifónica y (2) que éstos difieren radicalmente del teatro griego hasta entonces conocido. En esta especie de representación antitrágica, sin embargo, Platón deja entrever la influencia de la tragedia cada vez que tanto el espectador como el lector del diálogo deben examinarlo todo activamente y determinar cuál es su propia postura y quién merece verdaderamente la gloria y por qué. En ambos registros literarios se hacen útiles referencias a la relación existente entre creencia y acción, i.e. entre una posición intelectual y un modo de vida, por lo que hay que reparar en el espíritu pedagógico-práctico de la poesía y de su polémico vínculo con el dispositivo filosófico. De ahí la función central del élenkhos como figura de examen y contrastación. De todas maneras, aunque se halle la intervención de dos o más personajes en cada diálogo, la construcción literaria ignora la métrica y es deliberadamente antirretórica. Difiere esencialmente de la oratoria y de las investigaciones científicas de la época en que el lenguaje de Platón es sencillo y coloquial.199 Contrariamente a la tragedia, no se intenta presentar un acontecimiento o una serie en su desarrollo, sino que, una vez concluida la introducción, se pasa al plano intelectual de inmediato. Los casos particulares son utilizados como datos conducentes a una explicación general. Por eso es que el élenkhos platónico se diferencia del trágico en su apelación al intelecto contra el llamamiento a las pasiones que ofrece su antagonista. Recurso a la “ley y a la razón” contra el riesgo de la pasión. Repetiré: esta oposición está soportada por la introducción del paradigma matemático en la pedagogía platónica.

Así, Platón provee en Las Leyes una sustitución: El legislador, tras atender a todo esto, debe ordenar a todos los ciudadanos que en lo posible no se aparten de ese orden numérico. Ninguna materia educativa tiene un poder tan grande para organización de la casa, para el orden político y para todas las artes como 198

Nussbaum, M. La fragilidad del bien, La balsa de la Medusa, Madrid, 1987. Dice en Apología de Sócrates 17 a-c: “Y no será, por Zeus, un elegante discurso el que escuchéis, un discurso como el de éstos, adornado con bellas frases y palabras; lejos de eso, emplearé las primeras expresiones que acudan a mi mente”. 199

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la ocupación con los números. Sin embargo, lo más importante es que despierta al que es de natural dormido y necio y lo convierte en listo, memorioso y agudo, haciéndolo progresar con un arte divino contra su propia índole.200

“La ciencia de los números” es la mejor de las ramas educativas. Deberán cultivarla a fin de adquirir todas las ventajas que ésta proporciona para la vida pública y la vida familiar. Para el filósofo “la ley de la razón” –y por ende el imperio del número– no dependen del ámbito singular donde se ejerza sino que, por el contrario, se trata de lo universal en sí mismo. Es por eso que no hay una distinción, al margen de qué tipo de matemáticas se practique, entre su despliegue en la vida familiar y su intercambio en el ámbito público. ¿Qué “despiertan” las matemáticas? Abren el camino hacia la verdad; soportan el trabajo de necesario para que el alma se habitúe al ámbito inteligible. En cierto sentido, la primera ventaja educativa de las matemáticas es preparar el alma para ver lo que ésta no está dispuesta a ver, moldearla, al mismo tiempo que ofrecerle la única herramienta de la que podrá disponer en adelante, a saber, el pensamiento abstracto como pensamiento del ser: Sócrates: -Tú ves entonces, mi amigo, que este estudio ha de resultarnos realmente forzoso, puesto que parece obligar al alma a servirse de la inteligencia misma para alcanzar la verdad misma.201

Este es el motivo por el cual la matemática, ese dispositivo de discurso que viene a regir y quizás a reemplazar a la poesía, requiere de la distinción interna capital: Sócrates: Sea esto como lo has dicho, y confiando en ti tomemos valor para contestar a los que son hábiles en arrastrar argumentos. Protarco: ¿Cómo? Sócrates: Que hay dos aritméticas y dos metréticas y otras muchas semejantes que dependen de ellas y tienen esa duplicidad bajo un único nombre común. 200 201

Leyes, 747b. República, 526b.

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Protarco: Demos en buena hora esa respuesta, Sócrates, a esos de quienes dices que son duros de roer.202

La diferencia entre ambas ciencias es remarcada porque existe un solo tipo de matemática capaz de propiciar el pensamiento discursivo. El caso de la aritmética es ilustrativo: de acuerdo con Filebo 56d, moviliza la separación de una ciencia del vulgo y otra para los filósofos gracias a su potencia de abstracción. Platón hará la misma partición sobre el arte del cálculo y la medida. Existe una forma perfecta de desarrollo de las ciencias matemáticas y otra imperfecta, toda vez que se prosigue con la búsqueda de un saber que prepare el alma para el posterior acceso dialéctico al Bien. La distinción no es menor para Sócrates: la vía que se ajusta a la exigencia filosófica es la que comporta una mayor abstracción. ¿Por qué? No hay una unidad formalmente distinta de otra: logra identificar y separar la unidad inteligible de lo sensible mismo que participa de él. Sabes por consiguiente, que se sirven [los geómetras] de figuras visibles y hacen discursos acerca de ellas, aunque no pensando en éstas sino en aquellas cosas a las cuales éstas se parecen, discurriendo en vista al Cuadrado en sí y a la Diagonal en sí, y no en vista de la que dibujan, y así con lo demás. De las cosas mismas que configuran y dibujan hay sombras e imágenes en el agua, y de estas cosas que dibujan se sirven como imágenes, buscando divisar aquellas cosas en sí que no podrían divisar de otro modo que con el pensamiento [diánoia].203

Utilizaré este pasaje más adelante para demostrar el movimiento de inscripción sensible del máthema. Si es legítimo este doble uso, es porque la indecidibilidad lo autoriza en tanto tal e incluso incita su presentación. De momento, vemos que el propósito del texto es extender a través de la univocidad de la letra matemática, la cruzada anti-relativista, 202

.Filebo, 57d3. República, 510d6. El pensamiento discursivo, diánoia, efectúa su ruptura con la opinión preparando el alma para la aprehensión dialéctica de las ideas. Por otra parte, la tesis de que los objetos sensibles nos remiten a realidades que están más allá de éstos es traspasada del ámbito matemático al moral en Fedón 75 a-b y d. 203

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anti-convencionalista, anti-sofística; permitir el árido tránsito que permite la vida buena, la superación de los placeres inmediatos, el acuerdo ético con la armonía cósmica y política: Sócrates: «Si para nosotros, por tanto, la felicidad consistiera en esto: en hacer y escoger los mayores tamaños, y en evitar y renunciar a los más pequeños, ¿qué se nos mostraría como la mejor garantía de nuestra conducta? ¿Acaso el arte de medir, o, acaso el impacto de las apariencias? Éste nos perdería y nos haría vacilar, una y otra vez, hacia arriba y hacia abajo en las mismas cosas, y arrepentirnos en nuestros actos y elecciones en torno a lo grande y a lo pequeño. Pero la métrica haría que se desvaneciera tal ilusoria apariencia y, mostrando lo auténtico, lograría que el alma se mantuviera serena, permaneciendo en la verdad, y pondría a salvo nuestra existencia ¿Reconocerían los demás, ante eso, que nos salvaría el arte de medir o algún otro?»204

El arte matemático, aun comulgando íntimamente en su carácter tékhnico con la poesía, quiebra el engaño de las apariencias, alcanza la verdad y finalmente garantiza al alma “la vida buena” al romper con la doxa: reino de la contingencia y de la sofística convencionalista. El paralelo entre la posesión de la verdad y el buen vivir es, sin lugar a dudas, lo que guía toda reconstrucción de la ciencia matemática en los diálogos. Por eso se arriba a dos pasajes ineludibles que no casualmente retratan el programa educativo de República. En primer lugar: Sócrates: -Pero la ciencia del cálculo y la aritmética tratan del número. Glaucón: -Así es. Sócrates: -Entonces parece que conducen conducen hacia a la verdad. Glaucón: -En forma maravillosa. [hyperphyôs] Sócrates: -Se hallan, por ende, entre los estudios que buscamos; pues al guerrero, para ordenar a su ejército, le hace falta aprender estas cosas; en cuanto al filósofo, para escapar del ámbito de la gé-

204

Protágoras, 356d

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nesis, debe captar la esencia, sin lo cual jamás llegará a ser un buen calculador. Glaucón: -Así es, dijo. […] Sócrates: -Sería conveniente, Glaucón, establecer por ley este estudio y persuadir a los que van a participar de los más altos cargos del Estado a que se apliquen al arte del cálculo, pero no como aficionados, sino hasta llegar a la contemplación de la naturaleza de los números por medio de la inteligencia [noêsei]; y tampoco para hacerlo servir en compras y ventas, como hacen los comerciantes y mercaderes, sino con miras a la guerra y a facilitar la conversión del alma desde la génesis hacia la verdad y la esencia. Glaucón: -Es muy bello lo que dices.205

Aquí la función propedéutica de las matemáticas queda evidenciada al permitirle al hombre de guerra disponer el ejército y al filósofo alcanzar el ser y la verdad. El ascenso discursivo hacia la “contemplación puramente intelectual de la naturaleza de los números” delimita un momento preciso de la operación de conversión del alma y encuentra allí la finalidad local y definida de la ciencia del cálculo de la que deberán servirse [“por ley”] guerreros y filósofos. Y luego de puntualizar la relevancia de la geometría para el arte militar, prosigue: Sócrates: - De esas cosas, sin embargo —repliqué—, es poco de geometría y de cálculos lo que basta. Avanzando mucho más lejos que eso, debemos examinar si tiende a hacer divisar más fácilmente la Idea del Bien. Y a eso tiende, decimos, todo aquello que fuerza al alma a girar hacia el lugar en el cual se halla lo más dichoso de lo que es, que debe ver a toda costa. Glaucón: - Hablas correctamente. Sócrates: - En ese caso, si la geometría obliga a contemplar la esencia, conviene; si en cambio obliga a contemplar el devenir, no conviene. Glaucón: - De acuerdo en que afirmemos eso. Sócrates: - En esto hay algo que no nos discutirán cuantos sean siquiera un poco expertos en geometría, a saber, que esta ciencia es 205

República, 525a-c.

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todo lo contrario de lo que dicen en sus palabras los que tratan con ella. Glaucón: - ¿Cómo es eso? Sócrates: - Hablan de un modo ridículo aunque forzoso, como si estuvieran obrando o como si todos sus discursos apuntaran a la acción: hablan de ‘cuadrar’, ‘aplicar’, ‘añadir’ y demás palabras de esa índole, cuando en realidad todo este estudio es cultivado apuntando al conocimiento. Glaucón: - Completamente de acuerdo. Sócrates: - ¿No habremos de convenir algo más? Glaucón: - ¿Qué? Sócrates: - Que se la cultiva apuntando al conocimiento de lo que es siempre, no de algo que en algún momento nace y en algún momento perece. Glaucón: - Eso es fácil de convenir, pues la geometría es el conocimiento de lo que siempre es. Sócrates: - Se trata entonces, noble amigo, de algo que atrae al alma hacia la verdad y que produce que el pensamiento del filósofo dirija hacia arriba lo que en el presente dirige indebidamente hacia abajo.206

La referencia directa de la geometría hacia lo que “siempre es”, su capacidad de producir conocimiento del “ser que existe siempre”, es lo que la posiciona como la fuerza que arrastra el alma hacia la verdad. De ahí que se hable de un estímulo para el pensamiento filosófico que permite elevar lo que aún permanece sujeto al mundo del devenir. Habita en la ciencia matemática una capacidad dinamizadora, de ruptura y ascenso, posibilitada por su carácter discursivo que la convierte en el paso primario e indispensable para la contemplación de las Formas. Lo mismo pudo decirse del estudio aritmético (“[…] de este modo el aprendizaje concerniente a la unidad puede estar entre los que guían y vuelven el alma hacia la contemplación de lo que es”.207 ) Todo ello la convierte en elemento central de la educación de los niños y jóvenes en el marco del proyecto político de Platón. El programa completo quedaría resumido como sigue: 206 207

República,, 526d, 527b12. República,, 525a.

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• • • •

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De la descripción de los libros II y III de República se extrae la importancia primaria de la música y la gimnasia. Los estudios matemáticos propaidéuticos han sido introducidos mediante el juego y no por la fuerza a los jóvenes de 17 o 18 años. (536d) Se prevé la inserción de dos o tres años de entrenamiento gimnástico solamente. (537b) A la edad de veinte años un grupo selecto de estudiantes será escogido para ser instruido nuevamente en las mismas artes matemáticas que antes, pero esta vez desde un punto de vista sinóptico, comparativo y, en algún sentido tendiente a la fundamentación metafísica de los mismos. Dice Platón: Después de ese tiempo, se escogerá entre los jóvenes de veinte años, y los escogidos se llevarán mayores honores que los demás, y deben conducirse los estudios aprendidos en forma dispersa durante la niñez a una visión sinóptica de las afinidades de los estudios entre sí y de la naturaleza de lo que es.208

•

De este grupo se extraerá otro subgrupo de los que están en condiciones de seguir con la instrucción. • Más adelante, los guardianes deberán ser formados también en el campo moral en atención al ejercicio del arte de gobernar. Para ello, un grupo más reducido aún será educado en el terreno de las Ideas morales desde los treinta hasta los treinta y cinco años. (539c) • Sin embargo, aunque estos individuos hayan penetrado por vez primera en el ámbito de las Ideas, no será suficiente su formación para alcanzar la Idea de Bien y con ella la meta de todo el camino de ascenso. Platón dispone en 540a un lapso de quince años (desde los treinta y cinco hasta los cincuenta) donde los guardianes debían ocupar cargos militares y civiles. Conformar un nuevo paradigma pedagógico en torno de la capacidad peculiar de las matemáticas anuncia un cambio radical en la manera de entender la educación que tiene los ojos puestos en una modificación 208

República, 537c.

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íntegra de la pólis. Se insiste en la formación simultánea, aunque para fines diversos, de guerreros y filósofos, ambos encargados del delineamiento formal y práctico de la ciudad griega. La totalidad del pasaje del libro VII de la República, dedicado a la exposición de los estudios que por fuerza deben realizar los gobernantes de la ciudad ideal, indica no sólo la conveniencia que supone el conocimiento de estos temas y el necesario aprendizaje de su forma de captar lo que es sino también la abismal diferencia que queda trazada entre los que poseen este saber y los que no lo poseen. Sólo “los mejores” persiguen el estudio de las matemáticas, incluso a sabiendas de que no hay quizás “muchos estudios que requieran más esfuerzos para aprender y practicar”209. Por otra parte, existe una manera específica en que debe realizarse su enseñanza: Sócrates: -Por consiguiente, tanto los cálculos como la geometría y todos los estudios preliminares que deben enseñarse antes que la dialéctica hay que proponérselos desde niños, pero sin hacer compulsiva la forma de la instrucción. Glaucón: -Y esto ¿por qué? Sócrates: -Porque el hombre libre no debe aprender ninguna disciplina a la manera del esclavo; pues los trabajos corporales que se practican bajo coerción no producen daño al cuerpo, en tanto que en el alma no permanece nada que se aprenda coercitivamente.210

Y esta prescripción de que la enseñanza sea vehiculizada a través del juego211 en lo que toca a los hombres libres, es complementada en Las Leyes con la consideración de que la instrucción matemática permanece reservada para los pocos, revelando el aspecto aristocrático del plan disciplinar212:

209

República, 526c. República, 536d. 211 República, 537a y Leyes 819a. 212 En otro capítulo, me dedico a mostrar cierta paradoja entre la transmisión aristocrática del conocimiento matemático, la universalidad de su objeto y la tendencia a ser-escrita que éste posee. 210

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Ateniense: -Bien, hay aún tres materias de estudio para los hombres libres: el cálculo y los números constituyen una disciplina; también el arte de la medida de la extensión, de la superficie, de la profundidad forman, como un único ámbito, la segunda materia, mientras que la tercera es el estudio de las revoluciones de los cuerpos celestes, cómo es el movimiento natural de unos en relación con los otros. No es necesario que la mayoría estudie todo eso hasta alcanzar un conocimiento exacto, sino unos pocos, que mencionaremos cuando hayamos progresado hasta el final de la exposición, pues convendría que se hiciera así.213

Luego, hay que ir más allá, yendo a través de las exigencias matemáticas. Es inevitable volver hacia el esquema formal de la sustitución del paradigma pedagógico. En la comunión, en el terreno común entre poema y máthema, resuena menos una posible vinculación que la apuesta misma por la disyunción: ambos dispositivos, si van a ser confrontados, cohabitan el mismo registro al menos por un tiempo. Gracias a ello es posible la íntima oposición, el contraluz punto a punto entre ambos. ¿Qué poseen de común? Son dos tipos de artes [tékhnai]214. Una vez homogeneizado el espacio, Platón procederá, como es de esperarse, a la separación y selección de la mejor alternativa. Dada la igualdad potencial entre discursos, se practicará la operación de jerarquización y simultáneo desasimiento del “falso pretendiente”. Más aún: es posible instaurar una hipótesis filosófica que dirija este movimiento hacia el seno mismo de la ontología platónica, es decir, que introyecte exactamente, sobre los pilares fundacionales de dicha filosofía, la potencia discursiva de las matemáticas. No pocos pensadores contemporáneos han señalado que la operación fundamental por la cual se constituye el platonismo conforma un mecanismo de selección entre copia [eikón] y simulacro [phántasma] en atención al modelo 213

Leyes, 817e. En tanto discurso imitativo acerca del ser, la matemática podría enmarcarse como tékhnê eikastiké: rama del arte imitativa que genera copias semejantes al modelo y que se acercan a la verdad. Pertenecería a esa parte de las artes imitativas que produce cosas diferentes de lo original o paradigmático pero semejantes. Cfr. Sofista, 236a. El verbo eikásô indica comparación. No se podría comparar lo que no tiene una procedencia común y alguna propiedad compartida. Modelo y copia pueden ser comparados en tanto y en cuanto los reúne la symmetría. 214

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[parádeigma].215 Movimiento repetido: división y selección216, la fundación de la metafísica y su interpretación política se inscriben allí. Sostendré que la tríada parádeigma, eikón, phántasma puede reconfigurarse en este caso, bajo los nombres de idéa, máthema y poema respectivamente. La causa basamental de la ruptura con la poesía, en el instante mismo de la instauración filosófico-política primaria, es la imitación engañosa a la que nos puede someter su palabra, cómplice, sin lugar a dudas, y por el mismo motivo, con los logoi del Sofista217; se trata de un problema enraizado en la naturaleza de la mímesis. Ésta presupone una distancia mínima pero infranqueable entre modelo y copia. De otro modo no habría imitación sino identificación. En este caso particular, Platón despliega la dinámica mimética al referirse a la posible articulación phantasmática del lógos artístico218 y critica la opacidad que éste produciría en relación con la realidad del modelo. Dado que el interés último es la formación de la pólis ideal, y que los poetas han conformado la tradición pedagógica que estructuró Grecia hasta entonces, si hay que refundar la ciudad, habrá que pensar en otro tipo de discurso educativo. Las matemáticas conformarían pues el eikón, la recta copia, que discurre en symmetría con el modelo219, mientras que la poesía será siempre phántasma, alejado “en tres grados de la Idea”. Creo que aquí es donde puede introducirse la potencia del máthema como: a) Instauración racional del orden filosófico. Como subalterno inmediato de la dialéctica, la univocidad y la dureza deductiva de las matemáticas permiten romper con el engaño sofístico y la maleabilidad del discurso poético. Cabe recordar que en República 602d se recurre al “medir, numerar y pesar” como terapias ante la seducción de pintores y poetas. 215 Cfr. Deleuze, G. Lógica del sentido, Paidós, Barcelona, 1989 Cfr. también Derrida, J. “La farmacia de Platón” en La Diseminación, Fundamentos, Madrid, 1975. En este último se muestra la inestabilidad inaugural del texto platónico desde una perspectiva no precisamente filológica. 216 De hecho, suele reconocerse que una de las partes constitutivas de la dialéctica es la división [diaíresis]. 217 Cfr. Sofista, 234e [en toîs lógois phantásmata]. Cfr. también Sofista, 235 b5 y 238 c7. 218 Cfr. República, 598b6. 219 Cfr. Aristóteles, Metafísica, 1021a5-6. Allí se vincula a los números intrínsecamente con la symmetría. “El número es conmensurable (sýmmetros) y a aquello que es inconmesurable, el número no puede referir”.

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b) Discurso recto acerca del ser. Es la palabra que, como la filosófica, dice en symmetría,220 esto es: establece una relación proporcional y armónica entre copia y original. Considerado como discurso imitativo acerca del ser, la matemática podría enmarcarse como tékhnê eikastiké: rama del arte imitativa que genera copias semejantes al modelo y que se acercan a la verdad. El máthema –eterno aunque plural– forma parte de las imágenes que expresan correctamente los rasgos del ser, aun estando en un plano inferior de la jerarquía ontológica. c) Posibilidad de introducción de un nuevo programa pedagógico y político. En tanto y en cuanto las matemáticas son “el antídoto” para los engaños poético-sofísticos, y, como he mostrado más arriba, constituyen la necesaria preparación para la dialéctica y la aprehensión del Bien [de la verdad], se disponen como nodo necesario en la educación de la República. Me refiero, como podría esperarse, al doble vacío que instituyen las matemáticas del cual hablé en la “Contextos del máthema”. Su fuerza de quiebre con la mala mímesis221, su férrea concatenación deductiva, su correspondencia intrínseca con la proporcionalidad y belleza del mundo inteligible, la convierten en el paso obligado hacia la captación de las Formas y en el elemento crítico de discernimiento entre verdad y opinión. Y sucede que todo esto tiende a señalar nuevamente hacia lo indecidible, pero esta vez de una manera especial. ¿Qué provoca el movimiento de igualación de dos dispositivos discursivos que pretenden decir el ser? La tensión propia de lo indecidible: su semblante reaparece como la disputa entre candidatos, de los cuales uno brota de súbito como algo inesperado. Gracias a esta veloz emergencia se produce el hiato necesario para que ambas alternativas puedan quedar equilibradas y para que 220 Al definir la apariencia en Sofista 236b7, Platón dice: “parece, pero no se asemeja” [phaínetai mén, éoike dé oú] De este modo, se establecería la diferencia entre la copia, que se asemeja propiamente al modelo y que qua imagen a través de esta buena mímesis, y la apariencia que, pretendiendo engañar, presentan lo parecido como el ser mismo y, de esta manera borra la posibilidad de una recta semejanza. 221 La distinción entre buena y mala mímesis, está soportada por un criterio ético. Mientras la mala mímesis es la imitación indiscriminada de lo malo, la buena mímesis encamina el alma hacia la virtud. Cfr. Leyes 801b10 - c1.

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aquella que poseía la primacía hasta entonces vea el riesgo de perderla. Pero también ocurre que lo indecidible debe ser decidido. Ése es quizás el imperativo que recorre todo Occidente en su constitución metafísica y más todavía en la lectura que ha recreado dicha constitución. Es el ademán platónico primario por antonomasia. Lo inestable debe ser localizado, cercado, decidido y finalmente afianzado. Sin ese proceso, nada podría hacerse, conocerse o decirse. De manera que es a partir del emparejamiento de poema y máthema que se revive el complejo aporético que Platón no dudará en disolver rápidamente, no sin que antes haya dejado una traza evanescente tan irreductible como el propio mecanismo de su borradura. El máthema surgirá ahora para desbancar el reino poético-mimético. ¿Bastará con esta interrupción para el proyecto fundacional de Platón? O, dicho de otro modo: ¿Posee el máthema el cuerpo suficiente, la intensidad bastante, para que su aparición sea garantía de estabilidad meta-física? Intentaré mostrar que ambas preguntas se responden negativamente describiendo el paso siguiente de nuestro filósofo. El movimiento consistirá en ligar esta ciencia “preliminar y preparatoria” a la más elevada de las actividades del alma: la dialéctica. Habrá que exponer el mecanismo que hace posible una sutura tal.

MATEMÁTICAS Y DIALÉCTICA

1.

CARTOGRAFÍA: DOBLE LIMITACIÓN

Si lo indecidible conlleva el riesgo máximo que atenta contra toda voluntad metafísica (y también, ciertamente, meta-física) será Platón mismo el encargado de obliterar su potencia de vacío, ese horror vacui, a partir de su ligazón a una ciencia que desentraña los principios de «lo que hay». La tarea de fundamentación onto-metafísica de las matemáticas es lo que se obtiene como producto residual de la exposición de República. Éstas se posicionan pues entre dos demarcaciones explícitas, articulados verticalmente de acuerdo con el escalafón epistémico platónico: 1. Demarcación inferior: Sólo las matemáticas poseen la capacidad necesaria para sustraerse a la opinión y a sus soportes discursivos. De esto ya se ha hablado bastante en el capítulo anterior y solo cabe señalar que esta propiedad determina un sitio específico e inviolable en el cual debe desarrollarse el saber matemático en vistas al conocimiento filosófico. 2. Demarcación superior: Las matemáticas no pueden aprehender de modo sistemático y sinóptico la totalidad de lo que esencialmente es. Esta tarea estará reservada para la dialéctica. Entre ambas, se despliega su dinámica; entre su absoluta necesariedad y una imposibilidad de acceso pleno al ser qua ser. El término que los nuclea es el que define su sitio: tò metaxý. Platón se encarga de resu-

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mirlo en el preciso momento en que inicia el tratamiento de la dialéctica en la República. Habrá que evaluar allí el mecanismo que articula noûs y diánoia comenzando por una breve exposición de los rodeos, las líneas de expresión, las hendiduras observables en la superficie del diálogo. En lo que refiere a la demarcación inferior, se comienza por una fuerte restricción: Sócrates: -¿Y podemos afirmar también que el poder dialéctico sólo se revelará a aquel que sea experto en los estudios que hemos descrito, y que cualquier otro es incapaz?222

El “cualquier otro es incapaz” [allê dè oudamê dynatón] excluye de plano la posibilidad de eludir la preparación matemática. En el programa de República y Leyes, la instrucción a lo largo de diez años en matemática avanzada era el pórtico para el pensamiento totalizante y comparativo. El camino se vuelve uno. Nadie que no estudie matemáticas puede comenzar el ejercicio de la dialéctica y nadie que sea dialéctico puede haber evitado el tratamiento de dicha técnica. Ahora bien, la clave de esta operación no debería concentrarse en la sucesión directa de dos tipos de pensamiento sino en el momento preciso en que uno se vuelve insuficiente y cede paso al otro. En primer lugar, Platón aduce que esta disciplina sólo “capta algo de lo que es” [às toû untos ti éphamen epilambánesthai] y que el motivo de esta visión parcial es que “se sirven de supuestos, dejándolos inamovibles” sin poder dar cuenta de ellos.223 La falta de justificación de los supuestos, su puesta en funcionamiento sin más, deja confinados a los matemáticos al simple mecanismo deductivo que sólo alcanza conclusiones parciales sin reencontrar jamás el basamento que lo fundamenta y hace posible. Produciendo el encadenamiento, proceden a partir de ciertas premisas y algunas reglas dadas, sustrayéndoseles la mirada plena sobre el esquema formal que brinda consistencia a su actividad.224 Es 222

República, 533a10. República, 533b8. 224 Cfr. República, 526d. Por lo demás, el diagnóstico platónico es, en efecto, actual. Para una lectura contemporánea del working mathematician y sus límites epistémicos, Cfr. Badiou, A. El ser y el acontecimiento, Manantial, Bs. As., 1998, Apéndice II: “Una relación, o una función, no es más que un múltiple puro” [pp. 485-489]. 223

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ahí donde el dialéctico puede –y debe– contemplar los principios que gobiernan lo que es, profetizando que, en caso de que la tarea matemática no sea llevada a cabo con miras a lo Bello y lo Bueno, la misma se tornará inútil.225 La única forma de que el estudio realizado no sea vano es estableciendo “una relación y parentesco de unos con otros [estudios]” y demostrando “la afinidad que hay entre ellos”.226 Hay pues una relación necesaria entre ambos saberes; existe una línea de fuga del pensamiento matemático que lo liga a la dialéctica según el modo del lógos. De esta manera, toda la instrucción matemática se transforma en un preludio para la melodía más bella: Sócrates: -[…] ¿O no sabes que todo esto no es más que un preludio a la melodía que se debe aprender? ¿O acaso crees que los versados en aquellos estudios son dialécticos?227

Se observa un coto pero asociado a un vínculo imprescindible: matemáticas y dialéctica. Los matemáticos no son “capaces de dar razón y recibirla” como sí lo son los dialécticos.228 Luego de exponer sintéticamente las virtudes y fallas del arte matemático, Platón resume de manera magistral: Sócrates: -Por consiguiente, el método dialéctico es el único que marcha, cancelando los supuestos, hasta el principio mismo, a fin de consolidarse allí. Y dicho método empuja poco a poco al ojo del alma, cuando está sumergido realmente en el fango de la ignorancia, y lo eleva a las alturas, utilizando como asistentes y auxiliares para esta conversión a las artes que hemos descrito. A éstas muchas veces las hemos llamado “ciencias”, por costumbre, pero habría que darles un nombre más claro que el de “opinión” pero más oscuro que el de “ciencia”. En lo dicho anteriormente lo hemos diferenciado como pensamiento discursivo [diánoia], pero no es cosa de disputar

225 226 227 228

República, 531c6. República, 531d. República, 531d8. República, 531e.

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acerca del nombre en materias tales como las que se presentan a examen.229

Tres cosas centrales para recuperar de este pasaje: a) La dialéctica cancela los supuestos y alcanza el principio mismo, esto es, penetra en aquello que las matemáticas dejaban impensado y, a partir de su conocimiento, logra remontarse hasta el principio mismo que soporta –ontológicamente– toda la cadena deductiva. b) Las matemáticas adquieren de inmediato el mote de “asistentes y auxiliares” [syneríthois kaì symperiagôgoîs]. c) La aparición de la ciencia dialéctica obliga a recordar que el pensamiento discursivo se halla, cognoscitivamente hablando, en un grado inferior de la verdadera ciencia.

2.

FORMA GENERAL DE LA RELACIÓN

Un tratamiento conjunto y global de los diálogos sugiere también el proceso de articulación entre matemáticas y dialéctica. En efecto, hasta antes del Menón, las matemáticas eran presentadas de un modo exterior y parcial. Se admiraba su precisión y su carácter abstracto pero las referencias, preparatorias para los diálogos posteriores, no iban más allá de señalamiento incidental de algún ejemplo local. Previo a este diálogo, sólo había una suerte de «presentación irregular» de la técnica matemática, distinguiéndola de otros saberes230, delimitando su campo de competencia231, utilizando casos matemáticos para denotar alguna característica deseada o trasponerla a un objeto determinado. Alcanzado el Menón, comienzan a formar parte activa de la arquitectura interna de la filosofía platónica. Allí se encuentran tres pasajes matemáticos, todos de alto significado técnico, que poseen una relevancia esencial en la economía total del relato. El saber matemático se introduce por primera vez, «más allá» de la inmediatez dramática, y amarrado a dos dimensiones antes ausentes de su carácter: (a) objeto de conocimiento 229

República, 533c9. Cfr., Alcibiades Mayor, 126e; Hippias Mayor, 281c. 231 Cfr., Alcibiades Mayor, 114c; Eutifrón 12c, 12d; Hipias Mayor, 281c; Ión 531d-e; Cármides 165d; Protágoras, 356e. 230

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rememorable; (b) modelo argumental. Esta especie de invaginación de las matemáticas, que comienzan a entrelazarse discontinuamente con la filosofía, con el relato del filósofo, con la obra filosófica, convoca –casi exige– una explicitación del rol desempeñado por este elemento otrora extraño. El Menón presenta un punto de no-retorno respecto de la relación entre matemáticas y filosofía. El vínculo entre matemáticas y dialéctica reaparecerá en el Eutidemo; ahora como modo visible de aquel afán de superación, de esclarecimiento, que la dialéctica imprime por sobre las matemáticas. Un afan que se confunde con una intrincación cada vez mayor, casi con una erótica que tiende a fundir estos ámbitos que se mostraban inicialmente como discretos. En este diálogo, Platón no solo ampliará algunas definiciones en torno de las matemáticas sino que también someterá a discusión su rango en la jerarquía del conocimiento: Sócrates: -Ninguna de las artes relativa a la caza –respondió– va más allá de cazar o capturar, y una vez que la gente ha capturado lo que era objeto de su caza, no sabe qué uso hacer de él. Tanto es así que los cazadores y pescadores entregan sus presas a los cocineros, y, a su vez, los geómetras, astrónomos y maestros de cálculo –pues también ellos son cazadores, ya que, en efecto, no producen sus figuras, sino que se limitan a encontrar las que existen–, como tampoco saben qué uso hacer de ellas, sino sólo cazarlas, entregan lo que han hallado a los dialécticos para que lo utilicen. Por lo menos, así proceden quienes, de entre estos últimos, no han perdido por completo la cabeza.232

Aquí aparece por primera vez lo que República dejará establecido con firmeza: las matemáticas deben permanecer subordinadas a la dialéctica.233 La articulación jerárquica provoca, luego de la instalación completa de las matemáticas soportada por el Menón, que éstas no pue232

Eutidemo, 290b7. Sumado a ello, cabe destacar que en el Menón 75c la palabra “dialéctico” se aplica aún al que posee el arte de conducir una charla dialéctica propiamente dicha. En este pasaje, por el contrario, el sentido se emparenta más con aquel de República que da cuenta de aquel que es capaz de remontarse hacia los principios. Cfr. República, 533b y ss. 233

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dan retroceder más en el papel irreductible que desempeñan y que, al mismo tiempo, no puedan sobrepasar su límite superior, debiéndose por completo al ejercicio dialéctico.234 Las matemáticas que no se encaminen 234

Esta secuencia es perceptible en varios niveles. En primer lugar, en el símil de la línea dividida y a lo largo de toda la República, el estado de subordinación de la diánoia respecto del noûs es patente. En otro plano, es posible rastrear el proceso de articulación desde el punto de vista de la evolución de la obra escrita de Platón. Mientras que en los diálogos socráticos las matemáticas aparecían sólo como instancias parciales y exteriores respecto de la actividad filosófica, ya en el Menón se produce –junto con el mentado giro constructivista del planteo platónico– una invaginación de los conceptos matemáticos en el seno de la especulación filosófica y, finalmente, en el Eutidemo (290c) por primera vez y luego en República, la jerarquización se completa por entero. Ciertamente, esta idea supone la posterioridad del Eutidemo respecto del Menón, lo cual no resulta fácil de probar. Sin embargo, tampoco sería simple garantizar que la relación de precedencia fuera inversa. Incluso hay hipótesis varias sobre su posible localización en el período medio o bien tardío de la obra platónica (Cfr. la introducción de Ute Schmidt Osmczik a Platón, Eutidemo, Bibliotheca Scriptorvm graecorvm et romanorvm mexicana, México, 2002, pp. XXI-XXIII). Dice Guthrie: “La opinión mayoritaria es que el Eutidemo, como el Menón, fue escrito después de los primeros diálogos socráticos y del Protágoras, pero antes que el gran grupo central. Su relación con el Menón es controvertida, pero pocos seguirían hoy a los especialistas que lo situaban después del Fedro. […] La ausencia de los temas pitagóricos de la inmortalidad y la anamnesis, y virtualmente de las matemáticas, podrían inclinarnos a situarlo antes que el Menón. Es verdad que estos temas estarían fuera de lugar con dos charlatanes como Eutidemo y Dionisodoro, pero podríamos preguntarnos por qué decidió Platón mostrar a Sócrates ocupándose de estas falacias elementales. El motivo obvio, que era defenderle de la acusación de ser semejante a ellos, parece vincularlo con la Apología más bien que con las obras más maduras de Platón. La mera mención, sin discusión alguna, de la cuestión de si la virtud (274e) y la sophía (282c) son enseñables ha sido utilizada para argüir en uno y otro sentido o en ninguno de los dos”. Guthrie, W.K.C. Historia de la Filosofía Griega, Vol. IV “Platón”, Gredos, Madrid, 1998, p. 260. Y un poco antes consignaba: “Las opiniones están casi igualmente divididas en relación a la prioridad del Menón respecto al Eutidemo […]” Ibíd., p. 231. Por lo demás, ante esta aparente idempotencia entre la hipótesis de la precedencia del Menón respecto al Eutidemo y la de su inversa, Guthrie termina optando sin mayores justificaciones, en el orden que guía su exposición, por la primera. Frajese también deja entrever que el orden Menón-Eutidemo gobierna tácitamente su comentario. Cfr. Frajese, A. Op. cit. p. 115. Dado que la tensión entre las dos alternativas pareciera ser irresoluble, poco puede apuntarse desde el punto de vista técnico a una decisión que no dejará de ser –como toda opción hermenéutica– arbitraria. Por ello es que mi inclinación por la misma elección que Guthrie y Wilamowitz (Wilamowitz, U. von. Platon, vol. I, Berlin, pp. 303-308) puede interpretarse de dos maneras: o bien como una decisión deliberada en un marco de indecidibilidad a fin de respaldar mi hipótesis de la evolución Menón-EutidemoRepública, o bien como una humilde contribución al debate sobre las fechas absolutas de ambos diálogos que intenta inclinar la balanza hacia la sucesión Menón-Eutidemo.

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hacia el conocimiento de los principios –principios que, por lo demás, las fundan– son triviales y quedan reducidas a un tecnicismo obsoleto desde el punto de vista de la búsqueda filosófica. La radicalización de este planteo quedará recogida y plasmada por la República, donde también a nivel dramático es posible percibir la concatenación de matemáticas y dialéctica. Existe una demanda concreta de fundamentación en las palabras de Sócrates: “Pero a raíz de no hacer el examen avanzado desde un principio sino a partir de supuestos, te parece que no poseen inteligencia acerca de ellos, aunque sean inteligibles junto a un principio”235. El desplazamiento en la construcción del diálogo se va tornando cada vez más notoria y el detalle de las ciencias preparatorias va cediendo paso a la exposición de la dialéctica y su función: Sócrates: -[...] todo este tratamiento por medio de las artes que hemos descrito tiene el mismo poder de elevar lo mejor que hay en el alma hasta la contemplación del mejor de todos los entes [...]236

Y luego: Sócrates: -Y llamas también “dialéctico” al que alcanza la razón de la esencia; en cuanto al que no puede dar razón de la esencia [...] 237

Para concluir: Sócrates: -¿Y no te parece que la dialéctica es el coronamiento supremo de los estudios, y que por encima de éste no cabe ya colocar correctamente ningún otro, sino dar por terminado lo que corresponde a los estudios?238

Allí donde Platón cierra la exposición acerca de las ciencias propedéuticas abre el diálogo hacia el interior de la dialéctica que ejerce una función cohesionante sobre aquellas, alcanzando de ese modo lo que verdaderamente es: 235 236 237 238

República, 511d3. República, 534a. República, 534b. República, 534e.

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Sócrates: -[...] y deben conducirse los estudios aprendidos en forma dispersa durante la niñez a una visión sinóptica de las afinidades de los estudios entre sí y de la naturaleza de lo que es. Glaucón: -En todo caso, semejante instrucción es la única firme en aquellos en que se produce. Sócrates: -Y es la más grande prueba de la naturaleza dialéctica y de la que no es dialéctica; pues el dialéctico es sinóptico, no así el que no lo es.239

El dialéctico es capaz de prescindir de los ojos y del resto de los sentidos a fin de marchar hacia lo que es en sí, acompañado por la verdad 240, pero esta capacidad está otorgada por la primera ruptura con lo sensible inmediato que interpuso el saber matemático.

3.

OBJETOS O MÉTODOS

Existe otro contraluz. Mientras que la matemática es preponderantemente deductiva, la dialéctica incluye el movimiento inverso, hacia arriba, remontándose hasta los primeros principios. Cornford241 ha notado a la perfección esta diferencia. Comenzaré por leer una parte del célebre pasaje del símil de la línea dividida, en este caso, el que corresponde a la división de la sección inteligible. Platón indica: Sócrates: -Ahora examina si no hay que dividir también la sección de lo inteligible. Glaucón: -¿De qué modo? Sócrates: - De éste. Por un lado, en la primera parte de ella, el alma […] se ve forzada a indagar a partir de supuestos, marchando no hasta un principio sino hacia una conclusión. Por otro lado, en la segunda parte, avanza hasta un principio no supuesto, partiendo de un supuesto y sin recurrir a imágenes –a diferencia del otro caso–, efectuando el camino con Ideas mismas y por medio de Ideas.242 239

República, 537c. República, 537d. 241 Cornford, F.M., “Mathematics and dialectic in The Republic VI-VII” en Studies in Plato’s Metaphysics, Routdledge & Kegan Paul, Londres, 1965, pp. 61- 95. 242 República, 510b. 240

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En esta división se bifurcan claramente las dos formas procedimentales. La matemática utiliza supuestos y, a partir de un operador deductivo riguroso, arriba a una conclusión; la dialéctica, en cambio, alcanza un principio no supuesto [i.e. la idéa] “sin recurrir a imágenes” como sí suele hacerlo el matemático 243 y solamente a través de Ideas. La dialéctica «asciende» al modo de un despojarse de todo vestigio sensible que pudiera haber permanecido sujeto al saber matemático. No obstante, la contemplación requiere también de un acto totalizante que incluya un descenso a partir del conocimiento pleno de los principios no supuestos. Su carácter sinóptico queda resumido por (a) el doble movimiento de ascenso y descenso sapiente que alcanza y actualiza el “principio del todo”; (b) la coextensividad de todo el proceso dialéctico al ámbito de las Ideas: Sócrates: -Comprende entonces la otra sección de lo inteligible, cuando afirmo que en ella la razón misma aprehende, por medio de la facultad dialéctica, y hace de los supuestos no principios sino realmente supuestos, que son como peldaños y trampolines hasta el principio del todo, que es no supuesto, y, tras aferrarse a él, ateniéndose a las cosas que de él dependen, desciende hasta una conclusión, sin servirse para nada de lo sensible, sino de Ideas, a través de Ideas y en dirección a Ideas, hasta concluir en Ideas.244

Los matemáticos, por el contrario, trabajan “a tientas”, comenzando por supuestos, y sirviéndose de imágenes sensibles para la conducción del pensamiento discursivo [diánoia] hacia alguna conclusión parcial. He aquí la distancia. Luego de cierta perplejidad de Glaucón ante la división antes realizada, Sócrates añadirá: Sócrates: -Pues veamos nuevamente; será más fácil que entiendas si te digo esto antes. Creo que sabes que los que se ocupan de geometría y de cálculo suponen lo impar y lo par, las figuras y tres clases de ángulos y cosas afines, según lo que investigan en cada caso. Como si las conocieran, las adoptan como supuestos [hypothémenoi], y de ahí en adelante no estiman que deban dar cuenta de ellas ni a sí mismos ni 243 244

República, 510d. República, 511b.

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a otros, como si fueran evidentes a cualquiera; antes bien, partiendo de ellas atraviesan el resto de modo consecuente, para concluir en aquello que proponían al examen.245

Y completa: Sócrates: -A esto me refería como la especie inteligible. Pero en esta su primera sección, el alma se ve forzada a servirse de supuestos en su búsqueda, sin avanzar hacia un principio, por no poder remontarse más allá de los supuestos. Y para eso usa como imágenes a los objetos que abajo eran imitados, y que habían sido conjeturados y estimados como claros respecto de los que eran sus imitaciones.246

Al tratarse de procedimientos, cabrá evaluar rápidamente las operaciones anímicas que Platón asigna a ambos. Seguiré en este punto a Cornford247. Por un lado, la dialéctica se corresponde con la nóêsis, que significa simultáneamente: a) Como opuesto a la aisthêsis o doxa, el conocimiento de cualquier objeto o verdad perteneciente al reino inteligible. b) Como opuesto a diánoia, (I) el acto intuitivo de aprehender, a través de un movimiento ascendente, una Idea o una verdad implícita en una conclusión; (II) el estado mental de quien ve con perfecta claridad una completa estructura de verdad iluminado por el principio incuestionable. Por otra parte, diánoia indica: a) En general, “pensamiento abstracto”. b) Como opuesto a nóêsis, (I) el movimiento descendente del entendimiento siguiendo un argumento deductivo desde las premisas hasta la conclusión; (II) el incierto estado mental de aquel cuyo “conocimiento” consiste sólo en cadenas aisladas de razonamiento dependiendo de un supuesto o bien no demostrado o bien no susceptible de ser indemostrable. Centrados en el terreno que opone nóêsis a diánoia, la cuestión aparece primordialmente como una diferencia entre el sentido de dos 245 246 247

República, 510c. República, 511a. Cfr. Cornford, Op. Cit., pp. 76-77.

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movimientos. Ascenso y descenso esquematizarían el fondo de la oposición. Sin embargo, el aspecto más relevante queda determinado por la relación de cada una de estas operaciones del alma con el tiempo en tanto duración. Mientras que la nóêsis se caracteriza por el acto de aprehender instantáneamente la totalidad de un edificio verdadero, la diánoia transcurre, dura, como desarrollo del pensamiento y del lenguaje. La nóêsis es el momento diminuto, una suerte de corte en la sucesión temporal, un presente ínfimo que abre –y se identifica en cierta medida con la eternidad al evadirse del devenir– en que se capta la luz completa de la Idea; la diánoia es un proceso continuo que procede por pasos. De ahí que yo intente localizar como carácter intrínseco del máthema la diferencia como preciso acto de diferir, de prolongar y discurrir en el tiempo. Si la diánoia es esta duración, el máthema emergerá no casualmente como operador diferenciante, albergado en la epistemología platónica gracias al “parricidio” que adscribía ser al ‘no ser’ tomado como alteridad. De modo sintomático los traductores apelan al sintagma «pensamiento discursivo» para volcar el complejo vocablo griego diánoia. Y es que el lenguaje, lógos, es lo que se despliega sutilmente entre la eternidad de la Idea y el puro devenir de las cosas. Se desprende lentamente, insiste en perdurar, se vuelca lentamente en el ámbito propio de lo que quiere aprehender el ser, con la condena dictada de antemano de permanecer sujeto al tiempo. En este sentido, el lenguaje es tò metaxý, intermedio entre las Ideas y el devenir. Se trata del deseo en última instancia. Deseo del filósofo, del lenguaje, del y por el érôs. Deseo de ser. El deseo, el movimiento, la fuerza, la potencia, la dinámica se equiparan a la caracterización que Platón brinda de las matemáticas como travesía, tránsito o marcha [poreuoménee].248 Por eso el procedimiento por escalones, la irregular traza temporal del método matemático se identifica con el pensamiento discursivo. El lenguaje matemático es el soporte real de lo que se desenvuelve en este gesto que extrae, de acuerdo con una rigurosa deducción, consecuencias contenidas en proposiciones dadas. El procedimiento dialéctico involucra el desenvolvimiento pleno del lógos en el acceso a las Formas, pero aquí sólo se está evaluando el aspecto final de la operación noética que culmina con la captación de la Idea, el télos al que tiende toda la dialéctica: 248

República, 510b.

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[…] Del mismo modo, cuando se intenta por la dialéctica llegar a lo que es en sí cada cosa, sin sensación alguna y por medio de la razón, y sin detenerse antes de captar por la inteligencia misma lo que es el Bien mismo, llega al término de lo inteligible como aquel prisionero al término de lo visible.249

El tránsito de la ignorancia al conocimiento está dado por la preparación pedagógica que convoca al lógos matemático, mas al arribar el alma al estadío último de su camino, la visión del Bien llega súbitamente [exaíphnes]250. Se trata menos de una especie de éxtasis o trance místico que de un acto de reconocimiento metafísico.251 Esta operación, sumada a la garantía de unicidad del Bien, constriñe a que el conocimiento sinóptico correspondiente a la contemplación dialéctica sea conocimiento del todo, incluidos los campos moral, político y filosófico. Ese exiguo instante cristaliza la intención estabilizadora de la metafísica que intento sacar a la luz. Que la voluntad de bloqueo del vacío matemático, de su violencia disruptiva, arraigue en la capacidad domesticadora de un fundamento no puede llamar a esta altura la atención. Observemos la claridad meridiana de este pasaje: “Por consiguiente, el método dialéctico es el único que marcha cancelando supuestos, hasta el principio mismo a fin de consolidarse allí [hína bebaióstetai]”252. En adelante –es ese, en definitiva, el objeto de todo el proyecto de la República platónica– el filósofo deberá gobernar la pólis. La posibilidad de esta prescripción estriba en la unificación del conocimiento bajo el nombre del que filosofa: él distribuirá los cuerpos en la ciudad, ordenará los discursos, dispondrá de las partes de la misma, sólo en atención al orden captado a partir de la Idea.

249

República, 534a. Simposio, 210e. Cornford señala: “De modo que el curso de instrucción intelectual de Platón a través del discurso verbal, en matemáticas y dialéctica, es un pasaje desde la oscuridad hacia la luz, y termina con una experiencia de un orden diferente –una visión”. Cornford, F.M., Op.Cit., p. 93. [La traducción es mía]. 251 Cfr. Cornford, F.M., Op.Cit., p. 95. 252 República, 533c7. 250

ESTUDIO DEL MENÓN COMO CASO EJEMPLAR DE LA OPERACIÓN PLATÓNICA DE INTRODUCCIÓN DE LA RACIONALIDAD MATEMÁTICA

Una lectura cuidadosa del Menón viene dada por la asunción de que en él se condensa lo que ha dado en llamarse el «giro constructivo» de la filosofía platónica. Si se considera que los primeros diálogos, a los que la tradición ha signado no ingenuamente como socráticos, están dedicados a exponer –sin llegar a agotarlas y muchas veces de una manera difusa– algunas de las problemáticas fundamentales de lo que será el desarrollo ulterior del pensamiento de Platón, el Menón constituye el primer escrito que atiende a la formación de sus tesis centrales. Se distingue de los diálogos precedentes no tanto por su temática, a saber, si es enseñable o no la virtud, sino más bien por el rigor de su tratamiento y el alcance del programa que de allí se desprende. Fue Wilamowitz quien consideró que este diálogo conjuga la vía refutatoria, típicamente localizable en las primeras construcciones dramáticas, con una incipiente delimitación de la futura edificación del pensamiento. El Menón sentaría las bases para una dialéctica estrictamente filosófica y, con ella, para la consolidación de una ontología positiva. De manera que la aparición del mismo en relación con las obras que lo anteceden sería, desde el punto de vista formal y evolutivo, una síntesis que al mismo tiempo posibilitaría la ejecución de la propuesta platónica, contenida en el proyecto de los diálogos de madurez (principalmente República, Fedón y Simposio). El Menón cristalizaría el devenir completo de la obra escrita de Platón, pero ¿qué hay de las matemáticas?

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El Menón aporta la clave de la operación de intrincación entre matemáticas y filosofía, da cuenta del fenómeno que somete a dos saberes diferenciados a una comunidad lingüística y a cierta proximidad. Allí, mediante su estructura ficcional, se muestra paso a paso el mecanismo que podrá proyectarse sobre el total de los diálogos en lo que al máthema se refiere. Será posible dividir analíticamente tres niveles interdependientes: a) El Menón inaugura, luego del proceso preparatorio sostenido por los diálogos tempranos, la pars construens que será completada por los diálogos posteriores. Lo asombroso es que se ejemplifica dicho tránsito “dentro” del desarrollo mismo del diálogo. Mientras en 70a-80d se asiste a los habituales campos de la conversación refutatoria de Sócrates, a partir de ese momento y hasta el final del diálogo, emergen tópicos hasta entonces desconocidos que pretenden ser expuestos como propuestas claras. Por lo demás, la coherencia en la exposición y el visible hilo argumental que siguen esas páginas no dejan de ser otra manifestación del cambio de registro. b) A su vez, este diálogo presenta en su interior, uno a uno, los tres estadios de la relación matemáticas/filosofía que pueden rastrearse en el total de la obra escrita de Platón. Básicamente: (1) exterioridad y extrañeza entre ambos dispositivos; (2) intrincación bajo un proceso de invaginación específico; (3) emergencia de la racionalidad matemática desde el corazón hacia la superficie del texto filosófico. Simultáneamente, el segundo estadio, el que introduce de manera irreversible el máthema253 en la metafísica 253 Para profundizar esta hipótesis, cfr. Frajese, A. Platone e la máthematica nel mondo antico, Studium, 1963, p. 91 y ss. Allí el autor opina que: “Como se ha advertido, el Menón representa un punto de inflexión en la actitud de Platón hacia la matemática. En dicho diálogo, el gran filosofo muestra que no considera más la ciencia matemática en el exterior, limitándose a llevar, a título puramente incidental, algún ejemplo extraído de aquella ciencia. Éste penetra en cambio ahora en el interior del edificio matemático, mostrando haber adquirido tales conocimientos técnicos de poder evaluar rectamente el carácter y la posición de la matemática”. Y también dirá más adelante, en la página 115: “Eso es mostrado en la inserción de la duplicación del cuadrado en el corazón del diálogo, del pasaje estrictamente técnico de la hipótesis geométrica que celebra el descubrimiento del diorisma, y de la directiva que Platón, a través de la definición de la figura geométrica, da para definir cualquier otro ente matemático”. [Las traducciones son mías]

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platónica, será representable y proyectable en el conjunto del corpus platonicum por el Menón. No sólo es posible seguir en él la secuencia del vínculo en cuestión, sino también situarlo en el centro de la obra platónica como el diálogo, el elemento que, en su interioridad sustancial, en sus formulaciones explícitas, muestra y contiene la mencionada invaginación.254 c) Por último, es posible establecer, de acuerdo con la correferencia que reúne a los puntos (a) y (b), una sub-hipótesis: la lenta y cuidada introducción de las matemáticas en la arquitectura filosófica es la condición de posibilidad de todo gesto propositivo que pudiera encontrarse en la filosofía (platónica). Las matemáticas codifican el espacio (vacío) que hace factible cualquier intento positivo de planificación de una ciudad (ideal), de una propuesta de ética, de la descripción del mundo, del esbozo de una teoría de la vida. A partir de la relación existente entre el “giro constructivo” y la novedad bajo la cual aparece el paradigma matemático, habrá que abocarse a tres pasajes que poseen referencias directas al tema. Cada uno plantea de modo diferente alguna cuestión en el contexto de la conversación que Sócrates mantiene con sus interlocutores, por lo que comenzaré por evaluar brevemente estos modos. El argumento general del Menón puede reducirse a una sola pregunta: ¿Puede o no enseñarse la virtud? y, aunque los tres momentos manifiestan claras particularidades, se impone leerlos a la luz de dicho interrogante.

1.

EXTERIORIDAD Y SELECCIÓN DEL EJEMPLO

En el primer pasaje (73e-76a), Sócrates intenta discutir acerca de si es posible hablar de la virtud o bien es necesario reconocer que hay numerosas virtudes. A los efectos de debatir con Menón, presentará el ejemplo de la redondez: Sócrates: -¿Es la virtud, Menón, o una virtud? Menón: -¿Qué dices?

254

Ver Cuadro p. 262.

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Sócrates: -Como de cualquier otra cosa. De la redondez, supongamos, por ejemplo, yo diría que es una cierta figura y no simplemente que es la figura. Y diría así, porque hay también otras figuras.255

El paso desde el tema central del diálogo –la virtud– hacia el ejemplo local de la redondez está dado por analogía y presenta como intermediario residual el concepto de figura, delimitándose así tres instancias sucesivas: 1) Planteo del problema de la unidad o pluralidad de la virtud. 2) Analogía con el problema de la unidad o pluralidad de la figura. 3) Elección deliberada de la redondez como instancia de la figura.256 Platón está introduciendo una noción matemática a modo de caso local y a fines eminentemente elucidatorios. Por lo demás, se trata de una herramienta explicativa ampliamente utilizada en los diálogos: el interlocutor de Sócrates acusa algún tipo de dificultad para entender lo que éste quiere discutir y entonces se produce una interrupción momentánea del registro temático del diálogo a fin de explicitar lo que no era comprendido. Este desplazamiento tiene propósitos pedagógicos y apunta a hacer accesible el contenido que se presentaba como oscuro. Sin embargo, la selección del ejemplo no es accidental. Persiste detrás de ella la búsqueda de un terreno que nivele a Sócrates y a Menón en un lenguaje común cuya referencia sea también común. De ahí la aparición de una terminología y de una semántica que designan de modo directo la forma dialéctica de esta aproximación [dialektikóteron]257 y también el contexto de amistad [phíloi]258 que tiende a la concordia y el acuerdo acerca del objeto de discusión259. Entonces, aunque ciertamente las matemáticas son presentadas aquí como una analogía parcial con objetivo aclaratorio, no menos verdadero es que representa un elemento que abre la comunidad conversacional preparando –o quizás obligando– un motivo de abstracción ulterior. Signo de ello es la definición explícita 255 256 257 258 259

Menón, 73e. Cfr. Menón, 75b. Menón, 75d. Ibíd y también Menón, 98a5. Ver Infra. Capítulo sexto de esta segunda parte: “Philía y matemáticas”.

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que brinda Sócrates –aquél que jamás define– de la figura: “De toda figura digo, en efecto, esto: que ella es aquello que limita lo sólido, o, más brevemente, diría que la figura es el límite de un sólido”260; como también lo es el asentimiento tácito de Menón que pasa automáticamente a la pregunta por el color. En suma, las matemáticas quedan por el momento expresadas como un átomo último e irreductible, una piedra de toque que en el universo discursivo es susceptible de ser empleada con fines propedéuticos. De manera similar, en el conjunto de los diálogos que preceden al Menón el máthema no aparece sino bajo la forma de una determinación exterior a la sabiduría, sencillamente caracterizándose, en el mejor de los casos, algunos de sus atributos o divisiones internas. El procedimiento podría ser catalogado como un ejercicio de aproximación, de rodeo, de seducción histérica. Así, en el Alcibíades Mayor261 , el Ion262, el Cármides263 y el Protágoras 264 se delinea la competencia del aritmético y del logístico, mientras que en el Gorgias se traza una distinción entre matemáticas y retórica265 a la vez que se distingue entre aritmética, logística y astronomía266. En el Hipias Mayor la nota casi anecdótica que atribuye el odio de los espartanos a la matemática indica el cariz correspondiente a este período de acercamiento a la técnica matemática. Estamos en la antesala de la invaginación más asombrosa de la racionalidad matemática en el marco de una filosofía que ya advierte un paso suplementario. Consumado por la metáfora de la «segunda navegación», la construcción de una ontología meta-física dependerá en su fase más íntima del operador matemático. Habrá que examinar el siguiente estadio del Menón.

2.

ADVENIMIENTO E INVAGINACIÓN

El segundo pasaje corresponde a la célebre exposición de la teoría de la reminiscencia (80d-86d). Ésta es caracterizada al mismísimo 260 261 262 263 264 265 266

Menón, 76a. Alcibíades Mayor, 114c; 126c. Ión, 531d. Cármides, 165d. Protágoras, 318d; 356e. Gorgias, 450d. Gorgias, 451a.

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comienzo de la selección267 y, después de un pedido de demostración efectuado por Menón, Sócrates se dispone a probar su tesis sirviéndose de un esclavo. Hay dos presupuestos básicos que emergen de este texto: el primero es que el esclavo habla y entiende griego268; el segundo que nunca ha aprendido geometría en su vida269. Ambos dependen de que el esclavo ha nacido en casa de Menón y ha pasado allí sus días sirviendo.270 La cuestión que plantea Sócrates, en términos esquemáticos, es la siguiente: Dado un cuadrado C con un lado L y una superficie S, existe otro cuadrado C* que posee una superficie del doble de S llamada S*. Ante esta situación, hay que encontrar la medida del lado L* que pertenece al cuadrado C*. El desarrollo de la prueba muestra una gradación en la escala del conocimiento que no deja de ser llamativa.271 Al requerimiento de comunidad lingüística –que remite a la que existía entre los integrantes de la Academia272– se le agrega automáticamente la necesidad de reconocimiento de lo que es una figura cuadrada y, en efecto, de acuerdo con la descripción de las matemáticas que luego se dará en República273, Sócrates dibujará un cuadrado274 y lo describirá para fijar el ámbito de indagación al que atenderán junto con el esclavo. Una vez establecido esto, se dedicarán a escrutar el problema que los interpela. Alojarse en su resolución depende de la advertencia de cada uno de los pasos provistos para tal fin. Así, ante el primer intento de respuesta brindado por el esclavo –que sugiere que L* valdrá el doble de L– la negativa de Sócrates no se hará esperar después de una breve demostración: “Entonces, de la línea doble, muchacho, no resulta una superficie doble sino cuádruple”275. Frente al error, es menester re-comenzar. Pero 267

“Pues, en efecto, el buscar y el aprender no son otra cosa, en suma, que una reminiscencia” 268 Menón, 82b4. 269 Menón, 85e. 270 Ibíd. 271 Existen innumerables detalles argumentales de la prueba. Dado que no es mi intención desarrollarla aquí, remitiré fundamentalmente a la mejor que conozco: Toth, I. Lo schiavo di Menone : il lato del quadrato doppio, la sua misura non-misurabile, la sua ragione irrazionale, Vita e Pensiero, Milán, 2003. 272 Ver. Supra. Capítulo segundo de esta segunda parte. 273 Cfr. República, 510d. 274 Menón, 82b9. 275 Menón, 83c.

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este recomienzo ya posee la ventaja de saber identificar una vía muerta, por lo que seguirá aproximándose a la verdad. (“Entonces es necesario que la línea de la superficie de ocho pies sea mayor que ésta, que tiene dos pies, y menor que ésa, que tiene cuatro”276) Y, nuevamente, la respuesta del servidor (“tres pies”) será equivocada, forjando una clave en el despliegue del argumento. Dice Sócrates: “Pero entonces, ¿de cuál [superficie]? Trata de decírnoslo con exactitud. Y si no quieres hacer cálculos, muéstranosla en el dibujo”.277 En la progresión epistémica a la que se asiste, luego de dos respuestas fallidas y en el intento de precisar exactamente la medida de L*, se producen dos hechos insoslayables: Primeramente, el giro desde el “calcular” (arithméin) hacia el “mostrar en el dibujo”278, de acuerdo con lo que se expondrá posteriormente en República en relación con la dependencia indefectible del pensamiento matemático-geométrico respecto de los diagramas, señala no sólo un rasgo del máthema sino que también alude a la dureza del tránsito discursivo propiciado por la diánoia. Ahora bien, ante el atolladero al que conduce la inconmensurabilidad del lado L y de la diagonal del propio cuadrado C, se opta por la defección de la aritmética en favor de una solución geométrica. Caída la búsqueda de un número exacto (entero o fraccionario), un número que multiplicado por sí mismo diera por resultado el doble de un número cuadrado279 que resolviera la incógnita (en este caso 8), Sócrates se vuelve hacia la geometría en busca del mismo, pues, al parecer, se trata de uno que no habita el campo aritmético, y que se desmiente a sí mismo para designarlo como árrhetos, inexpresable e inefable. En segundo término, en 84a, se puntualiza una conciencia de la ignorancia como punto de partida de todo conocimiento. Los errores cometidos por el esclavo lo constriñen a tomar conciencia de su propio 276

Menón, 83d. Menón, 84a. 278 La utilización de diagramas sensibles sirve de modo principal a la elucidación de cuestiones en primera instancia inaccesibles o de difícil conocimiento. Cfr. también Menón, 85a8. Asimismo, atestiguan un carácter intrínseco de las matemáticas. 279 Los números cuadrados son aquellos que se obtienen como producto de sí mismos. Por ejemplo: 2x2=4; 3x3=9 o 4x4=16. El caso utilizado en el Menón otorga los siguientes valores L=2, ergo S=4 y S*=8, siendo L* la incógnita. Para profundizar el empleo de los números cuadrados (o “equiláteros”) en la obra de Platón, cfr. Teeteto, 147d. 277

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desconcierto y así a hacer posible la búsqueda de la verdad280, ya desde una perspectiva novedosa y en un plano cognoscitivo diferente. Síntoma de ello es que en el siguiente intento, gracias a una correcta conducción pedagógica de Sócrates, se da con la respuesta satisfactoria: el lado del cuadrado C* deberá ser idéntico a la diagonal del cuadrado originario C. El esclavo ha logrado resolver el enigma sin haber tenido jamás contacto alguno con cualquier arte o ciencia y eso prueba que estas nociones estaban en él contenidas281 y que, por lo tanto, puede tener opiniones verdaderas [aleethéis dóxai] 282. Platón demuestra su teoría de la anámnesis a través de un tópico deliberadamente seleccionado de entre los posibles, pero ¿por qué un ‘objeto’ matemático? Y más aún: ¿Por qué ‘ese’ objeto matemático? ¿Por qué la extrañeza de un número que no participa de la regularidad de los números conocidos? (No hay que olvidar que el número “descubierto” es un irracional). Y en ese paraje de la indagación habrá que escrutar el carácter de la reminiscencia y la manera en que este concepto enclava el máthema en el diálogo y en la obra de Platón. De otra manera formulado: ¿Qué dimensiones adquiere la anámnesis que resulta central para la instalación de las matemáticas dentro del saber filosófico y cuáles de estas dimensiones serán transfundidas a la concepción platónica del máthema? La anámnesis denota un límite irrevocable: no puede recordarse lo que se tiene enfrente, no puede (re)conocerse lo que se ofrece sin más a los sentidos. Aquello que se presenta como su objeto tiene que ser algo desconocido, algo que no pueda aprehenderse de manera inmediata y que sea no obstante susceptible de ser iluminado por la fuerza del razonamiento. Por eso puede decir Sócrates: “El que no sabe, por lo tanto, acerca de las cosas que no sabe, ¿tiene opiniones verdaderas sobre eso que efectivamente no sabe?”283 Se trata de algo que no se reconoce y que adviene luego del transcurso de la adecuada conducción pedagógica. La demarcación del campo susceptible de ser rememorado comporta un cambio en el foco del conocimiento que ahora se dirige hacia el ámbito inteligible (correspondiente a la diánoia y al noûs) e insiste en la revelación de un objeto mediato, atravesado por el trabajo del lógos y ausente 280 281 282 283

Menón, 84c5. Menón, 85c5. Menón, 85c8. Menón, 85c7.

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en lo puesto ante los ojos. Y se trata de «lo matemático» bajo la forma de un número. Si las matemáticas arriban a partir de una tarea de anámnesis es justamente porque en ella se hace manifiesta cierta indiscernibilidad entre ser y pensar. No hay en el texto platónico la intención de postulación de ningún tipo de entidad que anteceda –o suceda– a la actividad del alma humana en lo relativo al máthema. Esto no significa que los números no existan ni mucho menos, sino que es equívoco pretender que una existencia tal se dé “separadamente” al modo en que cierta epistemología moderna montaría la cuestión. La mutua interdependencia que trazan pensar y ser proporciona la idea de que lo que sucede con la emergencia del número no es otra cosa que la actualización, un “ofrecerse” al pensamiento, de una marca formal de la proporción universal. Es ése su simple carácter ontológico: encuentro correferencial recogido en el sintagma máthema tal y como aquí se deja entrever. “[…] la verdad de las cosas está en nuestra alma”284[hé aléetheia hemîn tôn ónton estìn en tê psychée], dirá Sócrates. Resta examinar una última dificultad que adquiere vital importancia en lo relativo al concepto de lógos que atraviesa la construcción matemática de la metafísica platónica. La especificidad del lenguaje utilizado en el Menón permite la reflexión no sólo acerca de la presencia de una lógica sino también un análisis del quiebre [meta-físico] que produce la noción platónica de lógos respecto de su predecesora, donde toda relación entre dos cosas era un lógos y éste era expresable a través de un número. De ahí su célebre sentencia que proclamaba “todo es número”. El vínculo, expresable sinópticamente en términos lingüísticos, entre dos conceptos o cosas, formaba parte de la definición primaria de este polisémico vocablo que los pitagóricos estimaban como una díada finita, copia ordenada de dos números naturales.285 Ahora bien: si entre la diagonal de C (i.e. L*) y el lado L de C se produce un estado de incomensurabilidad, cabría preguntar con derecho si no se genera un tipo de número que escapa a la concepción tradicional del lógos. En este marco hay que medir el alcance de la ruptura provocada por la introducción de los irracionales en el seno mismo de la especulación lógica. El movimiento es por demás asombroso: el nuevo lógos no podrá ser –sola y 284 285

Menón, 86b. Toth,I. Op. Cit. p. 15.

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exclusivamente– la relación entre un par de números concretos que se encuentran en la naturaleza. En adelante, la descripción platónica del término será lo suficientemente vaga como para transgredir la definición previa y simultáneamente subsumirla bajo una nueva concepción pues ahora se requiere de una noción que no sólo incluya la extrañeza de los elementos irracionales286 sino también que, en lugar de sostener la identificación del mundo inmediato con los números, permita el acceso discursivo a aquéllos pero más allá del terreno estrictamente sensible. Es ése el secreto motivo por el cual se produce el hiato entre aritmética pura y geometría diagramática en 84a. Hay allí un salto ontológico-cognoscitivo entre lo perceptible mediante los sentidos y lo que el pensamiento puede captar por sí solo. El nuevo lógos seguirá siendo “relación”, pero ahora entre ámbitos diversos. Los rasgos inteligibles arrancados al mundo del devenir son la marca del trazo meta-físico que guía esta renovación, y ese tránsito es lo que garantiza que pueda existir tanto para Sócrates como para el esclavo de Menón un elemento original no expresable en términos aritméticos y, no obstante ello, perteneciente al universo matemático. Que haya una solución a la incógnita planteada y que no pueda ser sino señalada en el dibujo hecho por Sócrates es menos el signo de un encerramiento en el nivel de la percepción que un hondo ademán de corte con la identificación pitagórica del mundo con los números.287 El renovado lógos encierra en sí mismo su contrario (álogos) y en esa paradoja guarda su fuerza, puesto que acusa un problema: el lógos buscará excederse a sí mismo en pleno movimiento de salida y, para conseguir ese objetivo, albergará lo que lo limita, es decir, lo álogos, lo irracional, lo que tiende a escapar a la palabra como fuerza incontenible, condensado en el texto por el numero geométrico descubierto por el esclavo. Este lógos platónico pone en relación –dialéctica– dos elementos otrora extraños, quizás los mas extraños de todos dado que se trata del propio lógos –al menos del que lo precedía– y de su exterior álogico. El concepto acaba por asumir la 286

Descubiertos, por lo demás, por el propio Pitágoras en su famoso teorema. Al respecto indica Toth: “El silencio absoluto sobre la palabra «número» es un discurso elocuente y claro. Su mensaje proclama la negación de la definición pitagórica de lógos y el nacimiento de un Lógos, e incluso de un lenguaje por completo nuevo y diferente de la lengua clásica de los pitagóricos, la que, sucumbiendo ante los irracionales, ha devenido lengua muerta”. Toth, I. Op. Cit. p. 16 [La traducción es mía] 287

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negatividad pero menos a causa de un interés intrínseco por dicha negatividad (en este caso, por los números irracionales) que por un deseo de estatuir un nodo relacional superlativo. Se trata de un lógos superador, no anti-pitagórico sino más bien sobre-pitagórico: será relación, pero no necesariamente entre dos números; un discurso que permite aprehender con el pensamiento el advenimiento de una relación entre magnitudes inconmensurables estableciendo, a su vez, una relación metamatemática entre lógos y álogos.288 Abierto este nuevo concepto, podría esperarse una resolución limpia del problema planteado. Pero ello no sucede del todo. Aunque la respuesta correcta es hallada, su determinación no ha sido efectuada de acuerdo con lo solicitado por Sócrates en un primer momento: con exactitud [akribôs]289. En cambio, se esboza una solución geométrica que, aún siendo satisfactoria en tanto da con el objeto geométrico buscado (L* que es igual a la diagonal de C), tiende a dejar abierto el problema de la precisión. A causa de eso es que se produce la consciente sustitución de póson utilizado en 82c6 y d3, que refiere a una cantidad numérica dependiente de la operación de logízesthai (calcular con números), por pêlíkê, que indica una cierta propiedad cuantitativa pero no producida como resultado de una cuenta. El terreno está preparado para acoger el elemento inefable pero ¿cuál es el significado de su irracionalidad? En este punto son clarificadoras las palabras de Imre Toth: Estos términos técnicos de la geometría han sido en primer lugar –y lo son ahora– vocablos ordinarios del lenguaje vernáculo, palabras circundantes de un espectro semántico policromo, rico en matices. Ambos preservan estados de ánimo habituales: el vocativo irracional es la reacción emotiva, que expresa el estupor frente a un estado de ánimo anormal y asombroso, como la locura, la demencia, el absurdo. […] Pero la misma palabra era comúnmente usada –como lo es todavía hoy–, para articular también el sentimiento de exaltación que se muestra ante lo sublime que supera la capacidad de comprensión

288

Incluso se impone considerar que Platón mismo utiliza muchas veces valoraciones negativas de lo álogos. El caso más patente se halla en Timeo, 53b. 289 Menón, 84a2.

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del espíritu: la lengua queda simplemente privada de palabras para expresarlo y para definirlo en los términos sobrios de la razón.290

Como puede intuirse, todo el problema está aquí en la introducción de lo álogon en el lógos, o más precisamente en la introyección del primero en el último produciendo una renovación del concepto. «La cosa» rememorada por el sirviente no hace más que desestabilizar el saber establecido empujando a Sócrates “fuera” del lenguaje que venía compartiendo con éste. Ahora sólo es posible mostrar en un dibujo la solución. La economía que propone el movimiento se disgrega en tres pasos sucesivos: 1. Ruptura con el lógos previamente dado –e incluso acordado por Sócrates y el esclavo con anterioridad–, esto es, quiebre con la filiación pitagórica. 2. Cambio hacia una nueva racionalidad discursiva. Tránsito de salida meta-física típicamente platónica. 3. Descenso raudo hacia la materialidad del diagrama y postulación de la dependencia referencial de la verdad matemática respecto de los dibujos ofrecidos a los sentidos (que en este caso se asume en la figura de la respuesta correcta al interrogante, a saber, L*). Naturalmente, si se admite que toda esta instancia del Menón es una suerte de resumen fenomenológico de la inserción matemática en la filosofía, habrá que concluir que la dinámica remite a la indecidibilidad propia del máthema. La aparición súbita de algo que no se acomoda a lo previsto y acordado, como es lo álogon, insiste con el choque aporético que se manifiesta en lo indecidible. Sin embargo, la racionalidad matemática será siempre lógos, pues la historia semántica de este término se inclina hacia la proporción, la medida y la palabra, que liga y expresa tales significados. Lo que sucede es que, aunque se remita en todos los casos al lógos ampliado, desde una perspectiva cartográfica de su uso filosófico, el término es equivalente a la tensión, dispuesta en el punto cúlmine de la reminiscencia, entre lógos “reducido”ļ álogon. Se comienza con una salida que alcanza hábilmente el gesto de trascendencia 290 Toth, I. Op. Cit., p. 10. Para el primer sentido de irracional: Téeteto, 199a3, 203d6 y Parménides, 131d2, 144b3. Para el segundo: Téeteto, 201d1, 202b6, 203a4/b6, 205c9/e3.

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propio de cualquier salto metafísico: más allá del “todo es número” hay una idealidad trascendente que fundamenta lo sensible inmediato (propiedad característica por lo demás de toda la especulación platónica). Inmediatamente después, se recae en el contacto y sujeción que poseen las matemáticas con los dibujos y diagramas, tal y como lo confirmará el planteo de República. Es ése el sentido justo de tò metaxý (lo intermedio, comúnmente atribuido al máthema), seña de la indecidibilidad de las matemáticas, anuncio de la presencia inesperada de un elemento extraño, patógeno en cierta medida, onírico, que viene a invaginarse –desde fuera y dentro al mismo tiempo, respetando la topología paradójica de lo indecidible– de improviso e ilegalmente en las entrañas de un lógos que podrá asimilarlo mas sin poder evitar la violencia de su propia torsión. Una vez más, si las matemáticas aparecen como el dispositivo que instaura la interrupción, la cesura de lo dado en función de un deseo de trascendencia, no escapan inmunes al riesgo inmediato de toparse con lo irracional, lo otro de sí, la diferencia misma.291 Cuando esto suceda –y de hecho se está cada vez más seguro de su acaecimiento– Platón no dudará en obstruir rápidamente aquel devenir de lo imprevisible.

3.

EXCESO

Desde este lógos que se excede a sí mismo y que sobrepasa su capacidad (aunque nunca la relacional), extendiéndose, ampliándose a campos desconocidos, acuñando y recibiendo la impresión de rasgos hasta entonces extranjeros, brota un tercer paso –subsidiario de los otros dos– que sigue la estela de la racionalidad matemática y muestra cómo ésta logra acomodarse como paradigma argumental del diálogo. Más 291 La postura que encuentra en cierto tipo de choque contradictorio –inesperado– la motivación para un movimiento emancipatorio del pensamiento queda perfectamente ejemplificado por el siguiente pasaje de República. No casualmente, el mismo se refiere a la disciplina matemática: “Razona a partir de lo dicho. En efecto, si la unidad es vista suficientemente por sí misma o aprehendida por cualquier otro sentido, no atraerá hacia la esencia, como decíamos en el caso del dedo. Pero si se la ve en alguna contradicción, de modo que no parezca más unidad que lo contrario, se necesitará de un juez, y el alma forzosamente estará en dificultades e indagará, excitando en sí misma el pensamiento y se preguntará qué es en sí la unidad; de este modo el aprendizaje concerniente a la unidad puede estar entre los que guían y vuelven el alma hacia la contemplación de lo que es”. República, 524d11.

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generalmente, se trata de la determinación del exceso, de la localización del movimiento de salida y el deseo de trascendencia que ejemplifican las matemáticas como forma dinámica de lo intermedio. El máthema se muestra con arreglo a este tránsito desde lo meramente parcial (primer momento) hacia la totalización del esquema discursivo (tercer momento). Así se levanta el semblante del nuevo lógos, que es relación entre las cosas, relación entre el paradigma y la copia y, más sutilmente, del todo consigo mismo.292 El Menón señala aún otro efecto del encuentro entre filosofía y matemáticas. A partir de 86c, luego de una especie de interrupción por parte de Sócrates (“no insistiría tanto con este discurso”, menciona), se retoma la línea inicial del diálogo aunque con una pequeña disputa entre Sócrates y Menón sobre si corresponde preguntarse qué es la virtud o, más bien, si ésta es enseñable o no. Sócrates concede a Menón la investigación de la segunda alternativa, pero no sin antes propiciar un operador clave que anticipa la tonalidad y espesura del tema de fondo. Dice: Pues si yo mandara, Menón, no sólo sobre mí, sino también sobre ti, no investigaríamos primero si la virtud es enseñable o si no lo es, sin antes haber indagado qué es ella misma. Pero, desde el momento en que tú no intentas mandarte a ti mismo –sin duda para continuar siendo libre–, pero intentas gobernarme a mí, y en efecto me gobiernas, te he de consentir, pues ¿podría acaso proceder de otro modo? Parece, por lo tanto, que hay que investigar cómo es algo que todavía no sabemos qué es.293

Se pretende saber cómo funciona un «algo» aún indeterminado, sin nombre, cuál es su dinámica y cómo se disponen los demás elementos existentes ante la posibilidad de irrupción de lo ignorado (“algo que todavía no sabemos qué es”), en consonancia con lo que señala el Parménides en su quinta hipótesis: es posible el pensamiento de lo que lo que no existe –uno de los sentidos posibles de presentación del no-ser–, como ente operatorio y cognoscible.294 Ya no es cuestión de escrutar qué 292

Cfr. Simposio, 201e. Menón, 86d3. 294 Cfr. Cornford, F.M. Platón y Parménides, La balsa de la Medusa, Visor, Madrid, 1989, pp. 309 y ss. 293

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fuera la virtud apelando a una definición sino más bien cómo es. Ante esta rotación, se produce el recurso a un mecanismo hasta el momento desconocido para la filosofía, que ésta extraerá puntualmente del método de los matemáticos ilustrado también en el libro sexto de la República295: “Pero, no obstante, si no todo, déjame un poco de tu gobierno y concédeme que investiguemos si la virtud es enseñable o cómo es, y que lo hagamos a partir de una hipótesis”.296 El paralelo que trazará el Menón con esta idea se halla en el carácter auxiliar que adquirirá la recta o buena opinión, que, aún lejos de ser considerada conocimiento en un sentido estricto, puede guiar en el bien a los hombres de Estado.297 Platón establece en este diálogo una jerarquía en el conocimiento en cuyo nivel inferior está el hombre que no es consciente del saber que sin embargo ejerce.298 Aquí, la inconsciencia depende de un operador divino, dado que es gracias a la inspiración que es posible actuar con arreglo al bien y no saber por qué se está haciendo tal o cual tarea: Correctamente llamaríamos divinos a los que acabamos de mencionar [los hombres que, sin tener entendimiento, llevan las cosas a buen término], vates, adivinos y poetas todos, y también a los políticos, no menos que de ésos podríamos decir que son divinos e inspirados, puesto que es gracias al hálito del dios y poseídos por él, cómo con sus palabras llevan a buen fin muchos y grandes designios, sin saber nada de lo que dicen.299

295

República, 510c. Menón, 86e3. 297 Menón, 99a. 298 Esta sustracción de los fundamentos que soporta cierta técnica a la que se enfrenta el versado es también propia de las matemáticas. Obsérvese este elocuente pasaje de República 527a-b: “Sócrates: -En esto hay algo que no nos discutirán cuantos sean siquiera un poco expertos en geometría, a saber, que esta ciencia es todo lo contrario de lo que dicen en sus palabras los que tratan con ella Glaucón: -¿Cómo es eso? Sócrates: -Hablan de un modo ridículo aunque forzoso, como si estuvieran obrando o como si todos sus discursos apuntaran a la acción: hablan de ‘cuadrar’, ‘aplicar’, ‘añadir’ y demás palabras de esa índole, cuando en realidad todo este estudio es cultivado apuntando al conocimiento”. 299 Menón, 98c11. 296

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La narración platónica del proceso de aparición de las matemáticas en la escena filosófica es impactante. En el fondo de la reminiscencia, entre sueños, nacen y dependen de la fijación dialéctica para ser consideradas verdadero conocimiento. El relato completo queda asentado en este pasaje deslumbrante: Porque, en efecto, también las opiniones verdaderas, mientras permanecen quietas, son cosas bellas y realizan todo el bien posible; pero no quieren permanecer mucho tiempo y escapan del alma del hombre, de manera que no valen mucho hasta que uno no las sujeta con una discriminación de la causa [aitías logismoi]. Y ésta es, amigo Menón, la reminiscencia, como convinimos antes. Una vez que están sujetas, se convierten, en primer lugar, en fragmentos de conocimientos y, en segundo lugar, se hacen estables [mónimoi].300

Las matemáticas podrían ocupar, en algo más que un juego, el lugar que en el Menón ocupa la recta opinión y esta localización permitiría seguir el camino de irrupción del máthema, bajo la forma de la anámnesis, que requiere de una estabilización ulterior. Quizás el sentido más profundo de mi trabajo esté enraizado aquí: la indecidibilidad se debe en su constitución ontológica a los factores precisos que Platón allí consigna: (a) inaprehensibilidad plena; (b) valor relativo, fluctuante, dependiente de una sutura que lo realce, (c) inestabilidad supuesta de la contribución matemática hecha para la edificación del conocimiento (obtenido por vía dialéctica). El atolladero está siendo desplegado en su máxima dimensión cuando el exceso que producen las matemáticas respecto del segundo momento se capta en la conformación del discurso filosófico –en su exterioridad más pura, incluso en la construcción argumental del diálogo– a los métodos que conlleva el máthema. Los interlocutores se dedicarán a indagar “[…] «a partir de hipótesis» como lo hacen frecuentemente los geómetras al investigar […]”301 porque introducirlas puede ser de utilidad [proúrgou]302. La primera hipótesis establece que la virtud es un 300

Menón, 97e7. Menón, 87a. 302 Menón, 87a2. Esta referencia señala además el interés platónico por dejar en evidencia el funcionamiento del razonamiento matemático. 301

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conocimiento. Desde allí, y por simple deducción, va abriéndose paso con lentitud el argumento general de esta tercera parte. Resulta pasmoso observar cómo Platón cuida el método hasta en el más mínimo detalle: ante una conclusión apresurada de Menón, Sócrates se dedica a corregir el rumbo y señalar la importancia del regimiento formal de la secuencia. Si se arribara a una contradicción o a un simple contrajemplo, la hipótesis –que no posee evidencia en sí misma y no depende de su buena o mala formulación– deberá ser descartada. El pensamiento, ese ejercicio de la ley que impone el paradigma eterno, no puede permanecer solamente en el uso adecuado del lenguaje: Menón:- Me parece que no hay otro remedio sino que sea así; además, es evidente, Sócrates, que es enseñable, según nuestra hipótesis de que la virtud es conocimiento. Sócrates:-Quizás, ¡por Zeus!, pero tal vez no estábamos en lo cierto al admitirla. Menón:-Parecía, sin embargo, hace poco, que la decíamos bien. Sócrates:- Pero no tiene que parecer bien dicha sólo anteriormente, sino también ahora y después, si quiere ser válida. Menón:- ¿Y entonces qué? ¿Qué obstáculo encuentras y por qué sospechas que la virtud pueda o no ser un conocimiento?303

Gracias al proceder hipotético-deductivo, que, obligando validar o refutar lo que fuera oportunamente supuesto, se alcanza la conclusión de que la virtud no es un conocimiento por una serie de comprobaciones que demuestran que la hipótesis era insostenible. De ahora en adelante –y esto ya refiere a los próximos diálogos–, no hay vuelta atrás con la introducción del saber matemático como condición de la filosofía. Si el lógos filosófico debe desenvolverse según la racionalidad matemáticodeductiva, es porque un horizonte de rigor ha entrado indefectiblemente en el mundo griego a través de la obra platónica. Y la mostración de que se ha alcanzado con aquélla a envolver por completo la construcción filosófica queda recogida fielmente por la exposición del Parménides. El diálogo es un exquisito ejercicio de dicha racionalidad: Platón se dedica a extraer consecuencias de cada una de las ocho hipótesis enumeradas 303

Menón, 89c.

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allí al comienzo.304 Siendo el ejercicio tan prolijo, no sólo se detiene en la deducción de la hipótesis positiva de que «lo uno es» sino que también aborda su contraria «lo uno no es», pudiendo tomarse en cada caso el “es” y el “no es” tanto en sentido existencial como en sentido predicativo. La gymnasía mental que el anciano Parménides le recomienda a Sócrates será descripta allí por este último como un “notable procedimiento”305 luego de que el primero la ilustrara del siguiente modo: En una palabra, a propósito de algo, se suponga que él es o que él no es o que está afectado por cualquier otra determinación, se debe examinar las consecuencias que se siguen tanto respecto de sí mismo como respecto de cada uno de los otros, el que se prefiera elegir, e igualmente respecto de una pluralidad y todos en conjunto.306

Por lo demás, este es un método que, desde su inauguración en el Menón, había sido utilizado cuanto menos en el Fedón y descripto allí mismo en 100a-c. La diferencia se presenta en que el Parménides evoca el procedimiento pero tocando el par ontológico básico, esto es, a lo uno y lo múltiple, indicándose de esta manera que la afección se ha realizado tan esencialmente que se ha vuelto completa e irrevocable. No quiere decir que la filosofía quede subordinada al saber del máthema; lejos está de hacerlo. El punto crucial, en cambio, está en asignar al proceder filosófico ciertas reglas extraídas de una ley que le era ajena hasta ese entonces. Que luego las matemáticas, en tanto tékhnai, queden jerarquizadas por debajo de la especulación puramente teórica no es razón para creer que ésta ha salido indemne del encuentro frontal con aquéllas.

304 305 306

Parménides, 135e. Parménides, 136c9. Parménides, 136b.

LA LÍNEA DIVIDIDA: APERTURA PARA UN BREVE ANÁLISIS DE KHÔRA Y DEL SISTEMA QUE CONFORMAN LOS TÉRMINOS «ORDEN, PROPORCIÓN, BELLEZA Y ARMONÍA»

1.

PRELIMINARES

La conjunción de los dos caracteres primarios de las matemáticas, a saber, su capacidad sustractiva y su centralidad en un renovado nodo pedagógico, las colocan bajo el interés platónico. Pero ese interés no termina ahí. Hay otros motivos que se vinculan tanto a los cánones de belleza clásicos como a su descubrimiento a través de la regularidad legaliforme en la naturaleza. Paralelamente al escrutinio de la capacidad cognoscitiva de las matemáticas y de su alcance dentro de la filosofía platónica, se presenta su reverso: la existencia de la marca matemática en el universo, en la ciudad y en el alma humana. ¿En qué medida contribuye el descubrimiento de rasgos matemáticos en el mundo y en la jerarquía de los entes a la formulación del concepto de «indecidible»? Si se piensa que al discurrir sobre los pasajes que registran nociones matemáticas vinculadas a “lo que hay” y “lo que aparece” se determinan «entidades» matemáticas, se cae en un equívoco. El razonamiento falaz sería el siguiente: si las matemáticas “están” en el mundo, entonces existen los entes matemáticos, donde “existen” remite a un tipo de existencia separada de cualquier acto discursivo-mental. En rigor, su participación en el ordenamiento cósmico avalaría esta perspectiva sólo a partir de un malentendido generado principalmente por una falta de comprensión de los términos originales del problema y,

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en segundo lugar, por un mandato de clausura que proviene de la tradición metafísica iniciada, quizás, por el mismísimo Platón. Creo que no resulta adecuado optar por una perspectiva mentalista –o intuicionista para usar un término caro al debate contemporáneo en filosofía de las matemáticas– como lo pareciera hacer Paul Pritchard307, o bien decidir en favor de una tesis reificante, como la que abonan los partidarios de la reconstrucción indirecta, vía Aristóteles. Muchas veces la dificultad extrema que presenta una elección ante dos opciones obliga a replantear la consistencia misma del par antinómico antes que a desarrollar argumentos a favor de una u otra alternativa, motivo por el cual es probable que estas notas no logren adquirir un carácter completamente argumental y se tenga la sensación –que espero el lector comparta– de estar oscilando entre el rigor del razonamiento, la sujeción al contexto histórico y una construcción siempre parcial de la indecidibilidad del máthema. La prevención contra dicho deseo de fijación la otorga el célebre símil de la línea dividida hacia el final del libro sexto de República. Apelaré aquí a un nivel de análisis distinto del empleando en el capítulo tercero de la primera parte: Sócrates: -Toma ahora una línea dividida en dos partes desiguales; divide nuevamente cada sección según la misma proporción, la del género de lo que se ve y otra la del que se intelige, y tendrás distinta oscuridad y claridad relativas; así tenemos primeramente, en el género de lo que se ve, una sección de imágenes. Llamo ‘imágenes’ en primer lugar a las sombras, luego a los reflejos en el agua y en todas las cosas que, por su constitución, son densas, lisas y brillantes, y a todo lo de esa índole. ¿Te das cuenta? Glaucón: - Me doy cuenta. Sócrates: - Pon ahora la otra sección de la que ésta ofrece imágenes, a la que corresponden los animales que viven en nuestro derrre-

307

Cfr. Pritchard, P. Op Cit. p. 92. Uno de los numerosos ejemplos de tal perspectiva queda registrada en el análisis de la línea dividida, sólo por mencionar alguno: “La terminología aquí [510a8] es un primer llamado de atención de que lo visible debe ser tomado no sólo de todas las cosas sensibles; el foco de interés no es tanto los varios tipos de objetos como los diferentes estados mentales. Esto se vuelve bastante claro en 511d-e” [La traducción es mía].

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dor, así como todo lo que crece, y también el género íntegro de cosas fabricadas por el hombre. Glaucón: - Pongámoslo. Sócrates: -¿Estás dispuesto a declarar que la línea ha quedado dividida, en cuanto a su verdad y no verdad, de modo tal que lo opinable es a lo cognoscible como la copia es a aquello de lo que es copiado? Glaucón: - Estoy muy dispuesto. Sócrates: - Ahora examina si no hay que dividir también la sección de lo inteligible. Glaucón: - ¿De qué modo? Sócrates: - De éste. Por un lado, en la primera parte de ella, el alma, sirviéndose de las cosas antes imitadas como si fueran imágenes, se ve forzada a indagar a partir de supuestos, marchando no hasta un principio sino hacia una conclusión. Por otro lado, en la segunda parte avanza hasta un principio no supuesto, partiendo de un supuesto y sin recurrir a imágenes –a diferencia del otro caso–, efectuando el camino con Ideas mismas y por medio de Ideas. Glaucón: - No he aprehendido suficientemente esto que dices. Sócrates: - Pues veamos nuevamente; será más fácil que entiendas si te digo esto antes. Creo que sabes que los que se ocupan de geometría y de cálculo suponen lo impar y lo par, las figuras y tres clases de ángulos y cosas afines, según lo que investigan en cada caso. Como si las conocieran, las adoptan como supuestos, y de ahí en adelante no estiman que deban dar cuenta de ellas ni a sí mismos ni a otros, como si fueran evidentes a cualquiera; antes bien, partiendo de ellas atraviesan el resto de modo consecuente, para concluir en aquello que proponían al examen. Glaucón: - Sí, esto lo sé. Sócrates: - Sabes, por consiguiente que se sirven de figuras visibles y hacen discursos acerca de ellas, aunque no pensando en éstas sino en aquellas cosas a las cuales éstas se parecen, discurriendo en vista al Cuadrado en sí a la Diagonal en sí, y no en vista de la que dibujan, y así con lo demás. De las cosas mismas que configuran y dibujan hay sombras e imágenes en el agua, y de estas cosas que dibujan se sirven como imágenes, buscando divisar aquellas cosas en sí que no podrían divisar de otro modo que con el pensamiento. Glaucón: - Dices verdad.

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Sócrates: - A esto me refería como la especie inteligible. Pero en esta su primera sección, el alma se ve forzada a servirse de supuestos en su búsqueda, sin avanzar hacia un principio, por no poder remontarse más allá de los supuestos. Y para eso usa como imágenes a los objetos que abajo eran imitados, y que habían sido conjeturados y estimados como claros respecto de los que eran sus imitaciones. Glaucón: - Comprendo que te refieres a la geometría y a las artes afines. Sócrates: - Comprende entonces la otra sección de lo inteligible, cuando afirmo que en ella la razón misma aprehende, por medio de la facultad dialéctica, y hace de los supuestos no principios sino realmente supuestos, que son como peldaños y trampolines hasta el principio del todo, que es no supuesto, y, tras aferrarse a él, ateniéndose a las cosas que de él dependen, descienden hasta una conclusión sin servirse para nada de lo sensible, sino de Ideas, a través de Ideas y en dirección a Ideas hasta concluir en Ideas. Glaucón: - Comprendo, aunque no suficientemente, ya que creo que tienes en mente una tarea enorme: quieres distinguir lo que de lo real e inteligible es estudiado por la ciencia dialéctica, estableciendo que es más claro que lo estudiado por las llamadas ‘artes’, para las cuales los supuestos son principio. Y los que los estudian se ven forzados a estudiarlos por medio del pensamiento discursivo, aunque no por los sentidos. Pero a raíz de no hacer el examen avanzando hacia un principio sino a partir de supuestos, te parece que no poseen inteligencia acerca de ellos, aunque sean inteligibles junto a un principio. Y creo que llamas ‘pensamiento discursivo’ al estado mental de los geómetras y similares, pero no ‘inteligencia’; como si el ‘pensamiento discursivo’ fuera algo intermedio entre la opinión y la inteligencia. Sócrates: - Entendiste perfectamente. Y ahora aplica a las cuatro secciones estas cuatro afecciones que se generan en el alma; inteligencia, a la suprema; pensamiento discursivo, a la segunda; a la tercera asigna la creencia y a la cuarta la conjetura; y ordénalas proporcionadamente, considerando que cuanto más participen de la verdad tanto más participan de la claridad.

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Glaucón: - Entiendo, y estoy de acuerdo en ordenarlas como dices.308

Asumo, junto a la mayoría de los intérpretes, tres tópicos básicos respecto del extracto anteriormente citado: a) De acuerdo con la referencia de 511d y de 514a, 515e-516a, en la que se presentan tanto las afecciones del alma como la topografía de la caverna según el “abajo” y el “arriba”, que la línea posee dirección vertical. Precisamente en 511d se asigna la nóesis a “lo más alto” [tô anotáto]. b) Que si se nombra a los segmentos correlativamente desde arriba para abajo (L1, L2, L3 y L4), sea cual fuere la medida original de la línea, el resultado de aplicar las condiciones descriptas por Platón arroja la siguiente igualdad: L2 = L3. 309 c) Que la relación entre L1 y L2 representa la vinculación original / copia y que, consecuentes con un desarrollo consistente310 , las relaciones L3 / L4 y (L1+L2) / (L3 + L4) respetan tal vinculación. En resumidas cuentas puede trazarse el siguiente esquema de la línea resultante: - Segmento inteligible: epistéme (ciencia) L4= 1° sección: nóesis (inteligencia) L3 =2° sección: diánoia (pensamiento discursivo). - Segmento opinable o visible/sensible: dóxa (opinión) L2 = 3° sección: pístis (creencia o sentido común) L1 = 4° sección: eikasía (conjetura, ilusión). No existe problema alguno en postular una división cuatripartita de la línea en lo que respecta a las disposiciones anímicas, esto es, a las operaciones realizadas por el alma en su proceso cognoscitivo. El inconveniente surge al querer establecer sin más el paralelo entre estas cuatro actividades mentales y cuatro tipos específicos de objetos que les fueran correlativos. Mucho más si se convoca para tales efectos la 308

República, 509d. La prueba es simple. La desarrollo formalmente aquí: Dado (1) L1:L2 = L3: L4 Y (2) (L1+L2) : (L3:L4) = L3: L4 Entonces (3) (L1+L2) : L2 = (L3:L4) :L4 De modo que (4) (L1+L2) : (L3:L4) = L2:L4 De (2) y (4) (5) L2:L4 = L3:L4 (6) L2=L3 310 Cfr. Pritchard, P. Op. Cit., p. 92 309

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identidad parmenídea entre ‘ser’ y ‘pensar’. Como ya he demostrado en el apartado dedicado a esa cuestión, la mismidad en la que comulgan ambos conceptos impide el establecimiento de un paralelo biunívoco entre ambos registros y, por el contrario, obliga a permanecer en la tensión misma de la identidad. Entonces, si este escrito pretende mostrar, o quizás construir, la indecidibilidad del máthema sin por ello detenerse en la argumentación que se posa sobre un campo epistémico errado no puede hacer otra cosa que sembrar polémica. Y eso significará volver las armas de los unos contra los otros con el poco fútil objetivo de mostrar la idempotencia de los razonamientos y, a través de éstos, el vacío y la suspensión del juicio que exigen. Por el momento, me serviré de Pritchard con el fin de evitar la tendencia reificante: ¿Qué explicación deberíamos dar de los objetos de L2? He dicho que son los mismos que los objetos de L3. Esto es verdadero hasta donde sabemos (son claramente usados y mencionados por el geómetra), pero no es suficiente. Puesto que el geómetra tiene en mente y pretende adquirir una mirada de otro tipo de cosa en general. Estas son las formas, las cuales son sólo directamente vistas sin la mediación de ninguna imagen sensible en L4. Ignorando este doble aspecto de las imágenes, de que no son solamente en sí mismas sino también una visión del original del cual son imágenes, muchos comentadores han encontrado necesario postular “intermedios matemáticos” para llenar el hueco aparente. Pero no sólo éstos no son mencionados, sino que de hecho no hay espacio para ellos. Aunque los estados mentales en la Línea son cuatro, la ontología es sólo ternaria, como en el libro X –están las formas, las imágenes de las formas, y las imágenes de estas imágenes de las formas.311

Complementará más adelante sosteniendo dos puntos: 1. Que el pensamiento discursivo o diánoia queda ejemplificado por las matemáticas pero que no puede ser reducido completamente a ellas, puesto que en varios pasajes de su obra Platón indaga a partir del uso de hipótesis, con lo que se tendría una utilización no-matemática de dicho procedimiento y, a través de este, de la diánoia. Asimismo, la diánoia no es otra cosa que “cualquier 311

Pritchard, P. Op. Cit., p. 94. [La traducción es mía]

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aproximación indirecta a las formas, en matemáticas por medio de imágenes visibles, en el Fedón por medio de logoi, que son también imágenes de un tipo”. 312 2. Que la diferencia entre L2 y L3 es menos una cuestión de objetos diferentes que de diferentes aproximaciones a los mismos objetos. “Lo que es visto en L2 a la luz del sol es ‘visto’ en L3 a la ‘luz’ del bien” 313, dirá. Pritchard acierta en ligar las matemáticas a cierto estado mental porque Platón asigna con firmeza a cada sección de la línea una afección anímica.314 Al momento de dividir la sección inteligible, Sócrates explicita: Por un lado, en la primera parte de ella, el alma, sirviéndose de las cosas antes imitadas como si fueran imágenes, se ve forzada a indagar a partir de supuestos, marchando no hasta un principio sino hacia una conclusión.315

Aquí no sólo no se hace referencia a objetos propiamente matemáticos, sino que se insiste en la tarea que desempeña el alma. Más aún, cuando se podría esperar aquella referencia, Platón prestidigita un desplazamiento que hace recaer el peso objetual sobre “las cosas antes imitadas”, es decir, sobre los objetos que correspondían, ahora sí con evidencia, a L2 (“Pon ahora la otra sección de la que ésta ofrece imágenes, a la que corresponden los animales que viven en nuestro derrredor, así como todo lo que crece, y también el género íntegro de cosas fabricadas por el hombre”). Se trata de los diagramas y dibujos visibles a los que recurren los versados en la geometría y el cálculo. Éstos son utilizados “como imágenes” [eikósin khrôménê] de cierto original, en virtud del cual no habría allí otra cosa que un uso novedoso de los objetos ya descriptos. Contra la objeción suscitada a partir de la intervención socrática en el libro V 316 tendiente a sostener que los objetos del conocimiento [epistéme] son diferentes respecto de los objetos de la opinión [doxa], 312 313 314 315 316

Ibíd., p. 95. [La traducción es mía] Cfr, Fedón, 99d-e. Ibíd. República, 511d. República, 510b. República, 477-8.

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Pritchard saldrá airoso alegando que Platón define el conocimiento como una dýnamis, una capacidad o facultad, distinta de la facultad de opinión, pero que cuando introduce la diánoia en el símil de la línea dividida, no se refiere en ningún momento a una dýnamis sino a un estado mental [en têe psychée gignómena labé] 317. Existen claramente sólo dos facultades, una dirigida a objetos inteligibles, la otra a los objetos sensibles. La división siguiente de la línea no presupone nuevas facultades. Del mismo modo que las sombras y los reflejos en el agua (L1) son percibidos a través de la misma facultad que sus originales (L2), es la misma dýnamis la que ve ‘directamente’ L4 e ‘indirectamente’ L3. Sin embargo, tampoco la posición de Pritchard resulta enteramente satisfactoria. Una vez enunciado el proceder matemático en lo concerniente al empleo de figuras sensibles y los discursos formulados en torno a ellas, Platón complementa de inmediato diciendo “aunque no pensando en éstas, sino en aquellas cosas a las cuáles estas se parecen, discurriendo en vista al Cuadrado en sí y a la Diagonal en sí, y no en vista de la que dibujan y así con lo demás”. El problema está, como puede presumirse, en determinar qué fueran «aquellas cosas a las cuáles éstas [las figuras sensibles] se parecen» y que son ejemplificadas con el «Cuadrado en sí» y la «Diagonal en sí». ¿Está hablando directamente de las Ideas, de las cuales efectivamente los objetos de L2 participan o de algún tipo de entidad intermedia, que sirve de modelo y original para los diagramas visibles pero que se sustraen a la creencia? Al parecer no se puede responder a esta pregunta sin propagar la duda e instalarla en el seno de la argumentación. La indisolubilidad del procedimiento dianoético respecto de la dialéctica, su subsidiariedad extrema y el sinsentido al que quedan arrojadas las matemáticas sin su culminación eidética, atestiguan no sólo la comunión de ambos mecanismos del alma bajo la especie de lo inteligible, sino también, y sobre todo, cierto carácter indiscernible entre la arquitectura formal que gobierna y prescribe la Idea de Bien y sus resonancias matemáticas. Pritchard estaría dispuesto a sostener que la diánoia refiere, de un modo particular y distinto del noûs, a las Ideas, pero se encuentran dos problemas básicos en ello. El primero es que las matemáticas abren un ámbito específico por completo diferente al de la 317

República, 511d.

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opinión y al de la dialéctica e incluso cuando aquello que adviene como su ‘objeto’ es difícilmente precisable, se produce el despliegue de una zona de indecidibilidad ontológica que constituye su propia positividad. Su viabilidad abreva, como he mostrado, en el compromiso conjunto del parricidio enclavado en el Sofista y de la quinta hipótesis del Parménides. Si no se diera un dominio tal, no podría explicarse el siguiente pasaje de República en el que Sócrates intenta dar cuenta de la sección correspondiente a la diánoia: “De las cosas mismas que configuran y dibujan hay sombras e imágenes en el agua, y de estas cosas que dibujan se sirven como imágenes, buscando divisar aquellas cosas en sí que no podrían divisar de otro modo que con el pensamiento [diánoia]” 318 Platón dice que hay «algo» que no se puede divisar de otro modo que con la diánoia. Ya se observó en “Sobre pensar y ser” que este «algo» (las mencionadas “cosas en sí” [autá ekeîna]) posee sus dificultades intrínsecas para ser apresado. Lo que importa aquí es que no puede ser aprehendido por la dialéctica, de modo que se establece un grado de exclusividad del ámbito abierto por la diánoia que dificultaría la tesis de su referencia hacia las Ideas. Se dijo a la luz del Parménides: “hay un ente inexistente que se distingue de todas las demás cosas”. El segundo problema es que, en consonancia con el citado pasaje, las matemáticas pertenecen al espacio de lo tò metaxý donde se proponen menos como un hallazgo de entidades que como un deseo, como un tránsito asintótico. De ahí que compartan este espacio con érôs y epithymía. Lo cierto es que, incluso si la diánoia intentara referirse a las Ideas, su aprehensión sería inalcanzable y, aunque se dice que las matemáticas captan “algo de lo que es”, esta parcelación sería un indicador menos del objeto en cuestión –i.e. las Ideas– que del fracaso radical al que están condenadas por su límite superior.319 Con todo, la lectura de Pritchard sigue siendo una de las más cuidadosas y convincentes. Julia Annas, por su parte, pareciera aceptar lateralmente la hipótesis de la indecidibilidad, aunque ella encuentra en ésta la muestra de cierta inaptitud por parte de Platón para ilustrar problemas filosóficos por medio de imágenes. En este sentido, la explicación de Annas peca por exceso al propiciar una interpretación retroactiva desde la seguridad de 318 319

República, 511a. Cfr. “Matemáticas y dialéctica”.

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la tradición metafísica. Leer una «falla» en el recurso platónico resuena como una petición de principio que anuncia y solicita al mismo tiempo la pureza de un conocimiento filosófico acabado. Ella dice: La insolubilidad de este problema es una buena muestra de las dificultades en las que entra Platón al utilizar imágenes para ilustrar una cuestión filosófica. Las imágenes son aptas para ser sobrecargadas, como sucede con la Línea, porque Platón está tratando de hacer dos cosas al mismo tiempo con ella. Y el detalle de las imágenes tienta a la formulación de preguntas que no pueden ser satisfactoriamente respondidas en los términos de las imágenes; si la tratamos con seriedad filosófica, la imagen resulta incoherente.320

Ante la posibilidad de clasificar los estados mentales dispuestos desde L1 hasta L4 de acuerdo con el contexto general de la epistemología griega, donde ser y pensar se tornan inseparables y comulgan en “lo mismo”, Annas pretende zanjar la cuestión extrayendo sólo dos alternativas: […] la incertidumbre del propósito de la Línea torna poco claro cómo los estados cognitivos están siendo clasificados –por sus objetos o por sus métodos. En la parte más baja pareciera ser claramente a partir de los objetos –uno se mueve desde la eikasia a la creencia mirando a los árboles y no a los reflejos de los árboles. ¿Se sostiene lo mismo de la parte superior?321

Ella le exige al texto que decida entre la clasificación por vía de los objetos o por vía de los métodos. De lo contrario, la insolubilidad del problema atestiguará una falta platónica. No puede ver, no alcanza a hacerlo, que el rasgo característico del máthema retoza en el hiato, en lo insoluble mismo. Por eso no puede prolongar la discusión y la aprisiona entre tres posibles interpretaciones, todas incoherentes desde su punto de vista: 320

Annas, J. An introduction to Plato’s Republic, Clarendon Press, Oxford, 1981, p. 251. [La traducción es mía] 321 Ibíd, p. 252. [La traducción es mía]

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1) La relación entre L1 y L2 es de un tipo diferente a la que hay entre L3 y L4. 2) Las secciones L3 y L4 poseen diferentes objetos. 3) El contraste entre L3 y L4 es una diferencia de método con vistas al mismo objeto. Pritchard esgrime ante este grupo aporético que, dependiendo de lo que signifique aquí tanto ‘objeto’ como ‘método’, la solución es que “en el estado de eikasía miramos a las imágenes para obtener información sobre sus originales, que son sólo directamente vistos en el estado de creencia.[…] En el estado de diánoia, del mismo modo, miramos a las ‘huellas’ de las formas (un diagrama, o quizás los cielos), pero hacemos esto en orden a descubrir las formas que ‘hacen’ esas huellas”.322 El punto es que no puede establecerse sin más que el ‘objeto’ de las matemáticas sea sólo el diagrama sensible dibujado en la tierra por el geómetra. Análogamente, no puede asumirse que el original de dicho diagrama sea sólo una Idea y que la ‘Diagonal en sí’ pueda identificarse con ésta por los motivos que señalé más arriba. La solución de Pritchard desconoce también, en su afán, que no se trata de una alternativa dada en el interior de una dicotomía sujeto-objeto, sino más bien de la recreación de una dinámica, ciertamente griega, pero, en lo que respecta a las matemáticas, distintiva de Platón. Tanto para Annas como para Pritchard se juzga inadmisible que no pueda salvarse la ambigüedad del pasaje. Una por defecto, el otro por exceso, llegan a una modalidad exegética que estabiliza la introducción matemática en el seno de la filosofía de Platón y delimita sobre ella un nuevo dominio, subalterno al de la dialéctica, con objeto y método propios y distinguibles. Cabría recapitular: 1. Las matemáticas conforman el único dispositivo discursivopedagógico que logra romper con la doxa instaurada y sostenida por trágicos, sofistas y demócratas. 2. Las matemáticas poseen un carácter abstractivo que las dispone como el único saber que hace posible la dialéctica. 3. Las matemáticas codifican formalmente el sentido del mundo, de la ciudad y del alma humana. Sus respectivos movimientos, 322

Pritchard, P. Op cit., p. 111.

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los cánones de belleza y el conocimiento del universo dependen, en igual medida, del apego a la ley del número.

2.

ORDEN, PROPORCIÓN, MEDIDA Y BELLEZA COMO FORMAS DE LO MISMO. DISCUSIÓN

Lo siguiente es un breve reenvío de las nociones más relevantes de este capítulo hacia un terreno común que precipite, al mismo tiempo, la elucidación de dichas nociones y el descubrimiento de un campo semántico dinámico que englobe sus significaciones haciéndolas converger. La relación que se encuentra en los diálogos entre orden [kósmos], proporción [sýmmetron], medida [émmetron] y belleza [tò kalón] resulta tan estrecha que muchas veces los términos tienden a confundirse o a ser utilizados como reemplazables el uno por el otro. Lo que salta a la vista en primer lugar es, sin dudas, el parecido etimológico que poseen sýmmetron y émmetron: la idea de medida que subyace a toda proporción –la medida es su supuesto lógico– reúne morfológicamente ambos términos. Hay que decir también que la concepción clásica de belleza involucraba la existencia de un orden que depende fuertemente de reglas de perfección y de la fijación de cánones que dictaminaban que lo bello reflejado en esculturas, teatros, templos, trazados urbanos, y demás construcciones griegas, se basaba en la utilización de figuras geométricas regulares y relaciones expresables mediante números racionales. Por ejemplo, Vitrubio forjó a través de proporciones de enteros las pautas que permitían la edificación del templo griego y Policleto formuló su canon en función de razones numéricas definidas. En la conformación de estos cánones intervenían no sólo magnitudes conmensurables –aquellas que encuentran una unidad común de medida– sino también inconmensurables, tales como las que introduce Platón en el Menón al intentar resolver la cuestión de la medida del lado del cuadrado doble. Lo que se entendía por bello en la Grecia clásica estaba dado por su ajuste a relaciones regulares expresables mediante números.323 Las 323

Aquí “número” debe ser entendido principalmente como relación. Se sabe que si dos magnitudes son conmensurables, el número que arroja su división es racional, mientras que si las magnitudes son inconmensurables el resultado es un número irracional.

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proporciones se definen por la identidad de una razón entre dos o más magnitudes con la razón de dos o más magnitudes diferentes de las primeras, y lo que opera por detrás de toda determinación física y metafísica de una magnitud es el concepto de medida. Sabido es que para Platón –sobre todo en el Filebo– toda la generación depende de la conjunción de dos principios contrapuestos: lo ilimitado y lo limitado324. Resulta de ahí que la configuración del desorden a través del principio limitante se logra a través de la introducción de la medida: Resulta, pues, que la potencia del bien se nos ha refugiado en la naturaleza de lo bello; en efecto, la medida [metrótes] y la proporción coinciden en todas partes [gignesthai] con belleza y perfección.325

La expresión máxima de una creación proporcional y bella es el kósmos, el orden, que el Timeo identifica con el universo. La intervención de la medida en la estructura formal del universo se expone claramente a través de la incorporación de los elementos geométricos en la construcción del alma y del cuerpo del mundo que explicitaré más abajo. Al respecto, hay algo que podría parecer trivial pero que no puede dejar de decirse: la metrización del universo contiene simultáneamente un aspecto natural y un aspecto ético y político, es decir, la disposición numérico-proporcional de las cosas reviste, además de una presentación de la belleza sensible, un mandato ético de armonización del alma y de la pólis. Para Platón, aunque cada uno de estos términos posea un valor preciso y definido, contribuyen, en conjunto, a la manifestación del orden universal en todas sus dimensiones. Las matemáticas exhiben todos estos conceptos de manera singular: medida, razón, proporción, orden esencian en el máthema. Obsérvese sino la definición euclídea de número: “Un número es una pluralidad compuesta de unidades [Arithmós de tò ek monádon sygkeimenon plêthos]”.326, donde se advertirá que la reunión dada por el vocablo sygkeimenon (“está formado”, “compuesto”, “acordado por”) depende de la determinación monádica de la unidad. Incluso, el concepto de medida como fuente de acuerdo, 324

Cfr. Filebo, 16 c. Filebo, 64e5. 326 Euclides, Elementos, VII. 2. Introducción de L. Vega; traducción de Ma. L. Puertas, Gredos, Madrid, 1994. 325

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ya se encontraba presente en los diálogos.327 Un número es la colección de unidades y esta colección no pareciera constituir un coto claro respecto de otros números –mucho menos si se atiende a la utilización de plêthos que habla de una suerte de multiplicidad diseminada, dispersa, que Platón se encarga de oponer en el Parménides a lo múltiple reglado y dialectizado por lo uno [pollá]– salvo por la delimitación primaria de la unidad [mónas]. Es lógico decir entonces que la medida es condición de posibilidad de todo número y que, en adelante, éste será su manifestación. El uso cuasi-metafórico del término aislado “arithmós” en los diálogos da cuenta de que, por momentos, es sinónimo de medida y, por extensión, de proporción. El desarrollo matemático también obedece a un canon de belleza establecido por los grandes artistas clásicos. Cualquier deducción deberá respetar cada paso de modo que se derive claramente del anterior y de manera que el desarrollo general de la prueba sea inteligible. Asimismo, la simpleza de las pruebas obedece también a un criterio de belleza ya fijado en el deseo griego de explicar lo múltiple a través de lo Uno. La axiomática de Euclides da cuenta precisamente de eso. Plasma el saber matemático contenido en casi tres siglos de desenvolvimiento del espíritu heleno y también la voluntad explicativa que pretende reducir dicho universo a algunas pocas proposiciones [tà axiómata]. Esta exigencia –que ha pasado, por lo demás, como imperativo de la ciencia matemática hasta nuestros días– entraña el deseo metafísico de significación y unificación bajo la marca de lo Uno. De la misma manera que cualquier construcción compleja es expresable a través de proporciones definidas y éstas mediante números, todo un libro de los Elementos está ya contenido en uno de sus axiomas. Por eso la deducción es aquí a las matemáticas lo que la edificación es a la arquitectura o la ejecución de una obra de arte es al arte como proyecto. En paralelo, la deducción es lo que garantiza el correcto despliegue de la potencia dianoética. Precisamente una de las grandes diferencias con la intelección directa de las Ideas que produce el noûs en el campo dialéctico, es que la diánoia está obligada por definición a proceder discursivamente, ampliada en un intervalo temporal y sujeta de una manera compleja al redil del lógos. La deducción desempeña en este proceso un 327

Alcibíades mayor, 126c.

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papel imprescindible por cuanto se encarga de aplicar reiterativamente la misma regla, la que extrae de una proposición cualquiera otra que es consecuencia lógica de aquélla, reasegurando que el todo [hólon] permanezca: (a) estructurado de acuerdo con la prescripción de la racionalidad matemática; (b) idéntico a sí mismo.328 Lo cierto es que orden, medida, proporción y belleza confluyen en la obra platónica a fin de consolidar un espacio común, constituido fuertemente desde el punto de vista ontológico, que aparece y se manifiesta desde múltiples sectores de los diálogos. Ello vuelve a Platón un integrante de una tradición estética ampliamente reconocida y estudiada, y, sin embargo, también lo hace el primero en otorgar una sólida conexión entre todas estas nociones y una fundamentación metafísica.

3. El MÁTHEMA Y LAS COSAS Entre los casos que posibilitarían una comprensión de la inscripción y lectura del máthema en el mundo de las cosas, habrá que elegir arbitrariamente algunos. Por ejemplo, al hablar en la República de astronomía Platón dice: Estos bordados que hay en el cielo están bordados en lo visible, y aunque sean los más bellos y perfectos de su índole, les falta mucho en relación con los verdaderos, así como de los movimientos con que, según el verdadero número y las verdaderas figuras, se mueven la rapidez real y la lentitud real, en relación una con otra, y moviendo lo que hay en ellas; movimientos que son aprehensibles por la razón y por el pensamiento, mas no por la vista.329

Las matemáticas, al menos en un primer momento sustraídas en tanto movimiento del conocer acerca del ser respecto de lo visible inmediato, reglan el movimiento de los astros. Existe un ‘verdadero número’ que 328

Es ese el motivo por el cual las Ideas y, en particular la Idea del Bien, puede considerarse como modelo [parádeigma] de todas las cosas y se dice que éstas participan de aquélla. Siendo un tanto osados y tratando de subvertir la delimitación matemática efectuada por Platón para aplicarla a el modelo filosófico completo, es posible decir en un sentido amplio que las cosas se deducen racionalmente de las Ideas. 329 República, 529d-530a.

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no es [sólo] el que se escribe y el giro de los planetas y las estrellas se efectúa ‘en vistas a’ o ‘según’ éste. La belleza depende, a su vez, de tal ordenamiento330 y Platón insistirá en que únicamente podemos servirnos de tales observaciones astronómicas como de ejemplos para alcanzar “lo que de inteligente hay por naturaleza en el alma” 331, empresa muchas veces más loable que la que practica el astrónomo. Está hablando en el fondo de la articulación entre matemáticas y dialéctica o, puesto de otra manera, de la fundamentación eidética del saber matemático. De manera análoga, la música se presenta como hermana de la astronomía y su ley es sancionada por los números y las progresiones numéricas, siendo su propósito elevarse por sobre la percepción sensible hacia su soporte estructural. Éste es el que permite el reconocimiento de la belleza en un cuerpo individual y luego en lo que hay de común en los cuerpos bellos, la Belleza en sí.332 La indisolubilidad de la proporción matemática y de la concepción platónica de belleza es casi un lugar común de su filosofía y, de todos modos, no puede obviarse aquí en la medida en que refleja el carácter y el temple de la operación mediante la cual las matemáticas se ‘incrustan’ o ‘incorporan’ en el mundo y aparecen localizadas en las cosas. Dado que la belleza sensible codifica una estética a la manera de un “aparecer ante los sentidos”, su disposición matemática interesa porque revela el silente pasaje de las Formas hacia todas las cosas y el modo de la participación [méthexis] de estas últimas en aquéllas, es decir, fija su determinación ontológica. Obsérvese el siguiente pasaje de Leyes que liga el orden a su mostración musical: El nombre del orden del movimiento sería ritmo, al de la voz, cuando se mezclan lo agudo y lo grave de ella, se le aplicaría el nombre de armonía, mientras que la denominación de ambas unidas sería danza coral. Decíamos que los dioses, apiadándose de nosotros, nos dieron a Apolo y las Musas como compañeros y jefes de nuestras danzas, y además mencionamos un tercero, si recordamos, a Dioniso.333 330 331 332 333

República, 530a. República, 530c. Cfr. Simposio, 210b. Leyes, 664e9.

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La eclosión de la naturaleza depende de su marcaje matemático.334 Desde el punto de vista epistémico, aunque la ley del número yace desde siempre allí –según la prescripción de eternidad dada por las Formas de las cuales ésta es la imagen que se ofrece al pensamiento– la manera de aprehenderla es mediante la intelección de su aparecer en lo sensible. La proporción informa todo lo que hay, incluso aquello que a menudo percibimos como deviniendo: Y en ella, por ser tal como es, las plantas crecen proporcionadamente [anà lógon]: árboles, flores y frutos. Y, a la par, los montes presentan sus rocas también con igual proporción, más bellas por su lisura, su transparencia y sus colores.335

Sin lugar a dudas, el caso simultáneamente más complejo y más rico respecto de lo que aquí interesa, es el del Timeo. Allí se dice en primer lugar que […] Además, todo lo que deviene, deviene necesariamente por alguna causa; es imposible, por tanto, que algo devenga sin una causa. Cuando el artífice [deemiourgós] de algo, al construir su forma y cualidad, fija constantemente su mirada en el ser inmutable y lo usa de modelo [tini paradeígmati], lo así hecho será necesariamente bello [kalón ex anágkees].336

Recuperemos dos elementos: (a) que todo lo que nace, todo lo que está sujeto al cambio, a causa del esfuerzo creador del demiurgo, actualiza la forma y las propiedades del paradigma (de la Idea); (b) que tal actualización garantiza que la producción sea necesariamente bella. La evidencia de proporción y belleza del paradigma resuena en las cosas sensibles a través de una mediación también armónica. El cielo entero

334

Por eso insisto en recaer sobre la semántica de hyperphýos que describe la aparición “de modo maravilloso” del máthema en República, 525b2. Como he dicho, la raíz phýo (“brotar”, “nacer”, “engendrar”) de resuena etimológica y ontológicamente en phýsis y orotga garantías de la evanescencia inicial del máthema. 335 Fedón, 110d3. 336 Timeo, 28a5.

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o el kósmos es visible [horatós] y tangible [haptós]337, posee un cuerpo, es aprehendido por medio de la opinión [dóxee] y la sensación [aistheéseoos] y no por ello deja de participar en la belleza. Seguidamente, Platón indicará que el kósmos, en tanto ser vivo y corpóreo, está provisto de un alma y un entendimiento también y que ambas partes, alma y cuerpo del mundo, están conformadas de acuerdo con patrones matemáticos. Pero antes de evaluar en profundidad esto último, una breve anotación acerca del surgimiento del tiempo. Como todo lo generado, el mundo debe pertenecer al ámbito temporal: Pero dado que la naturaleza del mundo ideal es sempiterna y esta cualidad no se le puede otorgar completamente a lo generado, procuró realizar una cierta imagen móvil de la eternidad y, al ordenar el cielo, hizo de la eternidad que permanece siempre en un punto una imagen eterna que marchaba según el número, eso que llamamos tiempo.338

Este pasaje perfila un aspecto central del status del máthema en la ontología platónica. Se notará que el tiempo “marcha según el número” [kat’arithmòn], esto es, que el tiempo engendrado, ajustado al esquema de la sucesión antes/después, avanza en función de una progresión reglada y medida por los números. Puede entenderse el ambiguo sitio reservado aquí como en tantas otras partes para las matemáticas. Por un lado, éstas emergen y se observan a partir de “lo que es generado”; en este caso, la producción más originaria que será posteriormente habitada por todas las cosas: el tiempo. Por otra parte, “la ley del número” estaría por encima del tiempo mismo, gobernándolo, domeñándolo. Pero “las leyes de los números” no son otra cosa que la captación de la proporción inmanente de las Ideas, de su estructura interna y de la relación que poseen éstas entre sí. Es el carácter lógico, en el sentido de relación, el que restaura aquí la potencia del discurso matemático. Relación de la Idea consigo misma que se cristaliza en el imperativo de identidad, relación de las Ideas entre sí que las ordena jerárquicamente, relación de las Ideas con las cosas en el andamiaje imitativo y de participación. Los números ideales referidos retendrían del paradigma su carácter eterno, a la vez que 337 338

Timeo, 28b. Timeo, 37d3.

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se inscribirían, repetibles y plurales, en el seno mismo de la temporalidad móvil. Si el punto de partida es entonces el tiempo informado por las matemáticas, cuerpo y alma del mundo deberán adecuarse a este axioma. Platón dirá al reconstruir a través del relato verosímil o probable [lógos eikós] que recorre el Timeo: Mientras el cuerpo del universo nació visible, ella fue generada invisible, partícipe del razonamiento y la armonía, creada la mejor de las creaturas por el mejor de los seres inteligibles y eternos.339

La participación del cálculo y la armonía habla de la referencia común que encuentran construcciones lingüísticas como “ley del número”, “armonía”, “proporción”, etc; también de la sujeción a aquella sanción del tiempo que avanza según progresión numérica. El alma del mundo fue formada por la mezcla de tres sustancias –lo Mismo, lo Otro y una tercera– “partida y unificada matemáticamente [kaì anà lógon meristhetsa kaì syndetheîsa] y se mueve por sí misma en círculos dando vueltas sobre sí misma”340. Las proporciones uniformes en las que es dividida y unificada quedan recogidas entre 35b- 36b. Allí se define un tipo de proporcionalidad que rellena los intervalos entre las porciones originales (1, 2, 3, 4, 9, 8, 27) y que responde a la existente en los modos musicales griegos.341 El demiurgo habría vertido cuartas y quintas justas en estos intervalos. La musicalidad del alma producida garantiza su belleza y su correcta imitación de las Formas. Naturalmente, las matemáticas han desempeñado un papel fundamental en esta vinculación.342 Por lo que respecta al cuerpo del mundo, sucede algo similar. Su generación depende directamente de la intelección demiúrgica de la proporción paradigmática. Así, luego de comenzar tomando fuego y tierra, se agrega un tercer y un cuarto términos para mediar armónicamente 339

Timeo, 36e6. Timeo, 37a. 341 Tanto el modo dórico, el frigio y el hipodórico responden a la determinación de la cuarta justa como 4/3 y de la quinta justa como 3/2. Cfr. González Ochoa, C. La música del universo. Apuntes sobre la noción de armonía en Platón. UNAM, México, 1994, p.76. 342 Ya desde los pitagóricos, la relación entre matemáticas y música aparecía como evidente. Por lo demás, las influencias pitagóricas sobre Platón están a la vista a lo largo de casi toda su obra. 340

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entre ambos. Esto le otorga unidad y liga el cuerpo consigo mismo343 en vistas al imperativo de orden: “[…] y esto es la progresión que lo realiza naturalmente de la manera más bella”.344 Finalmente, cuando cuerpo y alma hubieron sido creados, el demiurgo los hace coincidir en un punto medio y extendiendo todo el cuerpo en el interior del alma, los armoniza 345 y hace del kósmos algo tal, un orden bello. El máthema no es las cosas, a la vez que no es propiamente las Formas, pero precisamente por ello, en su gesto diferenciante, provoca que la estela quede registrada de manera indeleble –bajo pretexto de la armonía, el orden y la proporción– en todo ente. Por eso dice claramente en el Eutidemo: Sócrates: -Ninguna de las artes relativa a la caza –respondió– va más allá de cazar o capturar, y una vez que la gente ha capturado lo que era objeto de su caza, no sabe qué uso hacer de él. Tanto es así que los cazadores y pescadores entregan sus presas a los cocineros, y, a su vez, los geómetras, astrónomos y maestros de cálculo –pues también ellos son cazadores, ya que, en efecto, no producen sus figuras, sino que se limitan a encontrar las que existen [allà tà onta aneurískousin]–, como tampoco saben qué uso hacer de ellas, sino sólo cazarlas, entregan lo que han hallado a los dialécticos para que lo utilicen. Por lo menos, así proceden quienes, de entre estos últimos, no han perdido por completo la cabeza. 346

El máthema existe allí y puede ser descubierto gracias a un arduo trabajo especulativo en el mundo entero, en el alma del ser humano, como la razón que gobierna sus ritmos de apertura y cierre, la alternancia de su vida eterna, los ciclos.

4.

EL PROBLEMA DE KHÔRA

En el marco de continuas interrupciones, digresiones, reconducciones y reenvíos en el interior y exterior del Timeo, Platón retoma este mito 343 344 345 346

Timeo, 31b. Ibíd. Timeo, 36c. Eutidemo, 290b7.

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verosímil [tòn eikóta mýthon] introduciendo un tercer elemento: Khôra. Sus múltiples definiciones a lo largo del diálogo, lejos de precisarlo, se encargan de configurar un concepto difuso. Sólo es captable mediante una especie de razonamiento híbrido o bastardo [nóthô] y, al igual que las matemáticas, es perceptible a través de sueños [oneiropoloûmen blépontes].347 Nos acercamos a un paralelismo extraño. La sentencia completa dice: “El mismo no es perceptible más que gracias a una especie de razonamiento híbrido, que no va de ninguna manera acompañado de la sensación; apenas se puede creer en ello”.348 La inestabilidad de Khôra es patentemente la misma que la del máthema. Comparten además de la evanescencia onírica, la reticencia a ser escrutados completamente por los sentidos y su aparición en el marco de un razonamiento especial. Incluso en el proceso de doble distanciamiento que traza Khôra respecto de las imágenes y de las Ideas 349 y en la evidencia de su diferenciación350, se está tentado de asimilarla al mecanismo de emergencia singular del máthema como contraluz de esencias y cosas. Párrafo aparte merece la caracterización específica del máthema que se encuentra en el siguiente pasaje. La elusión de la “objetualidad” matemática en el símil de la línea dividida recuerda exactamente a la siguiente referencia del Timeo: […] y tanto lo que ingresa como lo que sale son siempre imitaciones de los seres, impresos a partir de ellos de una manera difícil de concebir y admirable que investigaremos más adelante.351

Los supuestos ‘objetos’ que se corresponden con la operación dianoética son descriptos sólo en función del paradigma y de las cosas sensibles (“sirviéndose de las cosas antes imitadas como si fueran imágenes”), mientras estos se sustraían a toda presentación. De igual manera, «las figuras» que entran en la Khôra, son imágenes de las Formas, cuya introducción no es inmediatamente comprensible. Pero ¿se trata solamente de una evasión en el procedimiento de impresión? Platón 347 348 349 350 351

Timeo, 52b. Ibíd. Timeo, 52c. Timeo, 52d. Ibíd, 50c6.

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incluso va más allá y radicaliza el gesto sustractivo en lo que concierne a las figuras primarias: éstas no pueden ser determinadas bajo nombre del ser. Si se supone que Khôra es oro, y los triángulos primordiales son las figuras que graban como sellos sus propiedades en la potencia informe de ese material, no es posible asignarles a tales modelos un carácter ontológico determinable: Bien, si alguien modelara las figuras de oro y las cambiara sin cesar de unas en otras, en caso de que alguien indicara una de ellas y le preguntase qué es, lo más correcto con mucho en cuanto a la verdad sería decir que es oro –en ningún caso afirmar que el triángulo y todas las otras figuras que se originan poseen existencia efectiva, puesto que cambian mientras hace dicha afirmación– […].352

Dicho esto, retomemos la descripción de Khôra. Aparece como receptáculo [hypodokhée], matriz [titheéne], sustrato [ekmageión] de todas las cosas.353 También como madre y «lo femenino», haciendo gala de la conocida filiación pitagórica de Platón. La mediación necesaria que introduce este “tercer elemento” remite desde el punto de vista lógico a la disposición también intermedia en la jerarquía ontológica platónica; su característica indefinible, su renuencia a la fijación cognoscible, testifican en favor de esta hipótesis. Allí mismo, en el interior de la Khôra, casi funcionando como un concepto coextensivo al de máthema, se disputa la indecidibilidad ontológica; Khôra trasfunde ciertas características de la indecidibilidad en el momento de la gestación del universo, al ser informada por las figuras geométricas. Esta transición traza patentemente que las matemáticas adquieren ciertas cualidades de este extraño “tercer tipo de ser” ofreciéndose en ese momento la más nítida ilustración del pasaje de lo inteligible a lo sensible, de lo incorpóreo a lo corpóreo. Y en el paso mismo de ese tránsito, las matemáticas –en particular las figuras geométricas qua instancias del máthema– emergen en su dinámica misma. Léase el siguiente pasaje con detenimiento en el que Platón reconstruye analíticamente, partiendo desde lo corpóreo, la estructura geométrica que la informa: 352 353

Ibíd, 50a6. Timeo, 49a.

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La esencia del cuerpo posee también siempre el espesor. Pero todo espesor envuelve necesariamente la naturaleza de la superficie y toda superficie de formación rectilínea está compuesta por triángulos.354 Todo cuerpo presupone en su esencia la superficie y ésta responde a la forma triangular. Los triángulos son presentados como la base constitutiva de lo corpóreo, aunque éstos no son visibles ni corpóreos; ni siquiera pueden ser considerados como seres en un sentido propio. No obstante ello, a partir de la conjugación de dos tipos básicos de triángulos rectángulos (el isósceles y el escaleno) serán construidas las cuatro partículas elementales que conforman el cuerpo del mundo y que son generadas según el siguiente esquema: 1) Con seis triángulos rectángulos escalenos se forma un triángulo equilátero. 2) Luego, con estos triángulos equiláteros se procede a la edificación de volúmenes que representan a las partículas elementales. El detalle es: 4 triángulos equiláteros Æ Tetraedro Regular Æ Fuego 8 triángulos equiláteros Æ Octaedro Æ Aire 20 triángulos equiláteros Æ Icosaedro Æ Agua 3) Finalmente, con triángulos isósceles se produce el cubo: 24 triángulos isósceles Æ Cubo Æ Tierra

En este proceso, matemáticas y Khôra permanecen indisolubles porque aquellas imponen proporción y límite a lo informe y precisamente porque esta operación de ordenamiento se produce de una manera tan impenetrable, instantánea e insondable como lo son, por separado, ambos conceptos. La exploración de la noción de Khôra ilumina al máthema en tres sentidos precisos: a) Al igual que éste, forma parte de un “tercer tipo” de entidad que no puede encuadrarse ni como paradigma eterno, ni pluralidad sensible. b) En el proceso que compromete a Khôra a ser la “materia” receptora de la impresión de las Formas, se percibe que: (b1) Los triángulos no tienen entidad propia como sí la poseen las Ideas. 354

Timeo, 53a.

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(b2) El proceso mismo, se da de un modo “difícil de explicar y maravilloso”. c) Sin embargo, las matemáticas juegan un papel decisivo en la creación del universo en tanto que introducen la medida en lo ilimitado y, gracias a ellas, es posible pensar la existencia de un kósmos. En este sentido, parecieran compartir la centralidad con Khôra a fin de que «algo» sea producido.

5.

«A TRAVÉS» DE LO QUE HAY

El establecimiento del orden y de la armonía recorre y perfora, uniéndolos, lo ético, lo político y lo cósmico. El saber matemático se independiza de la mera ciencia propedéutica y acaba por codificar todo el universo bajo la regularidad que convoca su ejercicio. Es aquí donde, además, ser y deber ser se confunden. Si se considera que Platón encuentra de hecho en el mundo, en su gestación y desenvolvimiento natural, cabría decir que el máthema emerge a partir de una descripción de lo que hay. Así, es posible decir que “las matemáticas están en el mundo”, aunque con el cuidado de no caer en la tentación reificante que presupone entes matemáticos separados del pensamiento. La oscilación entre una lectura que “halla las matemáticas en el mundo” y otra que muestra que las matemáticas norman y prescriben un deber al cual deben adecuarse todas las cosas, permite entrever un rasgo poco visitado y sin embargo neurálgico de la ontología platónica. Si la relación entre el deber ser y el ser permanece tan irresuelta como oscuro se presenta el concepto de participación [méthexis], ¿en qué sentido puede decirse que dicha relación es análoga al tránsito de lo Uno a lo múltiple? El matiz normativo es más fuerte cuando se está abordando algún objeto distante de la perfección de la Idea de Bien y, a la inversa, cuanto más cerca se encuentra el objeto de discusión de dicha perfección, aquello que era su ley ha devenido su ser y, el matiz normativo tiende a cero. En otras palabras, el deber ser sólo puede ser ejercido sobre algo que de hecho no es lo que se le exige ser.355 No tiene sentido 355

Al respecto, puede aducirse lo mismo de la mímesis. Entre modelo y copia deberá existir siempre un hiato mínimo. De lo contrario, Modelo y copia llegarían a identificarse y con ello se destruiría el proceso mismo de imitación.

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decir que a la Idea de Bien se le exige aún ser buena en sí misma puesto que ya lo es. La oscilación como juego no es ingenua: responde al camino cognoscitivo-moral que Platón devela en su obra. Justamente por ello es posible hallar el siguiente pasaje de Leyes que liga lo divino cósmico y la formación del alma, a partir de este doble cariz de las matemáticas: Ateniense: - Es imposible que un hombre mortal llegue a ser alguna vez firmemente piadoso si no comprende esos dos principios mencionados hace un momento: que el alma es lo más antiguo de todo lo que participa de la generación, que es inmortal, y, por cierto, gobierna a todos los cuerpos, pero, además, lo que ahora repetíamos a menudo, si no capta el intelecto universal que hemos dicho que se encuentra en los astros y las disciplinas necesarias anteriores a éstas y, tras contemplar la unión filosófica de éstos, la aplica adecuadamente a los hábitos del carácter y las leyes y es capaz de dar la definición de todo aquello que la tiene. Me atrevería a decir que el que no es capaz de poseer esto junto con las virtudes populares no podría llegar a ser jamás un gobernante capaz de toda la ciudad, sino que debería convertirse en ayudante de otros gobernantes.356

La densidad del párrafo se debe a que Platón intenta, en medio de una conversación acerca de su proyecto político-pedagógico, indicar cuál es la verdadera vía que corresponde al magistrado idóneo, recurriendo al unísono a la originariedad del alma, la preeminencia del entendimiento, las ciencias que éste informa –incluida la música– y la importancia que su aprendizaje y ejecución constituyen para una vida buena. La ética está codificada por la aplicación de la ley del entendimiento que regla a todo nivel el comportamiento de los entes, entre los que se cuenta el hombre. La política será entonces la prolongación de esta construcción individual sobre la ciudad gracias al gobierno de quien ha sido debidamente instruido. La belleza reinará en las almas, como también brotará en la disposición armónica de las partes de la ciudad y en el trayecto de las estrellas. El número atravesará las cosas para dejarlas impregnadas de su carácter relacional. Es esa la misteriosa fisiología del máthema: nacer y perecer para quedar impreso en lo otro de sí, en el universo todo. 356

Leyes, 967c.

PHILÍA Y MATEMÁTICAS Entonces, mientras tú y yo estemos de acuerdo, mandemos de paseo los pareceres de los demás. Político, 260c.

La pregunta que guía el análisis será en este caso la siguiente: ¿Tiene lugar la pregunta que pretende vincular de la amistad con el saber y la estructura matemáticas? Dado que no resulta ser una consideración obvia y que, a priori, exige un cuidadoso envío mutuo entre ambos conceptos, se presenta como el primer escollo a sortear. Es posible asumir que, en la medida en que las matemáticas aparecen en la obra escrita de Platón no sólo como un discurso exacto acerca del ser, sino también como un operador que informa y adecua los ámbitos más alejados entre sí a la symmetría que la idea de Bien prescribe, el interrogante que intenta anudar philía y matemáticas puede explorarse desde una perspectiva inventiva, iluminando tres puntos en orden a garantizar su pertinencia: 1. El vínculo entre las matemáticas consideradas como dispositivo que trastorna la doxa y la determinación –igualmente violenta– del par amigo/enemigo. 2. El movimiento que establece según la regla matemática un interior común –un terreno de comprensión intersubjetiva– condicionado por un imperativo de amistad.

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3. Finalmente, la correferencia ontológica de amistad y matemáticas en la obra de Platón. Del esclarecimiento de estas tres vías –siempre difusas e interconectadas– podrá obtenerse una visión más amplia no sólo del complejo vínculo que aquí trazan dos elementos considerablemente distintos sino también el profuso movimiento que supone la instalación del discurso matemático en el seno de la filosofía.

1.

RUPTURA Y LOCALIZACIÓN

El efecto primario que propician las matemáticas está dado por su capacidad de ruptura con lo que es multívoco, opinable y objeto de deliberación. Gracias al desarrollo de los capítulos segundo y tercero de esta segunda parte ha sido posible vislumbrar la sutileza de este proceso de desprendimiento, de lenta sustracción respecto de lo dado, que compromete tanto el plano gnoseológico –mediante el movimiento aphairético– como el ético-político. Un mecanismo tal depende de su capacidad de hacer converger sobre sí las múltiples dimensiones de lo humano y lo cósmico; el acto de despojarse, de salir a navegar por segunda vez, pulsa desde un principio y al unísono en los rincones más alejados de la ontología platónica. Y si existe un paso clave de República en el que se pregunta por vez primera por las matemáticas como estudio potencialmente necesario para la educación de los gobernantes, los estertores de «lo político» se manifestarán allí en su totalidad. El punto de intersección se torna insoslayable entonces: -¿Y qué estudio, Glaucón, será el que arranque al alma desde lo que deviene hacia lo que es? Al decirlo, pienso a la vez esto: ¿no hemos dicho que tales hombres debían haberse ejercitado ya en la guerra?357

En el exiguo instante en el que despuntan las matemáticas, el plano que funciona de fondo es político. Este último viene de ser el marco, el contexto de descubrimiento, para luego devenir otra cosa, ya modificado sin cura por el máthema, pero sin dejar de acusar la correspondencia, 357

República, 521d.

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sino la correferencia, entre ámbitos que a menudo tienden a ser diferenciados. Quizás el reconocimiento mismo de esta mutua pertenencia sea condición de posibilidad del ascenso epistémico hacia el mundo de las esencias. El sabio es en definitiva aquél que posee la capacidad de ligar, reunir lo diverso sobre la ley del principio único. Hay que señalar, además, que el tránsito hacia el emplazamiento de un espacio “propio” depende en mayor o menor medida de una violencia irreductible ya contenida internamente en el esquema axiomático de las matemáticas. Desde el punto de vista matemático, un axioma es ciertamente una proposición, pero una decisión que instala un estado de cosas determinado y no otro, complementado con una regla a partir de la cual es posible deducir ciertas verdades también proposicionales. Se trata de un corte arbitrario que excluye deliberadamente algunas entidades o proposiciones dentro de las posibles e inscribe otras como propias que ésta induce una forma de negación de lo que le es ajeno y diverso. El bárbaro es para Platón ageómetretos. La diferencia, la distancia que divide sendos dominios, es exactamente la misma que sugiere la amphisbetesis: En primer lugar, [...] ¿parece justo que los griegos esclavicen a Estados griegos, o no deberían permitirlo incluso a ningún otro Estado, y acostumbrarlos a respetar la raza griega? [...] Más bien, deberían volverse contra los bárbaros, y abstenerse de combatir entre sí.358

Y más adelante: Si los griegos combaten contra los bárbaros y los bárbaros contra los griegos, diremos que por naturaleza son enemigos, y a esa hostilidad la llamaremos “guerra” [...] cuando combaten griegos contra griegos, habrá que decir que por naturaleza son amigos y que Grecia en este caso está enferma y con disensiones internas, y a esa hostilidad la denominaremos “disputa intestina”. [...] Por ser griegos, no depredarán la Hélade ni prenderán fuego a las casas, y no aceptarán que, en cualquier Estado, todos, hombres, mujeres y niños, sean sus enemigos.359 358 359

República, 469c. República 470c, 471a.

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La digresión que forja el quiebre inicial viene ofrendada por la necesidad de construcción de un terreno común [tò koinón] y garantizado por la utilización de un lenguaje universal. Si no fuera ese el caso, la negatividad de las matemáticas no tendrían otro resultado que haber producido un mero alejamiento del dispositivo poético-mimético, pero, en cambio, la razón de toda disolución produce la inscripción de un ámbito de comunidad y acuerdo. Y la dimensión que mejor refleja este mandato es la política. No sólo porque se trata de establecer un campo de entendimiento intersubjetivo distinto de una referencia “bárbara” sino precisamente porque es –en cierto sentido originario– la violencia misma de esta instauración inédita.360 Intentando salvar las dificultades de lectura que tiene un diálogo tan extraño como el Menéxeno, habría que ver allí la conocida insistencia platónica sobre el concepto de autoctonía junto con la capacidad para fijar en dos o tres pasajes el carácter dual de la amphisbetesis como concepto separador de dos espacios y, al mismo tiempo, promulgador de un mínimo de identidad para cada uno de éstos. Inversamente, toda identidad reclama –más allá de la preeminencia de «lo mismo» como concepto fundante– un margen de diferencia que condicione la existencia de dos o más interdependientes. Se trata de un proceso de dialectización ubicable en el seno de todo movimiento especulativo. En este diálogo, con motivo de una oración fúnebre que Sócrates se propone hacer, articulará irónicamente: […] pensando que contra los pueblos de la misma estirpe es preciso combatir hasta la victoria, y no destruir la comunidad de los griegos por el resentimiento particular de una ciudad, y contra los bárbaros hasta la destrucción.361

Para luego reforzar: Así es en verdad de segura y sana la generosidad y la independencia de nuestra ciudad, hostil por naturaleza al bárbaro, porque somos griegos puros y sin mezcla de bárbaros. Pues no habitan con 360

De ahí que “política” asuma, menos desde un punto de vista etimológico que desde una especie de juego filosófico, la doble raíz de pólis y de pólemos. 361 Menéxeno, 242d3.

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nosotros ni Pelops ni Cadmos ni Egiptos ni Dánaos, no tantos otros que son bárbaros por naturaleza y griegos por ley, sino que habitamos nosotros mismos, griegos y no semibárbaros, de donde el odio puro a la gente extranjera de que está imbuida nuestra ciudad.362

La idea de un «interior» auténtico y de una extranjería patológica ha dependido desde siempre de un movimiento de partición y exclusión que incluso cuando el tenor del discurso pronunciado por Sócrates no deja lugar a dudas de su carácter irónico, se aplica más directamente a la construcción retórica de aquél que a los movimientos especulativos allí dispuestos. Dicho de otro modo, lo que permanece en este diálogo, luego de quitar la falsedad de ciertos hechos y la excesiva sorna con la que Platón ataca a los oradores fúnebres, es ese tránsito de separación y la fijación de la autoctonía. Pero la exclusión entraña su negación misma. He ahí la dialéctica que enmascara este proceso: la separación arrastra hacia una amistad, una convergencia y atracción. Y la causa de todo esto no fue otra que el parentesco real, que procura una amistad sólida, fundada sobre la comunidad de linaje [philían bébaion kaì homóphylon], no de palabra sino de hecho363.

Se elabora aquí y allí la reversibilidad de guerra y amistad, señalando que la impronta de este segundo término no puede ser soslayada: […] convencidos de que no hay vida posible para quien deshonra a los suyos y de que un hombre tal no tiene ningún amigo ni entre los hombres ni entre los dioses [oúte tinà anthrópôn oúte theôn pílon einai], no sobre la tierra ni bajo la tierra después de muerto.364

2.

COMUNIDAD

El «interior» matemático está garantizado por un paso suplementario. Las matemáticas no sólo producen el hiato con aquello que no es suscep362 363 364

Menéxeno, 245c6. Menéxeno, 244a2. Menéxeno, 246d7.

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tible de un saber exacto, sino que también soportan estructuralmente la existencia del mencionado interior, aún si existen reservas sobre la real dinámica que podría un pronunciamiento con tal nivel de formalismo. Y sin embargo, llegados a en este punto, la amistad comienza a desempeñar un rol insoslayable coadyuvando, desde un plano ontológico diferente, a la fundación de lo común. Platón viene de decir que “los griegos son amigos por naturaleza”. El acuerdo y la amistad se dicen en función de una comunidad epistémica de igual acceso a determinado campo: Sócrates:- ¿Sobre qué asuntos produce enemistad e irritación la disputa? Examinémoslo. Acaso si tú y yo disputamos acerca de cuál de dos números es mayor, la discusión sobre esto nos hace a nosotros enemigos y nos irrita uno contra otro, o bien recurriendo al cálculo nos pondríamos rápidamente de acuerdo sobre estos asuntos? Eutifrón:- Sin duda. - ¿Y si disputáramos sobre lo mayor y lo menor, recurriríamos a medirlo y, en seguida, abandonaríamos la discusión?365

Aquí la posibilidad de philía depende exclusivamente de la operación de medida que autoriza el pensamiento matemático. No todo es mensurable, ni toda diferencia puede saldarse recurriendo a una piedra de toque, pero –fortuna en el azar– las matemáticas son el tipo de saber que garantizan esa posibilidad de acuerdo y que, por tanto, anuncian la fraternidad. Es factible que todos posean el mismo arte y compartan sus nociones: Igual que yo conozco que éstos son cinco dedos y tú estás de acuerdo conmigo en ello; si te preguntase si tú y yo lo sabemos gracias a la misma técnica, o sea la aritmética, o gracias responderías, sin duda, que gracias a la misma.366

Este arte torna fecundo el conocimiento de «las mismas cosas» por parte de los hombres porque también requiere ser manejado por cada interlocutor. Una vez anticipada la interrupción que ésta localiza, el campo abierto se cierne sobre el mutuo entendimiento con referencia a un 365 366

Eutifrón, 7 b7. Ión, 537e4.

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objeto también común. Éste atraviesa el ámbito de la ciudad, el del alma humana y de aquello que trasciende a la propia constitución política, a saber, lo cósmico/divino en general. Los amigos son los que saben que hablan de lo mismo. De ahí que la amistad reúna sobre sí, del mismo modo que las matemáticas, tanto la potencia de fijación de lo “interno” y lo “externo”, como el desarrollo positivo de «lo común». Así sucede cuando una ciudad debe acordar sobre los números: Sócrates: - ¿Y a qué llamas tú amistad: a la conformidad o disconformidad de sentimientos? Alcibíades: - A la conformidad de sentimientos. Sócrates: -¿Qué arte hace que las ciudades estén de acuerdo sobre los números? Alcibíades: -La aritmética Sócrates: -¿Y no es ella misma la que extiende este acuerdo entre los individuos, unos con otros? Alcibíades: -Sí. Sócrates: -¿E igualmente a cada uno consigo mismo? Alcibíades: -Efectivamente.367

Si se observa cuidadosamente, el conjunto de las preguntas socráticas están dirigidas de modo simultáneo a ampliar el concepto vulgar de amistad y a reconducirlo hacia el terreno ontológico. Tanto las ciudades como los individuos pueden hallarse en conformidad de sentimientos, mas lo que no es inmediato es el acuerdo de “cada uno consigo mismo”, puesto que ello ya presupone un escrutinio racional de la individualidad. Se puede observar en el puerto a dos amigos conversando, se puede documentar un tratado de paz entre dos ciudades, pero lo que se condensa con la última intervención de Sócrates es el ímpetu de trascendencia metafísica que terminará por recubrir todo el pasaje. Indica más allá de lo dado, más allá de lo que a menudo se designaba con la palabra philía, el aspecto inteligible de la amistad como fuerza ontológica de reunión y concordia. En el breve texto citado, el acuerdo sobre la cuestión matemática provoca la conformidad de sentimientos y, con ella, la amistad, aunque también, ésta tienda por sí misma a la conformación del acuer367

Alcibíades, 126b.

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do. Pese a que el tratamiento pareciera ser superficial –puesto que los números son uno de los infinitos tópicos posibles sobre los cuales debe discutirse– la apelación de Platón es deliberada y plantea la cuestión de su legitimidad. ¿Qué permite a la utilización de las matemáticas como ejemplo parcial de la convergencia entre los espíritus? Al mismo tiempo que se da por supuesto que la aritmética hace que las ciudades y los hombres estén de acuerdo, se sugiere que la matemática posee, como carácter inherente y propio, la capacidad de propiciar el consenso. El objeto seleccionado para ilustrar una posible convergencia entraña una especificidad ineludible. Naturalmente, el acuerdo es viable si el ente sobre el cual se pretende acordar lo permite y es ese el hondo motivo ontológico que caracteriza a las matemáticas: univocidad ofrecida sólo a la razón. No podrían ser utilizadas casualmente para ilustrar un acuerdo que no depende en ninguna medida de ellas, sino que, por el contrario, su constitución acaba por condicionar lo que antes se presentaba como una simple comunidad lingüística. En simultáneo, Platón apela a un arte específico que forja acuerdo: la amistad tomada en sí misma. Philía, en tanto operador: Sócrates: - Pues bien, en cuanto al acuerdo de que tú hablas: ¿cuál es en realidad, sobre qué versa y qué arte lo procura? ¿Lo proporciona no sólo a la ciudad, sino también a los particulares consigo mismos y también entre ellos? Alcibíades: Creo que la amistad, y este acuerdo que menciono son los que hacen al padre y a la madre del mismo parecer en lo que se refiere al amor hacia el hijo, como en el del hermano hacia el hermano y en el de la mujer hacia el marido.368

Las matemáticas producen concordia gracias a ciertas características de su discurso (univocidad y universalidad) y garantizan la cohesión interna de lo común; philía es el motor «independiente» que forja el mismo acercamiento entre los hombres. La correferencia que comienza a vislumbrarse entre ambos conceptos enraíza profundamente en un vínculo ontológico que requiere elucidación.

368

Alcibíades, 126c.

La fundación de una ciudad

3.

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ONTOLOGÍA

El esclarecimiento de una relación intrínseca entre la arquitectura matemática y algún otro ámbito del cual no puede percibirse inmediatamente su “máthematicidad”, propone una exégesis meta-física posicionada, en el fondo, por el profundo gesto platónico de la «segunda navegación» [deúteros ploûs].369 El envío del concepto de philía fuera de su dominio habitual, la instalación de su reflejo eidético, consiste en el tránsito que trasciende lo sensible en favor de la aparición noética de la idéa. Es de esta manera que una tal relación pertenece al plano ontológico y obedece al mandato ideal de belleza, armonía, filiación y orden. Como el Bien es en sí mismo bueno y bello, como así también es Uno y único, sucede que la belleza, la armonía, la proporción y el orden acusan la existencia de una pluralidad de objetos que deben poder ser dispuestos de manera que tales propiedades emerjan como rasgos de su distribución. No hay orden de un solo elemento, a excepción de su orden interno que prescribe cierto atributo y localización de sus partes. Es este el hondo motivo que recorre los diálogos: una especie de deseo370 de salida –movimiento de significación que subsiste como trayecto língüístico, en tanto relación dada bajo la forma del lógos–, de evacuación, de atadura entre puntos distantes e inconexos y de su apresamiento por parte de lo Uno-Bien, que gobierna al propio lógos. El mismo que reúne y establece las posiciones relativas de cada elemento en virtud del gobierno único del Bien. Por eso es correcto decir que el Bien es la medida de todas las cosas, porque es la unidad y patrón que propende a la reproducción de su orden prefigurando una trascendencia respecto de sí que lo pone en contacto con la totalidad de lo que hay. Análogamente, si se alude a una «relación» ontológica es porque no hay una distinción clara entre la fijeza de la idéa y su presentación lingüística. Esta indeterminación sitúa, a través de la potencia lógica, el vínculo de cualquier espacio de la existencia cósmica y humana con el axioma de la correcta disposición. El registro ontológico de la relación estará entonces dado por la forma matemática que armoniza a cada parte de la ciudad, del alma, del 369

Cfr. Fedón, 99d. La utilización del término deseo [epythimía] no es casual. Responde a una identificación de la dinámica que marca el esquema platónico en su conjunto cósmico, político, ético y que queda condensada por su erótica en el Simposio. 370

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universo, consigo misma y con las demás. Philía es el nombre que Platón utiliza para tal proceso: Este es, en mi opinión, el fin que se debe tener ante los ojos y, concentrando en él todas las energías de uno mismo y las del Estado, obrar de tal modo que la justicia y la moderación acompañen al que quiere ser feliz, sin permitir que los deseos se hagan irreprimibles y, por intentar satisfacerlos, lo que es un mal inacabable, llevar una vida de bandido. Pues un hombre así no puede ser grato ni a otro hombre ni a ningún dios, porque es incapaz de convivencia, y el que no es capaz de convivencia tampoco lo es de amistad. Dicen los sabios, Calicles, que al cielo, a la tierra, a los dioses y a los hombres los gobiernan la convivencia, la amistad, el buen orden, la moderación y la justicia, y por esta razón, amigo, llaman a este conjunto «kósmos» y no desorden y desenfreno. Me parece que tú no fijas la atención en estas cosas, aunque eres sabio. No adviertes que la igualdad geométrica tiene mucha importancia entre los dioses y entre los hombres; piensas, por el contrario, que es preciso fomentar la ambición, porque descuidas la geometría.371

Hay aquí innumerables giros. Por empezar, Sócrates comienza hablando acerca de lo que debería ser establecido en todo individuo y Estado que pretenda ordenarse hacia la felicidad. Se trata, en definitiva, de un precepto ético-político que tiende a la eudaimonía. Seguidamente, se establece que tal regla es necesaria para la amistad y que, de hecho –eterna y estructuralmente– todo el universo y sus componentes son gobernados por aquélla. Más allá o más acá de la clásica ironía socrática que aparece tanto en la adscripción del significante “sabio” a Calicles como en su tratamiento como “amigo”, resta indagar: ¿Cuál es la condición de posibilidad de dicho orden? ¿Qué es lo que Calicles no advierte? La respuesta es contundente: la igualdad geométrica gobierna “entre dioses y hombres” y asegura la existencia del kósmos. La amistad, además de mediar en virtud de dicho orden, no responde sino a su determinación cósmico-matemática, a la organización de las partes de acuerdo a proporciones definibles e identificables a través de la armonía del todo. 371

Gorgias, 507d.

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Así, en el Timeo se dice claramente refiriéndose a la composición elemental del mundo: Como concuerda por medio de la proporción, alcanzó la amistad, de manera que, después de esta unión, llegó a ser indisoluble para otro que no fuera el que lo había atado.372

La intimidad trazada entre philía y matemáticas cristaliza la intención platónica de una fundación analógica completa de su filosofía desde el campo matemático. En esta medida, la preparación e instrucción matemáticas no funcionan como un simple nodo disruptivo respecto de la doxa, sino que también desarrollan el conocimiento positivo que hace posible una plena presencia del Bien. El paso siguiente enuncia que si alguien posee una ciencia en particular, su alma se informará de acuerdo con dicha ciencia: aquel que logra captar que el universo, la pólis y el alma humana se adecuan a sí mismos y entre sí a partir de regularidades matemáticas, y que esa adecuación es el fundamento de la amistad, será el «verdadero amigo». De hecho, se sabe por el Lisis –cosa que se confirma en el Simposio– que luego de sucesivas hipótesis erradas acerca de lo que fuera la amistad, lo que más se aproxima a una perspectiva correcta está dada por la múltiple referencia de cada uno de los “amigos” a un primer amigo [prôton philon]373 que, en el esquema platónico, acabará por ser el Bien. Es la comunidad respecto de un punto de referencia trascendente la que permite la amistad entre las partes. Se tiene, entonces, lo siguiente: a) Tanto la amistad como las matemáticas tienen la capacidad de forjar el acuerdo. (a1) La amistad produce consenso en la medida en que es en sí misma una fuerza que reúne y coloca a los seres en proximidad y afinidad proporcional según el mandato de orden que sostiene el Bien. Se puede notar aquí la asunción platónica de un motivo típicamente presocrático –especialmente de Empédocles, que ya postulaba a Philía como motor y

372 373

Timeo, 31a. Cfr. Lisis, 216c-220e.

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dinámica de concordia contra su antagonista Neikos, la discordia. (a2) Las matemáticas propician el acuerdo en un doble rol, esto es, el de operador –en tanto arte– y el de objeto que posee características inherentes que lo posibilitan en el profuso variopinto que ofrecen los discursos que versan sobre éste. Asimismo, dado que la distinción entre un arte discursiva y un objeto separable e independiente es harto compleja en lo tocante a las matemáticas en la obra platónica, cabe sencillamente aceptar que ambos roles tienden a entrecruzarse y confundirse aunque aquí se pretendan distinguir a fines de claridad expositiva. A la indecidibilidad del status ontológico de las matemáticas también contribuye su acción dual como intervención de quiebre y como establecimiento de sitio lingüístico común. En este punto, las matemáticas complementan a philía agregándole su inconsciente insabido –aquello que las posibilita pero que se sustrae a toda presentación–, a saber, la violencia originaria de su institución que diferencia a los amigos de los que no lo son. b) El acuerdo sobre cuestiones matemáticas origina la amistad. c) La amistad surge como concepto que recoge la marca del ordenamiento matemático del mundo. Se trata de algo más que de una simple metáfora y aparece [phaíntesthai] como el trazo, el nombre, que permite retroactivamente reconocer el acuerdo. Philía encierra lo que de la ley matemática hubiera en el universo, en la ciudad o en el alma humana. Un individuo es “amigo de sí mismo” si una proporción matemática rige el ordenamiento de las partes de su alma, y lo mismo sucede con cualquier ente.374 Dado que por otra parte las matemáticas participan de la estructura metafísica propuesta por Platón y que las mismas presentan la convergencia propia de un lenguaje común que, además, posee el mérito de distanciarse de la doxa, pareciera darse un juego de mutuo condicionamiento entre la amistad y este arte. Precisamente a causa de este intento, es que es necesario examinar una cuestión que podría parecer secunda374 Así lo corrobora República, 603d que señala la amistad del alma consigo misma en detracción del desorden que impone la mímesis poética.

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ria pero que iluminará el panorama general. Tanto matemáticas como philía pertenecen al ámbito de lo intermedio [tò metaxý]. Mientras que el pensamiento discursivo [diánoia] que corresponde a la actividad de los matemáticos es articulado jerárquicamente con la dialéctica [noûs] ya desde el símil de la línea dividida 375, la amistad aparece como una protofiguración de lo que será el motor erótico-epithýmico del Simposio tendiente al Bien mas, precisamente por este deseo, desposeído del mismo. ¿Qué hay de central en esta coincidencia? La respuesta, aunque cuidadosa, deberá ser firme: la co-determinación ontológica de matemáticas y philía identifica su disposición general en la jerarquía ontológica y epistémica de Platón. Aunque el Lisis sea un diálogo aporético y no se pueda leer sino a la luz del Simposio, pueden extraerse de aquél consecuencias fundamentales para el tema de la amistad. En efecto, philía, al igual que éros y epithymía, se ubica en el espacio de lo intermedio [tò metaxý] y configura cierta dinámica que hace a los hombres tender hacia el Bien. En tanto media entre lo que es eterno y divino y la realidad humana, la amistad provee la fuerza motriz produciendo la concordia entre los hombres según la atención conjunta a la idea de Bien. Algo similar sucede con las matemáticas cuando aparecen como preparación para el conocimiento filosófico. Éstas tienen el poder de hacer ascender el alma humana a través de su discursividad abstracta hasta la aprehensión de las Formas. Hay allí una característica común que reúne a matemáticas y philía y que las pone en relación con la dialéctica, en tanto ciencia de lo que siempre es, asegurando el lugar mediador de aquéllas. En fin, el mutuo condicionamiento, la irregular identificación de las matemáticas y de la amistad, depende en gran medida del papel desempeñado por ambas en el esquema platónico en su totalidad. De ahí que si se agrega a la co-determinación ontológica la dinámica que desarrollan los puntos primero y segundo de este escrito, sea posible esbozar una suerte de fenomenología de la amistad para emerger de su esencia más íntima la arquitectura matemática que la sustenta, a la vez que la semejanza que las emparenta. Nada podría funcionar sin la potencia de ambos nodos. Nada podrá extraerlos o borrarlos de la incansable intención platónica de fundación de la filosofía. 375 Esta articulación ya ha sido defendida en la en el capítulo “Matemáticas y dialéctica”.

TERCERA PARTE

PROYECCIONES

EL PROBLEMA DE LA RECEPCIÓN. DECISIÓN METODOLÓGICA Y COMPROMISO ONTOLÓGICO

Por lo que respecta a la cuestión que aquí interesa, es preciso aún reconocer un factor determinante en su orientación, a saber, la enorme dificultad que representa el tema de la difusión y transmisión de la doctrina platónica hacia la posteridad a través de sus discípulos directos e indirectos. Como pudo anticiparse en la primera parte, su escrutinio resulta crucial. Con justicia podrá preguntarse si tiene importancia dar un extenso debate acerca de las vías hermenéuticas capaces de acceder al texto y al pensamiento matemático de Platón. La respuesta es positiva y negativa a la vez. Dice “sí” en la medida en que permite visualizar el mapa de los discursos producidos sobre Platón y, de esa manera, obtener una prefiguración de las posturas posibles ante ciertos interrogantes formulados. Responde “no”, por cuanto corre el riesgo de permanecer en la inanición, sin intentar replicar ante una pregunta pertinente y clara como puede serlo la que indaga por el sentido del máthema en la enseñanza platónica. Por ello, me detendré aquí sólo en lo que considero más relevante en orden a la elucidación de la cuestión. Pretendo, en suma, contribuir a un ensanchamiento del horizonte de comprensión de lo que ya ha quedado fijado en los capítulos precedentes y sustentar la descripción que ya hiciera en el capítulo segundo de la primera parte (“Abandono de la perspectiva de Tubinga-Milán y breve anticipación de las consecuencias hermenéuticas de la suscripción a la hipótesis de

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lectura”) con el objeto de dejar demostrada la propiedad que reviste mi hipótesis de lectura. No es factible separar los procedimientos exegéticos del planteo filosófico. Funcionan desde un comienzo como soporte de las respuestas posibles a la interrogación proclamada, ejercida, furtivamente inserta en un contexto que a veces le es hostil. Saber qué ha sido de la primera recepción de las doctrinas platónicas provee puntos de referencia, hitos, que se interconectan trazando formas hasta entonces inusitadas, perfilando un campo propicio para nuevas proposiciones, ideas, sugerencias de trabajo. Emplazar el tópico de las matemáticas en este marco generará una leve torsión de este escrito emprendiendo el regreso que va en pos de algunos de sus lineamientos originales, una vez atravesado el grueso de la argumentación. En lo concerniente a este punto, podría resumirse la disputa de la siguiente manera. Existen numerosas referencias que afirman la existencia de las «doctrinas no escritas» de Platón consignadas por pensadores, doxógrafos y comentadores inmediata y mediatamente posteriores al filósofo. A su vez, los autotestimonios que dan razones en favor de éstas son de dos tipos: los que se dedican a criticar la escritura como soporte de transmisión de conocimiento –localizados fundamentalmente en el Fedro y la Carta VII– y los que, en cambio, exponen una elusión, una elipsis de algún tipo o un rodeo deliberado y explícito de algún personaje del diálogo, que manifiesta la reticencia a brindarle tratamiento a algún tema por la vía gráfica. Las últimas investigaciones sobre la filosofía de Platón concuerdan en aceptar la relevancia de las «doctrinas no escritas», aunque no hallan acuerdo en lo que respecta al nivel de importancia relativa que adquiere. No obstante, incluso aceptando que el pensamiento platónico depende tanto de lo que yace contenido en la obra escrita como de lo que Platón intentó transmitir en sus célebres conferencias, se sabe que el primer escollo a sortear es el de los reportes contradictorios y muchas veces incoherentes respecto de algún tópico en particular que presentan los receptores primarios del corpus platonicum. En lo que refiere al tema de las matemáticas, es sin dudas Aristóteles quien más ha “reportado” la enseñanza platónica, centralmente en los libros M y N de su Metafísica. Pero las tesis que Aristóteles sostiene no sólo no pueden ser encontradas en los diálogos sino que, sin saber aún

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si forman parte del programa que Platón dictaba en sus selectos cursos –y ello comporta la dimensión de la decisión que aparece en el título de este apartado–, poseen una clara vocación de estabilización metafísica. Por estabilización metafísica entiendo la voluntad de sofocar la potencia desorganizadora de lo indecidible y de restaurar un orden de acuerdo a reglas de pensamiento claras y accesibles. No hay espacio aquí para justificar la fuerza filosófica que reviste –desde una perspectiva de la historia de las ideas– el paso entre Platón y Aristóteles. Sólo podemos afirmar: (a) Que las tesis consignadas por Aristóteles no están contenidas parcial ni completamente en los diálogos, de acuerdo con la recensión que he efectuado en la segunda parte de este escrito. Por el contrario, suelen oponerse a dicha recensión. (b) Que dichas tesis propenden todas hacia la estabilización metafísica. El deseo de aquietar el texto encuentra su origen en el propio pensamiento platónico, tal y como he intentado probarlo en el capítulo “Matemáticas y dialéctica”. Allí se ve cómo Platón sutura la indecidibilidad a un soporte ontológico rígido y, gracias a un esquema de subordinación, domestica la fuerza incontenible de la ruptura matemática. La domesticación proviene de adoptar, a pesar de la violencia sepultada, la racionalidad matemática para la escritura filosófica. La sujeción no ha podido ser total. La energía deslocalizante del máthema será reprimida para aparecer sintomáticamente en la superficie misma del texto, como se observa en el Parménides. El deseo de silenciarla bajo proposición y mandato filosófico/dialéctico no ha hecho sino soltar un exceso irremediable, que acabará por marcar perdurablemente a su captor y verdugo. La decisión platónica que conjura lo indecidible dirigiéndolo hacia una línea definida consistente en proporcionarle fundamento, resonará más agudamente en las palabras de Aristóteles. A menudo los comentadores se han preguntado si la interpretación aristotélica de la cuestión matemática en la filosofía de Platón es correcta o incorrecta. La respuesta a la pregunta obtiene su dificultad de la exigencia de fijación de ciertos puntos de referencia sumamente arbitrarios. La cuestión se responde en tres variables pues. Si por “corrección” se entiende el ajuste del relato de Aristóteles a lo que Platón indica en los diálogos, cierta concordancia básica –terminológica y conceptual– entre

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lo que Platón escribió y lo que Aristóteles refiere, la respuesta tiende hacia la negativa. En cambio, si por “corrección” se entiende ahora el acople entre los dichos del estagirita y el informe posterior respecto del “total” de la enseñanza platónica, la respuesta se demora. No es tan simple saber si Platón incluía en sus célebres conferencias algún contenido no trivial acerca de nociones matemáticas. De todos modos, he sugerido que las matemáticas no formaban parte relevante de estos cursos y he defendido esta posición en la primera parte. Esto no quita que la réplica a la pregunta arriba formulada no se ralentice. Por último, si “corrección” significa aquí el requerimiento epocal que fuerza a Aristóteles a leer a Platón a partir de una metafísica que ya estaba en pleno despliegue, e incluso a través del lente fundamentador que el propio Platón se encargó de forjar en sus diálogos maduros y tardíos, la respuesta no se hace esperar: se oirá un sí rotundo. Aristóteles no hizo más que responder, ciertamente bajo la creación de su genio y la originalidad que revistió por sí mismo, a la necesidad de continuar la estabilización de lo indecidible matemático que Platón iniciara en la tríada Menón-Eutidemo-República. El reporte aristotélico configura más que una descripción singular de numerosas cuestiones que lo oponen a Platón, un horizonte global de comprensión. Dice el estagirita: Y hay que investigar también necesariamente lo siguiente, si hay que afirmar que sólo hay sustancias sensibles o también hay otras aparte de estas y si es único o son muchos los géneros de sustancias, por ejemplo, tal y como sostienen quienes hacen las especies y las cosas matemáticas como intermedias entre estas y las cosas sensibles.376

Y en la misma línea, se lee:

376 Aristóteles, Metafísica, 995b13. Utilizaré la traducción que brinda Arana Marcos, J.R en Platón. Doctrinas No Escritas. Antología, Universidad del País Vasco, Bilbao, 1998 precisamente a causa de que no sólo pareciera ajustarse bastante bien al texto griego y a la traducción canónica de García Yebra sino también porque ataca directamente la cuestión que aquí me interesa, a saber, la de las “doctrinas no escritas” de Platón.

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Puesto que ya están claras las cuestiones sobre las ideas, está bien analizar de nuevo lo que ocurre con los números a quienes sostienen que son sustancias separadas y causas primeras de los entes.377

Aristóteles adscribe a los platónicos la identificación de “cosas matemáticas” con un tipo de sustancia, es decir, como un género sustancial específico dentro de la jerarquía ontológica. Se agrega en el segundo texto su “separación” [khôrismós] desde el punto de vista de la ousía. Se sabe, por lo demás, que para Aristóteles es este concepto uno de los centros problemáticos de toda la filosofía platónica. Aunque ciertamente no habla de modo directo sobre Platón, la mira está puesta en su doctrina y la de sus seguidores. La visión aristotélica se centra en los planteos de los escolarcas académicos inmediatamente posteriores a Platón. De todos modos, más allá del ligero desplazamiento entre la concepción matemática de Platón, la de Eudoxo y la de Espeusipo,378 la continuidad queda por completo garantizada. Y gracias a la lectura de Aristóteles. La tendencia a homogeneizar las distintas posiciones es justamente lo que confirma la vocación de su lectura estabilizatoria. Hay cierto contraste entre Platón y sus seguidores reconocido por Aristóteles pero esto no contrarresta el intento de barrer sus divergencias y deshacerlas. Por eso, toda vez que remita a “ellos”, “los platónicos”, “los académicos” verificará que la consumación de la metafísica está en pleno proceso de concreción. Más aún: Aristóteles utiliza las diferencias entre sus predecesores como un argumento en contra de ellos.379 Quizás por eso mismo es que podrá

377

Metafísica,1080a1. Desplazamiento que, por lo demás, el mismo Aristóteles reconoce: “Además, algunos no creen que aparte de lo sensible haya nada por el estilo, pero otros creen que hay varias cosas y que son más eternas, como Platón, que consideraba a las especies y a lo matemático dos sustancias, y una tercera a la sustancia de los cuerpos sensibles, y Espeusipo pensaba en más sustancias, comenzando por el uno, como principio de cada sustancia, una para los números, otra para las magnitudes, y luego para el alma: de esta manera amplia [el número de] sustancias. Otros [Jenócrates, según la referencia de Metafísica, 1080b11] sostienen que las especies y los números tienen la misma naturaleza, y que las demás cosas les siguen, las líneas y los planos, hasta la sustancia del cielo y las cosas sensibles”. Metafísica, 1028b16. 379 Cfr. Metafísica, 1085 b34. 378

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comentar: “De modo que todos en cierto sentido tienen razón, pero en conjunto no la tienen”.380 Retomemos el centro de la discusión. La separación [khôrismós] obligaría a Platón a postular una distinción entre números ideales, números matemáticos y números sensibles en la medida en que aquellos con los que se opera cotidianamente no pueden ser los mismos que los que supuestamente refiere Platón: Los primeros que establecieron dos tipos de números, el ideal y el matemático, ni dijeron ni hubieran podido decir cómo y de qué se compone el matemático. Lo construyen como intermedio del ideal y del sensible.381

Y también se encuentra: [Platón] afirma, además, que entre las cosas sensibles y las Formas existen entes matemáticos, distintos de las cosas sensibles por ser eternos e inmóviles, y de las Formas porque hay muchos semejantes, mientras que cada Forma es solamente una y la misma.382

Dentro de la información que brinda Aristóteles hay que incluir no sólo esta división sino también la creencia, atribuida al Platón oral, de que existe una progresión ontológica -que involucra a su vez una secuencia de generación- entre los Principios (lo Uno y la Díada indefinida), los Números Ideales, las Ideas, luego los entes matemáticos y, finalmente, las cosas. En este marco, el comentador discernirá tres tipos de números, distintos por pertenecer cada uno de ellos a un plano también diferente en dicho escalafón. ¿Pero acaso no divide Platón en el Filebo una matemática del vulgo, primariamente escrita y práctica, y otra propia de los filósofos? ¿No da la impresión el texto platónico de confirmar el contenido aristotélico? Otra vez la respuesta es afirmativa y negativa al mismo tiempo. La pregunta puede responderse con un “sí” en la medida en que la distinción se hace patente en el diálogo. El “no” proviene de 380 381 382

Metafísica,1085 b34. Metafísica,1090 b32. Metafísica, 987b14

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que la partición no apunta en ningún momento a multiplicar las entidades a las que se aboca cada rama del saber matemático. Sencillamente, como espero haber mostrado a lo largo de este estudio, se trata del carácter bifronte del máthema que redunda en su indecidibilidad. La división platónica se dirige a la potencia abstractiva del mismo y no a apuntalar una distancia tajante entre disciplinas con ‘objetos’ también diversos. Que la lectura aristotélica fuerce esta multiplicación justo donde lo indecidible se presentaba no hace más que abonar mi hipótesis de lectura: es el reaseguro hermenéutico necesario luego de la proto-establización del riesgo que conlleva lo indecidible. Basta con leer los siguientes pasajes para acercarse a este punto de vista. En ellos se exige del texto platónico una respuesta que está convencido de no querer brindar: Ahora bien, incluso si se supone, como sostienen algunos, que el número procede del uno en sí y de otra cosa que no es uno, no por eso habrá que dejar de investigar por qué y cómo lo generado unas veces es el número y otras la magnitud, si es que ese no uno era la desigualdad y siempre la misma naturaleza. En efecto, no está claro cómo de uno y de ésta ni cómo de un número y de ésta podrían surgir las magnitudes.383

Además, quienes sostienen que el primer principio es el uno y que este es sustancia, y generan a partir del uno y de la materia el primer número y afirman que este es sustancia, ¿cómo resultará que lo que dicen es verdad? Porque ¿en qué sentido hay que pensar como unidad a la díada y a cada uno de los demás números compuestos (compuestos a partir de los principios que propugnaban los académicos)?384 A partir de esta interpretación surgirá un denominador común en la crítica aristotélica. Los ataques se densificarán en el presupuesto de la separación de sustancias y, en lo que a las matemáticas compete, a la distinción entre tres tipos de números: el sensible, el matemático y el ideal. De ese epicentro se desprenden una serie interminable de cuestionamientos que dependen del presupuesto básico de que la lectura de 383 384

Metafísica, 1001 b19. Metafísica, 1060 b6.

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Aristóteles es “incorrecta” en el primer sentido (ajuste respecto de los diálogos) arriba señalado y “correcta” en el tercero (pertenencia a y manifestación de una estructura epocal). La crítica responde en este caso al general de la orientación aristotélica. Él observa con recelo la separación y multiplicación de los grados de realidad: En todo esto surge una dificultad común, la misma que se da en las especies de un mismo género, cuando se afirma que lo universal, la de si el animal en sí está en el animal o es algo distinto del animal mismo. En el caso de que no esté separado, no hay dificultad ninguna; pero, si están separados el uno y los números, como afirman quienes sostienen esto, no es fácil solucionarlo, si es que hay que llamar “no fácil” a lo imposible. Pues, cuando uno piensa en el uno de la díada y, en general, del número, ¿piensa en algo en sí o en otra cosa?385

Aristóteles está menos contra la idea de fundamentación –por vía de lo universal– que respecto de la separación del fundamento y de lo fundamentado. Se ataca, en suma, la voluntad de trascendencia que caracteriza al gesto meta-fisico de Platón. Quizás por ese motivo es que mientras que en la filosofía platónica la jerarquía de los saberes está claramente establecida luego de su plasmación en República, en la teoría aristotélica resulta espinoso articular epistéme theoriké, epistéme praktiké y epistéme poietiké. Que no sea la búsqueda de sustrato sino más bien dónde se encuentra el mismo declara que dicho fundamento ya fue fijado. La fijeza pres-ente de la idéa se traslada sin mayores problemas a la de la ousía y así también a specie, ens súmmum o subjektum. Sin embargo, la crítica de Aristóteles no es en absoluto inocua. Desarrolla un imperativo de inmanencia que pretende introducir el fundamento de las cosas en las cosas mismas, sin relegar lo universal, evitando así el problema de la participación [méthexis] y con ella el del ajuste entre las Ideas y panta tà ónta. El corolario de los embates aristotélicos queda resumido en el siguiente extracto: Todo esto y otras cosas por el estilo ponen de manifiesto que es imposible que el número y las magnitudes estén separadas. Es más, 385

Metafísica, 1085 a23.

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la discordia de métodos en el tratamiento de los números es señal de que las cosas mismas, al no ser verdaderas, son lo que les depara el desasosiego. Quienes proponen únicamente lo matemático junto a lo sensible, al captar la dificultad y lo ficticio de las especies, se alejaron del número ideal y aceptaron sólo el matemático. Pero quienes quisieron proponer al tiempo las especies y los números, al no advertir, si se proponen estos principios, cómo habría de ser el número matemático junto al ideal, identificaron el número ideal y el matemático, en la definición porque de hecho queda eliminado el matemático (proponen hipótesis peculiares, no matemáticas). Quien primero estableció que había especies y que las especies y lo matemático eran números, los distinguió razonablemente. De modo que todos en cierto sentido tienen razón, pero en conjunto no la tienen. También ellos están de acuerdo con esto, al no decir lo mismo, sino todo lo contrario. Y la causa es que los principios y las hipótesis son falsos: que, como dice Epicarmo, es difícil decir algo sano a partir de lo que no es, «nada más dicho, se descubre al punto que está mal».386

El comentador no deja de acertar inconscientemente en el meollo del asunto: “[…] es difícil decir algo sano a partir de lo que no es […]” Y, en efecto, el máthema como instante que cristaliza el doble distanciamiento respecto de cosas e Ideas, no es; dice el ‘no ser’ como diferencia. Él estima que Platón y sus discípulos han intentado decir algo acerca de lo que no es, bajo la modalidad de otorgarle ser y sentido. Sin embargo, lo que no dice es que lo que se juega en la lectura aristotélica es el impulso que impide el riesgo de lo indecidible. Esto se vuelve especialmente difícil de ver cuando se insiste en el tópico clásico de la ruptura entre Platón y Aristóteles. Sigamos. ¿Qué encuentra Aristóteles como problemático en la separación de los números? Entre ciertos problemas relativos a la infinitud o finitud de los números y de la anterioridad –formal y material– de lo uno o de la díada, se destaca uno: Además, si el número es separado resultaría difícil saber si es anterior el uno o la díada y la tríada.[…] La causa de semejante error 386

Metafísica, 1085 b34.

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es que lo perseguían [la composición del número] simultáneamente desde las matemáticas y desde las definiciones universales.387

Perseguir “simultáneamente desde las matemáticas y desde las definiciones universales” no significa otra cosa que ligar el máthema al fundamento. Es eso lo que está indicando Aristóteles como fuente de error. Pero entonces ¿será que este filósofo emprende una tarea de desfundamentación de las matemáticas? ¿Deseará retornar sin más al instante mismo del riesgo indecidible previo a la sutura dialéctica? ¿Es posible representarse a un Aristóteles así? Es evidente que no. Su propuesta matemática depende tan hondamente, quizás a su pesar, del movimiento platónico que incluso pareciendo su opuesto no hace más que refrendar la estabilización, pero ahora con el añadido que conlleva hacerla pasar desapercibida. La respuesta de Aristóteles a la cuestión de qué fueran las matemáticas supone el gesto iniciado por la Academia. El estagirita considera las matemáticas como una disciplina regional –ya no la única capaz de efectuar una tarea general como la que le asignaba Platón– que se encarga de ciertos ‘objetos intelectuales’ con capacidad explicativa de fenómenos físicos. De ahí que casi siempre acompañe sus desarrollos matemáticos con referencias a la óptica, la astronomía, la armonía, etc.388 Su articulación con la filosofía primera no deja de ser un problema complejo, pues involucra la disposición interna que poseía el conocimiento teórico. Sin embargo, lo que aquí importa es que las matemáticas, coordinadas con la física y la metafísica, responden como ciencia del ente inmóvil –distanciándose sobre este punto de la física, que se ocupa del movimiento– y que, en tanto tales, no hacen sino perfilar un campo, una región de trabajo delimitable.389 Al margen de la discusión que Aristóteles monta con los platónicos en los libros M y N de la Metafísica, lo que elabora pacientemente es el producto residual de la institución platónica del sosiego metafísico, al dar por sentado que: 387

Metafísica, 1084 b2. Cfr. el cuidadoso estudio que se halla en la página de la Stanford Encyclopedia of philosophy (http://plato.stanford.edu/entries/aristotle-mathematics/), sobre todo capítulos 1 y 2. 389 Cfr. Ibíd., capítulo 1. 388

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a) Las matemáticas existen como ciencia discreta que tiene un campo de estudio diferencial. No obstante ello, poseen una ligazón irreductible con los primeros principios, que son sus fundamentos epistémicos. b) Los ‘objetos de las matemáticas’, incluso si son mentales, obtenidos por abstracción, son, haciendo que toda indecidibilidad no tenga lugar. Están allí, disponibles para ser maleados no ya como el quiebre con las múltiples opiniones sino como un tipo de entidades que residirán eternamente en la actualización de la ciencia y que proveen, en su fisiología, modelos de argumentación para la filosofía. El máthema ya no conlleva riesgo alguno en la medida en que no es un salto de ningún tipo. La abstracción produce ‘objetos matemáticos’, mentales o, como quiere ver Aristóteles en la teoría platónica, separados, pero no funda vacío en tanto y en cuanto no permite construir un pensamiento filosófico original sobre ella. Las matemáticas, como disciplina regional subalterna, pierden potencia de ruptura mientras asumen la seguridad de sus ‘objetos’.

¿QUÉ HAY DEL PLATONISMO MATEMÁTICO? BREVE HISTORIA DE UN GIRO QUE HIZO HISTORIA

La diferencia entre lo que puede saberse acerca de la doctrina matemática incluida en los diálogos y lo que ha conocido modernamente como «platonismo matemático» es tan abismal como sintomática su borradura. Si el máthema introduce la desorganización propia de lo indecidible en el seno del lógos clásico, el platonismo matemático es la prolongación del bloqueo del surgimiento radical de la diferencia. Si la constitución metafísica ha alcanzado el siglo veinte, –sin modificación estructural alguna, según lo ha hecho notar Heidegger–, el retorno de lo indecidible reprimido no dejará de insistir precisamente en el dominio que sancionó su nacimiento. Será en el campo de las matemáticas que el complejo status que arroja la autoinstitución de las matemáticas retornará de improviso haciendo temblar las bases mismas de su fundación y con ello revelando, a un mismo tiempo, su fragilidad contingente y la operación que intentó desterrarlas. Poco sentido tiene aquí seguir punto a punto la historia de la filosofía de las matemáticas, o de lo que ciertos pensadores pudieron decir o callar sobre el funcionamiento de esta disciplina. La filosofía de las matemáticas entra en escena con relativa autonomía recién a fines del siglo diecinueve. El interés que reviste depende, en cambio, de: (a) la preponderancia que poseen las matemáticas dentro de los paradigmas científicos y los modos de conocimiento que allí se generan y (b) la complejidad que asumen sus “objetos” y los patentes rasgos que los

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diferencian de aquellos correspondientes al resto de las ciencias. Todo ello ha conducido a que numerosos filósofos –sobre todo en los últimos dos siglos– hayan puesto especial atención en problemas ontológicos y epistemológicos relativos a las matemáticas. Notemos que la filosofía de las matemáticas no ejerce en este caso más que un abordaje de segunda mano, concentrado en las formas de validación del conocimiento y, en ese sentido, dista mucho de lo que podía representar la dialéctica para Platón. Como se ha demostrado en la segunda parte, la filosofía de Platón jamás se comprometió con un pensamiento de o sobre las matemáticas puesto que: 1. La dialéctica, i.e. la filosofía en su determinación más elevada, se debe al estudio de las Formas y no al de otros posibles saberes. Incluso cuando la misma los presupone y por definición los capta totalmente en su visión sinóptica, no se dedica a examinar las causas del correcto o incorrecto funcionamiento de las matemáticas sino más bien a otorgarle la solidez de un fundamento ontológico y epistemológico. 2. Las matemáticas, en sí mismas, son un pensamiento. A su vez, son un pensamiento [discursivo] habilitante del conocimiento filosófico. Más allá de su carácter subsidiario, las matemáticas piensan por sí mismas ciertos rasgos de las Formas para coagularlos en el máthema. Esta idea tendería a suprimir la necesidad de un pensamiento respecto de las matemáticas (aunque no de un pensamiento respecto de los fundamentos de las matemáticas). La filosofía, en su despliegue platónico, está lejos de representarse como una meta-reflexión acerca del tipo de conocimiento que proveen las matemáticas. Ciertamente denuncia su falta estructural –lo que he llamado en “Matemáticas y dialéctica” la demarcación superior– pero no se encarga de pronunciarse con aires de neutralidad respecto de la labor de los matemáticos. A lo sumo, podrá decirse que la dialéctica pretende fundamentar ontológicamente el ejercicio matemático y que, justamente por eso, poco tiene que ver con el proyecto contemporáneo de explicar el funcionamiento epistémico de esta ciencia con arreglo a cuestiones ajenas al dominio de la filosofía. La filosofía de las matemáticas ha venido a ocupar el espacio de un discurso con la pretensión de elevar a ley el olvido de aquella verdad que dice que entre las matemáticas y la filosofía existen puntos de contacto esenciales donde residen los diferentes fila-

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mentos que construyen la indecidibilidad. En rigor, esta nueva rama de la filosofía separa a las matemáticas como una región del conocimiento científico dedicándose a describir inocuamente su especificidad. Ya no se trata de fundar las matemáticas sino de explicar cómo es posible su fundación y funcionamiento. Nótese la clara impronta kantiana que posee este giro hacia la validación y, con él, hacia un terreno novedoso que no pertenecía sin dudas al espectro griego. Será entonces hacia fines del siglo diecinueve que este meta-discurso cobrará vigor de la mano del célebre problema del infinito actual. El siglo, prolífico en descubrimientos matemáticos que van desde la emergencia de las geometrías no euclídeas, el nacimiento de nuevas formas algebraicas, hasta los escritos de Gauss sobre teoría de números –a los que se agregan varios avances también en el campo de la lógica– ofrecía un fértil ámbito para un intento de recensión de los fundamentos de las matemáticas. Este proceso irá de la mano con una creciente tendencia hacia la formalización y con una pérdida creciente de importancia de la semántica a manos de la sintaxis.390 En este contexto han germinado las posturas más relevantes en filosofía de las matemáticas: logicismo, intuicionismo, formalismo y platonismo (todas con algunas variantes internas).391 Todas y cada una de ellas permanecen dentro del mismo marco de referencia trazado por la filosofía de las matemáticas. 390 Cfr. Ladrière, J. Limitaciones internas de los formalismos, Tecnos, Madrid, 1969, p. 33 y ss. 391 Puntualizo en qué se diferencian cada una de las perspectivas sin recaer en el platonismo que se halla expuesto en este capítulo. El logicismo, comandado por la recuperación hecha por Frege de algunos desarrollos leibnizianos, posee como objetivo primordial reducir la matemática a la lógica pretendiendo reconducir toda proposición matemática a leyes básicas del pensamiento. Las matemáticas son, para decirlo de algún modo, un trazo universal del concepto, deducibles sólo de principios que son absolutamente originarios y sin las cuales el pensamiento no sería posible. El intuicionismo, por su parte, considera que la actividad matemática es una labor de construcción y, en especial, de construcción mental. Así, los números naturales son construcciones mentales, las funciones también lo son, etc. Para un intuicionista, ninguna construcción infinita es posible puesto que el método de su surgimiento es en esencia finitista. De ahí que nieguen la existencia del infinito actual en el debate que mencioné más arriba. Finalmente, el formalismo, liderado por Peano y el programa de Hilbert, intenta reducir todo desarrollo matemático a un mero juego de aplicación de reglas de equivalencia sintáctica entre proposiciones. No hay más que un campo operatorio a partir de axiomas singulares y el espacio de signos matemáticos es lo único que puede considerarse primitivo u originario.

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Desde que Kant escogiera en la Crítica de la Razón Pura a los juicios matemáticos como paradigma de los juicios sintéticos a priori, y que la pregunta por su condición de posibilidad se haya constituido como el centro de su reflexión, ha impedido que cualquier desarrollo ulterior pueda ser indiferente a la idea que allí se condensaba: los enunciados matemáticos proporcionan conocimiento y, no obstante ello, no se originan en la experiencia. En adelante, el problema de las matemáticas responderá a una cuestión de justificación del conocimiento, por lo que la pregunta por cómo una proposición matemática se hace verdadera cobrará centralidad y, con ella, será renovado el debate por la existencia de entes o idealidades matemáticas. Incluso luego del gran esfuerzo de Bolzano por salir de la matriz dispuesta por Kant –intentando desligar la verdad de la intuición espacial y haciendo primar para ello la deducción de todo enunciado verdadero de una axiomática dada en detrimento del proceso intuitivo–, se arriba al programa formalista que, aún quitando la pretensión espacial de la intuición, preserva la máxima de que nuestros conceptos matemáticos pueden ser expresados en operaciones sobre las relaciones de espacio y tiempo. Poco de este desarrollo resulta casual: dado el contexto, la investigación en filosofía de las matemáticas durante el siglo veinte puede quedar retenida en el conocido dilema de Benaceraff392 que reza, en resumen, que las matemáticas deben ser “platónicas” –en el sentido contemporáneo del término– puesto que las demás posiciones revelan numerosos problemas para su desarrollo y que, no obstante, la posición platónica deja sin explicar qué fueran las entidades abstractas que manipulan los matemáticos y cómo es posible el acceso a las mismas, dejando permear sobre su ámbito de indagación todos los problemas de cualquier realismo ingenuo. Se tiene, por un lado, la definición standard de platonismo matemático emergida del debate decimonónico y, por otro, lo que hemos estado diciendo sobre el máthema. Si mi hipótesis es correcta, las matemáticas introducen en el campo del saber lo indecidible, instalando en el corazón de determinada lógica situacional un lenguaje inaugural que fractura a su antecesor y evade una determinación ontológica exacta. La inestabilidad –ontológica e historiográfica– que acusa el máthema sugiere en 392 Benacerraf, P. “Mathematical Truth” en Hart, W. D. (ed.): The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, 1996.

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ese sentido más y menos que la definición standard. Más, en la medida en que localiza, en tanto problema de la historia de la metafísica, un instante central; menos, puesto que el nacimiento de la lectura standard ha dependido de un devenir concreto de la historia de las ideas y de las matemáticas y por tanto ha venido a suplir una necesidad funcional. Por eso, la inconsciencia que evidencian los filósofos de las matemáticas –quizás la misma que estigmatiza a los matemáticos respecto del fundamento de su disciplina– en lo concerniente al origen de sus posiciones resulta ser menos un límite que un ámbito pleno de potencialidad hermenéutica. El trabajo sobre el proceso de gestación de la visión standard como también sobre la notoria desconexión que se manifiesta entre ésta y los diálogos de Platón, permiten evaluar el síntoma que los reúne bajo un nombre común: «platonismo». Quisiera ver: (a) el rendimiento teórico que ha otorgado la estabilización platónico-aristotélica de la indecidibilidad y (b) el modo en que el debate contemporáneo en filosofía de las matemáticas ha perdido toda conexión con la real dimensión del texto platónico. Se trata en definitiva de reinstalar, mediante la hipótesis de lo indecidible, lo que se sustrae a la simple aplicación de reglas y al seguimiento de una sintaxis, a partir de un desarrollo matemático descomunal: el teorema de Gödel. Para comenzar, hay que dejar establecidos lo que se entiende a día de hoy por platonismo matemático. En la Introducción a Philosophy of Mathematics de Benacerraf y Putnam se lee la siguiente definición: Los platónicos son aquellos que consideran que las matemáticas son el descubrimiento de verdades que conciernen a estructuras que existen independientemente de la actividad o del pensamiento de los matemáticos.393

Y Mark Balaguer en su Platonism and Anti-Platonism in Mathematics estructura su caracterización de la siguiente manera: A grandes rasgos, la primera [el platonismo] es la visión de que (a) existen objetos matemáticos tales como números (los cuales son no-espaciotemporales y existen independientemente de nosotros y 393 Benacerraf, P. y Putnam, H. (eds.) Philosophy of mathematics: Selected readings. Cambridge University Press, Cambridge, 1983, s/d.

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de nuestro teorizar matemático) y (b) nuestras teorías matemáticas describen dichos objetos.394

Aún figurándonos a grandes rasgos qué papel juega el máthema en los diálogos, es posible decir que es no es lo que Benacerraf y Putnam presuponen, a saber, la separación entre un sujeto que conoce y una serie de objetos que se ofrecen al pensamiento para ser conocidos. Ciertamente, lo que allí se dirime no es un intento de exégesis del texto clásico ni mucho menos. Más aún: la gran mayoría de los manuales de filosofía de la ciencia o filosofía de las matemáticas tienden a presentar dicha descripción sin haberla jamás contrastado –lo que constituiría casi una exigencia nominal– con el texto que le dio origen. Las caracterizaciones corrientes de un platónico en el ámbito de la filosofía de las matemáticas recaen en las notas centrales de “separación”, “independencia” en el marco de la díada “objeto/sujeto”. Es un síntoma que anuncia la historia de una interpretación. No ya el devenir de la enseñanza platónica sino más bien las vicisitudes a las que se ha visto sometida la interpretación de lo que fuere el significante “platonismo matemático”. Propongo hacer aquí una breve interpretación de la interpretación a fin de elucidar la distancia insalvable que aparece entre las referencias localizables en los diálogos y la definición contemporánea.395 394 Balaguer, M., Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, Oxford University Press, Londres-Nueva York, 1998, p.5. [La traducción es mía]. 395 Esta interpretación de la interpretación es no sólo posible –pues toda sobreinterpretación lo es– sino más bien necesaria para comprender profundamente las raíces de la continuidad nominal que acusa hoy el “platonismo matemático. De lo contrario, se correría el riesgo de no lograr penetrar con total profundidad, por ejemplo, el siguiente párrafo extraído de la Enciclopedia online de la Universidad de Stanford: “Para resolver los problemas de separación y precisión, filósofos coetáneos como Espeusipo y posiblemente Platón postularon un universo de entidades matemáticas que son perfectas ejemplos de propiedades matemáticas, adecuadamente múltiples para cualquier teorema que deseemos probar, y separadas del mundo físico o perceptible. Aristóteles las llama matemáticas o intermedias, pues son intermedias entre las Formas, pero múltiples como los objetos físicos (cf., por ejemplo, Met. 987b14-18, III 2, XIII1-2). Esta solución constituye el ancestro de muchas versiones del platonismo en matemáticas”. En http://plato.stanford.edu/entries/aristotlemathematics/#2. [La traducción es mía]. Allí quedan patentemente atestiguadas tanto la continuidad entre el reaseguro aristotélico y la versión standard del “platonismo matemático”, como el equívoco inicial que posibilita este devenir.

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Se sabe escuetamente a partir de una lectura de la obra de Platón y su recepción inmediata que: a) No es posible determinar la existencia “separada” de los “entes matemáticos” debido fundamentalmente al imperio de cierto grado de indiscernibilidad entre ser y pensar. Todo el sistema de relevos que conforma lo indecidible muestra que este intento es inviable. Se trata de una limitación menos metodológica que ontológica. b) Las matemáticas adquieren rasgos patentemente diferenciales que no permiten su sencillo emplazamiento como “ciencia” de “objetos independientes”. En este sentido, el máthema aparece en los diálogos como: (a) operación discursiva de ruptura con la doxa, (b) dispositivo propedéutico en función de subalternación con la dialéctica, (c) fundamento del acuerdo y la concordia en el alma humana y la pólis, (c) marca y ley de la proporcionalidad del universo, (d) prescripción de dicha proporción a la ciudad y al alma humana (de ahí su importancia pedagógica), (e) modelo de razonamiento (hipotético-deductivo). Específicamente, la relevancia que adquieren estos rasgos es para Platón equilibrada. Y aunque ninguno anule per se la posibilidad de una interpretación como la de Benacerraf y Putnam, al menos, tomados en conjunto, sí evidencian la brutal reducción a la que son sometidos al aplicar dicha interpretación. c) El reporte de la tradición indirecta, principalmente el de Aristóteles, no coincide, en el sentido de “corrección” explicitado en el capítulo anterior, con lo que se encuentra en los diálogos. Es a partir de la dinámica entre estos puntos desde la cual debe iniciarse una evaluación de la radical diferencia entre la enseñanza de Platón sobre las matemáticas y lo que contemporáneamente se ha dado a conocer como «platonismo matemático». Insistiré: las matemáticas instalan, según he pretendido demostrar, en el seno del pensamiento platónico lo indecidible. No obstante, es la inmediata ligadura de esta forma discursiva a la estabilidad de la dialéctica lo que limita en primera instancia la potencia diseminante y creativa del indecidible matemático. Luego, será la lectura de los escolarcas académicos y, por supuesto, la de Aristóteles, la que se encargará de reasegurar la quietud metafísica de Occidente negando la existencia de lo indecidible. En igual medida,

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la definición contemporánea de platonismo matemático se alimenta de esta conformación metafísica y arroja luz sobre el sutil deslizamiento generado y reafirmado desde siempre por la antigüedad clásica. El esquema quedaría resumido como sigue: 1. Introducción de lo indecidible en la progresión de los diálogos. Instancias dinámica (advenimiento, confrontación y suspensión de la lógica situacional) y estática (indiscernibilidad del máthema en el mundo sumada paradójicamente a la garantía de su presencia) de lo indecidible. 2. Estabilización «interna» del texto metafísico a partir de la sutura de lo indecidible matemático a la dialéctica como forma de fundamento y conciencia del ejercicio de las matemáticas. En este punto, es preciso atender al «tandem» conformado por Diálogos socráticos-Menón-EutidemoRepública. 3. Reaseguro de la sofocación «interna» a partir de la crítica «externa» que formula Aristóteles en Metafísica M y N. Continuidad del paradigma exegético incluso bajo nuevas formas y lecturas. El axioma permanece: la indecidibilidad no ha tenido lugar 396 en el origen fundacional de la metafísica. Su inscripción ha sido reprimida desde el comienzo 4. Residualmente, el significante “platonismo” ha traspasado los siglos como sinónimo –equívoco, es cierto– de “realismo metafísico o ingenuo”, entendiéndose por esto la postulación de entidades eternas, distintas e independientes del trabajo del alma o mente humana. Más tarde, ya en el novedoso ámbito de la filosofía de las matemáticas, en encendidos debates acerca del status de “aquello” con lo que operan los matemáticos y sobre su relación con la 396 Quizás podría resumirse todo el esfuerzo de mi hipótesis en la célebre sentencia de Stéphane Mallarme en su no menos famoso poema Un coup de dés… “Algo habrá tenido lugar más que el lugar”. Si el trabajo de la lectura metafísica es el de vaciar de sentido la posible existencia de un instante caótico de indecidibilidad bajo el estandarte de que “nada ha tenido lugar”, mi intento apunta entonces a indicar la exigua existencia de dicho evento bajo la insistencia en que algo mínimo, sutilmente diferenciable del espacio que le dio albergue, al borde de la corrección sintáctica en tanto se apela al futuro anterior como forma evanescente de lo que quizás habrá sucedido.

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verdad, el mote de “platonismo” fue usado para describir una posición realista que consideraba la existencia en acto de ciertas entidades susceptibles de ser manipuladas. Es de todo este proceso que ha resultado la definición standard de platonismo matemático. Es también de este trayecto la responsabilidad del hiato observable entre la potencia del vacío que opera en los diálogos y lo que aquí se sella bajo el gobierno de la contemporánea filosofía de las matemáticas. Al respecto, resulta sugerente el propósito de Balaguer pronunciado en las primeras páginas de su libro. Sin quererlo ni saberlo el autor propicia una clave intertextual que pone en relación la superficie visible, lo inmediato accesible que se da en la definición standard con lo que a ella le falta: el factor de lo indecidible. En el último capítulo del libro, trato de reforzar mi conclusión. Defiendo, en primer lugar, que no es que no contemos actualmente con un argumento a favor o contra el platonismo matemático; más bien, es que nunca podríamos descubrir tal argumento. Pero esto es todavía una tesis epistemológica, dado que la afirmación aquí es que nosotros nunca podríamos descubrir tanto si existen como si no existen objetos matemáticos. En la segunda mitad de este capítulo, trato de motivar una conclusión metafísica, a saber, que hay, después de todo, no hay evidencia de que existan objetos abstractos.397 Al margen de las pruebas que Balaguer ofrece en favor de su conclusión (todas ellas pertenecientes al orden del análisis lingüístico de los enunciados matemáticos y metamatemáticos, esto es, filosóficos)398, lo que resiste en su proyecto, o más precisamente formulado, lo que persiste 397

Balaguer, M. Op.cit., p. 4. [La traducción es mía]. Cfr. Balaguer, M. Op.cit., p. 152 y ss. Cito aquí sólo el comienzo de la última parte a fin de mostrar el tenor y registro de los argumentos y reforzar la idea de indecidibilidad que allí yace: “Desde que FPB es la única versión viable del platonismo matemático y el ficcionalismo es la única versión viable del anti-platonismo matemático, la disputa sobre la existencia deviene la disputa entre FPB y el ficcionalismo. El argumento para la conclusión epistémica fuerte que quiero desarrollar en esta sección está basado en la observación de que FPB y el ficcionalismo son, sorpresivamente, muy similares filosofías de las matemáticas. Ahora bien, obviamente, hay algún sentido en el cual estas dos perspectivas son polos opuestos; después de todo, FPB sostiene que todos los objetos matemáticos posibles existen, mientras que el ficcionalismo sostiene que ningún objeto matemático existe. Pero más allá de esta diferencia obvia, estas dos perspectivas son muy similares. De hecho, tienen mucho más en común entre sí que lo que el FPB posee en común con otras versiones del platonismo. 398

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en la posibilidad de discernir la existencia de entes eternos, separados y una verdad relativa a dichos objetos, es la estructura de la indecidibilidad que, aunque bloqueada, ha resultado condición de posibilidad de su devenir. Pero ¿cuál es la medida del contraste que se genera entre la perspectiva actual y la originariedad de la fundación platónica? En un primer momento, salta ante los ojos la diferencia que aparece entre la explicitación de Putnam y la de Balaguer. Mientras aquél hace hincapié en la noción de verdad, éste enfatiza el carácter no espaciotemporal de los objetos matemáticos y la intencionalidad del teorizar matemático sobre ellos. Por lo demás, ambos comparten la atribución de independencia que prescribe la existencia de las estructuras/objetos matemáticas/os. El acento puesto en la idea de verdad queda antecedido por la de “descubrimiento”. Un matemático es el que “encuentra” algo que ya estaba allí desde siempre, y el procedimiento discursivo que los hace salir a la luz es justamente el de captación de verdades. De todos modos, la verdad no deja de ser para un platónico algo dependiente de un esquema lingüístico que hace corresponder a ciertos enunciados las estructuras u objetos matemáticos, por lo que la operatoria con este lenguaje (“concerniente a” estructuras o, según Balaguer, “que describe a tales estructuras”) es la que permite su “descubrimiento”. Así, puede hablarse de un realismo metafísico que se declara deudor de un correspondentismo ortodoxo en términos de teorías de la verdad. Sean lo que fueren las entidades matemáticas, la relación de referencia entre los enunciados y éstas queda establecida desde el momento en que se postula su independencia, esto es, su separabilidad399 respecto de la actividad mental del matemático. Si se puede hablar de entidades independientes, es posible concluir que hay un aspecto de los entes matemáticos que no se identifica con el acto de escribir o pensar que ejecuta el especialista (punto sobre el cual el platónico se distingue del intuicionista). Eso es lo que Balaguer quizás anude con la no espaciotemporalidad. Dado que las acciones humanas están limitadas por la finitud, lo que las exceda será lo que signe la in(por ej. El platonismo naturalizado de Maddian) o el ficcionalismo posee en común con otras versiones del anti-platonismo (por ej. El empirimo de Millian)”. [La traducción es mía]. 399 Hay que recordar aquí que esta, la cuestión de la separación [khôrismós] es el punto crucial de la crítica de Aristóteles, sea bajo su forma ontológica general, sea en lo que concierne específicamente a las ‘entidades matemáticas’.

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dependencia de los entes matemáticos; luego, las cosas matemáticas no deberán estar sujetas a espacio ni tiempo. Dado que se puede mostrar que no es posible en la teoría de Platón fijar la verdad [matemática] en términos de referencia, tampoco será factible trazar la independencia de entes matemáticos respecto de la diánoia. Puede comprenderse finalmente cómo es que se produce una hendidura insalvable entre ambas perspectivas y que, consecuentemente, sea esta diferencia400 la que permitió un devenir tal como el que se produjo. Como he señalado en el capítulo anterior, Aristóteles será el encargado de generar el primer paso, luego del inicio de factura platónica. Este procedimiento, en la medida en que se incrusta y se muestra como parte de la historia de la metafísica, deberá ser asumido en su totalidad como un devenir que responde al sólo imperativo de fijación de un tipo de entidad401. Esta historia tiende a ser periódicamente interrumpida por el retorno de lo real –que había sido controlado– con toda la violencia que comporta cada nuevo escape402. La lectura maquina detrás de mis palabras como un gigantesco sistema que, aún soportando cada engranaje y produciendo la totalidad de lo que puede llegar a decirse, no admite mayor visibilidad que la exigua presentación que responde a la cuestión matemática en los diálogos de Platón. Poco más se puede mencionar al respecto: el reconocimiento junto con Heidegger de la relevancia que adquiere el ateniense para la conformación de la historia de dicho sistema; la secreta alianza entre cierta arista contenida en los diálogos y la crítica aristotélica; la necesariedad de la supuración imprevista de lo reprimido. Hay que preguntar cómo es que lo indecidible retorna. Por lo demás, que lo haga en el mismo campo que lo instituyó es un síntoma que puede ser leído en los dos sentidos: en retrospectiva, como indicador de 400

Retomo aquí la idea de la diferencia como la de polos de intensidad opuesta que permiten el flujo entre ambos. Como se sabe, desde la física jonia y su apropiación filosófica presocrática y clásica, el devenir está soportado por la diferencia estructural que permite el traspaso de cualquier flujo de lo real desde un lugar de mayor concentración hacia otro de menor o, dicho de otra forma, el paso de “la potencia al acto, mientras se está en acto”, según la célebre sentencia del Estagirita. 401 Excluyendo de toda ontología y toda especulación sobre lo que hay aquello que pudiera resultar subversivamente inestable, que, desde la óptica heideggeriana propende a la borradura de la diferencia ontológica. 402 Ver Esquema A, p. 263.

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que efectivamente en la historicidad del razonamiento matemático se emplazó lo indecidible mismo; en prospectiva, como demostración de la continuidad que informa al pensamiento occidental y en particular al pensamiento matemático y aquel sobre las matemáticas. Como he dicho al comienzo de mi análisis, lo indecidible alcanza su independencia conceptual a partir de uno de los célebres teoremas de Kurt Gödel. Seguiré a Nagel y Newman en su libro canónico El teorema de Gödel para presentar una acotada descripción de su funcionamiento. Según ellos: […] las principales conclusiones a las que llegó Gödel fueron dos. Demostró: 1) que es imposible presentar una prueba metamatemática de la consistencia de un sistema lo bastante comprensivo como para contener toda la aritmética, a menos que se empleen reglas de deducción que difieran esencialmente de las reglas de transformación utilizadas para derivar teoremas dentro del sistema, y 2) que la potencia del método axiomático es fundamentalmente limitada. Los pasos principales de la argumentación de Gödel fueron: I. Mostró cómo construir una fórmula G que represente la declaración metamatemática ‘La fórmula G no es demostrable’. II. Mostró que G es demostrable si, y solo si, es demostrable su negación formal. En cualquier caso, si una fórmula y su negación son ambas formalmente demostrables, el correspondiente cálculo es inconsistente. Es decir que, si el cálculo es consistente, entonces ni G ni la negación de G son formalmente derivables de los axiomas de la aritmética. O sea, que si la aritmética es consistente, entonces G es una fórmula formalmente indecidible. III. Mostró también que, aunque G no sea formalmente demostrable, es sin embargo una fórmula verdadera. IV. Mostró asimismo que, dado que G es al mismo tiempo verdadera y formalmente indecidible, los axiomas de la aritmética adolecen de incompletud. Es decir, que no es posible deducir todas las verdades aritméticas de los axiomas. V. Describió la manera de construir una fórmula aritmética A que represente la proposición metamatemática ‘La aritmética es consistente’, y mostró que la fórmula ‘A si y solo si G’ es formalmente demostrable. Tras lo cual probó que la fórmula A no es demostrable.

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De donde se desprende que la consistencia de la aritmética no puede ser establecida por un argumento representable en el cálculo aritmético formal.403

¿Qué sucedía con ese teorema? ¿Por qué acabo convirtiéndose en el sitio de retorno? Porque si lo indecidible se instaló en Grecia en el borde entre filosofía y matemáticas o, para ser más precisos, entre las matemáticas y lo que no es matemáticas, Gödel retomará esta línea que reúne niveles discursivos diferentes para lograr el montaje paradójico que da lugar a su teorema. El teorema atacaba la cuestión del fundamento de las matemáticas –desde el punto de vista de la consistencia– propiciada por el clima y por la formulación realizada por Hilbert a principios del siglo veinte del problema que supondría probar la consistencia de la aritmética. Se dirigía, por lo tanto, hacia los límites que indagan por su basamento. El resultado no podía ser otro que una revuelta epistémica en tanto, como puede observarse en la definición I de Nagel y Newman, la estrategia de la demostración provenía de la posibilidad de “representar” o “reflejar” proposiciones metamatemáticas dentro del sistema formal de la aritmética mismo. Esta torsión generó que el punto ciego que convocan desde siempre las matemáticas, aquel que impide que los matemáticos hablen en lenguaje matemático –de un mismo orden– de las leyes que gobiernan su actividad, quedara al descubierto por el resultado que arrojaba fundamentalmente el segundo teorema (recogido por el punto V). Lo interesante es que ya Platón hablaba de esta inconsciencia necesaria del desempeño de los matemáticos, en su no saber intrínseco.404 Y aunque el ateniense no tenía elementos técnicos para forzar los resultados extraídos por Gödel, ni el interés directo por hacerlo, se entiende por qué puede asumirse cierta prefiguración de la noción de indecidibilidad contemporánea en las páginas platónicas. Todo ello gracias a que, en sustancia, es decir, tomadas solamente desde su estructura axiomática y deductiva, las matemáticas no han variado significativamente desde la antigüedad hasta el siglo veinte. En caso de que se quiera preguntar por los fundamentos extra-matemáticos –o bien las descripciones me403 404

Nagel, E. y Newman, J.R. El teorema de Gödel, Tecnos, Madrid, 2005, pp. 30-31. Cfr. República, 527a-b, entre otros.

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tamatemáticas de alguna proposición u operación matemática– se deja de hacer matemáticas. Este límite, al intentar ser franqueado, conduce a un atolladero singular condensado en el teorema de Gödel. Este límite, además, no es más que la criba establecida por el propio Platón ante el riesgo de lo indecidible. Resulta verdaderamente asombroso que, pese a la inmensa distancia temporal que los separa, tanto Gödel como Platón hayan observado lo mismo en idéntico espacio. Las consecuencias han sido diferentes, es verdad. Pero también las épocas requirieron de estas derivaciones contrastantes. Mientras que el filósofo sentó las bases para que la limitación recayera en una subordinación estabilizadora dada por la fundación dialéctica de los principios de la matemática, el lógico condujo su reflexión hasta las últimas consecuencias provocando un enorme cisma en los círculos académicos y científicos. Impactante. ¡Gödel, además, que se autoproclamaba platónico! Por lo demás, la extracción de las consecuencias dependió de un comienzo de siglo que se consagró con fruición a resquebrajar los saberes hasta entonces más rígidamente anquilosados. Pruebas concomitantes de ese período efervescente son, sólo por nombrar algunas, la teoría de la relatividad de Einstein de 1905, el principio de incertidumbre de Heisemberg de 1927, los planteos de Turing en torno de la imposibilidad de escribir un programa que decida si otro programa cualquiera está correctamente escrito. En el campo filosófico, la aparición del Ser y Tiempo en 1927 condicionó de manera irreversible el problema del fundamento [hypokhéimenon] y la relación del mismo con la ontología y la historia de la filosofía. El teorema, al demostrar que la proposición constructible G es verdadera y a la vez formalmente indecidible, no hacía más que minar las bases de todo sistema de deducción natural. Asimismo, aseverando que no es posible demostrar la consistencia de la aritmética a través de un argumento representable en el cálculo aritmético formal indicaba el coto al que deben someterse las pretensiones de los matemáticos; señalaba su real, lo que se les sustraía, lo imposible de ser dicho en el lenguaje aritmético. Y, en efecto, eso es lo que sucedía con el máthema: aún garantizada su presencia en la ontología platónica, y con ella en la ontología en general, poco o nada puede decirse de su esencia en la medida en que no puede traspasarse el límite lingüístico que la regula; si se quiere

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preservar la consistencia del sistema general, sólo será susceptible de ser localizada en los destellos de aparición que siempre vienen velados, irregulares e instantáneos. El máthema aparece junto a Khôra, bajo las Ideas, en los astros, en la ciudad, en el alma humana, en las demás ciencias y sin embargo no se observa jamás como tal, discreta y desnudamente explicitado. Insiste en ámbitos pertenecientes a estratos y zonas heterogéneas de la especulación, resiste allí, pero se sustrae a cualquier fijación procurada. Verdadero e indecidible a un mismo tiempo, el máthema anuda, como el mecanismo que informa al teorema, un lenguaje sobre sí mismo para mostrar que nunca se recupera por completo.

FINALES

Por muy extraño que pueda parecer, todo lo que existe y ha existido sobre la tierra referente a la libertad, delicadeza, audacia, danza y magistral seguridad, sólo ha podido florecer bajo la tiranía de leyes arbitrarias. F. Nietzsche

Concluir es una exigencia tan antigua como el Occidente mismo. Ya éste prescribe, como tierra del ocaso, la culminación del día, el intervalo de tiempo en el que la actividad desfallece. Culminar para exponer ante los restos de sol algo que ya entrañaba, de manera velada, cada instante de labor. Pero concluir también es descansar, armados de la prudencia. Considero que la hipótesis de lectura que sostenía que la matemáticas instalan en la filosofía de Platón lo indecidible ha sido apuntalada a partir de la construcción del concepto de indecidibilidad, de su inscripción en el devenir de la filosofía platónica y, finalmente, del seguimiento de dicho concepto en la letra de Platón. El trayecto general de esta elaboración perfila, por un lado, la convicción de que es mediante la introducción y adopción de la racionalidad del discurso matemático –y con ella del complejo indecidible que supone ciertos instantes específicos de indiscernibilidad– que la indecidibilidad se transfunde a la totalidad del pensamiento. Por otra parte, su concreción demuestra que la gigantesca tarea que queda por delante, se debería prestar al escrutinio de qué representa para la onto-logía –para el pensamiento de lo ente y para la

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entidad que se ofrece en el pensar– que la filosofía devenga finalmente el acto de forzar un in-existente, de traerlo a primer plano, de exponerlo bajo la luz del carácter relacional que replica la dinámica filosófica. He dicho en la Iඇඍඋඈൽඎർർංඬඇ que tanto la Pඋංආൾඋൺ ඉൺඋඍൾ: Cඈඇൽංർංඈඇൾඌ ൿඈඋආൺඅൾඌ ൽൾඅ ඉඋඈൻඅൾආൺ. Hൺർංൺ ඎඇൺ ർඈආඉඋൾඇඌංඬඇ ඌංඇ඀ඎඅൺඋ ൽൾඅ ආංඌආඈ, como la ඌൾ඀ඎඇൽൺ ඉൺඋඍൾ: Aඇගඅංඌංඌ ൽൾඅ ർൺඋගർඍൾඋ ඈඇඍඈඅඬ඀ංർඈ ൽൾ අൺඌ ආൺඍൾආගඍංർൺඌ ൺ ඉൺඋඍංඋ ൽൾ අൺ ඉඋൾඌൾඇඍൺർංඬඇ ൾൿൾർඍඎൺൽൺ ൾඇ අඈඌ ൽංගඅඈ඀ඈඌ, podían desagregarse en diferentes niveles. En el primer caso, quitando el capítulo acerca de la indecidibilidad que se ocupa de describir meta-analíticamente lo que los otros apartados ejemplifican, cada texto posibilita un estrato de lo indecidible contribuyendo a la comprensión dinámica y estática de su fisiología. Ello no inhabilita que puedan ser resumidos bajo el mismo significante pues, como he intentado mostrar y como señalé en aquel capítulo primario, lo indecidible es un juego de fuerzas manifestado en la lengua y cristalizado, dentro de las numerosas instancias posibles, en el máthema. Dado que éste acarrea la subversión de una regla explícitamente definida, el proceso de violación de la misma vinculará subterráneamente cada acto emancipatorio con otro del mismo tipo. Lo que puede ser dicho de este modo: la libertad radical es una. Toda presentación de lo indecidible está relacionada con otra presentación de lo indecidible, cuyos rasgos estructurales son comunes. Si lo indecidible aparece en la génesis parmenídea del conocimiento en el modo de cierta indiscernibilidad –del modo esencial y no accidental que ha sido elucidado en la primera parte de la investigación–, será para evadir su prescripción; del mismo modo que si adviene como marcaje de ruptura con un estado político precedente o si emerge como choque de racionalidades. Hay una comunicación básica entre cada acontecer, signada menos por el ámbito donde se producen que por el mecanismo intrínseco de cada ocurrencia. Sin embargo, los niveles que capturan los capítulos existen, poseen características diferentes y conviene además distinguirlos a fines de claridad expositiva. Preví la división entre una indecidibilidad “intuitiva” que reunía, gracias a cierto grado de indiscernibilidad primaria –otorgada en su fondo onto-epistémico por la identidad entre “ser” y “pensar”– y a una tensión en la potencia diferenciante del máthema: (a) indecidibilidad del lógos;

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(b) indecidibilidad política y (c) indecidibilidad topológico-temporal. En la misma línea, señalé que la intuición fundamental de los teoremas de Gödel pueden recogerse, mutatis mutandis, en una visión más rudimentaria de los límites que posee el lenguaje matemático desde la perspectiva de Platón y que ello es viable gracias a aquella indecidibilidad “intuitiva” susceptible de ser localizada en los diálogos. Para decirlo brevemente: la indecidibilidad produce que no sea posible dar cuenta de la consistencia del sistema axiomático de las matemáticas en el corazón del propio cálculo matemático. Y si eso fue lo que la demostración fulgurante de Gödel demostró con sutileza técnica acorde a su tiempo, no menos cierto es que Platón había experimentado estos límites de un modo mucho más simple e inmediato, pero no por eso desacertado o aislado. Así, “Abandono de la perspectiva de Tubinga-Milán..”. ha mostrado que la respetable línea hermenéutica de Tubinga-Milán es subsidiaria de una interpretación que intenta borrar el rastro de lo indecidible en las matemáticas platónicas en la medida en que reconstruye dicho planteo partir de la tradición indirecta y fundamentalmente desde los testimonios de Aristóteles. Lo indecidible ha sido bloqueado y ocultado gracias a un sutil paso de prestidigitación ya que el reporte aristotélico entraña la intencionalidad metafísica más genuina, como me he dedicado a comprobar en la ඍൾඋർൾඋൺ ඉൺඋඍൾ. Si la reconstrucción ha sido efectuada a partir de la información brindada por el estagirita es de esperarse que los defensores de la mentada escuela postulen una jerarquía como la que sigue: (1) Principios (Uno y Díada Indefinida); (2) Números y Figuras Ideales; (3) Ideas Generalísimas o Metaídeas; (4) Ideas Generales y particulares; (5) objetos de la matemática, de la geometría plana, de la estereometría, de la astronomía pura y de la musicología; (6) Plano del mundo físico. Los puntos (2)-(4) corresponden, a su vez, al plano de las Ideas, que se distingue del plano de los principios (1), del plano de los entes matemáticos (5) y del plano de las cosas del mundo del devenir (6).405 La determinación intermedia de los «entes matemáticos» está consumada en su máxima expresión. Y, sin embargo, no se ha tenido en cuenta el llamativo contraste que esta concepción engendra con lo que se explicita en los diálogos. Por lo que respecta al costado metodológi-

405

Cfr. Reale, G. Op. Cit., 2003, p. 241.

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co, he discutido varios pasajes representativos406 y señalado que allí el tratamiento directo de las matemáticas no ha sido diferido por Platón hacia las enseñanzas orales –las que por cierto trazan una conjugación dialéctica con lo vertido en los diálogos– , al menos su abordaje frontal, a causa de que éstas no quedarían incluidas en el régimen enumerado de «las cosas de mayor mérito»407, «las cosas más grandes»408 y «las cosas más serias»409. De ese modo, se ataca la posibilidad de la sofocación del máthema y se propicia, por el contrario, la alternativa de un potencial contrarrelato hermenéutico. Queda, sobre este punto, una gran tarea por delante. “Sobre pensar y ser..”., se ha abocado al problema de la indecidibilidad desde la significación efectiva que ha tenido Parménides como fundador del arco epistémico sobre el que Platón estaba obligado a reflexionar y a partir del cual debía hablar. El trayecto del capítulo ha ido desde cierta eventualidad histórica hasta el más claro compromiso ontológico, observable en el paso de la identificación entre ‘ser’ y ‘pensar’ hacia la adscripción de cierto grado de ser al ‘no ser’ por parte de Platón contenida en el célebre parricido del Sofista.410 Allí Platón reconoce que el ‘no ser’, en tanto ‘lo diferente del ser’, es, posibilitando de esa manera la aparición de un sitio ontológico novedoso que podría albergar un tipo de operador singular que no fuera más que el preciso gesto de diferir. El refrendo de esta imagen queda condensado en la quinta hipótesis del Parménides, donde se estipula que hay un “ente inexistente” susceptible de ser conocido y, por lo tanto, distinguido de otro tipo de entidad. Que lo indecidible matemático aparezca en el corazón mismo de este análisis no es entonces casual. La epistéme de Parménides impide ‘separar’ cualquier idealidad matemática de la operación anímica que la actualiza, a la vez que la transgresión platónica del mandato paterno da cuenta de un requerimiento intrínseco del máthema, a saber, que la diferencia sea, puesto que las matemáticas no son otra cosa que el doble gesto de diferenciación respecto de Ideas y cosas. Se produce un juego 406

República, 534a; Protágoras, 357b; Político, 284a-e, 285a-285d; Cármides 169d; Menón 76e; Fedro 246a; Timeo 48c; Carta VII, 341b. 407 Fedro, 278 b-e y Carta VII, 342a; 344d; 341a2-344d4. 408 Carta VII, 341b. 409 Carta VII, 342a. 410 Sofista, 258a11.

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de apertura y cierre muy curioso. Siguiendo la observación platónica de que Parménides es “venerable y temible”411, la filosofía del ateniense permanecerá, por un lado, sujeta a la mentada identidad entre ‘ser’ y ‘pensar’ en la medida en que la comunión de ambos conceptos en la mismidad es irreductible. Pero, por otra parte, la superación contenida en el Sofista reestructura dicha identidad por cuanto puede pensarse el ser del ‘no ser’ (entendido como diferencia). Platón suscribe y viola el nombre del Padre. Comenzaba de esta manera a vislumbrarse cierto status operatorio del máthema que anuncia su difícil escansión en la jerarquía ontológica. El carácter operatorio no remite más que a tres rasgos conjuntos: (a) la imposibilidad de fijarlo como una cosa, un objeto o un ente, sean éstos concretos o abstractos y, pese a esta limitación, (b) su interacción disruptiva y violenta no sólo con cada cosa o ente concreto o abstracto que se disponga en el escalafón ontológico sino con este último en su totalidad. Asimismo, (c) contiene sobre sí una potencia, una dýnamis, que exige que su presencia se vislumbre, como un destello, evasivamente y sólo de manera retroactiva, en la actividad misma que lo caracteriza, a saber, la detección y cristalización de ciertas notas de las Formas que le permiten el quiebre con la maleabilidad del complejo doxa-sofísticatragedia-democracia. En la medida en que evita su localización como “entidad”, ya torna imposible una incrustación simple en la escala ontológica vaciando de sentido la férrea estructuración de ésta. Por último, “Contextos del máthema” apuntó a la caracterización histórica de lo indecidible sobre tres ejes diferentes. Cabe resumirlo del siguiente modo: el máthema encuentra el inicio de su indecidibilidad a partir de la materia prima que le proporcionan simultáneamente tres complejos histórico-políticos diversos: 1. Se debate entre la democracia y una especie de mutismo político que he llamado la fundación del vacío –la apertura puramente potencial para la instauración de un régimen alternativo sin el sostenimiento, en dicho momento, de algún régimen en particular. Además, promueve una sustitución del paradigma educativo trágico con arreglo esta refundación.

411

Teeteto, 183e.

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2. El máthema platónico pertenece al desarrollo de Euclides en la medida en que no transgrede sus axiomas básicos y, sin embargo, pareciera no pertenecer a él por cuanto otorga a las matemáticas un fin que no se dirige a ampliar los conocimientos disciplinares sino a utilizarlos en función de un proyecto metafísico-político claramente determinado. 3. Finalmente, el par antinómico que más pareciera manifestar la indecidibilidad del máthema es el de oralidad y escritura. Mientras que el máthema tiende por definición a escapar –gracias al movimiento aphairético412– de la pura empiria y con ello a indicar hacia lo inteligible413, también acumula sobre sí la exigencia de utilizar imágenes sensibles. La necesaria inscripción, o lo que es lo mismo, el deseo de escritura del máthema ubica, además de una coyuntura concreta (el choque entre civilización de la oralidad y civilización de la escritura), la indecidibilidad más profunda. Las matemáticas muestran su doble cara: la que enfrenta a las cosas plurales y la que mira hacia la radiante Idea. Por eso son intermedias [tò metaxý], pero sólo al precio de evadirse de un «lugar propio». El máthema es la diferencia, la alteridad: diferente de la Idea, diferente de las cosas, sin ser una mera disimilitud estática, sino más bien un “algo” –que no incurre en una obsoleta tesis sustancialista– bajo el modo de la inexistencia de la manera definida en el Parménides. Hay que decir que el máthema lleva dentro la capacidad de diferenciarse. Se define negativamente a partir de dos pilares sólidos –no iguales entre sí–, de dos estáticas singulares: la eternidad de lo inteligible y la inmediatez de las cosas sujetas al cambio. No puede decirse de ninguno de estos dos ámbitos que condensen al mismo nivel la habilidad diferenciante de las matemáticas puesto que ninguno de ellos se evade tan patentemente en los diálogos.414 412 En el sentido sustractivo del término, varias veces puntualizado a lo largo de la investigación. 413 De acuerdo con el paralelo entre oralidad e inteligibilidad autorizado por la crítica platónica a la escritura desplegada en el Fedro (principalmente 274b-278e) y la Carta VII (principalmente 340b-344d). 414 La evasión puede localizarse tanto a nivel de la construcción dramática de los diálogos como desde una perspectiva estrictamente ontológica. Aunque ambos niveles no

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Es oportuno evaluar ahora lo que ha dejado en limpio la Sൾ඀ඎඇൽൺ ඉൺඋඍൾ. Por tratarse de la sección dedicada al examen directo del texto platónico, fue necesario cambiar ligeramente la óptica. Si en la Pඋංආൾඋൺ ඉൺඋඍൾ se avistaban niveles interrelacionados de la indecidibilidad matemática, aquí se observó que cada capítulo cristalizaba un intervalo de la curva trazada por la indecidibilidad a través de los diálogos. Dije en la Iඇඍඋඈൽඎർർංඬඇ que intentaría mostrar un complejo ejercicio de encastre donde estas líneas pudieran distinguidas pero conducidas hacia un campo común. Veamos. He señalado en numerosas ocasiones que existe, en lo concerniente a las matemáticas, –lo que es extensible hacia toda la filosofía platónica– un ímpetu de división [diaíresis] 415 que no cesa de reproducirse. Así, en Filebo 55c se sanciona la distinción entre ciencias con finalidad educativa y de formación y aquellas con finalidad productiva; y en Político 258d se encuentra su paralelo exacto sobre la separación entre ciencia teórica, pura [katharôtata] y una ciencia práctica más impura [akathatótera]. Hay que hacer notar allí que el hecho de que a la ciencia teórica le corresponda la ciencia con finalidad educativa y de formación hace que: 1. La ciencia teórica, la que no es práctica, la que se define negativamente por medio de ésta, puede poseer un fin educativo. 2. El mentado fin educativo debe divergir del mero aprendizaje técnico. Además, si el modo y el contenido de la disciplina la dejan de corresponderse de manera mutua, podría distinguirse en primer lugar el uso que hace Platón de algunas calificaciones del máthema (Cfr. Primera parte -“Elucidación de la noción de indecidibilidad”) como por ejemplo: (República, 510b): “travesía, tránsito”; (República, 525b6): “emerger, escapar”; (República, 525b2): “de modo extraordinario, maravillosamente”; (República, 533b9): “entre sueños”; (Menón, 85c12): “justo como en un sueño”; (Eutidemo. 290b7): “[riesgo] de perder la cabeza”. En segundo término, la evanescencia del máthema queda recogida, entre otros casos, por: (a) su paralelo e interrelación con Khôra; (b) la enigmática ausencia de referencia óntica en el símil de la línea dividida (Cfr. para ambos puntos, Sൾ඀ඎඇൽൺ ඉൺඋඍൾ – “La línea dividida: apertura para un breve análisis de Khôra y del sistema que conforman los términos «Orden, Proporción, Belleza y Armonía»”); (c) la aparición del irracional en el Menón, ejemplificando el advenimiento de lo indecidible a través del máthema. (Cfr. “Estudio del Menón como caso ejemplar de la operación platónica de introducción de la racionalidad matemática en la filosofía”). Por lo demás, el esquema de lo indecidible que se ha construido a lo largo de esta investigación intenta dar cuenta de dicha inaprehensibilidad esencial. 415 Ejemplificado a la perfección en Gorgias 464b.

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condicionaran por completo en el campo teórico, tal disposición educativa no sería posible. 3. La educación tiende para Platón hacia el fin más excelso y presupone la búsqueda de la más elevada de las virtudes. La educación busca la verdad. 4. La ciencia teórica posee un fundamento ulterior dado por la búsqueda de esta verdad. En consecuencia, la ciencia teórica puede operar como nodo funcional del proyecto educativo platónico. Posteriormente, Filebo 55b4 y también Filebo 55c, verifican que las matemáticas son el mejor ejemplo de ciencia teórica, en tanto deben constituirse como paradigma rector de las demás ciencias. Esto habilita por primera vez la visibilidad de las matemáticas como ciencia teórica al servicio del esquema educativo. No obstante, se trata de las matemáticas “filosóficas” y no de las que utiliza el vulgo, según otro contraste hallado en Filebo 56e, que confina el contenido teorético de la parte superior de las ciencias y, al mismo tiempo, la ejemplaridad de las matemáticas, bajo esta disposición meramente técnica. En el marco del proceso de división [diaíresis], las matemáticas localizan un polo cuyo contenido eminentemente teórico –y en consecuencia rector– no atenta contra su fisiología práctica. De ello habla también la sucesión educativa sugerida por República 525a, que inscribe, una a una y en orden específico, cada subdisciplina matemática. En primer lugar, debe aprenderse la aritmética, que estudia los números pares e impares: es lo que nosotros designamos con la palabra “numeración”.416 Luego la geometría, que se ocupa de las figuras417 y de las proporciones.418 Finalmente, la logística, consistente en el cálculo de los números, de pares e impares, como cantidad en sí, en su relación recíproca. Aunque posee el mismo objeto de estudio que la aritmética, la logística acentúa en mayor medida la dimensión cuantitativa y no la potencia formalizante como lo hace aquella.419 Lo indecidible empieza siempre por una división, pues requiere de dos o más alternativas. Ontológicamente, he sostenido que lo indecidible

416 417 418 419

Protágoras, 357a y Teeteto, 198 a. Hipias Menor, 368 a. Gorgias, 465b. Político, 259e.

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es otro nombre para la diferencia,420 para el sostenimiento de la misma, la advertencia de polos disímiles que fomentan la gestación y permanencia del instante aporético. Que haya otro uso posible para las matemáticas, además del cotidiano y vulgar, promueve una bifurcación. Gracias a la llegada de la alteridad, de la diferencia misma, se condensa el alcance de una alternativa y con ella de lo que aún no se decide a causa de una espasmódica novedad. Aún no se trata de la diferencia mayor que abrirá paso a la suspensión momentánea del juicio. Sin embargo, que la división comience a reproducirse en el interior de las matemáticas responde a la obsesiva y minuciosa voluntad diferenciación. Pero ¿cuáles son los componentes del “verdadero” uso práctico (político en gran medida) que se hace del máthema? En “Las matemáticas como ciencia propedéutica..”. ha sido despejado que: a. El máthema adviene como operador disruptivo421 que ataca de manera directa los cimientos del triplete doxa-sofística-tragedia.422 b. Esta ruptura es dolorosa y no menos violenta423 por cuanto presupone: (b.1) Un juicio de valor negativo del antecedente trágicosofístico y del dispositivo mimético que éste articula424, fundado en una concepción ética comandada por el discernimiento racional del Bien425; (b.2) Platón llega a hablar de “conversión”426 [metastrophês] que arranca el alma del mundo del devenir hacia el de la verdad y el ser.427

420

De ahí el tratamiento e interpretación que hago del célebre parricidio de Platón –recogido por Sofista, 258a1-259 b7– como la reorientación epistémica que introduce el ámbito intermedio de la diferencia donde el máthema vendrá a emplazarse. Cfr. la segunda parte de “Sobre pensar y ser. Exégesis primaria de los conceptos de «pensar» y «ser» tendiente a la apertura de la orientación epistémica clásica y las modalidades de la inscripción platónica en su interior”. 421 Protágoras, 356d. 422 República, 525e, 602d; Leyes, 747c. 423 República, 607e7. 424 Leyes, 801b10; República, 377e1, 395d. 425 República, 526d. 426 República, 525c7. 427 República, 525a4-525c7.

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c. Máthema y poema comulgan en el carácter técnico que los obliga a comparecer en un mismo plano de disputa. Si se agrega que ambos dispositivos pretenden ocupar el sitio central de la pedagogía ateniense, el choque se manifiesta con plenitud. Puesto que todo reemplazo contiene un desplazamiento y que, a partir de la comunidad técnica del discurso trágico y matemático, pareciera no haber espacio para la coexistencia de ambos –o, lo que es lo mismo, que son mutuamente excluyentes en tanto uno dice lo falso y otro lo verdadero–, el máthema ocupará en la pólis ideal el sitio otrora asignado al poema.428 El uso que el filósofo le dará es precisamente aquel que lo ubica como punto de quiebre capaz de instaurar un tipo de rectitud (propiciado por la univocidad de la letra matemática, en contraste con la variabilidad a la que permanecen sujetas la tragedia y la sofística).429 Platón brinda las condiciones para hallar lo indecidible, lo que efectivamente su filosofía no podía ni buscaba anticipar. Sin embargo, esta falta de cálculo no evita –sino que incluso potencia– que entre su intento de fundar la ciudad ideal a partir del vacío del máthema esparcido sobre un plano ideal430 y aquello que se debe dejar atrás, aquello de lo que se anhela desembarazarse, a saber, el régimen de deliberación democrática, se produzca el instantáneo resplandor de lo que ya fue y, en el mismo presente, aún no ha sido: una suspensión. Si es verdad que el concepto de indecidibilidad no es de factura platónica, no menos cierto es que el avance de su filosofía lo anuncia ostensiblemente impregnando cada palabra de su evanescencia esencial. No las Ideas, las cosas o la propuesta ética sino el conjunto tomado en una perspectiva tanto general como microscópica, promoviendo sus fisuras, acusándola frente a la posteridad; eso es lo indecidible: el surco que, atravesando de principio a fin la construcción de la filosofía platónica, reclama, como poder des428

Salvo, claro está, la utilización deliberada del poema bajo intencionalidad filosófica. La poesía puede ser funcional a los rectos gobernantes en tanto y en cuanto sea producida con arreglo a los fines discernidos por la filosofía. Aunque esto es bastante claro en la exposición de Platón, no menos claro es el gesto de subordinación de dicha poesía a la racionalidad instaurada por Platón, la cual encuentra, no casualmente, su paradigma en la univocidad y en la lógica matemática. Cfr. Leyes, 811c9 y 817b4. 429 Ver, por ejemplo, cómo “el aprendizaje concerniente a la unidad” puede hallarse entre “los que guían y vuelven al alma hacia la contemplación de lo que es”. Cfr. República, 525d11. 430 Cfr. República, 592b2.

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organizador, ser percibido allí donde el propio Platón pretendió darle muerte mediante el deseo de fundación. Así, el máthema, que brotó como pura potencialidad al igual que Khôra431, comienza a deberse sigilosamente a un trabajo superior, para ir quedando subordinado a éste, para de esta manera permanecer circunscripto en los límites que la filosofía sanciona. ¿Cuáles son dichos límites? Justamente aquellos que determina la dialéctica como ciencia suprema. Las matemáticas poseen, en este sentido, una relación estrecha con la dialéctica porque adquieren de ella la exigencia de no-equívocidad y también la voluntad de aprehensión de lo eterno e inmutable. El máthema deberá ser respaldado por la Idea –acaso el primero no sea otra cosa que un modo de darse de la segunda con cierta especificidad ontológica–. Y es eso lo que he mostrado en “Matemáticas y dialéctica”: el principio de subordinación que codifica la relación del saber matemático con el dialéctico y el límite infranqueable que el dominio de este último traza, menos por una cuestión de ‘objetos de estudio’ que por la diferencia de métodos y cercanía con el máximo fundamento de la metafísica platónica. Las matemáticas son intermedias [metaxý] en la medida en que reconocen, además de su distancia con la doxa y la eikasía432, que su tarea no puede continuar más allá de cierto ámbito, debiendo comprender que la consecución del mayor grado de conocimiento está reservado para la dialéctica.433 Entregaran las armas a sus aliados confiados en que su preludio llegará a buen puerto434. Lo que con esta sutura se muestra retroactivamente es la intensa inestabilidad que presupone la introducción de las matemáticas tanto en la filosofía como en el ámbito político. ¿De qué otro modo podría justificarse luego de la fuerte aparición del máthema en el Menón, el inmediato movimiento que liga matemáticas y dialéctica a fin de conjurar lo que hubiera podido suscitarse en dicho diálogo? República no sólo describe a la perfección la intencionalidad pedagógico-política que gobierna al programa matemático diseñado para los guerreros, sino que ajusta lo que pudo ser riesgoso en el máthema. 431 432 433 434

Timeo, 49a, 50c, 52b. República, 509d7-511e6. República, 511c. Cfr .“Matemáticas y dialéctica”.

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Asimismo, Platón declara su absoluta necesariedad: no existe otro dispositivo para acceder al conocimiento filosófico que éste.435 República es la marca del reaseguro metafísico, el trazo de la fundación, puesto que entiende la dialéctica como el respaldo imprescindible para la edificación de todo conocimiento.436 Hasta aquí la indecidibilidad del máthema ha sido dinámica. Entre los tres capítulos precedentes han relatado la trayectoria súbita de las matemáticas que las hacía competir con el poema y, por un instante, generar un inesperado efecto des-fundante sobre la situación política, filosófica y ontológica. Es posible también realizar un corte diagonal que arroje una imagen estática de lo indecidible. Pero antes, volvamos un instante sobre un capítulo bisagra que da cuenta de dicha mecánica. Se trata de “Estudio del Menón..”.. Allí he defendido que el Menón lleva en sí mismo la clave de interpretación de la dinámica del máthema tanto en lo referido a su estructura como en lo tocante al conjunto de los diálogos (tomados en su determinación evolutiva). Desde la exterioridad y extrañeza de las matemáticas y la filosofía437, pasando por un proceso de invaginación y aparición de lo indecidible438, hacia la adopción por entero de la racionalidad matemática439. En esta transición, puede incluso albergarse la concepción –defendida por la Escuela de Tubinga-Milán– de que Platón fundamenta metafísicamente las matemáticas al mismo tiempo que “modeliza” analógicamente no ya 435 Cfr. la primera parte de“Las matemáticas como ciencia propedéutica. La sustitución del paradigma poético-mimético por el matemático” y también “Philía y matemáticas” donde intento mostrar la capacidad de quiebre inherente a las matemáticas que la dispone como (único) operador de disrupción. A su vez, hay que reparar en la referencia de República, 511a (“[…] buscando divisar aquellas cosas en sí que no podrían divisar de otro modo que con el pensamiento [diánoia]”) donde pareciera sugerirse la existencia de un campo ontológico propiamente matemático –diverso de la dialéctica– que evitaría la postulación un tanto simplista de que las matemáticas no son más que un modo diverso de aprehender las Ideas. En efecto, esto es verdad pero de modo parcial, pues el máthema, aunque no identificable con algún tipo de “ente matemático separado”, posee un status ontológico propio y peculiar: lo indecidible positivamente formulado. 436 En República, 511d3, describiendo la utilización de los supuestos por parte de los matemáticos, se dice: “[…] te parece que [los supuestos] no poseen inteligencia acerca de ellos, aunque sean inteligibles junto a un principio”. Algo similar sucede en Menón, 98a. 437 Menón, 70a-80d. 438 Menón, 80d-86d. 439 Menón, 86d-100c.

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“lo que hay”, sino más bien toda enunciación filosófica. Pero, desde mi punto de vista, habría que captar lo que está el centro de este argumento y sostenerlo hasta las últimas consecuencias: la indecidibilidad esencialmente matemática, pero cuando este saber intenta ser determinado filosóficamente –fijado, conocido, dis-puesto, precisado, objetualizado, parcializado o, dicho de otro modo, ser tomado como un pensamiento–, lo indecidible será traspasado a la corporalidad misma de la filosofía, de su historia, de su hondo motivo de diagramación política. En el eje de mi argumentación se halla: a) El encuentro con lo irracional [álogos] en el marco de la teoría de la reminiscencia.440 b) La formulación de un nuevo concepto de lógos superador al pitagórico441 producto de un desplazamiento forzado por la aparición –geométrica– de lo irracional. c) La funcionalización del procedimiento matemático con fines filosóficos. El razonamiento por hipótesis442 que retoma el tema propio del diálogo a partir de 86d, a saber, ¿Es o no enseñable la virtud?.443 Sobre el corte estático que sucede a este capítulo, se han detenido “La línea dividida..”. y “Philía y matemáticas”. La estática se aparta de la dinámica porque la sucede; y se acerca porque queda incluida en ella. Mientras la descripción dinámica requiere de tres instantes correlativos (advenimiento, inscripción y enfrentamiento, suspensión), la estática es el residuo visible del proceso dado por la primera. Por ello, “La línea dividida..”. se aviene al estudio de ciertos desprendimientos observables del indecidible ontológico. En consecuencia, verificó: 1. Que el símil de la línea dividida debidamente interpretado, bajo la lectura que inició “Sobre pensar y ser..”., impide concluir apodícticamente acerca de la existencia o no existencia separada de entes matemáticos. Aquí la indecidibilidad surge como operador negativo pues impide disgregar elementos que comulgan en la mismidad. 440 441 442 443

Menón, 84a. Cfr. el apartado “Advenimiento e invaginación” en dicho capítulo. Menón, 86e3. Menón, 86d.

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2. Las posiciones que afirman la existencia de entes matemáticos discretos y separados y también aquellas que la niegan, testifican el deseo de obstrucción de lo indecidible. Por eso mismo he intentado mantenerme al margen del debate entre Paul Pritchard y Julia Annas444 –aun bebiendo de sus refinados aciertos– dado que ambos sobredeterminan al máthema sin reconocerle su carácter intrínseco. 3. Que las nociones griegas de orden [kósmos], proporción [symmetría]445, belleza [tò kalón]446, medida [émmetron] y armonía [harmonía]447 conforman un sistema de mutuas referencias que se adhiere como rasgo innegociable del máthema. A su vez, cada uno de estos conceptos tiende448 hacia la Idea de Bien.449 La noción misma de ‘tendencia’ remite al deseo [epithymía] que no cesa jamás y que constriñe a una búsqueda incansable de aquello que se desea. Si el máthema es un operador, como érôs y philía, es porque es una fuerza que tiende hacia algo saliéndose de un estado de cosas dado. 4. Que Khôra se presenta como una noción esclarecedora del máthema en tanto comparte de manera explícita algunas de sus características capitales. En realidad, es probable que Khôra haya trasfundido algunas de éstas en el momento primario de la gestación del universo, al ser informada por las figuras geométricas. Esto hace que las matemáticas adquieran ciertas cualidades de este extraño “tercer tipo de ser” que es Khôra: no poseen una entidad definida, fácilmente, se aproximan al no-ser y brotan en la proliferación de la diferencia. En concreto: (a) El simultáneo gesto de diferenciación de Khôra respecto de Ideas e imágenes450 que recuerda al movimiento típicamente matemático de evasión del terreno eidético –las matemáticas se ubican claramente por 444 Cfr. Pritchard, P. Plato’s philosophy of mathematics, Academia Verlag, 1995 y Annas, J. An introduction to Plato’s Republic, Clarendon Press, Oxford, 1981. 445 Timeo, 35b, 36b. 446 República, 529d; Timeo, 28a, entre otros. 447 Timeo, 36e; Leyes, 664e. 448 Cfr. “Philía y matemáticas”. 449 Filebo, 64e. 450 Timeo, 52c-d.

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debajo de las Ideas– y también de ruptura abstractiva –poder de alejamiento respecto del devenir–; (b) El hecho de que sólo es perceptible a través de sueños [oneiropoloûmen blépontes]451 como lo son las matemáticas en República 533b9 [oneirôttousi]; (c) en conexión (i.e. bajo el mecanismo de información matemática de lo inconfigurado) generan un proceso “difícil de concebir y admirable”452. El máthema aparece en este capítulo por innumerables rincones de la ontología platónica: la ciudad, los astros, el alma humana 453. Un análisis similar introdujo “Philía y matemáticas”. Si el máthema instituye una ruptura primaria es porque también es capaz de proponer lo común [tò koinón]; si su finalidad resulta ser propiciar una nueva pólis, se debe a que al momento de su irrupción abre la potencia de la fraternidad entre aquellos que han comprendido la relevancia de la polémica. La amistad [philía] será pues simultáneamente un interior –académico, ateniense, puro y auténtico– que acaece según una ley explícita, pero también es la acabada comprensión de que ella misma es condición de posibilidad de todo diálogo y, con él, de toda filosofía. De este modo, el máthema se erige como soporte discursivo-pedagógico del filosofar, corroborando la mutua referencia ontológica entre philía y matemáticas. Ambas presuponen la agresividad de un corte inicial454; ambas anuncian un terreno de comunicación intersubjetivo que posibilita la armonía y el orden.455 Gracias a este vínculo indisoluble es que pueden encontrarse en los diálogos paralelos explícitos entre la amistad y la proporción geométrica456. No obstante, la garantía final de dicha correferencia –que ubica, por lo demás, a philía, a érôs y a epithymía en el ámbito de lo intermedio, junto con las matemáticas– está en sendos intentos por alcanzar la Idea del Bien. Mientras que el verdadero amigo

451

Timeo, 52b. Ibíd, 50c6. 453 Leyes, 967c. 454 Ver, entre otros, República, 602d y recordar la inscripción en el frontispicio de la Academia. Para la ruptura “previa” que supone toda amistad ver Político, 260c; República 470c, 471a; Menéxeno, 244a2, entre otros. 455 Eutifrón, 7 b7; Ión, 537e4; Alcibiades, 126b. 456 Gorgias, 507d. 452

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lo es de un “primer amigo” [prôton philon]457, las matemáticas se deben a la subordinación epistémica respecto de la dialéctica, encargada de acceder a las Ideas del modo más perfecto que pueda pensarse. Permanecer en el espacio de tò metaxý es poseer un objeto de deseo ajeno al propio dominio y localizado jerárquicamente por encima de éste. No puede ser casual que, junto al máthema, se presenten las tres grandes fuerzas dinamizadoras de la ontología platónica que, a su vez, ya disponían en la tradición presocrática de un papel central.458 Para terminar esta conclusión, cabrá evaluar escuetamente los resultados obtenidos de la Tൾඋർൾඋൺ Pൺඋඍൾ: Pඋඈඒൾർർංඈඇൾඌ. He sugerido en la Iඇඍඋඈൽඎർർංඬඇ que los mismos debían ser considerados bajo un temple provisorio y tentativo. Asimismo, he asumido que aunque discuten –junto con los Aඉඣඇൽංർൾඌ– cuestiones de suma relevancia, no dejan por ello de poseer una posición lateral respecto de la hipótesis de lectura. Lateral significa no más que “definida en función de un contexto más amplio”; relativa a la hipótesis, ciertamente, pero anudada a un debate acerca del devenir de la historia de la filosofía del que no he planificado ocuparme en profundidad en este escrito. No obstante, su presencia se justifica porque arroja luz sobre algunas de las intuiciones fundamentales que plantea la hipótesis. En “El problema de la recepción..”. intenté mostrar que las referencias que podían encontrarse en el reporte aristotélico crítico de la doctrina platónica acerca de las matemáticas (Metafísica M y N) no sólo no pueden ser halladas en los diálogos sino que, sin saber aún si forman parte del programa que Platón dictaba en sus selectos cursos –y ello comporta la dimensión de la decisión que aparece en el título de dicho apartado–, originan la conjura de lo indecidible. Por estabilización metafísica entiendo la voluntad de sometimiento de la potencia desorganizadora de lo indecidible a un orden determinado, de acuerdo con reglas que tienden, en este caso, a la determinación del fundamento filosófico y político como meta secreta de todo conocimiento. El atolladero visible en la recepción de la enseñanza platónica depende de numerosas referencias que afirman la existencia de las «doctrinas no escritas» de Platón, consignadas por pensadores y doxógrafos. Hay dos 457

Cfr. Lisis, 216c-220e. Pienso, fundamentalmente, en Philía como potencia cosmológica de reunión en Empédocles. Cfr. Empédocles, “Sobre la naturaleza” en Sobre la naturaleza de los seres. Las Purificaciones, Aguilar, Madrid, 1969. 458

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tipos de autotestimonios que dan razones en favor de su existencia: los que critican la escritura per se como soporte de transmisión de conocimiento (Fedro y Carta VII) y los que, en cambio, exponen un rodeo o una elipsis efectuada por cierto personaje del diálogo, que indicaría la reticencia platónica a brindar tratamiento de ese tema por vía gráfica. Las últimas investigaciones sobre la filosofía de Platón concuerdan en aceptar la relevancia de las «doctrinas no escritas», aunque no hallan acuerdo en lo que respecta al nivel de importancia relativa que adquieren en función de los diálogos. Incluso aceptando que el pensamiento platónico depende tanto de lo que está contenido en los diálogos como de lo que Platón intentó transmitir en sus célebres conferencias destinadas a algunos estudiantes, he señalado en “Abandono de la perspectiva de Tubinga-Milán..”. que las matemáticas no parecerían pertenecer a este espacio diferido hacia las enseñanzas orales y que, por tanto, la discusión aristotélica reafirma el acto de estabilización metafísica y no hace una exposición platónica del máthema.459 La posición de Aristóteles se resume en la crítica a una supuesta postulación de entes intermedios460 separados que habitarían en la jerarquía ontológica. No casualmente, el ataque a la filosofía de Platón se dirige, como en casi la totalidad del mismo, hacia la idea de “separación” [khôrismós] de las esencias respecto de las cosas sensibles.461 Lo que no se cuestiona bajo ningún punto de vista será la idea de que las cosas deben poseer cierto fundamento esencial, que sea cognoscible y que las matemáticas deben participar, en tanto ciencia, de dicha estructura epistémica. Por eso puede decir Aristóteles que: “[…] es difícil decir algo sano a partir de lo que no es […]”462 459 Incluso podría pensarse que, dado que Aristóteles suele utilizar el mote de “platónicos” o apela a sujetos neutros plurales como “Ellos”, “Aquellos”, “Algunos”, “Quienes” en numerosas ocasiones con vistas a formular su crítica [Entre otros, Metafísica, 1092a21; 1090a16; 1090a2; 995b13], el centro de gravedad de su discusión podría estar en Espeusipo y Jenócrates, los dos sucesores de Platón al mando de la Academia que habrían producido una especie de “retorno pitagorizante” de la filosofía platónica. Aunque es cierto que Aristóteles podía distinguir bastante bien la teoría de cada representante [Metafísica, 1028b16], en la mayoría de los pasajes es bastante difícil de establecer específicamente a quién se estaba refiriendo. 460 Metafísica, 1090 b32. 461 Metafísica., 1085 a23. 462 Metafísica., 1085 b34.

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Entonces, si mi hipótesis ha sido correctamente defendida, es lógico que el planteo aristotélico quiera sofocar lo indecidible –el ‘no ser’ entendido como ‘diferencia’– anunciando que poco podría decirse por vía regia de lo que ‘no es’. En adelante, las matemáticas conformarán una de las ciencias que provee un modelo para diversos usos (por ejemplo el que hace en Aristóteles mismo en su lógica o el empleo de números en el tratamiento del concepto de tiempo en Física IV, 10-14), a la vez que instituyen un paradigma argumental –ya utilizado por Platón en el Menón y en el Parménides– y le proveen al estagirita de una analogía general del pensamiento del ser463. En la misma línea, se encuentra “Platonismo matemático. Breve historia de un giro que hizo historia”. Allí sostuve que “la diferencia entre lo que puede saberse acerca de la doctrina matemática incluida en los diálogos y lo que se ha conocido modernamente como «platonismo matemático» es tan abismal como sintomática su borradura y la voluntad de homogeneización que la rige. Si el máthema introduce la desorganización propia de lo indecidible en el seno del lógos clásico, el platonismo matemático no es sino la prolongación con solución de continuidad de la estabilización también nacida del texto platónico tendiente a bloquear la emergencia radical de la diferencia”.464 En consonancia, alegué que Platón nunca forjó una “filosofía de las matemáticas” por cuanto: (a) la dialéctica no se ocupa de examinar a fondo las características del máthema sino de las Ideas; (b1) las matemáticas en sí mismas constituyen un pensamiento que comienza con la arbitrariedad de un/os axioma/s y, al mismo tiempo, (b2) el campo que abren posee cierta autonomía, dada por un contraste con la dialéctica.465 Aun cuando las matemáticas se hallan subordinadas, poseen potencia propia. Que se entienda: la ciencia proporcionada por la dialéctica fundamenta a las matemáticas, pero en la obra platónica dicha fundamentación es metafísica y no explicativa, al modo de una instancia diferida respecto de la instauración misma del máthema.466 Una cosa más debería hallar eco en esta consideración y es la desmitificación del argumento que 463

Metafísica, 1025b. Cfr.“Platonismo matemático. Breve historia de un giro que hizo historia”. 465 República, 511a. 466 Esto conduciría a la nada trivial pregunta de si se podría habitar un mundo gobernado por lo indecidible, es decir, un mundo no-metafísico. 464

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propone que si las matemáticas dependen del corte arbitrario, se sigue de ahí que hay una desconexión ontológica entre Ideas y cosas, que haría tambalear la teoría platónica de la méthexis. Desmitificar consiste en responder que en nada depende el vínculo ontológico de participación entre Ideas y cosas de la disposición de un “ente” peculiar –operatorio e inexistente, pero conformante de cierto espacio en la jerarquía de los seres–, que no es sino un gesto de intervención del pensar con un grado de entidad extraño. Su arbitariedad no atenta contra la relación que liga al paradigma con los objetos mudables, porque su entidad no se asemeja en nada a ninguno de estos dos tipos determinables de realidades que, por su parte, sí pueden entrar en una conexión positiva (como no sucede con el máthema, que sólo se define negativamente por la mutua distancia que toma de ambos). Para decirlo brutalmente: el máthema no interviene allí en la medida en que in-existe, mientras que, por el contrario, sí localiza toda su fuerza en la capacidad disruptiva que lleva consigo y que le permite alejarse de ambas instancias a la vez. Luego intenté mostrar, no sin algún esfuerzo, el contraluz que emerge entre lo que sucedía con la introducción matemática de los diálogos y lo que se conoce por platonismo matemático contemporáneamente. Si este último considera las matemáticas como el descubrimiento de verdades concernientes a estructuras –no espacio-temporales– que existen independientemente de la actividad mental o el pensamiento de los matemáticos467, eso no concuerda bajo ninguna óptica con el gesto platónico genuino en la medida en que: (I) esta consideración no resulta adecuada para leer la teoría del conocimiento griega; (II) las matemáticas de Platón poseen caracteres diferenciales que no permiten su identificación con una “ciencia” de “objetos independientes”. En este sentido, el máthema aparece en los diálogos como: (a) operación discursiva de ruptura con la doxa, (b) dispositivo propedéutico en relación de subalternación con la dialéctica, (c) fundamento del acuerdo y la concordia en el alma humana y la pólis, (c) marca y ley de la proporcionalidad del universo, (d) prescripción de dicha proporción a la ciudad y al alma humana, donde radica su importancia pedagógica, (e) modelo de razonamiento

467 Cfr. Balaguer, M., Platonism and Anti-Platonism in Mathematics, Oxford University Press, Londres-Nueva York, 1998.

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hipotético-deductivo. La relevancia que adquieren estos aspectos es para Platón equilibrada por el soporte ontológico de lo indecidible.468 El resto del capítulo me dediqué a sugerir la posibilidad de una lectura extendida de la hipótesis. He avanzado que aquello que fue reprimido (i.e. lo indecidible matemático) por el propio Platón, disimulado por Aristóteles y puesto en silencio no sin ciertos exabruptos por la historia de la metafísica, ha supurado, renacido y brotado en la misma disciplina que lo vino a instalar y de la mano de un examen de sus fundamentos. Las matemáticas (en particular la aritmética) han asistido a un cisma con los teoremas de Gödel y, con éstos, a la formulación de la indecidibilidad. Bajo pretexto de una filosofía de la historia que participa de cierta tradición continental, he querido mostrar que la trasposición de esta noción desde el mundo contemporáneo hacia la proto-fundación griega es posible gracias a que reside allí un «límite» estructural que ha recorrido subterráneamente a Occidente. Lo indecidible retornaría en los teoremas de Gödel a causa de que nunca pudo ser plenamente conjurado.

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Ver Esquema B, p. 265.

APÉNDICES

PERSPECTIVAS CONTEMPORÁNEAS DEL PROBLEMA MATEMÁTICO EN PLATÓN

ODIAR A PLATÓN. EL CASO HEIDEGGER

I Todo intento por trascender el texto metafísico se ha convertido indefectiblemente en la restauración del mismo. Eso parecería indicar Derrida hacia el final de Ousía y Grammé. Nota sobre una nota de Sein und Zeit 469. Yo radicalizaría: todo intento por escapar al Occidente metafísico repite, ese es el sentido de toda mala repetición, su operación primigenia identificada con la significación, o más específicamente, con el deseo de significación. Su balbuceo habrá sido, desde siempre, deseo de trascendencia significante. Búsqueda de la significación auténtica, recta, verdadera. Cómo ha funcionado esta repetición ciega entre Platón y Heidegger es lo que pretendo mostrar. Sobran los motivos para que aquel debate adquiera centralidad en relación con la filosofía contemporánea y con toda posible filosofía del futuro. Mientras tanto, uno de ellos está dado por el debate en torno de las matemáticas; o, más precisamente, por la discusión heideggeriana respecto del sentido de la inclusión platónica de las matemáticas. Lo siguiente constituyen unas notas respecto de este foco problemático.

469 Cfr. Derrida, J. “Ousía y Grammé. Nota sobre una nota de Sein und Zeit” en. Márgenes de la Filosofía, Cátedra, Madrid, 1988

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II El recorrido de Heidegger alrededor de la metafísica sugiere al menos dos movimientos conjuntos. El primero está dado por el gesto imprescindible de la deconstrucción de Occidente. El otro comporta todo el carácter prospectivo de la tarea del pensar. Ahora bien, si aquel se entrega a recorrer las grietas y pasajes de la historia, el segundo medita en el seno de la historicidad misma. Claro que esta distinción sólo es posible como distinción analítica ya que ambas dinámicas se entrelazan de modo indefinido y se posibilitan mutuamente. El calmo pero riguroso paso de la reflexión discurre sobre las palabras que han forjado la historia de la metafísica como historia del ser. La deconstrucción libera –casi exigiendo, lenta y sigilosamente– un resto, un residuo vacío, un claro, para decirlo en los términos de Heidegger, a través del cual el pensar meditativo se erige como posibilidad. En el esquema de Heidegger, inscripto en este ritmo, no dejan de asombrar la sutil y original filología ni la fuerza del clamor de actualidad: el hombre corre el riesgo de perder su esencia como ente comprensor, el mundo está al borde de la aniquilación total, la naturaleza grita su agotamiento. La pregunta, por lo demás un bastión insistente de su pensamiento, guiará entonces la reflexión acerca de cómo ha sido posible este tiempo de penurias, orientando su resolución necesariamente hacia la meditación deconstructiva. En este marco, los griegos constituyen para Heidegger una inescrutable fuente de vida y olvido. Anaximandro, Heráclito, Parménides, Platón, Aristóteles desfilan a lo largo de sus páginas para anunciar lo que ya pasó. Sitio ambiguo: florecimiento y marca indeleble de Occidente; potencia del pensar y profecía contingente de nuestros días. Si Occidente es el ocaso, la deconstrucción recaerá sobre los albores. No se trata de un retorno sin más a los griegos. Puesto que habitamos una época determinada y participamos de una tradición no es posible tal regreso. Por esta razón los griegos adquieren una relevancia insoslayable: habrán codificado y habrán señalado470 el camino. La forma de singularizar su semblante es la manera del lógos: hermenéutica. 470 El uso del futuro perfecto del indicativo es deliberado. Responde fundamentalmente a la necesidad de señalar un acontecimiento –en este caso el acontecimiento griego– que

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En particular, yo quisiera detenerme aquí en Platón y por un motivo sorprendente: la perfecta oposición que se presenta entre Heidegger y Platón en lo que respecta a la relación entre poema y máthema. Intentaré una doble tarea: dentro del camino deconstructivo, quisiera escudriñar los supuestos de la oposición que el propio Heidegger forja. Reforzando la centralidad que la figura de Platón471 posee en la historia de la metafísica, Heidegger encontrará en el ateniense la condensación absoluta del olvido que originó la interpretación del ser como presencia absoluta.472 Su posicionamiento revelará una contienda que no hace más que redundar en sucesivos embates deconstructivos. Por otra parte, pretendo delinear el vínculo exterior que insiste en presentar la diferencia de dos nombres: Platón/Heidegger. Cuestionar sendas posibilidades y sendos tiempos quizás sea necesario para acceder a la centralidad de este enfrentamiento muchas veces tácito en el debate filosófico. III Heidegger anuncia, su articulación discursiva no cesa de señalarlo, un desplazamiento más allá de la filosofía. Más allá significa aquí desde la metafísica hacia una nueva experiencia del pensar. Más allá querrá decir, por lo tanto, una relectura histórica de la interpretación de ser [seyn] como ente; traspasar las fronteras de la lectura del ser como al mismo tiempo que acaecía borraba su marca eventual y no dejaba más que su estela. Se tratará, por tanto, de reconstruir a partir de la huella aquello que habrá sucedido. 471 Un gran libro que trata esta cuestión es Goldschmidt, V. Platonisme et pensée contemporaine, Vrin, Paris, 1970, en especial la segunda parte “Les querelles sur le platonisme”. 472 Heidegger, M. “La época de la imagen del mundo” en Caminos de Bosque, Alianza, Madrid, 1996. Allí Heidegger dirá: “El hombre griego es en tanto que percibe lo ente, motivo por el que en Grecia el mundo no podía convertirse en imagen. Por el contrario, el hecho de que para Platón la entidad de lo ente se determine como éidos (aspecto, visión), es el presupuesto, que condicionó desde siempre y reinó oculto largo tiempo de modo mediato, para que el mundo pudiera convertirse en imagen” Y reafirmará en esa misma nota al pie: “No cabe duda de que gracias al pensamiento de Platón y las preguntas de Aristóteles se lleva a cabo un cambio decisivo en la interpretación de lo ente y el hombre, pero aún está encerrado dentro de la comprensión fundamental de lo ente propia del mundo griego. Dicha interpretación es precisamente tan decisiva respecto a ella, que se convierte en el punto final del mundo griego, un final que colabora indirectamente en la posibilidad de preparación de la Edad Moderna”.

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presencia sin traspasar las fronteras que nos nombran como Occidente. Ahora bien, ¿cuál es la manera de efectuar el tan mentado salto de Heidegger? ¿Cómo acceder al abismo [ab-grund] que des-fundamenta aquella presencia? El pensador alemán opta por el recurso a la poesía. Como es sabido, Hölderlin, Trakl y Rilke se inscriben en el límite de la palabra heideggeriana: sólo ellos saben y cantan –para sí mismos y en silencio473– la desdicha de la huida de los dioses, sus estertores y el anhelo de su retorno. Heidegger establece de este modo la distancia entre filosofía y poema al mismo tiempo que restituye a esta última el privilegio de la palabra en la proximidad con la verdad del ser. Distancia que será la diferencia necesaria para que la tarea del pensar adquiera la continuidad que la filosofía no pudo darle. ¿Por qué no pudo hacerlo? Se dirá: la filosofía no hizo sino obliterar la experiencia del pensar en el acto mismo de constituirse para sí como historia de la metafísica. El nombre del olvido es el de Platón. Pero una consideración más antes de avanzar. Heidegger observará que el ente matemático, encarnación absoluta del presente, no hace más que re-producir la presencia irradiante de la idéa como interpretación de la verdad (aléetheia). Así se percibe el ambiguo status que adquiere la verdad a partir de su asimilación lo inteligible. Las matemáticas adoptarán punto a punto este status paradójico: En esta mutación de la esencia de la verdad se cumple, al mismo tiempo un cambio de lugar de la verdad. Como desocultación ella es todavía un rasgo fundamental del ente mismo; pero como justeza del “mirar” ella deviene la característica del comportamiento humano con relación al ente.474 473

Cfr. Heidegger, M. “El Poema” en Interpretaciones sobre la poesía de Hölderlin, Ariel, Barcelona, 1983. Allí Heidegger repite los versos de una variante de El archipiélago que condensan, creo yo, el espíritu de la responsabilidad del poeta en tiempos de penuria: “Pero porque están tan cerca los dioses presentes / debo estar yo como si estuvieran lejos, y oscuro en las nubes / debe estarme su nombre; sólo que, antes que la mañana / se me ilumine, antes que la vida arda al mediodía, / me los nombro yo en silencio, para que el poeta tenga / su haber, pero cuando desciende la luz celeste / me gusta pensar en la del pasado, y digo: ¡florece sin embargo!” 474 Heidegger, M. La doctrina de Platón acerca de la verdad, Versión castellana de Juan David García Bacca. s/d. p.16.

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El ente matemático estaría composibilitado –para retomar un término leibniziano– por el paso de la desocultación hacia la presencia absoluta y el giro que sitúa a la verdad como una posibilidad discursiva del “comportamiento humano”. El máthema permanece indecidible entre la pura realidad metafísica y la ciencia discursiva que permite la ascensión dialéctica.475 Heidegger acompañará pues aquel recurso al poema con una intensa crítica hacia las matemáticas como el trazo mismo de la esencia de la técnica. IV Platón introduce, ya se sabe, la dureza de las matemáticas tanto en la constitución ontológica del alma del mundo476, como en la preparación pedagógica y en el acceso al conocimiento del Bien. Si apela al número es en relación con el arduo camino hacia la verdad. La rectitud se dispone en el preciso momento en que la opinión se desplaza para dar paso a “lo que no puede ser de otra manera”. No quiero con esta exposición más que repetir la relevancia de la introducción de éstas en la fundación simultánea de la pólis y de la filosofía y asegurar que la estrategia de Heidegger se dispone en torno a la destrucción de este núcleo platónico. En paralelo a esta irrupción de las matemáticas en el pensamiento de Platón, este gesto inicial que introduce el rigor argumental en la filosofía se complementa con una actitud controversial hacia los poetas. Como ya se ha dicho en el cuerpo de esta tesis, en República X, el filósofo se desprenderá dolorosamente de la tradición poética que lo precede: hijo de Homero, se dispone a romper con el engañoso riesgo que éstos profieren en sus versos.477 Asimismo en Leyes VII 475 El motivo de esta indecidibilidad quizás reste en la potencia semántica de lógos. Como se sabe, este término indica tanto el discurso racional como la proporción y la armonía que informa « lo que hay ». 476 Cfr. Timeo, 35b-36a. 477 República, 607a: “Por lo tanto, Glaucón, cuando encuentres a quienes alaban a Homero diciendo que este poeta ha educado a la Hélade [...] debemos amarlos y saludarlos [...], y convenir con ellos en que Homero es el más grande poeta y el primero de los trágicos, pero hay que saber también que, en cuanto a poesía, sólo deben admitirse en nuestro Estado los

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, luego de prescribir el tipo de poesía que se debería permitir en la constitución del Estado, se concibe imprescindible que los hombres libres se ejerciten en tres disciplinas: el cálculo y el estudio de los números; la medida de las longitudes, superficies y sólidos; y, finalmente, el estudio del curso de los astros. Un doble movimiento que converge en la actitud inaugural que Heidegger reconoce en Platón como marca de la metafísica de la presencia, alejamiento del misterio poético/divino. Al sentido de la palabra poética, Platón le opondrá la univocidad literal y universal de la ciencia matemática. El llamamiento de Heidegger se dirige a recuperar la dimensión perdida del ser, su carácter esencialmente velado; aquella tensión que encarnaran, entre otros conceptos, aléetheia y la eclosión de la phýsis. La vía es, ya se dijo, el recurso al poema y la crítica al ente matemático como nombre calculador de la culminación técnica de la metafísica. Para recapitular: Heidegger reviste el opuesto aparente de la herencia platónica al invertir de modo sugestivo la relación de aquella filosofía con el poema, anunciando una sutura del pensamiento al lenguaje que será central para nuestra práctica filosófica. Intentaré mostrar que esta inversión, contenida en el intento de trascendencia respecto del texto metafísico llevado adelante por Heidegger, no es tal. V Ya he mencionado en “Las matemáticas como ciencia propedéutica. La sustitución del paradigma poético-mimético por el matemático” que lo que se impone captar es el movimiento de inversión heideggeriana de las relaciones de poder entre poema, máthema y modelo. Sin embargo, este movimiento preserva el sistema que garantiza la circulación de poema y máthema bajo criterios de corrección e incorrección, renovados bajo las formas de proximidad o alejamiento respecto de la verdad del ser. En efecto, aunque la operación heideggeriana no se inscriba sobre –ni utilice– términos caros a la tradición, la misma está encerrada en la himnos a los dioses y a las alabanzas a los hombres buenos. Si en cambio recibes a la Musa dulzona, el placer y el dolor reinarán en tu Estado en lugar de la ley y de la razón que la comunidad siempre juzgue mejor”. [La cursiva es mía]. 478 Cfr. Leyes, 817d- 819a.

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pretensión de hallar un lugar propio, una verdad del ser que se identifica con la libertad. “Dejar ser al ser”, dice Heidegger. Dejar ser al ser como diferencia, como diferencia ontológica que lo torna distinto del ente. Por eso es que aventuré que la tríada parádeigma (modelo), eikón (copia), phantásma (simulacro), jerarquizada con arreglo a la prescripción del modelo, reaparecerá en el pensamiento de Heidegger. Invertida la jerarquía, claro está, pero idéntica en su determinación fundamental. Si Platón acerca el máthema como recto pretendiente de la Idea y expulsa a los poetas de la pólis ideal –o al menos legisla sobre ellos el tipo de poesía adecuada para una constitución ateniense ordenada, por lo demás, por el discernimiento crítico con resultado apodíctico del que participan sin lugar a dudas las matemáticas–, Heidegger apelará a la alternativa contraria: el pensar poetizante brinda acceso al ser mientras que el máthema cristaliza la estática que produce una imagen, residuo propio de la historia de la metafísica. Todo esto, para decirlo un poco brutalmente, no hace sino repetir el esquema del que pretendía salirse. El factor que ayuda sobre este punto es la mutua exclusión que proveen ambos dispositivos. Ni Platón admite que la poesía pueda existir sino en relación de subordinación con el máthema479, ni Heidegger que la poesía pueda ser vivir sin ser complicada por la presencia de un lógos fijante como el matemático. Se trata de vías propias, ajustadas, íntimamente vinculadas con lo que fuera el ser y con su verdad. Poco importa aquí la evidente diferencia que hay entre el “ser” de Platón y el “ser” de Heidegger. Se trata, para ambos, del sitio de la verdad, lo real que da soporte a la existencia. El segundo factor, a menudo excluido de la discusión, es que, en ambos casos, la decisión es política. En lo concerniente a Platón, se torna evidente. La prescripción sobre la poesía se concentra en República y en Leyes. En el caso de Heidegger se requieren de más rodeos, pero el registro será finalmente el mismo.480 En El origen de la obra de arte, dice 479 Cabe recordar que en República 602d se recurre al “medir, numerar y pesar” como terapia ante la seducción de pintores y poetas. Asimismo, es de destacar que si se saca del resto de las artes su componente matemático, el resto sería nulo, de acuerdo con Filebo 55e. 480 Hanna Arendt dará en el blanco diciendo: “considerar la política desde la perspectiva de la verdad quiere decir asentarse fuera del dominio político”. Arendt, H. “Verité et politique”, p. 330, citado en Nuestros griegos y sus modernos, Barbara Cassin comp. Manantial, Bs.As., 1994, p. 106. El mejor libro que conozco para atacar la cuestión del fondo onto-polítitico

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que: “Otro modo de presentarse la verdad es el hecho de la fundación de un Estado”481. Platón invoca la cesura entre filosofía y el posible engaño poético/ sofístico mediante el recurso a la racionalidad del discurso imitativo correcto, del máthema. Y eso porque poesía y matemáticas comulgan íntimamente en su naturaleza técnica: ambas son artes. Y además porque constituyen, en tanto artes del lenguaje, discurso acerca del ser. Si hay una co-pertenencia intrínseca entre ambos, no es menor entonces que Platón proceda expulsando a los poetas de la ciudad y suturando al mismo tiempo la dialéctica a la preparación matemática. Es el modelo de selección lo que funciona por detrás. Entre aquel discurso susceptible de una mala mímesis, esto es, de una imitación que tienda a la corrupción moral, y aquel que induce al alma al correcto razonamiento y a la preparación contemplativa, Platón ejercerá su máxima de exclusión. Se trata, siempre, de un movimiento político. VI Ante la relocalización aparente de la filosofía debido al cambio de la relación entre filosofía y poesía y entre filosofía y matemáticas, Heidegger pareciera desembarazarse del mecanismo platónico por entero. No obstante, repite sin más una operación de selección que permanece profundamente ligada a la metafísica que la estabilización de la idéa. Si hay algo que queda detrás del sometimiento de la eclosión de la phýsis a la claridad del Bien, es el establecimiento de un linaje a partir de una separación y aislamiento de las malas copias. Y esto es precisamente lo que enuncia Heidegger al decidirse, bajo una lógica de la autenticidad [Eigenlichkeit] y la propiedad, por la otra dirección dentro de la alternativa poema-máthema. Volverá a separar y descartar violentamente, desacreditando, por impropio, el status de las matemáticas en Occidente. Decidirá y establecerá el recto dispositivo discursivo del ser: el poema. Pareciera que se cumple lo que profetizaba Derrida: todo intento de trascendencia del texto metafísico acaba por reinscribirse en el mismo. de la sutura poética de Heidegger es Lacoue-Labarthe, P. La ficción de lo político, Arena, Madrid, 2002. 481 Heidegger, M.“El origen de la obra de arte” en Caminos de Bosque, Alianza, Madrid, 1998., p. 50-51.

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Y toda reinscripción es violenta. Porque el acontecer heideggeriano de la verdad en el lenguaje es un acto de demarcación, la esencia del poema será la fundación [histórica] de la verdad. Y fundación se dice en el sentido de la donación, del fundamentar y del comenzar como salto.482 Entonces, ante este tiempo de penurias, lo imperioso es la palabra poética. El arte, bajo la forma del poema, arriesga lo que hay que arriesgar; salta hacia el abismo [ab-grund] que des-fundamenta y que rehabilita lo «Abierto». Lo «Abierto» es el ámbito donde el ser puede ad-venir y desocultarse. Los poetas arriesgan el recinto del ser, arriesgan el lenguaje mismo. En esa medida, la poesía misma se torna para ellos cuestionable y por eso mismo, “el poeta en tiempos de penuria debe decir expresa y poéticamente la esencia de la poesía”483. En ese arriesgarse son “decidores que dicen más” 484 y en consecuencia son necesarios en tiempos como los nuestros. En otro escrito Heidegger repite los versos de una variante de El archipiélago que condensan la responsabilidad del poeta en tiempos de penuria: “Pero porque están tan cerca los dioses presentes / debo estar yo como si estuvieran lejos, y oscuro en las nubes / debe estarme su nombre; sólo que, antes que la mañana / se me ilumine, antes que la vida arda al mediodía, / me los nombro yo en silencio, para que el poeta tenga / su haber, pero cuando desciende la luz celeste / me gusta pensar en la del pasado, y digo: ¡florece sin embargo!”485

El poeta arriesga porque el ser es riesgo por excelencia.486 Y dice el ser agrietando la quietud técnica de la metafísica. En el poema se produce un movimiento regresivo del hombre a su referencia lingüística con el ser (hombre en estado de abierto, como ente comprensor), a su 482

Cfr. “El origen de la obra de arte” en Caminos de Bosque, Alianza, Madrid, 1998,

p. 53 483

Heidegger, M., Op. Cit., p. 210 Ibíd. p. 236 485 Heidegger, M. “El Poema” en Interpretaciones sobre la poesía de Hölderlin, Ariel, Barcelona, 1983. 486 Cfr. Heidegger, M., “Y para qué poetas” en Caminos de Bosque Alianza, Madrid, 1998, p.211 484

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ligazón con lo oscuro que se da y se niega simultáneamente.487 Porque es posible que “haya todavía algunos mortales que sean capaces de ver cómo les amenaza la falta de salvación en tanto que falta de salvación”.488 Porque es posible que, ante el imperio de la técnica, el poeta reconozca la huida de los dioses y su huella, y clame nostálgicamente su retorno. Sintéticamente: el poema guarda una relación esencial con la verdad. Preservando lo «Abierto» se habita en la posibilidad del acontecimientoapropiante [Ereignis]. VII Todo ello no sería tan problemático si la decisión de Hedeigger no dependiera, todavía, de una axiomática elaborada por Platón. La tríada quedará establecida por el ser como parádeigma, y el paralelo poema-máthema como formas discursivas susceptibles ambas, dada su cohabitación jerárquica en carácter de tékhnê y de mímema, de ocupar los espacios de eikón y phantásma. La variante de Heidegger, la doble sustitución que opera entre poesía y matemáticas, no hace sino repetir y profundizar el esquema ternario. Movimiento que por lo demás, late en el gesto primero de Occidente y que comporta, como ya se dijo, una violencia irreductible. Heidegger coloca al máthema en el sitio impropio del phantásma y por el mismo tipo de razones por las que Platón proscribe a los poetas trágicos. Se trata de una interferencia de la relación con el ser. Las consecuencias de esta distorsión –en última instancia lingüística– hacen necesaria la instauración de un nuevo programa ético-político. Y porqué no de una nueva pedagogía.489 Claro que este pasaje entre destitución y 487

Cfr. Heidegger, M., Carta sobre el humanismo, Ediciones del 80, Bs. As., p. 87 Heidegger, M., “Y para qué poetas” en Caminos de Bosque, Alianza, Madrid, 1998, p. 228. 489 Nuevamente acierta Arendt: “Nos es imposible no encontrar sorprendente y quizáss escandaloso que tanto Platón como Heidegger, al adentrarse en los asuntos humanos, apelaran a los tiranos y dictadores. Tal vez la causa no esté solamente, cada vez, en las circunstancias de la época, y menos aún en una preformación del carácter, sino más bien en lo que los franceses llaman «deformación profesional». Arendt, H. “Martin Heidegger a quatre-vingt ans” en Vies politiques, Paris, Gallimard, 1974, p. 320. Citado en Nuestros griegos y sus modernos, Barbara Cassin comp. Manantial, Bs.As., 1994, p. 105. 488

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restauración, requiere del término positivo del poema como forma de la autenticidad y la propiedad de la existencia. Heidegger no sólo recuperará entonces el deseo de significación, de recta referencia, sino que lo hará en el marco de una tríada antaño establecida por Platón. Doble subsidiariedad que nos obliga a reflexionar sobre el paso post-metafísico singularmente intentado por aquel, y, con él, sobre todo intento de trascendencia respecto del texto occidental. La decisión comporta además una fuerza irrenunciable y tan honda como la que contrajo al ser dentro de los límites del concepto: la violencia de la sutura del ser al lenguaje poético y de la exclusión del discurso matemático del esquema filosófico/ontológico. He aquí una economía de la violencia490 que, no lejos de reducirla, la redirecciona. La pregunta ya no podrá ser: ¿Cómo abandonar a Platón? ¿Cómo subvertirlo o invertirlo? Sino más bien: ¿Qué hay de inviolable en su nombre que se convoca una y otra vez, consciente e inconscientemente, sobre nuestro tiempo? ¿Por qué emerge de modo sistemático en los planteos de sus críticos más acérrimos? ¿Cómo entonces rehacer a Platón? ¿Cómo registrarlo en tanto reenvío y subversión crítica? “[…] y me movéis así insistentemente a que, en la medida de lo posible, os ayude con mis obras y mis palabras”. Platón, Carta VII, 323 e

490 Irreductible, por lo demás, tal y como lo señalará Derrida en Violencia y Metafísica (Cfr. Derrida, J., La escritura y la diferencia, Anthropos, Barcelona, 1989, pp. 107-210)

NUEVA VISITA A PLATÓN. EL CASO BADIOU

I La pregunta que convoca este apartado es sencilla: ¿Cómo es que la repetición del recurso a las matemáticas abre, en el marco de la especulación contemporánea, una nueva perspectiva ontológica y, con ella, filosófica y política? En adelante intentaré avanzar una respuesta posible a la misma atendiendo a ciertos rasgos capitales de la empresa de Badiou. 1. Badiou es un pensador sistemático. No sólo en el sentido de una práctica recurrente y cuidada de la reflexión sobre ciertos temas, sino más bien de una sistematicidad ajena a la filosofía contemporánea. Sin entrar en demasiados detalles, es conocido el auge de los particularismos que se presenta dentro de la producción filosófica general. Auge que, por lo demás, gestan y vaticinan tanto Heidegger como Wittgenstein y que Foucault, Derrida, Deleuze, Bataille, Blanchot asumen en su desarrollo discontinuo, disruptivo, genealógicamente nietzscheano, multiplicador de textos, diferido. Ante esta situación, Badiou no deja de llamar la atención al menos exteriormente. Dos extensos volúmenes: El ser y el acontecimiento y Lógicas de los mundos mediados por una obra más pequeña, el Breve tratado de ontología transitoria. El primero de ellos prepara cuidadosamente una ontología matemática a partir de la axiomática post-cantoriana

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de conjuntos y encarna toda una meditación sobre la relación del ser (y el lenguaje) con el acontecimiento científico, artístico, político y erótico. El segundo desarrolla una fenomenología o “lógica del aparecer” que recae sobre un análisis de la existencia y emergencia del acontecimiento en el seno de un mundo. La obra recorre pacientemente tres estadios sucesivos: una Teoría Formal del Sujeto, una Gran Lógica y, por último, una Física que pretende responder a la cuestión acerca de qué es un cuerpo. La tríada se completa con el tránsito propuesto por el Breve tratado… desde una ontología identificada con el máthema hacia un aparecer estructurado a partir de una lógica y teoría de las categorías. No sólo la dureza técnica de ambos textos garantiza esta otra sistematicidad de la que se habló, sino también el deseo de describir una ontología general fundada en una decisión axiomática. 2. Gran parte de la mencionada sistematicidad se debe a la arquitectura matemática que constituye su ontología. He aquí otra de las punzantes fugas que propone Badiou frente a la mayoría de los filósofos491 de nuestro tiempo. Disponiendo de la tesis filosófica «matemáticas = ontología», organiza la lectura del acontecimiento como el emergente que rompe con el estado de la situación [lingüística]. Por lo demás, la tematización del acontecimiento viene de la mano de Deleuze y a partir del concepto heideggeriano de Ereignis. Pero lo que sí constituye toda una novedad es el diseño matemático que muestra la irrupción de un acontecimiento (entendido como trans-ser) en la inmanencia del ser. En este aspecto se conjugan dos movimientos tan vinculados entre sí como extraños, en conjunto, para la filosofía contemporánea. El primero habla de una cierta rehabilitación 491 Digo filósofos de nuestro tiempo porque, en primer lugar, ya Platón, Descartes, Leibniz, Kant y algunos otros hicieron intervenir a las matemáticas en un estrecho vínculo con lo que hay, pero no se trata de la misma operación en ninguno de los dos casos y tampoco apuntan, en lo que a la situación histórica se refiere, hacia la misma diana. En segundo lugar, la utilización del máthema en relación con lo real es algo que puso a funcionar con anterioridad Lacan –maestro de Badiou– pero que, como profundo antifilósofo, lo hizo dentro del dispositivo psicoanalítico y de un modo sensiblemente distinto del que asume Badiou. Grosso modo, la diferencia estribaría en que mientras Lacan proclama que las matemáticas son la «ciencia de lo real», su discípulo establecerá un axioma metamatemático, y por tanto filosófico, que reza que «las matemáticas son la ontología» Cfr. Alain Badiou, El ser y el acontecimiento, Manantial, Bs. As., 1998, Introducción y Meditaciones I y II.

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del gesto platónico que instaura la “dura racionalidad inventiva” de las matemáticas en la filosofía. La interpretación de aleétheia como idéa –contra lo que propone Heidegger– no es el doble olvido del ser sino más bien su apertura plena. La cadena deductiva sin aura que encierran las matemáticas es lo único susceptible de ser suturado a la nulidad pura y al vacío que es el ser-en-tanto-que-ser. En ese contexto, Badiou invertirá punto por punto la actitud que Heidegger tiene frente a Platón. Gritará la necesidad de salir de lo que llama la edad de los poetas y de la incesante espera de un último dios.492 Para ello, producirá la disposición central del máthema como operador ontológico. El segundo movimiento se presenta como la intuición fundamental de este pensamiento. Es necesario exceder, rebasar, chorrear el lenguaje. Frente a la omnipresencia del mismo (en cualquiera de sus formas) como tema de la filosofía, frente a la insistencia wittgeinsteiniana del análisis y la hermenéutica existencial de Heidegger, hay que desplazar la mirada filosófica hacia el vacío que provoca la im-presentación del ser. No hay lenguaje [filosófico] en el impasse de una verdad. Eso es lo que garantiza al mismo tiempo el respeto por el humilde sitio donde se inscribe la filosofía: ella no ofrece verdades y, a su vez, no tiene el privilegio para hablar sobre el ser-en-tanto-ser. Por el contrario, las matemáticas son esa ciencia que, sin saberlo, hace tema de lo que hay. Eso es lo que involucra al filósofo como un vigilante de posibles verdades emergentes, de acontecimientos, que llega siempre a posteriori a fin de dar cuerpo orgánico al régimen de fidelidad que puede montarse sobre las consecuencias de aquella verdad. No obstante, es también este rol el que se presenta como uno de los flancos débiles del pensamiento de Badiou: el papel indispensable del filósofo como el único capaz de discernir correctamente –y aquí “correctamente” se concentra en una ética del bien493– la serie de nombres que se ligan al evento inesperado y el que, por tanto, puede reconstruir las condiciones que lo composibilitaron. Un sistema filosófico general, una teoría del acontecimiento que reposa en la positividad de una afirmación que, aunque sustractiva, 492 Cfr. Badiou, A., Manifiesto por la filosofía, Nueva Visión, 1990. Capítulo 7: “La edad de los poetas” 493 Cfr. Ethics. An essay on the understanding of evil, Verso, 2001. Hay traducción española en Ética. Ensayo sobre la conciencia del mal, Herder, 2004.

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apuesta por un nuevo gesto propositito y radical del pensamiento. Contra la triple disolución post-metafísica del discurso (analítica, hermenéutica, deconstructiva) Badiou delimita otra topología codificada entre filosofía y sus condiciones. II El tema es aquí la filosofía misma. Hablaré pues del síntoma Badiou en relación con este problema. Y con tal objetivo, partiré de cuatro proposiciones que marcan la situación de la filosofía contemporánea: 1. La filosofía, como una práctica entre otras, se inscribe en la lógica de lo fragmentario y lo particular. El soporte y origen de este rostro, está dado por la deconstrucción [destruktion]. 494 2. La filosofía se ocupa, y es ocupada, pura y exclusivamente por el lenguaje como centro de gravedad. 3. Heidegger es el pensador de la tradición continental a partir del cual hemos creado linaje y desde el cual podemos pensar la historia de la filosofía como desenvolvimiento del pensar metafísico. 4. La filosofía encarna, junto a otras disciplinas como el arte y la política, un siglo profundamente antiplatónico. Examinemos brevemente a cada una de éstas. En primer lugar, sabemos que después de la crítica que han sufrido los grandes sistemas unitarios modernos, medievales y clásicos a manos de la hermenéutica del siglo XIX y XX, no será posible el pensamiento –y su exposición estética– sino bajo la forma disgregada, infinitamente reflejada de lo que no tiene estructura única ni universal. El gesto es, en su esencia, político. La historia de la metafísica se ha erigido como el imperio de la presencia omniabarcante, de aquello que muestra sin fisuras lo que es. La llave para entender el porqué de los recovecos que abre Deleuze, de esas ínfimas parcialidades derrideanas o de la multiplicidad de intereses 494

Me referiré por el momento sólo a la tradición continental. Es fácil establecer un paralelo exterior entre el gesto heideggeriano y el de Wittgenestein, al menos en lo que a la centralidad del lenguaje y la necesidad de revisar el espacio reservado para la filosofía. Sin lugar a dudas el auge de los particularismos se presenta también en la tradición analítica. Allí se conjugan aún ciertos ideales científico-positivistas con una peligrosa profesionalización de la filosofía.

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de Foucault, es la figura de Nietzsche. Los tres son grandes deudores de la «filosofía del martillo»495 y de la tarea histórico-interpretativa de superposición, solapamiento, rotura y corte de los textos. En segundo término, sabemos que desde Wittgenstein y Heidegger la filosofía no puede eludir como tema central la experiencia del lenguaje. Quizás no puedan presentarse tradiciones tan alejadas como las que suponen estos pensadores y, sin embargo, se los ve reproduciendo el mismo movimiento que podría resumirse esquemáticamente de este modo: proclamación de la muerte de la metafísica y asunción del carácter terapéutico de la filosofía. El pensamiento y el mundo se encontrarán indisolublemente ligados al lenguaje. El cuidado, la cura o la terapia suponen una aproximación genuina –sea el análisis, sea la escucha de Hölderlin– al lenguaje como tema. Quizás por lo anterior es por lo que, en tercer lugar, no podremos escapar de Heidegger. La centralidad de su meditación, encarnada en la tarea deconstructiva y una recuperación emancipatoria del pensar, proponen a Heidegger como el eje de toda discusión posible con la tradición continental. A ello se suma su controvertido rol durante el régimen nazi y su silencio posterior. El establecimiento de cierto páthos romántico nos ha obligado a circundar el problema de la huida de los dioses, del sentido del ser (y con éste, el del Dasein como ente comprensor entre los entes) y del pensar poetizante. Por último, sabido es que nuestro tiempo es hondamente antiplatónico. Precisamente por la signatura nietzscheana y a causa de la herencia de Heidegger, no podría ser de otra manera. Contribuyen a esta perspectiva de manera explícita posiciones tan disímiles como la filosofía analítica y el marxismo ortodoxo.496 Sin extenderme demasiado, podría decir que en todos los casos la crítica se resume en intentar, por un lado, derribar las engañosas idealidades trascendentes y, por otra parte, escapar de la política platónica del archée 497 que, además de situarnos rígidamente en 495 El caso de Deleuze es especial en este sentido puesto que no se detiene tanto en la potencia desestabilizadora del texto nietzscheano como en otros de sus tópicos: el eterno retorno, la afirmación rotunda de y por la vida, la desorganización lúdica y el azar. Cfr. Wolff, F. “Trios. Deleuze, Derrida, Foucault, historiadores del platonismo” en Cassin, B. Nuestros griegos y sus modernos, Manantial, Bs. As. 1994. 496 Cfr. Badiou, A. Petit Manuel d’ inesthétique, Seuil, Paris, 1998, p. 62 y ss. 497 Cfr, Rancière, J. El desacuerdo. Política y Filosofía., Nueva Visión, Bs. As., 1998.

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“lo que a cada uno le es propio” dibuja un esquema jerárquico encabezado por el filósofo-rey. Si en la actualidad se busca la destitución de la metafísica y con ella la de la filosofía entendida como tal, no deberían extrañar las reiteradas sentencias contra la fundación platónica. ¿Qué hay pues de la recuperación de Platón que sugiere Badiou? Platón vuelve a la obra de Badiou porque la posibilidad de una rehabilitación de la filosofía descansa en él: Enunciar el fin del Fin, de este Fin, viene de nuevo inevitablemente a reabrir la cuestión de Platón. No para restaurar la figura prescriptiva a la que la modernidad quiso sustraerse, sino para examinar si no es otro gesto platónico de donde nuestro porvenir de pensamiento debe sostenerse.498

“Platonismo sin Uno” es el epítome que él mismo asigna a su filosofía. A explorar la decisión ontológica del no-ser de lo Uno, se dedica gran parte El ser y el acontecimiento para pensar lo múltiple como forma general de la presentación. La tarea de Badiou se conecta con el gesto primario de Platón en sus vértices formales. Muestra de ello es tanto la renovada relación del paradigma matemático con la filosofía –con divergencias claras respecto de la matemática griega de los siglos V y IV a. C–: de-suturación de la filosofía respecto del poema y localización del mismo como condición de la filosofía. Hay que hollar la época de los poetas, inaugurada por Nietzsche y desplegada por Heidegger, dentro de la cual el pensamiento queda atado unilateralmente a la palabra poética que canta, nostálgica, en una finitud sin amparo, la huida de los dioses y el anhelo de su retorno. El antídoto lo dicta Platón mismo cuando al hablar del engaño al que nos somete la mala mímesis poética, recomienda “la regla del cálculo, de la medición y del peso” como remedio justo.499 Será el máthema el que renueve la relación de la filosofía con la verdad. Contra la finitud y la temporalización romántica del concepto, la eternidad de las verdades y su excepcionalidad. Lo cual incita, por otra vía, la secreta alianza con Platón. Al vínculo complejo con la univocidad 498 499

Badiou, A. Condiciones, Siglo XXI, México, 2003, p. 57. Cfr. República, 602d.

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matemática y a la distancia con el poema, se le agregan la reflexión en torno al Dos que funda el amor y una vasta meditación sobre lo político qua procedimiento genérico. Pero también hay que decir que el platonismo de Badiou estriba en una razón más profunda y sutil. En efecto, uno de los síntomas de nuestro tiempo es la desidia y la pasividad con la que cualquier individuo o comunidad se enfrenta a las prácticas cotidianas y habituales. Los denominados «sondeos de opinión» y el precepto de sentido común sintetizan una economía de los cuerpos y los discursos a priori infranqueable. La forma en que la reproducción local de cierto código global atraviesa el ordenamiento de la corporalidad subjetiva resulta asombrosa. Pasividad radical, exposición al placer inmediato y potenciación de las experiencias del disfrute consumista son algunos de los rasgos que estructuran el cuadro. Se trata sin más de un esquema de dominación ideológica que trae aparejada la pérdida de la especificidad de la política a manos del doble movimiento producido por un lado por las llamadas “filosofías políticas” y por otro por la impostura del «todo es político, ergo nada lo es» que constituye uno de sus elementos impostergables. Por todo eso, el paso suplementario de Badiou, en lo que a la rehabilitación del gesto platónico refiere, será el de recuperar la dimensión activa de la producción humana y hacerle corresponder a ésta el «aspecto inmortal» de la especie. La parte activa del alma ha sido para toda la ética griega la encargada de domesticar las pasiones y de dirigir el recto funcionamiento del compuesto anímico. Lejos de tratarse de una represión sin sentido, el logistikón conduce prudentemente a la porción apetitiva del alma o de la ciudad de manera que alcance la armonía general a partir del gobierno de sí [enkratéia] y, gracias al mismo, del correcto mandato sobre lo otro-de-la-razón. La regulación del comportamiento a través de este lógos incluye también la utilización de cierta razón instrumental para adecuarse a la situación y decidir soberanamente sobre ella. Al final, el hombre puede construir algo semejante a un relato donde mediante el intelecto y la palabra logre dar cuenta de sí mismo. Será toda esta actividad la que Badiou exigirá a la filosofía que pretenda desandar el dispositivo doxástico-capitalista-democrático del presente. El coraje, la militancia y la asunción del riesgo no son más que variables dentro de esta solicitud. La decisión ineludible, el discernimiento y el sostén de una elección inscriben en la filosofía, frente al

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diagnóstico del mundo contemporáneo, el trazo de la interrupción que deberá oponer a la inmediatez del placer y displacer sensitivo el giro sustractivo de una verdad que requiere la fidelidad constante a una decisión tomada. La fuerza y el valor que mantienen la cadena nominal de una verdad (i.e. que la disciernen) y que extraen de ésta sus consecuencias no puede ser sino el reclamo de «lo activo» frente a una sumisión estremecedora ante la seducción de las imágenes. Ese es, creo yo, el más profundo operador platónico de la filosofía de Badiou. Por eso diré para finalizar, en el tono de la precisión: A. Que la filosofía deberá ser siempre ser el inoportuno desplazamiento emancipatorio. Allí reside su compromiso con la libertad. Quizás no podamos aprender nada más importante del “pensamiento francés contemporáneo” que esta irrenunciable responsabilidad. B. Que, en tanto tal, habrá que reconocer y asumir el diagnóstico que hace de gran parte del pensamiento y de la práctica filosófica actual un ámbito subsidiario de ciertos lineamientos políticos soporíferos, antimilitantes500, y por ende, conservadores. C. Que, dadas las dos proposiciones anteriores, el gesto de Badiou –su nombre inactual– no puede pasar desapercibido puesto que: c.1. Pretende rehabilitar a través de una inteligente apropiación del texto platónico y de su resignificación contemporánea, ciertas nociones necesarias para un nuevo planteo como el que se impone proclamar en nuestra época. Algunas de éstas son: verdad, sujeto, militancia, metapolítica 501, sistema, racionalidad matemática, etc. c.2. A través de este movimiento, relocaliza a la filosofía doblemente: aquella que, humildemente, «no produce verdades» (sino que las lee a partir de la emergencia acontecimental de éstas en el seno de las cuatro condiciones: arte, ciencia, amor y política) y la que, a la vez, grandiosamente, está encargada de organizar una cadena nominal que construya formas de 500 Me refiero simplemente a la militancia por la libertad misma del pensar y a la postulación innegociable de la igualdad como axioma. 501 Este término condensa una postura frente a la denominada “Filosofía Política” y al giro ético al que asistió la filosofía práctica después de la experiencia de los totalitarismos.

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subjetivación. Proceso que, por lo demás, involucra tanto el azar radical como la decisión y la intervención. c.3. Genera una síntesis que incluye un perdido temple de la izquierda europea, los aciertos del dispositivo psicoanalítico, la férrea argumentación matemático-filosófica y la fidelidad al paso fundador 502 de la filosofía que reside en Platón.

502 Esta fidelidad no es, ni puede ser, algo similar a la búsqueda heideggeriana de lo originario y de lo auténtico. Mucho más allá de la (in)autenticidad de Platón o de la lengua griega, se trata más bien de leer formalmente dónde reside la importancia de su ruptura y su coraje.

ESQUEMAS Y CUADROS COMPLEMENTARIOS

ESQUEMA FORMAL

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RELACIÓN FILOSOFÍA / MATEMÁTICAS

MENÓN

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OBRA PLATÓNICA

SITUACIÓN HISTÓRICOPOLÍTICA EN RELACIÓN CON EL PROYECTO PLATÓNICO

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Reaparición de lo indecible en el campo matemático (Teoremas de Gödel)

Matema: Emergencia de lo indecidible y posterior sofocación del mismo.

S.XIX

Platón

-Democracia -Paideia poética -Oralidad vs. Escritura

S. XX

Historia de la Metafísica -Ruptura con paideia precedente -Fundación de la meta-física [Fedón 96a] (1)Fundación del vacío que supone el máthema. Y, a través suyo, fundación conjunta de: (2) Filosofía (3) Ciudad

Cuestionamiento de los fundamentos y de los pilares básicos de todo conocimiento y de Occidente en general. Deconstrucción de la Metafísica.

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P a r m é n i d e s

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Esquema A. Enfoque General y Dinámico del Problema.

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DETALLE DEL ESQUEMA A En el esquema anterior se muestra el marco general en el que se desenvuelve la hipótesis de lectura. Mientras ésta se circunscribe preferentemente al caso de la inserción de las matemáticas en la filosofía platónica, el diagrama tiende a mostrar: a) El condicionamiento que forja Parménides en términos de contexto epistémico-metafísico para el posterior despliegue del pensamiento de Platón. Asimismo, se evidencia cierta ruptura de éste último respecto de su predecesor y la instauración de un nuevo orden a partir de dicho quiebre. b) Las notas socio-históricas más relevantes en lo que atañe al problema de las matemáticas en Platón, donde se inscriben simultáneamente: (I) la paideia poética; (II) la democracia; (III) el choque de la civilización de la oralidad y aquella de la escritura. c) El intento de fundación político-filosófico de Platón a partir de la introducción del máthema como operador de disrupción y fundación del vacío. Su inscripción convoca lo indecidible. Este intento depende de la potencia de univocidad que sustrae al máthema de lo que se halla sujeto al cambio y es susceptible de deliberación, reproduciendo, en este salto sustractivo, la voluntad meta-física de acuerdo con la metáfora de la «segunda navegación» de Fedón 96a. d) El devenir casi modificaciones sustanciales de la estabilidad metafísica (de acuerdo con parte del planteo de Heidegger) hasta principios del siglo veinte. Allí comienza un proceso de regresión sobre los fundamentos que anima la deconstrucción [destruktion] del anquilosamiento metafísico, siendo uno de los casos paradigmáticos los teoremas de Gödel que hacen retornar lo indecidible reprimido por el propio Platón y reasegurado por la crítica aristotélica.

322

Esquema B. Figuras de lo indecidible. Sistema de relevos. ( I ) Máthema -Instalación súbita

”ƒŽ‹†ƒ† Saber extrafilosófico

-Aparición de lo indecidible

lógos

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Esquema lingüístico que da cuenta de lo indecidible:

(II) Máthema Inscripción en campo filosófico. Adecuación de nociones filosóficas

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•…”‹–—”ƒ Tensión entre un par antagónico Movimiento de diferenciación del máthema. Inserción y mantenimiento de la diferencia

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-poreouménê (Rep. 510b): “travesía, tránsito”. -aptéon (Rep. 525b6): “emerger, escapar” -hyperphyôs (Rep. 525b2): “de modo extraordinario, maravillosamente” -oneiróttousi (Rep. 533b9): “entre sueños” -ósper ónar ápti (Men. 85c12): “justo como en un sueño” -anóetoi eisin (Eutid. 290b7): “[riesgo] de perder la cabeza” -tís mechanèe tèn toiaútên homologían potè epistémên genésthai; (Rep. 533c6): “¿Qué articifio convertirá semejante encadenamiento en ciencia?” -ta loipá […] diexióntes (Rep. 510c9): “atraviesan el resto”

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†‡ƒ•

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DETALLE DEL ESQUEMA B En el esquema B se consigna, en primer lugar, el movimiento de introducción súbita e inesperada del máthema desde un ámbito exterior al filosófico hacia el corazón de este último. Dicho proceso acarrea no sólo la maquinación y el sostenimiento de lo indecidible según ya fuera elucidado, sino también una reconfiguración inmediata del sistema conceptual de la situación dada –en este caso, el aparato especulativo de la Grecia del siglo V a.C.–. Puntualmente, esta reconfiguración se manifiesta tanto en ciertos términos y sintagmas que acompañan la descripción del máthema en los diálogos como en el complejo fondo ontológico que impide una determinación limpia y entificante de las matemáticas. Dicha reconfiguración exigida por lo indecidible es soportada por varios pares antagónicos generadores de una tensión irresoluble. Así, de acuerdo a lo reconstruido a lo largo de esta tesis en diferentes capítulos y niveles, el máthema se dispone «entre» (de acuerdo a la prescripción que le fija su sitio como tò metaxý): (a) oralidad y escritura; (b) Ideas y cosas; (c) Pensar y ser; (d) lógos y álogos. Dado que la tensión es irresoluble y por tanto se prolonga en el tiempo, (a causa de la naturaleza misma del “discurrir” al que están sometidas las matemáticas en tanto manifestación del pensamiento discursivo [diánoia]) aparece graficada en un círculo que testifica una compleja dinámica de entrelazamiento de cada par antagónico con otro par antagónico. Por eso mismo, “Ser y pensar” pueden vincularse con “Oralidad y Escritura” o con “lógos y álogos” y así ad infinitum.

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