Konstruktionslehre der Getriebe [5., bearbeitete und erweiterte Auflage, Reprint 2021] 9783112480120, 9783112480113

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Willibald Lichtenheldt Konstruktionslehre

• Kurt Luck der Getriebe

KONSTRUKTIONSLEHRE DER GETRIEBE von Professor (em.) Dr.-Ing. habil. Dr.-Ing. E. h. WILLIBALD LICHTENHELDT Ordentliches Mitglied der Akademie der Wissenschaften der DDR Professor Dr. sc. techn. KURT LUCK Ordentlicher Professor an der Technischen Universität Dresden

5., bearbeitete und erweiterte Auflage

Mit 566 Abbildungen und Konstruktionstafeln und 1 Tabelle

AKADEMIE-VERLAG • BERLIN 1979

Erschienen im Akademie-Verlag, DDR-108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 Lektor: Renate Trautmann © Akademie-Verlag Berlin 1961,1979 Lizenznummer: 202 • 100/434/79 Gesamtherstellung: VEB Druckerei „Thomas Müntzer", 582 Bad Langensalza Einbandgestaltung: Rolf Kunze Bestellnummer: 7626094 (5410) • LSV 3074 Printed in G D R D D R 23— M

VORWORT ZUR FÜNFTEN AUFLAGE

Für das Fachgebiet der Getriebetechnik wurde im Jahre 1961 das Lehrbuch „Konstruktionslehre der Getriebe" von Professor Dr.-Ing. habil. W. LICHTENHELDT herausgebracht. Dieser ersten Auflage folgten in kurzen Zeitabständen drei weitere, um den auf diesem Sektor vorhandenen Bedarf an Fachliteratur abzudecken. Das Lehrgebiet der Getriebetechnik ist für die Fachrichtungen des Maschinenbaus und der Feinwerktechnik von großer Bedeutung. Es stellt für den Entwurf von getriebetechnischen Baugruppen in Verarbeitungsmaschinen, Textilmaschinen, Landmaschinen, Förderund Aufbereitungsmaschinen, in Geräten der Feinwerktechnik sowie für die Bewegungsübertragung in Rationalisierungsmitteln wesentliche Grundlagen bereit. Die vorliegende fünfte Auflage des Buches stützt sich auf die Vorlesungen Getriebetechnik an der Technischen Universität Dresden. Gegenüber den früheren Auflagen wurde eine Änderung in der Stoffgliederung vorgenommen, die insbesondere dem Studierenden das Einarbeiten in dieses Wissenschaftsgebiet erleichtern soll. Die dargelegten grafischen Verfahren fördern auf Grund ihrer Anschaulichkeit das Vorstellungsvermögen und entwikkeln konstruktive Fähigkeiten, die zu eigener schöpferischer Tätigkeit führen. Der mit der vierten Auflage erstmals herausgebrachte Anhang „Konstruktionsbeispiele zur Getriebelehre" ist beibehalten worden. Diese Beispielsammlung ist hauptsächlich für das Selbststudium gedacht und soll dem Studierenden helfen, den Wissensstoff des Lehrbuches zu vertiefen. In den letzten Jahren wurde die Computertechnik in das Fachgebiet der Getriebelehre integriert. Damit ist die Möglichkeit gegeben, iterative Interpolationsarbeiten einer EDVA zu übertragen. Voraussetzung dafür ist ein entsprechendes mathematisches Formelwerk, das die Problemstellungen der Analyse und Synthese analytisch erfaßt. Unter diesem Aspekt sind in die vorliegende Auflage einige neue Abschnitte aufgenommen worden. Das Literaturverzeichnis wurde gegenüber der vorhergehenden Auflage erweitert, erhebt jedoch keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Bei der Bearbeitung und beim Korrekturlesen haben uns die Herren Dr.-Ing. W. IHME und Dr. rer. nat. K.-H. MODLER unterstützt. Besonderer Dank gilt Frau MILDNER und Frau PREISSLER für die sorgfaltige Erledigung der Schreib- und Zeichenarbeiten. Die fünfte Auflage ist in gleicher Weise vorzüglich ausgestattet, wofür die Verfasser dem Akademie-Verlag zu Dank verpflichtet sind. Dresden, im Sommer 1977

W . LICHTENHELDT K . LUCK

VORWORT ZUR ERSTEN AUFLAGE

In dem vorliegenden Buch finden meine Vorlesungen über Getriebelehre, die ich an der Technischen Hochschule Dresden halte, ihren Niederschlag. In der gleichen Weise wie diese Vorlesungen dem Studenten des Maschinen- und Gerätebaues Fähigkeiten zum Konstruieren anerziehen sollen, wird'das Buch geeignet sein, dem in der Praxis tätigen Ingenieur Anregungen für seine Getriebekonstruktionen zu geben und ihm wissenschaftliche Verfahren nahezubringen. Nicht zuletzt soll dieses Buch auch beim Selbststudium Verwendung finden. Wie die Wärmelehre, Strömungslehre, Festigkeitslehre, Werkstoffkunde u. a. ist die Getriebelehre eine Grundwissenschaft und damit ein wichtiger Baustein in der Ausbildung unserer Ingenieure auf dem Gebiet des Maschinen- und Gerätebaus. In den Lehrplänen der Technischen Hochschule Dresden nimmt sie ihrer Bedeutung zufolge einen breiten Raum ein, und die große Zahl meiner Hörer veranlaßt mich, ihnen ein Lehrbuch über das von mir vertretene Wissenschaftsgebiet nicht vorzuenthalten. Die Getriebelehre hat sich in den letzten Jahrzehnten zu einem umfangreichen Lehrgebiet entwickelt und könnte demzufolge viele hundert Seiten eines Lehrbuches füllen. Ich habe mich auf das Wesentliche beschränkt, wie ich es auch in meinen Vorlesungen tun muß. In diesem Buche habe ich nur ebene Getriebe behandelt und auf räumliche verzichtet. Die Konstruktionslehre der räumlichen Getriebe wird erst in einigen Jahren ausgereift sein. Die wissenschaftlichen Verfahren der Getriebelehre haben nicht wie z. B. in der Strömungslehre, Wärmelehre und Festigkeitslehre die Differentialgleichung zur Grundlage, sondern als natürliche Hilfsmittel zur Lösung getriebetechnischer Probleme werden vorwiegend die geometrischen Gesetzmäßigkeiten herangezogen. Soweit es mir tragbar erschien, habe ich mathematische Ableitungen und rechnerische Darstellungen vermieden; sie können im angegebenen Schrifttum nachgelesen werden. Für den in der Praxis tätigen Konstrukteur sind sie bei der Anwendung der behandelten Verfahren entbehrlich. Das Schrifttumsverzeichnis erhebt keinen Anspruch auf Vollständigkeit. Nur die Bücher und Abhandlungen sind genannt, die in einem unmittelbaren Zusammenhang mit dem Stoff dieses Buches stehen. Dem Akademie-Verlag bin ich für die vorzügliche Ausstattung des Buches zu Dank verpflichtet. Dresden, im Frühjahr 1961

W . LICHTENHELDT

INHALTSVERZEICHNIS

1.

Einführung

2. 2.1. 2.1.1. 2.1.2. 2.1.3. 2.2. 2.3. 2.4. 2.4.1. 2.4.2. 2.4.2.1. 2.4.2.2. 2.4.2.3. 2.4.2.4. 2.5. 2.6. 2.6.1. 2.6.2. 2.6.3. 2.6.4. 2.6.5. 2.6.6.

Getriebesystematik Gelenke und deren Freiheitsgrade Einteilung der Gelenke Gelenkfreiheitsgrad Elementenerweiterung und Formenwechsel . Glieder und Organe Ordnung der Getriebe Aufbauregeln für Getriebe Zwanglaufbedingung und Getriebefreiheitsgrad Kinematische Ketten Kinematische Ketten mit Drehgelenken Kinematische Ketten mit Dreh-und Schubgelenken Kinematische Ketten mit Kurvengelenken Übergeschlossene kinematische Ketten Güte der Bewegungsübertragung Viergliedrige Koppelgetriebe Viergelenkkette Schubkurbelkette Kreuzschleifenkette Schubschleifenkette Koppelkurven von Viergelenkgetrieben Mehrfache Erzeugung von Koppelkurven

3 3 3 5 7 8 9 11 11 14 15 18 18 19 19 21 21 24 25 25 25 30

3. 3.1. 3.1.1. 3.1.2. 3.1.3. 3.2.

Grundlagen der Kinematik Der momentane Drehpol Die Polkurven des Doppelschiebers Die Polkurven der Kurbelschwinge Anwendung der Polkurven beim Wälzhebelgetriebe Die Krümmungsmittelpunkte der Bahnen

32 32 33 33 34 35

3.2.1.

Die EuLER-SAVARYsche Gleichung

35

3.2.2.

Verfahren nach BOBILLIER und HARTMANN Konstruktion des Wendekreises Quadratische Verwandtschaft zwischen den Krümmungsmittelpunkten im bewegten und ruhenden System Ermittlung der Geschwindigkeiten und Beschleunigungen Bewegung eines Punktes im Bezugssystem Bewegung einer Ebene im Bezugssystem Die Sätze von BURMESTER

3.2.3. 3.2.4. 3.3. 3.3.1. 3.3.2. 3.3.2.1.

1

37

40 42 46 46 49 52

X

Inhaltsverzeichnis

3.3.2.2.

D e r Satz von EULER

3.3.2.3.

Die Sätze von MEHMKE

53 54

3.3.2.4. 3.3.3. 3.3.3.1. 3.3.3.2. 3.3.3.3. 3.3.3.4. 3.3.3.5. 3.3.3.6. 3.3.4. 3.4. 3!4.1. 3.4.1.1. 3.4.1.2. 3.4.2. 3.4.2.1. 3.4.2.2.

Der Tangentialkreis Die Relativbewegung dreier Ebenen Parallelogrammsatz für relative Geschwindigkeiten Satz von den drei Momentanpolen Ermittlung der Momentanpole bei Koppelgetrieben Übersetzungsverhältnisse Drehschubstrecke Die Beschleunigung der zusammengesetzten Bewegung Beispiele zur Geschwindigkeits- und Beschleunigungsermittlung Winkelgeschwindigkeits- und Drehzahlpläne Drehzahlpläne der Zahnrädergetriebe Stirnrädergetriebe Kegelrädergetriebe Winkelgeschwindigkeitspläne der Koppel- und Räderkoppelgetriebe Koppelgetriebe Räderkoppelgetriebe

55 56 56 56 57 58 59 59 60 64 64 64 71 74 74 77

4. 4.1. 4.1.1. 4.1.2. 4.1.2.1. 4.1.2.2. 4.1.2.3. 4.1.3. 4.1.3.1. 4.1.3.2. 4.1.3.3. 4.1.4. 4.2. 4.3. 4.3.1. 4.3.2.

Maßsynthese ebener Koppelgetriebe 79 Mehrere Lagen eines bewegten Getriebegliedes 79 Zwei Lagen • • • • 79 Drei Lagen und das Poldreieck 81 Schubkurbel 86 Kurbelschleife. . . 87 Schubschleife . . ! 88 Vier Lagen und die Mittelpunktkurve 89 94 Die Punkte Q Die Kreispunktkurve 96 Die Konstruktion der Schubkurbel, Kurbelschleife und Schubschleife bei vier vorgegebenen Lagen einer bewegten Ebene 98 Fünf Lagen und die BuRMESTERschen Punkte 104 Unendlich benachbarte Lagen 105 Relativlagen 109 Relativpole bei drehbar gelagerten Ebenen 110 Relativpole bei dreh-und schiebbar gelagerten Ebenen 113

4.4. 4.4.1. 4.4.2. 4.4.3. 4.4.3.1.

Sonderlagen Totlagenkonstruktion Lenkergeradführungen Koppelrastgetriebe Rastgetriebe für angenäherte Rasten

114 116 122 133 134

4.4.3.2. 4.4.3.3.

Rastgetriebe für Rasten von großer Güte Rastgetriebe mit vorgeschriebener Rastdauer

138 142

4.5.

Methode der Partialsynthese

147

4.6.

Methode der Punktlagenreduktion

153

4.7.

Synthese mittels analytischer Methoden

155

4.7.1.

Drehwinkel-Drehwinkel-Zuordnung

156

4.7.1.1.

Formelwerk zur Synthese bei diskreten Lagenzuordnungen

157

4.7.1.2. 4.7.1.3. 4.7.2.

Formelwerk zur Synthese bei gemischten Lagenzuordnungen Aufgabenstellungen und rechentechnische Lösung von Beispielen Drehwinkel-Schubweg-Zuordnung

159 160 166

Inhaltsverzeichnis

XI

5. 5.1. 5.1.1. 5.1.2. 5.1.3. 5.1.4. 5.2. 5.3. 5.4. 5.5.

Kurvengetriebe Bewegungsgesetze Gerade Parabel Sinuslinie Geneigte Sinuslinie Zentrisch geradegeführte Rolle Exzentrisch geradegeführte Rolle Rolle am Schwinghebel Trommelkurven

170 170 171 172 173 173 174 175 178 .180

6. 6.1. 6.2.

Schrittgetriebe Malteserkreuzgetriebe Sternradgetriebe

185 185 187

7. 7.1. 7.2. 7.3. 7.3.1. 7.3.2. 7.4. 7.4.1. 7.4.1.1. 7.4.1.2. 7.4.1.3. 7.4.1.4.

Räumliche Koppelgetriebe Aufbau räumlicher kinematischer Ketten Technisch wichtige Gelenke und ihre Freiheitsgrade Anwendung räumlicher Koppelgetriebe Wellengelenke Sphärische Koppelgetriebe Analyse und Synthese einfacher räumlicher Koppelgetriebe Analyse einfacher räumlicher Koppelgetriebe Formelwerk zur kinematischen Analyse von RSSR-Getrieben Formelwerk zur kinematischen Analyse von RSSP-Getrieben Formelwerk zur Synthese von RSSR-Getrieben Formelwerk zur Synthese von RSSP-Getrieben

8. 8.1. 8.2. 8.3. 8.3.1. 8.3.2. 8.3.3. 8.3.4. 8.3.5.

Kraftanalyse in Koppel- und Kurvengetrieben Ordnung der Kräfte, Kraftfeld des Getriebes Aufgabenstellungen Kinetostatik Kräftebestimmung durch Zerlegung der Getriebe in Gliedergruppen Kräftebestimmung nach dem Prinzip der virtuellen Leistung Momentenbestimmung nach dem Prinzip der virtuellen Leistung Kräftebestimmung unter Berücksichtigung der Reibung Ermittlung der resultierenden Trägheitskraft

225 225 226 226 226 229 232 235 239

9. 9.1. 9.1.1. 9.1.2. 9.2. 9.3. 9.4. 9.5. 9.6. 9.6.1. 9.6.1.1. 9.6.1.2. 9.6.2.

Konstruktionstafeln und einfache Berechnungsverfahren Totlagenkonstruktion der Kurbelschwinge Die allgemeine Kurbelschwinge Die zentrische Kurbelschwinge Totlagenkonstruktion der Schubkurbel Konstruktion von übertragungsgünstigen Doppelkurbeln Konstruktion von Koppelrastgetrieben Konstruktion von Geradführungsgetrieben Konstruktion von Räderkoppelgetrieben Zweiräderkoppelgetriebe Zweiräderkoppelgetriebe mit Gelenkfünfeck als Grundgetriebe Zweiräderkoppelgetriebe mit Gelenkviereck als Grundgetriebe Dreiräderkoppelgetriebe

242 242 242 244 248 250 253 255 258 258 258 268 279

193 193 198 199 199 199 . . 204 204 205 207 211 219

XII

Inhaltsverzeichnis

Literaturverzeichnis

286

Anhang, Konstruktionsbeispiele zur Getriebelehre Vorwort

296 296

I. II. III. IV. V. VI. VII.

296 301 317 323 323 335 341

Allgemeines zur Getriebesystematik Polkurven, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsermittlung Drehzahl-und Winkelgeschwindigkeitspläne Güte der Bewegungsübertragung beim Kurvengetriebe Krümmungsmittelpunkte der Bahnen Konstruktion von Kurvengetrieben Konstruktion von Koppelgetrieben

Sachverzeichnis

351

1.

EINFÜHRUNG

Zur Übertragung von Kräften und Bewegungen sowie zur Führung von Werkzeugen oder Verarbeitungsgut werden getriebetechnische Baugruppen in den verschiedensten Zweigen des Maschinenbaues und der Feinwerktechnik eingesetzt. Vor dem Konstrukteur steht im allgemeinen die Aufgabe, ausgehend von einer technologischen Aufgabenstellung, Baugruppen zu entwickeln, welche den geforderten Bewegungs- bzw. Kraftfluß realisieren. Der Antrieb dieser Baugruppen wird in den meisten Fällen durch standardisierte Baueinheiten, z. B. Elektromotor, Hydraulik- oder Pneumatikantrieb, realisiert. Entscheidet sich der Konstrukteur für eine mechanische Bewegungsübertragung auf die nachfolgenden Arbeitsorgane, dann liegt eine getriebetechnische Aufgabenstellung vor. Das Wissenschaftsgebiet der Getriebelehre umfaßt jene Gesetzmäßigkeiten, die zur Behandlung getriebetechnischer Probleme erforderlich sind: — Aufbau einer Systematik als Grundlage zur qualitativen Synthese, — Methoden zur kinematischen und dynamischen Untersuchung vorhandener Getriebe als Grundlage zur Optimierung, — Verfahren zur Ermittlung der Abmessungen der Getriebeglieder auf Grund praktischer Forderungen. Die moderne Getriebetechnik stützt sich nicht auf empirisch gefundene Regeln oder Kunstgriffe, sondern auf wissenschaftliche Gesetzmäßigkeiten der Mathematik und Mechanik. Dabei spielen gleichzeitig das Anschauungsvermögen und die räumliche Vorstellung eine wesentliche Rolle. Die zeichnerischen Verfahren zur Geschwindigkeits- und Beschleunigungsermittlung beruhen auf geometrischen Grundsätzen und sind vortrefflich geeignet, das kinematische Vorstellungsvermögen zu schulen. Für die dynamischen Untersuchungen werden die Gesetzmäßigkeiten der Dynamik zugrunde gelegt. Bei der Ermittlung der Abmessungen der Getriebeglieder können zwei verschiedene Methoden angewendet werden, die entweder die exakte oder die angenäherte Synthese von Koppelgetrieben zur Grundlage haben. Die exakte Synthese geht auf die grundlegenden geometrischen Untersuchungen von BURMESTER [21] zurück, die auch heute noch ihre Bedeutung haben. Zahlreiche einfache Konstruktionsverfahren [50] beruhen auf der BuRMESTERschen Theorie. Durch die Einbeziehung der Computertechnik in das Fachgebiet der Getriebelehre haben in den letzten Jahren analytische Verfahren an Bedeutung gewonnen. Sie bieten die Möglichkeit, entsprechende Formelwerke zur Analyse bzw. Synthese getriebetechnischer Baugruppen rationell anzuwenden. Der mathematische Algorithmus wird durch Einsatz von Rechenprogrammen mittels elektronischer Rechenmaschinen äußerst schnell abgearbeitet. Dadurch wird der Konstrukteur von Routinearbeiten befreit

2

1. E i n f ü h r u n g

und erhält im allgemeinen eine Lösungsmannigfaltigkeit, aus der er entsprechend seinen speziellen Erfordernissen die günstigste Lösung auswählen kann. Ein besonders wichtiges Gebiet der Getriebetechnik ist die qualitative Synthese, welche auf den Grundlagen der Getriebesystematik aufbaut. Sie soll dem Konstrukteur helfen, zur Lösung einer vorliegenden Bewegungsaufgabe eine günstige Getriebestruktur zu finden. Zur Zeit stehen dem Konstrukteur Arbeitsblätter von B O C K [17], Wissensspeicher in verschiedenen Industriebetrieben, Lehrbücher und Atlanten zur Verfügung. Für die Zukunft wird diesem Gebiet eine besondere Bedeutung in Lehre und Forschung beizumessen sein. Vor allem ist es Aufgabe der Lehre, den Systemcharakter der Getriebetechnik darzustellen, um die vielfaltigen Erscheinungsformen der Getriebe zusammenfassen, systematisch ordnen und Gesetzmäßigkeiten herausarbeiten zu können. Der zukünftige Ingenieur wird zum systematischen Analysieren, schöpferischen Entwickeln und zum Abstrahieren technischer Systeme mit Funktionselementen zur Bewegungsübertragung erzogen. Für die Verständigung auf dem Fachgebiet der Getriebetechnik ist außerdem eine einheitliche Terminologie von besonderer Bedeutung. In dieser Richtung ist in der D D R die KDT, Arbeitsgruppe „Begriffe der Getriebetechnik", seit etwa 20 Jahren wirksam. Die erarbeiteten KDT-Empfehlungen [152], [153] sind gleichzeitig Grundlage für die internationale terminologische Arbeit im Rahmen der IFToMM (Internationale Föderation für die Theorie der Maschinen und Mechanismen). Die Weiterentwicklung des Fachgebietes wird durch den Erfahrungsaustausch im nationalen bzw. internationalen Rahmen und vor allem durch Lehrbücher gefördert. Dazu soll auch das vorliegende Lehrbuch beitragen.

2.

GETRIEBESYSTEMATIK

Ausgehend von den grundlegenden Arbeiten von REULEAUX [62] und ASSUR [1,2, 3,4, 5,43]

wurde das Gebiet der Getriebesystematik in den letzten Jahrzehnten immer tiefgründiger erforscht, so daß ein umfassendes Lehrgebäude entstanden ist. Hierzu gehören u. a. die Ordnung der Getriebe, ihre Gelenke und Freiheitsgrade sowie der systematische Getriebeaufbau [10, 30, 32, 41], Der Konstrukteur wird somit in die Lage versetzt, durch Anwenden der Systematik alle getriebetechnischen Möglichkeiten zur Lösung einer vorliegenden Problematik zu entwickeln [75, 76, 80, 84],

2.1.

Gelenke und deren Freiheitsgrade

Jedes Getriebe kann als eine bewegliche Verbindung widerstandsfähiger Körper (Glieder) aufgefaßt werden. Bei Koppelgetrieben werden diese Glieder zunächst als starre Körper betrachtet (starre Maschine), die während der relativen Bewegung stets in gegenseitiger Berührung bleiben müssen. Das verlangt eine entsprechende geometrische Gestaltung der Berührungselemente, die Gelenkelemente genannt werden. Solche Gelenkelemente sind z. B. Bohrung, Bolzen, Kugel, Kugelschale usw. Zwei miteinander korrespondierende Gelenkelemente werden als Gelenk bezeichnet.

2.1.1.

Einteilung der Gelenke

Es ist zweckmäßig, die Gelenke nach der Berührungsart ihrer Elemente zu unterscheiden. Dabei ergeben sich grundsätzlich folgende Möglichkeiten (Bild 1): — Punktberührung; z. B. Kugel/Ebene, — Linienberührung; z. B. Zylinder/Ebene, — Flächenberührung; z. B. Vollzylinder/Hohlzylinder. Weitere Gesichtspunkte zur Unterscheidung der Gelenke sind: — Bewegungsverhalten an der Berührungsstelle der Gelenkelemente; z. B. Gleiten, Wälzen (Rollen) sowie deren Kombination; s. Bild 2. — Relativbewegung der miteinander verbundenen Glieder; z. B. Drehen, Schieben, Schrauben sowie deren Kombination; s. Bild 3. — Art der Paarung der Gelenkelemente; z. B. kraftschlüssig oder formschlüssig-, s. Bild 2.

4

2. Getriebesystematik

Bild 1. Zusammenstellung von Gelenken nach den Berührungsarten: Punktberührung, Linienberührung, Flächenberührung

Im Bild 1 sind wichtige Grundprinzipe von Gelenken dargestellt, die im Maschinenbau und in der Gerätetechnik oft angewendet werden. Gelenke mit Punktberührung kommen vorwiegend in der Feingerätetechnik (Meßgerätetechnik) zum Einsatz, während Gelenke mit Linien- und Flächenberührung im Maschinenbau vorherrschen. Die im Bild 2 dargestellten Kurvengelenke weisen eine Linienberührung auf. Dreh- und Schubgelenke besitzen im allgemeinen eine Flächenberührung (s. Bild 3). Die Art der Berührung und das Bewegungsverhalten der Gelenkelemente an der Berührungsstelle sind entscheidend für die Beanspruchung und den Verschleiß der Gelenke. So zeichnen sich z. B. Wälzgelenke durch eine rollende Relativbewegung aus, während Dreh- und Schubgelenke im allgemeinen eine gleitende Bewegung aufweisen. Die Paarung der Gelenkelemente wird in den meisten Fällen durch Formschluß erreicht (z. B. Drehgelenk, Schub-

2.1. Gelenke und deren Freiheitsgrade a)

b)

Bild 2. Paarung der Gelenkelemente bei Kurvengetrieben, a, b) Kraftschluß, c) Formschluß a)

• b)

n

c)

J

Bild 3. Paarung der Gelenkelemente durch Formschluß, a) Drehgelenk, b) Schubgelenk, c) Schraubgelenk

gelenk; s. Bild 3, Kurvengelenk; s. Bild 2c). Der Kraftschluß ist häufig bei Kurvengetrieben anzutreffen, um die Abtastrolle in ständigem Kontakt mit der Kurvenscheibe zu halten; s. Bild 2 a, b. Stoff Schluß liegt z. B. bei einem Federgelenk vor, welches hauptsächlich in Meßgeräten als spielfreies Drehgelenk eingesetzt wird.

2.1.2.

Gelenkfreiheitsgrad

Ein im Raum frei beweglicher starrer Körper besitzt bekanntlich b = 6 Freiheitsgrade [61], Er kann hinsichtlich eines festen Bezugssystems (xj>,z-System) insgesamt 6 Elementarbewegungen ausführen und zwar 3 Translationen in xjv-Richtung und 3 Rotationen um die x,j>,z-Achse; s. Bild 4. Um den Freiheitsgrad eines Gelenkes bestimmen zu können, wird z. B. im Bild 5 das Glied 1 als ruhend angesehen und ihm ein Achsenkreuz zugeordnet. Das Glied 2 hätte im Falle der ungebundenen (freien) Bewegung b = 6 Freiheitsgrade im Raum. Da aber die Gelenkelemente der Glieder 1 und 2 während ihrer relativen Bewegung in ständiger Berührung bleiben müssen, tritt eine Verminderung der Freiheitsgrade für Glied 2 ein, so daß eine gebundene Bewegung des Gliedes 2 vorliegt. Im Falle des Plattengelenkes (Bild 5) sind zwei Schiebungen sx, sy und eine Drehung tpz möglich. Die gebundene Bewegung des Gliedes 2 weist somit den Freiheitsgrad / = 3 auf, der als Gelenkfreiheitsgrad des Plattengelenkes bezeichnet wird. Es gilt daher folgender Satz: Der Gelenkfreiheitsgrad f ist die Zahl der in einem Gelenk möglichen Relativbewegungen zweier Glieder. 2

Konstruktionslehre

6

2. Getriebesystematik

Bild 4. Elementarbewegungen eines frei im Raum

Bild 5. Plattengelenk

beweglichen starren Körpers; drei Rotationen

/

34 3 /

\

r

\4

\

23,

\ \l4

1

u

2'

V

Bild

152.

Versetzte

Kurbelschleife

mit cu-Plan

15

>/3

"23 2

/ / ¿y*

'

4.

MASSYNTHESE EBENER KOPPELGETRIEBE

Eine Konstruktionslehre der Koppelgetriebe konnte von dem Zeitpunkt an aufgebaut werden, da die Beziehungen bekannt waren, die zwischen verschiedenen Lagen einer bewegten Ebene bestehen [21, 23, 50, 72], Die bewegte Ebene ist dabei als das bewegte Getriebeglied aufzufassen, von dem auf Grund der praktischen Forderungen eine Anzahl charakteristischer Stellungen aufgezeichnet werden. Die Beziehungen dieser Stellungen zueinander sind geometrischer Natur, und demzufolge sind die zeichnerischen Hilfsmittel zur Bestimmung der Abmessungen von Getriebegliedern in der Geometrie zu suchen. Insbesondere sind die einfachen Konstruktionsverfahren für den Konstrukteur von großer Bedeutung. In den letzten Jahren wurden im Zuge der Einführung der Computertechnik zahlreiche Forschungsarbeiten durchgeführt, um Routinearbeiten dem Elektronenrechner zu übertragen [9, 29, 40, 55, 65, 125, 129, 130, 149, 193, 194, 207, 222, 250, 267], Im Rahmen dieser Untersuchungen wurden auf der Grundlage analytischer Methoden Formelwerke zur Synthese von Koppelgetrieben erstellt und dazu entsprechende Rechenprogramme entwickelt.

4.1.

%

Mehrere Lagen eines bewegten Getriebegliedes

Eine grundlegende Aufgabe der Konstruktionslehre ist die folgende: Gegeben sind verschiedene Lagen einer Ebene E, etwa Eu E2, £3, ... gegenüber der Bezugsebene E0. Es sind die Punkte der Ebene E zu suchen, die bei der Bewegung der Ebene auf einem Kreise liegen. Solche Punkte kann es mehrere geben, z. B. C, D,... Von diesen Punkten sollen zwei, und zwar C und D, herausgegriffen werden. Sie sollen sich auf Kreisen um C 0 und D0 bewegen. Die Mittelpunkte C 0 und D0 liegen in der ruhenden Bezugsebene E0. Auf diese Weise ist ein Gelenkviereck bestimmt, welches die vorgeschriebenen Lagen der bewegten Ebene E verwirklicht.

4.1.1.

Zwei Lagen

Bei zwei Lagen einer bewegten Ebene E (Getriebeglied) gibt es einen selbstentsprechenden Punkt P12 (lies P eins zwei) in beiden Ebenenlagen. Um diesen Punkt (Pol) kann die Ebene von der einen in die andere Lage bewegt werden. Pl2 ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von A^A2 und B1B2, wenn unter der Strecke AB die bewegte Ebene verstanden

80

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

wird (Bild 155). Werden die Verbindungsgeraden des Poles Pl2 mit den Punkten At, A2, Bi, B2 sowie die Geraden A{A2 und BlB2 eingezeichnet, dann ist nach Bild 156 APuA^By

s

APl2A2B2

folglich *

A f

*

AlP12A2

x l

B

x

=

*

A2P12B2

,

=

*

BiPl2B2

,

d. h., die Drehwinkel aller Punkte der Ebene E sind gleich und haben die Größe ' ' +

einteilige M i t t e l p u n k t k u r v e (Bild 175),

'min + 'max = ' ' + '"

d o p p e l p u n k t i g e M i t t e l p u n k t k u r v e (Bild 176) o d e r Z e r f a l l d e r s e l b e n , s. A b s c h n i t t 4.4.

D i e k i n e m a t i s c h e E r z e u g u n g einer einteiligen M i t t e l p u n k t k u r v e ist a u s d e m im Bild 178 d a r g e s t e l l t e n M o d e l l ersichtlich. Bei d e r K o n s t r u k t i o n einer zweiteiligen M i t t e l p u n k t k u r v e sind beide B e w e g u n g s b e r e i c h e des P o l g e l e n k v i e r e c k s zu b e r ü c k s i c h t i g e n .

Bild

2.

4.1.3.1.

Bewegungsbereich

177. Polgelenkviereck

zur

kinematischen

Erzeugung der Mittelpunktkurve

Die Punkte Q

Die beiden Poldreiecke 2^13^23 u n d A2^14^24 seien gegeben (Bild 179), Pl2 ist der beiden Poldreiecken gemeinsame Pol. Wird in Pl2 der Punkt Ai angenommen, dann fallen die

95

4.1. Mehrere Lagen eines bewegten Getriebegliedes

Bild 178. Getriebemodell zur kinematischen Erzeugung einer einteiligen Mittelpunktkurve; rückkehrendes > > > > Zahnradgetriebe m i t = 2 in den Lagerpunkten des Polgelenkvierecks / 12/ 24/ 34/ )3

Bild 179. Grundpunkt A12i

im Drehpol Pl2

Bild 180. Mittelpunkt A0 im Drehpol

Pn

Grundpunkte A123 und Al24 mit P12 zusammen, und vom Grundpunkt A123 her ist die gegenüberliegenden Polgerade P{iP23 der geometrische Ort für A0, den Mittelpunkt eines Kreises durch die drei homologen Punkte Al, A2, A3. Vom Grundpunkt A124 her ist die Polgerade Pl4.P24. der geometrische Ort für A0 als Mittelpunkt eines Kreises durch Ai, A2, A4. Der Schnittpunkt beider Polgeraden ist der Punkt A0, und A0Ai ist der Halbmesser des Kreises um A0 durch die vier homologen Lagen A1 ... A4 des Punktes A. A0 als

96

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

Schnittpunkt der Polgeraden Pl3P23 und P 1 4 P 2 4 ist gleichzeitig der Punkt Ql2. Zu Ql2 als Punkt der Mittelpunktkurve gehört daher Ql2Pl2 a ' s Halbmesser des Kreises durch vier homologe Lagen eines Punktes [82, 157, 159, 161]. Jedes von zwei Paar Gegenpolen gebildete Vierseit wird durch zwei Punkte Q zum vollständigen Vierseit ergänzt: i>12^>24\ p )Q 14 rp 13 r 34/

^ 1 2^*2 3 \ p p >(¿13 * 1 4' 34/

Pa^H p p ' 1 4' 24

Wird in den Pol Pi2 der beiden Poldreiecke der Mittelpunkt A0 gelegt (Bild 180), dann sind die gegenüberliegenden Polgeraden Pl3P23 und PiAP2A geometrischer Ort für A123 bzw. A124. In bezug auf das Poldreieck Pi2P\3P23 liegt Ax auf einer Symmetriegeraden zu Pl3P23 zur Polgeraden Pl3PX2. Auf dieser Geraden liegt auch der Pol P\3 als Symmetriepol zu P23 bezüglich der Polgeraden Pl3Pi2 (bei der die Eins gemeinsam ist). In bezug auf das Poldreieck Pi2Pi4.P24 liegt At auf einer Symmetriegeraden zu Pi4P24 zur Polgeraden Pi4Pl2- Auf dieser Geraden liegt auch der Pol P\4 als Symmetriepol zu P2A bezüglich der Polgeraden Pl±Pl2. Die Geraden Pl3P\3 und Pi4P24 schneiden sich in At, und dieser Schnittpunkt ist der Punkt Q\2. Die Strecke Pl2Q\2, die identisch ist mit AöAlt ist der Halbmesser eines Kreises um A0 durch die homologen Punkte Al ... A4 [124], Jedes Vierseit, welches von zwei Paar Gegenpolen gebildet wird, die der Ebene Ei angehören, enthält auch zwei ß-Pole der Lage „eins": P\2^24-\ | p pl ) ß l 4 1 3 34/ Ö23 4.1.3.2.

^ 1 2^2 3 \ j p p! )Ql3 14* 34/

pr

QL

(3^23\ j pl )öl21 4 ' 24/ Qi

Die Kreispunktkurve

Alle Punkte mit dem Index 1, die also zur Lage Ei der bewegten Ebene E gehören und mit ihren homologen Lagen in den Ebenenlagen E2, E3 und E4 auf einem Kreise liegen, erfüllen einen geometrischen Ort, der Kreispunktkurve k{ genannt wird. Diese ist bestimmt durch die Pole, die der Lage Ex angehören: Pl2, Pl3, Pl4, P\3, P\4, P\4. Sie kann mit Hilfe von zwei Paar Gegenpolen, die mit den zugehörigen Punkten Q ein Vierseit bilden, aufgezeichnet werden: z. B. Pi2P\A; Pi3P\A; Q\4Ql23. Auf der Mittelpunktkurve m liegen alle Punkte A0, und auf der Kreispunktkurve k1 liegen alle zugehörigen Punkte At: m

1P

12P 13P 14P 23P 24P34

ßlißlsßUßLßkßk

ß.2ßl3ß.4ß23Ö24ß34 1D

D D Dl Dl Dl 12 13 14 23 24 34

Je sechs Pole P und Q stehen beim Aufzeichnen der Mittelpunktkurve m und der Kreispunktkurve fcj zur Verfügung; dabei gibt die Entfernung der Pole P und Q die Größe des jeweiligen Halbmessers an, der zu den Punkten der Mittelpunktkurve gehört, das ist die Entfernung A0Al. Im Bild 181 ist die Mittelpunktkurve m und die Kreispunktkurve k1 (für die Lage 1) gezeichnet. Die Länge der Halbmesser ist der Entfernung der jeweils verbundenen Pole P und Q zu entnehmen [102, 131],

4.1. Mehrere Lagen eines bewegten Getriebegliedes

97

Bild 181. Mittelpunktkurve m und Kreispunktkurve kl mit entsprechenden Punkten, z. B. P12 und Q\2; P 1 4 und ß { 4 ... ß 1 2 und Pl2; Ql3 und Pi} ...

Um beim Aufzeichnen der Mittelpunktkurve oder der Kreispunktkurve die Genauigkeit der Lage des Hauptbrennpunktes G und der Büschelpunkte B' und B" überprüfen zu können, sollen die Gleichungen der Koordinaten dieser Punkte angegeben werden (Bilder 182 und 183).

Xn =

m2x2} -

kt + k2 >0 =

miXi2

kl — k2 2

m2

m, + x]2 2(kl

-

k2)

98

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

X, =

±

/(/n,m2 + xl2x23)(m2xi2m2x2i

k1m2x23 >'i

=

-

m2x23 -

- m,x12

(/c, - k2)2

m,m2xl2x23

{m2x23 - ni,x 1 2 )

k2mlXi2 mtx12

Bild 182. Koordinatensystem für zwei Paar Gegenpole

4.1.3.3.

m,x23)

Bild 183. Koordinaten des Hauptbrennpunktes und der Büschelpunkte

Die Konstruktion der Schubkurbel, Kurbelschleife und Schubschleife bei vier vorgegebenen Lagen einer bewegten Ebene Schubkurbel

Werden vier Lagen AlBi ... AaB4 einer bewegten Ebene durch ein Schubkurbelgetriebe verwirklicht, dann muß die Schubrichtung durch die vier Höhenschnittpunkte H 1 2 3 , H n A , / / 1 3 4 , / / 2 3 4 der vier Poldreiecke hindurchgehen und ist durch zwei Höhenschnittpunkte bestimmt (Bild 184). Die vier Höhenschnittpunkte liegen auf einer Geraden, und dies ist die einzig mögliche Schubrichtung, die vier homologe Punkte, im vorliegenden Fall die Gelenkpunkte Dl ... DA des Gleitsteins, enthält. Senkrecht zu dieser Geraden liegt der unendlich ferne Mittelpunkt D0°°. Die Gelenkpunkte Z), ... D 4 lassen sich mit Hilfe der Poldreiecke ermitteln. Wird beispielsweise der Pol PiA mit dem unendlich fernen Mittelpunkt D0°° verbunden, dann steht diese Verbindungsgerade senkrecht auf der durch die vier Höhenschnittpunkte gehenden Geraden. Der Winkel, den die Gerade P14DQ mit der Polgeraden P l A P y 3 einschließt, wird an die Polgerade P 1 4 P 3 4 im Gegensinne angetragen, und der freie Schenkel schneidet den Umkreis des Poldreiecks Pl3P14.P34. im G r u n d p u n k t ß 1 3 4 . Der Symmetriepunkt zu Z>134 bezüglich der Polgeraden P 1 3 P 1 4 ist £>,, der Symmetriepunkt zu ß 1 3 4 bezüglich der Polgeraden Pi3P34 ist D3, und der Symmetriepunkt zu Z)134 bezüglich der Polgeraden P 1 4 / ) 3 4 ist DA. U m Z)2 zu bestimmen, wird Z)0°° beispielsweise mit P23 verbunden (also einem Pol, bei dem die Ziffer „ 2 " auftritt) und der Winkel, den diese

4.1. Mehrere Lagen eines bewegten Getriebegliedes

99

/ / /"w Bild 184. Vier Lagen einer Ebene und die auf einer Geraden liegenden Höhenschnittpunkte der vier Poldreiecke

Gerade mit P23P24 einschließt, an P23P34. angetragen. Sein freier Schenkel schneidet den Umkreis des Poldreiecks P23P2^P3ir in D234. Der Symmetriepunkt zu D234 bezüglich der Polgeraden P23P24 ' s t D2 (denn die Ziffer „ 2 " ist beiden Polen gemeinsam). Die Strecken AiDl ... A4D4 und ebenso die Strecken BiDl ... BADA sind gleichlang. D a vier homologe Punkte Al ... A4 und ebenso Bi ... BA im allgemeinen nicht auf einem Kreis liegen, kann in der Lage 1 weder Ax noch Bx als Kurbelgelenkpunkt f ü r die Schubkurbel verwendet werden. Für einen Kurbelgelenkpunkt C, kann aber der geometrische Ort angegeben werden, und das ist die Kreispunktkurve k t für die Lage 1. Sie ist bestimmt durch zwei Paar Gegenpole, etwa P\2P\a und ^14^23• Ist auf k { ein brauchbarer Kurbelgelenkpunkt C, gewählt worden, dann ist der zugehörige Kurbeldrehpunkt C 0 mit Hilfe eines Poldreiecks, etwa Pi2PuP2i, über den G r u n d p u n k t Cl23 bestimmbar. Die Kreispunktkurve k{ (Bild 185) m u ß auch durch den Gelenkpunkt Dl hindurchgehen, denn er ist ein Punkt, der mit seinen homologen Lagen auf einem Kreis von unendlich großem Halbmesser liegt.

100

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

Kurbelschleife Sollen vier Lagen einer bewegten Ebene durch eine Kurbelschleife verwirklicht werden, dann ist der feste Drehpunkt S0 der Schleife als Schnittpunkt der Umkreise der vier Poldreiecke eindeutig bestimmt. Das Zeichnen der Umkreise zweier Poldreiecke, z. B. P P P \2 \i n u n d PnPi4Pi4> ist ausreichend (Bild 186). Die Getriebeabmessungen lassen sich beispielsweise in den Lagen 1 ... 3 derart ermitteln, daß zunächst die Richtung des unendlich fernen Grundpunktes mit Hilfe der Winkelbeziehung am Poldreieck P 1 2 P l 3 P 2 3 bestimmt wird. Wie bei drei Lagen erwähnt, lassen sich die Richtungen, in denen ... 5>f liegen, und senkrecht dazu die Stellungen der Schleife in den Lagen 1 ... 3 angeben. In der Lage 4 wird die Stellung der Schleife in analoger Weise über das Poldreieck / > 13 / > 14 / , 34 bestimmt, indem zunächst auf Grund der Winkelbeziehungen am Poldreieck die Richtung angegeben wird, in der der unendlich ferne Grundpunkt S 1 3 4 liegt. Zu dieser Richtung symmetrisch zur Polgeraden P14.P3A verläuft die Gerade nach und dazu senkrecht die Schleife in der Stellung 4. Die Stellung der Schleife in den Lagen 1 ... 4 kann aber auch mit Hilfe der Höhenschnittpunkte Hy ... Ha der Poldreiecke P12Pi3P{i, Pl2P2uP2i, ^2^,3^23, P\ipi4Pia bestimmt werden,

4.1. Mehrere Lagen eines bewegten Getriebegliedes

101

Bild 186. Realisierung von vier Ebenenlagen durch eine Kurbelschleife

wobei HL ... Ha symmetrisch zu HI23 bzw. HI24 bezüglich der betreffenden Poldreieckseiten gelegen sind; s. Konstruktion der Kurbelschleife bei drei Lagen (Bild 167). Der feste Drehpunkt C0 der Antriebskurbel ist auf der durch zwei Paar Gegenpole, etwa P12P34., bestimmten Mittelpunktkurve m wählbar, und damit ist der zugehörige Koppelgelenkpunkt C, unter Zuhilfenahme des Poldreiecks festgelegt. Andererseits kann auch die Kreispunktkurve kx der Lage 1, etwa mit Hilfe der Pole ^12^34' ^14^23' gezeichnet und der Koppelgelenkpunkt Ci darauf gewählt werden. Der zugehörige feste Drehpunkt C0 der Antriebskurbel ist dann bestimmt, wenn die Gesetzmäßigkeiten zwischen C0 und dem Grundpunkt C 123 in bezug auf das Poldreieck beachtet werden. Schubschleife Die Kombination der Teilbewegungen eines Schubkurbelgetriebes mit einer Kurbelschleife führt, wie bereits bei drei Lagen einer bewegten Ebene erwähnt, zur Schubschleife. Bei vier Lagen sind vier Stellungen eines Gleitsteines auf einer bestimmten Geraden vier Stellungen einer Schleife um einen bestimmten Drehpunkt S0 eindeutig zugeordnet, so daß es nur eine ganz bestimmte Schubschleife geben kann (Bild 187). Die vier Lagen A,ßt ... AABA bestimmen sechs Pole. Zwei der daraus sich ergebenden vier Poldreiecke sind gezeichnet: P12P12.P23 und P^PI^PIA- P i e Umkreise dieser beiden Poldreiecke schneiden sich in S0, dem 8

Konstruktionslehre

102

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

Drehpunkt der Schleife, und die beiden Höhenschnittpunkte / / 1 2 3 und / / 1 2 4 bestimmen die Richtung der Geraden, auf der die vier Gleitsteingelenkpunkte Di ... D^ liegen. Senkrecht zur Verbindungsgeraden / / 1 2 3 / / 1 2 4 liegt D 0 °. Der Winkel, den D™P l2 mit der Poldreieckseite Pi2P13 einschließt, ist im Gegensinne an Pl2P2i anzutragen, dann schneidet der freie Schenkel den Umkreis des Poldreiecks Pt2P13P23 ' n ^123- Analog wird auf dem , Umkreis des Poldreiecks / 1 2 F 1 4 f 2 4 der G r u n d p u n k t Z)124 gefunden. Zu diesen Grundpunkten bezüglich der entsprechenden Polgeraden symmetrisch gelegen, sind die Gelenkpunkte D1 ... D4. Die Stellung der Schleife in den Lagen 1 ... 4 wird am einfachsten mit Hilfe der Höhenschnittpunkte ... / / 4 , der Poldreiecke Pi2Pi3P\3, Pi2P\3P23, ^2^13^23 und P?2P14P24 bestimmt. Hl ... H3 liegen auf dem Umkreis des Poldreiecks der Lagen 1 ... 3; / / 4 liegt auf dem Umkreis des Poldreiecks der Lagen 1, 2, 4. Hl ... H2 sind die Symmetriepunkte zu H123 bezüglich der Seiten des Poldreiecks Pl2Pi3P23, und / / , , H2, / / 4 sind die Symmetriepunkte zu / / 1 2 4 bezüglich der Seiten des Poldreiecks Pi2Pi4P24, so daß es entsprechend der vier Poldreiecke je 3 Punkte Hl ... HA geben muß, die jeweils auf einer Geraden durch S0 liegen und damit die Lagen 1 ... 4 der Schleife bestimmen. Im Bild 187 sind die Punkte Hl und H2 je zweimal und H3 und / / 4

103

4.1. Mehrere Lagen eines bewegten Getriebegliedes

je einmal vorhanden. Durch den sogenannten Formenwechsel ergibt sich die kinematisch gleichwertige Ausführungsform nach Bild 188; ihre konstruktive Gestaltung zeigt Bild 189. Die bewegte Ebene, deren vier vorgegebene Lagen durch die Schubschleife verwirklicht werden, ist hier die Ebene des schraffierten Gleitsteins in der Schleife. In der Schubschleife bietet sich bei vier vorgegebenen Lagen der bewegten Ebene eine eindeutige Lösung an, die dem Konstrukteur als Schubschleifenmethode empfohlen wird. Sie führt sehr rasch zum Ziel, und wenn die ermittelte Schubschleife praktisch nicht brauchbar sein sollte, kann nach Bild 104 ein Ersatzgetriebe in der Form eines Gelenkvierecks gesucht werden. Dieses ermöglicht natürlich nur in einer Stellung den momentanen Ersatz der Ebenenbewegung. Die bei vier Lagen einer bewegten Ebene eindeutig bestimmte Schubschleife wird im allgemeinen eine doppelt versetzte sein, mit den beiden kinematischen Versetzungen e1 und e2 (Bild 187). Wird verlangt, daß eine der beiden Versetzungen Null wird, dann dürfen nur drei Lagen einer bewegten Ebene vorgeschrieben sein. Auf dem Umkreis des Poldreiecks wird der Drehpunkt S0 der Schleife willkürlich gewählt. Symmetrisch zum Höhenschnittpunkt H bezüglich der Poldreieckseiten sind auf dem Umkreis die Punkte H1 ... H3 gelegen, deren Verbindungsgeraden mit S0 die Lagen 1 ... 3 der Schleife bestimmen (Bild 190). Soll die Versetzung e1 gleich Null werden, dann müssen auf den Verbindungsgeraden der Punkte Hi ... H3 mit dem Drehpunkt S0 die Gelenkpunkte Dl ... D3 des Gleitsteines liegen. Der geometrische Ort beispielsweise des Gelenkpunktes Dl ist der Symmetriekreis zum Umkreis des Poldreiecks bezüglich der Polgeraden P12Pl3• Auf diesem Kreis ist Di als Schnittpunkt der Geraden H^ bestimmt. Der zweite Schnittpunkt D[ bestimmt die Abmessungen einer zweiten Schubschleife. Die Schubrichtungen sind durch die Geraden D1H und D[H festgelegt. Analog werden D2 und Di bzw. D'2 und D'3 gefunden. Wird gefordert, daß die Versetzung e2 gleich Null wird, dann muß die Schubrichtung des Gleitsteines durch S0 hindurchgehen (Bild 191). Da bei drei Lagen einer bewegten Ebene das Poldreieck und sein Höhenschnittpunkt bekannt sind, kann S0 auf dem Umkreis des Poldreiecks willkürlich gewählt werden. Die Schubrichtung fallt dann in die Verbindungsgerade S0H. Letztere schneidet die Symmetriekreise zum Umkreis des Poldreiecks be-

Bild 188. Formenwechsel bezüglich der Schub-

Bild 189. Konstruktive Ausführung der Schub-

schleife des Bildes 187

schleife des Bildes 188

104

4. Maßsynthese ebener K o p p e l g e t r i e b e

Bild 190. Einfach versetzte Schubschleife zur Realisierung dreier Ebenenlagen; e, =

0

züglich der Dreieckseiten in den Gleitsteingelenkpunkten Di ... D3. Symmetrisch zum Höhenschnittpunkt H bezüglich der Poldreieckseiten liegen die Punkte Hl ... H3 auf dem Umkreis des Poldreiecks. Ihre Verbindungsgeraden mit S0 geben die drei Stellungen der Schleife an (Bild 191).

4.1.4.

Fünf Lagen und die Burmesterschen Punkte

Werden fünf Lagen AlBl ... A5B5 einer bewegten Ebene vorgeschrieben, dann lassen sich 10 Pole als Schnittpunkte von Mittelsenkrechten bestimmen: p p p p p p p p p p 12

13

14

15

23

24

25 1

341

35

1

45 •

Für die Lagen 1, 2, 3, 4 kann die Mittelpunktkurve w I 2 3 4 und für die Lagen 1, 2, 3, 5 die Mittelpunktkurve m123S gezeichnet werden (Bild 192). Die Schnittpunkte beider Kurven sind Mittelpunkte von Kreisen durch fünf homologe Lagen eines Punktes [21, 71, 128, 247]. Da beide Kurven von dritter Ordnung sind, können sie neun Schnittpunkte haben. Zwei Schnittpunkte fallen mit den unendlich fernen zyklischen Punkten und drei mit den

4.2. Unendlich benachbarte Lagen

105

Polen P12P13P23, die beiden Mittelpunktkurven angehören, zusammen, so daß vier Schnittpunkte übrigbleiben. Von den vier Schnittpunkten können vier reell, zwei reell und zwei imaginär oder vier imaginär sein. Ergeben sich wie im Bild 192 vier reelle Schnittpunkte A0, ß0, C0, D0, die BuRMESTERsche Punkte genannt werden, so sind sechs Gelenkvierecke mit den festen Drehpunkten A0, B0; A0, C 0 ; A0, D(); B0, C0; B0, D0; C 0 , D0 möglich, die die Ebene in die fünf vorgeschriebenen Lagen bringen. Von den sechs Getrieben ist dasjenige auszuwählen, welches hinsichtlich der Bewegungsübertragung die günstigsten Eigenschaften aufweist. 4.2.

Unendlich benachbarte Lagen

Zwei Punkte einer Koppelebene und die Krümmungsmittelpunkte ihrer Bahnkurven bestimmen nach dem Verfahren von BOBILLIER die Richtung der Polbahntangente. Sind andererseits der Pol, die Richtung der Polbahntangente sowie ein Punktepaar (Koppelpunkt

4.2. Unendlich benachbarte Lagen

105

Polen P12P13P23, die beiden Mittelpunktkurven angehören, zusammen, so daß vier Schnittpunkte übrigbleiben. Von den vier Schnittpunkten können vier reell, zwei reell und zwei imaginär oder vier imaginär sein. Ergeben sich wie im Bild 192 vier reelle Schnittpunkte A0, ß0, C0, D0, die BuRMESTERsche Punkte genannt werden, so sind sechs Gelenkvierecke mit den festen Drehpunkten A0, B0; A0, C 0 ; A0, D(); B0, C0; B0, D0; C 0 , D0 möglich, die die Ebene in die fünf vorgeschriebenen Lagen bringen. Von den sechs Getrieben ist dasjenige auszuwählen, welches hinsichtlich der Bewegungsübertragung die günstigsten Eigenschaften aufweist. 4.2.

Unendlich benachbarte Lagen

Zwei Punkte einer Koppelebene und die Krümmungsmittelpunkte ihrer Bahnkurven bestimmen nach dem Verfahren von BOBILLIER die Richtung der Polbahntangente. Sind andererseits der Pol, die Richtung der Polbahntangente sowie ein Punktepaar (Koppelpunkt

106

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

Bild 192. BuRMESTERsche Punkte A0, B0, C 0 , D0 als Schnittpunkte zweier Mittelpunktkurven

und sein Krümmungsmittelpunkt, etwa A und A0) bekannt, so kann zu jedem beliebigen anderen Punkt der Koppelebene der zugehörige Krümmungsmittelpunkt oder zu einem vorgeschriebenen Krümmungsmittelpunkt der zugehörige Koppelpunkt ermittelt werden. Während jeder Punkt der Koppelebene eine Bahn durchläuft, die im allgemeinen in jedem Augenblick einen dreipunktig berührenden Krümmungskreis aufweist, gibt es in der Koppelebene Punkte, deren Bahnkurven an der jeweils betrachteten Stelle einen vierpunktig berührenden Krümmungskreis besitzen. Der geometrische Ort aller dieser Punkte ist die Kreisungspunktkurve, und die zugehörigen Mittelpunkte liegen auf der Angelpunktkurve. Diese Kurven sind spezielle BuRMESTERsche Kurven, da vier unendlich benachbarte Ebenenlagen vorliegen. Es können daher bei dieser Aufgabenstellung folgende Bezeichnungen synonym verwendet werden: Kreisungspunktkurve — Kreispunktkurve, Angelpunktkurve — Mittelpunktkurve. Beide Kurven sind zirkuläre Kurven 3. Ordnung, haben den Momentanpol P zum Doppelpunkt und in ihm die Polbahntangente t und die Polbahnnormale n als Tangenten. Der vierpunktig berührende Krümmungskreis bedeutet für die bewegte Ebene die Aufeinanderfolge von vier unendlich benachbarten Lagen. Für ein vorhandenes Gelenkviereck A0ABB0 lassen sich die Angelpunktkurve a und die Kreisungspunktkurve ku in der Weise aufzeichnen, daß zunächst der Pol P und der Punkt Q bestimmt werden (Bild 193). Für die Angelpunktkurve a wird der Hauptbrennpunkt G als Schnittpunkt zweier Kreise, deren Durchmesser von den Mittelsenkrechten zu PA0 und PB0 und der Polbahntangente t und Polbahnnormale n bestimmt werden, gefunden. Symmetrisch zur Geraden GP bezüglich der Polbahntangete t ist die Fokalachse f der Angelpunktkurve gelegen. Letztere läßt sich mit Hilfe eines Geradenbüschels, dessen Büschelpunkt G ist, und eines Kreisbüschels, dessen Büschelpunkt P ist, zeichnen. Jede beliebige Gerade durch G bestimmt auf / den Mittelpunkt eines Kreises

4.2. Unendlich benachbarte Lagen

107

durch P, der die betreffende Gerade in zwei Kurvenpunkten schneidet. Analog wird der Hauptbrennpunkt G' der Kreisungspunktkurve als Schnittpunkt zweier Kreise gefunden, deren Durchmesser von den Abschnitten der Mittelsenkrechten zu PA und PB zwischen t und n bestimmt werden. Hier ist die symmetrisch zu G'P bezüglich t gelegene Fokalachse/' die Mittellinie der Kreisungspunktkurve ku, die mit Hilfe eines Geraden- und Kreisbüschels gezeichnet werden kann. Jede Gerade durch den Büschelpunkt G' bestimmt a u f / ' den Mittelpunkt eines durch den Pol gehenden Kreises, der die Gerade in zwei Kurvenpunkten ichneidet [228]. Die Kreisungspunktkurve schneidet den Wendekreis im Undulationspunkt U, dem BALLschen Punkt (Bild 193). Da er auf dem Wendekreis liegt, muß er sich als Systempunkt auf einer Geraden bewegen; er ist ein Punkt der Kreisungspunktkurve, und seine Bahn stimmt mit dem Krümmungskreis in vier unendlich benachbarten Punkten überein. Bei der Entartung des Krümmungskreises zur Geraden hat die Bahn des Punktes U eine vierpunktig berührende Tangente [98], Der BALLsche Punkt ist der Schnittpunkt des Wendekreises mit der Kreisungspunktkurve und der Fokalachse der Angelpunktkurve. Der entsprechende Punkt des Rückkehrkreises, durch den vier unendlich benachbarte Lagen einer Geraden hindurchgehen, ist der Schnittpunkt des Rückkehrkreises mit der Angelpunktkurve und der Fokalachse der Kreisungspunktkurve. Dieser Punkt als Drehpunkt S0 einer Schleife aufgefaßt, bestimmt gemeinsam mit K als BALLschem Punkt eine Schubschleife, deren Bewegung momentan eine besonders gute Übereinstimmung mit der Koppelbewegung des Gliedes AB gewährleistet (Bild 194). Durch Formenwechsel ergibt sich die im Bild 195 dargestellte Ausführungsform.

108

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

Bild 195. Formenwechsel bezüglich der Schubschleife des Bildes 194

109

4.3. Relativlagen

4.3.

Relativlagen

Verschiedene Lagen zweier Ebenen P und Q seien einander so zugeordnet, daß die Lage Q1 der Lage Pt, die Lage Q2 der Lage P2, die Lage Q3 der Lage P} entspricht usw. Die Ebenen P und Q sind durch ein Verbindungsglied derart gelenkig miteinander zu verbinden, daß die zugeordneten Lagen eingehalten werden [71, 155], Beim Zeichnen der Relativlagen der Ebene P gegenüber der Bezugsebene Qt wird beispielsweise die Lage P2 mit Q2 starr verbunden und Q2 nach ß , bewegt, dann gelangt P2 in die Lage P2 (Bild 196). Wird P3 mit Q3 starr verbunden und Q3 nach Ql bewegt, dann gelangt P3 in die Lage P\ usw. Es sind möglich: bei Bezugsebene Ql die Relativlagen Pi = P\; P2; P\ ..., bei Bezugsebene Pl die Relativlagen Q1 = Q\ ; Q\ \ Q3 ... . Die Relativpole der Lagen P gegen Qi werden mit Rl2, Ri3, R23,... und diejenigen der Lagen Q gegen Pl mit (R 12 ), (R l3 ), ••• bezeichnet. Sie werden in folgender Weise gefunden (Bild 196): Rl2 ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AiA\, BlB[2, (Rl2) ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von CtC2, DlD\, ^12 = (^12)' Rl3 ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von B1Bl3, (R l 3 ) ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von CXC\, DtDl3, R i3 = R23 ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von A\A\, B\B\, (R 23 ) ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von Cl2C3, D2D3, R23 und (R23) sind nicht identisch. Die Winkel im Relativpoldreieck werden mit y12, y13, ... bezeichnet und sind halb so groß wie die Drehwinkel der Ebene bei der Drehung in ihre Relativlagen. Wird die Ebene Pi in die Lage P2 bewegt (Bild 196), so kann das als Drehung um den Relativpol R12

R^(R23)

_

(R,2

Ì7V Rrr(Rrj) Bild 196. Relativlagen zweier Ebenen P und Q

Bild 197. Relativpoldreiecke bei drei Lagenzuordnungen Pt — Qi. i = 1, 2, 3

110

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

aufgefaßt werden. Der Drehwinkel wird im Gegensinne des Uhrzeigers positiv gemessen und hat die Größe 2yi2. Wird die Ebene Q\ in die Lage Qi bewegt, dann kann das eine Drehung um den gleichen Pol R12 sein (da Rl2 = (Ri2)), und der Drehwinkel hat die Größe 2(y21). Es ist daher 712 = ( ? 2 l ) '

d. h., die Drehung der Ebene Ql in die Relativlage Q\ erfolgt um den Relativpol Ri2 in umgekehrter Richtung wie die Drehung der Ebene Pi in die Relativlage P\. Beim Aufzeichnen der Relativpoldreiecke muß der Richtungssinn der Dreieckswinkel beachtet werden. Die beiden Relativpoldreiecke der Lagen P gegen Qi und Q gegen Pl sind kongruent, haben die Seite R12Rl3 gemeinsam, und die Relativpole R23 und (R23) liegen zu ihr symmetrisch (Bild 197). Bei vier Relativlagen kommen die Pole RlA, R2A, R3A hinzu: Ri4 ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von AlA\, BlB\, (/?14) ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von C y C\, D X C\, R 14- = ( Ä lJ> R2A ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von A\A\, B\B\, (R2A) ' s t Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von C\C\, D\D\, R2A und (R24) liegen symmetrisch zur Polgeraden Rl2RlA, R34 ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von A^A^, B\B\, (Ä34) ist Schnittpunkt der Mittelsenkrechten von D\D\, R3A und ( R m ) liegen symmetrisch zur Polgeraden Rl3RiA. • 4.3.1.

Relativpole bei drehbar gelagerten Ebenen

Bewegen sich die Ebenen P und Q um je einen festen Drehpunkt, z. B. bei einer Kurbelschwinge, dann können die Relativpole mit Hilfe der Winkel ermittelt werden, die die Lagen P bzw. Q miteinander einschließen (Bild 198). Der Relativpol Ri2 ist der Schnittpunkt! der Mittelsenkrechten von BXB\ und D1D2. Diese Mittelsenkrechten sind die Winkelhalbierenden der Winkel cpl2 und 1¡/l2, die an der Verbindungsgeraden der beiden festen Drehpunkte P0 und Q0 in P0 bzw. Q0 in dem Sinne anzutragen sind, in dem sich die Lage 2 in die Bezugslage 1 bewegt. Rl2 ist daher der Schnittpunkt der freien Schenkel der Winkel q>l2ß und 4 bestimmt, und die vier Koppellagen ALDL ... A4D4 sind paarweise parallel. Die Mittelsenkrechten von A1A2 und DID1 schneiden sich in P12, und die Gerade PL2DL sowie die dazu Senkrechte durch A1 sind Teile der Kreispunktkurve KX und schneiden sich in

146

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

L. Die Punkte E und F sind Mittelpunkte der Strecken DlD2 bzw. D^DA. Die Mittelsenkrechte von EF und die Horizontale durch L sind die Asymptoten (Schnittpunkt 0) einer gleichseitigen Hyperbel, die die Mittelpunktkurve zu den vier Koppellagen darstellt (dazu gehört noch die unendlich ferne Gerade). Zu beliebig wählbaren Punkten fi, und K i auf der Geraden AlL lassen sich die zugehörigen Mittelpunkte auf der Hyperbel in bekannter Weise finden. Die Waagerechte durch Pl2 schneidet die Senkrechten im Abstand a von Bl und Ki in G und H. Die Senkrechte durch Pl2 schneidet die Geraden GO und HO in T und U. Die Waagerechten durch T und U schneiden die Senkrechten durch G und H in B0 bzw. C, die Mittelpunkte von Kreisen durch Bl ... B4 bzw. Kl ... KA sind. Wird B0 als fester Drehpunkt einer Schwinge B0Bi aufgefaßt, dann kann C der Gelenkpunkt einer Rastschwinge sein, deren fester Drehpunkt C0 im Maschinengestell wählbar ist. Während sich die Antriebskurbel um den Winkel q>R dreht, bleibt die Schwinge C0C annähernd in Ruhe. Weitere Beispiele zur Synthese von Rastgetrieben sind u. a. in [6, 33, 37, 158, 160] angegeben. Um die Güte der Rast bei Koppelrastgetrieben oder die Güte der Geradführung bei Lenkergeradführungen zu prüfen, kann folgender Weg, der am Beispiel des Rastgetriebes in Bild 252 gezeigt werden soll, eingeschlagen werden [88]: In den vier Stellungen AlCi ... A4C4 sind die Momentanpole Px ... P4 zu ermitteln (Bild 254). Die Verbindungslinien PlKi ... P4K4 sind die Bahnnormalen in den Punkten Kl ... K4

4.5. Methode der Partialsynthese

147

der Koppelkurve. Die Geraden KXB... KAB sind die Normalen des Kreises, auf dem die Punkte Kl ... K4 liegen. Die Größe des Winkels zwischen der jeweiligen Bahn- und Kreisnormalen kennzeichnet die Güte d e r ' R a s t . Bei Geradführungsgetrieben kennzeichnet die Größe des Winkels zwischen der jeweiligen Bahnnormalen und der Senkrechten zur Geradführung die Güte der letzteren. Je kleiner diese Winkel sind, desto vorzüglicher ist die Güte der Rast bzw. der Geradführung.

4.5.

Methode der Partialsynthese

Die in den vorangegangenen Abschnitten behandelten, einfachen Konstruktionsverfahren lassen sich für die Bearbeitung schwieriger Aufgaben heranziehen, wenn die gestellten Forderungen schrittweise erfüllt, d. h., durch Lösung mehrerer Teilaufgaben verwirklicht werden. Eine solche Methode soll Partialsynthese genannt und an einigen Beispielen erläutert werden. Vorgelegt ist das Bewegungsgesetz des Bildes 255. Über dem Drehwinkel (p ist der Drehwinkel \p aufgetragen;

2 =

30°;

Jf, =

45°;

Aq>3 =

60°;

=

90°;

A0B0

= 100 m m ;

A0A

= 300 m m .

Die Übertragungsfunktion einer Doppelkurbel hat analog Bild 271b bei vorgegebener Kurbellänge drei diskrete Punkte exakt zu erfüllen. Es liegt somit die Aufgabenstellung ART = 2 vor, die mittels Rechenprogramm SYNVGL gelöst werden soll. Dabei ergibt sich die Tatsache, daß nur ein sehr schmales Lösungsband im Bereich 312,2° < a < 312,7° existiert. Mit einer Schrittweite von a s = 0,1° erhält man folgende Doppelkurbeln als Lösungen: a

ß

A0A, mm

AB, mm

B0B, mm

Mmin

312,2° 312,3° 312,4° 312,5° 312,6° 312,7°

344,92° 350,95° 358,31° 7,19° 17,57° 29,05°

300 300 300 300 300 300

194,94 218,88 251,98 301,30 382,00 537,50

206,76 216,91 234,43 266,06 327,46 462,85

10,54° 46,71° 48,39° 40,69= 31,57° 21,44°

Bild 277. Doppelkurbel als Vorschaltgetriebe, Atp2 = 30°; Acp} = 60°; Aij/2 = 45°; Aij,3 = 90° a) mit schiebender Koppel,

At

)A 2

ß

:B 3

J

B?

b) mit ziehender Koppel Konslruktionslehre

166

4. Maßsynthese ebener Koppelgetriebe

Das Getriebe mit a = 312,4° weist ein max n min = 48,39° auf. Es ist im Bild 277a dargestellt. Die Koppel AB wird auf Druck beansprucht. Ist eine Zugbeanspruchung der Koppel günstiger, so kann das Getriebe mit den gleichen Abmessungen für a = 347,6° und ß = 271,69° verwendet werden (Bild 277b). .

4.7.2.

Drehwinkel-Schubweg-Zuordnung

Im Bild 278 sind die Lagenzuordnungen der drehbar gelagerten Ebene P und der geradlinig bewegten Ebene Q mit 1 — 1, 2 — 2 , . . . , n—n angegeben. Die Lage der Ebene P wird durch den Winkel

)

(7-6)

nach der Zeit ergibt

.