Introduction à la physique des hadrons: Symétrie, structure et dynamique 9782759826490

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NEW FRONTIERS IN NUCLEAR PHYSICS

Jean-Marc Richard

INTRODUCTION À LA PHYSIQUE DES HADRONS

Symétries, structure et dynamique

La collection New frontiers in Nuclear Physics rassemble des ouvrages traitant de physique nucléaire au sens large, incluant l’astrophysique nucléaire et la physique hadronique, ainsi que les interfaces avec d’autres disciplines aux frontières des connaissances actuelles. Cette collection est conçue pour être accessible aux étudiants de Master, ainsi qu’aux chercheurs désirant acquérir l’état de l’art sur un sujet spécifique. Les sujets sont abordés avec pédagogie, présentant les étapes clefs et les expériences cruciales du domaine, ainsi qu'un développement rigoureux qui mène le lecteur à la pointe des découvertes les plus récentes.

Cet ouvrage a été composé à l'aide de KOMA-Script et de LaTeX en utilisant la classe kaobook. Le code source est disponible à l'adresse : https://github.com/fmarotta/kaobook

Imprimé en France ISBN (papier) : 978-2-7598-2215-7 - ISBN (ebook) : 978-2-7598-2649-0 Tous droits de traduction, d’adaptation et de reproduction par tous procédés, réservés pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n’autorisant, aux termes des alinéas 2 et 3 de l’article 41, d’une part, que les « copies ou reproductions strictement réservées à l’usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective », et d’autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d’exemple et d’illustration, « toute représentation intégrale, ou partielle, faite sans le consentement de l’auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite » (alinéa 1er de l’article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait donc une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal. © EDP Sciences, 2021

Unfassbare Ideen äußern sich in fassbaren Formen August Macke

Arx tarpeia Capitoli proxima Proverbe romain

Va, petit livre, et choisis ton monde ; car, aux choses folles, qui ne rit pas, bâille ; qui ne se livre pas, résiste ; qui raisonne, se méprend ; et qui veut rester grave, en est maître Rodolphe Töpffer

Préface Over several decades, Jean-Marc and his collaborators have made many contributions to Hadron Physics and the book reflects the contribution of Jean-Marc et al., both in the choice of examples and in the material. One of the many attractive features is the attention to history with many amusing anecdotes: some involving the author. Beyond the contributions of Jean-Marc, the book also covers many European contributions neglected in some of the literature. For example, the earliest enigma: the measurement of the proton magnetic moment by Otto Stern in the 1930s. It took thirty years to understand the result by the brightest theorists (Murray Gell-Mann, George Zweig) that the proton is a composite system. And another decade until the majority of the field accepted this conclusion, one of the main achievements of twentieth century science, on par with the big bang, double-helix quantum mechanics, etc. But of course some obscurity remains about confinement as with wave-particle duality, etc. The book is original in many ways. An important one is the restriction to hadrons. Most current books deal with both hadrons and leptons. I am sure the book will become a classic and will be translated.

Gabriel Karl Emeritus Professor University of Guelph (Canada)

Avant-propos Je remercie EDP Sciences et le directeur de collection d’avoir sollicité la rédaction de cet ouvrage. Le plus difficile a été de limiter le sujet, car des hadrons on glisse facilement vers la chromodynamique et le modèle standard, et de l’interaction nucléon-nucléon vers les noyaux et même aux étoiles à neutrons. Or il n’était pas question d’écrire une encyclopédie de physique sub-atomique. À regret il a fallu aussi renoncer à des développements trop techniques, et se contenter sur certains sujets d’aiguiser l’appétit des lecteurs qui devront aller chercher des ouvrages ou des articles de revue plus spécialisés. Enfin, on pardonnera le travers de couper le fil de l’exposé avec des anecdotes parfois trop connues et à l’authenticité douteuse, sauf pour celles dont j’ai été le témoin direct. Le plan adopté est d’esquisser d’abord l’histoire de la physique des hadrons, puis de présenter la construction des hadrons à partir des quarks, et enfin de discuter des interactions fortes, électromagnétiques et faibles des hadrons. Des exercices sont proposés dans chaque chapitre et une solution de certains d’entre eux est donnée à la fin de l’ouvrage. Il est impossible de citer tous les maîtres et collaborateurs qui m’ont inculqué, non sans mal, les notions qui sont présentées ici, mais je leur exprime toute ma gratitude. Une mention spéciale est due à André Martin (1929-2020) qui m’a initié aux méthodes rigoureuses et m’a fait partager certains de ses travaux sur le modèle des quarks et les systèmes de charges. Je suis très reconnaissant à Élie Aslanides, Claude Fayard et Jérôme Margueron d’avoir relu la première version de cet ouvrage. Ils ont prodigué des critiques très constructives et corrigé nombre de coquilles. Des remerciements sont dûs également à Federico Marotta qui a mis à notre disposition son style de composition « kaobook » et y a apporté les adaptations nécessaires. Last but not least, je remercie chaleureusement mon ami de longue date Gabriel Karl d’avoir accepté d’écrire une préface. Son sens physique, sa culture scientifique pluridisciplinaire, son enthousiasme communicatif et son humour parfois décapant ont accompagné plusieurs générations de physiciens et inspiré bien des vocations.

Table des matières Préface

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Avant-propos 1

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Histoire 1.1 Les premiers hadrons . . . . . . . . 1.2 Les résonances . . . . . . . . . . . . 1.3 Le moment magnétique du proton 1.4 La découverte de l’antiproton . . . 1.5 Étrangeté . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Le modèle des quarks . . . . . . . . La voie de l’octet . . . . . . . . . . . La règle de Zweig . . . . . . . . . . 1.7 Le charme et la beauté . . . . . . . 1.8 Radiographie des nucléons . . . . . 1.9 Chromodynamique quantique . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Classification 2.1 Quarks et leptons . . . 2.2 Les bosons de jauge . . 2.3 Les hadrons ordinaires Mésons . . . . . . . . . Baryons . . . . . . . . . 2.4 Hadrons exotiques . . Exercices . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . .

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3 Les instruments et les méthodes 3.1 Les rayons cosmiques . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Les accélérateurs hadroniques . . . . . . . . . 3.3 Les machines à électrons . . . . . . . . . . . . Les collisionneurs électron-positon . . . . . . Rayonnement synchrotron et Compton inverse Collisions électron-proton et électron-noyau . 3.4 Cibles fixes ou collisionneurs ? . . . . . . . . . 3.5 Les détecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Les outils de l’analyse . . . . . . . . . . . . . . Cinématique . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Espace de phase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Masse invariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Désintégration en deux corps . . . . . . . . . . . . . Désintégration en trois corps. Diagramme de Dalitz Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Symétries 4.1 Isospin des hadrons . . . . . . 4.2 Conjugaison de charge . . . . 4.3 Parité isotopique ou 𝐺 -parité . 4.4 Isospin des antiparticules . . . 4.5 La symétrie de saveur SU(3)F 4.6 La symétrie SU(6) . . . . . . . 4.7 Le charme et SU(4) . . . . . . 4.8 Le nombre baryonique . . . . Annexe 4.A SU(2) et SU(3) . . . . Rotations . . . . . . . . . . . . Le groupe SU(3) . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . .

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5 Le quarkonium 5.1 Le spectre expérimental . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Le modèle non relativiste . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Rappels sur l’équation de Schrödinger . . . . . . 5.4 Conséquences de l’indépendance de saveur . . . 5.5 Ordre des niveaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Fonction d’onde à l’origine . . . . . . . . . . . . . 5.7 Corrections dépendant du spin . . . . . . . . . . États S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . États P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mélange orbital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Production et désintégration . . . . . . . . . . . . 5.9 Le quarkonium par les règles de somme de QCD 5.10 Quarkonium par la QCD sur réseaux . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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6 Les baryons 6.1 Le cas de trois quarks identiques Mouvement intrinsèque . . . . . . État fondamental . . . . . . . . . . Premier état excité . . . . . . . . .

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Deuxième niveau d’excitation . . . . . . 6.2 Les autres baryons légers . . . . . . . . . 6.3 Le [20 , 1+ ], enfin . . . . . . . . . . . . . . 6.4 La résonance de Roper . . . . . . . . . . 6.5 Les baryons étranges, charmés ou beaux 6.6 Les baryons à double saveur lourde . . . 6.7 Les baryons à triple saveur lourde . . . . 6.8 Le confinement de trois quarks . . . . . 6.A Formalisme hypersphérique . . . . . . . 6.B Méthode variationnelle . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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8 Chromodynamique quantique 8.1 La QCD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Le lagrangien de la QCD . . . . . . . . . . . . La liberté asymptotique . . . . . . . . . . . . . Le confinement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Simulations sur réseaux . . . . . . . . . . . . 8.3 La méthode des règles de somme . . . . . . . 8.4 Théories effectives . . . . . . . . . . . . . . . . Considérations générales . . . . . . . . . . . . Développement en portée . . . . . . . . . . . . Théorie effective en présence d’un quark lourd Symétrie pour les hadrons doublement lourds Symétrie entre quark lourd et diquark lourd . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Sacs 7.1 7.2 7.3 7.4

Introduction . . . . . . . . . . . . . . . Le modèle . . . . . . . . . . . . . . . . Résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . Corrections et développements divers Mouvement du centre de masse . . . . Excitations . . . . . . . . . . . . . . . . Hadrons très excités . . . . . . . . . . . Multiquarks . . . . . . . . . . . . . . . Sacs et forces nucléaires . . . . . . . . . 7.5 Modèle des sacs pour les quarks lourds 7.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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9 Hadrons exotiques 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Revue des résultats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Remarques préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Dibaryons et multibaryons . . . . . . . . . . . . . . . . . . Baryons exotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Mésons exotiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Résonances très lourdes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Modèles “moléculaires” pour les hadrons exotiques . . . Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Noyaux légers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypernoyaux légers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Hypernoyaux charmés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Baryonium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Molécules méson-baryon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Molécules méson-méson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Les multiquarks dans les modèles de quarks constituants Liaison chromomagnétique . . . . . . . . . . . . . . . . . . Liaison chromoélectrique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Exotiques très lourds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.5 Cordes et dualité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.6 Hybrides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.7 Les exotiques sur réseaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.8 Les exotiques à partir des règles de somme . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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10 La structure du nucléon 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Cinématique de la diffusion d’électrons . . . . . . . . . . 10.3 Facteurs de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Modèles pour les facteurs de forme . . . . . . . . . . . . 10.5 Autres facteurs de forme électromagnétiques . . . . . . 10.6 Autres facteurs de forme . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Diffusion profondément inélastique et autres processus 10.8 Cinématique de la diffusion profondément inélastique . 10.9 Analyse de la diffusion profondément inélastique . . . . 10.10 Loi d’échelle de Bjorken et relation de Callan-Gross . . . 10.11 Fonctions de structure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12 Fonctions de structure généralisées . . . . . . . . . . . . 10.13 Dépendance en impulsion transerve . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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11 Le spin des quarks et des hadrons 11.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Cibles ou faisceaux polarisés . . . . . . . . . . . 11.3 Effets de spin dans la diffusion hadron-hadron Diffusion élastique pion-nucléon . . . . . . . . . Annihilation en deux mésons pseudoscalaires . Diffusion nucléon-nucléon . . . . . . . . . . . . Diffusion antinucléon-nucléon . . . . . . . . . . Formation d’une paire hypéron -antihypéron . . 11.4 Le rôle du spin des quarks . . . . . . . . . . . . Écarts hyperfins . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fonctions de structure dépendant du spin . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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12 Interactions électromagnétiques 12.1 Pseudoscalaires . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.2 Effet Primakoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12.3 Les moments magnétiques des baryons . . . . 12.4 Le rayon de charge du neutron . . . . . . . . . 12.5 L’hydrogène muonique et le rayon du proton 12.6 Moment quadrupolaire du Ω− . . . . . . . . . 12.7 Les atomes exotiques . . . . . . . . . . . . . . Capture et cascade . . . . . . . . . . . . . . . . Le décalage et l’élargissement des niveaux . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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13 Les désintégrations faibles 13.1 Aperçu des interactions faibles . . . . . . . . . . . 13.2 Des hadrons aux quarks . . . . . . . . . . . . . . 13.3 La matrice CKM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13.4 Désintégration des hadrons ordinaires . . . . . . 13.5 Désintégration des hadrons étranges . . . . . . . Désintégration des hypérons . . . . . . . . . . . . Désintégration et oscillation des mésons étranges 13.6 Désintégration du charme . . . . . . . . . . . . . 13.7 Désintégration de la beauté . . . . . . . . . . . . 13.8 Désintégration des mésons 𝐵 𝑐 . . . . . . . . . . . 13.9 Désintégration du top . . . . . . . . . . . . . . . . Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Perspectives

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15 Solution de certains exercices 15.1 Exercices du chapitre 1 . 15.2 Exercices du chapitre 2 . 15.3 Exercices du chapitre 3 . 15.4 Exercices du chapitre 4 . 15.5 Exercices du chapitre 5 . 15.6 Exercices du chapitre 6 . 15.7 Exercices du chapitre 7 . 15.8 Exercices du chapitre 9 . 15.9 Exercices du chapitre 10 15.10 Exercices du chapitre 11 . 15.11 Exercices du chapitre 12 15.12 Exercices du chapitre 13

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263 263 264 265 272 273 275 278 280 283 283 285 288

16 Glossaire 291 Références . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305 Index des sujets

307

Index des noms

311

Histoire

Plusieurs livres retracent l’histoire de la physique nucléaire et de la physique des particules. Nous ne tenterons pas de les concurrencer ni même de les résumer, mais seulement de rappeler quelques épisodes notoires pour la physique des hadrons, soit des étapes majeures, comme la découverte du méson de Yukawa ou celle du charmonium, soit des illustrations de notre difficulté à remettre en cause les concepts acquis ou à rendre justice à certains des précurseurs. Le livre de Segrè [1] contient des anecdotes savoureuses, comme celle de Pierre Curie refusant la Légion d’honneur et demandant plutôt un laboratoire digne de ce nom. Attitude dont hériteront sa fille et son gendre, qui feront comprendre aux autorités que s’ils avaient disposé de plus de moyens, le neutron aurait été français ! Le livre de Pais [2] est impressionnant de concision et de précision, avec, en quelques lignes, les explications d’un brillant théoricien pour commenter chaque étape importante. Plus récente, la compilation de quelques piliers du Particle Data Group [3] est très rigoureuse et exhaustive, et, nous le verrons à propos des kaons, rétablit quelques paternités. Ce Particle Data Group (PDG), fondé par Rosenfeld, recense et compile régulièrement les données sur la physique des particules. Leur tâche n’est pas toujours facile, nous le verrons en particulier à propos des hadrons exotiques. Il arrive qu’un restaurant étoilé disparaisse du Guide Michelin [4], et aussi qu’un « candidat » soit rayé des tables de PDG. La première édition de PDG date de 1957 [5], la dernière de 2020 [6]. Noter aussi qu’en marge de la Conférence de Paris de physique des hautes énergies, s’est tenu en 1982 un colloque sur l’histoire de cette discipline, avec quelques-uns des grands pionniers [7]. Citons enfin le livre édité par Gordon Fraser [8], plus récemment celui de Donnelly et al. [9], et encore les ouvrages de Ericson et Weise [10], Donoghue et al. [11], etc.

1

Secrétaire d’État dans le gouvernement du Front populaire à une époque où les femmes n’avaient pas le droit de vote, Irène Joliot-Curie contribua à la création du CNRS.

On s’y réfère souvent par l’acronyme PDG.

2

1 Histoire

1.1 Les premiers hadrons

L’histoire de la découverte du neutron et de l’émulation entre les équipes est racontée de façon très détailée par Jules Six dans [13]. Jules Six était un physicien du Laboratoire de l’Accélérateur linéaire d’Orsay. Avec Xavier Artru, il a écrit une chronologie des faits marquants de physique des particules des origines à 1965 [14]. On raconte que son questionnement à propos de l’évolution des paires 𝐾 0 𝐾 0 produites par annihilation est à l’origine des réflexions profondes de B. Despagnat sur l’interprétation de la mécanique quantique [15]. Pour plus de références sur l’histoire de la physique nucléaire, voir, par exemple, [16].

Dans la suite, nous adopterons souvent des unités simplifiées où ~ = 𝑐 = 1, avec en particulier les longueurs en GeV−1 et les paramètres de portée en GeV.

On cite souvent un mot de Rabi “who ordered the muon ?”. Rabi est le père ou le grand-père de la RMN et tout le monde a transpiré un peu dans les cours de mécanique quantique pour démontrer la formule de Rabi qui donne la réponse d’un système à deux niveaux soumis à une excitation sinusoïdale. Il y a quelques années, une équipe de Nantes a utilisé la RMN pour distinguer de manière non invasive le sucre naturel du sucre artificiel dans le Muscadet et permettre de traquer les fraudes à la chaptalisation, preuve que la physique quantique est parfois utile.

Nous ne reviendrons pas sur la préhistoire, avec la découverte de la radioactivité par Becquerel en 1896, puis l’étude de cette radioactivité par plusieurs physiciens dont les Curie et Rutherford. La physique nucléaire s’est développée au début du 20e siècle. La charge du noyau est exactement un nombre entier, 𝑍 , de fois la charge du proton, et la masse approximativement un nombre entier, 𝐴, de fois la masse du proton. S’est imposée assez vite l’idée de noyaux composés de 𝑍 protons et 𝑁 = 𝐴 − 𝑍 « neutrons », avec pratiquement la même masse 𝑚 pour chacun des deux « nucléons », proton et neutron, si bien que la masse des noyaux est à peu près 𝐴 𝑚 , un peu diminuée par l’énergie de liaison. Restait à trouver le neutron : soupçonné dans des expériences de Walter Bothe et Herbert Becker [12], ainsi que d’Irène et Frédéric Joliot-Curie, il a été identifié par Chadwick. Des forces nucléaires sont nécessaires pour vaincre la répulsion électrostatique entre les protons et assembler les protons et les neutrons. Yukawa proposa un modèle analogue à l’échange du photon en QED, à savoir l’échange d’un boson massif, ce qui correspond à un potentiel −𝑔 exp(−𝑎 𝑟)/𝑟 , une forme fonctionnelle que l’on retrouve par exemple dans l’écrantage de Debye des charges plongées dans un milieu [17]. Ici, le paramètre de portée 𝑎 est relié à la masse 𝑚 de la particule échangée, 𝑎 = (𝑚 𝑐 2 )/(~𝑐), avec ~ 𝑐 ' 0 ,2 GeV fm. Pour une paire proton-proton, le potentiel de Yukawa domine le terme électrostatique aux faibles valeurs de la distance 𝑟 , mais décroît très rapidement quand 𝑟 augmente. Avant la guerre, on a cru découvrir le pion dans les rayons cosmiques. Mais la particule détectée traversait facilement la matière, alors que le pion de Yukawa doit interagir fortement avec les noyaux. En fait, on avait découvert les muons, 𝜇+ et 𝜇− , sorte de version lourde des électrons. Ces muons, tout à fait inattendus, sont les produits de la désintégration faible des pions. La particule de Yukawa, le pion, fut découverte dans les rayons cosmiques, par une équipe travaillant à Bristol (GB), en 1947 [18]. Et la physique des hadrons commença, avec les nucléons et les pions.

1.2 Les résonances

3

1.2 Les résonances Déjà un peu avant la guerre, puis plus franchement dans les années cinquante, des accélérateurs prirent le relais des rayons cosmiques. Ce fut particulièrement le cas pour la physique des pions. Quelques propriétés des pions furent mesurées, comme leur parité, et des réactions comme 𝜋 + 𝑑 → 𝑁 + 𝑁 furent observées. Avec la montée en énergie, motivée particulièrement par la production d’antiprotons qui sera décrite dans la section suivante, on commença à étudier la production simultanée de plusieurs pions et l’interaction des pions et des nucléons, et des résonances firent leur apparition.

𝑑 désigne ici le deutéron

C’est un concept compliqué que celui de résonance quand on cherche à être rigoureux, mais au stade qualitatif, on peut se contenter de définir une résonance comme un pic dans la distribution de masse. En mécanique quantique, imaginons un potentiel 𝑔 𝑉(𝑟), où 𝑉 est attractif, tel qu’on ait un état lié pour 𝑔 ≥ 𝑔0 > 0, de moment orbital ℓ > 0. Pour 𝑔 < 𝑔0 mais pas trop éloigné de 𝑔0 , on aura une augmentation assez marquée de la section efficace autour d’une certaine énergie, et on pourra estimer la largeur à mi-hauteur du pic. S’il s’agit d’une onde 𝑆 (ℓ = 0), le pic est moins prononcé, et il est plus délicat d’identifier une résonance. Le méson 𝜌 a été vu comme une résonance dans la distribution de la masse de deux mésons 𝜋, sous trois états de charge 𝜌+ , 𝜌0 , 𝜌− . Le pic correspond à une masse 𝑚 ' 0 ,77 GeV et une largeur Γ ' 0 ,150 GeV. Un autre méson, baptisé 𝜔 , a été vu dans l’état neutre seulement, avec un masse similaire 0 ,78 GeV, et une largeur plus faible 0 ,008 GeV, dans la distribution de masse 𝜋+ 𝜋− 𝜋0 . Et beaucoup d’autres résonances mésoniques ont suivi, avec aussi de nouvelles méthodes de production : annihilation proton-antiproton, désintégration de particules lourdes, etc. Dans la diffusion de pions sur nucléons, des résultats très importants ont été obtenus et ont occupé les physiciens pendant des années. Fermi (communication privée à Pais, voir [2]) a observé une nette augmentation des

La masse carrée du système est calculée à partir des quadriimpulsions comme 𝑀 2 = P ( 𝑝˜ 𝑖 )2 .

4

1 Histoire

sections efficaces près de l’énergie dans le centre de √ masse 𝑠 ∼ 1 ,2 GeV, avec des rapports π N

∆

π N

Figure 1.1 : Résonance Δ dans la diffusion pion-nucléon.

Schématiquement, quand un pion se propage dans un noyau, il est absorbé par un nucléon et forme un Δ, puis il réapparaît lors de la désintégration de ce Δ.

À cette époque, on avait aussi l’obsession de rendre justice aux collègues en citant scrupuleusement les publications antérieures, et en les remerciant pour les discussions de vive voix ou par correspondance. Aujourd’hui, c’est parfois la jungle en comparaison, surtout chez les théoriciens.

𝜇𝑁 = (𝑒/𝑚)(~/2), où 𝑒 est la charge du proton, 𝑚 sa masse, et ~ la constante de Planck divisée par 2 𝜋. La valeur précise actuelle est 2 ,79285 𝜇𝑁 .

1 𝜎(𝜋+ 𝑝 → 𝜋+ 𝑝) , 9 2 𝜎(𝜋− 𝑝 → 𝜋0 𝑛) = 𝜎(𝜋+ 𝑝 → 𝜋+ 𝑝) . 9

𝜎(𝜋− 𝑝 → 𝜋− 𝑝) =

(1.1)

entre les probabilités de réaction que nous analyserons dans le chapitre 4 et qui caractérisent le passage par un état unique pour les voies 𝜋− 𝑝 et 𝜋0 𝑛 , la résonance Δ, première étape de la spectroscopie baryonique au-delà des simples nucléons. Voir Fig. 1.1. Cette résonance joue également un rôle dans la physique des noyaux, comme l’ont souligné par exemple Brown et Jackson [19], ou le groupe de Helsinki [20]. Des grands noms de la physique hadronique sont associés à ces résonances. Les témoins de cette époque ont toujours souligné la passion de ces pionniers pour leur métier, et leur acharnement à vérifier et à re-vérifier tous les résultats avant publication, une manie qui a malheureusement tendance à disparaître.

1.3 Le moment magnétique du proton Nous reviendrons au chapitre 12 sur les interactions électromagnétiques des hadrons. Signalons ici une expérience particulièrement intéressante. Vers 1933, Otto Stern et ses collaborateurs ont réussi à déterminer le moment magnétique du proton avec une assez bonne précision. On a beaucoup raconté d’histoires sur cette mesure [21]. Par exemple, nombre de collègues éminents, dont Pauli, découragèrent Stern de se lancer dans la mesure, car selon eux, le résultat était connu d’avance, comme étant 𝜇𝑁 . Une variante est qu’ayant déjà le résultat dans ses tablettes, Stern aurait questionné par écrit des physiciens pour leur demander leur prédiction. Bref, la valeur proche de 3 𝜇𝑁 fut une grande surprise. C’est la preuve que le proton n’est pas une simple particule de Dirac, l’équivalent lourd d’un électron. L’explication

1.4 La découverte de l’antiproton

5

la plus convaincante ne viendra que des années plus tard : le proton est une particule composée !

1.4 La découverte de l’antiproton La découverte de l’antiproton et la mesure de ses propriétés ont été saluées en leur temps comme de grandes avancées. Avec le recul, on se rend compte que l’antiproton nous a donné dès les années cinquante une indication du caractère composite des hadrons. La théorie de Dirac combine en une équation les aspects quantique et relativiste de l’électron, mais l’équation de Dirac contient, même pour les particules libres, des solutions d’énergie négative qu’il est difficile d’identifier directement à la somme d’une énergie de masse 𝑚 𝑐 2 et d’une énergie cinétique, toutes deux positives. Après quelques hésitations, voire quelques errements, l’interprétation des états à énergie négative a conduit à la prédiction d’une antiparticule associée à l’électron, le positon (ou positron), de même masse mais de charge opposée. Le positon fut raté de peu par les Joliot-Curie, qui, remarquablement, manquèrent aussi dans la même expérience la mise en évidence du neutron ! Le positon fut découvert par Anderson dans les rayons cosmiques. Voir, par exemple, [22, 23], et les références qui y sont données. Un antiproton associé au proton était raisonnablement attendu comme conséquence de la théorie de Dirac, avec très peu de chances de le découvrir comme particule primaire ou secondaire dans les rayons cosmiques, au moins au niveau du sol. Un accélérateur a été construit spécialement à Berkeley, le Bevatron (à l’époque le GeV était appelé BeV), aux fins de produire et d’identifier l’antiproton, et aussi de mesurer ses interactions avec des nucléons. L’antiproton fut découvert par Chamberlain, Segrè et leurs collaborateurs [24], avec la masse attendue, la même que celle du proton, et presque immédiatement vinrent les mesures de sections efficaces de la diffusion

N′

N π N

N′

Figure 1.2 : Échange d’un pion dans la diffusion élastique nucléon-antinucléon. L’état de charge initial 𝑁 𝑁 ou final 𝑁 0 𝑁 0 ¯ , 𝑛𝑛 ¯ ou 𝑝𝑛 ¯ . est 𝑝𝑝

6

1 Histoire

antiproton-nucléon. On s’attendait, sur la base du modèle de Yukawa (voir Fig. 1.2), à ce que domine la réaction ¯ → 𝑛𝑛 ¯ ), puis la diffusion élasd’échange de charge ( 𝑝𝑝 ¯ → 𝑝𝑝 ¯ ou 𝑝𝑛 ¯ → 𝑝𝑛 ¯ ) et enfin l’annihilation tique ( 𝑝𝑝 ¯ → mésons, par exemple 𝑝𝑝 ¯ → 𝜋+ 𝜋− 𝜋0 ), et c’est ( 𝑝𝑝 exactement l’inverse qui fut observé : la section efficace d’annihilation est deux fois plus grande que l’élastique, et celle de l’échange de charge est très diminuée.

ρ

Dans les années cinquante, l’annihilation des antiprotons était décrite à la manière de celle des positons en électrodynamique quantique, mutatis mutandis. Par exemple, le diagramme de la figure 1.3 représente l’échange d’un nucléon, et correspond à un mécanisme de très courte portée, incapable de fournir une probabilité importante d’annihilation.

π

N π

N

π

Figure 1.3 : Échange d’un nucléon dans l’annihilation nucléon-antinucléon. Sur l’exemple, 𝑁 𝑁 → 𝜌𝜋 → 𝜋𝜋𝜋, où 𝜌 est une résonance qui se désintègre en deux mésons 𝜋.

N

m1

Bien après la mesure des sections efficaces des antiprotons, le modèle des quarks a fourni une explication assez naturelle de leur hiérarchie. L’annihilation n’est pas principalement une vraie « annihilation » des constituants fondamentaux. Dans la plupart des cas, ce que nous appelons annihilation est en fait un réarrangement : dans l’état initial, trois quarks d’un côté, et trois antiquarks de l’autre ; dans l’état final, des paires quark-antiquark. Un exemple est donné dans la figure 1.4. Ce mécanisme est analogue aux collisions de réarrangement en physique atomique, (𝐴𝐵) + (𝐶𝐷) → (𝐴𝐶) + (𝐵𝐷) et leur section efficace dépend du recouvrement des fonctions d’onde. Bref, le modèle des quarks était presque à notre portée dans les années cinquante, mais sous une forme cryptique, que nous n’étions pas encore disposés à déchiffrer.

m2 N

m3

Figure 1.4 : L’annihilation nucléon-antinucléon vue comme un réarrangement des constituants.

Louis Leprince-Ringuet était assez célèbre, mais aussi un peu controversé. Voir [26, 27].

1.5 Étrangeté En 1944, un résultat assez surprenant fut publié par une équipe française, dirigée par Leprince-Ringuet et Lhéritier [25], qui, pour étudier les rayons cosmiques, s’était installée à L’Argentière dans les Hautes-Alpes, où elle bénéficiait de l’altitude (1 000 m) et du courant électrique de l’usine métallurgique, nécessaire pour alimenter ses électroaimants. Une particule positive

1.5 Étrangeté

7

est détectée, de masse environ 990 fois celle de l’électron, qui ultérieurement sera nommée 𝐾 + . Plus tard Leprince-Ringuet et ses collaborateurs s’installèrent au Pic du Midi, à plus haute altitude, où d’autres équipes travaillaient en parallèle. Mais il y avait une certaine émulation entre eux, voire de la rivalité. Par exemple, quand Rochester et Butler, de Manchester, écrivent en 1953 une revue sur les nouvelles particules [28], ils ne parlent pas de la découverte de L’Argentière. Curieusement, Turlay, en ouvrant un colloque sur les mésons 𝐾 à Orsay en 1996, oublie lui aussi le résultat de LeprinceRinguet [29]. Des ouvrages faisant autorité, comme celui de PDG [3], rendent cependant justice à l’équipe de L’Argentière. Personne évidemment ne soupçonnait en 1944 que la particule de L’Argentière révolutionnerait la physique des particules. Mais au début des années cinquante, des résultats similaires furent obtenus par d’autres équipes, toujours grâce aux rayons cosmiques. Puis les accélérateurs ont pris le relais, l’ensemble des recherches mettant en évidence une nouvelle classe de particules élémentaires. Elles sont produites par paires, et elles sont instables, mais avec une durée très longue par rapport aux résonances hadroniques habituelles. Par exemple, la réaction 𝑝 + 𝑝 → 𝐾 + + 𝑛 + 𝑝 n’est pas observée, mais la réaction 𝑝 + 𝑝 → 𝐾 + + Λ + 𝑝 l’est. Un exemple de désintégration est Λ → 𝜋− + 𝑝 . Pour rendre compte empiriquement des observations, un nouveau nombre quantique fut introduit, l’étrangeté S, qui est conservé par les interactions fortes, mais violé par les désintégrations faibles. On attribua la valeur S = +1 au méson 𝐾 + , et S = −1 au méson 𝐾 − et aux baryons Λ et Σ, et S = −2 aux baryons Ξ0 et Ξ− . Le cas des mésons s’avéra plus énigmatique, avec le paradoxe de désintégrations venant de particules de même masse, mais correspondant à des nombres quantiques différents. Le dilemme s’est donc présenté, ou bien de supposer l’existence de particules différentes, mais remarquablement dégénérées, ou bien de la violation de nombres quantiques comme la parité, qui jusqu’à présent n’avaient jamais été remis en question. Cette violation expliquerait que des désintégrations à

Le kaon 𝐾 est le plus léger des mésons avec ces propriétés inhabituelles, et Λ le plus léger des baryons.

8

1 Histoire

La parité est la symétrie par rapport à un point, qui transforme toute position 𝒓 en −𝒓 . Si elle est combinée à une rotation, c’est la réflexion dans un miroir.

première vue incompatibles puissent provenir de la même particule. Cela amena à faire de nouvelles expériences dans la physique déjà connue, en particulier de rechercher une violation de la parité dans la désintégration 𝛽 . On découvrit que la parité est bien violée dans les interactions faibles, et simultanément la symétrie matière-antimatière.

1.6 Le modèle des quarks La voie de l’octet

Cependant, dans nombre de manuels de physique nucléaire, une autre convention est adoptée, |𝑝i = | 1/2 , −1/2i et |𝑛i = | 1/2 , +1/2i , parce qu’on a l’habitude de classer les noyaux par nombre croissant de neutrons.

Les rotations ordinaires sont évidemment régies par le groupe orthogonal à trois dimensions O(3), mais il faut passer à SU(2), qui a la même algèbre d’opérateurs mais plus de représentations, pour décrire le 1/2.

En mécanique quantique, les états de moment cinétique 𝐽 quelconque, entier ou demi-entier, peuvent être construits en combinant 2 𝐽 fois avec lui-même le doublet de base, formé des états {↑, ↓}. En physique nucléaire, les états d’isospin sont construits de la même façon à partir du proton et du neutron, en remplaçant ↑ par 𝑝 et ↓ par 𝑛 . Le groupe mathématique sous-jacent, pour les rotations quantiques et pour l’isospin, est SU(2). Si on introduit l’étrangeté, la généralisation la plus simple est de passer de deux constituants élémentaires à trois, et de bâtir tous les systèmes à partir des trois baryons les plus légers, (𝑝, 𝑛, Λ). Le groupe est SU(3), qui généralise le groupe SU(2) de l’isospin, et le contient comme sous-groupe. La représentation fondamentale est le triplet {𝑝, 𝑛, Λ}. Le modèle de Sakata [30], ou si l’on veut, la voie du triplet, a été une tentative de construire une dynamique des hadrons à partir de ce ¯ 𝑛, ¯ Λ}. Mais cette triplet, et de l’antitriplet associé { 𝑝, approche n’a pas donné de résultats satisfaisants. Par exemple, le Σ est un système (Λ, 𝑁 , 𝑁) dans ce modèle, où 𝑁 désigne un nucléon 𝑝 ou 𝑛 , et devrait avoir une masse proche de 3 GeV, alors qu’il est en fait à peine plus massif que le Λ ; les mésons de ce modèle sont des états liés baryon-antibaryon, et on ne comprend pas pourquoi ils sont si légers, ni pourquoi ceux d’isospin 0 sont souvent dégénérés en masse avec ceux d’isospin 1,

1.6 Le modèle des quarks

9

Figure 1.5 : Reproduction des figures de la publication annonçant la découverte du Ω− [36]. À gauche, le cliché brut. À droite, le schéma annoté de la la réaction : 𝐾 − (1) 𝑝 → Ω− (3) 𝐾 + (2) 𝐾 0 , Ω− (3) → Ξ0 𝜋− (4), Ξ0 → Λ 𝜋0 , 𝜋0 → 𝛾(7) 𝛾(8), et Λ → 𝜋− (5) 𝑝(6). © APS.

car l’interaction baryon-antibaryon n’est pas la même dans les deux cas. Gell-Mann et N’eeman proposèrent la voie de l’octet [34, 35], où les baryons de spin 1/2, 𝑛 , 𝑝 , Λ, Σ± , Σ0 , Ξ0 , Ξ− , d’étrangeté 𝑆 = 0, −1 ou −2, sont dans une représentation octet de SU(3). Dans ce schéma, les baryons de spin 3/2, Δ++ , Δ+ , Δ0 et Δ− d’étrangeté S = 0, Σ∗+ , Σ∗ 0 et Σ∗− d’étrangeté S = −1, et Ξ∗ 0 et Ξ∗− d’étrangeté S = −2 peuplent un décuplet. Un élément est manquant : l’état d’étrangeté S = −3, qu’on appela le Ω− , comme une sorte d’aboutissement si on pense à l’alpha et l’oméga des écritures. La brisure de SU(3) semblait régulière, avec une augmentation progressive de la masse quand l’étrangeté diminue : 𝑚(Σ∗ ) − 𝑚(Δ) ' 𝑚(Ξ∗ ) − 𝑚(Σ∗ ) ≡ 𝛿, d’où la prédiction 𝑚(Ω− ) ' 𝑚(Ξ∗ ) + 𝛿 ∼ 1 670 MeV/𝑐 2 . En 1964, l’équipe de Nick Samios (Brookhaven) identifia le premier Ω− sur un cliché (voir Fig. 1.5), avec la masse prévue, un succès éclatant pour cette déclinaison de la symétrie unitaire SU(3) englobant isospin et étrangeté [36]. Avec la découverte du Ω− , le décuplet de spin 3/2 était complet et plusieurs autres représentations de SU(3) étaient déjà remplies, pour les mésons vecteurs, etc. La question s’est posée de la représentation fondamentale, le triplet de SU(3), noté 3 et la représentation

L’histoire est évidemment plus complexe, comme l’a rappelé A. De Rújula [31]. Dans ses mémoires [32], Serber mentionne une conversation avec Gell-Mann où il aurait suggéré de s’intéresser à la représentation fondamentale de SU(3). Un article de Petermann [33], reçu par l’éditeur avant la parution des preprints de Gell-Mann et de Zweig, anticipe la structure des mésons et des baryons.

Samios n’avait pas encore 32 ans quand il a dirigé l’équipe qui fait la découverte du Ω− . On lira avec intérêt la narration de Fowler et Samios [37]. Le Ω− fut identifié le 31 janvier 1964, un jour calendaire assez chargé avec le pic de la crue de la Seine le 31 janvier 1910, la première utilisation des gaz de combat le 31 janvier 1915, etc.

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1 Histoire

Le mot « quark » est tiré de la phrase “Three quarks for Muster Mark” du roman Finnegans Wake de James Joyce.

conjuguée 3 (voir chapitre 4). D’un point de vue strictement algébrique, toutes les représentations peuvent être construites en combinant des 3 et des 3, par exemple 3 ⊗ 3 → 1 ⊕ 8. Gell-Mann baptisa « quarks » les trois éléments de cette représentation fondamentale. La question était de savoir si ces quarks étaient de purs outils de calcul ou recouvraient une réalité physique. Les avis évoluèrent progressivement vers cette deuxième interprétation.

La règle de Zweig La démarche de Georges Zweig était différente, et complémentaire. Il était intrigué par le méson 𝜙 , de masse 1 020 MeV/𝑐 2 , et de mêmes nombres quantiques que le 𝜔 , de masse voisine 780 MeV/𝑐 2 , mais de propriétés de désintégration différentes. Le 𝜔 se désintègre tout naturellement en trois mésons 𝜋 (la désintégration en deux pions est interdite par la conservation de l’isospin, voir chapitre 4), mais le méson 𝜙 préfère se désintégrer en une paire de mésons 𝐾 , soit 𝜙 → 𝐾 𝐾¯ , pour laquelle il y a très peu d’énergie disponible. L’interprétation de Zweig, exprimée ici avec les notations modernes, est que le 𝜙 est fait d’un quark 𝑠 et de l’antiquark associé 𝑠¯ , que l’annihilation interne 𝑠 + 𝑠¯ → pions est inhibée, tandis que l’habillage est assez facile, soit π φ

ρ

π φ

𝑠 𝑠¯ → 𝑠 𝑞¯ + 𝑠¯ 𝑞 .

(1.2)

L’idée est donc que les produits de désintégration reflètent le contenu initial. Cette dominance de certains processus est formulée sous le nom de règle de Zweig.

ρ

φ

¯ K K

Figure 1.6 : Désintégration du 𝜙, par des diagrammes non connexes (haut et milieu), et par un diagramme connexe, qui est favorisé par la règle de Zweig.

De nos jours, la règle de Zweig est expliquée à l’aide de diagrammes. Chaque méson est fait d’un quark (ligne sortante) et d’un antiquark (ligne entrante). Une ligne qui se referme sur elle-même correspond à l’annihilation ou à la création d’une paire quark-antiquark. Les diagrammes non connexes sont de moindre amplitude (par anglicisme, on dit qu’ils sont « supprimés »). En tout cas, la topologie a fait son entrée dans les interactions fortes.

1.7 Le charme et la beauté

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1.7 Le charme et la beauté Le charme a été prédit pour résoudre quelques difficultés avec les interactions faibles. Plus précisément, Glashow, Illiopoulos et Maiani (GIM) ont montré en 1970 qu’avec un quark charmé dans l’état intermédiaire, certaines désintégrations des kaons devenaient très peu probables, parce que le mécanisme impliquant le quark charmé annulait presque exactement la contribution avec un quark ordinaire. Une petite merveille de raisonnement qui n’est pas sans rappeler la prédiction par Le Verrier de la planète Neptune, par l’analyse d’anomalies infimes sur le mouvement des planètes déjà observées. En novembre 1974, une équipe à SLAC (Stanford) sur la côte ouest et, simultanément, une équipe à Brookhaven sur la côte est découvrirent un pic très étroit, de masse 3 ,1 GeV/ 𝑐 2 . Les uns l’appelèrent 𝐽 , l’autre 𝜓 , et le nom de 𝐽/𝜓 est resté. Un peu plus tard, un autre méson a été trouvé à SLAC, vers 3,7 GeV/𝑐 2 , qu’on nomma 𝜓0. Les explications les plus extravagantes fusèrent, avant qu’on n’identifie ces mésons comme des états liés du quark 𝑐 prédit par GIM et de l’antiquark associé 𝑐¯. Ces états 𝑐 𝑐¯ furent donc appelés « charmonium ». Pourquoi ces hésitations ? On s’attendait à voir d’abord des particules à « charme ouvert », comme les mésons ¯ ou le baryon Λ𝑐 (𝑐𝑢𝑑) et, bien-sûr, ¯ et 𝐷 + (𝑐 𝑑) 𝐷 0 (𝑐 𝑢) ¯ 0 , 𝐷 − et Λ ¯ 𝑐 . Ensuite, on les antiparticules associées, 𝐷 ne s’attendait pas à ce que les états les plus bas du charmonium soient aussi étroits, c’est-à-dire que la règle de Zweig marche beaucoup mieux que pour le 𝜙 . Pour ce dernier, l’annihilation interne du quark et de l’antiquark étrange est inhibée, et le 𝜙 préfère se désintégrer en une paire de kaons. Pour le 𝐽/𝜓 et pour le 𝜓0, l’annihilation interne du quark et de l’antiquark charmés est encore plus inhibée, et la désintégration ¯ est énergétiquement en un méson 𝐷 et un méson 𝐷 interdite. Le méson 𝐷 fut découvert en 1976 à SLAC par Gerson Goldhaber et al. [38]. Avec le charme, l’équilibre était atteint entre les leptons (𝑒 − , 𝜈𝑒 , 𝜇− , 𝜈𝜇 ) et les quarks (𝑑, 𝑢, 𝑠, 𝑐) et les antiparti-

On parle parfois de la révolution d’octobre par référence à la révolution russe de novembre 1917, éclatée en octobre du calendrier russe qui était à l’époque décalé par rapport à l’occident.

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1 Histoire

cules associées. Mais en même temps que la découverte du charme, Martin Perl identifia un nouveau lepton, le 𝜏− [39]. On soupçonna logiquement l’existence d’un neutrino associé 𝜈𝜏 et on spécula donc la présence d’un quark de charge −1/3 et d’un autre de charge 2/3 pour faire le pendant de la paire de leptons (𝜏− , 𝜈𝜏 ). On les désigna 𝑏 (charge −1/3) et 𝑡 (charge 2/3), et on les nomma d’abord « bottom » et « top ». Mais comme “bottom” est un peu vulgaire, les noms évoluèrent en « beauté » qui s’imposa et « vérité » (truth) qui ne remplaça jamais “top”. Lederman fut un peu plus tard directeur du laboratoire de Fermilab. Il avait constaté, selon ses propres termes, que le CERN était une merveille de gastronomie et un désastre d’architecture, et Fermilab tout le contraire, grâce notamment à son bâtiment central, le hall Wilson, pour lequel l’architecte Alan H. Rider a reconnu s’être un peu inspiré de la cathédrale de Beauvais. Lederman essaya d’implanter un bon restaurant à Fermilab, Chez Léon, qui périclita après quelques années et finalement ferma. Le CERN a sensiblement amélioré son architecture, mais la qualité de ses cafétérias a considérablement chuté.

En 1977, Lederman et son équipe découvrirent le Υ de masse environ 9 ,5 GeV/𝑐 2 , tout de suite décrit comme un état lié du quark 𝑏 et de son antiquark associé, 𝑏¯ , et la largeur très étroite ne fut pas une surprise. Les particules avec beauté ouverte suivirent, par exemple ¯ , 𝐵− (𝑏 𝑢) ¯ , 𝐵¯ 𝑠 (𝑏 𝑠¯ ) et toute la gamme des mésons 𝐵¯ 0 (𝑏 𝑑) 𝐵¯ 𝑐 (𝑏 𝑐¯), puis celle des baryons, à commencer par le Λ𝑏 (𝑏𝑢𝑑). Le top s’avéra plus ardu. On essaya de prédire sa masse, vers 10 GeV, puis 20 GeV, et au-delà, et d’anticiper les propriétés des hadrons contenant le top. Mais de nouvelles surprises attendaient. La masse est très élevée, environ 130 GeV/𝑐 2 . Et comme certains théoriciens l’anticipèrent habilement [40], avec une telle masse, la désintégration faible devient très rapide et le quark top n’a pas le temps de s’associer avec un antiquark pour former un méson ou avec deux autres quarks pour former un baryon. Il participe donc aux bilans des collisions à très haute énergie, mais ne vient pas enrichir la famille des hadrons. Nous n’en parlerons donc plus beaucoup. Avec le charme et la beauté, la physique a profondément changé. Les interactions entre quarks ont pu être testées dans un régime de courtes distances où les prédictions théoriques sont moins ardues que pour les quarks légers. Et puis le charme et la beauté sont des outils pour tester les symétries fondamentales et les mécanismes des interactions faibles, grâce aux très nombreux états finals de leurs désintégrations. Par exemple, on peut comparer les modes 𝐵+ → 𝐾 + 𝜋0 et 𝐵− → 𝐾 − 𝜋0 .

1.8 Radiographie des nucléons

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1.8 Radiographie des nucléons La découverte du noyau et de sa taille très petite par rapport à l’atome a été permise par la diffusion de particules chargées sur des cibles, plus précisément des particules 𝛼 sur des feuilles d’or : c’est la fameuse expérience de Rutherford. Plus tard, la diffusion d’électrons et de muons a permis de préciser la distribution des charges au sein du noyau. À la fin des années soixante, une équipe de MIT et une équipe de SLAC entreprirent de nouvelles mesures de diffusion électron-proton, pour tirer parti des performances des faisceaux d’électrons de SLAC. Il y avait un peu de scepticisme dans une partie de la communauté. Mais les résultats furent spectaculaires, avec des événements à grand transfert d’impulsion, qui révèlent une structure granulaire. On appela « partons » ces constituants du proton, pour ne pas se retreindre aux quarks, même si personne ne doutait vraiment que ces granulosités ne fussent les quarks. D’autres expériences, avec électrons ou muons, confirmèrent ces résultats. Jerome I. Friedman, Henry W. Kendall et Richard E. Taylor reçurent le prix Nobel de physique en 1990, et on peut lire dans [41] le texte de leur allocution à Stockholm. Les expériences de SLAC furent aussi reprises avec des noyaux. En première approximation, si les nucléons sont liés sans déformation, ils se comportent comme des cibles indépendantes. On a pourtant trouvé des différences entre la distribution des quarks dans les nucléons et celle observée dans les noyaux, en particulier dans les mesures effectuées par l’expérience EMC au CERN, ce qui a fait couler beaucoup d’encre. Ce qu’on a appelé « l’effet EMC » a été remesuré avec différents noyaux et des énergies variables.

1.9 Chromodynamique quantique On avait les briques, les quarks. Restait à trouver le ciment. Une première nécessité était apparue, d’intégrer la statistique anormale des quarks dans les baryons.

MIT : Massachussets Institute of Technology. SLAC : Stanford Linear ACcelerator.

EMC : European Muon Collaboration.

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1 Histoire

Les quarks ont un spin 1/2, et comme tels, doivent se comporter comme des fermions dont la fonction d’onde spatiale est antisymétrique. Mais le modèle en quarks pour les baryons ne marche que si la fonction d’onde spatiale de l’état fondamental est symétrique, associée à une fonction de spin-isospin elle aussi symétrique. Sinon, il y aurait une trop grande distorsion entre les baryons contenant des quarks identiques et ceux qui combinent des quarks différents, alors qu’expérimentalement, il y aurait une grande continuité. Pour sortir de ce dilemme, on ne voyait que deux solutions : soit les quarks obéissent à une « parastatistique » mystérieuse, soit ils possèdent un nombre quantique lui aussi un peu mystérieux qui assure l’antisymétrie [42, 43].

QCD : Quantum ChromoDynamics.

Dès 1954, Yang et Mills avaient développé des théories de jauge, analogues à l’électrodynamique quantique (QED), mais basées sur des groupes non abéliens comme SU( 𝑁 ), avec 𝑁 > 1, au lieu du groupe U(1) de QED. En 1973, Fritzsch, Gell-Mann et Leutwyler [44] proposèrent une théorie de Yang-Mills où les photons de la QED sont remplacés par un octet de gluons du groupe SU(3). Il ne s’agit pas du SU(3) précédent, associé à l’isospin et l’étrangeté, désormais rebaptisé SU(3)𝐹 , mais du groupe de couleur SU(3)𝑐 imaginé pour expliquer la statistique des quarks et leur confinement. La Chromo-Dynamique Quantique (QCD) était née. Beaucoup de progrès ont été accomplis en QCD : des calculs perturbatifs qui expliquent certains phénomènes à grand transfert, et la « liberté asymptotique » qui justifie la théorie des perturbations dans le régime de grand transfert, ou si on préfère, de courte distance. Il reste à mieux comprendre le régime des grandes distances, c’est-à-dire le confinement.

1.9 Chromodynamique quantique

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Exercices 1. Pour produire un antiproton dans la collision d’un proton incident sur un proton au repos, faut-il une énergie cinétique minimale 𝐾 = 𝑚𝑐 2 ? 𝐾 = 2 𝑚𝑐 2 ? ou 𝐾 = 6 𝑚𝑐 2 ? Ce seuil est-il plus haut ou plus bas si on remplace le proton de la cible par un noyau ? 2. Une particule de masse 𝑚1 , de charge +𝑒 et de quantité de mouvement +𝒑 heurte une particule de masse 𝑚2 , de charge +𝑒 , et de quantité de mouvement −𝒑. Quelle est la distance minimale d’approche si on ne tient compte que de l’interaction électrostatique ? 3. Le neutron est instable, mais le noyau d’hélium, qui contient deux neutrons, est stable. Pourquoi ? 4. Citer quelques retombées intéressantes de la physique des particules élémentaires. 5. Citer quelques événements importants de l’année 1964 (en physique des particules, pour le reste, on pourra évoquer le duel Anquetil-Poulidor dans l’étape du Puy-de-Dôme du Tour de France, et le millésime exceptionnel pour le vin de Bourgogne). Identifier deux publications majeures de résultats d’expériences réalisées dans le même laboratoire. Qui était le directeur de ce laboratoire à l’époque ? Pourquoi est-il très connu ? 6. Voici une version simplifiée de l’expérience de L’Argentière, où le plan de la photographie coïncide avec le plan de la collision. Une particule 𝐴 de quantité de mouvement |𝒑1 | = 700 𝑚𝑐 heurte un électron pratiquement au repos. La collision est supposée élastique. On mesure la quantité de mouvement de l’électron de recul, 𝒒 2 , qui fait un angle 𝛼 = 20◦ avec 𝒑1 et vaut |𝒒 2 | = 1 ,5 𝑚𝑐 , où 𝑚 est la masse de l’électron. Calculer la masse 𝑀 de 𝐴 en unités de 𝑚 . 7. On considère la collision frontale de deux protons (𝑚 = 1 GeV) avec chacun une énergie de 6 TeV. Quelle est l’énergie du premier proton dans le référentiel du second (ce qui serait l’énergie du faisceau pour réaliser la même collision sur cible fixe) ? 8. Sections efficaces nucléon-antinucléon (on pourra revenir à cet exercice après avoir lu les prochains chapitres). On décrit le mécanisme de la Fig. 1.2 comme 𝑝 𝑝¯ → 𝜋0 → 𝑝 𝑝¯ ou 𝑝 𝑝¯ → 𝜋0 → 𝑛 𝑛¯ ou 𝑝 𝑛¯ → 𝜋+ → 𝑛 𝑛¯ . L’amplitude est donc proportionnelle au produit de deux coefficients de Clebsch-Gordan d’isospin du type

h(1/2 , ±1/2), (1/2 , ±1/2)|(1/2 , 1/2)(1 , 0)i. ¯ → 𝑝𝑝 ¯ , 𝑝𝑛 ¯ → 𝑝𝑛 ¯ et 𝑝𝑝 ¯ → 𝑛𝑛 ¯ seraient Montrer que les sections efficaces 𝑝𝑝 dans des rapports 1 : 1 : 4 si on ne tenait compte que de ce mécanisme d’échange d’un pion ?

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[26]

Louis Leprince-Ringuet était assez célèbre, mais aussi un peu controversé. Pour les uns, un pionnier qui a formé une génération de brillants expérimentateurs, un vulgarisateur hors-pair et un professeur à l’École polytechnique qui a suscité des vocations et ne craignait pas de se mesurer au tennis avec ses élèves, car ami et partenaire occasionnel de Borotra et autres « mousquetaires », il avait gardé un revers redoutable jusqu’à un âge avancé. Il était aussi artiste et écrivain et avait été élu à l’Académie française. Il faut aussi rappeler que des élèves de Polytechnique d’origine juive, interdits de Chantiers de Jeunesse car jugés indignes de hisser les couleurs, ont été accueillis en stage à L’Argentière. Mais Leprince-Ringuet a été aussi sévèrement critiqué, notamment par Anatole Abragam dans son livre De la physique avant toute chose, et par d’autres qui lui reprochaient de s’étaler un peu trop dans les médias et ne savoir mobiliser que des bourgeoises en jupe plissée et manteau loden qui

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défilaient rue Saint-Honoré sous sa houlette en criant : « Europe ! Europe ! ». Leprince-Ringuet s’est vu aussi reprocher son passage en force au Collège de France. Après un premier vote pour une chaire de physique nucléaire, qui était destinée à Halban, ancien collaborateur de Joliot-Curie, le clan conservateur a maintenu la candidature de Leprince-Ringuet, contrairement à tous les usages, et a réussi à imposer l’élection au second tour de cet ancien élève de Maurice de Broglie. (cited on page 6). [27]

H. Amblard. “Polytechnique et polytechniciens : entre conformisme et Résistance”. In: Le Patriote Résistant (éd. Fédération Nationale des Déportés et Internés, Résistants et Patriotes, 10, rue Leroux, 75116 Paris, France ,http: // www. fndirp. asso. fr/ 913 (2016). Je remercie le regretté Paul Baillon (CERN) d’avoir attiré mon attention sur ce point. Voir aussi un article dans le numéro de décembre 2017 du bulletin municipal de L’Argentière - La Bessée, https://drive.google.com/file/d/11Fp8nOAzllfPoy6Q8n9kYM95hQlqQQB/view (cited on page 6).

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Classification

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Dans ce chapitre sont présentées les différentes catégories de hadrons, et les conventions adoptées pour leur nomenclature. Plus de détails sont donnés dans la dernière édition du Particle Data Group, voir [1].

2.1 Quarks et leptons Commençons par les constituants vraiment élémentaires, du moins aujourd’hui, à savoir les quarks et les leptons. Ils sont classés traditionnellement en « générations » qui correspondent à la date de leur découverte, à leur masse et à leurs affinités par interaction faible. Par exemple, le neutrino associé à la désintégration 𝜋+ → 𝑒 + + 𝜈𝑒 appartient à la première génération, qui contient déjà l’électron, et le neutrino émis lors de 𝜋+ → 𝜇+ + 𝜈𝜇 est un neutrino de deuxième génération. Dans le secteur des quarks, on le verra plus en détail au chapitre 13, il y a une production préférentielle de paires 𝑢 𝑑¯ ou 𝑐 𝑠¯ lors de désintégrations faibles de particules lourdes. On classe donc tout naturellement 𝑢 et 𝑑 (et les antiquarks associés) dans la même génération, 𝑐 et 𝑠 dans une deuxième, et 𝑏 et 𝑡 dans une troisième. Mais ce qui reste un peu arbitraire pour l’instant, c’est le regroupement de certains leptons et de certains quarks dans la même génération. Nous suivons dans la table 2.1 l’usage de regrouper les fermions en fonction de leur masse plus ou moins élevée, mais ce choix peut être contesté. Par exemple, dans les spéculations sur l’instabilité du proton, on propose des désintégrations comme 𝑝 → 𝜋0 + 𝑒 + où des quarks de première générations sont transformés en un antiquark et un lepton de la même génération. Mais il est possible que la réaction soit 𝑝 → 𝜋0 + 𝜇+ , auquel cas ce serait les leptons ¯ 𝑑¯ dans la 𝜇− , 𝜈𝜇 , 𝜇+ , 𝜈¯ 𝜇 qui accompagneraient 𝑢, 𝑑, 𝑢, première génération.

Soit 𝑢𝑢𝑑 → 𝑢 𝑢¯ + 𝑒 + ou 𝑢𝑢𝑑 → 𝑑 𝑑¯ + 𝑒 + en termes de quarks.

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2 Classification

Table 2.1 : Les quarks et les leptons classés par générations, ainsi que antiquarks et antileptons associés.

Génération quark quark lepton neutrino antiquark antiquark antilepton antineutrino

𝑄 2/3 −1 / 3 −1 0 −2 / 3 1/3 +1 0

I 𝑢 𝑑 𝑒− 𝜈𝑒 𝑢¯ 𝑑¯ 𝑒+ 𝜈¯ 𝑒

II 𝑐 𝑠 𝜇− 𝜈𝜇 𝑐¯ 𝑠¯ 𝜇+ 𝜈¯ 𝜇

III 𝑡 𝑏 𝜏− 𝜈𝜏 𝑡¯ 𝑏¯

𝜏+ 𝜈¯ 𝜏

Les leptons participent aux interactions électromagnétiques et faibles, les quarks participent aux interactions électromagnétiques, faibles et fortes, et en particulier, forment les hadrons. Par convention, les quarks légers 𝑢 et 𝑑 n’ont pas de saveur.

À chacun des quarks de la deuxième ou troisième génération est associée une saveur : étrangeté, charme, beauté, vérité, qui est conservée par les interactions fortes. Les hadrons contenant l’un de ces quarks sont produits par paires, pour conserver la saveur, mais se désintègrent en perdant cette saveur.

2.2 Les bosons de jauge

L’interaction des constituants fondamentaux de la table 2.1 est assurée par l’échange de bosons, qui sont : le photon 𝛾 , de masse nulle, les bosons chargés 𝑊 + et 𝑊 − de masse 80 GeV, le boson neutre 𝑍 0 , de masse 91 GeV pour les interactions électro-faibles, et le gluon 𝑔 pour les interactions fortes. La masse du gluon est nulle dans le lagrangien de la chromodynamique, mais le gluon est coloré : si on cherche à le sortir d’un hadron, il acquiert en quelque sorte une masse infinie, et l’opération échoue ! Il faudrait bien sûr ajouter le graviton pour être complet, mais les aspects microscopiques et quantiques de la gravitation sont encore très mal connus.

2.3 Les hadrons ordinaires

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2.3 Les hadrons ordinaires Autrefois, disons au temps où je faisais mes études, la classification des hadrons paraissait un peu empirique. On distinguait les mésons des baryons, et cette distinction reste en vigueur, avec les baryons portant le nombre baryonique 𝐵 = 1, qui devient 𝐵 = −1 pour les antibaryons. En physique nucléaire, 𝐵 est le plus souvent noté 𝐴, le nombre de masse, et il compte le nombre de nucléons, avec, par exemple, 𝐴 = 2 pour le deutéron. De nos jours, les hadrons sont classés en fonction de leur contenu en quarks, même si ce contenu n’est qu’une première approximation. Par exemple, le proton est 𝑢𝑢𝑑, mais il contient des petites composantes 𝑢𝑢𝑑𝑢 𝑢¯ , 𝑢𝑢𝑑𝑑 𝑑¯ , 𝑢𝑢𝑑𝑠 𝑠¯ , etc., comme on le verra au chapitre 10. Les noms et les symboles ont un peu évolué au cours du temps et il faut s’adapter lors de la lecture très instructive des livres et des articles anciens. Le méson scalaire 𝜖 , responsable de l’attraction entre nucléons, est devenu 𝜎 , puis 𝑓0 (500). Les mésons avec charme et étrangeté, 𝑐 𝑠¯ , ont été longtemps nommés 𝐹 , 𝐹 ∗ . . . et sont devenus 𝐷𝑠 , 𝐷𝑠∗ . . . Le baryon exotique avec étrangeté S = +1 a été nommé 𝑍 , avant d’évoluer en 𝜃 puis de disparaître, et le symbole 𝑍 , ou 𝑍 0 , a été affecté au boson intermédiaire neutre partenaire des 𝑊 ± et du photon dans la théorie électrofaible. Pour les baryons charmés, le changement est complet. Dans l’article fondateur [2], les baryons charmés sont notés 𝐶 , 𝐴, 𝑋 , etc., avec la correspondance 𝐶0 = Λ𝑐 , 𝐶1 = Σ𝑐 , 𝐴 = Ξ𝑐 , 𝑆 = Ξ0𝑐 , 𝑋𝑢 = Ξ++ 𝑐𝑐 , etc. On voit apparaître dans la nouvelle nomenclature la règle de substitution : en partant de Σ = 𝑠 𝑞𝑞 , où 𝑞𝑞 est une paire de quarks 𝑢 ou 𝑑 dans l’état de spin triplet, on obtient Σ𝑐 = 𝑐𝑞𝑞 , toujours avec 𝑞𝑞 de spin 1. Cette règle s’est imposée, même si elle n’est pas parfaite. Par exemple, dans l’état fondamental du Ξ = 𝑠𝑠 𝑞 , les deux quarks étranges sont dans un état triplet, et selon qu’avec le quark léger 𝑞 ils forment un spin 1/2 ou 3/2, on obtient Ξ ou Ξ∗ . Avec la substitution d’un seul quark charmé, il n’y a plus de restriction due au principe de Pauli et on

Ξ𝑐 et Ξ0𝑐 ont tous deux un spin 1/2, mais la paire de quarks légers forme un spin singulet dans le premier et triplet dans le second.

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2 Classification

Table 2.2 : Les mésons pseudoscalaires les plus légers.

𝑑¯ 𝑢¯ 𝑠¯ 𝑐¯ 𝑏¯

𝑑

𝑢

𝑠

𝑐

𝜋 ,𝜂 𝜋0 𝐾0 𝐷− 𝐵0

𝜋+

𝐾 𝐾− 𝐾0 𝐷𝑠 𝐵𝑠

𝐷+

0

𝜋 ,𝜂 𝐾+ 𝐷0 𝐵+ 0

0

𝑏

𝐷 𝐷𝑠 𝜂𝑐 𝐵+𝑐

0

𝐵0 𝐵− 𝐵𝑠 𝐵𝑐 𝜂𝑏

passe aux configurations 𝑐𝑠 𝑞 , avec deux spins 1/2, Ξ𝑐 et Ξ0𝑐 et un seul spin 3/2 Ξ∗𝑐 . Avec deux substitutions, on nomme les baryons à double charme 𝑐𝑐𝑞 , et comme 𝑐𝑐 est soumis aux mêmes contraintes d’antisymétrisation que 𝑠𝑠 , on retrouve deux états, Ξ𝑐𝑐 de spin 1/2 et Ξ∗𝑐𝑐 de spin 3/2. Pour les baryons avec charme C = 1 et étrangeté S = −2, on retrouve un peu d’inconfort avec la nouvelle notation : le fameux Ω(𝑠𝑠𝑠) a un spin 3/2 dans l’état fondamental pour satisfaire la statistique, mais après substitution d’un 𝑠 en 𝑐 , on obtient soit le Ω𝑐 = 𝑐𝑠𝑠 de spin 1/2, un peu plus bas que le Ω∗𝑐 de spin 3/2.

Mésons État fondamental

Les parités sont réliées les unes aux autres. La convention est que celle du proton est +1.

La convention la plus courante est d’indiquer la charge en exposant. On utilise parfois la notation 𝐷± pour des mésons neutres combinaisons linéaires de 𝐷 0 et 𝐷 0 .

Les mésons les plus bas correspondent, au moins en première approximation, à un quark et un antiquark dans un état orbital S, soit ℓ = 0. Les pseudoscalaires, 𝐽 𝑃 = 0− , correspondent à un état de spin 𝑆 = 0, les vecteurs, 𝐽 𝑃 = 1− , à un spin 𝑆 = 1. En effet, en anticipant un peu sur le chapitre 4 dédié aux symétries, la parité des quarks est +1 et celle des antiquarks, −1. Les pseudoscalaires sont tabulés dans 2.2. Pour des raisons historiques, ces mésons ayant été découverts avant que l’on ne parle de quarks, les kaons sont 𝐾 + et 𝐾 0 , alors qu’ils portent l’antiquark 𝑠¯ , et les antikaons, 𝐾 − et 𝐾 0 contiennent le quark 𝑠 . Dans le secteur du charme, on a rétabli la simplicité, et les mésons 𝐷 + et 𝐷 0 contiennent le quark 𝑐 , tandis que 𝐷 − et 𝐷 0 contiennent l’antiquark 𝑐¯. Dans le cas de la beauté, il a

2.3 Les hadrons ordinaires

𝑑¯ 𝑢¯ 𝑠¯ 𝑐¯ 𝑏

𝑑 𝜌 ,𝜔 𝜌0 𝐾∗ 0 𝐷∗ − 𝐵∗ 0 0

𝑢 𝜌+ 𝜌0 , 𝜔 𝐾∗ + 𝐷∗ 0 𝐵∗,+

𝑠 𝐾∗ 0 𝐾∗ − 𝐾∗ 0 𝐷 ∗𝑠 𝐵∗𝑠

𝑐 𝐷∗ + 𝐷∗ 0 𝐷𝑠∗ 𝐽/𝜓 𝐵∗𝑐 +

𝑏 𝐵∗ 0 𝐵∗ − 𝐵∗𝑠 𝐵∗𝑐 Υ

été convenu de suivre les mêmes règles de nomencla¯ ture que pour les kaons : par exemple le méson 𝐵− (𝑏 𝑢) possède la beauté B = −1. Dans le secteur léger neutre, les états qui sont observés, ne sont pas 𝑢 𝑢¯ ou 𝑑 𝑑¯ , mais les états propres de l’hamiltonien qui gouverne leur désintégration, soit, en première approximation, les combinaisons d’isospin

|𝐼 = 0i =

¯ ¯ + |𝑑 𝑑i |𝑢 𝑢i , √ 2

|𝐼 = 1i =

¯ ¯ − |𝑑 𝑑i |𝑢 𝑢i , (2.1) √ 2

où l’on a choisi l’une des deux conventions qui seront discutées dans la section 4.4. Réciproquement, les états ¯ sont des combinaisons des états observés. ¯ ou |𝑑 𝑑i |𝑢 𝑢i Dans une version plus raffinée, l’état d’isospin 𝐼 = 0 est mélangé avec l’état |𝑠 𝑠¯ i . Pour les mésons vectoriels, avec 𝐽 𝑃 = 1− , les états de plus basse masse sont donnés dans la table 2.3 où 𝜌0 est l’état d’isospin 𝐼 = 1, 𝐼3 = 0, et 𝜔 l’isoscalaire. Nous le verrons plus en détail dans le chapitre sur les interactions faibles, ce ne sont pas les mésons 𝐾 0 ou 𝐾 0 qui sont détectés, mais l’une des combinaisons linéaires 𝐾 S0 ou 𝐾 L0 qui sont les états propres pour les interactions faibles. Excitations des mésons Les états excités des mésons de mêmes nombres quantiques que les états fondamentaux tabulés ci-dessus ont été longtemps notés avec des apostrophes : 𝜋0, 𝜌0. . . On utilise désormais la masse : 𝜋(1300), 𝜌(1450). . .

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Table 2.3 : Les mésons vectoriels les plus légers.

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2 Classification

Table 2.4 : Nomenclature des baryons dans l’état fondamental, selon leur contenu en quarks. (𝑢𝑑) représente une paire dans l’état singulet de spin, [𝑢𝑑] dans l’état triplet. Pour 𝑢𝑠 ou 𝑞𝑠 , (..) signifie que la paire est à dominante singulet, et [..] à dominante triplet.

𝑞𝑞 0 𝑞 00 1/2+ 3/2+ 𝑑𝑑𝑑 − Δ− 𝑢𝑢𝑑 𝑝 Δ+ (𝑢𝑑)𝑠 Λ − [𝑢𝑑]𝑏 Σ0𝑏 Σ∗𝑏 0 (𝑑𝑠)𝑐 Ξ0𝑐 − 𝑠𝑠𝑑 Ξ− Ξ∗ −

𝑞𝑞 0 𝑞 00 1/2+ 3/2+ 𝑑𝑑𝑢 𝑛 Δ0 𝑢𝑢𝑢 − Δ++ + (𝑢𝑑)𝑐 Λ𝑐 − (𝑢𝑠)𝑐 Ξ+𝑐 − (𝑑𝑠)𝑏 Ξ−𝑏 − 𝑠𝑠𝑐 Ω𝑐 Ω∗𝑐

𝑞𝑞 0 𝑞 00 1/2+ 𝑑𝑑𝑠 Σ− 𝑢𝑢𝑠 Σ+ (𝑢𝑑)𝑏 Λ0𝑏 (𝑢𝑠)𝑏 Ξ0𝑏 [𝑑𝑠]𝑐 Ξ00𝑐 𝑠𝑠𝑏 Ω−𝑏

3/2+ 𝑞𝑞 0 𝑞 00 1/2+ 3/2+ 𝑞𝑞 0 𝑞 00 1/2+ 3/2+

Σ∗ − 𝑑𝑑𝑐 Σ0𝑐 Σ∗𝑐 0 𝑑𝑑𝑏 ∗ + ++ Σ 𝑢𝑢𝑐 Σ𝑐 Σ∗𝑐 ++ 𝑢𝑢𝑏 − [𝑢𝑑]𝑠 Σ0 Σ∗ 0 [𝑢𝑑]𝑐 + 0 − [𝑢𝑠]𝑐 Ξ 𝑐 Ξ∗𝑐 + [𝑢𝑠]𝑏 Ξ∗𝑐 0 [𝑑𝑠]𝑏 Ξ0−𝑏 Ξ∗𝑏 − 𝑠𝑠𝑢 Ω∗𝑏 − 𝑢𝑐𝑐 Ξ++ Ξ∗𝑐𝑐++ 𝑑𝑐𝑐 𝑐𝑐

Σ0𝑏 Σ+𝑏 Σ0𝑐 Ξ00𝑏 Ξ0 Ξ+𝑐𝑐

Σ∗𝑏 0 Σ∗𝑏 + Σ∗𝑐 0 Ξ∗𝑏 0 Ξ∗ 0 Ξ∗𝑐𝑐+

Les excitations de nombres quantiques différents bénéficient d’un nom spécifique, comme 𝑓0 pour les mésons légers scalaires neutres, et 𝑎 0 pour les scalaires sous trois états de charge, 𝑎 0− , 𝑎 00 et 𝑎 0+ , etc. Nous verrons pour le charmonium les notations 𝜒 et ℎ 𝑐 , qui deviendront 𝜒𝑏 et ℎ 𝑏 pour le bottomonium. Pour les mésons avec étrangeté, charme ou beauté, la nomenclature est moins créative : on note par exemple 𝐾 0∗ , 𝐾 1 et 𝐾 2 les mésons étranges de parité positive avec respectivement 𝐽 = 0, 1 ou 2.

Baryons État fondamental Nous donnons dans la table 2.4 les états 1/2+ et 3/2+ des baryons connus à ce jour ou, en principe, à découvrir prochainement. Pour trois quarks identiques, le 1/2+ est manquant, comme on le verra plus en détail au chapitre 6. Baryons excités Pour les baryons excités, on a quelque temps utilisé une dénomination comme S33 qui faisait référence à l’onde partielle ℓ 2 𝐽, 2 𝐼 de la diffusion 𝜋𝑁 dans laquelle la résonance se manifeste. Ainsi ce S33 correspond à l’état 𝐽 = 3/2 et 𝐼 = 3/2 qui est maintenant connu comme Δ.

2.4 Hadrons exotiques

De nos jours, on utilise 𝑁 ∗ ou Δ∗ pour les baryons faits de quarks légers, avec isospin 1/2 ou 3/2, respectivement, ou, ce qui est plus précis, une notation comme 𝑁(1440) qui indique la masse, ou encore 𝑁(1440)1/2+ qui mentionne aussi le spin et la parité. Pour les baryons étranges, on utilise le symbole Λ pour les états d’isospin 0, et Σ pour l’isospin 1. Les analogues charmés sont Λ𝑐 et Σ𝑐 , et dans le secteur de la beauté, Λ𝑏 et Σ𝑏 . On parle par exemple de la résonance Λ𝑐 (2625)+ .

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Plus précisément, il s’agit de la masse mesurée lors des premières expériences.

2.4 Hadrons exotiques En général, les hadrons exotiques ne sont pas assez confirmés pour qu’on cherche à leur graver un symbole dans les tables. Qui se souvient par exemple des mésons 𝑆 , 𝑇 et 𝑈 découverts dans la diffusion nucléonantinucléon ? Noter que le symbole 𝑈 a été réutilisé pour désigner un pic hypéron-antinucléon [3].

Le nom 𝑈 était pour “unexpected”.

Nous reviendrons sur les mésons hybrides dans le chapitre traitant des hadrons exotiques. L’état vu à Brookhaven, puis dans des expériences d’annihilation et enfin dans l’expérience COMPASS au CERN est noté 𝜋1 (1400). Les nombres quantiques 𝐽 𝑃𝐶 = 1−+ ne peuvent être réalisés par une configuration 𝑞 𝑞¯ . Le symbole 𝜋 rappelle l’isospin 𝐼 = 1. Ce serait 𝜂 𝐽 pour un isoscalaire. Le premier méson exotique à charme caché a été nommé 𝑋(3872), et par la suite, d’autres états 𝑋 ont été identifiés, ainsi que des états 𝑌 avec 𝐽 𝑃 = 1− , et enfin des états chargés comme le 𝑍(3940). Ces nouveaux états ont été dénommés globalement « les mésons 𝑋𝑌𝑍 ». Les règles ont changé, et ceux qui ne les respectent pas se font rappeler à l’ordre dans les conférences, où il y a toujours quelqu’un de PDG. Parmi les recommandations : - 𝑋(3872) a comme appellation officielle 𝜒𝑐 1 (3872). - Les états chargés (ou leur partenaire neutre dans un triplet d’isospin) restent nommés 𝑍 . Par exemple : 𝑍 𝑐 (3900)± . - 𝑌(4260) devient 𝜓(4260). Gageons cependant que le terme 𝑋𝑌𝑍 survivra longtemps. Il en ira sans doute entre les physiciens de base et

« Charme caché » signifie qu’il y a une paire 𝑐 𝑐¯ dans le contenu. « Charme ouvert » indique qu’il y a un quark 𝑐 mais pas d’antiquark 𝑐¯.

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2 Classification

les régulateurs de PDG comme entre les francophones et l’Académie française luttant contre les anglicismes : l’ordinateur a vraiment supplanté “computer”, mais le trochet n’a en rien entamé le “pack” pour les bières. Les deux baryons découverts par la collaboration LHCb dans la désintégration du Λ𝑏 [4], et se désintégrant euxmêmes en 𝐽/𝜓 + 𝑝 pourraient être stricto sensu nommés 𝑁(4380) et 𝑁(4450), car ils ont les mêmes nombres quantiques externes que les autres résonances 𝑁 ∗ , mais du fait qu’ils contiennent manifestement une paire 𝑐 𝑐¯, on a adopté pour eux les symboles 𝑃𝑐 (4480)+ et 𝑃𝑐 (4450)+ . Au début, on avait plus prudemment noté ces états 𝑃𝑐 𝑐¯ . Imaginons en effet que des états 𝑐¯ 𝑞𝑞𝑞𝑞 ou 𝑞¯ 𝑐𝑞𝑞𝑞 , prédits par quelques collègues, apparaissent : comment les nommera-t-on ? Rappelons qu’on a malencontreusement nommé 𝜇± 𝑒 ∓ comme étant le « muonium ». Aujourd’hui pour désigner 𝜇+ 𝜇− , on est obligé de parler de « vrai muonium ».

Références

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Exercices 9. Compléter la table sur les baryons, en recherchant la nomenclature des états de contenu en quarks 𝑐𝑐𝑠 et 𝑏𝑐𝑠 ? Quelle est l’autre signification du sigle BCS en physique ? 10. Le Λ, parfois dénoté Λ0 , possède un spin 1/2, avec la paire 𝑢𝑑 de spin 0. Existe-t-il un partenaire 𝑢𝑢𝑠 avec à peu près la même masse et la même structure en spin ? 11. Quel est le paradoxe quand on parle de lepton lourd ou de baryon léger ? 12. Pourquoi ne parle-t-on pas des hadrons contenant un quark 𝑡 ? 13. Quel a été le premier antilepton découvert ? et le premier antibaryon ? 14. Pour quels hadrons le symbole 𝜃 a-t-il été employé ? 15. Quels symboles peut-on proposer pour l’antiparticule associée au Ω− ? 16. Quels sont les nombres quantiques du Ω𝑏 , et son contenu en quarks ? Retrouver la première publication relative au Ω𝑏 par la collaboration DØ. Pourquoi, quand on compare les différences de masse Ω𝑏 − Λ𝑏 et Ω𝑐 − Λ𝑐 , cette première mesure de la masse du Ω𝑏 a-t-elle été reçue avec scepticisme ? 17. Retrouver sur internet l’histoire, peut-être un peu enjolivée, de l’adoption du mot « saveur » (flavor en anglais) par Fritsch et Gell-Mann pour désigner les différentes générations de quarks.

Références [1]

P. A. Zyla et al. “Review of Particle Physics”. In: PTEP 2020.8 (2020), p. 083C01. doi: 10.1093/ptep/ptaa104 (cited on page 21).

[2]

M. K. Gaillard, B. W. Lee, and J. L. Rosner. “Search for Charm”. In: Rev. Mod. Phys. 47 (1975), pp. 277–310. doi: 10.1103/RevModPhys.47.277 (cited on page 23).

[3]

[4]

M. Bourquin et al. “Evidence for Narrow States Decaying Into (Λ 𝑝¯ Pions) at 3.1 GeV/ 𝑐 2 With Charges +1, 0 and -1”. In: Phys. Lett. B172 (1986), p. 113. doi: 10.1016/0370-2693(86)90227-3 (cited on page 27). R. Aaij et al. “Observation of 𝐽/𝜓𝑝 Resonances Consistent with Pentaquark States in Λ0𝑏 → 𝐽/𝜓𝐾 − 𝑝 Decays”. In: Phys. Rev. Lett. 115 (2015), p. 072001. doi: 10.1103/PhysRevLett.115.072001 (cited on page 28).

Les instruments et les méthodes

3

3.1 Les rayons cosmiques Les rayons cosmiques ont permis des découvertes importantes comme celles du positon, antiparticule associée à l’électron, du muon, du méson 𝐾 , premier signal de l’étrangeté, et du méson 𝜋 prédit par Yukawa. Les rayons cosmiques tiennent toujours la corde pour l’exploration des plus hautes énergies, par exemple pour étudier le comportement des sections efficaces proton-proton avec des énergies inimaginables dans les accélérateurs. Mais de nos jours, les rayons cosmiques sont étudiés davantage pour eux-mêmes : on cherche l’origine astrophysique des gerbes détectées. Parmi les expériences récentes ou en cours, on peut citer AMS [1], qui détecte des antiprotons et des anti-noyaux, et Auger [2] qui recherche des rayons cosmiques primaires tellement énergiques que les particules secondaires détectées s’étalent sur des centaines de km2 . Les rayons cosmiques sont aussi la bête noire de certaines expériences, en produisant des signaux parasites. Quand on cherche des événements très rares, comme la désintégration du proton, on installe le détecteur en profondeur pour atténuer le plus possible le fond cosmique.

3.2 Les accélérateurs hadroniques Les premières expériences en physique subatomique ont tiré parti des émissions radioactives. Ainsi, Rutherford a utilisé un émetteur 𝛼 pour faire la première « radiographie » d’un atome et découvrir un noyau chargé positivement beaucoup plus petit que l’atome lui-même.

L’expérience est nommée en hommage à Pierre Auger, connu pour ses travaux en physique atomique et sur les rayons cosmiques, et son rôle dans la création du CERN.

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3 Les instruments et les méthodes

Mais le besoin de produire des faisceaux s’est vite fait ressentir, pour bénéficier d’une meilleure régularité, de plus d’intensité, et accéder à des particules comme l’antiproton qui, lorsqu’elles sont produites par les rayons cosmiques primaires, interagissent trop dans l’atmosphère pour pouvoir atteindre un détecteur au sol. Dès les années trente, des dispositifs électromagnétiques ont été mis au point pour accélérer les ions (protons ou noyaux). On a tendance à retenir des accélérateurs surtout leur énergie maximale, mais d’autres caractéristiques sont importantes : l’intensité du faisceau, sa résolution en énergie, sa bonne calibration, la possibilité de créer et de maintenir une polarisation, etc. Quelques machines hadroniques emblématiques ont eu un rôle important. Citons, en particulier :

CEA : Commissariat à l’énergie atomique, devenu depuis Commissariat à l’énergie atomique et aux énergies alternatives.

IN2P3 : Institut national de physique nucléaire et de physique des particules.

- Le Bévatron de Berkeley, qui a permis d’atteindre quelques GeV et de produire et d’identifier les premiers antiprotons. - Le Cosmotron et surtout l’AGS de Brookhaven maintes fois amélioré, qui a produit beaucoup de faisceaux secondaires. - Le PS au CERN, qui a permis les premières expériences, et a servi d’injecteur à tous les accélérateurs successifs de plus en plus puissants dont le CERN s’est doté : ISR, SPS, LHC. - L’accélérateur SATURNE au laboratoire du même nom, entreprise conjointe du CEA et le l’IN2P3, d’énergie modeste, mais avec des performances remarquables pour l’intensité et la polarisation des faisceaux. - L’accélérateur de Serpukhov en Russie, avec ses 70 GeV, a longtemps détenu la palme des plus hautes énergies pour le faisceau primaire de protons et pour les faisceaux secondaires de pions et de kaons. - ISR (Intersecting Storage Ring), au CERN, était une collisionneur proton-proton avec une énergie centrede-masse pouvant aller jusqu’à 62 GeV, et une intensité remarquable. Dans les dernières semaines de son fonctionnement, il a été utilisé pour accélérer des antiprotons allant frapper une cible d’hydrogène.

3.2 Les accélérateurs hadroniques

- Le SPS (Super Proton Synchrotron) au CERN, mis en service en 1981, a permis d’atteindre des énergies de 300 GeV puis 400 GeV pour un faisceau de protons. Il a aussi accéléré d’autres particules, notamment des ions lourds. Il est encore utilisé, soit comme accélérateur pour des expériences sur cible fixe, soit comme injecteur. - SppS ¯ est la transformation de l’accélérateur SPS avec un seul faisceau en un collisionneur protonantiproton, ce qui permit de découvrir les bosons 𝑊 ± et 𝑍 0 des interactions électrofaibles au début des années quatre-vingt. - Le Tevatron de Fermilab, près de Chicago, a été mis en service en 1983, avec des faisceaux de protons de presque 1 TeV et de nombreux faisceaux secondaires, par exemple des faisceaux d’hypérons. Suivant l’exemple du CERN, Fermilab a transformé le Tévatron en collisionneur proton-antiproton, avec presque 2 TeV dans le centre de masse, ce qui a longtemps constitué la plus haute énergie disponible, et a permis de nombreuses mesures et découvertes, notamment celle du quark top. Le Tevatron a été arrêté en 2011, mais il reprendra du service pour fabriquer des neutrinos qui seront détectés en Californie par le détecteur DUNE (Deep Underground Neutrino Experiment) dont nous reparlerons à propos des oscillations neutron-antineutron. - COSY est un accélérateur à protons, d’énergie pouvant aller à presque 3 GeV, avec une bonne résolution grâce à des techniques de refroidissement, et des possibilités de polarisation. C’est un peu le successeur de SATURNE à Saclay, et de CELSIUS en Suède. - Le Japon a toujours un savoir-faire de pointe pour les accélérateurs. Le centre de recherche KEK est aujourd’hui plus connu par ses accélérateurs à électrons, mais il a hébergé des machines hadroniques. De nos jours, le complexe JParc comprend un accélérateur à protons de 30 GeV et plusieurs faisceaux secondaires pour la physique fondamentale ou appliquée. Ce laboratoire est en pointe pour l’étude de certains noyaux très riches en neutrons ou pour la physique de l’étrangeté.

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34

3 Les instruments et les méthodes

La proposition SuperLEAR est publiée dans la réf. [3].

- L’étude des antiprotons de basse énergie, d’abord commencée au Bevatron de Berkeley, s’est poursuivie au CERN et à Brookhaven avec des faisceaux secondaires, fortement contaminés par des mésons négatifs. La méthode de refroidissement stochastique a permis de réaliser des faisceaux d’antiprotons purs et intenses. En parallèle du SppS, ¯ un anneau de basse énergie, LEAR (Low Energy Antiproton Ring) a permis des mesures de sections efficaces, d’annihilation, d’atomes antiprotoniques, et des tests de symétrie. Un anneau de très basse énergie, AD (Antiproton Decelerator) est actuellement en fonctionnement pour des études plus poussées sur les atomes antiprotoniques et des mesures de précision sur la symétrie matière-antimatière. - L’idée de prolonger les expériences d’antiprotons du CERN à l’aide d’un faisceau d’antiprotons de quelques GeV est assez récurrente. Un peu avant la fermeture des ISR, une cible d’hydrogène gazeux y a été installée et bombardée par un des premiers faisceaux d’antiprotons refroidis, et on a observé la formation de charmonium. L’expérience a été reprise à Fermilab, non pas avec un faisceau d’antiprotons extraits, mais dans l’anneau d’accumulation des antiprotons. En 1985, L. Montanet, P. Dalpiaz et certains de leurs collègues soumirent au CERN le projet « SuperLEAR », qui ne fut pas accepté. Un projet similaire fut soumis à Fermilab, mais lui aussi rejeté. - Après des années d’hésitation, les autorités allemandes ont lancé le projet FAIR, qui comprend l’expérience PANDA qui devrait reprendre l’étude des interactions induites par des antiprotons de quelques GeV [4, 5]. Il n’est pas facile de gérer un projet trop retardé : il faut adapter les technologies et les thèmes de recherche, et renouveler la communauté. De plus, PANDA fait partie du grand projet FAIR, dominé par la communauté des ions lourds, longtemps en compétition avec celle de la physique hadronique pour proposer de nouveaux accélérateurs. FAIR est l’acronyme de Facility for Antiproton and Ion Research in Europe.

3.3 Les machines à électrons

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3.3 Les machines à électrons Les collisionneurs électron-positon Les collisions 𝑒 + 𝑒 − permettent de former des mésons vecteurs, vus comme des pics dans la section efficace. En principe, il faut faire un balayage en énergie, mais de plus en plus on utilise la méthode ISR (Initial State Radiation), soit schématiquement 𝑒 + 𝑒 − → 𝛾 + 𝑒 + 𝑒 − suivi de 𝑒 + 𝑒 − → hadrons ce qui permet d’observer une variation continue de l’énergie de la paire 𝑒 + 𝑒 − . Les accélérateurs historiques de SLAC, Orsay, Frascati, DESY. . . ont permis de découvrir et d’étudier des mésons légers et les quarkonia lourds. La luminosité a été fortement augmentée dans les « usines à beauté » comme BaBar à SLAC, Belle au Japon et Cleo à Cornell, ainsi que l’« usine à charme » BES à Pékin. Des travaux ont permis une amélioration de l’accélérateur Belle, devenu Belle II.

Le quarkonium est un état lié d’un quark lourd et de l’antiquark associé.

À très haute énergie, c’est le LEP (Large Electron Positron collider), au CERN, qui a atteint dans sa phase finale la plus haute énergie, avec environ 120 GeV dans le centre de masse, et de très nombreux résultats.

Rayonnement synchrotron et Compton inverse Les particules chargées, particulièrement les plus légères, rayonnent quand elle sont accélérées. C’est souvent une contrainte qui force à limiter l’énergie des accélérateurs à électrons ou à augmenter leur rayon. Mais on tire aussi parti de ce rayonnement remarquable par sa cohérence et sa polarisation, pour offrir des rayons X ou 𝛾 pour des études fondamentales ou appliquées. Au synchrotron de l’ILL de Grenoble (Institut LaueLangevin), on a utilisé l’effet Compton inverse, qui permet de transférer à des photons une partie de l’énergie d’électrons de 6 GeV (voir exercice). Les photons

Les ondes électromagnétiques successives sont en phase et les spins des photons sont alignés.

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3 Les instruments et les méthodes

obtenus, entre 0 ,3 et 1 ,5 GeV, ont permis à la collaboration GRAAL d’étudier les excitations du nucléon et la photo-production d’étrangeté.

Collisions électron-proton et électron-noyau Les sources de positons sont très performantes, et les positons présentent quelques avantages sur les électrons pour maintenir le vide dans le tube qui entoure le faisceau. À HERA comme à l’ILL, on utilise donc souvent des faisceaux de positons.

En physique nucléaire, des résultats très intéressants ont été obtenus par bombardement d’électrons. En France, des équipes ont travaillé sur l’ALS (Accélérateur linéaire de Saclay). Le sommet en énergie a été atteint à HERA (Hambourg) avec des protons d’énergie 0 ,9 TeV et des électrons ou des positons de 27 GeV. Dans le domaine hadronique, le laboratoire JLab, en Virginie, a bénéficié d’une série d’améliorations en énergie et intensité, et a hébergé plusieurs expériences à partir d’un faisceau d’électrons pouvant atteindre 12 GeV. D’autres accélérateurs électron-proton (ou noyau) ont contribué à la physique hadronique : MAMI à Mayence, ELSA à Bonn, LEPS à Osaka, etc.

3.4 Cibles fixes ou collisionneurs ?

On parle aussi de « quantité de mouvement » pour désigner 𝑝 .

En mécanique non relativiste, lors de la collision d’une particule de masse 𝑚 et d’impulsion 𝑝 sur une cible de masse 𝑚 , la moitié de l’énergie cinétique incidente 𝐾 = 𝑝 2 /2 𝑚 passe dans l’énergie globale du centre de masse, 𝑝 2 /4 𝑚 , et seule la moitié restante, 𝐾 ∗ = 𝑝 2 /4 𝑚 , est utile pour la collision. Il est notoire que le rapport 𝐾/𝐾 ∗ est beaucoup plus élevé aux hautes énergies qui requièrent la dynamique relativiste. Pour atteindre la même valeur de l’invariant 𝑠 = ( 𝑝˜ 1 + 𝑝˜ 2 )2 , construit à partir des quadri-impulsions 𝑝˜ 𝑖 , il faut une énergie √ cinétique totale 𝐾 ∗ = 𝑠 − 2 𝑚 pour un collisionneur, et 𝐾 = (𝑠 − 4 𝑚 2 )/4 𝑚 pour un faisceau unique vers une cible fixe. Le rapport 𝐾/𝐾 ∗ se comporte comme √ 𝑠/2 𝑚 à grand 𝑠 , ce qui devient vite prohibitif pour les expériences sur cible fixe. Pour autant, les collisionneurs n’ont-ils que des avantages ? Non, car la densité des cibles est plus intéressante

3.5 Les détecteurs

que l’intensité des faisceaux pour la recherche d’événements rares. Par ailleurs, dans une expérience sur cible fixe, les particules sont produites vers l’avant avec une grande rapidité 𝜑 et bénéficient d’une dilatation par un facteur 𝛾 = cosh 𝜑 de leur temps de vol, ce qui est favorable pour séparer le vertex de production du vertex de désintégration, et mesurer ainsi la durée de vie. C’est pourquoi dans certains collisionneurs (BaBar, Belle, HERA), on a opté pour une asymétrie des quantités de mouvement, pour obtenir un compromis entre l’énergie de collision et la dilatation des traces dans l’état final.

3.5 Les détecteurs Il est assez simple de décrire les premiers détecteurs. Il s’agissait de plaques photographiques impressionnées par le passage des particules. On mesure le chemin parcouru entre les photographies de Becquerel et, par exemple, le détecteur ALICE, monstre de technologie, qui reconstruit des milliers de traces à chaque collision.

Dans les chambres de Wilson ou dans les chambres à bulles, les traces sont créées dans l’enceinte de la chambre et photographiées par les côtés. Un champ magnétique permet de mesurer la charge et la quantité de mouvement. On trouvera dans les exercices à la fin du chapitre quelques rappels sur le mouvement relativiste des particules chargées dans un champ électromagnétique, à la base du fonctionnement des accélérateurs et des premiers détecteurs. Puis, il a fallu augmenter les cadences et trier électroniquement les événements. Les chambres à fil permettent de repérer le passage d’une particule chargée, à l’intersection de deux fils et de grille en grille, de reconstruire la trajectoire. Des techniques parfois très sophistiquées empruntées à la physique de la matière condensée ont conduit à des éléments de détection de plus en plus performants. Ce qui impressionne le plus, c’est la quantité de données numérisées qu’il faut digérer, trier et

37

Ne pas confondre vitesse et rapidité. Leur relation est 𝑣 = tanh 𝜑 , en unités où 𝑐 = 1.

Les clichés étaient examinés un par un, par du personnel spécialement formé à repérer les événements intéressants. Georges Charpak rendait souvent hommage à ces pionniers, et évoquait les visages à peine éclairés, un peu à la Georges de la Tour, des techniciens et techniciennes penchés sur les tables de dépouillement. Les équipes se relayaient jour et nuit. On imagine l’émotion, sans doute amplifiée dans les narrations, lorsqu’une main se levait au milieu de la nuit, que le physicien de permanence examinait le cliché, appelait un collègue, puis décidait de réveiller le coordinateur de l’expérience. À quelle heure a-t-on découvert telle ou telle particule importante ? Qu’est devenue la technicienne ? On aime l’imaginer en paisible grand-mère racontant l’histoire à ses petitsenfants. Henri Becquerel découvrit la radioactivité en 1896, et reçut en 1903 la moitié du prix Nobel de physique, l’autre moitié étant partagée par les époux Curie.

38

3 Les instruments et les méthodes

stocker, avant de les analyser et d’en déduire les quantités physiques. Pour une introduction aux détecteurs modernes, voir par exemple [6].

3.6 Les outils de l’analyse Cinématique Stanley Mandelstam est surtout connu pour ses variables, 𝑠 , 𝑡 , 𝑢 , mais c’est très réducteur. Brillant théoricien, Mandelstam a été un pionnier de l’exploitation de l’analyticité des amplitudes de diffusion et de l’élaboration de théories nouvelles qui ont profondément influencé la physique. Le théorème de Viviani stipule que la somme des distances 𝑑 𝑖 aux côtés d’un triangle équilatéral est une constante, égale à la hauteur. On compte positivement les distances depuis l’intérieur du triangle. Pour un triP angle quelconque, 𝑑 𝑖 /ℎ 𝑖 = 1, où ℎ 1 est la hauteur issue du sommet 𝐴1 , etc.

Pour une réaction avec deux particules dans les états initial et final, notée

𝑎+𝑏 → 𝑐+𝑑 ,

(3.1)

avec des masses 𝑚 𝑎 . . ., les variables cinématiques, dites de Mandelstam, renseignent sur l’énergie au carré 𝑠 , le transfert carré de quadri-impulsion de 𝑎 à 𝑐 , noté 𝑡 et celui de 𝑎 à 𝑑 , soit 𝑢 . Précisément, en fonction des quadrivecteurs d’énergie-impulsion 𝑝˜ 𝑖 = {𝐸 𝑖 , 𝒑 𝑖 },

𝑠 = ( 𝑝˜ 𝑎 + 𝑝˜ 𝑏 )2 = ( 𝑝˜ 𝑐 + 𝑝˜ 𝑑 )2 𝑡 = ( 𝑝˜ 𝑐 − 𝑝˜ 𝑎 )2 = ( 𝑝˜ 𝑑 − 𝑝˜ 𝑏 )2 2

avec la relation

𝑠 + 𝑡 + 𝑢 = 𝑚 𝑎2 + 𝑚𝑏2 + 𝑚 𝑐2 + 𝑚 𝑑2 ,

t

u

s

Figure 3.1 : Représentation de la relation (3.3) à l’aide du théorème de Viviani : la somme des distances algébriques aux côtés d’un triangle équilatéral est constante. On convient de compter positivement les distances depuis l’intérieur du triangle. On verra que la cinématique utilise surtout l’extérieur, avec une ou deux variables de Mandelstam négatives.

(3.2)

𝑢 = ( 𝑝˜ 𝑑 − 𝑝˜ 𝑎 ) = ( 𝑝˜ 𝑐 − 𝑝˜ 𝑏 ) 2

(3.3)

qui suggère une représentation de Viviani, voir Fig. 3.1, comme nous le ferons plus bas pour la désintégration en trois corps. Calculer la limite des réactions est un bon entraînement à la cinématique relativiste. On appelle assez naturellement voie 𝑠 : 𝑎 + 𝑏 → 𝑐 + 𝑑 , voie 𝑡 : 𝑎 + 𝑐¯ → 𝑏¯ + 𝑑 , (3.4) voie 𝑢 :

𝑎 + 𝑑¯ → 𝑏¯ + 𝑐 ,

si bien que 𝑠 est le carré de l’énergie dans le centre de masse de la voie 𝑎 + 𝑏 → 𝑐 + 𝑑 , si 𝑠 > max(𝑚 𝑎2 + 𝑚𝑏2 , 𝑚 𝑐2 + 𝑚 𝑑2 ), 𝑡 est l’analogue pour la voie 𝑎 + 𝑐¯ → 𝑏¯ + 𝑑 si 𝑡 > max(𝑚 𝑎2 + 𝑚 𝑐2 , 𝑚𝑏2 + 𝑚 𝑑2 ), et 𝑢 pour la dernière voie. Pour des masses égales, on trouve les pointes

3.6 Les outils de l’analyse

s

s

s

t

s

t

s

t

s

t

u

t

u

t

u

u

u

39

u

Figure 3.2 : Domaine physique des variables de Mandelstam 𝑠 , 𝑡 et 𝑢 pour la réaction élastique 𝑚 + 𝑀 → 𝑚 + 𝑀 , avec de gauche à droite, 𝑚/𝑀 = 1 , 2 et 5. La courbe est déterminée analytiquement. Les points correspondent à une vérification par une génération automatisée en faisant varier l’énergie et l’angle dans le centre de masse de chaque voie.

extérieures, voir Fig. 3.2. Dans le cas de la réaction élastique 𝑎 +𝑏 → 𝑎 +𝑏 avec des masses 𝑚 et 𝑀 pour 𝑎 et 𝑏 , respectivement, on trouve les domaines représentés sur la Fig. 3.2. Voir par exemple [7-9], et l’exercice proposé à la fin de ce chapitre.

Espace de phase La probabilité d’une réaction 𝐴 + 𝐵 → 𝐶 + 𝐷 ou d’une désintégration 𝐴 → 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 + · · · dépend entre autres choses de l’énergie disponible, par ce qu’on appelle l’espace de phase. Le petit résumé qui suit est largement emprunté à la revue [10] à laquelle on se référera pour plus de détails. L’intégration sur l’énergie 𝐸 et la quantité de mouvement 𝒑 d’une particule de masse 𝑚 tient compte de la contrainte 𝐸 2 − 𝒑2 = 𝑚 2 . Avec les règles habituelles sur la distribution de Dirac d𝐸 d(3) 𝒑 →

d(3) 𝒑 , 2𝐸

(3.5)

où 𝐸 est passé du statut de variable indépendante à celui d’abréviation pour (𝒑2 + 𝑚 2 )1/2 . Pour la désintégration d’une particule de masse 𝑀 en deux particules, l’intégrale d’espace de phase ou, mieux, d’espace de phase invariant de Lorentz (Lips) vaut

∫ Lips2 =

d(3) 𝒑1

d(3) 𝒑2

2𝜋 3 2 𝐸 1 2𝜋 3 2 𝐸 2

Lips : Lorentz invariant phasespace.

𝛿(4) (𝑃˜ − 𝑝˜ 1 − 𝑝˜ 2 ) = 2 𝜋

𝑝∗ . 𝑀

(3.6)

40

3 Les instruments et les méthodes

où 𝑝˜ 𝑖 = (𝐸 𝑖 , 𝒑 𝑖 ) et 𝑃˜ = (𝑀, 0) dans le centre de masse. Ici, 𝑝 ∗ désigne la quantité de mouvement dans le centre de masse, soit 𝑝 ∗ = (𝑀 2 /4 − 𝑚 2 )1/2 pour la désintégration en deux masses égales, 𝑀 → 𝑚+𝑚 , et l’expression (3.11) dans le cas général. On voit que pour 𝑀 donné, toutes choses égales par ailleurs, la désintégration en particules légères est plus facile. Nous verrons au chapitre 13 qu’à cause des contraintes d’hélicité, la désintégration 𝜋+ → 𝜇+ + 𝜈𝜇 est beaucoup plus probable que 𝜋+ → 𝑒 + + 𝜈𝑒 qui bénéficie d’un espace de phase pourtant beaucoup plus favorable. Pour une désintégration en 𝑛 particules, avec 𝑛 ≥ 2, l’élément d’espace de phase est

dLips𝑛 =

𝑛 Y d(3) 𝒑 𝑖 𝑖=1

2𝜋 3 2 𝐸 𝑖

𝛿 (4) (𝑃˜ − 𝑝˜ 1 − · · · 𝑝˜ 𝑛 ) .

(3.7)

Masse invariante Quand plusieurs hadrons sont produits dans la même réaction, on construit souvent la masse carrée invariante de certaines paires, pour comprendre les mécanismes de production et repérer des résonances. Il s’agit de la quantité 2 𝑚12 = ( 𝑝˜ 1 + 𝑝˜ 2 )2 , (3.8) où 𝑝˜ 𝑖 est la quadri-impulsion (ou énergie-impulsion) de la 𝑖 e particule. C’est un invariant de Lorentz. Par exemple, la figure 3.3 indique la masse invariante de la paire 𝐽/𝜓𝜋 dans la réaction 𝑒 + 𝑒 − → 𝜋+ 𝜋− 𝐽/𝜓 , mesurée par la collaboration BES en Chine [11].

Désintégration en deux corps Pour la désintégration 𝐴 → 𝑎 1 + 𝑎 2 , la conservation de l’énergie fixe la somme des énergies cinétiques finales et une autre relation entre ces deux énergies traduit l’équilibre des quantités de mouvement. Les deux énergies cinétiques sont donc parfaitement déterminées. Par exemple, dans une désintégration 𝛼 en physique

Events / 0.01 GeV/c2

3.6 Les outils de l’analyse

Figure 3.3 : Exemple de distribution de masse invariante dans une expérience récente. Il s’agit de la réaction 𝑒 + 𝑒 − → 𝜋+ 𝜋− 𝐽/𝜓 au collisionneur électron-positon de Pékin. Le nombre d’événements est représenté en fonction de la masse invariante du système 𝜋𝐽/𝜓 . Les diverses courbes sont des aides à l’analyse. La figure est reproduite de la référence [11], à laquelle on se reportera pour plus de détails. © APS

Data

100

Total fit Background fit

80

PHSP MC Sideband

60 40 20 0

3.7

3.8

3.9

41

4.0

Mmax(π±J/ψ) (GeV/c2)

nucléaire entre deux niveaux bien identifiés, l’énergie de la particule 𝛼 est toujours la même. Dans le cas non relativiste, avec des notations évidentes, on doit satisfaire 𝐾 1 + 𝐾 2 = 𝐾 , où 𝐾 est l’énergie libérée, et 𝑚1 𝐾 1 = 𝑚2 𝐾 2 si la particule 𝐴 est initialement au repos, ce qui donne

𝐾1 = 𝐾

𝑚2 , 𝑚1 + 𝑚2

𝐾2 = 𝐾

𝑚1 , 𝑚1 + 𝑚2

(3.9)

avec le résultat bien connu que c’est la particule légère qui emporte le plus d’énergie, qu’il s’agisse de l’obus par rapport à l’affût du canon ou de la particule 𝛼 vis-à-vis du noyau de recul.

Dans le cas ultra-relativiste, les masses deviennent négligeables, et on tend vers le bilan de la désintégration d’un 𝜋0 ou d’un atome de positronium de masse 𝑀 en deux photons, soit 𝐸1 ' 𝐸2 ' 𝑀/2. Dans le cas général, on peut calculer l’énergie cinétique 𝐾 1 ou l’énergie totale 𝐸1 = 𝑚1 + 𝐾 1 de la particule 𝑎1 en éliminant les attributs cinématiques de 𝑎2 , au moyen de la relation caractéristique 𝑝˜ 22 = 𝑚22 . On part donc de 𝑝˜ 2 = 𝑃˜ − 𝒑1 . En élevant au carré, au sens des quadrivecteurs, on trouve immédiatement

𝐸1 =

𝑀 2 + 𝑚12 − 𝑚22 2𝑀

,

𝐸2 =

𝑀 2 + 𝑚22 − 𝑚12 2𝑀

, (3.10)

et la quantité de mouvement commune 𝑝 ∗ = |𝒑1 | = |𝒑2 |

En physique des particules, on utilise le plus souvent des unités telles que 𝑐 = 1, ou si l’on veut, 𝑚 est une abréviation de 𝑚 𝑐 2 et 𝒑 de 𝑐 𝒑.

42

3 Les instruments et les méthodes

est donnée par

q 𝑝∗ = =

(𝑀 2 + 𝑚12 − 𝑚22 )2 − 4 𝑀 2 𝑚12

2𝑀 𝜆1/2 (𝑀 2 , 𝑚12 , 𝑚22 ) 2𝑀

(3.11)

,

où apparaît la fonction symétrique, parfois appelée fonction de Källén en physique des particules [12],

Gunnar Källén, mort à 42 ans aux commandes de son avion personnel, était « une étoile filante et un poète de la physique théorique », selon l’expression de Cécilia Jarlskog [13].

𝜆(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≡ 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2 𝑥 𝑦 − 2 𝑦 𝑧 − 2 𝑧 𝑥 , (3.12) qu’on rencontre par exemple en géométrie pour calculer l’aire d’un triangle à partir de ses trois côtés. En l’absence d’effets de spin, la désintégration 𝐴 → 𝑎 1 + 𝑎 2 est isotrope dans le référentiel de 𝐴, car il n’y a aucun axe privilégié. Dans la fameuse expérience de Mme Wu [14], le Cobalt émetteur 𝛽 − est polarisé, et les électrons sont observés selon une distribution angulaire de la forme ˆ 𝒑ˆ 𝑒 , mais le second terme viole la parité. L’obser𝐴 + 𝐵 𝑺. vation que 𝐵 ≠ 0 a révélé la violation de la parité, sur laquelle nous reviendrons au chapitre 13.

Collision 2 → 2 La réaction 𝑎 1 + 𝑎 2 → 𝑎 3 + 𝑎 4 est une sorte de désintégration à deux corps dont on fabrique l’état initial. √ La masse 𝑀 est remplacée par l’énergie totale 𝑠 de l’état initial ou final dans le centre de masse, où 𝑠 est l’invariant de Mandelstam

𝑠 = ( 𝑝˜ 1 + 𝑝˜ 2 )2 = ( 𝑝˜ 3 + 𝑝˜ 4 )2 .

(3.13)

La différence par rapport à la désintégration, c’est que la quantité de mouvement des particules initiales fournit une direction de référence. On peut donc analyser la probabilité de réaction, plus précisément la section efficace différentielle en fonction de l’angle d𝜎 (𝑠, 𝜃 ∗ ) , dΩ

(3.14)

3.6 Les outils de l’analyse

où 𝜃 ∗ est l’angle de 𝒑3 par rapport à 𝒑1 dans le centre de masse. En l’absence d’effets de spin, par exemple si ni la cible ni le faisceau ne sont polarisés, la distribution (3.14) ne dépend pas de l’angle azimutal 𝜙 .

Désintégration en trois corps. Diagramme de Dalitz Une des motivations qui ont permis de révéler l’existence du neutrino, c’est l’observation que dans une désintégration 𝛽 ± , en apparence binaire, 𝐴 → 𝐵 + 𝑒 ± , l’électron n’a pas toujours la même énergie, même si le niveau de départ de 𝐴 et celui d’arrivée de 𝐵 sont bien identifiés. Tout rentre dans l’ordre si la réaction s’écrit 𝐴 → 𝐵 + 𝑒 ± + 𝜈 , avec un neutrino, 𝜈, invisible ou du moins indétectable au moment où il a été proposé. En effet, pour une désintégration à trois corps, il y a plusieurs manières de satisfaire le bilan d’énergie et de quantité de mouvement. Dans le cas non relativiste, la particule 3, par exemple, peut être émise sans mouvement appréciable et les particules 1 et 2 se partageront l’énergie selon la règle (3.9), soit 𝐾 3,min = 0. L’énergie maximale de la particule 3 ne correspond pas au cas où l’une des particules 1 ou 2 est à l’arrêt, mais, en appliquant la décomposition de König, au cas où l’énergie du système (1,2) n’a pas de composante interne, et correspond uniquement au mouvement global. Soit

𝐾3,min = 0 ,

𝐾3,max = 𝐾

𝑚1 + 𝑚2 . 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3

(3.15)

Pour représenter tous les cas, Dalitz a utilisé le théorème de Viviani : dans un triangle équilatéral de hauteur égale à 𝐾 , la somme des distances 𝐾 𝑖 aux côtés depuis P tout point intérieur satisfait 𝐾 𝑖 ≥ 0 et 𝐾 𝑖 = 𝐾 . Mais visiblement, les points les plus proches d’un sommet ne conviennent pas, car si une particule acquiert trop d’énergie, sa quantité de mouvement ne peut pas être équilibrée par les deux autres. Pour trouver la limite du domaine, on peut chercher 𝐾 3 maximal, mais cette fois pour un rapport 𝐾 2 /𝐾 1 donné, c’est-à-dire |𝒑2 |/|𝒑1 |

43

La notation d 𝜎/dΩ est incorrecte mathématiquement, car il ne s’agit pas d’une dérivée. On parle aussi de distribution angulaire.

44

3 Les instruments et les méthodes

x

A1

A1

A1 T3 b

b

I3

K

3

y

K2

T2

I2

K1 b

A2

I1

A3

A2

A3

A2

T1

A3

Figure 3.4 : Diagramme de Dalitz : définition, limite du domaine non relativiste pour des masses égales ou inégales.

donné. De nouveau le théorème de König implique que 𝒑1 et 𝒑2 seront parallèles, pour ne pas gaspiller de l’énergie interne transverse. On peut annuler leur déterminant de Gram, en notant que 𝒑2𝑖 = 2 𝑚 𝑖 𝐾 𝑖 et que 2 𝒑1 .𝒑2 = 𝒑23 − 𝒑21 − 𝒑22 . Avec des axes appropriés, les distances aux côtés sont√{𝐾 𝑖 } = 𝐾 {1/3 + 𝑥, 1/3 − 𝑥/2 + √ 𝑦 3/2 , 1/3 − 𝑥/2 − 𝑦 3/2} et finalement, l’équation est

𝐾2 (𝐾 1 − 𝐾 2 − 𝐾 3 )/2 (𝐾1 − 𝐾2 − 𝐾3 )/2 =0 𝐾3

(3.16)

et en reportant les valeurs des 𝐾 𝑖 en fonction des coordonnées, on constate que le lieu permis est l’intérieur d’une ellipse, qui en touchant le côté 1, le divise dans le rapport 𝑚2 /𝑚3 , et ainsi de suite par permutations. Voir Fig. 3.4. La forme ne dépend que des rapports de masses, pas de l’énergie libérée. Dans le cas relativiste, le contour correspond toujours à des quantités de mouvement parallèles, et annule le déterminant de Gram

𝒑22 (𝒑21 − 𝒑22 − 𝒑23 )/2 2 (𝒑 − 𝒑2 − 𝒑2 )/2 =0 𝒑2 1

2

3

(3.17)

3

mais il faut utiliser la relation relativiste entre la quantité de mouvement et l’énergie cinétique

𝒑2𝑖 = 2 𝑚 𝑖 𝐾 𝑖 + 𝐾 2𝑖 ,

(3.18)

et on trouve des courbes de degré supérieur à 2, de plus en plus aplaties quand l’énergie libérée augmente,

3.6 Les outils de l’analyse

A1

A1

A2

45

A3

A2

A3

et touchant chaque côté de plus en plus près du milieu. À la limite ultra-relativiste, correspondant à une désintégration en trois photons, le domaine permis est le triangle qui joint les milieux. Quelques exemples sont donnés sur la Fig. 3.5, qui correspondent à une énergie libérée de plus en plus grande. À la limite ultrarelativiste, le domaine permis est l’intérieur du triangle qui joint les milieux des côtés. Dans cette limite, les masses deviennent négligeables, et on voit sur la figure de droite que la courbe limite devient de plus en plus symétrique. Noter qu’au temps où les figures étaient tracées à la main, on prenait la peine de représenter les données avec des triangles équilatéraux qui montrent mieux les symétries, par exemple dans le cas de 𝜔 → 𝜋𝜋𝜋. À l’époque des ordinateurs, on utilise une représentation rectangulaire, avec la variante du théorème de Viviani adaptée à un triangle rectangle isoscèle de côté 𝑎 , qui √ est 𝑑2 + 𝑑3 + 𝑑1 2 = 𝑎 . Par ailleurs, au lieu de graduer en énergie cinétique, on utilise les masses invariantes des sous-systèmes, grâce à l’identité 2 𝑀12 = 𝑀 2 + 𝑚32 − 2 𝑀 (𝐾 3 + 𝑚3 ) ,

(3.19)

et celles déduites par permutations. Quelques exemples ¯ ) en trois mésons de désintégration du protonium ( 𝑝𝑝 sont donnés sur la figure 3.6. Un exemple de diagramme de Dalitz récent (2017) est montré sur la Fig. 3.7. Il s’agit de la désintégration 𝜒1 → 𝜂0𝜋+ 𝜋− [15]. On voit clairement un renforcement de la densité dans les variables 𝑀 2 (𝜂𝜋) et 𝑀 2 (𝜂𝜋− ).

Figure 3.5 : Quelques diagrammes de Dalitz de désintégration en trois particules, à gauche avec des masses égales, à droite des masses inégales {𝑚 𝑖 } ∝ {1 , 2 , 3}, et une énergie disponible croissante qui fait passer du cas non relativiste (cercle ou ellipse) à la limite ultrarelativiste (triangle pointillé).

46

3 Les instruments et les méthodes

m212

δ √m2 2 3 2

m212

δm213

δm212

η → 3π m213

m213

m212

m212

→ p¯p ′

ηη

p¯p → 3γ

π

m213

m213

Figure 3.6 : Diagramme de Dalitz en coordonnées rectangulaires représentant les masses invariantes carrées des sous-systèmes. 𝛿𝑚 𝑖𝑗2 dénote l’écart de la masse invariante au carré par rapport à sa valeur minimale (𝑚 𝑖 + 𝑚 𝑗 )2 .

M2(π+π-) [GeV/c2]2

10

1.2

b) 1

8 a2(1700)

0.8

6 0.6

4 0.4

2

Figure 3.7 : Diagramme de Dalitz de la désintégration 𝜒1 → 𝜂𝜋+ 𝜋− , tiré de [15]. © APS.

0 0

0.2

0

2

4

6

8

10

M2(ηπ+) [GeV/c2]2 Powered by TCPDF (www.tcpdf.org)

3.6 Les outils de l’analyse

47

Exercices 18. Montrer que 𝑀12 , défini à l’équation (3.8), est un invariant de Lorentz, et que 𝑀12 ≥ 𝑚1 + 𝑚2 si 𝑚 𝑖 est la masse de la particule 𝑖 . 19. Montrer que si la cible est polarisée, la distribution (3.14) peut dépendre de l’angle azimutal 𝜙 . La polarisation doit-elle être parallèle ou perpendiculaire au faisceau ? 20. Établir la limite des régions physiques dans le plan (𝑠, 𝑡, 𝑢) pour la réaction élastique 𝑎 + 𝑏 → 𝑎 + 𝑏 avec des masses 𝑚 pour 𝑎 et 𝑀 pour 𝑏 dans le rapport 𝑚/𝑀 . 21. Retrouver le tracé de la figure 3.2. Trouver l’équation générale avec des masses quelconques, soit 𝑚1 + 𝑚2 → 𝑚3 + 𝑚4 . 22. Retrouver par transformation de Lorentz l’expression, déjà obtenue par la méthode des invariants, du rapport entre l’énergie cinétique dans le référentiel du centre de masse à celle du référentiel de la cible. On pourra commencer par le cas de masses égales. 23. Démontrer (3.18). 24. Retrouver dans un cours de géométrie élémentaire la preuve que si une ellipse est inscrite dans un triangle et, en ses points de contact, divise le 𝑖 e côté dans le rapport 𝑥 𝑖 , alors 𝑥 1 𝑥 2 𝑥 3 = 1. Que représente 𝑥 𝑖 dans le cas du diagramme de Dalitz ? 25. Diagramme de Dalitz à quatre corps. On considère la désintégration 𝐴 → 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 + 𝑎 , d’abord avec des masses égales et à la limite non relativiste. Généraliser le théorème de Viviani à la somme des distances aux faces d’un tétraèdre. La limite du domaine est-elle - la sphère inscrite dans le tétraèdre ? - la partie intérieure au tétraèdre de la sphère passant par les milieux des arêtes ? - une autre surface ? Pour répondre, on pourra considérer le cas limite où une particule est émise sans vitesse appréciable et le cas où une particule atteint son maximum d’énergie. À part la difficulté technique, pourquoi le diagramme de Dalitz à quatre corps est-il moins utile pour la compréhension du mécanisme de la désintégration ? Est-ce que l’élément de volume est proportionnel à l’élément d’espace de phase ? 26. L’histoire suivante est authentique. Un jour, lors d’une réunion de collaboration au CERN, un physicien prétendit qu’un état pseudo-scalaire ( 𝐽 𝑃 = 0− ) pouvait se désintégrer en quatre 𝜋0 , et un autre répliqua que c’était de toute évidence impossible, à cause de la statistique de Bose-Einstein. Le ton monta. Le lendemain, tous les deux se confondirent en excuses, mais chacun avait changé d’avis et la question restait donc en suspens. Un théoricien appelé

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34.

3 Les instruments et les méthodes

comme arbitre posa la question à des collègues, qui lui donnèrent tous la mauvaise réponse, sauf un prix Nobel, qui résolut le problème en moins d’une minute. Et vous, à la question de savoir si l’annihilation 𝑝 𝑝¯ → 𝜋0 𝜋0 𝜋0 𝜋0 est possible depuis l’état 1 S0 (0− ), donnerez-vous une solution correcte et rigoureuse, et en combien de temps ? Commenter le diagramme de Dalitz de la Fig. 3.7. Commencer par retrouver le contour à l’aide d’un logiciel comme Maple© ou Mathematica©. Pourquoi les lignes de résonances sont-elles plus denses aux extrémités qu’au milieu ? Quelle serait l’allure du diagramme si on avait modifié le choix des masses carrées sur les axes ? Tracer dans un triangle équilatéral le contour du diagramme de Dalitz de la désintégration 𝐴 → 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 avec dans l’état final des masses 𝑚 𝑖 proportionnelles à 1 : 2 : 8. Vérifier que les droites joignant les sommets aux points de contact de l’ellipse sur les axes sont concourantes. Quel théorème de géométrie du triangle est illustré ici, qui généralise le résultat élémentaire sur les trois médianes, hauteurs ou bissectrices ? Comparer les lois horaires classique et relativiste pour une particule de masse 𝑚 et de charge 𝑞 , initialement au repos, soumise à un champ électrique 𝑬 uniforme et constant. Comparer les trajectoires classique et relativiste pour une particule de masse 𝑚 et de charge 𝑞 soumise à un champ électrique 𝑬 uniforme et constant, et lancée avec une quantité de mouvement transverse 𝑝 0 . Quel champ magnétique est nécessaire pour faire tourner des électrons de 100 GeV sur un cercle de rayon 27 km ? Même question pour des protons de 7 TeV ? Qu’en déduire pour le prix de fabrication et de fonctionnement des aimants du LEP et du LHC ? Une particule de masse 𝑚 et de charge 𝑞 , initialement immobile, subit l’action d’un champ électrique 𝑬 uniforme et constant et d’un champ magnétique 𝑩 également uniforme et constant, et perpendiculaire à 𝑬 . Montrer que la trajectoire non relativiste est une cycloïde, et donner son équation. Montrer que le calcul relativiste distingue les cas 𝐸 > 𝐵 𝑐 et 𝐸 < 𝐵 𝑐 . Quelles sont les différences qualitatives entre les deux cas ? Donner l’équation de la trajectoire dans chaque cas. On observe la réaction 𝑎¯ + 𝑎 → 𝐴¯ + 𝐴 dans le référentiel de la cible 𝑎 . Ici 𝑎¯ est l’antiparticule de 𝑎 de masse 𝑚 , et 𝐴¯ , celle de 𝐴 dont la masse est 𝑀 . Donner un exemple. Montrer que si 𝑀 > 𝑚 , aucune des particules finales ne peut revenir en arrière. Quel est l’angle maximal de chacune des particules finales avec l’axe du faisceau ? Quel est l’angle maximal entre les deux particules finales ? A.N. (en GeV) : 𝑚 = 1, 𝑀 = 1 , 2, énergie cinétique initiale 2 ,762. On réalise un faisceau de photons de haute énergie, en envoyant un laser, représenté par une énergie-impulsion (ℎ𝜈, −ℎ𝜈) contre des électrons d’énergie-impulsion (𝐸, 𝑝). Calculer les caractéristiques (ℎ𝜈0 , ℎ𝜈0) du photon rétro-diffusé.

Références

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35. On considère la désintégration 𝜋0 → 𝛾𝛾 . Calculer la relation entre l’angle d’émission 𝜗 d’un photon dans le référentiel du laboratoire, où le 𝜋0 a une vitesse 𝛽 (en unités 𝑐 = 1) et l’angle 𝜗∗ dans le centre de masse. Privilégier une relation entre cos 𝜗 et cos 𝜗∗ . Calculer la distribution angulaire d 𝑁/d cos 𝜗.

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Symétries

4

Les symétries jouent un rôle important en physique des particules. Certaines conduisent à des règles de sélection très strictes. Par exemple l’invariance par translation induit la conservation de la quantité de mouvement. Parfois la symétrie est approximative, mais reflète l’essence de la dynamique sous-jacente. Ainsi les bosons 𝑊 et 𝑍 des interactions faibles sont-ils très massifs, mais c’est leur parenté avec le photon, sans masse, qui permet une théorie unifiée, et prédictive, des interactions électro-faibles.

4.1 Isospin des hadrons En physique des interactions fortes, c’est l’égalité presque exacte des masses du proton et du neutron qui a permis d’identifier la symétrie d’isospin. En fait, le neutron a une masse 𝑚𝑛 légèrement supérieure à celle du proton, 𝑚 𝑝 , ce qui autorise sa désintégration 𝛽 , soit 𝑛 → 𝑝 + 𝑒 − + 𝜈¯ 𝑒 , mais la différence est minime. Dans un noyau, il y a a priori trois interactions, 𝑝𝑝 , 𝑛𝑛 et 𝑛𝑝 . En fait, à une très bonne approximation, les potentiels 𝑛𝑛 et 𝑝𝑝 sont égaux. Par exemple, les noyaux 3 H = 𝑛𝑛𝑝 et 3 He = 𝑝𝑝𝑛 , qui se déduisent par échange des protons et des neutrons et sont appelés « miroirs » l’un de l’autre, ont la même énergie de liaison et la même fonction d’onde, avant l’introduction des corrections coulombiennes. Et l’interaction 𝑛𝑝 ? Si la paire est dans un état permis par la statistique de Fermi pour 𝑝𝑝 ou pour 𝑛𝑛 , spin singulet (antisymétrique) et moment orbital pair (symétrique) ou spin triplet (symétrique) et moment orbital impair (antisymétrique), l’interaction 𝑛𝑝 est la même que pour 𝑝𝑝 ou 𝑛𝑛 . Si c’est un état interdit pour deux nucléons identiques, l’interaction est différente. Le formalisme de l’isospin est calqué sur le groupe des rotations, dont la représentation fondamentale décrit un

𝑚𝑛 = 939 ,565 MeV/𝑐 2 𝑚 𝑝 = 938 ,272 MeV/𝑐 2

52

4 Symétries

spin 1/2, avec la correspondance 𝑝 ↔↑ et 𝑛 ↔ ↓, d’où le nom isospin. Le nucléon a un isospin 𝑖 = 1/2, avec 𝑖3 = +1/2 pour le proton et −1/2 pour le neutron. Pour une paire de nucléons, on a deux couplages possibles pour l’isospin, 𝐼 = 1 qui est symétrique ou 𝐼 = 0 qui est antisymétrique,

  | 1, 1i = |𝑝𝑝i   

√ 1/2 , 1/2 → 𝐼 = 1 | 1 , 0i = (|𝑝𝑛i + |𝑛𝑝i)/ 2 1/2 , 1/2 → 𝐼 = 0

(4.1)

   | 1, −1i = |𝑛𝑛i 

√ | 0 , 0i = (|𝑝𝑛i − |𝑛𝑝i)/ 2 , (4.2)

et l’interaction ne dépend que de 𝐼 , pas de sa projection 𝐼3 . On dit qu’il y a invariance par iso-rotation. L’isospin apporte une grande simplification. Pour l’interaction pion-nucléon, il y a a priori 6 interactions élastiques en combinant (𝜋+ , 𝜋0 , 𝜋− ) avec (𝑝, 𝑛) et 2 réactions d’échange de charge 𝜋− 𝑝 → 𝜋0 𝑛 et 𝜋+ 𝑛 → 𝜋0 𝑝 . Avec l’isospin, on a seulement 2 amplitudes indépendantes, correspondant aux couplages d’isospin total 𝐼 = 1/2 ou 𝐼 = 3/2 des isospins individuels 𝑖 = 1 du pion et 𝑖 0 = 1/2 du nucléon, avec, pour 𝐼 donné, la même amplitude pour les différentes valeurs de 𝐼3 . L’isospin permet une généralisation de la statistique de Bose-Einstein pour les pions ou du principe de Pauli pour les nucléons. On peut parler de l’antisymétrisation d’un système de nucléons, et pas seulement des protons et des neutrons séparément. Par exemple, le deutéron a un spin 1 (couplage symétrique) et un moment orbital ℓ = 0 ou ℓ = 2 entre les deux constituants, ce qui est symétrique. Il doit donc être antisymétrique dans l’isospin, soit 𝐼 = 0. La seule possibilité est donc 𝐼3 = 0. Effectivement, on n’observe pas d’analogue 𝑝𝑝 ou 𝑛𝑛 du deutéron. La symétrie d’isospin donne des relations entre amplitudes qui induisent des inégalités entre sections efficaces. Revenons à l’exemple de la diffusion élastique pion-nucléon. Pour 𝜋+ 𝑝 → 𝜋+ 𝑝 , on a un pur isospin 3/2. Pour la réaction élastique 𝜋− 𝑝 → 𝜋− 𝑝 et la réaction d’échange de charge 𝜋− 𝑝 → 𝜋0 𝑛 , les états initial et final

4.2 Conjugaison de charge

53

contiennent une combinaison d’isospin 𝐼 = 1/2 et 3/2, et, à cause de l’invariance par isospin : a) il n’y a pas de transition entre 1/2 et 3/2, b) l’amplitude 𝐼 = 3/2 qui correspond ici à 𝐼3 = −1/2 est la même que l’amplitude 𝐼 = 3/2, 𝐼3 = 3/2 rencontrée pour 𝜋+ 𝑝 . En utilisant (voir exercice) les coefficients de ClebschGordan, on peut écrire les amplitudes pion-nucléon correspondant à différents états de charge comme combinaisons des amplitudes de transition d’isospin 1/2 et 3/2, et démontrer la relation √ −M(𝜋+ 𝑝)+M(𝜋− 𝑝)+[ 2 M(𝜋− 𝑝 → 𝜋0 𝑛)] = 0 , (4.3) qui se lit comme trois nombres complexes dont les images forment un triangle, avec les inégalités habituelles sur les côtés, comme

q q q q q 𝜎(𝜋+ 𝑝) − 𝜎(𝜋− 𝑝) ≤ 2 𝜎(𝜋− 𝑝 → 𝜋0 𝑛) ≤ 𝜎(𝜋+ 𝑝) + 𝜎(𝜋− 𝑝) .

(4.4)

Dans la région d’énergie où domine la résonance Δ d’isospin 3/2, on peut négliger l’amplitude d’isospin 1/2, et on arrive à

𝜎(𝜋− 𝑝) =

1 𝜎(𝜋+ 𝑝) , 9

𝜎(𝜋− 𝑝 → 𝜋0 𝑛) =

4.2 Conjugaison de charge La symétrie entre matière et antimatière est fondamentale. L’opérateur 𝐶 , dit de conjugaison de charge, transforme une particule en son antiparticule. Les interactions électromagnétiques et fortes conservent 𝐶 . La conjugaison de charge induit des règles de sélection. Par exemple, si un état du positonium s’annihile en deux photons, soit 𝑒 + 𝑒 − → 𝛾𝛾 , la désintégration en trois photons de cet état est interdite, mais celle en quatre photons est permise (elle est rare, car impliquant des diagrammes d’ordre supérieur dans la théorie des perturbations). La raison est que le photon, qui est

2 𝜎(𝜋+ 𝑝) . 9

(4.5)

54

4 Symétries

sa propre antiparticule, est impair, soit 𝐶(𝛾) = −1 et que pour 𝑛 photons, 𝐶(𝑛 𝛾) = (−1)𝑛 . On montre (voir exercice) que pour un état du positonium de spin 𝑆 et de moment orbital ℓ , 𝐶 = (−1)ℓ +𝑆 . De même, un méson comme le 𝐽/𝜓 avec 𝐶 = −1 n’aura pas de désintégration avec seulement des pions neutres, car 𝐶(𝜋0 ) = 𝐶(𝑛 𝜋0 ) = +1. Les interactions faibles violent 𝐶 , mais en première approximation, le produit 𝐶𝑃 est conservé. Cependant de petites violations de 𝐶𝑃 ont été observées dans la physique des kaons. Elles font l’objet d’études très minutieuses, qui ont été étendues au secteur du charme et à celui de la beauté.

Andreï Sakharov est aussi connu pour ces travaux sur la bombe H, ses efforts ensuite pour la paix et le désarmement, et son opposition au régime soviétique qui lui vaudra d’être exilé de Moscou à Gorki.

Une violation de 𝐶𝑃 est l’une des trois conditions de Sakharov [1] pour qu’un « big-bang » initial puisse amener à un Univers fait de matière, ce que nous observons. Les autres conditions sont une violation du nombre baryonique et une rupture de l’équilibre thermique. Les violations de 𝐶𝑃 observées dans les désintégrations faibles des saveurs sont très largement insuffisantes pour les modèles cosmologiques, mais sont considérées comme encourageantes. Enfin, il y a le produit 𝐶𝑃𝑇 qui inclut aussi le renversement du temps. Il est très difficile d’imaginer une violation de 𝐶𝑃𝑇 , car chaque fois qu’on écrit un Lagrangien plausible, la symétrie 𝐶𝑃𝑇 est satisfaite. Par exemple, l’égalité entre les masses du proton et de l’antiproton est une conséquence de 𝐶𝑃𝑇 et survit dans un monde avec une violation de 𝐶 ou de 𝐶𝑃 qui préserve 𝐶𝑃𝑇 . Des expériences récentes avec des atomes antiprotoniques ont permis de mesurer la masse de l’antiproton avec une très grande précision et de vérifier qu’elle est égale à celle du proton avec une incertitude relative

𝑚(𝑝) − 𝑚(𝑝) ¯ −10 ≤ 7 × 10 , 𝑚(𝑝)

(4.6)

avec d’autres tests sur la charge ou le moment magnétique de l’antiproton. Voir les références dans [2].

4.3 Parité isotopique ou 𝐺 -parité

Il s’agit de la masse inerte. Pour la masse pesante, pour l’instant, le principe de l’équivalence tient toujours, qui implique qu’une antiparticule subit dans un champ de gravitation la même accélération que la particule correspondante. Mais il y a régulièrement des spéculations sur une petite composante vectorielle de la gravitation qui changerait de signe pour les antiparticules. Les expériences de gravitation sont très délicates. Les objets élémentaires stables sont chargés, les objets neutres comme les atomes sont polarisables, et il est très difficile de mesurer la gravité derrière les interactions électromagnétiques résiduelles. Des expériences sont en cours, comme AEGIS au CERN [3].

4.3 Parité isotopique ou 𝐺 -parité La parité isotopique, ou 𝐺 -parité, selon que l’on se réfère à Louis Michel [4] ou à Lee et Yang [5], est le produit 𝐺 = 𝐶 exp(−𝑖 𝜋 𝐼2 ) de la conjugaison de charge et d’une rotation dans l’espace de l’isospin. Ce n’est pas une symétrie nouvelle, mais un outil commode pour déduire des règles de sélection en combinant invariance par iso-rotations et symétrie matière-antimatière. Les multiplets de mésons qui sont leurs propres conjugués (par exemple, les pions ou le 𝐽/𝜓 ) sont des états propres de 𝐺 avec 𝐺 = ±1. Si 𝐶 𝑛 est la valeur propre de la conjugaison de charge pour l’élément neutre du multiplet, et 𝐼 l’isospin de ce multiplet, alors 𝐺 = 𝐶 𝑛 (−1)𝐼 . Voir l’exercice 39. Par exemple, le pion neutre a 𝐶(𝜋0 ) = +1, ce qui se manifeste expérimentalement par la désintégration 𝜋0 → 𝛾𝛾, et 𝐺(𝜋0 ) = +1. Mais, alors que ni 𝜋+ ni 𝜋− n’est état propre de 𝐶 , ils sont états propres de 𝐺 , avec 𝐺 |𝜋± i = −1 |𝜋± i . Soit, en résumé, 𝐺(𝜋) = −1, et pour 𝑛 pions, 𝐺(𝑛 𝜋) = (−1)𝑛 . Pour les désintégrations en pions, ou la production de pions, la règle est très simple : le même état initial donne soit un nombre impair de pions, soit un nombre pair. Par exemple, 𝐽/𝜓 → 𝜋+ 𝜋− 𝜋0 est observé, mais pratiquement pas 𝐽/𝜓 → 𝜋+ 𝜋− . Ce n’est pas très rigoureux, parce que l’isospin est une symétrie approchée.

55

La masse inerte intervient dans la loi de Newton 𝒇 = 𝑚 𝑖 𝒂 ou l’énergie cinétique 𝑚 𝑖 𝒗 2 /2, la masse pesante dans le poids 𝑚 𝑔 𝒈 dû à un champ de gravitation. Le principe de l’équivalence, vérifié avec une très grande précision, stipule que ces deux masses sont proportionnelles, et elles sont prises égales par commodité, soit 𝑚 = 𝑚 𝑖 = 𝑚𝑔 .

56

4 Symétries

Par contre, l’interdiction de 𝐽/𝜓 → 𝜋0 𝜋0 est stricte, car la conjugaison de charge est une symétrie exacte des interactions fortes.

4.4 Isospin des antiparticules On pourra sauter cette section en première lecture.

Pour un lepton, ou un hadron avec isospin 𝐼 = 0, l’antiparticule est définie à l’aide de l’opérateur de conjugaison de charge 𝐶 , par exemple

|𝑒 + i = 𝐶 |𝑒 − i ,

|Ω+ i = 𝐶 |Ωi .

(4.7)

Pour un multiplet avec 𝐼 ≠ 0, il faut préciser les conventions adoptées. Par exemple, si l’on définit l’isotriplet des pions comme

|𝜋+ i = | 1 , 1i ,

|𝜋0 i = | 1 , 0i ,

|𝜋− i = | 1 , −1i , (4.8)

dans cette base on aura (voir exercice 36) 0 © exp(−𝑖 𝜋 𝐼2 ) = ­0 «1 On pourrait par exemple conjuguer directement 𝜋+ ou bien utiliser l’opérateur abaisseur 𝐼− , conjuguer et faire agir encore 𝐼− pour arriver au même résultat !

0 1 ª −1 0® , 0 0¬

(4.9)

et comme 𝐶(𝜋0 ) = +1 parce que le 𝜋0 se désintègre en deux pions, il faut de manière cohérente imposer 𝐶 |𝜋± i = −|𝜋∓ i , et finalement 𝐺 = −1 pour tous [6]. Une autre possibilité consisterait à définir 𝐶 = ∓ | 1 , ±1i , pour avoir 𝐶 |𝜋± i = |𝜋∓ i , mais on risquerait de se tromper en ajoutant les isospins de systèmes contenant des pions. Pour le nucléon, il y a deux variantes. La première définit les antinucléons comme

¯ 𝐶 = 𝐶 |𝑝i , | 𝑝i

¯ 𝐶 = 𝐶 |𝑛i , | 𝑛i

(4.10)

et l’isosingulet de la paire nucléon-antinucléon s’écrit

√ ¯ 𝐶 + |𝑛 𝑛i ¯ 𝐶 )/ 2 , | 0 , 0i𝐶 = (|𝑝 𝑝i

(4.11)

¯ + ¯ + |𝑑 𝑑i ce qui√anticipe le singulet de SU(3) (|𝑢 𝑢i |𝑠 𝑠¯ i)/ 3 dans le modèle des quarks.

4.5 La symétrie de saveur SU(3)F

L’autre choix est de définir l’isodoublet comme

¯ = 𝐺 |𝑛i , | 𝑝i

¯ = 𝐺 |𝑝i , | 𝑛i

(4.12)

√ ¯ − |𝑛 𝑛i)/ ¯ | 0 , 0i = (|𝑝 𝑝i 2,

(4.13)

et le singulet de 𝑁 𝑁 est

qui utilise les coefficients de Clesbsch-Gordan √ habituels, comme pour le deutéron, (|𝑝𝑛i − |𝑛𝑝i)/ 2, d’isospin 𝐼 = 0. Plus de détails sont donnés dans [6]. Du point de vue mathématique, le problème de la définition de 𝑝¯ et 𝑛¯ vient de ce que la conjugaison de charge transforme la représentation 2 de l’algèbre SU(2) en la représentation 2¯ qui est différente de la représentation 2, mais peut s’y ramener par rotation. On choisit donc d’effectuer ou non cette rotation.

4.5 La symétrie de saveur SU(3)F Comme indiqué dans le chapitre 1 relatant quelques étapes historiques, la généralisation la plus naturelle de la symétrie d’isospin, basée sur le groupe SU(2), est une symétrie unitaire SU(3), désormais notée SU(3)F , qui contient l’isospin comme sous-groupe. Au début, la symétrie SU(3)F était étudiée de manière un peu abstraite. Par exemple, les observables, comme la masse, le moment magnétique, etc., étaient décrits comme une perturbation O = O0 +O1 +· · · , où le premier terme est invariant par SU(3)F , et le second brise SU(3)F de manière simple. Par exemple, si on décrit la masse des baryons de spin 3/2 comme

𝑀 = 𝑀0 − S 𝛿𝑚 ,

(4.14)

on retrouve la règle des espacements égaux du décuplet, qui a permis de prédire la masse du Ω à partir de la séquence Δ → Σ∗ → Ξ∗ → Ω− . La relation de Gell-Mann–Okubo

𝑁 + Ξ 3Λ + Σ = , 2 4

(4.15)

57

58

4 Symétries

où 𝑁 désigne la masse du nucléon, etc., est très bien vérifiée. Elle résulte de l’hypothèse que la violation de SU(3)F pour la masse des baryons, se comporte comme un octet de SU(3)F [7, 8]. Peu à peu, le langage a évolué d’un SU(3)F formel à une description en termes des quarks qui sous-tendent cette symétrie. Prenons l’exemple des mésons vectoriels, {𝜌, 𝜔, 𝜙} et plus précisément des états neutres d’isospin 0 dans ce multiplet. On partait autrefois de la base des états singulet et octet, |𝑆𝑡 i , et |𝑂 𝑡 i , on calculait le contenu en quarks

𝑢 𝑢¯ + 𝑑 𝑑¯ + 𝑠 𝑠¯ , √ 3 r 𝑢 𝑢¯ + 𝑑 𝑑¯ 2 |𝑂 𝑡 i = − 𝑠 𝑠¯ , √ 3 6 |𝑆𝑡 i =

(4.16)

et on signalait le cas particulier de la combinaison 1 √ |𝑆𝑡 i − 3

r

2 |𝑂 𝑡 i = cos 𝜃 |𝑆𝑡 i − sin 𝜃 |𝑂 𝑡 i 3

(4.17)

comme étant un pur état 𝑠 𝑠¯ avec un « angle de mélange idéal » 𝜃id = 35◦ , le méson 𝜙 réel, un peu impur, étant décrit avec un angle de mélange 𝜃 = 𝜃id + 𝛿𝜃 . De nos jours, on utilise de moins en moins la base faite d’un singulet et d’un octet ; on part tout naturellement dans ce secteur de la base des états de quarks

𝑢 𝑢¯ + 𝑑 𝑑¯ , √ 2

et

𝑠 𝑠¯ ,

(4.18)

avec éventuellement un peu de mélange entre eux. La validité de SU(3)F est encore très débattue de nos jours. Par exemple dans certains modèles de production de mésons, on introduit un « facteur d’atténuation de l’étrangeté » pour éviter de prédire une production trop abondante de kaons par rapport aux pions. En réalité, à basse énergie, beaucoup de processus de production ressemblent un peu à la radioactivité 𝛼 dans la théorie de Gamow : une modification minime de l’énergie de liaison est amplifiée exponentiellement. Dans les circonstances où les variations d’espace de phase ne sont

4.6 La symétrie SU(6)

pas primordiales, la symétrie SU(3)F est bien respectée. Par exemple, les largeurs partielles de désintégration 𝐽/𝜓 → 𝑝 𝑝¯ , 𝐽/𝜓 → ΛΛ, 𝐽/𝜓 → Σ+ Σ− , etc., sont tout à fait proches.

4.6 La symétrie SU(6) La symétrie SU(6) a été introduite pour combiner la symétrie de saveur SU(3)F et l’observation que certaines propriétés, par exemple la masse des hadrons, ne dépendent qu’assez peu de la disposition des spins des quarks. Dans ce schéma, les baryons les plus légers sont regroupés en deux octets de spin ±1/2 et quatre décuplets correspondant aux projections possibles d’un spin 3/2 sur un axe. C’est la représentation de dimension 56 des baryons. Cette notation a été longtemps utilisée pour la classification des baryons légers et les modèles basés sur l’oscillateur harmonique [9].

4.7 Le charme et SU(4) Il n’y pas de difficulté mathématique majeure à étendre la symétrie de saveur de SU(3) à SU(4) pour inclure le charme. Tout au plus, il faudra un peu de soin pour coupler les représentations, car les conventions de phase adoptées pour les coefficients de Clebsch-Gordan peuvent varier selon les auteurs. Par exemple, on montre souvent les diagrammes de la Fig. 4.1 pour présenter les mésons et les baryons les plus bas dans le schéma de SU(4). Cette figure est reproduite à partir de la revue PDG [2]. Les trois coordonnées sont la charge électrique 𝑍 , l’hypercharge 𝑌 = S + C + 𝐵 (S est l’étrangeté, C le charme et 𝐵 le nombre baryonique).

Mais il faut convenir qu’il n’est pas très pertinent d’associer dans le même multiplet un baryon Δ++ de 1 ,2 GeV/𝑐 2 et un baryon (non encore découvert) Ω𝑐𝑐𝑐 de masse supérieure à 4 GeV/𝑐 2 , et de fonction d’onde beaucoup plus compacte. Comme nous le verrons au

59

60

4 Symétries

Z

Figure 4.1 : Gauche : les mésons pseudoscalaires (en haut) et vectoriels (en bas) de l’état fondamental selon la symétrie SU(4). Droite : les baryons de spin 1/2 (en haut) et de spin 3/2 de l’état fondamental selon la symétrie SU(4).© PDG.

chapitre 5, la symétrie sous-jacente, c’est celle des interactions, qui s’applique à des quarks très différents. De la même façon, en QED, on utilise la même interaction coulombienne pour le positonium 𝑒 + 𝑒 − , le muonium 𝜇+ 𝑒 − et le vrai muonium 𝜇+ 𝜇− .

4.8 Le nombre baryonique En physique nucléaire, sous la notation du nombre de masse 𝐴, le nombre baryonique compte les neutrons et les protons. En physique hadronique, le nombre baryonique 𝐵 (à ne pas confondre avec la beauté B) vaut 𝐵 = +1 pour le proton et le neutron, les excitations de spin comme le Δ et les excitations de saveur comme le Λ, et 𝐵 = −1 pour les antibaryons. Pour les constituants, cela se traduit par 𝐵 = 1/3 pour les quarks et 𝐵 = −1/3 pour les antiquarks. Longtemps, le nombre baryonique a été considéré comme étant exactement conservé. Mais en cosmologie, il faut expliquer la dominance de la matière sur l’antimatière dans l’Univers. En physique des particules, ce

4.8 Le nombre baryonique

61

sont les spéculations sur l’unification des interactions fortes avec les interactions électro-faibles qui ont ouvert la voie à une violation du nombre baryonique.

La désintégration du proton la plus recherchée est 𝑝 → 𝜋0 + 𝑒 + , mais il existe des variantes avec un muon au lieu d’un positon, car le regroupement des quarks et des leptons en générations n’est pas intangible. Il s’agit d’une réaction avec une violation Δ𝐵 = 1 du nombre baryonique et Δ𝐿 = 1 du nombre leptonique.

Certains schémas d’unification prédisent une autre forme de transition très rare, avec Δ𝐵 = 2 et Δ𝐿 = 0, à savoir une oscillation neutron-antineutron. Des expériences ont été menées avec des neutrons libres en absence de champ magnétique, ce qui a permis d’atteindre une limite 𝜏 & 108 années. La stabilité des noyaux donne aussi une limite. Si un neutron du noyau devient un antineutron, son annihilation libère une énergie de 2 GeV et provoque l’émission de mésons et l’arrachement de nucléons du noyau. Pour comprendre le phénomène, on prend le cas du deutéron et, pour simplifier, se restreint à l’onde S, en notant 𝑢𝑛 (𝑟) la fonction d’onde radiale réduite du neutron, qui décrit son mouvement par rapport au proton. En présence d’oscillations neutron-antineutron, la fonction d’onde devient

Ψ=

𝑢𝑛 (𝑟) 𝑣(𝑟) ¯ 3 S1 i . |(𝑝𝑛) 3 S1 i + |(𝑝 𝑛) 𝑟 𝑟

(4.19)

À l’ordre le plus bas, ni l’énergie 𝐸 , ni la composante 𝑝𝑛 ne sont modifiées, et la composante 𝑝 𝑛¯ est donnée par l’équation de Sternheimer [10, 11]

−

𝑣 00(𝑟) 𝑚

+ 𝑊(𝑟) 𝑣(𝑟) − 𝐸 𝑣(𝑟) = 𝛾 𝑢𝑛 (𝑟) ,

(4.20)

où 𝛾 = 1/𝜏 est l’intensité de la transition. En résolvant cette équation avec les conditions limites d’annuation à 𝑟 = 0 et 𝑟 → ∞, on obtient la composante antineutron 𝑣(𝑟) ∝ 𝛾 et la correction au deuxième ordre de l’énergie est donnée par [11] (nous ne nous intéressons ici qu’à la partie imaginaire)

Ne perdez pas trop de temps à chercher dans d’autres livres de mécanique quantique, qui restreignent trop souvent le deuxième ordre des perturbations à la sommation sur les états non perturbés, ce qui n’est pas toujours la voie à suivre.

62

4 Symétries

𝛿𝐸 =

∫

∞

|𝑣(𝑟)| Im 𝑊(𝑟) d𝑟 = −𝛾

∫

∞

2

0

𝑢𝑛 (𝑟) Im 𝑣(𝑟) d𝑟 ∝ 𝛾2 .

(4.21)

0

On en déduit que la durée de vie du deutéron 𝑇 varie comme le carré de la période d’oscillation [12] ce qu’on écrit 𝑇 = 𝑇𝑅 𝜏2 , (4.22) 𝑇𝑅 est parfois appelé « facteur de suppression ».

DUNE : Deep Underground Neutrino Experiment.

où 𝑇𝑅 est une sorte de « durée de vie réduite » (exprimée en s−1 !). On trouve 𝑇𝑅 ∼ 3 × 1022 s−1 , si bien qu’une stabilité de 1033 années pour le deutérium fixe une limite 𝜏 & 109 s, qu’il est difficile d’obtenir avec des neutrons libres. En pratique, on utilise des noyaux plus lourds, comme 16 O ou 40 Ar présents dans les gros détecteurs. On peut recommencer le calcul précédent couche par couche [12]. On s’aperçoit que c’est la partie la plus extérieure au noyau de la distribution de neutrons qui contribue à la création et à l’annihilation des antineutrons. Une nouvelle mesure est prévue dans l’expérience DUNE [13], conçue initialement pour détecter en Californie les oscillations de neutrinos produits à Fermilab, c’est-à-dire à des centaines de kilomètres. Voir par exemple [14].

Annexe 4.A

SU(2) et SU(3)

Nous donnons ici quelques rudiments de théorie des groupes. Pour plus de détails, voir par exemple [15].

Rotations En mécanique quantique, si un hamiltonien 𝐻 est invariant par rotation, comme dans le cas de l’atome d’hydrogène 𝐻 = −Δ − 1/𝑟 , ses sous-espaces propres sont globalement invariants par rotation. Soit R une telle rotation. L’invariance de 𝐻 se traduit par

[𝐻, R] = 0 ,

(4.23)

4.A SU(2) et SU(3)

63

avec pour conséquence :

𝐻 |𝜓i = 𝐸 |𝜓i ⇒ 𝐻 R |𝜓i = 𝐸 R |𝜓i . (4.24)









Si la rotation est décrite comme R = exp[−𝑖 𝐿𝑛 𝜙/~], où 𝜙 est l’angle de rotation autour de l’axe 𝑛ˆ , l’invariance est équivalente à la commutation de 𝐻 avec tous les générateurs 𝐿𝑛 , c’est-à-dire avec 𝐿 𝑥 , 𝐿 𝑦 et 𝐿 𝑧 . On choisit en général (voir par exemple [16]) de décrire les états propres par l’ensemble des valeurs propres de 𝐻 , 𝐿2 et 𝐿 𝑧 . L’algèbre des générateurs est bien connue (on utilise ~ = 1, ou bien on divise au préalable chaque 𝐿 𝑎 par ~) :

[𝐿 𝑎 , 𝐿𝑏 ] = 𝑖 𝜖 𝑎𝑏𝑐 𝐿 𝑐 ,

(4.25)

et elle conduit pour 𝐿2 = 𝑎 𝐿2𝑎 aux valeurs propres ℓ (ℓ + 1), où ℓ est entier ou demi-entier, et pour 𝐿 𝑧 , aux valeurs −ℓ , −ℓ + 1 . . . ℓ .

P

Les valeurs entières de ℓ correspondent aux rotations habituelles. Les valeurs ℓ = 1/2, 3/2 . . . correspondent à des représentations de l’algèbre des générateurs qui sont des représentations du groupe SU(2) mais pas du groupe O(3). On dit parfois que SU(2) est le groupe de recouvrement universel de l’algèbre des générateurs. On aurait pu en rester à cette curiosité mathématique associée aux rotations. Mais pour expliquer l’effet Zeeman et d’autres phénomènes, des physiciens comme Pauli ont utilisé la valeur 1/2 pour décrire la rotation de l’électron sur lui-même, c’est-à-dire son spin. Désormais, on réserve la notation ℓ au moment orbital, avec des valeurs entières, et on utilise 𝑗 pour un moment cinétique plus général. La combinaison 𝐽 2 = 𝐽𝑥2 + 𝐽𝑦2 + 𝐽𝑧2 est appelée l’opérateur de Casimir, qui a pour valeur propre 𝑗(𝑗 + 1) avec 𝑗 entier ou demi-entier. On dénote les sous-espaces soit par la valeur de 𝑗 , soit par la multiplicité (2 𝑗 + 1). Par exemple, dans la notation spectroscopique 2𝑠+1 L 𝑗 = 3 P1 de l’état 𝜒1 du charmonium, on utilise en exposant la multiplicité de spin mais en indice la valeur de 𝑗 pour le moment cinétique total.

𝜖 𝑎𝑏𝑐 est le symbole de LeviCivita, qui vaut +1 si 𝑎𝑏𝑐 est une permutation paire de 1 , 2 , 3, −1 pour une permutation impaire et 0 si deux indices sont égaux.

64

4 Symétries

Le couplage de deux représentations fait intervenir les coefficients de Clebsch-Gordan, à savoir

| 𝑗1 , 𝑚1 i × | 𝑗2 , 𝑚2 i =

X

𝐶(𝑗1 , 𝑚1 ; 𝑗2 , 𝑚2 ; 𝑗, 𝑚1 + 𝑚2 ) |(𝑗1 , 𝑗2 ) 𝑗, 𝑚1 + 𝑚2 i ,

(4.26)

𝑗

et s’agissant d’une transformation orthogonale, on retrouve les mêmes coefficients 𝐶 pour la transformation inverse. Les conventions de phase pour les 𝐶 sont maintenant adoptées universellement, mais dans le cas de l’isospin, il faut faire attention à la manière de définir les antiparticules, comme on l’a vu à la section 4.4. Une première application de l’invariance par rotation est le spectre d’un potentiel central. Les états liés sont recherchés de la forme 𝜓(𝒓) = 𝑌ℓ𝑚 (𝜗, 𝜑) 𝑢(𝑟)/𝑟 , ce qui donne l’équation radiale bien connue

−𝑢 00(𝑟) +

ℓ (ℓ + 1) 𝑢(𝑟) + 𝑚 𝑉(𝑟) 𝑢(𝑟) = 𝐸 𝑢(𝑟) , (4.27) 𝑟2

avec plusieurs solutions possibles si le potentiel est suffisamment attractif pour qu’il y ait des excitations radiales. L’équation (4.27) permet aussi de calculer les déphasages pour la diffusion. Si l’invariance par rotation est faiblement brisée, on peut encore utiliser un développement en ondes partielles. C’est le cas par exemple quand on calcule le potentiel de Born-Oppenheimer entre deux quarks lourds d’un baryon 𝑄𝑄 𝑞 : on peut résoudre l’équation de Schrödinger avec un petit nombre d’ondes partielles couplées. Pour l’état fondamental,

𝑢2 (𝑟) 0 𝑢0 (𝑟) 0 𝑌0 (𝜗, 𝜑) + 𝑌2 (𝜗, 𝜑) + · · · (4.28) 𝑟 𝑟 X ℓ (ℓ + 1) −𝑢ℓ00(𝑟) + 𝑢(𝑟) + 𝑚 𝑉ℓℓ 0 (𝑟) 𝑢ℓ 0 (𝑟) = 𝐸 𝑢ℓ (𝑟) , 𝑟2 ℓ0 𝜓=

où l’on remarque que seules les ondes paires interviennent, et celles avec ℓ 𝑧 = 0, car subsiste l’invariance autour de l’axe passant par les deux quarks lourds. Quand les baryons sont calculés dans le modèle des

4.A SU(2) et SU(3)

quarks avec le formalisme hypersphérique, on travaille dans un espace à six dimensions, pour la variable 𝑋˜ = {𝒙, 𝒚} qui combine les deux coordonnées de Jacobi qui décrivent le mouvement relatif. De nouveau, on part d’une invariance sous le groupe O(6) des rotations à six dimensions, et les solutions se présentent comme une fonction hyperradiale 𝑅(𝑟), où 𝑟 2 = 𝒙 2 + 𝒚 2 , multipliée par une harmonique sphérique généralisée. Mais, sauf dans le cas d’un potentiel d’oscillateur harmonique, cette invariance n’est pas exacte. On améliore donc les solutions en ajoutant des ondes partielles et en résolvant des équations couplées semblables à (4.28). Pour le cas de l’isospin, la symétrie n’est jamais exacte. Par exemple, le proton et le neutron n’ont pas exactement la même masse. On a souvent cherché à décrire empiriquement la violation d’isospin par des termes où apparaissent les générateurs de SU(2). Par exemple, la masse des quatre baryons Δ, avec des charges qui vont de −1 pour 𝑑𝑑𝑑 à +2 pour 𝑢𝑢𝑢 , est écrite

𝑀 = 𝑀0 + 𝑀1 𝐼3 + · · ·

(4.29)

avec |𝑀1 |  𝑀0 . Pour le triplet des mésons 𝜋, cette formule ne peut convenir, car à cause de l’invariance par conjugaison de charge les 𝜋+ et le 𝜋− ont la même masse. On pourra par exemple écrire la variante

𝑚 2 = 𝑚02 + 𝛼 𝐼32 .

(4.30)

Le groupe SU(3) Le groupe SU(3) a été utilisé en physique nucléaire pour des développements intéressants du modèle en couches. Dans les années soixante, il a été introduit en physique hadronique pour étendre l’isospin aux particules porteuses d’étrangeté, puis pour la couleur des quarks et des gluons. Il n’y a pas de difficulté majeure pour passer de SU(2) à SU(3), mais des petites complications : huit générateurs au lieu de trois, trois nombres quantiques au lieu de {𝐼 2 , 𝐼3 } de l’isospin, et enfin un peu de flou dans les conventions de phase pour les Clebsch-Gordan.

65

66

4 Symétries

Dans la représentation fondamentale, une transformation spéciale unitaire s’exprime par une matrice 3 × 3 de déterminant +1 qui conserve la norme, qui peut s’écrire

𝑈 = exp(−𝐼 𝜗 𝜆)) ,

(4.31)

où 𝜆 est un opérateur hermitien de trace nulle, et on choisit en général pour ces générateurs 𝜆 une base appropriée à l’isospin comme sous-groupe, soit

−𝑖 0 0

0 © 𝜆 1 = ­1 «0

1 0 0

0 ª 0® , 0¬

0 © 𝜆2 = ­ 𝑖 «0

0 © 𝜆 4 = ­0 «1

0 0 0

1 ª 0® , 0¬

0 © 𝜆 7 = ­0 «0

0 0 𝑖

0 ª −𝑖 ® , 0¬

−𝑖 0 © ª 0 ® , 𝜆 6 = ­0 0¬ «0 1 0 0 1 © ª 𝜆 8 = √ ­0 1 0 ® 3 0 0 −2 « ¬ 0 © 𝜆 5 = ­0 «𝑖

0 ª 0® , 0¬

1 © 𝜆 3 = ­0 «0

0 0 0

0 −1 0 0 0 1

0 ª 0® , 0¬ 0 ª 1® , 0¬

(4.32)

On voit que 𝜆3 , 𝜆8 et 𝐶2 = 8𝑖=1 𝜆2𝑖 commutent. Leurs valeurs propres sont choisies pour identifier les états de base. √ Plus précisément, on remplace 𝜆8 par l’étrangeté S = ( 3 𝜆8 − 1)/3 qui vaut 0 pour les deux premiers états et −1 pour le troisième.

P

Les relations de commutation des 𝜆 𝑖 sont notées

[𝜆 𝑎 , 𝜆𝑏 ] = 𝑖 𝑓𝑎𝑏𝑐 𝜆 𝑐 ,

(4.33)

où le tenseur 𝑓 𝑎𝑏𝑐 , antisymétrique, généralise le 𝜖 𝑎𝑏𝑐 de SU(2), et contient les constantes de structure de SU(3). On peut réaliser (4.35) avec d’autres ensembles de 8 générateurs, dans des espaces de dimension 𝑛 , ce qui réalise une représentation de dimension 𝑛 de SU(3). Les représentations les plus utilisées sont la représentation fondamentale 3, la conjuguée 3¯ (qui n’est pas ¯ 8, 10, 10 ¯ et 27. De équivalente), les représentations 6, 6, même qu’on peut, en principe, générer n’importe quelle représentation de SU(2), disons celle d’isospin 𝐼 , en couplant avec elle-même la représentation fondamentale d’isospin 1/2, on peut construire toute représentation

4.A SU(2) et SU(3)

67

de SU(3) en couplant 𝑝 fois la fondamentale 3 et 𝑞 fois ¯ La dimension de la représentation (𝑝, 𝑞) sa conjuguée 3. est

𝑑(𝑝, 𝑞) =

1 (𝑝 + 1)(𝑞 + 1)(𝑝 + 𝑞 + 2) . 2

(4.34)

Voici quelques règles de composition utiles :

3 ⊗ 3 ⊗ 3 = 1 ⊕ 8 ⊕ 80 ⊕ 10 , 3 ⊗ 3¯ = 1 ⊗ 8 , ¯ ⊕ 27 . 6 ⊗ 6¯ = 1 ⊕ 8 ⊕ 27 , 8 ⊗ 8 = 1 ⊕ 8 ⊕ 8 ⊕ 10 ⊕ 10

3 ⊗ 3 = 3¯ ⊕ 6 , 3 ⊗ 6 = 8 ⊕ 10 ,

(4.35)

Il y a eu un peu de flottement dans les conventions de phase pour les coefficients de couplage. Le site [17] issu de l’article [18] permet d’obtenir les couplages et les coefficients de Clebsch-Gordan. Pour les modèles de quarks, on a besoin des éléments de matrice des opérateurs

𝜆˜ 𝑖 .𝜆˜ 𝑗 =

8 X

𝑎=1

𝜆 𝑎,𝑖 𝜆 𝑎,𝑗 ,

(4.36)

où l’indice 𝑖 ou 𝑗 dénote la 𝑖 e ou 𝑗 e particule et le « tilde » est un raccourci pour les 8 composantes du générateur. On utilise l’identité 2 𝜆˜ 𝑖 .𝜆˜ 𝑗 = (𝜆˜ 𝑖 + 𝜆˜ 𝑗 )2 − 𝜆˜ 2𝑖 1 𝑗 − 1𝑖 𝜆˜ 2𝑗

(4.37)

pour se ramener à une combinaison d’opérateurs de Casimir 𝐶1 = 𝜆˜ 2 . On montre que

𝐶1 =

4 2 (𝑝 + 𝑞 2 + 3 𝑝 + 3 𝑞 + 𝑝𝑞) , 3

(4.38)

avec quelques exemples dans la table 4.1. Table 4.1 : Valeur de l’opérateur de Casimir 𝐶1 pour les représentations les plus utilisées de SU(3).

Représentation

1

3

3¯

6

6¯

8

10

27

Casimir

0

16 3

16 3

40 3

40 3

12

24

32

68

4 Symétries

Exercices 36. Montrer que pour l’atome de positonium dans un état de moment orbital ℓ et de spin 𝑆 , 𝐶 = (−1)ℓ +𝑆 . Peut-on appliquer cette relation à d’autres systèmes binaires ? 37. Pourquoi, si un état du positonium se désintègre en 3 photons, la désintégration en un seul photon, 𝑒 + + 𝑒 − → 𝛾 , n’est-elle pas possible dans le vide ? 38. Pourquoi cette réaction est-elle possible lorsque l’électron est lié dans un atome ? 39. Montrer que exp(−𝑖 𝜋 𝐼2 ) |𝐼, 0i = (−1)𝐼 |𝐼, 0i . 40. Établir l’action de 𝐶 et 𝐺 sur les états (4.8). 41. On décrit l’interaction entre deux électrons, à l’ordre le plus bas de QED, comme le processus 𝑒 − + 𝑒 + → 𝛾 → 𝑒 − + 𝑒 + , et l’interaction électron-positron, comme 𝑒 − + 𝑒 + → 𝛾 → 𝑒 + + 𝑒 − . Retrouver la règle habituelle qui relie les deux amplitudes entre elles. 42. Chercher sur internet les articles historiques de Fermi et Yang, et de Lee et Yang sur l’interaction nucléon-antinucléon dans le modèle de Yukawa, avec des mésons échangés comme médiateurs de l’interaction. Retrouver la règle qui relie les contributions à 𝑁 𝑁 et à 𝑁 𝑁 selon la 𝐺 -parité du méson échangé. Montrer qu’il n’y a pas de contradiction entre la règle reprise de la QED : « l’amplitude d’échange du 𝜋0 dans la diffusion 𝑝𝑝 élastique et la diffusion 𝑝 𝑝¯ élastique sont les mêmes, car le 𝜋0 a une conjugaison de charge 𝐶 = +1 », et la règle de Fermi-Yang : « pour un isospin total donné, les amplitudes d’échange d’un pion sont opposées dans 𝑁 𝑁 et 𝑁 𝑁 , car le pion a une 𝐺 -parité 𝐺 = −1. » 43. Exprimer les différents états de charge pion-nucléon comme combinaisons d’états d’isospin total donné. En déduire (4.3) et (4.5). Quelles seraient les relations entre sections efficaces dans une région d’énergie dominée par une résonance d’isospin 1/2 ? 44. Un modèle de quarks très simple pour les baryons consiste en des masses P constituantes et un potentiel 𝑉 = 𝑎 𝑟 𝑖𝑗 . La constante 𝑎 est telle que pour trois quarks de masse 𝑚 = 0 , 3 GeV l’énergie du fondamental est 𝐸 = 0 , 4 GeV. - Quelle sera l’énergie pour trois quarks de masse 0 , 6 GeV ? - Quelle sera la meilleure approximation pour des quarks de masse {0 ,290 , 0,290 , 0,300} ? 45. Calculer la constante de structure 𝑓458 de SU(3) en utilisant la représentation fondamentale, et vérifier sur cet exemple le caractère antisymétrique. 46. Retrouver la formule de Gell-Mann–Okubo en partant d’une brisure de la symétrie SU(3) de la forme 𝑀 = 𝑀0 + 𝛼 𝑌 + 𝛽(𝐼(𝐼 + 1) − 𝑌 2 ) où 𝐼 est l’isospin du baryon de spin 1/2, et 𝑌 son hypercharge donnée par 𝑌 = S + 𝐵, S étant l’étrangeté et 𝐵 = +1 le nombre baryonique. 47. On considère un modèle très simple des baryons (en anticipant un peu sur

Références

69

le chapitre 6), où la masse de l’état fondamental est la somme des masses effectives des quarks qui incluent leur énergie de liaison chromoélectrique, et d’une correction chromomagnétique, soit

M(𝑚1 , 𝑚2 , 𝑚3 ) =

3 X

𝑖=1

𝑚𝑖 + 𝑎

X 𝝈 𝑖 .𝝈 𝑗 𝑖 0, on retrouve l’équation de l’atome d’hydrogène. Après un changement d’échelle (voir exercice) d’énergie 𝐸 = 𝑚 ~2 𝑎 2 𝜖 et de distance 𝑟 = 𝑥/(𝑚 ~2 𝑎), le problème Coulombien se ramène à

−𝑣 00(𝑥) + ℓ (ℓ + 1) 𝑣(𝑥)/𝑥 2 − 𝑣(𝑥)/𝑥 = 𝜖 𝑣(𝑥) ,

(5.3)

où 𝑣(𝑥) doit s’annuler à 𝑥 = 0 et +∞, avec pour solution 𝜖 𝑛,ℓ = −1/(4(𝑛 + ℓ )2 ), où ℓ = 0 , 1 . . . est le moment

5.3 Rappels sur l’équation de Schrödinger

75

orbital et 𝑛 = 1 , 2 . . . le nombre radial. Les fonctions d’onde, de la forme

𝑣 𝑛,ℓ (𝑥) = 𝑥ℓ +1 exp[−𝑥/(2(𝑛 + ℓ ))] L𝛼 (𝑥) ,

(5.4)

contiennent une exponentielle et un polynôme de Laguerre L𝛼 , par exemple 𝑣 0,1 (𝑥) ∝ 𝑥 exp(−𝑥/2). Le spectre, représenté à gauche de la Fig. 5.3, exhibe la dégénérescence coulombienne caractéristique 𝜖 2S = 𝜖 1P , 𝜖 3S = 𝜖 2P = 𝜖1D , etc. Le potentiel 𝑉(𝑟) = 𝑘 𝑟 , avec 𝑘 > 0, décrit un oscillateur spatial. Le changement d’échelle 𝐸 = 𝜖 (𝑘/𝑚)1/2 et 𝑟 = 𝑥 (𝑚 𝑘)−1/4 donne l’équation standardisée 2

−𝑣 00(𝑥) + ℓ (ℓ + 1) 𝑣(𝑥)/𝑥 2 + 𝑥 2 𝑣(𝑥) = 𝜖 𝑣(𝑥) ,

(5.5)

associée aux mêmes conditions limites 𝑣(0) = 𝑣(+∞) = 0, de valeurs propres 𝜖 𝑛,ℓ = 4 𝑛 + 2 ℓ − 1, et des fonctions radiales qui associent une gaussienne et un polynôme de Hermite, par exemple, 𝑣 2S (𝑥) ∝ 𝑥(2 − 3 𝑥 2 ) exp(−𝑥 2 /2). Comme le montre la partie droite de la Fig. 5.3, on a un nouveau type de dégénérescence et équidistance, 𝜖 2S = 𝜖 1D , 𝜖 2P = 𝜖 1F , 𝜖 1P = (𝜖 1S + 𝜖 2S )/2. Un 3e cas particulier, intéressant pour le modèle du quarkonium, est celui d’un potentiel linéaire 𝑉(𝑟) = 𝑏 𝑟 , qui est soluble analytiquement pour ℓ = 0. Après une transformation d’échelle, l’équation radiale des états 𝑠 se ramène à

−𝑣 00(𝑥) + 𝑥 𝑣(𝑥) = 𝜖 𝑣(𝑥) ,

𝑣(0) = 𝑣(+∞) = 0 , (5.6)

qui est en fait une translation de l’équation d’Airy [10], 𝑦 00(𝑢) = 𝑢 𝑦(𝑢), 𝑦(+∞) = 0, souvent utilisée en optique.

On peut aussi résoudre l’oscillateur spatial en coordonnées cartésiennes, avec un accès plus rapide aux énergies propres et à leur dégénérescence, mais on obtient une base d’états propres qui n’ont pas de moment orbital bien défini.

76

5 Le quarkonium

E n=3 n=2

−

E

−0,10−

−

−

5−

−0,20−

N =2

7−

N =1

−

n=1

−

ℓ=0

ℓ=1

ℓ=2

3−

ℓ=0

ℓ=1

ℓ=2

N =0

Figure 5.3 : Spectre coulombien (à gauche) et harmonique (à droite) en unités ajustées pour un espacement 𝜖2S − 𝜖1S donné.

5.4 Conséquences de l’indépendance de saveur Quand la masse augmente, toutes choses égales par ailleurs, les énergies diminuent (voir exercice 49). Si on compare d’une part 𝜙 , 𝜙0 décrits comme des états liés 𝑠 𝑠¯ et leur seuil permis par la règle de Zweig 𝐾𝐾 , d’autre part 𝐽/𝜓 , 𝜓0 . . . et leur seuil de Zweig 𝐷𝐷 , et encore Υ, Υ0 . . . et leur seuil de Zweig 𝐵 𝐵¯ , on constate que l’énergie des mésons avec saveur 𝐾 , 𝐷 , 𝐵, évolue peu, car la masse réduite est dominée par le quark léger, tandis que la masse réduite des quarkonia augmente de manière significative. Cela signifie que quand 𝑚𝑄 croît, le quarkonium 𝑄𝑄 est de plus en plus lié par rapport à son seuil de Zweig. Et c’est bien ce qui est constaté, avec le 𝜙 légèrement en dessus du seuil 𝐾𝐾 , deux niveaux 𝑛 𝑆 du charmonium, 𝐽/𝜓 et 𝜓0 sous le seuil de Zweig 𝐷𝐷 , et trois états S du bottomonium sous le seuil de Zweig 𝐵 𝐵¯ . Ce qui est moins évident, c’est comment évolue l’espacement entre les niveaux quand la masse 𝑚 du quark lourd varie. Pour un potentiel coulombien, les écarts entre niveaux augmentent comme 𝑚 . Pour un potentiel linéaire, ils diminuent comme 𝑚 −1/3 (voir exercice 49). On raconte qu’en 1977, quand Lederman découvrit à Fermilab le Υ et un embryon du Υ0 [11], et constata que Υ0 − Υ ' 𝜓0 − 𝐽/𝜓 , il s’enquit auprès des théoriciens locaux quel potentiel assure que les espacements de niveaux sont indépendants de la masse réduite, et

5.5 Ordre des niveaux

que Quigg et Rosner aient fourni immédiatement la réponse [12] : un potentiel logarithmique (voir exercice 49). Ce qui est cruel, c’est que d’autres théoriciens avaient déjà considéré un potentiel logarithmique pour étudier le charmonium et anticiper les niveaux du bottomonium, mais n’avaient pas noté explicitement cette propriété ! On peut raffiner et chercher comment l’énergie de liaison s’interpole quand on calcule un quarkonium milourd 𝑄 𝑞¯ intermédiaire entre un lourd 𝑄𝑄 et un 𝑞 𝑞¯ moins lourd. La réponse (voir exercice) est 2 𝑄 𝑞¯ ≥ 𝑄𝑄 + 𝑞 𝑞¯ ,

(5.7)

pour les énergies du fondamental et donc pour les masses correspondantes (voir exercice).

5.5 Ordre des niveaux Dans le potentiel coulombien, l’état 1P (dans nos notations) est dégénéré avec l’excitation radiale 2S, et dans un puits harmonique, il est à mi-distance de 1S et 2S. Logiquement, avec un potentiel comme (5.1), on trouve l’état 1P entre 1S et 2S, mais plus près de 2S. De même, le premier état ℓ = 2, soit 1D, est au-dessus de 2S dans le cas coulombien, et dégénéré avec 2S dans le cas harmonique. Avec un potentiel comme (5.1), l’état 1D est sans surprise un peu au-dessus de 2S. Le spectre du quarkonium a stimulé des travaux de physique mathématique sur les conditions à satisfaire pour obtenir telle ou telle hiérarchie de niveaux. Voir le livre de Martin et Grosse [4]. Donnons un exemple de condition suffisante : selon Δ𝑉(𝑟) ≷ 0, c’est-à-dire (𝑟 𝑉)00 ≷ 0, alors 𝐸(2P) ≶ 𝐸(2S) et plus généralement 𝐸(𝑛, ℓ ) ≶ 𝐸(𝑛+1 , ℓ −1). Ce résultat, d’abord démontré au premier ordre des perturbations puis de manière non perturbative, indique comment est brisée la dégénérescence coulombienne.

77

78

5 Le quarkonium

Une raison moins rigoureuse mais plus physique est que l’état 1P est plus extérieur, à cause de la barrière centrifuge et ne sent pratiquement pas les couches internes, tandis que l’état 2S voit de temps en temps une charge moins écrantée, et est donc tiré vers le bas.

Voir la section sur les atomes exotiques dans le chapitre sur les interactions électromagnétiques : les électrons sont en général éjectés lors de la capture du muon, ou bien orbitent loin du noyau et du muon, et ne jouent pratiquement aucun rôle. On a donc un système noyaumuon.

Ce théorème inspiré par le quarkonium a trouvé d’autres applications. Pour un atome alcalin, l’électron périphérique subit à grande distance un potentiel coulombien avec Δ𝑉(𝑟) = 0, mais quand il pénètre les couches profondes, le potentiel électrostatique a un laplacien positif d’après la loi de Poisson, donc Δ𝑉 < 0 pour le potentiel 𝑉(𝑟) = −𝑒 𝑣(𝑟), et donc 𝐸(2P) > 𝐸(2S), ce qui est bien observé. À l’opposé, dans un atome muonique, le muon pénètre un peu le noyau et donc le laplacien du potentiel évolue de Δ𝑉 = 0 à l’extérieur à Δ𝑉 > 0 à l’intérieur, ce qui explique l’observation que 𝐸(1𝑃) > 𝐸(2𝑆).

5.6 Fonction d’onde à l’origine L’évaluation de la désintégration du charmonium en leptons, à l’inverse de sa formation dans les collisions 𝑒 + 𝑒 − , de certains modes faibles de 𝑏 𝑐¯ ou des corrections hyperfines demandent la connaissance de la fonction d’onde à l’origine |𝜓(0)| 2 des états S, ou de |𝑢 0(0)| 2 = 4 𝜋 |𝜓(0)| 2 si on a introduit la fonction d’onde radiale réduite 𝑢(𝑟). Dans le cas d’un potentiel linéaire, on constate (voir exercice) que |𝜓(0)| 2 est le même pour toutes les excitations radiales. On démontre [4] que la quantité |𝜓(0)| 2 augmente avec le nombre radial 𝑛 si 𝑉 00(𝑟) > 0, et diminue si 𝑉 00(𝑟) < 0. Pour un potentiel purement coulombien, la dépendance par rapport à 𝑛 est en 𝑛 −3 . Pour un potentiel (5.1), on a une faible décroissance.

À ma connaissance, Schwinger n’a jamais publié ce résultat, mais il en a parlé à ses collègues et ses élèves, qui l’ont propagé. Voir par exemple [2].

Dans la pratique des modèles de potentiels, on utilise souvent des approximations variationnelles. Par exemple, la fonction d’onde est décrite par un petit P nombre de gaussiennes, soit 𝜓 = 𝑖 𝛾𝑖 exp(−𝑎 𝑖 𝑟 2 /2). L’ajustement des paramètres donne rapidement une valeur précise des valeurs propres, mais l’approche est plus laborieuse pour la fonction d’onde à l’origine. La règle de Schwinger (voir exercice) permet d’améliorer la convergence, en remplaçant la lecture de la fonction d’onde variationnelle en un seul point par une moyenne sur l’étendue de la fonction d’onde.

5.7 Corrections dépendant du spin

On retrouve ce problème en physique atomique, pour l’évaluation des corrections hyperfines ou d’effets de violation de la parité, qui exigent la connaissance des termes de contact h𝛿 (3) (𝒓 𝑖𝑗 )i entre électrons. Des généralisations de la règle de Schwinger permettent une amélioration sensible de la précision sur le calcul de ces coefficients de corrélation.

5.7 Corrections dépendant du spin Dès l’analyse des premières données du charmonium, les corrections dues au spin ont été discutées, avec un formalisme inspiré de la physique du positonium ou de l’interaction nucléon-nucléon [1].

États S Pour les états S, une interaction hyperfine, dans le langage de la physique atomique, ou une force spin-spin dans celui de la physique nucléaire, sépare le spin triplet du spin singulet. Un article assez fameux [13] formalisa l’analogie entre les écarts hyperfins des hadrons et l’interaction de Breit-Fermi en physique atomique, avec des idées semblables dans d’autres articles. À la limite où ce terme hyperfin est traité de manière perturbative, il est écrit comme 𝑉SS 𝝈 1 .𝝈 2 , avec

𝑉SS =

𝐴SS (3) 𝛿 (𝒓) , 𝑚1 𝑚2

(5.8)

avec 𝑚1 = 𝑚2 = 𝑚 𝑐 pour le charmonium. On montre facilement que 𝝈 1 .𝝈 2 = −3 pour 𝑆 = 0 et +1 pour 𝑆 = 1. En QED, 𝐴SS est relié à l’intensité 𝑎 du potentiel coulombien. Si on impose la même relation entre 𝐴SS et 𝑎 pour le charmonium, on trouve que 𝐽/𝜓 − 𝜂 𝑐 ∼ 100 MeV, où 𝜂 𝑐 est l’état singulet partenaire du triplet 𝐽/𝜓 . On peut aussi considérer 𝐴𝑆𝑆 comme un paramètre indépendant. Un premier candidat pour le 𝜂 𝑐 fut trouvé avec une masse 300 MeV/𝑐 2 en dessous du 𝐽/𝜓 , qui laissa la plupart des physiciens sceptiques et entraîna certains

79

80

5 Le quarkonium

autres dans des spéculations hasardeuses. Mais cet état n’a pas été confirmé, et celui qui est maintenant bien établi, avec 𝐽/𝜓−𝜂 𝑐 ' 120 MeV/𝑐 2 , est mieux compris. Pour le niveau 2S, une évaluation pertubative de (5.8) donne 𝜓0 − 𝜂0𝑐 |𝜓1S (0)| 2 = , (5.9) 𝐽/𝜓 − 𝜂 𝑐 |𝜓2S (0)| 2 rapport qui dépend de la forme du potentiel central d’où sont extraites les fonctions d’onde à l’origine. L’équation (5.9) tend à sur-estimer un peu la valeur expérimentale 𝜓0 −𝜂0𝑐 = 47 MeV [7]. Une des raisons est le couplage aux voies virtuelles de désintégration, en particulier 𝐷𝐷 , dont le seuil est le plus proche. Le couplage 𝜂0𝑐 𝐷𝐷 est interdit par parité. Mais le couplage 𝜓0 𝐷𝐷 est permis et « pousse » le 𝜓0 vers le bas, réduisant ainsi l’écart 𝜓0 − 𝜂0𝑐 . Une caractéristique intéressante du modèle hyperfin (5.8) est la dépendance en 1/(𝑚1 𝑚2 ), dont les conséquences ont été étudiées au-delà des quarkonia lourds. ¯ , la fonction d’onde reste pratiPour un système (𝑄 𝑢) quement la même si on passe de 𝑄 = 𝑐 à 𝑄 = 𝑏 , et on prédit que le rapport des écarts hyperfins 𝐵∗ − 𝐵 et 𝐷 ∗ − 𝐷 est à peu près égal au rapport inverse des masses des quarks 𝑏 et 𝑐 . Pour comparer l’écart Υ − 𝜂𝑏 à 𝐽/𝜓 − 𝜂 𝑐 , il faut tenir compte de la modification de la fonction d’onde. Dans un potentiel central donné, des quarks plus lourds sont plus liés et ont une fonction d’onde plus compacte. Pour un potentiel en 𝑟 𝛽 , on peut calculer le facteur d’échelle qui s’applique aux fonctions d’onde en fonction du rapport des masses. Par exemple, pour un potentiel √ logarithmique, les distances varient comme 1/ 𝑚 , donc le rapport des fonctions d’onde carrées à l’orgine est (𝑚𝑏 /𝑚 𝑐 )3/2 et donc

Υ − 𝜂𝑏 𝑚𝑐 = 𝑚𝑏 𝐽/𝜓 − 𝜂 𝑐



 1/2

,

(5.10)

d’où en partant de 𝐽/𝜓 − 𝜂 𝑐 = 113 MeV, la prédiction Υ − 𝜂𝑏 ' 65 MeV si on prend 𝑚𝑏 /𝑚 𝑐 = 3, ce qui n’est pas si mal, comparé à la valeur expérimentale 62 ,3 ± 3 ,2 MeV. À ce niveau de précision, il y a toutes sortes de

5.7 Corrections dépendant du spin

corrections : étalement spatial du potentiel spin-spin pas forcément de portée nulle, traitement non perturbatif de la force spin-spin, etc.

États P Pour séparer les trois états P avec spin triplet, 3 P0 , 3 P1 et 3 P2 , et l’état singulet 1 P1 , on introduit les termes dépendant du spin

𝑉SD = 𝑉SS 𝝈 1 .𝝈 2 + 𝑉LS 𝑳.𝑺 + 𝑉T 𝑆12 + · · · 𝑆12 = 3 𝝈 1 . 𝑟ˆ 𝝈 2 . 𝑟ˆ − 𝝈 1 .𝝈 2 ,

(5.11)

avec des opérateurs spin-spin, spin-orbite et tenseur, respectivement. Si on traite ces corrections au premier ordre (voir en exercice le calcul des éléments de matrice des opérateurs), on obtient dans le secteur triplet

𝑀(𝜒0 ) = 𝑀0 − 2 h𝑉LS i − 4 h𝑉T i , 𝑀(𝜒1 ) = 𝑀0 −

h𝑉LS i + 2 h𝑉T i ,

𝑀(𝜒2 ) = 𝑀0 +

h𝑉LS i − 2 h𝑉T i /5 ,

(5.12)

et un ajustement des masses expérimentales donne les valeurs moyennes

h𝑉LS i = 35 ,

h𝑉T i = 10 MeV ,

(5.13)

et un centre de gravité

𝑀(𝜒0 ) + 3 𝑀(𝜒1 ) + 5 𝑀(𝜒2 ) = 3 525 MeV , 9 (5.14) qui coïncide remarquablement avec le ℎ 𝑐 (1 P1 ) de masse 3 525 MeV. C’est un effet de compensation entre différentes corrections : 𝑀0 =

a) le potentiel spin-spin a une portée finie, au contraire de la limite de portée nulle (5.8), ce qui donne une petite contribution pour les états P, b) la masse triplet de référence est supérieure au centre de gravité (5.14) si on inclut les corrections de spin au-delà du 1er ordre. Si en effet on prend

81

82

5 Le quarkonium

un hamiltonien qui dépend linéairement d’un paramètre, soit 𝐻(𝜆) = 𝐻0 + 𝜆 𝐻1 , l’énergie du fondamental 𝐸(𝜆) est une fonction concave [14], avec par exemple 2 𝐸(0) ≥ 𝐸(−1) + 𝐸(+1). On généralise facilement à deux paramètres, et pour la masse 𝑀(𝑥 LS , 𝑥 T ) issue du fondamental de 𝐻0 + 𝑥LS 𝑉LS + 𝑥T 𝑉T , on a

𝑀(0, 0) ≥

𝑀(𝜒0 ) + 3 𝑀(𝜒1 ) + 5 𝑀(𝜒2 ) , (5.15) 9

c) Les corrections relativistes, les composantes multiquark de la fonction d’onde, dues notamment au couplage aux voies 𝐷𝐷 , 𝐷𝐷 ∗ . . . n’affectent pas le ℎ 𝑐 et les triplets 𝜒𝐽 de la même façon.

Mélange orbital Dans le cas des états de parité naturelle, 𝑃 = (−1)𝐽 , il y a un mélange entre l’onde ℓ = 𝐽 − 1 et l’onde ℓ = 𝐽 + 1 induit par le potentiel tenseur. Pour 𝐽 = 1, les équations sont identiques à celles de Rarita et Schwinger [15] qui régissent le deutéron en physique nucléaire, à savoir

𝑢(𝑟) 3 𝑤(𝑟) 3 | S1 i + | D1 i , 𝑟 𝑟 √ − 𝑢 00(𝑟) + 𝑉1 (𝑟) 𝑢(𝑟) + 8 𝑉T (𝑟) 𝑤(𝑟) = 𝐸 𝑢(𝑟) , 6 −𝑤 00(𝑟) + 2 𝑤(𝑟) + 𝑉1 (𝑟) 𝑤(𝑟) − 3 𝑉LS (𝑟) 𝑤(𝑟) 𝑟 √ − 2 𝑉T (𝑟) 𝑤(𝑟) + 8 𝑉T (𝑟) 𝑢(𝑟) = 𝐸 𝑤(𝑟) , 𝜓=

(5.16)

où 𝑉1 = 𝑉𝑐 + 𝑉SS est le potentiel central-triplet. La dynamique du mélange S-D est certainement assez délicate, et il y a probablement d’autres contributions, comme le passage par des mésons charmés, 3 S1 ↔ ¯ ↔ 3 D1 , mais, avant de chercher des améliorations, 𝐷𝐷 il faut commencer par résoudre correctement (5.16), ce qui n’est malheureusement pas toujours le cas dans la littérature. Par exemple, pour le premier état D, un

5.8 Production et désintégration

83

développement perturbatif de la composante S

√

𝑢(𝑟) '

X h𝑢𝑛(0) | 8 𝑉T |𝑤1(0) i 𝑛≥ 1

(0) 𝐸𝑛,0

−

(0) 𝐸1 , 2

(0)

𝑢𝑛 (𝑟)

(5.17)

est probablement justifié, mais la restriction à 𝑛 = 2 ne l’est pas forcément. Le dénominateur est favorable pour 𝑛 = 2, mais le numérateur l’est pour 𝑛 = 1. En physique atomique, quand on calcule la déformation quadrupolaire du muonium, on doit sommer toute la série, qui s’étend aussi aux états du continu.

5.8 Production et désintégration Beaucoup d’autres propriétés ont été étudiées, et mériteraient d’être discutées en détail dans un livre consacré uniquement au quarkonium. Voici un très bref aperçu. Le couplage aux paires électron-positon ou muonantimuon permet la détection du quarkonium. C’est une technique très éprouvée, et couramment on étudie des collisions avec un filtre (trigger en anglais) sur la présence du 𝐽/𝜓 dans l’état final. Les collisions frontales 𝑒 + + 𝑒 − → 𝑄𝑄 restent le moyen privilégié de la production et de l’étude du quarkonium. Le taux de production dans 𝑒 + 𝑒 − et la largeur de désintégration en une paire de leptons ℓ −ℓ + sont proportionnels à 2 𝑒𝑄 |Φ(0)| 2 ,

(5.18)

où 𝑒𝑄 est la charge du quark et Φ(0) la fonction d’onde à l’origine, avec un mécanisme qui passe par la production d’un photon virtuel intermédiaire. Voir Fig. 5.4. Les transitions radiatives (𝑄𝑄)∗∗ → (𝑄𝑄)∗ + 𝛾 sont très analogues à celles qui sont observées entre niveaux d’énergie d’un atome ou entre états excités d’un noyau. Les largeurs donnent des informations sur le rayon des états qui entrent en jeu. La production de charmonium dans les collisions protonantiproton a été observée dans l’expérience R704 au CERN puis les expériences E760/785 à Fermilab. De

ℓ−

Q γ ¯ Q

ℓ+

Figure 5.4 : Couplage d’un quarkonium vectoriel à une paire de leptons par l’intermédiaire d’un photon virtuel.

84

5 Le quarkonium

nos jours, on commence à utiliser la désintégration 𝑄𝑄 → 𝑝 𝑝¯ pour détecter le quarkonium. Comprendre comment s’opère la transition entre 𝑄𝑄 et 𝑝 𝑝¯ est beaucoup plus délicat que pour le couplage aux paires de leptons. Les premières estimations étaient basées sur la théorie des perturbations en QCD. Voir par exemple [16]. Mais la production des pseudo-scalaires 𝜂 𝑐 ou 𝜂 𝑐 (2𝑆) est restée inexpliquée. Q

q q¯ g

¯ Q

q q¯

Figure 5.5 : La désintégration d’un quarkonium 𝑄𝑄 singulet de couleur en mésons légers ne peut se faire par annihilation en un seul gluon, qui est octet de couleur.

q¯ Q

q¯ q

g

¯ Q q

q¯ q

Figure 5.6 : Une petite composante 𝑄 𝑞¯ 𝑄 𝑞 dans le quarkonium 𝑄𝑄 peut autoriser une annihilation en un seul gluon.

Une question récurrente est celle de la “pureté” du contenu en quarks. D’un côté, c’est la pureté du contenu 𝑄𝑄 qui explique la règle de Zweig : le mécanisme à un seul gluon (Fig. 5.5) est interdit, ce qui explique que les états sous le seuil sont étroits. D’un autre côté, le mélange 𝑄𝑄 ↔ 𝑄 𝑞𝑄 𝑞¯ (voir Fig. 5.6) est invoqué pour expliquer les écarts fins ou hyperfins, le mélange 𝑆 − 𝐷 des états 𝐽 𝑃𝐶 = 1−− , certains rapports de branchement dans la désintégration, etc. Précisément, l’étude des voies de désintégration des états 𝑄𝑄 en mésons légers a fait l’objet d’innombrables études. Ne citons que deux exemples. Les collaborations DM2 à Orsay [17], MarkIII à SLAC [18], et d’autres ensuite, ont étudié le rapport

𝑟= c

φ

c¯

X

Figure 5.7 : Le diagramme pour la désintégration en 𝜙 + 𝑋 est doublement non connexe si 𝑋 est un méson ordinaire. On dit qu’il y a une double suppression de Zweig.

c

ω

c¯

X

Figure 5.8 : Le diagramme pour la désintégration en 𝜔 + 𝑋 est simplement non connexe si 𝑋 est un méson ordinaire.

𝐽/𝜓 → 𝑋 + 𝜙 , 𝐽/𝜓 → 𝑋 + 𝜔

(5.19)

en fonction de la masse et des nombres quantiques de l’état de mésons 𝑋 . En général le rapport est petit, et si 𝑋 est un méson 𝑞 𝑞¯ avec 𝑞 = 𝑢, 𝑑 , le diagramme de production du 𝜙 = 𝑠 𝑠¯ est interdit par la règle de Zweig. Voir Figs. 5.7 et 5.8 . Mais si 𝑋 est un scalaire de masse environ 1 GeV, il contient une forte composante 𝑞𝑠 𝑞¯ 𝑠¯ et la réaction 𝐽/𝜓 → 𝑋 + 𝜙 ne viole pas la règle de Zweig. Voir Fig. 5.9. On observe effectivement un renforcement du rapport (5.19) dans ces cas-là. On a également tiré parti des modes impliquant une paire baryon-antibaryon. La transition 𝑐 𝑐¯ ↔ 𝑝 𝑝¯ vient d’être discutée. On a aussi mesuré les voies 𝐽/𝜓 → 𝑌𝑌¯ , où 𝑌 est un hypéron Λ ou Σ. Les rapports de branchement sont remarquablement proches de celui de 𝑝 𝑝¯ , surtout après correction du facteur d’espace de phase, ce qui montre que la symétrie de saveur

5.9 Le quarkonium par les règles de somme de QCD

85

SU(3) est ici bien respectée. Noter que l’étude des voies 𝐽/𝜓 → 𝑁 ∗ 𝑁¯ (ou conjugué) permet de vérifier le spectre des nucléons excités 𝑁 ∗ obtenu par d’autres voies. Dans le cas du Υ, on couvre une gamme beaucoup plus étendue du spectre des baryons. c

La production de charmonium à très haute énergie dans les collisions hadroniques a donné lieu à des mesures très détaillées, et à une floraison d’études théoriques. Les modèles impliquent un mélange subtil d’aspects perturbatifs et non perturbatifs, et pour ces derniers, les fonctions de structure que nous retrouverons dans un chapitre ultérieur. Voir [19] pour une introduction à la très riche bibliographie.

5.9 Le quarkonium par les règles de somme de QCD Le 24 juillet 1978, ont été soumis à la revue Nuclear Physics B trois articles signés par M.A. Shifman, A.I. Vainshtein et V.I. Zakharov. L’éditeur en chef, Hector Rubinstein a été tellement impressionné qu’il a décidé de consacrer une livraison de la revue à ces trois contributions, qui sera le numéro 5 du volume 147 [20-22]. Cette nouvelle approche, vite baptisée SVZ, puis renommée « méthode des règles de somme de QCD », a effectivement eu un impact dans la communauté. Plusieurs théoriciens quittèrent leurs travaux en cours pour travailler sur la méthode SVZ, y compris Rubinstein lui-même, qui écrivit une revue très intéressante avec Reinders et Yazaki [23]. Pour une revue plus récente, on pourra se reporter au livre de Narison [24]. L’idée de base est d’étudier un opérateur ayant les nombres quantiques du hadron considéré, de superposer les contributions perturbatives calculables en QCD et les termes non perturbatifs paramétrisée empiriquement, mais qu’on retrouve pour d’autres hadrons. Les premières études de SVZ portaient sur les hadrons légers, mais très vite les états du charmonium ont été ajoutés [23]. L’état fondamental est accessible d’abord :

c¯

φ X

Figure 5.9 : Le diagramme pour la désintégration en 𝜙 + 𝑋 est simplement non connexe si 𝑋 est un tétraquark 𝑞𝑠 𝑞¯ 𝑠¯ .

Hector Rubinstein (1933-2009) avait une personnalité hors du commun. Il a contribué à tous les grands développements de la physique des particules. Par excès d’enthousiasme, il était parfois un peu agressif dans les discussions, et assumait sans vergogne une mauvaise foi un peu caricaturale. Quand on lui opposait un article contredisant son affirmation, il n’hésitait pas à dire, à court d’arguments, “who believes these peoples ?”. Il revendiquait son origine juive, mais aussi son orientation à gauche, et il était très critique, déjà à l’époque, vis-à-vis de la politique d’Israël, qu’il avait quitté pour la Suède. On imagine ce qu’il dirait de nos jours ! Il s’agit de S. Yazaki, à ne pas confondre avec K. Yazaki, qui s’est illustré, entre autres, par ses travaux sur les hadrons exotiques. Stéphane Narison est un physicien du CNRS, d’origine malgache, qui, entre autres choses, a initié la série de conférences QCD à Montpellier, et plus récemment, de conférences de physique des hautes énergies à Madagascar.

86

5 Le quarkonium

Table 5.1 : Masses (en GeV) des premiers états du charmonium, rapportées par [23].

1

S0

3 , 00 ± 0 , 02

3

S1

3 , 09 ± 0 , 02

3

P0

3 , 40 ± 0 , 01

1

3

P1

3 , 51 ± 0 , 01

P1

3 , 50 ± 0 , 02

3

P2

3 , 57 ± 0 , 02

si une fonction 𝜚 𝑠 a des pôles en 𝑠 1 < 𝑠 2 < . . ., une intégrale comme

𝐹(𝛼) =

∫

∞

𝜚(𝑠) exp(−𝛼𝑠) ,

(5.20)

sera dominée pour 𝛼 grand par le premier pôle. L’étude des excitations radiales est plus délicate. Les premiers résultats sur le charmonium, suite aux travaux de Reinders et al., Bertlmann, etc. sont donnés dans la Table 5.1.

K. Wilson, lauréat du prix Nobel 1982, est aussi très connu pour ses travaux en physique statistique, notamment sur les transitions de phase.

Reinhold Bertlmann a fait des travaux remarquables en physique mathématique. Nous avons cité plus haut son inégalité sur les énergies de liaison, en collaboration avec André Martin. Mais il est surtout célèbre par l’article “Bertlmann’s Socks and the Nature of Reality” [25] de John Bell (l’auteur des fameuses inégalités sur le résultat des mesures en mécanique quantique).

5.10 Quarkonium par la QCD sur réseaux L’idée est venue dans les années soixante-dix, notamment sous l’impulsion de Kenneth Wilson [26], de résoudre les équations de la QCD par discrétisation de l’espace temps. Cette méthode a connu un engouement extraordinaire. Un peu partout, des groupes se sont constitués, autour des plus gros ordinateurs. Des processeurs ont même été construits et optimisés spécialement pour ce type de calculs. Si le principe de la QCD sur réseau est assez simple, sa mise en œuvre est très délicate : elle implique des raffinements très sophistiqués des méthodes de tirage aléatoire. Les premières applications en physique des interactions fortes ont porté sur les hadrons légers, et sur la physique des plasmas de quarks et de gluons, que l’on recherche dans les collisions d’ions lourds. Pour le quarkonium, il y a grosso modo deux méthodes. La première consiste à figer le quark 𝑄 et l’antiquark

5.10 Quarkonium par la QCD sur réseaux

𝑄 sur le réseau, à une distance 𝑟 l’un de l’autre, et à calculer l’énergie du champ de gluon, qui est interprétée comme le potentiel 𝑉(𝑟). On voit que c’est tout à fait l’esprit de la méthode de Born-Oppenheimer. Voir par exemple [27], où le potentiel de type « Coulomb-pluslinéaire » est retrouvé. La seconde méthode est un calcul direct des masses et propriétés des états du quarkonium. Voir par exemple [28]. Noter qu’au début de ces calculs, on utilisait l’approximation dite “quenched”, ce qui est presque intraduisible (trempée ?) avec seulement des quarks ou antiquarks lourds, et des gluons. Il est vite apparu nécessaire d’introduire l’effet des paires 𝑞 𝑞¯ de quarks légers, mais cela a augmenté notablement le temps de calcul. D’un autre côté, certaines approximations non relativistes simplifient considérablement l’étude de la dynamique sur réseau. Voir par exemple [29].

87

88

5 Le quarkonium

Exercices

48. Changement d’échelle, cas coulombien Montrer que si on passe du positronium 𝑒 + 𝑒 − au vrai muonium 𝜇+ 𝜇− , les énergies ont été multipliées par 𝑀/𝑚 et les distances par 𝑚/𝑀 , où 𝑚 est la masse de l’électron et 𝑀 celle du muon. Que deviennent ces rapports quand on passe de 𝑒 + 𝑒 − à 𝜇+ 𝑒 − ? 49. Changement d’échelle, cas plus général On considère le potentiel attractif 𝑉(𝑟) = 𝑔 sgn(𝛼) 𝑟 𝛼 , où 𝑔 > 0 et sgn est la fonction signe. Montrer que l’équation radiale

~2 /𝑚 [−𝑢 00(𝑟) + ℓ (ℓ + 1) 𝑢(𝑟)] + 𝑉(𝑟) 𝑢(𝑟) = 𝐸 𝑢(𝑟) peut se ramener sans perte de généralité à étudier l’équation standardisée −𝑣 00(𝑥) + ℓ (ℓ + 1) 𝑣(𝑥) + sgn(𝛼) 𝑥 𝛼 = 𝜖 𝑣(𝑥), et préciser la relation entre 𝑟 et 𝑥 et celle entre 𝐸 et 𝜖 . Rappeler les conditions limites sur 𝑢(𝑟) ou 𝑣(𝑥). Quelles sont les valeurs de 𝛼 permises ? Retrouver la dépendance de l’énergie et des fonctions d’onde par rapport aux variations de 𝑚 et 𝑔 dans le cas coulombien ( 𝛼 = −1) et harmonique ( 𝛼 = 2). Étudier le cas du potentiel logarithmique 𝑔 log 𝑟 soit directement, soit en utilisant log 𝑟 = lim𝛼→0 (𝑟 𝛼 − 1). Montrer que la décroissance des énergies quand la masses augmente est une propriété très générale. 50. André Martin a proposé un potentiel très simple pour le quarkonium [30], 𝑉(𝑟) = −𝐴 + 𝐵 𝑟 𝛽 , avec 𝐴 = −8 ,064 GeV, 𝐵 = 6 ,8698 GeV1+𝛽 , 𝛽 = 0 ,1, et pour le charmonium, une masse constituante 𝑚 𝑐 = 1 ,800 GeV. a) Montrer que pour ce potentiel, la masse d’un état est

𝑀 = 2 𝑚 𝑐 + 𝐴 + 𝐵2/(𝛽+2) 𝑚 −1/(𝛽+2) 𝐸(1, 1) , où 𝐸(1 , 1) est l’énergie de cet état pour 𝑚 𝑐 = 𝐵 = 1. b) On calcule 𝐸(1 , 1) pour l’état fondamental par une méthode variationnelle, en utilisant comme fonction d’onde d’essai Ψ = exp(−𝛼𝑟 2 /2), sans faire de minimisation numérique, grâce au théorème du viriel, à la manière de Hylleraas en physique atomique [31]. Montrer que pour 𝛼 = 1 les éléments de matrice sont

𝑇(1) =

hΨ|𝒑2 |Ψi 3 = , 2 hΨ|Ψi

hΨ|𝑟 0,1 |Ψi Γ(1 , 55) = = 1 ,00298 . hΨ|Ψi Γ(1 , 5)

c) Montrer que le théorème du viriel implique que l’énergie cinétique et l’énergie potentielle sont dans le rapport 𝛽/2, et ce, aussi bien pour la solution exacte que pour l’approximation variationnelle.

5.10 Quarkonium par la QCD sur réseaux

89

En déduire que l’approximation variationnelle recherchée est

𝛽 𝐸(1 , 1) = 1 + 2



   −𝛽/(𝛽+2) 𝛽 2

𝑉(1)2/(𝛽+2) 𝑇(1)𝛽/(𝛽+2) .

d) En déduire la masse du centre de gravité du 𝐽/𝜓 et du 𝜂 𝑐 dans ce modèle et à cette approximation. 51. Fonction d’onde à l’origine Calculer le rapport des fonctions d’onde à l’origine entre les états 2S et 1S, et entre les états 3S et 2S pour un potentiel purement i) coulombien ou ii) harmonique. Faire le calcul numérique pour un potentiel linéaire, sachant que la 𝑖 e excitation radiale a pour fonction d’onde radiale réduite (non normalisée) 𝑢𝑖 (𝑟) = Ai(𝑟 − 𝑎 𝑖 ), où −𝑎1 , −𝑎2 . . . sont les zéros successifs de la fonction d’Airy. 52. Règle de Schwinger On considère l’équation radiale de l’onde S −𝑢 00(𝑟) + 𝑈(𝑟) 𝑢(𝑟) = 𝐸 𝑢(𝑟). Montrer que la fonction d’onde carrée à l’origine,

𝛿 = |Φ(0)| 2 = 𝑢 0(0)2 /(4 𝜋) , est donnée par 1 𝛿= 4𝜋

∫

+∞

|𝑢(𝑟)| 2 𝑈 0(𝑟) d𝑟 .

0

Dans le cas coulombien avec 𝑔 = ~2 /(2 𝑚𝑟 ) = 1, normaliser la fonction de l’état 1S, 𝑢(𝑟) ∝ 𝑟 exp(−𝑟/2) et vérifier cette identité. Montrer que pour la solution variationnelle correspondant à la meilleure énergie de la fonction d’onde d’essai 𝑢˜ ∝ 𝑟 exp(−𝛽 𝑟 2 /2), la valeur approchée 𝛿 = | 𝑢˜ 0(0)| 2 /(4 𝜋) est assez loin de la valeur exacte 𝛿 , mais qu’en utilisant la règle de Schwinger ci˜ , on obtient une meilleure approximation. Que nous enseigne dessus avec 𝑢(𝑟) la règle de Schwinger à propos de la fonction d’onde à l’origine pour les excitations radiales successives d’un potentiel linéaire 𝑉(𝑟) = 𝑔 𝑟 ? 53. Éléments de matrice des termes spin-spin, spin-orbite et tenseur Calculer la valeur moyenne de 𝝈 1 .𝝈 2 pour un spin total singulet ou triplet. On rappelle que pour chacun des deux spins 1/2, 𝝈 est deux fois l’opérateur de spin divisé par ~. Pour une onde partielle caractérisée par un spin total 𝑆 = 0 ou 𝑆 = 1, un moment orbital ℓ et un moment cinétique total 𝐽 , calculer la valeur moyenne de l’opérateur spin-orbite 𝑳.𝑺 . Application aux états P du charmonium 1 P1 , 3 P0 , 3 P1 et 3 P2 . Calculer les éléments de matrice de l’opérateur tenseur

𝑆12 = 3 𝝈 1 . 𝑟ˆ 𝝈 2 . 𝑟ˆ − 𝝈 1 .𝝈 2 .

90

5 Le quarkonium

On pourra procéder comme suit. Montrer d’abord que cet opérateur s’annule pour un spin singulet. Montrer que

𝑆12 = 6 (𝑺. 𝑟ˆ)2 − 4 1 ,

(1)

et que dans la base |𝑠i , |𝑝i et |𝑑i des états de 𝐽𝑧 donné, la matrice 𝑺. 𝑟ˆ est de la forme 0 𝑎 0 © ª 𝑺. 𝑟ˆ = ­ 𝑎 0 𝑏 ® . « 0 𝑏 0¬ En écrivant explicitement les √ états √ |𝑠i , |𝑝i et |𝑑i √ correspondant par exemple à 𝐽𝑧 = +1, montrer que 𝑎 = − 2/ 3 et 𝑏 = −1/ 3 et en déduire 𝑆12 . Généraliser aux états triplet de 𝐽 quelconque. 54. Limite d’un potentiel tenseur très élevé Quelles seraient l’allure du spectre et la composition des fonctions d’onde dans le cas où le potentiel tenseur serait très élevé dans le secteur de parité naturelle 𝐽 = ℓ ± 1 ? (le scénario a été envisagé non pas pour le quarkonium, mais pour les états liés d’un nucléon et d’un antinucléon) 55. Quelle modification du spectre coulombien attend-on pour les atomes muoniques du fait de la plus grande probabilité de pénétration à l’intérieur du noyau ? Les premiers niveaux des atomes alcalins sont essentiellement dus au mouvement du dernier électron autour de la charge +1 du noyau de charge +𝑍 entouré de 𝑍 − 1 électrons. Quelle déviation du spectre coulombien peut-on prévoir ? 56. ℎ 𝑐 au centre de gravité des états P Montrer que si on traite les effets dépendant du spin au 1er ordre, et si le potentiel spin-spin est un terme de contact à la Breit-Fermi 𝑉𝑆𝑆 = 𝐴𝑆𝑆 𝛿 (3) (𝒓), l’état ℎ 𝑐 du charmonium est au centre de gravité des états 𝜒𝑐,𝐽 pondérés par leur multiplicité de spin total 𝐽 , soit

𝑚(ℎ 𝑐 ) =

𝑚(𝜒𝑐 0 ) + 3 𝑚(𝜒𝑐 1 ) + 5 𝑚(𝜒𝑐 2 ) . 9

Retrouver les masses sur le site internet de Particle Data Group et vérifier si cette règle est satisfaite. 57. Inégalité de Nussinov et Bertlmann-Martin On considère les systèmes de masses constituantes (𝑚, 𝑚), (𝑚, 𝑀) et (𝑀, 𝑀), liés par le même potentiel (indépendance de saveur). Montrer que les hamiltoniens intrinsèques vérifient

𝐻𝑚𝑀 =

1 (𝐻𝑚𝑚 + 𝐻𝑀𝑀 ) . 2

En déduire que pour l’état fondamental 2 𝐸(𝑀, 𝑚) ≥ 𝐸(𝑚, 𝑚) + 𝐸(𝑀, 𝑀).

Références

91

¯ et (𝑏 𝑐¯) à partir de Comparer avec les masses expérimentales pour (𝑐 𝑐¯), (𝑏 𝑏) PDG. 58. Appliquer le résultat précédent à un gaz d’hydrogène contenant en majorité des molécules H2 , et une petite fraction de molécules lourdes HD et D2 . Comment vont évoluer les populations de HD et de D2 en fonction de la température ? On suppose que lors des collisions, les réactions HH + DD ↔ 2 HD peuvent se produire. On fera une hypothèse plausible sur le potentiel interatomique. 59. Mélange orbital On compare les composantes 1S et 2S dans le premier état D du charmonium. On adopte un potentiel harmonique 𝑉 ∝ 𝑟 2 pour le confinement et 𝑉𝑇 ∝ 𝑟 −3 pour le terme tenseur, comme en physique atomique. Évaluer le rapport (0)

(0)

(0)

(0)

h𝑢2 |𝑉𝑇 |𝑤 1 i h𝑢1 |𝑉𝑇 |𝑤 1 i Commenter. Quel serait le rapport entre les éléments de matrice du premier état D vers les états 1S, 2S et 3S si les fonctions d’onde non perturbées étaient issues d’un potentiel purement coulombien ?

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Références

93

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Les baryons

6

Pour les mésons, le modèle des quarks n’a été pris vraiment au sérieux qu’après la découverte du charmonium en 1974. Dans le cas des baryons, l’histoire avait commencé plus tôt, avec les premières constructions de spectres et de fonctions d’onde à partir de 1964 par Greenberg [1], Dalitz [2], etc. Un des problèmes était de décrire le spectre des excitations, mais plus important encore était de comprendre pourquoi l’état fondamental semblait en contradiction avec les exigences d’antisymétrisation pour les fermions que sont les quarks. La « parastatistique » des quarks est devenue « couleur », et la couleur a ensuite inspiré la QCD. Dans ce chapitre nous allons donner un aperçu du modèle des quarks pour les baryons, démarré au milieu des années soixante et pas mal perfectionné depuis.

Les premiers travaux ont été poursuivis par les disciples de Dalitz et quelques émules. Le modèle de l’oscillateur harmonique est décrit en détail par Hey et al. [4]. Isgur, Karl et leurs collaborateurs ont popularisé le modèle de l’oscillateur harmonique des baryons, et au-delà, le modèle des quarks [5]. Le problème à trois corps appliqué aux baryons est discuté dans [6]. Pour une revue sur la physique des baryons, voir [7, 8]. Les premiers travaux ont porté sur les quarks légers et étranges. Ont été ensuite étudiés les baryons charmés ou beaux, et enfin des baryons à double saveur lourde 𝑄𝑄 𝑞 . Les baryons à triple saveur lourde, 𝑄𝑄𝑄 , les vrais analogues du quarkonium, sont encore loin d’être accessibles expérimentalement.

Le problème à trois corps est assez délicat en mécanique quantique. Il requiert des outils spécifiques, comme les équations de Faddeev ou le développement hypersphérique. La plupart des travaux de physique hadronique s’appuient cependant sur des fonctions d’onde d’oscillateur harmonique, qui permettent une compréhension rapide de l’essentiel.

Une référence essentielle est le cours de Dalitz à l’école des Houches de 1965 [2]. Cette école des Houches a vu germer bien des idées, et des collaborations démarrer, voire des couples se former, certains avec une belle et riche progéniture familiale et scientifique. Pour l’histoire des Houches, on peut se référer aux textes de Maurice Jacob et d’André Martin dans [3].

96

6 Les baryons

Pour une revue récente sur le formalisme hypersphérique et les équations de FaddeevYakubovsky en physique nucléaire, voir, par exemple, [9, 10].

Nous commencerons par les baryons faits de trois quarks identiques, et poursuivrons par des systèmes contenant plusieurs types de saveur.

6.1 Le cas de trois quarks identiques Mouvement intrinsèque Considérons d’abord le système (𝑞𝑞𝑞) avec trois quarks identiques de masse 𝑚 , par exemple Δ− (𝑑𝑑𝑑), Δ++ (𝑢𝑢𝑢) ou Ω(𝑠𝑠𝑠) dans l’état fondamental, et leurs excitations. En introduisant les coordonnées de Jacobi √ 𝝆 = 𝒓2 − 𝒓1 , 𝝀 = (2𝒓 3 − 𝒓 1 − 𝒓 2 )/ 3 , (6.1) et les quantités de mouvement conjuguées 𝒑𝜌 et 𝒑𝜆 , puis en retirant le mouvement du centre de masse, on obtient l’hamiltonien intrinsèque

𝐻=

𝒑2𝜌 𝑚

+

𝒑𝜆2 𝑚

+ 𝑉(𝝆, 𝝀) ,

et si on part d’un potentiel harmonique 𝑘 arrive à

𝐻HO =

𝒑2𝜌 𝑚

+

𝒑𝜆2 𝑚

+

(6.2)

P

3𝑘 2 (𝝆 + 𝝀2 ) , 2

2 𝑖 0 n’étaient pas compatibles avec les premières mesures. Du coup, on a cherché de manière systématique quelles étaient les contraintes entre observables de spin pour cette réaction. Toutes les observables O𝑖 sont normalisées pour varier dans [−1 , +1]. Pour une paire d’observables, trois cas se présentent : absence de corrélation, tout le carré [−1 , +1]2 est a priori permis ; contrainte circulaire du type O2𝑖 + O2𝑗 ≤ 1, déjà rencontrée pour 𝐶ℓ et 𝐷𝑛𝑛 et dans le cas de 𝜋𝑁 ; contrainte triangulaire. Voir Fig. 11.3. Pour les triplets d’observables, on trouve presque toujours des contraintes, et parfois insoupçonnées. Par exemple, il peut arriver que pour un triplet, le carré [−1 , +1]2 soit permis pour tous les sous-ensembles, mais que le volume permis pour les trois ne soit pas le cube [−1 , +1]3 . Des formes inattendues sont observées, comme une sorte de filtre à café. Des exemples sont donnés sur la Fig. 11.4. Ils correspondent à la réaction ¯ → ΛΛ. 𝑝𝑝

11.4 Le rôle du spin des quarks

213

Figure 11.4 : Exemples de contraintes pour des triplets d’observables 𝑋 , 𝑌, 𝑍 de la ré¯ → ΛΛ. action 𝑝𝑝

11.4 Le rôle du spin des quarks Nous revenons ici rapidement sur certains points évoqués dans les chapitres précédents, relatifs au spin des quarks au sein des hadrons, au risque de quelques répétitions : forces dépendant du spin dans la spectroscopie des mésons et des baryons, et fonctions de structure dépendant du spin.

Écarts hyperfins Dans le cas du quarkonium, un potentiel

𝑉SS = 𝑣 𝑠𝑠 (𝑟) 𝝈 1 .𝝈 2 ,

(11.18)

214

11 Le spin des quarks et des hadrons

entre le quark et l’antiquark, avec h𝑣 𝑠𝑠 > 0i ≥ 0 explique pourquoi les états S pseudoscalaires (𝜂 𝑐 . . . 𝜂𝑏 (2𝑆) . . .) sont en dessous de leurs homologues vectoriels. Les modèles sont souvent inspirés de l’article de A. de Rújula, H. Georgi et S.L. Glashow [8] qui ont transcrit en QCD le potentiel de Breit-Fermi de la QED. Explicitement 𝛿(3) (𝒓) . (11.19) 𝑣 𝑠𝑠 (𝑟) = 𝜆˜ 1 .𝜆2 (..) 𝛼 𝑠 𝑚1 𝑚2 L’apparition d’un terme de contact est la conséquence de la réduction non relativiste des opérateurs. Elle convient pour un traitement perturbatif de 𝑉SS . Sinon, il faut remplacer 𝛿 (3) par un terme de portée finie. La dépendance en 1/(𝑚1 𝑚2 ) est cruciale pour comprendre que les effets de spin sont plus petits pour les quarks lourds. Mais l’effet est tempéré par le renforcement de h𝛿 (3) (𝒓)i . Par exemple, si on adopte 𝑚 𝑐 = 1 ,5 GeV et 𝑚𝑏 = 4 ,5 GeV, ainsi qu’un confinement logarithmique, on obtient facilement

Υ − 𝜂𝑏 𝑚𝑏 = 𝑚𝑐 𝐽/𝜓 − 𝜂 𝑐



 1 /2

' 0 ,58 ,

(11.20)

pas trop loin de la valeur expérimentale 0 ,54. Noter que des modèles concurrents ont été proposés, où les effets de spin sont induits par des instantons [9] ou par le couplage aux paires de hadrons. Dans le cas des baryons, le potentiel spin-spin (11.19) donne encore une réduction des écarts quand les quarks deviennent plus lourds. Il y a aussi une distinction entre les différents paires. Historiquement, il a été difficile de comprendre pourquoi le Λ, singulet du groupe de saveur SU(3), est plus léger que les Σ, membres de l’octet. Dans le modèle des quarks, Λ et Σ0 ont tous les deux un contenu 𝑠𝑢𝑑 et un spin 1/2, ce qui implique que

X

𝝈 𝑖 .𝝈 𝑗 = −3 .

(11.21)

𝑖 𝑚2 + 𝑚3 + 𝑚4 , il y a un domaine de Dalitz au centre du triangle correspondant à la désintégration 𝑚1 → 𝑚2 +𝑚3 +𝑚4 .

Exercice 21 La conservation de la quadri-impulsion, écrite 𝑝˜ 1 + 𝑝˜ 2 = 2 (𝑀, 0) − 𝑝˜ 3 , donne en élevant au carré 𝑀12 = 𝑀 2 + 𝑚32 − 2 𝑀 (𝐾 3 + 𝑚3 ). De même pour 𝑀23 et 𝑀31 par permutation des indices. Donc à une translation près des origines et un facteur d’échelle 2 𝑀 , un diagramme impliquant les énergies cinétiques 𝐾 𝑛 devient un diagramme sur les masses invariantes carrées 𝑀 𝑖𝑗2 .

Exercice 24 Une transformation linéaire change l’ellipse en cercle, et le triangle équilatéral en triangle quelconque. Voir figure. Avec des notations évidentes, 𝑟1 = 𝑇1 𝐴2 /𝑇1 𝐴3 = 𝑑2/𝑑3, etc. On voit que sur la figure transformée, 𝑟1 𝑟2 𝑟3 = 1. Mais la transformation linéaire inverse ne modifie pas les rapports sur une droite. A1

T3 b

T2 b

A2

b

T1

A3

Dans le cas non relativiste, on pourrait toujours trouver un triangle de hauteurs {ℎ 1 , ℎ 2 , ℎ 3 } appropriées tel que la limite du diagramme de Dalitz soit un cercle. On pourra essayer de calculer les ℎ 𝑖 en fonction des masses et de l’énergie totale disponible.

15.3 Exercices du chapitre 3

267

Exercice 25 Il est un peu moins intéressant que le diagramme à trois corps parce que la connaissance des quatre énergies P satisfaisant la contrainte 4𝑖=1 𝐾 𝑖 = 𝐾 ne permet pas de connaître la disposition relative des quantités de mouvement. Noter également qu’avec une amplitude de désintégration constante, le diagramme ne serait pas peuplé uniformément. Il reste instructif de délimiter le domaine permis dans l’espace des énergies individuelles. Le théorème de Viviani se généralise facilement : la somme des distances aux faces d’un tétraèdre régulier est une constante. Les points permis occupent donc un sous-volume d’un tétraèdre régulier de hauteur 𝐾 , l’énergie libérée dans 𝐴 → 𝑎 1 + 𝑎 2 + 𝑎 3 + 𝑎 4 . Comme le domaine non relativiste pour la désintégration en trois particules identiques est le disque inscrit dans le triangle, on pourrait penser à la boule inscrite dans le tétraèdre. Mais ce n’est pas le cas. Si par exemple, 𝐾 1 = 0, les trois autres particules se partagent 𝐾 , et le domaine est donc le disque inscrit dans la face inférieure. On pourrait alors penser que le domaine est la boule qui s’appuie sur les cercles inscrits dans les faces, limitée à l’intérieur du tétraèdre. Ce n’est pas vrai. Par exemple, le point le plus haut correspond à la valeur maximale 𝐾 1,max de 𝐾 1 , obtenue quand les particules (2,3,4) ont la même vitesse. La boule précédente ne passe pas par ce point. La solution est représentée ci-contre. On peut généraliser à des masses inégales, et au cas relativiste.

Exercice 28 Il s’agit du théorème de Ceva, ou plutôt de sa réciproque. Si trois droites issues des sommets 𝐴 𝑖 d’un triangle passent par un même point (par exemple intérieur pour que les rapports soient positifs) et recoupent les côtés opposés en 𝐵 𝑖 , le produit des rapports de division 𝑟 𝑖 = k𝐵 𝑖 𝐴 𝑗 k/k𝐵 𝑖 𝐴 𝑘 k , où {𝑖, 𝑗, 𝑘} est une permutation Q directe de {1 , 2 , 3}, est 𝑟 𝑖 = 1. Ici cette condition est bien satisfaite puisque 𝑟 𝑖 = 𝑚 𝑗 /𝑚 𝑘 .

A2

B1 B3 A1 B2

A3

268

15 Solution de certains exercices

Exercice 29 Dans les deux cas, la particule acquiert une quantité de mouvement 𝑝 = 𝑞 𝐸 𝑡 et une énergie cinétique 𝐾 = 𝑞 𝐸 𝑥 . Dans le cas NR, on en déduit 𝑞 𝐸 𝑡 2 = 2 𝑚 𝑥 , et dans le cas R (avec 𝑐 = 1), 𝑞 𝐸 𝑡 2 = 2 𝑚 𝑥 + 𝑞 𝐸 𝑥 2 .

Exercice 30 Dans le cas NR, on fait les bilans 𝑝 𝑦 = 𝑝 0 et 𝑝 2𝑥 = 2 𝑚 𝑞 𝐸 𝑥 , soit

𝑝𝑦 d𝑦 𝑝0 , = =p d𝑥 𝑝𝑥 2𝑚 𝑞𝐸𝑥 d’où on tire la parabole bien connue. Dans le cas R, on peut définir une masse effective 𝑀 donnée par 𝑀 2 = 𝑚 2 + 𝑝 02 qui inclut l’énergie transverse, et une rapidité longitudinale telle que 𝑊 = 𝑀 cosh 𝜑 et 𝑝 𝑥 = 𝑀 sinh 𝜑. Le bilan d’énergie donne 𝑀 cosh 𝜑 = 𝑀 + 𝑞 𝐸 𝑥 , et de

𝑝𝑦 d𝑦 𝑝0 = = , d𝑥 𝑝𝑥 𝑀 sinh 𝜑 on déduit

𝑝0 d𝑦 = , d𝜑 𝑞𝐸

soit 𝑦 = 𝑀 𝑝 0 𝜑/(𝑞 𝐸), ce qui correspond à une chaînette.

Exercice 31 Dans les deux cas, on trouve 𝑅 = 𝑝/(𝑞 𝐵), mais il faut évidemment utiliser la relation relativiste 𝑝 2 = 𝑊 2 − 𝑚 2 entre quantité de mouvement, masse et énergie. Les aimants du LEP étaient très rudimentaires en comparaison des aimants supraconducteurs du LHC. Ce qui empêche de monter en énergie avec des électrons, c’est le rayonnement synchrotron.

15.3 Exercices du chapitre 3

Exercice 32 Dans le cas NR, l’équation du mouvement est



𝑝¤ 𝑥 𝑞𝐸 0 = + 𝑝¤ 𝑦 0 −𝜔









𝜔 0



𝑝𝑥 𝑝𝑦



,

avec 𝜔 = 𝑄 𝐵/𝑚 , qui a une solution particulière constante. La solution qui correspond à un repos initial est

𝑝 𝑥 = 𝑞 𝐸/𝜔 sin(𝜔𝑡) ,

𝑝 𝑦 = −𝑞 𝐸/𝜔[1 − cos(𝜔𝑡)] ,

qui par intégration donne une cycloïde. Si la vitesse initiale n’est pas nulle, on obtient une épi- ou hypocycloïde. Le traitement relativiste apporte des corrections qualitatives intéressantes. La force magnétique ne peut dépasser 𝑞 𝐵 (en unités 𝑐 = 1) et donc ne peut retourner la trajectoire que si 𝐵 > 𝐸 . Les équations du mouvement ¤ = 𝑞𝑬.𝒗 𝒑¤ = 𝑞 𝒗 × 𝑩 + 𝑞 𝑬 , 𝑊 se simplifient si on introduit 𝒗 = 𝒑/𝑊 avec 𝑊 = 𝛾 𝑚 et le temps propre 𝜏 par la relation d𝑡 = 𝛾 d𝜏. On obtient sur des axes adaptés au champ 𝑝˜ 0 = 𝐴. 𝑝˜ pour le vecteur {𝑝 𝑥 , 𝑝 𝑦 , , 𝑊 }, comme fonction du temps propre, avec 0 © 𝐴 = ­−𝑎 «𝑏

𝑎 0 0

𝑏 ª 0® , 0¬

˜ avec 𝑎 = 𝑞 𝐵/𝑚 et 𝑏 = 𝑞 𝐸/𝑚 . La solution est 𝑝(𝜏) = exp(𝜏𝐴). 𝑝˜ 0 , où le vecteur initial est {0 , 0 , 𝑚}. Les logiciels modernes calculent aisément les exponentielles de matrices. Sinon, une diagonalisation fait apparaître les valeurs propres de 𝐴 comme valant {0 , ±𝑖 (𝑎 2 − 𝑏 2 )1/2 si 𝑎 > 𝑏 , ce qui correspond à une cycloïde en fonction du temps propre, mais {0 , ±(𝑏 2 − 𝑎 2 )1/2 si le champ électrique domine, ce qui correspond à une trajectoire partant à l’infini, un peu courbée, mais pas retournée, par le champ magnétique. On pourra vérifier l’intérêt du temps propre en considérant le problème du mouvement dans des champs électrique et magnétique parallèles. À l’approximation

269

270

15 Solution de certains exercices

non relativiste, le mouvement transverse, une rotation uniforme, est complètement découplé du mouvement longitudinal uniformément accéléré. Dans le cas relativiste, remarquablement, le mouvement transverse reste circulaire, mais il est de plus en plus ralenti, car la particule acquiert de plus en plus de « masse » de par son mouvement longitudinal.

Exercice 33

¯ . Si 𝑀 > 𝑚 , il faut une ¯ → ΛΛ Un exemple est 𝑝𝑝 énergie minimale. Dans le cm, les particules finales ont une rapidité Φ inférieure à celle, 𝜑 , des particules initiales (d’ailleurs 𝑀 cosh Φ = 𝑚 cosh 𝜑 ). Donc une particule de masse 𝑀 même émise le plus à l’arrière possible dans le cm, avec une rapidité −Φ, se verra ajouter une rapidité +𝜑 qui la remet en direction de l’avant. Dans un plan donné (il y a, bien sûr invariance par rotation autour du faisceau), l’extrémité de 𝒑Λ décrit une ellipse, et 𝒑Λ s’écarte le plus si c’est la tangente. On peut calculer tan 𝛼 dans le cas d’un cercle et multiplier par le rapport d’affinité 𝑏/𝑎 , avec les notations habituelles, soit √ tan 𝛼0 = 𝑏/ 𝑑 2 − 𝑎 2 , avec 𝑏 = 𝑀 sinh Φ, 𝑎 = 𝑀 cosh Φ et 𝑑 = 𝑀 cosh Φ sinh 𝜙 . Il faut ensuite calculer l’angle maximal sous lequel on voit un diamètre de l’ellipse, depuis un point extérieur à la distance 𝑑 sur le grand axe. Si on est loin de l’ellipse, c’est le petit axe, qui correspond à un angle 𝜗∗ = 𝜋/2 dans le cdm. Si on est proche, il y a deux maxima symétriques, donnés par

r sin 𝛽 =

𝑑2 − 𝑎 2 . 𝑎2 − 𝑏2

Ici, si 𝐸 est l’énergie initiale ou finale de chaque particule dans le centre de masse, on peut voir qu’à un facteur commun près, 𝑎 2 − 𝑏 2 = 𝑀 2 − 𝑚 2 et 𝑑 2 − 𝑎 2 = (𝐸 2 − 𝑚 2 )(𝐸2 − 𝑀 2 )/𝐸2 . À basse énergie, 𝐸 ' 𝑀 , et 𝑑2 − 𝑎 2 < 𝑏 2 − 𝑎 2 , mais à haute énergie, c’est évidemment le contraire.

15.3 Exercices du chapitre 3

271

Exercice 34 Ce dispositif été utilisé pour obtenir des faisceaux de photons de haute énergie à l’accélérateur ESRF de Grenoble. L’énergie-impulsion de l’état initial est 𝐸 + ℎ𝜈, 𝑝 − ℎ𝜈 , ce qui correspond à une rapidité globale 𝜑 telle que exp 𝜑 = p

𝐸 + ℎ𝜈 𝐸2

+ 2 (𝐸 + 𝑝) ℎ𝜈

.

Le photon incident a une énergie cdm ℎ𝜈 ∗ = ℎ𝑣 exp 𝜑 , et le photon final a la même énergie cdm et dans le référentiel du laboratoire ℎ𝜈0 = ℎ𝜈 ∗ exp 𝜑 = ℎ𝜈 exp(2 𝜑), d’où

ℎ𝜈0 = ℎ𝜈 = ℎ𝜈

cosh 𝜑 + sinh 𝜑 cosh 𝜑 − sinh 𝜑

(𝐸 + 𝑝)2 𝐸+𝑝 = ℎ𝜈 2 , 𝐸 − 𝑝 + 2 ℎ𝜈 𝑚 + 2 ℎ𝜈(𝐸 + 𝑝)

où la dernière transformation évite les erreurs d’arrondi dans le calcul numérique de 𝐸 − 𝑝 pour un électron très rapide. On peut retrouver ce résultat sans faire appel à la rapidité en écrivant le bilan d’énergie-impulsion 𝑝˜ + 𝑞˜ = 𝑝˜ 0 + 𝑞˜ 0 sous la forme 𝑝˜ 0 = 𝑝˜ + 𝑞˜ − 𝑞˜ 0 et en élevant au carré.

Exercice 35 En combinant les expressions de l’énergie et de la qdm longitudinale pour le photon dans la TL, on obtient

−𝛽 + cos 𝜗 1 − 𝛽2 1 = − −1 + cos 𝜗 = 1 − 𝛽 cos 𝜗 𝛽 1 − 𝛽 cos 𝜗 ∗





.

Donc, en partant de d 𝑁/d cos 𝜗∗ = 𝑘 qui reflète l’isotropie dans le cdm du 𝜋0 , on arrive à 1 − 𝛽2 d𝑁 𝑘 = , d cos 𝜗 𝛽 (1 − 𝛽 cos 𝜗)2 qui est très piquée vers l’avant quand 𝛽 approche de 1.

European Synchrotron Radiation Facility.

272

15 Solution de certains exercices

15.4 Exercices du chapitre 4

Exercice 37

Si 𝑒 + + 𝑒 − → 𝛾 se produit dans le vide, on ne peut satisfaire à la fois la conservation de la quantité de mouvement et de l’énergie, car cela donnerait une masse nulle pour l’atome de positonium initial. Mais si l’électron est lié, le matériau encaisse la quantité de mouvement sans acquérir une énergie appréciable, et on observe la réaction avec un photon de 1 ,02 MeV.

Exercice 44

Pour un potentiel linéaire, les énergies sont proportionnelles à 𝑚 −1/3 𝑎 2/3 . Il faut organiser la violation de symétrie de sorte que la correction au premier ordre s’annule, et donc écrire l’hamiltonien ( 𝑎 = 1/(2 𝑚) et 𝑎 0 = 1/(2 𝑚 0))

𝐻 = 𝑎 (𝒑21 + 𝒑22 ) + 𝑎 0 𝒑23 + 𝑉 comme

𝐻 = 𝑎¯

X

𝒑2𝑖 + 𝑉 + 𝛿𝑎(𝒑21 + 𝒑22 − 2 𝒑23 ) ,

où 𝑎¯ = (2 𝑎 + 𝑎 0)/3 et 𝛿𝑎 = (𝑎 − 𝑎 0)/3. On voit que les premiers termes correspondent à un hamiltonien symétrique, et le dernier terme ne contribue pas au premier ordre en perturbation. En résumé, la meilleure approximation consiste à moyenner les masses inverses.

Noter que l’on connaît la solution exacte de l’oscillateur : √ l’énergie du fondamental est proportionnelle à 𝑎 + p (2 𝑎 0 + 𝑎)/3, qui est bien stationnaire autour de 𝑎 = 0 𝑎 = 𝑎¯ .

15.5 Exercices du chapitre 5

15.5 Exercices du chapitre 5 Exercice 53

En élevant au carré 𝑺 = (𝝈 1 + 𝝈 2 )/2, on trouve 𝝈 1 .𝝈 2 = −3 pour un état singulet, et 𝝈 1 .𝝈 2 = 1 pour un triplet. De même, en élevant au carré 𝑱 = 𝑳 + 𝑺 , on trouve bien sûr que 𝑳.𝑺 = 0 pour un état de spin 0, et pour les états de spin triplet,

  −1   

𝑳.𝑺 = 𝐽 − 1

pour

𝐿=𝐽,

pour

𝐿= 𝐽−1,

   −(𝐽 + 2) pour 𝐿 = 𝐽 + 1 .  𝑆12 = 3 𝝈 1 . 𝑟ˆ 𝝈 1 . 𝑟ˆ − 𝝈 1 .𝝈 2 s’annule pour les états singulets. On se concentre sur les états du triplet, où 𝜎1 .𝝈 2 = +1. Commençons par le cas particulier 𝐽 = 1. On trouvera une solution élégante dans le livre classique de Blatt et Weisskopf [2]. Voici une variante. On vérifie aisément l’identité 𝑆12 = 6 (𝑺. 𝑟ˆ)2 − 4 1 . (1) Dans la base des états |𝑠i , |𝑝i et |𝑑i , qui couplent respectivement un moment orbital ℓ = 0 , 1 ou 2 à un spin 𝑆 = 1 pour former un moment angulaire total 𝐽 = 1, l’opérateur pseudo-scalaire 𝑺. 𝑟ˆ ne connecte que des états de parités différentes, et ses éléments de matrice sont indépendants de 𝐽𝑧 , donc de la forme 0

𝑎

0

© ª 𝑺. 𝑟ˆ = ­ 𝑎 0 𝑏 ® «0 𝑏 0¬ Si on choisit 𝐽𝑧 = +1, les harmoniques vectorielles sont explicitement (les harmoniques sphériques et les coefficients de Clebsch-Gordan sont tabulés par exemple

273

274

15 Solution de certains exercices

dans [3])

√

 |𝑠i = 𝑇+ / 4 𝜋      

√ √ |𝑝i = (−𝑇+ cos 𝜃/ 2 − 𝑇0 exp(𝑖 𝜙) sin 𝜃/2) 3/(4 𝜋) √  |𝑑i = [(3 cos2 𝜃 − 1) 𝑇+ / 8 + 3 exp(𝑖 𝜙) 𝑇0 sin 𝜃/2   √ √   + 3 exp(2 𝑖 𝜙) sin2 𝜃 𝑇− / 3]/ 4 𝜋  où 𝑇+ , 𝑇0 et 𝑇− sont les trois états de spin 1 avec 𝑆 𝑧 = +1, 0 et −1. Si on fait agir

𝑺. 𝑟ˆ = cos 𝜃 𝑆 𝑧 + sin 𝜃(exp(𝑖 𝜙)𝑆+ − 𝑖 exp(−𝑖 𝜙)𝑆− )/2 , √ √ √ sur |𝑠i et |𝑝i , on identifie 𝑎 = − 2/ 3 et 𝑏 = −1/ 3. En reportant dans (1), on trouve

𝑆12

0 © 0 =­ √ «2 2

0 2 0

√ 2 2 ª 0 ® −2 ¬

Dans le cas d’un moment angulaire total 𝐽 quelconque, les étapes sont les mêmes. En prenant 𝐽𝑧 = 𝐽 , on aura besoin de certains des coefficients de Clebcsh-Gordan

{h𝑗 − 1, 𝑗 − 𝑚 ; 1, 𝑚| 𝑗, 𝑗i} = {1 , 0 , 0} ,

p

{h𝑗, 𝑗 − 𝑚 ; 1, 𝑚| 𝑗, 𝑗i} = {−1/ 1 + 𝑗,

q

𝑗/(𝑗 + 1), 0} ,

q

{h𝑗 + 1, 𝑗 − 𝑚 ; 1, 𝑚| 𝑗, 𝑗i} = {−1/ (1 + 𝑗)(3 + 2 𝑗), −

q

(1 + 2 𝑗)/((2 𝑗 + 1)(𝑗 + 3)),

q

(1 + 2 𝑗)/(3 + 2 𝑗)} ,

pour 𝑚 = +1 , 0 , −1. On peut utiliser la normalisation des harmoniques avec 𝑚 = 𝐽 , 𝐽 𝑌𝐽 (𝜃, 𝜙)

= (−1)

𝐽

p

Γ(3/2 + 𝐽) exp(𝑖 𝐽 𝜙) sin𝐽 𝜙 . 2 𝜋 Γ(1 + 𝐽)

On trouve

𝑎=−

r

𝐽+1 , 2𝐽 +1

𝑏=−

r

𝐽 2𝐽 +1

15.6 Exercices du chapitre 6

d’où 𝑺. 𝑟ˆ , et finalement

𝑆12

−2 (𝑗 − 1) 0 1 © 0 2 = ­ 2𝑗+1 p 6 𝑗 (𝑗 + 1 ) 0 «

6 𝑗 (𝑗 + 1) ª 0 ® . −2 (𝑗 + 2) ¬

p

Exercice 54 Dans le cas du charmonium, les forces tenseurs sont assez faibles. Dans le cas du deutéron, elles jouent un rôle crucial pour la liaison, mais le pourcentage d’état D reste de l’ordre de 5 %. Le potentiel tenseur est plus important pour le cas du nucléon-antinucléon. Dans le cas où le potentiel tenseur serait très important, la base des états ℓ = 𝐽 − 1 et ℓ = 𝐽 + 1 n’est plus adaptée, et il faut plutôt utiliser celle des états propres de 𝑆12 . Cet opérateur a pour valeurs propres +2 dans le sousespace ℓ = 𝐽 et {−4 , +2} dans le sous-espace ℓ = 𝐽 ± 1. Si le potentiel 𝑉𝑇 est positif, c’est la valeur propre −4 qui accueille l’état lié. Elle correspond à la combinaison

√ √ − 𝐽 |ℓ = 𝐽 − 1i + 𝐽 + 1 |𝐿 = 𝐽 + 1i . √ 𝐽+1 Si 𝑉𝑇 augmente progressivement, on passe de la hiérarchie centrifuge, avec un état lié dominé par |ℓ = 𝐽 − 1i , à l’état ci-dessus. Si 𝑉𝑇 < 0, c’est la valeur propre +2 qui fait la liaison, avec un état lié ℓ = 𝐽 , et un état dégénéré à la limite où 𝑉𝑇 est grand, de parité opposée, et de contenu orbital √ √ 𝐽 + 1 |ℓ = 𝐽 − 1i + 𝐽 |𝐿 = 𝐽 + 1i . √ 𝐽+1

15.6 Exercices du chapitre 6 Exercice 60 Pour trois masses égales, des vitesses initiales déduites les unes des autres par rotation de ±2 𝜋/3 autour de l’axe du triangle feront que les trois garderont une configuration symétrique, mais en général, leur distance

275

276

15 Solution de certains exercices

sera modifiée au cours du temps. Si on prend le centre du triangle comme origine 𝑂 , une vitesse orthoradiale dans le plan du triangle, 𝑣 = 𝐺 𝑚/𝑎 , fera tourner le triangle sans déformation autour de 𝑂 . Pour des masses inégales, prenons 𝑂 comme le centre d’inertie, et non pas le centre géométrique du triangle équilatéral. La troisième particule subit une force

𝐺 𝑚3 (𝑚1 𝑨3 𝑨1 + 𝑚2 𝑨3 𝑨2 ) 𝑎3 𝐺 𝑚3 (𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 )𝑨3 𝑶 . = 𝑎3

𝑭3 =

La masse 𝑚3 se simplifie quand on calcule l’accélération, et on voit qu’une vitesse angulaire initiale commune, donnée par 𝜔 2 = 𝐺(𝑚1 +𝑚2 +𝑚3 )/𝑎 3 , fera l’affaire. Il est amusant que constater que de nouvelles généralisations ont été découvertes récemment, après pourtant des années et des années de travaux intensifs sur le problème de Lagrange. Voir par exemple [4].

Exercice 67 Adoptons les notations 𝐴 . . . pour les sommets, 𝑎 . . . pour les côtés, 𝐿𝐴 . . . pour les distances 𝐽𝐴 . . ., où 𝐽 est la jonction. Dans le triangle 𝐽𝐴𝐵, on a 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 ≥ 𝑐 , etc., donc 𝑎+𝑏+𝑐 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 + 𝐿𝐶 ≥ . 2 Dans ce triangle, la somme des angles en 𝐴 et 𝐵 est 60◦ . Si ˆ on utilise la relation des sinus 𝑐/sin(2𝜋/ √3) = 𝐿𝐴 /sin 𝐵 = ˆ ˆ ˆ . 𝐿𝐵 /sin 𝐴, on trouve que 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 = 𝑐 3(sin 𝐴 + sin 𝐵) Mais comme la fonction sinus est concave entre 0√et 𝜋, on a sin 𝐴ˆ + sin 𝐵ˆ ≤ 2 sin(𝜋/6). Donc 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 ≤ 𝑐 3/2, et en combinant avec les relations analogues,

𝐿min

√ 3 = 𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 + 𝐿𝐶 ≤ (𝑎 + 𝑏 + 𝑐) . 4

Pour ce qui est de l’expression explicite de 𝐿min , si on connaît les affixes 𝑧 𝐴 . . . des sommets, on peut utiliser le fait que, par exemple, 𝐿min = k𝐵𝐵0 k , où 𝐵0 est le dernier sommet du triangle équilatéral extérieur construit sur

15.6 Exercices du chapitre 6

277

le côté 𝐴𝐶 (construction du théorème de Napoléon). Le vecteur 𝐵𝐵0 a pour affixe

𝑧 0𝐵 − 𝑧 𝐵 = −𝑗 𝑧 𝐴 − 𝑧 𝐵 − 𝑗 2 𝑧 𝐶 , et il reste à calculer le module de ce nombre complexe, sachant que |𝑧 𝐵 − 𝑧 𝐴 | = 𝑐 . . . . C’est sans doute la voie la plus efficace, dans un programme numérique,de calculer 𝐿min pour une disposition donnée des quarks. b

Pour montrer que 𝐿min = k𝐵𝐵0 k , il faut établir que 𝑃𝐴 + 𝑃𝐶 = 𝑃𝐵 et que 𝐵, 𝐽 et 𝐵0 sont alignés. On voit que 𝑃 , 𝐴, 𝐶 et 𝐵0 sont sur un même cercle, et vérifient donc le théorème de Ptolémée : le produit des diagonales est la somme des produits des côtés opposés. Le point de Fermat doit minimiser 𝑃𝐵 + 𝑃𝐵0, et donc réaliser l’alignement de 𝑃, 𝐵 et 𝐵0.

A C′

b

b

b

b

J

*

120◦ B

b

b

b

b

Une autre méthode consiste à faire le bilan des côtés dans les triangles comme 𝐽𝐴𝐵 qui a un angle de 120◦ en 𝐽 , soit 𝑐 2 = 𝐿2𝐴 + 𝐿2𝐵 + 𝐿𝐴 𝐿𝐵 , et les relations analogues. Une quatrième relation est obtenue en retrouvant l’aire du triangle 𝐴𝐵𝐶 , donnée par la formule de Héron, comme somme des aires des trois triangles de sommet 𝐽 . Soit

√ q 3 (𝐿𝐴 𝐿𝐵 + · · · ) = 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) , 4 où 𝑝 est le demi-périmètre. En combinant ces identités, on évalue facilement (𝐿𝐴 + 𝐿𝐵 + 𝐿 𝑐 )2 .

Exercice 69

L’intégrale angulaire est

∫

∫ dΩ 𝑥 dΩ 𝑦

𝜋/2

cos2 𝛼 sin2 𝛼 d 𝛼 = 𝜋3 .

0

Donc l’harmonique hyperscalaire normalisée est 𝜋−3/2 . Si on considère la paire {1 , 2}, le potentiel est 𝑟12 =

A′

C

B′

278

15 Solution de certains exercices

𝜌 cos 𝛼. Sa projection hypercentrale est donc

∫ 𝜋/2 𝜌

0 ∫ 𝜋/2 0

cos3 𝛼 sin2 𝛼 d 𝛼 cos2 𝛼 sin 𝛼 d 𝛼

=𝜌

2

32 , 15 𝜋

et c’est la même chose pour les autres paires. On aboutit à l’équation hyperradiale

−𝑢 00(𝜌) +

32 15 𝑢(𝜌) + 𝜌 𝑢(𝜌) = 𝐸0 𝑢(𝜌) , 5𝜋 4 𝜌2

que l’on résout par une méthode classique. On trouve 𝐸0 ' 6 ,135 et 𝐸0∗ ' 8,458 pour les deux premiers niveaux avec 𝐿 = 0. Pour le premier niveau excité orbitalement, ˆ soit 𝐿 = 1, il y a une harmonique sphérique 𝑌1,𝑚 (𝜌) au lieu de 𝑌0,0 dans la fonction d’onde, et le coefficient du terme centrifuge est 35/4 au lieu de 15/4. Si on recommence le calcul, la bonne surprise est que le terme de potentiel est inchangé dans l’équation radiale. On trouve une énergie 𝐸1 ' 7 ,485. On observe bien la hiérarchie 𝐸0 < 𝐸1 < 𝐸0 .

15.7 Exercices du chapitre 7 Exercice 74

On trouve assez facilement que le minimum est atteint pour 3 Ω0 − 𝑍 0 𝑅0 = 4𝜋𝐵



et vaut

 1/4

,

4√ 2 (𝜋 𝐵1/4 (3 Ω0 − 𝑍0 )3/4 . 3

Pour 𝐵 = 0 , 1454 , et 𝑍0 = 1 , 84, on trouve effectivement une valeur proche de la moyenne entre le 𝑁 et le Δ. Si on passe à 𝑛 = 6 avec ces valeurs ou d’autres, on trouve que l’énergie croît moins vite qu’un facteur 2. Le sac du MIT tend à favoriser les multiquarks ! Ce qui est problématique.

15.7 Exercices du chapitre 7

Exercice 76 Le résultat est donné dans l’article de Heller et Johnson cité dans le chapitre sur le modèle des sacs :

𝑈(𝑟, 𝑅) =

4 𝛼 𝛼 𝑥2 1 1 + 𝑥2 𝜋 𝑅3 𝐵 − + × + log 3 𝑟 2𝑅 1 − 𝑥4 2 1 − 𝑥2





où 𝑥 = 𝑟/(2 𝑅), est l’énergie du sac sphérique de rayon 𝑅 pour un quark et un antiquark statiques séparés d’une distance 𝑟 , symétriquement par rapport au centre. Le terme de volume décrit la dynamique non perturbative du confinement. À l’inverse, la QCD est traitée à l’ordre le plus bas à l’intérieur du sac, et se résume à un problème d’électrostatique. Si on minimise l’énergie 𝑈(𝑟, 𝑅) en faisant varier 𝑅 à 𝑟 donné, on trouve le potentiel de Born-Oppenheimer 𝑉(𝑟) avec un remarquable comportement de type « Coulomb plus linéaire » comme dans les potentiels empiriques du quarkonium.

Le calcul de 𝑈(𝑟, 𝑅) ressemble au problème bien connu en électrostatique de l’image d’une charge enfermée dans une cavité sphérique, mais les conditions limites sont différentes. Ici, on impose que la composante radiale du champ s’annule pour 𝜚 = 𝑅 . C’est le confinement du champ, qui induit indirectement le confinement des quarks. La technique classique s’appuie sur les fonctions de Green. Une méthode plus rudimentaire est d’écrire le potentiel créé par une charge à la distance 𝑎 = 𝑟/2 du centre comme (𝜚 , 𝜗 et 𝜑 sont les coordonnées sphériques)

√

X 𝑎ℓ    𝑃ℓ (cos 𝜗) si 𝜚 > 𝑎   𝜚 ℓ +1  

𝛼 ℓ 𝑉1 (𝑟 , 𝜚 , 𝜗) = p = X  2 2 𝜚ℓ 𝜚 + 𝑎 − 2 𝑎 𝜚 cos 𝜗   𝑃 (cos 𝜗) si 𝜚 < 𝑎   ℓ +1 ℓ  ℓ 𝑎 où 𝑃ℓ est le polynôme de Legendre de degré ℓ . Pour une fonction harmonique, l’onde partielle de rang ℓ doit être 𝑟 ℓ ou 𝑟 −(ℓ +1) ou une combinaison. Il faut donc ajouter

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280

15 Solution de certains exercices

à 𝑉1 un terme supplémentaire 𝑉2 (𝑟, 𝜚 , 𝜗), tel que dans chaque onde partielle 1 𝑅 ℓ +1 ℓ + 1 𝜚 ℓ +1





1 𝜚ℓ ↔ , ℓ 𝑅ℓ





ce qui annule la dérivée radiale de 𝑉1 + 𝑉2 en 𝜚 = 𝑅 . Globalement, cela correspond à

𝑉2 =

∫

𝜕𝑉1 (𝑟, 𝜚 , 𝜗) 𝜚 d𝜚 𝜕𝜚 𝜚→𝑅2 /𝜚

À 𝑉1 et 𝑉2 s’ajoutent le terme −𝑉1 (−𝑟, 𝜚 , 𝜗) créé par l’autre charge, et le contre-terme semblable à 𝑉2 qui rétablit les conditions limites. On calcule ensuite l’énerP gie 𝑞 𝑖 𝑉𝑖 /2 en sommant les produits des charges par les potentiels, en omettant les termes infinis correspondant au potentiel créé par une charge agissant sur elle-même.

15.8 Exercices du chapitre 9 Exercice 80

On part de la décomposition

𝐻3 =

𝑖=1

"

2 2 1 X 1 X 𝒑𝑖 + 𝒑 𝑗 + 𝑣 𝑖𝑗 = + 𝑣 𝑖𝑗 2 𝑚 2 𝑖 0. La répulsion coulombienne écarte les deux quarks 𝑑 . Donc le potentiel coulombien tend à produire 𝑅 2𝑛 < 0. Il en est de même pour un terme spin-spin 𝛾 𝝈 𝑖 .𝝈 𝑗 , avec 𝛾 > 0, et h𝝈 1 .𝝈 2 i = +1 pour la paire de quarks 𝑑, et −2 pour les paires 𝑢𝑑 . En règle générale, il faut se méfier de l’approximation consistant à ne mélanger un état qu’avec son plus proche voisin. Par exemple, la force tenseur des modèles de potentiel du charmonium ne mélange pas seulement les états 2S et 1D. De même ici, pour toute autre observable que le rayon carré, le mélange de Ψ0 et Ψ1 pourrait se révéler insuffisant. Mais pour le rayon carré moyen, il y a une situation particulière, et le mélange du premier état est suffisant. Pour comprendre le mécanisme par lequel l’approximation de Isgur, Karl et Koniuk marche, il suffit de l’analyser pour un système de deux particules, et de l’appliquer ensuite séparément pour chacune des coordonnées de Jacobi. Considérons donc un oscillateur spatial tout simple 𝐻0 = 𝒑2 + 𝒓 2 , et cherchons comment le rayon carré moyen h𝑟 2 i est modifié par une perturbation 𝜆 𝑣 1 qui peut être un terme de très courte portée, ou une correction coulombienne, ou une combinaison des deux. Normalement, il faut calculer la fonction d’onde perturbée 𝜓 = 𝜓0 + 𝜆 𝜓1 + · · · , avec 𝜓0 = (𝛼/𝜋)3/4 exp(−𝛼 𝑟 2 /2) et 𝛼 = 1, et en déduire h𝑟 2 i = 3/2 + 2 𝜆 h𝜓0 |𝑟 2 |𝜓1 i + · · · . Mais le calcul de Ψ1 peut s’avérer compliqué, que ce soit en sommant sur les états non perturbés ou en résolvant l’équation de Sternheimer. Le théorème d’échange, exposé par exemple dans [6] qui contient d’autres perles, permet de remplacer le calcul de la modification de h𝑟 2 i sous l’effet de 𝑣 1 par le calcul de la modification de 𝑣 1 sous l’effet d’une perturbation en 𝑟 2 . Considérons en effet la double

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288

15 Solution de certains exercices

perturbation

𝐻 = 𝐻0 + 𝜆 𝑣 1 + 𝜇 𝑣 2 , avec une fonction d’onde 𝜙(𝜆, 𝜇) et une énergie

𝐸0 + 𝜆 𝑎 1 + 𝜇 𝑏 1 + · · · + 𝜆 𝜇 𝑐 + · · · on peut identifier

𝑐=

𝜕h𝜓(0 , 𝜇)|𝑣 1 |𝜓(0 , 𝜇) 𝜕h𝜓(𝜆, 0)|𝑣2 |𝜓(𝜆, 0) = 𝜕𝜇 𝜕𝜇

Mais 𝜓(0 , 𝜇) est simplement la fonction d’onde non perturbée modifiée par 𝑎 = 1 → 𝑎 = (1 + 𝜇)1/2 . Au premier ordre, si on perturbe 𝐻0 par 𝑟 2 , seuls les niveaux voisins contribuent. On peut donc tronquer la série !

15.12 Exercices du chapitre 13 Exercice 109 b c¯ b b u¯ d¯

s c u ¯ d¯

Voir la figure ci-contre. Un des 𝑏 se transforme en 𝑐 et le 𝑊 émis donne une paire 𝑐¯ 𝑠 . On peut imaginer le second 𝑏 capturant le 𝑐¯, et le système 𝑠𝑐 𝑢¯ 𝑑¯ , qui est instable, se désintégrant en deux ou plusieurs mésons. Ici le 𝐵 𝑐 signe la production d’un tétraquark à double 𝑏 . Il a aussi été mentionné la possibilité de détecter un tétraquark à double 𝑐 dans la désintégration du 𝐵 𝑐 [7].

Exercice 115

La matrice doublement symétrique s’écrit

𝑎



1 0





0 0 +𝑏 1 1



1 , 0

et a donc√pour valeurs propres 𝑎 ± 𝑏 et vecteurs propres {1 , ±1}/ 2.

15.12 Exercices du chapitre 13

La matrice simplement symétrique, dans le cas réel, se décompose

𝑎+𝑑 1 0 2





s

0 + 1



𝑎−𝑑 2

2 +

𝑏2



cos 𝜗 sin 𝜗

sin 𝜗 , − cos 𝜗



et a donc pour valeurs et vecteurs propres

𝑎+𝑑 ± 2

s

{cos 𝜗/2 , sin 𝜗/2} ,



𝑎−𝑑 2

2

+ 𝑏2

{− sin 𝜗/2 , cos 𝜗/2} .

Si 𝑏 ≠ 𝑐 , on a une matrice « faussement non symétrique » dans la mesure où on peut se ramener au cas symétrique par un simple changement d’échelle. En effet, la transformation de coordonnées {𝑥, 𝑦} → {𝑋 = 𝑥 (𝑏/𝑐)1/4 , 𝑌 = 1/4 𝑦 (𝑐/𝑏) } transforme les deux éléments non diagonaux √ en 𝑏𝑐 √ . Les valeurs propres sont les précédentes avec 𝑏 → 𝑏𝑐 . Pour les vecteurs propres, il faut aussi faire la transformation d’échelle inverse pour se ramener aux coordonnées initiales.

Exercice 117 Posons 𝑓𝑖𝑗 𝑘ℓ = Im[𝑈 𝑖 𝑘 𝑈 𝑗∗𝑘 𝑈 𝑖ℓ∗ 𝑈 𝑗ℓ ] . L’orthogonalité des lignes 1 et 2 implique ∗ ∗ ∗ 𝑈11 𝑈21 + 𝑈12 𝑈22 + 𝑈13 𝑈23 =0,

en abrégé 𝑧 1 + 𝑧 2 + 𝑧 3 = 0. Les images de ces complexes forment un triangle, dont le double de la surface, orientée par la rotation de 𝑧 1 vers 𝑧 2 , est donné par leur produit vectoriel, soit Im(𝑧 1 𝑧 2∗ ) = 𝑓1212 . Cette aire est la même pour toutes les paires, au signe près, soit

𝑓1212 = 𝑓1223 = − 𝑓1213 = · · · Quand on écrit l’orthogonalité des colonnes, comme ∗ ∗ ∗ 𝑈11 𝑈12 + 𝑈21 𝑈22 + 𝑈31 𝑈32 =0,

on retrouve le même produit de départ, 𝑓1212 , qui se propage à d’autres jeux d’indices.

289

Glossaire ALICE : Une des expériences majeures du LHC, principalement dédiée à l’étude du plasma de quarks et de gluons formé dans les collisions d’ions lourds. Cette expérience a un grand potentiel pour l’étude des hadrons exotiques et de l’interaction hadron-hadron. Analyticité : Propriété mathématique des amplitudes de diffusion, facteurs de forme, etc., lorsqu’ils sont exprimés comme fonction d’invariants relativistes bien choisis. Antineutron : Antiparticule associée au neutron, découverte peu de temps après l’antiproton. Dans certaines théories d’unification de toutes les interactions, on prédit des oscillations neutron-antineutron qui provoqueraient l’instabilité des noyaux. Antiparticule : Particule de même masse, mais de charge et saveur opposées, associée à chaque particule. Certaines particules sont leurs propres antiparticules, et sont états propres de l’opérateur conjugaison de charge avec la valeur propre 𝐶 = +1 ou 𝐶 = −1. Antiproton : Antiparticule associée au proton. Découvert à Berkeley grâce à un accélérateur conçu spécialement. Antiquark : Antiparticule associée au quark. Voir quark. ATLAS : Une des grandes expériences auprès du LHC au CERN. BaBar : Expérience auprès du collisionneur 𝑒 + 𝑒 − asymétrique de SLAC. La prise de données est arrêtée, mais l’analyse continue. Baryon : État lié de trois quarks, contenant en outre des gluons et des paires quark-antiquark pour assurer la liaison. Baryon hybride : Noté symboliquement 𝑞𝑞𝑞 𝑔 . Il s’agit d’un configuration où les trois quarks constituants ne

16

292

16 Glossaire

forment pas un singulet de couleur. La neutralité de couleur est assurée par un gluon constituant. Baryonium : Méson préférentiellement couplé aux voies baryon-antibaryon. Voir le chapitre sur les hadrons exotiques. Beauté : Nombre quantique de saveur associé au quark 𝑏 . Suite à l’attribution de l’étrangeté S = +1 au méson 𝐾 + , on donna S = −1 au quark 𝑠 quand les quarks furent inventés. Par mimétisme, on a convenu que la beauté serait B = −1 pour le quark 𝑏 . Belle II : Dernière mouture du détecteur auprès du collisionneur 𝑒 + 𝑒 − asymétrique de KEK au Japon. L’expérience Belle a permis des découvertes importantes. BEPC : Collisionneur électron-positon de très haute intensité à Pékin, permettant l’étude de la région du charmonium. BES III : Détecteur auprès de BEPC, à Pékin. C’est une collaboration internationale qui exploite ce détecteur. Boîte de Pandore : Littéralement, d’après l’étymologie, ouvrir la boîte de Pandore, c’est provoquer beaucoup de malheurs en partant d’une bonne intention. Dans la physique des multiquarks, on emploie souvent cette expression à propos de chaque modèle qui explique bien un état particulier, mais en prédit beaucoup d’autres qui ne sont pas observés. Borroméen : État borroméen ou liaison borroméeenne. Un état à trois corps est borroméen s’il est lié alors que tous les sous-systèmes à deux corps ne le sont pas. Le nom vient du symbole de la famille Borromée, dont les membres sont forts tant qu’ils restent unis. Beaucoup de paires de hadrons sont à la limite de la liaison, comme 𝐷𝐷 ∗ , ou 𝐷𝐷 ∗ , et il est donc probable que certains systèmes faits de trois hadrons sont liés. Pour 𝑛 > 3 corps, un système est borroméen si certains sous-systèmes ne sont pas liés, de sorte qu’il ne peut être construit en ajoutant les constituants un à un avec des états intermédiaires stables. Bootstrap : Littéralement « tirant de bottes », en référence aux Aventures du Baron de Münchhausen [1, 2],

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parfois surnommé Baron de Crac dans les versions françaises, qui se serait sorti d’une mauvaise passe en s’élevant au moyen d’une traction sur ses bottes. Les nucléons interagissent en échangeant un pion. Ce pion est fait d’une paire baryon-antibaryon, entre autres. Bref, d’un certain point de vue, tout est dans tout et réciproquement dans le monde des hadrons. C’est ce qui a conduit Geoffrey Chew et ses collaborateurs à énoncer le principe de la « démocratie nucléaire » ou bootstrap [3]. Bosons intermédiaires : Médiateurs des interactions faibles. Pour les bosons chargés 𝑊 ± , il s’agit des courants chargés, dont les radioactivités 𝛽 ± . Pour le 𝑍 0 , il s’agit des courants neutres longtemps soupçonnés et découverts dans les années soixante-dix. Les bosons 𝑊 ± et 𝑍 0 ont été mis en évidence au CERN dans les années quatre-vingt grâce à des collisions antiproton-proton. Bretzelosité (Pretzelosity) : Nom donné à une des fonctions de structure dépendant à la fois de la quantité de mouvement transverse et de l’orientation du spin. Preuve qu’après l’étrangeté, le charme, la beauté et autres pingouins, les physiciens ne sont pas à court d’imagination pour baptiser les nouveaux concepts. Brookhaven : Grand laboratoire national situé dans Long Island, État de New-York. CDF : Une des grandes expériences réalisées avec le collisionneur antiproton-proton de Fermilab. CERN : Grand complexe d’accélérateurs à la frontière franco-suisse près de Genève, d’abord européen et maintenant international. CESR (Cornell Electron Storage Ring) : Prononcer « César ». Anneau de collisions 𝑒 + 𝑒 − à Cornell dans l’État de NewYork. Charme : Propriété des particules contenant le quark charmé 𝑐 ou l’antiquark 𝑐¯. Le nombre quantique de charme est noté C, avec C = +1 pour le quark 𝑐 et C = −1 pour 𝑐¯ . Par exemple, C = 3 pour Ω𝑐𝑐𝑐 = (𝑐𝑐𝑐), et C = 0 pour le pentaquark (𝑢𝑢𝑑𝑐 𝑐¯). Dans ce dernier cas, on dit que le charme est caché.

Par souci d’économie, on utilise la même notation pour l’opérateur et ses valeurs propres, ce qui n’est pas tout à fait correct du point de vue mathématique.

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16 Glossaire

CKM : Matrice de Cabibbo, Kobayahi et Maskawa. Rotation des quarks depuis les états propres des interactions fortes vers ceux des interactions faibles. Les éléments de la matrice CKM gouvernent le taux relatif des différentes désintégrations faibles. CLEOc : La dernière expérience auprès de CESR à Cornell. Particulièrement prolifique, par exemple sur la spectroscopie des baryons charmés. CMS : Une des quatre expériences majeures au LHC. COMPASS : Une expérience au CERN avec des faisceaux de muons ou de hadrons, étudiant entre autres la structure des hadrons et la spectroscopie. Conjugaison de charge : Transformation matière-antimatière. L’opérateur est noté 𝐶 . Couleur : Propriété de chaque quark d’exister sous trois couleurs différentes, et le gluon d’avoir huit états indépendants. L’algèbre de la couleur est basée sur SU(3). À l’origine, la couleur a été inventée pour expliquer la statistique des quarks dans les baryons. Puis la couleur est devenue l’ingrédient essentiel de la construction d’une théorie des interactions fortes, la QCD. Couplage critique : Pour un potentiel 𝑔 𝑉 où 𝑉 est attractif, c’est la valeur minimale de 𝑔 , positive, pour obtenir un état lié. Par extension, toute valeur plus grande de 𝑔 au-delà de laquelle un nouvel état apparaît dans le spectre. En physique hadronique, beaucoup d’interactions sont proches du couplage critique. C’est le cas de l’interaction de deux neutrons, ou d’un méson 𝐷 ¯ ∗. et d’un méson 𝐷 CPLEAR : Une des expériences de LEAR, mesurant différentes voies d’état final induites par des collisions ¯ , en particulier 𝐾 0 -𝐾 0 . 𝑝𝑝 Croisement : C’est l’ensemble des relations entre amplitudes déduites les unes des autres quand on fait passer une particule de l’état final à l’état initial ou réciproquement. Par exemple, la diffusion 𝜋+ 𝜋− → 𝜔𝜋0 est reliée à 𝜋+ 𝜋0 → 𝜔𝜋+ et à la désintégration 𝜔 → 𝜋+ 𝜋− 𝜋0 . DØ : Une des expériences majeures auprès du collisionneur antiproton-proton de Fermilab.

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Déphasage : Une onde plane exp(𝑖 𝑘 𝑧), projetée sur les ondes partielles, correspond à une composante radiale sin(𝑘 𝑟 + ℓ 𝜋/2). En présence d’une interaction élastique, elle est modifiée en sin(𝑘 𝑟 + ℓ 𝜋/2 + 𝛿ℓ ) à grande distance 𝑟 , où 𝛿ℓ est le déphasage. On écrit parfois la forme asymptotique de l’onde partielle comme proportionnelle à exp(−𝑖 𝑘 𝑟) − 𝑆ℓ exp(𝑖 𝑘 𝑟) avec 𝑆ℓ = 1 en absence d’interaction et 𝑆ℓ = exp(2 𝑖 𝛿ℓ ) avec interaction élastique. Cette dernière forme se prête le mieux aux généralisations. Si l’interaction est inélastique, |𝑆ℓ | < 1, ce qu’on écrit soit avec un déphasage complexe, soit sous la forme 𝑆ℓ = 𝜂ℓ exp(2 𝑖 𝛿ℓ ) avec 𝛿ℓ réel. Pour 𝑛 canaux couplés, 𝑆ℓ devient une matrice unitaire 𝑛 × 𝑛 . Diquark : Groupe de deux quarks. Le modèle des diquarks est assez controversé. Pour certains, c’est un concept innovant qui simplifie et illumine la description des baryons comme des systèmes quark-diquark et des mésons exotiques comme des systèmes diquarkantidiquark. Pour d’autres, c’est un palliatif misérable à l’incapacité de résoudre le problème à petit nombre de corps, qui conduit à une sous-estimation systématique des énergies. Diquonium : forme particulière de tétraquark, avec un regroupement des deux quarks en diquark, et des deux antiquarks en antidiquark. Si la structure en couleur ¯ on parle d’un 𝑇 -diquonium, pour 6-6, ¯ d’un 𝑀 est 3-3, diquonium, mais il y a possibilité de mélange des deux configurations. E760-E835 : Expériences de collision antiproton-proton pour l’état du charmonium et du charme dans la région de quelques GeV. La particularité est que le dispositif était installé dans l’anneau de stockage, ce qui interdisait d’utiliser un champ magnétique dans le détecteur. E791 : Une autre expérience à Fermilab, avec, entre autres, une recherche du pentaquark anticharmé. Effet Efimov : Propriété très subtile des systèmes à trois corps. Si la longueur de diffusion entre deux bosons

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16 Glossaire

devient très grande, on voit apparaître dans le système de trois bosons un très grand nombre d’états très faiblement liés. Par généralisation, voire par abus de langage, on appelle « physique Efimov » tout ce qui concerne les systèmes très faiblement liés. En physique hadronique, l’interaction entre deux hadrons est souvent à la limite entre liaison et non-liaison. On soupçonne donc la possibilité d’états de Efimov, ou, au moins d’états borroméens dans les systèmes de trois hadrons. Effet Mathieu : En référence au verset (13.12) de l’évangile de Mathieu : « Car on donnera à celui qui a, et il sera dans l’abondance, mais à celui qui n’a pas, on ôtera même ce qu’il a. » Cette règle s’applique à la politique fiscale de certains pays, et aussi à l’hydrostatique : quand on établit une communication entre deux bulles de savon de tailles inégales, c’est la petite qui se vide dans la grosse ! On parle aussi d’effet Mathieu pour regretter que les institutions les plus prestigieuses et les auteurs les plus réputés soient cités plus fréquemment que les autres, à qualité et antériorité de travail égales, ce qui accroît le déséquilibre [4]. Effet Mathilda : Pratique qui consiste à écarter les femmes de l’annonce des grandes découvertes et à présenter leur contribution comme subalterne. On souligne souvent la faible proportion de femmes titulaires d’une chaire de professeur dans certains pays et le petit nombre de femmes récipiendaires du prix Nobel. On cite par exemple Rosalind Franklin écartée des lauriers de la découverte de l’ADN au profit de Watson et Crick, ou Marthe Gautier dont les thuriféraires de Jérôme Lejeune s’acharnent à minimiser le rôle lors de la découverte de l’origine chromosomique du mongolisme, alors que dans l’équipe Turpin-Gautier-Lejeune, elle était la seule à avoir les compétences de culture cellulaire pour faire l’expérience qui s’est révélée cruciale ! En physique, il y a plusieurs cas, comme Lise Meitner, Rosalyn Bell, ou encore Chien-Shiung Wu, qui a découvert la violation de la parité. Effet Shadok : Application de la maxime « pourquoi faire simple quand on peut faire plus compliqué » des personnages d’une célèbre série télévisée entre les années 1968 et 1973. Il est vrai qu’en physique, un modèle

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simple marche parfois remarquablement et inexplicablement bien, et que toutes les corrections, qui le compliquent épouvantablement, n’améliorent pas beaucoup l’accord avec les données expérimentales. EHF : European Hadron Facility. Projet très ambitieux d’accélérateurs à protons de très haute intensité permettant des mesures de précision et l’étude de collisions hadroniques. Le projet n’a pas été approuvé, mais en a inspiré d’autres. Équations de Faddeev : Ce sont des équations intégrodifférentielles couplées qui permettent une résolution efficace du problème à trois corps. D’abord écrites dans l’espace des impulsions, elles ont été adaptées par Merkuriev, Gignoux et Laverne à des potentiels écrits dans l’espace de configuration. On peut aussi mentionner des travaux antérieurs de Skorniakov et Ter-Martirosian, ou parallèles de Alt, Grassberger et Sandhas (équations AGS). Les équations de Yakubovsky sont une généralisation à quatre corps ou plus. Espace de Fock : Espace de Hilbert élargi pour inclure les états à 1, 2 . . . particules et les transitions entre secteurs par opérateurs d’annihilation ou de création. Par exemple, le développement de Fock d’un état de charmonium peut s’écrire symboliquement

Φ = 𝛼0 |𝑐 𝑐¯i + 𝛼1 |𝑐 𝑐¯ 𝑞 𝑞¯ i + 𝛼2 |𝑐 𝑐¯ 𝑞 𝑞¯ 𝑞 𝑞¯ i + · · · où 𝑞 est un quark léger. Dans certains modèles, la première correction est reformulée comme étant principalement constituée d’une paire de mésons charmés, ¯ . |𝐷 𝐷i Étrangeté : Propriété attribuée aux particules 𝐾 , Λ, Σ, etc., produites par paires et se désintégrant faiblement. La classification des particules avec ou sans étrangeté a conduit au modèle des quarks. FAIR : Grand complexe expérimental en cours de construction à Darmstadt, pour l’étude des ions lourds et des hadrons. Fermilab : Grand laboratoire national situé près de Chicago. Il a longtemps tenu la palme des plus hautes

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énergies grâce à des collisions symétriques protonantiproton. Fonction d’Airy : Découverte et codifiée à propos de la diffraction, elle réapparaît pour décrire les niveaux des neutrons dans un champ de pesanteur et la dynamique des paires quark-antiquark liées par un potentiel linéaire. Après transformation, on se ramène à l’équation radiale réduite et ses conditions limites

−𝑢 00(𝑟) + 𝑟 𝑢(𝑟) = 𝐸 𝑢(𝑟) , 𝑢(0) = 0 , 𝑢(+∞) = 0 , qui ont pour solutions 𝐸 = −𝑎 𝑛 , où 𝑎 0 ' −2 ,33811 , 𝑎 1 ' 4 ,08795 . . . sont les zéros de la fonction, et 𝑢(𝑟) = Ai(𝑟 + 𝑎 𝑛 ). Autrement dit, on a la même fonction pour toutes les excitations radiales, mais décalée différemment pour chaque niveau. Autre curiosité, la version normalisée est 𝑢(𝑟) = Ai(𝑟 + 𝑎 𝑛 )/Ai0(𝑎 𝑛 ). Saurez-vous le démontrer ? Forces nucléaires : Essentielles pour la compréhension de la structure des noyaux. Comme l’interaction entre nucléons est induite par l’échange de mésons, la physique des mésons et la théorie des forces nucléaires sont intimement imbriquées. La liaison d’un proton et d’un neutron au sein du deutéron sert aussi de modèle pour comprendre d’autres « molécules » faites de deux hadrons. GIM : Le mécanisme de Glashow, Illiopoulos et Maiani, qui ont proposé en 1970 d’expliquer par des compensations subtiles pourquoi certaines transitions des kaons sont atténuées, en postulant l’existence d’un nouveau quark, 𝑐 , qui sera effectivement découvert quelques années plus tard. Gluon : Médiateur des interactions fortes. Le gluon porte une charge de couleur 8, et est donc confiné. On prête aussi au gluon un rôle constituant dans certains hadrons exotiques. Gluonium : État lié de plusieurs gluons. C’est donc un hadron exotique, sans quark ni antiquark constituant. Hexaquark : Système de six quarks, encore appelé dibaryon.

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Hypérons : Baryons porteurs d’étrangeté, découverts à la fin des années quarante dans les rayons cosmiques. Après le Λ et les Σ, et leurs excitations, d’étrangeté −1, viendront les Ξ, d’étrangeté −2, et enfin le Ω, d’étrangeté −3, découvert en 1964 à Brookhaven, prédiction du modèle des quarks. Isospin : Symétrie des forces nucléaires, basée sur SU(2), devenue symétrie des interactions fortes, et comprise ensuite comme une symétrie des quarks 𝑢 et 𝑑 . En première approximation, les interactions sont invariantes dans les rotations qui font passer de 𝑢 à 𝑑 . Les violations viennent de la différence de masse entre 𝑢 et 𝑑 et des corrections électromagnétiques. Jlab : Abréviation de Jefferson Laboratory. Laboratoire autour d’un accélérateur à électrons, à Newport News, en Virginie. Kaon : Méson porteur d’étrangeté. La première mise en évidence vient d’une expérience de rayons cosmiques, au début des années quarante par une équipe dirigée par Leprince-Ringuet et Lhéritier. KEK : Grand complexe expérimental au Japon, avec des faisceaux hadroniques et des collisions asymétriques électron-positon. LEAR : Low Energy Antiproton Ring. Dispositif de refroidissement et de distribution d’antiprotons refroidis, ayant permis des expériences de diffusion d’annihilation et de tests des symétries fondamentales. Après la fermeture de LEAR, la physique des antitprotons de basse éenrgie a continué au CERN avec AD (Antiproton Decelarator) et ELENA (Extra Low ENergy Antiprotons). LHC (Large Hadron Collider) : Collisions proton-proton ou noyau-noyau à des énergies pouvant atteindre 14 TeV. LHCb : Une des quatre expériences majeures au LHC, principalement dédiée à l’étude des saveurs lourdes. Longueur de diffusion : Limite de très basse énergie de l’amplitude de diffusion d’une réaction 𝐴 + 𝐵 → 𝐴 + 𝐵,

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de sorte que la distribution angulaire (ou section efficace différentielle) soit

u(r)

d𝜎 = |𝑎]2 . dΩ r u

u0

La longueur de diffusion 𝑎 est réelle si la réaction est élastique. Elle devient infinie si le système (𝐴, 𝐵) possède un état lié d’énergie nulle. On trouve 𝑎 comme limite de −𝛿(𝑘)/𝑘 quand 𝑘 → 0 où 𝑘 l’impulsion dans le centre de masse. Pour la diffusion par un potentiel, 𝑎 est le point d’annulation de la limite linéaire asymptotique 𝑢0 (𝑟) de la fonction d’onde radiale d’énergie nulle, 𝑢(𝑟), régulière à l’origine. Matrice S : La matrice 𝑆 contient toutes les informations relatives à une diffusion comme 𝑎 + 𝑏 → 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 . Dans le cas élastique, la matrice 𝑆 projetée sur l’onde partielle de moment orbital ℓ , correspond à 𝑆ℓ = exp(2 𝑖 𝛿ℓ ), où 𝛿ℓ est le déphasage. Les propriétés analytiques de la matrice 𝑆 ont été révélées et exploitées à partir des années cinquante. Ce qu’on appelle « théorie de la matrice 𝑆 » est la perspective de construire une théorie cohérente des interactions fortes à partir de l’analyticité, de l’unitarité et du croisement. Méson : État lié d’un quark et d’un antiquark, contenant en outre des gluons et des paires quark-antiquark pour assurer la liaison. Méson hybride : Noté symboliquement 𝑞¯ 𝑞 𝑔 . Il s’agit d’un configuration où le quark et l’antiquark constituants ne forment pas un singulet de couleur. La neutralité de couleur est assurée par un gluon constituant. Les mésons hybrides ont été aussi dénommés « hermaphrodites. » Multiquark : Système comprenant plus qu’un quark et un antiquark, ou plus que trois quarks. Pour obtenir un singulet de couleur avec 𝑞 𝑛 𝑞¯ 𝑚 , la règle dite de trialité impose que 𝑚 − 𝑛 soit un multiple entier de 3. On parle aussi des corrections de type multiquark aux hadrons ordinaires, avec par exemple pour le proton une composante principale 𝑢𝑢𝑑 et des composantes mineures comme 𝑢𝑢𝑑𝑠 𝑠¯ .

301

Nombre baryonique : Noté 𝐵, il compte les briques élémentaires de la matière, avec 𝐵 = +1 pour les baryons, et −1 pour les antibaryons, 0 pour les leptons. Pour les quarks, 𝐵 = +1/3, et pour les antiquarks, −1/3. Certaines théories de grande unification de toutes les interactions, reprises en cosmologie, prévoient une violation de 𝐵, mais ses conséquences, comme la désintégration du proton ou la transformation spontanée d’un neutron en antineutron, n’ont pas été encore détectées en laboratoire. Opérateur bla-bla : Art de diluer et d’agrémenter l’écriture. Ne dites pas « la fonction est continue », mais « Il faut remarquer que la fonction possède la propriété intéressante d’être continue ». Oscillations : Possibilité pour une particule de se transformer spontanément en une autre qui réagit différemment. Les oscillations les plus étudiées sont celles entre 𝐾 0 et 𝐾 0 , et leurs analogues dans les saveurs lourdes, 𝐵0 -𝐵0 , 𝐵0𝑠 -𝐵0𝑠 et 𝐷 0 -𝐷 0 , ainsi que 𝜈𝑒 -𝜈𝜇 pour les leptons. On spécule aussi sur des oscillations neutronantineutron qui pourraient rendre les noyaux instables. PANDA : Une des expériences prévues à FAIR, où l’on étudiera des réactions induites par des antiprotons de quelques GeV. Parité : Notée 𝑃 . Opération qui change 𝒓 en −𝒓 . Cette symétrie est violée par les interactions faibles, ce qui a été prédit par Lee et Yang en 1956 et vérifié par Mme Wu à la fin de cette même année, en étudiant l’asymétrie de l’émission 𝛽 de noyaux de Cobalt polarisés. Le produit 𝑃𝐶 est presque exactement conservé, mais une petite violation de 𝑃𝐶 été détectée par Christenson, Cronin, Fitch et Turlay en 1964. Particle Data Group ou PDG : Groupe de physiciens compilant toutes les données sur la physique des particules. Ils publient tous les deux ans une « bible » intitulée “‘Review of Particle Properties” et son condensé “Particle Physics Booklet”. Le groupe a été fondé par la réunion des initiatives de Arthur Rosenfeld et Matts Ross. Parmi les Français ayant participé aux travaux de PDG, on peut citer Lucien Montanet, qui a fait l’essentiel de sa carrière au CERN. PDG doit parfois faire des arbitrages délicats

Ne pas confondre l’expérimentateur américain Arthur Rosenfeld avec le théoricien belge Léon Rosenfeld Matt Ross était aussi un artiste et on pouvait admirer ses œuvres dans sa maison d’architecture très moderne au milieu des bouleaux, près de Helsinki.

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pour les résonances dont le statut est incertain, ou n’est étayé que par des modèles théoriques discutables. Les coordinateurs de PDG s’efforcent de recueillir le plus grand nombre d’avis et ne tranchent qu’après beaucoup de concertations. Pentaquark : Terme utilisé pour désigner des systèmes contenant quatre quarks et un antiquark. Photon : Médiateur des interactions électromagnétiques. Et aussi une sonde très utile de la structure des hadrons. Pingouin : Forme particulière de diagramme qui intervient dans la désintégration faible des saveurs. L’usage de ce nom résulterait d’un pari perdu par le théoricien John Ellis. Il est vrai que la forme évoque la silhouette d’un pingouin. Pion : Particule médiatrice des forces nucléaires et premier (et le plus léger) des mésons. Le pion a été prédit par Yukawa en 1935 et découvert dans les rayons cosmiques en 1947. Plagiat : Reproduction du travail de collègues en omettant de les citer. Pratique de plus en plus difficile à cause des logiciels de détection de similitude [5]. Portée effective : Si la longueur de diffusion mesure l’intensité globale de l’interaction, la portée effective reflète sa répartition spatiale. Pour la diffusion dans un potentiel, la portée effective 𝑟0 intervient dans le développement de basse énergie du déphasage de l’onde S 1 𝑟0 2 𝑘 cot 𝛿(𝑘) = − + 𝑘 +··· 𝑎 2 On la retrouve dans l’intégrale associée à la solution régulière à énergie zéro

𝑟0 = 2

∫

∞

(𝑢02 − 𝑢 2 ) d𝑟 ,

0

avec 𝑢 → 𝑢0 quand 𝑟 → ∞, à condition que la solution asymptotique soit normalisée comme 𝑢0 (𝑟) = 1 − 𝑟/𝑎 .

303

Poursuite d’ambulance : Pratique douteuse de certains avocats américains à court de dossiers qui suivent les ambulances pour proposer aux blessés un contrat d’assistance en cas de raté de leur opération. Par extension [6], pratique qui consiste à se précipiter sur toute nouvelle annonce expérimentale pour être le premier à en offrir une interprétation, souvent un peu bâclée. PS185 : Code d’une expérience à l’anneau LEAR du CERN pour mesurer les observables de la réaction ¯ → ΛΛ. 𝑝𝑝 Quark : Constituant élémentaire des hadrons. Un méson ordinaire contient un quark et un antiquark, l’antiparticule associée au quark. Un baryon est fait de trois quarks, un antibaryon de trois antiquarks. R704 : Nom de code de la dernière expérience aux ISR (Intersecting Storage Ring) au CERN. Pour la première fois des états du charmonium ont été produits lors d’une collision antiproton-proton. Références : Un art de plus en plus compliqué, compte tenu de la multiplication des publications, et ce, malgré la mise à disposition d’outils de recherche bibliographiques de plus en plus puissants. Voir par exemple [7]. Renversement du temps : Opération qui change le sens du temps, 𝑡 → −𝑡 . Pratiquement toutes les théories prédisent que le produit 𝐶𝑃𝑇 est conservé, avec comme conséquence que la masse d’un antiparticule est exactement la même que celle de la particule correspondante. Une violation de 𝐶𝑃 implique donc une violation compensatoire de 𝑇 . Une mesure directe de la violation de 𝑇 a été effectuée dans une expérience avec des antiprotons au CERN. Résonance : État métastable de deux ou plusieurs hadrons, de masse au-dessus du seuil de dissociation. Une résonance étroite est la continuation d’un état lié quand l’intensité de l’interaction diminue. Les résonances larges sont plus délicates à interpréter. Saveur cachée : Propriété de certains hadrons de contenir des quarks lourds dont les nombres quantiques de saveur se neutralisent. L’exemple historique est le

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charmonium 𝑐 𝑐¯, et plus récemment les candidats pentaquarks 𝑞𝑞𝑞𝑐 𝑐¯ annoncés par la collaboration LHCb. Saveur ouverte : Manifestation de la saveur (charme ou beauté) d’un hadron contenant un ou plusieurs quarks lourds. Le premier exemple est le méson 𝐷 découvert par Gerson Goldhaber et al. à SLAC en 1976. SLAC : Grand laboratoire en Californie près de San Francisco, qui s’est illustré notamment par des expériences de collisions électron-proton ou électron-noyau et des collisions symétriques puis asymétriques électronpositon. SuperLEAR : Projet très ambitieux, élaboré dans les années quatre-vingt, d’accélérateur à antiprotons de quelques GeV pour la physique du charme et des baryons lourds, entre autres [8]. SuperLEAR n’a pas été approuvé par les instances du CERN. Tétraquark : Terme utilisé pour désigner des systèmes contenant deux quarks et deux antiquarks. Bien que ce ne soit pas justifié, il est malheureusement d’usage courant de dire que le tétraquark est formé d’un diquark et d’un antidiquark. Top : Le quark 𝑡 , partenaire du 𝑏 dans la troisième génération, est le plus lourd des quarks. Il se désintègre très rapidement par interaction faible, et n’a pas le temps de former des hadrons.

Je ne sais pas qui a établi ce résultat. Je le tiens de K. Bleuler.

Trialité : Pour qu’un système 𝑞 𝑛 𝑞¯ 𝑚 de 𝑛 quarks et 𝑚 antiquarks forme un singulet de couleur, il est nécessaire que 𝑛 − 𝑚 soit un multiple de 3. Un théorème un peu moins évident est que si on considère une collection de 3 𝑁 quarks qui forme un singulet de couleur, il existe toujours au moins une partition (𝑞𝑞𝑞)(𝑞𝑞𝑞) . . . faite de singulets de couleur. Unitarité : Conservation des probabilités. L’unitarité est responsable de la réalité du déphasage 𝛿ℓ intervenant dans la matrice 𝑆ℓ = exp(2 𝑖 ℓ ). Plus généralement, l’unitarité relie l’amplitude de la réaction 𝑎 + 𝑏 → 𝑐 + 𝑑 à toutes les amplitudes de 𝑎 + 𝑏 → 𝑋 et 𝑋 → 𝑐 + 𝑑 qui peuvent contribuer à la séquence 𝑎 + 𝑏 → 𝑋 → 𝑐 + 𝑑 .

Références

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Références [1]

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J. M. Richard, E. Aslanides, and N. Boccara, eds. The Elementary structure of matter. Proceedings, Workshop, Les Houches, France, March 24 - April 2, 1987. Vol. 26. Springer. Berlin, Germany: Springer, 1988 (cited on page 304).

Index des sujets annihilation, 2, 3, 6, 27, 34, 48, 72, 84, 152, 155, 157, 160, 165, 168, 169, 173, 184, 207, 208, 211, 221, 222, 228, 231, 248, 249, 251, 297, 299 antineutron, 33, 204, 210, 243, 291, 301 antiproton, 3, 5, 6, 15, 31–34, 83, 150, 152, 153, 155, 160, 187, 204, 207, 209, 210, 227, 230, 249, 291, 293–295, 298, 299, 303, 304 antiquark, 6, 10–12, 21, 24, 27, 35, 71, 73, 74, 86, 87, 108, 109, 121, 125, 129, 134, 135, 142, 145, 146, 155, 156, 160, 163, 165, 166, 168, 169, 171, 174, 183, 189, 194, 197, 214, 221, 250, 251, 291, 293, 298, 300–304 beauté, 11, 12, 22, 24–27, 35, 104, 149, 161, 238, 242, 253, 254, 292, 293, 304 Born-Oppenheimer, 64, 87, 107, 129, 138, 142, 170, 279 Brookhaven, 9, 11, 27, 32, 34, 110, 136, 150, 152–154, 209, 215, 226, 293 CERN, 12, 13, 27, 31–35, 47, 83, 106, 136, 204, 207, 209, 210, 228, 231, 249, 291, 293, 301, 303, 304 charme, 11, 12, 22–24, 26, 27, 35, 104, 106, 117, 196, 226, 238, 240, 242, 250–252, 293–295, 304

Δ, 4, 9, 26, 27, 96, 97, 99–101, 124, 130, 138, 148, 163, 189 désintégration, 2–4, 7, 8, 10–12, 21, 25, 28, 31, 37–43, 45, 47–49, 71, 78, 80, 83, 84, 106, 126, 137, 145, 149, 151–153, 155, 156, 160, 162–164, 168, 171, 172, 210, 221, 223, 226, 231, 237–239, 242–248, 250, 252, 255, 257, 294, 301 diquark, 102, 107, 115–117, 142, 146, 166, 170, 172, 295, 304 dualité, 167, 168 étrangeté, 6–9, 14, 22–24, 26, 31, 33, 36, 105, 145, 148–151, 154, 167, 211, 223, 231, 238, 242–244, 246, 250, 292, 293, 299 exotiques, 78, 85, 102, 137, 145, 247, 261, 292, 298 Fermilab, 33, 34, 62, 76, 83, 104, 106, 150, 151, 163, 293–295, 298 isospin, 8–10, 14, 15, 25, 27, 100, 101, 106, 108, 126, 133, 154, 156, 157, 160, 161, 165, 194, 208, 230, 299 kaon, 7, 9, 10, 24–26, 31, 32, 76, 124, 127, 150–152, 154, 157, 159, 161, 167, 168, 209, 211, 227, 230, 231, 246–249, 251, 292, 294, 298, 299, 301

Λ, 7–9, 27, 29, 84, 104, 105, 124, 127, 148, 149, 151, 152, 158, 159,

308

Index des sujets

161, 163, 164, 197, 210, 211, 214, 216, 223–225, 230, 238, 244, 262, 299 MIT, 13, 121, 122, 124, 127, 128, 130 moment magnétique, 4, 185, 223, 224, 226 moment quadrupolaire, 226 multiquark, 127, 135–137, 145, 146, 151, 154, 161–166, 168–172, 262, 292 hexaquark, 126, 158, 168, 298 pentaquark, 147, 150–152, 155, 161, 163, 168, 245, 293, 295, 302, 304 tétraquark, 146, 254, 295, 304 muon, 2, 13, 31, 78, 83, 88, 137, 184, 185, 189, 191, 199, 226, 232, 233, 237, 239, 240, 242, 243, 253 neutron, vii, 1, 2, 5, 8, 9, 15, 33, 51, 52, 60–62, 65, 101, 102, 145, 147, 148, 157, 188, 204, 224, 225, 232, 237–240, 242, 243, 291, 294, 301 noyau, 2, 4, 8, 13, 15, 78, 83, 90, 111, 127, 141, 147–149, 153, 157, 167, 173, 203, 204, 209, 223, 225–228, 233, 237, 242–245, 299, 301, 304

Ω− , 9, 24, 29, 57, 96, 101, 226, 227, 231, 244, 299 𝜔, 10, 124, 127, 154, 165, 186–188, 294 𝜙 , 10, 11, 76, 84, 124, 249 photon, 2, 14, 22, 23, 35, 41, 45, 48, 49, 83, 102, 108, 133, 134, 137, 150, 183–191, 199, 203, 204, 221, 223 pion, 2, 21, 25–27, 31, 32, 40, 41, 47, 49, 102, 108, 124, 127, 128,

138–140, 152–155, 161, 162, 165, 203, 205, 207, 208, 216, 221, 223, 227, 228, 231, 293, 294, 302 positon, 5, 6, 21, 31, 35, 36, 71, 78, 83, 88, 108, 184, 189, 221, 222, 231, 237, 249, 292, 293, 299, 304 proton, 2–5, 8, 9, 13, 15, 21, 23, 24, 31–33, 36, 48, 83, 101, 102, 107, 124, 141, 145, 148, 151, 155, 157, 170, 185–192, 194, 195, 197, 199, 203, 204, 210, 215, 223, 224, 226, 228, 232, 237, 238, 242, 243, 249, 293–295, 298, 299, 301, 303, 304 QCD, 14, 71, 73, 84–86, 95, 103, 108, 109, 122, 123, 133, 134, 136, 139, 146, 161, 166–168, 170, 171, 188, 196, 198, 214, 261, 262, 294 quark, 6, 10–14, 21–24, 26, 27, 29, 33, 35, 71–74, 76, 80, 83, 84, 86, 87, 95–99, 102–110, 113, 115–117, 121–130, 133–139, 141–143, 145, 146, 149–151, 154–171, 173, 174, 183, 188, 189, 194–198, 203, 211, 213–215, 218, 221–227, 238–240, 242, 244, 246, 250–256, 261, 291, 293–295, 297–304 quarkonium, 35, 71, 73, 75–78, 80, 83–88, 90, 95, 121, 135–137, 153, 165, 170, 171, 213, 222, 279 bottomonium, 12, 26, 71, 72, 76, 77, 142, 151, 165, 171 charmonium, 1, 11, 26, 71, 72, 76–79, 83, 85, 86, 88–91, 95, 104, 106, 107, 128, 129, 142,

Index des sujets

155, 156, 165, 166, 170, 171, 295, 297, 303, 304

𝜌, 3, 25, 108, 124, 127, 139, 154, 161, 187, 188 SLAC, 11, 13, 35, 71, 84, 151, 291, 304 spin, 8, 9, 14, 35, 42, 43, 51, 52, 54, 57, 59, 60, 63, 79, 81, 96, 97, 99–102, 105, 107, 124, 127,

309

133, 147, 151, 152, 157, 158, 160–162, 185, 186, 191, 194, 195, 197, 198, 203–215, 224, 226, 237, 242, 245–247, 264, 265, 273, 274, 282, 284, 285, 287

𝜏, 12, 21, 245 top, 12, 21, 33

Index des noms Ader, J.-P., 166 Airy, G., 298 Alt, E., 297 Anderson, C., 5 Arndt, R., 115 Artru, X., 2, 109, 198 Aslanides, É., vii Auger, P., 31 Barnes, T., 154 Beaumarchais [Caron de], P., 151 Becker, H., 2 Becquerel, H., 2, 37 Bell, J., 86 Bertlmann, R., 86, 90 Bicudo, P., 171 Bjorken, J., 107, 191, 192, 198 Blatt, J., 273 Bleuler, K., 304 Bose, S., 52 Bothe, W., 2 Bovet, D., 245 Braaten, E., 170 Breit, G., 72, 79, 90, 127, 162, 214 Brodsky, S., 197 Brown, G.E., 4, 121, 127 Butler, C., 7 Cabibbo, N., 238–240, 294 Callan, C., 192 Camus, A., 245 Carroll, L., 128 Casimir, H., 63, 67 Ceva, G., 267 Chadwick, J., 2 Chamberlain, O., 5 Chan, H.M., 146, 163 Charpak, G., 37

Chew, G.F., 167, 293 Christenson, J.H., 248, 301 Chung, S.U., 154 Clebsch, A., 53, 57, 59, 64, 65, 67, 273, 274 Cooper, L., 265 Coulomb, A., 87 Cronin, J.W., 248, 301 Curie Pierre, 1 Pierre et Marie, 2, 37 Dac, P., 251 Dalitz, R., 43, 95, 161, 262, 266 Dalpiaz, P., 34 Darwin, Ch., 72 Day, T.B., 228 Debye, P., 2 Deser, S., 229, 232, 233 DeTar, C., 122 Dirac, P., 5, 39, 121 Dolen, R., 167 Donnelly, T., 1 Dosch, H.G., 172 Dover, C., 160, 163 Drell, S., 189 Efimov, V., 111 Einstein, A., 52, 248 Ellis, J., 302 Epelbaum, E., 140 Ericson, T., 1 Espagnat, B. d’, 2 Estermann, I, 223 Fabre de la Ripelle, M., 111 Faddeev, L., 95, 297 Fayard, C., vii

312

Index des noms

Fermat (de), P., 110, 129 Fermi, E., 3, 68, 72, 79, 90, 138, 160, 162, 214, 238, 239 Fisher, M.E., 173 Fitch,V.L., 248, 301 Fock, V., 116, 145 Fonseca, A, 107 Fowler, W., 9 Franklin, R., 296 Fraser, G., 1 Friedman, J., 13 Fritzsch, H., 14 Gauss, C., 285 Gautier, M., 296 Gell-Mann, M., 9, 14, 57, 68, 69, 239 Georgi, H., 214 Gerlach, W., 247 Gignoux, C., 163, 297 Glashow, S.L., 11, 214, 298 Glozman, L., 128 Goldberger, M., 203 Goldhaber Goldhaber, G., 11, 226, 304 Goldhaber, M., 226 Gordan, P., 53, 57, 59, 64, 65, 67, 273, 274 Gram, J., 265 Grassberger, P., 297 Green, A.M., 171 Green, G., 279 Greenberg, O., 95 Gross, D., 134, 192 Grosse, H., 71, 77 Guberina, B., 251 Hall, R.L., 173 Hasenfratz, P., 121, 128 Heller, L., 166 Héron d’Alexandrie, 277 Hey, A., 95 Hill, R., 231 Høgaasen, H., 163

Horn, D., 167 Hylleraas, E., 88, 116, 173 Illiopoulos, J., 11, 298 Imachi, M., 109 Isgur, N., 95, 102, 142, 169, 232, 287 Jackson, A.D., 4 Jackson, J.D., 71 Jacob, M., 95, 207 Jacobi, Ch., 65, 96, 98, 102, 105, 111, 112, 114–116, 127, 245 Jaffe, R., 125, 126, 162 Jarlskog, C., 42, 242, 257 Johnson, K., 121, 125 Joliot-Curie Irène, 1 Irène et Frédéric, 5 Joyce, J., 10 Källén, G., 42 Kalogeropoulos, T., 153 Karl, G., v, vii, 95, 232, 287 Kendal, H., 13 Kibble, T., 265 Klasen, M., 184 Klempt, E., 102 Kobayashi, M., 240, 294 König, J., 44 Koniuk, R., 232, 287 Kuti, J., 128 Lagarrigue, A., 189 Lagrange, L., 276 Landau, L., 223 Laverne, A., 297 Le Verrier, U., 11 Le Yaouanc, A., 166 Leader, L., 184 Lederman, L., 12, 76, 245 Lee, T.D., 55, 68, 245, 301 Leprince-Ringuet, L., 6, 299 Leutwyler, H., 14 Levi-Civita, T., 63, 98

Index des noms

Lhéritier, M., 6, 299 Lipkin, H., 163 Liu, K., 127 Lorentz, H., 39, 183, 185, 198, 199 Lévy, M., 239 Lévy-Leblond, J.-M., 173

Politzer, D., 134 Post, H.R., 173 Povh, B., 149 Predazzi, E., 184 Primakoff, H., 223 Ptolémée, C., 277

Maglich, B., 152 Maiani, L., 11, 298 Mandelstam, S., 38, 39, 42, 184 Markum, H., 171 Martin, A., vii, 71, 77, 86, 88, 90, 95 Maskawa, T., 240, 294 Merkuriev, S., 297 Michel, L., 55 Miller, G., 128 Mills, A., 231 Mills, R., 14, 133 Montanet, L., 34, 301

Queuille, H., 147 Quigg, C., 71, 77

Nachtmann, O., 195 Nakano, T., 150 Napoléon, 277 Narison, S., 172 Navarra, F., 172 N’eeman, Y., 9 Newton, I., 55 Nielsen, H., 128 Nielsen, M., 172 Nussinov, S., 90 Okubo, S., 57, 68, 69 Okun, L., 245 Oliver, L., 166 Ore, A., 173 Pais, A., 1, 3 Pati, J., 228 Pauli, W., 4, 23, 52, 63, 205, 223, 237 Pène, O., 166 Perl, M., 12 Podolsky, B., 248 Poisson, S., 78

313

Rabi, I., 2 Rarita, W., 82 Raynal, J.-C., 166 Reinders, L., 85 Richard, J.-M., 166 Rider, Alan H., 12 Riska, D., 128 Rochester, G., 7 Roper, L.D., 100, 101, 103, 107, 115, 137 Rosen, N., 248 Rosenfeld, A., 1, 301 Rosenfeld, L., 301 Rosner, J., 71, 77 Ross, M., 301 Rossini, G., 151 Rubinstein, H., 85 Ruelle, M.E., 173 Rujula [de], A., 214 Rutherford, E., 2, 13, 31 Sakharov, A., 54 Sakurai, J., 186 Samios, N., 9 Sandhas, W., 297 Schmid, C., 167 Schrödinger, E., 64, 74, 107, 112 Schwinger, J., 78, 79, 82, 89 Segrè, E., 1, 5 Shapiro, I., 160, 163, 230 Shifman, M., 85 Six, J., 2 Skyrme, T., 138 Snow, G.E., 228

314

Index des noms

Soffer, J., 215 Stancu, F., 163 Steiner, J., 110 Sterbini, C., 151 Stern, O., 4, 223, 247 Sternheimer, R., 226, 287 Sucher, J., 228 Taxil, P., 111, 166 Taylor, B., 140 Taylor, R., 13 Telegdi, V., 245 Teresi, D., 245 Thomas, A., 128 Thorn, Ch., 125 Todd, A.R., 245 Torricelli, E., 110, 129 Trueman, L., 229, 232, 233 Turlay, R., 7, 248, 301 Urey, H., 147 Vainshtein, A., 85 Viviani, V., 38, 43, 110, 267 Watson, K., 203

Weinberg, S., 139 Weise, W., 1 Weisskopf, V., 273 Wheeler, J., 173 Wick, G.C., 207 Wilczek, F., 134 Wilson, Ch., 37 Wilson, K, 86 Wilson, R.R., 12 Wolfenstein, L., 242 Wong, C., 127 Wu, C.S., 42, 245, 246, 296, 301 Yakubovsky, O., 297 Yan, T.M., 189 Yang, C.N., 14, 55, 68, 133, 160, 223, 245, 301 Yazaki, K., 85 Yazaki, S., 85 Yukawa, H., 1, 2, 31, 68, 128, 140, 261, 302 Zakharov, V., 85 Zel’dovich, Ya., 230 Zhu, S.L., 164, 172 Zweig, G., 10, 11, 72, 76, 84, 128