Ingenieurklausur im Nacken?: Mit Methode locker packen [2. Auflage] 3658417404, 9783658417406, 9783658417413

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Klaus-Jürgen Peschges Steffen Manser Thomas Zipsner

Ingenieurklausur im Nacken? Mit Methode locker packen 2. Auflage

Ingenieurklausur im Nacken?

Klaus-Jürgen Peschges · Steffen Manser · Thomas Zipsner

Ingenieurklausur im Nacken? Mit Methode locker packen 2. Auflage

Klaus-Jürgen Peschges Laudenbach, Deutschland

Steffen Manser Mannheim, Deutschland

Thomas Zipsner Essenheim, Deutschland

ISBN 978-3-658-41740-6 ISBN 978-3-658-41741-3 (eBook) https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3 Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über http://dnb.d-nb.de abrufbar. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2020, 2023 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von allgemein beschreibenden Bezeichnungen, Marken, Unternehmensnamen etc. in diesem Werk bedeutet nicht, dass diese frei durch jedermann benutzt werden dürfen. Die Berechtigung zur Benutzung unterliegt, auch ohne gesonderten Hinweis hierzu, den Regeln des Markenrechts. Die Rechte des jeweiligen Zeicheninhabers sind zu beachten. Der Verlag, die Autoren und die Herausgeber gehen davon aus, dass die Angaben und Informationen in diesem Werk zum Zeitpunkt der Veröffentlichung vollständig und korrekt sind. Weder der Verlag noch die Autoren oder die Herausgeber übernehmen, ausdrücklich oder implizit, Gewähr für den Inhalt des Werkes, etwaige Fehler oder Äußerungen. Der Verlag bleibt im Hinblick auf geografische Zuordnungen und Gebietsbezeichnungen in veröffentlichten Karten und Institutionsadressen neutral. Planung/Lektorat: Eric Blaschke Springer Vieweg ist ein Imprint der eingetragenen Gesellschaft Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH und ist ein Teil von Springer Nature. Die Anschrift der Gesellschaft ist: Abraham-Lincoln-Str. 46, 65189 Wiesbaden, Germany Das Papier dieses Produkts ist recyclebar.

V

Vorwort Nee, nicht schon wieder ein neues Buch zu Klausurtipps. Falls Sie so denken sollten, nehmen Sie sich bitte noch 3 Minuten mehr Zeit und lesen Sie weiter. Es handelt sich um ein Buch zur sicheren Klausurvorbereitung für generell alle Hürdenfächer in Ingenieurdisziplinen und wurde in erster Linie für Studierende der Ingenieurwissenschaften an Fachhochschulen, Hochschulen für angewandte Wissenschaften und Technische Hochschulen/Universitäten verfasst. Was braucht man für eine gute Klausurvorbereitung. Zunächst einmal „alte“ Klausuren, möglichst von der Hochschule an der man auch studiert. Das gibt Ihnen Sicherheit für die von Ihnen zu behandelnden Themen und den zu erwartenden Schwierigkeitsgrad der einzelnen Aufgaben. So weit, so gut. Was müssen Sie nun selbst noch leisten? Dieses Buch gibt Ihnen alles an die Hand, um die relevanten Klausuren möglichst beim ersten Anlauf erfolgreich zu bestehen. Wie macht das Buch das? Das Wichtigste ist, dass das Buch aus der Sicht von Studierenden bzw. unter Beteiligung von Studierenden geschrieben wurde. Gegenüber der ersten Auflage, die sich ausschließlich auf die Anwendung der Mehrschritt-Methode für die Fluidmechanik beschränkt hat, werden in der Neuauflage darüber hinaus Klausuraufgaben aus den wichtigsten/schwierigsten Ingenieurfächern exemplarisch in der gleichen methodischen Vorgehensweise gelöst. Die stets gleiche Ablauf-Struktur bei der sicheren Lösungsfindung in beliebigen Klausurfächern ist ein unschätzbarer Vorteil, und das bei minimalem Lernaufwand. Die Methode ist natürlich auch für komplexere Aufgabenstellungen in der betrieblichen Ingenieurpraxis nutzbar! Sie werden zusätzlich auch einfache Dinge/Skills lernen, wie beispielsweise „Markieren“, die Sie auf Kurs halten. Bei Fragen scheuen Sie sich bitte nicht unter [email protected] oder [email protected] Kontakt zu uns aufzunehmen. Vielen Dank und viel Erfolg! Ihre Klaus Peschges

Steffen Manser

Thomas Zipsner

VII

V0 Inhalt In diesem Kapitel erhalten Sie einen Überblick über die Themen des Buches. Die Inhaltsübersicht zeigt die Hauptkapitel mit zugehörigen Seitenzahlen an, das Inhaltsverzeichnis gibt detailliert die behandelten Themen in den einzelnen Kapiteln wieder.

V0.1 Inhaltsübersicht Kapitelname V0

Seite

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII V0.1 Inhaltsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII V0.2 Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VIII

V1

Was Sie vorab wissen sollten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

V2

Fluidmechanik-Effekte sind spannend und erklärbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVI

V3

Zusammenfassung (exemplarisch für die Fluidmechanik) . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XVIII

1

Die wichtigsten Grundlagen der Fluidmechanik einfach erklärt. . . . . . . . . . . . . 1

2

Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

3

Aufgaben aus allen Bereichen der Fluidmechanik mit Lösungen . . . . . . . . . . . . 161

4

Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik. . . . . . . . . . . . . . . . 274

5

Klausur sicher bestehen (Abrufbar bei Interesse)

6

Klausur fair formulieren und beurteilen (Abrufbar bei Interesse) Literatur- und Quellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Wem wir Dank sagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

313

Eine Formelsammlung, Kap. 5 – Klausur sicher bestehen sowie Kap. 6 – Klausur fair formulieren und beurteilen werden unter link.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten. Videos zu strömungstechnischen Experimenten sind ebenfalls unter diesem Link abrufbar.

VIII

V0 Inhalt

V0.2 Inhaltsverzeichnis Kapitelname V0

Seite

Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII V0.1 Inhaltsübersicht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII V0.2 Inhaltsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VIII

V1

Was Sie vorab wissen sollten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XII

V2

Fluidmechanik-Effekte sind spannend und erklärbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVI

V3

Zusammenfassung (exemplarisch für die Fluidmechanik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . XVIII

1

Die wichtigsten Grundlagen der Fluidmechanik einfach erklärt . . . . . . . . . . . . 1 1.1

Wichtige Begriffe der Fluidmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2

Wichtige Stoffwerte, Konstanten, Einheiten und deren Umrechnung . . . 9 1.2.1 Stoffwerte und Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.2 Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.3 Einheiten-Umrechnungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.3

Grundlagen für ruhende Fluide (Fluidstatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.1 Statischer Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.3.2 Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.3.2.1 Grundlagen der Hydrostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.2.2 Druckkraft auf Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Druckkraft auf senkrechte Seitenwand . . . . . . . . . . . . . . 20 Druckkraft auf schräg geneigte Wand . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2.3 Statischer Auftrieb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.3.2.4 Freie Oberflächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.3 Aerostatik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.4

Energieerhaltungssatz für ideale Fluidströmungen (Bernoulli-Energiegleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.1 Bernoulli-Gleichung für ideale Fluidströmungen . . . . . . . . . . . . . . 33 1.4.2 Erweiterte (Energie-)Gleichungen für Fluidströmungen . . . . . . . . 39 1.4.2.1 Druckänderungen quer zu den Stromlinien . . . . . . . . . . 40 1.4.2.2 Bernoullische Energiegleichung in rotierenden Bezugssystemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 1.4.2.3 Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung . . . . . . . 51 1.4.2.4 Bernoulli-Gleichung für stationäre Strömung bei Energiezufuhr oder -abfuhr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

V0 Inhalt

1.5

IX

Reibungsbehaftete Fluidströmungen (Durchströmung) . . . . . . . . . . . . . . . 58 1.5.1 Bernoulli-Gleichung für verlustbehaftete Strömungen . . . . . . . . . 59 1.5.2 Verluste bei laminarer Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 1.5.3 Verluste bei turbulenter Rohrströmung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 1.5.4 Druckverluste von Einzel-Strömungsstörern . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 1.5.5 Zusammengesetzte Widerstände im Strömungssystem. . . . . . . . . 70 1.5.5.1 Reihenschaltung von Strömungselementen . . . . . . . . . . 70 1.5.5.2 Parallelschaltung von Strömungselementen . . . . . . . . . . 71 1.5.5.3 Beliebige Schaltung von Strömungselementen . . . . . . . 72

1.6

Reibungsbehaftete Umströmung von Körpern . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 1.6.1 Reibungs-Grenzschichten und Reibungswiderstand . . . . . . . . . . . 77 1.6.2 Formwiderstand durch Strömungsablösung bzw. Totwasser . . . . 81 1.6.3 Gesamtwiderstand umströmter Körper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 1.6.4 Dynamischer Auftrieb (Querkraft) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

1.7

Kraftwirkungen bei realen, stationären Fluidströmungen auf begrenzende Wände . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1.7.1 Grundlagen zum Impulssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 1.7.2 Grundlagen zum Drehimpulssatz (Drallsatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

1.8

Sondergebiete der Fluidmechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.8.1 Grenzflächenspannung σ und Kapillarität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 1.8.1.1 Grenzflächenspannung σ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 1.8.1.2 Meniskus, Kapillarität und Kontaktwinkel . . . . . . . . . . . . 109 1.8.2 Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 1.8.3 Ähnlichkeits- und Modellgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 1.8.3.1 Ähnlichkeitsgesetze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 1.8.3.2 Modellgesetze und deren Kennzahlen . . . . . . . . . . . . . . 121 1.8.3.3 Kennzahlen für die Praxis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 1.8.4 Gasströmungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 1.8.4.1 Grundgleichungen dichteveränderlicher Fluide . . . . . . . 128 1.8.4.2 Rohrströmung dichteveränderlicher Fluide . . . . . . . . . . 130

2

Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 2.1

Anwendung zu Kap.1.1 (Grundlagen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

2.2

Anwendung zu Kap.1.2 (Stoffwerte und Einheiten) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

2.3

Anwendung zu Kap.1.3 (Fluidstatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

X

V0 Inhalt

3

2.4

Anwendung zu Kap.1.4 (Bernoulli-Gleichung) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144

2.5

Anwendung zu Kap.1.5 (Durchströmung mit Reibung) . . . . . . . . . . . . . . . . 147

2.6

Anwendung zu Kap.1.6 (Umströmung von Körpern) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

2.7

Anwendung zu Kap.1.7 (Impulssatz) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

2.8

Anwendung zu Kap.1.8 (Sondergebiete) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

2.9

Formel- und Methodensammlung (wird unter link.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten.)

Aufgaben aus allen Bereichen der Fluidmechanik mit Lösungen . . . . . . . . . . . . 161 3.0

Aha-Strömungsphänomene einfach erklärt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

3.1

Aufgaben zu Kap. 1.1 (Fluidbegriffe) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173 A3.1-1 Volumenstromberechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

3.2

Aufgaben zu Kap. 1.2 (Stoffwerte und Einheiten von Fluiden) . . . . . . . . . . 176 A3.2-1 Angelsächsische Einheiten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176

3.3

Aufgaben zu Kap. 1.3 (Fluidstatik/ Aerostatik) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 A3.3.2-1 Druckmessung mit U-Rohr-Manometer . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 A3.3.2-2 Kamin-/Schornsteinwirkung (praktische Anwendung) . . . . . . 182 A3.3.2-3 Verschlusskraft eines rechteckigen Klappenwehres . . . . . . . . 184 A3.3.2-4 Statischer Auftrieb eines Zylinders . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 A3.3.2-5 Rotierendes Gefäß mit Fluid . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 A3.3.3-1 Flughöhe eines Segelflugzeugs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192

3.4

Aufgaben zu Kap. 1.4 (Energieerhaltungssatz/ Bernoulli-Gleichung) . . . . . 194 A3.4.1-1 Bernoulli-Gleichung für ideale Fluidströmungen . . . . . . . . . . 194 A3.4.2.1-1 Strömung in einem Rohrkrümmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 A3.4.2.3-1 Schnellabschluss einer Rohrleitung. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 A3.4.2.4-1 Druckwasserpumpe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

3.5

Aufgaben zu Kap. 1.5 (Reibungsbehaftete Fluidströmungen) . . . . . . . . . . 209 A3.5-1 Mindestgeschwindigkeit für eine turbulente Strömung . . . . . 209 A3.5-2 𝑅𝑒-Zahl im Blutkreislauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 A3.5.3-1 Rohrströmung bei diversen Querschnitten . . . . . . . . . . . . . . . 211 A3.5.3-2 Leckagestrom 𝑄 bei einer Spaltdichtung . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 A3.5.5-1 Großräumige Wasserversorgung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218 A3.5.5-2 Rohrleitung für eine Peltonturbine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221 A3.5.5-3 Prüfstand zur Durchflussmessung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

V0 Inhalt

3.6

XI

Aufgaben zu Kap. 1.6 (Umströmung/ dynamischer Auftrieb) . . . . . . . . . . . 231 A3.6.1-1 Segelflugzeug-Tragflügelreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231 A3.6.3-1 PKW-Formwiderstand und Antriebsleistung . . . . . . . . . . . . . . 233 A3.6.4-1 Boeing 747-Auftriebsbeiwert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 235

3.7

Aufgaben zu Kap. 1.7 (Krafteinwirkungen bei Fluidströmungen) . . . . . . . . 238 A3.7.1-1 Kraft auf durchströmten Krümmer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238 A3.7.2-1 Theoretische Kennlinie einer Kreiselpumpe . . . . . . . . . . . . . . . 244

3.8

Aufgaben zu Kap. 1.8 (Sondergebiete der Fluidmechanik) . . . . . . . . . . . . . 250 A3.8.1-1 Zerstäubung von Wasser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 A3.8.1-2 Kapillarwirkung in engen Röhrchen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253 A3.8.2-1 Kavitationsfreie Strömung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 A3.8.3-1

PKW-Modell im Windkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262

A3.8.3-2 Schiffsmodell im Schleppkanal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 A3.8.4.1-1 Ausströmen von Gas aus einem Behälter . . . . . . . . . . . . . . . 266 A3.8.4.2-1 Druckverlust einer Wasserdampf-Fernleitung . . . . . . . . . . . . 269 4

Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik. . . . . . . . . . . . . . . . 274 4.1

Mathematik und Elektrotechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274

4.2

Physik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

4.3

Thermodynamik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

4.4

Technische Mechanik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 287

4.5

Regelungstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 306

5

Klausur sicher bestehen (wird unter link.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zusammen mit Kap. 6 zum kostenlosen Download angeboten.)

6

Klausur fair formulieren und beurteilen (wird unter link.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zusammen mit Kap. 5 zum kostenlosen Download angeboten.) Literatur- und Quellenverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 Wem wir Dank sagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313

XII

V1 Was Sie vorab wissen sollten Die nachfolgend in vier Kernaussagen dargestellten Vorbemerkungen dienen prinzipiell auch zur verständlichen Strukturierung von Projekt-/ Bachelor- und Masterarbeitsberichten, Zusammenfassungen u. a. (ein erster, aber wichtiger Schritt zu methodischem Arbeiten, wozu in den Hauptkapiteln dieses Buches viele weitere Tipps folgen werden).

Anlass (IST-Zustand) Sie befinden sich in einem technischen Studium an einer Hochschule/Universität, bei dem die bestandene Klausur z. B. in Strömungstechnik (bzw. Fluidmechanik) und weiteren GrundlagenFächern Voraussetzung für das Weiterstudium ist. Die Vorlesungen haben Sie besucht und „gefühlt so ziemlich alles verstanden“. Einige (vielleicht sogar die meisten) Aufgabenstellungen früherer Klausuren, die Sie sich bereits clever in den Fachschaften besorgt haben, geben Ihnen allerdings das Gefühl, dass sich teilweise Lücken in Ihren Vorlesungsmitschriften befinden müssen, denn die Fragestellungen, oder die gegebenen Informationen, oder die Skizzen, oder eigentlich alles, lassen eine Lösung bestimmt nicht zu. Trotz eifriger Bemühungen und Hinzuziehung von Fach- und Lösungsbüchern bleibt es Ihnen weitgehend rätselhaft, wie die Verfasser zu den Resultaten gelangt sind. Sie beginnen nervös zu werden, denn Ihnen schwant es natürlich, dass ähnlich unangenehme Fragestellungen in der bevorstehenden Klausur (oder in Ihrer späteren Berufspraxis) auf Sie zukommen werden. Dieser Druck sowie die unsinnigen „Motivationsbemerkungen“ einiger Professoren, wie z. B. „am Ende des Semesters werden nur x % die Prüfung bestehen (wobei x immer seltsamerweise zwischen 30 und 70 „prognostiziert“ wird)!“, setzen Ihrer Psyche beträchtlich zu. Angst vor dem Kommenden und die Gefahr eines „black out“ in der Klausur stehen Ihnen drohend vor Augen – vergessen Sie das! Verlassen Sie stattdessen die von den meisten Kommilitonen bevorzugten Denk- und Handlungswege!

V1 Was sie vorab wissen sollten

XIII

Abb. V2-1: Den sicheren Weg zum Ziel wählen

Lösungsansatz (Wege zum Ziel) Seit 1970 beschäftige ich mich im Rahmen einer Dozententätigkeit und Promotion an der damaligen Technischen Hochschule Darmstadt und seit 1981 lehre ich an der Hochschule Mannheim "Strömungstechnik/Fluidmechanik" mit den damit verbundenen konstruktiven/ entwicklungsbezogenen Ingenieurtechniken zu Problemlösungen [PES 19]. Sehr bald dämmerte es mir, dass mit den während meiner Hochschulausbildung erlebten und in Lehrbüchern dargestellten Vorgehensweisen, das sichere Bestehen von Klausuren, bzw. die sichere Lösung z. B. von industriellen Fluidmechanik-Aufgabenstellungen, nicht gewährleistet ist: zu abstrakt, zu theorielastig, lückenhafte und sprunghafte Lösungsdarstellungen! Zwangsläufig tauchte in mir die Frage auf: "Wie kann ich den Studierenden „leichtes Brot“ statt „schwere Kost“ reichen?". Und konkret: "Wie lassen sich bei ingenieurtechnischen Aufgabenstellungen am sichersten optimale Lösungen erzeugen?". Die analoge Übertragung der Erfahrungen aus dem Bereich Entwicklung/Konstruktion [PAH 13] z. B. auf das Gebiet Fluidmechanik zeigen, dass bei einer komplexen Aufgabenstellung die Gesamtbearbeitung am sinnvollsten in methodische Teilschritte zerlegt wird, die anschließend nacheinander abgearbeitet werden und schließlich zu einem anforderungsbasierten Ergebnis führen. Eine sehr schöne Metapher für sinnvolle Arbeitsschritte findet sich in dem Buch und dem Film von Michael Ende „Momo“. Das kleine Mädchen Momo, fragt seinen Freund, den Straßenkehrer Beppo, wie er bei seiner täglichen Arbeit mit dreckigen Straßen trotzdem so glücklich sein kann? Und Beppo antwortet sinngemäß: "Ich weiß zwar, dass ich die Straße abends sauber haben muss, also mein Ziel kenne, doch lege ich meine ganze Konzentration und Liebe in den ersten Besenstrich. Dann freue ich mich und bin stolz darauf, diesen ersten Straßenbereich erfolgreich geschafft zu haben. Dann kommt der zweite Arbeitsschritt mit dem freudigen und stolzen Ergebnisgefühl. Und das geht so weiter, bis am Abend die Straße

XIV

V1 Was sie vorab wissen sollten

vollständig sauber ist, ohne dass ich voller Sorge ständig an die gesamte verschmutzte Straße denken musste!“ Für den Bereich der Fluidmechanik und weiteren ingenieurtechnischen Grundlagenfächern hat sich eine strukturierte Zerlegung des Lösungswegs in sechs methodische/logische Arbeitsschritte als vorteilhaft erwiesen. Jedem dieser Teilschritte sind hilfreiche Tipps und Skills zugeordnet, so dass quasi zwangsläufig und sicher die erwartete Lösung entsteht.

Ergebnis (Lösungserfolge) Das vorliegende Buch hat genau die vorstehend beschriebene Grundeinstellung als Ziel: Überschaubare, logische Teilaufgaben methodisch bearbeiten und erfolgreich Zwischen- und Endresultate erhalten, anstatt „gefühlsmäßige, unstrukturierte, zufallsorientierte, …“ Bearbeitungen von Klausuraufgaben oder ingenieurtechnischen Aufgabenstellungen zu bevorzugen! Für den Anfänger ist dies wahrscheinlich etwas ungewohnt, weil er nicht sofort auf die erstbeste Lösung lossteuern kann. Doch wird er sehr schnell merken, dass die erfolgreiche Erzeugung wichtiger Zwischenergebnisse und die daraus resultierende Gesamtlösung ein ständiges „inneres Schulterklopfen“ und eine dauerhafte Selbstsicherheit bewirken werden. Diese nebenbei vermittelte Selbstsicherheit („Ich kann es jetzt!“) ist eine der wichtigsten Voraussetzungen für das sichere Bestehen von Klausuren. „Viele klettern so schnell, dass sie gar nicht merken, dass sie auf den falschen Berg gestiegen sind“ Samantha Groß, Egelsbach

Ausblick (Zukunft) Dieses ausschließlich praxisorientierte Lehr-, Lern- und Mitmachbuch fasst die einfache und leicht anzuwendende Vorgehensweise einer methodischen Aufgabenbearbeitung der Fluidmechanik und weitere Ingenieurbereiche der Hochschule und Industrie zusammen, die vom verantwortlichen Autor in etlichen Entwicklungsschleifen optimiert wurde. Ein früherer Student, Herr Steffen Manser, hat sich spontan als Mitautor für die Arbeit an diesem Buch bereit erklärt. Zudem hat der Lektor der ersten Auflage, Herr Thomas Zipsner, die konzeptionelle Gestaltung und inhaltliche Erweiterung wesentlich mitgeprägt Damit ist eine ideale Voraussetzung für ein zeitgemäßes Lernen und die zukünftige Aktualisierung dieses Buches geschaffen worden. Das Autorenteam erhofft sich durch Rückmeldungen der Anwender eine noch bessere Anleitung für zukünftige Leser. Senden Sie hierfür eine E-Mail mit Ihrer Rückmeldung an [email protected] oder an [email protected].

Nichts ist so gut, dass man es nicht noch besser machen könnte!

V1 Was sie vorab wissen sollten

XV

Zwar ist dieses Buch in erster Linie für studentische Anwender (S) und bereits in der Praxis tätige Ingenieure gedacht, doch könnten auch die Professoren und Lehrkräfte (P) an den Hochschulen einen nicht unbedeutenden Nutzen bei ihrer Lehrtätigkeit für den studentischen Erfolg daraus ziehen (nicht nur für Fluidmechanik) und darüber hinaus volkswirtschaftlich sinnvoll lehren. Dies will ich kurz begründen: Der Erfolg eines Lehr-/Lernprozesses, konzentriert in einer Abschlussklausur, basiert auf einer guten Vermittlung des Lernstoffes (P), der sicheren Verinnerlichung beim Studierenden (S), einer sinnvollen Klausurvorbereitung (S), einer geeigneten und verständlich formulierten Aufgabenstellung (P), der zeitlichen Machbarkeit innerhalb der Klausur (P) und der Schaffung eines lernfördernden und angstfreien Umfelds (P). Darüber hinaus kann der Studierende eine faire Beurteilung (P) seiner Leistung erwarten, was bedeutet, dass nicht nur das Endergebnis, sondern auch alle richtigen Zwischenergebnisse und Überlegungen notenrelevant sind (hat schließlich Klausurzeit beansprucht!). Diesem Aspekt wird in einem eigenen Kapitel Rechnung getragen. Soviel schon vorab: Ein Studienabbruch ist Verschwendung von Volksvermögen – Der Hauptzweck der Lehre besteht in der Erfolgsförderung jedes Lernenden (Stärken stärken und Schwächen kompensieren)! Wir müssen unbedingt auch die „Praktiker“ zum Ingenieurberuf qualifizieren – sie werden mehr denn je in der Industrie benötigt und sind dort überdurchschnittlich erfolgreich! Hinweis: Die Abbildungen in jedem Kapitel und Unterkapitel werden mittels Kap.-Nr. und laufender Abb.-Nr. gekennzeichnet, damit jede Abbildung (= Abbildung, Diagramm, Tabelle, Bild, Foto, etc.) eindeutig einem Kapitel zugeordnet werden kann. Die Inhaltsgliederung erfolgt so, dass die einführenden und allgemeineren Aussagen als V-Kapitel (vorangestellt im Buch) und die ergänzenden Informationen als N-Kapitel (nachgeordnet im Buch) bezeichnet werden. Die Hauptkapitel sind von 1 bis 6 durchnummeriert. Wenn im Folgenden ausschließlich die männliche Wortform verwendet wird, so nur wegen der flüssigeren Lesbarkeit des Textes. Damit wird die häufig praktizierte und die Wirklichkeit besser treffende Schreibweise, wie z. B. „Leser*in“, ersetzt durch das besser lesbare „Leser“; es sind aber immer alle Geschlechtsvarianten angesprochen. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Wichtige Informationen befinden sich innerhalb einer solchen Box, die mit Warnschildern gekennzeichnet und durch zwei Linien vom sonstigen Text separiert ist. Diese Boxen können auch Abbildungen, Formeln, etc. enthalten. ___________________________________________________________________________________________

XVI

V2 Fluidmechanik-Effekte sind spannend und erklärbar „Wenn die Strömung dich deinem Ziel näherbringt, widersetze dich ihr nicht“ Samantha Groß, Egelsbach Es gibt im Bereich der Fluidmechanik (i. a. Strömungstechnik oder Strömungsmechanik genannt) teilweise auf Anhieb nicht erklärbare und oft „der allgemeinen Erfahrung“ widersprechende Phänomene. Mit diesem Buch und der hier verwendeten methodischen Vorgehensweise werden Sie in der Lage sein, einige der wichtigsten und schönsten Effekte/Experimente mit Strömungen zu verstehen, anderen Kommilitonen spannend zu erklären oder selbst durchzuführen. Die bei den Experimenten auftretenden Effekte haben dabei oft den Anschein von Zauberei, was sich wissenschaftlich als Paradoxon bezeichnen lässt. In diesem Kapitel sollen diese „Highlights“ zunächst in Frageform aufgeführt, und später in Kap. 3 soweit mittels der zugrundeliegenden Strömungsgesetze erläutert werden, dass ein sicheres Verständnis erreicht wird. Gleichzeitig wird dadurch vielleicht bei Ihnen eine intrinsische Motivation erzeugt, die eine Supervoraussetzung für den späteren Klausurerfolg und das praktische Berufsleben sein wird. Eine weitere Zielsetzung besteht in der Erfahrung des Staunens über die Natur und deren faszinierenden Gesetzmäßigkeiten, die diese, ohne je eine Klausur in Strömungstechnik absolviert zu haben, uns täglich bravourös aufzeigt. Denken Sie nur an die weltweiten Luftund Wasserströmungen, die uns mit dem wechselnden Wetter, dem Golfstrom und weiteren klimatischen Ereignissen erst das Leben auf der Erde garantieren. Bescheidenheit und der Wille zur Erhaltung dieser Lebensgrundlage sollten oberste Gebote besonders für den Ingenieurberuf sein. Die folgenden Effekte werden in der Reihenfolge der Buchkapitel (mit dem zugehörigen Fluidgebiet und Stoffbereich) aufgelistet und in Kap. 3 dargestellt, sowie teilweise in den Videosequenzen (vgl. auch Kap. 3.0):

Vid. 3.2

(a,b,c)

Viskositätsverhalten? - Gummibälle - Kautschuk - Zahnpasta

Vid. 3.3

(a,b)

Kaminwirkung? Druckmessung?

V2 Fluideffekte sind spannend und erklärbar

Vid. 3.6

(a,b,c)

Vid. 3.6

(d)

Aerodynamisches Paradoxon? - Parallelblätter - Platten-Blasrohr - Wandauto Segelflug?

Vid. 3.6

(e)

Tanzball im Luftstrahl?

Vid. 3.6

(f)

Wasser fließt um krumme Wände?

Vid. 3.7

XVII

Rückstoßprinzip?

Vid. 3.8

(a)

Kapillarwirkung?

Vid. 3.8

(b,c,d)

Grenzflächenspannung? - Wasseroberfläche und Spülmittel - Selbstreinigung von Naturoberflächen - Seifenblasen

Vid. 3.8

(e)

Flüssigkeitskavitation?

Vid. 3.8

(f)

Ultraschall-Reinigung?

Vid. 3.8

(g)

Wassersprung?

Derartige außergewöhnliche Phänomene existieren auch in anderen Ingenieurdisziplinen – Es lohnt sich, diese zu entdecken!

XVIII

V3 Zusammenfassung

V3 Zusammenfassung (exemplarisch für die Fluidmechanik) Analog zu Kap. V1 erfolgt die Zusammenfassung wieder in vier logisch aufeinanderfolgenden Kernaussagen: -

Anlass (IST-Zustand) Lösungsansatz (Wege zum Ziel) Ergebnis (Lösungserfolge) Ausblick (Zukunft)

Anlass (IST-Zustand) Eine ziemlich treffende Metapher für die Situationen des Studiums in Vorlesung, Übungen und Klausur findet sich in [UNI 19] (https://www.instagram.com/uniturm.de/, Zugriff am 11.01.2019): Vorlesung: „So geht Fahrradfahren!“ Übung: „Probiere es mal ohne Stützräder!“ Klausur: „Gewinne in einer Stunde die Tour de France!“ Dieses Dilemma kann in erster Linie von den verantwortlichen Lehrkräften an den Hochschulen beeinflusst werden und dann erst von den Studierenden, obwohl die übliche Sichtweise leider in einer genau umgekehrten Reihenfolge anzutreffen ist. Wie lässt sich das zum Wohle aller Beteiligten ändern? Lösungsansatz (Wege zum Ziel) Das vorliegende Buch beschreitet beim Thema Fluidmechanik und weiteren Ingenieurdisziplinen einen anderen, neuen Weg zum besseren Verankern des üblichen Lernstoffs an Hochschulen und zum (fast) sicheren Bestehen von Klausuren. Dass dazu immer die beiden Seiten dieses Prozesses „Studierende und Lehrende“ zusammenwirken müssen, ist unabdingbare Voraussetzung. Die allgemein hilfreiche Vorgehensweise bei der dauerhaften Vermittlung von „Wissen für die Praxis“ besitzt folgende Eigenschaften: 1. Begeisterung bei Lehrenden für das Fach und Neugierde bei den Studierenden! 2. Vermittlung des Stoffes über die Reihenfolge erlebbare Anschauung (z. B. Ziel-Experimente als Basis für intrinsische Motivation), Überblick (Wichtigstes) und Detail (Ergänzungen)! Dies entspricht im Übrigen der Maxime „Vom Einfachen zum Komplexen!“ 3. Unmittelbaren Bezug und Transfereignung für die Berufspraxis herstellen!

V2 Fluideffekte sind spannend und erklärbar

XIX

4. Unterstützung bei der Anwendung des vermittelten Stoffs durch methodische Vorgehensweisen (hier sechs Schritte-Kochrezept!) und geeignete Skills (unabdingbare Tipps für eine sichere Lösung von Aufgaben)! 5. Faire Gestaltung von Erfolgsnachweisen (Klausuren) und deren Bewertung (Noten) durch Professoren! Angebote für Studierende zur sinnvollen Vorbereitung und zum sicheren Bestehen von Klausuren! 6. Hauptziel ist die Befähigung zur sicheren Anwendung im späteren Berufsleben und nicht die Notengebung! Wie können diese Punkte auf der Grundlage dieses Buches realisiert werden? Ergebnis (Lösungserfolge) Die Vorgehensweise bei der nachhaltigen Vermittlung von „Wissen für die Praxis“ findet sich in den folgenden Kapiteln des Buches ausführlich beschrieben und wird hier kurz charakterisiert: 1. Begeisterung bei Lehrenden für das Fach und Neugierde bei den Studierenden! Glückwunsch! Sie haben als Studierende/r oder als Lehrende/r diesen Punkt durch Kauf dieses Buches bereits angegangen! 2. Vermittlung des Stoffes über die Reihenfolge: erlebbare Anschauung (z. B. Ziel-Experimente als Basis für intrinsische Motivation), Überblick (Wichtigstes) und Detail (Ergänzungen)! Es ist zu empfehlen, sich für den Bereich der Fluidmechanik zunächst die per Video-Sequenzen zur Verfügung gestellten Effekte und Phänomene anzuschauen, die bei einfachen fluidmechanischen Experimenten zu beobachten sind. Damit wird wahrscheinlicher der Funke für das intrinsisch motivierte Erlernen dieses Faches überspringen. Übrigens sollten sog. Exkursionen besser zu Beginn einer Vorlesung stattfinden, statt wie üblich erst am Ende! Diese Erkenntnis hat der erste und einzige Professor für Praktische Mathematik in Deutschland an der Technischen Hochschule Darmstadt, Prof. Dr. Alwin Walther (†), in den 50er und 60er Jahren des letzten Jahrhunderts, ganzen Generationen von Studenten eindrucksvoll vermittelt: vor jeder (!) Mathe-Vorlesung gab es ein „Aha, dafür ist das“-Experiment! Als Einstieg in die Fluidmechanik dient der Überblick in Kap. 1. Die methodische Bearbeitung von fluidtechnischen Aufgabenstellungen ist in Kap. 2 begründet und lässt sich ebenfalls auf andere Ingenieurdisziplinen übertragen. Die Methode orientiert sich am logischen Aufbau eines Kochrezeptes (z. B. für die Zubereitung einer spanischen Paella) und besteht aus den folgenden Schritten: ___________________________________________________________________________________________

6 Schritte-Kochrezept (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Aufgabe klären Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet (Fachgebiet) festlegen Bearbeitungsreihenfolge festlegen Teilaufgaben lösen Einheiten-Umrechnung Ergebnisse präsentieren und diskutieren

XX

V3 Zusammenfassung

Erste Anwendungen der methodischen Vorgehensweise für jeden der in Kap. 1 einführend erläuterten Fluidbereiche finden sich ebenfalls in Kap. 2. 3. Unmittelbaren Bezug und Transfereignung für die Berufspraxis herstellen! Sowohl die Aufgaben in Kap. 2, Kap. 3 und Kap. 4, als auch deren methodische Lösungen, orientieren sich an Situationen in der Praxis. Besonders im Schritt (6) wird der Bezug zur Praxis durch eine Diskussion der Ergebnisse regelmäßig hergestellt. 4. Unterstützung bei der Anwendung des vermittelten Stoffes durch methodische Vorgehensweisen (hier sechs Schritte-Kochrezept!) und geeignete Skills (unabdingbare Tipps für eine sichere Lösung von Aufgaben)! Diesem Aspekt kommt im Buch eine besondere Bedeutung zu und vermittelt die in üblichen Lehr-Büchern kaum anzutreffende Hilfestellung und Tipps für Anfänger in ingenieurrelevanten Fächern, um deren Selbstsicherheit für Klausuren und für die Berufspraxis zu stärken. Kap. 2, Kap. 3 und Kap. 4 sind durchgehend in diesem Sinne konzipiert. 5. Faire Gestaltung von Erfolgsnachweisen (Klausuren) und deren Bewertung (Noten) durch Professoren! Angebote für Studierende zur sinnvollen Vorbereitung und zum sicheren Bestehen von Klausuren! In den Kapiteln Kap. 5 (für Studierende) und Kap. 6 (für Lehrende) sind eine Fülle hilfreicher und langjährig erprobter Tipps und Anregungen aufgeführt. Der tiefere Sinn liegt dabei in einer volkswirtschaftlich wichtigen Steigerung der Zahl der Ingenieurabsolventen, also einer Senkung der „Abbrecherquoten“ in der Ingenieurausbildung (dieses scheußliche Wort, welches verständnislos die Hauptschuld den sog. „Studien-Abbrechern“ zuweist, hätte das Zeug zum Unwort des Jahres zu werden)! 6. Hauptziel ist die Befähigung zur sicheren Anwendung im späteren Berufsleben und nicht die Notengebung! Jeder Lehrende sollte diese Maxime einer guten Ausbildung und Bildung zur wichtigsten Grundlage seiner Veranstaltungen machen. Es entbehrt jeder statistischen Grundlage, dass die erreichte Note während eines Studiums mit der langfristigen Leistung, dem beruflichen Erfolg und dem Nutzen für die Gesellschaft korreliert. Die Begründungen dafür sind in Kap. 6 zusammengefasst. Eine konsequente Beachtung dieser sechs Zielkriterien kann für alle Beteiligten in der Ingenieursausbildung eine Verbesserung der derzeitigen Situation bewirken. Als einfaches Beispiel für das 6-Schritte-Kochrezept (vgl. Kasten-Information im obenstehenden Zielkriterium 2.) dient die methodische Lösung der folgenden Aufgabe, für die in Kap. 1.4.1 dargestellten Grundlagen zur Bernoullischen Energiegleichung bei idealen Fluiden.

V2 Fluideffekte sind spannend und erklärbar

XXI

Vorgegebene Aufgabenstellung: Der in Abb. V4-1 dargestellte große Druckbehälter ist bis zur Höhe ℎ = 2 𝑚 über dem Auslassquerschnitt 𝐴 (𝐷 = 2 𝑐𝑚) mit Wasser gefüllt und mit einem Absolut-Luftdruck 𝑝 = 2 𝑏𝑎𝑟 beaufschlagt. Wie groß ist zu Beginn des freien Austritts die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐 in und der austretende Volumenstrom 𝑄?

Abb. V4-1: Wasserbehälter unter Innendruck bei freiem Ausfluss

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren. Skizze ergänzen (in grün), z. B. Bezugsniveau B-B und gegebene Daten. ___________________________________________________________________________________________

Hinweis Falls keine Skizze vorhanden ist, sollte diese zum besseren Verständnis immer erstellt werden! ___________________________________________________________________________________________

(2) Bezugsgleichungen/ Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung, ideal, verlustfrei. Kontinuitätsgleichung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑐 aus Bernoulli-Gleichung → Schritt (4).

XXII

V3 Zusammenfassung

𝑄 aus Kontinuitätsgleichung mit 𝑐 → Schritt (4). Zahlenumrechnung mit Einheiten → Schritt (5).

(4) Teilaufgaben lösen Prinzipiell kann zur Lösung jede Form der Bernoulli-Energiegleichung genutzt werden. Jedoch wird sinnvollerweise die Form verwendet, bei der der geringste Umstellungsbedarf entsteht (Erfahrung). Da hier nach der Geschwindigkeit 𝑐 gefragt wird, wird die spezifische Energieform (Gl. 1.4-9) gewählt und unter Bezug auf B-B zwischen den Stellen 1 und 2 ausgeschrieben: 𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 𝜌 2 𝜌 2

Vereinfachungen: 𝑐 ≈0 𝑧 ≈ℎ

(Spiegelabsenkung sehr klein bei großem Behälter)

𝑝 ≈𝑝

(Atmosphärendruck wird Austrittsquerschnitt von außen aufgeprägt!)

𝑧 ≈0

(da auf Bezugsniveau B-B)

Damit ergibt sich 𝑝 𝑝 𝑐 +0+𝑔∙ℎ = + +0 𝜌 𝜌 2 →𝑐

= 2∙ 𝑔∙ℎ+

→𝑐 =

2∙ 𝑔∙ℎ+

𝑝 −𝑝 𝜌 𝑝 −𝑝 𝜌

=

2∙

9,81

Mit der Kontinuitätsgleichung ermittelt sich 𝑄 zu 𝑄 =𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙

𝐷 ∙𝜋 𝑚 (2 𝑐𝑚) ∙ 𝜋 =𝑐 ∙ 4 𝑠 4

(5) Einheiten-Umrechnung (vgl. Kap. 1.2.3) Geht auch gekoppelt mit Schritt (4) Für die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐 ergibt sich:

𝑚 2 𝑏𝑎𝑟 − 1 𝑏𝑎𝑟 ∙2𝑚 + 𝑘𝑔 𝑠 1000 𝑚

V2 Fluideffekte sind spannend und erklärbar

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑁 𝑚 2 𝑏𝑎𝑟 − 1 𝑏𝑎𝑟 10 𝑚 1 𝑠 9,81 ∙2𝑚 + ∙ ∙ 𝑘𝑔 𝑠 1 𝑏𝑎𝑟 1𝑁 1000 𝑚

𝑐 =

2∙

𝑐 =

2 ∙ 19,62

𝑐 = 15,47

XXIII

𝑚 𝑚 + 1 ∙ 10 𝑠 𝑠

=

239,24

𝑚 𝑠

𝑚 𝑠

Der Volumenstrom 𝑄 berechnet sich zu 𝐷 ∙𝜋 𝑚 (2 𝑐𝑚) ∙ 𝜋 1 𝑚 = 15,47 ∙ ∙ 4 𝑠 4 10 𝑐𝑚 𝑚 10 𝑙 𝑄 = 4,95 ∙ 10 ∙ 𝑠 1𝑚 𝑙 𝑄 = 4,95 𝑠 𝑄=𝑐 ∙

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑐 =

2∙ 𝑔∙ℎ+

𝑄 = 𝑐 ∙ 𝐴 = 4,95

𝑝 −𝑝 𝜌

= 15,47

𝑚 𝑠

𝑙 𝑠

Diskussion: Die Formel zur Ermittlung der Ausströmgeschwindigkeit entspricht der Torricelli-Ausflussformel bei einem oberwasserseitigen Überdruck. ___________________________________________________________________________________________

Nach einiger Übung müssen die Schritte (1) bis (3) natürlich nicht mehr explizit ausgeschrieben, sondern lediglich in Kurzform, bzw. „im Kopf“ und in dieser Reihenfolge angewendet werden! Die strikte Einhaltung dieser Bearbeitungssequenz, statt des üblichen „Draufloswurschtelns schnell-schnell“, vermeidet das „Enden in einer Sackgasse“, also eine falsche bzw. gar keine Lösung.

„Viele klettern so schnell, dass sie gar nicht merken, dass sie auf den falschen Berg gestiegen sind“ Samantha Groß, Egelsbach

XXIV

V3 Zusammenfassung

Ausblick (Zukunft) Die in diesem Buch beschriebene Vorgehensweise beschränkt sich nicht auf das Gebiet der Fluidmechanik. Mit geringen Abweichungen lassen sich damit auch die Lehre und die sichere Anwendung von Berechnungen in anderen Fachgebieten verbessern. Dies gilt z. B. für die gesamte Mechanik, die Physik, die Mathematik, die Wärmetechnik u. v. a., was exemplarisch in Kap 4. gezeigt wird. Viel Freude und Erfolg bei der Lektüre dieses Buches!

Trotzdem gilt auch hier: Nichts ist so gut, dass man es nicht noch besser machen könnte! Wenn sie also Fehler entdecken oder Verbesserungshinweise haben, sind wir Ihnen für eine Nachricht sehr dankbar. Senden Sie hierfür Ihre Rückmeldung an [email protected] oder an [email protected].

___________________________________________________________________________________________

Fazit Anlass (IST-Zustand) Wie lässt sich die Fluidmechanik-Klausur sicher bestehen? Lösungsansatz (Wege zum Ziel) Methodische Lösungsschritte helfen! Kochrezept als Basis! Ergebnis (Lösungserfolge) Beachtung von sechs Zielkriterien wirkt „automatisch“ verbessernd! Ausblick (Zukunft) Übertragbarkeit der Buchmethode für Fluidmechanik auf andere Fachgebiete prüfen

1 Die wichtigsten Grundlagen der Fluidmechanik einfach erklärt Bevor Sie in die Lösung von Strömungsaufgaben einsteigen, ist es hilfreich, wenn Sie sich zunächst noch einmal mit den Grundlagen der Fluidmechanik beschäftigen. Neben den wichtigsten Begriffen zur Charakterisierung von Fluiden und Strömungen (Kap. 1.1), sind dies die gebräuchlichsten physikalischen Stoffwerte und ihre Einheiten (Kap. 1.2) sowie die unbedingt benötigten Berechnungsgleichungen ruhender und bewegter Fluide (Kap. 1.3 ff.). Nehmen Sie sich diese Zeit für die Auffrischung und Festigung vorhandenen Wissens – es lohnt sich! Sie flexibilisieren damit Ihr Denken, um schneller den Sinn von Aufgabenstellungen zu erfassen.

1.1 Wichtige Begriffe der Fluidmechanik Bei der Bearbeitung von Aufgaben in der Fluidmechanik ist die Kenntnis einiger Begriffe und Definitionen von Bedeutung, die nachfolgend zusammengestellt sind. Fluidmechanik Lehrinhalte zum Verständnis und zur Berechnung von ruhenden (Statik) und bewegten (Dynamik) Fluiden, die sich in flüssigem, gasförmigem oder dampfförmigem Zustand befinden.

Fluidteilchen Materiell gedachter Fluidpunkt, der durch seine physikalischen Eigenschaften [SI-Einheiten] bestimmt ist: Dichte 𝜌 Druck 𝑝 𝑏𝑎𝑟,

,…

Temperatur ϑ [°C] bzw. absolut T [K] Geschwindigkeit 𝑐 𝜌 , p und ϑ bzw. T sind skalare (ungerichtete) Größen d. h. sie weisen in alle Raumrichtungen die gleichen Eigenschaften auf. 𝑐 ist eine vektorielle (gerichtete) Größe.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3_1.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 K.-J. Peschges et al., Ingenieurklausur im Nacken? https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3_1

2

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Strömungsgeschwindigkeit 𝒄⃑

𝑐⃑ =

𝑊𝑒𝑔ä𝑛𝑑𝑒𝑟𝑢𝑛𝑔 𝑒𝑖𝑛𝑒𝑠 𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑡𝑒𝑖𝑙𝑐ℎ𝑒𝑛𝑠 𝑑𝑠 𝑚 = 𝑍𝑒𝑖𝑡𝑒𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝑠

(Gl. 1.1-1)

Oft vereinfacht nur als Symbol (ohne Vektorpfeil) angegeben → 𝑐 Bewegungsarten Stationäre Strömung: 𝜌, 𝑝 , 𝜗 bzw. T, 𝑐⃑ sind nur abhängig von den Ortskoordinaten in einem willkürlich festgelegten Koordinatensystem und zeitlich konstant. 𝜌, 𝑝 , 𝜗 𝑏𝑧𝑤. 𝑇, 𝑐⃑ = 𝑓 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧) Instationäre Strömung: 𝜌, 𝑝 , 𝜗 𝑏𝑧𝑤. 𝑇, 𝑐⃑ sind örtlich und zeitlich veränderlich. 𝜌, 𝑝 , 𝜗 𝑏𝑧𝑤. 𝑇, 𝑐⃑ = 𝑓 ( 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)

Stromlinie, Stromfaden und Stromröhre (Gedankenmodell) Stellen Sie sich einen ruhig dahinströmenden Fluss vor, von dem Sie gedanklich zu einer bestimmten Zeit einen röhrenförmigen Abschnitt herausschneiden, der damit eine Stromröhre darstellt (Abb. 1.1-1).

Abb. 1.1-1: Stromröhre, Stromfaden und Stromlinie

Dabei wird bei einer stationären Strömung angenommen, dass über die ganze Länge der Stromröhre kein Fluid über die Außenkontur eindringen oder die Röhre verlassen kann. Die Stromröhre wird quasi als Rohrleitung mit dem Strömungsquerschnitt A und festen Wänden gedacht. Wenn Sie jetzt nur eine kleine Fläche 𝑑𝐴 aus der Strömungsfläche A herausgreifen, so können sich die Eigenschaften dieses Stromfadens (𝜌, 𝑝 , 𝜗 𝑏𝑧𝑤. 𝑇, 𝑐⃑ ) durchaus von anderen Stromfäden aus der Fläche A unterscheiden, innerhalb des betrachteten Stromfadens

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

3

sind die Eigenschaften jedoch konstant. Wird jetzt nur noch ein einzelnes Fluidteilchen betrachtet, so wird dessen Strömungsweg als Stromlinie bezeichnet. Das pro Zeiteinheit durch die Stromröhre fließende Fluidvolumen wird als Volumenstrom 𝑄

=

definiert. Eindimensionale und mehrdimensionale Strömung

Zwar sind alle Strömungen in der Natur in der Regel dreidimensional (räumlich, 3D), doch lassen sich häufig ohne großen Genauigkeitsverlust Strömungen auch eindimensional (1D) oder zweidimensional (2D) beschreiben. Eindimensionale Strömung (1D; Abb. 1.1-2) Bei einer Strömung in einem Flachkanal, bei dem das Verhältnis der Breite b zur Höhe h wesentlich größer als 1 ist, kann die Stromfaden-Theorie angewendet werden. 𝑐⃑ hat nur eine Richtungskomponente in x-Richtung und ist gegebenenfalls noch von der Zeit t abhängig.

Abb. 1.1-2: Eindimensionale Strömung

Zweidimensionale Strömung (ebene Strömung, 2D; Abb. 1.1-3) Dies lässt sich beispielsweise bei der Strömung um einen langen, dünnen Zylinder (Umströmung) oder der Strömung durch einen sich erweiternden Flachkanal (Durchströmung, Diffusor) erkennen.

4

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.1-3: Zweidimensionale Strömung

In jeweils einer Achsenrichtung ändert sich die Strömungsgeschwindigkeit nicht. Hier z beim Zylinder (außer an den Zylinderenden), bzw. y beim Flachdiffusor. Allerdings wäre eine zeitliche Änderung möglich. Dreidimensionale Strömung (räumlich, 3D; Abb. 1.1-4) Dies ist der allgemeinste aber auch komplizierteste Fall einer Fluidströmung, wie es für die Stromlinien bei der Umströmung eines kurzen Zylinders, bzw. für die Durchströmung eines kreiskegeligen Diffusors gezeigt ist.

Abb. 1.1-4: Dreidimensionale Strömung

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

5

Mittlere Geschwindigkeit 𝒄 und Volumenstrom 𝑸 (auch 𝑽̇ genannt), bzw. Massenstrom 𝐦̇ Es besteht ein Unterschied in der Geschwindigkeitsverteilung in einem durchströmten Kanal und auf einer umströmten Oberfläche, je nachdem ob ein Fluid a) reibungsfrei (ideal, Abb.1.1-5) oder b) reibungsbehaftet (real, Abb.1.1-6) betrachtet wird.

Abb. 1.1-5: Geschwindigkeitsprofil bei idealer Strömung

Bei einem idealen, reibungsfreien Fluid ist die Geschwindigkeit über der gesamten Kanalfläche A konstant, d. h. 𝑐 = 𝑐̅. Jedes Fluidteilchen legt während der Zeitdifferenz 𝑑𝑡 einen Weg 𝑑𝑠 zurück. Die Geschwindigkeit c ist somit identisch mit der mittleren (durchschnittlichen) Geschwindigkeit c 𝑐 = 𝑐̅ =

𝑑𝑠 𝑚 𝑑𝑡 𝑠

(Gl. 1.1-2)

Ein anschauliches Maß für das Transportvolumen in einem Rohr pro Zeiteinheit ist der Volumenstrom Q. Wenn Sie z. B. vor einer Bahnschranke stehen und in 36 sec. 60 Waggons (Wg) mit einem jeweiligen Waggonvolumen von 60 𝑚 an Ihnen vorbeigefahren sind, dann betrug der „Volumenstrom Q“ exakt 60 𝑊𝑔 ∙ 60

/ 36 𝑠 = 100

!

Übertragen auf eine Rohrströmung mit der Durchströmfläche A ergibt sich für den Volumenstrom Q 𝑄 =

𝑑𝑉 𝐴 ∙ 𝑑𝑠 𝑚 = =𝐴∙𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑠

(Gl. 1.1-3)

Und nach Umstellung auf die Geschwindigkeit c 𝑐 = 𝑐̅ =

𝑄 𝑚 𝐴 𝑠

(Gl. 1.1-4)

Dabei ist c die örtliche Geschwindigkeit und 𝑐̅ die mittlere Geschwindigkeit. Die Durchströmfläche A steht senkrecht zur Geschwindigkeit c. Analog zur Berechnung von Q ergibt sich der Massestrom 𝑚̇ zu

6

𝑚̇ =

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑚 𝑉∙𝜌 = = 𝑄 ∙ 𝜌 = 𝑐∙𝐴∙𝜌 𝑡 𝑡

(Gl. 1.1-5)

Bei einem realen Fluid treten innere und äußere Verluste durch Reibungseffekte auf, die u. a. dazu führen, dass die Geschwindigkeit an Wänden durch Wandhaftung Null wird und mit zunehmendem Wandabstand einem Maximalwert zustrebt (Abb. 1.1-6).

Abb. 1.1-6: Geschwindigkeitsprofil bei realer Strömung

Durch Integration der Produkte aus den örtlichen Geschwindigkeiten 𝑐 − 𝑐 mit den örtlichen Teilquerschnitten 𝑑𝐴 über der gesamten Durchströmfläche A ergibt sich die mittlere Geschwindigkeit c zu c =

∫ c ∗ dA Q m = A A s

(Gl. 1.1-6)

sowie der Massestrom ṁ zu 𝑚̇ = 𝑐̅ ∙ 𝐴 ∙ 𝜌

kg s

(Gl. 1.1-7)

Kontinuitätsgleichung In technischen Rohrsystemen ändern sich häufig aus den unterschiedlichsten Gründen die Strömungsquerschnitte A über dem Leitungsverlauf der Stromröhre (Abb. 1.1-7).

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

7

Abb. 1.1-7: Stromröhre mit unterschiedlichen Strömungsquerschnitten

Unter der Voraussetzung, dass über die Wände weder Fluidmasse entweichen noch eindringen kann (± ∆𝑚̇ = 0!) und eine stationäre Strömung vorliegt (𝑐 ist dann zeitlich konstant im ortsfesten Querschnitt 𝐴 ), bleibt der Massestrom 𝑚̇ in jedem Querschnitt 𝐴 konstant 𝑚̇ = 𝑚̇ = 𝑚̇ = . . . = 𝑚̇ = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡., woraus allgemein für ein nicht dichtebeständiges Fluid und den mittleren Geschwindigkeiten ci die allgemeine Form der Kontinuitätsgleichung folgt 𝑚̇ = 𝑐̅ ∙ 𝐴 ∙ 𝜌 = 𝑐̅ ∙ 𝐴 ∙ 𝜌 = . . . . = 𝑐̅ ∙ 𝐴 ∙ 𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑘𝑔 𝑠

(Gl. 1.1-8)

Bei einem dichtebeständigen Fluid (𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) wird daraus die gebräuchliche Form der Kontinuitätsgleichung, einer allgemeinen Beziehung zur Berechnung des Volumenstroms Q in beliebigen Querschnitten Ai einer Stromröhre, 𝑄 = 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

𝑚 𝑠

(Gl. 1.1-9)

___________________________________________________________________________________________

Beachte Diese Beziehung sagt anschaulich aus, dass bei einer Verengung des Strömungsquerschnitts A (Konfusor) die Geschwindigkeit c größer wird, während bei einer Erweiterung (Diffusor) die Geschwindigkeit c kleiner wird (Abb. 1.1-8)

8

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.1-8: Anschauliche Aussage der Kontinuitätsgleichung ___________________________________________________________________________________________

Die hier dargestellten Grundlagen werden bei der methodischen Bearbeitung von Aufgaben der Fluidmechanik eine wichtige Rolle spielen. Ein erstes Beispiel hierzu findet sich in Kap. 2.1. Zuvor ist die Durchsicht der folgenden Kap. 1.2 und Kap.1.3 aber noch sinnvoll.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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1.2 Wichtige Stoffwerte, Konstanten, Einheiten und deren Umrechnung Für die in der Praxis häufig verwendeten Fluide sind nachstehend deren Stoffwerte, wichtige Konstanten und Einheiten bei Umrechnungen und deren Berechnungen aufgeführt. Weitere, weniger gebräuchliche Informationen finden sich direkt im Text bei den zugehörigen Beispielen, bzw. in der Fachliteratur.

1.2.1 Stoffwerte und Konstanten Die praktische Berechnung erfolgt meist mit idealisierten Werten, die in den entsprechenden Tabellen FETT markiert sind. Tabelle 1.2-1: Stoffwerte von Wasser bei 1 bar

Wasser

Temperatur [°𝑪]

Dichte 𝝆 Sättigungsdruck 𝒑𝒅 [𝑃𝑎]

0

4

20

100

999,8

1000

998,2

958,4

610,7

813,1

2 337

101 320

Dynamische Viskosität 𝛈 [𝑃𝑎 ∙ 𝑠]

1787 ∙ 10

1562 ∙ 10

1002 ∙ 10

282 ∙ 10

Kinematische Viskosität

1,787 ∙ 10

1,562 ∙ 10

1,002 ∙ 10 ≈ 𝟏 ∙ 𝟏𝟎 𝟔

0,295 ∙ 10

𝝂 Tabelle 1.2-2: Dichte von Flüssigkeiten bei 1bar und 20 °C

Fluid Dichte 𝝆

Wasser

Äthylalkohol

Benzol

Quecksilber

999,8

810

879

13595

Tabelle 1.2-3: Dichte und kinematische Viskosität von Luft bei 1 bar

Luft

trockene Luft

100 % feuchte Luft

Dichte 𝝆

bei 70 °C

1,016

0,897

Dichte 𝝆

bei 20 °C

1,21 ≈ 1,2

1,181

Dichte 𝝆

bei 0 °C

1,29

1,275

Kinematische Viskosität 𝝂

bei 20 °C

15,11 ∙ 10

15,33 ∙ 10

10

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Die Dichte von feuchter Luft ist kleiner als die von trockener Luft (bei gleichen Umgebungsbedingungen von Druck und Temperatur) Tabelle 1.2-4: Konstanten

Kreiszahl π

3,1415 ≈ 𝟑, 𝟏𝟒 𝒎 𝒎 ≈ 𝟏𝟎 𝟐 𝟐 𝒔 𝒔 (bei 45° geographischer Breite und auf Meereshöhe)

Erdbeschleunigung 𝒈

9,80665 ≈ 𝟗, 𝟖𝟏

1.2.2 Einheiten Es werden hier vorwiegend die gesetzlich zugelassenen Einheiten des internationalen Maßsystems (SI-Einheiten) angegeben. Ergänzend sind auch die wichtigsten, noch in der Praxis verwendeten, technischen Einheiten und deren Umrechnungsbeziehungen aufgeführt. Tabelle 1.2-5: SI-Basiseinheiten

Größe Formelzeichen

Einheit

Einheitenzeichen

Länge

𝑙, ℎ, 𝑧

1 Meter = 1 m

Masse

𝑚

1 Kilogramm = 1 kg

Zeit

𝑡

1 Sekunde = 1 s 1 Stunde = 1 h = 60 min =3600 s

Temperatur

1 Kelvin = 1 K

𝑇, ϑ

Elektr. Stromstärke

1 Ampere = 1 A

𝐼

Tabelle 1.2-6: Abgeleitete Einheiten

Größe Formelzeichen Druck

𝑝

Einheit

Einheitenzeichen

1 Pascal = 1 𝑃𝑎 = 1

𝑁 𝑘𝑔 = 1 𝑚 𝑚∙𝑠

1 Bar = 10 𝑃𝑎 = 10 Kraft

𝐹

Energie

𝐸, 𝐴

Leistung

𝑃

1 Newton = 1 𝑁 = 1

𝑁 𝑚

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑠

1 Joule = 1 𝐽 = 1 𝑁𝑚 = 1 1 Watt 1 𝑊 = 1

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑠

𝐽 𝑁𝑚 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 = =1 𝑠 𝑠 𝑠

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

11

Tabelle 1.2-7: Thermodynamische (T) und empirische (ϑ) Temperatur

Größe

Formelzeichen

Berechnung

Thermodynamische Temperatur

T

= (ϑ(in °C) + 273,15)𝐾

Empirische Temperatur

ϑ

= (T(in K) − 273,15)°𝐶

Tabelle 1.2-8: Technische Einheiten (Zum Teil gesetzlich eigentlich nicht mehr zugelassen!)

Größe Formelzeichen Druck

𝑝

Einheit

Einheitenzeichen

1 (techn.) Atmosphäre = 1 𝑎𝑡 ≈ 0,980665 𝑏𝑎𝑟 1 (phys.) Atmosphäre = 1 𝑎𝑡𝑚 ≈ 1,01325 𝑏𝑎𝑟 1 mm Wassersäule = 1 𝑚𝑚 𝑊𝑆 ≈ 9,80665 𝑃𝑎 1 mm Quecksilbersäule = 1 𝑇𝑜𝑟𝑟 ≈ 133,3224 𝑃𝑎

Kraft Energie

𝐹 𝐸, 𝐴

1 Kilopond = 1 𝑘𝑝 ≈ 9,80665 𝑁 1 Kilokalorie = 1 𝑘𝑐𝑎𝑙 ≈ 4,1868 𝑘𝐽 1 Kilowattstunde = 1 𝑘𝑊ℎ ≈ 3600 𝑘𝐽

Leistung

𝑃

Dyn. Viskosität

𝜂

Kinem. Viskosität

𝜈

1 Pferdestärke = 1 𝑃𝑆 ≈ 0,735499 𝑘𝑊 𝑔 𝑐𝑚 ∙ 𝑠 ≈ 0,1 𝑃𝑎 ∙ 𝑠

1 Poise = 1

1 Stokes

=1

𝑐𝑚 𝑠

≈ 0,0001

𝑚 𝑠

12

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Tabelle 1.2-9: Angelsächsische Einheiten

Größe Länge

Einheit

Einheitenzeichen

1 inch = 1 𝑖𝑛 = 0,0254 𝑚 1 foot = 1 𝑓𝑡 = 0,3048 𝑚 1 yard = 1 𝑦𝑑 = 0,9144 𝑚

Fläche

1 square foot = 1 𝑠𝑞. 𝑓𝑡. = 0,092903 𝑚

Volumen

1 cubic foot = 1 𝑐𝑢. 𝑓𝑡. = 0,028317 𝑚

Mass

1 pound (mass) = 1 𝑙𝑏𝑚 = 0,45359 𝑘𝑔

Kraft

1 pound (force) = 1 𝑙𝑏𝑓 = 4,4482 𝑁

Druck

1 pound per square inch = 1

Spez. Volumen

1 cubic foot per pound = 1

Energie Leistung

𝑙𝑏 = 1 𝑝𝑠𝑖 = 0,0689476 𝑏𝑎𝑟 𝑠𝑞. 𝑖𝑛. 𝑐𝑓𝑡. 𝑚 = 0,052429 𝑙𝑏 𝑘𝑔

1 british thermal unit = 1BTU = 0,2520 𝑘𝑐𝑎𝑙 = 1,05506 𝑘𝐽 1 BTU per hour = 1

𝐵𝑇𝑈 = 0,293071 𝑊 ℎ𝑟

1 horse power = 1 ℎ𝑝 = 1,0138 𝑃𝑆 = 0,74767 𝑘𝑊 Dyn. Viskosität Kinem. Viskosität

Emp. Temperatur

𝜂 =1

𝑙𝑏 = 1,4882 𝑃𝑎 ∙ 𝑠 𝑓𝑡 ∙ 𝑠

𝜈 =1

𝑓𝑡 𝑚 = 0,092903 𝑠 𝑠

Grad Fahrenheit ϑ

=

9 ∙ ϑ(°C) + 32 °F 5

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

13

Tabelle 1.2-10: Vorsilben und Zeichen für dezimale Vielfache von Einheiten

Bezeichnung

Abkürzung

Potenz

Bezeichnung Abkürzung

Potenz

Deka

da

10

Dezi

d

10

Hekto

h

10

Zenti

c

10

Kilo

k

10

Milli

m

10

Mega

M

10

Mikro

µ

10

Giga

G

10

Nano

n

10

Tera

T

10

Piko

p

10

Peta

P

10

Femto

f

10

Exa

E

10

Atto

a

10

1.2.3 Einheiten-Umrechnungen In den meisten Klausuren und Aufgabenstellungen der Praxis müssen aus den gegebenen einheitenbehafteten Werten Lösungen errechnet werden, deren geforderte Einheit sich nicht unmittelbar aus den gegebenen Werten ergibt. Dies ist beispielsweise immer der Fall, wenn ein solcher Auftrag für einen angelsächsischen Kunden zu erledigen ist. Ingenieuranfänger suchen dann häufig ihr Glück mittels „im Kopf rechnen“, was dann nicht selten zu falschen Ergebnissen führt. Ingenieurberechnungen müssen jedoch mit größtmöglicher Sicherheit durchgeführt werden, da unrichtige Rechenergebnisse katastrophale Folgen haben können – sowohl für die davon betroffenen Anwender als auch für den „Falschrechner“! Deswegen ist der folgende Leitsatz möglichst bei jeder Berechnung zu berücksichtigen: Sicherheit geht vor Schnelligkeit! Für das Lösen von Aufgaben in der Fluidmechanik (aber auch bei allgemeinen Berechnungen im Ingenieurbereich) führt deswegen eine methodische Vorgehensweise mit größerer Sicherheit zu richtigen Resultaten, wie es nachstehend beschrieben, und an einfachen Beispielen erläutert wird.  Verwenden Sie (als Anfänger in der Ingenieurtechnik) möglichst nur Größengleichungen: „Physikalische Größen“ bestehen immer aus dem Produkt „𝑍𝑎ℎ𝑙𝑒𝑛𝑤𝑒𝑟𝑡 ∙ 𝐸𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡“, z. B. eine Geschwindigkeit (c) hat den Wert 0,1 ∙ . Zumeist wird das Malzeichen vereinfacht weggelassen und die Einheit in eckige Klammer gesetzt → 0,1

. Sie

sollten aber nie vergessen, dass mathematisch der Zahlenwert (0,1) und die Einheit durch eine Multiplikation verbunden sind. Die Mitführung von Einheiten in Berechnungen ist darüber hinaus die einzige Chance, die Richtigkeit der benutzten Größengleichung zu überprüfen.

14

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Zur Erinnerung: Die von vielen Praktikern zur Zeitersparnis verwendeten Zahlenwertgleichungen liefern nur richtige Ergebnisse, wenn alle Größen in den fest vorgegebenen Einheiten in die Zahlenwertgleichungen eingesetzt werden!  Die Umrechnung von Einheiten beruht auf dem einfachen Prinzip, dass sich jede mathematische Gleichung mit dem Faktor 1 multiplizieren lässt, ohne dass sich deren Ergebnis verändert. Einen solchen Umrechnungsquotienten 1 erhält man, indem eine beliebige Einheitenbeziehung z. B. folgendermaßen umgeformt wird: 1 𝑓𝑡 = 0,3048 𝑚 →

entweder

=1

, ,

oder oder

=1

1 𝑐𝑢. 𝑓𝑡 = (

( ,

) )

Die so erhaltenen linken Seiten geeigneter Umrechnungsquotienten werden solange an die Größengleichungen „angehängt“, bis die gewünschte Einheit durch systematisches Kürzen erreicht ist. Dies soll an folgendem einfachen Beispiel demonstriert werden: Welcher Volumenstrom Q in

𝒄𝒖. 𝒇𝒕. 𝒉

fließt durch ein Rohr mit dem Durchmesser

D = 2 𝒎, wenn die Strömungsgeschwindigkeit c = 0,1

𝒎 𝒔

beträgt?

In Kap. 1.1 wurde die Beziehung für den Volumenstrom 𝑄 = 𝑓 (𝑐, 𝐴) als Kontinuitätsgleichung {Gl.1.1-9} bereits vorgestellt. Danach berechnet sich ∙

𝑄 = 𝑐 ∙𝐴 = 𝑐 ∙

= 0,1

∙

∙

𝑚 = 0,314

In diesem Ergebnis muss m3 durch die angelsächsische Einheit 𝑐𝑢. 𝑓𝑡. und 𝑠 durch die Einheit ℎ ersetzt werden. Nach dem Vorgenannten sind die dazu erforderlichen Umrechnungsquotienten aus Kap. 1.2.2 sinnvoll so anzuschreiben . ,

.

und

=1

=1

Diese Beziehungen in das bisherige Ergebnis für Q eingesetzt liefert 𝑄 = 0,314

∙

.

.

,

= 1!

∙ = 1!

Nach Kürzung der Einheiten und einer Zahlenrechnung ergibt sich 𝑄 = 39.920

𝑐𝑢. 𝑓𝑡. ℎ

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

15

Es ist zu empfehlen, in Zukunft bei allen Berechnungen mit Größengleichungen im Ingenieurbereich (und nicht nur bei Klausuren der Fluidtechnik) diese Vorgehensweise prinzipiell anzuwenden! Der scheinbar höhere Aufwand wird durch die sichere Ergebnisfindung mehr als kompensiert. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Von Praktikern werden für schnelle Überschlagsrechnungen oft sogenannte Zahlenwertgleichungen benutzt. Um dabei zu einem richtigen Ergebnis zu gelangen, müssen alle Werte in der dazu vorgegebenen Einheit eingesetzt werden! So lässt sich z. B. die theoretisch mögliche hydraulische Leistung 𝑃

(in 𝑘𝑊) einer Wasser-

turbine mit der folgenden „Formel“ aus dem Volumenstrom 𝑄 (in

) und der Fallhöhe 𝐻 (in

𝑚) berechnen: 𝑃

≈ 10 ∙ 𝑄 ∙ 𝐻 [𝑘𝑊]

Die exakte Berechnung mittels einer Größengleichung lautet 𝑃

= 𝜌∙𝑔∙𝑄∙𝐻

Wobei Sie zunächst beliebige Einheiten verwenden können, die anschließend auf die geforderte Einheit umgerechnet werden. ___________________________________________________________________________________________

16

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.3 Grundlagen für ruhende Fluide (Fluidstatik) Berechnungen für unbewegte Fluide werden in zwei Bereiche unterteilt, die für Flüssigkeiten in der Hydrostatik und für Gase in der Aerostatik beschrieben werden. Damit Fluide sich nicht bewegen können, dürfen auf diese nur Drucknormalkräfte und keine Schubkräfte wirken. Als maßgebende Größe dient der statische Druck.

1.3.1 Statischer Druck In einem ruhenden Fluid hängt der Druck auf ein Fluidteilchen nicht von der Raumrichtung ab, ist also an einer beliebigen Stelle des Fluidteilchens in alle Richtungen gleich groß und ist demzufolge eine skalare Größe, d. h. 𝑝 = 𝑝 = 𝑝 = 𝑝 (Abb. 1.3-1). Definiert wird der Druck 𝑝 als eine Druck-Spannung 𝑝 = lim ∆ →

∆F⃗ dF F = = ∆A dA A

z. B. in der Einheit [

(Gl. 1.3-1)

= 𝑃𝑎 = 10 bar]

Abb. 1.3-1: Statischer Druck p als skalare Größe

Der Druck p wirkt aufgrund der vektoriellen Druckkraft 𝐹⃗ immer senkrecht auf die betrachtete Fläche A! 𝑝 ist der Umgebungsdruck, i. d. R. der Atmosphärendruck. Alle Druckmessgeräte messen nur Über- oder Unterdruck gegenüber dem örtlichen Umgebungsdruck 𝑝 , wie in Abb. 1.3-2 dargestellt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

17

Abb. 1.3-2: Verschiedene Druckbereiche

Die Anwendung erfolgt zunächst für Flüssigkeiten (Hydrostatik) und danach für Gase bzw. Luft (Aerostatik)

1.3.2 Hydrostatik Die Hauptaufgabe besteht darin, den Druck 𝑝 an verschiedenen Stellen einer ruhenden Flüssigkeit (z. B. in einem wassergefüllten großen Behälter, Abb. 1.3-3) zu berechnen, um daraus die auf wichtige Flächen wirkenden Druckkräfte zu ermitteln. Aus diesen Kräften lassen sich dann mit Kenntnissen der technischen Mechanik an besonders gefährdeten Bauteilen (z. B. Flansche) Festigkeits- und Verformungsberechnungen durchführen.

18

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.3-3: Druckberechnung als Basis für Bauteil-Sicherheit

1.3.2.1 Grundgleichungen der Hydrostatik In Flüssigkeiten nehmen mit zunehmender Eintauchtiefe h der Druck p und damit die Druckkräfte 𝐹 zu. Die Dichte 𝜌 bleibt konstant. In Abb. 1.3-4a ist die Gewichtskraft 𝑑𝐺 von einer infinitesimal kleinen Fluidsäule der Höhe h (gemessen an der Flüssigkeitsoberfläche von einem beliebig gewählten Bezugsniveau B-B aus) und der Fläche 𝑑𝐴, mit den darauf wirkenden Druckkräften 𝑑𝐹, dargestellt.

Abb. 1.3-4a: Wirkende Kräfte auf eine infinitesimal kleine Fluidsäule

Aus der in Abb. 1.3-4b gezeigten Herleitung ist die hydrostatische Grundgleichung ersichtlich. Diese lässt sich auch anschaulich als „Tauchergleichung“ interpretieren, da der so berechenbare Druck 𝑝 mit zunehmender Tauchtiefe auf einen Taucher einwirkt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

19

Kräftegleichgewicht (vertikal): 𝑑𝐹 + 𝑑𝐺 = 𝑑𝐹 𝑝 ∙ 𝑑𝐴 + ℎ ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑝 ∙ 𝑑𝐴

|:𝑑𝐴

𝑝(𝑧) = 𝑝 + 𝝆 ∙ 𝒈 ∙ 𝒉

Grundgleichung der Hydrostatik („Tauchergleichung“)

(Gl. 1.3-2)

Abb. 1.3-4b: Ableitung der Grundgleichung der Hydrostatik („Tauchergleichung“)

Beim Tauchen gib dir einen Ruck, denk immer an den Flächendruck. Der ist, weiß schon die Meeresäsche, ´ne Kraft, die wirkt auf jede Fläche.

Kennst du bereits die Tauchergleichung, kann dies dein Leben sehr bereichern. Vermeide, dass dein Ohr tut weh, gleich´ aus das 𝝆 ∙ 𝒉 ∙ 𝒈 .

Sei auch die Fläche noch so klein, der Druck im Taucher-Ohr macht Pein! Je tiefer es nach unten geht, mach´ Druckausgleich, sonst ist´s zu spät!

Den Überdruck schluck einfach runter, dann bleibst beim Tauchen du stets munter! Das 𝝆 und 𝒈 macht keinen Sprung, nur 𝒉 verletzt dir Ohr und Lung´.

PS: Doch willst du mal ´nen Flieger lenken, musst umgekehrt du alles denken!

In den meisten Lehrbüchern der Strömungstechnik werden aufbauend auf dieser Grundgleichung weitere Besonderheiten der Hydrostatik berechnet, wie zum Beispiel „Kommunizierende Röhren“, „Hydrostatisches (Pascalsches) Paradoxon“, „Hydraulische Presse“, „Druckmessung“ und „Hydraulischer Heber“. Bei Interesse lassen sich dort die ergänzenden Informationen beschaffen. In Kap. 2.3 wird exemplarisch der Fall eines kommunizierenden U-Rohres, gefüllt mit zwei verschiedenen Fluiden, methodisch bearbeitet. Weitere Beispielrechnungen finden sich in Kap. 3. Ein wichtiges Teilgebiet der Hydrostatik, bei dem die „Tauchergleichung“ Anwendung findet, betrifft die Berechnung von Wanddrücken, z. B. für verschraubte Flansche an flüssigkeitsgefüllten Behältern.

1.3.2.2 Druckkraft auf Wände Es werden im Folgenden nur die Berechnung von Wanddruckkräften für ebene, senkrechte und schräg geneigte Wände dargestellt. Berechnungen für gekrümmte Wände (z. B.

20

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Kugelbehälter für Flüssigkeiten) finden sich in weiterführenden Lehrbüchern der Fluidmechanik.

Druckkraft auf senkrechte Seitenwände In Abb. 1.3-5 ist die allgemeine Fragestellung beschrieben: Wie berechnen sich die resultierende Flüssigkeitsdruckkraft 𝐹 und deren Angriffspunkt 𝑦 bei einem Behälter mit senkrechten Seitenwänden, der bis zur Höhe ℎ mit Fluid der Dichte 𝜌 gefüllt ist?

Abb. 1.3-5: Druckkraft auf senkrechte Seitenwand eines rechteckigen Behälters

Aus Lehrbüchern entnimmt man als Ergebnis für die resultierende Flüssigkeitsdruckkraft 𝐹 𝐹 =𝜌∙𝑔∙𝑏∙

ℎ ℎ =𝜌∙𝑔∙𝐴∙ 2 2

(Gl. 1.3-3)

Mit der Druckfläche 𝐴=𝑏∙ℎ

(Gl. 1.3-4)

Da der Druck linear mit der Tiefe zunimmt, kann die Druckkraft 𝐹 nicht im Schwerpunkt S der gedrückten Fläche angreifen, sondern etwas tiefer, im Druckmittelpunkt D. 𝑦 =

2 ℎ 3

(Gl. 1.3-5)

Der Atmosphärendruck 𝑝 hat keinen Einfluss auf die Größe von 𝐹 , da er sowohl auf der Innenseite als auch auf der Außenseite der Behälterwand ausgleichend wirkt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

21

Druckkraft auf schräg geneigte Wand Bei der Herleitung für diesen allgemeineren Fall einer flüssigkeitsbeaufschlagten Behälterwand wird ebenfalls die „Tauchergleichung“ herangezogen, diesmal aber beschränkt auf eine vorgegebene Fläche A (siehe Abb. 1.3-6)

Legende: 𝐹 = resultierende Fluid-Druckkraft 𝑆 = Schwerpunkt der gedrückten Fläche A 𝐷 = Angriffspunkt der resultierenden Fluid-Druckkraft (Druckmittelpunkt) 𝑥 = Abstand des Flächenschwerpunkts zur frei gewählten y-Achse 𝑥 = Abstand des Druckmittelpunkts D zur frei gewählten y-Achse 𝑦 = Abstand des Flächenschwerpunkts zur Fluidoberfläche (x-Achse) 𝑦 = Abstand des Druckmittelpunktes D zur Fluidoberfläche (x-Achse) Abb. 1.3-6: Druckkraft auf geneigte Wand mit Neigungswinkel α

Als Ergebnis einer umfangreichen Herleitung mittels „Tauchergleichung“ und zusätzlicher Informationen aus Teilgebieten der technischen Mechanik ergibt sich die Größe der resultierenden Fluid-Druckkraft 𝐹 zu 𝐹 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑦 ∙ 𝐴

(Gl. 1.3-6)

Mit cos 𝛼 ∙ 𝑦 = ℎ

(Gl. 1.3-7)

folgt daraus auch vereinfacht 𝐹 =𝜌∙𝑔∙ℎ ∙𝐴

(Gl. 1.3-8)

Aus der „Tauchergleichung“ (Gl. 1.3-2) lässt sich der Ausdruck 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ auch durch die Druckdifferenz 𝑝 −𝑝 = 𝜌∙𝑔∙ℎ

(Gl. 1.3-9)

beschreiben. 𝑝 ist dabei der Überdruck im Flächenschwerpunkt S der gedrückten Fläche A. Somit ergibt sich auch

22

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝐹 = (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝐴

(Gl. 1.3-10)

Des Weiteren ermittelt sich der Abstand des Druckmittelpunktes D zur Fluidoberfläche zu 𝑦 =

𝐼 +𝑦 𝑦 ∙𝐴

(Gl. 1.3-11)

𝐼 ist dabei das Eigenträgheitsmoment der gedrückten Fläche um seinen Schwerpunkt und lässt sich für die gängigen Flächen (Rechteck, Kreis, usw.) aus Tabellen entnehmen. Aus Gl. 1.3-11 folgt, dass 𝑦 > 𝑦 ist, d. h. die Kraft 𝐹 greift immer unterhalb des Schwerpunkts S an. Weiterhin ergibt sich der Abstand e zwischen dem Schwerpunkt S und dem Druckmittelpunkt D zu 𝑒 =𝑦 −𝑦 =

𝐼 𝑦 ∙𝐴

(Gl. 1.3-12)

Für nicht symmetrische Flächen A lässt sich der Abstand 𝑥 berechnen, in dem die Druckkraft 𝐹 wirkt: 𝑥 =

𝐼 𝑦 ∙𝐴

(Gl. 1.3-13)

Dabei ist das sogenannte Zentrifugalmoment (Deviationsmoment der Fläche A = biaxiales gemischtes Flächenmoment 2. Ordnung) ebenfalls aus Tabellen entnehmbar. Für symmetrische Flächen A gilt stets 𝑥 = 𝑥 ! Wird α = 0° gesetzt (senkrechte Wand) führt das natürlich wieder zur vereinfachten Gl. 1.3-3. In Kap. 2.3 bzw. Kap. 3 erfolgt die methodische Bearbeitung solcher Wanddruck-Aufgaben. Eine weitere wichtige Anwendung der Hydrostatik bezieht sich auf Kräfte, die auf eingetauchte Körper (z. B. Eisberge) wirken und die als (statischer) Auftrieb bezeichnet werden (vgl. Kap. 1.3.2.3). Dieser ist nicht zu verwechseln mit dem sogenannten dynamischen Auftrieb, der aus der Strömung um Tragflügelprofile resultiert und besser als Querkraft ausgedrückt wird (Kap. 1.6 und Kap. 1.7).

1.3.2.3 Statischer Auftrieb (Gesetz von Archimedes) Eine spezielle Anwendung der hydrostatischen Grundgleichung liegt vor, wenn ein Körper teilweise (z. B. Schiff) oder ganz (z. B. U-Boot) in ein Fluid getaucht ist. Die dabei entstehende Kraft wird Auftrieb genannt, die Berechnung ist als Gesetz von Archimedes bekannt. In Abb. 1.3-7 ist der allgemeine Fall eines vollständig eingetauchten Körpers mit dem Volumen 𝑉 in einem Fluid mit Dichte ρ dargestellt. Wie ermittelt man die resultierende Druckkraft 𝐹 (= Auftriebskraft)?

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

23

Abb. 1.3-7: Prinzip des statischen Auftriebes

Damit der eingetauchte Körper an dieser Stelle bleiben kann, wirken folgende Kräfte: -

-

Die projizierten Flächen 𝐴 des eingetauchten Körpers sind in positiver und negativer x-Richtung gleich, sodass sich die beiden Druckkräfte 𝐹 gegenseitig aufheben. Das Gleiche gilt für die z-Richtung. Um die resultierende Fluid-Druckkraft auf den eingetauchten Körper zu bestimmten, wird die Körperoberfläche in zwei Teile aufgeteilt: a. Benetzung des Körpers auf der Oberseite, wobei eine Fluidkraft 𝐹 in positive y-Richtung wirkt, die sich aus dem Fluidgewicht zu 𝐹 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 ergibt. b. Benetzung des Körpers auf der Unterseite, die gemäß dem erweiterten Pascalschen Paradoxon (Abb. 1.3-8) zu einer fiktiven Druckkraft 𝐹 , durch das gedachte Fluidvolumen über der von unten benetzten Fläche, führt. 𝐹 = − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (𝑉 + 𝑉 ) wirkt gegen die positive y-Richtung.

Abb. 1.3-8: Pascalsches Paradoxon

Damit ergibt sich die resultierende Druckkraft 𝐹 =𝐹

+𝐹

= 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (𝑉 + 𝑉 )

𝐹 = −𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 Diese Druckkraft wird als Auftriebskraft FA bezeichnet, deren Größe sich zu 𝐹 =𝐹 =𝜌∙𝑔∙𝑉 ergibt und entgegen der positiven y-Richtung nach oben wirkt.

(Gl. 1.3-14)

24

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Das Gesetz von Archimedes besagt also, dass -

der statische Auftrieb eines benetzten Körpers gleich der Gewichtskraft des von ihm verdrängten Fluidvolumens VK ist (Abb. 1.3-14) und der Angriffspunkt der Auftriebskraft 𝐹 im Volumenschwerpunkt S des verdrängten Fluidvolumens liegt (Abb. 1.3-9). Bei inhomogenen Körpern weichen deren Volumenund Körperschwerpunkt (= Gewichtsschwerpunkt) voneinander ab.

Abb. 1.3-9: Volumenschwerpunkt bei Schwimmen und Schweben

Vertiefungen zur Schwimm- und Schwebestabilität finden sich in der Fachliteratur, methodische Lösungserarbeitung zu Aufgaben zum statischen Auftrieb in Kap. 2.3 und Kap. 3. Im folgenden Kap. 1.3.2.4 werden zwei bedeutsame Sonderfälle von Fluidoberflächen behandelt, bei denen Behälter entweder beschleunigt/verzögert oder in Rotation versetzt werden.

1.3.2.4 Freie Oberflächen Wenn Behälter mit Fluiden gefüllt sind (z. B. Tanklastwagen, Zentrifugen) und beschleunigt/ verzögert oder rotiert werden, so ändert sich die Druckverteilung mit der Tiefe nicht mehr gemäß der Hydrostatischen Grundgleichung. Wichtigste Bedingung für diese Fälle ist, dass bei Gleichgewicht die resultierende Kraft auf die Fluidoberfläche immer senkrecht zum Fluidspiegel wirkt (Abb. 1.3-10).

Abb. 1.3-10: Gleichgewichtsbedingung freier Oberflächen

Falls nur die Schwerkraft (d. h. Erdbeschleunigung g) auf das Fluid wirkt, steht der Fluidspiegel „in der Waage“ (Abb. 1.3-11a). Für diesen Fall gilt für die Berechnung des Druckes 𝑝 (bzw. der

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

25

Druckkräfte 𝐹 auf beliebige Kontaktflächen A des Behälters) die Hydrostatische Grundgleichung. Bei großen Behältern (z. B. Meeresbecken) steht infolge der Kugelform der Erde die Oberfläche nicht mehr horizontal waagrecht, sondern ist gekrümmt (Horizontwirkung, Abb. 1.3-11b)

Abb. 1.3-11: Ausbildung freier Fluidoberflächen (a) kleine Fläche, b) große Fläche) unter Schwerkrafteinfluss (g)

Fluidoberflächen bei gleichmäßiger Beschleunigung/Verzögerung Wirkt neben der Schwerkraft (𝑔) auch noch eine gleichförmige Beschleunigung (𝑏) oder Verzögerung (−𝑏) auf das Fluid ein, so verändert sich der Fluidspiegel in der Form, wie es in Abb. 1.3-12 für eine Beschleunigung eines Tanklastzugs auf einer abschüssigen Straße dargestellt ist.

Abb. 1.3-12: Beschleunigungskräfte eines Tankwagens auf abschüssiger Straße (Neigungswinkel β)

In Ruhestellung wird die freie Oberfläche waagrecht stehen. Beschleunigt (b) wird die Oberfläche unter dem Winkel α gegenüber dem Ruhezustand geneigt sein. Betrachtet man die Krafteinwirkungen, die auf ein beliebiges Fluidteilchen mit der Masse m einwirken und berücksichtigt dabei, dass gemäß dem Newtonschen Grundgesetz eine Kraft 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑏 ist, sowie die Tatsache, dass 𝑚 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 ist, so gilt 𝐹~𝑏! D. h., die Kräfte auf ein Fluidteilchen können auch durch die Beschleunigungen (g, b) dargestellt werden, die auf dieses wirken. Das Teilchen „spürt“ also die Erdbeschleunigung (g) und eine „Trägheitskraft“ (= d’Alembert-Kraft = −𝑏), die entgegen der Beschleunigung einzutragen ist. Mit der Bedingung, dass die

26

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

resultierende Kraft (𝑔 ) immer senkrecht zur Fluidoberfläche steht, lassen sich die geometrischen Beziehungen aus Abb. 1.3-13 ablesen.

Abb. 1.3-13: Beschleunigungsvektoren bei gleichmäßiger Beschleunigung (vgl. Abb. 1.3-12)

Wenn der Beschleunigungsvektor (bzw. die auf das Teilchen einwirkende Beschleunigung -b) die skalaren Komponenten 𝑏 und 𝑏 besitzt, so ergibt sich für den Neigungswinkel 𝛼 aus der trigonometrischen Beziehung tan 𝛼 =

𝑏 𝑔−𝑏

(Gl. 1.3-15)

Damit gilt es, Folgendes zu beachten: -

Der sich einstellende Neigungswinkel 𝛼 ist unabhängig von der Dichte 𝜌 des Fluids! Wasser verhält sich so wie Honig oder Heizöl. Die bisherige Hydrostatische Grundgleichung ist anwendbar, wenn man, statt mit 𝑔, mit einer um den Winkel 𝛼 gedrehten fiktiven Fallbeschleunigung 𝑔

=

𝑏 + 𝑔−𝑏

(Gl. 1.3-16)

rechnet. Damit ergibt sich der Druck 𝑝(𝑦 ∗ ) an einer beliebigen Stelle der um den Winkel α gedrehten Tiefenkoordinate 𝑦 ∗ zu 𝑝(𝑦 ∗ ) = 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 -

-

∙ 𝑦∗

(Gl. 1.3-17)

Bei einer solchen beschleunigten Talfahrt befindet sich die Stelle des höchsten Drucks in der rechten unteren Ecke des Tankbehälters und ist umso größer, je größer die Dichte des Fluids ist. Bei verzögerter Fahrbewegung (Bremsen) neigt sich die Oberfläche entsprechend in die andere Richtung. Das Fluid steigt auf der Vorderseite des Behälters nach oben, erzeugt dabei ein größeres Kippmoment um die Vorderräder und kann zu einem Überschlag des LKW führen, wenn der Behälter verhältnismäßig kurz zur Behälterhöhe ist!

Was passiert nun, wenn ein Fluidbehälter gleichmäßig rotiert?

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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Fluidoberflächen bei gleichförmiger Rotation (ω) Bei einem zylindrischen Fluidbehälter, der gleichförmig mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotiert (z. B. in Zentrifugen bei der Milchverarbeitung), stellt sich eine gekrümmte Oberfläche ein. Auch hier interessiert der Druck p an einer beliebigen Stelle im Fluid. Die Situation ist in Abb. 1.3-14 dargestellt.

Abb. 1.3-14: Freie Oberfläche und Kräfte auf ein Masseteilchen 𝑑𝑚 bei einem gleichförmig mit ω rotierenden Fluidbehälter

Für einen rotierenden „Beobachter“ mit der Dichte 𝜌 und der Fluidmasse 𝑑𝑚 ist das Fluid in Ruhe. D. h., das Fluid bewegt sich in Bezug auf das Gefäß nicht. Das Fluidelement wird im horizontalen Gleichgewicht gehalten durch -

die Zentrifugalkraft 𝑑𝑍 und die Druckkraft 𝑑𝐹

Mit 𝑑𝑍 = 𝑑𝑚 ∙ 𝑟 ∙ 𝜔 = 𝜌 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑟 ∙ 𝜔 und 𝑑𝐹 = (𝑝 + 𝑑𝑝) ∙ 𝑑𝐴 − 𝑝 ∙ 𝑑𝐴 = 𝑑𝑝 ∙ 𝑑𝐴 wird bei Gleichgewicht 𝑑𝐹 = 𝑑𝑍 𝑑𝑝 ∙ 𝑑𝐴 = 𝜌 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑟 ∙ 𝜔 und umgestellt =𝜔 ∙𝑟∙𝜌

28

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Durch Einsetzen der örtlichen Umfangsgeschwindigkeit 𝑢 = 𝑟 ∙ 𝜔 wird daraus die Druckänderung entlang des Radius r 𝑑𝑝 𝑢 =𝜔 ∙𝑟∙𝜌 =𝜌∙ 𝑑𝑟 𝑟

(Gl. 1.3-18)

In einem gleichförmig rotierendem Fluid nimmt der Druck also radial nach außen zu! Die Druckverteilung im Behälter ergibt sich durch Integration der vorstehenden Gleichungen über r zu 𝑝(𝑦, 𝑟) = 𝜌 ∙ 𝜔

𝑟 ∙ 𝑑𝑟 = 𝜌 ∙ 𝜔 ∙

𝑟 + 𝐶(𝑦) 2

(Gl. 1.3-19)

Die Integrationskonstante 𝐶(𝑦) kann noch eine Funktion von 𝑦 sein. Sie wird aus der Bedingung bestimmt, dass auf der Drehachse (𝑟 = 0) die Hydrostatische Grundgleichung gelten muss, da dort keine Zentrifugalkraft, sondern nur die Schwerkraft wirkt. Damit gilt 𝑝(𝑦, 𝑟 = 0) = 𝐶(𝑦) = 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑦

(Gl. 1.3-20)

Damit folgt für die Druckverteilung 𝑝(𝑦, 𝑟) = 𝜌 ∙ 𝜔 ∙

𝑟 +𝑝 +𝜌∙𝑔∙𝑦 2

(Gl. 1.3-21)

An der Oberfläche gilt 𝑝 = 𝑝 , woraus sich die Beziehung für die Form der Oberfläche 𝑦 (𝑟) bestimmen lässt. 𝑝 =

1 ∙𝜌∙𝜔 ∙𝑟 +𝑝 +𝜌∙𝑔∙𝑦 2

Daraus folgt 𝑦 (𝑟) = −

∙𝑟

(Gl. 1.3-22)

Mit −

= 𝐾𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝐾!

Diese Beziehung stellt die Form der Fluidoberfläche und die Gleichung eines quadratischen Rotationsparaboloids (𝑦 = 𝐾 ∙ 𝑟 ) dar. Die Form der Oberfläche ist also unabhängig von der Dichte und der Viskosität des Fluids, da kein Stoffwert in der Gleichung vorkommt! Da das Paraboloid gerade das halbe Volumen eines Kreiszylinders mit gleichem Radius r und der Höhe

besitzt, würde sich bei 𝜔 = 0 (Ruhesituation) die Fluidoberfläche in der Mitte

zwischen höchster und tiefster Stelle der paraboloiden Oberfläche einstellen (Abb. 1.3-15).

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

29

Abb. 1.3-15: Fluidvolumen in einem Paraboloid

Diese Aussage gilt, solange der Gefäßboden benetzt bleibt und wird bei vielen Aufgaben zu dieser Thematik (z. B. bei Zentrifugen, Kap. 3) für deren Lösung benötigt. Bei den bisherigen Betrachtungen wurde vorausgesetzt, dass die Dichte 𝜌 an jeder Stelle des Fluids die gleiche Größe aufweist (𝜌 = konst.). Dies gilt nicht mehr, wenn das Fluid ein Gas (z. B. Luft) ist und die betrachteten Stellen dieses Gases weit entfernt voneinander sind (z. B. Erdoberfläche und 10.000 𝑚 Höhe), was in der Aerostatik von Bedeutung ist (Kap. 1.3.3).

1.3.3 Aerostatik Bei ruhenden Gasen in Behältern sind deren Abmessungen so gering, dass die Veränderung von Druck p, Dichte ρ oder Temperatur 𝜗 in der Regel vernachlässigt werden können. Bei dickeren Gasdichten (z. B. Atmosphäre) gilt allerdings eine derartige Vereinfachung nicht mehr. Dies führt zu 𝑝, 𝜌, 𝜗 = 𝑓(𝐻öℎ𝑒) Dies ist beispielsweise wichtig für Berechnungen oder Versuche im Flugzeugbau, bei Satelliten oder Wetterballons. Bei den folgenden Betrachtungen werden die Erdrotation und die Veränderung der Erdbeschleunigung g mit zunehmendem Abstand von der Erdoberfläche vernachlässigt. Da bei kompressiblen Fluiden (z. B. Luft) die Dichte veränderlich ist, kann die Grundgleichung der Hydrostatik (Tauchergleichung, vgl. Kap. 1.3.2.1) nicht mehr verwendet werden. In Abb. 1.3-16 ist die Situation für ein beliebiges Fluidteilchen in der Höhe z mit der Grundfläche 𝑑𝐴 und der Höhe 𝑑𝑧 dargestellt. Wenn das Teilchen in Ruhe ist, besteht Gleichgewicht zwischen dessen Gewichtskraft und den auf 𝑑𝐴 wirkenden Druckkräften.

30

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.3-16: Ruhendes Fluidteilchen in der Atmosphäre

Bei Kräftegleichgewicht in z-Richtung gilt ∑ 𝐹 = 0 = 𝑝 ∙ 𝑑𝐴 − (𝑝 + 𝑑𝑝) ∙ 𝑑𝐴 − 𝜌(𝑧) ∙ 𝑑𝑧 ∙ 𝑑𝐴 ∙ 𝑔

|∙

Nach Multiplikation folgt daraus 𝑑𝑝 = −𝜌(𝑧) ∙ 𝑔 𝑑𝑧

Aerostatische Grundgleichung („Fliegergleichung“)

(Gl. 1.3-23)

In der Atmosphäre nimmt der Druck mit der Höhe ab! Integriert man Gl. 1.3-23 formal, so erhält man aus 𝑑𝑧 = −

( )∙

∙ 𝑑𝑝

die Formel für die Höhe z

𝑧 = ∫ 𝑑𝑧 = − ∫

( )

(Gl. 1.3-24)

( )

wobei die Höhenabhängigkeit der Dichte 𝜌 durch eine Druckabhängigkeit ersetzt wurde. Falls 𝜌(𝑝) bekannt ist, lässt sich die Integration von Gl. 1.3-24 durchführen und man erhält 𝑧(𝑝). Durch Umkehrung wird daraus die Druckveränderung p(z) über die Höhe z. Der Zusammenhang 𝜌(𝑝) ist durch die thermische Zustandsgleichung der Luft als ideales Gas gegeben =𝑅∙𝑇

(Gl. 1.3-25)

mit 𝑅 = spezielle Gaskonstante (z. B. 𝐿𝑢𝑓𝑡: 𝑅 = 287 𝑇 = absolute Temperatur

)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

31

In Gl. 1.3-25 tritt die Temperatur T als zusätzliche Zustandsgröße auf. Um 𝑝(𝑧) und 𝜌(𝑧) bestimmen zu können, muss noch 𝑇(𝑧) bekannt sein. Übliche Annahmen hierzu sind (Abb. 1.3-17): (1) 𝑇(𝑧) = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. → Isotherme Atmosphäre (2) 𝑇(𝑧) linear mit z abnehmend (z. B. 1 K pro 100 m) → Isentrope Atmosphäre Das bedeutet für die Zustandsänderung adiabat (ohne Wärmeaustausch mit der Umgebung) reversibel (ohne Reibungsverluste) (3) 𝑇(𝑧) gemäß Normung → Polytrope Atmosphäre (Standard-Atmosphäre)

Abb. 1.3-17: Temperaturverlauf in der Atmosphäre über der Höhe z bei verschiedenen Annahmen (sowie 𝑝(𝑧) und 𝜌(𝑧) qualitativ bei isothermer Atmosphäre)

Der tatsächliche Temperaturverlauf weicht davon natürlich ab. Details zu Fall (2) und (3) finden sich in der Fachliteratur. Für den Fall (1) der Isothermen Atmosphäre gilt: 𝑇(𝑧) = 𝑇 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑇 wird als Standardbedingung mit 288,15 K am Boden definiert, also ca. 15° C. Aus der thermischen Zustandsgleichung in Gl. 1.3-25 folgt daraus 1 1 =𝑅∙𝑇 ∙ 𝜌(𝑝) 𝜌

32

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Eingesetzt in Gl. 1.3-24 ergibt sich ( )

1 𝑧=− 𝑔

( )

𝑑𝑝 𝑅∙𝑇 =− 𝜌(𝑝) 𝑔

𝑑𝑝 𝑅∙𝑇 𝑝(𝑧) =− ∙ ln 𝑝 𝑔 𝑝

Nach einer Umstellung wird daraus ln

𝑝(𝑧) 𝑧 =− 𝑅∙𝑇 𝑝 𝑔

Logarithmiert mit der Basis e des natürlichen Logarithmus führt das zu ( )

𝑒

∙

=𝑒

und mit 𝑅∙𝑇 𝑝 = 𝐻 (= ) 𝑔 𝜌 ∙𝑔 ergibt sich die Barometrische Höhenformel (bei Isothermer Atmosphäre) 𝒑(𝒛) 𝝆(𝒛) = =𝒆 𝒑𝟎 𝝆𝟎

𝒛 𝑯𝟎

(Gl. 1.3-26)

𝐻 kann als Höhe einer gleichförmigen Atmosphäre mit konstanter Dichte 𝜌 gedeutet werden. 𝐻 =

𝑅∙𝑇 𝑝 = 𝑔 𝜌 ∙𝑔

(Gl. 1.3-27)

Diese Beziehung folgt aus der hydrostatischen Grundgleichung für 𝑝 = 0, d. h., in der Höhe 𝐻 läge ein Vakuum vor! Durch den Zusammenhang zwischen p und z kann z. B. in Flugzeugen mit Hilfe einer Druckmessung die Flughöhe z in der Atmosphäre bestimmt werden (Kap. 3).

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

33

1.4 Der Energieerhaltungssatz für Fluidströmungen (Bernoulli-Gleichung) In den folgenden Unterkapiteln wird der bekannte Energieerhaltungssatz auf Fluidströmungen angewendet. Dabei werden zunächst einfache ideale Strömungen betrachtet und anschließend die Betrachtungen auf komplexere reale Strömungen ausgedehnt.

1.4.1 Bernoulli-Gleichung für ideale Fluidströmungen Aus dem Physik-Schulwissen ist Ihnen sicherlich noch bekannt, dass Energie (Arbeit) in verschiedenen Formen vorkommt. Relevant für Fluidströmungen sind:  Mechanische Energie (𝐸 . ) in Form von  potentieller Energie 𝐸 . , also - Lage-Energie (z. B. Eimer Wasser in die Höhe z transportiert) - Druck-Energie (z. B. Behälter mit Wasser unter Kompressor-Druck p setzen)  kinetischer Energie 𝐸 . , mit den Eigenschaften - konstante Strömungsgeschwindigkeit c (z. B. Fließen eines Baches) - beschleunigte/ verzögerte Strömungen b (z. B. Werfen einer Wasserbombe)  Innere Energie u („Wärme“, d. h. thermische Energie 𝐸 . , z. B. Wasser kochen) Weitere Energieformen, die sich aber im Allgemeinen nicht verändern bei klassischen Aufgaben der Fluidmechanik, sind beispielsweise  Elektrische Energie 𝐸 .  Magnetische Energie 𝐸  Chemische Energie 𝐸

. . , u. a.

Der bekannte Energieerhaltungssatz besagt, dass sich in einem abgeschlossenen System (z. B. in einer Rohrströmung) zwar die verschiedenen Energieformen in ihrer Größe ändern können, aber nur so, dass ihre Summe konstant bleibt. Dies wird mit dem Oben gesagten in Gl. 1.4-1 allgemein dargestellt: 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 = 𝐸

.

+𝐸

.

+𝐸

.

+𝐸

.

+𝐸

.

+ ⋯ = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐾

(Gl. 1.4-1)

Die Konstante K erhöht sich bei einer Zufuhr von Energie in die Strömung (z. B. durch eine Pumpe oder eine Heizung) oder erniedrigt sich bei einer Abfuhr von Energie (z. B. durch eine Wasserturbine, eine Gasturbine bei Gasströmungen oder durch eine Kühlung von Fluiden) um die jeweils zu- bzw. abgeführte Energie. In der folgenden Abb. 1.4-1 sind bei einem von oben nach unten durchströmten erweitertem Rohrabschnitt (= Stromröhre) die wichtigen energetischen Strömungsgrößen eingetragen.

34

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.4-1: Erweiterte Rohrströmung mit Strömungsgrößen und Bezugsniveau B-B

Die Strömung fließt zwischen der Stelle (1) (Querschnitt 𝐴 , Dichte 𝜌 , Geschwindigkeit c1, Druck 𝑝 , innere Energie 𝑢 , Höhen-Entfernung 𝑧 von einem willkürlich gewählten Bezugsniveau B-B) nach unten zu einer Stelle (2) (entsprechende Strömungsgrößen mit Index 2). Das Fluid kann entweder Wasser (quasi dichtebeständig 𝜌1 = 𝜌2) oder Luft (bzw. Gas, Dampf, dichteveränderlich 𝜌 ≠ 𝜌 ) sein. Wenn kein Leck in der Stromröhre ist, bleibt die Masse m (bzw. der zeitliche Massenstrom 𝑚̇) zwischen Stelle (1) und Stelle (2) ebenfalls konstant. Wie erhält man jetzt aus den einzelnen Strömungsgrößen die zugehörigen Energiewerte? Auch hierbei ist das Physik-Basiswissen nützlich. Zunächst wird dies für die potentielle Energie gezeigt: Energie wird auch als Arbeit bezeichnet. Wird beispielsweise ein Eimer Wasser mit der Masse 𝑚 [kg] auf einen Berg mit der Höhe H (= ∆z [m]) getragen, so wurde eine Arbeit verrichtet, die als Kraft F (m ∗ 𝑔) mal Höhenweg ∆z berechnet werden kann und als potentielle Energie 𝐸

(hier Lage-Energie) gespeichert ist. Dabei ist g

.

die Erdbeschleunigung. Unter

Beachtung der Festlegung, dass jede Physikalische Größe aus „Zahlenwert ∗ Einheit“ besteht, ergibt sich daraus die endgültige Beziehung Gl. 1.4-2 für 𝐸 . zu. 𝐸

.

= 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧 𝑘𝑔 ∙

𝑚 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙𝑚 = 𝑠 𝑠

(Gl. 1.4-2)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

35

___________________________________________________________________________________________

Beachte Machen Sie es sich zur Gewohnheit, bei allen Berechnungen mit physikalischen Formeln die Zahlenwerte sofort mit den zugehörigen Einheiten in die Formel einzutragen. So vermeiden sie gravierende Rechenfehler! Näheres s. Kap. 1.2 ___________________________________________________________________________________________

Aus der Einheitenbeziehung von Gl. 1.4-2 lässt sich nach einer kleinen Umformung erkennen, dass der Term 𝑔 ∙ ∆z offenbar einer „ auf die Masse m bezogenen spezifischen Lage-Energie“, in der Einheit 𝐸

.

, entspricht:

= 𝑚 ∙ (𝑔 ∙ ∆𝑧) 𝑘𝑔 ∙

𝑚 𝑚 ∙ 𝑚 = 𝑘𝑔 ∙ 𝑠 𝑠

Diese spezifische Energie wird also mit der jeweiligen Masse m multipliziert, um die in der Masse m gespeicherte tatsächliche Energie zu ermitteln. Auf diese Form wird noch häufig Bezug genommen werden. Wenn jetzt nicht nur ein Eimer mit der Wassermasse m [𝑘𝑔] auf den Berg getragen wird, sondern nacheinander gleichmäßig in einer bestimmten Zeit t [𝑠] mehrere Eimer mit der jeweiligen Masse m, so spricht man von einem Massenstrom 𝑚̇ und einer stationären 2 ̇∗ Strömung mit einem Energiestrom 𝐸̇ , der damit einer Leistung in [𝑊] entspricht. 3 Mit einer ähnlichen Betrachtung lässt sich auch die zweite Form einer potentiellen Energie, die Druck-Energie 𝐸 . , aus der Grundlagenphysik ermitteln: Bekanntlich lässt sich eine Arbeit W aus Kraft 𝐹 [𝑁] ∙ Weg 𝑠 [𝑚] errechnen. Ein Behälter, der unter einem Druck p

steht, wird auf einer Fläche 𝐴 [𝑚 ] eine Kraft 𝐹 = 𝑝 ∙ 𝐴 erzeugen.

Damit wird die Arbeit 𝑊 = 𝐸 das sich wiederum als Quotient

.

= 𝑝 ∙ 𝐴 ∙ 𝑠. Das Produkt 𝐴 ∙ 𝑠 entspricht einem Volumen 𝑉, darstellen lässt. Somit ermittelt sich 𝐸

.

schließlich mit

Gl.1.4-3 zu 𝐸

.

= 𝑝∙𝐴∙𝑠 = 𝑝∙𝑉 =𝑝∙

𝑚 𝑝 𝑁∙𝑚 =𝑚∙ 𝑘𝑔 ∙ =𝑁∙𝑚 𝜌 𝜌 𝑚 ∙ 𝑘𝑔

(Gl. 1.4-3)

Mit einer analogen Umformung wie bei der Lage-Energie, lässt sich auch aus der Druck-Energie eine spezifische Druck-Energie

in der Einheit

∙

=

separieren.

Jetzt zur kinetischen Energie: Würde man den Eimer Wasser mit der Masse m [𝑘𝑔] vom Berg jetzt um die Höhe ∆𝑧 [𝑚] in eine Schlucht fallen lassen, so hätte er die vorher hineingesteckte potentielle Energie 𝐸 in eine gleichgroße kinetische Energie 𝐸 umgewandelt (Energieerhaltungssatz). Unabhängig davon, ob die Masse m frei fällt, oder sich in einer Rohrleitung nach unten bewegt (strömt),

36

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

führt mit Gl.1.4-4 im idealen, verlustfreien Fall, die dabei vorhandene Endgeschwindigkeit c

zur kinetischen Energie 𝐸 𝐸

=𝑚∙

..

𝑐 𝑚 𝑘𝑔 ∙ 2 𝑠

(Gl. 1.4-4)

In Gl.1.4-4 lässt sich sofort wieder der spezifische kinetische Energie-Term

in der Einheit

erkennen. Wird 𝐸 = 𝐸 gesetzt und nach c aufgelöst, so ergibt sich mit Gl.1.4-5 die bekannte Torricellische Ausflussformel (1644) in Analogie zum „freien Fall“ 𝑚 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧 = 𝑚 ∙

𝑐 → 𝐸𝑛𝑑𝑔𝑒𝑠𝑐ℎ𝑤𝑖𝑛𝑑𝑖𝑔𝑘𝑒𝑖𝑡 𝑐 = 2

2 ∙ 𝑔 ∙ ∆𝑧

𝑚 𝑠

(Gl. 1.4-5)

Auf den komplizierteren Fall von beschleunigter oder verzögerter Strömung (z. B. bei der Erzeugung einer Rohrströmung durch eine Kolbenpumpe) wird erst später in Kap. 1.4.2.3 eingegangen. Für die Berechnung der inneren Energie muss auf die Gesetze der Thermodynamik zurückgegriffen werden. Wie für die bisher besprochenen Energieformen gezeigt, wird auch die innere Energie 𝐸

.

aus der Multiplikation einer spezifischen inneren Energie u

mit der

Masse m [𝑘𝑔] 𝑒rhalten: 𝐸

=𝑚∙𝑢

Die spezifische innere Energie u ist proportional der Temperatur T [K], die aus der Bewegung der Atome in der Masse m resultiert (𝑢 ̴ 𝑇). Der für jeden Stoff charakteristische Proportionalitätsfaktor ist die spezifische Wärmekapazität cv in Volumen). Damit wird gemäß Gl.1.4-6 die innere Energie 𝐸 𝐸

= 𝑚 ∙ 𝑢 = 𝑚 ∙ 𝑐 ∙ 𝑇 𝑘𝑔 ∙

𝐽 ∙𝐾 =𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝐾

∙

=

∙

(bei konstantem

berechnet aus (Gl. 1.4-6)

Aus den bisherigen Betrachtungen lässt sich erkennen, dass drei Formen der Energieeinheiten mit identischer Größe existieren, was für spätere Umrechnungen von Bedeutung sein wird (Gl.1.4-7): 𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒𝑒𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡𝑒𝑛

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑠

= [𝑁 ∙ 𝑚] = [𝐽]

(Gl. 1.4-7)

Bei einer stationären, kontinuierlichen Strömung gilt in einer Stromröhre (s. Abb. 1.4-1): Die Masse m wird ersetzt durch den Massenstrom 𝑚̇! Die Energie E wird ersetzt durch den Energiestrom 𝐸̇ !

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

37

Aus dem Energieerhaltungssatz (s. Gl.1.4-1) folgt damit zwischen den Stellen (1) und (2) sowie unter Verwendung der bisher betrachteten Energieformen die Beziehung 𝐸̇ = 𝐸̇ und ausgeschrieben 𝑚̇ ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 + 𝑚̇ ∙

+ 𝑚̇ ∙

+ 𝑚̇ ∙ 𝑢 = 𝑚̇ ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 + 𝑚̇ ∙

+ 𝑚̇ ∙

+ 𝑚̇ ∙ 𝑢

Durch Kürzen der Gleichung mit 𝑚̇ auf beiden Seiten der Gleichung und Verallgemeinerung zwischen beliebigen Stellen einer Stromröhre ergibt sich die, auf die Masse m (in kg) bezogene, Energiegleichung in spezifischer Form für strömende Fluide (Flüssigkeiten und Gase), die auch Bernoulli’sche Energiegleichung, oder abgekürzt „Bernoulli-Gleichung“ genannt wird, zu Gl.1.4-8 𝑝 𝑐 𝑚 𝑁∙𝑚 𝐽 + + 𝑔 ∙ 𝑧 + 𝑢 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐾 = = 𝜌 2 𝑠 𝑘𝑔 𝑘𝑔

(Gl. 1.4-8)

Die einzelnen Terme dieser Energiegleichung erhalten die Bezeichnung: 𝑝 → spezifische Druckenergie 𝜌 𝑐 2

→ spezifische Geschwindigkeitsenergie

𝑔 ∙ 𝑧 → spezifische Höhenenergie 𝑢 → spezifische innere Energie Für ein ideales Fluid ist bei Dichte 𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 und Temperatur 𝑇 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 z. B. u = 0! Damit vereinfacht sich Gl.1.4-8 zu der bekannteren Darstellung der Bernoulli-Gleichung in spezifischer Energieform Gl.1.4-9 𝑝 𝑐 + + 𝑔 ∙ 𝑧 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐾 𝜌 2

𝑚 𝑁∙𝑚 𝐽 = = 𝑠 𝑘𝑔 𝑘𝑔

(Gl. 1.4-9)

Durch Multiplikation dieser Gleichung Gl.1.4-9 mit der Dichte 𝜌 ergibt sich die BernoulliGleichung in der Druckform als Gl.1.4-10 𝜌 𝑝 + 𝑐 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐾 2

𝑁∙𝑚 𝑁 = ; 𝑃𝑎; 𝑏𝑎𝑟 𝑚 𝑚

Diese Form entspricht den auf das Volumen (in m3) bezogenen Energieanteilen. Auch hier sind für die einzelnen Terme folgende Bezeichnungen üblich: 𝑝 → statischer Druck 𝜌 𝑐 2

→ dynamischer Druck

𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 → geodätischer Druck Die Summe von 𝑝 + 𝑐 wird auch Gesamtdruck genannt.

(Gl. 1.4-10)

38

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Wird die Gleichung Gl.1.4-9 durch die Erdbeschleunigung g dividiert, so ergibt sich die Höhenform der Bernoulli-Gleichung als Gl.1.4-11 𝑝 𝑐 + + 𝑧 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝐾 𝜌∙𝑔 2∙𝑔

𝑁∙𝑚 𝐽 = 𝑚; 𝑁 𝑁

(Gl. 1.4-11)

𝑝 → Druckhöhe (≙ Fluidsäule um Bodendruck 𝑝 zu erzeugen) 𝜌∙𝑔 𝑐 → Geschwindigkeitshöhe (≙ Fallhöhe um c zu erreichen) 2∙𝑔 𝑧 → geodätische Höhe (≙ Ortshöhe) Gl.1.4-11 stellt die auf die Gewichtskraft (in N) bezogenen Energien dar, und kann analog zur Punktmechanik gedeutet werden. Die Konstanten K1, K2 und K3 gelten nur für Fluidteilchen auf einer gemeinsamen Stromlinie. Falls jedoch eine wirbelfreie Strömung (Potenzialströmung) vorliegt, gelten die Konstanten für das gesamte Strömungsfeld, was für die meisten praktischen Anwendungen in der Lehre und im Ingenieuralltag genutzt werden kann. In der Höhenform (Gl. 1.4-11) lässt sich die Bernoulli-Energiegleichung sehr anschaulich darstellen (Abb. 1.4-2).

Abb. 1.4-2: Anschauliche Darstellung der Bernoulli-Energiegleichung in der Höhenform

Die bisherigen Betrachtungen lassen sich kurz folgendermaßen zusammenfassen: Bei einer Verengung des Strömungsquerschnitts A (Konfusor) wird die Geschwindigkeit c größer und der Druck p sinkt, während bei einer Erweiterung (Diffusor) die Geschwindigkeit c kleiner wird und der Druck p steigt (Abb. 1.4-3)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

39

Abb. 1.4-3: Anschauliche Aussage der Bernoulli-Gleichung ___________________________________________________________________________________________

Beachte  Bei jeder Anwendung der Bernoulli-Gleichung (Energieerhaltungssatz) sollten Sie stets zu Beginn eine Bezugsebene B-B wählen (vgl. Abb. 1.4-2). Diese kann willkürlich gelegt werden, doch möglichst so, dass ein geringerer Rechenaufwand damit verbunden ist (vgl. Beispiel in Kap. 2.4).  Jede Anwendung des Energieerhaltungssatzes erfolgt immer zwischen zwei Stellen (Stelle „1“ und Stelle „2“) in Fluidströmungen. Dabei liegt Stelle „1“ in Strömungsrichtung immer vor Stelle „2“ (Abb. 1.4-4). Die Bezeichnung der Stellen ist allerdings beliebig, ist aber so zu wählen, dass das gesuchte Ergebnis damit errechnet werden kann.

Abb. 1.4-4: Anordnung von Stellen für die Anwendung der Bernoulli-Gleichung ___________________________________________________________________________________________

Bevor Sie weiterlesen, können Sie sich jetzt die erste methodische Lösung einer Aufgabe in Kap. 2.4 anschauen und dabei die grundsätzliche Vorgehensweise kennenlernen.

1.4.2 Erweiterte (Energie-)Gleichungen für Fluidströmungen Die bisher dargestellte bernoullische Energiegleichung erfasst nur einen kleinen Teil der fluidtechnischen Aufgabenstellungen. Deswegen werden die wichtigsten Erweiterungen, wie Druckänderungen quer zu den Stromlinien (Kap. 1.4.2.1), rotierende Bezugssysteme (Kap. 1.4.2.2), instationäre Strömung (Kap. 1.4.2.3) und stationäre Strömung mit Energiezufuhr oder –abfuhr (Kap. 1.4.2.4) nachstehend erklärt.

40

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.4.2.1 Druckänderung quer zu den Stromlinien In vielen Strömungssituationen sind die Stromlinien nicht gerade und parallel, sondern gekrümmt (Abb. 1.4-5)

Abb. 1.4-5: Allgemeines Strömungsfeld

Längs einer Stromlinie von Punkt 1 zu Punkt 2 lässt sich der Druckverlauf gemäß der BernoulliGleichung relativ einfach berechnen. Quer zu Stromlinien, z. B. der Druckverlauf von Punkt 1 nach Punkt 3, geht das allerdings nicht. In Abb. 1.4-6 ist die Situation eines Fluidteilchens der Masse 𝑑𝑚 bei gekrümmten Stromlinien dargestellt.

Abb. 1.4-6: Druckverlauf und Kräfte auf ein Fluidteilchen bei gekrümmten Stromlinien

Wie jeder andere Körper auch, kann sich ein Fluidteilchen nur dann auf einer gekrümmten Bahn entlang einer Stromlinie bewegen, wenn es zur Kompensation der Zentrifugalkraft 𝑑𝑍 eine Kraft in Richtung des Krümmungsmittelpunkt M der Bahn erfährt. Falls keine Volumenkräfte (z. B. Schwerkraft) wirken, kann diese Kraft nur die Druckkraft 𝑑𝐹 sein. Dazu muss sich allerdings der Druck quer zur Stromlinie ändern. Wenn auf der Innenfläche des Fluidteilchens der Druck 𝑝 vorliegt, muss der Druck an der Außenfläche 𝑝 + 𝑑𝑝 betragen. Auf dem Teilchen wirkt die Fliehkraft 𝑑𝑍 nach außen (Physik!). 𝑑𝑍 = 𝑑𝑚 ∙ 𝑟 ∙ 𝜔 Mit

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

41

𝑑𝑚 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑉 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝑏 und 𝑐 =𝑟∙𝜔 bzw. daraus 𝜔 =

𝑐 𝑟

wird 𝑑𝑍 = 𝜌 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝑏 ∙

𝑐 𝑟

Damit das Teilchen auf der Bahn bleibt, muss es eine Druckkraft 𝑑𝐹 (= Druck x Fläche) nach Innen (entgegen und gleich groß wie 𝑑𝑍) erfahren. 𝑑𝐹 = (𝑝 + 𝑑𝑝) ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑏 − 𝑝 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑏 = 𝑑𝑝 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑏 Für das Gleichgewicht gilt 𝑑𝑍 = 𝑑𝐹 𝑐 𝜌 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑟 ∙ 𝑑𝑏 ∙ = 𝑑𝑝 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝑑𝑏 𝑟 Es ergibt sich die Differentialgleichung für die Druckänderung entlang des Radius 𝑑𝑝 𝑐 =𝜌∙ 𝑑𝑟 𝑟

(Gl.1.4-12)

___________________________________________________________________________________________

Beachte D. h. je stärker die Krümmung der Strömung (𝑟 klein) umso größer der Druckgradient. Bei Strömungsumlenkungen sinkt der Druck also, von dem Druck der "ungestörten" Außenströmung ausgehend, von außen nach innen (Situation auf der Oberseite eines Tragflügelprofils). Bei konkav gekrümmt umströmten Wänden ist das Druckverhältnis genau umgekehrt (analog der Unterseite eines Tragflügels). Diese Information wird bei der Erklärung der Tragflügeltheorie (Kap. 1.6.4) noch benötigt [Hol 20]. Gl. 1.4-12 stellt einen Teilaspekt der sog. Euler-Gleichungen dar. ___________________________________________________________________________________________

Der Sonderfall 𝑟 = ∞ führt zu einer Parallelströmung mit Druckänderung quer zu den Stromlinien statt (Abb. 1.4-7).

= 0! D. h. es findet keine

42

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.4-7: Ideale und reale Rohrströmung (Parallelströmung)

Obwohl die Geschwindigkeiten bei der realen parallelen Strömung (gerades Rohr mit Reibungsverlusten) über dem Querschnitt unterschiedlich groß sind, ist der statische Druck 𝑝 über den Querschnitt konstant. Er kann bei kleinen Rohrdurchmessern mit einer einzigen Wandbohrung gemessen werden, während bei großen Rohren z. B. vier Wandbohrungen über den Umfang gleichmäßig verteilt und über eine Ringleitung untereinander verbunden sind. Da bei der realen Parallelströmung die Geschwindigkeit auf verschiedenen Stromlinien verschieden große Werte aufweist, der Druck aber gleich bleibt, müssen die Konstanten (𝐾 , 𝐾 oder 𝐾 ) der Bernoulli-Gleichung (Höhen-, Druck- oder spezifische Energieform) von Stromlinie zu Stromlinie verschieden sein (Abb. 1.4-8).

Abb. 1.4-8: Parallelströmung mit Druck- und Geschwindigkeitsverlauf auf verschiedenen Stromlinien

Somit ergeben sich für die Stromlinien 1 und 5 die jeweiligen Konstanten 𝐾 der BernoulliGleichung (Druckform) für den betrachteten Querschnitt 1 (Höhenglieder vernachlässigt) Stromlinie 1 → 𝐾

,

=𝑝

,

Stromlinie 5 → 𝐾

,

=𝑝

,

𝜌 + 𝑐 2 𝜌 + 𝑐 2

, ,

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

→ da 𝑝 = 𝑝 , = 𝑝 und 𝑐 , < 𝑐 , folgt: 𝐾

,

𝑤 ist und damit gemäß Bernoulli für den Druck 𝑝 < 𝑝 gilt. Nach Umstellung von Gl. 1.4.-22 erhält man den Druck an der Stellte x zu 𝑝 =𝑝 +𝐶 ∙

𝜌 ∙𝑤 2

(Gl. 1.4-23)

Mit Gl. 1.4-14, Gl. 1.4-15 und Gl.1.4-18 lässt sich damit aus Gl. 1.4-23 für eine bestimmte Kreiselpumpe der für den Kavitationsbeginn wichtige Druck 𝑝 berechnen. Zur Vermeidung von Kavitation muss gelten (Gl. 1.4-24)

𝑝 ≥𝑝

Den Dampfdruck 𝑝 von Wasser entnimmt man für eine vorgegebene Temperatur aus Dampfdruck-Tabellen. Als wichtigste Maßnahme zur Vermeidung von Kavitation sind zu nennen: -

die Saughöhe reduzieren (evtl. sogar Zulauf vorsehen) den Saugrohrdurchmesser vergrößern Krümmer, Ventile, Stromstörer, … vermeiden.

1.4.2.3 Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung Bei den bisherigen Betrachtungen wurde davon ausgegangen, dass sich die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐 zeitlich nicht ändert, was als „stationär“ bezeichnet wird. Bei einigen Vorgängen in strömungstechnischen Prozessen ändert sich jedoch die Geschwindigkeit 𝑐 mit der Zeit 𝑡 und/oder dem Ort (Weg 𝑠). Die Strömung wird entweder beschleunigt (+𝑏) oder verzögert (−𝑏) und dann als „instationär“ bezeichnet. Dies hat besonders große Auswirkung auf die örtlichen Drücke 𝑝, wenn die Änderungen von 𝑐 sehr schnell erfolgen. Diesem Umstand muss die Bernoulli-Gleichung Rechnung tragen. Da bei zeitlich veränderlichen Geschwindigkeiten 𝑐(𝑡) aus dem Newtonschen Grundgesetz entsprechende Kräfte resultieren ±𝐹 = 𝑚 ∙ (±𝑏) und durch Bezug dieser Kräfte auf betreffende Flächen 𝐴 sich verändernde Drücke 𝑝 (bzw. Druckenergien) ergeben, muss die Bernoulli-Gleichung um ein Beschleunigungsglied erweitert werden. Vereinfacht dargestellt: 𝐾𝑟𝑎𝑓𝑡 = 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 ∙ 𝐵𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘 =

𝐾𝑟𝑎𝑓𝑡 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 = ∙ 𝐵𝑒𝑠𝑐ℎ𝑙𝑒𝑢𝑛𝑖𝑔𝑢𝑛𝑔 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝐹𝑙ä𝑐ℎ𝑒

52

𝐷𝑟𝑢𝑐𝑘 =

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝜌 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝐴 𝜕𝑐(𝑠, 𝑡) 𝜕𝑐(𝑠, 𝑡) ∙ = 𝜌 ∙ 𝑑𝑠 ∙ 𝐴 𝜕𝑡 𝜕𝑡

(mit 𝑠 = Weg, d. h. Ortsfestlegung und

(Gl. 1.4-25)

als partielles Differential)

In Abb. 1.4-19 ist eine einfache Situation dargestellt, wie sie z. B. bei einer Kolbenpumpe mit einer angeschlossenen zylindrischen Rohrleitung gegeben ist.

Abb. 1.4-19: Schematische Darstellung einer Kolbenpumpe mit zylindrischer Rohrleitung

In die Druckform der Bernoulli-Gleichung wird nun das Beschleunigungsglied nach Integration des partiellen Differentials über den Weg s eingesetzt und ergibt 𝜌 𝑝+ 𝑐 +𝜌∙𝑔∙𝑧+𝜌∙ 2

𝜕𝑐(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 𝜕𝑡

(Gl. 1.4-26)

Diese Gleichung muss für die praktische Anwendung noch weiter vereinfacht werden, indem sie zwischen den Stellen 1 und 2 ausgeschrieben wird. 𝜌 𝑝 + 𝑐 2

𝜕𝑐(𝑠, 𝑡) 𝜌 𝑑𝑠 = 𝑝 + 𝑐 𝜕𝑡 2

+𝜌∙𝑔∙𝑧 +𝜌∙

+𝜌∙𝑔∙𝑧 +𝜌∙

∫ 𝑆𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 1 mit ∫ 𝑆𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 1 − ∫ 𝑆𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 2 = ∫

( , )

𝜕𝑐(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 𝜕𝑡 ∫ 𝑆𝑡𝑒𝑙𝑙𝑒 2

𝑑𝑠

gilt somit zwischen den zwei Punkten auf einer Stromlinie von Stelle 1 nach 2 die BernoulliGleichung für instationäre Strömung 𝜌 𝑝 + 𝑐 2

𝜌 +𝜌∙𝑔∙𝑧 =𝑝 + 𝑐 2

+𝜌∙𝑔∙𝑧 +𝜌∙

𝜕𝑐(𝑠, 𝑡) 𝑑𝑠 𝜕𝑡

(Gl. 1.4-27)

Diese Gleichung wird bei einem rotierenden System erweitert zu der Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung bei Relativbewegung (→ 𝑐 = 𝑤 − 𝑢) 𝜌 𝑝 + (𝑤 − 𝑢 ) + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 (Gl. 1.4-28) 2 𝜌 𝜕𝑐(𝑠, 𝑡) = 𝑝 + (𝑤 − 𝑢 ) + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 + 𝜌 ∙ 𝑑𝑠 2 𝜕𝑡 Gl. 1.4-27 angewendet auf das Beispiel von Abb. 1.4-19, bei der ein Rohrdurchmesser 𝐷 = konst. vorliegen soll, also gemäß Kontinuitätsgleichung 𝑐 = 𝑐 ist (𝑐 ist unabhängig von Weg 𝑠), ergibt sich zunächst für das Beschleunigungsglied

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝜌∙

𝜕𝑐(𝑡) 𝜕𝑐 ∙ 𝑑𝑠 = 𝜌 ∙ 𝜕𝑡 𝜕𝑡

𝑑𝑠 = 𝜌 ∙

53

𝜕𝑐 ∙𝑙 𝜕𝑡

Vernachlässigt man noch die Schwerkraftglieder 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 (d. h. 𝑧 = 𝑧 ), so ergibt sich aus Gl. 1.4-27 𝑝 =𝑝 +𝜌∙

𝜕𝑐 ∙𝑙 𝜕𝑡

(Gl. 1.4-29)

D. h. bei positiver Beschleunigung (in Richtung von Stelle 1 nach 2) ist der Druck an der Stelle 1 höher als an der Stelle 2 (≙ Anfahrströmung). Die Kolbenpumpe weist folgenden Geschwindigkeits- und damit auch Volumenstromverlauf bei konstanter Drehzahl 𝑛 (bzw. Winkelgeschwindigkeit 𝜔)auf (Abb. 1.4-20). Im Druckhub (0° − 180°) wird Fluid gefördert, im Saughub (180° − 360°) wird neues Fluid zur Förderung angesaugt.

Abb. 1.4-20: Volumenstrom 𝑄(𝑡) bei einer Kolbenpumpe

In Kap. 3.4.2.3 wird ein Beispiel für instationäre Strömungen berechnet (Schnellabschluss bzw. Schnellöffnung einer durchströmten Rohrleitung)

1.4.2.4 Bernoulli-Gleichung für stationäre Strömung bei Energiezufuhr oder -abfuhr Falls einem fluidtechnischen System Energie zugeführt oder diesem entzogen wird, muss dies beim Ansetzen der Bernoulli-Gleichung berücksichtigt werden. Die dabei zu benutzende Gleichungsform gehört mit zu den am häufigsten auftretenden Aufgaben in der Praxis. Energiezufuhr wird z. B. durch eine Pumpe (auch Verdichter, Ventilator, …) oder eine Heizung realisiert. Dabei wird mechanische Arbeit oder Heizenergie in Fluidenergie umgewandelt. Dies bewirkt, dass der Druck 𝑝, die Geschwindigkeit 𝑐, die Höhe ℎ oder die Temperatur 𝜗 erhöht werden können. Energieabfuhr erfolgt z. B. bei Wasser-, Dampf- oder Gasturbinen, Motoren, Dampfmaschinen oder einer Kühlung. Dabei wird Fluidenergie in mechanische Arbeit oder Temperaturabsenkung umgewandelt. Strömungsmaschinen, die dem Fluid Energie zuführen, werden als Arbeitsmaschinen (AM) bezeichnet, während diejenigen, die dem Fluid Energie entziehen, als Kraftmaschinen (KM) bezeichnet werden. Neben Strömungsmaschinen, die als AM den Druck 𝑝 oder die Geschwindigkeit 𝑐 erhöhen, werden auch Verdrängungsmaschinen (z. B. Kolbenpumpen) eingesetzt, die zur Druckerhöhung dienen. Betrachten wir zunächst den allgemeinen Fall einer fluidtechnischen Anlage (Abb.1.4-21)

54

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.4-21: Fluidtechnische Anlage bei Energiezufuhr (AM, rot) oder Energieabfuhr (KM, grün)

Im Fall einer Pumpe (roter Stromfaden) wird z. B. Wasser von der Stelle 1 (Unterwasser) zur Stelle 2 (Oberwasser) gefördert. Die zur Überwindung der Förderhöhe 𝐻 erforderliche Energie wird in der Regel als spezifische Förderenergie 𝑌( ) bezeichnet. Eine Wasserturbine (grüner Stromfaden) nutzt hingegen die zwischen Oberwasser (Stelle 1, grün) und Unterwasser (Stelle 2, grün) vorhandene Fallhöhe und wandelt diese in die spezifische Fallenergie 𝑌( ) um. Natürlich treten in fluidtechnischen Anlagen auch Reibungs- und Verwirbelungsverluste auf, die eingehend in Kap. 1.5 und Kap 1.6 behandelt werden, streng genommen jedoch auch eine Energieabfuhr darstellen.

Spezifische Förderenergie (spezifische Stutzenarbeit) 𝒀(𝑨𝑴) Vereinfacht (reibungsfrei) stellt sich bei einer Pumpe die Förderung von Wasser um eine Förderhöhe 𝐻 wie in Abb. 1.4-22 gezeigt dar.

Abb. 1.4-22: Förderung von Wasser durch eine Pumpe (Prinzip)

Die Bernoulli-Gleichung, zunächst ohne Pumpe angesetzt zwischen den Stellen 1 und 2 mit dem Bezugsniveau B-B liefert

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

55

𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 + ? = + +𝑔∙𝑧 𝜌 2 𝜌 2

(Gl. 1.4-30)

Der rote Energie-Platzhalter auf der linken Seite wird benötigt, damit das Fluid bergauf fließen kann. Also dazu, um die Förderhöhe 𝐻 (bzw. den Term 𝑔 ∙ 𝑧 = 𝑔 ∙ 𝐻 auf der rechten Seite) zu ermöglichen. Mit den einzusetzenden Werten für 𝑝 =𝑝 =𝑝

(Drücke an den Stellen 1 und 2 gleich 𝑝 )

𝑐 ≈ 𝑐 ≈ 0 (Spiegelabsenkung von Stelle 1 und Spiegelerhöhung von Stelle 2 vernachlässigbar!) 𝑧 =0 (bei Bezug auf B-B) 𝑧 =𝐻 wird der Platzhalter als spezifische Förderenergie 𝑌( c-Glieder sowie 𝑧 entfallen!

)

eingeführt, da in Gl. 1.4-30 die p- und

Die spezifische Förderenergie 𝑌( ) stellt also die zugeführte Energie pro kg Fluid zwischen Eintrittsstutzen E und Austrittsstutzen A der Pumpe dar. 𝑌(

)

=𝑔∙𝐻 =

∆𝑝 𝑁𝑚 𝐽 𝑚 = = 𝜌 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑠

(Gl. 1.4-31)

mit 𝐻 = Förderhöhe ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = Druckdifferenz zwischen Stelle 1 und 2 Zur Definition von 𝑌(

)

vgl. auch Aufgabe 3.4.2.4.

Spezifische Fallenergie 𝒀(𝑲𝑴) Analog ergibt sich die spezifische Fallenergie 𝑌( ) für eine Wasserturbine als abgeführte Energie pro kg Fluid zwischen Eintritt E und Austritt A (Abb. 1.4-23) zu 𝑌(

)

=𝑔∙𝐻 =

∆𝑝 𝑁𝑚 𝐽 𝑚 = = , 𝜌 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑠

mit 𝐻 = Fallhöhe

Abb. 1.4-23: Prinzip Kraftmaschine (KM), z. B. Wasserturbine

(Gl. 1.4-32)

56

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Spezifische Energie bei Wärmeübertragern (Heizung ∆𝒒(𝑯) , Kühlung ∆𝒒(𝑲) ) Wird einem Fluid in einer Strömung Wärmeenergie zugeführt, so erhöht sich dessen Temperatur (Heizung), während eine Wärmeabfuhr zur Temperaturabsenkung führt (Kühlung). Die spezifische Wärme-(Energie-)Menge ∆𝑞 definiert sich bei einer Heizung ∆𝑞( ) bzw. Kühlung ∆𝑞( ) (Abb. 1.4-24) zu ∆𝑞(

/ )

=

𝑄/ 𝐽 = 𝑐 ∙ (𝑇 − 𝑇 ) 𝑚 𝑘𝑔

(Gl. 1.4-33)

mit 𝑄

/

= zu-/abgeführte Wärmemenge zwischen Stelle 1 und 2 in

𝑚 = Masse in kg 𝑐 𝑇,

= mittlere spezifische Wärmekapazität des Fluids in

∙

= absolute Temperatur in K

Abb. 1.4-24: Spezifische Wärmeenergie bei Heizung bzw. Kühlung

Aus den bisherigen Betrachtungen lässt sich die erweiterte Bernoulli-Gleichung bei Energiezuund -abfuhr in allgemeiner Form logisch so darstellen, dass unter Beachtung der Strömungsrichtung c immer von Stelle 1 nach Stelle 2, die zugeführten spezifischen Energien 𝑒 (𝑌( ) , ∆𝑞( ) ) die Bernoulli-Konstante erhöhen (bei Stelle 1 berücksichtigt), während die abgeführten spezifischen Energien 𝑒 (𝑌( ) , ∆𝑞( ) ) bei der Stelle 2 einzutragen sind. Die Bernoulli-Gleichung zwischen 1 und 2 lautet damit 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 +𝑒 𝜌 2 𝑒

=

𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 +𝑒 𝜌 2

= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

(Gl. 1.4-34)

= zugeführte spezifische Energie Zuschlag auf der Eingangsseite 1 (vor dem Energieveränderer!), da durch eine Energiezufuhr die Bernoulli-Konstante erhöht wird. Dadurch können Strömungsgrößen am Austritt (𝑝, 𝑐, 𝑧) vergrößert werden (vgl. Abb. 1.4-25)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑒

57

= abgeführte spezifische Energie Zuschlag auf der Ausgangsseite 2 (nach dem Energieveränderer!), da bei festliegender Bernoulli-Konstante am Eintritt, die Ausgangsgrößen (𝑝, 𝑐, 𝑧) reduziert werden (vgl. Abb. 1.4-25). Reibungsverluste sind hier ebenfalls zu berücksichtigen (Kap. 1.5 und Kap. 1.6).

Abb. 1.4-25: Schematische Darstellung der Bernoulli-Energieglieder an Stelle 1 und Stelle 2

58

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1.5 Reibungsbehaftete Fluidströmungen (Durchströmung) Die bisherigen Betrachtungen bezogen sich vorwiegend auf ideale, verlustfreie Strömungen. Bei den meisten praktischen Anwendungen treffen diese Vereinfachungen nicht mehr zu. Reale Strömungen weisen infolge der dynamischen Viskosität 𝜂 sowohl eine innere Fluidreibung als auch eine (äußere) Wandreibung mit Grenzschichten auf, oft drastisch verstärkt durch grenzschichtbedingte oder formbedingte Ablösungen (Totwasser). Bei diesen Vorgängen erfolgt eine irreversible Umwandlung von mechanischer (hydraulischer) Energie in Wärmeenergie. Dies wird als Dissipation bezeichnet und entspricht einer Energieverschwendung, die möglichst zu vermeiden ist. Hierzu existieren zahlreiche strömungstechnische und konstruktive Hinweise und Regeln. Neben dem Reibungseinfluss, der für die Durchströmung von Rohrleitungen oder Kanälen bzw. umströmten Körpern (Kap. 1.6) besondere Bedeutung hat, sind bei flachen Gewässern der Schwereeinfluss (Froude-Zahl 𝐹𝑟) und bei Gasströmungen mit hohen Geschwindigkeiten der Dichteeinfluss (Mach-Zahl 𝑀𝑎) zu berücksichtigen (vgl. Kap. 1.8). Der Reibungseinfluss wurde vor allem durch den sogenannten Farbfaden-Versuch von O. Reynolds (1883) nachgewiesen. Dabei wurde ein Glasrohr aus einem offenen Wasserbehälter, durch Variationen einer Ventilöffnung, mit unterschiedlichen Strömungsgeschwindigkeiten beaufschlagt. Gleichzeitig wurde am Einlauf des Glasrohres ein Farbfluid zugemischt (Abb. 1.51).

Abb. 1.5-1: Versuchsanordnung von O. Reynolds (Umschlag laminare – turbulente Strömung)

Reynolds stellte fest, dass bis zu einer (nach ihm benannten) dimensionslosen Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 = mit

𝑐̅ ∙ 𝐷 ν

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

59

𝑄 (mittlere Geschwindigkeit) in 𝐴 𝐷 = Rohrdurchmesser 𝑐̅ =

ν = kinematische Viskosität (= ) in die Strömung ohne Störung (in Schichten ≈ laminar) fließt. Oberhalb dieser kritischen Reynolds-Zahl (𝑅𝑒 ≈ 2300) sind einer geordneten Grundströmung unregelmäßige, zufallsbedingte Schwankungsbewegungen (turbulent) überlagert. Der eingeleitete Farbfaden wechselt dabei in eine wirre Schwankung und wird relativ schnell mit dem Fluid vermischt. Strenggenommen sind turbulente Strömungen instationär. In der Praxis interessieren jedoch nicht Einzelheiten der Schwankungsbewegung, sondern nur die Grundströmungsgröße, die als quasistationär angesehen werden kann. Um Berechnungen von verlustbehafteten Strömungen durchführen zu können, wird die Bernoulli-Gleichung bei Energieabfuhr aus Kap. 1.4.2.4 modifiziert.

1.5.1 Bernoulli-Gleichung für verlustbehaftete Strömungen Welche Terme der Bernoulli-Gleichung werden durch Verluste beeinflusst? -

Spezifische Lageenergie 𝑔 ∙ 𝑧  Ortshöhen sind unabhängig von Verlusten

-

Spezifische kinetische Energie  a) dichteunabhängiges Fluid (𝜌 = 𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) Da 𝑄 und 𝐴 unabhängig von Verlusten sind, ist auch 𝑐 =

-

nicht von

Verlusten abhängig. b) dichteveränderliches Fluid (𝜌 = 𝑓(𝑝, 𝜗)) Wegen 𝜌 = 𝑓(𝑝) und 𝑝 = 𝑓(𝑉𝑒𝑟𝑙𝑢𝑠𝑡𝑒𝑛), ist auch 𝑐 abhängig von Verlusten (𝑐 = 𝑓(𝑉𝑒𝑟𝑙𝑢𝑠𝑡𝑒𝑛)), was z. B. bei Gas- oder Dampfturbinen zu berücksichtigen ist. spezifische Druckenergie  a) Druckabfall bei dichteunabhängigem Fluid. b) Druck- und Dichteabfall sowie Temperatur- und Geschwindigkeitsbeeinflussung bei dichteveränderlichem Fluid.

Der allgemeine Fall einer Rohrleitung mit Verlusten ist in Abb. 1.5-2 dargestellt

60

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.5-2: Stromröhre und Terme der Bernoulli-Gleichung mit Verlusten zwischen den Stellen 1 und 2 bei einem dichteunabhängigen Fluid

Durch die Verluste 𝑒 zwischen den Stellen 1 und 2 wird zumeist 𝑝 kleiner, als es gegenüber der idealen Strömung möglich wäre. Aus Gl. 1.4-32 ergibt sich die Bernoulli-Gleichung mit Verlusten (wenn zwischen den Stellen 1 und 2 keine Energiezufuhr erfolgt, d. h. 𝑒 = 0) zu ∑ ∆𝑝 𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 + 𝜌 2 𝜌 2 𝜌 Der Term

∑∆

(Gl. 1.5-1)

fasst alle Energie-Verluste zwischen den jeweiligen Stellen 1 und 2 zusammen.

Für die Einzelverluste wird eine dimensionslose Verlustziffer ζ definiert 𝜁=

∆𝑝 𝑐 2

[−]

(Gl. 1.5-2)

𝜁 wird dabei immer auf eine definierte Geschwindigkeit 𝑐 bezogen und kann Werte zwischen 0 und ∞ annehmen. Bei der Anwendung von 𝜁-Ziffern aus der Literatur ist unbedingt auf die Stelle der Bezugsgeschwindigkeit 𝑐 zu achten! In den folgenden Kapiteln werden die Grundlagen zur Ermittlung der Verlustziffern 𝜁 für Rohrleitungselemente und Stromstörer (z. B. Ventile) bei laminarer und turbulenter Strömung dargestellt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

61

1.5.2 Verluste bei laminarer Rohrströmung In Abb.1.5-1 wurde der Versuch von O. Reynolds zum Umschlag von der laminaren in die turbulente Rohrströmung dargestellt. Die im laminaren Zustand vorliegende Geschwindigkeitsverteilung im Rohrquerschnitt und der dabei konstante zeitliche Verlauf der Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt P sind in Abb. 1.5-3 gezeigt.

Abb. 1.5-3: Laminare Rohrströmung (Geschwindigkeitsprofil und zeitlicher Verlauf)

Mit Hilfe des Impulssatzes (vgl. Kap. 1.7) und der Annahme, dass die Druckkräfte gleich groß wie die Fluidreibungskräfte sind, lässt sich das Stokes’sche Gesetz für den Verlauf 𝑐(𝑟) herleiten. Voraussetzung dabei ist, dass das Fluid an der Wand haftet (d. h. 𝑐(𝑟 ) = 0)), was als Stokes’sche Haftbedingung bezeichnet wird. 𝑐(𝑟) =

𝑝 −𝑝 (𝑟 − 𝑟 ) 4∙𝜂∙𝐿

≙ Paraboloid 𝑐(𝑟)

(Gl. 1.5-3)

Die mittlere Geschwindigkeit 𝑐̅ ist definiert als 𝑐̅ =

𝑐 2

=

während 𝑐 𝑐

𝑄 𝐴

(Gl. 1.5-4)

aus dem Stokes’schen Gesetz (Gl. 1.5-3) für 𝑐(𝑟 = 0!) folgt zu

= 𝑐(𝑟 = 0) =

𝑝 −𝑝 𝑟 4∙𝜂∙𝐿

(Gl. 1.5-5)

Damit ergibt sich für den Volumenstrom 𝑄 bei laminarer Strömung und einem Rohrquerschnitt von 𝐴 = 𝑟 ∙ 𝜋 𝑄 = 𝑐̅ ∙ 𝐴 = 𝑐̅ ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 =

𝑐 2

∙𝑟 ∙𝜋 =

𝜋 𝑟 ∙ (𝑝 −𝑝 ) 8 𝜂∙𝐿

(Gl. 1.5-6)

Durch das Einsetzen von 𝑟 =

𝐷 2

𝜂 =𝜈∙𝜌 𝑅𝑒 =

𝑐̅ ∙ 𝐷 𝜈

und das Umstellen von Gl. 1.5-6 nach der Druckdifferenz (= Druckverlust zwischen 1 und 2) ergibt sich

62

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 =

64 𝐿 𝜌 ∙ ∙ 𝑐̅ 𝑅𝑒 𝐷 2

Druckverlust bei laminarer Rohrströmung (Kreis-Rohr)

(Gl. 1.5-7)

λ ζ Damit gilt (bei Einsetzung von 𝑅𝑒 =

̅∙

) bei laminarer Rohrströmung

∆𝑝 ~ 𝑐̅ ~ 𝑄 d. h. der Druckverlust ist direkt proportional zum Volumenstrom 𝑄. Gemäß Gl.1.5-7 ist eine Rohrreibungszahl λ bei einem Kreis-Rohr definiert zu 𝜆=

64 𝑅𝑒

(Kreis-Rohr)

(Gl. 1.5-8)

und die Verlustziffer ζ (vgl. Gl. 1.5-2) wird angegeben zu 𝜁=

∆𝑝 64 𝐿 = ∙ 𝑐 𝑅𝑒 𝐷 2

(Kreis-Rohr)

(Gl. 1.5-9)

Bei nicht kreisförmigen Rohrquerschnitten wird mit einem Rohrquerschnitts-Formfaktor 𝜑 gerechnet, der i. A. eine Funktion von 𝑅𝑒 ist. D. h. 𝜆=𝜑∙

64 𝑅𝑒

(nicht kreisförmiger Querschnitt)

(Gl. 1.5-10)

Beispielsweise gilt für durchströmte Kreisringdichtspalten 𝜑 = 1,5 Flachdichtspalten 𝜑 = 1,5 quadratische Rohre 𝜑 = 0,88 Es ist zu beachten, dass -

𝜆 ≠ 𝑓 (Rohrrauigkeit) Laminare Strömung selten, wohl aber bei - Spritzgießen von Kunststoff und Kautschuk - Schmierölleitungen

von Bedeutung ist. Des Weiteren bildet sich das vollständige, paraboloide, laminare Geschwindigkeitsprofil erst nach einer von der 𝑅𝑒-Zahl abhängigen Einlaufstrecke 𝐿 . aus (Abb. 1.5-4).

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.5-4: Einlaufstrecke 𝐿

.

63

bei laminarer Rohrströmung in Abhängigkeit von 𝑅𝑒 (nach Schiller bzw. Titjens)

Demnach können bei laminaren Rohrströmungen u. U. sehr lange Einlaufstrecken vorliegen, bei denen der λ-Wert bis zu 50 % über den angegebenen Werten liegen kann. Besonders wichtig ist dies bei Messungen mit dem Kapillar-Viskosimeter.

1.5.3 Verluste bei turbulenter Rohrströmung Wird bei dem Versuch von O. Reynolds die 𝑅𝑒-Zahl von 𝑅𝑒 ≈ 2300 überschritten, so schlägt die laminare Schichtenströmung in die turbulente Strömung um. Das dabei vorliegende Geschwindigkeitsprofil 𝑐(𝑟) und der zeitliche Verlauf der örtlichen Geschwindigkeit an einem beliebigen Punkt P sind in Abb. 1.5-5 gezeigt.

Abb. 1.5-5: Turbulente Rohrströmung (Geschwindigkeitsprofil und zeitlicher Verlauf)

Weil das Verhältnis ̅

< 1,25 bei turbulenten Strömungen nahe dem Wert 1 kommt, ist

dabei die Stromfadentheorie eine gute Näherung. Der Steilanstieg der Geschwindigkeit in Wandnähe wird als Grenzschicht mit der Abmessung 𝛿 bezeichnet.

64

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Anders als bei laminaren Strömungen ist die theoretische Berechnung der Druckverluste bei turbulenten Strömungen nicht möglich. Die experimentell erhaltenen Ergebnisse für die Rohrreibungszahl λ sind als Grundlage für Verlustberechnungen qualitativ in Abb. 1.5-6 dargestellt.

Abb. 1.5-6: Schematische Darstellung der Rohrreibungszahl λ in Abhängigkeit von der Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 und vom Verhältnis des Rohrdurchmessers D zur Oberflächenrauhigkeit 𝑘

Die Rohrreibungszahl λ lässt sich durch Multiplikation mit dem Verhältnis

in die Verlust-

ziffer ζ umrechnen 𝜁 =𝜆∙

𝐿 𝐷

(Gl. 1.5-11)

Der Druckverlust ∆𝑝 ergibt sich zu ∆𝑝 = 𝜆 ∙

𝐿 𝜌 𝜌 ∙ 𝑐̅ = 𝜁 ∙ 𝑐̅ 𝐷 2 2

(Gl. 1.5-12)

Auch bei der turbulenten Rohrströmung existiert eine Einlaufströmung, die in der Größenordnung 𝐿 . ≈ (20 ÷ 40 ÷ 100) ∙ 𝐷 angegeben wird. Innerhalb dieser Länge sind die λWerte ca. 10% höher als in den Rohrreibungsdiagrammen der Fachliteratur (gemäß Abb. 1.56) angegeben. Falls die durchströmten Querschnitte von der Kreisform abweichen, können die Diagramm-λWerte trotzdem genutzt werden, wenn mit dem sog. hydraulischen Durchmesser 𝐷 (statt mit 𝐷) gerechnet wird (Abb. 1.5-7). 𝐷 =

4∙𝐴 𝑈

(Gl. 1.5-13)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

65

mit 𝐴 = Strömungsquerschnitt 𝑈 = Wandbenetzter Umfang

Abb. 1.5-7: Hydraulischer Durchmesser 𝐷 bei verschiedenen Strömungsquerschnitten ___________________________________________________________________________________________

Beachte Turbulente Strömung  In allen Formeln 𝐷 statt 𝐷 einsetzten! z. B. 𝑅𝑒 =

𝑐̅ ∙ 𝐷 𝜈

∆𝑝 = 𝜆 ∙

𝐿 𝜌 ∙ 𝑐̅ 𝐷 2

Beachte: 𝑄 = 𝑐 ∙ 𝐴 und nicht mit 𝐷 die Fläche errechnen! Laminare Strömung  λ wird direkt mit Rohrquerschnittsformfaktor 𝜑 ermittelt! z. B. 𝜆 = 𝜑 ∙

64 𝑅𝑒

(Bei 𝑅𝑒 aber auch dort 𝑅𝑒 =

̅∙

verwenden)

___________________________________________________________________________________________

Anmerkungen zur Rauigkeit 𝒌 Alle Rohrreibungs- (und auch Plattenreibungs-) Diagramme basieren auf der sog. Sandrauigkeit. Dabei werden dicht beieinander angeordnete Sandkörner gleicher Größe (𝑘 ) vorausgesetzt. Technische Rauigkeiten (z. B. geschliffen) sind damit nicht direkt vergleichbar in ihrer Verlustwirkung. Deswegen werden in der Praxis sog. Rauigkeitswerte 𝑘 verwendet, die in ihrer Wirkung der Sandrauigkeit entsprechen. Neue nahtlose Stahlrohre (mit Walzhaut) zum Beispiel werden in der Literatur mit 𝑘 = 0,02 bis 0,06 mm angegeben. Details finden sich

66

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

in der Fachliteratur. Präzise Aussagen zu tatsächlich auftretenden Druckverlusten lassen sich allerdings nur machen, wenn die charakteristischen Strömungsoberflächen experimentell untersucht werden. Falls keine Literaturangaben vorliegen, kann als grober Anhaltswert der mittels TastschnittMessgerät ermittelte Wert der technischen Rauigkeit 𝑅 statt 𝑘 benutzt werden. 𝑅 ist dabei in Strömungsrichtung 𝑐 zu messen. Anschließend wird dieser Messwert durch einen Äquivalenzwert 𝐶Ä geteilt, der zum gleichen Druckverlust wie die damit berechnete Sandrauigkeit 𝑘 führt. Für eine geschliffene Oberfläche, wie sie bei Wasserturbinenschaufeln vorliegen, ergibt sich beispielsweise ein 𝐶Ä ≈ 2,6 =

, was einen 𝑘 -Wert von 𝑘 =

,

liefert, der bei der Nutzung von Widerstandsdiagrammen einzusetzen ist. Anwendungen von Rohrleitungsverlusten finden sich in Kap. 2.5 und Kap. 3.3.5.

1.5.4 Druckverluste von Einzel-Strömungsstörern Gegenüber einem idealen Fluid, welches als reibungsfrei angenommen wird (bzw. Viskosität 𝜂 = 0 ist) weist ein reales Fluid (𝜂 > 0!) immer Reibungs- und bei bestimmten Voraussetzungen auch Ablösungs- bzw. Verwirbelungsverluste auf. Reibungsverluste werden vor allem im Bereich der Grenzschichtdicke δ (vgl. Abb. 1.4-7) entstehen. Ist 𝛿 90°). Für den Fall einer Radial-Kreiselpumpe wird die Aufgabe einer Kennlinienermittlung in Kap. 3.7.2 behandelt. Abschließend ist darauf hinzuweisen, dass Radial-Strömungsmaschinen (z. B. Kreiselpumpe, Francis-Turbine) aufgrund der Annahme „Kanalströmung“ (bei unendlich vielen, unendlich dünnen Schaufeln) berechnet werden, während Axial-Strömungsmaschinen (z. B. Propellerpumpe, Kaplanturbine) gemäß „Tragflügeltheorie“ (Schaufel ≙ Tragflügelprofil) zu behandeln sind.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

107

1.8 Sondergebiete der Fluidmechanik Die bisher behandelten Themen betrafen die üblicherweise in Lehrbüchern bevorzugten Grundlagen der Fluidmechanik. Darüber hinaus sind jedoch weitere Sachgebiete für die Ingenieurpraxis von Bedeutung. Ohne die Kenntnis dieser scheinbar am Rande liegenden Effekte und Wissensbereiche sind viele Aufgaben nicht lösbar. Von besonderem Wert für praktische Anwendungen und Effekterklärungen sind die folgenden Teilgebiete: -

Grenzflächenspannung Flüssigkeitskavitation Ähnlichkeits- und Modellgesetze Gasströmungen,

die nachfolgend erläutert und mit typischen Aufgaben vertieft werden.

1.8.1 Grenzflächenspannung 𝝈 und Kapillarität Die Grenzflächenspannung 𝜎 (weniger präzise als Oberflächenspannung bezeichnet) tritt immer dort in Erscheinung, wo Fluide (z. B. Wasser) mit anderen Fluiden (z. B. Luft) und/oder Stoffen (z. B. Glas) in Kontakt treten. Für einen einfachen Fall ist dies in Abb. 1.8-1 gezeigt.

Abb. 1.8-1: Entstehung und Wirkung der Grenzflächenspannung 𝜎 (wassergefülltes Glasgefäß)

Während im Inneren der Flüssigkeit die Kohäsionskräfte aller benachbarten Flüssigkeitsteilchen ausgeglichen sind (gleiche Stoffeigenschaft) trifft dies an den Grenzflächen (WasserLuft, Wasser-Luft-Glaswand) nicht mehr zu. Dies führt quasi zu einer „Membranspannung“ an der freien Oberfläche. Deren Wirkung besteht darin, das eingeschlossene Fluid auf den energetisch günstigsten Zustand zu bringen. Das ist die Kugelform (= kleinste Oberfläche für gegebenes Volumen), was unschwer an Seifenblasen oder Flüssigkeitstropfen erkennbar ist. Die Kenntnis derartiger Effekte sind besonders wichtig in der Verfahrenstechnik (z. B. Waschen, Benetzten, Schäumen). Eine weitere Wirkung von 𝜎 zeigt sich an festen Begrenzungswänden (z. B. Glasbehälter), wobei die Fluidoberfläche einen sog. Meniskus ausbildet, der bei der Kombination „GlasWasser-Luft“ konkav ist und das Fluid an der Glaswand nach oben steigen lässt. Dieser Effekt wird auch als Kapillarität oder Kapillarwirkung bezeichnet.

108

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Die Messung der Grenzflächenspannung 𝜎 wird nachfolgend beschrieben.

1.8.1.1 Grenzflächenspannung 𝜎 Als anschauliche Bestimmung von 𝜎 wird die sog. Bügelmethode herangezogen (siehe Abb. 1.8-2), bei der entweder die Definition einer „spezifischen Schnittkraft“ (der gedachten Membran) oder die Darstellung einer „spezifischen Oberflächenenergie“ genutzt wird. Der bewegliche Bügel wird z. B. mit einer Seifenlösung benetzt und die Zugkraft beim Abriss der dünnen Seifenblase gemessen.

Abb. 1.8-2: Messmöglichkeit/Definition der Grenzflächenspannung 𝜎

Die jeweils unterschiedlichen Definitionen 𝜎=

𝐾𝑟𝑎𝑓𝑡 𝑏𝑒𝑖 𝐴𝑏𝑟𝑖𝑠𝑠 𝐹 𝑁 = 𝑆𝑐ℎ𝑛𝑖𝑡𝑡𝑓𝑙ä𝑐ℎ𝑒 𝑖𝑛 𝑑𝑒𝑟 𝑓𝑟𝑒𝑖𝑒𝑛 𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑𝑜𝑏𝑒𝑟𝑓𝑙ä𝑐ℎ𝑒 2 ∙ 𝑙 𝑚

(Gl. 1.8-1)

𝜎=

𝑉𝑒𝑟𝑠𝑐ℎ𝑖𝑒𝑏𝑒𝑒𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑒 ∆𝑊 𝐹 ∙ ∆𝑠 𝐹 𝑁∙𝑚 𝑁 = = = = 𝑂𝑏𝑒𝑟𝑓𝑙ä𝑐ℎ𝑒𝑛𝑧𝑢𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒 ∆𝐴 2 ∙ 𝑙 ∙ ∆𝑠 2 ∙ 𝑙 𝑚 𝑚

(Gl. 1.8-2)

führen zum gleichen Ergebnis. Je nach Fragestellung wird die eine oder andere Definitionsgleichung zum Ergebnis führen. Beispielsweise wird bei der Betrachtung von Seifenblasen Gl. 1.8-1 genutzt während bei Zerstäubungsprozessen Gl. 1.8-2 (s. Aufgabe 3.8.1.1) angewendet wird.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

109

Bei dem Einsatz professioneller Messgeräte wird als Ergebnis der Kraftverlauf 𝐹 über eine Wegänderung 𝑠 ausgegeben (Abb. 1.8-3), was genauere Aussagen zur spezifischen Eignung von Fluiden ermöglicht.

Abb. 1.8-3: Kraft-Weg-Verlauf für ein bestimmtes Fluid mittels Bügel- oder Ringmethode

Ergebnisse solcher 𝜎 -Messungen bei 20 °C sind in Abb. 1.8-4 zusammengefasst. 𝜎 wird kleiner mit steigender Temperatur und Verunreinigungen im Fluid. Fluide

𝜎

bei 20 °C

Öl/Luft Wasser/Luft 𝐻 /Luft

25 ∙ 10 73 ∙ 10 472 ∙ 10

Alkohol/Wasser Öl/Wasser 𝐻 /Wasser

2 ∙ 10 18 ∙ 10 380 ∙ 10

Abb. 1.8-4: Grenzoberflächenspannung 𝜎 bei verschiedenen Stoff-Kombinationen (entspricht 𝜎 von Gl. 1.8-3 von Kap. 1.8.1.2)

1.8.1.2 Meniskus, Kapillarität und Kontaktwinkel Als Wirkung an Grenzflächen zwischen Fluidtropfen und anderen Stoffen (z. B. Glaswand) zeigen sich kuppen- bis kugelförmige Gebilde, die sich jeweils durch einen charakteristischen Randwinkel α auszeichnen (Abb. 1.8-5)

Abb. 1.8-5: Tropfenausbildung an Grenzflächen „Fluid (l für liquid) – Festkörper (s für solid ) – Gas (g für gaseous)“ und wirksame „Spannungskräfte“ an einem Fluidmolekül im Gleichgewichtszustand

110

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Der Gleichgewichtszustand der Grenzflächenspannungen (die proportional zu den Kräften pro Längeneinheit sind) liefert die Haftungsbedingung, also den Stillstand des Tropfens: (Young’sche Gleichung)

𝜎 ∙ cos 𝛼 + 𝜎 = 𝜎 𝜎 ∙ cos 𝛼 = 𝜎

!

−𝜎 ≈ 𝜎

Haftspannung 𝜎

(Gl. 1.8-3)

Prinzipiell unterscheidet man den Meniskusfall der Benetzung, der Nichtbenetzung und den Sonderfall einer Berührstelle „Fluid1-Fluid2-Luft“ (Abb. 1.8-6).

Abb. 1.8-6: Formen der Meniskusbildung

Im rechten Bildteil von Abb. 1.8-6 ist die analoge Wirkung der Meniskusabbildung in engen Röhren dargestellt, die als Kapillarwirkung bezeichnet wird. Im Fall der Benetzung (𝛼 < 90°) steigt der Fluidspiegel in dem Röhrchen gegenüber dem Ursprungsniveau in einem großen Behälter, bei der Nichtbenetzung (𝛼 > 90°) sinkt er. In Aufgabe 3.8.12 findet sich ein Beispiel für die Kapillarwirkung.

___________________________________________________________________________________________

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

111

Beachte Der Randwinkel α wird immer von der festen Wand, durch das Fluid, zur Grenze zwischen Fluid und Gas hin gemessen! ___________________________________________________________________________________________

1.8.2 Kavitation Alle strömenden Fluide gehen bei Erreichen ihres fluidspezifischen Dampfdrucks 𝑝 bereits bei Raumtemperatur von der flüssigen in die dampfförmige Phase über. Dies wird als Flüssigkeitskavitation oder i. A. als Kavitation bezeichnet. Die dabei stattfindende Blasenbildung ist identisch mit der beim gewöhnlichen Kochprozess von Wasser bei Atmosphärendruck (𝑝 = 1𝑏𝑎𝑟) und ca. 100 °C. Anschaulich werden diese Prozesse in der Dampfdruckkurve von Wasser dargestellt (Abb. 1.8-7).

Abb. 1.8-7: Physikalische Zustandsformen von Wasser und ähnliche Übergänge „flüssig  dampfförmig“ beim „Kochen“ und bei „Flüssigkeitskavitation“

Wird z. B. eine Schaufel einer Kaplanturbine mit der Relativgeschwindigkeit 𝑤 angeströmt, so wird bei der Umströmung der konvex gekrümmten Eintrittskante (Stelle x) der Druck auf 𝑝 gesenkt (vgl. Kap. 1.4.2.1) und, falls dieser Druck bei bestimmten kritischen Betriebszuständen den Dampfdruck 𝑝 erreicht, entsteht an dieser Stelle eine Dampfblase. Diese schwimmt mit der Strömung mit und wächst gleichzeitig, da der Druck 𝑝 konstant bleibt (Wasser kann kaum Zugspannung aufnehmen). Erst weiter hinten an der Schaufel kann der Druck wieder über 𝑝 ansteigen, so dass die Dampfblase wieder in den flüssigen Zustand gelangt. Dies geschieht in Wandnähe aber nicht durch eine einfache Implosion, sondern so, dass sich zunächst die Blase auf der wandabgewandten Seite einbuchtet. In diese Einbuchtung strömt nun Wasser ein und durchdringt die Blase, die dann die Form eines Blasentorus (ähnlich einem O-Ring) annimmt. Der durch die Blase schießende Wasserstrahl knallt dann mit hoher Intensität (bis 1000 , bis 10 𝑏𝑎𝑟) als Mikrojet auf die Schaufelwand (Abb. 1.8-8). Dieser Vorgang wiederholt sich in

112

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

einer schwingend abklingenden Form „Mikrojet ↔ Gegenjet“ mehrmals hintereinander, bis schließlich der sich ständig verkleinernde Dampftorus vollständig verflüssigt ist.

Abb. 1.8-8: Dampfblasenausbildung bei 𝑝 ≈ 𝑝 und Mikrojetentstehung bei 𝑝 > 𝑝 bei einer Umströmung einer Kaplan-Turbinenschaufel

Weil dieser Mikrojet für den Schaufelwerkstoff eine Dauerdruckschwellbeanspruchung darstellt, wird bei längerer Betriebsweise in diesem kavitierenden Zustand, der gleichzeitig mit einem hohen Geräuschpegel und sinkendem Wirkungsgrad verbunden ist, der Werkstoff zerstört. Aus der Hohlraumbildung der Flüssigkeitskavitation kann dadurch als Langzeitwirkung eine Werkstoffkavitation entstehen (Abb. 1.8-9).

Abb. 1.8-9: Werkstoffkavitation bei Dauerbetrieb durch Mikrojet-Druckschwellbelastung

In Abb. 1.8-10 ist die gesamte Sequenz von der Dampfblasenausbildung über das Wachstum, die Verkleinerung, die Einschnürung bis hin zur Mikrojet-Ausbildung und den Zerfall der Flüssigkeitskavitation in Hochgeschwindigkeitsaufnahmen gezeigt. Die Sequenz beginnt in der oberen ersten Reihe links und endet in der fünften unteren Reihe rechts. Die untere Begrenzung jeder Reihe stellt die Wand dar. Bis zur Mitte der dritten Reihe wächst die Blase und bildet dort den ersten Mikrojet aus. Dieser wird am Ende der vierten Reihe durch einen Gegenjet abgelöst, bis dieser Vorgang sich mehrmals wiederholt und dabei in der fünften Reihe abklingt.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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Abb. 1.8-10: Sequenz der Flüssigkeitskavitation aus Hochgeschwindigkeitsaufnahmen [BAN 19]

Abb. 1.8-11 vermittelt an einer einzelnen Blase die Geometrie des Mikrojets mit Einschnürung und Durchschlag zur Wand hin.

Abb. 1.8-11: Hochgeschwindigkeitsaufnahme einer Dampfblase mit Mikrojet-Durchschuss [BAN 19]

Zur besseren Darstellung des Mikrojet-Durchschusses wurde Abb. 1.8-11 grafisch aufgearbeitet und mit einer HD-Darstellung in Abb. 1.8-12 dargestellt.

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.8-12: Grafisch nachgearbeitete Hochgeschwindigkeitsaufnahme einer Dampfblase mit MikrojetDurchschuss [BAN 19]

Der Mechanismus der Werkstoffkavitation ist in Abb. 1.8-13 durch vier Schritte dargestellt, die dort erläutert werden.

Abb. 1.8-13: Lochfraß-Wirkung einer Dauerdruckschwellbelastung durch Mikrojets auf Werkstoffe

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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Flüssigkeitskavitation tritt also überall auf, wo der Druck in einer Strömung in die Nähe des Dampfdrucks absinkt, was i. d. R. durch Geschwindigkeitszunahmen verursacht wird: - Verengte Querschnitte (z. B. Venturi-Düse) - Schroffe Querschnittsveränderungen (z. B. Schaufeleintritt, Ventile) - Wirbelzentren (z. B. in abgelösten Strömungen, etc.) Betroffen sind alle Strömungsmaschinen und fluidführenden Anlagenteile. Werkstoffkavitation tritt allerdings erst nach einer mehr oder weniger langen, werkstoff- und beanspruchungs-spezifischen Inkubationszeit auf. Danach jedoch exponentiell zunehmend. Zur Vermeidung von Kavitation muss der örtliche Druck 𝑝 an voraussichtlich gefährdeten Stellen x strömungsbegrenzender Wände bekannt sein. In Kap. 1.4.2.2 ist dies am praktischen Beispiel des Schaufeleintritts einer Kreiselpumpe im Detail erläutert worden. Ein einfaches Anwendungsbeispiel findet sich in Kap. 3.8.2. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Die Bedingung zur Vermeidung von Kavitation an einer ansonsten kavitationsgefährdeten Stelle x (z. B. Verengung, hohe Strömungsgeschwindigkeit, evakuierte Systeme, Wirbelzentren, starke Strömungsumlenkung) ist 𝑝 ≥𝑝 (Gl. 1.8-4) ___________________________________________________________________________________________

Die bisher beschriebenen Wirkungen der Flüssigkeitskavitation lassen sich allerdings auch positiv nutzen, wie beispielsweise bei Reinigungsprozessen mittels Ultraschall. Hier wird zumeist eine Flüssigkeit mit chemischer Anlösewirkung (Lauge, Entspannungsmittel) eingesetzt und die physikalisch/mechanische Mikrojetwirkung zur porentiefen Oberflächensäuberung genutzt. Je höher die Ultraschallfrequenz (Bereich 20 – 200 kHz) ist, umso kleiner sind die Kavitationsblasen (wenige µm), deren Mikrojets jedoch umso wirkungsvoller in feinste Vertiefungen hineinwirken können. Diese Wirkung lässt sich z. B. bei käuflichen Geräten zur Brillen- und Schmuckreinigung durch kurzes Eintauchen eines Fingers prickelnd spüren (siehe Video „Ultraschall-Reinigung“). An dieser Stelle ein Gedicht über die Kavitation.

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Kavitation 1. Ein Jeder weiß, was so passiert, wenn man im Suppentopf rumrührt, mit Wasser, 100 Grad soeben, im Topf beginnt es wild zu beben. Es sprudelt Blasen, dampft und zischt, dank „Kochen“ wird´s dein Leibgericht.

6. Nanu, denkt unser Bläschen noch, was war denn das, ich hab ein Loch? Und unsre Möhre merkt ´nen Stich, nicht sanft, sondern ganz fürchterlich! Was da passiert, ist gar nicht nett, Man nennt es einen Mikrojet!

2. Jetzt denk dir schnell ´ne enge Röhre, in der, Kopf vorne, hängt ´ne Möhre, die wird umströmt von Wasser, fix, von nur 10 Grad, passiert dann nix? Doch, ´s Möhrchen wird dadurch nicht gar, nur´s Spitzchen ist bald nicht mehr da.

7. Und so wie immer, wie gemein, steter Tropfen höhlt den Stein! Der Mikrojet ersetzt den Tropf´, die Röhre unsern Wassertopf. Kavitation, echt sonderbar, fetzt´s Möhrchen hinten ganz und gar.

3. War der Impuls vielleicht zu heftig? Wurd´ abgebrochen, schnell und kräftig? Nein, lass es langsam mich erläutern, es ist komplex, da hilft kein Meutern. Wie oft schon, kann´s Bernoulli richten, weiß unsre Möhre zu berichten.

8. Jetzt gibt´s nur noch ´ne halbe Möhre in dieser fluiddurchströmten Röhre. Und knochenhart ist obendrein, der Möhrenrest – das ist gemein! Was lehrt uns diese Prozedur? Bedeutend ist die Temperatur!

4. Denn da sie sperrend das Fluid stört, steigt c, sinkt p, wie sich´s gehört! Kommt p dem Dampfdruck in die Näh´, dann merkt das Wasser, ach, oh weh, jetzt muss ich flott zum Dampfe werden, so ist das nun mal auf der Erden.

9. Bei 100 Grad im Topf gibt´s Blasen, aus Dampf, die wild und tobend rasen. Doch wird daraus in keinem Falle ein Mikrojet mit lautem Knalle! Erst durch die Strömung und Möhrenwand, entsteht ein Jet, ganz aus dem Stand.

5. Die Blase nun bewegt sich fort, kommt dabei an ´nen andren Ort, an dem der Druck dann wieder höher, und auch der Möhre wieder näher, blitzschnell durchschießt ein Wasserstrahl die arme Blase mit ´nem Knall.

10. Doch wie im Leben zu allen Zeiten, hat jedes Ding seine 2 Seiten. Hast du ´ne Brille, die verschmutzt, beim Optiker schaust du verdutzt, wird sie gereinigt, ach wie nett, mit Ultraschall und Mikrojet!

1.8.3 Ähnlichkeits- und Modellgesetze Bisher wurden in diesem Buch vorwiegend theoretische Betrachtungen und Berechnungen vorgenommen. Bereits in den Kapiteln 1.5 bis 1.7 erfolgten jedoch einige Hinweise zu realen Fluidströmungen, wobei als wichtigster Einfluss die innere und äußere Reibung berücksichtigt wurde. Kenngröße dafür war die dynamische (Scher-)Viskosität η bzw. die daraus abgeleitete kinematische Viskosität 𝜈, die in der Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 Anwendung findet.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

117

Neben der Reibung existieren jedoch in realen Strömungen eine Fülle weiterer Einflüsse, die für realitätsnahe Voraussagen betrachtet werden müssen. Der Strömungswiderstand eines Autos kann zwar durch die Kombination aus Theorie und grundlegender Experimente (z. B. zum Widerstand umströmter Geometrien) abgeschätzt werden, eine bessere Annäherung an die tatsächliche Wirkung des späteren Fahrzeuges als Großausführung wird erst durch die geschickte Nachbildung als Modell im Windkanal ermöglicht (Abb. 1.8-14).

Abb. 1.8-14: Verbesserung der Voraussagen-Qualität in der Fluidmechanik

Die Wirklichkeit wird allerdings manchmal erst durch den Praxiseinsatz des realen Fahrzeuges aufgezeigt mit teilweise doch recht abweichenden Ergebnissen zur Theorie, zu Experimenten und zu Modellversuchen (Stichwort „Elchtest“). Trotz aller Fortschritte in der theoretischen Voraussage zur Wirkung von realen Fluidströmungen (z. B. durch Simulationen auf der Basis von Finite-Element-Berechnungen) bzw. „Computational Fluid Dynamics“ (CFD), werden komplexe Anwendungen (z. B. für Fahr- und Flugzeuge, Schiffe, Wasserturbinen) sinnvoll mittels sog. Ähnlichkeitsgesetze in Modellen im Wind- bzw. Wasserkanal untersucht und die Ergebnisse durch sog. Modellgesetze auf die spätere Großausführung hochgerechnet. Abb. 1.8-15 zeigt diese Vorgehensweise am Beispiel der Ermittlung von 𝑐 -Werten für einen PKW.

Abb. 1.8-15: Auslegung von Experimentiermodellen mittels Ähnlichkeitsgesetzen und Umrechnung auf die Großausführung mittels Modellgesetzen für Fahrwiderstandprognosen von PKWs

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Bei Modellversuchen dieser Art ist jedoch zu beachten, dass sich ein Fahrzeug real selbst mit der Geschwindigkeit 𝑢 bewegt und die Strömung weit vor dem Fahrzeug die Geschwindigkeit 𝑐 ≈ 0 aufweist. Das Modell im Windkanal ist hingegen fest fixiert und wird mit einer Geschwindigkeit 𝑐 ≈ 𝑢 sowie einem entsprechenden grenzschichtbeeinflussten Geschwindigkeitsprofil angeströmt. Sowohl die Reibungs- als auch die Totwassersituation ist somit zwischen Modell und Realfahrzeug nicht identisch. Im Folgenden werden lediglich die wichtigsten Ähnlichkeits- und Modellgesetze beschrieben.

1.8.3.1 Ähnlichkeitsgesetze Die wichtigsten Ähnlichkeitsgesetze wurden bereits von Newton angegeben. Diese betreffen die geometrische, die kinematische und die dynamische Ähnlichkeit. 1) Geometrische Ähnlichkeit Bei einem Tragflügelexperiment können die Längen-, Flächen- und Volumenähnlichkeit von Bedeutung sein (Abb. 1.8-16).

Abb. 1.8-16: Geometrische Ähnlichkeit zwischen Großausführung (G) und Modell (M)

Es ergeben sich folgende Ähnlichkeitsbeziehungen: 𝑙 𝑙

Längenähnlichkeit

𝜆=

Flächenähnlichkeit

𝜆 =

Volumenähnlichkeit

𝐴 𝐴 𝑉 𝜆 = 𝑉

(Gl. 1.8-4) (Gl. 1.8-5) (Gl. 1.8-6)

Diese makroskopischen Ähnlichkeiten sind relativ einfach zu verwirklichen. Im Falle von Oberflächenrauigkeiten oder Spaltströmungen treten allerdings Probleme auf. -

Rauigkeit 𝑘 Ähnlichkeit der Rauigkeiten 𝑘 würde z. B. erfordern

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑘 𝑘 = 𝑙 𝑙

(Abb. 1.8-17)

119

(Gl. 1.8-7)

Abb. 1.8-17: Rauigkeiten der Oberfläche bei Modell und Großausführung

Da die Großausführung meistens schon sehr glatt angestrebt wird, lässt sich das Modell bei entsprechender Längenverkleinerung nicht entsprechend glatter machen. Damit gilt 𝑘 ≈𝑘 𝑘 𝑘 > 𝑙 𝑙

und demzufolge

(Gl. 1.8-8) (Gl. 1.8-9)

Während die Großausführung „hydraulisch glatt“ ist, wird das Modell „hydraulisch rau“ umströmt, was zu höheren Reibungsverlusten beim Modell führt (vgl. Abb. 1.5-6). Dadurch wird z. B. der experimentell ermittelte Modellwirkungsgrad einer Wasserturbine mithilfe einer sog. „Wirkungsgradaufwertung“ (= Modellgesetz) auf die Großausführung hochgerechnet. -

Spaltströmung Spaltströmungen entstehen beispielsweise bei Pumpen als Leckage zwischen der bewegten Laufradwelle und der Gehäusedurchführung. Abb. 1.8-18 deutet an, dass die Großausführung einen größeren Leckagestrom 𝑄 aufweisen wird als das Modell, da dessen Spalt kleiner gehalten werden kann. Die Welle der Großausführung wird sich nämlich mehr durchbiegen, sodass die Bohrung entsprechend mehr Spiel aufweisen muss.

Abb. 1.8-18: Spaltabmessung bei Pumpen im Modell und bei der Großausführung

2) Kinematische Ähnlichkeit Diese bezieht sich zunächst auf ähnliche Geschwindigkeitsdreiecke bei Strömungsmaschinen unter Berücksichtigung von Zeit-, Geschwindigkeits- und Beschleunigungsabhängigkeiten.

120

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

-

Ähnliche Geschwindigkeitsdreiecke Gemäß Abb. 1.8-19 resultieren daraus gleiche Winkel der Geschwindigkeiten von Modell und Großausführung

Abb. 1.8-19: Geschwindigkeitsdreiecke einer Pumpe bei Ähnlichkeit von Großausführung und Modell

 Berücksichtigung der Zeitabhängigkeit Dies ist wichtig bei Kavitationsversuchen, da das Blasenwachstum eine Funktion der Zeit ist 𝜏=

𝑡 𝑡

(Gl. 1.8-10)

 Berücksichtigung der Geschwindigkeitsabhängigkeit Da 𝑐 = = ist, gilt 𝑙 𝑐 𝑙 𝑡 1 𝑡 𝜘= = = ∙ =𝜆∙ 𝑙 𝑐 𝑙 𝑡 𝜏 𝑡

(Gl. 1.8-11)

 Berücksichtigung der Beschleunigungsabhängigkeit Mit 𝑏 = = 𝛾=

ergibt sich

𝑏 𝑙 𝑡 1 = ∙ = 𝜆∙ 𝑏 𝑙 𝑡 𝜏

3) Dynamische Ähnlichkeit (Kräfteähnlichkeit) Beispiele hierfür sind -

Trägheitskräfte Reibungskräfte

(Gl. 1.8-12)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

-

121

Schwerkräfte Druckkräfte Oberflächenspannungskräfte.

In diesen sind teilweise Stoffeigenschaften enthalten, wie -

Viskosität (𝜂, 𝜈) Dichte (𝜌) Elastizität (E-Modul) Kapillarität (𝜎).

Bei verfahrenstechnischen Prozessen spielt zusätzlich die thermodynamische Ähnlichkeit eine Rolle (Temperatur, Wärmeleitfähigkeit, Wärmekapazität u. a.) Die Verknüpfung von allgemeinen Ähnlichkeitsgesetzen mit den Modellgesetzen geschieht durch dimensionslose Kennzahlen. Diese gelten unabhängig von den jeweiligen Strömungsverhältnissen, wie z. B. Anströmgeschwindigkeit oder Größe. Die Kennzahlen sind nach bedeutenden Forschern benannt und lassen sich beispielsweise herleiten durch - Physikalische Überlegungen - Π-Theorem (nach Buckingham) - Dimensionsanalyse von Differentialgleichungen u. Ä. Im Nachfolgenden sind die wichtigsten Kennzahlen aufgeführt.

1.8.3.2 Modellgesetze und deren Kennzahlen Je nach dem zu untersuchenden Effekt bei Modellversuchen existiert dessen bevorzugte Kennzahl. 1) Newton-Zahl 𝑁𝑒 Dazu werden Dichte-, Massen- und Kräfteähnlichkeit angestrebt. 𝜌 Dichtenähnlichkeit 𝛿 = 𝜌 Massenähnlichkeit

(Gl. 1.8-13)

𝑚 𝑉 𝜌 = ∙ =𝜆 ∙𝛿 𝑚 𝑉 𝜌

(Gl. 1.8-14)

Nach Newton gilt 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑏 = 𝑉 ∙ 𝜌 ∙ 𝑏. Daraus folgt die Kräfteähnlichkeit

𝐹 𝑉 𝜌 𝑏 𝜆 = ∙ ∙ =𝜆 ∙𝛿∙ =𝜆 ∙𝛿∙𝜘 𝐹 𝑉 𝜌 𝑏 𝜏

Damit wird Newton-Zahl

𝑁𝑒 =

𝐹 𝑙 𝜌 𝑐 =𝜆 ∙𝛿∙𝜘 = ∙ ∙ 𝐹 𝑙 𝜌 𝑐

(Gl. 1.8-15)

122

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Für die Trägheitskraft 𝐹 gilt damit die Proportionalität (Gl. 1.8-16)

𝐹 ~𝑙 ∙𝜌∙𝑐 2) Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 Diese stellt das Verhältnis der Trägheitskräfte zu Reibungskräften dar. Trägheitskraft

𝐹 ~𝑙 ∙𝜌∙𝑐

Reibungskraft

𝑑𝑐 𝑐 𝐹 ~𝐴∙𝜏~𝐴∙𝜂∙ ~𝑙 ∙𝜂∙ ~𝜂∙𝑙∙𝑐 𝑑𝑦 𝑙

(vgl. Punkt 1) (Gl. 1.8-17)

mit 𝜏 (hier: Schubspannung) ~ 𝑙 𝑑𝑐 𝑐 ~ 𝑑𝑦 𝑙 Damit wird Reynolds-Zahl

𝑅𝑒 =

mit

𝐹 𝑙 ∙𝜌∙𝑐 𝑙∙𝑐 𝑙∙𝑐 = = 𝜂 = 𝐹 𝜂∙𝑙∙𝑐 𝜈 𝜌

(Gl. 1.8-18)

𝑙 = charakteristische Länge 𝑐 = charakteristische Geschwindigkeit 𝜈 = Kinematische Viskosität 𝑅𝑒 ist die wichtigste Kennzahl in der experimentellen Strömungstechnik. 3) Froude’sche Zahl 𝐹𝑟 Die Froude-Zahl stellt das Verhältnis von den Trägheitskräften zu den Schwerkräften dar. Trägheitskraft

𝐹 ~𝑙 ∙𝜌∙𝑐

Gravitationskraft

𝐹 ~𝑚∙𝑔~𝑉∙𝜌∙𝑔~𝑙 ∙𝜌∙𝑔

(vgl. Punkt 1) (Gl. 1.8-19)

𝐹 𝑙 ∙𝜌∙𝑐 𝑐 = = (Gl. 1.8-20) 𝐹 𝑙 ∙𝜌∙𝑔 𝑙∙𝑔 Meistens wird die Wurzel aus dem vorhergehenden Ausdruck als Froude-Zahl bezeichnet: Froude-Zahl

𝐹𝑟 =

Froude-Zahl

𝐹𝑟 =

𝑐 𝑙∙𝑔

(Gl. 1.8-21)

Die Froude-Zahl ist besonders bei Strömungsvorgängen mit überwiegendem Schwerkrafteinfluss von Bedeutung wie z. B. bei - Pneumatischer Partikelförderung - Schiffsversuchen - Kavitationsuntersuchungen bei Niederdruck-Wasserturbinen und -pumpen (z. B. Kaplanturbine)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

123

- Flutwellen (Tsunami).

4) Mach-Zahl 𝑀𝑎 Anwendung bei Gasströmungen mit hohen Geschwindigkeiten Mach-Zahl

𝑀𝑎 =

𝑐 𝑎

(Gl. 1.8-22)

mit 𝑐 = Tatsächliche Geschwindigkeit 𝑎 = Schallgeschwindigkeit

Bei gleichen Stoffwerten

5) Euler-Zahl 𝐸𝑢 Verhältnis von Druckkräften zu Trägheitskräften Druckkraft

𝐹 ~𝑝∙𝐴~𝑝∙𝑙

Trägheitskraft

𝐹 ~𝑙 ∙𝜌∙𝑐

Euler-Zahl

𝐸𝑢 =

𝐹 𝑝∙𝑙 = 𝐹 𝑙 ∙𝜌∙𝑐

(Gl. 1.8-23) (vgl. Punkt 1) =

𝑝 𝜌∙𝑐

(Gl. 1.8-24)

Weitere Kennzahlen, die für spezielle Anwendungen benötigt werden, sind: - Strouhal-Zahl 𝑆𝑟 (z. B. bei Schwingungsanregung durch sog. „Karmansche Wirbelstraßen“ hinter Zylindern) - Weber-Zahl 𝑊𝑒 (z. B. bei Untersuchungen zum Kavitationsblasen-Wachstum) ___________________________________________________________________________________________

Beachte Bei konkreten Modell-Experimenten können in der Regel nicht alle wichtigen Kennzahlen berücksichtigt werden. Oft ist nur eine einzige Kennzahl berücksichtigungsfähig. Nur die Kennzahl (oder die Kennzahlen), die einen maßgeblichen Einfluss auf das Versuchsergebnis hat (haben), muss (müssen) berücksichtigt werden. In den meisten Fällen sind dies 𝑅𝑒, 𝐹𝑟 und 𝑀𝑎. ___________________________________________________________________________________________

1.8.3.3 Kennzahlen für die Praxis Bei realen Strömungen sind in der praktischen Anwendung vor allem drei Kennzahlen wichtig (Abb. 1.8-20).

124

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

1) Reibungseinfluss

→ 𝑅𝑒 =

2) Schwereeinfluss

→ 𝐹𝑟 =

3) Dichteeinfluss

𝑐∙𝐷 𝜈 𝑐

(Gl. 1.8-25) (Gl. 1.8-26)

𝑙∙𝑔 𝑐 → 𝑀𝑎 = 𝑎

(Gl. 1.8-27)

Abb. 1.8-20: Anwendungsbeispiele der wichtigsten Kennzahlen bei Strömungsvorgängen

1) Reibungseinfluss (𝑅𝑒) Der Reibungseinfluss bei Strömungen ist sowohl bei Durchströmungen (z. B. Rohr) als auch bei Umströmungen (z. B. Kugel) von Bedeutung. Ausführliche Hinweise hierzu finden sich bereits in Kap. 1.5 und Kap. 1.6. zur Erinnerung: Rohrströmung:

𝑅𝑒

Kugelumströmung:

𝑅𝑒 =

=

𝑐

∙𝐷 𝜈

≈ 2300

𝑐 ∙𝐷 3 ∙ 10

(überkritische, turbulente Grenzschicht)

2) Schwereeinfluss (𝐹𝑟) Die Froude-Zahl 𝐹𝑟 muss bei allen Strömungen mit freier Oberfläche Berücksichtigung finden. Beispielsweise bei Versuchen im Zusammenhang mit Flüssen, Kanälen, teilweise gefüllten Rohrleitungen sowie Meeresströmungen nach Meeresbeben. Abb. 1.8-21 liefert allgemeine Aussagen zu den wechselseitig möglichen Strömungsübergängen „strömend“ und „schließend“.

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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Abb. 1.8-21: Strömungsverhalten bei Schwereeinfluss (𝐹𝑟)

Die in dem Video „Wassersprung“ gezeigten Effekte zwischen „strömender“ und „schießender“ Bewegung sind in den Abbildungen Abb. 1.8-22 und Abb. 1.8-23 erläutert.

Abb. 1.8-22: Wechsel zwischen strömender und schießender Bewegung bei einem starken Platzregen auf einer steilen Asphaltstraße (vgl. Video „Wassersprung“)

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1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Abb. 1.8-23: Eingießen von Wasser in eine große zylindrische Glasschale mit unstetigem Übergang von schießender in strömender Bewegung mit Wassersprung (vgl. Video „Wassersprung“)

3) Dichteeinfluss (𝑀𝑎) Bei Gasströmungen 𝑀𝑎 > 0,3 und Überschallgeschwindigkeiten (𝑀𝑎 > 1) treten die in Abb. 1.8-24 dargestellten Effekte auf. Um z. B. bei einer Gasturbine die Geschwindigkeit in den Überschallbereich zu steigern, ist eine Querschnittserweiterung erforderlich (Lavaldüse, siehe Abb. 1.8-25), was nach dem bisher für „normale“ Strömungen Bekannten zunächst paradox erscheint.

Abb. 1.8-24: Kanaleffekte bei Unter- und Überschallströmungen

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

127

Abb. 1.8-25: Lavaldüse zur Steigerung der Geschwindigkeit auf Überschall

Eine zusammenfassende Übersicht zu den drei wichtigsten Kennzahlen ist in Abb. 1.8-26 gezeigt.

Abb. 1.8-26: Vergleichende Darstellung verschiedener Strömungsformen bei unterschiedlichen Einflussformen

1.8.4 Gasströmungen Die Umströmung von Körpern oder Durchströmung von Kanälen durch Gase oder Dämpfe kann zu erheblichen Geschwindigkeits-, Druck- oder Temperaturänderungen führen, welche Dichteänderungen zur Folge haben. Die bisherige dichtebeständige Rechnung führt dann u. U. zu falschen Ergebnissen, Eine wichtige Größe im Zusammenhang mit Gasströmungen ist die Machzahl 𝑀𝑎 (Gl. 1.8-23), wobei 𝑎 die Ausbreitungsgeschwindigkeit kleiner Druckstörungen in Gasen (= Schallgeschwindigkeit) darstellt. a = mit

𝑑𝑝 𝑑𝜌

=

𝑝∙𝜘∙v=

𝑝∙𝜘 = 𝜌

𝜘∙𝑅 ∙𝑇

(für ideale Gase)

(Gl. 1.8-28)

128

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

(… ) = Isentrope Druckänderung 𝑝 = Absolutdruck v = Spezifisches Volumen v = z. B. errechnet sich die Schallgeschwindigkeit von Luft bei 20 °C (𝑇 = 273 + 20 = 293 𝐾) bei dem zugehörigen Isentropenkoeffizient 𝜅 κ=

𝑐 = 1,4 𝑐

mit

𝑐 = isobare spezifische Wärmekapazität 𝑐 = isochore spezifische Wärmekapazität und der individuellen (speziellen) Gaskonstante

𝑅 = 287

𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝐾

durch Einsetzen in Gl. 1.8-28 zu

𝑎 =

𝜘∙𝑅 ∙𝑇 =

𝑚 𝐽 𝑚 1,4 ∙ 287 ∙ 293 𝐾 ∙ 𝑠 = 343 𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝐾 𝑠 𝑘𝑔

Unterscheidung wichtiger Strömungsbereiche (z. B. bezüglich der Fluggeschwindigkeit 𝑐): a) 𝑐 < 𝑎

→ 𝑀𝑎 < 1 Unterschallströmung (Subsonic)

b) 𝑐 ≈ 𝑎

→ 𝑀𝑎 ≈ 1 Schallnaher oder transsonischer Bereich (Transsonic)

c)

𝑐>𝑎

→ 𝑀𝑎 > 1 Überschallströmung (Supersonic)

d) 𝑐 > 5 ∙ 𝑎

→ 𝑀𝑎 > 5 Hyperschallbereich (Hypersonic)

1.8.4.1 Grundgleichungen dichteveränderlicher Fluide Für die bisher behandelten Strömungen wurde ein dichtebeständiges Fluid (𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) vorausgesetzt, mit der bekannten Kontinuitätsgleichung 𝑚̇ = 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝜌

(Gl. 1.8-29)

Bei Strömungsvorgängen in denen 𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. nicht mehr vorliegt, kann nicht mehr der Volumenstrom 𝑄 als 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. vorausgesetzt werden, sondern nur für den Massenstrom 𝑚̇ gilt der Massenerhaltungssatz bzw. die Kontinuitätsgleichung ̇ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. , 𝜌 ≠ 𝜌 ≠ 𝜌 … ) 𝑚̇ = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (𝜌 ≠ → 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

(Gl. 1.8-30)

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

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Solange die Machzahl 𝑀𝑎 < 1 bleibt, lässt sich unter Zuhilfenahme der Bernoulli-Gleichung anschaulich begreifen, dass bei Erhöhung der Geschwindigkeit 𝑐 zwischen den Stellen 1 und 2 (Konfusor) der Druck an der Stelle 2 absinkt (= Entspannung) und damit auch die Dichte 𝜌 kleiner wird als an der Stelle 1. Dies ist in Abb. 1.8-27 zusätzlich auch für eine Diffusorströmung erläutert (𝑐 sinkt, 𝑝 steigt (= Kompression) und 𝜌 > 𝜌 ).

Abb. 1.8-27: Dichteänderung bei Gas- und Dampfströmungen bei einer Machzahl 𝑀𝑎 < 1

Bei 𝑀𝑎 > 1 liegen demgegenüber genau umgekehrte Auswirkungen bei beschleunigten bzw. verzögerten Strömungen vor. Die Energiegleichung für dichteveränderliche Medien enthält folgende Energieformen: - spezifische Druckenergie - spezifische Geschwindigkeitsenergie - spezifische Lageenergie 𝑔 ∙ 𝑧 - spezifische innere Energie 𝑢 = 𝑐 ∙ 𝑇 Unter Berücksichtigung der Reibungseffekte, aber ohne Energiezu oder -abfuhr, lautet die Energiegleichung: 𝑝 𝑐 + + 𝑔 ∙ 𝑧 + 𝑢 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝜌 2

(Gl. 1.8-31)

Zumeist kann bei Gas- und Dampfströmungen die Lageenergie vernachlässigt werden gegenüber den anderen Energiearten (→ 𝑔 ∙ 𝑧 ≈ 0). Führt man die spezifische Enthalpie ℎ ℎ=

𝑝 +𝑢 =𝑝∙v+𝑢 =𝑐 ∙𝑇 𝜌

(Gl. 1.8-32)

ein, so ergibt sich aus Gl. 1.8-31 ℎ+

𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 2

(Gl. 1.8-33)

130

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

Gl. 1.8-33 beschreibt die Energiegleichung zur Anwendung bei Rohrströmungen und Ausströmvorgängen aus Behältern (bzw. Düsenströmungen). Ein Anwendungsbeispiel findet sich in Kap. 3.8.4.

1.8.4.2 Rohrströmung dichteveränderlicher Fluide Ein häufig vorkommender Anwendungsfall liegt im Bereich der Fernwärmenetze mit Wasserdampf als Fluid vor. In Abb. 1.8-28 ist ein qualitativer Vergleich der Energiesituation bei reiner Wasserströmung (𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) und bei z. B. einer Wasserdampfströmung (𝜌 ≠ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) gezeigt.

Abb. 1.8-28: Vergleich des Energieartenverlaufs bei Rohrströmung von z. B. Wasser (𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) und Wasserdampf (𝜌 ≠ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡)

Erläuterung zum Verlauf bei dichteveränderlichem Fluid: Infolge des Druckverlustes ∆𝑝 nimmt der Gasdruck und die Dichte 𝜌 ab. Wegen 𝑚̇ = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙ 𝐴 gilt bei 𝐴 =𝐴 und 𝜌 >𝜌 → 𝑐 =

𝜌 ∙𝑐 → 𝑐 >𝑐 𝜌

Damit nimmt auch der Druckverlust mit der Rohrlänge überproportional zu (parabolisch)., Außerdem kann sich die Temperatur durch adiabatische oder polytrope Zustandsänderungen ändern (Abb. 1.8-29).

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

131

Abb. 1.8-29: Thermische Unterschiede zwischen nichtisolierten und isolierten Rohrleitungen für dichteveränderliche Fluide

Für den in der Praxis häufig anzutreffenden Fall, dass ein Wärmeaustausch mit der Umgebung stattfindet, wird nachstehend eine Formel zur Berechnung der damit verbundenen Druckdifferenz ∆𝑝 (= 𝑝 − 𝑝 ) hergeleitet. Abb. 1.8-30 stellt schematisch die Druck-, Geschwindigkeits- und Temperatursituation zwischen den Stellen 1 und 2 einer Rohrleitung dar.

Abb. 1.8-30: Schematisch dargestellter Verlauf wichtiger Strömungsgrößen bei einer dichtebeständigen FluidRohrströmung (𝑐̅ = mittlere Geschwindigkeit)

Für ein dichtebeständiges Fluid gilt: 𝐿 𝜌 ∙ ∙ 𝑐̅ 𝐷 2 Dieser Druckabfall infolge Reibung lässt sich für ein Rohrelement der Länge 𝑑𝑙 schreiben zu ∆𝑝 = 𝜆 ∙

132

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

𝑑𝑙 𝜌 ∙ ∙ 𝑐̅ (Gl. 1.8-34) 𝐷 2 Das Minuszeichen zeigt an, dass der Druck mit zunehmender Rohrlänge 𝑙 abnimmt. 𝑑𝑝 = −𝜆 ∙

Im Folgenden ist 𝑐̅ = 𝑐 gesetzt. Aus der thermischen Zustandsgleichung (allgemeine Gasgleichung) folgt 𝑝∙𝑉 =𝑚∙𝑅 ∙𝑇

(Gl. 1.8-35)

mit 𝑅 = individuelle Gaskonstante 𝑚 𝑝 →𝜌= = 𝑉 𝑅 ∙𝑇 𝑝 𝑝 𝑝 oder 𝑅 = → 𝜌= = 𝑅 ∙𝑇 𝜌∙𝑇 𝜌 ∙𝑇

(Gl. 1.8-36) (Gl. 1.8-37)

Daraus ergibt sich 𝜌=𝜌 ∙

𝑇 𝑝 ∙ 𝑇 𝑝

(Gl. 1.8-38)

Mit der Kontinuitätsgleichung ergibt sich 𝜌∙𝑐∙𝐴=𝜌 ∙𝑐 ∙𝐴 und da 𝐴=𝐴 =

𝐷 ∙𝜋 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 4

folgt daraus 𝜌 ∙ 𝑐 = 𝜌 ∙ 𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.

(Gl. 1.8-39)

Gl. 1.8-39 eingesetzt in Gl. 1.8-38 liefert 𝑐=𝑐 ∙

𝜌 𝑇∙𝑝 =𝑐 ∙ 𝜌 𝑇 ∙𝑝

(Gl. 1.8-40)

Gl. 1.8-38 und Gl. 1.8-40 in Gl. 1.8-34 eingesetzt führt zu 𝑑𝑝 = −𝜆 ∙

𝑑𝑙 𝜌 1 𝜌 𝑇∙𝑝 𝑐 ∙𝑇 ∙𝑝 ∙ ∙ 𝑐 = −𝜆 ∙ ∙ ∙ ∙ ∙ 𝑑𝑙 𝐷 2 𝐷 2 𝑇 ∙𝑝 𝑇 ∙𝑝

→ 𝑑𝑝 = −𝜆 ∙

𝜌 𝑇∙𝑝 ∙ ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑙 2∙𝐷 𝑇 ∙𝑝

(Gl. 1.8-41)

Gl. 1.8-41 ist die Differentialgleichung (DGL) für den Druckabfall längs einer Rohrleitung

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

133

Zur Integration der DGL müssten 𝑇 = 𝑓(𝑙) und 𝑝 = 𝑓(𝑙) bekannt sein. Da 𝜌 längs 𝑙 abnimmt (𝑝 sinkt), nehmen 𝑐 und 𝑄 zu. 𝜈 ändert sich ebenfalls, d. h. 𝑅𝑒 = 𝑓(𝑙) und 𝜆 = 𝑓(𝑙). Daher ist eine geschlossene analytische Integration nicht möglich! Zur praktischen Anwendung erfolgt eine Näherungsrechnung mit folgenden Vereinfachungen: - 𝜆 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (lediglich eine Funktion von 𝑅𝑒 =

∙

und )

- Statt 𝑇 → mittlere Temperatur 𝑇 = - Vernachlässigung der durch die 𝑐-Zunahme hervorgerufenen Beschleunigungskräfte Die Integration von Gl. 1.8-41 führt zu 1 𝜌 𝑇 ∙ 𝑝 ∙ 𝑑𝑝 = −𝜆 ∙ ∙ 𝑐 ∙ 𝑑𝑙 𝑝 2∙𝐷 𝑇 1 ∙ 𝑝

𝑝 ∙ 𝑑𝑝 = −𝜆 ∙

1 𝑝 ∙ | 𝑝 2

= −𝜆 ∙

𝜌 𝑇 ∙𝑐 ∙ 2∙𝐷 𝑇

|∫

𝑑𝑙

𝜌 𝑇 ∙𝑐 ∙ ∙𝐿 2∙𝐷 𝑇

Die Integrationsgrenzen (𝑝 und 𝑝 ) werden vertauscht, um das Vorzeichen auf der rechten Seite zu ändern (−𝜆 wird zu +𝜆) →

1 𝑝 ∙ | 𝑝 2

= +𝜆 ∙

𝐿 𝜌 𝑇 ∙ ∙𝑐 ∙ 𝐷 2 𝑇

𝑝 −𝑝 𝐿 𝜌 𝑇 =𝜆∙ ∙ ∙𝑐 ∙ 2∙𝑝 𝐷 2 𝑇

(Gl. 1.8-42)

Gl. 1.8-42 gilt für beliebigen Wärmeaustausch mit der Umgebung. Falls weitere Einbauten vorhanden sind, so wird Gl. 1.8-42 erweitert zu 𝑝 −𝑝 𝐿 = 𝜆∙ + 2∙𝑝 𝐷

𝜁 ∙

𝜌 𝑇 ∙𝑐 ∙ 2 𝑇

(Gl. 1.8-43)

Mit 𝑝 − 𝑝 = (𝑝 − 𝑝 ) ∙ (𝑝 + 𝑝 ) und 𝑝 − 𝑝 = ∆𝑝 kann diese Gleichung noch weiter aufgelöst werden (quadratische Gleichung) in eine praktische Version des Druckverlustes ∆𝑝 (bzw. ∆𝑝 ). ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 𝑝 − 𝑝 − 𝜆 ∙

𝐿 𝑇 ∙𝑐 ∙𝜌 ∙ ∙𝑝 𝐷 𝑇

(Gl. 1.8-44)

Gl. 1.8-43 lässt sich für folgende Sonderfälle des Wärmeaustausches vereinfachen: - Isotherme Strömung 𝑇 = 𝑇 = 𝑇 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑝 −𝑝 𝐿 𝜌 = 𝜆 ∙ ∙ ∙ 𝑐 → ∆𝑝 2∙𝑝 𝐷 2

.

(Gl. 1.8-45)

134

1 Die wichtigsten Grundlagen einfach erklärt

- Adiabate Strömung (kein Wärmeaustausch mit der Umgebung) Zunächst nach Gl. 1.8-45 für isotherme Strömung ∆𝑝 bzw. 𝑝 und 𝑝 errechnen. . Anschließend wird 𝑇 ≈𝑇

𝑝 𝑝

→ 𝑇≈

𝑇 +𝑇 2

Eingesetzt in Gl. 1.8-42 ergibt sich 𝑝 −𝑝 𝐿 𝜌 𝑇 =𝜆∙ ∙ ∙𝑐 ∙ → ∆𝑝 2∙𝑝 𝐷 2 𝑇

(Gl. 1.8-46)

Die Rechnung wird solange wiederholt, bis ∆𝑝 ≈ das letzte Ergebnis von ∆𝑝 . . wird (Iteration). In der Praxis liegen für Druckabfälle in Rohrleitungen für häufig vorkommende Medien (Wasserdampf, Luft, Erdgas) Nomogramme zur leichteren Berechnung vor.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung Sie haben sicher in Ihrem Leben schon einmal gekocht. Wenn das ein für Sie neues Gericht war (z. B. spanische Paella, s. Abb. 2-1), haben Sie wahrscheinlich ein Kochrezept zu Rate gezogen, sodass es mit Sicherheit gelingt und für Sie und andere schmackhaft wird. Eine gute Handlungsanleitung weist dabei folgende Eigenschaften auf und kann als „Kochrezept“ für die ingenieurmäßige Lösung z. B. fluidtechnischer Aufgabenstellungen verallgemeinert werden. 1) Ein Bild des fertigen Gerichts als Überblick → Aufgabe klären! Wie sieht das Ziel der Arbeit aus?

Abb. 2-1: Spanische Paella

2) Zutaten/ Technik → Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen! → Was wird benötigt? Z. B. Reis, Muscheln … Hilfsmittel und Zubereitungsmethoden. → Welche Geräte und Techniken werden eingesetzt? Z. B. Pfanne, Herd … 3) Arbeitsschritte → Bearbeitungsreihenfolge festlegen! → In welcher sinnvollen Reihenfolge soll gearbeitet werden? Z. B. Fleisch anbraten … Paella servieren

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3_2.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 K.-J. Peschges et al., Ingenieurklausur im Nacken? https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3_2

136

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

4) Bearbeitungsdetails → Teilaufgaben lösen! → Wie erfolgt die Bearbeitung im Detail und welche (Koch-)Tipps gibt es? Z. B. Meeresfrüchte erst zum Schluss garen

5) Mengenanpassung → Einheiten-Umrechnung! → Welche Mengen für x Personen sind erforderlich? Umrechnung veralteter (z. B. dt. Pfund) oder fremder (z. B. Inches) Maßeinheiten? Z. B. Für vier Personen: 200 g Reis, 500 g Muscheln … 6) Fertiges Gericht gourmetgerecht servieren → Ergebnisse präsentieren und diskutieren! → In welcher Form ist das Gericht den Gästen zu präsentieren? Erläuterungen? Z. B. Große Pfanne in Tischmitte mit Warmhalteplatte Diese langbewährte „praktische Methode“ wurde, wie oben beschrieben, zu den analog gleichen, sprachlich jedoch konkretisierten sechs Arbeitsschritten verallgemeinert. Diese sind für jede (!) Lösungsfindung anwendbar, unabhängig von der Art oder dem Schwierigkeitsgrad: ___________________________________________________________________________________________

6 Schritte-Kochrezept (1) (2) (3) (4) (5) (6)

Aufgabe klären Bezugsgleichungen/Fluid-Fachgebiet festlegen Bearbeitungsreihenfolge festlegen Teilaufgaben lösen Einheiten-Umrechnung Ergebnisse präsentieren und diskutieren

___________________________________________________________________________________________

Um Sie mit dieser Vorgehensweise vertraut zu machen, werden jetzt für Kap. 1.1 bis Kap. 1.8 exemplarisch Fluidtechnik-Beispiele ausführlich dargestellt.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

137

2.1 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.1 (Grundlagen) In Kap. 1.1 wurde als wichtigste Beziehung die Kontinuitätsgleichung ermittelt. Die dazu passende Aufgabe bezieht sich auf eine Strömung mit einer Rohrverengung bzw. einer Rohrerweiterung (Konfusor und Diffusor, vgl. Abb. 1.1-8) und lässt sich mit den sechs Arbeitsschritten systematisch lösen. Vorgegebene Aufgabenstellung: Eine kreisförmige Rohrleitung (Durchmesser 𝐷) soll stationär und dichtebeständig mit Wasser durchströmt werden. Wie ändert sich die Geschwindigkeit 𝑐 bei gegebenem Volumenstrom 𝑄, wenn sich der Rohrdurchmesser halbiert (Konfusor) bzw. verdoppelt (Diffusor)? Bei konsequenter Anwendung der sechs Arbeitsschritte stellt sich der Lösungsweg so dar:

(1) Aufgabe klären Lässt sich der gegebene Aufgabentext in einer Skizze oder einem Bild veranschaulichen? → Wichtiges markieren! Skizze anfertigen oder ergänzen (Abb. 2.1-1)

Abb. 2.1-1: Rohrleitungsverengung und -erweiterung

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Welche Formeln und Fluid-Eigenschaften von welchen Fluid-Teilgebieten sind für die Lösung von Bedeutung? → Kontinuitätsgleichung, stationäre Strömung, dichtebeständig.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Wie lassen sich aus den gegebenen Größen idealerweise die gesuchten Größen ermitteln? → Flächenberechnung Kreisquerschnitt. → Kontinuitätsgleichung bei 𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. → umstellen nach 𝑐.

138

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(4) Teilaufgaben lösen In welcher Form sind die Bezugsgleichungen hinzuschreiben und umzuformen, sodass die gesuchten Größen berechnet werden können? Welche Tricks und Zusatzinformationen könnten die Lösungsfindung vereinfachen? → Berechnung des Konfusors: 𝑄 = 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑐

𝐷 ∙𝜋 =𝑐 4

𝐷 2

∙𝜋

4 𝐷 𝑐 ∙𝐷 =𝑐 ∙ 2 → 𝑐 = 4∙𝑐 bei Verengung (Konfusor) → Berechnung des Diffusors: 𝑄 = 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑐 ∙ 𝐴 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝑐

(2 ∙ 𝐷) ∙ 𝜋 𝐷 ∙𝜋 =𝑐 4 4

𝑐 ∙ 𝐷 = 𝑐 ∙ (2 ∙ 𝐷) → 𝑐 =

1 ∙𝑐 4

bei Erweiterung (Diffusor)

(5) Einheiten-Umrechnung Wie lassen sich die gesuchten Ergebnisse in der gewünschten Einheit berechnen? → Entfällt hier.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Wie lassen sich die erzielten Ergebnisse und weitergehende Folgerungen an Außenstehende (Leser, Professor, Auftraggeber … → zielgruppenorientiert) verständlich vermitteln? 𝐷 =

𝐷 → 𝑐 =4∙𝑐 2

𝐷 = 2∙𝐷 → 𝑐 =

1 ∙𝑐 4

(bei Konfusor) (bei Diffusor)

Diskussion: Das Ergebnis sollte verallgemeinert in ein Gefühl für beschleunigte oder verzögerte Strömung überführt werden und im Zusammenhang mit der sog. Bernoulli-Gleichung (s. Kap. 1.4 ff) zu allgemeinen Aussagen von Druckveränderungen genutzt werden.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

139

2.2 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.2 (Stoffwerte und Einheiten) Vorgegebene Aufgabenstellung: Wie groß sind die in Kap. 2.1 zu bestimmenden Geschwindigkeiten 𝑐 in Diffusor, wenn die Geschwindigkeit 𝑐 = 10

bei Konfusor und

beträgt?

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Einheitenumrechnung [𝑦𝑎𝑟𝑑] in [𝑚].

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Gemäß Punkt (2)

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Gemäß Kap. 1.2 gilt die Umrechnungsbeziehung 1 𝑦𝑑 = 0,9144 𝑚 → 𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 1 =

0,9144 𝑚 1 𝑦𝑑

___________________________________________________________________________________________

Beachte Die Einheitenbeziehung immer so auf den Wert 1 umstellen, dass die gesuchte Einheit nach der Kürzung über dem Bruchstrich steht. Zur Erinnerung: Jedes Ergebnis kann mit dem Wert 1 (also auch mit der rechten Seite der Einheitengleichung) multipliziert werden, ohne dass sich das Resultat ändert. ___________________________________________________________________________________________

Ergebnis für den Konfusor lautet: 𝑐 = 4 ∙ 𝑐 = 4 ∙ 10

𝑦𝑑 0,9144 𝑚 𝑚 ∙ = 36,58 𝑠 1 𝑦𝑑 𝑠

140

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

Ergebnis für den Diffusor lautet: 𝑐 =

1 1 𝑦𝑑 0,9144 𝑚 𝑚 ∙ 𝑐 = ∙ 10 ∙ = 2,29 4 4 𝑠 1 𝑦𝑑 𝑠

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑐 = 4 ∙ 𝑐 = 36,58 𝑐 =

𝑚 𝑠 (bei Konfusor)

1 𝑚 ∙ 𝑐 = 2,29 4 𝑠

(bei Diffusor)

Diskussion: Systematische Einheitenumrechnung mit Einheitsfaktor „1“ = einer „Rechnung im Kopf“ sicher zum Erfolg.

ä

führt gegenüber

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

141

2.3 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.3 (Fluidstatik) In Kap. 1.3.2.1 findet sich die Herleitung der hydrostatischen Grundgleichung (Tauchergleichung). Die methodische Vorgehensweise zur Lösung von Aufgaben aus diesem Bereich soll exemplarisch an einem kommunizierenden U-Rohr, welches mit zwei unterschiedlichen Fluiden gefüllt ist, aufgezeigt werden (Abb. 2.3-1).

Abb. 2.3-1: Fluide mit verschiedenen Dichten in einem U-Rohr (Hydrostatik)

Bedingungen:    

Nicht mischbare Fluide Dichtebeständig 𝜌 ≠𝜌 Homogenes Fluid.

Wie ist das Verhältnis

?

Auch hier werden sinnvollerweise die sechs Arbeitsschritte konsequent angewendet.

(1) Aufgabe klären Wie lassen sich die Skizze und die Aufgabenstellung so darstellen, dass die hydrostatische Grundgleichung zu einer Lösung führt? ___________________________________________________________________________________________

Beachte In vielen Lehrbüchern findet sich die (vereinfachte!) Aussage: „In gleicher Tiefe eines Fluids herrscht gleicher Druck“. Korrekt gilt jedoch: „In gleicher Tiefe herrscht in einer ruhend, zusammenhängenden Fluidart gleicher Druck“

142

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

Deswegen legt man hier das Bezugsniveau B-B in die gemeinsame Trennebene der beiden Fluidarten und trägt von dort aus die Fluidsäulenhöhen ℎ und ℎ an (Abb. 2.3-2). Unterhalb von B-B befindet sich ja nur noch Fluid 1 mit der Dichte 𝜌 (zusammenhängend), so dass im linken und im rechten Schenkel des U-Rohres der gleiche Druck 𝑝 herrscht.

Abb. 2.3-2: Bezugsniveau B-B um Fluidsäulenhöhen festzulegen ___________________________________________________________________________________________

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Welche Formeln aus welchem Fluidgebiet sind für die Lösung von Bedeutung? Z. B. Hydrostatik und diesbezügliche Grundgleichungen. (Dies war bereits eingangs vorausgesetzt worden)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Wie lassen sich aus den gegebenen Größen und der geschickterweise ergänzten Skizze die gesuchten Größen ermitteln? Z. B. Verhältnis

aus den beiden Fluidsäulenhöhen ℎ und ℎ ermittelbar?

(4) Teilaufgaben lösen In welcher Form sind die Bezugsgleichungen hinzuschreiben und umzuformen, damit die gesuchten Größen berechnet werden können? Welche Tricks und Zusatzinformationen könnten die Lösungsfindung vereinfachen? Z. B. Gemäß Abb. 2.3-2 ist der Druck 𝑝 im linken und rechten Schenkel des U-Rohres gleich, so dass die hydrostatische Grundgleichung jeweils liefert:

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

143

linker Schenkel 𝑝 = 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ rechter Schenkel 𝑝 = 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ Aus den rechten Seiten der beiden Gleichungen erhält man durch Vergleich und Kürzen 𝑝 +𝜌 ∙𝑔∙ℎ =𝑝 +𝜌 ∙𝑔∙ℎ →

𝜌 ℎ = 𝜌 ℎ

(5) Einheiten-Umrechnung Wie lassen sich die gesuchten Ergebnisse in der gewünschten Einheit berechnen? Entfällt bei dieser Aufgabe, da lediglich die physikalischen Zusammenhänge gefordert sind. Bei konkreten, experimentell ermittelten Fluidsäulenhöhen wird das analoge Vorgehen wie in der Aufgabe von Kap. 2.2 empfohlen.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Wie lassen sich die erzielten Ergebnisse und weitergehenden Folgerungen an Außenstehende (Leser, Professoren, Auftraggeber, etc. → zielgruppenorientiert) verständlich vermitteln? Z. B. Der Dichtequotient verhält sich umgekehrt wie der Höhenquotient der Fluidsäule →

𝜌 ℎ = 𝜌 ℎ

d. h. gemäß Skizze ist 𝜌 < 𝜌

___________________________________________________________________________________________

Beachte U-Rohr-Manometer werden häufig in experimentellen Untersuchungen bei der Durchströmung (z. B. Druckverluste in Rohrleitungssystemen) oder der Umströmung von Körpern (z. B. Druckverteilung bei Tragflügelprofilen) eingesetzt. Je nach Fluidsystem werden dabei sowohl die „Sperrmedien“ (z. B. Wasser, Quecksilber) als auch die Anordnung (z. B. Schrägrohrmanometer, umgekehrtes U-Rohr) variiert. Wegen ihrer physikalisch-geometrisch direkt überschaubaren Ergebnisdarstellung sind sie gegenüber elektronischen Druckmessgeräten bezüglich Fehlermessungen überlegen. Im obigen Beispiel ließe sich bei bekanntem Wert von 𝜌 (z. B. Quecksilber 𝐻 ) und den gemessenen Höhen (ℎ , ℎ ) die Dichte von 𝜌 eines unbekannten Mediums (z. B. Toluol) berechnen. Streng genommen gilt dies nur, wenn die beiden Schenkeldurchmesser so groß sind, dass die Meniskusbildung infolge der sog. Kapillarwirkung vernachlässigbar ist. ___________________________________________________________________________________________

Weitere Anwendungen der hydrostatischen/aerostatischen Grundgleichung finden sich in Kap. 3.3.

144

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

2.4 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.4 (Bernoulli-Gleichung) Vorgegebene Aufgabenstellung: Der in Abb. 2.4-1 dargestellte große Druckbehälter ist bis zur Höhe ℎ = 2 𝑚 über dem Auslassquerschnitt 𝐴 (𝐷 = 2 𝑐𝑚) mit Wasser gefüllt und mit einem Absolut-Luftdruck 𝑝 = 2 𝑏𝑎𝑟 beaufschlagt. Wie groß ist zu Beginn des freien Austritts die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐 in

und der austretende Volumenstrom 𝑄 in ?

Abb. 2.4-1: Wasserbehälter unter Innendruck bei freiem Ausfluss

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren. Skizze ergänzen (in grün), z. B. Bezugsniveau B-B und gegebene Daten

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung, ideal, verlustfrei Kontinuitätsgleichung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑐 aus Bernoulli-Gleichung → Schritt (4) 𝑄 aus Kontinuitätsgleichung mit 𝑐 → Schritt (4) Zahlenumrechnung mit Einheiten → Schritt (5)

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

145

(4) Teilaufgaben lösen Prinzipiell kann zur Lösung jede Form der Bernoulli-Energiegleichung genutzt werden. Jedoch wird sinnvollerweise die Form verwendet, bei der der geringste Umstellungsbedarf entsteht (Erfahrung). Da hier nach der Geschwindigkeit 𝑐 gefragt wird, wird die spezifische Energieform (Gl. 1.4-9) gewählt und unter Bezug auf B-B zwischen den Stellen 1 und 2 ausgeschrieben: 𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 𝜌 2 𝜌 2 Vereinfachungen: 𝑐 ≈0 𝑧 ≈ℎ

(Spiegelabsenkung sehr klein bei großem Behälter)

𝑝 ≈𝑝

(Atmosphärendruck wird Austrittsquerschnitt von außen aufgeprägt)

𝑧 ≈0

(da auf Bezugsniveau B-B)

Damit ergibt sich 𝑝 𝑝 𝑐 +0+𝑔∙ℎ = + +0 𝜌 𝜌 2 →𝑐

= 2∙ 𝑔∙ℎ+

→𝑐 =

2∙ 𝑔∙ℎ+

𝑝 −𝑝 𝜌 𝑝 −𝑝 𝜌

=

2∙

9,81

𝑚 2 𝑏𝑎𝑟 − 1 𝑏𝑎𝑟 ∙2𝑚 + 𝑘𝑔 𝑠 1000 𝑚

Mit der Kontinuitätsgleichung ermittelt sich 𝑄 zu 𝑄 =𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙

𝐷 ∙𝜋 𝑚 (2 𝑐𝑚) ∙ 𝜋 =𝑐 ∙ 4 𝑠 4

(5) Einheiten-Umrechnung Geht auch gekoppelt mit Schritt (4) Für die Strömungsgeschwindigkeit 𝑐 ergibt sich: 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑁 𝑚 2 𝑏𝑎𝑟 − 1 𝑏𝑎𝑟 10 𝑚 1 𝑠 9,81 ∙2𝑚 + ∙ ∙ 𝑘𝑔 𝑠 1 𝑏𝑎𝑟 1𝑁 1000 𝑚

𝑐 =

2∙

𝑐 =

2 ∙ 19,62

𝑐 = 15,47

𝑚 𝑠

𝑚 𝑚 + 1 ∙ 10 𝑠 𝑠

=

239,24

𝑚 𝑠

146

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

Der Volumenstrom 𝑄 berechnet sich zu 𝐷 ∙𝜋 𝑚 (2 𝑐𝑚) ∙ 𝜋 1 𝑚 = 15,47 ∙ ∙ 4 𝑠 4 10 𝑐𝑚 𝑚 10 𝑙 𝑄 = 4,95 ∙ 10 ∙ 𝑠 1𝑚 𝑙 𝑄 = 4,95 𝑠 𝑄=𝑐 ∙

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑐 =

2∙ 𝑔∙ℎ+

𝑄 = 𝑐 ∙ 𝐴 = 4,95

𝑝 −𝑝 𝜌

= 15,47

𝑚 𝑠

𝑙 𝑠

Diskussion: Die Formel zur Ermittlung der Ausströmgeschwindigkeit entspricht der Torricelli-Ausflussformel bei einem oberwasserseitigen Überdruck.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

147

2.5 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.5 (Durchströmung mit Reibung) Vorgegebene Aufgabenstellung: Die Druckrohrleitung einer Peltonturbine weist einen Durchmesser 𝐷 = 0,4 𝑚 auf und einen Druckverlust ∆𝑃

=8∙

∙ 𝜌 auf (𝑐 = Austrittsgeschwindigkeit aus der Düse). Die Düse

selbst besitzt einen Druckverlust von ∆𝑃

= 0,1 ∙

∙ 𝜌. Der Düsen-Austrittsdurchmesser ist

𝐷 = 0,1 𝑚. Die Höhendifferenz vom Oberwasser bis zum Düsenaustritt beträgt 𝐻 = 250 𝑚 (Abb. 2.5-1). a) Welchen Volumenstrom 𝑄 in

liefert die Düse?

b) Wie groß ist der Druck 𝑝 in bar am Eintritt in die Düse?

Abb. 2.5-1: Druckrohrleitung mit Düse für eine Peltonturbine

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren. Skizze ergänzen (in grün).

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen a) Bernoulli-Gleichung mit Druckverlust zwischen den Stellen 1 und A, Kontinuitätsgleichung b) Bernoulli-Gleichung mit Druckverlust zwischen den Stellen 1 und D, Kontinuitätsgleichung

148

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen a) Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und A mit ∑ ∆𝑝 → 𝑐 Kontinuitätsgleichung mit 𝑐 → 𝑄 b) Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und D mit ∆𝑃 → 𝑝

und 𝑐 (aus 𝑐 )

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung a) Bernoulli zwischen 1 und A mit Druckverlust ∑ ∆𝑝 ∑ ∆𝑝 𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 + 𝜌 2 𝜌 2 𝜌

÷

(spezifische Energieform)

÷

Vereinfachen mit: 𝑝 =𝑝 𝑐 ≈0 𝑧 =𝐻

(Atmosphärendruck) (Spiegelabsenkung vernachlässigbar)

𝑝 =𝑝

(Atmosphärendruck 𝑝 zwischen Oberwasser und Düsenaustritt unverändert! 𝑝 prägt Wasserstrahl seinen Wert auf)

𝑧 =0 ∆𝑝 𝑏𝑧𝑤.

= ∆𝑃

÷

∑ ∆𝑝 𝜌

÷

=

+ ∆𝑃

=8∙

𝑐 𝑐 ∙ 𝜌 + 0,1 ∙ ∙ 𝜌 2 2

𝑐 𝑐 (8 + 0,1) = 8,1 ∙ 2 2

Eingesetzt ergibt sich: 𝑝 𝑝 𝑐 𝑐 +0+𝑔∙𝐻 = + + 0 + 8,1 ∙ 𝜌 𝜌 2 2 𝑔 ∙ 𝐻 = (1 + 8,1) ∙

𝑐 =

2∙𝑔∙𝐻 = 9,1

𝑄 =𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙

𝑐 2 2 ∙ 9,81 𝑚 ∙ 250 𝑚 = 9,1 𝑠

539

𝑚 𝑚 = 23,2 𝑠 𝑠

𝐷 ∙𝜋 𝑚 0,1 𝑚 ∙ 𝜋 𝑚 = 23,2 ∙ = 0,182 4 𝑠 4 𝑠

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

b) Bernoulli zwischen 1 und D mit Druckverlust ∆𝑝 vor der Düse)

149

(d. h. Rohrleitungsverlust bis zur Stelle D

∆𝑝 𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 + 𝜌 2 𝜌 2 𝜌 Vereinfachen: 𝑝 =𝑝 𝑐 ≈0 𝑧 =𝐻 𝑧 =0 ∆𝑝

=8∙

𝑐 ∙𝜌 2

𝑐 aus Kontinuitätsgleichung 𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙𝐴 𝐷 ∙𝜋 𝐴 𝐷 𝑐 =𝑐 ∙ =𝑐 ∙ 4 =𝑐 ∙ 𝐴 𝐷 𝐷 ∙𝜋 4 𝑐 =𝑐 ∙

𝐷 𝐷

Eingesetzt und nach 𝑝 umgestellt erhält man 𝑝 𝑝 𝑐 +0+𝑔∙𝐻 = + 𝜌 𝜌 2

𝐷 𝐷

+0+8∙

𝑐 2

𝐷 𝐷

−8∙

𝑝 =𝑝 +𝜌∙𝑔∙𝐻− 𝑝 =𝑝 +𝜌∙𝑔∙𝐻−

𝜌 ∙𝑐 ∙ 2

𝐷 𝐷

𝑐 2

𝑐 2 ∙𝜌

+8

𝑘𝑔 𝑚 1 𝑏𝑎𝑟 1 𝑁 ∙ 𝑠 1000 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 9,81 ∙ 250 𝑚 ∙ ∙ − ∙ 23,2 𝑁 1 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑚 𝑠 2 𝑚 𝑠 10 𝑚 0,1 𝑚 1 𝑏𝑎𝑟 1 𝑁 ∙ 𝑠 +8 ∙ ∙ 0,4 𝑚 10 𝑁 1 𝑘𝑔 ∙ 𝑚

𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 + 1000 ∙

𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 + 24,53 𝑏𝑎𝑟 − 21,54 𝑏𝑎𝑟 = 3,99 𝑏𝑎𝑟 𝑝 ≈ 4 𝑏𝑎𝑟

|∙𝜌

150

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑚 𝑠 𝑝 = 4 𝑏𝑎𝑟 (𝑎𝑏𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡) 𝑄 = 0,182

Diskussion: Ohne Verluste wäre die Austrittsgeschwindigkeit nach Torricelli 𝑐

=

2∙𝑔∙𝐻 =

2 ∙ 9,81

𝑚 ∙ 250 𝑚 = 𝑠

4905

𝑚 𝑚 ≈ 70 𝑠 𝑠

bzw. der Volumenstrom 𝑄

=𝑐

∙𝐴 =𝑐

∙

𝐷 ∙𝜋 𝑚 0,1 𝑚 ∙ 𝜋 𝑚 = 70 ∙ ≈ 0,549 4 𝑠 4 𝑠

Die Verluste durch die lange Rohrleitung und die Düse reduzieren den theoretisch möglichen Volumenstrom 𝑄 also erheblich. Dadurch wird auch der Druck 𝑝 vor der Düse gegenüber dem theoretischen Druck ohne Verluste 𝑝 deutlich reduziert. Der Druck 𝑝 ohne Verluste wäre folgendermaßen zu berechnen: 𝑝 𝑝 𝑐 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 𝜌 2 𝜌 2 Mit 𝑐 ∙𝐴 =𝑐 →𝑐 =𝑐

∙𝐴 ∙

𝐷 𝐷

ergibt sich 𝑝 𝑐 𝑝 +0+𝑔∙𝐻 = + 𝜌 𝜌 2

𝐷 𝐷

𝜌 ∙𝑐 2

∙

𝑝

=𝑝 +𝜌∙𝑔∙𝐻−

+0

|∙𝜌

𝐷 𝐷

⋮ 𝑘𝑔 𝑚 1000 𝑘𝑔 𝑚 0,1 𝑚 ∙ 9,81 ∙ 250 𝑚 − ∙ 70 ∙ 𝑚 𝑠 2𝑚 𝑠 0,4 𝑚

𝑝

= 1 𝑏𝑎𝑟 + 1000

𝑝

= 1 𝑏𝑎𝑟 + 24,53 𝑏𝑎𝑟 − 0,096 𝑏𝑎𝑟

𝑝

= 25,434 𝑏𝑎𝑟 ≫ 𝑝 ≈ 4 𝑏𝑎𝑟!

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

151

2.6 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.6 (Umströmung von Körpern) Vorgegebene Aufgabenstellung: Ein PKW weist die folgenden Kenndaten auf: Mittlere Höhe 𝐻 = 1,5 𝑚 Mittlere Breite 𝐵 = 1,6 𝑚 Widerstandsbeiwert 𝑐

= 0,45

Antriebsleistung 𝑃 = 30 𝑘𝑊 (an Rädern, d. h. netto) Weisen sie nach, dass dieses Fahrzeug auf einer waagrechten Straße und Windstille die erlaubte Höchstgeschwindigkeit von 130

nicht überschreiten kann. Luft bei 20 °𝐶 und

1 𝑏𝑎𝑟, Rollwiderstand vernachlässigt.

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Gesamtwiderstand umströmter Körper Leistungsberechnung (Gl. 1.6-12), Gesamtwiderstandskraft (Gl. 1.6-11)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑃 und 𝐹 koppeln → Umstellung nach 𝑐 (< oder > 130

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung 𝑃 =𝐹 ∙𝑐 mit 𝜌 𝐹 =𝑐 ∙ 𝑐 ∙𝐴 2 𝐴=𝐵∙𝐻 Daraus ergibt sich 𝜌 𝜌 𝑃 = 𝑐 ∙ 𝑐 ∙𝐵∙𝐻 ∙𝑐 = 𝑐 ∙ 𝑐 ∙𝐵∙𝐻 2 2 →𝑐 =

𝑃∙2 𝑐 ∙𝜌∙𝐵∙𝐻

?)

152

𝑐 =

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

𝑁 ∙ 𝑚 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 1 10 30 𝑘𝑊 ∙ 2 𝑠 ∙ 𝑠 ∙ 𝑘𝑔 1 𝑘𝑊 1𝑁 0,45 ∙ 1,2 ∙ 1,6 𝑚 ∙ 1,5 𝑚 𝑚

𝑚 1 𝑘𝑚 3600 𝑠 ∙ ∙ 𝑠 1000 𝑚 1 ℎ 𝑘𝑚 𝑘𝑚 𝑐 = 129,3 < 130 ℎ ℎ 𝑐 = 35,907

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑘𝑚 𝑘𝑚 < 130 ℎ ℎ Der PKW kann die max. erlaubte Geschwindigkeit nicht überschreiten. 𝑐 = 129,3

Diskussion: Die Angabe zum Medium Luft in der Aufgabenstellung wird nicht benötigt, ist also überflüssig. Jedoch nicht überflüssig ist, dass der Rollwiderstand zu vernachlässigen ist. 𝑐 -Werte sind im Allgemeinen abhängig von der Körperform und der Reynolds-Zahl, wozu in der Fachliteratur zahlreiche Informationen existieren.

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

153

2.7 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.7 (Impulssatz) Vorgegebene Aufgabenstellung: Ein Propeller fördert Luft durch ein Kreisrohr mit konstantem Querschnitt 𝐴 (Abb. 2.7-1).

Abb. 2.7-1: Abstützung einer Lüftungsquelle im Kreisrohr

An der Stelle 1 vor dem Propeller seien der Druck 𝑝 , die Geschwindigkeit 𝑐 und die Dichte 𝜌 bekannt. Die Luft ist als inkompressibel und reibungsfrei zu betrachten. Schwerkräfte sind vernachlässigbar. Außerdem sollen die Geschwindigkeiten jeweils konstant über den Querschnitt sein und es soll eine stationäre Strömung vorliegen. Gegeben sind: 𝐴, 𝑝 , 𝑝 , 𝑐 ≈ 𝑐 , 𝜌 ≈ 𝜌 a) Zeichnen Sie bitte in der am besten geeigneten Skizze (Ansicht X oder Schnitt B-B) die allen Anforderungen entsprechende Kontrollfläche ein und unterscheiden Sie hierbei zwischen der freien (𝐴 ) und der Körper-Kontrollfläche (𝐴 ). b) Bestimmen Sie aus den gegebenen Größen die Stützkraft, die von den Motorhalterungsstegen aufgenommen werden muss. Gehen Sie dabei bitte von dem vollständig ausgeschriebenen Impulssatz in Komponentendarstellung aus. c) Zeichnen Sie die Stützkraft 𝐹 und die Reaktionskraft 𝑅 in die Skizze der Kontrollfläche mit der jeweiligen korrekten Wirkungsrichtung ein. d) Wie groß ist die Leistung des Ventilators?

154

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Impulssatz in Komponentenform (Kap. 1.7.1)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Kontrollvolumen skizzieren (𝐴 + 𝐴 ) Impulssatz in Komponentenschreibweise (nur in 𝑥-Richtung erforderlich) Einzelkomponenten vereinfachen → 𝐹 , 𝑅 Leistung 𝑃 (aus ∆𝑝 und 𝑄)

(4) Teilaufgaben lösen Da die Schwerkräfte 𝐹 und die Reibungskräfte 𝐹 vernachlässigt werden und die Strömung ausschließlich in eine Richtung geht (in 𝑥-Richtung gewählt), sowie die Kräfte in Bezug auf den Steg gesucht sind, wird das Kontrollvolumen 𝐾𝑉 in die vorgegebene Skizze „Schnitt B-B“ eingetragen. Im Folgenden sind die Informationen von Kap. 1.7.1 sorgfältig zu beachten! a) Das in Abb. 2.7-2 gezeigte Kontrollvolumen 𝐾𝑉 erfüllt alle Forderungen, wie sie in Kap. 1.7.1, Abb. 1.7-5 und Gl. 1.7-4 beschrieben sind.

Abb. 2.7-2: Wahl des Kontrollvolumens 𝐾𝑉

Das 𝐾𝑉 ist eine einfache, zusammenhängende, in sich geschlossene Oberflächenkontur und die gesuchten Kräfte müssen Teil des 𝐾𝑉 sein!

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

155

b) Der Impulssatz in Komponentenschreibweise für die 𝑥-Richtung ergibt sich aus Gl. 1.7-8 zu → 𝑚̇ ∙ 𝑐

− 𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝐹

+𝐹

+𝐹

(1)

+𝐹

Einzelkomponenten mit Vereinfachungen: 𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝜌∙𝑄∙𝑐

𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝜌∙𝑄∙𝑐

Da 𝑐 = 𝑐 bzw. 𝑐 𝑚̇ ∙ 𝑐

− 𝑚̇ ∙ 𝑐

= 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴) ∙ (+𝑐 ) = 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴) ∙ (+𝑐 ) =𝑐

ist, ergibt sich

=0 (Schwerkräfte vernachlässigbar)

𝐹

=0

𝐹

= [+𝑝 ∙ 𝐴 + (−𝑝 ∙ 𝐴)]

𝐹

=0

(Reibungskräfte an Wänden und Steg vernachlässigbar)

𝐹 gesucht! Nach Einsetzen in Gleichung (1) erhält man 0 = 0 + [𝑝 ∙ 𝐴 − 𝑝 ∙ 𝐴] + 0 + 𝐹 Die Stützkraft 𝐹 (von Steg auf das Fluid) ergibt sich zu 𝐹

= (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝐴 = ∆𝑝 ∙ 𝐴

mit ∆𝑝 = Druckdifferenz zwischen den Stellen 1 und 2 𝐹 wird positiv und wirkt in x-Richtung! Damit beträgt die Reaktionskraft 𝑅 𝑅

= −𝐹

(vom Fluid auf die Wand wirkend)

= (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝐴

Da 𝑝 < 𝑝 (wegen Energiezufuhr durch Propeller) ergibt sich ein negativer Wert für 𝑅 . 𝑅

wirkt also entgegen der x-Richtung!

c) Die Wirkungsrichtung von 𝐹 und 𝑅

sind in Abb. 2.7-3 anschaulich dargestellt.

Abb. 2.7-3: Wirkungsrichtung von 𝐹 (auf das Fluid bzw. 𝐾𝑉) und von 𝑅

(auf den Steg)

156

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

d) Nach Kap. 1.4.2.4 ermittelt sich die Leistung 𝑃 bei Energiezufuhr durch einen Ventilator zu 𝑃 = 𝑄 ∙ ∆𝑝 Aus der Kontinuitätsgleichung folgt 𝑄 =𝑐∙𝐴

(mit 𝑐 = 𝑐 = 𝑐 )

Damit benötigt der Ventilator die Antriebsleistung 𝑃 = 𝑐 ∙ 𝐴 ∙ ∆𝑝 = 𝑐 ∙ 𝐴 ∙ (𝑝 − 𝑝 ) = 𝑐 ∙ 𝑅 (5) Einheiten-Umrechnung Entfällt bei dieser Aufgabe

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) 𝐾𝑉 s. Abb. 2.7-2 b) 𝐹 = (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝐴 = ∆𝑝 ∙ 𝐴 𝑅 c)

= −𝐹 = (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝐴

in 𝑥-Richtung gegen 𝑥-Richtung

Wirkungsrichtung der Kräfte s. Abb. 2.7-3

d) Antriebsleistung 𝑃 = 𝑐 ∙ 𝐴 ∙ (𝑝 − 𝑝 ) = 𝑐 ∙ 𝑅 Diskussion: Der Impulssatz in Komponentenbetrachtung liefert auf formalem Weg anschauliche Ergebnisse!

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

157

2.8 Anwendung der Methodik zu Kap. 1.8 (Sondergebiete) Vorgegebene Aufgabenstellung: Eine mit Wasser gefüllte Druckmessleitung enthält ein Reduzierstück, das aus zwei Kapillaren unterschiedlicher Innendurchmesser besteht. In dieser Verengung sitzt stabil eine Luftblase derart, dass das Wasser im engen Rohr völlig von demjenigen im weiten Rohr getrennt ist (Abb. 2.8-1).

Abb. 2.8-1: Druckmessleitung mit stabil eingeschlossener Luftblase

Berechnen Sie bitte die Druckdifferenz (𝑝 − 𝑝 ) in Oberflächenspannung 𝜎 = 72,5 ∙ 10

für folgendes Zahlenbeispiel:

𝑁 𝑚

Randwinkel 𝛼 = 8° Röhrchen-Radius 𝑟 = 0,5 𝑚𝑚 Röhrchen-Radius 𝑟 = 2 𝑚𝑚 Hinweis: -

Der Randwinkel 𝛼 ist als konstant am ganzen Umfang anzusehen Der Einfluss der Schwerkraft soll vernachlässigt werden Kräftegleichgewicht in jeder Kapillare bilden (für axiale Richtung) und erhaltene Gleichungen nach (𝑝 − 𝑝 ) auflösen

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Druckkräfte, Grenzflächenspannung, Kräftegleichgewicht (da stabile Situation besteht)

158

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Grenzflächenkräfte in Längsrichtung der linken Kapillarblasenseite und Druckkräfte aus 𝑝 und aus 𝑝 an der linken Grenzfläche berechnen. Kräftegleichgewicht bilden und (𝑝 − 𝑝 ) berechnen. Analoge Vorgehensweise für die rechte Blasenseite (𝑝 − 𝑝 ) berechnen. Aus beiden Beziehungen (𝑝 − 𝑝 ) herleiten.

(4) Teilaufgaben lösen Es ist bei solchen Aufgaben sinnvoll, sich eine zusätzliche Skizze mit den wirkenden Kräften an der eingeschlossenen, stabilen Luftblase zu erstellen (Abb. 2.8-2 und Abb. 2.8-3). Linke Blasenseite:

Abb. 2.8-2: Kräfte an linker Blasenseite

Aus Abb. 2.8-2 ergeben sich folgende Gleichungen. 𝐹 =𝑝 ∙𝑟 ∙𝜋 𝐹 =𝑝 ∙𝑟 ∙𝜋 𝐹 𝐹

= 𝜎∙2∙𝑟 ∙𝜋 =𝐹

∙ cos 𝛼

(Linienkraft am Umfang) (Komponente von 𝐹 in 𝑥-Richtung)

Kräftegleichgewicht in 𝑥-Richtung (gemäß Abb. 2.8-2): 𝐹 +𝐹

=𝐹

𝑝 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 + 𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 ∙ cos 𝛼 = 𝑝 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 = −𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 ∙ cos 𝛼 (𝑝 − 𝑝 ) = −

𝜎∙2 ∙ cos 𝛼 𝑟

(1)

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

159

Rechte Blasenseite:

Abb. 2.8-3: Kräfte an rechter Blasenseite

Aus Abb. 2.8-3 ergeben sich folgende Gleichungen. 𝐹 =𝑝 ∙𝑟 ∙𝜋 𝐹

=𝑝 ∙𝑟 ∙𝜋

𝐹

= 𝜎∙2∙𝑟 ∙𝜋

𝐹

=𝐹

∙ cos 𝛼

Kräftegleichgewicht der rechten Blasenseite in 𝑥-Richtung (gemäß Abb. 2.8-3) 𝐹

=𝐹 +𝐹

𝑝 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 = 𝑝 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 + 𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟 ∙ 𝜋 ∙ cos 𝛼 (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝑟 = 𝜎 ∙ 2 ∙ 𝑟 ∙ cos 𝛼 (𝑝 − 𝑝 ) =

𝜎∙2 ∙ cos 𝛼 𝑟

(2)

Gl. (1) und Gl. (2) addiert: (𝑝 − 𝑝 ) + (𝑝 − 𝑝 ) = −

𝜎∙2 𝜎∙2 ∙ cos 𝛼 + ∙ cos 𝛼 𝑟 𝑟

𝑝 − 𝑝 = ∆𝑝 = 2 ∙ 𝜎 ∙ cos 𝛼 ∙

1 1 − 𝑟 𝑟

(5) Einheiten-Umrechnung Setzt man die vergebenen Werte in Gl. (3) ein, so erhält man ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 2 ∙ 72,5 ∙ 10 ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 215,4

𝑁 𝑚

𝑁 1 1 ∙ 0,9903 ∙ − 𝑚 0,5 ∙ 10 𝑚 2 ∙ 10 𝑚

(3)

160

2 Methodische Arbeitsschritte zur Lösungsfindung

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 2 ∙ 𝜎 ∙ cos 𝛼 ∙

1 1 𝑁 − = 215,4 𝑟 𝑟 𝑚

Diskussion: Luftblasen in Messleitungen zur Messung von Drücken in Wasser- und Luftprüfeinrichtungen verfälschen die Werte von Präzisions-Messgeräten. Deswegen sind alle Zuleitungen aus durchsichtigen Materialien vorzusehen und geeignete Entlüftungsmöglichkeiten (an den höchsten Stellen) zu schaffen. Besonders wichtig wird dies bei Messungen mit U-RohrManometern (auch bei umgekehrten U-Rohr-Manometern) und Luft oder Gasen als Strömungsmedium, weil dort die Drücke bzw. Druckdifferenzen kleiner als bei Wasser sind. Anmerkung: Die Dichte 𝜌 Luft!

von Wasser ist nahezu 1000-mal so groß wie die Dichte 𝜌 von

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Beachte Eine ausführliche Formelsammlung mit der Zusammenfassung aller Kapitel wird unter link.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten. ___________________________________________________________________________________________

3 Aufgaben aus allen Bereichen der Fluidmechanik mit Lösungen Nachdem Sie in den bisherigen Kapiteln die grundlegenden Berechnungsgleichungen für Aufgaben der Fluidmechanik und eine sinnvolle methodische Lösungsstrategie kennengelernt haben, werden nun charakteristische Beispiele zur Hydro- und Aerostatik sowie -dynamik ausführlich dargestellt.

3.0 Aha-Strömungsphänomene einfach erklärt Als Einstieg in das vertiefte Verständnis für die Fluidgesetze werden zunächst einige Lösungen für die in Kap. V3 beschriebenen bemerkenswerten Fluidphänomene aufgezeigt. Die dazugehörigen Videos können unter link.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches aufgerufen werden. Dabei steht die verständliche Erklärung im Vordergrund, und weniger die in Kap. 2 aufgezeigte methodische Vorgehensweise, wenngleich die erforderlichen Grundgesetze und Lösungstricks bereits genutzt werden. Wer jedoch sofort die methodische Aufgabenbearbeitung kennenlernen möchte, kann direkt zu Kap. 3.1ff übergehen. In der nachfolgenden Tabelle ist eine Übersicht gegeben über die unterschiedlichen Videos mit einer kurzen Beschreibung der zu sehenden Effekte. Die Nummerierung ist den Inhalten in den entsprechenden Kapiteln 3.2 bis 3.8 zugeordnet.

Zuordnung Kap.-Nr. Effekt 3.2 (a) Viskositätsverhalten von Gummibällen 3.2 (b)

Viskositätsverhalten von Kautschuk

3.2 (c)

Viskositätsverhalten von Zahnpasta

3.3 (a)

Kaminwirkung

3.3 (b)

Druckmessung

Kurzerklärung Elastische Eigenschaften von Gummibällen aus verschiedenen Kautschukvulkanisaten (Sprung-verhalten von Festkörpern). Fließverhalten von unvulkanisiertem Kautschuk bei zunehmender Belastungsgeschwindigkeit (Dilatantes Verhalten). Fließverhalten von Zahnpasta bei zunehmender Schubbeanspruchung (Bingham-Medium). Druckveränderung in einem Rohr durch Wärmeeinfluss. Demonstration von mechanischen Druckmessgeräten mittels JahrmarktTröte.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3_3.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 K.-J. Peschges et al., Ingenieurklausur im Nacken? https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3_3

162

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen Paradoxes Verhalten von zwei benachbarten Papierblättern bei Luftdurchströmung. Paradoxes Verhalten von einer Alufolie bei Anblasung durch einen Strohhalm mit Kreisscheibenerweiterung.

3.6 (a)

Parallelblätter

3.6 (b)

Platten-Blasrohr

3.6 (c)

Wandauto

Paradoxes Verhalten eines Spielzeugautos an senkrechter Wand.

3.6 (d)

Tragflügelprinzip

Demonstration des Tragflügel-Auftriebs bei unterschiedlichen Anströmverhältnissen.

3.6 (e)

Tanzball im Luftstrahl

Kombinierte Wirkung verschiedener Strömungseffekte bei der Umströmung eines Balles in schräg geneigtem Luftstrom.

3.6 (f)

Coanda-Effekt

Paradoxes Verhalten von Wasserstrahlen in der Nähe von gekrümmten Oberflächen bei verschiedenen Stoffen.

3.7

Rückstoßprinzip

Demonstration des Rückstoßprinzips mittels Luftballon.

3.8 (a)

Kapillarwirkung

3.8 (b)

Grenzflächenspannung σ

3.8 (c)

Grenzflächenspannung σ und Nichtbenetzung

3.8 (d)

Grenzflächenspannung σ und Oberflächenminimierung

3.8 (e)

Flüssigkeitskavitation

3.8 (f)

Ultraschall-Reinigung

3.8 (g)

Wassersprung

Basiseffekt der Wirkung von Wasser in dicht benachbarten Wänden oder dünnen Röhrchen. Beeinflussung der Grenzflächenspannung von Wasser durch Spülmittel (Korkenbewegung). Verhalten von Naturoberflächen zur Selbstreinigung (Lotus-Effekt am Beispiel der Kapuzinerkresse). Alle Körper streben eine natürliche Minimierung ihrer Oberflächenenergie an, woraus die Optimalform einer Kugelgestalt resultiert (Seifenblasen und weitere Strukturbeispiele). Dampfblasenbildung in Fluiden bei Druckreduktion (Flüssigkeitskavitation), sowie der Implosion bei Druckanstieg ( Mikrojet!) und die daraus folgenden negativen Wirkungen als Lärm, örtliche Zerstörung von festen Oberflächen (Werkstoffkavitation). Demonstration mittels Kavitationsrohr. Technische Anwendung der Flüssigkeitskavitation ( Mikrojet!) zur Reinigung von Oberfläche in einem Ultraschallbad. Übergangsverhalten von schießendem in strömenden Zustand von Wasser.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

163

 Kamineffekt? (Kap. 3.3) Ein Ofen (Abb. 3-1 und Video „Kaminwirkung“) benötigt zur Verbrennung ständig Frischluft. Deshalb muss er für den Außenluftzutritt (mit dem Atmosphärendruck 𝑝 ) geöffnet werden. Damit herrscht im Brennraum nahezu derselbe Druck 𝑝 wie vor dem Ofen. Die Druckverluste durch Einströmen sind hierbei vernachlässigbar. Da sich das Gas-Luftgemisch im Brennraum beim Erhitzen ausdehnt, ist die Dichte 𝜌 der heißen Gase im Schornstein kleiner als die Dichte 𝜌 der kalten Außenluft. 𝜌 𝑝 . Entfernt man nun gedanklich den Deckel, so strömt Gas vom höheren Druck innen in Richtung des niedrigeren Drucks außen. Dies passiert so lange, bis 𝜌 =𝜌

164

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

bzw. 𝑝 =𝑝 wird (d. h. das Feuer erloschen ist). An diesem Beispiel wird deutlich, dass der Schornstein nicht „zieht“, sondern durch den höheren Atmosphärendruck 𝑝 in Höhe des Bezugsniveaus B-B quasi die Verbrennungsluft durch den Kamin nach oben „ausdrückt“. Ausführlich durchgerechnet und erläutert ist dieses Beispiel in Aufgabe 3.3.2-2 mit den sechs Arbeitsschritten.

 Durchströmung zwischen zwei benachbarten Blättern? (Kap. 3.6) Wie lässt sich das in Video „Parallelblätter“ gezeigte paradoxe Verhalten erklären? Grundlage hierzu sind einerseits die Kontinuitätsgleichung und andererseits die BernoulliGleichung in ihrer einfachsten Form, was vorab als praktische Aussage zu den Wirkungen hinsichtlich Druck 𝑝 und Geschwindigkeit 𝑐 in Abb. 3-2 dargestellt ist.

Abb. 3-2: Praktische Aussage zu Druck 𝑝 und Geschwindigkeit 𝑐 auf einer Stromlinie

Für die weitere, allerdings nicht exakt wissenschaftliche Erklärung ist die Situation schematisch in Abb. 3-3 mit den erforderlichen Angaben enthalten. Die Hauptfrage zur Bewegung der Blätter beim Durchströmen von Luft liegt in der Aussage zu den Drücken außerhalb der Blätter (𝑝 ) und im Inneren der Durchströmung (𝑝 ).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

165

Abb. 3-3: Situation bei der Durchströmung zwischen zwei benachbarten Papierblättern

Und jetzt in wenigen Schritten zur Lösung: - Bernoulli-Gleichung ansetzen (z. B. in der Druckform zwischen (i) und (a)) 𝜌 𝜌 ∙𝑐 +𝜌∙𝑔∙𝑧 = 𝑝 + ∙𝑐 +𝜌∙𝑔∙𝑧 2 2 Vereinfachen mit den Annahmen

𝑝 +

𝑝 =𝑝 𝑧 =𝑧

(1)

(Höhen vernachlässigt wegen Luftsäule)

- Kontinuitätsgleichung einfügen 𝐴 𝐴 ≈ 0, da 𝐴 ≫ 𝐴 , ergibt sich

𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙𝐴 → 𝑐 =𝑐 ∙ mit

𝑐 ≈0 - Vereinfachungen in Gl. (1) einsetzen und umstellen nach den gesuchten Größen (hier sind es der Innendruck 𝑝 und der Außendruck 𝑝 ) 𝜌 ∙ 𝑐 2 → 𝑝 < 𝑝 (= 𝑝 ) 𝑝 =𝑝 −

Da der Druck 𝑝 von außen auf die Blätter gleich dem Umgebungsdruck 𝑝 ist, der Innendruck 𝑝 jedoch kleiner ist, klappen die Blätter zusammen! Allerdings tritt dieser Effekt erst bei der Berücksichtigung der Viskosität auf [HOL 20]. Ähnliche Effekte sind: -

Tür schlägt bei Wind im Haus zunehmend schneller zu

166

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

-

„Elefantenrennen“ von zwei LKW mit Kastenaufbau/Planen Kinderwagen/Personen werden von Zug erfasst → zu nah an Bahnsteigkante → einige Todesfälle bei ICE u. a.

 Platten-Blasrohr und Fensterscheiben-Spielauto? (Kap. 3.6) Wie lässt sich das im Video „Platten-Blasrohr“ gezeigte paradoxe Verhalten erklären? Der Effekt wird übrigens in der Fachliteratur als Fluiddynamisches Paradoxon bezeichnet. Grundlagen hierzu sind ebenfalls, wie bei den zwei Blättern im Luftstrom, die Kontinuitätsund die Bernoulli-Gleichung in ihrer einfachsten Form. Abb. 3-4 stellt die Versuchssituation dar.

Abb. 3-4: Versuchsanordnung für das „Fluiddynamische Paradoxon“

Die Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen i und a liefert 𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 𝜌 2 𝜌 2

(1)

Mit den Vereinfachungen: 𝑝 =𝑝 𝑧 =𝑧

Druck an Stelle a (kurz vor und nach dem Austritt) wird durch Umgebungsdruck festgelegt (→ 𝑝 wird dem Freistrahl aufgeprägt) (Höhendifferenz der Luftsäule vernachlässigbar bzw. 𝑧 = 0)

Aus der Kontinuitätsgleichung folgt 𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙𝐴 → 𝑐 ∙2∙𝑟 ∙𝜋∙𝑠 = 𝑐 ∙2∙𝑟 ∙𝜋∙𝑠 𝑐 ∙𝑟 =𝑐 ∙𝑟 →𝑐 =𝑐 ∙ → 𝑐 >𝑐

(Zylinder-Mantel-Fläche)

𝑟 𝑟

(da 𝑟 > 𝑟 )

Eingesetzt in Gl. (1) ergibt sich 𝑝 =𝑝 −

𝜌 ∙ (𝑐 − 𝑐 ) 2

(1)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

167

Mit 𝑐 − 𝑐 > 0 wird somit

𝑝 < 𝑝 (= 𝑝 ) D. h. der Innendruck 𝑝 ist kleiner als der Außendruck 𝑝 . Integriert man die Druckdifferenz (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝑑𝐴 über die Fläche 𝐴, so erhält man die resultierende Druckkraft 𝐹 auf die bewegliche Gegenplatte. 𝐹 wirkt paradoxerweise der Einblasrichtung entgegen (Abb. 3-5).

Abb. 3-5: Integration der Druckdifferenz (𝑝 − 𝑝 ) ∙ 𝑑𝐴 über der Fläche A liefert die resultierende Kraft entgegen der Einblasrichtung (paradoxerweise)

Ähnliche Effekte: -

Haften und Fahren eines Spielzeugautos an Fensterscheibe (Video „Wandauto“)

-

Trichter mit Kegeleinsatz umgekehrt auf den Boden stellen und einblasen: Der Kegel hebt sich!

 Segelflug? (Kap. 3.7) Wie lässt sich das in Video „Tragflügel“ gezeigte Auftriebsverhalten erklären? Abb. 3-6 zeigt die Strömungssituation an einem asymmetrisch profilierten Tragflügel, die beim gezeigten Video vorliegt. Dort findet sich auch die Wirkungserklärung mit Hilfe der vereinfachten Euler-Gleichungen für gekrümmte Strömungen (vgl. Kap. 1.4.2.1).

168

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3-6: Auftriebsprinzip bei der Tragflügelumströmung

Es ist also nicht erforderlich, dass der Tragflügel gewölbt ist (wenngleich das den Effekt vergrößert), sondern es genügt die asymmetrische Profilierung. Ähnliche Effekte: - Spoiler-Wirkung bei Rennwagen, die mit umgekehrter Anordnung einen Abtrieb zur besseren Bodenhaftung erzeugen - Schaufeln bei Kaplan-Wasserturbinen erzeugen das Drehmoment zur Energieerzeugung.

 Ball im schrägen Luftstrahl? (Kap. 3.6) Die Erklärung für das in Video „Tanzball im Luftstrahl“ gezeigte „Tanzen“ eines Balls im schrägen Luftstrahl erfolgt analog zu der in Kap. 3.6 gezeigten Vorgehensweise und ist in Abb. 3-7 enthalten. Die zu beobachtende Ballrotation beruht darauf, dass der Luftstrahl der gekrümmten Balloberfläche verstärkt auf der Oberseite folgt. Die damit verbundene ungleiche Geschwindigkeit (𝑐 > 𝑐 ) führt zur Auftriebskraft 𝐹 , die auch als Magnus-Effekt bezeichnet wird.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

169

Abb. 3-7: Erklärung zu „tanzender Ball“ im schrägen Luftstrahl

 Wasser folgt festen Wänden (Kap. 3.6) Das im Video als „Coanda-Effekt“ bezeichnete Verhalten zeigt sich darin, dass Fluide konvexe Oberflächen „entlanglaufen“, anstatt sich in der ursprünglichen Fließrichtung geradlinig weiter zu bewegen.  Flüssigkeitsversorgung von Bäumen? (Kap. 3.8) Eine wichtige Effektbegründung erfolgt im Video „Kapillarwirkung“ und ist in Aufgabe 3.8.1-2 enthalten.

 Schwimmen und Fliegen? (Kap. 3.8) Die erforderlichen Begründungen sind in Aufgabe 3.3.2-4 und Aufgabe 3.6.4-1 enthalten. Im Video „Grenzflächenspannung 𝜎 “ wird ein einfaches Beispiel für einen Schwimmkörper aus Kork in Wasser gezeigt. Da der Korken eine kleinere Dichte als Wasser aufweist, geht er natürlich nicht unter. Das ändert sich allerdings, wenn die Dichte des Körpers größer ist als die von Wasser. Solche Körper schwimmen nur dann, wenn das Gesetz von Archimedes berücksichtigt und der Körper hohl gestaltet wird (z. B. Boje), damit ein genügend großes Verdrängungsvolumen entsteht.

170

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

 Wasserläufer/Lotuseffekt? (Kap. 3.8) Einige Hinweise hierzu sind ergänzend in Aufgabe 3.8.1-2 (Kapillarwirkung in engen Röhrchen) und in Video „Grenzflächenspannung 𝜎 und Nichtbenetzung“ enthalten.

 Flugweite/-bahn von Tennis-, Fuß- oder Golfball (Kap. 3.6) Warum fliegt ein rauer Tennis- oder gedellter Golfball paradoxerweise weiter als ein glatter Ball? Zu diesem Thema finden sich im Internet mit geeigneten Suchbegriffen (z. B. „Golfball dimples“) sehr viele Erläuterungsfilme. Ursache hierfür ist das Strömungsverhalten. Durch eine „raue“ Oberfläche wird eine turbulente Strömung um den Ball erzeugt, die länger „anliegt“ und ein kleineres Totwassergebiet hinter dem Ball erzeugt. Hiermit ist ein geringerer Strömungswiderstand und ein geringerer 𝑐 -Wert verbunden. Bei gleicher Schlagkraft kann ein „rauer“ Ball weiter fliegen als ein „glatter“ Ball. Ein analoger Effekt entsteht bei einem Fußball durch die Rillen zwischen den einzelnen Leder-Fünfecken. Durch geschicktes „Anschneiden“ von dem Fußballartisten kann der Ball eine gekrümmte Flugbahn einnehmen, was letztlich durch den Magnus-Effekt bewirkt wird (vgl. Kap. 3.6). Besonders irritierend für einen Torwart ist eine „plötzliche“ Richtungsänderung kurz vor dem Tor. Dabei schlägt die turbulente „überkritische“ Kugelströmung in eine „unterkritische“ Umströmung um. Dies erfolgt bei einer bestimmten 𝑅𝑒-Zahl (also einer bestimmten Ballgeschwindigkeit, die ja nach Abschuss durch Reibungseffekte des Balles abnimmt). Da sich hierbei Wirbelablösungen hinter dem Ball drastisch unkontrolliert ändern, erfährt der Ball eine plötzliche Bahnveränderung. Grundlage für diesen Effekt ist also nicht das „Anschneiden“ des Balles, sondern die Schusskraft des Spielers, um den Ball zunächst in eine „überkritische“ Strömungssituation zu bringen, die darüber hinaus auch noch den Luftwiderstand des Balles mehr als halbiert (vgl. Abb. 3-8).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

171

Abb. 3-8: Widerstandsbeiwerte der Kugelströmung und Totwassergebiete bei unterkritischer und überkritischer Strömung

 Schornstein-/Brückeneinsturz? (Kap. 3.9) Hinter umströmten Körpern (z. B. Zylindern) lösen sich periodisch gegenläufige Wirbel ab.

172

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Diese sog. Karmansche Wirbelstraßen besitzen eine charakteristische Frequenz 𝑓, die mittels der Strouhal-Zahl 𝑆𝑟 bestimmt werden kann. 𝑆𝑟 =

𝑓∙𝐷 𝑐 → 𝑓 = 𝑆𝑟 ∙ 𝑐 𝐷

Für einen zylindrischen Körper gilt näherungsweise 𝑆𝑟 ≈ 0,2. Besitzt ein Fahrzeug eine Radioantenne mit einem Durchmesser 𝐷 = 5 𝑚𝑚, so würde bei einer Fahrgeschwindigkeit von 30

(ca. 110

) ein hörbarer Ton mit einer Frequenz von

𝑚 30 𝑠 1 𝑓 = 0,2 ∙ = 1200 = 1200 𝐻𝑧 0,005 𝑚 𝑠 entstehen. Falls die Ablösefrequenz der Wirbel genau der sog. Eigenfrequenz des Körpers entspricht, so kann bei einer längeren Dauer dieses Resonanzfalles der Körper zerstört werden. Beispiele hierfür sind Brücken (z. B. Tacoma-Narrows-Brücke 1940, zu finden unter dem Link https://www.bauforum24.biz/videos/historische-baufilme/einsturz-der-tacoma-bridge-1940 -r845/ ) und Schornsteine. Verhindert werden kann dies im Fall von Schornsteinen durch sog. Wirbelbrecher (helixförmige Wendel entlang des Schornsteins). Dadurch werden die regelmäßigen Wirbelablösungen in ungefährliche kleinere und unregelmäßigere Wirbelablösungen verändert.

 Wassersprung in Flachgewässer (Kap. 3.8) In Kap. 1.8.3.3 (Abb. 1.8-21 und Abb. 1.8-22) wurde mit Hilfe der Froude-Zahl 𝐹𝑟 bereits erläutert, wie der im Video „Wassersprung“ zu beobachtende Wassersprung entsteht. Das vorstehende phänomenologische Herangehen an die Fluidmechanik bietet den Vorteil, ohne ausschweifende Berechnungen, das Wesentliche für praktische Anwendungen zu erkennen. Im Folgenden sollen jedoch die in Klausuren oder in der Industriepraxis üblichen Berechnungen in methodischer Vorgehensweise vorgestellt werden. Es ist zu empfehlen, dass Sie zunächst eigenständig versuchen, die Aufgaben zu lösen und erst anschließend Ihre Vorgehensweise und Ihre Lösungen mit den Buchlösungen vergleichen und eine Formelsammlung dabei zu Hilfe nehmen. Eine solche wird in den digitalen Zusatzunterlagen zu diesem Buch unter link.springer.com, direkt auf der Produktseite des Buches zum kostenlosen Download angeboten. Diese sind bewusst sehr ausführlich in allen sechs Teilschritten dokumentiert, um mögliche Unklarheiten zu vermeiden. Bei einigen Lösungen sind abgekürzte Varianten angefügt, so wie sie z. B. in Klausuren abgegeben werden könnten. Die Beispiele sind entsprechend der Grundlagen-Kapitel-Nummerierung von Kap. 1.x dem Kap. 3.x zugeordnet, damit bei Fragen direkt auf das betreffende Grundlagen-Kapitel zurückgegriffen werden kann. Aufgaben z. B. aus Kap 3.3 lassen sich demnach mit den Grundlagen aus Kap 1.3 berechnen.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

173

3.1 Aufgabe zu Kap. 1.1 (Fluidbegriffe) Das Wesentliche wird hier lediglich an einer Aufgabenbearbeitung gezeigt

Aufgabe 3.1-1: Volumenstromberechnung Eine Bewässerungsanlage weist einen Rohr-Innendurchmesser von 𝐷 = 0,05 𝑚 am Austrittsquerschnitt auf. a) Welcher Volumenstrom 𝑄 geschwindigkeit 𝑐 = 0,34

fließt durch dieses Rohr, wenn die Austrittsbeträgt? (verlustfreie Strömung, Wasser 𝜌 = 1000

)

b) Wie groß wird theoretisch der Volumenstrom 𝑄 , wenn an das Rohrende ein Diffusor mit einem Austrittsdurchmesser 𝐷 = 0,08 𝑚 angesetzt wird? (Der Zuführ-Wasserdruck soll konstant bleiben)

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen.

Abb.3.1-1: Rohraustritt bei Ø 50 𝑚𝑚 und Ø 80 𝑚𝑚

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Stationäre, verlustfreie, dichtebeständige Wasser-Strömung mit Kontinuitätsgleichung und Kreisflächenberechnung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): 𝑄 aus Kontinuitätsgleichung und Kreisflächenformel

Zu b): 𝑄 analog zu 𝑄 (wenn 𝑐 bekannt wäre!)

174

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Kontinuitätsgleichung 𝐷 ∙𝜋 4 𝑚 0,05 𝑚 ∙ 𝜋 𝑄 = 0,34 ∙ 𝑠 4 𝑚 𝑄 = 6,67 ∙ 10 𝑠 𝑄 =𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙

Zu b): Wie groß ist 𝑐 ? → da 𝑝 = 𝑝 ist, bleibt die Geschwindigkeit am Austritt unverändert → 𝑐 = 𝑐 = 0,34 ! Kontinuitätsgleichung 𝐷 ∙𝜋 4 𝑚 0,08 𝑚 ∙ 𝜋 𝑄 = 0,34 ∙ 𝑠 4 𝑚 𝑄 = 17,08 ∙ 10 𝑠 𝑄 =𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt bei dieser Aufgabe

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Volumenstrom 𝑄 = 6,67 ∙ 10 Volumenstrom 𝑄 = 17,08 ∙ 10 Diskussion: D. h. der aufgesetzte Diffusor vergrößert den Volumenstrom um den Faktor 2,56 (entsprechend

𝐷2𝑎

)!

Historisches: Im alten Rom existierte bereits ein Wasserleitungsnetz. Die Gebühren für das Wasser orientierten sich am Durchmesser der in das Haus verlegten Rohrleitung. Findige Bürger

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

175

verlängerten das Bad-Einlaufrohr mit einem Diffusor und konnten so bei gleichbleibenden Gebühren deutlich mehr Wasser verbrauchen. Bis die Stadt die Rohrenden mit sogenannten Blenden (= scharfkantige Lochscheibe „versiegelte“, die beim nachträglichen Aufsetzten eines Diffusors die Strömungsverluste so erhöhte, dass zum Teil noch weniger Wasser als vorher ausfloss. Anmerkung:  Die in der Aufgabenstellung angegebene Dichte 𝜌 muss bei der Lösung nicht benutzt werden! Manche Aufgabensteller machen das extra, um Irritationen zu erzeugen. Fair?  Die Annahme, dass durch den Diffusor sich zwar der Volumenstrom vergrößert, jedoch die Geschwindigkeit gleichbleibt (𝑐 = 𝑐 ), beruht auf der Ausflussformel von Torricelli.

176

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

3.2 Aufgabe zu Kap. 1.2 (Stoffwerte und Einheiten von Fluiden) Auch hier wird lediglich eine Aufgabenstellung ergänzend zu Kap. 1.2 ausführlich exemplarisch gezeigt, da in nahezu allen weiteren Unterkapitel-Aufgaben Stoffwerte, Einheiten und deren Umrechnung integriert sind.

Aufgabe 3.2-1: Angelsächsische Einheiten In einer Berechnung für einen Kunden aus dem angelsächsischen Raum wird die kinematische Viskosität 𝜈 von Aethyl-Alkohol bei einem Druck von 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 und einer Temperatur von 𝜗 = 45 °𝐶 benötigt. Der zugehörige Wert aus einem Tabellenwerk beträgt 𝜈 = 1 ∙ 10 a) Welchen Wert für 𝜈 erhält man in der Einheit b) Wie groß ist der Druck 𝑝 in der Einheit c) Wie groß ist die Temperatur 𝜗

.

?

?

in der Einheit 𝑑𝑒𝑔𝐹 (Degree Fahrenheit)?

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Einheiten-Umrechnung (vgl. Kap 1.2); Angelsächsische Einheiten

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Vorgegeben: 𝑎) → 𝑏) → 𝑐)

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Umrechnung

1=

𝑓𝑡 1 𝑠 𝑚 0,092903 𝑠

Zu b): Umrechnung

1=

𝑙𝑏 1 𝑠𝑞. 𝑖𝑛 0,0689476 𝑏𝑎𝑟

(aus Tabelle Kap. 1.2)

.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

177

Zu c) Umrechnung

𝜗

9 𝜗 ∙ + 32 𝑑𝑒𝑔𝐹 5 °𝐶

=

(5) Einheiten-Umrechnung Zu a)

𝜈 = 1 ∙ 10

𝑚 ∙ 𝑠

𝑓𝑡 1 𝑠 𝑚 0,092903 𝑠

= 1,08 ∙ 10

𝑓𝑡 𝑠

Zu b)

𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 ∙

𝑙𝑏 1 𝑠𝑞. 𝑖𝑛 0,0689476 𝑏𝑎𝑟

= 14,5

𝑙𝑏 𝑠𝑞. 𝑖𝑛

Zu c) 𝜗

=

9 45 °𝐶 ∙ + 32 𝑑𝑒𝑔𝐹 = 113 𝑑𝑒𝑔𝐹 5 °𝐶

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝜈 = 1,08 ∙ 10

𝑙𝑏 𝑠𝑞. 𝑖𝑛 = 113 𝑑𝑒𝑔𝐹

𝑝 = 14,5 𝜗

𝑓𝑡 𝑠

178

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

3.3 Aufgaben zu Kap. 1.3 (Fluidstatik/ Aerostatik) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen:

-

Statischer Druck Hydrostatik Statischer Auftrieb Aerostatik.

Aufgabe 3.3.2-1 Druckmessung mit U-Rohr-Manometer Berechnen Sie den Druckverlust einer Rohrströmung (zwischen den Stellen 1 und 2), die gemäß Abb. 3.3-1 mit Luft (Skizze A, Dichte 𝜌 ) bzw. Wasser (Skizze B und C, Dichte 𝜌 ) durchströmt wird. Der Druckverlust ∆𝑝 soll über Wandbohrungen und den wichtigsten Bauformen (Skizze A,B und C) aus den angezeigten Differenzhöhen ∆ℎ und den jeweiligen Sperrmediendichten ermittelt werden.

Abb. 3.3-1: Druckmessung mit verschiedenen Medien und Bauformen von U-Rohr-Manometer

In welchem Verhältnis stehen diese Differenzhöhen ∆ℎ bei gleicher Druckdifferenz ∆𝑝 bei folgenden Dichtewerten?

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

179

𝑘𝑔 𝑚 𝑔 Luft 𝜌 ≈ 1200 𝑚 𝑘𝑔 Quecksilber 𝜌 ≈ 13600 𝑚 Wasser 𝜌 ≈ 1000

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. → gegeben: U-Rohr-Manometer (Skizze A, B, C), 𝜌 , 𝜌 , 𝜌

,𝑝 ,𝑝

Kurzform der gesuchten Lösung extrahieren. → gesucht: a) Druckverlust ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 𝑓(𝐹𝑙𝑢𝑖𝑑, 𝑆𝑝𝑒𝑟𝑟𝑚𝑒𝑑𝑖𝑢𝑚, ∆ℎ) für alle Bauformen? b) Verhältnis ∆ℎ : ∆ℎ : ∆ℎ ≈ ⋯ : ⋯ ∶ ⋯ ?

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Rohrströmung mit Verlusten würde zwar in das Gebiet Fluiddynamik (Kap. 1.5) fallen, doch werden die U-Rohr-Manometer nicht durchströmt. Das Fluid befindet sich also in Ruhe (= Fluidstatik). Über eine geeignete Wanddruckbohrung wird der statische Druck einer Fluidströmung an der jeweiligen Stelle 1 bzw. 2 direkt dem betreffenden U-Rohr-Schenkel aufgeprägt (vgl. Abb. 1.4-10 in Kap. 1.4.2.1!). → Hydrostatische Grundgleichung

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): Hydrostatische Grundgleichung für linken (→ 𝑝 ) und rechten (→ 𝑝 ) U-Rohr-Schenkel ansetzen und Differenz ∆𝑝 ermitteln. Zu b): Gleichungen für ∆𝑝 umstellen auf ∆ℎ und Verhältnis für jeweilige Dichten 𝜌 bilden (bei ∆𝑝 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. für Skizze A, B und C)

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Sinnvolles Bezugsniveau B-B in Skizzen eintragen (bereits in Abb. 3.3-1 erfolgt), gemäß Hinweisen aus Kap. 2.3.

180

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Skizze A: Im Bezugsniveau B-B sind die Drücke 𝑝 und 𝑝 im linken und rechten Schenkel gleich. Die hydrostatische Grundgleichung liefert unter Beachtung, dass der Druck 𝑝 (bzw. 𝑝 ) sich mit zunehmender Tiefe ℎ vergrößert: Linker Schenkel 𝑝 Rechter Schenkel 𝑝 𝑝

=𝑝 +𝜌 ∙𝑔∙ℎ = 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ∆ℎ ) + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ

=𝑝

𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ∆ℎ ) + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = (𝜌 − 𝜌 ) ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ Skizze B: Analog zur Herleitung im Fall A ergibt sich: ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = (𝜌

− 𝜌 ) ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ

Skizze C: Die Bezugsebene B-B liegt hier so, dass sich oberhalb das zusammenhängende, gleiche, ruhende Medium befindet (vgl. Hinweise in Kap 2.3). Der Druck an der Stelle B-B wird also gegenüber dem Druck 𝑝 (bzw. 𝑝 ) verkleinert. Linker Schenkel 𝑝 Rechter Schenkel 𝑝 𝑝

=𝑝 −𝜌 ∙𝑔∙ℎ = 𝑝 − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ∆ℎ ) − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ

=𝑝

𝑝 − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 𝑝 − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ∆ℎ ) − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ 𝑝 − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = 𝑝 − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = (𝜌 − 𝜌 ) ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ

Zu b): Es ist hier zu beachten, dass in der Aufgabenstellung die Dichte von Luft 𝜌 in einer anderen Einheit als die Dichte von Wasser und Quecksilber angegeben ist. Deswegen muss für 𝜌 zunächst eine Einheiten-Umrechnung erfolgen Mit der einfachen Beziehung 1 𝜌 = 1200

= 1000

!

→1=

𝑔 𝑔 1 𝑘𝑔 𝑘𝑔 ∙ 1 = 1200 ∙ = 1,2 𝑚 𝑚 1000 𝑔 𝑚

∙ ∙

wird somit

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

181

Da ∆𝑝 = ∆𝑝 = ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 jeweils gleich sein soll, ergibt sich damit für das Verhältnis der gemessenen Differenzhöhen ∆ℎ aus der Umstellung für Fall A: ∆ℎ =

𝑝 −𝑝 1 ~ ∙ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. (𝜌 − 𝜌 ) ∙ 𝑔 𝜌 − 𝜌

∆ℎ : ∆ℎ : ∆ℎ ~

1 : 𝜌 −𝜌 𝜌

(da 𝑔 und 𝑝 − 𝑝 jeweils gleich sein sollen)

1 1 : −𝜌 𝜌 −𝜌

Nach dem Einsetzen der Zahlenwerte für die Dichten liefert das ∆ℎ : ∆ℎ : ∆ℎ ≈ 10 : 0,08 ∙ 10 : 10 Oder auf verständliche Verhältnisse normiert: ∆ℎ : ∆ℎ : ∆ℎ ≈ 0,0125: 1: 0,0125 (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren → zu a) Druckdifferenzen ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = (𝜌 − 𝜌 ) ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = (𝜌

− 𝜌 ) ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ

∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = (𝜌 − 𝜌 ) ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ oder allgemein mit 𝜌 = jeweils größter Dichtewert und 𝜌 Wert im U-Rohr-Manometer ∆𝑝 = (𝜌 − 𝜌 ) ∙ 𝑔 ∙ ∆ℎ

= jeweils kleinster Dichte-

→ zu b) Verhältnis der Messhöhen ∆ℎ bei gleichen Differenzdrücken 𝑝 − 𝑝 ∆ℎ : ∆ℎ : ∆ℎ ≈ 0,0125: 1: 0,0125 Diskussion: Fall A gilt für eine Luft-Rohrströmung, während die Fälle B und C für eine Wasser-Rohrströmung interessant sind. Fall C erhöht den Messausschlag gegenüber Fall B auf das 12,5fache, ist also deutlich präziser bezüglich des Messwertes. Für die Praxis dienen U-RohrManometer nicht nur zur direkten Druckmessung, sondern eignen sich darüber hinaus besonders zur Überprüfung indirekt messender elektronischer Druckmessgeräte. Beim umgekehrten U-Rohr-Manometer in Fall C kann ein einfaches Fahrradschlauch-Ventil zur erforderlichen Regulierung der Meniskushöhe in den Glasschenkeln eingesetzt werden. Für die Wanddruckbohrungen sollten die Durchmesser 𝑑 ca. 1-2 𝑚𝑚 und die DurchmesserBohrlängen-Verhältnisse

≈

strömungen verfälscht werden.

betragen, damit die Messergebnisse nicht durch Sekundär-

182

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Aufgabe 3.3.2-2 Kamin-/Schornsteinwirkung (praktische Anwendung) Wie erklärt sich die Wirkung eines Ofens/Kamins/Schornsteins bezüglich der Verbrennung von Holz, Kohle etc.?

(1) Aufgabe klären Dies ist ein Beispiel aus der praktischen Fluidmechanik, mit der sich spannende Effekte/Phänomene theoretisch erklären lassen und das Interesse für dieses Fachgebiet gefördert werden kann. Sinnvoll ist es, sich zunächst eine bildhafte Vorstellung in vereinfachter Form dieses Effektes zu machen (Abb. 3.3-2).

Abb. 3.3-2: Prinzipdarstellung „Ofen“

Ein Ofen benötigt zur Verbrennung ständig Frischluft, deshalb muss er für den Außenluftzutritt geöffnet werden. Damit herrscht in dem Ofen näherungsweise derselbe Druck 𝑝 wie vor dem Ofen (Druckverluste durch Einströmung in den Ofen werden vernachlässigt). Da sich die Gase beim Erhitzen ausdehnen, ist die Dichte 𝜌 der heißen Gase im Schornstein kleiner als die Dichte 𝜌 der kalten Außenluft 𝜌 𝑝 . Entfernt man nun den gedachten Schornsteindeckel, so strömt das Verbrennungsgas vom höheren zum niedrigeren Druck aus dem Schornstein aus. → Der Kamin „zieht“ (obwohl physikalisch die Außenluft am Ofeneintritt die Verbrennungsluft nach oben drückt). !

Das Rauchgas strömt solange nach oben, bis 𝜌 = 𝜌 , d. h., das Feuer erloschen ist (dann ist 𝑝 = 𝑝 ).

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt hier, wegen rein physikalischer Betrachtung (exemplarische Lösung).

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Die Schornsteinwirkung ist dadurch zu erklären, dass die „kalte“ Luft am Ofeneinlass eine größere Dichte als das „heiße“ Rauchgas im Schornstein hat. Dies hat aufgrund der Hydrostatischen Grundgleichung zur Folge, dass der Druck im Schornstein größer ist als außerhalb des Schornsteinaustritts, sodass das Rauchgas aus dem Schornstein gedrückt wird. Diskussion: Gründe für einen „schlechten Kaminzug“ sind: - Hohe Strömungsverluste im Kamin (Einlassöffnungen, Umlenkungen, …) - Zu großer Einlassquerschnitt („offener Kamin“) führt zu Luftüberschuss, wodurch Rauchgas kälter wird → 𝜌 steigt, 𝑝 sinkt

184

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

- „Offene Kamine“ benötigen z. B. 800 𝑚 Frischluft pro Stunde. Dies entspricht dem mehrfachen Rauminhalt eines Zimmers. Eventuell herrscht Luftmangel wegen zu guter Isolation (Fenster, Türen) in modernen Häusern. Besser sind sogenannte verglaste KaminKassetten.

Aufgabe 3.3.2-3 Verschlusskraft eines rechteckigen Klappenwehres Zur Niveauregelung von Wasserreservoirs dienen Klappenwehre, die über eine Gegenhaltemechanik im Neigungswinkel variiert werden können. Die erforderliche Klappenverschlusskraft am oberen Ende 𝐹 ist in Abhängigkeit von der Dichte 𝜌, der Klappenlänge 𝑙, der Klappenbreite 𝑏 und des Neigungswinkels 𝛼 zu bestimmen (Abb. 3.3-3).

Abb. 3.3-3: Druckkräfte auf schräg geneigte Wand

(1) Aufgabe klären Gegeben: 𝜌, 𝑙, 𝑏, 𝛼 Gesucht: 𝐹 Ergänzung der Skizze (in rot und grün) Grundlagen hierzu in Kap. 1.3.2.2 beachten.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Berechnungsgleichung von Kap. 1.3.2.2 verwendbar (Druckkraft auf schräg geneigte Wand). Gelenkhebel beachten.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Analog zu Kap. 1.3.2.2. (4) Teilaufgaben lösen

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

185

Druckkraft 𝐹 berechnet sich gemäß Gl. 1.3-6 zu 𝐹 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑦 ∙ 𝐴 Mit 𝑦 = und 𝐴 = 𝑏 ∙ 𝑙 ergibt sich 𝐹 =

1 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑙 ∙ 𝑏 2

Angriffspunkt von 𝐹 ist der Druckmittelpunkt 𝑦 (Gl. 1.3-11). 𝑦 =

𝐼 +𝑦 𝑦 ∙𝐴

Das Eigenträgheitsmoment 𝐼 der gedrückten Fläche um seinen Schwerpunkt ergibt sich für eine Rechteckfläche aus Tabellen der Technischen Mechanik 𝑏∙𝑙 12 Das Einsetzen der gefundenen Beziehungen liefert 𝐼 =

𝑏∙𝑙 𝑙 𝑙 𝑙 2 + = + = 𝑙 𝑙 2 6 2 3 12 ∙ 2 ∙ 𝑏 ∙ 𝑙 Durch die Gleichgewichtsbetrachtung am „Gelenkbalken“ ergibt sich (aus der Technischen Mechanik) 𝑦 =

𝑀 →𝐹 =𝐹 ∙

= 0 = 𝐹 ∙ (𝑙 − 𝑦 ) − 𝐹 ∙ 𝑙 𝑙−𝑦 𝑦 = 𝐹 ∙ 1− 𝑙 𝑙

=𝐹

+ 𝑀 1−

2∙𝑙 1 = 𝐹 3∙𝑙 3

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt wegen exemplarischer Lösung.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Verschlusskraft 𝐹 =

1 1 𝐹 = ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ cos 𝛼 ∙ 𝑙 ∙ 𝑏 3 6

Diskussion: Diese Beziehung gilt nur solange, wie die Flüssigkeit bis zur Oberkante der Klappe reicht.

186

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Aufgabe 3.3.2-4 Statischer Auftrieb eines Zylinders Ein zylindrischer Becher der Masse 𝑚 (Höhe 𝐻, Außendurchmesser 𝐷, Innendurchmesser 𝑑) taucht bis zur freien Höhe ℎ in Wasser der Dichte 𝜌 ein (Abb. 3.3-4). a) Berechnen Sie diese freie Höhe ℎ allgemein aus den gegebenen Werten b) Bis zu welcher Höhe ℎ kann der Becher mit Öl der Dichte 𝜌ö gefüllt werden, damit die Oberkante des Bechers gerade bis zur Wasseroberfläche absinkt und kein Wasser in den Becher fließt?

Abb. 3.3-4: Schwimmender Becher

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze ergänzen (in rot und grün) Gegeben: 𝑚 , 𝜌 , 𝐷, 𝑑, 𝐻, 𝜌ö Gesucht: a) ℎ b) ℎ

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Statischer Auftrieb und Schwimmen (Kap. 1.3.2.3), Kräftegleichgewicht, Grundlagen der Geometrie

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a) Gewichtskraft 𝐹 und hydrostatische Auftriebskraft 𝐹 bestimmen. Dann Kräftegleichgewicht mit ∑ 𝐹 = 0.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

187

Zu b): Zusatzkraft bei Ölfüllung 𝐹ö und durch größeres Verdrängungsvolumen erhöhte hydrostatische Auftriebskraft 𝐹 bestimmen, sowie daraus das Kräftegleichgewicht.

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Gewichtskraft des Bechers 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑔 Hydrostatische Auftriebskraft 𝐹 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 Eingetauchtes Zylindervolumen 𝑉 =

𝐷 ∙𝜋 ∙ (𝐻 − ℎ) 4

Kräftegleichgewicht im Schwimmzustand (Abb. 3.3-4). ↓+

𝐹=0 𝐹 −𝐹 =0 𝐷 ∙𝜋 ∙ (𝐻 − ℎ) = 0 4 𝑚 ∙𝑔∙4 𝐻−ℎ = 𝜌 ∙𝑔∙𝐷 ∙𝜋 𝑚 ∙4 ℎ=𝐻− 𝜌 ∙𝐷 ∙𝜋 𝑚 ∙𝑔−𝜌 ∙𝑔∙

Zu b): Gewichtskraft der Ölfüllung 𝐹ö = 𝜌ö ∙ 𝑔 ∙ 𝑉 Hydrostatische Auftriebskraft bei Ölfüllung 𝐹

=𝜌 ∙𝑔∙

Ölvolumen 𝑉 =

𝑑 ∙𝜋 ∙ℎ 4

𝐷 ∙𝜋 ∙𝐻 4

Kräftegleichgewicht im kritischen Schwimmzustand ↓+

𝐹=0 𝐹 + 𝐹ö − 𝐹

=0

𝑑 ∙𝜋 𝐷 ∙𝜋 ∙ℎ −𝜌 ∙𝑔∙ ∙𝐻 =0 4 4 𝑑 ∙𝜋 𝐷 ∙𝜋 𝜌ö ∙ 𝑔 ∙ ∙ℎ =𝜌 ∙𝑔∙ ∙𝐻−𝑚 ∙𝑔 4 4 𝑚 ∙ 𝑔 + 𝜌ö ∙ 𝑔 ∙

|: 𝑔

188

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝐷 ∙𝜋 4 ∙𝐻−𝑚 ℎ = 𝑑 ∙𝜋 𝜌ö ∙ 4 (5) Einheiten-Umrechnung 𝜌 ∙

___________________________________________________________________________________________

Beachte Obwohl hier keine Zahlenrechnung gefordert ist, ist eine Einheiten-Überprüfung (Dimensionsanalyse) der gefundenen Gleichungen sinnvoll. Rechen- und Umformfehler lassen sich so leicht erkennen. ___________________________________________________________________________________________

Zu a): ℎ=𝐻−

𝑚 ∙4 𝜌 ∙𝐷 ∙𝜋

[𝑚] = [𝑚] −

𝑘𝑔 ∙ (4) 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ (𝜋) 𝑚

[𝑚] = [𝑚] − [𝑚] 

Zu b): 𝐷 ∙𝜋 4 ∙𝐻−𝑚 𝑑 ∙𝜋 𝜌ö ∙ 4 𝑘𝑔 𝜋 ∙ 𝑚 ∙ 4 ∙ 𝑚 − 𝑘𝑔 𝑘𝑔 − 𝑘𝑔 [𝑚] = 𝑚 ~ 𝑚∙ 𝑘𝑔 𝜋 𝑘𝑔 ∙𝑚 ∙ 4 𝑚 [𝑚] = [𝑚]  ℎ =

𝜌 ∙

Oder durch „𝑘𝑔“ kürzen 𝑘𝑔 𝜋 𝑚 ∙ 𝑚 ∙ 4 ∙ 𝑚 − 𝑘𝑔 𝑚 [𝑚] = = 𝑚 𝑘𝑔 𝜋 𝑚 ∙𝑚 ∙ 4 𝑚 𝑚 [𝑚] = [𝑚] 

=

𝑚 ∙𝑚 𝑚 ∙𝑚

Dies ist zwar kein Beweis für die Richtigkeit der Gleichung, bietet jedoch eine gewisse Sicherheit bezüglich der Lösung.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

189

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) ℎ = 𝐻 −

b) ℎ =

𝑚 ∙4 𝜌 ∙𝐷 ∙𝜋

𝜌 ∙

𝐷 ∙𝜋 4 ∙𝐻−𝑚 𝑑 ∙𝜋 𝜌ö ∙ 4

Diskussion: Derartige Aufgaben stellen das Grundprinzip für die Berechnung von Schwimmkörpern dar, wie z. B. Schiffe, Bojen, Eisberge etc. Bei vollständig eingetauchten Körpern spricht man von Schweben (z. B. U-Boot). Zur Unterscheidung von stabilen und instabilen Schwimm- und Schwebelagen finden sich in der Fachliteratur entsprechende Hinweise.

Aufgabe 3.3.2-5 Rotierendes Gefäß mit Fluid Ein Gefäß mit dem Radius 𝑅 = 1 𝑚 und der Höhe 𝐻 = 2 𝑚 ist mit dem Fluid (Dichte 𝜌) bis zur Höhe ℎ = 1 𝑚 gefüllt (Abb. 3.3.-5). a) Wie groß darf die Winkelgeschwindigkeit 𝜔 werden, damit gerade kein Fluid über den Gefäßrand ausgetragen wird? b) Wie groß muss ℎ sein, damit der Boden benetzt bleibt?

Abb. 3.3-5: Rotierendes Gefäß mit Fluid

190

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(1) Aufgabe klären Gegeben: 𝑅 = 1 𝑚, 𝐻 = 2 𝑚, ℎ = 1 𝑚, (𝜌), (𝑝 ) Gesucht: a) 𝜔 (ohne Fluidüberlauf) b) ℎ (Boden gerade noch benetzt) Skizze ergänzen (in (in rot und grün)

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Fluidoberflächen bei gleichmäßiger Rotation (Kap. 1.3.2.4)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): 𝑦(𝑟)-Beziehung von Kap. 1.3.2.4 nutzen (Rotationsparaboloid) und nach ℎ auflösen

Zu b): Volumengleichheit beachten (s. Ergänzungen in Abb. 3.3-5).

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): In Gl. 1.3-22 wird für 𝑟 der gegebene Radius 𝑅 eingesetzt 𝑦 (𝑅) = −

𝜔 ∙𝑅 2𝑔

bzw. |𝑦 (𝑅)| =

𝜔 ∙𝑅 2𝑔

(1)

Da gerade kein Fluid austreten soll, gilt an der oberen Kante des Gefäßes für einen Paraboloid der Absolutwert für 𝑦 (aus geometrischer Betrachtung) |𝑦 (𝑅)| = 𝐻 − ℎ

(2)

Weiterhin gilt für einen Rotationsparaboloid wegen der Volumengleichheit des oberhalb und unterhalb der halben Parabelhöhe (=

) befindlichen Fluid- bzw. Luftvolumens

!

(𝑉/// = 𝑉\\\) die Beziehung 𝐻−ℎ +ℎ 2 Umgestellt nach 𝐻 − ℎ 𝐻=

𝐻 − ℎ = 2 ∙ (𝐻 − ℎ)

(3)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

191

(3) in (2) eingesetzt (4)

|𝑦 (𝑅)| = 2 ∙ (𝐻 − ℎ) und (4) in (1) eingesetzt liefert 𝜔 ∙𝑅 2𝑔 4 ∙ 𝑔 ∙ (𝐻 − ℎ) 𝜔 = 𝑅 2 𝜔 = 𝑔 ∙ (𝐻 − ℎ) 𝑅 2 ∙ (𝐻 − ℎ) =

|√ (5)

Zu b): Damit der Boden benetzt bleibt, muss gelten ℎ >0 !

Und erneute Berücksichtigung der Volumengleichheit (𝑉/// = 𝑉\\\ ) führt zu ℎ≥

𝐻 2

(5) Einheiten-Umrechnung Durch Einsetzen der Zahlenwerte mit Einheiten in (5) folgt 2 2 𝑚 2 𝑚 𝑔 ∙ (𝐻 − ℎ) = 9,81 ∙ (2 𝑚 − 1 𝑚) = 9,81 ∙ 1 𝑚 𝑅 1𝑚 𝑠 1𝑚 𝑠

𝜔

=

𝜔

=2∙

9,81

𝑚 = 6,26 𝑠 𝑚 ∙𝑠

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) 𝜔

=

𝜔 b)

2 𝑔 ∙ (𝐻 − ℎ) 𝑅

= 6,26 𝑠 ℎ≥

dann gerade kein Fluidaustritt

bei vorliegenden Werten für 𝑅, 𝐻 und ℎ

𝐻 → ℎ ≥ 1m 2

Diskussion: Rotierende Behälter finden sich häufig bei verfahrenstechnischen Prozessen (z. B. Mischen von Komponenten oder beim Zentrifugieren).

192

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen !

Bei derartigen Aufgabenstellungen hilft die Kenntnis der Volumengleichheit (𝑉/// = 𝑉\\\) bei Rotationsparaboloiden elegant bei der Lösungsfindung.

Aufgabe 3.3.3-1 Flughöhe eines Segelflugzeugs Das Außen-Barometer in einem Segelflugzeug zeigt einen Druck von 9 ∙ 10 𝑃𝑎 an. Die Bodenwerte betragen 1,013 𝑏𝑎𝑟 und die Luftdichte 1,225

.

In welcher Höhe fliegt das Segelflugzeug bei Annahme isothermer Atmosphäre?

(1) Aufgabe klären ___________________________________________________________________________________________

Beachte Textaufgaben sinnvoll in einer Skizze zusammenfassen. Dabei die gegebenen und gesuchten Werte (farbig unterschiedlich) in die Skizze an den betreffenden Stellen eintragen und nicht nur formal hinschreiben. So behält man besser den Überblick und „weicht“ sich dabei in die Aufgabenstellung ein (Beispiel Abb. 3.3-6). ___________________________________________________________________________________________

Abb. 3.3-6: Skizze zur Flughöhe eines Segelflugzeugs

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Formeln für „Isotherme Atmosphäre“ aus Kap. 1.3.3 (Aerostatik) anwenden.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Barometrische Höhenformel bzw. die dabei benötigte Höhe 𝐻 (Gl. 1.3-27).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Dann 𝐻 in Gleichung 𝑙𝑛

( )

193

… einsetzen.

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Wie in Kap. 1.3.3 nahegelegt, kann durch den Zusammenhang zwischen dem Druck 𝑝 und der Höhe 𝑧 durch Messung des Druckes im Flugzeug die vorliegende Flughöhe bestimmt werden. In der Gleichung für 𝑧 = 𝑓(𝑝) wird die theoretische Höhe 𝐻 benötigt. 𝐻 wird dabei als Luftsäule mit der Abmessung in 𝑧-Richtung gedeutet, bei der an der Oberseite gerade Vakuum (𝑝 = 0) herrschen würde. Gemäß Gl. 1.3-27 ergibt sich 𝑘𝑔 1,013 𝑏𝑎𝑟 10 𝑃𝑎 1 𝑚 ∙ 𝑠 ∙ ∙ 𝑘𝑔 𝑚 1 𝑏𝑎𝑟 1 𝑃𝑎 1,225 ∙ 9,81 𝑚 𝑠 𝑏𝑎𝑟 ∙ 𝑚 ∙ 𝑃𝑎 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑠 𝐻 = 8430 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑏𝑎𝑟 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 ∙ 𝑃𝑎 𝐻 = 8430 𝑚 𝑝 𝐻 = = 𝜌 ∙𝑔

Aus Kap. 1.3.3 entnimmt man für die Bestimmung von 𝑧 𝑧 = −𝐻 ∙ ln

𝑝(𝑧) 9 ∙ 10 𝑃𝑎 = −8430 𝑚 ∙ ln = + 997 𝑚 𝑝 1,013 ∙ 10 𝑃𝑎

(wobei die Einheiten-Umrechnung für 𝑝 = 1,013 𝑏𝑎𝑟 ∙

= 1,013 ∙ 10 𝑃𝑎 benutzt

wurde)

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Das Segelflugzeug befindet sich in einer Flughöhe von ca. 997 m Diskussion: Um eine genaue Aussage zur Flughöhe machen zu können, müsste man statt der „Isothermen“ Atmosphäre die „Polytrope Standardatmosphäre“ benutzen. Dabei nimmt die Temperatur mit zunehmender Höhe (bis ca. 11 km → Troposphäre) um ca. 0,65 𝐾 pro 100 𝑚 ab, ist also nicht konstant, wie bei der isothermen Atmosphäre angenommen. Damit ist auch die Dichte 𝜌(𝑧) nicht mehr konstant, sodass sich die Berechnung komplizierter gestaltet. Zudem können Druckmessgeräte fehlerbehaftet sein und sich dabei die Piloten in falscher Sicherheit wiegen. Die Sicherheit kann erhöht werden, wenn mehrere Druckmesseinrichtungen installiert sind, die möglichst verschiedene physikalische Prinzipien benutzen. Dies nennt man „PrinzipRedundanz“. Damit im internationalen Luftverkehr der den Piloten zugewiesene HöhenFlugkorridor sicher eingehalten wird, müssen alle Druckmessgeräte in allen Flugzeugen auf einen normierten Bodendruckwert von 𝑝 = 1,01325 ∙ 10 𝑃𝑎 eingestellt werden.

194

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

3.4 Aufgaben zu Kap. 1.4 (Energieerhaltungssatz/Bernoulli-Gleichung) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen:

- Ideale Fluidströmungen - Erweiterte Energiegleichungen für Fluidströmungen - Spezifische Energien.

Aufgabe 3.4.1-1 Bernoulli-Gleichung für ideale Fluidströmungen Ein großer Wasserbehälter ist bis zu einer Höhe von ℎ = 10 𝑚 über dem mittleren Auslassquerschnitt 4 mit Wasser gefüllt (Abb. 3.4-1). Das Wasser fließt über eine Rohrleitung mit der Länge 𝐿 = 100 𝑚 ins Freie, an deren Ende sich ein Diffusor mit dem Durchmesser 𝐷 = 50 𝑚𝑚 und 𝐷 = 80 𝑚𝑚 befindet. Berechnen Sie: a) Die Geschwindigkeit am Austritt (𝑐

in ) und am Eintritt in den Diffusor (𝑐

in ), wenn

die Höhe h konstant gehalten wird und der Behälter offen (unter Atmosphärendruck 𝑝 ) bleibt, sowie den dabei auftretenden Volumenstrom 𝑄 in

.

b) Wie groß muss der Absolutdruck 𝑝 in bar im geschlossenen Behälter sein, wenn ein Volumenstrom 𝑄 = 6,15

gefordert ist? Reibungsverluste werden vernachlässigt.

Abb. 3.4-1: Großer Wasserbehälter mit Diffusorauslauf

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. Falls die Strömungsstellen (hier die Stellen 1 bis 4) nicht in der Vorgabeskizze enthalten sind, unbedingt dort ergänzen! Ebenso alle wichtigen gegebenen und gesuchten Daten!

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

195

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Stationäre, verlustfreie, dichtebeständige Wasserströmung mit Bernoulli-Gleichung, Kontinuitätsgleichung und Kreisflächenberechnung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen zu a) 𝑐 𝑐 𝑄

aus Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und 4 aus Kontinuitätsgleichung zwischen den Stellen 3 und 4 aus Kontinuitätsgleichung für 3 oder 4

zu b) 𝑐 𝑝

aus Kontinuitätsgleichung mit 𝑄 aus Bernoulli-Gleichung zwischen 1 und 4

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung zu a) Sinnvolles Bezugsniveau B-B in Skizze eintragen (s. Abb. 3.4-1) Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und 4 (Druckform) 𝑝 +

𝜌 𝑐 2

+𝜌 ∙𝑔∙𝑧 = 𝑝 +

𝜌 𝑐 2

+𝜌 ∙𝑔∙𝑧

Mit den bekannten Werten 𝑝 =𝑝 𝑐 ≈0 𝑧 =ℎ 𝑐 =𝑐 𝑧 =0 𝑝 =𝑝 ergibt sich 𝑝 +

𝜌 𝜌 0 +𝜌 ∙𝑔∙ℎ = 𝑝 + 𝑐 2 2

+𝜌 ∙𝑔∙0

Nach Kürzung und Vereinfachung folgt daraus 𝑔∙ℎ =

1 𝑐 2

→𝑐

=

2∙𝑔∙ℎ

(Torricelli!)

Nach dem Einsetzen der Zahlenwerte ergibt sich: 𝑐

=

2 ∙ 9,81

𝑚 𝑚 ∙ 10𝑚 ≈ 14 𝑠 𝑠

|−𝑝

|: 𝜌

196

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Kontinuitätsgleichung mit Kreisflächenberechnung (D3 und D4) 𝑐 𝑐

∙𝐴 = 𝑐

∙𝐴 𝐷

𝐴 ∙ = 𝑐 𝐴

= 𝑐

∙

∙𝜋 4

𝐷

= 𝑐

∙𝜋

∙

𝐷 𝐷

4 𝑐

= 14

𝑚 80 𝑚𝑚 ∙ 𝑠 50 𝑚𝑚

= 35,84

𝑚 𝑠

Kontinuitätsgleichung z. B. für die Stelle 4 (und Einheitenumrechnung): 𝑄

= 𝑐

∙𝐴 =𝑐

𝑄

= 253,2

∙

𝐷

∙𝜋 4

= 14

𝑚 80 𝑚𝑚 ∙ 𝜋 1𝑚 3600 𝑠 ∙ ∙ ∙ 𝑠 4 10 𝑚𝑚 1ℎ

m h

zu b) Bernoulli-Gleichung zwischen den Stellen 1 und 4 (Druckform): 𝑝 +

𝜌 𝑐 2

+𝜌 ∙𝑔∙𝑧 = 𝑝 +

𝜌 𝑐 2

+𝜌 ∙𝑔∙𝑧

Bekannte Werte einsetzen: 𝑝 = ?, 𝑐 ≈ 0, 𝑧 = ℎ, 𝑐 = 𝑐 , 𝑧 = 0, 𝑝 = 𝑝 𝑝 +

𝜌 𝜌 0 +𝜌 ∙𝑔∙ℎ = 𝑝 + 𝑐 2 2

+𝜌 ∙𝑔∙0

Kürzen und Vereinfachen liefert 𝑝 = 𝑝 +

𝜌 𝑐 2

Einsetzen von 𝑐 𝑄

= 𝑐

−𝜌 ∙𝑔∙ℎ aus

∙𝐴 =𝑐

∙

𝐷

∙𝜋 4

Sowie direktes Einheitenumrechnen 𝑐

=

𝑄 𝐷

𝑚 ∙ 4 10 𝑚𝑚 1ℎ 𝑚 ℎ = ∙ ∙ = 0,34 80 𝑚𝑚 ∙ 𝜋 1 𝑚 3600 𝑠 𝑠 ∙ 𝜋 ∙ 4

6,15

Dieses Ergebnis eingesetzt in 𝑝 - Formel mit 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟(!) 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 +

1000 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 0,34 ∙ 2 ∙𝑚 𝑠

1 𝑏𝑎𝑟 𝑘𝑔 𝑚 1 𝑏𝑎𝑟 − 1000 ∙ 9,81 ∙ 10 𝑚 ∙ 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑚 𝑠 10 10 𝑚∙ 𝑠 𝑚∙ 𝑠

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

197

𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 + 0,00058 𝑏𝑎𝑟 − 0,981 𝑏𝑎𝑟 𝑝 = 0,0196 𝑏𝑎𝑟 → 𝑐𝑎. 0,02 𝑏𝑎𝑟 (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a)

Geschwindigkeit 𝑐

𝑐

𝑚³ ℎ Kesseldruck 𝑝 = ca. 0,02 bar (absolut)

Volumenstrom 𝑄 b)

𝑚 = 35,84 𝑠 𝑚 = 14 𝑠

= 𝑄 = 253,2

Diskussion:

Im Fall b) muss der Kessel also mittels einer Vakuumpumpe auf ca. 0,02 𝑏𝑎𝑟 evakuiert werden. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Wichtige Merkmale für alle folgenden Aufgaben:  Beim Austritt von Strömungen ins Freie ist der dem Strahl aufgeprägte Druck immer Atmosphärendruck (hier für Teilaufgabe a) z. B. 𝑝 = 𝑝 = 𝑝 = 1 bar. (Vgl. Abb. 1.4-11 in Kap. 1.4.2.1!).  Die Absinkgeschwindigkeiten von Wasserspiegeln großer Behälter oder Speicherbecken sind sehr klein und werden deshalb in der Bernoulli-Gleichung gleich Null gesetzt (hier z. B. 𝑐 ≈ 0 → 𝑐 erst recht = 0!).  Das Bezugsniveau B-B immer so wählen, dass vor allem ein Höhenterm entfällt (hier z. B. B-B in der Höhe des Diffusoraustritts → 𝑧 = 0 → 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 = 0).  Schritt (5) Einheiten-Umrechnung wird praktischerweise synchron innerhalb von Schritt (4) Teilaufgaben lösen mit erledigt. Das verkürzt die Bearbeitungszeit und minimiert Rechenfehler. ___________________________________________________________________________________________

Aufgabe 3.4.2.1-1 Strömung in einem Rohrkrümmer Durch einen 90°-Rohrkrümmer (𝐷 = 100 𝑚𝑚) strömt Wasser mit einem Volumenstrom 𝑄 = 100 . Welche Druckdifferenz zwischen dem äußeren und dem inneren Krümmungsradius würde man theoretisch messen?

198

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.4-2: Rohrkrümmer-Strömung

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze ergänzen (in rot und grün) um wichtige Details. Ansatz für Geschwindigkeitsverteilung über dem Rohrquerschnitt?

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Gl. 1.4-12 für Druckänderung quer zu gekrümmten Stromlinien verwenden. Sinnvollen Ansatz für Geschwindigkeitsverteilung 𝑐(𝑟) wählen!

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Mittlere Strömungsgeschwindigkeit 𝑐̅ aus 𝑄 und 𝐷 berechnen (Kontinuitätsgleichung). Sinnvolle Annahme für 𝑐(𝑟) wählen. Druckdifferenz 𝑝 − 𝑝 aus Gleichung

= ⋯ und Integration

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Am Eintritt in den Rohrkrümmer liegt die mittlere Geschwindigkeit 𝑐̅ vor, die sich gemäß Kontinuitätsgleichung ergibt zu

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑄 = 𝑐̅ ∙ 𝐴 = 𝑐̅ ∙

199

𝐷 ∙𝜋 4

𝑙 4 ∙ 100 𝑠 4∙𝑄 1 𝑑𝑚 1 𝑚 10 𝑚𝑚 → 𝑐̅ = = ∙ ∙ ∙ 𝐷 ∙ 𝜋 100 𝑚𝑚 ∙ 𝜋 1 𝑙 10 𝑑𝑚 1 𝑑𝑚 𝑚 (1) 𝑐̅ = 12,74 𝑠 Ein sich bei natürlichen Strömungen einstellender Geschwindigkeitsverlauf quer zu gekrümmten Stromlinien ist der sogenannte Potentialwirbel (Gesetz vom konstanten Drall). Diesen kann man nicht nur beim Umrühren von Wasser in einem Eimer beobachten sondern er ist auch Grundlage für die Berechnung von Strömungsmaschinen (z. B. Kreiselpumpen- und Turbinenleitschaufeln). Ein Potentialwirbel genügt folgender Beziehung (2)

𝑐 ∙ 𝑟 = 𝑐̅ ∙ 𝑟 = 𝑐 ∙ 𝑟 = 𝑐 ∙ 𝑟 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. = 𝐶 wobei 𝑐̅ ∙ 𝑟 eine Annahme ist!

Damit lässt sich die Drallkonstante 𝐶 aus 𝑐̅ und 𝑟 berechnen. Streng genommen tritt die mittlere Geschwindigkeit 𝑐̅ nicht unbedingt bei 𝑟 auf, sondern bei einem etwas kleineren Radius. 𝐶

= 𝑐̅ ∙ 𝑟 = 12,74

𝑚 1𝑚 𝑚 ∙ 150 𝑚𝑚 ∙ = 1,91 𝑠 10 𝑚𝑚 𝑠

(3)

Durch die Umformung von Gl. 1.4-12 erhält man 𝑑𝑝 = 𝜌 ∙ 𝑐 ∙

𝑑𝑟 𝑟

(4)

𝑐 lässt sich aus Gl. (2) und Gl. (3) ermitteln zu 𝑚 1,91 [ 𝑠 ] 1,91 𝑚 = 𝑟 𝑟 [𝑚] 𝑟 𝑠 𝑚 1,91 [ ] 3,65 𝑚 𝑠 = 𝑐 = 𝑟 [𝑚 ] 𝑟 𝑠 𝑐=

𝐶

(5)

=

(6)

Gl. (6) in Gl. (4) eingesetzt 𝑑𝑟 𝑘𝑔 𝑚 1 = 1000 ∙ 3,65 ∙ ∙ 𝑑𝑟 𝑟 𝑚 𝑠 𝑟 𝑘𝑔 𝑑𝑝 = 3650 ∙ 𝑟 ∙ 𝑑𝑟 𝑚∙𝑠

𝑑𝑝 = 𝜌 ∙ →

3,65 𝑚 𝑟 𝑠

∙

,

→ ,

(7)

Es gilt das allgemeine Integral 𝑥 ∙ 𝑑𝑥 =

𝑥 +𝐶 𝑛+1

Damit formt sich Gl. (7) um zu

(8)

200

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑝 − 𝑝 = 3650

𝑝 − 𝑝 = 3650 𝑝 − 𝑝 = 3650

,

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑟 ∙ 𝑠 −3 + 1 𝑘𝑔 1 ∙ − 𝑚∙𝑠 2∙𝑟

, , ,

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 1 1 ∙ − − − 𝑠 2 ∙ 0,2 2 ∙ 0,1

1 𝑚

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 1 ∙ (−12,5 + 50) 𝑠 𝑚 𝑁 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 1 𝑚 1 𝑏𝑎𝑟 𝑝 − 𝑝 = 136875 ∙ ∙ 𝑁 𝑘𝑔 𝑠 ∙𝑚 10 1 𝑚 𝑚∙𝑠 𝑝 − 𝑝 = 3650

𝑝 − 𝑝 ≈ 1,37 𝑏𝑎𝑟

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Druckdifferenz 𝑝 − 𝑝 ≈ 1,37 𝑏𝑎𝑟 Der Druck außen ist also um ca. 1,37 𝑏𝑎𝑟 größer als innen! Diskussion: Wegen der Annahme (!) des Geschwindigkeitsprofils quer zu den Stromlinien als Potentialwirbel (Gesetz vom konstanten Drall), der häufig gut mit der Wirklichkeit übereinstimmt, sowie der Näherung, dass die mittlere Geschwindigkeit 𝑐̅ bei 𝑟 vorliegen soll, ist das Ergebnis nur eine Näherung. Der Wert wird sich jedoch nicht wesentlich von der Wirklichkeit unterscheiden. Der Potentialwirbel führt im Übrigen zu einer hyperbolischen Geschwindigkeitsverteilung (𝑐 =

~ ), d. h. bei 𝑟 = 0 würde die Geschwindigkeit theoretisch unendlich groß werden.

Dies würde zu einem Druck 𝑝 = 0 führen. Vorher würde Wasser aber beim Erreichen des Dampfdrucks verdampfen.

Aufgabe 3.4.2.3-1 Schnellabschluss einer Rohrleitung Aus einem Rückhaltebecken strömt Wasser über eine Stahlrohrleitung mit einer stationären Geschwindigkeit von 𝑐 = 1,5 ins Freie ab (Abb. 3.4-3). Die Länge der Rohrleitung beträgt 𝑙 = 2500 𝑚. a) Welcher Differenzdruck in 𝑏𝑎𝑟 entsteht an der Klappe am Rohraustritt, wenn die Klappe mit einem linearen Schließgesetz innerhalb von ∆𝑡 = 10 𝑠 geschlossen wird? b) Welcher Differenzdruck entsteht theoretisch an der Klappe, wenn diese schlagartig geschlossen wird (∆𝑡 ≈ 0 𝑠)?

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

201

c) Welcher Differenzdruck entsteht im praktischen Fall einer Stahlrohrleitung beim plötzlichen Schließen der Klappe (∆𝑡 ≈ 0 𝑠), wenn ein sog. Joukowski-Stoß vorausgesetzt wird? d) Welcher maximale Unterdruck entsteht an der Klappe, wenn diese nach einem linearen Öffnungsgesetz bis zur Endgeschwindigkeit 𝑐 voll geöffnet wird (nur Formel)?

Abb. 3.4-3: Grundablass mit langer Rohrleitung aus Stahl und Abschlussklappe

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze ergänzen (in grün) Gegeben: 𝑐 = 1,5 𝑚 𝑠 Für Aufgaben a) bis c) (Schnellschluss) 𝑙 = 2500 𝑚 ∆𝑡 = 10 𝑠(0 𝑠) Allgemein 𝑐ö , 𝑙, ℎ, ∆𝑡 für d) (Schnellöffnung) Gesucht: Druckdifferenz ∆𝑝 an der Klappe für a) bis d)

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung (stationär und instationär), Schließ-/Öffnungsgesetz der Klappe, Joukowski-Stoß.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Bernoulli-Gleichung für stationären Anfangszustand Bernoulli-Gleichung für instationäre Strömung mit Schließ-/Öffnungsgesetz Zahlenwerte und Einheiten bei Bedarf

202

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Die vor dem Schnellschluss vorliegende stationäre Geschwindigkeit 𝑐 liegt sowohl an der in der Skizze ergänzten Stelle 1 als auch an der Stelle 2 vor. Dies folgt aus der Kontinuitätsgleichung bei konstantem Rohrdurchmesser. Für den stationären Anfangszustand liefert die Bernoulli-Gleichung (Druckform) zwischen den Stellen 0 und 1 (bei Bezug auf das in der Skizze eingetragene Niveau B-B): ρ ρ ∙𝑐 +ρ∙𝑔∙𝑧 = 𝑝 + ∙𝑐 2 2 Mit folgenden Vereinfachungen 𝑝 +

𝑐 =0

+ρ∙𝑔∙𝑧

(Grundablassspiegel nahezu konstant, d. h. Spiegelsinkgeschwindigkeit= 0)

𝑐 =𝑐 𝑧 =ℎ 𝑧 =0 folgt ρ ∙𝑐 2 Hieraus folgt für den Druck 𝑝 𝑝 + 0+ρ∙𝑔∙ℎ = 𝑝 +

+0

ρ (1) 𝑝 = 𝑝 − ∙ 𝑐 + ρ ∙ 𝑔 ∙ ℎ (von Stelle 0 nach 1 gedacht) 2 Aus der anfänglichen Feststellung, dass sich zwischen den Stellen 1 und 2 die Geschwindigkeit nicht ändern kann und auch keine Höhenunterschiede vorliegen, muss nach Bernoulli der Druck 𝑝 an der Stelle 1 gleich dem Druck 𝑝 an Stelle 2 sein. Da bei 2 Atmosphärendruck 𝑝 vorliegt, gilt also 𝑝 = 𝑝 =𝑝

(bei stationärer Strömung)

Damit wird Gl. (1) zu ρ 𝑝 = 𝑝 − 𝑐 2 → 𝑐 =

+ρ∙𝑔∙ℎ

2∙𝑔∙ℎ

(dies ist die Torricellische Ausflussformel)

(2)

Bei instationärer Strömung gilt Gl. 1.4-29 𝜕𝑐 𝜕𝑡 Umgestellt ergibt sich 𝑝 = 𝑝 +ρ∙𝑙∙

𝜕𝑐 𝜕𝑡 wobei 𝑝 dem stationären Anfangszustand (hier 𝑝 ) entspricht. 𝑝 =𝑝 −ρ∙𝑙∙

Ein lineares Schließgesetz ist in Abb. 3.4-4 veranschaulicht.

(3)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

203

Abb. 3.4-4: Lineares Schließgesetz (sowie praktisch gestuftes Schließgesetz)

Aus Abb. 3.4-4 ergibt sich eine negative Steigung 𝜕𝑐 𝑐 = − 𝜕𝑡 ∆𝑡

(4)

Mit Gl. (4) wird Gl. (3) zu 𝑐 𝑐 =𝑝 +ρ∙𝑙∙ ∆𝑡 ∆𝑡 Damit erhält man den Differenzdruck ∆𝑝 an der Klappe zu 𝑝 =𝑝 −ρ∙𝑙∙ −

(3)

𝑐 (5) ∆𝑡 Mit 𝑝 = 𝑝 , d. h. man rechnet mit dem Anfangsdruck vor dem Schnellschluss. 𝑝 entspricht dem Enddruck nach der vollständigen Klappenschließung. ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = ρ ∙ 𝑙 ∙

Die Zahlenrechnung wird in Schritt (5) erfolgen!

Zu b): Aus Gl. (5) ergibt sich bei einem plötzlichen Schließen (∆𝑡 = 0), dass der Differenzdruck (hier wegen 𝑝 = 𝑝 ein Überdruck gegenüber dem Atmosphärendruck) theoretisch unendlich groß würde.

Zu c): Die theoretisch unendlich große Druckdifferenz von b) wird praktisch jedoch durch die Fluidkompressibilität und die elastische Dehnung des Rohrs gemildert. Für Stahlrohr und Wasser gilt als Näherung für (∆𝑡 → 0) der sog. Joukowski-Stoß: ∆𝑝

(6)

≈ 10 ∙ 𝑐

mit 𝑐 in

und ∆𝑝

in

.

Im Allgemeinen sind jedoch komplizierte Druckstoßberechnungen erforderlich (z. B. nach der Allievi-Theorie).

204

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Zu d): Für eine Schnellöffnung ist das lineare Öffnungsgesetz in Abb. 3.4-5 dargestellt.

Abb. 3.4-5: Lineares Öffnungsgesetz

Aus Abb. 3.4-5 ergibt sich eine positive Steigung 𝜕𝑐 𝑐 = + 𝜕𝑡 ∆𝑡

(7)

Analog zu a) wird jetzt Gl. (3) mit dem Ergebnis von Gl. (7) zu 𝜕𝑐 𝑐 =𝑝 −ρ∙𝑙∙ 𝜕𝑡 ∆𝑡 𝑐 → ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = −ρ ∙ 𝑙 ∙ ∆𝑡 In diesem Fall ist der Druck 𝑝 der Druck vor der Öffnung, also dem Ruhezustand 𝑝 =𝑝 −ρ∙𝑙∙

(8)

(8)

𝑝 = 𝑝 +𝜌∙𝑔∙ℎ

Bei schneller Öffnung treten im Rohr große Unterdrücke auf, die in Schritt (6) bezüglich ihrer Wirkung erläutert werden.

(5) Einheiten-Umrechnung Hier erfolgt jetzt ausnahmsweise erst die Rechnung mit Zahlenwerten und zwar für die gesuchten Druckdifferenzen aus den Aufgabenteilen a) und c). Zu a): Aus Gl. (5) erhält man ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 𝜌 ∙ 𝑙 ∙

𝑐 ∆𝑡

𝑁 𝑚 1 1,5 𝑠 𝑘𝑔 𝑘𝑔 1 𝑏𝑎𝑟 𝑚 ∆𝑝 = 1000 ∙ 2500 𝑚 ∙ = 3,75 ∙ 10 ∙ ∙ 𝑁 𝑘𝑔 𝑚 10 𝑠 𝑚∙𝑠 10 1 𝑚 𝑚∙𝑠 ∆𝑝 = 3,75 𝑏𝑎𝑟 Zu c): Aus Gl. (6) folgt für den Joukowski-Stoß (= Zahlenwert-Gleichung)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

∆𝑝

≈ 10 ∙ 𝑐 = 10 ∙ 1,5 = 15 ∙ 10

∆𝑝

≈ 15 𝑏𝑎𝑟

205

𝑁 1 𝑏𝑎𝑟 ∙ 𝑚 10 𝑁 𝑚

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 𝜌 ∙ 𝑙 ∙

𝑐 = 3,75 𝑏𝑎𝑟 ∆𝑡

b) ∆𝑝 → ∞ theoretisch c)

∆𝑝

= 15 𝑏𝑎𝑟 d) ∆𝑝 = −𝜌 ∙ 𝑙 ∙ 𝑐 ∆𝑡 Diskussion: Das schnelle/plötzliche Schließen von Absperrorganen (z. B. Klappe, Ventile, Kugelschieber) kann zu beträchtlichen Drucksteigerungen, sowohl an der Klappe selbst als auch an exponierten Stellen der durchflossenen Rohrleitung, führen. In Extremfällen kann die Rohrleitung platzen oder das Absperrelement zerstört werden, was im Falle einer Wasserkraftanlage im Gebirge (z. B. Kavernenkraftwerk) verheerende Folgen haben kann. Die auftretende Drucksteigerung bezeichnet man als Druckstoß oder Wasserschlag. Der Effekt lässt sich bereits mit dem Schnellschluss einer Einhebel-Mischbatterie in normalen Haushalten hörbar machen (lautes Klickgeräusch). Der Druckstoß lässt sich verringern durch: -

Reduzierung der Rohrleitungslänge 𝑙 Verlängerung der Schließzeiten ∆𝑡 Abgestuftes Schließgesetz (anfangs schneller, später langsamer; vgl. Abb. 3.4-4)

Beim schnellen Öffnen von Absperrorganen treten demgegenüber Unterdrücke an der Klappe und an exponierten Stellen der Rohrleitung auf. Rohre halten bei richtiger Auslegung zwar Überdrücke problemlos aus, doch können selbst geringe Abweichungen von der Kreisform zum schlagartigen Eindellen von Rohren (durch den Außendruck) führen, sobald Unterdrücke auftreten. In Wasserkraftanlagen mit großen Fallhöhen werden deswegen vom Oberwasserbecken ausgehend Stollen mit großen Durchmessern bis zum „Wasserschloss“ geführt, um danach erst am Berghang abwärts die Druckleitung mit geringerem Durchmesser zur Turbine zu führen. Vor der Turbine sitzt dann ein Absperrorgan (Abb. 3.4-6).

206

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.4-6: Hochdruck-Wasserkraftanlage mit Wasserschloss

Das Wasserschloss wirkt druckausgleichend und zwar sowohl beim Anfahren der Turbine als auch beim Schnellschluss des Absperrorgans oder der Düse bei Notfällen.

Aufgabe 3.4.2.4-1 Druckwasserpumpe Eine Pumpe fördert Wasser auf gleichem Niveau von einer Leitung 1 mit niedrigem Druck in eine Druckwasserleitung 2. Der Volumenstrom beträgt 𝑄 = 2

. Die gemessenen Über-

drücke betragen 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 und 𝑝 = 10 𝑏𝑎𝑟. Die Durchmesser der beiden Leitungen sind gleich groß. Wie groß ist die hydraulische Pumpenleistung 𝑃 in 𝑘𝑊?

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze anfertigen zur Verdeutlichung (Abb. 3.4-7). Gegeben:

𝑚 𝑚𝑖𝑛 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 Überdruck 𝑝 = 10 𝑏𝑎𝑟 Überdruck Aus Textinformation: 𝑧 =𝑧 (horizontale Leitung) 𝜌 =𝜌 (Wasser, dichtebeständig) 𝑐 =𝑐 (gleiche Rohrdurchmesser) 𝑄=2

Gesucht: Pumpenleistung 𝑃 in 𝑘𝑊

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

207

Abb. 3.4-7: Prinzipskizze Druckwasserpumpe

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung bei Energiezufuhr, Stationäre Strömung, Gl. 1.4-34 verwenden. Spezifische Förderenergie 𝑌(

)

aus Gl. 1.4-31.

Leistungsdefinition für 𝑃.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑌(

)

aus Bernoulli-Gleichung bei Energiezufuhr.

Dann Leistung 𝑃 berechnen.

(4) Teilaufgaben lösen Vollständige Bernoulli-Gleichung Gl. 1.4-34 unter Beachtung der Informationen in (1) und Abb. 3.4-7: 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 +𝑒 𝜌 2

=

𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 +𝑒 𝜌 2

= 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. = 𝐾

(

)

(1a)

Vereinfachungen: 𝑐 =𝑐

(gleicher Rohrdurchmesser)

𝑧 =𝑧

(gleiches Niveau)

𝑒

= 0 (keine Energieabfuhr, verlustfreie Strömung)

𝜌 = 𝜌 = 𝜌 (dichtebeständig) 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 +𝑒 𝜌 2 𝑒 = 𝑌( )

→

=

𝑝 𝑐 + + 𝑔 ∙ 𝑧 + 0 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 𝜌 2

Damit folgt aus Gl. (1b) die spezifische Förderenergie 𝑌(

)

(1b)

208

𝑌(

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

)

=

𝑝 −𝑝 ∆𝑝 = (= 𝑔 ∙ ℎ) 𝜌 𝜌

z. B. in

=

(2)

Die Leistung 𝑃 ist folgendermaßen definiert: 𝑃=

𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡 𝑑𝑊 𝑑𝑚 𝑑𝑊 = = ∙ 𝑍𝑒𝑖𝑡𝑒𝑖𝑛ℎ𝑒𝑖𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝑑𝑚

(nach Kettenregel)

mit 𝑑𝑚 𝑑𝑡 𝑑𝑊 𝐴𝑟𝑏𝑒𝑖𝑡 𝑌( ) = = 𝑑𝑚 𝑀𝑎𝑠𝑠𝑒 Damit ergibt sich die mechanische Pumpenleistung 𝑃, die auch als hydraulische Leistung bezeichnet wird, zu 𝑚̇ =

𝑃 = 𝑚̇ ∙ 𝑌(

)

= 𝜌 ∙ 𝑄 ∙ 𝑌(

)

=𝜌∙𝑄∙

∆𝑝 = 𝑄 ∙ ∆𝑝 = 𝑄 ∙ (𝑝 − 𝑝 ) 𝜌

Gl. 3.4-1

(5) Einheiten-Umrechnung Das Einsetzen der Zahlenwerte mit den Einheiten in die Berechnungsgleichung für 𝑃 führt zu 𝑚 𝑚 ∙ 𝑏𝑎𝑟 ∙ (10 − 1)𝑏𝑎𝑟 = 18 𝑚𝑖𝑛 𝑚𝑖𝑛 Zur gesuchten Leistungseinheit 𝑘𝑊 erfolgt die Multiplikation der sinnvollen Einheitenquotienten (jeweils Faktor 1) mit dem obenstehendem Ergebnis für 𝑃 und Kürzen der nicht geeigneten Einheiten 𝑃 = 𝑄 ∙ (𝑝 − 𝑝 ) = 2

𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑏𝑎𝑟 1 𝑚𝑖𝑛 10 𝑠 ∙ 𝑚 1𝑊 1 𝑘𝑊 𝑃 = 18 ∙ ∙ ∙ ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 10 𝑊 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 1 𝑏𝑎𝑟 1 𝑠 𝑃 = 30 𝑘𝑊 (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Die hydraulische Pumpenleistung beträgt 𝑃 = 30 𝑘𝑊 Diskussion: Während bei Pumpen für die Wasserförderung die spezifische Förderenergie 𝑌( ) sowohl über die Förderhöhe 𝐻 (bzw. 𝑔 ∙ 𝐻) als auch über Druckdifferenzen ∆𝑝 ermittelt wird, erfolgt bei Wasserturbinen die Bestimmung der spezifischen Fallenergie 𝑌( ) nur über die Fallhöhe 𝐻 (bzw. 𝑔 ∙ 𝐻). In der Praxis sind in der Bernoulli-Gleichung jedoch noch sämtliche Reibungsund Verwirbelungsverluste als abgeführte Energien (𝑒 ) zu berücksichtigen (vgl. Kap 1.5).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

209

3.5 Aufgaben zu Kap. 1.5 (Reibungsbehaftete Fluidströmungen) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen: -

-

Verluste bei laminarer und turbulenter Strömung Druckverlust von Einzel-Strömungsstörern Zusammengesetzte Widerstände in Strömungssystemen.

Aufgabe 3.5-1: Mindestgeschwindigkeit für eine turbulente Strömung Welche Mindestgeschwindigkeit 𝑐 . muss in einem Rohr mit dem Durchmesser 𝐷 = 20 𝑚𝑚 vorliegen, damit eine turbulente Strömung herrscht? a) Bei Wasserströmung (20 °C) b) Bei Luftströmung (20 °C, 1 bar)

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Reynolds-Zahl 𝑅𝑒, Umschlag laminar/turbulent.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑅𝑒-Formel umstellen nach 𝑐

.

Kinematische Viskosität 𝜈 für Wasser und Luft berücksichtigen.

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Der Umschlag laminar-turbulent erfolgt im Allgemeinen bei einer kritischen Reynolds-Zahl 𝑅𝑒

=

𝑐

∙𝐷 𝜈

= 2300

Umgestellt nach 𝑐 𝑐

=

𝑅𝑒

∙𝜈 𝐷

ergibt sich =

2300 ∙ 𝜈 𝐷

Die kinematische Viskosität 𝜈 beträgt für Wasser 𝜈

= 1 ∙ 10

𝑚 𝑠

(bei 20 °C)

210

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Luft 𝜈 = 15 ∙ 10

𝑚 𝑠

(bei 20 °C, 1 bar)

Sinnvollerweise wird 𝐷 statt in 𝑚𝑚 in 𝑚 umgerechnet 𝐷 = 20 𝑚𝑚 ∙

1𝑚 = 0,02 𝑚 10 𝑚𝑚

Damit ergeben sich die kritischen Mindestgeschwindigkeiten für eine turbulente Strömung a) Wasser 𝑐 b)

Luft 𝑐

𝑚 𝑠 = 0,12 𝑚 𝑠 𝑚 2300 ∙ 𝜈 2300 ∙ 15 ∙ 10 𝑠 = 1,7 𝑚 = = 𝐷 0,02 𝑚 𝑠 2300 ∙ 𝜈 2300 ∙ 1 ∙ 10 = = 𝐷 0,02 𝑚

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Turbulente Wasserströmung 𝑐

> 0,12

b) Turbulente Luftströmung 𝑐 > 1,7 Diskussion: Diese relativ niedrigen Werte für die turbulente Strömungsgeschwindigkeit werden in den meisten technischen Anwendungsfällen überschritten, so dass nahezu alle technischen Anwendungen auf turbulenten Strömungen basieren.

Aufgabe 3.5-2 𝑅𝑒-Zahl im Blutkreislauf Berechnen Sie bei den folgenden Blutgefäßen, ob laminare oder turbulente Strömung vorliegt: a) Kapillare: 𝐷 = 8 𝜇𝑚, 𝑐̅ = 5 b) Aorta: 𝐷 = 20 𝑚𝑚, 𝑐̅ = 0,3 Die dynamische Viskosität 𝜂 von Blut beträgt 𝜂 = 4 ∙ 10

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Reynolds-Zahl 𝑅𝑒.

∙

und die Dichte 𝜌 = 10

.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

211

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝜂 umrechnen in 𝜈. 𝑅𝑒-Formel anwenden. 𝑅𝑒 < 2300 oder 𝑅𝑒 > 2300 ?

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Umrechnung von 𝜂 in 𝜈 𝜈=

𝜂 4 ∙ 10 = 𝜌 10

∙

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 = 4 ∙ 10 𝑚 ∙ 𝑠 ∙ 𝑘𝑔

𝑚 𝑠

Aus 𝑅𝑒 =

𝑐̅ ∙ 𝐷 𝜈

folgt a) Kapillare 𝑅𝑒 =

5 ∙ 8 𝑚𝑚 ∙ 𝜇𝑚 ∙ 𝑠 1𝑚 1𝑚 ∙ ∙ ∙ = 0,01 4 ∙ 10 𝑠∙𝑚 10 𝑚𝑚 10 𝜇𝑚

Da 𝑅𝑒 < 2300 ist, liegt eine laminare (sog. schleichende) Strömung vor. b) Aorta 𝑅𝑒 =

0,3 ∙ 20 𝑚 ∙ 𝑚𝑚 ∙ 𝑠 1𝑚 ∙ ∙ = 1,5 ∙ 10 = 1500 4 ∙ 10 𝑠∙𝑚 10 𝑚𝑚

Auch hier ist 𝑅𝑒 < 2300 und demnach liegt ebenfalls laminare Strömung vor.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Kapillare: 𝑅𝑒 = 0,01 → laminare (schleichende) Strömung b) Aorta: 𝑅𝑒 = 1500 → laminare Strömung Diskussion: Die Blutströmung in den Kapillaren ist in jedem Fall laminar. Da Blut jedoch eine nichtnewtonsche Flüssigkeit ist, für die der einfache Viskositätswert nicht zutrifft, könnte in der Aorta auch turbulente Strömung auftreten.

Aufgabe 3.5.3-1 Rohrströmung bei diversen Querschnitten Durch eine Rohrleitung soll ein Volumenstrom 𝑄 = 0,3

mit verschiedenen Medien fließen.

Der Rohrquerschnitt soll entweder kreisförmig (𝐷 = 0,15 𝑚) oder quadratisch (𝑠 = 0,15 𝑚) sein. Folgende kinematische Viskositäten 𝜈 und Dichten 𝜌 der Fluide sind vorgegeben:

212

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

a) Luft (20 °C, 1 bar):

𝑘𝑔 𝑚 𝜌 ≈ 1,2 ; 𝑚 𝑠 𝑘𝑔 𝑚 𝜌 ≈ 10 𝜈 ≈ 1 ∙ 10 ; 𝑚 𝑠 𝑘𝑔 𝑚 𝜈 ≈ 74,4 ∙ 10 ; 𝜌 ≈ 0,316 𝑚 𝑠 𝜈 ≈ 15 ∙ 10

b) Wasser (20 °C): c) Wasserdampf (100 °C):

Für die Fluide a) bis c) sind jeweils zu berechnen: 1) Die Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 bzw. laminare oder turbulente Strömung? 2) Der Druckverlust ∆𝑝 in bar bei einer Rohrlänge 𝐿 = 100 𝑚 und handelsüblichem Stahlrohr (technische Rauigkeit 𝑘 = 0,05 𝑚𝑚) Rohrreibungsverluste bleiben unberücksichtigt.

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. Skizze erstellen (Abb. 3.5-1).

Abb. 3.5-1: Rohrströmung bei verschiedenen Querschnitten und diversen Fluiden

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Kontinuitätsgleichung, 𝑅𝑒-Formel, Bernoulli-Gleichung mit Verlusten, Diagramm 𝜆 = 𝑓(𝑅𝑒, ). Hydraulischer Durchmesser.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝑐̅ berechnen aus 𝑄 und 𝐴

.

(nicht mit hydraulischem Durchmesser 𝐷 ; vgl. Kap. 1.5.3).

𝑅𝑒 berechnen mit 𝐷 (für alle Fluidarten) → laminar oder turbulent? Rohrreibungszahl 𝜆 für alle Fluidarten Bernoulli-Gleichung mit Verlusten umstellen nach ∆𝑝.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

213

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Im Folgenden wird nur für den Fall a) (Luft) und den Kreisquerschnitt bzw. den quadratischen Querschnitt der ausführliche Rechengang dargestellt. Die übrigen Lösungen sind mit den exemplarisch ermittelten Beispielen tabellarisch zusammengefasst. Fall a): „Luft und Kreisquerschnitt mit Durchmesser 𝐷“ 𝐷 ∙ 𝜋 0,15 ∙ 𝜋 = ∙ 𝑚 = 0,01767 𝑚 4 4 𝑄 0,3 𝑚 𝑚 mittlere Geschwindigkeit 𝑐̅ = = ∙ = 16,98 𝐴 0,01767 𝑠 ∙ 𝑚 𝑠 𝑐̅ ∙ 𝐷 16,98 ∙ 0,15 𝑚 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 = ∙ = 1,698 ∙ 10 Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 = 𝜈 15 ∙ 10 𝑠∙𝑚 Strömungsquerschnitt 𝐴

=

𝑅𝑒 > 2300 → 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡 (Hinweis: Bei einem Rohr mit Kreisquerschnitt ist 𝐷 = 𝐷) Mit 𝑘 0,05 𝑚𝑚 = = 3,33 ∙ 10 𝐷 150 𝑚𝑚 und 𝑅𝑒 = 1,698 ∙ 10 folgt aus folgt aus Diagrammen der Fachliteratur (analog wie in der schematischen Abb. 1.5-6 gezeigt) die Rohrreibungszahl 𝜆 𝜆 ≈ 0,0185

(angenäherte Ablesung des Diagrammwertes)

Die Druckdifferenz ∆𝑝 ∆𝑝

( )

∆𝑝

( )

( )

folgt aus Gl. 1.5-12.

𝐿 𝜌 100 1,2 𝑚 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑘𝑔 ∙ 𝑐̅ = 0,0185 ∙ ∙ ∙ 16,98 ∙ = 2134 𝐷 2 0,15 2 𝑚∙𝑚 ∙𝑠 𝑚∙𝑠 𝑘𝑔 1 𝑏𝑎𝑟 = 2134 ∙ = 2,134 ∙ 10 𝑏𝑎𝑟 𝑘𝑔 𝑚∙𝑠 10 ∙ 𝑚∙𝑠 =𝜆 ∙

Fall a): „Luft und quadratischer Querschnitt mit Seitenlänge s“ Strömungsquerschnitt 𝐴

= 𝑠 = 0,15 ∙ 𝑚 = 0,0225 𝑚 𝑄 0,3 𝑚 𝑚 mittlere Geschwindigkeit 𝑐̅ = = ∙ = 13,33 𝐴 0,0225 𝑠 ∙ 𝑚 𝑠 Weicht der Strömungsquerschnitt von der Kreisform ab, muss in allen Formeln (außer bei 𝑐̅) mit dem „hydraulischen Durchmesser“ 𝐷 gerechnet werden. 𝐷 bei einem quadratischen Querschnitt (vgl. Kap. 1.5.3):

𝐷 = mit

4∙𝐴 𝑈

𝐴 = Durchströmte Fläche 𝑈 = Benetzter Umfang

214

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

4∙𝑠 = 𝑠 = 0,15 𝑚 4∙𝑠 D. h. einem Kreisdurchmesser 𝐷 äquivalent! 𝐷 =

Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 =

𝑐̅ ∙ 𝐷 13,33 ∙ 0,15 𝑚 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 = ∙ = 1,33 ∙ 10 𝜈 15 ∙ 10 𝑠∙𝑚

𝑅𝑒 > 2300 → 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡 mit 𝑘 0,05 𝑚𝑚 = = 3,33 ∙ 10 𝐷 150 𝑚𝑚 und 𝑅𝑒 = 1,33 ∙ 10 folgt aus Diagrammen der Fachliteratur (analog wie in der schematischen Abb. 1.5-6 gezeigt) die Rohrreibungszahl 𝜆 𝜆 ≈ 0,019

(angenähert)

Die Druckdifferenz ∆𝑝

( )

folgt aus Gl. 1.5-12.

𝐿 𝜌 100 1,2 𝑚 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑘𝑔 ∙ 𝑐̅ = 0,019 ∙ ∙ ∙ 13,33 ∙ = 1351 𝐷 2 0,15 2 𝑚∙𝑚 ∙𝑠 𝑚∙𝑠 𝑘𝑔 1 𝑏𝑎𝑟 ∆𝑝 ( ) = 1351 ∙ = 1,351 ∙ 10 𝑏𝑎𝑟 𝑘𝑔 𝑚∙𝑠 10 ∙ 𝑚∙𝑠 Analog zur Vorgehensweise wie für Fall a) beschrieben, können die Lösungen für die anderen Fluidarten berechnet werden. Dies ist in Abb. 3.5-2 tabellarisch dargestellt. Die exakten Rechenwerte wurden dabei praxisorientiert gerundet, wegen der im Allgemeinen nur annähernd zutreffenden Annahmen und Randbedingungen. ∆𝑝

( )

=𝜆 ∙

Teilaufgabe

Strömungsquerschnitt

Fluidart

Ergebnis

Kreis

Quadrat

a1

Luft

𝑅𝑒 [−]

1,7 ∙ 10 (𝑡)

1,3 ∙ 10 (𝑡)

b1

Wasser

𝑅𝑒 [−]

2,6 ∙ 10 (𝑡)

2 ∙ 10 (𝑡)

c1

W-Dampf

𝑅𝑒 [−]

3,4 ∙ 10 (𝑡)

2,7 ∙ 10 (𝑡)

a2

Luft

∆𝑝

( ) [𝑏𝑎𝑟]

2,1 ∙ 10

b2

Wasser

∆𝑝

( ) [𝑏𝑎𝑟]

16,8

c2

W-Dampf

∆𝑝

( ) [𝑏𝑎𝑟]

7,3 ∙ 10

1,4 ∙ 10 9,5 4,7 ∙ 10

Bemerkung: (t) = turbulente Strömung Abb. 3.5-2: 𝑅𝑒-Zahl und Druckverlust ∆𝑝 bei verschiedenen Rohrquerschnitten und Fluidarten

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Abb. 3.5-2 fasst die Ergebnisse in tabellarischer Form zusammen.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

215

Diskussion: Die Ergebnisse zwischen Kreisquerschnitt und quadratischem Querschnitt weichen bezüglich 𝑅𝑒 und ∆𝑝 bei allen Fluidarten um ca. 1/3 ab. Zwischen den jeweiligen Fluidarten treten jedoch beträchtliche Unterschiede bei 𝑅𝑒 bzw. ∆𝑝 auf. In dem vorstehenden Beispiel war der Volumenstrom 𝑄 vorgegeben und es sollten die dabei auftretenden Druckverluste im Strömungskanal ermittelt werden. Falls jedoch eine Druckdifferenz ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 vorgegeben ist (z. B. bei einer Spaltströmung), so lässt sich der auftretende Leckagestrom 𝑄 nicht direkt, sondern nur iterativ ermitteln (s. Aufgabe 3.5.3-2).

Aufgabe 3.5.3-2 Leckagestrom 𝑄 bei einer Spaltdichtung Eine rotierende Welle soll möglichst reibungsarm durch eine Gehäusewand geführt werden. (z. B. bei einem Pumpenprüfstand). Hierbei befindet sich auf der einen Seite Wasser unter erhöhtem Druck und auf der anderen Seite Luft unter Atmosphärendruck 𝑝 . Diese „Abdichtung“ wird in einfachsten Fall durch eine Spaltdichtung realisiert, bei der ein gewisser Leckagestrom 𝑄 toleriert wird, dessen Größe zunächst unbekannt ist. Die Situation ist in Abb. 3.5-3 schematisch dargestellt.

Abb. 3.5-3: Schematische Darstellung einer Spaltdichtung und des Druckverlaufs über die Spaltlänge 𝐿

Erläutern Sie, wie sich bei einer vorgegebenen Druckdifferenz ∑ ∆𝑝 = 𝑝∗ − 𝑝 , scharfkantigem Eintritt und Austritt der Spaltdichtung mit der Dichtelänge 𝐿, der technischen Rauigkeit 𝑘 und der Ringspaltdicke s, der dabei auftretende Leckagestrom 𝑄 (bzw. die Spaltgeschwindigkeit 𝑐 ) ermitteln lässt.

216

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und in Skizze ergänzen (in rot und grün). (2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Strömung mit Verlusten/Bernoulli-Gleichung, Kontinuitätsgleichung, 𝑅𝑒-Zahl, hydraulischer Durchmesser 𝐷 , Diagramm 𝜆 = 𝑓( , 𝑅𝑒), Verlustziffer 𝜁.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Falls der Volumenstrom 𝑄 nicht vorgegeben (und damit unbekannt) ist, sondern nur die Druckdifferenz ∆𝑝 = ∑ ∆𝑝 , muss man zunächst 𝑄 bzw. eine Geschwindigkeit 𝑐 (bzw. 𝑅𝑒 =

∙

) annehmen und nach Durchrechnung die 𝑐-Annahme überprüfen.

Weichen die Annahme und die Durchrechnung voneinander ab, ist eine Iteration erforderlich. Bei geringen Höhenunterschieden zwischen Wasserspiegel und Spaltdichtung gilt 𝑝∗ ≈ 𝑝 .

(4) Teilaufgaben lösen Tatsächliche Spaltfläche 𝐴

= 𝐷 ∙ 𝜋 ∙ 𝑠 ( da 𝑠 ≪ 𝐷) 4∙𝐴 4∙𝐷∙𝜋∙𝑠 Hydraulischer Durchmesser bei Ringspalt 𝐷 = = = 2𝑠 𝑈 2 ∙ (𝐷 ∙ 𝜋) Iterationsschema: 𝑄 = ⋯ (𝐴𝑛𝑛𝑎ℎ𝑚𝑒) 𝐴 𝑐 ∙𝐷 𝑐 ∙ 2𝑠 𝑅𝑒 = = 𝜈 𝜈 𝜆 . (1. Näherung) 𝑘 𝑘 = 𝐷 2𝑠 Eintritts-Verlustziffer 𝜁 = 0,5 Wichtig: 𝐿 𝐿 Alle Verlustziffern sind bezogen Spalt-Verlustziffer 𝜁 = 𝜆 ∙ =𝜆∙ 𝐷 2𝑠 auf 𝑐 , weil nur dann addierbar! Austritts-Verlustziffer 𝜁 = 1,0 𝜌 𝐿 𝜌 ∆𝑝 = 𝑝∗ − 𝑝 = 𝜁 ∙ ∙ 𝑐 = (𝜁 + 𝜆 ∙ + 𝜁 ) ∙ ∙ 𝑐 2 2𝑠 2 𝐿 𝜌 ∆𝑝 = (0,5 + 𝜆 . ∙ + 1) ∙ ∙ 𝑐 2𝑠 2 𝑐

=

Da 𝑝∗ − 𝑝 bekannt, Umstellung auf 𝑐 Iteration!

( . )

=⋯→

?

𝑐 (1. 𝑁) = 𝑐 (𝐴) Nein

Ja → Ende!

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

217

(5) Einheiten-Umrechnung Hier war nur der allgemeine Lösungsweg gefragt, weswegen die Einheitenumrechnung entfällt.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Iterationsschema siehe Punkt (4) Wie ermittelt man sinnvollerweise den 1. Näherungswert für 𝑐 der nachstehende Tipp praktische Hinweise.

(bzw. 𝑄 )? Dazu liefert

___________________________________________________________________________________________

Beachte Diskussion und Tipp: Nicht nur bei Spaltdichtungen, sondern auch bei Ausfluss aus einem Behälter, einem Staubecken-Ablass oder dem Düsenaustritt einer Peltonturbine sind die auftretenden Volumenströme bei realen, reibungsbehafteten Strömungen zunächst unbekannt. Eine gute 1. Näherung für die Austrittsgeschwindigkeit 𝑐 liefert die Torricellische Ausflussgleichung: 𝑐=

2 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 (z. B. 𝐻 = Höhenunterschied zwischen Oberwasserspiegel und Düsenaustrittsquerschnitt) 𝑐=

𝑐=

∆𝑝 (z. B. ∆𝑝 = Druckdifferenz zwischen Behälterinnendruck 𝑝 und 𝜌 Atmosphärendruck 𝑝 )

∆𝑝 + 2 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 (z. B. bei hohen Behältern unter Innendruck und großer Füllhöhe) 𝜌

Den 1. Näherungswert für 𝑐 dann je nach Anlagensituation 5-10 % niedriger als den vorstehend errechneten Wert ansetzen! ___________________________________________________________________________________________

Aufgabe 3.5.5-1 Großräumige Wasserversorgung Wasser mit einer Temperatur von 𝜗 = 10 °𝐶 soll mit einer mittleren Geschwindigkeit 𝑐̅ = 5 durch eine Rohrleitung mit dem Durchmesser 𝐷 = 800 𝑚𝑚 gepumpt werden. c) Welchen Wert weist die Rohrreibungszahl 𝜆 auf, wenn das Rohr als „hydraulisch glatt“ angesehen wird? d) Welcher Differenzdruck ∆𝑝 in 𝑏𝑎𝑟 muss eine Pumpe erzeugen, wenn das Wasser in ein 75 𝑘𝑚 entferntes Bassin gefördert wird, dessen Spiegel (𝑂𝑊) um 80 𝑚 über dem

218

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Unterwasserniveau (𝑈𝑊) liegt? Krümmerverluste und sonstige Verluste von Einbauten in das Rohr sollen vernachlässigt (klein) sein e) Welche Antriebsleistung in 𝐾𝑊 muss die Pumpe aufweisen, wenn der Pumpenwirkungsgrad 𝜂 = 0,8 ist?

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren, Skizze anfertigen und wichtige Daten eintragen (Abb. 3.5-4)

Abb. 3.5-4: Wasserversorgung über große Distanz und Höhenunterschied

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Strömung mit Verlusten. Zu a) Reynolds-Zahl 𝑅𝑒, Rohrreibungsdiagramm. Zu b) Bernoulli-Gleichung mit Verlusten und Energiezufuhr (Pumpe). Zu c) Pumpenleistung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): 𝑅𝑒 → laminar/turbulent?→ 𝜆 (bei 𝑘 = 0) Zu b): Vollständige Bernoulli-Gleichung umstellen nach ∆𝑝 Zu c): Volumenstrom Q in Pumpenleistungsformel einsetzen

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

219

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): 𝑅𝑒 = mit (𝜈 𝑅𝑒 =

𝑐̅ ∙ 𝐷 𝜈 °

= 1,3 ∙ 10

und 𝐷 = 800 𝑚𝑚 ∙

5 ∙ 0,8 𝑚 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 ∙ = 3,08 ∙ 10 1,3 ∙ 10 𝑠∙𝑚

= 0,8 𝑚)

→ turbulent

Aus dem Rohrreibungsdiagramm Abb. 3.5-5 (vgl. auch Kap. 1.5.3-2) folgt mit

=

=0

(Kurve „hydraulisch glatt“): 𝜆 ≈ 0,0097

Abb. 3.5-5: Schematische Ermittlung der Rohrreibungszahl 𝜆

Zu b): Bernoulli-Gleichung (Gl. 1.4-34) ansetzen zwischen den Stellen 1 und 2 (allgemein gültige Form): 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 +𝑒 𝜌 2

=

𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 +𝑒 𝜌 2

Vereinfachungen und Konkretisierungen: !

𝑝 =𝑝 =𝑝

(Atmosphärendruck auf freien Wasserspiegeln)

!

𝑐 = 𝑐 ≈ 0 (Absenkung/Anstieg der Wasserspiegel vernachlässigt) 𝑧 = 0; 𝑧 = ℎ 𝑒

=

∆𝑝 𝜌

(zugeführte spezifische Förderenergie der Pumpe)

(1)

220

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑒

=

∆𝑝 𝜌

(abgeführte spezifische Strömungsverlustenergie)

mit 𝐿 𝑐̅ ∙ 𝐷 2 Wird Gl. (1) vereinfacht zu 𝑒

=𝜆∙

0+0+0+

∆𝑝 𝜌

=0+0+𝑔∙ℎ+𝜆∙

𝐿 𝑐̅ ∙ 𝐷 2

Umgestellt nach der erforderlichen Druckdifferenz der Pumpe ∆𝑝

= 𝜌∙𝑔∙ℎ+𝜆∙

𝐿 𝜌 ∙ ∙ 𝑐̅ 𝐷 2

Einsetzen der bekannten Werte (z. B. bei 𝜗 = 10 °𝐶 → 𝜌 = 999,7

) und Einheiten-

umrechnung liefert ∆𝑝

∆𝑝

1 𝑏𝑎𝑟 𝑘𝑔 10 𝑚∙𝑠 75 000 𝑚 999,7 𝑘𝑔 𝑚 + 0,0097 ∙ ∙ ∙5 0,8 𝑚 2𝑚 𝑠

= 999,7

𝑘𝑔 𝑚 ∙ 9,81 ∙ 80 𝑚 ∙ 𝑚 𝑠

= 7,85 𝑏𝑎𝑟 + 113,64 𝑏𝑎𝑟 = 121,49 𝑏𝑎𝑟

∙

1 𝑏𝑎𝑟 𝑘𝑔 10 𝑚∙𝑠

zusammengesetzt aus der Förderhöhe (7,85 𝑏𝑎𝑟) und den Verlusten (113,64 𝑏𝑎𝑟).

Zu c): Der Pumpenwirkungsgrad 𝜂 ist definiert als 𝜂=

𝑁𝑢𝑡𝑧𝑙𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑃 = 𝐴𝑢𝑓𝑤𝑎𝑛𝑑𝑠𝑙𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑃

=

𝑄 ∙ ∆𝑝 𝑃

Mit 𝐷 ∙𝜋 4 ergibt sich für die Aufwandsleistung der Pumpe 𝑄 = 𝑐̅ ∙ 𝐴 = 𝑐̅ ∙

𝑃=

𝑄 ∙ ∆𝑝 𝜂

= 𝑐̅ ∙

𝐷 ∙𝜋 ∙ ∆𝑝 4∙𝜂

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑁 10 1 𝑚 0,8 𝑚 ∙ 𝜋 𝑚 𝑠 𝑃=5 ∙ ∙ 121,5 𝑏𝑎𝑟 ∙ ∙ ∙ 𝑠 4 ∙ 0,8 1 𝑏𝑎𝑟 1𝑁 𝑃 = 38,2 ∙ 10 𝑊 ∙

1 𝑘𝑊 10 𝑊

1𝐽 1𝑊 ∙ 𝐽 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 1𝑠 1 𝑠

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

221

𝑃 = 38,2 ∙ 10 𝑘𝑊 (6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Rohrreibungszahl 𝜆 = 0,0097 b) Erforderliche Druckdifferenz der Pumpe ∆𝑝 = 121,5 𝑏𝑎𝑟 c) Erforderliche Antriebsleistung der Pumpe 𝑃 = 38200 𝑘𝑊

Diskussion: Obwohl die Verwendung eines hydraulisch glatten Rohres angenommen wurde, wird eine sehr hohe Antriebsleistung der Pumpe von 38,2 𝑀𝑊 erforderlich sein, die zum größtem Teil aus den Rohrreibungsverlusten resultiert. Würde ein Richtungswechsel der Strömung erfolgen und die Pumpe als Wasserturbine angetrieben, so wäre die mögliche Nutzleistung der Turbine folgendermaßen zu ermitteln: 𝜂

𝑃

𝑁𝑢𝑡𝑧𝑙𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑃 = 𝐴𝑢𝑓𝑤𝑎𝑛𝑑𝑠𝑙𝑒𝑖𝑠𝑡𝑢𝑛𝑔 𝑄 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ − 𝜆 ∙ 𝐿 ∙ 𝜌 ∙ 𝑐̅ ∙ 𝑄 𝐷 2 𝐿 𝜌 = 𝑄 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ − 𝜆 ∙ ∙ ∙ 𝑐̅ ∙ 𝑄 ∙ 𝜂 𝐷 2 =

Dabei werden jedoch andere 𝜆- und 𝑐̅-Werte entstehen. Von der verfügbaren Leistung aus der Höhendifferenz ℎ ist die Rohrleitungsverlustleistung abzuziehen. Allgemein gilt für die Berechnung von hydraulischen Leistungen ohne Verluste 𝑃 = 𝑄 ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ = ∆𝑝 ∙ 𝑄 ___________________________________________________________________________________________

Beachte Bei der Herleitung von Größengleichungen lässt sich mittels Einheitenkontrolle relativ sicher die Fehlerfreiheit einer Ableitung erkennen (vgl. Kap. 1.2.3). ___________________________________________________________________________________________

Aufgabe 3.5.5-2 Rohrleitung für eine Peltonturbine Für die Wasserzufuhr einer Hochdruck-Peltonturbine wird das in einem Oberwasserbecken gestaute Wasser (Stelle 0, 𝜗 = 20 °𝐶) über eine Rohrleitung und Düse dem Peltonlaufrad zugeführt. Das Druckrohr aus Stahl (𝑘 = 0,1 𝑚𝑚) mit einem Innendurchmesser 𝐷 = 400 𝑚𝑚 und einer Länge 𝐿 = 1200 𝑚 wird vor der Turbine in einer Düse an Stelle 1 von 𝐷 = 400 𝑚𝑚 auf 𝑑 = 180 𝑚𝑚 an Stelle 2 reduziert. Die Düse weist eine Verlustziffer 𝜁 ü = 0,01 (bezogen auf 𝑑) auf. Die Fallhöhe 𝐻 beträgt 1000 𝑚. Die Rohrleitung enthält folgende Stromführungselementverluste, jeweils bezogen auf 𝐷 (also die Geschwindigkeit 𝑐 im Rohr:

222

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

-

Einlauf 𝜁 = 0,91 2 Krümmer 45° mit jeweils 𝜁 ° = 0,12 1 Krümmer 30° mit 𝜁 = 0,08 ° 2 Kugelschieber voll geöffnet (!) mit 𝜁 ≈ 0

Es sind zu bestimmen: a) Strahlgeschwindigkeit 𝑐 am Düsenaustritt (Stelle 2) b) Volumenstrom 𝑄 in

(Strahleinschnürung vernachlässigt)

c) Druck 𝑝 vor der Düse (Stelle 1)

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und/oder Skizze erstellen (Abb. 3.5-6).

Abb. 3.5-6: Zuführungsleitung für eine Peltonturbine

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung mit Verlusten, Verlustziffer. Kontraktionszahl 𝛼 (Strahleinschnürung) vernachlässigt.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): Bernoulli mit allen Verlusten zwischen den Stellen 0 und 2 → 𝑐 . Zu b): Kontinuitätsgleichung → 𝑄.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

223

Zu c): Bernoulli mit Düsenverlusten zwischen den Stellen 1 und 2 → 𝑝 .

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Bernoulli-Gleichung mit Verlusten zwischen den Stellen 0 und 2 (Gl. 1.5-1) mit Bezug auf B-B (hier Druckform geeigneter als Energieform) 𝑝 + mit

𝜌 ∙𝑐 2

+𝜌∙𝑔∙𝑧 =𝑝 +

𝜌 ∙𝑐 2

+𝜌∙𝑔∙𝑧 +

∆𝑝

(Atmosphärendruck an den Stellen 0 und 2)

𝑝 =𝑝 =𝑝 𝑐 ≈0 𝑧 = 𝐻, 𝑧 = 0 ∆𝑝 =

𝜁"

∙

"

𝜌 ∙𝑐 2

(alle 𝜁-Werte auf Stelle 2 beziehen bzw. umrechnen!)

folgt 𝑐 =

2∙𝑔∙𝐻 = 1 + ∑ 𝜁" "

1 ∑ 1 + 𝜁"

2∙𝑔∙𝐻∙

=𝑐 "

∙

1 ∑ 1 + 𝜁"

(1)

"

Da ∑ 𝜁" " auch die Rohrreibung enthält, die von 𝑅𝑒 und damit von 𝑐 , bzw. auch von 𝑐 , abhängt, aber noch nicht bekannt ist, wird als Näherung die ideale Geschwindigkeit 𝑐 eingesetzt. Genau genommen wäre eine Iterationsrechnung gemäß Aufgabe 3.5.3-2 erforderlich! 𝑐 ≈𝑐

=

2∙𝑔∙𝐻 =

2 ∙ 9,81

𝑚 𝑚 ∙ 1000 𝑚 = 140 𝑠 𝑠

Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung wird daraus 𝑐

∙𝐴 =𝑐

∙𝐴

mit 𝐷 ∙𝜋 4 𝑑 ∙𝜋 𝐴 = 4 eingesetzt, ergibt sich 𝐴 =

𝑐

=𝑐

∙

𝐴 =𝑐 𝐴

∙

𝑑 𝐷

Die Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 wird daraus

= 140

𝑚 180 𝑚𝑚 ∙ 𝑠 400 𝑚𝑚

= 28,4

𝑚 𝑠

224

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑅𝑒 =

𝑐

∙𝐷 𝜈

°

𝑚 28,4 𝑠 ∙ 0,4 𝑚 = = 1,13 ∙ 10 → 𝑡𝑢𝑟𝑏𝑢𝑙𝑒𝑛𝑡! 𝑚 1 ∙ 10 𝑠

Aus dem Diagramm 𝜆 = 𝑓 𝑅𝑒,

(Abb. 3.5-5) lässt sich ablesen mit

𝑘 0,1 𝑚𝑚 = = 2,5 ∙ 10 𝐷 400 𝑚𝑚 Bzw. auch in alternativen Diagrammen 𝐷 400 𝑚𝑚 = = 4000 𝑘 0,1 𝑚𝑚 für 𝜆 𝜆 = 0,0144 Damit wird die Verlustziffer 𝜁 ∗ für die Rohrreibung (bezogen auf den Durchmesser 𝐷 bzw. die Rohrgeschwindigkeit 𝑐 , deswegen mit ∗ gekennzeichnet!) 𝐿 1200 𝑚 = 0,0144 ∙ = 43,2 𝐷 0,4 𝑚 Ebenfalls auf 𝐷 bzw. 𝑐 bezogen sind die Verlustziffern 𝜁∗ = 𝜆 ∙

Einlauf 𝜁

= 𝜁∗

2 Krümmer 45° 2 ∙ 𝜁 Krümmer 30° 𝜁

° °

2 Kugelschieber 2 ∙ 𝜁

= 0,91

= 2∙𝜁

=𝜁

∗

°

=2∙𝜁

Düse 𝜁 = 0,01

∗

∗

°

= 2 ∙ 0,12

= 0,08 = 2 ∙ 0 (voll geöffnet)

(auf 𝑐 bezogen)

Die 𝜁 -Ziffern müssen noch auf die Bezugsgeschwindigkeit 𝑐 umgerechnet werden (vgl. Kap. 1.5.5, Gl. 1.5-17) ∗

𝜁 = 𝜁 ∙

𝐷 𝐷

(mit Index 𝑖 für den einheitlichen Bezugsdurchmesser 𝑖 und Index 𝑇 für den jeweiligen Durchmesser 𝑇 der Tabellenangaben in der Literatur)

Also wird 𝐷 = 𝑑 und 𝐷 = 𝐷 gesetzt und man erhält 𝜁 = 𝜁∗ ∙

𝑑 𝐷

𝜁"

"

= → 𝜁∗

+ 𝜁∗ + 2 ∙ 𝜁∗

𝜁"

"

= (0,91 + 43,2 + 2 ∙ 0,12 + 0,08 + 0) ∙

𝜁"

"

= 1,832

Eingesetzt in (1) ergibt sich

°

+ 𝜁∗

°

+ 2 ∙ 𝜁∗ 180 400

∙

𝑑 𝐷

+ 0,01

+𝜁

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑐 =𝑐

1 1 + ∑ 𝜁"

∙

= 140 ∙ "

225

1 𝑚 = 83,2 1 + 1,832 𝑠

Zu b): Kontinuitätsgleichung 𝑄 =𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙

𝑑 ∙𝜋 0,18 𝑚 ∙ 𝜋 𝑚 = 83,2 ∙ = 2,12 4 4 𝑠

Zu c): Bernoulli-Gleichung (Druckform) in der Düse mit Verlusten zwischen Stellen 1 und 2 mit Bezug auf B-B: 𝑝 + mit

𝜌 ∙𝑐 2

+𝜌∙𝑔∙𝑧 =𝑝 +

𝜌 ∙𝑐 2

+ 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝑧 + ∆𝑝

÷

𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙𝐴 folgt 𝑐 =𝑐 ∙

𝐴 𝑑 =𝑐 ∙ 𝐴 𝐷

= 83,2

𝑚 0,180 ∙ 𝑠 0,400

= 16,85

𝑚 𝑠

Mit folgenden Vereinfachungen 𝑧 =0 𝑝 =𝑝 𝜌 ∙𝑐 2 ermittelt sich der Druck 𝑝 zu ∆𝑝

÷

= 𝜁

ü

∙

𝜌 𝜌 𝑝 = 𝑝 + (𝑐 − 𝑐 ) + 𝜁 ü ∙ ∙ 𝑐 2 2 𝜌 𝑝 = 𝑝 + ∙ (𝑐 (1 + 𝜁 ü ) − 𝑐 ) 2 998 𝑘𝑔 𝑚 𝑚 (1 + 0,01) − 16,87 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 + ∙ 83,2 2𝑚 𝑠 𝑠 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 + 33,47 𝑏𝑎𝑟 = 34,47 𝑏𝑎𝑟

∙

1 𝑏𝑎𝑟 1𝑁 ∙ 𝑁 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 10 1 𝑚 𝑠

226

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Austrittsgeschwindigkeit 𝑐 = 83,2 b) Volumenstrom 𝑄 = 2,12 c) Druck am Düseneintritt 𝑝 = 34,47 𝑏𝑎𝑟 Diskussion: Die größten Verluste treten in der langen Rohrleitung auf, während die Strömungseinbauten nur geringe Verluste verursachen. Das ändert sich gravierend, wenn die Kugelschieber zunehmend geschlossen werden. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Standard-Einheitenumrechnung Bei Anwendungen der Bernoulli-Gleichung in den verschiedenen Formen treten regelmäßig stets die gleichen Einheitenumrechnungen auf. Diese sind in Abb. 3.5-7 zusammengefasst und lassen eine schnellere Ergebnisfindung zu. Bernoulligl. Form Druckform

Spezifische Energieform

Höhenform

Term 𝜌 ∙𝑐 2

EinheitenErgebnis 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑚 𝑠

𝜌∙𝑔∙𝑧

𝑘𝑔 𝑚 ∙ ∙𝑚 𝑚 𝑠

𝑐 2

𝑚 𝑠

𝑔∙𝑧

𝑚 ∙𝑚 𝑠

𝑝 𝜌∙𝑔 𝑐 2∙𝑔

𝑏𝑎𝑟 𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑚 𝑠 𝑚 𝑚 𝑠 ∙ 𝑠

Einheitenerweiterung (zur Umrechnung) 1 𝑏𝑎𝑟 ∙ 𝑘𝑔 10 𝑚∙𝑠 1 𝑏𝑎𝑟 ∙ 𝑘𝑔 10 𝑚∙𝑠 1 𝑁𝑚 1𝐽 ∙ 𝑏𝑧𝑤. ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 1 1 𝑠 𝑠 1 𝑁𝑚 1𝐽 ∙ 𝑏𝑧𝑤. ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 1 1 𝑠 𝑠 𝑘𝑔 10 𝑚∙𝑠 ∙ 1 𝑏𝑎𝑟

Ergebnis 𝑏𝑎𝑟

𝑏𝑎𝑟

𝑁𝑚 𝐽 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑁𝑚 𝐽 𝑜𝑑𝑒𝑟 𝑘𝑔 𝑘𝑔 𝑚

𝑚 ∙1

Abb. 3.5-7: Tabelle für eine standardisierte Einheiten-Umrechnung ___________________________________________________________________________________________

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

227

Aufgabe 3.5.5-3 Prüfstand zur Durchflussmessung Der in Abb. 3.5-8 dargestellte Prüfstand dient zur Kalibrierung verschiedener Durchflussmessgeräte für Wasser. Alle wichtigen Daten sind in der Abbildung enthalten. Wie groß sind die Volumenströme 𝑄 in

, wenn die Pumpe einen Volumenstrom von 𝑄 = 100

in die beiden

Teilstränge einspeist?

Abb. 3.5-8: Prüfstand zur Durchflussmessung

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. Was wird nicht benötigt? Die Höhendifferenzen ∆ℎ und ∆ℎ der U-Rohr-Manometer dienen zwar dazu, die Einzelvolumenströme zu messen (∆ℎ ~ 𝑐 ~ 𝑄, nach DIN 1952 für Blenden). Da jedoch der Gesamtvolumenstrom 𝑄 vorgegeben wurde, werden nur die Verlustziffern 𝜁 für die Druckverluste ∆𝑝 benötigt.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Reihenschaltung und Parallelschaltung von Strömungselementen (Kap. 1.5.5.1 und 1.5.5.2) Verlustziffer und Rohrreibungsverluste Bernoulli-Gleichung wird nicht benötigt, obwohl Skizze das suggeriert.

228

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Widerstände 𝑅 für jeden Strang ermitteln (Einzelverluste und Rohrreibung bei Reihenschaltung), dann Gesamtwiderstand R für Parallelschaltung. Daraus dann 𝑄 berechnen.

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Einzelwiderstand 𝑅 =

𝜁 ∙𝜌 𝜁 𝜌 𝜁 ∙𝜌∙8 = ∙ = 𝐴 ∙2 𝐷 ∙𝜋 2 𝐷 ∙𝜋 4

(falls nur ein Widerstand im Rohrstrang 𝑖)

bzw. bei Reihenschaltung (mit dem „Trick“ der Multiplikation mit 1 = 𝑅 =

(∑ 𝜁 ) ∙ 𝜌 ∙ 8 𝜌 ∙ 8 (∑ 𝜁 ) ∙ 𝐷 = ∙ 𝜋 𝐷 ∙𝜋 𝐷

(1)

)

(falls mehrere Widerstände im Rohrstrang 𝑖)

(2)

Weiter aufgelöst: 𝑅 = Mit 𝜆 ∙ 𝑅 =

𝜌∙8 ∙ 𝜋

𝜁 ∙𝐷 + 𝜆∙

𝐿 ∙𝐷 𝐷

∙

1 𝐷

=𝜁 𝜌∙8 ∙ 𝜋

𝜁 ∙𝐷 +𝜆∙𝐿 ∙

1 𝐷

(3)

Mit dem vorgegebenen Wert 𝑘 = 1 𝑚𝑚 werden im Fall der vorliegenden Rohrdurchmesser (𝐷 = 0,1 𝑚 und 𝐷 = 0,15 𝑚) die 𝜆-Werte im „hydraulisch rauen“ Bereich erwartet. Die 𝜆Werte sind damit nicht mehr von 𝑅𝑒, sondern nur noch von (bzw. ) abhängig. Aus den bekannten Rohrreibungsdiagrammen (vgl. Abb. 3.5-5) erhält man 𝑘 1 𝑚𝑚 = = 0,01 → 𝜆 ≈ 0,038 𝐷 100 𝑚𝑚 𝑘 1 𝑚𝑚 Teilstrang 2 → = = 0,0067 → 𝜆 ≈ 0,033 𝐷 150 𝑚𝑚 Teilstrang 1 →

Jetzt lassen sich die Widerstände 𝑅 der Einzelstränge bei Reihenschaltung (nach Gl. (3)) berechnen, wenn aus der Fachliteratur für die Krümmer noch ermittelt wird: 𝐷 0,1 𝑚 = = 0,166 → 𝜁 𝑟 0,6 𝑚 𝐷 0,15 𝑚 Teilstrang 2 → = = 0,25 → 𝜁 𝑟 0,6 𝑚 Teilstrang 1 →

= 0,18

(2-mal)

= 0,23

(2-mal)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Widerstand 𝑅 =

8 ∙ 1000 𝑘𝑔 1 ∙ (0,18 ∙ 2 + 4 + 0,2) ∙ 0,1 𝑚 + (0,038 ∙ 7𝑚) ∙ 𝜋 𝑚 0,1 𝑚

𝑅 = 5,86 ∙ 10 Widerstand 𝑅 =

229

𝑘𝑔 𝑚

8 ∙ 1000 𝑘𝑔 1 ∙ (0,23 ∙ 2 + 6 + 0,2) ∙ 0,15𝑚 + (0,033 ∙ 7𝑚) ∙ 𝜋 𝑚 0,15 𝑚

𝑅 = 1,31 ∙ 10

𝑘𝑔 𝑚

Nach Kap. 1.5.5.2, Gl. 1.5-22 ergibt sich 1

𝑅= ∑

1

= 1 𝑅

1

=

1 1 + 𝑅 𝑅

⎛

1

𝑘𝑔 5,86 ∙ 10 ⎝ 𝑚 𝑅 = 6,04 ∙ 10

+

1

⎞ 𝑘𝑔 1,31 ∙ 10 𝑚 ⎠

𝑘𝑔 𝑚

Mit Gl. 1.5-21b aus Kap. 1.5.5.2 ergibt sich nach Umstellung der Druckverlust ∆𝑝 zwischen den Stellen A und B zu ∆𝑝 = 𝑅 ∙ 𝑄 = 6,04 ∙ 10

𝑘𝑔 𝑚 ∙ 100 𝑚 ℎ

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 1ℎ 1 𝑚𝑖𝑛 ∙ ∙ 𝑚 ∙ℎ 60 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 𝑘𝑔 1ℎ 𝑘𝑔 ∆𝑝 = 6,04 ∙ 10 ∙ = 4660 𝑚 ∙ ℎ (3600) 𝑠 𝑚∙𝑠 Mit Gl. 1.5-21a aus Kap. 1.5.5.2 wird schließlich ∆𝑝 = 6,04 ∙ 10

𝑄 =

∆𝑝 = 𝑅

𝑄 =

∆𝑝 = 𝑅

𝑘𝑔 𝑚 ∙ 𝑠 = 0,00892 𝑚 ∙ 3600 𝑠 = 32,1 𝑚 𝑘𝑔 𝑠 1ℎ ℎ 5,86 ∙ 10 𝑚 𝑘𝑔 4660 𝑚 ∙ 𝑠 = 0,01887 𝑚 ∙ 3600 𝑠 = 67,93 𝑚 𝑘𝑔 𝑠 1ℎ ℎ 1,31 ∙ 10 𝑚 4660

230

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Volumenstrom 𝑄 ≈ 32,1 Teilvolumenstrom

𝑚 ℎ

𝑄 ≈ 67,9

𝑚 ℎ

Gesamtvolumenstrom 𝑄 = 𝑄 + 𝑄 = 100

𝑚 → 𝑜𝑘! ℎ

Diskussion: Da mit dem angenommenen 𝑘-Wert eine „hydraulisch raue“ Strömung (𝜆 unabhängig von 𝑅𝑒) angenommen wurde, müsste dies anhand der Ergebnisse für 𝑄 überprüft und eventuell iterativ verbessert werden. Aus 𝑄 = 𝑐 ∙ 𝐴 folgt: Leitungsstrang 1: 𝑚 32,1 𝑄 𝑄 ℎ = 4089,2 𝑚 ∙ 1 ℎ = 1,14 𝑚 𝑐 = = = 𝐴 ℎ 3600 𝑠 𝑠 𝐷 ∙ 𝜋 0,1 𝑚 ∙ 𝜋 4 4 Damit wird 𝑅𝑒 =

𝑚 1,14 𝑠 ∙ 0,1 𝑚 𝑐 ∙𝐷 = = 1,14 ∙ 10 𝑚 𝜈 1 ∙ 10 𝑠

(wie angenommen!)

Leitungsstrang 2: 𝑚 67,9 𝑄 𝑄 𝑚 1ℎ 𝑚 ℎ 𝑐 = = = = 3844,3 ∙ = 1,07 𝜋 𝐴 ℎ 3600 𝑠 𝑠 𝐷 ∙ 𝜋 0,15 𝑚 ∙ 4 4 𝑚 1,07 𝑠 ∙ 0,15 𝑚 𝑐 ∙𝐷 𝑅𝑒 = = = 1,6 ∙ 10 (wie angenommen!) 𝑚 𝜈 1 ∙ 10 𝑠 Damit erübrigt sich eine Iterationsrechnung für den Rohrreibungsbeiwert 𝜆.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

231

3.6 Aufgaben zu Kap. 1.6 (Umströmung/dynamischer Auftrieb) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen: -

-

Reibungsbehaftete Umströmung von Körpern Grenzschichten und Reibungswiderstand Formwiderstand Gesamtwiderstand umströmter Körper Dynamischer Auftrieb (Querkraft).

Aufgabe 3.6.1-1 Segelflugzeug-Tragflügelreibung Ein Segelflugzeug weist Tragflügel mit einer Fläche 𝐴 = 23 𝑚 und eine Spannweite 𝑏 = 29 𝑚 auf. Die Fluggeschwindigkeit soll 𝑐 = 200

betragen.

a) Wie groß darf die Oberflächenrauigkeit 𝑘 sein, wenn die Annahme „turbulent glatt“ gilt und die Grenzschicht mit „laminar“ beginnen soll? b) Wie groß ist der Gesamtwiderstandsbeiwert 𝑐 bei a)? c) Wie groß ist die Widerstandsreduzierung durch ein sogenanntes „Laminarprofil“, bei dem auf dem gesamten Tragflügel eine laminare Grenzschicht vorliegt?

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren, Skizze anfertigen und erforderliche Daten eintragen (Abb. 3.6-1).

Abb. 3.6-1: Tragflügel vereinfacht als Rechteckplatte

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Plattengrenzschicht. Zu a) 𝑘 -Bedingung (Kap. 1.6.1, Gl.1.6-8). Zu b) und c) Reynolds-Zahl 𝑅𝑒, Plattenreibungsdiagramm.

232

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a) 𝑘 -Bedingung umstellen nach 𝑘

.

Zu b) 𝑅𝑒 → Grenzkurve „turbulent glatt“→ 𝑐 . Beachte: 𝑐 gilt nur für eine Tragflügelseite → 𝑐

=2∙𝑐 !

(Ober- und Unterseite sind Reibungsflächen) Zu c) 𝑅𝑒 → „Laminar“-Kurve → 𝑐

→𝑐

,

=2∙𝑐

.

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Bedingung für Grenzschicht „turbulent glatt“ (= hydraulisch glatt) gemäß Kap. 1.6.1, Gl. 8 𝑐 ∙𝑘 ≤ 100 → 𝑘 𝜈

≤

𝜈 ∙ 100 𝑐

mit 𝜈 = 15 ∙ 10

𝑚 𝑠

(Luft)

𝑘𝑚 1 ℎ 10 𝑚 𝑚 ∙ ∙ = 55,6 ℎ 3600 𝑠 1 𝑘𝑚 𝑠 ergibt sich für 𝑐 = 200

𝑘

≤

𝑚 𝑠 ∙ 100 ∙ 10 𝜇𝑚 = 27 𝜇𝑚 𝑚 1𝑚 55,6 𝑠

15 ∙ 10

D. h. es ist eine sehr hohe Oberflächengüte gefordert, um die verlustärmste Reibungsgrenzschicht bei üblicher turbulenter Strömung zu erzielen.

Zu b): 𝑅𝑒 =

𝑚 𝑐 ∙ 𝐿 55,6 𝑠 ∙ 0,8 𝑚 = ≈ 3 ∙ 10 𝑚 𝜈 15 ∙ 10 𝑠

Für eine Flügelseite erhält man aus dem Plattenreibungsdiagramm bei 𝑅𝑒 = 3 ∙ 10 und „hydraulisch glatter“ Strömungsgrenzschicht (Abb. 1.6-5) 𝑐 ≈ 3,8 ∙ 10 𝑐 = 2 ∙ 𝑐 = 7,6 ∙ 10

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

233

Zu c): Die rein laminare Grenzschicht würde bei der gleichen 𝑅𝑒-Zahl nur einen Widerstandsbeiwert 𝑐

,

≈2∙𝑐

= 2 ∙ 0,75 ∙ 10

= 1,5 ∙ 10

ergeben. Durch Laminarhalten der Grenzschicht wird 𝑐 also deutlich reduziert (um ca. 80 %): 𝑐

,

𝑐

=

1,5 ∙ 10 7,6 ∙ 10

≈ 0,2

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Oberflächenrauigkeit 𝑘

= 27 𝜇𝑚

b) Widerstandsbeiwert 𝑐

≈ 7,6 ∙ 10

c) Widerstandsbeiwert 𝑐

,

(turbulent glatt)

≈ 1,5 ∙ 10

(laminar)

Diskussion: Sogenannte Laminarprofile werden dadurch erzeugt, indem das Dickenmaximum des Tragflügels weiter nach hinten verschoben wird. Durch den deutlich geringeren Widerstand kann die (mögliche) Flugstrecke wesentlich erweitert werden.

Aufgabe 3.6.3-1 PKW-Formwiderstand und Antriebsleistung Ein PKW fährt mit 100

. Er weist einen Formwiderstandsbeiwert 𝑐 = 0,42 und eine

Spannfläche (Stirnfläche) 𝐴 = 2 𝑚 auf. Die Dichte von Luft beträgt 𝜌 = 1,2

.

a) Wie groß ist der Luftwiderstand 𝐹 in 𝑁? b) Wie groß ist die Antriebsleistung 𝑃 zur Überwindung des Luftwiderstands in 𝑘𝑊?

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Zu a) Formwiderstand 𝐹 umströmter Körper. Zu b) Antriebsleistung 𝑃 = 𝑓(𝑐 , 𝐴, 𝑐 ).

234

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zuerst 𝐹 berechnen, dann 𝑃 .

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Der Formwiderstand 𝐹 berechnet sich gemäß Kap. 1.6.3, Gl. 1.6-11 zu 𝐹 =𝑐 ∙

𝜌 ∙𝑐 ∙𝐴 2

Mit 𝑐 = 100

𝑘𝑚 1ℎ 1 𝑚𝑖𝑛 10 𝑚 100 𝑚 𝑚 ∙ ∙ ∙ = ∙ = 27,8 ℎ 60 𝑚𝑖𝑛 60 𝑠 1 𝑘𝑚 3,6 𝑠 𝑠

ergibt sich die Widerstandskraft zu 𝐹 = 0,42 ∙

1,2 𝑘𝑔 𝑚 1𝑁 ∙ 27,8 ∙2𝑚 ∙ = 389,5 𝑁 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 2𝑚 𝑠 1 𝑠

Zu b): Die Antriebsleistung 𝑃 berechnet sich gemäß Kap. 1.6.3, Gl. 1.6-12 zu 𝑃 = 𝐹 ∙ 𝑐 = 389,5 𝑁 ∙ 27,8

𝑚 1𝑊 1 𝑘𝑊 ∙ ∙ = 10,83 𝑘𝑊 𝑠 1 𝑁 ∙ 𝑚 10 𝑊 𝑠

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Formwiderstand 𝐹 = 389,5 𝑁 ≈ 390 𝑁 b) Antriebsleistung 𝑃 = 10,83 𝑘𝑊 ≈ 10,9 𝑘𝑊 Diskussion: Durch die PKW-Umströmung entsteht bei hohen Geschwindigkeiten ein Auftrieb, der die Bodenhaftung verringert. Dieser Auftrieb kann bis zu 10 % des Fahrzeuggewichts betragen und durch Heck-Spoiler reduziert bzw. in einen Abtrieb verwandelt werden. Bis zu einer Geschwindigkeit von ca. 70

ist der Rollwiderstand größer als der Luftwiderstand. Die

Seitenwind-Empfindlichkeit steigt, je kleiner der 𝑐 -Wert des Fahrzeuges ist. Falls der betrachtete PKW statt mit 𝑐 = 100

mit 𝑐 = 160

fährt, würde die Leistung

𝑃 um den Faktor 4,1 steigen, um den Luftwiderstand zu überwinden.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

235

Aufgabe 3.6.4-1 Boeing 747-Auftriebsbeiwert Der „JumboJet“ Boeing 747 besitzt eine Flügelfläche von 511 𝑚 (= 𝑏 ∙ 𝐿). Das Startgewicht beträgt 𝑚 = 320 ∙ 10 𝑘𝑔. Die Reiseflug-Machzahl sei 𝑀𝑎 = 0,9. Beim Start soll eine Abhebegeschwindigkeit 𝑐

= 234

vorliegen.

a) Wie groß ist der erforderliche Auftriebsbeiwert 𝑐

für den Reiseflug in 11 𝑘𝑚 Höhe.

In dieser Höhe soll die Schallgeschwindigkeit 𝑎 = 295 b) Wie groß muss der Auftriebsbeiwert 𝑐 am Flügelende) sein?

betragen.

beim Abheben (mit ausgefahrenen Klappen

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.6-2).

Abb. 3.6-2: Schematische Darstellung der Kräfte bei einem Reiseflug

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Zu a): Widerstand und Querkraft umströmter Körper. Stoffwerte Luft. Zu b): Analog zu a).

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): Reisegeschwindigkeit 𝑐

aus 𝑀𝑎-Zahl bestimmen.

Dichte 𝜌 in 11 𝑘𝑚 Höhe ermitteln (Standard-Atmosphäre). 𝑐

aus Auftriebsformel berechnen, mit 𝐹 = 𝐺!

236

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Zu b): 𝑐

umrechnen in .

Dichte 𝜌 in 0 𝑘𝑚 Höhe ermitteln. 𝑐

aus Auftriebsformel berechnen, mit 𝐹 = 𝐺!

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Aus der Definition der Mach-Zahl (Kap. 1.8.3.2) 𝑀𝑎 =

folgt die Reisegeschwindigkeit

𝑚 𝑚 = 266 𝑠 𝑠 In 11 𝑘𝑚 Höhe findet man aus Tabellen für die Standard-Atmosphäre den Wert für die Dichte 𝑐

= 𝑀𝑎 ∙ 𝑎 = 0,9 ∙ 295

𝑘𝑔 𝑚 Gemäß Kap 1.6.4, Gl. 1.6-13 wird der Auftriebsbeiwert 𝑐 bestimmt durch 𝜌 = 0,365

𝑐

=𝜌 2 ∙𝑐

𝐹 ∙𝑏∙𝑙

Mit der Bedingung, dass die Auftriebskraft 𝐹 die gesamte Gewichtskraft 𝐺 des Flugzeugs kompensieren muss (→ 𝐹 = 𝐺 = 𝑚 ∙ 𝑔!), lässt sich der erforderliche Auftriebsbeiwert bei Reisegeschwindigkeit in 11 𝑘𝑚 Höhe berechnen zu 𝑐

𝑚∙𝑔

=𝜌 2 ∙𝑐

∙𝑏∙𝑙

320 ∙ 10 𝑘𝑔 ∙ 9,81 =

0,365 𝑘𝑔 𝑚 2 ∙ 𝑚 ∙ 266 𝑠

𝑚 𝑠

= 0,48

∙ 511 𝑚

Dieser Auftriebs- (besser: Querkraft-) Beiwert muss durch die Tragflügelgestaltung und den Triebwerksschub realisiert werden.

Zu b): Für die 𝑐

-Berechnung beim Start muss die in

vorgegebene Absolutgeschwindigkeit in

umgerechnet werden: 𝑐

= 234

𝑘𝑚 1 ℎ 10 𝑚 𝑚 ∙ ∙ = 65 ℎ 3600 𝑠 1 𝑘𝑚 𝑠

Die Dichte 𝜌 in 0 𝑘𝑚 Höhe bei Standard-Atmosphäre beträgt 𝜌

= 1,23

𝑘𝑔 𝑚

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

237

Auch beim Abheben gilt die Gleichgewichtsbedingung 𝐹 = 𝐺 = 𝑚 ∙ 𝑔 und somit der erforderliche Start-Auftriebsbeiwert 𝑐

𝑚∙𝑔

=𝜌 2 ∙𝑐

∙𝑏∙𝑙

320 ∙ 10 𝑘𝑔 ∙ 9,81 =

1,23 𝑘𝑔 𝑚 2 ∙ 𝑚 ∙ 65 𝑠

𝑚 𝑠

= 2,36

∙ 511 𝑚

Dieser Wert ist nur durch das Ausfahren der Startklappen erreichbar, wodurch die „Wölbung“ der Tragflügel vergrößert wird.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Reiseflug-Auftriebsbeiwert 𝑐

= 0,48

b) Abhebe-Auftriebsbeiwert 𝑐

= 2,36

Diskussion: Beim Abheben (Start) muss allerdings nicht der volle 𝑐 -Wert erreicht werden, da durch die Flugzeugneigung die vertikale Schubkomponente der Triebwerke mitträgt. Die Schubkraft der Triebwerke beträgt 8 ∙ 10 𝑁, also etwa ein Viertel der Gewichtskraft 𝐺 (= 31,4 ∙ 10 𝑁).

238

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

3.7 Aufgaben zu Kap. 1.7 (Krafteinwirkung bei Fluidströmungen) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen:

- Impulssatz - Drehimpulssatz (Drallsatz). Aufgabe 3.7.1-1 Kraft auf durchströmten Krümmer Ein horizontal liegender Rohrkrümmer wird von einem Fluid der Dichte 𝜌 durchströmt. Vorgegeben sind die Eintrittsgeschwindigkeit 𝑐 , Überdruck 𝑝 im Eintrittsquerschnitt 𝐴 , der Austrittsquerschnitt 𝐴 und der Winkel 𝛽, unter dem das Fluid gegenüber dem Eintritt aus dem Rohr strömt. Wie ermittelt sich die Stützkraft 𝐹⃗ des Krümmers auf die Strömung, bzw. die Strömungskraft 𝑅 ⃗ des Fluids auf den Krümmer? Sowohl die Vektor- als auch die Komponentenbetrachtung ist anzuwenden.

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.7-1). Obligatorisch ist in beiden Betrachtungsweisen eine geschickte Wahl des Kontrollvolumens 𝐾𝑉 (vgl. Abb. 1.7-5).

Abb. 3.7-1: Strömungsgrößen und Kontrollvolumen 𝐾𝑉 bei einem Rohrkrümmer

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

239

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Impulssatz bei Vektor- und Komponentenbetrachtung anwenden. Kontinuitätsgleichung (für 𝑐 ) und Bernoulli-Gleichung (für 𝑝 ) benötigt.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen - 𝑐 aus Kontinuitätsgleichung - 𝑝 aus Bernoulli-Gleichung - Kontrollvolumen 𝐾𝑉 geschickt annehmen a) Impulssatz bei Vektorbetrachtung b) Impulssatz bei Komponentenbetrachtung

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Zur Anwendung des Impulssatzes bei Vektorbetrachtung ist es sinnvoll, die Vektoren in eine Skizze einzutragen (Abb. 3.7-2), die Gleichungen Gl. 1.7-5, 1.7-6 und Gl. 1.7-7 aus Kap. 1.7.1 praxisnah umzuformen und die Ergebnisse in einem Kräfteplan einzutragen. In Abb. 3.7-2 sind die relevanten Kräfte und Impulsströme gezeigt. Der Krümmer wird durch das gewählte Kontrollvolumen 𝐾𝑉 repräsentiert.

Abb. 3.7-2: Schematische Kräfte und Impulsströme (Impulskräfte) bei einem Krümmer

Die vollständige Vektorgleichung aus Kap. 1.7.1, Gl. 1.7-5 lautet 𝑚̇ ∙ 𝑐 ⃗ − 𝑚̇ ∙ 𝑐 ⃗ = 𝐹 ⃗ + 𝐹 ⃗ + 𝐹 ⃗ + 𝐹⃗

(1)

Unter praktischen Gesichtspunkten lassen sich die einzelnen Terme konkretisieren (mit ihren jeweiligen Beträgen):

240

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

austretender Impulsstrom 𝑚̇ ∙ 𝑐 ⃗ = 𝐼 ̇ = 𝜌 ∙ 𝑄 ∙ 𝑐 = 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ 𝑐 𝑚̇ ∙ 𝑐 ⃗ = 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐

(2)

eintretender Impulsstrom 𝑚̇ ∙ 𝑐 ⃗ = 𝐼 ̇ = 𝜌 ∙ 𝑄 ∙ 𝑐 = 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ 𝑐 𝑚̇ ∙ 𝑐 ⃗ = 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐 Schwerkraft (Volumenkraft auf 𝐾𝑉) 𝐹 ⃗ ≈ 0 (kleiner Krümmer)

(3) (4)

Druckkraft (auf freie Oberfläche 𝐴 ) 𝐹 ⃗ = 𝐹 ⃗ + 𝐹 ⃗ = 𝑝 ⃗ ∙ 𝐴 + 𝑝 ⃗ ∙ 𝐴 Reibungskraft (auf freie Oberfläche 𝐴 ) 𝐹 ⃗ ≈ 0 (geringe Reibung)

(5)

Stützkraft (Druck + Reibung auf Körper- 𝐹⃗ = ? (gesucht) oberfläche 𝐴 )

(7)

(6)

Die Umstellung von Gl. (1) auf die gesuchte Stützkraft 𝐹⃗ bzw. 𝑅 ⃗ ergibt −𝐹⃗ = 𝑅 ⃗ = 0 + 𝐹 ⃗ + 𝐹 ⃗ + 0 + 𝐼⃗̇ + (−𝐼⃗̇ )

(8)

Als Beträge der Kräfte liefern die Gleichungen (3) bis (5) 𝐹

=𝑝 ∙𝐴

𝐹

=𝑝 ∙𝐴

𝐼̇ = 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐 𝐼̇ = 𝜌 ∙ 𝐴 ∙ 𝑐

(8a)

Damit ergibt sich ein schematischer Kräfteplan, wie in Abb. 3.7-3 dargestellt. Aus einer derart maßstabsgetreu erstellten Zeichnung lassen sich die gesuchten Größen −𝐹⃗ = 𝑅 ⃗ und deren Richtungen ermitteln.

Abb. 3.7-3: Kräfteplan zur Bestimmung von 𝑅 nach Größe und Richtung (Maßstäbe beachten) ___________________________________________________________________________________________

Beachte Die Druckkräfte 𝐹 und Impulsströme im Ausströmquerschnitt an Stelle 2 werden immer entgegen der Strömungsrichtung angetragen! Die Resultierende aus allen Kräften und Impulsströmen liefert die Strömungskraft des Fluids auf den Krümmer 𝑅 . Der Krümmer muss mit dem gleichen Betrag, aber entgegengesetzter Richtung abgestützt werden (𝐹⃗ = −𝑅 ⃗). ___________________________________________________________________________________________

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

241

Für eine festigkeitsmäßige Auslegung der Krümmer-Abstützung muss nicht nur die Größe und Richtung von 𝑅 (bzw. 𝐹 ) bekannt sein, sondern auch deren Angriffspunkt. Dieser folgt aus dem Drallsatz und liegt im Schnittpunkt der verlängerten Wirkungslinien von 𝑐 und 𝑐 (Abb. 3.7-4).

Abb. 3.7-4: Bestimmung der Angriffspunkte der resultierenden Strömungskraft 𝑅 auf den Krümmer (bzw. deren Komponenten 𝑅 und 𝑅 )

Zu b): Wird die Komponentenbetrachtung angewendet, so entfällt der Kräfteplan. Stattdessen muss zwingend ein Koordinatensystem vorgegeben werden. Abb. 3.7-5 enthält Details zu Geschwindigkeits-, Druckkraft- und Impulsstrom-Komponenten, die bei der weiteren Berechnung benötigt werden.

242

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.7-5: Kontrollvolumen 𝐾𝑉 und darauf einwirkende Druck- und Impulsstrom-Kräfte mit den jeweiligen 𝑥und 𝑦-Komponenten

Es ist bei einiger Übung sinnvoll, die Vorzeichen der jeweiligen Kraftkomponenten vor der weiteren Berechnung in einer Tabelle zusammenzufassen (Abb. 3.7-6), statt jeweils ausführlich die Skizzen gemäß Abb. 3.7-5 anzufertigen.

𝐹

KomponentenVorzeichen +𝑝

𝐹

(0!)

Kräfte Eintritt 1

Austritt 2

𝐼̇

+𝑐

𝐼̇ 𝐹

(0!) −𝑝

𝐹

−𝑝

𝐼̇

+𝑐

𝐼̇

+𝑐

Abb. 3.7-6: Vorzeichentabelle für die Komponentenbetrachtung (vgl. Hinweise Kap. 1.7.1)

Gemäß Gl. 1.7-8 aus Kap. 1.7.1 und der analogen Gl. 1.7-9 und 1.7-10 für die 𝑥- und 𝑦Komponenten ergibt sich für die 𝑥-Richtung: 𝐼̇ − 𝐼̇ 𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝐹 − 𝑚̇ ∙ 𝑐

+𝐹 =𝐹

+𝐹 +𝐹

(9a)

+𝐹 +𝐹

+𝐹

(9b)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

243

Detailliert ausgeschrieben (Vorzeichen gemäß Abb. 3.7-6) 𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝜌∙𝑄∙𝑐

𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝜌∙𝑄∙𝑐

= 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ 𝑐 = 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ 𝑐

𝐹

≈ 0 (kleiner Krümmer)

𝐹

=𝐹

= 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ (+𝑐 ∙ cos 𝛽) = 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ (+𝑐 )

= 𝑝 ∙ 𝐴 + 𝑝 ∙ 𝐴 = +𝑝 ∙ 𝐴 + (−𝑝 ∙ 𝐴 ∙ cos 𝛽) (vgl. Abb. 3.7-5)

+𝐹

Anmerkung: Im Term 𝑝 ∙ 𝐴 ∙ cos 𝛽 entspricht 𝐴 ∙ cos 𝛽 der projizierten Fläche 𝐴 . 𝑝 ist zwar eine skalare Größe, wirkt aber senkrecht auf diese Fläche und erzeugt durch Multiplikation mit 𝐴 den Vektor 𝐹 . 𝐹 𝐹

≈ 0 (geringe Reibung) = −𝑅 (vgl. Kap. 1.7.1)

Nach dem Einsetzen des Vorstehenden ergibt sich Gl. 9b zu 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ (𝑐 ∙ cos 𝛽) − 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ (𝑐 ) = 0 + 𝑝 ∙ 𝐴 + (−𝑝 ∙ 𝐴 ∙ cos 𝛽) + 0−𝑅 Umgestellt nach 𝑅 , also der Fluidkraft in 𝑥-Richtung auf die Wand, resultiert daraus 𝑅

(9c)

= (𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑐 ) ∙ 𝐴 − (𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑐 ) ∙ 𝐴 ∙ cos 𝛽

𝑦-Richtung: 𝐼̇ − 𝐼̇ 𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝐹

+𝐹

− 𝑚̇ ∙ 𝑐

+𝐹

=𝐹

+𝐹

(10a)

+𝐹 +𝐹

+𝐹

(10b)

Einsetzen der Details unter Beachtung der Vorzeichen gemäß Abb. 3.7-6 liefert analog zur 𝑥-Richtung: 𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝜌∙𝑄∙𝑐

𝑚̇ ∙ 𝑐

=𝜌∙𝑄∙𝑐

= 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ 𝑐 = 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ 𝑐

𝐹

≈ 0 (kleiner Krümmer)

𝐹

=𝐹

𝐹

≈ 0 (geringe Reibung)

𝐹

= −𝑅

+𝐹

=𝑝

∙𝐴 +𝑝

= 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ (+𝑐 ∙ sin 𝛽) = 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ (0) = 0!

∙ 𝐴 = 0 ∙ 𝐴 + (− 𝑝 ∙ 𝐴 ∙ sin 𝛽) (vgl. Abb. 3.7-5)

Einsetzen in Gl. (10b) liefert 𝜌 ∙ (𝑐 ∙ 𝐴 ) ∙ (+𝑐 ∙ sin 𝛽) − 0 = 0 + 0 + (−𝑝 ∙ 𝐴 ∙ sin 𝛽) + 0 − 𝑅 Umgestellt nach 𝑅 𝑅

= −(𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑐 ) ∙ 𝐴 ∙ sin 𝛽

(10c)

Das negative Vorzeichen bedeutet, dass die 𝑅 -Komponente entgegen zur gewählten 𝑦Koordinate wirkt (Abb. 3.7-7).

244

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.7-7: Schematische Darstellung der Fluidkraft 𝑅 auf den durchströmten Krümmer

Die resultierende Fluidkraft 𝑅 auf den Krümmer ermittelt sich zu 𝑅 =

(10d)

𝑅 +𝑅

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt bei dieser Aufgabe.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) Das Ergebnis der Vektorbetrachtung ist in Abb. 3.7-3 und Abb. 3.7-4 zu sehen b) Das Ergebnis der Komponentenbetrachtung ist in Gl. 9c, 10c und 10d sowie in Abb. 3.7-7 dargestellt. Diskussion: Die Vektorbetrachtung erfordert eine zeichnerische Erstellung eines Kräfteplans und teilweise die Berücksichtigung von etwas abstrakten Besonderheiten (z. B. −𝐼 ̇ am Austritt). Bei der Komponentenbetrachtung führt eine systematische Vorgehensweise einfacher und logischer zum gewünschten Ergebnis.

Aufgabe 3.7.2-1 Theoretische Kennlinie einer Kreiselpumpe Unter der Voraussetzung einer drallfreien Zuströmung und einer verlustfreien Strömung, ist mit dem „∞-Ansatz“ der theoretische Kennlinienverlauf 𝑌 = 𝑓(𝑄) einer Radial-Kreiselpumpe, mit den in Abb. 3.7-8 gezeigte Daten, zu ermitteln. 𝑌

soll in

und Q in

grafisch

dargestellt und der tatsächliche Kennlinienverlauf mit Verlusten qualitativ ebenfalls eingezeichnet werden.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

245

Abb. 3.7-8: Daten einer Radial-Kreiselpumpe

(1) Aufgabe klären Wichtiges markieren und Skizze ergänzen (in rot).

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Kontinuitätsgleichung, Eulersche Hauptgleichung, Geschwindigkeitsdreiecke, Physikalische Grundformeln.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 1. 𝑄 aus Kontinuitätsgleichung und Geschwindigkeitsdreiecken bestimmen 2. 𝑌 aus Eulersche Hauptgleichung und Austrittsgeschwindigkeitsdreieck berechnen 3. Kennlinie 𝑌 = 𝑓(𝑄) und 𝑌 = 𝑓(𝑄) zeichnen

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu 1.: Volumenstrom 𝑄 Hilfreich sind hierbei die in Kap. 1.4.2.2 gegebenen Informationen zu den Geschwindigkeitsdreiecken. Es gilt allgemein die Vektorbeziehung 𝑐⃗ = 𝑤⃗ + 𝑢⃗ Mit den gegebenen Werten

(1)

246

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑐

= 0 (drallfreier Eintritt)

𝑐

=𝑐

𝑢 = 𝐷 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛 = 80𝑚𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 1500 𝑢 = 6,28

1 1𝑚 1 𝑚𝑖𝑛 ∙ ∙ 𝑚𝑖𝑛 10 𝑚𝑚 60 𝑠

𝑚 𝑠

(2) (3)

Aus dem Geschwindigkeitsdreieck am Eintritt (Abb. 3.7-9) folgt die trigonometrische Beziehung tan 𝛽 =

𝑐 𝑢

(4)

Abb. 3.7-9: Eintrittsgeschwindigkeitsdreieck einer Kreiselpumpe bei drallfreiem Eintritt

Gl. (4) umgestellt nach 𝑐 𝑐 𝑐

ergibt

𝑚 𝑚 = tan 𝛽 ∙ 𝑢 = tan 25° ∙ 6,28 = 0,466 ∙ 6,28 𝑠 𝑠 𝑚 = 2,93 𝑠

(5)

Aus der Kontinuitätsgleichung für den Laufrad-Eintrittsquerschnitt 𝐴 = 𝐷 ∙ 𝜋 ∙ 𝑏 ergibt sich 𝑄=𝑐

∙𝐴 =𝑐

∙𝐷 ∙𝜋∙𝑏

𝑚 3600 𝑠 1𝑚 ∙ 80 𝑚𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 25 𝑚𝑚 ∙ ∙ 𝑠 1 ℎ 10 𝑚𝑚 𝑚 𝑄 = 66,27 ℎ 𝑄 = 2,93

(6)

Zu 2.: Theoretische spezifische Förderenergie 𝑌 Gemäß Gl. 1.7-29 von Kap. 1.7.2 ergibt sich die Eulersche Hauptgleichung bei drallfreiem Eintritt zu

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑌

= 𝑢 ∙ (𝑢 − 𝑐

247

(7)

∙ cot 𝛽 )

Mit 𝑢 = 𝐷 ∙ 𝜋 ∙ 𝑛 = 200 𝑚𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 1500 𝑢 = 15,71

𝑚 𝑠

𝑄 𝑄 = 𝐴 𝐷 ∙𝜋∙𝑏

𝑐

=

𝑐

= 66,27

𝑐

1 1𝑚 1 𝑚𝑖𝑛 ∙ ∙ 𝑚𝑖𝑛 10 𝑚𝑚 60 𝑠

𝑚 1 1 ℎ 10 𝑚𝑚 ∙ ∙ ∙ ℎ 200 𝑚𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 15 𝑚𝑚 3600 𝑠 1𝑚 𝑚 = 1,95 𝑠

cot 𝛽 = cot 20° =

1 = 2,75 tan 20°

ergibt sich 𝑌

𝑌

𝑌

𝑚 𝑚 𝑚 ∙ 15,71 − 1,95 ∙ 2,75 𝑠 𝑠 𝑠 𝐽 𝑚 1 𝑘𝑔 = 162,5 ∙ 𝑚 𝑠 1 𝑠 𝐽 (spezifische Förderenergie im Auslegepunkt) = 162,5 𝑘𝑔 = 15,71

(8)

Zur Anschauung ist das Austrittsgeschwindigkeitsdreieck maßstäblich in Abb. 3.7-10 gezeigt.

Abb. 3.7-10: Geschwindigkeitsdreieck am Austritt (maßstäblich)

Zu 3.: Kreiselpumpen-Kennlinie Gl. (7) entspricht der gesuchten Beziehung 𝑌 Ergebnis für 𝑄 im Auslegepunkt und Gl. (8) für 𝑌

= 𝑓(𝑄), da 𝑐 ~𝑄 ist. Gl. (6) gibt das wieder. Gl. (7) stellt eine Geradengleichung

248

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

mit fallender 𝑌 -Tendenz für steigenden Volumenstrom 𝑄 dar. Um diese Geraden-Kennlinie zeichnen zu können, werden die Grenzwerte von 𝑌 bei 𝑄 = 0 und 𝑄 bei 𝑌 = 0 benötigt. Für 𝑄 = 0 wird 𝑐

= 0, d. h.

𝑌

= 𝑢 ∙ (𝑢 − 𝑐

𝑌

= 15,71

Für 𝑌 𝑌

𝑚 𝐽 = 246,8 𝑠 𝑘𝑔

=𝑢 ∙ 𝑢 −𝑐

0 = 𝑢 −𝑢 ∙𝑐 𝑢 =𝑢 ∙𝑐 𝑢 =𝑐 /

(bei 𝑄 = 0)

(9)

= 0 ergibt sich

0=𝑢 ∙ 𝑢 −𝑐

𝑐

∙ cot 𝛽 ) = 𝑢 ∙ (𝑢 − 0 ∙ cot 𝛽 ) = 𝑢

=

/

/

/ /

/

∙ cot 𝛽

∙ cot 𝛽 ∙ cot 𝛽

∙ cot 𝛽

∙ cot 𝛽

𝑢 cot 𝛽

(10)

Eingesetzt in die Kontinuitätsgleichung führt das zum Grenzwert 𝑄 =𝑐

/

∙𝐴 =

𝑢 𝑢 ∙𝐷 ∙𝜋∙𝑏 = ∙𝐷 ∙𝜋∙𝑏 cot 𝛽 cot 20°

𝑚 15,71 𝑠 3600 𝑠 1𝑚 𝑄 = ∙ 200 𝑚𝑚 ∙ 𝜋 ∙ 15 𝑚𝑚 ∙ ∙ 2,75 1 ℎ 10 𝑚𝑚 𝑚 (bei 𝑌 = 0) 𝑄 = 193,8 (11) ℎ Die beiden Grenzwerte und der Punkt im Auslegepunkt sind in die grafische Darstellung (Abb. 3.7-11) eingetragen. Die reale spezifische Förderarbeit 𝑌 = 𝑓(𝑄) liegt wegen Reibung, Schaufelzahl, -form, -oberfläche, -dicke u. a. deutlich niedriger. Die reale Kennlinie einer Kreiselpumpe ist nur experimentell zu bestimmen!

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

249

Abb. 3.7-11: Theoretische (ideale) und tatsächliche (reale) Pumpenkennlinie

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑄 = 66,3 𝑌

𝑚 ℎ

= 162,5

𝐽 𝑘𝑔

im Auslegepunkt

Kennlinie 𝑌 = 𝑓(𝑄) siehe Abb. 3.7-11 Diskussion: Die Eulersche Hauptgleichung stellt eine einfache Möglichkeit zur theoretischen Voraussage der energetischen Ergebnisse dar, sowohl von Strömungskraft- als auch von -arbeitsmaschinen. Die realen Kennlinien lassen sich allerdings nur experimentell ermitteln, oft mit verkleinerten Modellen in Wasserkreislauf-Anlagen oder Windkanälen.

250

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

3.8 Aufgaben zu Kap. 1.8 (Sondergebiete der Fluidmechanik) In diesem Kapitel finden Sie Aufgaben zu den Themen: -

Grenzflächenspannung Flüssigkeitskavitation Ähnlichkeits- und Modellgesetze Gasströmungen.

Aufgabe 3.8.1-1 Zerstäubung von Wasser 1 𝑙 Wasser (20 °𝐶) soll in Tröpfchen mit einem Durchmesser 𝑑 = 1 𝜇𝑚 zerstäubt werden. a) Welche Zerstäubungsarbeit ∆𝑊 (in 𝑁𝑚) ist dazu theoretisch erforderlich? Die Oberflächenenergie zu Beginn der Zerstäubung ist zu vernachlässigen. b) Welcher Innendruck 𝑝 (in 𝑏𝑎𝑟) liegt in diesen Tröpfchen vor, wenn der atmosphärische Außendruck 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 beträgt?

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.8-1).

Abb. 3.8-1: Skizze zur Aufgabenstellung „Wasser-Zerstäubung“

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Grenzflächenspannung 𝜎, spezifische Oberflächenenergie ∆𝑊

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Oberflächenvergrößerung ∆𝑂 von 𝑉 = 1 𝑙 auf 𝑛 Tröpfchen (bei 1 𝜇𝑚) errechnen ∆𝑊 aus Formel (Kap. 1.8.1, Gl. 1.8-2).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

251

Innendruck 𝑝 aus Gleichgewichtsbetrachtung zwischen Grenzflächenspannung am Umfang des Tröpfchens und Flächendruck von 𝑝 gegenüber 𝑝 (= 𝑝 ). Vgl. geschnittener Tropfen von Abb. 3.8-1.

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Das Volumen 𝑉 = 1 𝑙 soll in 𝑛-Tröpfchen des Volumens 𝑉 vergrößerten Oberfläche ∆𝑂, zerstäubt werden. Also gilt:

mit der anschließend stark

𝑉 =𝑛∙𝑉 mit 𝜋 ∙𝑑 6 Umgestellt nach 𝑛 ergibt sich 𝑉

=

𝑉 𝑉 1𝑙 1 𝑑𝑚 10 𝑐𝑚 10 𝑚𝑚 10 𝜇𝑚 6 ∙ 10 =𝜋 =𝜋 ∙ ∙ ∙ ∙ = 𝑉 1 𝑙 1 𝑑𝑚 1 𝑐𝑚 1 𝑚𝑚 𝜋 6∙𝑑 6 ∙ (1 𝜇𝑚 ) 𝑛 = 1,9 ∙ 10 𝑛=

Die 𝑛-Tröpfchen besitzen nach der Zerstäubung die vergrößerte Oberfläche ∆𝑂 = 𝑛 ∙ 𝑂 Mit 𝑂

=𝑑 ∙𝜋

Ergibt sich ∆𝑂 = 𝑛 ∙ 𝑑 ∙ 𝜋 = 1,9 ∙ 10

∙ (1 𝜇𝑚 ) ∙ 𝜋 ∙

1 𝑚𝑚 1𝑚 ∙ 10 𝜇𝑚 10 𝑚𝑚

∆𝑂 = 5,97 ∙ 10 𝑚 ≈ 6 ∙ 10 𝑚 Mit der Definitionsgleichung Gl. 1.8-2 aus Kap. 1.8.1.1 ergibt sich die Zerstäubungsarbeit ∆𝑊 zur Vergrößerung der Oberfläche auf ∆𝑂 zu ∆𝑊 = 𝜎 ∙ ∆𝑂 𝜎 für „Wasser/Luft“-Grenzflächen wird nach Abb. 1.8-4 𝑁 𝑚 Oder in anschaulicher Einheit 𝜎 = 73 ∙ 10

𝜎 = 73 ∙ 10 Somit wird

𝑁∙𝑚 𝑚

252

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑁∙𝑚 ∙ 6 ∙ 10 𝑚 𝑚

∆𝑊 = 73 ∙ 10

∆𝑊 = 438 000 𝑁𝑚 Zu b): Damit der Tropfen stabil in seiner Größe erhalten bleibt, muss Gleichgewicht zwischen der Oberflächenspannungskraft am Umfang des Kugeltropfens und seiner Druckkraft aus der Differenz von Innen- zu Außendruck herrschen (Abb. 3.8-2).

Abb. 3.8-2: Grenzflächenspannungen, Drücke und resultierende Gleichgewichtskräfte am geschnittenen Tropfen

Bei Gleichgewicht gilt 𝐹 =𝐹 𝜎 ∙ 𝑑 ∙ 𝜋 = ∆𝑝 ∙ mit

𝜋 ∙𝑑 4

∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 𝑝 − 𝑝 Daraus folgt 4∙𝜎 𝑑 Umgestellt nach 𝑝 𝑝 −𝑝 =

4 ∙ 73 ∙ 10 4∙𝜎 𝑝 =𝑝 + = 1 𝑏𝑎𝑟 + 𝑑 1 𝜇𝑚

𝑁 𝑚

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

253

𝑁 10 𝑚𝑚 10 𝜇𝑚 ∙ ∙ 𝜇𝑚 ∙ 𝑚 1𝑚 1 𝑚𝑚 𝑁 1 𝑏𝑎𝑟 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 + 0,292 ∙ 10 ∙ 𝑚 10 𝑁 𝑚 𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 + 0,292

𝑝 = 1 𝑏𝑎𝑟 + 2,92𝑏𝑎𝑟 𝑝 = 3,92 𝑏𝑎𝑟

(Absolutdruck)

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Zerstäubungsarbeit ∆𝑊 = 438 000 𝑁𝑚 Tröpfcheninnendruck 𝑝 = 3,92 𝑏𝑎𝑟 Diskussion: Um 1 𝑙 Nebel zu erzeugen, ist also durch klimatische Rahmenbedingungen eine enorme Energie bereitzustellen. Hauptparameter sind dabei der barometrische Druck und die Temperaturverhältnisse (Sonne, Wind).

Aufgabe 3.8.1-2 Kapillarwirkung in engen Röhrchen Ein Röhrchen mit dem Durchmesser 𝑑 wird in einen großen Fluidbehälter (Fluiddichte 𝜌) unter Atmosphärenbedingungen eingetaucht. a) Ermitteln sie eine Formel für die Höhenveränderung ℎ des Fluidspiegels im Röhrchen in Abhängigkeit von 𝜎, 𝛼, 𝑑 und 𝜌. Stellen sie das Ergebnis in einem Diagramm dar für den Bereich 𝑑 = 0 𝑏𝑖𝑠 10 𝑚𝑚, 𝑔 = 9,81 , Glasröhrchen und b1) Kombination „Wasser-Glas-Luft“ (𝜎 ≈ 73 ∙ 10

, 𝛼 ≈ 8°, 𝜌 = 1000

b2) Kombination „Quecksilber-Glas-Luft“ (𝜎 ≈ 472 ∙ 10

)

, 𝛼 ≈ 130°, 𝜌 = 13595

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.8-3).

)

254

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.8-3: Wirkende Kräfte für Gleichgewicht in einem Kapillar-Röhrchen bei „Benetzung“

Die Kräftedefinition in der Skizze lautet: 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑔 (Gewicht der Fluidsäule im Röhrchen) 𝐹 = 𝜎 ∙ 𝑑 ∙ 𝜋 (Umfangslinien-Haftkraft bei Gleichgewicht) 𝐹 , = 𝐹 ∙ cos 𝛼 (Vertikalkomponente von 𝐹 für Gleichgewicht mit 𝐹 ) In der Skizze wurden die relevanten 𝜎-Komponenten der Young’schen Gleichung (Kap. 1.8.1.2, Gl. 1.8-3) gleich in Kräfte umgewandelt, indem 𝜎 mit der wirksamen Berühr-Linie (hier 𝑑 ∙ 𝜋) des Meniskus zwischen Fluid und Glaswand multipliziert wurde.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Grenzflächenspannung, Kapillarität.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Skizze von Punkt (1) ist Basis für die Gleichgewichtsbetrachtung. Grenzflächenspannungen 𝜎 in Kräfte umwandeln. Formel für ℎ aus Umstellung der Gleichgewichtsbedingung. Diagramm erstellen mit gegebenen Werten.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

255

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Aus der Skizze Abb. 3.8-3 wird ersichtlich, dass z. B. im Fall eines benetzenden Fluids die Gewichts-kraft 𝐹 der im Röhrchen gestiegenen Fluidsäule durch die Haftkraftkomponente 𝐹 , kompensiert werden muss, um im Gleichgewicht zu sein. (1)

𝐹 =𝐹, Die Gewichtskraft der Fluidsäule ermittelt sich aus

(2) 𝑑 ∙𝜋 ∙ℎ∙𝜌∙𝑔 4 In Kap. 1.8.1.2 ist die Grenzflächenspannung 𝜎 in der Trennlinie „liquid – gaseous“ mit der Gl. 1.8-3 mittels der wirksamen Haftungslinie 𝑑 ∙ 𝜋 umzurechnen in eine Grenzflächenkraft 𝐹 . 𝐹 =𝑚 ∙𝑔=

(3)

𝐹 =𝜎 ∙𝑑∙𝜋

Nur die vertikale Komponente von 𝐹 (= Haftkraft 𝐹 , ) kann im Falle des Gleichgewichtszustands die Fluidsäulen-Gewichtskraft 𝐹 kompensieren (4)

𝐹 , = 𝐹 ∙ cos 𝛼 = 𝜎 ∙ 𝑑 ∙ 𝜋 ∙ cos 𝛼

Die Beziehungen Gl. (2) und Gl. (4) werden eingesetzt in die Gleichgewichtsaussage aus Gl. (1). Dies liefert 𝐹 =𝐹, 𝑑 ∙𝜋 ∙ ℎ ∙ 𝜌 ∙ 𝑔 = 𝜎 ∙ 𝑑 ∙ 𝜋 ∙ cos 𝛼 4 Gekürzt und umgestellt nach ℎ wird daraus ℎ=

4 ∙ 𝜎 ∙ cos 𝛼 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 → ℎ~ (𝐻𝑦𝑝𝑒𝑟𝑏𝑒𝑙) 𝑑∙𝜌∙𝑔 𝑑

(5)

ℎ wird also eine Steighöhe, wenn 𝛼 < 90° ist (z. B. Wasser auf Glas), was als Kapillar-Aszension bezeichnet wird. Wenn 𝛼 > 90° ist, entsteht hingegen eine Kapillarabsenkung (ℎ wird negativ (wegen cos 𝛼 = − !); z. B. bei Quecksilber (𝐻 ) auf Glas), die Kapillar-Depression genannt wird. 𝜎 ∙ cos 𝛼 entspricht der Haftspannung 𝜎 von Kap. 1.8.1.2, Gl. 1.8-3, während 𝜎 Tabellenwerten für 𝜎 aus Abb. 1.8-4 entspricht.

den

Zu b1) und b2): Setzt man die in der Aufgabenstellung gegebenen Zahlenwerte sinnvoll gestuft in Gl. (5) ein, so ergeben sich Einzelwerte, die zum gesuchten Kurvenverlauf ℎ = 𝑓(𝑑) führen. Exemplarisch erfolgen hier zwei Berechnungen für 𝛼 = 8° und 𝛼 = 130°: b1) Wasser − Glas − Luft, 𝛼 = 8°, 𝑑 = 3 𝑚𝑚, 𝜎 ≈ 73 ∙ 10

, 𝜌 = 1000

256

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑁 𝑚 ∙ cos 8° 𝑘𝑔 𝑚 3 𝑚𝑚 ∙ 1000 ∙ 9,81 𝑚 𝑠 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑁 1 4 ∙ 73 ∙ 10 𝑚 ∙ 0,99 10 𝑚𝑚 𝑠 = ∙ ∙ 𝑘𝑔 𝑚 1𝑁 1𝑚 3 𝑚𝑚 ∙ 1000 ∙ 9,81 𝑚 𝑠 10 𝑚𝑚 = 9,8 ∙ 10 𝑚 ∙ = 9,8 𝑚𝑚 1𝑚

ℎ

=

ℎ

ℎ

4 ∙ 73 ∙ 10

b2) Hg − Glas − Luft, 𝛼 = 130°, 𝑑 = 3 𝑚𝑚, 𝜎 ≈ 472 ∙ 10

ℎ

𝑁 ∙ cos 130° 𝑚 = 𝑘𝑔 𝑚 3 𝑚𝑚 ∙ 13 595 ∙ 9,81 𝑚 𝑠

ℎ

=

ℎ

, 𝜌 = 13 595

4 ∙ 472 ∙ 10

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 𝑁 1 10 𝑚𝑚 10 𝑚𝑚 𝑚 ∙ (−0,643) ∙ 𝑠 ∙ ∙ 𝑘𝑔 𝑚 1𝑁 1𝑚 1𝑚 3 𝑚𝑚 ∙ 13 595 ∙ 9,81 𝑚 𝑠 = −3,03 𝑚𝑚 4 ∙ 472 ∙ 10

Aus Gl. (5) hätte der mathematisch versierte Bearbeiter natürlich sofort die Hyperbelfunktion genutzt, um schneller die wesentlichen Punkte für den jeweiligen Kennlinienverlauf zu berechnen (𝑑 wird dabei jeweils in 𝑚𝑚 eingesetzt): 29,47 [𝑚𝑚] 𝑑 9,1 b2) ℎ = − [𝑚𝑚] 𝑑 b1) ℎ =

(6) (7)

Damit lässt sich einfach eine Tabelle erstellen (Abb. 3.8-4): Fall

𝛼

b1) b2)

ℎ in 𝑚𝑚 für 𝑑 [𝑚𝑚] 0

2

3

5

7

10

8°

∞

14,8

9,8

5,9

4,2

2,9

130°

−∞

−4,5

−3,0

−1,8

−1,3

−0,9

Abb. 3.8-4: Kapillarwirkung bei einem Glasröhrchen nach dem Eintauchen in verschiedenen Fluiden

Die Eintragung in ein Diagramm ℎ = 𝑓(𝑑) ist in Abb. 3.8-5 dargestellt.

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

257

Abb. 3.8-5: Steighöhe (𝐻 𝑂) bzw Absenkung (𝐻𝑔) des Meniskus in einem in ein Fluid getauchtes Glasrohr

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) ℎ =

4 ∙ 𝜎 ∙ cos 𝛼 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡 = 𝑑∙𝜌∙𝑔 𝑑

(Hyperbel)

b1) und b2) siehe Abb. 3.8-5 Diskussion: Je kleiner der Röhrchendurchmesser, umso stärker stellt sich die Kapillarwirkung ein. Dies ist mit der Grund dafür, dass die Wasserversorgung von hohen Bäumen funktioniert und dass es einen Aufsaugeffekt bei Schwammtüchern gibt. Die Gleichung für ℎ gilt nur bei sauberem Wasser und sauberem Glasrohr. Üblicherweise verwendet man U-Rohr-Manometer (vgl. Abb. 3.3-1) mit gleichen Durchmessern in beiden Rohrschenkeln, sodass sich die Kapillarwirkung aufhebt und nicht zu berücksichtigen ist. Sind jedoch die Durchmesser unterschiedlich groß (z. B. bei einem BetzManometer), so muss das Messergebnis gemäß Gl. (5) korrigiert werden.

258

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Durch Forschung auf dem Gebiet der Bionik ist seit einigen Jahren ein technisch wichtiges Grenzflächenverhalten unter dem Begriff Lotus-Effekt bekannt geworden. Dabei liegt eine völlige Nichtbenetzung von Naturoberflächen (z. B. Lotusblatt, Kapuzinerkresse u. a.) vor. D. h., ein Wassertropfen bleibt komplett als Tropfen erhalten und perlt ohne Rückstand von diesen Oberflächen ab. Dies wird als hydrophobes Verhalten bezeichnet und dient den Pflanzen zur Oberflächenreinigung. Der Effekt wird inzwischen technisch genutzt, z. B. bei selbst-reinigenden Fassadenfarben oder Glasflächen, nachdem man festgestellt hat, dass nicht nur ein chemisch/physikalischer Anteil, sondern auch ein mikrogeometrischer Anteil (winzige Kappen auf der Oberfläche) für die Wirkung verantwortlich sind. Das Video „Grenzflächenspannung 𝜎 und Nichtbenetzung“ demonstriert den Lotus-Effekt mit Wassertropfen auf einem Kapuzinerkresseblatt.

Aufgabe 3.8.2-1 Kavitationsfreie Strömung Aus einem großen offenen Behälter läuft eine inkompressible Flüssigkeit (Dichte 𝜌, Dampfdruck 𝑝 ) reibungsfrei unter dem Einfluss der Erdschwerkraft (ℎ ≈ 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡.) durch ein vertikales Rohr mit dem Querschnitt 𝐴 als Freistrahl in die umgebende Atmosphäre (Druck 𝑝 ). Im Einlauf (Höhe ℎ ) hat das Rohr einen verengten Querschnitt 𝐴 . a) Wie groß muss das Querschnittsverhältnis

= 𝑓(ℎ) mindestens sein, damit der

Dampfdruck 𝑝 der Flüssigkeit nicht unterschritten wird? b) Der Verlauf des statischen Drucks längs der in Abb. 3.8-6 angegebenen Symmetrielinie ist qualitativ zu skizzieren für b1) Ausflussstelle geschlossen (→ 𝑐 = 0) b2) Ausflussstelle geöffnet (→ 𝑐)

Abb. 3.8-6: Freier Ausfluss aus einem großen Behälter

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

259

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren. Skizze ergänzen (in rot und grün).

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Bernoulli-Gleichung ohne Verluste, Kontinuitätsgleichung, Flüssigkeitskavitation.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Bernoulli zwischen den Stellen 0 und 2 → 𝑐 . Bernoulli zwischen den Stellen 1 und 2 → 𝑝 . Kontinuitätsgleichung in 𝑝 einführen. 𝑝 ≥ 𝑝 setzten → Kavitationsfrei! Umstellen nach

≥⋯

Druckverläufe skizzieren.

(4) Teilaufgaben lösen ___________________________________________________________________________________________

Beachte 1. Stromfaden und wichtige Stellen 0 bis x kennzeichnen! 2. Bezugsniveau B-B vorgeben für 𝑧-Angaben! ___________________________________________________________________________________________

Zu a): Bernoulli zwischen den Stellen 0 und 2 anwenden 𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 𝜌 2 𝜌 2 Mit 𝑐 𝑧 𝑝 𝑧

≈0 =ℎ =𝑝 =0

ergibt sich

(1)

260

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑐 =𝑔∙ℎ 2

(→ 𝑐 =

2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ Torricelli, bzw. 𝑐 = 2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ )

(2)

Bernoulli zwischen den Stellen 1 und 2 anwenden 𝑝 𝑐 𝑝 𝑐 + +𝑔∙𝑧 = + +𝑔∙𝑧 𝜌 2 𝜌 2

(3)

Dabei wird mit 𝑧 =ℎ 𝑝 =𝑝 𝑧 =0 und Gl. (3) vereinfacht 𝜌 ∙ (𝑐 − 𝑐 ) + 𝑝 − 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 2 Aus der Kontinuitätsgleichung folgt 𝑝 =

(4)

𝑐 ∙𝐴 =𝑐 ∙𝐴

(5)

𝑐 𝐴 = 𝑐 𝐴

|^

𝑐 𝐴 = 𝐴 𝑐

(6)

In Gl. (4) lässt sich der Klammerausdruck (𝑐 − 𝑐 ) umformen zu (𝑐 − 𝑐 ) = 𝑐 ∙ 1 −

𝑐 𝑐

(7)

Gl. (6) in Gl. (7) eingesetzt ergibt (𝑐 − 𝑐 ) = 𝑐 ∙ 1 −

𝐴 𝐴

(8)

Gl. (2) in Gl. (8) eingesetzt liefert (𝑐 − 𝑐 ) = 2 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙ 1 −

𝐴 𝐴

(9)

Gl. (9) in Gl. (4) eingesetzt und Bedingung für Kavitationsfreiheit 𝑝 ≥ 𝑝 gesetzt, führt zu 𝑝 =

𝜌 𝐴 ∙ 2∙𝑔∙ℎ ∙ 1− 2 𝐴

Gl. (10) wird jetzt umgeformt zum gesuchten Verhältnis 𝜌 𝜌 𝐴 ∙2∙𝑔∙ℎ − ∙2∙𝑔∙ℎ ∙ 2 2 𝐴

(10)

+𝑝 −𝜌∙𝑔∙ℎ ≥𝑝

≥ 𝑝 −𝑝 +𝜌∙𝑔∙ℎ

≥⋯ (11)

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

−𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙

𝐴 𝐴

≥ 𝑝 − 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ℎ )

𝐴 𝐴

≥

𝑝 − 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ℎ ) 𝜌∙𝑔∙ℎ

𝐴 𝐴

≥

𝜌∙𝑔∙ℎ 𝑝 − 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ℎ )

𝐴 > 𝐴

261

| ∙ (−1) |∙

1 𝑥

𝜌∙𝑔∙ℎ 𝑝 − 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ℎ )

(12)

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt, da keine Zahlenrechnung verlangt ist. Trotzdem sollte zur Sicherheit eine Einheitenkontrolle stattfinden, denn das Verhältnis

sollte dimensionslos sein.

Das Einsetzen der Einheiten in Gl. 12 ergibt: 𝐴 > 𝐴

𝐴 > 𝐴

𝑘𝑔 𝑚 ∙ ∙𝑚 𝑚 𝑠 = 𝑘𝑔 10 𝑚∙𝑠 𝑏𝑎𝑟 ∙ 1 𝑏𝑎𝑟

𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 1 𝑏𝑎𝑟 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠 𝑏𝑎𝑟 ∙ 10 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝑚 ∙ 𝑠

1 ∙ √− → 𝑑𝑖𝑚𝑒𝑛𝑠𝑖𝑜𝑛𝑠𝑙𝑜𝑠, 𝑜𝑘! 10

Zu b1): Bei Abschluss der Stelle 2 ist 𝑐 = 0 und es gilt die hydrostatische Grundgleichung (Kap. 1.3.2.1): 𝑝(𝑧) = 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ 𝑝 =𝑝 +𝜌∙𝑔∙ℎ

(Druck an der Stelle 2)

Der Druck nimmt linear mit der Höhe zu, ausgehend von 𝑝 (vgl. Abb. 3.8-7).

Zu b2): Wird die Stelle 2 geöffnet, so ist zwischen den Stellen 0 und 1 der Druckverlauf identisch wie bei b1) (da 𝑐 ≈ 0 ist). An der verengten Stelle 1 steigt die Geschwindigkeit und der Druck sinkt auf den Wert von Gl. 10, um danach zwischen Stelle 1 und 2 wieder linear mit der Höhe zu steigen. An Stelle 2 muss der Druck wieder dem Außendruck (𝑝 ) angeglichen sein! Abb. 3.8-7 zeigt qualitativ den Druckverlauf.

262

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Abb. 3.8-7: Druckverlauf bei geschlossenem (b1) und geöffnetem (b2) Auslauf

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a)

𝐴 > 𝐴

𝜌∙𝑔∙ℎ 𝑝 − 𝑝 + 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ (ℎ − ℎ )

b1) und b2) siehe Abb. 3.8-7 Diskussion: Das Verhältnis

erfordert eine etwas längere Umrechnung. Für die Praxis aussagefähiger ist

allerdings Gl. (10), da so direkt der örtliche Druck 𝑝 errechnet und der Sicherheitsabstand zum Dampfdruck 𝑝 bestimmt werden kann. Eine Einheitenkontrolle von Gl. (12) und das Ergebnis von Gl. (13) geben bei solchen Aufgaben ein besseres Gefühl, dass richtig gerechnet wurde.

Aufgabe 3.8.3-1 PKW-Modell im Windkanal Das Modell eines PKW soll im Windkanal in einem verkleinerten Maßstab 1: 4 untersucht werden. Die Maximalgeschwindigkeit der Großausführung von 160 werden.

soll dabei simuliert

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

a) Wie groß muss dabei die Windgeschwindigkeit 𝑐

263

(in

) im Kanal sein, wenn die

Reibungsverhältnisse der Strömung vergleichbar sein sollen? Annahme: Kinematische Viskosität 𝜈 gleich zwischen Realität und Windkanal b) Ist bei dieser Versuchsdurchführung die Dichteveränderung vernachlässigbar?

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Zu a): Reibung, Modellversuch → Ähnlichkeitsgesetze, Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 Zu b): Dichte, Modellversuch → Ähnlichkeitsgesetze, Machzahl 𝑀𝑎

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): 𝑅𝑒 = 𝑅𝑒 → 𝑐 ! Zu b): 𝑐 → 𝑀𝑎 = ? → qualitative Aussage zu Dichteveränderung

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu a): Da im Modellversuch vordringlich der Reibungseinfluss untersucht werden soll, kommt die in Kap 1.8.3.2 betrachtete Reynolds-Zahl 𝑅𝑒 zur Anwendung. Es müssen also 𝑅𝑒 (Großausführung) und 𝑅𝑒 (Modell) in gleicher Größe realisiert werden: (1)

𝑅𝑒 = 𝑅𝑒 = 𝑅𝑒 𝑅𝑒 =

𝑙 ∙𝑐 𝑙 ∙𝑐 = 𝜈 𝜈

(2)

Mit der empfohlenen Annahme 𝜈 = 𝜈 = 𝜈 wird daraus 𝑙 ∙𝑐 =𝑙 ∙𝑐 → 𝑐 =

𝑙 ∙𝑐 𝑙

Da hier das Verhältnis

(3) benötigt wird, sind die wahren Längen 𝑙 nicht erforderlich, sondern

nur das angegebene Verhältnis 𝑙 : 𝑙 = 1: 4 →

𝑙 4 = 𝑙 1

264

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

4 𝑘𝑚 𝑘𝑚 10 𝑚 1 ℎ ∙ 160 = 640 ∙ ∙ 1 ℎ ℎ 1 𝑘𝑚 3600 𝑠 𝑚 𝑐 = 178 (4) 𝑠 Dann ist die Strömung 𝐺 bezüglich Reibung ähnlich 𝑀, falls ähnliche Geometrien vorliegen. 𝑐 =

Zu b): Die Schallgeschwindigkeit 𝑎 in Luft beträgt ca. 340 . Damit beträgt die Mach-Zahl 𝑀𝑎 im Modellversuch (s. Kap. 1.8.2) 𝑚 178 𝑠 𝑐 𝑀𝑎 = = (5) 𝑚 = 0,52 𝑎 340 𝑠 Oberhalb von 𝑀𝑎 ≈ 0,3 ist die Dichteveränderlichkeit nicht mehr vernachlässigbar. Dies muss bei der Interpretation der Modellversuchsergebnisse berücksichtigt werden!

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑚 𝑠 𝑀𝑎 = 0,52 > 0,3 → dichteveränderliche Strömung! 𝑐 = 178

Diskussion: An diesem Beispiel wird deutlich, dass im Modellversuch häufig nicht alle relevanten Ähnlichkeitsgesetze einzuhalten sind. Dann muss der Versuchsingenieur den wichtigsten Einfluss berücksichtigen oder eine Kompromisslösung entwerfen. Es kann in bestimmten Fällen sinnvoll und einfacher sein, die Modellversuche statt mit Wasser mit einem Austauschmedium (z. B. Luft) durchzuführen. Dies wird teilweise bei Wasserturbinen, Pumpen und Strömungselementen wie z. B. Absperrorganen angewendet. Falls Kavitationseffekte zu untersuchen sind, muss natürlich Wasser als Strömungsmedium verwendet werden [PES 78].

Aufgabe 3.8.3-2 Schiffsmodell im Schleppkanal Das Modell eines Schiffes soll im Schleppkanal in einem verkleinerten Maßstab 1: 25 untersucht werden. Die Geschwindigkeit der Großausführung soll 15 𝑘𝑛 (Knoten) betragen. Im Modellversuch soll der Schwereeinfluss auf die Strömung kompensiert werden. Wie groß muss die Schleppgeschwindigkeit 𝑐 (in ) des Schiffmodells gewählt werden?

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

265

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren.

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Schwereeinfluss, Modellversuch → Ähnlichkeitsgesetze, Froude-Zahl 𝐹𝑟

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 𝐹𝑟 = 𝐹𝑟 → 𝑐 !

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Da im Modellversuch vordringlich der Schwereeinfluss kompensiert werden soll, kommt die in Kap 1.8.3 betrachtete Froude-Zahl 𝐹𝑟 zur Anwendung. Es muss also gelten 𝐹𝑟 = 𝐹𝑟 = 𝐹𝑟 𝑐 𝐹𝑟 = = 𝑙 ∙𝑔

(1) 𝑐 𝑙 ∙𝑔

(2)

Gl. (2) umgestellt nach 𝑐 ergibt 𝑙 𝑙

𝑐 =𝑐 ∙

(3)

Durch Einsetzen der vorgegebenen Werte ergibt sich 𝑐 = 15 𝑘𝑛 ∙

1 = 15 𝑘𝑛 ∙ 0,2 = 3 𝑘𝑛 25

Es gilt die Einheitenumrechnung 𝑘𝑚 𝑚 = 0,514 ℎ 𝑠 𝑚 0,514 𝑠 𝑐 = 3 𝑘𝑛 ∙ 1 𝑘𝑛 bzw. 1 𝑘𝑛 = 1,852

𝑐 = 3 𝑘𝑛 ∙ 𝑐 = 1,54

𝑘𝑚 ℎ = 5,56 𝑘𝑚 1 𝑘𝑛 ℎ

1,852

𝑚 𝑠

266

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

Bei Einhaltung dieser Schleppgeschwindigkeit ist die Strömung beim geometrieähnlichen Schiffsmodell ähnlich wie bei der Großausführung.

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑐 = 1,54

𝑚 𝑠

Diskussion: Eine Faustregel zur schnelleren Umrechnung von Knoten (= 1 Seemeile pro Stunde) in die gebräuchlichere Einheit (𝑐[𝑘𝑛] ∙ 2) − 10% ≙ 𝑐

lautet: 𝑘𝑚 ℎ

z. B. entsprechen 15 𝑘𝑛 (15 𝑘𝑛 ∙ 2) − 10% ≙ 30

𝑘𝑚 𝑘𝑚 𝑘𝑚 −3 = 27 ℎ ℎ ℎ

(Der exakte Wert wäre 15 𝑘𝑛 ∙

,

= 27,8

, wobei die Abweichung 3 % beträgt)

Aufgabe 3.8.4-1 Ausströmen von Gas aus einem Behälter In einem großen Behälter befindet sich ein Gas unter hohem Innendruck 𝑝 mit der Temperatur 𝑇 = 300 𝐾. Welche maximale Geschwindigkeit 𝑐 (in ) in einer Düse könnte theoretisch beim Ausströmen erreicht werden? a) Bei Luft (isobare spezifische Wärmekapazität 𝑐 b) Bei Wasserstoff (𝑐

= 14 028

∙

= 1005

∙

)

)

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.8-8).

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

267

Abb. 3.8-8: Behälter unter Innendruck 𝑝 (an Stelle 0) mit Stromfaden beim Ausströmvorgang

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Energiegleichung für Gasströmung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Energiegleichung zwischen den Stellen 0 und x ansetzen und nach 𝑐 umstellen. Bedingung für die max. mögliche Geschwindigkeit überlegen?

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Da die Werte der spezifischen Wärmekapazität 𝑐 der Gase und die Behältertemperatur 𝑇 gegeben sind, wird aus der Energiegleichung für Gase (Kap. 1.8.4.1, Gl. 1.8-31) für die spezifische Enthalpie ℎ die Form ℎ = 𝑐 ∙ 𝑇 gewählt. Längs einer Stromlinie gilt: ℎ+

𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 2

(1)

Mit ℎ =𝑐 ∙𝑇 =

𝑝 +𝑢 =𝑝∙v+𝑢 𝜌

hat die Energiegleichung die Form 𝑐 ∙𝑇+

𝑐 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. 2

→ d. h. 𝑐 ↑ ≙ 𝑇 ↓

(2)

Entlang eines Stromfadens muss also zur Erhöhung der Geschwindigkeit in einer Düse die Temperatur des Gases sinken. Die Energiegleichung (2) angewendet zwischen den Stellen 0 und x führt zu

268

𝑐

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

∙𝑇 +

𝑐 =𝑐 2

∙𝑇 +

𝑐 2

Mit den Vereinfachungen 𝑐

=𝑐

=𝑐

𝑐 ≈0 2 und aufgelöst nach 𝑐 ergibt sich 𝑐 =

2 ∙ 𝑐 ∙ (𝑇 − 𝑇 )

Die maximale Geschwindigkeit 𝑐 wird offenbar nur durch die absinkende Temperatur 𝑇 begrenzt. Da 𝑇 nicht unter den absoluten Nullpunkt sinken kann, wird also 𝑇 =0 und es ergibt sich für 𝑐 𝑐

=

2∙𝑐 ∙𝑇

Dies ist ein theoretischer Wert, der in der Realität kleiner ist. Da in der Aufgabenstellung die Anfangstemperatur 𝑇 = 300 𝐾 (ca. 27 °𝐶) und die 𝑐 -Werte vorgegeben waren, lassen sich die maximalen Ausströmgeschwindigkeiten berechnen. Zu a): Luft (Gasgemisch) 𝑐

=

2∙𝑐

∙𝑇

𝑐

=

2 ∙ 1005

𝑚 1 𝑘𝑔 ∙ 𝐽 𝑠 ∙ 300 𝐾 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝐾 1𝐽

𝑐

= 777

𝑚 𝑠

Zu b): Wasserstoff 𝐻 𝑐

=

2∙𝑐

𝑐

=

𝑚 1 𝑘𝑔 ∙ 𝐽 𝑠 2 ∙ 14 028 ∙ 300 𝐾 ∙ 𝑘𝑔 ∙ 𝐾 1𝐽

𝑐

= 2901

𝑚 𝑠

∙𝑇

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

269

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Theoretisch maximal erreichbare Ausströmgeschwindigkeiten 𝑚 𝑐 = 777 𝑠 𝑚 𝑐 = 2901 𝑠 Diskussion: In der Realität existiert für jedes Gas ein kritisches Druckverhältnis

, was darüber

entscheidet, ob sich eine Strömung unter- oder überkritisch verhält. Die Maximalgeschwindigkeit kann in der Realität maximal die Schallgeschwindigkeit erreichen. Diese wird auch als Laval-Geschwindigkeit bezeichnet.

Aufgabe 3.8.4-2 Druckverlust einer Wasserdampf-Fernleitung In einer Wasserdampf-Fernleitung, mit einer Standard-Isolation um eine Stahlrohrleitung (Durchmesser 𝐷 = 0,3 𝑚, Länge 𝐿 = 500 𝑚, Rauigkeit 𝑘 = 0,03 𝑚𝑚), wird ein Massenstrom 𝑚̇ = 30000

gefördert. An der Stelle 1 liegt ein Druck von 𝑝 = 10 𝑏𝑎𝑟 und eine Temperatur

𝑇 = 600 𝐾 vor. Am Ende der Leitung ist die Temperatur auf 𝑇 = 550 𝐾 gesunken. Wie groß ist der Druck 𝑝 (in 𝑏𝑎𝑟) und der Druckabfall ∆𝑝 (in 𝑏𝑎𝑟)? Näherungsrechnung mit 𝑇=

.

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 3.8-9).

Abb. 3.8-9: Daten einer Wasserdampf-Fernleitung

270

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

(2) Bezugsgleichungen/Fluidfachgebiet festlegen Wasserdampf → Gasströmung/VDI-Wasserdampftafel oder Mollier-Diagramm, spezifische Enthalpie ℎ(𝑠) = 𝑓(𝑝, 𝑇, 𝜗). Kontinuitätsgleichung. Reynolds-Zahl/Rohrreibungsdiagramm 𝜆 = 𝑓 𝑅𝑒,

.

Druckverlustgleichung für Gasströmung.

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen 1. Physikalische Eigenschaften aus Wasserdampftafel 𝜂 und 𝜈 aus 𝑝 und 𝑇 → 𝜌 , 𝜂 , 𝜈 . 2. 𝑐 (aus Kontinuitätsgleichung) → 𝑅𝑒 → λ (aus Rohrreibungsdiagramm mit . 3. 𝑝 bzw. ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 .

(4) Teilaufgaben lösen und (5) Einheiten-Umrechnung Zu 1.) (von Schritt (3)): Spezifisches Volumen bei 𝑝 = 10 𝑏𝑎𝑟 und 𝑡 = 𝑇 − 273 = 327 °𝐶, 𝜈 = 0,27 (entnommen aus dem VDI-Wärmeatlas [VDI 13]) 𝜌 =

1 = 𝜈

1 𝑘𝑔 = 3,7 𝑚 𝑚 0,27 𝑘𝑔

Ebenso aus dem VDI-Wärmeatlas lässt sich 𝜂 = 2,1 ∙ 10 die kinematische Viskosität 𝜈 zu 𝑘𝑔 2,1 ∙ 10 𝑚 ∙ 𝑠 𝜂 𝜈 = = = 5,67 ∙ 10 𝑘𝑔 𝜌 3,7 𝑚

𝑚 𝑠

Zu 2.): Aus der Kontinuitätsgleichung ergibt sich 𝑘𝑔 30 000 𝑚̇ ℎ ∙ 1 ℎ = 2,25 𝑚 = 𝑘𝑔 3600 𝑠 𝜌 𝑠 3,7 𝑚 𝑚 2,25 ∙ 4 𝑠 𝑄 𝑄 ∙4 𝑚 𝑄 =𝑐 ∙𝐴 →𝑐 = = = = 31,8 𝐴 𝐷 ∙ 𝜋 0,3 ∙ 𝜋 ∙ 𝑚 𝑠 𝑚̇ = 𝜌 ∙ 𝑄 → 𝑄 =

∙

entnehmen. Daraus ergibt sich

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

271

Hieraus lässt sich die Reynolds-Zahl berechnen 𝑚 𝑐 ∙ 𝐷 31,8 𝑠 ∙ 0,3 𝑚 𝑅𝑒 = = = 1,68 ∙ 10 𝑚 𝜈 5,67 ∙ 10 𝑠 Mit 𝑘 0,3 𝑚𝑚 = = 10 𝐷 300 𝑚𝑚 _________ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ____ _________ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ____ _________ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ____ _________ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ _______ ______ _______ ______ _______ _______ ___

Beachte 𝑘 und 𝐷 müssen mit der gleichen Längeneinheit (z. B. 𝑚𝑚) verrechnet werden! ___________________________________________________________________________________________

Aus dem Rohrreibungsdiagramm (Kap. 1.5.3, schematisch Abb. 1.5-6, bzw. Abb. 3.5-5) ergibt sich 𝜆 ≈ 0,02

(siehe auch Hinweis gemäß Abb. 3.8-10)

Abb. 3.8-10: Hinweis zur Ermittlung von 𝜆 = 𝑓(𝑅𝑒, )

Zu 3.): Näherungsrechnung mit mittlerer Temperatur 𝑇 +𝑇 600 𝐾 + 550 𝐾 = = 575 𝐾 2 2 gemäß Kap. 1.8.4.2, Gl. 1.8-42 gilt für beliebigen Wärmeaustausch mit der Umgebung 𝑇=

𝑝 −𝑝 𝐿 𝜌 𝑇 =𝜆∙ ∙ ∙𝑐 ∙ 2∙𝑝 𝐷 2 𝑇

272

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

𝑘𝑔 𝑝 −𝑝 500 𝑚 3,7 𝑚 𝑚 575 𝐾 = 0,02 ∙ ∙ ∙ 31,8 ∙ 2∙𝑝 0,3 𝑚 2 𝑠 600 𝐾 𝑝 −𝑝 𝑘𝑔 = 59 761 2∙𝑝 𝑠 ∙𝑚 Durch schrittweises Auflösen und Einheitenumrechnen ergibt sich für 𝑝 − 𝑝 𝑝 − 𝑝 = 59 761

𝑘𝑔 ∙2∙𝑝 𝑠 ∙𝑚

𝑘𝑔 10 𝑘𝑔 𝑚 ∙𝑠 𝑝 − 𝑝 = 59 761 ∙ 2 ∙ 10 𝑏𝑎𝑟 ∙ 𝑠 ∙𝑚 1 𝑏𝑎𝑟 𝑘𝑔 𝑝 − 𝑝 = 1,195 ∙ 10 𝑚 ∙𝑠

Aufgelöst nach 𝑝 ergibt sich 𝑝 = 𝑝 − 1,195 ∙ 10

𝑘𝑔 𝑚 ∙𝑠

𝑘𝑔 𝑚∙𝑠 1 𝑏𝑎𝑟

10 𝑝 = 10 𝑏𝑎𝑟 ∙ 𝑝 = 10 𝑝 = (10

𝑘𝑔 𝑚∙𝑠

− 1,195 ∙ 10

− 1,195 ∙ 10

− 1,195 ∙ 10 )

𝑘𝑔 𝑚 ∙𝑠

𝑘𝑔 𝑚 ∙𝑠

𝑘𝑔 ≈ 8,8 ∙ 10 𝑚 ∙𝑠

𝑘𝑔 𝑚 ∙𝑠 𝑘𝑔 1 𝑏𝑎𝑟 𝑝 = 9,38 ∙ 10 ∙ 𝑘𝑔 𝑚∙𝑠 10 𝑚∙𝑠 𝑝 = 9,38 𝑏𝑎𝑟 𝑝 =

8,8 ∙ 10

Der Druckabfall ∆𝑝 beträgt demnach ∆𝑝 = 𝑝 − 𝑝 = 10 𝑏𝑎𝑟 − 9,38 𝑏𝑎𝑟 = 0,62 𝑏𝑎𝑟

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren 𝑝 = 9,38 𝑏𝑎𝑟 ∆𝑝 = 0,62 𝑏𝑎𝑟

𝑘𝑔 𝑚 ∙𝑠

3 Aufgaben aus allen Fluidbereichen mit Lösungen

273

Diskussion: Welcher Druckverlust wäre entstanden, wenn man mit dichtebeständigem Fluid (𝜌 = 𝑘𝑜𝑛𝑠𝑡. ) gerechnet hätte? ∆𝑝

(

.)

∆𝑝

(

.)

∆𝑝

(

.)

∆𝑝

(

.)

𝐿 𝜌 ∙ ∙𝑐 𝐷 2 500 𝑚 1 𝑘𝑔 𝑚 = 0,02 ∙ ∙ ∙ 3,7 ∙ 31,8 0,3 𝑚 2 𝑚 𝑠 𝑘𝑔 1 𝑏𝑎𝑟 = 0,624 ∙ 10 ∙ 𝑘𝑔 𝑚∙𝑠 10 𝑚∙𝑠 = 0,624 𝑏𝑎𝑟 =𝜆∙

→ D. h., bei diesem Beispiel wäre kaum ein Unterschied feststellbar!

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik Als Anregung dazu, die für das Fach Fluidmechanik erprobte methodische Vorgehensweise auch auf alle anderen Fächer der Ingenieurtechnik anzuwenden, sind in den folgenden Aufgaben mit methodischen Lösungen die wichtigsten Fachgebiete exemplarisch mit charakteristischen Klausurthemen dargestellt: 4.1 Mathematik und Elektrotechnik 4.2 Physik 4.3 Thermodynamik 4.4 Technische Mechanik 4.5 Regelungstechnik Damit möchten die Autoren Ihnen die Anwendung der Methodik für zukünftige Klausurvorbereitungen in weiteren technischen Disziplinen empfehlen.

4.1 Mathematik und Elektrotechnik In nachstehendem Beispiel wird an einer typischen Aufgabenstellung der Elektrotechnik mit mathematiklastiger Lösungsfindung der Vorteil einer methodischen Bearbeitung gegenüber einer üblicherweise intuitiven Vorgehensweise demonstriert.

Aufgabe 4.1: Maximale Leistungsaufnahme eines elektrischen Widerstands Ein veränderlicher Verbraucherwiderstand 𝑅 wird von einer Spannungsquelle mit der Quellenspannung 𝑈 und dem Innenwiderstand 𝑅 gespeist. Bestimme den Verbraucherwiderstand derart, dass er die größtmögliche Leistung 𝑃 = 𝑅 ∙ 𝐼 aufnimmt.

Ergänzende Information Die elektronische Version dieses Kapitels enthält Zusatzmaterial, auf das über folgenden Link zugegriffen werden kann https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3_4.

© Der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 K.-J. Peschges et al., Ingenieurklausur im Nacken? https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3_4

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

275

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und in Skizze ergänzen (in grün). (2) Bezugsgleichungen/Fachgebiet festlegen - Maximale Leistungsaufnahme 𝑃 = 𝑃(𝑅 ) gesucht - Hochpunkt einer Funktion der zugrundeliegenden elektrischen Schaltung bestimmen (𝑓(𝑥), 𝑓 (𝑥), 𝑓 (𝑥) → Kurvendiskussion) - Reihenschaltung → Kirchhoffsche Maschenregel anwenden (Elektrotechnik/Physik)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen - Gesamtwiderstand 𝑅 = 𝑅 + 𝑅 - Stromstärke 𝐼 aus Ohm‘schem Gesetz 𝑈 = 𝑅 ∙ 𝐼 - Funktion der Leistung 𝑃 = 𝑃(𝑅 ) = 𝑅 ∙ 𝐼 bestimmen → 𝑦 = 𝑓(𝑥) - Ableitung der Funktion 𝑦 = 𝑓(𝑥) bestimmen → 𝑦 , 𝑦 - Hochpunkt der Funktion 𝑦 = 𝑓(𝑥) bestimmen → 𝑦 = 0 und 𝑦 < 0

(4) Teilaufgaben lösen Da 𝑅 und 𝑅 in Reihe geschaltet sind, beträgt der Gesamtwiderstand 𝑅

(1)

= 𝑅 +𝑅

Aus dem Ohm‘schen Gesetz folgt dann für die Stromstärke I 𝐼=

𝑈 𝑅

=

𝑈 𝑅 +𝑅

(2)

Da 𝑅 = const. ist, kann die aufgenommene Leistung 𝑃 dann nur noch von 𝑅 abhängen. Damit bestimmt sich die aufgenommene Leistung P zu 𝑃 = 𝑃(𝑅 ) = 𝑅 ∙ 𝐼 = 𝑅 ∙ (

)

=𝑈 ∙(

)

mit 𝑅 > 0

(3)

Da der positive konstante Faktor 𝑈 keinen Einfluss auf die Art und Lage der Extremwerte hat, kann man sich auf die Zielfunktion beschränken! 𝑃 ersetzen durch 𝑦 𝑦=

𝑅𝑎

(4)

(𝑅𝑖 + 𝑅𝑎 )2

𝑅 wird ermittelt bei größtmöglicher Leistungsaufnahme 𝑦. Dafür benötigt man die ersten beiden Ableitungen 𝑦 und 𝑦 ′, die sich mit Hilfe der Quotienten- und Kettenregel bestimmen lassen. Zur besseren Übersicht wird jetzt 𝑅 = 𝑥 gesetzt und nach Einsetzen in 𝑦 wird der Zähler mit 𝑢 und der Nenner mit 𝑣 bezeichnet. 𝑦=

𝑥 (𝑅𝑖 + 𝑥)2

=

𝑢 𝑣

mit 𝑢 = 𝑥 und 𝑣 = (𝑅 + 𝑥)

(5)

276

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

_________________________________________________________________________________________

Beachte Beim Differenzieren von umfangreicheren Bestimmungsgleichungen mit Brüchen werden Zähler als 𝑢 und Nenner als 𝑣 abgekürzt bezeichnet und mittels Quotienten- und Kettenregel die gesuchten Ableitungen ermittelt. ___________________________________________________________________________________________

Nach Ableitung wird daraus mit der Kettenregel (evtl. auch noch mit der Substitution: 𝑡 = 𝑅 + 𝑥) 𝑢 = 1, 𝑣 = 2 ∙ (𝑅 + 𝑥) 𝑢 𝑣 − 𝑣 𝑢 1 ∙ (𝑅 + 𝑥) − 2 ∙ (𝑅 + 𝑥)𝑥 𝑦 = = (𝑅 + 𝑥) 𝑣 (𝑅 + 𝑥) ∙ [(𝑅 + 𝑥) − 2𝑥] = (𝑅 + 𝑥) ∙ (𝑅 + 𝑥) 𝑅 −𝑥 = (𝑅 + 𝑥) Nach erneuter Anwendung der Quotienten- und Kettenregel auf (7) ergibt sich: −1(𝑅 + 𝑥) − 3(𝑅 + 𝑥) ∙ (𝑅 − 𝑥) (𝑅 + 𝑥) (𝑅 + 𝑥) [−(𝑅 + 𝑥) − 3(𝑅 − 𝑥) = (𝑅 + 𝑥) (𝑅 + 𝑥) −𝑅 − 𝑥 − 3𝑅 + 3𝑥 = (𝑅 + 𝑥) −4𝑅 + 2𝑥 = (𝑅 + 𝑥) Das Maximum der Ausgangsfunktion ergibt sich aus der notwendigen Bedingung: 𝑦 =

𝑦 = 0, 𝑦 < 0 𝑅 −𝑥 𝑦 =0⟹ = 0 ⟹ 𝑅 − 𝑥 = 0 ⟹ 𝑥 = 𝑅 bzw. 𝑅 = 𝑅 (𝑅 + 𝑥) −4𝑅 + 2𝑅 −2𝑅 1 𝑦 (𝑥 = 𝑅 ) = = =− < 0 ⟹ Maximum (𝑅 + 𝑅 ) 16𝑅 8𝑅

(6) (7)

(8)

(9)

(5) Einheiten-Umrechnung Entfällt hier, da nur eine allgemeine Lösung verlangt war. Erforderlich werden EinheitenUmrechnungen in der Regel, wenn die Widerstände 𝑅 mittels des spezifischen Widerstands 𝜌, der Länge des Leiters L und dem Querschnitt A berechnet werden sollen.

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

277

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Die vom Verbrauchswiderstand aufgenommene Leistung wird am größten bei: 𝑥=𝑅 =𝑅

Diskussion: Analoge Berechnungsgleichungen wie in dieser Aufgabe aus der Elektrotechnik existieren auch in vielen anderen Wissenschaftsbereichen, wie z. B. in der Strömungstechnik, der Wärmetechnik, der Strukturmechanik u. v. m. und führen zu identischen Lösungen, wie sie in „Analogrechnern“ oder „Finite-Element-Programmen“ vergleichend genutzt werden. Dies ist einer der Gründe, warum die hier verwendete „methodische“ Vorgehensweise ohne Veränderung in allen Ingenieur-Klausuren erfolgreich anwendbar ist!

4.2 Physik In diesem Kapitel werden mit den nachstehenden Beispielen typische Aufgabenstellungen der Physik bearbeitet und die Vorteile der Lösungsfindung mit der methodischen Bearbeitung gegenüber einer intuitiven Vorgehensweise gezeigt.

Aufgabe 4.2.1: Glasplättchen-Abdichtung eines eingetauchten Zylinderrohrs Vorgegebene Aufgabenstellung (nach [LEI 22]): Ein in Abb. 4.2-1 a) gezeigtes Zylinderrohr mit dem Durchmesser 𝐷 = 2,256 𝑐𝑚 wird unten abgedichtet durch ein Glasplättchen, welches eine Gewichtskraft 𝐹 = 20 𝑐𝑁 aufweist, in ein großes Wassergefäß in eine Wassertiefe 𝐻 = 25 𝑐𝑚 eingetaucht. Anschließend wird das Zylinderrohr mit Wasser gefüllt (Abb. 4.2-1 b)). Bei welcher Füllhöhe ℎ in 𝑐𝑚 wird die QuasiDichtwirkung des Glasplättchens aufgehoben?

278

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

Abb. 4.2-1: Wie hoch muss die Füllhöhe ℎ im Zylinderrohr sein, bis das Glasplättchen abfällt?

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und in Skizze ergänzen (in grün).

(2) Bezugsgleichungen/Fachgebiet festlegen -

Druckdefinition 𝑝 =

(1)

-

Schweredruck in Fluiden 𝑝 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 o Kräftegleichgewicht o Gewichtskraft

(2)

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen - Wirkende Kräfte in Skizze eintragen - Druckdefinition gleichsetzen in der Abdichtungsebene des Glasplättchens → Wirkende äußere Druckkraft 𝐹 auf das Glasplättchen - Kräftegleichgewicht zwischen Gewichtskraft „Glasplättchen + Wasserfüllung“ und „𝐹 “ liefert nach Umstellung die maximal mögliche Füllhöhe ℎ .

(4) Teilaufgaben lösen Abb. 4.2-2 zeigt die wirkenden Kräfte in der Glasplättchen-Ebene vor (a) und nach (b) der Füllung des Zylinderrohrs.

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

279

Abb. 4.2-2: Kräfte in der Glasplättchen-Ebene

In a) ist die durch den äußeren Druck der Wassersäule mit der Höhe 𝐻 bewirkte Druckkraft 𝐹 größer als die Gewichtskraft des Glasplättchens 𝐹 . Dadurch dichtet das Glasplättchen das Zylinderrohr unten ab. Durch Einfüllen von Wasser in das Zylinderrohr (b)) wirkt jetzt zusätzlich eine Druckkraft 𝐹 nach unten, die sich mittels der Füllhöhe ℎ berechnen lässt. Wenn ℎ so groß wird, dass sich die nach oben und unten gerichteten Kräfte gerade aufheben, wird die Dichtwirkung des Glasplättchens aufgehoben und es fällt ab. Die Druckkraft 𝐹 erhält man durch Gleichsetzen der beiden Druckdefinitionen: 𝑝= →

𝐹 und 𝑝 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 𝐴

𝐹 𝐷 ∙𝜋 = 𝜌∙𝑔∙𝐻 →𝐹 = 𝜌∙𝑔∙𝐻∙𝐴=𝜌∙𝑔∙𝐻∙ 𝐴 4

(3)

Das Kräftegleichgewicht gemäß Abb. 4.2-2 b) liefert 𝐹 = 𝐹 + 𝐹 , 𝑚𝑖𝑡 𝐹 = 𝑝 ∙ 𝐴 = 𝜌 ∙ 𝑔 ∙ ℎ ∙ 𝐴

(4)

Gl. (3) in Gl. (4) eingesetzt, ergibt: 𝜌∙𝑔∙𝐻∙𝐴=𝐹 + 𝜌∙𝑔∙ℎ ∙𝐴 → 𝜌∙𝑔∙ℎ ∙𝐴 = 𝜌∙𝑔∙𝐻∙𝐴−𝐹 →ℎ

=

𝜌 ∙ 𝑔 ∙ 𝐻 ∙ 𝐴 − 𝐹𝐺 𝐹𝐺 =𝐻− 𝜌∙𝑔∙𝐴 𝜌∙𝑔∙𝐴

(5)

(5) Einheiten-Umrechnung Häufig ist es sinnvoll, zunächst einige Terme einer komplexeren Gleichung zu berechnen, weil Umrechnungen dann weniger aufwändig werden. 𝐴=

𝐷 2,256 cm ∙𝜋 = ∙ 𝜋 ≈ 4 cm 4 4

280

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

g m 1kg 1N ∙ 9,81 ∙ 4cm ∙ ∙ = 3,923 ∙ 10 cm s 10 g kg ∙ m 1 s 𝐹𝐺 20cN 1N →ℎ = 𝐻− = 25cm − ∙ 𝜌∙𝑔∙𝐴 −2 N 10 cN 3,923 ∙ 10 cm 𝜌∙𝑔∙𝐴=1

ℎ

N cm

= 25 𝑐𝑚 − 5,09 𝑐𝑚 ≈ 20 𝑐𝑚

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Die maximal mögliche Füllhöhe ℎ , bis die Dichtwirkung des Glasplättchens aufgehoben wird, beträgt: ℎ ≈ 20 𝑐𝑚 Diskussion: Tödliche Folgen kann dieses Dichtprinzip des Wasserdrucks haben, wenn ein Auto in einen ausreichend tiefen Fluss stürzt und auf den Boden sinkt. Durch den im Inneren des Fahrzeugs herrschenden Quasi-Atmosphärendruck, der in jedem Fall geringer ist als der umgebende Wasserdruck in der Tiefe eines Flussbodens, lässt sich die Autotür nicht mehr öffnen. Die einzige Chance lebend aus diesem Fahrzeug herauszukommen, ist geduldiges Warten, bis das Auto sich fast bis zum Kopf der Insassen gefüllt hat.

Aufgabe 4.2.2: Fahrzeug in Kurvenfahrt ohne und mit Straßenneigung Vorgegebene Aufgabenstellung (nach [STU 22]): Ein Fahrzeug befährt eine Kurve mit einem Radius von r = 100m. Die Haftreibungszahl zwischen Reifen und Asphalt beträgt H = 0,7. Welche maximale Grenzgeschwindigkeit c in 𝑘𝑚/ℎ ist möglich, ohne dass das Fahrzeug aus der Kurve getragen wird, wenn a) Die Straße nicht nach außen hin überhöht ist (horizontale Ebene)? b) Die Straße eine Neigung von  = 15° zur Horizontalen aufweist?

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen!

(2) Bezugsgleichungen/Fachgebiet festlegen Haftreibung, Zentrifugalkraft, Kräftezerlegung und Kräftegleichgewicht, Winkelfunktionen

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

281

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen - Skizze anfertigen für Fall a) und Fall b) - Formeln für Haft- und Zentrifugalkräfte anwenden - Bedingung Zentrifugalkraft 𝐹 ≤ Haftkraft 𝐹 - Auflösen nach Geschwindigkeit 𝑐

(4) Teilaufgaben lösen Auch wenn die Aufgabenstellung rein textlich gegeben ist, sollte das Anfertigen einer Skizze immer erfolgen, weil dabei die wesentlichen Denkimpulse zur Lösung quasi bildlich geliefert werden.

Abb. 4.2-3: Fahrzeug in Kurven bei horizontaler (a) und geneigter (b) Fahrbahn

In Abb. 4.2-3 sind für den Fall einer geneigten Fahrbahn Kräftezerlegungen erforderlich. Die Fliehkraft wirkt in Richtung des Kurvenradius r. Für die Haftungsfrage ist allerdings nur deren Komponente 𝐹 parallel zur Fahrbahnneigung verantwortlich, die entgegen der Haftreibung 𝐹 wirkt und kleiner als diese sein muss. Die Haftreibung 𝐹 wird durch die Normalkomponente 𝐹 der Gewichtskraft 𝐹 des Fahrzeugs und die zusätzliche Komponente 𝐹 beeinflusst.

Zu Fall a) Folgende Formeln für die wirksamen Kräfte sind aus der Physik bekannt: Gewichtskraft 𝐹 = 𝑚 ∙ 𝑔 Haftkraft 𝐹 = 𝜇 ∙ 𝐹 = 𝜇 ∙ 𝑚 ∙ 𝑔 𝑚∙𝑐 𝑟 Damit das Fahrzeug nicht aus der Kurve getragen wird, muss gelten: Zentrifugalkraft 𝐹 =

𝐹 ≤𝐹

(1) (2) (3)

(4)

282

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

𝑚∙𝑐 ≤ 𝜇 ∙𝑚∙𝑔 →𝑐 ≤ 𝜇 ∙𝑔∙𝑟 𝑟 →𝑐≤

(5)

𝜇 ∙𝑔∙𝑟

Die Berechnung erfolgt gemeinsam mit Fall b) in Arbeitsschritt (5). ___________________________________________________________________________________________

Beachte Aus Formel (5) ergibt sich die interessante Erkenntnis, dass das Ergebnis unabhängig ist von der Fahrzeugmasse 𝑚! ___________________________________________________________________________________________

Für die bekannten Formeln der Physik müssen jetzt die verantwortlichen Komponenten der Kräfte eingesetzt werden (vgl. Abb. 4.2-3). Zentrifugalkraft-Komponente 𝐹

= 𝐹 ∙ cos 𝛼

(6)

Gewichtskraft-Komponente 𝐹

= 𝐹 ∙ sin 𝛼

(7)

Zentrifugalkraft-Komponente 𝐹

= 𝐹 ∙ sin 𝛼

(8)

Gewichtskraft-Komponente 𝐹

= 𝐹 ∙ cos 𝛼

(9)

Die Haftkraft setzt sich jetzt aus den folgenden Komponenten zusammen: = 𝜇 ∙ (𝐹

𝐹 =𝜇 ∙𝐹

+ 𝐹 ) = 𝜇 ∙ (𝐹 ∙ cos 𝛼 + 𝐹 ∙ sin 𝛼)

(10)

Für eine stabile Kurvenfahrt muss gelten: 𝐹

≤𝐹 +𝐹

(11)

Nach Einsetzen erhält man: 𝐹 ∙ cos 𝛼 ≤ 𝜇 ∙ (𝐹 ∙ cos 𝛼 + 𝐹 ∙ sin 𝛼) + 𝐹 ∙ sin 𝛼 𝐹 ∙ cos 𝛼 ≤ 𝜇 ∙ 𝐹 ∙ cos 𝛼 + 𝜇 ∙ 𝐹 ∙ sin 𝛼 + 𝐹 ∙ sin 𝛼 𝐹 ∙ (cos 𝛼 − 𝜇 ∙ sin 𝛼) ≤ 𝐹 ∙ (𝜇 ∙ cos 𝛼 + sin 𝛼) →𝐹 ≤𝐹 ∙

𝜇 ∙ cos 𝛼 + sin 𝛼 cos 𝛼 − 𝜇 ∙ sin 𝛼

Die Zentrifugalkraft FZ ergibt sich wie bei a) zu

(12)

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

283

𝑚∙𝑐 𝑟 Ebenso die Gewichtskraft 𝐹 =

(13)

𝐹 =𝑚∙𝑔

(14)

Gl. (13) und Gl. (14) in Gl. (12) eingesetzt, liefert 𝑚∙𝑐 𝜇 ∙ cos 𝛼 + sin 𝛼 ≤𝑚∙𝑔∙ 𝑟 cos 𝛼 − 𝜇 ∙ sin 𝛼 𝜇 ∙ cos 𝛼 + sin 𝛼 𝑐 ≤𝑟∙𝑔∙ cos 𝛼 − 𝜇 ∙ sin 𝛼 →𝑐≤

𝑟∙𝑔∙

|∙

𝑟 𝑚

𝜇 ∙ cos 𝛼 + sin 𝛼 cos 𝛼 − 𝜇 ∙ sin 𝛼

(15)

Auch hier ist wieder das Ergebnis unabhängig vom Fahrzeuggewicht!

(5) Einheiten-Umrechnung Die gegebenen Werte eingesetzt liefern Fall a) m m ∙ 100m = 686,7 s s m 1km 60min 60s m km/h c ≤ 26,2 ∙ ∙ ∙ = 26,2 ∙ 3,6 s 1000m 1h 1min s m/s km km c ≤ 94,3 ≈ 94 h h 𝑐≤

𝜇 ∙𝑔∙𝑟 =

0,7 ∙ 9,81

(16)

Fall b) 𝑐≤

𝑟∙𝑔∙

𝜇 ∙ cos 𝛼 + sin 𝛼 = cos 𝛼 − 𝜇 ∙ sin 𝛼

100m ∙ 9,81m/s ∙

0,7 ∙ 0,966 + 0,259 = 0,966 − 0,7 ∙ 0,259 m km/h km c ≤ 34,2 ∙ 3,6 ≈ 123 s m/s h c=

981m/s ∙

1168,45

0,7 ∙ 𝑐𝑜𝑠15° + 𝑠𝑖𝑛15° 𝑐𝑜𝑠15° − 0,7 ∙ 𝑠𝑖𝑛15°

m s (17)

284

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Grenzgeschwindigkeiten für eine stabile Kurvenfahrt: Fall a) 𝑐 ≤ 94 km/h Fall b) 𝑐 ≤ 123 km/h c ist unabhängig vom Fahrzeuggewicht (theoretisch)! Diskussion: Die Fahrbahnneigung wirkt sich deutlich auf die Kurvenstabilität des Fahrzeugs aus. Ebenso günstig ist dies für das selbsttätige Abführen von Regenwasser zur Reduzierung von Aquaplaning. Im Falle von Glatteis wirkt sich die Fahrbahnneigung jedoch ungünstig auf die Spurhaltung aus. Allgemein gilt also, je stärker die Fahrbahnneigung ist, umso geringer ist die Gefahr, dass ein Fahrzeug aus der Kurve getragen wird. In der Praxis haben die Automobilhersteller allerdings zahlreiche Möglichkeiten, den Haftreibungskoeffizienten und die Rutschgefahr zu verbessern (Reifen-Grip, Spurhaltungssysteme, ESP etc.).

4.3 Thermodynamik In diesem Kapitel werden mit dem nachstehenden Beispiel einer typischen Aufgabenstellung der Thermodynamik die Vorteile der Lösungsfindung mit der methodischen Bearbeitung gegenüber einer intuitiven Vorgehensweise gezeigt.

Aufgabe 4.3: Wärmedehnung einer Stahlrohrleitung Eine Rohrleitung aus Stahl ist bei +18 °𝐶 30 𝑚 lang. Um wieviel Millimeter dehnt sie sich bei Erwärmung auf +80 °𝐶 aus, wenn der kubische Ausdehnungskoeffizient von Stahl 33 ∙ 10 𝐾 beträgt?

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und in Skizze anfertigen (Abb. 4.3-1)!

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

285

Abb. 4.3-1: Spezielle Längen bei Wärmedehnung

(2) Bezugsgleichungen/Fachgebiet festlegen Längendehnung, kubischer Ausdehnungskoeffizient 𝛾

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen - Bezugslänge L0 bei t0= 0°C bestimmen! - Dehnungslänge Lt2 bei t2= +80°C bestimmen. - Verlängerung L = Lt2- Lt1 berechnen

(4) Teilaufgaben lösen Da der kubische Ausdehnungskoeffizient 𝛾 auf die Bezugstemperatur 𝑡 = 0 °𝐶 bezogen ist, muss zunächst die Bezugslänge 𝐿 bestimmt werden, um mit der Definitionsgleichung Gl. (1) die Dehnungslänge 𝐿 bei 𝑡 = +80 °𝐶 berechnen zu können. 𝐿 =

𝐿 =

𝐿 1 [1 + 3 ∙ 𝛾 ∙ (𝑡 − 𝑡 )]

1 [1 + 3 ∙ 33 ∙ 10

mit: 𝐿

= 30 𝑚 𝛾 𝑡 = 33 ∙ 10 𝐾 (= +18 °𝐶) 𝑡 = 291,15 𝐾 = 273,15 𝐾 (= 0 °𝐶)

(1)

30m 1 ∙ K ∙ (291,15 − 273,15)K]

𝐿 = 29,994m Bei 𝑡 = 353,15 K (= +80 °C) beträgt die Dehnungslänge Lt2 bei entsprechender Anwendung der Definitionsgleichung Gl. (1)

286

𝐿 𝐿 𝐿

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

1 = 𝐿 ∙ [1 + ∙ 𝛾 ∙ (𝑡 − 𝑡 )] 3 1 = 29,994m ∙ [1 + ∙ 33 ∙ 10 3 = 30,020m

mit 𝐿 = 29,994m ∙

1 ∙ (353,15 − 273,15)K] K

Die Verlängerung ∆𝐿 von +18 °𝐶 auf +80 °𝐶 beträgt ∆𝐿 = 𝐿 − 𝐿

= 30,020m − 30,000m

∆𝐿 = 0,020m Gefragt war jedoch die Verlängerung in mm. Deswegen ist formal Schritt (5) durchzuführen.

(5) Einheiten-Umrechnung ∆𝐿 = 0,020m ∙ ∆𝐿 = 20mm

10 mm 1m

| Erweitern mit dem Einheiten-Umrechnungsfaktor (= 1!)

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Verlängerung der Rohrleitung bei einem Temperaturunterschied von 62 °C: ∆𝐿 = 20mm Diskussion: Längen-, Flächen- und Volumenänderungen durch Erwärmung können bei festen Körpern beträchtliche Werte annehmen. Wird diese Ausdehnung behindert, so folgen daraus innere Spannungen, die zum Bruch oder unzulässigen Verformungen des Bauteils führen können. Bei Abkühlungen treten umgekehrte Vorgänge auf. Dies nutzt man bei Querschrumpfverbindungen (z. B. Kugellager auf Welle aufschrumpfen), indem die Welle (Übermaß!) beispielsweise mit flüssigem Stickstoff (𝐿𝑁 ≈ −196 °𝐶 = 77 𝐾) abgekühlt wird, dann das Kugellager auf die Welle geschoben wird und das System wieder auf Raumtemperatur gebracht wird. Somit wird ohne jegliche Gewalteinwirkung bei der Verformung der beiden Bauteile ein fester Sitz erzeugt. Problematisch verhalten sich Gummidichtungen in Stahlapparaturen bei Abkühlung, da diese sich ca. 10-mal so stark verkürzen als Stahl und dabei leicht undicht werden. Bei der Challenger-Katastrophe versagten dadurch mehrere einfache Gummi-Dichtringe. Daher immer das Wärme-/Kälteverhalten bei VerbundKonstruktionen beachten!

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

287

4.4 Technische Mechanik In diesem Kapitel werden exemplarisch mit den nachstehenden Beispielen typische Aufgabenstellungen der Technischen Mechanik herangezogen und die Vorteile der Lösungsfindung mit der methodischen Bearbeitung gegenüber einer intuitiven Vorgehensweise gezeigt.

Aufgabe 4.4.1: Belastung eines Balkens durch Einzelkräfte Vorgegebene Aufgabenstellung: Ein Balken wird durch drei Kräfte ( 𝐹 , 𝐹 und 𝐹 ) belastet und besitzt an der Stelle 𝐴 ein Festlager und bei 𝐵 ein Loslager (s. Abb. 4.4-1).

Abb. 4.4-1: Balken mit Einzelkräften belastet

a) Schneiden Sie den Balken frei und tragen Sie alle wirkenden Kräfte und Momente ein. b) Bestimmen Sie die Lagerkräfte 𝐴 und 𝐵. c) Ermitteln Sie qualitativ und quantitativ die auftretenden Querkräfte 𝑄 und daraus die Querkraftlinie über der Balkenlänge. d) Ermitteln Sie die Biegemomente 𝑀 und die Momentenlinie über der Balkenlänge.

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und in Skizze ergänzen (in grün)!

(2) Bezugsgleichungen/Fachgebiet festlegen Zu a): Lager ersetzen durch mögliche Lagerkräfte. Prüfung auf „statische Bestimmtheit“ (Fachgebiet Statik) zu Übungszwecken.

Zu b): Gleichgewichtsbedingungen für Kräfte und Momente formulieren.

288

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

Zu c): Querkräfte jeweils zwischen den Einzelkräften durch Schneiden des Balkens ermitteln (Schnittufer und Schnittgrößen = Kräfte festlegen).

Zu d): Momente jeweils zwischen den Einzelkraft-Einleitungsbereichen durch Schneiden des Balkens ermitteln (Schnittufer und -größen = Biegemomente festlegen).

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): -

Kräfte und Momente eintragen Statische Bestimmtheit ermitteln

Zu b): -

Summe Kräfte in x – Richtung = 0! Summe Kräfte in z – Richtung = 0! Summe Momente um Bezugspunkt 𝑃 = 0! Auswertung aller drei Gleichgewichtsbedingungen liefert die Lagerkräfte 𝐴 𝐴 und 𝐵 = 𝐵

Zu c): Querkräfte in Richtung x ändern sich erst dann, wenn neue Kräfte eingeleitet werden. -

-

Schnitte legen zwischen:  𝐴 und 𝐹 (Schnitt 1)  𝐹 und 𝐹 (Schnitt 2)  𝐹 und 𝐹 (bzw. 𝐵) (Schnitt 3) Schnittgrößen am Balken definieren Aus Gleichgewichtsbedingungen für jeden Schnitt die Querkräfte bestimmen und die Querkraftlinie 𝑄 = 𝑓(𝑥) zeichnen.

Zu d): Biegemomente entlang des Balkens ändern sich mit zunehmendem 𝑥. Die Neigung ändert sich, sobald neue Kräfte eingeleitet werden. -

Schnitte legen zwischen 𝐴 und 𝐹 (Schnitt 1), 𝐹 und 𝐹 (Schnitt 2) und 𝐹 und 𝐹 (Schnitt 3), analog zu c).

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

-

289

Mit den Schnittgrößen-Definitionen (analog c)) und Momenten-Gleichgewichtsbedingungen die Biegemomente in Richtung 𝑥 und daraus die Momentenlinie 𝑀 = 𝑓(𝑥) zeichnen.

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Lagerkräfte werden am ungeschnittenen Balken bestimmt. Dazu werden die Lager durch die Lagerkräfte ersetzt, (vgl. Abb. 4.4-2): Festlager A: horizontale Lagerkraft 𝐴 vertikale Lagerkraft 𝐴 Loslager B: vertikale Lagerkraft 𝐵 = 𝐵 Prüfung der statischen Bestimmtheit n mit Hilfe der Gleichung: 𝑛 =𝑗+𝑠−3∙𝑘

(1)

mit 𝑗 = Mögliche Auflagerkräfte und Momente (Wertigkeiten 2 + 1 = 3) 𝑠 = Zahl der Gelenkverbindungen (kein Gelenk, daher = 0) 𝑘 = Anzahl der starren Körper (= 1 Balken) also 𝑛 = 3 + 0 − 3 ∙ 1 = 0 → statisch bestimmtes System! Gleichung (1) gilt für ein zweidimensionales System. Bei einem dreidimensionalen System wird 3 ∙ 𝑘 durch 6 ∙ 𝑘 ersetzt. Freischneiden ergibt:

Abb. 4.4 -2: Freigeschnittenes System

Zu b): Gleichgewichtsbedingungen für die Kräfte und Momente liefern: -

! 0 Horizontale Kräfte in x-Richtung =

290

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

+→𝑥 -

(2)

! 0 Vertikale Kräfte in z-Richtung = +↓𝑧

-

𝐴 = 0 (da keine weitere Horizontalkraft existiert)

−𝐴 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 − 𝐵 = 0

(3)

Dies ist eine Gleichung mit den beiden Unbekannten 𝐴 und 𝐵 Für das Momentengleichgewicht ist zuvor ein Bezugspunkt P festzulegen. Hierzu wird idealerweise der Lagerpunkt A gewählt, da 𝐴 und 𝐴 durch diesen Punkt gehen und somit kein Moment erzeugen! Jetzt werden alle „Kräfte x Hebelarm“ aufsummiert unter Berücksichtigung der Drehrichtung in Bezug auf P und gleich Null gesetzt. (Kräfte immer senkrecht auf Hebelarm!) Definition: Gemäß Abb. 4.4 - 4 werden linksdrehende Momente positiv (+) und rechtsdrehende Momente negativ (-) gezählt. Damit ergibt sich: ↺P

! 0 −𝐹 ∙ 𝑎 − 𝐹 ∙ 2𝑎 − 𝐹 ∙ 4𝑎 + 𝐵 ∙ 4𝑎= 𝐵 ∙ 4𝑎 = 𝑎 ∙ (𝐹 + 2𝐹 + 4𝐹 ) 1 𝐵 = (𝐹 + 2𝐹 + 4𝐹 ) 4

(4)

Gl. (4) in Gl. (3) eingesetzt ergibt: 1 −𝐴 + 𝐹 + 𝐹 + 𝐹 − (𝐹 + 2𝐹 + 4𝐹 ) = 0 4 1 2 4 𝐴 =𝐹 − 𝐹 +𝐹 − 𝐹 +𝐹 − 𝐹 4 4 4 3 2 𝐴 = 𝐹 + 𝐹 +0 4 4 1 𝐴 = (3𝐹 + 2𝐹 ) 4

(5)

Zu c): Die Schnitte zur Bestimmung der Querkräfte werden willkürlich zwischen den wirkenden Kräften gelegt:

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

291

Abb. 4.4-3: Schnitte am Balken zur Bestimmung der Querkräfte

Folgende Definitionen für die Schnittgrößen werden benutzt:

Abb. 4.4-4: Definitionen für Schnittgrößen

Hier werden die Definitionen für ein positives Schnittufer benutzt. -

Vertikale Gleichgewichtsbedingung für Schnitt 1: ↑

-

𝐴 −𝑄 =0 𝑄 =𝐴 Vertikale Gleichgewichtsbedingung für Schnitt 2: ↑

-

𝐴 −𝐹 −𝑄 = 0 𝑄 =𝐴 −𝐹

Vertikale Gleichgewichtsbedingung für Schnitt 3: ↑

𝐴 −𝐹 −𝐹 −𝑄 = 0

(6)

(7)

292

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

𝑄 =𝐴 −𝐹 −𝐹

(8)

Damit lässt sich, häufig in Klausuren verlangt, qualitativ die Querkraftlinie zeichnen, indem die gegebenen F-Werte in die Formeln (4) bis (8) eingesetzt werden:

Abb. 4.4-5: Querkraftlinie (qualitativ) ___________________________________________________________________________________________

Beachte Unter Klausurbedingungen verfallen die Teilnehmer häufig in die vermeintlich günstiger erscheinende Vorgehensweise, nach der allgemeinen Ermittlung von Berechnungsformeln direkt die Zahlenwerte einzusetzen, dafür den Rechner zu benutzen, um „Ergebnisse zu präsentieren“. Dies lenkt aber stark vom systematisch-methodischen Denken ab, weil die Rechenoperation mit Zahlen lediglich Routine verlangt, wodurch man zeitweise „den Faden zur Problemlösung verliert“ und sich dann wieder „mühsam“ in die Denkarbeit reinfinden muss (Ablenkungseffekt!). Das ist die Begründung dafür, den Arbeitsschritt (5) (EinheitenUmrechnung = Zahlenrechnung plus Einheiten-Berücksichtigung) erst nach der vollständigen allgemeinen Lösung anzugehen. ___________________________________________________________________________________________

Zu d): Die Schnitte zur Bestimmung der Biegemomente werden analog zur Querkraft willkürlich zwischen den wirkenden Kräften angeordnet:

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

293

Abb. 4.4-6: Schnitte am Balken zur Bestimmung der Biegemomente

Es werden wieder die Definitionen für ein positives Schnittufer benutzt (vgl. Abb. 4.4-4) und jeweils für jeden Schnitt das Momentengleichgewicht um den jeweiligen Bezugspunkt 𝑃 ermittelt. Kräfte, die mit ihrem jeweiligen Hebelarm um 𝑃 gegen den Uhrzeigersinn drehen, werden mit Pluszeichen eingesetzt. Momente im Uhrzeigersinn erhalten ein Minuszeichen. -

Momentengleichgewicht für Schnitt 1 um Bezugspunkt 𝑃 : 𝑀 ↺

−𝐴 ∙ 𝑥 + 𝑀 = 0 𝑀 =𝐴 ∙𝑥

-

bei x = 0 → M1 = 0; bei x = a → 𝑀 = 𝐴 ∙ 𝑎

(9)

Momentengleichgewicht für Schnitt 2 um Bezugspunkt 𝑃 : 𝑀 ↺

−𝐴 ∙ 𝑥 + 𝐹 ∙ (𝑥 − 𝑎) + 𝑀 = 0 𝑀 = 𝐴 ∙ 𝑥 − 𝐹 ∙ (𝑥 − 𝑎) bei x = a → 𝑀 = 𝐴 ∙ 𝑎 bei x = 2a → 𝑀 = 𝐴 ∙ 2𝑎 − 𝐹 (2𝑎 − 𝑎) 𝑀 = 𝐴 ∙ 2𝑎 − 𝐹 ∙ 𝑎

(10)

294

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

-

Momentengleichgewicht für Schnitt 3 um Bezugspunkt P3: 𝑀 ↺

−𝐴 ∙ 𝑥 + 𝐹 ∙ (𝑥 − 𝑎) + 𝐹 ∙ (𝑥 − 2𝑎) + 𝑀 = 0 𝑀 = 𝐴 ∙ 𝑥 − 𝐹 ∙ (𝑥 − 𝑎) − 𝐹 ∙ (𝑥 − 2𝑎)

(11)

Bei 𝑥 = 2𝑎 → 𝑀 = 𝐴 ∙ 2𝑎 − 𝐹 ∙ (2𝑎 − 𝑎) − 𝐹 ∙ (2𝑎 − 2𝑎) → 𝑀 = 𝐴 ∙ 2𝑎 − 𝐹 ∙ 𝑎 Bei 𝑥 = 4𝑎 → 𝑀 = 𝐴 ∙ 4𝑎 − 𝐹 ∙ (4𝑎 − 𝑎) − 𝐹 ∙ (4𝑎 − 2𝑎) → 𝑀 = 𝐴 ∙ 4𝑎 − 𝐹 ∙ 3𝑎 − 𝐹 ∙ 2𝑎 → 𝑀 = 𝑎 ∙ (𝐴 ∙ 4 − 𝐹 ∙ 3 − 𝐹 ∙ 2) 𝐴 einsetzen (Gl. (5)), ergibt: 𝑀 =𝑎∙

1 ∙ (3𝐹 + 2𝐹 ) ∙ 4 − 𝐹 ∙ 3 − 𝐹 ∙ 2 4

𝑀 = 𝑎 ∙ [3𝐹 + 2𝐹 − 3𝐹 − 2𝐹 ] 𝑀 =𝑎∙0=0 ___________________________________________________________________________________________

Beachte Bei Einzellasten auf dem Balken ist der Momentenverlauf linear zwischen den Kräften! Ist der Querkraftverlauf im positiven Q-Bereich, so ist die Steigung der Momentenlinie ebenfalls positiv! Ist der Querkraftverlauf im negativen Q-Bereich, so ist auch die Steigung der Momentenlinie negativ! Wo Q = 0 gilt, ist der Momentverlauf konstant. Mit diesen Informationen und den Ergebnissen der Biegemomente für charakteristische x–Werte lässt sich die Momentenlinie qualitativ zeichnen. ___________________________________________________________________________________________

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

295

Abb. 4.4-7: Momentenlinie (qualitativ)

(5) Einheiten-Umrechnung In Klausuren werden oft nur der Querkraft- und Momentenverlauf in qualitativer Form verlangt, wie es in Abb. 4.4-5 und Abb. 4.4-7 dargestellt ist. Werden jetzt die in der Aufgabenstellung gegebenen Werte mit den zugehörigen Einheiten in die Formeln eingesetzt, so erhält man: 1 1 aus Gl. (5) → 𝐴 = (3𝐹 + 2𝐹 ) = ∙ (3 ∙ 10 kN + 2 ∙ 5 kN) = 10 kN 4 4 1 1 aus Gl. (4) → 𝐵 = (𝐹 + 2𝐹 + 4𝐹 ) = ∙ (10 kN + 2 ∙ 5 kN + 4 ∙ 20 kN) = 25 kN 4 4 ! 𝐹 +𝐹 +𝐹 𝐴 +𝐵=

Kontrolle:

10 𝑘𝑁 + 25 𝑘𝑁 = 10 𝑘N + 5 kN + 20 kN 35 kN = 35 kN → ok!

aus Gl. (6) → 𝑄 = 𝐴 = 10 kN aus Gl. (7) → Q = A − F = 10 kN − 10 kN = 0 aus Gl. (8) → 𝑄 = 𝐴 − 𝐹 − 𝐹 = 10 kN − 10 kN − 5 kN = −5 kN aus Gl. (9) → 𝑀

(

)

= 0 Nm

→𝑀

(

)

= 𝐴 ∙ 𝑎 = 10 kN ∙ 1m = 10 kNm

aus Gl. (10) → 𝑀

(

)

= 𝐴 ∙ 𝑎 = 10 kN ∙ 1m = 10 kNm

→𝑀

(

)

= 𝐴 ∙ 2𝑎 − 𝐹 ∙ 𝑎 = 10 kN ∙ 2 m − 10 kN ∙ 1m = 10 kNm

296

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

aus Gl. (11) → 𝑀

(

)

= 𝐴 ∙ 2𝑎 − 𝐹 ∙ 𝑎 = 10 kN ∙ 2 m − 10 kN ∙ 1m = 10 kNm

→𝑀

(

)

= 𝐴 ∙ 4𝑎 − 𝐹 ∙ (4𝑎 − 𝑎) − 𝐹 ∙ (4𝑎 − 2𝑎)

→𝑀

(

)

= 10 kN ∙ 4 m − 10 kN ∙ 3 m − 5 kN ∙ 2 m = 0 kNm

Aus den numerischen Werten der Querkräfte und Biegemomente lassen sich jetzt die exakten Querkraft- und Momentenlinien zeichnen.

Abb. 4.4-8: Querkraftlinie

Abb. 4.4-9: Biegemomentenlinie

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

297

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Lagerkräfte 𝐴 = 0 𝐴 = 10 kN 𝐵 = 𝐵 = 25 kN Maximale Querkraft 𝑄 = 10 kN Minimale Querkraft 𝑄 = −5 kN Maximales Biegemoment 𝑀 = 10 kNm Diskussion: Querkräfte führen zu Schubspannungen und Biegemomente zu Biegespannungen. Ein praktisches Beispiel ist eine Getriebewelle. Biegebalken sind häufig verwendete Bauelemente im Maschinenbau und in der Bauindustrie, wobei sehr oft Einzel- und Streckenlasten kombiniert mit äußeren Biege- und Torsionsmomenten auftreten. Derart komplexe Beanspruchungen gehören zu den schwierigen Aufgabenstellungen der Ingenieurtechnik, um beispielsweise Verformungen und Sicherheit von Bauwerken voraussagen zu können. Die Stellen oder Bereiche, wo maximale Schub-, Biege- oder Torsionsspannungen auftreten, müssen besonders beachtet werden. Hier muss sichergestellt sein, dass die vorhandenen Spannungen jeweils kleiner sind als die zulässigen.

Aufgabe 4.4.2: Eingespannter Balken mit Momentenbelastung Vorgegebene Aufgabenstellung (nach [BEH 23]): Der Balken ACD ist bei 𝐴 fest eingespannt und bei 𝐶 gelenkig mit Stab BC verbunden. Bei 𝐷 ist der Balken mit dem Moment 𝑀 belastet. Die Biegesteifigkeit 𝐸𝐼 des Balkens und die Dehnsteifigkeit 𝐸𝐴 des Stabs sind gegeben (s. Abb. 4.4-10).

Abb. 4.4-10: Eingespannter Balken mit Stützstab

298

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

a) Schneiden Sie den Balken frei und tragen Sie alle wirkenden Kräfte und Momente ein. Ist das System statisch bestimmt? b) Bestimmen Sie die Lagerreaktion und die Stabkraft? c) Wie groß ist die Absenkung bei C, 𝑤 ? d) Wie groß ist die Absenkung bei D, 𝑤 ?

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und in Skizze ergänzen (in grün)!

(2) Bezugsgleichungen/Fachgebiet festlegen Zu a): Prüfung auf „statische Bestimmtheit“→ 𝑛 = ? Regeln für Freischneiden beachten!

Zu b): Biegelinien für Grundlastfälle (evtl. Superpositionsprinzip) und der Stabverkürzung BC ermitteln und mit geometrischen Randbedingungen und den Gleichgewichtsbedingungen am freigeschnittenen Balken die unbekannten Kräfte und das Einspannmoment ermitteln. Zu c): 𝑤 aus Stabverkürzungsformel mit Stabkraft S.

Zu d): 𝑤 mittels Superpositionsprinzip aus Grundlastfällen bestimmen. Erst zum Schluss Zahlenrechnung durchführen (in Schritt (5))

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen Zu a): Erst Skizze für „Freischneiden“ anfertigen, dann Prüfung auf statische Bestimmtheit. Zu b): -

Einzel-Grundlastfälle mit Verformungslinien bei Superpositionsprinzip (Überlagerungskonzept) skizzieren. Summe Kräfte in z-Richtung = 0!

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

-

-

299

Durchbiegungen und Stabverformungen ermitteln mittels erforderlicher Gleichungen, Biegelinientafeln und Randbedingungen. Falls erforderlich mittels Superpositionsprinzip aus den Durchbiegungen erste unbekannte Größe bestimmen. Restliche Unbekannte aus Gleichgewichtsbedingungen ableiten.

Zu c): Absenkung an Stelle C des Stabs aus Stabkraft S bestimmen. Stabdehnungsformeln benutzen. Zu d): Absenkung an Stelle D aus Einzel-Belastungsfällen mittels Biegelinientafeln berechnen und evtl. überlagern (bei Superposition). Werteberechnung erst in Arbeitsschritt (5) durchführen!

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Prüfung der statischen Bestimmtheit n mittels der Gleichung im freigeschnittenen System: (1)

𝑛 =𝑗+𝑠−3∙𝑘 mit 𝑗 = Mögliche Lagerkräfte und Momente 𝑠 = Zahl der Gelenkverbindungen (Reaktionen) 𝑘 = Anzahl der Körper (Strukturelemente)

Durch Freischneiden des Balkens erhält man die möglichen Lagerkräfte und Momente (Abb. 4.4-11)

Abb. 4.4-11: Freischnitt des Balkens

Damit wird (Abb. 4.4-11) 𝑗=4 𝑠=0 𝑘=1 𝑛 =4+0−3∙1 = 1

(wegen 𝐴 , 𝐴 , 𝑀 und 𝑆) (Balken ohne Gelenkverbindung) (ein einzelner Balken) → 1-fach statisch unbestimmt!

300

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

Es ist also erforderlich, neben den drei statischen Gleichgewichtsbedingungen noch eine zusätzliche geometrische Randbedingung zu benutzen, sowie das Superpositionsprinzip anzuwenden. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Im nicht freigeschnittenen System wird: 𝑗=5 𝑠=2 𝑘=2 𝑛 =5+2−3∙2 = 1

(3 ∙(linkes Lager)+2 ∙(Stablagerung)) (Gelenkreaktionen am Stab bei Stelle B und C) (Balken und Stab) (Ergebnis gleich!)

Anschaulich für Fortgeschrittene: 3 Lagerreaktionen links am Balken und eine Stabkraft liefern 4 Unbekannte. Da in der Ebene für den Balken nur 3 Gleichungen existieren, ist das System 1-fach statisch unbestimmt. ___________________________________________________________________________________________

Zu b): Zum besseren Verständnis werden zunächst die Verformungslinien der voneinander unabhängigen Einzel-Grundlastfälle („0“-System für 𝑀 und „1“-System für 𝑆 ) qualitativ aufgezeichnet:

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

301

Abb. 4.4-12: Verformungsskizzen für das Superpositionsprinzip

Hinweis zu den benötigten Differentialgleichungen zur Biegelinie und zur Stabverformung: Krümmung: → −𝐸𝐼 ∙ 𝑤 (𝑥) = 𝑀 (𝑥)

(mit 𝑀 um Drehachse 𝑦) (2)

Neigung: → −𝐸𝐼 ∙ 𝑤 (𝑥) = 𝑀 (𝑥) ∙ 𝑥 + 𝐶 Durchbiegung:

→ −𝐸𝐼 ∙ 𝑤(𝑥) =

𝑀 (𝑥) ∙ 𝑥 +𝐶 ∙𝑥+𝐶 2

(3) (4)

𝐸𝐼 wird als Biegesteifigkeit bezeichnet, mit der Einheit Nmm . Für die Stabstauchung ist die Dehnsteifigkeit 𝐸𝐴 relevant, mit der Einheit N. Der Elastizitätsmodul 𝐸 ist eine Werkstoffkenngröße, während das Flächenträgheitsmoment 𝐼 (hier 𝐼 = 𝐼 ) und der Stabquerschnitt 𝐴 die jeweilige Querschnittsgeometrie kennzeichnen.

302

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

DGL. (2) angewendet auf das „0“-System liefert −𝐸𝐼 ∙ 𝑤 (𝑥) = 𝑀 (𝑥) = −𝑀 Integration ergibt nach Vorzeichentausch auf beiden Seiten (5)

−𝐸𝐼 ∙ 𝑤 (𝑥) = 𝑀 ∙ 𝑥 + 𝐶 und erneute Integration führt zu

𝑀 ∙𝑥 +𝐶 ∙𝑥+𝐶 2 Mit den Randbedingungen, dass an der Einspannstelle A die Durchbiegung 𝑤(0) = 0 und ebenso die Neigung 𝑤‘(0) = 0 ist, folgt −𝐸𝐼 ∙ 𝑤(𝑥) =

−𝐸𝐼 ∙ 𝑤 (0) = 𝑀 ∙ 0 + 𝐶 = 0 → 𝐶 = 0 −𝐸𝐼 ∙ 𝑤(0) =

𝑀 ∙0 +0∙0+𝐶 =0→ 𝐶 =0 2

Damit wird die Durchbiegung wC0 an der Stelle C (bei 𝑥 = )

𝑤

=𝑤

𝑙 𝑀 ∙ (2) 𝑙 𝑀 ∙𝑙 =+ = 2 2 ∙ 𝐸𝐼 8 ∙ 𝐸𝐼

(in positive z-Richtung)

(6)

Im „1“-System verkürzt sich der Stab an der Stelle C unter der Stabkraft S um die Strecke ∆BC, also um ∆𝑙. Aus der bekannten Beziehung Dehnung 𝜀 = und der weiteren Beziehung 𝜀 =

∆

(mit 𝑙 = Ausgangslänge = )

folgt

∆𝑙 𝑆 𝑆∙𝑙 𝑆∙𝑙 = → ∆𝑙 = = = ∆BC 𝑙 𝐸𝐴 𝐸𝐴 4 ∙ 𝐸𝐴

(7)

Aus Standard-Einzelkraft S als Balkenbelastung an der Stelle C (bei 𝑥 = ) entnimmt man aus bekannten vorliegenden Biegelinientafeln der Literatur: 𝑙 𝑆∙ 2 𝑆∙𝑥 𝑆∙𝑙 =− =− 3 ∙ 𝐸𝐼 3 ∙ 𝐸𝐼 24 ∙ 𝐸𝐼 (Das Minus-Zeichen ergibt sich daraus, dass 𝑤 𝑤

(8)

=−

im „1“-System entgegen der z-Richtung wirkt)

Nach dem Superpositionsprinzip ergibt sich die Gesamtdurchbiegung an der Stelle 𝑥 = , die gleich sein muss mit der Stabstauchung ∆𝐵𝐶 , zu

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

𝑙 =𝑤 2

𝑤

+𝑤

! ∆BC → 𝑀 ∙ 𝑙 − 𝑆 ∙ 𝑙 = 𝑆 ∙ 𝑙 = 8 ∙ 𝐸𝐼 24 ∙ 𝐸𝐼 4 ∙ 𝐸𝐴

303

(9)

Durch Umformung erhält man die Stabkraft S 𝑀 ∙𝑙 𝑆∙𝑙 𝑆∙𝑙 = + 8 ∙ 𝐸𝐼 4 ∙ 𝐸𝐴 24 ∙ 𝐸𝐼 𝑀 =

|∙

8 ∙ 𝐸𝐼 𝑙

8 ∙ 𝐸𝐼 𝑆∙𝑙 𝑆∙𝑙 ∙( + ) 𝑙 4 ∙ 𝐸𝐴 24 ∙ 𝐸𝐼

𝑀 =𝑆∙

2 ∙ 𝐸𝐼 1 6 𝐸𝐼 1 + ∙𝑙 =𝑆∙( ∙ + ∙ 𝑙) → 𝑙 ∙ 𝐸𝐴 3 3 𝑙 ∙ 𝐸𝐴 3

3∙𝑀 𝐸𝐼 6∙ +𝑙 𝑙 ∙ 𝐸𝐴 3 ∙ 𝑀 /𝑙 𝑆= 𝐸𝐼 6∙ +1 𝑙 ∙ 𝐸𝐴 𝑆=

1 |∙( ) 𝑙 (10)

Damit lassen sich die noch unbekannten Kräfte und Momente an der Einspannstelle A des Balkens aus den Gleichgewichtsbedingungen des freigeschnittenen Balkens (Abb. 4.4-11) ermitteln. -

! 0 Horizontale Kräfte (in x-Richtung) = (11)

-

! 0 (da eine weitere Horizontalkraft nicht existiert) → 𝑥 𝐴 = ! 0 Vertikale Kräfte ( in z-Richtung ) = ↓ 𝑧 −𝐴 − 𝑆 = 0 → 𝐴 = −𝑆 Momentengleichgewicht um Bezugspunkt P

(12)

-

↺P

𝑙 ! 0 −𝑀 = 2 𝑙 𝑀 =𝑀 − 𝑆∙ 2 𝑀 +𝑆∙

(13)

Zu c): Die Absenkung des Balkens bei Stelle C entspricht der Stauchung des Stabes BC unter der Stabkraft S und wurde bereits mit Gl. (9) bestimmt. 𝑤 = ∆BC = Zu d):

𝑆∙𝑙 4 ∙ 𝐸𝐴

(14)

304

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

Zur Bestimmung der Absenkung 𝑤 des Balkens an der Stelle D ist es sinnvoll, sich die Biegelinie des „1“-Systems noch einmal anzuschauen und die reale Verformung in zwei getrennten Bereichen zu betrachten (Abb. 4.4-12). Die Gesamtbiegung setzt sich damit aus zwei Teilen zusammen: 𝑤

=𝑤

(15)

+𝑤

𝑤 ist dabei die durch S verursachte linear verlaufende Neigung zwischen den Stellen C und D unter dem Neigungswinkel ΨC1. ΨC1 erhält man aus Biegelinientafeln für diesen Standardfall. Ψ

=

und 𝑤

𝑙 𝑆 ∙ (2)

=

2 ∙ 𝐸𝐼

= −Ψ

∙

𝑆∙𝑙 8 ∙ 𝐸𝐼

(16)

(17)

𝑙 𝑆∙𝑙 =− 2 16 ∙ 𝐸𝐼

sowie aus Gl. (8) 𝑤

=−

(18)

𝑆∙𝑙 24 ∙ 𝐸𝐼

Damit ergibt sich die Gesamtbiegung 𝑤 𝑤

=𝑤

+𝑤

=−

Die Durchbiegung 𝑤 𝑥 = 𝑙 zu 𝑤

=

im „1“-System zu

𝑆∙𝑙 𝑆∙𝑙 5 𝑆∙𝑙 − =− ∙ 24 ∙ 𝐸𝐼 16 ∙ 𝐸𝐼 48 𝐸𝐼

an der Stelle D im „0“-System ergibt sich aus Gl. (5) bzw. Gl. (6) mit (20)

𝑀 ∙𝑥 𝑀 ∙𝑙 = 2 ∙ 𝐸𝐼 2 ∙ 𝐸𝐼

Nach Superposition von 𝑤 Balkens an der Stelle D. 𝑤 =𝑤

+𝑤

=

(19)

und 𝑤

folgt schließlich die Gesamtdurchbiegung 𝑤 des

𝑀 ∙𝑙 5 𝑆∙𝑙 − ∙ 2 ∙ 𝐸𝐼 48 𝐸𝐼

(21)

(5) Einheiten-Umrechnung Nachdem alle Ergebnisse in allgemeiner Form vorliegen, können die gewünschten Zahlenwerte für die Kräfte, Momente und Verschiebungen berechnet werden.

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

305

Zu b): Alle bekannten Zahlenwerte mit ihren Einheiten und Umrechnungsfaktoren (=1!) in Gl. (10) eingesetzt liefern die Stabkraft S. 1 kNm 1000 N 3∙ 1m ∙ 3 ∙ 𝑀 /𝑙 1 kN 𝑆= = 𝐸𝐼 10 Nmm 1m 6∙ +1 6∙ ∙ +1 𝑙 ∙ 𝐸𝐴 1 m ∙ 10 N 10 mm 3 ∙ 1000 N 3000 N 3000 N 𝑆= = = = 1875 N 1 10 1,6 6∙ + 1 6 ∙ 10 + 1 10 ∙ 10 Gl. (11) ergibt 𝐴 = 0 N Gl. (12) führt zu 𝐴 = −𝑆 = −1875 N Das Einspannmoment an der Stelle A wird gemäß Gl. (13) 𝑀 =𝑀 − 𝑆∙

𝑙 1000Nm 1m = 1kNm ∙ − 1875N ∙ 2 1kNm 2

𝑀 = 62,5Nm

Zu c): Die Absenkung 𝑤 des Balkens an der Stelle 𝐶 entspricht der Stauchung des Stabs ∆BC und wird mit Gl. (14) berechnet: 𝑆∙𝑙 1875 N ∙ 1 m 1000 mm 1 1,875 ∙ 10 mm = ∙ = ∙ 4 ∙ 𝐸𝐴 4 ∙ 10 N 1m 4 10 𝑤 = 4,69 mm 𝑤 = ∆𝐵𝐶 =

Zu d): Mit Gl. (21) ergibt sich die Gesamtdurchbiegung 𝑤 des Balkens an der Stelle 𝐷 zu 𝑀 ∙𝑙 5 𝑆∙𝑙 − ∙ 2 ∙ 𝐸𝐼 48 𝐸𝐼 1kNm ∙ 1 ∙ m 1000N 1000mm 10 mm 5 1875N ∙ 1 ∙ m 10 mm 𝑤 = ∙ ∙ ∙ − ∙ ∙ 2 ∙ 10 Nmm 1kN 1m 1m 48 10 Nmm 1m 10 mm 5 ∙ 1875 ∙ 10 mm 10 mm 5 ∙ 187,5 mm 𝑤 = − = − 2 ∙ 10 48 ∙ 10 2 48 𝑤 = 50 mm − 19,53 mm = 30,47 mm 𝑤 =

306

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren Einspannkräfte (Stelle A) 𝐴 = 0 N 𝐴 = −1875 N Einspannmoment (Stelle A) 𝑀 = 62,5 Nm Stabkraft 𝑆 = 1875 N Balkenabsenkung (Stelle C) 𝑤 = 4,69 mm Balkenabsenkung (Stelle D) 𝑤 = 30,47 mm

Diskussion: Bei statisch unbestimmten Anordnungen in der Mechanik führt das Superpositionsprinzip häufig zu der gewünschten Lösung. Aber auch in anderen Bereichen der Ingenieurwissenschaften spielt es eine Rolle, wie z. B. in der Elektrotechnik, der Mathematik (z. B. lineare DGL’s), der Thermodynamik, der Wellenlehre etc. Ein typisches Anwendungsbeispiel für den hier mit einem Stab abgestützten Balken, mit seitlicher Einspannung und einer Momentenbelastung ist beispielsweise der Stützpfeiler einer überdachten Hauseingangstür oder im Hallenbau.

4.5 Regelungstechnik In diesem Kapitel werden mit dem nachstehenden Beispiel einer typischen Aufgabenstellung der Regelungstechnik und die Vorteile der Lösungsfindung der methodischen Bearbeitung gegenüber einer intuitiven Vorgehensweise gezeigt.

Aufgabe 4.5: Beharrungswert eines Kochtopfs Vorgegebene Aufgabenstellung (nach [HEI 21]): Beim Abkühlen eines Kochtopfs werden folgende Temperaturen gemessen: 𝑡 [ 𝑚𝑖𝑛 ] 𝜗 [°𝐶] Messwert-Nr. = Indexnummer

0 60 0

5 44,3 1

10 34,7 2

a) Auf welche Temperatur 𝜗 kühlt sich der Kochtopf im Beharrungszustand ab, wenn die Rechnung mit Absolut-Messwerten durchgeführt wird? b) Welcher Beharrungswert 𝜗 ergibt sich, wenn mit Temperatur-Differenzen gerechnet wird? c) Rechnen Sie die unter a) und b) erhaltenen Beharrungswerte 𝜗 von Grad Celsius in Kelvin um.

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

(1) Aufgabe klären Alle wichtigen Informationen markieren und Skizze anfertigen (Abb. 4.5-1)!

Abb. 4.5-1: Abkühlvorgang eines Kochtopfs (= Sprungantwort Entladefunktion)

(2) Bezugsgleichungen/Fachgebiet festlegen - Zeitverhalten PT1-Strecke - Beharrungswertgleichung für gleichgroße Zeitabstände ∆𝑡 ohne Totzeit a) Absolut-Messwerte 𝜗 → Gl. (1), nach [HEI 21] b) Temperatur-Differenzen ∆𝜗 → Gl. (2), nach [HEI 21] - Umrechnungsbeziehung Grad Celsius in Kelvin (für c))

(3) Bearbeitungsreihenfolge festlegen In den Originalgleichungen von [HEI 21] die Indexnummern ändern und anwenden: Für a): 2 → 1, 3 → 2, 1 → 0, bzw. 𝑥 → 𝜗 Für b): analog zu a) c) für a) und b) gemeinsam

307

308

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

(4) Teilaufgaben lösen Zu a): Da die Messwerte die Forderung ∆𝑡 = 5 𝑚𝑖𝑛 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. erfüllen, ergibt sich für die AbsolutMesswerte 𝜗 mit den modifizierten Indizes die Beharrungstemperatur 𝜗 zu: 𝜗 =

( 44,3 − 34,7  60 )  (C) 𝜗 −𝜗 ∙𝜗 = = 19,6 °C ( 2  44,3 − 34,7 − 60 ) C 2∙𝜗 −𝜗 −𝜗

(1)

___________________________________________________________________________________________

Beachte Physikalische Größen(gleichungen) bestehen immer aus einem Zahlenwert mal Einheit. ___________________________________________________________________________________________

Die Beharrungstemperatur ist identisch mit der Umgebungstemperatur im Umfeld des Kochtopfs.

Zu b): Die Temperaturdifferenzen ∆𝜗 eingesetzt in Gl. (2) (mit den Modifikationen von Schritt (3)) ergeben: ∆𝜗 = 𝜗 − 𝜗 = (60 − 44,3)°C = 15,7 °C ∆𝜗 = 𝜗 − 𝜗 = (60 − 34,7)°C = 25,3 °C und somit die Differenz zur Beharrungstemperatur ∆𝜗 =

∆𝜗 (15,7 ) ∙ (°C ) = = 40,4 °C (2 ∙ 15,7 − 25,3)°C 2 ∙ ∆𝜗 − ∆𝜗

(2)

Gemäß Abb. 4.5-1 ergibt sich die Beharrungstemperatur zu 𝜗 = 𝜗 − ∆𝜗 = (60 − 40,4)°C = 19,6°C

(entspricht Ergebnis a))

Zu c): In Punkt c) der Aufgabenstellung war die Beharrungstemperatur in Kelvin gefordert. Derartige Einheiten-Umrechnungen werden mit Schritt (5) bearbeitet.

(5) Einheiten-Umrechnung Für diese Umrechnung wird die Beziehung x ∙ °C + 273,15 ∙ °C = y ∙ K benutzt.

4 Aufgaben aus weiteren Fachgebieten der Ingenieurtechnik

309

Mit x = 𝜗 in °𝐶 und 𝑦 = 𝜗 in 𝐾 ergibt sich: 19,6 °C + 273,15 °C = 𝜗 ∙ K → 𝜗 = 𝑇 = 292,75 K

(6) Ergebnisse präsentieren und diskutieren a) und b): Das Ergebnis des Beharrungswerts ist unabhängig davon, ob man mit absoluten Werten oder mit Differenzen rechnet: 𝜗 = 19,6 °C c): 𝜗 = 𝑇 = 292,75 K Diskussion: Die vorstehenden Berechnungsgleichungen basieren auf den Voraussetzungen (Anwendung des 1. Strahlensatzes): -

Strecke ohne Totzeit Messwerte liegen bei gleichgroßen Zeitabständen ∆𝑡 vor.

Für abweichende Voraussetzungen gelten komplexere Berechnungsgrundlagen. Weiteres praktisches Beispiel: Turbinen-Auslauf. ___________________________________________________________________________________________

Beachte Mit der Anwendung der Methode bei den exemplarischen Klausuraufgaben aus den wichtigsten Disziplinen der Ingenieur-Ausbildung sollen Studierende ermuntert werden, das hier Gezeigte auf alle Aufgabenbearbeitungen und die Klausurvorbereitungen zu übertragen. Die Autoren sind dankbar für die Zusendung von Erfahrungsberichten und besonders geeignete weitere Beispiele aus der Ingenieurtechnik ([email protected] oder [email protected]). ___________________________________________________________________________________________

310

Literatur- und Quellehinweise

Literatur- und Quellenhinweise [PES 19]

Seite VI Peschges, K.-J., Manser, S., Starker, A.: :"Im Team entwickeln-einfach, 285 methodisch, erfolgreich", siehe 286 https://www.springer.com/gp/book/9783658318420 Springer Verlag 2019

[PAH 13]

VI

G. Pahl, W. Beitz: Konstruktionslehre, Springer Verlag 6. Auflage, 2013

[HOL 20]

41

[IDE 08]

69

Persönlicher Hinweis von Prof Dr.-Ing. Peter Holbein, Hochschule Landshut, August 2020 Idelchik I.E.: Handbook of Hydraulic Resistance (2008, ISDN 978-156700-251-5, http://www.begellhouse.com

[BOH 80]

80

Bohl, Willi: Technische Strömungslehre, Vogel-Verlag, Würzburg, 1980, S.152

[BAN 19]

113

Mit freundlicher Genehmigung von BANDELIN electronic GmbH & Co. KG, Berlin, 2019 (aus Originalen von Prof. Lauterborn, Univ. Göttingen)

[BAN 19]

113 114

Mit freundlicher Genehmigung von BANDELIN electronic GmbH & Co. KG, Berlin, 2019 (aus Originalen von Herrn Crum, USA)

[PES 78]

260

Peschges, K.-J.: Experimentelle Untersuchungen zum Kavitations- und Betriebsverhalten einer linsenförmigen Drosselklappe, Dissertation, Technische Hochschule Darmstadt, 1978

[VDI 13]

266

VDI 13 VDI-Wärmeatlas, Springer Vieweg, 11. Aufl. 2013

[HUN 17]

276

[LEI 22]

279

[STU 22]

282

[BEH 23]

299

[HEI 21]

308

https://motiviert-studiert.de/motivationsrede (02.02.2017, aufgerufen am 22.11.2018) www.leifiphysik.de/mechanik (Aufgabe zum Thema „Druck und Auftrieb“; abgerufen 15.11.2022) www.studoku.c0m/de/dokument (Aufgabe zum Thema Physik; abgerufen 17.11.2022) Behler, Helmut: Persönliche Überlassung eines Klausurbeispiels mit Lösung durch Herrn Prof. Dr.-Ing. H. Behler, Hochschule Mannheim, Januar 2023 Heinrich, Berthold: Grundlagen Regelungstechnik, Springer Vieweg, Wiesbaden, 4. Aufl., 2021

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 K.-J. Peschges et al., Ingenieurklausur im Nacken? https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3

Wem wir Dank sagen

311

Wem wir Dank sagen „Mit einer Hand kann man keinen Knoten knüpfen“, so beschreibt ein mongolisches Sprichwort das erforderliche Zusammenwirken von Menschen an einer komplexen Arbeit. Dieses Buch verdankt seine Entstehung vielen guten Geistern, von denen wir dankbar einige aus unserer jeweiligen Sicht beim Namen nennen wollen. Klaus-Jürgen Peschges Dieses Buch wäre nicht entstanden, ohne die wohlwollende Unterstützung des ehemaligen Lektorats des Verlags Springer Vieweg, Herrn Thomas Zipsner, Cheflektor MB, und Frau Imke Zander. Darüber hinaus hat Herr Zipsner, als Mitautor der 2. Auflage, die konzeptionelle Gestaltung und inhaltliche Erweiterung wesentlich mitgeprägt. Herr Eric Blaschke, als nachfolgender Lektor des Springer Verlages, Frau Ellen Klabunde und das gesamte SpringerTeam im Hintergrund standen uns von Anfang an mit wichtigen Anregungen zur Seite. Herzlichen Dank für diese Vertrauensbasis. Wertvoller Gesprächspartner und unverzichtbarer EDV-Experte bei der praktischen Bucherstellung war der Mitautor Herr Steffen Manser. Mit großem Dank werde ich diese angenehme Zusammenarbeit in Erinnerung behalten. Gleichzeitig ist Herr Manser als junger Forscher im Ingenieurbereich Garant für eine zukünftige Weiterentwicklung und Aktualisierung dieses Buches. Die unendliche Geduld meiner Frau Margot Peschges, die sie nun in mehr als 50 Jahren gemeinsamer Lebenszeit meiner Arbeit gegenüber hat, weiß ich wohl zu schätzen, und danke ihr dafür und für alles wertvolle Andere von ganzem Herzen. Dieses Buch basiert letztlich auf prägenden Erinnerungen und Anregungen von einem Onkel und drei Hochschullehrern der TH Darmstadt, die mir entscheidende Impulse für eine praktische und phänomenologische Hochschullehre gegeben haben: Das wesentliche, früheste Aha-Erlebnis für eine systematische Vorgehensweise bei der Lösung von physikalischen Aufgaben, durch vorherige Umwandlung von Text in Skizzen, verdanke ich meinem Onkel Toni Schwall (†). Diese Anregung hat darüber hinaus den Lernwillen in einer schwierigen Jugendphase beflügelt! Professor Dr. Alwin Walther (†) hatte den ersten Lehrstuhl für Praktische Mathematik an der TH Darmstadt inne. Vor jedem neuen mathematischen Thema zelebrierte er eine experimentelle praktische Anwendung, wodurch schlagartig das nachhaltige Interesse und die Aufmerksamkeit für ansonsten theoretische Themenstellungen geweckt wurden. Prof. Dr. Gerhard Pahl (†), hat mit seinem wegweisenden Buch „Konstruktionslehre“ entscheidend zur Übertragung einer solchen methodischen Vorgehensweise auf andere Fachgebiete beigetragen. Professor Jörg Osterwalder (†) war nach meinem Maschinenbau-Studium mein Doktorvater am Lehrstuhl für Hydraulische Maschinen und Anlagen der TH Darmstadt. Durch seine methodisch-praktische Vorgehensweise bei strömungstechnischen Problemstellungen hat sich mein diesbezüglicher Horizont gegenüber dem üblichen Hochschulwissen deutlich erweitert. Dies hat sich auch in der Strukturierung dieses Buches niedergeschlagen. © Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 K.-J. Peschges et al., Ingenieurklausur im Nacken? https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3

312

Wem wir Dank sagen

Letztlich haben aber unzählige Begegnungen, Gespräche und Diskussionen mit Kollegen, Weggefährten und Zufallsbekanntschaften den Webstoff für dieses Buch geliefert, denen ich ebenso wertschätzend Danke sage!

Steffen Manser Zuallererst möchte ich meinen herzlichsten Dank an Herrn Prof. Dr. Klaus-Jürgen Peschges aussprechen. Seinen jahrzehntelangen Erfahrungen auf dem Gebiet der Fluidmechanik ist es zu verdanken, dass dieses Buch mit all dem großartigen Inhalt gefüllt wurde, den es nun an die Leser weitergibt. Auch seine menschliche Art hat dazu beigetragen, dass das Projekt kontinuierlich mit neuen Ideen gefüllt und diese auch umgesetzt wurden. Auch Herrn Thomas Zipsner gebührt Dank, da nur durch seine Hilfe die Umsetzung, zuerst als Lektor, danach als wertvolles Teammitglied, so reibungslos gewährleistet werden konnte. Des Weiteren möchte ich mich bei meiner ganzen Familie bedanken, die mich während der gesamten Zeit begleitet und immer unterstützt hat.

Thomas Zipsner Als ich vor einiger Zeit von Herrn Peschges gefragt wurde, ob ich Interesse hätte, aktiv an dem Buch mitzuarbeiten, fühlte ich mich sehr geehrt. Nach kurzem Überlegen sagte ich zu und damit begann eine sehr angenehme und positive Zeit in der Zusammenarbeit mit Klaus Peschges und Steffen Manser, die ich nicht mehr missen möchte.

Sachwortverzeichnis

313

Sachwortverzeichnis # 6-Schritte-Kochrezept 136

Ausströmen 94, 99, 104, 266 Ausströmgeschwindigkeit 146, 268f

A

B

Ähnlichkeitsbeziehungen 117

Ball (Kugelumströmung) 77, 84, 161, 169f

Ähnlichkeitsgesetz 116, 118

Balken 287ff

Äquivalenzwert 66

Barometer 192

Äußere Kräfte 94

Barometrische Höhenformel 32, 193

Absolutdruck 127

Beharrungstemperatur 308

Absolutgeschwindigkeit 45ff, 102, 236

Beharrungswert 306

Adiabat 31, 130, 134

Beharrungszustand 306

Aerostatik 16f, 29, 178, 193

Beliebige Schaltung 72

Aerostatische Grundgleichung 30

Benetzung 23, 77, 110, 161, 164, 254, 258

Allgemeine Gasgleichung 132

Bernoulli 51, 87, 89, 111, 116, 202, 222, 262

Angelsächsische Einheiten 12, 14, 176

Bernoulli-Energiegleichung 38, 57, 145

Anfahrwirbel 87f

Bernoulli-Gleichung 33ff, 138, 144, 147ff, 164f, 166f, 168, 194ff, 212, 216, 218f, 221ff, 226, 239, 259

Anstellwinkel 90f Anströmgeschwindigkeit 86, 121 Antriebsleistung 76f, 86, 151ff, 218ff, 233ff Arbeit 34f, 54, 135, 248, 250ff Arbeitsmaschine 53, 106, 249 Archimedes 22, 24, 164 Atmosphärendruck 16, 20, 43, 49, 97, 145, 148, 163, 194, 197, 202f, 215, 217, 219, 223 Ausdehnungskoeffizient 284ff Auftrieb 22ff, 86, 91, 186f, 232 Auftriebsbeiwert 91, 235ff Auftriebskraft 22ff, 87, 169, 186f, 235ff Ausfluss 144, 217, 258 Ausflussformel 36, 175, 202

Bernoulli-Konstante 42, 56f Beschleunigungsglied 51f Betz-Manometer 257 Bezugsgeschwindigkeit 60, 67, 73, 26 Bezugslänge 285 Bezugsniveau 18, 34, 54, 142, 144f, 163f, 179f, 195, 197 Bezugspunkt 288, 290, 293 Bezugstemperatur 285 Biegelinientafel 299 Biegemoment 287ff Biegesteifigkeit 297, 301 Blende 176, 227

© Der/die Herausgeber bzw. der/die Autor(en), exklusiv lizenziert an Springer Fachmedien Wiesbaden GmbH, ein Teil von Springer Nature 2023 K.-J. Peschges et al., Ingenieurklausur im Nacken? https://doi.org/10.1007/978-3-658-41741-3

314 Blutkreislauf 210

C Coanda-Effekt 162, 169, 172

Sachwortverzeichnis Druckverlust 62ff, 73ff, 80, 130, 133, 143, 147ff, 163, 178, 182, 209, 212ff, 226ff, 269ff Druckverteilung 24, 28, 81, 143 Druckwasserpumpe 206f Druckwiderstand 73f, 83

D D’Alembert-Kraft 26, 81, 95 Dampf 130, 212, 270 Dampfdruck 51, 111, 115f, 200, 258, 262 Dampfdruckkurve 111

Druckziffer 50f, 82 Düse 115, 126f, 129, 147ff, 206, 217, 221ff, 266ff Durchbiegung 299ff Durchflussmessung 226

Dehnsteifigkeit 297, 301

Durchströmung 3f, 58, 66, 68f, 100, 124, 127, 143, 147, 164

Dehnungslänge 285

Dynamischer Auftrieb 86, 231

Dichte 9ff

Dynamischer Druck 37

Diffusor 3f, 7, 38, 66, 93, 129, 137f, 139f, 168, 173ff, 194ff

Dynamische Viskosität 9, 77, 210

Dissipation 58 Drallkonstante 199 Drallsatz 93, 100f, 238f Drehmoment 76, 100ff, 169 Drehimpulssatz 100, 238 Druck 1, 9ff, 16 Druckänderung 39ff, 128, 197 Druckabfall 59, 131f, 269, 272 Druckbehälter 18, 144 Druckdefinition 278 Druckenergie 37, 51, 59, 129 Druckkraft 16, 19ff, 40f, 100, 123, 167, 184f, 240f, 252 Druckmessung 19, 32, 81, 161, 178ff Druckmittelpunkt 20ff, 185 Druckrohrleitung 147 Druckstoß 203, 205

E Ebene Platte 85 Eingespannter Balken 297 Einspannmoment 298ff Einheiten 9ff, 35, 176, 192, 201, 208, 261 Einheiten-Umrechnung 13, 136, 226 Einlaufstrecke 62f Elastizitätsmodul (E-Modul) 121, 301 Elektrische Kraft 96 Elektrischer Widerstand 274 Elektrotechnik 72, 274 Energieabfuhr 53f, 56, 59, 208 Energieerhaltungssatz 33ff, 194 Energiegleichung 37ff, 129, 145, 194, 267 Energiestrom 35f Energiezufuhr 39, 54ff, 60, 129, 155f, 207, 217 Enthalpie 129, 267, 270

Sachwortverzeichnis

315

Erdbeschleunigung 10, 24, 26, 29, 34, 38

Freistrahl 42f, 167, 258

Eulersche Hauptgleichung 102, 104f, 245ff

Froude-Zahl 58, 122, 124, 172, 265

Euler-Zahl 123 G F

Gas 16f, 127, 163, 182, 267

Fahrbahnneigung 281ff

Gasgleichung 132

Fahrgeschwindigkeit 45f, 170

Gaskonstante 30, 128, 132

Fallenergie 54f, 208

Gasströmung 33, 58, 107, 123, 126, 127, 250, 267, 270

Fallhöhe 15, 38, 54f, 205, 208, 221 Fernleitung 269 Festlager 287 Feuchte Luft 9 Flächenwiderstand 80 Flügelfläche 90, 92, 235 Flüssigkeitsdruckkraft 20 Flüssigkeitskavitation 44, 107, 111ff, 162, 250, 259

Gasturbine 33, 53, 126 Gelenk 184, 289, 297 Geometrische Ähnlichkeit 118 Gesamtdruck 37, 73, 75 Gesamtdurchbiegung 302ff Gesamtverlustziffer 70 Gesamtwiderstand 77, 84ff, 151, 227, 231 Geschwindigkeitsdreieck 46ff, 105, 119f, 245ff

Fliegergleichung 30

Geschwindigkeitsverteilung 5, 61, 198, 200

Fliehkraft 40, 96, 281

Gewichtskraft 18, 24, 29, 38, 96, 186f, 236f, 255, 277

Flugbahn 15, 170 Flughöhe 32, 192ff Fluiddynamisches Paradoxon 166 Fluidmechanik 1, 8, 13, 20, 33, 107, 117, 161, 172, 182, 250, 274 Fluidmechanik-Effekt 161ff Förderhöhe 54f, 208, 220 Formelsammlung 5, 160, 172, 276 Formfaktor 62, 65 Formwiderstand 77, 81ff, 231, 233f Freie Oberfläche 24ff, 240

Glasplättchen-Abdichtung 2277ff Glattes Rohr 217, 221 Gleichgewichtsbedingung 24, 103, 237, 254, 287ff Grenzflächenspannung 107ff, 157, 161ff, 250ff Grenzschicht 63, 78, 80f, 231ff Grenzschicht-Theorie 78 Grundablass 201 Grundlastfälle 298ff Grundriss 47

Freigeschnittenes System 289 Freischneiden 289ff

H Haftkraft 254, 281

316

Sachwortverzeichnis

Haftreibung 280ff

J

Haftreibungszahl 280

Joukowski-Stoß 201ff

Haftspannung 110, 255 Hebelarm 290

K

Heizung 33, 53, 56

Kaminwirkung 161, 162

Horizontalkraft 290, 303

Kapillarität 107, 109, 121

Hydraulisch glatt 81, 119, 217ff, 232

Kapillarwirkung 107, 110, 143, 161ff, 253ff

Hydraulisch rau 119, 228f

Karmansche Wirbelstraße 123, 169

Hydraulische Presse 19

Kavitation 44, 49, 51, 90, 107, 111ff, 120ff, 161, 250, 258ff

Hydraulischer Durchmesser 64, 212, 216 Hydrostatik 16, 17ff, 141, 178 Hydrostatische Grundgleichung 18f, 25f, 141f, 179ff Hydrostatisches Paradoxon 19

I Ideale Fluidströmung 33, 194 Ideales Fluid 37 Ideales Gas 30 Impulsmoment 101 Impulssatz 61, 93, 100f, 153ff, 238f Impulsstrom 99, 240f Individuelle Gaskonstante 128, 132 Inkompressibel 153, 258 Innere Energie 33ff, 129 Innenwiderstand 274 Instationär 2, 39, 51ff, 59, 201 Instationäre Strömung 2, 39, 51ff, 93, 201f Isentrop 31, 128 Isotherm 31, 133f, 192ff

Kennlinie 75f, 105f, 244ff Kennzahlen 121ff Kettenregel 275f Kinematische Viskosität 9, 59, 116, 122, 176, 209, 211, 263, 270 Kinetische Energie 35f, 59 Kirchhoffsche Gesetze 71f Kirchhoffsche Maschenregel 275 Klappenwehr 184 Körpergrenzschicht 79f Kohäsionskräfte 107 Kolbenpumpe 36, 52f, 76 Kommunizierende Röhren 19 Kompressibilität 203 Komponentenbetrachtung 98f, 156, 238ff Konfusor 7, 38, 66, 93, 129, 137ff, 168 Konstanten 9f, 38, 42, 199f Kontaktwinkel 109 Kontinuitätsgleichung 6ff, 14, 48f, 52, 103, 128, 132, 137, 144ff, 156, 164ff, 173ff, 194ff, 211ff, 216, 222f, 239, 245ff, 259ff, 268ff, 276 Kontraktionszahl 222 Kontrollvolumen 93ff, 153f, 238ff

Sachwortverzeichnis

317

Kräftegleichgewicht 30, 157f, 186f, 278f

Lotuseffekt 164, 258

Kräfteplan 99, 239ff

Ludwig Prandtl 78

Kräftezerlegung 280

Luft 9f, 17, 30, 34, 50, 128, 151, 153, 160, 164, 178, 182ff, 209ff, 211ff, 233ff, 262ff, 266ff

Kraftmaschine 53,55 Kraftwirkung 93, 96 Kreiselpumpe 44ff, 75, 101ff, 115, 199, 244ff

Luftstrahl 162, 169 Luftwiderstand 170, 233f

Kreiselpumpen-Kennlinie 75f Kritische Geschwindigkeit 210 Kritische Reynolds-Zahl 59, 79, 269 Kritisches Druckverhältnis 269 Krümmer 44, 51, 68, 93, 100, 197f, 218, 221ff, 238ff

M Mach-Zahl 58, 123, 236, 264 Magnetkraft 96 Magnus-Effekt 86f, 169f Manometer 143, 160, 178ff, 227, 256

Krümmung 40, 89, 197

Masse 7, 25, 34ff, 56, 94

Kühlung 33, 53, 56

Massenkräfte 96f

Kubischer Ausdehnungskoeffizient 285

Massenstrom 5, 34f, 103, 128, 269

Kugelumströmung 124

Mathematik 19, 274ff

Kurvendiskussion 275

Maximale Grenzgeschwindigkeit 280 Mechanische Energie 33

L

Meniskus 107, 109f, 143, 181, 254, 257

Längsschnitt 44ff

Meridianschnitt 45

Lageenergie 59, 129

Methodische Arbeitsschritte 135ff

Lagerkraft 289

Mikrojet 112ff

Lagerreaktion 298, 300

Modell 50, 117ff, 262ff, 264ff

Laminarprofil 231, 233

Modellgesetz 107, 116ff, 250

Laminare Strömung 58f, 61ff, 124, 209f, 218ff, 231ff

Modellversuch 117ff, 263ff

Laufrad 45ff, 101ff, 119, 221, 246

Moment 22, 76, 100ff, 169, 185 Momentenlinie 287ff

Lavaldüse 126f, 269 Leckagestrom 119, 215 Leistung 9ff, 35, 76f, 86, 104, 151, 153ff, 206ff, 217ff, 233ff Lösungsansatz 275 Loslager 287

N Nachlaufdelle 79 Neigung 21, 25, 184, 237, 280ff Neigungswinkel 21, 25, 184, 304

318

Sachwortverzeichnis

Newton 10, 25, 51, 94, 118, 121

Potentielle Energie 34

Newtonsche Flüssigkeit 211

Profil 5f, 61ff, 78, 86, 90, 118

Newtonsches Reibungsgesetz 77

Profilpolare 90, 92

Nichtbenetzung 110, 162, 164, 258

Prüfstand 215, 226

Nicht-Newtonsche Flüssigkeit 211

PT1-Strecke 307

O Oberflächenkräfte 5, 18, 21ff, 64ff, 77ff, 95ff, 107ff, 118f, 154, 162, 186ff, 231ff, 240, 250ff, 258 Oberflächenrauigkeit 118, 231, 233 Oberflächenspannung 107, 109, 121, 157, 252 Ofen (Kamin) 163, 182ff Ohm‘sches Gesetz 275

Pumpe 34, 44ff, 51ff, 75, 103, 105, 120, 206ff, 217ff, 226ff, 246 Pumpenkennlinie 75f, 249

Q Quecksilber 9, 143, 179, 252, 255 Quellenspannung 274 Querkraft 22, 86ff, 231ff, 287ff Querkraftlinie 287 ff Querschnittsänderung 68

P Parallelschaltung 71ff, 227ff

Querschrumpfverbindung 286 Quotientenregel 275ff

Parallelströmung 41, 86 Pascal 10 Pascalsches Paradoxon 19, 23 Peltonturbine 95, 147, 217, 221 Physik 277ff PKW-Formwiderstand 233 Platte 65, 78ff, 84, 162, 166, 231ff Platten-Blasrohr 162, 166 Plattengrenzschicht 78 Plattenreibungsdiagramm 64, 231ff Polarenddiagramm 90 Polare 90, 92 Polytrop 31, 130, 193 Potentialströmung 81 Potentialwirbel 86, 198

R Rakete 77, 93 Randwirbel 90 Rauigkeit 65f, 118, 211ff, 231ff, 269ff Rauigkeitswerte 65 Re-Zahl 62f, 92, 122, 171, 210ff, 216, 233, 263 Reale Strömung 33, 58 Reibung 58, 67, 73, 77ff, 116, 223f, 240 Reibungsbehaftete Fluidströmung 58, 209 Reibungswiderstand 77ff, 231 Regelungstechnik 306ff Reihenschaltung 70ff, 227ff Relativbewegung 45, 48f Relativgeschwindigkeit 45ff, 111

Sachwortverzeichnis

319

Reynolds 58ff

Schnittufer 288, 291

Reynolds-Zahl 58, 64, 78f, 85, 90, 116, 122, 151f, 208ff, 230ff, 262ff, 269ff

Schornsteinwirkung 162, 182ff

Rohrerweiterung 137 Rohrkrümmer 44, 197, 238 Rohrleitung 2, 35, 44, 52f, 58ff, 66f, 124, 131f, 147, 150, 175, 194ff, 200ff, 211ff Rohrleitungskennlinie 75f Rohrquerschnitt 61ff, 218, 211, 214 Rohrreibungsdiagramm 64, 218f, 228, 270f Rohrreibungsverlust 212, 221, 227 Rohrreibungszahl 62, 64, 212ff Rohrströmung 5, 33f, 61ff, 18, 124, 129, 130ff, 178ff, 211ff Rohrverengung 137 Rotationsparaboloid 28, 190ff Rotierendes Bezugssystem 39, 44 Rotierendes Gefäß 191f Rückhaltebecken 200

Schrägrohrmanometer 143 Schubspannung 77f, 122 Schweben 24, 189 Schweredruck 278 Schwimmen 24, 87, 164, 186 Segelflugzeug 192ff, 231ff Skalare Größe 16, 243 Spaltdichtung 215ff Spaltströmungen 118f, 215 Spezifische Energie 20, 35, 42, 56, 145, 148, 194, 226 Spezifische Enthalpie 129, 267, 270 Spezifische Oberflächenenergie 250 Spezifische Wärmekapazität 36, 56, 128, 266 Spezifischer Widerstand 276 Spezifisches Volumen 128, 270 Spirale 45, 57

S Sättigungsdruck 9 Sandrauigkeit 65f, 282 Saugrohr 45, 51 Schallgeschwindigkeit 123,126, 128, 235, 264, 269

Stabdehnung 299 Stabile Kurvenfahrt 282 Stabkraft 297ff Standard-Atmosphäre 194, 235f Standard-Einheitenumrechnung 226 Statik 17ff, 29ff, 178ff, 287ff

Schaufelplan 47, 103

Stationär 59, 137, 201

Schieber 205, 222ff

Stationäre Strömung 2, 7, 39, 53, 137, 153, 207

Schließgesetz 200, 202f, 205

Statische Bestimmtheit 287ff

Schiffsmodell 264ff

Statischer Auftrieb 22ff, 178, 186

Schleppkanal 264ff

Statischer Druck 16ff, 37

Schnellabschluss 53, 200

Staudruck 82

Schnittgröße 288ff

Stirnfläche 83, 85, 233

320

Sachwortverzeichnis

Stoffeigenschaften 121

Totwasser 42f, 58, 66, 77, 81f, 118, 170f

Stoffwerte 1, 9ff, 123, 139, 176, 235

Totwassergebiet 77, 171

Stokes’sche Haftbedingung 61

Totzeit 307

Stolperdraht 80, 84

Trägheitskraft 26, 122f

Strahlensatz 309

Tragender Wirbel 88

Strouhal-Zahl 13, 169

Tragflügel 22, 77, 86ff, 106, 118, 143, 162, 168, 231ff, 235ff

Strömungsablösung 77, 81 Strömungsfeld 38, 40, 93ff Strömungsformen 127 Strömungsgeschwindigkeit 1, 4,14, 33, 58, 86, 115, 145, 198, 210 Strömungskraft 238, 240, 249 Strömungsmaschinen 53, 86, 104, 106, 115, 199

Tragflügelreibung 231 Tragflügeltheorie 106 Turbine 15, 33, 54f, 111, 119, 126, 147, 205f, 217, 221 Turbulent 59, 63, 79f, 124, 170, 209ff, 232ff Turbulente Rohrströmung 61, 63 Turbulenzgrad 80f

Strömungsphänomen 161ff Strömungssystem 70, 209

U

Stromfaden 2f, 45, 54, 63, 94, 259, 267

Überdruck 19, 21, 89, 97, 146, 203, 206, 238

Stromlinie 2ff, 38ff, 82, 96, 165, 168, 198ff, 267

Überschallbereich 126

Stromröhre 2, 6f, 33ff, 60, 94

U-Rohr-Manometer 141ff, 160, 178ff, 227, 257

Stromstärke 10, 275

Ultraschall 115f, 162

Stützkraft 97, 99, 153, 155, 238ff

Umfangsgeschwindigkeit 28, 46ff, 86f, 104

Stutzenarbeit 54

Umgebungsdruck 16, 166f

Substitution 276

Umschlagpunkt 79f

Superpositionsprinzip 298ff

Umströmung 3f, 66, 77ff, 95f, 100, 111f, 124, 127, 143, 151ff, 168, 231ff

T

Unterdruck 16, 89, 201

Tauchergleichung 18ff, 29 Technische Mechanik 274 Technische Rauigkeit 65, 212 Thermische Zustandsgleichung 30 Thermodynamik 284 Torricelli 21, 36, 146, 150, 175, 195, 202, 217, 260

V Vektorbetrachtung 98f, 239, 244 Vektorbeziehung 46ff, 245 Ventil 51, 60, 66, 69, 76, 115, 181, 205 Venturi-Düse 115 Verbraucherwiderstand 274

Sachwortverzeichnis

321

Verdrängungsmaschinen 53

Wirbel 86ff, 169f, 199f

Verformungslinien 298, 300

Wirbelablösung 170hebe

Verlustbehaftete Strömung 59ff

Wirbelstraße (Karmansche) 123, 169

Verlustziffer 60, 62, 66ff, 216, 221ff, 227 Verschlusskraft 184

Y

Viskosität 9ff, 58f, 66, 93, 116, 121, 176, 209ff, 269ff

Young’sche Gleichung 110, 254

Volumen 2, 5, 22f, 27f, 35, 93, 95f, 98ff, 128, 191, 251 Volumenkräfte 40, 105 Volumenstrom 2, 5, 14f, 44ff, 61f, 75f, 137, 144ff, 173, 194, 197, 206, 215ff, 222, 245, 248

Z Zahlenwertgleichung 14f Zentrifugalkraft 27, 40, 280ff Zerstäubung 108, 250ff Zirkulation 86ff

W Wärmedehnung 284ff Wärmekapazität 35, 56, 121, 128, 266f Wärmetauscher 56, 71 Wandhaftung 6 Wasser 9ff, 26, 33ff, 50f, 54, 111, 126, 137, 144, 147, 157, 164, 172, 175, 178ff, 186, 194, 197ff, 206, 212, 215, 217, 221, 250, 255, 257, 264 Wasserdampf 130, 134, 212, 269f Wasserschlag 205 Wasserschloss 205f Wassersprung 125, 162, 172 Wasserturbine 15, 33f, 44, 54f, 66, 117, 122, 169, 208, 221 Wasserversorgung 217f, 257 Weber-Zahl 123 Werkstoffkavitation 112, 114f Widerstandsbeiwert 80, 85, 90, 151, 171, 231, 233 Widerstandsziffer 80ff Windkanal 50, 117f, 262ff

Zirkulationsströmung 87