Historia 2006

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´ Aritm´etica y Algebra. Breve historia ´ Angel del R´ıo Mateos Universidad de Murcia

Aritm´etica y ´algebra en el antiguo Egipto

Fuentes: Escritura jerogl´ıfica y papiros

Descifrado de los jerogl´ıficos: Piedra Rosetta. Descubierta en 1799. Triling¨ ue (Griego, Dem´otico y Jerogl´ıfico).

Fuentes: Escritura jerogl´ıfica y papiros

Descifrado de los jerogl´ıficos: Piedra Rosetta. Descubierta en 1799. Triling¨ ue (Griego, Dem´otico y Jerogl´ıfico). Papiro de Rhind (anticuario escoc´es que lo compr´o en 1858) o de Ahmes (escriba). 85 problemas con soluci´on. Tal vez los conocimientos provienen de Imhotep (3000 a.c.) (arquitecto y m´edico del fara´on Zoser).

Fuentes: Escritura jerogl´ıfica y papiros

Descifrado de los jerogl´ıficos: Piedra Rosetta. Descubierta en 1799. Triling¨ ue (Griego, Dem´otico y Jerogl´ıfico). Papiro de Rhind (anticuario escoc´es que lo compr´o en 1858) o de Ahmes (escriba). 85 problemas con soluci´on. Tal vez los conocimientos provienen de Imhotep (3000 a.c.) (arquitecto y m´edico del fara´on Zoser). Papiro de Mosc´ u. 25 problemas con soluci´on.

Fuentes: Escritura jerogl´ıfica y papiros

Descifrado de los jerogl´ıficos: Piedra Rosetta. Descubierta en 1799. Triling¨ ue (Griego, Dem´otico y Jerogl´ıfico). Papiro de Rhind (anticuario escoc´es que lo compr´o en 1858) o de Ahmes (escriba). 85 problemas con soluci´on. Tal vez los conocimientos provienen de Imhotep (3000 a.c.) (arquitecto y m´edico del fara´on Zoser). Papiro de Mosc´ u. 25 problemas con soluci´on. Datados hacia 1770 a.c.

Sistema de numeraci´on

No posicional. Base 10.

Sistema de numeraci´on

No posicional. Base 10. Escritura jerogl´ıfica. S´ımbolos para las potencias de 10.

Sistema de numeraci´on

No posicional. Base 10. Escritura jerogl´ıfica. S´ımbolos para las potencias de 10.

Escritura hier´atica. S´ımbolos para 1, 2, . . . , 10. (Papiro de Ahmes).

Sistema de numeraci´on

No posicional. Base 10. Escritura jerogl´ıfica. S´ımbolos para las potencias de 10.

Escritura hier´atica. S´ımbolos para 1, 2, . . . , 10. (Papiro de Ahmes). No hay negativos ni cero.

Fracciones

Representan fracciones unitarias la representaci´on de n. 1 ◦ =|||, 3

1 n

colocando un ´ovalo sobre

◦ 1 =∩∩ 3

Fracciones

Representan fracciones unitarias la representaci´on de n.

1 n

colocando un ´ovalo sobre

◦ 1 ◦ 1 =|||, =∩∩ 3 3 En escritura hier´atica sustituyen el ´ovalo por un punto.

1 · =|||, 3

· 1 =∩∩ 3

Fracciones

Representan fracciones unitarias la representaci´on de n.

1 n

colocando un ´ovalo sobre

◦ 1 ◦ 1 =|||, =∩∩ 3 3 En escritura hier´atica sustituyen el ´ovalo por un punto.

1 · =|||, 3 Tienen un s´ımbolo para 32 .

· 1 =∩∩ 3

Fracciones

Representan fracciones unitarias la representaci´on de n.

1 n

colocando un ´ovalo sobre

◦ 1 ◦ 1 =|||, =∩∩ 3 3 En escritura hier´atica sustituyen el ´ovalo por un punto.

1 · =|||, 3 Tienen un s´ımbolo para 32 .

· 1 =∩∩ 3

Fracciones Otras fracciones se representan como sumas de fracciones unitarias. 3 1 1 1 = + + 5 3 5 15

Fracciones Otras fracciones se representan como sumas de fracciones unitarias. 3 1 1 1 = + + 5 3 5 15 El Papiro Rhind comienza con una tabla de descomposiciones de fracciones del tipo n2 : 2 5

1 3

+

1 15

2 11

1 6

+

1 66

2 15

1 10

2 13

1 8

+

+

1 30

1 52

+

1 104

Continua con otra tabla m´as corta para fracciones del tipo

1 10 .

Fracciones Otras fracciones se representan como sumas de fracciones unitarias. 3 1 1 1 = + + 5 3 5 15 El Papiro Rhind comienza con una tabla de descomposiciones de fracciones del tipo n2 : 2 5

1 3

+

1 15

2 11

1 6

+

1 66

2 15

1 10

2 13

1 8

+

+

1 30

1 52

+

1 104

Continua con otra tabla m´as corta para fracciones del tipo

1 10 .

Aritm´etica Aditiva.

Aritm´etica Aditiva. ¿C´ omo calcular 12 · 12?

Aritm´etica Aditiva. ¿C´ omo calcular 12 · 12? Duplicando 1 12 2 24 4 48 8 96

Aritm´etica Aditiva. ¿C´ omo calcular 12 · 12? Duplicando 1 12 2 24 4 48 8 96 12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144.

Aritm´etica Aditiva. ¿C´ omo calcular 12 · 12? Duplicando 1 12 2 24 4 48 8 96 12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144. Lo mismo que nosotros hacemos en base 10: 12 · 12 = (10 + 2) · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144.

Aritm´etica Aditiva. ¿C´ omo calcular 12 · 12? Duplicando 1 12 2 24 4 48 8 96 12 · 12 = (4 + 8) · 12 = 4 · 12 + 8 · 12 = 48 + 96 = 144. Lo mismo que nosotros hacemos en base 10: 12 · 12 = (10 + 2) · 12 = 10 · 12 + 2 · 12 = 120 + 24 = 144.

Para dividir utilizan un proceso inverso de divisi´on por dos.

Aritm´etica: Primer problema del Papiro de Ahmes

Explicaci´ on de porqu´ e es correcto dividir una hogaza de pan entre diez personas dando un d´ ecimo a cada uno.

Aritm´etica: Primer problema del Papiro de Ahmes

Explicaci´ on de porqu´ e es correcto dividir una hogaza de pan entre diez personas dando un d´ ecimo a cada uno. 1 2 Si un hombre recibe 10 , dos hombres recibir´an 10 , es decir 15 , 1 . Por tanto ocho hombres cuatro hombres recibir´an 25 , o sea 31 + 15 2 2 2 1 1 recibir´an 3 + 15 , es decir 3 + 10 + 30 . Finalmente, ocho hombres m´as dos hombres, es decir los diez iniciales, recibir´an entre todos

2 1 1 1 + + + = 1. 3 10 30 5

Aritm´etica: Primer problema del Papiro de Ahmes

Explicaci´ on de porqu´ e es correcto dividir una hogaza de pan entre diez personas dando un d´ ecimo a cada uno. 1 2 Si un hombre recibe 10 , dos hombres recibir´an 10 , es decir 15 , 1 . Por tanto ocho hombres cuatro hombres recibir´an 25 , o sea 31 + 15 2 2 2 1 1 recibir´an 3 + 15 , es decir 3 + 10 + 30 . Finalmente, ocho hombres m´as dos hombres, es decir los diez iniciales, recibir´an entre todos

2 1 1 1 + + + = 1. 3 10 30 5 El proceso de multiplicar 10 · duplicaci´on.

1 10

se ha hecho con el m´etodo de la

Aritm´etica: Problema 70 del Papiro de Ahmes Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 +

1 2

+

1 4

+ 18 .

Aritm´etica: Problema 70 del Papiro de Ahmes Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 14 + 18 . Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 14 + 18 se obtiene: d 2d 4d 8d

7 + 12 + 14 + 15 + 21 + 14 31 + 12 63

1 8

Aritm´etica: Problema 70 del Papiro de Ahmes Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 14 + 18 . Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 14 + 18 se obtiene: d 2d 4d 8d

7 + 12 + 14 + 15 + 21 + 14 31 + 12 63

1 8

Del valor de 2d se deduce que 32 d = 5 + 14 .

Aritm´etica: Problema 70 del Papiro de Ahmes Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 14 + 18 . Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 14 + 18 se obtiene: d 2d 4d 8d

7 + 12 + 14 + 15 + 21 + 14 31 + 12 63

1 8

Del valor de 2d se deduce que 32 d = 5 + 14 . Por tanto   1 1 1 2 1 8+4+ d = 63 + 31 + + 5 + = 99 + + . 3 2 4 2 4

Aritm´etica: Problema 70 del Papiro de Ahmes Calcular el cociente de dividir 100 entre 7 + 12 + 14 + 18 . Duplicando sucesivamente d = 7 + 12 + 14 + 18 se obtiene: d 2d 4d 8d

7 + 12 + 14 + 15 + 21 + 14 31 + 12 63

1 8

Del valor de 2d se deduce que 32 d = 5 + 14 . Por tanto   1 1 1 2 1 8+4+ d = 63 + 31 + + 5 + = 99 + + . 3 2 4 2 4 2 De 8d = 63 se deduce 63 d = 14 (que es lo que falta) y utilizando 2 1 1 63 = 42 + 126 se obtiene el resultado buscado es

8+

2 2 2 1 1 + =8+ + + . 3 63 3 42 126

´ Algebra

Los problemas se reducen a ecuaciones lineales. ´ Unica excepci´on: ax 2 = b.

´ Algebra

Los problemas se reducen a ecuaciones lineales. ´ Unica excepci´on: ax 2 = b. Utilizan la palabra “aha” (mont´on) para referirse a la inc´ognita.

´ Algebra

Los problemas se reducen a ecuaciones lineales. ´ Unica excepci´on: ax 2 = b. Utilizan la palabra “aha” (mont´on) para referirse a la inc´ognita. M´etodo de Falsa Posici´on ´o “Regula Falsi”. Se comienza con una soluci´on incorrecta, se realizan operaciones como si fuera la soluci´on correcta, se compara con lo que deber´ıa salir y mediante proporciones se encuentra el valor correcto.

´ Algebra: Problema 24 del Papiro de Ahmes Calcular el valor del mont´ on si el mont´ on y un s´ eptimo del mont´ on es igual a 19. 1 x + x = 19 7

´ Algebra: Problema 24 del Papiro de Ahmes Calcular el valor del mont´ on si el mont´ on y un s´ eptimo del mont´ on es igual a 19. 1 x + x = 19 7 Se comienza con la soluci´on incorrecta x = 7 que proporciona: 1 7+ 7=8 7

´ Algebra: Problema 24 del Papiro de Ahmes Calcular el valor del mont´ on si el mont´ on y un s´ eptimo del mont´ on es igual a 19. 1 x + x = 19 7 Se comienza con la soluci´on incorrecta x = 7 que proporciona: 1 7+ 7=8 7 La proporci´on entre lo que sale 8 y lo que deber´ıa salir 19 se obtiene mediante el proceso de duplicaci´on:   1 1 8 2+ + = 19 4 8

´ Algebra: Problema 24 del Papiro de Ahmes Calcular el valor del mont´ on si el mont´ on y un s´ eptimo del mont´ on es igual a 19. 1 x + x = 19 7 Se comienza con la soluci´on incorrecta x = 7 que proporciona: 1 7+ 7=8 7 La proporci´on entre lo que sale 8 y lo que deber´ıa salir 19 se obtiene mediante el proceso de duplicaci´on:   1 1 8 2+ + = 19 4 8 Se utiliza esta proporci´on para corregir la soluci´on incorrecta y obtener la soluci´on correcta:   1 1 1 1 7 2+ + = 16 + + 4 8 2 8

Aritm´etica y ´algebra en Mesopotamia

Fuentes: Tablillas de arcilla

Escrib´ıan cuando la arcilla estaba fresca con un prisma de secci´on triangular.

Fuentes: Tablillas de arcilla

Escrib´ıan cuando la arcilla estaba fresca con un prisma de secci´on triangular. Escritura Cuneiforme. S´ımbolos con forma de cu˜ na. Cuneus = cu˜ na.

Fuentes: Tablillas de arcilla

Escrib´ıan cuando la arcilla estaba fresca con un prisma de secci´on triangular. Escritura Cuneiforme. S´ımbolos con forma de cu˜ na. Cuneus = cu˜ na. Idioma Acadio. Datadas alrededor del 2000 a.c.

Sistema de numeraci´on

Sistema de numeraci´on

Sistema posicional. Base 60 (sexagesimal) mezclado con bases 10 y 5.

Sistema de numeraci´on

Sistema posicional. Base 60 (sexagesimal) mezclado con bases 10 y 5. Algunas palabras especiales para potencias de 10: 100 = me. 1000 = limu.

Sistema de numeraci´on

Sistema posicional. Base 60 (sexagesimal) mezclado con bases 10 y 5. Algunas palabras especiales para potencias de 10: 100 = me. 1000 = limu.

3 me 2,8 = 3 · 100 + 2 · 60 + 8 = 428. No hay n´ umeros negativos ni irracionales.

Aritm´etica

Suma: Acumulaci´on. Tard´ıamente se usa “tab”.

Aritm´etica

Suma: Acumulaci´on. Tard´ıamente se usa “tab”. Resta y producto: S´ımbolos especiales.

Aritm´etica

Suma: Acumulaci´on. Tard´ıamente se usa “tab”. Resta y producto: S´ımbolos especiales. Fracciones en base 60.

Aritm´etica

Suma: Acumulaci´on. Tard´ıamente se usa “tab”. Resta y producto: S´ımbolos especiales. Fracciones en base 60. Tablas de conversi´on de inversos de 2α 3β 5γ a base sexagesimal.

Aritm´etica

Suma: Acumulaci´on. Tard´ıamente se usa “tab”. Resta y producto: S´ımbolos especiales. Fracciones en base 60. Tablas de conversi´on de inversos de 2α 3β 5γ a base sexagesimal. 30 1 igi 2 g´albi 30: igi 3 g´albi 20: 2 = 60 igi 4 g´albi 15:

1 4

=

15 60

igi 8 g´albi 7,30:

1 8

=

7 60

+

30 602

1 3

=

20 60

igi 6 g´albi 10:

1 6

=

10 60

igi 9 g´albi 6,40:

1 9

=

6 60

+

40 602

Aritm´etica

Suma: Acumulaci´on. Tard´ıamente se usa “tab”. Resta y producto: S´ımbolos especiales. Fracciones en base 60. Tablas de conversi´on de inversos de 2α 3β 5γ a base sexagesimal. 30 1 igi 2 g´albi 30: igi 3 g´albi 20: 2 = 60 igi 4 g´albi 15:

1 4

=

15 60

igi 8 g´albi 7,30:

1 8

=

7 60

+

30 602

1 3

=

20 60

igi 6 g´albi 10:

1 6

=

10 60

igi 9 g´albi 6,40:

1 9

=

6 60

Tablas de ra´ıces cuadradas y c´ ubicas.

+

40 602

Problemas algebraicos y geom´etricos Problema: Calcular un n´ umero que sumado con su inverso da un n´ umero dado.

Problemas algebraicos y geom´etricos Problema: Calcular un n´ umero que sumado con su inverso da un n´ umero dado. X + X −1 = b

⇔

X 2 − bX + 1 = 0

Problemas algebraicos y geom´etricos Problema: Calcular un n´ umero que sumado con su inverso da un n´ umero dado. X + X −1 = b

b→

b 2

⇔

X 2 − bX + 1 = 0

Problemas algebraicos y geom´etricos Problema: Calcular un n´ umero que sumado con su inverso da un n´ umero dado. X + X −1 = b

b b→ → 2

 2 b 2

⇔

X 2 − bX + 1 = 0

Problemas algebraicos y geom´etricos Problema: Calcular un n´ umero que sumado con su inverso da un n´ umero dado. X + X −1 = b

b b→ → 2

⇔

X 2 − bX + 1 = 0

 2  2 b b −1 → 2 2

Problemas algebraicos y geom´etricos Problema: Calcular un n´ umero que sumado con su inverso da un n´ umero dado. X + X −1 = b

b b→ → 2

⇔

X 2 − bX + 1 = 0

s   2  2 b b b 2 −1→ −1 → 2 2 2

Problemas algebraicos y geom´etricos Problema: Calcular un n´ umero que sumado con su inverso da un n´ umero dado. X + X −1 = b

b b→ → 2

b + 2

⇔

X 2 − bX + 1 = 0

s   2  2 b b b 2 −1→ −1 → 2 2 2

s  b 2 −1 2

b − 2

s  b 2 −1 2

Problemas algebraicos y geom´etricos Problema: Calcular un n´ umero que sumado con su inverso da un n´ umero dado. X + X −1 = b

b b→ → 2

b + 2

⇔

X 2 − bX + 1 = 0

s   2  2 b b b 2 −1→ −1 → 2 2 2

s  b 2 −1 2

b − 2

s  b 2 −1 2

Conclusi´ on: Sab´ıan resolver ecuaciones de segundo grado pero no hay un m´etodo general.

Problemas algebraicos y geom´etricos

Problemas planteados con n´ umeros concretos.

Problemas algebraicos y geom´etricos

Problemas planteados con n´ umeros concretos. Se explican las etapas para resolverlos.

Problemas algebraicos y geom´etricos

Problemas planteados con n´ umeros concretos. Se explican las etapas para resolverlos. No hay s´ımbolos especiales.

Problemas algebraicos y geom´etricos

Problemas planteados con n´ umeros concretos. Se explican las etapas para resolverlos. No hay s´ımbolos especiales. Antiguas palabras sumerias = efecto de s´ımbolo. us = longitud. sag = anchura. a˘sa = ´area.

He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el a˘sa (´area) es 10.

He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el a˘sa (´area) es 10. He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un a˘sa.

He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el a˘sa (´area) es 10. He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un a˘sa. El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismo y el resultado por 9.

He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el a˘sa (´area) es 10. He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un a˘sa. El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismo y el resultado por 9. Este a˘sa es el a˘sa obtenida multiplicando la us por si misma.

He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el a˘sa (´area) es 10. He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un a˘sa. El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismo y el resultado por 9. Este a˘sa es el a˘sa obtenida multiplicando la us por si misma. ¿Cu´ales son la us y la sag?

He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el a˘sa (´area) es 10. He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un a˘sa. El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismo y el resultado por 9. Este a˘sa es el a˘sa obtenida multiplicando la us por si misma. ¿Cu´ales son la us y la sag? xy = 10 9(x − y )2 = x 2

He multiplicado la us (longitud) por la sag (anchura) y el a˘sa (´area) es 10. He multiplicado la us por ella misma y he obtenido un a˘sa. El exceso de la us sobre la sag lo he multiplicado por si mismo y el resultado por 9. Este a˘sa es el a˘sa obtenida multiplicando la us por si misma. ¿Cu´ales son la us y la sag? xy = 10 9(x − y )2 = x 2 Ecuaci´ on bicuadr´atica.

Grecia cl´asica. Periodo cl´asico

Escuelas en la Grecia Cl´asica. Entorno a un maestro

1

J´ onica. Tales de Mileto (640-546 a.c.). Anaximandro y Anax´ımedes.

Escuelas en la Grecia Cl´asica. Entorno a un maestro

1

J´ onica. Tales de Mileto (640-546 a.c.). Anaximandro y Anax´ımedes.

2

Pitag´oricos. Pit´agoras (585-500 a.c.). Primero en Crotona (Italia), despu´es en Sybaris.

Escuelas en la Grecia Cl´asica. Entorno a un maestro

1

J´ onica. Tales de Mileto (640-546 a.c.). Anaximandro y Anax´ımedes.

2

Pitag´oricos. Pit´agoras (585-500 a.c.). Primero en Crotona (Italia), despu´es en Sybaris.

3

Ele´atica. Jen´ofanes de Colof´on (siglo VI a.c). Parm´enides y Zen´on. Primero en Sicilia, despu´es en Elea.

Escuelas en la Grecia Cl´asica. Entorno a un maestro

1

J´ onica. Tales de Mileto (640-546 a.c.). Anaximandro y Anax´ımedes.

2

Pitag´oricos. Pit´agoras (585-500 a.c.). Primero en Crotona (Italia), despu´es en Sybaris.

3

Ele´atica. Jen´ofanes de Colof´on (siglo VI a.c). Parm´enides y Zen´on. Primero en Sicilia, despu´es en Elea. Sofistas. Atenas.

4

Plat´on (Academia). Arist´oteles (Liceo). Escuela peripat´etica.

Sistema de numeraci´on

´ Atico 1 5 10 50 100 500 1.000 10.000

I Π ´o Γ ∆ Γ∆ H ΓH X M

J´onico pente deka hekaton jilioi myrioi

Pitag´oricos Supuestamente Pit´agoras hab´ıa viajado por Mesopotamia antes de establecerse su escuela en Crotona (sur de Italia).

Pitag´oricos Representan los n´ umeros mediante puntos que marcaban en la arena o con piedrecillas en formas geom´etricas.

Pitag´oricos Representan los n´ umeros mediante puntos que marcaban en la arena o con piedrecillas en formas geom´etricas. N´ umeros triangulares: 1, 3, 6, 10, . . . ,

n(n + 1) ,... 2

Pitag´oricos Representan los n´ umeros mediante puntos que marcaban en la arena o con piedrecillas en formas geom´etricas. N´ umeros triangulares: 1, 3, 6, 10, . . . , r

r r r

n(n + 1) ,... 2

r r r r r r

r r r r r r r r r r

Pitag´oricos Representan los n´ umeros mediante puntos que marcaban en la arena o con piedrecillas en formas geom´etricas. N´ umeros triangulares: 1, 3, 6, 10, . . . , r

r r r

n(n + 1) ,... 2

r r r r r r

r r r r r r r r r r

N´ umeros cuadrados, pentagonales, etc.

Pitag´oricos

Aprovechan estas disposiciones para obtener propiedades de los n´ umeros. r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

n(n + 1) (n + 1)(n + 2) + = n2 2 2

Pitag´oricos

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

(n + 1)2 = n2 + 2n + 1

Pitag´oricos

“Todo es n´ umero” (entero).

Pitag´oricos

“Todo es n´ umero” (entero). N´ umero perfecto = Suma de sus divisores propios: 1, 6, 28, 496. N´ umero excesivo > Suma de sus divisores propios. 12, 24. N´ umero defectivo Suma de sus divisores propios. 12, 24. N´ umero defectivo Suma de sus divisores propios. 12, 24. N´ umero defectivo Suma de sus divisores propios. 12, 24. N´ umero defectivo