Gauss. Una rivoluzione nella teoria dei numeri

Citation preview

Gauss

GENI della MATEMATICA

Una rivoluzione nella teoria dei numeri

auss

RBA

ANTONIO RUFIAN LIZANA è professore del Dipartimento di Statistica e ricerca operativa dell'Università di Siviglia. È autore di articoli e testi di ricerca matematica e di un romanzo. I Geni della matematica Pubblicazione periodica settimanale Anno I- Numero l- Milano, 21 gennaio 2017 Edita da RBA Italia Via Roberto Lepetit, 8/10-20124 Milano Direttore generale: Stefano Bisatti Responsabile editoriale: Anna Franchini Responsabile marketing: Tiziana Manciameli Direttore responsabile: Stefano Mammini © © © ©

2012 Antonio Rufian Lizana per il testo 2012 RBA Coleccionables, S.A. 2017 RBA Contenidos Editoriales y Audiovisuales S.A.U. 2017 RBA Italia S.r.l. per la presente edizione

Impaginazione e adattamento: Lesteia, Milano Traduzione: Maura Tamborini Copertina: Uorenç Martf Progetto pagine interne: Luz de la Mora Infografica: Joan Pejoan Registrazione presso il 1ìibunale di Milano in corso Iscrizione al ROC n.16647 in data 1/03/2008 ISSN 2531-890X Distributore per l'Italia: Press-di Distribuzione Stampa e Multimedia S.r.L - 20090 Segrate (MI) P.l. Spa Sped. in abb. post. DL 353!2003legge del27/04/04 n. 46 art. l Stampato nel 2017 presso UBERDUPLEX Crediti fotografici: Age Fotostock: 149a; Album: 31, 33; Archivio RBA: 41, 57ai, 57ad, 65, 71, 155a, 155b; G. Biermann!Osservatorio di Gottinga: 127; Bildindex: 57b; Julien-Léopold Boilly: 87; Castro Carmona: 130; Dipartimento di Matematica dell'Università dell'Illinois, Chicago: 35; Jakob Emanuel Handmarm!Museo d'Arte di Basilea: 54; Rudolph Hoffmann: 143; Marwscritto d'OrviUe/Biblioteca Bodleiana, Università di Oxford: 135; Photoaisa: 149b; Eduard Ritmiiller: 79b; Joseph Karl Stieler/Palazzo di Charlottenhof, Postdam: 146; Joseph Rudolf Suhrlandt: 81; Università di York, Regno Unito: 103; C. Wìtte: 79a; Tutti i diritti riservati. Nessuna parte di questa pubblicazione può essere riprodotta o diffusa senza il consenso dell'editore.

Sommario

INTRODUZIONE

.... 7

CAPITOLO 1

Prime scintille di un prodigio dei numeri .

CAPITOLO 2

Disquisitiones arithmeticae .

CAPITOLO 3

Un metodo per trovare i pianeti .

CAPITOLO 4

Mettendo ordine tra i numeri primi

CAPITOLO

..

L'eredità del "Principe dei matematici"

LETTURE CONSIGLIATE INDICE

45

s Gli apporti in geometria e in fisica

CAPITOLO 6

17

.

............... 73

95

.......... 123

... 151

...... 163

165

Introduzione

Se si svolgesse un sondaggio fra gli esperti del settore per stilare un elenco dei dieci matematici più importanti e in.O.uenti della storia, è sicuro che quasi tutti indicherebbero Carl Friedrich Gauss. Una congettura (come vedremo in questo volume, fare congetture è un metodo di lavoro estremamente tipico dei matematici) che si basa su due motivazioni. La prima è l'enorme importanza del suo contributo alla matematica. Per evitare che ci si accusi di affermare ovvietà, è utile segnalare che la valutazione della rilevanza dei risultati scientifici è un esercizio sempre soggettivo, anche nel caso di una scienza tanto oggettiva come la matematica. Eppure la matematica creata da Gauss resiste a qualunque tipo di giudizio e la sua in.O.uenza è unanimemente riconosciuta. La seconda ragione è l'ampiezza dei terni ai quali Gauss si interessò con enorme successo. Ai giorni nostri la matematica è tanto vasta che coloro che vi si dedicano conoscono in modo approfondito solo la parte più vicina al loro campo di ricerca. La genialità di Gauss, tuttavia, gli consentì di avanzare in quasi tutti i suoi rami ed ecco perché sia gli specialisti in analisi matematica sia gli analisti numerici, gli studiosi di geometria o di algebra, di statistica e persino di fisica-matematica vedono Gauss come "uno di loro". Con eccessiva frequenza si usano definizioni come "bambino prodigio" o "genio della matematica", ma pochi matematici

7

avranno qualcosa da obiettare sul fatto che si utilizzino tali qualificativi per Gauss. n solo numero di nuove idee e scoperte attribuibili al matematico tedesco ancora prima di compiere venticinque anni sembra di per sé inspiegabile. Figlio di una famiglia modesta, Gauss ebbe la fortuna di poter sfruttare appieno il suo talento matematico. Nacque in un'epoca in cui la matematica era ancora un'attività per privilegiati, finanziata da cortigiani e mecenati, o praticata nel tempo libero da appassionati come Pierre de Fermat. Il "nume tutelare" di Gauss fu Karl Wilhelm Ferdinand, duca di Brunswick, che gli permise di dedicarsi alla sua attitudine senza l'ansia di doversi guadagnare da vivere con qualche altra occupazione maggiormente redditizia. Come segno di gratitudine, Gauss gli dedicò il suo primo libro, le Disquisitiones Arithmeticae (1801), cosicché il duca vide il suo nome associato a uno dei volumi fondamentali della storia della matematica. Gauss visse in un periodo di straordinario sviluppo politico e sociale. La sua adolescenza coincise con la Rivoluzione Francese, era infatti dodicenne l'anno della presa della Bastiglia. Vide l'apogeo di Napoleone in età adulta, la sua sconfitta a Waterloo a trentotto anni e, ormai settantenne, fu testimone della Rivoluzione liberale del 1848 in Germania. Durante questo periodo si verificò inoltre la prima Rivoluzione Industriale che ebbe un notevole effetto sulla Vita politica e sociale europea. Lo sviluppo dell'industria permise di svolgere esperimenti impensabili fino a quel momento, con telescopi e altri strumenti ottici migliori e sempre più efficaci. Come vedremo, la vita di Gauss fu influenzata da tutti questi eventi. Fortunatamente la raccolta delle sue opere è abbastanza completa; buona parte della corrispondenza più importante di Gauss è stata pubblicata. Lo scienziato, tuttavia, era estremamente geloso delle sue scoperte matematiche e usava un linguaggio cifrato per proteggerle. Secondo alcuni, la poca diffusione dei suoi lavori ha comportato un ritardo di mezzo secolo nello sviluppo della matematica. Se egli si fosse preoccupato di divulgare anche solo la metà delle sue scoperte e non fosse stato tanto criptico nelle spiegazioni, forse essa sarebbe

8

INTRODUZIONE

progredita più rapidamente. Il suo diario matematico non fu disponibile né per i suoi eredi né per il pubblico fino al 1898 (più di 40 anni dopo la sua morte). Lo studio di questo testo confermò che Gauss aveva accertato, senza pubblicarli, diversi risultati che altri matematici avevano cercato di dimostrare fino a XIX secolo inoltrato. Sostenne sempre che la matematica era come un'opera edilizia: un architetto non lascerebbe mai le impalcature perché tutti possano vedere come è stato costruito un edificio. Questa filosofia, però, non aiutò i colleghi suoi contemporanei a comprendere fino in fondo la sua opera. La struttura logica del trattamento dei problemi matematici proposta da Gauss, nella quale si enunciano risultati o teoremi, si procede alla loro dimostrazione e si culmina con le conseguenze o corollari, continua a essere ancora oggi la norma della presentazione dei risultati matematici. Il matematico tedesco rifiutava di annunciare risultati non dimostrati e tale rinuncia significò un punto di rottura nella storia della matematica. Sebbene gli antichi greci avessero introdotto l'idea dell'importanza della dimostrazione come componente indispensabile del processo matematico, prima di Gauss i matematici si interessavano molto di più alla speculazione scientifica sulla loro disciplina Se la matematica funzionava, non si preoccupavano troppo di giustificarne in modo rigoroso il perché. Quando Gauss si occupò di aritmetica e di teoria dei numeri, queste materie erano costituite da raccolte isolate di risultati non collegati fra loro. Egli riunì le conoscenze allora a disposizione e le compose in un quadro comune, segnalando e correggendo gli errori esistenti. Portò la matematica del XIX secolo fino a vette inattese solo pochi anni prima ed elevò l'aritmetica superiore al livello della matematica. Citando le sue stesse parole: «La matematica è la regina delle scienze e l'aritmetica è la regina della matematica». Il suo primo grande risultato, neppure diciannovenne, fu la scoperta del metodo per costruire con riga e compasso un poligono a diciassette lati, l'eptadecagono. La costruzione di poligoni regolari aveva occupato i matematici sin dalla Grecia classica, seppure con risultati altalenanti, tanto che vi erano

INTRODUZIONE

g

poligoni, in particolare quello a sette lati o ettagono, per i quali non esistevano tecniche che ne consentissero la costruzione esatta con riga e compasso. Secondo lo stesso Gauss, che per tutta la vita fu molto orgoglioso di questa scoperta: «Il caso non ebbe nulla a che spartire con tutto ciò, fu frutto di sforzi meditativi. Prima di alzarmi dal letto ebbi la fortuna di vedere con maggiore chiarezza tutte queste correlazioni, tanto che, sul posto e immediatamente, applicai all'eptadecagono la corrispondente conferma numerica». Gauss non solo risolse questo problema, ma trovò anche il metodo generale per stabilire se un poligono potesse o meno essere costruito con riga e compasso. Nel suo testamento chiese che venisse inciso sulla lapide della sua tomba un poligono di diciassette lati costruito secondo il suo metodo, ma non fu esaudito. Il risultato che gli garantì la fama fra i suoi contemporanei, tuttavia, fu senza dubbio il calcolo dell'orbita di Cerere, un pianeta nano scoperto nel1801 da Giuseppe Piazzi da un osservatorio di Palermo. Questo riconoscimento popolare lo spinse a interessarsi con dedizione all'astronomia, tanto da riuscire a diventare direttore dell'Osservatorio di Gottinga. È molto probabile che le sue osservazioni astronomiche lo distraessero dal lavoro di matematico puro, con il quale era più difficile raggiungere la fama. Per la matematica come scienza, la determinazione dell'orbita di Cerere può essere un episodio sporadico, ma il metodo usato per il calcolo risultò essere fondamentale per il suo sviluppo: il metodo dei minimi quadrati. In questo caso è più importante il procedimento usato per arrivare al risultato che il risultato stesso. Nell'attribuzione della paternità di questo metodo a Gauss vi furono alcune polemiche, dato che Adrien-Marie Legendre, di venticinque anni più anziano, affermò il suo primato su tale scoperta. La rivalità con Legendre durò per anni e si estese a diversi campi della matematica. Accadeva di frequente che, se Legendre affermava di aver scoperto una nuova verità matematica, Gauss gli rispondesse dichiarando di conoscerla e di aver già usato tale risultato. In una lettera scritta da Gauss il 30 luglio del 1806 a un collega astronomo di nome Schumacher, al quale era legato da grande amicizia, il grande mate-

lO

INTRODUZIONE

matico commentava: «Sembra che sia destinato a coincidere con Legendre in quasi tutti i miei lavori teorici». Questo tipo di rivalità era molto comune al tempo e trova spiegazione nei metodi di lavoro e di divulgazione dei risultati dei matematici dell'epoca. Per tutta la vita Gauss fu restio a entrare in scontri aperti per l'attribuzione dell'origine delle sue scoperte. Solo quando, dopo la sua morte, si studiarono le sue note e la sua corrispondenza fu chiaro che la ragione era dalla sua parte. Non vi è però alcun dubbio che il metodo dei minimi quadrati si rivelò uno strumento di grande utilità per affrontare diversi problemi mediante i quali si cercava di stabilire la funzione che meglio si adattasse o approssimasse a un insieme di dati con un criterio di minimizzazione. Le applicazioni più importanti si trovano in statistica, dove raggiungono l'acme con la stima dei parametri della popolazione attraverso un campione, un risultato noto come teorema di Gauss-Markov. Un aneddoto curioso è che in statistica il nome di Gauss è comunemente associato alla nota campana di Gauss, quando in realtà la scoperta di tale distribuzione si deve ad Abraham de Moivre. Gauss affrontò molto presto il cosiddetto teorema fondamentale deU'algebra che, in pratica, stabilisce che un polinomio ha tante radici, o valori dove il polinomio è pari a zero, quanto indica il suo grado. Questo problema fu l'argomento della sua tesi di laurea. Durante la sua vita presentò varie dimostrazioni di tale risultato ogni volta più raffinate e comprensibili. Così come per la sua scoperta dell'orbita di Cerere, nella sua ricerca di una dimostrazione adeguata Gauss trovò costruzioni matematiche innovative e di grande utilità, come i numeri complessi. Nell799 dimostrò che, utilizzando un numero molto speciale, la radice di -l (o numero i), i matematici potevano risolvere qualsiasi equazione polinomiale che fosse messa loro davanti. L'analisi numerica e, in particolare, lo studio dei numeri primi è forse la parte dell'opera di Gauss maggiormente nota e alla quale dedicò più tempo. Da giovane ricevette in regalo una tavola dei numeri primi che ne conteneva diverse migliaia e che, però, a suo dire, erano riportati in modo disordinato. Scrutando le sue tavole numeriche, Gauss non riusciva a determinare nes-

INTRODUZIONE

n

suna regola che indicasse di quanto dovesse saltare per trovare il successivo numero primo. Sembrava che questa regola non esistesse, un'idea che lo scienziato non poteva accettare: la motivazione primaria della vita di un matematico è determinare strutture ordinate, scoprire e spiegare le regole che sono alla base della natura e prevedere cosa accadrà in seguito. Questo pensiero, che arrivò a ossessionarlo, lo portò a formulare alcune delle più grandi congetture sulla distribuzione dei numeri primi e sulla loro creazione mediante procedimenti matematici. Oggigiorno il problema della determinazione dei numeri primi resta di grande attualità, dato che molti dei processi di codifica delle inform3.:Zioni sono basati sulle proprietà di tali numeri. Tra ill818 e ill832, Gauss diresse un vasto progetto per la mappatura topografica del Regno di Hannover. Si trattava di un incarico enorme con implicazioni politiche e militari, oltre che scientifiche. Gauss non ne fu però solo il direttore nominale, ma si fece coinvolgere in prima persona dal lavoro sul campo, un'attività che gli sottrasse tempo prezioso che avrebbe potuto dedicare a ricerche matematiche di natura più teorica. D'altra parte questo incarico gli consentì di approcciare nuovi tipi di geometria non basata sugli assiomi di Euclide, dando forma a idee che stava maturando fra sé e sé sin dagli anni da studente. Le misurazioni della Terra, ricomposte all'interno della geodesia, gli diedero altresì l'opportunità di contribuire grandemente alla geometria differenziale. Negli ultimi anni di vita, grazie al rapporto con Weber, si interessò a problemi legati alla fisica applicata, in particolare in ottica, meccanica ed elettricità. L'influenza di Gauss sulle successive generazioni di matematici è enorme. Basta ricordare che fu professore di Bernhard Riemann e Julius Wilhelm Richard Dedekind, due dei più grandi matematici del XIX secolo. I suoi apporti, come già indicato, interessarono tutti i campi della matem.atica, sia pura sia applicata. Merita inoltre un posto d'onore in fisica e il suo contributo al magnetismo, all'ottica e alla geodesia è fra i più rilevanti della sua epoca. No n è quindi certamente eccessivo il titolo postumo di "Principe dei matematici" che Giorgio V, re di Hannover, fece

12

INTRODUZIONE

incidere su una moneta commemorativa. Secondo lo storico e matematico Eric Tempie Beli, opinione condivisa dalla maggior parte dei suoi colleghi, con Archimede e Newton, Gauss occupa il podio dei grandi geni della matematica.

INTRODUZIONE

13

1777 Cari Friedrich Gauss nasce

a Brunswick, Germania, figlio unico di Gerhard Dietrich Gauss e Dorothea Benze. 1784 Inizia la scuola elementare di

Brunswick. Ha come insegnanti J.G. Btittner e Martin Bartels, che riconoscono le sue capacità e lo stimolano. 1791 Viene presentato al duca di Brunswick,

che ne diventerà il mecenate. 1795 Gauss lascia Brunswick e si trasferisce

all'Università di Gottinga, dove inizia gli studi universitari.

1809 Muore la prima moglie di Gauss.

Pubblica la sua opera più importante a contenuto astronomico: 1'lu3oria rrwtus corporum coelestium in selectiortibus conici.s solem ambientium. 1810 Gauss si sposa in seconde nozze

con Mirula Waldeck, d.a1la quale avrà tre figli: Eugen, Wilhelm e Therese. n matrimonio dura fino al 1831, anno in cui Gauss resterà nuovamente vedovo. 1818 D governo di Hannover incarica Gauss

della triangolazione e misurazione del regno, attività che richiederà diversi anni di dedizione aJla geodesia

1796 Scopre il metodo di costruzione con

riga e compasso di un poligono a 17 facce. Questo successo lo spinge a dedicarsi principalmente alla matematica.

1827 Pubblica Disquisitiones generales

circa supeificies curvas, la sua opera fondamentale di geometria differenziale, che comprende il Theorema egregium.

1799 Presenta la sua tesi di laurea

all'Università di Helmstedt. In questo lavoro fornisce la prima dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra. 1801 Pubblica Disquisitiones arithmeticae,

il suo principale contributo alla teoria

dei numeri. Nell'opera raccoglie le sue ricerche degli anni precedenti, fra le quali quelle relative all'aritmetica modulare, ai numeri complessi e alla legge di reciprocità quadratica Determina l'orbita di Cerere con il metodo dei minimi quadrati.

1831 Weber si trasferisce a Gottinga,

iniziando una fruttuosa collaborazione con Gauss nel campo della fisica. 1849 Gauss presenta una nuova

dimostrazione del teorema fondamentale dell'algebra in occasione del cinquantesimo anniversario della sua tesi di laurea 1855 Muore serenamente nel sonno

la mattina del 23 febbraio all'età di settantasette anni

1805 Sposa Johanna Oshoff, dalla quale

avrà tre figli: Joseph, Minna e Louis, che morirà a pochi mesi.

INTRODUZIONE

15

CAPITOLO 1

Prime scintille di un prodigio dei numeri

Sin da bambino, Gauss si distinse per peculiarità che hanno ben pochi confronti nella storia della scienza e che attirarono l'attenzione di diverse persone che lo aiutarono a potenziarle. Fin dall'inizio della sua carriera scientifica si interessò a quasi tutti i rami della matematica, ai quali apportò non solo grandi scoperte, ma anche una nuova visione della disciplina basata sul rigore delle dimostrazioni.

Si conoscono solo pochi fatti interessanti dell'infanzia e della giovinezza di Gauss. La principale fonte di informazioni relative a questo periodo è lo stesso Gauss attraverso le storie della sua fanciullezza che volle raccontare, ormai anziano, a studenti e amici Johann Friedrich Carl Gauss nacque a Brunswick (in tedesco Braunschwieg), la principale città del ducato di Brunswick-Wolfenbiittel (nell'attuale Bassa Sassonia), il 30 aprile 1777. Fu l'unico figlio di Gerhard Dietrich Gauss, nato nel 1744, e Dorothea Benze. Suo padre aveva già un figlio da un precedente matrimonio. Gauss non usò mai il suo primo nome, Johann, e modificò l'ordine degli altri due, firmando sempre i suoi lavori come Carl Friedrich Gauss, come infatti lo si conosce oggi. Egli venne alla luce in una piccola strada chiamata Werdengraben. In seguito la famiglia si trasferì al numero 30 di Wilhelmstrasse, nei pressi del canale della città, scelta che consentì l'accadere di uno degli aneddoti più conosciuti della sua infanzia: quando aveva tre o quattro armi cadde in acqua venendo subito salvato da un contadino che passava di lì per caso. La scienza della matematica ha un debito impagabile nei confronti di quell'anonimo agricoltore. La famiglia del padre, da sempre composta di piccoli allevatori, si trasferì a Brunswick intorno al 1740 e ciò significò per i Gauss l'attesa di più degne condizioni di vita e la promessa di un

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

futuro migliore in un periodo in cui il vecchio feudalesimo tedesco veniva progressivamente sostituito da un nuovo tipo di governo assolutista. Non c'era comunque un modo semplice per far fortuna: le corporazioni, che dal Medioevo controllavano l'accesso alle professioni, dominavano gran parte della vita della città e non permettevano la loro espansione economica. Il padre di Gauss, da nuovo arrivato nell'area urbana, dovette guadagnarsi da vivere con i lavori più diversi, come giardiniere, macellaio ambulante o contabile di un'agenzia di pompe funebri. L'obiettivo della famiglia era comprare una casa all'interno del perimetro urbano che desse accesso ai diritti di cittadinanza. Ironia della sorte, poco dopo aver raggiunto questo traguardo, il mondo nel quale viveva la famiglia Gauss fu distrutto dall'invasione degli stati tedeschi da parte delle truppe di Napoleone. Sappiamo che il padre di Gauss era un uomo brusco, di rigidi valori, la cui rudezza nei confronti del figlio rasentava in alcuni casi la brutalità. La sua onestà e la sua tenacia gli permisero di ottenere un certo benessere, ma non ebbe mai una vita facile. Non aiutò Gauss nella sua carriera scientifica e non comprese la necessità che il figlio ottenesse un'educazione adeguata alle sue capacità. Se l'opinione del padre avesse prevalso, l'intelligente ragazzino avrebbe intrapreso una delle professioni di famiglia e fu solo grazie a una serie di felici coincidenze che Gauss si "salvò" dal diventare giardiniere o muratore. Da bambino erarispettoso e obbediente e, sebbene non fu mai critico con il padre neppure in età adulta, si comprende perché non nutrisse per lui del vero affetto. Gerhard mori nel 1806. La famiglia della madre era originaria di Velpke, una cittadina della Bassa Sassonia non lontana da Brunswick. Dorothea Benze era una donna sveglia, dallo spirito allegro e con un carattere forte. Arrivò fino alla veneranda età di novantasette anni, accudita dal figlio, con il quale convisse per gli ultimi vent'anni a Gottinga. Sostenne sempre Gauss nei suoi studi e fu molto orgogliosa dei suoi successi scientifici. Si racconta che pianse dall'emozione quando Wolfgang Bolyai (1775-1856), uno dei migliori amici di Gauss, le assicurò che suo figlio sarebbe passato alla storia come uno dei più grandi matematici di sempre.

20

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

I genitori di Gauss non avevano una grande istruzione. Il padre, come si deduce dalle sue occupazioni, sapeva almeno leggere, scrivere e fare alcuni calcoli aritmetici elementari. Gauss, ormai anziano, era solito affermare di aver imparato prima a scrivere che a contare e di aver appreso a leggere da solo, scandendo i nomi di parenti e amici di famiglia Lui stesso raccontava l'aneddoto che lo descrive come uno dei matematici più precoci: quando aveva tre anni, un sabato mattina d'estate, mentre il padre calcolava il salario degli operai alle sue dipendenze, il bimbo lo sorprese affermando che la somma non era esatta e rivelando poi il risultato corretto. La successiva verifica di Gerhard provò che aveva ragione il piccolo. Nessuno gli aveva insegnato i numeri o, men che meno, a fare le addizioni. Con ogni probabilità la madre sapeva leggere a stento, ma non scrivere. Gauss non si sentì mai vicino al padre e, per tutta la vita, affermò di avere ereditato le sue capacità dalla madre.

«Non è la conoscenza, ma l'atto dell'apprendimento, e non il possesso, ma l'atto di arrivare fino alla meta, che ci garantisce il maggior godimento.» CAJlL F'uEDRICB GAUSS.

Le informazioni più affidabili a nostra disposizione sul matematico tedesco iniziano a partire dall'anno 1784, quando il giovane Cari entrò alla scuola elementare. All'epoca non tutti i bambini della sua età ci andavano, ma per chi cresceva in città solitamente c'erano maggiori possibilità e, in tal senso, Gauss ebbe fortuna. L'ebbe anche in un altro senso, molto diverso, incontrando un insegnante che lo guidò nei suoi primi passi accademici, J.G. Btittner, docente di inusitata competenza. Quest'ultimo ebbe il merito di riconoscere l'enorme capacità del giovane Gauss e di dedicargli particolare attenzione rispetto ai suoi oltre cinquanta compagni di classe. Nel 1786 richiese e ottenne da Amburgo testi aritmetici speciali per uno scolaro tanto eccezionale, che pagò di tasca propria. L'assistente di Btittner in

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

21

quegli anni era J.C. Martin Bartels (1769-1836), che, successivamente, diverrà professore di matematica all'Università di Kazan (in Russia) e che aveva solo otto anni più di Cari Friedrich. Anch'egli riconobbe rapidamente il genio di Gauss e gli dedicò enorme attenzione. Studiavano insieme e si aiutavano a vicenda per decifrare e comprendere i manuali di algebra e analisi elementare a loro disposizione. In questi anni cominciò la gestazione di alcune idee e approcci alla matematica che caratterizzeranno in seguito Gauss. Sui libri di Bartels, egli conobbe il binomio di Newton per esponenti non interi e le serie infinite e fece i primi passi in analisi matematica. È curioso ricordare che, all'Università di Kazan, Bartels fu professore di Nikol3.i Lobachevski (1792-1856), uno dei matematici che avrebbero sviluppato la geometria non euclidea, area della quale Gauss fu iniziatore.

MIGLIORANDO NEWTON In collaborazione con il suo professore, Martin Bartels, il giovane Gauss ottenne una nuova dimostrazione del binomio di Newton con coefficienti naturali, una formula che consente di sviluppare la potenza d i un binomio:

dove

n ) n! ( k - k!(n-k)! è il numero combinatorio n su k, e n!- n~./ è chiamato fattoriale di un numero ed è il prodotto del numero naturale moltiplicato per tutti quelli minori del numero stesso.

22

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

PRECOCITÀ ARITMETICA

Un altro aneddoto illustra la precocità e predisposizione di Gauss per i calcoli aritmetici. Quando aveva nove anni, il suo professore, Btittner, propose agli alwmi di sommare i primi cento nwneri naturali, con la certezza che, per risolvere tale problema, ci avrebbero impiegato il tempo sufficiente da consentirgli un po' di meritato riposo. Solitamente, man mano che gli alwmi tenninavano il problema, si alzavano e mettevano la loro lavagnetta con la soluzione davanti al maestro. Mentre gli altri bambini si erano appena messi all'opera, in pochi secondi Gauss aveva già lasciato la sua lavagna sulla cattedra, esclamando in dialetto: «Ligget se!» (Ecco qui!). Btittner pensò che Gauss volesse fare l'insolente, ma, guardando la lavagna, notò che la risposta, 5050, era li, senza neppure un calcolo intermedio. n professore si persuase che fosse un trucco di qualche tipo, fino a quando il giovane Carl non gli spiegò il suo ragionamento. Gauss non aveva affrontato il problema direttamente, accwnulando somme sempre maggiori e, quindi, suscettibili di errore, ma si era avvicinato "lateralmente". Si era reso conto che la prima cifra (uno) e l'ultima (cento), sommate, davano la stessa quantità (centouno) della seconda e della penultima e il ragionamento poteva proseguire senza problemi, pertanto 1+100 = 2+99 = 3+98 = ... = 50+ 51 = 101. Aveva quindi cinquanta coppie di nwneri la cui somma dava 101 e il cui prodotto era 5050. Gauss, ovviamente senza saperlo, aveva applicato la formula della somma dei termini di una progressione aritmetica In matematica una progressione aritmetica è una serie di nwneri tali che la differenza di due termini successivi qualunque della sequenza è costante, quantità chiamata differenza deUa progressione, differenza o, semplicemente, ragione. Nel caso del problema proposto a Gauss, la differenza era l. L'espressione della somma di una progressione aritmetica è abbastanza semplice: se i termini della nostra successione sono ai' a 2, ••• ,an, la sommaSn è:

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

23

Nel caso della somma di n primi numeri naturali, Tn, avremo: T

=

n(n+l).

n

2

Se sostituiamo nella formula precedente n= 100, otteniamo 5050, come era da attendersi. La dimostrazione della formula si può ottenere mediante vari procedimenti, alcuni tanto intuitivi come l'uso di coppie con somma uguale, così come è possibile che abbia fatto Gauss; per una dimostrazione più formale, tuttavia, si è soliti applicare il cosiddetto principio di induzione. Tale metodo consiste nel provare che un numero naturale n possiede proprietà detenninate e, in un secondo tempo, dimostrare che, se un numero naturale qualunque le possiede, le avrà anche il successivo. La forza della dimostrazione matematica è che possiamo affermare che se questa formula è vera per la somma di qualunque serie di numeri naturali, non sono necessarie altre verifiche. Eppure, se ponessimo i più moderni e rapidi computer oggi disponibili a calcolare queste somme e comprovassimo che la formula è sempre verificata, ciò non presupporrebbe comunque una verità universale. Sarebbe sempre possibile pensare che siano rimasti esclusi dei numeri per accertarci di ciò che affermiamo e che qualcuno potrebbe non seguire le attese. Questo è uno dei grandi apporti di Gauss alla matematica: la necessità di una prova rigorosa. Prima dei suoi lavori era piuttosto usata la matematica speculativa, con affermazioni basate su esempi concreti, lacune concettuali e prove incomplete. Gauss, tuttavia, che non pubblicava le sue ricerche fino a quando non aveva a disposizione la dimostrazione più rigorosa possibile, nei suoi scritti non era solito inserire le dimostrazioni complete dei suoi risultati, ostacolandone la comprensione per i suoi contemporanei. La sua idea dei lavori matematici era una presentazione perfetta e pensava che le dimostrazioni dettagliate sottraessero brillantezza all'opera. Per lo scienziato era come mostrare un edificio con ancora i ponteggi che ne avevano resa possibile la costruzione.

24

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

IL PRINCIPIO DI INDUZIONE Il principio di induzione applicato alla dimostrazione della formula della somma di n numeri naturali presenta le tre premesse di base seguenti: a) Verifichiamo la validità della nostra ipotesi per il caso n=l. b) Supponiamo che sia vero per n-1. c) Basandoci su a) e b), lo verifichiamo per n. Se riusciamo a provare c) usando a) e b), allora l'affermazione è vera per tutti i numeri naturali. L'idea soggiacente a b) e c) è che, se è vero per un numero, allora lo è per il successivo. Avendolo verificato per n=in a), il resto è conseguente. Applichiamo il principio di induzione alla formula della somma di n primi numeri naturali:

a) Per n=l, abbiamo: 1(1+ l) r,----1. Vero. 2

Supponiamo che n-l la somma sia:

(n-l)n

T,----. n2 c) Quindi la somma Tn =Tn_, +n, pertanto applicando b) otteniamo che:

che completa la dimostrazione.

l NUMERI TRIANGOLARI

L'aneddoto relativo alla sonuna dei cento primi nwneri naturali e la fonnula generale che abbiamo dimostrato servono anche per introdurre un tema al quale Gauss dedicò molto tempo in gioventù: i nwneri triangolari. Di fatto, il matematico inglese Mar-

PRIME SCINTILLE 01 UN PRODIGIO DEl NUMERI

25

Un numero triangolare è un numero che può essere espresso sotto forma di triangolo. Qui sono presentati l primi sei numeri. Gauss scopri che qualunque numero intero positivo può essere rappresentato come la somma, ai massimo, di tre numeri triangolari.

cus du Sautoy, nel suo libro L'enigma dei numeri primi (2003), inserisce un'innovativa spiegazione del modo in cui Gauss anivò al risultato di 5050 usando i numeri triangolari. Un numero triangolare è un numero le cui unità possono ricomporsi sotto forma di triangolo equilatero (per convenzione, il primo numero triangolare è 1). Il concetto di numero triangolare fu introdotto da Pitagora che studiò alcWle delle sue proprietà. I pitagorici erano molto interessati alle qualità estetiche dei numeri. Nella figura si riportano i primi sei numeri triangolari. Osservando con attenzione il valore dei primi numeri triangolari, è possibile vedere che esso coincide con il valore della serie Tn della somma dei primi n numeri naturali. Ovviamente non è un caso, dato che nella costruzione di un numero triangolare ogni fila ha un elemento in più rispetto al precedente e la prima inizia con l. Sapere se un numero qualunque è triangolare, quindi, equivale a verificare che tale numero coincide con il valore di Tn per un numero n . Ogni numero triangolare Tn, quindi, è definito dalla formula seguente:

Il problema della somma proposto a Gauss, quindi, sarebbe equivalente a calcolare il numero triangolare la cui fila di base sia pari a 100. Il modo migliore per fare questo calcolo senza grandi conoscenze matemati.-----------che è prendere un altro triangolo uguale, girarlo e metterlo accanto al primo. In questo caso abbiamo un ret3 6 tangolo da 100 unità di lunghezza e 101 di larghezza. Affinché la trasformazione resti chiara dobbiamo sosti10 tuire previamente i triangoli 15 21 equilateri con triangoli ret-

• • •• •• • ••• •• • • • •••• •• •••• •• • • ••• •••••• ••• ••••••• •••• ••••

26

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEi NUMERI

tangoli (con uno dei loro angoli retti) senza far altro che spostare le file. Ottenuto il rettangolo, il calcolo del numero totale di unità è molto semplice, dato che si tratta del prodotto dei suoi lati 100x101=10.100. Un unico triangolo, quindi, contiene la metà. delle unità, pertanto 5050. La figura seguente aiuta a comprendere la costruzione del rettangolo a partire da due numeri triangolari uguali. Per ragioni di spazio, lavoreremo con 1'_1 invece di T 100, poiché ciò non influisce sul ragionamento. Per maggiore chiarezza indicheremo con X le unità del primo numero triangolare e con Z quelle del secondo.

x xx

xxx

+

z zzz x zz = xx + zz zzz z xxx

=

xzzz xxzz xxxz

Come vediamo, e secondo le aspettative, resta un rettangolo di 4x3. In generale, inoltre, la somma di due numeri triangolari Tn dà luogo a un rettangolo nx(n+1), pertanto per conoscere il numero di elementi in T n , basta dividere per 2, ottenendo di nuovo, e con un ragionamento diverso, che la formula di costruzione dei numeri triangolari è: T = n(n+1). n

2

È difficile precisare quale dei due tipi di ragionamento fu usato dal giovane Gauss, ma non è impossibile che avesse compreso che gli si chiedeva di calcolare il numero triangolare con base 100 unità, considerando l'interesse che egli dimostrò sin da bambino per i numeri triangolari e le loro proprietà. Nel suo diario matematico, infatti, si trova un'annotazione del18luglio 1796 che dice letteralmente: «Eureka! num=L\+ L\+ L\», che, una volta tradotto il suo linguaggio criptico, equivale a uno dei teoremi più noti, il quale afferma che ogni numero intero positivo può essere rappresentato come la somma di un massimo di tre nwneri triangolari. Dobbiamo però ricordare che questo teorema non implica

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

27

che i numeri triangolari debbano essere differenti (come accade nel caso di 20=10+10), né che debba esserci una soluzione con esattamente tre numeri triangolari, ma che questo è il numero massimo di numeri triangolari dei quali abbiamo bisogno. Nell'esempio precedente, infatti, ne sono sufficienti due ed, evidentemente, se il numero è triangolare, ne basta uno, il numero stesso. L'entusiasmo era più che giustificato. Il giovane Gauss aveva appena risolto una delle sfide del vecchio Fermat (1601-1665). E non una qualunque ... Persino il grande Leonhard Euler (1707-1783), noto in Italia come Eulero, vi si era arenato. In seguito parleremo di Fermat ed Eulero in modo più esteso, perché i loro lavori presenteranno altre coincidenze con quelli di Gauss. Gauss sarebbe stato il primo nella storia a fornire la risposta a una delle celebri congetture di Fermat. In matematica una congettura non è altro che un risultato apparentemente vero che non si è potuto però verificare in modo rigoroso e analitico, ma per il quale non si è neppure riusciti a trovare un esempio contrario che lo smentisca. Questo risultato non sarà pubblicato da Gauss fino al1801 nelle sue Disquisitiones ar'ithmeticae. Egli non divulgava i suoi risultati immediatamente dopo averli ottenuti, ma attendeva invece alcuni anni, fino ad avere i contenuti matematici sufficienti per pubblicare un libro. Questo modo di agire fu fonte di diverse polemiche relative al primato di Gauss in alcune scoperte matematiche. Di fatto vi furono risultati che Gauss trovò per primo, ma che furono pubblicati da altri matematici. Non significa tuttavia che fossero copiati, piuttosto semplicemente che quegli studiosi erano giunti a risultati analoghi o uguali in modo indipendente e senza conoscere i passi avanti di Gauss. Molte di queste polemiche non poterono essere risolte se non anni dopo, quando si poterono studiare la corrispondenza e gli appunti scientifici di Gauss. n teorema dei numeri triangolari ricorda la famosa congettura di Goldbach, enunciata da Christian Goldbach (1690-1764), che afferma che ogni numero naturale pari, maggiore di 2, si può esprimere come la somma di due numeri primi, pertanto tutti i numeri dispari maggiori di 5 si possono esprimere come la

28

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

somma di tre primi o meno, infatti, se non è direttamente primo, basta sommare il primo 3 a un numero pari di tre unità minore. Gauss, tuttavia, riuscì a dimostrare il suo risultato, mentre la congettura di Gold bach continua a restare senza una prova rigorosa. Questo esempio spiega il motivo per il quale la matematica conferisce tanto valore alla dimostrazione di un assunto. La congettura di Gold bach è stata verificata per tutti i numeri minori di 10w un numero di dimensioni inimmaginabili, ma non è accettata come risultato matematico e non ha raggiunto la categoria di teorema, restando una semplice congettura.

LA FORMAZIONE ACCADEMICA DI GAUSS

A undici anni, nel 1788, con l'aiuto del suo mentore Btittner, Gauss ottenne di essere ammesso al Gymnasium Catharineum - un istituto superiore -nonostante le reticenze del padre, poco convinto che dovesse continuare gli studi. Furono gli sforzi della madre e dello zio paterno che riuscirono a convincere il genitore a rinunciare all'aiuto del figlio nel lavoro e a garantire al ragazzo un'istruzione superiore. Le lezioni nella nuova scuola erano ordinate e regolari e il numero di allievi per classe ragionevole. Lì studiò latino e greco, requisito indispensabile per ottenere un'istruzione più approfondita e iniziare una carriera accademica. Il latino, al tempo, era infatti la lingua franca della scienza In soli due anni riuscì ad avere accesso al livello superiore dell'insegnamento secondario. La sua fama iniziò quindi a estendersi nei circoli più colti di Brunswick-Wolfenbtittel fino ad arrivare all'orecchio del duca Karl Wilhelm Ferdinand (1735-1806), al quale fu presentato nel 1791. Dal 1235 il titolo di duca di Brunswick era ereditato da vari membri della Casa di Welf che governarono diversi piccoli territori a nordovest della Germania. L'elemento un.i.ficatore di queste zone era di essere sotto il controllo di un discendente del duca, ma solo per linea maschile, a causa di una legge salica che impediva alle donne di accedere al potere. Impressionato dal

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

29

giovane Gauss, il duca gli assegnò una somma annuale perché potesse proseguire gli studi. Ricompense come queste non erano abituali al tempo, in particolare in uno stato piccolo come Brunswick, e ciò consentì a Gauss di superare le barriere sociali con le quali doveva scontrarsi a causa delle sue umili origini. Di fatto non sarebbe mai progredito come fece senza l'aiuto di persone interessate a promuovere il suo enorme talento. Un altro aiuto importante lo ricevette da Eberhard A. W. Zimmerman (1743-1815), professore del Collegium Carolinum e consigliere provinciale del duca, il quale incoraggiò quest'ultimo ad aiutare il giovane e talentuoso Gauss. La benefica influenza del duca si estese fino al 1806, anno in cui morì a causa delle ferite infertegli durante la Battaglia di Jena, quando le truppe francesi sconfissero la Prussia e i suoi alleati, fra i quali lo stato di Brunswick. Un anno dopo la dipartita del duca e la perdita degli aiuti economici, Gauss riuscì a farsi nominare direttore dell'Osservatorio di Gottinga, lavoro che gli consentì di continuare a mantenersi. Con l'aiuto di Zimmerman, inoltre, egli poté studiare al Collegium Carolinum, del quale fu alunno dal 1792 fino al 1795. L'amicizia fra Gauss e Zimmerman restò salda fino alla morte di quest'ultimo, nel luglio 1815. Accademie come il Collegium Carolinum non erano rare in Germania, Paese in quel momento formato da stati governati in modo indipendente. Esse erano un passaggio intermedio fra i cosiddetti Gymnasium, nei quali i bambini ricevevano un'istruzione elementare, e l'università. Futuri ufficiali dell'esercito, architetti, ingegneri, tecnici meccanici e commercianti trovavano in queste accademie l'opportunità di ottenere una migliore istruzione generale che permettesse loro di sviluppare negli anni a venire le proprie professioni. D'altra parte, questi istituti iniziavano anche ad avere una certa specializzazione in base alle varie aree di interesse. Qui si insegnavano lingue antiche e moderne, morale e dogmi cristiani, filosofia, storia e letteratura, statistica, diritto, matematica, fisica e storia naturale. Erano impartite anche lezioni di disegno e si potenziavano le qualità artistiche degli allievi. L'insegnamento, inoltre, era animato da un nuovo spirito: si cercava di formare persone, non solo di insegnare

30

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

Ritratto di Gauss dipinto nel 1803 circa, quando i l grande genio tedesco aveva ventisei anni. Questa fu la tappa piu proiWoca del giovane matematico. Due anni prima aveva pubblicato la sua prima grande opera, Oisquisltlones arithmeticae.

PRIME SCINT1U.E DI UN PRODIGIO DEl NUI'4ER

delle conoscenze. In generale gli alunni avevano ampia libertà di approfondire i temi verso i quali nutrivano più interesse. Erano per natura complessi élitari e vi studiarono molti dei più noti scrittori e scienziati dalla fine del XVIII all'inizio del XIX secolo. L'istruzione pubblica di Brunswick fu una delle aree dove furono più evidenti i progressi del XVIII secolo e la carriera accademica di Gauss è un esempio di come fosse concretamente possibile per una persona di umili origini seguire degli studi superiori. La biblioteca del Collegium Carolinum era insolitamente fornita e ospitava buona parte della letteratura classica matematica. Gauss restò al Collegium fino al 1795. Qui studiò lingue classiche, letteratura, filosofia e, ovviamente, matematica avanzata, risultando in tutto un allievo brillante. Fra le sue letture di matematica dell'epoca troviamo i Principia Mathematica di Isaac Newton (1642-1727), I'Ars Conjectandi di Jakob Bernoulli (1654-1705), i lavori di Louis Lagrange (1736-1813) e alcune delle memorie di Eulero. Fu particolarmente attratto dai lavori di Newton, che considerava un genio della matematica e un esempio da seguire. Nel Collegium Carolinum, Gauss inizierà alcune delle sue future ricerche matematiche, secondo personali successive ammissimù, come la distribuzione dei numeri primi o i fondamenti della geometria. I progressi di Gauss dovettero soddisfare il duca che, anno dopo anno, aumentò gli importi che gli erano versati. Nell'ottobre del 1795, all'età di diciotto anni, egli lasciò la natia Brunswick e si trasferì all'Università Georg-August di Gottinga, una piccola città a un centinaio di chilometri a sud, nello stato di Hannover. Gauss scelse questo ateneo contro i desideri del duca di Brunswick, che sperava che il suo protetto continuasse gli studi nella locale università di Helmstedt, sebbene mantenne comunque il suo sostegno finanziario. L'Università di Gottinga fu chiamata Georg-August in onore di re Giorgio II d'Inghilterra, anche principe di Hannover. Fondata secondo il modello di Oxford e Cambridge, aveva quindi una maggiore indipendenza dall'influenza ecclesiastica e vantava una migliore qualità di insegnamento. Gauss godette di notevole libertà per l'organizzazione dei

32

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

GOTTINGA

Gottingen, nome tedesco di Gottinga, è citata per la prima volta come Gutin-

gi in un documento dell'imperatore Ottone l del Sacro Romano Impero. Agli inizi del Xlii secolo godeva già dei diritti di una città. A partire dal1584 entrò a far parte del principato di Brunswick-WolfenbUttel e, nel1692, del principato elettivo di Hannover, passando sotto il governo di un duca. In seguito alla morte senza eredi della regina Anna di Inghilterra nel 1714, il principe elettore di Hannover divenne re di Gran Bretagna con il nome di Giorgio l. Da quel momento, e fino al1837, gli interessi di Hannover e della Gran Bretagna progredirono congiuntamente sotto una sola unione dinastica, fatta eccezione per un periodo durante le guerre napoleoniche. Nel 1806 restò brevemente sotto il controllo prussiano e, nel1807, passò al regno napoleonico di Westfalia. Queste disposizioni territoriali si annullarono dopo la sconfitta di Napoleone e, nel1813, la città tornò sotto il controllo di Hannover, che sarebbe diventato regno nel 1814. A eccezione di questo periodo di guerre, la città dove visse Gauss fu sempre tranquilla, circondata da mura medievali. Sebbene la teologia avesse dominato i primi anni dell'università, quando Gauss fu nominato professore di astronomia e direttore dell'osservatorio cittadino nel1807 era ormai la scienza la disciplina di maggior richiamo. Non serve aggiungere che la presenza di Gauss accrebbe enormemente la fama dell'ateneo, attirando studenti e scienziati.

Auditorium dell'Università di Gottinga, dove Gauss studiò e insegnò. Incisione su legno a partire da un disegno di Robert Galssler, 1865.

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

suoi obblighi accademici e poteva spaziare nella scelta delle lezioni e dei tutori, un enorme vantaggio per la sua formazione. Il principale professore di matematica dell'università era Gotthelf Abraham Kastner (1719-1800), che aveva allora settantasei anni, ma dato che la sua dedizione per la ricerca matematica era stata pressoché nulla, Gauss non lo considerò mai un punto di riferimento. All'università ebbe modo di incontrare diversi professori, fra i quali in particolare il fisico Georg C. Lichtenberg (1742-1799), l'astronomo Karl F. Seyffer (1762-1822) e il linguista Christian Gottlob Heyne (1729-1812). Non si fece però molti amici fra gli studenti, a eccezione di Wolfgang von Bolyai, un nobile della Transilvania, provincia che contava una nutrita minoranza tedesca. Il risultato più importante di questo sodalizio è la corrispondenza tra i due, che si estende per oltre cinquant'anni, dal 1799, durante un periodo di assenza di Gauss da Gottinga, fino al 1853, due anni prima della morte del matematico tedesco.

«Bolyai fu l'uruco che seppe interpretare i miei criteri metafisici sulla matematica.» CARL FRJEDRICH GAUSS PARLANDO DELL'AMICO WOLFGANG VON BOLYAJ.

Lo scienziato arrivò ad affermare che Bolyai fu lo «spirito più complicato che ebbi mai modo di conoscere)). Bolyai è più esplicito parlando della loro amicizia: «Ci univa la passione per la matematica e la nostra coscienza morale e così passeggiavamo per lunghe ore in silenzio, ognuno assorto nei propri pensieri)). Durante i tre anni a Gottinga, Gauss studiò in modo del tutto indipendente. Alla fine del 1798 abbandonò l'università per ragioni ancora non chiare, ma avendo già sviluppato le sue più importanti idee matematiche che pubblicherà nei venticinque anni seguenti. Gauss lasciò Gottinga senza alcun diploma. Su richiesta del duca, e così _come si evince dalla corrispondenza con Bolyai, presentò la sua tesi finale all'Università di Helmstedt nel 1799. La laurea fu ottenuta in absentia, senza il consueto esame orale.

34

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

FARKAS BOLYAI Noto in Germania come Wolfgang von Bolyai (1775-1856), fu un matematico ungherese, conosciuto soprattutto per i suoi lavori di geometria. La sua opera principale, chiamata Tentamen (Tentamen iuventutem studiosam en elementa metheosos indroducendi), fu un tentativo di fornire una base rigorosa esistematica alla geometria, all'aritmetica, all'algebra e all'analisi. In questo lavoro espose procedimenti iterativi per risolvere le equazioni. Il problema dei processi iterativi di risoluzione dei problemi matematici è che non sempre è possibile garantire che il numero di iterazioni sia finito: quando un metodo può assicurarlo è detto convergente. l procedimenti esposti da Bolyai erano di questo tipo . Un altro apporto sostanziale della sua opera fu includere una definizione di uguaglianza tra due figure piane nel caso entrambe possano essere divise per un numero finito di parti equivalenti, dando luogo al teorema di Bolyai-Gerwien . Fu inoltre padre del matematico Janos Bolyai , che spinse a occuparsi di geometria non euclidea. Gauss riconobbe che molte delle sue idee sulla geometria erano state discusse e migliorate grazie a Wolfgang Bolyai.

COSTRUZIONE CON RIGA E COMPASSO DEL POLIGONO REGOLARE A DICIASSETTE LATI

Sin dal suo arrivo a Gottinga, il giovane Gauss continuò a sviluppare autonomamente le proprie ricerche sui numeri che aveva iniziato al CoUegium. Sicuramente più frutto di questo lavoro che degli insegnamenti di Ka.stner, durante un soggiorno nella casa di

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

35

IL DIARIO SCIENTIFICO DI GAUSS E LA SUA INTERPRETAZIONE La costruzione dell'eptadecagono nel1796 fece sì che Gauss comprendesse che avrebbe potuto trarre maggior vantaggio dal suo talento se si fosse dedicato alla matematica che non alla filosofia. Quando si rese conto dell'importanza della sua scoperta, che dava una soluzione a uno dei problemi di costruzione con riga e compasso che da più tempo occupava i matematici, lo scrisse in un piccolo diario scientifico e questa fu la sua prima annotazione. Iniziò così uno dei documenti matematici più interessanti della storia di questa scienza. L'ultima annotazione è del 9 luglio 1814. Sono solo diciannove pagine con centoquarantasei brevi annotazioni con scoperte o risultati di calcoli. Il diario fu reso noto alla comunità scientifica solo nel1898, quarantatré anni dopo la morte di Gauss. quando la Reale Società di Gottinga chiese in prestito il libro al nipote del matematico per il suo studio critico, studio che consentì di comprendere la maggior parte dei risultati di Gauss e di dirimere le polemiche sulla paternità di alcune scoperte matematiche. Il suo metodo di lavoro gli consentiva di scrivere in modo rapido tutte le idee che gli passavano per la mente; in seguito Gauss appuntava il risultato finale, ma non includeva la dimostrazione matematica. Non era evidente neppure l'enunciato. Il suo modo di scrivere era molto personale, con abbreviature delle quali solo lui conosceva il significato; alcuni appunti non comprendono neppure un'annotazione matematica. La maggiore parte è stata decifrata perché si tratta di risultati che Gauss pubblicò in seguito in modo più formale. Ad esempio quelli riferiti ai numeri triangolari, al metodo dei minimi quadrati o alla geometria differenziale. Nel caso del teorema relativo ai numeri triangolari, appare nel diario come: EYPHKA! num = tJ. + tJ. + tJ.

Il risultato fu pubblicato in seguito da Gauss nel suo libro Disquisitiones arithmeticae nel1801, dove affermava che un numero può essere scritto come la somma, al massimo, di tre numeri triangolari. Ci sono però alcune annotazioni talmente criptiche che non sono state decifrate; 1'11 ottobre 1796 Gauss scrisse: «Vicimus GEGAN n (Abbiamo vinto il drago). Non abbiamo idea di quale fosse il drago al quale si riferiva . L'B aprile 1799 scrisse «REV. GALENn all'interno di un rettangolo ed è stato impossibile far coincidere questa annotazione con alcuno dei risultati conosciuti di Gauss.

36

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

Brunswick egli realizzò una scoperta che sarà chiave non solo per la sua carriera, ma anche per il futuro della matematica: il metodo di costruzione con riga e compasso dell'eptadecagono, il poligono regolare a diciassette lati. L'importanza della scoperta per la matematica deriva dal fatto che essa spinse Gauss a dedicare la sua vita a questa disciplina Il giorno successivo, il 30 mano, un mese esatto prima del suo diciannovesimo compleanno, Gauss scrisse una prima annotazione sul suo diario, il diario scientifico più importante della storia della matematica nel quale avrebbe appuntato, a volte in modo criptico (ma sappiamo quanto fosse geloso delle sue scoperte), i risultati matematici che gli venivano in mente. Da questo diario deriverà un elevato numero di scoperte matematiche del XIX secolo, ma su quelle pagine non furono raccolte tutte le scoperte di Gauss nel periodo che si estende dal1796 all814. Molti dei risultati annotati sarebbero sufficienti per stabilire la priorità di Gauss in campi dove alcuni dei suoi contemporanei si rifiutavano di credere che li avesse preceduti. L'annotazione del19 mano 1797 dimostra che aveva già scoperto la doppia periodicità di alcune funzioni ellittiche. Dette funzioni, che sono una generalizzazione delle funzioni trigonometriche come seno e coseno, erano interessanti perché legate al calcolo della nùsura dell'arco di un'ellisse (da qui il loro nome), a sua volta fondamentale per i calcoli astronomici. Gauss aveva allora vent'anni. Inoltre, un'altra annotazione mostra che il matematico tedesco riconobbe la doppia periodicità nel caso generale. Questa sola scoperta, se fosse stata pubblicata, avrebbe potuto regalargli una fama immediata, ma non lo fu mai. Molte altre scoperte, che restarono sepolte per anni nel suo diario, avrebbero fatto la fortuna di una mezza dozzina di grandi matematici, se fossero state divulgate. Alcune non furono mai rese pubbliche durante la vita di Gauss, il quale non pretese di avere la priorità quando altri autori lo anticiparono, essendo troppo orgoglioso per entrare in questo tipo di dispute. Parlando di sé, egli afferma che si impegnava nei suoi studi scientifici solo come risposta agli impulsi più profondi della natura e che per lui la pubblicazione, perché fossero noti agli altri, era qualcosa di assolutamente secondario.

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

37

Un'altra delle idee di Gauss, comunicata una volta a un amico, spiega sia l'esistenza del suo diario sia la lentezza nella pubblicazione. Gauss dichiarava che, quando aveva ventitré anni, era tale la quantità di nuove idee che gli passavano per la mente che difficilmente poteva raccogliere tutte in modo esteso, disponendo inoltre a questo fine di pochissimo tempo. Il diario contiene solo i brevi giudizi finali dei risultati di complicate ricerche, alcune delle quali lo occuparono per settimane. Quando, in gioventù, contemplava la serie di prove sintetiche che avevano incatenato le ispirazioni di Archimede e Newton, Gauss decise di seguire il loro grande esempio, lasciando solo opere d'arte perfette e complete, alle quali nulla potesse essere aggiunto né sottratto senza sfigurame l'insieme. L'opera in sé deve essere completa, semplice e convincente, senza che si possa trovare alcunché che indichi che il lavoro sia stato frutto di fatiche. Una cattedrale, diceva, non è una cattedrale fino a quando non è sparito dalla vista l'ultimo ponteggio. Lavorando con questo ideale, Gauss preferiva limare varie volte un'opera maestra, invece di pubblicare gli ampi schemi di molte di esse, come avrebbe potuto fare facilmente. Il suo timbro, un albero con pochi frutti, riporta il motto Pauca sed matura (Pochi, ma maturi) e questo fu anche il tema ispiratore della sua vita scientifica per quanto riguarda le pubblicazioni. Come vedremo, il diario servì per dirimere alcune controversie, in particolare quelle con Legendre. La costruzione con riga e compasso, che aveva una lunga tradizione nei lavori matematici, consiste nel tracciare punti, segmenti di retta e angoli usando esclusivamente una riga e un compasso idealizzati. La riga ha una lunghezza infinita e non presenta segni che consentano di misurare o trasportare distanze. n compasso si presume si chiuda ogni volta che si separa dal foglio, pertanto non può essere utilizzato direttamente per trasportare distanze, perché "dimentica" la separazione delle sue punte appena termina di tracciare la circonferenza. La geometria greca impose questa norma per le costruzioni ed essa si è mantenuta invariata da allora La restrizione del compasso sembra molto scomoda agli utilizzatori di compassi reali, ma non comporta gravi inconvenienti perché lo spostamento delle distanze si può ese-

38

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

guire in modo indiretto, anche se con un maggior numero di passi. Questa norma spiega perché, ad esempio, la costruzione dell'esagono, che sembra banale con riga e compasso (dato che tutte le circonferenze contengono inscritto in esse un esagono con un lato uguale al raggio della circonferenza stessa), richieda maggiore elaborazione di quella che potrebbe essere inizialmente pensabile. Così, usando le regole prima indicate, la costru- L___ - - - - - zione dell'esagono con riga e compasso è quella riportata nella figura. Tracciamo due rette parallele verticali e un'altra perpendicolare alle prime. Con raggio AB tracciamo delle circonferenze con centro A e B. Prendiamo uno dei punti di intersezione, diciamo O, che sarà il centro dell'esagono. Tracciamo ora la circonferenza con centro O e raggio OA. Otteniamo i punti P e Q come punti di contatto con le circonferenze anteriori e i punti R e S come punti di contatto delle rette verticali con la circonferenza che abbiamo appena tracciato. Unendo i vertici otteniamo l'esagono regolare cercato. In seguito alla definizione delle regole da parte dei greci, la domanda che sorge spontanea è evidente: è possibile costruire qualunque poligono regolare, pertanto rm poligono che abbia tutti i lati e gli angoli uguali, con riga e compasso? La risposta è che dipende da quale poligono ci interessa A partire dalla costruzione dell'esagono, risulta banale quella del triangolo equilatero, che si ottiene semplicemente unendo i vertici alternati. Un altro problema classico nelle costruzioni con riga e compasso è tracciare la bisettrice di un angolo. Combinando i due processi possiamo affermare che, almeno in teoria, è possibile costruire tutti i poligoni regolari con un numero di lati che possa

l

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

Costruzione di un esagono con riga e compasso idealizzati, seguendo la tradizione degli antichi greci. Gauss fu attratto dalla costruzione di queste figure e, a diciannove anni, dimostrò che è possibile disegnare un poligono regolare di diciassette lati seguendo questo stesso metodo.

39

essere espresso come 3x2n, dove n è un numero naturale. Quindi per n=2 abbiamo il dodecagono o poligono a dodici lati e per n=3 quello di 24 lati, e così possiamo continuare limitandoci ad aumentare la grandezza di n. Questa soluzione parziale non risponde però che in minima parte alla domanda. Vedremo che si tratta di un caso particolare del caso generale dimostrato da Gauss. I greci trovarono soluzioni per il caso del pentagono, ma il problema generale non avanzò molto, dato che non veniva identificato un metodo per la costruzione di un poligono di sette lati (né per altri con meno di venti). Di fatto non si sapeva neppure se tali procedimenti esistessero. Così era lo stato dell'arte quando Gauss si interessò della questione e riuscì a costruire l'eptadecagono. Lui stesso, molti anni più tardi, ricorderà il momento in una lettera indirizzata a Gerling del 6 gennaio 1819: Fu il29 marzo 1796, durante Wla vacanza a Brunswick, e il caso non

ebbe nulla a che spartire con tutto ciò, fu frutto di sforzi meditativi. La mattina di quel giorno, prima di alzarmi dal letto, ebbi la fortWla di vedere con maggiore chiarezza tutte queste correlazioni, tanto che, sul posto e immediatamente, applicai all'eptadecagono la corrispondente conferma numerica.

Gauss diede grande importanza a questa scoperta che, come detto, lo convinse che il suo futuro era la matematica. Inserì inoltre il risultato nella sezione VII delle Disquisitiones arithmeticae, delle quali parleremo in seguito. È possibile che sia questa la ragione per la quale chiese che venisse inciso proprio un eptadecagono sulla sua tomba anche se, alla fine, il muratore incaricato, vedendo la difficoltà della costruzione e realizzando che a mala pena si sarebbe differenziato da un cerchio, finì per disegnare una stella a diciassette punte. L'eptadecagono non compare neppure sulla sua tomba attuale. Gauss non solo scoprì il metodo di costruzione dell'eptadecagono, ma cercò anche di rispondere alla domanda fondamentale che chiedeva se fosse possibile la costruzione di qualunque poligono regolare con riga e compasso. Questo problema è strettamente legato alla divisione della circonferenza che preoccupò

40

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEi NUMERI

Gauss in diverse occasioni e sulla quale pubblicò vari risultati. Nell801 egli dimostrò che un poligono regolare di n lati può essere costruito con riga e compasso utilizzando i cosiddetti numeri primi di Fermat (o anche numeri di Fermat).

PIERRE DE FERMAT Fermat (1601-1665) fu un giurista e matematico francese chiamato da E.T. Beli "Principe dei dilettanti". Il soprannome si deve al fatto che egli non si dedicò mai esclusivamente alla matematica. che considerava piuttosto un passatempo, sebbene, insieme a Cartesio (1595-1650), sia stato uno dei principali matematici della prima metà del XVII secolo. Un campo al quale contribui sensibilmente fu quello della teoria dei numeri, della quale iniziò a interessarsi dopo aver consultato un'edizione dell'Aritmetica di Diofanto. A margine di una pagina di tale edizione annotò il celebre teorema che divenne noto come "l'ultimo teorema di Fermat", nome non corretto giacché si trattava di una congettura. Quest'ultima affermava che non esistevano numeri interi x, y, z da rendere possibile l'equazione xn+yn=zn, con n;,:3. Ovviamente per n=2 era possibile, basta considerare 3 2 +42 =5 2 . Gauss non si dedicò mai all'ultimo teorema di Fermat e aveva i suoi motivi. Nel1816 l'Accademia di Parigi propose, per aggiudicarsi il premio per il periodo 1816-1818, la prova (o la negazione) della congettura di Fermat. Il 7 marzo 1816 Olbers, astronomo amico di Gauss, incoraggiò il matematico tedesco a presentarsi: «Mi sembra giusto, caro Gauss. che ve ne occupiate>> ; Gauss però resistette alla tentazione. Rispondendo, due mesi più tardi. espose la sua opinione in merito all'ultimo teorema di Fermat. «Vi sono molto grato per le notizie in merito al premio di Parigi, ma confesso che il teorema di Fermat come proposta isolata ha scarso interesse per me, perché posso trovare facilmente una moltitudine di proposte analoghe che non è possibile né provare né smentire>> . Il famoso enunciato non fu dimostrato completamente fino al1995 per opera del britannico Andrew Wiles.

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

41

Un numero di Fermat, cosl chiamato in onore di Pierre de Fermat, il primo che li studiò, è un numero con la seguente forma:

dove n è un numero naturale. Fermat aveva definito i suoi numeri primi con un'intenzione molto diversa da quella di risolvere i problemi di costruzione dei poligoni con riga e compasso (di fatto si poté in seguito provare che non era vero che tutti i numeri con questa forma fossero primi). Gauss verificò che, affinché fosse possibile costruire un poligono regolare di n lati con riga e compasso, era necessario che i fattori primi dispari di n fossero numeri primi di Fermat diversi. Pertanto è possibile costruire un poligono regolare se il numero dei lati dello stesso è una potenza di 2, un primo di Fermat o un prodotto di una determinata potenza di 2 (ammettendo l come potenza di 2) e vari primi di Fermat diversi. Questo è ciò che in matematica si conosce come una condizione sufficiente. Quindi, se un poligono risponde alla forma data da Gauss, è possibile costruirlo. La domanda che sorge spontanea è se questa condizione sia anche necessaria, ovvero se la costruzione del poligono con riga e compasso è possibile solo in questo modo. Pierre Wantzel, matematico francese, nel 1837 provò che, in effetti, la condizione fornita da Gauss era anch'essa necessaria, trasformando il teorema in una caratterizzazione dei poligoni regolari che si possono costruire con riga e compasso. Ciò che i matematici definiscono come se e solo se. Abbiamo quindi determinato in modo esclusivo i poligoni regolari che possiamo co20 struire con riga e compasso. Il triangolo (3 = 2 + l), il quadrato 21 (4- 22'), il pentagono (5 =2 +1), e l'esagono(6 = 2·(2 2"+1)) sono costruibili con riga e compasso, mentre l'ettagono regolare (7- 22" +l Vn) non lo è. Continuando, troviamo l'ottagono regolare (8 = 23) che è costruibile, mentre l'ennagono regolare (9 = 3 21!d 22"+ l Vn) non lo è. Ovviamente il poligono a diciassette lati costruito da Gauss è un esempio di poligono nel quale il numero di lati coincide esattamente con un numero di Fermat, quindi F2 =22' +l =17.

42

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

Ciò non significa che non vi siano studiosi che dedicano tempo ed energia, ovviamente senza successo, per cercare di trovare metodi di costruzione degli ettagoni o di qualunque altra delle costruzioni che la matematica ha dimostrato essere impossibili con riga e compasso, come la quadratura del cerchio, la trisezione di un angolo o la duplicazione del cubo. Alla prima di esse, si dedicò con una passione che durerà tutta la vita niente meno che Napoleone. Si tratta di una battaglia che, a differenza di quelle combattute contro i prussiani, il grande condottiero non poté, ne avrebbe mai potuto, vincere.

PRIME SCINTILLE DI UN PRODIGIO DEl NUMERI

43

CAPITOLO 2

Disquisitiones arithmeticae

Gauss è il padre della teoria dei numeri così come la conosciamo oggi. Tra gli altri suoi contributi, egli diede un impulso decisivo all'uso dei numeri complessi, !asciandoci in eredità lo strumento che consente di affrontare la risoluzione di qualunque tipo di equazione polinomiale. La sua opera fondamentale in questo ambito sono le Disquisitiones arithmeticae, dove raccolse le numerose ricerche effettuate in gioventù.

Gauss condusse la matematica del XIX secolo a mete inaspettate solo poco tempo prima e dedicò notevoli sforzi all'aritmetica superiore, o teoria dei numeri. n suo primo grande apporto all'algebra fu la sua tesi di laurea che, come detto, presentò in absentia nel 1799, nell'Università di Helmstedt, essendo stato dispensato dall'esame orale. n suo relatore fu Johann Friedrich Pfaff (17651825), uno dei grandi matematici dell'epoca, che gli dedicò sempre particolare attenzione. Durante il periodo che Gauss trascorse a Helmstedt, per consultarne la biblioteca e preparare la tesi, visse come suo affittuario. Gauss e Pfaff furono grandi amici, sebbene la famiglia Pfaff incontrasse in poche occasioni il suo ospite. Pfaff credeva fosse suo dovere assicurarsi che il suo giovane amico facesse esercizio fisico e per questo i due passeggiavano insieme la sera parlando di matematica. Poiché Gauss non solo era modesto, ma anche molto riservato in merito alla propria opera, Pfaff probabilmente non apprese tanto quanto avrebbe potuto se il carattere di Gauss fosse stato diverso. Quest'ultimo anunirava molto il professore, allora il miglior matematico di Germania, non solo per il suo eccellente operato, ma anche per il carattere semplice e aperto. Con il tempo però egli lo avrebbe superato, e in proposito è giunto fino a noi un aneddoto esplicativo. n barone Alexander von Hurnboldt (1769-1859), famoso viaggiatore e appassionato di scienza con il quale Gauss collaborò per studi di geomagnetismo,

DISQUISITIONES ARITHMETICAE

47

chiese a Pierre Simon Laplace (1749-1827), uno dei più eminenti matematici francesi, chi fosse il più grande matematico di Germania; Laplace rispose: