Fortschritte der Physik / Progress of Physics: Band 16, Heft 5 1968 [Reprint 2021 ed.] 9783112500484, 9783112500477

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FORTSCHRITTE DER PHYSIK H E R A U S G E G E B E N I.\l AUFTRAGE D E R P H Y S I K A L I S C H E N

GESELLSCHAFT

IN D E R DEUTSCHEN DEMOKRATISCHEN

REPUBLIK

VON F. KASCHLUHN, A. LÖSCHE, R. RITSCHL UND II. ROMPE

B A N D 16 • H E F T 5 • 1968

A K A D E M I E

-

V E R L A G

•

B E R L I N

Neuerscheinung Dipl.-Phys. M. M A R Y A N

Negative absolute Temperaturen Mathematisch-Naturwissenschaftliche Bibliothek, Bd. 40 Ubersetzung aus dem Tschechischen: Sophia Hellebrand Redaktion: Dr. H. Schneider, Dr. G. Specht 66 Seiten mit 27 Abbildungen — L 7 N — In Halbleinen 10,50 M Nach der Definition der Temperatur gemäß den klassischen Gesetzen der Thermodynamik erscheint eine negative absolute Temperatur absurd. In dem Bändchen wird nun gezeigt, daß quantenphysikalisch bei einem Ensemble von Teilchen, f ü r die nur eine begrenzte Anzahl von Energiezuständen möglich ist, der Fall eintreten kann, daß die Zustände höherer Energie stärker besetzt sind als die Zustände geringerer Energie; in diesem Fall.hat das betrachtete System eine negative absolute Temperatur. — Die Zustände mit negativer absoluter Temperatur finden sich z. B. im Maser und Laser realisiert.

S

B. G. T E U B N E R V E R L A G S G E S E L L S C H A F T

LEIPZIG

BEZUGSMÖGLICHKEITEN Sämtliche Veröffentlichungen unseres Verlages sind durch jede Buchhandlung im In- und Ausland zu beziehen. Falls keine Bezugsmöglichkeit vorhanden ist, wende man sich in der Deutschen Demokratischen Republik an den AKADEMIE-VERLAG, GmbH, 108 Berlin, Leipziger Straße 3—4 in der Deutschen Bundesrepublik an K U N S T U N D WISSEN, Erich Bieber, 7 Stuttgart 1, Wilhelmstraße 4 - 6 in Österreich an den GLOBUS-Buchvertrieb, Wien I, Salzgries 16 in Nord- und Südamerika an Gordon and Breach Science Publishers, Inc., 150 Fifth Avenue, New York, N. Y. 100 11 U.S.A. bei Wohnsitz im übrigen nichtsozialistischen Ausland an den Deutschen Buch-Export und -Import GmbH, 701 Leipzig, Leninstraße 16. I m sozialistischen Ausland können Bestellungen über die Buchhandlungen f ü r fremdsprachige Literatur bzw. den zuständigen Postzeitungsvertrieb erfolgen. Auf Wunsch sendet der AKADEMIE-VERLAG Interessenten bei Bekanntgabe der Anschrift und Fachgebiete unverbindlich Informationen über lieferbare und kommende Veröffentlichungen und gibt auch Bezugsquellen im In- u n d Ausland bekannt.

Fortschritte der Physik 16, 2 6 1 - 3 0 8 (1968)

Zur Statistik des Laserlichts 1 ) H . RISKEN

I. Institut für theoretische Physik der Technischen

Hochschule

Stuttgart

Inhalt 1. Einleitung 2. Lasergleichungen in semiklassischer Behandlung ohne Rauschen 2.1. Eigenschwingungen im Laserresonator 2.2. Materialgleichung 2.3. Rotating-Wave-Näherung 3. Lasergleichungen in semiklassischer Behandlung mit Bauschen 3.1. Erläuterung der Methode 3.2. Langevingleichung 3.3. Fokker-Planck-Gleichung

262 263 263 264 267 271 271 272 275

4. Lösung der Fokker-Planck-Gleichung für die van-der-Pol-Gleichung in Rotating-WaveNäherung 277 4.1. 4:2. 4.3. 4.4. 4.5.

Transformation der Variablen Stationäre Verteilungsfunktion und Erwartungswerte Entwicklung nach Eigenfunktionen Korrelationsfunktionen Der Einschwingvorgang des Lasers

5. Photonenverteilung

277 278 281 283 287 290

5.1. Allgemeiner Zusammenhang zwischen Photonenverteilung und Intensitätsverteilung 290 5.2. Photonenverteilung für kleine Meßintervalle 292 5.3. Photonenverteilung für beliebige Meßintervalle 294 5.4. Kondensationseffekt in der Photonenverteilung 295 6. Die quantenmechanischen Lasergleichungen 6.1. 6.2. 6.3. 6.4.

Hamiltonoperator und allgemeine Bewegungsgleichungen Dämpfungen und Fluktuationen für das Lichtfeld Dämpfungen und Fluktuationen für ein Atomsystem mit beliebig vielen Niveaus Die quantenmechanischen Lasergleichungen für ein Zwei-Niveau-System . . .

297 297 299 300 303

Anhang 1. Die van-der-Pol- bzw. Rayleighsche Gleichung in Rotating-Wave-Näherung 304 Anhang 2. Ableitung der Verteilung p (n, T, t)

305

Literatur

306

Habilitationsschrift (gekürzt) zur Erlangung der Lehrbefugnis (venia legendi) für das Fach „Theoretische Physik" an der Technischen Hochschule Stuttgart. 20

Zeitschrift „Fortschritte der P h y s i k " , Heft 5

262

H . RISKEN

1. Einleitung Nachdem die von SCHAWLOW undTowNES (1958) vorhergesagte induzierte Emission und Lasertätigkeit im optischen Spektralbereich durch MAIMAN (1960) und COLLINS et al. (1960) beobachtet worden war, setzte eine rege experimentelle und theoretische Untersuchung des Lasers ein. In einer Reihe von Arbeiten (BENNETT (1962), H A K E N und SAUERMANN (1963a, b), L A M B (1964)) wurden viele experimentell beobachtete Effekte wie „mode pushing, mode pulling, hole burning, frequency locking" theoretisch gedeutet. Messungen über das Rausch verhalten, d . h . über die statischen Eigenschaften einer Laserschwingung wurden erst später durchgeführt ( A R E C C H I et al. (1966), ARMSTRONG und S M I T H (1965a, b), F R E E D und H A U S (1965), (1966), GAMO et al. (1966), M A R T I E N S S E N und S P I L L E R (1966), S M I T H und ARMSTRONG (1966a, b), A R E C C H I , R O D A R I und SONA (1967), CHANG, D E T E N B E C K , KORENMANN, A L L E Y und H O C H U L I (1967)). Eine theoretische Behandlung der Rauscheigenschaften einer Laserschwingung wurde Von W A G N E R und B I R N B A U M (1961) und anderen 2 ) durch Annahme linearer Lasergleichungen versucht. Oberhalb der Schwelle kann eine Laserschwingung jedoch nur durch nichtlineare Gleichungen beschrieben werden. Deshalb sind die Ergebnisse der linearen Theorien nur im Bereich unterhalb der Laserschwelle anwendbar. Eine nichtlineare Theorie des Laserrauschens hat H A K E N (1964a, b) angegeben. Auf Grund einer modellmäßigen Behandlung des Pumpprozesses erhält man fluktuierende Langevinkräfte, die als äußere Kräfte auf die nichtlinearen Lasergleichungen einwirken. Durch eine nichtlineare Transformation (Einführung von Polarkoordinaten) konnte das Problem auf Fluktuationen bei linearisierten Gleichungen zurückgeführt werden. Die von H A K E N angewandte Methode wurde auf zweierlei Arten weiterentwickelt. Erstens wurden durch Hinzunahme geeigneter Reservoirs (Wärmebäder) die Dissipationen und Fluktuationen abgeleitet (SAUERMANN (1965) für ein Zwei-Niveau-System, H A K E N und W E I D L I C H (1966), SCHMID und R I S K E N (1966); L A X (1966a) für ein .^-Niveau-System). Zweitens konnten mit Hilfe der Fokker-Planck-Gleichung die Fluktuationen auch im nichtlinearisierten Fall, d. h. in der Nähe der Laserschwelle berücksichtigt werden ( R I S K E N (1965), (1966); L A X und H E M P S T E A D (1966), S C U L L Y und L A M B (1966), L A X und L O U I S E L L (1967), W E I D L I C H , R I S K E N . und H A K E N (1967a), R I S K E N und V O L L M E R (1967a, b), H E M P S T E A D und L A X (1967)). In der vorliegenden Arbeit wird versucht, eine zusammenfassende Darstellung der statistischen Eigenschaften einer einzelnen Laserschwingung zu geben. I n Kapitel 2 sollen zunächst die Lasergleichungen ohne Rauschen abgeleitet werden. In Kapitel 3 wollen wir die Fluktuationskräfte auf heuristischem Wege einführen und die Fokker-Planck-Gleichung aufstellen. Anschließend wird in Kapitel 4 die Lösung der Fokker-Planck-Gleichung für eine Einzelschwingung in der Nähe der Schwelle behandelt. In Kapitel 5 wird der von M A N D E L (1958), (1963) entwickelte Zusammenhang zwischen der Photonenverteilung und der (hier aus der FokkerPlanck-Gleichung folgenden) Intensitätsverteilung auf eine Laserschwingung angewandt. Es wird zunächst die Photonenverteilung für kleine Meßintervalle berechnet und mit der experimentell gemessenen Verteilung verglichen. Es schließen sich dann einige Ergebnisse über Entartungs- und Kondensationseffekte in der Photonen Verteilung für Laserlicht an. In Kapitel 6 werden die vollquantenmechanischen Lasergleichungen abgeleitet und mit ihrer Hilfe die in Kapitel 3 gemachten Ansätze begründet. 2

) Für eine Literaturübersicht über die linearen Lasertheorien siehe HAKEN (1964a).

Zur Statistik des Laserlichts

263

2. Lasergleichungen in semiklassischer Behandlung ohne Rauschen 2.1. E i g e n s c h w i n g u n g e n i m L a s e r r e s o n a t o r Ein Laser ist im einfachsten Fall (Perot-Fabry-Interferometer) folgendermaßen aufgebaut: Zwischen zwei parallelen Spiegeln befindet sich aktives Material, dessen Atome durch einen geeigneten Pumpprozeß in einen angeregten Zustand gebracht werden (siehe Bild 1). Das aktive Material bewirkt, daß eine oder mehrere Eigenschwingungen, die in einem solchen Hohlraum möglich sind, durch induzierte Emission verstärkt werden. Ist die Verstärkung der Eigenschwingungen größer als ihre Verluste, so baut sich schließlich eine Laserschwingung auf. Um die Eigenschwingungen in einem solchen Resonator zu bekommen, vernachlässigt man üblicherweise das aktive Material. Für die elektrische Feldstärke E übernimmt man dann die für einen geschlossenen Hohlraum gültige Entwicklung nach Eigenfunktionen N-

E{r,t)=ZEl(t)il{r) i.

(2.1)

Wir wollen in dieser Arbeit annehmen, daß die elektrische Feldstärke in einer Richtung senkrecht zur Laserachse polarisiert ist. Bei einem geschlossenen Hohlraum mit ideal leitenden Wänden genügen die Amplituden Ex einer Schwingungsgleichung mit der Frequenz OJX- Bei nicht idealen Resonatoren entstehen Verluste. Die Amplitude Ex der Eigenschwingung genügt daher im nicht idealen Resonator einer Schwingungsgleichung mit Dämpfung Ei + 2xlEl

+ a>lEi=0.

(2.2)

Die Dämpfungskonstante x x der Eigenschwingung % setzt sich aus den Verlusten an den Resonatorwänden (Reflektionsverluste) und aus den durch die seitliche Öffnung bedingten Beugungsverlusten zusammen. Obwohl die Verluste im seitlich offenen Hohlraum größer sind als im geschlossenen, wählt man für Laser im Gegensatz zum Maser eine offene Anordnung. Da im optischen Bereich sehr viele Eigenschwingungen innerhalb der natürlichen Linienbreite der atomaren Strahlung liegen, muß man hier einige Schwingungen bevorzugen, damit nicht die gesamte Pumpenergie durch spontane Emission in allen innerhalb der Linienbreite liegenden Eigenschwingungen verbraucht wird. Diese Bevorzugung wird gerade durch die Perot-Fabry-Anordnung erreicht. Alle schiefen Schwingungen werden gegenüber den axialen benachteiligt, weil sie den Resonator schneller verlassen (analoge Verhältnisse treten bei gekrümmten Spiegeln auf). E s ist nicht selbstverständlich, daß für einen offenen Resonator eine Entwicklung nach Eigenfunktion (2.1) existiert. F o x und L i (1962) haben mit Hilfe einer Maschinenrechnung, VAINSHTEIN ( 1 9 6 3 ) und R I S K E N ( 1 9 6 4 ) analytisch die Feldverteilung und 20*

264

H . RISSEST

die BeugungsVerluste für einen Perot-Fabry-Resonator berechnet 3 ). Es zeigt sich, daß die Eigenfunktionen nahezu orthogonal sind. Setzen wir sie als normiert voraus, so gilt f R

f i f y d V = d

l l

' ,

(2-3)

wobei B die Integration über den Resonator andeuten möge. Neben Resonatoren mit stehenden Wellen werden auch solche mit laufender Welle verwandt (siehe Bild 2). Hierläßt sich die Feldstärke gemäß (2.1) zerlegen, wenn E die komplexe Amplitude bedeutet und fx proportional zu hx (x, y) exp [i kt z] ist. Der Wellenzahlvektor in z-Richtung ist hier nur durch die Resonatorfrequenz bestimmt. Mehrere Eigenschwingungen in axialer Richtung (verschiedene kz) sind hier nicht möglich, weil die Inversion in z-Richtung räumlich homogen bleibt und weil nach H A K E N und S A T J E R MANN (1963 a) bei homogener Inversion nur eine stabile Lösung möglich ist. Die Eigenfunktionen können deshalb bei einem Laser mit laufender Welle durch aktives Material

j n f % d V = thr

(2.3 a)

Bild 2. Laseranordnung für laufende Wellen

normiert werden. Befindet sich ein aktives Material im Hohlraum, so beschreibt man dessen Einfluß in einer Kontinuumstheorie durch die Polarisation P. Die Polarisation kann man ebenfalls nach den Eigenschwingungen des elektrischen Feldes entwickeln P ( r , t)

(2.4)

= 2 P d t ) h ( r ) .

Aus der Maxwellgleichung erhält man dann statt (2.2) E

l

+

2xlE

l

+

cofE,

=

PA.

(2.5)

Die Gleichung (2.5) ist die Feldgleichung. Sie gibt an, welche Feldstärke bei vorgegebener Polarisation erzeugt wird. Außer der Feldgleichung benötigt man noch eine sogenannte Materialgleichung. Diese beschreibt, welche Polarisation sich bei vorgegebener Feldstärke einstellt. 2.2. M a t e r i a l g l e i c h u n g Wir wollen annehmen, das aktive Material bestehe aus N Atomen, die nur die zwei Energieniveaus h ex und h ea besitzen mögen. Da nur zwei Niveaus vorhanden 3

) Eine zusammenfassende Übersicht und Literaturangabe für optische Resonatoren findet man bei K O O E L N I K (1966).

Zur Statistik des Laserlichts

265

sind, kann man die Wellenfunktion gemäß V

( t ) = e 1 ( t ) |l> + c 2 (f)|2>

(2.6)

nach den beiden zeitunabhängigen Eigenfunktionen 11) und 12) des Atomhamiltonoperators H0 H0 11) = Ä 1 1 ) ;

H0 |2) = he2 |2)

(2.7)

entwickeln. Wenn sich das Atom im klassischen elektrischen Feld befindet, lautet der Gesamthamiltonoperator unter der Annahme einer Dipolwechselwirkung (Elektronenladung e = — |e|), falls wir die x-Achse in Richtung der elektrischen Feldstärke legen H = H0 — ezE. (2.8) Die Bewegungsgleichung für die Amplituden cx (i) und C2 ( dr \

—oo

'

—oo

t = Qb'bjö(t - r) dt = (1/2) Qb.b

(3.16)

274

H . RISKEN t

(>br*) =

t

J ¿(t) d*)

= ~ f 1 (unterbrochene Linien) als Funktion des Pumpparameters a. Die nicht normierte Intensität (I) (in Photonenzahlen) ist nur für eine Schwellphotonenzahl von 4000 gültig, wie sie von ARECCHI, RODAKI und SONA (1967) gemessen wurde

281

Zur Statistik des Laserlichts

Benutzt man nicht die normierten Koordinaten, sondern die ursprünglichen, so erhält man die stationäre Verteilung aus (4.6), indem man f durch r/r0 ersetzt. Die Anzahl der Quanten an der Schwelle ist dann wegen % = < |._0 = r% K, (0) = r* A

= |/| ~

(4.14)

durch das l,13fache von r% = ~\fq[ß gegeben. A R E C C H I , R O D A B I und S O N A (1967) haben für ns den Wert 4000 gemessen. Die stationäre Verteilung (4.6) ist von mehreren Autoren gefunden, worden ( R I S I K E N (1965), L A X und H E M P S T E A D (1966)

Bild 7. Die ersten vier Kumulanten (4.13) als Funktion des Pumpparameters a

(1966ab), S C U X L Y und L A M B (1966), W E I D L I C H , R I S K E N und H A K E N (1967a), L A X (1967c)). I n der Arbeit von SCTJLLY und L A M B muß man, u m (4.6) zu erhalten, die dort vorkommenden Fakultäten nach der Stirlingschen Formel entwickeln (diese Näherung ist mit den sonstigen Näherungen von S C U L L Y und L A M B verträglich). FLECK

4.3. E n t w i c k l u n g n a c h E i g e n f u n k t i o n e n Dem Abschnitt 3.3 entsprechend, ist die gesamte Information der Zufallsvariable n b in der Verteilungsfunktion W2 enthalten. Um diese gemeinsame Verteilungsfunktion W2 zu gewinnen, brauchen wir noch die instationäre Lösung der Fokker-

282

H . RISKEN

Planck-Gleichung (4.3) mit der Anfangsbedingung (3.24). Diese Lösung lautet 4 ) (siehe RISKEN und VOLLMER (1967ab), HEMPSTEAD und LAX (1967)): 1

w (f)

°°

°°

Znr 1f!00(r ) rn=0n=-oo Hierbei sind ipnm(f) gleichung

die Eigenlösungen und Xnm die Eigenwerte der Schrödinger¥nm + ttnm ~ F . ( f ) ] Wnm = 0

(4.16)

mit dem Potential

™

-

£

+

-

( "

-

T ) *

+

• +

( ?

-

2

)

-

F

"

+

R

« " "

Zum stationären Eigenwert A00 = 0 gehört gemäß (4.6) und (4.15) die stationäre Eigenfunktion Voo ( f ) = V ^ P e

' -S- + 0-T 8 4-

(4.18)

Die Eigenfunktionen ipnm{f), die für verschiedene m orthogonal sind, werden als normiert vorausgesetzt. oo / fnm(f) ipnm'if) df = dmm0

(4.19)

Durch Einsetzen bestätigt man, daß G eine Lösung von (4.3) ist. Ferner wird auch die Anfangsbedingung (3.24) angenommen, da aus den Vollständigkeitsrelationen à(f-f')=ZVam(f) m=0

V m m

(f');¿ ( v - v ' ) = J

L

jr « = —oo

(4.20)

die Anfangsbedingung G(f, m=0 (CO — «o) + ¿im

(4.28)

™g(a, 0) —

^0 (¿0 - ¿50)2 +

In (4.28) haben wir das Spektrum für die schnell rotierende Variable b(t) exp [—ico0i] angegeben, () = a ]/nl2 + e *" ' ) [1 + 4>(o/2)]_1 wurde durch den Pumpparameter a ausgedrückt) Bild 15. (nach SMITH und ARMSTRONG (1966b)). Ein Vergleich zwischen gemessener Photonenverteilung (auagezogene Linie), der Poissonverteilung (gepunktete Linie) und der aus unserer Intensitätsverteilung (4.6) folgenden Verteilung (5.14) (unterbrochene Linie). Für n = 7, 8, 9 stimmen die gemessenen Werte mit denjenigen aus (5.14) überein

Bild 13). Ist dagegen v 1, so sind alle k( gleich. Daher ist p(n, T) durch eine Poissonverteilung mit dem Mittelwert = vK 1 gegeben. (Nur bei der Poissonverteilung sind alle Kumulanten gleich). Das Schwankungsquadrat der Verteilung (5.12) läßt sich durch ((An?) = ((» - )•> = [1 + Vl(a)

22

=JT,(o)/[Z1(o)]«

Zeitschrift „Fortschritte der Physik", Heft 5

Vl(a)

]

(5.17)

294

H . RISKEN

ausdrücken. Für a — 1 ist r]x = 1 (siehe Bild 14). Man erhält also in diesem Bereich das in der Bose-Einstein-Statistik auftretende Schwankungsquadrat. Für a 1 strebt (a) gegen null und K2 (a) gegen einen konstanten Wert. Der in der Bose-Einstein-Statistik auftretende Kondensationseffekt nimmt daher beim Überschreiten der Schwelle nicht mehr zu. Den Parameter rjx kann man als Entartungsparameter der Verteilung' ansehen. Wenn nämlich rj1 exakt null ist, bekommt man das für klassische Teilchen gültige Schwankungsquadrat der Poissonverteilung. Allgemein läßt sich zeigen, daß man f ü r a — 1 die f ü r die BoseEinstein-Statistik charakteristische Verteilung 9 ) pB(n, T) =

(5.18)

1 + (n) Li + .

erhält. I n der Nähe und über der Laserschwelle ist (5.18) wegen der Nichtlinearität der Lasergleichungen nicht mehr gültig. Die Photonen Verteilung p (n, T) in der Nähe der Laserschwelle ist erstmals von 10 S M I T H und A R M S T R O N G ( 1 9 6 6 B ) gemessen ) und mit der aus unserer Intensitätsverteilung (4.6) folgenden Photonenverteilung verglichen worden. Bild 15 zeigt die von S M I T H und A R M S T R O N G experimentell gefundenen Wahrscheinlichkeiten. I n Bild 1 4 sind die von A R E C C H I , R O D A R I und S O N A ( 1 9 6 7 ) erhaltenen Meßpunkte des reduzierten Schwankungsquadrats tj 1 eingezeichnet. C H A N G , D E T E N B E C K , K O R E N M A N N , A L L E Y und H O C H U L I ( 1 9 6 7 ) haben die ersten reduzierten Kumulanten (i = 2, 3, 4)

gemessen, in guter Übereinstimmung mit den aus (4.13) bzw. aus Bild 7 folgenden theoretischen Werten. (Wegen Meßungenauigkeiten konnten die negativen Werte von Ki bzw. Qt für a > 1,4 noch nicht experimentell nachgewiesen werden ( K O K E N M A N N (1967b))). 5.3. P h o t o n e n v e r t e i l u n g f ü r b e l i e b i g e M e ß i n t e r v a l l e I n diesem Abschnitt wollen wir die Voraussetzung (5.10) fallen lassen und beliebige Meßintervalle T zulassen. Wir beschränken uns allerdings auf die zweite Kumulante der Verteilung p(n, T), d. h. auf das Schwankungsquadrat ((An)2). Dieses Schwankungsquadrat folgt aus Gleichung (5.8) und (5.9) ((A »)•) = k2 = (n) [1 + % (o, T) ],

„ ( « ,

9

n

T )

=

JL 7 ^

J

J

Vxia.\h-Q) [

R

A

fß jT

a

)

?

d

k

d

h

.

(5-2°)

) Eine Verallgemeinerung von (5.18) für kleine Nichtlinearitäten hat Korenmann (1967 a) angegeben. Man erhält die Verteilung von Korenmann, wenn man die in (5.14) vorkommenden Integrale für a — 1 asymptotisch entwickelt. 10 ) Die Wahrscheinlichkeiten p{n, T) werden folgendermaßen gemessen: Bei einer großen Anzahl von Meßintervallen, deren Länge klein gegenüber der Relaxationszeit i/[]/ßq Aeff] ist,

Zur Statistik des Laserlichts

295

Unter Verwendung der expliziten Form der Korrelationsfunktion (4.26) erhalten wir

(a, T)

2" m=1

Vz

VfF(komT), (5.21)

Vorausgesetzt, daß 0 < y 1 ist, gilt t}2(a, T) = r]1(a), also Gleichung (5.17). Ist dagegen das Meßintervall T groß im Verhältnis zu den Relaxationszeiten (y^> 1), so wird F(y) =2\y, und der Entartungsparameter läßt sich auf die Form r]2(a,T)=r]l(a)2TlcIT (5.22) bringen, wobei Tk die durch Tk

=

Tk = £

Vt0 untersuchen. Wir haben deshalb im Doppelkommutator H k o h weggelassen (H koh würde keinen Beitrag liefern). Aus dem Term mit dem Doppelkommutator ergeben sich nach Spurbildung die Dämpfungsglieder, während die Eigenschaften des Fluktuationsoperators aus r

o

J t ) = j [ H

i a k h

( t ) , O „ ( t

0

(6.13)

) ]

folgen. Man erhält (r 0 n ) R = Sp R {r 0 n e R } = o , ( r 0 n ( t ) r0m(t'))R

=

s

P ä

{ / o „ ( t ) r0m(O

m

=

(6.14) Q0n0m

l

=

~b+

f Z J p U

p

d t , (6.16)

t b(t)

=

- i £ p

i(

gpcve- Jh-

62211

=

712-^11

1

21»

721-4i

(6.34)

61212 = 62121 = 0, 62112 = 7l2^11 + (yu + 722 + 7l2)^22> 6l221 = 721^22 + (7ll + 722 + 72lMllDa bei einem Zwei-Niveau-System die Besetzungszahl A22 + An = 1 ist, k a n n man die Inversion a = A22 — Au als unabhängige Variable einführen (man sieht an (6.34), daß der Koeffizient der Fluktuationskraft 7111 -f- / 1 22 verschwindet).

303

Zur Statistik des Laserlichts

6.4. D i e q u a n t e n m e c h a n i s c h e n L a s e r g l e i c h u n g e n f ü r e i n Z w e i Niveau-System Wir führen die Summenoperatoren der gesamten Inversion o = Z

(A^

-

(6.35)

Atf)

und des gesamten Dipolmomentes ein 8* = i 2

s =

Ag-,

-»2Miä'-

(6.36)

Unter Berücksichtigung der Ergebnisse aus Abschnitt 6.2 und 6.3 ergeben sich f ü r den Fall der Resonanz (e2 — ex = co) die folgenden Lasergleichungen: b+ = — xb+ + gs+ + b = — xb + gs

+

n , rb,

Ä+ = - y A a + + gb+o + r ; , s

= —yxs

(6.37)

+ gba + r s ,

o = Y\\ ( * o -

~ 29(b+s

+ 6s + ) +

r„.

I n (6.37) haben wir die Abkürzungen y i = (V 2 ) (yu + y22 + 7i2 + 721); n

ffo = ( Y i 2 - 72i)/(7i2 + 72i);

Yu = Yu + 721

9 = 912

(6.38)

benutzt. Die Koeffizienten der Fluktuationsoperatoren r lauten: Qb+b = 2xnth;

Qbb+ = 2x (nth -f

1)

= N y l + (1/2) 7n