Formeln und Lehrsätze der allgemeinen Mechanik in systematischer und geschichtlicher Entwickelung 9783111664514, 9783111279909

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Formeln und Lehrsätze der

Allgemeinen Meehanik in

systematischer und geschichtlicher Entwickelung dargestellt von

Karl Heun,

Dr. phii.

Professor an der technischen Hochschule in Karlsruhe

Mit 2 5 Figuren im Text

Leipzig G. J. Göschensche Verlagshandlung 1902

Alle Kechte von der Verlagshandlung vorbehalten.

Spamersche Buchdruckerei, Leipzig.

Vorwort. Das vorliegende Schriftchen ist aus einer bestimmten Veranlassung hervorgegangen. Von Seiten meiner Zuhörer wurde mir nämlich der Wunsch ausgesprochen, ich möchte ihnen ein kleines Kompendium der theoretischen Mechanik für die Repetition empfehlen. Da mir nun ein derartiges Büchlein, welches den erforderlichen Stoff enthält und zugleich der gegenwärtigen Ausbildung dieser Wissenschaft entspricht, nicht bekannt war, so entschloß ich mich, einen ganz kurzen Abriß der wichtigsten Lehren der Kinematik und Dynamik auszuarbeiten. Aus naheliegenden Gründen wurden jedoch die Formeln und Lehrsätze der Mechanik nicht zusammenhangslos nebeneinander gestellt, sondern in systematischer Reihenfolge entwickelt. Die geometrischen Sätze der Kinematik sind nur andeutungsweise berührt, da es zweckmäßig erscheint, dieses interessante Gebiet in selbständiger Darstellung zu geben. Sehr gern hätte ich der Mechanik der stetig veränderlichen Systeme einige Abschnitte gewidmet. Es war mir aber in der Eile nicht möglich, etwas Befriedigendes in dieser Richtung zu bieten, so daß ich eine spätere Gelegenheit benutzen muß, um das jetzt Versäumte nachzuholen.

IV

Vorwort.

Überdies findet man in der hier gegebenen Theorie der Fadenkurven einige — wenn auch ganz elementare — Entwidmungen, welche auf diesem Gebiete liegen und sich ohne besondere Schwierigkeit auf allgemeinere Systeme ausdehnen lassen. Die Lehre von den unstetigen Bewegungsprozessen ist hier wohl zum erstenmal eingehender behandelt und zwar mit Rücksicht auf die approximative Integration der kinetischen Differentialgleichungen. Ferner habe ich auch die allgemeinen Prinzipien der Kinetostatik, die sich in neuerer Zeit eines regeren Interesses erfreuen, in einem besonderen Abschnitt systematisch zusammengestellt. Nach dem Vorgänge S c h e l l s sind die kinematischen Begriffe von den dynamischen scharf getrennt worden. Änderungen in der Terminologie, welche hierdurch möglicherweise später veranlaßt werden, sind jedoch in der vorliegenden Darstellung fast ganz vermieden. Auf die Wiedergabe der fundamentalen mechanischen Vorstellungen L a g r a n g e s ist das größte Gewicht gelegt. Dieser Auffassung gemäß mußte durchweg zwischen den mechanischen „Elementarbegriffen", die sich zunächst auf einen materiellen Punkt beziehen, und den Ausbildungen derselben zu „Systembegriffen" unterschieden werden. Indem die von Hertz gewählte Benennung „Vektor in bezug auf ein System" in dem vorliegenden Abriß konsequent beibehalten wurde, erhält dieser prinzipielle Gegensatz einen seiner Bedeutung entsprechenden — wenn auch vielleicht etwas schwerfälligen — Ausdruck. Endlich war in jenem Zusammenhang das Prinzip der virtuellen Verschiebungen ohne jede Rücksicht auf dynamische

Vorwort.

V

Vorstellungen bereits in der Kinematik der zusammengesetzten Systeme einzuführen und der Nachweis der Zweckmäßigkeit des Prinzips in der Kinetik nachzuholen. Von der Streckenrechnung sind eigentlich nur die D e f i n i t i o n e n der beiden geometrischen Produkte benutzt. Ein näheres Eingehen auf die ziemlich verwickelten Sätze der Vektoranalysis erschien nicht angebracht. Unerläßlich ist die Vorstellung der räumlichen Vektoren in der Mechanik, während die Verwendung des inneren und äußeren Produktes — im Grunde genommen — nur die Bedeutung einer analytischen Stenographie hat, welche zugleich die unmittelbare Anschauung der räumlichen Beziehungen unterstützt. Die Ubersicht der historischen Entwickelung der allgemeinen Prinzipien und Methoden wurde in einem besonderen Anhange (F. Daten aus der Geschichte der Mechanik) gegeben. Form und Inhalt dieses Teils der Darstellung sind durch die Mitwirkung meines Stiefsohnes A l f r e d J a t h o (Gymnasiallehrer in Oberhausen, Rhnl.) in einer — wie ich hoffe — günstigen Weise beeinflußt. Ob das Büchlein einige Freunde gewinnen wird? K a r l s r u h e , im Juli 1902.

Karl Heun.

Inhaltsübersicht. Seit«

I. Mathematische Hilfsmittel

1—5

II. Kinematik. A. B. C. D.

Der freie Punkt Bewegung auf einer festen Fläche Bewegung anf einer festen Kurve Die kinematischen Elementarvektoren in allgemeinen Raomkoordinaten E. Reduktion der kinematischen Elementarvektoren an gebundenen Systemen F. Die kinematischen Vektoren in bezng anf das starre System G. Relative Bewegung eines freien Punktes bezogen auf ein rotierendes System

6—7 7—10 10—11 11 11—14 16—19 20—21

III. Dynamik, a) Statik. A. Kräftereduktion am starren System B. Reduktion der Elementarkräfte an der Stabkette mit Kugel- oder Cylindergelenken C. Redaktion der Gelenkkräfte am Seilpolygon . . D. Die Seilkurve b) Kinetik der Momentankräfte. A. Die Impulsion der materiellen Systeme . . . . B. Allgemeine Impulsion des starren Systems . . .

23—30 30—32 32-35 36—40

40—41 42

Inhaltsübersicht. Seite

c) Kinetik der zeitlich wirkenden Kräfte. A. B. C. D.

Bewegung eines freien Massenpnnktes . . . . Bewegung auf einer festen Fläche Bewegung auf einer festen Kurve Bewegung der Systeme von einer endlichen Anzahl der Freiheitsgrade E. Bewegung des starren Systems F. Unstetige kinetische Prozesse G. Gleichgewichtsstörungen

43—52 52—55 55—56 56—59 59—69 69—78 73—81

d) Kinetostatik. A. Druck auf Kurven und Flächen während der Bewegung eines Punktes 81—83 B. Bestimmung der Schnittreaktionen 83—91 91—97 C. Die Charakteristik der Systemreaktionen . . . n h a n g. A. Ableitung der Formel für die relative Beschleunigung aus der Lagrangeschen Grundgleichung . B. Bewegung des starren Systems parallel einer festen Ebene 0. Bewegung einer Kette auf einer festen Kurve . D. Reibung auf festen Kurven und Fl&chen . . . E. Beanspruchung der Pendelachse durch ein System von Momentankräften F. Daten aus der Geschichte der Mechanik . . .

98—100 100—101 101—103 103—105 105—107 107—112

I. Mathematische Hilfsmittel. 1. Geometrische Addition a = «i + «2 + a3Die Strecken a t , a2, as und — a bilden in ihrer räumlichen Aneinanderreihung einen geschlossenen Polygonzug. 2. Das innere Produkt der Strecken a und b ist definiert durch die Gleichung: ab = ab cos (a|5). 3. Das äußere Produkt der Strecken a und b ist ein neuer Vektor c, welchen man erhält, indem man sich mit den Füßen auf die Ebene durch a und b stellt und um die Körperachse eine Drehung nach links von a gegen b ausführt und endlich in der Richtung von unten nach oben die Länge ab sin (a|b) aufträgt. Ist also c = ab, so wird e

4. Man rechnet mit Vektoren, indem man die obigen Definitionen streng beachtet und im übrigen die gewöhnlichen arithmetischen Segeln benutzt. 5. Ist o = o1 + a 2 + a s , B e a n , Mechanik.

6 = &1 + 62 + &3,

Oj

Flg. 1.

1

2

I. Mathematische Hilfsmittel,

so wird ab = a^b, cos ( a j ^ ) + +

b2 cos (ajfe,) + a^

cos (aji^)

cos (ßi]^) + a2b2 cos (a2\b2) + a2b3 cos (a2\b3)

+ a3b1 cos (agjfcj -f a3 b„ cos (a3\b2) + a3 b3 cos (a3\b3). Deuten also die Indices 1, 2, 3 drei zu einander s e n k rechte feste Richtungen (Achsen) im Eaume an, dann erhält die vorstehende Gleichung die einfache Form: a6 = o 1 6 1 + a a 6 2 + a s 6 3 , womit das innere P r o d u k t durch die r e c h t w i n k l i g e n K o m p o n e n t e n der einzelnen Faktoren ausgedrückt ist. 6. Ganz analog bildet man unter der Voraussetzung einer rechtwinkligen Zerlegung der Faktoren das äußere Produkt: _ c = ab = (a1 + a2 + a3)

+ b, + b3)

=

+ a1 b2 +

bs

+ a2\

+ a2b2 + a.,b3

+ a3b1 + a3b, + a3bs und erhält nach 3. die Komponenten von c , nämlich: c

i = b3 — a3 b2 c2 = a3bi — al b3 c3 = ai b2 — a2 bl. 7. Für das ternäre Produkt abc gelten nach 5. und 6. die VertauschuDgsformeln: abc = cab =

bca,

welche auch eine Grundeigenschaft der Determinanten ausdrücken. 8. Ebenso gewinnt man aus 6. die Beziehung: a(bc) = (ac) • b — (ab) • c, die zur A b k ü r z u n g in der Streckenrechnung häufig benutzt wird.

I. Mathematische Hilfsmittel.

3

9. Man merke noch als Folgerung aus 5. und 6. die Formel: ab ' cd = (ac) (bd) — (6c) (ad). 10. Die Gleichung einer Ebene mit der Normalen n ist: n [x — n) = 0

oder

vx = n,

wenn v einen E i n h e i t s v e k t o r nach der Beziehung vorstellt.

n— nv

Fig. 2.

11. Die Gleichung einer Geraden, die in der Richtung e durch den Punkt a geht, ist:

Fig. 3.

12. Die Gleichung einer Raumkurve denken wir uns dargestellt in der Parameterform: 1*

4

I. Mathematische Hilfsmittel. x

i = fi M>

= fi W»

% =

f3 ( z)>

so daß auch x eine Funktion von T ist. Ferner setzen wir: dx

~

AT

und bestimmen einen Einheitsvektor a, welcher die Richtung von dx hat, aus der Gleichung: a — c ' x.

Dann ist nach 5.: 1 = 02 = c 2 - i 2 , Mithin:

— _

d.h. _

dt

dx

dx

dz

c=

dx

_

dx

dx'

dx ist die Lange des Bogendifferentials, welches man gewöhnlich mit ds bezeichnet. Die Komponenten dxl

dxt

dx3

sind also die Cosinus der Winkel, welche die Tangente der Kurve mit den festen Baumachsen einschließt. 13. Wir bilden ferner aus a durch nochmalige Differentiation einen zweiten Einheitsvektor: —

so daß

da

_ dx

1

da

da'

r

dx

wird und bemerken, daß ^ nur für die gerade Linie verschwindet. i ist also ein Maß der Krümmung der betrachteten Saumkurve, r ist die Länge des Radius der ersten Krümmung.*) *) Der direkte Nachweis, daß r der Radius des Krümmungskreises ist, konnte hier nnterbleiben.

I. Mathematische Hilfsmittel.

5

Aus der Beziehung d'2x dx dx2 dx

1 d (dx dx = 0 2 dx \dx dx

schließen wir, daß v auf o senkrecht steht. da ist der K o n t i n g e n z w i n k e l der Kurve. Die Ebene durch o und v heißt die S c h m i e g u n g s e b e n e derselben. Die Komponenten d2x1 sind die Cosinus der Winkel, welche die H a u p t n o r m a l e der Kurve mit den festen Raumachsen einschließt. 14. Endlich betrachten wir einen dritten Einheitsvektor v' = va Dieser steht auf der Tangente und der Hauptnormale senkrecht und seine Komponenten vi = v2a3 — vsa.2

vi = v3aL — vi a3

vi = v1at — via1

sind die Cosinus der Winkel, welche die B i n o r m a l e der doppelt gekrümmten Kurve mit den festen Baumachsen einschließt. Drei den Einheitsvektoren a, v, v' parallel laufende, von einem beliebigen Punkte der Kurve ausgehende Strahlen bilden ein rechtwinkeliges Achsenkreuz, das man in der Mechanik vielfach benutzt.

II. Kinematik. A. Der freie Punkt. 1. Bezeichnen wir die Zeit mit x, dann stellt der Vektor dx ~ V = -=- = X dx

—

die Geschwindigkeit des Punktes x nach Richtung und

Fig. 4.

Größe dar.

Es ist also:

Nach I., 12. fallt die Geschwindigkeit in die T a n g e n t e der Bahn. 2. Der Vektor —

dv dx

d2x dx2

definiert die Beschleunigung des Punktes x. 3. Nach I., 12. und II., 1. ist v • a— v

B. Bewegung auf einer festen Ebene.

also

da dv — . — V-— + — • a = w dt dz

uid'z

oder nach I., 13: v2 — dv — — — v + -T- • ö = tc. r

Fi

.

K-5-

dx

„Die Beschleunigung fällt ganz in die S c h m i e g u n g s e b e n e der freien Bahn". (Euler.) „Die Tangentialkomponente ist die Derivierte der G r ö ß e der Geschwindigkeit nach der Zeit". (Newton.) „Die Normalkomponente ergiebt sich als das Verhältnis des Quadrats der Geschwindigkeit zu dem Badius der ersten Krümmung der Bahn". (Huyghens.)

B. Bewegung auf einer festen Fläche. 4. Die Gleichungen der Fläche setzen wir in der Parameterform: = fi (Qu Ii), voraus. Dann ist dxt _dxl dz d q^ dx2 d x2 dz d ql dx3__dx:i dz d qL

= fi (

e v

> = lh

fuhren durch Differentiation nach der Zeit r zu den entsprechenden B e s c h l e u n i g u n g s f o r m e l n . Man erhält zunächst: -dv dz

, de, dr

—

dp, dT

-dv de., — dp, e, -3- + • v= - p flt (It il r und hieraus • de, — — « i t o - Ä - ^ . r • £•> w = p,

de., — r" • v . dx

Da der Ausdruck dx = e1dql + e,dqt ein vollständiges Differential sein muß, so besteht die Bedingungsgleichung der Integrierbarkeit d d e, dq, ~~ ~dq1

und es wird

dv de, de.,de, - , d e, • 1 + ä— ?3 dqi = d qt • Ii + d qt 2-» = dqt*i — 3— v = —

• lh

d v -

.

8E

—

8qx

•

Die Projektionen der Beschleunigung «o auf die in 4. erwähnten Tangentenrichtungen sind also: 1

«0 cos

W COS (?(.';£._,) = —

d^

SE\

dpz .dt

8E 8q2

6. Üblicherweise bezeichnet man die Größen f x v, e2v bezw. e1 w, e2w als „allgemeine Komponenten" der Geschwindigkeit und der Beschleunigung (Lagrange). C. Bewegung auf einer festen Kurve. 7. Aus den Gleichungen der Kurve: =

fi

(2),

x2 = fi

(

=

h

(i)

kann man unmittelbar die Komponenten des Vektors v: 8x.

ableiten.

•

•

8x.t

•

•

Setzt man noch x = e • q und

dann wird:

8x Zi)> Dann besteht für v der Ausdruck:

= fs(h>

Sa)-

« = e itfi + «2 Q> + «s Qs> und die Betrachtungen von II. B. ergeben fiir die „Komponenten" der Geschwindigkeit und der Beschleunigung unmittelbar die Resultate: dE — 8E -dE eiv = -pr-=p1, e3v = -T-=j)3, e:! v = —r- = p3, dqt dq., dq3 sowie: dp, dE dp, dE -dp3 dE 6 1 flt dqx • dr dq., dx dq3 Derartige Transformationen werden in der K i n e t i k des freien Punktes zuweilen mit Vorteil benutzt. E. Reduktion der kinematischen Elementarrektoren an gebundenen Systemen. 9. Sind zwei oder mehrere Punkte gegeneinander nicht mehr frei beweglich, so bilden sie ein unfreies oder geb u n d e n e s System. 10. Punkte, welche zu einem System verbunden sind, können sich physisch — d. h. durch ihre Masse — dauernd voneinander unterscheiden.

II. Kinematik.

12

M a s s e ist das Substanzielle, welches den kleinsten Teil eines physikalischen Körpers (materieller Punkt) dauernd von einem geometrischen Punkte unterscheidet. Zwei Massen (fi und ¡JL') sind g l e i c h , wenn sie gleiche Schwerdrücke ausüben. Die Substanz eines Kubikzentimeters Wasser von 4 0 C. gilt als Masseneinheit (JJ. = 1). Das Produkt aus der momentanen Geschwindigkeit eines materiellen Punktes in seine Masse (fiv) wird als M a s s e n moment der Geschwindigkeit oder als B e w e g u n g s größe (Newton) dieses Punktes bezeichnet. Das Produkt aus der momentanen Beschleunigung eines materiellen Punktes in seine Masse (/uto) wird als Massenmoment der B e s c h l e u n i g u n g oder auch direkt als Massenbeschleunigung (Schell) dieses Punktes bezeichnet. Die Massenmomente der Geschwindigkeit und der Beschleunigung eines materiellen Punktes sind Vektoren in bezug auf diesen Punkt. (Hertz.) 11. Die Vektoren fiv und fiw können im allgemeinen in bezug auf das System nicht mehr nach I., 1. geometrisch addiert werden — es ist vielmehr ein allgemeines kinematisches A d d i t i o n s p r i n z i p erforderlich. (Lagrange.) Das geometrische Additionsprinzip (I., 1.) gilt im allgemeinen nur für Vektoren, welche sich auf denselben Punkt beziehen und dieser Auffassung entsprechend polygonal angeordnet werden können. 12. Das Lagrangesche Additionsprinzip verlangt die Kenntnis von zwei kinematischen Elementen in bezug auf jeden materiellen Punkt des Systems: nämlich die Kenntnis des betreffenden Massenmomentes des Vektors ( f i v oder fiw) und der zugehörigen virtuellen V e r s c h i e b u n g * ) des Massenpunktes. Wir bezeichnen die virtuelle Verschiebung eines Systempunktes x mit 8x und setzen: dx = e1dg1

+ e2dq2

+

••• +

«v«*;?,,

*) d. h. eine Verschiebung, welche der betreffende Punkt vermöge der B e s c h a f f e n h e i t des Systems erleiden kann.

E. Redaktion der kinematischen Elementarvektoren etc.

13

so daß eine Lage des Systems durch die allgemeinen K o o r d i n a t e n qlf q2, . . q v bestimmt ist. Die Vektoren e1, e 2 , . . e , sind dann Funktionen dieser Koordinaten. Unter diesen Voraussetzungen ist ferner: ddqt =

6dqt.

Man kann jedoch für die Darstellung der Verschiebungen zuweilen auch andere Größen wählen, welche diese kommutativen Bedingungen nicht erfüllen. 13. Die inneren Produkte fivdz und fiwdx sind addierbar im Sinne der gewöhnlichen Arithmetik, und die Ausdrücke 2 nv dx,

sowie 2

/iwdx

— wobei sich die Summationen auf alle materiellen Punkte des Systems erstrecken — sind lineare Funktionen in bezug auf die dq. Es ist also: 2 jivdx

= p1dq1+p.2dq2

+

2 flWÖX = U16qi-\-

... +

p,dqy

•••

«v^iv

+

H e r t z nennt die Größen pi, pit ..., pv die Komponenten des Massenmomentes der Geschwindigkeit in bezug auf das ganze System und die Größen Pt:2fi,

p2: 2 f i , . . p

y

:

2¡i

die Komponenten der Geschwindigkeit in bezug auf das System. Die Größen %, u.2> ..., uv haben die analoge Bedeutung für den Beschleunigungszustand des Systems. 14. Für einen einzelnen Punkt von der Masse (i nennt man die Größe J Z - ^ - I / i i » die kinetische Energie (Bankine) dieses Punktes und die Summe

über das ganze System ausgedehnt, die kinetische Energie des Systems.

14

II- Kinematik. Nun ist identisch: fixdx = fixei • =

Folglich: v

+ fixe2 ' dq2 +

dE. dE v 2 o> s co l — 2D8(i)1(B2])

wo zur Abkürzung

Tx = 2 ¡u(al + al),

T2 = 2 fi{a\ + oft,

Dt = 2 /ua.,^ , D., = 2 fia.j

Tz = 2 fiial + af)

, Ds = 2 /xal a2

gesetzt ist. _ D i e Komponenten ax, a.,, as des Vektors a sind hierbei auf Achsen bezogen, welche bei der Bewegung mit dem starren Körper fest verbunden bleiben. Man nennt T l t T.2, TA die T r ä g h e i t s m o m e n t e des Systems in bezug auf die Achsen der , a.,, as und D1, D.,, D3 die zugehörigen D e v i a t i o n s m o m e n t e . 18. U m den Vektor des Massenmomentes der G e s c h w i n d i g k e i t in bezug auf das starre System zu gewinnen, hat man nur den Ausdruck cxplicit darzustellen. Nach I I . 16. ist

V=

2 ¡.ivdx = V

2 ft(c + wi) ((5c +

Mä)

= [fx'c + ¡X ioa'\ 6 c + 2 fi [c -f- a>a\ d&a = ¡u(c + (od)dc

+ \fiac

+ 2fia((oä)]

dft.

Setzt man zur Abkürzung:

t = /LI(c 4- u>a) R — fia'c H e n n , Mechanik,

+ 2 txa (coa), 2

18

II. Kinematik,

dann wird: 2 fxvöx = ^¿q + ttdcz + + -Ri

t3dcs

+ -Rüdfti +

= tdc + Rd~&.

„Das Massenmoment der Geschwindigkeit in bezug auf das starre System ist ein Vektor von sechs Komponenten (tlf t2, ts, R^, R2, R^), welcher sich auf die beiden Elementarvektoren t und R zurückführen läßt." Für a = 0 reduziert sich der Vektor t auf die Bewegungsgröße des Schwerpunktes und R auf: J = 2 fia(a>a). Die rechtwinkligen Komponenten von J sind: Ji — Tymi — Z)3ea> — J)2co3 = J2 = T2w2 — T)y coa — J)3 cüj Jg = Tgft)g

V COj ¿E0 d co2

I)2 COy D1 Ol-I = SE 0 öco3

19. Die Komponenten des Vektors der M a s s e n b e s c h l e u n i g u n g in bezug auf ein starres System gehen aus der Gleichung 2¡xivöx = sdc + S • && hervor und sind s1, s2, s3, S1, S2, S3, rechtwinkligen Achsen zerlegt. Aus der Gleichung

wenn man nach

V = C + CO (x — c) folgt durch Differentiation nach der Zeit: oder:

W = C + CO {x — c) + CO (x — c) tv = C + CO (x — c) + co[co(x — c)].

Nach I. 8., ist aber: CO[co(x — c)] = (co • X — c) • CO — CO2 • X — c,

F . Die kinematischen Vektoren in bezug auf das starre System.

19

so daß man für die Elementarbeschleunigung den Ausdruck w

=

c

+ coa +

( 1 0 a ) • a>

—

co

2

•

a

erhält, wenn wieder x — c = a gesetzt wird. Jetzt ist noch das Produkt i v b x auszufuhren und die Summe 2

/ u t v d x

über das ganze System zu erstrecken. dieser Rechnung ergibt: s =

f i \ c

=

f i a c

+

o a "

+

Die Ausführung

a > ( a > a ) \

und S

+

Z f i a ( a > a ) +

2 p ( ( o a )

• a

m

oder durch Einführung der Hilfsgröße (cf. II. 18.): J

=

2

/ u a ( c o a )

S

=

f i a ' c

+

tt X

+

c o J .

Denn man zieht aus: J

--- 2

f i a ( u > a )

J

=

¡.i\a2tv

nach I., 8.: und daher:

c o J

2

— — —

2

2

—

( a i c ) a \ ,

fi ( a o ) )

fi ( a c o )

( o a ,

a c o .

Für d = 0 erhält man die einfachen Formeln: s

=

u

c

und

S =

i r ~ d z

+

c o J ,

welche gewöhnlich benutzt werden. Doch kommt es gerade in den Anwendungen auf technische Probleme zuweilen vor, daß man den Rotationspunkt (0) nicht mit dem Schwerpunkt zusammenfallen lassen kann, also genötigt wird, auf die allgemeinen Beschleunigungsformeln zurückzugreifen. 2*

20 0.

II. Kinematik.

Relative Bewegung eines freien Punktes in bezug auf ein rotierendes starres System.

20. Ein Punkt P bleibt in relativer Reihe in bezug auf ein rotierendes System, wenn er diesem System angehört. Seine a b s o l u t e Geschwindigkeit wird in diesem speziellen Falle die „Führungsgeschwindigkeit" genannt. Die Geschwindigkeit in bezug auf das bewegte System ist die r e l a t i v e Geschwindigkeit. Im allgemeinen ist also die absolute Geschwindigkeit x

die geometrische Summe der

Führungsgeschwindigkeit und der relativen Geschwindigkeit z. Besitzt das Bezugssystem um den festen Punkt 0 die Winkelgeschwindigkeit a), dann ist die Führungsgeschwindigkeit u>z und die absolute Geschwindigkeit

X = S + IOZ. 21. Die vorstehende Formel gilt für die absolute Anderungsgeschwindigkeit eines b e l i e b i g e n E l e m e n t a r v e k t o r s , der in bezug auf ein mit der Winkelgeschwindigkeit a) rotierendes starres System, eine relative Änderung erfahrt. Folglich ist auch:

llü f dx dz , —• 7 = T- + eoz + a>[z + coz). dt dz •

-

\

Denn die ganze Änderung von x setzt sich geometrisch zusammen aus der r e l a t i v e n Ä n d e r u n g :

dz d ~ r

• +

W

Z

und aus der F ü h r u n g s ä n d e r u n g : Also ist:

co(z + coz). d*x

d 2z , ——, ,

wobei die Rotation o, als unveränderlich angesehen ist. Kann man diese Annahme nicht machen, dann wird:

G. Relative Bewegung eines freien Punktes in bezug etc.

d2x

=

d2s

21

— — x + cos + ms + a)(e + (os).

Es tritt also jetzt noch das Glied cos hinzu. kommt man mit der Formel: (Px

d*s ,

7

In der Regel

, -

in welcher f = c o ( ( o s ) die F ü h r u n g s b e s c h l e u n i g u n g , d2s . . . —• —- die r e l a t i v e B e s c h l e u n i g u n g und c = 2a>s die z u s a m m e n g e s e t z t e C e n t r i p e t a l b e s c h l e u n i g u n g bedeutet, aus. c wird auch zuweilen als C o r i o l i s b e s c h l e u n i g u n g bezeichnet. Die Prinzipien der relativen Bewegung werden bei der theoretischen Behandlung der Fallgesetze in bezug auf den rotierenden Erdkörper, zur Untersuchung der Rollbewegung starrer Körper, sowie in der Kinetik der aus starren Gliedern zusammengesetzten Gelenkketten und der elastischen Systeme benutzt. Sie sind also auch für die Anwendungen der Mechanik auf technische Probleme von großer Bedeutung. Endlich sind sie auch als Ausgangspunkt vieler Sätze der geometrischen Kinematik mit Vorteil verwendet worden. (Resal, Königs.)

III. Dynamik. Die D y n a m i k ist die Lehre von den K r ä f t e n und den durch sie hervorgebrachten Bewegungzuständen. Sie zerfällt in S t a t i k , K i n e t i k und K i n e t o s t a t i k . Die S t a t i k beschäftigt sich mit der R e d u k t i o n der Elementarkräfte, d. h. mit der Bestimmung der Komponenten der Systemkräfte, welche im allgemeinen nicht mehr den Charakter von Elementarvektoren (Strecken) haben. Die K i n e t i k behandelt den Bewegungsprozeß — im allgemeinen Sinne — welcher gegebenen Kräftesystemen entspricht. In der K i n e t o s t a t i k werden die i n n e r e n S p a n n u n g e n , sowie die Reaktionen in den Gelenken und Lagern bewegter Systeme betrachtet. Sie ist ein wichtiges Glied der Maschinenmechanik.

a) Statik. 1. D i e Massenbeschleunigung (fiiv) faßte man schon in den ersten Entwicklungsstadien der Mechanik als durch eine äußere Ursache veranlaßt auf, und diese Anschauung erhielt durch die Ausbildung der Gravitationstheorie ( N e w t o n ) eine wesentliche Stütze. In diesem Sinne kann man jeden V e k t o r , welcher mit einer Bewegungsgröße fiv oder mit einer Massenbeschleunigung ¡xio gleichartig ist, K r a f t nennen, insofern eine Außenwirkung (Geschwindigkeit erzeugende bezw. beschleunigende) auf den freien materiellen Punkt von der Masse fi in Betracht kommt.

A. Kräftereduktion am starren System.

23

Man bezeichnet insbesondere den Vektor h

- [iv

als „ e l e m e n t a r e M o m e n t a n k r a f t " und den Vektor k = [xw

als „ e l e m e n t a r e z e i t l i c h wirkende K r a f t " (Hertz). Die Z u s a m m e n s e t z u n g von Kräften, welche an demselben Punkte wirken, erfolgt nach der Regel der geometrischen Addition (I., 1.). Für die Zusammensetzung der Kräfte an einem S y s t e m hat man dasselbe Prinzip (IL, 12. und 13.) angewendet, welches für die ihnen gleichartigen kinematischen Größen [iv und [itv adoptiert wurde. Die Größen h • dx und 1c • dx werden v i r t u e l l e A r b e i t e n für die Kräfte h und k genannt. Deshalb bezeichnet man die den kinematischen vollständig analog gebildeten s t a t i s c h e n (dynamischen) Additionsregeln: 2 h • dx = h^fft 2 Je • dx =

+ hä