Exercices Et Problemes de Mecanique Des Solides Et Des Structures: Applications l'Aeronautique Et l'Aerospatiale 9782100567003, 9782100571222, 2100567004

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Yves Gourinat

Exercices et Problèmes de mécanique des solides et des structures

© Dunod, Paris, 2011 ISBN 978-2-10-05-

© Dunod – La photocopie non autorisée est un délit.

TABLE

DES MATIÈRES

Avant-propos

V

Chapitre 1 - Structures - Poutres

1

1.1 Treillis porteur isostatique

1

1.2 Travée Symétrique Hyperstatique

1

1.3 Modes Plans d’une Poutre Coudée

2

1.4 Treillis Plan Triangulé

4

1.5 Anneau Doublement Hyperstatique

5

1.6 Travée en Flexion Symétrique et Antisymétrique

6

1.7 Maille Hexaédrale en Traction Diagonale

8

1.8 Flexion Dynamique sur Deux Segments

9

1.9 Poutre Hyperstatique Plane

11

1.10 Antirésonance par Masse Accordée

13

1.11 Contraintes d’Assemblage

16

1.12 Équivalence d’Absi Treillis / Poutre 2D

19

1.13 Masses Modales Effectives d’Interface en Effort Normal

21

1.14 Vibrations en Translations d’un Élément Prismatique 2D Complet

25

1.15 Thermique d’un Volet Composite à Longeron Métallique

27

1.16 Transmissibilité Fréquentielle 2D d’un Élément de Poutre Droite

28

Chapitre 2 - Structures - Coques

31

2.1 Dynamique d’un Disque en Cisaillement de Révolution

31

2.2 Membrane Hémisphérique Pesante Pressurisée

32

2.3 Divergent Parabolique Déployable

33

2.4 Bande de Roulement d’un Pneu Tubeless

35

2.5 Coque Tronconique sous son Propre Poids

36

2.6 Déformées d’une Plaque Rectangulaire

37

2.7 Peau Composite d’un Fuselage Pressurisé

39

2.8 Coque Hémisphérique sous Pression Non Uniforme

40

2.9 Plaque en Flexion avec Appui Élastique

42 III

Problèmes de mécanique des solides

IV

2.10 Virole Libre de Réservoir sous Pression Hydrostatique

44

2.11 Coque en Rotation

45

2.12 Modes de Torsion-Flexion d’un Rectangle Appuyé

46

2.13 Modes Libres d’une Plaque en Torsion-Flexion

48

2.14 Plaque en Flexion sur Appuis Asymétriques

49

2.15 Réservoir Torique Pressurisé

51

2.16 Étude d’un Micro Actuateur en Flexion

52

2.17 Élément de Coque Lanceur sous Chargement Complet

54

2.18 Déformée Quadratique d’une Plaque Carrée en Flexion

55

2.19 Réservoir Cryotechnique Pressurisé

57

2.20 Mode Fondamental d’un Disque Encastré en Flexion

58

2.21 Interface Tronconique

59

2.22 Flambage de Panneaux de Voilure

61

2.23 Réservoir d’Helium Pressurisé

63

Chapitre 3 - Problèmes Combinés

64

3.1 Structure en Arc Mince sur Appui Ponctuel

64

3.2 Flexion Libre d’une Poutre et d’une Plaque

66

3.3 Interface Tronconique Raidie

67

3.4 Analyse Implicite de Rayleigh d’Éléments Minces 2D

71

3.5 Modes Dynamiques de Gauchissement d’une Plaque Libre

76

3.6 Tronçon Courant de Fuselage Bilobé

78

Chapitre 4 - Architecture des Lanceurs

81

4.1 Performances Comparées d’un Lanceur Aéroporté

81

4.2 Performance de Lanceur à Transfert de Propergol

83

4.3 Faisabilité d’un Lanceur Hybride Monoétage

85

4.4 Architecture d’un Nano-lanceur aéroporté

86

4.5 Lanceur Rallumable en Configuration Interplanétaire

86

4.6 Composite Supérieur pour Mission Planétaire

88

4.7 Comparaison d’Architectures de Nanolanceurs

89

4.8 Prédimensionnement d’un lanceur à poudre

91

4.9 Le lanceur H2A - Architecture et Incident en Vol

93

Chapitre 5 - Solutions

97

AVANT-PROPOS Cet ouvrage présente une série de problèmes originaux de statique et dynamique des solides et structures, assortis des corrigés-types. Partant des éléments de poutres, les problèmes sont ensuite élargis aux structures coques, dans leurs sollicitations statiques, dynamiques et thermiques. Enfin, nous y avons joint des problèmes d’architecture de lanceurs, également fondés sur les équations de la mécanique, dans une application plus particulière.

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La présentation selon cet ordre répond à plusieurs objectifs. Il s’agit tout d’abord de favoriser une approche inductive - non strictement cartésienne ! - parfois délaissée dans les traités traditionnels. Il s’agit ensuite d’aborder des thématiques mixtes, combinant statique, dynamique, thermique appliquées à des éléments discrets ou continus. Il s’agit enfin de proposer un recueil fondamentalement différent des cours de référence, et fondé sur des situations concrètes inspirées notamment du secteur aérospatial, et bénéficiant d’années d’expérience en formation et recherche principalement au sein des cursus d’Ingénieurs, notamment ceux de SUPAERO et de l’ENSICA.

V

STRUCTURES - POUTRES

1.1 TREILLIS

1

PORTEUR ISOSTATIQUE

On considère le treillis plan ABCD ci-dessous, constitué de 2 mailles triangulaires (l’une équilatérale, l’autre en triangle-rectangle), chargé en son extrémité A par une force - F y :

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Les barres, prismatiques sont toutes réalisées en un matériau élastique linéaire de module d’Young E, et ont toutes la même section droite d’aire S (et moment quadratique en flexion Iz). Les barres BC, CD et BD ont pour longueur L, et la barre AC a pour longueur 2L. Le poids propre des barres est négligé par rapport à F. 1 Vérifier que le problème est isostatique. 2 Calculer les efforts dans toutes les barres. 3 Calculer le déplacement vertical vA du nœud A. 4 Calculer le déplacement horizontal uC du nœud C. 5 Donner la valeur critique Fc de F qui entraîne le flambage d’une barre. Corrigé page 97

1.2 TRAVÉE SYMÉTRIQUE HYPERSTATIQUE On considère une poutre mince continue horizontale OAB de longueur totale 2L, prismatique et travaillant linéairement en flexion (rigidité linéique EI en flexion). Elle est rigidifiée par une seconde poutre mince verticale AC de longueur L, réalisée dans le même matériau, et de rigidité linéique ESb en effort normal et EIb en flexion ; on suppose a priori que EIb0 autour de – X 2  r - sin θ – 1 = 0  1 + ---2  a 

Étude Élastodynamique La coque est soumise à une pression normale interne δp, constante dans le temps mais variable selon z (ou r) ; cette pression constitue le chargement statique étudié dans les questions 1 à 6. On résout ce problème par la méthode de Beltrami appliquée aux membranes axisymétriques sous chargement méridien, en calculant les flux de membrane ( N XX ( r );N YY ( r ) ) . 1 Écrire les équations d’équilibre des coques appliquées à ce problème, en tout point P (0>a. Donner les équations d’équilibre simplifiées, qui serviront de référence pour le reste du problème. 3 Donner les expressions des éléments du visseur pour une pression uniforme δp 1 ≡ α . NB : La constante d’intégration éventuelle sera calculée en écrivant la condition de bord libre pour r=R.

4 Donner les expressions des éléments du visseur pour une pression linéaire δp 2 ≡ βz . 5 La pression réelle étant de la forme δp = α + βz ( α ∈ R + *, β ∈ R ) , donner la relation que doivent vérifier α et β pour que la condition d’adadaptation de la tuyère au fonctionnement dans le vide soit respectée. NB : Cette condition - essentielle pour un divergent déployable d’étage supérieur de lanceur - consiste à faire décroître la pression interne à la coque lorsqu’on parcourt le méridien, pour atteindre une pression égale à la pression extérieure sur la lisière (bord libre) du divergent.

6 Donner le sens de variation de l’épaisseur optimale de peau le long du méridien, ainsi que du drapage (pour une peau en composite). 7 On cherche à présent à calculer, par la méthode de Rayleigh, le premier mode dynamique d’ovalisation de la coque. Le point courant P de la coque étant désormais repéré par ( r, ψ ; t ) ( 0 ≤ ψ ≤ 2π ) , on propose, pour ce mode, la déformée suivante (déplacement normal du point P courant) : W = b ( t )r cos ( 2ψ ) ( avec 0 ≤ ψ < 2π ) Justifier la pertinence de cette déformée ; montrer en particulier pourquoi, bien que non-axisymétrique, elle une bonne “candidate” pour représenter le mode fondamental dynamique de la coque. 8 Donner la méthodologie du calcul de la pulsation propre ω 0 du mode fondamental proposé à la question précédente. On ne demande pas d’expliciter tous les termes, mais de présenter le processus de calcul.

Étude Élastothermique On supposera, pour simplifier dans toute la suite du problème, que le matériau élastique qui constitue le divergent est homogène et isotrope, de module d’Young E, module de glissement G, masse volumique ρ et coefficient de dilatation thermique linéaire αth. On suppose aussi que la coque est d’épaisseur h constante. Par ailleurs, grâce à la linéarité des problèmes considérés, on ne prendra plus en compte la sollicitation statique précédente, supposée déjà étudiée ; on étudiera donc séparément et indépendamment, dans les questions suivantes, les différentes sollicitations thermiques. 34

2.3 • Bande de Roulement d’un Pneu Tubeless

Comme il s’agit d’un divergent déployable ajouté, on considère ici que la coque est simplement posée sur le propulseur, et libre de se dilater. 9 Donner la forme de la déformée obtenue à partir de la surface de référence lorsqu’on considère que la tuyère est portée à une température uniforme T1 différente de la température de référence T0. 10 Définir le visseur induit dans le divergent si la coque est soumise à un gradient uniforme Cth de température selon Z (normale à la coque, dirigée vers l’extérieur).

Synthèse 11 Donner une interprétation physique des charges ou configurations considérées aux questions 5 (statique), 7-8 (dynamique linéaire) et 9-10 (thermique). Corrigé page 173

2.4 BANDE

DE

ROULEMENT D’UN PNEU TUBELESS

On considère la coque d’un pneu de rayon total R, modélisée comme une membrane torique de révolution autour de l’axe z (axe de la roue), s’appuyant sur la jante supposée indéformable :

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Plus précisément, la section du tore constituant le pneu Tubeless (sans chambre à air) est représentée comme un ovale, constitué de deux-demi tores de section circulaire de petit rayon a (bandes latérales) assemblés à une partie cylindrique de largeur c (bande de roulement), selon le schéma ci-dessous :

35

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Chapitre 2 • Structures - Coques

Les axes ( X, Y, Z ) constituent le repère local au point courant de la surface cylindrique, selon les conventions et notations usuelles des coques de révolution. Dans cet exercice, le chargement considéré est la pressurisation interne δp de la coque, qui s’exerce normalement et statiquement sur toute p sa surface interne. Le pneu est représenté par une coque mince travaillant exclusivement en membrane.

1 Vérifier que, dans la partie cylindrique considérée (bande de roulement), le visseur de membrane s’exprime :  N T ( ϑ ) ≡  XX XY  T XY N YY

 R 0   = δp  a   0 a  1 – -------  2R 

    

2 Le pneu peut être considéré comme un composite, dont les armatures métalliques constituent les fibres, et le caoutchouc la matrice. Dans les deux cas suivants, proposer un drapage adapté en résistance au gonflement pour la bande de roulement : a) Pneu voiture : R = 280 mm, a = 40 mm (δplim = 3.6 105 Pa ; c = 120 mm) b) Pneu avion : R = 650 mm, a = 150 mm (δplim = 17 105 Pa ; c = 200 mm) 3 On considère à présent un pneu à structure diagonale, pour lequel la membrane peut être considérée comme quasi-isotrope (en première approximation), de module d’Young E XX ≅ E YY ≡ E et coefficient de Poisson ν ≡ 0.3 . Donner l’expression de la variation de diamètre due au gonflage. Corrigé page 181

2.5 COQUE TRONCONIQUE

SOUS SON

PROPRE POIDS

On considère une coque tronconique, dont on note θ l’angle de conicité :

36

2.6 • Déformées d’une Plaque Rectangulaire

Les hypothèses de calcul sont les suivantes : - le point courant C est repéré par le rayon r : a ≤ r ≤ b avec a