Elementos de matemática [1]

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Série 2.*

LIVROS

DIDÂTICOS

Vol

IIS

BIBLTOTECA PEDAGÔGICA BRASILEIRA

Prof. Jacomo Stâvale

[)ioaç§oaoGHEMAT

CriceD^kov

Elementos de Matematica PRIMEIRO VOLUME para

a

Primeira Série do Curso Ginasial 660 cxercicios orais e de classe 660 exercîcios escritos e problemas

Savoir, c'est connaUre une chose d'une

manière ^dente et certaine; c'est, de plus, en connaUre la raison.

Port-Royal

3," ediçao - 15 milheiros

COMPANHIA EDITORA NACIONAL SÂO PAUIO - BIO DE JANEIRO - EEOIFB - FÔBTOALEQRE 1943

Itauna, SO de dezembro de 1936. ïlmo. Sr. Proj. Jacoino Stdvale Prezado Mestre

Manuseando diariamente os sews livras, no prepare das

ligoes, na escolha dos exerd. r , 1 ^ele n représenta e n c o nnâo e oouencontr

^-^nt , a Geomet ria tem necessi dade "« oponto qualquer, separando-o ^o^siŒolssim lando-o, por assim dizer, no espaço. 0 ^bstraçao do

Paradamente das linhas a que ' igt^ncia real, é um uosso espirito, é uma coisa que nao t""», ^^''Zfrnta extremaideal. Imaginemos o sinal impercep lye q tocando-a

çadeatedremos enma lapsiimdagem exiaem afo^'adepdo ^elque tocand ««to deagleuye, muiu tom exagerada

Noçôes Fundamentais de Geometria ^

Elementos de Materndtica

ponto, em Geometria. 0 ponto, assim considerado, é um dos

encontros destas linhas escreveremos letras maiûsculas; por exemple,

quatre conccitos fundamentais da Geometria.

s u p e r fi c i e D E F G .

Em uma linha existem infinites pontes, isio é, ianios pontos quanios quisermos.

Excrcicio. Ler os pontes indicados per letras, na fig. 1, dizcndo as Unbas das quais eles representam as intersecçôes. Depois de reproduzir a figura, no quadro negro, pedir aos estudantes que mostrem, com a ponta de um lapis,

Em relaçâo ao sôlido geométrico imaginaremos sempre que estâmes colocados em frente a este corpo; supondo-o opaco, teremos o cuidado de pontilhar as linhas mvisiveis, escreveremos letras maiûscidas nos enconiros de todas as linhas, e uemos. so i

cada um destes pontes.

VMNRS.

Reprcsentaçao grafica dos conccitos fundamentais da Geometria. Os conceitos fundamentais da Geometria sao

namente por outras denominaçôes particulares dadas às super

quatre: o solido geométrico, a siiperjicie, a linha e o ponto.

As denominaçôes superjîcie e sôlido serâo substituidas oportu-

ficies e aos sôlidos, de acordo com a sua forma. V

O solido geomctrico c o corpo do qual se

/'

suprimem todas as propriedades, exccto a

F, y

forma e a extcnsao.

A superficie é a parte exterior do um corpo. A linha é a intersecçâo de duas superficies.

/

O ponto é a intersecçao de duas linhas.

E évidente que, tomando um corpo qualquer, e suprimindo

todas as suas propriedades, exceto a forma e a extensao, este corpo assim considerado, este solido geométrico, deixa de ter existência real, transjorma-se num ente ideal, o mesmo acontecendo,

portante, com as suas superficies, linhas e pontes. Ora, é mani

festa a dificuldade de estudar estas coisas irreais, estes entes ideais, raciocmar sobre elas, descobrir-lhes as propriedades afim de

conseguir os fins colimados pela Geometria. Dai a necessidade

de tomâ-las visiveis, isto é, de representd-las grajicamente.

Um ponto sera representado pela intersecçao de duas linhas peqnemnas e designado por uma letra maiûscula; per exemple, ponto

A.

( fi g .

2)

^

Uma linha serâ representada por um traço ou risco: nesta

linha escomeremos dois pontos, que marcaremos com um pequeno risco direito, e q^e designaremos por duas letras maiusculas; por

G

F

D

E

/

f

4

t

4

/

Fig. 2

p E' necessâri lembrar que o ponto Consi derando ooponto A (fisempre g-2) lembremo-nos f ^~f ^

extensâo é nula em Geometria. 0 ponto geométrico e um

fte ideal; qualquer sinal corn o quai sempre uma imagem muito exagerada pontos se onto tem apenas situaçâo ou posiçâo no esp ç • ^ ponto

^'^ftnguem um do outro, pela sua posiçao, e nada ma . determinado quando se conhece a sua posiçao.

^Nàoesqueçamostambemquean ilha,sobopontodevta

rur/e\r' é como um fio de Imha -tre—

exemple, linha BO.

Uma certa porçâo de superficie serâ representada por très ou mais linhas que se encontrem duas a duas; nas intersecçôes ou

/

/

/ 4

ûula.

Elementos de Alaternàtico 10. Dîmcnsoes. Utfi dimciisoes chainadas,

respectivamente, coniprimeuto, largura e altu-

dente, ao sulcar a amplidao do P i^niincso é a linha.

ra. Nâo 6 necessdrio, por enquauto, définir o comprimento, a largura e aFig. 3

Suponhamos que um ponto q^^lquer ves-

modo qualquer no espaço. . Ç linha. Assim, um tigio da sua passagem, a suairajeto uma estrela ca-

sôlido geomélrico iein t^'cs

co/np/-itm:îiio

Nocôes Fundamentais de Geome^

altura de um sôlido geo-

inétrico, porque estâmes

certes de que es estudantes, ebservando um sôlido geométrice qualquer, per exemple, a sala de aula, um tijolo, uma caLxa de papelâe, etc., distinguirâo imediatamente o comprimento, a largura e a altura de qualquer um destes sôlides. Mas estas deneminaçôes sâo relativas iV pO'

siçâe do sôlido. Com efeite, se levantarmes e sôlido (fig. 3) de modo que a face ADPIE fique sendo a face inferior, os cstudantes dirâo de pronto que a altura do sôlido é AB, etc.. Conforme o case, a altura pode- ser chamada tambem espessura ou projundidade.

Na maioria dos cases, porem, serd bastante dificil ou mesmo impossivel, determinar as trôs dimensôes de um sôlido.

exemple, em se tratando de uma esfera, onde estâo b comprimento,

a largura e a altura? Eis uma pergunta à quai, por enquanto, nâo é possivel responder.

ponto em movimento géra um

luminoso; a estrela o ponto e superficie. Ima-e ■ Uma linha em é comprimento qualqucr ginemos um bastâo lurninoso, co visivel. Se este bastâo com uma grossura suficicntc para qu com a velocidase desloca de um certo modo, em p e passagem, a faixa

,de de uma estrela cadentc, o vesti^o da sua p

luminosa que ele deixa no espaço, . ^.^to gcra um sôlido Uma porçao de superficie cnbre um pedaço de cera, gcométrico. Coloquemos uma mo pénétré na cera,

fazendo pressâo sobre a de um sôlido geo-

formar-se-â uma cavidade.que é a imagem laétrico.

+nmhem

pode

ser

consi-

A geraçâo dos elementos ^ sôlido representado

derada em ordeni inversa. Co^ nrotrressivamente até anular-

Pcla fig. 3. Se a altura, AE, diminui p g ^^bcD. Se a largura,

se, o sôlido ficard reduzido à super^c anular-se, a

desta superflçie, diminuir pr g pinalmente, se o compri-

superficie ficarâ reduzida à hnha ^j^enie até anular-se,

«l ento, AB, desta linha, dimmuir progressiva a linha ficarâ reduzida ao ponto A.

A superficie tem duos dimensôes : o comprimento e a largura.

A superficie ABCD (fig. 3) tem comprimento, AB, e largura, ADA linha, tem somente uma dimensâo : o comprimento. A linha AB (fig. 3) tem apenas comprimento.

\ j 0 ponto nâo tem dimensôes. /^ll* Elementos geométricos e sua geraçao. Os quatro

conceitos fundamentais da Geometria sâo tambem chamades

elementos geométricos. Portante, os elementos geométricos sào o ponto, a linha, a superficie e o sôlido.

O elemento geométrice mais simples é o ponto. Podemos tambem imaginar que um ponto era movimento géra uma linha, uma linha em movimento géra uma superficie, e uma superficie em movimento géra um sôlido.

OUJJUlllCiCS

^

• dades A linha reta é a

■ _ 12. A linha reta e suas Unha, bem esticado, «lais simples de todas as linhas. u

«os moatra claramente em que odemos traçar sempre Por dois pontos dados, ^ ® ' R-jj 4)

«ma linha reta, e somente Hnha reta. Para

Esta é a propriedade ^jos dois pontos, D e E,

^eriticâ-la experimentalmente, marqueroos u

10

■ § (^^6- 4) sobre a superficie de uma mesa e, nes-

tes dois pontos, cravemos dois alfinetes. Em

C

D

11

Noçôes Fundamentais de Geomeiria

Elementos de Matematica

2^ seguida, façamos passar por estes dois ponF tos, duas linhas (dois fios de linha) CDEF

e MDNES. Esticando convenientemente

M

F i g . 4 d e l i n h a , v e r i fi c a r e m o s q u e eles se confundem, formando ura unico fio. tnînrïn experiôncia pode sere feita no quadro negro, substituindo alfmetes e Imhas por pregos cordeis.

Em lugar de linha reta, dizcmos habitualmcnte, reia. As retas sâo traçadas com a régua. Sendo a régua um instrumento destmado ao traçado de retas, iim desenhista, antes de utilizar-se delà, deve verificar se a régua esta rcalmente em con-

diçôes de traçar retas. Ora, esta verificaçâo é facîlima, graças a propriedade caracteristica da linha reta. N Em uma folha de papel marcam-se dois pon- M tos AeB. (fig.5) Depois, com o auxilio da regua MN, traça-se a reta AB, tendo o cui-

" " n

dado de colocar as extremidades M e N da

B

régua, respectivamente ù. esquerda e à direita

dos pontos AeB. Em seguida, mudando-se

a posiçâo da régua, de modo que as extremi- N

dades M e N fiquem respectivamente à direita ®

M

riifr» ? rhnha emreta. virtude da propriedade carac teri stica da Se as duas retas nào coincidirem, se se

B

As duas retas distintas EH e FG

têm um ponto comum, o ponto M. (fig. 6) Este ponto estâ situado nas duas retas; pertence às duas retas; é a sua

"^ntersecçào. w S.'' Por um ponto dado podc-

A "

B"

A

B

A

rnos traçar uma infinidade de retas.

Seja a reta EH (fig. 6) da quai coûhecemos somente o ponto M. Entâo 56s nâo sabemos quai a posiçào da reta

eh, porque ha uma infinidade de retas que passam pelo ponto M. Entretanto, se alem do ponto M, conhecermos tambem 0 ponto feremos a podçâo da reta EPI porque, por. dois pontos dados, E ® H, sé é possivel traçar uma reta.

f- 13. Retas verticals, horizontais e inclinadas. E mmto

conhecido o Ho de puma, instriimento corn o quai o pedreiro î;crifica se a parede que esta construmdo é verlical. '

de prumo nos mostra em que consiste a posiçao ou dveçao

^^Hical. (*)

Ponhamos dgua dentro de um bacia e, ^stiver completaraento parada, coloquemos um ^ Aposçi ào do a l psi nos mostra em que conssi te o posçi ao ou dveçao ^^zontal (**) Uma reta é vertical quando segue a direçao do fio de prumo. E' horizontal a direçao das aguas em repoiiso.

seguintes: caracteristica da reta resultam mais as c o i n c J em comcidem d e toda m a sua extensao. (fia-, fi)

eomuns,

^ .^si , se 0 ponte B' A,coi o ponto o ponto B coïnci demcom o ponto istonci é,de secom os pontos A eA'A'econstHuem um unico ponto assim como os pontos B e B', as retas AB e A'B' coincidem em toda a sua eTfpninn- o.. u i. .

realidade, uma unica reta ' constituem, na

ponto coXm^^^'fig. g,®""'®® "3° Podcm ter scnâo uni

quando nâo é nem horizontal, nem vertical. ^ 14. Scmirretas e sesmentos. Em uma folha de

papel

J^^qureta, emoXY sXsnue pon tos.A® B. (fpontos ig. 7) seAeB. guinda tmœAïmna os nasse nelos A reta coméçfnémm l porque, com 0 auxo il da régna, podemos

^!^î parum"adoepara0ourto,ouparaadre ia ti epara

com P E'-nveoe i nte mostrar aos au l oos u» ^dem ij mo, e verficar, mesmo, a verticalidade das paredes da yrmcqn-? Ifauidas t") Esta afirmaçâo nâo é vélida pa.a grandes massas Ifquidas.

12

Elementos de Matemâfica B

o

13

Noçôes Fundamentals de Geometria c

A

- t —

coincidir com o ponto B, entâo os dois segmentes coincidirâo em

toda a sua extensâo (§12), diremos que os dois segmentes sào

Fig. 7

iguais, e escrevemos AB = CD. Portante, dois segmentes sao

nn 2 ar'^' ™Y.VOsopostos, dedaBA X ou de_AB para pontes X eaY saber, sâo pontos retapara XY, mas

modo que suas cxtremidades coincidam. E diremos, iieste Caso, que os dois segmentos têm o mesmo comprimcnto.

iguais quaudo c possivel colocâ-los um sobre o outro, de

ZlTl Z Embora as dimensOes do quadro

E''''® desenhamos, obriguem hmilar uma retai ,1lembremo-nos sempre de nos que, cm Gcoraetriaa,

A

B

C

P

a reio e thmitada nos dois senlidos; nâo tem começo nem fim: nao tem origem nem exiremidade.

dividedvv um ponte qualquer 0; este ponto

H

H

t duas porçaes distintas chamadas semirrctas: tZZZ Zv " ^ OY. A semirreta distingue-se da semirretas OX e Vi,Z„tn ° O-.Mas nâoduas têmseinirretas fim, nàoaue têmtendo exiremidadeisemtrretas opostas sao a mesrrd^

ongem, conmuern uma ûnica reta. E' o aie 'acontece

semirretas OX e OY. (fig 7) ^ acontece

c o m

Segmente retilineo é a porçào de rcla

compreendida entre dois pontos dcsta ma

reta.

m e s -

Assim AO, OB, BC, AB, OC, AC (fig. 7) sâo seementos retilmeos. Um segmento retilineo tem começo e tem fim: ierit

segmenÎrAC^figY)

M

N

S" •i

R >—

Flg. 8

Consideremos os segmentos EF e GH. Coloquemos o seg-

®^ento GH sobre o segmento EF, de modo que o ponto G coïncida

com o ponto E. Se o ponto H nâo coincidir com o ponto F, in£^ coincidir com um ponto H', situado entre os pontos E e F, di-

mmos que o segmento EF é maior que o segmento GH, e escreveremos EF >-GH. (EF é maior que GH.) C) E diremos, neste c^o,

^^0 o segmento EF tem comprimcnto maior qm o segmento GH. ^ Consideremos os segmentos MN e RS. Coloquemo.s o seg mento0 R S sobM. re oSeseogm ento M , de mododiq e o poonPon^ to R comcida ponto ponto SNnâo.comci rucom

coXIrS. ' " é o ponto C. Pode ser o rreta, eta-^ie àohouver ^hoiv^ apossi «!7»b«ihfndade io reflfade eoconfusào, podemosbasta dizerdiszeergm ento de >n ao segmento.

coincidir corn um ponto S', situado à direita do ponto Is, diremos

se tomarmos tomarmnl um ? " segmento P''°P™ A'B' AB < A'B'

t^AB e scgmentos. Consideremos os segmenAB CD AU, dde e mmodo odo que1,^ o pontsegmente o G coincida co m osobre pontoAo . Ssegmento e o ponto D

codq a abertura voltada para o maior.

14

Elementos de Mateniàiica

Noçôes Fundamentals de Geometria

grandeza (*) é vpW?ïp?^ segmenio. Mcdir ou avaliar uma

l'or possivel. Se o segmente CN ceuber duas vezes exatamente

outra

da

destas partes, o segmente CN, no reste AIE, tantas vezes quantas

""n'

resultado da avaliaçâo de iimn ° unidade. 0 , um aijinero. giandeza é sempre indicacio

um outre segmenté (^^5-9) toma-se como unidade, mente AB tantas e segmente CD sobre o seg- j

couber exatat^ Pos^ivel. Se e segmente CD - ; segmente AB, diremes que a medida

A

i B - H

N

15

^o segmente AIF, diremes entâo que a inedida ou e comprimenio

do segmenta EF é dois e dois terços, isto é, duas vezes o seg mente CD, mais duas vezes a terça parte de segmente CD. (*) O segmente CD, tomado cerne unidade para medir segmentes quaisquer, pede ser um segmente qualquer. Entretanto, per

motives bem faceis de cempreender, e segmente tomado como ^riidade, a unidade de comprîmento adotada pela materia das Daçôcs, é o metro. E, quando é necessario dividir e metro em '^m certo nûmere de partes iguais, este numéro é 10, 100 eu 1000, ® as divisôes résultantes sâe chamadas decîmetros, centîmetros milîmetros.

D

Exercfcios em classe

- H

1* Desenhar um segmente AB, com • 12cm.

E I—

M FIg. 9

H

?

do segmente AB é très m i^frv « é très CD. ' ® cojnprtmento do segmenta AD

Ê o nlt'oro'aTe^: 'le reta

segmento contcm um""tTO

como unidade. segmento tornado

2*

>

3.

>

,

> >

CD, ,

>

>

85mm.

idm

e

3cm.

"*•»>, GH, > 74mm. S* > , > mN, > 8cm e 4mm. ttjpnf .Desenhar segmente 32mm.etc., Emdo seguida, traçw seg« entos Iguais aoum duplo, ao triple,AB aocorn quddruplo, segmente AB.

Um iPesenhar dois segmentes qualsquer, AB e CD. Em seguida, dese^iar e iirvT segmente MN, que représente a soma dos segmentes Ali e OU, quarte segmente OP, que représente a dijerença des mesmos segmentes.

, 8. Medir o comprîmento de alguns segmentes existantes na sala de aula.

Linhas quebradas, curvas, mixtas. Dois segmentos

nâe esteja coTtido^em"um tornade como unidade, exato de vezes. SuZZmolZo n um numéro

retaT quando ■ *n chamadas . ^^Smentoscolineares, AO e CB '(fig.7) sâepertencem colineares.à mesma

Neste case, divKe o ° ^eg^ento MF-

(fjg' uma TV consécutives. extremidade comum. Os segmentos 00 e U

duas vezes no segmente EF CD esteja coutido

qualquer de partes nor P^^ um numéro ë , iguais poi exemple, emCD, très,cm e aplica-se um» ( ) Nâo hâ iaconvenipnto aTv^ f i , ,

a noçâo de grandeza é iniuitiva O'-andezas porquc aos estudantes as numeros-i; ^'^.^îspensavel exemplificar, mostrando

doB alunoB, 0 das oort^ïïïf ""

do quadro-negro, a superf/cie p « compnmento ou a largura

dos alunoB, a lnte„sida ' de cTa? déSasI^tc!."' °

^^d^ientos retilineos sâo consecutivos quando, ^cimo

Hien+7°^®®Smentes colineares podem ser consecutivos; os seg-

sem,^ ?9 ® DC (fig. 7) sâo consecutivos. Entretanto, nem

seem^^4. segmentes colineares, sâe consécutives; é o case os e OB. (fig. 7)

ou iSl Nâo é possivel, por enqiianto, falar em grandezas comensuraveis ensuraveis com a unidade.

16

Elementos de Matemàtica Noçôes Fundamentals de Geometria

D Finalmente, dois segmentes podem ser consécutives e nâo ser

colineares; é o case dos segmentes AB e BC. (fig. 10)

lAnha quebrada ou poligonal é uma linha que, nâo sendo rcta,

Fig. 10

é jormada de segmentes reiilineos

consecutivos. (fig. 10) A origem, A, do primeiro segmente, AB,

é a origem da linha poligonal; a extremidade, D, do lîltimo segmento, CD, é a extremidade da linha poligonal. Entretanto, pO" demos tomar o ponto D como origem, e o ponto A como extre midade da mesma linha.

Aos diferentes segmentes retilîneos que constituem uma linha poligonal, podemos dar o nome de elementos da linha poligonal-

Se 0 numéro de elementos de uma linha poligonal aumenta

indefinidamente e, se o comprimento de cada um destes elementos

diminue indefinidamente, a linha poligonal se transjorma em unui linha curva.

A linha curva é a linha que nâo é reta, nem jormada de porçoes de retas.

Uma linha mixta é uma linha jormada de porçoes de retas ^

17

AB représenta a menor distância do ponto A ao ponto B. Por tante, a mener distancia entre dois pentes dados, A e B, eu simplesmente, a distância entre dois pontos dados A e B, é o comprimento do segmento retilîneo AB. (*) Esta verdade é enunciada, geralmente, assim: A linha reta é o caminho mais curto entre

dois pontos.

^^^8. O piano.Asuperficie de um quadro negro, de uma ^esa, de um lago cujas estejam em complète cuamada superjide planaâguas ou, abreviadamente, piano. repouso, é 0 piano nâo se define porque qualquer pessoa, mesmo sem

onhecer Geometria, sabe dizer se uma superficie é ou nâo é Piana. Qs trabalhadores do campo, os sertanejos, dizem, sem ositar, se um terreno é ou nâo é plaino; se é preciso, ou nâo,

Vtatnd-lo para, em seguida, utilizâ-lo de um modo qualquer. devemos a propriedade um Pntretanto, e que serve paraconhecer distingui-lo das demaiscaracteristica superficies.deEsta P^opnedade é a seguinte:

curvas.

f^ercicios. quadro negro reta,destas uma curva, uma quebrada e umaTraçar mixta. no Mostrar na sala deuma aula linha algumaa linhaa. Com o aïKllio de sôlidos geométricos, poliedros e corpos redondos, mostrar aos estudantes as quinas ou arestas destes sélidos, /azer-lhes ver que as arestas ou qumas sâo Unhas, e classificar estas linhas.

Sejam dois pontos fixes A e B. (fig. 11) Liguemos o ponto A ao ponto B, com très linhas distintas; o segmente AB, a linha quebrada ACDB, e a linha curva

AMONB.

Admitire-

^

mes como évidente que o comprimento do segmente retUineo AB é mener que o comprimento da linha. que brada ACDB ou da linha

curva AMONB. 0 compri

mento do segmenta retillneo p.g „

l>

Se traçarmos uma reta que passe por dois pontos situados em um planoj toda a reta

ftcard situada neste piano, sejam quais forent os dois pontos escolhidos-

Q desta propriedade caracteristica do piano que se utiliza

istô para verificar se a superficie que eîe quer aplainar, sunn f plana, jâ estâ realmente plana. Sobre a superficie de 1,^ ^ plana, o marcineiro aplica, em todas as direçôes, a quina

ladQ^ ^cgua perfeita. (§12) Chamamos quina da régua ao da j,x ^ ^osma regua destinado ao traçado de retas. Se a quina isto â'daptar completamente à superficie suposta plana, e Se g J ^^o passar luz entre a quina da régua e a superficie,

—^ J^to se' veriHcar denois de variar uma porçâo de vezes a posiçâo

permitido dizer que a distância entre dois pontos A e B é o seg-

reta AB. (Seven)

1

da régna, é de supor que a superficie esteja bem aplainada, isto é, seja realmente plana. Excrcicio. Os cstudantes devem verificar se as superficies de suas car* teiras escolares sâo realmente planas.

5. Traçar em uma folha de papel uma reta qualquer. Depois, segurando convenicntemente esta folha, apresentar a reta traçada, succssivamente, em posiçâo horizontal, vertical e inclinada. 6. Traçar no papel ura segmente horizontal com 12cm, um segmento vertical com 8cm e de modo que os dois se dividam reciprocamente em partes

Jd vimos o que é superficie, em Geometria. (§6) Vimos tambem quai a sua representaçâo grafica. (§9) Acrescentaremos agora que uma swperjlcie plaiia deve ser considerada se7npre ilinii* tada em iodas os. se7iiidos. Embora representemos um piano

iguais.

uma porçâo de superficie limitada em todas os scntidos e digamos,

'ealniente uma vertical?

por exemplo, piano ABCD (fig. 12) é necessario nâo esquecer Qtie

este piano se extende alem de suas divisas AB, BC, CD e DA, em todos os seniidos, e ilimiiada7nente.

Dado um piano qualquer ABCD, se neste piano traçarnios

uma reta qualquer MN, este piano ficard dividido em duas por*

çôes distintas chamadas semiplanos. Estes dois semiplanos poderâo ser ^ denominados semiplano direito e seiniplano esquerdo. Se ^ divisâo do piano em dois semiplanos é feita pela reta RS, os dois D

M

e

semiplanos poderâo ser denominados semiplano sup^' rior e semiplano injerior.

Duas retas situadas em

um mcs7no piano sâo chamo^ r1

1

Is

complanares.

. Em um plana existe'^

injinitos ponios e injinii-as duas. E^rro diaer ângulo ABC ou angulo BAC. No decorrer destas em BOA, 1p crever ângulo AOBliçôes, ou ângulo

^^reveremos frequentemente: AOB, BOA. . lados de um ângulo sâo duas se-

jrretas, as quais têm comprimento inde®^iQado; portanto, o comprimento dos

Fig. 13

20

Elementos de Matemdtica

Naçoe"^ Fundamentals de Geometria

21

lados de um angulo em nada influe sobre a grandeza do mesmo angulo.

Mas, se o comprimento dos lados de um ângulo em nada

influe sobce a grandeza deste angulo, o que 6 que vaincs mcdir em um angulo? Em que consiste a grandeza de um angulo?

Quando é que dois ângulos sâo iguais? E diferentes? A grandeza de um angulo consiste simplesmente sua abertura.

Observemos este compasso. Suponhamos que os dois ramos

deste compasso sâo semirretas. Entao este compasso é a imagero e um angulo, représenta um ângulo. Se o compasso estâ fechado,

os dois ramos do mesmo, e que estamos supondo que sâo duas

semirretas, Jormam um ângulo nulo. Se afastarmos lentamente um do outro, os dois ramos do compasso, teremos diante dos olhos

um angulo cuja grandeza vai aumentando pouco a pouco; se

OS aproximarmos lentamente, um do outro, teremos diante dos

omos um angulo cuja grandeza vai diminuindo pouco a pouco. E e nisto que consiste a grandeza de um ângulo; na sua abertura.

Sejam duas semirretas Ox e Oy, tendo a mesma origem, o ponto O, e o mesmo sentido. (fig. 14o) Estando as duas semir retas nesta posiçào, diremos que elas formam um .ângulo nulo. 1 açamos a semirreta Oy girar em tomo do ponto 0 no plan® em que estao situadas, como se fosse um ponteiro de relogio, mas em sentido oposto; o ângulo zOy, das duas semirretas, qu® era nulo, começa a aumentar. (fig. 146)

Quando as duas semirretas Ox e Oy ficam opostas, formando

Fig. 14d

Continuando a semirreta Oy em scu movimento de joiaçâo, voltard novamente a coincidir com a semirreta Ox. E diremos,

Qsste caso, que as semirretas Ox e Oy estâo formando utn ângulo

volta, tambem chamado ângulo giro ou perigono. (fig. 14e)~' ^guios convexos sâo os ângulos menorcs que o ângulo raso;

^ngulos côncavos sao os ângulos maipres que o ângulo raso. 0 angulo (fig. 146) é convexo; o ângulo xOy (fig- Md) é concavo. Observaçao. Em tudo o que se segue, quando falarmos em ângulos, fica entendido que estamos nos referindo sempre aos

^Dgulos convexos, isto é, aos ângulos raenores que o ângulo raso ângulo de meia volta.

^ 20. O angulo reto. Considere^r»s 0 ângul o raso xOy (fig. 15) e seja ^ tinaa semirreta movel. E' évidente que a semirreta Oz,

ma reta, dizemos, em Geometria, que elas estao formando um ângulo raso ou ângulo direito. (fig. 14c)

i^^P^ts-iido o movimento de rotaçâo

oe

ret3f ^formard momento emaque semircom retaesta xOyj dois

0 ângulo raso ou ângulo direito é iamhem chamado ângulo

mcia

volta.

Fig. I4e

^ icado no parâgrafo anterior, ha-

^^g^ol uo l sta,g ieuaési.chamado Oânguo l ângul xOzo(oreto. uyOz)éumânguo l deumquarto O angulo reto é a metade de um an gulo raso ou ângulo de meia volta.

O

Fig- 14fl

Fig. 146

1 22

Noçôes Fiindamenfois de Geometria

Elementos de Maiemâiica

^21. Igialdudc (le ûngiilos. Dois angidos sâo iguais guando

é yossivél Jazô-los coincidir. Dados dois iliigulos AOl^ e A'O'B', (fig. 16) para'^fazê-los coincidir tcmos de colocar o jîngulo A'O'B'

23

Em resume, dados dois ângulos A e_ A', existe entre am-

bos lima, e somente uma, das très relaçôes seguintes. *

A

sobre o ângulo AOB, de modo que os vertices O e 0' coincidam,

=

A'

A > A'

A

A




AOB > A'Ô'B'

gulos de um grau cada um. . . minutos; 0 grau se subdivide em 60 partes igums

Tereeiro caso. A semirreta O'B' jica

0 minuto se subdivide em 60 partes iguais chamadas segunao

situada no exterior do ângulo AOB. (fig. 16c)

Neste caso, o ângulo AOB é menor oue o

aum m compêndio, P srega a representaçâo que significa grdfica dede umindispensavel, ^ . «prenda a manejâ-

ângulo A'O'B', c escreveremos: AOB < A'O'B'

Uma das unidades para medir ângulos ^ «hamadas oraus

lo cada disponha deste instrumento e apreu com a estudante maior brevidade possivel. pig. lec

24

Qco. graus, ' +iDede ® m35 inu t o s , escreveremos e s c r e v e r e m oabreviadamente s abreviada

mente 46 33 ; se medir 52 graus, 42 minutes e 48 scgundos, serâ bastante escrever 52®42'48".

Amplitude de um ângulo é o nûmero que

Angulo agudo ê o ângulo menor que o ângulo veto.

6. Traçar ângulos de 40°, 50°, 64°, 75°, 115°, etc.. Em seguida, traçar a bissetriz destes mesmos ângulos com o auxflio do transferidor.

7. Desenhar dois ângulos, com 65° cada um. Recortâ-los. Em seguida,

verificar sua igualdade, fazendo-os coîncidir. Os comprimentos dos lados deverâo ser diferentes.

8. Desenhar dois ângulos, com 50° e 80° respectivameqte., Recortâlos e verificar que a coincidência destes dois ângulos nâo é possivel. Os compnmentos dos lados deverâo ser iguais.

exprime a grandeza deste mesmo ângulo. A

25

Noçôes Fundamentals de Geometna

Elementos de Matemàiica

Angulos adjacentes; perpendiculares c obliquas. ^ois ângulos sâo adjacentes quaiido iêni o mesmo vertice, um lado

~

^omum, e estâo situados de um lado. e do outro do lado comum.

Consideremos os ângulos AOD e BOG.(fig. Vt)

que tZtl msr"" ' ' ^ conheSdM "pSnaSrate!" "«idadea para medir ângulos, e que serâo à me{Ma^os^ngSos^°]e1tura^sprA^f°>^^^^ numerosos exercfco i s rea l tvi es

Ambos têm o mesmo vertîce, o ponto e um lado comum, o lado OB. Entre-

tanto, estâo situados de um lado e do outro

do lado comum OB. Sâo, portanto, ângu los

adjacentes.

"

O

Observaçâo. Em virtude da definiçâo

e ângulos adjacentes, os ânguUis AOB e

Exercîcios em classe

OC nâo sâo adjacentes. Quando dois ân-

2 82°. no-, 135», 150», 164°, etc. de um deles ïn" am itroSkum b^^sTh "Î^"' ""*.1' mento igual ao dobro dos ladoa dn nrî^ [ados do outro tenham um compn Por que? pnmeiro. Estes dois ângulos sâo iguûJS

e o ân^lJcND^deveS^? AMB deve medir 60'

sâo adjacentes, os lados nâo comuns,

OA e OC (fig. 17) sâo chamados lados exte-

.

A

A

Na fig. 17 temos très ângulos distintos: AOB, BOO e AOC. ^Qgulo AOC é a soma dos ângulos AOB e AOC, e podemos

seguintes: MA = 4em- MB -^5^P"™®ntos dos lados devem ser o

5n,u.„s sac l^ais. Poe o'^SaLt^er

escrever:

comparâ-ios com o traMfer^^r.^ ® objetos que ela contem,

AOOO^e^AOB, mesmeapodemos g fiura,oânescrever: guo l BOCéadfe i rençaentreosânguo ls

eegui da, corn un^L^i m^esobtidos dobradurtf^i vid^ tesoura. 03 dois ângulos assim e verifiolt « i ™

1

que eles coîncidem e sâo, portant" iu* justaposîçao dos mesmos.

rângul ea t qouseecvenfi onicdicrado com ^^rd^rd ïSa^Tendoo que sâo iguais ' nodÏÏ.?« ®®^"^antes separado os dois reta se chama bissetriz. Portante' entao aprender que esta semir Bissetriz de um ânmiln A n c,^^'

caaa n.o tem «dair^erro^S'

AOB + BÔC = AOC

BÔC = AOC — AOB

* Ac\f? ^^gulo AOB é, por sua vez, a diferença entre os ângulos e BOC, isto é:

AOB = AOC — BOC

como se lê um ângulo. (§19) ' ^gul'^imos oj enunci ando apenas a letra do vértice. Mas, c

26

Eîementos de Moiemdtica

de designar um ângulo pode produzir confusâo, como no caso da fig. 17. Com efeito, temos aî très ângulos com o mesmo vértice, o ponto 0 e, se dissermos apenas, ângulo 0, os estudantes nâo saberâo se estâmes falando do angulo AOB, do ângulo BOC ou do ângulo AOC.

Para evitar estas confusôes, é conveniente assinalar cada um

Noçôes Fundamentals de Geometria

2 7

Angulo reto c o ângulo cujos lados sao pcrpendiculares entre si.

As pcrpendiculares sâo traçadas com o auxilio do esquadro,

instrumento que tambem serve para desenhar ângulos retos. (*)

dos très angulos com um ou mais arcos e um numéro. E diremos'

ângulo 1 (é o ângulo AOB); ângulo 2 (é o ângulo BOC); ângulo 3 (é o ângulo AOC). Em lugar de ângulo 1 escreveremos frequentemente: 1. (fig. 17) B

Consideremos as retas AB e CD»

O

D

FIg. 18

que se cortam em um ponto O. (fig-18) Suponhamos que o ângulo 1 é reto. ( § 20) Ora, 0 ângulo AOB (1 + 2) é um ângulo raso. E, se o ângulo 1 é reto, isto é, se ele représenta a meiade do ângulo raso

AOB, conclue-se de pronto que o ângulo 2 tambem é reto. Logo, os ângulos 1 e 2 sâo iguais. Pelas mesmas razôes, o ângulo 2 é igual ao ângulo 3j e o ângulo 3 é igual ao ânguîo 4. Em resumo: •

1=2

•

=

3

r\

=

4

Fig. 19

Seja EF uma régna. Apoiemos sobre esta regua um ângulo ! ,0 abc, representado por um esquadro, de modo que um dos ados, BC, do ângulo reto, se ajuste perfeitamente com a aresta da régua. Fazendo o esquadro escorregar ao longo da régua,

«ompre na posiçâo indicada, o lado AB do ângulo reto (do esHUadro) nos permitirâ traçar quantas perpendiculares quisermos.

Duas retas sac pcrpendiculares entre

si, quando se cortam formando quatre ân gulos retos.

Uma semiireta OC é perpendicular a uma reta AB, quando

jorma corn AB dois ângulos adjacentes iguais. Jâ sabemos qu® estes dois ângulos sâo chamados ângulos retos.

O ponto O é chamado pé da perpendicular OC.

A semirreta OB é tambem perpendicular à reta CD, sendo 0, o pé desta perpendicular. Igualmente, a semirreta OD é per pendicular à reta AB, etc..

Do exposto neste parâgrafo podemos dizer do ângulo reto,

alem clo que ]a dissemos anteriormente: (§20)

Fig. 20

.Cada um dos estudantes deve ter um esquadro, cujo '

a peb Este poderd falar,inerentes se opilgar conveniente. ormaprofessor. do esquadro e outros detalhes ao mesmo.

29

Noçôes Fundamenfais de Geometria

Elementos de Matemàtica

28

Assim como a régua, um esquadro pode ser defeituoso, isto é, pode ser um jalso esquadro. Para verificar se um esquadro e

ou nâo é defeituoso, é bastante fazer as experiências indicad^

na fig. 20, e que dispensam explicaçôes. Os esquadros 1 e 2 sao falsos; o n." 3 estâ perfeito.

Uma semirreia, OC, é obliqua a uma reta AB, quando jorma

com esta reia, dois ûngulos adjacentes désignais. 0 ponto 0 é cha-

13. Traçar um ûngulo de 30°, outro de 45°, outro de 70°. • 14. Traçar um ûngulo de 100°, outro de 120°, outro de 150°.

13. Desenhar um ûngulo de 160". Recortâ-lo. Repartf-lo, por mcio de duas dobradviras; eni 4 partes iguais. Quanto mede cada um deates ûngulos? Verificar com o transferidor.

24. Distância de um ponto a uma reta. Suponbamos que

3' reta MN é a linha marginal de um rio que atravessa um campo

obliquas. Pelo ponto 0 tracemos OM

Perfeitamente piano, (fig. 22) N6s estâmes no ponto F, situado a uma distância qualquer deste rio, por exemple, a 4km. Queremos s-tingir a margem, fazendo o p

que os ûngulos AOM e BOM ou ûngulos

puantes caminhos podemos per-

menor que o ûngulo 3, é um ângujo

p^temente: PA, PB, PD, etc.. Quai serûPC, o mais

mado pé da obliqua. Os dois ûngulos adjacentes AOC e BOO,

(-j ou ûngulos 1 e 2 sâo chamados angulos perpendicular à reta AB; jà saberoos

uosso percurso em linha reta.

3 e 4 sâo iguais e sâo retos. 0 ûngulo b

correr? Uma infinidade, evi-

^ agudo; o ûngulo 2, maior que o ûngol® 4, é um ûngulo obtuso. (§22)

Excrcfcios

cm

curto?.

w^'^^ucemos um segmento 10cm

classe

2. Traçar um segmente horizontal e, em seguida, uma reta que ^

seja perpendicular e que passe pela extremidade ou pelo meio do mesmo seë mento.

3. Exerclcio anâlogo ao anterior, sendo o segmento vertical. 4. Exercîcio anâlogo ao anterior, sendo o segmento incUnado. d»

6. Exercîcio anâlogo ao anterior, sendo a reta AB vertical. 7 . E x e r c f c i o a n â l o g o a o a n t e r i o r, s e n d o a r e t a A B i n c l i n a d a .

8. Unaa reta horizontal pode ser perpendicular ? E uma reta vertical

E uma reta inclinada? IMostre com o auxflio de duas réguas. N. B. ^ As perpendiculares devem ser traçadas primeiramente s livre e depois com o esquadro.

9. Mostrar ângulos retos nos objetos da sala de aula. Verificar coD» ® esquadro se sâo realmente ûngulos retos. Verificar com o transferidor se medc realmente 90°.

10. Traçar ûngulos retos com os lados inclinados.

11. Mostrar um ûngulo reto com o auxilio de duas varetas.

12. Mostrar com o compasso um ûngulo reto, dois ûngulos diferentes, dois ângulos obtusos difereutes.

comprimen-

t ' meio deste segmento

1. Mostrar na sala de aula e nos objetos que ela contem, retas

uma perpendicular PA em seguida,

sejam perpendiculares entre si,

5. Traçar uma reta horizontal AB; por um pouto C, situado fo^"® reta AB, traçar uma segunda reta que seja perpendicular à primeira.

de

rrin

B

m

■'

/

^

E

A Flg. 22

marque-

Onr,->

o Tt?® B, C, D e E, de modo que tcnhamos AB e = 4cm. Depois tracemos os segmentes PB, BU, i

ou pk ^que verificpg aremos o compasso A éPodemos menoi que eni" PC; PC écom menor que PDque ou P PE. que o caminho mais curto entre o ponto F e o à

é representado pelo.segmento P MN. , A, perpendi.-

a (îi\û distância de um ponto a uma reta, ou simp

um ponto a uma reia, é o segmento ret^lineo ^per^

® mesma perpendicular.

k tet \fSmento3 PB, PC, PD e PE sâo obKquos, ^ re Ç

é 0 ponto A é ; pé da perpendicular PA; » ^

0 pi''® da obUqua PB. E é facil verificar que, à ® ^ da oKu se ajasta do pê da perpendicular, o P

Pu ^VPB, aumenta continuamente. Assim é que » etc..

3 0

Elemenfos de Matemâtica Ezercicios em classe

Noçôes Fundamentais de Geometria a semirreta OB em sentido

MN ^fEsS^nrnhl'i^!! ® determinar um ponto situado a 45inm de

oposto, isto é, traçar a semirreta OC em sentido

.et=., BtoadXra da "t

^^^î"ârio ao daBOC semirreta DB. 0 ângulo serâ um ângulo raso e, por

destea■pontes à mesmaoreta determmaje aodistûncia de cada um ■ ^ mpregar esquadro duplo declmetro.)

31

tante, G ângulo AOC serâ

^QgP^^mento do ânguo l

Fîg. 24

Eodemos traçar tambem a semirreta OE, oposta à semir-

Sejam os ângulos AOB e BOC ou ânAnp o soma é o ângulo

AOB n Bno ângulo é reto, os ângulos

V eomplementies. '

isto (4 ^ angulo AOB, para construirj sek 0 '^Sundo ângulo que pelo nontr, â bastante traçar,

um LgutTfto T' ?' sera Fig. 23

0, uma Sre^ OE

mirreta ÔB e dn -m ' P®^P®udicular à se-

nortiiTif 0 âninilrv ® ' DnJ^ A ° 7 serd Tl ? ângulo reto

=•

"« ângulo Fat'of', '^f'^'neniares

0 «upl^ren o de «"or (ISQo'lrT t

corn 0 primeirn ^^sulo é um seaii^^ > Portante, Seiam no a ângulo rn«îA • is ângulos opostos pelo vértice, per exemple, os ângulos

0 mpsmo ®^P .^euais. Com efei assim deve porque suplemento, que éto, o ângulo 2 ou oser, ângulo 4. eles têm Exercîcios orais (*)

1 ® complemento e o suplemento dos ângulos que se seguem. 20° ^ 5. „ .,.0 lo o 1Q3 .o 2 3 ° 1 7 . 1 7 . 6 7 70° 9 . 45° 2. 30® 18. 14. C O 6. 8 0 ° 10. 55° 3. 40O 19. 1 5 . 4 5 ° ' 7. 25° 1 1 . 75° . 4. 50° 20. 0

8.

35°

16.

12. 85°

56°

âo meaem dois flngulos compiementaree, oc u '

caHft

.23:. Cadn

ûngulos e o maior é 0 dobro do menor. l l T V ksâo suplementares, 9

Ûn^ors^o^compe l mentares.Suadfe i rençaéde20°.Quanto —eau

vumpiemcuoaice.

uu»

ï7^ j 24; ^ (Exerclcios, série VTII, n.° 1) Anonf/i

® Cada um suplementares. Sua diferença é de 4 . Q

trabal hos escricompl tos, provas ^nsais eos, série LIV) «apftulo relatipara ve aos nûmeros exes. (Exercfci

/ 32

Elementos de Motemàtica situadas em um mesmo piano sào distinto^ nâo podem ter

ou têm um nnntn^^ (§12) Portante, duas retas complanares,

secortam, cortamnn rp oenhum. no segundo, sâo paralelaNo s. primeiro caso, elas

Capîtdlo

II

Figuras Geomêtricas

nâo tèm um°pomo quando, sendo complanares, estâo sîWas paraUlas quando nunca se enconiram. se prolonguenh

perpeniicul^e? laos.s Tracemos • Pà r oParal l o n g ae rm A B e C D AB até e e nCD cooA

trarem RS, verificaremos com o esqua' dro que as retas AE e OF sâo tambem

C

Perp^diculares retasào RS. Portante, Quando duasàretas paral elaS) M -

B

Te a perpendicular à primeira, ê tatnboJ^

D • N

perpendicular à segmUa. , distâneia entre duas paralelas

segmente pf pendicular às duas e por elaretilîneo s limitado-

R Fig. 25

A distancia entre as paralelas MN

e

tes segmentes sâo iguais coJo .^E ou DF. Ora, ^

es-

paralelas sào equidistantès. verificar; portante

duas

Exercicios em classe verticals ou inclinadas. ® ' "^oatrar duas paralelas horizontal^»

a distância a distân trèsdeve reS^a^ï ser elÏde ^B^ÎIsSun ^T^'^tânci e ente' a sejaduas de 32mm. primeira^» .

03 pontes cu^a diaVucTa^ï'reta MN ^odTesSr'Stuados todos

^«r^s^cr: :-rde uma rè.ua e de o.

27. A circunferencia. Em um plane qualquer, e que pode ser uma folha de papel de desenho, escolliemos um ponte, 0, e j®l® cravamos um fio, alfinete. Amarrâmes fio de linha noterne alfinete, e modo que este estante esticado,um possa. girar em do ^"ineto, sem enrolar-se nele. Na outra ponta do fio amarrainos

lapis, cuja ponta, bcm aguçada, representard um ponto M. ponte 0 serd um ponto fixo do piano, e o ponto M, um ponte ®ovel do mesmo piano. Isto feito, esticamos o fie de linha, de

^oao quede a porçâo de fio, OM, seja aDepois, imagemconservando de um segmento comprimento invariavel. o lo

1- bem esticado, fazemos o ponto movel, M (a pon a o

P^s), caminhar sobre o piano (a folha de papel). Ao ca o e ponto M chega ponto de parttda, e ^nhainstantes, curva queo ele descreye ê a ao circuiijerêntna. (;

curv^ '^^^aunferêneia é uma linha

Pont^ ® lechada; todos os sens mo ? ®stâo situados em um mesUm ^'^^0 e distam igualmente de

piano ■ Podemos, ®ttuado pois, no dizer mesmo que:

Perco é o caminho

deslo^ um ponto que se

do^se ^ piano, conservaur du a uma mesma distânThe^ ponto jixo siiuado no

Fig. 26

ciJcu^f que o professor explîca aos Q^^movfmento do reproduzindo .no qaadro-negro o mov ' seguida, mostra o compasso e o seu emp g

3 4

Elementos de Matemàtica

A circunferência é uma linha curva, plana

3 5

Figuras Geométricos

Um diâmetro divide a circunferência em duas partes

e techada, cujos pontos distam todos igual-

iguais.

]^auo^ ponto fixo situado no mcsmo

parente, e um diâmetro qualquer, AC. (fig. 26} Em seguida, dobrando-se a figura ao longo do diâmetro AC, ver-se-d o arco

circunferência é o ponto fixo do quai distam

igualmente todos os pontos da circunferência.

0 centTda nfr^nf ^ °

Verijicaçâo. Traça-se uma circunferência em papel trans

A

...

®

.

®

...

■

.JJ—

n

siiuado de um lado do diâmetro AC, coincidir com o

ftvrn a r c o

situado do outro lado do diâmetro AC. E se estes dois a r c o s coincidem, sâo iguais. . As duas metades de uma circuiiferência sâo chamadas semi^^^njerências.

^ Ûma circunferência, seja quai for o comprimento do raio,

ju-^nde-se em 360 partes iguais chamadas graus. A seimcircun-

tem 180 graus. Cada grau se divide por sua yez em partes iguais chamadas minutes. Cada minuto se divi e por

diâmetroq f]p nr^ ® circunferência. (fig. 27) Todos os

vez em 60 partes iguais chamadas scgundos.

diâmetro qualquer va?e°dorrX®'®°"'' "" fig. 26 represeSa um^^ago^^ que a linha marginal do Isan aÛ cncunferência nâo é o lago; é o-

^ Consideremos o arco BM. (fig. 26) Este arco pode ter, por graus), 42°13' graus e 13 minutes), ou 13 24" (42(42 graus, 13 miou nutos e 24(42 segundos).

estâo pereorrendo o arco Im ^ n

o* circunferências cujos raies meçam 5cm, Scm, 45nirn H ^arcar no papel um ponto A e determmar P , nonto A?

desta linha marginal Uns passeando ao longo

e voltam; estâo peteo" en"^» „ 1™? CD ' ^ P""*"

ci rcuuferêneia ou^S°Sfrei^d^d°^°£"'' pontos de um» Kneo CD (fig. 26) é uma^ofd « segmento retia corda CD subtende o a "o CD T°' Geometria qu®

arcos em gérai désignais- a corHf, nr> î subtende dois arco CBMAD. Salvo aviso ®

a uma corda dada, ou subtendidn o arco coirespondent^

Ebcercfcios em classe -

o Poato A. Quantos pontos existem, situados a 4 . • _,gi «• jocm.

Em BP* .^arcar no papel dois pontos .4 e B cuja distância ^

um ponto C situado _a P°"*° 4 LÔnte™

6e 0 «5o Quantos pontos existem nas condiçôes pedidas. -segmento AB mede 15cm? E se mede 20cm?

é a porçao de superjide plana Umitada

Portante, hâ uma diferença essencial entre a

dos dois arcos. ^ umà corda dada, c o men**'"

*^îtciïi ê^r^^oia a l i m iet aod circule; a p e l a ac icircunferência rcunferência é '

"""'T iguais. queryerijicaçâo. OA,eumaseg^^TraXT^umt"*unïa^^drcu

AA ' laando nos referimos ao circule.

coin um raie C'A' igual ao rS^O A 'ï."' iransparenf, circunferência sobre a primei™ 't' ®P°'® coloca-se a segund» coincidam. Ver-se-â que a^d dois centres

portante, iguaU. ^ mrcunferências coinoidem e sâo,

*lOanfî° dizer, indiferentemente, circunferência

referimos â circunferência; isto, porem,

^ *ïiedida da circunferência. A 9^rcu^erência

copio ®6odo uma linha, tem somente comprimento. que 0 comprimento de uma circunferência? E ^ Poia 2 Possi vel aploiccomprimento ar o metro na cnnferênci ..^ ' nio determinar deon' uma circ

36

Elemenfos de Matemàtica

37

Figuras Geométrlcas Elxercfcîos cm classe

1. Calcular o çomprimento de circuaferencias cujos raios medem

respectivamente 15m, 36dm, 45cm, 316mm; etc..

2. Calcular o çomprimento de circunferencias cujos diûmetros medem

fespectivamente 642mm, 75cm, 84dm, 36m, etc. 3. Medir o raio ou o didmetro de alguns objetos de forma circular,

existentes na sala de aula, e calcular o compriment© da circunferência resPectiva. Verificar o câlculo pela retificaçâo da circunferência.

M Fig. 27

de difimetro. Coloquemos o

da circunferln"™^ ponto qualquer A,

n:^:eSo £r ^trosTeS ZlTj-attS 3^1 tSo~ 0 -Sntt eSerr? retificaL Tl rU-f-'®""-°*? ^N é a circunferênC^ acharemos'0 942m ««unfcrência. Mcdindo

com 30 cm de diTmet™ éT942 circunferênca

ci rcunftêncTa'é', ?vMe'Si"n çomprimento de métrieo, cuja razâo df ^Tr ' ^ processo ëpO' na seguinte: ^prenderemos mais tarde, consist

29. A divisSo de um segmente cm duas partes iguais. ^mos dividir o segmenio AB, em duas partes iguais, com o comPasso e uma regua. Fazendo centro, respectivamente, nos pontes e B, tracemos quatre arcos, que se coriem, M..-

^ois dois,arcos nos deve pontes e N. 0tendo, raio csfesaquairo ser oMmesmo, Porem, um çomprimento â vontade do •^senhista: 3em, 8cm, 12cm, etc.. A porno todos os raios de uma circunfe-

e iguais, résulta que os pontos M equidistantes dos pontos A e B. j P^^cemos a reta MN e, cm seguida,

^^atçwemos toda a figura, isto é, tiremos tent da mesma, com papel transparln * ^®Pois, teta —dobremos a cépia ao longo

ooin E veremos que o ponto A 0 2 0 Ponio B. Donde résulta que

de umf'ircu^niSêÏcU "é°r "t

âno-ni^^?® OA é igual ao segmenio OB. 0

pelo nûmero 3,14. numéro résultante

chi^..

diâmetro, e miilfÎT^i* ' bastante medir o

O

Loffo ^ coincide com o ângulo MOB.

senclo ângulos sâo iguais e,

' N FIg. 28

gmente retilîneo, conquesaereta MN é perpendi cular ao segmeni o AB./ s(§9 3 1

a^ssim resolvemos dois problemas de Geome na.

raio mede 12 m^ros? ^ de uma circunferência cuj^' Soluçâo. 0 raio mpd» io ^ do raio, isto é, 2 x 12 ou 24. o diâmetro mede o dobr^'

"^"de 24^ 3,14 = 75,36 meSos'°(^) ^ circunferência {*) Sobre este

S-nasial. Cabe aoa ars. t". "-a primeira aéd^ V. *c-io, se a classe o permitir.

i" Eividir um segmenio em duas paries iguais. Passe reia perpendicular P^lon-ma meio do mesmo segmenio. a um segmen j Mediatriz de um segmente dado e ® perpendicular ao segmento dado» c • 1 Excrcfcios cm classe /

Aumentando 2cm em cada lado,

T 17m. Diminuiado lado, quai serd o perîmetro do novo quadrado ? 3 métros de cada

.u9d2dd or)s swj^n so?s9Jî? sj? opumh 18ddv V anb ïosBO 9î^s^u soraazip g 'oq^BossB op ouBjd o JBJ^aoDua apod obu

«o^u'c^od ^^sajB b JBj^juooua apod 0511 'BpBSaoïoid Btas anb DO]}VUldlDl/\J dp S0}UdUJdJ3

99

sDOiJ}dwodQ SDjnSjj

Elemenios de Matemàtica

58

Figuras Geométricas

Sào^liquos, quando as arestas îaierais sào obliquas às bases.

( fi g s . 4 9 a , 4 9 c )

Nos prismas retos, uma aresta lateral qualquer représenta

a altura do prisma. Assim, na fig. 49e, a altura do prisma e a aresta AA'. As Jaces Iaierais de um prisma reio sào relàngulos.

Os prismas se classificam de acordo com as respectivas bases. Um prisma é triangular, quando tem por base um triangulo»

(figs 49a e 49d); é quadrangular, quando tem por base um

drilâtero (figs. 49i> e 49e); é pentagonal, quando tem pot base um pentagono (figs. 49c e 49/), etc..

Entre os prismas quadrangulares devemos mencionar ® paralelepîpedo. E' assim chamado o prisma quadrangular cuj bases sào paralelogramos.

0 paralelepîpedo pode ser reto ou oblîquo, como qualqu®'^ prisma.

Quando as bases de um paralelepîpedo reto sâo rctângul®®*

temos 0 chamado paralelepipcdo retungulo ou bloco rctaO' gular. (*) D-

A

fepresentado ôioco. Assim , as arestas AB, AD e AA' do bloco retangular pela figura 50c, sâo as dimensôes do mesmo bloco. °iaior da base, isto é, AB, é chamado, gei^, compnhrn ° menor da mesma base, isto é, AD, ^ ^ ,

no^' ^ ^^®sta sâoAA' relativé aschamada ; façamos realptura. ousaEntretanto, r o bloco soestas bre a ^dece de m i' tomemos esta face, como base do bloco, e oclar os nomes das très dimensôes.

, ,

prisma, é bastante enunciar ig+ras

Se refirn^ da base superior, e de modo que ostas „ prisiv.- ^ PontoR nâo situados na mesma face. ^ > ririsma («S-49b) Entretanto, tratando-se de um pnsma Q,, dizer; prisma este iopiQ, Q arestas de um bloco retângular sa g t

^ sôlido geométrico 0^®. (*) P imario; todas as suas faces sâo iguais e sao q

C*

/

/

c, que partem de um mesmo vértice, sac cnumuuuo

rfa. (figs. 51a, 515, 51c) é cm

B '

SanosPoligono lados do pqualquer; oligono, e quas e têoutras m uni vsao erticecoinum, comum, V.

D

/

é

f j

A Fig. 50a

Fig. 506

A fig. 50a représenta um paralelepîpedo reto: a tig. 50b rept®'

senta um paralelepîpedo oblîquo.

A fig. 50a tanto pode representar um paralelepîpedo reto

um bloco retangular. Se a baseABCD é um paralelogramo» naçâobo l coretangua l r,muS?ma?s°sm i nk!?^amencanos,adotamosa

retângulo. simples e expressiva do que paralelep^^

""S'

Fig.

rque

ti^J^4ag de apresentar asfigura madeira ou cartoUnft de aula deve exi tiî este sôIi do em maQ e^fado aos alunos.

Figuras Geoméfricas

Elemenios de Matemàtica

60

A base de uma pirâmide é o polîgono qualquer ABCD (fig. 51b); as jaces sâo os triângulos VAB, VBC, VCD è VDA, cujas bases sâo os lados do poUgono ABCD; as arestas laierais sâo as arestas que concorrem no mesino ponto V; o vértice da pi' râmide é o ponto V; a altura é o segmento VO perpendicular ao piano da base, e traçado pelo vértice V.

Uma pirâmide pode ser triangular, quadrangular, pontagonal, etc., de acordo com o polîgono que llie serve de base.

Entre os principals corpos redondos podemos mencionar o cïlindro de revoluçâo, o cone de revo' luçào e a e^era.

A^FIg. 52

B

FIg. 53

Flg. 54

Suponhamos que um retângulo e um triângulo retângul® estao presos em um haste, de modo que possam girar com & maior rapides possivel em torno desta mesma haste, (fig. 52) S® estes dois polîgonog forem feitos de madeira ou de um papelâo

resisteute, e pintados com uma cor bastante viva, e se os fiserteremos a ilusâo de ver dois sôhdos geométncos bastante conheci dos: o cUi ndro de

revoluçâo ou, simplesmente, dUndro, e o coL de revoIu«a« ou,

um

simplesmente,

o

g^ométrico

co?ie.

.

gerado

por

ladoé, AD, «Iposto Znovï ® '

61

0 lado AD, do retângulo, é a altura do cïlindro; os cfrculos

gerados, respectivamente, polos lados AB e DC do retângulo, sâo as hases do cilindro.

• . 0 cone de revoluçâo é o sôlido geoméirico qerado par um

i^ângulo retângulo, ABC (fig. 54) que gira em tomo de um dos cûfeios, AC, suposto imovel.

0 cateto AC, do triângulo retângulo, é a altura do cone;

0 circule gerado pelo outre cateto, AB, do mesmo triângulo, é ^ oase do cone.

A esfera é um sôlido geométrico, cuja forma é per demais ^OQhecida.

Operaçôes Fundamentals

aritmética prâtica

63

Mecïir ou avaliar uma grandeza é compara-la com outra da

esma espécie, porem conhecida, definida ou determinada. Medir,

Por exemple, o comprimento de uma fita, significa verificar j yezes outro comprimento pode ser aplicado ao longe

0 comprimento desta fita. z-Vdmitamos que este outro compri-

ento esta contido scte vezes no comprimento da fita. A este

^ tado dà-se o nome de numéro.

Capîtulo III

Portante, numéro é o resultado da avaliaçao de uma ou» entâo, c a rclaçao que existe entre uma gran-

Operaçôes Fundamentais

te *^^0 ^ ^^^Iquer c outra da mesmadeespccie, cïe comparaçao. (Dejiniçâo Newton)tomada como

qy ë'"î^ndeza definida, determinada, conhecida, por meio da

1 unidadc, m-imcro. Vàrias p®"»

^cde outra grandeza da mesma espécie, chama-se umterm* ^i'tanto, unidade e a grandeza perfeitamente depor ineio da quai se avalia ou se mede outra oza da inesma espécie,

as w, Wanjas, os comprime,itos das linhas,

rin= f 1 das ruas, as alturas das terres, as projundidades dos

de amw! t^o'POs, as temperalf^ on hS t I as intensidades das correntes elétricas coisafonr" ®'ilas de aula, eis aî muitaa udhf do r comparar entre si, isto é, verificar se um»

® arbitrdria ou determinada. E' arbitrâna,

raa é ma r™® T'® que outra; se um» i ™ mo^ot d^ "ï".® se ura corpo pesa

do Que ontrn''"t d mais ou menos compO

qL M offlnt'd f a esta possibilidade, direffl»®

as temperaturas, etc., as sâoalturas, grandezas. f*)' ! TtemXitrLf comprimenios, os volutn^'

A noçao de grandeza é intuitiva, nâo se define.

dois grupos: çran-

S^^a, nn que se quer medir é continua; é determi ®Uponham^"^ a grandeza que se quer medir é descontinua. ^Pipôe- niedir uma pilha de livros; a unida ^ivro. Entretanto, para medir o comprimento

Vara o' ^ pode ser qualquer; uma fita, um corde ,

cuid

A avap ^ decimetre, o centimetre, etc

^*^6. jvr'^v6 uma nuadenao oferece difiir, porgrandeza exemple,desconti uma pilha livros, significa onp

X mwacâo formam esta pilha. Contar é uma operaçâo

d^ ^'tica de pri moires anosnoçâo da escola primAria, e a résulta a primeira do numéro. A grau Grandeza

grandezas

continuas-

=;£3;irï='=-~ -»ï

.

ediçâo^, 1913*,Algebra Elementar, Manuals Hoepli, Milâo, 1^*' '

A ]\f . ^ ua avaliaçao das grandezas continuas. é a ciênci a que i detenninar a ^Ue'"^^îdi ® ^fcaciência que temtem porpor jinijindeterminar

as

dîyere/iies grandezas, de mo o q

res e

42 "^nias por intermêdio das outras.

Um

inteiros

ou

naturais.

a

retilineo, se verifica que el . ou

oito vezes. Oito é um ndmcro mteiro

64

Elementos de Matemàiica

Operaçôes Fundameniais

Portante, nûmero inteiro ou natural ê o nûmero que rcsulla

da avaliaçâo de uma grandeza que conicm a unidade, exaiamente uma ou mais vezes.

Pode acontecer que a grandeza que se qucr raedir nâo con-

tenha a unidade, exatamente, uma ou mais vezes. Resultarâ entâo

da avaliaçâo desta grandeza uma outra espécie de nûmero, estudaremos mais tarde.

0 nûmero pode ser concrète ou abstrato. E' concreto

quando se menciona o nome da unidade, por exemple, oito livros. E abstrato quando nâo se menciona o nome da unidade, exemple: oito. (*)

Os nûmeros coucretos sao quantîdades. For exemP^®'

8 livros, 5 flores, 7 métros, etc., sâo quantidades.

Formaçao dos nûmeros e sua reprcsentaçao grâfic®*

O pnmeiro nûmero inteiro résulta da avaliaçâo de uma grandeza igual à unidade adotada. Chama-se unidade ou um. 0 numéro

mteiro se^înte résulta da avaliaçâo de uma grandeza que coU' tem a unidade, uma vez e mais uma. Chama-se dois. 0 nûmero

mteiro seçiinte résulta da avaliaçâo de uma grandeza que cootem a unidade, duas vezes e mais uma. Chama-se très. 0 nûmero

inteiro se^nte résulta da avaliaçâo de uma grandeza que contem a unidade, très vezes e mais uma. Chama-se quatro. Donde ' r j nûmeros um, dois, très, quatro, hâ uma iQ' a^série dos nûmeros natural®

A umdade ou o nûmero um pode ser representada por graficamente, por um segmento retiUneo. Um»

aenta? fl segmento retilîaeo que dcve repre^

dpvpr^ ^idade ou o numéro claro é que nûmero deverâ ser representado por doium, s segmentos iguaio s ao' primeirol o

nûmero por quatro segmentos iguais ao primcir«0 o, e0assi m por diaçuatro nte.

6 5

-> 00

Sobre uma rota XY, tomemos um ponte fixo, 0 (zero) e à

direita (por convençâo) do ponto 0 (zero) marquemos uma série de segmentos iguais. 0 primeiro segmento serâ a representaçâo grâfica do nûmero um^ este segmento e o seguinte representarâo

0 nûmero dois; os dois prîraciros segmentos e o seguinte represen-

l^arâo 0 nûmero très; e assim por diante. Donde se conclue, mais uiïia vez, que a série dos nûmeros inteiros é ilimitada em sentido crescente, e tem para limite inferior o nûmero zero.

■A. figura acima représenta a série dos nûmeros inte^iros

oji naturals.de AoP.conjuntb natarde, frase ®legante Crantz, destes o nossonûmeros campo charaaremos, numérico. Mais campo serâ ampliado de acordo corn os problemas que a

^temdtica nos aprcsentar. Obaervaçâo. Na figura acima'O sfmbolo co que se lê tnfimto, ^ que a série dos nûmeros naturais é injinita isto é. por muito grande que

nûmero n^tuTa^ podemos'juntar-lhe.sempre ,uma [umdade.

^udo assim mais um nûmero natural.

V 44. Numcraçâo falada ou noracnclatura dos nûmeros.

Jm i oascqaudeaa ére i rodousmnû eerosquéem ilota i ddsiatni.g(u§sis4 )e todos os outrçs ? nûs m e nm om e3d com foram nomes completamente distintos inventadas, por exemple, as para

Jera imnossivel E mesmo que este impossn el fosse conseS^ido nârTiî . dp fPter esta série formidavel dp 1 haveria memûria capaz de reier e dictîn+o a

«yalavras. Entretanto, conseguiu-se dar um ^ ral 'ûmero, ^Çuo faladamediante o artificio conheeido pelo nome ^^®ttia-se

numcraçâo

ee Os nomei^s1:^:J^sef^^ tnero^^' ^ wiodo aimiTiles e regular de deno^ ^

nû-

denadi^po^ ® af'sfrafos, embora tor. (Aritmética, primeira 'nnrfo n matemdtico J. Rey ^

hno^^?we Jormado, ideiiedosnûmrosnatums a da orâem d^ Q^^ ffiuclides Roxo) ele ocupadè na sér

meio concreto é uma qu^tiSe

Ûtjry,„ 4)s selementos da numeraçao ""ûwos"natural é ilimitada, Entretanto, para dar _umnome

com o mcsmo auto^TritmétS i "T' E. " „d-

66

Elementos de Matemàtica

67

Operaçôes Fundamentals

disMnto a cada nUmero, e de acordo com a definiçâo da numeraçâo falada, foram neeessârios, apenas, très elemenios:

^ a) inventaram-se as palavras um, dois très, qualro, cinco, &) inventaram-se duas terminaçôes: enta e Ihâo; c) estabeleceu-se a seguinte convençâo: dez unidades de umo-

sets, sete, cita, nove, dez, cem e mil;

mesma ordemjormam uma unidade de ordem imediatamenie superior.

46. ^ Prîncîpîo fundamental da numeraçao falada. A convençâo a que nos referimos no parâgrafo anterior é denomi-

inventados. A segunda coluna contem os nomes das dezenas ou unidades de segunda ordem. Estes nomes sâo derivados dos uomes das unidades simples, aos quais se juntou o sufîxo enta.

^xcetua-se a palavra dez que é primitiva, isto é, inventada. A

^Grcei colunaEstes contem os nomes centenaspelos ou uni dadesdas de ^rceiraraordem. nomes foram das constituidos nomes Uûidades de primeira ordem, ligados à palavra centos. A palavra centena ou cento é palavra primitiva.

, 0 quadro acima contem vinte e sete palavras que, combina

nada pnndpîo jundamental da numeraçao jalada.

is convenientemente, permitem denominar novecentos e no-

mam uma nova espécie de unidade que se denomina dezena;

^ > nâo é necessârio inventar uma palavra nova; é bastante oitocentos e cincoenta e sete.

JJe acordo com este princîpio, drz coisas quaisquer supostas aa mesma espécie, e que chamaremos de unidades simples, for-

por sua vez dez dezenas formam uma nova espécie de unidade ^ae^uni enomina centena; dezncentenas formam dade que se denomi a unidade.de milhar;uma e assinova m porespécie diante47. Unidades simples, dezenas e centenas. 1."

i^0taobjetos, e noveque nùmeros. claro que,objetos para desi gnar uma col çâo contemE'oitocentos mais cincoenta eemais As unidades simples, as dezenas e as centenas constituem a

^^Ueira classe ou classe das unidades simples.

dez e*^^®®'•vaçao. Em lugar de dez e um, dez e dois, d^ e ^ ® detà^nas dizemos doze, treze,de quat e qui nze.andades. Os estudantes aprenaulasonze, de latim , a razSo serorze destas irregul

QUADRO

Unidades, dezenas e centenas de milhar.

1.® CLASSE OU CLASSE DAS UNIDADES STXfPr.E-s CENTENAS

OU UNIDADES

DE 3.' ORDEM

DEZENAS

ou UNIDADES

2.0 QUADRO

UNIDADES SIMPLES OU

DE 2.» ORDEM

2.» CLASSE OU CLASSE DAS UNIDADES DE MILHAR

UNIDADES

DE 1." ORDEM M I L H A R

c e m

duzentos trezentos quatrocentos

quinhentos seiscentos setecentos

oitocentos novecentos

dez vinte trinta

u

m

cincoenta

dois très quatro cinco

sessenta

seis

setenta

sete

quarenta

oitenta noventa

i?r J^^ÏOADBS

OHDEM

mil

ientog mil

mil

oito

qu,ï™movel percorre 42 quilômetros P. percorre 8 qudômais do que na pnrneira, espaço percorrid

4 + 7 + 11 — 67 e 30—18 + 9 — 5

iQ®l p dan, eoaO ssim or.diante. Q0uai e opprvi m e i r o oaia r adoaq?ue na se «gu cnn G pO

Se caleularmos estas duas expressOes aritméticas

o® constituiram^ um capital de r- capit^ie de ambos?

acharemos para ambas o mesmo valor, îsto é, 16. Dizemos

6 Cr . S54 700,00. é a0di entre ^ automovel de • 236 nn® ^'^®sse maisQuai Cr. S54§. 0.fereuca podena c^P 7, '00 e ficaria corn Cr. $329,00. deles ganbou Cr. 5^49.76 meniuos ganbaram Cr. $87,90. Se um deies g

Aritmética que .estas duas expressOes, embora formadas de meros diferentes, sao iguais, e podemos éscrever:

4 + 7 + 11 — 6 = 30 — 18 + 9 — 6

A este conjunto constituido por duas expressOes o que, sendo calculadas, conduzem ao mesmo resultado, da-s nome

de

igualdade.

A primeira expressâo, isto é, aquela que fica à

do sinal de igualdade ( = , igual) chama-se primeiro

da igualdade. A segunda expressâo, isto é, aquela que **

,

g 6 nhou mais do que o outre? .. g p^r Cr.$48,50, deu

. f-.multîpUcaçâo; î",®

3 Por por outro nûmero tambem iguais ao pri' 0' sâo oi e/eiuar uma adiçâo de tantas as unidades do segundo. istopq^-201; que

90

multiplicar 47 por 5 é o mesmo que calcular a soma de 5 parcelas iguais a 47.

91

Operaçôes Fundamentals

Elementos de Mafemàtica

Excrcfcios orais

1. Desenvolver a expressâo 7X5.

47 X 5 = 47 + 47 + 47 + 47 + 47 . ". 47 X 5 = 235 A multiplicaçâo é indicada pelo sinal X que se lê

cado por ou entâo vezes. Logo, 47 X 5 quer dizer 47 multiV^^' cado por 5 ou 47 vezes 5.

0 nijmero que se multiplica chama-se multiplicando; o nu mero pelo quai se multiplica chama-se muUiplicador; o résulta

da operaçâo chama-se produio. A palavra produio désigna tambem a multiplicaçâo indicada, nâo efetuada, de dois numéros. Por exemplo, a, expr

sâo aritmética 7X8 tem o nome particular de produto.

Da definiçâo da multiplicaçâo (de nûmeros inteiros) se

due que a multiplicaçâo é uma adiçâo de parcelas iguais. multiplicando représenta uma das parcelas; o multiplicador présenta o nùmero de parcelas; o produto représenta a O multiplicando e o multiplicador sâo chamados jatores.

produto pode ser constituido por dois ou mais fatores. ^ ® -

pressâo aritmética 7X5X8X4X6 é um produto, cujo valor

oDtem multiplicando 7 por 5, em seguida multiplicando o ros tado por 8, depois multiplicando o novo resultado por 4, o

nalmente, multiplicando este dltimo resultado por 6. diferença essencial parcelas e fatores- * ^_g celasHâ^ sâouma nûmeros que se somamentre e fatores sâo nûmeros multiphcam. Consideremos a seguinte igualdade: 3X4X5X7 = 57-H- 64 -f 86 + 213

0 primeiro membro ê um produto; o segundo membr" f

uma soma. No pnmeiro membro todog os nûmeros sâo fat»""'

no segundo membro todos os nûmeros sâo .parcelas.

Soluçuo. 7X5=7-1-7 + 7 + 7+ 7

2. Contrair a expressâo 8 + 8+ 8+ 8 + 8 Soluçuo. 8+8 + 8 + 8+ 8 = 8X5

3. Desenvolver a expressâo 13 X 7.

4. Contrair a expressâo 6+6+6+64-6. 5. Desenvolver a expressâo 3X8.

6. Contrair a expressâo 10 + 10 + 10 + 10 + 10.

*^2. Algumas propriedades da multiplicaçâo. inverter V^oduio constituido por dois jatores, podemos inverti,

I.

Em

a ordem

mesmos, sem que o valor do produto se altère. 1+1+1 1+1+1

î+d + 1 1+1+1

Vamos provar que 3 X 5 = 5 X 3. Jâ sa-

bemos que 3 X 5 significa uma soma de 5 par

celas iguais a 3, isto é, 3 + 3 + 3 4; 3 4- 3 ( § 71)

No ouadro ao lado cada hnha honzontal repré senta cada uma das parcelas. Portante para

saber quanto é 3 X 5, basta contar todas as

und i adesdestequadraCont^dopor^mhas

horizontais, temos ^ 3 +f 3^ +"t3 _i!. + 3 +^d,^to Kt , 3yc horizontais, temos l ^ 5. Contando por linhas verticals temos 5 + ^

X 3. Ma., tanto faz contar por hnhas verticals como por

horizontais; o nûmero de unidades do quadro é sempre o Logo,

3X5=5X3

de um modo gérai podemos escrever. a X l> = h X a

n

'""erte." constituido por se ^ ordemproduto dos dois ûliimos, sem que é nulo. Corn efeito, OX3=0-fo4-û torea é nuU), o produto tamhem é nulo: 5 XO = 0

X 0 = 0

0. Em gérai, quando um 3 X 0 X 4 X 5 = 0

temoso mai s uma oportunidade para con ' \®Qbre eâlculo literal.

com os nossos

92

OperaçÔes Fundamentais

Elementos de Mafemâiica

Vamos provar que 3X4X6 = 3X6X4. A nossa figura

é um bloco retangular constituido por muitos cubos. Vamos contâ-los. A primeira camada horizontal inferior teni très carrei-

93

^tro, 0 nùmero deles é sempre o mesmo.escrever: Logo, 3X4X6 = —û X 6 X 4. E,total de um modo gérai, podemos a X b X c = a X c X b

ras. cada uma com quatro cubos. Portanto, tem 3X4 cubos

g Para calcular o produto 3X6X4, tanto faz multiplicar gpor por36e,e,depois, depois,multiplicar multiplicar o tado por o resul resultado por 4, 4. como Logo, multiplicar 3 X 4 X 6 = 3 X 6 X 4 = 6 X 3 X 4

E» de um modo gérai. a X b X c = a X c X b = c X a X b

hêg vendo, portanto, que num produto constituido por SUn I podemos fazer com que o ultimo fator fique em sequal primeiro. Como se pode fazer o mesmo corn um dos très fatores, concluimos que, num produto cotis-

vie^ por trèsn fatores, podemos invertiser, àaltéré. vontade, a ordem dos o®j sei que o val or do produto Prodnf se pode provar que esta verdade se aplica a um

'nuifj'?. ^unstituido por qualquer nUmero de fatores. Logo, a P"caçao ê, como a adiçào, uma operaçao comutativa.

Ew um produto constituido por qualquer nûmero de Pî-od,,/ podemos suhstituir dois ou mais destes fatores, pelo seu ^Jetuado. ^ produto 3X5X4X6X7. Nele podemos substiFig. 55

E, como as camadas horizontais sâo seis, o numéro total de cubos» é 3 X 4 X 6.

A primeira camada vertical, à esquerda, tem très colu»^'

cada uma corn .ezs cubos. Portanto, tem 3 X 6 cubos. E,

^camadas verteicmos als sâo quatro,de o numéro totaquer l deos cubos Mas, quer cont og cubos um modo, conteéSX^^ mos » '

^ «eu produtb, 30. Corn efeito/ a multiplicaçao

^^uuautativa, podemos escrever: ^ X 5 X 4 X6X7 = 5X6X3X4X7

M membre desta igualdade, é évidente

os dois primeiros fatores. 5 e 6, pelo seu produto

30- Logo

^X5X4X6X7 = 30X3X4X7

94

Elementos de Matemàtica

Operaçôes Fundameniais

E lembrando mais ima vez que a multiplicaçâo é comuta tiva, teremos: 3 X 5 X 4 X 6 X 7 = 3 X 3 0 X 4 X 7

Logo, a muîtiplicaçâo é, como a adiçâo, uma operaçao asso

ciativa. . Se a multiplicaçâo é associativa, é tambem

^

Assim é que, em lugar de 25X12, podemos escrever 26X ^

ou 12X5X5. Esta dissociaçâo de fatores nos permite e mais facilmente certos produtos. Por exemplo,

Queremos saber quanto custam 9 franges a Cr. S4,50 (*) cada

um. Temos de efetuar uma sema de 9 parcelas iguais a ' Cr. S4,5o ou multiplicar Cr. §4,50 por 9. 0 multiplicando é um uûmero concrete, é 4 cruzeiros e 50 centavos. 0 multiplicador ® um mimero abstrato, é nove, nâo é novo franges; o multiPucador nove esta apenas indicando quantas vezes o nûmero

S4,50 deve ser tornade como parcela. Séria um absurdo

escrever Cr. $4,50 X 9 franges.

. 0 produio e o multiplicando sâo sevipre da mesina esPécz' e. Assim deve ser, visto que a soma e as parcelas sâo sem-

da mesma espécie. No exemplo acima, o produto, isto é,

25 X 12 = 25 X 4 X 3 = 100 X 3 = 300

Pi'Cço dos 9 frangos é Cr. §40,50.

25 X 12 = 12 X 5 X 5 = 60 X 5 == 300

. 73. Regra gérai da miiltipUcaçâo. Suponhamos que

Preciso calcular o seguinte produto: 3 476 X 548. De acordo

IV. Se quisermos multiplicar mentalmente 24 por 7, decompor 24 em duas parcelas, 20 + 4, multiplicar cada

,1 clefiniçâo da multiplicaçâo, é bastante efetuar a adiçao

Pod^ Ser P^^'^abreviada ^^las iguaisdeaoacordo nûmero Entretanto, esta adiçao com3a746. seguinte

das parcelas por 7, e somar os resultados. Assim,

24 X 7 = (20 4- 4) X 7 = 20 X 7 + 4 X 7 = 140 + 28 = A

ovf^ Para multiplicar um nûmero inieiro {natural) par do 2 inteiro (natural), escreve-se o muUiphcador Pf Zy^t^^' sor; o resultado, quoeiente. clu®'®^

De 'acordo com os dois problemas acima expostos, con

que a divisâo tem dois fins diferentes. Se o dividendo e o divisor sâo quantidades

(1,° problema), a divisâo tem o fim especial de repartir

ro em partes iguais. E o quoeiente é sempre da mesm do dividendo.

Se 0 dividendo e o diviser sao quantidades howr

(2.° problema), a divisâo tem o fim especial de verificnr vezes um nûmero estd contido em outro. E o

quoeiente

de espécie diferente do dividendo; a espécie de

t " ""ndijâo é nccessâria, nâo é '^"nûmeros à e b, sendo

t;nte Isto qunr dlzer que, dados d b (ou a = &)i c um

ceiro nûmero natural q, o quai, muîtiplicado pelo nûmero b reproduz o ni'imero a.

Quociente incompleto de dois numéros

naturais a e b, sendo a > b é um terceiro nu

méro natural q, o quai, muîtiplicado pelo nu méro b dâ um produto inferior ao nûmero «•

77. O resto de uma divisâo; igualdades fundaïucu A divisâo de 58 por 11 nâo é exata; é aproximada. O A-ffiC incompleto é 5. Ora, 5 X 11 = 55 e 58 - 55 = 3. A este n ro, 3, dames o nome de resto da divisâo aproximada. -gii Resto de uma divisâo aproximada é a dijerença

entre 0 dividendo e 0 produto do divisor pelo quociente. ^ ^j-e' résulta que, no caso da divisâo aproximada, teremos semP dividendo = divisor X quociente + resto (resto < divisor)

por enquanto, o quociente incomp eto.

tarde que, mesmo neste caso, extste "m™,

mulHum plicadonûmero pelo segundo, reproduz o O ?ne, scrâ natural. g pnmei .î. jro.=mas, 5

■^t oi"' De 5 X 1 = 5, résulta '^'^J^J^igualao dividendo; ÇUarirf 0 divisor é a umdade, 0 quo ^ a unidade. 0 dividendo e 0 divisor sâo iguais, « 9"^^, , sividen-

^ De 7 Xe 00 =divisor 0, résul ta que 0 - 7 = é âijerente de zero, 0 q ^ absurde, ï^orqnniîmero qualquer,^ 7, p muîtiplicado por

«ero ja existe um terceiro numéro q | ^ sempre

zerl: ^ muîtiplicado por um nûmero qualquer, De

modo gérai: n

-î-

n

n

I

= =

n

7i ^ 0 — 7

l

Operaçâo m i possvi el

0 ^ n = 0

102

OperaçÔes Fundamentais

Elementos de Matemàtica

V

78. Algumas propriedades da divisao. I. A divisâo sendo exaia, se

Portanto, o dividendo é uma soma de duas parcelas. Ora,

sendo a soma da mesma espécie das parcelas, conclue-se que o resto é sempre da mesma espécie do dividendo.

multiplicannos o dividende e o divisor por um mesmo nûmcro, o quociente nâo se altera.

Se dividirmos 8 letras em 4 gru-

Por exemplo, repartindo laranjas, s6 podem sobrar laranjas;

•^tribuindo cruzeiros, sô podem sobrar cruzeiros; se dividirmos

• ©

•

•

e 0 nûmero de grupos, isto é, distri-

1

T

• •

• •

•

buindo 8X2 letras em 4 X 2 grupos,

(16 -7- 8) cada grupo contera duas

•

• O

•

•

Triplicando o ndmero de letras

"

"

>2

!• t"

• •

•

•

1 •

■ • > 'S

•

: •

1

1

■

letras; 16 8 = 2.

dezenas por 5, o quociente incoinplelo é 2 dezenas e restam 3

! •

pos (8 4) cada grupo contera duas letras; 8 4 = 2. Duplicando o numéro de letras

■S ; • '*

1

buindo 8X3 letras em 4 X 3 grupos, (24 ^ 12) cada grupo con duas

letras;

24-f-

12

=

^zenas, etc.. 79. Regra gérai da divisao. Para dividir um nûmero por

^utro, no videndo, à esquerda, tantos arismos quans sejseparàm-se am necessàri osdipara jormar um nûmero quealgcontenha o di~

^^sor no' minime, uma vez e no màximo, nove vezes. A parte

^^m destacada constitue o primeiro dividende parcial. Dialgarismo do quociente. Multiplica-se este algansmo pelo

^e-se 0 primeiro dividendo parcial pelo divisor e obtem-se o pri-

Fig. 57

e 0 mimero de grupos, isto é, distriterâ

2.

E assim por diante. Evidentemente, no casa de uma

.

.

exata, tarnbem podemos dividir o dividende e o divisor por uni m

mo nûmero, sem que o quociente se altéré. . •_

II. A divisâo sendo aproximada, se muliplicarinos o ^

dendo e o divisor por um mesmo nûmero, o quociente nâo se '

fjnsor e suhtrai-se o produto do primeiro dividendo parcial. Ao

^0 do resto escreve-se o algarismo do dividendo que esté à direita Pnmeiro dividendo parcial, jormando-se o segundo dividendo Divide-se o segundo dividende o diest vise oralegansmo ohtem^ ® ° segundo algansmo do quoci ente.parci Multaipllicpel a-se divisor e suhirai-se o produto do segundo dividendo parcial E assim por diante, atê haixar todos os alga

mas o^resto fica multiplicado por este mesmo

3 750 -r-

é 3.

375 125

Se dividirmos 11 por 4, o quociente incomplète é 2, o ^

2, 2,

Se dividirmos 11 X 2 por 4 X 2, -o quociente incomp^ileto e

o

resto

é

103

3

X

2.

^

Se dividirmos 11 X'3 por 4 X 3, o quociente incomplet" e o resto é 3 X 3. ^ ^ E assim por diante. ^ ^

jyvoiscaso uma divisâo aproxim divnâo idirmos oterO') e o di or porde um mesmo nûmero, oada, quocise ente se al o resto fica dlvidido por este mesmo nûmero.

III. 0 resto é sempre da mesma espécie do dividendo-

vendo resto, o dividendo é igual ao produto do divisor P quociente, somado com o resto, isto é:

dividende = divisor X quociente + resto (§77)

rismos do dividendo.

250

Quando o dividendo e o diviser tem um

25

ou mais zeros, à direita, podemos

15

A upLiavt^ , . nùmeros dados.

a operaçâo, suprm in i do o mesmo numéro de

0

1 » ™lo, em lugar de dmdir 3750

3 470 347 097 22

250

eTIoatol tquS ^^' ■Z2%™ !em1 u|arde ^e-i vd i ri!3é^0\l

25 13

por

250,

podemos

é

, S" ve^da^ n.o é 22; 5 22 X 10, isto é, 220. (§78, ) ....

P-vas da divisao. Para tirar a prova de uma » Pro^, 0édevera bastante multiplicar o quocie ser igual ao dividendo.

105-

Operaçoes Fundamentais

Elementos de Matemàtica

104

plicaçâo e divisâo, isto é, operaçôes de primeira e de seguuda

Havendo resto, é preciso'multiplicar o quoeiente pelo .

e somar o produto com o reste. A sema deverâ ser igual ao co

espécies.

dendo.

cessârio obedecer invariavelmente à seguinte regra, em primeiro

Para calcular expressôes aritméticas desta natureza, ne-

81. Multiplicaçâo e divisao por 10, 100, 1000,

lugar e£etuam-se as multiplicaçôcs e divisoes. isto é, as ope-

Jâ vimos (§ 58) como se multiplica um numéro inteiro

fûfoes de segunda espécie, e na ordem eiru que estâo mdicadas. i eito

por 10, 100,1000, etc.. Porexemplo, 57X10 = 570, 32X100"^ '

isto, continua-se o câlculo de acordo com a regra o par gra o

84X1 000 = 84 000, etc.. Inversamente, se um numéro tero ze

à direita, e queremos dividî-lo por 10, 100, 1 000, ctc^, é iq

exempîo. 4+7X5 — 36 4-4+8 + 3X 14 4-7 — 8X3 +20» 4+ 35 — 9+ 8 + 6 — 24+ 20 »

suprimir ura, dois, très, etc., zeros à direita. Por ex 350^10 = 35, 4 700^100 = 47, 81 000-M 000 = 81, etc..

(4 + 35 + 8 + 6 + 20) — (9 + 24) » 73 — 33 = 40

Exercfcios 1. 2.

3

X

10

4.

=

9 X 1000 «

4-

10

=

i

7.

21 _ 8 + 8 + 45 — 4 — 50 + 60 =

6 400 10

(21 + 8 + 45 + 60) - (8 + 4 + 50) - ^

5. 6 300 4- 100 = I 8. 3 X 100 ==

47 X 100 =

3.

750

2-° exemplo. 7X3 — 8 +32 4-4+5X9 — 6X 14 4-21 — 5X 10+ 60

orais

1

72 OOO

6.U W27 4-W W1 000 = . ! 9. T - 000 i -

.c 100

134 — 62 = 72

A divîsâo de um nûmero natural por um ndnero dfgito pode ® se mentalmente. Efetuar as divisées que se seguem, dizendo quai o o quoeiente for incompleto. 10. 3 746 4- 2 I 14. 3 385 4- 3

10.

1 237 4- 6

22.

11. 5 893 4- 2 ] 15. 7 684 4- 4

19.

3 216 4- 4

I 23.

12. 6 478 4- 2 I 16. 2 573 4- 5

20.

5 674 4- 5

24.

13. 7 379 4- 2 1 17. 6 753 4- 5

I 21.

4 366 4- 7

25.

Exercicîos. Série V

lïetermi= nar333 o valor Ide3. x nas igualdades que se ^^g2^v 13 • fXx^l5=28 , 5. + +3,®

'3

3 107 1 624 1 507 4 137

4

^ X 7 X X = 280 ' 4. 324 4- X » 9 . ®

5

^ ' 7,. 648 » « X 12 + 12 ^ 8. 3+4X5+6+7X2X8+9X4+10X1 1+12X^^3+ ^

3

hai^°

Dizer o primeiro algarismo, à esquerda, do quoeiente das divisôss

20-3X5+1 1+8+7X4-2X3X4^ • ^ ^10. 18+; 24-^3X8y7X5-d0X34-6+2>p O o,-» »P >53jd S'«;as^7ip.unTë.qTs jGnSj «fa

japiisA £

•SS'eSS -JO oilaaJBQ «pua japuaA oaoq '«isodg^"

(ojiacjGo tan 9p «pa3A ap o53Jd) 83 9Z^ — 91 OZ 6i8S JQ ^ (soJi3ni«3 91 ap ojsno) 05 6i83 *^0 ~ 91 X Oi 8S5> -to (OJI3UJG0 ten 0p o)sno) Oi'£ôS -^0 ~ 8^ ~ 09i8I IS jq '®25nToo

I ojiaujBO ran ap opuaAop oiajd o s' oji3uj«o 91^013 awoni m«d o ' aioT,®

iapu3A OAop ofntmb joj -QQ'm IS'•'O sojiouiao sf ieadtuo^-

;fiOJC3ai |3uj j0u»jo. ni uj—u.d oj.io u • ,« ^o r,f ' ^ap c ' 1 ojsno t C - op*oSaad JO J O0 d 'sojS O Jn I3 S U93 J Gma a " ^JJ' tî ^

japuaA OAap 04n«nb JOd "OQ'it'I IS '^0 soJiararao gt loadmoQ*

"St

-BB « 'ojjaro ran ap cpuaA ap oSaad o o^aatutiienr 9 ojoni a?Ba 'Jaq sop «pnsA "Bu ojonj nara o jiias «j?atjnb u^so 00 08S 'JQ aod npag 0

^aî^nBia

oasa noidraoa jBonSB ep so^nBnb 0 çjbo ap soymb so^uBn^ *03'TS 'JO '0^^^ TBonSa ap ® 09'8S 'JO «?sno 9jBa ap opnb ra{i •0S'SS8Î *J0 tfjgn^ sa^jnd tna 'jbobSb a 9jbo nojdraoa a^oBiaoSaa nif^ *99

(\0^ 5,» 'io ap I«W oJoni ran jBzpnaj BJBd o^Bjd BpBo lapuaA OAap o^uBnb jod

, OO'^^ j^b tnBABtsa t8 anb lanbijuaA 'so^Bjd so jB^oxiBouasap oy 'o^ajiBO

fgop^-^.^jg-JO 06 8 1 'o^naaa ^ l a j dOt' r a98S' o oJD «Bso>BJd p a a oOié e p lajdraoo s o j ' j*58 ani

-oj^atn «p^a ma OS'SS 'JQ opoBJonj 0î'88ié 'JO Ja^ «pas b Bpo} jpnaA .QQ'gggg "JQ JOd «pas ap soijara ap oBÔjod Bran lajdraoQ 'f2

p j oadMnnn^ a C II OJin «P«a ma ^noquBS o^tren^ *OS't$ o p o 'JO t « «Jn^sira BpOoj^n B «^"^nanuaA ®P 01 a 'oj^p o 08'8S 'JO ap 'ot{tiiA ap soj^p if tnoo o nt'eS'-^O ®P ®P ®aJ1!l fS nojn'jsira a^oBiooâau tuQ -gg 'oJ?n jbj I napjad no noqnBQ *Bizpp b 08'3$ 'JO « saiuB^saj so napnaA a ggs

nS -otnaa o 00'5TS 'JO ^ OOi f nojdraoa atuBiooSau ran 'Z2

pojqa'u pg^popmn taw npno ma sws Boijtuâis %9) -oiofit «p«3 op o^Bxa

H 0* J«T"ai«0 "«pnaA ap o5ajd o JBOijipotû mas 'soiotit ep ojarapn o %9 natniiTJ naApsoj 'sopipuaA sopfit sop Bssaraaj b jazBj ob 'oJiaio^o sBpQ Oi'i^S 'JO ^ soiofi^ 000 t8 nojdraoa jo^nj^suDè ran' «ig

•oJiaMl. ^sojauipu siop so obs eran^ 'jonara ojatnpu

g, o-soqtnn aJiaa Bônajajip b '.\qz \ 9 sojatnpn g ap bcuos y *08

BDua ap JOiBA o 9. lunÇ) -soj^am 2\ 0 çi 'qi 'gg 'a^uatuBAi-joadsaj 'raapam i nn'OSOlS '•'Û Ja^i «paa ap SBÔod f nojdraoa ajuBtaoSan ran *63 gnb ® 0" i00'0883TS 'JO ap pjioj ojanj ran JBzqBai BiBd

gj sop mn upTio japuoA OAop o^uanb joj '12 tuBjajjoj^ -ajjodBaBj^

iojjara ran ap npuaA ap o5ajd o 'soj^ora 9 ma anjon]

31BO "Gi 'fftlS 'JQ 'a-j sBa B.uat 'soSubj91 j haa spjad ^jad g fopBj draoa 'assaAi 0 o\^,9j^ua *09' 63tS JO Jad soSobj) lojdraoo iz^ fj

'OO'OStS 'JO fiojara 98 opuapua^^ '«patj op soj^om qi lojdmoQ .9

'^J'nn'nri IS *J0 '00*009 SiS'JO Jad sioq zfS lajdraoo -gg

«pBo JapuaA oADp o^ut-'nb jod •oj^ara o OO'tSS '■'0 ^ ^'pas lajdmoQ

^sojijara 6i BOjad lanSad o?uun() ojiaui «pBo ma o&'2«-j. 08 80S

'08'tS'JO srara oO'fSS "JO oj}ara npaa japuaA OAap 'o^uujjo-i" °î8i

'9 0}si '9 ^'oO't-SS'JQ « 9 o 'o3oi -df;^ ^ "JQ

Q^dù uu 00 'oSuBjj BpBO ap o a pjad BpBo ap oSaid

. gp o no spjod ap ojorapn o aiBnSi as sronb sBp oiaui Jod sBianoij SBjd SBcuaiqojd JT3ZBI ^ oijpssaaouJ 9 '0i09dBa B^sap • ' jaApsaj BJBd - S 'otoB^iod OSUBJJ

tBoraajax 'g jod sjdraoa « x « opnsoqdi^ini^

ap sajBd so^uBn^ -OO'SSSS 'JO ©P oaonj nas 'Q^'eS -jq b jBd Bnr?'®®

9 ap oSoJd o 9 96'8iS J' O - SS'SSIS J' Q «Suajajtp n'anb ça as apaoQ

saiap ran BpBO as 'ouBjajjug 'OO'iSS '->0 mc^iBj am anbjcd 'baiop ^1, B oo'9l 'JO •'«P laAjssod 9 am ob^vj -sajqod sunSiB aajjooos ojan^ ^P®î>

'OS'fOSS 'JO mBja-jsna spjad Qg + soSobjj 08 tn-idonoa ,'g

'9 c^sj 'ojijara ran ap 0}snD-o jas oAap soj^ara 9 ma ojoni 0 •o«5nio ^ojjara ran ap oiana ap o5ojd o 'soj^jaui 9 ma jujoni bj^h apBo japuaA OAap otOBnb JOd oJtara o oO'fSS 'JQ «pas lajdmc^ • I oquaj ojiaquip o^uunb tt j'iî, so CBS so^uBnÇ) -oo'ei^ 'JO 'OO'i-S 'JQ moo jbiuoii, ^ ^opn? jod noSBd ojuBnb a jBd BpBO jod noiJcd o?uBnb 'nojdmoo

-uaA as -BBra iQO'SStS JO «P pjas ojani nas 'OS'OIS 'JQ « a«d BpBo jannaV®^ ag •sBiam ap sajBd ap ojarapu ojjod ran nojdraoa a;}UBioo3au ran •

•BpuazBj BpBO op oj?ara op oiajdra/i o jBinajun -ojjof^a -am ran anb op sjBta 09'eiS 'JO ap oj)am •QO'IQI re -jï

ojoj ap sojiara 99 a spas ap sojara 99 nojdraoa a^uBJOoSou tu^J ^' g

ap o5o.id o 9 fO'ilSS 'JQ - 08'^68S 'JQ «Suajojrp b anb ça as apnoQ 'tO'ilSS 'JO mBjn^îsna spjad 03 + boSubj; gx tcjdoioa .gotaojox '9 Jod o'3 « a Ç Jad Tudraoa ,-x v opnBandiiinra 'OB'jna 'nQ •96'8iS'JO mBJBXsna spjad f + soSobjj 9 iujdnxoa ,*g .gg'ggj§*j0 tuBJBXsna spjad qt + soSnBjj 9 tcjdinoa ,*x *96'8iS 'JO tirciBXsno spjad f + soSubji 9 tBjdtnoa ,*g *93'6iS *J0 raBJBXsna spjad 9 + soSobjj g :Bjdixzoa ^aAB BpBO

noasna *96'8iS *J0 o^sb9 Btja-j 'gpjad f a soSubjj 9 opBjdmoo assaAjt na as '05U«i3J3na '93*618 'JO Jad .spjad 9 a soSubjj g lajdmoQ *93

e

n

swfUdWDpunj sdoùvjddo voj}pwd}Di^ ap so}uaiuaj2

H..=

211

11 4

OperaçÔes Fiindamentais

Elementos de Motemâiica

11 5

Observeraes as duas igualdades seguintes:

de ovos a Cr. S2,30 a dùzia; comprei ainda 212 ovos a Cr. S0,25 cada u®-

14 X 5 = 14 -1- 14 + 14 + 14 + 14

Calcular o preço médio da dûzia.

14 X 8 = 14 + 14 -{- 14 + 14 + 14 + 14 + 14 +

48. Um reservatôrio pode conter 43 875 litres de dgua. Uma tornet®

Ora 14 X 5 = 70 e 14 X 8 = 112. A diferença entre os

despeja dentro delo 910 litres em 7 minutes, e a outra despeja 380 litres s 4 minutes. Estando o reservatôrio vazio e abrindo-se as duas torneiras mesmo tempe, em quantas heras e reservatérie ficard. clieio?

reservatérie pode conter 510 litres de dgua. Para ejica ha uma torneira que despeja .42 litres per minute; para esvazid-lo h» ou ^

«^^rescime do preduto pelo acréscime do muItipUcador. e mr-^e-a u cande. '

tornoira que despeja 25 litres per minute. Estando o reservatérie abnnde-se as duas torneiraS, exatamente ùs 6 heras da manhâ, a que h

e

reservatérie

estard

cheie?

.^0,

tinv ® preduto dois ignémeros é Quai 1 666. Juntando 8 ™ yl Mcador, o predutode se torna ual a 1 590. s sae os dois numéros

" " \ m i 53 : If ° 0 ZlupucâdS

3 peças deAfazenda mesma qualidade Cr. S9 » g' a Or. oo' 88,40 o metro. primeirada peça tem 42 métros eper a seguncia, Quantes

métros

tem

a

terceira?

»

51. Vend£ um autemevel per Cr. 87 250,00. Neste negécio pe^

a

metade do custe do autemevel, menos Cr. 8450,00. Per quanto o tinua

„^•Pl,'cP Oo produto pZltdese ^do ' isTaigrual os' a621861. isloi.&do 10 ador. torna

comprado ? Excrcfcios. Série IX

«Plicadt ° ^285 Q"O°OS dof nlmtr? 9 n T ^ A 1125 Juntando 5 unidades ao mul-

Problcmas sobre as quatre operaçÔes (*)

nlî«« j ^ produto de dois némeros é 2 125. junia némeros?

1. Representar graficamente o

10' " '^i°9nnto'"sTbtraiSÔ 5 u'îdades do

ûiultiDP;^ 1 produto é 20Q060. némeros? Imcando, o produtode sedois tornanuméros igual a 19 635. j. « oroduto sofre

preduto 8X5.

Em primeiro lugar tomamos um

segmente retilfneo AM cujo comprimente pode ser qualquer, per exem

Un, ?■ Quando se somnm n unidades ao "ju 'P n unidades ûo ^ " vezes o multiplicador. _ Q ^ ^ xnultiplicando.

Quanfln ^ ° produto sofre um acréscimo igua produto sofre um de-

ple, 1 centimetre. Depeis construimos um retângulo cujo comprimento AB

®réscim ^'roiuuem n unidades do g diminuem n unidades

do in„u- ^ " vezes o multiplicador. Q"?" . . „ yezes o multi-

seja 8 vezes AM e cuja largura AD

plic^"i't'Pl»cador, o produto sofre ura decréscimo igual a n

seja 5 vezes AM. A drea de retûn-

gule ABCD é 8 X 5. Portante, este retângulo é a representaçâe grdfica

de

preduto

8X5.

-«...s..,

•

yj

JVIUUUW

—

itra^n: 0 produto S X 5, soma-se muS

o u t r,

o multiplicador. Verificar graficamente, e P P

--

eimo do produto é igual a 8 + 5 + 1- ,,„:j„des ao multiplicande

nûmere pode ser sempre representado por um segr®

® 3 i??'i o produto 10 X6, somam-se 3 imida mihme-

returnee, e um preduto de dois nùmeres per um retângulo. ^pel

»o multiplicador. Verificar 3 + 3 X 3, ^ 'l5 O ^®^

° corn Cr. 86 850,00. Quantos métros de seda comprou cada um dos né

51. Vendf 40 kilos de nozes a Cr. $5,70 o quilo e castanhas a Cr. 83,20.

A rdceita total foi de Cr. $452,00. Quantos quilos de castanhas vendf? 52. Comprei 8 pipas de vinho por Cr. S3 720,00. Em uma sémana

de intervalos serd igual ao de alunos. 42.^ Uma avenida mede 3 915 métros de comprimento. o

intervalo entre duas drvores consecutivas 6 de 9 métros e que a primei e a ûltima estâo plantadas nas extremidades da avenida.

primeiro entrou com Cr. $5 891,00; o segundo com Cr. 5 8178,60; o tercei-

alcool. Aos domingos gasta o dobro. Quanto poderia economize ano, se ele pudesse libertar-se destes dois vicios? Supôe-se o

gociantes ?

, 54. Comprei duas peças de seda da mesma qualldade e com a mesma

é bissexto e que o dia 1.° de janeiro foi domingo. - o N. B. O ano tem 365 dias ou 52 semanas e 1 dia.

primeiro dia de um ano que nâo 6 bissexto, 6 uma quinta-feira, o deste

mesmo

ano

6

tambem

uma

quinta-feira.

dift

_

44. XUm operdrio ganha Cr. $14,50 por dia, sua muUier ganha é e cada um de seus très filhos ganha G. $5,70. A despesa didria des a ^ de Cr. 826,70. Quais serâo as economias desta famflia ao cabo , .gg dî^s

'

J^argura, Paguei Cr. SI 700,00 por uma e Cr. SI 195,60 pela outra. Hd entre

Q duas diferença de decada 12 métros. Quanto paguei pelo metro de seda? veual é ouma comprimento unia das peças? , 55. Cerca-se um terreno retangular de 150 m por 76 m com très fies

arame amarrados a postes de madeira. A distância entre dois postes con-

^ de 2m. Cada poste custa Cr.SI.30 e o metro de arame custa

• 500,64. Calcular o custo desta cerca. (Vide problema n.° 41, B.)

admitindo que haja 64 dias feriados por ano e que, em cada

um terreno retangular cujo perfmetro mede 5676 m. Pa-

feriados, a famîlia tenha uma despesa e.xtraordindria de Cr. S20,

Sifctro pordemetro quadrado. Mandei tendo page Cr S0.56 por cerca. Quai foi a despesa totalcercd-lo, ? 0 terreno tem 320 métros de largura.

dos saldrios recebidos pela familia, durante um ano. Em seguida, -.gggnta'"'^ cular a despesa anual. A diferença entre a tcceita e a dcspcsa conli®' a economia anual, desde que a receita seja maior do que a despesa. e tkmbe® cida a economia anual, serd bastante multiphcd-la por 5. Note . gaiil^'?

exisfa": Um menino nasceu em 1." de janeiro de 1929., Quantas horas de osaî, Unha ele em de setembro E' preci soosleva^em bissextos e o 17 nûmero exato dosde dia1936? s de cada mès; dias 1 1conta 29 e

N. B. Para resolver este problema, alids muito facil, é o estudante calcule em primeiro lugar a rcccita anual, isto é, a ' cal'

que os operdrios ganham somente quando trabalham. Se um pP^^^-^manal Cr. 815,00 por dia e gasta Cr. $12,00 por dia, a sua receita

Cr. 815,00 X 6 e a sua despesa semanal é Cr. $12,00 X 7. . ^iîis

de trabalho. Entretanto, se tivesse trabalhado mais 8 dias, teria

Cr. 8229,40. Quantos dias trabalhou ? Quanto ganha por dia t

46. " Dois operdrios, trabalhando juntos, durante 45 dias, 8720, 720,00. Um deles ganha Cr. $8,40 por dia. Quanto ganha JeS'

47. * Um operdrio economizou Cr. 87 540,00 em 5 anos. ^«"-gr6U'»-

cansado 74 dias por ano, e sendo sua despesa didria de Cr. 815>^"' ^ ^ ta-se quanto ganhou por dia de trabalho.

48.' Um operdrio ganha por dia Cr. 818,70. Trabalha, cm

dias por mês. Paga Cr. 8120,00 mensais pelo aluguel de casa e . ano. — w . Quai V. < 3é . ao sua ua udespesa cspesu. udidria? ittim » Cr. $885,00 em um

00-

49.' Um négociante comprou 13 caixas de lenços por V-nnsP^'S Cada caixa contem 40 dûzias. 0 négociante pagou Cr. 836,00 de tr qu, e selou cada lenço corn Cr. 80,02. Tendo vendido cada lenço ^ ' quai foi o seu lucro total?

«ami nb • colheu 15 cestas de laranjas que deixan^^^^^^ ^nhi t' ^ métros de distância, uma da outra. As lutrar cm ^ egtava 0 sitiante a primeira. Quantos reuniumétros todas percorreu as cestas, de S

ide Qero d^' Ur. $620,00 em notas de Cr. 810,M e d ■ , Lr 6 74. Déterminai o nûmero de notas de Or. biu,uu

45. Um operdrio recebeu Cr. $170,20 por um certo nûmero

Cr.

~û6 serâo tambem incluidos na idade do menmo.

uotas

de

Pp

nn

.

cebf Comprei laranjes; deram-me uma de mais em cada dtoa e eu re-

laranjas. Quantas dùsias tinha eu ped.do ? ^

Cil repokf Uomprei maçâs; deram-me uma de „

825 maçâs. Quantas dùzias tinha eu pedido

Mûltiplos e Divisores

121

8X0 — 0, entâo 0 -î- 8 = 0. Analogamente, 13 X 0 = 0 . '. Capîtulo IV

0 13 = 0; 15 X 0 = 0 . '. 0 -h 15 = 0.

^ Hd uma diferença essencial entre um nûmero primo e um um produto de dois ou mais fatores, dijerentes de si mesmo e da numéro mûltiplo. O nûmero mûltiplo pode ser substituido por

Multiples e Divisores

unidade, o que nâo é possivel com um nûmero primo. Por exemplo,

24 = 3 X 8; 36 = 4 X 9; 30 = 2 X 3 X 5; etc.. Entretanto, nâo possivel fazer o mesmo com os nûmeros 41, 53, 67, etc.. 85. Prelimînares. Um numéro é divisîvel por outro,

quando a sua divisâo por este outro nâo deixa resto. 0 nùmero 24 é divisivel por 3, porque o quoeiente'^da divisâo de 24 pov

é 8,^ 8 o resto é zero; 24 é um multiple de 3, e S'^é um fator,

diviser, submûltiple ou parte aliqueta de 24. . Chama-se nûmero prime absolute, o nûmero que ^ n sivel ivel somente por si mesmo e pela unidade. Os numéros b '

i, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, etc., sâo nu»®-

5 ros primos.

^ Chavia-se nûmero mûltiple 'o nûmero que, alem ^

divisivel por si mesmo e pela unidade, é ainda divisivel

ou mais nûmeros dijerentes de si mesmo e da unidade. Os

ros 8, 15, 24, etc., sâo nûmeros mûltiplos. ,

Convem obsen^ar que os divisores de um nûmero ^ ^

qualquer sâo em nûmero limitado, sendo apenas dois, quao

numéro ê primo; entretanto, um nûmero tem sempre ums-

nidade de mûltiplos. Consideremos, por exemplo, o num^^o Este nûmero tem apenas dois divisores, é um numéro

entretanto, tem uma infinidade de mûltiplos, a saber: 0,

21, 28, 35, 42, etc.. . .5 Analogamente, os mûltiplos de 13 sâo 0, 13, 26, 39,'52, ' etc.. De um modo gérai, todos os mûltiplos de um nûmero 0.^ ^ sâo os produtos que se obtem multiplicando sucessivamen 6

Obscrvaçuo. 0 produto de dois nûmeros é mûltiplo de cada um destes ^eros, Assim, dado o produto 8 X 5 = 40

VP 8 ousedeum 5.nûmero Desta observaçûo résulta imediatamente que, erificar dado a é mûltiplo de outro nûmero dado b, épara bas-

^Qte dlvidir a por b.mûltiplo Segundo ®erû ou nâo serâ de ab.divisâo for exata ou aproximada (§76) Exercicios. Série X ' m u i u p i w a de u c 17, j - »diferentes , w . — w . . — de zero. Calcular 03 5 menores mûltiplos 2. Calcular os 8 menores mûltiplos de 23, diferentes de zero. 3. Calcular os 10 menores mûltiplos de 29, diferentes de .zero, *•

v. ' m c u i a r

os

0

menores

^ûltipioa graficamenta 0 nûmero 3 e os eeus cmco menores

^ûp tilo leBegmentorefn ltieoAB,construri osseuscn icomenores Quai é o menor mûltiplo de 41, diferente de zero? E o maior?

Quai é o menor mûltiplo de 53. diferente de zero? E o mmor?

segin Traçar um segmento retilfneo corn 24 cm. ^m seguida, traçar ^08 retiUneos representam todos . on 9. Dker todos os que divisores de 12. de 15, do 20, 30,Jq de 35 36 JOQuaisssâo sâo03 03dimûl tiplosde de120, 7, compreendi dos ^1- Quai visores compreendi dos entre 11 o 55?

86- Potência de um nûmero. Potêrma de um é ^^^duto de jatores iguais a este nûmero. (. ;

nûmero dado per 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, ctc_.^ Por exemplo, os mûltiplos de 9 sâo os produtos 9X0, 9X2, 9X3, 9X4, 9X5, 9X6, etc..

Existe um ûnico nûmero que tem uma infinidade de ^ .

sores; é o nûmero zero. Com efeito, se dividirmos zero po^

quer nûmero, o quociente é zero e 0 reste é zero. Vesde 9

-.-„^^^_^_^adrado de 7 é 7 X 7,si to é, 49. aoç8e3 dadas neste pardgrafo, decompoaiçâo de

oS?®' " «iem os seus primeifatores ros caract èresetc.. de divsibdidade, da ^^"0 primos,

Miïltiplos e Divisores

Elementos de Matemâiica

122

Terceira potência ou cubo de um numéro -é um produ o

de très fatores iguais a este ndmero. A terceira potência ou o

Observemos desde ja que qualquer potência da unidade é

2- propria unidade. Por exemplo:

cubo de 5 é 5 X 5 X 5, isto é, 125.

1® = 1 X 1 X 1 = 1

Quarta potência de um miraero é um produto de fatores iguais a este nûmero. A quarta potência de 3 é 3 X3 Xo a »

1® = 1 X 1 X 1 X 1 X 1 = 1, etc..

isto é, 81.

E

assim

por

diante.

.

^

Para multiplicar duas potências de um mesmo nû*uero, é bastante soinar os expoentes. Exemplo:

Por convençâo, a primeira potência de um nilmero ^ ^ prôprio numéro. Por exemplo, a primeira potência de o prôprio nûmero 5. ^

Para indicar uma potência qualquer de um numéro, P ^

123

23

X

2'

Corn efeito, 2® X 2® = (2 X 2 X 2) X (2 X 2 X 2 X 2 X 2) =2X2X2X2X2X2X2X2

exemplo, a oitava potência de 5, nâo é precise cscr

5X5X5X5X5.X5X5X5;é bastante escrever S®.

= 2»

Se quisermos indicar a centésima potência de 7, dever

Para multiplicar duas potências com o mesmo expoen-

escrever 7X7X7X7X7X7X..., isto é, um produto

tuido por 100-fatores iguais a 7. Para poupar tempo e esp^ ^ convencionou-sc entao escrever apenas uma vez o nu e, à direita deste 7, um pouco acima e com algarismos 0 nùmero de vezes que este 7 deve ser tornado como

ï porem com bases diferentes, é bastante m ip

e dar ao produto, como expoente, o expoente de^um

® fatores. Exemplo:

23 X 5^ = 10'

tanto, a expressâo aritmética 7^9° significa a centésima po de 7. Analogamente,

Eom efeito, 2^ X = (2 X 2 X 2) X (5 X 5 X

13'^ significa a 4.® potência de 13.

23® significa a 5.® potência de 23.

=2X2X2X5X5X5

32^ significa a 7.® potência de 32. 5

Consideremos agora as expressôes aritmétieas 13^, 23 Jâ sabemos o que é que estas très expressôes aritmétieas

=2X5X2X5X2X0

32

= 10 X 10 X 10 = 103 (♦)

ficam. Os mimeros 13, 23 e 32 sâo cbamados bases; os

ros 4, 5 e 7 sâo cbamados expoentes. Portanto, base e mero que se quer elevar a uma deierminada potência', é o

do quai se pede uma potência qualquer. Expoente é 0 j. a que se coloca à direita e um pouco acima da base, para

que potência esta base deve ser elevada', para indicar quanias esta base deve ser tomada como jaior. 0 expoente 1 nâo se esc

7^ é 0 mesmo que 7; a primeira potência de 7 é 7. Entreta^^^ nâo esqueçamos que, quando nos convier, poderemos e® ver 7^ em iugar de 7î 8^ em lugar de 8: etc..

Exercîcios orais

as expressôes artiméte i as segumtes, dzien o po

^plo : 2® = 32

2,' 2^ 23.'2^ 23, 23, 2^ 2,' 2» 2^' ÏO^ 103, 10^ 103, 106, lor, 106, 10 , ^ ""tavti®"®'■ k™eadaanmultiplicaçâo. tero irBeu jsctiamu flto i facm l ente,co G6 flssoeiativa

124

Elemenfos de Matemdtica

20\ 202, 203, 20S 203. 31, 32, 33, 34, 33. 5 . 301, 302^ 303^ 304^ 305. 6 - 401, 402, , 403, 40^. 403, 3 .

7.

4.

8.

Multiples e Divisores

e di^Qes, na ordem em que estào indicadas, e depois as adiçôes

51, 52, 53, 5^ 53. 501, 502^ 503, 501, 50'

numa expressâo aritmética entrarem P tencias, é Entretanto, nccessâriosecalcuiar em primeiro lugar estas

9. 602, 702, SO2, 902, 1002. ^

Poteucias.

.10. . . 2002, 3002, 4002, 5002, oQO-.

11. Qual é a quinta potencia de 10? De quantos algan^

ezemplo. 7+3-^X5-4X52-M0-f-8+23x7-20= 7+81X5-4X25-M0+8+SX7-20=

tnos se compôe ? Quais sâo eles ?

12. Quai é a 7." potência de 10? De quantos algads®®®

7+405 -100 10+8+56 - 20 =

se compOe? Quais sâo eles?

7+405-10+8+56-20 = .

13. Quai é a 4.® potência de 10? De quantos algarismos se

(7+405+8+56)-(10+20) =

compôe? Quais sâo eles? ^

476-30 = 446

• exemple. 23X3^-^63+5XF3°-43x2+83-^43+53 =

^14. Quai a conclusâo que podemos tirar dos exercîcios '

12

e

13

?

64X81-^216+5Xl-64X2+512-r64+125 =

'

24+5-128+8+125 =

-jj-15. As expressôes 7 X 2 e 72 sâo iguais ? For que ?

(24+5+8+125)-128 = 162-128 = 34

-f-16. Quàl a diferença que existe entre 7 X'5 e 73? 17. Quai a diferença que existe entre 10 X 3 e lO^* *^^8, Desénvolver as expressôes 8 X 5 e 83. '

Exercfcios. Série XII 1. 2. 3.

19. Desenvoiver as expressôes 10 X 6 e 10®. -

Calcuiar mentalmente os produtos que se seguem20.

2 X 23

1

21.

2 X 2^^

22.

23 X 2

1 25.

23.

22 X 2^

24.

1 26. !

27.

33 X -3 i 33 X 33 1 23 X 53 1 32 X 22 [

28.

22 X 23 X 2

29.

24 X 5^ X 1

30. 31.

125

23 X 53 X A

Exercîcîos. Série^XI

1. Calcuiar a oitava potência de 5. 2. Calcuiar a sétima potência de 8.

.

4.

:5.

' 6.

23-34 t 43 _a2_L6l_ 1^0 J-lQi =

83 X 53 -î- 103-2^x3^ X 53+123 X103 153-1833 XO+27 000 105-2-iX33^6'+1003-.73x93-5-633+253 = f+33+45_52_62-73+103 =

(123+242) 4-12-32X(23+33-274)+103 = (3+4X5)2 =

(5X8-4X3)2+(7-4X5+14)Ï® , X » - 4 X 3 ) 3 + ( 7 - 4 X Ô + W -=r- (40-23X5+2)8+5X(73-63-33)'* (40 —23^eî ' ' c SX/•'72 _ «2 _ .q2l4 = 9,

200 •lo" 200-(7X52)-K15-(-5)3-(7X8X9X0)«' '= ^«-4-30 + 53 + 73)3

_

—

" Teorenras gérais .la diviaibUidade. C)

3. Calcuiar a sexta potência de ô. 4. Calcuiar a quinta potência de 12.

^a,temâtica que exige pro va. soma ê

nâo exg i e prova.Ag l uem^nos d.^-

A ^ r ceue ar ira p o t ê n potência c i a d e de3 315. 2. b. Oa a segunda i' Oa eu ar a primeira potência de 3 784. • Oalcular a trigésima potência de 1.

A^îpaos espécle das parcelas. é um axioma. ;ôes

87. Expressôes aritméticas. Para calculai' expr^ e aritméticas em que entrain adiçôes, subtraçôes, multipli^^ .eieS

divisoes, é necessario efetuar em primeiro lugar as multipl"^^^

n diz: ^l^dlvisor parcelas, é todo o numérodas q«e e div

aoPrimelra série ginasial, o kJciar os nossos alunos milite simples, como os que apre-

^'^tatQoade ^ parâgrâo. alguns E' preci teoremas, so semear&hés para corner ®Ser.

Multiples e Divisores

Elemenios de Matemàiica

126

tambem divisor da soma. Podemos duvidar desta afirm^ç E' claro que sim, e podemos exigir a prova desta

Sn9

0

nome

de

demonstraçao.

A parcela 39 e a soma 91 sao dhisiveis por 13, ou 13 é divisor

soma 91 e da parcela 39. Com efeito, 91-^13=7 e 39-1-13=3. Logo,

tâo esta verdade se chama tcorema, e ao traballio de pr dâ-se

127

91 = 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13 + 13

.

39 = 13 + 13 + 13

Antes de estudarmos os principals teorem^ gérais ^

sibilidade, é necessario compreender bem o signficado

Torna-se agora évidente que a diferença entre os numéros

guintes frases: 24 é divisivel por 3; 3 divide 24.

^ G 39, que é o valor de x, deve conter 4 vezes o nùmero 13.

com estas palavras que a divisâo de 24 por 3 é exata, (à ^ que o dividcndo é 24 e o divisor é 3. m estas Quando dizemos que 3 divide 24, queremos dizei co palavras que a divisâo de 24 por 3 é exata, sendo que

®®ta demonstrado,

Quando dizemos que 24 ê divisivel por 3,

dendo é 24 e o divisor é 3.

Primeiro teorema. 0 nÛTnero que é divisor das V

tamhem

é

divisor

da

soma.

n

—

x

^

très parcelas sao divisiveis por 7, ou 7 é divisor das r

di ^/"s-oes ""''•a.sào «nlâigoùainâo "'■"' s. é divisor da soma, e os restas das duas

21 = 7 + 7 + 7 28 = 7-1-7-1-7 + 7

35 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 21

28

8 35 deve conter 12 vezes o nùmero 7. Realmente, c ^^^,0

o valor de a: e dividindo-o por 7, o quociente exato e que

este raciocînio pode ser feito com niimeros quaisquer, ^gpionS" preencham as condiçôes exigidas pelo teorema, este esta trado.

ObservaçSo. Jd aprendemos que:

mimiendo ~ subtraendo + resio ; (§64) que: E, de acordo com o teorema que acabdmos de demonatrar res Quando um nûmero é divisor do subtraendo e do resto, à ioriv do minuendo.

jormada parcelas, se um numéro é divisor da soma e de uma das V Segundo teorema. Sendo uma soma

tamhem é divisor da outra.

Consideremos a seguinte igualdade: 39+a:==91-

^or nUmero é divisor do minuendo e do subtraendo, é tambem dt~

, Tercei teorema. uma somadas jormada duosnao par-ê sero um numéroSendo é divisor de uma parcelapor s mas

las. Com efei^o, 21-î-7=3; 28-1-7 = 4; 35^7 = 5. bog ,

Torna-se agora évidente que a soma dos

ObscrvaçSo. Voltando à igualdade e ininuendo — subtraendo 4- reste

^cibnente concluiremos que:

Consideremos a seguinte igualdade: ."aq parc^

•

Realmente, dividindo este valor por 13, o quociente exato é 4. orno este raciocînio pode ser feito com nùmeros quaisquer, esde que preencham as condiçôes exigidas pelo teorema, este

ûioj p^^^'iieremos a seguinte igualdade; 28 + 37 -, ï. pn

4. parcela 7,Ad sendo a segéundivisivel da nào opor é, se o 0 quo0ce iquociente nte n i compe l 'S™ to g i ual ' ® ® reste igual a 2. Logo,

28 = 7 + 7 + 7 + 7

37 = 7 + 7 + 7 + 7 + 7 + 2

Q évidente que a soma ^Realmente,

'^'euianH ® ° numéro 7, e mais 2 u

Weto é ^q^ °2. °Como ® '"inrfniô pode Pser feito com este racioclm ^ g^g exigidas Delo fp® quaisquer, desde que preencham as

orema, este estâ demonstrado. j,w

25 ou 100, a soma tambem o serd, em virtude do primeiro teore

ma

de

divisibilidade.

^

Entretanto, se a segunda parcela nao for divisivel '

25 ou 100, a soma tambem nao o serd, e os restos das duas

Quarto caracter. Um nûmero é divisivel por 16 (2^), por 625

(5^) ou por 10 000 (lO"*), quando o nûmero jormado pelos quatro pri

meiros algarismos da direita é divisivel por 16, por 625 ou por 10 000. Um nûmero inteiro qualquer pode sempre ser decomposto

em duas parcelas, sendo a primeira terminada por quatro zeros ® ^ segunda constituida pelos quatro primeiros algarismos da

direita. Por exemplo:

serâo iguais, em virtude do terceiro teorema de divisibilida • Exemplo. 0 niimero 3 478 é divisivel por 25 ?

0 nilmero formado pelos dois primeiros algarismos da dire isto é, 78, nâo é divisivel por 25, sendo o reste igual a 3. dividirmos 3 478 por 25, o resto serd 3.

sâo os nùmeros que terminam (à direita) por 00. ^2^ Terceiro caracter. Um nûmero é divisivel por 8(2^), (5®) ou por 1 000 (10^), quando o nûmero Jormado pelos très V

A primeira parcela, com quatro zeros à direita, é divisivel

pot 10 000 e, por consequência, por 16 e por 625, em virtude dp quinto teorema de divisibilidade. Ora, se a segunda for di-

a segunda nâoefor porduM 16, P25Entretanto, ou 10 000, asesoma tambemparcela nâo o serd, osdivisivel restos das dî^sSes serâo iguais, em virtude do terceiro teorema de divisi■^didade.

ros algarismos da direita é divisivel por 8, por 125 ou por

Um nûmero inteiro qualquer pode sempre ser e

em duas parcelas, sendo a primeira terminada por ti^s

a segunda constituida pelos très primeiros algarismos da o

^ Exemplo. 0 nûmero 312 658 é divisivel por 16? _ Nâo é, Çpfque 0 nûmero formado pelos quatro primeiros algarismos da istodivé,idi2 658,onâo é divis312 ivel 658 por 16, o resto igua ^ 2. E"se rmos nûmero porsendo 16, o resto serd 2.

384 = 47 000 -f- 384 Exercîcîos orais

A primeira parcela, com très zeros à direita, é

1 000 e, por consequência, por 8 e por 125, em virtude do d ^ teorema de divisibilidade. Ora, se a segunda for divisive 125 ou 1 000, a soma tambem o serd, em virtude do

teorema

346 578 = 340 000 + 6 578

y^i0vel por 16,teorema 625 ou 10 a soma tambem o serâ, em virtude primeiro de000, divisibilidade.

Os mîmeros divisiveis por 25 sâo os nùmeros que ternu (à direita) por 25, 50, 75 ou 00. Os mlmeros divisiveis por

Por exemplo: ^ 47

131

de

divisibilidade.

Entretanto, se a segunda parcela nâo for divisiv^ P

S,

125^ ou 1serâo 000, iguais, a somaem tambem nâo serd, e teorema os restos de divisôes virtude dooterceiro bilidade.

Exemplo. G nûmero 47 384 é divisivel por 8 ? E', o nûmero formado pelos très primeiros algarismos da j...

isto é, 384, é divisivel por 8. E'divisivel por 125? ^âoe.^

que o numéro formado pelos très primeiros algarismos da ' ^ isto é, 384, nâo é divisivel por 125, sendo o'resto ig"al ^

se dividirmos o nûmero 47 384 por 125, o resto sera 9.

\»> 2' ^ 25? Poî que? Quai 0 qïSto? 2. 0onûmero Por q^ 3. 0 nûmero14 37926 5496édivisivel Jvisive por por 25? 4? Por ^ O nûmero 126 849 é divisive por 125 r ror q ^

l' O0nûmero 718 éé dmsivel divisive por Por nûmero93 9 758 por16? 6257 Poq^^^ q ^ ^^ U 0 nûmero 11 236 é divisivel por 8? Pu 9 ^ ^

.3. O nûmero 91 745 6 Jvisive por 25? P q^^^ ^

V o nûmero 8 716 é divisivel por lo r r 1

♦n' Quando é que um nûmero é divisive po

Quando é que um nûmero é divisivel po Quando é que um nûmero é dmsivel p

Iij.'- Quando queum umnûmero nûmero é—1 por Quando ééque é divpivel p Jf- Q u a n d o é q u e u m n û m e r o é d v i s i v i e l p 1s0tu 2d4a/ntes B. Em relnçâo aos exercfeios 16 a 20, oosr e u ^^ando é que um nûmero é divisive f-

® duaa perguntas, sem efetuar a divisao.

res-

132

Mûlfiplos e Divisores

Elementos de Matemotica

16. 37429-^ 10=? E quanto resta? 17. 85 687^ 100=? E quanto resta? 18. 348 619-5- 1 000=? E quanto resta? 19. 1 287 648-r 10 000=? E quanto resta? 20. 37 498 626-^100 000=? E quanto resta? ,

133

Segundo caracter. Um nûmero é divisivel por 9, quando a

soma dos valores absolûtes de seus algarismos é divisivel por 9. Exemplo, O nûmero 345 748 é divisivel por 9 ?

* 21. Quanto devemos subtrair do ndmero 378 para que o resultado divisivel por 5? E quanto devemos somar-Ihe, com o mesmo "*22. Quanto devemos somar ao ndmero 537, para que o resultado mdltiplo de 4? E subtrair?

*'23. Quanto devemos subtrair do ndmero 763 para que o resu

seja mdltiplo de 26? E somar?

3-f4-|-54.74,4_(_8 = 31 31-4-9 = 3 e restam 4.

nûmero 345 748 divisivel por 9, sendo msto da diLogo, visâo 0igual a 4, como senâo podeé veri ficar, efetuando a di0\nsâo. Tcrceiro caracter. Um nûmero ê divisivel por 11, quando a

«orna dos valores absolutos dos algarismos de ordem impar, menas

® soma dos valores absolutos dos algarismos de ordem par, é divisivel

91. Observaçoes sobre o parâgrafo anterior.

por 11.

quatre caractères de divîsibilidade que expusemos no parag

anterior foram compreendidos, é facil concluir que esta P.^.^

série de caractères ê ilimîtada. Com efeito, estamos

a dizer quando é que um ndmero é divisivel por 2^, 5b 1 ' 2b 5b 10b ou 2b 5b 10b e assim por diante. E estaraos tam habilitados a proV^ar o que afirmamos. Entretanto, os ^ racteres, a partir de certo ponto, se tornam inuteis. Por plo, o nûmero 7 486 é divisivel por 32? 0 numéro 32 é a j.(j

* Os algarismos de ordem impar sâo o 1.®, o 3.®, 0 5.®, etc.,

5 partir da direita, isto é, do algarismo d^ unidades; os de or-

par sâo 0 2.®, 0 4.®, o 6.®, etc., a partir tambem da direita.

Exempta. 0 nûmero 7 384 206 é divisivel por 11? (6+2+8+7)-(0+4+3) = 23-7 = 16 10 .i. 11 = 1 e restam 5.

V , Logo, G nûmero 7 384 206 nâo é divisivel por 11, sendo o

formado pelos cinco primeiros algarismos do nûmero dado.

^to da divisâo igual a 5, como se pode verificar, efetuando a

cesse espontâneo, isto é, efetuando a divisâo.

iUM a primeira soma é menor do que a

potência de 2. Entâo é necessârio dividir por 32, o

s6 é possivel obter o resto da divisâo de 7 486 por 32, pelo P

que ^tome onzes sejam necessânos para maiorquantos do que a segunda.

Tambem é util observar que a divîsibilidade de qualquer por 2b 5b 10b depende do nûmero formado primeiro algarismo da direita; por 2b 5b lOb

^^emplo. 0 nûmero 73 827 092 é divisivel por 11 / (2+0+2+3)-(9+7+8+7) = ^-31

nûmero formado pelos dois primeiros algarismos da ^ ^ por 2 , 5^, 10^ depende do nûmero formado pelos trcs

(7+ll+ll+ll)-31 = 40-31 - y

meiros algarismos da direita; e assim por diante.

92. Segunda serie dos caractères de divisîbilld ^

Primeiro caracter. Um nûmero é divisivel por 3 ^ 3soma dos valores absolutos dos sens algarismos (§56) é divisivel' V Exemplo. 0 nûmero 475 268 é divisivel por 3? 4+7+5+2+6+8 = 32 32-Î-3 = 10 e restam

2.

Logo, o nûmero 475 268 nâo é divisivel por 3, sendo o J

da divisao igual a 2, como se pode verificar, efetuando a divi^

9 ^ 11 = 0 e restam 9.

rest+So, o nûmero 73 827 092 nâo é divisivel por ° 1 ^SUal atambem 9, como caractères se pode verificar, f ®ég preferivel 7^ 12, 13, /* de que

«4, ' etc.. Entretanto, sâo tâo compUcados que P a divisâo. A demonstraçao compléta dos

a 2.' série, pela difculdade que oferece, nao P

1 Exercicios

tas vezes quantas for possivel, podemos subtrair 9, todas as vezes Que a sema atingir a 9, ou exceder de 9. E' o que vamos tornar

orais

1. O nûmero 374 é divisivel por 3? Por que? Quanto Ihe

somar ou diminuîr para que o resultado seja divisivel por 3? qjjs, modificaçôes no algarismo das unidades; no das dezenas; no das cen * 2, Mesmo exercicio era relaçâo ao nûmero 2 537 e ao divisor y. 3. Mesmo exercîcio em reiaçâo ao nûmero 3 427 e ao diviser

Formar um nûmero de 5 algarismos, que seja divisivel por 5, 9^ Formar um nûmero de 4 algarismos, divisivel por 2, 5, 8 © Formar um nûmero de 3 algarismos, divisivel por 2, 3, 4,

No nûmero 37x6, quai deve ser o valor de x, para que este n .

seja

divisivel

por

9?

ndmei*®

5. Dado o nûmero 46x5, quai deve ser o valor de x, para que este

seja divisivel por 11?.

6. Mesma questâo em relaçâo ao nûmero 47x6.

^3. A regra dos noves fora. A divisâo é a ^ro.

tem por fim determinar quantaa vezes um nûmero contem o ou repartir um nûmero em partes iguais, de acordo corn o ma dado. Entretanto, nâo levando em conta o problema podemos dizer que a divisâo é a operaçao que tem por

subtraçôes.

87-16=72; 72-15 = 57; 57-15=42;42-15 = 27; 27'15="^ Efetuâmos ,cinco subtraçôes. Portando, o quociente completo da divisâo de 87 por 15 é 5, e o resto é 12.

Conclue-se que, assim como a multiplicaçâo é uma a i

abreviada, a divisâo é a abreviaçâo de uma série de subtraç ^ Vamos agora verificar se _o nûmero 45 625 é divisivel por ysoma dos valores absolutes de seus algarismos é 22.

esta soma por 9, por meio da subtraçâo. Teremos: 22j- " ^2 13 — 9 = 4. Portante, o quociente incomplete da divisâo 2,

e

0

resto

é

4.

•

por û que se dû o nome de regra dos noves fora.

94. Prova da adiçâo por meio de uni dhîsor qualqucr prova pelos restes. Regra. Para tirar a prova

por meo i de um dvi si or quaq l uer, determn i a-se e j so l da

f^sdorestas de codeadetermina-se uma das paroceresto las, peda lo d imsor escolJndo, divisâo da soma

mesmo divisor escolhido; depois ^ T0 VTimitîva pelo mesrno divisor escolhido. ^ Jorem iguais, é provavel que a adiçâo esieja certa.

637

2 346 537

0 19 350 27 0

Como exemple, vamos dlvidir 87 por 15. Teremos:

é

Jora 1; 1+5 = 6; 6+8 = 14, noves fora 5; 5+7 = 12, noves fora 3;J+6 9, noves 8+4 = 12, noves fora 3.igual 0 nûmero uâo é=divisivel porfora 9, 0; sendo o reste da cii\isâo a 3. Adado este

I ^jo va pelo \ 7 456 âivisor 9 / 8 374

diçôes, o resultado da divisâo, isto é, o quociente, seja ele e ouincompleto (§76) pode ser obtido por meio de uma sén

9

0 nûmero 37 587 684 é divisivel por 9? 3+7 = 10; noves

Primeiro exemplo

terminar quantas vezes um nûmero contem outro. Nestas

por

claro com o seguinte exemple.

Processo para achar o resto da divisâo de um nûmero qUalquer

Exercicios. Série XIII

3 . * 4.

135

Mûltiplos e Dlvisores

Elementos de Maieniâilca

134

j

oS

Mas, em lugar de somar os valores absolûtes de to p..

algarismos do nûmero dado e, depois, subtrair 9 desta soma, ^

Segundo exemplo r Prova pelo 1 3 456

{ dfyisorll / 7 293 547 6 185 2 346

5 19 827 16 5

"divisor parcela ^ resto^ da 8U^ j- ,'^^^olhido; à direita da soma , j gQ^a primitiva divisor «^colhido; à esqu ^ Os dois restos qUeSe rfve ^rn^^®to ser iguda ais sua estâodivisâo subUnhapelo dos cdivisor om doistraces. traço

Exercicios. Série XIV ^ ^ ^

37548+96753+8877+123548+62375+7983+5742 com o divisor 11- , «mv/i com o divisor 9.

3^ ^epetir a mesma adiçâo e tirax a p ^ di\^sor 7.

4. 5®P®tir a mesma adiçâo e brar a P q divisor 6. lt©petir a mesma adiçâo e tirar a p

136

Elementos de Matemàtica

137

Multiples e Divisores ual-

Primeiro exemplo)

Segundo exemplo

{Prova pelo divisor 9)

Regra. Para tirar a prova de uma suhtraçào, por meio de « divisor qualquer, déterminasse o resta da divisâo do subtraendo »

depois, do resta, pelo divisor escolhido; somam-se os .j. e déterminasse o resta da divisâo desta soma, pelo memo

escolhido', em seguida, determina-se o resto da divisâo do '

{Prtwa pelo divisor 11) 27 583

6

X I

X487

X 3

7

18

2 206 64 Il 033 2

193 081 2 206 64 11 033 2

Ts 432 921

13 432 921

27 583 X487 193 081

7

7

7

pelo mesmo divisor escolhido. Se os dois ûltimos restos Jorem '

,A divrei ta escol do mul iplicàande otipresto dafigsua isao Pel o di isor hidto; direitafigura do mul licador ma di ovresto

Primeiro exemplo / Prova pelo \ 318 472

^ii?lhido; à direita do produto primitivo figura o resta da sua

é provavel que a suhtraçào esteja certa.

V divisor 9 / 153 829 164

643

Segundo exemplo 7 1

=

6

/ Prova pelo "1 318 976 l divisor 11 J 153 829

7

165 147

À direita do minuendo, do subtraendo e do resto^ sCO'

resto da divisâo de cada um destes nùmeros, pelo

Ihido. Os dois restos, que devem ser iguais, estâo subbQ com dois traços.

da sua divisâo pelo divisor escolhido; à direita do produto desto dois restos figura o resto da divisâo deste produto pelo iv^or

,d'i'«àoestâo pelo divsublinhados isor escolhido.com Os doi s restos que devem ser dois traços. nplnt! tps-

Na prâtcia, podemos dar à prova da mutlp i hca ao, pe_o l s_res^

> a disposiçâo que vamos indicar. Traçamos ^

perpendiculares entre si. Seja ® ° i ^ ^colhido. Nos dois ânguios .retos da esquerda, ^ os restos das divisôes, por 9, dos dois 4aê 5 fresto do multiplicande) e 4 °dados do mulisto tiplicador). Multiplicando 5 por 4 acha-

. . . . .

718 293 - 547 625 = 7 Tirar a prova com o divisor 9. Mesma operaçâo e prova com o divisor 11. Mesma operaçâo e prova' com o divisor 7. Mesma operaçâo e prova com o divisor 6. Mesma operaçâo e prova com o divisor 12.

96. Prova da rnultiplîcaçâo por meio de um

qualquer ou prova pelos restos. Regra. Para tirar a V ^ de uma multiplicaçâo por meio de um divisor qualquer, e 0 resta da divisâo de cada um dos jatores, pelo divisor f-.Aâo muliiplicam-se os dois restos', depois determina-se o resto da .

deste produio pelo mesmo divisor escolhido] Jinalmente

0 resto da divisâo do produto primitivo pelo mesmo divisor Se os dois ûltimos restos jorem iguais, é provavel que a muUiV ^ esteja certa.

2 776 17 35 20 126

20, cujo reste, na divisâo por 9, é 2 que no ângulo reto de «ma, à direita^

Exercicios. Série XV 1 2 3 4 5

347

X58

divi - ' baixo deste resto, esorevemos o

^^ 2^12^' muitiplicaçao. isto é, 1. 2. 3. 4 . 5 .

Exercicios. Série XVI

37 548 X 6 239 = ? Prova pelo ^^sor • 29 372 X 7 082 = ? Prova pe o Jvisor i^

478 646 X 375 = ? Prova pe o

143 586 X 8 070 = ? Prova pe o 37 — 009 X 4 073 ^= ? Prova pelo p ^ divisor Yneiro

exem-

Pîo il'. Reste de uma expressaoaritmetica. ^^^^^.^^^^jç^

segyijî ° l'îf. prîmes dcste outro. Considere-

HTi^ ^ aumero 1 716. Se dividinnos 1 716 por 44, verificaremos

Mûliiplos e Divisores

loeo 0 ï^^iïiero 1 680. E' divisivel por 3 e por 4: tambem m divisivel divisivel pelo produto pordeles, 4 eistopor é,-48?12, Vejamos. serâ

Tt ^ Portante, 1716 é divisivel por 44, 44 A Qûcm divisivel por 39.priDecompondo e 39 sens fatores mas, teremos: os numéros 1 716)

- ^ ^44 Z 1 ^onde se vê que o numéro 1716

155

Donde se vê que o nù-

4 = 2X2

12 = 2X2X3

1 AQn=" 2X2X2X2X3 tb80 2X2X2X2X3X5X7

qo — qOiQ I oontem os fatores primes J mero 44 e os do ndmero 39.

'

Excrcfcios

mero 1680, sendo igual a

2X2X2X2X3X5X7, é di visivel por 48, que é igual a 2X2X2X2X3. (§114) orais

34^ » alem » »da,unidade, » 3,9,27

Donde se vê que o nilmoro sendo igual a 2X3X3X7, c^o e

sivel por 54, que é igual a 2X3X (§114)

52

^visores:

» 5 e 25.

portante, para o nûmero 16 200, os seguintes grupos

156

Màltîplos e Divisores

Elementos de Matemàtica

157

1.® ^ 1, 2, 4 8 3 + 1 = 4 divisores

Os divisores primos dijerentes de 1260 sâo cinco: 1, 2, 3, 5 ® 7. Entâo vamos dividir todos os divisores de 1 260 em quatro

3.°

Q^ûpos, a saber:

2.° 1, 3, 9,127, 28 4 + 1 = 5 < i;

5,

25

2

+

1

=

3

«

1.® grupo de divisores } l — 2 — 4

Jâ aprendemos que, quando um nûmero é divisivcl

doiSj primas entre si, é tambem divisivcl pela produto deles. 18

2.® grupo de divisores

Cada um dos divisores do 1.° grupo, é primo com cada um divisores

do

2.®

grupo.

j

j.o

3.® gnipo de divisores

Portante, se muitiplicarmos cada um dos divisores

4.® grupo de divisores

grupo por cada um dos divisores do 2.® grupo, terem'os, ao

0 1.0 grupo é constituido sewipre, seja quai for 0 nûmero pelo divisor 1, e pelas diferentes potêneias do primeiro di-

(3 + 1) X (4 + 1) divisores do nûmero 16 SOO.

Mas, cada um destes (3 + 1) X (4 + 1) ppj-tan-

sua vez, primo com cada um dos divisores do 3.° grupo.

to, se muitiplicarmos cada um destes (3 + 1) X (4 + ^

sores, por cada um dos divisores do 3.® grupo, teremos, a

(3 + 1) X (4 + 1) X (2 + 1) divisores do nûmero 16 26 • ^^ 0Regra. exposto é suficiente estabelecer a seguinte Para calcular para o nûmero de divisores de ^ mero dodo, decompôe-se este nûmero êm sens jatores prt'ïïio >

se ^ uma unidade ao expoenie de cada um destes jaiores

plicam'Se estas somas. 0 produto représenta o nûmero de do nûmero dado. Exemple. Quantos divisores tem o nûmero 12 600 ? 12 600

^ 12 600 = 23 X 32 X 6^ X 7

6 300

3150 1575 525 175 35 7 1

N." dos divisores =» (3+l)XC2+l)X(2+^^ N." dos divisores « 4X3X3X2 N.° dosidivisores =72 K -

Reepoata. O nûmero 12 600 tem

72 diviso^®®'

^jsor primo, diferente da unidade, que figuram no nûmero dado.

^0constituido nosso caso é consti tuido pel os divisores 2 e 4. 0 2.® grupo ® pelas diferentes potêneias do 1, segundo divisor primo

figuram no nûmero dado. 0 3.® grupo é constituido pelas

Oiferentes potêneias do terceiro diviser primo que figuram no

^6mero dado. E assim por diante. , .

divisores. 0 pnmeiro grupo sta Entretanto, completo; osfaltam mais ainda estâo muitos incompletes. E, para maior clareza,

\^^03 dos, de * v ichamar s o r os e gdivL^^ores i n ijdcobti ia i se.que estâo , subl . inhados, , ,

Para completar 0 segundo grupo, multiplica-se cada um dos seus divisores iniciais, par todos os divisores do pnmeiro grupo.

completar 0 terceiro grupo, multiplica-se cada um dos seus

r'sores iniciais por iodos os divisores dos dois prinwiros grupos.

completar 0 quarto grupo, multiplica-se cada um dos seus gvisoros iniciais por iodos os divisores dos très primeiros grupos. ^sim por diante. (§117)

disposiçâo final é a seguinte:

1.®

ërupo de divisores 1 ~ ^ ^

2.®

ewpo de divisores _^3g

mcluidoa, sempre, a unidade e 0 prôpno nûmero.

3.0

gfupo de dvisiores j-i 10 - 20 -15 - 30 - 60 - 45 - 90-180

Vamos determinar todos os divisores do nûmero 1 260- _ -gg,

4,0

Convem lembrar que o expoente do fator 7 é 1J

visores sâo 72, inclusive , a unidade e o proprio nùmero gef ObBcrvaçâo. Na relaçâo de iodos os divisores de um numéro, ®

118. Determinar todos os divisores de um ® yipioS

que 1260 = 22X32X5X7. Portante, 1260 tem 36 diviso cluindo a unidade e o nûmero 1260. (§117)

- 28 - 21-42 - 84 - 63-126 - 252 eupodedvisioresr-|_7-14 ,^g_^jQ _o j 5_210-420-315-630-l260

Mûltiplos e Divisores

Elementos de Matemàtica

158

119. Determinar todos os divisores comuns a dois nû-

Exemple. Determinar todos os divisores de 210. 2

210 105

210

=

Dieros dados. Quande um numéro divide outres dois numéros,

2X3X5X7

5 dos divisores = (1 + 1)X(H-1)X(1 + 1)X(1+^^

35

7 N.° dos divisores=2X2X2X2 N.® dos divisores = 16

7 1

tfirnbem divide o m. d. c. desles dois nûmeros. (§105) Desta verdade ja demonstrada, podemos deduzir a seguinte Regra. Para determinar todos os divisores comuns a dois dados, determina-se o m. d. c. dos dois numéros dados e,

^m, seguida, determinam-se todos os divisores do m. d. c.

1.° grupo de divisores { _1 ~ 2

Determinar os divisores comuns aos nûmeros 2 375 019 e 665Ezcniplo. 038.

2.® grupo de divisores _3 — 6

3.® grupo de divisores {_5 - 10 - 15-30

4.® grupo de dvisiores { 7 — 14 — 21 — 42 — 35 — 70 — 10^ Exemple. Determinar todos os divisores de 15 750. 15 750 7 875 2 625

159

1

1

2 375 019

3 665 038

379 905

285 133

379 905

285 133

94 772

817

3 94 772

11 6 817

13 07 4 902 0

D (2 375 019, 665 038) = 817

15 750 = 2X32X53X7

817

N.® dos divisores = (l-l-l)X(2+l3X(3+ ')X(l+^'

1

875 175

N.® dos divisores = 2X3X4X2

19

817

=

19X43

43 43 N.° dos divisores = (1 + 1) X (1 -h I) N.°

dos

divisores = 2X2 N.® dos divisores = 4

1.® grupo de divisores

1.® grupo de divisores: 1^ 2.® grupo de divisores; ^ ~ ^17 l Os ^9»divisores 43 e 817. comuns aos nûmeros 2 375 019 e 665 038 sao

2.® grupo de divisores [-J3g-„ 6

dades,cal0cul ai- os diévisoores comuns a très ou mais numéros processo mesmo.

N.®dos divisores=48

35 7 1

_5 -10-15-30-45-90 3.® grupo de divisores

Excrcicios. Série XXV

25 - 50 - 75 -150 - 225 - 450

1.

1^1^5-250-375-750-1 125-22505^ ^ ' 7-14-21-42-63-126-?5-70-l 4.® grupo de divisores 7 875 Exercicios. Série XXIV

1024 I 3. 5 400 ! 5. 5 864 4i 12 012 ! 6. 6

580 601

4. 5.

Determinar os divisores comuns aos nûmeros 505 46 Idem para os nûmeros 1 024 e 1 800.

Idem para os nûmeros 583 440, 76 296 e 240 240. Idem para os nûmeros 776 475, 570 843 e 1119 195. Idem para os nûmeros 210 e 330. 110195

. 120 ~ ^ ^ de dois ou mais nûmeros.

seg•ud^'

Determinar todos oa divisores de cada um dos nûmeros que

1. 2.

15760

2. 3.

"^PïendPTv. do m. d-c. de nûmeros, ï^elo ^ determinar o m. d. c. d aprender oiitrr, ®3so das divisôes sucesstvas. j c de dois ou

processo, chamado composiçao do m. u. .

Mùliîpîos e Dîvîsores

Elementos de Matemàtica

160

121. Mîiiimo mtiltiplo comiim. Mûliiplo comum de dois

mais numéros dados, pela decomposiçûo dos nûmeros dos em seus fatores primos. Este processo se resume n ■

'

ou mais nûmeros é um outro nûmero que é divisivel exatamente por estes dois ou mois nûmeros. 15 é miiltiplo comum de 3 e 5; 24

eros,

Regra. Para determinar o m. d. c. de dois ou mais feîa decomposiçdo destes nûineros em seus jatores primos,

Dois ou mais nijmoros têm sempre uma infinidade de mul

3 X 4 ou 12, é divisivel por 3 e por 4. _ Agora, se miildplicarmos pela série dos nùmeros naturais, isto é, por 1, ^ o, , ,

seguida, muîtiplicam-se os jatores primos comuns aos î ^ dados, tomando cada um deles com o seu mener expoen

A n flos nûmeros

Exejnplo. Determinar, peloa fatores primes, o m. a. o. 210, 1 980 e 1 4 0 4 0 . 14 040 7 020

3 510

2 2 2

585 195 65

3 3 3 5

13

13

1755

1

980 990 495

165 55 11 1

2 2

210=2X3X5> etc., sâo fraçôes aparentcs.

Numéro mixlo 6 o niimero constituido per urn numéro intei2 5 ro e uma fraçao propriamente dita. Exemples: 3-^' 4-^'oof

10~> etc..

Considerando que a unidade tern dois meios, irês /erçoSi quairo quartos, etc., conclue-se que pode ser representada,

meio das fraçôes ordinarias, de uma infinidade de maneiras. 1

=

1

—

=

2

—

3

=

—

4

=

=

7

_

S~6~7~8~ cada

Exercîcios orais

4 . 5 . 6.

sétimos; logo, y = S™ Podendo o mesmo raciocînio ser feito com qualquer outra

fraçâo imprôpria, podemos estabelecer a seguinte Regra. Para iransjormar uma jraçao imprôpria em numéro

inteiro ou mixlo, divide-se o numerador pelo denominador. Se kouver resto, compleia-se o quocicnie com uma Jragâo iendo para numerador o resto da divisâo e para denominador o d%mor.

PrirndTo exemplo. Converter ^ 601 nûmero inteiro ou mixto. 143 33

- 11

,

143 _ lîcspostd» -j j —

0

.

Segundo exemplo. Converter em numéro inteiro ou mixto

1 14477

147 LJd— Resposla. ~ = 13 ^ 37

13

11

11

4

127. Transformaçâo de um nûmero mteiro em fraçao *«ixto em fraçâo imprôpria. Qualquer

uma delas é igual à unidade.

1. 2. 3.

Portanto, 38 sétimos contêm 5 unidades e restam ainda 3

denominador dado; transformaçao de

8

Estas fraçôes sâo todas imprôprias (aparentes) porque

71

Fraçôes Ordinarias

Elementos de Mofemdiico

transformado em fraçâo com^ fr;râo cSo ^^emplo, vamos o nûmero em ^ ^ ura, ^ se denominador seia transformar 8 isto é vamos reduzir 5 5 a oitavos. unidade tem s'oitavos, 5 unidades têm 5 vezes oito oitavos,

é, 40 oitavos. Portanto, 5 = f Podendo este mesmo ra.

Bizer fraçôes iguais a 2 unidades. Dizer fraçôes iguais a 3 unidades. Dizer fraçôes iguais a 4 unidades.

f^ (tQV^

se recorremos aos caractères de divisibilidade de

que seja irredutivel. Recorremos entâo ao segundo terminamos a eimplificaçâo.

7 567

3. Simplificar a fraçâo

6 710 9 333

s. Sm i pfcilar a frM®" 8 gj 6. Sm i pUficar a frast" 3# 8

.

7

11

1

e

E'

évidente

l^onsideremos as fraçOes ,5' 15' 15 15

que

■«0^aa1 rfUaçVôeUsL^8e91-^ 0 en m iraadnorl odaf p ra ii v sigidniddciaa qu 7 ^d ^o pn on im de ee m

4. Simplificar a 1

7. Detenninar uma fraçâo igual a —. cujo denominador

^

lnadoi roé^u sal^uquem aisoJdera ônieasdorm =riaçilàoQ m aqa ue tem noçm men0 o^ r. 0-^^

Eicrcicios. Série XXIX

2. Simplificar a fraçâo

as fraçaea 1 e 1- Ora, se a unidade foi dividida em quinze io 15 3 ^ partes iguais, é évidente que 15 > 15'

aos termos da fraçâo |||. Entretanto, nâo podenws ^

4 715

"Ira,sI.âoQuando mao i r êduas aquea louqumai ee ismJraçôes o numtêm eradoor mao i r.Consd i eremos ^

mente nos servimos na prâtica, nâo acharemos um divisor

3 422

147

134. Comparaçao de fraç5es. Para indicar que um nù^ abertura voltada para 0 maior. Assim, 8 > 3 s gn

1

Resposta. 276 6^ 9 223 " 9 223 -h 401 ""23 Neste exemplo empregdmos no começo 0

1. Simplificar a fraçao ^

•

9. Determinar uma fraçâo igual a cujo denominador seja 41. E' possivel? Por que?

E, às vezes, hâ conveniência em empregar os dois proce 84 210 84 210 -Î- 10

.

8. Determinar uma fraçâo igual a cujo numerador seja 371.

uma fraçâo de termes pequenos, cujos divisores comuDS sao

facilmente reconheciveis pelos caractères de divisibilid«ide. E' preferivel o segundo processo, quando se quer

Exetnplo. Simplificar a fraçâo

179

Fraçôes Ordinârias

Elementos de Matemàiica

sej»

68^-

unidade qualquer, uma gegunda significa que

partes iguais. O denominador da segu

^^tra unidade igual à primeira, portanto, outra m ç

em sete paries iguais. Ora, é évidente q 7 9

I' > 2 39 '37 4> 91.- eprecisamos 7^9 admitir, é claro, q

180

181

FracÔes Ordinàrias

Elementos de Matemàtica

N. B. Veja-se a regra do §130, substitmndo a palavra àenominaâor

duas unidades que foram divididas respectivamente em sete e em nove paries iguais, sao iguais. Se dois viajantes percorreram

pela palavra numerador.

respectivamente, -y e da estrada de rodagem Rio-S. Paulo, o

a menor. Para responder a esta pergunta o que 6 mais convemente: reduzir

primeiro andou mais do que o segundo; mas, se o primeiro

correu -y da estrada Recife-OIinda, ao passe que o segundo per correu — da estrada Rio-S. Paulo, entâo o segundo andou laai

5. Dadas as fraçôes4^0% pergunt a-se quai^é a mai or je quai• 3 46 47 i

as fraçôes dadas ao mesmo denominador ou ao mesmo numerador i

6. Reduzir as fraçôes — e ^ ao menor numerador 1 •

comum.

7-d |eumapeçadefazendacustamCr.$48,00.Quai0preçodapeça?

do que o primeiro.

i Car. 55a6,00ppoer ^ç dae?umal opeça de fazenda. Quai é o custo d. 8e. Patgu oed

9

, 90.'O ndm ero 13 300 représednetas ^t ada popcuia ldçaâod ede uma.c.d i. ade. Quai pomilaçâo ? AUm automobilsta, depois de ter pereorndo 572 qmlômetree,

Consideremos as fraçOes ït' v e E' évidente q 10

11

13

III. Quando duas ou mais fraçOes nâo sao homogène

■^orVâodequedj nithapereordio^daeertada.Quaiéocompnmeno t

nâo têm o mesmo numerador, nâo se pode dizer quai seja a ou a menor, sem reduzMas previamente ao mesmo denomm

v3~

Q

1. Comparar as fraçSes —. e quai a menor.

10 11

4

7_

n 15

15

(30)

(12)

(8)

24, (5)

90

84

120 120 120

Î20

5,

11

Resposta.

a

®24" 10,

17

10

17

verificar quai ^ a 15, 15,

5, 5, 5,

15,

1.

1.

15, 6,

24 12 6 3 1

2 2 2 3 5

1

120

■U.XJmnégocaine t vendeug f deumapeçadea fzenda.Deposi veno restante por Cr. 591,00. Por quanto vendeu toda a peça

15.Emumcombatemoreramdeume^ércto i erestaram9100

^ooiens De qimntos homens se ® e reprovados ^ do

17

totni nm colégio foram aprovad Quantos alunos entraram cm examer

Colocar em ordem de grandeza crescente e docrescente os s 15

1^

— IZ 16 ® 20*

3. Reduzir as fraçOes -1, l, l e ao mesmo

M

^dal é o custo de toda a peça? ,

4 ^ 15 ^ 24 ^ 10

21 0< 1 2Z4 < 1i 5i . ados dois nûmeros em uma certa ordem, 0 primeiro chamado

'^^Itiplicando, e 0 seaundo, multiplicader, a multiplicaçâo é a

^peraçào que tem por jim determinar um ierceiro numéro chamado Produto, que seja, em relaçào ao muUiplicando, 0 que 0 multiphcaé, em relaçào à unidc^e.

, ^ Seja a expressâo 37 X 25. 0 segundo nûmero contem a uni25 vezes. Logo, o terceiro, isto é, 0 produto. deve conter

25 vezes o primeiro, jsto é, deve conter 25 vezes 0 numéro 37. Portante, 37X25=37+37+37+37+37+37+ - 925.

Sea j a expressâo |-X5. 0 segundo nûmero contem a un-i

:^^de 5 vezes. Logo, 0 terceiro deve conter 5 vezes o pnmeiro, 0 é, deve conter 5 vezes o nûmero • Portante, 4X5 T ^ + 4 +l j4.- l+, "3+ ," 3 " _ 34l '

4

•

4

•

4

,

Sea j a expressâo 1 X f 0 segundo nûmero représenta

Oitavos da unidade. Logo, o terceiro deve repmsentar ««co

do primeiro, isto é, deve representar j de

^amos calcular dnco oilavos de -f Ora, para ca ou ar

de si to é, para dvi d i ri | em otio pare i s ^gua^s, é bas-

190

Fraçôes Ordinàrias

Elementos de Matemàtica

191

tante multipîicar o denominador por 8. (§135) Logo, um oiievo

de I é igual a ou

Jâ sabemos quanto é um oitavo de ; é à* Entretanto, ....

a

.

^

queremos cinco oitavos de Ora, um oitavo de sendo oo'

oitavos de - serâ cinco vezes a fraçâo ~ E' preciso, pois, '

plicar a fraçâo ^ por 5. Mas, para multipîicar a fraçâo ^

é bastante multipîicar o numerador por 5. (§135) Logo, "g ® 13 4 32 ^ ~ 32' concluimos que -4 5X -g 1=5 32* • •

Observando este resultado notamos que: o numerador ^ denominador da jraçâo résultante é 0 produio dos denominadore

jraçao résultante é 0 produio dos numeradores das jraçôes

FIg. 62

iraçoes dadas. Ora, se repetirmos todo o raciocînio qoe 4

®stâo sombreadas com pontes) e que representam5 ^ de3j da re-

etc. cbegaremos sempre à mesma conclusâo. Podemos ents-

representam tamhem ^do retângulo. Logo, y X -g» isto é,

neste parâgrafo, com outres exemples, y X ^ X ÎO ^ estabelecer a seguinte

8de|éiguala|.

multipîicar uma jraçâo por outra, é

Exctnpios

da^Z -""'1''?°'' seja o produio dos i. ZL 'T d

s

8

4 „ î ■=SI 3P,|

' 6

•81

01

=ixf

'Z

' I

SIOJO SOpjM9*3

^1 s I n= 21^9 „Xg=U-^|. .J •ogSBJj sp BOWOJ B aqj-TOp •3,u3n,^ ,, „y,ai no OJiaîui oœrapu ^ œstAip o no on?. "'"«JnPAnoo ?, ■, p^p^nu^ 0.5.4 vpundo, Wa/oniL «7="^ °

Siurnm 9 -mno .od 0.5.4 omn ni?' a^ninSas b Jtaoapq-e^sa s' iod s' ouiapoT

. m s o r aPaTJ B S a q o' ' - o c ^TaT ^ 0 8 ^ 0^ 2 n i g*

tîCOS 9 009

=

009 8

^6 =

51

en

•

n ■

88

, som^îodoi as .iQ • j ^od - .nond,„nni onb owsam o a i.

•z

i I ^ÎP'^'P ' =opn;,nsa. s.op so opnnandmoo '

*i

Z X S

8

8 X g

omn V ovôvjj ap obSbjj os-vmwiQ 'OgSBjj: ap ob5bjj; I

I

18

■

S9

8

,^„, j oya-gt 2 ( i

T8

8^8

a '-o-AiP ondnAj np son..o, '^o oVŒ

-îï'

-mnni mmvq ? 'onSBjj ap ogSo^j "

:snb onpnoo as apuoQ 'ff = X

^ (6£T§) "g T vmn "s o;jgt ^ ap ^ ■ov5mÇ vijno"I"dp^ ov5mf ap ^ jBinopo OTJBSsaoau ? B^unSjad iî lapnodsoj bjbj

^■nauioo sopBO anb opq op ob5b.tj b {Bnb as-B^unSjgj-

. gaijgap — nauioQ 'Ojoq tun ap sopBQ "otudiqox^

^ ^ -opSvxf vmn sp swndt Sdpind swm no

z

8 X 8

J_

z X g

' o+ iuBC^JOj a Y C 8 T § ) - ^' a o o C T o / X pgo

^

opBinaoid oiauipu o opo; 9 ' o^si o ' pBJnoojd oiauipn op

05)® ^ opnjnaojd ojaninu op oa.,10 tun anb apsap 'g (SEI§) '9

„,g, .1 ap vvd vmins n 9 opninooad ojampn op oav,w wn 0B,na ,3- 8 lonS; p opnjnoojd o.iauipn op somjw ops anb apsap 'snj^

® .-i n lunSi p opnanoojd oiaoipn op i- no 'ojatnpn

3. Z = 1 ^1. = 7CiJ^±, 8

s,sap I «)uasad j aj| anb as-an3as .| « [nnSip aumenta de315 unidades?

a segundr^Em Eunua. Em qrua^brem-se ntas horasas a pdu^. rm i eriaAo acacabo bard dde e e5nchoras her o tafecba nque'^

26.Se—deumacasacustamCr.SG440,00,quaiéopreçoda.

3 38. Quai é o nûmero que, dividido por —,1 aumenta de 1360 unidades ?

39. Quai é o nûmero que, dividido por 15, diminue de 518 unidades? •

?

—

'

/

^

7 , ^ acordo com o enunciado do problems temos:

V

40. Quai é o nûmero que, dividido por 7-^, diminue de 160 unidades ?

gdo^o daVeaqs^ae= Cre.rço 44d0a0 .0ca.■. !é,p fure çoafotdramcuaotiaaf)cli-deC,rde$et6rm4ni4a0 ,» 6M op sa> m .r0

4 .1 ^1. b

o ^pexérci sod lwadJos®se52 com ôe estetoexequi érctiov?alem a 36 718 soldados. de qua»

da eacf ? S48,00 pelos ~ de uma saca de café. Quai é o

do li^^o? Paeou Cr. $9,10 pelos ~ de um livre. Quai o

Quaiéonm ï ero?" uûmero,1domesmonûmero,oresua tldoà1®® 407.Qua^l^'nSSJo?®^uûmero,~domesmonûmero,oresuta l d"

é - I de I do mesmo nûmero, o result^^^ ^ I de 1 do mesmo nûmero, o resul^^^

o

nûmero procurado igual a 80, este nûmero é 80 X 8, isto é, 640.

horasVa sea^dq^^^iQ torneiras. A primeira enche o O

O

1 do vinho e Um barril estâ cheio de vinho. Tira-se do barril — 5

novamente o barril com ûgua. Em seguida, tira-se do barril — do

728 'teros enche-se novamente o capacidade barril corn do ûgua. Restam no barril de vinho puro. Quai é a barril?

Soluçâo. Tirando-se do barril* ^ do seu conteudo, restaram — de

rinijo

7^

.

13

'j

a*

6

^^• P IJepoi Em si turasdeneheu-se e vn i ho cornoûbarri gual.com Entâoûgua. triaram -sesegui ^ dodva, n i htioraram-se que o b— arrli

si to é, de —. Mas, triando do barrU ^ dos ^ de vn i ho, fci ade.o.0. Maa.

siJto8.eE, qudesde viae l mque a 7— 28do tilrosvi;nehontâsâo o ^8dlitroos,vn i ho équviae l a 728-Î-91. a capacidade do barril é de ^35 g , . ^ 135 'sto é, 1 080 litros.

206

Fraçôes Ordindrias

Elementos de Matemàtica

-, 42. Determinar uma fracûo équivalente a — e cuja soma dos termes

seja

igual

a

120.

^

^

51.

7

• 43. Determinar uma fraçâo équivalente a :r: e cuja soma dos termes

seja

igual

a

11 9 .

^

h

28

'

termes

seja

igual

a

69.

dos

seja

igual

a

154.

15

46. Dois engenheiros estâo medindo o comprimento de uma estra

derodagem.Oprm i eriomede^daestrada.Deposi osegundo,conn tiu"i do os trabalhos, mede ^ do restante e acha 693 quilômetros. ^ ° comprimento de toda a estrada? _

Exemplo. 3,78 + 0,0426 + 53,57 + 0,896 + 54 = ? 3,78 0,0426 53,57 0,896

3,780 0 0,042 6

porét 0 a jraçào'decimal nâo se ajt f

mener par haixo da maior, de modo que as virgulas, e as unidades de

é bast^nte decimal por 10, 100, f,'

ua-se a suhlraçào como se sé tratasse de nûmeros inteiros. Em seguida,

Pflrn u- cada algarismo permanece invarto.

bari ^mos. exemplo, 0,758 y ma =rdi7rei «îS alg smosPor Por^^^ ^ ^îrgul a, para la, um, dois très,

'dma mesma ordem se correspondam em linhas verticais; depots eje-

... coloca-se a virgula no resto, por haixo da

virgula do minuendo e do suhiraendo. "

o valor° relativod'' posiçâo d'à virgula faz comV®

47.5 - 23,897 G 47,500 0

de algarismos décimais. Tudo o que

mulliplicada por 10. = 97A^2n6a^^W^®fl' 0m>00+735 8X100 = b,735 8 e 0,978 26X1OOO -

_g3,897 6

aprendemos em relaçâo à subtraçâo dos

tâo toda a fracâo dp ^'sarismo jique muliplicado por 10.

=

~^,6024

bastante deslocar Iraçâo decimal por 10, 100, 1000, ®*®'' algarismos. ^ ^gula paro a esquerda, um, dois, très, 0,789

2,475 6 493,78

Ce

•

10 = 0,078 9

100 = 0,024756

1000 = 0,493 78

vjUi/o

i

150. Adî a dividida por 10,100,1OOO,

Po-ra somar duas ou fraçGes décimais.

E' sempre util igualar o nùmero

numéros inteiros, se aplica, sem restri

çôes, à subtraçâo das fraçôes décimais. Exercfcios orais

1. 2. 3. 4.

4 -I- 3,5 = p - 0.7 = 0,08+3 =

0,3 - 0,25 =

o

0 valor relativo posiçâo da vîrgula faz ?q() 1000, etc.. ^'\nnô e*®

?

i^:

1 7. 8.

6 - 0,08 =

i 9.

0,1-0,01 =

I 10.

0,7 - 0.07 =

t 12.

2

-1,3

=

|11.

3

-1,5

0,1 - 0,07 4 -0,8

0,5 - 0,08

E.\ercîcios. Série XXXVI

l:•' Na igualdade 3.27+x=8,003 quai é o valor de x7 Na igualdade 8,5 -x = 3,749 quai 6 o valor dexl

Na igualdade 7,48+3,059+0,0029+a: = 15.31 quai é ov^or de ®?

foes, umas par laim /i décimais escrevem-se qs

valof H* igualdade 6,38 - x =£0,47 + 0,0346 + 0,00648 + 3, quai

depois ejetua-se a adicân ^^^espondam em linhas -^qs.

5* Quanto falta ao nûmero 0.3748 para comp etar uma umdade?

unidades de uma'mesmn ''^^do que as virgul(^^^ .^s', f ® se se iraiasse de nûmeros

ue g f

l' 6,47-8,5 + 12-0,498 +3.16-0,00088 = .

Quanto falta ao nûmero 0,0578 para completar uma dezena?

214

Elementos de Matemàtica

Fraçôes^ Décimais

151. Multiplicaçao de fraçoes décimais. Rcgra.

calcular o produto de duas jraçôes décimais, ejetua-se a caçdo coino se se tratasse de numéros inteiros, e dcpois separam'Se no produio, a partir da direita, ianios algarismos décimais

tos sào os algarismos décimais das duas jraçôes dadas. 37,456X0,48: 37,456 0,48

^ ,• 37 456 1000

Portante,

100

37 456 ^ 48 ^

299648' 17,97888

virgula e efetuando a divisâo, obtemos

o quoeiente 87 424 e o reste 36. Mas nds dividimos 37,592 68 ou 3 759 268

43

3 19

0,87424

ceniésimos milésimos por 45. Logo, o quoeiente é 87 4^4 ceniésimos milésimos e restam 36 ceniésimos milésimos. ( § 152)

182

106 208

Regra. Para dividir uma jraçào decimal por um numéro inieiro, ejetua-se

0,00036

37.456 X 0,48 =7000 ^100

149824

153. Primeire case da divisae de fraçoes décimais.

Vamos dividir 37,592 68 por 43. Suprimindo mentalmente a 37,59268

Mul tiplicar 37,456 por 0,48 é o mesmo que niul37 4RR 4g

215

a divisào como se o dividende josse um

"aumero inieiro) em seguida, separam-se no quoeiente e no resto, a partir da direita, tanios algarismos décimais quantos sào os do

= 1 797 888 ^ 17 978 88 100 000

fraçoes décimais. MulipUcando ^

nâo ^se^'^^'alidtera, nao endomas e o di ovireste sor porfica ummul mesmo tiplicado numéro, ou divoidxdo

dividende. Exemplos.

47,308

25

22 3

1,892

0,00274685 096

438

No ^ sempre da mesma espécie do

2 30 58

145

da estipp:^** *iyantidades heterogêneas, o

0,008

0,00000039

e o divif ^ ° J ^P^®^demos mais que: quando o divi ^ verdade rp« i** dividende. Vamos insistir sobre esta

simples. ,

receberâ cada um deîe'sT^' meuinos, quantas a .

435 laranjas 45

6 laranjas

irifi'

verur

154. y —Segunde case da divisae de fraçoes décimais. ^mos di v i d i r 73,489 26 pormultiplicar 8,37. Deoacordo com prineîpi o ^Qïonstrado (§78), vamos dividende e oodivisor por

Efetuando a gjjer^

ca-se que cada menino ^

13

S3 laranjas, e restarâ^

33 laranjas

WW

t-w/u/t/uo,

c

j

Hivia*'

laranjas. Se, em lugar de 4S6 laranjas, dividisseiuo SS maçàs, e reatarint^ • j maçàs, cada menino r® ..^jdir

4S5 maçàs, dividîssemosTsA^'^/-'"^^"®" recebed^ SS jatias de bolo n v + ? j(il^as de bolo, cada menino re E, se esta. ' ainda 0 jatias.

53

0,00005182

^3,489 26 -r 8,37 7348,926 652 9

^ 67 02 0»00 066

837

8,780

um mlmero tal, que o divisor se terne um mrraero inteiro, isto é, por 100. ( § 149) Resultarâ 7 348,926 837. Recalmos, as-

sim, no primeiro caso. Efetuada a divisâo,

obtemos o'quociente 8,780 e o resto 0,066, Entretanto, o resto 0,066 estd multiplicado

por 100. (§78) Neste caso, o reste verdadeiro é 0,066 ^ 100, isto é, 0,000 66.

receberia S3 milésimnt milésimos de holo ? Dada ?"

Hegra. Para dividir uma jraçào decimal par outra, mulii-

receberia S3 centésimos de bolo 9 Cada ^

orne um numéro inteiro. Em seguida, aplica-se a regra relaiiva caso da divisào. Mas o resta terâ tantos algar%smos

ems^l

?

^

^

.rdr^o

fraçôes décimais consideram-se dois

as duas. jraçôes por uma potência de 10 tal que o dmsor

^ais quantos sào os do dividende primitive.

i

216

Elementos de Matemàtica Exemples.

37,94835 0,074

Fraçôes Décimais

37948,35 | 74 09-t Sllisî" 208 603

5.

436

0,3289 0,000237

6.

0,0007

9.

11 5

0,00041

.

10.

I

Observando estes dois exemples com a dévida atençâo, pode03 procéder, na prâtica, de acordo com os exemples seguintcs. 0,0794385 | 2,34 . 0923 0,03394

475 258

2218

1125

12. 13.

. Transformaçao de uma fraçao decimal em ordi-

13461

332

0,00032

14.

15.

8621

3878

46,34J

ria. E' uma questâo que nâo oferece a minima dificuldade.

0982

0,000358

.

Dividir 37,485 96 por 0,754. Quai 6 o reste verdadeiro? Dividir 1 285 796 por 8 000. Quai é o resta verdadeiro ? Dividir 3,647 por 5,97. Quai 6 o resto verdadeiro? Dividir 17 por 0,054 8. Quai é o resto verdadeiro? Dividir 3,7 por 6 000. Quai é o resto verdadeiro ?

n .

3,475 82 -^ 0,075 = i 5,379862^ 0,0006243,47582 I 0,075 I 5.379862 5,379862| CtOOO^

0,0000189

Multiplicar 34,835 6 por 7,54 e tiror a prova com o divisor 9. Multiplicar 416,372 por 3,94 e tirar a provà com o divisor 11. Dividir 37,856 2 por 7,88 e tirar a prova com o divisor 9. Dividir 197,324 1 por 15,87 e tirar a prova com o divisor 11.

7. 8-

u,uuu-ii

0.079 438 5 -î- 2,34

Sendo 7,619 04 -î-1 = 2,34 quai o valor de x? 0,7 + 3,8 X 0,92 - 9,1 -î- 0,13 + 84,1 X 2.5 = 14,4 -i- 36 + 3,5 X 6,2 - 0,78 ^ 2,6 X 0,9 de 4,7 =

4.

0,003 289 -î- 4,36

217

efeito, 0,13 é o mesmo que 0,045 é o mesmo que

tua fraçao decimal por outra, efeZZm existissem; em segu^»' Zml l.Z dircita, tantos algans^'

4'

quantos sâo os do dirtdeado"!' algarismos decim ^

l Para como transjormar uma Jraçâo décimal em ordindria, numerador a jraçâo decimal dada, suprimindo^se a Cî/o'OS / ® sdo como a unidade seguida de tantos osdenominador algarismos décimais da jraçâo decimal dada.zeros

Oufintn n dividendo, menos os do divisor. ^ ,

^eros^Idî^e^dodtw i en^lY ' sacrescent_aremo3do.3 zeros.

scguido

^os é 0 mesmo que Podemos, pois, estabelecer a seguinte

dvi si or i S 754748,963 8 963 .,77-000? de

dem-re"os'?n"" divi1000. Em 6eKuidr'"'T do parâgrafo l53 of verdadeiro nâo i

f t .é o mesmo V , que 36,48 . 7 648 centési1000' OU 477 décimes ou4 3

5748,963 1 4

Exemples.

7

0,715

821,280 0,075

0 8 1 9 '56

1000, îsto é 3 ^ O'OOS X

0,003 Resto verdadeiro ^

1 - Na g i uad l ada^sTfrr,'® 2. Na igualdade 3 48'i v quai o valor de a:?

3. Na igualdade 4 6 y ? ® o ^alor de a:? 38,525 quai o valor de x'i

4,36 3

715

143

1000

200

75

3

1000

40

i36 _ 4 ^ 100

25

4,36 8,125- =

436 100 8 1 2 5 1 0 0 0

, 125

8,125 = 8'l 000

4 36 4

100

_,ftI25 1 CDD

=4 =4

- i

ï' ^^^'isformaçao de uma fraçao ordinâria em deci-

do * Uttia fraçao ordinâria c o quociente exato da divîsao ^ttierador pelo denominador, (§143)

5 -t- 8 = 4; 4 H- 9 = ■!■; 11 -t- 13 1=3 ' etc..

fZ2fZ^fZ2'n -12 -lod 6T^ 9p o^siAip -ep 0:^^x9 0 'ïBTupgp ogÔBJj tîttin 9p OI0UI lod 'jo^qo laÂïssod a ''or»T'rk. o^naraiJdraoD a;s9 orasara OB^ua 'OAi'jiraud cqnaraudraoD nas op go'o napaad ■uSad u ag ZBpBqpra jas ap sa^na 'c5ad up o^uaraudraoo 0 Baa jBnb 'omrp

a^oBjnp ojnamijdraoa nas op go'o napaad rauq o anb as-opuaqBg 'ojuaoiu?^ ° ap rag'^g raa^} 'sBJoq fz ap oqanq ran ap siodap 'raijq ap BSad -buiq -oÔ

iBjn?Bjadraa; B^anby opi^araqns 'soj^ara gBo moa n

ran ap oinaraiadraoo o fjas iBnb 'c^naraiadraoa nas op goo'O ^P a^ua^B ' ap Bjn^Bjadraa} Bran b optqaraqns 'ojjaj ap oy mn anb opuodng

ap

,SSIA!P ° l^AISlAtp opuls OB^ ^

nb BJBdTgso ' JîPÏAp i oo i yssaoan 9 oa i mpn anb^m/^ Q%sd a iS^'Zg ap a-jnanmB mna a?s9 oijyssaoati 9o oaarapu tnb^j^o? ' o p u a p i AT t i anb Rrem

0^®^

. y i opuapiAqj o anb srem sapapran ns7 o

e^naioonb o anb BiBd OZZ JIpiAip osioaad 9 oaarapn anb 10^

Bqa3?

•q'/^T = = •9'zn

qg'oOSS "O98'09'^^^ = ® °0 9'opsnjîs ^ViO'Z^I sotno oaarapn pn^ «^-j;

ioqrajq op siodap 'aSad Bp o^uamuti -moo o znpai as ojnBnb y 'SBJoq fz 9p oquBq mn b BpuazBj B^sa ajamnr.

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i^T'ge

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ainaranB

- aisa anb BJtîd fi'g aBondiînnra oiapssaoaa 9 oaarapn anb aoj -ct

a raijq ap soj-jara g^ Bjdraoo a^BiBjiB ra^ -o^uaraudraoo nas op on'n anï.? 'SBioq fz a^nBjnp BnS^p oa^nap opuBoy 'uijq 0 anb soraBqaodng