Elementos de cálculo actuarial. 9788436266726, 8436266722

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Elementos de cálculo actuarial Emma Berenguer Cárceles Montserrat Hernández Solís

Elementos de cálculo actuarial

EMMA BERENGUER CÁRCELES MONTSERRAT HERNÁNDEZ SOLÍS

UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN A DISTANCIA

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

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© Universidad Nacional de Educación a Distancia Madrid 2013 www.uned.es/publicaciones © Emma Berenguer Cárceles y Montserrat Hernández Solís

ISBN electrónico: 978-84-362-6672-6 Edición digital: agosto de 2013

ÍNDICE

Prólogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Tema 1. BIOMETRÍA

5

..........................................................................................

..........................................................................

15

Tema 3. RENTAS FINANCIERAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

Tema 4. RENTAS ACTUARIALES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

Tema 5. VALORACIÓN DE LOS SEGUROS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

Tema 6. RESERVAS MATEMÁTICAS

..........................................................................

51

Apéndice. TABLAS DE MORTALIDAD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

Bibliografía . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

72

Tema 2. VALORACIÓN FINANCIERA

3

PRÓLOGO

La matemática actuarial tiene como objetivo el análisis cuantitativo de las operaciones de seguro. Este libro, de contenido práctico, propone una serie de ejercicios referentes a las técnicas cuantitativas existentes en la valoración de las diferentes modalidades de seguro del ramo de vida. A través de los diversos temas en los que se ha estructurado este trabajo se sigue una secuencia lógica en el aprendizaje matemático-actuarial. Así, desde los conceptos básicos de la matemática financiera hasta el cálculo de las reservas matemáticas, el estudiante va adquiriendo de forma progresiva los conocimientos y destrezas necesarios. La casuística específica de cada uno de los temas permite, además, reflexionar sobre las implicaciones económico-financieras de la actividad de las entidades aseguradoras. Para el aprovechamiento óptimo de este manual se recomienda al lector el saber manejar la hoja de cálculo (Excel) para poder manejar las tablas de mortalidad. Por todo ello se trata de una obra especialmente recomendada para todos aquellos que deseen introducirse en los conocimientos de la matemática financiera y su vinculación con la matemática actuarial de una forma sencilla y práctica.

4

Tema 1

Biometría

OBJETIVOS En este tema se va a tratar la resolución de ejercicios que hacen referencia a la Biometría. La biometría es una ciencia que analiza los modelos biológicos a través de su determinación numérica, y analizando su eficiencia a través de modelos estocásticos. Se encarga de estudiar la supervivencia humana. El objetivo de este tema es que el alumno conozca los símbolos de conmutación que se emplean para el cálculo de probabilidades sobre una cabeza (asegurado) de edad actuarial x, que forma parte de un colectivo lx. La resolución de los ejercicios se ha llevado a cabo mediante el empleo de las tablas de mortalidad de la población española 1990, separadas por sexo, situadas en el apéndice de este libro.

1. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza sobreviva un año más. Solución Se está pidiendo la probabilidad de supervivencia de un hombre de edad x=25 años, para que alcance con vida un año más, esto es, que cumpla los 26 años. Es la probabilidad de supervivencia sobre una cabeza.

1

px =

l x+1 lx

1

p 25 =

l 25+1 l 26 97.248 = = l 25 l 25 97.417

1

p 25 = 0,998265

La probabilidad de que el asegurado sobreviva un año más es del 99,82%. Es un resultado coherente para una cabeza de edad 25 años con una salud normal.

2. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca en el transcurso del siguiente año. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad complementaria a la solicitada en el ejercicio n.º 1. Es la probabilidad de que el asegurado varón de edad x=25 no consiga cumplir los 26 años. Es la probabilidad de fallecimiento sobre una cabeza. Solución

1

q x = 1 −t px = 1 −

1

q 25 =

1

q 25 = 0,001737

l x+1 lx

l x − l x+1 l 25 − l 26 97.417 − 97.248 = = lx l 25 97.417

La probabilidad de que el asegurado fallezca en el año siguiente es del 0,17%. Es un resultado coherente para una cabeza de edad 25 años con una salud normal. 6

BIOMETRÍA

3. Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza sobreviva 30 años más. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años consiga llegar con vida a los 55.

n

px =

l x+n lx l 25+30 l55 94.929 = = l 25 l 25 98552

30

p 25 =

30

p 25 = 0,9632

La probabilidad de que la mujer asegurada alcance los 55 años es del 96,32%. Se trata de un resultado coherente, para una mujer joven con una salud normal.

4. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza sobreviva 30 años más. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que un hombre de 25 años consiga llegar a los 55. Es el mismo ejercicio anterior, pero para un varón.

n

px =

l x+n lx l 25+30 l55 88.532 = = l 25 l 25 97.417

30

p 25 =

30

p 25 = 0,9088

La probabilidad de que un asegurado o asegurada alcance con vida los 55 años es del 90,88%. Se trata de un resultado coherente, para un hombre joven con una salud normal. Si se compara la probabilidad de sobrevivir 30 años más para un varón y para una mujer, se comprueba que la probabilidad de supervivencia de las mujeres es superior a la de los hombres. Esto se debe a que la esperanza de vida de las mujeres es superior.

7

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

5. Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca en el transcurso de 30 años. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años no llegue a vivir hasta los 55.

/ n q x = 1 −n px = 1 − / 30 q 25 = 30

l x+n lx

l 25 − l 25+30 l 25 − l55 98.552 − 94929 = = l 25 l 25 98552

q 25 = 0,03676

La probabilidad de que la mujer asegurada fallezca sin llegar a cumplir los 55 años es del 3,67%. Se trata de un resultado coherente para una mujer joven con una salud normal.

6. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca en el transcurso de 30 años. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que un varón de 25 años no llegue a cumplir los 55.

/ n q x = 1 −n px = 1 − / 30 q 25 = 30

l x+n lx

l 25 − l 25+30 l 25 − l55 97.417 − 88.532 = = l 25 l 25 97.417

q 25 = 0,09120

La probabilidad de que un varón asegurado fallezca sin llegar a cumplir los 55 años es del 9,21%. Se trata de un resultado coherente, para un hombre joven con una salud normal. Se comprueba que la probabilidad de que el varón fallezca a lo lago de los 30 años es superior a la de la mujer, partiendo de la misma edad actuarial de valoración. Esto es debido a la mayor esperanza de vida de las mujeres.

30 25

p

30 25

VARÓN

0,988

0,09120

MUJER

0,963

0,03676

Resultados mostrados en tanto por uno.

8

q

BIOMETRÍA

7. Sea una asegurada de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca justamente a la edad de 56 años. Solución En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de que una mujer de 25 años alcance con vida los 55 años, falleciendo en el siguiente año.

n

/q x = n p x q x+ n = n p x (1 − p x+ n ) =

l x+n lx

30

/q 25 = 30 p 25q 55 = 30 p 25 (1 − p55 ) =

30

/q 25 =

 l x+ n +1  l x+ n − l x+ n +1 1 − = l x+n  lx 

l 30+25  l 30+25+1  l55 − l56 1 − = l 25  l 30+25  l 25

94.929 − 94.602 = 0,003318 98.552

Otro modo de resolución del ejercicio a través de los símbolos de conmutación es el siguiente:

n

/q x = n p x − n +1 p x /q 25 =30 p 25 −31 p 25

30

La probabilidad de la mujer asegurada que sobrevive a los 55 años, pero fallece sin llegar a cumplir los 56 años, es del 0,31%. Es importante que el alumno no confunda esta probabilidad con la solicitada en el ejercicio n.º 5. Se trata de dos probabilidades diferentes.

8. Sea un asegurado de edad actuarial x=25. Calcular la probabilidad de que dicha cabeza fallezca justamente a la edad de 56 años. En este ejercicio se está pidiendo la probabilidad de un varón de 25 años que pueda cumplir los 55, pero fallezca al siguiente año. Solución

n

 l x + n +1  l x + n − l x + n +1 1 − = l lx x +n    l  l −l l =30 p 25 (1 − p55 ) = 30+ 25 1 − 30+ 25+1  = 55 56 l25  l30+ 25  l25

/q x = n p x q x + n = n p x (1 − p x + n ) =

30

/q 25 =30 p 25 q 55

30

/q 25 =

lx +n lx

88.532 − 87.787 = 0, 0076 97.417

9

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

La probabilidad de la mujer asegurada que sobrevive a los 55 años, pero fallece sin llegar a cumplir la edad de 56 años, es del 0,76%. Es importante que el alumno no confunda esta probabilidad con la solicitada en el ejercicio n.º 5. Se trata de dos probabilidades diferentes.

30

/q25

VARÓN

0,0033

MUJER

0,0076

Resultados mostrados en tanto por uno.

9. Calcular el número de personas varones fallecidas a la edad actuarial de 50 años, 60 años, 75 años y 90 años. Solución En este ejercicio se está pidiendo el número de fallecimientos que se producen a cada edad actuarial, en concreto entre un grupo de individuos (los incluidos en la tabla de mortalidad seleccionada para la resolución numérica), que tienen todos de partida la misma edad inicial (por defecto la edad 0 de la tabla de mortalidad).

d x = l x − l x +1 d 50 = l50 − l51 = 91.532 − 91.040 = 492 d 60 = l60 − l61 = 84.228 − 83.153 = 1.075 d 75 = l75 − l76 = 56.682 − 53.733 = 2.949 d 90 = l90 − l90 = 10.287 − 8.264 = 2.023

Según va avanzando la edad actuarial, el número de personas fallecidas se ve incrementado de manera más que proporcional.

10

BIOMETRÍA

10. Calcular el número de mujeres fallecidas a la edad actuarial de 50 años, 60, 75 y 90. Solución En este ejercicio se está pidiendo el número de fallecimientos que se producen a cada edad actuarial en concreto entre un grupo de individuos (los incluidos en la tabla de mortalidad seleccionada para la resolución numérica), que tienen todos de partida la misma edad inicial (por defecto la edad 0 de la tabla de mortalidad).

d x = l x − l x +1 d 50 = l50 − l51 = 96.247 − 96.028 = 219 d 60 = l60 − l61 = 93.010 − 92.516 = 494 d 75 = l75 − l76 = 77.388 − 75.197 = 2.191 d 90 = l90 − l91 = 22.371 − 18.621 = 3.750

11. Desarrollar el Factor de Actualización Actuarial, así como el Factor de Capitalización Actuarial, mediante símbolos de conmutación, para un asegurado de edad x y un intervalo temporal de n períodos. Solución El factor de actualización actuarial es el que sirve para valorar cuantías futuras en el origen de la operación del seguro (valor actual de los capitales), estando asociada dicha valoración a la probabilidad de supervivencia o fallecimiento del asegurado.

n

l  E x = vn n px = vn  x +n   lx 

El factor de capitalización actuarial es el que sirve para valorar cuantías presentes en un momento posterior (valor final de los capitales), estando asociada dicha valoración a la probabilidad de supervivencia o fallecimiento del asegurado.

1 1 = n = v n px n Ex

1 l  vn  x +n   lx 

11

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

12. Calcular la cuantía que debe depositar hoy un asegurado varón de edad x 30 años en una entidad financiera, para que, en el caso de cumplir los 65 años, se le haga entrega de una cuantía única de 120.000€. El tipo de interés técnico de la operación es del 2%. Solución En este ejercicio hay que aplicar el factor de actualización actuarial, ya que lo que se está solicitando es la valoración financiero-actuarial a día de hoy de una cuantía que vence dentro de 35 años y va asociada a la probabilidad de supervivencia del individuo.

C = 120.000 n E x C = 120.000 35 E 30

 1 35   1 35  l65 = 120.000   p30  = 120.000     1 + i  35   1 + 0.02   l30

   

 1 35  77.966   C = 120.000      = 48.464,88euros  1.02   96.528  

13. Sea un asegurado de edad actuarial x= 25 años que deposita en una entidad financiera un monto de 10.000€, valorándose a un tipo de interés técnico del 2%. Calcular la cuantía de que dispondrá este varón cuando alcance la edad de jubilación a los 65. Solución En este ejercicio se aplicará el factor de capitalización actuarial al ver que se está solicitando la valoración financiero-actuarial dentro de 40 años de una cuantía disponible hoy y que va asociada a la probabilidad de supervivencia del individuo.

 1  Cn = 10.000    n Ex   Cn = 10.000 

         1  1 1  = 10.000   = 10.000  40   1  40  l65 40 E 25    1   p     1 + i  40 25         1 + 0.02   l25

      1 Cn = 10.000   = 27.589, 03euros 40   1 77.966         1.02   97.417     

12

          

BIOMETRÍA

14. Sea un asegurado de edad actuarial x = 40 años. Se pide que se calculen las siguientes probabilidades: a) Probabilidad de que no alcance con vida la edad de 45 años. b) Probabilidad de que fallezca a los 46 años. c) Probabilidad de que sobreviva 5 años más. d) Probabilidad de que este varón sobreviva 5 años más si conocemos las p40; p41;..P45. Solución a) El apartado a representa la probabilidad de que el asegurado fallezca entre los 40 y los 44, esto es, no llegue a los 45 años.

/ n q x = / 4 q 40 = 1 − 4 p 40 = / 4 q 40 =

l40 − l44 l40

94.672 − 93.666 = 0, 0106 94.672

b) El apartado b representa la probabilidad de que el asegurado alcance con vida la edad de 45 años y se muera en el año siguiente.

l x + n  l x + n +1  l x + n − l x + n +1 1 − = lx  lx +n  lx l  l  l −l =5 p 40 (1 − p 45 ) = 45 1 − 45+1  = 45 46 l40  l45  l40

n

/q x = n p x q x + n = n p x (1 − p x + n ) =

5

/q 40 =5 p 40 q 45

5

/q 40 =

93.373 − 93.057 = 0, 0033 94.672

c) El apartado c representa la probabilidad de que el asegurado llegue con vida a la edad de 45 años.

5

p 40 =

l40+5 93.373 = = 0,9863 l40 94.672

d) La resolución de este apartado implica calcular la probabilidad anterior mediante el productorio de las probabilidades de supervivencia para intervalos anuales.

5

p 40 =1 p 40 1p 411p 42 1p 43 1p 44 =

l 41 l 42 l 43 l 44 l 45 l 45 = = 0,9863 l 40 l 41 l 42 l 43 l 44 l 40

13

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

15. Resolver los tres primeros apartados del ejercicio anterior pero para el caso de una asegurada de edad actuarial x = 40 años. A continuación comparar los resultados obtenidos en ambos ejercicios y comentarlos. Solución a) Este apartado representa la probabilidad de que la asegurada fallezca entre los 40 y los 44, esto es, no llegue a los 45 años.

/ n q x = / 4 q 40 = 1 − 4 p 40 = / 4 q 40 =

l 40 − l 44 l 40

97.582 − 97.165 = 0,0042 97.582

b) Cuando la probabilidad de que la asegurada alcance con vida la edad de 45 años y se muera en el año siguiente.

n

/q x = n p x q x+ n = n p x (1 − p x+ n ) =

l x+ n  l x+ n +1  l x+ n − l x+ n +1 1 − = lx  l x+n  lx

5

/q 40 =5 p 40 q 45 =5 p 40 (1 − p 45 ) =

l 45  l 45+1  l 45 − l 46 1 − = l 40  l 45  l 40

5

/q 40 =

97.039 − 96.900 = 0,0014 97.582

c) La probabilidad de que la asegurada llegue con vida a la edad de 45 años.

5

p 40 =

l 40+5 97.039 = = 0,9944 l 40 97.582 Tabla comparativa de los resultados del ejercicio n.º 14 y n.º 15 Probabilidades

Varón de edad actuarial 40 años

Mujer de edad actuarial 40 años

/ 4q40

0,0106

0,0042

/q40

0,0033

0,0014

p

0,9863

0,9944

5

5 40

Resultados mostrados en tanto por uno.

Se puede observar que, para la misma generación seleccionada, la edad actuarial de 40 años, las estimaciones que se realizan de las probabilidades de supervivencia y de la esperanza de vida son mayores en el colectivo de las mujeres. Ocurre la situación inversa cuando se trata de las estimaciones de las probabilidades de fallecimiento.

14

Tema 2

Valoración financiera

OBJETIVOS En este tema se plantean ejercicios de introducción a la valoración financiera. El objetivo es trabajar con capitales situados en distintos momentos de tiempo utilizando las leyes financieras clásicas de valoración a corto y a largo plazo. El estudiante deberá ser capaz de comparar capitales, estableciendo un orden de preferencia. Obtener montantes, intereses, valores descontados y descuentos a un tipo de interés dado. Asimismo, deberá ser capaz de calcular tantos efectivos equivalentes con las distintas leyes financieras.

1. El Sr. López acaba de recibir una indemnización por accidente de 10.000 euros. Como no necesitará ese dinero hasta dentro de 6 meses ha decidido rentabilizarlo en su entidad bancaria donde le ofrecen un tanto anual efectivo del 4%. Utilizando la Capitalización Simple obtener el montante y los intereses generados. Solución La ley financiera de Capitalización simple tiene la siguiente expresión matemática: L(t) = 1 + i · t. Siendo i el tanto efectivo a aplicar y t el tiempo que dure la operación. Ambas variables deben ir siempre en las mismas unidades de tiempo. El Montante se obtiene:

6  M = C ⋅ (1 + i ⋅ t) = 10.000 ⋅ 1 + 0, 04 ⋅  = 10.200 euros 12   Los intereses se calculan:

I = C ⋅ i ⋅ t = 10.000 ⋅ 0, 04 ⋅

6 = 200 euros 12

Otra forma de cálculo sería restar al Montante el Capital inicial:

I = M − C = 10.200 − 10.000 = 200 euros

2. Obtener los intereses que produce un capital de 500.000 euros colocado durante 80 días en capitalización simple si: a) El tanto es el 5% anual. b) El tanto es el 2% trimestral. c) El tanto es el 0,5% mensual. Solución Cuando el tiempo se mide en días suele operarse con el año comercial de 360 días. a) En este caso i va referido a años, por lo tanto t =

I = 500.000 ⋅ 0, 05 ⋅ 16

80 = 5.555,56 euros 360

80 años . Los intereses se obtienen: 360

VALORACIÓN FINANCIERA

b) Ahora i va referido a trimestres. Podemos resolver de dos formas: b.1. En primer lugar se obtiene el tanto anual equivalente:

i 4 = 2%

➡ i = i 4 ⋅ 4 = 8%

a continuación se procede como en el punto anterior:

I = 500.000 ⋅ 0, 08 ⋅

80 = 8.888,89 euros 360

b.2. Se puede usar como medida de tiempo el trimestre:

I = 500.000 ⋅ 0, 02 ⋅

80 = 8.888,89 euros 90

c) Dado que ahora i va referido a períodos mensuales se puede utiliza cualquiera de las formas anteriores. c.1. Con el tanto anual equivalente i = i12 ⋅12 = 0, 005 ⋅12 = 6%

I = 500.000 ⋅ 0, 06 ⋅

80 = 6.666, 67 euros 360

c.2. Trabajando con el tiempo en meses

I = 500.000 ⋅ 0, 005 ⋅

80 = 6.666, 67 euros 30

3. La señora García tiene derecho a recibir dentro de 10 meses 2.000 euros, pero como necesita dinero hoy mismo acude a su entidad bancaria para que le anticipe la cantidad. Obtener el valor descontado y el descuento aplicados a la Sra. García sabiendo que se utiliza el descuento comercial con un tanto anual de descuento del 7%. Solución La ley financiera de Descuento Comercial tiene la siguiente expresión matemática: A(t) = 1 – d · t. Siendo d el tanto efectivo de descuento y t el tiempo. Ambas variables deben ir expresadas en las mismas unidades de tiempo. El Valor Descontado se obtiene:

10   V0 = C ⋅ (1 − d ⋅ t) = 2.000 ⋅ 1 − 0, 07 ⋅  = 1.883,34 euros 12   El Descuento puede calcularse a partir de la expresión: D = C · d · t

D = 2.000 ⋅ 0, 07 ⋅

10 = 116, 67 euros 12

El Descuento también puede calcularse como diferencia entre el Capital y el Valor descontado.

D = C − V0 = 2.000 − 1.883,34 = 116, 67 euros 17

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

4. La empresa Ybsa ha de pagar 2 letras. La primera de cuantía 2.500 euros con vencimiento 125 días y la segunda de cuantía 1.750 euros a pagar en 180 días. La empresa decide sustituirlas por un pago único equivalente a realizar dentro de 150 días. Obtener la cuantía de dicho pago sabiendo que se utiliza el descuento comercial a un tanto anual del 4,5%. Solución El esquema gráfico de la operación sería:

Planteando la equivalencia financiera de ambas opciones en el momento actual y utilizando el año comercial tendríamos la siguiente expresión:

150  125  180     C ⋅ 1 − 0, 045 ⋅  = 2.500 ⋅ 1 − 0, 045 ⋅  + 1.750 ⋅ 1 − 0, 045 ⋅  360  360  360     Dónde C = 4.251, 28euros

5. Un individuo ha colocado hoy un capital de cuantía C para poder recibir dentro de 3 años y medio 355.863,80 euros. Obtener el importe de dicho capital sabiendo que se utiliza la ley de capitalización compuesta al 5% anual. Calcular también el importe de los intereses generados en dicho período. Solución La expresión matemática de la ley financiera de Capitalización Compuesta es: L(t) = (1 + i ) . Siendo i el tanto efectivo y t el tiempo. Al igual que en el resto de expresiones i y t deben ir siempre en las mismas unidades de tiempo. t

Trabajando con la expresión del Montante se puede obtener el capital inicial C:

M = C ⋅ (1 + i ) = 355.863,80 = C ⋅ (1 + 0, 05)3,5 t

➡ C = 300.000 euros

Los intereses se obtienen por diferencia entre Montante y Capital:

I = M − C = 355.863,80 − 300.000 = 55.863,80 euros

18

VALORACIÓN FINANCIERA

6. Sea un tanto efectivo anual en capitalización compuesta del 3% obtener el tanto nominal y los réditos equivalentes para las frecuencias: mensual, trimestral, cuatrimestral y semestral. Solución La relación entre tantos equivalentes en Capitalización Compuesta es la siguiente: m (1 + i ) = (1 + i m ) .Siendo i el tanto efectivo anual e im el tanto equivalente a aquel para períodos de amplitud 1/m. La proyección aritmética anual de im se denomina tanto nominal anual jm y se obtiene de la expresión jm = im · m

Frecuencia (m)

12

4

3

2

jm

2,959524%

2,966829%

2,970490%

2,977831%

im

0,246627%

0,741707%

0,990163%

1,488916%

Se observa que el tanto nominal crece a medida que disminuye la frecuencia de fraccionamiento del año.

7. Sea un tanto nominal anual en capitalización compuesta del 3% obtener el tanto efectivo y los réditos equivalentes para las frecuencias: mensual, trimestral, cuatrimestral y semestral. Solución Utilizando las expresiones para tantos equivalentes del ejercicio anterior obtenemos la tabla siguiente:

Frecuencia (m)

12

4

3

2

i

3,041%

3,033%

3,003%

3,002%

im

0,250%

0,750%

1,000%

1,500%

Ahora a medida que disminuye la frecuencia de fraccionamiento del año, el tanto efectivo también disminuye.

19

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

8. Dados los siguientes capitales financieros (1.200, 2014; 1.200, 2015; 1.500, 2017 y 1.400, 2019) establecer el orden de preferencia entre ellos sabiendo que se aplica la Ley de Capitalización Compuesta al 4,5% anual. Solución Para establecer el orden de preferencia de capitales situados en distinto momento de tiempo se debe proceder a trasladarlos. Al trabajar con ley compuesta, es indiferente el momento de tiempo que se elija, sin embargo parece que lo más lógico es tomar como referencia el vencimiento del último capital. El esquema de la operación sería:

Y los montantes en 2019 de todos los capitales quedarían:

M1 = 1.200 ⋅ (1, 045 ) = 1.495, 41euros 5

M 2 = 1.200 ⋅ (1, 045 ) = 1.431, 02 euros 4

M 3 = 1.500 ⋅ (1, 045 ) = 1.638, 04 euros 2

M 4 = 1.400 euros El orden de preferencia sería:

(1.500; 2017 ) (1.200; 2014 ) (1.200; 2015) (1.400; 2019 ) 9. La familia Pérez ha sido agraciada en la lotería con un premio de 1 millón de euros. Su entidad bancaria les ofrece una rentabilidad del 4% anual durante dos años. ¿Qué ley financiera deberán utilizar (capitalización simple o compuesta) para maximizar sus intereses? ¿Cambiarían de opinión si el plazo de su depósito fuera de 6 meses en lugar de 2 años? Solución Para saber qué ley financiera maximiza sus intereses se debe calcular el montante con ambas leyes:

M c = 1.000.000 ⋅ (1.04 ) = 1.081.600 euros 2

M s = 1.000.000 ⋅ (1 + 0, 04 ⋅ 2 ) = 1.080.000 euros Se puede apreciar que se obtendría mejor resultado aplicando la Capitalización Compuesta. 20

VALORACIÓN FINANCIERA

En el caso de que ahora el plazo fuera de 6 meses, los montantes quedarían: 6

M c = 1.000.000 ⋅ (1, 04 )12 = 1.019.803,90 euros

6  M s = 1.000.000 ⋅ 1 + 0, 04 ⋅  = 1.020.000 euros 12   En este caso sucede al contrario, produce mayor montante la capitalización simple. Conclusión: La capitalización simple produce mayores montantes para períodos menores de un año, a partir de ese momento los montantes son inferiores a los producidos con la ley de capitalización compuesta.

10. Un capital ha estado colocado durante tres años al 5% anual, el montante obtenido se volvió a colocar durante los dos años siguientes al 3,5%. Sabiendo que el montante total obtenido al final de los cinco años asciende a 130.574,73 euros. Obtener la cuantía del capital inicial. Solución Para calcular la cuantía de capital colocado se plantea la siguiente ecuación:

M 5 = C ⋅ (1, 05 ) ⋅ (1, 035 ) = 130.574, 73euros 3

2

Tras despejar C = 105.295, 68euros

11. Calcular el descuento que genera un capital de cuantía 5.000 euros y vencimiento dentro de dos años y medio si se utiliza la ley financiera de descuento compuesto con un tanto efectivo anual del 6%. Solución La ley de Descuento Compuesto tiene la siguiente expresión matemática: A (t ) = (1 + i ) . Se observa que es la inversa de la Ley de Capitalización Compuesta. −t

Se obtiene el importe del descuento como diferencia entre el capital y el valor descontado:

D = C − V0 = 5.000 − 5.000 ⋅ (1 + 0, 06 ) 

−2,5

 = 677,80 euros 

21

Tema 3

Rentas financieras

OBJETIVOS En este tema se plantean ejercicios de rentas financieras que tienen los términos o capitales constantes. El estudiante deberá ser capaz de obtener valores actuales y finales de las distintas tipologías de rentas propuestas: rentas diferidas, prepagables y pospagables. También se verán las rentas perpetuas y temporales. Asimismo, deberá ser capaz de aplicar los conocimientos sobre leyes financieras compuestas vistos en el tema anterior.

1. Una renta pospagable de término anual constante 50.000 euros y duración 10 años se valora a tanto anual del 5%. Obtener el valor actual y final. Solución El esquema gráfico de la renta sería (en miles):

Cuando trabajamos con rentas constantes el valor actual se obtiene multiplicando la cuantía constante por la renta unitaria correspondiente. En este caso se trata de una renta pospagable y temporal.

1 − (1 + i ) 1 − (1, 05 ) VA = C ⋅ a ni = C ⋅ = 50.000 ⋅ = 386.086, 75euros i 0, 05 n

10

Para calcular el valor final el procedimiento es igual, solo que ahora la cuantía constante se multiplica por el valor final de la renta unitaria.

(1 + i ) = C⋅

10

V.F = C ⋅ Sni

i

−1

(1, 05) = 50.000 ⋅

10

0, 05

−1

= 628.894, 63euros

También podría obtenerse el Valor Final capitalizando el Valor Actual 10 años.

V.F = V.A ⋅ (1 + i ) = 386.086, 75 ⋅ (1, 05 ) = 628.894, 63euros n

10

23

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

2. Obtener el valor actual y final de una renta sabiendo que su duración es 15 años y que los pagos anuales, que se realizan al principio de cada período, son de 75.000 euros cada uno. El tanto anual es del 4%. Solución El esquema gráfico de la renta sería (en miles):

Para obtener el Valor Actual de una renta constante prepagable se multiplica por (1+i) el Valor Actual de la renta pospagable.

1 − (1, 04 ) V.A = C ⋅ ä ni = C ⋅ (1 + i )⋅ a ni = 75.000 ⋅ (1, 04 )⋅ 0, 04

−15

= 867.234, 22 euros

Igual que en el caso anterior el Valor Final puede obtenerse capitalizando el Valor Actual.

V.F = V.A ⋅ (1 + i) n = 867.234, 22 ⋅ (1, 04 ) = 1.561.839,84 euros 15

3. Determinar el valor en estos momentos de una renta constante anual de 20.000 euros cuyo primer pago se producirá dentro de tres años y tendrá una duración total de 5 años. El tanto anual para la valoración es del 3,5%. Solución El esquema gráfico de la renta sería (en miles):

Para calcular el Valor Actual de una renta diferida se multiplica la renta pospagable por (1 + i ) , siendo d el número de períodos que la renta está diferida. Así: −d

V.A = C ⋅ d /a ni = 20.000 ⋅ 2 /a 5 3,5% = 20.000 ⋅ (1 + 0, 035 )

−2

24

1 − (1, 035 ) ⋅ = 84.296,99 euros 0, 035 −5

RENTAS FINANCIERAS

4. Obtener el valor actual de una renta de cuantía constante anual 10.000 euros en los distintos supuestos. Para la valoración se utiliza un tanto anual del 4%. a) Prepagable y duración 7 años. e) Pospagable y perpetua. Solución a) El esquema gráfico de la renta sería (en miles):

1 − (1, 04 ) V.A = C ⋅ ä n i = 10.000 ⋅ (1, 04 ) = 62.421,37 euros 0, 04 −7

b) El esquema gráfico de la renta quedaría (en miles):

V.A = C ⋅ a ∞ i = 10.000 ⋅

1 = 250.000 euros 0, 04

5. Una persona desea instituir un premio cultural de periodicidad anual y de cuantía un 100.000 de euros. Determinar el capital que ha de colocar en una entidad financiera para que se pueda pagar siempre, en el futuro, dicho premio, si el tanto de valoración es del 4%. Solución Para obtener la cuantía a depositar hay que establecer el Valor Actual de una renta perpetua.

V.A = C ⋅ a ∞ i = 100.000 ⋅

1 = 2.500.000 euros 0, 04

25

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

6. Una persona desea conocer durante cuantos años puede percibir una renta pospagable de cuantía anual 20.000 euros si coloca en este momento 150.000 euros en una entidad financiera que abona intereses al 5,5% efectivo anual. Solución Para conocer el número de años que puede recibirse esta renta hay que plantear la ecuación del Valor Actual de una renta temporal, constante y pospagable.

1 − (1 + 0, 055 ) V.A = C ⋅ a ni = 20.000 ⋅ 0, 055

−n

= 150.000 euros

Al despejar, n = 9,93 años. Por lo tanto el número de años que se puede recibir esa renta es de 9.

7. Una renta de cuantía constante anual de 200.000 euros, diferida 5 años, se valora con un tanto del 4,5% anual. Se desea saber su valor actual en los supuestos: a) Pospagable y duración 5 años b) Prepagable y perpetua. Solución a) El esquema temporal de la renta quedaría (en miles):

V.A = 200.000 ⋅ 5 /a 5 4,5% = 200.000 ⋅ (1 + 0, 045 )

−5

1 − (1, 045 ) ⋅ = 704.548, 28euros 0, 045 −5

b) El esquema temporal de la renta sería (en miles):

V.A = 200.000 ⋅ 5 /ä ∞ 4,5% = 200.000 ⋅ (1, 045 ) ⋅ (1, 045 )⋅ −5

26

1 = 3.726.939,3euros 0, 045

RENTAS FINANCIERAS

8. Determinar cuál de las siguientes alternativas es preferida sabiendo que se utiliza para la valoración un tanto efectivo mensual del 0,5%: a) Una renta prepagable constante de cuantía trimestral 5.000 euros durante 5 años. b) Una renta diferida 2 años, de cuantía constante anual 7.500 euros y perpetua. c) Un capital único de 100.000 euros en el momento actual. Solución Como el tanto de actualización que nos dan es de frecuencia mensual, lo primero que debemos hacer es obtener sus equivalentes anual y trimestral. La ecuación para los tantos equivam lentes en capitalización compuesta era: 1 + i = (1 + i m ) , ecuación de la que obtenemos el tanto anual y el trimestral i = 6,1677% , i 4 = 1,5075% La alternativa preferida será aquella que proporcione un valor actual mayor: a) La primera alternativa es una renta prepagable trimestral:

1 − (1 + 0, 015075 ) = 5.000 ⋅ (1 + 0, 015075 )⋅ 0, 015075

−20

V.A = C ⋅ ä trimestres i4 = 5.000 ⋅ ä 201,50%

=

87.072, 78euros b) En este caso hay que obtener el valor actual de una renta diferida y perpetua:

V.A = C ⋅ d /a ∞ i = 7.500 ⋅ 2 /a ∞ 6,167% = 7.500 ⋅ (1 + 0, 061677 ) ⋅ −2

1 = 0, 061677

107.881, 46 euros c) El valor actual coincide con la cuantía única a percibir: 100.000 euros La alternativa preferida es la b), que proporciona un mayor valor actual.

9. El Banco Andaluz de Crédito acaba de lanzar una oferta de planes de ahorro para sus clientes. El Sr. López está interesado en formar un capital de 150.000 euros en 10 años mediante aportaciones constantes mensuales. Si la entidad abona intereses al 1,5% anual. ¿Cuál será la cuantía mensual que deberá aportar el Sr. López? Solución Para resolver este ejercicio, al no decir nada el enunciado, vamos a suponer que las imposiciones se realizan de forma pospagable. Para obtener las cuantías mensuales a aportar por el Sr. López sabiendo la cuantía a constituir al final de los diez años se debe plantear una ecuación de valor final. Sin embargo, como estamos más acostumbrados a trabajar con valores actuales podemos actualizar el valor actual, en nuestro caso 10 años, para así obtener el valor final.

V.F = V.A ⋅ (1 + i )

10 años

27

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

De la relación de tantos efectivos en capitalización compuesta obtenemos el tanto efectivo mensual equivalente: 1

i12 = (1 + 0, 015 )12 − 1 = 0, 00124149 ∼ 0,1241% V.F = C ⋅ a120 i12 ⋅ (1 + 0, 015 )

10

1 − (1 + 0, 001241) = C⋅ 0, 001241

−120

⋅ (1, 015 ) = 150.000 euros 10

Al despejar C, se obtiene que la cuantía mensual a aportar sería aproximadamente de 1.160 euros.

10. El Sr. García lleva realizando aportaciones anuales de 10.000 euros a su plan de pensiones desde que cumplió 40 años y en la actualidad tiene 65 años. Ya le ha llegado el momento de su jubilación y puede optar por recibir el montante acumulado en un pago único, o bien mediante cuantías mensuales de por vida. Sabiendo que el tanto anual de valoración es el 2,5% anual, obtener el importe de ambas alternativas. Solución El esquema temporal de los pagos sería (en miles):

Planteando la ecuación del valor final de una renta constante se obtiene el montante a percibir al cumplir los 65 años.

V65 = 10.000 ⋅ S26 2,5% = 10.000 ⋅ (1, 025 )

26

1 − (1, 025 ) ⋅ 0, 025

−26

= 360.117, 08euros

Con ese montante obtenido se plantearía la renta perpetua que nos lleva a obtener la cuantía mensual a percibir. De la relación de tantos efectivos en capitalización compuesta se obtiene el tanto mensual equivalente al anual. 1

i12 = (1 + i )12 − 1 = 0, 00205984 ∼ 0, 205984% 360.117, 08 = C ⋅ a ∞ i12 ⇒ C = 741, 78 euros mensuales.

28

RENTAS FINANCIERAS

11. La Sra. Gómez ha ganado un premio de la lotería que consiste en percibir 6.000 euros al mes durante 25 años. Sabiendo que comenzará a cobrarlo dentro de un año y que el tanto anual de valoración es el 3%. Se pide calcular el valor actual del premio. ¿Le interesaría cambiarlo por una cuantía de 2.000.000 euros a percibir hoy? Razone la respuesta. Solución Para obtener el valor hoy del premio debemos calcular el Valor Actual de una renta mensual de 6.000 euros, diferida un período y de duración 25 años. El tanto efectivo mensual se obtiene de la ecuación de tantos equivalentes: 1

i12 = (1 + i )12 − 1 = 0, 00246627 ∼ 0, 246627% V.A = 6.000 ⋅ 12 /a 300 i12 = 6.000 ⋅ (1, 002466 )

−12

1 − (1, 002466 ) ⋅ 0, 002466

−300

= 1.233.877,33euros

Desde luego que le interesaría cambiar su renta por una cuantía actual de 2.000.000 euros puesto que esta tiene un valor actual inferior a esa cantidad.

12. Una persona heredó hace 4 años una renta vitalicia de cuantía constante semestral 4.000 euros, sin embargo en este momento prefiere cobrar lo que le quede de una vez para poder administrarse a su gusto. Obtener el importe de esa cuantía sabiendo que el tanto aplicado para la valoración es del 3% anual. Solución El Montante a percibir hoy se calcula obteniendo el valor actual de una renta perpetua de pagos semestrales de 4.000 euros. Es necesario obtener previamente el tanto efectivo semestral equivalente al anual. 1

i 2 = (1 + i )2 − 1 = 0, 01488916 ∼ 1, 48891% El importe a percibir hoy:

V.A = 4.000 ⋅ a ∞ i2 = 4.000 ⋅

1 = 268.651,88euros 0, 0148891

29

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

13. El Sr. González ha decidido comprar un inmueble cuyo valor al contado es de 300.000 euros. Al acudir a su entidad bancaria, esta le ofrece varias alternativas de financiación: a) Cincuenta mil euros al contado, cincuenta mil más dentro de un año y el resto en pagos trimestrales de de 15.000 euros cada uno comenzando dentro de dos años y con cinco años de duración. b) Setenta y cinco mil euros al contado y el resto en pagos mensuales de 1.500 euros durante 20 años. Se pide determinar qué alternativa es más ventajosa para el Sr. González sabiendo que este puede obtener en el mercado una rentabilidad para sus capitales del 3,5%. Solución Las alternativas que tiene el Sr. González son tres: o pagar al contado o elegir cualquiera de las dos modalidades presentadas. Para decidir cuál sería más ventajosa se debe obtener el Valor Actualizado de las rentas y elegir la modalidad que presente un menor Valor Actualizado. a) En esta primera opción el Valor actualizado se obtendría:

V.A a = 50.000 + 50.000 ⋅ (1, 035 ) + 15.000 ⋅ 8 /ä 20 i4 −1

El esquema temporal de la renta diferida trimestral sería (en miles):

El tanto trimestral equivalente al anual del 3,5% se obtiene de la relación de tantos equivalentes: 1

i 4 = (1 + i )4 − 1 = 0, 00863745 ∼ 0,863745% Y el Valor actualizado de la renta diferida sería:

15.000 ⋅ 8 /ä 20 i4 = 15.000 ⋅ (1, 008637 )

−8

1 − (1, 008637 ) ⋅ (1, 008637 )⋅ 0, 008637

−20

Incluyendo los otros dos pagos:

V.A a = 50.000 + 50.000 ⋅ (1, 035 ) + 258.399,18 = 356.708,36 euros −1

b) En esta opción el Valor actualizado se obtiene:

V.A b = 75.000 + 1.500 ⋅ a 240 i12 30

= 258.399,18euros

RENTAS FINANCIERAS

El tanto efectivo mensual equivalente al anual sería: 1

i12 = (1 + i )12 − 1 = 0, 0028709 ∼ 0, 28709% Y el importe del Valor actual para esta alternativa sería:

1 − (1, 002870 ) = 75.000 + 1.500 ⋅ 0, 0028709

−240

V.A b = 75.000 + 1.500 ⋅ a 240 i12

= 334.901, 601euros

En definitiva, la mejor alternativa financiera sería pagar al contado, no obstante si el Sr. González necesita financiación la alternativa a elegir será la b.

14. Una inversión presenta las siguientes características: • Desembolso inicial: 100.000 euros • Ingresos previstos: 5.000 euros mensuales durante la inversión empezando a percibirlos dentro de año y medio. • Gastos previstos: 7.500 euros trimestrales durante los cinco primeros años, y 15.000 semestrales durante los últimos cinco años. Sabiendo que el tanto efectivo anual para la valoración financiera es del 5% y el horizonte temporal de la inversión son de 10 años, se pide: a) El valor actual de los ingresos previstos. b) El valor final de los gastos c) Si esta inversión resulta rentable. Solución a) El esquema temporal de la renta para los ingresos previstos es la siguiente (en miles):

El tanto efectivo mensual equivalente al anual se obtiene de la relación de tantos equivalentes: 1

i12 = (1 + i )12 − 1 = 0, 004074 ∼ 0, 4074% El valor actual de los ingresos de la inversión es:

V.A ing = 5.000 ⋅ 18 /ä102 i12 = 5.000 ⋅ (1, 004074 )

−18

1 − (1, 004074 ) ⋅ (1, 004074 )⋅ 0, 004074

−102

=

388.796, 28euros 31

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

b) Para calcular el Valor Final de los Gastos de la inversión, primero obtenemos el valor actual y lo capitalizaremos los diez años que dure la inversión.

V.Fgastos = V.A gastos ⋅ (1, 05 )

10

Para calcular el Valor Actual de los gastos tenemos que plantear los valores actuales de las dos rentas. La primera es de cuantía trimestral, inmediata y pospagable, mientras que la segunda es semestral y está diferida 5 años (10 semestres). Esa expresión quedaría:

V.A gastos = 7.500 ⋅ a 20 i4 + 15.000 ⋅ 10 /a10 i2 Los tantos efectivos equivalentes al 5% anual para las frecuencias trimestral y semestral se han calculado con la relación de equivalencia financiera en capitalización compuesta. Resultando: 1

i 4 = (1 + i )4 − 1 = 0, 012272 ∼ 1, 2272% 1

i 2 = (1 + i )2 − 1 = 0, 024695 ∼ 0, 24695% Por lo tanto, el Valor Actual queda:

1 − (1, 012272 ) = 7.500 ⋅ 0, 012272

−20

V.A gastos

+ 15.000 ⋅ (1, 024695 )

−10

1 − (1, 024695 ) ⋅ 0, 024695

−10

= 256.531,38euros

Y el Valor Final:

V.Fgastos = V.A gastos ⋅ (1, 05 ) = 256.531,38 ⋅ (1, 05 ) = 417.862,59 euros 10

10

c) Para ver si esta inversión resulta rentable se debe calcular el Valor Actual Neto.

VAN = V.A ing − V.A Gastos − Desembolso Inicial = 388.796, 28 − 256.531 − 100.000 = = 32.264,90 euros Al ser el VAN mayor que cero el criterio a seguir es realizar la inversión.

32

Tema 4

Rentas actuariales

OBJETIVOS En este tema se va a tratar la resolución de ejercicios que hacen referencia a las rentas actuariales. Para ello el alumno ha de consultar las tablas de mortalidad, separadas por sexo, que se encuentran en el apéndice del libro. Se trata de ampliar el estudio de las rentas financieras, ya estudiadas en el capítulo anterior, incorporando la probabilidad de supervivencia del asegurado. El objetivo que se persigue es que el alumno sea capaz de resolver, mediante el planteamiento de los símbolos de conmutación correspondientes, los valores actuales actuariales de las diferentes modalidades de rentas actuariales constantes.

1. Sea un asegurado de edad actuarial x. Se pide calcular el valor actual actuarial de una renta unitaria, pospagable y vitalicia, diferida d períodos. El importe de la renta es de 1 u.m, y será cobrada por el asegurado mientras esté vivo. Solución

1 0

d

x

x+d

d

d+1

1 ……………………………………………………................1 d+2

……………………………………………………………………..w-x

x+d+1 x+d+2 ………………………………………………………………………...w

/a x = d +1 E x + d +2 E x + ........ + w − x E x = v d +1d +1p x + v d +2 d +2 p x + ........ + v w − x w − x p x = w − x −d

v x+d +1 l v x +d +2 l x +d +2 v w l w D x+d +1 + D x+d +2 + ..... + D w = x x+d +1 + + ........ + = = v lx vx lx vx lx Dx =

∑ t =1

D x +d + t

Dx

=

N x+d +1 Dx

2. Sea un asegurado de edad actuarial x. Se pide verificar, a través de los símbolos de conmutación, el cumplimiento de la siguiente relación, teniendo en cuenta que dEx es el factor de actualización actuarial. Solución d

/a x = d E x a x+d

1 d

d+1

x+d

x+d+1

1 d+2

1 ……………………………………………………………....1 d+3

………………………………………………………………… w-x-d

x+d+2 x+d+3 …………………………………………………………………….w-d

a x+d =1 E x+d + 2 E x+d + ........ + w − x E x+d = v11p x+d + v 2 2 p x+d + ........ + v w − x w − x p x+d = = 34

v x+1 l x+d +1 v x+2 l x+d +2 v w l w +d + + ........ + v x l x +d v x l x +d v x l x +d

RENTAS ACTUARIALES

A la expresión anterior se la multiplica por el factor de actualización actuarial:

 v x +1 l x+d +1 v x +2 l x+d +2 v w l w +d  d E a v p ........ = + + + d x x +d d x  = x x x v l v l v l x +d x +d x +d    v x+d +1 l x+d +1 v x+d +2 l x+d +2 v w +d l w +d  ........ =d p x  x + + + = l x +d vx l x +d v x l x +d   v l x+d  v x+d +1 l x+d +1 v x+d +2 l x+d +2 v w +d l w +d  ........ + + +  = l x  v x l x +d vx l x +d v x l x +d  v x+d +1 l x+d +1 v x+d +2 l x+d +2 v w +d l w +d D x +d +1 + D x +d +2 + ....D w +d ...... = + + + = = vx lx vx lx vx lx Dx =

w−x

=

∑D t =1

x +d + t

=

Dx

N x+d +1 Dx

Comparando la expresión obtenida con el ejercicio nº 1, se comprueba la relación solicitada.

3. Sea un asegurado de edad actuarial x. Se pide calcular el valor actual actuarial de una renta unitaria, prepagable y vitalicia, diferida d períodos. El importe de la renta es de 1 u.m, y será cobrada por el asegurado mientras esté vivo. Solución

1

1

0

d

d+1

x

x+d

x+d+1

d

1 …………………………………………………………….....1 d+2

…………………………………………………………………… w-x

x+d+2 ……………………………………………………………………….w

/a x = d E x + d +1 E x + d +2 E x + ........ + w−x−1 E x = v d d p x + v d +1d +1p x + v d +2d +2 p x + ........ + v w−x−1w−x−1p x =

=

v x+d l x+d v x+d +1 l x+d +1 v x+d +2 l x+d +2 v w−1 l w−1 D x+d + D x+d +1 + D x+d +2 + ....... + D w−1 + + + ........ + = = vx lx vx lx vx lx vx lx Dx w − x −d −1

=

∑ t =o

D x +d + t

Dx

=

N x +d Dx

35

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

4. Sea un asegurado de edad actuarial x. Se pide verificar, a través de los símbolos de conmutación, el cumplimiento de la siguiente relación. Solución

a x:n = a x − n /a x Se comienza desarrollando el primer término de la igualdad, el valor actual actuarial de una renta prepagable, temporal y de cuantía unitaria, para comprobar que es igual a la diferencia entre una renta prepagable y vitalicia y otra diferida n períodos y vitalicia.

1

1

1

1 …………………………………………………………1

0

1

2

3

………………………………………………………………n-1

n

x

x+1

x+2

x+3

…………………………………………………………… x+n-1

x+n

a x:n = 1 +1 E x + 2 E x + ...... + n −1 E x = 1 + v11p x + v 2 2 p x + ....... + v n −1n −1p x = =

v x l x v x+1 l x+1 v x+2 l x+2 v x+ n −1 l x+ n −1 D x + D x+1 + D x+2 + .... + D x+ n −1 + + + ..... + = = vx lx vx lx vx lx vx lx Dx n −1

=

∑D t =0

Dx

x+ t

=

N x − N x+n Dx

El valor actual actuarial de la renta unitaria, prepagable y vitalicia tiene esta expresión:

v x l x v x+1 l x+1 v x+2 l x+2 vw lw ...... + + + + = vx lx vx lx vx lx vx lx

a x = 1 +1 E x + 2 E x + 3 E x + .... + w − x E x = w−x

D + D x+1 + D x+2 + .....D w = x = Dx

∑D t =0

x+ t

Dx

=

Nx Dx

Y el valor actual actuarial de la renta diferida n períodos sobre una renta prepagable y vitalicia es:

v x+ n l x+ n v x+ n +1 l x+ n +1 v x+ n +2 l x+ n +2 v w−1 l w−1 + x + x + ...... + x = n /a x = n E x + n +1 E x + n + 2 E x + .... + w − x −1 E x = vx lx v lx v lx v lx w − x −1

D + D x+ n +1 + D x+ n +2 + .....D w−1 = x+n = Dx

36

∑D t=n

Dx

x+ t

=

N x+n Dx

RENTAS ACTUARIALES

5. Sea un asegurado de edad actuarial x. Se pide verificar, a través de los símbolos de conmutación, el cumplimiento de la siguiente relación. Solución d

/a x:n = d E x a x+d:n

Se comienza desarrollando el valor actual actuarial de la renta diferida d períodos que es temporal y pospagable.

1

d

1 ………………………………………………………………1

0

d

d+1

d+2

x

x+d

x+d+1

x+d+2

…………………………………………………………………

d+n

……………………………………………………………….. x+d+n

/a x:n = d +1 E x + d +2 E x + ..... + d + n E x = v d +1d +1p x + v d +2 d +2 p x + .... + v d + n d + n p x =

=

v x+d +1 l x+d +1 v x+d +2 l x+d +2 v x+d + n l x+d + n D x+d +1 + D x+d +2 + .... + D x+d + n + + ..... + = = vx lx vx lx vx lx Dx n

=

∑D t =1

x +d + t

Dx

=

N x+d +1 − N x+d + n +1 Dx

Se desarrolla el término de la derecha de la igualdad, siendo dEx el factor de actualización actuarial.

a x+d:n =1 E x+d + 2 E x+d + ..... + n E x+d = v11p x+d + v 2 2 p x+d + .... + v n n p x+d = v x+1 l x+d +1 v x+2 l x+d +2 v x + n l x +d + n = x + x + .... + x v l x +d v l x +d v l x +d La expresión anterior se multiplica por el factor de actualización actuarial:

 v x+1 l  v x+2 l v x+n l v d d p x  x x+d +1 + x x+d +2 + .... + x x+d + n  = v l x +d v l x +d   v l x +d  v x+d +1 l x+d +1 v x+d +1 l x+d +1 v x+d +1 l x+d +1  =d p x  x + x + .... x = l x +d v l x +d v l x +d   v v x+d +1 l v x +d +2 l x +d +2 v x+d + n l x+d + n D x+d +1 + D x+d +2 + ..... + D x+d + n = x x+d +1 + + + = = ..... Dx v lx vx lx vx lx =

N x+d +1 − N x+d + n +1 Dx

Queda de este modo demostrada la relación pedida. 37

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

6. Determinar el valor actual actuarial de una prestación a abonar por una compañía de seguros a un asegurado de edad x=40 años. La prestación es en forma de renta vitalicia, pagadera a la jubilación del asegurado (a los 65 años) por un importe anual constante de 1.500€. El tipo de interés técnico es del 2%. Solución La prestación a abonar por la aseguradora es una renta diferida 25 años, ya que el asegurado comienza a cobrar la renta en el momento de la jubilación. Es una renta constante, pospagable, de cuantía anual y vitalicia, puesto que será cobrada mientras el asegurado se encuentre con vida.

VA = C d / a x = 1.500 25 / a 40 = 1.500 25 E 40 a 40+ 25 = 1.500 VA = 1.500

N x + d +1 N = 1.500 66 Dx D 40

266.952,52 = 9.339, 22 euros 42.876, 04

7. Sea una asegurada de edad x=65 años. Acude a su compañía aseguradora para solicitar una renta que podría percibir si deposita un importe de 100.000€ a día de hoy, siendo ésta una renta vitalicia, prepagable y de cuantía constante. Determinar la cuantía anual constante que cobrará la asegurada hasta el momento de su fallecimiento. El tipo de interés técnico es del 2%. Solución En este ejercicio se está facilitando el Valor actual actuarial de la renta inmediata, prepagable, de cuantía constante anual y vitalicia para una mujer asegurada de edad x=65 años. La incógnita es la cuantía constante anual que cobrará en forma de renta hasta su fallecimiento.

VA = 100.000 = C a x = C a 65 VA 100.000 = ax  Nx     Dx  VA 100.000 100.000 = = = 6.240, 44 euros C= a 65  N 65   398.400, 44     24.861,95     D65  C=

38

RENTAS ACTUARIALES

8. Sea un asegurado de edad x=45 años. Contrata un seguro de vida por el que la entidad aseguradora se compromete a abonarle una renta periódica mensual hasta que alcance la edad de jubilación a los 65 años. La cuantía de la renta la cobra al final de cada período por un importe de 400€. Se pide calcular el valor actual actuarial de la renta que cobrará el asegurado mientras siga con vida hasta la edad de su jubilación. El tipo de interés técnico es del 2%. Solución Se está pidiendo el valor actual actuarial de una renta temporal fraccionaria, ya que el abono de la prestación por parte de la aseguradora no tiene una periodicidad anual sino e-mésima (en este caso mensual). Es preciso considerar las correcciones que han de hacerse en las expresiones matemáticas del valor actual actuarial de una renta temporal pospagable.

m −1  VA = Cm a x:n (m) = (400 *12) a 45:20 (12) = 4.800 a 45:20 + (1 −20 E 45 ) 2m    N − N x + n +1  11  20 VA = 4.800  x +1  + (1 − v 20 p 45 ) Dx  24    N − N 66  11  20 VA = 4.800  46  + (1 − v 20 p 45 )  24  D 45   855.395, 79 − 266.952,52  11  VA = 4.800  + 1 − v 20  38301,30  24    855.395, 79 − 266.952,52  11  VA = 4.800  + 1 − v 20  38301,30  24  

l65    l45   77.966    93.373  

VA = 74.708, 45euros

9. Determinar el valor actual actuarial de un seguro de rentas que garantiza a un asegurado de edad actuarial x= 35 años el cobro de una renta vitalicia de 500€ al principio de cada trimestre que sobreviva, después de que haya logrado sobrevivir a la edad de 65 años. El tipo de interés técnico es del 2%. Solución Se trata de una renta vitalicia fraccionaria en trimestres, prepagable y diferida 30 años, ya que la comenzará a cobrar el asegurado cuando alcance con vida la edad de 65 años.

VA = (Cm) d / a x (m) = (500 * 4) 30 / a 35(m = 4)  N m − 1  VA = 2.000  30 /a 35 −30 E 35 = 2.000  x + d  2m    N x

 30 m − 1   − v 30 p35 2m  

 N    382.890,80   30 77.966  3  l  3 VA = 2.000  65  −  v30 65   = 2.000   −  v 95.620  8  N l 8 1.327.808,31       35 35       VA = 11.729, 28euros 39

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

10. Determinar el valor actual actuarial para una asegurada de edad 50 años, de una renta que va a cobrar desde hoy y durante un período máximo de 15 años y siempre, y cuando siga con vida, al final de cada semestre, por importe de 800€. El tipo de interés técnico que se aplica en la operación es del 2%. Solución Se trata de una renta temporal por 15 años fraccionaria en semestres, pospagable e inmediata, ya que la comenzará a cobrar la asegurada desde el mismo momento de contratada la cobertura de supervivencia.

m −1  VA = Cm a x:n (m) = (800 * 2) a 50:15(2) = 1.600 a 50:15 + (1 −15 E50 ) 2m    N − N x + n +1  1  15 VA = 1.600  x +1  + (1 − v 15 p50 ) Dx  4    N − N 66  1  15 VA = 1.600  51  + (1 − v 15 p50 )  4  D50   820.926, 24 − 373.538, 49  1   15 l 65  VA = 1.600  + 1 − v     4 l50   35.758, 44     820.926, 24 − 373.538, 49  1  90.063   VA = 1.600  + 1 − v15   35.758, 44 96.247    4  VA = 20.117,18euros

11. Determinar el valor actual actuarial, para un asegurado de edad 50 años, de una renta que va a cobrar desde hoy hasta que fallezca, por importe de 15.00€ al final de cada año. El tipo de interés técnico que se aplica en la operación es del 2%. Analizar qué resultados se obtendrían si el tipo de interés aplicado en la operación se incrementara (3%, 4% y 5%), así como el efecto que tendría el hecho de que el tomador del seguro fuera ahora una mujer de la misma edad actuarial. Solución Se trata de una renta inmediata, vitalicia, pospagable y constante de cuantía 15.000€, que va a cobrar el asegurado siempre y cuando siga vivo.

VA = C a x = C a 50 VA = C

N x +1 Dx

VA = 15.000

N 51 676.863,31 = 15.000 = 298.557, 42 euros D50 34.006, 69

Según se incremente el tipo de interés técnico aplicado en la operación, esto es, según se incremente la rentabilidad garantizada por la entidad aseguradora, el valor actual actuarial de la 40

RENTAS ACTUARIALES

renta disminuye de manera significativa. También es lógico que el valor actual actuarial de la misma renta para una asegurada y con la misma edad actuarial de 50 años al inicio del contrato de seguro sea mayor, puesto que las probabilidades de supervivencia de las mujeres son superiores a las de los varones. En la siguiente tabla se muestra un resumen de los valores actuales actuariales para los diferentes valores de la rentabilidad garantizada por la entidad aseguradora, distinguiendo por sexos.

RENTABILIDADES

2%

3%

4%

5%

HOMBRES

298.557,42€

261.414,97€

231.118,45€

206.146,14€

MUJERES

344.363,24€

297.030,38€

259.124,03€

228.412,61€

Resultado de los valores actuales actuariales, expresados en euros

12. Determinar el valor actual actuarial, a partir de una renta inmediata, de una renta que será cobrada por un asegurado de edad actuarial 42 años. Esta renta, de 12.000€ anuales, la cobrará al final de cada año que sobreviva después de los 65, hasta su fallecimiento. El tipo de interés técnico de la operación es del 2%. Solución Se trata de una renta diferida 23 años, constante, anual y pospagable para un asegurado varón, pero el ejercicio pide que se resuelva a partir de una renta inmediata.

VA = C d / a x = C d E x a x + d VA = 12.000 23 / a 42 = 12.000 23 E 42 a 65 VA = 12.000 v 2323 p 42

N 66 l N  77.966   266.952,52  = 12.000 v 23 65 66 = 12.000 v 23   = D65 l42 D65  94.201   21.522,56 

= 78.120,85euros

41

Tema 5

Valoración de los seguros

OBJETIVOS En este tema se va a tratar la resolución de ejercicios que hacen referencia al cálculo de la prima única de las diferentes modalidades de seguro, tanto con cobertura de supervivencia como de fallecimiento. Para ello el alumno ha de consultar las tablas de mortalidad, separadas por sexo, que se encuentran en el apéndice del libro. El objetivo que se pretende es que los estudiantes sean capaces de plantear la ecuación de equivalencia financiera-actuarial entre el valor actual actuarial de la prestación a abonar por la compañía aseguradora y el valor actual actuarial de la contraprestación, que en este caso es la prima única a pagar por el asegurado para tener derecho a la prestación garantizada en la póliza.

1. Sea un asegurado varón de edad x=45 años. Se pide calcular el valor actual actuarial de un seguro que garantiza al beneficiario de la póliza un capital asegurado de 100.000€ al final del año en el que fallezca el asegurado. La prima a abonar por el asegurado es única, abonada al inicio del contrato del seguro. El tipo de interés técnico aplicable a la operación es del 2%. Realizar de nuevo el ejercicio para un asegurado varón de 20 años y para otro asegurado varón de 65 años. Comentar los resultados. Solución Se trata de un seguro vida entera, que garantiza al beneficiario de la póliza el abono de la cuantía asegurada cuando se produzca el fallecimiento del asegurado, cualquiera que sea el momento en que éste ocurra. El principio de equivalencia actuarial establece que el Valor Actual Actuarial de la Prestación cubierta por la compañía ha de ser igual al Valor Actual Actuarial de la Contraprestación abonada por el asegurado (abono de la prima única). Por lo tanto el Valor Actual Actuarial de este seguro coincide con la prima única.

A x = P , donde P es la prima única a abonar por el asegurado. w −x

w −x

t =1

t =1

A x = C  v q x + v 21 / q x + ........ + v w − x w − x −1 / q x  = C ∑ v t t −1 / q x = C ∑ w −x

= C∑ t =1

v

x+t

v x v t t −1 / q x = vx

w −x

d x + t −1 C M =C ∑ x + t −1 = C x x Dx Dx v lx t =1

A 45 = 100.000

M 45 20.757, 6699 = 100.000 = 55.376,96 euros D 45 38.301,3060

Se repite de nuevo el ejercicio para el asegurado varón de 20 años:

A 20 = 100.000

M 20 23.234,88 = 100.000 = 35.159, 03euros D 20 66.085,11

Y para el asegurado de edad 65 años:

A 65 = 100.000

M 65 15.846, 02 = 100.000 = 73.625,18 euros D65 51.522,56 EDAD

20

45

65

VALOR ACTUAL DEL SEGURO O PRIMA ÚNICA

35.159,03€

55.376,96€

73.625,18€ 43

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

Según va avanzando la edad actuarial del asegurado varón, para tener derecho el beneficiario de la póliza a la prestación garantizada de 100.000€, el importe de la prima única se va incrementado, puesto que se la probabilidad de fallecimiento del asegurado cada vez es mayor. Ante incrementos en la edad del asegurado, el riesgo que soporta la compañía es cada vez más elevado, y es por esto por lo que se ha de cubrir mediante el cobro al tomador de la póliza de primas únicas que crecen más que proporcionalmente que el riesgo de fallecimiento. 2. Sea un asegurado varón de edad x=45 años. Se pide calcular el valor actual actuarial de un seguro que garantiza al asegurado de la póliza un capital asegurado de 100.000€ si sobrevive a un período de 20 años. La prima a abonar por el asegurado es única, abonada al inicio del contrato del seguro. El tipo de interés técnico aplicable a la operación es del 2%. Realizar de nuevo el ejercicio para un asegurado varón de 20 años y para otro asegurado varón de 65 años. Comentar los resultados. Solución Se trata de un seguro capital diferido, que garantiza al asegurado, que en este caso coincide con el beneficiario de la póliza el abono de la cuantía asegurada si consigue llegar con vida al final del período establecido en la póliza. El principio de equivalencia actuarial establece que el Valor Actual Actuarial de la Prestación cubierta por la compañía ha de ser igual al Valor Actual Actuarial de la Contraprestación abonada por el asegurado (abono de la prima única). Por lo tanto el Valor Actual Actuarial de este seguro coincide con la prima única.

VAA = P = Cv n n p x = 100.000 v 20 20 p 45 = 100.000 v 20

l65 77.966 = 100.000 v 20 = l45 93.373

= 56.192, 77 euros Se repite de nuevo el ejercicio para el asegurado varón de 20 años:

VAA = P = Cv n n p x = 100.000 v 20 20 p 20 = 100.000 v 20

l40 94.672 = 100.000 v 20 = l20 98.199

= 64.880, 03euros Y para el asegurado de edad 65 años:

VAA = P = Cv n n p x = 100.000 v 20 20 p 65 = 100.000 v 20

l85 24.087 = 100.000 v 20 = l65 77.966

= 20.790,93euros EDAD

20

45

65

VALOR ACTUAL DEL SEGURO O PRIMA ÚNICA

64.880,03€

56.192,77€

20.790,93€

Según se va incrementando la edad actuarial del asegurado varón para un seguro con cobertura de supervivencia, el importe de la prima única va disminuyendo, puesto que la probabilidad de supervivencia del asegurado es cada vez menor, y, por tanto, representa un menor riesgo para la entidad. Ante incrementos en la edad del asegurado, el riesgo que soporta la compañía es cada vez más bajo, y es por esto por lo que se cobra al asegurado unas primas cada vez más bajas. 44

VALORACIÓN DE LOS SEGUROS

3. Calcular el valor actual actuarial o prima única de un seguro que garantiza a una asegurada de edad x= 35 años un capital asegurado de 50.000€ a los 30 años de suscrito el contrato. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución Se está garantizando, por parte de la compañía de seguros, un capital asegurado, tanto si la asegurada sobrevive como si fallece. Por lo tanto se está ante un caso de actualización financiera, ya que la suma de las probabilidades de supervivencia y fallecimiento de la asegurada es 1. La prima única se denota por P:

 1  P = C v n = 50.000 v30 = 50.000   1+ i  P = 27.603,54 euros

30

4. Calcular la prima única o valor actual actuarial de un seguro que garantiza el abono de un capital de 60.000€ al vencimiento de la póliza, que tendrá lugar dentro de 20 años, si el asegurado, que tiene una edad x= 40 años sobrevive en esa fecha. Si fallece antes, la compañía abonará al beneficiario de la póliza y al final del año de fallecimiento del asegurado, un capital de 20.000€. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución En este ejercicio se están cubriendo dos coberturas. Por un lado la de supervivencia, mientras que por otro la de fallecimiento en un horizonte temporal. La primera cobertura se corresponde con un seguro con cobertura de supervivencia, el seguro capital diferido, que es la modalidad básica de ahorro. Si el asegurado consigue llegar con vida a los 60 años, en esa fecha cobrará el capital asegurado.

P1 = C v n n p x La segunda cobertura hace referencia al fallecimiento del asegurado en un horizonte temporal de 20 años. Se trata de un seguro temporal, por lo que la compañía de seguros abonará al beneficiario de la póliza el capital asegurado al final del año de fallecimiento del asegurado.

P2 = CA x:n n

2 1

A x:n = vq x + v / q x + .... + v n

=∑ t =1

n

n n −1

/ qx = ∑ v t =1

n

t t −1

/ qx = ∑ t =1

∑v v x

t

t =1

v

/ qx t −1 x

=

n v x+ t d x+ t −1 C x+ t −1 M x − M x+ n = = ∑ x v lx Dx t =1 D x

45

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

La prima única total, a abonar por el asegurado en el momento de la contratación de ambas coberturas, es la suma de las primas únicas asociadas a cada una de las coberturas definidas en el ejercicio:

P = C1 v 20 20 p 40 + C2 A 40:20 P = 60.000v 20

l60 M − M 60 + 20.000 40 l40 D 40

84.228 21.310,89 − 17.640, 01 + 20.000 994.672 42.876, 04 P = 35.923,84 + 1.712,32 = 37.636,16 euros P = 60.000v 20

5. Calcular la prima única o valor actual actuarial de un seguro que garantiza el abono de una cuantía única de 80.000€ a la finalización del contrato hecho a una asegurada de edad x= 50 años. Esta cuantía se abonará al beneficiario de la póliza si la asegurada fallece en un intervalo temporal de 25 años. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución En esta modalidad de seguro, con cobertura de fallecimiento, la compañía abonará al final del período considerado, esto es, dentro de 25 años, la cuantía asegurada si el asegurado de la póliza fallece en ese intervalo de tiempo. Es un seguro integral. La diferencia con el seguro temporal es que mientras que en éste el capital asegurado es abonado por la compañía en el momento de fallecimiento del asegurado (o al final del año del fallecimiento del asegurado), en el seguro integral el capital asegurado es abonado por la compañía de seguros al final del período de vigencia de la póliza.

P = C v n / n q x = C v n [q x +1 /q x + 2 /q x + ....n −1 / q x ] = C v n (1 − n p x ) =  l = C (v n − v n n p x ) = C  v n − v n x + n lx   D = C  vn − x +n Dx   P = 80.000  v 25 

46

 n  n x lx +n   = C v − v v x  = v lx   

   −

D75   25 12.836, 07  = 18.565,88 euros  = 80.000  v − D50  34.006, 69  

VALORACIÓN DE LOS SEGUROS

6. Calcular el valor actual actuarial de un seguro de 200.000€ pagadero al final del año de fallecimiento del asegurado de edad x= 60 años, si el óbito tiene lugar pasados cinco años del inicio de la operación. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución Se trata de un seguro con cobertura de fallecimiento, pero con un período de diferimiento de cinco años. Luego es un seguro vida entera diferido cinco años.

P = Cd / A x = C5 / A 60 = C P = 200.000

M x +d Dx

M 65 15.846, 03 = 200.000 D60 25.671, 20

P = 123.453, 75euros

7. Según un testamento, un asegurado de edad x= 40 años tiene derecho a una renta vitalicia inmediata y prepagable de 4.000€ anuales, derecho que cede a una entidad aseguradora para así asegurar a sus herederos un capital de cuantía C en caso de que fallezca, si ésta sucede antes de que cumpla los 65 años. Determinar la cuantía C, si el tipo de interés técnico de la operación es del 2%. Solución Se trata de dos coberturas que son equivalentes, o lo que es lo mismo, valoradas en el mismo momento, el inicio del contrato, presentan el mismo valor actual actuarial. En base a esto, habrá que calcular el valor actual actuarial de la renta (seguro con cobertura de supervivencia) y el valor actual actuarial del seguro temporal (cobertura de fallecimiento). Posteriormente se procede a igualar ambos valores actuales actuariales. Cobertura de supervivencia:

VA = Ca x = 4.000a 40 = 4.000

Nx 1.098.794,34 = 4.000 = 102.508,93euros Dx 42.876, 04

Cobertura de fallecimiento:

VA = CA x:n = C

M − M 65 M x − M x+n = C 40 Dx D40

Como las dos coberturas son equivalentes:

VA = 102.508,93€ = C

M 40 − M 65 D 40

 21.310,81 − 15.846, 03  102.508,93€ = C   42.876, 04   C = 804.261,52 euros 47

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

8. Determinar el valor actual actuarial o prima única de un seguro que garantiza a una mujer asegurada de edad x= 40 años las siguientes prestaciones: a) Un capital de 25.000€, pagadero al beneficiario de la póliza a los 20 años de contratado el seguro, si la asegurada ha fallecido en ese intervalo. b) Un capital de 20.000€, pagadero al beneficiario de la póliza en la fecha del fallecimiento de la asegurada, si dicho fallecimiento se produce durante los 20 años de contratada la póliza. c) Un capital de 15.000€, pagadero al beneficiario de la póliza al fallecimiento de la asegurada, si dicho fallecimiento ocurre con posterioridad a los 20 primeros años de suscrito el seguro. d) Un capital de 10.000€ pagadero a los 20 años de la firma del contrato, si la asegurada sobrevive en esa fecha. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución Se trata de calcular el Valor Actual Actuarial de cada una de las prestaciones, de modo que la suma global de los cuatro proporcionará la prima única de este seguro. a) En este apartado se define la cobertura de un seguro integral, dado que el importe asegurado será abonado al beneficiario a la finalización del contrato, no en el momento del fallecimiento de la asegurada.

 D  VAA1 = C v n / n q x = C v n (1 − n p x ) = C (v n − v n n p x ) = C  v n − x + n  Dx    D  28.347, 79   VAA1 = 25.000  v 20 − 60  = 25.000  v 20 − = 788, 26 euros D 40  44.193,95    b) En este apartado se define la cobertura de un seguro temporal, dado que el importe asegurado será abonado al beneficiario en el momento del fallecimiento de la asegurada (a final del año de su fallecimiento).

VAA 2 = CA x:n = C

M − M 60 M x − M x +n = C 40 Dx D 40

VAA 2 = CA 40:20 = 20.000

19.429,92 − 17.826,97 = 725, 42 euros 44.193,95

c) En este apartado se define la cobertura de un seguro vida entera diferido 20 años, dado que el importe asegurado será abonado al beneficiario en el momento del fallecimiento de la asegurada, siempre y cuando dicho fallecimiento se produzca después de un período de carencia de 20 años.

VAA 3 = Cd / A x = C

M x +d Dx

VAA 3 = C20 / A 40 = 15.000 48

M 60 17.826,97 = 15.000 = 6.050, 70 euros D 40 44.193,95

VALORACIÓN DE LOS SEGUROS

d) En este apartado se define la cobertura de un seguro capital diferido, dado que se abonará a la asegurada un capital asegurado de 10.000€ dentro de 20 años si consigue alcanzar con vida esa edad.

VAA 4 = C v n n p x = C v n

l lx +n 93.010 = 10.000 v 20 40+ 20 = 10.000 v 20 = 6.414, 40 euros lx l40 97.582

Por lo tanto, el Valor Actual Actuarial de este seguro que comprende cuatro coberturas, es la suma de cada uno de los Valores Actuales Actuariales:

VAA T = VAA1 + VAA 2 + VAA 3 + VAA 4 = 13.978, 78 euros 9. Determinar la prima única o Valor Actual Actuarial de un seguro que garantiza al beneficiario de la póliza de edad x= 50 años una renta vitalicia, anual, pospagable y de cuantía 5.000€, diferida 20 años, si el asegurado varón de edad y= 30 años fallece durante los 20 primeros años de contratado el seguro. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución Esta cobertura es parecida al seguro integral, pero en vez de garantizarse un capital C al beneficiario al término de la duración del contrato, si el asegurado fallece en ese intervalo, se garantiza al beneficiario una renta vitalicia, anual, pospagable y diferida.

VAA = Cd / a x / 20 q y = 5.000 20 / a 50 / 20 q 30 VAA = 5.000 = 5.000

l − l  N x + d +1 N N l − l  [1 −20 p30 ] = 5.000 x +d +1  y y+ n  = 5.000 71  30 50  = Dx D x  l y  D50  l30 

172.111,89  96.528 − 91.532   = 1.309, 74 euros 34.006, 69  96.528

10. Determinar el Valor Actual Actuarial de un seguro que garantiza las siguientes prestaciones: a) Un capital asegurado de 8.000€, pagadero al beneficiario, si el asegurado varón de edad x= 50 años fallece antes del vencimiento de la póliza (20 años). b) Independientemente, si el asegurado vive a los 10 años de suscrita la póliza, percibirá 2.500€; otros 2.700€ si vive a los 15 años y por último un capital de 4.000€ si vive al vencimiento. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución a) En el primer apartado se pide que se calcule el Valor Actual Actuarial de un seguro temporal.

VAA = CA x:n = C

M − M 70 M x − M x +n = C 50 Dx D50

VAA 2 = CA 50:20 = 8.000

20.047,89 − 13.513, 08 = 1.537, 29 euros 34.006, 69 49

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

b) En el segundo apartado se pide calcular el Valor Actual Actuarial de tres seguros con cobertura de supervivencia (seguros de capital diferido) encadenados.

VAA = C1 v n n p x + C2 v n n p x + C3 v n n p x = 2.500 v1010 p50 + 2.700 v1515 p50 + 4.000 v 20 20 p50 = = 2.500 v10

l60 l l + 2.700 v15 65 + 4.000 v 20 70 = l50 l50 l50

84.228 77.966 68.977 + 2.700 v15 + 4.000 v 20 = 91.532 91.532 91.532 = 1.887, 22 + 1.708,80 + 2.028,56 = 5.624,58euros = 2.500 v10

50

Tema 6

Reservas matemáticas

OBJETIVOS En este tema se va a tratar la resolución de las reservas matemáticas aplicadas a ejercicios a prima única. La constitución de la reserva matemática representa un compromiso que contrae la aseguradora para con el asegurado y, al poderse calcular periódicamente en cualquier momento posterior al inicio de la operación de seguro, permite que se lleve a cabo la valoración actuarial dinámica. El objetivo fundamental de este tema es que los estudiantes sean capaces de calcular la reserva matemática a prima única por el método prospectivo en cualquier momento k posterior al inicio.

1. Un asegurado varón de edad x=40 años contrata una operación por la cual si fallece en un plazo de 20 años su familia percibirá, en el momento de su fallecimiento un capital de 100.000€. Y si sobrevive transcurridos 20 años percibirá el asegurado una cuantía de 70.00€. El abono de la prima es único al inicio del contrato de seguro. Se pide calcular el valor actual actuarial de este seguro, así como la reserva matemática a los 10 y a los 15 años de suscrito el contrato. El tipo de interés técnico aplicable a la operación es del 2%. Solución La primera cobertura es la de un seguro temporal de 20 años. La compañía de seguros abonará al beneficiario de la póliza el capital asegurado al final del año de fallecimiento del asegurado.

P1 = CA x:n n

A x:n = vq x + v n

=∑ t =1

2 1

/ q x + .... + v

n

n n −1

/ qx = ∑ v t =1

n

t t −1

/ qx = ∑

∑v

x

vt

t =1

t =1

v

/ qx t −1 x

=

n v x + t d x + t −1 C x + t −1 M x − M x + n = = ∑ x Dx Dx v lx t =1

A 40:20 =

M 40 − M 60 = 0, 078461 D 40

P = CA x:n = 100.000 * 0, 078461 = 7.846,10 euros Si el asegurado sobrevive, estamos ante un seguro capital diferido, que garantiza al asegurado, que en este caso coincide con el beneficiario de la póliza el abono de la cuantía asegurada si consigue llegar con vida al final del período establecido en la póliza.

P2 = C v n n p x = 70.000 v 20 20 p 40 = 70.000 v 20

l60 84.228 = 70.000 v 20 = l40 94.672

= 41.911,14 euros El importe del VAA del seguro o prima única:

VAA = P1 + P2 = 49.757, 24 euros

52

RESERVAS MATEMÁTICAS

Reserva matemática a los diez años de suscrito el contrato

Las reservas se van a calcular analizando los compromisos futuros que les queda a ambas partes por cumplir (asegurador y asegurado). Luego el importe de la reserva matemática a prima pura, calculada por el método prospectivo, será la diferencia entre el valor actual actuarial de las prestaciones futuras que le quedan por cumplir a la entidad aseguradora en un momento k posterior al inicio menos el valor actual actuarial de las aportaciones futuras que le quedan por hacer al asegurado de la póliza en ese mismo momento k posterior al inicio. Como estamos ante una modalidad de seguro en el que el abono de la prima es única y se realiza al inicio de contratada la operación, el valor actual actuarial de la contraprestación futura en un momento k posterior al inicio es nulo. A los diez años de suscrito el contrato el asegurado ya tiene 50 años, y le quedan diez años para la finalización de las dos coberturas, tanto la de fallecimiento como la de supervivencia. k

v x = VAA prestaciones futuras k − VAA contraprestaciones futuras k

10

v 40 = 100.000 A 50:10 + 70.000 v1010 p50

10

v 40 = 100.000

= 100.000

M 50 − M 60 l + 70.000 v10 60 = D50 l50

20.047,89 − 17.640, 01 84.228 + 70.000 v10 = 7.080, 61 + 52.842, 07 = 59.922, 68 euros 34.006, 69 91.532

Reserva matemática a los quince años de suscrito el contrato

A los quince años de suscrito el contrato el asegurado ya tiene 55 años, y le quedan cinco años para la finalización de las dos coberturas, tanto la de fallecimiento como la de supervivencia. k

v x = VAA prestaciones futuras k − VAA contraprestaciones futuras k

15

v 40 = 100.000 A 55:5 + 70.000 v55 p55

15

v 40 = 100.000

= 100.000

M 55 − M 60 l + 70.000 v5 60 = D55 l55

19.001, 40 − 17.640, 01 84.228 + 70.000 v5 = 4.569, 74 + 60.318,89 = 64.888, 64 euros 29.791,39 88.532 k

10

15

RESERVA MATEMÁTICA MÉTODO PROSPECTIVO kvx

59.922,68€

64.888,64€

Ante un incremento en la edad del asegurado (de los 50 a los 55 años), el importe de la provisión matemática o reserva matemática es mayor.

53

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

2. Un asegurado varón de edad actuarial x= 30 años contrata un seguro temporal de fallecimiento con contraseguro incluido. Esto significa que si llega vivo a la edad de jubilación (65 años) la compañía le reembolsará la prima única pagada por éste al inicio del contrato. La cuantía del seguro es pagadera al beneficiario de la póliza en el momento del fallecimiento del asegurado, siendo la cuantía constante de 50.000€. Se pide calcular el valor actual actuarial de este seguro con contraseguro, así como el importe de la reserva matemática a los quince años y a los cuarenta años de contratada la póliza. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución El importe del valor actual actuarial del seguro o prima total será el abono de la prima de la primera cobertura más el abono de la prima de la segunda cobertura. La primera cobertura es la de un seguro temporal de duración 35 años.

P1 = CA x:n n

2 1

A x:n = vq x + v / q x + .... + v n

=∑ t =1

n

n n −1

/ qx = ∑ v

n

t

t =1

t −1

/ qx = ∑ t =1

∑v

x

vt

t =1

v

/ qx t −1 x

=

n v x + t d x + t −1 C M − M x +n = ∑ x + t −1 = x x Dx v lx t =1 D x

A 30:35 =

M 30 − M 65 22.229, 43 − 15.846, 02 = = 0,119785 D30 53.290, 29

P1 = CA 30:35 = 50.000 * 0,119785 = 5.989, 27 euros La segunda cobertura es la del contraseguro, que implica que si el asegurado consigue alcanzar con vida la edad de los 65 años, la compañía le reembolsará la única prima abonada al inicio del contrato.

P2 = PT v n n p x = PT v n n p x = PT v 3535 p 30 = PT v 35 P2 = PT v 35

l 65 l 30

83.153 = PT * 0,4038 96.528

La prima total de este seguro o valor actual actuarial del mismo será:

PT = P1 + P2 = P1 + PT * 0, 4038 = 5.989, 27 + 0, 4038PT PT (1 − 0, 4038) = 5.989, 27 PT = 10.045, 74 euros Reserva a los quince años de contratada la póliza

A los quince años el asegurado ya tiene 45 años, y queda un período de 20 años para las dos coberturas cubiertas en este seguro. k

v x =15 v30 = C A 45:20 + PT v 20 20 p 45

15

v30 = 50.000

= 50.000 54

M 45 − M 65 l + PT v 20 65 = D 45 l45

20.757, 66 − 15.846, 02 77.966 + 10.045, 74 v 20 = 6.411,84 + 5.644,98 = 12.056,82 euros 38.301,30 93.373

RESERVAS MATEMÁTICAS

Reserva a los cuarenta años de contratada la póliza

A los cuarenta años el asegurado tiene 70 años, y ya no están en vigor las coberturas de la póliza, dado que éstas finalizan cuando el asegurado alcance la edad de jubilación. Por lo tanto, el valor actual actuarial de las prestaciones cuarenta años después de la contratación de la operación de seguro será cero.

k

15

40

RESERVA MATEMÁTICA MÉTODO PROSPECTIVO kvx

12.056,82€

0€

3. Determinar el valor actual actuarial o prima única de un seguro que garantiza, a un varón asegurado de edad actuarial x= 50 años las siguientes coberturas, así como el valor de la reserva matemática a los diez años de contratada la póliza: • Una renta mensual de 250€, que será abonada por la compañía mientras el asegurado esté con vida y por un período máximo de 15 años, al final de cada mes. • Una cuantía única a abonar al beneficiario de la póliza por importe de 8.000€ dentro de quince años, si el asegurado fallece en ese intervalo temporal. El tipo de interés técnico al que se realiza la operación es del 2%. Solución La primera cobertura representa una renta mensual fraccionaria en meses, pospagable y temporal por 15 años.

m −1  VAA = P1 = Cm a x:n (m) = (250 *12) a 50:15(12) = 3.000 a 50:15 + (1 −15 E50 ) 2m    N − N x + n +1  11  15 P1 = 3.000  x +1 + 1 − v p ( )  15 50  Dx  24    N − N 66  11  15 P1 = 3.000  51 + 1 − v p ( )  15 50   24  D50   676.863,31 − 266.952,52  11   15 l 65  P1 = 3.000  + − 1 v     24 34.006, 69 l50       676.863,31 − 266.952,52  11  77.966   + 1 − v15 P1 = 3.000    34.006, 69 91.532    24   P1 = 36.666, 25euros

55

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

La segunda cobertura representa un seguro integral, puesto que la entidad aseguradora abonará la cuantía garantizada al beneficiario al final de los quince años, siempre que el asegurado fallezca en ese intervalo.

P2 = C v n / n q x = C v n [q x +1 /q x + 2 /q x + ....n −1 / q x ] = C v n (1 − n p x ) =    l  l = C (v n − v n n p x ) = C  v n − v n x + n  = C  v n − v n v x xx+ n  = lx  v lx     D  = C  vn − x +n  Dx    D  24.846, 62   = 99, 01euros P2 = 8.000  v15 − 65  = 8.000  v15 − D50  34.006, 69    El valor actual actuarial de este seguro con dos coberturas es la suma de los valores actuales actuariales parciales.

PT = P1 + P2 = 36.765, 26 euros La reserva a los diez años de contratada la póliza implica que el asegurado cuenta con una edad actuarial de x= 60 años.

 D  v x =10 v50 = Cm a 60:5(12) + 8.000  v5 − 65  D60     D  D  m −1  (12) + 8.000  v5 − 65  = 3.000 a 60:5 + (1 −5 E 60 ) + 8.000  v5 − 65  10 v 50 = (250 *12) a 60:5 D60  2m D60      k

 N x +1 − N x + n +1  11   5 D65  5 v 3.000 1 v p = + − ( )     10 50 5 60  + 8.000  v − Dx D60   24    10

 N − N 66  11   5 D65  5 v50 = 3.000  61  + (1 − v 5 p60 ) + 8.000  v −  D60    D60  24 

 382.890,80 − 266.952,52  11   5 21.522,56  5 77.966   + − v50 = 3.000  1 v    + 8.000  v −   34.006,69 84.228   25.671.20    24   10 v 50 = 10.450,04 + 538,70 = 10.988,74 euros 10

56

RESERVAS MATEMÁTICAS

4. Sea un asegurada mujer de edad x=35 años. Se pide calcular el valor actual actuarial de un seguro que garantiza al beneficiario de la póliza un capital asegurado de 50.000€ al final del año en el que fallezca la asegurada, así como el importe de la reserva matemática a los diez, veinte, treinta y cuarenta años de suscrito el contrato. La prima a abonar es única, abonada al inicio del contrato del seguro. El tipo de interés técnico aplicable a la operación es del 2%. Comentar los resultados. Solución Se trata de un seguro vida entera, que garantiza al beneficiario de la póliza el abono de la cuantía asegurada cuando se produzca el fallecimiento de la asegurada, cualquiera que sea el momento en que éste ocurra. Por aplicación del principio de equivalencia actuarial, el Valor Actual Actuarial de este seguro coincide con la prima única.

Ax = P w −x

w −x

t =1

t =1

A x = C  v q x + v 21 / q x + ........ + v w − x w − x −1 / q x  = C ∑ v t t −1 / q x = C ∑ w −x

= C∑ t =1

v

v x v t t −1 / q x = vx

x+t

w −x d x + t −1 C x + t −1 M C = =C x ∑ x Dx Dx v lx t =1

A 35 = 50.000

M 35 19.615, 4352 = 50.000 = 20.019,54 euros D35 48.990, 7054

Reserva matemática a los diez años de suscrito el contrato

A los diez años, la asegurada cuenta con una edad actuarial de 45 años. Como el abono de la prima es único y al principio del contrato, el valor actual actuarial de las contraprestaciones futuras es nulo. k

v x =10 v35 = CA x +10

10

v35 = CA 45

10

v35 = 50.000

M 45 = 24.116, 09 euros D 45

Reserva matemática a los veinte años de suscrito el contrato

A los veinte años, la asegurada cuenta con una edad actuarial de 55 años. Como el abono de la prima es único y al principio del contrato, el valor actual actuarial de las contraprestaciones futuras es nulo. k

v x = 20 v35 = CA x + 20

20

v35 = CA 55

20

v35 = 50.000

M 55 = 26.894,14 euros D55

57

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

Reserva matemática a los treinta años de suscrito el contrato

A los treinta años, la asegurada cuenta con una edad actuarial de 65 años. Como el abono de la prima es único y al principio del contrato, el valor actual actuarial de las contraprestaciones futuras es nulo. k

v x =30 v35 = CA x +30

30

v35 = CA 65

30

v35 = 50.000

M 65 = 34.154, 71euros D65

Reserva matemática a los cuarenta años de suscrito el contrato

A los cuarenta años, la asegurada cuenta con una edad actuarial de 75 años. Como el abono de la prima es único y al principio del contrato, el valor actual actuarial de las contraprestaciones futuras es nulo. k

v x = 40 v35 = CA x + 40

40

v35 = CA 75

40

v35 = 50.000

M 75 = 39.638, 71euros D75 k

10

20

30

40

RESERVA MATEMÁTICA MÉTODO PROSPECTIVO kvx

24.116,09€

26.894,14 €

34.154,71€

39.638,71€

Según se va incrementado la edad de la asegurada, existe un mayor riesgo de fallecimiento, y por tanto, la compañía tiene una mayor probabilidad de tener que hacer frente a la prestación cubierta en la póliza, que es la del fallecimiento de la asegurada. Por este motivo, conforme más edad cumpla con vida la asegurada, mayor cuantía en concepto de reserva matemática ha de tener constituida la entidad aseguradora para poder hacer frente a la cobertura de la póliza.

58

Apéndice

Tablas de mortalidad

OBJETIVOS Se adjuntan las tablas de mortalidad española, 1990, para hombres y mujeres, calculadas con un tipo de interés técnico del 2%, que es el solicitado en los ejercicios prácticos propuestos en este manual. Es necesario el empleo de estas tablas para la resolución numérica de los ejercicios correspondientes al tema 1 (Biometría), tema 4 (Rentas actuariales), tema 5 (Valoración de los seguros) y tema 6 (Reservas Matemáticas).

Tabla Mortalidad Hombres (símbolos de supervivencia) lx

i

Vx = 1/(1+i)x

Dx

Nx

Sx

0

100.000,00

0,02

1,000000

100.000,0000

3.833.570,3883

111.894.765,02

1

99.149,00

0,02

0,980392

97.204,9020

3.733.570,3883

108.061.194,63

2

99.066,00

0,02

0,961169

95.219,1465

3.636.365,4863

104.327.624,24

3

99.022,00

0,02

0,942322

93.310,6422

3.541.146,3398

100.691.258,76

4

98.983,00

0,02

0,923845

91.444,9918

3.447.835,6976

97.150.112,42

5

98.950,00

0,02

0,905731

89.622,0636

3.356.390,7058

93.702.276,72

6

98.918,00

0,02

0,887971

87.836,3532

3.266.768,6422

90.345.886,01

7

98.889,00

0,02

0,870560

86.088,8255

3.178.932,2890

87.079.117,37

8

98.861,00

0,02

0,853490

84.376,9116

3.092.843,4635

83.900.185,08

9

98.835,00

0,02

0,836755

82.700,7067

3.008.466,5519

80.807.341,62

10

98.810,00

0,02

0,820348

81.058,6155

2.925.765,8452

77.798.875,07

11

98.786,00

0,02

0,804263

79.449,9286

2.844.707,2297

74.873.109,22

12

98.760,00

0,02

0,788493

77.871,5860

2.765.257,3011

72.028.401,99

13

98.733,00

0,02

0,773033

76.323,8203

2.687.385,7151

69.263.144,69

14

98.701,00

0,02

0,757875

74.803,0228

2.611.061,8948

66.575.758,97

15

98.662,00

0,02

0,743015

73.307,3193

2.536.258,8720

63.964.697,08

16

98.609,00

0,02

0,728446

71.831,3132

2.462.951,5527

61.428.438,21

17

98.535,00

0,02

0,714163

70.370,0081

2.391.120,2395

58.965.486,66

18

98.439,00

0,02

0,700159

68.922,9887

2.320.750,2314

56.574.366,42

19

98.326,00

0,02

0,686431

67.493,9909

2.251.827,2427

54.253.616,18

20

98.199,00

0,02

0,672971

66.085,1119

2.184.333,2518

52.001.788,94

21

98.057,00

0,02

0,659776

64.695,6373

2.118.248,1398

49.817.455,69

22

97.910,00

0,02

0,646839

63.332,0100

2.053.552,5026

47.699.207,55

23

97.753,00

0,02

0,634156

61.990,6434

1.990.220,4925

45.645.655,05

24

97.588,00

0,02

0,621721

60.672,5566

1.928.229,8491

43.655.434,56

25

97.417,00

0,02

0,609531

59.378,6688

1.867.557,2926

41.727.204,71

26

97.248,00

0,02

0,597579

58.113,3903

1.808.178,6237

39.859.647,41

27

97.076,00

0,02

0,585862

56.873,1438

1.750.065,2335

38.051.468,79

28

96.898,00

0,02

0,574375

55.655,7454

1.693.192,0897

36.301.403,56

29

96.714,00

0,02

0,563112

54.460,8436

1.637.536,3442

34.608.211,47

30

96.528,00

0,02

0,552071

53.290,2988

1.583.075,5006

32.970.675,12

31

96.347,00

0,02

0,541246

52.147,4254

1.529.785,2018

31.387.599,62

32

96.170,00

0,02

0,530633

51.031,0048

1.477.637,7764

29.857.814,42

x

60

APÉNDICE. TABLAS DE MORTALIDAD

x

lx

i

Vx = 1/(1+i)x

Dx

Nx

Sx

33

95.988,00

0,02

0,520229

49.935,7152

1.426.606,7716

28.380.176,64

34

95.804,00

0,02

0,510028

48.862,7384

1.376.671,0564

26.953.569,87

35

95.620,00

0,02

0,500028

47.812,6404

1.327.808,3180

25.576.898,82

36

95.438,00

0,02

0,490223

46.785,9170

1.279.995,6776

24.249.090,50

37

95.259,00

0,02

0,480611

45.782,5167

1.233.209,7606

22.969.094,82

38

95.080,00

0,02

0,471187

44.800,4778

1.187.427,2438

21.735.885,06

39

94.886,00

0,02

0,461948

43.832,4191

1.142.626,7660

20.548.457,82

40

94.672,00

0,02

0,452890

42.876,0414

1.098.794,3469

19.405.831,05

41

94.445,00

0,02

0,444010

41.934,5444

1.055.918,3055

18.307.036,70

42

94.201,00

0,02

0,435304

41.006,0842

1.013.983,7611

17.251.118,40

43

93.940,00

0,02

0,426769

40.090,6567

972.977,6769

16.237.134,64

44

93.666,00

0,02

0,418401

39.189,9236

932.887,0202

15.264.156,96

45

93.373,00

0,02

0,410197

38.301,3060

893.697,0966

14.331.269,94

46

93.057,00

0,02

0,402154

37.423,2195

855.395,7906

13.437.572,84

47

92.711,00

0,02

0,394268

36.553,0140

817.972,5711

12.582.177,05

48

92.349,00

0,02

0,386538

35.696,3616

781.419,5572

11.764.204,48

49

91.971,00

0,02

0,378958

34.853,1867

745.723,1955

10.982.784,92

50

91.532,00

0,02

0,371528

34.006,6901

710.870,0089

10.237.061,73

51

91.040,00

0,02

0,364243

33.160,6847

676.863,3188

9.526.191,72

52

90.510,00

0,02

0,357101

32.321,2117

643.702,6341

8.849.328,40

53

89.935,00

0,02

0,350099

31.486,1555

611.381,4224

8.205.625,77

54

89.252,00

0,02

0,343234

30.634,3508

579.895,2669

7.594.244,34

55

88.532,00

0,02

0,336504

29.791,3942

549.260,9161

7.014.349,08

56

87.787,00

0,02

0,329906

28.961,4692

519.469,5219

6.465.088,16

57

86.997,00

0,02

0,323437

28.138,0817

490.508,0527

5.945.618,64

58

86.145,00

0,02

0,317095

27.316,1893

462.369,9710

5.455.110,59

59

85.216,00

0,02

0,310878

26.491,7721

435.053,7818

4.992.740,61

60

84.228,00

0,02

0,304782

25.671,2007

408.562,0096

4.557.686,83

61

83.153,00

0,02

0,298806

24.846,6273

382.890,8089

4.149.124,82

62

81.987,00

0,02

0,292947

24.017,8621

358.044,1816

3.766.234,01

63

80.743,00

0,02

0,287203

23.189,6429

334.026,3196

3.408.189,83

64

79.417,00

0,02

0,281572

22.361,5799

310.836,6767

3.074.163,51

65

77.966,00

0,02

0,276051

21.522,5680

288.475,0968

2.763.326,84

66

76.398,00

0,02

0,270638

20.676,1966

266.952,5288

2.474.851,74 61

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

x

lx

i

Vx = 1/(1+i)x

Dx

Nx

Sx

67

74.736,00

0,02

0,265331

19.829,8004

246.276,3321

2.207.899,21

68

72.948,00

0,02

0,260129

18.975,8706

226.446,5318

1.961.622,88

69

71.022,00

0,02

0,255028

18.112,6104

207.470,6612

1.735.176,35

70

68.977,00

0,02

0,250028

17.246,1547

189.358,0508

1.527.705,69

71

66.842,00

0,02

0,245125

16.384,6527

172.111,8960

1.338.347,64

72

64.568,00

0,02

0,240319

15.516,9002

155.727,2433

1.166.235,74

73

62.112,00

0,02

0,235607

14.633,9975

140.210,3431

1.010.508,50

74

59.481,00

0,02

0,230987

13.739,3299

125.576,3456

870.298,15

75

56.682,00

0,02

0,226458

12.836,0761

111.837,0158

744.721,81

76

53.733,00

0,02

0,222017

11.929,6591

99.000,9396

632.884,79

77

50.667,00

0,02

0,217664

11.028,3862

87.071,2805

533.883,85

78

47.502,00

0,02

0,213396

10.136,7444

76.042,8943

446.812,57

79

44.247,00

0,02

0,209212

9.256,9999

65.906,1499

370.769,68

80

40.901,00

0,02

0,205110

8.389,1930

56.649,1500

304.863,53

81

37.512,00

0,02

0,201088

7.543,2119

48.259,9570

248.214,38

82

34.075,00

0,02

0,197145

6.717,7182

40.716,7451

199.954,42

83

30.639,00

0,02

0,193279

5.921,8899

33.999,0269

159.237,68

84

27.290,00

0,02

0,189490

5.171,1735

28.077,1370

125.238,65

85

24.087,00

0,02

0,185774

4.474,7432

22.905,9635

97.161,51

86

20.978,00

0,02

0,182132

3.820,7561

18.431,2203

74.255,55

87

17.983,00

0,02

0,178560

3.211,0510

14.610,4643

55.824,33

88

15.205,00

0,02

0,175059

2.661,7748

11.399,4133

41.213,86

89

12.637,00

0,02

0,171627

2.168,8459

8.737,6385

29.814,45

90

10.287,00

0,02

0,168261

1.730,9052

6.568,7926

21.076,81

91

8.264,00

0,02

0,164962

1.363,2474

4.837,8874

14.508,02

92

6.569,00

0,02

0,161728

1.062,3887

3.474,6400

9.670,13

93

5.098,00

0,02

0,158556

808,3210

2.412,2513

6.195,49

94

3.815,00

0,02

0,155448

593,0324

1.603,9303

3.783,24

95

2.717,00

0,02

0,152400

414,0696

1.010,8979

2.179,31

96

1.820,00

0,02

0,149411

271,9286

596,8283

1.168,41

97

1.131,00

0,02

0,146482

165,6708

324,8997

571,58

98

643,00

0,02

0,143609

92,3409

159,2289

246,68

99

329,00

0,02

0,140794

46,3211

66,8880

87,45

100

149,00

0,02

0,138033

20,5669

20,5669

20,57

62

APÉNDICE. TABLAS DE MORTALIDAD

Tabla Mortalidad Hombres (símbolos de fallecimiento) lx

i

Vx = 1/(1+i)x

dx

Cx

Mx

Rx

0

100.000,0000

0,02

1,0000

851,0000

834,3137

24.811,7895

1.637.518,8603

1

99.149,0000

0,02

0,9804

83,0000

79,7770

23.977,4758

1.612.707,0708

2

99.066,0000

0,02

0,9612

44,0000

41,4622

23.897,6988

1.588.729,5950

3

99.022,0000

0,02

0,9423

39,0000

36,0300

23.856,2366

1.564.831,8962

4

98.983,0000

0,02

0,9238

33,0000

29,8891

23.820,2066

1.540.975,6596

5

98.950,0000

0,02

0,9057

32,0000

28,4151

23.790,3175

1.517.155,4529

6

98.918,0000

0,02

0,8880

29,0000

25,2462

23.761,9024

1.493.365,1354

7

98.889,0000

0,02

0,8706

28,0000

23,8977

23.736,6562

1.469.603,2330

8

98.861,0000

0,02

0,8535

26,0000

21,7556

23.712,7585

1.445.866,5768

9

98.835,0000

0,02

0,8368

25,0000

20,5087

23.691,0028

1.422.153,8183

10

98.810,0000

0,02

0,8203

24,0000

19,3023

23.670,4941

1.398.462,8155

11

98.786,0000

0,02

0,8043

26,0000

20,5008

23.651,1918

1.374.792,3214

12

98.760,0000

0,02

0,7885

27,0000

20,8719

23.630,6910

1.351.141,1295

13

98.733,0000

0,02

0,7730

32,0000

24,2520

23.609,8191

1.327.510,4386

14

98.701,0000

0,02

0,7579

39,0000

28,9776

23.585,5671

1.303.900,6195

15

98.662,0000

0,02

0,7430

53,0000

38,6076

23.556,5895

1.280.315,0523

16

98.609,0000

0,02

0,7284

74,0000

52,8480

23.517,9819

1.256.758,4628

17

98.535,0000

0,02

0,7142

96,0000

67,2153

23.465,1339

1.233.240,4809

18

98.439,0000

0,02

0,7002

113,0000

77,5667

23.397,9186

1.209.775,3470

19

98.326,0000

0,02

0,6864

127,0000

85,4674

23.320,3519

1.186.377,4285

20

98.199,0000

0,02

0,6730

142,0000

93,6882

23.234,8845

1.163.057,0766

21

98.057,0000

0,02

0,6598

147,0000

95,0853

23.141,1964

1.139.822,1920

22

97.910,0000

0,02

0,6468

157,0000

99,5625

23.046,1110

1.116.680,9956

23

97.753,0000

0,02

0,6342

165,0000

102,5840

22.946,5486

1.093.634,8846

24

97.588,0000

0,02

0,6217

171,0000

104,2298

22.843,9645

1.070.688,3360

25

97.417,0000

0,02

0,6095

169,0000

100,9909

22.739,7347

1.047.844,3715

26

97.248,0000

0,02

0,5976

172,0000

100,7683

22.638,7438

1.025.104,6368

27

97.076,0000

0,02

0,5859

178,0000

102,2387

22.537,9756

1.002.465,8930

28

96.898,0000

0,02

0,5744

184,0000

103,6127

22.435,7369

979.927,9174

29

96.714,0000

0,02

0,5631

186,0000

102,6852

22.332,1242

957.492,1805

30

96.528,0000

0,02

0,5521

181,0000

97,9655

22.229,4390

935.160,0563

31

96.347,0000

0,02

0,5412

177,0000

93,9221

22.131,4735

912.930,6173

32

96.170,0000

0,02

0,5306

182,0000

94,6816

22.037,5514

890.799,1437

x

63

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

64

x

lx

i

Vx = 1/(1+i)x

dx

Cx

Mx

33

95.988,0000

0,02

0,5202

184,0000

93,8452

21.942,8698

868.761,5923

34

95.804,0000

0,02

0,5100

184,0000

92,0051

21.849,0246

846.818,7225

35

95.620,0000

0,02

0,5000

182,0000

89,2206

21.757,0195

824.969,6979

36

95.438,0000

0,02

0,4902

179,0000

86,0294

21.667,7989

803.212,6784

37

95.259,0000

0,02

0,4806

179,0000

84,3425

21.581,7696

781.544,8794

38

95.080,0000

0,02

0,4712

194,0000

89,6180

21.497,4271

759.963,1099

39

94.886,0000

0,02

0,4619

214,0000

96,9185

21.407,8091

738.465,6828

40

94.672,0000

0,02

0,4529

227,0000

100,7903

21.310,8906

717.057,8737

41

94.445,0000

0,02

0,4440

244,0000

106,2142

21.210,1002

695.746,9832

42

94.201,0000

0,02

0,4353

261,0000

111,3866

21.103,8860

674.536,8829

43

93.940,0000

0,02

0,4268

274,0000

114,6418

20.992,4994

653.432,9969

44

93.666,0000

0,02

0,4184

293,0000

120,1877

20.877,8576

632.440,4975

45

93.373,0000

0,02

0,4102

316,0000

127,0806

20.757,6699

611.562,6399

46

93.057,0000

0,02

0,4022

346,0000

136,4169

20.630,5893

590.804,9700

47

92.711,0000

0,02

0,3943

362,0000

139,9266

20.494,1725

570.174,3807

48

92.349,0000

0,02

0,3865

378,0000

143,2463

20.354,2459

549.680,2082

49

91.971,0000

0,02

0,3790

439,0000

163,1007

20.210,9996

529.325,9623

50

91.532,0000

0,02

0,3715

492,0000

179,2076

20.047,8988

509.114,9627

51

91.040,0000

0,02

0,3642

530,0000

189,2635

19.868,6913

489.067,0639

52

90.510,0000

0,02

0,3571

575,0000

201,3069

19.679,4277

469.198,3726

53

89.935,0000

0,02

0,3501

683,0000

234,4291

19.478,1208

449.518,9449

54

89.252,0000

0,02

0,3432

720,0000

242,2831

19.243,6918

430.040,8241

55

88.532,0000

0,02

0,3365

745,0000

245,7801

19.001,4087

410.797,1323

56

87.787,0000

0,02

0,3299

790,0000

255,5155

18.755,6286

391.795,7236

57

86.997,0000

0,02

0,3234

852,0000

270,1653

18.500,1131

373.040,0950

58

86.145,0000

0,02

0,3171

929,0000

288,8056

18.229,9478

354.539,9819

59

85.216,0000

0,02

0,3109

988,0000

301,1249

17.941,1422

336.310,0341

60

84.228,0000

0,02

0,3048

1.075,0000

321,2166

17.640,0173

318.368,8919

61

83.153,0000

0,02

0,2988

1.166,0000

341,5764

17.318,8007

300.728,8746

62

81.987,0000

0,02

0,2929

1.244,0000

357,2807

16.977,2243

283.410,0739

63

80.743,0000

0,02

0,2872

1.326,0000

373,3641

16.619,9436

266.432,8497

64

79.417,0000

0,02

0,2816

1.451,0000

400,5495

16.246,5795

249.812,9061

65

77.966,0000

0,02

0,2761

1.568,0000

424,3603

15.846,0299

233.566,3266

66

76.398,0000

0,02

0,2706

1.662,0000

440,9806

15.421,6697

217.720,2967

Rx

APÉNDICE. TABLAS DE MORTALIDAD

x

lx

i

Vx = 1/(1+i)x

dx

Cx

Mx

67

74.736,0000

0,02

0,2653

1.788,0000

465,1102

14.980,6890

202.298,6270

68

72.948,0000

0,02

0,2601

1.926,0000

491,1842

14.515,5789

187.317,9380

69

71.022,0000

0,02

0,2550

2.045,0000

511,3065

14.024,3946

172.802,3591

70

68.977,0000

0,02

0,2500

2.135,0000

523,3421

13.513,0881

158.777,9645

71

66.842,0000

0,02

0,2451

2.274,0000

546,4848

12.989,7460

145.264,8764

72

64.568,0000

0,02

0,2403

2.456,0000

578,6498

12.443,2612

132.275,1303

73

62.112,0000

0,02

0,2356

2.631,0000

607,7264

11.864,6114

119.831,8691

74

59.481,0000

0,02

0,2310

2.799,0000

633,8551

11.256,8850

107.967,2577

75

56.682,0000

0,02

0,2265

2.949,0000

654,7292

10.623,0298

96.710,3728

76

53.733,0000

0,02

0,2220

3.066,0000

667,3581

9.968,3006

86.087,3429

77

50.667,0000

0,02

0,2177

3.165,0000

675,3989

9.300,9425

76.119,0423

78

47.502,0000

0,02

0,2134

3.255,0000

680,9848

8.625,5437

66.818,0998

79

44.247,0000

0,02

0,2092

3.346,0000

686,2972

7.944,5589

58.192,5562

80

40.901,0000

0,02

0,2051

3.389,0000

681,4871

7.258,2617

50.247,9973

81

37.512,0000

0,02

0,2011

3.437,0000

677,5876

6.576,7746

42.989,7356

82

34.075,0000

0,02

0,1971

3.436,0000

664,1083

5.899,1870

36.412,9610

83

30.639,0000

0,02

0,1933

3.349,0000

634,6010

5.235,0787

30.513,7740

84

27.290,0000

0,02

0,1895

3.203,0000

595,0348

4.600,4777

25.278,6953

85

24.087,0000

0,02

0,1858

3.109,0000

566,2470

4.005,4430

20.678,2176

86

20.978,0000

0,02

0,1821

2.995,0000

534,7883

3.439,1959

16.672,7746

87

17.983,0000

0,02

0,1786

2.778,0000

486,3144

2.904,4077

13.233,5787

88

15.205,0000

0,02

0,1751

2.568,0000

440,7372

2.418,0933

10.329,1710

89

12.637,0000

0,02

0,1716

2.350,0000

395,4143

1.977,3560

7.911,0778

90

10.287,0000

0,02

0,1683

2.023,0000

333,7185

1.581,9417

5.933,7217

91

8.264,0000

0,02

0,1650

1.695,0000

274,1283

1.248,2232

4.351,7800

92

6.569,0000

0,02

0,1617

1.471,0000

233,2366

974,0949

3.103,5568

93

5.098,0000

0,02

0,1586

1.283,0000

199,4392

740,8583

2.129,4619

94

3.815,0000

0,02

0,1554

1.098,0000

167,3347

541,4191

1.388,6036

95

2.717,0000

0,02

0,1524

897,0000

134,0220

374,0844

847,1845

96

1.820,0000

0,02

0,1494

689,0000

100,9259

240,0625

473,1001

97

1.131,0000

0,02

0,1465

488,0000

70,0814

139,1366

233,0376

98

643,0000

0,02

0,1436

314,0000

44,2092

69,0551

93,9011

99

329,0000

0,02

0,1408

180,0000

24,8459

24,8459

24,8459

100

149,0000

0,02

0,1380

149,0000

0,0000

0,0000

0,0000

Rx

65

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

Tabla Mortalidad Mujeres (símbolos de supervivencia) lx

i

Vx = 1/(1+i)x

Dx

Nx

Sx

0

100.000,00

0,02

1,000000

100.000,0000

4.016.010,8899

123.996.468,92

1

99.293,00

0,02

0,980392

97.346,0784

3.916.010,8899

119.980.458,03

2

99.231,00

0,02

0,961169

95.377,7393

3.818.664,8115

116.064.447,14

3

99.188,00

0,02

0,942322

93.467,0677

3.723.287,0721

112.245.782,33

4

99.159,00

0,02

0,923845

91.607,5886

3.629.820,0044

108.522.495,26

5

99.131,00

0,02

0,905731

89.786,0009

3.538.212,4158

104.892.675,25

6

99.108,00

0,02

0,887971

88.005,0677

3.448.426,4149

101.354.462,84

7

99.087,00

0,02

0,870560

86.261,1964

3.360.421,3472

97.906.036,42

8

99.068,00

0,02

0,853490

84.553,5841

3.274.160,1507

94.545.615,07

9

99.052,00

0,02

0,836755

82.882,2826

3.189.606,5667

91.271.454,92

10

99.037,00

0,02

0,820348

81.244,8346

3.106.724,2841

88.081.848,36

11

99.021,00

0,02

0,804263

79.638,9304

3.025.479,4495

84.975.124,07

12

99.003,00

0,02

0,788493

78.063,1899

2.945.840,5191

81.949.644,62

13

98.982,00

0,02

0,773033

76.516,3054

2.867.777,3292

79.003.804,10

14

98.959,00

0,02

0,757875

74.998,5546

2.791.261,0238

76.136.026,77

15

98.935,00

0,02

0,743015

73.510,1623

2.716.262,4693

73.344.765,75

16

98.909,00

0,02

0,728446

72.049,8470

2.642.752,3070

70.628.503,28

17

98.879,00

0,02

0,714163

70.615,6800

2.570.702,4600

67.985.750,97

18

98.844,00

0,02

0,700159

69.206,5533

2.500.086,7800

65.415.048,51

19

98.806,00

0,02

0,686431

67.823,4776

2.430.880,2267

62.914.961,73

20

98.765,00

0,02

0,672971

66.466,0137

2.363.056,7490

60.484.081,51

21

98.724,00

0,02

0,659776

65.135,7077

2.296.590,7353

58.121.024,76

22

98.681,00

0,02

0,646839

63.830,7229

2.231.455,0276

55.824.434,02

23

98.640,00

0,02

0,634156

62.553,1397

2.167.624,3047

53.592.979,00

24

98.597,00

0,02

0,621721

61.299,8735

2.105.071,1650

51.425.354,69

25

98.552,00

0,02

0,609531

60.070,4864

2.043.771,2914

49.320.283,53

26

98.506,00

0,02

0,597579

58.865,1450

1.983.700,8051

47.276.512,23

27

98.456,00

0,02

0,585862

57.681,6334

1.924.835,6600

45.292.811,43

28

98.401,00

0,02

0,574375

56.519,0304

1.867.154,0266

43.367.975,77

29

98.344,00

0,02

0,563112

55.378,7167

1.810.634,9962

41.500.821,74

30

98.282,00

0,02

0,552071

54.258,6311

1.755.256,2796

39.690.186,75

31

98.220,00

0,02

0,541246

53.161,1791

1.700.997,6484

37.934.930,47

32

98.157,00

0,02

0,530633

52.085,3732

1.647.836,4693

36.233.932,82

x

66

APÉNDICE. TABLAS DE MORTALIDAD

x

lx

i

Vx = 1/(1+i)x

Dx

Nx

Sx

33

98.097,00

0,02

0,520229

51.032,8776

1.595.751,0961

34.586.096,35

34

98.039,00

0,02

0,510028

50.002,6513

1.544.718,2185

32.990.345,25

35

97.976,00

0,02

0,500028

48.990,7054

1.494.715,5672

31.445.627,04

36

97.902,00

0,02

0,490223

47.993,8269

1.445.724,8617

29.950.911,47

37

97.825,00

0,02

0,480611

47.015,7644

1.397.731,0349

28.505.186,61

38

97.747,00

0,02

0,471187

46.057,1341

1.350.715,2705

27.107.455,57

39

97.665,00

0,02

0,461948

45.116,1732

1.304.658,1364

25.756.740,30

40

97.582,00

0,02

0,452890

44.193,9525

1.259.541,9632

24.452.082,16

41

97.494,00

0,02

0,444010

43.288,3315

1.215.348,0107

23.192.540,20

42

97.391,00

0,02

0,435304

42.394,7044

1.172.059,6792

21.977.192,19

43

97.282,00

0,02

0,426769

41.516,9179

1.129.664,9748

20.805.132,51

44

97.165,00

0,02

0,418401

40.653,9078

1.088.148,0569

19.675.467,54

45

97.039,00

0,02

0,410197

39.805,0875

1.047.494,1492

18.587.319,48

46

96.900,00

0,02

0,402154

38.968,6962

1.007.689,0617

17.539.825,33

47

96.758,00

0,02

0,394268

38.148,6180

968.720,3654

16.532.136,27

48

96.602,00

0,02

0,386538

37.340,3061

930.571,7474

15.563.415,90

49

96.440,00

0,02

0,378958

36.546,7519

893.231,4413

14.632.844,16

50

96.247,00

0,02

0,371528

35.758,4441

856.684,6894

13.739.612,71

51

96.028,00

0,02

0,364243

34.977,5289

820.926,2453

12.882.928,03

52

95.788,00

0,02

0,357101

34.205,9907

785.948,7164

12.062.001,78

53

95.537,00

0,02

0,350099

33.447,4102

751.742,7257

11.276.053,06

54

95.242,00

0,02

0,343234

32.690,3245

718.295,3155

10.524.310,34

55

94.929,00

0,02

0,336504

31.944,0119

685.604,9910

9.806.015,02

56

94.602,00

0,02

0,329906

31.209,7794

653.660,9791

9.120.410,03

57

94.262,00

0,02

0,323437

30.487,8543

622.451,1997

8.466.749,05

58

93.881,00

0,02

0,317095

29.769,2398

591.963,3454

7.844.297,85

59

93.462,00

0,02

0,310878

29.055,2714

562.194,1056

7.252.334,51

60

93.010,00

0,02

0,304782

28.347,7986

533.138,8342

6.690.140,40

61

92.516,00

0,02

0,298806

27.644,3492

504.791,0356

6.157.001,57

62

91.980,00

0,02

0,292947

26.945,2834

477.146,6864

5.652.210,53

63

91.388,00

0,02

0,287203

26.246,9203

450.201,4030

5.175.063,85

64

90.755,00

0,02

0,281572

25.554,0399

423.954,4827

4.724.862,44

65

90.063,00

0,02

0,276051

24.861,9532

398.400,4428

4.300.907,96

66

89.297,00

0,02

0,270638

24.167,1553

373.538,4896

3.902.507,52 67

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

x

lx

i

Vx = 1/(1+i)x

Dx

Nx

Sx

67

88.452,00

0,02

0,265331

23.469,0845

349.371,3343

3.528.969,03

68

87.524,00

0,02

0,260129

22.767,5069

325.902,2498

3.179.597,69

69

86.503,00

0,02

0,255028

22.060,7015

303.134,7429

2.853.695,44

70

85.360,00

0,02

0,250028

21.342,3571

281.074,0414

2.550.560,70

71

84.112,00

0,02

0,245125

20.617,9634

259.731,6842

2.269.486,66

72

82.701,00

0,02

0,240319

19.874,5999

239.113,7208

2.009.754,97

73

81.138,00

0,02

0,235607

19.116,6487

219.239,1210

1.770.641,25

74

79.361,00

0,02

0,230987

18.331,3488

200.122,4722

1.551.402,13

75

77.388,00

0,02

0,226458

17.525,1095

181.791,1234

1.351.279,66

76

75.197,00

0,02

0,222017

16.695,0399

164.266,0139

1.169.488,54

77

72.761,00

0,02

0,217664

15.837,4564

147.570,9740

1.005.222,52

78

70.057,00

0,02

0,213396

14.949,8949

131.733,5176

857.651,55

79

67.102,00

0,02

0,209212

14.038,5384

116.783,6227

725.918,03

80

63.870,00

0,02

0,205110

13.100,3583

102.745,0843

609.134,41

81

60.300,00

0,02

0,201088

12.125,6045

89.644,7259

506.389,32

82

56.461,00

0,02

0,197145

11.131,0077

77.519,1214

416.744,60

83

52.477,00

0,02

0,193279

10.142,7272

66.388,1138

339.225,48

84

48.298,00

0,02

0,189490

9.151,9728

56.245,3866

272.837,36

85

43.906,00

0,02

0,185774

8.156,6020

47.093,4138

216.591,98

86

39.426,00

0,02

0,182132

7.180,7192

38.936,8118

169.498,56

87

34.995,00

0,02

0,178560

6.248,7199

31.756,0926

130.561,75

88

30.619,00

0,02

0,175059

5.360,1370

25.507,3727

98.805,66

89

26.417,00

0,02

0,171627

4.533,8611

20.147,2357

73.298,29

90

22.371,00

0,02

0,168261

3.764,1762

15.613,3747

53.151,05

91

18.621,00

0,02

0,164962

3.071,7606

11.849,1985

37.537,68

92

15.370,00

0,02

0,161728

2.485,7535

8.777,4379

25.688,48

93

12.410,00

0,02

0,158556

1.967,6861

6.291,6843

16.911,04

94

9.675,00

0,02

0,155448

1.503,9550

4.323,9983

10.619,36

95

7.190,00

0,02

0,152400

1.095,7528

2.820,0433

6.295,36

96

5.029,00

0,02

0,149411

751,3895

1.724,2906

3.475,31

97

3.267,00

0,02

0,146482

478,5557

972,9010

1.751,02

98

1.943,00

0,02

0,143609

279,0333

494,3454

778,12

99

1.043,00

0,02

0,140794

146,8478

215,3121

283,78

100

496,00

0,02

0,138033

68,4644

68,4644

68,46

68

APÉNDICE. TABLAS DE MORTALIDAD

Tabla Mortalidad Mujeres (símbolos de fallecimiento) lx

i

Vx = 1/(1+i)x

0

100.000,00

0,02

1,000000

1

99.293,00

0,02

2

99.231,00

3

x

dx

Cx

Mx

Rx

707,000000

693,137255

21.187,5665

1.577.928,2645

0,980392

62,000000

59,592464

20.494,4293

1.556.740,6980

0,02

0,961169

43,000000

40,519860

20.434,8368

1.536.246,2687

99.188,00

0,02

0,942322

29,000000

26,791517

20.394,3169

1.515.811,4319

4

99.159,00

0,02

0,923845

28,000000

25,360463

20.367,5254

1.495.417,1150

5

99.131,00

0,02

0,905731

23,000000

20,423342

20.342,1650

1.475.049,5895

6

99.108,00

0,02

0,887971

21,000000

18,281764

20.321,7416

1.454.707,4246

7

99.087,00

0,02

0,870560

19,000000

16,216317

20.303,4599

1.434.385,6830

8

99.068,00

0,02

0,853490

16,000000

13,388084

20.287,2435

1.414.082,2231

9

99.052,00

0,02

0,836755

15,000000

12,305224

20.273,8555

1.393.794,9796

10

99.037,00

0,02

0,820348

16,000000

12,868209

20.261,5502

1.373.521,1241

11

99.021,00

0,02

0,804263

18,000000

14,192877

20248,68202

1353259,574

12

99.003,00

0,02

0,788493

21,000000

16,233683

20234,48914

1333010,892

13

98.982,00

0,02

0,773033

23,000000

17,431126

20218,25546

1312776,403

14

98.959,00

0,02

0,757875

24,000000

17,832354

20200,82433

1292558,147

15

98.935,00

0,02

0,743015

26,000000

18,939591

20182,99198

1272357,323

16

98.909,00

0,02

0,728446

30,000000

21,424877

20164,05239

1252174,331

17

98.879,00

0,02

0,714163

35,000000

24,505578

20142,62751

1232010,279

18

98.844,00

0,02

0,700159

38,000000

26,084369

20118,12193

1211867,651

19

98.806,00

0,02

0,686431

41,000000

27,591825

20092,03757

1191749,529

20

98.765,00

0,02

0,672971

41,000000

27,050808

20064,44574

1171657,492

21

98.724,00

0,02

0,659776

43,000000

27,814079

20037,39493

1151593,046

22

98.681,00

0,02

0,646839

41,000000

26,000393

20009,58085

1131555,651

23

98.640,00

0,02

0,634156

43,000000

26,734024

19983,58046

1111546,07

24

98.597,00

0,02

0,621721

45,000000

27,428889

19956,84644

1091562,49

25

98.552,00

0,02

0,609531

46,000000

27,488647

19929,41755

1071605,643

26

98.506,00

0,02

0,597579

50,000000

29,293102

19901,9289

1051676,226

27

98.456,00

0,02

0,585862

55,000000

31,590600

19872,6358

1031774,297

28

98.401,00

0,02

0,574375

57,000000

32,097401

19841,0452

1011901,661

29

98.344,00

0,02

0,563112

62,000000

34,228395

19808,9478

992060,6157

30

98.282,00

0,02

0,552071

62,000000

33,557250

19774,7194

972251,6679

31

98.220,00

0,02

0,541246

63,000000

33,429898

19741,16215

952476,9485

32

98.157,00

0,02

0,530633

60,000000

31,213724

19707,73225

932735,7863 69

ELEMENTOS DE CÁLCULO ACTUARIAL

70

x

lx

i

Vx = 1/(1+i)x

33

98.097,00

0,02

0,520229

34

98.039,00

0,02

35

97.976,00

36

dx

Cx

Mx

Rx

58,000000

29,581634

19676,51853

913028,0541

0,510028

63,000000

31,501740

19646,9369

893351,5355

0,02

0,500028

74,000000

36,276513

19615,43516

873704,5986

97.902,00

0,02

0,490223

77,000000

37,007042

19579,15864

854089,1635

37

97.825,00

0,02

0,480611

78,000000

36,752601

19542,1516

834510,0048

38

97.747,00

0,02

0,471187

82,000000

37,879754

19505,399

814967,8532

39

97.665,00

0,02

0,461948

83,000000

37,589904

19467,51925

795462,4542

40

97.582,00

0,02

0,452890

88,000000

39,072899

19429,92934

775994,935

41

97.494,00

0,02

0,444010

103,000000

44,836325

19390,85644

756565,0056

42

97.391,00

0,02

0,435304

109,000000

46,517794

19346,02012

737174,1492

43

97.282,00

0,02

0,426769

117,000000

48,952886

19299,50232

717828,1291

44

97.165,00

0,02

0,418401

126,000000

51,684797

19250,54944

698528,6268

45

97.039,00

0,02

0,410197

139,000000

55,899368

19198,86464

679278,0773

46

96.900,00

0,02

0,402154

142,000000

55,986107

19142,96527

660079,2127

47

96.758,00

0,02

0,394268

156,000000

60,299867

19086,97917

640936,2474

48

96.602,00

0,02

0,386538

162,000000

61,391267

19026,6793

621849,2682

49

96.440,00

0,02

0,378958

193,000000

71,704881

18965,28803

602822,5889

50

96.247,00

0,02

0,371528

219,000000

79,769222

18893,58315

583857,3009

51

96.028,00

0,02

0,364243

240,000000

85,704240

18813,81393

564963,7178

52

95.788,00

0,02

0,357101

251,000000

87,874854

18728,10969

546149,9038

53

95.537,00

0,02

0,350099

295,000000

101,254129

18640,23483

527421,7941

54

95.242,00

0,02

0,343234

313,000000

105,325830

18538,98071

508781,5593

55

94.929,00

0,02

0,336504

327,000000

107,879304

18433,65488

490242,5786

56

94.602,00

0,02

0,329906

340,000000

109,968709

18325,77557

471808,9237

57

94.262,00

0,02

0,323437

381,000000

120,813374

18215,80686

453483,1482

58

93.881,00

0,02

0,317095

419,000000

130,257845

18094,99349

435267,3413

59

93.462,00

0,02

0,310878

452,000000

137,761584

17964,73564

417172,3478

60

93.010,00

0,02

0,304782

494,000000

147,610235

17826,97406

399207,6122

61

92.516,00

0,02

0,298806

536,000000

157,019699

17679,36382

381380,6381

62

91.980,00

0,02

0,292947

592,000000

170,024257

17522,34413

363701,2743

63

91.388,00

0,02

0,287203

633,000000

178,234888

17352,31987

346178,9302

64

90.755,00

0,02

0,281572

692,000000

191,027077

17174,08498

328826,6103

65

90.063,00

0,02

0,276051

766,000000

207,308655

16983,0579

311652,5253

66

89.297,00

0,02

0,270638

845,000000

224,204952

16775,74925

294669,4674

APÉNDICE. TABLAS DE MORTALIDAD

x

lx

i

Vx = 1/(1+i)x

67

88.452,00

0,02

0,265331

928,000000

241,399461

16551,5443

277893,7182

68

87.524,00

0,02

0,260129

1.021,000000

260,383758

16310,14484

261342,1739

69

86.503,00

0,02

0,255028

1.143,000000

285,781563

16049,76108

245032,029

70

85.360,00

0,02

0,250028

1.248,000000

305,916140

15763,97951

228982,2679

71

84.112,00

0,02

0,245125

1.411,000000

339,089738

15458,06337

213218,2884

72

82.701,00

0,02

0,240319

1.563,000000

368,253124

15118,97364

197760,2251

73

81.138,00

0,02

0,235607

1.777,000000

410,463664

14750,72051

182641,2514

74

79.361,00

0,02

0,230987

1.973,000000

446,801069

14340,25685

167890,5309

75

77.388,00

0,02

0,226458

2.191,000000

486,440049

13893,45578

153550,2741

76

75.197,00

0,02

0,222017

2.436,000000

530,229710

13407,01573

139656,8183

77

72.761,00

0,02

0,217664

2.704,000000

577,023220

12876,78602

126249,8025

78

70.057,00

0,02

0,213396

2.955,000000

618,221232

12299,7628

113373,0165

79

67.102,00

0,02

0,209212

3.232,000000

662,914641

11681,54157

101073,2537

80

63.870,00

0,02

0,205110

3.570,000000

717,884049

11018,62693

89391,71215

81

60.300,00

0,02

0,201088

3.839,000000

756,839914

10300,74288

78373,08522

82

56.461,00

0,02

0,197145

3.984,000000

770,025440

9543,902966

68072,34234

83

52.477,00

0,02

0,193279

4.179,000000

791,877390

8773,877526

58528,43938

84

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85

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4.480,000000

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86

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0,02

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89

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93

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94

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95

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98

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0,02

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496,000000

0,000000

0

0

dx

Cx

Mx

Rx

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BIBLIOGRAFÍA

BOWERS, J. R.; NEWTON, L.; GERBER, H.; JONES, D. (1997). Actuarial Mathematics. The Society of Actuaries. Illinois. DE PABLO LÓPEZ, A. (2002). Matemática de las Operaciones Financieras I. Volumen I. UNED. — (2002). Matemática de las Operaciones Financieras II. Volumen II. UNED. DE LA FUENTE SÁNCHEZ, D. (2008). Operaciones Bancarias. Editorial Universitaria Ramón Areces. GIL FANA, J. A. (1991). Elementos de matemáticas para las ciencias del seguro. Editorial Mapfre. GIL PELÁEZ, L. (1987). Matemática de las operaciones financieras. Editorial AC. LEVI, E. (1973). Curso de Matemática Financiera y Actuarial. Editorial Bosch. MORENO, R.; GÓMEZ, O.; TRIGO, E. (2005). Matemática de los seguros de vida. Editorial Pirámide. NIETO, U.; VEGAS, J. (1993). Matemática Actuarial. Editorial MAPFRE. RUIZ AMESTOY, J. M. (1993). Matemática Financiera. Editorial Centro de Formación del Banco de España.

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