Elektrotechnik für Ingenieure Klausurenrechnen (German Edition) 3834803006, 9783834803009

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Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure Klausurenrechnen

Literatur für das Grundstudium

Vieweg Handbuch Elektrotechnik herausgegeben von W. Böge und W. Plaßmann Elemente der angewandten Elektronik von E. Böhmer Elemente der Elektronik – Repetitorium und Prüfungstrainer von E. Böhmer Aufgabensammlung Elektrotechnik 1 und 2 von M. Vömel und D. Zastrow Elektrotechnik für Ingenieure in 3 Bänden von W. Weißgerber Elektrotechnik für Ingenieure – Formelsammlung von W. Weißgerber Elektrotechnik von D. Zastrow Elektronik von D. Zastrow

vieweg

Wilfried Weißgerber

Elektrotechnik für Ingenieure Klausurenrechnen Aufgaben mit ausführlichen Lösungen 3., durchgesehene und korrigierte Auflage Mit zahlreichen Abbildungen

Viewegs Fachbücher der Technik

Bibliografische Information Der Deutschen Nationalbibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

1. Auflage September 2002 2., korrigierte Auflage Oktober 2003 3., durchgesehene und korrigierte Auflage Februar 2007 Alle Rechte vorbehalten © Friedr. Vieweg & Sohn Verlag | GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2007 Lektorat: Reinhard Dapper Der Vieweg Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. www.vieweg.de Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, www.CorporateDesignGroup.de Technische Redaktion: Andreas Meißner, Wiesbaden Druck und buchbinderische Verarbeitung: Wilhelm & Adam, Heußenstamm Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. Printed in Germany ISBN 978-3-8348-0300-9

Vorwort

In den drei Lehrbüchern „Elektrotechnik für Ingenieure“ Band 1, 2 und 3 wird der Lehrinhalt allgemein behandelt und durch ausführlich berechnete Beispiele erläutert. Zu jedem Abschnitt sind viele Übungsaufgaben gestellt, die dem Lernenden das eigenständige Arbeiten ermöglichen sollen. Für das Lösen praktischer Aufgaben, insbesondere von Übungs- und Klausuraufgaben, ist die kompakte Darstellung in der Formelsammlung gewählt, um das zeitaufwändige Nachschlagen in den Lehrbüchern zu ersparen. Die entsprechende Formel in ihrer Umgebung (Problemstellung, Schaltung, u. ä.) ist dabei entscheidend, nicht aber ihre Herleitung. Zu einer effektiven Prüfungsvorbereitung gehört aber auch das Rechnen von „alten“ Klausuren, das bei Studierenden sehr beliebt ist, weil dann erst eine Selbstkontrolle über das erforderliche Leistungsvermögen möglich wird. Immer wieder haben mir Studenten bestätigt, dass sie erst nach dem Rechnen von mindestens drei „alten“ Klausuren in der Lage waren, die Klausuren sicher zu bestehen. Das Ziel in der Prüfung ist selbstverständlich, möglichst viele Punkte in möglichst kurzer Zeit zu erreichen. Dafür muss der Prüfling zunächst die Aufgaben nach dem individuellen Schwierigkeitsgrad beurteilen können: Routineaufgaben wie Netzberechnungen sind meist schnell gelöst, Herleitungen von Formeln ähnlich wie in den Lehrbüchern können schwieriger und zeitaufwändiger sein, Aufgaben mit völlig neuer Problemstellung erfordern wohl am meisten Zeit und oft gute Nerven. Das Rechnen von Klausuren unterscheidet sich erheblich vom Rechnen von Übungsaufgaben, die in Lehrbüchern meist am Ende eines Kapitels stehen, wodurch das Sachgebiet bekannt ist. Für Klausurenaufgaben muss der Zusammenhang zu dem entsprechenden Sachgebiet gefunden werden; oft sind für die Lösung einer Klausuraufgabe Kenntnisse von Lehrinhalten erforderlich, die in verschiedenen Kapiteln der Lehrbücher behandelt sind. Bei der Vorbereitung ist aber auch zu beachten, dass bei den Aufgabenstellungen Schwerpunkte gesetzt werden. Durch das Rechnen von „alten“ Klausuren werden wichtige Lehrinhalte geübt, unwichtige in den Hintergrund gedrängt und manche kommen in Klausuren gar nicht vor. Obwohl also Klausuren der elektrotechnischen Grundlagen, die in den Hochschulen gestellt werden, viele gemeinsame Merkmale haben, sind sie in der Anzahl der Aufgaben, in den Formulierungen und in den Ansprüchen an die Leistungsfähigkeit von Lernenden sehr unterschiedlich. Die vorliegende Klausurensammlung kann selbstverständlich allen diesen Ansprüchen nicht gerecht werden. Und wenn keine alten Klausuren zu bekommen sind? Dann kann diese Klausurensammlung eine gute Vorbereitung für die Prüfung sein, denn alle diese Klausuren sind in den vergangenen zehn Jahren von mir an der Fachhochschule Hannover gestellt und erprobt und danach mehrmals als „alte“ Klausuren gerechnet und diskutiert worden. Ein weiteres Argument für diese Klausurensammlung ist, dass die Lehrinhalte im Fach „Grundlagen der Elektrotechnik“ recht ähnlich sind. Die Aufgaben einer Klausur sind gut gemischt, thematisch und im Schwierigkeitsgrad. Die vorliegende Aufgabensammlung mit dem Untertitel „Klausurenrechnen“ enthält 40 Aufgabenblätter mit je vier Aufgaben, für deren Lösung 90 Minuten vorgesehen sind. Für die Lösung einer Aufgabe können maximal 25 Punkte (25P) erreicht werden. Anhand der Punktangaben kann festgestellt werden, welche Leistung bei der Lösung von vier Aufgaben erbracht werden kann. V

Vorwort Es können sogar Noten gegeben werden: 0P bis 49P entspricht Note 5, 50P bis 65P entspricht Note 4, 66P bis 82P entspricht Note 3, 83P bis 97P entspricht Note 2 und 98P bis 100P entspricht Note 1. Die Aufgabensammlung ist in vier Abschnitte unterteilt, für die jeweils 10 Aufgabenblätter zusammengestellt sind: Abschnitt 1:

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik 2 Gleichstromtechnik

Abschnitt 2:

3 Das elektromagnetische Feld

Abschnitt 3:

4 Wechselstromtechnik 5 Ortskurven 6 Transformator 7 Mehrphasensysteme

Abschnitt 4:

8 Ausgleichsvorgänge in linearen Netzen 9 Fourieranalyse von nichtsinusförmigen Wechselgrößen 10 Vierpoltheorie

In einem Anhang zu den Aufgabenblättern werden die Lösungen in gewohnt ausführlicher Form angeboten, so dass die eigene Bearbeitung überprüft werden kann. Selbstverständlich wird in den Lösungen immer angegeben, wo in den Lehrbüchern (Bd.1, 2 oder 3) und in der Formelsammlung (FS) der entsprechende Lösungsansatz und die notwendigen Formeln zu finden sind bzw. hergeleitet wurden. Ein eventuelles Nacharbeiten wird dadurch erleichtert. Bei allen Klausuren waren die Lehrbücher und die Formelsammlung zum Nachschlagen zugelassen. In der späteren Ingenieurpraxis käme auch niemand auf die Idee, Unterlagen zum Nachschlagen zu verbieten. Das Klausurenrechnen ist deshalb auch eine gute Vorbereitung auf die Ingenieurpraxis, weil dort auch am Anfang die Aufgabe steht, dann ist ein Literaturstudium notwendig, um die Lösung optimal zu finden. Die vorliegende Auflage ist noch einmal überarbeitet worden. Ich würde mich freuen, wenn diese etwas ungewöhnliche Aufgabensammlung zu noch besseren Prüfungsergebnissen führen würde.

Wedemark, im Dezember 2006

VI

W. Weißgerber

Inhaltsverzeichnis

Abschnitt 1: 1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik 2 Gleichstromtechnik Aufgabenblatter

1

Losungsblatter

11

Abschnitt 2: 3 Das elektromagnetische Feld Aufgabenblatter

51

Losungsblatter

61

Abschnitt 3: 4 5 6 7

Wechselstromtechnik Ortskurven Transformator Mehrphasensysteme

Aufgabenblatter

101

Losungsblatter

Ill

Abschnitt 4: 8 Ausgleichsvorgange in linearen Netzen 9 Fourieranalyse von nichtsinusformigen WechselgroBen 10 Vierpoltheorie Aufgabenblatter

151

Losungsblatter

161

VII

Aufgabenblatter

Abschnitt 1: 1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik 2 Gleichstromtechnik

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1: Ein nichtlinearer Widerstand R(I) mit folgenden Kennliniendaten wird an eine Spannungsquelle mit Uq = 80V, Ri = 160Q angelegt: UinV I in A 1.1 1.2

2 5 10 15 0,1 0,2 0,3 0,35

30 50 0,4 0,42

70 0,45

80 0,5

Stellen Sie die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes dar und bestimmen Sie die Spannung iiber R, den Strom durch R und den im elektrischen Kreis wirksamen Widerstand R. (15P) Ermitteln Sie die Spannung iiber R, den Strom durch R und den wirksamen Widerstand R, wenn zum variablen Widerstand R ein Vorwiderstand Ry = 40Q geschaltet wird. KontroUieren Sie das Ergebnis, indem Sie die Teilspannungen addieren. (lOP)

Aufgabe 2: 2.1 Mit Hilfe des Maschenstromverfahrens ist das fur die Berechnung des Stroms I3 notwendige Gleichungssystem aufzustellen und nach den unbekannten Maschenstromen zu ordnen. (18P) 2.2 Fuhren Sie das Gleichungssystem in Matrizenform uber. (7P)

f

T Aufgabe 3: R Flir die Messung von kleinen Widerstanden im Bereich von 10-5 bis IQ eignet sich die gezeichnete Thomsonbrticke, die mit Hilfe R3 einer Dreieck-Stem-Umwandlung in eine Wheatstonebriicke ^ uberfUhrt werden kann. ^ 3.1 Zeichnen Sie die Wheatstonebriicke und geben Sie die Abgleichbedingung an. (12P) 3.2 Entwickeln Sie die Formel fiir R^ in Abhangigkeit von den anderen Widerstanden der Thomsonbrticke, indem Sie die fiir die Abgleichbedingung notwendigen Widerstande berechnen. (lOP) 3.3 Geben Sie die Bedingungsgleichung an, damit der Widerstand R^ nur noch von den Widerstanden Ri, R2 und RN abhangig ist. (3P)

K

Aufgabe 4: 4.1 Uberfiihren Sie die gezeichnete Schaltung in den aquivalenten Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle und ermitteln Sie die Ersatzschaltelemente. (6P) 4.2 Mit Hilfe der Ersatzschaltung ist die Funktionsgleichung I = f(R) zu entwickeln. (6P) 4.3 Die Funktion I = f(R) ist dann mit folgenden Zahlenwerten zu berechnen und darzustellen: Iq=10A Ri = IQ Rp = 5Q R = 0 0,5 1 2 3 4 und 5iQ. (6P) KontroUieren Sie die Ergebnisse fiir die Strome mit Hilfe der entsprechenden Kennli4.4 nienuberlagerung. (6P) (IP) 4.5 Wie groB ist der Widerstand R bei Anpassung?

1

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 2 Aufgabe 1: 1.1 Berechnen Sie fur eine Gliihlampe mit einem Wolframdraht von 0,02mm Durchmesser und Im Lange die ohmschen Widerstande bei 20° C und bei einer Gluhtemperatur von 2200° C mit folgenden Daten: P20 = 0,055Q- mm2/m a2o = 0,004IK-l |32o = 10-6 K-2 (13P) 1.2 Um den p20"Wert von Kupfer bestimmen zu konnen, wurden fur einen Leiter die Widerstandswerte bei 20° C und 800° C ermittelt: der Widerstandswert lag bei 800° C um das 4,485fache hoher als der Widerstandswert bei 20° C. Berechnen Sie aus diesen Angaben den P20-Wert. (12P) Aufgabe 2: 2.1 In der gezeichneten Schaltung soil der Strom I2 durch den Widerstand R2 mit Hilfe des Superpositionsverfahrens allgemein berechnet werden. (8P) 2.2 Bestatigen Sie das Ergebnis mit Hilfe des Maschenstromverfahrens. (8P) 2.3 Kontrollieren Sie das Ergebnis fur I2, nachdem Sie die Schaltung durch Zusammenfassen der Spannungsquellen in einen Grundstromkreis uberfuhrt haben. (9P)

uqiiq)

iu

I

R2 R4

0 ist an eine Spannungsquelle mit Uq = lOV, Rj = IQ angeschlossen. 4.1 Ermitteln Sie grafisch die Klemmenspannung U, den Strom I und den Gleichstromwiderstand R. (12P) 4.2 Berechnen Sie den Strom I durch eine analytische Berechnung, und vergleichen Sie die Ergebnisse. (13P)

3

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 4 Aufgabe 1: Der Temperatursensor KTY81 aus Silizium ist ein temperaturabhangiger Widerstand, dessen Temperaturkoeffizienten auf i^z = 25° C bezogen sind: a25 = 7,8- 10-3 K-l und |325 = 18,4- lO'^ K'^ . 1.1 Geben Sie die Formel fur den temperaturabhangigen Widerstand R = f(A'd) allgemein an. (6P) 1.2 Berechnen Sie fur die Temperaturen d = -50; 0; 50; 100 und 150° C die Widerstandswerte R mit R25 = IkQ und die Sensorspannungen UR, wenn der Sensor mit einem Konstantstrom I = ImA belastet wird. Tragen Sie die Ergebnisse in einer Tabelle ein, und stellen Sie die Funktion UR = f(i^) dar. (1 IP) 1.3 Um die Kennlinie fur die Sensorspannung zu linearisieren, wird dem Sensor ein Vorwiderstand Ry = 2kQ in Reihe geschaltet. Berechnen Sie UR = f(i&), wenn die Gesamtspannung der Reihenschaltung U = IV betragt. Tragen Sie die Ergebnisse in die Tabelle und in das Diagramm unter 1.2 ein. (8P) Aufgabe 2: In der gezeichneten Schaltung sind die Stromquelle Iqi, die Spannungsquelle Uq2 und die Widerstande Rii, Ri2 und R gegeben. 2.1 Berechnen Sie den Strom I durch den Widerstand R mit Hilfe des Superpositionsverfahrens, ohne die Stromquelle Oder die Spannungsquelle umzuwandeln. (13P) 2.1 Kontrollieren Sie das Ergebnis fiir I, indem Sie die beiden Energiequellen zu einer Energiequelle des Grundstromkreises zusammenfassen. (12P) Aufgabe 3: Der Durchlasswiderstand einer Halbleiterdiode nimmt mit wachsendem Durchlassstrom ij) stark ab. 3.1 Bestatigen Sie die Aussage, indem Sie die Funktion R^ = UD/ID mit folgenden Messwerten berechnen und die Funktion RD = f(uD) darstellen. (12P) U£)in V 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 ioinmA 0,4 4,2 18,4 50 97 R^inQ 3.2

Ermitteln Sie durch Kennlinieniiberlagerung den Durchlassstrom i^, wenn die Halbleiterdiode an eine Spannungsquelle mit Uq = IV und Ri = lOQ angeschlossen wird. (13P)

Aufgabe 4: Piezoresistive Drucksensoren enthalten vier Widerstande auf einer Silizium-Membran, die zu einer Wheatstonebrucke zusammengeschaltet sind. Wird die Membran verformt, dann erhohen sich zwei Widerstande um AR und die beiden anderen Widerstande werden um AR kleiner. 4.1 Leiten Sie die Formel fur die Bruckenspannung UCD in Abhangigkeit von AR, R und U her. (20P) 4.2 Wie groB ist die BrUckenspannung UCD» wenn sich die vier Widerstande jeweils um 1% verandem und die Versorgungsspannung U = 5V betragt? (5P) 4

R+AR

'CD R-AR

D R*AR

U

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 5 Aufgabe 1: Ein IkQ-Trimmpotentiometer besitzt eine Kohleschicht mit p = 65Q- mm2/m, auf der ein Schleifer um 270° gedreht werden kann. 1.1 Berechnen Sie die mittlere Lange 1, die Querschnittflache A und schlieBlich die Dicke d des Kohleschichtwiderstandes, indem ein homogenes Stromungsfeld angenommen wird. (18P) 1.2 Welchen Wert darf die Stromdichte S nicht iiberschreiten, wenn die Verlustleistung P = 2W betragen darf? (7P) Aufgabe 2: In der gezeichneten Schaltung wird der Widerstand Ra von den drei Energiequellen gespeist. 2.1 Fassen Sie die drei Energiequellen zu einer Energiequelle zusammen, so dass ein Grundstromkreis entsteht. (18P) 2.2 Berechnen Sie den Strom I durch den Widerstand Ra und die Spannung an Ra(7P) Aufgabe 3: 25 An einem ohmschen Widerstand Ra kann keine beliebig hohe V Spannung U angelegt werden, und es darf kein beliebig ho20 lier Strom I flieBen, weil beim Uberschreiten einer zulassi15 gen Leistung P der Widerstand zerstort werden wUrde. 3.1 Berechnen Sie die maximal mogliche Spannung U 10 und den maximal moglichen Strom I, die fiir einen 5 Widerstand Ra = 50Q mit einer zulassigen Leis11 tung P = 2W erlaubt sind. (8P) 0 0 0,1 0.2 0,3 OA 0,5A 3.2 Im Diagramm U = f(I) kann ein Bereich durch die so genannte Leistungshyperbel begrenzt werden, in dem der Arbeitspunkt nicht liegen darf. Tragen Sie in das gezeichnete Diagramm die Leistungshyperbel fUr P = U- I = 2W ein, indem Sie den jeweiligen Kreuzungspunkt der beiden Faktoren U und I markieren. Schraffieren Sie den unerlaubten Bereich. (7P) 3.2 Zeichnen Sie nun in das Diagramm die Kennlinie des Widerstandes Ra ein, wodurch Sie das Ergebnis von 3.1 kontrollieren konnen. (5P) 3.4 Untersuchen Sie mit Hilfe des Diagramms, ob an den Widerstand Ra eine Spannungsquelle mit Uq = 20V, Rj = 50Q. angelegt werden darf. (5P)

¥

Aufgabe 4: Zur Messung nichtelektrischer GroBen werden Sensoren in Viertelbriicken verwendet. 4.1 Leiten Sie die Formel fiir die Briickenspannung y = UCD/U in Abhangigkeit von x = AR/R her. (15P)

4.2

Berechnen Sie die Kennlinie y = f(x) fUr x = 0...0,05 im Abstand von 0,01 und stellen Sie sie dar. Welchen Verlauf hat sie annahemd? (1 OP) 5

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 6 Aufgabe 1: Eine 40W-Gluhlampe hat einen Wolframdraht mit einem Durchmesser d = 0,0226mm und eine Lange 1 = 0,58m und wird bei U = 220V betrieben. Gegeben sind auBerdem: p2o = 0,055Q • mm2/m a2o = 0,0041 K-i P20 = 10-6 K-2 1.1 1.2

Berechnen Sie die Gluhtemperatur d, wenn die Umgebungstemperatur 20° C betragt. (18P) Berechnen Sie anschlieBend die Stromdichte S des Wolframdrahtes beim Einschalten der Gluhlampe, d.h. wenn er sich noch nicht erwarmt hat. (7P)

Aufgabe 2: In der gezeichneten Schaltung wird der Widerstand Ra von drei Energiequellen gespeist. 2.1 Fassen Sie die drei Energiequellen zu einer Energiequelle zusammen, so dass ein Grundstromkreis entsteht. (18P) 2.2 Berechnen Sie den Strom I durch den Widerstand Ra und die Spannung an Ra(7P) Aufgabe 3: 3.1 Berechnen Sie allgemein den Strom I in der gezeichneten Schaltung mit Hilfe des Maschenstromverfahrens. (22P) 3.2 Wie groB ist der Strom I, wenn Uqi = 12V, Iq2 = 8A und alle Widerstande R = IQ betra(3P) gen.'' Aufgabe 4: Eine Alarmanlage besteht aus einer Briickenschaltung, in der sich im Diagonalzweig ein Relais befindet. FlieBt durch das Relais ein bestimmter Strom, werden die Kontakte K geoffnet, d.h. durch die Kontakte K wird der Alarm ausgelost. 4.1 Der Widerstand R4 ist so zu dimensionieren, dass das Relais bei geschlossenen Kontakten K stromlos ist. (lOP) 4.2 Berechnen Sie mit dem errechneten Widerstand R4 die notwendige Spannung U, damit das Relais mit einem erforderlichen Strom I I = 50mA anziehen kann. Beachten Sie, dass die beiden Kontakte K nun offen sind. (15P)

6

Uq3=5,2V Ri3=1,8n

IIJJR^ 1*"V

^'!h^ Rl = 150n

-dZh

R2=210Q

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 7 Aufgabe 1: Von einem Gluhlampchen ist die Kennlinie I I = f(UL) gegeben: iLinmA ULinV 1.1

1.2

0 0

65 2

110 132 150 162 4 8 6 10

Bestimmen Sie grafisch den Strom I I und die Spannung UL des Lampchens, wenn das Lampchen mit einem Vorwiderstand Ry = 40Q an eine Betriebsspannung von 12V angelegt wird. Wie groB ist dann der Gleichstromwiderstand RL des Lampchens und die am Vorwiderstand anliegende Spannung Uy? (20P) Auf welchen Wert verandem sich I I , UL, RL und Uy, wenn die Betriebsspannung auf 14V erhoht wird? (5P)

Aufgabe 2: In der gezeichneten Schaltung wird der Widerstand Ra von drei Energiequellen gespeist. 2.1 Fassen Sie die drei Energiequellen zu einer Energiequelle zusammen, so dass ein Grundstromkreis entsteht. (18P) 2.2 Berechnen Sie den Strom I durch den Widerstand Ra und die Spannung an Ra(7P) Aufgabe 3: Die anliegende Spannung Ui soil mit Hilfe eines Potentiometers in die Spannung U2 geteilt werden. 3.1 Geben Sie die entsprechende Spannungsteilerschaltung an. (3P) 3.2 SchlieBen Sie in der gezeichneten Schaltung das Potentiometer so an, dass sich bei Rechtsdrehung des Schleifers, von der Vorderseite gesehen, |U2 die Spannung U2 vergroBert. (6P) 3.3 Berechnen Sie den maximal zulassigen Strom Imax» wenn das Potentiometer einen Widerstands wert von lOkQ und eine zulassige Leistung von 0,2W hat. (6P) 3.4 Wie hoch darf die anliegende Spannung Ui sein, damit bei beliebiger Schleiferstellung und bei beliebiger ohmscher Belastung das Potentiometer nicht uberlastet wird. (6P) Begriinden Sie Ihre Aussage. (4P) Aufgabe 4: 4.1 Fur das gezeichnete Netzwerk ist der Strom I mit Hilfe der Zweipoltheorie zu berechnen. (20P) 4.2 Wie sind die beiden Energiequellen einschlieBlich der beiden Widerstande Ri und R2 bei der Berechnung des Stroms I geschaltet? (5P)

7

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 8 Aufgabe 1: Um den Temperaturkoeffizienten a eines Drahtes ermitteln zu konnen, wird er in einem Olbad von 20° C auf 80° C erwarait. Dadurch wird eine Widerstandszunahme festgestellt. 1.1 Berechnen Sie fur den Draht Nr. 1 den Temperaturkoeffizienten ai, wenn die Widerstandszunahme 24% betragt. (12P) 1.2 Berechnen Sie fur einen Draht Nr. 2 den Temperaturkoeffizienten a2 fur eine Widerstandszunahme von nur 0,3%. (7P) 1.3 Um welche Materialien kdnnte es sich bei den beiden Drahten handeln? (6P) Aufgabe 2: 2.1 Mit Hilfe des Maschenstromverfahrens ist die Formel fur die Spannung U allgemein zu entwickeln, wenn Iqi, Rji, Ri, Uq2, Ri2, R2 und Ra gegeben sind. (15P) 2.2 Kontrollieren Sie das Ergebnis fUr die Spannung U, nachdem Sie die Schaltung in einen Grundstromkreis uberfuhrt haben. (lOP) Aufgabe 3: Ein Spannungsteiler mit dem Widerstand R soil dimensioniert werden. 3.1 Ist der Spannungsteiler unbelastet, dann soil die Spannung U21 (Leerlaufspannung) die Halfte der anliegenden Spannung U = 20V betragen. Was konnen Sie dann iiber die beiden Teilwiderstande Ri und R2 und v = R2/R aussagen? (4P) 3.2 Ist nun der Spannungsteiler mit R3 belastet, dann verandert sich die Spannung U2. Die Abweichung darf 5% betragen. Auf welchen Wert verandert sich U2, wenn U und v gleich bleiben? (4P) 3.3 Entwickeln Sie die Formel fur den Widerstand R, wenn v, U/U2 und R3 gegeben sind, und berechnen Sie den Widerstand R mit obigen Zahlenwerten und mit R3 = 2,2kQ. Wie grol3 sind die Teilwiderstande Ri und R2? (17P) Aufgabe 4: Ein ohmscher Widerstand von 3,2kQ hat eine zulassige Leistung von 0,5W. 4.1 Berechnen Sie die hochstzulassige Spannung U, die an den Widerstand angelegt werden darf. (5P) 4.2 Kontrollieren Sie das Rechenergebnis grafisch, indem Sie in einem I = f(U)-Diagramm die Leistungshyperbel fur 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, lOOV und die Widerstandskennlinie eintragen. (12P) 4.3 Berechnen Sie fur den 3,2kQ-Widerstand die Funktion P = f(U) fur 0, 10, 20, 30, 40, 50V und stellen Sie die Funktion in einem Diagramm dar. Tragen Sie die zulassige Leistung von 0,5W als Bestatigung obiger Aussage ein. (8P)

8

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 9 Aufgabe 1: Ein Widerstandsthermometer Pt-100 (Platin) hat bei einer Bezugstemperatur i^ = 0° C einen Widerstandswert RQ = lOOQ. Bei einer Temperaturmessung mit i& liegt liber dem Messwiderstand R eine Messspannung von 0,75V, der Messstrom betragt 5mA. 1.1 Berechnen Sie den Widerstand R bei der Temperatur i&. (6P) 1.2 Berechnen Sie die Temperatur i&, wenn die Temperaturabhangigkeit des Widerstandes hnear ist und OQ = 0,00385 K-l betragt. (IIP) 1.3 Auf welchen Wert verandert sich die Messspannung bei i& = - 200° C, wenn der Messstrom unverandert 5 mA bleibt? (8P) Aufgabe 2: 2.1 Entwickeln Sie fur die gezeichnete Schaltung das geordnete Gleichungssystem fiir die Knotenspannungen mit Hilfe des Knotenspannungsverfahrens, ohne die Energiequellen umzuwandeln. (16P) 2.2 Setzen Sie folgende Zahlenwerte in das geordnete Gleichungssystem ein: Iqi = 8A Rii = lOQ. Uq2 =5V Ri2 = 1 ^ Ri = 20Q R2 = lOOQ R3 = 50Q R4 = 10^, und berechnen Sie die Spannung iiber den Widerstand R2 und den Strom I2 mit dem Eliminations verfahren. (9P) Aufgabe 3: 3.1 Um welche Schaltung handelt es sich in der nebenstehenden Zeichnung und wofur wird sie verwendet? (4P) 3.2 Berechnen Sie mit Hilfe der Zweipoltheorie den Strom I3, indem Sie die Schaltung in den Grundstromkreis mit Ersatzspannungsquelle uberfuhren. Der Innenwiderstand der Schaltung, an der die Spannung Ux anliegt, soil vernachlassigbar klein sein. (19P) 3.3 Wie groB ist die unbekannte Spannung Ux, wenn I3 = 0 ist? (2P) Aufgabe 4: 4.1 Uberfuhren Sie die gezeichnete Schaltung in den aquivalenten Grundstromkreis durch Umwandlung der Stromquelle. Berechnen Sie Uqers und Rjers mit den Zahlenwerten. (7P) 4.2 Mit Hilfe der Ersatzschaltung ist dann die Funktion I = f(R) mit R = 0, 1, 2, 5, 8 und lOQ zu berechnen und darzustellen. (8P) 4.3 Kontrollieren Sie die Stromwerte durch Kennlinieniiberlagerung. (8P) 4.4 Wie groB ist der Widerstand R bei Anpassung? (2P) 9

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Aufgabenblatt 10 Aufgabe 1: An eine Stromquelle mit Iq = 500mA und Rj = 200Q ist ein nichtlinearer Widerstand angeschlossen, fiir den folgende Daten gemessen wurden:

UinV linmA 1.1

1.2

5 10 15 20 30 50 70 90 110 152 265 321 359 400 410 411 411 437

Stellen Sie die Kennlinie des nichtlinearen Widerstandes dar und bestimmen Sie die Spannung U liber dem Widerstand und den Strom I durch den Widerstand und den wirksamen Gleichstromwiderstand R, dessen Kennlinie Sie in das Diagramm eintragen. (15P) Auf welchen Wert andert sich der Gleichstromwiderstand R, wenn zu dem nichtlinearen Widerstand ein Vorwiderstand Ry = 50Q in Reihe geschaltet wird. Erlautem Sie Ihre Losung. (lOP)

Aufgabe 2: 2.1 Berechnen Sie in der gezeichneten Schaltung den Strom I durch den Widerstand R, indem Sie die Schaltung in einen Grundstromkreis uberfuhren. (14P) 2.2 Kontrollieren Sie das Ergebnis fiir den Strom I mit Hilfe des Uberlagerungsverfahrens. (1 IP) Aufgabe 3: Mit Hilfe der Spannungsteilerregel sind folgende Spannungsverhaltnisse zu ermitteln: 3.1 U2/U1 (3P) 3.2 U4/U1 (lOP) 3.3 U6/U1 (12P) Einfach-Spannungsteiler Zweifach-Spannungsteiler Dreifach-Spannungsteiler:

Aufgabe 4: In der gezeichneten Schaltung sind die Stromquelle Iql, die Spannungsquelle Uq2 und die Widerstande Rii Ri2 und R gegeben. 4.1 Berechnen Sie den Strom I durch den Widerstand R mit Hilfe des Superpositionsverfahrens, ohne die Stromquelle oder die Spannungsquelle umzuwandeln. (13P) Kontrollieren Sie das Ergebnis fiir den Strom 4.2 I, indem Sie die beiden Energiequellen zu einer Energiequelle des Grundstromkreises zusammenfassen. (12P)

10

Losungen

Abschnitt 1: 1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik 2 Gleichstromtechnik

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Losungen zum Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1: Zul.l Kennlinieniiberlagerung nach Bd. 1,8.30-31 Oder FSS.5: Die Kennlinie des aktiven Zweipols mit Ui=Uq=80V und T ^q 80V ... K =—— = = 0,5A Ri 160^ wird mit der nichtlinearen Kennlinie des passiven Zweipols uberlagert. Im Schnittpunkt beider Kennlinien werden abgelesen: U=20V und 1= 0,375A. Daraus ergibt sich der Widerstand R=U/I=20V/0,375A=53,3Q. Kontrolle mit Gl.2.9 (Bd.l, S.29) oder FS S. 4: U. 80V I : 0,375A Ri+R (160 + 53,3)^ (15P)

Zul.2 Der Vorwiderstand wird in den aktiven Zweipol einbezogen, d.h. der Innenwiderstand des aktiven Zweipols ist nun Ri+Ry. Die Kennlinie mit UpUq=80V und U. 80V = 0,4A Iv=Ri+R, 200^ wird mit der nichtlinearen Kennlinie des passiven Zweipols uberlagert. Im Schnittpunkt beider Kennlinien werden abgelesen: U=12,5V und I=0,34A Daraus ergibt sich der Widerstand R=U/I=12,5V/0,34A=36,8Q. Kontrolle mit Gl.2.9 Oder FS S.4: I=Rj+Rv-HR

80V (160-H 40+ 36,8)^

I = 0,338A Die Teilspannungen betragen: Ui=160Q- 0,338A=54,08V Uv=40Q- 0,338A=13,52V U=12,5V Die Summe der Teilspannungen ergibt 80,1V, das sind etwa Uq=80V. (lOP)

80V -I 70 \ 60 j 50 j

/.oj 30 ] 20 H 10 j

0J

0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6A

11

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Losungen zum Aufgabenblatt 1 Aufgabe 2: Zu 2.1 Nach Band 1, S. 98 oder FS S.21 muss zunachst die Stromquelle in die aquivalente Spannungsquelle Uq2=Ri2- Iq2 umgewandelt werden. (4P)

Zu 2.2

Dann werden die unabhangigen Maschen festgelegt:

(5P)

SchlieBlich ist das Gleichungssystem aufzustellen und zu ordnen:

(9P)

I.

Uq2 = Ii(Ri2+R3) + InRi2

II.

Uq2 = IiRi2

III.

Uql =

+ ln(Ri2+Ri+R2) + imRi + Ini(Rii+Ri)

inRi

Nach Band 1, S. 112-113 lautet die Matrizenschreibweise des Gleichungssystems: ^ Uq2 Ri2lq2 U qi

1

0

fRi2+R3

Ri2

Ri2

Ri2+Ri+R2

Ri

0

Ri

Rii+Ri

^ ^ T. A

In

(7P)

12

2 Gleichstromtechnik

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

Losungen zum Aufgabenblatt 1 Aufgabe 3: Zu 3.1 Die Dreieckschaltung mit den Widerstanden R3, R4 und R5 wird in die Stemschaltung mit den Widerstanden R3', R4' und R5' umgewandelt. Die Dreieck-Stem-Transformation ist im Band 1, S.70-71 und in der FS S.15 zu finden.

(6P) Nach Band 1, S. 60 oder FS S.12 lautet die Abgleichbedingung fiir die Wheatstonebruckenach 01. 2.108 Rx+R4^^Ri RS'+RN

(6P)

R2

wobei der Widerstand R5" bei Abgleich stromlos ist und deshalb in der Abgleichbedingung nicht berticksichtigt werden darf.

Zu3.2

RX+R4' = ^ ( R 3 ' + RN)

RX=^(R3'+RN)-R4'

R2 mit

R3':

R4 Rs R3+R4+R5

und

R4' = - R 3 R 5 ^ R3+R4+R5

(Bd.l, Gl. 2.147 bis 2.149 oder FS S.15) Rl R4R5 ^Rip R3R5 R2 — R N —R ; 3+R4+R5R2 R2 R 3 + R 4 + R 5 - + R2

R.

Rl Kx

—

. R1R4R5-R2R3R5 KlNJ T

R2 Zu 3.3

(lOP)

R2(R3+R4+R5)

R1R4R5 = R2R3R5 Oder R5=0 R2

(3P)

R4

13

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Losungen zum Aufgabenblatt 1 Aufgabe 4: Zu4.1

Iqers = Iq

^iers ~

^aers — ^

Ri+Rp

(Bd.l, S.48 u. 90 Oder FS S.18-20) Zu 4.2

(Bd.l, S.49, Gl. 2.86 oder FS S.20)

I

1= Riers+Raers

=

1

''"

^i^

Ri+Rp

Zu 4.3

I:

R Q,

0 0,5 1 2 3 4 5

Zu4.4

(6P)

1Q.5Q 1Q-5Q + R(1Q + 5Q)

I A 10 6,25 4,55 2,94 2,17 1,72 1,43

.10A =

RjRp

E T =.

RiRp+R(Ri+Rp)

+R

^ ^ A 5 + 6R

(6P)

(6P)

10A 7,5 5 2,5 0

0

1

2

3

4

5Q

Achsenabschnitte: Ik=Iq=10A und Uj =Riers-Ik =^—£2-10A = 8,3V (Bd.l,S.30-31oderFSS.5)

in

(6P)

Zu 4.5

14

Raers= Riers. d.h. R =

RiRp

1-5

Ri+Rp

1+5

a = 0,83Q

(Bd.l,S.29oderFSS.4)

(IP)

XXX

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Lösungen zum Aufgabenblatt 2 Aufgabe 1: Zu 1.1

R 20 = ȡ20 ⋅

l A

(Bd. 1, S.16 oder FS S.2)

mit A=

R

ʌ⋅D 2 ʌ⋅(0,02mm) 2 = 4 4

20 = 0,055

1m⋅ 4 Ω⋅mm 2 ⋅ m (0,02mm ) 2 ⋅ʌ

R20=175:

(5P)

2⎤ R a = R 20 ⋅⎡ ⎣1+ Į 20 ⋅∆ϑ+ ȕ 20 ⋅( ∆ϑ ) ⎦

(Bd.1, S.19 oder FS S.2)

∆ϑ = 2200 o C − 20 o C = 2180 o C =2180K

(s. Erläuterung S.19 unten)

2⎤ −1 −6 −2 R a = 175Ω⋅⎡ ⎣1+ 0,0041K ⋅2180K +10 K ⋅( 2180K ) ⎦

Ra=2570:

Zu 1.2

(8P)

1+ Į 20 ⋅∆ϑ+ ȕ 20 ⋅( ∆ϑ ) = 2

ȕ 20 =

ȕ 20 =

Ra R 20

⎡ Ra ⎤ −1− Į 20 ⋅∆ϑ ⎥ ⎦ ( ∆ϑ ) ⎣ 20 1

2⎢ R

1

(780K )2

⋅⎡ ⎣ 4,485 − 1 − 0,0041K−1 ⋅ 780K ⎤ ⎦

∆ϑ = 800 o C − 20 o C = 780 o C = 780K -2

E20 = 471˜ 10-9K

-2

E20 = 0,47˜ 10-6K

(12P)

15

1 Physikalische Grundbegriffe der Elektrotechnik

2 Gleichstromtechnik

Losungen zum Aufgabenblatt 2 Aufgabe 2: Zu2.1

Bd.l,S.86-88oderFSS.17 Die Spannungsquelle Uqi wirkt: h\}. Iiu„ '2Uqi RA

l2Uq3l

J

U qi

R3+R4 IlUql = •

R2+R3+R4 ^

R.+

R2(R3+R4) R2+R3+R4

(R3+R4)Uql

^"'" R i ( R 2 + R 3 + R 4 ) + R 2 ( R 3 + R 4 ) Die Spannungsquelle Uq3 wirkt:

R3 I

Ri

l2Ul,5d + R:

I 27c(x-l,5d)

H = —Hj — H 2 •^"H3 + H 4 = —

H=

(lOP)

I 27r(x-0,5d)

I 27i(x + 0,5d)

I 27c(x + l,5d)

]_

(l,5d + x) + (l,5d-x)

(0,5d + x) + (0,5d-x)

Id

3

1

2K

(l,5d-x)(l,5d + x)

(0,5d-x)(0,5d + x)

2K

(l,5d)'-x2

(0,5d)'-x2

0,5d + R < X < l,5d - R :

(zwischen Leiter 1 und 2)

H = Hj — H2 +H3 +H4 = 27c(l,5d-x)

27c(x-0,5d)

I 27r(x + 0,5d)

I 27i(x + l,5d)

Die H-Formel ist gleich. 0 < X < 0,5d - R :

(zwischen x=0 und Leiter 2)

H = Hi + Ho + Hi + HA =

^

^

^

^

:;

rH

27i(l,5d-x)

7

rH

27c(0,5d-x)

7

rH

27r(x + 0,5d)

7

r

27r(x + l,5d)

Die H-Formel ist gleich. Fiir alle Bereiche lasst sich die magnetische Feldstarke H durch eine Formel angeben.

(7P) 67

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 2 Aufgabe 4: Zu4.1 Bd. 1, S.319-322 oderFS S.73-74 M ''

^12 _ ^ 2 *^12

I.

I,

Oi 2 = kt • Oi = - • Oi 4

R„,

^'^%

well

_1 r , . 1-3^ H-AV l + 3 j

'l

15

^ |lA

4

kt = - ^ = i = 0,25 Oi 4

("Flussteilerregel")

1 15 |A-A 4

ll

M21 braucht nicht hergeleitet zu werden, weil die Permeabilitat konstant ist (siehe Bd, 1, S. 320, Gl 3.340 oder FS S.73). AuBerdem ist der magnetische Kreis symmetrisch aufgebaut. M12 = M21 =

Zu4.2

400-1000-l,25610"^— ^OOO^lO-^m^ ^ = 603mH 151010~^m

Lt ^ ^ ^ : ^ 1 : ^ ^ : ^ . ^ L L L

Vwi 1 15 ^i-A 4

(lOP)

^g^^ g 3Q^ Qj 3 3Qg oderFS S.70) ' ' '

2 . . 400^ •1,256-10"^—•2000-9-10"^m^ Ll ^ 4 . ^ 1 '^^-^=4 Am_^^ = 965mH 151 151010"^m Wegen der Symmetrie ist ^

. W2^|LiA

W2^

^^.

^

1000^

Lo=4-^^—^-— d.h. L2 = Li • —4r = 965mH r- = 6,03H ^ 15-1 ' wi^ 400^ M 603mH k= , = , = 0,25 7LI-L2 V965mH-6,03H Kontrolle: k = 7ki-k2 = V0,25-0,25 =0,25 ai = ^ = 1 = 0,75

a 2 = ^ = ^ = 0,75

a = a i + a 2 - a i - 0 2 = 0,75+0,75-0,75^ =0,9375

68

(lOP)

(5?)

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 3 Aufgabe 1: Zu 1.1 NachBd.1, S.190, Gl 3.79 oderFS S.39 0 r? Ui2=(Pi-92 = :2nEh r - r ' ^ ^ rj ist

0 r U = (pi-(Pa=——-In-^ 27l8h 2

2

^^

27C8h

^"^

Tj

Tj

27l8h ' ^ Tj

2 27C£h

q

lni2L = i.ini^ Fi

2

Fi

l n ^ = ln

^ =

J

yri

^=i^ h=y

Zu 1.2

Mit

/^ •fa

(18P)

ra=8cm und ri=5cm ist r^ = -yjs • 8cm = v40cm = 6,32cm

(5P)

(2P) 69

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 3 Aufgabe 2: Zu 2.1 Bd. 1, S.250 Aufgabenstellung 1 oder FS S.55

Hr

^^

^ -6 1,25610

VS

Am

= 95510^m

1 '^^-^ Bpe = BT = — ^ ^ ^ = 1,33T ^' ^ 1-a 0,9 '

A abgelesen: Hpe = 800— ^ ^^ m

I = 95510^—-210"V+800—-0,4111 m m I = 2230A Zu 2.2

(15P)

Bd.l, S.263, 271, 275 Aufgabenstellung 2 oder FS S.57-59

Bn

,, p, 1,256-10"^—^nOOA J£o_ ^ ^ J Am :0,837T 1-a 1L 0,9-210"^m

H o * = Q . = i a ^ = 300oA Ipe 0,4m m im Schnittpunkt ergibt sich

Bpg = 0,8T

und damit

BL* = (1 - a) • Bp/ = 0,9 • 0,8T = 0,72T

1

1,«I

B

1,6 ,y^

1,33T

'A

A

A J r

2. 1

J

0,6

\

f

2.2

0,2 0

H*o| CI

11000 800A/m

70

2000

30OOA/tn

(lOP)

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 3 Aufgabe 3: Zu 3.1 Bd. 1, S.293 oder FS S. 64 Nur die Seite a und die beiden gleich langen Seiten b sind an der Spannungsinduktion beteiligt wegen 2

Uq=-j(vxB)dT = - v B l

(sieheBild 3.149)

1

juqb ^qa |"qb

Zu3.2

(lOP)

u^a = v B a = 0 , 2 — 1 ^ - 5 0 . 1 0 " V = 10mV -^qa s m^

(2P)

Uqb = v B b = 0,2—1-—•20 10"^m = 4mV s m

(2P)

Die Gesamtspannung u betragt • beim Bewegen der Leiterschleife im Magnetfeld: u = Uqa -2-Uqb = lOmV-8mV = 2mV vont=Obis t=ti: _ d _ 10mm :50ms V 0,2m/s •

(2P)

beim Bewegen nur der Seite a im Magnetfeld (die Seite b ist auBerhalb des Feldes): u = Uqa =10mV von t=ti bis t=t2: c + d 40mm t9= — = 200ms 0,2m/s

•

(2P)

(2P)

(2P)

beim Bewegen der Leiterschleife auBerhalb des Magnetfeldes: u=0 " mV

0

0

50 100

200ms (3P)

71

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 3 Aufgabe 4: Zu4.1

Zu4.2

AM ist eine Kreisringflache

AM

=r4 -n-r^

-n

ALISI eine Zylindermantelflache AM=(r4^-r3^)-^

(2P)

r^L-. $L Ai^=2r^n\

^

2

AL=(ri+r2)-7i-l AL

(2P)

= (9mm + 8mm) • 3,14 • 8mm : 427mm^

(2P)

(5P)

Zu4.3

Zu4.4

Bd.l, S.287, Gl.3.270 oder FS S.62

Bd.l, S.280, Gl.3.251 oderFS S.62

a)L=(l-o)OM BLAL=(l-a)BMAM By

AM=-

mit B M = BMopt (4P) (l-o)BMopt

l,2^-427mm^ m AM = Vs 0,61,06-y m A]vi = 806mm^

mit

r2P^

r^-J^W "4

1 BLfri-"r2) ^M---—fT mit

~\l—TT;—+(l6mm) 3,14

T^ = 22,6mm

72

M •IM — ••1T^L+^H^M iM- 0

1M

(4P)

H M - Hjyiopt . . Vs , 1,2—r-lmm m^

-•

1,256.10-^—1-53.10^Am I m (2P)

1M

= 18mm

(2P)

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 4 Aufgabe 1: Zu 1.1 Nach Bd.l, S.180, Gl 3.56 oder FS S.35 (4P)

Ei(r) = Q

E2(r) =

Zu 1.2

(4P)

Bd.l, S.187 Oder FS S.39 6

U2=JE2•dr

Ui = j E l • d r

Q

U

f dr

dr

U,=4-n-t2

Ui=-

Ui =

1

Uo=-

4-7t-ei L r ^1 Q 4-7i-ei v^i

,/5 r

4-7C-82 L r J

1^

(4P)

%;

1

Uo=4-n-e2

^%

1

(4P)

^ay

U = Ui+U2

1_JL ±_± n

U =4-7C

Q=CU

% , % £1

^a

(4P)

£2

bzw.

C=— U

Bd.l, S.193, Gl.3.87 oder FS S.40

4-71-U

Q =^

1^

1,^1

hj

1

J__J_

£2 V g

ay

4-71

c=£1

(5P)

J_ ^ 1

1^

£2 V%

^a;

73

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 4 Aufgabe 2: Zu2.1 0 = 0

(4P) 81

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 6 Aufgabe 2: Zu 2.1 Bd.l, S.250, 258, 263, 269-275 Aufgabenstellung 2 oder FS S.57-59 < Vs 1,256-10"^-^-2000-0,5 A 1,256 Vs Am Bn = • (l-a).lL m (l-a).lL (l-a).lL A 0 2000-0,5 A Hn = = 5952 Ipe 168mm m mit Bd.l, S.260 Gl. 3.221 und 3.222 Ipe = ll + 1E =(42+126)mm= 168mm ll=g+2c=(14+2- 14)mm=42mm lE=2e+g+2c=(242+14+2-14)mm=126mm Bpe wird im Schnittpunkt abgelesen, BL*=(1-0)- Bpe* a 1 0 0,05 0,10 0,15 0,20

1L

mm 0 0,5 1,0 1,5 2,0

I-a 1 1 0,95 0,90 0,85 0,80

Bo* T CO

2,644 1,396 0,985 0,785

Bpe

BL*

T 1,65 1,54 1,26 0,94 0,75

T 1,65 1,46 1,13 0,80 0,6

F N 1700 1336 797 400 225

* 1.6T,

^ 14 j 1,2 j 10 ] O,B]

o.e] OM 0.21 0 J 0 500 1000

Zu2.2

2000

BL*^-AL

2-[io Bi *2

28mm •56mm A Vs

2-1,256-10"^

Am F = 624,2-BL

82

3000

5000

4000

6000 H

7000A/m

(18P)

1500 N 1000 500

0

0

1

2mm I I " - ^

(7P)

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 6 Aufgabe 3 : Zu3.1 B d . l , S. 321, Beispiel 1 oderFS S.74 1

„ 2-1

|a-A

\i'h)

2-1 1 1-2 -+|Li-A ji-A 1 + 2

1

L 2

\JiQ'\Ji^'A \

3

0,04m R"-ml - ^ ^ 1 , 2 5 6 - 1 0 - ^ — - 2 0 0 0 . 1 0 " ^ m^ Am Rml=424,6-10-

(3P)

1

Vs 1 2-1

2-1

|Li-A

2 |Li-A

\JiQ'\k^'K

2 •0,04m Rm2 = 1,256-10"^ — • 2 0 0 0 - 1 0 " ^ m^ Am

Zu 3.2

Li =

wi

1200^

^mi

424,6-10^ — Vs

_ W2

U=

^m2

_

(3P)

= 3,39H

500^

= 0,785H 318,5-10^ — Vs Wi'W2 _ 2 1200-500

(3?)

:0,942H

mit

^ 424,6.10^ — Vs 1 wi-wo 1 1200-500 ^^,^,, M21 = k2 — - = T- = 0,942H ^"^2 2 3135.lo^A Vs B d . l , S. 338, Gl. 3.368 oder FS S.81

mit

Mi2 = k i .

^12 ^ 2 Oi 3

ml ^'-^

Zu 3.3

^^

|M|2-M2i

M

0,942H

L1.L2

7L1.L2

V3,39H-0,785H

k = VVkr = ^ Zu 3.4

(3P)

R „ 2 = 318,5-10^ — Vs B d . l , S. 308, Beispiel 3 und S. 321, Beispiel 1 oder FS S. 71, 74

ko =

O 21

(2P)

(2P)

O9

(3P)

0,577

= 0,577

B d . l , S. 325, Gl. 3.343 oder FS S.75 , , dii ^ ^, ^ Vs dii U2 = M — ^ = 0,942 L dt A dt dii _ lA von 0 bis 20ms: dt 20ms di i - . lA von 20 bis 40ms: dt 20ms

0

20

40

60

80ms

f 50V-f 0

|U2| = 0 , 9 4 2 ^ — ^ = 47,1V A 20-10-^s

(6P)

-50V 83

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 6 Aufgabe 4: Zu4.1 Bd. 1,S. 359 Oder FSS.83 Berechnung von B3, wenn die Leiter 1 und 2 stromdurchflossen sind: B3 = B13 + B23 mit

B3 =Bi3 +B23 B,=

ILlo-I _ ^ _ l V l = _ y £ ± f l + l l-n-l-a. 2-7i-a 2-TC-aV2

. „ r B 3 = 3- [^o-I 2 2-7r-a

-a -*-H-a

. 1,256-10"^ lA 3 ' Am 2 2-7E-lm

(5P)

B3=300-10"^T Berechnung von B2, wenn die Leiter 1 und 3 stromdurchflossen sind: B2 = B12 + B32 = 0 weil

B12 = B32

T

Bi? I ,

I

,® 1 ^ 3 ®

(5P)

Berechnung von Bi, wenn die Leiter 2 und 3 stromdurchflossen sind: Bj = §21 + B31 mit

Bi — 091 + B 21 •'"»31

B, =

i^o-Ifi + i 2-7C-a

2-7i-2-a J

B.

3 1,256-10"^

^3 j v L ^ A . 2 2-7C-a

2-7C-a

2

Vs

Am 2 • 7C • Im

lA

^}%

%'®, (5P)

Bi=300-10"^T

,0^ .0^ 2

Zusammenfassend bestehen in den drei Leitem die magne-

1

tischen Induktionen § 1 , 6 2 , 6 3 :

B2=0 Zu 4.2

Bd.l, S.359 oder FS S.83 — = I'l • B'l = I • B-j

^ = l . M i i = 300.10-^^ lA 1

2 2-7i-a

m"

^ = 3 0 0 . 1 0 - ^ ^ = 300.10-^^ 1 m m ^

= I2 .B2 = I-B2 = 0,

weil B2=0

^ = Il.Bi=I.Bi=300.10-^ — m

84

B3

.9^®'^ Bi (lOP)

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabe 1: Zu 1.1 Nach Bd.l, S.187, Gl 3.73 U=4m k-U = -

oder FS S.39

1

1

1

1

l-k

47ie

1

k-U = 4m 1

r^

Zu 1.2

=•

1

1

= k-

bzw.

1

1

4m —=k

^1 P -,1 ^4.(i-k)

1

1

(12P)

k4+(i-k)

Mit ra=8cm und ri=2cmn i ist — = = - ^ =4 j 51 — 2cm 8cm = 2,46cm 4 3 •4 + [ l 4' 8cm = 3,20cm 1 •4 + 1 12" 8cm k= -: = 4,57cm 4 -•4+ 1 - 4 I 4

(2P)

i]

(2P)

•i]

Zul.3

(2?)

Zul.4 Zwischen den Aquipotentialflachen miissen die Kapazitaten gleich sein, weil zwischen ihnen jeweils die gleiche Spannung U/4 liegt. Die Kapazitaten hangen sowohl vom Abstand als auch von der Flache ab, wie die Formel fiir homogene Felder besagt: C=8-A/l. Bei einem Zylinderkondensator nimmt die Flache A=2r7ch mit dem Radius ab, bei einem Kugelkondensator aber mit A=47cr2 mit dem Quadrat des Radius, und das wird ausgeglichen mit dem Abstand: an der Innenelektrode sind deshalb die Aquipotentiallinien dichter als beim Zylinderkondensator. (4P) 85

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabe 2: Zu 2.1 Bd.l, S.250 Aufgabenstellung 1, S.255-256, Beispiel 2 oder FS S.55-56 Beispiel 2 V ^'^-^2

B.

AL

- — = 636,9-10^— Vs m Am

=^^ =

HT

1^.o

1,256-10"

BFe=BL--^- — ^^ ^ Ape 1 - a

B,-L._L fpe

1-a

Bpe = 0,8T • — — = 0,99T ^^ 0,85 0,95

lFe=2a-2c + b - c - - - l L Ip^ = ( 1 1 0 - 1 7 + 5 5 - 8 , 5 - 8 , 5 - 0 , 8 ) m m

abgelesen:

Ipe = 130,2mm

Hpe=320-

0 = 636,9-10^—•0,8-10"^ +320—.130-10"^m m m 0 = 5O9,5A + 41,6A 0 = I.w = 551,lA 0_551,1A ~ w ~ 500 1 = 1,10A

(13P)

Zu 2.2 Bd.l, S.271-274 oder FS S. 59, Herleitung nach S. 274: OL

=(l-a)-Ope

BL

•AL=(l-CT)-BFe

BL

-Ape

Ape

=(l-CT)-BFe

tV B 1.* 1,2

/^

/f

F BL**=(1-CT)-^-BF;

AJT Br BQ

- Bpe

(l-O-fpe

Bo" =

. 0.8 025T

0.61 / 0.4 / O.2I1/ ^ 0

0

200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800A/m 320A/m 1060A/m

lL-(l-CT)-fFe

Bn

^ Vs 1,256-10"^ 551,1A Am . :1,07T = 0,8-10~^m-0,95-0,85

H „ = ^ = "

Ipe

abgelesen:

55UA ^4239 A 130,2-lO'^m Bp^

= 0,98T

BS* = 1,07T0,75 1.077 = 0,80251

0

4239A/m = 10^0A/m

BL** = (1 - a ) - fpe • Bpe** = 0,95 • 0,85 - 0,98T = 0,79T , d.h. 0,8T

86

4239A/m

(12P)

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabe 3: Zu 3.1 Bd.l, S. 280-282, Gl. 3.254-3.256 R

^0 H

-

-

N

oder FS S. 61 HM

1L-AM

mit

^M

- -

R

-

1,256-10"^—•5-10"^m-lcm^ Am 2-10"^m-A M

HM

=m-H M

^^ R AL

cm2 10-6Vs/Am T BM40 abgeleseniBM T T BL cm^ VM AM

m

1 -31,4 1,256 0,75 0,75 5

2 -15,7 0,628 0,53 1,06 10

3 -10,5 0,419 0,39 1,17 15

4 -7,85 0,314 0,31 1,24 20

5 -6,28 0,251 0,26 1,30 25

AM=1cm2

111 \j 111 LH:>- ( ————ivi— J(^\——w'"^ I — — — — K ^ l ———\^'^ H—fsJ——\/\ \———— ^^

r x / f \\\\ M-h

+ -

T'^

"A - "h t - f-- 0.53T

AM^ j r n . / t j - k i ~ \ r 1 ' T '•'''^''

11/111 r r r ^ : ' -50 • 10^A/m-40

-30

-20

-10

0

ZIZ u

(20P)

Zu3.2 B,=f(VM)

0

0

5

10 15 20 25cm3 V M " *

(5P) 87

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabe 4: Zu4.1

Bd. 1, S. 231-232, Gl.3.176

oder FS S. 50

Ol=Bi.Ai Bi = M-o * Hi H i = - Qi _ i r w i 1 ll

mit Bi =

Ai = Ol(t) =

Zu 4.2

aus

Gj = Hj • Ij

^O-ii-Wj 71-di

[^Q-Wi Tl'di li

(6P)

il(t)

Bd. 1, S. 324-325 oder FS S. 75 U2(t) = ^ r - = W2-- ^ ' dt " dt Oi2 = k i -Oj ^

A2

,

7l-d2 4 TT.di^

^1 U2(t) = ^--^-^^ ^ ^^^ di^ ll

n

U2(t) =

4

Ho-W] •W2 •7i-d2 4.I1

d_2

^

-^2 dl

^^

^•W2 2 dt dij dt

1,256-10"^ —•800-100-3,14-(l0"^m] Am ' \ / |U2| = 4-20-10"^m |u2| = 7,9mV

lA 5-10"-'s

1 8mV '2 (1 -8tnV

Zu 4.3

88

;5

10

15 ms (16?)

Mit Hilfe der Formel flir U2 kormen die Fragen beantwortet werden: - Wird die Windungszahl W2 verdoppelt, dann ergibt sich die doppelte Spannung. - Wird der Durchmesser d2 verdoppelt, dann ergibt sich die vierfache Spannung. - Wird die Lange I2 verdoppelt, dann bleibt die Spannung gleich. (3P)

3 Das elektromagnetische Feld

Losungen zum Aufgabenblatt 8 Aufgabe 1: Zu 1.1 Nach Bd.l, S.181, Gl 3.57 Ei(r) = —I'Ti'EQ-e^i'h'r

flir

roGh

Aufgabe 4: Ein symmetrischer Verbraucher mit Zi=Z2=Z3=100Q ist in Stemschaltung an ein Vierleiternetz 220/380V angeschlossen. 4.1 Berechnen Sie die Effektivwerte der Verbraucher-Strangspannungen und des verbleibenden AuBenleiterstroms, wenn sich die beiden Anschlussklemmen 2 und 3 des Verbrauchers gelost haben und wenn der Stempunktwiderstand variabel ist: RN=50Q, 500Q, 5000Q und oo Q. (20P) 4.2 Beschreiben Sie die Rechenergebnisse. Welche Folgerungen ziehen Sie aus dieser Untersuchung? (5P)

106

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Aufgabenblatt 7 Aufgabe 1: Zwei verlustbehaftete Kondensatoren sind in Reihe geschaltet. Wird eine sinusformige Spannung ui an die Reihenschaltung angelegt, entsteht an einen der beiden Kondensatoren die sinusformige Spannung U2. 1.1 Berechnen Sie das Spannungsverhaltnis U2/U1 in Form eines Nenneroperators in algebraischer Form. (20P) 1.2 Geben Sie die Bedingung an, bei der die Spannungen ui und U2 gegeneinander keine Phasenverschiebung haben. (5P) Aufgabe 2: An den Eingang des gezeichneten Vierpols wird eine sinusformige Spannung ui angelegt, wodurch sich eine sinusformige Ausgangsspannung U2 ergibt. 2.1 Konstruieren Sie die Ortskurve des Spannungsverhaltnis U2/LZ1 in Abhangigkeit von der Kreisfrequenz co=p-coo, wobei coo=R/L und R/RLpZ=r=l ist (Empfohlener MaBstab: l = 5cm). Tragen Sie die Ortskurvenpunkte fiir p=0, 1, 2 und 00 ein. (16P) 2.2 Kontrollieren Sie die Ortkurvenpunkte fiir p=0, 1 und 00 rechnerisch. 2.3 Zeichnen Sie die Ortskurve fiir U2/U1, wenn RLp gegen unendlich geht.

(3P) (6P)

Aufgabe 3: Von einem mit dem ohmschen Widerstand R belasteten Ubertrager sind folgende GroBen bekannt: Ri=10Q Li=25mH R2=20Q L2=30mH R=80^ k=0,8 co = lOOOs'^. 3.1 Berechnen Sie fiir den Ubertrager die Elemente M, Lj-M und L2-M der T-Ersatzschaltung und berechnen Sie dann den Eingangswiderstand Zi^(13P) 3.2 Kontrollieren Sie das Ergebnis fiir den Eingangswiderstand, indem Sie fiir den Ubertrager die Elemente des Ersatzschaltbildes mit nur einer Langsinduktivitat und dann den Eingangswiderstand berechnen. (12P) Aufgabe 4: Ein symmetrisches Dreiphasennetz in Dreieckschaltung mit ULt=400V ist durch drei gleiche verlustbehaftete Spulen in Sternschaltung belastet. 4.1 Geben Sie die Strang- und die Leiterspannungen des Dreiphasennetzes in Exponentialform und in algebraischer Form an, wobei die Bezugsspannung UlN=Ul^f•ejO ist. (4P) 4.2 Berechnen Sie die Strome durch die komplexen Widerstande Zi=Z2=Z3=R+jcoL=10^+j50Q. (6P) 4.3 Berechnen Sie die Strangspannungen iiber den Spulen und die Strome durch die Spulen, wenn sich der Leiter 3 von der Spulenklemme gelost hat. (9P) 4.4 Kontrollieren Sie die Ergebnisse fiir den unsymmetrischen Fall mit Hilfe eines Zeigerbildes, in dem die Leiterspannungen, Strangspannungen und die Strome durch die Verbraucher enthalten sind (Empfohlener MaBstab: 100V= 1cm, 1A= 1cm). (6P)

107

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Aufgabenblatt 8 Aufgabe 1: 1.1 Mit Hilfe der Zweipoltheorie ist der Strom ic durch die Kapazitat Cp zu ermitteln, wobei der Grundstromkreis mit Ersatzstromquelle zu verwenden ist. Am Eingang liegt die sinusformige Spannung u = u • sin(cot + cpu) ^^(22P) 1.2 Bei welcher Kreisfrequenz co hat der Strom ic gegeniiber der Spannung u keine Phasenverschiebung? (3P)

\r

Lr RCc

Aufgabe 2: Das Ersatzschaltbild einer Spule mit Eisenkem hat bei Vemachlassigung der Streuinduktivitat L^ das gezeichnete Aussehen. 2.1 Entwickeln Sie qualitativ das Zeigerbild fur samtliche Strome und Spannungen, wobei Sie die Reihenfolge der Darstellung und die Gleichungen mit den Operatoren angeben. (6P) 2.2 Berechnen Sie I^, U^, la, Io,Ucu, P=Pcu+PFe, S und U, wenn gegeben sind: Q=40Var, L=1,2H, f=50Hz, PFe=20W und Rcu=150^. (14P) 2.3 Bestatigen Sie die Rechenergebnisse fiir die Strome und Spannungen durch ein quantitatives Zeigerbild (Empfohlener MaBstab: 0,1 A= 1cm, 10V=0,5cm). (5P) Aufgabe 3: 3.1 Konstruieren Sie die Ortskurve des komplexen Widerstands der gezeichneten Schaltung mit Cp=10nF, Rp=lkQ und Cr=50nF bei Variation

3.2

der Frequenz co=pcoo mit COQ = 1 0 0 10^S~^ und p=l/4, 1/2, 1, 2 und oo (Empfohlener MaBstab: ImS = 10cm, lkQ= 10cm). (20P) KontroUieren Sie die Ortskurvenpunkte fur p=0,lundoo. (5P)

.^p
looa looa -j-60° IN = (0,275 - j • 0,476) A = 0,55 A • e" rechnerische Kontrolle: II+I2-IN=0A:

(+0,9625 +j-0,238) A +(-0,6875-j-0,714)A

(8P)

-(+0,275-j-0,476)A = 0A I1

(IP) 118

Zu4.3

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 3 Aufgabe 1: Zu 1.1 Bd.2, S.37 Spannungsteilerregel, S.70-71, Beispiel 5 oder FS S.96

Ul

^-

1

IT

!

^Lp O-

1

1 -+RLP JtoLp

U2 1

1

- + RLr+JWLr

RLP -+-J«Lp

Ul

l + (RLr+jCOL,)

RLP

jcoLpJ

El

(15P) 1 + — ^ + —^ + JRLP Lp;

Zu 1.2

COLr

RLr

U2 und Ul sind in Phase, wenn der Operator reell ist, d.h. der Imaginarteil Null ist: COLr ^ RLr «Lp

RLP

co =

Zul.3

pLr'R-Lp

I Lr-Lp

Uo 1 -^ = Ui 3

(6P)

(4P)

119

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

7 Mehrphasensysteme

6 Transformator

Losungen zum Aufgabenblatt 3 Aufgabe 2: Zu 2.1 Bd.2, S.128, Gl. 4.166 oder FS S.113 Die allgemeine Abgleichbedingung ftir Wechselstrombriicken lautet:

2i JL.^

(5P)

Da die Ersatzschaltung der Spule die Parallelschaltung von ohmschen und induktiven Widerstand ist und damit der komplexe Leitwert gesucht wird, muss die allgemeine Abgleichbedingung entsprechend umgestellt werden:

1

_ Z2 = l3 ' " Z l Z4

^

1 R p3

-J-

1

1

C0Lp3

Rl R4

1

1 R p3

J-

Ri

_

0)Lp3

Rr2 juCrZ

CZHh

1 Rr2-J-

«Cr2

1 Rr2 -JR1R4 coR,R4Q2

Durch Vergleich der Realteile und Imaginarteile ergeben sich die gesuchten GroBen: 1

_

Rp3

C0Lp3

Zu 2.2

Rp3 =

Rr2

_ ^1^4

Rp3 -

^1^4

C0RiR4Cr2

R r2

Lp3 - Ri • R4 ' Q 2

(7P)

(7P)

R 1 R 4 _ 14412-50^ R r2

284Q

Rp3= 25,35^

(3P)

V V /; As L „ 3 = R i R 4 C . 2 = 1 4 4 — 5 0 — 1 0 , 6 10"^ — P3 1 4 r2 A A V a Vs Lp3=76,32 10"^ — Lp3=76,32mH

120

(3P)

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7 Mehrphasensysteme

6 Transformator

5 Ortskurven

Losungen zum Aufgabenblatt 3 Aufgabe 3: Zu 3.1 Bd.2, S.37, 207-208 oder FS S.96,126: "Kreis in allgemeiner Lage" mit p*=l/p

R

^2

u.1

R R RLP- + -jcoLp

R+-

1 1 •+ RLP J«Lp

R Rln ^Lp

R +1 JCOL

R

R R JRLP pcopLp

R -JP' R Lp

R R + 1 -JR Lp pcooLp

R +1 -JP' R Lp

_

^O^p

R «oLp (lOP)

Konstruktion:

Zu3.2 Mit

ergibt sich mit

- = 1 und R Lp cOoLp Uo 1-jp* =^ = ^-^— Ui 2-j-p* A = l, B = - j ,

Ln R RLp

=1

2 ^

C

-

N

-j

^ D

2

N

-1

^

^ -j ^

-1

G = E + p * F = -2 + p * j G* = E*-l-p*F* = - 2 - p * j

C = 2,D = -j

2E

4

~

D

-J

-1

tr

'j G

0,5 --4/2- -MH

0 ^ P=:00

p*=0

J a ^ ^

p = 2 - p*=1/2

;-0,5j

p = 1 . .p''=1

-j

Zu3.3 p=0, p*=oo

M l

1 1 1

P=0

p=1/2

•

(12P)

^

p=l,p*=l

p=oo,p*=0

^ = i l i | ± i = l ± i , j l z 2 = o,6-jO,2 Ui 2 - j 2+j 5 5

U2 1 - - =Uj 2

1 U2 _ y P* ^ = 1 — - lim - 2 ill p*-»«'jr j

(3P)

121

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

7 Mehrphasensysteme

6 Transformator

Losungen zum Aufgabenblatt 3 Aufgabe 4:

Zu4.1

Bd.2,S.17oderFSS.88 Reihenfolge der Darstellung: Ic

Uc=-

yR

"NT^

UR=RCIC

\ 2

1 •Ir jcoC

U1

iiC

y ^ s^

UI=UR+UC

Ui/2 und U2

(13P)

Zu2.2

Ic U2 UR

. ^ - ^ V ^ o fiir R(-=100Q

2 , ^ ^

^

1

Uc

yi yc=iii fiir Rc=OQ

fur Rc=100£2

fiir Rc=0

Ic=0,lA

Ic=0,lA

UR = R c I c = 1 0 0 i 2 0 , l A = 10V

UR=0

Ur = — I c = (OC

TK

ir- 0,1A = 4,82V Uc=4,82V

27tl,5-10^s"'-2,210"^F

Ui = I / U R ^ + UC^ = V ( 1 0 V ) 2 + ( 4 , 8 2 ) ^ =11, IV

Ul = 2,4V

^=^ = 5,5V 2 U2=5,5V ^uf

9 = 51°

U2=2,4V 9 = 180'^ U2 jl80° Y . , = ^ = 0,5.e-

Ul (6P)

122

Ui=Uc=4,82V

(6P)

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 4 Aufgabe 1: Vergleiche Bd.2, S.69-70 Beispiel 4 Zu 1.1 Bd.2, S.37 Spannungsteilerregel oder FS S.96

Ul

R

1

_1_

R+ -1 jcoC

juC

juC 22=0

1 ^l

14-- ' jcoRC

Uo

1

Ul

U2 -o

coRC Zul.2

(9P)

Bd.2, S.45 Stromteilerrregel oderFS S.96

h Ii

J_ _L_

R .

1 jcoC

jijC

juC

Il R

jcoRC

y2=o 112

1

I.

Zul.3

I-j

•

coRC

(9P)

"" m

Uo

1

1 -=1 (coRC)^

1 =1 coRC co = -

RC

(7P)

123

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 4 Aufgabe 2: Zu 2.1 Bd.2, S.34 und 42 oder FS S.92-95 1

.

1

— +1 Z =-

z=-j-

= -J

(oCr

1

^ Rn

Rp2

- H H juLp

1 coL„

J_

coc/_L+^ 1

Rp coLp . 1 1 . 1 coLp Rp (oLp

1

-+j-

0)^Lp2

1 coL„

1 1 Rp^- + -(o\'

1 1 Rp^-+-co^Lp^

-+ j

2

1

1

1 coCr

H

(lOP)

^Rp2"'coV

1 coL„

Zu2.2

- 1 - ^ - 1 —

^ r

Rp2

co^Lp^

1 coLp

1 coCj. ^ R p 2 ^ c o % 2

1

1

Lp

Cr-Rp^

l-CO^-Cr-Lp^ co^.QLp^

L CO^Cr-Lp = 0 0 ^ — ^ + 1 L 2 Rp Lp2-R2.Q.L

0)

R ^ + - ^ =0

L„,.,.:ji.tf^| _, Zu2.3

Vs

(lOP)

= 1H

1 RnJCOLn 1 , A -^ A_ z = - j — ! - + — ^ - ^ ! — - = -r coCr Rp+jcoLp 1 0 3 s - l . 2 . 1 0 - ^ ^ 103X + j . i 0 3 s - l l ^ V A ' A -

124

d.i. eine quadratische Gleichung

2

•' 1 + j 1-j

•'2

2

(5P)

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 4 Aufgabe 3 : Zu3.1

Cp =

Aus

a ) o = - 7 = i = ( B d . 2 , S . 110 Oder F S S . 108) folgt -y/Cp • Lp

4-7i^fo^=—^—und Cp • Lp

1 1 , , — = 1 8 0 1 0 - 1 2 ^ = 180pF 4-7c2.fo^.Lp 4-7^2.(50010^8-1)2.563-10-6^ ^

Zu3.2

Aus

dp =wo-RcpCp

(Bd.2, S.153, Gl.4.238 oder FS S.119) folgt 1

1 ^Cp 2.7ifoCpdc

= 2 , 9 5 1 0 " Q = 2,95MQ

2-7C-500103s-i.18010-12—0,610-^ V

R Lp

Aus

(4P)

gL

(Bd.2, S.153, Gl.4.232 oder FS S.119) folgt

COQL

R L p = 2 - 7 c f o L p g L = 2 . 7 C - 5 0 0 1 0 ^ s - l - 5 6 3 1 0 - ^ — • 2 1 0 = 3 7 M 0 ^ Q = 371k^ R c p ^ R ^ ^ 2.95.10^a.371.10^a . 3 3 0 . 1 0 3 n = 330kn ^

RCP+RLP

Zu3.3

Bd.2 S.l 11,113, Gl.4.139 und 4.142 Oder F S S . 1 0 8 - 1 0 9

1180-10-124^

B Qp = - ^ = RpBkp =33010^Q-56510-^S ^ Gp

' ^ " V L p " \ | 563.10-^^ Bkp = 565 10-^S = 565^iS Zu 3.4

(3P)

Qp = 186

=1

Ig2

Qp Vgi=Qp

i!lL-Io.V-l V ^0

— - 0

I

_ ^ fo +

fgi

fofg2

fo

Qp

*g2 - 7 — • I g 2 - l 0 ^P

f

(3P)

Bd.2, S.l 13-114 oder FS S.109

QpV=Qp

iQ

(5P)

2 , 9 5 1 0 ^ ^ + 37M0^i^

-^

fgi

Qp gl~'0

'gl

,

fol+fol^Qpl

'

fo

,

•2^f

2

fol+foliOp

f.2=^{l.^i^^) Zu 3.5 fg2

50010^s"' M50

f., =

500 10^8-1 2186

(6P)

(l + Vl+41862] = 501,34kHz \

Kontrolle (Bd.2,S.114,G1.4.146):

/

[-l-f-Vn-4 1862| = 498,,65kHz

Af =

fo

50010^8-1 186

= 2,69kHz

^ = fg2-fgi =(501,34-498,65)kHz = 2,69kHz (Bd.2, S.l 13, Gl. 4.144 oder FS S.109)

(4P)

125

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 4 Aufgabe 4: Bd.2, S.221und S.227-228 oder FS S.128 Zu4.1 l2=0,lA=2cm U 2 = 2 0 0 Q - 0 , l A = 2 0 V = 4 c m U R 2 = 1 0 Q - 0 , 1 A = IV = 0,2cm

UL2=10.000s"^-45-10"^H-0,lA = 4 5 V = 9 c m U M 2 =co-M-Ii = 50V = 10cm 50V Il =

= 0,333 A = 6,6cm

10.000s"^-15-10"^H

U M I = 10.000s"-1 •15-10"^H-0,1A = 15V =3cm U R I = 6Q • 0,333 A = 2V = 0,4cm ULI = lO.OOOs"^.20-10"^H-0,333A = 66,6V = 13,2cm U i = 53V = 10,6cm 100 L =-—0,333A = 0,628A ^53

Korrektur: Ui=100V

(15P)

Zu4.2 Z=R=OQ l2=0,lA=2cm U2=0 U R 2 = 1 O Q • 0,1 A = 1V = 0,2cm UL2=10.000s"^-45-10"^H-0,lA = 4 5 V = 9 c m =^UM2=w-M-Ii=45V=9cm Ii=-

UMI

45V

:0,3A=6cm

10.000s"^-15.10"^H

UMi=10.000s~^-15-10"^H-0,lA = 1 5 V = 3 c m

URI

yR2

n^

JUJM-II

yL2 ULI yi

U R I = 6 ^ - 0 , 3 A = 1,8 V = 0,36cm

ULi=10.000s"^-20.10"^H.0,3A = 6 0 V = 1 2 c m =^Ui = 45 V = 9cm Korrektur: Ui=100V Zu4.3 l2=0A

Ii1 =—•0,3A 45 ' = 0,67A

(5P)

Z=R=oo U2=20V=4cm

UR2=0V,

UL2=0V

=> U M 2 =0) - M - II = U2 = 20V =4cm Ii =

20V

= 0,133A=2,6cm

10.000s"^45-10"^H

yLiF2=j^M*ii

UMI=OV

U R I = 6Q-0,133A = 0,8V =0,16cm U L , = 10.000s"'•20-10"^H-0,133A = 26,6V =5,3cm = > U i = 26,6 V = 5,3cm Korrektur: Ui=100V

126

Ii = — • 0 , 1 3 3 A = 0,5A ^ 26,6

(5P)

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 5 Aufgabe 1: Bd.2,S.21, Bd.l, S.80 und Bd.2, S.72 Beispiel 6 oder FS S.90 und 16 Zul.l

kl:

Ii+l2=l3

I-

Rii Ii - U q i + — ^ I i + jcoLi 13 - JC0MI2 = 0

11.

jC0L2l2-jC0Ml3+Ri2l2-Uq2+-r^T"J2"*"J®Lrl3~J^^l2 JCOC2

=^

geordnetes Gleichungssystem:

II+12-13=0 I j - j c o M l 2 + j c o L i l 3 = U ql

(2)

Ri2 + jcoL2-jcoM + •l2+(jCOLi-jO)M).l3=Uq2 JC0C2

(3)

Rn+-

Zu 1.2

(1)

jcoCi

Ii=l3-l2

(15P)

(1) in (2) eingesetzt ergibt

( l 3 - l 2 ) - J w M l 2 + j C O L i 13=11^1

Rn+jcoQ

1 - Rii + jcoM + -: I 2 + Rji + 1CDL1 + JcoCj Ri2 + jcoL2-jcoM + JC0C2

•l3=Uqi

•l2+(jcaLi-j(oM) •I3=U^«'^ 1, _Z^-^^

- ^ 3 ^ _ ( - 3 4 6 , 4 + j-200 + j-400)V

= (-173,2 +j-300)V = 346,4V-eJ'^^^

_

(3P)

13=0 Zu4.4

(2P)

5ia-eJ'^^''^^

^_M

jv

^4^33.,-ji98,7» =4,53-eJi^^'3' = - 4 , 2 9 A + j • 1,45 A

Kontrolle:

U12 = U^IN - U^2N U23 =IL2N~iL3N U3I =II^3N~li^lN (6P)

138

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 8 Aufgabe 1: Zu 1.1 Bd.l, S.90, Bd.2, S.73-74, Beispiel 7 oder FS S. 18-20 und 90

Rlr

jwLr

(

7 = —aers

_Rcp(RLr+jCQLr) 7. = —lers Rcp+RLr+JWLr

JcoCp

U

(Rcp kurzgeschlossen) T -7. ^ _ -qers —lers " ~ 7. 4-7 —lers —aers

U

Rcp(RLr+J/V^+Ia^ =V(0,326A)^ +(0,163)^ =0,364A Ucu = I o R c u =0,364A150£^ = 54,6V P = Pcu + Ppe = lo^ • Rcu + Ppe = (0' 364A)^ 1500 + 20VA = 40W S = I / Q ^ + P ^ = >/(40VA)^ + (40VA)^ = 56,5VA (14P) Zu2.3

(5P) 140

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 8 Aufgabe 3: Zu3.1

Z=^

1

1 -++ jcoCp J^^r

-JJ _ + p.jeooCp

pcooCj.

mit

CO = p • COQ

Z=-

1 + p.j.l00103s-l.l0.10-^F lOOOQ 1

z =ImS - + p • j • ImS- - • pJ - 2 0 0 Q

mit

^ Pl00.10^s-I.5010-^F

— = - ^ = 500Q 2A 2mS

Es handelt sich um die Uberlagerung eines Kreises durch den Nullpunkt und einer Geraden. (Bd.2, S.188, 197 und 212 oder FS S.124 und 126)

p=1/4

-j-IOOOfi

(20P) Zu3.2 p=0:

p=l:

Z= " lmS + 0

j • oo = lk£2 - j • oo

P = oo oo

lOOOQ

-

1 + j 1-j

mS

2

j-100012

.

oo

j-200Q = 5 0 0 Q - j - 7 0 0 Q

(5P)

141

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 8 Aufgabe 4: Zu 4.1 Bd.2. S.234, Bild 6.19, Bd.l, S.340, Gl.3.377 oder FS S.131 und S.81) Ri=6Q

jcoaLi=jco(l-k2)Li

j ^ R^

jjjgL^

^h

jcooLi=jlO.OOOs"^(l-0,5^)-20 10"^H

j(ok^Li=jl0.000s"^0,5^-2010"^H j(0k^Li=j-50

aus

R; =

ri5mH^^ USmHJ

^M^' \^2J

R' =

M

R =

ri5mHY ,

9

200Q =

200Q.

U5mHJ

-2;

Zu 4.2

^ M^ 15mH)^ ._ __ ^2=-^ = 0 = 45mH k^Li 0,5^-20mH

M = k • ^ L j L2

= 22,2£^

(lOP)

9

U2=40V ^M^ u:2=u2 =

U , = i ^ = 13.3V

VL2;

r,=r,=:gi=IMl=o,6A R' 22,2Q

J-2

1:2 ll

(l,lQ + 22,2^) + j . 5 0 a

(Stromteiler)

^ 23,3Q + j - 5 0 ^ ^, r . 23,3^, ^ ^ , I1 = —^ r2=|l-j-T^|0,6A j-50a 50 Ii=0,6A-jO,28A Ii = V(0,6A)^+(0,28A)^ = 0,66A

142

(15P)

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 9 Aufgabe 1: Zu 1.1 B d . l , S.90, Bd.2, S.73-74, Beispiel 7 oder FS S. 18-20 und 9 0 1

^Cr

juCp

II

Iqers I

I •

! Q L JwCr

O-^-i

eiers

^aers

•^ R Lp ^aers=J^Lp

7.

Rcr+-

=-

JtoCj

"1 I

I = ll

RLP

T , _

+ Rcr +

=1 =

-qers

—lers

I.i

a 1

-k

Rcr+-

jCOCr

-7.

-qers

~ ~ Z.

(RLP kurzgeschlossen)

—lers

+7

—lers

—aers ^Lp"

u Rcr+-

jcoQ

^Cr +

RLp+Rcr +

R Lp- R c r + RLp+Rcr +

U R Lp

jCOCr

RLp+Rcr +

jCOCr

R Lp

jcoQ

Rcr+-

+ J03Lp RLp+Rcr +

jcoCr

jcoQ

jCOCr - + JcoLp jCOCr

URLP

IL=R Lp

+ jCOLp- RLp+Rcr + Rcr+jO)Cr jcoCr

u

IL=7

R

+

1 ^Lp

"^P + j

(18P)

coL„

1

1+-

COCr

^r

coLp- 1 + -Cr u • sin(cot + cpu ~ 9 )

iL(t) = -

niit(p = arctan-

•LpJ

1 coCf

-l2

Rcr +

coLp

^Lp

C j

1+

1 R Lp

coCf (4P)

Zu 1.2

Der Strom 1 1 und die Spannung u haben keine Phasenverschiebung (cp = 0 ) , wenn der Operator zwischen I I und U reell ist, d.h. wenn der Imaginarteil Null wird: coL„

^l^Rcr' R Lp

^ -=0

COCr

co= I

7^ r 'l^Rcr' iLpQ R Lp

(3P)

143

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6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 9 Aufgabe 2: Zu 2.1 Bd.2, S.128, Gl. 4.166 oder FS S.113 2l ^ ^ 3 Z2 = 13=Zi -24

1

Zj • Z4 • Y2

1

-+Rp3 J«Lp3

1

Z4

Rj R4 ^ ^

+ jcoC p2

R1R4

J^Cp2

^^ ^p2

J^Cp2

Rp2

coCp2

1 , ^^2^ 2 - y + o ) Cp2 RP2

1 ,,J.n 2 — + C0 Cp2 Rp2

1

Rp3 - J C0Lp3

^^ -p2

(5P)

Durch Vergleich der Realteile und Imaginarteile ergeben sich die gesuchten GroBen:

1 R P2 Rp3

C0Lp3

RrR4

Rp3 - R l ' R 4 R p 2 ' ^^C0^Cp2^' l,Rp2 J

^ + C02Cp2' Rp2

coCp2 1 ,,^2^ 2 —2-^^ Cp2 Rp2

R1R4

Zu 2.2 Rp3 = 1 4 4 ^ - 5 0 ^ - 6 0 0 ^

-p3 =

^4

co^CP2

-—-+(27C-50s"^-5,6 (600^)^

144Q-50Q Lp3 =

^1

J

10"^F)^ = 2 5 , 3 7 a

^ - + (27i-50s"^-5,610"^F)^ (600Q)^

(27r-50s"^)^-5,6 10"^F

(4P)

^-^C0^Cp2^

Rp2

(4P)

76,51mH

(3P) (3P)

Zu 2.3 Nach Bd.2, S. 132: Rr3=12a, Lr3=40mH. Mit den Formeln fur die aquivalenten Schaltungen (Bd.2, S.50, Gl.4.76 oder FS S.99) bestatigen sich die Ergebnisse:

_L Rr3=-^ 1

'^

1 1

Rp3^- + co^Lp3^

=

-. 1 (25,31 af

1 Lr3=-

1

144

,.2T 2 co^L, P3

, 1

= 12Q

(3P)

{In • 50s"^ • 76,5 ImH)^ 1

co^L,p3 Rp3"2

""'"^""

(27t-50s"^)^-76,51iiiH 1

(25,37^)^

• = 40,3mH

(271 • 50s"^ • 76,5 ImH)^

(3P)

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

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7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 9 Aufgabe 3: Zu 3.1 Bd.2, S.37, 207-208 oder FS S.96,126: "Kreis in allgemeiner Lage" + jcoRCp U

+ j-p-cooRCp Rn

R

^2

1

R+ R,

- + JcoCp

R.

+ jcoRCp+l

mit

CO = p • (OQ

•j-p-cOoRCp

Zu3.2

Konstruktion: Mit — = 1 und Rp . 1 - 1

^2

ergibtsich mit

cooRa=-^.RCn=l ' P RCp P

A = 1, B = j ,

D o -

1 + J-P

=Uj^ = ;2 + j . p

C N

G = E + p-F = - 2 - p - j

E = -2

C= 2,D = j.

(lOP) j

D N

2 j - 1 - 1

G * = E * + p - F * = - 2 + p-j

-L = - i

-L = - I = - i = -l

2E

-

-j-p = 1

4

D

j

-r

l-p=1/2

•A^

-1

1—n-i—r

•J/2- J / V 1/2 3/4

P=(S

1 (12P)

Zu3.3p=0:

1 p=l:

U, 1 =^ = Ui '' ^2

l . j . i 2-j.i

p=l/2:

2.1

^u. = ^ "-2- = ±-t\ Ui 24-j.i 2 - j . l 4,25 •'2 ''2

2 .=^ 0,53 + j-0,12 4,25

Ul 1+J ^^ =— Uj 2+j ^ U2 l + j.2 p=2: =^ = — Uj 2 + j.2

P=^-

2-j 2+1 .1 ^^ . ^^ -= + j - - = 0,6 + j - 0 , 2 2-j 5 -^ 5 ' -^ ' 2-J-2 2 + 4 . 4-2 = 0,75 + j . 0 , 2 5 ^—= + j2-j.2 8 1 -+J ^2 ,. 1 + J-P =1 = lira7r=limT-^ Ui p^oo2 + j . p P ^ " ' - + j P

1-1

(3P)

145

4 Wechselstromtechnik

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7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 9 Aufgabe 4: Zu4.1 Bd.2. S.221,G1.6.4-6.6oderFS S.127 yi=Ri-Ii+j(oLi.Ii-jcoM.l2

(1)

y2 = -R2 • I2 - J0)L2 • I2 + jcoM • li 112= Z'h

(2) (3)

Z = = ^ = -R2 - JC0L2 + jcoM. i ^

(2),(3)

jcoM-l2 = R i - I i + j c o L i - I i - y i Ri-Ii+jcoLpIt-Ui i2 jcoM

aus (1)

R]

k

il

jcoM

Ii Z = -R2 - jo)L2 +

(jcoM)^ Ri + jcoLi-=^

(coM)^ Z = -R2-jcoL2-f-^^^^!^^^^^^ =^-Ri-ja)Li Zu 4.2

(15P)

Mit

(oLj = 271 • 50s"^ • 5H = 1570,8Q

und

(0L2 = 27r-50s"^ -OJH = 31,416Q

und

(oM = 271-508"^ •0,424H = 133,20Q

Z = -15^-j-31,416Q +

mit

13000

(133,20Q)^ 13000 ^•eJ"^'^°-500Q-j.l570,8Q 7,2

Q.eJ'^'^° =1805Q-(cos57''+j-sin57'') = 983,376Q + j-1514,27^

/,z Z = -15a-j-31,416^ +

17743^2 (983,376a + j.l514,27^)-500Q-j-1570,8^

r. . . ^ . .. . . . ^ Z = -15Q-j-31,416Q +

17743^^

483,376Q + j-56,53Q ' 483,376Q-j-56,53a 483,376^ +j-56,53Q ry icr^ - ^ 1 . 1 ^ ^ 17743.483,376 +j.17743-56,53^ Z = -15a-j.31,416a + —Q, ^ 236875,2 Z = - 1 5 a - j - 3 1 , 4 1 6 a + 36,2ia + j-4,25a Z = 21,2Q-j-27,17Q = R r - j -

—

Rr = 21, 2 a a = \ = 117|LiF 27C-508"^-27,170 146

gegenuber 20Q gegenuber 100|iF (s. Bd.2, S.235)

(lOP)

4 Wechselstromtechnik

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7 Mehrphasensysteme

6 Transformator

Losungen zum Aufgabenblatt 10 Aufgabe 1: Vergleiche Bd.2, S.69-70 Beispiel 4 Zu 1.1 Bd.2, S.37 Spannungsteilerregel oder FS S.96 U2 Ul

1 jcoC

Q

jcoC U2 Ul

u y1

1 l + j(oRC

^J

I

4_

j4=

juC

f o

1 _^

= F 1 - U2 JojC 1 f

—^

[9P)

Zu 1.2

Bd.2, S.45 Stromteilerrregel oder FS S.96 1 h _ JtoC I, R + 1 il jcoC I, Ij

Zul.3

1+jcoRC

U2 _ I 2 _ 1 ^ = -^ = Ul ^1 7l+((0RC)^

1

V5

l + (a)RC)^=2 (coRC)^=l a)RC = l 1 RC

co = -

(7P)

147

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 10 Aufgabe 2: Zu 2.1 Bd.2, S.178, Gl.4.280 und S.179, Gl. 4.286 oder FS S.123 Die Anpassbedingungen lauten

Z^ = Zj bzw. Y^ = Yj . Da der passive Zweipol

eine Reihenschaltung von Wechselstromwiderstanden ist, muss die Anpassbedingung fur Widerstandswerte benutzt werden: Z^=Zi*

mit

Z^=Ra+jXa 1

Za=RLr+JfOLr+^

Zi=Ri+jcoLi

Zi*=Ri-jcoLi

Cp

+ JcoCp ^ ^Cp

jcoCp ^Cp

1_ coC„

R,Cp

Z^=RLr+J«Lr+-

-J-

i^.coV

- ^ + C0 Cp

R,Cp

R,Cp

R,Cp

Za = RTr+-

Cn

-jco

-Lr ^^co^C^ l^Cp

- y + CO Cp R Cp Z,=Zi*=Ri-jcoLi

d.h.

R.=R^^+

—

R Cp

-L.

Zu 2.2

R,Cp

Bd.2, S.51, Gl.4.77 oder FS S.99 Z a = ( R L r + R c r ) + J (oLf-

mit

R,Cp

Rcr =

1 coCry

-i^.coV und

Cr = •

Za = R T . + -

R Cp 1 , ,^2^ 2 — + COCp R,Cp

R,Cp

Za = R l r + -

- ^ + coV ^Cp

^Cp

co^C„

1 + .,^2n — COCp 2 R Cp

148

(15P)

i^.coV

2+0)2Cp2 R,Cp

coC„ + J coLf •

1 , ,^2^ 2 — R +a)Cp Cp

-JCO

1 , ,^2^ 2 - y + coCp

^Cp

-Lr

(lOP)

5 Ortskurven

4 Wechselstromtechnik

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 10 Aufgabe 3: Zu 3.1 Bd.2. S.234, Bild 6.19, Bd.l, S.340, Gl.3.377 oder FS S.131 und S.81 Rl=15Q

Rl

juOli

joxjLi = j • lO.OOOs"^ • 0,75 • 20 • 10"^ H jcooLi = j l 5 0 i ^

ju)(1-a).Lj(fjR jco(l-o)Li=jlO.OOOs~^0,25-20 10"^H jco(l-o)Li=j-50Q mit

^

M = k - 7 L i L 2 = 0 , 5 V 2 0 - 4 5 m H = 15mH

k = Vri^ = Vl-0,75=0,5 Mit

R^ =

R2=-

45Q. = 5Q.

K^2J R' = V^2J Zu3.2

R=--405a 9

= 45Q.

(12P)

Z,,3=Rers+jcoLers ^M^' Zers=Rl+J«^Li +

(R2+R)jco(l-a)Li

V^2J ^M^^

. ( R 2 + R ) + jco(l-a)Li

'^^2;

Zg^3=15Q + j l 5 0 Q +

5 0 ^ + j-50Q

z,,3=i5Q+j.i50Q+i:^.i:^ 1+j l~j Zg^g =15Q + j l 5 0 £ ^ + j - 2 5 a + 25Q Zg^3=40Q + j l 7 5 a d.h.

Rers = 4 0 ^

und

X. Lers=CO

175a — = 17,5mH lOOOOs

(13P)

149

4 Wechselstromtechnik

5 Ortskurven

6 Transformator

7 Mehrphasensysteme

Losungen zum Aufgabenblatt 10 Aufgabe 4: Bd.2, S.367, Ub.7.6 Zu 4.1 Bd.2, S.278, Gl.7.47 oder FS S.142 , a ^ , 3 8 0 V : e j ^ ^ (329-.j.l90)V ^

Z23

-J-80Q

231

95Q.

^^3

-j-80^

95^

380V = 9,5 A Oder I12 = V(8,225A)^+ (4,75A)^ = 9,5 A Il2=40Q 380V ^23 == ^^^ = 4,75A (siehe oben) 80Q 380V = 4,0 A Oder I31 =^(3,46 A)^+ (2,0 A)^ =4,0A 131 = 95a

(8P)

Zu 4.2 Bd.2, S.278, Gl.7.48-7.50 oder FS S.142 Il=Il2-l3l=8,225A + j-4,75A + 3,46A-j-2,0A II =ll,685A + j-2,75A = 12,0AeJ^^'^°

I,=12,0A

2 = I23 -112 = 4,75 A - 8,225 A - j • 4,75 A = -3,475A - j • 4,75A = 5,9A • eJ"^^^'^°

l2=5,9A

3 =l3l -I23 =-3,46A +j-2,0A-4,75A = -8,21A + j • 2, OA = 8,45 A • eJ"^^^'^°

l3=8,45 A

(8P)

Zu4.3

(9P) 150

Aufgabenblatter

Abschnitt 4: 8 Ausgleichsvorgange 9 Fourieranalyse 10 Vierpoltheorie

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Aufgabenblatt 1 Aufgabe 1: In der gezeichneten Schaltung laufen prinzipiell zwei Ausgleichsvorgange ab. Zu Beginn liegt der Schalter lange in der Stellung 1. Die Umschaltzeit soil groBer als das Fiinffache der beiden Zeitkonstanten sein. 1.1 Ermitteln Sie uc(t) und ic(t), wenn der Schalter von der Stellung 1 nach 2 gebracht wird. (8P) 1.2 Nun sind uc(t) und ic(t) zu ermitteln, wenn der Schalter von der Stellung 2 nach 1 geschaltet wird. (8P) 1.3 Beriicksichtigen Sie folgende ZahlengroBen fur die beiden Ausgleichsvorgange (U=6V, R=lkQ, Rc=2,5kQ, C=500nF, Umschaltzeit 12ms) und stellen Sie die Verlaufe von uc(t) und ic(t) quantitativ in einem Diagramm dar. (6P) 1.4 Wie andert sich die Berechnung, wenn die Umschaltzeit 3ms betragt? (3P) Aufgabe 2: 2.1 Ermitteln Sie fUr die periodische Spannung u(cot): 2.2

2.3

271

• cot ftir

0 < cot < 27C

die Fourierreihe in ausfuhrlicher Form. (15P) Geben Sie die Funktion und die Fourierreihe in ausfuhrlicher Form an, wenn bei der gegebenen Funktion die cot-Achse um u / 2 nach oben verschoben wird. Berechnen Sie fiir die Fourierreihe der verschobenen Funktion den Effektivwert.

(5P) (5P)

Aufgabe 3: o-i h-f—• f 9 3.1 Entwickeln Sie fiir die gezeichnete Schaltung die Spannungsubersetzung vorwarts in Form eines o 1 i i o komplexen Nenneroperators in algebraischer Form. (12P) 3.2 Geben Sie die Formel ftir das Amplitudenverhaltnis der Ausgangsspannung zur Eingangsspannung und die Formel fiir die Phasenverschiebung zwischen beiden Spannungen an.(8P) 3.3 Bei welcher Kreisfrequenz COQ ist die Phasenverschiebung zwischen beiden Spannungen Null und wie groB ist dann das Amplitudenverhaltnis mit R=Rp? (5P) Aufgabe 4: 4.1 Fiir einen Transistor, dessen die hg-Parameter mit ^l,2kQ 6,5-10"^^ gegeben sind, ist die 65 lOO^S J ^ ^ Leerlaufspannungsverstarkung zu berechnen. (5P) Um die Leerlaufverstarkung V^^ = -649 zu erreichen, muss der Transistor mit einem Emitterwiderstand RE riickgekoppelt werden. Entwickeln Sie die Formel fiir RE =f(Yyf ,he) und berechnen Sie mit dieser Formel den notwendigen Widerstand RE mit obigen Angaben. (15P) Bei Belastung des Transistors bzw. des ruckgekoppelten Transistors mit Re und Ra verandert sich die Spannungsverstarkung erheblich. Geben Sie die Formel an, mit der aus der Leerlaufverstarkung die Spannungsverstarkung bei Belastung errechnet werden kann. (5P) (he) =

4.2

4.3

151

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Aufgabenblatt 2 Aufgabe 1: 1.1 Ermitteln Sie die Ubergangsfunktion U2(t) der Schaltung 1 mittels Laplacetransformation, indem Sie die Differentialgleichung fiir uc(t) aufstellen, ins Komlexe abbilden, losen, rticktransformieren und schlieBlich U2(t) berechnen. (13P) 1.2 Berechnen Sie die Ubergangsfunktion U2(t) der Schaltung 2 mittels Laplacetransformation, indem Sie die Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren verwenden. (12P) Aufgabe 2: 2.1 Entwickeln Sie fur die gezeichnete Impulsfolge mit veranderlichem a die Fourierreihe in Summenform und in ausfuhrlicher Form bis zur 7. Oberwelle. (13P) Zeichnen Sie die Impulsfolge fiir a=7C/4 und 2.2 geben Sie fiir diese Impulsfolge die Fourierreihe in ausfuhrlicher Form bis zur 7. Oberwelle an. (6P) Ermitteln Sie fiir die Impulsfolge mit a = n/A 2.3 den Effektivwert. (6P) Aufgabe 3: 3.1 Entwickeln Sie fiir die gezeichnete Schaltung die Leerlauf-Spannungsubersetzung vorwarts, indem Sie die Schaltung als F-Vierpol auffassen. (18P) 3.3 Bei welcher Kreisfrequenz O) haben die beiden Spannungen ui und U2 eine Phasenverschiebung von 90°? (7P)

"t

ai

K/2

-a 6°

IT

n 2JT

wt

o-C ^Cr \

Aufgabe 4: Ein Transisor, dessen hg-Parameter ^5kQ 1,0 10"^^ ^200 20|iS J gegeben sind, soil in Basisschaltung und Kollektorschaltung verwendet werden. 4.1 Berechnen Sie die hb-Parameter und he-Parameter des Transistors. (8P) 4.2 Dann sind fiir die beiden Grundschaltungen die Eingangswiderstande, die Spannungsverstarkungen, die Stromverstarkungen und die Leistungsverstarkungen zu berechnen, wobei die ohmschen Widerstande am Eingang nicht zu beriicksichtigen sind. Begriinden Sie die verwendete Formel fiir die Berechnung der Leistungsverstarkung. (17P) (he) =

152

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Aufgabenblatt 3 Aufgabe 1: 1.1 Berechnen Sie die Ubergangsfunktion U2(t) der gezeichneten Schaltung mittels Laplacetransformation, indem Sie die Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren verwenden. (20P) 1.2 Vereinfachen Sie U2(t) mit Rr=0 und stellen Sie den zeitlichen Verlauf dar. (5P)

o—c^oHI

t=0

71 T

Aufgabe 2: 2.1 Berechnen Sie fiir die gezeichnete Impulsfolge die Fourierreihe in ausfuhriicher Form bis zur 9. Oberwelle. (18P) 2.2 Geben Sie das Amplitudenspektrum an und stellen Sie es bis zur 9. Harmonischen dar. (7P) Aufgabe 3: An die beiden gezeichneten T-Vierpole werden sinusformige Eingangsspannungen ui mit gleichem Effektivwert, aber mit variabler Frequenz angelegt. Es soil untersucht werden, wie sich der Effektivwert der Ausgangsspannung U2 in Abhangigkeit von der Frequenz O) andert, d.h. wie die Eingangsspannung den Vierpol "passiert". 3.1 Berechnen Sie fUr die beiden Vierpole das Spannungsverhaltnis U2/Ui=f(x) mit 0>=x-C0o und C0o=l/RC, und tragen Sie die Ergebnisse in eine Tabelle fiir x=0 0,25 0,5 0,75 1,0 1,5 2,0 3,0 4,0 ein. (17P) 3.2 Stellen Sie die beiden Funktionen U2/Ui=f(x) in einem Diagramm dar und benennen Sie das Verhalten. (8P) Aufgabe 4: 4.1 Zeichnen Sie die Vierpolzusammenschaltung des gezeichneten rtickgekoppelten Transistors in der Form, mit der die BetriebskenngroBen ohne Matrizenmultiplikation und mit Re als Belastung berechnet werden konnen. (6P) 4.2 Berechnen Sie den Eingangswiderstand, den Ausgangswiderstand und die Spannungsverstarkung des rtickgekoppelten Transistors, indem Sie die obige Vierpolzusammenschaltung zugrunde legen.(19P) (he) =

^2,lkQ,

220

1,5 10"^^

r R2

MZZ>

12V

U^

BC 237k

Rl=4,7kQ, R2=47kQ, Rc=120kQ

18|iS

153

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Aufgabenblatt 4 Aufgabe 1: 1.1 Berechnen Sie die Ubergangsfunktion U2(t) der gezeichneten Schaltung mittels Laplacetransformation, indem Sie die Schaltung mit transformierten Zeitfunktionen und komplexen Operatoren verwenden. (19P) 1.2 Stellen Sie U2(t) mit RC=lms in einem Diagramm dar. (6P) Aufgabe 2: 2.1 Entwickeln Sie fur die gezeichnete periodische Spannung die beiden Fourierreihen, indem Sie die Funktion einmal als gerade und einmal als ungerade Funktion auffassen. (20P) 2.2 Berechnen Sie das Amplitudenspektrum u^ /U = f (k) bis zur 10. Harmonischen und stellen Sie es dar. (5P)

Ui(t)

Uo(t)

T u(ut) U

Aufgabe 3: Bin symmetrischer T-Vierpol soil dimensioniert werden, wenn der Eingangswiderstand und die Spannungsdampfung gegeben sind. 3.1 Geben Sie die Bedingungsgleichung fur symmetrische Vierpole in Z-Parametem an. (4P) 3.2 Entwickeln Sie fur das Schaltbild die Gleichung mit Zn und Z12, wenn Zin=Zout=100Q sind. (5P) 3.3 Entwickeln Sie fur das Schaltbild die Gleichung mit Zu und Z12, wenn Vuf=0,9 (-IdB) (8P) betragen soil, und berechnen Sie Zn und Z12 mit dem Ergebnis von 3.2. (4P) 3.4 Berechnen Sie Ri und R2 mit Hilfe der T-Ersatzschaltung. 3.5 Kontrollieren Sie das Ergebnis rechnerisch fur Zjn und Vuf. (4P) Aufgabe 4: 4.1 Flir einen Transistor, dessen hg-Parameter

4.2

154

h

csi l,2k£^ 6,5 10 gegeben sind, ist II 65 100|iS • ^ J V die Stromverstarkung Vj zu berechnen. (6P) Um eine niedrigere Stromverstarkung Vj, als CSI unter 4.1 berechnet, zu erreichen, muss der TranII a sistor mit einem Emitterwiderstand Rg ruckgeQ: koppelt werden. Um welche Vierpol-Zusammenschaltung handelt es sich? (4P) Geben Sie die Formel fiir Vj in Abhangigkeit von den Vierpolparametem an, die dieser Zusammenschaltung entspricht. (4P) Entwickeln Sie aus dieser Formel fur Vj die Formel fiir den Emitterwiderstand Rg. (8P) Wie groB muss Rg sein, damit eine Stromverstarkung von 30 erreicht wird? (3P)

(he) =

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Aufgabenblatt 5 Aufgabe 1: 1.1 Transformieren Sie die gezeichnete Schaltung in die Schaltung mit komplexen Operatoren und berechnen Sie U2(s), wobei Sie die beiden moglichen Falle angeben. (6P) 1.2 Ermitteln Sie dann die Zeitfunktion U2(t) fur den Fall, der mit R=500Q, L=0,1H und C=2,5|LiF eintritt. (12P) Berechnen Sie die Funktion U2(6t)AJ fiir 5t=0, 1, 2, 3, 4 und 5 und stellen Sie sie quanti1.3 tativ dar. (7P) Aufgabe 2: 2.1 Berechnen Sie fiir die gezeichnete dreieckformige Impulsfolge u(cot) = — (cot) fur 02k+l = •

7C

4 ^ cos(2k + l) b2k+i = -T" ^, , ^ mit cos(2k +1) — = 0 71 2k + l 4U bi = 2 71-1*

2k + l

71

V^^

4U 71-1*

4U

4U

71-3'

a5 =

2

'71-3

2

"71-5

4U 4U

-v^/2

71-7

a9

4U 71-9

2

V

4U

71-5

a7 =

n7t/2

-cos(2k + l)cot 2k + l J7r/4

4U

4 ^ sin(2k + l)-

a3 =

(;;f

U

b7 =

bQ =

4U 71-9

y

V

4U 71-7

y

V

Fourierreihe der geraden Funktion: , , 2V2 , , (^ cos cot cos3cot cos Scot cos7cot cos9cot u(cot) = U-l + + +- - ++ 71 V 1 3 5 Fourierreihe der ungeraden Funktion: , . 2v2 ,^ f sin cot sin3cot sin 5cot sin 7cot sin 9cot u(cot) = u-l —: : :— + —z— + — : ++ 1

(lOP)

(lOP)

0.91

^ ^^ Zu 2.2

Uk 2V2 1 0,9 —^ = =— U

k Uk/U

174

71

k

^. , fur k ungerade

U

0,6

k

0.31

6 7 1 2 3 4 5 8 9 10 0,9 0 0,3 0 0,18 0 0,13 0 0,1 0

0

k-*

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

(5P)

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Losungen zum Aufgabenblatt 4 Aufgabe 3: Zu 3.1 Bd.3, S.222 oder FS S.191 und Zn -Zi22 2l2 - ^ 2 1 Zu 3.2 Bd.3, S.196 oder FS S.189 222+Xi-detZ Zii+Y^detZ Z;„ =^^^ Z^ut = 1 + 222-Y, 1+ZirXi

looa

Zin=Z,,,=100Q =

(4P)

mit Ya=Yi und detZ = (Zii^-Zi2^)

l + Zll lOOQ

Zii=Z looa.+ _.. _..i i .+ - i - ( Z i , 2 - Z , 2 2 ) loon

bzw. Z i , 2 - Z i 2 2 = ( l 0 0 D f =detZ

(5P)

Zu 3.3 Bd.3, S.196 oder FS S.189 ^21 ^12 - = 0,9 Yuf Zii + Y^ detZ Zji + Y^ -detZ Zi2 =0,9-1 Z n + - ^ ^ — d e t z l = 0 , 9 Z | i + - ^ ( l 0 0 Q ) ^ -^^ 1,-^^ lOOQ -J -^^ lOOQ ^ ^ Zi2=0,9Zii+0,9100a = 0,9Zii+90Q Zj 1^ - (o, 9 • Zi 1 + 9oa)^ = (looa)^ Zji^ - 0 , 9 ^ Zji^ - 2 0 , 9 - 9 0 a Z i i - ( 9 0 ^ f -(lOO^f = 0 0,19-Zji^ - 1 6 2 Q Z i i -ISIOOQ^ = 0 Zii _

2

^2 162Q „ ISlOOiQ^ =0 •Zii" 0,19 0,19

_ 162Q .

^1 -:

20,19

162Q

=^'

VU0'19J

+

1 o 1 ono^ = 426,3Q + 526,3Q = 952,6Q 0,19

Zi2 = i/Zii^-(lOO^f = ^(952,6^)^-(lOOnf = 947,3Q

(8P)

Zu 3.4 Bd.3, S.176, Bild 10.9 bzw. S.223, Bild 10.47 oder FS S.184 Ri = Z i i - Z i 2 = 9 5 2 , 6 Q - 9 4 7 , 3 Q = 5,3Q und R2 =Zi2 =947,3Q ZjrZl2

Z11-Z12

Ri

R^

(4P) 7 0 ^ ^ Hi 105,3Q-947,3^ ^ „ Zu3.5 Z- =—i- = ^ • +5,3Q -'"^ Ij 105,3Q + 947,3Q Zjjj = 94,766Q + 5,3Q = 100,066a UL-MI. Mh__J00a_ 94,766Q = 0,9 Vuf = 105,3a 100,066a

uruh'ui

175

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Losungen zum Aufgabenblatt 4 Aufgabe 4: Zu 4.1 Bd.3, S.196 oder FS S.189 1 ^21e" R. ^21e-JLa Vif=-

^21e

Vif

h22eRa+l

65 ^if =

Zu 4.2

6

^

10010"^S-210^^ + 1 (6P) Yif =54,17 Die Ruckkopplung ist eine Reihen-Reihen-Schaltung (Bd.3, S.235 oder FS S.194), fiir die die z-Parameter der beiden Vierpole (Transistor,Querwiderstand) addiert werden mtissen. Die Formel fiir die Stromverstarkung Vjf muss deshalb in z-Parametem angegeben werden (Bd.3, S.196 oder FS S.189): (4P) 1 Z2r Vif=-

Z2rYa

R.

'^'^^'i:

1 + Z22-Ya

Z21

V;.

(4P)

Ra+Z22 h21e

Z2i =

+ RT

h22e

1 + Rp

^22 = h22e ^216

't21e

+ Ri:

Vif=-

R^+:

+ RE

Ra+

^22e

Yif|R.+:

+ ^22ey

+ RE "226

Y , f . R B = ^ - R E h22e

'*21e V i f . R E + R pE == 7 h22e "21e

- R F

^22e

^22e

Yif.

Ra+i22e

- V^.; , .. ^^R . +

^226

""^

(^ ^

h22e>/

(8P)

RF

Yif+1 65 RF =

RE=9,351d2

176

- 3 0 - 2-10^^ + 100 10"^S

100 10"^S 30 + 1

(3P)

8 Ausgleichsvorgänge

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Lösungen zum Aufgabenblatt 5 Aufgabe 1: Zu 1.1 Bd.3, S.74-75 oder FS S.154-155, Beispiel 2 ⎛ R⎞ s⋅⎜s + ⎟ U 2 (s) R + sL sRC + s 2 LC ⎝ L⎠ = = = 2 1 R U1 (s) 2 sRC + s LC +1 s + s⋅ + 1 R + sL + sC L LC R s+ U L mit U1 (s) = U 2 (s) = U⋅ R 1 s s 2 + s⋅ + L LC R R aperiodischer, s+ s+ L L aperiodischer Grenzfall (6P) U 2 (s) = U⋅ periodischer U 2 (s) = U⋅ 2 (s − s1 )⋅(s − s2 ) ( s − s12 ) Fall Zu 1.2 Bd.3,S.25 oder FS S.149 R = 500Ω > 2⋅

L 0,1H = 2⋅ = 400Ω , d.h. aperiodischer Fall C 2,5⋅10−6 F

R 1 s 2 + s⋅ + =0 L LC

aus

s1,2 =−

⎛ R ⎞2 1 R ± ⎜ ⎟− =−δ ± δ 2 − ω o 2 =−δ ± κ 2L ⎝ 2L ⎠ LC

Mit Bd.3, S.87 oder FS S.158: Nr.41 und 34 ⎧

⎫ ⎧ ⎫ s 1 1 1 und L -1 ⎨ ⎬= ⎬= ⋅ a ⋅eat − b⋅ebt ⋅ eat − ebt ⎩(s − a )⋅(s − b)⎭ a − b ⎩(s − a )⋅(s − b)⎭ a − b ⎧ ⎫ s+d 1 1 ⎡ ⎤ L -1 ⎨ ⎬= ⋅ a ⋅eat − b⋅ebt + d⋅eat − d⋅ebt = ⋅ (a + d )⋅eat − (b + d )⋅ebt ⎦ a−b ⎣ ⎩(s − a )⋅(s − b)⎭ a − b

(

L-1 ⎨

)

(

(

mit u 2 (δt) =

a = s1 =−δ + κ

)

)

b = s 2 =−δ − κ

a − b = 2κ

d=

R L

⎤ ⎛ U ⎡⎛ R⎞ R⎞ ⋅⎢⎜−δ + κ + ⎟⋅e(−δ+κ )t −⎜−δ − κ + ⎟⋅e(−δ−κ )t ⎥ ⎝ ⎦ 2κ ⎣⎝ L⎠ L⎠

U ⎡ R ⋅ (−δ + κ + 2δ )⋅e(−δ+κ )t −(−δ − κ + 2δ )⋅e(−δ−κ )t ⎤ ⎦ mit L = 2δ 2κ ⎣ κt −κt κt −κt ⎤ ⎡ U ⎡ ⎤= U⋅e−δt ⋅⎢ δ ⋅ e − e + κ ⋅ e + e ⎥ (δ + κ )⋅e(−δ+κ )t − (δ − κ )⋅e(−δ−κ )t ⎦ u 2 (δt) = ⋅⎣ 2κ 2 κ 2 ⎢ ⎥ ⎣κ ⎦

u 2 (δt) =

⎡δ ⎤ ⎡ 1 ⎤ u 2 (δt) κ κ = e−δt ⋅⎢ ⋅sinh κt + cosh κt ⎥= e−δt ⋅⎢ ⋅sinh (δt )+ cosh (δt )⎥ ⎣κ ⎦ ⎣κ /δ ⎦ U δ δ

Zu 1.3

δ=

R 500Ω = = 2500s−1 2L 2⋅0,1H

⎛ R ⎞2 1 κ= ⎜ ⎟ − = ⎝ 2L ⎠ LC

δt u2 / U

0 1

1 0,826

(2500s−1 )

2

2 0,586

−

κ 1500s−1 = = 0,6 δ 2500s−1

1 0,1H⋅2,5⋅10−6 F

3 0,400

(12P)

4 0,269

=1500s−1

(2P) 5 0,180

(5P)

177

10 Vieq)olthorie

9 Fourieranalyse

8 Ausgleichsvorgange

Losungen zum Aufgabenblatt 5 Aufgabe 2: Zu 2.1 keine Symmetrie B d . 3 , S. 104-108, S.103, Gl.9.24-9.26 oder FS S. 163-167 a^ = — . j u(cot) • d(cot) In

u

f

oder aus der Zeichnung abgelesen:

u

ao=—:^](i^id{(iii) = — - • 2K 0 27C 2 7C

U

Dreieckflache:

A^ =

U-Tl

2 1

U

U-7C _ U

(4P)

27c'~2~~7 1 27C U a k = — • 1 u(cot)coskcotd(cot) = - y j c o t c o s k c o t d ( c o t ) 71 0 7C 0 coskcot cotsinkcot ;r—+ :

u

aic

n

lO

u(-2) ^1= 2 T r =

2u

1

7C

1

-+

^

u.(-2)

2u

27C Z7t

-

k

TC^

K^-3^ a4=0

a2=0 1

7C • sir I kTC _ u (cos kTC-l)

COS kTC - 1

u

B d . 3 , S. 113 oder FS S. 169

1

u(-2)

3^

TC - 5

cot coskcot

B d . 3 , S. 113 oder FS S. 169

sin kTC TC • cos kTC

u • cos kTC TCk

TC

bi=-

u(-l)^u

1

u(-l)_u j_ b3

TCl TC 1 U ( + 1 ) _ U f J_ b2=TC-2 TC I 2

, , u u(cot) = 4

a

u(+l)_u fl_ TC-4 TC I 4

2

3

4

u ( - l ) _ u J_

b.=

TC 3

TC-3

2 u f coscot cos3cot cos5cot T- — T - + T"+ r— ^2 ^^ j2 32 52 ii /^ sin cot sin2cot sin3cot sin4cot TC 1^ 1

Zu 2.2

(5P)

a6=0

7t

b k = - - j u ( c o t ) s i n k c o t d ( c o t ) = — jcotsinkcotdCcot) TC " 0 ^ 0 sinkcot

2u 1 -n-2 TC Jc2

bfi=-

sin5cot

sin6cot

5

6

TC 5

TC-5

u(+l)_u TC-6

f

I

TC

(5P)

(3P)

Bd.3,S.99, Gl.9.10 oder FS S.163

- J a 2+b 2

fik_P7b7

^ i _ Iai'

bi2_ /

4

1

_

U9 bo 1 - ^ = • ^ ^ = - ^ = 0,159 u u 2TC U3 _ | a 3

b3 _ I

U4 _ | b 4 | _ 1 u u 4TC

0,2

1

3

4

5,

6

^

u

178

0,0796

.4 c4 J

0 0

1 ^2.32

4 1 .^+^r-^=0'0642

U5__ |a5 u

0,1

44 4.34

= M = ± = 0,053 u

6TC

^ 2 2⋅ L = 2⋅ C

0,1H 2,5⋅10−6 F

⎛R 1 ⎞ s +⎜ − ⎟ ⎝ L RC ⎠ UC (s) = ⋅U 2 (s −s12 )

aperiod. Grenzfall (2P)

= 400Ω , d. h. aperiodischer Fall

⎛R 1 ⎞ s +⎜ − ⎟ s+d ⎝ L RC ⎠ ⋅U = ⋅U U C (s) = (s − a )⋅(s − b ) (s − s1 )⋅(s − s 2 )

Bd.3, S.87 oder FS S.158: Nr.41 und 34

⎧ ⎫ s+d 1 1 ⎡ ⎬= ⋅ a ⋅eat − b⋅ebt + d⋅eat − d⋅ebt = ⋅ (a + d )⋅eat − (b + d )⋅ebt ⎤ ⎦ a−b ⎣ ⎩(s − a )⋅(s − b)⎭ a − b

(

L-1 ⎨

a = s1 =−δ + κ

mit

)

b = s 2 =−δ − κ

a − b = 2κ

d = R / L −1/ RC

U ⎡⎛ R 1 ⎞ (−δ+κ )t ⎛ R 1 ⎞ (−δ−κ )t ⎤ −⎜−δ − κ + − u C (δt) = ⋅⎢⎜−δ + κ + − ⎟⋅e ⎟⋅e ⎥ ⎝ ⎦ 2κ ⎣⎝ L RC ⎠ L RC ⎠ u C (δt) =

mit

R = 2δ L

κt −κt ⎡ U⋅e−δt ⎡⎛ 1 ⎞ κt ⎛ 1 ⎞ −κt ⎤ eκt + e−κt ⎤ −δt δ −1/ RC e − e ⎥ ⋅⎢⎜ δ + κ − ⋅ + ⎟⋅e −⎜ δ − κ − ⎟⋅e ⎥= U⋅e ⋅⎢ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 2κ RC RC κ 2 2 ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎡ δ −1/ RC ⎤ ⎡ δ −1/ RC ⎤ κ κ u C (δt) = U⋅e−δt⎢ ⋅sinh κt + cosh κt ⎥= U⋅e−δt⎢ ⋅sinh (δt )+ cosh (δt )⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ κ κ δ δ

(9P)

Zu 1.3 δ−

1 R 1 500Ω 1 = − = − = 2500s−1 −800s−1 =1700s− RC 2L RC 2⋅0,1H 500Ω⋅2,5⋅10−6 F

κ = δ2 −

1 1 = (2500s−1 ) 2 − =1500s−1 LC 0,1H⋅2,5⋅10−6 F

(δ −1/ RC) / κ =1700 /1500 =1,133

κ / δ = 1500 / 2500 = 0,6

u C (δt) δt = e−δt ⋅⎡ ⎣1,133⋅sinh (0,6⋅δt )+ cosh (0,6⋅δt )⎤ ⎦ U uC/U

(6P)

0 1 2 3 4 1 0,702 0,476 0,321 0,215

5 0,144

181

8 Ausgleichsvorgange

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

Losungen zum Aufgabenblatt 6 Aufgabe 2: Zu 2.1 Symmetrie 1. und 4. Art: mit bk=0 und a2k-i=0 Bd.3, S.104-108 Oder FS S.164-167) 1 ^ Oder aus der Zeichnung abgelesen: ao = — ju(cot)d(cot) 27C/3

a„=-.

"t

|27c/3

J u-d(cot) = - H ^ / 3

.t'-K I , f i ^

71/3

u fin

n^

71 V 3

3

(6P)

u

ut—2n

(4P)

a2k = — j u(cot) • cos 2k(cot) • d(cot) 271/3 2u sin2k(cot) a2k = — J u • cos 2k(cot) • d(cot) = — 2k 7C/3

. ^ 271

a2k = k=l:

k-7C

sin 2k 3

k=3:

k=5:

I71/3

(4P)

^ - [ s i n 2 k 120°-sink-120°] s i n k — = -k-7c L J 3

a2 = - ^ . r s i n 2 - 1 2 0 ° - s i n l . l 2 0 ° l = ^ | - ^ - ^ = --.V3=-0,551u 7C [

J

2 _^

2

a,=J-.rsin4.120°-sin2-120°l =A r V 3 ^ 2.7c L J 271

71

( V3^

I

2,

= — 73=0,27611 271

-f0

a6=-^rsin6120°-sin3-120°l = —•[0-0] = 0 3-7C L

k=4:

, ^, 271 . ^, 71 Sin 2k sin2k—• 3 3

u k-TT

. , 271

1-71 L

k=2:

1271/3

-I

371

a8=-^rsin8120°-sin4-120°l =— ^ 4-7C L J 471

2

1^

a i o = - ^ . r s i n l 0 1 2 0 ° - s i n 5 1 2 0 ° l = —• ^^ 5-71 L J 57C

2

2

k=6:

ai2=-^{sinl2120°-sin6120°l =—•[0-0] = 0

k=7:

a i 4 = - ^ r s i n l 4 120''-sin7 120°l = — ^^

7-71 L

J

77C

2

2

= -—•>/3 = -0,138u 471

= — • > ^ = 0,110u 571

= - — • > ^ = -0,0788u 771

Fourierreihe in ausfuhrlicher Form: (3P) cos 2cot cos 4cot cos Scot coslOcot _ cosl4cot u(cot) = - + — V 3 ^ + +0 + +0(3P) 2 4 5 7 5 n V 1 u(o)t) = u • (0,333 - 0,551 • cos 2cot + 0,276 • cos 4cot - 0,138 • cos Scot + 0,110 • cos lOcot - 0,079 • cos 14cot...)

Zu2.2

Bd.3, S.99, G1.9.10 Oder FSS. 163

to.5 ^ ;

Uk=vak^+bk^ = k l 0 1 2 3 4 5 6 7 5 9 10 1112 13 14 k -

182

(5P)

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Losungen zum Aufgabenblatt 6 Aufgabe 3: Zu 3.1 Bd.3, S.189 oder FS S.188 ^2

• = Vy£ =

bei Leerlauf

An Bd.3, S.187 Oder FS S.186: T-Vierpol II

A i i = l + f - = l + Zi-Y2 1 Yuf =

_

1

I^2L"I+ZI-Y2 Z2 mit

Zi=R

und

Y2 = jCOCr +

1 RLr+J«Lr

1 Yuf=1 + R jcoCr +

1 RLr+jCOLr 1 R

RLr-JQ^Lr

RLr+jCOLr

RLr-jCOLr

Vuf=l + j(ORCr +

1 Vuf=7

RRT

f

(18P) L^R

1++ JCO RCj — R L / + O 2T ) %2 RLr + C 2T 0 %2 Zu 3.2

Die Spannungen ui und U2 sind in Phase, wenn der Operator Vuf zwischen Ui und U2 reell ist, d.h. der Imaginarteil des Nenneroperators muss Null sein: LrR RC, RLr^+CoV C =

— RLr^+(oV

RLr^-^coV=^

co =

L,Q

^R f Lr J

(7P)

Die behandelte Schaltung ist ein Praktischer Parallel-Resonanzkreis, der bei der Resonanzkreisfrequenz (Bd.2, S.119, Gl.4.155 oder FS S . l l l ) wie ein ohmscher Widerstand wirkt. Praktisch handelt es sich dann um einen ohmschen Spannungsteiler, bei der die beiden Spannungen in Phase sind.

183

8 Ausgleichsvorgange

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

Losungen zum Aufgabenblatt 6 Aufgabe 4: Zu4.1Bei der Beschaltung des Transistors mit RE handelt es sich um die Reihen-ReihenSchaltung des Transistors mit dem Querwiderstand, flir die die z-Parameter addiert werden mussen (Bd.3, S.235, Bild 10.58 oder FS S.194).

K) =

dethg

hl2e

75 10"^

5 10"^

h22e

100 10"^S 50

100 10"^S

^216

h22e 1

h22e

^22eJ

m:

RE

E

R

750Q 5Q -500k^ 10k£^

iooio"^s7

100 10~^S flOOQ. 200n^

950n

200QJ E ; '[200a V ^ ^ ^ " ^^^^V

(z) = (Ze) + (zo)= 1^-499,8ka

205a

I (6P)

10,2kaj

Damit ein Vergleich der Parameter der Gesamtschaltung mit den gegebenen he-Parametem moglich ist, mussen die z-Parameter in die h-Parameter umgerechnet werden: ^ detz ^12e 112,14910^^^ 205lQ (h)=

Z22e

10,2k^ 499,8kl2 " 10,2k^

Z22e

^216

1

Z22e

Z22ey

^llki2

10,2ka 1 10,2k^y

49

20110"^^ 98|LiS

(4P)

rikQ 5-10"^'| [50 100|isJ

Zum Vergleich:

Wesentlich geandert haben sich hn und h^. (2P) Zu4.2Bei der Beschaltung des Transistors mit R handelt es sich um die Parallel-ParallelSchaltung des Transistors mit dem Langswiderstand, fur die die y-Parameter addiert werden mussen (Bd.3, S.232, Bild 10.54 oder FS S.193). ( 1 (ye) =

hlle h21e

hiie dethg hlle )

{VL)-

( \_ R

__1_^ R

J_ R

5 10"

_hl2e.^

R )

MO^a

MO^n

50

75 10"^

-500 10"^S

50 10"^S

110^^ MO^Q ) 1 1 ^ ^1010"^S lOOkn lOOkQ 1 1 -lOlO'^S lOOkQ lOOkn .

1,0M0"^S (y) = (ye)+(yL) =

''MO"^S

75 10"^S J

-loio-^s"^ 1010"^S

-10,510"^S^

49,9910~^S

(7P)

85 10"^S

Damit ein Vergleich der Parameter der Gesamtschaltung mit den gegebenen he-Parametem moglich ist, mussen die y-Parameter in die h-Parameter umgerechnet werden:

(h):

yii

yi2

1

-10,5 10"^

yii

1,0M0"^S

1,0M0"^S

111 dety yu yil ) Zum Vergleich:

49,99 lO'^S

610,745-10"^S^

1,0M0"^S

1,0M0"^S (he) =

Wesentlich geandert haben sich hi2 und h22. 184

^990Q 104 10"^^ 49,5

^Ikn

5 10"'^^

50

lOOiiS

(4P)

605|iS

(2P)

8 Ausgleichsvorgänge

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Lösungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabe 1: Bd.3, S.52-53, Beispiel 1 Zu 1.1 di R ⋅i + L⋅ = u(t) dt U 1 mit L {u(t)} = ⋅ 2 T s (Bd.3, S.32, Gl.8.75 oder FS S.150 oder Bd.3, S.86 oder FS S.158, Nr.27) U 1 R ⋅I(s) + L⋅[s⋅I(s) − i(0)] = R ⋅I(s) + s⋅L⋅I(s) = ⋅ 2 mit i(0)=0 T s bestätigt mit der Schaltung mit komplexen Operatoren: U 1 R ⋅I(s) + s⋅L⋅I(s) = U(s) = ⋅ 2 T s U 1 1 U 1 1 I(s) = ⋅ 2 ⋅ = ⋅ ⋅ L T s R + s ⋅ L R ⋅T s 2 1+ s⋅ R ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎬= t − T 1− e−t / T Mit L-1 ⎨ 2 ⎪s (1+ sT) ⎭ ⎪ ⎩

(

)

(Bd.3, S.88 oder FS S.159, Nr.51) U ⎡ L i(t) = ⋅ t − τ⋅ 1− e−t / τ ⎤ ⎦ mit T = τ = R R ⋅T ⎣ U U⋅τ ⋅t − ⋅ 1 − e− t / τ i(t) = R ⋅T R ⋅T

(

)

(

)

(15P)

Zu 1.2 i(t) =

10V

10V⋅40⋅10−3 s

(

)

⋅ 1− e−t / τ s 5Ω⋅50⋅10−3 s 0, 2H τ= = 40ms mit 5Ω A i(t) = 40 ⋅t −1,6A⋅ 1− e−t / 40ms s d.i. die Überlagerung einer Nullpunktsgeraden mit einer e-Funktion: −3

5Ω⋅50⋅10

⋅t −

(

)

Nullpunktsgerade: t=80ms: A A 40 ⋅ t = 40 ⋅80ms = 3, 2A s s e-Funktion:

(

−1,6A⋅ 1− e−t / 40ms

)

t in ms 10 20 30 40 50 60 70 80 e-Fkt. -0,35 -0,63 -0,84 -1,01 -1,14 -1,24 -1,32 -1,38

(10P)

185

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

8 Ausgleichsvorgange

Losungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabe 2: Zu 2.1 Symmetrie 1. Art: gerade Funktion (Bd.3, S.104-105 oder FS S.164) mit bk=0

(4P)

1 ^ a^ =—•Ju((Ot)-d(cot)

J u-d((Ot)- J u-d(cot) 0

p-7l

a^ = — fp-7r-0-7i + p-7il = —•r2-p-7i-7rl 71 71 ao=u-(2.p-l)

(5P)

2 ^ a^ = — • J u(cot) • cos kcot • d(o)t) p-Ti

2

n

J u-coskC[)t-d(cot)-J u-cos kcot •d(a)t)

71

0

p-Tl

sin kcot |P-7i

2.U

r sin kcot

ak=-

-lo a^ =

2.U 7r-k 4-11

aj^ =

Jp-TlJ

(sin kp7r - 0 - sin k7i + sin kpTi)

mit

sin k7i; = 0

. , sin kp7r

(5P)

7i-k Fourierreihe in ausfuhrlicher Form: ^ ^ ./^ ,x 4ufsinp7i sin2p7i ^ sinSpji ^ sin4p7C , sinSpji u(cot) = u(2p -1) + — —^—coscot + ^—cos2(jL)t + ^—cos Scot + ^—cos4cot + ^—cos Scot.. ^ "^ ^ n[ I 2 3 4 5 (4P) uf Zu 2.2 p= ^ 2 2JT

-IT

ao=0 .71

u(cot) =

mit ,

186

4-u

7r

Ljt

• -,71

•

c^

(3P) ^

sm— . _ sm3— . ^_ sm5 — 2 sm7i ^ 2 ^ sm27i ^ 2 ^ ^ cos cot + cos2cot + ^cos3cot + cos4cot + ^cos5cot + ... 1 2 3 4 5 ; 71

sin—= sin5—= ... = 1 2 2 ^ 4-u l^coscot cos3co

sin7i: = sin27i = sin37i = ... = 0 cos5cot

^

71

71

sin3—= sin7—= ... = - 1 2 2 ^,^^

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Losungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabe 3: Zu 3.1 Kettenschaltung zweier T-Vierpole (Bd.3, S.187 oder FS S.186) mit

Zj = R

und

Z2 =

1 jcoC

Kettenschaltung und Matrizenmultiplikation: Bd.3, S.243-247 oderFS S.198 o—-I

I t

o

'

M

•

I

o

*

1 I

o

I

1+jcoRC jcoC 1+jcoRC jcoC

R 1

R 1

(1+jcoRC)^ + jcoRC

R • (l+jcoRC)+R

(l+jcoRC)jcoC+jcoC

jcoRC + 1 (7P)

(a) =

^(l-co^R^C^j + j-3coRC IR + jcoR^c"^ ^

Zu 3.2

(4P)

1+jcoRC

Bd.3, S.189 oder FS S.188 Yuf

Zu 3.3

-co^RC^ + j-2coC

All

(l-co^R^C^j + j-3coRC

(6P)

Fine Phasenverschiebung von 90° liegt vor, wenn der Operator zwischen U2 und Ui imaginar ist, d.h. wenn der Realteil des Nenneroperators Null ist: l - ( »^R^C^ == 0 co^R^C^=l co = U2 Ui

1 RC 1 3coRC

(4P) 1 3

(4P)

187

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

8 Ausgleichsvorgange

Losungen zum Aufgabenblatt 7 Aufgabe 4: Zu 4.1 Bd.3, S. 198-199 Anwendungsbeispiel 2

isi—I I

1 I—I

= RsllRi"R2

Zu 4.2

r""

n

=RcllRillR2

Querwiderstand

(12P)

(Bd.3, S.186 oder FS S.185)

1 Rl =- 1 1 — +— + Rs Rl 1 Ro = 1 1 R c Rl

1 — R2

h21e h22e V

i21e

1 1

1 • = ll,68kQ 1 1 1 20kQ-+ 39kQ +-lOOkQ

1 R2

1 = l,15kQ 1 1 1 l2kQ -+ 39kQ + -lOOkT^

T l , T2: Umrechnung hg in ae-Parameter:

(ae) =

-II

1—I

h21e 1

(Bd.3, S.181 oder FS S.183)

ro

-5^

0

- 5 10"-

(4P)

"21e 7

Kettenschaltung und Matrizenmultiplikation: (Bd.3, S.243-247 oder FS S.198) 0

5a

0 - 5 10" 0 ll,7kQ

-5a

0

0 - 5 10"'

l,15kQ -4,3 10"

-5a

-5a

0

l,2ka

46,510"^a 38,75 10"^

0 -5,4 10" -4,7 10"^S -5,410"^ 0

50,5 10^

46,5 10"^ a

42,2,7-10"^ S

50,5 10"^

Stromverstarkung: (Bd.3, S.196 oder FS S.189)

Is Vif=-

188

Xa

1/RT

A21+A22-Y,

A2I+A22-1/RL

= -10.764 lkQ-42,210"^S + 50,510"^

(5P) R L *A21 • ^ A 2 2

d.h.

i

= 10.800

(4P)

8 Ausgleichsvorgänge

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Lösungen zum Aufgabenblatt 8 Aufgabe 1: Zu 1.1 Vergleiche mit Bd.3, S.74-75 oder FS S.154-155, Beispiel 2

U 2 (s) = U1 (s)

R + sL

=

sRC + s 2 LC

1 sRC + s 2 LC +1 sC ⎛ R⎞ s⋅⎜s + ⎟ U 2 (s) ⎝ L⎠ = R 1 U1 (s) s 2 + s⋅ + L LC R s+ U L U 2 (s) = U⋅ mit U1 (s) = R 1 s s 2 + s⋅ + L LC R s+ L U 2 (s) = U⋅ aperiodischer Fall, periodischer Fall (s − s1 )⋅(s − s2 ) R + sL +

U 2 (s) = U⋅

Zu 1.2

s+

R L

(s − s12 )2

aperiodischer Grenzfall

Vergleiche mit Bd.3,S.22, 26-27 oder FS S.147,149 R 1 R 2 2 s 2 + s⋅ + = (s − s12 ) = (s − a ) s1,2 = a =− =−δ L LC 2L

(10P)

d=

R L

Mit Bd.3, S.87 oder FS S.158: Nr.40 und 31 ⎧ ⎧ ⎪ s ⎫ ⎪ ⎪ 1 ⎫ ⎪ at -1 ⎨ ( ) ⎬= ⎬= t ⋅eat 1 a t e L-1 ⎨ L + ⋅ ⋅ und 2 2 ⎪(s − a ) ⎭ ⎪ ⎪(s − a ) ⎭ ⎪ ⎩ ⎩ ⎧ ⎪ s+d ⎫ ⎪ ⎬= (1+ a ⋅t )⋅eat + d⋅ t ⋅eat = eat + (a + d )⋅ t ⋅eat 2 ⎪(s − a ) ⎭ ⎪ ⎩

L-1 ⎨

⎡ ⎤ ⎛ R R⎞ u 2 (δt) = U⋅⎢ e−δt +⎜− + ⎟⋅ t ⋅e−δt ⎥ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ 2L L ⎡ ⎤ R u 2 (δt) = U⋅⎢ e−δt + ⋅ t ⋅e−δt ⎥ ⎣ ⎦ 2L u 2 (δt) = U⋅e−δt ⋅[1+ δ⋅ t ] Zu 1.3

(11P)

u 2 (δt) 1+ δ⋅ t = e−δt ⋅[1+ δ ⋅ t ] = δt U e

0 1 2 3 4 5 δt u 2 / U 1 0,736 0,406 0,199 0,09 0,04

(4P)

189

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Losungen zum Aufgabenblatt 8 Aufgabe 2: Zu 2.1 Symmetrie 1. Art: gerade Funktion (Bd.3, S. 104-105 oder PS S. 164) mit bk=0

(4P)

2 '^^^ ^

0

an=-- j -TT-rdt T ?) T^ |T/2

•u T 8

3,T3

u an = -

(4P) T/2

ai^= —• J u(t)coskcotdt ^

0

4 '^f^4u 2 1 . 1 6 u ^i^ 2 siv =— — ^ t •cosk(jotdt = — — • t coskcotdt

T 0i T^

T^

nT/2

16u

ak

•'0

• COS kcot + k^.co^

kco

• sin kcot

k^.co^

f j2

16u

2 1 «T '^^- cosk +

^k

k^.co^

16u

T

ak

k^O^ 16u

ak=-

• cos kTi + 4kco

coT

mit

coT = 271

sin k%

mit

sink7t = 0

sink

k^.co^

k^-co^

• cos k7i

T^

k^co^

_ 16u ak

kco

cosk7C_ 1 6 u

"co^-T^"

k^

(-1)

~{2Kf"~^ (7P)

"''n'

k^

Fourierreihe in ausfuhrlicher Form: cos cot cos2cot / s u 4u u(t) = - . - ^ +

cos Scot + •

, , u u(t)=3 Zu2.2

uk=|ak|

4 u /^coscot ^-l — K^ V 1 4u 1 7:2

^2

•

)

cos2cot cosScot : + z +-

(4P)

- 1Ml

JJL 40 n*

•

3k190

(6P)

9 Fourieranalyse

8 Ausgleichsvorgange

10 Vierpolthorie

Losungen zum Aufgabenblatt 8 Aufgabe 3: Bd.3, S.221-223,196 oder FS S.191,189 und Yi2 = Y2, Zu3.1 Yi,=Y22 Zu3.2

z. = ^22+la -'" detY+lii-Y,

d-h-

und

(4P)

X i i + I i •detY + Y22Yi

z . -°"^

lll+^

loon

Zi„=Z„„,=100ii

(Yii^-Yn^] + Yii—^

100£^

100^ Y 2_Y

2_.

(5P)

- = detY

(100^)^ Zu3.3

-Xi2

L21

Vuf=-

X22+Xa

• = 0,9

Yii +

looa (4P)

Y,2=-|0,9-Yn+-^1 -12

(^ '

-11

JQQ^j

Eingesetzt in das Ergebnis von 3.2 ergibt sich:

Y 2 _ f^o^ 9» ^. Y Xii X i i ++ ,- ^ ' ^ ' '

loon

0 'y 0,9'' Yii - 0 , 8 1 Y i / - 2 - ^ -11

1 (100^)^ 0,9^ Yn-

JQQ^ - 1 1

-11

(100^)^

(100^)^

(100^)^ 4,263 Yi,=—^+ -^11

iooi:2

(loon)^

18,1745 + 9,5263 4,263 + 5,263 9,526 ^, ^, ^ —^ ;; =— • =— = 95,26mS 100^ -y (loon)^ loo^

(2P)

(negativer Wurzelwert entfallt) (2P) Zu 3.4

Ri =

1

= l,9ka

X11+X12

Ro = - ^ = -Y12

(95,26-94,73)mS

A

94,73mS

= 10,56a

Yl1*Yi2 (4P)

1

-Y. -^12

Yii*Yi2

I

-o

Zu3.5 RilOOal Rlj R ^2 + —Rl+lOOQj

Zin

l,91d2100a l , 9 k a [ l 0 , 5 6 a + 95a] l,9kD + 100Q = 100^ ...err. l,9kai00Ql l,9kQ + 10,56Q + 95Q r RilOOnl i,9m+ Rl + R + 1 10,56^ + ^ [ ^ Ri + lOOaJ l,9ki:2 + 100aj 95^ (4P) Zji = 0,9 Vuf^ Uj 95^+ 10,56a l,9kn 10,56^ +

(Ri=l,9kQ geht nicht ein)

ipwp§^, 191

9 Fourieranalyse

8 Ausgleichsvorgange

10 Vierpolthorie

Losungen zum Aufgabenblatt 8 Aufgabe 4: Zu4.1 Bd.3,S.196oderFSS.189 Yuf=Yuf=Zu 4.2

^216

_

dethe+hiieXa

h21e'Ra

Ra-dethe+hiie

dethg+hne/Ra 65-2^

(6P)

- = -96 2kQ • (l, 2 m • lOOiiS - 6,5 • 10"^ • 65)+1,21d2

Die Ruckkopplung ist eine Reihen-Reihen-Schaltung (Bd.3, S.235 oder FS S.194), fiir die die z-Parameter der beiden Vierpole (Transistor, Querwiderstand) addiert werden miissen. Die Formel fiir die Spannungsverstarkung Vuf muss deshalb in z-Parametem angegeben werden (Bd.3, S.196 oder FS S.189): (3P) Yuf =

^21

_

Zii+Xa detz

^21

(Z) = ( Z , ) + (ZQ) =

h22e

Z2iRa

+ Rp

h22e

hja^^R^

' 77,75 10"^ ^ 2—'"RE

100 10"^S 65 r-+RE 100 10"^S

1 ^--+RE h22e )

777,512 + R E

6,5Q + RE

l^-650kQ+RE

lOki^ + RgIJ

(3P)

z ^ R a +detz

h22e

^216

(z) =

_

Zji+detz/Ra

dethe.^R^ Zu4.3

h2ie

6,5 10" 6.+^E

100 10"°S 1

- + Rp

10010"^S

R E= = 11 0 0 Q : RE

(z) =

/^777,5£2 + 100Q

6,5^+100Q^_[^ 877,5!Q

[ - 6 5 0 k ^ + 100Q 10ki:2 + 1 0 0 Q j " [ - 6 4 9 , 9 k Q

106,5Q^ 10,lkn

-649,9k^-2k^ = -16,3 Yuf = 877,5Q-2kQ+(877,5Q10,lkQ + 106,5-649,9ki2)

(3P)

RE=200^:

/ x_r777,5Q+200Q

6,5^+200^^

{ 911,50,

206,5Q^

^^^ ~ [-650kQ + 200^ lOkQ + 200QJ" -649,8kiQ 10,2kQ -649,8ki2-2kQ

Yuf =

= -8,9 977,5Q • 2kD, + (977,5Q • 10,2kQ + 206,5 • 649,8kQ)

(3P)

RE=500Q:

^777,5Q + 500Q

6 , 5 ^ + 500^^1 _ f 1,2775Q

506,5Q^

-650kQ + 500Q

10kQ + 5 0 0 Q j " -649,5kQ

10,5kQj

(z) = Yuf = Zu 4.4

-649,5kQ-2kCt = -3,8 1,2775Q • 2kQ + (l, 2775Q • 10,5kQ + 506,5 • 649,5kQ)

Aus dem Diagramm abgelesen: RE=300Q

(2P)

tl5-|

V 0

192

(3P)

100 200 300 400 5000 (2P)

8 Ausgleichsvorgänge

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Lösungen zum Aufgabenblatt 9 Aufgabe 1: Zu 1.1 Bd.3, S.53-54, Beispiel 2 (Übertragungsfunktion alternativ berechnet) 1 R⋅ sC 1 1 R+ R⋅ U 2 (s) sC sC = = 2 1 U1 (s) ⎛ 1⎞ 1 R ⋅ R + + R⋅ ⎜ ⎟ 1 sC ⎝ ⎠ sC sC R+ + 1 sC R+ sC 1 1 R⋅ R⋅ U 2 (s) s⋅RC sC sC = = = 2 2 2 1 1 1 1 1 U1 (s) 2 2 R + 2⋅R ⋅ + 2 2 + R ⋅ R + 3⋅R ⋅ + 2 2 s ⋅R C + s⋅3RC +1 sC s C sC sC s C U 1 U 1 U U 2 (s) = ⋅ = ⋅ U1 (s) = (10P) mit 3 1 RC 2 RC ⎛ 0,38 ⎞⎛ 2,62 ⎞ s s + s⋅ + 2 2 s + ⋅ s + ⎜ ⎟⎜ ⎟ RC R C ⎝ RC ⎠⎝ RC ⎠

aus

3 9− 4 −3± 5 ± = 2 2 2RC 2RC 4R C 2,62 s 2 =− RC ⎧ ⎫ 1 1 ⎬= ⋅ eat − e bt L-1 ⎨ ⎩ (s − a)⋅(s − b) ⎭ a − b

3 1 + =0 RC R 2 C2 0,38 s1 =− RC s 2 + s⋅

s1,2 =−

(

Bd.3, S.87 oder FS S.158: Nr.34 a = s1 =− u 2 (t) = mit

0,38 RC

b = s 2 =−

(

)

2,62 RC

a −b =

(

−0,38+ 2,62 2,24 = RC RC

U RC ⋅ ⋅ e−t / τ1 − e−t / τ 2 = 0, 446⋅ U⋅ e−t / τ1 − e−t / τ 2 RC 2, 24

τ1 =

R ⋅C = 2,62⋅RC 0,38

und

τ2 =

)

)

(9P)

R ⋅C = 0,38⋅RC 2,62

Zu 1.2

(6P)

193

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

8 Ausgleichsvorgange

Losungen zum Aufgabenblatt 9 Aufgabe 2: Zu 2.1 Symmetric 1. Art: mit bk=0 (Bd.3, S.104-105 oderFS S.164) 1 ^ a^ = —•Ju((Ot)d(cot) 1

2KI2> ^"•'•^

ao=—

j

(4P) Oder aus der Zeichnung abgelesen:

11

|27c/3

ud(cot) = —[cot];

0

__U

^

27C _ 2 ^

27T 2 ^

(4P)

^k = ~ ' J u(cot) • COS k(a)t) • d(cot) 7C 0

2 a^ = — • J u • cos k(cot) • d(cot) = • 7C

271/3

sink(o)t)

71

0

2-U . , 271 2-u . , ,^^o ai. = smk— = smk-120 ^ k-7i 3 k-7C ^o_2-u V 3 _ u 2-u k=l: 2ii=s i n l 2 0 " = ^ ^ - ^ - ^ = - - V 3 = 0,551-u 7C

1-71

2-u

k=2:

ao = 2-71

k=3:

k=5:

71

Vl 2

• ^.^o 2-U f v 3 ^•V3=-0,276-u sin240'' = — ^ = —2-7C 2-71 (^

a3= — - s i n 3 6 0 ' ' = 0 3-71 2-u r. 2-u a4=—^-sinl20°= 4-7C 4-71 2-u . ^,^0 2-u as = sm240° =

k=4:

2

(4P)

2 ^

' 2

V3 u r~ — = - ^ - > / 3 = 0,138-u 2 4-71 f V3 = —^->/3=-0,110-u 5-71

k=6:

ai2= — • s i n 3 6 0 ° = 0 ^^

6-71

Fourierreihe in ausfuhrlicher Form: , , 2-u u /—fcoscot cos2cot ^ cos4(0t u(cot) = +--V3+0 + 3 7C 1, 1 2 4

cos5cot

^ +0...

5

u(cot) = u-(0,667 + 0,551-coscot-0,276-coscot + 0,138-cos4cot-0,110-cos5cot + ...) Zu 2.2 Bd.3, S.99, Gl.9.10 oder FS S.163 Uk=Vak^+bk^=|ak| 2-u Uk =

sink

J 0.5

7C-k

u^__2_ S _ V3 u 7i-k 2 7C-k auBerfurk=0, 3, 6, 9,...

194

I

27C

(6P)

0 3

4

5

6 k —

(7P)

8 Ausgleichsvorgange

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Losungen zum Aufgabenblatt 9 Aufgabe 3: Zu 3.1 Gesucht ist der Kurzschluss-Eingangswiderstand Hi i einer T-Schaltung. Il

Rl

JwL

juL R2

Bd.3, S.177,187 Oder FSS.181,186

R

h

^^

^2

jcjC

(5P) _1 '

= Hn =

(2in)u.=:0~ mit

=J9

' _ 9

1 ' —'^

' _'^

22+^3

U2=0

Zi=(Ri + jcoL)

'"

Zi2=-—

Z3 =(R2+R + jcoL)

jcoC

(Rj+jcoL)-^— + (Ri+jcoL)(R2+R + jcoL) + ^

(R2+R + JC0L) (lOP)

Hii =

Zu 3.2

+ (R2+R + jcoL) jO)C ^ 2 ^ ' ui und ii sind in Phase, wenn der Operator Hj 1 zwischen Ui und Ij reell ist: Hii=^Zi-Z2+(Zi + Z2)-Z3 Z3+Z2

( R l + j c o L ) — + IR1+JC0L + — l ( R 2 + R + jcoL)

Hn = R2+R + JC0L+ mit

icoLH

= j- coL

(Rl + jcoL) • ^ H,i =

jcoC

1 =0

Bd.2, S.97, Gl.4.113 oderFS S.103

+ Rl • (R2 + R + jcoL) R2+R

jcoL -HRI-(R2+R) jcoC jcoC Hn = R2+R

+ R iJcoL

—+ RL-(R2 + R) + Rl- jcoL + C JOJCJ

Mu = mit

R2+R jcoL +

= j- coL

1 =0

+ RI-(R2+R)

Hl ln = £ S

R2+R

C(R2+R)

+ Ri

(lOP)

195

8 Ausgleichsvorgänge

9 Fourieranalyse

10 Vierpolthorie

Lösungen zum Aufgabenblatt 9 Aufgabe 4: Zu 4.1 Es handelt sich um die Kollektorschaltung (Bd.3, S.240, Bild 10.62 oder FS S. 196). (2P) Für diese Rückkopplungsschaltung müssen die h-Parameter zusammengefasst werden: ⎛ h′ + h′′ ′ − h12 ′′ )⎞ −(h12 (h ) = (h′)+(h′′) =⎜ 11 11 (2P) ⎟ ′ ) ′ ⎠ h′22 + h′22 ⎝−(h′21 − h′21

Zu 4.2

Bd.3, S.177, Bild 10.10 oder FS S.184

(4P) Wegen der Parallelschaltung lässt sich der Widerstand RE in den U-Vierpol einbeziehen.

(4P)

⎛ h11e ⎜ (h′) =⎜ ⎜ h 21e ⎝ Zu 4.3

⎞ ⎛ ⎞ ⎛ 2,7⋅103 Ω 3 −4 ⎞ 1,5⋅10−4 ⎟ ⎜ 2,7⋅10 Ω 1,5⋅10 ⎟ ⎜ ⎟ (4P) = 1 ⎟=⎜ ⎟ 1 ⎜ −6 −6 ⎟ h 22e + ⎟ ⎜ 220 ⎟ ⎝ ⋅ + 18 10 S ⋅ 220 218 10 S ⎠ RE ⎠ ⎝ 5kΩ ⎠ h12e

Bd.3, S.186 oder FS S.185 ⎛ 0 1⎞ (h′′) =⎜ Längswiderstand mit Z=0 oder Querwiderstand mit Z =∞ ⎟ ⎝−1 0⎠ ⎛ h11 ′ + h11 ′′ ′′ )⎞ −(h′12 − h12 ⎟ ′ ) ′ ⎠ h′22 + h′22 ⎝−(h′21 − h′21

(h ) = (h′)+(h′′) =⎜

⎛ 2,7⋅103 Ω + 0 −(1,5⋅10−4 −1) ⎞ ⎛ 2,7kΩ 1 ⎞ ⎟=⎜ (6P) ⎟ ⎟ 218⋅10−6 S+ 0 ⎠ ⎝ −221 218µS⎠ ⎝ −(220 +1) Das Ergebnis stimmt mit der Lösung der Übungsaufgabe 10.12 (Bd.3, S.309) überein. ⎜ (h ) =⎜

196

8 Ausgleichsvorgange

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

Losungen zum Aufgabenblatt 10 Aufgabe 1: Zul.l

Vergleiche Bd.3, S.14-17 oder FS S.146 u i = R i + U2= RQ

U 2 + R C — ^ + U2 dt

nut

i = ij^+i^ = ^ ^ + c — ^ KQ dt

^ ^ duo uo+RC—^ ^ dt

u • sin cot =

R a.eJ«^= - ^ + 1 U2e+jC0RCU2e R,c J

U2e =

mit

• sin(cot - cp)

^2e

^.ej(a)t-cp)

u .eJ«t (R/Rc + l) + jcoRC

^(R/Rc+lf+(coRC)^ (ORC

cp

— circidn

^(R/Rc+lf+(coRcf

0=

Uof+RC ^*

R/Rc+l RC

U 2 f = K - ^-t/xi e ^*

^ dt

R/Rc+1

U2(0_) = U2(0+) = U2e(0+) + U2f(0+) u • sin(-(p)

0=

r+K

mit

sin(-(p) = - s i n ( p

usincp

U2f = -

-t/T

^(R/Rc+lf+(coRCf

^(R/Rc+lf+(coRC)"

•[sin(cot-9) + sin(pe"^^'^]

U2=U2e+U2f =

(12P)

^(R/Rc+lf+(coRC)^ Zu 1.2

Vergleiche Bd.3, S.69-71, Beispiel 3

U2(s)_

1 1/Rc+sC

"t

1

Uilsl

1

ijcU

Ui(s) ~ R + _ _ _ J _ _ ~ R ( 1 / R C +sC) + l ~ ( R / R c + l ) + sRC

1/Rc+sC TT

/

N

U2(S)

^

1

1

co(R/Rc+l)

1,3

RC R/Rc+1

-^

i+s2/co2

mit

2

U2(t) = CO(R/RC+1)

RC

1 + CO^

2r

1 + co^

U

4

0

1

CO i + s^/co^

^-t/x

mit

T=T

RC ^^ R/Rc+1

R/Rc+lj

coRC

^(R/Rc+lf+(coRcf mit

R/Rc+1

sin(cot-cp)

U2(t) = U

^ U

s^+co^

U2(s)

RC

CO

CO • sin(cot - (p)

TT / X

Ui(s) =

°

1^ ' n

.-t/T

^ ( R / R e +1)^ + (coRC)^ • ^ ( R / R e +1)^ + (coRC)^

coRC smcp:

yj{R/Rc+lf+{o)RCf sin(cot - (p) + sin (p • e~^ ^'^

U9 =

^(R/Rc+lf+(coRCf nut

cp = arctan

coRC R/Rc+1

(13P)

R/Rc+1 197

8 Ausgleichsvorgange

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

Losungen zum Aufgabenblatt 10 Aufgabe 2: Zu 2.1 Symmetrie 1. Art: gerade Funktion (Bd.3, S. 104-105 oder FS S.164) mit bk=0

(4P)

1 ^ ao = —• j u ( ( O t ) d ( c o t ) 71/4 j 2 u d ( c o t ) + j ud(cot) 71 0 37C/4

u

^ 71 2 - — + 7C

71

3-7C

4

4

^ a 3_K^3_u^Q^^3 . 71 4 4

(4P)

aj^ = — • f u(cot) • cos kcot • d((Ot) ^ 0 7C/4

7C

2u

^ . , 71 . , . , 37C 2 • sin k— + sin kTi - sin k — 4 4

7Ck

ak =

2u 7i-k

^ . , 7C 2 Sink 4

2 • sin kcotn7i;/4

2u

j 2ucoskcotd(cot)+ J u • cos kcot • d(cot) 0 371/4

sin kcot

7C

J3IC/4

mit sink7i = 0

. , 371 sink— 4

(6P)

S

2u

S

v2

^ . 71 . 37C 2 u >/2 u / - ^ ,^^ ^ 2u = = —V2=0,450u 2sin sin— 7C 7C 7C 2 71 4 4. 2 u ^ . 71 . 37l" 2 - u a2 = 2 Sin sin — = 7 ^ [ 2 1 - - l ] = - - 3 = 0 , 9 5 5 u 7i;-2 71-2 7C 2 2

ai =

2u ^3 =

^ . 37C 2 sin 4

7C-3

a4 =

.971 sin— 4

2-u 71-3

2.V2_V2" ' 2

2

=

2

2

2-u V2 U r-^ = V2=0,150-u 7C-3 2 371

[2-sin7i-sin37i] = — ^ - [ 0 - 0 ] = 0 7C-4

71-4

^ . 57C . 1571 2-u uV2 2-u r V2 = -0,090-u 2 - sin sin •7C-5* 2 " 571 7C-5 4 4 _ 2 _ 22--u ,, . 371 . 97i" 2 - u 2sin sm — r 2 - ( - l ) - l l = — • ( - 3 ) = - - = -0,318-u ^6 7C-6 7C-6 •- ^ ^ -^ 37C ^ ^ n 2 2 .

A

2-U

as

77C-5 C-5'

_ 22-u -u \ a?

~ 7 7C-7 C-7'

ag =

2-u

. In

2sin

4

. 2ln'

sin

4

r^

^

721

2-u

uV2

71-7

7C-7

= -0,064-u

77C

2-u

[0-0] = 0 71-8 71-8 Fourierreihe in ausfuhrlicher Form: V5 cos3cot / s 3^ ur u(cot) =—u+ — V2-coscot + 3-cos2cot + 4 7C 3 Zu2.2 Bd.3, S.99, GL9.10 oder FS S.163 G 0 Uk=Vak^+bk^ = k l

198

[2-sin 271-sin 671] =

2-u

I 2

V5 cos5cot-cos6cot 5

0

^

cos7cot... (5P)

7

1

2

3

4

5

6

7

8k-^

(6P)

8 Ausgleichsvorgange

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

Losungen zum Aufgabenblatt 10 Aufgabe 3: Zu 3.1 Kettenschaltung und Matrizenmultiplikation: Bd.3, S.243-247 oder FS S.198 Kettenschaltung einer T-Schaltung und Il-Schaltung (Bd.3, S.187 oder FS S.186):

"1

-Tin

oTc R

2 1/R

(AT) =

3R 2 )

n% (An) =

2 3/R

R 2

2 1/R

3R 2

2 3/R 13 8/R

R 2 8R 5

Oder Kettenschaltung von 3r-Vierpolen, Typ II: Bd.3, S.187 oder FS S.186

~i II II

(A) = 3.2

^ 1/R

^ 13 ,8/R

RR

I

I

_ i i_

(Ar) =

II

" R

_ l L_

R 1

J

2 1/R

R 1

8R^ 5

2 R 1/R 1 5 3R 3/R 2

2 R 1/R 1 13 8R 8/R 5 (12P)

Bd.3, S.254, 257, Gl. 10.91, 10.92 und 10.108 oder FS S.200 Z„ ^wl

2w2

AirAi2

13-8R

^2rA22

\\ —-5 R

A2rAii

A A.13 VR

(4P)

= 1,6R

a = ln(^Ajj-A22 +7—l2'A2l)

(4P)

"^^

a = ln ^/iT5 + J8R — =lnl6,06=2,776

J^=^ (5P)

199

10 Vierpolthorie

9 Fourieranalyse

8 Ausgleichsvorgange

Losungen zum Aufgabenblatt 10 Aufgabe 4: Zu 4.1 Die Ruckkopplung ist eine Reihen-Reihen-Schaltung (Bd.3, S.235 oder FS S.194), fur die die z-Parameter der beiden Vierpole (Transistor,Querwiderstand) addiert werden mussen. ^deth

h22e _1_

fi22e

(z) =

^21

ZE =

-+ZE

18iiS 220 18|iS"

• + Zp

^22e

V "22e mit

15,610.-3

hi2e_^^

1,5 IQ-^ 18|iS • + Z E 1 IS^iS"

1

1

1/RE+JCOCE

l/680n + j-2-7cf-2010"^Vs/A

1

(l,4706-j-l,2566)l0~^S

( 866,7Q + 2[^

8,33a + ZE

" [ - 1 2 , 2 M a + ZE

55,56ka + ZE

(4P)

f=10Hz: 393,0Q-j-335,8Q

(1,4706 +J1,2566)10"^S (l,4706-j-1,2566) 10"^S 866,7a + 393, OQ - j • 335,8Q

(z) =

8,33Q + 393, OQ-y 335,8Q

- 1 2 , 2 M a + 393,OQ-j• 335,8Q 55,56ka + 393,OQ-y335,8^

(z) =

1,26kQ - j • 335,8Q

401,3Q - j • 335,8^

-12,2MQ-j.335,8Q

56ka-j-335,8Q

f=10.000Hz: ZE =

(z) =

r 3 _ jl,2566)s ('. 4706 10' ^ =931,2610'^Q-j-795,7710"^Q

(l,470610"^+jl,2566)s (l,4706 1 0 ' ^ - j 1,2566)8 ^ 866,7Q + 93M0"^Q-j-79610~^Q n-3

l,-12,2MQ + 93M0"^Q-j-79610~^Q

8,33Q + 9 3 1 1 0 ' ^ Q - j - 7 9 6 1 0 " ^ Q 55,56kQ + 9 3 M 0>-^r ' ^ Q - j - 7 9 6 1 0r.-3r "-'Q

866,7a-j-796-10"^Q

8,33Q-j-796 10'^a '

1,-12,2Ma-j-796-10"^a

55,56ka-j-796 10~^Qj

(z) =

Zu4.2

(lOP)

Bd.3, S.196 Oder FSS.189

Z21 Z21 z2rRc mit Y = —— zii+Xa'd^tz zii+detz/Rc zn'Rc+detz -" Re f=10Hz: detz = ( l , 2 6 k Q - j - 3 3 5 , 8 a ) ( 5 6 k a - j - 3 3 5 , 8 Q ) - ( 4 0 1 , 3 a - j - 3 3 5 , 8 a ) H 2 , 2 M a - j - 3 3 5 , 8 a )

Vuf =

(3P)

detz = 4 , 9 6 6 1 0 ^ a 2 - j - 4 , 1 1 6 1 0 ^ a ^ Vuf =

Yuf =

(-12,2MQ-j-335,8a)-4,7kQ r^9o2 (l,26kQ-j.335,8Q)-4,7kQ + 4,96610^a^-j-4,11610^Q' -57,3440^ Q^-jl,578-10^Q^

57,34-10^-eJ"^^^

4,97210^Q2-J-4,11710^Q^

6,455 10^ •e"J'^^°

= 8,88eJ-220°

(4P)

f=10.000Hz: detz = (866,7a-j-79610"-^Q)(55,6ka-j-79610"^Q)-(8,33Q-j-79610"-^Q)(-12,2MQ-j-79610"'^Q) detz = 1 4 9 , 8 1 O ^ a ^ - j - 9 , 7 5 6 1 0 ^ a ^ (-12,2Ma-j-796 10"^a)-4,7ka Vuf =

V -5Luf

200

( 8 6 6 , 7 a - j - 7 9 6 1 0 " ^ a ) - 4 , 7 k a + 149,810^a^-j-9,75610^a^

_ - 5 7 , 3 4 - 1 0 ^ Q ^ - j - 3 , 7 4 M 0 ^ Q ^ _ 57,3440^-eJ-^^Q" =372 c^-^^^'^° 153,851O^a^-j-9,75210^Q^

154,16 10^e"J^'^°

(4P)