Vorlesungen über die Grundlagen der Elektrotechnik: Band 2 (German Edition) 9783211724552, 3211724559

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Adalbert Prechtl Vorlesungen fiber die Grundlagen der Elektrotechnik Band 2 Mit 315 Wiederholungsfragen und 265 Aufgaben und L6sungen Zweite, iiberarbeitete Auflage

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O. Univ.-Prof. Dipl.-Ing. Dr. Adalbert Prechtl Institut fiir Elektrische Mess- und Schaltungstechnik Technische Universit~it Wien, Wien, Osterreich

Das Werk ist urheberrechtlich geschfitzt. Die dadurch begrfindeten Rechte, insbesondere die der (2bersetzung, des Nachdruckes, der Entnahme von Abbildungen, der Funksendung, der Wiedergabe auf photomechanischem oder ~ihnlichem Wege und der Speicherung in Datenverarbeitungsanlagen, bleiben, auch bei nur auszugsweiser Verwertung, vorbehalten. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Buch berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichenund Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wiiren und daher von jedermann benutzt werden diirfen. Produkthaftung: Siimtliche Angaben in diesem Fachbuch erfolgen trotz sorgf~iltiger Bearbeitung und Kontrolle ohne Gewiihr. Insbesondere Angaben fiber Dosierungsanweisungen und Applikationsformen mfissen vom jeweiligen Anwender im Einzelfall anhand anderer Literaturstellen auf ihre Richtigkeit iiberprfift werden. Eine Haftung des Autors oder des Verlages aus dem Inhalt dieses Werkes ist ausgeschlossen. 9 1995 und 2008 Springer-Verlag/Wien Printed in Austria Springer-Verlag Wien New York ist ein Unternehmen von Springer Science + Business Media springer.at

Satz: Thomson Press (India) Ltd., Chennai Druck: Novographic Druck GmbH, 1230 Wien Gedruckt auf siiurefreiem, chlorfrei gebleichtem Papier- TCF SPIN 12057818

Mit 397 Abbildungen Bibliografische Information der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie, detaillierte bibliografische Daten sind im Internet fiber http://dnb.ddb.de abrufbar.

ISBN ISBN

978-3-211-72455-2 978-3-211-82685-0

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1. Aufl. SpringerWienNewYork

Vorwort Dies sind die Vorlesungen ,,Grundlagen der Elektrotechnik", die ich seit Ende der 80er Jahre an der Technischen Universitiit Wien ffir alle Studierenden der elektrotechnischen Studienzweige im ersten Jahr halte. Zus/itzlich aufgenommen wurden zahlreiche Wiederholungsfragen und viele Aufgaben mit L6sungen, die in den begleitenden Recheniibungen besprochen werden. Ziel dieser Lehrveranstaltungen ist es, eine anwendungsnahe Einffihrung in die grundlegenden Begriffsbildungen. Prinzipien und Rechenmethoden der Elektrotechnik zu geben. An mathematischen Kenntnissen wird zuniichst recht wenig vorausgesetzt, der Wissenszuwachs w/ihrend des ersten Studienjahres ist jedoch angemessen berficksichtigt. Ganz verzichtet habe ich auf die lokalen vektoranalytischen Formulierungen der Eigenschaften elektromagnetischer Felder zugunsten von Aussagen globaler Art fiber Ladungen und Str6me, Spannungen und Flfisse. An Pr/izision und formaler Einfachheit geht dabei nichts verloren. Im Gegenteil: Die Verbindungen zur Netzwerktheorie und zu anderen Beschreibungsformen der elektromagnetischen Erscheinungen--etwa den alternierenden Differentialformen--lassen sich auf diese Weise leichter herstellen. Beim Erstellen der Lehrbehelfe, aus denen beide Biinde entstanden sind, haben mich die Angeh6rigen des Instituts fiir Grundlagen und Theorie der Elektrotechnik kr/iftig unterstfitzt. Besonders herzlichen Dank sagen m6chte ich meinem verehrten Vorgiinger, Herrn Professor Dr. Hellmut Hofmann, fiir sein f6rderndes Wohlwollen und Herrn Professor Dr. Herbert Haas, dem ich fiir viele wertvolle Anregungen verpflichtet bin. Wien, im M/irz 1994

Adalbert Prechtl

Inhaltsverzeichnis

Hinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

XI

15 Magnetische Erscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

15.1 15.2 15.3 15.4 15.5

Elektrische Str6me und Magnetismus ................. M a g n e t i s c h e Kr/ifte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Die elektromagnetische Induktion ................... Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16 Das 16.1 16.2 16.3 16.4 16.5 16.6

magnetische F e l d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

Der magnetische FluB .......................... Die magnetische Spannung ....................... V e r k n i i p f e n m a g n e t i s c h e r S p a n n u n g e n u n d Fliisse. D i e I n d u k t i v i t i i t Magnetisierbare K6rper ......................... Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12 18 25 31 37 39

17 Elementare Methoden der Berechnung magnetischer Felder . . . . . . . . 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5

Linienstr6me. Magnetische Dipole ................... Fl~ichenstr6me . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . R~iumliche S t r o m v e r t e i l u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18 Magnetische Kreise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.1 F i i h r e n m a g n e t i s c h e r Fliisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.2 D e r m a g n e t i s c h e G r u n d k r e i s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.3 K r e i s e m i t m e h r e r e n S p u l e n . V e r z w e i g t e K r e i s e 18.4 D a u e r m a g n e t k r e i s e . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.5 F r a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18.6 A u f g a b e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

........... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder . . . . . . . . . . . 19.1 19.2 19.3 19.4 19.5

D e r S a t z v o m m a g n c t i s c h e n Htillenflul3 . . . . . . Dcr Durchflutungssatz ......................... Materialglcichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben ...... . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 3 7 9 9

43 43 52 58 60 61 74 74 75 80 83 85 85 98 98 101 102 103 103

VIII

Inhaltsverzeichnis

20 lnduktionserscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20.1 20.2 20.3 20.4 20.5

108

Die elektromagnetische Induktion ................... I n d u k t i o n in r u h e n d e n L e i t e r n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . I n d u k t i o n in b e w e g t e n L e i t e r n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren . . . . . . . . . . . . . . . . 21.1 21.2 21.3 21.4 21.5

. . . . . . . . . . . . . . .

130 130 131 141 144 144

D a r s t e l l u n g e n y o n Sinusgr613en . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Zeitmittelwerte periodischer Gr6gen ................. Sinusgr6Ben an Zweipolen ....................... Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

156 160 162 171 172

Spulen . . . . . . . . . . . . . . . . B e r e c h n e n einfacher S c h a l t u n g e n Transformatoren . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . mit Spulen ............. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . .

22 Sinusschwingungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.1 22.2 22.3 22.4 22.5

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen . . . . . . . . . . . . . . 23.1 D i e K i r c h h o f f - R e g e l n i m K o m p l e x e n . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.2 B e r e c h n e n e i n f a c h e r S c h a l t u n g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.30rtskurven und Frequenzg~inge .................... 23.4 F r a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23.5 A u f g a b e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 Resonanzerscheinungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24.1 24.2 24.3 24.4 24.5

108 111 116 120 121

Der Reihenschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Der Parallelschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Begriffe u n d K e n n g r 6 1 3 e n v o n R e s o n a n z k r e i s e n . . . . . . . . . . . Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25 Mehrphasensysteme

156

178 178 179 184 192 193 209 209 212 213 216 216

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Symmetrische m-Phasensysteme .................... Symmetrische Drehstromsysteme ................... Unsymmetrische Drehstromsysteme .................. Fragen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Aufgaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

222 223 230 234 237 238

26 Das elektromagnetische Feld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

245 245 247 251 253 258 258

25.1 25.2 25.3 25.4 25.5

26.1 L a d u n g s e r h a l t u n g u n d d e r A m p ~ r e - M a x w e l l - S a t z ......... 26.2 D i e E x i s t e n z e l e k t r o m a g n e t i s c h e r W e l l e n . . . . . . . . . . . . . . . 26.3 T r a n s f o r m a t i o n e l e k t r o m a g n e t i s c h e r G r 6 g e n . . . . . . . . . . . . 26.4 G l o b a l e u n d l o k a l e E i g e n s c h a f t e n e l e k t r o m a g n e t i s c h e r F e l d e r . . . 26.5 F r a g e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26.6 A u f g a b e n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Inhaltsverzeichnis

IX

27 Elektromagnetische Wellen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

27.1 E b e n e W e l l e n i m f r e i e n R a u m 27.2 K a n a l w e l l e n

263

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

264

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

272

27.3 W e l l e n

auf Leitungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

281

27.4 F r a g e n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

289

27.5 A u f g a b e n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28 Energie im Elektromagnetismus

290

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

294

28.2 E n e r g i e t r a n s p o r t

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

301

28.3 E n e r g i e e r h a l t u n g

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

304

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

306

28.1 E n e r g i e s p e i c h c r u n g

28.4 F r a g e n

28.5 A u f g a b e n

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

L6sungen der Aufgaben Literatur

307

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

314

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

485

Sachverzeichnis

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

487

Inhalt des ersten Bandes 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.

Zeit. Raum, Bewegung K6rper und Teilchen. Masse und Stoffmenge Impuls und Kraft. Kraftfelder. Allgemeine Felder Arbeit und Leistung. Energie. W~irme und Temperatur Schwingungen und Wellen. Licht Elektrische Ladungen, Str6me und Spannungen Physikalische Gr6Ben, Einheiten und Dimensionen Stromkreise und einfache Stromkreiselemente Das elektrische Feld Schaltungen mit Kondensatoren Erg~inzendes zum elektrischen Feld Verteilte elektrische Str6me Elementare Methoden der Berechnung elektrischer Felder Globale und lokale Eigenschaften elektrischer Felder

Hinweise Dieser zweite Teil der ,,Vorlesungen fiber die Grundlagen der Elektrotechnik" setzt die Einffihrung in die Grundziige der Elektrizitiitslehre und in die elementaren Methoden der Behandlung elektrotechnischer Aufgaben fort. Wie im ersten Teil ist das Ziel auch hier das Vertrautwerden und schliel31ich das sichere und konstruktive Umgehen mit den Begriffen und Gr6gen unseres Fachgebietes. Sie schaffen sich damit ein fest verankertes Geriist, in das Sie die spezielleren Methoden und Rechenverfahren einhiingen k6nnen. Nach meiner Erfahrung werden allgemeine Zusammenhiinge oft erst durch die Beschiiftigung mit speziellen Problemen wirklich verstanden. Ich habe deshalb neben den Wiederholungsfragen, die Sie bei der Erarbeitung der Textinhalte unterstfitzen sollen, zu jedem Kapitel wieder eine Reihe von Rechenaufgaben aufgenommen. Einige, bereits im ersten Band genannte Hinweise ffir deren Bearbeitung sind mir so wichtig, dab ich sie hier wiederhole: Zur L6sung einer Aufgabe gehiSren die m6glichst vollstiindige Offenlegung der Voraussetzungen, der klare, lfickenlose, auch yon jemand anders nachvollziehbare Rechen- oder Argumentationsgang und die Uberpriifung der Ergebnisse durch Einheitenkontrollen, Reduktionen auf Sonderf~ille, die Plausibilitiit numerischer Resultate und/ihnliches. Jede KontrollmiSglichkeit sollte Ihnen willkommen sein. Schlagen Sie erst dann im L6sungsteil nach, wenn Sie eine Aufgabe gel6st haben, oder wenn Sie trotz ernsthafter Anstrengungen keinen Zugang finden!

Kapitel 15 Magnetische Erscheinungen

15.1 Elektrische Striime und Magnetismus In ihren wesentlichen Ziigen begreifen wir heute jene Gruppe physikalischer Erscheinungen, die wir ,,Magnetismus" nennen, als Wechselwirkung elektrischer Str6me. Es kann sich dabei um Str6me in Leitern handeln, aber auch um Str6me, die wir der Bewegung geladener Teilchen innerhalb von Atomen oder ihrer, im abstrakten Sinn aufzufassenden, Eigenrotation (Spin) zuschreiben. Tats/ichlich sind die elektrischen und die magnetischen Erscheinungen so eng miteinander verkniipft, dab sie in der gemeinsamen Theorie des Elektromagnetismus erfal3t werden. Diese Erkenntnis hat sich im Lauf des vorigen Jahrhunderts durchgesetzt, und sie fand ihre vorl/iufige Vollendung in den Konzepten der relativistischen Physik. Das Wissen um die aul3ergewiShnlichen Eigenschaften des namengebenden Minerals Magnetit (Magneteisenstein, FeO. Fe zO3) ist bereits aus der griechischen Antike iiberliefert 1: Stiicke aus Eisen und aus eisen~ihnlichen Metallen, Kobalt und Nickel, werden von Magneten stark angezogen. Wir bezeichnen Stoffe dieser Art als ferrornagnetisch. Andere Materialien, wir nennen sie pararnagnetisch, werden nur sehr schwach angezogen (z.B. Aluminium) oder sogar ganz leicht abgestol3en (diamagnetische Stoffe, z.B. Wismut). Nadeln aus Stahl, geeignet mit Magneten behandelt, nehmen selbst dauermagnetische Eigenschaften an, und es waren solche Nadeln, deren Ausrichtung im Erdmagnetfeld bereits im Mittelalter in der Seefahrt als Navigationshilfe genutzt wurde 2. In den Schriften von Peregrinus 3 - er kannte die Abstol3ung gleichnamiger und die Anziehung ungleichnamiger Magnetpole zusammen mit der Tatsache, dab das Brechen von Magneten immer vollst/indige Teilmagnete mit je zwei ungleichnamigen Polen liefert-und von Gilbert4-er f/ihrte systematische Untersuchungen dutch und begriff die Erde als einen riesigen M a g n e t e n - f i n d e n wir Anzeichen wissenschaftlichen Interesses. Es gab jedoch kaum Hinweise auf irgendwelche Verbindungen zwischen den magnetischen Erscheinungen und denen der Elektrizit/it. Dies ~inderte sich erst zu Beginn des 19. Jahrhunderts, als mit der Entwicklung elektrochemischer Elemente die Erzeugung station/irer elektrischer Str6me m6glich wurde.

1 Es handelt sich dabei um natiirliche Dauermagnete, entstanden durch Lagerung im Erdmagnetfeld. 2 MiSglicherweise kannte man im alten China den KompaB schon viel friiher. In Westeuropa ist seine Verwendung seit ca. 1100 belegt. 3 Pierre le P61erin de Maricourt, um 1270, franz6sischer Kreuzfahrer und Gelehrter. 4 William Gilbert, 1544-1603, englischer Arzt und Naturforscher.

2

15 Magnetische Erscheinungen

Im Jahre 1820 ver6ffentlichte 0rsted 5 seine Beobachtung der Ablenkung einer KompaBnadel durch einen stromdurchflossenen Draht aus ihrer nat/irlichen Lage in eine Richtung senkrecht zum Draht (Abb. 15.1). Es war Amp6re 6, der die fundamentale Bedeutung dieses Effektes sofort erfal3te und weitere Experimente durchfiihrte. Durch wendelf6rmiges Aufspulen des Drahtes konnte er die magnetische Wirkung verst~irken und auBerdem zeigen, dab sich in der Umgebung einer solchen Spule7 qualitativ der gleiche magnetische Zustand, das gleiche magnetische Feld einstellt wie in der Umgebung eines Dauermagnetstabes (Abb. 15.2). Dies fiihrte ihn auf die sogenannte Elementarstromhypothese, einem stark vereinfachten Modell f/Jr Magnete: Ein magnetisierbarer K6rper, z.B. ein Eisenstiick, besteht aus vielen Teilchen, von denen jedes einen unverS.nderlichen elektrischen Strom in Umfangsrichtung tr~igt8 und damit wie ein kleiner Magnet wirkt. Gew6hnlich sind diese Elementarmagnete ungeordnet, sie machen sich nach aul3en nicht bemerkbar. Wird der K6rper aber in das Feld eines Dauermagneten oder einer stromdurchflossenen Spule gebracht, so richten sich die Elementarmagnete 5.hnlich einer KompaBnadel aus. Es entsteht dann eine regelmfiBige Anordnung von ElementarstriSmen, die nach aul3en einem entlang des Umfangs flieBenden Strom gleichkommt (Abb. 15.3), also selbst ein magnetisches Feld erzeugt. Nach dem Entfernen des K6rpers aus der Nfihe des Dauermagneten bzw. der Spule oder nach dem Abschalten des Spulenstroms stellt sich in ferromagnetischen Materialien nicht

Abb. 15.1 In der Umgebung eines stromdurchflossenen Drahtes wird eine KompaBnadel entlang der Umf~inge konzentrischer Kreise senkrecht zur Drahtachse ausgerichtet. Bei Umkehr der Stromrichtung weist die KompaBnadel in die entgegengesetzte Richtung

5 6 7 8

Hans Christian 0rsted, 1777-1851, d/inischer Physiker. Andr6 Marie Amp6re, 1775-1836, franz6sischer Physiker und Mathematiker. Amp6re nannte sie ,,Solenoid". Denken Sie beispielsweise an rotierende, geladene Partikel.

3

15.2 Magnetische Kr/ifte

Abb. 15.2 Magnetischer Zustand in der Umgebung eines Dauermagnetstabes a und eines Solenoids b, mit Eisenfeilsp/inen sichtbar gemacht

Abb. 15.3 Die regelm/il3ige Anordnung Amp6rescher Elementarstr6me liefert ein grobes Modell der Magnetisierung

wieder der v611ig ungeordnete Zustand ein, sondern es bleibt ein Rest an pauschaler Ordnung erhalten (Restmagnetismus oder ,,remanenter" Magnetismus). Wenn der Restmagnetismus relativ grog und bestiindig ist, dann sprechen wir von Dauermagneten oder ,,permanenten" Magneten. Amp6re erkannte also in den elektrischen Str6men die Ursache der magnetischen Erscheinungen, eine Ansicht, die (mit einigen Ergiinzungen) bis heute die Grundlagen des Magnetismus pr/igt. Selbst seine Elementarstromtheorie leistet in modifizierter Form als besonders einfaches und anschauliches Modell im Bereich der makroskopischen Physik immer noch wertvolle Dienste.

15.2 Magnetische Kr/ifte ,,Gleichsinnig parallele Str6me ziehen einander an; gegensinnig parallele Str6me stogen einander ab; gekreuzte Str6me suchen sich gleichsinnig parallel zu stellen". Diesen qualitativen Regeln gab Amp6re aus den Ergebnissen einer Reihe geschickt angestellter Versuche mit stromdurchflossenen Dr/ihten eine quantitative Fassung. Wir verstehen sie heute in zwei Schritten:

4

15 Magnetische Erscheinungen 1. Jeder stromdurchflossene Leiter umgibt sich mit einem magnetischen Feld, das sich durch die Angabe des Vektors B d e r magnetischen FluBdichte an jedem Ort, also durch ein Vektorfeld charakterisieren l~il3t. Tr~igt beispielsweise ein gerader Linienleiter im leeren Raum (oder in Luft) einen elektrischen Strom der St~irke I, so gilt im Abstand p vom Leiter (Abb. 15.4a) -" /z~ B = 2-~p ~'s,

(15.1)

wobei/~o die magnetische Feldkonstante_(G1. (6.6)) und gs die Umfangsrichtung bezeichnet. Die Vektorlinien von B sind in diesem Fall also konzentrische Kreise (s. Abb. 15.1). Beachten Sie die rechtswendige Zuordnung der Feldrichtung zur Stromrichtung, d.h. die Zuordnung im Sinn einer Rechtsschraube. Im folgenden werden wir das vektorielle Produkt, eine geometrische Verkniipfung einfach gerichteter Gr613en im dreidimensionalen euklidischen Raum, verwenden: Mit zwei unterschiedlichen Richtungen (,,Einsvektoren") gl und ~2 spannen Sie eine Ebene auf und legen mit ihrer Reihenfolge gleichzeitig eine innere Orientierung, einen Drehsinn in der Ebene fest, indem Sie 0 1 auf kiirzestem Weg nach e'2 drehen, e'3 sei die Richtung senkrecht auf die Ebene (der ,,Einsnormalenvektor") und sei dem Drehsinn rechtswendig, d.h. im Sinn einer Rechtsschraube zugeordnet (Abb. 15.4b). Bedeutet ~ [ 0 , n] den Winkel zwischen den beiden Richtungen dl und ~2, so ist deren vektorielles Produkt (,,Exprodukt", ,,Kreuzprodukt") e'l X 6'2 =

sin(~)g3-

(15.2)

Beachten Sie: Bei Vertauschung der beiden Faktoren im vektoriellen Produkt ergibt sich das negative Vorzeichen, e'2 X e l = --___,elX e'2, und gl x gl = 0. Das vektorielle Produkt zweier Vektoren d = a g a und b = be'b, deren Richtungen den Winkel

Abb. 15.4 a MagnetischesFeld in der Umgebungeines geraden Linienleiters. Die zugeh6rigen Vektorlinien sind konzentrische Kreise. b Zur Definition des vektoriellen Produkts: Zwei Richtungen gl und e2 spannen eine Ebene auf und legen mit ihrer Reihenfolge einen Drehsinn fest. Die Normalenrichtung e3 wird diesem im Sinn einer Rechtsschraube zugeordnet

15.2 Magnetische Kr~ifte

5

einschliel3en, ist dann der Vektor d • b = e = cg c m i t dem Betrag c = a b sin (~). Seine Richtung steht senkrecht auf die Richtungen von d und b'und ist diesen in ihrer Reihenfolge im P r o d u k t rechtswendig zugeordnet (,,Schrauben Sie d auf kurzem Weg nach b !"). Eine andere Verkniipfung gerichteter Gr6Ben ist das skalare Produkt. Fiir zwei Richtungen (,,Einsvektoren") 0-1 und 0"2, die den Winkel ~ einschliel3en, erkl~iren wir das skalare P r o d u k t (,,Inprodukt", ,,Punktprodukt")als 0-1"0-2 = cos(a),

(15.3)

was der N o r m a l p r o j e k t i o n von gl auf 0-2 oder umgekehrt entspricht. Die Faktoren k6nnen hier ohne Vorzeichenwechsel vertauscht werden. Das skalare Produkt zweier Vektoren d = a e " a und b = bg b, deren Richtungen den Winkel ~ einschlieBen, ist dann die ungerichtete (skalare) Gr613e d-b = abcos (~). 2. Jedes stromdurchflossene Element eines Leiters erf~ihrt im magnetischen Feld eine Kraft, und zwar senkrecht zur Richtung des Magnetfeldes und zur

lokalen Stromrichtung. Angenommen, ein gerader Linienleiter fiihrt einen Strom der StS,rke I, und irgendein anderer Leiter oder Magnet erzeugt im Punkt 5~ die magnetische Flul3dichte B (Abb. 15.5). D a n n greift an dem Leiterstiick der (kurzen) L~inge I um 5~ die Kraft F = Ilg I • B

an, w e n n

(15.4)

0-i die lokale Stromrichtung bedeutet.

Betrachten wir nun zwei gerade, parallele Linienleiter mit den Str6men 11 bzw. 12 im Abstand p (Abb. 15.6). Gem~iB G1. (15.1)erzeugt der erste Linienstrom entlang des zweiten ein Magnetfeld der FluBdichte B = B J s mit B = # o I 1 / ( 2 r c p ) , und daher liefert G1. (15.4) fiir die l~ingenbezogene Kraft auf den zweiten Linienstrom F

/tollI 2 _

--=

~

l

e

2rcp

_ I •

e s.

Dies entspricht G1. (6.5), die wir zur Festlegung der SI-Stromst~irkeeinheit Ampere bzw. der magnetischen Feldkonstanten #0 verwendet haben. Elektrischer Strom bedeutet Bewegung von Ladungstr~igern. Wenn wir also in magnetischen Feldern an stromdurchflossenen Leitern Kr~ifte feststellen, die es im stromlosen Zustand nicht gibt, dann muB das etwas mit Kr~iften auf bewegte Ladungstr~iger zu tun haben. Tats~ichlich l&iBtsich diese neue F o r m der Wechselwir-

Abb. 15.5 Die Kraft aufdas Elementeines stromdurchflossenen Linienleiters steht senkrecht auf die lokalen Richtungen des Magnetfeldes und des Stromes

6

15 Magnetische Erscheinungen

Abb. 15.6 Gleichsinnig parallele Str6me ziehen einander an

kung durch die Existenz einer zus~tzlichen, geschwindigkeitsabh~ingigen Kraftkomponente Q~ x B erkl~iren, wobei Q die elektrische Ladung des (punktf6rmigen) Trffgers, ~ seine momentane Geschwindigkeit und B die magnetische Flul3dichte am momentanen Ladungsort angeben. Wir fassen sie mit der alten Kraftkomponente QE (G1. (3.12)) zur sogenannten Lorentz-Kraft 9

F=

Q (E"+ ~ x B-') ]

(15.5)

zusammen. Das geladene Teilchen erf~ihrt_,demnach eine ladungsbezogene Kraft, die sich i.a. aus dem elektrischen Anteil E und dem magnetischen Anteil ~ x B, letzterer immer senkrecht zur Geschwindigkeit und zur magnetischen Flul3dichte, zusammensetzt. Wenn z.B. in einem Linienleiter wfihrend des Zeitabschnitts t die Ladungsmenge_Q = I.t fiber die Strecke 1 transportiert wird, so gilt ~ = (1/t)gg und damit Qo x B = I l g l x B, also genau der Ausdruck (15.4). Der elektrische Anteil ist wegen des hohen Ausmal3es an Ladungsneutralit~it in makroskopischen K6rpern i.a. verschwindend klein. Die Lorentz-Kraft (15.5) spielt eine wichtige Rolle fiir das Verst~indnis der elektromagnetischen Wechselwirkungen. Es ist sogar m6glich, sie als Erfahrungstatsache an die Spitze der Theorie_. des Elektromagnetismus zu stellen und die lokalen Feldgr6gen E und B dann fiber ladungsbezogene Kr~ifte mit Hilfe von Testladungen und deren Geschwindigkeiten zu ,,definieren", wenigstens unter den idealisierten Bedingungen eines Gedankenexperiments. Spfitestens hier taucht eine wichtige Frage auf. Stellen Sie sich vor, Sie beobachten ein geladenes Teilchen im elektromagnetischen Feld, zuerst von einem festen Inertialsystem (,,Laborsystem") aus. Zu einem bestimmten Zeitpunkt befinde sich das Teilchen am Ort ~ und besitze dort die Geschwindigkeit ~ gegen/iber dem Laborsystem_: Herrschen in ~ die elektrische Feldst~/rke E und die magnetische Flul3dichte B, so erf~ihrt es dort die Lorentzkraft F = Q(E + ~ • B). Versetzen Sie sich nun in ein Inertialsystem, das sich in ~ momentan mit der gleichen Geschwindigkeit bewegt wie das Teilchen (,,momentanes Ruhsystem"). Von diesem Standpunkt aus ist im betrachteten Zeitpunkt die Teilchengeschwindigkeit if'= 0-'. Ist deshalb auch die Lorentzkraft eine andere,

9 Hendrik Antoon Lorentz, 1853-1928, holl~indischer Physiker.

15.3 Die elektromagnetischeInduktion

7

etwa F = Q E? Das kann nicht sein, weil alle Inertialsysteme in bezug auf Kriifte gleichwertig sind 1~ Was sich/indert, ist nicht der Wert der Lorentzkraft, sondern der Wert der elektrischen Feldst/irke!__. __. Vom momentanen Ruhsystern aus beobachtet reagiert das Teilchen fiber F = Q E' auf den neuen Feldst/irkewert E', ignoriert aber wegen ~' =0" das magnetische Feld, also F ' = Q E " = Q(E'+ ~ x B-'). Wir schliegen daraus: Herrschen am Ort ~ eines elektromagnetischen Feldes in bezug__.auf ein Inertialsystem die elektrische Feldst//rke E und die magnetische FluBdichte B, dann finden wir in bezug auf ein anderes, gegeniiber dem urspriinglichen mit der Geschwindigkeit ~ bewegtes Inertialsystem in ~ die elektrische Feldst/irke 11 [E" = E'+ ~ x B'[.

(15.6)

Dieses Ergebnis ist sehr wichtig, beispielsweise um das Verhalten bewegter Leiter in magnetischenFeldern zu verstehen. Ein bewegter K6rper ,,spiirt" gewissermaBen E' anstelle von E. ......

15.3 Die elektromagnetische Induktion Amp6re formulierte seine magnetischen Kr/ifte im Rahmen einer Fernwirkungstheorie, d.h. er betrachtete die gegenseitige Wirkung elektrischer Str6me, ohne dem vermittelnden Raumzustand zwischen den Str6men eine physikalische Bedeutung zu geben. Die Feldvorstellung war damals erst im Entstehen begriffen, im wesentlichen getragen durch die experimentellen Untersuchungen und die Ansichten Faradays 12. Er verband mit dem magnetischen Zustand die Existenz des magnetischen Flusses, und er untersuchte dessen Eigenschaften anhand von Mustern aus Eisenfeilspiinen (Abb. 15.2). Es waren seine Ideen, die sich in der Folge als besonders fruchtbar erwiesen. Wenn elektrische Str6me Magnetfelder hervorrufen, sollte es dann nicht umgekehrt m6glich sein, durch Magnetfelder elektrische Str6me zu erzeugen? Anders ausgedriickt: Wenn in einer von zwei parallel gefiihrten Drahtschleifen elektrischer Strom flieBt, miil3te sich dann nicht auch in der anderen ein Strom feststellen lassen? Alle diesbez/iglichen Experimente verliefen zun/ichst negativ, bis schlieBlich Faraday im Jahr 1831 erkannte, worauf es dabei ankommt; n/imlich auf die zeitliche Nnderung des magnetischen Feldes. Wird der Strom in der ersten Schleife eingeschaltet (Abb. 15.7), so zeigt ein Indikator in der zweiten Schleife einen StromstoB an. Beim Ausschalten gibt es wieder einen StoB, aber mit umgekehrtem Vorzeichen. Die Stromst6Be sind die Folge von SpannungsstiSBen, die sich durch die rasche

l O Solange die Relativgeschwindigkeiten als klein gegen/iber der Lichtgeschwindigkeit vorausgesetzt werden k6nnen. 11 Dies gilt wiederum fiir Geschwindigkeitsbetriigeklein gegen/iberder Lichtgeschwindigkeit.Der Wert der magnetischen FluBdichte bleibt in dieser Nfiherung iibrigens derselbe, d.h. B'= B. 12 Michael Faraday, 1791-1867, englischer Physiker und Chemiker.

8

15 Magnefische Erscheinungen

Abb. 15.7 Beim Ein- und Ausschalten des Stromes in der ersten Drahtschleife zeigen sich in der zweiten Schleife StromstiSl3e

zeitliche )~nderung des v o n d e r zweiten Schleife umfal3ten magnetischen Flusses einstellen 13. Wir nennen diese Erscheinung elektromagnetisehe Induktion und die dabei auftretenden elektrischen Spannungen induzierte Spannungen. Dabei ist es v611ig belanglos, wodurch die Flul3iinderung entsteht. Beispielsweise k6nnen wir auch einen Dauermagnetstab in eine Spule stecken oder die Spule vom Magnetstab abziehen (Abb. 15.8)-in beiden F/illen 1/il3t sich zwischen den Anschliissen eine induzierte Spannung proportional zur momentanen ~nderungsrate des umfal3ten magnetischen Flusses 14 feststellen. Sp/iter werden Sie in den schematischen Anordnungen der Abb. 15.7 und 15.8 die Urformen unserer modernen Transformatoren und elektromechanischen Generatoren erkennen. In den folgenden Kapiteln beschiiftigen wir uns ausfiihrlich mit den heute iiblichen Fassungen der Ideen von Amp6re, Faraday und anderen Forschern des 19.

Abb. 15.8 Die zwischen den Spulenenden auftretende induzierte Spannung ist proportional zur momentanen *nderungsrate des vonder Spule umfal3ten magnetischen Flusses

13 StromstiSl3e messen wir als transportierte Ladungsmenge, also in Amperesekunden, Spannungsst6Be in Voltsekunden. 14 Von einer Spule mit mehr als einer Windung wird derselbe Flul3 mehrfach umfal3t.

9

15.5 Aufgaben

J a h r h u n d e r t s . Amp6res magnetische Krfifte u n d F a r a d a y s elektromagnetische Ind u k t i o n bleiben aber n a c h wie vor die Grundpfeiler der elektrischen Energietechnik.

15.4 Fragen 1. Was verstehen Sie unter dem Begriff,,Magnetismus" im traditionellen Sinn? 2. Welche Erfindung erm6glichte eine systematische Untersuchung der Beziehung zwischen Elektrizit~it und Magnetismus? Welche ffir den Magnetismus wichtige Beobachtung machte Orsted um 1820? 3. Wie erkl/irte Amp6re den Magnetismus yon K6rpern (Elementarstromhypothese)? Kann man die Amp6reschen Elementarstr6me direkt messen? Warum? 4. Was bedeutet remanenter, was permanenter Magnetismus? 5. Was besagen die qualitativen Regeln yon Amp6re? 6. In welchen Schritten verstehen wir heute die Amp6re-Regeln der Wechselwirkung zwischen parallelen Linienstr6men? 7. Wie berechnen Sie die 1/ingenbezogene Kraft zwischen zwei geraden, parallelen Linienstrt~men im leeren Raum ? 8. Wie lautet der Ausdruck f/Jr die vollst~indige Lorentz-Kraft an einer bewegten Punktladung? 9. Wie ist die elektrische Feldst/irke beim Obergang zwischen Inertialsystemen nichtrelativistisch zu transformieren? Was bedeutet hier ,,nichtrelativistisch"? 10. Was verstehen Sie unter dem Phfinomen der elektromagnetischen Induktion?

15.5 Aufgaben AI5.1 Geladenes Teilchen im Magnetfeld: Ein E l e k t r o n wird mit der Geschwindigkeit 1 0 0 0 0 k m / s senkrecht zur Feldrichtung in ein h o m o g e n e s Magnetfeld der Flul3dichte 1 m T geschossen. Bestimmen Sie die F l u g b a h n des Teilchens. Wie g r o g ist seine W i n k e l g e s c h w i n d i g k e i t ? Wie grol3 ist die vom M a g n e t f e l d an dem Teilchen verrichtete A r b e i t ? Wie sieht die F l u g b a h n aus, wenn das Teilchen schr~ig zur F e l d r i c h t u n g eingeschossen wird? A15.2 Kraft auf Stiitzisolatoren: In Schaltanlagen werden parallele Leiter als sogen a n n t e S a m m e l s c h i e n e n auf Sttitzisolatoren befestigt (Abb. A15.2a). Wie grog ist bei einer m a x i m a l e n Stromst~irke von 50 kA die von j e d e r Stfitze a u f z u n e h m e n d e ,,Umbruchkraft"? A15.3 Kriifte in einer Parallelleiteranordnung: In einer ebenen A n o r d n u n g paralleler Linienleiter fliel3t ein S t r o m der Stfirke I in abwechselnder R i c h t u n g (Abb. A15.3a). B e r e c h n e n Sie allgemein die beiden l~ingenbezogenen Krfifte auf die am R a n d liegenden Leiter 1 u n d 2 nach Betrag u n d Richtung. Hinweis: oc

" ~ ( - 1)"/n = - In (2). n=l

A15.4 KrMte zwischen gekreuzten Linienleitern: Zwei stromdurchflossene gerade Linienleiter k r e u z e n e i n a n d e r rechtwinkelig im A b s t a n d a (Abb. A15.4a). Berechnen

10

15 Magnetische Erscheinungen

Abb. A15.2a

Abb. A15.3a

Abb. A15.4a Sie die 1/ingenbezogene Kraft entlang des Leiters 1. Skizzieren Sie deren Verlauf und geben Sie insbesondere Gr613en und Orte der Extremwerte an. A15.5 Drehmoment an einer Spule: Eine Rahmenspule mit N Windungen ist um die feste Achse senkrecht zu einem homogenen Magnetfeld drehbar gelagert

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15.5 Aufgaben

Abb. A15.5a

(Abb. A15.5a). G e b e n Sie d e n V e r l a u f d e s D r e h m o m e n t e s n a c h B e t r a g und R i c h t u n g in Abh~ingigkeit v o n e an. Stellen Sie diesen Z u s a m m e n h a n g fiir B = 0 , 2 T , a = b = 1 cm, N = 10 u n d I = 50 m A graphisch dar.

Kapitel 16 Das magnetische Feld Wir haben das elektrische Feld kennengelernt als die Kombination von rS.umlichen Verteilungen der elektrischen Spannung und des elektrischen Flusses: Jeder Kurve ist zu jedem Zeitpunkt ein Wert der elektrischen Spannung, jeder F15.che ein Wert des elektrischen Flusses zugeordnet. Die Verteilungen besitzen gewisse Eigenschaften, ausgedriickt im Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung (gfiltig in (quasi-)elektrostatischen Situationen) und im Satz vom elektrischen Hiillenflnl3, und sie sind fiber ihre lokalen Repr~isentanten, die elektrische Feldst/irke und die elektrische Flul3dichte, miteinander verkniipft. ~hnlich werden wir bei der quantitativen Erfassung des magnetischen Feldes vorgehen. Hier sind die Verteilungen des magnetischen Flusses und der magnetischen Spannung zu kombinieren und deren Eigenschaften im Satz vom magnetischen Hfillenflul3 bzw. im Durchflutungssatz (giiltig ffir (quasi-) stationiire elektrische Str6me) zu formulieren. Die Verkniipfung erfolgt wieder fiber lokale Repr~sentanten, n~mlich die magnetische Flul3dichte und die magnetische Feldst/irke.

16.1 Der magnetische Fluff Der magnetische Flul3 ist eine fihnlich abstrakte Gr613e wie der elektrische Flul3. Es ,,fliel3t" also nichts im Sinn einer materiellen Bewegung. Wenn wir trotzdem von einem ,,Flul3" sprechen, so sind damit seine strukturellen (mathematischen) Eigenschaften gemeint. Eine gewisse Vorstellungshilfe bietet das Sichtbarmachen des magnetischen Zustandes durch Eisenfeilsp~ine. Tatsfichlich gewinnen wir z.B. aus Abb. 15.2b den Eindruck von einem Flul3 durch das Innere der Spule und einem/iul3eren Riickflul3, erhalten aber keinen Hinweis auf den Richtungssinn. Dazu gibt es folgende Vereinbarung: Der Nordpol einer Kompal3nadel zeigt in die Flul3richtung 1. Weiters lassen sich Werte des magnetischen Flusses direkt messen, z.B. durch Verschieben oder Umklappen einer Probespule nach dem Muster der Abb. 15.8 und Bestimmen des dabei zwischen den Spulenenden auftretenden Spannungsstol3es (SI-Einheit: 1 Vs). Damit k6nnen wir im Prinzip jedem (orientierten) Fliichenstiick sJ zu jedem Zeitpunkt einen Wert ~(s~') des magnetischen Flusses zuordnen. Seine SI-Einheit ist die Voltsekunde (1 Vs), ffir die in diesem Zusammenhang der besondere Einheitenname Weber 2 (1 Wb = 1 Vs) vorgesehen ist. Ubrigens k o m m t der magnetische Flul3 1 ~quivalent, aber meist bequemer anzuwenden ist die sp/iter zu begriindende Konvention: Der Richtungssinn des magnetischen Flusses ist dem Richtungssinn des erzeugenden elektrischen Stromes rechtswendig, d.h. im Sinn einer Rechtsschraube zugeordnet. 2 WilhelmEduard Weber, 1804-1891, deutscher Physiker.

16.1 Der magnetische Flul3

13

im Zusammenhang mit Supraleitung nur in ganzzahligen Vielfachen des elementaren Flul3quants (,,Fluxoid") @o = h/(2e) ~ 2,07-10-15 Wb vor 3. Als geeignete rfiumliche Vorstellung fiir die Flul3verteilung bietet sich wieder ein System von Flul3r6hren an: Jede R6hre trfigt den gleichen Flul3wert A @ (Abb. 16.1). Wollen Sie nun den magnetischen Flul3 @(d) bestimmen, der durch eine gegebene Fl~iche d tritt, so brauchen Sie lediglich die durchsetzenden Flul3r6hren unter Beriicksichtigung der gew~ihlten Orientierung von ~ (als positiv angenommenen Durchtrittssinn, Bezugssinn) abzuz~ihlen. Sie zfihlen positiv, wenn die R6hre im Bezugssinn durch d tritt, sonst negativ. Die ganze Situation erscheint also zun~ichst recht fihnlich dem Fall des elektrischen Flusses, als dessen Quellen wir die elektrischen Ladungen festgestellt haben. Die Quellen des magnetischen Flusses w~iren demnach magnetische L a d u n g e n - aber hier h6rt die Analogie auf. In der Natur lassen sich nfimlich magnetische Ladungen nicht finden. Wir werden diese Erfahrungstatsache nun ganz allgemein formulieren.

Der Satz yore magnetischen Hfillenflufl Stellen Sie sich wieder das in Abb. 8.1 dargestellte Gebilde vor: Irgendein Raumteil Y/ ist durch seine H/ille c~// vom Rest der Welt abgegrenzt. Fassen Sie aber die H/ille am besten nicht als ein materielles Gebilde auf, sondern als eine gedachte F1/iche mit dem positiven Durchtrittssinn yon innen nach aul3en. 0Y/ kann im speziellen mit der Oberfl/iche eines K6rpers zusammenfallen, oder auch einen K6rper durchschneiden, sodal3 ein Teil des K6rpers in Y/" und sein Rest nicht in Y/" liegt. Wenn es nun keine Quellen und Senken des magnetischen Flusses gibt, so mul3 sein Gesamtwert an einer geschlossenen F1/iche verschwinden. Dies wird im Satz vom magnetischen HiillenfluB ausgedriickt,

I @(c~'U)=0].

(16.1)

Abb. 16.1 Ausschnitt aus einer magnetischen Flul3verteilung.Der einem F1/ichenstiick d zugeordnete Flul3 @(d) lfil3t sich bestimmen durch Abz~ihlender durchsetzenden Flul3r6hren 3 ~0

ist der Reziprokwert der Josephson-Konstante Kj.

14

16 Das magnetische Feld

Abb. 16.2 Besitzenzwei F1/ichenstiicke~r and ~" denselben Rand t?sr so werden sie auch vom gleichen magnetischen FluB durchsetzt. Die Orientierungen (Bezugssinne) der F1/ichenstiicke und der Randkurven sind einander rechtswendig zugeordnet In Worten: Ein durch die geschlossene Oberfl/iche t?~/~eines Raumteils ~/" austretender magnetischer FluB ist stets gleich Null. Der Satz besagt natiirlich nicht, dab es iiberhaupt keinen magnetischen Flul3 gibt, sondern nur, dab der auf einem Teil der Hiille eintretende FluB gleichzeitig und vollst/indig auf einem anderen Teil wieder austritt. Wir k6nnen daraus sofort eine wichtige Folgerung ziehen. Stellen Sie sich dazu irgendein orientiertes F1/ichenstfick s~' mit dem Rand c3d und dem zugeordneten magnetischen Flul3 ~(sr vor (Abb. 16.2). Ein zweites F1/ichenstiick d ' mit demselben Rand erg/inze d zu einer geschlossenen F1/iche. Der Satz vom magnetischen Hfillenflug liefert dann (achten Sie auf die Orientierungen!) @(~) - @(~') = 0, d.h. den Fl~ichenstiicken ~ und d ' , die nur ihren Rand gemeinsam haben, ist der gleiche FluBwert zugeordnet: In einer gegebenen Verteilung h/ingt der Wert des magnetischen Flusses an einem Fl~ichenstfick d lediglich ab vom Verlauf der Randkurve, nicht v o n d e r speziellen Gestalt der F1/iche. Alle gleiehsinnig orientierten Fl/iehen mit demselben Rand werden vom gleiehen magnetisehen FluB durehsetzt. Diese universelle Eigenschaft paBt genau zu unserem Bild von den FluBr6hren als einem in sich geschlossenen Kanalsystem ohne innere Quellen und Senken. Denken Sie sich beispielsweise in einer Verteilung wie in Abb. 16.1 eine feste geschlossene Kurve gezogen. Wie immer Sie die damit berandete F1/iche deformieren, die Anzahl der gerichtet durchsetzenden FluBr6hren ~indert sich nicht. Das v o n d e r Kurve umfaBte FluBr6hrenbfindel bleibt dasselbe. In den technischen Anwendungen mfissen wir magnetische Flfisse oft an recht komplizierten Fl~ichen bestimmen. Als Randkurven treten n~imlich h/iufig linienf6rmige Leiter in mehreren Windungen auf, und es ist nicht yon vornherein klar, was dann unter @ ( ~ ) z u verstehen ist. Tr/igt beispielsweise ein FluBr6hrenbfindel den FluB t~ 1 und wird es von einem Draht zweimal umschlungen (Abb. 16.3a), so durchsetzt @~ die vom Draht berandete F1/iche d zweimal. Wir haben daher 9 ( d ) = 2 @~. ~hnliches gilt fiir eine gr6Bere Anzahl yon Windungen, z.B. in Spulen (Abb. 16.3b). Beachten Sie aber, dab die wendelf/frmige Fl~iche hier nicht notwendig yon demselben FluB mehrfach durchsetzt wird. U m die FluBwerte an einfachen Fl~ichenstiicken von denen an komplizierten Gebilden zu unterscheiden, nennt man letztere meistens Verkettungsfliisse oder auch FluBverkettungen und sagt z.B., eine Spule ist mit einem bestimmten magnetischen FluB ,,verkettet". Falls erforderlich, verwenden wir daf~r das Gr613ensymbol @v4. 4 Als Gr6Bensymbol fiir den Verkettungsflug ist auch ~ in Gebrauch.

16.1 Der magnetische Flul3

15

Abb. 16.3 In vielen technisch wichtigen Fallen wird eine Flache d von einem magnetischen Flul3 zumindest teilweise mehrfach durchsetzt. Wir nennen in diesen Fallen ~(d) meist ,,Verkettungsflul3", speziell dann, wenn die Randkurve von einem linienf6rmigen Leiter gebildet wird

Der Satz vom magnetischen HiillenfluB behauptet die Nichtexistenz magnetischer Ladungen. Andererseits k6nnten wir die Flugverteilung in der Umgebung eines Dauermagnetstabes (Abb. 15.2a) auch so verstehen, dab sich im Bereich des Nordpols, sagen wir, eine positive magnetische OberschuBladung und im Bereich des Sfidpols die entgegengesetzt gleich groBe Menge an negativer magnetischer OberschuBladung befindet. Erfahrungsgem~iB lassen sich jedoch keine insgesamt positiv oder negativ magnetisch geladenen K6rper herstellen. Wenn Sie etwa von unserem Dauermagnetstab ein Stiick des Nordpols abschneiden, dann erhalten Sie nicht etwa zwei unterschiedlich magnetisch geladene Teile, sondern wieder zwei vollst/indige Magnete. Das Amp6resche Modell der gebundenen ElementarstriSme kann dieses Verhalten erkl/iren. Es ist aber auch noch eine andere Auffassung denkbar, n/imlich dab es zwar irgendwelche Teilchen mit positiver oder negativer magnetischer Ladung gibt, dab diese aber gew6hnlich fest in Aggregaten/ihnlich denen elektrischer Dipole gebunden sind. Es gibt Theorien dieser Art, und sie sagen sehr hohe, auch in absehbarer Zukunft in den gr6Bten Teilchenbeschleunigem nicht iiberwindbare Bindungsenergien der magnetischen Ladungen in den Dipolen voraus. Vielleicht ist deshalb der experimentelle Nachweis der Existenz magnetischer Monopole bisher noch nicht gelungen.

Die magnetische Fluj3dichte Jede kontinuierliche FluBverteilung im Raum 1/iBt sich auch lokal beschreiben. Im magnetischen Feld verwenden wir dazu, wie bereits erw/ihnt, das Vektorfeld der

16

16 Das magnetische Feld

magnetischen FluBdichte 5, d.h. jedem Ort wird (zu jedem Zeitpunkt) ein Wert des Vektors B mit der physikalischen Dimension ,,magnetischer FluB durch F1/iche" nach Betrag und Richtung zugeordnet. Die zugehiSrige SI-Einheit ,,Weber durch Q u a d r a t m e t e r " besitzt den besonderen Einheitennamen Tesla 6'7 (1 T = 1 W b / m 2 = 1 Vs/m2). Das im Abschnitt 9.2 fiber die formalen Eigenschaften der elektrischen FluBdichte Gesagte gilt sinngem~iB auch f/Jr die magnetische FluBdichte, obwohl nat~/rlich der physikalische Gehalt ein ganz anderer ist. Wir k 6 n n e n den Wert B d e r magnetischen FluBdichte an einem Ort stets durch die Angabe ihres Betrages B (Zahlenwert mal Einheit, etwa B = 0, 9 T im Luftspalt einer elektrischen Maschine) und ihrer lokalen Richtung g als B = Bd darstellen. Bezeichnet gn irgendeine andere Richtung (z. B. die lokale Richtun__g einer F1/ichennormalen), die mit g den Winkel ~ einschlieBt, so nennt m a n B n = B. gn = B COS (00 die N o r m a l p r o j e k t i o n von B auf en (die N o r m a l p r o j e k t i o n auf d i e N o r m a l e n r i c h t u n g , kurz ,,Normalenproj_ektion"), und der zugeh6rige Vektor B n = B n g n heiBt die K o m p o n e n t e von B in Richtung gn (die N o r m a l k o m p o n e n t e , Abb. 16.4a). Wollen Sie aus einem bekannten Vektorfeld der magnetischen FluBdichte den einem F1/ichenst/ick ~ zugeordneten magnetischen FluB berechnen, dann f/ihren Sie einen SummationsprozeB nach dem bekannten Muster aus (Abb. 16.4b): Zerlegen von ~r in eine ausreichende Anzahl von Flfichenelementen (jeweilige F1/ichennormalen weisen auf die gleiche Seite wie der angenommene Durchtrittssinn), bilden der Normalenprojektionen der FluBdichte und S u m m a t i o n ihrer P r o d u k t e mit dem F1/icheninhalten. Sie erhalten damit die

Abb. 16.4 Der einer F1/iche d zugeordnete magnetische FluB ~(d) l~iBt sich als F1/ichensumme der magnetischen FluBdichte darstellen, a Normalprojektion der FluBdichte auf die Normalenrichtung. b Zerlegung der F1/iche und Bildung der F1/ichensumme 5 Eine ~ltere, auch heute noch h/iufig verwendete Bezeichnung fiir B'ist ,,magnetische Induktion" oder kurz ,,Induktion". 6 Nicola Tesla, 1856-1943, serbisch-amerikanischer Ingenieur. 7 Eine veraltete, nicht zum SI, sondern zu den cgs-Systemen geh6rende Einheit ffir die magnetische FluBdichte ist das GauB (1G). 1G entspricht 10-4T. Carl Friedrich GauB, 1777-1855, deutscher Mathematiker und Naturwissenschaftler.

16.1 Der magnetische FluB

17

Darstellung des magnetischen Flusses als Fl~chensumme der magnetischen Flulhtichte, 9 (d)=

m ~ k=l

;~r

Bnk'A k

oder

q)(~/)=

Bn'dA

(16.2)

Das magnetische Vektorpotential Ich m6chte hier noch eine andere Darstellungsform des magnetischen Flusses erw/ihnen, die direkt aus seiner universellen Quellenfreiheit folgt. Erinnern Sie sich dazu an das elektrische Feld: Elektrische Spannungen sind immer irgendwelchen Kurven zugeordnet, und ihr Wert h/ingt i.a. vom Verlauf der Kurve zwischen ihrem Anfangspunkt und ihrem Endpunkt ab. In elektrostatischen Situationen gilt jedoch der Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung, der die Unabh/ingigkeit der Spannung vom speziellen Kurvenverlauf nach sich zieht. Wir schlossen daraus auf die Existenz des elektrostatischen Potentials und konnten fiber Potentialdifferenzen die Spannungen direkt Paaren von Randpunkten zuordnen. Auf eine formal/ihnliche Situation treffen wir im magnetischen Feld, aber um eine Raumdimension h6her: Anstelle von Kurven haben wir hier-F1/ichen, die R/inder werden nicht durch Punktepaare sondern durch Randkurven gebildet, und anstatt mit dem Skalarfeld des elektrostatischen Potentials arbeiten wir mit einem Vektorfeld, dem magnetischen Vektorpotential. Magnetische Fliisse sind zun/ichst immer irgendwelchen F1/ichen zugeordnet. Andererseits zeigt aber der (universell giiltige) Satz vom magnetischen HiillenfluB, dab es nicht auf den speziellen Verlauf der F1/iche, sondern nur auf die Lage ihrer Randkurve in einer gegebenen Flugverteilung ankommt. Wir schlieBen daraus auf die Existenz eines Vektorfeldes A, eben des magnetischen Vektorpotentials, mit dessen Hilfe ein magnetischer FluB direkt der Randkurve zugeordnet werden kann, und eine allgemeine Zuordnung dieser Art kann nur eine Kurvensumme sein. Das Ergebnis unserer Uberlegungen ist die Darstellung des magnetischen Flusses als Kurvensumme des magnetischen

Vektorpotentials,

cI)(~) = ~ Ask.S, k=l

oder

(I)(s/) = rod As'ds

(16.3)

wobei A s = A-gs die Normalprojektion von A auf die lokaleRichtung e"s der Kurve bezeichnet (Denken Sie sich in Abb. 9.8 das Vektorfeld E durch das Vektorfeld ...... A ersetzt). Beachten Sie: Der Umlaufsinn der Randkurve c~d ist dem Durchtrittssinn der F1/iche d (Bezugssinn fiir den magnetischen Flu8) rechtswendig zugeordnet (Abb. 16.4b). Und: Die SI-Einheit des magnetischen Vektorpotentials ist 1 Wb/m = 1 Vs/m. Fiir eine bekannte, station/ire Verteilung elektrischer Str6me 1/igt sich das magnetische Vektorpotential formal/ihnlich berechnen wie das zu einer statischen Ladungsverteilung gehiSrende elektrische Skalarpotential. Damit werden wir uns sp/iter besch/iftigen.

18

16 Das magnetischeFeld

16.2 Die magnetische Spannung Unsere n~ichste Aufgabe ist die Beschreibung der felderzeugenden Wirkung elektrischer Str6me. Wir werden dazu in einem ersten Schritt jeder Kurve im Raum einen Wert zuordnen, den wir magnetische Spannung nennen. Die resultierende Verteilung der magnetischen Spannung enth/ilt, wie Sie sehen werden, die vollst/indige Information fiber die Verteilung der elektrischen Str6me,/ihnlich wie die Verteilung des elektrischen Flusses die gesamte Information fiber eine Ladungsverteilung einschlieBt. Der zweite Schritt, die lokale Verkniipfung der magnetischen Spannung mit dem magnetischen FluB, ist Gegenstand des n~ichsten Abschnitts.

Der Begriff der magnetischen Spannung Verschaffen wir uns als erstes eine Vorstellung v o n d e r physikalischen Gr6Be ,,magnetische Spannung"! Angenommen, auf einer schlanken Zylinderfl~iche flieBt in Umfangsrichtung und gleichm~iBig fiber die L/inge verteilt ein elektrischer Strom der St/irke I c (Abb. 16.5). Es entsteht dann ein magnetisches Feld nach Art der Abb. 15.2b. Bringen wir diese Spule in ein anderes, r~iumlich weit ausgedehntes und im betrachteten Bereich im wesentlichen gleichf6rmiges Magnetfeld, so kann damit bei geeigneter Ausrichtung (Spulenachse in Feldrichtung) und einem bestimmten Wert von Ic der magnetische FluB im Spuleninneren vollst~indig beseitigt, d.h. nach auBen verdr/ingt werden (Abb. 16.6a). In einer allgemeinen Lage der Spule zum Magnetfeld tritt zwar ein QuerfluB auf (Abb. 16.6b), der L~ingsfluB im Spuleninneren l~iBt sich aber mit einem passenden Wert von Ir wiederum unterbinden. Wir ordnen nun dem Kurvenstiick ~ mit dem Anfangspunkt ~ und dem Endpunkt ~ die magnetische Spannung V(~) des urspriinglichen (ungest6rten) magnetischen Feldes durch folgende Festlegung zu: Der Wert V(c~) der magnetischenSpannungist gleich dem Gesamtwert des Stromes Ir der zur Beseitigung des L/ingsflusses entlang c~ erforderlich ist. Dies schlieBt eine Verallgemeinerung auf inhomogene Magnetfelder und beliebig geformte Kurven ~ ein. Die Spule stellen Sie sich dann am besten als einen diinnen Schlauch mit ~ als Mittellinie vor. AuBerdem miissen Sie den Umfangsstrom i.a. ungleichm~iBig verteilen, maBgebend fiir V(~) ist aber immer der Gesamtwert Ic.

Abb.16.5 Zwei /iquivalente Realisierungen eines schlanken, stromdurchflossenen Zylinders: a als ,,Einwindungsspule" aus einem diinnen Leiterstreifen, b als Spule mit N Windungen eines diinnen Drahtes

16.2 Die magnetische Spannung

19

Abb. 16.6 Die schlanke Spule aus Abb. 16.5 wird in ein homogenes Magnetfeld gebracht, a Liegt sie in L~ingsrichtung, so l~il3tsich mit einem passenden Wert von I c der magnetische Flul3 aus dem Spuleninneren verdr~ingen, b In einer allgemeinen Lage kann immer noch der L~ingsflul3beseitigt werden Die magnetische S p a n n u n g besitzt nach unserer Festlegung die physikalische Dimension des elektrischen Stromes, also die SI-Einheit Ampere. Sie ist immer irgendwelchen orientierten, d.h. mit einem Durchlaufsinn 8 versehenen K u r v e n c~ zugeordnet. W e n n Sie den Durchlaufsinn ( = Bezugssinn) ~indern, wechselt die magnetische S p a n n u n g das Vorzeichen. Sie besitzt aul3erdem die Eigenschaft der Additivit~it, d.h., ist eine K u r v e aus mehreren Teilstiicken zusammengesetzt, so erhalten Sie die G e s a m t s p a n n u n g als Summe der Teilspannungen.

Der Durchflutungssatz Wir k o m m e n n u n zur zentralen Eigenschaft magnetischer Spannungsverteilungen. Stellen Sie sich eine allgemeine r~iumliche Verteilung station~irer Str6me vor und aul3erdem irgendein Fl~ichenstiick d mit Durchtrittssinn u n d rechtswendig zugeordneter R a n d k u r v e 0 ~ . D e n G e s a m t w e r t des gerichtet d u r c h d tretenden elektrischen Stroms bezeichnen wir mit I ( d ) (Abb. 16.7) u n d n e n n e n ihn, wenn wir den Unterschied zu Einzelstr6men herausstreichen wollen, elektrische Durchflutung oder kurz D u r c h f l u t u n g 9. O b e r den Durchflutungssatz 1~ wird d a n n der Z u s a m m e n hang zur magnetischen S p a n n u n g V(c3d ) e n t l a n g der Randkurve hergestellt, n~imlich V(c3z~r = I ( d ) .

(16.4)

In Worten: In einer (quasi-) stationfiren Stromverteilung 11 ist die magnetische S p a n n u n g V(c3d ) e n t l a n g des R a n d e s c3d einer Fl~iche d gleich d e m G e s a m t w e r t 8 Genaugenommen liefert unsere Festlegung nicht einen Durchlaufsinn von cg, sondern einen ,,Umschlingungssinn", n~imlich den Richtungssinn des Kompensationsstromes I c. Zus~itzlich vereinbaren wir eine rechtswendige Zuordnung zum ,,erzeugenden" Strom- Ic. 9 H~iufigwird fiir die Durchflutung ein eigenes Gr613ensymbolverwendet, bevorzugt 0. xo Der Durchflutungssatz heil3t auch Amp+rescher Satz. ~ Den Begriffder (Quasi-)Stationarit~it werden wir gleich kl~iren.

20

16 Das magnetische Feld

Abb. 16.7 Zur Berechnung der Durchflutung I(s~'). Der Strom 11 tritt N mal im Bezugssinn, der Strom 12 einmal entgegen dem Bezugssinn durch d I ( d ) des elektrischen Stroms durch die F1/iche (rechtswendige Z u o r d n u n g der Orientierunge n von s~' und c3d vorausgesetzt). Kurz: ,,Die magnetische Umlaufspannung ist gleich der rechtswendig umfaBten Durchflutung." Mit dem Durchflutungssatz driicken wir im Grunde eine spezielle Eigenschaft des elektrischen Str6mungsfeldes aus. Angenommen, s~' ist eine geschlossene F1/iche, z. B. die Hiille eines Bereiches f , s~' = c ~ . D a n n schrumpft c3d gewissermaBen auf einen P u n k t zusammen 12 und damit verschwindet auch V(0s~'). Gleichung(16.4) liefert also I ( 0 f ) = 0 , im Widerspruch zum allgemeinen Ausdruck I ( c ~ ) = - (~(~) (G1. (8.1)) der Ladungserhaltung. Aul3erdem gilt mit dem Satz vom elektrischen Hiillenflul3 (G1. (9.5)) I ( c ~ ) = - ~(c3V). Daraus erkennen wir: Der Durchflutungssatz kann nur dann giiltig sein, wenn sich die Ladungsverteilung bzw. die elektrische FluBverteilung im betrachteten Raumbereich zeitlich nicht /indert, oder wenn zumindest deren zeitliche ~nderungsraten gegeniiber den LeitungsstriSmen vernachliissigbar klein sind. M a n spricht dann von einer stationiiren bzw. yon einer quasistationiiren Stromverteilung. Ob eine quasistationiire Situation vorliegt oder nicht, h/ingt ab von den geometrischen Abmessungen, den Eigenschaften der beteiligten Werkstoffe und vor allem yon den Frequenzen der elektromagnetischen Gr6Ben. Je h6her die Frequenzen, desto stiirker machen sich die ~nderungsraten bemerkbar. Den allgemeinen Fall werden wir sp/iter betrachten, eines ist jedoch klar: Der Durchflutungssatz ist iiberall dort anwendbar, wo auch die erste Kirchhoff-Regel gilt. Beide setzen die (n/iherungsweise) Erfiillung der Gleichung I(c~U ) = 0 voraus. Wir schliel3en hier eine interessante Llberlegung an. Die Gleichung I ( ~ ? ~ ) = 0 behauptet, wenn sie ffir alle geschlossenen F1/ichen in einem Raumbereich gilt, die Quellenfreiheit des elektrischen Stromes. D a r a u s folgt, dab es ffir den Wert I ( d ) der Stromst/irke iiberhaupt nicht auf die spezielle Gestalt der Flfiche d ankommt, 12 ,,Der Rand eines Randes ist gleich Null".

16.2 Die magnetische Spannung

21

sondern nur auf die Lage ihrer Randkurve 0 ~ ' in der Stromverteilung (Erinnern Sie sich an die analogen Betrachtungen im Anschlul3 an den Satz vom magnetischen Hiillenflul3, speziell an Abb. 16.2!). Der Wert I ( d ) kann also direkt der Randkurve zugeordnet werden, und das begriindet formal die Existenz der magnetischen Spannung. In diesem Sinn ist der Durehflutungssatz lediglieh eine Darstellungsform (quasi-) station~irer elektriseher Str~Jme, und zwar, wie Sie sehen werden, als Kurvensumme der magnetischen Feldst~irke. Der Durchflutungssatz liefert den Gesamtwert der magnetischen Spannung an einer geschlossenen Kurve. Sie k6nnen damit auch Beziehungen zwischen den magnetischen Spannungen an Teilstficken der geschlossenen Kurve herstellen, diese Werte aber i.a. nieht im einzelnen bereehnen. Betrachten wir z. B. die Anordnung in Abb. 16.8. Die Teilstiicke cg1, cg2 und cr 5 verlaufen durch die Spulen (diese k6nnen beispielsweise auf Eisenk6rper gewickelt sein), die St/icke cg3 und ~4 neben den Spulen. Beachten Sie: Die Werte der zugeh6rigen magnetischen Spannungen zwischen ~ and ~ hfingen i.a. vom Verlauf der Kurve ab. Sie k6nnen die Kurven zwar deformieren (es gilt V(Cgl)= V((~92), V((~3)= V((br miissen aber darauf achten, dab sich dabei die umfal3te Durchflutung nicht findert. Es gibt einige Sonderfiille, in denen der Durchflutungssatz eine weitergehende Aussage fiber die magnetische Spannungsverteilung erm6glicht, etwa beim Vorliegen einer besonders hohen Symmetrie. Beispielsweise k6nnen wir sofort angeben, dab sich um einen geraden, stromdurehflossenen Linienleiter im leeren Raum die magnetische Umlaufspannung entlang konzentrischer Kreise senkrecht zur Leiterachse gleichm/il3ig aufteilt (Abb. 16.9a). Ein Kreisbogen mit dem Offnungswinkel c~besitzt dann die magnetische Spannung I c~/(2re), unabh/ingig von seinem Radius. Daran kniipft sich die bildliche Vorstellung der magnetischen Spannungsverteilung als einem gleichm/il3ig geordneten, mit einem Richtungssinn versehenen F/icher von Ebenen (Abb. 16.9b). Jedem Keil zwischen zwei B1/ittern ist der Spannungswert A V zugeordnet, z. B. bei n B1/ittern A V = I/n. Wollen Sie die magnetische Spannung

Abb. 16.8 Mit dem Durchflutungssatz lassen sich die Beziehungenzwischen den magnetischen Spannungen entlang aller Kurven herstellen, die zwei feste Orte ~ and ~ verbinden

22

16 Das magnetische Feld

Abb. 16.9 a Ffir einen geraden, stromdurchflossenen Linienleiter l~il3t sich wegen der hohen Symmetrie die magnetische Spannungsverteilung ohne weiteres angeben, b Wir k6nnen damit das Bild von einem gleichm~il3igen Ebenenf~icher (magnetischen Spannungsfl~ichen) verbinden. Dargestellt ist ein Ausschnitt

entlang einer ganz beliebig verlaufenden Kurve bestimmen, so brauchen Sie lediglich die durchsetzten magnetischen Spannungsfl~ichen gerichtet abzuz~ihlen. Das Bild von den magnetischen Spannungsfl~ichen ist iibrigens durchaus verallgemeinerungsf'~ihig. Sie k6nnen sich eine magnetische Spannungsverteilung immer als eine schichtenartige, eine magnetis~he Flul3verteilung immer als eine r6hrenartige r~iumliche Struktur vorstellen. Der zweite Sonderfall, den wir uns hier ansehen wollen, ist die schlanke, gleichfiirmig dicht gewickelte Zylinderspule im leeren Raum (oder in Luft, ,,Luftspule") (Abb. 16.10). Abgesehen von den (bei der schlanken Spule kleinen) Randst6rungen konzentriert sich die magnetische Spannung hier nahezu vollstfindig auf das Spuleninnere und verteilt sich gleichm~il3ig fiber die Spulenl~inge 13. Jeder aul3erhalb genommene Spannungswert, z. B. V(Cg2), ist dann gegeniiber der innen genomme13 Das ist leicht einzusehen, wenn Sie sich die zur quantitativen Festlegung der magnetischen Spannung verwendete Kompensationsspule (Abb. 16.6) iiberlagert und damit das magnetische Feld wieder ausge16scht denken.

16.2 Die magnetische Spannung

23

Abb. 16.10 Schlanke Luftspule mit N gleichm~il3ig verteilten Windungen, von denen jede den Strom I fiihrt. Die magnetische Spannung ist nahezu vollst/indig auf das Spuleninnere konzentriert

Abb. 16.11 Ringspule. Die N Windungen sind gleichf6rmig verteilt

nen magnetischen Spannung V(Cgl) ~ N I vernachl/issigbar klein (Vorsicht: Das gilt nicht f/Jr eine Spule mit ferromagnetischem Kern!). Schliel31ich betrachten wir, als dritten Sonderfall, eine gleichf6rmig dicht gewickelte Ringspule (Abb. 16.11). Jede im Spuleninneren einmal umlaufende Kurve umfal3t die Durchflutung N I, und es teilt sich, wenn es sich um einen Kreis wie in Abb. 16.11 handelt, die magnetische Spannung fiber die Bogenl~inge gleichm/il3ig auf. Wir erhalten daher im Spuleninneren eine magnetische Spannungsverteilung ganz analog zu der in Abb. 16.9 angegebenen (ersetzen Sie I durch N I, und schneiden Sie die Spannungsfl~ichen aul3erhalb des Ringes weg). Im Aul3enraum ist das magnetische Feld gleich Null. f]brigens k6nnen Sie das Spuleninnere mit einem homogenen Material, beispielsweise mit einem Eisenkern ausf/illen. An der magnetischen Spannungsverteilung/indert sich nichts.

Die magnetische Feldstdrke Durch Versuche mit einer schlanken Kompensationsspule in einem im wesentlichen homogenen Magnetfeld (Abb. 16.6) k/Snnen wir feststellen:

24

16 Das magnetischeFeld 1. Die mit der Spule gemessene magnetische Spannung nimmt dann ihren Maximalwert, sagen wir V0, an, wenn die Spulenachse in Feldrichtung liegt (Abb. 16.6a). Schliel3t die Spulenachse mit der Feldrichtung den Winkel ot ein (Abb. 16.6b), so wird der kleinere Wert Vo cos (or) gemessen. 2. Fiir eine feste Lage ist die gemessene magnetische Spannung proportional zur Spulenl/inge l, aber unabh~ingig vom Spulenquerschnitt 14. Ein Bezug auf die L~inge Iist daher sinnvoll.

Sei nun ~ irgendein Ort in einem allgemeinen magnetischen Feld und 1 - lY ein kurzes Geradensttick in ~ , derart ausgerichtet, dab der ihm zugeordnete Wert der magnetischen Spannung V maximal ist. Wir nennen dann die gerichtete physikalische Gr6fSe, dargestellt durch den Vektor

~q_v 1

(16.5)

die magnetische Feldst~irke 15 am Ort ~ . Dabei ist die L~inge 1 so klein zu w~ihlen, dab der Quotient V/1 unabh~ingig von 1 wird. Die begriffliche Erweiterung auf ein Vektorfeld ist klar. Die magnetische Feldst~irke, sie besitzt die SI-Einheit 1 A/m, ist der lokale Repr~isentant einer magnetischen Spannungsverteilung. Ihren Wert H an einem Ort k6nnen wir stets durch die Angabe des Betrages H (Zahlenwert mal Einheit, z.B. H - 7 2 0 k A / m ) und der lokalen Richtung 0" als H - H0 ~ darstellen. Kennen Sie umgekehrt das Vektorfeld H und wollen Sie daraus die irgendeiner Kurve ~ zugeordnete magnetische Spannung berechnen, dann gehen Sie wie fiblich vor (Abb. 16.12): Zerlegen von c~, Normalprojektionen, Summation. Dieser Formalismus ist die Darstellung der magnetischen Spannung als Kurvensumme der magneti-

schen Feldst~irke,

d

s,ls oer,

,,66

Ftir die Sonderf~ille, in denen wir bei bekannter Stromverteilung allein durch Anwenden des Durchflutungssatzes die zugeh6rige magnetische Spannungsverteilung finden k6nnen, ist sofort auch die magnetische Feldst~irke an jedem Ort angebbar. Sie steht immer senkrecht auf die magnetischen Spannungsfl~ichen, und ihre Richtung stimmt lokal mit dem Richtungssinn der magnetischen Spannung iiberein. Beim geraden Linienleiter haben wir eine gleichmS.Bige Aufteilung der magnetischen Spannung entlang konzentrischer Kreise (Abb. 16.9). Wir brauchen also lediglich dutch die Bogenl~inge zu dividieren und erhalten, wenn I die Stromst~irke, p den Radius und 0"s die Umthngsrichtung angibt, ftir die magnetische

,4 Solangedie Spule noch schlank bleibt. ,5 Ein anderer Name ftir die magnetischeFeldst~irkeist ,,magnetischeErregung".

16.3 Verknfipfen magnetischer Spannungen und F1/isse. Die Induktivit~it

25

Abb. 16.12 Die einer Kurve cg zugeordnete magnetische Spannung 1/iBt sich als Kurvensumme der magnetischen Feldst/irke darstellen, a Normalprojektion der Feldst/irke auf eine vorgegebene Richtung. b Zerlegung und Bildung der Kurvensumme

Feldstiirke eines geraden, stromdurchflossenen Linienleiters I H = 2-~p e's

(16.7)

Beachten Sie die rechtswendige Zuordnung! F/ir die magnetische Feldst/irke im Inneren einer gleichfiirmig dicht gewickelten Ringspule (Abb. 16.11) gilt dieselbe Beziehung, wenn I den Gesamtstrom (die Durchflutung) bedeutet. Bezeichnen Sie dagegen mit I die Stromstiirke im Draht (Leiterstrom) und tr/igt die Spule N Windungen, dann ersetzen Sie I in G1. (16.7) durch N.I. Sehen wir von den Randbereichen ab, so verteilt sich die magnetische Spannung auch in der besprochenen Zylinderspule (Abb. 16.10) gleichmiiBig fiber die L/inge l. Mit der dem Umfangsstrom rechtswendig zugeordneten axialen Richtung gl gilt demnach fiir die magnetische Feldst&irke im Inneren einer schlanken, gleichf6rmig dicht gewickelten Zylinderspule im leeren Raum nfiherungsweise

~=NI ~F el

(16.8)

Tats5chlich stellt sich dieses homogene Magnetfeld im Spuleninneren erst in ausreichendem Abstand yon den Spulenenden ein. Wir werden das sp~iter noch genauer untersuchen. Eine 1/ingenbezogene Durchflutung, wie sie in G1. (16.8) auftritt, nennt man gelegentlich auch Strombelag.

16.3 Verkniipfen magnetischer Spannungen und Fliisse. D i e Induktivit~it Magnetische Spannungen und magnetische F1/isse treten stets gemeinsam auf. Wir werden in diesem Abschnitt ihre lokalen und globalen Verkn/ipfungen besprechen und uns dabei haupts/ichlich auf den leeren Raum beschrfinken. Die formal/ihnlichen lokalen Verkniipfungen in isotropen K6rpern werden wir hier nur kurz behandeln.

26

16 Das magnetische Feld

Die magnetische Feldkonstante Sehen wir uns zuerst das magnetische Feld eines geraden, stromdurchflossenen Linienleiters im leeren Raum an. Es gilt hier einerseits der Ausdruck (16.7) fiir die magnetische FeldstS,rke, andererseits sind wir bei der Interpretation der Amp+reschen Beobachtungen fiber die Kr~ifte zwischen stromfiihrenden Leitern aufden Ausdruck (15.1)fiir die magnetische FluBdichte gestoBen. Die beiden Gleichungen passen nur dann zusammen, wenn zwischen der magnetischen Feldst~irke und der magnetischen FluBdichte die Verkniipfungsbeziehung im leeren Raum

] B'= #o/~ ]

(16.9)

besteht. Die Konstante #o, wir nennen sie magnetische Feldkonstante oder Induktionskonstante, wird, wie Sie wissen, im Internationalen Einheitensystem zur Festlegung des Ampere benutzt und dabei als exakter Wert

#o = 4 n. 10- 7 Vs = 1,2566... ~ H / m Am

(16.10)

fixiert. Das Einheitenzeichen H steht fiir die abgeleitete SI-Einheit Henry (1H = 1Vs/A). Die Verkniipfungsbeziehung (16.9) ist im leeren Raum allgemein giiltig, und/~o ist eine universelle Konstante, unabh~ingig vom r/iumlichen und zeitlichen Verlauf des magnetischen Feldes. Damit erhebt sich natiirlich die Frage, ob die Konstante #o eine physikalische Bedeutung besitzt oder ob sie nur zur Anbindung an die praktischen Einheiten des Internationalen Einheitensystems ben/Stigt wird, d.h., sollen wir ftir den leeren Raum begrifttich iiberhaupt zwischen ~q und B"unterscheiden?16 Wir haben hier die magnetische Spannung und den magnetischen FluB als begrifflich eigenst/indige Gr6gen eingefiihrt und betrachten demgem~iB die Verkniipfungsbeziehung (16.9) als Ausdruck einer Eigenschaft des leeren Raumes. Sie k6nnen es aber auch anders halten-die formale Entwicklung unserer Theorie wird davon nicht berfihrt. Hinweisen m6chte ich Sie aber noch auf folgendes: Nach unserer gegenw/irtigen Auffassung wird das elektromagnetische Feld im eigentlichen Sinn lokal durch die elektrische Feldst/irke zusammen mit der magnetischen FluBdichte reprfisentiert. Die magnetische Feldst/irke und die elektrische FluBdichte geh/Sren zusammen zum Strom-Ladungs-Feld. Sie vermitteln die vollstfindige Information fiber die Verteilungen von Str6men und Ladungen, sind aber durch diese nur bis auf sogenannte Eichtransformationen bestimmt. Ihre vollst~ndige Festlegung geschieht formal in den Verkniipfungsbeziehungen (9.17) und (16.9) oder fiber entsprechende Werkstoffgleichungen.

16 Eine ~hnliche Frage 1/iBt sich iibrigens auch fiir L/ingen- und Zeitintervalle stellen: Bedeutet die Fixierung der Vakuumlichtgeschwindigkeitco als universelle Konstante eine begriffliche Gleichsetzung von L~ingeund Zeit?

16.3 Verkniipfen magnetischer Spannungen und Fliisse. Die Induktivit~it

27

Als nfichstes sehen wir uns nochmals die schlanke, gleichf/Srmig dicht gewickelte Zylinderspule im leeren Raum oder in Luft an (Abb. 16.13). Fliel3t durch die N Windungen der Spule ein elektrischer Strom der St~rke I (elektrische Durchflutung N I), so stellt sich ein magnetischer Flul3 9 ein, und zwar im Spuleninneren weitgehend gleichm~il3ig fiber den Spulenquerschnitt (Fl~icheninhalt A) verteilt. Man kann den Wert von q~ messen, beispielsweise mit einer m6glichst dicht anliegenden Induktionsspule (Abb. 16.13): Beim Einschalten des Spulenstroms I wird in dieser Mel3spule ein Spannungsstol3 induziert, dessen Gesamtwert ein Mal3 fiir den aufgebauten magnetischen FluB ist (Die Details der Mel3methode brauchen uns vorerst nicht zu interessieren). Bei der Ausfiihrung derartiger Versuche mit schlanken zylindrischen Luftspulen unterschiedlicher L~ingen, Querschnittsfl~ichen und Windungszahlen l~il3t sich folgendes feststellen. Der magnetische Flus ist - proportional der l~ingenbezogenen Durchflutung N Ill, - p r o p o r t i o n a l dem Inhalt A der Querschnittsfl~iche, und alle Mel3ergebnisse k6nnen wir im wesentlichen in der einfachen Gleichung

NI

~ = #o--~

(16.11)

zusammenfassen. Als Proportionalit~itskonstante erscheint wiederum die magnetische Feldkonstante ~7. Nun zur Interpretation: Auf der linken Seite von G1. (16.11) steht der Quotient q~/A, wegen der gleichm/iBigen FluSverteilung im Spuleninneren also der dort im wesentlichen konstante Betrag Bder magnetischen Flu$dichte (s. G1. (16.2)). Auf der rechten Seite finden wir neben Sto genau den Betrag H der magnetischen Feldst/irke

Abb. 16.13 L~ingsschnittdurch eine schlanke, gleichf6rmigdicht gewickelte Zylinderspule. Im Inneren der Spule bildet sich ein nfiherungsweise homogenes Magnetfeld aus. Der magnetische Flul3 q~l~il3tsich messen, z.B. mit einer Induktionsspule

17 Wfirendie Mal3einheiten fiir den magnetischen Flul3und fiir die elektrische Stromst~irkeunabh~ingig voneinander festgelegt, dann k6nnten Sie auf diese Weise den Wert yon Po im Prinzip mel3technisch bestimmen.

28

16 Das magnetische Feld

aus G1. (16.8). Fiir den speziellen Fall der schlanken Luftspule driickt demnach unsere empirische G1. (16.11) wiederum die Verkniipfungsbeziehung (16.9) aus. Was bedeutet nun die Verkniipfungsbeziehung geometrisch? Die magnetische Flul3dichte gibt lokal die Richtung der Fluf3riShren an, und die magnetische Feldst~irke steht stets senkrecht auf die magnetischen Spannungsfliichen. Im leeren Raum durchsetzen einander das Schichtensystem einer magnetischen Spannungsverteilung und das R6hrensystem der zugeh6rigen magnetischen Flul3verteilung immer senkrecht. Sie bilden zusammen eine orthogonale Zellenstruktur.

Die Induktivitdt Nochmals zurfick zu unserer schlanken, gleichf6rmig gewickelten Zylinderspule! Der Wert 9 des magnetischen Flusses ist hier durch jeden Querschnitt (F1/icheninhalt A) im wesentlichen derselbe 18. Stellen Sie sich jetzt die Spule als dichtgewickelte Wendel von N Windungen eines diinnen Drahtes vor-/ihnlich Abb. 16.3b, aber schlanker und dichter gewickelt. Abgesehen von den Anschlul3driihten ist dann die von dem Draht berandete F1/iche se' eine Art von Wendelfliiche mit N Umliiufen, sie besitzt also einen F1/icheninhalt von etwa N.A. Der Gesamtflul3 durch die Wendelfliiche d , der Verkettungsflul3 der Spule ist daher in diesem Fall q~v= N. A. B = N q~ oder, unter Verwendung von G1. (16.11),

[cb,,=L'I

I

(16.12)

mit der Induktivit~it L der schlanken, gleichf6rmig dfinn gewickelten, zylindrischen Luftspule

IL= laoN2A/l[.

(16.13)

Fassen Sie die Formel (16.13) als eine erste N~iherung auf. Je schlanker die Spule und je diinner der Wickelraum, desto geringer sind die Fehler. Die wichtigsten Zfige des Verhaltens schlanker, zylindrischer Luftspulen werden jedoch erfal3t: Ihre Induktivit~it ist proportional zum Quadrat der Windungszahl, proportional zum Inhalt der Querschnittsfl~iche und umgekehrt proportional zur Spulenl~inge. Die Form der Querschnittsfl~iche ist in dieser Nfiherung belanglos, genauso wie die genaue Lage der Windungen am Mantel: Der Draht kann sich durchaus fiberkreuzen, oder die Spule kann mehrlagig gewickelt sein. Wesentlich weitreichender ist die Beziehung (16.12). Sie driickt als globales Gegenstiick zur lokalen Verknfipfung (16.9) ganz allgemein die Proportionalit~it zwischen dem Spulenstrom und dem mit der Spule verketteten Fluff aus, und diese Proportionalit~it ist zumindest ffir alle Luftspulen giiltig, unabh~ingig von ihrer

8 Tats~ichlich nimmt der magnetische FluB gegen die Spulen6ffnungen hin etwas ab, weil ein Teil des Flusses durch den Spulenmantel aus- bzw. eintritt. Wir wollen das im Hinblick auf die Schlankheit der Spule momentan nicht beriicksichtigen.

16.3 Verkniipfen magnetischer Spannungen und Fliisse. Die Induktivitiit

29

F o r m 19, natiirlich aber mit jeweils anderen Werten von L. Selbst ein irgendwie zusammengekniilltes Sttick isolierten Drahtes besitzt eine Induktivitiit, auch wenn wir ihren Wert in diesem Fall kaum rechnerisch (wohl aber durch Messung) bestimmen k6nnen. Die Einheit der lnduktivifiit im Internationalen Einheitensystem l~iBt sich direkt aus G1. (16.12)ablesen: 1 Weber durch 1 Ampere. Daffir ist der besondere Einheitenname Henry 2~ (Einheitensymbol H) in Gebrauch, also

I 1 H = 1 Wb/n = 1 Vs/n .

(16.14)

Beispielsweise besitzt eine schlanke Luftspule mit 1000 Windungen, einem Durchmesser d = 1 cm (A = 0,785 cm 2) und einer L~inge 1--- 10cm gem~iB G1. (16.13) die Induktivit~it L ~ 1 mH. Verkettungsfliisse und Induktivit~iten spielen vor allem im Zusammenhang mit dem Induktionsgesetz eine wichtige Rolle. Wir werden das im Kapite120 ausffihrlich besprechen. Erw~ihnen m6chte ich aber bereits hier die Erweiterung des Induktivit~itsbegriffs auf mehr als eine Spule im leeren Raum. Stellen Sie sich dazu zwei allgemein gelegene Spulen mit den Str6men I1 bzw. 12 vor (Abb. 16.14). Angenommen, es ist zuerst nur die erste Spule stromdurchflossen. Sie erzeugt ein magnetisches Feld, und wir k6nnen ihr einen VerkettungsfluB proportional zu I ~ zuordnen, sagen wir q~v~~ = L a 11~. Aber auch die zweite (noch immer stromlose) Spule wird yon magnetischem FluB durchsetzt, und der zugehiSrige VerkettungsfluB, wir nennen ihn q~v2~, ist ebenfalls p r o p o r t i o n a l zu I~ 2~, ~v21 -- L2~'I~. Fliel3t nun zus~itzlich in der zweiten Spule der Strom 12, so fiberlagern sich den schon vorhandenen noch die Verkettungsfli3sse q~v22--L22"I2 in der zweiten und ~v~2--L~2"I2 in der ersten

Abb. 16.14 Magnetischgekoppelte Luftspulen. a Jeder der beiden SpulenstriSmebewirkt sowohlin der eigenen wie auch in der anderen Spule einen VerkettungsfluB. b Beispiel: Zwei ineinandergeschobene Zylinderspulen

~9 Der Induktivitiitsbegriff ist dann wohldefiniert, wenn die Stromverteilung im Detail angegeben werden kann, und wenn sich alle beteiligten Werkstoffe magnetisch linear verhalten. 20 Joseph Henry, 1797-1878, amerikanischer Physiker. 21 Dies ist eine Folge der linearen Verkniipfungsbeziehung (16.9) im leeren Raum: ,,Doppelter Strom, doppelte Feldstiirke, doppelte FluBdichte".

30

16 Das magnetische Feld

Spule. Insgesamt haben wir also (Pvl -'- (/)vll + (Pv12 "-- L l l 11 -+- L 1 2 1 2 , ~v2 ~ ~v21 "~ ~/9v22 ---~L2111 + L2212-

(16.15)

Beachten Sie die rechtswendige Z u o r d n u n g zwischen F1/issen und Str6men bzw. deren Bezugssinnen. Wenn Sie den Bezugssinn einer vorkommenden Gr6Be umdrehen, dann m/issen Sie das in den G1. (16.15) durch ein ge/indertes Vorzeichen berficksichtigen. Ubrigens gilt stets L12 = L21 , d.h. ein Strom der St~irke I ruft in der jeweils andere'n Spule den gleichen (Teil-) VerkettungsfluB hervor 22. M a n nennt die beiden Spulen in diesem Zusammenhang magnetiseh oder induktiv gekoppelt und bezeichnet den Koeffizienten L12 -- L 21 als ihre gegenseitige Induktivitiit oder auch als ihre Gegeninduktivitiit. Die Koeffizienten L 11 und L22 heiBen dann Seibstinduktivit/iten- sie sind die gew6hnlichen Induktivit~iten 23. Ein einfaches Beispiel (Abb. 16.14b): Zwei schlanke Zylinderspulen, gleichf6rmig d/inn mit den Windungszahlen N 1 bzw. N 2 gewickelt, mit den Querschnittsfl~ichen A 1 bzw. A z ( < A 1 ) und mit der gleichen L~inge I. N~iherungen fiir die beiden Selbstinduktivit~iten k6nnen wir mit der Formel (16.13) sofort angeben: Lll

= lao N 2 A1/1,

L 2 2 = lto N 2 A2/I.

F/ir 12 = 0 herrscht im Inneren der ersten Spule die axiale Flul3dichte B = #o H = #oNlI1/l, die zweite Spule ist deshalb mit dem FluB ~v21 = N z A z B - lao N 1 N 2 A2 I1/1 verkettet, und die gegenseitige Induktivit~it betr~igt L21 ~- lto N 1 N 2 A 2 / l . F/ir 11 = 0 haben wir andererseits nur im Inneren der zweiten Spule die axiale FluBdichte B - P0 H = Po N 2 I2/1, auBerhalb ist sie (nfiherungsweise) gleich Null. Die erste Spule ist daher mit dem FluB ~v12 -- N1A2 B = / t o N 1N 2 A 2 I2/1 verkettet; also gilt, wie zu erwarten, L12 = L 21" Die Verallgemeinerung auf eine gr6Bere Anzahl, sagen wir n, induktiv gekoppelter Spulen bereitet formal keine Probleme. Wir haben dann n Selbstinduktivit~iten Lkk, k = 1 , . . . , n, und n(n - 1)/2 gegenseitige Induktivit~iten Lkl, k ~ 1; k = 1 , . . . , n; l = 1 , . . . , n , weil die Symmetriebeziehung Lkl = Llk ganz allgemein gilt. Die G1. (16.15) gehen fiber in das lineare System ~vl "-Ll111 -k- "'" q- L l l I t q- "" -k- L l n I n (I)vk -- L k I I 1 -k- "'" -Jr-L k l I t + "'" + L k ,, I,,

(16.16)

@v,, = L,,1 I1 'k "'" q- L,a I t + "" + L,,,, I,,

voneinander i.a. unabh~ingiger Gleichungen. 22 Wir werden das spfiter allgemein begrfinden. 23 Abkiirzend werden h/iufig f/Jr die beiden Selbstinduktivitfiten die Formelzeichen L 1 und L 2 verwendet, und fiir die gegenseitige Induktivit~it das Formelzeichen M.

16.4 Magnetisierbare KiSrper

31

16.4 Magnetisierbare K~Jrper Die einfache lokale Verknffpfungsbeziehung B - #o H gilt exakt im leeren Raum, ist aber ffir magnetische Felder innerhalb von K6rpern nicht allgemein anwendbar 24. Sind im Rahmen der zugrundeliegenden MeBgenauigkeit Abweichungen vom Zusammenhang B = / t o H feststellbar, so nennen wir einen K6rper magnetisierbar. Stellen Sie sich vor, wir wickeln einen langen, diinnen Draht gleichm~il3ig dicht auf einen homogenen Eisenring, wir stellen also eine Ringspule mit Eisenkern her (Abb. 16.11). Aufgrund des Durchflutungssatzes und der erhaltenen Symmetrie wird sich an der magnetischen Spannungsverteilung gegeniiber der in einer Luftspule gleicher Form nichts Wesentliches findern. Was wir aber feststellen ist, bei der gleichen Durchflutung, ein deutlich gr613erer magnetischer Flul3 im Spuleninneren, gemessen z.B. mit einer Induktionsspule nach dem Muster der Abb. 16.13. Anders ausgedriickt: Zur Erzeugung des gleichen magnetischen Flusses ist im Eisen ein viel kleinerer Wert der magnetischen Spannung erforderlich als in Luft. Als einfache Vorstellungshilfe zur Erklhrung dieses Verhaltens kann das Modell der Amp6reschen Elementarstr~Sme aus Abb. 15.3 dienen: Unter dem Einflul3 des Spulenstroms richten sich die urspriinglich ungeordneten, in mikroskopischen Aggregaten gebundenen ElementarstriSme aus und machen sich so makroskopisch als zusfitzliche Felderzeuger bemerkbar. Seien Sie aber bei der Anwendung dieses Modells vorsichtig. Im Durchflutungssatz sind nur die ,,wahren" elektrischen Str~me, nicht jedoch die fiktiven ElementarstriJme zu beriicksichtigen! Fiir die makroskopische Erfassung des lokalen Zusammenhanges zwischen den Verteilungen der magnetischen Spannung und des magnetischen Flusses in magne_2 tisierbaren K6rpern haben wir die einfache Verkniipfungsbeziehung B = #o H durch andere, die speziellen magnetischen Materialeigenschaften beriicksichtigende Stoffgleichungen zu ersetzen. Stimmt die Richtung der magnetischen Flul3dichte B in jedem Feldpunkt mit der Richtung der magnetischen Feldsthrke H iiberein, so nennen wir das Materialverhalten magnetisch isotrop und schreiben die Stoffgleichung in der Form B=#HI"

(16.17)

Die Gr6Be # heil3t (absolute) Permeabilit~it 25. Sie wird h~iufig als Produkt

I~-- #0 ~r ]

(16.18)

der magnetischen Feldkonstanten #o und der Permeabilit~itszahl (relative Permeabilit~it) #r dargestellt. Die Werte yon ~r h~ingen ab vonder Art des Materials, von anderen physikalischen Gr613en wie Temperatur und Druck, aber i.a. auch vom Betrag der magnetischen Feldsthrke selbst.

24 Wir betrachten hier die Felderin K6rpern vom makroskopischen Standpunkt aus, d.h. wir verwenden ein Kontinuumsmodell. 2s Man nennt deshalb die magnetische Feldkonstante auch ,,Permeabilitht des leeren Raumes".

32

16 Das magnetische Feld

Stoffe, bei denen im Rahmen der geforderten oder erreichten Genauigkeit und im betrachteten Bereich die Permeabilitfit unabh~ingig vom Betrag der Feldst~rke ist, bei denen also B'und H einander proportional sind, nennen wir magnetiseh linear wirkend, kurz magnetisch linear oder auch linear magnetisierbar. In diese Kategorie geh6ren die meisten diamagnetischen und paramagnetischen Stoffe, fiir die eine nur geringffigig von 1 abweichende Permeabilit~itszahl charakteristisch ist 26. Einige Beispiele finden Sie in Tabelle 16.1. Sie sehen, dab wir diese Stoffe ffir technische Anwendungen in der Regel als nicht magnetisierbar betrachten k6nnen, d.h. wir setzen/~ =/z o. Magnetisch wesentlich ausgepr~igter verhalten sich ferromagnetische Stoffe 27 wie Eisen in seinen unterschiedlichen technischen Formen. Sie zeigen iiberdies die Erscheinungen der magnetischen S~ttigung und der magnetischen Hysterese: Angenommen, der Eisenkern unserer Ringspule befinde sich zuerst in einem nicht magnetisierten Zustand. Wir erh6hen nun kontinuierlich den Spulenstrom bis zu einem Wert, sagen wir 11, und tragen die jeweils zusammen auftretenden Werte der Feldst~irke und der FluBdichte als MeBpunkte in einem Diagramm auf (Abb. 16.15a). Dies liefert den Kurvenzweig 01, einen Teil der sogenannten Neukurve des Eisenwerkstoffs. Jetzt verringern wir den Spulenstrom bis Null und erh6hen ihn in der umgekehrten Richtung bis 12 < 0. Dabei durchlaufen wir in unserem Diagramm den Kurvenast 12 und stellen etwas Wichtiges fest: Mit dem Spulenstrom Null (und damit H = 0) verschwindet keineswegs auch die magnetische Flul3dichte. Es bleibt ein Restmagnetismus, der bei zunehmender Gegenfeldst~irke (H < 0) abnimmt. Dann erst dreht sich auch der Richtungssinn des magnetischen Flusses um. Diese Erscheinung nennt man magnetische Hysterese. Bei einer nochmaligen kontinuierlichen Ver~inderung des Spulenstroms in Richtung positiver Werte wird schlieBlich, von 2 ausgehend, der untere Ast durchlaufen, wobei wir i.a. nicht wieder den Punkt 1 treffen, nicht einmal ffir 12 = - I1. Erst bei mehrmaligem Hin- und Herpendeln zwischen 11 und 12 stellt sich eine geschlossene Schleife ein. Darstellungen nach Art der Abb. 16.15, die einen Zusammenhang zwischen der

Tabeile 16.1 Permeabilit~itszahlen einiger diamagnetischer (Pr < 1) und paramagnetischer (pr > 1) Stoffe fiir 20~ und Normaldruck Stoff Wismut Kupfer Wasser Luft Aluminium Platin

Pr 0,999843 0,999990 0,999991 1,0000004 1,000021 1,000257

26 Technisch iibliche FeldstS.rken reichen hier in der Regel nicht aus, in den nichtlinearen Bereich vorzudringen. 27 Auch die ferrimagnetischen und antiferromagnetischen Stoffe geh6ren in diese Gruppe.

16.4 Magnetisierbare K6rper

33

Abb. 16.15 a Magnetisierungskurvenferromagnetischer Stoffezeigen die Erscheinungen der magnetischen Hystereseund der magnetischen S/ittigung.b Beispiele:Grenzschleifenffir Siliziumeisen(weichmagnetisch, kleine Koerzitivfeldstiirke)und Stahl mit ca. 1% C (hartmagnetisch, groBe Koerzitivfeldst/irke) magnetischen Flul3dichte und der magnetischen Feldst/irke in einem Stoff angeben, heigen allgemein Magnetisierungskurven. Geschlossene Magnetisierungskurven nennt man (magnetische) Hysteresesehleifen. Sie geben die magnetische Hysterese eines Stories bei zyklischer ~nderung der magnetischen Feldst/irke an und werden immer nur im angegebenen Sinn durchlaufen. Beginnen wir unseren Versuch mit der Ringspule yon neuem[ Anstelle der Verkleinerung des Spulenstroms ab dem Pkt. 1 in Abb. 16.15a wird er jetzt weiter erh/Sht, die Neukurve also weiter verfolgt. Wir kommen dann in einen Bereich, in dem trotz wachsender Feldstiirke keine wesentlichen Flul3steigerungen mehr m6glich sind (Pkt. 3, entsprechend einem Spulenstrom I3), n u r mehr solche /ihnlich denen in einer Luftspule. Wir sprechen dann von magnetiseher Siittigung und sagen, der Eisenkern ist magnetisch ges/ittigt 28. Wenn jetzt der Spulenstrom wieder zuriickgenommen und bis zum negativen W e r t - I 3 gebracht, der Stoff also in den entgegengesetzten S/ittigungsbereich getrieben wird, so liegen die zusammengehiSrenden B-H-Werte auf dem oberen Kurvenast 33'. Bei nochmaliger Stromumkehr gelangen wir schliel31ich entlang des unteren Astes wieder nach 3. Diese Hystereseschleife ist charakteristisch ftir den magnetischen Werkstoff. Sie heiBt /iulierste Hystereseschleife oder Grenzschleife, weil alle anderen m6glichen Hystereseschleifen innerhalb des yon ihr berandeten Gebietes liegen (zumindest f/Jr hinreichend langsam verlaufende Magnetisierungszyklen). Besondere magnetische Zustandspunkte auf der Grenzschleife sind der fiir H = 0 vorhandene Wert der magnetischen Flul3dichte B r - e r wird magnetische Remanenzflulidichte g e n a n n t - u n d der fiir B = 0 vorhandene Wert der Feldstiirke H c - d i e Koerzitivfeldstiirke (der magnetischen Flul3dichte). Wichtig dabei ist, dab die Hystereseschleife tats/ichlich in die S/ittigungsbereiche des Magnetwerkstoffes vordringt. Die Remanenzflul3dichte und die Koerzitivfeldstiirke sind (ftir feste Temperatur) charakteristische Stoffgr6Ben. Wir k6nnen sie im speziellen fiir eine grobe Klassifizierung ferromagnetischer Werkstoffe verwenden. Man nennt Werkstoffe mit grol3en Werten der Koerzitivfeldstiirke (etwa Hc > 0, 5 kA/m) hartmagnetisch und solche mit kleinen Werten der Koerzitivfeldstiirke (etwa He < 0, 1 kA/m) weichmagnetisch. Beispiele sehen Sie in Abb. 16.15b. Moderne Dauermagnetwerkstoffe 28 Stellen Sie sich gem~il3dem Amp6reschen Modell vor, dab in diesem Zustand alle verfiigbaren Elementarmagnete vollst~indigausgerichtet sind.

34

16 Das magnetische Feld

erreichen Remanenzflul3dichten B~ > 1 T und glei,chzeitig Koerzitivfeldstiirken He bis zu Werten v o n Br/la o (z.B. 796 kA/m fiir B r = 1 T). Ihre magnetischen Eigenschaften sind jedoch in der Regel stark richtungsabhiingig (anisotrop). Eine mathematische Beschreibung allgemeiner Art von Magnetisierungskurven mit Hysterese ist naturgemiil3 ziemlich kompliziert. M a n verwendet deshalb in der Elektrotechnik fiir den Entwurf und die Analyse ferromagnetischer Kreise dem jeweiligen Problem angepal3te, manchmal stark vereinfachte Modelle. Beispielsweise liegt es nahe, bei einem weiehmagnetisehen Stoff die ohnehin relativ schmale Grenzschleife (Abb. 16.15b) durch eine einzige Kurve zu ersetzen. Damit 1/il3t sich, unter Verzicht auf die Beschreibung des remanenten Magnetismus, wenigstens ein eindeutiger B-H-Zusammenhang herstellen (Abb. 16.16). Grunds/itzlich ist dann auch die Verkn//pfungsbeziehung B = / ~ H fiir isotrope ferromagnetische Stoffe anwendbar, allerdings mit feldstiirkeabhiingigen Werten der Permeabilitiit. So k6nnen wir etwa der Kurve a in Abb. 16.16 fiir Flul3dichtebetriige B < 1 T (d.h. aul3erhalb der S/ittigungsbereiche) Permeabilitiitszahlen in der Gr613enordnung von /~r = 5000 zuordnen. Sie nehmen aber mit dem Vordringen in die S/ittigungsbereiche kontinuierlich ab. Eine noch weitergehende Vereinfachung fiihrt auf die Beschreibung als ideal magnetisierbarer Kiirper. Dieses Modell entspricht dem Grenzfall ]~r ~ O0 (Abb. 16.17a) und ist deshalb nur im unges~ittigten Bereieh und nur bei relativ groBen Werten der Permeabilit~itszahl anwendbar. Wegen H - 0 ist hier jeder Kurve,

Abb. 16.16 VereinfachteMagnetisierungskurvenffir a Elektroblech (kaltgewalzt, Beispiel)und b Graugul3. Dargestellt ist der Zusammenhang der Vektorbetr~ige

Abb. 16.17 Grob vereinfachte Magnetisierungskurven. a Modell des ideal magnetisierbaren K6rpers. Bmaxmul3 unterhalb des SS,ttigungsbereichs liegen, b Modell eines ideal magnetisch s~ittigbaren K6rpers. Die Parameter Bs und ~ts sind passend zu wfihlen

16.4 Magnetisierbare K6rper

35

die ganz im K6rper verliiuft, die magnetische Spannung Null zugeordnet. Kann auf die Erfassung der magnetischen S/ittigung nicht verzichtet werden, so ist entweder eine Magnetisierungskurve nach Art der Abb. 16.16 zu verwenden, oder, fiir eine grobe Beschreibung, das Modell eines ideal magnetisch siittigbaren Kiirpers (Abb. 16.17b). Das reale Materialverhalten wird dabei im ungesiittigten Zustand durch ideale Magnetisierbarkeit, im S/ittigungsbereich durch eine Magnetisierungskurve konstanter Steigung angen~ihert; der Obergangsbereich wird nicht erfaBt. Fiir die Klassifizierung magnetischer Werkstoffe k6nnen wir, immer mit Bezug auf die geforderte oder erreichte Genauigkeit und den betrachteten Bereich, neben der Einteilung in diamagnetische, paramagnetische, ferromagnetische u./i. Stoffe, bei letzteren wieder in weichmagnetisches und hartmagnetisches Verhalten, auch die Begriffspaare linear-niehtlinear, homogen-inhomogen und isotrop-anisotrop verwenden. Linearitiit bedeutet hier in jedem festen_. K6rperpunkt Proportionalitiit, nicht notwendig aber Parallelit//t von B und H; ein Werkstoff heiBt magnetisch homogen, wenn er in jedem Punkt die gleichen magnetischen Stoffeigenschaften besitzt; er heiBt isotrop, wenn die Stoffeigenschaften in jedem K6rperpunkt richtungsunabhiingig sind. Im einfachsten Fall der linear homogen isotropen K6rper gilt die Beziehung B -/~ H mit konstanten Werten der Permeabilitiit #. Dia- und paramagnetische Substanzen lassen sich meist so beschreiben, wenn sie iiberhaupt als magnetisierbar beriicksichtigt werden miissen. Im Gegensatz dazu sind weichmagnetische K6rper, deren Verhalten sich in jedem Punkt durch dieselbe, richtungsunabhiingige Magnetisierungskurve nach Art der Abb. 16.16 darstellen liiBt, zwar homogen und isotrop, i.a. abet nichtlinear, d.h. die Permeabilitiit ist feldst/irkeabhiingig. Nur auBerhalb des S~ittigungsbereiches k6nnen wir auch solchen Stoffen n/iherungsweise konstante ~-Werte zuordnen, z.B. eine Permeabilitiitszahl von ~r 5000. Magnetisch anisotropes Verhalten finden wir in nahezu allen technischen Dauermagnetwerkstoffen, aber auch in einigen technisch wichtigen weichmagnetischen Materialien, etwa in magnetisch hochwertigen Blechen, aus denen die Kerne moderner Leistungstransformatoren hergestellt werden. Wie bereits erw/ihnt, h~ingt das magnetische Verhalten von K6rpern i.a. auch noch von anderen physikalischen Zustandsgr613en ab, etwa von den mechanischen Spannungen bzw. den lokalen Verzerrungen in einem K6rper, vor allem aber von der Temperatur. Ferromagnetische K6rper verlieren z.B. bei Ann/iherung von unten an eine ffir das Material charakteristische Temperatur, die CurieZ9-Temperatur 8c, ihre ausgepriigten magnetischen Eigenschaften und verhalten sich oberhalb von 8 c wie Paramagnete. Reines Eisen besitzt die Curie-Temperatur 8 c = 770 ~ Die formale ~hnlichkeit der Verkniipfungsbeziehung B'= #o ~ fiir den leeren Raum bzw. in nicht magnetisierbaren K6rpern und der Stoffgleichung B = # H mit # = #o/Zr, #r = const., fiir linear homogen isotrope K6rper bringt in Sonderf~illen eine starke Vereinfachung bei der rechnerischen Bestimmung magnetischer Felder mit sich. Ist niimlich der Feldraum, etwa das Innere einer Ringspule, vollstiindig mit einem einheitliehen Medium dieser Art ausgefiillt, so brauchen wir lediglich die magnetische Feldkonstante #o durch die konstante Permeabilit/it # = #0#r ZU -

-

29 Pierre Curie, 1859-1906, franziSsischer Physiker.

36

~o Das magnetische Feld

ersetzen. Die Induktivit~it von Spulen erh6ht sich dann einfach auf den/~r-fachen Wert.

Feldlinien Zur Unterstiitzung der r/iumlichen Vorstellung magnetischer Felder bieten sich die natiirlichen, direkt aus den physikalischen Eigenschaften folgenden Bilder an: R6hrenartige Strukturen ffir die magnetischen Flul3verteilungen und schichtenartige Strukturen f/ir die magnetischen Spannungsverteilungen. Daneben ist noch eine andere geometrische Darstellungsform iiblich, n/~mlich Systeme von Feldlinien, die wir mit dem Bild faserartiger Strukturen verbinden. Die Grundlage der Konstruktion magnetischer Feldlinien bildet der Begriff der Vektorlinien von Vektorfeldern 3~ Ihr Verlauf gibt an jedem Ort die Richtung der beschriebenen physikalischen Gr613e an, und fiber passende Festlegungen der Liniendichte lfil3t sich auch der Betrag erfassen. Wird so dem Vektorfeld B der magnetischen Flul3dichte ein System von Feldlinien zugeordnet, so nennen wir dieses die magnetisehen Flufidiehtelinien. Sie verlaufen immer entlang der Flul3r/Shren. Dajede Flul3r/Shre einen festen Flul3wert A q~fiihrt, enthfilt sie auch eine feste Anzahl von Flul3dichtelinien. Das Feldliniensystem zum Vektorfeld H der magnetischen Feldstfirke heil3t die magnetisehen Feldstfirkelinien. Sie stehen immer senkrecht auf die Schichtenstruktur der zugeh6rigen magnetischen Spannungsverteilung. Im leeren Raum und im Inneren von nicht magnetisierbaren oder von magnetisch linear homogen isotropen K6rpern sind die Vektoren B und H gleichgerichtet und einander fiber einen im ganzen Bereich konstanten Faktor proportional. Wir brauchen dann nicht zwischen Flul3dichtelinien und Feldstfirkelinien zu unterscheiden und sprechen einfach von magnetisehen Feldlinien. Beachten Sie: Diese Identifizierung ist i.a. nicht m6glich in magnetisch nichtlinearen, inhomogenen oder anisotropen K6rpern, also fiberall dort, wo Sie nicht die einfache Verknfipfung B -- ~ H mit konstantem, skalaren/~ anwenden k6nnen. An der Grenzfl~iche zwischen K6rpern mit unterschiedlichen magnetischen Eigenschaften mfissen wir, ~ihnlich wie im elektrischen Feld, mit r/iumlichen Spriingender lokalen Feldgr613en rechnen. Wir werden das im Kapitel 19 formal erfassen, ich m6chte Sie aber bereits hier auf eine wichtige Konsequenz fiir das Bild der Feldlinien hinweisen. In einem K6rper, dessen Verhalten wir als ideal magnetisierbar beschreiben k6nnen, ist die magnetische Feldstfirke stets identisch gleich Null, d.h. jeder Kurve, die ganz im K6rperinneren verlfiuft, ist der magnetische Spannungswert Null zugeordnet. Die K6rperoberfl~iche ist dann notwendig eine magnetische Spannungsfl~iche, und die magnetisehen Feldstfirkelinien des angrenzenden Feldrnums miinden immer senkrecht 3~. Ist das angrenzende Medium magnetisch isotrop oder fiberhaupt nicht magnetisierbar, dann gilt das gleiche auch fiir die 30 Erinnern Sie sich dazu an die fdberlegungen im Abschnitt 11.2. 31 Vorausgesetzt,die Oberfl/iche ist frei von (wahren) Fl~ichenstr6men.

16.5 Fragen

37

magnetischen Flul3dichtelinien bzw. die FluBrShren. N/iherungsweise erfiillt finden wir diese geometrische Beziehung an der Grenzfl/iche zwischen hochpermeablen und niedrig permeablen Medien.

16.5

Fragen

1. In welchem Sinn ist der magnetische Flug als ,,Flug" aufzufassen? Wie kann man magnetische Flfisse in speziellen Fallen beispielsweise sichtbar machen? 2. Nach welcher Konvention wird der Richtungssinn des magnetischen Flusses festgelegt? 3. Was verstehen Sie unter einem Spannungsstog? Welche Beziehung besteht zwischen Flugiinderungen und SpannungsstSgen in Probespulen? 4. Welche koh/irente Einheit ist dem magnetischen Flug im (VAsm)-System zugeordnet und welcher besondere Einheitenname ist daffir im SI festgelegt? 5. Was ist ein Fluxoid? 6. Welche r~iumliche Vorstellung verbinden Sie mit einer magnetischen Flugverteilung? 7. Was wissen Sie fiber die Quellen des magnetischen Flusses? 8. Wie lautet der Satz vom magnetischen Hfillenflug formal und verbal? 9. Was folgt aus dem Satz vom magnetischen Hfillenflug ffir die Flugwerte an F1/ichen mit dem selben Rand, und wie folgt diese Aussage? 10. Was bedeutet der Ausdruck "verkettet" im Zusammenhang mit dem magnetischen Flug? Wie ist der Verkettungsflug in einfachen und wie in komplizierten Ffillen erkl/irt? 11. Wodurch wird eine magnetische Flugverteilung lokal repr/isentiert und von welchem mathematischen Charakter ist diese physikalische Gr6ge? 12. Welche/iltere Bezeichnung wird auch heute noch h/iufig ffir die magnetische Flugdichte benutzt? 13. Welche koh/irente Einheit ist der magnetischen Flugdichte im (VAsm)-System zugeordnet und welcher besondere Einheitenname ist dafiir im SI vorgesehen? 14. Was bedeutet die Einheit 1 Gaug? 15. Wie erfolgt die Darstellung des magnetischen Flusses als F1/ichensumme (als F1/ichenintegral) bildlich und wie formal? 16. Worauf grfindet sich die Existenz eines magnetischen Vektorpotentials? Welche SI-Einheit ist dem magnetischen Vektorpotential zugeordnet? 17. Wie erfolgt die Darstellung des magnetischen Flusses als Kurvensumme (als Kurvenintegral) bildlich und wie formal? 18. Welcher Art von geometrischen Objekten sind magnetische Spannungen zugeordnet? 19. Durch welches Gedankenexperiment 1/igt sich der Begriff der magnetischen Spannung erlfiutern? 20. Welche koh/irente SI-Einheit ist der magnetischen Spannung zugeordnet? 21. Wie lautet der Durchflutungssatz formal und verbal? 22. Auf welche Weise enth/ilt eine magnetische Spannungsverteilung die vollst/indige Information fiber eine elektrische Stromverteilung? 23. Von welcher Art ist der Widerspruch zwischen dem Durchflutungssatz und dem Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung? Auf welche Vorg/inge ist die (n/iherungsweise) Gfiltigkeit des Durchflutungssatzes deshalb eingeschr/inkt? 24. Unter welcher Voraussetzung besitzen zwei Kurven mit den selben Anfangs- und Endpunkten den gleichen Wert der magnetischen Spannung? 25. Welche magnetische Spannungsverteilung stellt sich in der Umgebung eines geraden Linienstroms im leeren Raum ein ? Wie ist diese geometrisch zu veranschaulichen? 26. Wie kSnnen Sie allgemein magnetische Spannungsverteilungen geometrisch veranschaulichen? 27. Wie verteilt sich die magnetische Spannung im Inneren einer leeren, schlanken, gleichf6rmig gewickelten Zylinderspule? Wie grog ist ihr Gesamtwert? 28. Wie verteilt sich die magnetische Spannung im Inneren einer gleichfSrmig gewickelten Kreisringspule? Welche Rolle spielt dabei das Kernmaterial? Welche Rolle spielt die Form der Querschnittfl~iche?

38

16 Das magnetische Feld

29. Wodurch wird eine magnetische Spannungsverteilung lokal repr/isentiert ? Von welchem mathematischen Charakter sind die dabei verwendeten Gr6Ben? 30. Kennen Sie noch einen anderen Namen ffir die magnetische Feldstiirke? 31. Welche koh/irente Einheit ist der magnetischen Feldst~irke im SI zugeordnet? 32. Wie erfolgt die Darstellung der magnetischen Spannung als Kurvensumme (als Kurvenintegral) bildlich und wie formal? 33. Wie berechnen Sie die magnetische Feldst/irke in der Umgebung eines geraden Linienstroms im leeren Raum? 34. Wie berechnen Sie die magnetische Feldst/irke im Inneren einer leeren, schlanken, gleichf6rmig gewickelten Zylinderspule? Welche Rolle spielt dabei die Form des Spulenquerschnitts? 35. Wie berechnen Sie die magnetische Feldst/irke im Inneren einer gleichfiSrmig dicht gewickelten Kreisringspule? 36. Wie erfolgt die lokale Verkniipfung magnetischer Spannungs- und Flul3verteilungen im leeren Raum? 37. Auf welche Weise wird die magnetische Feldkonstante im SI festgelegt und wie grol3 ist dieser Wert? 38. Wie erfolgt die globale Verkniipfung von magnetischen Spannungen und magnetischen Fliissen bzw. von elektrischen Str6men und Verkettungsfliissen? 39. An welche Voraussetzungen ist die Existenz des InduktivitS, tsbegriffs gebunden? 40. Welche koh/irente Einheit besitzt die Induktivitiit im (VAsm)-System und welcher besondere Einheitenname ist dafiir im SI vorgesehen? 41. Wie berechnen Sie n/iherungsweise die Induktivit/it einer schlanken, gleichf/Srmig gewickelten Zylinderspule im leeren Raum ? 42. Was verstehen Sie unter den Begriffen Selbstinduktivitiit und Gegeninduktivit~it? 43. Wann bezeichnet man einen K6rper als magnetisierbar? Wie 1/il3t sich Magnetisierbarkeit im Modell der Amp~reschen ElementarstriSme erkl/iren? 44. Welche Art von elektrischen Str6men beriicksichtigen Sie im Durchflutungssatz? 45. Wann nennt man ein Material magnetisch isotrop? 46. Wie ist die (absolute) Permeabilit~it eines Materials erkl/irt, und welche koh/irente Einheit besitzt sie im SI? Was verstehen Sie unter der Permeabilitiitszahl? 47. Wann nennt man ein Materialverhalten magnetisch linear? 48. Wodurch ist paramagnetisches, wodurch diamagnetisches Materialverhalten gekennzeichnet? Wie grog sind etwa die Permeabilit/itszahlen von Luft, Wasser, Kupfer und Aluminium? 49. Warum sind ferromagnetische Werkstoffe fiir magnetische Anwendungen so iiberaus wichtig und welcher ist ihr bedeutendster Vertreter? 50. Was verstehen Sie allgemein unter einer Magnetisierungskurve? 51. Was verstehen Sie unter dem Begriff der magnetischen Hysterese? 52. Welchen Zustand bezeichnen wir als magnetisch ges/ittigt? 53. Was zeichnet die/iuBere Hystereseschleife eines Materials unter allen (quasistatischen) Hystereseschleifen aus? 54. Wie sind die Kenngr6gen Remanenzflul3dichte und Koerzitivfeldst/irke (der magnetischen Flul3dichte) erkl/irt? 55. Wann bezeichnet man ein Materialverhalten als weichmagnetisch, wann als hartmagnetisch? Wo liegt ungef~ihr die Grenze? 56. Was verstehen Sie unter einem ideal magnetisierbaren K6rper? 57. Was passiert in ferromagnetischen K6rpern bei Ann/iherung von unten an die Curie-Temperatur? Wie grog ist die Curie-Temperatur von reinem Eisen? 58. Wie ist ein System von Vektorlinien, wie ein System von Feldlinien allgemein erkl/irt? 59. Was verstehen Sie unter magnetischen Flul3dichtelinien, was unter magnetischen Feldst/irkelinien? Welche Verbindung besteht zu den Bildern der magnetischen Flul3riShren und der magnetischen Spannungsfliichen? Wann k6nnen wir einfach von magnetischen Feldlinien sprechen und warum? 60. Welche Eigenschaften besitzen magnetische Feldstiirkelinien an der stromfreien Oberfliiche hochpermeabler K6rper?

16.6 Aufgaben

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16.6 Aufgaben A16.1 Abfall des Magnetfeldes: In einem langen, geraden Leiter mit Kreisquerschnitt des Durchmessers d fliel3t ein elektrischer Strom. In welchem Abstand von der Mittelachse ist aul3erhalb des Leiters der Betrag der Feldst~irke 1% des Maximalwertes? A16.2 Stromdurchflossener Leiter mit Kreisquerschnitt: In einem langen, geraden Leiter mit Kreisquerschnitt fliel3t ein elektrischer Gleichstrom der St~irke I (Abb. A16.2a). Geben Sie die Richtung und den Verlauf der magnetischen Feldst~irke innerhalb und aul3erhalb des Leiters an.

Abb. A16.2a

A16.3 Koaxiale Metallrohre: Zwei koaxiale, kreiszylindrische Metallrohre werden in entgegengesetzter Richtung von Gleichstr/Smen der St/irke 100 A durchflossen. Die Durchmesser sind: Innenrohr innen 12 mm, aul3en 20mm; Aul3enrohr innen 30mm, aul3en 35 mm. Wie grol3 sind die magnetischen Feldst~irken an den vier Zylinderoberfl~ichen ? Skizzieren Sie den Verlauf der Feldst~irke fiber dem Radius. A16.4 Radiale FluBverteilung: Geben Sie eine Formel ftir die magnetische Fluf3dichte B" in der/iul3eren Umgebung der Offnung einer sehr langen, diinnen Zylinderspule mit dem bekannten Spulenflul3 q~an (Abb. A16.4a, d __0.

Abb. A19.3 A19.4 Streifenf'6rmiger Strombelag: Berechnen Sie aus dem in Abb.A19.4a angegebenen Magnetfeld eines geraden Stromfadens auf einem hochperrneablen Halbraum durch lineare Superposition die magnetische Flul3dichte B oberhalb des

105

19.5 Aufgaben

Stromstreifens aus Abb.A19.4b in der Symmetrieebene x = 0 und skizzieren Sie den Verlauf als Funktion von y/a.

Abb. A19.4a

Abb. A19.4b

A19.5 Leiter vor einspringender Kante: Ein gerader Linienleiter ffihrt einen elektrischen Strom der St~irke I und verl~iuft parallel zur einspringenden, rechtwinkligen Kante eines hochpermeablen K6rpers (Abb.A19.5a). (i) Skizzieren Sie Verktorlinien der magnetischen FlufJdichte und geben Sie damit ein Ersatzsystem yon geraden Linienleitern im leeren Raum fiir die Berechnung des magnetischen Feldes im Bereich x ~ 0, y ~ 0 an. (ii) Berechnen Sie speziell die magnetische FlufJdichte an der Ebene y = 0 als Funktion yon x ~ 0.

Abb. A19.5a

A19.6 Kraft auf einen Linienleiter: Der wechselstromdurchflossene, gerade Linienleiter aus Abb.A19.6a verl~iuft parallel zur ebenen Oberfl~iche eines ideal magnetisierbaren, elektrisch nicht leitf~ihigen (geeignet lamellierten) K6rpers. Stellen Sie eine passende Ersatzstromverteilung im leeren Raum her und berechnen Sie daraus allgemein die l&ingenbezogene Kraft, die auf den Leiter ausgeiibt wird. Geben Sie insbesondere deren zeitlichen Mittelwert nach Betrag und Richtung an.

106

19 Globale und lokale Eigenschaften magnetischer Felder

Abb. A19.6a

A19.7 Flfichenhafte Wirbelstromverteilung: Ein wechselstromdurchflossener, gera-

der Linienleiter verl~iuft gem~il3 Abb.A19.7a parallel zu einer Kupferplatte. Bei entsprechend hohen Frequenzen stellt sich auf der Platte eine Fl~ichenstromverteilung derart ein, dab das Platteninnere feldfrei wird (FluBverdr~ingung). Berechnen Sie diese Stromverteilung. Hinweis: Nehmen Sie eine passende ErsatzLinienstromverteilung im leeren Raum an.

Abb. A19.7a

A19.8 Dauermagnetplatte: Das magnetische Feld auBerhalb einer transversal starr magnetisierten Dauermagnetplatte (Abb.A19.Sa), gekennzeichnet durch die Remanenzflul3dichte B r = 0,4T und die Koerzitivfeldst~irke H c = B r / / ~ 0 , l~il3t sich dutch die Annahme eines Fl~ichenstroms der Dichte K = Hc entlang der Seitenfl~ichen im sonst leeren Raum analysieren. Berechnen Sie damit die FluBdichte im Mittelpunkt der Deckfl~iche.

Abb. A19.8a

19.5 Aufgaben

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A19.9 Dauermagnetschiene: Starr transversal magnetisierte Dauermagnetplatten

der RemanenzfluBdichte B r und der Dicke d lassen sich in ihrer felderzeugenden Wirkung nach auBen n~iherungsweise durch einen Linienstrom der St~irke Brd/# o entlang des Umfanges beschreiben. Berechnen Sie damit die l~ingenbezogene Kraft nach Betrag und Richtung, die auf eine hochkant parallel zu einem hochpermeablen K/Srper verlaufende Dauermagnetschiene ausge/ibt wird. Abb.A19.9a zeigt einen Querschnitt der Anordnung.

Abb. A19.9a A19.10 KrMte zwischen Dauermagnetschienen: Starr transversal magnetisierte

Dauermagnetplatten der RemanenzfluBdichte B r und der Dicke d lassen sich in ihrer felderzeugenden Wirkung nach auBen n/iherungsweise durch einen Linienstrom der St/irke Brd/la o entlang des Umfanges beschreiben. Berechnen Sie damit f/Jr die beiden langen Dauermagnetschienen aus Abb.A19.10a die gegenseitigen 1/ingenbezogenen Kr~ifte nach Betrag und Richtung.

Abb. A19.10a

Kapitel 20 Induktionserscheinungen Wie schon mehrmals erw~ihnt, bilden die Elektrizit~it und der Magnetismus eine physikalische Einheit, den Elektromagnetismus. Nur durch die Beschr~inkung auf (quasi-) statische bzw. (quasi-) station~ire Vorg~inge war eine weitgehend getrennte Behandlung fiberhaupt m6glich. Wir werden diese Einschr~inkungen nun fallenlassen, und zwar in zwei Schritten. Zuerst, in diesem Kapitel, ersetzen wir den elektrostatischen Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung durch das Induktionsgesetz, bleiben aber auf dem Boden der Quasistationarit~it. Der Durchflutungssatz soil also weiterhin gelten. Damit l~il3t sich der technisch wichtige Bereich der Induktionserscheinungen in ruhenden und in bewegten Leitern verstehen und beschreiben. In einem zweiten Schritt, im Kapitel 26, 16sen wir die im Abschnitt 16.2 festgestellte Diskrepanz zwischen dem Durchflutungssatz und dem Satz vonder Erhaltung der elektrischen Ladung in seiner allgemeinen Form auf, was der Erweiterung des Durchflutungssatzes zum A m p e r e - M a x w e l l - S a t z gleichkommt. Nun schliel3t sich der Kreis: Zeitlich sich ~ndernde Magnetfelder sind an elektrische Felder, zeitlich sich findernde elektrische Felder sind an Magnetfelder dynamisch gekoppelt. Dies begrfindet die F~ihigkeit der Ausbreitung als elektromagnetische Wellen.

20.1 Die elektromagnetische Induktion Erinnern Sie sich an die in Abb. 15.7 schematisch dargestellte Beobachtung Faradays: Wird die eine Schleife von einem elektrischen Strom wechselnder St~irke durchflossen, so zeigt sich in der anderen, benachbarten 1 Schleife ebenfalls ein S t r o m - a b e r nur dann, wenn sich der Strom in der ersten Schleife tats~ichlich zeitlich ~indert. Mit dem Satz vom Verschwinden der elektrischen Umlaufspannung ist das nicht vereinbar, weil der zweite Kreis keine Spannungsquelle enth~ilt und damit keine Spannung-zur Verfiigung steht, um den Strom fiber den Drahtwiderstand zu treiben. Die Beobachtung Faradays entzieht sich demnach der Beschreibung durch die Quasi-Elektrostatik. In der Sprache des Elektromagnetismus k6nnen wir dieses Schlfisselexperiment so verstehen: Elektrische Str6me erzeugen magnetische Felder. ~ndert sich eine magnetische Flul3verteilung, dann entsteht gleichzeitig eine wirbelartige elektrische Spannungsverteilung. Stellen Sie sich das am besten wie in Abb. 20.1 vor! Die 1 Genauer: magnetisch gekoppelten.

20.1 Die elektromagnetische Induktion

109

Abb. 20.1 GrundvorsteUungzur elektromagnetischenInduktion. Ein zeitlich sich finderndes Biindel magnetischer Flul3dichtelinienumgibt sich wirbelartigmit elektrischen Feldst~irkelinien

elektrische Umlaufspannung ist also im allgemeinen nicht gleich Null. Wir werden das jetzt ganz allgemein formulieren. Sei d irgendein orientiertes, d.h. mit einem inneren Drehsinn bzw. einem rechtswendig zugeordneten Durchtrittssinn versehenes Fl~ichenstiick und O d sein vollst~indiger, konsistent orientierter Rand (Abb. 20.2). Ist dem Flfichenstiick der magnetische Flul3 t0(d) zugeordnet und seinem Rand die elektrische Spannung (Umlaufspannung) U(Od), so gilt das Induktionsgesetz

]

U(Od) = - @(d)].

(20.1)

Kurz: ,,Die elektrische Umlaufspannung ist gleich der Abnahmerate des rechtswendig umfal3ten magnetischen Flusses." Achten Sie bei der Anwendung dieser Gleichung sorgf~iltig auf die Orientierungen! Drehen Sie eine der beiden Orientierungen (Bezugssinne fiir den magnetischen Flul3 bzw. fiir die elektrische Spannung) um, sodal3 eine linkswendige Zuordnung statt einer rechtswendigen vorliegt, miissen Sie das durch einen Vorzeichenwechsel beriicksichtigen. Vom ,,umfal3ten magnetischen Flul3" k6nnen wir deshalb sprechen, weil es als Folge des Satzes vom magnetischen Htillenflul3 nur auf die Lage der Randkurven, nicht aber auf den speziellen Verlauf der berandeten Fl~iche ankommt (Abb. 16.2). Das Induktionsgesetz (20.1)ist eine Erweiterung der elektrostatischen Grundgleichung (9.1) mit bedeutenden Konsequenzen fiir Eigenschaften der elektrischen Spannung. Erinnern Sie sich: Elektrische Spannungen sind urspriinglich immer irgendwelchen Kurven zugeordnet. In der Elektrostatik trat diese Tatsache in den Hintergrund, weil dort Umlaufspannungen immer verschwinden, elektrische Span-

Abb. 20.2 Zur Formulierung des Induktionsgesetzes. Das F1/ichenstiick kann auch L6cher haben- der vollst~indigeRand besteht dann aus mehreren Teilen. Achten Sie auf die Orientierungen (Durchtrittssinn der Flfiche und Umlaufsinn der Randkurven)

110

20 Induktionserscheinungen

nungen deshalb wegunabh~ingig sind und direkt zwei P u n k t e n - dem Anfangspunkt und dem E n d p u n k t - zugeordnet werden k6nnen, ohne weitere Angaben fiber den speziellen Kurvenverlauf. Wir schlossen daraus auf die Existenz des elektrostatischen Potentials. Im allgemeinen Fall mfissen wir auf diese Annehmlichkeiten verzichten. Die Umlaufspannung verschwindet nicht, die elektrische Spannung h~ingt tatsiichlich vom Kurvenverlauf ab und es existiert auch kein elektrostatisches Potential 2. Die Wegabh~ingigkeit der elektrischen Spannung sehen Sie deutlich in Abb. 20.3. Beispielsweise wird eine von cg1 und - cg4 berandete Fl~iche zweimal vom gleichen FluB ~1 durchsetzt, der gesamte umfaBte FluB (VerkettungsfluB)- und nur dessen ,~aaderungsrate ist ffir die Umlaufspannung m a B g e b e n d - betrS, gt ~ d ) = ~v = 2 ~ . Die Spannungen entlang cg~ und cg4 unterscheiden sich also um - 2 ~ , obwohl die beiden Wege denselben Anfangspunkt und denselben E n d p u n k t haben. Lediglich die Spannungen entlang cg~ und cg2 sind gleich, weil durch eine von cg1 und - cg2 berandete Fl~iche fiberhaupt kein magnetischer FluB tritt. Jetzt wird auch klar, warum wir bei der Formulierung der zweiten Kirchhoff-Regel die AnschluBspannung eines konzentrierten Stromkreiselements ausdrficklich einer (gedachten) Verbindungslinie zwischen den AnschluBpunkten zugeordnet haben, die auBerhalb des Elements verl~iuft. Natfirlich k6nnen wir die zweite Kirchhoff-Regel auch weiterhin verwenden, m/issen jedoch gegebenenfalls auf diese Voraussetzungen achten: Die Masehen diirfen nicht mit magnetischen Fliissen merkbarer zeitlicher Anderungsrate verkettet sein. Jedenfalls ist ffir eine eindeutige Festlegung der AnschluBspannung zu sorgen.

Abb. 20.3 Zusammenhangzwischen den elektrischen Spannungen entlang unterschiedlicher Wegemit gleichen Anfangs- und Endpunkten. Der magnetische FluB ist im wesentlichen auf den angegebenen Bereich beschr~inkt 2 In seiner Eigenschaft als Kraftfeld ist das elektrische Feld nicht mehr konservativ.

20.2 Induktion in ruhenden Leitern

111

20.2 lnduktion in ruhenden Leitern Das Induktionsgesetz erfal3t den Kern einer Reihe von elektrotechnisch genutzten Effekten- und das in einer wunderbar einfachen, trotzdem aber ganz allgemeinen Form. Sehen wir uns als Vorbereitung ftir kompliziertere Situationen zuerst an, was in einer gesehlossenen Drahtsehleife passiert (Abb. 20.4)! Der als Linienleiter angenommene, diinne D r a h t bildet den Rand ~3d eines F1/ichenstticks d und ist mit dem magnetischen Flul3 r @v verkettet3. Bei jeder )~nderung dieses Verkettungsflusses entsteht entlang der Schleife insgesamt die elektrische Spannung U = - ~v (Beachten Sie die Bezugssinne in Abb. 20.4). Besitzt nun der Draht den Widerstand R, so stellt sich, weil der Stromkreis geschlossen ist, ein elektrischer Strom der (momentanen) St~irke I = U/R = - @v/R ein. Dies ist genau die Beobachtung Faradays. Wenn Sie im speziellen einen Wechselflul3 bereitstellen, entsteht in der Schleife ein Wechselstrom. Oberlegen Sie sich den Idealfall einer widerstandslosen, geschlossenen Schleife: Welcher Strom sich auch einstellt, die Umlaufspannung ist dann immer gleich Null, und das ist nur mit einem konstanten Wert des Verkettungsflusses vertr/iglich. Natiirlich sind reale Driihte nie wirklich widerstandslos 4, sie k6nnen jedoch'ein grundlegendes Verhalten erkennen. Je geringer der Widerstand eines Stromkreises, desto gr613er ist sein Bestreben, den mit ihm verketteten magnetischen Flul3 festzuhalten. Sprungartige Xnderungen von Verkettungsfliissen geschlossener Stromkreise sind/iberhaupt nicht m6glich. Sie erkennen auch die in friiheren Zeiten h~iufig gebrauchte Lenzsche Regel (eine Variante): ,,Induzierte Str6me sind immer so gerichtet, dal3 sie der Flul3~inderung entgegenwirken." N e h m e n Sie diese Regel nur als VorstellungshilfeI Bei Rechnungen sollten Sie besser die heute gebr~iuchlichen Bezugs- und Vorzeichenregeln konsequent anwenden.

Abb. 20.4 Geschlossene Drahtschleife in einem zeitlich sich ~indernden Magnetfeld. In der Schleife wird ein elektrischer Strom induziert

3 ~v wird hervorgerufen vom Strom in der Schleife selbst, aber auch von anderen Str6men oder von Permanentmagneten. 4 Ausgenommenim supraleitenden Zustand. Dabei miissenjedoch noch andere Bedingungen erf/illt sein.

112

20 Induktionserscheinungen

Induktion in Spulen Als n~ichstes trennen wir unsere Drahtschleife auf und ftihren die beiden Enden an zwei Anschltisse, um sie mit einem ~iuf3eren Stromkreis verbinden zu k6nnen (Abb. 20.5). Fassen Sie den Draht ganz allgemein als eine Spule oder Wicklung auf mit zwei Anschlfissen und dem inneren Widerstand R. Wie der Verkettungsflul3 zustandekommt, ob allein durch den Spulenstrom selbst, oder zus~itzlich durch Kopplung mit anderen Spulen, etwa fiber einen ferromagnetischen Kreis, braucht uns vorerst nicht zu interessieren. Wir werden aber das magnetische Feld im wesentlichen auf den angegebenen Raumbereich (das Innere des Ger/ites oder Bauelementes) beschr~inken. In der Umgebung der Anschltisse gibt es dann keine merkbaren, zeitlich ver~inderlichen Magnetfelder und wir k6nnen die Anschlugspannung eindeutig den beiden Anschlugpunkten zuordnen. Damit liefert das Induktionsgesetz (20.1) fiir die Kurve 0 d , zusammengesetzt aus den Stricken Cgl und -cg2, U ( a a g ) - U(Cgl)- U ( C g 2 ) - - - &(ag),

(20.2)

oder, wenn wir die Spannung U ( ~ ) entlang des Drahtes mit dem Spulenstrom I fiber den Spulenwiderstand R verknfipfen, die AnschluBspannung U(Cg2) ohne weitere Kennzeichnung einfach U nennen und den FluB ~(ag) durch die gesamte berandete Fl~iche im VerkettungsfluB ~v zusammenfassen, d.h. U(Cgl)-

RI,

U((~r

--

U,

~ ( d ) -- q~v

(20.3)

setzen, den wichtigen Zusammenhang zwisehen den AnsehluflgriiBen einer Spule und tier Anderungsrate ihres Verkettungsflusses ,,

U--RI+ C~v 1.

(20.4)

Aehten Sie bei der Anwendung dieser Gleichung unbedingt auf die zugrundeliegenden Orientierungen und die damit verkniipften Bezugssinne (Abb. 20.5): Anschlul3spannung und Anschlul3strom sind gem~if5 dem Verbraucherbezugssystem angenommen, und der Bezugssinn des Flusses ist dem Bezugssinn des Stromes rechtswendig zugeordnet. Drehen Sie einen Bezugssinn um, miissen Sie das Vorzeichen der entsprechenden Gr613e ~indern (Abb. 20.6).

Abb. 20.5 Die Enden der Spule (innerer Widerstand R) sind zu einem Anschluf3paar aul3erhalb des Magnetfeldbereiches geftihrt

20.2 Induktion in ruhenden Leitern

113

Abb. 20.6 Allem6glichen Zuordnungen der Bezugssinne von Anschlul3spamaung,Anschlul3strom und Verkettungsflul3. a und b entsprechen dem Verbraucherbezugssystem,c und d dem Erzeugerbezugssystem Mit U = 0 erfagt G1. (20.4) auch den vorhin behandelten Fall einer kurzgeschlossenen Spule. Gilt dagegen I - 0, so sprechen wir yon einer leerlaufenden Spule. Die elektrische Spannung entlang des Drahtes ist dann gleich Null und wir k6nnen die zeitliche ~nderungsrate des Verkettungsflusses direkt als Anschlul3spannung messen. Es ist vielleicht hilfreich, wenn Sie versuchen, sich die momentane r/iumliche Verteilung der elektrischen Spannung einer solchen Situation vorzustellen- etwa mit Hilfe yon elektrischen Spannungsfliichen wie in Abb. 20.7. Den Momentanwert der elektrischen Spannung entlang irgendeiner Kurve erhalten Sie wie iiblich durch gerichtetes Abz/ihlen der durchsetzten Spannungsfliichen. Nehmen wir beispielsweise an, unsere Spule hat N Windungen, ist in einen ferromagnetischen Kreis eingebunden und sitzt auf einem Eisenkern, der den magnetischen Wechselflul3 ~ 1 - - t b sin(cot) fiihrt. Unter Vernachliissigung von Streuungen gilt f/Jr den Verkettungsflul3 t0v = N t01 und, mit Bezug auf Abb. 20.5, fiir die Anschlul3spannung der leerlaufenden Spule U = N cotbcos(o)t). An den Anschliissen messen wir demnach im Leerlauf eine sinusf6rmige Wechselspannung mit der Amplitude proportional zur Spulenwindungszahl, zur Kreisfrequenz und zur Flul3amplitude.

Fluflverdriingung und Stromverdrdngung Mit dem Verhalten von Spulen als Stromkreiselemente werden wir uns systematisch im Kapitel 21 befassen. Eine technisch wichtige Frage im Zusammenhang mit der Induktion in ruhenden Leitern m6chte ich jedoch hier noch kurz behandeln: Was passiert, wenn ein massiver Leiter mit einem zeitlich sich iindernden magnetischen Feld in Wechselwirkung tritt? Stellen Sie sich vor, ein Eisenk6rper, etwa ein Teil

114

20 Induktionserscheinungen

Abb. 20.7 Die offene Leiterschleife (in der Zeichenebene liegend) umfaBt einen Bereich mit zeitlich ver~inderlichem magnetischen FluB (Zylinder senkrecht zur Zeichenebene). Dargestellt ist der Schnitt durch die momentane Verteilung der elektrischen Spannung in der Schleifenebene (schematisch)

eines magnetischen Kreises, ffihrt einen magnetischen Wechselflul3 (Abb. 20.8a). Gem/il3 dem Induktionsgesetz entsteht d a n n entlangjeder geschlossenen K u r v e eine elektrische Umlaufspannung und es bilden sich,/ihnlich wie in der geschlossenen Leiterschleife, elektrische Str6me aus. Stromverteilungen dieser Art nennen wir Wirbelstriime. Lokal gesprochen: Die d u r c h die zeitliche ~ n d e r u n g der magnetischen FluBdichte bewirkte elektrische Feldst/irke ist fiber die Leitf'~ihigkeit des Materials mit einer elektrischen Stromdichte verknfipft ( J = 7E). Wirbelstr/Sme bedeuten zun/ichst Joule-Verluste. M a n c h m a l wird dieser Effekt technisch genutzt 5, meistens ist er j e d o c h unerwfinscht. Aul3erdem passiert noch folgendes: Wirbelstr/Sme erzeugen selbst ein Magnetfeld, das dem induzierenden Feld im wesentlichen entgegengerichtet ist. Es besteht daher die Tendenz, den ursprfinglichen WechselfluB aufzuheben oder nach auBen zu verdr/ingen. M a n nennt diesen Effekt daher Fluflverdriingung. Im Extremfall, wenn die Querabmessungen groB gegenfiber der sogenannten Eindringtiefe 6 a = v/2/(ooy~z)

(20.5)

sind, bildet sich in einer schmalen Zone (etwa der Dicke ~) entlang des Umfangs eine Wirbelstromschicht aus und das Innere bleibt v611ig feldfrei, kann also fiberhaupt 5 Etwa zur Erw/irmung von Werkstiicken in industriellen Prozessen (Induktionsheizung). 6 Tats~ichlich nehmen die Felder mit wachsendem Randabstand x nach innen etwa proportional exp ( - x/6) ab. o9bedeutet die Kreisfrequenz, 7 und # die Leitf'~ihigkeitbzw. Permeabilit~it des K6rpers. Fiirf = 50 Hz, 7 = 107 S / m und ~1,r 5000 ergibt sich z.B. ~ = 0,32mm. - - "

20.2 Induktion in ruhenden Leitern

115

Abb. 20.8 a WirbelstrSme in massiven Leitern verursachen Joule-Verluste und verhindern das Eindringen magnetischer Wechselfliisse. b Um die Ausbildung von WirbelstrSmen zu unterdriicken, werden magnetische Kreise h/iufig als Pakete elektrisch gegeneinander isolierter Bleche ausgefiihrt

nicht zur F/ihrung des magnetischen Wechselflusses genutzt werden. Aus diesem G r u n d sind massive Eisenkerne z.B. in technischen Leistungstransformatoren ganz unbrauchbar. Eine Methode zur Unterdriickung von Wirbelstr6men besteht darin, magnetische Kreise aus Blechpaketen aufzubauen, wobei die Bleche parallel zur FluBrichtung liegen und durch eine isolierende Beschichtung elektrisch voneinander getrennt sind (Abb. 20.8b). Die Einzelbleche miissen diinner als etwa die doppelte Eindringtiefe sein. AuBerdem 1/iBt sich durch Legierungszus~itze, z.B. Silizium, die elektrische Leitfiihigkeit verkleinern (silizierte Eisenbleche). Bei hohen Frequenzen (ab einigen hundert Hertz) reichen diese MaBnahmen vielfach nicht mehr aus oder sie werden unwirtschaftlich (zu diJnne Bleche). M a n verwendet dann zur FluBfiihrung elektrisch schwach leitf'~ihige, magnetische Werkstoffe auf keramischer Basis (weichmagnetische Ferrite). ,~hnliche Effekte beobachten wir auch in nicht magnetisierbaren Leitern, besonders bei hohen Frequenzen. Gem~iB G1. (20.5) ist fiir Kupfer die Eindringtiefe ~ bei 50 Hz etwa 10 mm, bei 500 kHz etwa 0,1 mm. Wenn Sie also beispielsweise Wechselstrom fiber einen Kupferdraht relativ groBer Querschnittsabmessungen fiihren, dann verteilt er sich nicht gleichm~iBig fiber den Querschnitt, sondern flieBt im wesentlichen in einer Randzone der Dicke ~ (Abb. 20.9). Diese Induktionserscheinung heiBt Stromverdr~ingung oder, wenn die stromfiihrende Schicht nur mehr durch eine diinne Haut gebildet wird, Skineffekt. Meistens fiihrt man Leiter f/Jr WechselstriSme hoher Frequenzen als B/indel sehr diinner, mit einer isolierenden Lackschicht versehener Einzeldr~ihte aus (HochfrequenzlitzenT).

7 Auch Leiter fiir WechselstriSmeniedriger Frequenzen werden h/iufig als Litzen ausgefiihrt, allerdings nicht wegen der Stromverdr~ingung,sondern zur Erh6hung der Flexibilit~it (z.B. bei Ger~iteanschluBkabeln). Die Einzeldr~ihte werden dann nicht mit Isolierlack iiberzogen.

116

20 Induktionserscheinungen

Abb. 20.9 Stromverdr~ingung. Wechselstr6me fliel3en in einem Leiter nur bis etwa zur Eindringtiefe

20.3 Induktion in bewegten Leitern Wenn eine Leiterschleife in einem Magnetfeld derart verformt, gedreht oder sonst irgendwie so bewegt wird, dab sich der umfal3te magnetische Flul3 zeitlich ~indert, dann beobachten wir Str6me in der geschlossenen Schleife bzw. Spannungen zwischen den Enden der offenen Schleife. Die Flul3verteilung im Raum braucht sich dabei zeitlich iiberhaupt nicht zu ~indern es kommt nur auf die ,~nderungsrate des Verkettungsflusses an. Das Induktionsgesetz erfal3t grundsfitzlich auch diese F~ille. Es ist aber n6tig, den Begriff der elektrischen Spannung zu prfizisieren. Erinnern Sie sich an die Oberlegungen im Abschnitt 15.2 im Zusammenhang mit der Lorentz-Kraft: Elektromagnetische Gr6gen beziehen wir gew6hnlich auf ein festes Inertialsystem - das Laborsystem - und auf geometrische Orte (Punkte, Kurven, Flfichen, Volumina), die sich gegeniiber diesem System in Ruhe befinden. Wenn wir beispielsweise von der elektrischen Feldst/irke E und der magnetischen Flul3dichte B am Ort ~ sprechen, so setzen wir voraus, dab ~ im Laborsystem ruht. Das ist wichtig! Besitzt n~mlich ~ die Geschwindigkeit F gegeniiber dem Laborsystem 8, so messen wir in einem Inertialsystem, das sich momentan zusammen mit b e w e g t - dem momentanen R u h e s y s t e m - zwar weiterhin dieselbe magnetische FluBdichte B wie im Laborsystem, anstelle von E aber die elektrische Feldst~irke E ' = E + ~ x B. Die elektrische Spannung entlang einer bewegten Kurve c~ ist demnach durch die Kurvensumme

U(~)=f E'~.ds mit

[ ~'= ~+~x

B I

(20.6)

darzustellen, wobei sich E und B auf die momentan von der Kurve/iberstrichenen, im Laborsystem festen Orte beziehen. Mit dieser nat/irlichen Erweiterung des Spannungsbegriffs gilt das Induktionsgesetz in der F o r m (20.1) aueh fiir bewegte Fliiehen und ihre Randkurven. Klarerweise beschreibt dann @(d) die gesamte Flul3iinderungsrate, sowohl durch zeitliche Nnderung der Flul3verteilung gegentiber dem Laborsystem, als auch durch Anderung des umfal3ten Flusses infolge der Bewegung. . .

8 Die Betr/ige aller auftretender Geschwindigkeiten setzen wir als klein gegen/iber der Lichtgeschwindigkeit voraus. Die resultierenden Transformationen bilden dann eine (exzellente) Niiherung der korrekten relativistischen Lorentztransformationen.

20.3 Induktionin bewegten Leitern

117

Noch ein wichtiger Punkt, den wir bei der Anwendung der elektromagnetischen Induktion in bewegten K6rpern beachten miissen: Die wirksame elektrische Feldst/irke in einem bewegten K6rper ist nicht die Feldst~irke E in bezug auf das Laborsystem, sondern die Feldst/irke E' = E + V x B beziiglich des lokalen momentanen Ruhsystems. b'gibt dabei die lokale K/Sr__pergeschwindigkeit an. Dies bedeutet im speziellen, dab wir anstelle der Beziehung J = 7E das lokale Ohmsehe Gesetz fiir bewegte, isotrope Leiter 9 I f = 7 f ' = 7 ( f +~" x if) I

(20.7)

verwenden. E und B sind die lokalen FeldgriSl3en an jenem laborfesten Ort, der gerade mit dem betrachteten K6rperpunkt (Geschwindigkeit ~') zusammenf~illt. Beachten Sie: G1. (20.7) paBt genau zu unserer Erweiterung (20.6) des Spannungsbegriffs. Die elektrische Spannung entlang eines Drahtes ist also nach wie vor mit der Stromstarke fiber das gew6hnliche Ohmsche Gesetz verkn/ipft. Deshalb k6nnen wir auch G1. (20.4) ohne formale Anderung fiir bewegte Leiterschleifen bzw. Spulen iibernehmen. . .

Rotierende Spule Drei einfache Beispiele sollen das Gesagte verdeutlichen. Stellen Sie sich als erstes eine Spule mit N Windungen vor, die mit konstanter Winkelgeschwindigkeit/2 in einer zeitlich konstanten magnetischen FluBverteilung rotiert (Abb. 20.10). Angenommen, der magnetische Flul3 durch die einfache Spulenfl~iche h~ingt vom Drehwinkel ~ ab gem~il3 41 = {bsin(~) mit {b= konst, und ~ = / 2 t . Dies ist z.B. in einem Homogenfeld so, kann aber auch durch geeignete Konturgebung im Luftspalt eines magnetischen Kreises erreicht werden. Der Verkettungsflul3 besitzt dann die Werte q~v= N ~ sin (/2 t) und die ,~nderungsraten ~bv=/2N~cos(/2t).

Abb. 20.10 Eine Spule rotiert in einem r~iumlich und zeitlich konstanten Magnetfeld. Die Spulenenden sind fiber Schleifkontakte mit den ~iul3erenAnschliissen verbunden 9 Dies gilt wieder im Rahmen der nichtrelativistischenN/iherung. Etwaige KonvektionsstriSmewollen wir in unserer quasistation~iren Betrachtung nicht beriicksichtigen.

118

20 Induktionserscheinungen

Damit liefert G1. (20.4) als Anschlul3spannung der leerlaufenden Spule U = 0 cos (.Ot) mit

0 = ,r

~,

(20.8)

also eine sinusf6rmige Wechselspannung der Amplitude O und der Kreisfrequenz 12. FlieBt Strom durch die Spule, so miissen Sie auch den RI-Term, die sogenannte ohmsche Spannung, mitnehmen und i.a. ber/icksichtigen, dab die Spule auch mit dem von ihr selbst erzeugten FluB verkettet ist, tO~= N ~sin (Ot) + LI.

(20.9)

Im Prinzip k6nnen Sie eine Anordnung dieser Art als Wechselspannungsgenerator verwenden, sie ist aber hinsichtlich der Ausnutzung des verfiigbaren Raumes nicht optimal. Technische Generatoren sehen deshalb anders aus.

Schleife m i t v e r d n d e r l i c h e r F l d c h e Als n/ichstes betrachten wir die offene Schleife aus Abb. 20.11, bestehend aus zwei festen Schienen, den Anschlul3dr~ihten und einem verschiebbaren Biigel. Das senkrecht durchsetzende Magnetfeld ist homogen und zeitlich konstant. Kennzeichnet die Lagekoordinate x die momentane Lage des Biigels und ihre ,~nderungsrate ~ = v seine Geschwindigkeit, dann ist tO= B.l.x der momentan umfal3te Flul3, und zwischen den offenen Klemmen tritt die Spannung

U = (0= Blv

(20.10)

auf. Beachten Sie die BezugssinneI Tats/ichlich ist fiir die Giiltigkeit dieser Beziehung die Homogenit~it des Magnetfeldes keine wesentliche Voraussetzung, die FluBdichte mul3 lediglich entlang des Biigels konstant sein. Bei dieser Gelegenheit m6chte ich Sie nochmals aufdie Bedeutung von U in G1. (20.4) und damit auch in G1. (20.10) hinweisen: U bezeichnet die Anschlul3spannung, nicht die Spannung entlang der Leiterbahn. Diese ist hier nach dem Ohmschen Gesetz gleichNull, weil kein Strom fliel3t. Die eben besprochene Anordnung mit dem verschiebbaren Bfigel wird gelegentlich als Ausgangspunkt fiir eine ,,physikalische" Erkl/irung der Bewegungsinduktion gew/ihlt: Die Leitungselektronen des Biigels erfahren durch die Bewegung im Magnetfeld eine Kraft - eV x B, die sie in Abb. 20.11 von rechts nach links treibt. Es

Abb. 20.11 OffeneLeiterschleife.Die zeitliche ~nderung des umfal3ten Flusses wird durch eine Verschiebung des B/igels bewirkt

20.3 Induktion in bewegten Leitern

119

findet daher eine Ladungstrennung derart statt, dab an der oberen Klemme ein ElektroneniJberschuB entsteht (Minuspol), an der unteren dagegen ein Elektronenmangel (Pluspol). Die ladungstrennende Kraft wird dann, ladungsbezogen, als Kurvensumme von ~" • B entlang der Schleife zusammengefaBt und als elektromotorische Kraft der Bewegung (kurz: Bewegungs-EMK) E=

(~ x B). d-~

(20.11)

bezeichnet (Vergleichen Sie dazu die Anmerkungen zur E M K im Zusammenhang mit Spannungsquellen im Abschnitt 8.4). In unserem Fall ist E = v Bl mit dem Richtungssinn entlang des Biigels von links nach rechts. Im Leerlauf gilt U = E, und dieses Ergebnis stimmt mit G1. (20.10)/iberein. Tats~ichlich sind die mikroskopischen Vorg~inge im Leiter wesentlich verwickelter. AuBerdem sind Situationen vorstellbar, in denen eine Erkl~irung der Bewegungsinduktion fiber die ~ x B-Kraft auf die Ladungstr~iger recht umst~indlich wird (Denken Sie sich beispielsweise den B/igel in Abb. 20.11 von einem mitgefiihrten Rohr aus hochpermeablem Material umgeben: Trotz der Abschirmung messen Sie im wesentlichen die gleiche Leerlaufspannung wie ohne Rohr). Bei makroskopischen Betrachtungen im Rahmen des Kontinuummodells halten wir uns deshalb am besten an das Induktionsgesetz und an die Materialgleichungen, z.B. an das Ohmsche Gesetz in seiner globalen und in seiner lokalen F o r m (20.7). F/ir die sichere Beherrschung der Vorzeichen pr~igen Sie sich Standardzuordnungen wie Abb. 20.6 a ein!

Faraday-Scheibe In unserem dritten Beispiel dreht sich eine Metallscheibe in einem homogenen und zeitlich konstanten Magnetfeld (Abb. 20.12). Der Rand der Scheibe und die metallische Welle sind fiber Schleifkontakte mit ruhenden ~iuBeren Anschliissen verbun-

Abb. 20.12 Die Metallscheibe rotiert in einem homogenen, transversalen Magnetfeld

120

20 Induktionserscheinungen

den. Wie groB ist die AnschluBspannung im Leerlauf? Wir werden die Frage auf zwei Arten beantworten. Zuerst betrachten wir die aus cgl und - c g 3 zusammengesetzte geschlossene Kurve. cga besteht aus den Zuleitungsdr/ihten zu den Schleifkontakten, aus einem Stiick des Scheibenumfangs, aus einer kiJrperfesten Verbindungslinie zwischen Umfang und Mittelpunkt der Scheibe (dreht sich mit) und einem St/ick der Welle. Durch die Drehung der Scheibe vergr6Bert sich die schraffierte Fl~iche, also ~indert sich der umfaBte FluB. Mit den Betr~igen B der konstanten FluBdichte und .(2- 2 n n der Winkelgeschwindigkeit (n ist die Drehzahl oder Umdrehungsfrequenz der Scheibe) gilt, wenn ~o = B aZn den FluB durch die ganze Scheibe angibt, fiir die Anderungsrate des von unserer Kurve umfaBten Flusses ~ ( d ) - q~0 O/(2n) = ~o-n. Der ganze k6rperfeste Weg (~91 ist stromfrei, also haben wir U(C#x)= 0, U ( O ~ ) = U(C#~)- U(C#3)- - U(Cg3)= - U (U ist die h n schluBspannung), und das Induktionsgesetz (20.1) liefert U = q~o-n.

(20.12)

Die zweite Analysemethode ist folgende: Wir nehmen die aus (~2 und - c g 3 zusammengesetzte Kurve als Rand eines Fl&ichenstiicks d . (~2 besteht auBerhalb der Scheibe aus denselben Teilen wie cs 1, innerhalb der Scheibe aber aus der raumfesten Verbindungslinie zwischen Schleifkontakt und Mittelpunkt. Dieses Kurvenstiick dreht sich also nicht mit. Jetzt k o m m t das zentrale Argument: Die Scheibe ist stromfrei. Vom raumfesten Standpunkt aus betrachtet (Laborsystem) herrscht wegen des Ohmschen_. Gesetzes (20.7) daher in ihrem Inneren die elektrische Feldst~irke E = - ~ ' x B. Diese Feldstfirke ist radial nach innen gerichtet, besitzt wegen v = Or (r ist der Radialabstand vom Mittelpunkt aus) den Betrag E s = B Or und liefert U ((~2) =

Es" ( - dr) = B O

rdr = B 1 2 a 2 / 2 = ~ o . n

mit 4)o = B a2n u n d / 2 = 2n n, den gleichen Bezeichnungen wie vorher. Da unsere Randkurve nun im Raum ruht, ~indert sich der umfaBte FluB nicht: & = 0 . SchlieBlich gelangen wir mit dem Induktionsgesetz U (c~r U(Cg2)- U (c#3)= 0 wieder zum selben Ergebnis (20.12), U - U (cg3)= U (cg2)= ~o n. Wenn die Scheibe mit konstanter Winkelgeschwindigkeit gedreht wird, entsteht zwischen den Anschlfissen eine Gleichspannung. Die Anordnung ist also im Prinzip als Gleichspannungsgenerator brauchbar. Es gibt tats~ichlich Maschinen nach diesem Funktionsprinzip, wenn auch in einer etwas anderen Bauform. Man nennt sie, nicht besonders treffend, Unipolarmaschinen. Ihre technische Bedeutung ist gering, weil sie zwar groBe Str6me, aber nur kleine Spannungen erzeugen. Sie k6nnen das selbst leicht absch~itzen.

20.4 Fragen 1. WelcheGrundvorstellung verbinden Sie mit dem Phfinomen der elektromagnetischen Induktion? 2. Wie lautet das Induktionsgesetz formal und verbal?

20.5 Aufgaben

121

3. Was m/issen Sie bei der Anwendung des Induktionsgesetzes hinsichtlich der Orientierung der Randkurve - insbesondere bei mehrfach zusammenh~ingenden Bereichen - sorgfiiltig beachten? 4. Welche elektrostatische Grundgleichung wird durch das Induktionsgesetz erweitert? 5. Was mtissen Sie bei der Anwendung der zweiten Kirchhoff-Regel und bei der Definition von AnschluBspannungen (Klemmenspannungen) in bezug auf Induktionserscheinungen beachten? 6. Wie verh~ilt sich eine ideal widerstandslose Leiterschleife beziiglich des mit ihr verketteten magnetischen Flusses? 7. Welche Beziehung besteht zwischen den AnschluBgr6Ben einer Spule und ihrem Verkettungsflul3? In welchen Schritten folgt diese Beziehung aus dem Induktionsgesetz, und welche Bezugssinne liegen zugrunde? 8. Was genau verstehen Sie unter dem Begriff"VerkettungsflulY'? 9. Was verstehen Sie unter Wirbelstr6men? Wie kommen diese zustande? 10. Was bedeutet magnetische FluBverdr~ingung und wie kommt sie zustande? 11. Was bedeutet Stromverdr~ingung und wie kommt sie zustande? 12. Warum und durch welche Mal3nahmen wird die Ausbildung von Wirbelstr6men meist unterbunden? 13. Wie h/ingt die elektrische Spannung entlang bewegter Kurven mit den lokalen elektromagnetischen Feldgr6Ben zusammen? 14. Wie ist das Induktionsgesetz fiir bewegte F1/ichen und deren R/inder zu modifizieren? 15. Wie formulieren Sie das lokale Ohmsche Gesetz fiir bewegte Leiter und wie ist das zu begriinden?

20.5 Aufgaben A20.1 SpannungsstoB: Z u r M e s s u n g d e r m a g n e t i s c h e n F l u l 3 d i c h t e i m L u f t s p a l t eines G l e i c h s t r o m m a g n e t e n w i r d eine in d e n S p a l t e i n g e s c h o b e n e K r e i s s c h l e i f e (Abb. A20.1) r a s c h h e r a u s g e z o g e n . D a s a n g e s c h l o s s e n e Mel3ger~it z e i g t d a b e i e i n e n S p a n n u n g s s t o l 3 v o n 0,56 m V s . W i e grol3 ist die F l u l 3 d i c h t e ?

Abb. A20.1

A20.2 Heringsches Paradoxon: D e r in A b b . A20.2a im s c h r a f f i e r t e n Q u e r s c h n i t t s k i z z i e r t e E i s e n s c h e n k e l fiihrt e i n e n k o n s t a n t e n m a g n e t i s c h e n Flul3 9 u n d w i r d zun~ichst v o n e i n e r Mel3schleife umfal3t, in d e r ein G e r ~ t z u r M e s s u n g des S p a n n u n g s s t o l 3 e s ( Z e i t s u m m e d e r e l e k t r i s c h e n S p a n n u n g ) liegt. D i s k u t i e r e n Sie die

122

20 Induktionserscheinungen

Anzeige des Mel3ger~ites, w~ihrend die Kontakte von Stellung 1 nach Stellung 2 bewegt werden.

Abb. A20.2a

A20.3 Induktion in einer offenen Schleife: Abb. A20.3a zeigt schraffiert den Querschnitt des Schenkels eines magnetischen Kreises, der einen zeitlich sinusf/Srmigen WechselfluB der Frequenz f = 50 Hz und der Amplitude ~ = 200 m W b fiihrt. Der Schenkel ist von einem offenen Drahtbiigel umgeben. Wie gro6 ist die vom Voltmeter (sehr gro6er Innenwiderstand) in den beiden Lagen angezeigte Spannung in Abh&ingigkeit vom Winkel ~?

Abb. A20.3a

A20.4 Spannung an einer Meflspule: Eine schlanke Zylinderspule mit N = 5000 Windungen und der L~inge 1 = 25 cm wird von einem 50 Hz-Sinusstrom der Amplitude f = 50mA durchflosssen (Abb. A20.4a). In ihrem Inneren befindet sich eine Me6spule mit der Querschnittsfl~iche A M= 0,79cm z und N M= 500 Windungen. Geben Sie die Spannung U M an der offenen MeBspule an.

20.5 Aufgaben

123

Abb. A20.4a

A20.5 Vibrationsmagnetometer: Ein Ger~t zur Messung magnetischer Gleichfelder verwendet als Sonde eine Spule mit N Windungen, die um eine mittlere Winkellage vibriert (Abb. A20.5a). Die Sonde wird so gelegt, dab sich ein Maximum des Spitzenwertes 0 der Leerlaufspannung U(t) einstellt. Angenommen, es wird dann 0 = 0 , 6 m V gemessen. Geben Sie den zugeh6rigen Betrag der magnetischen FlufJdichte und deren Lage relativ zur Sonde an.

Abb. A20.5a

A20.6 Drehzahlgeber mit lmpulsdrahtsensor: Das Sensorelement S des Drehzahlgebers aus Abb. A20.6 besteht aus einem speziell pr~parierten, hartmagnetischen DrahtstiJck D, dessen axiale Flul3dichte durch vorbeibewegte Dauermagnete wechselnder Polarit~t innerhalb etwa 1 ItS von B 1 n a c h - B1 springt, und umgekehrt ("Impulsdraht"). Wie grol3 ist ungefiihr der Spitzenwert des dabei zwischen den AnschliJssen 1 und 2 der Aufnehmerspule auftretenden Spannungsimpulses?

124

20 Induktionserscheinungen

Abb. A20.6

A20.7 Flufldichtewelle: Ober die in Abb. A20.7a dargestellte Schleife l~iuft eine FluBdichtewelle der Form B = B sin (kx - 090 -ez. Berechnen Sie den Zeitverlauf der Spannung U an den offenen Anschliissen.

Abb. A20.7a

A20.8 Fluflmessung: An den offenen Anschliissen einer Probespule mit N Windungen, die gem~iB Abb. A20.8a einen FluBpfad umfaBt, wird die angegebene Wechselspannung U(t) gemessen. Berechnen Sie daraus und skizzieren Sie den Zeitverlauf des zugehSrigen magnetischen Flusses ~(t). Wird durch eine Messung dieser Art der gesamte magnetische FluB durch den Querschnitt erfaBt?

Abb. A20.8a

125

20.5 A u f g a b e n

A20.9 Tangentialfeldspule: Zur Messung der magnetischen Feldst~irke in Eisenteilen werden sogenannte Tangentialfeldspulen an den K6rper gelegt (Abb. A20.9). Im vorliegenden Fall ergibt sich eine 50 Hz-Sinusspannung der Amplitude 0,95 rnV. Wie groB ist die Amplitude der Tangentialfeldst~irke im Eisen?

Abb. A20.9

A20.10 Induktion in einer geschlossenen Schleife- Die beiden Drahtstiicke aus Abb. A20.10a mit den Widerst/inden R 1 = 50g2bzw. R E = 100,(2 sind in den Punkten A und B leitend verbunden und umfassen einen 50 Hz-SinusfluB mit der Amplitude ~ = 100 mWb. Welche Spannung wird vom Voltmeter in den beiden Lagen angezeigt? Das Magnetfeld zufolge des Schleifenstroms kann vernachl~issigt werden.

Abb. A20.10a

A20.11 KurzschluBwindung: Um das Eisenjoch aus Abb. A20.11 eines Transformators, das einen 50 Hz-SinusfluB ffihrt, wird eine kurzgeschlossene Drahtschleife gelegt. Geben Sie die Amplitude f des resultierenden Schleifenstroms unter Vernachl/issigung der Schleifeninduktivit~it an.

126

20 Induktionserscheinungen

Abb. A20.11

A20.12 lnduktion mit Dauermagnetstab: Ein starr axial magnetisierter Dauerma-

gnetstab besitzt die Polst~irke (-- magnetischer Flul3 durch den Mittenquerschnitt) P - 0,1 mVs (Abb. A20.12a). Er wird in eine zun/ichst offene, widerstandslose Spule geschoben und diese dann widerstandslos kurzgeschlossen (Abb. A20.12b). Anschliel3end wird der Stab wieder aus der Spule entfernt. Wie grol3 ist der sich einstellende Spulenstrom?

Abb. A20.12a

Abb. A20.12b

A20.13 Topfspule: Sie stelten eine Topfspule mit Ferritkern her und es zeigt sich, dab die Induktivit~it um 5 % fiber dem gewiinschten Wert liegt. Um wieviel Prozent miissen Sie die Windungszahl korrigieren? Um welchen Prozentsatz ~indert sich dann die magnetische Flul3dichte im Kern, gleiche Amplitude der anliegenden Sinusspannung vorausgesetzt? Geben Sie auch die Richtung der ,~nderungen (gr6Ber-kleiner) an. A20.14 Bewegungsinduktion: In einem diinnwandigen Messingrohr steckt konzen-

trisch ein Dauermagnetstab (Abb. A20.14). Die Flul3verteilung ist drehsymmetrisch und liefert die Fliisse Os durch die Stirnfl~iche und OM durch die Mantelfl~iche des Rohres. Wie grol3 ist die durch Schleifkontakte abgegriffene Spannung U in jedem der angegebenen acht Fiille? Dabei bedeutet s "steht still" und r "rotiert mit der Winkelgeschwindigkeit/2 = 100 ~zs- 1,,, beides in bezug auf ein Inertialsystem.

20.5 Aufgaben

127

Abb. A20.14

A20.15 Unipolargenerator: Der dfinnwandige Metallzylinder aus Abb. A20.15a (1 = 300mm, d = 150mm) rotiert in einem radialen Magnetfeld der Flul3dichte B r = 1,6T mit der Drehzahl n = 3000 m i n - 1. Wie groB ist die an den Schleifkontakten gemessene S p a n n u n g U?

Abb. A20.15a

A20.16 Induktion in rotierenden Scheiben: Zwei metallene Riider rotieren gemiil3 Abb. A20.16a gegeneinander mit der Drehzahl n. Senkrecht dazu steht ein homogenes Magnetfeld. Berechnen Sie allgemein, aber vorzeichenrichtig, den Wert der zwischen den beiden Drehachsen auftretenden elektrischen Spannung U.

128

20 Induktionserscheinungen

Abb. A20.16a A20.17 Induktion in einem geraden Leiter: Ein gerader Leiter wird mit konstanter Geschwindigkeit transversal durch ein ann~ihernd homogenes Magnetfeld kreisfiSrmigen Querschnitts gezogen (Abb. A20.17a). Berechnen und skizzieren Sie den Zeitverlauf der gemessenen Spannung U.

Abb. A20.17a A20.18 Induktion in einem abgeschirmten Leiter: Ein gerader Kupferleiter bewegt sich zusammen mit einem ihn umgebenden, hochpermeablen Eisenrohr in einem ursprtinglich ann~ihernd homogenen Magnetfeld (Abb. A20.18a). Wie grol3 ist die elektrische Spannung U zwischen den offenen Anschlul3punkten?

Abb. A20.18a

20.5 Aufgaben

129

A20.19 Spule im r~umlich periodischen Spaltfeld: Die rechteckige Spule mit N Windungen aus Abb. A20.19a wird mit konstanter Geschwindigkeit v durch ein transversales magnetischesFeld (schraffierter Bereich) gezogen, dessen FluBdichte in der Spulenebene gem~iB B = B s i n ( n x / z ) 6 " z, ~ =const, verl~iuft. Berechnen Sie den Zeitverlauf der Spannung U an den leerlaufenden Anschliissen (Bezugssinn beachten!).

Abb. A20.19a

A20.20 Magnetohydrodynamischer (MHD) Generator: Durch einen rechteckigen Kanal aus Isoliermaterial flieBt gleichf#rmig mit der Geschwindigkeit ~"eine elektrisch leitfiihige Fltissigkeit (_Abb. A20.20a). Senkrecht dazu ist ein gleichfiSrmiges Magnetfeld der FluBdichte B eingepr~igt. Leiten Sie eine Formel ab f/Jr die Leerlaufspannung U, die durch diesen Generator zwischen den Anschltissen der innenliegenden Metallelektroden erzeugt wird (Vorzeichen beachten !).

Abb. A20.20a

Kapitel 21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren Konzentrierte Stromkreiselemente mit zwei elektrischen Anschliissen, deren wesentliche Eigenschaft die Induktivit~it ist, nennen wir Spulen. Sind zwei oder mehrere Spulen in konzentrierten Stromkreiselementen zum Zweck der Energie-oder Signalfibertragung induktiv gekoppelt, so sprechen wir von Transformatoren bzw. von Ubertragern. Obwohl die konstruktive Gestaltung dieser induktiven Bauelemente oder Ger~ite je nach Verwendung ganz unterschiedlich ausfallen kann, ist das Grundprinzip immer gleich: Drahtwicklungen, gelegentlich auch Metallfolien, und meistens hochpermeable Kerne zur konzentrierten Fiihrung des magnetischen Flusses.

21.1 Spulen Abgesehen vonder Verwendung als Kopplungselemente werden Spulen wegen ihres Verhaltens in Stromkreisen mit zeitlich verfinderlichen Str6men und Spannungen eingesetzt: Gleichstr~Sme k6nnen durch Spulen nahezu ungehindert flieBen (es steht ihnen nur der Drahtwiderstand entgegen), w~ihrend sie ffir Wechselstr6me mit steigender Frequenz eine immer h6her werdende Barriere darstellen. Als Schaltzeichen fiir Spulen verwenden wir die in Abb. 21.1 gezeigten Symbole. Die angefiigten Pfeile bedeuten eine rechtswendige Zuordnung der Bezugssinne ffir die Stromstfirke und den Verkettungsflul31, und dafiir gilt die Verkettungsgleichung (16.12) in ihrer urspriinglichen Form, ]q~v = L I 1.

(21.1)

Wenn Sie gegenfiber Abb. 21.1a einen der Bezugssinne umdrehen, was einer linkswendigen Zuordnung entspricht, dann miissen Sie anstelle von (21.1) die Gleichung ~v = - L I verwenden. Der Zusammenhang zwischen dem Verkettungsflul3 und dem Strom mul3 im Betriebsbereich nicht notwendig wie in Abb. 21.1 c linear sein, z.B. wenn sich magnetische S~ittigung des Kernmaterials bemerkbar macht. Wir nennen die Spule dann nichtlinear wirkend oder kurz nichtlinear. Gilt dagegen die Verkettungsgleichung (21.1) mit konstanter Induktivitiit im gesamten Betriebsbereich und ist auBerdem der Widerstand gleich Null, dann sprechen wir von einer idealen Spule. Das ist natiirlich nur ein Modell. Der unvermeidbare Widerstand realer Spulen lfiBt 1 Gleichgfiltig, wie die Spule gewickelt ist.

21.2 Berechneneinfacher Schaltungen mit Spulen

131

Abb. 21.1 Gebr~uchliche Schaltzeichen und Kennlinien ffir Spulen. a Bevorzugt zu verwenden, b Ausweichsymbol,c linearer Zusammenhang zwischen VerkettungsfluB und Strom sich aber in einer Ersatzschaltung leicht durch einen Widerstand in Reihe mit der idealen Spule beriicksichtigen. Fiir die Beschreibung des Verhaltens von idealen Spulen in Stromkreisen ben6tigen wir den Z u s a m m e n h a n g zwischen Anschlul3spannung und Stromst&irke. Wir brauchen dazu lediglich G1. (21.1) mit dem Induktionsgesetz in der F o r m (20.4) fiir R = 0 zu verknfipfen und erhalten mit den Bezugssinnen aus Abb. 20.6 a die

Elementgleichung fiir ideale Spulen [U=Li

].

(21.2)

In Worten: An einer idealen Spule ist die AnschluBspannung proportional der zeitlichen Anderungsrate der Stromst~irke. Der konstante Proportionalit~itsfaktor ist die Induktivit~it der Spule. Wichtig ist die Zuordnung der Bezugssinne. Sie sehen das in Abb. 21.2.

21.2

Berechnen einfacher Schaltungen mit Spulen

Was bewirkt nun der Z u s a m m e n h a n g (21.2) zwischen AnschluBspannung und Stromst~irke in einem Stromkreis? Sehen wir uns als erstes an, wie die Reihenschaltung einer idealen Spule mit einem Widerstand auf einen Spannungssprung reagiert (Abb. 21.3). Angenommen, an den ~iuBeren Anschliissen liegt fiber lange Zeit eine

Abb. 21.2 Ideale Spule. Bezugssinnevon Strom und Spannung und zugeh6rige Elementgleichungenim Verbraucherbezugssystem a und im Erzeugerbezugssystemb

132

21 Schaltungen mit Spulen und Transformatoren

Abb. 21.3 An der Reihenschaltung einer idealen Spule mit einem Widerstand liegt die Gleichspannung U = U a. Zum Zeitpunkt t = 0 wird fiber die/iuBere Schaltung (nicht gezeichnet) die Spannung sprungartig auf den konstanten Wert U = U 2 ver~indert

Spannung mit dem konstanten Wert U1. Alle Anderungensraten sind dann gleich Null; im speziellen gilt t < O"

i = O, ~ UL = L I = O, ~ UR = U 1 -- UL = U

1, =:~

I = UR/R = U

1/R,

d.h. die Stromst/irke wird allein durch die anliegende Spannung und den Widerstand bestimmt, und die Spule ist mit dem magnetischen FluB L I verkettet. Springt nun die angelegte Spannung U zum Zeitpunkt t = 0 auf den Wert U2, so h/ilt die Spule im ersten Augenblick ihren VerkettungsfluB und damit auch den Strom I - U 1 / R fest 2. Die Spannung am Widerstand bleibt daher gleich U 1, und die Spannung der Spule springt auf den Wert UL = U -- U R = U 2 - U 1 , d.h. t=0+:

I=U1/R,

=~ U R = U1,

=~ U L = U z - - U 1 .

Mit UL 4: 0, sagen wir U L > 0 (ffir U2 > U1), beginnt sich nun der Strom zu ~indern, U L / L > O . Er nimmt zu, gleichzeitig wfichst die Spannung UR = R I , und UL = U 2 - UR nimmt zusammen mit der ,~nderungsrate i = U L / L ab. Der ganze Vorgang dauert so lange, bis die Spule den neuen konstanten Strom I = U 2 / R fiihrt (Abb. 21.4). In der mathematischen Darstellung der Oberg~inge mit Hilfe der natiirliehen Exponentiaifunktion erscheint als charakterische Gr6Be fiir den Zeitverlauf die sogenannte Zeitkonstante i=

: = L/R]

(21.3)

der R-L-Schaltung. ~hnlich wie bei R-C-Schaltungen gilt auch hier die praktische Regel: Nach etwa S Zeitkonstanten haben alle Gr6gen ihren Endwert mit ausreichender Genauigkeit erreicht (Abweichung kleiner 1% der Gesamt~nderung). Die Zeitkonstante der R-L-Reihenschaltung legt einen ZeitmaBstab fest, gegeniiber dem zeitliche Vorgfinge als rasch oder als langsam ablaufend eingestuft werden k6nnen, Frequenzen von Wechselgr6gen grog oder klein sind. Angenommen, die Anschlul3spannung der Schaltung in Abb. 21.3 springt periodisch zwischen den Werten U1 und U2, ist also die Oberlagerung der Gleichspannung (U1 + U2)/2 mit einer rechteckf6rmigen Wechselspannung der halben Schwingungsbreite (U2 - U1)/2 (Abb. 21.5). Ist die halbe Periodendauer klein gegeniiber der Dauer des 2 Bei einer sprunghaften Anderung des Verkettungsflusses miiBte die AnschluBspannung der Spule im Sprungzeitpunkt einen unendlich groBen Wert annehmen.

21.2 Berechnen einfacher Schaltungen mit Spulen

133

Abb. 21.4 Die an der Reihenschaltung in Abb. 21.3 liegende Spannung U ~indert sich zum Zeitpunkt t = 0 sprungartig vom Wert Ux auf den Wert U2. Dargestellt ist der anschlieBende Zeitverlauf des Stromes I und der AnschluBspannung der Spule UL ffir unterschiedliche Werte der Zeitkonstanten

"c=L/R.

Abb. 21.5 An der R-L-Reihenschaltung a liegt eine pulsierende Spannung b. Gilt T/2 _ O. Bestimmen Sie daraus den Maximalwert der Spannung U c.

Abb. A21.13a

A21.14 RL-Reihenschaltung mit periodischem Strom: Angenommen, der Strom in einer Reihenschaltung yon R = 20.Q und L = 0 , 1 H besitzt den in Abb. A21.14a angegebenen Verlauf. Wie verlaufen dann die Teilspannungen U R, U L und die Gesamtspannung?

Abb. A21.14a

150

21 Schaltungenmit Spulen und Transformatoren

A21.15 RL-Parallelschaltung: An die RL-Parallelschaltung Abb. A21.15a wird zum Zeitpunkt t = 0 die rechteckf/Srmige Wechselspannung Abb. A21.15b gelegt. Skizzieren Sie den Verlauf des Stromes I (i) fiir eine ideale Spule, (ii) f/Jr eine reale Spule (mit kleinem Widerstand) nach langer Zeit.

Abb. A21.15a

Abb. A21.15b

A21.16 Differentiation durch RL-Glied: Am Eingang des RL-Gliedes Abb. A21.16a liegt die periodische Spannung UE aus Abb. A21.16b. Bestimmen Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung UA fiir die Grenzf~ille (i) groBer Frequenz, (ii) kleiner Frequenz. (iii) Wie/~ndern sich die Ergebnisse, wenn die Spule nicht ideal ist, also einen merkbaren Widerstand besitzt ?

Abb. A21.16a

Abb. A21.16b

A21.17 Integration durch RL-Glied: Am Eingang des RL-Gliedes Abb. A21.17a liegt die rechteckf6rmige Wechselspannung U E aus Abb. A21.17b. (i) Bestimmen Sie den Zeitverlauf der Ausgangsspannung U A unter der Voraussetzung groBer Frequenzen. (ii) Wie /indert sich das Ergebnis, wenn die Spule nicht ideal ist, also einen merkbaren Widerstand besitzt ?

21.5 Aufgaben

151

Abb. A21.17a

Abb. A21.17b

A21.18 Leistung an einer idealen Spule: Durch die Reihenschaltung einer idealen Spule ( L = 4H) mit einem Widerstand (R = lf~) fliel3t der 50Hz- Wechselstrom 2A-sin (090. Berechnen und skizzieren Sie den Verlauf der zugefiihrten Leistung fiir die Spule und den Widerstand. Wie grol3 sind die zeitlichen Mittelwerte? A21.19 Leerlaufspannung in einem gekoppelten Kreis: Geben Sie fiir die Schaltung Abb. A21.19a den Verlauf der Spannung U an, wenn der Sinusstrom I q = 5A-sin (cot) mit f = 50 Hz eingepr~igt wird.

Abb. A21.19a A21.20 Ausgleichsvorgang: In der in Abb. A21.20a angegebenen Ersatzschaltung ist zum Zeitpunkt t = 0 der Momentanwert I = 30mA bekannt. Skizzieren Sie den Verlauf der Spannung U am leerlaufenden Ausgang fiir t > 0.

Abb. A21.20a

152

21 Schaltungenmit Spulen und Transformatoren

A21.21 Drei gekoppelte Spulen: Drei gekoppelte Spulen mit vernachl~ssigbarem Widerstand sind wie in Abb. A21.21 a angegeben zusammengeschaltet. Wie grol3 ist der Wert der Ersatzinduktivitfit beziiglich der Anschliisse 1 und 2?

Abb. A21.21a

A21.22 Ersatzschaltungen fiir gekoppelte Spulen: Bestimmen Sie fiir die Kombinationen Abb. A21.22a bis Abb. A21.22d widerstandsloser, gekoppelter Spulen die Parameter der angegebenen Ersatzschaltungen mit ungekoppelten Spulen.

Abb. A21.22a,b,c,d A21.23 Messen der gegenseitigen lnduktivit~it: An zwei gekoppelten Spulen werden zwischen den fiul3eren Anschliissen in der Schaltung Abb. A21.23a 2mH und in der Schaltung Abb. A21.23b 6mH gemessen. Bestimmen Sie daraus den Wert der gegenseitigen Induktivit~it und setzen Sie die zugeh6rigen Bezugspunkte.

21.5 Aufgaben

153

Abb. A21.23a

Abb. A21.23b

A21.24 Kopplung zweier Spulen: Eine Spule mit R = 2 f2 und L~ = 0,12H wird an eine Gleichspannung von 100V gelegt. Eine zweite Spule mit L2 = 0,3H bleibt often, ist aber mit der ersten Spule fiber den Kopplungsgrad k : 0,8 induktiv verknfipft. Berechnen Sie ffir die erste Spule die Werte des Stromes, der Anderungsrate des Stromes und der Spannung an der offenen zweiten Spule (i) unmittelbar nach dem Einschalten, (ii) nach Ablauf einer Zeitkonstanten, (iii) lange Zeit nach dem Einschalten. An die Anschlfisse der ersten Spule wird nun zus~itzlich ein 10-f2-Widerstand gelegt und dann wird die Verbindung zur Quelle unterbrochen. Berechnen Sie die Werte wie oben nach dem Ausschalten. A21.25 Transformator-Ersatzschaltung: Zeigen Sie, dag die Kombination in Abb. A21.25a eine Ersatzschaltung fiir zwei gekoppelte Spulen mit den Parametern L l, L2, k und den Spulenwiderst/inden Rl und R2 darstellt. Wie grog ist n zu w~ihlen?

Abb. A21.25a

A21.26 T-Ersatzschaltung: Der in Abb. A21.26a angegebene Transformator soll durch die ~iquivalente Schaltung Abb. A21.26b mit ungekoppelten Spulen und einem idealen Transformator ersetzt werden. Berechnen S ie fiber die Grundgleichungen ffir gekoppelte Spulen die Parameter Lh, L~ und L2~ aus gegebenen Werten L~, L2 und M.

154

21 Schaltungenmit Spulen und Transformatoren

Abb. A21.26a

Abb. A21.26b

A21.27 Streutransformator: Der in Abb. A21.27a angegebene Transformator mit bekannten Windungszahlen und Spulenwiderst~inden, einem ann/ihernd ideal magnetisierbaren Kern und einem Streuspalt bekannter Reluktanz R m kann durch die Ersatzschaltung Abb. A21.27b dargestellt werden. Berechnen Sie allgemein die Ersatzparameter R und L~. Vernachl/issigen Sie dabei andere Streuungen.

Abb. A21.27a

Abb. A21.27b

A21.28 Transformator mit zwei Streuspalten: Der magnetische Kreis des kreiszylindrisch aufgebauten Transformators aus Abb. A21.28a ist zur Herstellung eines besonderen Verhaltens mit zwei Luftspalten ausgestattet: Einem umlaufenden radialen (Ar, lr) und einem axialen (Aa,/a)" Berechnen Sie n~herungsweise die Parameter n, Lh, Lla , L2~ der Ersatzschaltung Abb. A21.28b.

Abb. A21.28a

Abb. A21.28b

21.5 Aufgaben

155

A21.29 Ubertragung auf die Prim~irseite: Geben Sie ftir die Schaltung Abb. A21.29a eine Ersatzschaltung ohne gekoppelte Spulen an.

Abb. A21.29a

A21.30 Idealer Transformator mit drei Wicklungen: Der ideale Transformator aus Abb. A21.30a hat zwei Wicldungen mit je N Windungen und eine dritte Wicklung mit n N Windungen. Am Eingang der Schaltung flieBt der zeitlich variable Strom IE. (i) Geben Sie einen Ausdruck fiir die Ausgangsspannung UA an. (ii) Es sind n = 2, R1 = R2 = 1 0 0 ~2, R3 = R4 = R5 -- 1 kf2. Wie ~indert sich UA, wenn IE um 0,1 A zunimmt? (iii) Fiir welches Verh~iltnis der Widerst~inde R3 und R4 verschwindet UA?

Abb. A21.30a

K a p i t e l 22

Sinusschwingungen Einen Vorgang, dessen Zeitabh/ingigkeit sich durch eine Sinus- oder eine Kosinusfunktion mit einem linear zeitabh/ingigen Argument beschreiben 1/il3t, nennen wir Sinussehwingung. Die zugeh6rige physikalische Gr613e, die sinusf6rmig schwingt, heiBt SinusschwingungsgriSl3e, kurz Sinusgriifle, z.B. Sinusspannung oder Sinusstrom. Auf dem Gebiet der sogenannten Wechselstromtechnik gibt es eine Reihe derartiger Begriffe, eigenst/indige Bezeichnungen und Methoden. Die wichtigsten davon werden Sie jetzt kennenlernen.

22.1

Darstellungen von SinusgriiBen

In der Elektrotechnik hat sich folgende Schreibweise eingebiirgert: Soll die Zeitabh/ingigkeit zeitlich ver/inderlicher Spannungen, Str6me und Leistungen besonders hervorgehoben werden, dann verwendet man als Gr613ensymbol fiir die Augenblickswerte die entsprechenden Kleinbuchstaben, also u, i und p anstelle yon U, I und P. Wir werden uns dem im folgenden anschliegen. Die Grogbuchstaben U, I und P bleiben den noch zu definierenden Effektivwerten von Spannung und Strom bzw. der Wirkleistung vorbehalten.

Reelle und komplexe Darstellung Der Zeitverlauf einer Sinusgr6Be, sagen wir x, 1/il3t sich mit Hilfe einer Sinus- oder Kosinusfunktion angeben. Wir werden hier die reelle Standardform x = 2 cos(~ot + ~Ox)]

(22.1)

mit der Kosinusfunktion als Darstellung verwenden. Dabei gibt die Gr613e 2 den maximalen Wert von x innerhalb einer Periode an. Wir nennen sie die Amplitude (den Scheitelwert) der Sinusgr613e, und ihr Zahlenwert ist immer positiv. Den augenblicklichen Schwingungszustand eines periodischen Vorganges bezeichnet man allgemein als dessen Phase. In Anlehnung daran heil3t das Argument q) = co t + ~ox der Kosinusfunktion der Phasenwinkel, und sein Wert q~xzur Zeit t = 0 der Nullphasenwinkel. Die Kreisfrequenz (Winkelfrequenz) co h/ingt mit der Fre-

157

22.1 Darstellungen von Sinusgr6Ben

quenz (Periodenfrequenz) f u n d

der Periodendauer T bekanntlich fiber

I co = 2 rcf = 2 rc/ T ]

(22.2)

zusammen. Wie Sie sehen, 1/iBt sich eine Sinusgr6Be durch die Angabe ihrer Amplitude, ihrer Kreisfrequenz und ihres Nullphasenwinkels mit der reellen Standardform vollstiindig charakterisieren. Welchen Wert der Nullphasenwinkel besitzt, h/ingt natiirlich davon ab, wo Sie den Nullpunkt auf der Zeitskala fixieren (Abb. 22.1). Die absolute Lage des Zeitnullpunktes ist grundsiitzlich physikalisch belanglos, er muB aber ffir alle an einer Schwingung beteiligten Sinusgr6gen derselbe sein. Nur dann k6nnen Sie deren Augenblickswerte untereinander vergleichen. Es gibt noch eine andere M6glichkeit der Darstellung von Sinusgr6Ben, und zwar fiber die natfirliche Exponentialfunktion mit rein imaginiirem Argument. Ausgangspunkt daffir ist die Euler-Beziehung 1 exp(j q9) = e jo = cos(qg) + j sin(qg),

(22.3)

wobeij 2 = - 1. Eine komplexwertige Gr6Be 2 x_mit dem Betrag I_x[und dem Winkel (Bogen) q9 = arc (x_) 1/iBt sich damit als x_ - [ x l e j~ - I x l cos(~0)+ j Ix_[ sin(qg),

(22.4)

d.h. Re(x_) = Ix_lcos(~o),

Im (_x)= Ix_lsin(qg)

(22.5)

angeben. Identifizieren wir nun den Betrag und den Winkel einer komplexen Gr6Be mit der Amplitude bzw. dem Phasenwinkel einer Sinusgr6Be = Ix_l,

q~

= o9t + qgx = arc (_x),

(22.6)

Abb. 22.1 Reelle Standardform zur Darstellung von SinusgriSgen

1 Leonhard Euler, 1707-1783, Schweizer Mathematiker und Physiker. 2 Komplexe Gr6gen werden wir hier i.a. durch Unterstriche kennzeichnen. Diese besondere Kennzeichnung ist notwendig, weil wir dieselben Kernbuchstaben auch fiir die entsprechenden reellen Gr6Ben verwenden.

158

22 Sinusschwingungen

so gilt 3 x = Re (_x)= 89 + x_*)= :~ cos(cot + q9x) 1,

(22.7)

was der reellen Standardform (22.1) entspricht. Wir nennen I x_= :~eJ"~

~_e j~'t

mit

~ = :~ej~x ]

(22.8)

die komplexe Standardform der Darstellung einer Sinusgr6Be. Ihr Realteil ist die reelle Standardform. Die zeitabh/ingige Gr613e x_bezeichnet man als den komplexen Augenblickswert der Sinusgr6Be x, und ~ ist ihre komplexe Amplitude. Die komplexe Darstellung von Sinusgr6Ben erlaubt eine besonders anschauliche geometrische Deutung: Der Wert _x einer komplexen Gr613e entspricht einem Punkt in der GauBschen Ebene, festgelegt gemaB G1. (22.4) entweder durch die kartesischen Koordinaten Re(x_) und Im (x_), oder durch die Polarkoordinaten Ixl und arc (_x). Um das noch deutlicher zu machen, wird meistens ein gerader Pfeil vom Nullpunkt zum darzustellenden Punkt (Pfeilspitze) gezeichnet (Abb. 22.2). Solche Pfeile nennt man Zeiger, eine Bezeichnung, die bequemerweise auf alle komplexen Sinusgr6Ben wie komplexe Augenblickswerte, komplexe Amplituden und komplexe Effektivwerte (noch zu definieren), aber auch aufkomplexe Koeffizienten (Quotienten komplexer Sinusgr6Ben gleicher Frequenz) iibertragen wird. Die L~inge des Zeigers gibt, fiber einen geeigneten MaBstab (z.B. 1 cm ~ 50 V fiir einen Spannungszeiger), den Betrag der komplexen Gr613e an. Sie entspricht also bei komplexen Augenblickswerten und bei komplexen Amplituden der Amplitude der dargestellten Sinusgr/SBe. Den Zeiger des komplexen Augenblickswertes haben Sie sich rotierend vorzustellen, und zwar im Gegenuhrzeigersinn mit der Kreisfrequenz 09 (daher stammt die Bezeichnung ,,Kreisfrequenz" oder ,,Winkelfrequenz"). Die Normalprojektion der Zeigerspitze auf die reelle Achse liefert dann den jeweiligen Augenblickswert. Vielleicht erscheint Ihnen die Verlegung des Schauplatzes in die komplexe Ebene als eine unn6tige Komplikation. Tats/ichlich ist das Gegenteil der Fall. Die komplexe

Abb. 22.2 Zeigerdarstellung des komplexen Augenblickswertes x und der komplexen Amplitude 8 einer SinusgriSBex 3_x*ist die zu _xkonjugiert komplexe Gr6Be.

22.1 Darstellungenvon Sinusgr6Ben

159

Darstellung von Sinusvorg/ingen bringt zwar physikalisch nichts Neues, es 1/iBt sich damit aber die Beschreibung eingeschwungener Zust/inde in linearen Systemen wesentlich besser organisieren und fibersichtlicher gestalten als fiber die reellen Winkelfunktionen. Grundlage dafiir ist folgendes: Fiihren in einem System die ErregungsgrSBen u~, =/~kCOS(COt-+-Ok)auf den eingeschwungenen Zustand Xtl ~2/cos(cot + qgl),so liefern die Erregungsgr6gen u~ = Uksin(cot + ~k) den eingeschwungenen Zustand x 7 = 2~ sin(cot + qgl), weil die Wahl des Zeitnullpunktes physikalisch unwesentlich ist. In linearen Systemen gilt nun das Oberlagerungsprinzip. Wir k6nnen daher die ErregungsgriSBen formal kombinieren gem/ig U_k= U~,+ jU~ = Ukexp[j(cot + ~'k)] und erhalten die zugeh6rige station/ire Schwingung in der komplexen F o r m X_l= x 'l +jx'/' = 2/ exp [j (co t + (p/)]. Der Vorteil besteht darin, dab sich so das etwas umst/indliche Hantieren mit Kreisfunktionen auf einfache algebraische Operationen mit komplexen Zahlen zurfickffihren 1/igt. AuBerdem liefern die graphischen Darstellungen als Zeiger in der GauBschen Ebene eine anschauliche Deutung der Beziehungen der Gr6Ben untereinander. Beachten Sie abet: Die Methode der Analyse von eingeschwungenen Zust/inden mit Hilfe der komplexen Rechnung ist wegen der Voraussetzung des Uberlagerungsprinzips nur f'tir lineare Systeme oder lineare Ersatzsysteme anwendbar.

Rechnen

mit

Sinusgr6flen

Die Regeln fiir das Rechnen mit Sinusgr6Ben folgen unmittelbar aus den bekannten Eigenschaften der Kreisfunktion bzw. der komplexen Zahlen. Wir brauchen deshalb hier nicht n/iher darauf einzugehen. Ich m6chte jedoch auf drei Eigenschaften besonders hinweisen:

1. Die Uberlagerung (die Summe) zweier Sinusgriiflen gleicher Frequenz liefert wieder eine SinusgrSfle dieser Frequenz. Mit X 1 = 2 1COS(O.)t -~- (491),

X 2 = 2 2 COS((_Dt -~- (192)

(22.9)

ist also X 1 "+- X 2 = X -~- 2 COS((Dt -1t- q)x),

(22.10)

wobei _= w/22 + 22 + 221 X2

C o s ( q ) I - - (/12)

2 COS(q)x) - - 2 1 COS(q)1) ~- 2 2 COS(q92) ,

(22.11)

2 sin(q~x)= 21 sin(q~l)+ 22 sin(~02). Fiir die komplexen Sinusgr6Ben gilt entsprechend X 1 .qt_ X 2 = X = X--1 "t- X-2-~- X 1

2 e j~

e j~~ + 2 2 e j~~ = 2- = 2 e j~ox9

Sie k6nnen diese Zusammenh/inge direkt Abb. 22.3 entnehmen.

(22.12)

160

22 Sinusschwingungen

Abb. 22.3 Summe zweier gleichfrequenter SinusgriSl3en. Die Zusammensetzung der komplexen Amplitude erfolgt nach der Parallelogrammregel

2. Das Produkt zweier SinusgriJflen gleicher Frequenz ist i.a. keine SinusgriJfle. Die Multiplikation der beiden Sinusgr6Ben (22.9) liefert n~imlich Xl X2 = X1 X2 COS(OOt"~- q~l) cos(oot + (192)

= xl ~289

+ q~l + q~2) + cos(q~ - q~2)],

(22.13)

d.h. die f]berlagerung eines zeitlich konstanten Wertes mit einer Sinusgr6Be der doppelten Frequenz.

3. Die zeitliche Anderungsrate einer Sinusgr6fle ist wieder eine Sinusgr~Jfle gleicher Frequenz. In der reellen Darstellung (22.1) erhalten wir = -~

sin(o0 t + q~x)= oo~ cos(oot + q~x+ n/2),

(22.14)

und in der komplexen Form Ix_"= j~ox_ I'

(22.15)

was einer Multiplikation der Amplitude mit der Kreisfrequenz und gleichzeitig einer Drehung des Zeigers um n/2 im Gegenuhrzeigersinn entspricht.

22.2

Z e i t m i t t e l w e r t e periodischer Gr~Jflen

In der Elektrotechnik sind als Kennwerte periodisch zeitabh/ingiger Gr6Ben unterschiedliche Zeitmittelwerte in Gebrauch. Eine Gr6Be x nennen wir dann periodisch zeitabh~ingig, wenn ihre Zeitfunktion x(t) fiir alle Zeitpunkte t und f/Jr die Periodendauer T (k/irzester Zeitabschnitt, nach dem der Vorgang sich periodisch wiederholt) die Eigenschaft

x(t + T)= x(t)

(22.16)

besitzt. Wir werden hier den linearen und den quadratischen Mittelwert zuerst allgemein definieren und dann jeweils auf Sinusgr613en anwenden.

22.2 Zeitmittelwerteperiodischer Gr6gen

161

D u r c hsc hni t t s w ert Der zeitlich lineare Mittelwert 2 einer periodisch zeitabhiingigen, sonst aber beliebig verlaufenden Gr6Be x ist definiert als 2=

xdt

(22.17)

Er wird auch arithmetischer Mittelwert, kurz Mittelwert, Durchschnittswert oder Gleichanteil genannt. Ist fiir eine periodische Gr6Be der Gleichanteil gleich Null, dann nennt man sie WeehseigriiBe. Jede periodische Gr6Be 1/iBt sich allgemein als Summe eines Gleichanteils und eines Wechselanteils darstellen. Verschwindet der Wechselanteil, so sprechen wir von einer GleiehgriiBe. Kommen dagegen beide Anteile vor, dann handelt es sich um eine MisehgriiBe. Sinusgr6Ben sind spezielle Wechselgr6gen, d.h. ihr zeitlich linearer Mittelwert ist immer gleich Null. Dies gilt aber i.a. nicht fiir Produkte yon Sinusgr6Ben. Beispielsweise folgt aus G1. (22.13) X1 X2 ~---89Xl X2 COS((D1 -- (/92)"

(22.18)

Sie ersehen daraus xl X2 ~ Xl"X2, d.h. der Mittelwert des Produktes zweier Gr6gen stimmt i.a. nicht mit dem Produkt ihrer Mittelwerte iiberein.

Ef f e k t i v w e r t Den zeitlich quadratischen Mittelwert, d.h. die positive Quadratwurzel aus dem Mittelwert des Quadrates einer periodisch zeitabhiingigen, sonst aber beliebig verlaufenden Gr6ge x nennt man deren Effektivwert. Wir verwenden hier zur Angabe des Effektivwertes von Spannungen und Str6men GroBbuchstaben, schreiben also X =

x2dt

(22.19)

Der Name ,,Effektivwert", d.h. ,,wirksamer Wert", kommt folgendermaBen zustande. Angenommen, durch einen Widerstand R flieBt der periodisch zeitabhiingige Strom i, gekennzeichnet durch seinen Effektivwert I. Im zeitlichen Mittel wird dann die Leistung 1 foT g i2 d t = g 12 P=TI"

(22.20)

umgesetzt, der Effektivwert I iibernimmt demnach die Rolle eines /iquivalenten Gleichstromes. Das Analoge gilt fiir den Effektivwert U der AnschluBspannung: p U2/R. =

162

22 Sinusschwingungen

Bei SinusgriJflen besteht zwischen dem Effektivwert X und der Amplitude wegen X =

~2

COS2(O9t+ ~0x)dt = ~

[1 + cos(2ogt + 2qgx)]dt

die Beziehung (22.21) Sie sehen: Die Angabe des Effektivwertes ist hier der Angabe der Amplitude ~iquivalent. Dies hat dazu gefiihrt, dab in der Wechselstromtechnik, speziell im energietechnischen Bereich, in der Regel direkt mit den Effektivwerten yon Sinusspannungen und Sinusstriimen gearbeitet wird. Beispielsweise bedeuten die Angaben 220V ffir die Spannung an einer gew6hnlichen Steckdose oder 100A fiir die Strombelastbarkeit eines Kabels immer Effektivwerte, wenn nicht ausdriicklich etwas anderes behauptet wird. Unter Verwendung des Effektivwertes lautet die reelle Standardform der Darstellung einer Sinusgr613e x = x,f5

os o, t +

(22.22)

und die komplexe Standardform

x_=X_x~e j~'t mit _ X = X e j~x .

(22.23)

_X nennt man den komplexen Effektivwert der Sinusgr613e x. Ffir die graphische Darstellung von Beziehungen zwischen Sinusspannungen und Sinusstr6men durch (ruhende) Zeiger werden meist deren komplexe Effektivwerte benutzt.

22.3

Sinusgriiflen an Zweipolen

Stellen Sie sich einen elektrischen Stromkreis mit zwei Polen (AnschluBpunkten, Klemmen) vor, einen sogenannten Zweipol (Abb. 22.4), aufgebaut nur aus linearen Elementen. Er kann auch Spannungsquellen und Stromquellen enthalten, wenn es sich bei den QuellengrSBen um Sinusspannungen bzw. um SinusstrSme einer einheitlichen Frequenz handelt. Wir interessieren uns ffir die Beschreibung des Zusammenhanges zwischen den zeitlich sinusfSrmig verlaufenden Anschlul3grSBen (abb. 22.5)

u= Ux/Scos(

ot + q,u),

i = I x//-2 cos(o~ t + (Pi)

(22.24)

163

22.3 Sinusgr68en an Zweipolen

Abb. 22.4 Linearer Zweipol im eingeschwungenen Zustand. Die Bezugssinne fiir AnschluSspannung und AnschluSstrom (Augenblickswerte oder komplexe Effektivwerte) k6nnen entweder gem/il3 dem Erzeugerbezugssystem a oder gem/il3 dem Verbraucherbezugssystem b kombiniert werden

Abb. 22.5 Sinusspannung und Sinusstrom an einem linearen Zweipol. a Reelle Darstellung. b Darstellung der komplexen Effektivwerte

mit den Effektivwerten U und I, der gemeinsamen Kreisfrequenz co und den Nullphasenwinkeln q~u bzw. q~i. Die Differenz (19 ~-- q)u - -

q)i]

(22.25)

nennen wir Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom. Die Umkehrung eines Bezugssinnes bedeutet in den Gin. (22.24) die ,~nderung des entspreehenden Nullphasenwinkels um g, d.h. ~ou ist durch q~u + ~z bzw. qh + g zu ersetzen.

L e i s t u n g s grb'flen

Die Augenblickswerte der Leistung (Momentanleistung) lassen sich mit den Ausdriicken (22.24) und (22.25) und der Beziehung (22.13) fiir das P r o d u k t zweier Sinusgr~513en schreiben als p = u i = 2 U I cos(cot + qgu)cos(oot +

(Di)

= U I cos(q@ + U I cos(2cot + q~u +

= P + S cos(2ogt + q9u + qgi).

(Di) (22.26)

164

22 Sinusschwingungen

Abb. 22.6 Die Leistung an den Klemmen des Zweipols ist eine Mischgr613e mit dem Durchschnittswert P (Wirkleistung) und der Amplitude S des Wechselanteils (Scheinleistung) Es handelt sich demnach um eine Mischgr613e, bei der ein Wechselanteil mit der Amplitude S und der zweifaehen Grundfrequenz um einen Durchschnittswert P schwingt (Abb. 22.6). Der Durchschnittswert (zeitlich linearer Mittelwert), die Wirkleistung [P = U I cos(qg) ],

(22.27)

erfal3t im zeitlichen Mittel die Transportrate an elektrischer Energie fiber die Anschlul3punkte. Ihr Vorzeichen h~ingt ab von der Gr613e des Phasenverschiebungswinkels der Spannung gegen den Strom. Haben Sie die Bezugssinne wie in Abb. 22.4a nach dem Erzeugerbezugssystem angenommen, dann gibt der Zweipol im Zeitmittel fiir P > 0 Leistung ab (Erzeuger) und nimmt fiir P < 0 Leistung auf (Verbraucher). Relativ zum Verbraucherbezugssystem (Abb. 22.4b) gilt natfirlich das Umgekehrte. Beachten Sie: Wegen des i.a. wechselnden Vorzeichens der Augenblicksleistung findert sich der Richtungssinn des Energieflusses viermal je Grundperiode. Die Amplitude des Wechselanteils der Leistungsschwingung nennen wir Sehein-

leistung IS = UI I"

(22.28)

Ihr Wert ist immer positiv oder gleich Null und stets gr613er oder gleich dem Betrag der Wirkleistung. Die Scheinleistung stellt eine wichtige Kenngr613e elektrischer Betriebsmittel dar. Neben der in G1. (22.26) dargestellten gibt es auch noch andere Zerlegungsm6glichkeiten des Augenblickswertes der Leistung. Wird z.B. q9u in G1. (22.26) mit Hilfe von G1. (22.25) eliminiert, so gilt

p = Ulcos(q~)[1 + cos(2cot + 2q9i)] - UI sin(q~) sin(2oot + 2q9i) = P [1 + cos(2cot + 2q~i)] - Q sin(2cot + 299i),

(22.29)

oder, wenn wir ~0i anstelle von q~u eliminieren, p = Ulcos(~o) [1 +cos(2cot + 2q~u)] + Ulsin(q~)sin(2ogt + 2q9,) = P [1 + cos(2ogt + 299u)] + Q sin(2ogt + 2q9,).

(22.30)

Die dabei auftretende Gr613e Q heil3t Blindleistung, [ Q = U/sin(qg) I9

(22.31)

22.3 Sinusgr66enan Zweipolen

165

)~hnlich wie die Wirkleistung kann sie, je nach Grfl3e des Phasenverschiebungswinkels der Spannung gegen den Strom, positive oder negative Werte annehmen. Oberdies besteht, wie Sie aus den Definitionen (22.27, 22.28, 22.31) unmittelbar entnehmen, zwischen der Scheinleistung S, der Wirkleistung P und der Blindleistung Q an den Anschliissen eines Zweipols der Zusammenhang IS = w/p2 + Q2 I"

(22.32)

IP/S = cos(qg) I

(22.33)

Die Gr613e

nennt man den Leistungsfaktor oder Wirkfaktor, die Gr6ge

IQ/S=sin(q))l

(22.34)

den Blindfaktor des Zweipols. Gilt im Erzeugerbezugssystem Q > 0, so sagen wir, der Zweipol ,,gibt Blindleistung ab". Ffir Q < 0 ,,nimmt er Blindleistung aug'. Im Verbraucherbezugssystem haben wir das genau Umgekehrte. Betreffend die Einheiten der LeistungsgriSl3en gilt folgende Obereinkunft: Der besondere Einheitenname Watt (Einheitensymbol W) fiir Volt mal Ampere wird nur bei Gr613enwerten der Momentanleistung p und der Wirkleistung P verwendet. Seheinleistung S und Blindleistung Q werden dagegen in Volt-Ampere (Einheitensymbol VA) angegeben4. Spricht man z.B. von einem 25MVA-Generator, so ist ein Generator mit einer (Nenn-) Scheinleistung von 25 Millionen Volt-Ampere gemeint. Alle diese Begriffsbildungen lassen sich auch in die komplexe Darstellung iibernehmen. Ausgehend von den komplexen Augenblickswerten

u = U_x/~eJ~ / =/x/~eJ~

mit mit

_U= Ue j~u, _/= Ie j~~

(22.35)

erhalten wir zun~ichst fiber

p = ui = 89 + u*)" 89 +/*) = 89Re(u/* + u i) = Re(U/* + U I e j2~

(22.36)

den Zusammenhang mit der Momentanleistung gem~iB G1. (22.26). Wir nennen

S_ = U I * = U l e J ~ = P + jQ

(22.37)

die komplexe Scheinleistung des Zweipols. Ihr Betrag ist die Scheinleistung, und sie enth~ilt die Wirkleistung als Realteil und die Blindleistung als Imagin~irteil. Beachten Sie: Die komplexe Scheinleistung ist das Produkt des komplexen Effektivwertes 4 Bei Blindleistungsangabenwerden Sie gelegentlichnoch die veraltete Einheitenbezeichnung 1VAr (Volt-Ampere-reaktiv)finden. Sie ist 1VA gleichzusetzen.

166

22 Sinusschwingungen

der Spannung mit dem konjugiert komplexen Effektivwert des Stromes. Das Produkt der komplexen Effektivwerte von Spannung und Strom ist die komplexe Wechselleistung

S__~= UI

= Vie

j(u'u+u'i)

[.

(22.38)

Sie stellt die komplexe Amplitude des Wechselanteils der Leistungsschwingung dar. In Abb. 22.7 sehen Sie die entsprechenden Zusammenhiinge im Zeigerbild.

Widerstands-

und L e i t w e r t g r 6 f l e n

Die bisher eingefiihrten Leistungsgr6f3en sind alle aus dem Produkt AnschluBspannung mal AnschluBstrom abgeleitet. Dagegen beziehen sich die nun zu besprechenden WiderstandsgriSBen auf den Quotienten AnschluBspannung durch AnschluBstrom. Der Quotient der reellen Augenblickswerte (22.24) ist als Widerstandsgr6Be fiir die Charakterisierung eines Zweipols allerdings i.a. unbrauchbar, weil er zeitabh/ingig ist und, wie Sie aus Abb. 22.5 entnehmen k6nnen, abwechselnd positiv und negativ unendliche Werte annimmt. Wir werden deshalb von den komplexen Augenblickswerten (22.35) der AnschluBgr/SBen ausgehen. Angenommen, unser Zweipol enth/ilt keine Quellen, kann also im zeitlichen Mittel keine elektrische Leistung abgeben s. Etwas allgemeiner: Die Leerlaufspannung und der Kurzsehlullstrom des Zweipols sind im eingeschwungenen Zustand gleich Null. Liegt das Verbraucherbezugssystem (Abb. 22.4b) zugrunde, so bezeichnen wir den Quotienten der komplexen Augenblickswerte von AnschluBspannung und Anschlul3strom als die (komplexe) Impedanz oder den komplexen Seheinwiderstand des Zweipols,

[Z_ = u/i = U_/I = (U/I)e j~~[.

(22.39)

Abb. 22.7 Zusammenhang der komplexen Effektivwerte von Spannung und Strom mit der komplexen Scheinleistung _Sund der komplexen Wechselleistung S~. Der Realteil der komplexen Scheinleistung ist die Wirkleistung P, ihr Imagin/irteil ist die Blindleistung Q. Die Zeiger rotieren nicht 5Dies gilt nicht ffir die Augenblickswerte!

167

22.3 SinusgriSBen an Zweipolen

Es handelt sich dabei um eine ffir den Zweipol charakteristische, i.a. aber frequenzabhfingige Gr6Be. Ihr Betrag, der Betrag der Impedanz oder der Scheinwiderstand

[ Z = U/I ]

(22.40)

ist gleich dem Quotienten der Effektivwerte von Anschlul3spannung und AnschluBstrom, und ihr Winkel ist gleich dem Phasenverschiebungswinkel (22.25) der Spannung gegen den Strom. Wenn wir die Impedanz in Real- und Imagin~rteil aufspalten, Z_ = R + jX, (22.41) ergeben sich zwei weitere gebrfiuchliche WiderstandsgriSBen, nfimlich die Resistanz oder der Wirkwiderstand R = Re (_Z)= Z cos(qg) [

(22.42)

und die Reaktanz oder der Blindwiderstand (22.43)

I X = Im (_Z)= Z sin(qg)].

Daneben sind in der Wechselstromtechnik auch einige LeitwertgriSgen im Einsatz. So nennt man den Kehrwert der Impedanz auch die (komplexe) Admittanz oder den komplexen Scheinleitwert

Y_= l/Z_ = I/U_ = (I/U) e- ~o ],

(22.44)

und den zugeh6rigen Betrag den Betrag der Admittanz oder den Scheinleitwert

[Y = 1/Z = I/U I .

(22.45)

Natiirlich l~il3t sich auch die Admittanz in Realteil und Imaginiirteil aufspalten, _Y= G + j B .

(22.46)

Das liefert die Konduktanz oder den Wirkleitwert 1

G = Re (_Y) = Y cos(q9) I

(22.47)

und die Suszeptanz oder den Blindleitwert [B = Im (_Y)= - Y sin(qg)l"

(22.48)

Beachten Sie das Minuszeichen in G1. (22.48)! AuBerdem bestehen die Beziehungen

G

= R/Z

2,

R = G / Y 2,

B = - X/Z X = -

2,

B/Y 2

Z -= N / R 2 + X 2 ,

Y

= N / G 2 -Jr" B 2

(22.49)

168

22 Sinusschwingungen

es ist also beispielsweise der Wirkleitwert i.a. nicht gleich dem Kehrwert des Wirkwiderstandes. Leicht zu zeigen sind auch die Verkniipfungen mit der Wirkleistung und der Blindleistung, P=RI2=GU

2

Q-xI

2-- _ B U 2

(22.50)

Verbraucherbezugssystem vorausgesetzt. Als Einheit ffir WiderstandsgrSBen wird generell das O h m (f~), als Einheit fiir LeitwertgrSBen das Siemens (S) verwendet. Als Sammelbezeichnung von Impedanzen und Admittanzen findet man gelegentlich die Bezeichnung Immittanz.

Elementare

Zweipole

Wir werden die gewonnenen Begriffe jetzt auf die Beschreibung des Verhaltens linearer Stromkreiselemente wie ideale Widerst~inde, ideale Kondensatoren und ideale Spulen anwenden. Ideale Widersfiinde lassen sich vollstfindig durch das Ohmsche Gesetz beschreiben. Die Augenblickswerte von AnschluBspannung und AnschluBstrom sind einander proportional, d.h. im speziellen, ihr Phasenverschiebungswinkel q~ ist entweder Null (Verbraucherbezugssystem)oder __+n (Erzeugerbezugssystem). Sie sehen das in Abb. 22.8. Drehen Sie einen der Bezugssinne um, dann miissen Sie den zugeh6rigen Zeiger in der komplexen Ebene um 180 ~ drehen und in der Elementgleichung mit einem Minuszeichen versehen. Im Verbraucherbezugssystem gilt fiir die Widerstands- und Leitwertgr6Ben U_=RI, Z_=Z=R,

U=RI,

X=O,

Y_=Y=G=I/R,

(22.51) B=O,

und fiir die LeistungsgrSBen S = S = P= RI 2 = U2/R,

Q=O.

(22.52)

An einem idealen Widerstand gibt es keine Blindleistung, nur Wirkleistung. Trotzdem schwingt die Augenblicksleistung, und zwar mit der doppelten Grundfrequenz zwischen den Werten 0 und 2 P (Abb. 22.6 mit S = P); ein RiickfluB an Energie findet aber zu keinem Zeitpunkt statt.

Abb. 22.8 Komplexe Effektivwerte von Spannung und Strom an einem idealen Widerstand. Verbraucherbezugssystem

22.3 Sinusgr6Benan Zweipolen

169

Bei idealen K o n d e n s a t o r e n ist das anders. Der Augenblickswert des Stromes ist hier proportional der zeitlichen Anderungsrate der Spannung, und damit sind die beiden Zeiger wegen G1.(22.15) um 7r/2 gegeneinander verdreht. Wenn Sie in Abb. 22.9 einen Bezugssinn ~indern, dann mfissen Sie den zugeh6rigen Zeiger in der komplexen Ebene um 180 ~ drehen und in der komplexen Elementgleichung das Vorzeichen wechseln. Im Verbraucherbezugssystem haben wir nun fiir die Widerstands- und Leitwertgr613en 6 U_ - - [ / ( j w C ) ,

U -- I / ( w C ) ,

Z_ -- 1 / ( j w C ) ,

Z---X--

Y_ -- j w C ,

Y -- B -- coC,

1/(wC),

R--O,

(22.53)

G--O,

und fiir die Leistungsgr6Ben _S -- 12/(jwC) -- - j w C

U 2,

S -

w C U 2,

(22.54) -Q

= IZ/(wC)

-

P=0.

Der ideale Kondensator ist demnach ein reiner Blindwiderstand; man spricht deshalb auch von einem Reaktanzzweipol. Der Betrag der Impedanz Z nimmt mit steigender Frequenz proportional zu deren Kehrwert ab, was unserer Erfahrung entspricht, dab Kondensatoren Wechselstr6me niedriger Frequenz abblocken, solche hoher Frequenz aber nahezu ungehindert durchlassen. Wirkleistung gibt es keine, es wird lediglich Blindleistung an den Anschliissen abgegeben: Kondensatoren sind ,,Blindleistungserzeuger" (physikalisch gesehen wird natiirlich nichts erzeugt). Gem~iB Abb. 22.6 mit P = 0 schwingt der Augenblickswert der Leistung mit der doppelten Grundfrequenz um den Mittelwert Null. Nimmt die Spannung zu, so wird im Kondensator ein elektrisches Feld aufgebaut. Die darin gespeicherte Energie flieBt fiber die Anschliisse zu. In der Viertelperiode nach Erreichen ihres Maximums nimmt die Spannung ab und der vorher aufgenommene Energiebetrag wird vollst~indig wieder zuriickgegeben. Das ist Blindleistung! Ideale Spulen sind gekennzeichnet durch die Proportionalit~it zwischen dem Augenblickswert der Spannung und der zeitlichen Anderungsrate des Stromes. Fiir die komplexen Zeiger bedeutet dies wegen G1. (22.15) eine gegenseitige Verdrehung

Abb. 22.9 Komplexe Effektivwerte von Spannung und Strom an einem idealen Kondensator. Verbraucherbezugssystem

6

Die Kreisfrequenz wollen wir hier stets als positiv voraussetzen.

170

22 Sinusschwingungen

Abb. 22.10 Komplexe Effektivwerte von Spannung und Strom an eineridealen Spule. Verbraucherbezugssystem um ~z/2, wie Sie in Abb. 22.10 sehen. Die )~nderung eines Bezugssinnes ist auch hier gleichbedeutend mit der Drehung des zugeh6rigen Zeigers um 180 ~ und einem Vorzeichenwechsel in der komplexen Elementgleichung. Legen wir das Verbraueherbezugssystem zugrunde, so gilt jetzt fiir die Widerstands- und Leitwertgr6Ben

U_= jo~ LI,

U = ~oLI,

_Z=jo~L,

Z=X=coL,

R=0,

_Y= I /(j ~oL),

Y=--B=I/(o~L),

G=O,

(22.55)

und fiir die Leistungsgr6gen S = j ~ o L I 2 = --UZ/(jo~L), (22.56)

S = Q = o ~ L I 2 = U2/(~L),

P=O.

Auch die ideale Spule ist also ein reiner Blindwiderstand, ein Reaktanzzweipol. Sein Impedanzbetrag Z nimmt aber linear mit der Frequenz zu: Wechselstr6me niedriger Frequenz werden durchgelassen, solche hoher Frequenz werden abgeblockt- genau umgekehrt wie bei Kondensatoren. Wegen P = 0 und Q > 0 sprechen wir von idealen Spulen als von reinen ,,Blindleistungsverbrauchern", was wieder eine Leistungsschwingung doppelter Grundfrequenz um den Durchschnittswert Null bedeutet: Die w~ihrend einer Viertelperiode mit ansteigendem Strom aufgenommene Energie wird im magnetischen Feld gespeichert und in der folgenden Viertelperiode wieder abgegeben. Wenn wir sagen, dab Kondensatoren Blindleistung ,,erzeugen" und Spulen Blindleistung ,,verbrauchen", so ist das lediglich eine Konvention, die sich aus der Wahl von q~ als Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom bzw. aus der Festlegung von U I* als der komplexen Scheinleistung ableitet. H~itten wir stattdessen _U* / als komplexe Scheinleistung definiert, dann wfiren Spulen Blindleistungserzeuger und Kondensatoren Blindleistungsverbraucher. Wie Sie den Zeigerdiagrammen der Abb. 22.9 und 22.10 entnehmen, ist der Strom durch einen idealen Kondensator gegeniiber der anliegenden Spannung um den Phasenwinkel n/2 vorverschoben, bei der idealen Spule erscheint er dagegen um den Phasenwinkel n/2 riickverschoben. Man sagt auch, an einem idealen Kondensator eilt der Strom der Spannung um 90 ~ vor, an der idealen Spule eilt der Strom

171

22.4 Fragen

der Spannung um 90 ~ nach. Vorsicht: Diese Aussagen gelten nur im Verbraucherbezugssystem! Im Erzeugerbezugssystem ist das genau Umgekehrte richtig. Um hier sicher zu sein, pr~igen Sie sich am besten die vollst/indigen Abb. 22.8 bis 22.10 ein, zusammen mit der Regel, dab bei Umkehr eines Bezugssinnes der zugehifrige Zeiger in der komplexen Ebene um 180 ~ zu drehen und auBerdem das Vorzeichen der Gr6Be in der komplexen Elementgleichung zu wechseln ist.

22.4

Fragen

1. Wie lautet die reelle Standardform der Darstellung einer SinusgriSBe? Was genau bedeuten die darin vorkommenden Gr6Ben? (Skizze!) 2. Welche Zusammenh~inge bestehen zwischen der Frequenz, der Kreisfrequenz und der Periodendauer einer Sinusgr6Be? 3. Was bedeuten die Ausdrficke Phase, Phasenwinkel und Nullphasenwinkel? 4. Welche Gr6Ben werden zur vollst~indigen Festlegung einer Sinusgr6Be ben6tigt? 5. Wie lautet die komplexe Standardform der Darstellung einer Sinusgr6Be? Welcher Zusammenhang besteht mit der reellen Standardform? 6. Welche Information enth/ilt die komplexe Amplitude einer Sinusgr6Be? 7. Wie l~il3tsich die komplexe Standardform der Darstellung einer SinusgrifBe in der komplexen Ebene geometrisch deuten? (Skizze!) 8. Welche Vorteile bietet die Verwendung der komplexen Darstellung von Sinusgr6Ben? Auf welche Zustfinde ist sie beschr~inkt? 9. Was liefert die Summe zweier Sinusgr6Ben gleicher Frequenz? Wie ist diese Summe in der komplexen Ebene zu veranschaulichen? 10. Was liefert das Produkt zweier Sinusgr6Ben gleicher Frequenz? 11. Was liefert die Zeitableitung einer Sinusgr6Be? Wie ist dies in der komplexen Ebene zu veranschaulichen? Wie ~indern sich bei der Zeitableitung einer Sinussgr6Be deren komplexe Amplitude, Amplitude, Frequenz und Nullphasenwinkel? 12. Wann nennen wir eine Gr/SBe periodisch zeitabh~ingig? 13. Wie ist der Durchschnittswert einer periodisch zeitabh~ingigen Gr6Be erkl~irt? Was bedeutet ,,Gleichanteil"? 14. Wann nennt man eine Gr6Be WechselgrifBe, wann Mischgr6Be? 15. Wie ist der Effektivwert einer periodisch zeitabh/ingigen Gr6Be erkl~rt? Wie ist diese Benennung zu verstehen? 16. Wie berechnen Sie den Effektivwert von Sinusgr6Ben? 17. Was verstehen Sie unter dem komplexen Effektivwert einer Sinusgr6Be? 18. Was verstehen Sie unter einem linearen Zweipol? 19. Unter welchen Bedingungen sind AnschluBstrom und AnschluBspannung eines Zweipols Sinusgr6Ben gleicher Frequenz? 20. Wie ist der Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom erkl~rt? Wie ist er in der komplexen Ebene zu veranschaulichen? 21. Wie ~indert sich der Nullphasenwinkel der Spannung und des Stroms und der Phasenverschiebungswinkel der Spannung gegen den Strom beim Ubergang von einem Verbraucherbezugssystem zu einem Erzeugerbezugssystem? 22. Wenn Spannung und Strom an einem Zweipol Sinusgr6Ben sind, welchen Zeitverlauf besitzt dann die Momentanleistung? Welchen EinfluB hat dabei der Phasenverschiebungswinkel? 23. Wie sind Wirkleistung und Scheinleistung an einem Zweipol erkl~irt und wie sind diese Gr6Ben anschaulich zu interpretieren? 24. Welche Vorzeichen k6nnen Wirkleistung und Scheinleistung annehmen? Welche Rolle spielt dabei die Wahl des Bezugssystems? ,o

172

22 Sinusschwingungen

25. Wie ist die Blindleistung an einem Zweipol definiert und wie ist sie anschaulich zu interpretieren? 26. Wann sagen wir, ein Zweipol gibt Blindleistung ab? Wie ist diese Sprechweise zu verstehen? 27. Welche Einheitensymbole werden iiblicherweise fiir Werte der Scheinleistung, Wirkleistung und Blindleistung verwendet? 28. Welcher Zusammenhang besteht zwischen Scheinleistung, Wirkleistung und Blindleistung? Wie ist dieser geometrisch zu interpretieren? 29. Wie ist der Leistungsfaktor, wie der Blindfaktor eines Zweipols definiert? 30. Was verstehen Sie unter der komplexen Scheinleistung, was unter der komplexen Wechselleistung eines Zweipols? Wie sind diese Gr6Ben in einem Zeigerdiagramm zu veranschaulichen? 31. Welche Information enth/ilt die komplexe Scheinleistung? 32. Warum 1/iBt sich der Widerstand eines Zweipols sinnvollerweise i.a. nicht einfach als Quotient Sinusspannung durch Sinusstrom definieren? 33. Wie ist der komplexe Scheinwiderstand (die Impedanz) eines Zweipols erklfirt? Welche Rolle spielt dabei das gew~ihlte Bezugssystem? Welche Information enthfilt die Impedanz? 34. Wie sind die Gr6Ben Resistanz, Reaktanz, Admittanz, Betrag der Admittanz, Konduktanz und Suszeptanz definiert? Wie h~ingen diese Gr6Ben zusammen? 35. Was bedeutet "Immittanz"? 36. Was verstehen Sie unter einem elementaren Zweipol? 37. Was ist ein Reaktanzzweipol? 38. Wie berechnen Sie die Impedanz und die Admittanz von idealen Widerst~inden, idealen Spulen und idealen Kondensatoren? Welche Rolle spielt dabei die Wahl des Bezugssystems? 39. Wie liegen Str6me und Spannungen in der komplexen Ebene relativ zueinander bei idealen Widerst~inden, idealen Spulen und idealen Kondensatoren bei Verwendung des Erzeugerbezugssystems und des Verbraucherbezugssystems? 40. In welchem Sinn sprechen wir von Kondensatoren als Blindleistungserzeuger und von Spulen als Blindleistungsverbraucher?

22.5

Aufgaben

A22.1 Vollweggleichrichter: A m E i n g a n g d e s G l e i c h r i c h t e r s aus A b b . A 2 2 . 1 a liegt eine s i n u s f 6 r m i g e W e c h s e l s p a n n u n g m i t d e m E f f e k t i v w e r t 220 V. B e r e c h n e n Sie (i) d e n D u r c h s c h n i t t s w e r t u n d (ii) d e n E f f e k t i v w e r t d e r A u s g a n g s s p a n n u n g , (iii) die W i r k l e i s t u n g a m L a s t w i d e r s t a n d .

Abb. A22.1a A22.2

M i s c h s t r o m : D e r in A b b . A 2 2 . 2 d a r g e s t e l l t e M i s c h s t r o m b e s t e h t a u s e i n e m G l e i c h a n t e i l u n d e i n e m t i b e r l a g e r t e n S i n u s s t r o m . B e r e c h n e n Sie a l l g e m e i n seinen Effektivwert.

22.5 Aufgaben

173

Abb. A22.2 A22.3

Mischspannung: Berechnen Sie ffir den Spannungsverlauf aus Abb. A22.3

(i) den Durchschnittswert, (ii) den Effektivwert, (iii) den Gleichrichtwert [u I.

Abb. A22.3 A22.4 Bemessen eines Widerstandes: In einer Schaltung tritt an einem 47 ~Widerstand die in Abb. A22.4 angegebene periodische Spannung auf. Fi~r welche Leistung ist der Widerstand zu bemessen?

Abb. A22.4

174

22 Sinusschwingungen

A22.5 Stromaufnahme eines Gleichrichters: Ein Gleichrichter entnimmt einem 50 Hz-Netz den in Abb. A22.5 dargestellten Wechselstrom. Wie grol3 ist der zugeh/5rige Effektivwert?

Abb. A22.5 A22.6 Spannungssignal: Das in Abb. A22.6a skizzierte Spannungssignal entsteht durch Vollweg-Gleichrichtung einer Sinusspannung und anschliel3endes Abschneiden auf das 1/x/~-fache des Maximalwertes. Berechnen Sie seinen Effektivwert.

Abb. A22.6a A22.7 Negativ begrenzte Stromschwingung: Berechnen Sie den Effektivwert des in den negativen Halbschwingungen beschnittenen Sinusstroms aus Abb. A22.7a als Funktion von a, 0 _< a _< 1.

Abb. A22.7a A22.8 Gesteuerter Gleichrichter: Ein Einweggleichrichter mit Phasenanschnittsteuerung liefert an einer ohmschen Last die in Abb. A22.8a skizzierte Spannung.

22.5 Aufgaben

175

Berechnen und zeichnen Sie den Durchschnittswert und den Effektivwert dieser Spannung als Funktion des Verz6gerungswinkels e.

Abb. A22.8a A22.9 Angeschnittener Sinusstrom: Berechnen Sie den Effektivwert des angeschnittenen Sinusstroms aus Abb. A22.9.

Abb. A22.9

A22.10 Symmetrischer Phasenanschnitt: Durch symmetrischen Phasenanschnitt wird die in Abb. A22.10 dargegtellte Form eines periodischen Stromverlaufes erzeugt. Berechnen Sie allgemein den zugeh6rigen Effektivwert.

Abb. A22.10 A22.11 Stromrichter mit Anschnittsteuerung: Der Ausgang eines Stromrichters mit Anschnittsteuerung liefert den in Abb. A22.11a dick ausgezogenen Span-

176

22 Sinusschwingungen

nungsverlauf mit einstellbarem Winkel ~. Der Spannungsverlauf entsteht aus drei gegeneinander um jeweils 2n/3 phasenverschobenen Sinusspannungen gleicher Amplitude (d/inn ausgezogen). Berechnen Sie allgemein den Durchschnittswert als Funktion des Winkels ~ ffir 0 < ~ < n.

Abb. A22.11a A22.12 Blindleistung: Einer oszilloskopischen Strom-Spannungs-Messung an den Anschlfissen eines Ger~ites werden die Sinusverl&iufe von Strom und Spannung mit den in Abb. A22.12 angegebenen Daten entnommen. Berechnen Sie daraus die aufgenommene Blindleistung. (Bezugssinne beachten!)

Abb. A22.12 A22.13 Blindleistungskompensation: Ein Verbraucher wird fiber eine als verlustfrei anzunehmende Leitung aus einem 50 Hz-Sinusnetz mit 220 V Effektivwert gespeist. Er nimmt dabei die Wirkleistung P = 5,0kW und die Blindleistung Q = 4,5 kVA auf. (i) Wie grol3 ist der Leistungsfaktor? (ii) Ffir welchen Effektivwert des Stromes ist die Leitung auszulegen? An die Anschlfisse des Verbrauchers wird zusfitzlich eine Kondensatorbatterie mit 188 ~F parallel gelegt. (iii) Wie grol3 ist nun der Leistungsfaktor? (iv) Ffir welchen Effektivwert des Stromes ist die Leitung jetzt auszulegen?

177

22.5 Aufgaben

A22.14 Erhiihen des Leistungsfaktors: Ein ohmisch-induktiver Verbraucher entnimmt einem Wechselstromnetz bei der Spannung 240 V (Effektivwert) die Wirkleistung 6kW mit einem Leistungsfaktor cos(q~)=0,6 (Abb. A22.14). Der Leistungsfaktor soil beziiglich des Netzes durch Parallelschalten eines Kondensators auf cos(qg')= 0,8 angehoben werden. Wie grol3 ist die Kapazit~it C zu w~ihlen?

c

r

50Hz

6kW

I

240V C

i

cos(qg)=0,6

I

c

r

ind

Abb. A22.14

A22.15 Mittelfrequenz-lnduktionsofen: Ein Induktionsofen nimmt bei der Wechselspannung U = 750V, f= 1 kHz die Wirkleistung P = 750kW mit dem Leistungsfaktor cos(~p)= 0,06 ind. auf. (i) Welche Blindleistung Q mul3 eine parallel zu schaltende Kondensatorbatterie liefern und wie grol3 ist die zugeh6rige Kapazit~it C, wenn die Speiseeinrichtung v o n d e r Blindleistung vollst~indig entlastet werden soll? (ii) Wie grol3 sind beim derart kompensierten Ofen die Str6me durch die Speiseeinrichtung, die Kondensatorbatterie und die Ofenspule?

K a p i t e l 23

Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen Die rechnerische Analyse der Vorg~inge in Stromkreisen, die mit konzentrierten Elementen aufgebaut sind, fiihrt im allgemeinen auf Systeme gew6hnlicher Differentialgleichungen. Wir interessieren uns hier fiir einen technisch wichtigen Spezialfall, n~imlich fiir die systematische Beschreibung eingeschwungener Zust~inde in linearen (Ersatz-)Sehaltungen mit sinusf6rmiger Erregung. Alle vorkommenden Spannungen und Str6me sind dann ebenfalls Sinusgr613en und damit der komplexen Darstellung zug~inglich.

23.1 D i e Kirchhoff-Regeln im Komplexen Die Kirchhoff-Regeln gelten, wie Sie wissen, ganz atlgemein f/Jr die Augenblickswerte von Str6men und Anschlul3spannungen unter den Voraussetzungen, dab Str6me aul3erhalb der konzentrierten Elemente nur in den Schaltverbindungen fliel3en, dab VerschiebungsstriSme aul3erhalb der Elemente vernachl~issigbar klein sind, dab Anschlul3spannungen eindeutig definiert sind und dab die betrachteten Maschen keine magnetischen Fliisse merkbarer zeitlicher ~nderungsrate umfassen. Wir werden diese beiden Regeln jetzt speziell ffir Sinusgr613en formulieren. Beginnen wir mit der ersten Kirchhoff-Regel. Die Bezugssinne einheitlich als abfliel3end vorausgesetzt, haben wir ffir Sinusstr6me an einem Knoten (im erweiterten Sinn) die Beziehung ik = k=l

~ (fk +/~) =

/k eJ~'t+

k=l

k=l

/ ~ e-j,ot = 0. k=l

Da sie fiir alle Zeitpunkte gelten muB und weil die beiden Exponentialfunktionen linear unabh/ingig sind, folgt daraus die komplexe Form der ersten Kirehholf-

Regel, ~/k=0

(23.1)

k=l

Die Knotenregel ist also nicht nur von den Augenblickswerten, sondern auch von den komplexen Effektivwerten zu erfiillen und damit, wovon Sie sich leicht iiberzeugen k6nnen, auch getrennt von deren Real- und Imaginiirteilen. Sie gilt jedoch i.a. nicht fiir die reellen Effektivwerte. Die Zeiger der komplexen Str6me bilden fiir jeden Knoten ein geschlossenes Polygon.

23.2 Berechneneinfacher Schaltungen

179

Ganz analog verfahren wir mit der zweiten Kirchhoff-Regel. Entlang jeder Masche gen/igen die Anschlul3spannungen, wenn sie Sinusspannungen sind, bei einheitlicher Orientierung der Bezugssinne der Bedingung uk = /=1

-~(U_k + U_'~)=

U_'~ e - j o ' = O,

U_k e jo' +

/=1

/=1

k=l

und daraus folgt die komplexe Form der zweiten Kirchhoff-Regel,

~Uk=O

(23.2)

k=l

Die Maschenregel gilt demnach fiir die komplexen Effektivwerte der Anschlul3spannungen und auch getrennt fiir deren Real- und Imagin~irteile, nieht aber fiir die reellen Effektivwerte. F/Jr jede Masche bilden die Zeiger der Anschlul3spannungen ein geschlossenes Polygon. Mit den Kirchhoff-Regeln erfassen wir die Beziehungen zwischen den Str6men untereinander und zwischen den Spannungen untereinander. Fiir die vollst~indige Analyse reicht das i.a. nicht a u s - es werden auch Verkniipfungen der Str6me mit den Spannungen an den Elementen ben6tigt, und zwar in komplexer Form. Wenn es sich um lineare Zweipole ohne Quellen (genauer: ohne Leerlaufspannung und Kurzschlul3strom) handelt, k6nnen wir dazu komplexe Widerstands- oder Leitwertgr613en benutzen (Abb. 23.1). Beachten Sie: Spannungen und Str6me werden durch ihre komplexen Effektivwerte beschrieben, und die Impedanzen h~ingen i.a. vonder Frequenz ab.

23.2 Berechneneinfacher Schaltungen Die Formen (23.1) und (23.2) der Kirchhoff-Regeln und die allgemeinen Elementgleichungen aus Abb. 23.1 fiir komplexe Widerst~inde zeigen deutlich die Vorteile der komplexen Analyse von Wechselstromkreisen: Abgesehen von induktiven und

Abb. 23.1 Es ist fiblich, als allgemeines Schaltzeichen fiir komplexe Widerst/inde das gew6hnliche Widerstandssymbol zu verwenden. Der dargesteUteZweipolkann ein ideales Stromkreiselement gem~il3 den Abb. 22.8bis 22.10sein, aber auch eine Kombination solcherElemente.a Verbraucherbezugssystem. b Erzeugerbezugssytem

180

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

kapazitiven Kopplungen k6nnen Sie formal analog wie bei Gleichstromkreisen vorgehen. Neu sind lediglich die speziellen Ausdriicke fiir die Impedanzen _Z, und natiirlich miissen Sie die Rechenregeln fiir komplexe Gr6gen beachten.

Reihenschaltung und Parallelschaltung komplexer Widerstdnde Nehmen Sie z.B. die Reihenschaltung von zwei ungekoppelten komplexen Widerst~inden (Abb. 23.2). )~hnlich wie bei gew6hnlichen Widerst~inden liefert die komplexe Form der zweiten Kirchhoff-Regel zusammen mit den komplexen Elementgleichungen die Ersatzimpedanz I_Z=_Za+_Z21 ,

(23.3a)

und zwar unabh~ingig von den gew~ihlten Bezugssinnen. Zwischen den Einzeladmittanzen _Y1 = 1/Z_a, _Y2= 1/_Z2 und der Ersatzadmittanz _Y= I/Z_ besteht dann die Beziehung

1

1 1 y~y~ = ~ + _Y2' d.h. _Y= _Ya+------~2"

(23.3b)

Einen Spezialfall sehen Sie in Abb. 23.3. Abb. 23.4 zeigt die Parallelschaltung ungekoppelter komplexer Widerst~inde. Wiederum unabh~ingig von den gew~ihlten

Abb. 23.2 Die Ersatzimpedanz der Reihenschaltung ungekoppelter komP!exer Widerst~inde ist gleich der Summe der Einzelimpedanzen

Abb. 23.3 Reihenschaltung eines idealen Widerstandes und einer idealen Spule (Ersatzschaltung fiir eine reale Spule). Beachten Sie die Frequenzabh~ingigkeit des Wirkleitwertes

23.2 Berechnen einfacher Schaltungen

181

Abb. 23.4 Die Ersatzadmittanz der Parallelschaltung ungekoppelter komplexer Widerst~inde ist gleich der Summe der Einzeladmittanzen Bezugssinnen ist die Ersatzadmittanz [_Y=_Y1 +_Yz],

(23.4a)

und damit gilt fiir die Ersatzimpedanz Z_ = 1/_Y, durch die Einzelimpedanzen Z_I = 1/_Y~, _Z2 = 1/_Y2 ausgedriickt, 1 .Z_

1 1 . ~-_Z-~2' . . _Z.= _Z1 II. _Z2 _Z~ d.h.

Z1Z 2

Z_~ -~- Z2 .

(23.4b)

Ein Spezialfall ist in Abb. 23.5 angegeben. Die Gin. (23.3) und (23.4) sind natiirlich nicht auf zwei Elemente beschriinkt, sondern driicken die allgemeine Vorschrift zur Berechnung von komplexen Ersatzgr6Ben aus: Bei Reihenschaltungen sind die Impedanzen, bei Parallelschaltungen die Admittanzen zu addieren. Bemerkenswert ist in diesem Z u s a m m e n h a n g noch folgendes: Der Scheinwiderstand Z einer Reihenschaltung komplexer Widerstiinde ist wegen I_Z1 + _Z2I _< I_Z~l + I_Z2I stets kleiner oder h6chstens gleich der Summe der Einzel-

Abb. 23.5 Parallelschaltung eines idealen Widerstandes und eines idealen Kondensators (Ersatzschaltung fiir einen Kondensator mit leitf~ihigem Dielektrikum). Beachten Sie die Frequenzabhiingigkeit des Wirkwiderstandes

182

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

scheinwiderst~inde. Es kann durchaus vorkommen, dab Z sogar kleiner ist als jeder Einzelscheinwiderstand ~. Das Analoge gilt f/Jr Scheinleitwerte und Parallelschaltungen.

Komplexe Teilerregeln Xhnlich wie die Regeln f/Jr die Kombination yon Widerst~inden lassen sich auch die Regeln f/Jr Spannungsteiler und Stromteiler formal in die komplexe Rechnung tibernehmen (Abb. 23.6): ,,FlieBen durch zwei ungekoppelte, komplexe (Ersatz-) Widerst~inde gleiche komplexe Str6me, so verhalten sich die komplexen Spannungen wie die entsprechenden Impedanzen". Das ist die komplexe Spannungsteilerregel, formal ausgedrtickt durch

U1 Zl

U1

Zl

U2

Z2

--~'/'2 ~Z2'

~

_Zl -[- ~Z2'

~

1-1 "[- --12

(23.5)

Duale Verh~iltnisse haben wir bei der Parallelschaltung: ,,Die komplexen Str6me in zwei ungekoppelten Zweigen, an denen die gleiche komplexe Spannung liegt, verhalten sich wie die Admittanzen der Zweige und umgekehrt wie die entsprechenden Impedanzen. Ein komplexer Teilstrom (z.B. / l ) verh/ilt sich zum komplexen Gesamtstrom (I) wie die Impedanz des anderen Zweiges _Z2 zur Gesamtimpedanz der Masche (Z~ + Z2), in der die Stromaufteilung erfolgt". Diese komplexe Stromteilerregel dr/icken wir formal aus als

Ii !2

-Yi -Z2 Ii Y2 _zl' !

_ZE Iz _z~+_z2' !

Z-i z_~+_z2

(23.6)

Abb. 23.6 a Komplexer Spannungsteiler. b Komplexer Stromteiler. Die komplexen Widerst~inde sind nicht gekoppelt

i z.B. bei der Reihenschaltung eines idealen Kondensators mit einer idealen Spule im Kreisfrequenzbereich 1/2x/~--C < 09 < V/2/(LC).

23.2 Berechneneinfacher Schaltungen

183

Wichtig fiir die Anwendbarkeit beider Regeln ist die Voraussetzung, dab keine induktive oder kapazitive Kopplung zwischen den komplexen Widerst~inden besteht.

Induktive Kopplun g Liegt eine Kopplung vor, so miissen wir das in den Elementgleichungen beriicksichtigen. Abbildung 23.7 zeigt den Fall zweier Spulen mit gegenseitiger Induktivit~it. Ideale Transformatoren sind, entsprechend G1. (21.17) und Abb. 21.14, durch die Elementgleichungen

I U_,lU_~ - LII, - N, IN21

(23.7)

charakterisiert. Daraus folgt, dab wir die Ubersetzungsregeln Gin. (21.19) im Komplexen zusammenfassen k6nnen als Z_' - - n2Z_,

Y_' -- Y_/n 2.

(23.8)

Ein Anwendungsbeispiel dafiir bietet die iibliche T-Ersatzschaltung eines Transformators aus Abb. 21.15. Werden die Hauptreaktanz Xh und die Streureaktanzen X~ und X2~ gem~il3 X

h

--

Xl,, :

O)Lh

wLlo

conM,

~

=

o)(L1

nM),

--

X2~ -- coL2~ -- co(L2 - M / n )

eingefiihrt und die Sekund~irgr6Ben auf die Prim~irseite iibersetzt, U_2 -

nU_ 2 '

1' 2 = 1 2 / n

'

R'2 -

nzR2

'

X ' 2a - - n Z X 2 ~ ,

Abb. 23.7 Zwei gekoppelte Spulen. Ausgehend von Abb. 21.7a ist beim Ubergang auf komplexe Gr613en die Operation der Zeitableitung durch die Multiplikation mit jco zu ersetzen

184

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. 23.8 Komplexe Ersatzschaltung fiir einen Transformator. R 1repr/isentiert den prim/iren Wirkwiderstand und XI~ die prim/ire Streureaktanz. R2 und X2, sind die entsprechenden Sekund/irgr6Ben,auf die Prim/irseite umgerechnet. Die Hauptreaktanz Xh ist bei technischen Leistungstransformatoren viel griSBerals die Streureaktanzen X1, und X2,, z.B. das Tausendfache

so erhalten wir die Gin. (21.20) mit dem ,,Magnetls9 i erungsstrom " " _Im = I ~ -/2/ in der Form -

_U~ = j Xh/m + (R~ + j X~,)/~,

-

(23.9)

_U2 = jXh_/_m-- (R2 + j X2,)/2. Wiedergegeben werden diese Beziehungen durch die komplexe Ersatzschaltung in Abb. 23.8. Bei Vernachl~issigung des Magnetisierungsstromes 2 (X h ~ ~ , Durchflutungsausgleich) l~il3t sich der Transformator allein durch den idealen Obertrager und durch die zusammengefaBte Impedanz Z_ = R 1 + R 2 + j(X1, + X2, ) darstellen.

23.30rtskurven

und Frequenzg~inge

Es ist hfiufig vorteilhaft, fiir spezielle, zeitunabh/ingige Gr6Ben einer Schaltung, z.B. fiir die Impedanz eines Zweipols oder fiir das Verh~iltnis der Effektivwerte yon Ausgangsspannung zu Eingangsspannung, die Abh~ngigkeit von einer Bestimmungsgr6Be (einem Parameter) graphisch darzustellen, etwa v o n d e r Frequenz oder von dem Wert eines Widerstandes. Ist die interessierende Gr6Be komplexwertig, so gibt es grunds~itzlich zwei DarstellungsmSglichkeiten. Erstens k6nnen wir jeden ihrer Werte als Punkt in der komplexen Ebene angeben. Unterschiedlichen Parameterwerten entsprechen dann i.a. unterschiedliche Punkte, die fiir ein gegebenes Parameterintervall ein bestimmtes Kurvensegment durchlaufen. Diese Parameterdarstellung einer Kurve in der komplexen Ebene heiBt Ortskurve. Handelt es sich bei dem Parameter um die Frequenz oder Kreisfrequenz, so nennt man die Ortskurve im speziellen Frequenzgangortskurve, kurz: Frequenzgang oder manchmal auch Nyquist-Diagramm der betrachteten Gr6Be. Zweitens lassen sich Betrag und Winkel der komplexen Gr6Be in zwei getrennten Diagrammen fiber den Parameterwerten auftragen. Wenn der Parameter die Frequenz oder die Kreisfre2 im betrfigt ftir technische Leistungstransformatoren einige Prozent der primfiren Stromst/irke bei Vollast.

23.3 Ortskurven und Frequenzg/inge

185

quenz ist, d a n n sprechen wir jetzt vom Bild des Betragsfrequenzganges bzw. des wird dabei fiir die Frequenz und fiir den Betrag jeweils eine logarithmische Skala, f/ir den Winkel dagegen eine lineare Skala gew~ihlt. Diese vielverwendete Art der Darstellung heil3t Bode-Diagramm.

Winkeifrequenzganges. Meistens

Ortskurven Beginnen wir mit einfachen Beispielen: Wie h/ingen die I m p e d a n z u n d die Admittanz einer R-L-Reihensehaltung v o n d e r Kreisfrequenz ab? Darzustellen sind also die Werte von Z_ = R +jcoL bzw. _Y= 1/(R + jogL) mit co als Parameter. Wie Sie in Abb. 23.9 sehen, ergibt sich fiir die Frequenzgangortskurve der I m p e d a n z eine Halbgerade und fiir die Frequenzgangortskurve der A d m i t t a n z ein Halbkreis. Entsprechende Bilder erhalten wir fiir die Frequenzgangortskurven einer R-CReihenschaltung (Abb. 23.10). Von einem etwas allgemeineren S t a n d p u n k t aus betrachtet geschieht bei der K o n s t r u k t i o n von O r t s k u r v e n folgendes. Angenommen, den k o m p l e x e n Werten z irgendeiner Gr613e werden durch eine F u n k t i o n f komplexe Werte _w= f(z) zugeordnet, d.h. ein Bereich der komplexen z-Ebene wird auf einen Bereich der komplexen w-Ebene abgebildet 3. Durchlaufen nun die Werte z in Abh/ingigkeit von einem P a r a m e t e r p eine K u r v e z(p), d a n n liegen auch die Bildpunkte i.a. auf einer Kurve w_(p) (Abb. 23.11). Von besonderem Interesse fiir die Anwendungen sind gebrochen lineare Funktionen ao + al z f(z) = bo +_~Tz

(23.10)

mit komplexen Koeffizienten 4 a o, al, b o u n d b:. Es l~il3t sich n~imlich zeigen, dab damit Kreise in der z-Ebene wieder auf Kreise in der w-Ebene abgebildet werden,

Abb. 23.9 Frequenzgangortskurven der Impedanz _Zund der Admittanz _Yeiner R-L-Reihenschaltung. Die Ortskurven sind im Prinzip mit den Parameterwerten (Kreisfrequenz co) zu beziffern. Meistens interessiert jedoch nur der qualitative Verlauf, und es geniigt die Angabe einiger charakteristischer Parameterwerte (hier die eingeklammerten Werte co= 0, co= R/L und co = oe) 3 Ist die komplexe Funktion f im betrachteten Bereich analytisch, so sprechen wir von einer konformen Abbildung. 4 Wir setzen a ob 1- a 1b o ~ 0 voraus, weil sich die Funktion sonst auf eine Konstante reduziert.

186

23 KomplexeBehandlung von Wechselstromkreisen

Abb. 23.10..Frequenzgangortskurven der ImpedanzZ_ und der Admittanz _Yeiner R-C-Reihenschaltung. Ahnlich wie in Abb. 23.9 bestimmt auch hier die reziproke Zeitkonstante einen charakteristischen Wert der Kreisfrequenz

Abb. 23.11 Zuordnung zwischen den Punkten der _z-Ebene und den Punkten der _w-Ebene durch eine komplexe Funktion f. Kurven werden dabei i.a. wieder auf Kurven abgebildet eingeschlossen die Geraden als Kreise mit unendlich grol3em Radius: Die gebrochen linearen Funktionen vermitteln eine Kreisverwandtschaft zwischen den beiden Ebenen. Wir verstehen damit den Zusammenhang zwischen den Frequenzgangortskurven der Impedanz und der Admittanz in Abb. 23.9 bzw. in Abb. 23.10. Die Beziehung _Y = 1/_Z entspricht f ( z ) -- 1/z, also einem Spezialfall von G1. (23.10). Aus einem Geradensegment (--spezielles Kreissegment) in der Impedanzebene entsteht demnach ein Kreissegment in der Admittanzebene. Natiirlich k6nnen wir mit gebrochen linearen Funktionen auch direkt die Koordinatenachsen (spezielle Geraden) abbilden, also beispielsweise z(p) -- 9(P) mit einer reellen Funktion 9 eines beliebigen reellen Parameters p w~ihlen. Die zugeh6rige Ortskurve w(p) --

ao + alg(p)

_b0 + b,o(p)

(23.11)

ist dann jedenfalls ein Kreisbogen, und fiir dessen Konstruktion ist nach den Regeln der Elementargeometrie die Kenntnis von drei Punkten ausreichend. Der Ortskurvenparameter muB nicht notwendig die Frequenz sein. Nehmen wir z.B. die beiden induktiv gekoppelten Kreise aus Abb. 23.12. An der ersten Spule--wir

23.30rtskurven und Frequenzg/inge

187

Abb. 23.12 Zwei induktiv gekoppelte Kreise. Gesucht ist die Ortskurve von _/ fiir ver/inderliche R-Werte. Zur Abkiirzung werden die Reaktanzen X 1, X 2 und die Streuziffer a eingefiihrt

setzen sie vereinfachend als widerstandslos v o r a u s - - l i e g t eine S i n u s s p a n n u n g fester A m p l i t u d e u n d Frequenz. Der zweite Kreis enth/ilt einen ver/inderlichen Widerstand. W i r interessieren uns f/Jr die Gr6Be des Eingangsstroms bei unterschiedlichen Widerstandswerten, d.h. gesucht ist die Ortskurve von I mit R als P a r a m e t e r . Mit den a n g e g e b e n e n Abkiirzungen folgt nach Elimination y o n / 2 ein Z u s a m m e n h a n g der F o r m (23.11) ( P a r a m e t e r p = R), _U

jX 2 +R

- / = j X l j a X 2 + R'

(23.12)

die O r t s k u r v e ist also wieder ein Kreis (Abb. 23.13). Als Beispiel fiir eine Ortskurve, die sich nicht durch eine gebrochen lineare F u n k t i o n darstellen 1/~Bt, untersuchen wir die Schaltung in Abb. 23.14. Es h a n d e l t sich um eine Kette a u s drei R-C-Gliedern mit einer Sinusspannung _U1 a m Eingang.

Abb. 23.13 Stromortskurve der Schaltung aus Abb. 23.12 entsprechend G1. (23.12). Parameter ist der Widerstand R. Der komplexe Effektivwert der Spannung ist willkiirlich mit _U= j U angenommen. Eine Ortskurve dieser Art wird als sogenanntes vereinfachtes Kreisdiagramm zur Darstellung grundlegender Zusammenhiinge bei Asynchronmaschinen (eine weitverbreitete Art elektrischer Maschinen) verwendet. Die Ersatzgr613e R kann dabei auch negative Werte annehmen (unterer Halbkreis, generatorischer Betrieb)

188

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. 23.14 Kettenschaltung aus drei R-C-Gliedern und zugeh6rige Frequenzgangortskurve des Spannungsiibertragungsfaktors bei leerlaufendem Ausgang

Wir fragen nach der Abh/ingigkeit der Leerlauf-Ausgangsspannung _U2 v o n der Frequenz oder, damit gleichbedeutend, nach dem Frequenzgang des Ubertragungsfaktors _G= _U2/_U~ bei leerlaufendem Ausgang. Schaltungen dieser Art lassen sich am einfachsten vom Ausgang her aufl6sen. Unter Verwendung der bezogenen Frequenz v = ogRCerhalten wir U2 1 1 _G= U_--~= (1 + jv) 3 +iv(3 + 2 j v ) - 1 - 5v 2 + j v ( 6 - v2) '

(23.13)

was sich leicht punktweise auswerten 1/iBt. Besteht die Kette aus n Gliedern, so durchl~iuft die Ortskurve n Quadranten, hier also drei. Fiir n = 1 ergibt sich ein Halbkreis im rechten Quadranten der unteren Halbebene. Frequenzgangortskurven von f2bertragungsfaktoren sind ein wichtiges Hilfsmittel zur Beurteilung der dynamischen Eigenschaften linearer Systeme. Werden sie formal in den Bereich negativer Frequenzen fortgesetzt, so nennt man sie vollst~indige Frequenzgangortskurvon (-- ~ < o9 < ~ ) . Die gew6hnliche F o r m (0 ~< 09 < ~ ) heil3t dann einfache Frequenzgangortskurve.

Bode-Diagramme Aus der Frequenzgangortskurve lassen sich im Prinzip zu jeder Frequenz sowohl der Betrag wie auch der Winkel der dargestellten komplexen Gr613e entnehmen. Wenn jedoch tats/~chlich Interesse an quantitativen Aussagen besteht, dann ist meist eine getrennte Angabe des Betrages und des Winkels als F u n k t i o n der Frequenz von Vorteil. Dabei erweist sich die Verwendung logarithmischer Skalen ffir Betrfige und Frequenzen und linearer Skalen ffir Winkel als besonders bequem und hilfreich beim Erkennen ausgeprfigter Eigenschaften, wie Sie an den folgenden Beispielen sehen werden. Als erstes untersuchen wir den Frequenzgang des Spannungsiibertragungsfaktors fiir das R-C-Glied aus Abb. 23.15 bei leerlaufendem Ausgang. Mit der komplexen

23.30rtskurven und Frequenzg/inge

189

Abb. 23.15 R-C-Glied mit TiefpaB-Charakteristik. Dargestellt ist der Ubertragungsfaktor _Gder Spannung bei leerlaufendem Ausgang als Funktion der bezogenen Frequenz v in Form der Frequenzgangortskurve sowie als Betrags- und Winkelfrequenzgang. Werden ftir die Bezifferungen der Betragsachse und der Frequenzachse logarithmische Maf3stiibe verwendet (bevorzugt dekadische Logarithmen), so sprechen wir von einem Bode-Diagramm

Spannungsteilerregel folgt unmittelbar G -

--

U2 _Ul

=

1 , 1 + jcor

T--

RC.

(23.14)

Der Kehrwert der Zeitkonstante T definiert eine charakteristische Kreisfrequenz COB= 1/r. ES ist daher zweckm~iBig, die Werte der Kreisfrequenz als Vielfache dieser Bezugsgr6Be anzugeben, also die bezogene Frequenz v = w/coB als Ver~inderliche zu verwenden, wie wir das bereits im Zusammenhang mit der Kettenschaltung aus Abb. 23.14 gemacht haben. Bei kleinen Frequenzen (v> 1) wie I_G[ ~ 1 / v verh/ilt. Diese Grenzverl~iufe bilden sich bei logarithmischen Mal3st~iben an beiden Achsen auf Geraden ab, die Sie strichliert im rechten oberen Teilbild von Abb. 23.15 sehen. Interessant ist nun, daf~ der Betragsfrequenzgang bei einer solchen Art der Darstellung fiberhaupt nur in den Umgebungen der charakteristischen Frequenzen (hier v - - 1 , ,,Knickfrequenz") von den Asymptotengeraden abweicht, und auch dort nicht sehr stark. Der tats~ichliche Verlauf l~il3tsich demnach recht gut durch einen Polygonzug ann~ihern. Etwas weniger stark ausgepr~igt verh/ilt sich der Winkelfrequenzgang. Im vorliegenden Beispiel k6nnten wir ihn ganz grob durch einen Sprung von 0 a u f - 7 r / 2 bei der charakteristischen Frequenz beschreiben. Tats~ichlich verl~iuft er im Bereich von etwa einem Zehntel bis zum Zehnfachen der charakteristischen Frequenz verschliffen. Bei der Verwendung logarithmischer MaBe fiir die Betriige v o n GriiBenverhiiltnissen (Quotienten zweier Gr6Ben gleicher Dimension) haben sich in der Elektrotechnik und in der Akustik besondere Bezeichnungsweisen durchgesetzt. Dabei wird unterschieden zwischen Gr6f~en, die der Leistung proportional sind (Wirkleistung,

190

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Scheinleistung u./i), Leistungsgr613en genannt, und Gr613en, deren Quadrate der Leistung proportional sind, wenn sie auf Impedanzen wirken (z.B. Spannung, Strom, nicht aber Impedanz oder Frequenz), in diesem Zusammenhang als Feldgr613en bezeichnet. Angenommen, _OFist das Verh~iltnis zweier Feldgr/513en gleicher Dimension, z.B. das Verh~iltnis der komplexen Effektivwerte von Ausgangsspannung und Eingangsspannung, GF = _Uz/_U1.Als natfirlich logarithmisches Mal3 von Gr613enverh~iltnissen dieser Art definieren wir 9_v = In (G_F)= ln l _GvI + j arc (_Gv).

(23.15)

Realteil und Imagin/irteil sind Gr613en der Dimension 1D, besitzen also im SI die koh~irente Einheit 1E (kurz: 1). Trotzdem verwendet man bei Winkelangaben als Hinweis auf die Gr613enart gelegentlich die Pseudoeinheit Radiant (1 rad - 1E) und analog ffir das natiirlich logarithmische Verh~iltnis des Betrages von Feldgr613en die Pseudoeinheit Neper 5 ( 1 N p = 1E). Man schreibt also mit gF--gF +JgF z.B. fiir _GF = 0,5.exp(j re/6) m

t

gF = ln(0,5) = -- 0,639 Np,

tt

9F = 7r/6 = 0,524 rad.

(23.16)

Analog gehen wit bei Leistungsgr/SBen vor. U m einen bequemen AnschluB an die Feldgr6Ben zu finden, wird jedoch das natiirlich logarithmische MaB des Verh~iltnisses _Gp zweier Leistungsgr6Ben, z.B. des Verh~iltnisses der komplexen Scheinleistungen am Ausgang und am Eingang, _Gp= _$2/_$1,fiir dessen Quadratwurzel erkl~irt, _gp= 89

" llnlGal +j 89

(23.17)

Auch daffir sind Pseudoeinheiten Neper und Radiant in Gebrauch. Beim praktischen Rechnen mit logarithmierten Gr6Benverh/iltnissen hat sich die Verwendung des dekadischen Logarithmus gegenfiber dem natiirlichen Logarithmus durchgesetzt. Ausgehend von G1.(23.17) erhalten wir gem/iB 1Oga(C) = log a (b)" 1Ogb(C) fiir den Realteil gp - 89ln(10)- lg IGpI,

(23.18)

und der Faktor In(x/i--0) wird durch die Einheit Bel (Kurzzeichen 1 B) oder h/iufiger, durch 10 Dezibel (Kurzzeichen 10dB, ldB = 0,1 B) ersetzt. Man definiert also das logarithmierte GriiBenverh/iltnis des Betrages yon LeistungsgriiBen als g p - 101gl_GaldB,

1 dB=0,1-1n(x~)l

E,

(23.19)

und daher ergibt sich, weil in G1. (23.15) der Faktor 1/2 nicht vorkommt, ffir das logarithmierte GriiBenverh/iltnis des Betrages yon FeldgriiBen gF = 20 lgIGF IdB,

(23.20)

also z.B. mitl _GEl= 0,5 die Gr613e 9v = - 6,02dB. Der G1. (23.20) werden Sie h/iufiger begegnen als der G1. (23.19), weil Netzwerkgr613en, Signale und regelungstechnische ZustandsgriSl3en meist als Feldgr613en im hier betrachteten Sinn aufzufassen sind. 5 John Napier (Neper), 1550-1617, schottischer Mathematiker und Theologe, Pionier der Logarithm e n .

191

23.30rtskurven und Frequenzg~inge

Abb. 23.16 Gegeniiberstellung der Skalen zur logarithmischen Darstellung des Betrages von Verh~iltnissen Gv gleichartiger Feldgr6Ben. Die I_Gv I-Skala ist logarithmisch, die Dezibel-Skala und die NeperSkala sind linear geteilt

Beachten Sie, dab das Dezibel lediglich fiir In (x/~0)/10 -- 0,1151... (genauer: l d B -0,1151... 1E) steht, und dab damit die Beziehung gilt l d B = 0,1151... Np,

1Np = 8,686... dB.

(23.21)

Abbildung 23.16 zeigt die Zusammenhiinge anhand von Skalen. Der in Abb. 23.15 dargestellte Obertragungsfaktor _G ist ein Verhiiltnis von FeldgriSl3en. Sein Betragsfrequenzgang zeigt im wesentlichen unterhalb der charakteristischen Frequenz einen konstanten Verlauf und oberhalb einen Abfall mit - 2 0 d B / D e k a d e der Frequenz. Bei der charakteristischen Frequenz (v = 1) ist I_GI- 1/x/~ = 0,707, was im logarithmischen Mal3 der Abweichung 20 lg(1/x//2)dB = - 3,01dB ~ - 3dB vom ann~ihernden Polygonzug entspricht. Qualitativ v611ig anders verh/ilt sich das R-C-Glied, wenn Widerstand und Kondensator gegeniiber Abb. 23.15 ihre Plfitze tauschen. Sie sehen das in Abb. 23.17. Die komplexe Spannungsteilerregel liefert nun U2

jco'~

G. . . . , _U1 1 + j c o r

~ = R C,

(23.22)

und wir erkennen die charakteristische Kreisfrequenz coB = l/c, die wir wieder als BezugsgriSge verwenden, v = m/coB. Wegen I_G]~ v fiir v > 1 liigt sich der Betragsteil des Bode-Diagrammes im Bereich v < 1 dutch eine Gerade mit der Steigung 20dB/Dekade und im Bereich v > 1 durch einen konstanten Verlauf anniihern. Die Abweichung bei der charakteristischen Frequenz (v - 1, ,,Knickfrequenz") betr/igt ~ - 3dB. Wie Sie sehen, iibertr/igt dieses Glied Spannungen hoher Frequenz nahezu ungehindert, wiihrend solche niedriger Frequenz abgeschwiicht (gediimpft) werden (HochpaB-Charakteristik). Bei der Schaltung aus Abb. 23.15 ist das umgekehrt (TiefpaB-Charakteristik). In beiden Fiillen ist der Phasenverschiebungswinkel der Ausgangsspannung gegen die Eingangsspannung frequenzabh/ingig. Ein interessantes Verhalten zeigt auch die R-C-Kombination aus Abb. 23.18. Mit Kreuzschaltungen dieser Art lassen sich sogenannte AllpaBelemente realisieren, d.h. der Betrag des Spannungsiibertragungsfaktors ist unabhiingig v o n d e r Frequenz. Unterschiedliche Frequenzen machen sich jedoch in unterschiedlichen Phasenverschiebungswinkeln der Ausgangsspannung gegen die Eingangsspannung bemerkbar. Weitere Beispiele fiir Frequenzgangortskurven und Bode-Diagramme liefert das n/ichste Kapitel.

192

23 Komplexe Behandlung von Wechselstromkreisen

Abb. 23.17 R-C-Glied mit HochpaB-Charakteristik. Dargestellt ist der Obertragungsfaktor _Gder Spannung bei leerlaufendem Ausgang als Funktion der bezogenen Frequenz v in Form der Frequenzgangortskurve und als Bode-Diagramm

Abb. 23.18 R-C-Glied mit AllpaBcharakteristik. Der Obertragungsfaktor _G der Spannung bei leerlaufendem Ausgang besitzt hier den konstanten Betrag 1. Sein Winkel ist jedoch frequenzabh~ingig

23.4 Fragen 1. Was verstehen Sie unter einer linearen Schaltung und unter einem eingeschwungenen Zustand in einer linearen Schaltung? 2. Welche Voraussetzungen sind allgemein ftir die Gfiltigkeit der Kirchhoff-Regeln zu treffen? 3. Wie lauten die Kirchhoff-Regeln im Komplexen?

193

23.5 Aufgaben

4. Gelten die Kirchhoff-Regeln bei eingeschwungenen Zust/inden in linearen Schaltungen fiir die Augenblickswerte, die reellen Effektivwerte, die komplexen Effektivwerte, die reellen Amplituden, die komplexen Amplituden? (Begriindung!) 5. Welche Informationen liefern die beiden Kirchhoff-Regeln? 6. Wie berechnen Sie die Ersatzimpedanz bzw. die Ersatzadmittanz einer Reihenschaltung und einer Parallelschaltung zweier nicht gekoppelter komplexer Widerst~inde? Wie ist dies in der komplexen Ebene zu veranschaulichen? 7. Kann der Scheinwiderstand der Reihenschaltung komplexer Widerst~inde kleiner sein als die EinzelscheinwiderstS.nde? (Beispiel!) 8. Wie lauten die Spannungsteilerregel und die Stromteilerregel im Komplexen? Woraufm/issen Sie bei ihrer Anwendung hinsichtlich der Kopplung speziell achten? 9. Was verstehen Sie unter "induktiver Kopplung"? 10. Wie lauten die Elementgleichungen zweier induktiv gekoppelter Spulen im Komplexen? Welche Rolle spielt dabei die Wahl der Bezugssinne? 11. Wie k6nnen Sie die Hauptreaktanzen und die Streureaktanzen eines Transformators definieren? 12. Welche Form nimmt das T-Ersatzschaltbild eines Transformators bei Vernachl~issigung des Magnetisierungsstromes an? Wodurch wird dann der Transformator repr~isentiert? 13. Was verstehen Sie allgemein unter einer Ortskurve, was speziell unter einer Frequenzgangortskurve, einem Betragsfrequenzgang und einem Winkelfrequenzgang? 14. Wie sehen die Frequenzgangortskurven der Impedanz und der Admittanz einer RL-Reihenschaltung und einer RC-Reihenschaltung aus? 15. Welche allgemeinste Form einer komplexwertigen Funktion einer reellen Variablen besitzt einen Kreis (oder Kreisbogen) als Ortskurve? 16. Welche Darstellungsform bezeichnet man als Bode-Diagramm? 17. Was ist ein Gr613enverh~iltnis? 18. Worauf griindet sich die Einteilung physikalischer Gr613en in Feldgr613en und LeistungsgriSBen? 19. Was bedeutet 1 dB (1 Dezibel)? 20. Wie realisieren Sie einfache TiefpaB-, Hochpal3- und Allpal3- Obertragungsglieder mit Widerst/inden und Kondensatoren? Wie sehen die Frequenzgangortskurven und die vollst~indigen Bode-Diagramme dazu aus?

23.5 Aufgaben A23.1 Realer Kondensator: Das Wechselstromverhalten eines realen Kondensators Abb. A23.1 a 1/il3t sich nach Herstellerangabe durch die Ersatzschaltung Abb. A23.1b erfassen. Ab welcher Frequenz weicht der Phasenverschiebungswinkel zwischen Spannung und Strom um mehr als 15 ~ dem des idealen Kondensators ab? F

II

r

II

,

I

I

I

I

1o

II II 1500~tF

'

' 20f2

"

~

2

10nil

1500uF Abb. A 2 3 . 1 a

Abb. A23.1b

A23.2 Realer Widerstand: Reale Widerst/inde sind in Wechselstromschaltungen beispielsweise durch die Ersatzschaltung Abb. A23.2 n~iherungsweise darstellbar. Welche Beziehung zwischen R, L u n d C ist durch den konstruktiven Aufbau des

194

23 K o m p l e x e Behandlung von Wechselstromkreisen

Widerstands anzustreben, damit der Phasenverschieb, ungswinkel zwischen Spannung und Strom fiir hinreichend kleine Kreisfrequenzen (co2 1 und d a m i t 0 < q9 < n/2, wird dagegen Wirkleistung und Blindleistung a u f g e n o m m e n - die Schaltung wirkt ,,ohmisch - induktiv".

Frequenzgdnge der Admittanz Wie Sie aus Abb. 24.1 ebenfalls e n t n e h m e n k6nnen, entspricht die F r e q u e n z g a n g o r t s k u r v e des k o m p l e x e n Scheinleitwertes (der Admittanz) mit _Y=//_U = U_R/(RU_)einem vollst~indigen Kreis. Etwas deutlicher RiBt sich dieses Frequenzverhalten unter V e r w e n d u n g des Betragsfrequenzganges und des Winkelfrequenzganges darstellen (Abb. 24.2). B e m e r k e n s w e r t sind die f/Jr Verlustfaktoren d < 1

1/~/LC) auftretenden Resobezogenen Scheinleitwertes I_yl = Y~/L/C. Beispielsweise steigt lyl lyl = 1 bei v = 0,62 auf den hundertfachen Wert lyl = 1/d = 100 bei

(Resonanzsch~irfen Q > 1) bei v = 1 (d.h. 09 = 090 =

nanzspitzen des f/Jr d = 0,01 von v = 1 an und Rillt wieder auf lyl = 1 bei v = 1,62 ab. Der Winkel arc (y) ~indert sich dabei von n/2 auf -n/2. Ein Reihenschwingkreis kleiner D~impfung stellt also fiir W e c h s e l s t r 6 m e mit Kreisfrequenzen in umittelbarer N~ihe der Kennkreisfrequenz 090 einen relativ kleinen W i d e r s t a n d dar, w~ihrend WechselstriSme a n d e r e r

Abb. 24.2 Frequenzg~inge der Admittanz _Ydes Reihenschwingkreises. Die Frequenzgangsortskurve von _Yistein vollst~indiger Kreis. Die rechte Bildh~ilfte zeigt den Betragsfrequenzgang und den Winkelfrequenzgang der bezogenen Admittanz y f/ir unterschiedliche Werte des Verlustfaktors d. Die Skalen fiir I_yl und fiir die bezogene Frequenz v sind logarithmisch geteilt

2 12

24 Resonanzerscheinungen

Kreisfrequenzen scharf abgeblockt werden. Es ist diese frequenzselektive Eigenschaft von Resonanzkreisen, die ihren breiten Einsatz in der Elektrotechnik begriindet.

24.2 Der Parallelschwingkreis Resonanzerscheinungen lassen sich nicht nur in R - L - C - R e i h e n s c h a l t u n g e n feststellen, sondern auch in anderen R - L - C - K o m b i n a t i o n e n , z.B. in einer Parallelschaltung der drei idealen Elemente. Technisch gesehen ist diese Kombination als Ersatzschaltung meistens jedoch nicht brauchbar, weil bei der Untersuchung von Resonanzerscheinungen der Widerstand von Spulen in der Regel nicht vernachl~issigt werden kann. Wir betrachten deshalb im folgenden die Parallelschaltung einer ,,realen" Spule und eines Kondensators, wobei die Spule als Reihenschaltung einer idealen Spule und eines idealen Widerstandes dargestellt wird. Diesen Parallelschwingkreis sehen Sie in Abb. 24.3. Seine Gesamtimpedanz betrfigt

Z_

j 03 C + 1/(R + j03L) '

(24.5)

und der Gesamtstrom / teilt sich frequenzabh~ingig in die beiden Zweigstrifme/L u n d / c gemfiB IL 1 -{_ = l - - 0 3 2 L C + j 0 3 R C '

Ic - - 0 3 2 L C + j03RC T = l -032LC +j03RC

(24.6)

auf. Als Kenngr6Ben sind auch hier die Kennkreisfrequenz 030 nach G1. (24.3)-die Eigenfrequenz des unged~impften Schwingkreises- und der Verlustfaktor d nach G1. (24.4) brauchbar. Bei 03=03o gilt dann im speziellen / L / / = - j / d und I c / I = 1 + j/d, d.h. fiir kleine Verlustfaktoren k6nnen die Effektivwerte I L und I c der TeilstriJme wesentlich griJBer sein als der Effektivwert I des Gesamtstroms. Deshalb spricht man in diesem Fall auch von Stromresonanz 2. Die Frequenzgangortskurve der Impedanz _Z sehen Sie in Abb. 24.3 links. Parameter ist die bezogene Frequenz v = 03/03o. Gilt d < 1, so gibt es (neben co = 0) einen Wert 031 = 03oVl = 03ox/1 - d 2 der Kreisfrequenz, fiir den die Schaltung als gew6hnlicher (reeller) Widerstand _Z = L / ( R C ) wirkt, also einen reinen Wirkleistungsverbraucher darstellt. Die von der Spule aufgenommene Blindleistung wird dabei vom Kondensator geliefert und muB nicht von augen zugefiihrt werden. Dieses in der elektrischen Energietechnik gelegentlich angewendete Verfahren zur Minimierung des Stromes in den Speiseleitungen ohmisch - induktiver Verbraucher durch Beschaltung mit Kondensatoren nennt man Blindleistungskompensation.

2 Tats~ichlich liegen die Maxima v o n IL/I und von Ic/I nicht genau bei der Kennkreisfrequenz, sondern - kleine Dfimpfungen vorausgestzt - etwas unterhalb bzw. etwas oberhalb von coo.

24.3 Begriffeund KenngriSl3en von Resonanzkreisen

213

Abb. 24.3 Frequenzg~ingeder Impedanz _Zdes Parallelschwingkreises. Links ist die Frequenzgangortskurve von _Z fiir d < 1 dargestellt. Die rechte Bildh~ilfte zeigt den Betragsfrequenzgang und den Winkelfrequenzgang der bezogenen Impedanz z fiir unterschiedliche Werte des Verlustfaktors d. Die Skalen fiir Iz] und fiir die bezogene Frequenz v sind logarithmisch geteilt

Rechts in Abb. 24.3 sind der Betrags- und der Winkelfrequenzgang der bezogenen Impedanz _Zx/~/L fiir unterschiedliche Verlustfaktoren d, d.h. unterschiedliche Widerstandswerte R dargestellt. Deutlich erkennbar sind die fiir d < x / x / 2 + 1 = 1,55 in der U m g e b u n g der Kennkreisfrequenz auftretenden ausgepr~igten Resonanzspitzen des Scheinwiderstandes (Fiir d 2 6.

(25.10)

Symmetrische

m-Phasensysteme

yon SinusstrSmen

Abbildung 25.5 zeigt schematisch eine G r u p p e zusammengehSrender, stromdurchflossener Leiterbahnen, bestehend aus m AuBenleitern L1, L 2 , . . . , L m und, falls vorhanden, einem Neutralleiter N. Analog zu den Spannungen sprechen wir dann von einem symmetrischen m-Phasensystem von Sinusstrbmen, wenn bei gleichen Frequenzen und A m p l i t u d e n die Str6me i 1, i2,... , in, in der vorgegebenen Reihenfolge (Phasenfolge) um jeweils gleiche Winkel 2n/m gegeneinander phasenverschoben sind. D.h., die Str6me besitzen die Darstellung

ik -- 11 x / ~ cos(oot + qgik),

goi,' = qgi~ -- (k - 1)2n/m,

k = 1,..., m

(25.11)

bzw.

ik = Re(/kX/~ eJ'~

/_k = _I~e -

j(k- 1)2n/m,

k = 1,..., m (25.12)

I1 --" I 1 e jq~i~.

228

25 Mehrphasensysteme il

L1 L2 L3

is i3 --

im

Lrn N

-~ 1N= i1+i2+ .., im

Abb. 25.5 Str6me eines m-Phasensystems

Mit der ersten Kirchhoff-Regel und G1. (25.4) folgt daraus m

m

in = ~ ik=O,

/N= Z /k=O,

k=l

(25.13)

k=l

der Sternpunktleiterstrom verschwindet demnach im symmetrischen Fall. Ist der Sternpunktleiter nicht vorhanden oder nicht angeschlossen, z.B. bei Ringschaltung, so gelten die Gin. (25.13) natfirlich auch ohne Bezug auf die Symmetrie des Stromsystems.

L e i s t ung sgrSj3en Angenommen, unsere Leitergruppe tr~igt zusammengehSrende symmetrische mPhasensysteme von Sinusspannungen und SinusstrSmen (Abb. 25.6). Wie groB ist dann die gesamte fibertragene Leistung, also der yon der Leitung gefiihrte Energiestrom? Die gesamte Momentanleistung ergibt sich als Summe der Einzelleistungen zu m

1

m

P= ~ Ukik=-~ ~ (UkeJ~" +U~e-J~ k=l

+ I~e -j~'')

k =

m

= ~k~(UkLkeJ2~' + _ _ 1

L1 L2 L3 Lm N

U_'~I__'~e-J2'~'+ U_kit + U_'~tk).

il v,,..._

U23 ~

...

U m

\) / P ]

r u3 . . . .

i,.

um~

iN- il + iz+ ... i,~

Abb. 25.6 Bezugssinne

fiir Spannungen, Str6me und Leistung eines m-Phasensystems

25.1 Symmetrischem-Phasensysteme

229

Zusammen mit Gln. (25.2)2 und (25.12)2 folgt weiter f/Jr m # 1, 2 m

m

m

--Uk--/k= -Ux -/1 ~ e- j(k-1)4n/m k=l

Y

= O,

k=l

=0,

k=l

m

m

Z -Uk-/~ = m _U1 _/~',

E _U~/-k= m _U~'--/1,

k=l

k=l

insgesamt also p = m~(_U 1/]' + _U]'/1) = m U 111 cos(CPu~-- q)i~).

(25.14)

Interessanterweise ist die gesamte Momentanleistung p in einem symmetrischen Mehrphasensystem demnach f/ir m _> 3 zeitunabh~ingig und gleich ihrem zeitlichen Mittelwert, der W i r k l e i s t u n g - im Gegensatz zu den Einzel-Momentanleistungen, die wie in gew6hnlichen (einphasigen) Systemen pulsieren. Die komplexe Scheinleistung S_definieren wir als Summe der komplexen Einzelscheinleistungen gem~il3 G1. (22.37), m

S_= ~ _Uk/* = m _U1/~',

(25.15)

k=l

sie besitzt wegen G1. (25.6)3 den Betrag m

(25.16)

S = m U1 Ix = 2 sin(n/m) U1211"

Ihr Realteil, die Wirkleistung P, entspricht genau dem Ausdruck (25.14), P = Re(_S) = m U1 Ix cos(qgu~- (/9i~) =m

und ihr Imagin~irteil ist die

COS((/gu~

~

- - (Di -jr- n / m ~ 2sin(him)

n/2)

U1211,

(25.17)

U1211.

(25.18)

Blindleistung

Q = Im(_S) = m U1 11 sin(gOul -- q)il) =m

sin((pu12 -

q)il

-~-

n/m-

2sin(n/m)

n/2)

Der Leistungsfaktor ( W i r k f a k t o r ) - wir verwenden daf/ir allgemein den Buchstaben 2 - ist als Quotient 2 = P / S = cos(qgu, - qgi~)= cos((pu, ~ - q)i~ + n / m -- n/2)

(25.19)

erkliirt. F/Jr unsymmetrische m-Phasensysteme sind diese Definitionen entsprechend zu erweitern. Wir werden das hier nicht allgemein durchf/ihren, sondern uns im n/ichsten Abschnitt auf wichtige Sonderf~ille beschr/inken.

230

25 Mehrphasensysteme

25.2 Symmetrische Drehstromsysteme Dreiphasensysteme heiBen im allgemeinen elektrotechnischen Sprachgebrauch Drehstromsysteme. Die vorzugsweise zu verwendenden Bezeichnungen und Grundschaltungen sehen Sie in Abb. 25.7. Jeder Strang wird dabei als allgemeine lineare Ersatzschaltung eines Wechselstromzweipols durch eine Impedanz und eine ideale Sinusspannungsquelle dargestellt. Wenn Sie anstelle des Verbraucherbezugssystems das Erzeugerbezugssystem verwenden wollen, dann kehren Sie, wie iiblich, die Bezugssinne entweder der Spannungen oder der Str6me um und beriicksichtigen dies durch entsprechende Vorzeichenwechsel in den Gleichungen. Ein symmetrisches Drehstromnetz wird gew6hnlich durch eine Angabe der Art 3/N ~ 50 Hz 400/230 V oder 3/N AC 50 Hz 400/230 V gekennzeichnet. Darin bedeutet 3/N die Zahl der Leiter, n~imlich 3 AuBenleiter und ein Sternpunktleiter (Neutralleiter), ,-~ oder AC (alternating current) weist auf Sinusspannungen hin, 50 Hz ist der Wert der Frequenz und 400/230 V gibt die Nenn-Effektivwerte der Spannungen zwischen zwei AuBenleitern/zwischen einem AuBenleiter und dem Sternpunktleiter an. Gelegentlich verzichtet m a n auf das Anfiihren der F r e q u e n z wenn ihr Wert klar i s t - u n d der S t e r n s p a n n u n g - w e i l sie in symmetrischen

Abb. 25.7 Drehstromsystem.a Kennzeichnung L 1, L2, L3 der AuBenleiter,N des Sternpunktleiters und Bezugssinne fiir Sternspannungen, AuBenleiterspannungen (Dreieckspannungen) und Str6me. Die friiher iiblichen Bezeichnungen R, S, T fiir die AuBenleiter werden von IEC nicht mehr empfohlen. Kombination von drei Str~ingen in einer Sternschaltung b und in einer Dreieckschaltung c. Die AnschluBpunkte von Betriebsmitteln werden ebenfalls mit L1, L2, L3 und N gekennzeichnet. Bei Drehstromgeneratoren,-motoren und -transformatoren ist f/Jr die allgemeine AnschluBkennzeichnung daneben noch die Buchstabenfolge U, V, W, N iiblich. Sie wird dann auch auf die Indizes der Formelzeichen iibertragen, z.B. _Uvvstatt _U12

231

25.2 Symmetrische Drehstromsysteme

Abb. 25.8 Zeitverlauf der Sternspannungen (dfinne Sinuskurven) und der Dreieckspannungen (dicke Sinuskurven) in einem symmetrischen Dreiphasensystem. Die Rastereinheit des Winkels betr/igt n/6. U1 bezeichnet den Effektivwert der Sternspannungen. Der Nullphasenwinkel q~.l wurde willkiirlich zu Null angenommen

Systemen ohnehin durch die AuBenleiterspannung bestimmt ist. So bedeutet z.B. ,,3/N AC 400V" ein Netz mit 3 AuBenleitern, einem Sternpunktleiter, 400V Nenn-Augenleiterspannung und 230 V ~ 400 V/x/~ Nenn-Sternspannung. In einem Netz ,3 AC 400 V" wird kein Sternpunktleiter mitgefiihrt. Die Zeitverliiufe der Spannungen in einem symmetrischen Dreiphasensystem und ihre gegenseitige Phasenlage zeigt Abb. 25.8. Sie entsprechen den reellen Formen (U12 = Ul x/~, rpu,~ -- rpu, + n/6) (25.20) u 3 = U~ x/~cos(ogt + gOu~- 4n/3),

u3~ = Ux2x/~cos(cot + gout,- 4n/3).

Bei den komplexen Darstellungen werden wir mit Vorteil die Abkiirzung (25.21)

_a = e j2n/3

benutzen (Abb. 25.9). Wie Sie sehen, bedeutet die Multiplikation eines Zeigers mit a dessen Drehung um den Winkel 2n/3 = 120 ~ im positiven Sinn (Gegenuhrzeigersinn). Wir k6nnen damit die Zusammenh~inge zwischen den komplexen Effektivwerten der Sternspannungen und der AuBenleiterspannungen gem/il3 Gln. (25.2, 25.6) schreiben als _U1 = U 1 eJ'P%

U 2 -- a 2 U1,

U 3 = a U1,

U12 = U12eJ~~

U23--- a2 U12,

U31 ~- a U12,

(25.22) _U'12 = U 1 -- U 2 ~-(1 - - a 2 ) _ U 1 - - _Ulx/~eJn/6 , U12 ~- U 1 N/~,

(]gux 2 -

qgu, +

n/6.

232

25 Mehrphasensysteme

Abb. 25.9 Zeiger der h/iufig verwendeten Konstanten a und ihrer Potenzen a "- e j2rr/3

a3=l 1+a+a2=0

Analog gilt mit den Gin. (25.12) ffir das System der symmetrischen AuBenleiterstr6me /1=11

ej~~ ,

/2 = a2/1,

__/3 = a / 1 .

(25.23)

Im Fall der Sternschaltung (Abb. 25.7b) stimmen die Strangspannungen mit den Sternspannungen und die StrangstrSme mit den Aul3enleiterstrSmen iiberein. Der Sternpunktleiterstrom verschwindet aus Symmetriegriinden, falls der Sternpunkt iiberhaupt angeschlossen ist. Die vorausgesetzte Strangsymmetrie bedeutet --21 = --22 = 2--3'

_Uq2 = a2 U q l ,

Uq3 = a _Uql,

(25.24)

also gleiche Strangimpedanzen und ein symmetrisches Dreiphasensystem der Quellenspannungen (k6nnen auch Null sein). StrangstriSme und Strangspannungen sind repr~isentativ fiber _U~ = _Z~/~ + _Uqa

(25.25)

miteinander verkniipft. Bei der Dreiecksehaltung (Abb. 25.7 c) sind dagegen die Strangspannungen gleich den Aul3enleiterspannungen. Die Strangstr6me h~ingen untereinander und mit den AuBenleiterstr6men fiber / 1 2 = I12 eJq~i~, / 2 3

= a- 2 -112, -13 1 = -a112 , -

/1 = / 1 2 - - / 3 1 - - ( 1 -- a ) / 1 2 - - / 1 2 N / ~ 112 = I 1 / x / ~ ,

e -j€

(25.26)

qgi~ = q~i~ + re~6

zusammen, vorausgesetzt, es besteht die Strangsymmetrie -Z12 - - -Z23 -" -Z31,

-Uq23 = -a 2 U- q 12 ,

U - q 31 = a- - U q 12 .

(25.27)

Die Verkniipfung der Strangstr6me und Strangspannungen erfolgt repr/isentativ fiber U 1 2 = _Z12/__12 -31- U q l 2 -

(25.28)

Der Satz von Gin. (25.22) bis (25.28) ist vollst~indig. Beispielsweise k6nnen Sie damit bei bekannten Spannungen und Impedanzen, wofiir die Angabe von _U1, _Uql und _Z1 oder von _U~2,_Uql2 und Z_~2 ausreicht, alle Str6me berechnen. Beachten

25.2 Symmetrische Drehstromsysteme

233

Sie insbesondere die wichtigen Relationen der Betr/ige U12:

gl %/~,

(25.29)

I 1 2 ~----I 1 / ~

und, fiir _Uql = 0 bzw. _Uq12 ~-- O, U

- - Z 111

bzw.

U12

Z12112

9

(25.30)

In Abb. 25.10 sind die Beziehungen (25.22, 25.23, 25.26) graphisch erfaBt. N u n zu den Leistungsgr6Ben! Ausgehend von G1. (25.15)definieren wir die komplexe Seheinleistung als S u m m e der komplexen Einzelscheinleistungen, S_= 3 _U~_/* = x / ~ U 1 2 / ~ e -j~/6.

(25.31)

S -- 3 UI la = N ~ Ua2 I 1

(25.32)

Ihr Betrag

Abb. 25.10 Zeiger der komplexen Effektivwerte der Spannungen und Str6me eines symmetrischen Dreiphasensystems. Die Darstellungen a und b sind gleichwertig. Da meist nicht die absolute, sondern nur die gegenseitige Lage der Zeiger interessiert (freie Wahl des Zeitpunktes bei eingeschwungenen Vorg/ingen), werden die Achsen der komplexen Ebene in der Regel nicht angegeben q)l -- qgu~ -- (~Oi~ q212 = q)u~2 -- q)i~2 --" (D1

234

25 Mehrphasensysteme

ist stets positiv. Die Wirkleistung

P = Re(8)= 3 Ua 11 cos((P 1) = N//~ U12 Ix cos(q~x), (~01 ~-- q)ux -- (]9ix = qgux2 -- q)ix2 "-- q)ux2 -- q)ix --

n/6,

(25.33)

kann dagegen, wie auch die Blindleistung Q = Im(S_)= 3 u 111 sin(qga)= x/~ Ua2 11 sin(q~l), ~oi = qgux-- q~ix= qg,x~-- q~ix~= ~~ -- q~ix-- n/6,

(25.34)

je nach Gr613e des Phasenverschiebungswinkels q~l der Strangspannungen gegen die StrangstrSme positive oder negative Werte annehmen. Gilt in Verbindung mit dem Verbraucherbezugssystem aus Abb. 25.7 Q > 0, so sagen wir vereinbarungsgemiiB, das Geriit nimmt Blindleistung auf (ist ein Blindleistungsverbraucher, wirkt ohmisch-induktiv). Ffir Q < 0 wird Blindleistung abgegeben (Blindleistungserzeuger, wirkt ohmisch-kapazitiv). Ein elektrisch symmetrisches Drehstromgeriit liil3t sich demnach leistungsmiiBig vollstiindig kennzeichnen durch die Angabe seiner Scheinleistung S, des Leistungsfaktors

I2 " P/S=cos(~.,)

I

(25.35)

und einen Hinweis, ob es sich um einen Blindleistungsverbraucher oder -erzeuger handelt, z.B. in der Form 2 = 0, 8 (ind.) oder 2 = 0, 5 (kap.). Die Blindleistung beschreibt, grob gesprochen, den pulsierenden Energieaustausch zwischen den drei Str/ingen. Die Wirkleistung gibt den resultierenden FluB an elektrischer Energie fiber die Leitungen an. Die Scheinleistung schlieBlich dient bei festliegenden Spannungen als MaB ffir die Stromst/irken, bestimmt also z.B. die erforderlichen Leiterquerschnitte.

25.3 Unsymmetrische Drehstromsysteme Wird ein Drehstromnetz durch drei Strange mit ungleichen Impedanzen belastet, so stellt sich ein unsymmetrisches Stromsystem ein, d.h. die Effektivwerte der AuBenleiterstrSme und ihre gegenseitigen Phasenverschiebungswinkel sind i.a. unterschiedlich. Solche Situationen treten auch in St6rf'~illen auf, etwa bei KurzschluB zweier Leiter. Wir werden hier wiederum einen vollstiindigen Satz von Gleichungen ableiten, der die Beziehungen der komplexen Effektivwerte aller vorkommenden Spannungen und Str6me erfaBt. Mit den Bezeichnungen aus Abb. 25.7 a erhalten wir zuniichst ffir den Zusammenhang der Sternspannungen und der AuBenleiterspannungen U12=

U1-

U2,

~ = _Uo + 8 9

~31),

U23=

U2-

U 3,

~ = ~0 + 8 9

c~),

U31-- _U3- UI,

_u3 = _Co +-~(_u~ - c:~),

U12 + U23 + U31 ~ O,

_Co =-~(_u~ + _u~ + _v3).

(25.36)

25.3 UnsymmetrischeDrehstromsysteme

235

Wie Sie sehen, lassen sich im unsymmetrischen Fall wohl die AuBenleiterspannungen aus den Sternspannungen, nicht aber die Sternspannungen aus den AuBenleiterspannungen allein berechnen. Wir brauchen dazu zus~itzlich den Wert der sogenannten Nullspannung _Uo oder eine ~iquivalente Angabe. Liegt nun eine Sternsehaltung nach Abb. 25.7b vor, so haben wir auBerdem die drei Strangbeziehungen und die Knotengleichung ftir den Sternpunkt zur Verftigung, Yl --" g l !1 "31-Yql'

(25.37)

Y2 -- -g2 !2 + Yq2' Y3 = - Z 3 L -31-Yq3 ,

IN = ! 1 "t-L J - L "

Wie man diese Gleichungen anwendet, soll Ihnen folgendes Beispiel zeigen. Angenommen, wir kennen die Werte _Ul2, _U23, U~I der Augenleiterspannungen, _Uql, _Uq2, _Uq3 der Quellenspannungen und _Zl, Z 2, _Z3 der Strangimpedanzen. Der Sternpunkt sei nicht angeschlossen. Die Strangbeziehungen (25.37) links und die ersten drei Gln. (25.36) rechts ergeben, mit zun/ichst unbekanntem _Uo, fiir die Strangstr6me die Ausdrficke !, -

' [_Uo + ~(_u12

-- U _,3 )--

U_q,]/Z_ _ l,

--/2 -- [-Oo + 3(-U23---012)--Uq2]/-a2,

(25.38)

1 !3 -- [-Uo -[- ~(-U31--U23)--Uq3I/-Z3-

Wegen des nicht angeschlossenen Sternpunktes mug aber ihre Summe verschwinden,-/N = 0, und dies liefert eine Gleichung zur Berechnung yon U0. Damit lassen sich nun fiber die Gln. (25.38) die Str6me und fiber die Gln. (25.37) links oder (25.36) rechts die Strangspannungen tats~ichlich angeben. Bei einer Dreieeksehaltung nach Abb. 25.7c haben wir die Stranggleichungen U, 2 = _Z12!12 + _Oq:2,

(25.39)

U23 = Z23L3 + Uq23, U3, = -Z3IL1 -J[- Uq31"

und die Beziehungen zwischen den AuBenleiterstr6men und Strangstr6men 1

_/, =_/,~ - L , ,

!,2 = L + ~q:-L),

L =L3 -!,~,

L3 = L + ~q~-L),

k =k, -k,,

1 L, - L + ~q3 -I_,),

!, + L +L =0,

1

L--

(25.40)

~'ql 2 +!2~ -- +L --.1 ),

Im unsymmetrischen Fall lassen sich hier zwar die AuBenleiterstr6me aus den Strangstr6men, nicht aber umgekehrt die Strangstr6me aus den Augenleiterstr6men allein berechnen. Wir ben6tigen dazu auch den Wert des sogenannten Nullstromes_/0, der i.a. bei der Analyse zus~itzlich zu bestimmen ist.

236

25 Mehrphasensysteme

Setzen wir abkiirzend fiir die Phasenverschiebungswinkel der Spannungen gegen die Str6me (401 -- q)u~ - - (Dix,

(D12 -- (Du~2 - - (Dix2,

(/92 --- (/9u2 - - ~i2,

(/223 "- (/2u23 - - (Di23,

(/23

(4931 -- q)u3~ - - (Di31,

=

q~u3 --

q)i3'

(25.41)

so 1/igt sich mit Bezug auf Abb. 25.7 die gesamte komplexe Scheinleistung als Summe der komplexen Einzelscheinleistungen in den Formen S -- U_I I? -Jr-U2 I~ -+- U3 I~ ~- U 1 11 e j~~ + U 212 e j~~ -+- U 313 e j~~

= -UIE/-~'e + -Ue3-/*3 + -U31/-~'~-- U~2 112 eJ~~ + UE3 123 e~~ + U3x 131 ej~o3~

(es.4e) darstellen, unabh/ingig v o n d e r Art der Schaltung. Die gesamte Momentanleistung enth~ilt bei unsymmetrischen Systemen im Gegensatz zu den symmetrischen i.a. einen pulsierenden Anteil, ist also auch im eingeschwungenen Zustand nicht zeitlich konstant. Ihr Mittelwert, d.h. der mittlere Gesamtenergieflul3 fiber die Leitungen, ist aber nach wie vor durch die Wirkleistung P = Re(_S) = U1 Ix cos(q91) + U 2 1 2 cos((D2 ) + U 3 1 3 c0s((/93) = U12112 cos((lg12) + U23123 cos(([923) --]--U31131cos(q)31)

(25.43)

gegeben. ~hnlich haben wir ffir die Blindleistung Q = Im(_S)= u~ 11 sin(q~) + U212 sin(q92) + U313 sin(q93) = U~2 I12 sin(q912) + U23123 sin(q923) + U3a 131 sin(q93~)

(25.44)

und fiir den Leistungsfaktor (25.45)

2 = P/S.

Beachten Sie: Fiir den Leistungsfaktor 2 gilt zwar - 1 < 2 < 1, er ist aber im unsymmetrischen Fall i.a. nicht gleich einem ,,cos(o)", wenn q~ einen tats/ichlich auftretenden Phasenverschiebungswinkel angeben soll. Beachten Sie aul3erdem, dab der Betrag S der Scheinleistung i.a. nicht durch die reelle Summe U~ I~ + U2 I2 -+-U313 gegeben ist, sondern fiber die Gln. (25.42) berechnet werden mul3! Abschliel3end noch eine manchmal niitzliche Beziehung: Wir ersetzen in der ersten G1. (25.42) den Strom/3 durch /3 = / y - / ~ - / 2 und erhalten s=(u~

- u3)/~' + ( u 2 - u 3 ) / ] + u 3 g r = _u~3/? + _u~3/~' + u3/,~.

Handelt es sich nun um ein beliebig unsymmetrisches Drehstromsystem ohne Sternpunktleiter, gilt also /N = 0, SO folgt daraus, unabh/ingig von der Art der Schaltung, - S = - U 1 3 / ? -~- - U 2 3 -I* 2'

P = U 1 3 11 C O S ( q ) U l

3 --

(25.46) q)i~) -+- U 2 3

I2 C O S ( q ) U 2 3

--

q)i2)"

25.4 Fragen

237

Es ist dies die Grundlage der ,,Zweiwattmetermethode" zur Messung der Wirkleistung in unsymmetrischen Drehstromsystemen ohne Sternpunktleiter. Ftir die Analyse unsymmetrischer Mehrphasensysteme gibt es ein besonderes Rechenverfahren, die Methode der Symmetrischen Komponenten. Damit lassen sich auch komplizierte Schaltungen/ibersichtlich und 6konomisch behandeln.

25.4 F r a g e n 1. Was verstehen Sie allgemein unter einem Mehrphasensystem, was speziell unter einem Drehstromsystem? 2. Welche Vorteile bietet die Verwendung von Mehrphasensystemen in der elektrischen Energietechnik? 3. Was ist unter den Begriffen Strang, Sternschaltung, Ringschaltung, Sternpunkt und AuBenpunkt, AuBenleiter und Sternpunktleiter zu verstehen? 4. Was ist der Unterschied zwischen Sternpunktleiter, Neutralleiter und Nulleiter? 5. Wie sind die Gr6Ben AuBenleiterspannung und AuBenleiterstrom, Strangspannung und Strangstrom definiert? Wie h~ingen diese Gr6Ben bei Sternschaltung und bei Ringschaltung zusammen? 6. Wie nennt man die Ringschaltung speziell fiir m = 3? 7. Was bedeutet Sternspannung, was Dreieckspannung? 8. Wie h~ingen in einem symmetrischen m-Phasensystem von Sinusspannungen die komplexen Effektivwerte der Sternspannungen untereinander, der AuBenleiterspannungen untereinander, und der Sternspannungen mit denen der AuBenleiterspannungen zusammen? Wie ist dies in einem Zeigerdiagramm zu veranschaulichen? 9. Sind die Effektivwerte der AuBenleiterspannungen im symmetrischen Fall immer gr6Ber als die Effektivwerte der Sternspannungen? (Beispiel!) 10. Wie h~ingen die komplexen Effektivwerte eines symmetrischen m-Phasensystems von SinusstriSmen zusammen? 11. Welchen Zeitverlauf nimmt die Momentanleistung in einem symmetrischen m-Phasensystem von Sinusspannungen und Sinusstr6men f/Jr m > 3? Warum m > 3? Wie wird diese Leistung berechnet? 12. Wie sind die komplexe Scheinleistung, die Wirkleistung, die Blindleistung und der Leistungsfaktor in einem vollst~indig symmetrischen System erkl~irt? 13. Wodurch unterscheiden sich unsymmetrische von symmetrischen Dreiphasensystemen? Welche Bedingungen m/issen in beiden F~llen erffillt sein, um von Dreiphasensystemen sprechen zu k6nnen? 14. Was genau bedeuten die Angaben 3/ONAC 50Hz 400/230V und 3 AC 400V? 15. Wie h/ingen die reellen Effektivwerte der AuBenleiterspannungen mit denen der Sternspannungen in einem symmetrischen Dreiphasensystem zusammen? Gilt das auch fiir unsymmetrische Dreiphasensysteme? (Veranschaulichung im Zeigerdiagramm!) 16. Wie berechnen Sie in einem symmetrischen Dreiphasensystem die Scheinleistung, die Wirkleistung, die Blindleistung und den Leistungsfaktor bei bekannten AuBenleitergr~SBen? Was genau bedeuten die Gr/513en in Ihren Formeln? 17. Welche allgemeinen Beziehungen bestehen in einem unsymmetrischen Dreiphasensystem yon Sinusspannungen zwischen den komplexen Effektivwerten der Sternspannungen und der AuBenleiterspannungen? Gelten diese Beziehungen auch fiir die reellen Effektivwerte? Was bedeutet in diesem Zusammenhang "Nullspannung"? 18. Welche allgemeinen Beziehungen bestehen in einem unsymmetrischen Dreiphasensystem von SinusstriSmen bei Dreieckschaltung zwischen den komplexen Effektivwerten der AuBenleiterstr6me und der Strangstr6me? Was bedeutet in diesem Zusammenhang "Nullstrom"? 19. Welche allgemeine Form besitzen die Stranggleichungen bei Sternschaltung und bei Dreieckschaltung? 20. Wie berechnen Sie in einem unsymmetrischen Dreiphasensystem mit und ohne Neutralleiter die komplexe Scheinleistung, die Scheinleistung, die Wirkleistung, die Blindleistung und den Leistungsfaktor? Ist hier der Leistungsfaktor als "cos(q~)" zu interpretieren? (Begr/indung!)

238

25 Mehrphasensysteme

25.5 Aufgaben

A25.1 Leitungsbemessung: Ein symmetrischer Drehstromverbraucher besitzt am symmetrischen Netz 3 ~ 50 Hz 400V/230 V die Leistungsdaten P = 11, 4kW, 2 = 0, 73(kap). Fiir welche Stromst~irke ist die Anschlul31eitung auszulegen? A25.2 Strangparameter: Die symmetrische Dreieckschaltung Abb. A25.2 liegt an einem symmetrischen Netz 3 AC 50Hz 400V. Eine Messung liefert fiir den Effektivwert des AuBenleiterstromes 8,4A und fiir die gesamte Wirkleistung 4,52kW. Berechnen Sie daraus die Strangparameter R und L.

L1 o

L3c

~. R - .

L

R

L

R

L

.

, Abb. A25.2

A25.3 Blindleistungsbelag: Von einem Hochspannungskabel mit dem Querschnitt Abb. A25.3a (drei Leiter umgeben yon einem leitenden Mantel) sind die l~ingenbezogenen Teilkapazit~iten C~2 = C~3 = C31 = 0, 15 g F / k m (Leiter gegen Leiter) Clo = C2o = C3o = 0 , 4 g F / k m (Leiter gegen Mantel) bekannt. Berechnen Sie den l~ingenbezogenen kapazitiven Blindleistungsbedarf des Kabels, wenn ein symmetrisches System 3 AC 50 Hz 6kV iibertragen wird. t

!

!

t

Abb. A25.3a

A25.4 Einphasige Ersatzschaltung: Die symmetrische Sternschaltung Abb. A25.4a mit induktiv gekoppelten Str/ingen kann fiir den eingeschwungenen Betrieb an einem symmetrischen Drehstromnetz auf die einphasige Ersatzschaltung Abb. A25.4b reduziert werden. Bestimmen Sie deren Parameter R~, L~ und _Uq.

25.5 Aufgaben

239

Abb. A25.4a

Abb. A25.4b A25.5 Einphasige Belastung: Der ohmsche Verbraucher V aus Abb. A25.5a wird

aus einem starren symmetrischen Drehstromnetz tiber die Impedanzen XT (Transformatorimpedanzen) gespeist. Beim Einschalten des Verbrauchers sinkt die Spannung an dessen Anschliissen im eingeschwungenen Zustand gegeniiber der Netzspannung um 5, 13 % ab. (i) Wie grol3 ist die vom Verbraucher aufgenommene Leistung? Durch eine St6rung f/ilk die Versorgung fiber L2 und L3 aus. In einem Versuch, den Verbraucher weiter zu betreiben, werden die drei Str/inge parallel an L1 gelegt (Abb. A25.5b). (ii) Wie groB ist jetzt die vom Verbraucher aufgenommene Leistung?

Abb. A25.5a

Abb. A25.5b

240

25 Mehrphasensysteme

A25.6 Blindleistungskompensation: Ein Drehstromnetz 3 AC 50Hz 6kV liefert einem symmetrischen Verbraucher die Wirkleistung P = 1, 5MW bei einem Leistungsfaktor ~ = 0, 7 ind. Der Abnehmer will zur Blindleistungskompensation eine Kondensatorbatterie benutzen, die eine Blindleistung von Q~ = 800kVA liefert. (i) Wie groB sind die AuBenleiterstr/Sme ohne bzw. mit Kompensation? (ii) Wie groB sind die Strangkapazit~ten der Kondensatorbatterie bei Sternschaltung? A25.7 Leitungsbeschaltung: Die n/iherungsweise verlustfreie Beschaltung Abb. A25.7 ist so auszulegen, dab sie bei Netzfrequenz die Blindleistung 1MVA an das Netz abgibt und auBerdem eine Schwingung der 5-fachen Netzfrequenz kurzschlieBt. Welche Werte L u n d C sind zu w/ihlen?

Abb. A25.7

A25.8 Unsymmetrische Sternschaltung: Die unsymmetrische Sternschaltung Abb. A25.8a wird aus einem Netz 3 AC 50Hz 400V/230V ohne Sternpunktleiter gespeist. Berechnen Sie alle Str6me und Sternspannungen. Zeichnen Sie zur Kontrolle die zugeh6rigen Zeigerdiagramme.

Abb. A25.8a A25.9 Unsymmetrische Dreieckschalmng: Die unsymmetrische Dreieckschaltung Abb. A25.9a wird aus einem Netz 3 AC 50Hz 400V/230V gespeist. Berechnen Sie die AuBenleitersstr~Sme und die Strangstr/Sme. Zeichnen Sie zur Kontrolle die zugeh6rigen Zeigerdiagramme.

25.5 Aufgaben

241

Abb. A25.9a

A25.10 Unsymmetrisches Netz: Eine symmetrische Last, die aus drei gleichen ohmschen Widerst/inden in Sternschaltung besteht (Abb. A25.10a), wird an einem unsymmetrischen Dreiphasensystem von Sinusspannungen betrieben. Durch Messung sind die Effektivwertbetr~ige der drei Augenleiterspannungen bekannt: U12 = 300 V, U23 = 150 V, U31 = 200 V. Ermitteln Sie daraus die Effektivwertbetr~ige der drei Strangspannungen.

Abb. A25.10a

A25.11 Neutralleiterstrom: Die Schaltung Abb. A25.11 wird aus einem symmetrischen Drehstromnetz 3/N ~ 50 Hz 400 V/230 V gespeist. Nehmen Sie U 1 als reell an und berechnen Sie den komplexen Effektivwert -/N des Stroms im Neutralleiter.

Abb. A25.11 A25.12 Symmetrierschaltung: Um grof~e, einphasige Verbraucher symmetrisch an ein Drehstromnetz anschlieBen zu k6nnen, werden Beschaltungen mit Kondensatoren und (n~iherungsweise idealen) Spulen nach Art der Abb. A25.12a durchgeffihrt. Angenommen, die durch R dargestellte, einphasige Belastung nimmt den Strom I12 = 10A auf. Die gesamte Schaltung soll eine symmetrische Last mit dem Lei-

242

25 Mehrphasensysteme

stungsfaktor 2 = 1 darstellen. Welche Werte miissen dann Lund C fiir ein Netz 3 AC 50Hz 500V haben?

Abb. A25.12a

A25.13 Symmetrierung: Von den drei Impedanzen der Sternschaltung Abb. A25.13 an einem symmetrischen Drehstromnetz sind _Zx und _Z2 vorgegeben. Wie ist die I m p e d a n z Z 3 zu w/~hlen, damit die AuBenleiterstr/Sme ein symmetrisches Drehstromsystem bilden?

Abb. A25.13 A25.14 Generatorkurzschlufl: An einem ursprfinglich leerlaufenden Drehstrom-

generator, n/iherungsweise durch die Dreieckschaltung Abb. A25.14 dargestellt, tritt zwischen den Anschlfissen L2 und L3 ein KurzschluB auf. Berechnen Sie allgemein den Strom/~ und die Spannung _Ux2 •r den eingeschwungenen Zustand unter der Annahme eines symmetrischen Systems von Quellenspannungen.

Abb. A25.14

A25.15 Einpoliger ErdschluB: In dem urspriinglich symmetrischen Drehstromsy-

stem Abb. A25.15 (_ZL repr/isentiert die Leitungsimpedanzen, _ZB die Belastung) entsteht durch einen St6rfall der ErdschluB ES. Berechnen Sie allgemein den Wert der sich einstellenden Spannung _Uo.

25.5 Aufgaben

243

Abb. A25.15

A25.16 Leitungsfehler: In dem urspriinglich symmetrischen Drehstromsystem Abb. A25.16 tritt durch einen Fehler die zus&itzliche L~ingsimpedanz Z_/4 auf. Berechnen Sie den Betrag der Spannung _Us.

Abb. A25.16

A25.17 Leitungsunterbrechung: Abb. A25.17a zeigt die Ersatzschaltung der Prim~rseite eines Drehstromtransformators, der aus einem symmetrischen Dreiphasennetz gespeist wird. Im ungest6rten Betrieb (S geschlossen) stellt sich das System der Strangspannungen _U1 = _U, _U2 = a 2 _U, _U3 = a U ein. Infolge einer Leitungsunterbrechung (S ge6ffnet) wird eine Erdkapazit~it wirksam. Berechnen Sie flit den Fall X c = - 3 X L das System der im eingeschwungenen Zustand sich einstellenden Transformator-Strangspannungen _U'I, _U~, _U3. Vergleichen Sie die beiden Systeme in bezug auf ihre Phasenfolge. !

Abb. A25.17a

244

25 Mehrphasensysteme

25.18 Unsymmetrischer Kurzschlufl: Ein symmetrischer Verbraucher in Sternschaltung (Strangimpedanzen Z_B) wird tiber eine Leitung (Impedanzen ZL) aus einem starren, symmetrischen Dreiphasennetz gespeist (Abb. A25.18a). Durch einen Fehler tritt zwischen zwei Anschliissen ein widerstandsloser Kurzschlul3 auf. Berechnen Sie den Betrag I/KI des KurzschluBstromes im eingeschwungenen Zustand.

Abb. A25.18a

A25.19 Wirkleistung: Die drei in Abb. A25.19 angegebenen Impedanzen liegen in Dreieckschaltung am symmetrischen Drehstromnetz. Berechnen Sie (i) die Effektivwertbetr~ige der AuBenleiterstr~me, (ii) die aufgenommene Wirkleistung.

Abb. A25.19

A25.20 Energieflufl: Von einem Dreiphasensystem ohne Sternpunktleiter sind die in Abb. A25.20 angegebenen Str6me und Spannungen bekannt. Berechnen Sie die zugeh/Srige Wirkleistung P.

Abb. A25.20

Kapitel 26 Das elektromagnetische Feld Wie am Beginn des Kapitels 20 angekiindigt, werden wir nun die dynamische Kopplung elektrischer und magnetischer Felder vervollstiindigen. Im ersten Schritt der Vereinigung elektrischer und magnetischer Felder zum elektromagnetischen Feld haben wir festgestellt, dab magnetische Fliisse, die sich zeitlich ~indern, elektrische Spannungen hervorrufen. Die quantitative Formulierung dieser Erfahrung erfolgt im Induktionsgesetz, mit dem wir die Vielfalt der Induktionserscheinungen beherrschen. Andererseits bewirken aber elektrische Fliisse, die sich zeitlich ~indern, magnetische Spannungen, und die Einbeziehung auch dieser Erfahrung ist unser zweiter Schritt. Damit k6nnen wir elektromagnetische Wellen verstehen.

26.1 Ladungserhaltung und der Amp~re-Maxwell-Satz Unsere bisherige Auffassung von der magnetischen Spannung war, grob gesprochen, folgende: Gibt es irgendwo elektrische Str6me, dann gibt es auch magnetische Spannungen. Welchen Weft die magnetische Spannung entlang irgendeiner geschlossenen Kurve gerade annimmt, dar/iber gibt der Durchflutungssatz, auch Amp6rescher Satz genannt, Auskunft. Nun besteht aber zwischen dem Durchflutungssatz und dem Satz vonder Erhaltung der elektrischen Ladung eine bemerkenswerte formale Unstimmigkeit, wie wir bereits auf S. 20 bemerkt haben: Die Anwendung von V(c3~r I ( d ) auf geschlossene Fl~ichen d = t3YF liefert wegen V(c3t3~) = 0 stets I(t3Y/~)= 0, w~ihrend die Ladungserhaltung allgemein I(t3~) = - Q(y/~) fordert. Wenn wir also die Ladungserhaltung als universell giiltigen Satz anerkennen, dann mul3 im Fall zeitlich sich/indernder Ladungsverteilungender Durchflutungssatz modifiziert werden. Stellen Sie sich einen Plattenkondensator wie in Abb. 26.1 vor! Im betrachteten Zeitpunkt tr/igt die eine Platte die Ladung Q, und es fliel3t ein Strom der St/irke I zu. Die andere Platte tr/igt - Q, und fiber ihren Anschlul3 fliel3t momentan der Strom I ab. Das elektrische Feld ist dann im wesentlichen auf den Raum zwischen den Platten beschr~inkt. Denken Sie sich weiter ein Volumen Y/~, das die erste Platte enth~ilt und das von den beiden Fl~ichen d x und ~2 berandet wird. Dann liefert der Satz vom elektrischen Hiillenflul3 wegen Q(y/~)= Q und q ~ ( d a ) = 0 (merkbarer elektrischer FluB nur zwischen den Platten) ~ c 3 V ) = - - ~ O ( ~ l ) - ~ - ~ 2 ) - ~ d 2 ) = Q (Y/). Andererseits folgt aus dem Satz von der Erhaltung der elektrischen Ladung wegen I(dl) = I und I(d2) =0 die Beziehung I ( 0 ~ ) = -I(~r + I(~r - I ( d ~ ) = - Q(~), zusammen also I(~r ~u(d2).

246

26 Das elektromagnetischeFeld

Abb. 26.1 Ein Plattenkondensator wird geladen. Der Leitungsstrom setzt sich im leeren Raum zwischen den Platten als Verschiebungsstromfort

Man nennt die zeitliche Nnderungsrate des elektrischen Flusses an einer F1/iche den durch sie tretenden Verschiebungsstrom, und demgemiil3 heil3t die zeitliche )~nderungsrate der elektrischen Flul3dichte an einem festen Ort die dort herrschende Verschiebungsstromdichte ~. Stellen Sie sich vor: Der auf die eine Platte zufliel3ende Leitungsstrom setzt sich im leeren Raum zwischen den Platten als Verschiebungsstrom in gleicher St/irke fort und erscheint nach der zweiten Platte wieder als abflieBender Leitungsstrom. Und: Beziiglich der magnetischen Spannung sind ,,wirkliche" elektrische Str6me (Ladungstransport) und VerschiebungsstriSme gleichwertig. In unserem Beispiel ist also entlang der gemeinsamen Randkurve ~?dl =OsJ2 die magnetische Spannung V(c~dl) = I ( d a ) bzw. V(c~d2) = ~u(d2) eindeutig b e s t i m m t - - e s kommt nicht auf den Verlauf der berandeten F1/iche an. Genau das ist die Idee Maxwells: In den Amp6reschen Satz ist neben dem wirklichen Strom auch der Verschiebungsstrom einzubeziehen. Wir werden das jetzt allgemein formulieren. Sei sJ irgendein orientiertes, d.h. mit einem Durchtrittssinn versehenes Fl~chenstiick und O d sein vollstiindiger, rechtswendig dazu orientierter Rand (Abb. 20.2). Sind dem F1/ichenstiick die Stromst/irke I ( d ) und der elektrische Flul3 q~(d) zugeordnet und bezeichnet V(c~d)die magnetische Spannung entlang der Randkurve, so gilt der Amp~re-Maxwell-Satz ]V(~?d) = I ( d ) + ~ ( d ) 1.

(26.1)

Kurz: ,,Die magnetische Umlaufspannung ist gleich der Summe aus der elektrischen Durchflutung und der zeitlichen )~nderungsrate des elektrischen Flusses, rechtswendig umfal3t. " Wichtig ist, dab Sie die Durchflutung und den elektrischen Flul3 am

1 Diese eigentfimlichen Bezeichnungen stammen aus einer veralteten Modellvorstellung fiber die inneren Vorg/inge im sogenannten elektromagnetischenAther, den man als materielles Tr/igermedium des elektromagnetischen Feldes begriff.

26.2 Die Existenz elektromagnetischer Wellen

247

Abb. 26.2 Grundvorstellung zum Maxwellschen Teil des Amp~re-Maxwell-Satzes. Ein zeitlich sich/inderndes Biindel elektrischer FluBdichtelinien umgibt sich wirbelartig mit magnetischen Feldst/irkelinien

selben Fl/ichenstiick nehmen. I m nichtstation~iren Feld h/ingen n/imlich die Werte / ( d ) und ~ ( d ) fiir sich bei fester Randkurve vom Verlauf der berandeten F1/iche ab, wie Sie am Beispiel des Plattenkondensators in Abb. 26.1 sehen. Erst ihre Summe ist wegen der Ladungserhaltung I(d~ r) + ~(c3Y/~) = 0 wieder unabh/ingig von d . Sie k6nnen also bei der A n w e n d u n g des Amp~re-Maxwell-Satzes auf irgendeine geschlossene Kurve ~3d die berandete F1/iche d beliebig w / i h l e n - sie muB aber fiir I und ~ dieselbe sein. Wie Sie sehen, k 6 n n e n magnetische Felder nicht nur durch elektrische Str6me, sondern auch durch zeitlich ver~inderliche elektrische Felder'erregt werden 2. ~ n d e r t sich eine elektrische Flul3verteilung, dann entsteht gleichzeitig eine wirbelartige magnetische Spannungsverteilung (Abb. 26.2).

26.2 Die Existenz elektromagnetischer Wellen Die Maxwellsche Erweiterung des Durchflutungssatzes m a g f/Jr sich nicht besonders dramatisch erscheinen. Sie hat jedoch zusammen mit den anderen, bereits festgestellten Eigenschaften (speziell dem Induktionsgesetz) und den Verkniipfung e n d e r Flul3dichten mit den Feldst/irken eine bedeutende Konsequenz: Wir k6nnen damit die Existenz elektromagnetischer Wellen verstehen. Stellen Sie sich folgende Situation vor: Auf einer Ebene im sonst leeren R a u m - - w i r lassen sie mit der yz-Ebene eines kartesischen Koordinatensystems zusammenfallen - wird zum Zeitp u n k t t = 0 ein F1/ichenstrom der konstanten D i c h t e / ( sprungartig eingeschaltet (Abb. 26.3. Die A n n a h m e n der unendlichen Ausdehnung des F1/ichenstroms, seiner Gleichf6rmigkeit und des sprungartigen Einschaltens sind nicht wirklich wichtig,

2 Allerdings nicht in Konkurrenz zu Spulen: Ein elektrisches Wechselfeld mit der (sehr groBen) Feldst~irkeamplitude/~ = 1 MV/m erzeugt an einem senkrecht dazu stehenden F1/ichenstiickvon 1 cm2 einen elektrischen Wechselflul3 mit ~ = 8, 854.10-1~ As. Dies entspricht bei 50 Hz einem Verschiebungsstrom der Amplitude co~ = 0, 28 ~tA.Der MaxwellscheZusatz wird also, abgesehen von Sonderf'~illen,erst bei hohen Frequenzen oder grol3en r~iumlichenAusdehnungen wichtig.

248

26 Das elektromagnetische Feld

Abb. 26.3 Auf einer Ebene wird zum Zeitpunkt t = 0 ein homogener F1/ichenstrom sprungartig eingeschaltet. AnschlieBend laufen parallel dazu nach beiden Richtungen Wellenfronten, hinter denen das elektromagnetische Feld seine neuen Werte annimmt

machen das Wesentliche aber besser erkennbar.) Nach unseren bisherigen Erfahrungen haben wit auf beiden Seiten der Stromschicht ein magnetisches Feld zu erwarten (vgl. Sie z.B. Abb. 17.14), das vorher nicht vorhanden war. Zeitliche ~nderungen magnetischer Felder lassen aber nach dem Induktionsgesetz auch elektrische Felder entstehen. Wir k6nnen jedoch nicht annehmen, dab sich bei t = 0 gleichzeitig im ganzen Raum die neuen Felder einstellen. Die Frage ist also: Wie und mit welcher Geschwindigkeit gelangt die Information fiber das pl6tzliche Vorhandensein des Fl~ichenstromes an die Orte auflerhalb der yz-Ebene? f]berlegen wir zuerst, was passieren k6nnte, und/iberpr/ifen wir dann, ob sich das mit den grundlegenden Eigenschaften elektromagnetischer Felder in f]bereinstimmung bringen l~iBt. Von der yz-Ebene 16sen sich zur Zeit t = 0 zwei (nicht materielle) parallele Ebenen und laufen mit der konstanten Geschwindigkeit u in die positive bzw. negative x-Richtung. Vor diesen Fronten ist das Feld noch Null, dahinter stellen sich die in Abb. 26.3 angegebenen, in unserem Beispiel jeweils homogenen Felder ein. Nun zur quantitativen Analyse! Wir denken uns ein raumfestes F1/ichenstiick ~ ~ parallel zur xy-Ebene, das von der nach rechts laufenden Front geschnitten wird (Abb. 26.4), und wenden darauf das Induktionsgesetz (20.1) an: U(~5~r

- Ey/y,

t / ) ( ~ l ) -- n z l y ( u t

Ey --

u B z.

-- a),

~(~r

= nzlyu,

(26.2)

Weiters liefert der Amp~re-Maxwell-Satz (26.1), angewendet auf das raumfeste Flfichenstfick d 2 parallel zur zx-Ebene, zusammen mit den Verkn/ipfungsbezie-

26.2 Die Existenz elektromagnetischerWellen

249

Abb. 26.4 Einzelheiten zur Analyse der in Abb. 26.3 dargestellten Situation. Auf das F1/ichensttick d l wird das Induktionsgesetz, auf d 2 der Ampbre-Maxwell-Satz angewendet

hungen Bz = #oH, und Dy ~-~ 8oEy im leeren Raum: V ( S d 2 ) = Bzlz/#o,

7*(d2) = eoEylz(ut - a),

~ ( d 2 ) = soEylzu, (26.3)

Bz = #oeou Ey.

SchlieBlich ftihrt derselbe Satz am F1/ichensttick d 3 (die magnetischen FluBdichten besitzen fiir x > 0 und x < 0 gleiche Betr~ige, aber entgegengesetzte Richtungen) auf V(Oal3)--2Bzlz/#o,

I(ag3)=Kylz,

B, = #oKy/2.

hO(zz/3)=0, (26.4)

Die beiden Bedingungen (26.2, 26.3) mtissen gemeinsam erfiillt sein. Dies ist nt/r m6glich, entweder wenn Ey = 0 und gleichzeitig Bz = 0 (der triviale Fall, den wir hier wegen G1. (26.4) im Bereich - u t < x < ut ausschlieBen k6nnen), oder wenn die

Maxwell-Beziehung l u -- Co -- l / ~ o S o

I

(26.5)

250

26 Das elektromagnetische Feld

giiltig ist. Die a n g e n o m m e n e Feldkonfiguration steht also in f0bereinstimmung mit den Grundgleichungen, wobei sich die Fronten der Anderungen elektromagnetischer

Felder im leeren Raum mit dem Betrag Co = 1/x//#o e o der Geschwindigkeit parallel zu sieh selbst ausbreiten. Dies ist ein allgemein giiltiges Ergebnis, und c o ist die gr6Bte Signalgeschwindigkeit, die in der N a t u r v o r k o m m t . Weil sprungartige ~ n d e r u n g e n elektromagnetischer Feldgr6Ben an sich ausbreitenden F r o n t e n von unserem allgemeinen Wellenbegriff (vgl. Kapitel 5) erfaBt werden, sprechen wir hier von einer speziellen elektromagnetischen Welle 3. W a s geschieht, wenn der Fl~ichenstrom nach kurzer Zeit, sagen wir zum Z e i t p u n k t t = T, wieder sprungartig ausgeschaltet wird? D e m v o r h a n d e n e n Fl~ic h e n s t r o m wird dann pl6tzlich ein entgegengesetzt gleich grol3er iiberlagert. Es werden zwei Fronten mit der Geschwindigkeit u = c o ausgesandt, die das elektromagnetische Feld wieder ausl6schen, die urspriinglichen F r o n t e n aber nie einholen. Von der AusliSschung verschont bleiben nur die Bereiche zwischen den Fronten, also zwei Schichten der k o n s t a n t e n Dicke c o T(Abb. 26.5). Sie laufen nach rechts bzw. links mit der Geschwindigkeit c o. Das ist nun wirklich bemerkenswert: Die beiden Feldbl/Scke haben sich von d e m Fl~ichenstrom, d e r n u r zu ihrer Anregung diente, befreit und fliegen als freie Wellen selbst~indig durch den Raum. ,,Die Raupe hat sich in einen Schmetterling verwandelt" (R. P. Feynman). Die Existenz elektromagnetischer Wellen ist natiirlich nicht an die eben besprochene, spezielle Feldkonfiguration gebunden. In der N a t u r und in der Technik finden u n d nutzen wir sie in den unterschiedlichsten F o r m e n als Wellen, die sich im freien R a u m ausbreiten oder die in speziellen Wellenleitern gefiihrt werden. Meistens verlaufen die Wellenziige r/iumlich und zeitlich harmonisch (sinusf6rmig), oder wir kiSnnen sie zumindest in solche h a r m o n i s c h e K o m p o n e n t e n zerlegen. Die

Abb. 26.5 Der Fl~ichenstrom wird zum Zeitpunkt t = T wieder sprungartig ausgeschaltet. Die beiden FeldbliScke fliegen als freie Wellen v611igselbst~indig durch den Raum 3 Die ganze Betrachtung l~il3tsich iibrigens genauso durchfiihren, wenn wir den Raum vollst~indigmit einem linearen, homogenen, isotropen Medium ausgefiillt annehmen. Wir brauchen dann lediglich #o, eo durch #, e zu ersetzen und erhalten fiir die Ausbreitungsgeschwindigkeit u = c = Co/x/~r~r .

26.3 Transformation elektromagnetischer Gr6gen

251

Ver~inderbarkeit der Amplituden und der Frequenz erlaubt die U b e r t r a g u n g von Information in F o r m von elektromagnetischen Signalen mit sehr groBen Geschwindigkeiten und hohen Ubertragungsraten.

26.3 Transformation elektromagnetischer Griiflen Angeregt durch Helmholtz 4 ffihrte Rowland 5 im Jahr 1876 erstmals folgendes Experiment durch (Details weggelassen). Eine Kreisscheibe aus Isoliermaterial tr~igt einen elektrisch geladenen Metallstreifen (Ladungsmenge Q) und rotiert mit der Drehzahl n u m ihre Achse (Abb. 26.6a). Mit einem geeigneten Indikator l~iBt sich dann in der U m g e b u n g der Scheibe ein magnetisches Feld nachweisen. Diese Beobachtung ist nicht schwer zu verstehen: Elektrische Str6me sind bewegte elektrische Ladungen. D e m ruhenden Beobachter erscheint der rotierende, geladene Ring demnach als Kreisstrom, und dieser erzeugt ein Magnetfeld. Die tiefere Bedeutung des Rowland-Experiments liegt in seiner gedanklichen Umkehrung. Wir ersetzen der Einfachheit halber den Metallring durch zwei gerade Plattenstreifen mit den Fliichenladungsdichten ~r bzw. - a (Abb. 26.6b). AuBerdem vertauschen wir die Rollen des ruhenden und des bewegten Beobachters, nehmen also an, dab die A n o r d n u n g im Laborsystem ruht. Der ruhende Beobachter findet dann zwischen den Platten einen (im wesentlichen gleichf6rmigen) elektrischen FluB der Dichte D = a ~ n. Wie beurteilt aber ein mit der (konstanten) Geschwindigkeit b~ parallel zu den Platten bewegter Beobachter die Situation? 6 Weil sich die Fliichenladung nicht/indert, stellt er den gleichen Wert der elektrischen FluBdichte fest wie sein ruhender Partner, D ' = f f (Abb. 26.6c). Zusiitzlich bewegen sich die Platten gegeniiber seinem Standpunkt mit der Geschwindigkeit - ~' und erscheinen

Abb. 26.6 Das Rowland-Experiment und seine gedankliche Umkehrung. a Der rotierende, geladene Metallring erzeugt in seiner Umgebung ein magnetisches Feld. b Im Gegensatz zu einem ruhenden stellt ein bewegter Beobachter zwischen den Platten eines geladenen Kondensators eine magnetische Spannungsverteilung fest e 4 Hermann von Helmholtz, 1821-1894, deutscher Physiologe und Physiker. 5 Henry Augustus Rowland, 1848-1901, amerikanischer Physiker und Ingenieur. 6 Wir setzen den Geschwindigkeitsbetrag v als klein gegeniiber der Lichtgeschwindigkeit Co voraus, bleiben also im Rahmen einer nichtrelativistischen N/iherung.

252

26 Das elektromagnetische Feld

deshalb mit F1/ichenstr6men der D i c h t e / ( ' = o#' bzw. - / s belegt. Analog zu einer Bandleitung resultiert daraus ffir ihn die magnetische F e l d s t / i r k e / f ' = - / s x #'n = - a#' X #~n = --#' X /Y zwischen den Platten. Im Gegensatz zum ruhenden Beobachter migt der bewegte also ein magnetisches Feld, das sich einem ursprfinglich vorhandenen fiberlagert. Das ist unser Ergebnis: Herrsehen beziiglieh des Laborsystems am Oft ~ die magnetisehe Feldstiirke H und die elektrisehe Flulldiehte D, so stellt ein momentan mit der Geschwindigkeit ff bewegter Beobachter am seiben Ort die Werte7

[ i f ' = f f - - ~ x b',

b" = b" I

(26.6)

lest. Die magnetische Spannung entlang einer bewegten Kurve ist mit H ' fiber die lokale momentane Geschwindigkeit zu bilden. Dem k6nnen wir unser frfiheres Ergebnis G1. (20.6) zur Seite stellen: Herrsehen beziiglich des Laborsystems am Ort die elektrische Feldstiirke E'und die magnetische Flufldichte B, so miflt ein momentan mit der Geschwindigkeit ff bewegter Beobachter am selben Ort die Werte

[E'=E+ffxB',

B"=B].

(26.7)

Vielleicht haben Sie schon bemerkt, dab hier etwas nicht ganz zusammenpal3t: Einerseits gelten ffir elektromagnetische Gr6gen bezfiglich des Laborsystems im leeren Raum die Verknfipfungsbeziehungen D =eoE,

B=#o H .

(26.8)

Andererseits sollten die grundlegenden Eigenschaften des elektromagnetischen Feldes in allen Inertialsystemen dieselben sein. Es mfil3ten also, zumindest ffir konstante Geschwindigkeiten, auch die Beziehungen D ' = ~o K'', B " = #o/-I ' bestehen. Aus den Gln. (26.6) bis Gln. (26.8) folgen aber, zusammen mit der MaxwellBeziehung #oeoCg = 1, die wesentlich komplizierteren Relationen ~ ' = ~ o E " - ~ x ( i f ' + ~o ~ x ~')/(c~ - v~),

(26.9) ~ ' = uolT' + ~ x ( E " -

~o~ x IT')/(c~ - v=).

2 sehr klein. Trotzdem sieht es so aus, als Natfirlich sind die Zusatzterme fiir U 2 D/2. Anwenden des Durchflutungssatzes liefert (Abb. A17.29b)

d/2 B2 = 1,54 T,

0,616" 10 -3 Vs.

~3=q)l+~z=2,216"10-3Vs,

B3 = ~ 3 / A l = l , 3 8 5 T ~ H3 ~ 500A/m,

1/'3 = H313 = 150 A. Einem vollstfindigen Umlauf fiber die fiuBeren Schenkel und den Luftspalt ist dann die magnetische Umlaufspannung Vges--

V 3 + V 1 --~ V L - - V 3 + V 2 - - 3 4 8

A

zugeordnet. Der Durchfiutungssatz liefert schlieBlich den erforderlichen Spulenstrom I = O / N = Vges/N = 3,48 A.

I

I ~ l2 = 0,1 m

13= 0,3 rn I

I

t

O

!

i ll ~ 0,3 m /

i

Abb. A18.16b A18.17 Dauermagnetsystem Die Bezeichnungen aus Abb. A18.17b und der Durchflutungssatz ffir den strichliert gezeichneten Weg ffihren auf die Zusammenh/~nge BL HMd+--6=0

~

~toHM----

B L,

~o 9 '-B

Mh-B

L a =r

a B M-~B

L.

Eingesetzt in die Materialbeziehung B M - - ~ t o H M -q-B r fiJr starr magnetisierbare D a u e r m a g n e t e ergibt sich (a/h + 6/d)B L = Br, und daraus folgt die gesuchte LuftspaltfluBdichte Br

Be = a/h + 6/d = 1,27 T.

355

LiSsungen der Aufgaben

Abb. A18.17b

A18.18 Dauermagnetkreis mit schriigem Spalt Der Durchflutungssatz, der Satz vom magnetischen Hiillenflul3 und die Materialgleichung fiir starr magnetisierte Dauermagnete liefern der Reihe nach 2HMI M + BLIL/#o=O,

BMA =BLA/Cos(~ ),

BM=//oHM + B r.

Daraus folgt BL lL

BL IL

IM -- 2 ( B r - B M ) - 2 [ - B r - BL/COS((Z)] ' lL/2 1M = B r / B L -- 1/cos(a) = 2,74 mm.

A18.19 Dauermagnetring Mit den Bezeichnungen aus Abb. A18.19b und ~--- BMA M -- B L AL -- ~oHL AL = _ #0HMAL

gilt V + H MlM --O, B M = __//oHM AL/AM = B r + # o H M .

Daher ist V

. _ ~

"B-z =

IM 1 + ALIA M ].to

836 A.

L6sungen der Aufgaben

356

Abb. A18.19b A18.20 Ersetzen einer Spule durch Dauermagnete D e r LuftspaltfluB u n d die m a g n e t i s c h e S p a n n u n g a m Luftspalt, VL = N I = 250 A,

(g)L -- 0,27 m W b , sollen e r h a l t e n bleiben. Aus

(/)L -- BM AM,

B M= #oHM + Br

folgt #0 HM = ~ L / A M -- B~ ,

z u s a m m e n mit HMl M + VL = 0

also

lM ---

VL HM

/loV L Br -- (~L/AM'

w o b e i A M = rt- 10 - 4 m 2. Dies liefert lM = 3,47 m m .

A18.21 Dauermagnet mit Fluflkonzentration D e r D u r c h f l u t u n g s s a t z u n d der Satz v o m m a g n e t i s c h e n HtillenfluB, H E l L + H M lM = O,

~M = ~L -~- ~t7 = ~L/O'M =~ BMAM

= BLAL/tTM,

liefern z u s a m m e n mit den V e r k n i i p f u n g e n

B M--~t 0HM+Br,

BL--~I 0HL

die Beziehung

BL = aM -~L (Br +/t~ HM) = aM ~-~ML/Br -- ~M IL BL) '

LiSsungen der Aufgaben

357

d.h.

Br BL

AL/(ffMAM ) + lL/lM = 0,4 T.

--

A18.22 Magnetsystem fiir einen Lautsprecher Es gilt der D u r c h f l u t u n g s s a t z u n d der Satz v o m m a g n e t i s c h e n HtillenfluB (Abb. A18.22b), H E lL +

H Mlu = 0,

!~)L -- ~ M

:=~ B L A L =

BMAM,

z u s a m m e n mit den V e r k n i i p f u n g e n B M - B r + #oHM,

BE -- #0HE .

Dies liefert BL =

(Br +//oHM) = ~ L

/L)

Br --1-MMBL '

Br

B E - - A L I A M + lL/lM" Mit den W e r t e n A L = 89

+ 44)ft. 20 m m 2,

lL = 89

-- 4 0 ) m m ,

A M = 89

+ 70)ft. 30 m m 2,

lM = 89

-- 6 4 ) m m

ergibt sich d a r a u s B g = 0,92 T.

Abb. A18.22b A18.23 Gleichstrommotor mit Dauermagneterregung Aus d e m D u r c h f l u t u n g s s a t z (Abb. A18.23b) folgt 2/L BL/#O + lMHM- O, und aus d e m Satz v o m m a g n e t i s c h e n Hiillenflul3

BLA = BMab,

A = (D +/L) brc/6.

358 Zusammen

L6sungen der Aufgaben mit der Dauermagnetgleichung By lM --- 2 / L ~ B r --

BM

B M = B r q-//oHM

2/L

= B r

BL

D + lL rc a

e r h a l t e n wir d a r a u s

-- 3,3 m m .

6

Abb. A18.23b

A18.24 Dauermagnet im Luftspalt Anwenden des Durchflutungssatzes (Abb. A18.24b), 2/L H L + 2/MH M = 0, liefert z u s a m m e n m i t B L = #oHL,

B M - - / t o l l M -4- B r,

BM= B L = B

die B e z i e h u n g

l L B 4- lM(B -- Br) =- O, d.h. lL

1M = Br/B-------Z~ -- 2,8 m m .

Abb. A18.24b

LiSsungen der Aufgaben

359

A18.25 Gemischt erregter Magnetkreis Mit den Bezeichnungen aus Abb. A18.25b und den getroffenen A n n a h m e n gilt HMl M + B L lL/#O = N I , B E A L = BMAM,

BM =

B r + #oHM

9

D a r a u s folgt p o N I = BLl L + (BM -- Br)/M = lM[(lL/l M + AL/AM)BL -- Br-], B r + aoNI/IM B L = iL/l M + A L / A M'

und speziell f/Jr I = 0

er BLO = 1L/lM "Jr A L / A M ' entsprechend 0,6 T. Weiters ist BE -- 1 + #o ~ NI BLO Brli

=r N = B ~ l M ( B L ) - - 1 7--0/ BL0

"

Soll sich n u n fiir I = 1A der W e f t B L = 1,3 BLO einstellen, so erfordert dies die Windungszahl 0,3"6" 10 -3 N = 4n" 1 0 - 7 . 1 ( 1 , 3 - 1 ) = 430.

Abb. A18.25b A19.1 Brechungsgesetz fiir magnetische Feldlinien Aus den beiden S p r u n g b e d i n g u n g e n ~Bn~ = 0 => BlCOS(~Xl) = B2cos(~z2), ~Ht~ = 0" ~

H i s i n ( g 1 ) - H2sin(g2)

360

Lfsungen der Aufgaben

folgt direkt H1

tan (~1) =

H2

tan(~2) ,

unter Verwendung der Materialgleichungen B1 = Po#rl H1,

B2 = #0~r2 H2

also tan(~l) tan (,2)

/2rl

Pr2"

A19.20berfl~iche mit Strombelag Die Sprungbedingung ffir die magnetische Feldst/irke, ~Ht~ "- ~ x en =:> n 2 x -- n i x = K,

Hlx = H 1 sin(~l),

HEx = HEsin(~2),

und die Sprungbedingung ffir die magnetische FluBdichte zusammen mit den Materialgleichungen, ~Bn~ = 0 => #rlHl~ = ~ r 2 H 2 z , H l z = H 1 cos(o~l),

H 2 z = H 2 cos(c~2),

ffihren auf die beiden Gleichungen H2 sin(0~2)= K + H 1 sin(~l), ]2r2H2 COS(~2)= ]2rlH 1 cos(~l).

Daraus folgt tan (~2) = #r2. K + H1 sin(~l) 1 5- 103 + 40" sin(15 ~ #rl Hlcos(~I) = 50--0" 40"cos(15 ~ =0,259 entsprechend ~2 = 14,5 ~ A19.3 Nutenleiter

Der Durchflutungssatz, der Satz vorn rnagnetischen HiillenfluB, die Verkniipfungsbeziehu_ng B'= #o/~ und die Randbedingung Ht = O sind durch ein Vektorfeld der Form B = #oHx(Y)~x erfiillbar. Aus dem Durchflutungssatz folgt dann

H x 9b = ff-~by

fiir 0 < y < h,

Hx.b=I

fiir y_> h

und damit __. B=

I y /~o~.~ex

fiir O B --+ 0; a/b---~ 0:::> B --+ B~/2. Fiir B~ -- 0,4 T (z.B. Hartferrit) und a / b -- 5 ist speziell/~(~) -- 68 mTG.

Abb. A19.8b A19.9 Dauermagnetschienen Eine Ersatz-Linienstromanordnung I = Brd/lZo = 3183 A liefert

/7,_#olZ( -- 2rr

1 -~aaG+

B~ .__d2[ 1

im leeren Raum gem~il3 Abb. A19.9b mit

1 . .1 ._+ . 1 ) 2a+bG-~ 2a+bez 2a+2bgZ

1

2/Zo 7r ~ a a + 2 ( a + b )

/ 7 , - 9,59 N / m ( - G ) .

~2 2a+b

J G,

LiSsungen der Aufgaben

365

Abb. A19.9b

A 1 9 . 1 0 Kriifte zwischen D a u e r m a g n e t s c h i e n e n

Aus der Ersatz-Linienstromanordnung Abb. A19.10b im leeren Raum folgt

-

2n

ex

mit I = B r d / P o,

r = N//a 2 + b 2,

COS(00= a/r,

also if,

B2r d2 #oTra

ex 1 + (a/b) 2 - 124 N / m ex-

Abb. A19.10b

366

L6sungen der Aufgaben

A20.1 Spannungsstofl

Der gemessene SpannungsstoB gibt die ~nderung des umfal3ten Flusses an. Eine gleichfSrmige Verteilung angenommen, ist daher 5,6-10-4 Vs B = ~ = 4- 10-47r/4 m 2 = 1,78 T. A20.2 Heringsches Paradoxon

Das ,,Paradoxon" von Hering 1/iBt sich wie folgt formulieren: Eine geschlossene Kurve wird vorher (Stellung 1) vom magnetischen FluB 9 durchsetzt, nachher (Stellung 2) nicht mehr; also muB sich der umfaBte FluB. dazwischen/indern, das MeBger~it muB die FluB/inderung ( = SpannungsstoB) anzeigen. Tats/ichlich zeigt das Mel3ger~it aber nichts an! Erkl&irungen: (i) Wir denken uns den Eisenschenkel zus/itzlich von einem Metallring M umfaBt und die Schritte in Abb. A20.2b ausgefiihrt. In der strichliert gezeichneten Schleife findet keine FluB~inderung statt, somit ist (Stromfreiheit!) U = 0. (ii) Gem~iB Abb. A20.2c vervollst~indigen wir die MeBschleife durch das gedachte, mitbewegte Kurvenstiick cgx. Dann gilt V(~d) = V(%) + V ( ~ ) + V ( ~ ) -

V(%) = - ~,

wobei wegen der Stromfreiheit der MeBleitungen U(Cg3)=0, U(Cg4)=0 und U(Cgs) = U, also U = &x + U ( ~ ) . Andererseits ist auch U(Cgl) +

U((~2) =

--

&l mit

(1) U((~2)

"-- 0

(Stromfreiheit!), also

U(Cgl) = - ~1. Die Gleichungen (1) und (2) ergeben zusammen wiederum U = 0.

Abb. A20.2b

Abb. A20.2c

(2)

LSsungen der Aufgaben

367

A20.3 lnduktion in einer offenen Sehleife (i) In der rechten Lage der MeBschleife (Abb. A20.3b) ist ~v = 0 zusammen mit I = 0 (Stromfreiheit). Daher gilt fiir die AnschluBspannung U = R I + ~v = O. (ii) In der linken Lage der MeBschleife (Abb. A20.3c) ist ~P~ = ~sin(ogt),

~ = og~} cos (o) t),

I = 0.

Ffir die AnschluBspannung gilt daher U = R I + ~ , = ~v, d.h. U = U cos (o90,

U = 2nf~P= 62,8 V,

unabh~ingig vom Winkel a.

Abb. A20.3b

Abb. A20.3c

A20.4 Spannung an einer Meflspule

Die FluBdichte im Inneren der schlanken, groBen Spule ist aus A

Bz = #o NI/1,

I = I sin(ogt)

zu berechnen, also A

Bz = B sin(ogt),

A

A

B = # o N I / l = 1,257 mT.

Somit ist der VerkettungsfluB der MeBspule (Abb. A20.4b) ~v = NMAMBz, und die Spannung an der offenen MeBspule UM = ~ v = N M A M B . = NMAM ~ UM=

UMCOS(O)t),

eos(ogt),

V M ----NMAMOgB--

Abb. A20.4b

15,6 mV.

368

L6sungen der Aufgaben

A20.5 Vibrationsmagnetometer

Die FluB/~nderungsrate ist zusammen mit U maximal ffir B parallel zur Mittellage der Spulenebene und senkrecht zur Drehachse (Abb. A20.5b). Damit gilt ~v = N B A sin(g) = N B A sin [02 sin(cot)l, U(t) = ~v(t)= N B A cos(g)co~ cos(cot)

,~ U cos(cot),

U = NBA~CO,

da cos(g) ~ 1. Die angegebenen Daten geh6ren zum Betrag A

IBI = B = ~

U

N A ~co

= 10,9 m T

der magnetischen Flul3dichte.

Abb. A20.5b A20.6 Drehzahlgeber mit Impulsdrahtsensor

Der Verkettungsflul3 der Aufnehmerspule betr~igt etwa ~v = N B 1 A = 1 0 - 6 Vs,

und seine U m p o l u n g bewirkt ungef~ihr den Spitzenwert 2 ~ v _ 2 . 1 0 -6 Vs U = d 5 v ~ At 10 - 6 s

:

2V

der Leerlaufspannung. A20.7 Flufldichtewelle

Abb. A20.7b zeigt den r~iumlichen Verlauf von B z zu einem festen Zeitpunkt. Die Welle l~uft in Richtung der positiven x-Achse mit der Geschwindigkeit co/k und bewirkt in der Spule den VerkettungsfluB ~v =

fsl

BzdA =

~b/2A B sin(kx J- b/2

- (ot)ldx =

nl~kb/2-cot sin(qg)dq9 k .)- kb/2- cot

B1 = k [_cos(kb/2 + c o t ) - c o s ( k b / 2 - c o t ) ] .

Mit c o s ( ~ - f l ) - cos(g + fl)= 2 sin (a) sin (fi)

Lifsungen der Aufgaben

369

und k = 2~z/2, wobei 2 die Wellenl~inge bedeutet, gilt .. q)v = -- q~sin(o~t),

.. B/ .. q~= ~ 2 s i n ( k b / 2 ) = B l b sin(~zb/2) rob~2

Dies liefert die AnschluBspannung ..

..

U=-~v=UCos(ogt),

..

U=coBlb

sin(nb/2) rob~2 "

Deren Abh~ingigkeit vom Verh~iltnis b/2 zeigt Abb. A20.7c.

Abb. A20.7b

Abb. A20.7c A20.8 FluBmessung

Der Zusammenhang U ( t ) = - N ~ ( t ) liefert ftir die angegebene Rechteckspannung 0 < t < T/2"

~=

-- U / N ~

T / 2 < t < T"

~=

U/N ~

q~(t) = - t U / N + const,

~ ( t ) = t U / N + const.

Abbildung A20.8b zeigt diesen notwendig stetigen FluBverlauf mit unterdriicktem Mittelwert, wobei 2 q) = ( T / 2 ) U / N ,

9 = T U / ( 4 N ) = 0,6 mWb.

Durch eine Messung dieser Art wird lediglich der Wechselanteil des magnetischen Flusses erfagt.

370

L6sungen der Aufgaben

Abb. A20.8b A20.9 Tangentialfeldspule Aus

der

Sprungbedingung

Ht+ - - H t-

und

dem

Induktionsgesetz

in der

Form

(] -- coNAlzoftt ergibt sich mit A -- 5 . 1 0 -6 m 2 ftir die A m p l i t u d e der Tangentialfeldst~irke /4t =

U

IZoco N A

_

0 , 9 5 . 1 0 -3 A / m -- 96,3 A / m . 4zr. 10 -7. 100:r- 5 . 1 0 3 . 5 - 1 0 -6

A20.10 Induktion in einer geschlossenen Schleife Das I n d u k t i o n s g e s e t z U ( O d ) = - ~ b ( d ) q ~ ( d ) - ~ cos(cot),

liefert mit - ~(d)

- coq3 sin(cot)

den Z u s a m m e n h a n g (Abb. A20.10b)

U ( O d ) -- U~ + U2 -- (R~ + R2)I -- coc~ sin(cot) fiir die B e r e c h n u n g der Stromstarke. S o m i t ist

U~--RlI--g]~sin(cot),

~J~--

U2 -- R21 -- U2 sin(cot),

U2 --

R~ co~ -- 10,5 V, R1-+-R2

R2 R1 + R2

Abb. A20.10b

co~ -- 20,9 V.

L6sungen der Aufgaben

371

(Fiir R~ --+ oo u n d e n d l i c h e W e r t e v o n R2 ergibt sich U~ = coS, c h e n Sie d a z u A 2 0 . 3 ) .

~/2 = O. Verglei-

A20.11 KurzschluBwindung Aus U(Od) = RI =-

$(d),

q ~ ( d ) -- $ cos(cot), folgt

cos

i =

R

Dies e n t s p r i c h t m i t t l e r e n sofort t h e r m i s c h zerst6rt.

=

l(t)-

I sin(cot),

q3 -- 1,8 9 0 , 2 . 0 , 1 Vs -- 3 6 . 10 -3 Ws 1007r. 3 6 - 10 -3 10 -3

Joule-Verlusten

von

A = l1310A! 64kW:

Die

Drahtschleife

wtirde

A20.12 Induktion mit Dauermagnetstab D a s V e r s c h w i n d e n des W i d e r s t a n d e s , R -- 0, b e d i n g t Sv :

-U(0d)

:

0 ::> ~v -- const.

D a m i t stellt sich n a c h d e m E n t f e r n e n des D a u e r m a g n e t s t a b e s w e g e n @v = L I = N P die Stromst~irke I :

N P / L = O,4 A

ein.

A20.13 Topfspule Linearit~it v o r a u s g e s e t z t , gilt ( k o r r i g i e r t e G r 6 B e n mit Strichen g e k e n n z e i c h n e t ) L,

L'--

L

--

-- / l q ~/

AN_ N'-N N -N

L AL Z

--

-1::>-~---

1 ~ .1 . A. L . . 2 L

lq

~] ,

2,5% "

D i e W i n d u n g s z a h l ist u m ca. 2 , 5 % zu v e r k l e i n e r n . Weiters ist -- c o N S = coAN/B =r N'B' -- N B ,

:

/~' --/~ ~

--

N N'

1--

1 ~/1 + A L / L

--1 ~

1 AL 2

L

--2,5%.

Bei g l e i c h e r S p a n n u n g w i r d d a b e i die F l u B d i c h t e u m ca. 2,5% gr6Ber.

A20.14 Bewegungsinduktion N u m e r i e r u n g der Fiille n a c h der a n g e g e b e n e n Tabelle. (1) K e i n e b e w e g t e n Leiter, k e i n e z e i t l i c h e F l u B i i n d e m n g : U -- 0. (2) wie (1): U - 0. (3) S i t u a t i o n iihnlich A 2 0 . 1 5 m i t U --+ - U : U -- --~M " n -- - - 3 0 m V . (4) wie (3) m i t n --+ - n : U = q0M 9 n -- 30 m V . (5) w i e (3): U = - 30 m V .

372

L6sungen der Aufgaben

(6) wie (2): U -- 0. (7) wie (4): U -- 30 mV. (8) wie(1): U -- 0. Ob sich der Magnetstab dreht oder nicht, ist belanglos. A 2 0 . 1 5 Unipolargenerator

(i) K6rperfeste Schleife (Abb. A20.15b)" u(ow)

= -,b(d);

dt- ~-

cI:,(d) = Brlotd/2,

U--qSon,

= U(~l) - u(~)

u(ow)

27rn,

$(d)

= -u,

- o;

-- BrldTrn - - qSon"

U--0,23Vs.50s

CI'o--Brldrc--0,23Vs,

u(~,)

-~-

11,3V.

(ii) Raumfeste Schleife (Abb. A20.15c): u(od)

-

-,b(w)

-o;

u(ow)

J -- v(E + ~ • B) -- O ~

-

E -- -~

u(cg~)• B,

u ( ( g 3 ) =~ u -

u(~3)

-

u(~r

E~ - - v B r - - :rcdnBr,

U(qY2) = E~l = BrldTrn = ~ o n .

Gleiches Ergebnis U -- @on wie unter (i).

Abb. A20.15b

Abb. A20.15c

A 2 0 . 1 6 Induktion in rotierenden Scheiben

Unter Zugrundelegung einer raumfesten Schleife (Abb. A20.16b) gilt fiir ein r/iumlich und zeitlich konstantes magnetisches Feld U ( 0 d ) = - $ ( ~ ' ) - - 0 , d.h. U(Od) - - U + U ( C ~ ) - - O. Wegen der Stromfreiheit, J -- v ( E -k- i~ • B) - - 0 , haben wir entlang ~ die elektrische Feldst~irke E -- -#

• B -- U2rB~,

a'-2 - - 27cn,

und damit die elektrische Spannung U(~l)-

2

E,.dr-

2X?Ba2/2,

0

also U -- -U(~l)

-- -2:rca2nB.

L6sungen der Aufgaben

373

Abb. A20.16b

A20.17 Induktion in einem geraden Leiter Entlang

der raumfesten

Kurve

cg, die m o m e n t a n

- - U + Us - - - $ ( d )

( A b b . A 2 0 . 1 7 b ) , ist U ( O d )

mit dem

Leiter zusammenf~illt

- - 0, d.h. U - - - U s -

- - E s 9 s, w o b e i

sich die e l e k t r i s c h e Feldst~irke aus d e r S t r o m f r e i h e i t ergibt: J - - O :=> E - - - g

x B => E s - - v B .

S o m i t gilt q5 U--

v Bs

U--

--

~

1 . rra

2 v/a 2 -

.

.

.

x 2,

1,91V-

1-

a

-10ms R 1 . . . R1 IL(~)

.

ll0V 0,5A

= 220 f~.

Aus d e m Exponentialverlauf gem/il3 Abb. A21.6b, IL(t) = I L ( ~ ) ( 1 -- e-'/~), ergibt sich speziell fiirt = t 1 die F o r d e r u n g

e-tl/*= 1 - IL(tl)/IL(~)= 1/2,

LSsungen der Aufgaben

379

und somit tl = ln(2), z D a r a u s folgt R~ I[R 2 R E = 41,14 f~.

--

L/'c

--

z

t1

- 7,21ms

ln(2)

L R 1 I[ R 2 "

34,66f~, z u s a m m e n mit R~ = 220f~ daher schliel31ich

Abb. A21.6b

A21.7 Freilaufdiode

Bezeichnungen nach Abb. A21.7b

(i) Verlauf

von

IL

S geschlossen, D sperrt, I L - - U/R L = 220 V/200 f~ = 1,1 A. 1,1 A, fliel3t fiber Diode, I = 0. t > 0: /L klingt exponentiell mit der Zeitkonstanten z = L / R E -- 0,5 s a b (Abb. A21.7c). (ii) Verlauf der S p a n n u n g Us a m Schalter t < 0:

t -- 0:

I L (0 + ) -- I L (0 -- ) =

9 Mit idealer Diode: U s = U + Uo;

t < 0" t > 0:

U D -- -- U, U D ~0,

Verlauf in Abb. A21.7d. 9 M i t groBem Zusatzwiderstand, z.B. RD = 10ks im Diodenzweig (Abb. A21.7e): z = L / ( R L + RD) = 9,8 ms, t = 0--~- : U D = I L ( 0 + ) R D = 1,1- 104 V, U s = ll,2kV(!) 9 O h n e Diode: Entspricht dem Grenzfall RD ~ ~ . Es treten hohe Spannungsspitzen an der Spule (Spannungsfestigkeit gefahrdet) und a m Schalter (Funken, Lichbogen) auf (Abb. A21.7f). Die Freilaufdiode verhindert demnach das Auftreten yon Schaltiiberspannungen.

380

L6sungen der Aufgaben

Abb. A21.7b

Abb. A21.7d

Abb. A21.7c

Abb. A21.7e

Abb. A21.7f

A21.8 Gleichstromsteller

M i t den Bezeichnungen aus Abb. A21.8b folgt zun~chst Mittelwert der Spannung an der Spule im Intervall (0, T) UL = -~

UL d t = -~ [ I ( T ) -

aus

U L =

L d I / d t fiir den

I(0)].

Soll I(t) periodisch verlaufen, also I ( T ) = 1(0) gelten, so m u g d e m n a c h an der Spule eine Wechselspannung liegen, U L - O. Fiir I(t) = I o = const h a b e n wir dann speziell m

U = U L + R I o =~ U = R I

o,

I o = U/R = ~Uq/R.

Abb. A21.8b A21.9 Spannungseinbruch

t=0-"

U(0-)=Uq--100V,

z(o-)=o.

381

LSsungen der Aufgaben

t=0+-I(0+)=I(0--)=0, t~oo: Der

i=0,

U(O+)=RI(O+)=O.

R U(~)=Ri+RUq

83,3V.

Ausgleichsvorgang verl~iuft exponentiell mit der + R) -- 0,833 ms und ist in Abb. A21.9b dargestellt.

Zeitkonstanten

-c = L / ( R i

Abb. A21.9b

A21.10 Spannungsumkehr

Mit den Bezeichnungen aus Abb. A21.10b ist

R2 IIRL t > 5 z,

z = L/R

(,,R-dominiert).

386

L6sungen der Aufgaben

Abb. A21.16c

Abb. A21.16d

Abb. A21.16e

Abb. A21.16f

Abb. A21.16g

Abb. A21.16h

I wird durch den M o m e n t a n w e r t von UE und durch R bestimmt: I ~ UE/R,

-g UA -- L ] ~ Z'/-)E -- ~--~U, 1" (1

--

k)T

Ul

ftir

0 T

darstellen. Nach f0berlagerung der rficklaufenden Welle rUg(t + x/c),

r = (R-Zw)/(R

folgt aus Ug(t) + r O g(t) = Ri(t) der gesuchte Stromverlauf 20 i(t) = ~ g ( t ) , R+Zw dargestellt in Abb. A27.5b.

Abb. A27.5b

+ Z~),

469

L6sungen der Aufgaben

A27.6 Sprungwellen Das Profil {~ g(t)

=

ftir t < 0, fiirt > 0

der im ersten Zeitabschnitt hinlaufenden Welle, 0 < t < 1/c:

U ( x , t) = O g ( t - x / c ) ,

bestimmt zusammen mit den Reflexionsfaktoren r A = 1 (R n - - - ~ ) und rE------1 (ideale Spannungsquelle am Eingang entspricht R E-- 0) die nachfolgende Spannungsverteilung U ( x , t) = O [ g ( t - x / c ) + g ( t + x / c - 2l/c) - g ( t - x / c - 2l/c) -- g ( t + x / c -- 4 l / c ) + g ( t -- x / c -- 41/c) + g ( t + x / c -- 61/c) -- g ( t -- x / c -- 6 1 / c ) -

g ( t + x / c -- 81/c) + . . . ] ,

skizziert in Abb.A27.6b-f. Das letzte Teilbild entspricht dem ersten; periodische Fortsetzung.

Abb. A27.6e

Abb. A27.6f

A27.7 Spannung am Leitungsausgang Die der Frequenz f = 5 M H z ftir c = c o entsprechende Wellenl~inge betr~igt 60m. Aus _U(/) = U ( O ) / c o s ( 2 n l / 2 ) fiir die offene Leitung folgt dann

2 = Co/f=

U(/)=

v(0) Icos(2n//2)l

=

2v cos(2n/6)

also der doppelte Wert der Eingangsspannung.

=4V,

L6sungen der Aufgaben

470

A27.8 Eingangsimpedanz einer s Aus

ZACOS(fll) + gin = ZW--~7"7-_S"7-0-~ )/_,w~O ~1")t folgt mit

jZwsin(fll)

fll = 2 rcl/2 = re~2 gin--- Z 2 / g A "

Die Leitung k a n n als Impedanzwandler ffir grol3e Frequenzen verwendet werden. Beispielsweise erscheint ein kapazitiver Abschlul3 als Induktivitiit am Eingang.

A27.9 Leitungsstiick als Resonanzelement Reihenresonanz bedeutet Nullstelle der Eingangsimpedanz _Zin.

Z_A ~ 00: gin =

--jZwc~

erste Nullstelle bei l = 2/4.

Z_in=JZwtan(2xl/2),

Z_A = 0 "

erste Nullstelle bei l = 2/2. Das Leitungsstiick ist d e m n a c h offenzulassen. Mit f = 1 G H z folgt aus 2= c-=~c~ --0,183m

die erforderliche Leitungsliinge zu 1 - 2/4 = 45, 6 mm. A27.10 2/4-Resonator (i)

Die erforderliche Lfinge ergibt sich zu l = 20 = --C-C=

4 (ii)

c------9~~ = 10, 66 mm.

Vo

Die Wellenimpedanz ist

Zw .

.

L~ .

.

1 cc

ln(D/d)

Z o~

=

5, 80 f~.

471

LiSsungen der A u f g a b e n

Abb. A27.10b

Damit haben wir ffir den Betrag der Eingangsimpedanz IN_in] = Z w

f

]tan(col/c)] -- Z w t a n ( 2 fo )

den in Abb. A27.10b gezeichneten Verlauf. A28.1 Lichtblitzgeriit

(i) Der Ausdruck fiir den Energieinhalt des Kondensators, W = C U2/2, liefert den erforderlichen Kapazit~itswert 2W 2-100 VAs C - U---~ - 16.106V2 - 12,5 #F. (ii) Die im Mittel abgegebene Leistung betriigt p=

W ~_ 100 Ws =4MW! At 25-10-6s

A28.2 Abklingen der Energie

Die Anfangswerte I(0--)-- I ( 0 + ) = I o,

Wo = L I 2 / 2

472

L6sungen der Aufgaben

und der nachfolgende Abklingvorgang

I(t) = Io e-t/~,

z = L/R = 4H/2f2 = 2s,

W(t) = LIZ(t)/2 = Wo e - 2 t # , fiihren auf

t=~ln

Der Energieinhalt des Magnetsystems ist daher nach

=

2s

/

1 \

z

\ u , u3,/

= ln(:0)s

= 3, 00s

auf 5 % seines Anfangswertes abgesunken.

A28.3 Energieverlust beim Umladen (i)

Fiir den Anfangszustand nach Abb. A28.3b gilt Q I = C1 U x und ffir den Endzustand nach Abb. A28.3c U !1 = U t2 = U, wobei die Ladungserhaltung Q'I + Q2 = Q1, also (c1 + c 2 ) u = c~ u1 erfordert. Daraus folgt C1

2,2 = ~,27-=540V = 371, 3V

U = ~ UCI+C 1

(ii)

fiir die Spannung an den Kondensatoren. Die im Widerstand umgesetzte Energie ergibt sich als Differenz der Energieinhalte: 1

1

w~ = ~c1 v~ -~(c1 +

c~)v

C2

C1U~

C 1 -~-C 2

2

~ =

= 0, 100J.

Sie ist unabh~ingig vom Widerstandswert.

0 I

C1

"[-r

C2

Abb. A28.3b

C1

I

"~-r

C2

w~ Abb. A28.3c

L6sungen der Aufgaben

473

A28.4 Schaltverluste

Bei jedem Ausschaltvorgang (Abb. A28.4b) geht der Energiebetrag

Wm = LIgJ2 = 1 mH-16A2/2 = 8mWs verloren. Die mittlere Schaltverlustleistung (ein Ausschaltvorgang je T = 20ms) betr/igt daher

Ps=Wm/T=O,4W.

Abb. A28.4b

A28.5 Funkenliischen

Bezeichnungen nach Abb. A28.5b mit dem Anfangsstrom I o = Uo/R. Nach dem Offnen des Schalters wird in der einsetzenden Schwingung die Energie abwechselnd von Spule und Kondensator/ibernommen. Ohne Beriicksichtigung der D/impfung ist daher 1

1

2

1

-~C 0 2 = -~LIo = -~L U2/R 2, und daraus folgt (Uo~ 2 L [ 10 ~20,32 C = \~ccJ ~-5 = \ 5 - ~ J 4 - ~ V = 5, 556" 10-

6F"

Die Kapazit/it des L6schkondensators muB somit mehr als etwa 5, 6 #F betragen.

Abb. A28.5b

474

L6sungen der Aufgaben

A28.6 Energie im Reihenschwingkreis

Mit den Bezugssinnen aus Abb. A28.6a ist I =

U R + jwL + 1/(jcoC)

I U-c=jwC

U~/C/L d +j(v-

l/v)'

U jv[d + j ( v - 1 / v ) ] '

und daraus folgt _

1 1

..

1

1CU2=I

We = -5 "-i C V ~ = -5

-5 C V ~ v 2 d 2 at-(v 2 - - 1) 2 '

Abb. A28.6a

Abb. A28.6b

Abb. A28.6c

LSsungen der Aufgaben

475

_

1 1

1

W m = -~'-~L[ 2 = -~LI

2

1 2 y2 = -~CU y 2 d 2 + (y2 __ 1)2 '

m

m

W=Wo+Wm. Graphische Darstellungen fiir d = 1 in Abb. A28.6b und f/Jr d = 0, 01 in Abb. A28.6c. A28.7 Laden eines Zweileitersystems Ersatzschaltung und Bezugssinne nach Abb. A28.7b. (i) Aus dem Stromverlauf i = ( U / R ) e -'/~,

z = RC,

ergibt sich der Z u s a m m e n h a n g mit dem im Widerstand umgesetzten Energiebetrag W=

R i 2 dt = --~

e - 2t/r,dt =

U2T

CU 2

2R

2

Dieser ist somit gleich der im Kondensator im Endzustand gespeicherten Energie. Daraus folgt 2W 2.1, 5VAs C = U---2 = 4.106 V 2 (ii)

-- 0,

75/~F.

1, 5 J.

We = CU2/2 = W=

Abb. A28.7b A28.8 Energieinhalt eines Dreileitersystems Ersatzschaltung Abb. A28.8b. 1

1

1

1

1

1

w=-~clo U~o +sC~o U~o +-~c~(U~o - U~o)~ = ~ C ~ o V 2 0 + ~C20U20 +5C~2(U20 + U 2 0 - 2 U ~ o V 2 0 ) , 1

1

w= 5(C~o + c~)V~o +-~(C~o + c~)V~o - c ~ U~oU~o.

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L6sungen der Aufgaben

Abb. A28.8b A28.9 lnnerer lnduktivifiitsbelag

Bezeichnungen nach Abb. A28.9. Der magnetischen FluBdichte

B~

=

#I

0

2rC~01 O 1

,

0