Elektromagnetische Grundbegriffe: Ihre Entwicklung und ihre einfachsten technischen Anwendungen 9783486778137, 9783486778120

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ELEKTROMAGNETISCHE GRUNDBEGRIFFE I H R E ENTWICKLUNG UND I H R E EINFACHSTEN TECHNISCHEN ANWENDUNGEN

VON

W.O.SCHUMANN

3. A U F L A G E MIT 204 A B B I L D U N G E N

VERLAG VON R . O L D E N B O U R G M Ö N C H E N 1950

C o p y r i g h t 1950 b y V e r l a g v o n B . O l d e n b o u r g

München

S a t z d e r O f f i z i n E a a g - D r u g u l l n In L e i p z i g M 103 V E B 6 7 2 5 5 0 D r u c k n n d B u c h b i n d e r : R. O l d e n b o u r g , G r a p h i s c h e B e t r i e b e , G. m . b . H . , M ü n c h e n

VORWORT Das vorliegende Buch ist entstanden aus einer einführenden Vorlesung, die ich in München seit mehreren Jahren abhalte. Die Zuhörer sind Maschinenbauer und Elektrotechniker. Form und Inhalt der Vorlesung haben sich im Lauf der "Jahre sehr geändert, ganz besonders bedingt durch Fragen der Studenten in den Übungen und durch Erfahrungen bei den Prüfungen. Es war nicht die Absicht, eine große Menge an technischem Stoff in kurzer Form zu bringen, sondern es sollten im Gegenteil die hauptsächlichsten Grundbegriffe und Grundgesetze eingehend besprochen und erläutert werden. Die technischen Dinge erscheinen zunächst als Anwendungen dieser Grundgesetze, um sie anschaulich zu machen und zu zeigen, wie man damit arbeitet. Die Art der Behandlung und die Einteilung des Stoffes ist für einen Zuhörer gedacht, der zum erstenmal mit der Elektrotechnik in Berührung kommt. Es ist deshalb die Strömungslehre, das magnetische Feld und das Induktionsgesetz hauptsächlich betont, weil der Anfänger die Kenntnis dieser Gebiete zunächst braucht und weil sie zahlreiche anschauliche und praktisch wichtige Anwendungen zulassen. Die Elektrostatik ist dagegen ziemlich kurz weggekommen. Besonders breit sind solche Gebiete behandelt, wie z. B. die Kirchhoffschen Gleichungen und die Ableitung des Induktionsgesetzes, wo nach meiner Erfahrung besondere Schwierigkeiten beim Übergang vom abstrakten Gesetze zur Behandlung des Einzelfalls liegen. Als Anwendungen der Grundgesetze ergaben sich zunächst zwanglos die Meßinstrumente und die einfachsten Meßmethoden, so daß in dieser Hinsicht der Hörer die elementare Meßtechnik nach Kenntnis der Vorlesung besitzt. An das Induktionsgesetz schlössen sich als Anwendung die einfachsten prinzipiellen Grundlagen der Erzeugung und Fortleitung von Wechselstrom bis zum Vektordiagramm an und die wichtigsten Grundbegriffe des Dreiphasenstromes.

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Vorwort

Der Verfasser hofft mit der Veröffentlichung dieses Buches dem Studenten über die ersten Schwierigkeiten hinwegzuhelfen, welche die zuerst so abstrakten Begriffe und ihre Anwendung auf die Wirklichkeit immer mit sich bringen. Im Grunde kommt es doch immer auf die einfachsten Elementarbegriffe an, und die Anwendung auf kompliziertere technische Prozesse ist einfach, wenn diese Begriffe ganz verstanden sind und man weiß, wie man damit hantiert. Für jede Anregung zur Verbesserung dieses Versuchs wird der Verfasser sehr dankbar sein.

V O R W O R T ZUR 3. A U F L A G E An dem eigentlichen Inhalt des Buches habe ich fast nichts geändert. Dagegen habe ich die Bezeichnungen und das Maßsystem modernisiert, indem ich das 1935 international angenommene absolute elektrische Maßsystem konsequent zugrunde gelegt und mich in den Bezeichnungen möglichst eng an den AEF angeschlossen habe. Februar 1949

W. 0 . Schumann

INHALTSVERZEICHNIS Seite

I. S t a t i o n ä r e S t r ö m u n g 1. 2. 3. 4. 5.

Einleitung. Elektrische Ladung. Dielektrizitätskonstante Strömung Elektrolyse Elektrischer Strom Elektrische Spannung. Elektrischer Widerstand. Elektrische Feldstärke. Normalelement 6. Ohmsches Gesetz 7. Ohmscher Widerstand 8. Normalwiderstande 9. Schaltung von Widerstanden 10. Spannungsmessung I I . Spannungsabfall 12. Elektrische Leistung 13. Elektrische Arbeit 14. Joulesche Stromwarme. Energietransport 15. Hitzdrahtstrommesser 16. Elektrische Erwärmung 17. Schmelzsicherung. Stromdichte 18. Leistungen und Wirkungsgrade 19. Kraft-Energieübertragung 20. Der geschlossene elektrische Stromkreis. Eingeprägte elektromotorische Kräfte. Thermoelemente 21. Galvanische Elemente 22. Bleiakkumulator 23. Schaltungen von Zellen. Edisonakkumulator 24. Stromkreise mit eingeprägten elektromotorischen Kräften 25. Leistungs- und Energiebeziehungen f ü r geschlossene Stromkreise . . . . 26. Energieübertragung 27. Ki^chhoffsclie Satze. Superpositionsprinzip 28a. Parallelschaltung von Stromquellen 28b. Dreileiterschaltung 29. Wheatstonesche Brücke 30. Kompensationsschaltung 31. Saugschaltung

11 11 13 14 17 20 26 28 30 31 34 36 40 41 44 46 47 48 51 53 55 58 58 60 62 65 68 69 74 78 78 80 82

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Inhaltsverzeichnis

32. Isolationsmessung. Ohmmeter 33. Fehlerortsbestimmung 34. Lichtbogen II. E l e k t r o m a g n e t i s c h e s F e l d 35. 36. 37. 38. 39. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56.

Grunderscheinungen. Kraftlinien Langer geradliniger Leiter Kreisförmiger Leiter Spule Ringspule. Gesetz vom magnetischen Stromkreis. Magnetomotorische Kraft. Magnetischer Kraftfluß. Magnetischer Widerstand Ring mit Luftschlitz Magnetische Spannung .Leitung eines Kraftflusses durch Eisen Kirchhoffsche Gleichungen für magnetische Kreise Magnetische Feldstärke. Elektrische Verschiebung. Wirbelfeld und wirbelfreies Feld. Einheitentabelle Magnetische Eigenschaften des Eisens Magnetischer Kreis mit Eisen Hysteresis Kraftlinienbrechung Mechanische Kräfte im Magnetfeld Drehmoment der Drehspule Drehspulinstrument Oszillograph Elektrodynamometer Leistungsmesser Mechanische Kraft auf Eisenteile im Magnetfeld Weicheiseninstrument

III. I n d u k t i o n s e r s c h e i n u n g e n 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. 64.

Grundlagen. Induktionsgesetz Induzierte elektromotorische Kraft Fremdinduktion. Eigeninduktion. Selbstinduktionskoeffizient Messung von magnetischem Kraftfluß und von magnetischer Spannung Wechselspannung. Induktion durch Bewegung Induktion durch Feldpulsation Rückwirkung durch den induzierten Strom Strom- und Spannungsmessung bei Wechselvorgangen. Eft'ektivwert. Stromverdrängung 65. Elemente des Wechselstromkreises 66. Der Ohmsche Widerstand 67. Die Induktivität 68. Kapazität

85 86 87 88 88 91 92 92 94 98 99 101 102 104 110 112 113 117 117 119 124 126 126 127 130 132 133 133 138 140 142 145 150 152 153 157 157 158 160

Inhaltsverzeichnis

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69. Leistung bei Wechsel Vorgängen. Magnetische Energie. Elektrische 'Energie. Blindleistung 164 70. Addition von Wechselströmen und Wechselspannungen 171 71. Widerstand und Induktivität in Reihe 173 72. Widerstand und Kapazität in Reihe 175 73. Widerstand, Induktivität und Kapazitat in Reihe 175 74. Spannungsresonanz ' 176 75. Fernleitung von Energie 178 76. Parallel geschaltete Stromkreise 18177. Stromresonanz 182 78. Zwei Kondensatoren parallel geschaltet 184 79. Spaiyiungsteilung bei Wechselstrom 184 80. Spannungstransformator 186 81. Stromtransformator 186 82. Dreiphasenstrom 187 83. Sternschaltung 188 84. Dreieck (Ring-) Schaltung 190 85. Stromberechnung bei symmetrischer Belastung 192 86. Leistungsmessung bei symmetrischer Belastung 192 87. Leistungsmessung bei unsymmetrischer Belastung 193 88. Wirbelstromverlusto. Verlustziffer 195 89. Elektrizitätszähler 196 90. Elektrochemische Zahler 197 91. Pendelzähler von Aron 197 92. Motorzähler 198 93. Induktionszähler 199 94. Blindverbrauchszähler 203 95. Maßsysteme und Einheiten, Großengleichungen und Zahlenwertgleichungen 203

Der Stoff sei eingeteilt in drei große Kapitel: I. Die Lehre von der stationären Strömung (vom Oleichstrom, dem Strome, der sich mit der Zeit nicht ändert). II. Die Lehre von den magnetischen Erscheinungen der stationären Ströme, (Elektromagnetismus). III. Die Lehre von zeitlich veränderlichen elektromagnetischen Vorgängen (Induktionsgesetz, Wechselspannungen, Wechselstrome).

I. STATIONARE S T R Ö M U N G 1. Einleitung. Elektrische Ladung. Dielektrizitätskonstante Die ältesten Erfahrungen über elektrische Wirkungen sind an geriebenem Bernstein gemacht worden. E s zeigte sich, daß ein Bernsteinstück nach dem Reiben mit einem trockenen Tuch seinen Zustand und auch den Zustand des umgeben, den Mediums (z. B . der umgebenden Luit) geändert hatte. E s wurden z. B . Papierschnitzel aus größerer Entfernung angezogen, was vorher nicht der Fall war. Diese Wirkungen wurden einem hypothetischen Stoffe — der Elektrizität — zugeschrieben, die man sich nach Art eines Gases oder einer sehr feinen Flüssigkeit im Bernstein enthalten dachte. Die weitere Erfahrung (Dufay, 1733) zeigte dann, daß man zwei Arten von Elektrizität unterscheiden müsse, denn alle geriebenen Körper konnten in zwei Gruppen gesondert werden, die sich ganz verschieden verhielten (als Vertreter z. B . Glas und Hartgummi). Die Verschiedenheit zeigte sich in den mechanischen Kraft Wirkungen. Während sich z . B . zwei geriebene Glasstäbchen abstießen und zwei geriebene Hartgummistäbchen ebenfalls, zogen dagegen ein geriebenes Glasstäbchen und ein geriebenes Hartgummistäbchen einander an. Die Elektrizitätsart auf dem geriebenen Glasstäbchen wurde als positive bezeichnet, die auf dem Hartgummistäbchen erzeugte als negative. Die mechanischen Wirkungen dieser Elektrizitäten aufeinander wurden so beschrieben: Gleichnamige Elektrizitäten stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. Gleiche Mengen positiver und negativer Elektrizität auf e i n e m kleinen Körper zusammengebracht, heben sich in ihrer Wirkung nach außen vollkommen auf. St. Gray entdeckte 1729, daß die Körper nach ihrem Verhalten gegen die Elektrizität ebenfalls in zwei verschiedene Arten geteilt werden können. Eine Körperklasse, wie z. B . Glas und Hartgummi, behält ihren elektrischen Zustand sehr lange, die Elektrizität erscheint hier an die Materie örtlich festgebunden, während bei der anderen Körperklasse, wie besonders bei den Metallen, etwa durch

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I. Stationftre Strömung

Berührung mit einem Glasstab mitgeteilte Elektrizität sich sofort an der Oberfläche des ganzen Körpers praktisch widerstandslos ausbreitet und beliebig weit geleitet werden kann. Die Körper der ersten Klasse werden als Nichtleiter, Isolatoren oder Dielektrika bezeichnet, die Körper der zweiten als Leiter. Zwischen diesen beiden Grenzfällen des Verhaltens gibt es alle möglichen Zwischenstufen, gute und schlechte Leiter, gute und schlechte Isolatoren, d. h. solche, welche ein wenn auch geringes Leitungsvermögen für die Elektrizität besitzen. Da man sich die Elektrizitäten ähnlich wie Gase dachte, konnte man auch von einer gewissen Menge dieser Gase sprechen, indem zunächst eine beliebig gewählte Menge als Mengeneinheit bezeichnet wurde und beliebige andere Mengen dann mit dieser Einheitsmenge verglichen wurden. Die Möglichkeit einer Definition der Einheit der Elektrizitätsmenge gab zuerst C. A. Coulomb (1736-bis 1806) durch seine Erforschung des Gesetzes, wie groß die mechanische Kraft ist, welche zwei Elektrizitätsmengen aufeinander ausüben, die sich beide auf zwei kleinen Metallkugeln befinden und relativ weit voneinander entfernt sind. Coulomb fand experimentell, daß diese Kraft proportional ist dem Produkt der Elektrizitätsmengen auf beiden Körpern und umgekehrt proportional dem Quadrat des Abstandes der Mittelpunkte beider Kugeln. In dem von uns durchgehend benützten absoluten elektrischen Maßsystem, das seit 1935 international angenommen ist, heißt dieses Gesetz 1 q • q2 • K == — ——• An s • r2 Dieses Maßsystem beruht auf vier Grundeinheiten. Drei davon sind nicht elektrisch, nämlich Länge 1 m, Maße 1 kg, Zeit 1 sek, und die vierte ist eine elektrische, z. B. die elektrische Ladung, für welche die Einheit von 1 Coulomb gewählt ist. Ein solches Maßsystem wurde zuerst von G. Giorgi 1901 vorgeschlagen. Die mechanische K r a f t wird in diesem System in Dyn (Großdyn nach R. W. Pohl und A. Sommerfeld) gemessen. Es ist 1938 auch der Name „Newt o n " für diese Krafteinheit vorgeschlagen worden. Es ist 1 Dyn = 1 Newton 1 1 = r-— kp, d. h. —— der Kraft, mit der 1 kg Masse von der Schwerkraft der 9,81

y,ol

Erde angezogen wird. Diese Krafteinheit wird, um eine Verwechslung mit der Masseneinheit 1 kg zu verhüten, als 1 kp (1 Kilopond) bezeichnet. 9,81 ist die m Schwerebeschleunigung in . Die Größe s im Coulombschen Gesetz ist eine Materialkonstante des isolierenden Mediums zwischen den beiden Kugeln. Für das Vakuum ergibt sie sich S

°

=

1 4 rt • 9 • 109

Coulomb2 Dyn • m 2

'

Für Luft und sonstige Gase ist e sehr angenähert gleich diesem Wert. £

Für beliebige Medien schreiben wir e = e, • e0, er = — , und nennen er die ®0

2. Strömung

13

relative, auf das Vakuum bezogene Dielektrizitätskonstante. Für 2 Ladungen von je 1 Coulomb im Abstand von 1 m in Luft ist die Kraft also K = - ! - •

1

als elektrische Leitfähigkeit bezeichnet wird. G wird in Q'1 gemessen, und wegen des häufigen Vorkommens hat man für die Einheit die Bezeichnung Siemens (S) eingeführt. Für sehr kleine Leitfähigkeiten (bei Isoliermaterialien) benützt mp,n die millionenfach kleinere Einheit, das Mikrosiemens (/ P b 0 2 , sie wird rötlichbraun; an der negativen Platte bildet sich aus P b S 0 4 metallisches Blei, sie wird grau. Gleichzeitig verschwindet Wasser und bildet sich Schwefelsäure. Die Säurelösung wird konzentrierter, und ihre Dichte nimmt zu. Sobald an der positiven Platte nahezu alles P b S 0 4 in P b 0 2 umgewandelt ist, beginnt durch denStrom die Zersetzung der Schwefelsäure. Sie entwickelt zuerst an der positiven Platte Sauerstoff und dann an der negativen Platte Wasserstoff. Dieses „Kochen" des Akkumulators zeigt an, daß die Ladung nahezu beendet ist. Die Ladung kann nach kräftigem Kochen abgebrochen Ladung werden. DadieMischung von H 2 und 0 2 alsKnallEnt/ac/un gas bei einem Gehalt von 9 % in der Luft explosionsgefährlich ist, ist für alle Akkumulatorenräume reichliche Lüftung vorgeschrieben, und es dürfen solche Räume nicht mit brennenden oder glühenden Körpern betreten werden. Den Verlauf der Spannung, die man mit einem Voltmeter an den Klemmen des Akkumulators während der Ladung und 'der Ent1 Z 3 Stunden ladung messen kann, zeigt Abb. 39. Der AkAbb. 39 kumulator ohne Strom hat stets eine Spannung von sehr nahe 2 V. Man kann also aus der Spannurfg eines stromlosen Akkumulators nicht schließen, ob er geladen ist oder nicht. Während der Entladung nimmt die Spannung nach und nach ab. Sie darf niemals unter 1,8 V sinken, da sonst chemische Prozesse auftreten, die nicht mehr rückgängig zu machen sind, und das Element unbrauchbar wird. Wird das Element abgeschaltet, so steigt seine Spannung wieder auf 2 V. Bei der Ladung steigt die Spannung rasch auf 2,1 und dann 2,2 V. Nach längerer Zeit folgt dann ein

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I. Stationare Strömung

rascher Anstieg auf 2,75V, der dann bleibt. Der rasche Anstieg ist die Periode, in der das Gasen beginnt. Die Leistungsfähigkeit eines Akkumulators wird durch seine Kapazität charakterisiert. Man versteht darunter die gesamte Elektrizitätsmenge, welche einem vollgeladenen Akkumulator entnommen werden darf, bis er vollkommen entladen ist. Diese Größe ist also ein Maß für die Speicherimgsfähigkeit eines Sammlers für Elektrizität. Diese Kapazität wird in Ampere-Stunden gemessen, als Produkt von Stromstärke und Zeit. Die Kapazität ist um so größer, je kleiner der Strom ist, der der Zelle entnommen wird, z. B.: Entladezeit 1 3 5 10

Kapazität 68,5 Ah 100 „ 111 „ 134 „

Die Kapazität ist ein Maß für die Größe der Zellen. Die Spannung einer Zelle ist immer 2 V, ganz unabhängig von der Größe der Platten. Die Größe der Platten bestimmt die Menge an chemisch umsetzbarer Substanz und + damit nach dem Faradayschen Gesetz die gesamte Elektrizitätsf ? menge (s. S. 15), welche durch das Element gehen muß, damit t ^ alles umgesetzt ist. Bei Zellen großer Kapazität bringt man mehrere Platten in dem Glasgefäß unter und schaltet diese parallel (Abb. 40). Wirtschaftlich besonders wichtig ist der Wirkungsgrad des Akkumulators. Man benützt zwei Wirkungsgraddefinitionen: Abb. 40 1- Der sogenannte Amperestundenwirkungsgrad ist das Verhältnis der E l e k t r i z i t ä t s m e n g e (J • t), die bei der Entladung gewonnen wird, zu der, die bei der Ladung in die Zelle hereingeliefert werden muß. Er beträgt meist 90%; 10% der hereingebrachten Elektrizitätsmenge geht verloren. 2. Der Wattwirkungsgrad ist das Verhältnis der elektrischen Arbeit (U • J-t), die bei der Entladung verfügbar ist, zu der, die bei der Ladung zugeführt werden muß. Er beträgt meist 70 bis 75%; der höhere Wert gilt für längere Entladungszeiten. Die starke Abweichung von 1 rührt daher, daß die Spannung bei der Ladung viel höher ist als bei der Entladung (Abb. 39). Der innere Ohmsche Widerstand, hauptsächlich Platte-Flüssigkeit-Platte, zwischen den Klemmen ist gering, bei 100 Ah (3stündige Entladung) ca. 0,0015Q. Der Größe des Elements ist er umgekehrt proportional. 23. Schaltungen von Zellen. Edisonakkumulator

Benötigt man Spannungen, die größer sind als 2V, so schaltet man die entsprechende Zahl von Elementen gleichsinnig hintereinander. Bei n Elementen ist die Spannung der ganzen Reihe n E . An Strom darf man nicht mehr entnehmen, als einem einzelnen Element entspricht, denn es geht ja dieselbe Elektrizitäts-

23. SchaUjingen von Zellen,

tedisonakkumulator

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menge durch alle Zellen und wandelt sie chemisch um. Benötigt man einen größeren Strom als ein Element liefern kann, so schaltet man mehrere Zellen parallel (Abb. 41), indem man alle Pluspole und + alle Minuspole miteinander verbindet. Die Spannung des Aggregats ist dann gleich der Spannung einer Zelle, aber der gesamte Strom J ist das wfache des Stromes einer Zelle, da der % % Abb. 41 Strom sich in den n Elementen in n gleiche Teile teilt. Durch Kombination von Reihen- und Parallelschaltungen lassen sich alle gewünschten Ströme und Spannungen entnehmen. Speist eine solche Sammlerbatterie einen Stromkreis, so muß man besondere Vorkehrungen treffen, um die Spannung konstant zu halten. Braucht man eine Spannung von 100 V, so müssen 50 geladene Zellen hintereinandergeschaltet werden. Wenn die Batterie sich entlädt, so geht die Spannung allmählich auf 90 V herunter. Man muß also die Möglichkeit haben, Zellen hinzuschalten zu können, um die Spannung auf 100 V halten zu können. Wird die Batterie geladen, so geht die Spannung sogar auf 135 V herauf. Will man auch während der Ladimg eine dauernde Spannung von 100V entnehmen, so muß man in diesem Fall Zellen abschalten können. Beides ereicht man mit dem Zellenschalter, an den am Ende der Batterie eine ganze Abb. 42 Reihe von Zellen einzeln angeschlossen wird, so daß man die Zahl der auf den Abnahmestromkreis wirkenden Zellen von 37 bis auf 56 verändern kann (Abb. 42). Der Bleiakkumulator ist weitaus der verbreitetste Sammler. Von den nicht aus Blei hergestellten ist der wichtigste der Edisonsche Eisen-Nickelakkumulator. Die Platten und Verbindungen sind aus nickelplattiertem Stahl hergestellt mit feinen Taschen und Löchern für die aktive Masse. Die negative Masse ist feiner Eisenschwamm, die positive Masse besteht der Hauptsache nach aus dünnen Schichten von Nickelhydrat und Nickelflittern. Als Elektrolyt wird 21proz. Kalilauge verwendet. Die EMK einer Zelle ist ca. 1,35 V. Bei Ladung steigt die Spannung von 1,5 bis 1,82 V. Bei Entladung sinkt die Spannung bis 1,1 bis 1,0 V. Der Amperestundenwirkungsgrad ist bei voller Ausnützung ca. 72%. Wenn man nicht die ganze Kapazität ausnützt, steigt er auf 98 bis 99%. Der innere Widerstand ist größer als beim Bleiakkumulator (0,0035 Q für ein 150-Ah-Element bei 5stündiger Entladung), so daß dieser Akkumulator gegen Stromstöße und Kurzschlüsse unempfindlicher ist als der Bleisammler. Auch gegen Erschütterungen ist dieser Sammler unempfindlicher als der Bleisammler. Der Wattwirkungsgrad ist nur 55 bis 60%. Das Gewicht ist bei mittleren Größen durch 29 bis 34Wh je kg Zellengewicht gegeben. Beim Bleiakkumulator von 3 kWh Kapazität bei 3stündiger Entladung für stationäre Batterien 6 bis 7Wh je kg, bei transportablen Batterien 10 bis 15Wh je kg und bei Autobatterien 24 bis 34Wh je kg.

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I. Stationäre Strömung 24. Stromkreise mit eingeprägten elektromotorischen Kräften

Wirkt auf einen Stromkreis vom Gesamtwiderstand Rt eine EMK E, so gilt also die Gleichung E = J Rf. Als eingeprägte EMK kann dienen ein Thermoelement, ein galvanisches Element, aber auch eine elektrische Maschine, wenn wir sie lediglich auffassen als eine Stromquelle, der gemäß Messung eine bestimmte EMK zugeordnet werden kann. Für die inneren Vorgänge brauchen wir uns von diesem Standpunkt hier aus gar nicht zu interessieren. Der Widerstand Rt soll den ganzen Widerstand des Stromkreises umfassen, also auch den Ohmschen Wider° 1' stand der Stromquelle selbst. Denn jede Stromquelle bietet dem fließenden Strom auch einen gewissen Widerstand, ein Akkumulator z. B. auf dem Weg des Stromes von einerPlatte durch die Flüssigkeit zur anderen Platte, oder Abb. 43 eineMaschine in demOhmschenWiderstand derWicklung, in der dieEMK zustande kommt .Nennen wir diesenWiderstand R,t und den äußerenWiderstand zwischen den Klemmen der Stromquelle Iiu (Abb. 43), so ist St = Ra + Ri E = J(Ra + Rl). Bezeichnen wir mit U12 die Spannung an den Enden des äußeren Widerstandes, im Sinne des Stromes, der durch diesen fließt, die zugleich auch die Spannung an den Klemmen der Stromquelle ist, so ist U12 = J Ra E=U12 U

+ JRi

—E — J

.

Eigentlich ist U12 die Spannung des äußeren Belastungskreises und nicht die der Stromquelle, denn die positive Richtung von U ist nach Abb. 43 gleichgerichtet dem Strome in Ra und entgegengesetzt der Stromrichtung in Die Klemmenspannung einer Stromquelle, d. h. die Spannung, die für den Strom im Außenkreis bestimmend ist, ist also nur dann gleich der EMK, wenn der Strom J — 0 ist, sie kann also nur gemessen werden mit Voltmetern hohen Eigenwiderstandes, wenn die Stromquelle sonst keinen Strom abgibt. Wenn J = 0, ist U — E. Diese EMK wird auch häufig als Leerlauf-EMK E0 bezeichnet. Wenn man nämlich die Stromquelle mit Strom belastet, ändert sich häufig auch die EMK E, bei Akkumulatoren infolge der chemischen Vorgänge im Innern, bei Maschinen ebenfalls infolge innerer magnetischer Vorgänge. Wenn man aber den inneren Ohmschen Widerstand der Stromquelle aus einer besonderen Messung kennt, so ist es leicht, aus Klemmenspannung und Strom die EMK bei jeder beliebigen Strombelastung zu berechnen als E = U + JR{.

24. Stromkreise mit eingeprägten elektromotorischen Kräften

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Sind gleichzeitig mehrere EMKe in einem Stromkreis eingeschaltet, so addieren sich ihre Wirkungen, wenn sie gleichsinnig geschaltet sind, d. h. so, daß alle bestrebt sind, den Strom im gleichen Sinne umherzutreiben (Abb. 44). Dann ist die totale EMK, welche auf den ganzen Stromkreis wirkt

E = E1 -{- E2 + E3 + U4 . Es kann aber auch ein Teil der EMKe Abb. 45 in der entgegengesetzten Richtung in den Stromkreis geschaltet sein (Abb. 45; dort ist die EMK Es in der entgegengesetzten Richtimg geschaltet). Dann ist die resultierende EMK, die einen Strom im Sinne des Uhrzeigers hervorbringen will, Abb. 44

E = Ex -(- E2 •— Ea + Et =

JBt .

Ob der Strom in diesem Sinne fließt, hangt davon ab, ob absolut genommen + E2 + E i oder E3 größer ist. Ist E3 größer, so fließt der Strom im Sinne von Ez gegen den Uhrzeigersinn, d. h. in der obigen Gleichung wird dann J negativ. Welchen Umlaufsinn man daher zunächst für die Berechnung der EMK wählt, ist ganz gleichgültig. Man rechnet die 'EMKe als positiv, welche einen Strom in dem gewählten Umlaufsinn erzeugen wollen, -und die anderen negativ. Ein positiver Strom bedeutet einen Strom, der im Umlaufsinn fließt, ein negativer einen solchen in der entgegengesetzten Richtung. Die Rechnung ergibt dann schließlich, ob J positiv oder negativ wird, und damit die wirkliche Stromrichtung. Wir könnten also die obige Gleichung auch schreiben, indem wir G e g e n u h r z e i g e r s i n n als Umlaufsinn und als positive Stromrichtung rechnen, E: -Ex — E2 + E3 — E4 = JBt . Ist | Ex + E2 + EA | > | E3 | , so wird hier der Strom negativ, d. h. er fließt im positiven Uhrzeigersinn, wie oben, ist aber | Ea | kleiner, so wird J positiv und fließt im Gegenuhrzeigersinn, auch wie oben. Also die Wahl der Umlaufrichtung ist ganz gleichgültig. In Abb. 46 sind für den Stromkreis beide möglichen Umlaufsinne eingetragen mit den zugehörigen positiven Werten von E M K und Strom. Wir sprechen hier von e i n e m Strom J, der von a l l e n EMKen g e m e i n s a m erzeugt wird. Das ist die übliche Form der Darstellung, weil sie meist zu einfacheren Rechnungen führt. Man könnte natürlich auch nach Strömen fragen, die jede einzelne EMK für sich hervorbringt, und den resultierenden Strom durch die Übereinanderlagerung der Teilströme gewinnen. Man kann auch nach ¿S Umlaufsinn mit dem Uhrzeiger gegen den Uhrzeiger dieser Methode vorgehen, die man als S u p e rp o s i t i o n s p r i n z i p bezeichnet, wenn das Abb.«

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I. Stationare Strömung

Ohm sehe Gesetz gilt. Jede einzelne EMK wirkt auf den Widerstand Rt , und es folgt dann z . B . : « 1 = J i-R'( = J2 Ä< E 3 = Jg-ß, =

wenn J l 5 J 2 , «/3, J 4 die Ströme sind, die jede EMK für sich allein zustande bringt. Addiert man diese Gleichungen entsprechend Abb. 45 mit Berücksichtigung des Vorzeichens der EMKe, so entsteht

E1 + E i — Et + Et = (Jx + J i

Z

- J

3

+ J 4 ) Rt =

JRt .

Man kommt also 'wieder auf die frühere Gleichung, wenn man die Teilströme mit Berücksichtigung ihrer Bewegungsrichtungen übereinander lagert:

J = J1 + J2 — J3 + J i . Man kommt aber immer n u r dann zudiesem Resultat, wenn m an a 11 e EMKe j eweils auf den g l e i c h e n Totalwiderstand (Rt) wirkend denkt, wie er im w i r k l i c h e n Stromkreise enthalten ist. Wenn man also z. B. den Strom J x , herrührend von der EMK Ey , berechnen will, sich also alle die E M K e E% , E3 und Et nicht wirkend denkt, so darf man deren innere Widerstände Ri% , Ri3 und Rit nicht vernachlässigen, sondern muß sich diese als Ohmsche Widerstände in den Stromkreis eingesetzt denken (Abb. 47). Jede Stromquelle, die man beim Superpositionsverfahren bei einer Stromberechnung nicht berücksichtigen will, muß durch einen Ohmschen Widerstand ersetzt werden, den man an ihrer Stelle in den Stromkreis eingeschaltet denkt. Die Größe dieses Widerstandes ist gleich dem inneren Widerstand der Stromquelle. Man darf also nicht einfach Stromquellen weglassen, die man augenblicklich nicht berücksichtigen will. Gegen diese Regel wird häufig gesündigt, und es ergeben sich dann natürlich ganz falsche Resultate. Besonders bei Parallelschaltungen ist die Versuchung dazu groß. Wir werden später noch darauf zurückkommen. Meistens h a t die Kenntnis der Teilströme J x , J 2 , J 3 , J 4 gar kein besonderes Interesse, sondern nur der wirklich fließende Totalstrom, der sich, wie wir gesehen haben, viel einfacher berechnen läßt. Für manche Spezialaufgaben bietet das Superpositionsverfahren sehr große Vorteile. Dort wird es auch verwendet. Wir werden gelegentlich auf solche Fälle stoßen. I m allgemeinen werden wir aber mit den resultierenden wirklichen Strömen rechnen und nicht danach fragen, wieviel davon auf das Konto der einzelnen EMK zu schreiben ist. %

In der Schaltung der Abb. 45 wird also auf jeden Fall eintreten, daß ein Teil der Orte mit E M K e n vom Strom in dem Sinne durchflössen wird, wie ihn diese E M K e zu treiben wünschten oder im Sinne dieser EMKe, ein Teil solcher Orte aber vom Strom in der entgegengesetzten Richtung. Was das bedeutet, sieht man sofort, wenn man die Leistungsgleichungen aufstellt.

25. Leistungs- und Energiebeziehungen für geschlossene Stromkreise

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25. Leistungs- und Energiebeziehungen für geschlossene Stromkreise

Aus der Spannungsgleichung für den geschlossenen Stromkreis (Abb. 43) E = JRt = J(Ra + B^ gewinnt man sofort die Leistungsgleichung, wenn man die Gleichung rechts und links mit dem Strome multipliziert E J = J*Ra +

J2Rt.

Die Ausdrücke rechts bedeuten die im äußeren und inneren Widerstand je sek entwickelte Wärme, die aus elektrischer Energie entsteht. Der Ausdruck links muß also die elektrische Energie angeben, die je sek in der Stromquelle entwickelt wird und die sich im Stromkreis in Wärme umsetzt. E J bedeutet also die je sek in der Stromquelle entstehende elektrische Energie. Diese Energie kann aus irgendeiner anderen Energieform entstehen, je nach der Art der Stromquelle. Beim Thermoelement entsteht sie aus der von außen zugeführten Wärme, beim galvanischen Element aus chemischer Energie, bei der Dynamomaschine aus der mechanischen Energie, die von der Antriebsmaschine zugeführt wird. Führt man die Klemmenspannung U ein, so lautet die obige Gleichung, da, U = JRa, J>&X+UJ. EJ = Auch in dieser Gleichung ist der physikalische Unterschied zwischen E und U sehr deutlich zu sehen. U J bedeutet die elektrische Energie, welche dem äußeren Stromkreise je sek zugeführt wird, welche, z.B. nach Abb. 30, am Anfang einer Leitung durch eine Ebene senkrecht zur Leitung hindurchtritt. Diese Energie kommt als elektrische .Energie an und geht als elektrische Energie weiter. U J bedeutet also einen elektrischen Energietransport, aber keine Änderung der Energieform. U J ist sozusagen ein Maßstab für bewegte elektrische Energie. Im Gegensatz dazu bedeutet E J die Erzeugung elektrischer Energie aus nicht elektrischer, z. B. thermischer, chemischer, mechanischer. Mit dem Begriff der EMK ist also stets der Begriff der Energieverwandlung verknüpft. EMKe können nur in Energiewandlern auftreten, wie es Stromquellen von unserem Standpunkt aus sind. Fließt der Strom J in Richtung der EMK E wie im obigen Fall, so erfolgt eine Umwandlung von nicht elektrischer in elektrische Energie, es entsteht elektrische Energie und es verschwindet in gleichem Maße eine nicht elektrische Energie. Von diesem Standpunkt aus gesehen, muß j e d e r Apparat, der eine Energieumwandlung bewirkt, eine EMK haben. Es ist keine elektrische Maschine, die Energie umsetzt, denkbar, ohne daß eine solche EMK auftritt, keine Dynamomaschine, kein Elektromotor. Die Größe der auftretenden EMK ist ja direkt ein Maß für die Größe des Energieumsatzes. Von diesem Standpunkt muß z.B. auch ein Mikrophon oder ein Telephon eine EMK haben, weil hier akustische Energie in elektrische umgesetzt wird und umgekehrt. In manchen Fällen kann sich auch vermittels einer EMK elektrische Energie auf einem Umweg wieder in elektrische Energie umsetzen (z. B. im Transformator), worüber wir noch später sprechen werden. Die Gleichung EJ = J2RX + UJ 6

S c h u m a n n , Grundbegriffe

66

I. Stationäre Strömung

ist also energetisch so zu deuten, daß in der Stromquelle je sek die Energie E J erzeugt wird. Von dieser Energie wird der Betrag J2Mi im Inneren der Stromquelle je sek in Wärme umgesetzt, der restliche Betrag U J wird an den angeschlossenen Stromkreis abgegeben. Was aus dieser Energie wird, hängt von der Art des Stromkreises ab. Besteht dieser nur aus einem Ohmschen Widerstand Ra, so wird UJ = J2Ra zu Joulescher Wärme im Widerstand Ra. Die Menge der dem äußeren Stromkreis zugeführten Leistung hängt also von den Widerständen iij und Ra ab. Fragt man nun nach den Widerständen, die nötig sind, damit der angeschlossene Stromkreis das Maximum an Leistung bei einer gegebenen EMK E empfängt, so kann man die abgegebene Leistung auch schreiben ß UJ = J2 • Ra = E2(Ra + -RJ2 Bei einem gegebenen Widerstande Ra ist Na um so größer, je kleiner Rl. Für Ri < Ra ergibt sich •lia Ist hingegen R{ gegeben, z.B. durch die Natur der Stromquelle, so ergibt die dNtt Bedingung = 0 als Lösung Ra = Rt. Es ist in diesem Fall der äußere dMa Widerstand gleich dem inneren zu machen, um im äußeren Stromkreis zu einem Maximum an übertragener Leistung zu kommen.- Es ist dann' E2 Na — ™ 4 B{' Fragen wir nun nach dem Wirkungsgrad rj in'beiden Fällen. Er ist das Verhältnis der Leistung im äußeren Stromkreis zur Leistungserzeugung in der Stromquelle. Es ist also N„ Na, Dann wird im ersteh Falle, R{ < Ra, r] sehr nahe an 1, im zweiten Falle da1 gegen = Ra, t] = —. Im ersten Fall wird praktisch fast alle Leistung von £ der Stromquelle auf den Kreis übertragen, im zweiten Falle geht die Hälfte der Leistung als Stromwärme in der Stromquelle selbst verloren. In allen Fällen, wo es auf Ökonomie ankommt, wo also der Wirkungsgrad und der Verlust an ursprünglicher Energie in Frage kommt, praktisch in der ganzen Starkstromtechnik, wird nur der erste Fall mit r\ nahe 1 in Frage kommen. Alle Stromquellen werden so dimensioniert und können auch so dimensioniert werden, daß R ^ R a , so daß praktisch fast alle erzeugte Leistung auch nutzbar zur Verfügung steht. Auch bei den Akkumulatoren mit ihrem geringen inneren Widerstand ist die Bedingung von vornherein erfüllt. Hier könnte der zweite Fall auch gar nicht verwirklicht werden, denn wenn wir hier Rt = Ra machten, so würde bei dem geringen Gesamtwiderstand ein so großer Strom auftreten,

25. Leistungs- und Energiebeziehungen für geschlossene Stromkreise

67

daß die Zelle dadurch gleich zerstört würde. Anders liegt der Fall in der Nachrichtentechnik. Hier spielt zunächst der Wirkungsgrad keine wesentliche Rolle, und die Stromquellen (Mikrophon, Verstärker, Röhrensender usw.) sind in ihrer möglichen Leistungsabgabe so begrenzt, daß m a n das größte Interesse daran hat, von dieser Leistung soviel wie möglich in den Empfangsapparat zu bekommen. Außerdem sind die inneren Widerstände dieser Stromquellen von N a t u r aus infolge ihres Aufbaues nicht klein, so daß bei der Einstellung R a = R i die Ströme keineswegs unzulässig groß sind. Die Maschinen der Starkstromtechnik werden gar nicht f ü r die größten Ströme dimensioniert, die sie bei gegebener EMK E unter der Bedingung Ra = Rt abgeben könnten, sondern man wählt z. B. den Kupferquerschnitt nur f ü r einen kleinen Bruchteil dieses Stromes, der sich mit gutem Wirkungsgrad übertragen läßt. Praktisch ist die Stromabgabefähigkeit der Maschinen auch dadurch begrenzt, daß wir bei allen Strömen gleiche Spannungen, zum Teil sogar mit wachsendem Strom wachsende Spannungen verlangen, was bei äußerst großen Strömen (gemeint ist, wenn Ra nahe Bt) mit außerordentlichen Kosten in der Herstellung verknüpft wäre. Die Apparate der Schwachstromtechnik können infolge ihrer Eigenart die Ströme f ü r Ra = Rl ohne Schwierigkeit und ohne zusätzliche Herstellungskosten abgeben, und auf eine Konstanz der Spannung kommt es beim Telephon- lind Telegraphenbetrieb meist nicht an. Die Klemmenspannung U des Stromerzeugers fällt von ihrem Wert bei Leerlauf (J = 0, U — E) bis zum Zustand R a = Ri gerade auf die H ä l f t e

Mehrere E M K e im

Stromkreis

Sind mehrere, z. B. zwei EMKe, im Stromkreis in Reihe geschaltet, vorhanden, die beide in gleicher Richtung wirken, so lautet die Stromgleichung

Et = JRt — J

-j- Rn -f Ra),

wenn Rn und Rn die inneren Widerstände der Stromquellen sind und Ra der äußere Stromkreiswiderstand. Die Leistungsgleichung heißt.dann

EXJ + EtJ = J2 (Rit + Rl2 + Ra). Sie ist offenbar so zu verstehen, daß jeder Stromerzeuger die elektrische Leistung EXJ bzw. E2J produziert und dann diese Leistung sich in Joulesche Wärme umsetzt, im Inneren der beiden Stromerzeuger und i m äußeren Stromkreis. Sind die beiden E M K e aber einander entgegengesetzt wirkend geschaltet, so lautet die Spannungsgleichung

Ex — E2 — J (Ra + Rlt + Ra), 6'

68

I. Stationäre Strömung

wenn der Richtungssinn von E 1 als positiver Umlaufsinn im Kreise gewählt wird. Die Leistungsgleichung dazu heißt dann EXJ — E2J = J> (Rn + i?i2 + Ra) oder EXJ = E%J + J*Rn + + J*Ba. Auf der linken Seite unserer Gleichung stehen die erzeugten elektrischen Leistungen mit positiven Vorzeichen, auf der rechten Seite entsprechend die verbrauchten elektrischen Leistungen und was aus ihnen wird. Erzeugt wird also in der Stromquelle 1 die elektrische Leistung EXJ. Verbraucht wird Leistung durch Joulesche Wärme in den Widerständen Riv Ri2 und R a und außerdem von der Stromquelle E2. Diese nimmt also jetzt elektrische Leistung auf und setzt sie in eine andere Energieform um. In dieser Stromquelle fließt jetzt der Strom n i c h t im Sinne der EMK, sondern im e n t g e g e n g e s e t z t e n . Er wird durch den Einfluß von der Stromquelle E x in dieser Richtung durch die Stromquelle E 2 hindurchgezwungen. Diese Richtung der Energietransformation haben wir schon bei der Ladung einer Akkumulatorenbatterie kennengelernt, wo der Strom gegen die Richtung ihrer EMK hindurchgedrückt werden muß, wobei elektrische Leistung aufgenommen und chemische Energie erzeugt wird. Nach der Gleichung oben ist diese Gegenläufigkeit von E und J also bei allen Stromverbrauchern vorhanden, die elektrische Energie empfangen und sie in eine andere Form umsetzen. Da bei diesen Verbrauchern die Richtung der EMK die entgegengesetzte des Stromes ist, spricht man häufig auch von einer GegenEMK bei einem elektrischen Leistungsverbraucher. Solche Gegen-EMKe müssen also auftreten z.B. bei Elektromotoren (elektrisch-mechanischer Energieumsatz), beim Telephon (elektrisch-akustischer Energieumsatz) usw. Alle Leistungsumsätze, mit Ausnahme der Jouleschen Wärmeerzeugung, sind also von diesem Standpunkte aus notwendig mit dem Auftreten einer EMK verbunden. Die Richtung der EMK relativ zum Strom hängt von der Richtung des Energieumsatzes ab. Sind die beiden EMKe der obigen Gleichung gleich groß, so wird J = 0. Es fließt gar kein Strom. Gerade so, wie in der Mechanik zwei gleich große entgegengesetzt gerichtete Kräfte in einem Punkt keine Bewegung erzeugen. 26. Energieübertragung

Wir wollen hier nochmals kurz den Fall der Leistungsübertragung mit Berücksichtigung der Stromquellen behandeln. Gegeben sei in einer Energiestation ein Generator, eine Verbindungsleitung und an deren Ende z. B. ein Elektromotor. Die Stromquellen seien durch ihre EMKe und ihre inneren Widerstände charakterisiert (Abb. 48). Die Spannungsgleichung dieses Kreises lautet Ei — E2 = JRt = J (R1 -f R2 -f Rl) , f

E

i

26. Energieübertragung. - 27. Kirchhoffsche Satze. Superpositionsprinzip

69

wenn JR1 der Widerstand des Generators, R2 der Widerstand des Motörs und Rl der Widerstand der Leitung ist. Für den Yoltmeterkreis am Generator (A, B) gilt EY=J

R1-\- ivRv; E1 = JR1-\-U1 UI —

(¿„Voltmeterstrom, ^„Voltmeter widerstand) JR2 "L- JRJJ*

— RXJ = E2

Die Spannung am Ende der Leitung U2 ist U2 = UX — JRL = E2 +

JR2.

Die. Spannung U 2 ist zugleich die Klemmenspannung des Stromverbrauchers, die also gleich seiner EMK z u z ü g l i c h des Ohmschen Spannungsabfalls im Innern ist, weil eben beim Stromverbraucher der Strom die entgegengesetzte Richtung hat, wie die EMK. Also beim Stromerzeuger ist die EMK größer als die Klemmenspannung, beim Stromverbraucher umgekehrt die Klemmenspannung größer als die EMK. Es sind in diesem Stromkreis drei Verlustquellen: der Joulesche Verlust im Stromerzeuger J2RV in der Leitung J2Rj, und im Stromverbraucher J2R2. Man kann in diesem System von verschiedenen Wirkungsgraden sprechen: 1. des Stromerzeugers _ N1 _ UJ __ UX _E1 — JR1 . ^^ EXJ EXJ E-± E^ 2. der Leitung VL

_N» _ÜIJ _ÜI _ N1 UXJ U,

u

* U2+JRL'

3. des Stromverbrauchers NV =

E^J N2

=

E ^2 =

»2 » l*3 =

V-

In dieser Form geschrieben heißt das Gesetz: Die Summe aller zufließenden (bzw. aller abfließenden) Ströme ist gleich Null und kann allgemein geschrieben werden « 27t, = 0, i wenn n Ströme im Knotenpunkt zusammentreffen und einer dieser Ströme ist. Das z w e i t e K i r c h i off sehe G e s e t z oder die Mas c h e n g l e i c h u n g bezieht sich auf einen geschlossenen Leiterkreis, den man willkürlich aus dem Netzwerk herausgreift, eine Masche (Abb. 50). Die Masche ist aufgebaut aus beliebigen Widerständen, und es können auch an beliebigen Stellen beliebige EMKe darin eingeschaltet sein. In den Punkten A,B,C,D und E hängt die Masche mit Abb. 60 anderen Netzteilen zusammen, und es können dort Ströme zu- oder abgeführt werden. Für einen einzelnen geschlossenen Stromkreis, der nicht mit anderen zusammenhängt, der also an allen Stellen den gleichen • Strom führt, haben wir das Ohmsche Gesetz in der Form E1 + Ei + ...+Eu = JBt = J(R1 + R2 + ... + Rn) aufgestellt. Elt E2 usw. sind die EMKe, die in dem Stromkreis wirken, und RltR2,R3... usw. sind die in Reihe geschalteten Widerstände des Stromkreises. Wir nahmen damals einen beliebigen Umlaufsinn im Stromkreis an und rech-

71

27. Karchhoffsche Satze. Superpositionsprinzip

neten alle E M K e positiv, die in diesem Umlaufsinn wirkten, und rechneten ebenfalls den Strom positiv, der in diesem Umlaufsinn floß. Dann ergab sich für den Strom immer das richtige Resultat nach Größe und Richtung. Ein negativer Strom als Rechenergebnis bedeutete eben, daß der Strom in Wirklichkeit die entgegengesetzte Richtung hatte bezüglich des zu Beginn als positiv angenommenen Umlaufsinnes. Dieses Gesetz wird jetzt auch auf die Masche unseres Netzes angewendet, wobei noch zu berücksichtigen ist, daß der Strom in den verschiedenen Teilen der Masche nicht mehr der gleiche zu sein braucht, "da ja durch die Knotenpunkte A, B, C, D und E Strom von außen zugeführt bzw. nach außen abgeführt werden kann. Wir nehmen also wieder einen beliebigen Umlaufsinn in der Masche an (Abb. 51), rechnen die EMKe und Ströme als positiv, die in dieser Richtung wirken und erhalten: E1 + E2 + Et + Es = Rli1

+ B2i2 + B3i3 + Ä4i4 +

Rhi5.

Wirkt eine EMK in der entgegengesetzten Richtung, so ist sie mit dem negativen Vorzeichen einzusetzen. Ergeben sich aus der Rechnung alle i positiv, so fließen die Ströme auch wirklich in dem angenommenen Sinn. Werden einzelne Ströme negativ, so heißt das, daß sie in der entgegengesetzten Richtung fließen. Wir brauchen aber keineswegs alle Ströme von vornherein in der Richtung der Abb. 51 anzunehmen. Nehmen wir z. B. die Stromrichtungen (Abb. 52) von vornherein an, so ist H — J i"> H = ~ Jz't und es wird

H = Ji>

+ -^2 + • • • = RlJ 1

4 4=

2+

—^4! i

5« +

Ergeben sich aus der Rechnung die Ströme J2 und J3 als positiv, so heißt das, daß sie in der Richtung der Abb. 52 fließen. Ergeben sie sich als negativ, so fließen sie in der entgegengesetzten Richtung. Rechnen wir also alles positiv, was in der Richtung des Umlaufsinnes wirkt, so erhalten wir nach der obigen Gleichung m n £EV = EJVR, i i als allgemeinsten Ausdruck der Kirchhoffschen Maschengleichung, wenn m EMKe wirken und n Widerstände vorhanden sind, die von den Strömen J 1 bis Jn durchflössen werden. Ein Spezialfall tritt dann ein, wenn eine der Maschen

72

I. Stationare Strömung

nur aus Drähten aufgebaut ist und k e i n e EMK enthält (E — 0). Dann lautet die Maschengleichung .0 = J

+

J2R2

+ ...

+ JnRn

= Z J R .

i

Diese Gleichung ist aber n u r ein S p e z i a l f a l l des allgemeinen Maschengesetzes. Denn jedes Verteilungsnetz, wie es auch geschaltet sein möge, muß mindestens e i n e EMK enthalten, damit ein Strom zustande kommt. Die Kirchhoffsche Mascliengleichung + + • • • + En = J l ^ l + J 2-^2 + • • • + J nR n sagt also aus, daß die Summe der EMKe gleich der Summe der Ohmschen Spannungsabfälle sein muß. Haben wir es mit Drähten zu tun, so lassen sich die Ohmschen Spannungsabfälle einfach mit Voltmetern, die an den Enden der Drähte angelegt werden, messen. Der Ohm sehe Spannungsabfall in einer Stromquelle läßt sich aber nicht ohne weiteres messen. Denn an den Klemmen einer Stromquelle ist die im Sinne des Stromumlaufs in der Masche (d.h. im Sinne des Stromes, der durch die EMK fließt, z. B. U21 in Abb. 43 und — U3 in Abb. 53) mit einem Voltmeter gemessene Spannung U = JRt—E. Würden wir z. B. in der Masche der Abb. 50 mit einem Voltmeter die Spannungen zwischen den Punkten AB, BC, CD, DE und EA messen, so erhielten wir: U1=

— E1 -f- J1R1;

U2 =—

E2-\-J2R2;

U5 = - E

5

U3 = JsR3; +

U4 =

-—Ei-\-JiRi;

JbRs.

Die Summe aller Spannungen, die Umlaufspannung, ist ü, = _

E

t

— E2 —

+

u2 + u3

— Eh + ixRx

+

u , + u5 =

+ i2R2

+ i3R3

+ iiRi +

ibRb.

Die rechte Seite dieser Gleichung ist nach der Kirchhoffschen Maschengleichung gleich Null. Es folgt also n

+ u 3 + u i + u 5 = z u v = 0. 1 Man kann also die Kirchhoffsche Maschenregel auch so aussprechen, daß die Summe aller Teilspannungen, die in einem geschlossenen Stromkreis mit Voltmetern meßbar sind, bei stationärem Strom immer den Wert N u l l ergeben muß. Diese Summenspannung wird auch als „UmlaufSpannung" bezeichnet. Dabei ist aber zu beachten, daß unter U jetzt keineswegs nur die Ohmschen Spannungsabfälle JR allein zu verstehen sind, sondern daß bei eingeschalteten EMKen U durch iR—E gegeben ist, bzw. wenn Rt = 0 ist, durch U = —E. Dieser Satz, daß die elektrische Umlaufspannung in jedem Gleichstromkreis Null sein muß, ist die allgemeinste Fassung der Kirchhoffschen Maschengleichung. Daraus folgt sogleich für einen e i n z e l n e n Stromkreis, in dem also i in allen Teilen gleich groß ist und der k e i n e EMK enthält: u

1

+u

U1+üa+...+

2

Un = i(R1 + R2 + ...Bn) i = 0,

= 0;

73

27. Kirchhoffache Sätze. Superpositionsprinzip

d. h. also die Tatsache, daß ohne EMK in einem solchen Kreise kein Strom fließen kann. Man sieht hier sehr deutlich den Unterschied in der physikalischen Bedeutung von E und U. Während X U für einen geschlossenen Stromkreis bei Gleichstrom immer Null sein muß, ist Z E im allgemeinen n i c h t gleich Null, sondern hat einen endlichen Wert. EU = 0 gilt allerdings nur für Gleichstromkreise, bei Wechselstrom werden wir später ein anderes Gesetz dafür kennenlernen. Daß die EU in einem elektrischen Stromkreis gleich Null wird, trotzdem die Teilbeträge endlich sind, ist einfach dadurch begründet, daß die Richtungen der Spannungen in den verschiedenen Teilen des Kreises verschieden sind. Als positiv rechnen wir eine Spannung dann, wenn sie im Sinne des Umlaufs, also des positiven Stromes, gerichtet ist. Betrachten wir z . B . den Kreis (Abb. 53), in dem eine EMK E auf zwei Widerstände R 1 und R 2 wirkt. Die Voltmeter parallel zu R1 und R2 werden von Abb.53 Strömen und i 2 in der gleichen Richtung wie J durchflössen. U1 und U2 sind positiv zu rechnen. Durch das Voltmeter parallel zur Akkumulatorenbatterie fließt der Strom i3 von der Plus- zur Minusklemme und hat in bezug auf den Strom J in der Batterie gerade die entgegengesetzte Richtung (von oben nach unten, statt von unten nach oben); U3 ist also negat i v zu rechnen, und es ist + U2 — Us — 0 . Diese beiden Kirchhoffschen Gleichungen ermöglichen immer die Berechnung der Stromverteilung in einem beliebig komplizierten Leitungsnetz. Denn wenn z. B. in einem Leitungsnetz n unbekannte Ströme sind, so kann man stets so viele Knotenpunkte und Maschen finden, für die man die entsprechenden Gleichungen aufstellt, daß man immer n Gleichungen bekommt, aus denen man die n Unbekannten berechnen kann. J

a

o

ö

b

c

0

d

Abb. 54

Es soll hier nochmals auf die Wichtigkeit der zusammengehörigen Richtungen von Strom und Spannung in bezug auf den Energietransport hingewiesen werden. In Abb. 54 sind die vier möglichen Strom- und Spannungsrichtungen bei einer Leitung aufgezeichnet. Bei a und b kann man sich rechts vom Spannungspfeil einen Ohmschen Widerstand denken, für den Strom- und Spannungsrichtung „stimmen". Die Energie fließt also von links nach rechts. Irgendwo links vom Spannungspfeil kann man sich eine Energiequelle denken, die diese Leistung

74

I. Stationare Strömung

liefert. Bei den Figuren c und d ist es umgekehrt, der Widerstand ist links, die Energiequelle rechts vom Spannungspfeil zu denken. Dieser Zusammenhang von -\-U, + =

2 (i 0 q'

Als Kraft je Einheit der Stirnfläche ergibt sich also K 1 02 1 k = — = —1- = - — -SB2. q 2// 0 q1 2 fi0 Das negative Vorzeichen bedeutet, daß die Kraft den Polabstand d nicht vergrößern, sondern verkleinern will, wie es die Erfahrung bestätigt. 1 Joule Im absoluten elektrischen Maßsystem ist Jfc = — - — 332 in — . 2 /,i0 m3

131

55. Mechanische Kraft auf Eisenteilen im Magnetfeld

Joule 232 in- 3 2fi0 • 10 m ' H . kp 7 Mißt man diese K r a f t in ^, so wird mit ju0 = 4tt • 10~ — . m cm

Mißt man 23 in Gauß, 1

Ysek

: 104 Gauß, so wird k

• 232 • 8ti-10 9,81 IO4 (s. dazu auch Abschnitt 95). k —

—

m

kp cm 2

8;

23 5000

kp cm 2

I n diesem Fall heißt die Formel die Maxwellsche Zugkraftformel. Die Kräfte, die auf diese Weise zustande kommen, können sehr groß sein; für SS = lOOOOGauß z.B. erhält man k = 4 kp/cm 2 . Haben die Polflächen 100 cm 2 Oberfläche, so ist die Gesamtkraft K — 400 kp. Durch genügend hohe SB-Felder und genügend große Berührungsflächen lassen sich große Kraftwirkungen erzielen, die z . B . bei dem elektrischen Kran zum Heben von Eisenstücken ausgenützt werden. Die Formel für k ist sehr allgemein, da in ihr niöhts über die Gestalt des magnetischen Kreises lllll IBlf' .... vorausgesetzt ist. Überall, wo SS-Kraftlinien senkrecht > ( .... eine Luftschicht zwischen Eisenkörpern durchsetzen, .... .... tritt diese K r a f t der angegebenen Größe auf. In sehr weitem Umfang werden solche Kräfte in der Elektrotechnik als Relais benützt, wo ein Elektromagnet einen Anker A anzieht (Abb. 122) und dadurch irgendeinen Apparat, einen Schalter oder einen Schreibapparat betätigt. Die sogenannten Maximalschalter, die an Stelle von Sicherungen häufig benützt werden, beruhen z. B. darauf, daß man den Strom oder einen Bruchteil davon durch einen Elektromagneten gehen laßt, dessen Anziehungskraft bei einer bestimmten Stromstärke die Gegenkraft einer Feder F überwindet, den Anker anzieht und um den Punkt D dreht und dadurch den Hilfsstromkreis C D bei»S einschaltet (Abb. 123), der dann seinerseits mit Hilfe eines großen Elektromagneten den Hauptstrom ausschaltet. Auch der bekannte Wagnersche Hammer bei der elektrischen Glocke beruht auf diesem Prinzip. Beim Wagnerschen Hammer ist es der Strom durch die Spule A B selbst, der unterbrochen wird und mit Hilfe einer Feder gleich wieder eingeschaltet wird, so daß der Hebel dauernd hin- und hergeht. Die anziehende K r a f t eines Elektromagneten auf ein Eisenstück hängt nicht von der Stromrichtung ab. Bei Abb. 123 jeder Richtung des Stromes in der Spule wird der Anker angezogen. Solche Magnete können also auch mit Wechselstrom betrieben werden und ergeben dann auch eine anziehende Kraft. In der Formel kommt das dadurch zum Ausdruck, daß die K r a f t dem Q u a d r a t von 33 proportional ist, also vom Vorzeichen von SS unabhängig ist. 1 / S8 \ 2 Den Ausdruck — —— I als Kraft je cm 2 hat Maxwell so interpretiert, daß er fi r \5000j s*

132

II. Elektromagnetisches Feld

annahm, daß die magnetischen 33-Linien sich ähnlich wie mechanisch gespannte Gummifäden verhalten, die sich zu verkürzen suchen. Wo so ein Kraftlinienfluß verläuft, herrscht in der Richtung der Linien ein mechanischer Zug von der 1 / 35 \ 2 . Größe— —— in kp/cm 2 , wenn a r die relative Permeabilität des Materials ist, ^5000/ in dem die Linien verlaufen.In der Luft {¡ir— 1) ist die „Maxwellsche Längsspan/ S8 \ nung" gleich I gQQQ) *n kp/cm 2 , dagegen im Eisen mit sehr großem ¡xt ist der Kraftlinienzug ganz unbedeutend und meist zu vernachlässigen. Außerdem herrscht nach Maxwell aber auch quer zu den Kraftlinien ein Druck, weil die Kraftlinien sich sozusagen gegenseitig abstoßen und ihren seitlichen Abstand möglichst zu vergrößern trachten. Dieser Maxwellsche Querdruck (Maxwellsche Querspannung) hat eine Richtung s e n k r e c h t zur Kraftlinienrichtung 1 / 23 \2. und ist j e cm2 wieder gleich — I I in kp/cm 2 , hat also dieselbe Größe wie der jj/f \ OUUUJ Längszug. Aus diesen Zug- und Druckspannungen, die in jedem Punkte des Feldes in der Richtung der Kraftlinien und senkrecht dazu vorhanden sind, lassen sich ebenfalls alle Kraftwirkungen auf räumlich, ausgedehnte Körper berechnen, wenn für alle Punkte der Oberfläche die wirkenden magnetischen Kraftlinien nach Größe und Richtung bekannt sind. Der Maxwellsche Querdruck tritt z. B. in Erscheinung, wenn Kraftlinien eine Trennfläche Luft-Eisen nicht senkrecht, sondern schräg durchsetzen. Der Querdruck im Eisen kann in diesem Fall die Wirkung des Längszuges in der Luft vergrößern. 56. Weicheiseninstrument

Eine wichtige Anwendung der anziehenden Kräfte von Spulen auf Eisenteile ist in dem sogenannten Weicheiseninstrument gemacht. Die Wirkung beruht darauf, daß eine Spule ein Stück Eisen anzieht, z. B. gegen die Kraft einer Feder. Bei verschiedenen Strömen ist die anziehende Kraft verschieden groß, so daß die Feder mehr oder weniger gedehnt wird und ein Zeiger je nach der Größe des Stromes verschiedene Stellungen annimmt. Abb. 124 und 125 zeigen verschiedene Ausführungen. In beiden Fällen werden leichte Eisenkerne E, die um eine Achse D drehbar sind, in eine Spule S hineingezogen. Die begrenzende Kraft für den Ausschlag ist in Abb. 124 eine Uhrfeder F, in Abb., 125 ist es das Gewicht des Zeigers, das den Ausschlag begrenzt. Der Kolben K in Abb. 125, der sich bei der Zeigerbewegung in dem eng angepaßten Rohr bewegt, dient zur Dämpfung von Zeigerschwingungen. O in Abb. 124 ist ein Gegengewicht zur Ausbalancierung von Zeiger und Eisenkörper. Wir haben hier wieder ein quadratisches Instrument für Gleich- und Wechselstrom. Da die Kraft auf das Eisenstück 252 proportional ist, ist sie auch dem Quadrat des Stromes proportional, solange S3 proportional J ist. Aus diesem Grund ist für den Eisenkörper nur weichstes Eisen brauchbar, möglichst ohne Remanenz und ohne Koerzitivkraft und wo 93 dem Strom noch angenähert proportional ist. Hätte das Eisen starke Remanenz, so wäre E nach dem Ausschal-

56. Weioheiseninstrument - 57. Grundlagen. Induktionsgesetz

133

ten des Stromes in der Spule noch permanent magnetisch, mit zwei ausgeprägten Magnetpolen, und es würden dann ganz andere Kraftwirkungen zustande kommen. Z. B. wäre es denkbar, daß das Eisen von der Spule dann auch abgestoßen werden könnte, wenn z. B. einem Spulennordpol ein Eisennordpol gegen-

Abb. 125

überstände. Das Instrument würde also ganz falsch zeigen. Das Instrument ist natürlich kein Präzisionsinstrument, ist aber in der Praxis außerordentlich verbreitet, da es keine sehr empfindlichen, leicht zerstörbaren Teile hat, einfach und billig ist und für Betriebsmessungen genügend genau ist. Die Skala ist quadratischer Natur, wie beim Hitzdraht- oder dynamometrischen Instrument. Es kann sowohl als Strom- wie als Spannungsmesser verwendet werden. Der Einwirkung starker fremder Felder darf es nicht ausgesetzt werden. Verschiedene Meßbereiche erreicht man durch Serien- oder Parallelschaltung der in mehrere Einzelspulen unterteilten Stromspule.

III. I N D U K T I O N S E R S C H E I N U N G E N 57. Grundlagen. Induktionsgesetz

In diesem letzten Abschnitt wollen wir uns beschäftigen mit der Lehre von den zeitlich veränderlichen Strömen und Spannungen. Alle Vorgänge auf diesem Gebiet hängen anfs engste zusammen mit einem prinzipiell neuen Vorgang, der zu den bisher bekannten hinzukommt, dem „Induktionsvorgang", der von M.Faraday 1831 entdeckt worden ist und auch vollkommen erklärt wurde. M. Faraday ist mit dieser Entdeckung der Schöpfer der heutigen Starkstromtechnik, denn von ihm sind alle grundlegenden Vorgänge, die die Technik heute benützt, festgestellt und angewendet worden. Dreißig Jahre später fügte W. Siemens zu diesen Kenntnissen noch sein dynamoelektrisches Prinzip und ermöglichte damit den Bau großer Maschinen. Vorausgeschickt sei, daß die sogenannte Induktionserscheinung direkt mit der Tatsache der Existenz der sogenannten Induktions-(S3-)Kraftlinien gar nichts zu tun hat. Allerdings spielen, wie wir sehen werden, die S3-Kraftlinien eine große Rolle beim Induktionsvorgang.

134

III. Induktionserscheinungen

Der Induktionsvorgang ist, kurz gesagt, ein solcher, bei dem auch, in homogenen geschlossenen Stromkreisen elektrische Ströme auftreten. Nach unseren bisherigen Kenntnissen galt das (wenigstens für Gleichstrom) als unmöglich. Drei einfache Versuche können uns das Wesen des Induktionsvorgangs erläutern. In Abb. 126, 127 und 128 sind je zwei Stromkreise gegeben. Der linke Stromkreis ist ein homogener Drahtstromkreis mit einem Strommesser, z. B. einem Drehspulinstrument, mit dem man auch die Richtung des Stromes feststellen kann. Der Stromkreis rechts enthält eine Stromquelle, so daß in diesem ein Dauerstrom fließen kann. Der homogene Stromkreis links ist zunächst vollkommen stromlos. Wenn wir nun in Abb. 126 den linken Stromkreis dem rechten nähern oder ihn von diesem entfernen, so beobachten wir, daß während der Relativbewegung ein Strom i fließt. Aber n u r w ä h r e n d der Bewegung. Sobald der linke Stromkreis sich nicht mehr bewegt, ist er nach kürzester Zeit wieder vollkommen stromlos. Diesen Strom i bezeichnen wir als induzierten Strom oder Induktionsstrom, die ganze Erscheinung als Induktionserscheinung. Fer-

Abb. 126

Abb. 127

Abb. 128

ner stellen wir fest, daß die Richtung des Induktionsstromes i beim Nähern der Stromkreise der von J e n t g e g e n g e s e t z t ist, während sie beim Entfernen die g l e i c h e ist. Schließlich zeigt sich die G r ö ß e des Induktionsstromes abhängig von der Relativgeschwindigkeit beider Kreise gegeneinander. Je größer die Geschwindigkeit, desto größer der Induktionsstrom und umgekehrt. Die Induktion entsteht in diesem Falle also durch Relativbewegung der beiden Kreise gegeneinander. In dem Versuch Abb. 127 soll keine Relativbewegung eintreten, die beiden Stromkreise ruhen. Dagegen besitzt der Stromkreis rechts einen Schiebewiderstand, mit dem man den Strom J vergrößern und verkleinern kann. Sobald nun der Strom J geändert wird, tritt in dem linken Kreis wieder ein Induktionsstrom auf und auch wieder nur so lange, als J sich ändert. Wird J verkleinert, so hat i dieselbe Richtung wie J, wird J vergrößert, so fließt i entgegengesetzt wie Der Induktionsstrom ist wieder um so größer, je rascher J geändert wird. In dem dritten Versuch Abb. 128 ruhen beide Stromkreise, und der Strom J wird auch nicht geändert, aber ein E i s e n s t ü c k i J i n der Nähe der beiden Stromkreise wird bewegt. Solange Bewegung stattfindet, tritt ein Induktionsstrom i auf. Beim Nähern des Eisenstückes fließt i in der entgegengesetzten Richtung wie J, beim Entfernen fließt i parallel zu J. Der Induktionsstrom ist wieder um so größer, je rascher die Bewegung erfolgt und umgekehrt. Im zweiten Versuch trat also keinerlei Bewegung auf. Lediglich eine Stromände-

67. Grundlagen. Induktionsgesetz

135

rung im einen Kreis rief einen Strom im anderen hervor. Im dritten Versuch ist es lediglich die Bewegung des Eisenstückes, die den Induktionsstrom erzeugte. All diesen Versuchen ist es gemeinsam, daß nur so lange ein Induktionsstrom auftritt, als irgendeine der Größen, die die Anordnung des Systems beschreiben, sich ändert. (Entfernung der Kreise, Strom in einem Kreis oder Entfernung des Eisenstückes.) Zweitens ist die Wirkung um so stärker, je rascher die Änderung dieser Größe erfolgt. Wir haben es also immer mit der Wirkung von V e r ä n d e r u n g e n zu tun. Der mathematische Ausdruck für die Veränderung einer Größe dy mit der Zeit ist deren Differentialquotient nach der Zeit. — gibt ja die Zunahme wt dy an, welche die Größe y in dem Zeitintervall dt erleidet. Das Gesetz für diese Vorgänge wird also in irgendeiner Form den Differentialquotienten einer Größe nach der Zeit enthalten müssen. Nun fragt es sich noch, welche Größe sich ändert, damit alle drei Versuche durch eine Formel beschrieben werden können. Nach den Faradayschen Anschauungen kann eine Wirkung auf den Stromkreis i nur zustande kommen durch eine Ursache, welche sich an demselben Ort wie der Stromkreis befindet. Eine Fernwirkung unvermittelt über den Raum hinweg, wie sie die älteren Anschauungen annahmen, verwirft Faraday. Was nun am gleichen Ort ist wie der erste Stromkreis und vom zweiten herrührt, sind dessen magnetische SB-Kraftlinien, die ja auch den Stromkreis i durchsetzen. Wenn wir nach der Kraftlinienzahl 0 fragen, die der zweite Stromkreis J erzeugt und welche durch den ersten Stromkreis hindurchgehen (mit ihm verkettet sind), so zeigt sich, daß diese Kraftlinienzahl in allen drei Versuchen geändert wird. In Abb. 129 sind einige 33-Kraftlinien des Stromkreises 2 aufgezeichnet. Man sieht, wie beim Nähern und Entfernen von 1 die durch diesen Kreis gehende Kraftlinienzahl sich ändert. Beim Andern des Stromes J ändert sich die von diesem Strom erzeugte Kraftlinienzahl ebenfalls und damit auch der durch 1 gehende Teil der Kraftlinien. Beim dritten Versuch schließlich ändert sich durch das Hereinbringen des Eisenstückes der magnetische Widerstand des Kraftflusses, damit die Zahl der Kraftlinien und auch der Teil, der durch den Stromkreis 1 geht. Der Kraftfluß 0, der durch den ersten Stromkreis hindurchgeht, ist es, der d0 sich in allen drei Fällen ändert. Die Induktionswirkung wird also durch — bed t d0 stimmt sein. E s ist wichtig zu erkennen, daß es auf — ankommt und nicht (Jbh auf 0 selbst. Man braucht gar nicht große Kraftflüsse 0, um starke Induktionswirkungen zu erreichen, wenn nur deren zeitliche Änderung groß genug ist. Umgekehrt gibt ein großer Kraftfluß 0, der sich sehr langsam ändert, nur sehr geringe Induktionswirkungen.

136

III. Induktionserscheimingen d0

Es fragt sich nun, welche Größe der Größe -^—gleich zu setzen ist. Darüber Cv t

gibt auch der Versuch Auskunft. Machen wir z.B. die induzierten Stromkreise aus verschiedenen Drähten, wie Cu, AI, Fe, so beobachtet man, daß beim gleichen Induktionsvorgang die induzierten Ströme in Cu, AI, Fe usw. n i c h t gleich groß sind, sondern daß sich die induzierten Ströme der Größe nach umgekehrt wie die Ohmschen Widerstände E der Stromkreise verhalten oder, mit anderen Worten, daß das Produkt i E für alle diese Stromkreise sich als gleich ergibt, wenn in allen Fällen das d& — das gleiche ist. Wir können also setzen d oder von 0 auf 0. Die dieser Kraftflußänderung entsprechende Abb. 135 gesamte Elektrizitätsmenge, die während dieses Vorgangs durch jeden Querschnitt des Meßstromkreises fließt, ist also der Größe nach, in Coulomb gemessen, q =

R

0.

Kann man diese Elektrizitätsmerge messen, so ergibt sich der Kraftfluß zu 0 =

B —

-q,

wenn R und w bekannt sind. Die Elektrizitätsmenge q mißt man mit einem sogenannten b a l l i s t i s c h e n G a l v a n o m e t e r . Es ist dies ein Drehspulgalvano-

meter, dessen Drehspule so schwer und daher so träg ist, daß das Galvanometer sich erst in Bewegung setzt, wenn der Strom i, der die Ladung q transportiert, schon wieder erloschen ist. Dieses Galvanometer bekommt sozusagen einen elektrischen Stoß, und sein Ausschlag ist der bei diesem Stoß hindurchgeflossenen Elektrizitätsmenge proportional. Mit derartigen Probespulen kann man also jederzeit magnetische Kraftflüsse messen. Meistens kommutiert man den Kraftfluß von -)- 0 auf — 0, um Remanenzwirkungen auszuschalten. Die Messung einer magnetischen Spannung § • l = V— 0 • Rm (S. 99 und 105) erfolgt auf ganz analoge Weise. Will man eine magnetische Spannung V zwischen zwei Punkten 1 und 2 eines magnetischen Stromkreises messen (Abb.IT,6), so legt man, wie bei der elektrischen Spannungsmessung, zwischen die bi iden Punkte einen magnetischen Spannungsmesser. Dieser besteht aus einem bis gsamen Band von überall gleich großem rechteckigem Querschnitt aus Leder oder Papier. Dieser Riemen wird mit Drahtwindungen versehen, deren Ende an ein ballistisches Galvanometer angeschlossen ist. Die Bewicklung des Rie-

144

III. Induktionserscheinungen

mens geht z. B. von der Mitte des Riemens bei A aus bis zum Ende B, von dort wieder zurück zum Punkt A in gleichem Wicklungssijan, und weiter über D bis zum Punkt C und dann wieder zurück zum Punkte D am anderen Ende. J e cm Länge des Riemens befindet sich überall die gleiche Windungszahl w. Da die relative Permeabilität des Leders oder des Papiers ca. gleich 1 ist, also sich von der Luft nicht unterscheidet, verlaufen die Kraftlinien, so, als ob der Riemen nicht da wäre. Sie können an jeder Stelle beliebige Richtung und beliebige Stärke haben. Wenn wir nun wieder den magnetischen Kreis ein- oder ausschalten, so entstehen oder verschwinden die magnetischen Kraftlinien, und in der Spule wird ein Strom i und eine entsprechende Elektrizitätsmenge in Bewegung gesetzt, die der induzierten EMK in der Spule und der Größe w 0 ,für die ganze Spule bestimmt, entspricht. Um Et und 0 zu bestimmen, denken wir uns den Riemen in lauter kurze Stückchen zerlegt, die so kurz sind, daß alle Querschnitte, die dazu gehören, von d e m s e l b e n Kraftfluß durchsetzt werden. In Abb. 137 ist ein solches Stückchen von der Länge l gezeichnet, wo durch jeden Querschnitt 0 — 6 Kraftlinien hindurchgehen. Wenden wir auf dieses Stückchen das Gesetz vom magnetischen Kreis an, so ist die magnetische Spannung v zwischen Anfang und Ende

v = 0Rm = 0

l ath

Daß hier 0 ni ch t die Richtung der Riemenachse hat, ist für die Anwendung de s magnetischen Kreisgesetzes ganz gleichgültig. Es kommt nur auf die Größe von 0 an. Die in den Drahtwindungen dieses Stückchens induzierte EMK ist

e

i=

d0 -w'l-Tt>

wenn w die Windungszahl je cm Länge ist. A1S0 i8t

• wd(0l) • -fi-^-vWo

dv ¿p

Die induzierte EMK des Stückchens ist also der Ä n d e r u n g d e r m a g n e t i s c h e n S p a n n u n g zwischen seinen Enden proportional. Um die induzierte EMK der ganzen Wicklung zu finden, addieren wir die EM K e, die in die einzelnen Stückchen induziert werden:

dv d(Ev) Ei=2ei = —wqfi02;—= — wq/i0

Nun ist die Summe der magnetischen Spannungen der einzelnen Stückchen die magnetische Spannung zwischen Anfang und Ende der ganzen Wicklung, zwischen C und B, und ist also gleich V. Also ist

dV Ei = — wq/i0 — = iR.

Daraus wieder

idt =W?/L -~^ B • dV = dQ.

61. Wechselspannung. Induktion durch Bewegung

145

Die induzierte Elektrizitätsmenge dQ ist also die Änderung der magnetischen Spannung V proportional, und wenn man V z. B. durch Kommutieren des Stromes im zu messenden magnetischen Kreis von -f- V auf — V ändert, wird eine Elektrizitätsmenge im magnetischen Spannungsmesser induziert: Q

R

y

Diese Elektrizitätsmenge Q wird wieder im ballistischen Galvanometer gemessen und damit V bestimmt als . n abnimmt, E% positiv ist, und solange 0 zunimmt, Ei negativ ist. Die zu jedem t zugehörigen Lagenwinkel der Spule a = a>t sind unterhalb der Abszissenachse eingetragen. Man sieht, daß das Abnehmen des Flusses von a = 0 bis a = n dauert und das Zunehmen von a =n bis 2n. Wenn die Spule sich von der Lage a — 0, Spul7t ebene senkrecht zu den Kraftlinien, in die Lage a = — begibt, Spulenebene in M

Richtung der Kraftlinien, so nimmt die Zahl der umfaßten Kraftlinien dauernd 7t £

ab. Dreht sich die Spule weiter, von a = -¡r bis a = ji, so nimmt jetzt wohl die Zahl der umfaßten Kraftlinien wieder zu, aber die Kraftlinien durchsetzen die Spulenfläche im entgegengesetzten Sinne wie vorher. Für a < sie von Seite a nach b (Abb. 138), für a >

7t

TZ

durchsetzen

hingegen von b nach a. Deshalb ist

7t

diese Zunahme a >

auch negativ zu rechnen. Bei der weiteren Drehung von

a—7t bis « = 2 TT wiederholt sich das gleiche. Besonders charakteristische Punkte der Kurve sind der Höchstwert und der Nullwert. Der Höchstwert Ei n

3

max

=ww-E-iö d&

tritt auf für a = —; —n usw., also immer dann, wenn — , die Steilheit der 2 2 dt

61. Wechselspannung. Induktion durch Bewegung

147

0-Kurve, am größten ist, was zeitlich mit 0 = 0 zusammenfällt. Man sieht hier d& sehr deutlich, daß es auf -z— ankommt und nicht auf Gerade in den Lagen, dt in denen überhaupt keine Kraftlinie die Spule durchsetzt, ist die induzierte EMK am größten. Der Nullwert der EMK tritt ein bei a = Q)n\ 2 jt ..., wenn 0 seinen Höchstwert erreicht, wenn die Spule senkrecht zum Kraftlinienfluß steht, wenn d& also - j - = 0 ist. Da dt

=

ist und die größte Kraftlinienzahl darstellt, von der die Spule überhaupt durchsetzt werden kann, so gilt auch Ex = w

co- 0max.

Die induzierte EMK ist proportional dem maximalen Kraftfluß, der die Windung durchsetzt, und der Winkelgeschwindigkeit (bzw. der Drehzahl/min), eine Formel, die zur Beurteilung des Verhaltens elektrischer Maschinen viel benützt wird. Den Höchstwert der Sinuslinie bezeichnet man als Amplitude oder als Maximalwert. Als Schwingungsdauer (Periode) bezeichnet man die Zeit T, die verfließt, bis der ganze Vorgang sich vollkommen wiederholt, also z. B. die Entfernung zweier Maximalwerte oder zweier gleichsinniger Nulldurchgänge. Nach Abb. 139 ist 2n T — — (in sek gemessen). 1 Das Reziproke von T ist die Anzahl voller Schwingungen in 1 sek (für T = — sek 1 = 10 Schwingungen je sek statt): finden —

T

'

2 jt

Die Größe / wird als Schwingungszahl, Periodenzahl je sek oder auch als Frequenz bezeichnet. I n der Starkstromtechnik ist / = 50 bzw. 16 2 / 3 je sek, in der Nachrichtentechnik werden Frequenzen bis zu vielen Millionen/sek benützt. Aus dieser Gleichung folgt nun eine sehr wichtige Beziehung für co, die unabhängig von der Vorstellung einer Winkelgeschwindigkeit direkt aus der Natur des Wechselvorgangs folgt. Da CD — 2nf, ist co die Zahl der vollen Schwingungen in 2 n sek. Somit ist ca auch eine Schwingungszahl, aber auf die Zeit 2 n sek bezogen. Deshalb wird co als „Kreisfrequenz" des Wechselvorgangs bezeichnet. Man kann die bei der Bewegung der Spule induzierte EMK noch auf Grund 10*

148

III. Induktionserscheinungen

einer anderen Vorstellung berechnen, die auch von Faraday angegeben worden d& ist. Nimmt man nämlich an, daß die Änderung des Kraftflusses -j— dadurch dt erfolgt, daß 83-Kraftlinien seitlich in den Stromkreis eintreten oder seitlich aus ihm austreten und dabei die Windungen schneiden, so kann die EMK auch der Zahl der je sek vom Stromkreis geschnittenen K r a f t linien gleichgesetzt werden. Bei der Bewegung eines Stromkreises in einem ruhenden stationären 33-Feld führt diese Vorstellung zu Abb. 140 einer einfachen Berechnungsart. Dreht sich die Spule um den Winkel da (Abb. 140), so ist die Änderung des Kraftflusses d i> (und zwar in diesem Fall die Abnahme) durch die gezeichneten Kraftlinienbündel x und y gegeben. Und gerade diese Kraftlinien sind bei der Bewegung von den Spulenseiten A und B geschnitten worden. Es ist also — d& = x y. Nun ist die Kraftlinienzahl x, die von der l cm langen Spulenseite A geschnitten wird, x = I^C • l • 23 = AA' sin a • 23 • l = Öl • sin a • mda, und der Kraftfluß y ist natürlich genau gleich groß. Erfolgt die Drehung da in der Zeit dt, so ist a 'f d

zusammen. Ist k e i n e Phasenverschiebung zwischen Strom u n d Spannung vorhanden wie bei einem Ohm sehen Widerstand, so treten, wiö Abb. 154 zeigt, k e i n e negativen Leistungen auf. Ein Ohmscher Widerstand ist sozusagen ein ganz passiver Stromabnehmer, er empfängt lediglich Leistung, die er in Wärme umsetzt (vgl. auch Abb. 143), und gibt niemals Leistung zurück. Haben wir dagegen eine Phasenverschiebung von einer Viertelperiode, d. h. 90°, wie in Abb. 155 für den Fall einer reinen Induktivität, so dauern die positiven und negativen Leistungsperioden gleich lang, die Leistungskurve n ist ganz symmetrisch zur Abszissenachse und ihre positiven u n d negativen Werte sind gleich groß. Solche Stromkreise sind „aktiv", d. h. sie geben die in

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III. Induktionserscheinungen

einer positiven Leistungsperiode empfangene Energie restlos in der nächsten negativen Leistungsperiode an die Stromquelle zurück. Wir haben hier ein rein periodisches Hin- und Herfluten der Energie zwischen Stromquelle und Stromverbraucher. Ist (p kleiner als 90°, wie in Abb. 153, so empfängt der Stromkreis in der positiven Leistungsperiode mehr Energie, als er in der negativen Periode zurückgibt. Im Mittel verbraucht er doch dauernd eine gewisse Menge Energie.

Was wird nun aus der elektrischen Leistung, die den drei verschiedenen Arten von Stromkreiselementen zugeführt wird? Beim Ohmschen Widerstand ist die Antwort einfach. Hier gilt die Spannungsgleichung u = iE und nach Multiplikation mit dem Strom die LeistungSgleichung n = ui =

i2R.

Die zugeführte Leistung setzt sich in jedem Moment in Wärme um, die sich auf keine Art in elektrische Leistung zurückverwandeln kann. Bei einer reinen Induktivität heißt die Spannimgsgleichung di U

=

Ldt-

und die Leistungsgleichung

. di d ( n = u • i = Li — = — iL — dt dt y

Die zugeführte Leistung wird benützt zur Vergrößerung der Größe L —, die also eine bestimmte Energieform repräsentieren muß. Diese Energieform ist die sogenannte magnetische Energie Wm der Spule: Wm = L ^ [ Joule]. Diese magnetische Energie ist aufgespeichert im $8-Kraftlinienfeld der Spule. Man kann sie wie eine elastische Deformationsenergie auffassen. Durch das Entstehen der S3-Kraftlinien wird das magnetisierte Material im Innern magnetisch deformiert, wozu eine gewisse Arbeit gehört, genau so wie zur Deformation

69. Leistung bei Wechselvorgängen. Magnetische Energie. Elektrische Energie

167

eines elastischen Körpers. Hören die magnetisierenden Kräfte (z.B. der Strom i) auf, so kann diese Energie bei der Rückverwandlung in den nichtdeformierten Zustand sich wieder in elektrische Leistung rückverwandeln, wie ja auch ein elastisch zusammengepreßter Körper beim 'Aufhören der Zwangskräfte ine- > > ^ J£-i z chanische Arbeit zu leisten vermag. Die in Spülen aufgespeicherten magnetischen Energien Wm können ziemlich groß werden. Z. B. bei L = 1 Henry und i = 10A ist Wm = 50 J « 5 kpm, entsprechend der Arbeit bei der Hebung von 5 kp um 1 m. Da W m = 0 ist, wenn der Strom gleich Null ist, besitzt die Spule jedesmal beim Nulldurchgang des Stromes auch die magnetische Energie Null. In diesen Momenten muß die aufgespeicherte magnetische Energie vollkommen an den Stromkreis zurückgegeben sein. Sie ist am größten, wenn der Strom seinen Höchstwert durchläuft. In Abb. 156 ist für eine Spule die Kurve für den Strom i, für i2 die magnetische Energie L — und für die momentane Leistung n eingetragen. ¿i Von a bis b nimmt dauernd Strom i und magnetische Energie Wm zu, es muß dauernd Leistung zugeführt werden; n ist positiv. Von b bis c dagegen nehmen Strom und magnetische Energie in der Spule ab bis auf Null, die verschwindende magnetische Energie geht als elektrische Leistung ins Netz zurück, n ist negativ. In cd nimmt wieder die magnetische Energie zu, und es muß wieder Leistung zugeführt werden usw. Es findet also ein dauernder periodischer Umsatz von Netzleistung in magnetische Energie statt, und auf die Dauer konsumiert die Spule im Mittel überhaupt keine Energie. Bei einem Kondensator liegt die Sache ganz ähnlich. Die ^tromspannungsgleichung lautet hier du i = C— dt und die Leistungsgleichung du d, dt dt\ 2 Hier tritt C — als neue Energieform im Kondensator auf, als seine elektrische z Energie Ma W

' =

C

2>

die auch wieder als eine Art elektrische Deformationsenergie des Isoliermaterials aufzufassen ist, infolge des Zwanges der aufgedrückten Spannung. Diese Energie kann sich ebenfalls vollkommen wieder in andere Energieformen rückverwandeln und muß jedesmal Null sein, wenn die Spannung u am Kondensator Null ist. Abb. 157 zeigt für einen Kondensator die Kurven füi die Span-

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III. Induktionserscheinungen

nung u, den Strom i, die aufgespeicherte elektrische Energie We = - - - CMä und Jt die zugeführte elektrische Leistung n. Man sieht auch hier, wie von a bis b die Spannung u und We zunehmen, es muß also Leistung vom Netz zugeführt werden, n ist positiv. Zwischen b und c falr \ & len u und We auf Null ab und die verschwindende elektrische Energie wird j-n \ als elektrische Leistung zurückgegeben, ff Vk / / n ist negativ. Die größten Werte von n fÄ Je treten immer dann auf, wenn We sich —y~a am raschesten ändert, also in der Mitte von a, b bzw. b, c. In den Intervallen c, d Abb. 167 und e,/wiederholt sich dasselbe Spiel. Die elektrische Energie We ist meistens nicht sehr groß. Ein Kondensator von C = 1 (xF und einer Spannung von 1000V hat eine aufgespeicherte elektrische Energie von 1 • 10"6 1 Wt = — 106 J = — Joule « 0,05 kpm. Es hängt das damit zusammen, daß für hohe Spannungen große Kapazitäten enorm teuer sind. Wir können also sagen: Kondensatoren und reine Induktivitäten (ohne Ohmschen Widerstand) empfangen im Mittel überhaupt keine Energie vom Stromerzeuger, sondern geben lediglich zu Leistungspulsationen Anlaß. Wir wollen nun den allgemeinen Fall (Abb. 153) betrachten, wo eine beliebige Phasenverschiebung