Einführung in die theoretische Physik: Band 5 Statistische Mechanik 9783111379890, 9783111021324

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Einführung in die theoretische Physik Band V Statistische Mechanik

von

Dr.-Ing. Werner Döring o. P r o f . a n d e r U n i v e r s i t ä t H a m b u r g

M i t 10 A b b i l d u n g e n Zweite, umgearbeitete Auflage

Sammlung Göschen Band 1017 W a l t e r d e G r u y t e r & Co • B e r l i n 1 9 6 6 v o r m a l s G. J . G ö s c h e n ' s c h e V e r l a g s h a n d l u n g • J . G u t t e n t a g , Verlagsbuchhandlung • Georg Reimer • K a r l J . T r ü b n e r • Veit & Comp.

Die Gesamtdarstellung umfaßt folgende Bände: 1. Mechanik (Band 76) IL Das elektromagnetische Feld (Band 77) III. Optik (Band 78) IV. Thermodynamik (Band 374) V. Statistische Mechanik (Band 1017) Zur Bezeichnung: Eine Formel des gleichen Paragraphen wird in diesem Buch durch eine arabische Ziffer in Klammern zitiert. Bei Formeln aus anderen Paragraphen des gleichen Buches wird die Nummer des Paragraphen hinzugefügt, z. B. (§2; 3). Bei Formeln aus anderen Teilbänden dieser Gesamtdarstellung ist der Band durch eine römische Ziffer nach obiger Liste angegeben, z. B. (IV; § 3; 5) = Formel 5 aus § 3 des Bandes Thermodynamik. Die Formelnummern beziehen sich stets auf die 2. Auflage. Vektoren sind durch Fettdruck bezeichnet a • b bedeutet das skalare Produkt der Vektoren a und b a x b bedeutet das Vektorprodukt von a und b.

Copyright 1966 by Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Alle Rechte, einschl. der Rechte der Herstellung von Photokopien und Mikrofilmen, von der Verlagshandlung vorbehalten. — Archiv-Nr. 77 40 66 4. — Satz und Druck : Walter de Gruyter & Co., Berlin 30. — Printed in Germany

Inhaltsverzeichnis Verzeichnis einiger einschlägiger Werke

4

§ 1. Die Aufgabe der statistischen Mechanik

6

I. Kinetische Gastheorie § 2. § 3. § 4. § 5. § 6.

Die Verteilungsfunktion • Die Bernoullische Druckformel Die Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung Die Boltzmannsche Fundamentalgleichung Das H-Theorem

7 . .

II. Die statistischen Gesamtheiten § 7. § 8. § 9. § 10. §11. § 12. § 13. § 14.

Die mikrokanonische Gesamtheit Der Gleichverteilungssatz Die kanonische Gesamtheit Die barometrische Höhenformel Berücksichtigung der Quantenmechanik Der lineare harmonische Oszillator Die Debyesche Theorie der spezifischen Wärme der Festkörper Die Plancksche Strahlungsformel

III. Statistik und Thermodynamik § 15. § 16. § 17. § 18. § 19. §20. § 21.

7 9 14 20 27

32 32 39 44 49 51 55 58 63

67

Die freie Energie 67 Die Entropie 70 Entropie und Wahrscheinlichkeit 74 Freie Energie und Entropie des idealen Gases 80 Die Theorie der Gasentartung 88 Die spezifische Wärme der Lcitungselektronen 99 Die Berechnung der thermischen Eigenschaften der Gase . . 105

Namen- und Sachverzeichnis

116

4

Literatur

Verzeichnis einiger einschlägiger Werke a) W e r k e ü b e r d a s G e s a m t g e b i e t d e r t h e o r e t i s c h e n Physik F. H u n d : Theoretische Physik (3 Bände). 3. B d . : Wärmelehre und Quantentheorie. 2. Aufl. S t u t t g a r t 1956. G. Joos: Lehrbuch der theor. Physik. 10. Aufl. F r a n k f u r t a. M. 1959. L. Landau, E . Lifshitz: Course of theor. Physics (9 Bände). (Englische Übersetzung aus dem Russischen). Vol. 5: Statistical Physics. London, Paris 1958. W. Macke: Thermodynamik und Statistik. Ein Lehrbuch der theor. Physik (in 6 Bänden). Leipzig 1962. W. Pauli: Vorlesungen (6 Bände). 3. Thermodynamik und kinetische Gastheorie. 4. Statistische Mechanik. Turin 1962. Cl. Schäfer, M. Päsler: Einführung in die theor. Physik (3 umfangreiche, z. T. mehrteilige Bände). 2. B a n d : Theorie der Wärme. Molekularkinetische Theorie der Materie. 3. Aufl. Nachdruck. Berlin 1958. A. Sommerfeld: Vorlesungen über theor. Physik (6 Bände). Bd. V: Thermodynamik und Statistik, herausgeg. von F. Bopp u n d J . Meixner, 2. Aufl. Leipzig 1962. W. Weizel: Lehrbuch der theor. Physik (2 Bände). Berlin, Göttingen, Heidelberg. 1. Band, 3. Aufl. 1963; 2. Band, 2. Aufl. 1958. b) B e i t r ä g e z u

Handbüchern

Encyklopädie der m a t h . Wissenschaften, Leipzig. Bd. IV, 4; Art. 32: P. u n d T. Ehrenfest: Begriffliche lagen der statistischen Auffassung in der Mechanik,

Grund1912.

H a n d b u c h der Physik, herausgeg. von S. Flügge. Berlin, Göttingen, Heidelberg. Bd. 3, 2. Teil: Prinzipien der Thermodynamik und Statistik, 1959. In Bd. 7, 1. Teil (Kristallphysik I): The specific Heat of Solids, 1955. Bd. 12: Thermodynamik der Gase, 1958. Bd. 13: Thermodynamik der Flüssigkeiten und Festkörper, 1962.

Literatur

5

Hand- und J a h r b u c h der chemischen Physik, Bd. I I I , 2. Abschn. I I I : A. Sommerfeld, L. W a l d m a n n : Die Boltzmannsche Statistik und ihre Modifikation durch die Quantentheorie. Abschn. IV: K. F. Herzberg: Freie Weglänge und Transporterscheinungen in Gasen. c) E i n z e l w e r k e über Thermodynamik und Statistische Mechanik J . G. Aston, J . J . F r i t z : Thermodynamics and Statistical Thermodynamics. New York 1960. R. Becker: Theorie der Wärme. Berlin, Göttingen, Heidelberg 1964, S. Chapman, F. G. Cowling: The Mathematical Theory of Nonuniform Gases. Cambridge 1952. A. J . Chintschin: Grundlagen der statistischen Mechanik. Mannheim 1964. N. Davidson: Statistical Mechanics. New York, S. Francisco, Toronto, London 1962. A. E u c k e n : Grundriß der physikalischen Chemie. 10. Aufl. Leipzig 1959. A. E u c k e n : Lehrbuch der chemischen Physik, II. Bd.: Makrozustände der Materie (2 Teilbände) 3. Aufl. Leipzig 1948. R. H. Fowler und E. A. Guggenheim: Statistical Thermodynamics. Cambridge 1952. J . W. Gibbs: Elementare Grundlage der statistischen Mechanik (übersetzt von E. Zermelo). Leipzig 1905. K. I l u a n g : Statistische Mechanik I , II und I I I . Mannheim 1964. P. J o r d a n : Statistische Mechanik auf quantentheoretischer Grundlage (Die Wissenschaft Bd. 87). Braunschweig 1944. E . H. K e n n a r d : Kinetic Theory of Gases. New York 1938. C. Kittel: Elementary Statistical Physics. New York 1958. R. K u r t h : Axiomatics of Classical statistical Mechanics. Oxford, London, New York, Paris 1960. J . E . Mayer, M. Goeppert-Mayer: Statistical Mechanics. New York 1954. A. Münster: Statistische Thermodynamik. Berlin, Göttingen, Heidelberg 1956. E . Schrödinger: Statistical Thermodynamics. Cambridge 1960 (Deutsche Übersetzung Leipzig 1952). D. Ter H a a r : Elements of Statistical Mechanics. New York 1954. R. C. Tolman: Principles of Statistical Mechanics. Oxford 1959. G. E . Uhlenbeck, G. W. F o r d : Lectures in Statistical Mechanics. Providence 1963.

6 §1. Die A u f g a b e der s t a t i s t i s c h e n M e c h a n i k Heutzutage besteht die Aufgabe der statistischen Mechanik darin, die makroskopisch meßbaren, mechanischen und thermischen Eigenschaften der Stoffe aus den bekannten Eigenschaften ihrer Atome und Moleküle abzuleiten, um zu prüfen, wie weit unsere Vorstellungen von der Struktur der Materie zutreffen. Die Atomphysik hat sich aber erst in den letzten Jahrzehnten so weit entwickelt, daß wir die Eigenschaften der Atome und Moleküle als bekannt ansehen können. Im vorigen Jahrhundert bestand die Aufgabe der statistischen Mechanik umgekehrt darin, die Moleküleigenschaften aus den makroskopischen Eigenschaften der Materie zu erschließen. Das ist jedoch nur auf indirektem Wege möglich. Man geht von irgendwelchen einfachen Annahmen über die Moleküle, von einer sogenannten „Modellvorstellung" aus und variiert diese so lange, bis sich die Folgerungen daraus an der Erfahrung bewähren. Dieser Entwicklung entsprechend sollen auch in diesem Buch die Methoden und Begriffsbildungen der statistischen Mechanik zunächst an Hand eines Modells besprochen werden, nämlich desjenigen der kinetischen Gastheorie (§ 2 bis § 6). Bei ihm wird angenommen, daß sich jedes Molekül während des größten Teiles der Zeit kräftefrei, also geradlinig mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. Nur wenn sich die Schwerpunkte zweier Moleküle bis auf einen im Vergleich zum mittleren Abstand sehr kleinen Abstand nähern, treten Kräfte auf, welche in Richtung der Verbindungslinie der Schwerpunkte wirken und nur vom Abstand abhängen. Für sie gilt daher der Energiesatz der Mechanik. Die exakte Behandlung von Nichtgleichgewichtszuständen ist aber selbst für dieses einfache Modell so schwierig, daß wir uns hier auf die Ableitung der grundlegenden Gleichung, der Boltzmannschen Fundamentalgleichung, beschränken müssen. In allen allgemeineren Fällen betrachten wir nur das thermodynamische Gleichgewicht und zwar zunächst unter der Annahme, daß die Moleküle den Gesetzen der klassischen Mechanik

§ 2. Die Verteilungsfunktion

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genügen. Bei der Behandlung der Abänderungen, welche die Berücksichtigung der quantenmechanischen Gesetze zur Folge hat, müssen wir hier darauf verzichten, die quantentheoretisch erhaltenen Aussagen über die Eigenschaften der Atome und Moleküle zu begründen 1 ). Im letzten Teil dieses Buches wird der Zusammenhang der statistischen und thermodynamischen Größen behandelt. Dabei soll auch auf die modernen Statistiken, die BoseEinstein-Statistik und die Fermi-Dirac-Statistik, eingegangen werden. Insbesondere soll dort gezeigt werden, daß es sich dabei eigentlich nicht um andere Statistiken handelt, sondern um die Berücksichtigung einer besonderen Art von quantenmechanischer Wechselwirkung.

I. Kinetische Gastheorie § 2. Die Verteilungsfunktion Den Zustand eines Gases beschreibt man bei Benutzung des erwähnten Modells der kinetischen Gastlieorie exakt durch Angabe der Ortsvektoren r( und Geschwindigkeitsvektoren vt = ri der N Massenpunkte, welche die Moleküle ersetzen sollen. Bei einer Substanzmenge von der Größenordnung eines Moles beträgt N etwa 1023. Zu solch einer Zustandsangabe würde man daher weit mehr Ziffern benötigen, als in der ganzen Welt bisher gedruckt wurden. Deshalb ist es technisch unmöglich, alle diese Zustandsdaten eines Gases zu messen. Es ist aber auch physikalisch unmöglich; denn wenn man die Komponenten von nur mit einer Genauigkeit von 1/10 Atomdurchmesser, also auf i 1 0 - 9 cm genau, ermitteln wollte, müßte man zur Beobachtung der Moleküle Köntgenlicht mit einer Wellenlänge von höchstens 1 0 - 9 cm verwenden und das Gas so stark beleuchten, daß an jedem Molekül mindestens ein Lichtquant gestreut wird. Dabei würde aber an die Moleküle durch Comptonstreuung ') Diese Probleme sind behandelt in: Atomphysik von K. Bechert, Ch. Gerthsen und A. Flammersfeld. Sammlung Göschen Bd. 1009, 1033, 1123/ 1123a und 1165/1165a.

8

Kinetische Gastheorie

eine solche Energie übertragen, daß das Gas auf Sterntemperaturen erhitzt würde. Eine im obigen Sinne exakte Bestimmung des Zustandes eines Gases bei Zimmertemperatur liegt also außerhalb dessen, was mit physikalischen Hilfsmitteln meßbar ist. Man benutzt deshalb eine mehr summarische Beschreibung durch Angabe der Anzahl dN der Moleküle, deren Schwerpunkte im zeitlichen Mittel in einem kleinen Volumenelement cPr = dzdydz des Ortsraumes liegen und deren Geschwindigkeitsvektoren in ein Volumenelement d3v = dvxdvydvz des Geschwindigkeitsraumes weisen. Die Mittelung muß dabei über eine so lange Zeit erstreckt werden, daß sich der Mittelwert bei einer Verdoppelung des Zeitintervalles praktisch nicht ändert. Zugleich aber muß diese Zeit klein sein gegenüber den Zeiten, in denen sich der Zustand, makroskopisch betrachtet, wesentlich ändert. Unter normalen Verhältnissen sind diese Bedingungen miteinander verträglich. Wenn sie es nicht mehr sind, versagen alle bisher benutzten Methoden der kinetischen Gastheorie. Die mittlere Anzahl dN ist bei genügend kleinem d3r und s d v dem Produkt dieser Volumenelemente in Orts- und Geschwindigkeitsraum proportional: dN = F(r, v) d3rd3v. (1) Der Proportionalitätsfaktor F, der im allgemeinen von r und v und in instationär strömenden Gasen auch noch von der Zeit t abhängt, wird als Verteilungsfunktion bezeichnet. Man beachte, daß F(r, v) nicht etwa gleich der Anzahl der Moleküle ist, deren Geschwindigkeits- und Ortsvektoren die Werte r und v besitzen. Diese Zahl wäre, außer in einzelnen Augenblicken, immer null und würde im Zeitmittel verschwinden. F(r, v) ist gleich der mittleren Anzahl der Moleküle in einem kleinen Intervall des Orts- und Geschwindigkeitsraumes, dividiert durch die Intervallgröße, hat also die Größenart eines reziproken Volumens mal der dritten Potenz einer reziproken Geschwindigkeit. Bei einem Gasgemisch müßte man natürlich für jede Molekülsorte je eine Verteilungsfunktion angeben.

§ 3. Die Bernoullische Druckformel

9

Selbstverständlich wird F(r, v) stets als differenzierbare Funktion seiner Argumente vorausgesetzt. Summiert bzw. integriert man (1) über alle Geschwindigkeitsintervalle, so erhält man die mittlere Gesamtzahl der Moleküle im Volumenelement d3r. Division durch dieses Volumen liefert die Molekülzahldichte

n = J f f F ( r , v)d3v.

(2)

V

Ist m0 die Masse eines Moleküls, so beträgt die Dichte ô bei einem chemisch einheitlichen Gas ' ' V

(3)

Da der Nenner in diesem Ausdruck nach (§ 2; 2) gleich der Molekülzahldichte n ist, erhält man bei Beachtung von (§2;3) V = 3 m0nv2 = öv2. (4) Dieses Ergebnis findet sich bereits in einer Arbeit von Daniel Bernoulli aus dem Jahre 1738. Gleichung (4) ermöglicht die Berechnung von v2 aus den makroskopisch meßbaren Werten von Druck und Dichte. Die Wurzel daraus ergibt die Größenordnung der vorkommenden Geschwindigkeiten. Man erhält für die üblichen

12

Kinetische Gastheorie

Gase bei Zimmertemperatur Werte in der Größenordnung von 500 bis 1000 m/sek. Diese Werte erschienen vielen Physikern im vorigen Jahrhundert unverständlich groß. Da jedes Molekül nur ein sehr kleines Stück geradlinig fliegt und dann bei einem Zusammenstoß abgelenkt wird, ist jedoch die geringe Diffusionsgeschwindigkeit zweier Gase ineinander mit so großen Werten von J/V durchaus verträglich. Erst 1920 gelang es Stern, das Vorhandensein so großer Geschwindigkeiten direkt experimentell nachzuweisen. Wir wollen (4) weiter umformen, indem wir p mit Hilfe der idealen Gasgleichung eliminieren (IV; § 3; 7):

pV = NhT.

(5)

(N = Molekülzahl). Beachtet man, daß n — N/V ist, so ergibt sich aus (4) und (5) für den Mittelwert der kinetischen Energie s = v2 eines Moleküls =

(6)

Wenn die Annahmen unseres Modells zutreffen, daß man die Moleküle als Massenpunkte ohne jede Möglichkeit einer Rotation oder innermolekularen Bewegung behandeln darf und daß die potentielle Energie der Wechselwirkungskräfte im Mittel gegenüber der kinetischen Energie zu vernachlässigen ist, beträgt die gesamte innere Energie U eines Gases mit N Molekülen das N- fache von e, also

U = Ne =~-NkT.

(7)

Die innere Energie eines idealen Gases ist demnach nur von der Temperatur, nicht vom Volumen abhängig, in Übereinstimmung mit der Erfahrung (vgl. IV; § 6). Bezeichnet man mit m = Nm0 die gesamte Masse des Gases, so erhält man aus (7) bei Beachtung der Beziehung R = h/m0 für die Gaskonstante des betrachteten Gases (vgl. IV; § 3; 4 und 6) die folgende Formel für die spezifische Wärme cv bei konstantem Volumen:

§ 3. Die Bernoullische Druckfonnel - A

c

"

~

^

m

-

A

dT

ß

2

Wogen cp — cv = Ii (IV; § 6; 6) folgt daraus auch =

~ 2

R

(9)

-

Die Gaskonstante R hat bei Verwendung der von Substanz zu Substanz verschiedenen Masseneinheit 1 Mol = M Gramm (M = Molekulargewicht) für alle Gase denselben Zahlenwert R = 1,9864

GraZ'

sollte also cp in der

Einheit cal/Mol • Grad für alle Gase den gleichen Zahlenwert von etwa 5 haben. Bei den einatomigen Edelgasen ist das, wie die folgende Tabelle zeigt, recht gut erfüllt, nicht Die spezifische Wärme bei konstantem Druck cv und das Verhältnis der spezifischen Wärmen c p /c„ für einige Gase (bei Zimmertemperatur) Cp

Gas

cal Grad • Mol

Cp cv

He Ne A Kr X

5,00 4,97 4,99 4,97 4,97

1,63 1,64 1,67 1,69 1,66

H2

6,90 6,95 6,98 7,01 7,00 8,23

1,41 1,401 1,40 1,398 1,39 1,35

CO 02 HCl Cl,

dagegen bei den anderen Gasen mit mehratomigen Molekülen. Es erscheint plausibel, daß man bei ihnen höhere

14

Kinetische Gastheorie

Werte findet, denn diese Moleküle sind nicht kugelförmig und werden daher bei Zusammenstößen in Rotation geraten. Außerdem können die Atome im Molekül gegeneinander schwingen. Daher liefert (7) nicht den gesamten Energieinhalt des Gases. Daß einatomige Moleküle hiernach anscheinend nicht rotieren, ist eigentlich eine verwunderliche Tatsache. Sie ist erst durch die Quantentheorie voll verständlich geworden und wird in § 21 erläutert werden. §4. Die M a x w e l l - B o l t z m a n n s c h e Geschwindigkeits Verteilung In jedem Gas stellt sich im thermischen Gleichgewicht eine ganz bestimmte Verteilungsfunktion F(r, v) ein, welche 1860 von Maxwell zum erstenmal berechnet wurde. Boltzmann gab später eine wesentlich allgemeinere und bessere Begründung dafür. Das Ergebnis dieser Berechnungen ist die Aussage, daß F in einem ruhenden Gas die Gestalt F =

Ce-ßv'

(1)

besitzt. G und ß sind zwei von v unabhängige Konstanten, deren Werte sich aus (§2; 2) und (§3; 6) ergeben. Bevor wir uns dem Beweis dieser Formel zuwenden, wollen wir hier ihre Eigenschaften diskutieren. Zur Berechnung von ß setzen wir (1) in den Ausdruck (§3; 3) ein. Dann hebt sich G heraus, und man erhält f f f v2e~^"'d3t> V

f f f e - ^ d ' v '

(2)

V

Das Integral im Zähler ist offensichtlich die negative partielle Ableitung des Nenners nach ß. Daher gilt: (3)

§ 4. Die Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung

15

Das Integral im Nenner von (2) kann man als Produkt von drei identischen Integralen über vx, vy und vz schreiben: f f f e - ^ f f i t ,= v

— oo

=

-

d V x

Mit der Substitution ]/ßvx +

J.

(4)

+ o o

t

J' e- 'dvll

= j=-fe~ d£.

— 00

(5)

- 00 +

CO

Das verbleibende Integral J = f e '

I3

d

ln

=

—dß \~w>

t

hängt von ß nicht

— 00

mehr ab. Daher folgt aus (3) *

co

= f erhält man

oo

flv

=

ävy-Te~ßv*!dv,

dv^fr"''

— co

L, l n J

~ w r

T

3 ,

~ " 2

l n ß

„1

s

3 =

2 ß

^

oder wegen (§3; 6) ß=2W-

o

Zur Berechnung von C muß man das Integral J wirklich ausrechnen, denn nach (§ 2; 2), (4) und (5) ist n = f f f

Fd3v = 0 f f f

V

(8)

V

Es gilt:

+ 00

J = f e~"d£ -

= ]/n •

(9)

CO

Zum Beweis multipliziert man ,/ mit sich selbst, wobei man beim zweiten F a k t o r die Integrationsvariable mit r) bezeichnet. Das

16

Kinetische Gastheorie

Produkt kann als Flächenintegral über die (£, ?j)-Ebene betrachtet werden und läßt sich durch Einführung von Polarkoordinaten f = r cos

8H i

=

( 1 )

W i

bestimmt. Die Hamiltonfunktion H ( p h qi) soll hier stets als unabhängig von der Zeit vorausgesetzt werden, so daß ihr Wert, die Gesamtenergie E des betrachteten Körpers, zeitlich konstant ist. Denn aus (1) folgt: N » i d i i a H . \

du dt

~ £

\ dpi

'Ji

^

n

...

8q,

Die Bahn des Bildpunktes im / " - R a u m liegt also vollständig auf der „ F l ä c h e " H(Pi, qf) = E = konstant. (3) Durch diese Gleichung ist ein (2N—l)-dimensionaler Teilraum im 2A 7 -dimensionalen / " - R a u m ausgezeichnet, welchen man auch als die Energiehyperfläche bezeichnet. In der statistischen Mechanik werden nur Aussagen über Mittelwerte gemacht, also über Größen der F o r m T F ( p V q i ) = ^ f

F(Pi(t),

q M d t ,

(4)

( = 0

wobei im Integral eine Lösung von (1) einzusetzen ist. Die Mittelungszeit T ist so groß zu wählen, daß F durch weitere Vergrößerung von T nicht mehr geändert wird. Streng genommen wäre .' also der Grenzübergang T—>oo zu vollziehen. Praktisch genügt in der Regel ein Zeitintervall, das klein gegen die Dauer üblicher Versuche ist. Auch die "Wahr3

D ö r i n g , Einfiihrung in die theoretische P h y s i k

V

34

Die statistischen Gesamtheiten

schcinlichkeit, für die pi und ^ Werte der Intervalle Api und Aqt zu finden, ist solch ein Mittelwert, nämlich der Mittelwert einer Funktion F, die innerhalb dieser Intervalle gleich 1 ist und sonst null. Dann ist F gleich der relativen Aufenthaltsdauer des Bildpunktes in dem ausgezeichneten Volumenelement Ar = Ap1Ap2 . . . ApN Aqx . . . Aqy im .T-Raum. Nun ist anzunehmen, daß die Mittelwerte davon abhängen, welche Lösung von (1) man in (4) einsetzt bzw. welche Anfangswerte (t = 0) und q{ (t = 0) man zur Zeit t = 0 vorgibt. Erfahrungsgemäß ist das aber bei wirklichen Körpern nicht der Fall. Betrachtet man z. B. ein Gas in einem ruhenden Kasten, so werden sich die Gasmoleküle nach kurzer Zeit gleichmäßig über das ganze Volumen ausbreiten und die Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsverteilung annehmen, gleichgültig, welcher Zustand anfänglich vorlag. Da im Limes T oo das Integral über das endliche Zeitintervall bis zur Erreichung des thermodynamischen Gleichgewichts keinen Beitrag zum Mittelwert liefert, ist er daher vom Anfangszustand unabhängig. Die Modelle, welche man in der statistischen Mechanik verwendet, haben diese Eigenschaft aber vielfach nicht. Oft nimmt man an, daß die Gasmoleküle sieh wie elastische Kugeln verhalten, die außer bei Berührung keine Kraft aufeinander ausüben. Wenn nun der Kasten ideal glatte, elastisch reflektierende und zueinander rechtwinklige Wände

Abb. 6. Ein Beispiel für ein System, in welchem ein Mittelwert unter Umständen vom Anfangszustand abhängt und die Quasi-Ergodenhypothcse nicht gilt.

§ 7. Die mikrokanonische Gesamtheit

35

besitzt und zu Anfang die Geschwindigkeit aller Moleküle genau parallel zu einer der Kanten ist (vgl. Abb. 6), so verlaufen alle Bahnen geradlinig zwischen zwei gegenüberliegenden Wänden hin und her. Sofern der Abstand aller dieser Bahnen größer als der Kugeldurchmesser ist, finden niemals Zusammenstöße statt. Keines der Moleküle nimmt dann je eine Geschwindigkeit an, die nicht parallel zu ihrem Anfangswert ist. In Wirklichkeit gibt es solche idealen Wände aber nicht. Die Moleküle werden daher mindestens teilweise etwas schief reflektiert, werden nach einiger Zeit zusammenstoßen und schließlich eine regellose Verteilung annehmen. Boltzmann versuchte deshalb, solche zu stark idealisierten Modelle aus der Betrachtung auszuschließen, indem er zusätzlich forderte, die betrachteten Systeme sollten ergodisch sein. Einen Körper bezeichnet man als ergodisch, wenn die Bahn seines Bildpunktes im /"-Raum nach genügend langer Zeit von jedem Anfangspunkt aus jeden anderen Punkt der Energiehyperfläche erreicht. In einem solchen System ist offenbar der zeitliche Mittelwert jeder Größe im Limes T —> co vom Anfangspunkt unabhängig, weil es dann sozusagen nur eine einzige Bahn gibt, die alle Punkte der Energiehyperfläche enthält. Sie werden, je nach der Wahl des Anfangspunktes, nur in verschiedener Reihenfolge durchlaufen. Man betrachtet nun eine Verteilung von ungeheuer vielen Punkten auf der Energiehyperfläche mit zeitlich konstanter Dichte. Die zeitlichen Mittelwerte über alle Bahnen, deren Anfangspunkte zur Zeit t = 0 diese Verteilung bilden, sind nach der Ergodenhypothese alle gleich und daher auch gleich dem über alle Bahnen gemittelten Mittelwert der zeitlichen Mittelwerte. Der Mittelwert von F(ft(t), q^t)) über die Punkte aller verschiedenen Bahnen zum gleichen Zeitpunkt t ist aber von t unabhängig, weil ihre Dichteverteilung zeitunabhängig ist. Daher kann man die .Zeitmittelung fortlassen und erhält als Ergebnis dieser Überlegung: Der zeitliche Mittelwert jeder Größe ist in einem energetisch abgeschlossenen System gleich ihrem Mittelwert über die Punkte einer stationären Verteilung auf der Energiehyperfläche. 3*

36

Die statistischen Gesamtheiten

Von diesem Satz geht man in der statistischen Mechanik stets aus. Seine Begründung sieht man jedoch heute nicht mehr als stichhaltig an, weil es keine ergodischen Systeme gibt. Immer, wenn der /'-Raum mehr als zwei Dimensionen besitzt, ist die Mächtigkeit der Punkte auf der (2N — l)-dimensionalen Energiehyperfläche größer als die der Punkte einer Bahn, und daher kann es keine Bahn geben, die durch alle Punkte der Energiehyperfläche hindurchgeht. Man versuchte deshalb, mit geringeren Voraussetzungen auszukommen und hat nur die Erfüllung der QuasiErgodenhypothese gefordert, welche besagt, daß die Bahn des Bildpunktes im .T-Raum von jedem Ausgangspunkt aus jedem anderen Punkt beliebig nahe kommt. Es ist aber zweifelhaft, ob das zum Beweis ausreicht. Denn bei Mittelung über unendlich lange Zeit kann der zeitliche Mittelwert einer Größe selbst in Systemen mit einer überall regulären Hamiltonfunktion durchaus unstetig von der Lage des Anfangspunktes abhängen. Außerdem ist es zweifelhaft, ob es Systeme gibt, welche die Quasi-Ergodenhypothese erfüllen. Das oben betrachtete Modell mit KugelMolekülen in einem idealen, rechteckigen Kasten tut es offenbar nicht. Es ist denkbar, daß es selbst beim Vorliegen von rauhen, aber elastisch reflektierenden Wänden immer Bahnen gibt, welche die Quasi-Ergodenhypothese verletzen, nur ist ihre Gestalt nicht so leicht zu erkennen wie in dem vorher betrachteten Fall. An diesem idealisierten Modell erkennt man aber auch, daß der betrachtete Anfangszustand mit lauter Geschwindigkeitsvektoren parallel zu der einen Kante des Kastens einen sehr singulären Ausnahmefall bildet. Wenn nur eines der Moleküle anfangs ein wenig schief fliegt, werden nach einiger Zeit Zusammenstöße erfolgen, und dann bildet sich rasch die regellose Verteilung, die wir als Regelfall erwarten. Betrachtet man die Gesamtheit der Bahnen, deren Anfangspunkte die gesamte Energiehyperfläche im .T-Raum erfüllen, so gibt es vermutlich unter ihnen nur ganz, ganz wenige Bahnen, für die der Mittelwert irgendeiner Größe F über eine genügend lange Zeit T von dem im Normalfall auftretenden Wert abweicht. Wahrscheinlich bilden diese Ausnahmepunkte eine Punktmenge geringerer Dimension als die Gesamtheit der Punkte der Energiehyperfläche und fallen daher praktisch nicht ins Gewicht. Denn wenn etwa eine gewisse Aussage im Mittel unter je 1030 Fällen nur einmal falsch ist, ist sie zwar als mathematischer Satz falsch, aber praktisch doch richtig. Denn selbst wenn jeder bisher geborene Mensch diese Aussage sein ganzes Leben lang in jeder Sekunde eine Million mal nachgeprüft hätte, kämen nur etwa 1026 Versuche zusammen. Ein Ausnahmefall würde also

37

§ 7. Die inikrokanonische Gesamtheit

wahrscheinlich dann noch keinmal beobachtet worden sein. In diesem Sinne ist es vermutlich wegen der Ungültigkeit der Ergodenhypothese für viele Modelle zwar mathematisch falsch, aber praktisch-physikalisch trotzdem richtig, daß der Mittelwert jeder Größe F vom Anfangszustand unabhängig ist und daher dem Mittelwert über eine stationäre Verteilung von Punkten auf der Energiehyperfläche gleichgesetzt werden kann.

Anstelle einer stationären Verteilung von Punkten auf einer Energiehyperfläche betrachtet man einfacher eine stationäre Verteilung in dem schalenförmigen Volumen zwischen zwei Energiehyperflächen mit der Energie E und E + öE. Bei genügend kleinem öE ist das praktisch dasselbe. Eine Verteilung mit konstanter Dichte in dieser Schale ist stationär. Ist nämlich q{ph qt) dpt.. . dqN die mittlere Anzahl der Punkte im Volumenelement dr = dp1 . . . äqN und v der 2A7-dimensionale Geschwindigkeitsvektor mit den Komponenten pit qt (i = 1, 2 . . . N), so gilt: N

|

+ div(H =

|f

- ^ ( Q P d

+

' ^ i m )

= 0.

(5)

Das folgert man im 2A?-dimensionalen Räume genauso wie im dreidimensionalen Räume aus der Tatsache, daß kein Bildpunkt entstehen oder vergehen kann, sondern sich nur stetig im P - R a u m verschiebt 1 ). Wenn nun p nur von II abhängt, also q = q{H), SO folgt aus (1) . « . M = ! { ! ( § , ,

+

f

4

, )

+ ?

( |

+

| ) } ^ ,

(6)

also CQ/ft = 0. Diese Aussage, daß eine Verteilung mit der Dichte q = q(H) stationär ist, bezeichnet man als den Liouvilleschen Satz. Eine Punktverteilung im /"-Raum, welche im Gebiet zwischen zwei benachbarten Energiehyperflächen II = E und H = E + dE eine räumlich und wegen des Liouvilleschen Satzes auch zeitlich konstante Dichte besitzt, außerhalb Vgl. die Ableitung der Kontinuitiitsgleichung in der Tlieoiie der elektrischen S t r ö m e : W . Döring, Theorie des elektromagnetischen Feldes. S a m m lung Göschen B d . 77, § 13.

88

Die statistischen Gesamtheiten

d a v o n j e d o c h die D i c h t e null, n e n n t m a n eine mikrokanonische Gesamtheit. Als R e s u l t a t aller obigen B e t r a c h t u n g e n ergibt sich d a h e r : Der über eine genügend lange Zeit erstreckte Mittelwert irgendeiner Größe F{Pi, qt) eines energetisch abgeschlossenen Körpers mit sehr vielen Freiheitsgraden ist, unabhängig vom Anfangszustand, gleich dem Mittelwert über eine mikrokanonische Gesamtheit. Einzelne, singulare A n f a n g s z u s t ä n d e , die p r a k t i s c h n i c h t v o r k o m m e n , sind d a b e i u n t e r U m s t ä n d e n auszuschließen. D a sich bei d e r M i t t e l u n g die G r ö ß e d e r k o n s t a n t e n P u n k t d i c h t e in der E n e r g i e s c h a l e zwischen E u n d E + dE heraushebt, erhält man formelmäßig E + 6E / / / ' • / F (' P i ' q ^ d P l ' ' ' d q N p = -E(7) 1 v E + dE ' ' f f f. .fdri...äqN E D a s I n t e g r a l ü b e r F(pit q() Uber alle P u n k t e d e s i V R a u m e s , f ü r welche H(pq() < E ist, wollen wir m i t E JF (E) = / / / • • / F(Pi, qi) d P l . . . dqN (8) E — — oo bezeichnen. E r s e t z t m a n hierin F d u r c h die Z a h l 1, so e r h ä l t m a n das P h a s e n v o l u m e n 0 ( E ) = f f f . . f d U

= —

P l

. . . d

g i l

.

(9)

00

I n (7) ist der Zähler o f f e n b a r gleich JF(E + dE) — JF{E) u n d der N e n n e r 0(E + dE) — &{E). D i v i d i e r t m a n Zähler u n d N e n n e r d u r c h öE u n d vollzieht d a n n d e n G r e n z ü b e r g a n g dE ~> 0, so ergibt sich p

dJF(E)jdE = d&JdE * (10) D a s ist die A u s g a n g s f o r m e l f ü r alle w e i t e r e n B e r e c h n u n g e n . Z u m Schluß sei n u r n o c h b e m e r k t , d a ß diese Ü b e r l e g u n g n u r d a n n richtig ist, w e n n f ü r den b e t r a c h t e t e n K ö r p e r kein F

§ 8. Der Gleich verteilungssatz

39

weiterer Erhaltungssatz außer dem Satz von der Erhaltung der Energie gilt. Wenn man etwa eine Gaskugel im Weltenr a u m betrachtet, ohne Einfluß äußerer Kräfte, so sind ausser der Energie auch der gesamte Impuls u n d Drehimpuls konstant. Dann sind alle die hier vorkommenden Integrationen natürlich nur über denjenigen Teil des Z -liaumes zu erstrecken, der zu den gegebenen Werten dieser konstanten Größen gehört. Man wählt sie zweckmäßig als Koordinaten oder Impulse und u n t e r d r ü c k t die Integration über sie. Da so etwas unter den üblichen irdischen Bedingungen nicht vorkommt, wurde hier davon abgesehen. §8. D e r

Gleichverteilungssatz

Als erste Anwendung der Mittelung über eine mikrokanonische Gesamtheit soll der Mittelwert von F(pt, qt) = p1

berechnet werden. Bei der Berechnung von

JF{E)

kann man dabei zunächst partiell über p x integrieren bei festgehaltenen Werteil aller anderen Variablen, also längs einer Geraden parallel zur Achse von pu bis p0, den Werten

Abb. 7

von pv wo diese Gerade die Fläche H = E schneidet (vgl. Abb. 7). D a f ü r ergibt sich f

I

Pu

Po

Pi^dPi

ViH

Po

— I Hdp1 = E j dPl — J Pu

Pu

Po

Hdpv

(1)

40

Die statistischen Gesamtheiten

Nach Hinzufügen der anderen Integrationen erhält man wegen (§ 7; S und 0) Ii Jf(E)=

d f . . \ Vi lh • • • 5)

Die entsprechende Anzahl für die transversalen Schwingungen ist 0 M = 2.%-%-,'.

(4)

Die Gesanitzahl der Eigenschwingungen o>(r)Av mit Frequenzen zwischen v und v -¡Ar ergibt sich daraus durch Addition und Differentiation:

§ 13. Debyesche Theorie d. spezifischen Wärme d. Festkörper

co(v)Av=

^

[Cf,(v) + Gt (v)]Av=4nabc

(¿i + ¿ J

v 2Av.

61 (5)

Die Dichte 2 H 2 0 ändert sich a stets u m eine gerade ganze Zahl. Ist dE die Genauigkeit, mit der die zeitlich konstante Energie bekannt ist, so ist die Zahl der quantenmechanisch möglichen, stationären Zustände zu gegebenem W e r t von a gleich co{E, a) öE. Wenn sich nun a ungehemmt ändern kann, t r i t t gemäß dem grundlegenden Ansatz der statistischen Mechanik jeder dieser Zustände zu jedem möglichen Wert von a mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf. Das Verhältnis der Wahr-

Statistik und Thermodynamik

76

scheinlichkeit.eii IV fiir das Vorkommen der Worte. ist daher W'(«-i) _ (o(E, aJÖE W(a2) ~ oi{E, a2)ÖE ' Da man nun, wie vorn bemerkt wurde, in S = k In P(E) die große Zahl P(E) ohne Fehler bei makroskopischen Körpern durch setzen kann, folgt durch Logarithmieren dieser k In J g ] = k In (a>(E, aj 6E) -

und Jf. 00 f oo £ A* >

Q(x)N=2

t = 0 r = l

n

n\ u

=

r = 1 (ATr = °

'

r

J

.

(10)

In der geschweiften Klammer steht jetzt die Potenzreihe von exp i r . Also folgt CO t 00 Q(x) = J I e s ' = exp (11) r=1 r=1 Führt man für die Zustandssumme des Einzelmoleküls die Abkürzung £e-erlkT

=

(12)

a

r = 1

ein, so folgt Q(x)

= exp

=

xa

X&On N . .

06

(13)

iV!

n - o

Vergleich mit (7) liefert daher Z '

s

= a » .

(14)

Das gilt offenbar für jedes N, auch für N = 1. Diese Rechnung ist tatsächlich nicht schwieriger als die oben angedeutete Rechnung mit Benutzung der Stirlingschen Formel, außerdem aber mathematisch einwandfrei. Für die mittlere Energie U eines Gases aus N Molekülen folgt aus (14) wegen (§ 15; 6) U

=

N k T

2

- ^ r \ n o

=

Ns,

(15)

wobei e

=

JcT*

~

In a

=

y

¿ e , ì

die mittlere Energie eines Moleküls ist. 6*

e ~e'

l k T

(16)

84

Statistik und T h e r m o d y n a m i k

Kiir die Entropie folgt, jimcIi (§ 1i>; 10 und .") S = 4 f { k T In Z'N) = N 8T

k In a +

(17)

~

Dieses Ergebnis ist jedoch, wie wir sehen werden, falsch (vgl. S. 87).

Zur Berechnung der mittleren Anzahl der Moleküle im j-ten Zustand betrachten wir / j jy cils eine Funktion aller e,-. Die Ableitung von Z'N liache,- bei festgehaltenen anderen erzeugt in (4) unter der Summe den zusätzlichen Faktor —Nj/kT. Der Mittelwert von iY;- ist demnach '

Aß

c£j

=

a

dej

(lg)

a

v

'

Diese Ergebnisse wollen wir nun auf ein Edelgas aus einatomigen Molekülen anwenden. Bei diesen ist e gleich der kinetischen Energie. Nach de Broglie ist der Bewegung eines Teilchens mit der Masse m 0 und der Geschwindigkeit v, also dem Impuls f = m0v, eine Welle mit der Wellenlänge X = — bzw. einem 2 71

2n

Ausbreitungsvektor mit dem Betrage k = = p zugeordnet. Nach § 13 beträgt die Zahl G der Eigenschwingungen mit einem Ausbreitungsvektor kleineren Betrages als k in einem Kasten mit dem Volumen V = abc

Bei Materiewellen entspricht einer Welle mit dem Betrag k des Ausbreitungsvektors eine kinetische Energie der Größe

Die Zahl der Eigenschwingungen der Materiewellen mit einer Energie kleiner als e ist daher G{e)=-^r(

2m0)sl*V\/e3.

(21)

§ 18. Freie Energie und Entropie des idealen Gases

85

Daraus ergibt sich für die Zalil (o(e)Ae der quaiitennieclianisch möglichen Zustände mit einer kinetischen Energie zwischen e und e + Ae der Ausdruck oj(e)Ae

=

(2m0)^V

•tfeAe.

(22)

In einem Volumen der Größenordnung 1 cm3 entfallen demnach bei der mittleren Energie e = 'dkT/2 bei Zimmertemperatur noch sehr viele quantenmechanisch mögliche Zustände auf ein Energieintervall der Breite kT (Größenordnung 10 25 ). Daher kann man bei der Berechnung von a die Summe durch ein Integral ersetzen und erhält CO

a = f co(e) £-0

CO

e-£ßTde

= ~(2m0

)3/27J}/ee~elkTde.

(23)

o

Das Integral läßt sich durch die Substitution e/hT = £ 2 und partielle Integration auf das Integral (§ 4; 9) zurückführen. Man erhält a =

y ( 2

*y

r ) 3 / 2

.

(24)

Dieses Ergebnis wollen wir etwas anders schreiben. Da die mittlere kinetische Energie p2ßm0 bei der Temperatur T gleich 3fc2'/2 ist, hat der mittlere Betrag des Impulses etwa die Größe p m 0 h T . Die Größe

hu =yziminlcl

ist also der Größenordnung nach die de-Broglie-Wellenlänge eines Moleküls infolge seiner thermischen Bewegung bei der Temperatur T. Mit Benutzung dieser Größe folgt aus (24) er = V/Xth*

(26)

und damit aus (18) -«*/**.

(27)

86

Statistik und Thermodynamik

Nun rechnet man leicht nach, daß für das leichteste Edelgas He bei Zimmertemperatur Xth as 0,5 Ä und daher NAtll 3jV bei Normaldruck etwa 3 • 10~6 ist. Die mittlere Besetzungszahl eines Zustandes ist also bei der kleinsten Energie Sj = 0 nur etwa 3 • 10 - 8 und bei höherer Energie und bei Gasen mit höherem Molekulargewicht noch kleiner. Das ist für das folgende sehr wichtig. Aus (24) und (16) folgt weiterhin das bekannte klassische Ergebnis und damit aus (17)

e = Y

(28)

k T

* =

(29)

oder nach Einführung des Druckes p = NkTjV statt V S = kN {in

+ A + In i v } [falsch!].

(30)

Das ist nun aber offensichtlich falsch, denn bei festen Werten der spezifischen Zustandsvariablen p und T muß die Entropie der Molekülzahl N proportional sein, jedenfalls dann, wenn man S bei T — 0 für alle N gleich null setzt, denn die Wärmemenge dQ, die bei einer bestimmten kleinen Änderung von p und T zugeführt werden muß, ist dann proportional zu N T, p

und daher auch das ganze Integral J - y -. Die obige 7'=0 Formel (30) gilt zwar nicht mehr bis T = 0, weil dann die Approximation der Summe (12) durch das Integral (23) nicht mehr zulässig ist, und daher kann man an (30) nicht unmittelbar nachprüfen, ob wir den Nullpunkt in der bezeichneten Weise gewählt haben. Es folgt aber sofort aus (17). Wenn kT sehr klein gegen die Differenz e2 — e1 zwischen den ersten angeregten Energieniveau ea und dem tiefsten Niveau £x geworden ist, gilt a « e 1 und daher nach (IC) s = e1, also nach (17) S = 0.

§ 18. Freie Energie und Entropie des idealen Gases

87

7

Die falsche A -Abhängigkeit der Formel (30) ist schon in der Anfangszeit der Quantenstatistik bemerkt worden und auch, wie sie zu korrigieren ist. Man erhält nämlich dieselbe falsche Formel (30) auch aus S = h In 0/&o, wenn man das Phasenvolumen &{E) eines einatomigen Gases aus N Atomen bis zur Energie E = 3 N k T / 2 berechnet und nach (§ 11; 3) 0O = h3N setzt. Das richtige Ergebnis erhält man, wenn man das Phasenvolumen außerdem durch N\ dividiert bzw. &ln2V! von S subtrahiert. Mit Benutzung der Näherungsformel (6) ergibt sich dann für ein einatomiges Gas (ohne atomaren Drehimpuls) S =

lT,

f,

l/2am031fkT*

+

51 \ .

Y

(31)

Diese Formel ist bereits 1912 von Tetrode angegeben worden. Die physikalische Ursache für die Notwendigkeit der Division durch N\ ist erst viel später erkannt worden, nämlich nach der Entdeckung der Wellenmechanik. Die verschiedenen, stationären Zustände eines Einzelmoleküls können wellenmechanisch als Eigenschwingungen der Materiewelle im Volumen V aufgefaßt werden. Jede solche Eigenschwingung verhält sich wie ein harmonischer Oszillator, dessen Energie in den stationären Zuständen quantenmechanisch nicht beliebige, sondern nur äquidistante Werte annehmen kann. Wenn man im Partikelbild von einem Zustand spricht, in welchem N j Teilchen die Energie Sj besitzen, so entspricht dem im Wellenbild die Aussage, daß die j-te Eigenschwingung der Materiewelle mit der Quantenzahl N j angeregt ist und daher eine Energie A^e, über der Nullpunktsenergie besitzt. Die Benutzung des Teilchenbildes hat uns am Beginn dieses Paragraphen zu der Ansicht geführt, daß zu der Zahlenfolge Nt, N2,. •. Nj,... gerade N\/(N1\N2\ ...Nj\...) verschiedene Zustände gehören, welche sich durch eine Vertauschung der Teilchen unterscheiden. Die Wellenmechanik besagt, daß diese Abzählung falsch ist. Dieser Zahlenfolge entspricht nur ein Zustand der Materiewelle. Bei der Abzählung der verschiedenen Schwingungs-

88

Statistik und Thermodynamik

zustände der elektromagnetischen Schwingungen in einem Hohlraum sind wir selbstverständlich auch schon so vorgegangen. Man kann diese Abzählungsweise auch damit begründen, daß gleiche Teilchen ununterscheidbar und daher bei Vertauschung keinen neuen Zustand liefern. Da nun in einem Gas unter den üblichen Bedingungen fast nur Zustände auftreten, bei denen alle N j gleich 0 oder 1 sind, ist d e r F a k t o r i V ! / ^ ! AT2! . . .) praktisch stets gleich AM. Man kann daher die falsche Abzählungsmethode der Zustände einfach durch, eine Division durch Nl korrigieren. Die richtige Zustandssumme lautet daher unter Normalbedingungen einfach 7/n qN Z n ~ ~ Nl \n — (32) ~ ~ÄTT Nl und die freie Energie F = — NkT

[In er — InN

+ 1],

(33)

Die Formeln (15), (16) und (18) f ü r U, e und N~} bleiben unverändert, da in ihnen nur Ableitungen des Logarithmus der Zustandssumme vorkommen. Dagegen ist (17) zu ersetzen durch S = kN In a — In .V + 1 -}- -¡-^

(34)

was beim Einsetzen von (24) auf (31) führt. Das gilt jedoch nur, solange N r < 1 ist. Sobald sich nach dieser Rechnung mit merklicher Häufigkeit eine mehrfache Besetzung eines Zustandes ergibt, ändern sich die Ergebnisse völlig. §19. D i e T h e o r i e d e r

Gasentartung

Die im vorigen Paragraphen diskutierte quantenmechanische Abänderung der Anzahl der Zustände eines Gases aus N gleichen Molekülen ist nur bei verdünnten Gasen einer Division des l'hasenvoliuuens durch A"! gleichwertig. Bei höherer Gasdichte verursacht sie außerdem eine Abweichung von der idealen Gasgleichung und eine Änderung des Zusani-

§ 19. Die Theorie der Gasentartung

89

menhanges zwischen Energie und Temperatur. Diese Effekte bezeichnet man als Gasentartung. Für sie spielt noch ein weiterer, quantenmechanischer Effekt eine wichtige Eolle, nämlich das Pauli-Prinzip. Wach den Gesetzen der modernen Quantenmechanik lassen sich die Partikel in zwei Klassen einteilen. Die Teilchen der einen Klasse genügen dem Paulischen Ausschließungsprinzip, welches besagt, daß zwei identische Partikel niemals im gleichen quantenmechanischen Zustand angetroffen werden. Wenn man die möglichen, stationären Zustände des Einzelmoleküls wie in § 18 mit dem Index j der Größe nach durchnumeriert, so kann bei Teilchen dieser Art die Zahl Nj der gleichen Moleküle im Zustand j niemals größer als 1 werden: Pauli-Prinzip:

Nf á 1.

(1)

Für die Teilchen der anderen Klasse gilt das Pauli-Prinzip nicht. Bei ihnen können die Zahlen N¡ jeden beliebigen Wert annehmen. Zu der ersten Sorte von Teilchen gehören die elementaren Atombausteine, das Elektron, Proton und Neutron sowie alle Atome und Moleküle, die aus einer ungeraden Anzahl dieser Partikel bestehen. Zu der zweiten Sorte von Teilchen, für die das Pauli-Prinzip nicht gilt, gehören alle Atome und Moleküle aus einer geraden Anzahl von elementaren Bausteinen. In beiden Fällen gilt, daß eine Verteilung der ganzen Zahlen Nlt iV 2 ,. . . Nj,. .. nur einem Zustand entspricht. Die Zustandssumme eines Gases aus N identischen Molekülen lautet also

ZN

/ ZNjsA = 2jexP^-V-j-

^

Dabei ist über alle Zahlenfolgen N¡ zu summieren, welche der Nebenbedingung %Nj = N

i=i

(3)

genügen. Bei Gültigkeit des Pauli-Prinzips ist außerdem (1) zu beachten.

90

Statistik und Thermodynamik

Man sieht sofort, daß in (2) kein Summand überwiegt. Die im vorigen Paragraphen diskutierte Methode zur Auffindung der wahrscheinlichsten Verteilung ist daher niemals anwendbar, auch dann nicht, wenn alle N j sehr groß wären. In dem Bestreben, wenigstens eine ähnliche Berechnungsmethode benutzen zu können, faßt man häufig eine große Anzahl von Einzelzuständen mit nahezu gleicher Energie s, zu einem Zustand zusammen und zählt dann ab, wieviel verschiedene Verteilungen es gibt bei gegebener Anzahl von Teilchen in diesem zusammengefaßten Zustand. Dadurch erhalten die Rechnungen ein so anderes Gesicht, daß sie anfänglich als eine völlig neue Statistik erschienen. Bei Teilchen, welche dem Pauli-Prinzip genügen, spricht man deshalb von Fermi-Dirac-Statistik, bei Teilchen, bei denen es nicht gilt, von Bose-Einstein-Statistik. Tatsächlich handelt es sich dabei nicht um andere Statistiken. Die grundlegende Formel (2) für die Zustandssumme und alle Formeln für die Berechnung von Mittelwerten und thermodynamischen Funktionen bleiben gültig. Die verschiedenen „Statistiken" unterscheiden sich nur darin, ob das Pauli-Prinzip zu beachten ist oder nicht. Die Gleichartigkeit der Statistik in beiden Fällen wollen wir hier unterstreichen durch eine in beiden Fällen gleichartige Auswertung von (2) mit der Methode der erzeugenden Funktion Q(x) = J

ZNx*.

(4)

iV = 0

Beachtet man die Nebenbedingung (3) und schreibt zur Abkürzung £r = xe~«tT,

(5)

so läßt sieh (4) beim Einsetzen von (2) in folgender Form schreiben: N

«(«) = Ni = 0nti i. j= l }

(6)

91

§ 19. Die Theorie der Gasentartung

Darin ist jetzt über alle Zahlenfolgen N j zu summieren, ohne die Nebenbedingung (3). Lediglich (1) ist zu beachten, wenn das Pauli-Prinzip gilt. Da jetzt der Wertebereich, den jedes N j durchläuft, nicht mehr von dem Wert der anderen N k abhängt, kann man die Summe über die unendlichen Produkte in (6) als unendliches Produkt von Summen schreiben:

Q(x) - n 2 f, Ni . 7 = 1

"

Die einzelne Summe über N j ist leicht auswertbar. Bei Gültigkeit des Pauli-Prinzips (Fermi-Dirac-Statistik) gilt: 1

p-lkT

21

l+£j = l+se

'

•

(7a)

Nj = 0

Gilt das Pauli-Prinzip nicht (Bose-Einstein-Statistik), so erhält man eine unendliche geometrische Reihe

J

Nj =0

£i Ni = -—¡- = 1-

-fj

1—

e

xe

)

(7 b)

llcl

Beide Formeln kann man zu einer zusammenfassen. In jedem Fall gilt

Q{x) = n (l + yxe"i' lTY,

(8)

7 = 1

worin bei der Fermi-Dirac-Statistik y = + 1 , bei der BoseEinstein-Statistik y = —1 zu setzen ist. Zur Ermittlung der Zustandssumme haben wir nun Q(x) in eine Potenzreihe zu entwickeln und daraus den Koeffizienten ZN von x N zu entnehmen. Diesen Koeffizienten kann man mit Hilfe des Cauchyschen N+l Integralsatzes durch ein Integral über in der komplexen »-Ebene ausdrücken. Dieselbe Rechnung kann man aber etwas elementarer auch folgendermaßen beschreiben:i( In der Potenzreihe für setzt man also m

Q(x)/x

Q(x)

x = x e f,

OD

Q(x)

=

2! Z p = 0

00 P

x "

=

2J V . ' p = o

e

i

p

,

p

-

(

9

)

92

Statistik und Thermodynamik

Dadurch geht Q(x) in eine komplexe Fourierreihe für q> über. Das Glied mit Zp ist periodisch mit der Periode 2ji/p. Wegen + 71 /' . , f 0, falls TO =)= 0, 71 erhält man den Koeffizienten ZN durch Multiplikation mit e-iN

0. 00

7 = 4 [gj'(-ire- -

e

AoJr

und kleine xe,

T 0 l' -(i + + J_ f^V + 2 sinh 0J2T V + ST H 15 [ T j ^

a + - 2 j f e C iO1t g h w

+ f 4 ( 2 c o t g h 4 - l )

+

^ - | - } .

(29)

Nach diesen oder ähnlichen Methoden sind die Zustandssummen und die aus ihnen folgenden Energien und Beiträge zu den spezifischen Wärmen für viele Moleküle ausgewertet und in Tabellen zusammengestellt worden. Sobald man eine Genauigkeit der Größenordnung 1°/^ anstrebt, sind in vielen Fällen spezielle Überlegungen notwendig, die hier nicht ausgeführt werden können. Insbesondere wirkt sich beim Wasserstoffmolekül der Kernspin in Verbindung mit dem Paulischen Ausschließungsprinzip für die Atomkerne in besonderer Weise aus. Daher gelten die obigen Formeln für diesen Fall nicht. Durch die obigen Rechnungen sollte nur deutlich gemacht werden, in welcher Weise die statistische Thermodynamik heutzutage zu nachprüfbaren Aussagen über die thermischen Eigenschaften der Stoffe führt.

Namen- und Sachverzeichnis Avogadrosche Konstante 51, 67 Bernoullische Druckformel 11 Boltzmannsche Fundamentalgleichung 6, 20—27 Bose-Einstein-Statistik 7, 91—98 Charakteristische Temperatur beim Oszillator 57 Charakteristische Temperatur des Festkörpers nach Debye 61 Charakteristische Temperatur für Rotation 111 Charakteristische Temperatur für Schwingungen 111 Chemisches Potential und Statistik 96 de-Broglie-Wellenlänge, thermische 85 Dcbyeschc Funktion 62 Debyesche Theorie der spez. Wärme fester Körper 58—63 Druck 10—11 Dulong-Petitsches Gesetz 44 Eigenschwingungen, Dichte im Kontinuum 59 Einstein-Kondensation 98 Einsteins Theorie der spez. Wärme fester Körper 58 Encrgiedichtc der Strahlung im Hohlraum 64 Energiehyperfläche 33 Entropiekonstante, statistische Formel 109 Entropie, statistische Formel 69, 70 Entropie, statistische Formel für das einatomige ideale Gas 84, 86 Entropie, statistische Formel für ein beliebiges ideales Gas 107 Ergoden-Hypothese 36 erzeugende Funktion 82, 90 Euler-MacLaurinschc Summenformcl 112

Fermi-Dirac-Statistik 7, 91—105 Freie Energie, statistische Formel 68 Fundamentalgleichung von Boltzmann 6, 20—27 Freiheitsgrade, Anzahl 42 r - R a u m 33 Gasentartung 89—98

Gaskonstante 13 Gesamtheit, mikrokanonische 38 Gesamtheit, kanonische 47 Geschwindigkeitsverteilung von Maxwell u. Boltzmann 14—19 Geschwindigkeitsverteilung im Molekularstrahl 18 Gibbs 47 Glcichverteilungssatz 39—44 Hamiltonfunktion 33 Harmonischer Oszillator 43, 55, 111 Höhenformel, barometrische 49 H-Theorem 27—32 Ideale Gasgleichung 12 Ideale Gasgleichung, Abweichungen infolge Gasentartung 97 Innere Energie des idealen Gases 12 Intensität der Strahlung eines Hohlraumes 65 Innere Energie, statistische Formel 69 Kanonische Gesamtheit 47 Kinetische Gastheorie 7—32 K r ä f t e in der kinetischen Gastheoric 6 Liouvilleschcr Satz 37 Maxwell-Boltzmannsche Geschwindigkeitsvcrteilung 14—19 Mikrokanonische Gesamtheit 38 Mittelwert des Geschwindigkeitsbetrages 17 Mittelwert der Geschwindigkeit im Molekularstrahl 18 Mittelwert von v 2 11, 14 Mittelwert der kinetischen Energie 12 Mittelwert, allgemeine Definition 33 Mittelwert der Energie, allgemein 48, 55—58 Mittelwert der Energie beim harmonischen Oszillator 57 Modell der kinetischen Gastheorie 6 Molekühlzahldichte 9 Nullpunktsencrgic 56, 114 Oszillator, harmonischer 43, 55, 111 Oszillator, nicht harmonischer 113—114

Namen- und Sachverzeichnis Quasi-Ergodenhypothese 36 Phasenvolumen 38 Pauli-Prinzip 89 Perrinscher Versuch 50 Plancksche Strahlungsformel 63—67 Rotationsenergie 43, I I I Sattelpunktsmethode 92 Schwankungen der Gasdichte 31 Schwingungsenergie 43, 111 Spez. Wärme des idealen Gases 13 Spez. Wärme der freien Elektronen 63, 99—105 Spez. Wärme eines Festkörpers 58—63 Spez. Wärme, Rotationsanteil 43, 113 Spez. Wärme, Schwingungsanteil 43, 57, 113 Statistische Gesamtheiten 32—66 Statistisches Gewicht 51, 80, 109, 111 Stefan-Boltzmannsches Gesetz 66 Stoßnormale 23 Strahlungsformel von Planck 63—67 Superfluidität 98

117

Tetrodesche Formel 87 Thermostat 44 Umkehreinwand von Zermelo 31 Verschiebungsgesetz von Wien 66 Verteilungsfunktion 7 Verteilungsfunktion der Geschwindigkeitsbeträge 17 Wahrscheinlichkeit, thermodynamische 74 Wahrscheinlichkeit, Zusammenhang mit der Entropie 76—78 Wahrscheinlichkeit, Zusammenhang mit der freien Energie 79 Wiensches Verschiebungsgesetz 66 Wirkungsquerschnitt, differenticller 25

Zustandsbeschreibung 7, 33 Zustandsintegral 48 Zustandssumme für ein Atom des idealen Gases 85 Zustandssumme für ein einatomiges ideales Gas 81ff. Zustandssumme für deformierbare Temperatur, Definition mit dem GasMoleküle 113 thermometer 12 Zustandssumme für die Rotation von Temperatur, statistische Definition 41 starren Molekülen l l l f f .

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Einführung in die Theoretische Physik I n 4 Bänden. Groß-Oktav. Kunststoffeinband

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Vorlesungen über Thermodynamik 11. Auflage, erweitert um eine Biographie von. Max Planck und ein Kapitel über einige Grundbegriffe aus der Thermodynamik irreversibler Prozesse von Max Päsler

Groß-Oktav. Mit 5 Figuren. XXXVI, 343 Seiten mit einem Bild von Max Planck. 1964 Ganzleinen DM 30,—

Mit Freude kann man feststellen, daß mit diesem Buch nicht nur ein,,Historisches Werk" über die klassische Thermodynamik, sondern auch ein wissenschaftliches Lehrbuch von außerordentlicher didaktischer Qualität erschienen ist. Um dem neuesten Stand der Erkenntnisse gerecht zu werden, hat der Herausgeber ein Kapitel über die Thermodynamik der irreversiblen Prozesse hinzugefügt.

Ventil (Studentenzeitschrift)

W A L T E R DE G R U Y T E R & CO

B E R L I N 30

SAMMLUNG GÖSCHEN GESAMTVERZEICHNIS

Jeder Band D M 3,60 • Doppelband D M 5,80 Dreifachband D M 7,80

Frühjahr 1966

WALTER

DE G R U Y T E R & C O • B E R L I N 30

Inhaltsübersicht Biologie Botanik Chemie Deutsche Sprache u. L i t e r a t u r Elektrotechnik Englisch E r d - u. Länderkunde . . . . Geologie Germanisch Geschichte Griechisch H o c h - u. T i e f b a u Indogermanisch Kartographie Kristallographie Kunst L a n d - u. Forstwirtschaft . . Lateinisch Maschinenbau Mathematik Mineralogie

16 17 15 7 20 8 10 18 8 5 9 23 8 10 18 b 18 9 20 12 18

Musik Orientalistik Pädagogik Philosophie Physik Psychologie Publizistik Religion Romanisch Slavische Sprachen Soziologie Statistik Technik Technologie Volkswirtschaft . . Vermessungswesen . Wasserbau Zoologie Autorenregister . Bandnummernfolge

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. 9 . 3 . 3 . 14 . 3 . 10 . 4 . 8 . 9

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10 20 16 10 22 23 17 31 24

Geisteswissenschaften Philosophie E i n f ü h r u n g In die Philosophie von H. Leisegang t. 5. Auflage. 146 Seit e n . 1963. (281) Hauptprobleme der Philosophie v o n G. Simmel f . 8., u n v e r ä n d e r t e Auflage. 177 Seiten. 1964. (500) Geschichte der Philosophie I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W. Capelle. 1. Teil. Von Thaies bis Leukippos. 3., erweiterte Auflage. E t w a 135 Seiten. 1966. (857) I I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e v o n W.Capelle. 2. Teil. Von der Sophistik bis zum T o d e Piatons. 3., s t a r k erweiterte Auflage. E . w a 144 Seiten. 1966. In Vorbereitung (858) I I I : D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W.Capelle. 3. Teil. Vom T o d e P i a t o n s bis zur Alten Stoa 2., s t a r k erweiterte Auflage. 132 Seiten. 1954. (859) IV: D i e g r i e c h i s c h e P h i l o s o p h i e von W.Capelle. 4. Teil. Von der Alten Stoa bis zum Eklektizismus im 1. J h . v. Chr. 2., s t a r k erweiterte Auflage. 132 Seiten 1954. (863) V: D i e P h i l o s o p h i e d e s M i t t e l a l t e r s v o n J.Koch. I n Vorbereitung. (826) V I : V o n d e r R e n a i s s a n c e b i s K a n t von K. Schilling. 234 Seiten. 1954. (394/394a) V I I : I m m a n u e l K a n t von G. Lehmann. In Vorbereitung. (536) V I I I : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von Q.Lehmann. 1. Teil. 15 Seiten. 1953. (571) I X : D i e P h i l o s o p h i e d e s 19. J a h r h u n d e r t s von G.Lehmann. 2. Teil. 168 Seiten. 1953. (709) X : D i e P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l d e s 20. J a h r h u n d e r t s 1. Teil von G. Lehmann. 128 Seiten. 1957. (845) X I : D i e P h i l o s o p h i e i m e r s t e n D r i t t e l des 20. J a h r h u n d e r t s 2. Teil von G. Lehmann. 114 Seiten. 1960. (850) Die geistige Situation der Zelt (1931) von K . Jaspers. 6. A b d r u c k der im Sommer 1932 bearbeiteten 5. Auflage. 211 Seiten. 1965. (1000) Erkenntnistheorie von G. Kropp. 1. Teil: A l l g e m e i n e G r u n d l e g u n g . 143 Seiten. 1950. (807) Formale Logik von P. Lorenzen. 3., verbesserte Auflage. E t w a 165 Seit e n . 1966. (1176/1176a) Philosophisches Wörterbuch von M. Apel f . 5., völlig neu b e a r b e i t e t e Auflage von P . Ludz. 315 Seiten. 1958. (1031/1031 a) Philosophische Anthropologie. Menschliche Selbstdeutung in Geschichte u n d Gegenwart von M. Landmann. 2., durchgesehene Auflage. 223 Seiten. 1964. (156/156a)

Pädagogik, Psychologie, Soziologie Geschichte der Pädagogik von Herrn. Weimer 17. Auflage von Heinz Weimer. 184 Seiten. 1966. (145,145a) Therapeutische Psychologie. Ihr Weg durch die Psychoanalyse von W. M. Kranefeldt. Mit einer E i n f ü h r u n g von C. G. Jung. 3. Auflage. 152 Seiten. 1956. (1034) 3

GEISTESWISSENSCHAFTEN Allgemeine Psychologie von Th. Erismann f . 4 Bände. I : G r u n d p r o b l e m e . 3. Auflage. 146 Seiten. 1965. (831) I I : G r u n d a r t e n des p s y c h i s c h e n G e s c h e h e n s . 2., neubearbeitete Auflage. 248 Seiten. 1959. (832/832a) I I I : E x p e r i m e n t e l l e P s y c h o l o g i e und i h r e G r u n d l a g e n . 1.Teil. 2., neubearbeitete Auflage. 112 Seiten, 7 Abbildungen. 1962.(833) IV: E x p e r i m e n t e l l e P s y c h o l o g i e und ihre G r u n d l a g e n . 2. Teil. 2., neubearbeitete Auflage. 199 Seiten, 20 Abbildungen. 1962. (834/834a) Soziologie. Geschichte und Hauptprobleme von L. von Wiese. 7. Auflage. 176 Seiten. 1964. (101) Ideengeschichte der sozialen Bewegung des 19. und 20. J h . von W. Hofmann. 243 Seiten. 1962. (1205/1205a) Sozialpsychologie von P R. Hofstätter. 2. Auflage. 191 Seiten, 18 Abbildungen. 1964. (104/104a) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moede t. 190 Selten, 48 Abbildungen. 1958. (851/851 a) Industrie- und Betriebssoziologie von R. Dahrendorf. 3. Auflage. 142 Seiten. 3 Figuren. 1965. (103) Wirtschaftssoziologie von F. Fürstenberg. 122 Selten. 1961. (1193) Einführung In die Sozialethik von H.-D. Wendland. 144 S. 1963. (1203)

Religion Jesus von M. Dlbetius t. 3. Auflage, mit einem Nachtrag von W. G. Kümmel. 140 Seiten. 1960. (1130) Paulus von M. Dibelias t. Nach dem Tode des Verfassers herausgegeben und zu Ende geführt von W. G. Kümmel. 3., durchgesehene Auflage. 156 Seiten. 1964. (1160) Luther von F Lau 2., verbesserte und erweiterte Auflage. Etwa 170 Seiten. 1966. (1187) Melanchthon von R. Stwperich. 139 Seiten. 1960. (1190) Zwlngll von F. Schmldt-Clausing. 119 Seiten. 1965. (1219) Sören Kierkegaard. Leben u. Werk von H.Gerdes. 134 Seiten. 1966.(1221) Einführung in die Konfessionskunde der orthodoxen Kirchen von K. Onasch. 291 Seiten. 1962. (1197/1197 a) Geschichte des christlichen Gottesdienstes von W.Nagel. 215 Seiten. 1962. (1202/1202 a) Geschichte Israels. Von den Anfängen bis zur Zerstörung des Tempels (70 n.Chr.) von E.L. Ehrlich. 2.Auf1.1966.1nVorbereltung. (231 /231 a) Römische Religionsgeschichte von F. Altheim. 2 Bände. 2., umgearbeitete Auflage. I : G r u n d l a g e n u n d G r u n d b e g r i f f e . 116 Seiten. 1956. (1035) I I : D e r g e s c h i c h t l i c h e A b l a u f . 164 Selten. 1956. (1052) Die Religion des Buddhismus von D. Schlingloff. 2 Bände. I : D e r H e i l s w e g d e s M ö n c h s t u m s . 122 Seiten, 11 Abbildungen, 1 Karte. 1962. (174) I I : D e r H e i l s w e g f ü r d i e W e l t . 129 Seiten, 9 Abbildungen, 1 Karte. 1963. (770)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN

Musik Musikästhetik von H. J. Moser. 180 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1953. (344) Systematische Modulation von R. Hernried. 2. Autlage. 136 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950. (1094) Der polyphone Satz von E. Pepping. 2 Bände. I : D e r c a n t u s - f i r m u s - S a t z . 2. Auflage. 233 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1950. (1148) I I : Ü b u n g e n i m d o p p e l t e n K o n t r a p u n k t u n d im K a n o n . 137 Seiten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1957. (1164/1164a) Allgemeine Musiklehre von H. J. Moser. 2., durchgesehene Auflage. 155 Selten. Mit zahlreichen Notenbeispielen. 1955. (220/220a) Harmonielehre v o n H. J. Moser. 2 Bände. I : 109 Seiten. Mit 120 Notenbeispielen. 1954. (809) I I : In Vorbereitung. (810) Die Musik des 19. J a h r h u n d e r t s von W. Oehlmann. 180 Seiten. 1953. Die *MusIk des 20. J a h r h u n d e r t s von W. Oehlmann. 312 Seiten. 1961. (171/171 a) Technik der deutschen Gesangskunst von H. J. Moser. 3., durchgesehene u n d verbesserte Auflage. 144 Seiten, 5 Figuren sowie Tabellen und Notenbeispiele. 1954. (576/576 a) Die Kunst des Dirigierens von H. W. von Waltershausen f . 2., vermehrte Auflage. 138 Seiten. Mit 19 Notenbeispielen 1954. (1147) Die Technik des Klavierspiels aus dem Geiste des musikalischen K u n s t werkes von K. Schubert f . 3. Auflage. 110 Seiten. Mit Notenbeispielen. 1954. (1045)

Kunst Stilkunde von H. Weigert. 2 Bände. 3., durchgesehene und ergänzte Auflage. I : V o r z e i t , A n t i k e , M i t t e l a l t e r . 136 Seiten, 94 Abbildungen. 1958.(80) I I : S p ä t m i t t e l a l t e r u n d N e u z e i t . 150 Seiten, 88 Abbildungen. 1958. (781) Archäologie von A. Rumpf. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g , h i s t o r i s c h e r U b e r b l i c k . 143 Seiten, 6 Abbildungen, 12 Tafeln. 1953. (538) I I : D i e A r c h ä o l o g e n s p r a c h e . Die antiken Reproduktionen. 136 Selten. 7 Abbildungen, 12 Tafeln. 1956. (539) I I I : In Vorbereitung. (540)

Geschichte E i n f ü h r u n g In die Geschichtswissenschaft von P. Kirn. 4., durchgesehene Auflage. 127 Seiten. 1963. (270) E i n f ü h r u n g In die Zeitgeschichte von B. Scheurig. 101 Seiten. 1962. (1204) 5

GEISTESWISSENSCHAFTEN Zeitrechnung der römischen Kaiserzeit, des Mittelalters und der Neuzelt f ü r die J a h r e 1—2000 n. Chr. von H. Lietzmann t. 3. Auflage, d u r c h gesehen von K. Aland. 130 Seiten. 1956. (1085) Kultur der Urzeit von F. Behn. ' Bände. 4. Auflage der K u l t u r der Urzeit Bd. 1—3 von M. Hoernes. I : D i e v o r m e t a l l i s c h e n K u l t u r e n . (Die Steinzeiten Europas. Gleichartige K u l t u r e n i) anderen Erdteilen.) 172 Seiten, 48 Abbildungen. 1950.(564) I I : D i e ä l t e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Der Beginn der Metallbenutzung, K u p f e r - und Bronzezeit in E u r o p a , im Orient und in Amerika.) 160 Seiten, 67 Abbildungen. 1950. (565) I I I : D i e j ü n g e r e n M e t a l l k u l t u r e n . (Das Eisen als K u l t u r metall, H a l l s t a t t - L a t e n e - K u l t u r in Europa. Das erste Auft r e t e n des Eisens in den anderen Weltteilen.) 149 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (566) Vorgeschichte Europas von F. Behn. Völlig neue B e a r b e i t u n g der 7. Auflage der „Urgeschichte der Menschheit" von M. Hoernes. 125 Seiten, 47 Abbildungen. 1949. (42) Der Eintritt der Germanen in die Geschichte von J. Haller f . 3. Auflage, durchgesehen von H. Dannenbauer. 120 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1957.(1117) Von den Karolingern zu den Staufern. Die altdeutsche Kaiserzeit (900—1250) von J. Haller f . 4., durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 142 Seiten, 4 K a r t e n . 1958. (1065) Von den Staufern zu den Habsburgern. Auflösung des Reichs und E m p o r k o m m e n der L a n d e s s t a a t e n (1250 —1519) von J. Haller t. 2.. durchgesehene Auflage von H. Dannenbauer. 118 Seiten, 6 Kartenskizzen. 1960. (1077) Deutsche Geschichte im Zeitalter der Reformation, der Gegenreformation und des dreißigjährigen Krieges von F. Härtung. 2., d u r c h gesehene Auflage. 128 Seiten. 1963 (1105) Deutsche Geschichte von 1648—1740. Politischer und geistiger Wiedera u i b a u von W. Treue. 120 Seiten. 1956. (35) Deutsche Geschichte von 1713—1806. Von der o c h a f f u n g des europäischen Gleichgewichts bis zu Napoleons H e r r s c h a f t von W. Treue. 168 Seiten. 1957. (39) Deutsche Geschichte von 1806—1890. Vom E n d e des alten bis zur Höhe des neuen Reiches von W. Treue. 128 Seiten. 1961. (893) Deutsche Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart von W. Treue. In Vorbereitung. (894) Quellenkunde der Deutschen Geschichte Im Mittelalter (bis zur Mitte des 15. J a h r h u n d e r t s ) von K. Jacob f . 3 Bände. I: E i n l e i t u n g . A l l g e m e i n e r Teil. D i e Z e i t d e r K a r o l i n g e r . 6. Auflage, b e a r b e i t e t von H. Hohenleutner. 127 Seiten. 1959. (279) I I : D i e K a i s e r z e i t (911—1250). 5. Auflage, n e u b e a r b e i t e t von H. Hohenleutner. 141 Seiten. 1961. (280) I I I : D a s S n ä t m i t t e i a l t e r (vom I n t e r r e g n u m bis 1500). Herausgegeben von F. Weden. 152 Seiten. 1952. (284) 6

GEISTESWISSENSCHAFTEN Geschichte Englands von H. Preller. 2 Bände. I : b i s 1815. 3., s t a r k umgearbeitete Auflage. 135 Seiten, 7 S t a m m t a f e l n , 2 K a r t e n . 1952. (375) I I : V o n 1815 b i s 1910. 2., völlig umgearbeitete Auflage. 118 Seiten, 1 S t a m m t a f e l , 7 K a r t e n . 1954. (1088) Römische Geschichte von F. Altheim. 4 Bände. 2., verbesserte Auflage. I : B i s z u r S c h l a c h t b e i P y d n a (168 v. Chr.). 124 Seiten. 1956. (19) I I : B i s z u r S c h l a c h t b e i A c t i u m (31 v. Chr.). 129 Seiten, 1956.(677) I I I : B i s z u r S c h l a c h t a n d e r M i l v i s c h e n B r ü c k e (312 n. Chr.). 148 Seiten. 1958. (679) IV: B i s z u r S c h l a c h t a m Y a r m u k (636 n. Chr.). In Vorbereit u n g . (684) Geschichte der Vereinigten Staaten von Amerika von O. Graf zu StolbergWernigerode. 192 Seiten, 10 K a r t e n . 1956. (1051/1051 a)

Deutsche Sprache und Literatur

Geschichte der Deutschen Sprache von H. Sperber. 5., neubearbeitete Auflage von P. von Polenz. 136 Seiten. 1966. (915) Deutsches Rechtschreibungswörterbuch von M . Gottschald f . 2., verbesserte Auflage. 219 Seiten. 1953. (200/200a) Deutsche W o r t k u n d e . Kulturgeschichte des deutschen Wortschatzes von A. Schirmer. 5. Auflage von W. Mitzka. 125 Seiten. 1965. (929) Deutsche Sprachlehre von W. Hofstaetter. 10. Auflage. Völlige U m a r b e i t u n g d e r 8. Auflage. 150 Seiten. 1960. (20) Stimmkunde f ü r Beruf, K u n s t u n d Heilzwecke von H. Biehle. 111 Seit e n . 1955. (60) Redetechnik. E i n f ü h r u n g in die R h e t o r i k von H. Biehle. 2., erweiterte Auflage. 151 Seiten. 1961. (61) Sprechen und Sprachpflege (Die K u n s t des Sprechens) von H. Feist. 3. Aufl. E t w a 9 9 S e i t e n , 2 5 Abbildungen. 1966 I n V o r b e r e l t u n g ( 1 1 2 2 ) Deutsches Dichten und Denken \ on der germanischen bis zur staufischen Zelt von H. Naumann f . ( D e u t s c h e Literaturgeschichte v o m 5.—13. J a h r h u n d e r t . ) 3., verbesserte Auflage. 1966 (1121) Deutsches Dichten und Denken vom Mittelalter z u r Neuzelt von G. Müller (1270 bis 1700). 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. I n Vorbereitung. (1086) Deutsches Dichten und Denken von der A u f k l ä r u n g bis zum Realismus (Deutsche Literaturgeschichte von 1700—1890) von K . Viitor f . 3., durchgesehene Auflage. 159 Seiten. 1958. (1096) Deutsche Heldensage von H. Schneider. 2. Auflage, bearbeitet von R. Wisniewski. 148 Seiten. 1964. (32) Der Nibelunge N"t in Auswahl mit kurzem W ö r t e r b u c h von K. Langosch. 11., durchgesenene Auflage. 166 Seiten. 1966. (1) Kudrun und Dietrich-Epen in Auswahl mit W ö r t e r b u c h von 0. L.Jiriczek. 6. Auflage, bearbeitet von R. Wisniewski. 173 Seiten. 1957. (10) W o l f r a m von Eschenbach. Parzifal. Eine Auswahl mit A n m e r k u n g e n und W ö r t e r b u c h von H. Jantzen. 3. Auflage, b e a r b e i t e t von H. Kolb. 128 Seiten. 1966. (921) 7

GEISTESWISSENSCHAFTEN Hartmann von Aue. Der arme Heinrich nebst einer Auswahl a u s der „ K l a g e " dem „Gregorius" und den Liedern (mit einem W ö r t e r verzeichnis) herausgegeben von F. Maurer. 96 Seiten. 1958. (18) Gottfried von StraBburg. Tristan ynd Isolde in Auswahl herausgegeben von F. Maurer. 2. Auflage. 142 Seiten. 1965. (22) Die deutschen Personennamen von M. Gottschald f . 2., verbesserte Auflage. 151 Seiten. 1955. (422) Althochdeutsches Elementarbuch. G r a m m a t i k und Texte von H. Naumann t und IV. Betz. 4., verbesserte u n d v e r m e h r t e Auflage. 183 Seiten. 1966. In Vorbereitung. (1111/1111 a) Mittelhochdeutsche Grammatik von H. de Boor und R. Wisnlewski. 4., verbesserte und ergänzte Auflage. 150 Seiten. 1965. (1108)

Indogermanisch, Germanisch Indogermanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 2 Bände. 4., überarbeitete Auflage. I : E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . 110 Seiten. 1962. (59) I I : F o r m e n l e h r e . 100 Seiten. 1963. (64) Sanskrit-Grammatik mit sprachvergleichenden E r l ä u t e r u n g e n von M. Mayrhcfer. 2.. völlig neu bearbeitete Auflage. 110 Seiten. 1965. (1158/1158a) Gotisches Elementarbuch. G r a m m a t i k . T e x t e mit Ü b e r s e t z u n g und Erläuterungen von H. Hempel. 4., n e u b e a r b e i t e t e Auflage. 166 Seit e n . 1966. (79/79a) Altnordisches Elementarbuch. E i n f ü h r u n g , G r a m m a t i k , T e x t e (zum Teil mit Übersetzung) und W ö r t e r b u c h von F. Ranke. 3., völlig umgearb. Auflage von D. Hof mann. E t w a 180 Seiten. 1966. I m Druck. (1115/1115a) Germanische Sprachwissenschaft von H. Krähe. 3 Bände. I: E i n l e i t u n g u n d L a u t l e h r e . überarbeitete Auflage. 147 Seiten. 1963. (238) I I : F o r m e n l e h r e . 5., verbesserte Auflage. 149 Seiten. 1965. (780) I I I : W o r t b i l d u n g s l e h r e von W. Meid. E t w a 240 Seiten. 1966. (1218/1218a/1218b)

Englisch, Romanisch Altenglisches Elementarbuch. E i n f ü h r u n g , G r a m m a t i k , T e x t e mit Ü b e r setzung und W ö r t e r b u c h von M. Lehnert. 6., verbesserte Auflage. 178 Seiten. 1965. (1125) Historische neuenglische Laut- und Formenlehre von E. Ekwall. 4,, verbesserte Auflage. 150 Seiten. 1965. (735) Englische Phonetik von H. Mutschmann f . 2. Auflage» bearbeitet von G. Scherer. 127 Seiten. 1963. (601) Englische Literaturgeschichte von F. Schubei. 4 Bände. I : D i e a l t - u n d m i t t e l e n g l i s c h e P e r i o d e . 163 Seiten, 1954. (1114) I I : V o n d e r R e n a i s s a n c e b i s z u r A u f k l ä r u n g . 160 Seiten. 1956. (1116) I I I : R o m a n t i k u n d V i k t o r i a n i s m u s . 160 Seiten, i960. (1124)

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GEISTESWISSENSCHAFTEN Beowulf von M. Lehnert. Eine Auswahl mit Einführung, teilweiser Übersetzung, Anmerkungen und etymologischem Wörterbuch. 3., verbesserte Auflage. 135 Seiten. 1959. (1135) Shakespeare von P. Meißner f . 2. Auflage, neubearbeitet von M. Lehnert. 136 Seiten. 1954. (1142) Romanische Sprachwissenschaft von H. Lausberg. 4 Bände. I: E i n l e i t u n g und V o k a l i s m u s . 2., durchgesehene Auflage. 211 Seiten. 1963. (128/128a) I I : K o n s o n a n t i s m u s . 2. Auflage. In Vorbereitung. (250) I I I : F o r m e n l e h r e . 1. Teil. 99 Seiten. 1962. (1199) I I I : F o r m e n l e h r e . 2. Teil. S. 99—260. 1962. (1200/1200a) IV: W o r t l e h r e . In Vorbereitung. (1208)

Griechisch, Lateinisch Griechische Sprachwissenschaft von W. Brandenstein. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g , L a u t s y s t e m , E t y m o l o g i e . 160 Seiten. 1954. (117) I I : W o r t b i l d u n g und F o r m e n l e h r e . 192 Seiten. 1959. (118/ 118a) I I I : S y n t a x I.Einleitung. Die Flexibilien. 145 Seiten. 1966. (924/ 924a) Geschichte der griechischen Sprache. 2 Bände I : B i s zum A u s g a n g d e r k l a s s i s c h e n Z e i t von O. Hoffmann f . 3. Auflage, bearbeitet von A. Debrunner f . 156 Seiten. 1953.(111) I I : G r u n d f r a g e n und G r u n d z ü g e des n a c h k l a s s i s c h e n G r i e c h i s c h von A. Debrunner t. 144 Seiten. 1954. (114) Geschichte der griechischen Literatur von W. Nestle. 2 Bände. 3. Auflage, bearbeitet von W. Liebich. I : 144 Seiten. 1961. (70) I I : 149 Seiten. 1963. (557) Grammatik der neugriechischen Volkssprache von J. Kalitsunakis. 3., wesentlich erweiterte und verbesserte Auflage. 196 Seiten. 1963. (756/756 a) Neugriechisch-deutsches Gesprächsbuch von J. Kalitsunakis. 2. Auflage, bearbeitet von A. Steinmetz. 99 Seiten. 1960. (587) Geschichte der lateinischen Sprache von F. Stolz und A. Debrunner f . 4. Auflage, bearbeitet von W. P. Schmid. 1966. In Vorbereitung. (492/492a/708b) Geschichte der römischen Literatur von L. Bieler. 2., verbesserte Auflage. 2 Bände. I : Die L i t e r a t u r d e r R e p u b l i k . 160 Seiten. 1965. (52) I I : D i e L i t e r a t u r d e r K a i s e r z e i t . 133 Seiten. 1965. (866)

Orientalistik, Slavische Sprachen

Die Kellschrift von B. Meissner. 3. Auflage, neubearbeitet von K. Oberhuber. Etwa 150 Seiten. 1966. (708/708a/708b) Die Hieroglyphen von A. Erman. 3. Auflage, neu bearbeitet von O. Krückmann. 1966. In Vorbereitung. (608/608a/608b) 9

GEISTESWISSENSCHAFTEN Hebräische Grammatik von R. Meyer. 3 Bände. I : E i n l e i t u n g , S c h r i f t - u n d L a u t l e h r e . 3., neubearbeitete A u f lage. 120 Seiten. 1966. (763/763 a/763b) I I : F o r m e n l e h r e u n d F l e x i o n s t a b e l l e n . 3. Auflage. In V o r bereitung. (764/764a/764b) I I I : S a t z l e h r e . In Vorbereitung (765/765a/765b) Hebräisches Textbuch zu G. Beer-R. Meyer, Hebräische Grammatik von R.Meyer. 170 Seiten. 1960. (769/769a) Slavische Sprachwissenschaft von H. Bräuer. 2 Bände. I : E i n l e i t u n g , L a u t l e h r e . 221 Seiten. 1961. (1191/1191a) Vergleichende Geschichte der slavlschen Literaturen von D. Tschiiewskij. 2 Bände. 1966. In Vorbereitung. I : E i n f ü h r u n g . A n f ä n g e des slavischen Schrifttums bis zum Klassizismus. (1222) I I : R o m a n t i k b i s z u r M o d e r n e . (1223) Russische Grammatik v o n E. Berneker f . 6., verbesserte Auflage v o n M. Vasmer f . 155 Seiten. 1961. (66) Polnische Grammatik von N. Damerau. E t w a 140 Seiten. 1966. (942/ 942a)

Erd- und Länderkunde, Kartographie A f r i k a v o n F. Jaeger. Ein geographischer Ü b e r b l i c k . 2 Bände. 3. A u f l a g e . I : D e r L e b e n s r a u m . 179 Seiten, 18 A b b i l d u n g e n . In V o r b e r e i tung. (910) I I : M e n s c h u n d K u l t u r . 155 Seiten, 6 A b b i l d u n g e n . In V o r bereitung. (911) Australien und Ozeanien von H. J. Krug. 176 Seiten, 46 Skizzen. 1953. (319) Kartographie v o n V. Heissler. 2. A u f l a g e . 213 Seiten, 125 A b b . , 8 A n lagen. 1966. (30/30a)

Volkswirtschaft, Statistik, Publizistik Allgemeine Betriebswirtschaftslehre v o n K.Mellerowicz. 4 Bände. 11. und 12., durchgesehene A u f l a g e . I : 224 Seiten. 1964. (1008/1008a) I I : 188 Seiten. 1966. (1153/1153a) I I I : 260 Seiten. 1963. (1154/1154a) I V : 209 Seiten. 1963. (1186/1186a) Allgemeine Volkswirtschaftslehre v o n A. Paulsen. 4 Bände. I : G r u n d l e g u n g , W i r t s c h a f t s k r e i s l a u f . 7. A u f l a g e . 159 Seiten. 11 A b b i l d u n g e n . 1966. (1169) I I : H a u s h a l t e , U n t e r n e h m u n g e n , M a r k t f o r m e n . 7. A u f l a g e . 172 Seiten. 31 A b b i l d u n g e n . 1966. (1170) I I I : P r o d u k t i o n s f a k t o r e n . 4. A u f l a g e . 198 Seiten, 24 A b b i l d u n gen. 1965. (1171) I V : G e s a m t b e s c h ä f t i g u n g , K o n j u n k t u r e n , W a c h s t u m . 4., neubearbeitete und ergänzte A u f l a g e . 188 Seiten. 1966.(1172) 10

GEISTESWISSENSCHAFTEN Geschichte der Volkswirtschaftslehre von S. Wendt. 182 S. 1961. (1194) Allgemeine Volkswirtschaftspolitik von H. Ohm. 2 Bände. I : S y s t e m a t i s c h - T h e o r e t i s c h e G r u n d l e g u n g . 2., verbessert e u n d ergänzte Auflage. 137 Seiten, 6 Abbildungen. 1965. (1195) II: Der v o l k s w i r t s c h a f t l i c h e G e s a m t o r g a n i s m u s als Obj e k t d e r W i r t s c h a f t s p o l i t i k . In Vorbereitung. (1196) Finanzwissenschaft von H. Kolms. 4 Bände. I : G r u n d l e g u n g , ö f f e n t l i c h e A u s g a b e n . 3., verbesserte Auflage. 159 Seiten. 1966. (148) II: E r w e r b s e i n k ü n f t e , G e b ü h r e n und B e i t r ä g e , Allgem e i n e S t e u e r l e h r e . 3., verbesserte Auflage. 148 Seiten. 1966. In Vorbereitung (391) I I I : B e s o n d e r e S t e u e r l e h r e . 178 Seiten. 1962. (776) IV: ö f f e n t l i c h e r K r e d i t , ö f f e n t l i c h e r H a u s h a l t . F i n a n z a u s g l e i c h . 191 Seiten. 1964. (782/782a) Finanzmathematik von M. Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen u n d 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Buchhaltung und B.Ianz von E. Kosiol. 170 Seiten. 1964. (1213/1213a) Industrie- und Betriebssoziologie v o n R. Dahrendorf. 3. Auflage. 142 Seiten, 3 Figuren. 1965. (103) Wlrtschaftssozlolog!e von F. Fürstenberg. 122 Seiten. 1961. (1193) Psychologie des Berufs- und Wirtschaftslebens von W. Moedef. 190 Seit e n , 48 Abbildungen. 1958. (851/851a) Einführung in die Arbeitswissenschaft von H. H. Hilf. 169 Seiten, 57 Abbildungen. 1964. (1212,'1212a) Allgemeine Methodenlehre der Statistik von J. Pfanzagl. 2 Bände. I: E . e m e n t a r e M e t h o d e n u n t e r b e s o n d e r e r B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r A n w e n d u n g e n in d e n W i r t s c h a f t s - u n d S o z i a l w i s s e n s c h a f t e n . 3., neubearbeitete Auflage. 266Seiten, 50 Abbildungen. 1966. (746/746 a) II: H ö h e r e M e t h o d e n u n t e r besonderer B e r ü c k s i c h t i g u n g d e r A n w e n d u n g e n in N a t u r w i s s e n s c h a f t e n , M e d i z i n u n d T e c h n i k . 2., verbesserte Auflage. 315 Seiten, 41 Abbild u n g e n . 1966. (747/747 a) Zeitungslehre von E. Dovifat. 2 Bände. 4., neubearbeitete Auflage. I : T h e o r e t i s c h e u n d r e c h t Ii c h e G r u n d l a g e n — N a c h r i c h t u n d M e i n u n g — S p r a c h e u n d F o r m . 149 Seiten. 1962. (1039) II: R e d a k t i o n — Die S p a r t e n : Verlag und Vertrieb, W i r t s c h a f t und T e c h n i k — S i c h e r u n g der ö f f e n t l i c h e n A u f g a b e . 168 Seiten. 1962. (1040)

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Naturwissenschaften Mathematik Geschichte der Mathematik v o n J. E. Hofmann. 4 Bände. I: Von den A n f ä n g e n bis zum A u f t r e t e n v o n Fermat u n d D e s c a r t e s . 2., verbesserte und v e r m e h r t e A u f l a g e . 251 Seiten. 1963. (226/226a) I I : V o n F e r m a t und D e s c a r t e s bis zur E r f i n d u n g des C a l c u l u s und bis z u m A u s b a u der neuen M e t h o d e n . 109 Seiten. 1957. (875) I I I : V o n den A u s e i n a n d e r s e t z u n g e n um den C a l c u l u s b i s z u r f r a n z ö s i s c h e n R e v o l u t i o n . 107 Seiten. 1957. (882) I V : G e s c h i c h t e d e r M a t h e m a t i k d e r n e u e s t e n Z e i t von N. Stuloff. In Vorbereitung. (883) Mathematische Formelsammlung v o n F. O. Ringleb. 8., erweiterte A u f lage. E t w a 320 Seiten. 40 Figuren. 1966. (51/51 a ) Vierstellige Tafeln und Gegentafeln f ü r logarithmisches und trigonometrisches Rechnen in zwei Farben zusammengestellt von H. Schubert und R. Haussner. 3., neubearbeitete A u f l a g e von J. Erlebach. 158 Seiten. 1960. (81) Fünfstellige Logarithmen m i t mehreren graphischen Rechentafeln und häufig vorkommenden Zahlenwerten v o n A. Adler. 4. A u f l a g e , überarbeitet von J. Erlebach. 127 Seiten, 1 T a f e l . 1962. (423) Arithmetik v o n P . B. Fischer t. 3. A u f l a g e v o n H. Rohrbach. 152 Seiten, 19 A b b i l d u n g e n . 1958. ( 4 7 ) Höhere Algebra v o n H. Hasse. 2 Bände. I : L i n e a r e G l e i c h u n g e n . 5., neubearbeitete A u f l a g e . 150 Seiten. 1963.(931) I I : G l e i c h u n g e n h ö h e r e n G r a d e s . 4., durchgesehene A u f l a g e . 158 Seiten, 5 Figuren. 1958. (932) Aufgabensammlung zur höheren Algebra v o n H. Hasse und W. Klobe. 3., verbesserte A u f l a g e . 183 Seiten. 1961. (1082) Elementare und klassische A l g e b r a v o m modernen Standpunkt v o n W. Krull. 2 Bände. I : 3., erweiterte A u f l a g e . 148 Seiten. 1963. (930) I I : 132 Seiten. 1959. (933) Lineare Programmierung von H. Langen. E t w a 200 Seiten. (1206/1206a) Algebraische Kurven und Flächen v o n W. Burau. 2 Bände. I : A l g e b r a i s c h e K u r v e n d e r E b e n e . 153 Seiten, 28 A b b i l dungen. 1962. (435) I I : A l g e b r a i s c h e F l ä c h e n 3 . G r a d e s u n d R a u m k u r v e n 3. und 4. Grades. 162 Seiten, 17 A b b i l d u n g e n . 1962. (436/436a) Einführung in die Zahlentheorie v o n A. Scholz t. Ü b e r a r b e i t e t und herausgegeben v o n B. Schoeneberg. 4. A u f l a g e . E t w a 128 Seiten. 1966. (1131) Formale Logik v o n P. Lorenzen. 2., verbesserte A u f l a g e . E t w a 165 Seiten. 1962. (1176/1176a)

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NATURWISSENSCHAFTEN Topologie von W. Franz. 2 Bände. I : A l l g e m e i n e T o p o l o g i e . 2., verbesserte Auflage. 144 Seiten, 9 Figuren. 1965. (1181) II: A l g e b r a i s c h e T o p o l o g i e . 153 Seiten. 1965. (1182/1182a) Elemente der Funktionentheorie von K . Knopp f . 7. Autlage. 144 Seiten, 23 Figuren. 1966. (1109) Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. 11. Autlage. I: G r u n d l a g e n d e r a l l g e m e i n e n T h e o r i e d e r a n a l y t i s c h e n F u n k t i o n e n . 144 Seiten, 8 Figuren. 1965. (668) II: A n w e n d u n g e n u n d W e i t e r f ü h r u n g d e r a l l g e m e i n e n T h e o r i e . 130Seiten, 7 Figuren. 1965. (703) Aufgabensammlung zur Funktionentheorie von K. Knopp f . 2 Bände. I : A u f g a b e n z u r e l e m e n t a r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 7. Auflage. 135 Seiten. 1965. (877) II: A u f g a b e n z u r h ö h e r e n F u n k t i o n e n t h e o r i e . 6 . Auflage 151 Seiten. 1964. (878) Differential- und Integralrechnung von M. Barner. ( F r ü h e r Witting). 4 Bände. I : G r e n z w e r t b e g r i f f , D i f f e r e n t i a l r e c h n u n g . 2., durchgesehene Auflage. 176 Seiten, 39 Figuren. 1963. (86) Gewöhnliche Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 7., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 142 Seiten. 1965. (920/920a) Partielle Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 4., durchgesehene Auflage. 128 Seiten. 1960. (1003) Aufgabensammlung zu den gewöhnlichen und partiellen Differentialgleichungen von G. Hoheisel. 4., neubearbeitete Auflage. 153 Seiten. 1964. (1059/1059a) Integralgleichungen von G. Hoheisel. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 112 Seiten. 1963. (1099) Mengenlehre von E. Kamke. 5. Auflage. 194 Seiten, 6 Figuren. 1965. (999/999 a) Gruppentheorie von L. Baumgartner. 4., erweiterte Auflage. 190 Seiten, 3 T a f e l n . 1964. (837/837 a) Ebene und sphärische Trigonometrie von G. Hessenbergt. 5. Auflage, durchgesehen von H. Kneser. 172 Seiten, 60 Figuren. 1957. (99) Darstellende Geometrie von W. Haack. 3 Bände. I:' D i e w i c h t i g s t e n D a r s t e l l u n g s m e t h o d e n . G r u n d - u n d A u f r i ß e b e n f l ä c h i g e r K ö r p e r . 5. Auflage. 113 Seiten 120 Abbildungen. 1965. (142) II: K ö r p e r m i t k r u m m e n B e g r e n z u n g s f l ä c h e n . K o t i e r t e P r o j e k t i o n e n . 4., durchgesehene Auflage. 129 Seiten, 86 Abbildungen. 1965. (143) III: A x o n o m e t r i e und P e r s p e k t i v e . 3. Auflage. 129 Seiten, 100 Abbildungen. 1965. (144) Analytische Geometrie von K. P. Grotemeyer. 3., neubearbeitete Auflage. 218 Seiten, 73 Abbildungen. 1964. (65/65a) Nichteuklidische Geometrie. Hyperbolische Geometrie der Ebene von R. Baldust. 4. Auflage, b e a r b e i t e t u n d ergänzt von F. Löbell. 158 Seiten, 75 Figuren. 1964. (970/970a) 13

NATURWISSENSCHAFTEN Differentialgeometrie von K. Strubecker. 3 Bände. I : K u r v e n t h e o r i e d e r E b e n e und des R a u m e s . 2., erweiterte Auflage. 253 Seiten, 45 Figuren. 1964. (1113/1113a) I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n m e t r i k . 195 Seiten, 14 Figuren. 1958. (1179/1179a) I I I : T h e o r i e d e r F l ä c h e n k r ü m m u n g . 254 Seiten, 38 Figuren. 1959. (1180/1180a) Variationsrechnung von L. Koschmieder. 2 Bände. 2., neubearbeitete Auflage. I : D a s f r e i e und g e b u n d e n e E x t r e m e i n f a c h e r G r u n d i n t e g r a l e . 128 Seiten, 23 Figuren. 1962. (1074) II: Anwendung k l a s s i s c h e r Verfahren auf allgemeine F r a g e n des E x t r e m s . — N e u e r e u n m i t t e l b a r e V e r f a h r e n . In Vorbereitung. (1075) Einführung in die konforme Abbildung von L. Bieberbach. 6. Auflage. Etwa 180 Seiten, 42 Figuren. 1966. In Vorbereitung. (768/768a> Vektoren und Matrizen von S. Valentiner. 3. Auflage. (10., erweiterte Auflage der „Vektoranalysis"). Mit Anhang: Aufgaben zur Vektorrechnung von H. König. 206 Seiten, 35 Figuren. 1963. (354/354a) Wahrscheinlichkeitstheorie und Grundzüge der Maßtheorie von H. Bauer. 2 Bände. I : 154 Seiten. 1964. (1216/1216a) I I : In Vorbereitung. (1217) Versicherungsmathematik von F. Böhm. 2 Bände. I : E l e m e n t e d e r V e r s i c h e r u n g s r e c h n u n g . 3., vermehrte und verbesserte Auflage. Durchgesehener Neudruck. 151 Seiten. 1953. (180) II: Lebens- ersicherungsmathematik. Einführung in die technischen Grundlagen der Sozialversicherung. 2., verbesserte und vermehrte Auflage. 205 Seiten. 1953. (917/917a) Finanzmathematik von M. Nicolas. 192 Seiten, 11 Tafeln, 8 Tabellen und 72 Beispiele. 1959. (1183/1183a) Kinematik von H. R. Müller. 171 Seiten, 75 Figuren. 1963. (584/584a)

Physik Einführung in die theoretische Physik von W. Döring. 5 Bände. I: M e c h a n i k . 3., verbesserte Aufl. 125 Seiten, 23 Abb. 1965.(76) I I : D a s e l e k t r o m a g n e t i s c h e F e l d . 2., verbesserte Auflage. 132 Seiten, 15 Abbildungen. 1962. (77) I I I : O p t i k . 2., verbesserte Auflage. 117 Seiten, 32 Abbildungen. 1963. (78) I V : T h e r m o d y n a m i k . 2., verbesserte Auflage. 107 Seiten, 9 Abbildungen. 1964. (374) V : S t a t i s t i s c h e M e c h a n i k . 2., verbesserte Auflage. 114 Seiten, 12 Abbildungen. 1966. (1017) Mechanik deformierbarer Körper von M. Päsler. 199 Seiten, 48 Abbildungen. 1960. (1189/1189a) 14

NATURWISSENSCHAFTEN Atomphysik von K. Bechert, Ch. Gerthsen t u n d A. Flammersfeld. 7 Bände. 4., durchgesehene Auflage. I: A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n . 1. Teil von A.Flammersfeld. 124 Seiten, 35 Abbildungen. 1959. (1009) II: A l l g e m e i n e G r u n d l a g e n . 2. Teil von A.Flammersfeld. 112 Seiten, 47 Abbildungen. 1963. (1033) III: T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 1. Teil von K. Bechert. 148 Seiten, 16 Abbildungen. 1963. (1123/1123a) IV: T h e o r i e d e s A t o m b a u s . 2. Teil von K. Bechert. 170 Seiten, 14 Abbildungen. 1963. (1165/1165a) Differentialgleichungen der Physik von F. Sauter. 4., durchgesehene und ergänzte Auflage. 148 Seiten, 16 Figuren. 1966. (1070) Physikalische Formelsammlung von G. Mahler. t. F o r t g e f ü h r t von K. Mahler. N e u b e a r b e i t e t von H. Graewe. 11. Auflage. 167 Seiten, 69 Figuren. 1963. (136) Physikalische Aufgabensammlung m i t Ergebnissen von G. Mahler t. F o r t g e f ü h r t von K. Mahler. Neubearbeitet von H. Graewe. 12. Auflage. 141 Seiten. 1964. (243)

Chemie Geschichte der Chemie in k u r z g e f a ß t e r Darstellung von G. Lockemann. 2 Bände. 2. Auflage. I: V o m A l t e r t u m bis z u r E n t d e c k u n g des S a u e r s t o f f s . 142 Seiten, 8 Bildnisse. In Vorbereitung. (264) II: V o n d e r E n t d e c k u n g d e s S a u e r s t o f f s b i s z u r G e g e n w a r t . 151 Seiten, 16 Bildnisse. In Vorbereitung (265/265a) Anorganische Chemie von W. Klemm. 13. Auflage. 255 Seiten, 34 Abbildungen. 1964. (37/37 a) Organische Chemie von W. Schlenk jun. 10., erweiterte Auflage. 273 Seiten, 16 Abbildungen. 1965. (38/38a) Physikalische Methoden In der Organischen Chemie von G. Kresze. 2 Bände. I : 119 Seiten, 65 Abbildungen. 1962. (44) II: 164 Seiten. 1962. (45/45a) Allgemeine und physikalische Chemie von W. Schulze. 2 Bände. I : 6., verbesserte Auflage. 139 Seiten, 10 Figuren. 1964. (71) II: 6., verbesserte Auflage. 178 Seiten, 37 Figuren. 1966. (698/698a) Molekülbau. Theoretische Grundlagen und Methoden der S t r u k t u r e r m i t t l u n g von W. Schulze. 123 Seiten, 43 Figuren. 1958. (786) Einfache Versuche zur allgemeinen und physikalischen Chemie von E. Dehn. 371 Versuche m i t 40 Abbildungen. 272 Seiten. 1962. (1201/1201 a) Physikalisch-chemische Rechenaufgaben von E. Asmus. 3., verbesserte Auflage. 96 Seiten. 1958. (445) Maßanalyse. Theorie und Praxis der klassischen u n d der elektrochemischen T i t r i e r v e r f a h r e n von G. Jander und K. F. Jahr. 10., erweiterte Auflage, m i t b e a r b e i t e t v o n H. Knoll. 358 Seiten, 56 Figuren. 1963. (221/221 a)

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NATURWISSENSCHAFTEN Qualitative Analyse v o n H. Hofmann u. G. Jander. 2., durchgesehene und verbesserte A u f l a g e . 308 Seiten, 5 A b b i l d u n g e n . 1963. (247/247 a) Stöchlometrlsche Aufgabensammlung v o n IV. Bahrdt t und R. Scheer. M i t den Ergebnissen. 8., durchgesehene A u f l a g e . 119 Seiten. 1964. (452) Elektrochemie v o n K. Vetter. 2 Bände. I : In Vorbereitung. (252) I I : In Vorbereitung. (253) Kristallchemie von J. Zemann. E t w a 160 Seiten, 90 A b b i l d u n g e n . 1966. In V o r b e r e i t u n g . (1220/1220a)

Technologie

Die Chemie der Kunststoffe v o n K . Hamann, unter M i t a r b e i t v o n W. Funke und H. D. Hermann. 2. A u f l . 143 Seiten. 1966. In V o r bereitung. (1173/1173a) 2 Bände. Warenkunde von K. Hassak und /'.'. Beutelt. I: A n o r g a n i s c h e W a r e n sowie K o h l e und Erdöl. S.Auflage. Neubearbeitet von A. Kutzelnigg. 119 Seiten, 18 Figuren. 1958.(222) I I : O r g a n i s c h e W a r e n . 8. A u f l a g e . V o l l s t ä n d i g neu b e a r b e i t e t v o n A. Kutzelnigg. 157 Seiten, 32 Figuren. 1959. (223) Die Fette und ö l e v o n Th. Klug. 6., verbesserte A u f l a g e . 143 Seiten. 1961. (335) Die Seifenfabrikation v o n K. Braun f . 3., neubearbeitete und v e r besserte A u f l a g e v o n 771. Klug. 116 Seiten, 18 A b b i l d u n g e n . 1953. (336) Thermische Verfahrenstechnik von H. Bock. 3 Bände. 1: E i g e n s c h a f t e n und V e r h a l t e n d e r r e a l e n S t o f f e . 164 Seiten, 28 A b b i l d u n g e n . 1963. (1209/1209a) I I : F u n k t i o n und B e r e c h n u n g der e l e m e n t a r e n Geräte. 195 Seiten, 54 A b b i l d u n g e n . 1964. (1210/1210a) I I I : F l i e ß b i l d e r , ihre F u n k t i o n und ihr Z u s a m m e n b a u aus G e r ä t e n . 224 Seiten. 67 A b b i l d u n g e n . 1965. (1211/1211a) Textilindustrie von A. Blümcke. I : S p i n n e r e i u n d Z w i r n e r e i . 111 Seiten, 43 A b b i l d u n g e n . 1954. (184)

Biologie Einführung In die allgemeine Biologie und ihre philosophischen G r u n d " und Grenzfragen von M. Hartmann. 2., u n v e r ä n d e r t e A u f l a g e 132 Seiten, 2 A b b i l d u n g e n . 1965. (96) Hormone v o n G. Koller. 2.. neubearbeitete und e r w e i t e r t e A u f l a g e . 187 Seiten, 60 A b b i l d u n g e n , 19 T a b e l l e n . 1 9 4 9 . ( 1 1 4 1 ) Fortpflanzung im Tier- und Pflanzenreich v o n J. Hämmerling. 2., erg nzte A u f l a g e . 135 Seiten 101 A b b i l d u n g e n . 1951. (1138) Geschlecht und Geschlechtsbestimmung im Tier- und Pflanzenreich v o n M. Hartmann. 2., verbesserte A u f l a g e . 116 Seiten, 61 A b b i l d u n g e n , 7 T a b e l l e n . 1951. (1127)

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NATURWISSENSCHAFTEN Symbiose der Tiere mit pflanzlichen Mikroorganismen von P. Buchner. 2. verbesserte und v e r m e h r t e Auflage. 130 Seiten, 121 Abbildungen. 1949. (1128) GrundriO der allgemeinen Mikrobiologie von W. u. A. Schwartz. 2 Bände. 2., verbesserte u n d ergänzte Auflage. I : 147 Seiten, 25 Abbildungen. 1960. (1155) I I : 142 Seiten, 29 Abbildungen. 1961.(1157)

Botanik Entwicklungsgeschichte des Pflanzenreiches von H. Heil. 2. Auflage. 138 Seiten, 94 Abbildungen, 1 Tabelle. 1950. (1137) Morphologie der Pflanzen von L. Geitler. 3., umgearbeitete Auflage. 126 Seiten, 114 Abbildungen. 1953. (141) Pflanzengeographie von L. Dielst. 5., völlig neu bearbeitete Auflage von F. Mattick. 195 Seiten, 2 K a r t e n . 1958. (389/389a) Die Laubhölzer. K u r z g e f a ß t e Beschreibung der in Mitteleuropa gedeihenden L a u b b ä u m e und S t r ä u c h e r von F. W. Neger t und E. Münch f . 3., durchgesehene Auflage, herausgegeben von B. Huber. 143 Seiten, 63 Figuren, 7 Tabellen. 1950. (718) Die Nadelhölzer (Koniferen) und übrigen Gymnospermen von F. W. Neger f und E. Münch f. 4. Auf läge, durchgesehen und er änzt von B. Huber. 140 Seiten, 75 Figuren, 4 Tabellen, 3 K a r t e n . 1952. (355) Pflanzenzüchtung von H. Kuckuck. 2 Bände. I : G r u n d z ü g e d e r P f l a n z e n z ü c h t u n g . 3., völlig u m g e a r b e i t e t e und erweiterte Auflage. 132 Seiten, 22 Abbildungen. 1952. (1134) II: S p e z i e l l e g a r t e n b a u l i c h e P f l a n z e n z ü c h t u n g (Züchtung von Gemüse, Obst und Blumen). 178 Seiten, 27 Abbildungen. 1957. (1178/1178a)

Zoologie Entwicklungsphysiologie der Tiere von F. Seidel. 2 Bände. I : E i u n d F u r c h u n g . 2. Auflage. E t w a 160 Seiten, 61 Abbildungen. 1966. (1162) I I : K ö r p e r g r u n d g e s t a l t u n d O r g a n b i l d u n g . 2. Auflage. In Vorbereitung (1163) Vergleichende Physiologie der Tiere von K. Herter. 2 Bände. 4. Auflage der ,,Tierp ysiologie". I : S t o f f - u n d E n e r g i e w e c h s e l . Neu b e a r b e i t e t von K. Urich. 158 Seiten, oi Abbildungen. 1966. (972/972a) I I : B e w e g u n g u n d R e i z e r s c h e i n u n g e n . Neu b e a r b e i t e t von G. Birukow. In Vorbereitung. (973) Das Tierreich I : E i n z e l l e r , P r o t o z o e n von E. Reichenow. 115 Seiten. 59 Abbildungen. 1956. (444) I I : S c h w ä m m e u n d H o h l t i e r e von H. J. Hannemann. 95 Seiten, 80 Abbildungen. 1956. (442)

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NATURWISSENSCHAFTEN I I I : W ü r m e r . Platt-, Hohl-, Schnurwürmer, Kamptozoen, Ringelwürmer, Protracheaten, Bärtierchen, Zungenwürmer von S. Jaeckel. 114 Seiten, 36 Abbildungen. 1955. (439) IV, 1: K r e b s e von H. E. Gruner und K. Deckert. 114 Seiten, 43 Abbildungen. 1956. (443) IV, 2: S p i n n e n t i e r e (Trilobitomorphen, Fühlerlose) u n d T a u s e n d f ü ß l e r von A.Kaestner. 96 Seiten, 55 Abbildungen. 1955. (1161) IV, 3: I n s e k t e n von H. von Lengerken. 2., verbesserte Auflage. 140 Seiten, 59 Abbildungen. 1966. (594) V: W e i c h t i e r e . Urmollusken, Schnecken, Muscheln und Kopffüßer von S. Jaeckel. 92 Seiten. 34 Figuren. 1954. (440) VI: S t a c h e l h ä u t e r . Tentakulaten, Binnenatmer und Pfeilwürmer von S. Jaeckel. 100 Seiten, 46 Abbildungen. 1955. (441) VII, 1: M a n t e l t i e r e , Schädellose, Rundmäuler von Th. Haltenorth. In Vorbereitung. (448) VII, 2: F i s c h e von D. Lüdemann. 130 Seiten, 65 Abbildungen. 1955. (356) VII, 3: L u r c h e (Chordatiere) von K. Herter. 143 Seiten, 129 Abbildungen. 1955.(847) VII, 4: K r i e c h t i e r e (Chordatiere) von K.Hirter.200Seiten, 142 Abbildungen. 1960. (447/447 a) VII, 5: V ö g e l (Chordatiere) von H.-A. Freye. 156 Seiten, 69 Figuren. 1960. (869) VII, 6: S ä u g e t i e r e (Chordatiere) von Th. Haltenorth. In Vorbereitung. (282)

Land- und Forstwirtschaft Landwirtschaftliche Tierzucht. Die Züchtung und Haltung der landwirtschaftlichen Nutztiere von H. Vogel. 139 Seiten, 11 Abbildungen. 1952. (228) Kulturtechnische Bodenverbesserungen von O. Fauser. 2 Bände. 5., verbesserte und vermehrte Auflage. I : A l l g e m e i n e s , E n t w ä s s e r u n g . 127 Seiten, 49 Abbildungen. 1959.(691) I I : B e w ä s s e r u n g , Ö d l a n d k u l t u r , F l u r b e r e i n i g u n g . 159 Seiten, 71 Abbildungen. 1961. (692) Agrikulturchemie von K. Scharrer. 2 Bände. I: P f l a n z e n e r n ä h r u n g . 143 Seiten. 1953. (329) I I : F u t t e r m i t t e l k u n d e . 192 Seiten. 1956. (330/330a)

Geologie, Mineralogie, Kristallographie (ieologle von F.Lotze. 3., verbesserte Auflage. 179 Seiten, 80 Abbildungen. 1965. (13/13a) Mineral- und Erzlagerstättenkunde von H. Huttenlocher f . 2 Bände. 2., neubearbeitete Auflage von P. Ramdohr. I: 137 Seiten, 40 Abbildungen, 2 Tabellen. 1965. (1014/1014a) I I : 135 Seiten, 41 Abbildungen. 1965. (1015/1015a) 18

NATURWISSENSCHAFTEN Allgemeine Mineralogie. 11., erweiterte Auflage der „Mineralogie" von R. Brauns t, neubearbeitet von K . F. Chudoba. 152 Seiten, 143 Textfiguren, 1 Tafel, 3 Tabellen. 1963. (29/29a) Spezielle Mineralogie. 11., erweiterte Auflage der „Mineralogie" von R. Brauns t, bearbeitet von K . F. Chudoba. 193 Seiten, 127 Textfiguren, 6 Tabellen. 1964. (31/31 a) Petrographie (Gesteinskunde) von W. Bruhns f . Neubearbeitet von P. Ramdohr 6., erweiterte Auflage. Etwa 141 Seiten, 21 Figuren. 1966. (173) Kristallchemie von /. Zemann. Etwa 160 Seiten, 9 0 Abbildungen. 1966. (1220/1220a) Kristallographie von IV. Bruhns f . 6. Auflage, neubearbeitet von P . Ramdohr. 115 Seiten, 164 Abbildungen. 1965. (210) Einführung In die Kristalloptik von E. Buchwald. 5., verbesserte Auflage. 128 Seiten. 117 Figuren. 1963. (619/619a) Lötrohrproblerkunde. Mineraldiagnose mit Lötrohr und Tüpfelreaktion von M. Henglein. 4., durchgesehene und erweiterte Auflage. 108 Seiten, 12 Figuren. 1962. (483)

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Technik Graphische Darstellung in Wissenschaft und Technik von -M. Pirani. 3., erweiterte Auflage bearbeitet von J. Fischer unter Benutzung der von I. Runge besorgten 2. Auflage. 216 Seiten, 104 Abbildungen. 1957. (728/728 a) Technische Tabellen und Formeln von W. Müller. 5., verbesserte und erweiterte Auflage von E.Schulze. 165 Seiten, 114 Abbildungen, 9 9 Tafeln. 1962. ( 5 7 9 ) Einführung In die Arbeltswissenschaft von H. II. Hilf. 164 Seiten, 57 Abbildungen. 1964. (1212/1212a) Grundlagen der Straflenverkehrstechnlk. Theorie der Leistungsfähigkeit von E. Engel. 101 S e i t e n , 55 Abbildungen. 1962. ( 1 1 9 8 )

Elektrotechnik Grundlagen der allgemeinen Elektrotechnik von O. Mohr. 3. Auflage. 260 Seiten, 136 Bilder, 14 Tafeln. 1965. (196/196a) Die Gleichstrommaschine von K. Humburg. 2 B ä n d e . 2., durchgesehene Auflage. 1: 102 Seiten, 5 9 Abbildungen. 1956. ( 2 5 7 ) I I : 101 Seiten, 38 Abbildungen. 1956. ( 8 8 1 ) Die Synchronmaschine von W. Putz. 92 Seiten, 6 4 Bilder. 1962. ( 1 1 4 6 ) Induktionsmaschinen von F. Unger. 2., erweiterte Auflage. 142 Seiten, 49 Abbildungen. 1954. ( 1 1 4 0 ) Die komplexe Berechnung von Wechselstromschaltungen von H. H. Meinke. 3., neubearb. Aufl. 185 S., 126 A b b . 1965. (1156/1156a) Theoretische Grundlagen zur Berechnung der Schaltgeräte von F. Kesselring. 4. Auflage. In Vorbereitung. ( 7 1 1 ) Einführung In die Technik selbsttätiger Regelungen von W. zur Megede. 3., durchgesehene Aufl. 180 S., 86 Abb. 1966. In V o r b . (714/714a) Elektromotorische Antriebe (Grundlagen für die Berechnung) von . A. Schwaiger. 4., neubearbeitete Auflage. In Vorbereitung. (827) Überspannungen und Überspannungsschutz von G. Frühauf. Durchgesehener Neudruck. 122 Seiten, 98 Abbildungen. 1950. ( 1 1 3 2 ) Elektrische Höchstspannungs-Schaltanlagen. Für Freiluft und Innenanordnung von G. Meiners und K.-H. Wiesenewsky. 138 Seiten, 58 Abbildungen. 1964. (796/796a) Transformatoren von W. Schäfer. 4., überarbeitete und ergänzte Auflage. 130 Seiten, 73 Abbildungen. 1962. ( 9 5 2 )

Maschinenbau Thermische Verfahrenstechnik von H. Bock. 3 Bände. I : E i g e n s c h a f t e n u n d V e r h a l t e n d e r r e a l e n S t o f f e . 164 Seiten, 2 8 Abbildungen. 1963. (1209/1209 a) II: F u n k t i o n und B e r e c h n u n g der e l e m e n t a r e n G e r ä t e . 195 Seiten, 5 4 Abbildungen. 1964. (1210/1210a) III: F l i e ß b i l d e r , ihre F u n k t i o n und ihr Z u s a m m e n b a u aus G e r ä t e n . 2 2 4 S e i t e n , 67 Abbildungen. 1965. (1211/1211a) Technische Thermodynamik von U. Grigull. Mit 7 4 Abbildungén, 7 Tabellen. 1966. In Vorbereitung (1084/1084a)

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TECHNIK Metallkunde v o n H. Borchers. 3 Bände. I : A u f b a u d e r M e t a l l e u n d L e g i e r u n g e n . 6. A u f l a g e . 120 Selt e n , 90 A b b i l d u n g e n , 2 T a b e l l e n . 1964. (432) II: E i g e n s c h a f t e n , Grundzüge der F o r m - und Zustandsg e b u n g . 5., ergänzte und durchgesehene A u f l a g e , 182 Seiten, 107 A b b i l d u n g e n , 10 T a b e l l e n . 1963. (433/433a) III: Die metallkundlichen Untersuchungsmethoden von E. Hanke. I n V o r b e r e i t u n g ( 4 3 4 ) Die W e r k s t o f f e des Maschinenbaues v o n A. Thum t und C. M. v. Meysenbug. 2 Bände. I : E i n f ü h r u n g in d i e W e r k s t o f f p r ü f u n g . 2., neubearbeitete A u f l a g e . 100 Seiten, 7 T a b e l l e n , 56 A b b i l d u n g e n . 1956. (476) I I : D i e K o n s t r u k t i o n s w e r k s t o f f e . 132 S e i t e n , 4 0 A b b i l d u n g e n . 1959.(936) Dynamik v o n W. Müller. 2 Bände. 2., verbesserte A u f l a g e . I : D y n a m i k d e s E i n z e l k ö r p e r s . 128 Seiten, 48 Figuren. 1952. (902) I I : S y s t e m e v o n s t a r r e n K ö r p e r n . 102 Seiten, 41 Figuren. 1952.(903) Technische Schwingungslehre v o n L. Zipperer. 2 Bände. 2., neubearbeitete A u f l a g e . I: A l l g e m e i n e Schwingungsgleichungen, einfache S c h w i n g e r . 120 Seiten, 101 A b b i l d u n g e n . 1953. (953) I I : T o r s i o n s s c h w i n g u n g e n in M a s c h i n e n a n l a g e n . 102 Seiten, 59 A b b i l d u n g e n . 1955. (961/961a) W e r k z e u g m a s c h i n e n für Metallbearbeitung v o n K. P. Matthes. 2 Bände. 1: 100 Selten, 27 A b b i l d u n g e n , 11 Zahlentafeln, 1 T a f e l a n h a n g . 1954. ( 5 6 1 ) I I : F e r t i g u n g s t e c h n i s c h e G r u n d l a g e n der neuzeitlichen M e t a l l b e a r b e i t u n g . 101 Seiten, 30 A b b i l d u n g e n , 5 T a f e l n . 1955.(562) Das Maschinenzeichnen mit Einführung In das Konstruieren v o n W. Tochtermann. 2 Bände. 4. A u f l a g e . I : D a s M a s c h i n e n z e i c h n e n . 156 Seiten, 75 T a f e l n . 1950. (589) I I : A u s g e f ü h r t e K o n s t r u k t i o n s b e i s p i e l e . 130 Seiten, 58 T a feln. 1950. (590) Die Maschinenelemente von E. A. vom Ende f . 4., überarbeitete A u f lage. 184 Seiten, 179 Figuren, 11 T a f e l n . 1963. (3/3a) Die Maschinen der Elsenhüttenwerke v o n L. Engel. 156 Seiten, 95 A b bildungen. 1957. (583/583 a ) W a l z w e r k e v o n H. Sedlaczek f unter M i t a r b e i t v o n F. Fischer und M. Buch. 232 Seiten, 157 A b b i l d u n g e n . 1958. (580/580a) Getriebelehre v o n P. Qrodzinski t. 2 Bände. 3., neubearbeitete A u f l a g e v o n G. Lechner. I : G e o m e t r i s c h e G r u n d l a g e n . 164 S., 131 F i g . 1960. (1061) I I : A n g e w a n d t e G e t r i e b e l e h r e . In Vorbereitung. (1062) K i n e m a t i k von H. R. Müller. 171 Seiten, 75 Figuren. 1963. (584/584a) Gießereitechnik von H. Jungbluth. 2 Bände. I : E i s e n g i e ß e r e i . 126 Seiten, 44 A b b i l d u n g e n . 1 9 5 1 . ( 1 1 5 9 )

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TECHNIK Die Dampfkessel einschließlich Feuerungen und Hilfseinrichtungen. Physikalische und chemische Grundlagen, Berechnung und K o n struktion, Vorschriften und Beispiele v o n IV. Marcard. 3., neubearbeitete A u f l a g e v o n G. Beyer. 2 Bände. I: P h y s i k a l i s c h e und chemische G r u n d l a g e n , Wärmelehre, W ä r m e ü b e r t r a g u n g , Verbrennung. 133 Seiten, 35 Bilder, 26 T a b e l l e n . 1964. (9/9a) II: Berechnung und Konstruktion, Dampfkessel, Hilfseinrichtungen. Feuerungen, Berechnungen. E t w a 120 Seiten, 45 Bilder. 1966. (521/521a) Die Dampfturbinen. Ihre Wirkungswelse, Berechnung und K o n s t r u k tion v o n C. Zietemann. 3 Bände. I : T h e o r i e d e r D a m p f t u r b i n e n . 4. A u f l a g e . 139 Seiten, 48 A b bildungen. 1966. I n Vorbereitung. (274) I I : D i e B e r e c h n u n g der D a m p f t u r b i n e n und die Kons t r u k t i o n d e r E i n z e l t e i l e . 4., verbesserte A u f l a g e . 132 Seiten, 111 A b b i l d u n g e n . 1966. I n V o r b e r e i t u n g . (715) III: Die Regelung der D a m p f t u r b i n e n , die Bauarten, Turbinen für Sonderzwecke, Kondensationsanlagen. 3., verbesserte A u f l a g e . 126 Seiten, 90 A b b i l d u n g e n . 1956. ( 7 1 6 ) Verbrennungsmotoren v o n W. Endres. 3 Bände. I: Ü b e r b l i c k . M o t o r - B r e n n s t o f f e . V e r b r e n n u n g im M o t o r a l l g e m e i n , i m O t t o - u n d D i e s e l - M o t o r . 153 Seiten, 57 A b bildungen. 1958. (1076,1076a) II: Gaswechselvorgang. Aufladen. Leistung, mittl. Druck, R e i b u n g . W i r k u n g s g r a d e und Kraftstoffverbrauch. E t w a 170 Seiten, 61 A b b i l d u n g e n . 1966. (1184/1184a) I I I : D i e E i n z e l t e i l e d e s V e r b r e n n u n g s m o t o r s . In V o r b e reitung. (1185/1185a) Autogenes SchwelOen und Schneiden v o n H. Niese. 5. A u f l a g e , neubearbeitet v o n A. Küchler. 136 Seiten, 71 Figuren. 1953. (499) Die elektrischen SchwelBverfahren v o n H. Niese. 2. A u f l a g e , neubearbeitet v o n H.Dienst. 136 Seiten, 58 A b b i l d u n g e n . 1955. (1020) Die Hebezeuge. E n t w u r f v o n W i n d e n und K r a n e n v o n G. Tafel. 2., v e r besserte Auflage. 176 Seiten, 230 Figuren. 1954. (414/414a)

Vermessungswesen Vermessungskunde v o n IV. Großmann. 3 Bände. I : S t ü c k v e r m e s s u n g u n d N i v e l l i e r e n . 12., verbesserte A u f lage. 156 Seiten, 122 Figuren. 1965. (468) I I : H o r i z o n t a l a u f n a h m e n u n d e b e n e R e c h n u n g e n . 9., v e r besserte A u f l a g e . 136 Seiten, 101 Figuren. 1963. (469) I I I : T r i g o n o m e t r i s c h e und b a r o m e t r i s c h e H ö h e n m e s s u n g . T a c h y m e t r i e u n d A b s t e c k u n g e n . 8., verbesserte A u f l a g e . 140 Seiten, 102 Figuren. 1965. ( 8 6 2 ) Kartographie v o n V. Heissler. 2. A u f l a g e . 213 Selten, 125 A b b . , 8 A n l a gen. 1966. (30/30a) Photogrammetrle v o n G. Lehmann. 2., verbesserte und erweiterte A u f lage. 205 Seiten, 136 A b b i l d u n g e n . 1966. (1188/1188a)

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TECHNIK

Wasserbau W a s s e r k r a f t a n l a g e n von A. Ludin u n t e r Mitarbeit von W. Borkenslein. 2 Bände. I : P l a n u n g , G r u n d l a g e n u n d G r u n d z ü g e . 124 Seiten, 60 Abbildungen. 1955.(665) II: A n o r d n u n g u n d A u s b i l d u n g d e r Hauptbauwerke. 184 Seiten, 91 Abbildungen. 1958. (666/666a) Verkehrswasserbau von H. Dehnert. 3 Bände. I : E n t w u r f s g r u n d l a g e n , F l u ß r e g e l u n g e n . 103 S e i t e n , 5 3 Abb i l d u n g e n . 1950. (585) I I : F l u ß k a n a l i s i e r u n g u n d S c h i f f a h r t s k a n ä l e . 94 Seiten, 60 Abbildungen. 1950. (597) III: S c h l e u s e n u n d H e b e w e r k e . 98 Seiten, 70 Abbildungen. 1950.(1152) W e h r - und Stauanlagen von H. Dehnert. 134 Seiten, 90 Abbildungen. 1952. (965) Talsperren von F. Tölke. 122 Seiten, 70 Abbildungen. 1953. (1044)

Hoch- und Tiefbau Die wichtigsten Baustoffe des Hoch- und Tiefbaus von O. Graf f . 4., verbesserte Auflage. 131 Seiten, 63 Abbildungen. 1953. (984) Baustoffverarbeitung und Baustellenprüfung des Betons von A. Kleinlogel. 2., n e u b e a r b e i t e t e und erweiterte Auflage. 126 Seiten, 35 Abbildungen. 1951. (978) Festigkeitslehre. 2 Bände. I: E l a s t i z i t ä t , P l a s t i z i t ä t u n d F e s t i g k e i t d e r B a u s t o f f e u n d B a u t e i l e von W. Gehlert und W. Herberg. Durchgesehener und erweiterter N e u d r u c k . 159 Seiten, 118 Abbildungen. 1952. (1144) II: F o r m ä n d e r u n g , P l a t t e n , S t a b i l i t ä t u n d B r u c h h y p o t h e s e n von W. Herberg u n d N. Dimitrov. 187 Seiten, 94 Abbildungen. 1955. (1145/1145a) Grundlagen des Stahlbetonbaues von A. Troche. 2., neubearbeitete und erweiterte Auflage. 208 Seiten, 75 Abbildungen, 17 Bemessungstafeln, 20 Rechenbeispiele. 1953. (1078) Statik der Baukonstruktionen von A. Teichmann. 3 Bände. I: G r u n d l a g e n . 101 Seiten, 51 Abbildungen, 8 Formeltafeln. 1956. (119) II: S t a t i s c h b e s t i m m t e S t a b w e r k e . 107 Seiten, 52 A b b i l d u n gen, 7 T a f e l n . 1957. (120) III: S t a t i s c h u n b e s t i m m t e S y s t e m e . 112 Seiten, 34 A b b i l d u n gen, 7 F o r m e l t a f e l n . 1958. (122) Fenster, Türen, Tore aus Holz und Metall. Eine Anleitung zu ihrer g u t e n Gestaltung, wirtschaftlichen Bemessung u n d handwerksgerechten K o n s t r u k t i o n von W. Wickop t. 5. Auflage gep l a n t . (1092) 23

TECHNIK Heizung und Lüftung von W. Körting. 2 Bände. 9., n e u b e a r b e i t e t e Auflage. I: D a s W e s e n u n d d i e B e r e c h n u n g d e r H e i z u n g s - u n d L ü f t u n g s a n l a g e n . 171 Seiten, 29 Abbildungen, 36 Zahlent a f e l n . 1962. (342/342 a) II: D i e A u s f ü h r u n g d e r H e i z u n g s - u n d L ü f t u n g s a n l a g e n . 1966. I n Vorbereitung. (343) und Industrielle Kraft- und Wärniewirtschaft von F. A. F. Schmidt A. Beckers. 167 Seiten, 73 Abbildungen. 1957. (318/318a)

Sammlung Göschen/Bandnummernfolge 1 Langosch, Der Nibelunge Not 3 / 3 a v. E n d e , Maschinenelemente 9/9 a Marcard-Beyer, D a m p f kessel I 10 Jiriczek-Wisniewski, K u d r u n u n d Dietrich-Epen 13/13a Lotze, Geologie 18 Maurer, H a r t m a n n von Aue, Der a r m e Heinrich 19 Altheim, Römische Geschichte I 20 H o f s t a e t t e r , Dt. Sprachlehre 22 Maurer, Gottfried von Strassburg 29/29 a Brauns-Chudoba, Allgemeine Mineralogie 30/30a Heissler, K a r t o g r a p h i e 31/31 a Brauns-Chudoba, Spezielle Mineralogie 32 Schneider-Wisniewski, Deutsche Heldensage 35 Treue, Dt. Geschichte von 1648—1740 37/37 a Klemm, Anorganische Chemie 38/38a Schlenk, Organische Chemie 39 Treue, Dt. Geschichte von 1713—1806 42 Behn-Hoernes, Vorgeschichte Europas 44 Kresze, Physikalische Methoden in der Organischen Chemie I 24

45/45a Kresze, Physikalische Met h o d e n in der Organischen Chemie I I 47 Fischer-Rohrbach, A r i t h m e t i k 51/51 a Ringleb, M a t h e m . Formelsammlung 52 Bieler, R o m . Literaturgesch. I 59 K r ä h e , Indog. Sprachwiss. I 60 Biehle, S t i m m k u n d e 61 Biehle, Redetechnik 64 K r ä h e , Indog. Sprachwiss. II 65/65a Grotemeyer, Analyt. Geometrie 66 Berneker-Vasmer, Russische Grammatik 70 Nestle-Liebich, Gesch. d. griechischen L i t e r a t u r I 71 Schulze, Allgemeine und p h y sikalische Chemie I 76 Döring, Einf. i. d. t h . P h y sik I 77 Döring, Einf. i. d . t h . P h y sik II 78 Döring, Einf. i. d . t h . Physik I I I 79/79a Hempel, Got. E l e m e n t a r buch 80 Weigert, S t i l k u n d e I 81 S c h u b e r t - H a u s s n e r - E r l e b a c h Vierstell. Logarithmentafeln 86 Barner, Differential- u. I n t e gralrechnung I 96 H a r t m a n n , Einf. in die allgem. Biologie

99 Hessenberg-Kneser, Ebene u n d sphär. Trigonometrie 101 v. Wiese, Soziologie 103 Dahrendorf, Industrie- u n d Betriebssoziologie 104/104 a H o f s t ä t t e r , Sozialpsychologie 111 H o f f m a n n - D e b r u n n e r , G e s c h . der griechischen Sprache I 114 D e b r u n n e r , Gesch. der griechischen Sprache II 117 B r a n d e n s t e i n , Griechische Sprachwissenschaft I 118/118a B r a n d e n s t e i n , Griechische Sprachwissenschaft II 119 T e i c h m a n n , S t a t i k der Baukonstruktionen I 120 T e i c h m a n n , S t a t i k der Bauk o n s t r u k t i o n e n II 122 T e i c h m a n n , S t a t i k der Bauk o n s t r u k t i o n e n III 128/128 a Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I 136 Mahler-Graewe, Physikal. Formelsammlung 141 Geitler, Morphologie d e r Pflanzen 142 H a a c k , D a r s t . Geometrie I 143 H a a c k , Darst. Geometrie II 144 H a a c k , Darst. Geometrie I I I 145/ 145a Weimer, Gesch. der Pädagogik 148 Kolms, Finanzwissenschaft I 156/156a L a n d m a n n , Philosophische Anthropologie 170 O e h l m a n n , Musik des 19. J h s . 171/171 a O e h l m a n n , Musik des 20. J h s . 173 B r u h n s - R a m d o h r , P é t r o graphie 174 Schlingloff, Religion des Buddhismus I 180 B ö h m , Versicherungsmathematik I 184 Blümcke, Textilindustrie I 196/196a Mohr, Grundlagen der allgem. Elektrotechnik 200/200a Gottschald, D t . Rechtschreibungswörterbuch 210 B r u h n s - R a m d o h r , Kristallographie 220/220a Moser, Allg. Musiklehre

221/221 a J a n d e r - J a h r - K n o l l , Maßanalyse 222 Hassak- Beutel-Kutzelnigg, Warenkunde I 223 Hassak-Beutel-Kutzelnigg, W a r e n k u n d e II 226/226a H o f m a n n , Gesch. der Mathematik I 228 Vogel, L a n d w . Tierzucht 231/231 a Ehrlich, Gesch. Israels 238 Krähe, Germ. Sprachwiss. I 243 Mahler-Graewe, Physikal. Aufgabensammlung 247/247 a H o f m a n n - J a n d e r , Qualitative Analyse 250 Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft II 252 Vetter, Elektrochemie I 253 Vetter, Elektrochemie 11 257 H u m b u r g , Gleichstrommaschine I 264 L o c k e m a n n , Gesch. d e r Chemie I 265/265 a L o c k e m a n n , Geschichte der Chemie II 270 Kirn, E i n f ü h r u n g in die Geschichtswissenschaft 274 Z i e t e m a n n , D a m p f t u r b i n e n I 279 J a c o b - H o h e n l e u t n e r , Quellenkunde der deutschen Geschichte I 280 J a c o b - H o h e n l e u t n e r , Quell e n k u n d e der deutschen Geschichte II 281 Leisegang, E i n f ü h r u n g in die Philosophie 282 H a l t e n o r t h , Säugetiere 284 J a c o b - W e d e n , Quellenkunde der deutschen Geschichte 111 318/318a Schmidt-Beckers, I n dustrielle K r a f t - u. W ä r m e wirtschaft 319 Krug, Australien u n d Ozeanien 329 Scharrer, Agrikulturchemie I 330/330a Scharrer, Agrikulturchemie II 335 Klug, F e t t e u n d ö l e 336 B r a u n - K l u g , Seifenfabrikation 342/342 a Körting, Heizung und Lüftung I 25

343 Körting, Heizung und Lüft u n g II 344 Moser, Musikästhetik 354/354a Valentiner-König, Vektoren u n d Matrizen 355 Neger-Münch-Huber, Nadelhölzer 356 L ü d e m a n n , Fische 374 Döring,Einf. i.d.th. P h y s i k l V 375 P r e l l e r , G e s c h i c h t e E n g l a n d s l 389/389 a Diels-Mattick, Pflanzengeographie 391 Kolms, F i n a n z w i s s e n s c h a f t l l 394/394a Schilling, Von der Renaissance bis K a n t 414/414a Tafel, Hebezeuge 422 O o t t s c h a l d , D t . Personennamen 423 Adler-Erlebach, Fünfstellige Logarithmen 432 Borchers, Metallkunde I 433/433a B o r c h e r s , M e t a l l k u n d e n 434 Borchers-Hanke, Metallkunde III 435 Burau, Algebr. K u r v e n u. Flächen I 436/436a Burau, Algebr. K u r v e n u n d Flächen II 439 Jaeckel. W ü r m e r 440 Jaeckel, Weichtiere 441 Jaeckel, S t a c h e l h ä u t e r 442 H a n n e m a n n , S c h w ä m m e und Hohltiere 443 Gruner-Deckert, Krebse 444 Reichenow Einzeller 445 Asmus, Physikal.-chem. Rechenaufgaben 447/447 a H e r t e r , Kriechtiere 448 H a l t e n o r t h , Manteltiere 452 Bahrdt-Scheer, Stöchiometrische A u f g a b e n s a m m l u n g 468 G r o ß m a n n , Vermessungskunde I 469 G r o ß m a n n , Vermessungsk u n d e II 476 Thum-Meysenbug, Die W e r k stoffe des Maschinenbaues I 483 Henglein, Lötrohrprobierkunde 492/492aStolz-Debrunner-Schn~id Geschichte der lateinischen Sprache 26

499 Niese-Küchler, Autogenes Schweißen 500 Simmel, H a u p t p r o b l e m e der Philosophie 521/521a M a r c a r d - B e y e r , D a m p f kessel II 536 L e h m a n n , K a n t 538 R u m p f , Archäologie I 539 R u m p f , Archäologie II 540 R u m p f , Archäologie I I I 557 Nestle-Liebich, Gesch. der griech. L i t e r a t u r II 561 M a t t h e s , Werkzeugmaschinen I 562 M a t t h e s , Werkzeugmaschinen II 564 Behn-Hoernes, K u l t u r d e r Urzeit I 565 Behn-Hoernes, K u l t u r der Urzeit II 566 Behn-Hoernes, K u l t u r der Urzeit I I I 571 L e h m a n n , Philosophie des 19. J a h r h u n d e r t s I 576/576a Moser, Gesangskunst 579 Müller-Schulze, T e c h n . T a bellen 580/580a Sedlaczek-Fischer" Buch, Walzwerke 583/583a Engel, Maschinen der Eisenhüttenwerke 584/584 a Müller, K i n e m a t i k 585 D e h n e r t , Verkehrswasserbau I 587 K a l i t s u n a k i s - S t e i n m e t z . N e u griech.-dt. Gesprächsbuch 589 T o c h t e r m a n n , Maschinenzeichnen T 590 T o c h t e r m a n n , Maschinenzeichnen II 594 v. Lengerken, Insekten 597 D e h n e r t , Verkehrswasserbau 11 601 M u t s c h m a n n - S c h e r e r , Engl. Phonetik 608/808a/608b Erman-Krückm a n n , Hieroglyphen 619/619a Buchwald, Kristalloptik 665 L u d i n - B o r k e n s t e i n , Wasserkraftanlagen I 666/666a L u d i n - B o r k e n s t e i n , W a s s e r k r a f t a n l a g e n II

668 677 679 684 691

Knopp, Funktionentheorie I Altheim, Rom. Geschichte II Altheim, R o m . G e s c h i c h t e i i i Altheim Rom. Geschichte IV Fauser, K u i t u r t e c h n . Bodenverbesserungen I 692 Fauser, K u i t u r t e c h n . Bodenverbesserungen II 698/698a Schulze Allgemeine u. physikalische Chemie II 703 K n o p p , F u n k t i o n e n t h e o r i e II 708/708 a/708b Meissner-Oberhuber, Keilschritt 709 L e h m a n n , Philosophie des 19 J a h r h u n d e r t s II 711 Kesselring, Berechnung der Schaltgeräte 714/714a zur Megede, Technik selbsttätiger Regelungen 715 Z i e t e m a n n , D a m p f t u r b i n e n II 716 Z i e t e m a n n . D a m p f t u r b i n e n III 718 Neger-Münch-Huber, Laubhölzer 728/728 a Pirani-Fischer-Runge, G r a p h . Darstellung in Wiss e n s c h a f t u. Technik 735 Ekwall, Historische neuengl. Laut- und Formenlehre 746/746 a Pfanzagl, Allg. Methodenlehre der S t a t i s t i k I 747/747 a Pfanzagl, Allg. Methodenlehre der S t a t i s t i k II 756/756 a Kalitsunakis, G r a m m . d. Neugriech. Volksspr. 763/763a/763b Meyer, Hebräische Grammatik I 764/764 a / 7 6 4 b Meyer, Hebräische G r a m m a t i k II 765/765a/765b Meyer, Hebräische Grammatik III 768/768a Bieberbach, E i n f ü h r u n g in die k o n f o r m e Abbildung 769/769 a Beer-Meyer, Hebräisches T e x t b u c h 770 Schlineloff, Religion des B u d d h i s m u s II 776 Kolms, Finanzwissensch. I I I 780 Krähe, Germ. Sprachwiss. II 781 Weigert Stilkunde II

782/782 a Kolms, Finanzwissens c h a f t IV 786 Schulze, Molekülbau 796/796 a Meiners-Wiesenewsky, Elektr. H ö c h s t s p a n n u n g s Schaltanlagen 807 K r o p p , Erkenntnistheorie 809 Moser Harmonielehre I 810 Moser Harmonielehre II 826 Koch, Philosophie d. Mittelalters 827 Schwaiger, Elektromotorische Antriebe 831 E r i s m a n n , Allg. Psychologie I 832/832 a E r i s m a n n , Allg. Psychologie II 833 E r i s m a n n , Allg. Psychologie I I I 834/834 a E r i s m a n n , Allg. P s y chologie IV 837/837 a B a u m g a r t n e r , G r u p p e n theorie 845 L e h m a n n , Philosophie im ersten Drittel des 20. J h s . I 847 H e r t e r , Lurche 850 L e h m a n n , Philosophie im ersten Drittel des 20 J h s . II 851/851 a Moede, Psychologie des Berufs- u n d Wirtschaftslebens 857 Capelle, Griech. Philosophie I 858 Capelle, Griech. Philos. II 859 Capelle, Griech. Philos. I I I 862 G r o ß m a n n , Vermessungskunde III 863 Capelle, Griech. Philos. IV 866 Bieler, Rom. L i t e r a t u r g e schichte II 869 Freye, Vögel 875 H o f m a n n , Geschichte der M a t h e m a t i k II 877 K n o p p , A u f g a b e n s a m m l u n g zur F u n k t i o n e n t h e o r i e I 878 K n o p p , A u f g a b e n s a m m l u n g zur F u n k t i o n e n t h e o r i e II 881 H u m b u r g , Gleichstrommaschine II 882 H o f m a n n , Geschichte d e r Mathematik III 883 Stuloff, M a t h e m a t i k d e r neuesten Zeit 27

893 Treue, Dt. Geschichte von 1806—1890 894 Treue, Dt. Geschichte von 1890 bis zur Gegenwart 902 Müller, D y n a m i k I 903 Müller, D y n a m i k II 910 Jaeger, Afrika I 911 Jaeger, Afrika 11 915 Sperber-v. Polenz, Gesch. der Deutschen Sprache 917/917a Böhm, Versicherungsm a t h e m a t i k II 920/920a Hoheisel, Gewöhnliche Differentialgleichungen 921 J a n t z e n - K o l b , W . v. Eschenbach. Parzival 924/924a Brandenstein, Griechische Sprachwissenschaft III 929 Schirmer-Mitzka, Dt. W o r t kunde 930 Krull, E l e m e n t a r e u n d klassische Algebra I 931 Hasse, Höhere Algebra I 932 Hasse, Höhere Algebra II 933 Krull, E l e m e n t a r e und klassische Algebra II 936 T h u m - M e y s e n b u g , W e r k s t o f f e d.Maschinenbaues II 942/942 a D a m e r a u , Polnische Grammatik 952 Schäfer, T r a n s f o r m a t o r e n 953 Zipperer, T e c h n . Schwingungslehre I 961/961 a Zipperer, T e c h n . Schwingungslehre II 965 D e h n e r t , W e h r - u n d S t a u anlagen 970/970 a Baldus-Löbell, Nichteuklidische Geometrie 972/972a Herter-Urich, Vergleichende PhysiologiederTiere I 973 H e r t e r - B i r u k o w , Vergleichende Physiologie d e r Tiere II 978 Kletnlogel, B a u s t o f f v e r a r b e i t u n g und Baustellenp r ü f u n g d. Betons 984 Graf, B a u s t o f f e des Hochund Tiefbaues 999/999 a K a m k e , Mengenlehre 1000 J a s p e r s , Geistige S i t u a t . d e r Zeit 28

1003 Hoheisel, Partielle Differentialgleichung 1008/1008a Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre I 1009 B e c h e r t - G e r t h s e n - F l a m mersfeld, A t o m p h y s i k I 1014/1014a H u t t e n l o c h e r - R a m dohr, Mineral- und Erzlagerstättenkunde I 1015/1015a Huttenlocher-Ramdohr, Mineral- u. Erzlagers t ä t t e n k u n d e II 1017 Döring, Einf. i. d . t h . Physik V 1020 Niese-Dienst, Elektrische Schweißverfahren 1031/1031 a Apel-Ludz, Philosophisches W ö r t e r b u c h 1033 B e c h e r t - G e r t h s e n - F l a m mersfeld, A t o m p h y s i k II 1034 K r a n e f e l d t - J u n g T h e r a peutische Psycholorie 1035 Altheim, Rom. Religionsgeschichte I 1039 Dovifat, Zeitungslehre I 1040 Dovifat, Z e i t u n g s i e h r e i l 1044 Tölke, Talsperren 1045 S c h u b e r t , Technik des Klavierspiels 1051/1051 a Stolberg-Wernigerode, Gesch. d . Vereinigten Staaten 1052 Altheim, R o m . Religionsgeschichte II 1059/1059a Hoheisel, Aufgabenslg. z. d. gew. u. p a r t . Differentialgleichungen 1061 Grodzinski-Lechner, Getriebelehre I 1062 Grodzinski-Lechner, Getriebelehre II 1065 H a l l e r - D a n n e n b a u e r , Von d. Karolingern zu den S t a u fern 1070 S a u t e r , Differentialgleic h u n g e n der Physik 1074 Koscnmieder, Variationsrechnung I 1075 Koschmieder, Variationsr e c h n u n g II 1076/1076a Endres, Verbrennungsmotoren I

1077 H a l l e r - D a n n e n b a u e r , Von den S t a u f e r n zu den H a b s burgern 1078 Troche, S t a h l b e t o n b a u 1082 Hasse-Klobe, A u f g a b e n s a m m l u n g zur höheren Algebra 1084/10 4a Grigull, Techn. T h e r modynamik 1085 L i e t z m a n n - A l a n d , Zeitrechnung 1086 Müller, D t . Dichten u n d Denken 1088 Preller, Gesch. E n g l a n d s II 1092 Wickop, Fenster, T ü r e n , Tore 1094 Hernried, System, Modulation 1096 Vietor, D t . Dichten u n d Denken 1099 Hoheisel, Integralgleichungen 1105 H ä r t u n g , Dt. Geschichte im Zeitalter der R e f o r m a t i o n 1108 de Boor-Wisniewski, Mittelhochdeutsche G r a m m a t i k 1109 K n o p p , Elemente der F u n k tionentheorie 1111/1111 a N a u m a n n - B e t z , Althochdt. Elementarbuch 1113/1113a Strubecker, Differentialgeometrie I 1114 Schubel, Engl. Literaturgeschichte I 1115/1115a R a n k e - H o f m a n n , Altnord. E l e m e n t a r b u c h 1116 Schubel, Engl. Literaturgeschichte II 1117 H a l l e r - D a n n e n b a u e r , Eint r i t t der Germanen in die Geschichte 1121 N a u m a n n , D t . Dichten u. Denken 1122 Feist, Sprechen u n d Sprachpflege 1123/1123 a Bechert-GerthsenFlammersfeld, A t o m p h y s i k III 1124 Schubel, Engl. Literaturgeschichte I I I 1125 L e h n e r t , Altengl. Elementarbuch

1127 H a r t m a n n , Geschlecht u. Geschlechtsbestimmung im Tier und Pflanzenreich 1128 Buchner, Symbiose d. Tiere 1130 Dibelius-Kümmel, J e s u s 1131 Scholz-Schoeneberg, Einf ü h r u n g in die Zahlentheorie 1132 F r ü h a u f , Ü b e r s p a n n u n g e n 1134 K u c k u c k , Pflanzenzüchtung I 1135 Lehnert, Beowulf 1137 Heil, Entwicklungsgesch. d. Pflanzenreiches 1138 Hämmerling, F o r t p f l a n zung im Tier- und Pflanzenreich 1140 Unger. I n d u k t i o n s m a s c h i n e 1141 Koller H o r m o n e 1142 Meissner-Lehnert, Shake. speare 1144 Gehler-Herberg, Festigkeitslehre I 1145/1145a Herberg-Dimitrov, Festigkeitslehre II 1146 P u t z , Synchronmaschine 1147 v. W a l t e r s h a u s e n , K u n s t d. Dirigierens 1148 Pepping, Der polyphone Satz I 1152 D e h n e r t , Verkehrswasserbau I I I 1153/1153a Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre 11 1154/1154a Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre 111 1155 Schwartz, Mikrobiologie I 1156/1156a Meinke, Komplexe Berechnungen v. Wechselstromschaltungen 1157 S c h w a r t z , Mikrobiologie II 1158/1158 a Mayrhofer, SanskritGrammatik 1159 J u n g b l u t h , Gießereitechniki 1160 Dibelius-Kümmel, P a u l u s 1161 Kaestner, Spinnentiere 1162 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere I 1163 Seidel, Entwicklungsphysiologie der Tiere II 1164/1164a Pepping, Der polyphone Satz II

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1165/1165 a Bechert-GerthsenFlammersfeld A t o m p h y sik IV 1169 Paulsen, Allgemeine Volkswirtschaftslehre I 1170 Paulsen, Allgemeine Volksw i r t s c h a f t s l e h r e II 1171 P a u l s e n . Allgemeine Volkswirtschaftslehre III 1172 Paulsen, Allgemeine Volksw i r t s c h a f t s l e h r e IV 1173/1173a H a m a n n - F u n k e - H e r m a n n , Chemie der K u n s t stoffe 1176/1176a Lorenzen, Form Logik 1178/1178a K u c k u c k , P f l a n z e n z ü c h t u n g II 1179/1179a S t r u b e c k e r Differentialgeometrie II 1180/1180a S t r u b e c k e r Differentialgeometrie I I I 1181 F r a n z , Topologie I 1182/1182a F r a n z , Topologie II 1183/1183a Nicolas, F i n a n z m a thematik 1184/1184a Endres, Verbrenn u n g s m o t o r e n II 1185/1185a Endres, Verbrennungsmotoren III 1186/1186a Mellerowicz, Allgem. Betriebswirtschaftslehre IV 1187 Lau, L u t h e r 1188/1188a L e h m a n n , P h o t o grammetrie 1189/1189a Päsler, Mechanik 1190 Stupperich Melanchthon 1191/1191a Bräuer, Slav. Sprachwissenschaft I 1193 F ü r s t e n b e r g , W i r t s c h a f t s soziologie 1194 W e n d t , Gesch. d . Volkswirtschaftslehre 1195 O h m Allgem. Volkswirtschaftspolitik I 1196 O h m , Allgem. Volkswirtschaftspolitik II

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1197/1197a Onasch, Einf. in die Konfessionskunde der ort h o d o x e n Kirchen 1198 Engel, S t r a ß e n v e r k e h r s technik 1199 Lausberg, R o m a n i s c h e Sprachwissenschaft I I I , 1. Teil 1200/1200 a Lausberg, Romanische Sprachwissenschaft I I I , 2. Teil 1201/1201 a Dehn, Versuche zur allgem. u. phys. Chemie 1202/1202a Nagel, Gesch. des Christi. Gottesdienstes 1203 W e n d l a n d , Sozialethik 1204 Scheurig, Zeitgeschichte 1205/1205a H o f m a n n Ideengeschichte d. soz. Bewegung 1206/1206 a Langen Lineare P r o grammierung 1208 Lausberg, R o m a n i s c h e Sprachwissenschaft IV 1209/1209a Bock, T h e r m . Verfahrenstechnik I 1210/1210a Bock. T h e r m . Verf a h r e n s t e c h n i k II 1211/121 l a Bock, T h e r m . Verfahrenstechnik III 1212/1212a Hilf, Arbeitswissenschaft 1213/1213a Kosiol, B u c h h a l t u n g und Bilanz 1216/1216 a Bauer, W a h r s c h e i n lichkeitstheorie I 1217 Bauer, Wahrscheinlichkeitstheorie 11 1218/1218a/1218b Meid, Germ. Sprachwiss. I I I 1219 Schmidt-Clausing, Zwingli 1220/1220a Z e m a n n , Kristallchemie 1221 Gerdes, Kierkegaard 1222 Tschizewskij, Slav. L i t e r a turen I 1223 Tschiiewskij, Slav. L i t e r a turen II

Autorenregister Adler 12 Aland 6 Altheim 4, 7 Apel 3 A s m u s 15

Diels 17 Dienst 22 Dimitrov 23 Döring 14 D o v i f a t 11

Bahrdt16 B a l d u s 13 B a r n e r 13 B a u e r 14 B a u m g a r t n e r 13 B e c h e r t 15 Beckers 24 B e e r 10 Behn 6 B e r n e k e r 10 Betz 8 B e u t e l 16 B e y e r 22 Bieberbach 14 Biehle 7 Bieler 9 Birukow 17 B l ü m c k e 16 B o c k 16, 2 0 B ö h m 14 de B o o r 8 Borchers 21 Borkenstein 23 B r ä u e r 10 Brandenstein 9 B r a u n 16 B r a u n s 19 B r u h n s 19 B u c h 21 B u c h n e r 17 Buchwald 19 B u r a u 12

Ehrlich 4 Ekwall 8 E n d e , vom 21 E n d r e s 22 Engel, E . 2 0 Engel, L . 21 Erismann 4 E r l e b a c h 12 Erman 9

Capelle 3 Chudoba 19 Dahrendorf 4, 11 Damerau 10 Dannenbauer 6 Debrunner 9 D e c k e r t 18 Dehn 15 Dehnert 23 Dibelius 4

F a u s e r 18 Feist 7 Fischer, F . 21 Fischer, J . 20 Fischer, P . B . 12 Flammersfeld 15 F r a n z 13 F r e y e 18 Frühauf 20 F ü r s t e n b e r g 4, 11 F u n k e 16 Gehler 23 Geitler 17 Gerdes 4 Gerthsen 15 Gottschald 7, 8 Graewe 15 Graf 23 Grigull 2 0 Grodzinski 21 Großmann 22 G r o t e m e y e r 13 Gruner 18 H a a c k 13 Hämmerling 16 Haller 6 Haltenorth 18 H a m a n n 16 H a n k e 21 H a n n e m a n n 17 H a r t m a n n 16 Härtung 6 Hassak 16

Hasse 12 Haussner 12 Heil 17 Heissler 10, 22 Hempel 8 Henglein 19 Herberg 2 3 H e r m a n n 16 Hernried 5 Herter 17, 18 Hessenberg 13 Hilf 11, 2 0 Hoernes 6 Hoffmann, O. 9 H e f m a n n , D. 8 H o f m a n n , H . 16 Hofmann, J . E. Hofmann, W . 4 Hofstätter 4 Hofstaetter 7 Hoheisel 13 Hohenleutner 6 Huber 17 Humburg 2 0 H u t t e n l o c h e r 18 Jacob 6 J a e c k e l 18 J a e g e r 10 J a h r 15 J a n d e r 15 16 Jantzen 7 Jaspers 3 Jiriczek 7 Jung 3 J u n g b l u t h 21 K a e s t n e r 18 Kalit sun akis 9 K a m k e 13 Kesselring 2 0 Kirn 5 Kleinlogel 2 3 K l e m m 15 K l o b e 12 Klug 16 Kneser 13 Knoll 15 K n o p p 13 Koch 3

König 14 Körting 24 Kolb 7 Koller 16 Kolms U Koschmieder 14 Kosiol 11 Krähe 8 Kranefeldt 3 Kresze 15 Kropp 3 Krückmann 9 Krug 10 Krull 12 Kuckuck 17 Küchler 22 Kümmel 4 Kutzelnigg 16 Landmann 3 Langen 12 Langosch 7 Lau 4 Lausberg 9 Lechner 21 Lehmann, O. 3 Lehmann, G. 22 Lehnert 8, 9 Leisegang 3 Lengerken, von 18 Liebich 9 Lietzmann 6 Lockemann Löbell 13 Lorenzen 3, 12 Lotze 18 Ludin 23 Ludz 3 Lüdemann 18 Mahler 15 Marcard 22 Mätthes 21 Mattlck 17 Maurer 8 Mayrhofer 8 Megede, zur 20 Meld 8 Meiners 20 Melnke 20 Meissner, B. 9 Meißner, P . 9 Mellerawiez 10 32

Meyer 10 Meysenbug, v. 21 Mitzka 7 Moede 4, 11 Mohr 20 Moser 5 Müller, Q. 7 Müller, H. R. 14, 21 Müller, W. 20, 21 Münch 17 Mutschmann 8 Nagel 4 Naumann 7, 8 Neger 17 Nestle 9 Nicolas 11, 14 Niese 22 Oberhuber 9 Oehlmann 5 Ohm 11 Onasch 4 Päsler 14 Paulsen 10 Pepping 5 Pfanzagl 11 Pirani 20 Polenz, von 7 Preller 7 Putz 20 Ramdohr 18, 19 Ranke 8 Reichenow 17 Ringleb 12 Rohrbach 12 Rumpf 5 Runge 20 Sauter 15 Schäfer 20 Scharrer 18 Scheer 16 Scherer 8 Scheurig 5 Schilling 3 Schirmer 7 Schlenk 15 Schlingloff 4 Schmid 9 Schmidt 24 Schmidt-Clausing 4

Schneider 7 Schoeneberg 12 Scholz 12 Schubel 8 Schubert, H. 12 Schubert, K. 5 Schulze, E. 20 Schulze, W. 15 Schwaiger 20 Schwartz, W.u.A. 17 Sedlaczek 21 Seidel 17 Simmel 3 Sperber 7 Steinmetz 9 Stoib erg-Wernigerode, zu 7 Stolz 9 Strubecker 14 Stuloff 12 Stupperich 4 Tafel 22 Teichmann 23 Thum 21 Tochtermann 21 Tölke 23 Treue 6 Troche 23 Tschiiewskij 10 ünger 20 Urich 17 Valentiner 14 Vasmer 10 Vetter 16 Vietor7 Vogel 18 Waltershausen, v. 5 Weden 6 Weigert 5 Weimer 3 Wendland 4 Wendt 11 Wickop 23 Wiese, von 4 Wiesenewsky 20 Wisniewski 7, 8 Witting 13 Zemann 16, 19 Zietemann 22 Zipperer 21

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