Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität und des Magnetismus [4. verb. Auflage. Reprint 2011] 9783111485058, 9783111118338

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E I N F Ü H R U N G IN D I E

MAXWELLSCHE T H E O R I E D E R ELEKTRIZITÄT U N D DES MAGNETISMUS VON

DR. CLEMENS SCHAEFER o. ö. Professsor der Physik an der Universität Breslau

VIERTE VERBESSERTE M I T 33

AUFLAGE

TEXTFIGUREN

1941

WALTER DE G R U Y T E R & CO.,

BERLIN

vormals G. J. Göschen'sche V e r l a g s h a n d l u n g · J. G u t t e n t a g , V e r l a g s b u c h h a n d l u n g Georg R e i m e r · Karl J. T r ü b n e r · Veit & C o m p .

Alle Rechte vorbehalten Copyright 1941 by Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35 Archiv-Nr. 526841 · Printed in Germany Druck von Walter de Gruyter & Co., Berlin W 35

Herrn

Geheimen

Hofrat

dem Lehrer in Verehrung

Prof. Dr. Lothar und

Heffter

Freunde

und Dankbarkeit

gewidmet

Aus dem Vorwort zur ersten Auflage (Erschienen in: Sammlung mathcmatisch-physikalischer Lehrbücher) Der Aufforderung des Herausgebers dieser Sammlung, eine Einführung in die Maxwellsche Theorie der Elektrizität und des Magnetismus zu schreiben, bin ich zunächst nicht ohne Bedenken, schließlich aber doch guten Mutes gefolgt. Denn ich bin in der Tat der Überzeugung, daß trotz der großen Anzahl hervorragender Lehrbücher über diese Theorie ein Buch, welches eine möglichst einfache Einführung in die Grundlagen gibt, nicht überflüssig ist; das ist wenigstens die Erfahrung, die mich meine akademische Lehrtätigkeit hat machen lassen. Demgemäß habe ich mich bemüht, mit den einfachsten Mitteln eine möglichst durchsichtige Darstellung des Faraday-Maxwellschen Gedankenkreises zu geben. Die zum Verständnis notwendigen mathematischen Vorkenntnisse sind auf ein Minimum reduziert. So habe ich auf die Benutzung der Symbole der Vektoranalysis verzichtet, weil ich deren Kenntnis in dem Kreise, an den sich diese Schrift wendet, nicht allgemein voraussetzen durfte; ebenso habe ich die Greenschen Sätze und Stokes' Theorem unterdrückt und die Eindeutigkeitsbeweise fortgelassen. Was dadurch an Strenge etwa verloren ging, hoffe ich an Anschaulichkeit gewonnen zu haben. Die Darstellung zerfällt in fünf Kapitel. Das erste behandelt die elektrostatischen Phänomene, das zweite die Gesetze der Magnetostatik. In den Kapiteln III und IV (Elektromagnetismus und Induktion) dringt die Darstellung zu den allgemeinen Maxwellschen Gleichungen vor; im fünften Kapitel endlich werden sie auf die für die Maxwellsche Theorie charakteristischen Phänomene, die elektrischen Wellen in Isolatoren und Leitern angewendet, unter besonderer Berücksichtigung der elektromagnetischen Lichttheorie. Für die Wahl dieser Reihenfolge, die einigermaßen mit der historischen Entwicklung übereinstimmt, waren mir lediglich Gründe didaktischer und pädagogischer Natur maßgebend; sie bestimmten mich insbesondere, die Herleitung der magnetischen Feldgrößen an das Feld permanenter Magnete, statt an das Feld elektrischer Ströme anzuschließen. Wenn es auch keinem Zweifel unterliegt, daß für den Systematiker der zweite Weg der empfehlenswertere ist, so habe ich doch anderseits die Überzeugung, daß die hier gewählte Darstellung, die ja früher allgemein üblich war, anschaulichcr ist...

Vorwort zur 4. Auflage Die 4. Auflage erscheint in etwas verändertem äußeren Gewände; dagegen habe ich an der grundsätzlichen Haltung des Buches nichts geändert. Innerhalb dieses Rahmens habe ich mich bemüht, die Darstellung zu verbessern, klarer zu gestalten und von überflüssigen Fremdwörtern zu befreien. Etwas ausführlicher als bisher bin ich an den geeigneten Stellen auf die elektrischen Einheiten eingegangen; entsprechend der durch die Quantentheorie veränderten Wissenschaftslage wurden die Ausführungen über den Gültigkeitsbereich der Maxwellschen Theorie anders gefaßt. Herr Studienrat Dr. W. Kliefoth hat eine Korrektur mitgelesen, Herr Studienreferendar G. Röhr die Zeichnungen angefertigt. Beiden Herren bin ich für ihre hingebende Unterstützung sehr zu Dank verbunden. B r e s l a u , im Oktober 1940 Schaefer

Inhaltsverzeichnis I. Elektrostatik

Seite

1. Grundtatsachen und Bezeichnungen

1

2. Fluidumshypothese der Elektrizität

3

3. Coulombsches Gesetz

4

4. Fernkräfte oder Nahekräfte

6

5. Das elektrische Feld punktförmiger Ladungen

8

6. Der Gaußsche Satz

11

7. Anwendungen des Gaußschen Satzes

13

8. Potential; zweites Feldgesetz für die elektrische Kraft

16

9. Kraftlinien; Äquipotentialflächen; hydrodynamische Analogie 10. Anwendungen

21 25

11. Homogenes Dielektrikum; wahre und freie Elektrizität

29

12. Inhomogenes Dielektrikum

33

13. Die Energie des elektrostatischen Feldes und die ponderomotorischen Kräfte

37 II. Magnetostatik

14. Grandtatsachen und Bezeichnungen

41

15. Coulombsches Gesetz im Vakuum

43

16. Das magnetische Feld im Vakuum

45

17. Das magnetische Feld in magnetisierbaren Medien

46

18. Kraftlinien; Induktionslinien; Äquipotentialflächen

50

III. Magnetfeld des elektrischen Stromes 19. Grundtatsachen und Bezeichnungen

51

20. Das Magnetfeld eines linearen Stromes

53

21. Ableitung des ersten Tripels der Maxwellschen Gleichungen

56

22. Das Vektorpotential; Biot-Savartsches Gesetz; ponderomotorische Kraft auf ein Stromelement. Anwendungen

.

59

Inhaltsverzeichnis Seite

23. Der Verschiebungsstrom; die Maxwellschen Gleichungen für einen Halbleiter

65

24. Das Ohmsche und das Joules che Gesetz

67

25. Elektrostatisches und elektromagnetisches Maßsystem

70

IV. Induktion 26. Grundtatsachen und Bezeichnungen

72

27. Lenzsche Regel; Faradaysches Gesetz

73

28. Zweites Tripel der Maxwellschen Gleichungen

77

29. Der Poyntingsche Satz

80

30. Induktionswirkungen zweier Stromkreise; Selbstinduktion

84

31. Spezielle quasistationäre Vorgänge

88

V. Elektrische Wellen 32. Die allgemeinen Grenzbedingungen der Maxwellschen Theorie

100

33. Elektromagnetische Störungen in homogenen Isolatoren

103

34. Elektromagnetische Lichttheorie

109

35. Theorie der Reflexion und Brechung elektromagnetischer Wellen an Isolatoren 36. Elektromagnetische Wellen in Metallen

114 123

37. Elektromagnetisches Modell einer Lichtquelle

130

38. Schluß

136

Sachregister

139

I. Elektrostatik 1. Grundtatsachen und Bezeichnungen. Durch Reibung aneinander können zwei verschiedene Körper in einen eigentümlichen Zustand versetzt werden, der sie befähigt, andere leichte Partikelchen (Papierschnitzel, Korkfeile usw.) zunächst anzuziehen und nach erfolgter Berührung wieder abzustoßen. Man sagt dann, die geriebenen Körper seien „elektrisiert" oder „elektrisch geladen"* Man kann sämtliche Körper in dieser Weise behandeln und sie nach ihrem Verhalten in zwei Klassen teilen. Die erste Klasse ist dadurch charakterisiert, daß es keiner besonderen Vorsichtsmaßregeln bedarf, um sie in den „elektrischen" Zustand zu versetzen. Man kann die dieser Gruppe angehörigen Körper ζ. B. einfach dadurch elektrisieren, daß man sie in die Hände nimmt und aneinander reibt. Auch können sie dabei in direkter Verbindung mit der Erde sein. Zu diesen Substanzen gehören Paraffin, Hartgummi, Glas, Harz, Bernstein, Seide usw. Wollte man bei der zweiten Klasse ebenso primitiv verfahren, wie vorhin beschrieben, so könnte man leicht zu dem Schlüsse kommen, daß diese Körper durch Reibung nicht elektrisiert werden können. In der Tat hat es langer Zeit bedurft, bis man die Bedingungen erkannte, unter denen die Metalle, welche die hervorragendsten Repräsentanten dieser Körperklasse sind, überhaupt elektrisch werden können. Gray fand im Jahre 1727, daß die Metalle weder mit dem menschlichen Körper noch mit der Erde in Verbindung sein dürfen, sondern von ihnen durch Körper der ersten Klasse getrennt sein müssen. Will man also zwei Metallstäbe in der oben beschriebenen Weise elektrisieren, so müssen sie etwa mit Handgriffen aus Glas versehen werden. Dies beruht darauf, daß eine direkte oder durch den menschlichen Körper vermittelte Berührung mit der Erde den elektrischen Zustand der Metalle vernichtet. Dies geschieht allerdings auch bei den Körpern erster Klasse, jedoch mit einem sehr wesentlichen Unterschiede. Ein Metall braucht nur an einer einzigen Stelle mit der Erde in Kontakt gebracht zu werden, um sofort in seiner ganzen Ausdehnung unelektrisch zu werden; dagegen verlieren die Körper erster Klasse ihren elektrischen Zustand nur an den Stellen, die mit der Erde in Berührung sind, während er ihnen an den anderen, wenn auch dicht benachbarten Stellen erhalten bleibt. In engstem Zusammenhange damit steht die fernere Tatsache, daß Metalle, wenn sie unter den eben angeführten Vorsichtsmaßregeln auch nur an einer Stelle aneinander gerieben werden, sofort in ihrer ganzen Ausdehnung elektrisch werden, während ein der ersten Gruppe zugehöriger Körper nur an den geriebenen Stellen die Fähigkeit besitzt, andere unelektrische Körper anzuziehen. Man drückt diesen Sachverhalt dadurch aus, daß man den Körpern zweiter Klasse, insbesondere also den Metallen, das Vermögen zuschreibt, den durch Reibung hervorgerufenen elektrischen Zustand von den geriebenen Stellen zu allen anderen S e h a e f e r , Maxwellsche Theorie.

\

2

I. Elektrostatik

Punkten des betreffenden Körpers fortzuleiten, während man den Körpern erster Klasse diese Eigenschaft a b s p r i c h t . Die Körper erster Klasse heißen deshalb N i c h t l e i t e r oder I s o l a t o r e n , die der zweiten Leiter. Da der menschliche Körper zu den Leitern gehört, ist es klar, weshalb ein Metall auch gegen diesen vermittels eines Nichtlieters isoliert sein muß; die auf demselben durch Reibung erzeugte elektrische Ladung würde durch das Metall selbst sowie durch den menschlichen Körper zur Erde abgeleitet und damit der geriebene Leiter wieder unelektrisch werden. Wir wollen jetzt folgende Versuche vornehmen: Es werden zwei Körper A und Β aneinander gerieben und dadurch elektrisiert. Man findet dann stets, daß zwischen ihnen anziehende Kräfte wirken. Wir nehmen nun einen Körper aus dem nämlichen Material wie A, den wir deshalb A 1 nennen wollen, und reiben ihn mit B. Wir finden in Übereinstimmung mit dem oben ausgesprochenen Erfahrungssatze Anziehung zwischen A 1 und B. Ersetzen wir ebenso Β durch einen gleichartigen Körper B 1 , so wird auch er, nachdem er durch Reibung mit Α (oder mit A 1 ) elektrisiert ist, von Α (oder A 1 ) angezogen. Dagegen wirken zwischen Α und A 1 sowohl, als auch zwischen Β und B 1 a b s t o ß e n d e Kräfte. Nun sind aber Α und A 1 einerseits, Β und B 1 anderseits einander völlig gleichartig. Man muß also annehmen, daß Α und A 1 durch Reibung an Β (oder B 1 ) völlig gleichmäßig affiziert werden; das gleiche gilt von Β und B 1 nach Reibung mit Α (oder A 1 ), Man nennt daher auch Α im Vergleich mit Α1, Β mit Bezug auf B 1 g l e i c h a r t i g e l e k t r i s i e r t , Α (oder A 1 ) im Verhältnis zu Β (oder B 1 ) ungleicha r t i g e l e k t r i s i e r t . Man erhält also den E r f a h r u n g s s a t z , der sich stets bestätigt hat: „Gleichartig elektrisierte K ö r p e r stoßen sich ab, ungleichartig elektrisierte z i e h e n s i c h an". Das Experiment hat ζ. B. ergeben, daß ein Glasstab, mit Leder gerieben, sich gegenüber einer Harzstange (mit einem Katzenfell gerieben) ungleichartig verhält. Daraus folgt natürlich, daß auch Glas zu Leder, Harz zum Katzenfell, sowie endlich Leder zum Katzenfell sich ungleichartig verhalten, während die anderen Kombinationen gleichartig elektrisiert sind (ζ. B. Glas zum Katzenfell usw.). Zu diesen Tatsachen tritt ferner noch die fundamentale Erfahrung hinzu, daß die durch Reibung zweier heterogener Körper entstehenden ungleichartigen Elektrisierungen gleich stark sind, d. h. daß ein elektrisierter Körper, der ζ. B. von einer geriebenen Glasstange unter bestimmten Umständen mit einer bestimmten Kraft abgestoßen wird, unter eben denselben Umständen von dem Leder, mit dem der Glasstab elektrisiert wurde, mit gleicher Kraft angezogen wird. Daß dieser Versuch sich in der beschriebenen Weise schwerlich exakt ausführen läßt und in praxi durch eine andere Anordnung ersetzt werden muß, ist für uns hier gleichgültig, da es uns nur darauf ankommt, auf möglichst einfache Weise zu den Grundtatsachen zu gelangen. Wir machen ferner folgenden Versuch: Wir nehmen einen hohlen metallischen Konduktor, dessen Oberfläche mit einer kleinen Öffnung versehen ist. Durch dieselbe führen wir, ohne den Konduktor zu berühren, eine kleine elektrisch geladene Metallkugel ein, natürlich an isolierendem Griff. Stellen wir nun, während die geladene Kugel sich im Innern befindet, für einen Moment Verbindung derselben

Fluidumshypothese der Elektrizität

3

mit dem umgebenden Hohlkörper her und ziehen erstere dann heraus, so zeigt sich, daß sie ihren elektrischen Zustand völlig verloren h a t ; dieser ist vielmehr auf den Hohlkonduktor übergegangen. Da im Moment der Berührung Kugel und Hohlkonduktor einen einzigen Leiter bilden, folgt aus diesem Versuche, daß die Elektrisierung von Metallen sich stets an der äußeren Oberfläche befindet. Begeben wir uns umgekehrt mit einer elektrisch geladenen Probekugel ins Innere des geladenen Konduktors, diesmal aber, ohne Berührung eintreten zu lassen, so zeigt sich das merkwürdige Resultat, daß auf die Probeladung keinerlei anziehende noch abstoßende Kräfte wirken: Im Innern von Metallen wirken also keine elektrischen Kräfte. 2. Fluidumshypothese der Elektrizität. Es ist dem menschlichen Geiste eigen, für jede Wirkung ein Substrat zu suchen, und er ist nicht eher befriedigt, als bis dies gelungen ist. Dieses Bestreben hat dazu geführt, die durch Reibung erzeugten Kräfte als Wirkungen eines Agens anzusehen, das durch den Elektrisierungsprozeß irgendwie auf die geriebenen Körper geschafft wird. Dieses Agens, das man sich als eine gewichtslose Flüssigkeit, ein Fluidum, gedacht hat, hat man mit dem Namen Elektrizität belegt. Um dem zwiefachen Charakter der Elektrisierung Rechnung zu tragen, kann man auf zwei verschiedene Weisen verfahren. Man stellt sich bei dem eisten Erklärungsversuch auf den Standpunkt, daß in allen unelektrischen Körpern ein ganz bestimmtes Quantum dieses Agens aufgespeichert sei; durch den Prozeß der Reibung gehe dann von dem einen geriebenen Körper auf den andern eine gewisse Menge Agens hinüber, so daß der letztere ein Plus an Elektrizität, der erstere ein ebenso großes Minus an ihr habe. Diese Anschauung kommt mit der Annahme eines Fluidums aus; sie wird als unitarische Hypothese bezeichnet und ist zuerst von Benjamin Franklin begründet worden. Nach der zweiten Anschauung nimmt man zwei Agentien an, die man als „Glaselektrizität" (oder + Elektrizität) und als Harzelektrizität (— Elektrizität) bezeichnet. Ein unelektrischer Körper enthält danach von beiden Elektrizitäten gleiche Quantitäten; durch den Elektrisierungsprozeß geht auf den einen Körper positive, auf den andern ein gleiches Quantum negativer Elektrizität über. Diese dualistische Hypothese leistet genau dasselbe wie die unitarische, und eine Entscheidung zwischen ihnen ist deshalb nicht möglich, aber auch nicht notwendig. Obwohl die Fluidumshypothese uns über das Wesen der Erscheinung nichts aussagt, ist sie doch äußerst bequem, um die Erscheinung kurz und knapp zu beschreiben. Auch wir wollen uns deshalb der Ausdrucksweise dieser Hypothese ruhig bedienen, ohne uns auf ihre Richtigkeit festzulegen. Die im ersten Paragraphen beschriebenen Fundamentaltatsachen lassen sich in dieser Ausdrucksweise folgendermaßen wiedergeben: 1. Werden zwei verschiedene Körper aneinander gerieben, so erhält der eine von ihnen ebensoviel positive Elektrizität wie der andere negative. 2. Auf den Isolatoren haftet die Elektrizität an den geriebenen Stellen fest, auf den Leitern verbreitet sie sich über den ganzen Körper. 3. Gleichnamige Elektrizitäten stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an. 1*

4

I. Elektrostatik

Die Sätze 2. und 3. erklären leicht den Umstand, daß die Elektrizität auf den Metallen sich an die Oberfläche begibt: die Abstoßung bewirkt eine möglichst großen Entfernung der auf einem Metall befindlichen Elektrizitätsmengen voneinander. 3. Coulombsches Gesetz. Es liegt uns nun ob, die zwischen elektrisierten Körpern wirkenden Kräfte zu untersuchen und das Wirkungsgesetz aufzufinden. Coulomb hat diese Aufgabe für einen speziellen, gleich zu besprechenden Fall gelöst. Wir wollen zwei sehr kleine Körper (1) und (2) elektrisieren und dann im leeren Räume in eine solche Entfernung r bringen, daß wir die Dimensionen der Körper gegen r vernachlässigen, d. h. sie als P u n k t e betrachten dürfen. Durch sorgfältige Versuche hat nun Coulomb gezeigt, daß die Kräfte 2 umgekehrt proportional dem Quadrate der Entfernung sind, in Zeichen also: (a)

=

wobei 2 den von dem elektrischen Zustande b e i d e r Körper abhängenden Proportionalitätsfaktor bedeutet. Ersetzt man den Körper (2) durch einen ebenso behandelten (3), so hat man: 00 ®1 2 = —— wird also i m a l l g e m e i n e n von dem Zustande a ι * ' *a °13 ®43 53 m3 alle e i n a n d e r gleich, d. h. unabhängig von den Eigenschaften desjenigen Körpers, dessen Index im Zähler u n d Nenner vorkommt. Da aber Zähler und Nenner f ü r sich in hohem Maße von den Eigenschaften dieses Körpers abhängen, so ist das Resultat nur dadurch zu erklären, daß durch die Division sich der Einfluß desselben fortgehoben hat. D. h. in o l ! 2 ist der Einfluß des Körpers 1 als F a k t o r enthalten; natürlich gilt dasselbe vom Einfluß des Körpers 2. Wir können also setzen: (e) «i, 2 = / · h e2 , wo f eine universelle Konstante ist, nur von dem elektrischen Zustande des ersten Körpers, e2 nur von dem des zweiten Körpers abhängt.

Coulombsches Gesetz

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Das Coulombsche Gesetz gewinnt dadurch die Form (1) Die Größen ea und eb nennt man in der Ausdrucksweise der Fluidumshypothese die auf den Körpern α bzw. l· befindlichen „ E l e k t r i z i t ä t s m e n g e n " . Unser nächster Schritt muß es sein, ein Maß für die Elektrizitätsmenge aufzufinden.· Könnten wir die Konstante f im Coulomb sehen Gesetz auf irgendeine Weise bestimmen, so wäre unsere Aufgabe gelöst. Denn wir haben für die Kraft ®a,6 k e r e i t s ei11 Maß aus der Mechanik, das D y n ; für die Entfernung r ebenfalls, das Zentimeter; f wäre nach Annahme auch bekannt, d. h. durch irgendwelche Maßeinheiten ausdrückbar. Würden wir uns dann durch Probieren (indem wir etwa die Kräfte auf einen dritten Körper messen) zwei gleiche elektrische Ladungen e herstellen, so gäbe uns Gleichung (1):

d. h. durch die Maßeinheiten für r, f wäre dann auch diejenige für e festgelegt. Wir können indessen f auf keine Weise durch bekannte Maßeinheiten ausdrücken; denn das würde immer schon ein Maß für e, das wir doch gerade kennenlernen wollen, voraussetzen. Man setzt deshalb nach dem Vorgänge von C. F. G a u ß w i l l k ü r l i c h f = 1 und hat damit nach dem oben Gesagten ein zwar willkürliches, aber konsequent durchführbares, praktisch brauchbares Maß für e geschaffen. Die Messung von e ist zurückgeführt auf die Messung einer Kraft und einer Länge. In der Mechanik pflegt man alle Größen auf drei (ebenfalls willkürliche) Grundeinheiten zurückzuführen, nämlich auf die Einheiten der Masse, der Länge und der Zeit (die man durch die Symbole M, L, Τ bezeichnet). Als Einheit der Zeit dient die Sekunde (sec), der 86164ste Teil des Sterntages; als Einheit der Länge das Zentimeter (cm), der lOOste Teil eines in Sevres bei Paris aufbewahrten Maßstabes, des sog. „metre des archives". Als Einheit der Masse endlich wird der lOOOste Teil eines ebendaselbst aufbewahrten Platinstückes, des sog. „kilogramme des archives", benutzt, das Gramm (gr). Alle mechanischen Größen können auf diese drei Einheiten zurückgeführt werden. So ζ. B. ist die Geschwindigkeit υ der in einer Zeit t zurückgelegte Weg s, dividiert durch diese Zeit; d. h. durch die Einheiten der Länge und der Zeit ausdrückbar. Man schreibt demgemäß: [v] = [LT~l] und nennt den Ausdruck [LT'1] die D i m e n s i o n von v. Zum Zeichen, daß es sich nur um q u a l i t a t i v e Gleichungen handelt, pflegt man sie in eckige Klammern zu setzen. Geschwindigkeit Ebenso ist eine Beschleunigung γ = ; also: : Zeit M=

\

=

[LT-*]·,

6

I. Elektrostatik

ferner die Dimension einer Kraft ® (als dem Produkte einer Masse und einer Beschleunigung) : [ft] =

[ M L T - * ] .

Ebenso die Dimension einer Arbeit A ( = Kraft χ Weg): [A]

=

[ML2T~z]

usf.

Aus dem Coulombschen Gesetze findet man so für die Elektrizitätsmenge: [e] = Υ Kraft- Länge2 = [M1/. £'/. Τ " 1 ] , oder, im absoluten Maßsystem, d. h. in gr, cm, sec ausgedrückt: [e]abs = W' cm'/« s e c - 1 ] ; J ) in Worten: Die ( e l e k t r o s t a t i s c h e ) E i n h e i t der E l e k t r i z i t ä t s m e n g e i s t diej e n i g e Menge, welche auf eine gleichgroße im Abstände von 1 cm d i e K r a f t von 1 Dyn ausübt. Das hier für die Elektrizitätsmenge eingeführte Maßsystem heißt das e l e k t r o statische. Die hier definierte elektrostatische Ladungseinheit, die keinen Namen führt, ist für praktische Zwecke zu klein; man hat daher eine größere Einheit, das sog. „absolute Coulomb" (C0(,3) als das 3 · 109-fache derselben definiert: 1 C a b s = 3 - 1 0 » elektrostatische Einheiten (E. S. E.). Das bis zum 1. Januar 1940 im Gebrauch gewesene sog. „internationale Coulomb" ( ' C i n t ) war durch die gesetzliche Bestimmung festgelegt, daß durch 1 C j n t aus einer Silbernitratlösung 1,11800 mg Silber abgeschieden werden; die Beziehung zwischen dem neuen (eben dem absoluten Coulomb) und dem internationalen Coulomb ist gegeben durch: 1 C i n i = 0,99996 C a b s . 4. Fernkräfte oder Nahekräfte Ϊ Das Coulombsche Gesetz setzt zwei räumlich voneinander getrennte Orte, nämlich die Stellen der Ladungen ea und eb in Beziehung zueinander. Es ist aber keine Rede von den dazwischen befindlichen Stellen des Raumes. Diese Form des Gesetzes legt also die Vorstellung nahe, als ob die durch ea hervorgerufene Kraft unter Überspringung der zwischenliegenden Raumteile auf eb direkt wirkte. Eine solche Art der Kraftwirkung nennt man „Fernwirkung", mögen auch ea und eb einander so nahe liegen wie etwa die Moleküle eines Körpers. Wesentlich ist keineswegs die größere oder kleinere Entfernung zwischen ea und eb, sondern lediglich, daß es g e t r e n n t e Stellen des Raumes sind. Es ist nun sehr bemerkenswert, daß man auch eine andere Vorstellung über die Wirkungsweise der elektrischen Kräfte mit dem Coulombschen Gesetze verbinden kann. Man kann sich nämlich den Raum mit einem Medium angefüllt denken, welches die Wirkung zwischen ea und eb vermittelt. Das R e s u l t a t , welches der Beobachtung zugänglich ist, kann dann noch immer eine dem Coulombschen Gesetze entsprechende Wirkung sein; aber der Mechanismus ist offenbar in beiden *) Die merkwürdigen gebrochenen Exponenten, wie überhaupt die ganze Dimension von e, wie auch der übrigen elektrischen und magnetischen Größen, beruhen l e d i g l i c h auf der Verwendung der drei Grundeinheiten M, L, Τ und der willkürlichen Festsetzung, daß f dimensionslos sein soll. Andere Wahl der Grundeinheiten würde andere Dimensionsformeln liefern; diese haben also mit dem „Wesen" der elektrischen und magnetischen Größen nichts zu tun.

7

Fernkräfte oder Nahekräfte ?

Fällen ein ganz anderer. In diesem zweiten Falle kann man sich die Sache etwa so denken: Durch die Ladung ea wird in dem vermittelnden umgebenden Medium ein gewisser (vom normalen abweichender) Zustand hervorgerufen (ζ. B. nach Art einer elastischen Dehnung oder Verzerrung, oder einer Strömung, wenn wir an eine Flüssigkeit denken). Was für ein besonderer Zwangszustand durch die elektrische Ladung hervorgebracht wird, ist uns unbekannt, aber auch zunächst nicht wesentlich. Die Hauptsache ist, da ß ein solcher Zustand als existierend vorausgesetzt wird. Am Orte der Ladung eb erzeugt dieser Spannungszustand dann die der Beobachtung zugängliche Kraftwirkung. Zwischen den beiden Anschauungen besteht ein fundamentaler Unterschied ζ. B. in folgender Hinsicht. Nach der Fernwirkungstheorie hat eine einzige elektrische Ladung überhaupt gar keine Bedeutung; denn Kraftwirkungen übt sie erst dann aus, wenn eine zweite Ladung vorhanden ist, die angezogen oder abgestoßen werden kann. Ganz anders bei der zweiten, der Nahewirkungstheorie: Hier erzeugt bereits eine einzige Elektrizitätsmenge einen vom normalen abweichenden Zustand im umgebenden Medium. Den Raum, innerhalb dessen dieser Spannungszustand besteht, nennt die Nahewirkungstheorie das „Kraftfeld" oder kurz das „Feld" der betreffenden Elektrizitätsmenge. Für die Nahewirkungstheorie, die deshalb auch „Feldtheorie" genannt wird, ergibt sich daraus die Aufgabe, den Spannungszustand des Feldes, oder wie man auch sagt, die I n t e n s i t ä t des Feldes zu bestimmen. Dies kann nun freilich nur dadurch geschehen, daß man auch hier eine zweite elektrische Ladung, eine Probeladung, in das Feld hineinbringt und nun die Kraftwirkung auf diese in jedem Punkte des Feldes feststellt. Man zerstört aber, streng genommen, durch das Hereinbringen der Probeladung das Feld, das man messen will; denn die Probeladung hat ja auch ein Feld, welches sich dem zu messenden superponiert, so daß die Kraftwirkung auf den Probekörper als Resultat der Wirkung beider Felder, nicht aber als Wirkung des zu messenden Feldes allein zu betrachten ist. Man kann diese Schwierigkeit aber dadurch beseitigen, daß man die Probeladung sehr klein wählt, so daß das primäre Feld nicht merklich gestört wird. Man bezeichnet demgemäß als F e l d i n t e n s i t ä t oder F e l d s t ä r k e oder endlich auch als elektrische K r a f t die Kraftwirkung, die das Feld auf eine sehr kleine Elektrizitätsmenge e ausübt, dividiert durch diese Elektrizitätsmenge. Man kann dies kurz, aber nicht ganz exakt ausdrücken, indem man sagt: Feldstärke ist = K r a f t pro Einheitsladung. Nennen wir die elektrische Feldstärke®, die auf die Elektrizitätsmenge e ausgeübte Kraft so ist nach dem Obigen: (2)

© = lim —. e=o

e

Die Hinzufügung des Zusatzes lim e = 0 bedeutet eben, daß die Beziehung umso exakter gilt, je kleiner die Hilfsladung e ist. Die Dimension von © ergibt sich zu: f(g7 = L 1

lMLT [M'UISUT-1]

2

]

=

ruf'/.jj-'/tT- 1 ] 1 ). 1

1

'

Die Untersuchung der Gesetzmäßigkeiten, denen die Kraft © unterworfen ist, falls sie von ruhenden elektrischen Ladungen erzeugt wird, ist die Aufgabe der Elektrostatik. *) Bezüglich der Einheit der Feldstärke © vergleiche S. 23.

8

I. Elektrostatik

Indem wir die in Gleichung (2) gegebene Definition der elektrischen Feldstärke annehmen, stellen wir uns auf den Boden der yon F a r a d a y und Maxwell begründeten Feldtheorie der Elektrizität. Zu dieser Stellungnahme bewegen uns nicht erkenntnistheoretische Erwägungen über Möglichkeit oder Unmöglichkeit von Fern- oder Nahewirkung, sondern lediglich die an der Hand der Erfahrung gewonnene Erkenntnis, daß der Nahewirkungsstandpunkt eine einfachere und konsequentere Darstellung unseres Gebietes zuläßt. Gleichwohl kann es für gewisse Probleme unter Umständen einfacher sein, an ein Fernwirkungsgesetz anzuknüpfen und sich der Sprache der Fernwirkungstheorie zu bedienen; deshalb werden wir auch das Coulomb sehe Gesetz unbedenklich da benutzen, wo es bequem erscheint. Es muß hier noch untersucht werden, welchem Medium die Vermittelung der Feldwirkungen zuzuschreiben ist. Es kann dies keine gewöhnliche Materie tun, da die elektrischen Kräfte auch in dem von Materie freien Raum, dem Vakuum, wirksam sind. Wir denken uns deshalb den ganzen Raum, auch im Innern der ponderablen Körper, mit einem neuen Medium, dem sog. Ä t h e r , angefüllt, den wir als Träger der Feldwirkungen betrachten. Weitere Eigenschaften von ihm sind uns vorläufig nicht bekannt. Es muß ferner noch ein Wort gesagt werden über die mathematische Form der Nahewirkungsgesetze. Diese können nicht verschiedene Punkte des Raumes in Verbindung bringen, mögen diese auch noch so benachbart sein; vielmehr werden sie uns Zusammenhänge zwischen Größen liefern, die sich auf einen Punkt des Raumes beziehen. Wenn also Z1 einen Zustand im Raumpunkte x, y, ζ bezeichnet, so besagt das Prinzip der Nahewirkungen, daß dieser Zustand Z1 (χ, y, z) n u r abhängen soll von anderen ZuständenZ 2 , Zn an d e r s e l b e n Stelle des Raumes; also =

oder

. .Zn) = 0.

Derartige „Nahewirkungsgleichungen" werden i. a. (partielle) Differentialgleichungen sein; doch können natürlich in speziellen Fällen die partiellen Ableitungen auch fehlen 1 ). 5. Das elektrische Feld punktförmiger Ladungen. Wir knüpfen unsere weiteren Betrachtungen an die Feldintensität CS an. Jedem Punkte des Feldes entspricht ein bestimmter Wert von Gü. Es ist dabei aber wohl zu beachten, daß es n i c h t hinreichend ist, den absoluten Betrag von © anzugeben, sondern es muß auch noch die Angabe der Richtung hinzukommen. Solche Größen nennt man V e k t o r e n im Gegensatz zu den S k a l a r e n , die durch ihren Betrag völlig charakterisiert sind. Beide Arten von Größen spielen in der Physik eine wichtige Rolle; zu den V e k t o r e n gehören die Kräfte, Geschwindigkeiten, Beschleunigungen, Feldstärken usf.; als S k a l a r e dagegen sind ζ. B. das spezifische Gewicht, die Energie- und Arbeitsgrößen aufzufassen. Wir bezeichnen die Vektoren zur Unterscheidung stets durch deutsche Buchstaben. > ;Zui Vermeidung eines MißVerständnisses sei folgendes gesagt: Um die etwa vorkommenden /

dV> 0Ψ

V

dx

dV>\

partiellen Ableitungen kennen zu lernen ( ζ. B. — , —, — I , muß die Größe ν natürlich auch dy

dl/

in der U m g e b u n g von ( x , y , z ) bekannt sein; das ist jedoch k e i n Widerspruch gegen die ©V obige Formulierung, da auch diese Größen — , · · · sich sämtlich auf den e i n e n Funkt ( z , y , z ) βχ

beziehen, für den die Nahewirkungsgleichung F(Zlt · ••Zu) — Ο aufgestellt äst.

Das elektrische Feld punktförmiger Ladungen

9

Wir betrachten zunächst die Stärke und Richtung des Feldes, das von einer einzigen punktförmigen Ladung hervorgerufen wird. Dem Begriffe der punktförmigen Ladungen kommt allerdings keine physikalische Realität zu. Denn kommen wir in hinreichende Nähe einer noch so kleinen Ladung, so nehmen wir immer eine räumliche Ausdehnung wahr: Die Elektrizität ist mit einer bestimmten Dichte entweder r ä u m l i c h oder auf einer Fläche verteilt. Unter räumlicher Dichtigkeit ρ versteht man dabei diejenige Elektrizitätsmenge, die im Kubikzentimeter enthalten ist; ebenso bedeutet die Flächendichte η die Ladung pro Quadratzentimeter. Bezeichnen wir also die Gesamtladung mit e, so ist: e = J ράτ

bzw.

e= J

ηά8,

wenn άτ und dS Volum- bzw. Flächenelemente sind. Indessen ist für viele Zwecke der Begriff der punktförmigen Ladung außerordentlich bequem. Eine punktförmige Ladung e1 befinde sich an der Stelle ( x iVih) des Raumes. Nach Gleichung (2) und (1) ist dann die Feldstärke (Sj ihrem Betrage nach — Betrag eines Vektors wird durch Einschließen in 2 vertikale Striche angedeutet — in einem Punkte (xyz) in der Entfernung r^. (3)

=

'1

Dabei ist rx = ]/{x— a^)2 + (y— y^)2 + (s — Ζχψ. Die R i c h t u n g der Feldstärke ist die des Radius-Vektors je nachdem die Ladung elt die das Feld erzeugt, positiv oder negativ ist, weist die Feldstärke von kleineren zu größeren oder von größeren zu kleineren Werten von rv Wir wollen jetzt die Komponenten von (Jj parallel den Koordinatenachsen bilden; wir bezeichnen sie mit (S.yv wie wir überhaupt die Komponenten jedes Vektors durch Anfügen von Indizes charakterisieren wollen. Wir erhalten sie durch Projektion von G^ auf dieselben, d. h. durch Multiplikation von ©j mit den Richtungskosinus von oder, was dasselbe ist, da und rx gleichgerichtet sind, von rv Wir haben also: ©icos«!,

(£Βι = S j cos ßi,

(S2i =

cos γ1,

wenn α^ ßlt γ1 die Winkel sind, die rx bzw. mit der x-, y-, z-Achse bildet. 2 Daraus folgt sofort: (Sι2 = (£x2 + (SUi + ©Zj2 . l

Nun ist aber: cos«!1 =

χ—χ, rx

- =

8r, 8x

„

cos ßi= 1

y—υ,

-

—

c

rx

8r, 8y

o

s

y11 =

ζ—z1 ! rx

8r,

= ir > 8s

wobei rx nach den Achsenrichtungen zu differentiieren ist. Da diese übrigens in keiner Weise bevorzugt sind, so gilt auch allgemein: (3b)

cos (r, n) =

8r

ein Resultat, von dem wir häufig Gebrauch machen werden. Also ist: *) Der Leser wird bemerken, daß die linke Seite der Gl. (1) und (2) ebentalla In vertikale Striche hätte eingesclilossen werden aollen, da auch dort der Betrug von j bzw. ß gemeint 1st.

10

I. Elektrostatik

(4)

»γ· ~ " " T-f ry Haben wir statt des soeben angenommenen Feldes (äj ein solches ®2, herrührend von einer punktförmigen Ladung e2 im Punkte (x2y^2) in der Entfernung r2 von (xyz), so haben wir die analogen Gleichungen: =

Ϋ(χ

-

+

cos α, = Also:

=

( y -

+

2C ~ ~ X2 ßx'

(* -

usw.

e.

A ( x — x2),

z2)2.

=

r i (

2

—

'2 '2 '2 Existieren endlich beide Felder gleichzeitig, so erhalten wir ein resultierendes Feld dessen Komponenten (Sx, % sich erfahrungsgemäß additiv aus den Komponenten der Teilfelder zusammensetzen; also: =

©X, +

e» =

+

Eft

=

%

'1

(X--

Χι) +

£

'2

(X--

X,),

= Ä ( 2 / - 2/1) + A ( 2 / - 2/2),

=

Ein Feld endlich, das von η punktförmigen Ladungen herrührt, hat die Komponenten:

Ein von punktförmigen Ladungen herrührendes Feld kann also stets auf die Form gebracht werden: ).=n ffi.

ä=1

λ

η

(5)

wobei die Summen über sämtliche Ladungen zu bilden sind. Für ein solches Feld wollen wir jetzt ein Feldgesetz, d. h. eine partielle Differentialgleichung ableiten. Differenzieren wir die erste der Gleichungen (5) nach x, die zweite nach y, die dritte nach s, so folgt: 3 (a; — Χχ)* ßx

und entsprechend

h3

τλ

dx

Der Gaußsche Satz

11

V \.eA _ (y — yx) Zrj\ = Λ1 ΓΙ 3 ( y - y t f 8y £ [rf τλ* cy\ ^ [r*" r/ S3= Np \ex 3ex(z-zx)8rxJ_ 3 {z-ztf 8z £ [r/ 8z\ ^ Lr/ r» λ

A

2

2

Da (χ—x } ) + (j/—ytf + (ζ — ζχ) =

τλ2,

so folgt durch Addieren:

Die auf der linken Seite von (6) stehende Differentialoperation nennt man mit einer aus der Hydrodynamik entnommenen Bezeichnung die „Divergenz" des Vektors 6, und man hat in der Vektorrechnung ein besonderes Symbol dafür eingeführt: div© (sprich: Divergenz von In dieser Bezeichnung heißt also Gl. (6): (6 a) div © = 0. Dieses Feldgesetz gilt im ganzen Räume mit Ausnahme der punktförmigen Ladungen, weil dort die Kräfte unendlich weiden. Da, wie bereits früher hervorgehoben, punktförmige Ladungen nicht existieren, so bedarf Gleichung (6) einer Ergänzung für das Gebiet, in dem räumlich oder flächenhaft verteilte Elektrizität angehäuft ist. Diese Ergänzung ergibt uns der im folgenden Paragraphen zu beweisende Gaußsche Satz. 6. Der Gaußsche Satz. Wir denken uns im elektrischen Felde eine geschlossene Fläche S , deren Oberflächenelement wir mit dS bezeichnen. An der Stelle jedes Oberflächenelementes hat die elektrische Feldstärke einen gewissen Wert © und steht im allgemeinen natürlich nicht senkrecht auf der Fläche; diesen Wert von © zerlegen wir in zwei zueinander senkrechte Komponenten: die eine soll parallel dS an der betreffenden Stelle, die andere Abb. ι. normal dazu sein. Erstere nennen wir die tangentielle, letztere die normale Komponente, und bezeichnen sie mit ©t bzw. ©n. Das Produkt n bilden wir für jede Stelle der'gedachten Fläche und summieren die erhaltenen Werte. Mit anderen Worten: Wir bilden das Oberflächenintegral Man nennt diesen Ausdruck den „ K r a f t f l u ß " n durch die Fläche S . Der Einfachheit halber nehmen wir jetzt an, die Fläche sei so weit von dem Feld der elektrischen Ladungen entfernt, daß wir letztere wieder als punktförmig ansehen können. Sei nun in der Figur Ο der Sitz einer dieser Ladungen ε λ und dS ein Oberflächenelement deT betrachteten Fläche; dasselbe ist um die Strecke rx von Ο entfernt. Die mit ihrer positiven Richtung nach außen weisende Normale heiße n.

(& dS

J($ dS.

Dann ist die von ex herrührende elektrische Feldintensität am Orte dS gleich ^ , also die Normalkomponente gleich

cos ( r x , η ) , wenn {τχ, η ) der Winkel

12

I. Elektrostatik

zwischen τχ und der Normalenrichtung ist. Nach Formel (3 b) auf S. 9 ist aber Oy

cos (r^, n) =

also ist der von

herrührende Kraftfluß durch dS:

dS. 8n Wir schlagen nun um Ο mit r x eine Kugel; aus derselben wird durch den Strahlenkegel, der von der Begrenzung von dS mit Ο als Spitze gebildet wird, ein Element dk herausgeschnitten. Da die Flächenelemente dS und dk unendlich klein sind, können sie als eben betrachtet werden, und es ist dann dk die P r o j e k t i o n von dS auf die Kugelfläche. Der Winkel zwischen beiden Flächen ist wieder (τχ,η); also ist: Sri dk = dS cos (rx, n) = dS~; (8) (7)

anderseits ist aber dk =

άφχ, wenn άφχ den räumlichen Winkel bedeutet, unter

welchem dk (und dS) von 0 aus erscheinen: also rÄ2άφχ = dS

Ütl

Setzen wir diesen

Wert in die obige Formel ein, so folgt: (9)

® n W d S = βλάΨλ,

also ist der von ex herrührende Kraftfluß durch die gesamte Fläche: (10)

/ ®nWdS = ex f

άΨλ.

Jetzt sind zwei Fälle möglich: 1. βχ wird von der F l ä c h e umschlossen; dann erfüllt j ά φ χ , der räumliche Winkel, unter dem S von 0 aus erscheint, den ganzen Winkelraum um Ο herum, ist also gleich 4π, also / dS = ijiex. 2. βχ liegt a u ß e r h a l b der geschlossenen

Abb. 2.

Fläche.

Dann zerfällt die Fläche in zwei Teile, einem dem Körper zugewandten, Sv einem dem Körper abgewandten, S2 (Abb. 2). Für diese ist der räumliche Winkel ψχ dem absoluten Werte nach derselbe, aber er ist mit entgegengesetzten Vorzeichen für ^ und S2 zu nehmen, so daß der totale räumliche Winkel gleich 0 ist. Also ist / ® n W d S = 0,

falls die Fläche ex n i c h t einschließt. Diese Überlegungen können nun auf alle Elektrizitätsmengen angewendet werden, die das Feld bilden; wir erhalten dann durch Addition aller Teilkraftflüsse im Falle 1: (11) im Falle 2: (IIa)

J(indS=^JJex, f®ndS=0.

Der Fall 2 ist, wie man sieht, ein spezieller Fall von 1. Denn wenn alle Elek-

Anwendungen des Gaußschen Satzes

13

trizitätsmengen a u ß e r h a l b der Fläche liegen, ist Σβχ, d. h. die Summe der von der Fläche umschlossenen Elektrizitätsmengen, gleich 0; d. h. Gleichung (11) geht in (11 a) über. Gleichung (11) lautet in Worten: „Der K r a f t f l u ß d u r c h e i n e g e s c h l o s s e n e O b e r f l ä c h e g l e i c h 4jt mal der Summe aller e i n g e s c h l o s s e n e n E l e k t r i z i t ä t s m e n g e n " . Das i s t der Gaußsche Satz. Über seinen Gültigkeitsbereich ist folgendes zu sagen: Wir haben ihn unter der Annahme punktförmiger Ladungen bewiesen, d. h. unter der Annahme, daß die Τχ groß seien gegen die Dimensionen der Ladungen. Im Resultat in Gleichung (11) haben sich aber alle Τχ herausgehoben, und schon dies legt die Vermutung nahe, die sich auch wirklich streng beweisen läßt, daß unser Satz uneingeschränkt für jede beliebige Fläche gilt, mag dieselbe weit von den Ladungen entfernt sein oder nicht, d. h. mögen die Ladungen als punktförmig auffaßbar sein oder nicht. 7. Anwendungen des Gaußschen Satzes. Wir haben in Nr. 5 ein Nahewirkungsgesetz für die elektrische Feldstärke abgeleitet, welches in Gleichung (6)

Abb. 3.

ausgesprochen ist. Dasselbe hat aber zunächst nur Gültigkeit für Felder, die durch punktförmige Ladungen erregt sind, und es versagt am Orte der Ladungen selbst. Beide Lücken müssen ausgefüllt werden. Dazu dient der Gaußsche Satz, indem wir ihn auf eine spezielle, für unsere Zwecke passend gewählte Fläche anwenden. Bevor wir dies tun, wollen wir zunächst beweisen, daß die elektrischen Kräfte endlich bleiben, falls wir die Annahme der Punktförmigkeit der Ladungen fallen lassen und statt dessen der Elektrizität eine endliche räumliche (ρ) oder flächenhafte {η) Dichtigkeit beilegen. Wir wollen den Beweis nur für den Fall führen, daß die Elektrizität mit einer bestimmten Dichtigkeit ρ in einem Raumgebiet verteilt sei (Abb. 3). Ο sei der Punkt, für den wir die elektrische Kraft bestimmen wollen. Lassen wir denselben in den Raum selbst rücken, so wird sein Abstand von der elektrischen Ladungnur an der Stelle gleich 0, wo der Punkt geradeliegt,z.B.nur in 0'(Abb.3.) Denn die Entfernung von den anderen Stellen des Raumes, ζ. B. von 0 " , ist ja endlich und von Null verschieden. Es kann also die elektrische Kraft h ö c h s t e n s durch

14

I. Elektrostatik

die in Ο' befindliche Ladung unendlich werden. Betrachten wir 0 ' als Mittelpunkt eines Volumelementes dx, so ist die elektrische Ladung in diesem gleich ράτ; die Entfernung 00' sei r. Die von d i e s e r Stelle des Raumes herrührende elektrische K r a f t ist also gleich Nenner r

2

Rückt nun Ο nach 0 ' , so wird im Ausdruck

der

allerdings unendlich klein von zweiter Ordnung, aber das im Zähler

stehende Volumelement dx ist unendlich klein von dritter Ordnung, also

selbst

in 0 ' unendlich klein von erster Ordnung, also keineswegs unendlich groß. Damit ist für räumliche Ladungen der Beweis geliefert, daß die elektrischen Kräfte endlich bleiben; ganz ähnlich verläuft der Beweis für flächenhafte Ladungen. Nunmehr wollen wir den Gaußschen Satz auf eine spezielle Fläche, und zwar auf die Oberfläche eines unendlich kleinen Parallelepipeds anwenden,'dessen Kanten

parallel den Koordinatenachsen orientiert sind; die Kantenlängen sind der Reihe nach dx, dy, dz (Abb. 4). Die sechs Flächen dieses Parallelepipeds liegen parallel der xy-, yz-, 22-Ebene; da im Gaußschen Satze die Normalen s t e t s nach a u ß e n weisen, so stimmen auf drei Flächen die Normalenrichtungen überein mit den Koordinatenrichtungen, auf den drei andern sind sie entgegengesetzt. Wir berechnen j (£ndS zunächst f ü r die beiden schraffierten, parallel der i/z-Ebene liegenden Flächen von der Größe dydz. Die von Fläche 2 nach außen weisende Normale ist die + s-Richtung, die Normale von 1 weist nach der Seite der negativen x. Die Normalkomponente von © ist also für die Fläche 1: — (—

also pro Längeneinheit — N a c h

Abb. 8.

der Definition des Potentials ist aber — ^

os

gleich der elektrischen Feldstärke an

der betreffenden Stelle; mit anderen Worten: Die Feldstärke ist bei konstantem δφ umgekehrt proportional dem A b s t ä n d e zweier benachbarten Niveaulinien; sie ist in Abb. 8 größer an den mit a, kleiner an den mit h bezeichneten Stellen. Beide Methoden leisten genau dasselbe und sind auch mathematisch einander gleichwertig; denn man kann von den Flächen φ = konst. stets zu ihren orthogonalen Trajektorien, den Kraftlinien, übergehen und umgekehrt. Man erkennt aus dem Obigen, daß man die absolute Einheit der Feldstärke dann hat, wenn zwei Punkte im Abstände von 1 cm die absolute Potentialdifferenz 1 haben; die praktische Einheit der Feldstärke ist der 300ste Teil davon, nämlich 1 Volt/cm; seit dem 1. Januar 1940 sind „absolute" statt „internationale" Volt zu nehmen. Wir gehen jetzt über zur Besprechung einer Flüssigkeitsbewegung, deren Gesetzmäßigkeiten einen völligen Parallelismus bilden zu den im vorstehenden besprochenen Gleichungen der elektrischen Felder. Wir denken uns einen geschlossenen Raum, der mit einer inkompressibeln Flüssigkeit erfüllt ist; dieselbe sei in einer s t a t i o n ä r e n , d. h. mit der Zeit nicht veränderlichen Bewegung begriffen. Diese Flüssigkeitsbewegung entstehe folgendermaßen: Die Flüssigkeit entspringt an gewissen Stellen des Raumes, die wir Quellen nennen wollen, in einer bestimmten Quantität pro Zeiteinheit; dieselbe Flüssigkeitsmenge muß wegen der Inkompressibilität dann an anderen Stellen verschwinden, die wir als Senken oder negative Quellen bezeichnen. Diese Quellen (positive und negative) sollen stetig über den Raum oder über gewisse Stellen des Raumes mit bestimmter „Dichtigkeit" oder „Ergiebigkeit" verteilt sein. Unter Ergiebigkeit verstehen wir das Flüssigkeitsquantum, welches die Quellen pro Sekunde produzieren. In einzelnen Fällen können wir der Einfachheit halber auch annehmen, daß die Quellen punktförmig seien. Die Ergiebigkeit sämtlicher Quellen des ganzen Raumes zusammengenommen ist nach dem Obigen Null. Die Flüssigkeitsbewegung ist am einfachsten zu beschreiben durch Angabe des Vektors der Strömung. Unter der Strömung 0 verstehen wir einen der Flüssigkeitsmenge, die durch eine senkrecht zur Geschwindigkeit der Flüssigkeitsteilchen gestellte Einheitsfläche pro Sekunde hindurchtritt, proportionalen Vektor. Also: (25)

24

I. Elektrostatik

wenn t>„ die zum Flächenelement dS normale Komponente der Strömung, dm das pro Zeiteinheit hindurchtretende Flüssigkeitsquantum und k den Proportionalitätsfaktor bezeichnet. Den Ausdruck bndS bezeichnen wir als „ F l u ß " durch dS. Wir denken uns nun irgendwo eine geschlossene Fläche in der Flüssigkeit, in der keine Quellen vorhanden sind. Da die Flüssigkeit i n k o m p r e s s i b e l ist, so wird durch diese Fläche im Ganzen keine Flüssigkeit austreten; denn was an einer Stelle austritt, tritt an einer andern Stelle gleichzeitig herein. Also gewinnen wir für eine solche Fläche den Satz: (26)

fbndS=0.

Umschließt dagegen die Fläche Quellen von der Ergiebigkeit ηιλ, so hat der Fluß einen von Null verschiedenen, der Ergiebigkeit Σ η ΐ χ sämtlicher umschlossenen Quellen proportionalen Wert. Setzen wir den Proportionalitätsfaktor k = 4π, so erhalten wir: (27) / t)„dS = 4π in dieser Gleichung ist (26) als spezieller Fall enthalten. Gleichung (27) entspricht dem Gau ß sehen Satze, b der Feldstärke, mλ der Elektrizitätsmenge. Sind die Quellen stetig mit r ä u m l i c h e r Ergiebigkeitsdichte ρ verteilt, so kann man Gleichung (27) auf ein den Achsen paralleles, unendlich kleines Parallelepipedon mit den Kanten dx, dy, dz anwenden; man erhält dann, wenn Όχ, t>y, bz die Komponenten der Strömung bezeichnen, die den Gleichungen (12) bzw. (12 a) in Nummer 7 entsprechenden Beziehungen: «> + £ + oder in Yektorsymbolik: (28 a)

div ü = 4πρ.

Auf Flächen mit der Flächenergiebigkeit η angewendet: (29) = 4wj. Um sich ein anschauliches Bild von der Bewegung der Flüssigkeit zu verschaffen, kann man sogenannte „Strömungslinien" (oder b-Linien) ziehen, diein den p o s i t i v e n . Quellen entstehen und in den n e g a t i v e n Quellen verschwinden. Sie entsprechen den Kraftlinien (oder ©-Linien). Man kann ferner die Zahl der zu ziehenden Strömungslinien so bestimmen, daß sie gleich dem „Fluß" wird, also pro Einheit der Ergiebigkeit 4π Linien ziehen; also: (30)

dN =

bndS.

Richtung und Zahl der Strömungslinien bestimmen dann das Feld. Wir wollen ferner annehmen, daß das über eine beliebige geschlossene Kurve erstreckte Integral, die „Umlaufströmung": (31) φ btds = 0 sei. Dies heißt, daß k e i n e in sich geschlossenen Strömungslinien existieren; mit anderen Worten: es kommen keine R o t a t i o n s - oder Wirbelbewegungen von Flüssigkeitsteilchen vor. Dies Integralgesetz ist aber nach (17) und (19) gleichwertig mit den Bedingungen:

Anwendungen

25

die, in eine Vektorgleichung zusammengefaßt, lauten: (32 a) rot ö = 0. Wir erkennen also, daß unser wirbelfreies Quellenfeld der Flüssigkeitsbewegung völlig analoge Gesetze darbietet wie das elektrostatische. Es sei aber gleich hier darauf aufmerksam gemacht, daß unter den angegebenen Bedingungen auch noch eine andere Flüssigkeitsbβwegung existieren kann. Wenn nämlich gar keine Quellen vorhanden sind, so ist wegen der Abgeschlossenheit des Raumes und der Inkompressibilität der Flüssigkeit nur eine rotatorische oder wirbelnde Bewegung möglich. In diesem Falle gibt der Gaußsche Satz für das ganze Feld: (33) / ν » = 0 , während das Linienintegral (ßüsds für gewisse geschlossene Kurven ungleich 0 sein 0 muß. D. h.: es ist dann rot b Φ 0. Ein solches Flüssigkeitsfeld bezeichnen wir als ein quellenfreies Wirbelfeld; solche Felder werden wir später ebenfalls kennen lernen. Man entnimmt hier ferner aus der unmittelbaren Anschauung und der Erfahrung des täglichen Lebens den übrigens auch streng beweisbaren Satz, daß das wirbelfreie Quellenfeld durch die Angabe der Quellen, das quellenfreie Wirbelfeld durch Angabe der Wirbel eindeutig bestimmt ist. 10. Anwendungen. Wir wollen jetzt einige einfache Fälle an Hand unserer Gleichungen behandeln. Der erste Fall sei der des sogenannten Plattenkondensators. Darunter versteht man zwei ebene Metallplatten, die in bestimmter Entfernung voneinander angebracht sind. Die eine Platte trage eine Flächeny dichtigkeit η. Haben die Platten die Größe S, so ist die auf der ersten Platte befindliche Elektrizitätsmenge 8η. Um das Problem zu einem über- ρ haupt möglichen zu machen, müssen wir dann 1 auf der andern Platte eine ebensogroße negative Dichtigkeit, — η, annehmen. Sonst seien keine Ladungen und Metallmassen im Felde vorhanden; wir stellen uns die Aufgabe, die Verteilung der elektrischen Kraft und den Potentialverlauf innerhalb I des Raumes zwischen den beiden Platten zu be„ ADD. 9. stimmen. Das Potential ist dadurch nur bis auf eine Konstante bestimmt, deren Festlegung wir uns vorbehalten. Die Gleichungen des Problems sind, wenn φ das Potential bezeichnet: (a) Αφ — 0, im Räume zwischen den Platten, (b)

= — 4 π η , an der Oberfläche derselben.

In der Abb. 9 bedeuten P1 und P 2 die beiden als sehr groß vorzustellenden Platten; ihr Abstand sei d. In die Mitte der Platte Px legen wir den Anfangspunkt

26

I. Elektrostatik

des Koordinatensystems; die positive x-Achse weist nach der Platte P2 hin, die xyEbene wird in die Papierebene gelegt. Da die Platten sehr groß sind, so kann φ im Innenraum nur von χ abhängen, und wir haben an Stelle von Gleichung (a): * 22 = 0dx ' integriert gibt dies: (34)

φ = Αχ + Β.

Jetzt haben wir zur Bestimmung der Konstanten Α und Β die Gleichung (b) anzuwenden. Bei Platte stimmt die Normalenrichtung mit der z-Achse überein, auf P 2 weist sie entgegengesetzt, das ergibt: (35)

d. h. beide Anwendungen von (b) ergeben das nämliche; die Konstante Β bleibt unbestimmt. Das entspricht aber gerade der Eigenart des Problems, die wir oben hervorgehoben haben. Wir können Β dadurch festlegen, daß wir der Platte P2 ein bestimmtes Potential ; dann erhalten wir: (λΓ* \ (149) J = AJl+ BJ2= De L2 cos ^ 1 / £ £ f — v j · Abgesehen davon, daß die Konstanten D und ψ andere Werte annehmen, erhalten wir für e und φ genau dieselbe Lösung. Wir wollen diese jetzt genauer diskutieren. Der Faktor

cos

—vj

stellt eine harmonische oder pendelartige

Schwingung vor. D. h. der Strom hört nicht etwa auf zu fließen, wenn die elektrischen Ladungen sich ausgeglichen haben und der Kondensator entladen ist, sondern er fließt in der nämlichen Kichtung weiter und ladet jetzt den Kondensator im umgekehrten Sinne: Auf die vorher negativ geladene Platte strömt jetzt positive Elektrizität und umgekehrt. Es bildet sich deshalb wieder eine, gegen die vorhergehende umgekehrt gerichtete Potentialdifferenz, die diesen Ladestrom zum Stillstand bringt. Dann setzt wieder die Entladung ein, und das ganze Phänomen geht rückwärts, und so viele Male hin und her. Die Entladung ist also oszillatorisch unter den festgestellten Bedingungen. c'W

t

2L

Wir müssen jetzt die Bedeutung des Faktors De feststellen. Derselbe ist gleich D für t = 0, nimmt mit wachsender Zeit ständig ab und wird schließlich unmerklich klein. Er stellt die von Schwingung zu Schwingung kleiner werdende Amplitude der Kondensatorentladung dar. Die Schwingungen sind also gedämpft c2W und klingen schließlich ab; dies geschieht umso rascher, je größer —— ist, d. h. je aL größer W im Verhältnis zu L ist. In dem Grenzfalle W gleich 0, der in Strenge natürlich nicht zu realisieren ist, würde die Schwingung in alle Ewigkeit weitergehen. Wir fragen nun nach der Schwingungsdauer Τ unseres Systems. Dieselbe ist dadurch charakterisiert, daß nach Ablauf einer ganzen Schwingung, d. h. nach Ablauf der Zeit Τ das Kosinusglied wieder denselben Wert angenommen hat. Also haben wir: cos

t

{

1

+ Τ

) -

Ψ

Die Änderung, die das Argument des Kosinus erfahren hat, muß daher gleich 2jr sein. Also ist: 2 π, (ΙδΟ)

Γ

oder:

Ο

= Τ γ LG.

Diese Formel wurde zuerst von W. Thomson und G. Kirchhoff abgeleitet und trägt den Namen beider Forscher. Man hat in der Formel (150) ein immer brauchbares Mittel, um die Bestimmung der Dielektrizitätskonstante fester Körper auszuführen. Denn die Kapazität eines

Spezielle quasistationäre Vorgänge

95

mit Luft gefüllten Kondensators multipliziert sich mit der Dielektrizitätskonstante e des Mediums, welches in den inneren Raum zwischen die Platten gebracht wird. Nach Formel (150) vergrößert sich also dadurch die Schwingungsdauer im Verhältnis j / ε : 1. Kann man dieselbe messen — und das ist in der Tat möglich —, so hat man im Verhältnis der beiden Schwingungsdauern direkt die Wurzel aus der Dielektrizitätskonstante. Diese Methode bietet gleichzeitig noch den Vorteil, daß man sie auf solche Isolatoren anwenden kann, die zwar flüssig sind, aber ein zu großes Leitvermögen besitzen, um eine Messung nach der in Nr. 11 besprochenen einfachen Methode (wie überhaupt nach einer statischen Methode) zu gestatten. Es sei noch darauf aufmerksam gemacht, daß der P o y n t i n g s c h e Satz hier eine außerordentlich übersichtliche Darstellung der energetischen Verhältnisse erlaubt. Zur Zeit t — 0, d. h. bevor die Entladung begonnen hat, haben wir nur elektrostatische Energie, die sich zwischen den Kondensatorplatten befindet. Fängt dann der Entladungsstrom an zu fließen, so wandert die Energie aus dem Inneren des Kondensators durch den Außenraum an den Draht L 2> heran und wird dort zum Teil in J o u l e ι—W sehe Wärme umgewandelt. Während der nächsten Halbschwingung — in diesem Zeitraum wird der Kondensator wieder I» geladen — wandert der nicht in J o u l e s c h e Wärme verwandelte Teil der Energie wieder zwischen die Kondensatorplatten zurück. Dann wiederholt sich das Spiel Abb. 25. von neuem so lange, bis alle Energie in Joulesche Wärme verwandelt ist. Zu den Zeiten, wo der Kondensator gerade entladen ist, ist die Stromstärke und daher das magnetische Feld am größten. In diesen Augenblicken haben wir g a r k e i n e elektrostatische Energie mehr, sondern nur noch magnetische Energie. Beide Arten von Energie wandeln sich ineinander um, wobei nur jedesmal ein Teil in Wärme verwandelt wird. Dieses Spiel der Energien ist also genau dasselbe, welches wir beim gewöhnlichen Pendel beobachten. H a t das Pendel seinen höchsten Stand erreicht, so hat es für einen Moment nur potentielle Energie, dieses -wandelt sich während des Falles allmählich in kinetische Energie um, die ihr Maximum erreicht, wenn das Pendel in seiner tiefsten Stellung die Ruhelage passiert. Da das Pendel über die Ruhelage hinausschwingt, so wandelt sich die kinetische Energie wieder in potentielle Energie um, abzüglich des Betrages, der durch Reibung vernichtet worden ist. Die potentielle Energie entspricht der elektrostatischen, die kinetische der magnetischen Energie, und die Reibung endlich stellt einen der Verwandlung in Joulesche Wärme analogen Vorgang dar. Alles dieses läßt sich leicht aus dem P o y n t i n g s c h e n Satze ableiten; auf die genauere Ausführung verzichten wir hier. t Wir wollen jetzt das soeben behandelte Problem noch insofern verallgemeinern, als wir in den Stromkreis noch eine periodisch wechselnde elektromotorische K r a f t Ε = E0 cos 2nvt, oder wie wir gleich schreiben wollen, Ea e2nvü einführen (Abb. 25).

IV. Induktion

96

Dann tritt zu der Gleichung (145) auf der linken Seite noch dieser Betrag der elektromotorischen Kraft hinzu; wir erhalten: (151)

w - t

+

l - ^ - J W .

Dabei ist natürlich wieder nach (145 a) : de J

~ ~ T f

Differentiiert man (151) nach < und führt (145 a) ein, so folgt:

Wäre in (151 a) die rechte Seite gleich 0, so hätten wir unser altes Problem und (151 a) würde mit (146 b) identisch. Man kann daher die gegenwärtig vorliegende Aufgabe dahin charakterisieren, daß die in Gleichung (146 b) behandelte „freie" Schwingung des Kondensators durch das in (151 a) auf der rechten Seite hinzu2 TTvtc^ tretende Glied —=—E 0 e2 nl"ä „gestört" wird. Man nennt das rechts stehende Glied L deshalb auch direkt das „ S t ö r u n g s g l i e d " , und die jetzt auftretende Schwingung eine „ e r z w u n g e n e " im Gegensatz zu der vorhin behandelten „ f r e i e n " . Um nicht den lästigen Faktor 2π mitschleppen zu müssen, wollen wir für 2nv •einen neuen Buchstaben ω einführen, der also die Schwingungszahl in 2π Sekunden darstellt. Man nennt diese Größe die „Kreisfrequenz". Dann erhalten wir statt (151 a): Λ. ü _L t£ ρ oit dt2+ L dt+ LC~ L "e'al' Ein Integral finden wir in der Form: J = BeaM, •wo Β noch zu bestimmen ist. Setzt man dies ein, so ergibt sich: c2 , Wc2a>i\ toic2E„ wie2 also:

Β—

c2

2 A„ , Wc a>i\

Diesen Ausdruck wollen wir noch vereinfachen, indem wir setzen: (iB2) Diese Größe ist die Kreisfrequenz, welche dem System zukommen würde, falls das Störungsglied nicht vorhanden wäre und unser Problem sich auf das der Gleichung

^

(

.

-

^

.

j

+

i

^

,

)

,

fx und f2 sind dabei, wie schon vorher bemerkt, zwei ganz beliebige Funktionen C g \ von ζ — t bzw. 2 + - — t . \εμ

]/εμ

)

Wir wollen beide Integrale / j und f2 gesondert betrachten, um uns ihren physikalischen Sinn klarzumachen. Zunächst betrachten wir:

Wir wollen darin der Zeit t zunächst den Wert 0 erteilen, dann ist

=

fx{s),

d. h. eine willkürliche Funktion von ζ; wir wollen uns dieselbe graphisch darstellen,

Elektromagnetische Störungen in homogenen Isolatoren

105

indem wir ζ als Abszisse, (£Xi als Ordinate in einem kartesischen Koordinatensystem auftragen. In Abb. 28 stelle die Kurve den Funktionsverlauf für t = 0 dar. Die Frage ist nun: Wie sieht Ε ϊ ι aus für andere, von 0 verschiedene Werte von t? Die Antwort darauf können wir sehr leicht geben. Ζ. B. für 2 — 0 hat (&x t=6

den Wert

(0), der in der Abbildung eingezeichnet ist. D e n s e l b e n W e r t f x (0) f>

hat (Sj. immer dann, wenn ζ

-j= t = 0 ist, d. h., wenn das Argument nicht Υεμ

durch die speziellen Werte z — 0, < = 0 auf den Wert 0 gebracht wird, sondern dadurch, daß ζ und t der obigen Gleichung gehorchen. Für alle späteren Zeiten t gibt es also auf der positiven z-Achse je einen Punkt, für den ζ = -η.— t, also (&Xi ]/εμ

den nämlichen Wert wie zur Zeit t = 0 im A n f a n g s p u n k t e hat. Wir können also sagen: der Wert ^ (0), der zur Zeit t = 0 im Punkt z = 0 vorhanden war, ist für spätere und immer spätere Zeiten weiter und immer weiter auf der z-Achse fortgerückt. Und zwar braucht f1 (0), um an eine Stelle ζ zu gelangen, eine Zeit i, die durch die Gleichung bestimmt ist:

I0 Abb

29

Υεμ Ζ

c

1

Ϋεμ

Mit anderen Worten: - = —.— ist die Geschwindigkeit, mit der sich der Funktionswert jfi (0) in Richtung der positiven z-Achse fortpflanzt. Was wir hier für den Funktionswert f t (0) nachgewiesen haben, gilt für jeden einzelnen Punkt der Kurve f1 (z). Wir wollen ζ. B. für t = 0 den Wert ζ = z0 ins Auge fassen; für diesen Wert des Argumentes hat die Funktion die Größe f1 (z0). Dieser Wert findet sich zu späteren Zeiten t an solchen Stellen ζ vor, die der Gleichung gehorchen:

Ζ

Zq

C

oder £

d. h. auch dieser Wert pflanzt sich mit der Geschwindigkeit —— längs der positiven ]/εμ

ζ-Richtung fort. Wir können nunmehr angeben, wie der Vorgang zeitlich verläuft: Zur Zeit < = 0 stellt die Kurve in Abb. 28 den Zustand dar; jeder Punkt der Kurve rückt mit wachsendem t mit der nämlichen Geschwindigkeit —— nach rechts; d. h. Υεμ

die Kurve verschiebt sich u n g e ä n d e r t und undef o r m i e r t mit dieser Geschwindigkeit nach rechts. Das ist ein Bild des zeitlichen Verlaufes. Betrachten wir nun ©jr> = f2 12 + —° - 11. Hier ist der Verlauf genau ebenso, \ Υεμ }

106

Y. Elektrische Wellen

nur daß die Geschwindigkeit das negative Vorzeichen hat. Den durch die letztere Gleichung dargestellten Vorgang erhalten wir also dadurch, daß wir die Kurve der Abb. 28 mit der Geschwindigkeit — ^ nach links verschieben. Im allgemeinen Ϋεμ Falle lagern sich diese beiden Prozesse übereinander. Da der betrachtete Vorgang eine Abweichung vom statischen Zustande ist, so pflegt man ihn, wenn man ihn nicht genauer charakterisieren will, kurz als eine „Störung" zu bezeichnen. Was wir hier für nachgewiesen haben, gilt in gleicher Weise für φ χ , ξ) ρ ; denn alle diese vier Größen gehorchen ja der nämlichen Differentialgleichung. Wir erhalten so das wichtige Resultat: „ E l e k t r o m a g n e t i s c h e S t ö r u n g e n pflanzen sich nach der Maxwellsehen

Theorie

in

Isolatoren

mit

der

Geschwindigkeit

fort."

Ϋεμ Wir wollen jetzt den Fall annehmen, daß die bisher als beliebig betrachtete Störung periodisch ist, d. h. daß sich nach bestimmten Zeiten der ursprüngliche Wert der Störung wiederholt. Das kommt darauf hinaus, daß wir für die bisher unbestimmte Funktion f periodische Funktionen, etwa Kosinus oder Sinus, oder auch, worauf wir schon vorhin geführt wurden, Exponentialfunktionen mit imaginären Exponenten einführen. Gleichzeitig wollen wir nur solche Störungen betrachten, die sich nach einer Richtung, nämlich der positiven z-Achse, fortpflanzen. Wir setzen also ζ. B . : (£x = Α cos α (ζ — yL= t j , (172 a) = Β COS α (Ζ y ' 8®, 8s ' 8x '

8