Einführung in die klassische Mathematik I: Vom quadratischen Reziprozitätsgesetz bis zum Uniformisierungssatz [Reprint 2022 ed.] 9783112650967

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H. Koch Einführung in die klassische Mathematik I

Mathematische Lehrbücher und Monographien Herausgegeben von der Akademie der Wissenschaften der DDR Karl-Weierstraß-Institut für Mathematik

I. Abteilung Mathematische Lehrbücher Band 38 Einführung in die klassische Mathematik I von H. Koch

Einführung in die klassische Mathematik I Vom quadratischen Reziprozifätsgesetz bis zum Uniformisierungssatz von Helmut Koch

Mit 25 Abbildungen

Akademie-Verlag Berlin 1986

Verfasser: Prof. Dr. habil. H e l m u t K o c h Karl-Weierstraß-Institut f ü r M a t h e m a t i k der Akademie der Wissenschaften der D D R

ISSN 0076-5422

Erschienen im Akademie-Verlag, Berlin, DDR-1086 Berlin, Leipziger Straße 3 — 4 © Akademie-Verlag Berlin 1986 L i z e n z n u m m e r : 202 • 100/400/86 P r i n t e d in t h e German Democratic Republic Gesamtherstellung: V E B Druckerei „ T h o m a s Müntzer", 5820 B a d Langensalza L e k t o r : Dipl.-Math. Gesine Reiher E i n b a n d g e s t a l t u n g : Dietmar K u n z LSV1005 Bestellnummer: 7634780 (6903/1) 04800

Vorwort

Was du ererbt von deinen Vätern hast, Erwirb es, um es zu besitzen. GOETHE, F a u s t I

Dieses Buch wendet sich an jedermann, der über eine zweijährige Hochschulbildung auf dem Gebiet der Mathematik verfügt. Es will dem Leser einen Eindruck von klassischen Ergebnissen der Mathematik vor allem aus dem 19. Jahrhundert und der ersten Hälfte des 20. Jahrhunderts vermitteln. Der vorgesehene Umfang des Buches schrieb eine Auswahl des Stoffes vor, die, im Einklang mit den mathematischen Neigungen des Verfassers, nach den folgenden Gesichtspunkten durchgeführt wurde: Im Vordergrund stehen Ergebnisse, die von wesentlichem Einfluß auf die Herausbildung der heutigen Mathematik der Strukturen im Sinne von BOURBAKI gewesen sind. Das Strukturdenken in der Mathematik beg i n n t i m 19. Jahrhundert mit GAUSS und GALOIS. Aber v o n RIEMANN und DEDEKIND

leitet sich die weitere Entwicklung der Strukturmathematik im 20. Jahrhundert im engeren Sinne her. Das Werk dieser beiden Mathematiker steht daher im Mittelpunkt des vorliegenden ersten Bandes, der hauptsächlich der Mathematik des 19. Jahrhunderts gewidmet ist. Einen hervorragenden Platz in der heutigen Mathematik nimmt zweifellos die Theorie der Lieschen Gruppen ein. Jedoch fanden die Ideen von LIE erst über ihre weitere Ausarbeitung vor allem durch E. CARTAN den ihnen gebührenden Platz im Gebäude der Mathematik. Diese Theorie wird daher erst im zweiten Band dieses Buches behandelt. Die Grundidee des Buches besteht darin, Ergebnisse der Mathematik im Geist ihrer Entstehungszeit darzustellen. Die Vorteile einer solchen Darstellung sind neben dem Gewinn der historischen Dimension das direkte Vordringen zum Wesentlichen ohne den Ballast vieler Kapitel an Vorbereitungen, der gewöhnlich moderne Lehrbücher der Mathematik charakterisiert, sowie die direkte Motivierung des Lesers durch die Hauptproblemstellungen in dem jeweils betrachteten historischen Moment, die am Anfang von Kapiteln und teilweise auch von Abschnitten dieses Buches erklärt werden. Die Nachteile einer solchen historischen Darstellung liegen ebenfalls auf der Hand. Die Form der ursprünglichen Darstellung weicht oft so weit von den heutigen mathematischen Denkgewohnheiten ab, daß ein zusätzlicher Aufwand für das Verständnis des Stoffes erforderlich ist, der nur bei historischer Forschung gerechtfertigt erscheint, die in diesem Buch aber nicht beabsichtigt ist. Der Fortschritt in der Mathematik besteht auch in der Vereinfachung ursprünglich kompliziert erscheinender Ergebnisse, indem man sie in den ihnen adäquaten Rahmen stellt (der dann jedoch oft den oben genannten Ballast an Vorbereitungen erfordert). Der Ausweg aus dieser Situation, den wir in diesem Buch gegangen sind, besteht darin, daß wir uns grundsätzlich der heutigen mathematischen Sprache bedienen und an einigen Stellen Beweise zurückstellen, bis sie zu einem später im Buch zu behandelndem historischen Zeitpunkt durch Einbringung wesentlich neuer Ideen die heutige Einfachheit gewonnen haben. Das gilt z. B. für die Galoissche Gleichungstheorie, deren Hauptsätze durch die

6

Vorwort

Dedekindsche Umformung im Rahmen einer Theorie der Körpererweiterungen ihre heutige Form gefunden haben. Ihre Attraktivität gewinnt die Theorie jedoch durch die Anwendung auf das Problem der Lösung von Gleichungen, die in der ursprünglichen, Galoisschen Form erfolgt. Wir stellen daher zunächst in Kap. 7 die Galoissche Theorie als Gleichungstheorie und dann in Kap. 17 als Körpertheorie dar. Die Anordnung des Stoffes folgt im allgemeinen der historischen Entwicklung, wobei wir mit G A U S S ' ,,Disquisitiones arithmeticae" beginnen und mit der „Idee der Riemannschen Fläche" von W E Y L den ersten Band beschließen. Eine Reihe von Kapiteln wird mit Rückblenden auf die Mathematik des 16. bis 18. J a h r h u n d e r t s eröffnet. Insbesondere wurde bei der Arbeit an diesem Buche deutlich, daß alle fundamentalen Fragestellungen der Mathematik des 19. J a h r h u n d e r t s (soweit sie hier behandelt werden) bereits von E U L E R berührt wurden. Vielfach haben mathematische Ideen bei ihrer Entstehung nicht die genügende Klarheit, die f ü r ihre Darstellung in einem Lehrbuch notwendig ist. I n diesem Fall behandeln wir sie erst an der Stelle, wo diese Klarheit erreicht ist. So folgt bei uns die Theorie der Abelschen Integrale (Kap. 12) auf die Einführung des Begriffs der Riemannschen Fläche (Kap. 10). Spätere Vereinfachungen, die sich im Rahmen der ursprünglichen Ideen halten, werden ohne Kommentar eingearbeitet, wie überhaupt die Werke der großen Mathematiker in diesem Buch nur als Leitlinie dienen. Die Hauptsätze und die Beweise einiger Theorien haben schon vor längerer Zeit eine endgültige Form gefunden, die in vielen Lehrbüchern stereotyp wiederholt wird und sich ideenmäßig wenig von der Form ihrer Entatehungszeit unterscheidet. Hierzu gehört z. B. die Theorie der Funktionen endlichen Wachstums (Kap. 26). Wir stellen sie in der üblichen Form dar. Ganz allgemein haben wir nur solche Ergebnisse aufgenommen, deren Form und Beweis als endgültig anzusehen sind. Die wichtigste Ausnahme hiervon bildet der Primzahlsatz (Kap. 27), dessen Formulierung und Beweis auf der Kenntnis der Nullstellen der Riemannschen -Funktion beruht,, die gegenwärtig in hohem Maße vorläufigen Charakter hat. Dieser Satz stellt jedoch einen Höhepunkt in der Entwicklung der Mathematik dar, der in diesem Buch nicht fehlen sollte. Das Buch beabsichtigt keine historische Würdigung der Mathematik des 19. Jahrhunderts als Ganzes. Es wird alles mit Schweigen übergangen, was beim Leser als bekannt vorausgesetzt wird. Hierzu gehören die Cantorsche Mengenlehre, die Entwicklung der „Weierstraßschen Strenge" und anderes, was in der Mathematik des 19. J a h r h u n d e r t s aus heutiger Sicht von großer Bedeutung war. Eine solche Würdigung aus unterschiedlichen Blickwinkeln findet sich in den folgenden Werken: KLEIN, F.,

Die Entwicklung

der Mathematik

im

19.

Jahrhundert,

Teil I,

Springer-

Verlag 1926. Autorenkollektiv unter Redaktion von A. N . KOLMOGOROW und A. P. J U S C H K E WITSCH, Die Mathematik im 19. Jahrhundert, Band I, Nauka 1978, Band I I , Nauka 1981, Band I I I in Vorbereitung (russisch). Autorenkollektiv unter Leitung von J . D I E U D O N N É , Abrégé d'histoire des mathematiques 1700-1900, Band I, I I , Hermann 1978. Ein Teil des mathematischen Rüstzeugs, das beim Leser als bekannt vorausgesetzt wird, haben wir als Erinnerungshilfe am Schluß des Buches in Anhängen zusammengefaßt. Es folgen dann noch Hinweise auf verwendete und weiterführende Literatur. Die Hinweise auf die Orginalliteratur im laufenden Text sollen weniger dazu dienen, den Leser zu deren Lektüre anzuregen, sondern sind als zusätzliche wissenschaftshistorische Information gedacht.

Vorwort

7

Meine Lehrer H. R E I C H A R D T und I. R . SCHAFAREWITSCH haben mir in Vorlesungen, Büchern und Gesprächen in starkem Maße das Bild der Mathematik vermittelt, das ich versuche, hier darzustellen. Dafür möchte ich ihnen herzlich danken. Weiter gilt mein Dank vor allem D. SCHWARZ, der fast das gesamte Manuskript des Buches gründlich durchgearbeitet und zahlreiche Verbesserungen und Berichtigungen veranlaßt hat. Von den weiteren Kollegen, die Teile des Manuskripts gelesen und mir wertvolle Hinweise gegeben haben, nenne ich meine Frau, H. B O T H E , E. K R A U S S , W. N A R K I E WICZ, 0 . N E U M A N N , H. P I E P E R und I . SCHIEMANN. Mein Dank gilt auch dem Akademie-Verlag Berlin f ü r seine vorbildliche Betreuung dieser Publikation, besonders Frau G. REIHER, die das Manuskript sorgfältig redigierte, sowie den Kollegen in der Druckerei für ihre gewissenhafte Arbeit. HELMUT KOCH

Bezeichnungen

Z Ring der ganzen Zahlen, 0 Körper der rationalen Zahlen, R Körper der reellen Zahlen, ist offensichtlich ein Homomorphismus von Ringen, und der Kern von •tp besteht nur aus der Nullklasse aZ. Daher ist y> injektiv. Da ip eine Abbildung endlicher Ringe mit der gleichen Anzahl a von Elementen ist, ist tp auch surjektiv. • Der folgende Satz geht auf LAGRANGE zurück (Mem. Acad. Sei. Berlin 1 7 6 8 ) . Satz 3. Sind a 0 , alt ... , as beliebige ganze Zahlen, und ist p eine Primzahl, die a0 nicht teilt, so hat die Kongruenz a0xs + aja;8-1 -f ... + as = 0 (modp)

(3)

höchstens s Lösungen. • Wir verstehen heute diese Kongruenz als Gleichung mit Koeffizienten im Körper ZjpZ mit p Elementen. Für reelle Zahlen war das entsprechende Ergebnis bereits D E S C A B T E S und N E W T O N bekannt.

1.3.

Potenzreste

Der dritte Abschnitt der ,,Disquisitiones arithmeticae" behandelt die Potenzreste, d. h., die Potenzen a, a2, ... werden bezüglich ihrer Kongruenzeigenschaften für einen Primzahlmodul p mit a = 0 (mod p) untersucht. Die ersten Überlegungen von G A U S S

17

1.3. Potenzreste

laufen darauf hinaus, daß die p — 1 primen Restklassen mod p eine Gruppe bezüglich der Multiplikation bilden (Satz 1). Hiernach gilt insbesondere Satz 4. Für a ^ O (mod p) gilt ap~l = 1 (mod p). • GAUSS gibt folgenden Kommentar: „Dieser Satz, welcher sowohl wegen seiner Eleganz als wegen seines hervorragenden Nutzens höchst bemerkenswert ist, wird nach seinem, Erfinder Fermatsches Theorem genannt." (Fermatii Opera Math., Tolosae 1679). Der erste publizierte Beweis findet sich bei ETILER (Comm. Acad. Sei. Imp. Petropolitanae VIII, 1736).

In einer späteren Arbeit von ETILER (Novi Comm. Acad. Sei. Petropolitanae 1760/61) findet sich die Verallgemeinerung a*^ = 1 (mod m) für eine beliebige natürliche, zu a prime Zahl m, wobei 4) und («.', b', c') = {A') heißen benachbart, wenn sie die gleiche Diskriminante haben, c — a' und b -{- b' = 0 (mod c) ist. Satz 2. Zwei benachbarte Formen sind eigentlich äquivalent. (0 B e w e i s . Sei B = | T U A' = B AB. •

2.4.

-i\ | mit d

d = ^

^^.

Dann

ist

det-B = 1

und

Primitive Darstellungen

Eine Darstellung m = au2 + 2buv -f cv2

(5)

der Zahl m durch die Form (a, b, c) heißt primitiv, wenn u und v teilerfremd sind. Der folgende Satz stellt den Zusammenhang zwischen quadratischen Formen und quadratischen Resten her. Satz 3. Wenn die Zahl m eine primitive Darstellung durch die Form (a, b, c) gestattet, ist die Diskriminante D der Form quadratischer Rest mod m. *) Der Begriff der eigentlichen Äquivalenz kommt bei L A G R A N G E noch nicht vor. Er hat entscheidende Bedeutung für die Komposition der Formenklassen, die nur für Klassen bezüglich der eigentlichen Äquivalenz befriedigend durchgeführt werden kann (Abschn. 2.9., Kap. 21).

24

2. Quadratische Formen

B e w e i s . Sei (5) die primitive Darstellung von m. Dann gibt es ganze Zahlen u , Hb K l

(

1. Die quadratische Form (BTAB) hat v v'J den ersten Koeffizienten m. Die Behauptung folgt daher aus D = — det A = = - det (B T AB). • Sei n = u'(ua -f- vb) + v'(ub + vc) der zweite Koeffizient von (BTAB). u , v' sind durch die Forderung uv' — vu' — 1 bis auf einen Summanden tu, tv mit einer beliebigen ganzen Zahl t eindeutig bestimmt. Beim Übergang von u, v zu u + tu, v' -)- tv geht n in n + tm über. Die Restklasse von n mod m ist also eindeutig durch die Darstellung (5) von m bestimmt. Wir sagen, daß die Darstellung (5). zur Wurzel n gehört. Aus diesen Überlegungen folgt Satz 4. Die Darstellung (5) gehöre zur Wurzel n. Dann sind die Formen (a, b, c) und (m, n, (n2 — D)lm) eigentlich äquivalent. • Satz 4 zeigt den Zusammenhang zwischen den Transformationen der Form (a, b, c) und der Darstellbarkeit einer Zahl m durch diese Form. Um einen Überblick über die verschiedenen möglichen Darstellungen von m durch (a, b, c), die zur Wurzel n gehören, zu erhalten, hat man alle Transformationen B zu bestimmen, die (a, b, c) in (m, n, (n2 — D)jm) überführen. Das führt auf die Aufgabe, die Transformationen zu finden, die (a, b, c) in sich überführen, der wir uns zunächst zuwenden.

2.5.

Transformationen, die eine Form in sich überführen

Der größte gemeinsame Teiler von a, 2b und c sei gleich s. (UL w'\ Satz 6. Eine Transformation B = ( ] mit det B = 1 führt (a, b, c) genau dann in sich über, wenn \ v t —bw w= — , s

u

=

—cw s

.,

aw V = —, s

, t + bio v =• s

(6)

ist, wobei t und w ganze Zahlen sind, die den Bedingungen t = bw (mod s)

(7)

und

. t2 - Dw2 = s2 (8) genügen. (6) definiert eine eineindeutige Abbildung aller Paare s, w, die den Bedingungen (7), li li' \

(

v

v

)I mit

#

det B = 1, die («, b, c) in

Bemerkung. Die Gleichung (8), die schon in einer berühmten Aufgabe von Auchjmedes vorkommt, wird im Fall s = 1 (zu Unrecht) als Feilsche Gleichung bezeichnet. B e w e i s v o n S a t z 5. Hat B die Form (6), so wird det B = (t2 — Dw2)js2 = 1, und / ^ tc\ (a, b, c) geht in sich über. Sei andererseits vorausgesetzt, daß B = [ I mit det B = 1 die Form (a, b, c) in sich überführt. Dann ist \v v / au2 + 2buv -f cv2 = a , (9) auu + b(uv' + uv) + cvv —- b .

(10)

2.6. Formen mit negativer Diskriminante

25

F ü r (10) können wir auch auu + 2 bu'v + cvv' = 0

(11)

schreiben. Elimination von b bzw. c aus (9), (11) ergibt au' = —cv, a(u — v) = —2 bv . Hiernach ist a/s ein Teiler des größten gemeinsamen Teilers g.g.T. (cvjs, 2bvjs) von cv/s und 2bvjs. D a a/,s zu g.g.T. (c/s, 2b/s) teilerfremd ist, m u ß a/s ein Teiler von v sein. Wir setzen iv = svja, was erlaubt ist, da a =f= 0 ist, sonst wäre D ein Quadrat. D a n n wird u — v = —2bwls, woraus folgt, daß s(u + v) durch 2 teilbar ist. Wir setzen t = s(uv')/2. Dann sind die Gleichungen (6) erfüllt. Daher gilt t=bw (mod s) und s 2 det B = t2 - Du2 = s 2 . • Da f ü r eine ganze Zahl d die Betrachtung von (a, b, c) und (da, db, de) gleichwertig ist, k a n n man sich auf Formen (a, b, c) mit g.g.T. (a, b, c) = 1 beschränken. Interessant sind daher n u r die Fälle s = 1 und s = 2. Die Zulassung von s = 2 erlaubt es, auch Formen zu behandeln, deren mittlerer Koeffizient ungerade ist, indem m a n alle Koeffizienten mit 2 multipliziert. Die Einschränkung auf gerade mittlere Koeffizienten, die den Leser verwundert haben könnte, ist also unwesentlich. I m folgenden beschränken wir uns auf quadratische Formen mit g.g.T. (a, b, c) = 1 und daher s = 1 oder s = 2, die als primitive Formen bezeichnet werden. I m Fall s = 2 ist D = 1 (mod 4). I m Fall s = 1 können offensichtlich alle ganzen Zahlen als Diskriminanten a u f t r e t e n .

2.6.

Formen mit negativer Diskriminante

Die Lösung der Probleme I und I I fällt unterschiedlich aus, je nachdem ob die Diskriminante positiv oder negativ ist. Wir betrachten zunächst den zweiten Fall. I n diesem Abschnitt ist die Diskriminante D = — det A der betrachteten Form (A) immer negativ. Satz 6. Seien (a, b, c) und (a', b', c') äquivalente Formen mit negativer Diskriminante. Dann haben die Zahlen a, c, a , c' das gleiche Vorzeichen. B e w e i s . Wegen ac = b2 — D^> 0 haben a und c gleiches Vorzeichen. Entsprechendes gilt f ü r a' und c'. Weiter ist wegen der Äquivalenz der Formen (a, b, c) und (»', b', c') a = au2 + 2buv + cv2

(12)

f ü r gewisse ganze Zahlen u, v. Hieraus folgt a'a = (au + bv)2 - Dv2 > 0 . •

(13)

Wegen Satz 6 können zwei Formen (A) und (—4) niemals äquivalent sein. E s genügt daher f ü r die Lösung der Probleme I und I I , Formen (a, b, c) mit positivem a zu betrachten. Wir nennen eine solche F o r m positiv. Satz 7. Zu jeder positiven Form (alt bv Cj) mit negativer Diskriminante eigentlich äquivalente Form (a, b, c) mit 2\b\ ^ a ^ min {|/(4/3) |JD| , c) .

D gibt es eine (14)

B e w e i s . Eine Form (a, b, c) mit (14) heißt reduziert. Sei(a 1 ; 61( Cj) nicht reduziert. Wir haben zu zeigen, daß (av blt c^ zu einer reduzierten Form eigentlich äquivalent

26

2. Quadratische Formen

ist. Sei 6' der absolut kleinste Rest der Zahl nach dem Modul a' =: c1 und a" := {b'2 — D)ja'. Dann ist a" eine ganze Zahl wegen b'2 - D = b\-

D = a^a' = 0 (mod a) .

Die Form (a', 6', a") ist der Form {a}, 61; a) benachbart. Weiter gilt |6'| a" ist, wiederholen wir das Verfahren und erhalten eine eigentlich äquivalente Form («", b", «"'), usw. Die Prozedur muß nach endlich vielen Schritten abbrechen, da es sonst eine unendliche Folge a' > ... > a w > ... positiver ganzer Zahlen gäbe. Sei also dn) a(n+y). Dann wird a(«)2

^ a(n)a{n +1) =

b(n)Z

_

ß

^ a(M)2/4 _ j ) _

Hieraus folgt a{n) g )/(4/3) \D\. Die Form {a, b, c) = (a{n\ b{n\ a«; c -i)] I 2 für k = 1, ... , t.

3.2.

Hilfssätze über Polynome

Wir benötigen einige Sätze über Polynome mit ganzzahligen Koeffizienten, die auch in anderem Zusammenhang von Interesse sind. E i n Polynom f(x) vom Grad n heißt normiert, wenn der Koeffizient bei xn gleich 1 ist. Der Inhalt I(/) eines Polynoms / ist der größte gemeinsame Teiler seiner Koeffizienten. Satz 1. (Gaußscher Satz). Seien g und h Polynome mit ganzen Koeffizienten. Dann gilt I(gh) = I(g) I(h) . B e w e i s . O.B.d.A. können wir annehmen, daß der Inhalt von g und h gleich 1 ist. Sei g(x) = b0 + ... + bTxr , h(x) = c 0 + ... + ctxs. Angenommen, es gibt eine Primzahl p, die I(gh) teilt. Dann sei i bzw. j die kleinste Zahl, so daß bt bzw. c} nicht durch p teilbar ist. Dann ist biCj + h+icj-\

+ ••• + h-icj+i

+ ••• >

der Koeffizient von g(x) h(x) bei xl+i, nicht durch p teilbar im Widerspruch zur Annahme, daß p den Inhalt von gh teilt. • Satz 2. Seien g und h normierte Polynome mit rationalen Koeffizienten. Wenn gh ganze Koeffizienten hat, haben auch g und h ganze Koeffizienten. B e w e i s . Wir multiplizieren g und h mit einer Zahl a so, daß ag und ah ganze Koeffizienten haben. Wenn gh ganze Koeffizienten hat, gilt I(a2gh) = a2. Andererseits ist nach Satz 1 I(a2gh) — I(ag) I(ah). D a I(ag) und I(ah) Teiler von a sind, folgt I(ag) = = I(ah) = a. • Satz 3. (Eisensteinsches Irreduzibilitätskriterium). Sei f(x) = xn + a1xn~1 + ... + «« ein Polynom mit ganzen Koeffizienten, die alle durch eine Primzahl p teilbar sind, p gehe in an genau zur ersten Potenz auf. Dann ist f(x) irreduzibel über Q, d. h., es gibt keine nichtkonstanten Polynome g(x), h(x) mit rationalen Koeffizienten und f(x) = = g(x) Hx). Beweis. Angenommen, es gäbe eine solche Zerlegung. Dann hätten g und h nach Satz 2 ganze Koeffizienten. Wir können daher zu den entsprechenden Polynomen /, g, h mit Koeffizienten im Restklassenkörper ZjpZ übergehen. Nach Voraussetzung ist f(x) — xn. Da im Polynomring Z/pZ[x\ der Satz von der eindeutigen Zerlegung eines Polynoms in irreduzible Polynome gilt (Abschn. A 1.2.), ist g(x) = xr, h(x) = xs. Hieraus folgt, daß an durch p2 teilbar ist, im Widerspruch zur Voraussetzung. • Satz 4, Sei p eine Primzahl. Dann ist das Polynom f(x) := xp_1 + irreduzibel über Q. Beweis. Mit y = x — 1 wird nach dem binomischen Lehrsatz

/(*)= (ar-

l)l(x-l)

= £ Q»' -1 -

+ ... +

x+l

32

3. Kreisteilung

Auf das rechts stehende Polynom treffen die Voraussetzungen von Satz 3 zu. Es ist daher irreduzibel, und das gleiche gilt für f(x). • G A U S S gibt einen anderen Beweis für Satz 4.

3.3.

Definition der ßaußschen Perioden und diesbezügliche Sätze

= 1 die sämtlichen NullSei f eine p-ie Einheitswurzel, £ 4= 1. Dann sind £2, ..., stellen von xv — 1. Nach dem Vietaschen Wurzelsatz ist daher ' ¿ V - i * ¿=o (0

fÜr

(2)

sonst.

Sei g eine Primitivwurzel mod p, d. h., g, g2, ..., gp_1 = 1 (mod p) durchlaufen die primen Restklassen mod p (Abschn. 1.3.). Hieraus folgt, daß die Zahlen f , 'QQ,..., alle p-ten Einheitswurzeln außer 1 durchlaufen. Das gleiche gilt allgemeiner für c l , £lg, ... , C'aV~2, wenn Z 4=0 (mod p) ist. Seien e, / natürliche Zahlen mit ef = p — 1, und sei h = g". Unter der Gaußschen Periode (/, l) versteht man die Zahl ( f , l ) =Cl + ?h + ... + • Beispiel, p = 17, g = 3, / = 8, Z = 1, 3.

(8,1) = f + f-i + c2 + ). Dann ist (/, m) gleich einem Polynom in (/, Z) mii rationalen Koeffizienten vom Grad höchstens e — 1. Beweis. Nach Satz 5 ist e—1 (/, Z)5 = ^ ais(f, lg1) mit ganzen Zahlen ais, s = 2, ... , e — 1 . i= 0

Zusammen mit 1 + (/. Z) = - ' S (/, ijr«) ¿=i ergibt das ein lineares Gleichungssystem von e — 1 Gleichungen in e — 1 Unbekannten (/, lg1), i = 1, ... , e — 1. Angenommen, die Determinante des Systems ist gleich 0. Dann gibt es eine lineare Abhängigkeit zwischen den Potenzen (/, l)s, s = 0,... , e — 1: s W

s=0

Z)s = 0 .

Führen wir diese Betrachtungen für£ a statt für £ durch, a = 2, ... , p — 1, so erhalten wir dieselbe Gleichung. Diese wird daher auch von (/, Za) erfüllt. Daraus folgt, daß zwei

3.4. Lösung des Problems

33

der e Perioden der Länge / gleich sind. Daher gibt es eine lineare Abhängigkeit zwischen £2, ••• , D a s widerspricht aber der Irreduzibilität des Kreisteilungspolynoms (xv-l)l(x - 1) = x*-1 + xP~2 + ... + 1 (Satz 4). • Satz 7. Sei (xv ... , xf) = £ xl> i = 0, ... , Py — 1, darstellen. Man hat jetzt a = px, b = p2, c = / 2 zu setzen. Insbesondere sind die Perioden (/ a , gv':i), i = 0, ... , p2 — 1, Lösungen einer Gleichung vom Grad p2 mit Koeffizienten in Q((flt 1)). Man f ä h r t so fort und gelangt schließlich zu den Perioden (1,1) = Cl, womit das Auffinden der Lösungen der Kreisteilungsgleichung auf die sukzessive Lösung von Gleichungen von Primzahlgrad zurückgeführt ist, wobei alle Primteiler von p — 1 vorkommen. 3

Koch, Mathematik

34

3. Kreisteilung

Ist insbesondere p — 1 + 2 \ so hat man h quadratische Gleichungen zu lösen. Damit ist die ursprüngliche Aufgabe der Konstruktion von regelmäßigen p-Ecken mit Zirkel und Lineal f ü r p = 1 + 2^ gelöst.

3.5.

P

= 17

Wir führen jetzt das Beispiel p = 17, g = 3, zu Ende. In Abschn. 3. haben wir die Perioden der Länge 8 aufgestellt. Wir haben nach (2) von Satz 5 (8,1) + (8,3) = - 1 , (8,1) (8,3) = i (8, ( - 8 ) * + 3 ) . ¿=0 7

Da (—8)1 + 3

0 (mod 17) für alle i ist, sind die Summanden von £ (8, (—8)4 + 3) ¿=o gleich (8,1) oder (8,3). Da (8,1) (8,3) rational ist, müssen (8,1) und (8,3) gleich oft auftreten, (8,1)(8,3) = —4. (8,1) ist also eine Nullstelle des Polynoms x2 + x - 4 .

(3)

Wir haben vier Perioden der Länge 4: (4,1) = (4,4), (4,2) = (4,8), (4,3) = (4,5), (4,6 = (4,7) . Diese sind nach Satz 6 Polynome mit rationalen Koeffizienten in (4,1). Wir ziehen es jedoch vor, (4,2), (4,3), (4,6) durch (4,1) und (8,1) auszudrücken. Es gilt (4,1) + (4,2) = (8,1) , (4,3) + (4,6) = (8,3) = - 1 - ( 8 , 1 ) , (4,1 )2 = (4,2) + 2(4,3) + 4 . Hieraus erhält man die gewünschten Darstellungen. Weiter gilt (4,1)(4,2) = £ (4,(-4)* + 2) = - 1 . 4= 0

(4,1) ist also eine Nullstelle des Polynoms x2 — (8,1) x — 1 .

(4)

Von den acht Perioden der Länge 2 benötigen wir nur (2,1) und (2,4). Wegen (2,1) + (2,4) = (4,1) , (2,1)(2,4) = (2,3) + (2,5) = (4,3) = 1((4,1) 2 + (4,1) - (8,1) - 4) ist (2,1) eine Nullstelle von z 2 - (4,1) x + | ((4,1 f + (4,1) - (8,1) - 4) . Schließlich ist (2,1) = f + z 2 - (2,1)

1.

(5)

und daher ist £ eine Nullstelle von (6)

Indem man jeweils für (8,1), (4,1), (2,1), £ eine der beiden Nullstellen von (3), (4), (5), (6) wählt, wird eine der 16 primitiven 17ten Einheitswurzeln fixiert.

3.7. Beweis des quadratischen Reziprozitätsgesetzee

3.6.

35

Perioden der Länge (p — l)/2

Wir betrachten noch den Spezialfall der Perioden von der Länge f = (p — l)/2. Wir haben (/,1) + (/,