Einführung in das mathematische Denken: Die Begriffsbildung der modernen Mathematik 9783534243013, 3534243013

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Fiedrich Waismann

Einführung in das mathematische Denken Die Begriffsbildung der modernen Mathematik

Hrsg. von Heinz Jörg Claus Mit einem Vorwort von Albrecht Beutelspacher 5. Auflage

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Das Werk ist in allen seinen Teilen urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung ist ohne Zustimmung des Verlags unzulässig. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfi lmungen und die Einspeicherung in und Verarbeitung durch elektronische Systeme. 5., mit einem neuen Vorwort versehene Auflage 2012 © 2012 by WBG (Wissenschaftliche Buchgesellschaft), Darmstadt Reprographischer Nachdruck der 2. Auflage Gerold & Co., Wien 1947 1. Auflage Gerold & Co., Wien 1936 Die Herausgabe des Werkes wurde durch die Vereinsmitglieder der WBG ermöglicht. Einbandabbildung: Zahlen © sogmiller – Fotolia.com Einbandgestaltung: Neil McBeath, Stuttgart Gedruckt auf säurefreiem und alterungsbeständigem Papier Printed in Germany Besuchen Sie uns im Internet: www.wbg-wissenverbindet.de

ISBN 978-3-534-24301-3 Elektronisch sind folgende Ausgaben erhältlich: eBook (PDF): 978-3-534-71857-3

Inhalt Vorwort zur 5. Auflage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . VII Vorwort des Herausgebers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Friedrich Waismann (1896 –1959) und sein geistiges Umfeld . . . . . . . XII Vorwort von Karl Menger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . XIV Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1. Die verschiedenen Zahlarten . . . . . . . . . . . . . . . 2. Kritik an der Zahlenerweiterung . . . . . . . . . . . . 3. Arithmetik und Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Strenger Aufbau der Lehre von den ganzen Zahlen . . 5. Die rationalen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6. Die Grundlagen des Rechnens mit natürlichen Zahlen 7. Strenger Aufbau der elementaren Arithmetik . . . . . 8. Das Prinzip der vollständigen Induktion . . . . . . . . 9. Der gegenwärtige Stand der Grundlagenforschung . . A. Der Formalismus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Die logische Schule . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10. Limes und Häufungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . 11. Das Rechnen mit Folgen. Der Differentialquotient . . 12. Merkwürdige Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anhang: Was ist Geometrie? . . . . . . . . . . . . . . . 13. Die reellen Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A. Cantors Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. Dedekinds Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . C. Vergleich der beiden Theorien . . . . . . . . . . . . D. Die Einzigkeit des reellen Zahlensystems . . . . . E. Verschiedene Bemerkungen . . . . . . . . . . . . . 14. Ultrareelle Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15. Komplexe und hyperkomplexe Zahlen . . . . . . . . . 16. Erfi nden oder Entdecken? . . . . . . . . . . . . . . . .

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. 1 . 3 . 11 . 15 . 20 . 36 . 48 . 57 . 64 . 72 . 72 . 76 . 82 . 87 . 99 . 107 . 122 . 127 . 129 . 137 . 142 . 144 . 148 . 151 . 156 . 162

Nachwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Anmerkungen des Herausgebers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Register . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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Vorwort zur 5. Auflage Friedrich Waismanns Buch „Einführung in das mathematische Denken“ ist ein Klassiker und ein historisches Dokument. Das 1936 zum ersten Mal erschienene Werk markiert sehr präzise eine Zäsur. Die Erschütterung in den Grundlagen der Mathematik, die um die Wende zum 20. Jahrhundert offenbar wurde, und zwar bei dem Versuch, eben diese Grundlagen zu festigen, diese „Grundlagenkrise“ war in gewissem Sinne ausdiskutiert. Man wusste, welches die Probleme waren, man hatte Lösungen gefunden und man hatte erfahren, dass gewisse Probleme nicht lösbar waren. Dedekind und Peano hatten die Grundlagen der natürlichen Zahlen dargelegt, Frege hatte sich um die logische Grundlegung der Mathematik bemüht, die durch Russells Antinomien zu einem Zwischenstopp kam, Hilbert hatte sein Programm des Formalismus verfolgt, dessen Unmöglichkeit von Gödel gezeigt wurde. Diese, im Wesentlichen innermathematischen Fragestellungen blieben nicht nur ein Gebiet, das von Mathematikern bearbeitet wurde, sondern wurde zum Thema einer intensiven philosophischen Diskussion, die insbesondere in dem so genannten Wiener Kreis geführt wurde. Auf all dies konnte Waismann aufbauen. In seinem Buch stellt er die Problematik, die Entwicklungen und die Ergebnisse dar. Es ist noch nicht die ruhige und abgeklärte Darstellung eines Lehrbuchs. Vielmehr fühlt man noch das Ringen um die richtigen Fragen und die angemessenen Antworten, man spürt noch die Auseinandersetzung, in denen für unterschiedliche Positionen gekämpft wurde, wo es aber immer um die Sache ging. Das ist die Tradition, aus der Waismann kommt, die er zu einem großen Teil selbst erlebt hat und über die er als Insider berichtet. Aus mathematischer Sicht gibt es aber auch eine Zukunft, und die heißt „Bourbaki“. Unter diesem Namen machte sich eine Gruppe aus vorwiegend französischen Mathematikern in der Mitte der 1930er Jahre auf, um die Mathematik radikal neu zu durchdenken und zu strukturieren. Daraus entstand ein vielbändiges Lehrwerk, das mit Mengen und Abbildungen beginnt, dann zu algebraischen Strukturen übergeht und bis zu den tiefsten mathematischen Theorien gelangt. Dieses Werk entsteht übrigens zunächst weitgehend unabhängig von den Protagonisten der „Grundlagen der Mathematik“. Bei Bourbaki wird manches, was in Waismanns Darstellung noch die Schlacke des frisch Gefunden trägt, in makelloser Klarheit (und ohne alle Emotionen) dargestellt. Die heutige Mathematik baut – unabhängig davon, ob sie sich dessen bewusst ist oder nicht – auf Bourbaki auf. Waismanns Buch ist daher von besonderem mathematikhistorischem Interesse, weil es den Stand der Diskussion unmittelbar vor Bourbaki kenntnisreich darstellt. Um zu erkennen, was Waismanns Buch leistet, beschreiben wir zunächst, was es nicht ist. VII

Das Buch ist kein Lehrbuch der Mathematik, obwohl darin durchaus substantiell und auf hohem formalem Niveau Mathematik gemacht wird. Das Buch ist kein Überblick über die damalige, außerordentlich vielfältige Mathematik, sondern konzentriert sich im Wesentlichen auf einen einzigen Aspekt, nämlich den Aufbau des Zahlensystems. Das Buch ist schließlich auch keine Geschichte der Mathematik, obwohl geschichtliche Entwicklungen aufgegriffen und dargestellt werden. Inhaltlich behandelt die „Einführung in das mathematische Denken“ den Aufbau des Zahlensystems: Von den natürlichen Zahlen (d. h. die Zahlen 0, 1, 2, …) über die ganzen Zahlen (…, –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, …) und rationalen Zahlen (Bruchzahlen) bis zu den reellen (unendliche Dezimalbrüche) und komplexen Zahlen. Dabei geschieht der Aufbau konsequent so, dass zur Beschreibung des jeweils nächsten Bereiches nur Begriffe des vorhergehenden benutzt werden. So werden zur Einführung der ganzen, also auch der negativen Zahlen, nur die positiven natürlichen Zahlen benutzt. Zur Einführung der rationalen Zahlen, also der Bruchzahlen, werden nur die ganzen Zahlen verwendet und so weiter. Beim Aufbau des Zahlensystems tritt an mehreren Stellen ein Problem auf. Am einfachsten erkennt man dies bei der Einführung der Bruchzahlen. Das Problem ist, dass verschiedene Brüche, wie zum Beispiel 1 / 2, 2 / 4 oder 3 / 6 die gleiche Bruchzahl darstellen. Daher muss man diejenigen Brüche, die zur gleichen Zahl gehören, identifi zieren. Waismann nennt Paare von ganzen Zahlen, die zur gleichen Bruchzahl führen, „gleich“ und stellt die Eigenschaften dieser „Gleichheitsrelation“ dar. Heute spricht man, vorsichtiger, von „Äquivalenz“ und spätestens seit Bourbaki beschreibt man solche Vorgänge formal elegant durch eine „Faktorstruktur“. Es ist hochinteressant zu beobachten, wie Waismann im Grunde das Gleiche macht, aber noch um die richtige Beschreibung ringt. Das besondere an diesem Buch ist, dass Waismann diesen Aufbau des Zahlensystems nicht nur mathematisch korrekt darstellt, sondern dass er auf fast jeder Seite darüber reflektiert. Warum sollte man dieses Buch heute noch lesen? Der erste Grund ist ganz einfach: Man kann es heute noch lesen. Es ist im Detail klar und im Großen gut organisiert. Der Autor hat eine Botschaft, und diese verfolgt er. Das Buch ist mathematisch stringent, und es trägt seinen Titel „Einführung in das mathematische Denken“ zu Recht. Die „Einführung in das mathematische Denken“ ist ein Buch für Leser: Jeder Abschnitt beginnt mit einer Frage, die dann ausgeführt und beantwortet wird. Dadurch weiß man nicht nur immer genau, worum es geht, sondern fühlt sich als Leser auch ernst genommen. Zum zweiten nimmt das Buch die damalige intensive wissenschaftstheoretische Debatte auf. Die verschiedenen philosophischen Standpunkte werden ausführlich und fair dargestellt, bevor Waismann seine eigene Haltung begründet. Das Buch zeigt die Komplexität des Themas, nämlich die Begründung der Zahlen, aber es hält die Komplexität des Themas aus und widersteht der Versuchung vorschneller Lösungen. Schließlich ist Waismann stark von dem Philosophen Ludwig Wittgenstein beeinflusst. Er hat mehrere Gespräch mit Wittgenstein geführt und nimmt desVIII

sen Gedanken explizit auf. Dies kommt vor allem am Ende des Buches sehr schön zum Ausdruck, wo noch einmal sehr deutlich gesagt wird, dass die Bedeutung eines Zeichens „nicht ein Ding [ist], das auf geheimnisvolle Weise mit dem Zeichen gekuppelt ist; sondern sie ist die Verwendung des Zeichens“. Und Waismann fährt fast pathetisch fort: „… und über diese gebieten wir.“ Last, but not least besteht der Charme des Buches in den vielen Bemerkungen, die dem Leser Hinweise mannigfacher Art geben, ohne aufdringlich zu wirken und die zeigen, dass Waismann wirklich ein Kenner der Materie war. Prof. Dr. Albrecht Beutelspacher Gießen, Frühjahr 2012

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Dr. Heinz Jörg Claus Philippsthal, 1996

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