Dream Team Geometri 31-Nokta Analitiği

Citation preview

------------�

ADIM ."IJ -

ANALİTİK

�------------

Saydığımız bu çok temel bilgileri kullanarak çözülebi­ lecek pek çok soru üretilebilir. Şimdi bu temel bilgiler­ le ilgili örnekler görelim.

NOKTANIN ANALİTİK İNCELENMESİ Bir düzlem üzerinde O (sıfır) noktasında dik kesişen iki sayı doğrusunun oluşturduğu sistem dik koordinat sistemi, üzerinde dik koordinat sistemi bulunan düz­ leme analitik düzlem denir. y

y

3 2

b ::1··················1 P(a, b)

i ' \

ıapsis ordinat

-;J

+-t-----,t-----,t-----,f--'--+--t--+-+X

-3 -2 -1-1 O 1 -2 -3

2 3

r.i -;ı . __..ı.c --1-'-'...... : -+ X

o

s(- : , - s). C(1, - 5),

Analitik düzlemde köşe koordinatları A(- 2, O),

geni hangi geometrik şekli belirtir?

(Çözüm) Noktaları analitik düzleme yerleştirelim. 3

Yatay olan sayı doğrusuna x (apsis) ekseni, dikey olan sayı doğrusuna y (ordinat) ekseni denir.

0(12, O) olan ABCD dört-

2

y O 1

----.--,-,,-+-+..--,------r------+ X

A(-2,0)

0(12,0)

:•

Apsis ve ordinat eksenlerinin kesişim noktası olan 0(0, O) noktasına başlangıç noktası (orijin) denir.

H -5 C(1, -5)

Örneğin; bir P(a, b) noktasında, a ya P noktasının apsisi, b ye P noktasının ordinat, denir.

Dikkat edilirse A ile D nin, 8 ile C nin ordinatları eşittir.

• x ekseni üzerindeki tüm noktaların ordinat, sıfırdır.

[AD]

x ekseni y = O doğrusu olarak da adlandırılır.

il [8C] olur. A8CD bir yamuk belirtir.

• y ekseni üzerindeki tüm noktaların apsisi sıfırdır. y ekseni x = O doğrusu olarak da adlandırılır. • Koordinat eksenleri analitik düzlemi dört bölgeye ayırırlar. Apsis ve ordinatların işaretleri: y (ordinat)

il. bölge

1. bölge

(-, +)

(+, +)

------ıP-aı ____ x (apsis)

111. bölge

iV. bölge

(-, -)

(+, -)

x > O, y > O nokta 1. bölgede x < O, y > O nokta il. bölgede x < O, y < O nokta 111. bölgede x > O, y < O nokta iV. bölgededir. Nokta Analitiği

(Çözüm) ı

A(a + 2, b - 6) = 0(0, O) T

�

a=-2

a+2=0 b-6 = O

b = 6,

y ....................... B(a, b) .. b

A(x, y) noktası için,

-

Analitik düzlemde A(a + 2, b - 6) noktası başlan­ gıç noktası olduğuna göre, B(a, b) noktasının ek­ senlere olan uzaklıkları toplamı kaç birimdir?

-+----'----+X

a

8(- 2, 6)

* Bir B(a, b) noktasının eksenlere uzaklıkları:

8 noktasının x eksenine uzaklığı I b I dir.

y eksenine uzaklığı I a I dır.

8(- 2, 6) noktasının eksenlere uzaklıkları toplamı

l-21

+

161

= 8 birimdir.

--------------------:...--- 7 -

-----------4

ANALİTİK

�-----------

* Eş dikdörtgenlerde kısa kenar ve uzun kenarların uzunlukları eşit olur.

Analitik düzlemde A(a + 3, 2a - 1) noktası koordi­ nat eksenlerine eşit uzaklıkta olduğuna göre, A noktası kaçıncı bölgeler üzerinde olabilir?

(Çözüm)

IBCI= IEFI= 6 birim F noktasının apsis değeri: 6+ 1=7 ordinat değeri: -6 � F(7, -6) G ile F noktasının apsis değerleri eşittir.

A noktası eksenlere eşit uzaklıkta ise

G nin apsis değeri: 7

j a+3I= j2a-1I

ordinat değeri: -4 � G(7, -4)

a+3=2a-1 veya a+3=-(2a-1)

O halde, F(7, -6) ve G(7, -4) bulunur.

• a+3=2a-1 � -a=-4 � a= 4 • a+3=-2a

IDCI= IABI= IFGI= IBKI=2 birim

2 1 � 3a=-2 � a=--

+

a= 4 olursa A(7, 7) noktası 1. bölgede a= -� olursa A(!___, _ !___) noktası iV. bölgededir. 3 3 3

N

B

M

A noktası 1. ve iV. bölgede olabilir.

y

D( 4, O) D

C

--½---�--r------+ X

o

8( 6, -6) E( 1, a)

H

G

E

Yukarıdaki birim karelerden oluşan kağıda [KL] // Ox olacak şekilde koordinat eksenleri çiziliyor. A(- 3, 1) noktası olduğuna göre, B ve C nokta­ larının koordinatları toplamı kaçtır?

(Çözüm)

B F

A

L

K

Analitik düzlemde ABCD ve EFGH eş dikdörtgen­ ler olduğuna göre, G ve F noktalarının koordinatla­ rını bulunuz.

( Çözüm)

[KL] // Ox soruda belirtilmiş. Bu ifade olmasaydı ko­ ordinat eksenleri farklı şekillerde de çizilebilirdi. A(-3, 1) noktasının apsisi y ekseninin 3 birim solun­ da, ordinatı ise x ekseninin 1 birim üstünde olmalı­ dır. Buna uygun çizim şu şekildedir; y

6

B(-1, 4)

D

6

4 K

H

1

E

X

2

4

B

A

G(7,-4) 2 F(7,-6)

6

ıocı= ıocı - ıooı= 6-4=2 birim 8 ---1i -

i [• �,�,!,,! LLLl i f Li:U:Jtc,i::Li

X

Koordinatlar toplamı: (-1)+4 + 2+ (-2)= 3 bulunur.

Nokta Analitiği

-

------------�

ANALİTİK

�------------

(Çözüm) y

cı-------

E

······················· 8(3,9)

..�(3, 9)

o

ı D

o

A ve B noktaları aynı bölgede ise, noktaların işaretleri aynı olmalıdır. A'nın ordinatı negatifse (-1), B'nin or­ dinatı da negatif olmalıdır. 4k -12k 2

'

c(�2 ' - 2)

olur.

Şimdi C noktasının orijine 0(0, O) olan uzaklığını bulalım. ICOI =

J(�

-Or

+ (-2 -0)2 => ICOI =: bulunur.

C nin orijine uzaklığını bulmak için analitik düzlemi de kullanabiliriz. Y

2 H 3

�..._____....., X

Bir Doğru Parçasının Orta Noktasının Koordinatları

COH 3k -4k -5k üçgenidir. ..j,

..j,

..j,

k=_!_ �-�-�

2'2

2

ıcoı = -25

y

Y2 ························································· ·······•······· B(X2, Y2l · ,

2

2

bulunur.

,

:_ı', ,

,

Yo ................................................ C xo o ! ( ,Y l Y1 · · · · · ····· ·· ···· · ······ A(X1, Y1)

,

ı,,,'

1

1 -+-----'----'--' _____.c:,.__ X

C(x0 , y0) noktası [AB] nin orta noktası ise

C( X1

+ X2 , y1 + Y2 bulunur. ) 2

-12-....

2

=

Analitik düzlemde A(4, 3) ve B(- 4, 7) noktaların­ dan eşit uzaklıkta bulunan ve y ekseni üzerinde bu­ lunan noktanın ordinatı kaçtır?

(Çözüm) Hatırlatma: y ekseni üzerindeki tüm noktaların apsisi

0'dır. C(0, a) noktasını seçelim

A(4, 3), 8(-4, 7), C(0, a) IACI

= ıscı

J(O -4)

2

C(O, a)

B(-4, 7)

+ (a -3)2 = J(o - (-4))2 + (a -7)2

16 +-;/- -6a + 9

= 16 + � -14a + 49 8a = 40 a = 5 bulunur.

Nokta Analitiği

A(4,3)

------------4

ANALİTİK

�-----------IABI=IACI

A(6,4)

� y

0(2, -1) G

•X

8(4, -5) E(0, -8)

C

AO

B

B(- 2, 10)

C(O,a)

=

IABI

J(6-(-2))

2

IACI

J

+ (4-10) = (6-0)2 + (4-a)2 2

64

+ }6=)6' + (4-a)2 8=4-a�a1 =-4

Analitik düzlemde verilen ABCD ve EFGO birer kare olduğuna göre, boyalı bölgenin alanı kaç bi­ rimkaredir?

-8=4-a�a2=12 Buna göre, C1 (O, -4) ve C2(0, 12) olabilir.

( Çözüm) Öncelikle ABCD karesinin bir kenarını bulalım. 1 AB 1 =a olsun. 1 DB 1 =aJ2 olur.

Verilenlerle D nin B ye uzaklığını bulabiliriz. 1 DB 1

=)(2- 4)2 + (- 1-(- 5))2

1 DB 1 =215=aJ2�a= JTo

EFGO karesinin bir kenarı b olsun. E(0, -8) ise b=8 olur.

Analitik düzlemde köşeleri 0(0, O), A(3, O), B(3, 5), C(0, 1) olan bir OABC dörtgeni veriliyor. Buna göre, Çevre(OABC) kaç birimdir?

( Çözüm)

•i?iM

Verilenleri kullanarak dörtgeni çizelim. y

Boyalı Alan=b2-a2=64- 1O=54 br2 dir.

5

4

5

C(O, 1)

Analitik düzlemde A(6, 4) , B(-2, 1O) ve x=O doğ­ rusu üzerindeki bir C noktası ile ABC üçgeni oluştu­ ruluyor. Üçgenin [AB] kenarına ait yüksekliği [AC] kena­ rına ait yüksekliğine eşit olduğuna göre, C nokta­ sının koordinatları nedir?

3

A(3, O)

CHB üçgeninde pisagordan ICB 1 =5 birim olur. Çevre=1

+ 5 + 5 + 3=14 birim bulunur.

•ii?ii

1 BC 1 =j(3-0)2 + (5-1)2=5

x=O doğrusu y eksenidir ve y ekseni üzerindeki tüm noktaların apsisi O dır. O halde, C(0, a) şeklindedir. Bir üçgende eşit kenarlara ait yükseklikler eşit oldu­ ğundan IABI=IACI olur. Nokta Analitiği

O

Bu soru iki nokta arası uzaklık formülü kullanılarak da çözülebilir.

(Çözüm)

-

___1..,.·------x

j

1 AB 1 = (3-3)2 + (O-5)2=5

ıocı=1, Çevre=5

IOAI=3

+ 5 + 1 + 3=14 birim bulunur.

----------------------= .,. .-

13 -

ANALİTİK

�------------

(Çözüm) Analitik düzlemde A(2, - 1) ve 8(3, 5) noktaları­

NOT: Dik koordinat sistemine yerleştirilmiş dik­

na eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik ye­

dörtgen ve kare varsa, benzerlik veya eşlik aklı­

ri nedir?

mıza gelmelidir.

( Çözüm)

y D

7

Eşit uzaklıktaki noktalar C(x, y) olsun. A( 2,-1), 8(3, 5), C(x, y) IACI= JBCI olur.

A(-11,4 ), D(-7,11) bulunur.

2 2 2 2 Jcx-2) +( y-(- 1)) =}(x-3) +( y- 5)

2x + 12y- 29=O doğrusu bulunur. x= d doğrusuüze­ r i n d e k i tüm noktalar, A ve B noktalarına eşit uzaklıkta­ dır.

B

7

/-4x + 4 +/+ 2y + 1=/-6x + 9 +/-10y + 25

NOT:

Yanda gösterilenbo­ yalı 3 üçgen eş üç­ genlerdir. Eşit açıla­ rın karşısında eşit kenarlar bulunur.

-11

:

4

E(x, y) olsun.

4 11 =_ 9 ve y= :

(- 7 )

15 2

1 olduğuna göre, E (-9, ;) bulunur.

Analitik düzlemde köşe koordinatları A(1, 3) ,

d:2x+1 2y- 29=0

8(8, - 4), C(2, 16) noktaları olan A8C üçgeninde

d doğrusu aynı zamanda [AB] doğru parçasının or­ ta dikme doğrusudur. HATIRLATMA:

[8C] kenarına ait kenarortay uzunluğu kaç birimdir?

(Çözüm)

Geometrik yer, bir nokta, doğru, çember, konik ya da eğri olabilir.

A(1, 3)

C(2, 16) y

D

Analitik düzlem­

AD, BC kenarına ait kenarortaydır.

de A8CD bir ka­

BC nin orta noktası D yibulalım.

re, E, [AD] nin

8+2 Xo=--=5

orta noktası ol­

2

duğuna göre, E

B(-4,0)

-4 + 16

=6

noktasının koor­

Yo =

dinatlarını bulu­

� D( 5,6 ), A( 1,3) noktaları arası uzaklık:

nuz.

2

JADI= )( 5-1)2 +(6-3)2=5birim bulunur.

14-...

:

Nokta Analitiği

ANALİTİK

------------�

�------------

3. A(- 1, 2) ve 8(3, 5) noktalarına eşit uzaklıkta olan C noktası, x ekseni üzerinde olduğuna göre, C nin apsisi kaçtır?

1.

2 A) 9 2

8)6

2 C) 9 8

D) O

E)-6

Oryantiring, sporcuların kendilerine verilen hedef­ lere sırasıyla en kısa sürede ulaştıkları bir spor da­ lıdır. Bir oryantiring müsabakasında kullanılan harita analitik düzlem üzerine yukarıdaki gibi yerleştiril­ miş ve hedef noktaların koordinatları verilmiştir. A noktasındaki sabit hızlı bir hareketli en kısa yol­ dan B noktasına 1 saat 5 dakikada ulaşmıştır. Bu hareketli aynı hızla B noktasından AC yo­ lunun orta noktası olan D noktasına en kısa yo­ lu kullanarak kaç dakikada ulaşır?

2.

y

A)45

8)40

C)3

0)30

9

E)25

o -------------x A(-7, a)

B(-1, b)

Analitik düzlemde verilen C noktası [AB] nin or­ ta noktasıdır. 1 OC 1 = 5 birim olduğuna göre, a + b topla­ mı kaçtır? A)-8

B)-6

C)-5

D)-4

E)6

4.

Analitik düzlemde A{2a + 8, 5b -2) ve B(4a + 4, b -6) noktalarına eşit uzaklıkta bulu­ nan P(a, b} noktası AB doğrusu üzerindedir. Buna göre, a + b toplamı kaçtır? A)-2

2) B

1) C -

Nokta Analitiği

3) E

B)-1

C)o

D)1

E)2

4) B

5:-..-- 1

------------� 5.

ANALİTİK

Analitik düzlemde, x ekseni üzerinde apsisi 3 olan A noktası ve B(- 2, 4) noktası ile ABC üç­ geni oluşturuluyor. m(A) +m(B) < 90°

�------------

7.

ABC üçgeni bir ikizkenar üçgen olduğuna gö­ re, y ekseni üzerindeki C noktasının ordinatı kaçtır?

A)4..f2.

B) 13

C) 5

D)

29 8

E) _!_!_ 8

Analitik düzlemde OABC bir kare, 1 BE 1 = 1 EC 1 [BC] nin orta noktası olan E noktasının koor­ dinatları aşağıdakilerden hangisidir? A)

(o,

1

B) (O, 8)

:) D)

6.

Analitik düzlemde A(- 2, 8) ve 8(1, O} noktala­ rı veriliyor.

8.

(o, :)

C) (O, 6) E) (O, 3)

Analitik düzlemde, A(0, 1), B(0, - 4), C(5, -4), 0(5, -1), E (�, 1) noktaları sırasıy­

[AB] doğru parçasının orta dikme doğrusunun denklemi aşağıdakilerden hangisidir?

� birleştirilerek elde edilen kapalı şeklin çev­

A) 6x-16y+55=O

A) 12

resi kaç birimdir? B) 15

C) 18

D) 19

E}20

B) 3x-8y+34=O C) 2x+y-3=0 D) 3x+5y+36=O E) 6x - 16y+67=O

5) E

_ 16 _....

=

6) E

7)A

8) D Nokta Analitiği

_

------------�

ANALİTİK

ADIMJ/ -

Bir Doğru Parçasını Belli Oranda Bölen Noktanın Koordinatları

C e [AB] olduğundan C noktası [AB] yi içeriden bö­ ler. Doğru parçasını bölen noktaların koordinatlarını bul­ mak için koordinat (apsis veya ordinatlar) farkları veri­ len uzaklıklar oranına eşitlenir.

�=

�------------

(_----==--A_D_IM_P_E_K_İŞ_T_İR_M_ E-==--)

Analitik düzlemde A(-2, 3), 8(3, 13) noktaları verili­ yor. JACJ = 4 olduğuna göre, [AB] doğru parçasını JBCJ içten bölen C noktasının koordinatlarını bulunuz.

( Çözüm) •11§@ A(-2, 3)

ıcsı

4k

C(x,

y)

k

8(3, 13)

3-y y-13

-2 -x x-3

-2-x 3 -y => y=11 4=--- => x=2 ve 4= x-3 y-13 Be: [AC] olduğunda B noktası için [AC] yi dışarıdan böler tabiri kullanılır. 1 ACI nin I CBI ye oranı için yu­ karıdaki eşitlik kullanılabilir.

O halde, C(2, 11) bulunur.

•111§1

Pratik olarak uzaklıklara bakarak basit bir orantı düşü­ nebiliriz.

Analitik Düzlemde Paralelkenar

_ 5k'da 5 artmış --..:_ __

Apsisler:

4k'da 4 artar

-��� C(x, y)

A(-2, 3)

8(3, 13)

4k'da 8 artar Ordinatlar:

5k'da 1 O artmış

ABCD paralelkenarında köşegenler birbirini ortalar. E(x0, y0) orta noktadır.

Öncelikle apsislerin artış azalışını inceleyelim. A'dan B'ye 5k uzunlukta apsis 5 artarsa A'dan C'ye 4k uzunlukta apsis 4 artar. X=-2+4=2 Ordinatları inceleyelim. A'dan B'ye 5k uzunlukta ordinat 1o artarsa

NOT: Bu kural analitik düzlemdeki eşkenar dörtgen, dik­ dörtgen ve kare için de geçerlidir.

-

Nokta Analitiği

A'dan C'ye 4k uzunlukta ordinat 8 artar. y=3+8=11 C(2, 11) bulunur.

- ...!.A---

---------------------,ı...-

17 -

-----------�

ANALİTİK

�-----------

� Analitik düzlemde A(-5, 4) ve B(-1, O) noktaları ve­ riliyor. A ve B ile aynı doğru üzerinde bulunan bir C noktası alınıyor.

C

0(8,-10)

I C1 A = � olduğuna göre, C nok­ l BC I 7 tasının koordinatlarını bulunuz. C Ei!= [AB] ve

[BD] n [AE] = {F}

(Çözüm)

Analitik düzlemde verilen ABCD paralelkenarının kö­ şe koordinatları yukarıda verilmiştir.

+M·ffl@

Öncelikle C noktasının A noktasına mı, B noktasına mı yakın olduğunu tespit edelim. AC

3k I I --=-

ıscı

7k

7k 3k

ICAI IABI

Buna göre, 1 CFI uzunluğu kaç birimdir?

(Çözüm) C(x, y) noktasını bulalım

1 AC 1 < 1 BCI olduğundan C noktası A noktasına daha yakındır.

C(x, y)

8(-1,0)

X- (-5) = � => -5- (-1) 4

Paralelkenarda karşılıklı apsisler ve ordinatlar eşit ol­ duğuna göre, 1+X=5+8 => X=12 -3+ y=-7+ (-1O) => y=-14

4k A(-5, 4)

C(12,-14) C yi şekil kullanarak da bulabiliriz.

X=-8

:'.�-7 :'.tl�Jf,f,:�;,

y- 4 3 ICAI -- =--=- => y=7 4-0 4 IABI C(-8, 7) bulunur. .. !1!

..,.,.ffi•. ·-·

A(1 '

Apsisler:

8(5,-7)

A(1,-3)

3k' d a 3 azalır

4k' d a 4 azalmış

'i�V� 3k 4k

C(x, y)

A(-5,4)

8(-1, O)

o

-3)

o d�n� - � ı; � ; ; 4

8(5 ' -7)

C(12,-14)

Şimdi F noktasını bulalım. C

0(8,-10)

�� '

3k' d a 3 artar Ord i n atlar:

4k d a 4 artmış

Apsisleri inceleyelim.

a A(1, -3)

8(5,-7)

a IBFI = 2a

B'den A'ya 4k uzunlukta apsis 4 azalmış

Kelebek benzer1 .ıgın •. den

A'dan C'ye 3k uzunlukta apsis 3 azalır

5-x1 1 IBFI --=--=- => x1 =6 X1 -8 2 IFDI

X=-5-3=-8 Ordinatları inceleyelim. B'den A'ya 4k uzunlukta ordinat 4 artmış A'dan C'ye 3k uzunlukta ordinat 3 artar

18

Tı=of

-7-Y1 1 IBFI =----=- => y1 =-8 y 1 - (-10) 2 IFDI

F(6,-8) ve C(12,-14) olduğuna göre,

y= 4+3=7

1 CF 1 = j(12-6)2+ (-14- (-8))2

C(-8, 7) bulunur.

1 CF 1 =6./2 birim bulunur.

-.1ıl =L---------------------

Nokta Analitiği

-

------------�

ANALİTİK

�------------

� 8

o

8(4,5)

F

A(2,3)

Analitik düzlemde OABC bir dikdörtgen

ABCD dörtgeninin karşılıklı kenarlarının orta noktala­ rını birleştiren doğru parçaları E noktasında kesişmek­ tedir.

IABI= ı2 scı

Buna göre, E noktasının koordinatlarını bulunuz.

Yukarıdaki verilere göre, B ve C noktalarının koor­ dinatlarını bulunuz.

(Çözüm)

(Çözüm)

D(?,-3)

8(x, y)

F

A(2,3)

8(4,5)

NOT: Analitik düzleme yerleştirilmiş dikdörtgende benzerlik uygulayalım. AHO-OKC

2 birim, 1 OK 1 = 6 birim ve C(-6, 2) bulu­

nur. B noktasını bulmak için paralelkenar kuralını uygula­ yalım. 0(0,O)

A(1,3)

B(x,y)

2 4 F( ; ' 3;

5)

0+X=1+(-6) => X=-5 => y=5

O halde, 8(-5,5) ve C(-6, )2 bulunur.

E noktası H ve F noktalarının orta noktası olduğundan 5+3 4+(- 2) , E( ) => E(4,1) bulunur. 2 -2Ya da paralelkenarın köşe koordinatlarını bulmak için orta nokta formülünü uygularız. E noktasını bulmak için ikinci kez orta nokta formülü uygulanacağından köşe koordinatlarını 4'e bölüp E noktasını buluruz. E(

2+4 3+7, 3+5+( 1)+(-3) ) : �

E(4,1) bulunur.

Nokta Analitiği

=> F(3,4)

C(-6, )2

Adımda verdiğimiz paralelkenar kuralından o+y=3+ 2

Orta nokta formülünden; 3 -3+(-1) H(7; , ) => H(5,- )2 2

1 3 k -=--=2k ICKI IOKI

1 CK 1 =

Dörtgenin kenarlarının orta noktaları birleştirilince paralelkenar elde edilir.

= ....-

19-

ANALİTİK

------------�

�------------

3.

A(-5, a)

y

B(O, -1) 1.

C(-3, 3) [AB] //Ox Ali, motosikletiyle AB yolunu gitmeyi planlamak­ tadır. A noktasından harekete başlayıp, yolun % 40 ını gittikten sonra motosikletin C nokta­ sında yakıtı tükenmiştir. Ali, yardım almak için motosikletin bulunduğu noktanın koordinatlarını telsizle arkadaşına bildirecektir.

Analitik düzlemde verilen ABCD paralelkena­ rında [8D] köşegeninin uzunluğu kaç birim­ dir?

Buna göre, C noktasının koordinatları aşağı­ dakilerden hangisidir? A)

c:

1 , :)

B)

G · �)

D)(;, :)

2.

C) (: ,

A)2/2

B).fio

C)2.fio

D)4.J5

E)9

4)

E)(;, 2)

A(1, O)

y

C(x, y)

8(4, 4) C(x, y) D(a, 6)

4.

Analitik düzlemde verilen ABC üçgeninin [AB] kenarının orta noktası, x ekseni üzerinde, apsisi 3 olan noktadır. [BC] kenarının orta noktası ise y ekseni üzerin­ de ordinatı -2 olan noktadır. [AC] kenarının orta noktası E(1, 5) noktası ol­

A(1, O)

duğuna göre, üçgenin köşelerinden birinin ko­ ordinatları aşağıdakilerden hangisi olabilir?

Analitik düzlemde verilen ABCD dikdörtgeni­ nin C köşesinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir? A) (-4, 10) D) (-4, 7)

1) B

B) (-6, 8)

A) (-2, 7)

C) (-2, 3)

B) (4, -7) D) (1, 7)

E) (7, 4)

C) (-6, 10)

E) (-9, 11)

2) A

3) D

4) C Nokta Analitiği

_

ANALİTİK

� 5. C

�

7.

y

C(- 8, 12)

B

IOBI = 12 birim

y

o

IABI = 3IADI

ıcoı = ıooı

C

[AB] rı [OC] = {D} B

o

Analitik düzlemde verilen bir karenin iki köşesi ek­ senler üzerinde ve B köşesinin Ox, C köşesi­ nin Oy eksenine olan uzaklıkları eşittir.

Dik koordinat düzlemi üzerinde AOBC dörtgeni veriliyor.

Yukarıdaki verilere göre, 1 AO I kaç birimdir? A)2J5

B)3J5

C)2J=İ3

D)12

Bu karenin köşelerinden birinin koordinatı (6, a) olduğuna göre, karenin diğer köşele­ rinden birinin koordinatları aşağıdakilerden hangisi olabilir?

E)16

B) (O, -12)

A) (-3, 6)

E) (6, -12)

D) (3, 6)

6.

8.

y

C) (6, - 6)

E(-4, c)

D(2, 6)

r-.....;_-----.

C

B(-2,a)

A(-5,-9)

Analitik düzlemde [AB] üzerinde bir C noktası veriliyor.

10B 1 = 1 OC I ve A(- 5, - 9) olduğuna göre, C noktasının koordinatları aşağıdakilerden han­ gisidir? A) (-4, O)

B) (O, -3)

D) (O, - 5)

-

Nokta Analitiği

1 A1 1 DA I 1 ve C = 5 olduguna gore, = .. IBAI 3 IEAI 2 C noktasının apsisi kaçtır? A) -1 O

B) -12

C) -14

O) -16

E) -19

C) (O, -4)

E) (O, -6) 6) C

5) B

Analitik düzlemde verilen BCED konveks dörtge­ ninin [BD] ve [CE] kenarlarından geçen doğrular bir A noktasında kesişmektedir.

7) E

=

8) D

-ı,.....- 21 -

ANALİTİK

�------------

(_---==---A_D_IM_P_E_K_İŞ_T_İR_M_E------==-=-----�) Köşe Koordinatları Bilinen ÜçgeninAğırlık

y C

Merkezinin Koordinatları A(x,, Yıl

ıocı = 4 birim IOBI = 6 birim

A Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin A köşe­ sinin koordinatlarını bulunuz. Üçgenin ağırlık merkezi G(x0 , y0) olsun.

(Çözüm)

bulunur.

Dikkat edilirse orijin ABC üçgeninin ağırlık merkezi­ dir. Kenarortayların kesim noktası ağırlık merkezi­ dir.

Köşe Koordinatları Bilinen ÜçgeninAlanı Üçgenin köşe koordinatları

8(6, O) , C(0, 4), G(0, O) olur. A(x, y) olsun

A(x1, y1), B(x2, y2), C(x , y ) olsun. 3 3

x+6+0 0=---=> X=-6 3

Köşe koordinatları verilen üçgenin alanı üçgen anali­ tik düzleme yerleştirilerek bulunabilir.

0-

Çizerek alanı bulmak istemeyenler için alternatif bir he­ saplama yöntemi aşağıda verdim. Alternatif bir yol ola­ rak kullanabilirsiniz.

y+0+4 => = 4 y 3

O halde, A(- 6, - 4) bulunur.

Alan(ABC) =

X2 -Y3 X3 -Y 1 Bu yöntemde koordinatlar alt alta yazılır. En üst satıra yazılan koordinatlar en alt satıra tekrar yazılır. Oklar bo­ yunca çarpımlar yapılıp toplanır. x1 ·Y2

+

+ X3 -Y1

=a

Y 1 -X2

+ Y2·X3 + Y3 -X1

=b

x2·Ys

Alan(ABC)

1 = -la-bl 2

Köşe koordinatları A(-1, 3), 8(8, 6), C(-1, 7) olan ABC üçgeninin alanı kaç birimkaredir?

( Çözüm) •i@• NOT: Verilen köşe koordinatlarının herhangi ikisinin ap­ sis veya ordinatları eşitse üçgen analitik düzleme çizilerek üçgenin alanı pratik olarak hesaplanır.

eşitliğiyle alan bulunabilir.

-

22 -•1ı

=I

---------------------

Nokta Analitiği

-

------------�

ANALİTİK

�------------

A ve C noktasının apsisleri eşittir.

�

y

y

8(8, 6)

B(O, 16)

6 ------+----------+X

-1

Alan(ABC)=

+ıiffii

8

O

-----4-ı------.x

4 9 IACl·IBHI . . =- • -=18 b.ırımkaredır. 2 2

Analitik düzlemde verilen ABC dik üçgeninin a) Alanını bulunuz. b) Ağırlık merkezinin koordinatlarını bulunuz.

(-1).6

3.8

8.7

6.(-1)

(-1).3

7.(-1)

a=-6+56 -3=47 ve b=24 -6 -7=11 olur.

(

Çözüm_)

a) y

Alan=J_ 147 -11I=18 birimkare bulunur. 2

Köşe koordinatları A(3, O) , B(-2, 5) , C(1, k) olan üç­ genin alanı 1O birimkaredir.

Buna göre, k nın alabileceği değerler toplamı kaçtır? ABC üçgeninde öklit bağıntısından

(Çözüm)

2 IAHl =IBHl• IHCI

Eğer köşe koordinatlarında O olan bir nokta varsa o koordinatı en üst satıra yazmak, işlem kolaylığı sağlayacaktır. a=15 -2k

82=4·IHCI IHCI=16 C(O, -4) bulunur. Alan(ABC)=

ıscı-8 20-8 .. kared.ır. =- -=80 bırım 2 2

b=5+3k 15

b) A(8, 12), 8(0, 16), C(O, -4)

-2k

ABC üçgeninin ağırlık merkezi G(x0, y0) olsun.

o

8+0+0 3

1 1 Alan=- 1a -b 1=- 115 -2k -(5+3k) 1=1O

2

2

l10 -5kl=20

Yo=

8 3

12+1 +(-4) =8 �

1O -5k=20 => k1 =-2 1O -5k=-20 => k2=6

O halde, G(:, 8) bulunur.

k nın alabileceği değerler toplamı -2+6=4 tür. -

Nokta Analitiği

:t--- 23-

------------�

ANALİTİK

�------------

� y

8(1,-1)

Yukarıda köşe koordinatları verilen ABCD dörtge­ ninin alanı kaç birimkaredir? [AK] n [BL] = {E} Analitik düzlemde ABO bir üçgen, K(-:,

o), L(O, 6), E(x, y)

1 AL 1 = 1 LO 1

Çözüm)

•i'?iM

olduğuna göre, x + y toplamının değeri kaçtır? 2

(

2

Dörtgenlerin köşelerinden geçen dikdörtgeni çizelim.

(Çözüm)

10 y

•l·ffl@ K ve L orta noktalardır. A(0, 12)

B (-9, O)

0(0, O)

E noktası ağırlık merkezidir. x=

12+O+O O+ (-9)+O =-3 ve y=---3 3

olduğuna göre,

A(ABCD)=A(KLMN)-A(AKB)-A(BLC}-A(CMD)-A(DNA)

x2+ y 2=25 bulunur.

•idi

.J,

.J,

= 50

6

.J,

.J,

.J,

3 2

21 2

7.3 1·3 4.4 2·6 =5·10 - ----- ---2 2 2 2

12

8

=24 birimkare bulunur.

•ii'?ii

D C

9

A

E noktası ağırlık merkezidir. OBA dik üçgen ve E noktası ağırlık merkezi olduğun­ dan muhteşem üçlüden

B

Alan(ABCD) = Alan(ABD)+Alan(BDC)

I BD I = IDAI = IDOI =3a olur.

-5

6a=15 IOEI = 2a =5 birim 1 OE 1 2 = x2+ y2=25 br2 bulunur.

2

2 -5

1 -1 + 4 1

2

4

5

3 -1 4

2 2

=16+ 8 =24 birimkare

- 24-..

..,.=

Nokta Analitiği

-

-----------�

ANALİTİK

�-----------

Paralel doğrular oranları taşırlar. Benzerlikten: a 2 IAKI = = 10 5a 1 KB 1

A

Analitik düzlemde verilen bir karenin bir köşegeni y ekseni üzerinde ve bir köşesi ise orijindedir.

Alan(ACK) =J_ bulunur. Alan(CKB) 5

Bu karenin köşe koordinatlarından biri A(a, 6) ol­ duğuna göre, karenin alanının alabileceği değerler toplamı kaçtır?

(Çözüm)

B

Öncelikle yukarıdaki ifadelere uygun olabilecek kare­ leri çizelim. y y A(a, 6)

y

X

A

X

o

o

x/2=6 => X=3/2

6

x=612.

E(2, ./3)

-1-------'--x

_.L,___

o

B

Alan=x => (312.) = 18 veya (612.) = 72 olabilir. 2

2

Buna göre, alanın alabileceği değerler toplamı 18 + 72

= 90

C

2

dır.

A noktası 111. bölgede olabilir. Bu durumda da alan de­ ğişmez.

Analitik düzlemde y ekseni ABC eşkenar üçgeninin alanını iki eş parçaya ayırmaktadır. E(2, ../3) noktası eşkenar üçgen üzerinde bir nok­ ta olduğuna göre, Alan(ABC) kaç birimkaredir?

(Çözüm) Analitik düzlemde A(3, 4), 8(4, - 8) ve C(1, 2) nok­ taları veriliyor. y = 2 doğrusu ABC üçgenini iki üçgen­ sel bölgeye ayırıyor.

y A

Buna göre, oluşan yeni üçgenlerin alanları oranını bulunuz.

(Çözüm) y

Alan iki eş parçaya ayrılıyorsa

1801 = 1 OC I

olur.

[EH] dikmesini çizelim. EHC 30° - 60° - 90° üçgeni olur. 10

1OC 1=3 birim

=>

1BC 1=6

birim olur.

52 .Js Alan(ABC) = ---=9/3 birimkare bulunur. 4

-

Nokta Analitiği

:.ı;..-

25-

------------4

ANALİTİK

�------------

3.

1.

8(2, 1)

C(0,4}

A, 8, C noktalarında bulunan hareketlilerin herbi­ ri bulundukları köşeden, karşısındaki kenarın or­ ta noktasına doğrusal olarak ilerleyeceklerdir. Bu hareketliler kenarlara ulaşmadan önce üçgenin iç bölgesinde P noktasında karşılaşmışlardır.

Birim karelerden oluşan yukarıdaki kağıt parçası analitik düzlem üzerindedir. Buna göre, kağıt üzerine çizilen ABCD dört­ geninin alanı kaç birimkaredir?

8) (2, 1)

A) (3, 2) D) (2, 3)

2.

8)

A) 14

Buna göre, P noktasının koordinatları aşağı­ dakilerden hangisidir?

25 2

C) 11

D)� 2

E) 8

C) (1, 3) E) (4, 1)

4.

y (O, 9)

A(-1, 4)

A(-1, 4)

y

8(5, -2)

8(5,-2)

Köşe koordinatları, yukarıdaki gibi olan iç bükey dörtgenler verilmiştir. Buna göre, boyalı bölgelerin alanları toplamı kaç birimkaredir? A) 12

8) 15

1) B

_ 26 -·1ı

=

C) 17,5

D) 22,5

Analitik düzlemde köşe koordinatları verilen AOB üçgeninin alanı kaç birimkaredir? A)9

8) 10

C) 11

E) 15

D) 12

E) 24

2) D

3) B

4) A Nokta Analitiği

_

ANALİTİK

C4h·)foG!t9•#tMMMii¼ii_.) 1.

3.

A(2, a + 5) ve B(b -1, -1) noktaları analitik düz­ lemin aynı bölgesindedir. Buna göre, C(a, b) noktası, kaçıncı bölgede­ dir? A) 1.

B) il. D) iV.

C) 111. E) x ekseni üzerinde

Yukarıdaki navigasyon cihazında noktaların koor­ dinatları dik koordinat düzleminde belirlenmiş bir uzunluk birimine göre verilmiştir. Ömer Bey, iki nokta arasındaki uzaklığı hesapla­ yan navigasyon cihazıyla stadyuma gitmek isti­ yor. Navigasyon cihazı A(3, 2) ve S(9, 2) nok­ taları arasında yukarıda gösterilen rotayı1 km ola­ rak hesaplıyor. Ömer Bey, stadyuma 8(9, 10) noktasındaki arkadaşını alıp gitmek isteseydi, navigasyon cihazı, yukarıda gösterilen mavi rotayı kaç km'lik yol olarak hesaplardı? A) 3

2.

8)4

D) 6

C)5

E) 7,5

C(2, 8)

y

4.

A(a, 6)

y A(a, 6)

IADI

= 1001

IBDI = JBOI

A

m(ABO) > 90° Analitik düzlemde verilen ABCD karesinin A ve B köşeleri eksenler üzerindedir. Buna göre, D köşesinin koordinatları aşağı­ dakilerden hangisidir? A) (-2, 8)

B) (-6, 6)

D) (- 8, 6)

1) B -

C) (- 6, 2)

A) -10

E) (- 4, 6)

2) C Nokta Analitiği

Analitik düzlemde verilen ABO üçgeninin [AO] kenarına ait kenarortay uzunluğu 5 birim oldu­ ğuna göre, a kaçtır?

3) A

B) -12

C) -16

D) -18

= �--

E) - 20

4) D

27-

------------� 5.

y

ANALİTİK

�------------

7.

Analitik düzlemde A(3, a), E(b, 5) ve C(1, 1) noktaları veriliyor.

C(12,9)

[AE] doğru parçasını, sırasıyla B, C, D noktala­ rı 4 eşit parçaya ayırmaktadır.

Buna göre, B ve D noktalarının koordinatla­ rı aşağıdaki ikililerden hangisidir? o

A) (3, -3)

B) (2, 3)

C) (1, 5)

(-1, 5)

(1, 5)

(2, 4)

Bir parkta A ve B noktalarından aynı anda hare­ kete başlayan sabit hızlı Akın ve Berk'in amacı en kısa yoldan orijindeki bayrağa ulaşmaktır. Berk, Akın'dan 2 kat hızlı koşarak, Akın'ın bayrağa va­ rışından 30 dakika sonra bayrağa ulaşmıştır.

D) (2, 1)

E) (2, -1)

(1, 3)

{O, 3)

Buna göre, Berk aynı hızıyla C(12, 9) nokta­ sından yarışa başlasaydı hedefe kaç saatte ula­ şırdı? A) 1

6.

B) 1,5

C) 2

D) 2,5

. E) 3

Analitik düzlemde verilen A(a, 5), B(a, 8) ve 0(0, O) noktalarıyla ABO üçgeni oluşturuluyor. y = 6 doğrusu bu üçgeni iki bölgeye ayırıyor.

Buna göre, oluşan bölgelerin alanları oranı aşa­ ğıdakilerden hangisi olabilir? A)J_ 6

5 D

B)� 8

C)� 3

D) _!_ 3

8.

Analitik düzlemde A(k, 1) ve 8(3 - 7) nokta­ ları arasındaki uzaklık 1 O birimden küçük ol­ duğuna göre, k kaç farklı tam sayı değeri ala­ bilir? A) 11

B) 10

C) 9

E) 7

D) 8

E)J_ 5

6) E

7) E

- 28 -.,.. =L---------------------

8) B Nokta Analitiği

_

ANALİTİK

------------� 9.

�------------

11. Bir köprü kemeri, yüzeyi ikizkenar yamuk biçimin­

y

de 6 eş taştan oluşmaktadır. 1 metre uzunluk 1 birim olarak ölçeklendirilerek kemerin önden gö­ rünümü koordinat düzleminde aşağıdaki gibi mo­ dellenmiştir. A·

B

y

K

Analitik düzlemde ABCDEF düzgün altıgeninin ağırlık merkezi orijindedir. [AK] // Ox dir.

BKLD bir kare olduğuna göre, K noktasının koordinatları toplamı aşağıdakilerden hangisi­ dir? A) 3./3+1

B) 3./3+ 3

D)

.J3 +

C)./3+2

E) ./3-1

1

IABI uzunluğu 8 metre olduğuna göre, B noktasının apsisi kaçtır? A)2 /2

10. Analitik düzlemde A(2, 6), 8(7, 6), C( a, b),

C)4/2

D)6

E)6/2

12. Analitik düzlemde verilen bir A noktasının orjine

D(1 , 2) ve E(c, b) noktaları veriliyor. (b > 6)

uzaklığı 2 birimdir.

Alan(ABC) = 12 birimkare olduğuna göre, AEBD dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?

A noktasının 8(3, 6) ve C(- 2, 1) noktaları­ na uzaklığı eşit olduğuna göre, A noktasının koordinatları çarpımı aşağıdakilerden hangisi­ dir?

A) 15

8)18

C)20

D)22

E)24

A)12

10) D

9 D -

8)2J6

Nokta Analitiği

11) E

8)8

C)6

D) 4

-

E) 3

12) C ji-

29-

------------�

ANALİTİK

13.

1

....

15.

�-----------y

1. . !-il"-!. . t!-\i . i 1 · .·...

·.1

l........: ········'········: .......:........i........ : ........L......L.... _: ..... •\....... !

o

Bir şehirde bir market zincirinin 6 tane şubesi ve 1 tane deposu bulunmaktadır. Eş karelere bölün­ müş haritadaki işaretli 7 nokta, şubelerin ve de­ ponun konumlarını göstermektedir.

Analitik düzlemde eş kareler üzerine yerleştirilmiş amblemin alanı 64 birimkaredir. Buna göre, K noktasının koordinatları topla­ mı kaçtır?

A şubesinin depoya uzaklığı B şubesinin de­ poya uzaklığının iki katı olduğuna göre, depo­ nun bulunabileceği noktalar aşağıdakilerden hangisidir? A)C, F

B) F, G

C) E, D

D)C, D

A)

62 3

B)� 3

C)20

E)16

D)18

E) E, F

14. Analitik düzlemde iki köşesi x ekseni üzerinde olan eşkenar üçgenin bu köşelerinin y eksenine uzaklıkları eşit ve 4 birimdir.

16.

y

[AB] _l_ [AC]

C

A(-8, -4) 8(0, -8)

Buna göre, bu eşkenar üçgenin kenarlarından birinin orta noktasının koordinatları aşağıda­ kilerden hangisi olabilir? B)(2, 2/3)

A)(1, /3)

D)(-/3, 1)

C)(O, 2/3)

E)(2/3, 2) Yukarıdaki dik koordinat düzleminde D nok­ tasının apsisi kaçtır? A)-3

13) B -����-�-�

_30

--. ._

:

14) B

15) A

8)-4

C)-6

D)-8

E)-12

16) C Nokta Analitiği

_

BÖLÜM 04 Test

Noktanın Analitik İncelenmesi

1. A(a, b) noktası III. bölgede olduğuna göre, B(–a, a + b)

4.

noktası hangi bölgededir?

y



B



Dik koordinat sisteminde ABCO bir paralelkenar





A) Orijinde

B) I. bölgede

|AD| = |BD| D



C) II. bölgede

D) III. bölgede





E) IV. bölgede



A









01

C

D(0, 6) ve A noktasının apsisi –4 tür.

x

O

Buna göre ABCO paralelkenarının alanı kaç birimkaredir?



A) 48

B) 52

C) 72

D) 96

E) 108

2. Aşağıdaki ölçeklendirilmiş haritada; Ankara, Aksaray

ve Kayseri şehirleri gösteren noktalarının dik koordinat düzlemindeki koordinatları belirli bir uzaklık birimine göre verilmiştir.



İki nokta arasındaki uzaklığı hesaplayan bir harita programı Ankara (2,10) ile Aksaray (8, 2) noktaları arasındaki yeşil çizgi ile gösterilen uzaklığı 200 km olarak hesaplıyor.

5. Kenarların orta noktaları sırasıyla E(1, –1), F(3, 1),

G(m, n) ve H(2, 3) noktaları olan bir ABCD dörtgeni aşağıdaki gibi çiziliyor. A

Ankara (2, 10)







Aksaray (8, 2)

Buna göre, bu harita programı Ankara ile Kayseri noktaları arasındaki yeşil çizgi ile gösterilen uzaklık kaç kilometre olarak hesaplar? A) 360

B) 320

C) 280

D) 260

E

Çözüm Yayınları

Kayseri (14, 5)

H

B

D F



G C



Buna göre, m + n toplamı kaçtır?



A) 8

B) 9

C) 10

D) 11

E) 12

E) 240

3. K

6.

ABC bir üçgen

A

E C

B

[AD] açıortay A

6

D

|AB| = 6 birim

9

|AC| = 9 birim



Yukarıdaki şekil eş birim karelerden oluşmuştur.



K(–4, 2) olduğuna göre, A, B, C, D, E noktalarından hangisi orijindir?



Yukarıdaki şekilde B(–7, 3) ve C(8, 8) olduğuna göre D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?



A) A



A) 7

B) B

C) C

D) D

B(–7, 3)

E) E

D

B) 6

C(8, 8)

C) 5

D) 4

E) 3

209

Test 01

1. E

7.

10.

ABC bir üçgen

A

2.D

C(0, –1)

Yukarıdaki şekilde B(–8, 1) ve C(0, –1) olduğuna göre, D noktasının koordinatları toplamı kaçtır?



A) 9

B) 8

D(2,3)

C) 7

K(6,4)

D) 6

8.C

9.B

10.E 11.D 12.B

A, C, D noktaları d doğrusu üzerinde,

F(4,–2)

ABCD ve EFGK paralelkenardır.

G

F(4,–2), K(6,4) ve D(2,3)

B



Yukarıdaki verilere göre, B noktasının koordinatları toplamı kaçtır?



A) 9

B) 8

C) 7

D) 6

O

E) 5

C

E A

7.C

AB ⊥ BC, |AB| = |BC| ve C(8, 2) dir. C(8, 2)

D



8.

6.D

|AC| = 4 birim

B

x

D

d



Yukarıdaki verilere göre, D noktasının apsisi kaçtır?



A) 16

B) 15

C) 14

D) 13

E) 12

11. Dik koordinat düzleminde merkezleri sırasıyla (0, 8) ve (0,10)

Çözüm Yayınları

B(–8, 1)

5.B

A

|AB| = 7 birim

4

4.A

y

[AD] dış açıortay 7

3.B

noktaları olan ve orijinden geçen iki çember veriliyor. Sonra büyük çemberin küçük çembere teğet ve x eksenine paralel olan kirişi çiziliyor.



Bu kirişin uzunluğu kaç birimdir?



A) 8

B) 10

C) 12

D) 16

E) 18



E) 5

12.

A(–2 , –3)

y

B(4, –1)

C D

210 x

O

9. Köşe koordinatları A(0,6) , B(0,0) ve C(8,0) olan bir ABC

B(4,-1)

A(-2,-3)

üçgeninin A köşesine ait dış açıortayın karşı kenarı kestiği noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?



Dik koordinat sisteminde verilen ABCD karesinin C köşesinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?



A) (–10,0)



A) (1,4)



B) (2,5)











D) (1,6)



E) (2,6)

B) (–12,0)

D) (–14,0)

E) (–15,0)

C) (–13,0)

C) (1,5)

1. Analitik düzlemde A(4, 1), B(2, 5) noktaları veriliyor.

[AB] doğru parçasının y ekseni üzerindeki dik iz düşümünün uzunluğu kaç birimdir?



A) 2

B) 3

C) 4

D) 5

4. A(a, b) ve B(–a, b + 1) noktaları veriliyor.

E) 6



|AB| = ò17 birim olduğuna göre, a aşağıdakilerden hangisi olabilir?



A) 4

B) 0

5.

3.

C) 4

D) 5

E) 6

Şekilde d doğrusu x

y

Yandaki şekilde E(2, 1), B(–2, 1) ve A(4, 3) noktaları veriliyor.

B(–2,1)

C

D



|AE| = |ED| ve |BD| = 2|DC| olduğuna göre, C noktasının koordinatları nedir?



A) (1, 3)



B) (1, –2)





D) (2, 3)



6.

ABC bir üçgen

A

y eksenini C(0, 15)

D

noktasında kesiyor.

C) (1, –3) E) (2, –3)

eksenini A(18, 0) ve C(0,15)

E) –4

,1)

Çözüm Yayınları

B) –5

D) –2

E(2

geçen doğrunun Oy eksenine dik olmasını sağlayan k reel sayılarının toplamı kaçtır?

A) –6

C) –1

A(4,3)

2. Analitik düzlemde, A(5, k2 – 6) ve B(4, 5k) noktalarından



02

BÖLÜM 04 Test

Noktanın Analitik İncelenmesi

D, E, F kenarların orta noktaları

E

D(–1, 2) E(6, 8)

B O

A(18,0)

B

x



|AC| = 3|AB| olduğuna göre, |OB| kaç birimdir?



A) 10

B) 11

C) 12

D) 13

E) 15

F

F(10, –1)

C



Yukarıdaki verilere göre, ABC üçgeninin ağırlık merkezinin koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?



A) (5, 2)



B) (5, 3)







D) (6, 3)



E) (6, 4)

C) (5, 4)

211

Test 02

1. C

7. A(2, 3), B(1, 2) noktalarına eşit uzaklıkta bulunan ve x

10.

ekseni üzerindeki noktanın apsisi kaçtır?



A) 2

B) 3

C) 4

2.D

3.D

4.D

5.B

6.B

D

7.C

8.C

O

10.E 11.A 12.A

ABCD bir paralelkenar

C(11, 14)

D) 5 E) 6

9.B

[AC] ∩ [BD] = {O}

F

E A(–1, 5)

8.

B



E noktası ABO üçgenin ağırlık merkezi, F noktası BOC üçgeninin ağırlık merkezidir.



Buna göre, |EF| kaç birimdir?



A) 9

B) 8

D O

Çözüm Yayınları

C(9, 0) x

E(0, –2) B



Analitik düzlemde ABCD paralelkenarı verilmiştir.



C(9, 0) , D(0, 3) ve E(0, –2) olduğuna göre, ABCD paralelkenarının alanı kaç birim karedir?



A) 80

B) 72

C) 45

D) 50

E) 5

Dik koordinat düzleminde ABCD bir kare C(11, 12) ve K, karenin köşegenlerinin kesim noktası

C(11,12)

D(0, 3)



D) 6

11. y

y

A

C) 7

K B

O

x

A

Yukarıdaki verilere göre, |OK| kaç birimdir?

A) 6 2

B) 8

12.

y

C) 3 6 D) 5 2

E) 6

E) 54

212

C

D



A(–8, –4) x B(k, –4)

O

A(-8,-4)

O (orijin), ABCD eşkenar dörtgeninin ağırlık merkezidir.

B(k,-4)

9. Dik koordinatlar düzleminde verilen bir karenin iki köşesi ve bu köşeleri birleştiren kenar, y ekseni üzerindedir.



Bu karenin diğer iki köşesinin orijine olan uzaklıkları eşit ve 2ñ5 birim olduğuna göre, çevresi kaç birimdir?



A) 20

B) 16

C) 14

D) 12

E) 8



Yukarıdaki verilere göre, ABCD eşkenar dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?



A) 80

B) 72

C) 60

D) 48

E) 40

BİRE BİR 1. A(ab2, b) noktası IV. bölgede olduğuna göre, B(ab, a2b)

4. ABCD karesinin iki köşesinin koordinatları (2, 5) ve (–4, 1) dir.

noktası hangi bölgededir?



A) I. bölge



03

BÖLÜM 04 Test

B) II. bölge

D) IV. bölge



Buna göre, ABCD karesinin alanı en az kaç birim kare olabilir?



A) 52

C) III. bölge

E) Orijinde

B) 48

C) 36

D) 26

E) 16

2. Bir ABCD paralelkenarının A köşesinin koordinatları (4, 5) ve köşegenlerin kesim noktası olan K nin koordinatları ise (6, 7) dir.



Buna göre, A nın karşısındaki C köşesinin koordinatları toplamı kaçtır?



A) 20

C) 18

D) 17

eksenlere eşit uzaklıkta olduğuna göre, m nin alabileceği değerler toplamı kaçtır?

E) 16



A) –11

B) –10

C) –9

D) –8 E) –7

Çözüm Yayınları

B) 19

5. Dik koordinat sisteminde A(m – 1, 2m + 7) noktası

3.

y E

6.

D

Koordinat düzleminde

y A(–4, 7)



A

B

x

B(–5, 0)

Analitik düzlemde ABCDEF bir düzgün altıgen ve C(12, k) dir.



A(–4, 7) , B(–5, 0) ve C(3, 0) dır.

C(12,k)

F

O

Buna göre ABCDEF düzgün altıgeninin alanı kaç

A) 54ñ3





 ) = m(CAN ) m(BAN

B) 48ñ3

D) 36ñ3

E) 27ñ3

br2

C) 44ñ3

dir?



N

O

Yukarıdaki verilere göre, A)

C(3, 0)

BN NC

x

oranı kaçtır?

3 4 4 6 5 B) C) D) E) 5 5 7 7 7

213

Test 03

1. C

7. A(5, –1), B(1, 2) ve C(3, 4) noktalarının belirttiği ABC

10.

üçgeninin Va kenarortay uzunluğu kaç birimdir?

A) ò13

B) 2ñ3

C) 3

D) 4

2.D

3.A

y

4.D

5.B

6.E

7.E

8.B

9.A

10.B 11.C 12.A

Analitik düzlemde ABCD dikdörtgeni

C(2, 9)

C(2, 9) ve A(4, 0) köşeleri veriliyor.

E) 5 D

|AD| > |DC|

B

O

x

A(4, 0)



Yukarıdaki verilere göre, ABCD dikdörtgeninin alanı kaç br2 dir?



A) 24

B) 20

C) 18

D) 16

E) 15

uzaklıkta ve y ekseni üzerinde bulunan noktanın ordinatı kaçtır?



A) 3

B) 4

C) 5

D) 6

E) 7

Çözüm Yayınları

8. Analitik düzlemde A(2, 1) ve B(3, 2) noktalarına eşit 11. Köşeleri A(4, 2), B(6, 4), C(3, 6) ve D(m, n) köşegenleri

[AC] ve [BD] olan paralelkenarın [BD] köşegen uzunluğu kaç birimdir?



A) 6

B) 3ñ3

C) 5

D) 2ñ6

E) 2ñ5



9.

D(–3, 7)

214

[AC] ∩ [DE] = [B]

A(1, 6)

12.

y

B

C

B K(4, 2)

E(1, 3) C

Yukarıda |DB| = |BE| , |BC| = 3|AB| olduğuna göre C noktasının koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?



A) (–7, 2)





B) (–7, 1)

D) (–7, –2)

K noktası ABCO eşkenar dörtgeninin köşegenlerinin kesim noktasıdır.

E) (7, 1)

C) (–7, –1)

O

A

x



Yukarıdaki verilere göre, ABCO eşkenar dörtgeninin alanı kaç birimkaredir?



A) 20

B) 18

C) 16

D) 15

E) 12