Zu dem dritten Gauss'schen Beweise des Reciprozitäts-Satzes für die quadratischen Reste gehörende Untersuchungen 9111811119

Citation preview

Zu

dem deinen Geess’sehee Beweise des Reeiereziläls-Seezes flll‘ [HE üflflfll‘flflßßflflfl BBSIB Eßhül'flllllfl UIIIBPSIIGIIIIIIQLHIL . Inaugural - Dissertation ZUI‘

Erlangung

der

Doktorwürde

11er 11011611 philesenhischell Fakultät der

Georg-August} Universität zu Göttingen, vorgelegt

August Tafelmacher aus Uelzen.

Osnabrück. Druck von J. G. Kisling.

1889.

Seiner Mutter

dankbarer Liebe

gewidmet.

Man kann die Beweise des quadratischen Reciprozitätsgesetzes in vier Klassen einteilen, für deren jede sich einer oder zwei der Gauss’schen Beweise als Typus angeben lassen. Die erste Klasse der Beweise hat ihren Typus in dem ersten Gauss’schen Beweise, der auf der sogenannten vollständigen Induktion beruht. Es wird gezeigt, dass der Satz für jede Kombination einer Primzahl p mit einer grösseren g gelten muss, wenn er für je zwei Primzahlen p und 12' gilt, die beide kleiner

sind als q. — In diese Kategorie ist auch ein Beweis von L. Kronecker zu rechnen, der in den Monatsberichten der Berliner Akademie von 1876 veröffentlicht ist. Die Theorie der quadratischen Formen bildet den Ausgangspunkt für die zweite Klasse von Beweisen, zu denen der zweite Gauss’sche und die Beweise von Kummer gehören. Zur dritten Klasse kann man den vierten und sechsten Beweis von Gauss rechnen und zugleich

die zahlreichen Beweise, welche sich auf algebraische Betrachtungen, besonders auf die Theorie der Kreisteilung, und auf elliptische Funktionen stützen, unter andern die von J ac obi, Eisenstein, Cau ehy, Liouville etc. Der vierten Klasse voran stehen dann endlich der dritte und fünfte Beweis von Gauss, welche auf einfachen arithmetischen Betrachtungen beruhen und denen man als einfachste Beweise eines so einfachen Satzes wohl den Vorzug vor den andern geben könnte. Die hierher gehörigen Beweise haben sämmtlich als Ausgangspunkt das sogenannte Gauss’sche Lemma, durch welches das Euler‘sche Kriterium für den quadratischen Restcharakter einer Zahl in Bezug auf eine Primzahl als Modul in ein anderes umgeformt wird. Nach dem Vorgange des Herrn Professor E. Schering („Göttinger Nachrichten“ 1879) kann man diese Beweise wieder in 2 Abteilungen sondern. Zur ersten Abteilung

gehört der dritte Beweis von Gauss; er leitet her, dass die Gauss’sche charakteristische Zahl sich von einer andern Zahl, welche die Eigenschaft der Reciprozität in einfacherer Weise erkennen lässt, nur um eine gerade Zahl unterscheidet. —— Hierher gehören die Beweise von Eisenstein, Kroneck er

und Schering. I Die Beweise der zweiten Abteilung, die von Zeller und Schering, schliessen sich dem fünften Beweise von Gauss an, welcher zeigt, dass die Summe der charakteristischen Zahl einer ersten Zahl n als Rest zu einer zweiten Zahl m als Modul und der charakteristischen Zahl der zweiten m als Rest zu n als Modul sich von der die Eigenschaft der Reciprozität bestimmenden

Zahl qfl—g—l 12—1 um eine gerade Zahl unterscheidet. Zu dieser vierten Klasse ist auch ein Beweis von Herrn Prof. M. A. Stern zu rechnen,

welcher in einer Abhandlung der „Göttinger Nachrichten“ 1870 Seite 237—253 dargelegt ist unter dem Titel: „Ueber einen einfachen Beweis des quadratischen Reeiprozitätsgesetzes und einige damit zusammenhängende Sätze.“ 1

_9— Es befindet sich aber in dem Beweise des Reciprozitätssatzes, welchen Herr Stern auf Seite 242 abschliesst, eine kleine Unrichtigkeit, die den letzten Teil des Beweises hinfällig macht. Der zweite Teil der Abhandlung enthält Seite 250 einen richtigen Beweis, wenn auch etwas weitläufig, da der Verfasser dort andere Zwecke mit im Auge hat. Die Aufgabe der vorliegenden Arbeit soll es nun sein, zum grossen Teil mit Hilfe des in dem zweiten Abschnitt der Abhandlung zu suchenden Materials, den Beweis vollständig in möglich einheitlicher Form zu fuhren und dann an der Hand des Stern’schen Kriteriums einige neue Beweise zu liefern.

r,

I.

Zur Einführung in die Abhandlung des Herrn Professor Stern mögen zunächst die von ihm gebrauchten Bezeichnungen erläutert werden: p und _q bezeichnen zwei ungerade absolute Primzahlen, ü # welches im Folgenden abweichend von dem Druck der citierten Abhandlung mit

{q 10} wiedergegeben werden soll — das System der ganzzahligen kleinsten positiven Reste, welche ent-

stehen, wenn man xg durch p teilt und für a: der Reihe nach die Zahlen —1 1)

.

.

2, . . . .p'2—

q—l

..

setzt; ähnlich {.7/PII q} fur

y: 1, 2... .—2—

Die Anzahl der ungeraden Zahlen unter den Zahlen 1, 2 . . . 10;1 sei u, die Anzahl der ungeraden Zahlen in dem Restsystem {qlp} sei ul, ähnlich v und 2:1 für die Zahlen 1, 2 ..... 51——2—1

und das System {y 10|] g}. Herr Prof. Stern leitet nun zunächst mit Hilfe einfacher Betrachtungen her, dass

er

q

9:1—

und p 2

E (— 1)

m—u

E (—1)

01-17

(mod p)

(mod q)

und stellt daher das Reciprozitätsgesetz unter Benutzung des Legendre’schen Zeichens

(g) E 1022:1 (mod q)

(g) E {71mm (g) . (1%) = (-—1)ul +111 —u—v.

in der Form auf

Es ist demnach zu beweisen, dass

ul +121 ——u—oEO (mod 2) oder EI (mod 2), je nachdem von den Zahlen p und g eine oder keine in der Form 4n’ + 1 enthalten ist. Bemerkt man, dass

_Iil _m _P-l 9:1 4 + 4 oder_ 4 oder— u+v—T+

9_+_1 4 ,

je nachdem p und q entweder beide von der Form 471! + 1 oder nur eine oder keine von dieser

3

Form ist, so sieht man, dass der zu beweisende Satz darauf hinaus kommt, zu zeigen, dass ul + vl E 10—? + 31—1 oder E 1%12 (mod 2), je nachdem p und g gleichförmig (d. h. beide von der Form 471! + 1 oder beide von der Form 41l — 1) oder ungleichfdrmig sind. Dies lässt sich noch in anderer

Weise ausdrücken.

Da nämlich das Restsystem {w q" p} aus 1:1 Resten und das Restsystem 2

_1

.

.

{910l} q} aus 9—— Resten besteht, so sagt der zu beweisende Satz, dass — wenn man mit G die 2 Anzahl der geraden Reste, die in beiden Systemen zusammen vorkommen, mit U (d. h. ul +01) die Anzahl der ungeraden Reste in beiden Systemen bezeichnet —

uy+q=U52:i%l:i=ädH4ämM2MinU4G50mmg wird, wenn p und q gleichförmig sind1 dass dagegen

m+wp=UZ p+q— =—W+G+JHmd%dh.U—G51®MQ wird, wenn p und g ungleichförmig sind.

Es ist hiernach leicht zu sehen, dass zum Beweise der Kongruenzen für ul +01 noch nicht die Kongruenzen

_ genügen.

U— GEO

resp. U— GE 1 l (mOd 2)

Diese letzteren lassen sich sehr einfach herleiten.

Die Anzahl aller Zahlen in den beiden Restsystemen {xgup} und {3110" g} zusammen ist

L1— + g—E—l *1]? — 1, also eine gerade Zahl im Fall der Gleichförmigkeit von p und g, eine ungerade Zahl im Fall der Ungleichförmigkeit von p und q; es ist also im ersten Falle

'

U+Gaommm

im zweiten U+ GE 1 (mod 2). Fügt man zu beiden Kongruenzen die neue — 2 GE 0 (mod 2)

hinzu so entsteht ’

U— GEO resp. U— G51}(m0d 2)'

(Dass sich mit Hilfe dieser Kongruenzen der Reciprozitätssatz nicht beweisen lässt, ergiebt sich auch durch folgende Überlegung: Im ersten Fall folgt aus

UEG (mod 2)