Wirtschaftsmathematik: Einführendes Lehr- und Arbeitsbuch [2., durchges. Aufl. Reprint 2018] 9783486813685, 9783486273441

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Wirtschaftsmathematik Einführendes Lehr- und Arbeitsbuch

Von

Prof. Dr. Udo Kamps Dr. Erhard Cramer Dr. Helga Oltmanns

2., durchgesehene Auflage

R. Oldenbourg Verlag München Wien

Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar.

© 2003 Oldenbourg Wissenschaftsverlag GmbH Rosenheimer Straße 145, D-81671 München Telefon: (089) 45051-0 www.oldenbourg-verlag.de Das Werk einschließlich aller Abbildungen ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung außerhalb der Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlages unzulässig und strafbar. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Bearbeitung in elektronischen Systemen. Gedruckt auf säure- und chlorfreiem Papier Druck: R. Oldenbourg Graphische Betriebe Druckerei GmbH ISBN 3-486-27344-2

Vorwort zur 1. Auflage Mathematische Methoden werden in vielen Gebieten der Wirtschaftswissenschaften eingesetzt. Sie sind wichtige Hilfsmittel zur Modellbildung sowie bei praktischen Analysen realer Gegebenheiten und bilden häufig die Grundlage von Planungs- und Entscheidungsprozessen. Anwendungsbereiche sind beispielsweise die MikroÖkonomie, Produktionswirtschaft, Industriebetriebslehre, Logistik, Lagerhaltung, Investitionsrechnung, Kostenrechnung, Kalkulation, das Operations Research (Unternehmensforschung) und die Statistik (z.B. Markt- und Meinungsforschung, Qualitätskontrolle und -Sicherung, Analyse von Finanzmärkten). Das vorliegende Lehr- und Arbeitsbuch zur Wirtschaftsmathematik ist aus jeweils zweistündigen Vorlesungen mit zweistündigen Übungen zur Analysis und zur Linearen Algebra für Studierende der Wirtschaftswissenschaften an der Universität Oldenburg entstanden. Es gliedert sich in vier Teile. Teil I umfaßt sechs Kapitel zu mathematischen Methoden und Verfahren aus der Analysis, die in den Wirtschaftswissenschaften verwendet werden. Im ersten Kapitel werden die mathematischen Grundlagen bereitgestellt, die zum Verständnis der nachfolgenden Kapitel notwendig sind. Dort werden Themen aus den Bereichen Folgen und Reihen, Funktionen einer Variablen, Differentiation und Kurvendiskussion, Integration sowie Funktionen mehrerer Variablen behandelt. Innerhalb der ersten fünf Kapitel werden Elemente der Schulmathematik, deren Grundzüge vorausgesetzt sind, zielgerichtet aufgearbeitet und ergänzt. Einführende Beispiele aus den Wirtschaftswissenschaften stehen am Beginn von Teil II. der mit Lineare Algebra bezeichnet ist. In den vier Kapiteln dieses Teils werden Vektoren und Matrizen als wichtige Hilfsmittel vorgestellt, allgemeine lineare Gleichungssysteme und deren Lösungen untersucht sowie Optimierungsprobleme betrachtet. Teil III verbindet mit einem Kapitel zur Optimierung bei Funktionen mehrerer Variablen die vorherigen Teile inhaltlich und ergänzt die Analysis um eine für die Anwendungen wichtige Thematik. Die Methoden und Beispiele zeigen exemplarisch auf, daß in praxisrelevanten Ansätzen die Nutzung unterschiedlicher mathematischer Bereiche sinnvoll bzw. erforderlich ist. Im Teil IV sind ausführliche Lösungen zu Aufgaben aus den Kapiteln der Teile I und II zusammengestellt. Das Buch enthält in den Teilen I und II durchgehend ausführliche Erläuterungen der Lerninhalte. Zudem sind abrundende Ergänzungen des Vorlesungsstoffs und weitere Beispiele eingefügt, auf die in einer jeweils zweistündigen Vorlesung nicht eingegangen werden kann. Als ein wesentlicher Bestandteil des Lernkonzepts werden anhand von Beispielen (am Rand gekennzeichnet) Vorgehensweisen verdeutlicht und Verfahren beschrieben, um den formalen Aufwand in Grenzen zu halten. Mit Blick auf die Statistik, einem wichtigen Bestandteil des wirtschaftswissenschaftlichen Studiums, wird das notwendige mathematische Basiswissen in diesem Lehrtext aufbereitet und im Vorgriff auf statistische Inhalte angewendet. Die Abschnitte Aufgaben und Weitere Aufgaben beschließen die Kapitel der Teile I und II. Unter der Überschrift Aufgaben finden Sie jeweils Klausuraufgaben (teilweise kapitelübergreifend), die in den vergangenen Semestern an der Universität Oldenburg für Studierende der Wirtschaftswissenschaften gestellt wurden. Diese sind im vierten Teil vollständig gelöst.

VI

VORWORT

Die weiteren Aufgaben wurden der Sammlung S. Clermont, B. Jochems und U. Kamps, Wirtschaftsmathematik - Aufgaben und Lösungen, Oldenbourg, München 1994 entnommen und sind ein Angebot, die Lerninhalte einzuüben und zu vertiefen. Mit der Kurzbezeichnung AL i.j wird jeweils auf die dortige Aufgabe (j-te Aufgabe im i-ten Kapitel) und deren Lösung verwiesen. Neben seinem Nutzen als vorlesungsbegleitender Text, zur Nachbereitung und Wiederholung eignet sich das vorliegende Lehr- und Arbeitsbuch aufgrund seiner Konzeption in besonderer Weise für das Selbststudium. Es dient der Erarbeitung mathematischer Grundlagen in einem systematischen Aufbau. Wir schlagen vor, die Teile I und II jeweils von Beginn an zu lesen. Der zweite Teil, die Lineare Algebra, kann weitgehend unabhängig vom ersten Teil gelesen werden und greift lediglich auf das erste Kapitel zurück. In der Motivation und den Beispielen an Studierende der Wirtschaftswissenschaften gerichtet, kann das Buch (in Auszügen) jedoch ebenso in mathematischen Kursen der Sekundarstufe II an Schulen und in Vorkursen oder Propädeutika zu anderen Studienfächern mit mathematischen Anteilen als Arbeitsgrundlage verwendet werden. In einige Passagen dieses Buches sind Einflüsse aus folgenden Quellen eingegangen: O. Opitz, Mathematik - Lehrbuch für Ökonomen, Oldenbourg, München 1999, F. Pfuff, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler 1 und 2, Vieweg, Braunschweig 1983 bzw. 1982, H.-J. Zimmermann, Operations Research I, Skriptum, Aachen 1978, H.-J. Zimmermann, Methoden und Modelle des Operations Research, Vieweg, Braunschweig 1987. Bis auf die im Text genannten Stellen sind enge Parallelen zu diesen und anderen Büchern nicht beabsichtigt, bei einem einführenden Buch zur Wirtschaftsmathematik jedoch unvermeidbar; wir bitten diese gegebenenfalls nachzusehen. Wir danken Frau Theresia Meyer und Herrn Marco Burkschat für die Erstellung von Teilen des I^TgX-Manuskripts, Herrn Ingo Seufer für die Überlassung einiger Aufgaben sowie Herrn Martin Weigert für die gute Zusammenarbeit mit dem Oldenbourg Wissenschaftsverlag. Liebe Leserin, lieber Leser, Ihre Kritik und Ihre Anregungen sind uns wichtig: Teilen Sie uns diese bitte mit (Fachbereich Mathematik, Universität Oldenburg, 26111 Oldenburg). Wir wünschen Ihnen ein angenehmes und nutzbringendes Lesen und Arbeiten. Oldenburg, im Oktober 2000

Helga Oltmanns, Erhard Cramer, Udo Kamps

Vorwort zur 2. Auflage In der zweiten Auflage haben wir lediglich einige Korrekturen vorgenommen. Auswahl und Aufbau der mathematischen Inhalte haben sich bewährt und wurden daher nicht verändert. Weitere Aufgaben und ausführliche Lösungen zu den Themen dieses Lehrbuchs finden Sie in der inzwischen erschienenen, völlig überarbeiteten und erweiterten dritten Auflage der Aufgabensammlung S. Clermont, E. Cramer, B. Jochems und U. Kamps, Wirtschaftsmathematik - Aufgaben und Lösungen, Oldenbourg, München 2001.

Inhaltsverzeichnis Teil I: Analysis 1

Grundlagen

1

Mengen und Zahlen

1

Aussagenlogik

5

Mengenalgebra

12

Ungleichungen und Absolutbetrag

23

Potenzen, Wurzeln und Logarithmen

30

Summen- und Produktzeichen

41

Vollständige Induktion

45

Aufgaben

49

Weitere Aufgaben

50

2 Folgen und Reihen

55

Folgen

55

Reihen

67

Grundformeln der Finanzmathematik

72

Aufgaben

78

Weitere Aufgaben

80

3 Funktionen einer Variablen

83

Einführung in die Begriffe

83

Grenzwerte

93

Stetigkeit

99

Grundlegende Funktionen

102

Aufgaben

109

Weitere Aufgaben

110

VIII 4

5

6

INHALTSVERZEICHNIS

Differentiation und Kurvendiskussion

111

Differentiation

111

Bestimmung von Ableitungen

118

Wachstumsraten und Elastizitäten

125

Kurvendiskussion: Methode

130

Kurvendiskussion: Beispiele

139

Aufgaben

151

Weitere Aufgaben

153

Integration

157

Flächenberechnung

157

Bestimmung von Integralen

161

Uneigentliche Integrale

173

Aufgaben

178

Weitere Aufgaben

180

Funktionen mehrerer Variablen

181

Einführung in die Begriffe

181

Differentiation

185

Optimierung: Zwei Variablen

190

Optimierung: Beispiele

192

Optimierungsprobleme mit Nebenbedingungen

199

Aufgaben

208

Weitere Aufgaben

209

Teil II: Lineare Algebra 7 Vektoren und Matrizen

211

Einführende Beispiele

211

Vektoren

216

Matrizen

224

Elementare Zeilenumformungen

234

Inverse einer Matrix

246

Beispiel zur Input-Output-Analyse

253

INHALTSVERZEICHNIS

8

9

IX

Aufgaben

257

Weitere Aufgaben

260

Lineare Gleichungssysteme

263

Anwendung des Gaußverfahrens

263

Lösbarkeit und Lösungsmenge

268

Aufgaben

278

Weitere Aufgaben

281

Transportprobleme

283

Problembeschreibung

283

Zulässige Transportpläne

285

Optimale Transportpläne

299

Aufgaben

307

10 Lineare Optimierung

311

Beispiel und Problembeschreibung

311

Grundmodell

315

Simplexverfahren

322

Allgemeine lineare Optimierungsprobleme

338

Dualität

352

Aufgaben

359

Weitere Aufgaben

362

Teil III: Ergänzungen 11 Optimierung bei Funktionen mehrerer Variablen

365

Determinanten

366

Optimierung: n Variablen

372

Optimierung mit Nebenbedingungen

374

Abschließendes Beispiel

376

Teil IV: Ausführliche Lösungen der Aufgaben Index

381 440

Teil I: Analysis In quantitativen ökonomischen Modellen und Analysen werden Hilfsmittel und Methoden aus unterschiedlichen Bereichen der Mathematik benötigt. Der erste Teil dieses Buches ist mit Analysis überschrieben. Neben anderen mathematischen Grundlagen werden insbesondere Punktionen behandelt. Dabei wird der Schulstoff in Kernbereichen wiederholt und um wichtige Themen wie Folgen, Reihen und Funktionen mehrerer Variablen ergänzt.

1 Grundlagen Mengen und Zahlen Mengen und ihre Darstellungen Eine Menge ist eine Gesamtheit unterscheidbarer Objekte, den sogenannten Elementen der Menge, wobei für jedes Objekt entscheidbar sein muß, ob es ein Element der Menge ist oder nicht. Die Elemente einer Menge werden zusammengefaßt in Mengenklammern { } geschrieben. Mengen werden meist mit lateinischen (oder anderen) Großbuchstaben A,B,... bezeichnet. Für spezielle Mengen haben sich feste Bezeichnungen durchgesetzt, z.B. N, Q, M, Z. Zur Beschreibung von Mengen verwendet man • die aufzählende Darstellung, z.B. X = {1,2,3,4}, N = {1,2,3,4,...}, H = {2,4,6}, C = {a,b,... ,z}, Q = {Montag, Dienstag, ..., Sonntag}, • die beschreibende Darstellung K = {x | x hat die Eigenschaft £}.

2

KAPITEL 1

Diese Formalisierung wird gelesen als „K ist die Menge aller Elemente x, die die Eigenschaft £ haben". Der senkrechte Strich | zeigt den Beginn der definierenden Eigenschaft an. Er kann alternativ auch durch ein Semikolon ersetzt werden. Gleichbedeutend zur obigen Darstellung der Menge K ist also die Schreibweise: K = {x ; x hat die Eigenschaft £ } . Beide Notationen werden nachfolgend verwendet. Beispiele für Mengen in beschreibender Darstellung sind: G = { z | x ist eine gerade Zahl} = { 2 , 4 , 6 , . . . } = {x | x = 2k, k G N}, I = {x € R11 < x < 3} ist die Menge der reellen Zahlen zwischen (einschließlich) 1 und 3, Q = {x | x ist ein Wochentag}. Als abkürzende Schreibweisen im Zusammenhang mit Mengen werden folgende Notationen vereinbart: Bezeichnung: Sei A eine Menge. a £ A

:

a ist Element von A,

a B immer den Wahrheitswert wahr besitzen muß (Ist nämlich A wahr, d. h. heute ist Montag, so ist morgen Dienstag, d. h. auch B ist wahr; ist hingegen A falsch, so ist offensichtlich auch B falsch). Für die Implikation A ==> C resultieren folgende Überlegungen: Ist heute Montag, also A wahr, so kann gestern nicht Montag gewesen sein, d. h. C ist falsch. Daher hat die Implikation den Wahrheitswert falsch. Ist heute allerdings nicht Montag, also A falsch, so kann gestern Montag gewesen sein oder auch nicht. Der Implikation A C wird der Wahrheitswert wahr zugeordnet. • Die Äquivalenz der Aussagen A und B, in Zeichen A B, beschreibt die Gleichwertigkeit der Aussagen A und B bzgl. ihrer Wahrheitswerte in dem Sinne „A hat denselben Wahrheitsgehalt wie ß". Die zugehörige Wahrheitstafel lautet: A B A A ergibt. Diese Beobachtung läßt sich an einer Wahrheitstafel überprüfen: A

B A=*B

B ==> A

=• B) A (B => A) AB

w w

w

w

w

w

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f

f

w

f

f

f w

w

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f

f

w

w

w

f

•

f w

Der logische Schluß A =4- B => A steht kurz für (A ==> B) A (B => A) und ist damit gleichbedeutend mit A B. Wie beim Zahlenrechnen sind Klammerausdrücke als Einheiten zu verstehen. Deren Wahrheitswerte werden vor der Verknüpfung mit anderen Aussagen bestimmt.

8

KAPITEL 1

Für die bereits bei der Implikation betrachteten Aussagen A. „Heute ist Montag", ß: „Morgen ist Dienstag" und C: „Gestern war Montag" ergibt sich die Äquivalenz der Aussagen A und B: A B. Es folgt außerdem, daß die Aussagen A und C nicht äquivalent sind, da sie einander ausschließen. Daher können natürlich auch B und C nicht äquivalent sein. Weiterhin ist die Aussage A ==> B gleichbedeutend mit der Aussage B => A. Es gilt

{A=>B)

(B=^A).

Diese Regel wird als Kontraposition bezeichnet. Uberprüft wird die Gültigkeit der Beziehung an einer Wahrheitstafel:

A ß A=>B

Ä ß B=^A

w w

w

f

f

w

w

f

f

f

w

f

f

w

w

w

f

w

f

f

w

w w

w

Für die Verknüpfungen von Aussagen A. B. C, einer wahren Aussage W und einer falschen Aussage T gelten folgende Regeln:

-i (-> A) AAA ^AW AvF AAA A AB

'Aj A, A, AVA A, A, T.

B A A,

A AT

A AA{BAC)-$=>{AAB)AC AVBVC^AV(BVC)^(AVB)VC (A A B) V c (A V 0 A (B V C) ( A V ß) A C (A A C) V (ß A C) AM B AAB AAB Av B ((.4 ß) A (ß =>• A)) 1(5) V .4(7) V >1(11) übereinstimmt. • Die Aussage V i € 1 : ( i + l) 2 > 0 hat denselben Wahrheitsgehalt wie die mittels doppelter Negation daraus gebildete Aussage 3 x £ R : (x + l) 2 < 0 d. h. es gibt kein

mit der Eigenschaft (x + l) 2 < 0. Beide Aussagen sind wahr.

11

GRUNDLAGEN

Rechengesetze, Ordnung, Intervalle Für die Addition „ + " und Multiplikation „•" reeller Zahlen gelten folgende Eigenschaften (.a,b,c£ R):

Kommutativgesetz: Assoziativgesetz:

Addition

Multiplikation

a + b= b+a

a - b = b- a

(a + b) + c = a+(b + c)

Neutrales Element:

(a • b) • c = a • (b • c) 1 •a = a• 1= a

0+a=a+0=a

Inverses Element:

a + {—a) = (—a) + a = 0

a • (T1 = a_1 • a = 1

mit a"1 = a1 a ^' 0 (a + b)-c = a-c + b-c

Distributivgesetz:

Aus diesen lassen sich einige elementare Rechenregeln unmittelbar ableiten, z.B.: a • 0 = 0, (-a)-b=—a-b, —(a + b) = —a — b, a b a-b a b a-d + b-c , - • = — , + -; = ~ — , cd c•d c d c•d

(—a) • (—b) = a • b,

A

Das Multiplikationszeichen wird meist weggelassen. Reelle Zahlen können hinsichtlich ihrer Größe miteinander verglichen werden. Für je zwei Zahlen a, b £ R gilt stets eine der folgenden Beziehungen: a < b,

a = 6,

a > b,

wobei „=", „ b bedeutet, daß a größer oder gleich b ist. Analog wird das Zeichen „ < " definiert. Mit den Verknüpfungen der Aussagenlogik gilt daher: a < b a < bV a = b bzw. Durchgestrichene Zeichen

jt, ^ ,

a>b

a > 6 V a = b.

bedeuten, daß die jeweilige Beziehung nicht erfüllt

Für n, 6, c. € R gelten bzgl. dieser Ordnung auf R folgende Regeln: a ac> bc

"t I

bZgl- Multiplikation)

ab > 0

(a>0A&>0)V(a a},

(—00,00)

=

R.

In der folgenden Abbildung des Zahlenstrahls sind die Intervalle [—3, —2], [—1,0), (1,2] und (3,4) markiert. Eine runde Klammer zeigt an, daß der Randpunkt nicht zur Menge gehört, während eine eckige Klammer seine Zugehörigkeit symbolisiert. [-3,-2] -

f

3

-

1

[-1,0) 2

f - 1

0

(1,2]

)

( 1

(3,4) 1 2

i 3

) 4

>

Intervalle als Teilmengen von R

Mengenalgebra Zu Beginn wurden bereits Darstellungsformen für Mengen vorgestellt und einige Notationen wie a G A, a A eingeführt. In diesem Abschnitt werden nun Mengenoperationen (z.B. die Vereinigung und der Schnitt von Mengen) definiert sowie graphische Darstellungsformen skizziert. Die folgenden Begriffe wurden bereits erläutert: • a G A: a ist Element der Menge A, • a $ A: a ist nicht Element der Menge A, • A C B: A ist Teilmenge von B. Wird die Aussagenlogik zur Beschreibung der Teilmengeneigenschaft benutzt, so ergibt sich folgende Definition: ACB Ferner gilt für jede Menge

(Vw G

A-.$C.A.

A : lü G A

u G B).

13

GRUNDLAGEN

Mittels der in der Aussagenlogik definierten Begriffe können nun Verknüpfungen von Mengen eingeführt werden.

Bezeichnung: Seien 0 eine nichtleere Menge und A, B C fi. Dann heißen: • A = Ac = {UJ £ fl | u> £ A) das Komplement von A in £7, • y l n ß = { w G f 2 | a ; S > l A i j e ß } d i e Schnittmenge von A und B; A und B heißen disjunkt, falls A (~l B = 0, • ;4 U ß = {w e i! | u £ /l V u) € ß } die Vereinigungsmenge von A und B, • B\A — {UJ £ 0 | UJ £ B A UJ 0 A} die Differenzmenge von A und B.

Aus den obigen Definitionen resultieren sofort die Gleichungen Ä = Q\A

und

=

BDA.

Die Mengenoperationen werden durch Verknüpfungen von Aussagen definiert. Beispielsweise ist die Schnittmenge An B definiert als die Menge aller Elemente w € 0, für die die UNDVerknüpfung der Aussagen u> £ A, ui £ B wahr ist. Statt {UJ £ Q.\ui £ A t\uj £ B} wird auch die Notation {W £ Q | UJ £ A, UJ £ B} verwendet. Die bereits bekannten Rechenregeln für logische Verknüpfungen von Aussagen lassen sich direkt auf Mengenverknüpfungen übertragen. Seien A, B, C Mengen. Dann gelten folgende Aussagen: Kommutativgesetze (Ar\B)nC

=

An{BnC)

(.AUB)UC

=

AU(BUC)

• AC B B\A = B\(A

AHB

n B)

== A

AUB

= B

14

KAPITEL 1

Eine Visualisierung von Mengenverknüpfungen ist mittels Venn-Diagrammen auf einfache Weise möglich. In einem Venn-Diagramm wird eine Menge A durch eine Fläche (hier: eine Ellipse) in der Ebene dargestellt:

A

oder als Teilmenge der Grundmenge 0:

n

Ein Element der Menge wird im grau markierten Bereich lokalisiert. Sollen einzelne Elemente sichtbar gemacht werden, so werden diese durch Punkte • kenntlich gemacht und eventuell beschriftet: A

Die in der vorstehenden Definition eingeführten Verknüpfungen können mittels VennDiagrammen anschaulich gemacht werden. Die Mengen A D B, A U ß und B\A sind jeweils grau markiert dargestellt. Schnittmenge A fl B

Vereinigungsmenge AU B

Vereinigungsmenge A U B disjunkter Mengen A und B

15

GRUNDLAGEN

Differenzmenge B\A

Differenzmenge B\A, falls

AQB

Soll die Verknüpfung dreier Mengen dargestellt werden, so werden drei Ellipsen gezeichnet. Die Menge (AnB)uC läßt sich folgendermaßen visualisieren:

C Aus dieser Darstellung läßt sich (A n B) U C = {A U C) n {B U C) herleiten.

die

Für die Mengen A = { 2 , 3 , 5 , 7 , 1 1 , 1 7 , 1 9 } , B D = { 0 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 1 3 } gilt: AHB

= {2,3},

Gültigkeit

des

{2,3,6,12,18}, C

=

Distributivgesetzes =

{ 1 , . . . , 9 } und

D\C = { 0 , 1 3 } ,

A U B ü C U D = { 0 , . . . , 9,11,12,13,17,18,19} = { 0 , . . . , 19}\{10,14,15,16},

(AnD)uC

= C,

(AU D ) n C = { 1 , 2 , 3 , 5 , 7 , 8 } .

Weitere wichtige Rechenregeln sind in folgender Merkregel zusammengefaßt. Seien fi eine nichtleere Menge un B

ACB

A B

A= B

17

GRUNDLAGEN

Exemplarisch wird die Entsprechung „ = £ - " , „ C " an folgendem Beispiel illustriert: A :

„n ist eine durch 6 teilbare natürliche Zahl" ,

B :

„n ist eine durch 3 teilbare natürliche Zahl" .

Offenbar ist jede durch sechs teilbare Zahl auch durch 3 teilbar, so daß A => Mengenschreibweise erhält man

1

B gilt. In

A = {n G N | n ist durch 6 teilbar } = { 6 , 1 2 , 1 8 , . . . } B = {n e N | n ist durch 3 teilbar } = { 3 , 6 , 9 , 1 2 , 1 5 , 1 8 , . . . } Die Inklusion A C B ist offensichtlich.

1

Zu Beginn dieses Abschnitts wurde der Begriff der Mächtigkeit einer Menge A vorgestellt. Für die leere Menge 0 gilt natürlich |0| = 0. Die Mächtigkeit der Menge A = {a,b,cj ist offenbar = 3. Es gibt aber auch Mengen, die unendlich viele Elemente enthalten. Beispiele sind N, Q, R. In diesem Fall wird die Mächtigkeit als unendlich bezeichnet, z.B. |N| = oo, wobei das Symbol „oo" für „Unendlich" steht. Sind A und B endliche Mengen, d. h. jede dieser Mengen hat nur endlich viele Elemente, so können Mächtigkeiten von Mengenverknüpfungen wie folgt berechnet werden. Seien A und B endliche Mengen. Dann gilt:

• |AUß| =

+ |B| - \Af\B\.

• |ßV4| = \B\ - \A n B\ = \A U B\ - |i4|. Insbesondere folgt für A C B: |ß\,4| = \B\ -

Bei einer Umfrage in der Oldenburger Fußgängerzone gaben von 100 befragten Personen 30 an, direkt in Aktien zu investieren. 40 Befragte legen ihr Geld in Aktienfonds an, während 50 Personen die aktienbasierte Anlage als zu riskant einstufen und deshalb keine Wertpapiere dieser Art in ihrem Anlagedepot haben. Zur Abkürzung werden für die drei Personengruppen die Bezeichnungen A :

Menge der Personen, die direkt in Aktien investieren,

F :

Menge der Personen, die in Aktienfonds investieren,

N :

Menge der Personen, die weder in Aktien noch in Aktienfonds investieren,

eingeführt. Mit Q wird die Menge aller befragten Personen bezeichnet. Es gilt also: \A\ = 30, |F| = 40 und |TVj = 50. Da sich die Menge aller befragten Personen aus diesen Teilgruppen zusammensetzt, folgt ü = A U F U N und |ft| = \A U F U N\ = 100. Weiterhin ist klar, daß

1 B I

18

KAPITEL 1

die Aussagen An N = V), F n TV = 0 und somit (All F)C\N = 0 gelten. Die beschriebene Situation kann somit in folgendem Venn-Diagramm visualisiert werden: N ci

Aus den genannten Beziehungen resultieren die Gleichungen: 100 = \A U F U N\ = \A U F| + |iV| - \{A U F) n N\ = \A U F| + 50 - 0 = > |i4uF| =50 und 50 = \A U F| =

+ |F| - \A n F| = 30 + 40 - \ A n F|

=>• l ^ n F l = 20. Demnach gilt: 10 Personen besitzen Aktien, investieren aber nicht in Aktienfonds, 20 Personen investieren in Aktienfonds, besitzen aber keine Aktien, und 20 Personen investieren in beide Anlageformen. 50 Befragte haben keine dieser Investmentpapiere. Alternativ kann der Grundraum in die in folgendem Venn-Diagramm dargestellten, disjunkten Mengen zerlegt werden.

n

Für die Mächtigkeiten der im Diagramm markierten Mengen gilt nun: | A U F| = \n\N\

= - |iV| = 100 - 50 = 50 |j4\F| = \{A U F)\F\ = \A U F\ - |F| = 50 - 40 = 10 \F\A\ = \(A U F)V4| = \A U F\ - |>1| = 50 - 30 = 20 \A n F\ = |A\(,4\F)| = \A\ - \A\F\ = 30 - 10 = 20

Bezeichnung: Sei A eine nichtleere Menge. Dann heißt die Menge =

{B\BCA}

aller Teilmengen von A die Potenzmenge von A.

19

GRUNDLAGEN

Für einige einfache Fälle wird jeweils die Potenzmenge einer Menge A angegeben:

1 B

A = {1}:

^ )

= {0,{1}};

¿ = {0,1}:

2. Dann heißt

n

X Ai = A1 x • • • x An = { ( d , . . . , an) \ oi € Au .., o,n G An} i= 1 (n-faches) kartesisches Produkt der Mengen Ai,..., n Ein Element ( a i , . . . , a n ) e X Ai heißt n-Tupel. 1=1 Das n-fache kartesische Produkt der reellen Zahlen

An.

l ° = l x • • • x R = { ( i i , . . . , x„) \xi 6 1 , . . . x„ , e M} n-mal heißt n-dimensionaler Euklidischer Raum. Die Notationen M und R 1 werden gleichbedeutend benutzt.

Bemerkung:

n

n

Für zwei Tupel ( a i , . . . , an) e X Ai und (a[,..., ¿=1 (ai,...,an)

= (a[,...,

a'n)

a'n) G X Ai gilt: »= 1

a* = o- für alle i E { 1 , . . . , n}.

Teilmengen des Euklidischen Raumes R 2 können in einem (kartesischen) Koordinatensystem dargestellt werden (hier: A = {(1,2)}). 2/ _ —

0

•

i i i i i i 1

i 2

i 3

x

i

Das kartesische Produkt N x N kann durch die Gitterpunkte im Koordinatensystem visualisiert werden:

22

KAPITEL 1

A

0

"i—i—i—I—i—r - > 1 2 3 4 5 6

Kartesisches Produkt N x Die durch die Achsen getrennten Bereiche des R 2 = {(x,y)\x Quadranten bezeichnet.

€ R, y € R} werden als

32. Quadrant

1. Quadrant

2 -

x < 0, y > 0

x>

0,

y >

0

1 ~~i -3

1 -2

1— -1

0

-l 3

1

>

x

-1 3. Quadrant x < 0, y < 0

-2 H

4. Quadrant x > 0, y < 0

-3 Kartesisches Koordinatensystem: Quadranten des R 2 In der Abbildung ist die Menge {(1,0), (—2,1)} durch Punkte • symbolisiert. Die horizontale Achse wird (unabhängig von der Bezeichnung der Variablen) als Abszisse, die vertikale Achse als Ordinate bezeichnet. Die Geraden A = {{x,y)\x und das Rechteck

= 2,yeR}, C =

B = {{x,y)\y

=s +

l,s€R}

|0 < a: < 1,0 < y < 1}

sind in der linken der folgenden Graphiken zusammengefaßt. D = {(:r, ?/)|0 < x < 1,0 < y < 1} ist rechts abgebildet.

Das

Rechteck

23

GRUNDLAGEN

Ungleichungen und Absolutbetrag In mathematischen Modellen und Analysen sind die Begriffe Konstante und Variable wesentlich. Dabei ist für eine Konstante kennzeichnend, daß ihr Wert nicht variiert, d.h. in Berechnungen, in denen diese auftritt, hat sie immer den gleichen Wert. Von Konstanten unterscheidet sich eine Variable dadurch, daß ihr Wert aus einem vorher angegebenen Bereich gewählt wird und ihr genauer Wert nicht weiter spezifiziert wird. Für die meist mit x, y, z bezeichneten Variablen können daher z.B. Annahmen der Art x € M, y > 0, 2 € (a, b] getroffen werden, wobei (a, 6] ein Intervall mit bekannten Grenzen a und b ist. Ein Grund für die Einführung von Variablen besteht darin, daß in der Regel der exakte Wert einer realen Größe a priori nicht bekannt ist. Eine einfache, wirtschaftswissenschaftliche Situation ist in folgendem Beispiel beschrieben. Ungleichungen Ein Anleger möchte ein Kapital in Höhe von 20 000 € in einen Investmentfonds einbringen. Der Ausgabepreis eines Fondsanteils beträgt zum Abrechnungstermin 64 € . Der Investor möchte nun wissen, wieviele Anteile in sein Depot gebucht werden. Die Anzahl der Anteile ist somit eine Variable x, von der zunächst nur bekannt ist, daß sie positiv sein wird: x > 0. Mittels dieser Bezeichnung erhält man eine Bestimmungsgleichung, da die Anzahl der Anteile multipliziert mit dem Preis pro Anteil dem eingesetzten Kapital entsprechen muß: 64-a; = 20000. Dividiert man nun beide Seiten durch 64, so erhält man die Lösung x = 312.5 . Der Investor hat somit 312.5 Anteile des Investmentfonds erworben. Dieses einfache Beispiel zeigt, wie eine Variable zur Lösung einer Aufgabe benutzt werden kann. Durch eine Forderung an den Wert der Variablen resultierte eine mathematische Gleichung des Typs a- x = c mit den Konstanten a = 64 und c = 20 000. Dieser spezielle Typ einer Gleichung heißt lineare Gleichung und wird üblicherweise in der Normalform ax + b= 0

24

KAPITEL 1

angegeben. Für das obige Beispiel wären daher die Konstanten dieser Normalform a = 64 und b = —20000. Ersetzt man das Gleichheitszeichen durch ein Ungleichheitszeichen, so erhält man eine (lineare) Ungleichung ax + b< 0. I Im Kontext des obigen Investmentbeispiels können Ungleichungen auf folgende Weise releI B vant werden. Der Anleger möchte wiederum 20000 € anlegen, wobei jedoch lediglich der Erwerb von ganzen Fondsanteilen, d.h. N, möglich ist. Zudem fordert die Investmentgesellschaft eine Mindestanlage von 5 000 € . Aus diesen Bedingungen resultieren folgende Ungleichungen: 64 -x< 20000, 64-a; > 5000, x 6 N.

L

Durch Division beider Ungleichung durch 64 resultieren die Bedingungen x < 312.5 und x > 78.125. Der Anleger kann daher zwischen 79 und 312 Anteile erwerben. Ungleichungen werden in der Regel durch ökonomische Restriktionen an Produktionsmittel, z.B. Vorräte, Personal oder Budget, verursacht und müssen bei unternehmerischen Entscheidungen berücksichtigt werden. Aus mathematischer Sicht beschreiben Ungleichungen Mengen im R n . Exemplarisch wird ein Beispiel für den R 2 vorgestellt. An zwei Variablen x und y werden die Bedingungen x > 0,

y> 2,

y < -\x

+ 6 und

f + | < 1 2

gestellt. Von Interesse ist die Menge aller Paare {x,y) € R , die alle Bedingungen erfüllen. Die resultierende Menge M ist somit definiert durch M={(x,y)

\ x > 0,y > 2,y < — | x + 6, | + | < l } .

Graphisch läßt sich diese folgendermaßen darstellen:

Diese Methode, Mengen zu beschreiben, wird insbesondere im Rahmen der linearen Optimierung von besonderer Bedeutung sein (s. Kapitel 10).

25

GRUNDLAGEN

Absolutbetrag In vielen Anwendungen ist nur der Abstand zweier Größen voneinander und nicht deren Lage von Interesse. Der Abstand wird mittels des Absolutbetrags gemessen. Bezeichnung: Sei a e R. Der Absolutbetrag (Betrag) |a| von a ist definiert durch falls a > 0 falls a < 0 '

M = { a' [-a,

Die Zahl |a| gibt die (nichtnegative) Entfernung der Zahl a zum Nullpunkt an. Seien a,b e R . Dann gelten für den Absolutbetrag folgende Aussagen: a| = 0

M > o, a < lal, \ a - b \

=

- a

\a\

•

-

a = 0,

|a|,


0 und einen Exponenten p € Q erklärt. Ist a eine negative Zahl, so kann der obige Ansatz nicht direkt übertragen werden. Für gerades n £ N gibt es nämlich keine Lösung der Gleichung xn = a. Für einen ungeraden Exponenten n existiert jedoch eine eindeutig bestimmte reelle Lösung dieser Gleichung. Diese wird ebenfalls mit Vja bezeichnet, obwohl a in dieser Situation negativ ist. • Ist n gerade und a > 0, so hat die Gleichung xn = a für x £ M genau zwei reelle Lösungen: ¡¡fä und — \fa. Für Potenzen mit rationalen Exponenten gelten dieselben Rechenregeln wie für ganzzahlige Exponenten.

34

KAPITEL 1

Für a > 0, b > 0, p, q € Q gilt: aP • a" =

(a v ) q =

a p // = (a6)p,

^ =

".

Insbesondere folgt somit für a > 0, b > 0, m € Z, n G N:

1 = uy ' \

rr

af =

±

On

=

= (w

=

\/ü

Die folgenden Beispiele illustrieren die Anwendung der Wurzeloperation. • Va 2 = |a|, denn: |a| > 0 und |a| 2 = a 2 . • (siehe Beispiel aus der Finanzmathematik): Seien n € N und K0 > 0, q > 0. Dann gilt für das Kapital Kn nach Ablauf von n Jahren:

AO

V ÄO

Für die im Beispiel angegebenen Zahlenwerte (Kn = 70355.02 €, K0 = 50000 €, n = 7) ergibt sich somit q = ^^oroo 2 ~

Der Zinssatz

beträgt daher ungefähr

5%.

L

• Es ist (v/5 - 2)2 = (v/5)2 - 4v/5 + 4 = 5 - 4v^ + 4 = 9 - 4 ^ 1 y/5 + 2 y/5 + 2 und -7= = —•=—w = — — = 2 + v/5. v/5-2 (v/5 — 2)(\/5 + 2) 5-4 Mittels der Wurzeln kann die Lösbarkeit einer allgemeinen quadratischen Gleichung ax2 + bx + c = 0 mit a ^ 0, b, c £ R untersucht werden. Dabei sind die binomischen Formeln nützlich. Seien a, b € R. Die binomischen Formeln lauten: 1. binomische Formel: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 2. binomische Formel: (a — 6)2 = a.2 — 2aö + 62 3. binomische Formel: (a + b)(a - b) = a 2 - Ir

35

GRUNDLAGEN

Allgemeine Lösung einer quadratischen Gleichung Zunächst wird aus der allgemeinen quadratischen Gleichung durch Division mit a eine standardisierte quadratische Gleichung hergeleitet. Dann wird eine quadratische Ergänzung, d.h. die Addition des Terms auf beiden Seiten der Gleichung, durchgeführt: b c 9 x2 + -x + - = a a

0

„ b fb\2 2 x2 + 2 • — x + 2a" ' — \2a) 1. binom. Formel

(b

/ ^ ^ b \

x 2

b

C 2

2a) b\2 X + 2a)

Aa a 2 b - 4 ac 4a 2

_ ~

Zur Untersuchung der Lösbarkeit sind nun drei Fälle zu unterscheiden: 1. Fall b2 — Aac < 0: Da die linke Seite der Gleichung nichtnegativ ist, existiert keine Lösung. 2. Fall b2 — 4ac = 0: In dieser Situation ist x = — ^ die eindeutige Lösung der Gleichung. 3. Fall b2 — 4ac > 0: Nach den obigen Bemerkungen zur Lösung der Gleichung y2 = d mit d > 0 gibt es genau zwei Lösungen für y: y = \fd und y = —\fd. Eine Anwendung 1,2 dieses Resultates auf die obige Situation mit y — x + ^ und d = ergibt:

X

b ^ 2a

b2 - Aac =

V

4a

2

b2 — Aac

b V

*

+

2^

=

~V

oder äquivalent: b X =

~2a ^ V

b2 - Aac 4a 2

b2 - Aac

b V

35

=

" V"

Wegen y/Aa2 = 2\a\ sind die Lösungen bestimmt durch x=

b \Jb2 — Aac 1- — — 2a 2a

V

x =

b 2a

\fb2 — Aac . 2a

Bisher sind Potenzen der Form ax für a > 0 und rationale Exponenten i 6 Q definiert. Zur Erweiterung der Definition auf reelle Exponenten x € M schachtelt man x „beliebig genau" durch rationale Zahlen p und q ein. Im „Grenzübergang" erhält man dann für jede reelle Zahl x eine sinnvolle Definition von ax, a > 0. Auf eine Herleitung wird hier verzichtet. Die bereits für rationale Exponenten angegebenen Rechenregeln gelten für Potenzen mit reellen Exponenten in analoger Weise:

36

KAPITEL 1

Seien a,b > 0 und r , s £ R. Dann gelten für Potenzen mit reellen Exponenten die Rechenregeln: aras = ar+s,

(ar}'~art,

aW = (aby,

~ =

a* - QJ"

*

1.

Insbesondere gelten l r = 1 und die Äquivalenz ar = 1 r = 0 V a = l. Weiterhin gelten die Aussagen: ar > 0 und r >0 a > 1 =>

(r {ar < a"

a < b), r < s)

Die ietzte Aussage impliziert für r = 0 und a > 1: as > 1

s>

0.

Sogenannte Potenzfunktionen werden am Ende von Kapitel 3 behandelt. In diesem Zusammenhang kann man sich die voranstehenden Regeln nochmals verdeutlichen. Logarithmen In den Abschnitten „Potenzen" und „Wurzeln" wurde bereits die Verzinsung eines Grundkapitals Ko bei einem Zinssatz i = p% untersucht. Daraus resultierte für das Kapital nach Ablauf von n Jahren die Formel Kn = Koqn mit q = 1 + i. Mittels der n-ten Wurzel konnte bei bekanntem Start- und Endkapital und Anlagezeitraum der Zinssatz berechnet werden. Eine interessante Fragestellung, die ebenfalls mit dieser Situation verbunden ist, ist die Festlegung des Anlagezeitraums n bei bekanntem Startkapital und Zinssatz und vorgegebenem Kapital Kn. Beispielsweise sollen 10 000 € zu einem Zinssatz von 4.5% angelegt werden. Welcher Zeitraum ist nötig, um (mindestens) 15 000 € angespart zu haben? Diese Fragestellung führt auf die Gleichung (in der Variablen n): 15 000 = 10000 • 1.045" § = 1.045". Gesucht ist eine Lösung für die Anzahl n von Jahren. Durch Ausprobieren erhält man 9 < n < 10,

da 1.4861 « 1.0459 < f < 1.04510 « 1.5530.

Kann das Kapital nur für volle Jahre angelegt werden, so muß der Anlagehorizont mindestens zehn Jahre betragen. Im obigen Beispiel wurde der Anlagezeitraum durch Ausprobieren von möglichen Zeiträumen n ermittelt. Dieses Verfahren ist je nach Problemstellung aufwendig, so daß eine systematische Lösungsmethode anzustreben ist.

37

GRUNDLAGEN

Als Hilfsmittel zur Auflösung solcher Exponentialgleichungen, d. h. von Gleichungen des Typs (in der Variablen x) ax = y,

werden Logarithmen eingeführt. Wurde im Abschnitt „Potenzen" das Wurzelziehen als eine Umkehrung des Potenzierens interpretiert, so kann auch das Logarithmieren in diesem Sinn verstanden werden. Anders als beim Wurzelziehen, wo nach der Basis gesucht wird, ist jetzt jedoch der Exponent die Zielgröße. Gesucht sind daher Lösungen x der Gleichung ax = y. Dabei wird grundsätzlich vorausgesetzt, daß a eine positive reelle Zahl ist. Für y ist dann die gleiche Voraussetzung sinnvoll, da für y < 0 die Gleichung keine Lösung besitzt. Daher sei im folgenden angenommen, daß a > 0 und y > 0 sind. Unter diesen Annahmen hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, falls a ^ 1 gilt. Ist nämlich o = 1, so folgt y = 1, d.h. die Gleichung ist unabhängig von x. Sie ist also lösbar, falls y = 1 wahr ist, und damit ist jede reelle Zahl x eine Lösung der Gleichung. Ist y ^ 1, so ist die Aussage falsch. Die Gleichung besitzt somit keine Lösung. Aus diesem Grund wird der Fall a = 1 im folgenden ausgeschlossen.

Bezeichnung: Sei a € R, o > 0, a ^ 1. Für beliebige y > 0 bezeichnet log ay die eindeutig bestimmte Zahl die die Gleichung ax = y erfüllt. Sie heißt Logarithmus von y zur Basis a. Insbesondere gilt also x = log0 y ax = y

oder

Q}0SaV

=

y

Nachfolgend sind einige einfache Beispiele für das Rechnen mit Logarithmen angegeben. log2 8 = 3, da 23 = 8, log7 49 = 2, da 72 = 49, log10 10 = 1, da 101 = 10, log10 ^ = - 1 , da lO"1 = ^

= i.

Für das Rechnen mit Logarithmen gelten folgende Regeln.

38

KAPITEL 1

Seien « e M mit a > 0 und a

1. sowie y, z > 0, r € E. Dann gilt:

(a) log a a--= 1, logu 1 = 0, (b) loga(yz) = logay + \ogaz> (c) logo(?) = log« V - !oga z, (d) log a y r (= log a (y r )) = r loga y, (e) loga y = loga z y = z. Ist zusätzlich a > 1, so gilt weiter: ' > 0,

falls y > 1

(f) loga y < = 0, • y < z. Die Gültigkeit der obigen Regeln wird zum Einüben des Rechnens mit Logarithmen gezeigt. (a) Wegen a1 = a folgt 1 = loga a direkt aus der Definition des Logarithmus. Analog erhält man aus a° = 1 das Resultat 0 = logn 1. (b) Setzt man X\ = loga y und x? = loga z, so gilt: i i = log0 y A i 2 = loga 2 yz = axiax2 =axi+x\ Damit ist log 0 (yz) = x1+x2

aXl =y A ax2 = z

= logtt y + loga z.

(c) Diese Eigenschaft wird analog zu (b) unter Benutzung von ^ = aXl~X2 nachgewiesen. (d) Aus der Gleichung x = log a y folgt per Definition ax — y. Dies ist äquivalent zu yr = (ax)r = arx. Damit ist loga yr = rx = r logQ y. (e) Mit i i = loga y und i 2 = logQ z ist axi = y und aX2 = z. Dies impliziert y=z

axi = aX2

xx = i 2

loga y = logc z.

(f) Sei a > 1. Aus der Definition des Logarithmus folgt x = log a y ax = y. Aus den Regeln für Potenzen schließt man dann: ax = y > 1 ==> i = loga y > 0 ax = y = 1 x

x = log0 y = 0

a = y< 1 => x =

\ogay 0, a j* 1. b / 1, y > 0 gilt:

log b y =

loga b

40

Kapitel

1

Der Nachweis dieser Umrechnungsvorschrift erfolgt durch Anwendung der Rechenregeln für Logarithmen. Seien Xi = l o g a y und x 2 = log b y Logarithmen von y zu den Basen a bzw. b (a>0,b>0,a,byi 1). Dann gilt: aXl = y A bx2 = y und a xi =

bx2

Xl =

ioga

xi = x2 log 0 b log a y = logh y • loga b log ay log ab

fTi

= log by

Im oben diskutierten Beispiel ergibt sich somit für die Auswertung des Logarithmus zur Basis .045 mittels des natürlichen Logarithmus: n = iogj.045 1 = n r f ^ s ~

L rr

9 21

- -

Dies führt zu dem bereits durch Probieren gefundenen Ergebnis, daß der Anlagezeitraum mindestens zehn Jahre sein muß, um über ein Kapital von mindestens 15000 € verfügen zu können. Weitere Beispiele zur Anwendung von Logarithmen sind: log 2 6 = log 2 (2 • 3) = log 2 2 + log 2 3 = 1 + log 2 3, log 10 000 = log 104 = 4 log 10 = 4 log 10 10 = 4, log 0.001 = log 1 0 - 3 = - 3 , log 3 1 = log 3 1 - log 3 9 = 0 - 2 = - 2 oder l°g3 9 = 1°§3

= —2 log 3 3 = —2,

log 5 32 = log 5 2 5 = 5 - l o g 5 2 , 10 2x+i =

7

^

| |

l o g 10 2*+i =

log 7

2 a: + 1 = log 7

x = |(log7-l).

Sei a > 0. Dann gilt logi y = — log a y. Setzt man b =

so gilt log a b = log a - = log Q (a _ 1 ) = - log 0 a = a

Die obige Rechenregel liefert sofort die gewünschte Aussage: |

log 6 y = T — T = - loga yloga °

-1.

41

GRUNDLAGEN

Summen- und Produktzeichen Summenzeichen Ein Unternehmen führt in seinen n Filialen eine Umsatzerhebung durch. Die Filiale i meldet ihren Umsatz xt in einem festgelegten Zeitraum, so daß insgesamt n Werte x\,..., xn in der Zentrale vorliegen. Der mittlere Umsatz der Filialen wird dann berechnet als arithmetisches Mittel x dieser Werte: ^ x = - • (xi H bzn). n Für große Anzahlen n von Beobachtungen und weitere Rechnungen mit dem arithmetischen Mittel ist eine Darstellung in dieser Form unübersichtlich und möglicherweise mißverständlich. Daher wird eine Kurzschreibweise für die Darstellung von Summen eingeführt. Bezeichnung: Seien a\,a2, • • • ,an reelle Zahlen. Für k,n € N, k < n, wird das Summenzeichen definiert durch: n

ak-{

1-an = 7: a.j.

Dieser Ausdruck wird gelesen als „Summe der a} von j gleich k bis n". Weiterhin ist k = ak• Die einzelnen Bestandteile werden wie folgt bezeichnet: ]=k a,j allgemeines Glied der Summe, j

Summationsindex (Laufindex),

k

untere Summationsgrenze,

n

obere Summationsgrenze.

Zur Vereinfachung der Notation wird für den Fall, daß die obere Summationsgrenze n kleiner n

als die untere Summationsgrenze k ist (n < k), vereinbart: Y1 aj = 0j=k Die vorgestellte Schreibweise setzt eine endliche Anzahl von Summanden ai,... ,an voraus und heißt deshalb auch endliche Summe. Analog kann diese Notation auch für unendlich viele Summanden a,k, cik+i,... erklärt werden: oo j=k

a-j = cik + ak+1 + ....

Der Ausdruck wird als unendliche Summe oder Reihe der Zahlen a^, ßfc+i, • • • bezeichnet. Diese zunächst formale Übertragung des Summenzeichens beinhaltet aber einige mathematische Probleme, die in Kapitel 2 diskutiert werden. Aus diesem Grund wird dieser Ausdruck in diesem Abschnitt nur als Notation verstanden.

KAPITEL 1

42

Die Anwendung des Summenzeichens wird mittels der folgenden Ausdrücke erläutert. r r 1 + 2 +••• + 1 2 =

5 +

7 +

• • • +

15 =

¿=i ¿ ( 2 »

¿=2

+

1) =

¿ ( 2 i

-

1);

i=3 5

2 +

4 +

8 +

16 +

32 =

21 +

22 +

23 +

24 +

25 =

¿ 2 ® ;

i=l

L _ Durch die Verwendung des Summenzeichens läßt sich der Notationsaufwand i.a. erheblich reduzieren. Für das Rechnen mit dem Summenzeichen gelten folgende Regeln. S e i e n k, n € N , k < n. c € R u n d at,bt

G R, i € {1, — n ) . Dann gilt:

n • Y1 c ~ ( n ~ k + 1) ' c'i speziell für

n = 1 gilt: Y1 c — i-1

,=k

n

•

J2(c' i~k

• c-

n a

0 =

cY.a.,.

i~k

• E(oi + M = X > + i~k

n

i~k

f > .

i~k

T7i

n

• Sei k < m < n. Dann gilt: ^ ^ u, — i

n £

a„

=*

Weiterhin kann es nützlich oder notwendig sein, die Summationsgrenzen zu verschieben. Es gilt für a.k, • ., an

e R,fc,n e r1 fc < n: = i~k

I I B

n-1

n+l

n

aI-l

i—k— 1

Folgende Beispiele demonstrieren die Anwendung der vorgestellten Rechenregeln.

43

GRUNDLAGEN

3 ¿ ( » - 1) = 3 ( £ i - 4) = 3 ( 1 + 2 + 3 + 4 - 4 ) = 18; ¿=1 ^ ¿=1 ' ¿ ( 2 . + 1) = ¿ ( 2 ( . - 1) + 1) = ¿ ( 2 < - 1). t=2 ¡=3 ¿=3 In vielen Anwendungsbeispielen werden zur sinnvollen Beschreibung der auftretenden Größen zwei Indizes verwendet. Nachfolgend werden Situationen vorgestellt, die eine Doppelindizierung nahelegen. Im Rahmen einer Marktstudie werden in vier Filialen eines Kaufhauses (Aachen, Bremen, Köln, Oldenburg) jeweils jewe: 50 Kunden befragt, welchen Betrag sie monatlich für den Kauf von Musik-CDs ausgeben.

71

Für i £ {1,2,3,4} und j G { 1 , 2 , . . . , 50} bezeichne xtJ den von Person Nr. j in der Filiale i genannten Betrag. Der durchschnittlich ausgegebene Betrag von in Köln befragten Personen ist somit bestimmt durch 50 50 ^ C 2 ^ 3=1

Die übrigen arithmetischen Mittel werden analog gebildet. Die Berechnung der (monatlich) durchschnittlich ausgegebenen Summe aller befragten Personen führt auf eine sogenannte Doppelsumme: 4/50 \ 200 E

¿=1

E '

\j=1

Eine Unternehmung stellt m Produkte her und erzielt dabei die Umsätze Uy, i € { 1 , . . . , m}, j G {!,••• , n}, wobei tty- den Umsatz von Produkt i im Monat j bezeichnet. Monat Produkt^

1

2

3

1

Un

U12

Uij

2

«21

«22

U2j

n

•

Gesamtumsatz je Produkt n

«In 3=1 n

«2n

E

U

2j

3=1 n i

"¿1

Uij

Ui2

Hin

E «y

3=1

m

monatlicher Gesamtumsatz

Um

m ¿=1

1

Um

2

Ujnj

m J2ui2 i= 1

m •

• E«ij • ¿=1

Hmn m T , t^in

¿=1

n E

3=1 m n

E E

u

mj

i=lj=l n m

u^

= E E u^ j=1 i= 1 Gesamtumsatz

71

44

KAPITEL 1

Wie in diesem Beispiel offensichtlich, ist die Summationsreihenfolge bei endlichen Summen vertauschbar. Es spielt keine Rolle, ob bei der Ermittlung des Gesamtumsatzes zunächst alle Monatsumsätze und dann der Gesamtumsatz durch Summierung aller Monatsumsätze berechnet werden, oder ob erst die Gesamtumsätze für alle Produkte und dann die Summe über die verschiedenen Produkte gebildet werden.

Produktzeichen Analog zum Summenzeichen wird für das Produkt von reellen Zahlen eine abkürzende Schreibweise verwendet.

Bezeichnung: Seien a i , a 2 , . . . , a n reelle Zahlen. Für k,n definiert durch:

G N, k < n, wird das Produktzeichen n

a-k • • • • • a n = J J f l j i=k

Dieser Ausdruck wird gelesen als „Produkt der aj von j gleich k bis n". Weiterhin ist k n

aj

=

a

k

.

j=k

Ist die obere Grenze n kleiner als die untere Grenze (n < k), so wird vereinbart:

a, = 1. i=k

Zwei Beispiele zur Anwendung des Produktzeichens sind gegeben durch:

1 • 3 • 5 • 7 • 9 = n ( 2 t + l); ¿=o

l-2-3-4-...-n = n ^ n ! ¿=i

(n e N). Dieses spezielle Produkt wird auch als Fakultät

von n oder „n Fakultät" bezeichnet. Da das Produkt

o als 1 definiert wird, wird i= 1

für die Fakultät von 0 vereinbart: 0! = 1.

Die folgenden Rechenregeln vereinfachen die Handhabung des Produktzeichens:

45

GRUNDLAGEN

Seien k, n g N, k < n, c € K und o„ 6« € R, i € { 1 , . . . , n } . Dann gilt: n

• f ] c = C n ~ k+1 n

n

RI(aA) = £

Vollständige Induktion Die vollständige Induktion ist ein Beweisprinzip, das zum Nachweis von Aussagen verwendet werden kann, die sich durch einen Parameter aus einer Indexmenge / C No unterscheiden. Dabei kann / = N0 gelten, oder I die Menge der natürlichen Zahlen sein ( / = N), oder / auch eine echte Teilmenge der natürlichen Zahlen sein: / ^ N . Mittels der vollständigen Induktion kann etwa die Aussage bewiesen werden, daß für alle n G N die folgende Aussage gilt: n

¿=1 Allgemein kann mittels der vollständigen Induktion die Gültigkeit einer Aussage A(n) für alle n £ N mit n > k(k € N) gezeigt werden. Der grundsätzliche Ablauf eines Induktionsbeweises erfolgt in drei Schritten. Das Prinzip der v o l l s t ä n d i g e n I n d u k t i o n umfaßt, drei Schritte: • I n d u k t i o n s a n f a n g : Die Aussage A(k) wird für ein k € N bewiese». • I n d u k t i o n s v o r a u s s e t z u n g : Es gelte A{n) für ein n € N mit n > k, • I n d u k t i o n s s c h l u ß (n —> n + 1): Es wird gezeigt, daß die Aussage A(n) die Aussage A(n + 1) impliziert. Sind die Aussage A(k) (Induktionsarifang) und die Implikation A{n) ==> A(n + 1) für jedes n € N mit n > k (Induktionsschluß) wahr, so folgt: Vn >

k :

A{n),

d. h. die Aussage A(n) gilt für jedes n > k. Es soll nachgewiesen werden, daß folgende Identität richtig ist: Vn € N :

A(n)

46

KAPITEL 1

• Induktionsanfang: Für n = 1 gilt X > > ¿=i

1.(1 + 1)

= -

2

£

,

so daß .4.(1) wahr ist. Induktionsvoraussetzung: Gelte

n ¿=1

für ein n € N.

« = "' 2

• Induktionsschluß (n —> n + l): n+l

n

E

v^ •

¿=1

/

-n

/

, 1\

i.V. n(n

+ 1)

.

¿=1 n(n + 1 ) + 2(n + 1) _ (n + l)(n + 2) _ (n + l)((n + 1) + 1)

=

2 2 2 Dabei wird I.V. als Abkürzung für die Anwendung der Induktionsvoraussetzung auf die Summe

n

¿=1

verwendet. Damit ist A(n + 1) wahr.

Mit dem Prinzip der vollständigen Induktion ist die Gültigkeit der Summenformel somit für jede natürliche Zahl bewiesen. Ein „Nachweis ohne Worte" der obigen Formel gelingt über eine geometrische Veranschaulichung. Man bedeckt mit n Rechtecken (mit den Seitenlängen 1 und i, i € { 1 , . . . , n}) ein Rechteck mit den Seitenlängen j und n + 1 (und der Fläche |(n + 1 ) ) bzw. mit ^ und n, je nachdem ob n gerade oder ungerade ist. Für gerades n € N führt dies zu folgender Graphik. A n 2

*

n

= 1 1

L_

n

, = - + 1

i — n

2

Es gilt also ^ ¿ • l = ( n + l ) - - . 2 t=i

n

n + l

47

GRUNDLAGEN

Das zweite Beispiel 11 - 1 - 5" ...,1-3, ¥ ~~~ 9'

ist eine Identität

für das Produkt

der

Zahlen

1 — ^

n SN: V n € N, n > 2 :

f [

(,

-

i ; )

=

5 ± I .

j—2 Mit A(n)

sei die Gleichung für n € N bezeichnet.

• Induktionsanfang (n = 2):

> 4:

n o Induktionsvoraussetzung: Die Aussage A(n)

3

2 + 1

4

2-2

gelte für ein n > 2.

Induktionsschluß (n — > n + 1 ) : n+l

n O - ^ - l n b =O2 - ^ J - O - s r h ? )

n + 1 (^ _ 1 2n (n + l ) 2 ,

I.V.

n + l

1

2n

2 n ( n + 1)

n2

(n + l ) 2 - 1

+ 2n + 1 - 1 _ 2n(n + 1)

_

2 n ( n + 1) n + 2

_ (n + 1) + 1

~~ 2(n + 1) ~~

2 ( n + 1)

Also gilt .A(n + 1). Damit gilt die Gleichung für alle n € N, n > 2.

Der Binomische Lehrsatz V a , 6 e R, n e N o i i a +

t ^ ^ r j a " - ^ fc=0

der eine Verallgemeinerung der ersten und zweiten binomischen Formel ist, kann ebenfalls mit vollständiger Induktion bewiesen werden. Die in der obigen Formel verwendeten Binomialkoeffizienten ^ ^ finiert durch

n! KkJ

k\{n-k)\

,

n, k € N 0 , k 5 in der Variablen x € R \ { —1}

50

KAPITEL 1

Aufgabe 1.4: Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung ^ g < \x — 1| + x. Aufgabe 1.5: (a) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach der Variablen x G R auf: (i) ln(a; + 4) = |(lnx 3 ) + 21n3, x > 0 (ii) log a (|) = -log a (a; 2 - 114), |z| > y/TÜ, a > 1 (iii) log0 x2 - loga(c2 - 4) + l o g a ( ^ ) = 0, x > 0, a > 1, c > 2 (b) Bestimmen Sie die Lösungsmenge der Ungleichung \x2 — 9| < \x — 3| in der Variablen i 6 R .

Weitere Aufgaben Aufgabe (Lösung s. AL 3.1) Gegeben sei die Menge A = {x £ R|1 < x < 10}, d. h. die Menge aller Zahlen aus M mit der Eigenschaft, daß 1 < x < 10 gilt. Prüfen Sie, welche der folgenden Mengen in der Menge A als Teilmenge enthalten sind: B = {x G R|1 < x < 10},

C= { x g M | x 2 = 4},

E = {x £ N|1 < a; < 11 und x ist eine Primzahl} ,

D = {a; G R|x 2 - 5x + 6 = 0} , F = {x G N|a: ist Teiler von 18} .

Bestimmen Sie weiterhin folgende Mengen: EHF,

{EnF)ö{CnD),

E\{CnF),

(E\D)n(FuC).

Aufgabe (Lösung s. AL 3.8) Stellen Sie die durch die folgenden (Systeme von) Gleichungen bzw. Ungleichungen definierten Teilmengen des R 2 graphisch dar: a) 3x + y = 3

b) x = 5

c)

d)

e)

{x -2)2

> x2 + y

g) x > - l , y < 2

f)

+ = 2y < 2x + 16

h) x +

(y ^ 1 , 2 / ^ - 0 . 1 )

2y>10,x-y>2

Aufgabe (Lösung s. AL 3.13) Bei einem Schmelzvorgang werden drei Zusatzstoffe Zi, Z2 und Zz in der jeweiligen Mindestmenge von 1.2 kg Zi, 0.6 kg Z2 und 1.6 kg Z3 benötigt. Die Zusatzstoffe werden in gemischter

51

GRUNDLAGEN

Form als Rohstoff A bzw. Rohstoff B eingekauft. Jede Mengeneinheit von Rohstoff A enthält 0.1 kg Zx, 0.3 kg Z2 und 0.2 kg Z3. In jeder Mengeneinheit von Rohstoff B sind 0.6 kg Z\, 0.05 kg Z2 und 0.4 kg Z 3 enthalten. Der Rest jeder Rohstoffsorte besteht aus Stoffen, die als Schlacke ausfallen. Die beiden Rohstoffe A und B sollen nun für einen Schmelzvorgang so gemischt werden, daß die obigen Mindestmengen an Zusatzstoffen vorhanden sind. Beschreiben Sie die zulässigen Mengen durch ein System von Ungleichungen, und stellen Sie die zugehörige Erfüllungsmenge graphisch dar. Aufgabe (Lösung s. AL 5.2) Lösen Sie folgende Gleichungen nach x auf (In x — loge x): a) a (2X - b) = x

c) y(10 -a) e) 2

3x

= 2•e

a>l,6>0, = b,

x ln2

b) ln(:r + a) = Ina: + ln2, 2

y>0,a,b>0,

x>0,a>0,

d) ln(a; + 3) = \ In (4z ) + 2 In 2,

x > 0,

.

Aufgabe (Lösung s. AL 5.3) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach y auf (log x = log10 x): a) -y/e1"^ + y/xy - In 2X = 0, x, y > 0, b) \ log(2/ + 4) + log £ = e log3 + | log(y +l),y>

-1,

10» c) x = — ——, -1 < X < 1. ' \QV + 10-f

Aufgabe (Lösung s. AL 5.5) Lösen Sie die folgenden Gleichungen nach x auf: a) log a (x + 4) + 2 lo go ( f ) = 2

2

+ log a (x + 1), x > - 1 , a > 1,

b) loga x - loga (b2 - 1) + loga ( ^ i ) = 0, x > 0, a > 1, b > 1, c) loga 6 = | loga 9 - loga(a: - 1), x > 1, a > 1.

Aufgabe (Lösung s. AL 1.1) Für reelle Zahlen ai,...,an

werden das Symbol n

n

t=i

a s

l

Abkürzung für die Summe

di + • • • + an und das Symbol f ] at als Abkürzung für das Produkt a\ • ... • an verweni= 1 det.

52

KAPITEL 1

a) Begründen Oi,...

Sie

,an,bi,...

die ,bn,c

n

Gültigkeit

der

folgenden

Rechenregeln

(für

Zahlen

£ R):

n

n

n

n

i) E ( a * + &«) = E di + E bi, E K i= 1 i= 1 ¿—1 ¿=1 \

n

/ n

\

+

c)

= Tic

n

+ E i~l

a

u

E

ca

i

=

c

E ¿=1

a

u

n

Ü) n k - 6 i ) = r u n M , n t e - a o ^ n * ¿=1 \t=l / \i=l / 1=1 i=l b) Geben Sie Gegenbeispiele zu den folgenden Aussagen an: i)

¿=i

= (£oi) • E M . \i=i / \i=i /

n) n ( o i + 6 i ) = ( f u ) + f f i »=i \t=i / \i=i

Aufgabe (Lösung s. AL 1.4) Berechnen Sie für die Zahlen 1 2 3 4 5 6 1 0 6 2 2 3 Vi

a) d)

2 5 1 7 2 9

6

6

Yjxi

b

«=I

( ¿ ^ ( ¿ t t ) \i=l / \i=l /

6

)

E t e + yO i=1

c

)

T,xiVi ¿=1

e)

¿Sifo-l) ¿=1

f

)

( ¿ f o + 1)) ( ¿ ( l f c - 1 ) \i=l / \i=l

Aufgabe (Lösung s. AL 1.8) Seien n € N und x\,...,xn n

n

reelle Zahlen. Dann heißen x = - E x % das arithmetische Mittel " 4—1

und s2 = £ E f e — x)2 die empirische Varianz der Zahlen x\,... " ¿=i

,xn.

a) Zeigen Sie: i) Für a, b € R und j/j = a + bxt, 1 an+i)

an > a n + 1 .

• (streng) monoton, falls sie entweder (streng) monoton wachsend oder (streng) monoton fallend ist. • alternierend, falls Vn € N0 : an ^ a n + 1 und an < a n + i

a n + i > an+2.

• beschränkt, falls gilt: 3M > 0 Vn e N 0 : |a„| < M (d.h. alle Glieder der Folge liegen im Intervall ( - M , M ) ) . Sei (an)neN0 jeweils eine durch folgende Vorschriften festgelegte Folge: •

a

n ~ ^¡Tf; (ön)neNo ist streng monoton fallend und beschränkt,

• an = 2 n ; (an)neN0 ist streng monoton wachsend und nicht beschränkt (unbeschränkt), • an = (—1)™+1; (a n ) ne N 0 ist alternierend und beschränkt, • an = (—1)" • ¿ j - ; (dn)n€No ist alternierend und beschränkt. Eine geometrische Folge ist • konstant für q = 1: Vn € N0: an+\ = an • q = an. • streng monoton wachsend für q > 1, falls an > 0 für alle n € No: a

n+1 = q an

^ ^

an+1 = q - an>

an

• streng monoton fallend für q € (0,1), falls an > 0 für alle n € N0: V t i £ N0 :

an+i = q • an < 1 • an = an

59

F O L G E N UND R E I H E N

• alternierend für q < 0. Zunächst gilt für alle n £ Ny: an+i = q • an sich folgende Äquivalenzen gewinnen: g an+2. qan > qan+1

beschränkt für q € [—1,1], denn: M 0 schließlich (d.h. ab einem n 0 £ N) alle Folgenglieder im e-Streifen um g liegen, d. h. g — £ < an < g + e Vn > no-

|

60

KAPITEL 2

Bezeichnung: Gegeben sei die Folge (an)n6N(a) Die Folge (a n ) n6 N heißt konvergent gegen g € R, falls Ve > 0 3 n 0 = n 0 (e) € N Vn > n0 : \an — g\ < e. Die Zahl g heißt Grenzwert (Limes) der Folge (an)neNSchreibweisen: lim an = g, an —> g für n —> oo oder o„ n~> g. n—»oo

Eine konvergente Folge mit Grenzwert 0 heißt Nullfolge. (b) Die Folge (an)„SN heißt konvergent gegen oo (bzw. —oo), falls VM > 0 3 n 0 = n0(M) € N Vn>n0:an>M

(an
oooder an —> oo (-00). (c) Ist eine Folge nicht konvergent im Sinne von (a) oder (b), so heißt sie divergent. Bemerkung: Die Grenzwertdefinition kann folgendermaßen gelesen werden: Für jedes (noch so kleine) E > 0 gibt es (stets) eine natürliche Zahl TIQ (die von E abhängen darf), so daß für alle Folgenglieder ano,ano+1,... gilt, daß deren Abstand zur Zahl g kleiner als £ ist. • Die Notation no = no(e) in obiger Definition deutet an, daß no von dem betrachteten e abhängen darf, d. h. daß für verschiedene e's (möglicherweise) verschiedene no's gewählt werden müssen. • Zur Unterscheidung der Konvergenz gegen eine reelle Zahl g und der Konvergenz gegen oo oder —oo wird die Konvergenz gegen g € R auch als endliche Konvergenz bezeichnet. • Konvergenz gegen oo oder —oo wird auch bestimmte Divergenz genannt. Um die Konvergenz einer Folge mit Hilfe der Definition nachzuweisen, muß man den Grenzwert der Folge schon vorher kennen.

• Die Folge (an)new mit an = 1 denn für ein beliebiges e > 0 gilt: 1

n € N, konvergiert gegen (den Grenzwert) g = 1, 1 n

1

- -

1 n

61

F O L G E N UND R E I H E N

(n0 kann als kleinste natürliche Zahl gewählt werden, die größer als j ist.) • Die Folge (an)n€w mit an = (-1)™ • denn für ein beliebiges e > 0 gilt: \an-g\=

(-1)B~ n*

n € N, konvergiert gegen den Grenzwert 9 = 0,

J_ _ J_ 1 2 2 < e für alle n > —¡=. n n sß

(n0 kann als kleinste natürliche Zahl gewählt werden, die größer als ^ ist.) • Die Folge (on)nSN mit an =

n S N, ist für jedes a > 0 eine Nullfolge.

Die folgenden Aussagen sind nützlich im Umgang mit Folgen.

• Ist die Folge (a„) n€ k beschränkt und monoton, so ist sie endlich konvergent. • Jede endlich konvergente Folge ist beschränkt.

Die Folge (a n ) n€ N mit an = (l + ist streng monoton wachsend und beschränkt. Sie ist somit endlich konvergent. Der Grenzwert ist gerade die Eulersche Zahl e. Am Ende des Abschnitts über Folgen wird ein allgemeineres Ergebnis angegeben. Als „Grundrechenarten" für Folgen werden folgende Regeln eingeführt.

Seien (a„)„ 6N , (bn)neN Folgen. Dann gilt: • (a n + &„)„€N hat die Glieder ai + £>i, a 2 + 62, • • • • (an - bn)neN hat die Glieder ai - 61, a 2 - 62 • • •• • (anbn)n€N hat die Glieder a^b,, a2b2,... hat die Glieder f . f,...,

falls bn / 0 für alle « e N.

Für Grenzwerte von zusammengesetzten Folgen gilt:

62

KAPITEL 2

Seien (an)n, (b„)n (endlich) konvergente Folgen mit lim a„ = a e R, lim bn = b 6 R. n—»oo n—»oo Dann gilt: (1) lim (a„ + bn) = lim a n + lim bn = a + b n—»oo n—»oo n-^oo (2) lim («„ — 6„) = lim a n — lim bn = a — b n—> oo n—»00 n—»oo (3) lim (a n 6 rt ) = lim an • lim bn = ab n—»oo

n—»oo

n—»oo

/ \ lim a n (4) lim H p = "7°°, = 7 , falls 6n ^ 0 fär alle n e N und 6 ^ 0 V 6« / lim b b n—»oo n (5) an < bn für alle n € N

a 0 für alle n 0 und p € R, dann gilt: lim (a n p ) = ap. n—*oo

(8) Ist c > 0, so gilt: Mm ca» =