Wertverteilung meromorpher Funktionen in ein- und mehrfach zusammenhängenden Gebieten (Lecture Notes in Mathematics, 783) (German Edition) 3540097597, 9783540097594

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Lecture Notes in Mathematics Edited by A. Dold and B. Eckmann

783 Alexander Dinghas

Wertvertei lung meromorpher Funktionen in ein- und mehrfach zusamrnenhanqenden Gebieten Herausgegeben von R. Nevanlinna und C. Andreian Cazacu

Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York 1980

Autor

Alexander Oinghas (t 1974) Dr. phil. habil., o. Professor fur Mathematik an der Freien Universitat Berlin Herausgeber

Rolf Nevanlinna Bulevardi 9A 00120 Helsinki 12 Finnland Cabiria Andreian Cazacu Facultatea de Maternatica Universitatea din Bucuresti Str. Academiei 14 78015 Bucuresti Rumanian

AMS Subject Classifications (1980): 30035 ISBN 3-540-09759-7 Springer-Verlag Berlin Heidelberg New York ISBN 0-387 -09759-7 Springer-Verlag New York Heidelberg Berlin CIP-Kurztitelaufnahme der Deutschen Bibliothek Dinghas, Alexander. Wertverteilung meromorpher Funktionen in ein- und mehrfach zusammenhangenden Gebieten / Alexander Dinghas. Hrsg. von R. Nevanlinna u. C. Andreian Cazacu. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1980. (Lecture notes in mathematics; 783) ISBN 3-540-09759-7 (Berlin, Heidelberg, New York) ISBN 0-387-09759-7 (New York, Heidelberg, Berlin) This work is subject to copyright. All rights are reserved, whether the whole or part of the material is concerned, specifically those of translation, reprinting, re-use of illustrations, broadcasting, reproduction by photocopying machine or similar means, and storage in data banks. Under § 54 of the German Copyright Law where copies are made for other than private use, a fee is payable to the publisher, the amount of the fee to be determined by agreement with the publisher.

© by Springer-Verlag Berlin Heidelberg 1980 Printed in Germany Printing and binding: Beltz Offsetdruck, Hemsbach/Bergstr. 2141/3140-543210

FUr F R I T H I 0 F

und

R

o

L F

N E V A N L I N N A

Aus Dankbarkeit flir das was ich von ihnen gelernt habe und aus Freundschaft

Zur Person des Verfassers Geboren am 9. Februar 1908 in Smyrna. Studium der Mathematik und Theoretischen Physik: Berlin 1931-34. Promotion Friedrich-Wilhelms-Universitat 1936. Dr. phil. habil. 1939. O. Professor fur Mathematik Hurnboldt-Universitat 1947. O. Professor Freie Universitat Berlin 1949. Mitglied der Kongl. Vidensk. Selskab Trondheim, ausw. Mitglied der Heidelberger Akademie der Wissenschaften, Mitglied von Sigma-Xi, Chapter Fordham New York, auswartiges Mitglied der Finnischen Akademie der Wissenschaften. Hauptarbeitsgebiete: Komplexe Analysis und Theorie der konvexen Korper. Gestorben am 19. April 1974 in Berlin.

Vorwort der Herausgeber Professor Alexander Dinghas war wahrend seiner letzten Lebensjahre mit der Aufgabe beschaftigt, eine zusammenfassende Darstellung der Theorie der Wertverteilung zu verfassen. Sein Ziel war, die bei dieser Lehre verwendeten verschiedenen Methoden einheitlich zu behandeln, wobei auch seine eigenen Beitrage in diesem Gebiet, die bisher nur in einzelnen Publikationen erschienen waren und einem groBeren Leserkreis weniger bekannt sind, weitgehend berucksichtigt werden sollten. Besonders ist zu betonen, daB das letzte Kapitel seines Werkes der Wertverteilung von Funktionen gewidmet ist, die in mehrfach zusammenhangenden Gebieten meromorph sind. Diese von G. af Hallstrom entwickelte Theorie ist bis jetzt ebenfalls nur durch Einzelpublikationen zuganglich gewesen. Vor seinem unerwarteten Tod im April 1974 hatte Professor Dinghas die Arbeit an seinem Buch fast zu Ende gefuhrt. Wahrend seiner letzten schweren Erkrankung auBerte er den Wunsch, daB die Unterzeichneten das Manuskript in druckfertige Form und dann zur Ver6ffentlichung bringen sollten. Diese Aufgabe hat mehr Zeit in Anspruch genommen, als vorgesehen war. Es hat sich herausgestellt, daB es notig war, Verdeutlichungen, Erganzungen und Korrekturen vorzunehmen, vor allem in den zwei letzten Kapiteln des Werkes. Die Herausgeber mochten an dieser Stelle nicht verabsaumen, Herrn H. Begehr fur die Muhe bei der Korrektur des gesamten Werkes sowie fur seine wertvolle Mitarbeit bei der Neuerstellung des funften Kapitels aufrichtig zu danken. Herrn L. Volkmann sind wir fur die Korrektur der zwei ersten Kapitel, fur die Arbeit bei der Herstellung des Literaturverzeichnisses sowie fur die Redigierung der letzten Reinschrift zu Dank verpflichtet. Die letzte Maschinenschrift hat Frau Christa Siewert mit groBer Sorgfalt angefertigt. Wir danken ihr, sowie Frau Ursula Stolze, die das unvollendete Manuskript noch fur Professor Dinghas mit Maschine geschrieben hatte, und allen Sekretarinnen des I. Mathematischen Institutes der Freien Universitat Berlin, die bei der Herstellung des Buches mitgeholfen haben. Es war der Wunsch von Professor Dinghas, daB sein Werk in englischer Sprache erscheinen sollte. Herr R.

Zavodnik hatte sich freund-

lichst bereit erklart, die Ubersetzung des Manuskriptes ins Englische vorzunehmen. Urn eine weitere Verz6gerung des Erscheinens zu vermeiden,

haben sich die Unterzeichneten entschlossen, das Werk in deutscher Sprache zu veroffentlichen. Eine Moglichkeit dafur hat sich auch ergeben, als Professor B. Eckmann und Professor A. Dold das Werk in die Lecture Notes des Springer­Verlags aufgenommen haben. Helsinki und Bukarest, im November 1978 Rolf Nevanlinna

Cabiria Andreian Cazacu

Vorwort des Verfassers Die vorliegende Einftihrung in die Nevanlinnasche Wertverteilungstheorie ist, ahnlich wie meine im Bibliographischen Institut erschienene Einftihrung in die Cauchy­WeierstraBsche Funktionentheorie und die in der gelben Springer­Sammlung vor mehreren Jahren gedruckten Vorlesungen tiber Funktionentheorie, aus Seminaren und Vorlesungen hervorgegangen, die ich verschiedentlich an der Freien Universitat Berlin gehalten habe. MaBgebend ftir die Gestaltung des Buches und die Stoffauswahl waren jedoch neben einer einsemestrigen Vorlesung an der Freien Universitat tiber Wertverteilung und Uniformisierungstheorie 1969 und Anfang 1970 eine Vorlesungsreihe tiber Special Topics on Complex Functions im Akademischen Jahr 1970­71 an der Fordham University New York, und die unter Dinghas [14] ,[15] und [16] im Literaturverzeichnis angeftihrten Aufsatze tiber die Nevanlinnasche Wertverteilungstheorie. Riemann war wohl der erste Mathematiker gewesen, der mit tiefem Blick ftir differentialgeometrische Zusammenhange nachdrticklich darauf hingewiesen und dies zur Grundlage seiner Konzeption einer allgemeinen Theorie der Funktionen einer komplexen Veranderlichen gemacht hat, daB samtliche, durch direktes Operieren auf die komplexe Veranderliche

z

erhaltenen Ergebnisse, mehr oder weniger verborgene Eigenschaften des Euler­Clairaut­d'Alembert­Cauchyschen (jetzt Cauchy­Riemannschen) Differentialgleichungssystems wiederspiegeln. Somit wurde er zum Begrlinder eines neuen Gebietes der Mathematik, namlich der Funktionentheorie auf Flachen mit konformer Struktur. Riemanns Methoden und Begriffsbildungen, insbesondere die Auffassung des Wertbereiches einer analytischen Funktion als einer die komplexe Ebene mehrfach tiberdeckenden Flache, haben die Entwicklung der Funktionentheorie nachhaltig und richtungbestimmend beeinfluBt. Historisch betrachtet entwickelte sich die Wertverteilungstheorie aus der logarithmischen Methode. Letztere kann wiederum bis Riemann (Benutzung einer Randwertformel vom Greenschen Typus), Cauchy (Formel tiber die logarithmische Ableitung einer meromorphen Funktion) , Jensen (Jensensche Formel) und Carleman (harmonische Majoranten) zurtickverfolgt werden. Als geschlossene Theorie und in deren allgemeinster Form wurde erstmalig die logarithmische Methode von F. und R. Nevanlinna in der groB angelegten Abhandlung: "Uber die Eigenschaften analytischer Funktionen in der Umgebung einer singularen Stelle oder Linie" aus dem Jahre 1922 entwickelt. Hier und in den bald darauf einsetzenden Arbeiten von R. Nevanlinna tiber den Picard­Borelschen Satz wurde nicht nur eine Reihe klassischer Satze der Funktionentheorie

VIII

einheitlich bewiesen und wesentlich verallgemeinert, sondern neben den Grundlagen der Wertverteilungstheorie meromorpher Funktionen in der komplexen Ebene auch das Rlistzeug einer allgemeinen Theorie der Abbildung (Ahlfors, Chern, Noshiro, Sario) von geeignet punktierten Riemannschen Flachen beliebigen Geschlechts in Riemannsche Flachen geschaffen. Uberraschenderweise haben sowohl die logarithmische Methode als auch die Wertverteilungstheorie trotz augenscheinlicher Erfolge und der Tatsache, daB der groBte Teil der funktionentheoretischen Forschung begrifflich und methodisch von ihr wesentlich und nachhaltig beeinfluBt wurde, noch keinen festen, gesicherten Platz im Universitats­Unterrichtsplan gefunden. Das liegt nicht nur an Verschiebungen der Schwerpunkte im Unterrichtsplan vieler Universitaten, sondern auch an begrifflichen Schwierigkeiten, die dem heutzutage auf allgemeine Strukturen und Kategorien gedrillten Anfanger den Kontakt mit den Grundgedanken der Theorie erschweren. Der Leser, der irgendwie Nutzen vom Lesen des vorliegenden Buches ziehen will, muB auBer dem guten Willen zur unablassigen Mitarbeit und der Fahigkeit, allzu kurz entwickelte Beweise durchzugehen und nach Beispielen zu suchen, auch eine gute Kenntnis der elementaren klassischen Analysis, insbesondere die Kenntnis des reellen und komplexen Linienintegrals, mitbringen. DaB er auch irgendwann eine Vorlesung liber klassische Funktionentheorie gehort oder zumindest ein Buch darliber gelesen haben muB, bedarf hier ebenfalls keiner eingehenden Begrlindung. tiber die Gliederung des Buches sei hier folgendes gesagt: Kapitel 1 bringt sowohl als Hilfe flir den Anfanger als auch aus dem Wunsch heraus, den Zusammenhang mit der historischen Entwicklung zu wahren, die grundlegenden Eigenschaften der harmonischen und der stetigen subharmonischen Funktionen sowie das Maximumprinzip flir diese beiden Klassen und den Hauptgedanken der Carlemanschen Methode der harmonischen

Entwickelt werden noch die dem Anfanger nicht

allzu gelaufigen Hilfsmittel, sofern diese flir das Verstandnis von spateren Zusammenhangen notwendig sind. Erganzt werden diese Hilfsmittel durch klassische Satze der Potentialtheorie (Gedankenkreis von GauB­Ostrogradski­Green) und Indexsatze vom (Cauchy­)JensenNevanlinnaschen Typus. Zur vollen Geltung kommen allerdings diese Entwicklungen erst in den Kapiteln 4 und 5. Die Kapitel 2 und 3 haben den Zweck, den Leser mit denjenigen Funktionen vertraut zu machen, die spater in den Kapiteln 4 und 5 eine grundlegende Rolle spielen werden. Diese Funktionen sind an

IX

erster Stelle die Greensche Funktion, die Evans-Selbergsche Kapazitatsfunktion und die klassische Poincaresche automorphe Invariante. F. Nevanlinnas Entdeckung, daB diese Funktion nicht nur mit dem Picardschen Satz, sondern auch mit der gesamten Nevanlinnaschen Wertverteilungstheorie auf das engste verknlipft ist, bedeutet einen wesentlichen Fortschritt in der Entwicklung der Wertverteilungstheorie und leitet in methodischer Hinsicht, zusammen mit den weiterflihrenden Arheiten von Ahlfors (Heranziehung der GauB-Bonnetschen Formel), die Geometrisierung der Nevanlinnaschen Theorie der meromorphen Funktionen ein. Die Kapitel 4 und 5 bringen die klassische Nevanlinnasche wertverteilungstheorie und wesentliche Teile der spateren Verallgemeinerungen durch Ahlfors, G. af Hallstrom und Chern. DaB hier samtliche bekannte Beweisanordnungen (R. Nevanlinna 1925, F. Nevanlinna 1927, Ahlfors 1936 und Dinghas 1973) des zweiten Nevanlinnaschen Fundamentalsatzes unter Hervorhebung gemeinsamer Berlihrungspunkte und Hinweis auf methodische Unterschiede zur Darstellung kamen, lag wiederum an meinern Wunsch, das Interesse des Lesers flir funktionentheoretische Zusammenhange zu erwecken. Aus Raumersparnis und aus dem Geflihl heraus, daB die ausgezeichnete Monographie von Sario-Noshiro eine vollstandige (wenn auch flir die Anfanger etwas zu hohe), kaum zu verbessernde Darstellung der Fortschritte der Wertverteilungstheorie nach R. Nevanlinna und G. af Hallstrom liefert, sind die Entwicklungen des Kapitels 5 kurz gehalten. Was ausflihrlich gebracht werden konnte, war die G. af Hallstromsche Theorie der meromorphen Funktionen und die Ahlforssche differentialgeometrische Methode. AuBer kurzer Hinweise in den Erganzungen wurden nicht gebracht die H. Selhergsche Theorie der Wertverteilung algebroider Funktionen, die Ahlforssche Theorie der Uberlagerungsflachen und die Chernsche Verallgemeinerung der Nevanlinnaschen Wertverteilungstheorie. Bei der Einflihrung der Nevanlinnaschen Begriffsbildungen, wie etwa die charakteristische Funktion, die Anzahlfunktion und die Schmiegungsfunktion (die hier allgemeiner als sonst definiert wird), hahe ich mich bemliht, so wenig wie moglich Anderungen an den klassischen Bezeichnungen vorzunehmen. Vereinzelte Versuche, besonders jlingerer Mathematiker, flir jede mehr oder weniger wichtige Verallgemeinerung eines Begriffes gleichzeitig ein neues, an die alte Bezeichnung kaum erinnerndes Symbol durchzusetzen, erinnern an die (erfolglosen) Bemlihungen Echnatons, den Namen seines vaters Amenophis III von jeder Saule und aus jeder Inschrift auszumeiBeln. Andererseits war es notwendig gewesen, auch hier bei der Einflihrung der Nevanlinnaschen charakteristischen Funktion (in lokaler Form) Verallgemeinerungen und

x Prazisierungen vorzunehmen und - zur Umgehung von singularen Integralen - klassische Konvexitatseigenschaften auf direktem Wege zu beweisen. Sowohl die Erganzungen als auch die Aufgaben gehoren eigentlich zum Text und unterscheiden sich von ihm lediglich durch die Kurze der Darstellung bzw. der Anleitung. Die historischen Notizen am Ende jedes Kapitels, insbesondere diejenigen am Ende des Kapitels 5, sind unvollstandig und beziehen sich vorwiegend auf den hier behandelten Stoff. Das gleiche gilt fur die Literaturangaben. Bei der Benennung von Satzen durch zwei oder drei Namen bedeutet der Bindestrich eine allgemein akzeptierte Bezeichnung. Dagegen solI ein Punkt dazwischen wesentliche Mitwirkung bei der (endgultigen) Gestaltung des betreffenden Satzes zum Ausdruck bringen. Die Wahl der Erganzungen sowie der Ubungsaufgaben wurde derart getroffen, daB der Leser, besonders der Studierende, einen moglichst breiten Eindruck von der Leistungsfahigkeit der logarithmischen Methode und, wie bereits erwahnt, so viel wie moglich neue Methoden ubermittelt erhalt. zu danken habe ich Herrn Professor Dr. R. Nevanlinna fur sein Interesse an meiner Forschung und seine Ermunterung, dieses Buch zu Ende zu schreiben. Berlin, Freie Universitat, September 1970, und Stadtisches Behring-Krankenhaus, Januar 1974, New York, Fordham University, April 1971 und August 1972, Baden-Baden, Marz 1973 Alexander Dinghas

Inhaltsverzeichnis

Erster Teil DIE LOGARITHMISCHE METHODE UND DIE ANALYTISCH-POTENTIALTHEORETISCHEN GRUNDLAGEN DER NEVANLINNASCHEN WERTVERTEILUNGSTHEORIE

Kapitel 1 Harmonische Funktionen. Das Maximumprinzip fur harmonische und stetige subharmonische Funktionen. Klassische Integralidentitaten. Die Grundformel der logarithmischen Methode. Anwendungen 1. Allgemeine Definitionen. Der Begriff der harmonischen und der stetigen subharmonischen Funktion. Das Maximumprinzip. Ubergang zu komplexwertigen Abbildungen

1

2.

7

Klassische Integralidentitaten

3.

Uneigentliche Linien- und Doppelintegrale

10

4. 5.

Die Grundformel der logarithmischen Methode Erganzungen und Aufgaben

11 13

6.

Anmerkungen und Literaturhinweise

18

Kapitel 2 Die Greensche Funktion und die Evans-Selbergsche Kapazitatsfunktion. Eine allgemeine Formel von F. und R. Nevanlinna 7.

20 Lasung des Dirichletschen Problems fur Perron-Gebiete

20

8. Existenz und Eigenschaften der Greenschen Funktion 9. Existenz und Eigenschaften der Evans-Selbergschen Kapazitatsfunktion

25

10. 11.

Eine allgemeine Formel von F. und R. Nevanlinna Erganzungen und Aufgaben

34 37

12.

Anmerkungen und Literaturhinweise

45

28

XII

Kapitel 3 Das Problem der konformen Abbildung von universellen Uberlagerungsflachen auf die Einheitskreisscheibe. Invariante partielle Differentialgleichungen 13.

46

Die konforme Abbildung von mehrfach zusammenhangenden

Gebieten der komplexen Ebene. Vorbereitende Hilfsbetrach47

tungen 14.

Beweis des Poincare-Koebeschen Abbildungssatzes. Der

Fall der mehrfach punktierten komplexen Ebene

15.

Nahere Betrachtung

der Abbildung im Fall der q-fach

punktierten Ebene

16.

52

Das asymptotische verhalten von u

57 in der Umgebung

q von A q 17. Asymptotisch aquivalente partielle Differentialglei-

58

chungen

62

18.

Erganzungen

64

19.

Anmerkungen und Literaturhinweise

66

Zweiter Teil Die Klassische Nevanlinnasche Wertverteilungstheorie

68

Kapitel 4 Der Begriff der charakteristischen Funktion. Nevanlinnas Charakterisierung rationaler Stellen. Der erste und der zweite Nevanlinnasche Hauptsatz der Wertverteilungstheorie. Die Nevanlinnaschen Defektre1ationen fUr den parabo-

68

lischen und den hyperbolischen Fall 20.

Die Nevanlinnasche und die Shimizu-Ahlforssche

68

charakteristische Funktion 21.

Darstellung der Funktionen TN und T

integrale 22.

A

durch Flachen70

Der erste Nevanlinnasche Hauptsatz. Weitere Eigen-

schaften der charakteristischen Funktion. Nevanlinnas Charakterisierung rationaler Stellen.

74

XIII

23.

Vorbereitende Hilfssatze zum zweiten Nevanlinnaschen

Hauptsatz 24.

79

Der zweite Nevanlinnasche Hauptsatz. Die Nevanlinna-

sche Defektrelation fUr den parabolischen und den hyperbolischen Fall 25. 26.

Erganzungen und Aufgaben Anmerkungen und Literaturhinweise

85 95

113

Kapitel 5 Wertverteilungsprobleme meromorpher Funktionen in mehrfach zusammenhangenden Gebieten

116

27.

Vorbereitende Hilfsbetrachtungen

116

28.

Green­Jensen­Nevanlinnasche Wertverteilungsformeln

120

29.

Die Nevanlinna­af Hallstromschen Hauptsatze. Die

Defektrelation

124

30.

130

Anmerkungen und Literaturhinweise

Literaturverzeichnis

132

Namens­ und Sachverzeichnis

141

Erster Teil DIE LOGARITHMISCHE METHODE UND DIE ANALYTISCH-POTENTIALTHEORETISCHEN GRUNDLAGEN DER NEVANLINNASCHEN WERTVERTEILUNGSTHEORIE

Kapitel 1 Harmonische Funktionen. Das Maximumprinzip fur harmonische und stetige subharmonische Funktionen. Klassische Integralidentitaten. Die Grundformel der logarithmischen Methode. Anwendungen Allgemeine Definitionen. Der Begriff der harmonischen und der

1.

stetigen subharmonischen Funktion. Das Maximumprinzip. Ubergang zu komplexwertigen Abbildungen. (i)

Im folgenden soll bedeuten:

die (offene) komplexe Ebene.

(ii)

z

(iii)

z

=

(iv)

x+iy

(x,y reell) einen Punkt von

x-iy

den zu

z

konjugierten Punkt.

die AbschluBoperation bei Punktmengen von

(v)

G, GO

(vi)

Y

Gebiete von

bzw.

.

bzw.

(Y , - y , ••• ,-y ) von 1 n O sich nicht tiberschneidenden einfach geschlossenen, sttickweise zweimal (y)

Kurven bzw. Kurvensysteme

stetig differenzierbaren Kurven YO (als auBere Kurve), Y1 " " ' Yn . Jede Kurve wird als positiv orientiert vorausgesetzt und auf die Bogenlange bezogen. (vii)

da

bzw.

da(z)

(auch

Flachenelement von (viii)

ds

einer Kurve (Lx)

bzw. Y

z.

in ds(s)

in

(auch

s E Y

da

oder

z

ds

s

dx dy ) das euklidische

oder

Idsl) das Bogenelement

Bei gegebenem (auf s bezogenem) Kurvenbogen

asa

Y ,

den Ope-

rator

a dx + ax ds ay ds

( 1.1)

(x)

(1 .2)

a

an

dx

a

ds ax

+

a )

ds ay

.

den Operator ax ds

Offenbar gilt, falls werden,

(besser:

+

dx ay ds z, z

(besser: als unabhangige Veranderliche aufgefaBt

2

(1.3)

ds

3s

dz +

3z

3z

und 3 i 3n ds

(1 .4)

(xi)

(auch

tJ.

3

tJ.

3 3z

2

3 -2 + -3y2 3x

(1.5)

U f E C

(xii)

3z

dz

den (zweidimensionalen) Laplaceschen Operator

z

2

3

dz -

3

4

(genauer:

2

3z 3z

f E CU[G)

eine (im allgemeinen reellwer-

tige) Funktion mit der Eigenschaft: U (xiii) FUr U > 0 ganz, C (genauer:

CU[G]) die Klasse derjenigen

f = {f(x,y)} = {f(z,z)} (kurz: {f(z)} ), die stetige partielle Ableitungen in G nach x und y von der Ordnung a besitzen. Wie Ublich soIl C die Klasse der in

G

auf

definierten reellwertigen Funktionen

definierten stetigen Funktionen bedeuten. (xiv) bzw. U' (z) (z E C ) eine Umgebung bzw. eine punktierte Umgebung von z (Der Fall z = 00 wird durch die Transformation -1 z' z z '*' 0,00 ) auf den Fall z' = 0 zurUckgefUhrt.) G

U (z)

(xv)

FUr

f

E C[G]

)l

(r, f (z ) )

ist

)l

(r, f (z ) )

der durch die Gleichung 211

(1.6)

1 211i

definierte Mittelwert von U· (z) z +

U(Z)

C

f

Hierbei wird

2TI Z+I;;

f(z+re

ie

) de

aus einer Umgebung

G ) genommen, welche die punktierte Kreisscheibe

C'

{ I;;

r

und ihren Umkreis enthalt. )l(r,f(O»

geschrieben.

1st

o < lsi < r

z = 0 , so wird

}

)l(r,f)

Offenbar gilt

lim u (r , f ( z) )

f (z )

r ....O

Die Eigenschaft (1 .9)

J o

,

( 1 .7)

( 1. 8 )

J 11;;1=r

1

f (z+l;;) dl;; I;;

u (r,f (z )

f (z)

(kurz:

uf

f

)

anstelle

3

fUr samtliche Punkte

z

eines Gebietes

G

von

ist fUr die Klas-

se der gleich zu definierenden harmonischen Funktionen charakteristisch. Definition. wertige Funktion u E C[G]

(1)

= u

(2)

Sei

G

{u(z)}

ein Gebiet von

Dann wird jede reell-

mit den Eigenschaften

und in jedem Punkt von

harmonisch in

G

G

genannt.

GenUgt die stetige reellwertige Funktion

{u(z)}

statt der

Gleichheit (2) der Ungleichung (2)

I

uu

U

so wird

u

1st wird

u

I

eine in {-u(z)}

eine in

Satz

G

stetige subharmonische Funktion genannt.

eine in G

G

stetige subharmonische Funktion,

so

stetige superharmonische Funktion genannt.

(Maximumprinzip fur harmonische und stetige subharmonische

Funktionen).

Sei lim sup u(z)

(1.10)

( z E G ).

Z-+dG

Dann gilt entweder

u < M oder u = M in jedem Punkt von G. O O Das (ursprunglich auf Cauchy zurUckgehende) Maximumprinzip ist

Spezialfall des allgemeineren Satzes: Satz

(Carlemans Prinzip der harmonischen Majoranten).

eine stetige subharmonische Funktion in einem Gebiet an, die in Eigenschaft

G

definierte harmonische Funktion

lim sup {u(z) - h(z)}

(1.11)

G

{h(z)}

Sei

u

Man nehme habe die

O.

Z-+dG

Dann gilt entweder Beweis. (1. 12)

sup zEG

Dann hat uO(zO)

u < h

Man setze

=

Uo

MuO

oder U

o

=

u

h

=

u-h

in jedem Punkt von

"o (z ) in

die Eigenschaft mit einem

G.

und

Zo

G ,

und es gilt entweder

E G oder

fUr eine (Cauchy-) Folge

in

G

U

lich und somit (nach der Ungleichung gleich

MU O

in der Umgebung von

Zo

MuO endkonstant und

1m ersten Falle muE sein.

o

)

U

o

Das hat wiederum zur

4

Folge,

daB

konstant und gleich

Uo

muB. Andererseits kann

(also

0 ) in

G

entweder gegen einen Punkt, etwa

oder gegen einen Randpunkt von muB

MU O

G

konvergieren.

sein zo'

1m zweiten Faile

Mu 0 gelten. Das beweist die Ungleichung u h . O DaB entweder u < h oder u = h in G gelten kann,

Leser ohne Schwierigkeit (auf Grund der Ungleichung

kann der

u ) beweisen.

Entsprechende Satze (Minimumprinzip, Carlemans Minimumprinzip) gelten fur (stetige) superharmonische Funktionen. Satz (H.A.Schwarz).

Sei

=

S = re i8

eine stetige Funktion des Punktes

(1.

13)

Man setze fur

r 2_lzl 2 i8 _ 2 z1 Ire

H(re i8 , z)

H(s, z)

( r fest

Re

> 0

Izi < r

s+z s-z

und (1.

14)

(z )

Dann ist

211

1 211

i8

J 0

) H(s,z) d8

(Lok a L, d.h.

harmonisch in

in der Umgebung jedes Punktes i8 0 Cr ' und es gilt fur jedes So = re

z )

(1. 15)

Beweis. (1.

16)

Man nehme (z )

r

-

(1)

E >

0

bei vorgegebenem

1 211

So = 1

und 211

J 0

(e

i 8)

211-11 E +

M

Dann folgt aus

Jr

i8 ) H(e , z) d8

H(e i8 ,z) d8

II

mit M = max 1s 1=1 (Stetigkeit von

1 sofern gewahlt wird.

lim sup I 0 (z) z-+l

0 (1) I

II

hinreichend klein Das hat die Ungleichung II

> 0

)

E

und somit den Beweis des Satzes zur Folge. Satz.

Jede in

G

harmonische Funktion

u

kann durch den Real-

teil einer (konvergenten) Potenzreihe dargesteilt werden. Beweis. a

Sei

mit dem Radius

a r.

eine offene Kreisscheibe in Man setze s = re i8 , Izl < r und

E G

und

K

G

urn

5 2'11

u(a+z) Dann ist

r J u(a+1;) H(1;,z) d8 . a

1

2'11

{u(a+z)}

harmonisch in

K

(H

besitzt die Mittelwert-

eigenschaft) und hat (H.A.Schwarz) die Randwerte lim sup lu(a+z) - u(a+1;) I z .... 1; d.h.

(nach dem Maximumprinzip) u (z )

(1.17)

Re

{Y

v=O

Somit gilt

u(a+1;)

0,

u = u

in

K.

Demnach gilt ( z E K )

av(z-a)v}

mit 2'11

a

(1. 18)

und (C

v

'IIr

v

J a

u(a+re

i8

) e

2'11

iC + -2.. 2'11

Satz. u u

J

i8

) d8

a

d.h. es gilt

G,

= u

(u E cO ) in

G.

ist lokal darstellbar durch den Realteil einer konvergenten

Potenzreihe. (c)

u(a+re

Folgende Definitionen sind aquivalent:

ist harmonisch in

jedem Punkt von (b)

1 )

( v

willktirliche reelle Konstante!)

(1. 19)

(a)

-iv8 d8

Es gilt

=

Beweis.

a

u E C

a

Sei

u (r,u)

und mithin (

2

in jedem Punkt

a =

a

und

1; = re

i8

von

a

.

G.

Dann ist

l )

r

(r u ')

+

I

a .

Das liefert wiederum durch Integration r

d h, i

u'

a

lim (r u ')

r ....O

a ,

in einer punktierten Umgebung von

z = O.

Somit ist

6

u (r,u)

limjJ(r,u)

u(O) .

r ....O

a E G

Der allgemeine Fall eines beliebigen DaB (a) *

erledigt sieh analog.

(e) gilt, folgt aus der Darstellung (1.17)

Die lokale Darstellung (1.17) flihrt zum Begriff der holomorphen Funktion. Definition.

Jede durch eine konvergente Potenzreihe lokal dar-

stellbare komplexwertige Abbildung Funktion in

Offenbar kann gesehrieben werden. (v

w:

G ....

heiBt eine holomorphe

G

ist die zu

u

w

stets in der Form

DaB sowohl

=

u

u+iv

{u(z)}

(u, v

als aueh

v

reellwertig)

=

{v(z)}

konjungiert harmonisehe Funktion) harmonisch sind

und dem (d'Alembert­Clairaut­)Cauehy­Riemannsehen Differentialgleiehungssystem u

(1. 20)

x

­ v

u

0,

y

Y

+ v

o

x

genligen, folgt am einfaehsten aus (1.17) Die Tatsaehe, daB eine nieht konstante holomorphe Funktion w

=

{w(z)}

lediglieh in der speziellen Form

ganz,

9

holomorph in der Umgebung von

Punkt

a

von

Gebiet

G

G

von

Definition.

Eine komplexwertige Abbildung G, S

(b) in einer Umgebung stellung w(z)

U' (e)

*

(q > 0

0 ) in einem

w

G ....

heiBt

falls sie von isolierten Punk ten in jedes Punktes

e

von

S

G

holo-

die Dar-

(z­e)­q g(z)

mit einem ganzzahligen positiven 9

*

meromorphen Funktion.

(a) auBerhalb einer Menge morph ist und

21)

(z­a)q g(z) g(a)

versehwinden kann, flihrt zum Begriff der in einem

eine meromorphe Funktion in

(1.

a,

q

und einem in

Ute)

holomorphen

g(e) 0 ) besitzt. Die Forderung (1.21) erlaubt bekanntlieh ( z .... 1/z !) ,den Holo-

morphie­ sowie den Meromorphiebegriff auf komplexwertige Abbildungen von U(oo) auszudehnen. Die (Riemann­)Nevanlinnasehe Theorie der meromorphen Funktionen stlitzt sieh im wesentliehen auf die Tatsaehe, daB der Ausdruek u(z)

log Iw(z) I ­ q log Iz­al

( a E G )

7

mit einem jeweils von

a

abhangigen ganzzahligen

des betreffenden Punktes

a

q

in der Umgebung

harmonisch ist und somit der Laplaceschen

o

Differentialgleichung

genugt.

Klassische Integralidentitaten.

1m folgenden soll bedeuten:

( -00 $ a < S $ +00 ) das offene Intervall der reellen Gera-

(i)

den mit dem Anfangspunkt a und dem Endpunkt S. AIS bzw. lAS das links bzw. rechts abgeschlossene Intervall a a und das beiderseits abgeschlossene Intervall. a

is

a"

(iii)

A

von

a"

a E la'

{Ya}a'

) eine Schar von Kurven in einem Gebiet

G

mit festen Enden bzw. von einfach geschlossenen positiv orien-

tierten Kurven

{z

(2.1)

(iv)

J

(v)

x,y,t,a

z

=

z(t,a)

At"

, t E It'

d(y

als Index von Ausdrlicken in

Y

den Durchmesser von

a) do(z)

(vii)

x,y,t,a

(kurz:

(partielle) Dif-

x,y,t,a .

.

a do) das euklidische Flachenelement von

z . (viii)

x

die kartesische Produktbildung von Punktmengen.

Satz (Lagrange).

Man nehme an:

q

1[G]

{q(x,y)} E C • {z(t,a)} E C 2[ it"xl a"] (2) z t' a' Dann gilt die Identitat (1)

dx

(2.2)

t "

d

q x

da

a I t'

t"

+

Jt' qy

mit (Jacobische Funktionaldeterminante) (2.3)

.

den Riemannschen IntegrationsprozeB.

ferentiationsprozesse nach den Veranderlichen (vi)

, t' ,t" endlich}

J(x,y)

J

Beweis.

Nach klassischen Sat zen der Analysis ist t"

Jq t'

t"

x t dt

Jt'

u

x t + q x t a ) dt

t"

I

t'

X + q X [(qx x a + q Y y) t t CI.

CI.

] dt

J dt

in

8

t"

J

[(q Xa)t + qy (Xt Ya - Xa Yt)] dt

t'

I Schar

I"

t '" + t

qy J dt .

t'

der einparametrigen Man nehme jetzt an, daB samtliche Kurven Y a a" {Ya}a' alternativ die Bedingungen erfullen:

z I , z (t" ,a) = z" ( z' z" oder z' a" a" samtliche a E la' (kurz: V a E la' ) bzw. {z(t,a)} ist periodisch mit der Periode t ll _ t l II. z (t I , a)

I.

Dann wird, wegen bzw.

x (t' ,a) a

*

z"

)

fur

xa(t",a) = 0

x (t' ,a) a

xa(t",a)

t"

J t'

q dx

(2.4)

q

Y

J

Auf ahnlichem Wege findet man I bzw. II und (3) d

p

=

unter den Voraussetzungen (2),

{p(x,y)} E C 1[G]

die Identitat

t"

r

I

P dy da j Ya

(2.5)

dt .

PX J dt .

t'

Die (Lagrangeschen) Identitaten (2.4) und (2.5) liefern zusammengenommen (sowohl fur den Fall I als auch fur den Fall II) die Identitat (2.6)

I

a2

I

(q dx - P dy)

a2

in

G,

(2.7)

(px + qy) J dt}

t"

J t'J

a

1st nun

{ Jt'

da

a1

Ya

a" {Ya}a'

t"

(p

x

+ q ) J dt da . y

1

lim d(y ) = 0 nullhomotop ex so erhalt man aus (2.6) die Identitat (a' < a < a")

J Ya

(Fall II) im Sinne von

a

(q dx - P dy)

til

J Jt' a'

(p

x

+ q ) J da dt . Y

a" Man nehme jetzt an, die durch die Funktionenschar {z(t,a)}a' til an telte Abbildung von It' x la' in G sei im Sinne von

vermit-

9

'* (t 2,a 2) 1,a 1) dann das Gebiet (t

z(t

{ z

Da ll

1,a 1)

'*

z

(allgemein: samtliche Gebiete hangend sein muB.

z(t

schlicht und beachte, daB

2,a 2)

t"

z(t,a) DO'.

, t E It'

a' < a < an

Andererseits existiert die zu

einfach zusarnrnenz

inverse Abbildung,

und es gilt IJ(t,a) IIJ(x,y) I Somit wird

f

(2.8)

(p x + q-y ) do .

dx - P dy)

(q

Yo'.

DaB hier rechts das Vorzeichen

(bei positiver Orientierung von

Minus genornrnen werden muB, sieht man leicht ein, wenn man q = y

p

=

x

nirnrnt und die klassische Formel (x dy - Y dx)

heranzieht. Mit Hilfe der Identitat (2.8) kann unter Ausnutzung der Additivitat der Integrale links und rechts folgender Satz bewiesen werden. 1 Seien p , q E C [ G l Satz (Ostrogradski. GauB. Green. Stokes). GO , G c GO , begrenzt von n+1 ( n 0,1, ... ) einfach geschlossenen, zweimal stetig differenzierbaren und positiv orientierten Kurven YO (als auBere Kurve) und

G

ein Gebiet von

o

Dann gilt die Identitat (2.9)

f

(q

(Y)

dx - P dy)

- I

(p

x

+ q ) do .

Y

G

Hierbei bedeutet

(Y) das Kurvensystem YO'-Y 1' .. "-Y n . Durch Approximationsprozesse kann man erreichen, daB die Bedin-

gung der zweimaligen stetigen Differenzierbarkeit durch die Rektifizierbarkeitsbedingung der einzelnen Kurven

YO""'Y ersetzt wird. n Im folgenden wird angenornrnen, daB diese Kurven stlickweise stetig dif-

ferenzierbar sind. Eine wesentliche Verallgemeinerung von (2.9) wird in 4 gegeben.

10

3.

Es soll bedeu-

Uneigentliche Linien- und Doppelintegrale.

ten: (i)

die Lange des Intervalls

II I

bzw.

I

* ¢)

, I

(ii)

I,

bzw.

(oder auch

I

I

der reellen Gerade.

eine (Ausschopfungs-)Folge von offenen Teilintervallen I

von (1)

mit den Eigenschaften: Iv

c

I v+ 1

(v

1,2, ...

=

(2) Iv = I Aussch6pfungen von Punktmengen der reel len Gerade, die sich als endliche Vereinigung bzw. Durchschnitt von Intervallen lassen, (iii)

G,

n+1

n

G c

(iv) G

(2)

v

c

G

Gv

V

YO (als auBere Kurve), Y ' · .. 'Y

+1

=

1

n . im Sinne von

G

= 1,2, ... )

(v

G .

Aussch6pfungsfolgen von offenen Teilmengen von definiert. Definition. ellen Gerade,

a

Sei E

O

I

[a' ,anI

lund

f

=

stetige (reellwertige) Funktion. integrierbar in

I

J

f

G

werden entsprechend

ein endliches Intervall der re-

{f(a)}

eine in

Dann soll

f

I-{a

o } definierte,

uneigentlich (Cauchy-)

heiBen, falls der Grenzwert

an (3.1)

berandet von

einfach geschlossenen, zweimal stetig differen-

eine Aussch6pfungsfolge von

und

darstellen

GO' ein (beschranktes) Gebiet von

0,1, ... )

zierbaren Kurven (1)

I

entsprechend definiert.

f

da

a'

f

da

lim

I

da

f

I

unabhangig von der Aussch6pfungsfolge

von

I-{a

existiert. O} Durch Zerlegung von I in endlich viele Intervalle, von denen jedes nur einen Unstetigkeitspunkt von f enthalt (die Bedingung

(3.1), die auch lokal formuliert werden kann, muB dann fur jedes Intervall erfullt werden), kann der Begriff des uneigentlichen Integrals leicht auf den Fall ausgedehnt werden, daB lichen Menge

S

stetig ist.

an einen Punkt von

S

gegen

Konvergiert +=

f f

auBerhalb einer endbei Annaherung von

oder gegen

a

, so kann die Be-

dingung (3.1) durch die Forderung der Beschranktheit der Integrale rechts ersetzt werden. Folgende Singularitatenarten spielen in den nachfolgenden Entwicklungen eine Rolle. 1.

In der Umgebung von

a

O

hat

f(a)

die Form

11

log la-aOI

(3.2)

2.

-1

+ stetige Funktion.

In der Umgebung von

hat

f(a)

die Form

log !a-aol-1 + log log [a-aol-1 + stetige Funktion .

(3.3)

Der Leser kann zeigen, daB in beiden Fallen das uneigentliche Integral (3.1) existiert. Definition.

Sei

( a E G)

G-{a}

f

= {f{x,y)}

(kurz:

{f(z)}) eine in

stetige reellwertige Funktion.

Existiert dann der

Grenzwert

Jf

(3.4)

f

do

o

G-{a} )

( D

do

G"V

fur jede Ausschopfung

von

0,

so heiBt

grierbar (im Cauchy-Riemannschen Sinne) in

f

uneigentlich inte-

G.

Eine entsprechende Definition gilt (Zerlegung von f

auBerhalb einer endlichen Punktmenge

S

Der Leser kann leicht beweisen, daB, falls Punkte von

S

gegen

+00

oder gegen

von f

G

, falls

bei Annaherung an die

konvergiert, die gleich-

maBige Beschranktheit der Integrale rechts in (3.4) Ausschopfungsfolge

G!)

definiert ist.

fur eine einzige

eine notwendige und hinreichende Bedingung

fur die uneigentliche Integrierbarkeit von

fist.

Der Begriff des uneigentlichen Cauchy-Riemannschen Integrals fuhrt zu wesentlichen Verallgemeinerungen von (2.9) und (uber die Greenschen Satze)

zur Aufstellung von Indexsatzen nach dem Muster des

klassischen Cauchyschen Satzes uber die logarithmische Ableitunq einer meromorphen Funktion. 4.

Die Grundformel der logarithmischen Methode.

Es sollen be-

deuten

u = {u t z ) }

(i)

{v(z)}

v

reellwertige Funktionen mit den Ei-

genschaften: (1)

u

ist auBerhalb einer hochstens abzahlbaren Menge

lierten Punk ten von (2)

v

GO

ist auBerhalb einer hochstens abzahlbaren Menge

lierten Punkten von GO (3) Es gilt SU n SV = (4)

zweimal stetig differenzierbar in zweimal stetig differenzierbar in

evan

SU

von isou

Go-S SV

von isov Go-S

¢ .

In einer (hinreichend kleinen punktierten) Umgebung

Punktes

SU

bzw.

SV

haben

u

bzw.

v

U' (c)

die Entwicklung

eines

12

v(e)

(4.1)

log Iz-el + harmoniseh in Ute)

mit einem positiven oder negativen (ii)

den Ausdruek

eines Kurvenbogens

y

(iii) Grenzwert

Hierbei bedeutet

13

G .

Res

dS} .

e .

die Summe der Ausdrucke (iii) fur samtliehe

an (Es wird angenommen, daB kein

(v )

den (stets existierenden)

eine einfaehe stetig differenzierbare und positiv

orientierte Kurve urn (iv)

e E SU U SV

J13

lim (13) ->0

d

genommen in einem Punkt

Go .

von

fur ein

(4.2)

v(e)

av au u an - v an

(y)

lu,Lwl

den Ausdruek

J

auf dem Rand von

u D.V - v D.u

Satz (P. und R. Nevanlinna). (4.3)

e

in

GO -

in

liegt.)

( SU u SV

Es gilt die Identitat:

ds -

I

+

(y)

Beweis.

G

e

o .

lu,D.vl do

G

Man betraehte das Teilgebiet

Do

von

G, begrenzt von

(y) und samtliehen (positiv orientierten) Kreisperipherien 130 (0 > 0 hinreiehend klein) urn die Punkte c von SU und SV, und nehme in (2.9)

(4.4)

u v

p

x

- v u

q

x

Dann wird, wegen -

P dy

+ q dx

und u D.V - v D.U

Px + qy

1

2')[

J

(y)

[u ,

ds -

1 e

lu,D.vl

JSo

ds

-

1

2')[

I

D a

lu,D.vl do

13

Daraus folgt ( v

in

0 !) leicht (4.3)

0

BerUcksichtigt man (4.') , so erhalt man aus (4.3) , da u und u v GO-S bzw. GO-S harmonisch sind, die Identitat (F. und R.

Nevanlinna)

,

(4.5)

J

2'TT

av ds + an

u

(y)

,

J

2'TT

v

I cES

au ds + an

(y)

v (c) u(c)

v

I

v(c) v(c)

cES U

u log Iw,1 , v = log Iw21 (w, = {w, (z)} w2 = {w meromorph in GO liefert bei geeigneter Wahl von 2(z)} w, , w2 einen graBen Teil der Ergebnisse der geometrischen Funktionentheorie. Die Anwendung von (4.5) mit

Die Formel (4.5) gilt, wenn auch in leicht modifizierter Form, auch dann, wenn (4.6)

u

bzw.

v

anstelle von (4.') die Entwicklungen

v (c)

log I z-c I + U, (z)

v(c)

log Iz-cl +v,(z)

bzw. (4.7)

in der Umgebung von besitzen, sofern die AusdrUcke u, bzw. v, c E SU bzw. c E SV die Eigenschaften 2'TT i e) ( c E SU ), 0 t , p Iu, (c+pe I de 0 fUr p

J

o

2'TT

2.

P

J o

-au, I an

I

de

o

fUr

p

0

und 3.

es existiert

film,'

do

in der Umgebung von

c E SU

(und entsprechend fUr v, besitzen. Beispiel. u, = log log \z-c, \-' + konvergente Potenzc, c2 ' -, + konvergente Potenzreihe reihe in x,y, und v, = log log I z-c21 in x,y •

*

5. Erganzungen und Aufgaben. (,)

Die Harnacksche Ungleichung.

nicht negativ, harmonisch.

Sei

{u (z) }

( Iz I < R )

Dann gilt die (Harnacksche) Ungleichung

14

(lz!O,lzl< 1 1 . Man nehme an, w verschwinde auf einer Punktmenge ia mit Janie n

holomorph in

Betrag nach an =

Ia n I

I

(5.10)

n=1

Behauptung.

I)

00.

cos a n

H

Man zeige

1

Der Ausdruck

!z-a

1+:zl 1-az z+a

( z

nirnrnt auf dem Rand

2)

n

verschwindet identisch in

w

Anleitung. 1)

( 1- Ia

Es ist

1z 1 e

H 1

i8

'IT "2 ,

181
0,

p

und

k > 0

Man

derart, daB

aG!)

(7.14 )


1

wird.

Sei

{-w(z)}

durch die Vorschrift «(;0

fest! ) -w (z) in

G

definiert.

max (-1,-k w (z, (;0))

z E G

{ -1

P

z E G-G p

Man bilde die in

subharmonische Funktion (die

G

Max-Kombination angewandt auf endlich viele subharmonische Funktionen liefert wieder eine subharmonische Funktion)

Dann gilt lim sup uE(z)

z.... (;

:s;

'1'0 -

E




C r

bedeutet.

Daraus

l)

(9.7)

(Y

Wegen (man vgl.

J)

n

(8.8))

ist offenbar (9.8)

harmonisch in un(z)

G Sei jetzt n in der Form (q q(n)!)

E

>

0

fest vorgegeben.

Dann kann

q (9.9)

L

k=1

log

+

(E)

geschrieben werden, wobei die GraBen

sk '

(E)

folgende Bedeutung

31

besitzen: 1. lr-G

Es bezeichnen

diejenigen Quadrate von

N die in n G mehr als einen Punkt n k (y ) ) gemeinsam haben. Dann sollen

Q1, ... ,Qg

liegen und mit dem Rand

n

(und somit ein Kurvensystem

J

1

(9.10)

von

(Y n)

27T

('/)

sk E (yk)

und

genornrnen werden. 1

(9.11)

27T

Wegen

J

(Yn)

gilt stets (unabhangig von

n)

(9.12 ) 2.

1 •

j(E)IS;E

(E

unabhangig von

n!)

Mit Hilfe von (9.8) und (9.9) lassen sich Funktionen

Vn = {Vn(z)} konstruieren, die in der Umgebung jedes endlichen

(n=1,2, ... ) Punktes von

G

harmonisch sind und in der Umgebung von

z =

00

die

Form -log Izl + harmonisch haben.

Man wahle in der Tat

a

g

L

(9.13 )

k=1

Dann ist von

{Vn(z)}

n aG

E Q k

k

und setze

]Jk log

harmonisch in der Umgebung jedes endlichen Punktes

G, und es gilt g

Vn(z) + log Izi

L

k=l

Mit Hilfe der Folge

1

]Jk log

z

1

Iz-akl

g

L

k=l

]Jk log

11-z

-1

akl

}7

{V und (9.7) kann eine Funktion konstruiert n werden, die auch der Anforderung (2) genligt. Zunachst folgt aus (9.7) y

- gn(z,oo) n

Man setze jetzt

* z E (Yn)

,

(E)

voraus

(9.9) und (9.13) g Iz-akl + Vn (z ) + L ]Jk log k=1 Iz-skl

* (Yn)

aG n*

Dann wird, wegen

32

Iz-akl

log

und mithin ( z E (Y* n)

log 2

1)

Nun kann folgender einfacher Sachverhalt leicht bestatigt werden: Es gilt (9.14 ) Zum Beweis wahle man drats

Q E N n

gilt.

Nun ist

als den Mittelpunkt eines Uberdeckungsqua-

derart, daB

also (9.15 )

1

log

-log {lz-z 1 ! + !zl-I;!}

log

log ( 1 +

-

IZ-Z11) 1

>

log

- log 5 .

I;-z 1 I

Nun ist u (z )

log I

1

z-zl

I + g (z,oo) n

harmonisch in der Umgebung jedes Punktes tigt leicht mit Hilfe von (8.7)

J

1 2TI

(9.16 )

(Y

gilt.

n

I

z

von

G n daB die Darstellung

und man besta-

a gn(l;,oo) ds log II;-1 Zl I an

)

Das liefert in Verbindung mit der Abschatzung (9.15) und (9.7)

die Ungleichung

z E (Y * n)

1)

33

Y - log 5 n

>

>

Y n

2

d.h.

z E (Y* n)

Somit gilt fUr

die Absehatzung

(9.17)

(0 < E < 1

1,2, . ..

( n

l)

)

Diese Absehatzung (Minimumprinzip) gilt offenbar aueh dann, wenn

z

in irgendeinem der (abgesehlossenen) Uberdeekungsquadrate von liegt.

Sei jetzt

rauf, daB die Folge

v

=

1,2, ...

N n Dann existiert (mit RUeksieht da-

fest.

0 < a


( z E On n G )

n

Den Beweis des Satzes erhalt der Leser, wenn er k(z,oo;GiG) = -V(z) Die Funktion

k

-V,

d.h.

setzt. k

heiBt die Kapazitatsfunktion von

Evans-Selbergsehe Funktion von

G.

GiG

bzw. die

Besitzt eine (kompakte) Punktmenge

34

von

eine Kapazitatsfunktion, so heiBt sie von verschwindender Ka-

pazitat.

Die allgemeinere Kapazitatsfunktion

Hilfe von

k

{k(z,zo,3G)}

kann mit

durch konforme Abbildung (konforme Invarianz von

definiert werden.

k

I)

Naheres tiber die Kapazitatsfunktion erfahrt der Le­

ser in 12. 10.

Es soll

Eine allgemeine Formel von F. und R. Nevanlinna.

bedeuten: (i) g

=

G

ein beschranktes Gebiet von

mit der Greenschen Funktion

{g(z,zo)} . f = (f(z)}

(ii)

Funktion. (iii) f­1 a

eine auf

(a E

G

bzw.

definierte meromorphe nicht konstante

f­1 00

bzw. einen Pol von f in G ­1 (iv) v (f a) v(f ­1 00) bzw. f ­1 00 p Li z Lt.a t; von f ­1 a bzw.

eine

(kurz:

(f(f­ 1a) ­ a

a­Stelle

v (a)

Bekanntlich gilt in der Umgebung von

v (00)

bzw. f

­1

a

)

die Multi­

f ­1 00

bzw.

die 10­

kale Darstellung (10.1)

f(z)

f- 1 a)

(z ­

­ a

v (a)

f

1

(z )

f

1

(f

-1

a)

*

0,00 )

bzw. (10.2) (v)

f (z) G P

(

a

:S

f -1 00) ­v (00) f 1 (z)

­

(z

durch die Vorschrift

P < Po

{ z

G P

a

:

:S

definierten Teilgebiete von Funktion von (vi) n(G;\,oo)

G

p

Bei festem (kurz:

p ,

n(;\,a)

linna, G. af Hallstrom) (10.3)

bzw. (10.4)

\'

L

v(f

-1

a)

a

e

G :S

bzw.

­g(z,zo)

in

und somit muE (Maximumprinzip)

u(z)

u(z)

in

o , gelten.

Anderer-

seits gilt

H1 (s,-z) -H (s,z) Das beweist die Behauptung. Konver1 giert die in definierte holomorphe Funktion f bei Annaherung von f

z

an die imaginare Achse gegen (stetige) imaginare Werte, so kann

unter Ausnutzung der Eigenschaft p(-i;,-z)

p

des (Poissonschen) Kernes

(s, z) P

liber die imaginare Achse analytisch fort-

gesetzt werden. Sei f holomorph in ( -r < n < r !) (11. 9)

lim f (z)

z->in

i

C' r

0 (n)

und habe dort die Eigenschaft

(0

reell , stetig)

41

Dann kann

f

durch die Vorschrift

c;

in

( z

-f(-2)

f (z)

E

analytisch fortgesetzt werden (Schwarz's Spiegelungsprinzip)

Einen entsprechenden Satz erhalt man (lineare Transformation), wenn man die Strecke der imaginaren Achse durch einen Kreisbogen ersetzt. Literatur. (4)

Ahlfors [7]

,

Dinghas [5] und Nevanlinna-Paatero [1].

Verallgemeinerung des Maximumprinzips.

nisch in einem beschrankten Gebiet

oG

sene Teilmenge von u

G

von

[

Sei

und

A

u

subharmo-

eine abgeschlos-

von verschwindender Kapazitat.

Man nehme an,

gentige den Bedingungen:

(i)

lim sup u(z) z.... s

< +00

(ii)

lim sup u(z) z.... s

0

sEA

(fur jedes (fur jedes

s

E

oG

-A )

Dann gilt (Phragmen. Lindelof): (11.10)

u(z)

(Genauer: Entweder Beweis. u(z) +

E

( z E G )

0

u < 0

oder

u

Man schreibe kurz

k(z)

=

0

k(z)

fur

k(z,oo;A)

und bilde

Dann gilt

lim sup (u(z) + E k(z))

E

z.... oG

M

( M

= max k(z) , zEoG

E

> 0

fest)

und mithin u(Z) + E k(z)

in jedem Punkt (bei festem

z

von

z)

E M

G.

u(z)

Daraus folgt durch Grenzubergang 0

Ansatze dieser Art kommen bereits bei Lindelof [1] vor. Literatur. II.

Aufgaben.

(1)

Hat eine

funktion

k = {k(z,=;E)},

Anleitung.

(2) I eI

Dinghas [5]

1T

.

Punktmenge so ist

< ;

[

eine Kapazitats-

ein Gebiet.

[-E

Dinghas [5]

Man zeige, daB die Funktion

2" ' 1\p1

Evon

)

h

mit

(s

re

is

, z

42

+2!. 2

f

h (z)

(11. 11 )

H1 (1;,z) d8

u(1;)

11

-"2

eine harmonische Majorante der in ist, falls

u(iy)

Anleitung.

C'

u = {u(z)}

harmonischen Funktion

r

ist.

0

Zurlickflihrung auf den Fall eines Vollkreises unter

Verwendung des Schwarzschen Spiegelungsprinzips. Literatur. (3 )

Dinghas [5]

.

Man beweise die Gleichung log Iz+a r:-az! lim z....o x z-a r +az

(11.12)

a E C' r

(

2 Re

r

a2 }

a

r

(4) auf Sei f holomorph in C' stetig auf C'r und 0 r dC' Bedeutet dann S die endliche Menge von Nullstellen von f r in C' so gilt die Formel (Jensen-Carlemansche Formel) r

*

r

l log If (re ·8 ) I cos 8 d8 +

1Ir

1

211

f

r

L

(11. 13)

v (a)

aES

Hierbei bedeutet

0(1)

f in der Umgebung von abhangt.

Re

a

- a2 }

log !f(iy) f(-iy)

o

+

I

1

Y

-

1 dy

r

0(1)

r

eine beschrankte GroBe, die vom Verhalten von z

=

und der Wahl von

0

r

O

(0 < r

O




k)

dO 'JI(a)n

limn-+ood n

a

1

,

unrnoglich ist.

Man betrachte jetzt die Funktionenfolge

mit

( z

E: G )

und beachte, daB wegen (14.5)

dz

dZ

n IT

n

k=l dZ

dz

k

k_ 1

in Cd nicht verschwindet und daB in Cd schlicht sein Das hat in Verbindung mit klassischen Satzen der Cauchy-WeierstraBschen Funktionentheorie (siehe Dinghas [5], S. 256) zur Folge, daB jede jedes

muB.

Grenzfunktion Sei nun

f

'*

0

von

(14.6)

gesetzt.

z

Dann folgt aus

3, daB enthalt: E

1:

schlicht in

Die Folge

I

1 k

k}7

sein muB.

k

in Verbindung mit dem Hilfssatz

eine Teilfolge {f

Cd

-

= {f k}7

(wobei jedesmal jedes

mit den Eigenschaften

{fk(z)}

durch samtliche

54

analytischen Fortsetzungen in in

G

2: E :

E

frO)

{f (z) }

3

erganzt wird) konvergiert gegen eine

lokal holomorphe Funktion

Es gilt

E

G

0 , f' (0)

(z E G

bildet

Die inverse Funktion 4: Oa die Existenz der Folge

wurde,

E

2

G

schlicht auf

ab. 1 ist holomorph in C

{f-1 (i:;)}

(i:; E C C . 1 1) durch den Hilfssatz 3 bereits erbracht

trivialerweise erfullt ist und E

der Struktur der Funktionen

(i:;) }

4

eine unmittelbare Folge

und des Monodromie1) ist einfach zusammenhangend) ist, solI hier lediglich E 3

(C

satzes

= {f(z)} .

f

> 0

(i:; E C

1 bewiesen werden. Man wahle d m_1

m

derart, daB bei einem vorgegebenen

gilt und beachte, daB

II:;' I

halb der durch die Bedingung Am

menge

= {i:;m(z)}

i:;m

Ii:;m(z) I

d

m_1 Oeutet man

00

i:;' E C

den Wert

i:;'

1

inner-

charakterisierten Teil00

G von G annehmen muB. G a l s die unive;selle m Uberlagerungsflache von G, so fullen die Spurpunkte z von Goo eine abgeschlossene Menge

Om

von

G,

von der Einheitsperipherie jedesmal von

m

deren (positive) Entfernung m

abhangt.

lich, daB die Wertemenge der Funktion

{i:;m+n(z)}

temenge der Funktion

Ii:;m'

hat zur Folge i:;m+n

daB

0)

{i:;m+n(i:;m)}

({i:;m(i:;m+n)}

{i:;m+n(z)}

fur

ist vom Betrag

Ii:;m l < li:;m+n(l:;m) I das Gebiet

G m

gilt.

Nun ist ersicht-

G:

auf

d m- 1 1

mit der Wer-

ubereinstimmt.

Oas

und verschwindet fur

Somit bildet

auf ein Gebiet von

C1

ab, das

enthEilt. Das hat wiederum zur Folge, daB jedes i:;m+n in m-1 den Wert i:;' annimmt,und das gleiche gilt fur samtliche konvergenten 1 . Oas beweist Teilfolgen (etwa fur die Folge {f von {i:; n }oo m+ k}:+1) zunachst unter Berucksichtigung der erganzenden Betrachtungen zum Hilfs-

Cd

oo

satz 3, daB

f(G ) = C

ist. 1 Man nehme jetzt an, es gabe zwei Kurven, etwa

y;, , y;. ,

mit

der Eigenschaft (14.7)

f

,

y z'

(z')

f

"

YZII

Oas impliziert zunachst (da chung

f

fur ein zeichnen y' z

{f- 1 (i:;)}

( I:; E C

holomorph in

z' = z" , und es wird sich darum handeln, aus

(14.8)

ge

(z")

,

,(z)

yz

f

,,(z)

yz

( i:; E C

1

)

1

C

1

ist) die Glei-

)

z E G die Homotopie von y' und y. nachzuweisen. Es bez z y' , y" die durch die Funktion {f (z) } transformierten Wei:; i:; y. Oann ist die Kurve y' + (-y. ) nullhomotop in C ' und 1 z i:; i:;

55

+

das gleiche muB gelten fur die Summe

y;

und

Daraus folgt, daB

homotop sein mussen.

Die Einzigkeitsfrage, d.h. die Frage, ob die Normierungsbedingungen

=

f(O)

0

f' (0) > 0

,

die Funktion

s

=

{f(z)}

eindeutig be-

stimmen, kann folgendermaBen entschieden werden. Es gibt genau eine analytische Funktion

{s(z)}

s

in

G

mit

den Eigenschaften: s

1.

00

bildet

=

2.

z

3.

Es gilt

G

{z(s)}

schlicht auf

1 C

ist holomorph in

s (0)

= 0

s'

,

(0)

abo

C

> 0

1

Man nehrne in der Tat an, es gabe zwei Funktionen, etwa die den Bedingungen 1,2 und 3 genugen. ( w

E C 1)

2

den fur

w

Lemma

und

2

=

bzw.

= 0

2

f

{w w

1

2(w 1

)}

(w

= O.

Dann sind

E C

1

w

und

1

w2 '

{w (w ) } 1 2 1 holomorph und verschwin-

1)

f

=

Demnach gilt nach dem Schwarzschen

Das liefert die Beziehung ( e

und wegen 3 die Gleichung

w

1

, a

= w

2

reell konstant)

•

Das soeben gewonnene Ergebnis beweist gleichzeitig, daB nicht nur die Teilfolge

{sn

gen die Funktion

k

sondern auch die gesarnte Folge

'

-

{f(z)}

(z E G)

ge­

konvergiert.

Der Poincare­Koebesche Abbildungssatz gilt in leicht modifizierter Form auch dann, wenn die Bedingung

G c C

1

weggelassen wird.

Satz (Poincare­Koebe. Poincare­Koebescher Abbildungssatz). G

ein Gebiet von

f

{f(z)},

die

Beweis. G

( 1)

( A

G

Goo

entweder auf

Dann ist

Goo =

,

G

oder auf

Wir unterscheiden die FaIle:

.

f (z) = z

(2)

Dann existiert eine in

und

f

Sei

analytische Funktion C

1

schlicht abbildet.

kann durch die Gleichung

definiert werden. Dann kann

-

{a } 1 {a , 00} !)

f

durch die Gleichung

1

2

(14.9)

log

f

1

z­a

1

definiert werden. A

(3)

G =

e ­

A

q

00)

Sei q

3 •

56

Man setze D = {a und konstruiere die Funktion 1,a 2,aq} 3 durch das klassische (Riemann-H.A. Schwarz-) Verfahren: Erster Schritt.

a

Die Punkte

a

1'

2'

{s(z,D 3)}

werden durch eine line-

00

gebracht. zl = 0 , z2 = 1 , z3 = dem klassiZweiter Schritt. Die obere z-Halbebene kann nach schen Riemannschen Abbildungssatz (siehe Dinghas [5], S. 258 u. S.

are Transformation in die Punkte

276) auf ein nullwinkliges Kreisbogendreieck von C 1 mit den Ecken 4TI i/ 3 (an Stelle von 0 , 1 , 00) 2TI i/ 3 abgee1 = r e 2= e , e 3= e bildet werden. Dritter Schritt. und von

z = 1

bis

Die

z-Ebene wird langs der negativen Halbachse

z = +00

langs der positiven Halbachse aufgeschlitzt.

Durch Spiegelung an der reel len Achse bzw. an dem entsprechenden Kreisbogen wird erreicht, daB die derart aufgeschlitzte komplexe

z-Ebene

eineindeutig und konform auf das Innere eines nullwinkligen Vierecks So

(mit den Ecken auf

Izi =

Vierter Schritt. seiten von

So

abgebildet wird.

1)

Spiegelungen an den verschiedenen Kreisbogen-

liefern geeignet verheftete "Blatter" von

Goo

Man

sieht leicht ein, daB die unbeschrankte Fortsetzung des Verfahrens voll ausflillt und

Goo

ausschopft.

Flinfter Schritt.

{s (z , D 3)

}

Sei

(k ur z :

Ubergang (konforme Abbildung!) zu der Funktion

{v ( z)}

q > 3.

C1

)

Die Funktion

{s(z;D

bildet das Gebiet 3)} Es kann ohne weiteres ange-

G - A in das Innere von C abo q q 1 nommen werden, daB s=O nicht der Bildmenge

Mq- 3 = {a 3,···,aq- 1} angehort. Man bilde jetzt das Gebiet C - Z (die Einheitsperipherie 1 gehort zur Berandung von C - Z!) mit Hilfe des Koebeschen Verfahrens 1 auf C 1 ab, indem man wiederum die Abbildungsfunktion f q = {f q (z)} ( z E C

1

(14.10) normiert.

z'

*

q

(0)

f

f' (0) q

>

0

v = S = {s(z,Aq)} . q Man betrachte in der Tat die Stellen Z' = (z' ,y;,)

Z"

Dann ist

o , q

0

und bezeichne durch

die durch die Funktion

v

aus

daB

muB.

von

durch die Bedingungen

- Z

f

Z

fq(v') = fq(V")

, y;"

transformierten Wege v' = v"

Andererseits liegen sowohl

zur Folge, daB

y;.

und

v' = v(z')

y;"

und

y';'.

y;.

, Z" = (z",y;,,),

, v" , y;"

homotop zu

als auch y;"

in

C1

v(z") Nun folgt y;"

sein Das hat

homo top sein mlissen, was wiederum die

Gleichung z' = z" und die Homotopie von y;, und y;, nach sich zieht. DaB 2. und 3. , S. 55, gelten, kann der Leser selbst beweisen. J

Da die Eigenschaften 1. -3. , S. 55 die Abbildungsfunktion eindeutig

57

charakterisieren, muB bildungsfunktion (4)

Der Rand von

und

Z==

s

q

{f

q

v(z)}

0

= {s(z,A )}

G

mit der gesuchten (normierten) Abz E G)

q

enthalt ein Kontinuum

libereinstimmen. y,

das die Punkte

z=o

miteinander verbindet (offenbar kann der allgemeinste Fall

dar auf zurlickgeflihrt werden).

Man nehme an (keine Einschrankung der

AIIgemeinheit!), daB

G

deutige) Ausdruck

z='

in

IZ (IT

=

liegt. !)

G

Dann bildet der (in

G

auf ein echtes Teilgebiet

einG,

von abo Sei Zo ¢ G1 und f {l/(zo ­ IZ)}. Dann bildet f das Gebiet G (schlicht) auf ein beschranktes Gebiet von abo (5)

­ G

(zO

enthalt eine offene Menge.

auBerer Punkt von

G)

In diesem Fall liefert

'/(z­zO)

eine Abbildung auf ein beschranktes Ge-

biet von 15.

Nahere Betrachtung der Abbildung im Fall der

tierten Ebene. flache von

q­fach punk-

Will man den Begriff der universe lIen Uberlagerungs-

G

nicht verwenden, so kann man die Konstruktion der mehr-

deutigenFunktion

s={s(z,A)} q

(A

q

={a" ... , a } , a q

q

==,q 0 )

58

bedeutet, die den (Fundamental-) Kreis verschiedenen Zweige der in

G

lsi

1

invariant laBt.

mehrdeutigen Funktion

s(z,A) q

hangen also durch die Gruppe der linearen Selbsttransformationen des Einheitskreises Funktion.

C

zusarnrnen:

1 Die Umkehrfunktion

Funktion in

C

'

s

s

Die q 2: 3

(T)

ist also eine linear polymorphe

z(s)

die bei der Gruppe

ist eine eindeutige analytische (T)

invariant bleibt. Sie ist 1 eine automorphe Funktion der von Poincare eingeflihrten Fuchsschen Klasse. (ii)

Es gilt, wie eine leichte Rechnung zeigt,

(15.3) Das bedeutet: Der Ausdruck (15.4)

u (z )

I s I (z ,A) I

log

1-ls(z,A)1

ist eine eindeutige Funktion von druck (15.5)

u

q

2

z.

Das gleiche gilt flir den Aus-

I s I (z) I log -----=..5,_ _--; 1 )

Somit ist zunachst gezeigt worden, daB die Transfor-

der linear polymorphen Funktion

{Sq}

elliptisch, hyper-

bolisch oder parabolisch sein konnen. Wir zeigen weiter, daB definiere die Funktion a. E A )

q

(16.3) Dann ist

(o(z)}

( j = 1, ... ,q)

o(z) {o(z)}

T

notwendigerweise parabolisch ist. Man in einer punktierten Umgebung von

durch die Gleichung *)

s-r

IAI

( Ip I < 1 , r

--1 p

holomorph und beschrankt und somit (Hebbarkeitssatz

*) 1m folgenden wird statt

sq (z)

nur

s

geschrieben werden.

60

a.

von Riemann) holomorph in der Umgebung von te

o(a ) = O. j

moglich ist.

Dann wlirde daraus

Da die Annahme

in der Umgebung von

z

=

a.

J

liptisch sein.

o (a.) J

s(a.)

*

0

p

folgen, was offenbar un{s

die Holomorphie von T

q

(z)}

nicht el-

nicht hyperbolisch sein

T

In diesem Fall ware namlich ( s - P) i I AI s-r

o (z)

holomorph in einer punktierten Umgebung von Ip I = Ir I = 1

a.

(bei geeigneter Festlegung von

(16.4)

J

und mithin wegen s-n arg

M )

101

Somit muB (ii)

Man nehme an, es gel-

J

zur Folge haben wlirde, kann

Ahnlich kann gezeigt werden, daB kann.

J

=

( Y

aj

eine hebbare Singularitat sein.

Andererseits folgt aus

bedeutet eine einfach geschlossene Kurve urn 2 i

Jd

log

0 (

z)

±1

a. ) J

,

y

daB

{o(z)}

in

z

=

a.

entweder eine einfache Nullstelle oder einen

J

einfachen Pol haben mliBte, was der Doppelungleichung (16.4) widerspricht. Demnach kann

T

nur parabolisch sein.

Zur Bestimmung des asymptotischen Verhaltens von von

A

q

verfahre man folgendermaBen:

u

q

in der Umgebung

Aus der Invarianzeigenschaft

des Doppelverhaltnisses der (voneinander verschiedenen) Punkte s3's

(s1

=

T s 1,···,s3

s-a/S

=

Ts 3,s'

-a/S-p s'-p

s-p

d.h.

B + Sp-a

s-p

also wegen

2pS

=

-(a-a)

-a-Sp s'-p ,

=

Ts)

folgt zunachst

s1,s2'

61

2S (;'-P

a+a

(;-p

Letztere Gleichung liefert wegen

a-a

p

die Identitat -- +

(;'-P

(;-p

a-a a+a p

d.h.

!2:.E + 2i tg

(;'-P

(;-P

iX

]J

"2

Man setze jetzt o(z)

=

{eo(z)}

Re o (z)

211

Dann ist

TXT

holomorph und wegen 1_1(;\2 1(;_p\2

a. E A

beschrankt in einer punktierten Umgebung von

J

wiederum (Hebbarkeitssatz von Riemann!), daB Umgebung von mliBte

a.

{(;(z)}

(16.5)

ist.

J

Demnach gilt (da

in der Umgebung von

J

aj

(a. ) J

Daraus folgt holomorph in der

verschwinden muB (sonst

analytisch sein))

) Y 1 (z-a j)

+ Y2 (z-a j )

2

bzw. 1

(16.6)

Z

je nachdem a. J Nun folgt aus

q

Y1

1

g(z)

z

Y2

+ 2 z

+ ...

endlich oder unendlich ist.

E.:!:.1.

IXI P-(;

log

z-a.

J

+ •••

( Y1

*

0 )

62

211 1-11;1 I xl

Ip-1; I

2 log

2

+ log

I z-a. I

log

Ig (z-a ) I j

J

1 { 1 + E (z-a . ) } I z-a. I J J

und 211

2

I Xl

Ip-1; I

2

1::1

11

I z-a. I

+ (z-a.) J

J

g' (z-a.) J g(z-a. ) J

I

1

I z-a . '" {1 + E (z-a . ) } J J

(I z-a.J 1 log

2 Id1;1 2 dz 1-11;1

- - -) 1z-a.1

- 1

J

Somit wird mit Rucksicht auf (15.5) (16.7)

u

wobei

E(Z)

der mit

q

(z)

log

1

I z-a . I

-

log log

J

1

I z-a . I

1 + log -2 + E(z-a . ) J

J

allgemein einen Ausdruck bezeichnet, der einschlieBlich

Izl

multiplizierten Ableitungen erster Ordnung fur

z

0

gegen Null konvergiert. Entsprechend findet man fur (16.8)

u

q

(z)

1st schlieBlich Entwicklung

a

q

-log Izl - log log Izi + log A

q

so hat

u

q

(z)

21

+ E(Z

-1

)

. die

in der Umgebung von

Die ersten Anwendungen (Satze von Landau und Schottky) findet der Leser in den Erganzungen dieses Kapitels, Anwendungen auf die Nevanlinnasche Wertverteilungstheorie in Kapitel 4. 17.

Asymptotisch aquivalente partielle Differentialgleichungen.

Man kann der Funktion

u

in (15.5) eine Funktion v zur Seite stelq q len, die nicht nur Singularitaten gleicher Bauart wie diese besitzt,

sondern einer ahnlichen partiellen Differentialgleichung wie

u

q

genugt.

63

Definition.

Man definiere den Ausdruck

durch die Vorschrift la-bl (1+laI

{

l e .b l

(17.1)

0

(1+ I a Dann liefert

[.,.]

1

2

2)

1

-"2

(1+1 b

1

2

[a,b] 1

)

-"2

a,b E a = b

1

)

(a, b E

-"2

a E cr

eine Metrisierung von

[

b

=)

(bzw. der Riernann-

schen Kugel) . Der Ausdruck

[a,b]

sche) Entfernung von

a

heiBt die spharische (bzw. Shimizu-Ahlforsund

b .

Man kann leicht feststellen, daB

[a,b]

gegenliber samtlichen

Transformationen von der Form (Drehungen der Riemannschen Kugel) (17.2)

Zl

im Sinne von

e

z-c

is

[a' ,b']

Satz.

( z E cr , e

l+(;z

[a,b]

reell, c E

)

invariant ist.

Man setze

(17.3)

log

1

rz=aT

und (17.4)

v

Dann genligt (17.5)

v

v

( z E [-{a,a'} ,a' = -1/;'

a

der (elliptischen) partiellen Differentialgleichung

!:J.v

Beweis.

Man setze

a = a+iB

und z = x+iy

(a E cr)

Dann ist x

dX

x-a I z-a I 2 '

y dy

y-B Iz-al

und 2(x-a)2 + 2 I z-a 1 I z-a I 4

2

64 2(y-S)2 I z-a 1

Sei jetzt

ein zweimal nach

2 +

I z-a 1

4

stetig differenzierbarer Ausdruck.

Dann folgt aus tog

(17.6)

+ g'(E;) toE;

mit (Harniltonscher Differentialausdruck)

IVE;1

1+laI

2

2-lz-aI 2

(1+lzI

2)

Iz-al

2

und (Laplacescher Differentialausdruck) 2

2

I z-a 1 (einfacher:

toE;

2

I z-a 1

2

2

toE;oo 1) die Gleichung

tsv

(17.7) dsh ,

2 +

(17.5).

Entsprechend laBt sich der Satz beweisen: Satz. (17. B)

Man setze E; - log

v

Dann genugt

v tov

(17 .9)

der

(1 + E;)

.

Differentialgleichung

2E;

1

HE;} (1+lzI 2)2 .

Die Differentialgleichung (17.5) wird in Kapitel 4, Abschnitt 24.{3) zum Beweis des zweiten Hauptsatzes benutzt.

DaB auch (17.9) auf glei-

che Weise angewandt werden kann, entnehme man Dinghas [15]

lB. (1)

.

Erganzungen. Zur Definition der analytischen Funktion (WeierstraB).

All-

gemeiner wird unter einer analytischen Funktion eine (nicht leere) Men-

65

ge

{(f,G)}

von (allgemeinen) Funktionselementen

(f,G)

mit der Ei-

genschaft, daB je zwei Funktionselemente (f durch un, (f 1,G 1) 2,G 2) mittelbare oder mittelbare Fortsetzung (Fortsetzung langs einer Kurve mit dem Anfangspunkt in hervorgehen.

G 1

und dem Endpunkt in

Die Funktionselemente

G 2)

auseinander

(f

definieren den glei, (f 1,G1) 2,G2) chen Zweig in einem Punkt Zo E G n G falls f (z) = f in einer 1 2(z) 1 2, Umgebung von Zo gilt. Die geometrische Verdeutlichung der mit Hilfe des WeierstraBschen Prozesses aus einem Ausgangselement, etwa ( a E G ) ,

(f,K a)

erhaltenen analytischen Funktion flihrt zu dem Begriff der

Riemannschen Flache (bzw. Riemannschen Uberlagerungsflache) . Naheres darliber findet der Leser bei Dinqhas [5] . (2)

Der Landausche Satz.

Sei

Man konstruiere die Funktion

G = [ ­ A

=

C

A

(A

kompakt in

[)

und beachte, daB dann

an.

,A)}

w = {w(z)}

Man bestimme

w

habe in der Umgebung von z

p+1

CR nehme keine ,A)

in

unbeschrankt fortsetzbar und

1 mithin (Monodromiesatz) eindeutig, also holomorph in Man nehme an,

[.

und nehme an, die in

definierte nicht konstante meromorphe Funktion Werte aus

ein Gebiet von

z = 0

C

sein muB. R die Entwicklung

+ •..

und beachte, daB dann die Funktion

=

definiert durch

­ (rO,A)

(w f z ) ,A)

die Taylor­Entwicklung a besitzt.

p

Zp + a + z p+1 + ... p 1

Dann wird d P +k ------

(p+k)! dz P+ k

!z=o

( k

0,1, ... )

Das liefert, wegen I 1 , mit Rlicksicht auf die Cauchysche Koeffizientenabschatzung einer holomorphen Funktion, die Ungleichungen

(p+k) ! Daraus folgt

Iz=o

I

( k

0,1, .•. )

66 d P+k

(18.1)

(p+k) !

- 1

Iz=o

--\jJ(z)

dz P + k

. 1

Die Ausdrticke auf der rechten Seite von (18.1) konnen explizit angegeben werden. Wie man leicht sieht, gibt die Ungleichung 1­11:; (yo,A) I

(18.2)

Ilpl die beste Abschatzung ftir lediglich von

YO

und

R

yp

2

o

( k

!)

II:;' (IO,A) I und hat den Vorteil, daB die rechte Seite

abhangt.

Landau [1] hat 1904 durch Betrachtung der Ausnahmemenge A

O

=

den Satz bewiesen (Landauscher Satz):

{O,l,oo}

Sei

w

holomorph in

Dann nimmt

w

in

Wert Null oder den Wert eins an.

C r

( r > L)

den

Wesentliche Verallgemeinerungen des Landauschen Satzes findet der Leser in der Arbeit [6] von Ahlfors. Etwa Dinghas [5] und Landau [2].

Allgemeine Literatur. (3)

Der Schottkysche Satz.

C

macht, daB eine in

o

Schottky hat 1904 die Entdeckung ge-

w, die dart die Werte 1 nicht annimmt, einer Wachstumsbedingung unterliegt, die im

und

holomorphe Funktion

wesentlichen lediglich von

Iw(O)

I

abhangt (Satz von Schottky). Den

bisher einfachsten Beweis dieses Satzes findet der Leser bei Ahlfors [8]. Ahlfors beweist: Sei

w

holomorph in log [w tz )

(18. 3)

C

I

und dart

1
1 }

definierte Punktmenge. Dr

(ii)

die durch die Gleichung

(21 .8)

{ z

z

definierte Punktmenge. (iii) (y+) (kurz: y+ + r von D r

(iv) von Dr . (y';l

(kurz:

E C

den (koharent) positiv orientierten Rand

y

bzw.

(kurz: Cr

Satz (H. Cartan [1]).

(0(1)

bzw.

liegen.

l dw l

bedeutet hier eine Konstante) r

(21.10)

0(1) +

Satz (Oinghas [17]). (21.11)

diejenigen Teile von

Han setze

J

SC(r,w)

Dann ist

I w (z) I < 1 }

den (koharent) positiv orientierten Rand

bzw. die in gelten die Satze:

(21.9)

'

r

f Sc(t,w) o

dt

it

Man setze

So(r,w)

1 2')[

TN(r,=)

0(1) +

J Izl: 0

I dw I •

0

auf

74

Es gilt also

(21.13)

1

4" r 1> (r) + Sc (r ,w) ,

SD(r,w)

und es genligt, wegen

I

0

1>(r)

Der Beweis von (21.10)

1 , die Darstellung (21.10) zu beweisen.

laBt sich nun folgendermaBen erbringen:

Man wende die Greensche Formel mit an.

u = log Iwl

, v = log

Dann erhalt man

Iz I

auf

D+ r

+ N(r,oo)

Hierbei bedeutet

0(1) + 2\r

f

0(1) +

f

0(1)

log

a

r

TZT

an log Iwl ds r

log

r

TZT

0(1) +

Idwl

f Sc(t,w) a

dt

1:

wieder eine Konstante, die der Leser leicht be-

rechnen kann. 22.

Der erste Nevanlinnasche Hauptsatz.

der charakteristischen Funktion. naler Stellen.

Sei

TN(r,a)

w

-

meromorph in

C

Dann folgt

R

-

TN (r ,00) 2'11

f

Weitere Eigenschaften

Nevanlinnas Charakterisierung ratio-

16g Iw-al

-1

de

+ N(r,a) - N(r,=)

-

1 2'11

0

2'11

f

16g Iw-al de

0

2'11

f

+

(16g Iw-al - 16g Iwl) de + N(r,a) - N(r,oo)

o -y(r,log [w-a\) + N(r,a) - N(r,oo) 2'11

+ 2'11 (wegen der Definition von

J

(16g Iw-al - 16g Iwl) de

o

y

siehe (1.6).

Nun gilt nach der Jensen-

schen Formel, wenn man (22.1)

(w(z)-a) zn(O,=) - n(O,a)

75

setzt, 271

I

log IW (0) I a

(22.2)

log Iw-al de - N(r,a) + N(r,=)

o v(r,log Iw-al) - N(r,a) + N(r,oo)

.

Das liefert, unter Heranziehung von (20.10), die Gleichung (22.3)

TN(r,a)

mit

10 (1 ) I

(22.4)

Ilog

$

Iwa (0) I I

+ l6g Ia I + log 2 .

Entsprechend folgt aus mA(r,a) - mA(r,=) + N(r,a) - N(r,oo)

I

271

log Iw-al-

1

de + N(r,a) - N(r,=) + log

a (22.5)

T

A

(r,a)

mit (22.6)

Offenbar ist (22.5) mit Rlicksicht auf die Beschranktheit der Differenz TA(r,a) - TN(r,a) 1st

w

aquivalent zu (22.3)

•

meromorph,nicht konstant in

R cR

und O so gelten anstelle (22.3) und (22.5) die Gleichungen

+ r) TN(r,=) + 0(1 + log

(22.7)

bzw. (22.8)

T

A

(r,a)

so fern die Funktion

+ r), TA(r,oo) + 0(1 + log {N(r,a)}

(a E

durch die Vorschrift

76

r

(22.9)

f

N (r,a)

definiert wird, wobei

n(t,a)

dt t

n(r,a)

die Anzahl (unter Berucksichtigung der r C liegenden a-Stellen von w r O 0(1 + l6g r) hangen auBer von a noch vom Ver-

Vielfachheit) der im Ringgebiet bedeutet.

Die GraBen

halten von

auf dem Rand

w

wahlt werden, daB

w

*

co

,

dC

a

r

O auf

von dC

C

r

kann stets derart ger O O gilt) abo

r

O Die Gleichung (22.3) bringt den Inhalt des ersten Nevanlinnaschen

Hauptsatzes der Wertverteilungstheorie zum Ausdruck: Satz (Erster Nevanlinnascher Hauptsatz). und meromorph in

C R,

Sei

so gilt fur jedes endliche

w a

nicht konstant die Gleichung

(22.10) mit einem beschrankten

0(1)

Diese Gleichung ist durch die Gleichung

(lokale charakteristische Funktion)

+ r) TN(r,oo) + 0(1 + log

(22.11 ) zu ersetzen, falls

w

meromorph,nicht konstant in

1m folgenden werden neben den Bezeichnungen TN(r,a)

C

R R O

ist. , N(r,a)

,

die ursprunglich von R. Nevanlinna benutzten Bezeichnungen

verwendet: (i)

m(r,w)

fur

1

(ii)

m (r 'w-a)

(iii)

N(r,w)

fur

1

(iv)

N(r'w_a)

(v)

T(r,w)

(vi)

T(r'w

1st

w

in

fur

fur fur

2a) fur

R C R

N(r,oo) N(r,a) TN(r,oo) TN(r,a)

(oder (oder

TA(r,=)) TA(r,a))

meromorph, so gelten die Gleichungen (21.5)

O

und (21.12) in der Form r

0(1 + l6g r) +

f r

O

dt SA(t,w) t

,

(21jO)

77

r 0(1 + 16g r) +

TN (r ,00)

J r

SC(t,W)

dt t

O

und

r 0(1 + 16g r) +

TN (r,oo)

J r

dt So(t,w) T

o

Hierbei ist

r ein fest (sonst willkurlich) gewahlter Wert zwischen O R und R, und in den Oefinitionen (21.6) und (21.11) sind die GebietsO integrale uber r Izl r zu erstrecken. Oaruber hinaus wird fur O die Integrale r

J S(t,w) 0

dt t

bzw. r

J S (t,w) r

dt

( 0 < r

T

O

< R )

o

kurz

T(r)

Funktionen

geschrieben, wobei es gleichgliltig ist, welche von den drei SA' Sc ' So

fur

und (21.11)). Die Funktion

S

benutzt wird

T = {T(r)}

(vgl.

(21.6), (21.9)

hat mit Rucksicht auf die Glei-

chung d

r dr T(r)

dT(r) dlog r

S(r,w)

eine nicht abnehmende Ableitung*). Das liefert den Satz: Satz (R. Nevanlinna [5]).

Jede Funktion

{TN(r,a)}

( a E

IT:

ist bis auf eine beschrankte (additive) Funktion konvex in bezug auf log r .

Diese Funktion ist fur den lokalen Fall durch ein

0(1 + 16g r)

zu ersetzen. Offenbar gilt der gleiche Satz auch fur die Funktionen

{TA(r,a)}.

Nachfolgender Satz ist fur die Wertverteilungstheorie von grundlegender Bedeutung: Satz (R. Nevanlinna).

(22.12 )

Uw

aw+B

yw+o

Sei

( a,S,y,o konstant , ao­By

*) Bezuglich der Monotonie von Formel (76.9).

Sc

*0

)

vergleiche man Dinghas [5], S. 341,

78

Dann ist T(r,Uw)

(22.13) wobei

T(r,w) + 0(1)

eine beschrankte GroBe bedeutet.

0(1)

Eine entsprechende Gleichung gilt fur die lokale charakteristische Funktion. Beweis. Wegen aw+S yw+8

(y

*

0 !)

a8­SY y (yw+8)

a y

genugt es zu zeigen, daB (22.13) fur die speziellen linearen Transformationen gilt: (1)

U

aw

(2)

U

w+b

(3)

U

1/w

( a (b

*

0 konstant) konstant)

Nun ist im Fall (1) (r,U)

N

N(r,w)

und, wegen

+ + log lal + log T(r,U)

1 TaT

+ + log lawl

T(r,w) + 0(1)

Die FaIle (2) und (3) sind in den vorherigen Entwicklungen (erster Hauptsatz) enthalten. Nachfolgender Satz von R. Nevanlinna zeigt, daB das Restglied O(log r)

(R

= +oo!)

in der Umgebung von

dann und nur dann eine Rolle spielt, wenn z

=

00

Satz (R. Nevanlinna). Umgebung von (22.14 ) so kann

z =

00.

ein rationales Verhalten aufweist. Sei

lim inf TN(r,oo)/log r z =

00

w

meromorph,nicht konstant in der

Gilt dann

r-++oo




>

Damit erhalt man Verhalten der

unter Berlicksichtigung von (24.8)

t;a

die Abschatzung

in der Umgebung der Punkte

a

k

;::

1

"2 lJ (r, log f)

q

L

k=l

mA(r,a

k)

k

,

(24.8') und dem k = 1, .•. ,q

+

+

- q log T(r) - 0(' + log r)

und somit den Beweis von (24.11). Die grundlegende Ungleichung (24.11) flihrt unmittelbar zu dem

*) Die Greensche Formel ergibt lJ(r,log u q ) + N(r;A q ) + 2 N(r;A q' ) + 0(1 + l6g r) 2'n

f

r C r

log

r TZT

O

und man verwendet (24.14')

t.log u

q

do(z)

94

Satz: Satz (Nevanlinnasche Defektrelation) . Sei w meromorph, nicht R C bzw. C und, falls R = +00 ist, nicht von ratioR RO 00 • nalem Charakter in der Umgebung von z Man setze bei vorgege-

konstant in

benem, sonst willklirlichem

* 00

A q

oder

00)

q

(24.21)

L

8 (A )

q

k=1

8 (a

k)

und q

(24.22)

e (Aq )

L

k=1

6(a

k)

Dann gilt die Ungleichung (24.23)

8 (A )

q

+

1

e (Aq )

2 + lim sup T(r)

r

log

1-rR

1 .

Mit Rlicksicht auf die zentrale Bedeutung dieses Satzes sollen die Falle

R =."

(parabolischer Fall) und

R < +00 (hyperbolischer Fall) ge-

trennt formuliert werden: Satz.

Sei

w

nicht konstant O meromorph und in der Umgebung des unendlich fernen Punktes nicht von rationalem Charakter.

auBerhalb einer Kreisscheibe

C

r

Dann gilt bei willklirlich vorgegebenem

Ungleichung (24.24) Satz. schrankt. (24.25)

8 (A )

q

Sei

+ 6 (A) q w

s

2

8 (A )

q

+ 6 (A ) q

C1

A

r

q

o

2 + 1,

ist,

1 1 lim sup T(r) log 1-r

meromorph und

die ungleichung 1 sup T(r)

Insbesondere gilt, falls (24.26)

die

•

im Kreisring

Dann gilt flir jedes

A q

o

log

1 1-r

T (r)

nicht be-

95

(24.27)

2

wobei diesmal

A

punktierten vollen komplexen Ebene

q

1

q

q

auf die obere (Poincaresche) Halb­

ebene schlicht und lokal konform abbildet.

Dann gilt die Greensche For-

mel 1

J

271

_--2.271

3v ds 3n

(y)

Dabei ist

r

1

2TI

D

(0 < r < R)

Singularitaten von

J t,vdo(z)

v

J

e

2v

so gewahlt, daB der Kreis

enthalt.

D

do (z )

D

Izi = r

keine

ist das Kreisgebiet, das aus

Cr

durch Isolierung der Singularitaten durch kleine Kreise entsteht, und (y) der positiv orientierte Rand von D. In der Umgebung einer a.Stelle

a

von v (z)

log

und in der Umgebung einer w(z) gilt,

J

wist 1 TZ=aT ­

log log

1 TZ=aT

k­fachen Stelle

a,

+ s(z­a)

wo (Yo

'*'

aj

, Yk

'*'

0

, k

>1 )

102

(1-k)

v (z)

1 TZ=aT

log

+ v(yO)

Vgl. hierzu ahn I i che Betrachtungen in 16 , uq

(16.7) und (16.8)

(wobei

durch (15.5) definiert ist) ebenso wie 24(1).

=

Daraus folgt r

wo

+ s(z-a)

!)

J

u ' (r)

n 1 (r) = n (r , 0 Iw') - n (r ,001 w') + 2 n (r , w)

singularen Wert von (25.21) (ii)

r

Sei

do(z)

und fur jeden nicht

e

log r

.

l )

y(t) gesetzt.

2v

nach (23.6)

(r u ") ,

t

e

w(r) + N(rIA ) + log r q

Dann gilt y' (t)

r W' (r) + n (r,A) + 1 ,

y' (t.)

1 + n

q.

d.h. (25.22)

1

(r)

1

+ TIT

J

e

und es kann leicht bestatigt werden, daB

y'

2v do (z )

,

(in den Unstetigkeits-

stellen

t1 < t < die linke und rechte Derivierte) rnonoton wach2 send und :::: 1 (y' (t) .... 1 + n (0) p , z = 0 eine p-fache Stelle 1 von w!) ist. Das hat zur Folge, daB (N = {N(r)} = {N(r;A } !) q

y"

e 2 (y - N)

ist und rnithin fur jedes (25.23 )

p < R

e 2(y(t)-N(P))

y" (t.)

( t

log p )

gilt. (iii)

Aus (25.23) folgt nun (positive Sprunge von y' (t)2

::::

p2 + e 2(y(t)-N(p)),

y,2 !)

103

also

(

t

,

log r

log p

T

, r

< p !)

1 A (t.)

log .2. r

$

- -1- p A (T) 1

mi t A(t) + (1 + A(t)2) 1/2 Das liefert die Abschatzung

(25.24)

)J

(r)

(0 < r

A(t)

P e

N (p) -y (t)

, p < R , r < p !)

N(p) - N(r) + log r

2p pP 2p 2p'

p-1

p

-r

d.h. wegen 2p-1

I

(p-r)

p2p-v-1 r V

2p r 2p- 1 (p-r)

>

,

v=o die Ungleichung (25.25) (iv)

)J




(25.38)

{ x

Anleitung. x V+ 1

Gilt =

1

x :2: 0, f (x') :2: k f (x) }

min

E

E ¢ , so wahle man k x : x' ::; x E: E } , v k v

f(x

v+ 1

) :2:

:2: k f(x

L

Die Substitution

f

v)

*¢

oder

¢ l)

X o E: Ek mit f(x O) > 0 0,1,2, ... Es wird

* 1

( Ek

eine endliche Gesamtlange.

k

k

1

k-1

f(x O) v=o k V da

stetig monoton

(x)

Dann hat die Intervallmenge und setze

(0::; x < +00)

Man setze allgemein

+ f

x

Man beweise den Satz (Borel-

nxT ' o

ist.

log f

f > 1

fur

x:2: O!)

fuhrt zu der

Ungleichung (25.39)

log f(x+ 10gl f(X))


-

f:,.

log u do(z)

Po

und somit wegen I

YO

1

YO

(v

(zo) log

1

z-zol) + I

enthalt und des-

YO

(u ) 1

urn

123

v(zo) log A + I

(28.6)

YO

(u

1)

+

J

2 'IT

D-G

gA!::J. log

u dcr(z).

Po

Die Zusammenfassung der einzelnen Ergebnisse (28.3) bis (28.6) liefert nun dureh Summation tiber samtliehe Elementargebiete unter A

Bertieksiehtigung der Tatsaehe, daB auf

gA = 0 gilt, die (im A) wesentliehen auf F. und R. Nevanlinna [1] zurtiekgehenden) Formeln 1 2 'IT

(28.7)

(Y

log u dh

J

(Y A) log u(zO) +

L v(e)

e

gA(e,zO)

2 'IT

J G

log

A

TIT

!::J. log u dcr(z)

A

oder 1 2 'IT

(28.8)

I

YO

1

+

log u dh

J

(Y A)

2 'IT

(u ) + v (zO) log A + 1

J

ist.

v (e) gA (e,zO)

TIT

zo

ein regularer oder ein singularer Punkt von

G

!::J. log u do (z)

,

log

A Po

je naehdem der Punkt log u

A

L

e*zO

Offenbar konnen beide Formeln

(log u = u

v(zo) = 0 !) in der Form (28.8) gesehrieben werden. In dem Fall, daB die Funktion sehaften nur in

u

ftir

mit den in 27 gegebenen Eigen-

(yo) = (YA ) 0 keine Singularitaten hat, ist an Stelle von (28.8) die Gleiehung

o

definiert ist und

1

log u

auf

(28.9)

+

zu nehmen und zu beaehten, daB

log

A TIT

!::J. log u do (z)

124

ist. Die Identitaten (28.7) bzw.

(28.8) enthalten die gesarnte Nevan-

linna­af Hallstramsche Wertverteilungstheorie.

Das soll in 29. ge-

zeigt werden. 29.

Die Nevanlinna­af Hallstramschen Hauptsatze.

relation. von

G

00

1

(29.1)

21T

und 1

(29.2)

21T

J

(29.3)

G

A bzw.

G

N(A,a)

l6g Iw ­ al

-1

w

seien die durch

A

( a E

dh

)

h A)

J)

(Y

( G

G

mit Greenscher Funktion oder mit Kapazitatsfunk-

1)

tion gegebene nichtkonstante meromorphe Funktion

bzw.

Die Defekt-

FUr eine in einem mehrfach zusarnrnenhangenden Gebiet

l6g Iwl dh

A

A

GA O

N(A,a;w) A

n(O,a) log A +

dt ­ n(O,a» t

(n(t,a) J o

( a E ll:

oder A

dt n(t,a) t

( a Ell:, 0 < A

definierte (Nevanlinnasche!) Schrniegungsfunktion

bzw. An­

(29.3' )

N(A,a)

JA

N (A,a;w)

O

O

zahlfunktion

{N(A,a)}

Mit

(29.4) heiBt w.

+ N(A,a)

{TN(A,OO)}

( a E ll:

die Nevanlinnasche charakteristische Funktion von

Analog zu diesen Definitionen werden die Funktionen

{TA(A,a)} , {mD(A,a)} , {TD(A,a)}

wie in 20 eingefUhrt, und man kann

wie in 21 zeigen, daB sich die GraBen nur urn additive Glieder der Form scheiden, je nachdern

a

{mA(A,a)} ,

TN(A,a)

, TA(A,a)

0(1 + l6g lal)

bzw.

endlich oder unendlich ist.

und 0(1)

TD(A,a) unter-

)

125

Die Herleitung des 1. Hauptsatzes kann nun mit Hilfe der GreenJensen­Nevanlinnaschen Formel (28.7) bzw.

(28.8) oder (28.9) erfolgen,

wenn man dort Iw - a l

u

setzt und (vgl. die Entwicklungen von 10)

L

log ;\ +

N(;\,a) ­ N{A,co)

v(c) g(zO'c)

cEG;\

Po

bzw. N(;\,a) ­ N(;\,co)

beachtet. Damit gilt der Satz (Erster Nevanlinna­af Hallstromscher Hauptsatz).

­­

nicht konstant meromorph in

{ c weder den Punkt

c = w(z)

a

(a E

Sei

;\

w

G;\ , und enthalt die Menge

o

z E

y;\

o so gilt

noch

(29.5) Ist

w

in ganz

Restglied durch

G;\

nicht konstant und meromorph, so ist in (29.5) das

0(1)

zu ersetzen.

Zurn Beweis des zweiten Hauptsatzes sei in (28.8) bzw. (w

{w(z)}!) q

II k=1

u

gewahlt.

{

[w,a

k]

-1

(log [w,a

k]

­1 ) ­1}

Man erhalt analog wie die Formel in der FuBnote S. 93 u)

mit

(28.9)

+ N(;\;A q ) + 2 N(;\;A') + 0(1 + 16g ;\) q

W

o

126

Die Abschiitzung von

nach oben erfolgt auf Grund von

W

o

q

]1 (A, log u)

q

L

:'>

L

rnA(A ,a k) + 2

k=l

k=l

rnA (A ,ak-.) + q log 2

durch 3 q T (A) + 0 (1 + l6g A) wobei

T(A)

TD(A,oo)

,

eine der charakteristischen Funktionen

TN(A,OO) , TA(A,OO) ,

bezeichnet.

Mit dern Hilfssatz 2 aus 27 ]1{A,log

(29.6)

(Forrnel 27.151)

2 X{A) + 2 log

log u)

f::,

folgt 1

1-AA- 1

- 2 log A

+ l6g T(A) + log (1 + l6g A) + 0(1 + log (1 + l6g T(A») + 0(1 + log (1 + log (1 + l6g A») auBerhalb einer Hengen

J dn

E

J

E

von

[Ao'f\.[

A

dlog




2

L

k=l

q

rnA(A,a

k)

-

2

L

k=l

log (1 + rnA(A,a k»

- 0(1),

127

auf Grund des lokalen Verhaltens von

w

nahe

von

A q

und unter Beachtung

d.h.

\l(A,log f(W;A q» q

2

?:

I

k=l

mA(A,a

- 2q l6g T(A) - 0(1 + log (1 + l6g A»

k)

\l(A,log Iw'l)

N(A,O;w') - N(A,OO;W')

- 0(1 + l6g A)

-2N(A,00) + 2 T(A) + 0(1 + l6g A) Insgesamt ist damit q

(29.7)

\l(A,log

log u)

I

?:

k=l

rnA (A , a k)

+ N1 (A)

-2 T(A) - q l6g T(A) - 0(1 + l6g A)

mit N(A,O;W') - N(A,OO;W')

+ 2 N(A,CO)

.

Satz (Zweiter Nevanlinna-af Hallstromscher Hauptsatz). nichtkonstant und meromorph in

{c

c = w(z)

keinen Punkt von Evon

[Ao' II

f

und nicht

A

o

00,

}

dann gilt auBerhalb einer Menge

[

dn

E

die Ungleichung

f dlog

E

A

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und enthalte die Menge

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