Uebungs-Aufgaben zur Lehre vom Größten und Kleinsten: Nebst einer vorausgeschickten kurzen Theorie des Gegenstandes [Reprint 2018 ed.] 9783111690148, 9783111302713

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UebungS-Aufgaben zur Lehre vom

Grdßten und Kleinsten; nebst einer vorausgeschickten kurzen Theorie des Gegenstandes, von

D. C. L. Lehmus, Doktor der Philosophie.

Mit

3 Kupfertafeln.

Berlin, 1823. Gedruckt und »erlegt

bei G. Reimer.

Inhalt isterAbschniLL- Theorie der Lehre vom Größ­ ten und Kleinsten................................. §. i —15. 2 ter Abschnitt. Aufgaben. . . —85. 1. Emen gegebenen Winkel in einem gegebenen Kreis so als Peripherie-Winkel einzutragen, daß die Summe der Sehnen welche abgeschnittene Stücke der Schenkel des gegebenen Winkels sind, ein Max. oder Min. werde............................................. §. 16. 2. Das Product der Sehnen im vor. §. soll ein Max. oder Min. werden. ... . . §. 17. 3. Das Stück der Kreis-Ebene zwischen den Sehnen in §. 16. soll ein Max. oder Min. werden. . §. 18. 4. Unter allen Kugelabschnitten von einerlei Inhalt, denjenigen zu bestimmen, dessen Oberfläche ein Max. oder Min. (b. h. s= M) ist. . . §. ly. 5. Dieselbe Aufgabe für Kugelausschnitte. . . §. 20. 6. Durch einen in der Achse einer Parabel gegebenen Punct die größte oder kleinste Sehne zu legen. §. 2u 7. In einem, durch eine auf die Ach^e normale Sehne, abgeschnittenen, parabolischen Segment, das größte rechtwinklichte Parallelogramm anzuheben. . §- 22. 8. In dem Abschnitt ;»cr. §.) das rechtwinklichte Pa­ rallelogramm vom größten Umfang zu bestimmen. §. 23.

g. Aus einem gegebenen Punct einer parabolischen Li­ nie, die größte und kleinste Sehne durch die Achse zu legen......................................................................§. 24. 10. In der Peripherie eines Halbkreises denjenigen Punct zu bestimmen, für welchen der Winkel, des­ sen Scheitel dieser Punct ist, dessen Schenkel aber durch gegebene Puncte des HurchmesserS gehen, M ^d. h. Max. oder Min.) ist. . . 11. Die Summe der Schenkel im vor. §. bis zu den gegebenen Puncten im Durchmesser genommen, soll = M sein.....................................................................§♦ 2.6* 12. Die Summe ihrer Quadrate soll = M fein. §. 13. Unter allen Kreis - Ausschnitten von einerlei Um» fang, den vom größten Inhalt zu bestimmen. §. 14. Dieselbe Aufgabe wie §. 23. für den Kreis-Abschnitt. §.

25»

27. 232$,

15. Unter einem gegebenen Winkel schneiden sich 2 Achsen einer Ellipse; die Lage dieser Achsen so zu bOirywen, daß der Inhalt des Parallelogramms, dessen Diagonalen sie sind, =2 M wird. §. Zo. 16. In einer der Seiten eines Dreiecks ist ein Punkt gegeben, man soll iy den beiden andern, Punkte, der Bedingung gemäß bestimmen, daß das Drei­ eck, dessen Ecken diese Puncte sind, = M werde, wobei aber der Winkel des verlangten Dreiecks in hem gegebenen Punkt, ein bestimmter ist. . §. 31, 17 In der Peripherie einer Ellipse sind 2 Puncte gegeben; man soll einen zten der Bedingung ge­ mäß bestimmen, daß daß Dreieck, welches diese 3 Punkte zu Ecken hat, = M werde. . . §. 3$. 13* Es ist ein Winkel und in dem einen seiner Schen­ kel sind 2 Puncte gegeben; man soll aus ihnen naH dem zu bestimmenden Punct des andern Schen­ kels Linien ziehen, deren Winkel = M ist.

.

§. 33,

19. Die Aufgabe §. 33. für den Fall, wenn die Li­ nien parallel sind. . . . . . . §. 34. 20. Das größte oder kleinste unter allen Vierecken Den einerlei Umfang und einem gemeinschaftlichen Winkel, welche in ynb um sich einen Kreis be­ schreiben lassen, anzugeben...................................... §• 35» 21. 2te Auflösung der Aufgabe §. 35. . . » §• 36.

-2. Nach gegebenen Richtungen in einem bestimmten Punct Z Kräfte anzugeben, welche einer gegebenen Kraft das Gleichgewicht halten, deren QuadratSumme aber ein Min. ist...................................... §. 37 23. Unter allen Vierecken um einen gegebenen Kreis, welche einen gemeinschaftlichen Winkel haben, das größte oder kleinste zu bestimmen. . . . §. Z824. Unter allen Vierecken von denselben Winkeln und denselben Umfang dasjenige anzugeben, dessen In­ halt — M ist...............................................................§. 3925. In einer Ebene wirken mehrere Kräfte nach ge­ gebenen Richtungen. Man fett in derselben Ebene zwei durch bestimmte Punkte gehende Kräfte be­ stimmen, welche mit jenen Gleichgewicht halten, deren Summe aber = M if. . . . §. 40. 26. 2te Auflösung der vor. Aufgabe . . . §.41, 27. In der halben Peripherie eines kleinern Kreises einer Kugel, bewegt sich vom höchsten Punkt her­ ab, ein Punct gleichförmig. Man soll den Punct in feiner Bahn bestimmen, in welchem seine Ge­ schwindigkeit in Beziehung auf die Entfernung von einem gegebenen Pol ein Max. oder Min. ist. §. 43. 28. Es ist eine gerade Linie, zwei Normalen darauf, und zwischen ihnen ein Punct gegeben; durch die­ sen eine gerade Hirne zu legen, welche von den Nor­ malen Stücke abschneidet, deren Product = M ist. §. 43. 29. Die Summe der Quadrate, der im vor. §. abge­ schnittenen Stücke sott = M werden. . . §. 44. 30. Durch den im §. 43 gegebenen Punct, die Curve zu bestimmen, für welche die Tangente jedes Punc­ tes derselben, die Eigenschaft der Linie §.43 hat. §. 45,

3if Die Curve durch den gegebenen Punct §. 43 zu bestimmen, für welche jede Tangente die Summe der Quadrate der abgeschnittenen Stücke = M macht'........................................................................§. 46. 32. In der Achse einer Parabel ist ein Punct gege­ ben ; man sott zwischen ihm und dem Scheitelpunkt denjenigen Punkt finden, für welchen der Umfang des zugehörigen gleichschenklichen Dreiecks —M wird. §. 4^. 33. In einer Ellipse, unter allen Parallelogrammen

mit einem gleichen Winkel, das größte und kleinste zu bestimmen....................................................§. 48« 34. Dieselbe Aufgabe, ohne den festgesetzten Winkel. §. 49. 35. Unter allen sphärischen Dreiecken von einerlei In­ halt, und einem gemeinschaftlichen Winkel, dasje­ nige zu bestimmen, deffen Umfang = M ist. . §. 50. 36 Dieselbe Aufgabe ebne den bestimmten Winkel. §. 51, 37. Es sind 2 Parallelkreise einer Kugel und der Pol eines dritten gegebm; man feit diesen 3ten der Bedingung gemäß bestimmen, daß die Sehne Jbef? selben, deren Endpunete die Durchschnittspuncte mit den Parallelkreisen sind, = M werde. . §. 52. ,38. Dieselbe Anfgabe, nur sei die Größe des gten Kreises gegeben, und sein Pol soll bestimmt werden. §. 53. 39. Dieselben Bedingungen wie in § 52., mit der Abweichung, daß derINtttelpunkts-Winkel der Seh­ ne M werden soll....................................... §. 54* 40. Dieselbe Aufgabe wie in §. 54.; doch soll die Große und der Pol des 3ten Kreises bestimmt werben.............................................................. §♦ 55« 41. um ein gegebenes Viereck die größte oder kleinste Ellipse zu legen............................................... §• 42. Dieselbe Aufgabe wie in §.56 für ein besonderes Viereck.................................................................... §»57* 43. Bei einem Zeitigen Prismen von gegebenem Jnba.t, dessen Grundebenen aleichschcnklichte Drei­ ecke find, haben die Begrän-ungs-Ebencn verschie­ dene Werthe; die Abmessungen so zu bestimmen, tZt der Werth der gesammren Begränzung em Mm. werde. §- 53. 44. Un er uMn Dreiecken von einerlei Umfang das größte zu bestimmen.................................§• 59* 45. unter allen normalen abgekürzten Kegeln von eU net.vi Inbalt, den zu bestimmen, dessen Begrän­ zung s stäche M ist. . . ♦ ♦ • §' 60. 46. In einem Dreieck den Punct zu bestimmen, für welchen das Product der Normalen aus ihn auf tu 3 Seiten = M wird. 6i. 47. In einer gegebenen Ellipse das größte oder klein­

ste Dreieck zu bestimmen.

.

-

.

•

§•

62.

43. Es soll x.y ein Max. oder Min. werden, und

zugleich x3 4= *x>' lein. § 63. 49, Für welche Wertbe von x und y wird u ein Min., wenn blos a (x3 4- V3 4- u3) = x2yu -i- yaxu -f u2xy gegeben ist?................................................. §. 64. 50. Für welche Werthe von x und y wird u =: X2 4- y2 — 6 xy + 32 y ein Min.? §. 65. 5r. Es sei 4 Sin x = 3 Cos y und 5 x + 3 y feit ein M. werden.................................................§.66. 52. u = xy 4- y z 4* 8x — x2 — y2 — z2 feil ein M. werden................................................. §. 67. 53. In einer Kugel das größte normale Parallelepipedum zu bestimmen......................................... §. 68. 54. Die Summe von 5 zu bestimmenden positiven Zahlen a, b, c, d, e soll = 388; die Summe ihrer Eubi ein M. werden. Ferner soll a: L = 3: g und c : d nz 7 : 15 werden....................................... §. 69. 55. In einem Dreieck den Punct zu be^immen, für welchen die Summe der Entfernungen desselben von den 3 Ecken ein M. wird. . . . §. 70 — 73. 56. Dieselbe Aufgabe fürs Viereck. . . 74. 57. Dieselbe Aufgabe fürs Fünfeck. . . . §. 75. 58. Es ist ein Kreis gegeben; man soll um densel­ ben dasjenige Dreieck bestimmen, in we.'ckcm die Summe der Durchmesser derjenigen 3 sich unter­ einander berührenden Kreise, von welchen jeder von 2 Seiten dieses Dreiecks tangentirt wird, ein M. ist.............................................................. §. 76 u. 77. 59. In einem gegebenen Dreieck einen gegebenen Win­ kel mit seinem Scheitelpunct an diejenige Stelle einer der Seiten, und in der Lage anzutragen; daß das dadurch bestimmte Dreieck, innerhalb des gegebenen ein M. werde..................................§. 73. 60. In jeder der 3 Seiten eines gegebenen Dreiecks einen Punct der Bedingung gemäß zu bestimmen, daß das Dreieck, dessen Ecken diese Punkte sind, ein M. werde.......................................... ........ 79. 61. Dieselbe Aufgabe wie §. 79. nur soll der Umfang ein JVI. werden. §. 80.

62. Um ein gegebenes Dreieck die kleinste Ellipse zu legen............................................................................... §. 8i. 63. In einem gegebenen Dreieck die größte Ellipse zu bestimmen......................................................................§. gr. 6*. In einem gegebenen Viereck die größte oder kleinste Elllpse zu bestimmen.................................................§.83. (Diese schöne Aufgabe, nebst dem Gang ihrer Auflösung, theilte mir mein Freund, Herr v. Ohm mit). 65. Unter allen Vierecken von einerlei Umfang das größte anzugeben........................................................ §. 84.

66. Es sind alle Seiten eines 4, 5 oder 6 Ecks ge­ geben; die Winkel so zu bestimmen, daß der In­ halt ein M. werde.

♦

.

.

§. 66-

Erster Abschnitt. Theorie der Lehre vom Größten und Kleinsten, in gedrängter Uebersicht.

I.

Bestimmung eines Max. oder Min. bei entwickelten Functionen unabhängiger variablen.

§. I. ^st « - ? x, so ist

«r + k)=V * + k. 9* + ^ T* + ♦♦♦* + (“) ♦ sät

unendlich groß, liefern. (5.48 bis

54 meiner Analyse). §. 7. Aufgabe. Diejenigen Werthe von x und y zu bestimmen, für welche u ein Max. oder Min. sein kann, wenn blos u — y (x, y) gegeben Ist. Auflösung. Nach §. 2 ist du y (x-j-k, y + r) = u-j-k. dx + 1 r Bkr, d. h. tottltt Ak* 4- Cr4 —' Bkr ==; irgend einer positiven Größe p wird. Es muß also auch für denjenigen Werth von k welcher p zu es turn Minimum macht, denn doch p noch positiv sein. Dieser Werth von k erglebt sich aber nach §. 6; nemlich «Nd «ubstituirt man diesen, so entsteht 4AC — B*

P Es wird also p dann positiv, wenn 4 AC — B4 5= positiv ist. Dasselbe Resultat entsteht, wenn man P ln Beziehung auf r zu einem Kleinsten macht. Es ist folglich u s=s

■ Bkr, oder, weil diese Bedingung Mit der fürs Kleinste übereinstimmt, wenn 4 AC — B1

= + »l*. Es ist folg llch u ein Maximum für die­ jenigen Werthe von x und y welche auS

^4 = o unb ^

sich ergeben, wenn zugleich

für diese Werthe von x und y „

_ d2 11

itens

= negativ

Ltens ztenS

d2 tt d2 u d x2

— negativ d2 ii dy2

f d2 ti \dx. dyy

positiv wird.

§. 8. Zusatz. Findet man für die Werthe von x und y, welche -du

.du

_,

,

d* u

,

«u8 -r~ = o und dy — — o sich ergeben, dxdy 7- — Ir# dx f-v« d2 ti

gend einem endlichen Werth; -j—2 aber — o; oder

d2 ti

s= o oder beide = o; B® nicht positiv werden Min. Findet man aber

so rxistirt, weil daun 4 AC — kann, weder ein Max. noch ein für diese Werthe von X und y alle 3 Ausdrücke A, B und C gleich Null, dann bleibt es noch unbestimmt, ob man ein Max. oder ein Min. ober keins von beiden gefunden hak, und die Beurthei­ lung hangt dann nach §. 6 von der Zten und 4«n Ab# leitung an ab. Die wirkliche Untersuchung führt aber auf die Auflösung der unreinen cublschen Gleichungen, und erscheint so verwickelt und weitläuftig, daß selbst Lagrange in feinen analyt. Functionen der Ausführung nur als eines frommen Wunsches erwähnt. 9« Aufgabe. Diejenigen Werthe für x, y, z ju bestimmen, säe welche u ein Max. oder Min, sein kann, wenn blos u — tp (x, y, z) gegeben ist. Auslösung. §.

Bejeichnen

K, r,

t

he

positiven oder negative»

Aenderungen zu x, y, z, so ergiebt sich wie kn §. 7 daß u nur für solche Werthe von X, y, z ein Max, oder Min, sein kann, welche auS den 3 Gleichungen 4d

d

ax

= o; — = o und — — O sich ergeben, und daß u rin Kleinstes ist, wenn für diese gefundenen Werthe von x, y, z der Ausdruck k2 d® » _i 1, > d2,1 d2'1 . r* d2 o . S = —+k r dxdy t2 d2 u +rt. dy da + 1 T 2 * dz2 2,

*

d X2 d2 11

2 *dy*

dx dz

oder

S = Ak= + Bkr 4- Ct* + D,kt + Ert + Ft1

immer positiv: ein Max. aber, wenn 8 immer negativ wird, welche po, sitive oder negative Werthe man auch für k, r, t wäh­ len mag. Nimmt man nun von den Aenderungen k, r, t im­ mer je r und 2 gleich Null, so wird für r — o und t = o; S = Ak3 für k— 0und t = o; S — Cr3 für k— 0und r = o; S = Ft3 und es kann also S nur dann positiv sein, wenn A = 4-; C =n + mtb F —-j" ist; und nur dann kann 5 immer negativ fein, wenn A ——; C = —; und F -- ist. Nimmt man aber von den 3 Aenderungen k, r, t immer nur eine gleich Null, die beiden andern aber gleich bezeichnet, oder entgegengesetzt, so wird für t ^=0} ffic r = o;

S = A k1 + Bkr-f-Cr*

= Ak* ± Dkt 4-Ft» fürk — 0; S = Cr1 + Ert 4- Ft3 S

und aus jeden dkeser 3 Ausdrücke fließt sowohl fürs Größte a!S fürs Kleinste wie in §.7, eine neue Be­ dingung, nemlich: aus dem ersten 4 A C — B* = -fauS dem 2ten 4AF — Da = -f- und aus dem zten 4CF — Ea = 4Sucht man endlich für jede beliebige Werth», wel­ che man sich unter r und t denken mag, denjenigen für k, der S ju einem Kle nsten macht, so erhält man die, ftS k — — O- und fetzt man diesen Werth für 2A

k in den ersten Ausdruck, welcher S darstellt, so entsteht L — ^ £(4AC-Ba)r*+a [2 *E-BDJ r t+ ftAF-D1] taJ. Da nun aber, vermöge der ersten 3 Bedingungen, das Zeichen von S mit dem von A übereinstimmen muß, so muß auch nothwendig €= (4AC—Ba) ra + 2 [2 AE—BD] rt+ [4 AF —Da]ta = Nra ± M. rt -f ßta immer positiv werden, wenn ein Max. oder Min. statt finden soll. Es muß aber sowohl der Coefstcient von ra als der von ta, der 4ten und ;ten Bedingung zu­ folge, positiv, fein, daher wird 1? nur dann positiv aus­ fallen, wenn 4 NQ — Ma positiv wlrh. Eubstituirt man die Werthe für N, M und Q, und reducirt, so ist die letzte Bedingung sowohl fürs Max. als fürs Min. AOACF—BaF —CDa—AEa+BDE]=+ Macht man s io Beziehung auf r zu einem Kleinsten, so entsteht

C[4ACF —BaF —CD1 —AE3+BDE]z: + und wenn s in Beziehung auf t zu einem Min. ge­ macht wird, so ergicbt sich F[4ACF —B°F—CD* —AEz+BDE]=4-.

Diese 3 Forderungen fallen also in eine zusam, men: sie bestimmen nemlich, daß bas Zeichen von 4ACF+BDE — B2F-D3C —E»A mit denen von A, C,F, übereinstimmen muß, wenn ein Max. oder Min. statt finden soll. Faßt man bas bisherige kn diesem §. zusammen, und substituirt zugleich die Werthe für A,B,C, D,E,F so hat man folgende Gesetze: I. Es wird u= y (x,y,z) ein Min. für die­ jenigen Werthe von x, y, z welche aus den 3 Gleichungen du dX

^ du , dy

. du ___ O» * dz *

hervorgehen, wenn für diese gefundenen Werthe

2)

d1 u d y* d2 u

^ dl1

+ + +

d2 g d-u ^ d x2 * d y 2

I- d-u l_d x . d yJ

,

d-u d^u ^ T d2 u -j2_ , ^ dl- ' d -LdxdzJ — d-d-n ^ d? ' ä

r d-u -i*__ . Ldy.aJ ^

d*u d2u d*ux d2u dJa d»u d x2' d y2< dz2*^,dxdy*dxd*,dy.da d2 II P d2n *1* d y2 ‘ |_dxdz J

d-„ Pd2tt"V d x2 LdydaJ

d2 II p d2 n ~|2 dz2* l_d x d yj

t

sich ergtebt. II. Es wird XL — (f diejenigen Werthe von 3 Gleichungen

x, y,z, da d7

d ti

du

dx

hervorgehen, Werthe

ein Max. für welche aus den

(x, y, z)

— o\

wenn, für diese gefundenen

d2 a __

ly tfT2 d2i» ^ dT2

“*

_ d2 u ^ dT2 d2 u d2 u ^ d x2 * d y *

s J2u “|2 L^xd yj ~

^ d2 ii d2 u _T d2 u T*__ d x2 * d z2 Ld x. d zJ ^ d2n d2 ii ^ d^’dz2

*

. ,

r cl2 .1 -p LdjdzJ

d2 d2 i d2 ti d2u d*u ___ ^ d2 a ^J d x2# d y 2* d z2 A 5 * d x d y* d x d z* d y d z d2u r d2u d ) 2 L^x dzj

d» ii Td2u "ja d x2 Ldy dzj

d2 a r d2u ~|2__ dz2* [_dx d}_l

sich ergiebt. Die Bedingungen i, s und 3 sollen die der er» sie« Form, die 4, 5 und 6 sollen die der attn Form; tot 7 soll die der zten Form heiße«.

§ io, Zusatz. Es ist Vicht schwierig aber weitläuftig die bishe­ rigen Untersuchungen auf 4,5 und noch mehrere unab, hängige Variable auszudehnen. Man erhält für 4 Variable, die Anzahl der Be­ dingungen von der iten Form = 4 = 4, — — 2tenForm =6 = 4, — — ztenForm —4 — 4, — — 4ten Form = 1 = 4* 0 die Anzahl aller Bedingungen — 15, Für 5 Voriable erhält man einen izgliedrigen Ausdruck für S und die Anzahl der Bedingungen von der iten Form = 5 = 5t — — LtenForm -10 — 5— — zten Form — 10—5, — — 4ten Form = 5 = 5* — — zten Form = i — 5, also die Anzahl aller Bedingungen = 31. Durch Analogie, oder besser durch eine vollkommene Induction ergeben fich für n unabhängige Variable die Anzahl Bedingungen von der iten Form — nt — — Lten Form — na — — zten Form = n3 — — 4trn Form = n4 u. s. w. — — nten Form — n»

also bk Anzahl aller Bedingungen

= n/ 4" ns

's nl 's •

•

♦ ♦

4"

®n*

Es ist aber bekanntlich, nach dem Binomischen Satz 2n = n0 + n/ + nl + ♦♦♦• + nn und hieraus die Anzahl aller Bedingungen für n Va­ riable — 2n — r» II. Bestimmung eines Max. oder Min. bei unentwickelten Functienen unabhänZiger Variablen.

§. ii. 3fl u = (p (x, y ♦ ♦,♦ 2) so hak «an nach §. 4. y (x + k# y +r/ ♦•♦♦/* +1> , .

=u+k • 1t1

du,

d2 u ,

du . d2 u

-1—. ---- t-kr * d x d y * 2 d x2 1

+

.

du dz V2 d2U

+L

♦

"7

»

dz2

+ U. f, tt>»

also 9 (x-4-K, y +r,.„.,z+t) —yOt,y,M,tz) du.

— k ♦ d^+r*

du. , du t♦♦♦♦tt#; dz

. d2(t . t d2tt , "4“ “ 4 j x2 "4" ^ ^ f d x dy **4

• t4 dä u. T • ZT*

>4- u. s. w. Bezeichnet man nutz, durch du, d*u, d3 u u. f.w. diejenigen Theile der Aenderung der Function d. h. des Ausdrucks welcher ---- y (x-{- k, y-j-r, .... z+ t) — y (x, y....r) Ist, welche in einer, in zweien u.s.w. Dimensionen der Aenderungen K,»,«..«e multiplicirt find, so hat man

i5 du= k♦

d ii "i

dx

dn rr* 1

du

j—r♦

dy

♦ ♦♦T1— 1

dz

^lLl i kr ܱ_.

2

d2 u

> '

*dx2 *^Kr4dxdy '

‘

d z2

u. s. w. §. 12. Aufgabe. Diejenigen Werthe von x, y....z zu bestimmen für welche u ein Max. oder Min. wird, wenn blos die unentwickelte Function P = y (u, x, y . ♦ ♦ . z) = o gegeben ist. Auflösung. Bezeichnet man die zu x, y .... z gehörigen Aen­ derungen durch k, r....t; die von diesen abhängige Aenderung deS u, aber durch p, so daß nach §. ii; p clu -j- cl^n -j- u. s. «. ist; so hat man du .

du = k.—+ r

du.

.in

... + t .

Nun ist aber, aus P = y (u, x, y,.,, t) ebenfalls nach §. ii; .„dp . , iP . . dp , , dp d P — -— ♦ du-j--— k -J- y— 4 r-j-♦ 4 * *{“-— ♦ t du

1 dx

1 dy

1

*

1 dz

und weil füralle Werthe von X, y»... z und dem zugehörigen-von u, immer P — o sein soll, auch rl P =3 o; folglich dp , , dp dp .dp o — “—« du *4--—.k -4--—• r-r*.... -fr. t. du

1 dx

1 dy

1

-t—

'dz

Setzt man in diese Gleichung den Werth für da, so erhält man

0 __ rLp ti+tn U4.rn 1^4-in r ~ Ldu' +d,J‘k+Uu,dy+dyJ‘r

. . -r*’-'-r

sl^+ln1 l_!n‘ dt +dZJ‘ '

und biefer Gleichung geschieht für alle- Werthe von k, r,.. e Genüge, wenn dp du du * di '

dp _ dx °

dP

dP

du ,

T~ > dy 1----TT-“0 du dy du + , jr dP = o,fi. _ da Entwickelt man nun aus diesen Gleichungen die ersten Ableitungen 1^..^ und setzt wie in I. dP

jede gleich Null, so hat mau die erforderlichen Glei­ chungen zu Bestimmung der Werthe von x, y... z welche u zu einem Max. oder Min. machen. Sie find dp

Ti : dP

*y :

dP _ du dP _ du *

II

♦ . ♦ 4 dP dp dT :

Die Untersuchung ob ein Max. oder ein Min. ge­ funden ist, bleibt ganz wie kn I, indem aus lA ^ 1^ die Werthe von —1 u. f. w. d x3

entwickelt

werden. iir.

r? III, Bestimmung eines Max. oder Min. bei eriLwlckeltm gtmcs tionen abhängiger Variablen.

§. i;. Aufgabe. Dlejenkgen Werthe von v, w..., x, y ♦ ♦ ♦ ♦ * zu bestimmen, für welche u ein Max. oder Min. wird, wenn u = 9 (v,w,..t.x, y,...,7.)

und noch eine gewisse Anzahl unentwickelter Bedkngungs« Gleichungen: P — F (v, w,.... x, y ,,,. z) == o Q — f (v, w,.... x, y.... z) := o R (v, w, ,,., x, y .... z) =3 0 U. s. W. —H>

gegeben find. Auflösung. Die Anzahl der Variablen sel = n, so kann dl» Anzahl Bedingungsgleichungen höchstens = n —i sein. Sie sei allgemein — n — m, so können von den n Variablen nur m, willkührliche Aenderungen erleiden, und die Aenderungen der übrigen n — m Variablen find von diesen abhängig. Es sei die Anzahl der Variablen von y 614« = IN, und ihre willkührliche» Aenderungen = k, .... r; dir zugehörigen Aenderungen der übrigen n—m Da« riablen v, w,.... x mögen p, q,.... t heißen, so baß p = dv + dl v 4* ♦ ♦ ♦ ♦

B

— d x

2) dw =

dy

tl2 X -p • .

4

%k +

♦

dz

v-

♦

r

ifr

Es kommt nun blos darauf an» die m er«

bis^ für DU Be, dz

dingung zu finden, daß u blos als Function der in Variablen y bis z angesehen werbe. Setzt man nemlich dann jede dieser m Ableitungen = o und nimmt zu diesen m Gleichungen die gegebenen n—in Bedingungs,Gleichungen, so hat man die erfor­ derlichen n Gleichungen zu Bestimmung derjenigen Wer­ the der n Variablen welche ein Max. oder Min. liefern können. Es ist aber leicht u blos als Function von y bis z darzustellen, wenn die Bedingungs-Gleichungen, die Werthe von v, w,. .,, bis x entwickeln lassen, indem man dann diese für v, w,... bis x entwickel­ ten, durch y . ♦«. z ausgedrückten Werthe in II — (p (v, w, .... x, y,. . , . z) substituier, und so erhalt, wo dann ganz nach I zu verfahren ist. Die Untersuchung ist also nur für die Falle erferderlich, wo

aus bett n — m Bedkngungs, Gleichungen die Werthe der n—m Variablen v, w,..,. x nicht zu entwickeln sind. In solchen Fallen entnehme man auS den n — m Bedingungs-Gleichungen, folgende o=dP = ^dv + ^dwi....f^.dxtd%t...^Pz, dx o — dQ — j

uv

.dv-f

__da ■o—d\> — dV4 ” v +

4-

dz

i

dR ..♦..Tj^.r

u. s. w. und substltuire in sie die obigen n — IN Werthe für d v, dw, .... bis dx, so nehmen die n —m Gleichungen für dP, dH u. s. w. folgende Form an: ° = A.k-j- ...... -}-M.r o —! A . k "j“ ...... “J* M . r o — A". k -j- ...... -s- M". r U s. W.

t»o jede dieser n —IN Gleichungen, IN Glieder enthält. Ts geschieht aber diesen n — m Gleichungm für alle Werthe der m wMährlichen Aenderungen k,.... dis r Genüge, für A «= o;...... M = o; A ■ - o.......M ■ ~o A — oj ..... ♦ 1V1 —■ o

1). s. w. und aus diesen (n — IN).NI Gleichungen sind die Wer«! che der (n — m). m ersten Ableitungen dv dv d~Z'****** T7.

B 2

dw dw "5 / ♦♦♦♦♦♦ dz dy

< ♦♦♦♦♦♦ dy dP

dP

£Q.

dR

dR

dz '

7—"

“7

d v

dz

ausgedrückt durch d'Q

dx

^ ...... ^; )

tt*

tü*

|u entwickeln. Dieß setze man dann in die n — m Aus­ drücke für d v, d >v .... bis dx, so werden ste als bestimmt durch ^ u« s. w. und k bis r erscheinen. Nun ist aber ferner u u da = d ^.dv + ^,(1VV + .... + d ““.dX

:dV

"dx4

+ ^.k +......... +^.rz und setzt man hier hinein die so eben gefundenen Aus­ drücke für dv ... bis dx so erhält man eine m gliedriche Gleichung von der Form d u —*• S| i k ...... SD? ♦ t ln welcher A.... bisM als Functionen -er Immer leicht zu bestimmenden ersten Ableitungen ip m* dp "7— ♦*♦♦♦• vlv j— dv

d_Q d v dR

dz

. bis ^ da

na dK -z— ♦♦♦♦♦♦ Die -z— ] u. f. w. bis endlich |du| --- M --- o setzen muß, um bke Bedingung des Max* oder Mm. zu erfüllen. Diese m Gleichungen A — obisM — » verbunden mit den n — m Bedingungsglcichungen ge­ ben dann die erforderlichen n Gleichungen, aus wel­ chen die gesuchten Werthe für die n Variablen v bis z zu entwickeln sind. Aus |“j~| ergeben sich dann ^ u. s. w. und die Beurtheilung ob ein Max. oder ein Min. gefunden ist, erfolgt wie in I. §. 14» Zusatz. Um die Ansicht deS im vor. §. angegebenen allge­ meinen Ganges der Arbeit zu erleichtern, auch um es#

Mit bequemern Weg der Ausführung daraus abzulei­ ten, soll der besondere Fall hier noch vorgenommen werben, wo eine entwickelte Function zweier Variablen, ■u — (p (x, y) ein Max. oder Min. werden soll, wenn zugleich die unentwickelte Bedingungsgleichuag P = f (x, y) — o gegeben ist. Es sei dke wlllkührlkche Aenderung von y, = k; die vermöge P = o davon abhängige Aenderung von x frt (J x

— p =: dx + d2x + ♦ •♦ also dx — — . K. d y

Substktuirt man diesen Werth von dx in äP=o=^. dx + ^ - k, so erhält man dke @ltl# chung: [51*17+57] . k — c> und hieraus: dx

dP

dP

Ty = ~ r

dp dp-i

dx= L”57: cRT

*

Nun ist aber dx + ^ . k oder« de» Werth für dx ge-

du =

fetzt:

dke partielle Ableitung I d 11 I

d n dP dP d x d y d x'

du d y

und setzt man diese gleich Null, so entsteht du

dP

j— * 1

dy dx

du 1

d x

dP ♦ 1

dy

O j ($/

aus wacher Gleichung verbunden mit der F (x, y) = o

die Werthe für x und y zu entwickeln find. I d |]

-III dP dP

Aus ld > I dP dP

wenn — d^:dj von

|d2 iii

du

■d^*57:d7x + d> "giebt sich dann, «,

dx

dy Sefchrleben wird, der Werth

; und sein positiver oder negativer Werth,

nachdem die für x und y grfundenra substituirt find, zeigt an, ob ein Min. oder Max. statt findet. Um einen bequemeren Weg der Ausführung sich ,,,

,

,

zu bilden, fetze man sowohl

du dp

als

du dP

, wel­

che beide Quotienten fürs Max. und Min. nach ($ auf der vorig. Seite) einander gleich find, jeden — — so entsteht du dp du dp — — — a . -7— j und — — — u . i— d y dy d x d x du

,«dP

du

«dP

oder 7“ +dy-7— = o unb d 5—h 77— o* d> x dx, Diese beiden Gleichungen sind aber, wenn a als unver­ änderlich behandelt wird, einerlei mit folgenden beiden • Aus y' x = o folgt auch noch 7) 8in X --- 0; und hirrayS 8) x — o und auch 9)

X =3 ff.

Für x = o wird "

^ *

— 2“b + (* —

(‘ + bKr —«)

Klfo AC + BC fä( X = O «in Min., wenn Md arrch, wenn a < t>5 «her 9 ab > (W

a

> b, r ist»

ein

Max. aber, < (b-a) r Ist.

wenn

a < b

und zugleich

sab

Für x = n wird

„ ; ab + (b —a)r q, 71 = , , , . 1 ri Also T

(r + a) r —b)

x — 7i ein Min. wenn b a und auch, wenn b < a aber s ab > (a —b) r ist; ein Max. aber, wenn b a -{- p (2 — n) n + a > ß + y (2—n) 71 -+■ Y > « + nrr + y « + /? « +

Für n — i entstehen hieraus die 3 Bedingungen (aus 13/ 14/ 15 und 16) a -f- y — ß