Traitement numérique des signaux [3 ed.] 9782760537873

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Christian S. GARGOUR, Marcel GABREA et Venkat RAMACHANDRAN Traitement numérique des signaux ion

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Catalogage avant publication de Bibliothèque et Archives nationales du Québec et Bibliothèque et Archives Canada Gargour, Christian Samir Traitement numérique des signaux 3e édition. Comprend des références bibliographiques. Publié en collaboration avec : École de technologie supérieure. ISBN 978-2-7605-3787-3 1. Traitement du signal - Techniques numériques. 2. Systèmes linéaires invariants dans le temps. 3. Filtres numériques (Mathématiques). 4. Transformations (Mathématiques). 5. Traitement du signal - Techniques numériques - Problèmes et exercices. I. Gabrea, Gheorghe Marcel. II. Ramachandran, Venkat, 1934- . III. Université du Québec. École de technologie supérieure. IV. Titre.

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À nos parents, à nos enfants,

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à nos étudiants.

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Avant-propos

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Depuis plusieurs années déjà, le traitement numérique des signaux n’a cessé de se développer et de prendre de l’ampleur. En peu de temps, il est passé du statut de technique complexe réservée à des applications très élaborées à celui d’outil indispensable à un nombre de plus en plus élevé d’applications de tous genres, allant des plus simples jusqu’aux plus complexes. Il remplace aujourd’hui un grand nombre de méthodes analogiques de traitement des signaux et, relativement à plusieurs aspects, s’est avéré plus polyvalent et plus avantageux que ces dernières. De plus, le traitement numérique des signaux permet certains types de manipulations qu’il serait difficile, voire impossible d’effectuer par les méthodes analogiques. Nous avons donc été témoins d’une explosion en matière d’applications de cette discipline. Ces applications s’étendent à un nombre toujours croissant de domaines en génie. Ainsi, l’analyse et le traitement des images et de la parole, les télécommunications et les techniques biomédicales, pour n’en citer que quelques-uns, ne sauraient s’en passer. L’ouvrage présenté ici se veut une introduction au traitement numérique des signaux. Il en présente les éléments de base en dix chapitres. Le premier chapitre est une introduction générale aux systèmes linéaires et invariants dans le temps ainsi qu’aux signaux à temps discret. Le deuxième chapitre présente une introduction à la transformée de Fourier de ces signaux. Le troisième chapitre porte sur l’étude de la transformée en Z. Le quatrième chapitre traite des fonctions de transfert et de la stabilité des systèmes linéaires invariants dans le temps. Une étude des réponses en fréquence de tels systèmes est présentée dans le cinquième chapitre et quelques méthodes importantes utilisées pour leur réalisation font l’objet du sixième. Les chapitres 7 et 8 présentent respectivement des méthodes de conception de filtres récursifs et non récursifs. Le neuvième chapitre présente et décrit sommairement quelques algorithmes utilisés pour le calcul rapide de la transformée de Fourier. Enfin, le dixième chapitre porte sur le traitement multicadence des signaux. L ­ ’ouvrage comprend de nombreux exemples et exercices destinés à illustrer les concepts présentés et à en parfaire la compréhension.

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xiv Traitement numérique des signaux

La solution d’un grand nombre de ces exemples fait usage de programmes écrits pour le logiciel MATLAB® afin de familiariser les lecteurs et lectrices avec les méthodes d’analyse et de conception assistées par o ­ rdinateur utilisées en traitement numérique des signaux. Cet ouvrage s’adresse aussi bien aux étudiants et étudiantes en génie électrique qu’aux ingénieurs et ingénieures et aux scientifiques œuvrant dans les nombreux domaines où l’on a recours à cette discipline.

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Les auteurs adressent leurs remerciements à tous ceux et celles qui, de près ou de loin, les ont aidés à mener à bien la publication de ce volume. Ils remercient l’École de technologie supérieure pour son appui et sa confiance, la compagnie The MathWorks Inc. pour son aide sous forme de logiciels gracieusement fournis et l’ensemble de leurs étudiants sans lesquels ce livre n’aurait jamais pu voir le jour. Ils remercient enfin leurs familles respectives pour le soutien et la compréhension dont elles ont fait preuve tout au long de la rédaction de cet ouvrage.

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Table des matières

Avant-propos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xiii

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Chapitre 1 Signaux et systèmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Signaux continus, discrets et numériques . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Signaux discrets de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Signaux discrets périodiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Systèmes discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.6 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Invariance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.8 Systèmes linéaires et invariants dans le temps . . . . . . . . . . . . . 1.9 Causalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.10 Réponse impulsionnelle et convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.11 Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.12 Équations aux différences, systèmes non récursifs et systèmes récursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.13 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.14 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 6 8 11 11 14 15 17 18 29 30 32 32

Chapitre 2 Transformées de Fourier des signaux discrets . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Transformée de Fourier continue (TFC) d’un signal discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3 Quelques propriétés de la transformée de Fourier continue (TFC) d’un signal discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

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Traitement numérique des signaux

2.4 2.5 2.6

Échantillonnage et reconstitution des signaux continus . . . . . Transformée de Fourier discrète (TFD) d’un signal discret . . Propriétés de la transformée de Fourier discrète d’un signal discret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 TFD d’un signal discret périodique et fonctions fenêtres . . . . 2.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.9 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 61 68 72 82 83

Chapitre 3 Transformée en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 3.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Définition et région de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Transformées en Z de quelques fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Propriétés de la transformée en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.5 Inversion de la transformée en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6 Relation entre la transformée de Fourier et la transformée en Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85 85 90 96 101 124 127 127

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Chapitre 4 Fonctions de transfert et stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Fonction de transfert d’un SLIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Causalité d’un SLIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4 Stabilité d’une fonction de transfert d’un SLIT . . . . . . . . . . . . 4.5 Fonctions de transfert causales, non causales et anticausales ayant le même module de réponse en fréquence . . . . . . . . . . . 4.6 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

129 129 139 140 151 157 158

Chapitre 5 Réponses fréquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.2 Réponse fréquentielle d’un SLIT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 5.3 Réponses fréquentielles des facteurs du premier et du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

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Table des matières

5.4 Fonctions de transfert du second ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.5 Fonctions de transfert en peigne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.6 Fonctions de transfert passe-tout . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.7 Fonctions de transfert à déphasage minimal . . . . . . . . . . . . . . 5.8 Fonctions de transfert à déphasage linéaire . . . . . . . . . . . . . . . 5.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.10 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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180 185 188 192 199 205 205

Chapitre 6 Strutures de réalisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207

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6.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.2 Concepts de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 6.3 Structures directes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 6.4 Structure cascade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217 6.5 Structure parallèle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 6.6 Structures mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225 6.7 Structures pour la réalisation des fonctions de transfert non récursives (RIF) à coefficients symétriques . . . . . . . . . . . . 227 6.8 Structures en treillis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 6.9 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 6.10 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

Chapitre 7 Conception des filtres récursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 7.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Quelques méthodes de conception des filtres analogiques . . . 7.3 Méthode de la réponse impulsionnelle invariante . . . . . . . . . . 7.4 Transformation bilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.5 Utilisation de la transformation bilinéaire pour obtenir une fonction de transfert H(z) ayant des caractéristiques fréquentielles données . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.6 Méthode de calcul de la transformation bilinéaire . . . . . . . . . . 7.7 Transformation des fonctions de transfert du domaine Z . . . . 7.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.9 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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241 242 264 273 281 298 304 307 307

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Traitement numérique des signaux

Chapitre 8 Conception des filtres non récursifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311 8.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Méthode des fenêtres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Méthode de l’échantillonnage en fréquence . . . . . . . . . . . . . . . 8.4 Méthode de Parks-McLellan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Exercices et problèmes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

311 311 341 344 347 347

Chapitre 9 Algorithmes de calcul de la transformée de Fourier discrète . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 9.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Algorithme de Goertzel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Méthodes de calcul de la transformée de Fourier rapide avec entrelacement temporel ou fréquentiel . . . . . . . . . . . . . . . 9.4 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

351 351 353 366

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Chapitre 10 Systèmes multicadences . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 367 10.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.2 Décimation par un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.3 Transformée en Z d’un signal décimé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.4 Transformée de Fourier d’un signal décimé . . . . . . . . . . . . . . . 10.5 Décimation précédée d’un filtre passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . 10.6 Interpolation par un entier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.7 Transformée en Z d’un signal interpolé . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.8 Transformée de Fourier d’un signal interpolé . . . . . . . . . . . . . 10.9 Interpolation suivie d’un filtre passe-bas . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.10 Interpolation/décimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.11 Identités de Noble . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.12 Représentation polyphasée d’un décimateur . . . . . . . . . . . . . . . 10.13 Filtres miroirs en quadrature (FMQ) et reconstruction parfaite du signal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10.14 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

367 367 370 375 382 389 391 392 396 402 412 413 419 424

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425

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Signaux et systèmes discrets

1.1 Introduction

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Les signaux sont généralement utilisés pour transmettre de l’information. Ils sont, du point de vue de leur représentation mathématique, des fonctions d’une ou de plusieurs variables indépendantes. Dans le cas des signaux temporels qui sont les seuls que nous considérerons dans cet ouvrage, cette variable indépendante est le temps. Un signal peut être traité par un système. Il en résulte alors un signal de sortie. Du point de vue de sa représentation mathématique, un système peut être considéré comme un opérateur agissant sur la fonction représentant le signal d’entrée et générant ainsi une fonction représentant le signal de sortie. Les signaux peuvent être subdivisés en deux grandes catégories : les signaux à temps continu (ou signaux continus) et les signaux à temps discret (ou signaux discrets). Les signaux continus sont définis pour toute valeur de la variable indépendante comprise dans un intervalle spécifié à cet effet. Les signaux discrets ne sont définis que pour un ensemble fini de valeurs comprises dans un intervalle spécifié de la variable indépendante. Ces valeurs sont discrètes, successives et habituellement séparées les unes des autres par des intervalles égaux. Un système à temps continu (ou système continu) traite le signal d’entrée pour toutes les valeurs de la variable indépendante. Le signal de sortie d’un tel système est lui aussi un signal continu. Un système à temps discret (ou système discret) ne traite le signal d’entrée que pour des valeurs discrètes, successives et habituellement séparées par des intervalles de temps égaux, de la variable indépendante. Un signal de sortie discret résulte de ce traitement. Dans ce chapitre, nous présenterons certaines notions relatives aux signaux discrets, ainsi que certaines propriétés importantes des systèmes discrets linéaires et invariants dans le temps.

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2

Traitement numérique des signaux

1.2

Signaux continus, discrets et numériques

Comme nous en avons déjà fait mention, les signaux peuvent être classés en deux catégories : les signaux continus et les signaux discrets. Un signal continu xC(t), défini sur l’intervalle de temps t1 ≤ t ≤ t2 , est un signal défini pour toute les valeurs de la variable continue t, comprise entre t1 et t2. Un signal discret x C(t) = x C(nT S ) défini sur l’intervalle de temps t1 = n1TS < t < t 2 = n2TS où n1 < n2 sont des entiers, et où TS désigne un intervalle constant de t, est un signal qui n’est défini que pour les valeurs discrètes de t données par t = nTS, où n est un entier positif ou négatif compris entre n1 et n2. À titre d’exemple, le signal xC(t) = sin(0.2pt), défini sur l’intervalle 0 ≤ t ≤ 5, est un signal continu. Il peut prendre un nombre infini de valeurs, qui dépendent de celles de la variable continue t, comprise entre 0 et 5. Le signal x(n) = sin2 (0.2pnTS) – cos2(0.1pnTS), TS = 1, défini sur l’intervalle 0 ≤ n ≤ 5, est un signal discret qui n’est défini que pour les 6 valeurs données de n, c’est-à-dire pour n = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. Il ne peut donc prendre que les 6 valeurs discrètes suivantes : x(0) = –1, x(1) = –0.56, x(2) = 0.25, x(3) = 0.56, x(4) = 0.25, x(5) = 0

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Les signaux xC(t) et x(n) sont respectivement représentés par les figures 1.2.1a et 1.2.1b.

– –

(a)

(b)

Figure 1.2.1  (a) Signal continu xc(t) = sin(0.2pt) 0 ≤ t ≤ 5 (b) Signal discret x(n) = sin2(0.2 pnTS) – cos2(0.1pnTS), TS = 1, 0 ≤ n ≤ 5

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Signaux et systèmes discrets



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Un signal numérique est un signal discret quantifié, c’est-à-dire dont les valeurs sont représentées par un nombre fini NB de bits de quantification. Donc à l’encontre du signal discret qui peut prendre n’importe quelle valeur, celles que peut prendre le signal numérique sont restreintes par le nombre de bits de quantification utilisé. 1.2.1 Échantillonnage

Les signaux discrets sont souvent obtenus par l’échantillonnage de signaux continus. Cet échantillonnage intervient habituellement à intervalles de temps successifs et identiques. La séquence numérique qui résulte de cet échantillonnage forme ce que l’on nomme un signal discret. Les valeurs du signal discret, coïncident aux instants d’échantillonnage, avec celles du signal continu. La période de temps qui s’écoule entre la prise d’un échantillon de signal continu et celle de la prise de l’échantillon suivant est la période d’échantillonnage. On lui attribuera ici le symbole TS. Pour alléger la notation, on conviendra d’écrire x(n) au lieu de xC(nTS), même lorsque la période d’échantillonnage diffèrera de TS = 1. La figure 1.2.2a représente le signal continu :

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10t, x C (t ) =   0,

0≤t≤3

t < 0, t > 3 (1.2.1) La figure 1.2.2b représente le signal discret xC(t) = xC(nTS) = x(n) obtenu par l’échantillonnage à intervalles de temps réguliers et égaux TS = 1, du signal continu xC(t). Ainsi : x(0) = 0, x(1) = 10, x(2) = 20, x(3) = 30 (1.2.2)

(a)

(b)

Figure 1.2.2  (a) Signal continu (b) Signal échantillonné

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Traitement numérique des signaux

1.2.2 Notation

Dans cet ouvrage, un signal discret x(n) de longueur finie, tel celui qui est représenté à la figure 1.2.2b pourra être représenté par la notation suivante :

[x(n)] = [x(0) … x(3)] = [15 12 24 33]

(1.2.3)

Cette notation indique que x(0) = 15, x(1) = 12, x(2) = 24, x(3) = 33 et que tous les échantillons du signal auxquels aucune valeur n’a été explicitement attribuée sont nuls. Ainsi, dans l’exemple utilisé ici, les valeurs du signal autres que x(0), x(1), x(2) et x(3) sont nulles. Un signal discret de longueur finie ou infinie peut aussi être défini par une relation mathématique telle que :

x(n) = 10 n, 0 ≤ n ≤ 3

(1.2.4)

Exemple E1.2.1

À l’aide du logiciel MATLAB®, générer sur 40 points un signal discret dont la période est de 20 points et dont la forme est : a. Sinusoïdale b. Rectangulaire c. En dents de scie

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Solution

Le programme requis est donné dans l’encadré apparaissant ci-dessous.  % Programme E1.2.1 clear ; t = 0 :39 ; y1 = sin(2*pi*t/20) ; y2 = square(2*pi*t/20) ; y3 = sawtooth(2*pi*t/20) ; subplot(3,1,1) ; stem(t,y1) ; ylabel(‘Y1’) ; subplot(3,1,2) ; stem(t,y2) ; ylabel(‘Y2’) ; subplot(3,1,3) ; stem(t,y3) ; ylabel(‘Y3’) ; pause ; close all ;

Les graphes générés par ce programme apparaissent à la figure E1.2.1.

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Signaux et systèmes discrets



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–

–

–

Figure E1.2.1

Exemple E1.2.2

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À l’aide du logiciel MATLAB®, générer et représenter sur 21 points (0 ≤ n ≤ 20), un signal discret dont la forme est comme suit : a. Un rectangle de 7 points, centré au point n0 = 10. b. Un triangle de 7 points centré au point n0 = 10. Solution

Le programme requis est donné dans l’encadré apparaissant ci-après. Les graphes générés par ce programme sont représentés à la figure E.1.2.2.

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Traitement numérique des signaux

 % Programme E1.2.2 clear ; N = 0 :20 ; n0 = 10 ; XA = rectpuls(N-n0,7) ; XB = tripuls(N-n0,7) ; subplot(2,1,1) ; stem(N,XA) ; ylabel(‘XA’) ; subplot(2,1,2) ; stem(N,XB) ; ylabel(‘XB’) ; pause ; close all ;

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Figure E1.2.2

Dans ce chapitre, nous présenterons quelques signaux discrets de base. Nous y étudierons aussi les propriétés fondamentales de certains systèmes utilisés pour traiter les signaux discrets. 1.3

Signaux discrets de base

Le tableau T1.3.1 donne un aperçu de quelques signaux discrets de base : l’impulsion d(n), l’échelon u(n) et le signal rectangulaire recN1, N2 (n). Un grand nombre de signaux discrets peuvent être exprimés en fonction de ces signaux.

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Signaux et systèmes discrets



Tableau T1.3.1 Impulsion

δ(n – n0)

1, δ(n − n 0 ) =  0,

n = n0 n ≠ n0

n0

n

n, n0 : entiers positifs ou négatifs Échelon

u(n – n0)

1, u(n − n 0 ) =  0,

n ≥ n0 n < n0

1, u  −(n − n 0 ) =  0,

n ≤ n0 n > n0

n0 n0 + 1

u(n – n0)

n0

Signal rectangulaire

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1, N1 ≤ n ≤ N2 re recc N1 , N2 ( n ) =   0, n < N1 , n > N2 rec recN

1 ,N 2

= u(n − N 1 ) − u ( n − N 2 − 1)

Les exemples donnés ci-dessous viennent illustrer ce concept. Exemple E1.3.1

Exprimer le signal x(n) suivant :

[x(n)] = [x(0) … x(12)] = [1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1]

en fonction de signaux échelons.

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Traitement numérique des signaux

Solution

x(n) = {u(n) – u(n – 1)} + {u(n – 3) – u(n – 5)} + {u(n – 9) – u(n – 13)} Exemple E1.3.2

Exprimer chacun des signaux discrets suivants en fonction de l’un ou de plusieurs des signaux discrets de base figurant au tableau T1.3.1.  0 .5 −0 .7 n , 0≤n≤8 x ( n ) = a. a  autress valeurs autre v ale ursdeden n  0, −0 .7 n , 0 0 et impair lorsque P(w) < 0. τ 2 ( ω ) = −TS



dφ ( ω ) d (ω )

= 6 .5 Ts

 ( ω ) + jX  (ω )  (ω ) = X X 2 2R 2I

˜ 2R(w) = P2(w) cos(6.5w), X ˜ 2I(w) = – P2(w) sin(6.5w) X

Signaux de type 3

Les signaux de type 3 sont des signaux antisymétriques par rapport à n0. Ils sont définis par la relation : x3(n0 – n) = –x3(n0 + n), n = 0, 1, 2, …, N – 1

(2.3.10)

Les TFC de ces signaux ont la forme générale suivante :  (ω ) = je − jn0ω Q (ω ) X 3 3



(2.3.11)

où Q3(w) est une fonction impaire de w telle que Q3(–w) = –Q3(w). ˜ 3(w) est donnée par : La phase de X F3(w) = –n0w + p( –1 ± k) 2 où k est pair lorsque Q3(w) > 0 et impair lorsque Q3(w) < 0.



(2.3.12)

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Le délai de groupe est donné par : τ 3 ( ω ) = −TS



dφ 3 ( ω ) d (ω )

= n 0 Ts

Exemple E2.3.7

Obtenir la TFC du signal de type 3 suivant ainsi que son module, son déphasage, sa partie réelle et sa partie imaginaire. {x3(n)} = [x(4) x(5) x(6) x(7) x(8)] = [–2 –1 0 1 2] Solution

Le signal x3(n) est représenté à la figure E2.3.7, n0 = 6.

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Transformées de Fourier des signaux discrets



55

– – – –

Figure E2.3.7  Signal de type 3. Notons l’antisymétrie par rapport à n0 = 6.



 (ω) = X 3

∞

∑

n = −∞

x 3 ( n )e − jωn

˜ 3(w) = (–2)e –4jw + (–1)e –5jw + (0)e –6jw + (1)e –7jw + (2)e –8jw X = e –6jw [–2(e2jw – e –2jw) – 1(ejw – e –jw)] = je –6jw [–4sin(2w) – 2sin(w)] = je –6jw Q3(w) Q 3 ( ω ) = −  4 sin ( 2ω ) + 2 sin ( ω ) 

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Q3(w) est une fonction réelle impaire qui peut prendre des valeurs positives ou négatives.

 (ω ) = Q (ω ) X 3 3

˜ 3(w)} = arg{je –6jw} + arg{Q3(w)} = – 6w + p( –1 ± k) f3(w) = arg{X 2 où k est pair lorsque Q(w) > 0 et impair lorsque Q3(w) < 0.





τ 3 ( ω ) = −TS

dφ 3 ( ω ) d (ω )

= 6Ts



 (ω ) = X  ( ω ) + jX  (ω ) X 3 3R 3I



 ( ω ) = Q ( ω ) cos ( 6ω ) , X  ( ω ) = Q ( ω ) sin ( 6ω ) X 3R 3 3I 3

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Traitement numérique des signaux

Signaux de type 4

Les signaux de type 4 sont des signaux antisymétriques par rapport à n0. Ils sont définis par la relation : x4(n0 + 1 + n) = –x4(n0 – n), n = 0, 1, 2, …, N – 1

(2.3.13)

Les TFC de ces signaux ont la forme générale suivante :  ( ω ) = je X 4



1 − j ( n0 + )ω 2 Q

4(ω)



(2.3.14)

où Q4 (w) est une fonction impaire de w : Q4(–w) = –Q4(w). La phase de X4(ejw) est donnée par : F4(w) = – (n0 + –1 )w + p(–1 ± k) 2 2 k est pair lorsque Q4(w) > 0 et impair lorsque Q4(w) < 0.

(2.3.15)

Le délai de groupe est donné par : τ 4 ( ω ) = −TS



dφ 4 ( ω ) d (ω )

1  =  n 0 +  Ts  2

Exemple E2.3.8

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Obtenir la TFC du signal de type 4 suivant ainsi que le module, le déphasage, la partie réelle et la partie imaginaire de cette dernière. [x4(n)] = [x(4) x(5) x(6) x(7)] = [–2 –1 1 2] Solution

Le signal x4(n) est représenté à la figure E2.3.8, n0 = 5.

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Transformées de Fourier des signaux discrets



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– – – –

Figure E2.3.8  Signal de type 4.

Notons l’antisymétrie par rapport à (n0 + –1 ) = 5.5. 2

 (ω) = X 4

∞

∑

n = −∞

x 4 ( n )e − jωn

˜ 4(w) = X + (–1)e –5jw + (1)e –6jw + (2)e –7jw = e –5.5jw[–2(e1.5jw – e –1.5jw) – 1(e0.5jw – e –0.5jw)] = je –5.5jw[–4sin(1.5w) – 2sin(0.5w)] = je –5.5jw Q4(w) (–2)e –4jw

Q 4 ( ω ) = −  4 sin (1 .5ω ) + 2 sin ( 0 .5ω ) 

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Q4(w) est une fonction réelle impaire qui peut prendre des valeurs positives ou négatives.

 (ω ) = Q (ω ) X 4 4

arg{X4(ejw)} = arg{je –5.5jw} + arg{Q4(w)} = – 5.5w + p(–1 ± k) 2 k est pair lorsque Q4(w) > 0 et impair lorsque Q4(w) < 0.



τ 4 ( ω ) = −TS

dφ 4 ( ω ) d (ω )

= 5 .5Ts

 (ω ) = X  ( ω ) + jX  (ω ) X 4 4R 4I

˜ 4R(w) = Q4(w) sin(5.5w), X ˜ 4I(w) = Q4(w) cos(5.5w) X

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58

2.4

Traitement numérique des signaux

Échantillonnage et reconstitution des signaux continus

Les signaux discrets sont souvent obtenus par l’échantillonnage de signaux continus. Nous exposerons donc ici les relations qui prévalent entre un signal échantillonné x(n) et le signal continu xC(t) à partir duquel ce signal échantillonné a été généré. Considérons un signal continu xC(t) dont la transformée de Fourier est XC(jW), W = 2pF. Les relations entre xC(t) et XC(jW) sont, selon la définition de la ­transformée de Fourier continue d’un signal continu et de son inverse, données par : X C (jΩ) =



x C (t ) =



∞

∫ x C (t )e

− jΩ t

dt (2.4.1)

−∞ ∞

1 X C (jΩ)e jΩ t dΩ ∫ 2π −∞

(2.4.2)



Si le signal continu xC(t) est échantillonné aux instants t = nTS où n = 0, ±1, ±2, ±3, … selon la période d’échantillonnage TS = 1/FS, où FS désigne le taux (ou fréquence) d’échantillonnage, le signal échantillonné correspondant xC(nTS) peut être exprimé comme suit :

x C (nTS ) =

∞

1 jΩnΤ X C (jΩ)e S dΩ ∫ 2π −∞

(2.4.3)



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Ce signal échantillonné que l’on peut désigner par x(n) peut aussi être exprimé en fonction de sa TFC X(ejw), à l’aide des équations 2.2.5 et 2.2.7. Il est ensuite possible à l’aide de quelques manipulations algébriques [OPP] de démontrer que la relation entre la transformée de Fourier XC(jw) du signal continu xC(t) et celle X(ejw), où w = WTS, du signal échantillonné (discret) x(n) est donnée par :

X( e

jΩTS

1 )= TS

m = +∞

∑

m = −∞

X C  j ( Ω + m Ω S ) 



(2.4.4)

La transformée de Fourier X(ejw) du signal échantillonné (discret) x(n) est donc constituée par la somme d’un nombre infini de transformées de Fourier du signal continu xC(t) décalées en fréquence les unes par rapport aux autres. Le décalage fréquentiel de chacune de ces répétitions de la transformée du signal continu par rapport à la précédente est égal à la fréquence d­ ’échantillonnage FS = 1/TS.

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Transformées de Fourier des signaux discrets



➢➢ ➢➢ ➢➢

➢➢

59

La figure 2.4.1a représente la transformée de Fourier continue XC(jW) d’un signal continu xC(t). La composante fréquentielle la plus élevée de ce signal est Fm. La figure 2.4.1b représente la transformée de Fourier continue du signal xC(t) échantillonné à une fréquence FS < 2Fm. Puisque Fm > FS/2, les différentes répétitions de XC(W) qui forment X(ejWTs) se chevauchent. C’est ce que l’on désigne sous le nom de distorsion de repliement (aliasing). La figure 2.4.1c représente la transformée de Fourier du signal xC(t) échantillonné à une fréquence FS = 2Fm. Dans ce cas, puisque Fm = FS/2, les différentes répétitions de XC(jW) qui forment X(ejWTs) ne se chevauchent pas. Elles se succèdent sans laisser d’intervalles fréquentiels entre elles. On notera qu’un filtre passe-bas idéal dont la fréquence de coupure serait FS/2 permettrait ici de récupérer le signal original. La figure 2.4.1d représente la transformée de Fourier du signal xC(t) échantillonné à une fréquence FS > 2Fm. Étant donné que Fm < FS/2, les différentes répétitions de XC(W) qui forment X(ejWTs) se succèdent sans chevauchement. Un intervalle fréquentiel ∆F = FS – 2fm les sépare dans ce cas. On notera qu’un filtre passe-bas dont la fréquence de coupure serait située entre Fm et (FS – Fm) permettrait, dans ce cas, de récupérer le signal original.

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La fréquence de Nyquist FN est définie comme étant égale au double de la composante fréquentielle la plus élevée du signal qui est désignée ici par Fm. La période et la pulsation de Nyquist correspondantes sont définies ci-dessous en fonction de FN. T N = 1/FN, WN = 2pFN, FN = 2Fm

(2.4.5)

La condition d’échantillonnage de Nyquist peut être énoncée comme suit : Pour échantillonner un signal continu xC(t) de telle sorte qu’il soit possible de reconstituer fidèlement (sans perte d’information) ce signal à partir de ses échantillons, il faut utiliser une fréquence d’échantillonnage FS telle que :

FS ≥ FN = 2Fm (2.4.6)

On peut démontrer [OPP] que le signal ainsi reconstitué peut être obtenu par la formule d’interpolation suivante : π  sin  ( t − nTS )   TS  x R ( t) = ∑ x ( nTS ) π n = −∞ ( t − nTS ) TS ∞



(2.4.7)

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Traitement numérique des signaux

–

(a) Transformée de Fourier d’un signal continu

– –

–

(b) Transformée de Fourier du signal xC(t), échantillonné à FS < 2Fm. Le signal original ne peut être récupéré à l’aide d’un filtre passe-bas idéal.

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–

–

(c) Transformée de Fourier du signal xC(t), échantillonné à FS = 2Fm. Le signal original peut être récupéré à l’aide d’un filtre passe-bas idéal.

– –

–

(d) Transformée de Fourier du signal xC(t), échantillonné à FS > 2Fm. Le signal original peut être récupéré à l’aide d’un filtre passe-bas idéal. Figure 2.4.1

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Transformées de Fourier des signaux discrets



61

Notons que la formule de l’équation 2.4.7 ne peut pas être utilisée pour obtenir en temps réel le signal reconstitué. En effet, elle requiert la connaissance de toutes les valeurs passées et futures du signal échantillonné pour le calcul de la valeur du signal reconstitué à un instant donné. 2.5

Transformée de Fourier discrète (TFD) d’un signal discret

La transformée de Fourier continue d’un signal discret (TFC) exprime celui-ci en fonction de composantes évaluées à un nombre infini de pulsations. En effet, cette transformée est une fonction de la variable continue w = 2pF/FS qui peut prendre toutes les valeurs comprises entre –p et +p, où F est la fréquence en Hz et FS, la fréquence d’échantillonnage. La transformée de Fourier discrète d’un signal discret (TFD) est une séquence dont les éléments successifs sont les valeurs de la transformée de Fourier continue (TFC) de ce même signal, évaluées à un nombre fini de pulsations successives wk, où k = 0, 1, …, N – 1. Ces pulsations sont situées à intervalles réguliers entre 0 et 2p. La résolution spectrale de la TFD augmente donc avec la valeur de N. Nous définirons ci-dessous la TFD et étudierons quelques-unes de ses propriétés importantes. 2.5.1

Définition de la transformée de Fourier discrète (TFD) d’un signal discret et de son inverse (TFDI)

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Si l’on pose :

ωk =

2πk , k = 0, 1, 2, . . ., N − 1 N (2.5.1)

dans l’expression de la transformée de Fourier continue d’un signal discret x(n) donnée, ∞comme nous l’avons mentionné précédemment, par F { x ( n ) } = X( e jω ) = ∑ x ( n )e − jnω , on obtient alors la transformée de Fourier n = −∞

discrète (TFD) en N points du signal x(n) indiquée par FD{x(n)}, qui est une séquence périodique de longueur N définie par :

FD { x ( n ) } = X( k ) =

N−1

∑ x ( n )e

n=0

−j

2πkn N

=

N−1

∑

n=0

x ( n ) W Nkn ,

WN = e

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−j

2π N



(2.5.2)

62

Traitement numérique des signaux

La TFD peut être réécrite sous la forme suivante :

X(k ) = X R (k ) + jX I (k ) = X(k ) e

jarg {X( k )}

(2.5.3)

où X R(k) est la partie réelle de la TFD, X I(k) sa partie imaginaire, |X(k)| son module et arg{X(k)} son argument (sa phase). De plus, X*(k) est la conjuguée complexe de X(k). La transformée de Fourier discrète inverse (TFDI) indiquée par FD –1{X(k)} permet de calculer le signal x(n) à partir de sa TFD selon :



FD

N−1

{ X( k ) } = x ( n ) = ∑ X( k )

−1

j2πkn e N

=

N−1

∑ X( k )

k =0

k =0

W N− kn ,

WN = e

−j

2π N

(2.5.4)

Exemple E2.5.1

Obtenir la transformée de Fourier discrète du signal discret suivant [x(n)] = [x(0) … x(2)] = [0.5 0.7 0.9]. Donner ensuite une expression pour le module et une expression pour l’argument (le déphasage) de cette transformée. Calculer la valeur de chacune de ces deux quantités lorsque k = 1. Solution X( k ) =

2

∑ x ( n )e

−j

2πkn 3

= x ( 0 )e

−j

2πk (0) 3

+ x (1)e

−j

2πk ( 1) 3

+ x ( 2)e

−j

2πk ( 2) 3

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n=0

= 0 .5 + 0 .7e

−j

2π k 3

+ 0 .9e

−j

2π 2k 3

   2π   2π    4π   4π   = 0 .5 + 0 .7  cos  k  − j sin  k   + 0 .9  cos  k  − j sin  k  3   3   3   3    



  2π   4π     2π   4π   k  + 0 .9 cos  k   − j  0 .7 sin  k  + 0 .9 sin  k =  0 .5 + 0 .7 cos   3   3    3   3   

Le module de X(k) est donné par : 2

X(k ) =



2π 4π   2π 4π    0 .5 + 0 .7 cos( 3 k ) + 0 .9 cos( 3 k ) +  0 .7sin( 3 k ) + 0 .9sin( 3 k )    

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2

Transformées de Fourier des signaux discrets



63

La phase de X(k) est donnée par :  2π 4π    k ) + 0 .9sin( k)  −  0 .7sin(  3 3     Φ X (k ) = arctan     0 .5 + 0 .7 cos( 2π k ) + 0 .9 cos( 4π k )    3 3  

Pour k = 1 :

2

X(1) =





2

2π 2π 4π  4π     0 .5 + 0 .7 cos( 3 ) + 0 .9 cos( 3 ) +  0 .7sin( 3 ) + 0 .9sin( 3 ) = 0 .34641    

 4π   2π   −  0 .7 sin( 3 ) + 0 .9 sin( 3 )     Φ X (1) = arctan   = −0 .5 2 3 6 rad   0 .5 + 0 .7 cos( 2π ) + 0 .9 cos( 4π )     3   3

Exemple E2.5.2

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir et représenter graphiquement le module et la phase de la transformée de Fourier discrète X(k) en N = 8, puis en N = 64 points du signal suivant : [x(n)] = [x(1) … x(8)] = [1 2 3 4 4 3 2 1].

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Solution

Le programme donné dans l’encadré permet d’obtenir la transformée de Fourier en N points du signal. % Programme E2.5.2 clear ; X= [1 2 3 4 4 3 2 1] ; n = 8 ; %n = 64 FX = fft(X,n) ; MFX = abs(FX) ; AFX = angle(FX) ; subplot(3,1,1) ; stem(X) ; ylabel(‘Signal’) ; subplot(3,1,2) ; stem(MFX) ; ylabel(‘Module de la TF’) ; subplot(3,1,3) ; stem(AFX) ; ylabel(‘Déphasage de la TF (rad)’) ; pause ; close all ;

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64

Traitement numérique des signaux

Il permet également d’obtenir le module et la phase de cette dernière et de les représenter graphiquement ainsi que le signal lui-même.

Déphasage de la TF (rad) Module de la TF

Déphasage de la TF (rad) Module de la TF

Les graphes obtenus pour n = 8 et pour n = 64 sont représentés à la figure E2.5.2. On remarque que plus la valeur du nombre de points de la transformée de Fourier augmente, plus la représentation fréquentielle du signal est détaillée. De plus, on note que la phase de la TFD du signal considéré est linéaire. Cela est dû au fait que le signal est de type 2.

–



–

(a) n = 8

(b) n = 64 Figure E2.5.2

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2.5.2 Forme matricielle de la TFD d’un signal discret

La transformée de Fourier discrète (TFD) en N points d’un signal discret et la transformée de Fourier discrète inverse (TFDI) correspondante peuvent être respectivement exprimées sous les formes matricielles suivantes : 0  X( 0 )   W N    W0  X(1)   N  X( 2)  =  W N0          X( N − 1)   0   W N 

W N0

W N0

W N1

W N2



W N2

W N4









W NN − 1

W N2( N − 1)





  W  2( N − 1)  WN     2 W N(N − 1)  W N0

1( N − 1)

 x(0)    − j2π  x (1)   x ( 2)  , W N = e N       x ( N − 1)  (2.5.5a)  



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Transformées de Fourier des signaux discrets



 W N0  x(0)   0   W  x (1)  1  N   x ( 2)  = W N0   N         x ( N − 1)     W N0

W N0

W N0



W N−1

W N−2



W N−2

W N−4









W N−( N − 1)

  W N−( N − 1)   W N−2( N − 1)     2 W N−( N − 1)  W N0

W N−2( N − 1) 

65

 X( 0 )    2π  X(1)  j  X( 2)  , W N−1 = e N       X( N − 1)  (2.5.5b)  

Où X(k), k = 0, …, N – 1 est la TFD du signal x(n). Exemple E2.5.3

Obtenir la TFDI, X(k) du signal suivant, en utilisant la forme matricielle donnée ci-dessus.

[x] = [x(0) … x(4)] = [10 8 6 6 8]. Solution

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Selon l’équation 2.5.5a :



 X(0)     X(1)   X(2)  =    X(3)   X(4 )  

 W50  0  W5 W0  5 W0  50  W5

W50

W50

W50

W51 W52 W53 W54

W52 W54 W56 W58

W53 W56 W59 W512

W50   W54  W58   W512   W516 

 x(0)     x(1)   x(2)     x(3)   x(4 )  

donc :



1   X(0)    1   X(1)    X(2)  = 1     X(3)    X(4 ) 1    1

1

1

1

2π −j e 5

4π −j 5

6π −j 5

e e e

−j

4π 5

−j

6π 5

−j

8π 5

e e e e

−j

8π 5

−j

12π 5

−j

16π 5

e e e e

−j

12π 5

−j

18π 5

−j

24π 5

1  8π  −j e 5   16π  −j e 5  24π  −j e 5   32π −j  e 5 

 x(0)     x(1)   x(2)     x(3)   x(4 )  

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66

Traitement numérique des signaux

Étant donné que : j2π  k + mN



e

N

1   X(0)    1   X(1)    X(2)  = 1     X(3)    X(4 ) 1    1

1

  =  e

j2πk N

,  k   0 et/ou z → ∞ si n0 < 0.

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Transformée en Z



91

Exemple E3.3.2

a. Obtenir la TZ de x(n) = u(n) ainsi que sa RDC. b. Obtenir la TZ de x(n) = –u(–n – 1) ainsi que sa RDC. Solution

a. La transformée en Z du signal x(n) = u(n) est donnée par : X( z ) =



∞

∑

u ( n )z − n =

n = −∞

∞

∑ z −n

n=0

En utilisant la formule de sommation des séries géométriques : v N1 − v N2 +1 ∑ v = 1 − v , N1 < N2 n = N1 N2



n

on obtient :

(z ) − (z ) X(z) = −1

0

−1

∞

1 − z −1



Dans le cas où |z–1| < 1 :

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la TZ de x(n) est donnée par : X(z) =



1 1 − z −1

et sa RDC est |z| > 1. b. La transformée en Z de x(n) = –u(–n – 1) est donnée par :

X( z ) =

∞

−1

−1

n = −∞

n = −∞

n = −∞

∑ ( −u ( −n − 1 )) z − n = ∑ ( −z − n ) = − ∑

( z −1 ) n

En utilisant la formule de sommation des séries géométriques, on obtient :



 ( z −1 ) ∞ − ( z −1 ) −1 + 1   1 − z ∞  X( z ) = −  = −1  1 − z −1   1 − z 

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92

Traitement numérique des signaux

Si |z| < 1 alors |z|∞ → 0. Dans ce cas : X(z) =



1 1 − z −1

et sa RDC est |z| < 1. On remarquera que la séquence unilatérale droite (SUD) x(n) = u(n) et la séquence unilatérale gauche (SUG) x(n) = –u(–n – 1) ont toutes deux la même transformée en Z, soit X(z) = 1/(1 – z–1) avec des RDC différentes. Exemple E3.3.3

Obtenir la TZ de x(n) = bra(n  –  n0)u(n – n0) ainsi que sa RDC. Solution

La transformée en Z de x(n) est donnée par : X( z ) =



∞

∑

br

a ( n −n 0 )

n

z u ( n − n 0 ) = br

n = −∞

∞

∑ (r z )

−an 0

n

a −1

n = n0

En utilisant la formule de sommation des séries géométriques :

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N2



∑

vn =

n = N1

v N1 − v N2 + 1 où N1 < N2 1− v

on obtient :



(

X(z) = br

−an 0

)

(r z ) − (r z ) a −1

n0

a −1

∞

1 − r a z −1

Si |raz–1| < 1, alors (raz–1)∞ → 0 et la TZ de x(n) est donnée par :



(

X(z) = br

(r z ) a −1

−an 0

) 1− r z

n0

a −1

=

bz

− n0

1 − r a z −1

La RDC de X(z) est : |z| > |ra|.

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Transformée en Z



93

Exemple E3.3.4

Obtenir la TZ de x(n) = ejw0n u(n) ainsi que sa RDC. Solution

La transformée en Z de x(n) est donnée par : X( z ) =

∞

∑

e jω 0 n u ( n )z − n =

n = −∞

X( z ) =



∞

∞

∑ e jω n z − n = ∑ ( e jω z −1 ) 0

0

n=0

n=0

(e

jω 0 n −1

z

) − (e 0

1−e

n

jω 0

z

jω 0 n −1

z

−1

)

∞

Pour |ejw0z–1| < 1 donc pour |z| > |ejw0| = 1, on obtient : X(z) =



1 1− e

jω 0 −1

z

La RDC est définie par |z| > 1. Exemple E3.3.5

Obtenir la TZ de x(n) = Ccos(w0n)u(n) ainsi que sa RDC.

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Solution

La transformée en Z de x(n) est donnée par :

x(n ) = C cos(nω 0 ) u(n ) =

C jnω 0 − jnω e + e 0  u(n ) = x 1 (n ) + x 2 (n )   2

La TZ de (C/2) ejnw0 ainsi que celle de (C/2) e –jnw0 peuvent être obtenues en posant :

b = C/2, r = e, a = ± jw0, n0 = 0

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94

Traitement numérique des signaux

dans l’exemple E3.3.3. On obtient alors la TZ de x(n) sous la forme suivante :  C  C 1 1 X(z) = X 1 (z) + X 2 (z) =   +  jω 0 −1 − jω 0 −1  2  1− e z  2  1− e z − jω

 C  1 − z −1 e 0 + 1 − z −1 e 0 =   2  1 − z −1 e jω 0 1 − z −1 e − jω 0

(

jω

)(

)

(

− jω

)

2 − e 0 + e 0 z −1  C =   2  1 − e jω 0 + e − jω 0 z −1 + z −2

(

jω

)

−1

=C

1 − z cos(ω 0 )

1 − 2 z −1 cos(ω ) + z −2

0 La RDC de cette TZ est définie par |z| > |e±jw0| = 1.

Exemple E3.3.6

Obtenir la TZ de x(n) = C sin(w0n)u(n) ainsi que sa RDC. Solution

Réécrivons x(n) sous la forme suivante : x(n ) =

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C jnω 0 − jnω e − e 0  u(n ) = x 1 (n ) − x 2 (n )  2j 

La TZ de (C/2j)ejnw ainsi que celle de (C/2j)e –jnw peuvent être obtenues en posant : b = C/2j, r = e, a = ± jw0, n0 = 0 dans l’exemple E3.3.3. La TZ de x(n) prend alors la forme suivante :  C  C 1 1 X( z ) = X1 ( z ) – X 2 ( z ) =   −  jω 0 −1 − jω 0 −1  2j  1 − e z  2j  1 − e z  C  1 − z −1 e − jω 0 − 1 + z −1 e jω 0  C =  =  jω − jω −1 −1  2j  1 − z e 0 1 − z e 0  2j  1 −

(

)(

)

=



(e (e

) )z

jω 0

− e − jω 0 z −1

jω 0

+ e − jω 0

−1

+ z −2

C z −1 sin( ω 0 )

1 − 2 z −1 cos( ω 0 ) + z −2

La RDC de cette TZ est définie par |z| > |e±jw0| = 1.

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Transformée en Z



95

Le tableau T3.3.1 récapitule les transformées en Z de quelques signaux discrets (ou séquences numériques) simples qui ont, pour la plupart, été étudiées précédemment. Tableau T3.3.1  Transformées en Z de quelques fonctions

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TZ1

Z {δ(n − n 0 )} = z

− n0

RDC : Tout le plan Z, sauf : {z = 0, n0 > 0 ou z = ∞, n0 < 0}

{

}

1

TZ2a

Z r n u(n) =

TZ2b

Z −r n u(−n − 1) =

TZ3a

Z nr n u(n) =

TZ3b

Z –nr n u(–n – 1 ) =

TZ4

n 0 ≤ n ≤ N − 1  1 − r N z − N  r Z = 1 − rz −1 0 autres valeurs de n 

TZ5

TZ6

1 − rz −1

{ {

}

}

RDC : |z| > r 1

1 − rz −1

RDC : |z| < r

rz −1 (1 − rz −1 )2

{



RDC : |z| > |r|

rz −1 (1 − rz −1 ) 2

}



RDC : |z| < |r|

rz −1 sin(ω 0 ) Z  r nsin(nω 0 )  u(n) = 1 − 2rz −1 cos(ω 0 ) + r 2 z −2

{

}

1 − rz −1 cos( ω 0 ) Z  r n cos(nω 0 )  u(n) = 1 − 2rz −1 cos( ω 0 ) + r 2 z −2

{

}

{

RDC : |z| > 0



RDC : |z| > r



RDC : |z| > r

}

Z r n  α cos(ω 0 n ) + β sin(ω 0 n ) u(n )

TZ7

=

γ +δz −1

−1

1 − 2r z cos(ω 0 ) + r 2 z −2

,



RDC : |z| > r

 cos(ω 0 )    δ γ = α, δ = − r  α cos(ω 0 ) − β sin(ω 0 )  ↔ β = γ  +    sin(ω 0 )   r sin(ω 0 ) 

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96

Traitement numérique des signaux

Exemple E3.3.7

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir la TZ du signal suivant : x(n ) = n e



( −ω 0 n )

sin(ω 0 n )

Solution

Le programme requis figure dans l’encadré ci-dessous. Notons qu’il utilise le Symbolic Math Toolbox ® du logiciel MATLAB®.  % Programme E3.3.7 clear ; n = sym(‘n’) ; x = sym(‘x’) ; w0 = sym(‘w0’) ; X = sym(‘X’) ; x = n*exp(–w0*n)*sin(w0*n) ; X = ztrans(x) ; X = simple(X)

Ce programme calcule la TZ requise et la présente sous la forme suivante : X = (z*exp(w0)*sin(w0)*(exp(2w0)*z^2-1))/ (exp(2w0)*z^2-2exp(w0)*cos(w0)*z+1)^2

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d’où : ze 0 sin ( ω 0 )[e ω

X(z) =

3.4

(z e

2 2ω 0

2ω 0 2

z − 1]

− 2e 0 cos ( ω 0 ) z + 1 ω

)

2

Propriétés de la transformée en Z

Le tableau T3.4.1 présente quelques propriétés importantes de la TZ d’un signal tel que x(n) dont la TZ est Z{x(n} = X(z) et dont la région de ­convergence est R X.

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Transformée en Z



97

Tableau T3.4.1  Propriétés de la transformée en Z TZ-P1

Linéarité : Z{ca x a (n) + c b x b (n)} = ca X a (z) + c b X b (z) ca et cb sont des constantes. La RDC contient R X ∩ R X . a

b

TZ-P2

Inversion temporelle : Z{x(–n)} = X(z–1) La RDC est 1/R x.

TZ-P3

Décalage temporel : Z{x(n – n0)} = z–n0X(z) La RDC est R x, avec ou sans l’origine et/ou l’infini, selon le cas.

TZ-P4

Dérivée en z : Z { nx(n)} = − z

dX(z) dz

La RDC est R x avec ou sans l’origine et/ou l’infini, selon le cas. TZ-P5

Division par z0 : Z{zn0 x(n)} = X(z/z0) La RDC est |z0| R x.

TZ-P6

Convolution temporelle : Z{xa(n)*xb(n)} = Xa(z)Xb(z) La RDC contient R X ∩ R X . a

b

Multiplication temporelle : TZ-P7

{

}

Z xa (n)x b(n) =

1 1  X a ( λ) X ∗b ( z / λ)  dλ  ∫ 2πj C λ

La RDC contient R X ∩ R X . Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.

a

TZ-P8

b

Conjuguée complexe : Z{x*(n)} = X*(z*) La RDC est R x. Pour x(n) = xR(n) + jxI(n)

TZ-P9

Z{x R ( n )} =

1 1  X( z ) + X ∗ ( z ∗ )  , Z { x I ( n ) } =  X( z ) − X ∗ ( z ∗ )  2 2j

Les RDC de Z{xR(n)} et de Z{xI(n)} contiennent R x. Théorème de Parseval : TZ-P10

∞

∑

n = −∞

TZ-P11

x a ( n ) x ∗b ( n ) =

1 1  X a ( λ) X ∗b (1 / λ ∗ )  dλ  ∫ 2πj C λ 

Limite : x ( n ) = 0 ∀ n < 0 → x ( 0 ) = Lim { X ( z )} z→∞

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98

Traitement numérique des signaux

Les six premières propriétés du tableau T3.4.1 sont démontrées ci-dessous. Propriété TZ-P1

La TZ de axa(n) + bxb(n) est donnée par : Z {c a x a ( n ) + c b x b ( n ) } = =

∞

∑

n = −∞

= ca



∞

∑

n = −∞

∞

∑ {c a x a ( n ) + c b x b ( n ) } z − n

n = −∞

c a x a ( n )z − n +

x a ( n )z − n + c b

∞

∑

n = −∞

∞

∑

n = −∞

c b x b ( n )z − n

x b ( n )z − n = c a X a ( z ) + c b x b ( z )

Propriété TZ-P2

La TZ de x(–n) est donnée par : Z { x ( −n ) } =



∞

∑

x ( −n )z − n

n = −∞

Si l’on pose m = –n, on obtient : Z { x ( −n ) } =

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∞

∑

( )

x ( m ) z −1

m = −∞

−m

= X( z −1 )

Propriété TZ-P3

La TZ de x(n – n0) est donnée par : Z{x ( n − n 0 )} =



∞

∑ x (n − n 0 ) z −n

n = −∞

Si l’on pose n – n0 = m, on obtient :

{

}

Z x (n − n 0 ) =

∞

∞

∑ x ( m ) z −( n +m ) = z − n ∑ x ( m ) z − m 0

m = −∞

0

= z − n 0 X( z )

m = −∞

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Transformée en Z



Propriété TZ-P4

La TZ de nx(n) est donnée par : Z {n x ( n ) } =



∞

∑

m = −∞

 n x ( n )  z − n = −z

∞

∑ x ( n ) ( −nz − n −1 )

n = −∞

En remarquant que : dz − n = −nz − n − 1 dz

on obtient : Z { n x ( n ) } = −z



∞

∑

x(n)

n = −∞

dz − n d = −z dz dz

∞

∑ x ( n ) z − n = −z

n = −∞

dX( z ) dz

Propriété TZ-P5

La TZ de z0nx(n) est donnée par : Z



{

z no x ( n )

∞

}= ∑

n = −∞

 z n0 x ( n )  z − n =

 z  ∑ x ( n )  z  n = −∞ 0 ∞

−n

 z  = X   z0 

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Propriété TZ-P6

La TZ de xa(n)*xb(n) est donnée par :   ∞ Z{x a ( n ) ∗ x b ( n )} = Z  ∑ x a ( k ) x b ( n − k )  =   k = −∞ =

∞

∞

∑ ∑

k = −∞ n = −∞

x a ( k ) x b ( n − k ) z −n =

∞

∑

k = −∞

 x a ( k ) x b ( n − k )  z −n n = −∞    k = −∞ ∞



∞

∑∑

x a ( k )z − k

∞

∑

n = −∞

x b ( n − k ) z −( n −k )

Si l’on pose : m = n – k, dans la sommation de droite, on obtient :



 ∞  ∞  Z{x a ( n ) ∗ x b ( n )} =  ∑ x a ( k ) z −k   ∑ x b ( m ) z −m  = Xa ( z ) X b ( z )  n = −∞   m = −∞ 

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99

100 Traitement numérique des signaux

Les exemples suivants illustrent l’utilisation des TZ des fonctions élémentaires données à la section 3.3 et celle des propriétés de la TZ mentionnées ci-dessus, pour obtenir les TZ de fonctions plus complexes. Exemple E3.4.1

Utiliser la transformée en Z donnée par l’équation TZ2a du tableau T3.3.1 pour établir l’équation TZ3a du même tableau en utilisant la propriété TZ-P4 du tableau T3.4.1. Solution

Selon l’équation TZ2a du tableau T3.3.1, la transformée en Z de x(n) = rnu(n) est X(z) =

1 1 − rz −1

.

Selon la propriété TZ-P4 du tableau T3.4.1, la transformée en Z de nx(n) est −z

dX(z) . dz

La transformée de n(rnu(n)) est donc − z

d  1  rz −1 . = dz  1 − rz −1  (1 − rz −1 )2

Ceci démontre l’équation TZ3a du tableau T3.3.1. Exemple E3.4.2

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Obtenir la TZ de chacun des deux signaux suivants : a. xa(n) = arncos(w0n)u(n) b. xb(n) = brnsin(w0n)u(n) Solution

En ayant recours aux résultats des exemples E3.3.5 et E3.3.6 et à la propriété TZ-P5 du tableau T3.4.1, on obtient :



X a (z) =

a 1 − rz −1 cos(ω 0 )

1 − 2rz −1 cos(ω 0 ) + r 2 z −2

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Transformée en Z



101

et : X b (z) =

3.5

brz −1 sin(ω 0 )

1 − 2rz −1 cos(ω 0 ) + r 2 z −2

Inversion de la transformée en Z

L’inversion d’une transformée en Z telle que X(z) consiste à déterminer le signal (ou séquence numérique) x(n) dont X(z) est la transformée en Z. Il existe plusieurs méthodes permettant d’arriver à ce résultat. Nous mentionnerons ici : a. L’application directe de tables de transformées en Z. b. Le développement en série de puissances de la transformée en Z à inverser. c. Le développement en fractions partielles de la transformée en Z à inverser suivie de l’utilisation des tables. d. L’utilisation de la formule d’inversion de la transformée en Z. Nous étudierons en détail chacune de ces méthodes.

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3.5.1

Utilisation directe des tables de transformées en Z

Cette méthode consiste simplement à retracer dans les tables de transformées en Z préétablies celle que l’on désire inverser. On relève ensuite dans la table le signal correspondant. Si la table consultée ne contient pas la TZ que l’on désire inverser, il est souvent possible de reformuler cette dernière en fonction des TZ figurant dans cette table. En outre, on peut dans certains cas combiner l’application directe d’une table à celle des propriétés générales des TZ afin d’obtenir l’inversion de la TZ recherchée. Notons qu’à moins de disposer de tables très détaillées, cette méthode peut s’avérer difficile à appliquer advenant que la TZ à inverser soit le moindrement complexe. 3.5.2 Développement en série de puissances ou par division de polynômes

Cette méthode découle directement de la définition de la TZ sur sa RDC donnée par : X( z ) =

∞

∑

x ( n )z − n

n = −∞

(3.5.1)

−1 −2 −3   = . . . + z x ( −2) + z x ( −1) + z x ( 0 ) + z x (1) + z x ( 2) + z x ( 3) + . . . 2

1

0

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102 Traitement numérique des signaux

L’expression de la TZ sous la forme indiquée par l’équation 3.5.1 permet de déterminer les valeurs des éléments du signal x(n), – ∞ < n < ∞. Le développement en série de puissances ou par division de polynômes de la TZ ne permet toutefois pas toujours d’obtenir la TZI sous une forme compacte. Les exemples suivants illustrent le mode d’utilisation de cette méthode. Exemple E3.5.1

Obtenir la transformée en Z inverse (TZI) de X(z) = (z–1 + 3)(z + 5) par la méthode du développement en série de puissances de la TZ. Solution

X(z) = (z–1 + 3)(z + 5) = 5z–1 + 16 + 3z



En comparant cette expression avec la définition de la TZ de l’équation 3.5.1, on obtient : x(1) = 5, x(0) = 6, x(–1) = 3 et x(n) = 0 pour toute autre valeur de n. Exemple E3.5.2

Obtenir par la méthode du développement par division de polynômes, la TZI de : X( z ) =



1 1 − 0 .5z −1

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dans chacun des deux cas suivants. La RDC de X(z) est : a. |z| > 0.5 b. |z| < 0.5 Solution

a. Puisque la RDC de X(z) est |z| > 0.5, la séquence x(n) est une séquence qui s’étend d’une valeur finie de n = N0 à n → = ∞. C’est une SUD. Aussi, le développement en série de X(z) doit avoir la forme générale suivante : X( z ) =



∞

∑

x ( n )z − n

n = N0

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Transformée en Z



103

Il est possible d’écrire X(z) sous la forme suivante : X(z) = (1 − 0 .5z −1 )−1



L’application du théorème du binôme nous donne :

X(z) = 1 + (0.5)z–1 + (0.5)2z–2 + … La comparaison de cette expression avec la définition de la TZ de l’équation 3.5.1 permet d’écrire :



x(0) = 1, x(1) = 0.5, x(2) = (0.5)2 , …, x(k) = (0.5)k, … L’inspection des valeurs de x(n) ainsi obtenues nous permet de conclure que la TZI de X(z) peut être exprimée sous la forme compacte suivante : x(n) = (0.5)n u(n)



b. Puisque la RDC de X(z) est |z| < 0.5, la séquence x(n) est une séquence qui s’étend d’une valeur finie de n = N0 à n → –∞. C’est une SUG. Ainsi, le développement en série de X(z) revêt la forme N générale X( z ) =

0

∑

n = −∞

x ( n )z − n . Il est donc possible d’écrire X(z) sous

la forme suivante :

X( z ) = (1 − 0 .5z −1 ) −1 = z(z-0 .5 ) –1 = −2z(1 − 2z ) −1

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L’application du théorème du binôme nous donne :

X(z) = –2z[1 + 2z + 4z2 + 8z3 + 16z4 + …] = –2z –4z2 –8z3 –16z3 –… Si l’on compare cette expression avec la définition de la TZ de l’équation 3.5.1, on obtient :



x(–1) = –2 = –(0.5)–1, x(–2) = –4 = –(0.5)–2 , x(–3) = –8 = –(0.5)–3, …, x(–k) = –2k = –(0.5)–k, … L’inspection des valeurs de x(n) ainsi obtenues nous permet de conclure que la TZI de X(z) peut être exprimée sous la forme compacte suivante :



x(n) = –(0.5)n u(–n + 1)

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104 Traitement numérique des signaux

Exemple E3.5.3

Obtenir la TZI de : X(z) =



z2 + 3 z2 + z + 1

par la méthode du développement par division de polynômes de la TZ dans chacun des deux cas suivants : a. La RDC s’étend du pôle de X(z) le plus éloigné de l’origine du plan Z jusqu’à l’infini. b. La RDC s’étend de l’origine du plan Z jusqu’au pôle de X(z) le plus rapproché de cette origine. Solution

a. Puisque dans ce cas, la RDC s’étend du pôle de X(z) le plus éloigné de l’origine du plan Z jusqu’à l’infini, la séquence x(n) s’étend d’une valeur finie de n = N0 à n → = ∞. C’est une SUD. Donc, le développement par division de polynômes de X(z) doit revêtir la forme générale suivante : X( z ) =

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∞

∑

x ( n )z − n

n = N0

En divisant le numérateur de X(z) par son dénominateur avec les termes de chacun d’entre eux ordonnés selon les puissances décroissantes de z, c’est-à-dire selon les puissances croissantes de z–1, on obtient :

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Transformée en Z



105

1 – z–1 + 3z–2 – 2z–3 – z–4 + … z2 + z + 1 | z2 + 3 z2 + z + 1 0–z+2 – z – 1 – z–1 0 + 3 + z–1 + 3 + 3z–1 + 3z–2 0 – 2z–1 – 3z–2 – 2z–1 – 2z–2 – 2z–3 0 – z–2 + 2z–3 – z–2 – z–3 – z–4 0 + 3z–3 + z–4 . . . X(z) peut donc être exprimé sous la forme :

X(z) = 1 – z–1 + 3z–2 – 2z–3 – z–4 + …

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et l’on en déduit par comparaison avec la définition de la TZ de l’équation 3.5.1 que :

x(0) = 1, x(1) = –1, x(2) = 3, x(3) = –2, x(4) = –1, …,



et x(n) = 0 pour n < 0 b. Dans ce cas, puisque La RDC s’étend de l’origine du plan Z jusqu’au pôle de X(z) le plus rapproché de cette origine, la séquence x(n) s’étend de n → –∞ à une valeur finie de n = N0. C’est une SUG. Ainsi, le développement par division de polynômes de X(z) doit revêtir la forme générale suivante :



X( z ) =

N0

∑

x ( n )z − n

n = −∞

Il est possible d’écrire X(z) sous la forme suivante :

X(z) =

3 + z2 1 + z + z2

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106 Traitement numérique des signaux

En divisant le numérateur de X(z) par son dénominateur avec les termes de chacun d’entre eux ordonnés selon les puissances croissantes de z, on obtient : 3 – 3z + z2 + 2z3 – 3z4 + … 2 1 + z + z | 3 + z2 3 + 3z + 3z2 0 – 3z – 2z2 – 3z – 3z2 – 3z3 0 z2 + 3z3 z2 + z3 + z4 0 + 2z3 – z4 + 2z3 + 2z4 + 2z5 0 – 3z4 – 2z5 – 3z4 – 3z5 –3z6 0 + z5 + 3z6 . . . Donc, X(z) est donné par :

X(z) = 3 – 3z + z2 + 2z3 – 3z4 + … et l’on en déduit par comparaison avec la définition de la TZ de l’équation 3.5.1 que :

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x(0) = 3, x(–1) = –3, x(–2) = 1, x(–3) = 2, x(–4) = –3, …, et x(n) = 0 pour n > 0 Comme dans un bon nombre de cas, il n’est pas facile d’obtenir dans celui-ci une forme mathématique compacte pour le signal x(n). C’est l’inconvénient de cette méthode.

Il est possible, à partir des exemples et des considérations précédentes, de dégager les règles générales suivantes : R1

Si la RDC de X(z) s’étend du pôle de X(z) le plus éloigné de l’origine jusqu’à l’infini, donc si x(n) est une séquence infinie qui va d’une valeur finie de n telle que n = N0 jusqu’à n → ∞ (SUD), il est possible d’obtenir x(n) à partir de X(z) en divisant le numérateur de ce dernier par son dénominateur, avec les termes de chacun d’entre eux ordonnés selon les puissances décroissantes de z (ou selon les puissances croissantes de z –1).

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Transformée en Z



R2

107

Si la RDC de X(z) s’étend depuis l’origine du plan Z jusqu’au pôle de X(z) le plus rapproché de l’origine de ce plan, donc si x(n) est une séquence infinie qui s’étend d’une valeur finie de n telle que n = N0 à n → –∞ (SUG), il est possible d’obtenir x(n) à partir de X(z) en divisant le numérateur de ce dernier par son dénominateur, avec les termes de chacun d’entre eux ordonnés selon les puissances croissantes de z (ou selon les puissances décroissantes de z–1).

3.5.3 Développement en fractions partielles

Toute transformée en Z rationnelle de la forme générale H(z) = N(z)/D(z) peut être réécrite sous la forme d’une somme de fractions partielles. Ces dernières ont en général des transformées en Z inverses que l’on retrouve dans les tables de TZ de base. Cette méthode sera illustrée par une série d’exemples. Les théorèmes T3.5.1 et T3.5.2 seront utilisés pour l’obtention des expansions en fractions partielles. Théorème T3.5.1

Dans le cas où X(z) est une fonction rationnelle, telle que : X(z) =



N(z) N(z) = D(z) (z − p1 )(z − p 2 ) . . .(z − p L )



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dont le degré du numérateur est inférieur à celui du dénominateur et qui n’a que des pôles simples à z = p,  = 1, 2, …, L, elle peut être exprimée sous la forme d’une somme de fractions partielles comme suit : X(z) =



C1 z − p1

+

C2 z − p2

+ . . . +

C

z − p

+ . . . +

CL z − pL

où les constantes C1, …, C, …, CL sont données par :

C  = ( z − p  ) X( z ) z = p ,  = 1, . . ., L 

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108 Traitement numérique des signaux

Théorème T3.5.2

Dans le cas où la transformée en Z rationnelle a uniquement, ou en plus des pôles simples mentionnés au théorème T3.5.1, un ou plusieurs pôles multiples tels que (z – q)m, la contribution de chacun d’entre eux à l’expression en fractions partielles de X(z) a la forme générale suivante : K1 (z − q )



+

K2 2

(z − q )

+

K3 3

(z − q )

+ . . . +

Km (z − q )m

où : Km = ( z − q ) m X( z )



z=q

et : m−k 1  d Kk =   ( m − k ) ! 

 ( z − q ) m X( z )  d z m−k



, k = 1, . . ., m − 1 z=q

Les exemples suivants illustrent la méthode de calcul de la TZI par l’utilisation de l’expansion en fractions partielles. Exemple E3.5.4

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Obtenir la TZI de : X(z) =



1 2

z + 1 .32z + 0 .4275

dans chacun des deux cas suivants : a. |z| > 0.75 b. |z| < 0.57 Solution

La factorisation du dénominateur de X(z) donne :

X(z) =

1 (z + 0 .75)(z + 0 .57)

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Transformée en Z



109

Il est donc possible de réécrire X(z) sous forme d’une somme de fractions partielles comme suit : X(z) =



C1 (z + 0 .57)

+

C2 (z + 0 .75)

Les constantes C1 et C2 peuvent être calculées en appliquant le théorème T3.5.1 : C1 = ( z + 0 .5 7 )

1 ( z + 0 .5 7 )( z + 0 .7 5)

z = −0 .57

C2 = ( z + 0 .7 5)

1 ( z + 0 .5 7 )( z + 0 .7 5)

z = −0 .75



= 5 .5 5 5 5 = −5 .5 5 5 5

Donc :

X(z) =

5 .5555 5 .5555 5 .5555z −1 5 .5555z −1 − = − z + 0 .57 z + 0 .75 1 + 0 .57z −1 1 + 0 .75z −1

a. En utilisant les tableaux T3.3.1 et T3.4.1 dans le cas où la RDC de X(z) est |z| > 0.75, nous obtenons :

x ( n ) = 5 .5 5 5 5 [( −0 .5 7 ) n − 1 − ( −0 .7 5) n − 1 ] u ( n − 1)

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b. Dans le cas où |z| < 0.57, ces mêmes tableaux nous permettent d’écrire :

x(n) = 5.5555[(–0.75)n – 1 – (–0.57)n – 1]u(–n)

Exemple E3.5.5

Obtenir la TZI de : X(z) =



z3 (z + 0 .38)(z + 0 .52)(z − 0 .74 )

dans chacun des deux cas suivants : a. |z| > 0.74 b. |z| < 0.38

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110 Traitement numérique des signaux

Solution

Le degré du numérateur de X(z) étant plus élevé que celui de son dénominateur, considérons : X(z) z2 X 0 (z) = = z (z + 0 .38)(z + 0 .52)(z − 0 .74 ) =



C1 (z + 0 .38)

+

C2 (z + 0 .52)

+

C3 (z − 0 .74 )

Les constantes C1, C2 et C3 peuvent être calculées comme suit grâce au théorème T3.5.1. On obtient alors :

C1 = (z + 0.38)X0(z)|z = – 0.38 = – 0.9209

C2 = (z + 0.52)X0(z)|z = – 0.52 = 1.5329

C3 = (z – 0.74)X0(z)|z = 0.74 = 0.3880

Donc : X 0 (z) =



− 0 .9209 1 .5329 0 .3880 + + z + 0 .38 z + 0 .52 z − 0 .74

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et :

X(z) =

− 0 .9209 z 1 .5329 z 0 .3880z − 0 .9209 1 .5329 0 .3880 + + = + + −1 −1 z + 0 .38 z + 0 .52 z − 0 .74 1 + 0 .38z 1 + 0 .52z 1 − 0 .74z −1

a. En utilisant le tableau T3.3.1 dans le cas où la RDC de X(z) est |z| > 0.74, nous obtenons :

x(n ) = [−0 .9209(−0 .38)n + 1 .5329(−0 .52)n + 0 .3880(0 .74 )n ] u(n )

b. Dans le cas où |z| < 0.38, ce même tableau nous permet d’écrire :

x(n ) = −[−0 .9209(−0 .38)n + 1 .5329(−0 .52)n + 0 .3880(0 .74 )n ] u(−n − 1)

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Transformée en Z



111

Exemple E3.5.6

Obtenir la TZI de : X(z) =



1 (z + 0 .57)(z + 0 .75)2

La RDC de X(z) est |z| > 0.75. Solution

X(z) peut être exprimé en fractions partielles sous la forme suivante : X(z) =



K1 K2 C + + (z + 0 .57) (z + 0 .75) (z + 0 .75)2

La constante C peut être obtenue à l’aide du théorème T3.5.1 comme suit : C = ( z + 0 .5 7 ) X( z ) z = −0 .57 = 3 0 .8 6 4 2



Les constantes K1 et K 2 peuvent être calculées à l’aide du théorème T3.5.2. Il est toutefois plus simple d’utiliser une méthode basée sur le fait que les coefficients d’une même puissance de Z doivent être égaux pour les deux membres d’une même équation. Pour déterminer ces constantes, nous p ­ rocéderons donc comme suit. Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.

On peut écrire : 1



2

(z + 0 .57)(z + 0 .75)

=

K1 K2 30 .8642 + + (z + 0 .57) (z + 0 .75) (z + 0 .75)2

On obtient donc après réduction au même dénominateur :

1 = 30.8642(z + 0.75)2 + K1(z + 0.57)(z + 0.75) + K 2(z + 0.57)

La somme des coefficients de z2 du côté gauche de l’équation précédente doit être égale à la somme des coefficients de z2 du côté droit de cette même équation. Cela donne :

0 = 30.8642 + K1

Ainsi donc : K1 = –30.8642

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112 Traitement numérique des signaux

La somme des coefficients de z0 du côté gauche de l’équation précédente doit être égale à la somme des coefficients de z0 du côté droit de cette même équation. Cela donne : 1 = C(0.75)2 + K1(0.57)(0.75) + K 2(0.57)

d’où :

1 = 30.8642(0.75)2 – 30.8642(0.57)(0.75) + K 2(0.57)

et :

K 2 = –5.5555 Par conséquent : X(z) = =



30 .8642 30 .8642 5 .5555 − − (z + 0 .57) (z + 0 .75) (z + 0 .75)2 30 .8642 z −1 (1 + 0 .57z −1 )

−

30 .8642 z −1 (1 + 0 .75z −1 )

−

5 .5555 z −2 (1 + 0 .75z −1 )2

À l’aide des tableaux T3.3.1 et T3.4.1, on obtient alors : x(n)=30.8642 [(–0.57)n–1 – (–0.75)n–1] u(n – 1) – (5.5555/0.75)(n – 1)(–0.75)n–1u(n – 1)



Exemple E3.5.7

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Obtenir la TZI de : X(z) =



z3 (z + 0 .47)(z 2 + 0 .56z + 0 .3)

sachant que la RDC de X(z) s’étend depuis le pôle de X(z) le plus éloigné de l’origine jusqu’à l’infini. Solution

Le degré du numérateur de X(z) étant égal à celui de son dénominateur et les racines du facteur du second ordre du dénominateur de X(z) ayant des racines complexes, considérons :



X 0 (z) =

X(z) z2 A Bz + C = = + 2 2 z (z + 0 .47)(z + 0 .56z + 0 .3) (z + 0 .47) (z + 0 .56z + 0 .3)

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Transformée en Z



113

La constante A peut être calculée comme suit en utilisant le théorème T3.5.1 :



A = ( z + 0 .4 7 ) X 0 ( z ) z = −0 .47 =

z2 z 2 + 0 .5 6z + 0 .3

= 0 .8 5 7 2 z = −0 .47

Par conséquent :



X 0 (z) =

z2 2

(z + 0 .47)(z + 0 .56z + 0 .3)

=

0 .8572 Bz + C + 2 (z + 0 .47) (z + 0 .56z + 0 .3)

Après réduction au même dénominateur, on obtient : z 2 = 0 .8572(z 2 + 0 .56z + 0 .3) + (Bz + C)(z + 0 .47)



La somme des coefficients de z2 du membre de gauche de l’équation étant égale à la somme des coefficients de z2 du membre de droite de cette même équation, nous obtenons :

1 = 0.8572 + B, B = 0.1428

Le même raisonnement appliqué à z0 nous donne la relation suivante : 0 = ( 0 .8 5 7 2)( 0 .3) + 0 .4 7C, C = – 0 .5 4 7 1



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Il s’ensuit que : X 0 (z) =



X(z) 0 .8572 0 .1428z − 0 .5471 = + 2 z (z + 0 .47) z + 0 .56z + 0 .3

d’où : X(z) =

Si l’on pose :

0 .8572z 0 .1428z 2 − 0 .5471z + z + 0 .47 z 2 + 0 .56z + 0 .3

X(z) = X1(z) + X 2(z)

alors : X 1 (z) =



X 2 (z) =

N 1 (z) D1 (z) N 2 (z) D 2 (z)

= =

0 .8572 z 0 .8572 = z + 0 .47 1 + 0 .47z −1 0 .1428z 2 − 0 .5471z z 2 + 0 .56z + 0 .3

=

0 .1428 − 0 .5471z −1 1 + 0 .56z −1 + 0 .3z −2

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114 Traitement numérique des signaux

Selon la propriété TZ2a du tableau T3.3.1 : x1(n) = 0.8572(–0.47)n u(n) X 2(z) peut être obtenu à l’aide de l’équation TZ7 du tableau T3.3.1 comme suit. Si l’on considère que le dénominateur D2(z) = 1 + 0.56z–1 + 0.3z–2 de H2(z) a la forme générale suivante : D 2 (z) = 1 − 2rz −1 cos(ω 0 ) + r 2 z −2



les valeurs de r, cos(w0), sin(w0) et w0 peuvent être calculées comme suit : r = 0 .3 = 0 .5477 –2rcos(w0) = –2(0.5477)cos(w0) = 0.56 cos(w0) = –0.5112, w0 = 2.1074 rad, sin(w0) = 0.8595

De plus, on peut identifier : g = 0.1428, d = –0.5471

donc :

 −0 .5112  0 .5471 α = γ = 0 .1428, β = 0 .1428  = −1 .2471 −   0 .8595  (0 .5477)(0 .8595)

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x2(n) = (0.5477)n [0.1428cos(2.1074n) – 1.2471sin(2.1074n)] u(n) d’où :

x(n) = x1(n) + x2(n) = 0.8572(–0.47)n u(n) + n (0.5477) [0.1428 cos(2.1074n) – 1.2472sin(2.1074n)] u(n)

Exemple E3.5.8

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir l’expansion en fractions partielles de la fonction de transfert du système causal donnée par :

H(z) =

z 2 + 2z + 1 z 3 + 0 .6z 2 + 0 .11z + 0 .006

Obtenir ensuite la réponse impulsionnelle correspondante.

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Transformée en Z



115

Solution

Le programme requis figure dans l’encadré ci-dessous.  % Programme E3.5.8 clear ; N = [1 2 1] ; D = [1 0.6 0.11 0.006] [R P K] = residue(N,D)

Ce programme génère les résultats suivants : P = [−0 .3000, − 0 .2000, − 0 .1000] R = [24 .5000, − 64 .0000, 40 .5000] K = [0]



Le vecteur P donne les pôles de H(z). Pour sa part, le vecteur R fournit les résidus correspondant à ces pôles. Le vecteur K donne les coefficients du polynôme qui résulte de la division du numérateur de H(z) par son dénominateur quand l’ordre de ce dernier est inférieur à celui du numérateur. Ce vecteur est nul puisque l’ordre du dénominateur de H(z) est supérieur à celui de son numérateur.

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La fonction de transfert H(z) peut donc être réécrite en une somme de fractions partielles comme suit :

H(z) =

24 .5 64 40 .5 24 .5z −1 64z −1 40z −1 − + = − + z + 0 .3 z + 0 .2 z + 0 .1 1 + 0 .3z −1 1 + 0 .2z −1 1 + 0 .1z −1

Aussi et puisque le système est causal, on obtient en utilisant les tableaux T3.3.1 et T3.4.1 :

h(n ) =  24 .5(−0 .3)n−1 − 64(−0 .2)n−1 + 40 .5(−0 .1)n−1  u (n − 1)

Exemple E3.5.9

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir la TZI de la fonction de transfert suivante :

H(z) =

z (z + 0 .3)(z − 0 .5)

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116 Traitement numérique des signaux

Solution

Le programme requis apparaît dans l’encadré ci-dessous. Notons qu’il utilise le Symbolic Math Toolbox ® du logiciel MATLAB®.  % Programme E3.5.9 clear ; x = sym(‘x’) ; X = sym(‘X’) ; z = sym(‘z’) ; X = z/((z+0.3)*(z-0.5)) ; x = iztrans(X) ; x = simple(x)

Ce programme calcule la TZ requise et la présente sous la forme suivante :

x = –5/4*(–3/10)^n + 5/4*(1/2)^n

d’où :

x(n ) = 0 .8[−(−0 .3)n + (0 .5)n ] u(n )

3.5.4 Formule d’inversion de la transformée en Z

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La transformée en Z inverse (TZI) peut être obtenue à l’aide de la formule d’inversion suivante : x(n) =



1 z n − 1 X( z ) dz  ∫ 2πj C



(3.5.2)

Le contour C est un contour fermé parcouru dans le sens positif (antihoraire), situé à l’intérieur de la région de convergence de X(z) et contenant tous les pôles de zn – 1X(z). Ce contour doit aussi encercler l’origine du plan complexe Z. Pour les fonctions de transfert causales et stables que nous considérerons ici, le contour C que nous utiliserons sera le cercle unité |z| = 1. Lorsque Fx(z) = zn – 1X(z) est une fonction rationnelle pouvant être réécrite sous la forme générale suivante :

Fx ( z ) = z n − 1 X( z ) =

N( z ) D( z )



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(3.5.3)

Transformée en Z



117

l’utilisation du théorème des résidus, ou théorème de Cauchy, permet alors d’écrire : x(n) = [Somme des résidus de pôles de Fx(z) = zn – 1X(z) situés à l’intérieur du contour C] Le calcul des résidus peut se faire comme suit : a. Dans le cas où Fx(z) contient un pôle simple à z = p et peut donc être exprimé sous la forme :

Fx ( z ) = z n − 1 X( z ) =

N( z ) ( z − p )D 0 ( z )

(3.5.4)

il est alors possible de calculer la valeur du résidu de Fx(x) à son pôle simple p à l’aide de la relation : [Ré sidu de FX (z) au pôle p] = ( z − p )Fx ( z ) = ( z − p )

 

N( z ) D( z )

= z=p

N( p ) (3.5.5) D0 ( p )



Si Fx(z) possède plusieurs pôles simples, cette procédure peut être reprise pour chacun d’entre eux pour calculer tous les résidus de ces pôles.

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b. Dans le cas où le dénominateur Fx(z) contient un pôle de multiplicité m à z = q et qu’il peut donc être exprimé sous la forme : Fx ( z ) = z n − 1 X( z ) =



N( z ) ( z − q ) m D0 ( z )

(3.5.6)

il est alors possible de calculer la valeur du résidu de Fx(z) = zn – 1X(z) à son pôle q de multiplicité m à l’aide de la relation suivante : 1 d m − 1  ( z − q ) m N( z )   Ré sidu de z N − 1 Fx (z ) au pôle z = q  =    ( m − 1) ! dz m − 1  D( z )   m −1

1 d = ( m − 1) ! dz m − 1

 N( z )     D0 ( z ) 

z=q

z=q

(3.5.7)

Si Fx(z) possède plusieurs pôles multiples, cette procédure peut être reprise pour chacun d’entre eux pour calculer tous les résidus de ces pôles.

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118 Traitement numérique des signaux

Les exemples suivants illustrent la méthode d’utilisation de la formule ­d’inversion de la TZ.

Exemple E3.5.10

Utiliser la formule d’inversion de la TZ pour obtenir la TZI de : X(z) =



z , RDC : z > 0 .88 . (z + 0 .17)(z − 0 .88)

Solution

Considérons :

Fx ( z ) = z n − 1 X( z ) =

N( z ) z n − 1z zn = = D( z ) ( z + 0 .1 7 )( z − 0 .8 8 ) ( z + 0 .1 7 )( z − 0 .8 8 )

La RDC de X(z) est |z| > 0.8, x(n) est donc une SUD. De plus, le degré du numérateur de X(z) est inférieur à celui de son dénominateur. Le développement en série de X(z) ne peut donc contenir de puissances positives de z, d’où x(n) = 0 pour n < 0. Pour n ≥ 0, la quantité Fx(z) = zn – 1X(z) ne possède que deux pôles simples : p1 = –0.17 et p2 = +0.88.

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Pour le pôle simple situé à p1 = –0.17 :



zn [Ré sidu de Fx (z) au pôle p 1 = −0 .1 7 ] = ( z − 0 .8 8 )

= −0 .9 5 2 4 ( −0 .1 7 ) n z = −0 .17

Pour le pôle simple situé à p2 = 0.88 : [Ré sidu de Fx (z) au pôle p 2 = 0 .8 8 ] =



zn ( z + 0 .1 7 )

= 0 .9 5 2 4 ( 0 .8 8 ) n z = 0 .88

Par conséquent, la somme des résidus des pôles de zn – 1X(z) est :  Somme des résidus de Fx (z) à tous les pôles  = 0 .9524 (0 .88)n − ( − 0 .17)n  

d’où :

  n≤0  0, x(n) =  n n  0 .9 5 2 4[( 0 .8 8 ) − ( −0 .1 7 ) ], n > 0

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Transformée en Z



119

ce qui peut être réécrit sous la forme : x ( n ) = [0 .8 3 8 1( 0 .8 8 ) n − 1 − 0 .1 6 1 9( −0 .1 7 ) n − 1 ] u ( n − 1)



Exemple E3.5.11

Utiliser la formule d’inversion de la TZ pour obtenir la TZI de : X(z) =



(z + 1) , z > 0 .88 . (z + 0 .17)(z − 0 .88)

Solution

Considérons d’abord : Fx ( z ) = z



n −1

N( z ) z n − 1 ( z + 1) X( z ) = = D( z ) ( z + 0 .1 7 )( z − 0 .8 8 )

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La RDC de X(z) est |z| > 0.88 donc x(n) est une SUD. De plus, le degré du numérateur de X(z) est inférieur à celui de son dénominateur. Le développement en série de X(z) ne peut donc contenir de puissances positives de z, d’où x(n) = 0 pour n < 0. Pour n > 0, la quantité Fx(z) = zn – 1X(z) ne possède que deux pôles simples : p1 = –0.17 et p2 = 0.88. Pour n = 0, Fx(z) possède de plus le pôle p0 = 0. Ce pôle n’existe pas dans le cas où n ≠ 0. Nous étudierons donc ces deux cas séparément. a. Pour n > 0, Fx(z) possède deux pôles simples : p1 = –0.17 et p2 = 0.88. Les résidus de ces pôles peuvent être obtenus comme suit :



[Résidu pôlepp1 1==−0 .17 –0.17] = sidu dedeFxF(z)  Ré x(x)auaupôle

z n − 1 (z + 1) (z − 0 .88)

= − 0 .7905 ( −0 .17) n − 1 z = −0 .17

et :

z n − 1 ( z + 1) Ré sidu de Fxx(x) (z) au pôle pôle pp22== –0.88] 0 .88  = [Résidu ( z + 0 .17 )

= 1 .7905 ( 0 .88 ) n − 1 z = 0 .88

Aussi, pour n > 0, la somme des résidus des pôles de zn – 1X(z) est : [Somme des résidus des pôles de zn – 1Fx(n)] = 1.7905(0.88)a – 1 – 0.7905(0.17)n – 1

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120 Traitement numérique des signaux

donc :

x ( n ) = 1 .7 9 0 5( 0 .8 8 ) n − 1 − 0 .7 9 0 5( −0 .1 7 ) n − 1  pour n > 0

b. Pour n = 0, Fx(z) = zn – 1x(z) possède trois pôles simples : p1 = –0.17, p2 = 0.88 et p0 = 0. Le résidu de Fx(z) au pôle p0 = 0 peut être obtenu comme suit : (z + 1)  Ré sidu de Fx (z) au pôle p 0 = 0, pour n = 0  = (z + 0 .17) (z − 0 .88)

= −6 .6845 z=0

Les résidus de Fx(z) aux pôles p1 = –0.17 et p2 = 0.88 peuvent être obtenus en posant n = 0 dans le cas a) étudié précédemment.

[Résidu de Fz(z) au pôle p1 = –0.17, pour n = 0] = 4.65 [Résidu de Fx(z) au pôle p2 = 0.88, pour n = 0] = 2.03465 Compte tenu de ce qui précède, la somme des résidus de Fx(z) à tous ses pôles pour n = 0 est :



[Somme des résidus de Fx(z) à tous ses pôles, n = 0] = –6.6845 + 4.65 + 2.03465 = 0 Par conséquent, x(0) = 0 et :

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 0, x(n) =  n −1 − 0 .7 9 0 5( −0 .1 7 ) n − 1 ], [1 .7 9 0 5( 0 .8 8 )

n≤0 n>0

ce qui équivaut à :

x ( n ) = [1 .7 9 0 5( 0 .8 8 ) n − 1 − 0 .7 9 0 5( −0 .1 7 ) n − 1 ] u ( n − 1)

Exemple E3.5.12

Utiliser la formule d’inversion de la TZ pour obtenir la TZI de : X(z) =



1 (z − 0 .5)2

RDC : z > 0 .5

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Transformée en Z



121

Solution

Considérons : Fx ( z ) = z n − 1 X( z ) =



N( z ) zn −1 = D( z ) ( z − 0 .5) 2

La RDC de X(z) est |z| > 0.5, donc x(n) est une SUD. De plus, le degré du numérateur de X(z) est inférieur à celui de son dénominateur. Le développement en série de X(z) ne peut donc contenir de puissances positives de z, d’où x(n) = 0 pour n < 0. Pour n > 0, la quantité Fx(z) = zn – 1X(z) ne possède qu’un pôle double q = 0.5. Pour n = 0, Fx(z) possède de plus le pôle p0 = 0 qui n’existe pas pour n ≠ 0. Nous étudierons donc ces deux cas séparément. a. Pour n > 0, Fx(z) = zn – 1X(z) possède un pôle double q = 0.5. Le résidu correspondant à ce pôle peut être obtenu comme suit :  1   Résidu de FX (z) à q = 0 .5  =   ( 2 − 1) ! 

 ( z − 0 .5) 2 z n − 1  d  2  ( z − 0 .5)  dz z = 0 .5

= ( n − 1)z n −2

z = 0 .5

= ( n − 1)( 0 .5) n − 2 = 2( n − 1)( 0 .5) n − 1

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Par conséquent : n −1  Som m e de s ré sidus Fx (z) à tous se s pôle s lorsque n ≠ 0  = 2( n − 1)( 0 .5)



donc :

x ( n ) = 2( n − 1)( 0 .5) n − 1 pour n > 0

b. Pour n = 0, Fx(z) possède un pôle simple p0 = 0 en plus du pôle double q = 0.5. Le résidu du pôle p0 = 0 peut être obtenu comme suit :  Ré sidu de Fx (z) au pôle p 0 = 0 , pour n = 0  =



1 ( z − 0 .5) 2

=4 z=0

Le résidu du pôle double q = 0.5, pour n = 0, peut être obtenu en posant n = 0 dans le cas a) étudié précédemment.

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122 Traitement numérique des signaux



[Résidu de Fx(z) au pôle q = 0.5, pour n = 0] = 2(0 – 1)(0.5)–2 = –4 Ainsi, la somme des résidus de Fx(z) à tous ses pôles pour n = 0 est : [Somme des résidus de Fx(z) à tous ses pôles, pour n = 0] = 4 – 4 = 0 Donc x(0) = 0 et :  0, x(n) =  n −1 2( n − 1)( 0 .5) ,



n≤0 n>0

ce qui peut s’écrire sous la forme : x ( n ) = 2( n − 1)( 0 .5) n − 1 u ( n − 1)

Exemple E3.5.13

Utiliser la formule d’inversion de la TZ pour obtenir la TZI de : X(z) =



(z + 1) (z − 0 .23) (z − 0 .37)2

, z > 0 .37

Solution

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Considérons :



Fx ( z ) = z n − 1 X( z ) =

N( z ) z n − 1 ( z + 1) = D( z ) ( z − 0 .2 3)( z − 0 .3 7 ) 2

La RDC de X(z) est |z| > 0.37, donc x(n) est une SUD. De plus, le degré du numérateur de X(z) est inférieur à celui de son dénominateur. Le développement en série de X(z) ne peut donc contenir de puissances positives de z, d’où x(n) = 0 pour n < 0. Pour n > 0, la quantité Fx(z) = zn – 1X(z) ne possède qu’un pôle simple p = 0.23 et un pôle double q = 0.37. Pour n = 0, Fx(z) possède de plus, le pôle simple p0 = 0 qui n’existe pas pour n ≠ 0. Nous étudierons donc ces deux cas séparément. a. Pour n > 0, Fx(z) = zn – 1X(z) possède un pôle simple p = 0.23 et un pôle double q = 0.37.

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Transformée en Z



123

Le résidu du pôle simple p = 0.23 peut être obtenu comme suit : [Résidu de Fx(z) au pôle p1 = 0.23] =

z n −1 ( z + 1) ( z − 0 .3 7 ) 2

= 62.7551(0.23)n – 1 z = 0 .23

Le résidu du pôle double q = 0.37 peut être obtenu comme suit : [Résidu de Fx(z) au pôle q = 0.37] =

1 d  z n − 1 ( z + 1)    ( 2 − 1) ! dz  ( z − 0 .2 3) 

z = 0 .37

= 71.48 [n – 3.373](0.37)n Par conséquent : [Somme des résidus de Fx(z) pour n ≠ 0] = 62.7551(0.23)n – 1 + 71.48 (n – 3.373)(0.37)n donc :



x(n) =62.7551(0.23)n – 1 + 26.4476(n – 3.373)(0.37)n – 1, n > 0 b. Pour n = 0, le résidu de Fx(z) au pôle simple p0 = 0 est donné par : [Résidu de Fx(z) au pôle p0 = 0] =

( z + 1) ( z − 0 .2 3)( z − 0 .3 7 ) 2

z=0

= –31.7591

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Les résidus des autres pôles de zn – 1X(z) sont obtenus en posant n = 0 dans les expressions des résidus obtenus en a) :

[Résidu de Fx(z) au pôle p = 0.23 pour n = 0] = 272.8482 [Résidu de Fx(z) au pôle q = 0.37 pour n = 0] = –241.0891 Ainsi, nous avons :



[Somme des résidus de Fx(z) à tous ses pôles, pour n = 0] = 0 donc x(0) = 0 et :



n≤0  0,  n –1 x ( n ) =  6 2 .7 5 5 1 (0 .2 3 )  n –1  + 2 6 .4 4 7 6 (n – 3 .3 7 3 )(0 .3 7 ) , n > 0

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124 Traitement numérique des signaux

ce qui peut être réécrit sous la forme suivante : 3.6

x ( n ) =  62 .7551(0 .23) n – 1 + 26 .4476(n – 3 .373)(0 .37) n – 1  u ( n − 1)

Relation entre la transformée de Fourier et la transformée en Z

Si l’on pose z = ejw, dans la définition de la TZ on obtient la transformée de Fourier (TF). Cette dernière est donc la TZ évaluée sur le cercle unité |z| = 1 où z = ejw . Ainsi, la TF d’un signal n’existe que si la RDC de sa TZ contient le cercle unité |z| = 1. Dans ce cas, la transformée de Fourier correspondante est : X( e jω ) = X( z ) z = e jω (3.6.1)

Exemple E3.6.1

La figure E3.6.1 représente dans le plan complexe Z, les emplacements des pôles d’une fonction de transfert H(z) dont la réponse impulsionnelle est h(n). Déterminer la région de convergence de H(z) dans chacun des cas suivants. Pour chaque cas considéré, établir si la transformée de Fourier de h(n) existe ou non. Justifier vos réponses le plus complètement possible. a. h(n) s’étend de n = 0 à n → + ∞. b. h(n) s’étend de n = 0 à n → –∞.

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c. h(n) s’étend de n → –∞ à n → +∞.

Figure E3.6.1

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Transformée en Z



125

Solution

a. Dans le cas où h(n) s’étend de n = 0 à n → ∞, h(n) est une séquence unilatérale droite (SUD). La RDC est donc un anneau qui s’étend du pôle de H(z) le plus éloigné de l’origine jusqu’à l’infini. Ainsi, cet anneau s’étend du cercle dont le rayon est 0.7 à l’infini. Le cercle unité |z| = 1 s’inscrit dans cette RDC. Par conséquent, dans ce cas, la transformée de Fourier de h(n) existe. b. Dans le cas où h(n) s’étend de n = –∞ à n = 0, h(n) est une séquence unilatérale gauche (SUG). La RDC est donc un anneau qui s’étend de l’origine jusqu’au pôle de H(z) le plus proche de celle-ci. Donc cet anneau s’étend de l’origine au cercle dont le rayon est 0.5. Le cercle unité |z| = 1 ne s’inscrit pas dans cette RDC. Par conséquent, dans ce cas, la transformée de Fourier de h(n) n’existe pas. c. Dans le cas où h(n) s’étend de n = –∞ à n = +∞, h(n) est une séquence bilatérale (SB). La RDC est donc un anneau qui s’étend entre deux pôles de H(z). Ainsi, cet anneau s’étend du cercle dont le rayon est 0.5 jusqu’à celui dont le rayon est 0.7. Le cercle unité |z| = 1 ne s’inscrit pas dans cette RDC. Par conséquent, dans ce cas aussi, la transformée de Fourier de h(n) n’existe pas. Exemple E3.6.2

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Obtenir la transformée de Fourier (TF) de la séquence unilatérale droite (SUD) x(n), dont la TZ est donnée par : X(z) =



(z + 0 .5) (z + 0 .5)(z − 0 .8)

Solution

La séquence x(n) étant une SUD, la RDC de X(z) est comprise entre le pôle de X(z) le plus éloigné de l’origine, soit p = 0.8 et l’infini. Elle contient donc le cercle unité |z| = 1. La transformée de Fourier de ce signal est donc donnée par la relation suivante :



X( e jω ) = X( z ) z = e jω =

( e jω

e jω + 0 .5 + 0 .5)( e jω − 0 .8 )

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126 Traitement numérique des signaux

Dans le cas où la séquence considérée représente la réponse impulsionnelle h(n) d’un SLIT, la TF de h(n) est sa réponse en fréquence. Elle peut être calculée en évaluant la transformée en Z de h(n) sur le cercle unité z = ejw. La réponse en fréquence du SLIT dont la réponse impulsionnelle est h(n) est donc H(z)|z = ejw = H(ejw) où H(z) est la TZ de h(n). Exemple E3.6.3

Obtenir la réponse en fréquence d’un SLIT causal caractérisé par l’équation aux différences suivante :

y(n) = x(n) + 0.7x(n – 1) – 1.3y(n – 1) – 0.4y(n – 2) Solution

En appliquant la TZ aux deux membres de l’équation aux différences donnée ci-dessus, on obtient :

Y(z) = X(z) + 0.7z–1 X(z) – 1.3z–1 Y(z) –0.4z–2Y(z)

Si le SLIT est excité par une impulsion x(n) = d(n), alors X(z) = 1 et la réponse Y(z) du système est sa réponse impulsionnelle H(z), donc : H(z) = 1 + 0.7z–1 – 1.3z–1H(z) – 0.4z–2H(z)

d’où :

H(z)[1 + 1.3z–1 + 0.4z–2] = 1 + 0.7z–1

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H(z) =

1 + 0 .7z −1 −1

1 + 1 .3z + 0 .4z

−2

=

z ( z + 0 .7 )

2

z + 1 .3z + 0 .4

=

z ( z + 0 .7 )

(z + 0 .5)(z + 0 .8)

Le SLIT étant causal, H(z) est une SUD et la RDC de H(z) est donc comprise entre le pôle de H(z) le plus éloigné de l’origine (soit z = –0.8) et l’infini. Cette RDC contient le cercle unité |z| = 1. Il s’ensuit que la réponse en fréquence du SLIT qui n’est autre que la transformée en Z de sa réponse impulsionnelle évaluée sur le cercle unité z = ejw est donnée par :

(

e jω e jω + 0 .7

jω



H( z ) z = e jω = H( e ) =

(e

jω

+ 0 .5)( e

jω

)

+ 0 .8 )

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Transformée en Z



127

3.7 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté la définition de la transformée en Z et avons étudié ses régions de convergence. Les méthodes de calcul de la transformée en Z et de l’inversion de cette dernière ont été passées en revue. De nombreux exemples ont été donnés. La relation entre la transformée en Z et la transformée de Fourier a également été mise en évidence. 3.8

Exercices et problèmes

P3.1 Obtenir à partir de sa définition, la transformée en Z (TZ) du signal

suivant ainsi que la région de convergence (RDC) de cette dernière : x(n) = (0.42)n – 2 u(n – 5)



P3.2 Déterminer la région de convergence (RDC) de : X(z) =



(z + 1) 2

(z + 0 .2z + 0 .6)(z − 0 .31)

de façon à ce que le signal x(n) correspondant soit : a. Une séquence unilatérale gauche (SUG). b. Une séquence unilatérale droite (SUD). Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.

c. Une séquence bilatérale (SB). P3.3 Obtenir par division la transformée en Z inverse, x(n) de : X(z) =



z+1 2

z + 0 .2z + 0 .6

quand x(n) est : a. Une séquence unilatérale gauche (SUG). b. Une séquence unilatérale droite (SUD).

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128 Traitement numérique des signaux

P3.4 Obtenir la transformée en Z inverse (TZI) x(n) de : X(z) =



z(z + 1) (z + 0 .24 )(z − 0 .36)

quand la RDC de X(z) est : a. |z| > 0.3 b. |z| < 0.24 P3.5 Obtenir la transformée en Z inverse (TZI), x(n) de : X(z) =



(z + 1) (z + 0 .24 )(z − 0 .36)

quand la RDC de X(z) est : a. |z| > 0.36 b. |z| < 0.24 P3.6 Obtenir la transformée en Z inverse (TZI) x(n) de : X(z) =

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(z + 1) (z + 0 .3)(z + 0 .8)2

quand la RDC de X(z) est : |z| > 0.8. P3.7 Obtenir la transformée en Z inverse (TZI) x(n) de : X(z) =



(z + 1) (z + 0 .2)(z 2 + 0 .4z + 0 .8)

quand la RDC de x(z) est : |z| > √0.8.

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4

Fonctions de transfert et stabilité

4.1 Introduction

La transformée en Z a fait l’objet d’une étude générale au chapitre précédent. Nous étudierons ici plus particulièrement la transformée en Z de la réponse impulsionnelle d’un système linéaire invariant dans le temps (SLIT). C’est la fonction de transfert de ce système. Nous présenterons aussi une méthode permettant de déterminer si un SLIT est stable, à partir des propriétés de sa fonction de transfert. 4.2

Fonction de transfert d’un SLIT

Tout système linéaire invariant dans le temps (SLIT) peut être exprimé sous la forme d’une équation aux différences (EAD) ayant la forme générale suivante :

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y(n) =

M2

∑

k = M1



βk x ( n − k ) +

N2

∑ αk y ( n − k ) k =N 1 k ≠0

(4.2.1)



où x(n) est le signal d’entrée du système et y(n) son signal de sortie. Si nous appliquons la transformée en Z aux deux membres de l’équation 4.2.1, nous obtenons alors : Y( z ) =

ou :



M2

∑

k = M1

β k z − k X( z ) +

N2

∑

k = N1 k ≠0

(4.2.2)

α k z − k Y( z )



  N2 M2  −k  = X( z ) ∑ β k z − k Y( z ) 1 − ∑ α k z   k = N1 k = M1   k ≠0

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(4.2.3)

130 Traitement numérique des signaux

Le rapport H(z) entre Y(z), qui est la transformée en Z du signal de sortie y(n), et X(z), qui est celle du signal d’entrée x(n), est donné par : M2

H( z ) =

Y( z ) = X( z )

∑ βk z −k 1−

M1 N2

α k z −k ∑ k =N 1 k ≠0



(4.2.4)

H(z) est la fonction de transfert du SLIT. Il est possible d’obtenir la fonction de transfert d’un SLIT à partir de l’équation aux différences qui le caractérise et vice-versa. H(z) est aussi la transformée en Z de la réponse impulsionnelle h(n) du SLIT. Ceci découle du fait que la TZ d’un signal d’entrée consistant en une impulsion x(n) = d(n) est X(z) = 1. De plus, on remarquera que puisque le signal de sortie de tout SLIT peut être obtenu en effectuant le produit de convolution de son signal d’entrée x(n) par sa réponse impulsionnelle h(n), on a : y(n) = h(n)*x(n) ↔ Y(z) = H(z) X(z) ↔ H( z ) =



Y( z ) X( z )

(4.2.5)

Les racines du numérateur et du dénominateur d’une fonction de transfert telle que H(z) sont respectivement désignées comme étant les zéros et les pôles de cette dernière.

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Exemple E4.2.1

Obtenir les zéros et les pôles de la fonction de transfert suivante : H( z ) =



z2 + z + 1 ( z + 0 .5) ( z − 0 .5) ( z 2 + 0 .4 9 ) ( z 2 + z + 0 .5)

Solution

Les racines du numérateur de H(z) sont les zéros de cette fonction de transfert :

z2 + z + 1 = 0 (z + 0.5 + j0.8666) (z + 0.5 – j0.8666) = 0 zz1 = –0.5 – j0.8666, zz2 = –0.5 + j0.8666

Les racines du dénominateur de H(z) sont les pôles de cette fonction de transfert :

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Fonctions de transfert et stabilité



131

(z + 0.5)(z – 0.5)(z2 + 0.49)(z2 + z + 0.5) = 0 (z + 0.5)(z – 0.5)(z + j0.7)(z – j0.7)(z + 0.5 + j0.5)(z + 0.5 – j0.5) = 0 z p1 = –0.5, zp2 = 0.5, zp3 = –j0.7, zp4 = j0.7, zp5 = –0.5 – j0.5, zp6 = –0.5 + j0.5 Exemple E4.2.2

Obtenir l’équation aux différences d’un SLIT dont la fonction de transfert est : H( z ) =



z ( z 2 + 2z + 3 )

z 3 + 8z 2 + 2 6z + 2 4

dans chacun des deux cas suivants : a. Le SLIT est causal. b. Le SLIT est anticausal. Solution

a. Le système étant causal, le signal de sortie n’est fonction que des valeurs antérieures du signal d’entrée et du signal de sortie et aussi éventuellement de la valeur présente du signal d’entrée. Il s’ensuit que la fonction de transfert donnée plus haut doit être exprimée sous la forme suivante qui ne contient pas de puissances positives de z : H( z ) =

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Y( z ) 1 + 2z −1 + 3z −2 = X( z ) 1 + 8z −1 + 2 6z −2 + 2 4z −3

Donc :

Y(z)[1 + 8z–1 + 26z–2 + 24z–3] = X(z)[1 + z–1 + z–2] Y(z) + 8z–1Y(z) + 26z–2Y(z) + 24z–3Y(z) = X(z) + 2z–1X(z) + 3z–2X(z) d’où l’on obtient :



y(n) + 8y(n – 1) + 26y(n – 2) + 24y(n – 3) = x(n) + 2x(n – 1) + 3x(n – 2) y(n) = –8y(n – 1) – 26y(n – 2) – 24y(n – 3) + x(n) + 2x(n – 1) + 3x(n – 2) Cette équation aux différences représente, en fait, un système causal.

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132 Traitement numérique des signaux

Il est aussi possible d’obtenir une autre forme de cette équation aux différences en divisant le numérateur de H(z) par son dénominateur comme détaillé ci-dessous. On remarquera que les termes du numérateur de H(z) ainsi que ceux de son dénominateur ont été ordonnés selon les puissances décroissantes de z avant d’effectuer la division, afin que le résultat de la division ne comporte aucune puissance positive de z. H( z ) =



z 3 + 2z 2 + 3z z 3 + 8z 2 + 2 6z + 2 4

1 – 6z–1 + 25z–2 – 68z–3 + . . . 26z + 24| z3 + 2z2 + 3z z3 + 8z2 + 26z + 24 0 – 6z2 – 23z – 24 – 6z2 – 48z – 156 – 144z–1 0 + 25z + 132 + 144z–1 + 25z + 200 + 650z–1 + 600z–2 0 – 68 – 506z–1 – 600z–2 – 68 – 544z–1 – 1768z–1 – 1632z–3 0 + 38z–1 + 1168z–2 + 1632z–3 . . . z3 +

8z2 +

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D’où l’on peut écrire :

Y(z) = [1 – 6z–1 + 25z–2 – 68z–3 + …]X(z) L’équation aux différences correspondante est donnée par :



y(n) = x(n) – 6x(n – 1) + 25x(n – 2) – 68x(n – 3) + … Cette forme de l’équation aux différences comportant un nombre infini de termes ne peut être réalisée qu’en la tronquant à un nombre fini de termes. Ceci revient évidemment à en faire l’approximation.

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Fonctions de transfert et stabilité



133

b. Le système étant anticausal, le signal de sortie n’est fonction que des valeurs futures du signal d’entrée et du signal de sortie et éventuellement de la valeur présente du signal d’entrée. Il s’ensuit que la fonction de transfert donnée plus haut doit être exprimée sous la forme suivante qui ne contient pas de puissances négatives de z. z ( z 2 + 2z + 3 ) Y( z ) z 3 + 2z 2 + 3z H( z ) = = 3 = X( z ) z + 8z 2 + 2 6z + 2 4 z 3 + 8z 2 + 2 6z + 2 4

donc :

Y( z ) [z 3 + 8z 2 + 2 6z + 2 4] = X( z ) [z 3 + 2z 2 + 3z ]

et l’on obtient :

24y(n) = x(n + 3) + 2x(n + 2) + 3x(n + 1) – y(n + 3) – 8y(n + 2) – 26y(n + 1) 1 1 1 x ( n + 3) + x ( n + 2) + x ( n + 1) 24 12 8 1 1 13 − y ( n + 3) − y ( n + 2) − y ( n + 1) 24 3 12

y(n) =

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Cette équation aux différences représente, en fait, un système anticausal. Elle est toutefois irréalisable en pratique puisque les valeurs futures du signal de sortie sont nécessaires au calcul de ce dernier. Il est donc impossible dans ces conditions de calculer ce signal, même si l’on opère en temps différé, ce qui permet la connaissance des valeurs futures du signal d’entrée, mais non pas celles du signal de sortie. Il est toutefois possible d’obtenir une autre forme de cette équation aux différences en divisant le numérateur de H(z) par son dénominateur comme détaillé ci-dessous. On remarquera que les termes du numérateur de H(z) ainsi que ceux de son dénominateur ont été ordonnés selon les puissances croissantes de z avant d’effectuer la division, afin que le résultat de la division ne comporte aucune puissance négative de z.

3z + 2z 2 + z 3 H( z ) = 2 4 + 2 6z + 8z 2 + z 3

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134 Traitement numérique des signaux

On obtient alors : 0.125z – 0.052083z2 + 0.05642z3 – 0.04897z4 + … 24 + 26z + 8z + z | 3z + 2z2 + z3 3z + 3.25z2 + z3 + 0.125z4 0 – 1.25z2 – 0z3 – 0.125z4 – 1.25z2 – 1.3542z3 – 0.41664z4 – 0.052083z5 0 + 1.3542z3 + 0.2916z4 + 0.05208z5 + 1.3542z3 + 1.4672z4 + 0.4514z5 + 0.056420z6 – 1.1756z4 – 0.3993z5 – 0.05643z6 . . . 2

3

ainsi l’on peut écrire que : Y(z) = (0.125z – 0.052083z2 + 0.05642z3 – 0.04897z4 + …) X(z) L’équation aux différences qui correspond à l’expression de Y(z) est :

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y(n) = 0.125x(n + 1) – 0.052083x(n + 2) + 0.05642x(n + 3) – 0.04897x(n + 4) + … Nous constatons que cette forme de l’équation aux différences est anticausale puisque le signal de sortie ne dépend que de valeurs futures du signal d’entrée. Cependant, on n’y retrouve pas de valeurs futures du signal de sortie. Cette forme de l’équation aux différences comportant un nombre infini de termes ne peut être réalisée qu’en la tronquant à un nombre fini de termes. Ceci revient évidemment à en faire l’approximation.

Exemple E4.2.3

Obtenir la réponse y(n) du SLIT causal, dont la fonction de transfert est donnée ci-dessous, au signal d’entrée x(n) = (0.4)nu(n) : H( z ) =



z +1 z + 0 .2 5

Solution



Y(z) = H(z) X(z)

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Fonctions de transfert et stabilité



135

z( z + 1) 1  z +1    = Y( z ) =   −1  z + 0 .2 5   1 − 0 .4z  ( z − 0 .4) ( z + 0 .2 5)



Le degré du numérateur de H(z) étant du même ordre que celui de son dénominateur, considérons : Y( z ) ( z + 1) a b = = + z ( z − 0 .4) ( z + 0 .2 5) z − 0 .4 z + 0 .2 5



a = ( z − 0 .4)



b = ( z + 0 .2 5)



( z + 1) ( z − 0 .4)( z + 0 .2 5)

( z + 1) ( z − 0 .4)( z + 0 .2 5)

= 2 .1 5 3 8 z = 0 .4

= −1 .1 5 3 8 z = −0 .25

donc : Y( z ) 2 .1 5 3 8 −1 .1 5 3 8 2 .1 5 3 8z −1 −1 .1 5 3 8z −1 = + = + z z − 0 .4 z + 0 .2 5 1 − 0 .4z −1 1 + 0 .2 5z −1

et :

Y( z ) =



−1 .1 5 3 8 2 .1 5 3 8 + −1 1 − 0 .4z 1 + 0 .2 5z −1

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En utilisant le tableau T3.3.1, on obtient : y(n) = [2.1538(0.4)n – 1.1538(–0.25)n]u(n)



Exemple E4.2.4

Obtenir l’équation aux différences d’un générateur de signal sinusoïdal dont la pulsation est w0. Solution

Ce générateur de signal peut être considéré comme un SLIT causal dont la réponse impulsionnelle sinusoïdale est donnée par :

hS(n) = sin(w0n) u(n)

où w0 est la pulsation requise.

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136 Traitement numérique des signaux

Selon le tableau T3.3.1, la TZ de hS(n) est : HS ( z ) =



Y( z ) z −1 sin ( ω 0 ) = X( z ) 1 − 2z −1 c o s( ω 0 ) + z −2

d’où : Y( z ) [1 − 2z −1 c o s( ω 0 ) + z −2 ] = X( z ) [z −1 sin ( ω 0 ) ]

donc :

y(n) – 2 cos(w0) y(n – 1) + y(n – 2) = sin(w0) x(n – 1)

et :

y(n) = sin(w0) x(n – 1) + 2cos(w0) y(n – 1) – y(n – 2)

Une fois excité par une impulsion d(n), le système en question répondra en générant sans arrêt un signal de sortie sinusoïdal. Exemple E4.2.5

Obtenir la réponse impulsionnelle h(n) du SLIT causal dont la fonction de transfert est :

H(z) = 1 + 2z–1 + 3z–2 + 4z–3 + 3z–4 + 2z–5 + z–6

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Solution

Le système donné est de type non récursif (à réponse impulsionnelle finie : RIF). Les coefficients de sa fonction de transfert H(z) sont donc les éléments h(n) de sa réponse impulsionnelle.

h(0) = h(6) = 1, h(1) = h(5) = 2, h(2) = h(4) = 3, h(3) = 4

Exemple E4.2.6

Obtenir les premiers termes de la réponse impulsionnelle h(n) du SLIT causal dont la fonction de transfert est :

H( z ) =

1 + 2z −1 + z −2 1 + 0 .4z −1 + 0 .2 5z −2

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Fonctions de transfert et stabilité



137

a. Par division. b. À l’aide du logiciel MATLAB® et dans ce cas, générer le graphe qui représente cette réponse impulsionnelle. Solution

a. La division du numérateur de H(z) par son dénominateur est détaillée ci-dessous. Puisque le SLIT est causal, les termes du numérateur de H(z) ainsi que ceux de son dénominateur doivent être ordonnés dans ce cas, selon les puissances décroissantes de z (puissances croissantes de z–1) avant d’effectuer la division, pour que le résultat de la division ne comporte aucune puissance positive de z. 1 + 1.6z–1 + 0.11z–2 – 0.444z–3 + … 1+ + | 1 + 2z–1 + z–2 | 1 + 0.4z–1 + 0.25z–2 0 + 1.6z–1 + 0.75z–2 + 1.6z–1 + 0.64z–2 + 0.4z–3 0 + 0.11z–2 – 0.4z–2 + 0.11z–2 + 0.044z–3 + 0.0275z–4 0 – 0.444z–3 – 0.0275z–4 . . . 0.4z–1

0.25z–2

Donc : Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.



H(z) = 1 + 1.6z–1 + 0.11z–2 – 0.444z–3 + … d’où l’on obtient :



h(0) = 1, h(1) = 1.6, h(2) = 0.11, h(3) = –0.444, … b. Par utilisation du logiciel MATLAB®. Le programme requis figure dans l’encadré suivant. Il calcule la réponse impulsionnelle et en génère le graphe qui est représenté à la figure E4.2.6.

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138 Traitement numérique des signaux

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 % Programme E4.2.6 clear ; N = [1 2 1] ; D = [1 0.4 0.25] ; impz(N,D) ; title(‘Réponse impulsionnelle’) ; pause ; close all ; [H,T] = impz(N,D) ; disp(‘n h(n)’) disp(‘--------------------’) disp([T,H]) ;

Figure E4.2.6  Résonse impulsionnelle

Les 14 premières valeurs de la réponse impulsionnelle h(n) générées par le programme figurent ci-dessous. n

h(n)

n

h(n)

0 1 2 3 4 5 6

1.0000 1.6000 0.1100 –0.4440 0.1501 0.0510 –0.0579

 7  8  9 10 11 12 13

0.0104 0.0103 –0.0067 0.0001 0.0016 –0.0007 –0.0001

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Fonctions de transfert et stabilité



4.3

139

Causalité d’un SLIT

La transformée en Z de la réponse impulsionnelle d’un SLIT causal ne peut comporter aucune puissance positive de z. Donc, dans le cas où la fonction de transfert rationnelle H(z) d’un SLIT est telle que Lim {H(z)} → ∞, c’est-à-dire z→∞ si l’ordre du numérateur de H(z) est supérieur à celui de son dénominateur, le SLIT en question ne peut pas être causal. Dans le cas contraire, il peut l’être, mais ne l’est, comme nous l’avons déjà mentionné, que si sa RDC s’étend du pôle de H(z) le plus éloigné de l’origine jusqu’à l’infini. On notera que si Lim {H(z)} → ∞, la fonction de transfert possède un pôle à z → ∞ et par z→∞ conséquent sa RDC ne peut pas remplir cette condition. Exemple E4.3.1

Déterminer dans chacun des cas suivants si le SLIT caractérisé par la fonction de transfert donnée peut être causal ou non. a. H a ( z ) =

z +1 z +z +1

b. H b ( z ) =

z −1 + 1 z −1 + 2

2

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( z + 2) ( z + 1) 2 c. H c ( z ) = z( z 2 + 0 .4z + 0 .2 5)

d. H d ( z ) =

( z + 2) ( z + 3) 3 ( z + 0 .4) ( z + 0 .5)

e. H e ( z ) =

z −2 + 1 z −1 ( 0 .3 6z −2 + 0 .2 5z −1 + 1)

Solution z +1   = 0 , ce SLIT peut être causal. z→∞ z + z + 1  

a. Lim { H a ( z ) } = Lim  z→∞

2

 z −1 + 1  1 b. Lim { H b ( z ) } = Lim  −1  = , ce SLIT peut être causal. z→∞ z + 2 2 z→∞  

( z + 2)( z + 1) 2   = 1 , ce SLIT peut être causal. z → ∞ z( z 2 + 0 .4z + 0 .2 5)  

c. Lim { H c ( z ) } = Lim  z→∞

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140 Traitement numérique des signaux

 ( z + 2)( z + 3) 3   → ∞ , ce SLIT ne peut pas z → ∞ ( z + 0 .4)( z + 0 .5)  

d. Lim { H d ( z ) } = Lim  z→∞

être causal.

 z −2 + 1  → ∞ , ce SLIT ne −1 −2 −1 z → ∞ z ( 0 .3 6z + 0 .2 5z + 1)   

e. Lim { H e ( z ) } = Lim  z→∞

peut pas être causal. 4.4

Stabilité d’une fonction de transfert d’un SLIT

La région de convergence (RDC) de la fonction de transfert H(z) d’un SLIT est définie par : ∞



∑

h( n )z − n = C < ∞

n = −∞



(4.4.1)

Un SLIT, dont la réponse impulsionnelle est h(n) et la fonction de transfert est H(z), est stable s’il remplit la condition suivante : ∞



∑

h( n ) = C < ∞

n = −∞



(4.4.2)

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Il découle de la comparaison des équations 4.4.1 et 4.4.2 qu’un SLIT est stable si le cercle unité |z| = 1 est inscrit dans la RDC de sa fonction de transfert. On peut donc dire en résumé qu’un SLIT dont la fonction de transfert rationnelle est :

H( z ) =

N( z ) D( z )

(4.4.3)

est stable si et seulement si sa région de convergence contient le cercle unité |z| = 1. De cette condition générale, on peut déduire les deux règles suivantes : a. La fonction de transfert rationnelle H(z) d’un SLIT causal est stable si et seulement si tous ses pôles sont à l’intérieur du cercle unité |z| = 1, comme illustré par la figure 4.4.1a. b. La fonction de transfert rationnelle H(z) d’un SLIT anticausal est stable si et seulement si tous ses pôles sont à l’extérieur du cercle unité |z| = 1, comme illustré à la figure 4.4.1b.

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Fonctions de transfert et stabilité



(a)

141

(b)

Figure 4.4.1  (a) Pôles situés à l’intérieur de |z| = 1

(b) Pôles situés à l’extérieur de |z| = 1

Exemple E4.4.1

Déterminer si le SLIT caractérisé par la fonction de transfert suivante : H( z ) =



( z + 1) ( z − 0 .3) ( z − 2 .7 5)

est stable ou non dans chacun des cas suivants : Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.

a. Le SLIT est causal. b. Le SLIT n’est pas causal et sa réponse impulsionnelle h(n) s’étend sur la plage de valeurs de n définie par : –∞ < n < N0, où N0 est un entier dont la valeur est finie. c. Le SLIT n’est pas causal et sa réponse impulsionnelle h(n) s’étend sur la plage de valeurs de n définie par : –∞ < n < +∞. Solution

a. Dans le premier cas, la réponse impulsionnelle h(n) du SLIT s’étend d’une valeur finie de n telle que n = N0 jusqu’à n → ∞. Nous sommes donc en présence d’une SUD. La RDC de la fonction de transfert H(z) est donc un anneau centré à l’origine du plan Z et qui

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142 Traitement numérique des signaux

s’étend du pôle le plus éloigné de l’origine zp = 2.75 jusqu’à l’infini. Cette RDC ne contient pas le cercle unité |z| = 1. On peut donc en conclure que le SLIT n’est pas stable. b. Dans le second cas, la réponse impulsionnelle de h(n) s’étend de l’origine à une valeur finie de n telle que N0. Nous sommes donc en présence d’une SUG. La RDC de la fonction de transfert H(z) du SLIT est donc un disque dont le centre se trouve à l’origine du plan Z et qui s’étend depuis l’origine de ce plan jusqu’au pôle zq = 0.3 le plus proche de celle-ci. Cette RDC ne contient pas le cercle unité |z| = 1. Le SLIT n’est donc pas stable. c. Dans le troisième cas, la réponse impulsionnelle h(n) s’étend de –∞ à +∞. Nous sommes donc en présence d’une SB. La RDC de la fonction de transfert H(z) du SLIT est donc un anneau dont le centre est situé à l’origine du plan Z et qui s’étend de zq = 0.3 jusqu’à zp = 2.75. Cette RDC contient donc le cercle unité |z| = 1 et, de ce fait, le SLIT est stable. Exemple E4.4.2

Déterminer si le SLIT causal caractérisé par la fonction de transfert suivante est stable ou non. H( z ) =

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( z + 4)( z + 0 .2 5) ( z + 0 .5)( z 2 + 0 .2z + 0 .5)

Solution

Le dénominateur de H(z) est égal à zéro pour :

(z + 0.5)(z2 + 0.2z + 0.5) = 0

soit :

(z + 0.5)(z + 0.1 + j0.7)(z + 0.1 – j0.7) = 0

Les pôles de H(z) sont par conséquent :

z1 = –0.5, z2 = –0.1 – j0.7, z3 = –0.1 + j0.7

Les modules respectifs de ces pôles sont :

z 1 = 0 .5 < 1

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Fonctions de transfert et stabilité





z2 =

( −0 .1) 2 + ( −0 .7 ) 2 = 0 .7 0 7 < 1



z3 =

( −0 .1) 2 + ( 0 .7 ) 2 = 0 .7 0 7 < 1

143

Tous les pôles de H(z) se trouvant à l’intérieur du cercle unité et le SLIT étant causal, le système est donc stable. Exemple E4.4.3

Déterminer si le SLIT anticausal caractérisé par la fonction de transfert anticausale suivante est stable ou non. H( z ) =



( z + 4)( z + 0 .2 5) , RDC z < 0 .5 ( z + 0 .5)( z 2 + 0 .2z + 0 .5)

Solution

Il a été démontré à l’exemple E4.4.2 que les pôles de la fonction de transfert H(z) sont tous situés à l’intérieur du cercle unité. La RDC de H(z) indique que le SLIT considéré est anticausal. Une fonction de transfert anticausale est stable seulement si tous ses pôles sont situés à l’extérieur de |z| = 1. De ce fait, la fonction de transfert anticausale H(z) est instable.

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Exemple E4.4.4

Écrire en langage MATLAB® un programme permettant de calculer l’emplacement des racines d’un polynôme quelconque tel que :

D(z) = z7 + 0.5z6 + 0.4z5 + 2z4 + 0.75z3 + 0.8z2 + 0.6z + 0.55

et de représenter ces pôles par rapport au cercle unité |z| = 1. Solution

Le programme requis figure dans l’encadré de la page suivante. Le graphe généré par ce programme est représenté à la figure E4.4.4. On constate que quatre des racines de D(z) se trouvent à l’intérieur du cercle unité |z| = 1, tandis que les trois autres sont à l’extérieur de ce cercle.

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144 Traitement numérique des signaux

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 %Programme E4.4.4 clear ; D = [1 0.5 0.4 2 0.75 0.8 0.6 0.55] ; R = roots(D) ; RR = real(R) ; IR = imag(R) ; plot(RR,IR,‘*’) ; axis equal ; hold on ; w = 0 :0.01 :pi ; plot(cos(2*w),sin(2*w)) ; pause ; hold off ; close all ; disp(‘Module Angle en deg.’) ; disp([abs(R) (angle(R))*180/pi])

Figure E4.4.4

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Fonctions de transfert et stabilité



145

Le programme fournit aussi les valeurs numériques des modules et des angles de tous les pôles de D(z) sous la forme suivante : Module

Angle en deg.

1.2872 1.0645 1.0645 0.9017 0.9017 0.6810 0.6810

180.0000 60.3903 -60.3903 66.2805 -66.2805 136.6262 -136.6262

4.4.1 Racines complexes d’un polynôme du second ordre

Les deux racines complexes r1,2, de tout polynôme P(z) du second ordre à coefficients réels sont des conjuguées complexes l’une de l’autre. De telles racines r1,2 = r[cos(q) ± jsin(q)] sont représentées à la figure 4.4.2. Le polynôme P(z) peut être exprimé en fonction de ses racines comme suit :

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P(z) = [z – rcos(q) – jrsin(q)][z – rcos(q) + jrsin(q)] = z2 – 2rzcos(q) + r2 (4.4.4)

Figure 4.4.2  Racines complexes d’un polynôme du second ordre

à coefficients réels

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146 Traitement numérique des signaux

où r est un nombre positif puisqu’il représente le module de chacune des racines de P(z), tandis que q et –q sont respectivement les angles de ces racines. Nous constatons que les deux racines de P(z) se trouvent à l’intérieur du cercle unité si et seulement si |r| < 1. Elles sont situées à l’extérieur du cercle unité si et seulement si |r| > 1. Aucune restriction ne s’applique à l’angle q. 4.4.2 Critère et tableau de Jury

Il est possible de déterminer si toutes les racines du polynôme :

D(z) = aNzN + aN – 1zN – 1 + … + a1z + a0, aN > 0

(4.4.5)

sont à l’intérieur du cercle unité |z| = 1 ou non, à l’aide du critère de Jury qui requiert l’élaboration du tableau du même nom. Avant d’entamer l’élaboration du tableau de Jury, il est toutefois nécessaire de s’assurer que chacune des trois conditions suivantes est remplie :

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aN > |a0| (4.4.6a) D(1) > 0 (4.4.6b) N (–1) D(–1) > 0 (4.4.6c) Ces conditions sont nécessaires, mais non suffisantes, pour que toutes les racines de D(z) soient à l’intérieur du cercle unité. Si l’une ou l’autre de ces conditions n’est pas remplie, les racines de D(z) ne sont pas toutes à l’intérieur du cercle unité. De ce fait, point n’est alors besoin de poursuivre le test. Si toutes les conditions préliminaires sont remplies, il faut alors dresser le tableau de Jury que l’on détaillera plus loin et s’assurer que toutes les conditions relatives à ce tableau, données par l’équation 4.4.7, sont elles aussi remplies.

b N − 1 > b 0 , c n −2 > c 0 , d n −2 > d 0 , …, r2 > r0

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(4.4.7)

Fonctions de transfert et stabilité



147

L’élaboration du tableau de Jury, qui comporte 2N – 3 lignes, peut être ­effectuée comme suit : Tableau de Jury

1 2

aN a0

aN – 1 a1

aN – 2 a2

… …

a2 aN – 2

a1 aN – 1

3 4

bN – 1 b0

bN – 2 b1

bN – 3 b2

… …

b1 bN – 2

b0 bN – 1

5 6

cN – 2 c0

cN – 3 c1

cN – 4 c2

… …

c0 cN – 2

. . .

. . .

. . .

. . .

… … …

. . .

2N – 3

r2

r1

r0

a0 aN

où : bi =

aN

a N−1− i

a0

a i +1

, i = 0, 1, 2, . . ., N − 1, c i =

b N–1

b N− 2 − i

b0

b i +1

, i = 0, 1, 2, …, N − 2, eetc. tc .

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On remarquera que la dernière ligne du tableau de Jury contient toujours trois éléments. Si toutes les conditions préliminaires données par les équations 4.4.6 sont remplies et que toutes les conditions relatives au tableau de Jury données par les équations 4.4.7 le sont également, on peut alors dire que toutes les racines de D(z) sont à l’intérieur du cercle unité |z| = 1. L’ensemble des conditions préliminaires données par les équations 4.4.6 et des conditions relatives au tableau de Jury données par les équations 4.4.7 constitue ce que l’on nomme le critère de Jury. Exemple E4.4.5

Déterminer si toutes les racines du polynôme suivant sont à l’intérieur du cercle unité ou non.

D(z) = 2z4 + 3z3 + 4z2 + z + 1

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148 Traitement numérique des signaux

Solution

Conditions préliminaires :

2 > |1|, D(1) = 11 > 0, (–1)4 D(–1) = 3 > 0

Les trois conditions préliminaires étant remplies, on peut donc dresser le tableau de Jury comme suit : 1 2

2 1

3 1

4 4

1 3

3 4

3 –1

5 4

4 5

–1 3

5

8

19

17

1 2

Nous constatons que :

|3| > |–1|

mais que :

|8| < |17|

Ainsi, la dernière condition du critère de Jury n’étant pas remplie, toutes les racines de D(z) ne sont pas à l’intérieur du cercle unité |z| = 1.

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Exemple E4.4.6

À l’aide du critère et du tableau de Jury, déterminer la plage de valeurs du paramètre c pour laquelle les racines du polynôme D(z) = 2z3 + z2 + cz + 1 sont toutes à l’intérieur du cercle unité |z| = 1. Solution

Conditions préalables : 2 > |1|, cette condition est évidemment indépendante du paramètre c.

D(1) = 4 + c > 0 ↔ c > –4 (–1)3 D(–1) = c > 0 ↔ c > 0

Nous avons déterminé les plages de valeurs de c pour lesquelles les conditions préalables sont remplies. Il nous est donc maintenant possible d’élaborer le tableau de Jury comme suit :

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Fonctions de transfert et stabilité



1 2

2 1

1 c

c 1

3

3

(2 – c)

(2c – 1)

149

1 2

Il faut donc aussi que :

|2c – 1| < 3 ↔ ±(2c – 1) < 3

Cette dernière condition peut être remplie par les deux conditions suivantes :

2c – 1 < 3 ↔ c < 2 –2c + 1 < 3 ↔ c > –1

En résumé, les conditions qui doivent être remplies par le paramètre c pour que les racines de D(z) soient toutes à l’intérieur du cercle unité |z| = 1 sont les suivantes :

c > –4, c > 0, c < 2, c > –1

Il s’ensuit que la plage requise des valeurs du paramètre c est 0 < c < 2. Exemple E4.4.7

Obtenir à l’aide du critère de Jury les conditions nécessaires et suffisantes pour que toutes les racines du polynôme du second ordre suivant soient à l’intérieur du cercle unité |z| = 1. D(z) = z2 + a1z + a0

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Solution

Les conditions préliminaires sont : |a0| < 1 D(1) = 1 + a1 + a0 > 0 ↔ a1 > –(1 + a0) (–1)2 D(–1) = 1 – a1 + a0 > 0 ↔ a1 < (1 + a0) La dernière ligne du tableau de Jury comportant toujours trois éléments, sa première ligne en est aussi sa dernière. Ce tableau n’est donc constitué que d’une seule ligne. La condition liée à cette ligne a déjà été mentionnée soit : |a0| < 1 ↔ –1 < a0 < 1. De la sorte et selon le critère de Jury, les racines de D(z) = z2 + a1z + a0 sont toujours à l’intérieur du cercle unité |z| = 1 si et seulement si – 1 < a0 < 1 et –(1 + a0) < a1 < (1 + a0).

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150 Traitement numérique des signaux

Il est aussi possible d’utiliser le critère de Jury pour établir si toutes les racines d’un polynôme D(z) sont à l’extérieur du cercle unité |z| = 1. Pour ce faire, il est possible de procéder comme suit : a. Remplacer la variable complexe z par son inverse z = z–1 dans le polynôme en question et former ainsi le polynôme D(z)|z = z–1 = z–NP(z) où N désigne l’ordre du polynôme D(z). b. Appliquer le critère de Jury au nouveau polynôme P(z) ainsi obtenu. Si toutes les racines du nouveau polynôme P(z) sont à l’intérieur du cercle unité |z| = 1, il en découle que les racines de D(z) se trouvent toutes à l’extérieur de ce cercle. Dans le cas contraire, toutes les racines de D(z) ne sont pas à l’extérieur de |z| = 1. On notera que les cercles unités |z| = 1 et |z| = 1 sont identiques. L’exemple suivant illustre cette méthode. Exemple E4.4.8

Établir si toutes les racines du polynôme suivant sont à l’extérieur du cercle unité ou non. D(z) = z3 + 12z2 + 9z + 2

Solution

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En procédant selon la méthode décrite précédemment, nous obtenons : (z)|z = z–1 = z–NP(z) = z–3 + 12z–2 + 9z–1 +2 = z–3(1 + 12z + 9z2 + 2z3) D P(z) = 2z3 + 9z2 + 12z + 1 2 > |1|, P(1) = 24 > 0, (–1)3P(–1) = –(–4) = 4 > 0 Tableau de Jury

1 2

2 1

 9 12

12  9

3

3

 6

15

1 2

On remarque que |3| < |15|. Une des conditions du critère de Jury n’étant pas remplie, il s’ensuit que les racines de P(z) ne sont pas toutes à l’intérieur de |z| = 1, donc toutes les racines de D(z) ne sont pas à l’extérieur du cercle unité |z| = 1.

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Fonctions de transfert et stabilité



4.5

151

Fonctions de transfert causales, non causales et anticausales ayant le même module de réponse en fréquence

La méthode qui sera décrite ici permet de transformer une fonction de transfert stable et non causale, ou une fonction de transfert stable et anticausale, en une fonction de transfert stable et causale, ayant le même module de réponse fréquentielle que celui de la fonction de transfert originale, ou vice-versa. Avant d’exposer cette méthode, nous étudierons quelques relations importantes entre les réponses en fréquence de certains polynômes en z. La méthode en question repose sur ces relations. 4.5.1

Relations entre la réponse en fréquence de F1(z) = (z – p) et celle de F1S (z) = zF1(z–1) lorsque p est une quantité réelle

Considérons le polynôme du premier ordre suivant, où p désigne une quantité réelle : F1 ( z ) = z − p



(4.5.1)

Ce polynôme a évidemment une racine à z = p. La réponse harmonique ou fréquentielle (voir chapitre 5) de F1(z) est F1 ( z ) z = e = F1 ( e jω ) , donc : jω

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F1 ( e

jω

) = [cos ( ω) + j sin ( ω)] − p = [ cos( ω) − p ] + j [ sin(ω) ] = F1 ( e

jω

jϕ ( e jω ) )e 1

(4.5.2)

Le module et la phase de cette réponse fréquentielle sont donc respectivement donnés par :



F1 ( e jω ) = 1 − 2p c o s( ω ) + p 2



 sin ( ω )  ϕ 1 ( e jω ) = a rc ta n   cos (ω) − p 

(4.5.3) (4.5.4)

Considérons maintenant le polynôme F1S(z) obtenu en remplaçant z par z–1 dans le polynôme F1(z) puis en multipliant celui-ci par z. Nous obtenons alors :

F1S ( z ) = z( z −1 − p ) = 1 − p z

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(4.5.5)

152 Traitement numérique des signaux

La réponse fréquentielle de F1S(z), son module et sa phase sont respectivement donnés par : F1S ( e jω ) = e jω ( e − jω − p ) = e jω ( e − jω − p ) = [c o s( ω ) + j sin ( ω ) ] [ c o s( −ω ) + j sin ( −ω ) − p ]

= [c o s( ω ) + j sin ( ω ) ] [ c o s( ω ) − p − j sin ( ω ) ]



F1S ( e jω ) = 1 − 2p c o s( ω ) + p 2



(4.5.6) (4.5.7)



 − sin ( ω )   sin ( ω )  ϕ 1S ( e jω ) = ω + a rc ta n   = ω − a rc ta n   (4.5.8) cos (ω) − p  cos (ω) − p 



On remarque que les modules de F1S(ejw) et de F1(ejw) sont identiques, tandis que leurs phases sont différentes : F1S ( e jω ) = F1 ( e jω )



(4.5.9)



et :

φ1S ( e jω ) = ω − φ1 ( e jω )

(4.5.10)



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4.5.2 Relations entre la réponse en fréquence de F2 (z) = (z 2 – 2rzcos(q) + r 2) et celle de F2S (z) = z 2F2 (z –1)

Considérons maintenant le polynôme à coefficients réels et à racines complexes suivant :

F2 ( z ) = z 2 − 2 r z cos( θ) + r 2 = ( z − re jθ )( z − re − jθ )



(4.5.11)

Les racines de ce polynôme sont p1 = rejq et p2 = re –jq. La réponse fréquentielle de F2(z), son module et sa phase sont respectivement donnés par : F2 ( e jω ) = e j2ω − 2re jω cos( θ) + r 2



= [cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 2 ] + j [sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω )]

(4.5.12)

F2 ( e jω ) = [cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 2 ]2 + [sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω )]2 (4.5.13)

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Fonctions de transfert et stabilité

 sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω )  Φ 2 ( e jω ) = arctan  2   cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 

153

(4.5.14)

Considérons maintenant le polynôme F2S (z) obtenu en remplaçant z par z–1 dans F2(z) puis en multipliant celui-ci par z2.

F2S ( z ) = z 2  z −2 − 2 r z −1 cos( θ) + r 2  (4.5.15)

Les racines de ce polynôme sont z1 = r–1ejq et z2 = r–1e –jq. La réponse fréquentielle de F2S(z), son module et sa phase sont respectivement donnés par : F2S ( e jω ) = e 2jω [e − j2ω − 2r e − jω cos( θ) + r 2 ]



  cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 2  −   =  cos( 2ω ) + j sin( 2ω )      j  sin( 2ω ) − 2r sin( θ) sin( ω )  

(4.5.16)

F2S ( e jω ) = [cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 2 ]2 + [sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω )]2 (4.5.17)





 sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω )  Φ 2S ( e jω ) = 2ω − arctan  2   cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 

(4.5.18)

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On remarque que les modules de F2(ejw) et de F2S(ejw) sont identiques, tandis que leurs déphasages sont différents :

F2S ( e jω ) = F2 ( e jω )

(4.5.19)



φ 2S ( e jω ) = 2ω − φ 2 ( e jω )



(4.5.20)

Tout polynôme F(z) à coefficients réels peut être décomposé en un produit de polynômes du second ordre à racines complexes et de polynômes du premier ordre à racines réelles. Il est donc possible de généraliser les résultats obtenus précédemment comme suit. Soit deux polynômes d’ordre M à coefficients réels FM(z) et FMS(z) = zMF(z–1). Les modules de F M(ejw) et de F MS(ejw) sont identiques, tandis que leurs ­arguments sont différents.

FMS ( e jω ) = FM ( e jω ) , (4.5.21) φ MS ( e jω ) ≠ φ M ( e jω )

(4.5.22)

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154 Traitement numérique des signaux

4.5.3 Transformation des fonctions de transfert stables et non causales ou anticausales en fonctions de transfert stables et causales et vice-versa

Toute fonction de transfert rationnelle dont les coefficients sont réels peut être décomposée en un produit de fonctions de transfert du premier ordre à pôles réels et de fonctions de transfert du second ordre à pôles complexes. Il est donc possible d’utiliser les résultats obtenus précédemment pour transformer une fonction de transfert stable et non causale, ou une fonction de transfert stable et anticausale, en fonction de transfert stable et causale. La méthode à utiliser est décrite ci-dessous. Soit une fonction de transfert stable et non causale H(z) = N(z)/D(z) dont un ou plusieurs pôles se trouvent à l’extérieur du cercle unité |z| = 1. Il est possible de transformer cette fonction de transfert en une fonction de transfert stable et causale ayant le même module de réponse fréquentielle, en remplaçant respectivement chacun des facteurs de son dénominateur tels que F1(z) = (z – p), |p| > 1 et F2(z) = z2 – 2rzcos(q) + r2 , |r| > 1 dont les racines sont à l’extérieur du cercle unité |z| = 1, par les facteurs F1S(z) = z(z–1 – p) et F2S(z) = z2[z–2 – 2ra–1cos(q) + r2] dont les racines sont à l’intérieur de ce cercle. Cette opération ne modifie en rien le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert originale, mais modifie généralement son déphasage. Pour effectuer la transformation en question, on peut donc procéder comme suit :

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a. Identifier les pôles de H(z), c’est-à-dire les racines de son dénominateur D(z) qui sont à l’extérieur du cercle unité |z| = 1. b. Réécrire D(z) sous la forme D(z) = D0(z)D1(z), où D0(z) est le produit des facteurs de D(z) qui correspondent aux racines de ce polynôme situées à l’intérieur du cercle unité, tandis que D1(z) est le produit des facteurs de D(z) qui correspondent aux racines de D(z) situées à l’extérieur du cercle unité |z| = 1. c. Obtenir D1(z–1) en remplaçant z par z–1 dans D1(z). d. Multiplier D1(z–1) par zM1 où M1 désigne le degré du polynôme D1(z). Nous obtenons ainsi la fonction de transfert suivante :

HS ( z ) =

N( z ) [z D1 ( z −1 )] D 0 ( z ) M1



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(4.5.23)

Fonctions de transfert et stabilité



155

qui est une fonction de transfert stable et causale ayant le même module de réponse fréquentielle que celui de H(z) mais dont le déphasage est généra­ lement différent.

{

}

{

H S ( e jω ) = H( e jω ) , arg H S ( e jω ) ≠ arg H( e jω )



}

(4.5.24)

Exemple E4.5.1

Transformer la fonction de transfert stable et non causale H(z), donnée ci-dessous, en une fonction de transfert stable et causale HS(z) ayant le même module de réponse en fréquence que H(z).

H( z ) =

N( z ) 1 = 4 , RDC 0 .5 < z < 1 .7 3 2 3 D( z ) z + 5 .3z + 8 .6z 2 + 1 5 .1z + 6

Obtenir ensuite l’équation aux différences correspondante. Solution

La factorisation du dénominateur D(z) de H(z) donne :

D(z) = (z + 0.5)(z + 4)(z + 0.4 + j1.6852)(z + 0.4 – j1.6852) = (z + 0.5)(z + 4)(z2 + 0.8z + 3)

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On constate que certains pôles de H(z) sont à l’extérieur du cercle unité |z| = 1. La factorisation de D(z) sous la forme D(z) = D0(z)D1(z), c’est-à-dire du produit d’un polynôme D0(z) n’ayant que des racines inscrites dans le cercle unité et d’un polynôme D1(z) n’ayant que des racines à l’extérieur de ce cercle, mène à : D0(z) = (z + 0.5) 2 D1(z) = (z + 4)(z + 0.8z + 3) = z3 + 4.8z2 + 6.2z + 12 En procédant comme mentionné ci-dessus, on obtient : D1(z–1) = z–3 + 4.8z–2 + 6.2z–1 + 12, M1 = 3 z3D1(z) = 1 + 4.8z1 + 6.2z2 + 12z3

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156 Traitement numérique des signaux

d’où la fonction de transfert stable et causale requise : 1 ( z + 0 .5)(1 2z + 6 .2z 2 + 4 .8z + 1) 1 = , RDC z > 0 .7 7 2 6 4 3 1 2z + 1 2 .2z + 7 .9z 2 + 3 .4z + 0 .5

HS ( z ) =



3

Les pôles de HS(z) sont :

(–0.1333 + j0.5617), (–0.1333 – j0.5617), –0.5000, –0.2500

Au regard de ces valeurs, il est facile de constater que les pôles de HS(z) sont tous, comme prévu, inscrits dans le cercle unité |z| = 1. Pour obtenir l’équation aux différences qui caractérise le SLIT causal en question, on peut réécrire la fonction de transfert sous la forme suivante :

HS ( z ) =

Y( z ) z −4 = X( z ) 1 2 + 1 2 .2z −1 + 7 .9z −2 + 3 .4z −3 + 0 .5z −4

donc : 12y(n) = x(n – 4) – 12.2y(n – 1) – 7.9y(n – 2) – 3.4y(n – 3) – 0.5y(n – 4) d’où :

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y(n) = 0.0833x(n – 4) – 1.0167y(n – 1) – 0.6583y(n – 2) – 0.2833y(n – 3) – 0.0416y(n – 4)

Une méthode semblable à celle qui a été décrite ci-dessus peut être appliquée pour transformer une fonction de transfert stable et non causale ou une fonction de transfert stable et causale en une fonction de transfert stable et anticausale ayant le même module de réponse fréquentielle. L’exemple suivant illustre la procédure utilisée. Exemple E4.5.2

Transformer la fonction de transfert stable et non causale H(z), donnée ci-dessous, en une fonction de transfert stable et anticausale HS(z), ayant le même module de réponse en fréquence que H(z).

H( z ) =

N( z ) 1 = 4 , RDC 0 .5 < z < 1 .7 3 2 D( z ) z + 5 .3z + 8 .6z 2 + 1 5 .1z + 6

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Fonctions de transfert et stabilité



157

Solution

La factorisation du dénominateur D(z) de H(z) donne :

D(z) = (z + 0.5)(z + 4)(z + 0.4 + j1.6852)(z + 0.4 – j1.6852) = (z + 4)(z + 0.5)(z2 + 0.8z + 3)

Nous constatons que tous les pôles de H(z) ne sont pas situés à l’extérieur du cercle unité |z| = 1. La factorisation de D(z) sous la forme D(z) = D0(z)D1(z), c’est-à-dire du produit d’un polynôme D0(z) ne contenant que les racines de D(z) inscrites dans le cercle unité et d’un polynôme D1(z) ne contenant que les racines de D(z) qui ne le sont pas, donne : D0(z) = (z+0.5) D1(z) = (z + 4)(z2 + 0.8z + 3) Dans ce cas, c’est le polynôme D0(z) qui sera remplacé par D0(z–1), puis multiplié par zM0 où M0 est l’ordre de D0(z) : D0(z–1) = (z–1 + 0.5), M0 = 1 zD0(z–1) = 1 + 0.5z



et la fonction de transfert stable anticausale HS(z) est donnée par :

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HS ( z ) =



=

1

( 0 .5z + 1 ) ( z + 4 ) ( z 2 + 0 .8z + 3 ) 1 , RDC z < 1 .7 3 2 0 .5z + 3 .4z + 7 .9z 2 + 1 2 .2z + 1 2 4

3

Les pôles de HS(z) sont :

–4.0000, –2.0000, (–0.4000 + j 1.6852), (–0.4000 – j 1.6852)

Au regard de ces valeurs, nous pouvons constater que ces pôles sont tous situés à l’extérieur du cercle unité |z| = 1. 4.6 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons étudié la fonction de transfert d’un SLIT et sa relation avec la réponse impulsionnelle de celui-ci. Nous avons aussi décrit une méthode simple permettant de déterminer si une fonction de transfert donnée peut représenter un système causal ou non. En outre, une étude de

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158 Traitement numérique des signaux

la stabilité d’un SLIT à partir de l’emplacement des pôles de sa fonction de transfert a été présentée. Une méthode basée sur le critère et le tableau de Jury permettant de déterminer si une fonction de transfert donnée est stable ou non a été exposée et illustrée par de nombreux exemples. Enfin, une méthode permettant de transformer une fonction de transfert stable et non causale ou une fonction de transfert stable et anticausale en une fonction de transfert stable et causale, ou vice-versa, sans pour autant modifier le module de la réponse fréquentielle originale, a été décrite. 4.7

Exercices et problèmes

P4.1 Obtenir la fonction de transfert H(z) du SLIT causal caractérisé par

l’équation aux différences suivante :



y(n) = x(n) + 2x(n – 1) + x(n – 2) – 0.4y(n – 1) – 0.5y(n – 2) et donner la région de convergence (RDC) de celle-ci.

P4.2 Obtenir la réponse y(n) du SLIT caractérisé par la réponse impulsionnelle :

h(n) = [0.5n cos(4n)] u(n)



au signal d’entrée



x(n) = 0.3u(n)

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P4.3 Les fonctions de transfert suivantes caractérisent des SLIT. Déterminer

quelles sont celles qui pourraient appartenir à un SLIT causal et celles qui ne le pourraient pas. Justifier vos réponses. a. H a ( z ) =

z +1 z + 0 .2z + 0 .4

b. H b ( z ) =

1 + 0 .4z + 0 .3z 2 z 2 + 0 .4z + 1

c. H c ( z ) =

z 2 ( z + 3) z 2 + 0 .8z + 0 .5

d. H d ( z ) =

z −1 + 1 0 .2 5z −2 + 0 .4z −1 + 1

2

P4.4 Déterminer à l’aide du critère de Jury si les fonctions de transfert

suivantes sont stables.

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Fonctions de transfert et stabilité



a. H a ( z ) =

1 ,LeleSLIT SLITe stestcausal causal. 5z + 3z + 6z 2 + z + 2

b. H b ( z ) =

1 ,LeleSLIT SLIT e stest anticausal anticausal. 5z + 3z + 4z 2 + 2z + 6

4

4

159

3

3

P4.5 Obtenir – si elle existe – la plage de valeurs de k pour laquelle la fonc-

tion de transfert causale suivante est stable.



z 2 + 5z + 4 H( z ) = 2 z + 6z 2 + 2z + k

P4.6 Transformer, sans modifier le module de sa réponse en fréquence, la

fonction de transfert stable et non causale suivante en fonction de transfert stable et causale :

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z2 − 1 H( z ) = ( z + 1 .5)( z + 0 .5)( z 2 + 0 .5z + 1 .2)

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5



Réponses fréquentielles

5.1 Introduction

Dans ce chapitre, notre attention se portera sur les réponses fréquentielles des systèmes linéaires invariants dans le temps (SLIT). Puisque le numérateur et le dénominateur de toute fonction de transfert rationnelle peuvent tous deux être décomposés en facteurs du premier ordre à racines réelles et en facteurs du second ordre à racines complexes, nous nous pencherons plus particulièrement sur le calcul des modules, déphasages et délais de propagation de groupe de ces facteurs. Nous considérerons par la suite en détail quelques classes importantes de réponses fréquentielles et les fonctions de transfert dont elles découlent. Ainsi, nous étudierons les fonctions de transfert de type passe-tout, celles de type peigne et les fonctions de transfert RIF à déphasage linéaire.

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5.2

Réponse fréquentielle d’un SLIT

La réponse fréquentielle d’un SLIT présente en général une grande importance, et ce, plus particulièrement dans le cas où le système considéré est un filtre. Nous étudierons donc ici le calcul des modules, déphasages et temps de propagation de groupe (retards de groupe) des réponses fréquentielles des SLIT à partir de leurs fonctions de transfert. 5.2.1

Forme générale de la réponse fréquentielle d’un SLIT

La réponse fréquentielle d’un SLIT stable peut être obtenue en posant, comme nous l’avons indiqué à la section 3.6, z = ejw, dans sa fonction de transfert H(z). Ainsi, la réponse fréquentielle H(ejw) du SLIT est donnée par :

H( e jω ) = H( e jω ) e jφ( ω ) = H R ( e jω ) + jH I ( e jω )



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(5.2.1)

162 Traitement numérique des signaux

où |H(ejw)|, f(ejw), HR(ejw) et HI(ejw) sont respectivement le module, le déphasage, la partie réelle et la partie imaginaire de H(ejw). De plus, w = WTS = (2pF)TS = 2pF/FS, où F est la fréquence et Ts=1/FS est la période d’échantillonnage. Toutes ces quantités ont déjà été définies au chapitre 1. Les relations suivantes découlent directement de l’équation 5.2.1 :



H( e jω ) =

H 2R ( e jω ) + H 2I ( e jω )

tan  φ( e jω )  =

(5.2.2)



H I ( e jω ) H R ( e jω )

(5.2.3a)

Après simplification des facteurs communs à HI(ejw) et HR(ejw), cette dernière relation peut généralement être réécrite comme suit pour les valeurs de w différentes de celles qui annulent simultanément QI (ejw) et QR (ejw) :

tan  φ( e jω )  =

Q I ( e jω ) Q R ( e jω )

(5.2.3b)

d’où :



 H ( e jω )   Q ( e jω )  φ( e jω ) = arctan  I jω  = arctan  I jω   HR ( e )   QR( e ) 

(5.2.4)

Le temps de propagation de groupe (retard de groupe) t(ejw) est défini par :  d φ( e jω )  τ( e ) = −TS    dω 

(5.2.5)

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jω





et l’on peut démontrer que ce dernier peut être exprimé sous la forme suivante :



 Q ( e jω )Q ' I ( e jω ) − Q ' R ( e jω )Q I ( e jω )  τ( e jω ) = −TS  R  Q 2R ( e jω ) + Q 2I ( e jω )  

(5.2.6a)

où :

Q ' R ( e jω ) =

d Q R ( e jω ) dω

, Q ' I ( e jω ) =

d Q I ( e jω ) dω



Les exemples suivants illustrent l’utilisation de ces formules.

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(5.2.6b)

Réponses fréquentielles



163

Exemple E5.2.1

Obtenir le module, le déphasage et le retard de groupe de la fonction de transfert causale suivante : H( z ) =



1 z − 0 .3 7

La période d’échantillonnage est TS = 10 –1s. Solution H( e jω ) =



e

jω

1 1 = − 0 .3 7 [ cos( ω ) − 0 .3 7 ] + j sin(ω )

Le module de H(ejw) est donné par : H( e jω ) =



1

[ cos( ω ) − 0 .3 7 ]

2

+ [ sin(ω ) ]

2

=

1 1 .1 3 6 9 − 0 .7 4 cos( ω )

H(ejw) peut être exprimé en fonction de sa partie réelle et de sa partie imaginaire comme suit :

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   [cos( ω ) − 0 .3 7 ] − j sin(ω )  1 H( e jω ) =   [cos( ω ) − 0 .3 7 ] + j sin(ω )   [cos( ω ) − 0 .3 7 ] − j sin(ω )    cos( ω ) − 0 .3 7 = +j  1 .1 3 6 9 − 0 .7 4 cos( ω ) 



( )

( )

  − sin ( ω )    1 .1 3 6 9 − 0 .7 4 cos( ω ) 

= H R e jω + jH I e jω

Le déphasage f(ejw) et le retard de groupe t(jw) de cette fonction de transfert peuvent être respectivement obtenus comme suit :



  − sin( ω )   1 .1 3 6 9 − 0 .7 4 cos( ω )  Q I ( e jω ) − sin( ω )  jω   tan  φ( e )  = = =   cos( ω ) − 0 .3 7 Q R ( e jω ) cos( ω ) − 0 .3 7    1 .1 3 6 9 − 0 .7 4 cos( ω ) 

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164 Traitement numérique des signaux



 − sin( ω )  φ( e jω ) = arctan    cos( ω ) − 0 .3 7 



 Q R ( e jω )Q ' I ( e jω ) − Q ' R ( e jω )Q I ( e jω )   dφ( e jω )  = −T τ( e jω ) = −TS  S  Q 2R ( e jω ) + Q 2I ( e jω )  dω   Q R ( e jω ) = cos( ω ) − 0 .3 7, Q ' R ( e jω ) = − sin( ω ) Q I ( e jω ) = − sin( ω ), Q ' I ( e jω ) = − cos( ω )



 [ cos( ω ) − 0 .3 7 ] [ − cos( ω ) ] − [ − sin( ω ) ] [ − sin( ω ) ]  τ( e jω ) = −1 0 −1   2 2 [ cos( ω ) − 0 .3 7 ] + [ − sin( ω ) ]    0 .3 7 cos( ω ) − 1  = −1 0 −1   1 .1 3 6 9 − 0 .7 4 cos( ω ) 



Exemple E5.2.2

Utiliser le logiciel MATLAB® pour calculer et afficher le module normalisé par rapport à sa valeur maximale, ainsi que le déphasage de la fonction de transfert suivante : H( z ) =

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3z 6 − 0 .0 0 4 7z 5 + 1 .1 7 3 9z 4 + 0 .0 0 0 5z 3 − 1 .7 2 2 0z 2 + 0 .0 0 4 3z 1 − 2 .4 5 1 8 z 6 − 0 .0 0 2 4z 5 + 1 .4 6 1 8z 4 − 0 .0 0 4 2z 3 + 1 .3 2 1 5z 2 − 0 .0 0 1 9z + 0 .7 3 8 9

Solution

Le programme requis apparaît dans l’encadré ci-contre. Les graphes générés par ce programme apparaissent à la figure E5.2.2.

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Réponses fréquentielles

165

% Programme E5.2.2 % -------------------% Ce programme calcule et affiche le module et le déphasage % d’une fonction de transfert du domaine Z exprimée sous % une forme quelconque. % =================================================== % INITIALISATION clear ;j = sqrt(–1) ; wmin = 1e-3 ;wstep = 0.01 ;wmax = pi ; W = wmin :wstep :wmax ;Z = exp(j*W) ; % FONCTION DE TRANSFERT N = (3*Z.^6–0.0047*Z.^5+1.1739*Z.^4+0.0005*Z.^3… –1.7220*Z.^2 + 0.0043*Z–2.4519) ; D= (1*Z.^6 –0.0024*Z.^5+1.4618*Z.^4… –0.0042*Z.^3 + 1.3215*Z.^2-0.0019*Z+0.7389) ; HH =N./D ; % CALCUL ET NORMALIZATION DU MODULE H = HH./(abs(max(HH))) ;MH = abs(H) ; % CALCUL DU DEPHASAGE PH = angle(H) ; % GRAPHES ; subplot (311) ;plot(W/pi,MH) ;ylabel(‘Module’) ; subplot (312) ;plot(W/pi,20*log10(MH)) ; ylabel(‘Module en dB’) ; subplot(313) ;plot(W/pi,PH*180/pi) ; xlabel(‘F/(Fs/2)’) ; ylabel(‘Déphasage en deg.’) ; pause ; % CLÔTURE DES GRAPHES close all ;

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166 Traitement numérique des signaux

Figure E5.2.2

Exemple E5.2.3

Utiliser le logiciel Simulink® de MATLAB® pour obtenir un système de simulation permettant d’obtenir la réponse fréquentielle de la fonction de transfert suivante :

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H( z ) =



z 2 + 2z + 1 3 .4 1 4 2 z 2 + 0 .5 8 5 8

Solution

Le système requis ainsi que le paramétrage des blocs qui le constituent sont représentés à la figure E5.2.3a. Le spectre fréquentiel du signal aléatoire utilisé par ce système comme signal d’entrée du filtre se rapprochant d’une distribution spectrale uniforme, le signal qui apparaît à la sortie du filtre est très proche de la réponse fréquentielle de ce dernier. Le module et le déphasage de la fonction de transfert sont respectivement représentés, tels que simulés par le système en question, aux figures E5.2.3bi et E5.2.3bii.

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Réponses fréquentielles



167

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Figure E5.2.3a  Système permettant d’obtenir la réponse fréquentielle d’une fonction de transfert par simulation à l’aide du logiciel Simulink®

Figure E5.2.3b  (i) Module (ii) Déphasage en degrés de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert donnée obtenu à l’aide du système de la figure E5.2.3a

5.2.2 Forme factorisée de la réponse fréquentielle d’un SLIT

Toute fonction de transfert peut être réécrite sous la forme suivante : H( z ) =



Fz1 ( z ) . . . Fz M ( z ) Fp 1 ( z ) . . . Fp N ( z )

=

( z − z 1 ) . . . ( z − z M ) ( z − p 1 ) . . . ( z − p N )

(5.2.7a)

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168 Traitement numérique des signaux

où : Fzk(z) = (z – zk), k = 1, …, M

(5.2.7b)

sont les M facteurs du premier ordre formant le numérateur et : Fpk(z) = (z – pk), k = 1, …, N

(5.2.7c)

sont les N facteurs du premier ordre formant le dénominateur. z1, …, zM et p1, …, pN sont respectivement les M zéros et les N pôles de H(z). Dans ce cas, le module |H(ejw)| et le déphasage f(ejw)de la réponse fréquentielle H(ejw) de H(z) peuvent respectivement être exprimés comme suit : H (e



jω

)

=

Fz1 . . . Fz M Fp 1 . . . Fp N

=

e jω − z 1 . . . e jω − z M e jω − p 1 . . . e jω − p N

(5.2.8)

f(ejw) = [fz1(ejw) + … + fzM(ejw)] – [fp1(ejw) + … + fpN(ejw)] (5.2.9)

Les quantités |ejw – zk|, 1 ≤ k ≤ M sont les modules respectifs de termes Fzk(ejw) = (ejw – zk) du numérateur de H(ejw) et les quantités |ejw – pk|, 1 ≤ k ≤ N sont ceux des termes Fpk(ejw) = (ejw – pk) de son dénominateur. Les quantités fzk(ejw), 1 ≤ k ≤ M sont les arguments respectifs des termes Fzk(ejw) = (ejw – zk) du numérateur de H(ejw) et les quantités fpk(ejw), 1 ≤ k ≤ N sont ceux des termes Fpk(ejw) = (ejw – pk) de son dénominateur. Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.

Le retard de groupe t(ejw) de la fonction de H(ejw) est donné par :

t(ejw) = [tz1(ejw) + … + tzM(ejw)] – [tp1(ejw) + … + tpN(ejw)] (5.2.10)

Les quantités tzk(ejw), 1 ≤ k ≤ M sont les retards de groupe respectifs des termes Fzk(ejw) = (ejw – zk) du numérateur de H(ejw) et les quantités tpk(ejw), 1 ≤ k ≤ N sont ceux des termes Fpk(ejw) = (ejw – pk) de son dénominateur. De ce qui précède, il découle que le module, le déphasage et le retard de groupe de toute fonction de transfert rationnelle H(z) peuvent être exprimés en fonction des modules, des déphasages et des retards de groupe des facteurs du premier ordre, en fonction desquels il est toujours possible de décomposer le numérateur et le dénominateur de H(z). Dans la section suivante, nous étudierons donc en détail les propriétés générales de la réponse fréquentielle de ce type de facteur.

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Réponses fréquentielles



5.3

169

Réponses fréquentielles des facteurs du premier et du second ordre

Dans cette section, nous étudierons pour commencer les réponses fréquentielles des facteurs du premier ordre. Il est toujours possible de décomposer un facteur du second ordre en un produit de deux facteurs du premier ordre. Toutefois, il est souvent plus avantageux de disposer de formules donnant directement le module, le déphasage et le retard de groupe de la réponse fréquentielle des facteurs du second ordre à coefficients réels et à racines complexes. Nous étudierons donc aussi, par la suite, la réponse fréquentielle de ces facteurs. 5.3.1

Réponse fréquentielle d’un facteur du premier ordre

Comme nous l’avons démontré à la section 5.2.2, le numérateur aussi bien que le dénominateur de toute fonction rationnelle H(z) peuvent être exprimés sous la forme d’un produit de facteurs du premier ordre dont la forme générale est : F(z) = z – rejq (5.3.1)



où r et q sont deux quantités réelles. La quantité rejq peut être un zéro ou un pôle de H(z) selon que F(z) est un facteur du numérateur ou du dénominateur de la fonction de transfert. Il est évident que r est le module du zéro ou du pôle en question, tandis que q est son argument exprimé en radians. En règle générale, la quantité r est positive puisqu’elle représente un module. Toutefois, le fait de lui attribuer une valeur négative revient à ajouter un déphasage de p rad à l’angle q. Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.

La réponse fréquentielle du facteur F(z) est F(ejw), où :



F( e jω ) = e jω − re jθ =  cos( ω ) − r cos( θ)  + j  sin( ω ) − r sin( θ)  (5.3.2) = FR ( e jω ) + jFI ( e jω )

Le module |F(ejw)| de cette réponse fréquentielle peut prendre la forme suivante :

F( e jω ) =

2

2

 cos ( ω ) − r cos( θ)  +  sin ( ω ) − r sin ( θ) 

(5.3.3)

F( e jω ) = 1 − 2r cos( ω − θ) + r 2

(5.3.4)

d’où :



L’argument fF(ejw) de F(ejw) est donné par :

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170 Traitement numérique des signaux



tan [φ F ( e jω )] =

FI ( e jω ) jω

FR ( e )

=

Q I ( e jω ) jω

QR( e )

=

sin( ω ) − r sin( θ)

(5.3.5)

cos( ω ) − r cos( θ)



De la sorte, nous obtenons :  sin( ω ) − r sin( θ)  φ F ( e jω ) = arctan    cos( ω ) − r cos( θ) 



(5.3.6)

Le retard de groupe t(ejw) de F(ejw) peut être formulé comme suit : dφ F ( e jω ) dω  Q ( e jω )Q ' I ( e jω ) − Q ' R ( e jω )Q I ( e jω )  = −TS  R  Q 2 ( e jω ) + Q 2 ( e jω ) 

τ F ( e jω ) = −TS



R

I

(5.3.7)

donc :



   1 − r cos( ω − θ)  1 − r cos( ω − θ)   τ F ( e jω ) = −TS  = −T S 2 jω 2    1 − 2r cos( ω − θ) + r  F( e )  

(5.3.8)

Les exemples suivants ont pour but d’illustrer la méthode de calcul de la réponse fréquentielle décrite ici.

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Exemple E5.3.1

a. Obtenir des expressions donnant le module, le déphasage et le retard de groupe de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert suivante :

H( z ) =

( z + 1) ( z + 0 .3 8 )( z − 0 .4 6 )

La période d’échantillonnage est TS = 10 –4s. b. Utiliser le logiciel MATLAB® pour calculer et représenter graphiquement le module, le déphasage et le retard de groupe de cette fonction de transfert ainsi que l’emplacement de ses pôles et de ses zéros par rapport au cercle unité |z| = 1.

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Réponses fréquentielles



171

Solution

a. La fonction de transfert H(z) peut être réécrite sous la forme suivante : H( z ) =



Fz1 ( z ) N( z ) = D( z ) Fp 1 ( z )Fp 2 ( z )

où Fz1(z), Fp1(z) et Fp2(z) sont des facteurs du premier ordre qui peuvent être formulés comme suit :

Fz1 ( z ) = z + 1 .0 = z − rz1 e

jθz1

= z − (1)e jπ , rz1 = 1, θ z1 = π



FP1 ( z ) = z + 0 .3 8 = z − rp 1 e

jθp1

= z − ( 0 .3 8 )e jπ , rp 1 = 0, 3 8, θ p 1 = π



Fp 2 ( z ) = z − 0 .4 6 = z − rp 2 e

jθp 2

= z − ( 0 .4 6 )e j0 , rp 2 = 0, 4 6, θ p 2 = 0

En utilisant les relations obtenues précédemment, il est possible de déduire le module et le déphasage de chacun des facteurs du premier ordre identifiés ci-dessus. Pour le facteur Fz1(z) = z – (1)ejp :

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Fz1 ( e jω ) = 1 − 2(1) cos( ω − π) + (1) 2 =

2[1 + cos( ω )]

 sin( ω ) − (1) sin( π)   sin( ω )  φ z1 ( e jω ) = arctan   = arctan    cos( ω ) − (1) cos( π)   1 + cos( ω )   (1) − (1) cos( ω − π)  τ z1 ( e jω ) = −1 0 −4   1 − 2(1) cos( ω − π) + (1) 2 



 1 + cos( ω )   1 = − 1 0 −4   = −1 0 −4    2  2 [1 + cos( ω )] 

(

)

Pour le facteur Fp1(z) = z – (0.38)ejp : Fp 1 ( e jω ) = 1 − 2( 0 .3 8 ) cos( ω − π) + ( 0 .3 8 ) 2 =

[1 .1 4 4 4 + 0 .7 6 cos( ω )]

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172 Traitement numérique des signaux

sin( ω )  sin( ω ) − 0 .3 8 sin( π)    φ p 1 ( e jω ) = arctan   = arctan    cos( ω ) − 0 .3 8 cos( π)   cos( ω ) + 0 .3 8 



 1 − ( 0 .3 8 ) cos( ω − π)   1 + 0 .3 8 cos( ω )  τ p 1 ( e jω ) = −1 0 −4  = −1 0 −4    1 .1 4 4 4 + 0 .7 6 cos( ω )   1 .1 4 4 4 + 0 .7 6 cos( ω ) 

Pour le facteur Fp2(z) = z – (0.46)ej0 :

Fp 2 ( e jω ) = 1 − 2( 0 .4 6 ) cos( ω ) + ( 0 .4 6 ) 2 =



sin( ω )  sin( ω ) − 0 .4 6 sin( 0 )    φ p 2 ( e jω ) = arctan   = arctan    cos( ω ) − 0 .4 6 cos( 0 )   cos( ω ) − 0 .4 6 

[1 .2 1 1 6 − 0 .9 2 cos( ω )]

 1 − 0 .4 6 cos( ω − 0 )   1 − 0 .4 6 cos( ω )  τ p 2 ( e jω ) = −1 0 −4  = −1 0 −4    1 .2 1 1 6 − 0 .9 2 cos( ω )   1 .2 1 1 6 − 0 .9 2 cos( ω ) 

Le module |H(ejw)|, le déphasage f(ejw) et le retard de groupe t(ejw) de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert H(z) sont donc respectivement donnés par : jω

H( e ) =

Fz1 ( e jω ) jω

jω

Fp 1 ( e ) Fp 2 ( e )

=

2[1 + cos( ω )] [1 .1 4 4 4 + 0 .7 6 cos( ω )][1 .2 1 1 6 − 0 .9 2 cos( ω )]

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φ( e jω ) = φ z1 ( e jω ) − φ p 1 ( e jω ) − φ p 2 ( e jω ) sin( ω ) sin( ω )  sin( ω )      = arctan   − arctan   − arctan    cos( ω ) + 1   cos( ω ) + 0 .3 8   cos( ω ) − 0 .4 6  τ( e jω ) = τ z1 ( e jω ) − τ p 1 ( e jω ) − τ p 2 ( e jω )



1 1 + 0 .3 8 cos( ω ) 1 − 0 .4 6 cos( ω )  − = −1 0 −4  −  2 1 .1 4 4 4 + 0 .7 6 cos( ω ) 1 .2 1 1 6 − 0 .9 2 cos( ω ) 

b. Le programme suivant, codé pour le logiciel MATLAB®, permet de calculer et de représenter le module, le déphasage, le retard de groupe ainsi que les emplacements des pôles et des zéros de cette fonction de transfert. Les graphes générés par ce programme sont représentés à la figure E5.3.1. Cette figure représente le comportement

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Réponses fréquentielles



173

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du module, du déphasage et du retard de groupe de la réponse fréquentielle de H(z) en fonction de w ainsi que les emplacements des pôles et des zéros de H(z) par rapport au cercle unité |z| = 1. % Programme E5.3.1 % ------------------------------------------------------% Réponse fréquentielle d’une fonction de transfert H(z) % dont les coefficients du dénominateur sont les éléments % du vecteur A, et les coefficients du numérateur sont les % éléments B. Ces coefficients sont placés suivant l’ordre % des puissances descendantes de z % ------------------------------------------------------clear ;axis(‘normal’) ; % Domaine fréquentiel W = 0 :0.005 :pi ; % Coefficients du dénominateur 1 … a(n) A = [1 –0.08 –0.1748] ; % Coefficients du numérateur b(0) … a(m) B = [0 1 1] ; % Réponse fréquentielle H, module M, % déphasage A,& retard D % -------------------------------------------------------Ts=1e-4 ; H = freqz(B,A,W) ; M = abs(H) ; P = angle(H) ; D = Ts*grpdelay(B,A,W) ; % Calcul de l’emplacement des pôles et des zéros % -----------------------------------------------PA = roots(A) ; RPA = real(PA) ; IPA = imag(PA) ; ZB = roots(B) ; RZB = real(ZB) ; IZB = imag(ZB) ; % Graphes % -------subplot(221) ; plot(W,M,‘k’) ; ylabel(‘Module’) ;xlabel(‘(a)’) ; subplot(222) ; plot(W,P,‘k’) ; ylabel(‘Déphasage’) ;xlabel(‘(b)’) ;

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174 Traitement numérique des signaux

subplot(223) ; plot(W,D,‘k’) ; ylabel(‘Retard de groupe’) ;xlabel(‘(c)’) ; subplot(224) ; plot(cos(2*W),sin(2*W),‘k’,RPA,IPA,‘xk’,RZB,IZB,‘ok’) ; axis([–1.5,1.5,–1.5,1.5]) ; axis(‘square’) ; ylabel(‘Pôles et zéros’) ;

xlabel(‘(d)’) ; pause ; close ; 4 Déphasage

Module

3 2 1 0

0

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–4

4

2

1

0 –2 –4

0

Pôles et zéros

Retard de groupe

x 10

2 (a)

2

0

2 (c)

4

2 (b)

4

1 0 –1 –1

0 (d)

1

Figure E5.3.1  (a) Module (b) Déphasage

(c) Retard de groupe normalisé (TS = 1) (d) Emplacements des pôles et zéros de la fonction de transfert H(z) = (z + 1)/(z + 0.38)(z – 0.46) Exemple E5.3.2

Obtenir le module, le déphasage et le retard de groupe de la fonction de transfert suivante : H( z ) =



N( z ) z +1 = 2 D( z ) z − 0 .7 0 7 z + 0 .2 5

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Réponses fréquentielles



175

Calculer chacune de ces quantités quand w = p/4. La période d’échantillonnage est Ts = 10 –4s. Solution

Les racines du dénominateur D(z) sont complexes. Ces racines, qui sont les pôles de la fonction de transfert H(z), sont données par : p1 = (0.3536 + j0.3536) = 0.5ejp/4, rp1 = 0.5, qp1 = p/4 p2 = (0.3536 – j0.3536) = 0.5e–jp/4, rp2 = 0.5, qp2 = –p/4 Le dénominateur D(z) peut donc être réécrit sous la forme suivante :

D( z ) = Fp 1 ( z )Fp 2 ( z ) = ( z − 0 .5 e jπ/4 )( z − 0 .5 e − jπ/4 )

Pour sa part, le numérateur peut être réécrit sous la forme :

N( z ) = Fz1 ( z ) = z + 1 = z − 1 e jπ , rz1 = 1, θ z1 = π

La fonction de transfert H(z) peut donc être reformulée en fonction de ses facteurs du premier ordre comme suit : H( z ) =

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Fz1 ( z ) Fp 1 ( z )Fp 2 ( z )

=

( z − 1e jπ ) ( z − 0 .5e jπ/4 )( z − 0 .5e − jπ/4 )

L’utilisation des formules générales 5.3.4, 5.3.6 et 5.3.8, respectivement obtenues plus haut pour le module, le déphasage et le retard de groupe d’un facteur du premier ordre tel que F(z) = z – rejq nous donne : Pour Fz1(z) = z – 1ejp :

Fz1 ( e jω ) = 1 − 2(1) cos( ω − π) + (1) 2 =

2[1 − cos( ω − π)] =

2 [1 + cos( ω ) ]

 sin( ω ) − (1) sin( π)   sin( ω )  φ z1 ( e jω ) = arctan   = arctan    cos( ω ) − (1) cos( π)   cos( ω ) + 1 

 1 − (1) cos( ω − π)   1 + cos( ω )   1 τ z1 ( e jω ) = −1 0 −4  = −1 0 −4  = − 1 0 −4      2[1 − cos( ω − π)]   2[1 + cos( ω )]   2

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(

)

176 Traitement numérique des signaux

Pour Fp1(z) = z – 0.5ejp/4 :



Fp 1 ( e jω ) = 1 − 2( 0 .5) cos( ω −

π π ) + ( 0 .5) 2 = 1 .2 5 − cos( ω − ) 4 4

 sin( ω ) − 0 .3 5 3 5  φ p 1 ( e jω ) = arctan    cos( ω ) − 0 .3 5 3 5   π   1 − 0 .5 cos  ω −     4 τ p1 ( e jω ) = −1 0 −4    1 .2 5 − cos( ω − π )   4 

Pour Fp2(z) = z – 0.5e –jp/4 :

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Fp 2 ( e jω ) = 1 − 2( 0 .5) cos( ω +

π π ) + ( 0 .5) 2 = 1 .2 5 − cos( ω + ) 4 4

 sin( ω ) + 0 .3 5 3 5  φ p 2 ( e jω ) = arctan    cos( ω ) − 0 .3 5 3 5    1 − 0 .5 cos  ω +   τ p 2 ( e jω ) = −1 0 −4   1 .2 5 − cos  ω +  

π   4  π   4  

Le module, le déphasage et le retard de groupe de H(z) sont respectivement donnés par : jω

H( e ) =



Fz1 ( e jω ) Fp 1 ( e jω ) Fp 2 ( e jω )



φ( e jω ) = φ z1 ( e jω ) − φ p 1 ( e jω ) − φ p 2 ( e jω )



τ( e jω ) = τ z1 ( e jω ) − τ p 1 ( e jω ) − τ p 2 ( e jω )

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Réponses fréquentielles



177

Pour w = p/4 : H( e jω ) =



1 .8 4 7 8 = 3 .3 0 5 4 ( 0 .5)(1 .1 1 8 0 )



f(ejp/4) = 0.3927 – 0.7854 – 1.2490 = –1.6418 rad



t(ejp/4) = –10 –4 (0.5 – 2 – 0.8) = 2.3(10 –4) s

5.3.2 Réponse fréquentielle d’un facteur du second ordre

Tout facteur de second ordre à coefficients réels et à racines complexes peut être écrit sous la forme suivante : G( z ) = z 2 − [ 2r cos( θ) ] z + r 2



(5.3.9)

Les deux racines de G(z) sont des conjuguées complexes l’une de l’autre et se trouvent toutes deux à une distance r de l’origine. Les angles respectifs de ces racines sont ± q. La réponse fréquentielle de G(z) est donnée par : G( e jω ) = e 2jω − [ 2r cos( θ) ] e jω + r 2



(5.3.10)

ce qui peut se réécrire sous la forme suivante :

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G( e jω ) = G R ( e jω ) + jG I ( e jω ) =  cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 2  + j  sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω ) 



(5.3.11)

Le module de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert est donné par :  cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 2 

jω

G( e ) =

+  sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω ) 

2

2

= 2 A cos 2 ( ω ) + B cos( ω ) + C 2

 1 − r2  A = r , B = −r(1 + r ) cos( θ), C =  + r 2 cos 2 ( θ) (5.3.12)  2  2



2

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178 Traitement numérique des signaux

Le déphasage de G(ejw) est :  sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω )   Q ( e jω )  φ G ( e jω ) = arctan  I jω  = arctan  (5.3.13) 2   Q R ( e )   cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 

Le retard de groupe tG(ejw), de G(ejw) peut être obtenu à l’aide de l’équation 5.2.6 en utilisant :

Q R ( e jω ) = cos( 2ω ) − 2r cos( θ) cos( ω ) + r 2



Q 'R ( e jω ) = −2 [ sin( 2ω ) − r cos( θ) sin( ω ) ]



Q I ( e jω ) = sin( 2ω ) − 2r cos( θ) sin( ω )



Q 'I ( e jω ) = 2  cos( 2ω ) − r cos( θ) cos( ω ) 







(5.3.14a) (5.3.14b) (5.3.14c) (5.3.14d)

L’exemple suivant illustre l’application des équations obtenues ici. Exemple E5.3.3

Obtenir, sans décomposer le dénominateur en facteurs du premier ordre, le module et le déphasage de la fonction de transfert suivante : H( z ) = Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.



N( z ) z +1 = 2 D( z ) z − 0 .7 0 7 z + 0 .2 5

Calculer chacune de ces quantités lorsque w = p/4. Solution H( z ) =



Fz ( z ) N( z ) ( z + 1) = 2 = 1 D( z ) z − 0 .7 0 7 z + 0 .2 5 G( z ) jω



H( e ) =

Fz1 ( e jω ) G( e jω )

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Réponses fréquentielles



179

Pour le facteur Fz1(ejw) et selon les résultats obtenus à l’exemple E5.3.1 : Fz1 ( e jω ) =



Fz1 ( e jπ /4 ) = 1 .8 4 7 8

2[1 + cos( ω )],

 sin( ω )  φ z1 ( e jω ) = arctan  ,  1 + cos( ω ) 



φ z1 ( e jπ /4 ) = 0 .3 9 2 7

Pour le facteur G(z) = z2 – 0.707z + 0.25 et selon les résultats obtenus précédemment :

r = √0.25 = 0.5, 2r cos(q) = 2(0.5) cos(q) = 0.707, cos(q) = 0.707 G( e jω ) =

[ cos( 2ω ) − 0 .7 0 7 cos( ω ) + 0 .2 5 ] + [ sin( 2ω ) − 0 .7 0 7 sin( ω ) ] 2

G( e jπ/4 ) = 0 .5 5 9 0



  sin( 2ω ) − 0 .7 0 7 sin( ω ) φ G ( e jω ) = arctan    cos( 2ω ) − 0 .7 0 7 cos( ω ) + 0 .2 5 



(

)

φ G e jπ /4 = 2 .0 3 4 4 rad



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H( e =



jω

=

Fz1 ( e jω ) G( e jω )

2 [1 + cos( ω ) ]

[ cos( 2ω ) − 0 .7 0 7 cos( ω ) + 0 .2 5 ] + [ sin( 2ω ) − 0 .7 0 7 sin( ω ) ] 2

(

2

)

H e jπ/4 = 3 .3 0 5 4 φ( e jω ) = φ Fz ( e jω ) − φ G ( e jω ) 1

sin( 2ω ) − 0 .7 0 7 sin(ω )    sin( ω )  = arctan    − arctan   1 + cos( ω )   cos( 2ω ) − 0 .7 0 7 cos( ω ) + 0 .2 5 



φ( e jπ /4 ) = – 1 .6 4 1 8 rad

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2

180 Traitement numérique des signaux

5.4

Fonctions de transfert du second ordre

Nous considérerons ici les réponses fréquentielles de certaines fonctions de transfert causales et stables du second ordre à pôles complexes dont la forme générale est la suivante : H( z ) =



(

)(

N( z ) D( z )

)

D( z ) = z − re jθ z − re − jθ = z 2 − [ 2r cos( θ) ] z + r 2

(5.4.1a)

(5.4.1b)

Les racines de D(z) sont les pôles de H(z). Le polynôme D(z) étant un polynôme du second ordre à coefficients réels, il possède deux racines qui sont des conjuguées complexes l’une de l’autre. De plus, H(z) étant une fonction de transfert causale et stable, ses deux pôles sont inscrits dans le cercle unité |z| = 1 du plan complexe Z. Ces pôles sont représentés à la figure 5.4.1.

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Nous mentionnerons ici cinq catégories importantes (H1 à H5) de fonctions de transfert du second ordre caractérisées par leurs réponses fréquentielles respectives. Ce sont les fonctions de transfert de type passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande et passe-tout. Le choix du numérateur de la fonction de transfert du second ordre détermine la catégorie à laquelle appartient le module de sa réponse fréquentielle.

Figure 5.4.1  Pôles complexes d’une fonction de transfert causale, stable,

du second ordre, à coefficients réels H(z) = N(z)/(z2 – 2rz cos(θ) + z2)

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Réponses fréquentielles



181

Les fonctions de transfert causales et stables en question sont les suivantes :

H1 ( z ) =

(1 + z ) 2 , Passe-bas Passe − bas D( z )

(5.4.2)

H2 ( z ) =

(1 − z ) 2 , Passe-haut Passe − haut D( z )

(5.4.3)

H3 ( z ) =

1 − z2 , Passe-bande Passe − bande D( z )

(5.4.4)

H4 ( z ) =

z 2 + εz + 1 D( z )

, ε < 2, Coupe-bande

(5.4.5)

e = –2 cos(wz), wZ est la pulsation de rejet. H5 ( z ) =

r 2z 2 - 2 z rcos(θ) +1 , Passe-tout Passe − tout D( z )

(5.4.6)

D(z) est un dénominateur du second ordre, dont les racines complexes sont à l’intérieur du cercle unité |z| = 1. Il est donné par : D( z ) = z 2 − 2r z cos( θ) + r 2 , r < 1





(5.4.7)

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À titre d’exemple, les figures 5.4.2a à 5.4.2e représentent les modules des réponses fréquentielles des fonctions de transfert suivantes :

H( z ) =

Ni ( z ) Ni ( z ) = 2 , i = 1, 2, 3, 4, 5 D( z ) z + 0 .5z + 0 .2 5

a. N1(z) = (1 + z)2 est le numérateur d’une fonction de transfert passe-bas. b. N2(z) = (1 – z)2 est le numérateur d’une fonction de transfert passe-haut. c. N3(z) = (1 – z2) est le numérateur d’une fonction de transfert passe-bande. d. N4(z) = (z2 + 0.7z + 1) est le numérateur d’une fonction de ­transfert coupe-bande dont la pulsation de rejet est wz = arcos(–0.35) = 1.928 rad. e. N5(z) = (0.25z2 + 0.5z + 1) est le numérateur d’une fonction de transfert passe-tout.

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182 Traitement numérique des signaux

(a) Passe-bas (b) Passe-haut 2 2 H1(z) = (1 + z) /(z + 0.5z + 0.25) H2(z) = (1 – z)2/(z2 + 0.5z + 0.25)

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(c) Passe-bande H3(z) = (1 – z2)/(z2 + 0.5z + 0.25)

H5(z) =

(d) Coupe-bande H4(z) = 0.7z + 1)/(z2 + 0.5z + 0.25) (z2 +

(e) Passe-tout 0.5z + 1)/(z2 + 0.5z + 0.25)

(0.25z2 +

Figure 5.4.2  Modules de différentes fonctions

de transfert du deuxième ordre

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Réponses fréquentielles



183

On peut démontrer que les paramètres r et cos(q) du dénominateur D(z) d’une fonction de transfert passe-bande du second ordre de la forme générale donnée par l’équation 5.4.4, dont le module atteint son maximum à la pulsation w0 et dont l’atténuation est A dB aux pulsations w1 et w2 telles que Dw = w2 – w1, sont respectivement donnés par :

r=

 ∆ω  1 − γ tan   2  , cos( θ) =  ∆ω  1 + γ tan   2 

 ∆ω  1 − γ tan   2  2

,

2

(5.4.8)

1

γ = γB = 10



cos( ω 0 )

A 10

−1



Ces expressions de r et de cos(q) sont aussi valables pour une fonction de transfert coupe-bande du second ordre de la forme générale donnée par l’équation 5.4.5, dont l’atténuation du module aux pulsations w1 et w2 telles que Dw = w2 – w0, est A dB et dont la pulsation de rejet est wz = w0. Toutefois, dans ce cas, le paramètre g est donné par : A

γ = γ R = 1 0 10 − 1

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(5.4.9)

Note :  Les relations données par les équations 5.4.8 et 5.4.9 ne sont données ici que pour permettre une familiarisation rapide avec le comportement fréquentiel de quelques-unes des fonctions de transfert du second ordre de type passebande et coupe-bande. Elles pourront être démontrées à titre d’exercice au chapitre 7 à l’aide des notions qui y seront exposées. Exemple E5.4.1

Obtenir : a. Une fonction de transfert de type passe-bande dont le maximum est atteint à la fréquence F0 = 360 Hz et dont la largeur de bande (distance entre les points d’atténuation 3 dB) est de 20 Hz. b. Une fonction de transfert de type coupe-bande dont la fréquence de rejet est F0 = 360 Hz et dont la largeur de bande (distance entre les points d’atténuation 3 dB) est de 20 Hz. Dans les deux cas, la fréquence d’échantillonnage est FS = 1200 Hz.

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184 Traitement numérique des signaux

Solution

a. Dans le cas de la fonction de transfert passe-bande : w0 = 2pF0/FS = 2p(360/1200) = 0.6p



cos(w0) = –0.3090, Dw = 2p(DF/FS) = 2p(20/1200) = p/30, g = gB ≈ 1

Ha ( z ) =

1 − z −2 z2 − 1 = 1 + 0 .5 8 7 3z −1 + 0 .9 0 0 4z −2 z 2 + 0 .5 8 7 3z + 0 .9 0 0 4

Le module et le déphasage de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert sont représentés à la figure E5.4.1a.

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Figure E5.4.1a

b. Dans le cas de la fonction de transfert coupe-bande : e1 = 0.6180, g = gR ≈ 1



Hb ( z ) =

1 + 0 .6 1 8 0z −1 + z −2 z 2 + 0 .6 1 8 0z + 1 = 1 + 0 .5 8 7 3z −1 + 0 .9 0 0 4z −2 z 2 + 0 .5 8 7 3z + 0 .9 0 0 4

le module et le déphasage de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert sont représentés à la figure E5.4.1b.

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Réponses fréquentielles



185

Figure E5.4.1b

5.5

Fonctions de transfert en peigne

Les fonctions de transfert en peigne sont des fonctions de transfert à réponses impulsionnelles finies (RIF) dont la forme générale est la suivante :

H N± ( z ) = 1 ± z − N

(5.5.1)

La dénomination en peigne provient de la forme répétitive du module de leur réponse en fréquence.

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La réponse fréquentielle d’une fonction de transfert en peigne est donnée par :

H N± ( e jω ) = 1 ± e − j Nω

(5.5.2)

Le module de la réponse fréquentielle correspondante est :

H N± ( e jω ) =

2 [1 ± cos( Nω )]

(5.5.3)

Ce module est égal à zéro pour :



 Nω = ( 2k + 1)π ↔ ω = ( 2k + 1)π N cos( Nω ) = ∓ 1 ↔   Nω = 2k π ↔ ω = 2k π N (5.5.4)

Les figures 5.5.1a et 5.5.1b illustrent respectivement les modules normalisés |H(ejw)|/2 des réponses fréquentielles des fonctions de transfert suivantes : H4+(z) = 1 + z–4, H4–(z) = 1 – z–4

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186 Traitement numérique des signaux

tandis que les figures 5.5.2a 5.5.2b illustrent respectivement les modules normalisés |H(ejw)|/2 des réponses fréquentielles des fonctions de transfert : H5+(z) = 1 + z–5, H5–(z) = 1 – z–5



(a) H4+(z) = 1 + z–4



(b) H4–(z) = 1 – z–4

Figure 5.5.1  Modules normalisés des fonctions de transfert H4±(z)

(a) H5+(z) = 1 + z–5

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(b) H5–(z) = 1 – z–5

Figure 5.5.2  Modules normalisés des fonctions de transfert H5±(z)

L’analyse des modules des réponses fréquentielles des fonctions de transfert en peigne permet de dégager les règles générales suivantes.

➢➢

Le nombre d’extremums (maximums et minimums) du module de chaque fonction de transfert dans l’intervalle ouvert défini par 0 ≤ w < p est toujours égal à l’ordre de N de la fonction de transfert en peigne. (Remarquer que p est exclu de l’intervalle défini plus haut.)

➢➢ ➢➢

Le premier extremum se trouve toujours à w = 0.

➢➢

Le premier extremum est un maximum dans le cas des fonctions HN+(z) et un minimum dans le cas des fonctions HN–(z).

Les extremums suivants sont toujours séparés les uns des autres par un intervalle fréquentiel de Dw = p/N rad/s.

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Réponses fréquentielles



187

Toute fonction de transfert causale en peigne de type RIF a un déphasage linéaire donné par : φ( e jω ) = − Nω 2 (5.5.5) Il est possible de transformer les fonctions de transfert en peigne causales de type RIF décrites ci-dessus en fonctions de transfert en peigne causales de type RII comme suit :

HN (z ) =

1 ± z −N , a 0 et impair si P1(w) < 0. Le retard de groupe de H1(z) est :

t1(ejw) = 15TS

où TS est la période d’échantillonnage utilisée. Type 2

Les fonctions de transfert du type 2 ont des réponses impulsionnelles symétriques autour d’un point central se trouvant entre deux échantillons. Une réponse impulsionnelle h 2(n) représentative de ce type est illustrée à la figure 5.8.2. Elle est composée des huit éléments h(11) à h(18) répartis ­symétriquement autour du point placé entre les éléments h(14) et h(15).

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[h2(n)] = [h2(11) … h2(18)] = [1 2 3 4 4 3 2 1]

Figure 5.8.2  Type 2 : Symétrie autour de n = 14.5

La fonction de transfert du système dont la réponse impulsionnelle est représentée par la figure 5.8.2 est donnée par : H2(z) = h2(11)z–11 + h2(12)z–12 + h2(13)z–13 + h2(14)z–14 + h2(15)z–15 + h2(16)z–16 + h2(17)z–17 + h2(18)z–18 Sa réponse fréquentielle nous est donc donnée par : H2(ejw) = h2(11)(ejw)–11 + h2(12)(ejw)–12 + h2(13)(ejw)–13 + h2(14)(ejw)–14 + h2(14)(ejw)–15 + h2(13)(ejw)–16 + h2(12)(ejw)–17 + h2(11)(ejw)–18 = (e(–29/2)jw)[h2(11)(e(7/2)jw) + h2(12)(e(5/2)jw) + h2(13)(e(3/2)jw)+ h2(14)(e(1/2)jw) + h2(14)(e(–1/2)jw) + h2(13)(e(–3/2)jw)+ h2(12)(e(–5/2)jw) + h2(11)(e(–7/2)jw)]

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202 Traitement numérique des signaux



= (e(–29/2)jw)[h2(11)(e(7/2)jw + e(–7/2)jw)+ h2(12)(e(5/2)jw + e(–5/2)jw) + h2(13)(e(3/2)jw + e(–3/2)jw)+ h2(14)(e(–1/2)jw + e(1/2)jw)] = (e(–29/2)jw)[h2(11)(2cos(7w/2)) + h2(12)(2cos(5w/2)) + h2(13)(2cos(3w/2)) + h2(14)(2cos(w/2))] = (e(–29/2)jw)P2(w)

P2(w) est une fonction réelle et paire de w . Elle peut prendre des valeurs positives ou négatives selon la valeur de w. Le déphasage de cette fonction de transfert est :

f2(ejw) = –29w/2 ± kp

k est pair si P2(w) > 0 et impair si P2(w) < 0. Le retard de groupe de H2(z) est :

t2(ejw) = (29/2)TS

où TS est la période d’échantillonnage utilisée. Type 3

Les fonctions de transfert du type 3 ont des réponses impulsionnelles anti­ symétriques autour d’un échantillon central. Une réponse impulsionnelle h3(n) représentative de ce type est illustrée à la figure 5.8.3. Elle se compose des neuf éléments h(11) à h(19) répartis antisymétriquement autour de l’élément h(15) qui est nécessairement nul. Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.



[h3(n)] = [h3(11) … h3(19)] = [–1 –2 –3 –4 0 4 3 2 1]

Figure 5.8.3  Type 3 : Antisymétrie autour de n = 15

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Réponses fréquentielles



203

La fonction de transfert du système dont la réponse impulsionnelle est représentée à la figure 5.8.3 est donnée par : H3(z) = h3(11)z–11 + h3(12)z–12 + h3(13)z–13 + h3(14)z–14 + h3(15)z–15 + h3(16)z–16 + h3(17)z–17 + h3(18)z–18 + h3(19)z–19 Sa réponse fréquentielle est donnée par : H3(ejw) = h3(11)(ejw)–11 + h3(12)(ejw)–12 + h3(13)(ejw)–13 + h3(14)(ejw)–14 + h3(15)(ejw)–15 – h3(14)(ejw)–16 – h3(13)(ejw)–17 – h3(12)(ejw)–18 – h3(11)(e –jw)–19 = (e –15jw)[h3(11)(e4jw) + h3(22)(e3jw) + h3(13)(e2jw) + h3(14)(ejw) + 0 – h3(14)(e–jw) – h3(13)(e–2jw) – h3(12)(e –3jw) – h3(11)(e –4jw)] = (e –15jw)[h3(11)(e4jw – e –4jw) + h3(12)(e3jw – e –3w) + h3(13)(e2jw – e –2jw) + h3(14)(ejw – e –jw)] = (e –15jw) [h3(11)(2jsin(4w)) + h3(12)(2jsin(3w)) + h3(13)(2jsin(2w)) + h3(14)(2jsin(w))] = je –15jwQ3(w) Q3(w) est une fonction réelle et impaire de w . Elle peut prendre des valeurs positives ou négatives selon la valeur de w. Le déphasage de cette fonction de transfert est :

f3(ejw) = –15w + (1/2 ± k) p

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k est pair si Q3(w) > 0 et impair si Q3(w) < 0. Le retard de groupe de H3(z) est :

t3(ejw) = 15TS

où TS est la période d’échantillonnage utilisée. Type 4

Les fonctions de transfert du type 4 ont des réponses impulsionnelles antisymétriques autour d’un point central se trouvant entre deux échantillons. Une réponse impulsionnelle h4(n) représentative de ce type est illustrée à la figure 5.8.4. Elle est composée des huit éléments h(11) à h(18) répartis anti­ symétriquement autour du point placé entre les éléments h(14) et h(15).

[h4(n)] = [h4(11) … h4(18)] = [–1 –2 –3 –4 4 3 2 1]

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204 Traitement numérique des signaux

Figure 5.8.4  Type 4 : Antisymétrie autour de n = 14.5

La fonction de transfert du système dont la réponse impulsionnelle est représentée à la figure 5.8.4 est donnée par : H4(z) = h4(11)z–11 + h4(12)z–12 + h4(13)z–13 + h4(14)z–14 + h4(15)z–15 + h4(16)z–16 + h4(17)z–17 + h4(18)z–18

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Sa réponse fréquentielle est donc donnée par : H4(ejw) = h4(11)(ejw)–11 + h4(12)(ejw)–12 + h4(13)(ejw)–13 + h4(14)(ejw)–14 – h4(14)(ejw)–15 – h4(13)(ejw)–16 – h4(12)(ejw)–17 – h4(11)(ejw)–18 = (e(–29/2)jw)[h4(11)(e(7/2)jw) + h4(12)(e(5/2)jw) + h4(13)(e(3/2)jw) + h4(14)(e(1/2)jw) – h4(14)(e(–1/2)jw) – h4(13)(e(–3/2)jw) – h4(12)(e(–5/2)jw) – (11)(e(–7/2)jw)] = (e(–29/2)jw)[h4(11)(e(7/2)jw – e(–7/2)jw) + h4(12)(e(5/2)jw – e(–5/2)jw) + h4(13)(e(3/2)jw – e(–3/2)jw) + h4(14)(e(–1/2)jw – e(1/2)jw)] = j(e(–29/2)jw)[h4(11)(2sin(7w/2)) + h4(12)(2sin(5w/2)) + h4(13)(2sin(3w/2)) + h4(14)(2sin(w/2))] = (je –j(29/2 ))Q4(w) Le déphasage de cette fonction de transfert est :

f4(ejw) = –29w/2 + (1/2 ± k) p

k est pair si Q4(w) > 0 et impair si Q4(w) < 0. Le retard de groupe de H4(z) est :

t4(ejw) = (29/2)TS

où TS est la période d’échantillonnage utilisée.

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Réponses fréquentielles



205

5.9 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté la relation entre la fonction de transfert d’un SLIT et sa réponse fréquentielle. Nous avons obtenu des formules générales permettant d’obtenir les modules, les déphasages et les retards de groupe des facteurs du premier et du deuxième ordre. L’utilisation de ces formules dans le cas de fonctions de transfert d’ordre quelconque a été illustrée par de nombreux exemples. Une classification des fonctions de transfert du second ordre selon le type de module de leur réponse fréquentielle (passe-bas, passe-haut, passe-bande, coupe-bande, passe-tout) a été établie. Une méthode permettant de générer des fonctions de transfert de type passe-tout et d’ordre quelconque a été mentionnée et étudiée. Enfin, les fonctions de transfert à déphasage minimal et les quatre types de fonctions de transfert à déphasages linéaires ont été définies, étudiées et illustrées par des exemples. 5.10 Exercices et problèmes P5.1 Obtenir des expressions donnant le module et le déphasage de la fonc-

tion de transfert suivante :



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H( z ) =

z +1 z + z + 1 .4z + 0 .4 8 3

2

Calculer ensuite les valeurs numériques de ces deux quantités quand w = 2.

P5.2 Obtenir, en faisant usage des expressions données pour le module et

le déphasage des facteurs du premier et second ordre, des expressions donnant le module et le déphasage de la fonction de transfert suivante :



H( z ) =

( z + 0 .5) ( z + 0 .3)( z 2 − 0 .4z + 0 .4 9 )

P5.3 Obtenir les fonctions de transfert de chacun des deux filtres en peigne

suivants. La fréquence d’échantillonnage est de 2000 Hz dans chacun des deux cas.



Un filtre qui coupe les fréquences suivantes : 100 Hz, 300 Hz, 500 Hz, 700 Hz, 900 Hz.

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206 Traitement numérique des signaux



Un filtre qui coupe les fréquences suivantes : 0 Hz, 100 Hz, 200 Hz, 300 Hz, 400 Hz, 500 Hz, 600 Hz, 700 Hz, 800 Hz, 900 Hz et 1000 Hz.

P5.4 Le dénominateur d’une certaine fonction de transfert de type passe-tout

est :



D(z) = z3 + z2 + 1.4z + 0.48



Obtenir le numérateur N(z) de cette fonction de transfert.



Modifier le numérateur de la fonction de transfert suivante le plus simplement possible afin qu’elle devienne une fonction de transfert de type passe-tout.



H( z ) =

0 .1 4 7z 3 + 0 .5z 2 − 0 .2z + 1 z 3 − 0 .1z 2 + 0 .3 7z + 0 .1 4 7

P5.5 Obtenir des expressions donnant le déphasage de chacune des fonctions

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de transfert passe-tout causales suivantes :



 1 − 0 .2z   1 − 0 .4z  Ha ( z ) =   z + 0 .2   z + 0 .4 



0 .6z 2 − 0 .4z + 1 Hb ( z ) = 2 z − 0 .4z + 0 .6

P5.6 Déterminer si la fonction de transfert suivante causale et stable est à

déphasage minimal ou non. Si elle ne l’est pas, exprimer cette fonction de transfert sous la forme du produit d’une fonction de transfert à déphasage minimal et d’une fonction de transfert passe-tout :



H( z ) =

( z + 0 .4)( z 2 + 0 .4z + 1 .4 4) z 2 − 0 .6z + 0 .4

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6



Strutures de réalisation

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6.1 Introduction

Pour obtenir une réalisation d’un SLIT discret à partir de la fonction de transfert qui le caractérise, il faut d’abord générer à l’aide de cette dernière un algorithme ou structure que l’on peut mettre en œuvre à l’aide de la technologie appropriée. Une structure correspond à une séquence de calculs qui sont effectués dans un ordre donné et habituellement à l’intérieur d’une période d’échantillonnage, pour calculer le signal de sortie du SLIT. Une même fonction de transfert peut en général être représentée par plusieurs structures qui sont équivalentes du point de vue purement mathématique. Chacune de ces structures correspond toutefois à un ensemble différent d’équations aux différences (EAD) et elles n’ont donc pas toutes la même complexité. Les signaux à traiter aussi bien que les coefficients de la fonction de transfert d’un SLIT étant représentés dans toute structure par un nombre fini de bits, ceci entraîne une altération de la réponse en fréquence idéale du système. Cette altération dépend du nombre de bits utilisés ainsi que de la structure mise en œuvre. Il s’ensuit que la précision et la rapidité de calcul des différentes structures réalisant un même SLIT à l’aide d’une représentation des valeurs des signaux et des coefficients de la fonction de transfert par un nombre de bits donné sont en général différentes. Il est donc important de choisir celles qui donnent les meilleures performances dans le cas considéré. 6.2

Concepts de base

Un SLIT peut être réalisé, à partir de sa fonction de transfert ou des EAD qui le caractérisent, à l’aide d’additionneurs, de multiplieurs par une constante et d’éléments à délai. Les symboles de ces éléments sont respectivement représentés par les figures 6.2.1a, 6.2.1b et 6.2.1c. Les éléments à délai représentent chacun un retard d’une période d’échantillonnage. Nous les désignerons donc par le terme délai unité.

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208 Traitement numérique des signaux

On notera que la connexion de tous les éléments requis pour la réalisation d’un système doit être effectuée de telle sorte que la structure en résultant ne contienne pas de boucles sans délai. En effet, aucun algorithme ne permettant le calcul de telles boucles, une structure en contenant ne serait non calculable et donc irréalisable.

z–1

(a) (b) (c) (a) Additionneur y(n) = x1(n) + x2(n) + x3(n), Y(z) = X1(z) + X 2(z) + X3(z) (b) Multiplieur y(n) = b x(n), Y(z) = bX(z) (c) Délai unité y(n) = x(n – 1), Y(z) = z–1X(z) Figure 6.2.1  Éléments de base utilisés pour la réalisation des SLIT discrets

Dans cette section, nous illustrerons brièvement par quelques exemples l’utilisation de ces éléments de base pour obtenir des réalisations élémentaires d’équations aux différences (EAD) représentant des SLIT simples. Exemple E6.2.1

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Donner une réalisation à l’aide d’additionneurs, de délais unités et de multiplieurs du SLIT discret caractérisé par la fonction de transfert suivante : H( z ) = Y( z ) X( z ) = 2 − 3z −1

Solution

L’équation aux différrences qui correspond à la fonction de transfert H(z) est donnée par :

Y(z) = 2X(z) – 3z–1X(z) ←→ y(n) = 2x(n) – 3x(n – 1)

La figure E6.2.1 représente une réalisation possible de cette équation aux différences.

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Structures de réalisation



z–1

209

–3

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Figure E6.2.1

Par souci de simplification des représentations graphiques, nous utiliserons ici les graphes de fluence. Dans ce type de représentation, les nœuds du graphe sont associés à des variables, tandis que les branches orientées représentent les relations entre les variables associées aux nœuds qu’elles relient. Les multiplieurs et les délais unités sont donc représentés par des branches orientées portant chacune la mention appropriée. Toute branche représentant un délai unité est identifiée par le symbole z–1 tandis que toute branche représentant un multiplieur par une constante l’est par la valeur de cette dernière. L’usage a consacré la représentation de tout multiplieur unité par une simple branche sans indication particulière. De tels multiplieurs sont souvent utilisés pour rendre la topologie générale du graphe plus évidente. Les additionneurs sont représentés sous la forme de nœuds auxquels aboutissent les branches qui transmettent les signaux à additionner. La figure 6.2.2 illustre ces représentations par graphes de fluence des éléments de base des systèmes discrets. Dans les représentations subséquentes des graphes de fluence qui apparaissent dans cet ouvrage, seuls les nœuds d’entrée et de sortie seront identifiés par un symbole spécial. Tous les autres nœuds ne le seront que par la convergence des branches y aboutissant. Notons que nous ne considérerons ici que des systèmes stables et causaux. z–1



(a) Multiplieur y(n) = bx(n), Y(z) = bX(z)

(b) Délai unité y(n) = x(n – 1), Y(z) = z–1X(z)

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210 Traitement numérique des signaux

(c) Additionneur à trois entrées pondérées y(n) = b1x1(n) + b2x2(n) + b3x3(n), Y(z) = b1X1(z) + b2X 2(z) + b3X3(z) Figure 6.2.2  Représentation simplifiée par graphes de fluence

des éléments de base utilisés pour la réalisation des SLIT discrets Exemple E6.2.2

Obtenir une représentation par graphe de fluence de la fonction de transfert H(z) de l’exemple E6.2.1. Solution

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La représentation requise est donnée à la figure E6.2.2.

z–1

–3

Figure E6.2.2

Exemple E6.2.3

Obtenir, sous la forme d’un graphe de fluence, une représentation du système stable et causal dont la fonction de transfert est :

H( z ) =

Y( z ) z = , X( z ) z − 0 .5

z >5

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Structures de réalisation



211

Solution

La fonction de transfert donnée peut être réécrite sous la forme suivante : H( z ) =



Y( z ) 1 = ou Y(z) = X(z) + 0.5z–1Y(z) X( z ) 1 − 0 .5z −1

Le graphe de fluence correspondant à cette fonction de transfert est celui de la figure E6.2.3

z–1

Figure E6.2.3

Exemple E6.2.4

Obtenir, sous la forme d’un graphe de fluence, une représentation du système stable et causal dont la fonction de transfert est : H( z ) =

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Y( z ) z + 0 .6 = , X( z ) z + 0 .8

z > 0 .8

Solution

La fonction de transfert donnée peut être réécrite sous la forme suivante :

H( z ) =

Y( z ) 1 + 0 .6z −1 = X( z ) 1 + 0 .8z −1

Le graphe de fluence qui lui correspond est celui de la figure E6.2.4.

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212 Traitement numérique des signaux

z–1 –0.8

+0.6

Figure E.6.2.4

Il est en général possible de représenter la fonction de transfert d’un SLIT par un grand nombre de graphes de fluences qui sont équivalents du point de vue purement mathématique. Ces graphes représentent toutefois des algorithmes ou structures réalisant le SLIT en question avec des performances (précision du calcul, rapidité d’exécution, etc.) différentes. L’étude détaillée des performances des différents types de structures dépasse largement le cadre de cet ouvrage. Nous nous bornerons ici à en présenter quelques-unes choisies parmi les plus importantes. 6.3

Structures directes

Les structures directes mènent toutes à des réalisations globales des fonctions de transfert considérées. La figure 6.3.1 représente une structure directe de forme I de la fonction de transfert : M

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H( z ) =



Y( z ) = X( Z)

∑ βmz −m

m=0 N

1−

∑ α nz

n =1

(6.3.1)

−n



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Structures de réalisation



z–1

z–1

z–1

z–1

213

z–1 –

z–1

–

z–1

Figure 6.3.1  Structure directe de forme I, M ≤ N

La figure 6.3.2 représente une structure directe transposée de forme I de cette même fonction de transfert. Elle est obtenue par la transposition du graphe de fluence de la figure 6.3.1. La transposition d’un graphe de fluence consiste à intervertir les rôles du nœud d’entrée et du nœud de sortie et à inverser la direction de chacune des branches du graphe sans en changer la fonction ou la valeur. La fonction de transfert du graphe original et celle du graphe transposé par cette méthode sont identiques.

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Notons que les structures directes de forme I ont recours à un grand nombre de délais unités.

z–1

z–1

z–1

z–1

z–1

z–1

Figure 6.3.2  Structure directe transposée de forme I, M ≤ N

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214 Traitement numérique des signaux

La figure 6.3.3 représente une structure directe de forme II de la fonction de transfert H(z) de l’équation 6.3.1.

z–1

z–1

–

–

z–1

Figure 6.3.3  Structure directe de forme II, M ≤ N

La figure 6.3.4 représente une structure directe transposée de forme II de la fonction de transfert de l’équation 6.3.1. Elle est obtenue par la méthode de transposition décrite plus haut, appliquée à la structure de la figure 6.3.3.

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z–1

z–1

–

–

z–1

Figure 6.3.4  Structure directe transposée de forme II, M ≤ N

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Structures de réalisation



215

Le nombre de délais unités de chacune des structures directes de forme II ­illustrées aux figures 6.3.3 et 6.3.4 est égal à l’ordre N de la fonction de ­transfert. C’est pourquoi elles sont nommées structures canoniques. Exemple E6.3.1

Obtenir sous la forme illustrée par la figure 6.3.3, une structure directe de forme II dont la fonction de transfert stable et causale est donnée par : H( z ) =



Y( z ) 3 + 2z −1 + z −2 = X( z ) 1 + 0 .6z −1 + 0 .7z −2 + 0 .8z −3

Solution

La fonction de transfert H(z) peut être réécrite sous la forme suivante : H( z ) =



3 + 2z −1 + z −2 1 −  −0 .6z −1 − 0 .7z −2 − 0 .8z −3 

La structure requise est représentée par le graphe de fluence de la figure E6.3.1.

z–1

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–0.6

z–1 –0.7

–0.8

Figure E6.3.1

Exemple E6.3.2

Un SLIT causal peut être réalisé tel que représenté par la structure de la figure E6.3.2. Utiliser la variable intermédiaire v(n) pour formuler les équations aux différences de ce système sous une forme récursive.

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216 Traitement numérique des signaux

z–1 v(n – 1)

z–1 v(n – 2)

Figure E6.3.2

On sait que x(n) = v(n) = 0 ∀n < 0. Écrire à titre d’exemple les équations donnant les signaux de sortie y(0), y(1) et y(2) du système. Solution

La variable intermédiaire v(n) peut être utilisée comme suit pour effectuer le calcul de y(n) selon :

v(n) = x(n) + a1v(n – 1) + a2v(n – 2) y(n) = b0v(n) + b1v(n – 1) + b2v(n – 2)

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En prenant en considération le fait que x(n) = v(n) = 0 ∀n < 0, le calcul de y(0), y(1) et y(2) donne les équations suivantes : v(0) = x(0),   y(0) = b0v(0) v(1) = x(1) + a1v(0),   y(1) = b0v(1) + b1v(0) v(2) = x(2) + a1v(1) + a2v(0),   y(2) = b0v(2) + b1v(1) + b2v(0) v(3) = x(3) + a1v(2) + a2v(1),   y(3) = b0v(3) + b1v(2) + b2v(1) etc. On remarquera que les quantités nécessaires au calcul de x(n) et de y(n), n = 0, 1, 2, … sont toujours disponibles au moment où elles sont requises. Les structures directes sont fort peu utilisées pour la réalisation des fonctions de transfert d’ordre supérieur à deux à cause de leur sensibilité élevée aux erreurs de quantification des coefficients de ces dernières. Nous présenterons ci-dessous quelques structures dont l’utilisation est plus avantageuse pour la réalisation des SLIT d’ordres plus élevés que deux.

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Structures de réalisation



6.4

217

Structure cascade

Toute fonction de transfert d’ordre pair 2N peut être décomposée en un produit de fonctions de transfert du second ordre conformément à la relation suivante : M

H ( 2N) ( z ) =

Y( z ) = X( z )

∑ β i z −i

i=0 2N

1 − ∑ α i z −i

=

N

∏ H( 2) i ( z ) i =1

(6.4.1)

i =1

=



N

β + β1i z

∏ 1 −0i ( α i =1

1i z

−1

−1

+ β 2i z

−2

+ α 2i z −2 )

, M ≤ 2N



Il en va de même pour toute fonction de transfert d’ordre impair 2N + 1 laquelle peut être décomposée en un produit de fonctions de transfert du second ordre et d’une fonction de transfert du premier ordre comme suit : M

H ( 2N + 1) ( z ) =

∑ β i z −i

i=0 2N+1

1−

∑ α i z −i

=

N Y( z ) = H ( 1) ( z ) ∏ H ( 2) i ( z ) X( z ) i =1

(6.4.2)

i =1

−1

−1

−2

 β + β10 z   β 0i + β1i z + β 2i z  =  00 , M ≤ 2N + 1 −1  ∏  −1 −2   1 − α 10 z  i = 1  1 − ( α 1i z + α 2i z ) 



2N

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Par conséquent : a. Toute fonction de transfert d’ordre pair peut être réalisée par la connexion en cascade d’un nombre approprié de structures directes du second ordre. À titre d’exemple, une fonction de transfert paire d’ordre 2N = 4 telle que : H( 4 ) ( z ) =

β + β1z −1 + β 2z −2 + β 3 z −3 + β 4 z −4 Y( z ) = 0 X( z ) 1 − ( α 1z −1 + α 2z −2 + α 3 z −3 + α 4 z −4 )

= H ( 2) 1 ( z )H ( 2) 2 ( z )



(6.4.3)

 β + β11z −1 + β 21z −2   β 02 + β12z −1 + β 22z −2  =  01 −1 −2   −1 −2   1 − ( α 11z + α 21z )   1 − ( α 12z + α 22z ) 

peut, par la structure cascade, être représentée à la figure 6.4.1.

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218 Traitement numérique des signaux

z–1 v1(n – 1)

z–1 v1(n – 2)

z–1 v2(n – 1)

z–1 v2(n – 2)

Figure 6.4.1  Structure cascade d’ordre 2N = 4

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Les équations aux différences correspondantes peuvent être reformulées en fonction des variables intermédiaires v1, v2 et w de la figure 6.4.1 comme suit :

v 1 ( n ) = x ( n ) + α 11 v 1 ( n − 1) + α 21 v 1 ( n − 2)



w ( n ) = β 01 v 1 ( n ) + β11 v 1 ( n − 1) + β 21 v 1 ( n − 2)



v 2 ( n ) = w ( n ) + α 12 v 2 ( n − 1) + α 22 v 2 ( n − 2)



y ( n ) = β 02 v 2 ( n ) + β12 v 2 ( n − 1) + β 22 v 2 ( n − 2)

(6.4.4a)



(6.4.4b) (6.4.4c)



(6.4.4d)

b. Toute fonction de transfert d’ordre impair peut être réalisée par la connexion en cascade d’un nombre approprié de structures directes du second ordre et d’une structure directe du premier ordre. À titre d’exemple, une fonction de transfert impaire d’ordre 2N + 1 = 3 telle que : β 0 + β1z −1 + β 2z −2 + β 3 z −3 Y( z ) H( 3 ) ( z ) = = X( z ) 1 − ( α 0 + α 1z −1 + α 2z −2 + α 3 z −3 )



 β + β11z −1 + β 21z −2   β 02 + β12z −1  = H ( 2)1 ( z )H ( 1) 2 ( z ) =  01 −1 −2   −1   1 − ( α 11z + α 21z )   1 − α 12z 

peut être réalisée selon le graphe de la figure 6.4.2.

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(6.4.5)

Structures de réalisation



219

z–1

z–1

v2(n – 1)

v1(n – 1)

z–1 v1(n – 2)

Figure 6.4.2  Structure cascade d’une fonction de transfert d’ordre

2N + 1 = 3

Les équations aux différences correspondantes peuvent être réécrites en fonction des variables intermédiaires v1, v2 et w de la figure 6.4.2, comme suit :

v 1 ( n ) = x ( n ) + α 11 v 1 ( n − 1) + α 21 v 1 ( n − 2)



w ( n ) = β 01 v 1 ( n ) + β11 v 1 ( n − 1) + β 21 v 1 ( n − 2)



v 2 ( n ) = w ( n ) + α 12 v 2 ( n − 1)



y ( n ) = β 02 v 2 ( n ) + β12 v 2 ( n − 1)

(6.4.6a)



(6.4.6b) (6.4.6c)



(6.4.6d)

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La modularité de la structure cascade ainsi que sa faible sensibilité aux erreurs de calcul dues à la représentation des signaux et des coefficients par un nombre fini de bits en fait l’une des structures les plus utilisées. Exemple E6.4.1

Obtenir une structure cascade pour le SLIT caractérisé par la fonction de transfert stable et causale suivante :

H( 3 ) a ( z ) =

Y( z ) 1 − 2z −1 + z −2 = −1 X( z ) ( z + 2)(1 − 0 .2z −1 + 0 .4z −2 )

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220 Traitement numérique des signaux

Solution

La fonction de transfert H(3)a(z) peut être exprimée sous la forme du produit de deux fonctions de transfert H(1)a(z) et H(2)b(z) où H(1)a(z) est une fonction de transfert du premier ordre tandis que H(2)a(z) en est une du second ordre. Il est donc possible de réécrire H(3)a(z) sous la forme donnée ci-dessous : H( 3 ) a ( z ) =



Y( z ) = H ( 1) a ( z )H ( 2) a ( z ) X( z )

0 .5   = −1   1 − ( −0 .5z ) 

  1 − 2z −1 + z −2  −1 −2   1 − ( 0 .2z − 0 .4z ) 

où :



  0 .5 1 − 2z −1 + z −2   H ( 1) a ( z ) =  , H ( 2) a ( z ) =  −1  −1 −2   1 − ( −0 .5z )   1 − ( 0 .2z − 0 .4z ) 

La structure cascade requise est donnée à la figure E6.4.1. 0.5

z–1

z–1

–0.5

–2

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z–1 –0.4

Figure E6.4.1

On notera que d’autres décompositions de la fonction de transfert H(3)a(z) telles que :



 0 .5(1 − z −1 )    (1 − z −1 ) H( 3 ) a ( z ) =  −1   −1 −2   1 − ( −0 .5z )   1 − ( 0 .2z − 0 .4z ) 

sont possibles et mènent, de ce fait, à d’autres structures.

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Structures de réalisation



221

Exemple E6.4.2

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir une structure cascade pour réaliser le SLIT dont la fonction de transfert stable et causale est donnée par : H( z ) =



1 + 1 .5z −1

z −4 + 0 .5z −3 + z −2 + 0 .7z −1 + 1 + 1 .6 3z −2 + 0 .8 6 1z −3 + 0 .3 1 9z −4 + 0 .0 5 2 5z −5

Obtenir aussi le gain total de la réalisation. Solution

Le programme requis apparaît dans l’encadré ci-dessous.  % Programme E6.4.2 clear ; B = [1 0.7 1 0.5 1] ; A = [1 1.5 1.63 0.861 0.319 0.0525] ; [SOS, G ] = tf2sos(B,A)

L’exécution de ce programme génère :

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SOS =

1.0000

0

0

1.0000

0.3000

0



1.0000

–0.7138

0.9090

1.0000

0.4000

0.2500



1.0000

1.4138

1.1001

1.0000

0.8000

0.7000

G=1

Cela nous indique que les fonctions de transfert H1(z), H2(z) et H3(z) dont le produit donne la fonction de transfert H(z) requise sont : H1 ( z ) =



1 1 + 0 .3z −1

H2 ( z ) =

1 − 0 .7 1 3 8z −1 + 0 .9 0 9 0z −2 1 + 0 .4z −1 + 0 .2 5z −2

H3 ( z ) =

1 + 1 .4 1 3 8z −1 + 1 .1 0 0 1z −2 1 + 0 .8z −1 + 0 .7z −2

Le gain total de cette réalisation est G = 1.

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222 Traitement numérique des signaux

La structure cascade requise consiste donc en la connexion en cascade d’une structure directe du premier ordre qui correspond à H1(z) et de deux structures du second ordre qui correspondent respectivement à H2(z) et à H3(z). 6.5

Structure parallèle

Toute fonction de transfert causale et stable d’ordre pair 2N à coefficients réels telle que H(2N)(z), où 2N est l’ordre du dénominateur de la fonction de transfert, tandis que M ≤ 2N est celui de son numérateur, peut être développée en fractions partielles sous la forme suivante : M

Y( z ) H ( 2N) ( z ) = = X( z )



∑ β i z −i

  β 0 n + β1n z −1 = H0 + ∑  −1 −2  (6.5.1) + α 2n z )  n = 1  1 − ( α 1n z N

i=0 2N

1 − ∑ α i z −i



i =1

La constante H0 est différente de zéro seulement dans le cas où M = 2N. De même, toute fonction de transfert causale et stable d’ordre impair 2N + 1 à coefficients réels telle que H(2N + 1)(z), où 2N + 1 est l’ordre du dénominateur de la fonction de transfert, tandis que M ≤ 2N + 1 est celui de son numérateur, peut être développée en fractions partielles sous la forme suivante : M

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H ( 2N + 1) ( z ) =

Y( z ) = X( z )

∑ β i z −i

i=0 2N+1

1−

∑ α i z −i i =1

= H0 +



β 00

1 − α 10 z −1

+

(6.5.2)

  β 0 n + β1n z −1 ∑  1 − ( α z −1 + α z −2 )  n =1  1n 2n  N

La constante H0 est différente de zéro seulement dans le cas où M = 2N + 1. Il s’ensuit que : a. Toute fonction de transfert d’ordre pair peut être réalisée par la connexion en parallèle d’un nombre approprié de structures directes du second ordre. À titre d’exemple, une fonction de transfert paire d’ordre 2N = 4 ayant un numérateur d’ordre M = 3 et telle que :

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Structures de réalisation



H( 4 ) ( z ) =

β 0 + β1z −1 + β 2z −2 + β 3 z −3 Y( z ) = X( z ) 1 − ( α 1z −1 + α 2z −2 + α 3 z −3 + α 4 z −4 )

(6.5.3)

= H ( 2)1 ( z ) + H ( 2) 2 ( z ) −1



223

−1

    β 02 + β12z β 01 + β11z + = −1 −2  −1 −2   1 − ( α 11z + α 21z )   1 − ( α 12z + α 22z ) 

peut être réalisée par la mise en parallèle de deux structures directes du deuxième ordre qui correspondent respectivement à H(2)1(z) et à H(2)2(z), comme représenté par le graphe de la figure 6.5.1.

z–1

z–1

z–1

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z–1

Figure 6.5.1  Structure parallèle d’une fonction de transfert d’ordre 2N = 4

b. Toute fonction de transfert d’ordre impair peut être réalisée par la connexion en parallèle d’un nombre approprié de structures directes du second ordre et d’une structure directe du premier ordre. Une fonction de transfert paire d’ordre 2N + 1 = 3 avec un numérateur d’ordre M = 2 telle que : H( 3 ) ( z ) =

β 0 + β1z −1 + β 2z −2 Y( z ) = X( z ) 1 − ( α 0 + α 1z −1 + α 2z −2 + α 3 z −3 )

(6.5.4)

= H ( 1) ( z ) + H ( 2) ( z )



  β 01   β 02 + β12z −1 = +  −1  −1 −2   1 − α 11z   1 − ( α 12z + α 22z ) 

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224 Traitement numérique des signaux

peut être réalisée par la mise en parallèle d’une structure directe du deuxième ordre et d’une structure directe du premier ordre, telle que celle qui est représentée par la figure 6.5.2.

z–1

z–1

z–1

Figure 6.5.2  Structure parallèle d’une fonction de transfert d’ordre

2N + 1 = 3

Exemple E6.5.1

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Obtenir une structure parallèle dont la fonction de transfert est donnée par : H( 3 ) b ( z ) =



( z −1

( z −1 + 1) 2 + 4)( z −2 + 4z −1 + 6 )

Solution

On peut réécrire H(z) sous la forme suivante : − 0 .5z −1 − 2 1 .5 H ( 3 ) b ( z ) = H ( 1) b ( z ) + H ( 2) b ( z ) = −1 + z + 4 z −2 + 4 z −1 + 6



−0 .3 3 3 3 − 0 .0 8 3 3 z −1 0 .3 7 5 = + 1 + 0 .2 5 z −1 1 + 0 .6 6 6 7 z −1 + 0 .1 6 6 7 z −2

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Structures de réalisation



225

Ce qui nous mène à la structure illustrée à la figure E6.5.1.

z–1

–0.25

–0.3333 z–1

–0.6667

– 0.0833 z

–1

–0.1667

Figure E6.5.1

6.6

Structures mixtes

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Elles sont formées par des structures directes du premier et/ou du second ordre connectées en série et en parallèle. L’exemple suivant illustre cette possibilité. Exemple E6.6.1

Obtenir une structure mixte pour la fonction de transfert causale et stable suivante : Y( z ) 1 − 2z −1 + z −2 (1 + z −1 ) 2 H( 3 ) c ( z ) = = + X( z ) ( z −1 + 2)(1 − 0 .2z −1 + 0 .4z −2 ) ( 4 + z −1 )( 6 + 5z −1 + z −2 )

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226 Traitement numérique des signaux

Solution

La fonction de transfert H(3)c(z) peut être considérée comme étant la somme de deux fonctions de transfert H(3)a(z) et H(3)b(z) respectivement données par :

H( 3 ) a ( z ) =

( z −1

H( 3 ) b ( z ) =

1 − 2z −1 + z −2 + 2)(1 − 0 .2z −1 + 0 .4z −2 )

( z −1

(1 + z −1 ) 2 + 4)( 6 + 5z −1 + z −2 )

Une structure cascade réalisant la fonction de transfert partielle H(3)a(z) a été obtenue à l’exemple E6.4.1 et son graphe de fluence est représenté à la figure E6.4.1. Il est formé de la connexion en cascade de deux structures directes : l’une du premier ordre H(1)a(z) et l’autre du second ordre H(2)a(z). Une structure parallèle réalisant la fonction de transfert partielle H(3)b(z) a été obtenue à l’exemple E6.5.1 et son graphe de fluence est représenté par la figure E6.5.1. Il est formé par la connexion en parallèle de deux structures directes : l’une du premier ordre H(1)b(z) et l’autre du second ordre H(2)b(z).

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Une structure réalisant H(z) peut donc être obtenue en connectant en parallèle les structures réalisant H(3)a(z) et H(3)b(z). La structure complète ainsi obtenue est mixte puisqu’elle est formée d’interconnections en cascade et en parallèle de structures directes du premier et du second ordre. Elle est schématiquement représentée par des blocs à la figure E6.6.1. On se référera aux exemples E6.4.1 et E6.5.1 et aux figures correspondantes pour le contenu de chaque bloc.

Figure E6.6.1

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Structures de réalisation



6.7

227

Structures pour la réalisation des fonctions de transfert non récursives (RIF) à coefficients symétriques

Les structures réalisant les fonctions de transfert non récursives de forme générale :

H( z ) =

M

∑ βk z −k

k =0

=

M

∑ h( k )z − k

k =0

(6.7.1)



peuvent être considérées comme des cas particuliers des structures directes étudiées précédemment. Pour les obtenir, il suffit de poser :

an = 0, n = 1, …, N

(6.7.2)

Nous ne les décrirons donc pas à nouveau. Toutefois, dans le cas des systèmes de type RIF à déphasage nul ou linéaire dont les coefficients sont symétriques, il est possible de mettre cette symétrie à profit pour réduire le nombre de multiplieurs utilisés. La figure 6.7.1 représente une structure utilisable pour la réalisation des fonctions de transfert du type RIF d’ordre pair M, dont la réponse impulsionnelle h(n) répond à la condition de symétrie suivante :

M M  M  h  − k  = h  + k  , k = 0, …,  2   2  2

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z–1

z–1

z–1

z–1 h(M/2 – 1)

z–1

z–1 h(M/2)

Figure 6.7.1  Structure utilisable pour la réalisation des fonctions

de transfert RIF d’ordre pair à coefficients symétriques

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(6.7.3)

228 Traitement numérique des signaux

Exemple E6.7.1

Obtenir une structure de réalisation pour le SLIT non récursif (RIF) dont la fonction de transfert est la suivante : H( z ) = 4z −4 + 3z −3 + 2z −2 + 3z −1 + 4

Solution

H(z) est une fonction de transfert de type RIF d’ordre 4, donc paire. De plus, ses coefficients sont symétriques puisque :

h(4) = h(0) = 4, h(3) = h(1) = 3, h(2) = 2

La structure requise est illustrée à la figure E6.7.1. z–1

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z–1

z–1

z–1

Figure E6.7.1

La figure 6.7.2 représente une structure utilisable pour la réalisation des fonctions de transfert de type RIF d’ordre impair M à coefficients symétriques, c’est-à-dire dont la réponse impulsionnelle h(n) répond à la condition suivante :

( M − 1)  M−1   M+1  h − k = h  + k  , k = 0, . . .,  2   2  2



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(6.7.4)

Structures de réalisation



z–1

z–1

229

z–1

X(Z)

z–1

Y(Z)

h(0)

h(1)

z–1

h((M – 3)/2)

z–1 h((M – 1)/2)

z–1

Figure 6.7.2  Structure utilisable pour la réalisation des fonctions

de transfert RIF d’ordre impair à coefficients symétriques

Exemple E6.7.2

Obtenir une structure de réalisation pour le SLIT non récursif (RIF) dont la fonction de transfert est la suivante : H( z ) = 3z −3 + 2z −2 + 2z −1 + 3

Solution

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H(z) est une fonction de transfert du type RIF d’ordre 3, donc impair. De plus, ses coefficients sont symétriques puisque :

h(3) = h(0) = 3 et h(2) = h(1) = 2

Cette fonction de transfert peut donc être représentée par le graphe de fluence apparaissant à la figure E6.7.2. z–1

z–1

z–1

Figure E6.7.2

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230 Traitement numérique des signaux

6.8

Structures en treillis

Les structures en treillis sont largement utilisées en traitement adaptatif des signaux. Nous décrirons brièvement ci-dessous : a. La structure non récursive (RIF) en treillis. b. La structure récursive (RII) en treillis, à pôles seulement. 6.8.1

Structure non récursive (RIF) en treillis

La figure 6.8.1 représente une structure en treillis réalisant une fonction de transfert non récursive d’ordre M de type RIF donnée par : HM ( z ) =

= 1 + ( p 1 ) M z −1 + . . . + ( p M ) M z − M



z–1

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M Y( z ) X M ( z ) = = PM ( z ) = 1 + ∑ ( p m ) Mz − m X( z ) X( z ) m =1

z–1

(6.8.1)

z–1

Figure 6.8.1  Structure non récursive (RIF) en treillis

La fonction de transfert H M(z) du système au complet et ses fonctions de transfert intermédiaires H i(z), i = 0, 1, 2, …, M – 1 sont données par les équations 6.8.2 : HM ( z ) =

M XM( z ) = PM ( z ) = 1 + ∑ ( p m ) Mz − m = 1 + ( p 1 ) M z −1 + . . . + ( p M ) M z − M X( z ) m =1

. . . . . . . . . . . . Hr ( z ) =

r Xr ( z ) = Pr ( z ) = 1 + ∑ ( p m ) r z − m = 1 + ( p 1 ) r z −1 + . . . + ( p r ) r z − r X( z ) m =1

. . . . . . . . . . . . H 0 ( z ) = P0 ( z ) =

X0 ( z )

(6.8.2) =1

X( z )

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Structures de réalisation



231

Les fonctions de transfert intermédiaires H i(z), i = 0, 1, 2, …, M sont données par les équations 6.8.3. H 'M ( z ) =

M X 'M ( z ) = Q M ( z ) = 1 + ∑ ( q m ) Mz − m = 1 + ( q 1 ) M z −1 + . . . + ( q M ) M z − M X( z ) m =1

. . . . . . . . . . . . H 'r ( z ) =

r X 'r ( z ) = Q r ( z ) = 1 + ∑ ( q m ) r z − m = 1 + ( q 1 ) r z −1 + . . . + ( q r ) r z − r X( z ) m =1

(6.8.3)

. . . . . . . . . . . . H0 ( z ) = Q 0 ( z ) =

X '0 ( z )

=1

X( z ) Les équations suivantes donnent les relations entre les quantités Pm–1(z) et Pm(z) pour m = M, M – 1, …, 1 :



Pm − 1 ( z ) =

Pm ( z ) − k m Q m ( z ) 1 − k 2m

Q m ( z ) = z − m Pm ( z −1 )



m = M, M − 1, . . ., 1, k m ≠ 1 m = M, M − 1, . . ., 1



(6.8.4a)

(6.8.4b)

Les paramètres de la structure en treillis sont donnés par :

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kr = (pr)r, r = 1, 2, …, M

(6.8.5)

Il est donc possible de calculer les coefficients ainsi que les fonctions de transfert intermédiaires de la structure en treillis, dont la fonction de transfert RIF est H M(z), en appliquant les étapes de la procédure suivante : a. Obtenir k m = (pm)m à l’aide de : HM ( z ) =

M XM( z ) = PM ( z ) = 1 + ∑ ( p m ) Mz −m = 1 + ( p 1 ) M z −1 + . . . + ( p M ) M z − M X( z ) m =1

b. Obtenir k m = (pm)m pour m = M, M – 1, …, 1 en utilisant : P( m − 1) ( z ) =

Pm ( z ) − k m Q m ( z ) 1 − k 2m

= 1 + ( p 1 ) m −1 z



=1+

m −1

∑ ( p m ) m − 1z − m

m =1 −1

+ . . . + ( p m −1 ) m −1 z −( m − 1) , k m ≠ 1

Q m ( z ) = z − m Pm ( z −1 ), m = M, M – 1 , M – 2 , …, 1

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232 Traitement numérique des signaux

Exemple E6.8.1

Obtenir une structure non récursive en treillis dont la fonction de transfert est : H3 ( z ) =



X3 ( z ) X( z )

= 1 + 0 .6z −1 + 0 .9z −2 + 0 .2z −3

ainsi que toutes les fonctions de transfert intermédiaires de cette structure. Solution

La fonction de transfert H3(z) de la structure requise est : H3 ( z ) =

X3 ( z ) X( z )

= P3 ( z ) = 1 + ( p 1 ) 3 z −1 + ( p 2 ) 3 z −2 + ( p 3 ) 3 z −3 = 1 + 0 .6z −1 + 0 .9z −2 + 0 .2z −3

Il s’ensuit que :

k3 = (p3)3 = 0.2 et : H '3 ( z ) =

X '3 ( z ) X( z )

= z −3 + 0 .6z −2 + 0 .9z −1 + 0 .2

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= Q 3 ( z ) = z −3 P3 ( z −1 ) = z −3 1 + 0 .6z + 0 .9z 2 + 0 .2z 3 

La fonction de transfert intermédiaire H2(z) est donnée par : H2 ( z ) =

X2 (z ) X (z )

= P2 ( z )

[1 + 0 .6z −1 + 0 .9z −2 + 0 .2z −3 ] − 0 .2[z −3 + 0 .6z −2 + 0 .9z −1 + 0 .2] = 1 − ( 0 .2) 2



= 1 + 0 .4 3 7 5z −1 + 0 .8 1 2 5z −2

donc : k 2 = (p2)2 = 0.8125

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Structures de réalisation



233

et : H '2 ( z ) =

X '2 ( z ) = Q 2 ( z ) = z −2 P2 ( z −1 ) = z −2 1 + 0 .4 3 7 5z + 0 .8 1 2z 2  X( z )

= z −2 + 0 .4 3 7 5z −1 + 0 .8 1 2 5



La fonction de transfert intermédiaire H1(z) est donnée par : H1 ( z ) =

X1 ( z ) = P1 ( z ) X( z )

[1 + 0 .4 3 7 5z −1 + 0 .8 1 2 5z −2 ] − 0 .8 1 2 5[z −2 + 0 .4 3 7 5z −1 + 0 .8 1 2 5] = 1 − ( 0 .8 1 2 5) 2 = 1 + 0 .2 4 1 4z −1

d’où :

k1 = (p1)1 = 0.2414 et :

H '1 ( z ) =

X '1 ( z ) = Q 1 ( z ) = z −1 P1 ( z −1 ) = z −1 [1 + 0 .2 4 1 4z ] = z −1 + 0 .2 4 1 4 X( z )

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La structure en treillis requise est représentée à la figure E6.8.1.

z–1

z–1

z–1

Figure E6.8.1

Exemple E6.8.2

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir une structure en treillis dont la fonction de transfert du type RIF est celle de l’exemple E6.8.1.

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234 Traitement numérique des signaux

Solution

Le programme requis apparaît dans l’encadré ci-dessous.  % Programme E6.8.2 clear ; NUM = [1 0.6 0.9 0.2] ; K = tf2latc(NUM)

Il génère le vecteur suivant : K = [ 0.2414   0.8125   0.2000 ] qui donne les valeurs respectives des coefficients k1, k 2 et k3 de la structure en treillis de la fonction de transfert donnée. La fonction de transfert HM(z) d’une structure en treillis donnée peut être calculée à l’aide des équations 6.8.6. a. b.

P0 ( z ) = Q 0 ( z ) = 1 (6.8.6a) Pr ( z ) = Pr − 1 ( z ) + k r z −1Q r − 1 ( z ) r

= 1 + ∑ ( p m ) r z − m , r = 1 , 2 , . . ., M

(6.8.6b)

m =1

c.

Q r ( z ) = z − r Pr ( z −1 ), r = 1, 2, . . ., M (6.8.6c)

d.

H M ( z ) = PM ( z ) = 1 +

M

∑ ( p m ) M z − m (6.8.6d)

m =1

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Exemple E6.8.3

Obtenir la fonction de transfert H(z) de la structure en treillis de la figure E6.8.1. Solution

Selon la figure E6.8.1 : k1 = 0.2414, k 2 = 0.8125, k3 = 0.2 le recours aux équations 6.8.6 donne : P0(z) = 1

( )

Q 0 ( z ) = z −0 P0 z −1 = 1 P1 ( z ) = P0 ( z ) + k 1z −1Q 0 ( z ) = 1 + 0 .2 4 1 4 z –1

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Structures de réalisation



235

( )

Q 1 ( z ) = z −1 P1 z −1 = z −1 + 0 .2 4 1 4



P2 ( z ) = P1 ( z ) + k 2z −1Q 1 ( z ) = (1 + 0 .2 4 1 4z −1 ) + 0 .8 1 2 5z −1 ( z −1 + 0 .2 4 1 4)



= 1 + 0 .4 3 7 5z −1 + 0 .8 1 2 5z −2

( )

Q 2 ( z ) = z −2 P2 z −1 = z −2 + 0 .4 3 7 5z −1 + 0 .8 1 2 5



P3 ( z ) = P2 ( z ) + k 3 z −1Q 2 ( z ) = (1 + 0 .4 3 7 5z −1 + 0 .8 1 2 5z −2 ) + 0 .2z −1 ( z −2 + 0 .4 3 7 5z −1 + 0 .8 1 2 5)



= 1 + 0 .6 z –1 + 0 .9 z –2 + 0 .2 z –3 = H 3 ( z )

Il est donc évident que, par ce processus, on retrouve la fonction de transfert H(z) de l’exemple E6.8.1. Exemple E6.8.4

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir la fonction de transfert de la structure en treillis de la figure E6.8.1. Solution

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Le programme apparaissant dans l’encadré ci-dessous génère les coefficients de la fonction de transfert H(z) requise.  % Programme E6.8.4 clear ; K = [0.2414 0.8125 0.2000] ; NUM = latc2tf(K,‘fir’)

On obtient alors le vecteur suivant : NUM = 

[1.0000   0.6000   0.9000   0.2000]

qui donne les coefficients de la fonction de transfert RIF selon les puissances descendantes de z (les puissances ascendantes de z–1).

H(z) = 1 + 0.6 z–1 + 0.9 z–2 + 0.2 z–3

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236 Traitement numérique des signaux

6.8.2 Structure récursive (RII) en treillis à pôles seulement

La structure récursive (RII) en treillis diffère de la structure en treillis non récursive (RIF). Elle est représentée à la figure 6.8.2 pour le cas où sa fonction de transfert ne comporte que des pôles et est donnée par une expression ayant la forme générale suivante :

( H M ( z ) )RII =

Y( z ) 1 = = X( z ) PM ( z )



1 1+

M

∑ ( pm )Mz

(6.8.7)

−m

m =1



On peut démontrer que les valeurs des paramètres k1, …, k N de cette structure récursive (RII) à pôles seulement réalisant (H M(z))RII sont identiques à celles des paramètres de la structure en treillis de la fonction de transfert non récursive (RIF) (H M(z))RIF formée par le dénominateur PM(z) de la fonction de transfert (H M(z))RIF et donnée par : M

( H M ( z ) )RIF = PM ( z ) = 1 + ∑ ( p m ) Mz − m



m =1

(6.8.8)

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On notera toutefois que les expressions obtenues pour les fonctions de transfert intermédiaires de la structure en treillis de type RIF ne donnent pas directement les fonctions de transfert intermédiaires de la structure en treillis correspondante de type RII à pôles seulement.

–kM kM

–kM – 1

–k1

kM – 1 z–1

z–1

k1

z–1

Figure 6.8.2  Structure en treillis récursive (RII) à pôles seulement

On peut aussi démontrer qu’une fonction de transfert causale d’ordre M n’ayant que des pôles est stable si et seulement si sa structure en treillis ne comporte que des paramètres k i, i = 1, …, M dont les modules sont tous inférieurs à l’unité, c’est-à-dire si et seulement si |k i| < 1, i = 1, 2, …, M.

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Structures de réalisation



237

Exemple E6.8.5

Obtenir une structure en treillis dont la fonction de transfert RII causale et stable à pôles seulement est donnée par : Y( z )

1

( H3 ( z ) )RII = X( z ) = 1 + 0 .6z −1 + 0 .9z −2 + 0 .2z −3

Solution

Les résultats obtenus à l’exemple E6.8.1 donnent : k1 = 0.2414, k 2 = 0.8125, k3 = 0.2 La figure E6.8.5 illustre le graphe de fluence de la réalisation requise.

–0.2

–0.8125

z–1

–0.2414

z–1

z–1

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Figure E6.8.5

Les paramètres k1, k 2 et k3 étant en valeur absolue, tous plus petits que l’unité, nous pouvons en déduire que la fonction de transfert causale H(z) est stable. Exemple E6.8.6

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir une structure récursive (RII) en treillis dont la fonction de transfert est celle de l’exemple E6.8.5.

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238 Traitement numérique des signaux

Solution

Le programme requis apparaît dans l’encadré ci-dessous. Il génère les coefficients de la structure en treillis requise.  % Programme E6.8.6 clear ; DEN = [1 0.6 0.9 0.2] ; K = tf2latc(1,DEN)

Le vecteur K généré par le programme est : K = 

0.2414   0.8125   0.2000

Les composantes de ce vecteur sont les valeurs respectives des coefficients k1, k 2 et k3 de la structure en treillis. Exemple E6.8.7

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir la fonction de transfert de la structure en treillis de la figure E6.8.5. Solution

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Le programme requis apparaît dans l’encadré ci-dessous.  % Programme E6.8.7 clear ; K = [0.2414 0.8125 0.2000] ; [NUM,DEN] = latc2tf(K,‘allpole’)

Ce programme génère les vecteurs NUM et DEN suivants : NUM

=

[

1

0

0

0    ]

DEN   

=

[

1.0000

0.6000

0.9000

0.2000    ]

qui sont les coefficients respectifs du numérateur et du dénominateur de la fonction de transfert RII suivante, qui ne comprend que des pôles :

H( z ) =

1 + 0 .6z

−1

1 + 0 .9z −2 + 0 .2z −3

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Structures de réalisation



239

6.9 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons présenté le concept de réalisation d’un SLIT et nous avons décrit les blocs de base utilisés à cette fin. Par la suite, nous avons étudié les différentes structures, directe, cascade, parallèle, mixte et en treillis, qui peuvent être utilisées pour réaliser les fonctions de transfert des SLIT. 6.10 Exercices et problèmes P6.1 Obtenir une structure directe canonique pour réaliser la fonction de

transfert causale suivante :



H( z ) =

Y( z ) 8 + z + z2 = 3 X( z ) z + 0 .9z 2 + z + 0 .4

Écrire les équations aux différences correspondant à la structure obtenue.

P6.2 Obtenir une structure cascade pour réaliser la fonction de transfert

causale suivante :



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H( z ) =

Y( z ) z2 − 1 = X( z ) ( z + 0 .5)( z 2 + 0 .4z + 0 .8 )

Écrire les équations aux différences correspondant à la structure obtenue.

P6.3 Obtenir une structure parallèle pour réaliser la fonction de transfert

causale suivante :



Y( z ) ( z − 1) 2 H( z ) = = X( z ) ( z + 0 .2)( z − 0 .4)( z 2 + 0 .3z + 0 .5)

Écrire les équations aux différences correspondant à la structure obtenue.

P6.4 Obtenir une structure en treillis pour réaliser la fonction de transfert

causale du type RIF suivante :

HRIF(z) = P4(z) = 1 + 1.7z–1 + 1.6z–2 + 1.2z–3 + 0.32z–4

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240 Traitement numérique des signaux

P6.5 Obtenir une structure en treillis pour réaliser la fonction de transfert

causale RII suivante, où P4(z) est tel que défini au problème P6.4.



H RII ( z ) =

1 P4 ( z )

P6.6 Obtenir la fonction de transfert causale du type RIF correspondant à

une structure en treillis dont les coefficients sont :

k1 = 0.9566, k 2 = 0.3019, k3 = 0.7308, k4 = 0.3210

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7



Conception des filtres récursifs

7.1 Introduction

La première étape de la conception d’un filtre numérique de type RII consiste à obtenir une fonction de transfert rationnelle causale et stable H(z), dont la réponse fréquentielle remplit des spécifications données. Les structures qui ont été étudiées au chapitre 6 peuvent être ensuite utilisées pour mettre en œuvre de façon efficace les équations aux différences du système requis.

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Il est possible, comme nous le démontrerons plus loin, de transformer une fonction de transfert t(s) appartenant au domaine S, en une fonction de transfert H(z) correspondante, appartenant au domaine Z, de telle sorte que la réponse fréquentielle ou impulsionnelle de H(z) soit une approximation de celle de t(s). On peut donc mettre à profit toute la gamme disponible de méthodes de conception des filtres analogiques pour obtenir la fonction de transfert H(z) requise, en utilisant l’approche suivante : a. Obtenir une fonction de transfert stable t(s) remplissant les spécifications données. b. Transformer t(s) en une fonction de transfert stable correspondante H(z) ayant approximativement la même réponse fréquentielle (ou impulsionnelle) que t(s). Dans ce chapitre, nous présenterons deux méthodes pour obtenir des fonctions de transfert de type passe-bas, passe-haut, passe-bande et coupe-bande appartenant au domaine S et répondant à des spécifications données. Nous étudierons ensuite deux méthodes permettant de transformer une fonction de transfert t(s) donnée en une fonction de transfert H(z) qui lui correspond conformément au sens défini ci-dessus. Nous démontrerons aussi que si les fonctions de transfert appartenant au domaine S auxquelles ces méthodes de transformations sont appliquées sont stables, les fonctions de transfert appartenant au domaine Z qu’elles génèrent le sont aussi.

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242 Traitement numérique des signaux

7.2

Quelques méthodes de conception des filtres analogiques

Comme nous l’avons déjà mentionné, le point de départ de toutes les méthodes de conception des filtres numériques qui seront décrites dans ce chapitre est l’obtention de fonctions de transfert appartenant au domaine S remplissant des spécifications données. Nous décrirons donc brièvement, pour commencer, deux méthodes permettant d’obtenir de telles fonctions de transfert. Pour une couverture beaucoup plus complète des méthodes de synthèse des filtres analogiques, il est possible de se référer à l’abondante littérature qui traite de ce sujet. 7.2.1

Fonction de transfert du filtre passe-bas de Butterworth

Le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert T(S) du filtre passe-bas de Butterworth d’ordre n est donné par : T ( jΩ ) =



1  Ω 1+  Ω c 

2n

(7.2.1)

, Ω = 2πF



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où F est la fréquence en Hz, W est la pulsation en rad/s, n est l’ordre de la fonction de transfert T(S) et Wc est la pulsation de coupure. Cette dernière correspond à une atténuation de 3dB de la valeur du module de la fonction de transfert par rapport à sa valeur à W = 0. La figure 7.2.1 représente le comportement des modules des réponses fréquentielles des fonctions de transfert passe-bas de Butterworth d’ordre n = 1, 2, 3, 4, 5, en fonction de W/WC. Plus l’ordre n de la fonction de transfert est élevé, plus le module de sa réponse fréquentielle se rapproche de celui du filtre passe-bas idéal. On notera que pour toutes les valeurs de n :

T( j0 ) = 1, T ( jΩ C ) =

1 2

= 0 .7 0 7, T ( jΩ ) Ω → ∞ → 0



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(7.2.2)

Conception des filtres récursifs



243

Figure 7.2.1  Module de quelques fonctions de transfert passe-bas

de Butterworth

Si les spécifications du filtre passe-bas de Butterworth requis sont données par : S1. Atténuation inférieure ou égale à Ap dB à la pulsation Wp dans la bande passante.

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S2. Atténuation égale ou supérieure à Aq dB à la pulsation Wq dans la bande d’atténuation. Il est possible de démontrer que l’ordre minimal n, de la fonction de transfert T(S) = 1/D(S) du filtre passe-bas de Butterworth répondant à ces ­spécifications, peut être calculé à l’aide de la relation suivante : log n≥

10

Aq /10

−1

Ap /10

−1 10  Ω q  log    Ω p 

(7.2.3)

Les fonctions de transfert passe-bas de Butterworth normalisées T(S) (pulsation de coupure = 1 rad/s) d’ordre 1 ≤ n ≤ 6 sont données par le tableau T7.2.1. Toute fonction de transfert t(s) de même type et de même ordre mais dont la pulsation de coupure est WC peut être obtenue à l’aide de la relation suivante :

t( s ) = T( S) S = s /Ω = T( s Ω c ) C



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(7.2.4)

244 Traitement numérique des signaux

Dans les cas où la spécification S1 requiert une atténuation exactement égale à Ap dB à la pulsation Wp, la pulsation de coupure requise est alors donnée par : Ωp

Ω cp =

1 0 Ap /10 − 1   



(7.2.5)

1/2n



Dans les cas où la spécification S2 requiert une atténuation exactement égale à Aq dB à la pulsation Wq, la pulsation de coupure requise devient : Ωq

Ω cq =

1 0 Aq /10 − 1   



(7.2.6)

1/2n



Dans les cas où les spécifications S1 et S2 sont données sous la forme générale mentionnée plus haut, la pulsation de coupure de la fonction de transfert requise peut alors être arbitrairement choisie dans la plage de pulsations définie par : Ω cp ≤ Ω c ≤ Ω cq (7.2.7)



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n

Tableau T7.2.1  Fonctions de transfert passe-bas de Butterworth

normalisées. Pulsation de coupure : 1 rad/s.

1

1 S+1

2

1 S + 1 .4 1 4 2S + 1

3

1 S + 2S + 2S + 1

4

1 S + 2 .6 1 3 1S + 3 .4 1 4 2S 2 + 2 .6 1 3 1S + 1

5

1 S + 3 .2 3 6 1S + 5 .2 3 6 1S + 5 .2 3 6 1S 2 + 3 .2 3 6 1S + 1

6

1 S + 3 .8 6 3 7S + 7 .4 6 4 1S + 9 .1 4 1 6S 3 + 7 .4 6 4 1S 2 + 3 .8 6 3 7S + 1

2

3

4

5

6

2

3

4

5

3

4

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Conception des filtres récursifs



245

Exemple E7.2.1

Obtenir la fonction de transfert de type passe-bas de Butterworth dont le module de la réponse fréquentielle répond aux spécifications suivantes : S1. Atténuation Ap ≤ 0.87 dB à la pulsation Wp = 436 rad/s. S2. Atténuation Aq = 21 dB à Wq = 2224 rad/s. Obtenir aussi la valeur du module de cette fonction de transfert à W = 1000 rad/s. Solution

L’ordre de la fonction de transfert recherchée peut être obtenu à l’aide de l’équation 7.2.3. 21

log n≥



1 0 10 − 1 0 .87

1 0 10 − 1 = 1 .9 4 3 2224  log    436 

L’ordre minimal requis est donc n = 2.

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La fonction de transfert de Butterworth du second ordre normalisée peut être obtenue en consultant le tableau T7.2.1. Elle est donnée par : T( S) =



1 S + 1 .4 1 4 2 S + 1 2

La pulsation de coupure de cette fonction de transfert normalisée est 1 rad/s. La pulsation de coupure Wc de la fonction de transfert requise est obtenue à partir de la spécification S2 qui est plus contraignante que la spécification S1, puisqu’elle donne exactement la valeur du module de la fonction de transfert à la pulsation Wq = 2224. Donc, selon l’équation 7.2.6 : Ω c = Ω cq =



2224  1 0

21 10

1 4

= 6 6 5 .3 rad s

− 1

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246 Traitement numérique des signaux

La fonction de transfert requise est donc : 1  s  t( s ) = T  =  2  6 6 5 .3   s   s    + 1 .4 1 4 2   +1 6 6 5 .3  6 6 5 .3 =



( 6 6 5 .3 )

2

s 2 + 9 4 0 .8 s + ( 6 6 5 .3) 2

=

4 4 2 .5 9 × 1 0 3 s 2 + 9 4 0 .8 s + 4 4 2 .5 9 × 1 0 3

La valeur du module de la fonction de transfert à la pulsation W = 1000 rad/s peut être obtenue en utilisant l’équation 7.2.1. On obtient alors : T( j1 0 0 0 ) =



1  1000  1+  6 6 5 .3 

4

= 0 .4 0 4 7

ce qui indique une atténuation du module de :  0 .4 0 4 7  A1000 = −2 0 log   = 7 .8 6 dB  1 



par rapport à sa valeur à la pulsation W = 0 rad/s.

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Exemple E7.2.2

Utiliser le logiciel MATLAB® pour calculer l’ordre n et la fonction de transfert t(s) du filtre passe-bas de Butterworth dont le module de la réponse fréquentielle remplit les spécifications suivantes : S1. Atténuation Ap ≤ 2 dB à la pulsation WP = 1350 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 38 dB à la pulsation Wq = 2750 rad/s. Représenter aussi le module et le déphasage de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert. Solution

Le programme apparaissant dans l’encadré suivant calcule l’ordre, la pulsation de coupure et les coefficients de la fonction de transfert requise. Il génère aussi, comme représenté à la figure E2.7.2, les graphes du module, du déphasage et de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert.

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Conception des filtres récursifs



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 % Programme E7.2.2 clear ; wp = 1350 ; wq = 2750 ; ap = 2 ; aq = 38 ; [n,wc]= buttord(wp,wq,ap,aq,‘s’) [B,A] = butter(n,wc,‘s’) W = 0 : 1.5*wq ; T = freqs(B,A,W) ; subplot(311) ; plot( abs(T)) ; ylabel(‘Module’) ;xlabel(‘W’) ; subplot(312) ; plot( 20*log10(abs(T) ) ylabel(‘Module en dB’) ;xlabel(‘W’) ; subplot(313) ; plot(angle(T)) ; ylabel(‘Déphasage en rad’) ;xlabel(‘W’) ; pause ; close all ;

Figure E7.2.2

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247

248 Traitement numérique des signaux

L’ordre et la pulsation de coupure de la fonction de transfert requise calculés par le programme sont respectivement n = 7 et Wc = 1472 rad/s. Les coefficients du dénominateur de cette même fonction de transfert, générés par le programme, sont selon les puissances décroissantes de S : a7 = 1.0000, a6 = 6.6151 × 103, a5 = 2.1880 × 107, a4 = 4.6541 × 1010, a3 = 6.8509 × 1013, a2 = 6.9787 × 1016, a1 = 4.5718 × 1019, a0 = 1.4975 × 1022 La constante multiplicative du numérateur calculée par le programme est égale à b0 = 1.4975 × 1022. 7.2.2 Fonction de transfert du filtre passe-bas de Tchebycheff 1

Le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert TC(S) du filtre passe-bas de Tchebycheff d’ordre n est donné par : T ( jΩ ) =



1 Ω  1 + ε 2 C2n    Ωp 

, 0 < ε ≤ 1 , Ω = 2πF

(7.2.8)

où Cn(W) est la fonction de Tchebycheff d’ordre n définie comme suit :

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 cos [n cos −1 ( Ω ) ], C n ( Ω) =  −1  cosh [n cosh ( Ω ) ],

0 ≤Ω≤1 Ω>1

(7.2.9)

0 < e ≤ 1 est le coefficient d’ondulation et WP est la pulsation de fin de bande d’ondulation. La figure 7.2.2 représente le comportement des modules des réponses fréquentielles des fonctions de transfert passe-bas de Tchebycheff d’ordre n = 1, 2, 3 en fonction de W/Wp.

1. On trouve dans la littérature plusieurs autres graphies pour ce nom dont Tchebychev, Chebyshev, Chebychev, Tschebyscheff et Tchebyscheff.

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Conception des filtres récursifs



249

Figure 7.2.2  Modules de quelques fonctions de transfert passe-bas

de Tchebycheff

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On notera que : a. Pour toute valeur de n, il existe deux bandes de pulsations distinctes : la bande d’ondulation et la bande d’atténuation. La bande d’ondulation s’étend de la pulsation zéro à la pulsation de fin de bande d’ondulation Wp. La bande d’atténuation s’étend de la pulsation Wp à W → ∞. b. Le nombre d’extremums (les maximums et minimums) qui se trouvent dans la bande d’ondulation est égal à l’ordre n de la fonction de transfert. Le premier de ces extremums est à W = 0. c. La valeur du module de la fonction de transfert de Tchebycheff à W = Wp est donnée par :

T( j Ω p ) =

1 1 + ε2

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(7.2.10)

250 Traitement numérique des signaux

d. Les valeurs du module de la fonction de transfert à la pulsation W = 0 sont :



 1,  T( j0) =  1 ,  2  1+ε

n impair im pair

(7.2.11)

n pair



Si les spécifications d’un filtre passe-bas de Tchebycheff sont données par : S1. Ondulation de Ap dB dans la bande d’ondulation 0 ≤ W ≤ Wp. S2. Atténuation supérieure à Aq dB à la pulsation Wq dans la bande d’atténuation. On peut démontrer que l’ordre minimal n de la fonction de transfert T(S) = K/D(S) du filtre passe-bas de Tchebycheff répondant à ces ­spécifications peut être calculé à l’aide de la relation suivante :  1 0 Aq /10 − 1  cosh   Ap /10 −1  1 0  n≥   Ω  q cosh −1    Ω p  −1



(7.2.12)

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On notera que la relation entre l’amplitude Ap dB de l’ondulation du module de la fonction de transfert dans la bande d’ondulation et la valeur du coefficient d’ondulation e est donnée par :

ε = 10

Ap /10

−1

(7.2.13)

Les fonctions de transfert de Tchebycheff passe-bas normalisées T(S) (pulsation de fin de bande d’ondulation : 1 rad/s) d’ordre 1 ≤ n ≤ 6 sont données par le tableau T7.2.2 dans le cas où l’amplitude de l’ondulation est de 1 dB. Les fonctions de transfert t(s) d’ordre n et de même amplitude d’ondulation, mais dont la pulsation de fin de bande d’ondulation est Wp, peuvent être obtenues à l’aide de la relation suivante :

t( s ) = T( s / Ω p )



où Wp est la pulsation requise de fin de bande d’ondulation.

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(7.2.14)

Conception des filtres récursifs



251

Tableau T7.2.2  Fonctions de transfert passe-bas de Tchebycheff

normalisées. Bande d’ondulation : 0 ≤ Ω ≤ 1 rad/s. Ondulation de 1 dB (ε = 0.5088).

n

1

1 .9 6 5 2 S + 1 .9 6 5 2

2

0 .9 8 2 6 S + 1 .0 9 7 7S + 1 .1 0 2 5

3

0 .4 9 1 3 S + 0 .9 8 8 3S + 1 .2 3 8 4S + 0 .4 9 1 3

4

0 .2 4 5 6 S + 0 .9 5 2 8S + 1 .4 5 3 9S 2 + 0 .7 4 2 6S + 0 .2 7 5 6

5

0 .1 2 2 8 S + 0 .9 3 6 8S + 1 .6 8 8 8S + 0 .9 7 4 4S 2 + 0 .5 8 0 5S + 0 .1 2 2 8

6

0 .0 6 1 4 1 S + 0 .9 2 8 2 5S + 1 .9 3 0 8S + 1 .2 0 2 1S 3 + 0 .9 3 9 3S 2 + 0 .3 0 7 1S + 0 .0 6 8 9 0 7

2

3

4

5

6

2

3

4

3

5

4

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La pulsation de coupure Wc pour laquelle la valeur du module de la fonction de transfert passe-bas de Tchebycheff est de 3 dB inférieure à sa valeur maximale est donnée par : 1  1  Ω c = Ω p cosh  cosh −1     ε  n



(7.2.15)

Exemple E7.2.3

Obtenir la fonction de transfert de type passe-bas de Tchebycheff dont le module de la réponse fréquentielle remplit les spécifications suivantes : S1. Ondulation de 1 dB dans la bande de pulsations 0 ≤ W ≤ Wp = 847 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 17 dB à Wq = 1956 rad/s. Calculer aussi la pulsation de coupure Wc (atténuation de 3 dB) de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert ainsi obtenue, ainsi que la valeur du module de cette réponse fréquentielle à W = 1000 rad/s.

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252 Traitement numérique des signaux

Solution

L’ordre de la fonction de transfert requise peut être obtenu à l’aide de l’équation 7.2.12 : 17   10   1 0 − 1 cosh −1   1  1 0 10 − 1    = 2 .2 4 0 n≥ 1 9 5 6   cosh −1    847 



L’ordre minimal requis est donc n = 3. La fonction de transfert passe-bas de Tchebycheff normalisée d’ordre n = 3, et dont l’amplitude d’ondulation est de 1 dB, peut être obtenue en consultant le tableau T7.2.2. Elle est donnée par : T( S) =



0 .4 9 1 3 S + 0 .9 8 8 3S + 1 .2 3 8 4S + 0 .4 9 1 3 3

2

Puisque cette fonction de transfert est d’ordre impair, son module atteint son maximum à la pulsation W = 0. Il en découle qu’un numérateur dont la valeur est 0.4913 donne un module égal à l’unité lorsque W = 0.

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La pulsation de fin de bande d’ondulation de cette fonction de transfert normalisée est 1 rad/s, tandis que la pulsation de fin de bande d’ondulation spécifiée est Wp = 847 rad/s. La fonction de transfert requise est donc donnée par : 0 .4 9 1 3  s  t( s ) = T  =  3 2  847   s   s   s  + 0 .9 8 8 3     + 1 .2 3 8 4   + 0 .4 9 1 3 847 847  847



=

2 .9 8 5 4 × 1 0 8 s 3 + 8 .3 7 1 3 × 1 0 2 s 2 + 8 .8 8 4 5 × 1 0 5 s + 2 .9 8 5 4 × 1 0 8

La pulsation de coupure Wc de cette fonction de transfert peut être obtenue comme suit, à l’aide des équations 7.2.13 et 7.2.15 :

ε = 10

1 10

− 1 = 0 .5 0 8 8

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Conception des filtres récursifs





253

1 1   = 9 2 7 .4 rad s Ω c = 8 4 7 cosh  cosh −1   0 .5 0 8 8   3

La valeur du module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert ainsi obtenue peut être calculée pour une valeur quelconque de la pulsation W à l’aide de l’équation 7.2.8. Ainsi, pour W = 1000 rad/s, on obtient : T ( j1 0 0 0 ) =

où :

1  1000  1 + ( 0 .5 0 8 8 ) 2 C23   8 4 7 

 1000  C3  = C 3 (1 .1 8 0 6 ) = cosh  3 cosh −1 (1 .1 8 6 6 )  = 3 .0 4 0 9  8 4 7 

Donc, pour W = 1000 rad/s, la valeur du module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert requise est donnée par : T( j1 .1 8 6 6 ) =



1 1 + ( 0 .5 0 8 8 ) 2 ( 3 .0 4 0 9 ) 2

= 0 .5 4 2 8

ce qui correspond à une atténuation du module de la réponse de la fonction de transfert par rapport à sa valeur maximale dont la valeur en dB est donnée par :

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A1000 = −2 0 log ( 0 .5 4 2 8 ) = 5 .3 1 dB, Ω = 1 0 0 0 rad s

Exemple E7.2.4

Utiliser le logiciel MATLAB® pour calculer l’ordre n et pour obtenir la fonction de transfert t(s) du filtre passe-bas de Tchebycheff dont le module de la réponse fréquentielle répond aux spécifications suivantes : S1. Ondulation Ap = 1.7 dB entre Ω = 0 et ΩP = 1125 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 34 dB à la pulsation Ωq = 2570 rad/s. Représenter aussi le module et le déphasage de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert.

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254 Traitement numérique des signaux

Solution

Le programme apparaissant dans l’encadré ci-dessous calcule l’ordre, la pulsation de coupure et les coefficients de la fonction de transfert requise. Il affiche aussi, comme représenté par la figure E2.7.4, le module et le déphasage de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert.

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 % Programme E7.2.4 clear ; wp = 1125 ; wq = 2570 ; ap = 1.7 ; aq = 34 ; [n,wc]= cheb1ord(wp,wq,ap,aq,‘s’) [B,A] = cheby1(n,ap,wc,‘s’) W = 0 :1.5*wq ; T = freqs(B,A,W) ; subplot(311) ; plot(abs(T)) ; ylabel(‘Module’) ;xlabel(‘W’) ; subplot(312) ; plot(20*log10(abs(T)) ; ylabel(‘Module en dB’) ;xlabel(‘W’) ; subplot(313) ; plot(angle(T)) ; ylabel(‘Déphasage en rad’) ;xlabel(‘W’) ; pause ; close all ;

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Conception des filtres récursifs



255

Figure E7.2.4

L’ordre de la fonction de transfert requise calculé par le programme est n = 4. Les coefficients du dénominateur de la fonction de transfert calculés par le programme sont, selon les puissances décroissantes de S : a4 = 1, a3 = 8.6737 × 102, a2 = 1.6418 × 106, a1 = 8.0521 × 108, a0 = 3.5181 × 1011

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Le coefficient multiplicateur du numérateur est : b0 = 2.8927 × 1011 7.2.3 Transformation des fonctions de transfert

Il est possible de transformer les fonctions de transfert passe-bas du domaine S en fonctions de transfert passe-haut, passe-bande ou coupe-bande à l’aide des relations de transformation données ci-dessous. Dans ce qui suit, la variable complexe indépendante de la fonction de transfert passe-bas normalisée est S, tandis que celle de la fonction de transfert passe-haut, passe-bande ou coupe-bande obtenue par transformation est s. On utilisera S = jΩ et s = jW' pour passer au domaine fréquentiel.

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256 Traitement numérique des signaux

On notera qu’une fonction de transfert passe-bas de Butterworth est considérée comme étant normalisée lorsque sa pulsation de coupure est égale à l’unité, tandis qu’une fonction de transfert passe-bas de Tchebycheff est considérée comme étant normalisée lorsque sa pulsation de fin de bande d’ondulation est égale à l’unité. TR1. Transformation passe-bas à passe-haut S=



Ω 'u s

,Ω=−

Ω 'u

(7.2.16)

Ω'

Toute pulsation telle que W de la fonction de transfert passe-bas correspond à une pulsation W' de la fonction de transfert passe-bande. Les pulsations ± W'u de la fonction de transfert passe-haut correspondent respectivement aux pulsations unités  1 rad/s de la fonction de transfert passe-bas normalisée. TR2. Transformation passe-bas à passe-bande



S=

s 2 + Ω ' 20 Bs

, B = Ω 'p 2 −

Ω ' p1 , Ω ' 20

= Ω ' p1 Ω ' p 2 , Ω =

Ω ' 2 − Ω ' 20 BΩ '



(7.2.17)

W'0 est la pulsation dite centrale de la fonction de transfert passe-bande.

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Toute pulsation telle que W de la fonction de transfert passe-bas correspond à une pulsation W' de la fonction de transfert passe-bande. Les pulsations ±Ω'p1 et Ω'p2 de la fonction de transfert passe-bande correspondent respectivement aux pulsations  1 rad/s de la fonction de transfert passe-bas normalisée. TR3. Transformation passe-bas à coupe-bande S=



Bs BΩ ' , B = Ω ' p 2 − Ω ' p1 , Ω ' 20 = Ω ' p1 Ω ' p 2 , Ω = 2 s + Ω '0 Ω ' 20 − Ω ' 2 2

(7.2.18)

W’0 est la pulsation dite centrale de la fonction de transfert coupe-bande.

Toute pulsation telle que W de la fonction de transfert passe-bas correspond à une pulsation W' de la fonction de transfert passe-bande.

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Conception des filtres récursifs



257

Les pulsations ±Ω'p1 et Ω'p2 de la fonction de transfert coupe-bande correspondent respectivement aux pulsations de ± 1 rad/s de la fonction de transfert passe-bas normalisée. Les relations énoncées ci-dessus peuvent être utilisées pour obtenir des fonctions de transfert de type passe-haut, passe-bande ou coupe-bande dont les caractéristiques remplissent des spécifications données. Pour atteindre ce but, la procédure suivante peut être utilisée. a. Transformer les spécifications données pour le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert passe-haut, passe-bande ou coupe-bande requise, en spécifications du module de la réponse fréquentielle d’une fonction de transfert passe-bas normalisée correspondante, à l’aide des transformations TR1 à TR3. b. Calculer cette fonction de transfert passe-bas normalisée, à partir des spécifications obtenues en a) qui caractérisent le module de sa réponse fréquentielle, à l’aide des méthodes décrites aux sections 7.2.1 et 7.2.2. c. Obtenir la fonction de transfert requise en transformant, selon le cas considéré, la fonction de transfert passe-bas normalisée obtenue en b) en fonction de transfert passe-haut, passe-bande ou coupebande, en ayant recours aux transformations TR1 à TR3. Les exemples suivants illustrent la méthode décrite ci-dessus.

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Exemple E7.2.5

Obtenir la fonction de transfert de type passe-bande de Butterworth dont le module de la réponse en fréquence remplit les spécifications suivantes : S1. Pulsation dite centrale W'0 = 2000 rad/s. S2. Bande passante B = 200 rad/s. Note : La bande passante est la plage de pulsations à l’intérieur de laquelle le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert ne descend jamais de plus de 3 dB au-dessous de sa valeur maximale à la pulsation Ω'0. Cette valeur maximale est le niveau de référence utilisé. S3. Atténuation Aq ≥ 18.5 dB à la pulsation Ω'q = 2500 rad/s.

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258 Traitement numérique des signaux

Solution

Nous procéderons selon les étapes de la procédure décrite plus haut : a. Puisque la transformation passe-bas ←→ passe-haut est selon TR2 : S=



s 2 + Ω ' 20 Bs

il s’ensuit que : jΩ =

−Ω ' 2 + Ω ' 20



jBΩ '

 Ω ' 2 − Ω ' 20  =j   BΩ ' 

et ainsi nous obtenons : Ω=



Ω ' 2 − Ω ' 20 BΩ '

où W représente la pulsation de la fonction de transfert passe-bas laquelle correspond à la pulsation W' de la fonction de transfert passe-bande qui en découle.

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La pulsation Ωq pour laquelle le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert passe-bas normalisée de Butterworth a une atténuation de Aq ≥ 18.5 dB est :

Ωq =

(2500)2 − (2000)2 = 4 .5 rad s ( 2 0 0 )( 2 5 0 0 )

Elle correspond à la pulsation Ω'q = 2500 rad/s de la fonction de transfert passe-bande. De la même manière, on peut vérifier que les pulsations Ω'p1 et Ω'p2 , auxquelles le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert passe-bande est de 3 dB inférieur à sa valeur maximale à Ω'0, correspondent respectivement aux pulsations de 1 rad/s de la fonction de transfert passe-bas normalisée de Butterworth. Par conséquent, les spécifications du filtre passe-bas normalisé de Butterworth correspondant au filtre passe-bande caractérisé par les spécifications S1, S2 et S3 sont :

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Conception des filtres récursifs



259

S1. Bande passante (atténuation inférieure à 3 dB) ; 0 ≤ Ω ≤ Ωc = 1 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 18.5 dB à Wq = 4.5 rad/s. b. L’ordre de la fonction de transfert passe-bas de Butterworth qui remplit ces spécifications est donc donné par : log n≥



10

18 .5 10

−1

3 10

10 − 1 = 1 .4 1 2 9  4 .5  log    1 

L’ordre minimal de la fonction de transfert passe-bas normalisée requise est donc n = 2. Cette fonction de transfert peut être obtenue en consultant le tableau T7.2.1. On obtient alors : T( S) =



1 S + 1 .4 1 4 2 S + 1 2

La fonction de transfert du type passe-bande requise est obtenue en posant s2 + ( 2000 )2 S= 2 0 0s dans l’expression de T(S) :

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 s 2 + ( 2 0 0 0 )2  1 = t( s ) = T  2 200 s    s 2 + ( 2 0 0 0 ) 2   s2 + ( 2000 )2  + 1 .4 1 4 2    +1 200 s 200 s    

d’où :



4 × 104 s2 t( s ) = 4 s + 2 8 2 .8 s 3 + 8 0 4 × 1 0 4 s 2 + 1 .1 3 1 × 1 0 9 s + 1 .6 × 1 0 13

On remarque que l’ordre de la fonction de transfert de type passebande ainsi obtenue est égal au double de celui de la fonction de transfert du type passe-bas correspondant.

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260 Traitement numérique des signaux

Le module de la fonction de transfert requise est représenté à la figure E7.2.5.

Figure E7.2.5

Exemple E7.2.6

Obtenir la fonction de transfert de type coupe-bande de Tchebycheff dont le module de la réponse en fréquence remplit les spécifications suivantes :

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S1. Pulsation dite centrale W’0 = 2000 rad/s. S2. Ondulation de 1 dB dans les bandes d’ondulation. S3. Largeur de la plage de pulsations entre les bandes d’ondulation B = 200 rad/s. S4. Atténuation Aq ≥ 8.5 dB à la pulsation W'q = 2050 rad/s. Solution

Nous procéderons selon les étapes de la procédure décrite plus haut : a. Puisque la transformation passe-bas ←→ coupe-bande est donnée, selon TR3 par : S=



Bs s + Ω ' 20 2

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Conception des filtres récursifs



261

il s’ensuit que : jΩ =



 BΩ '  jBΩ ' =j 2 2 2 2 −Ω ' + Ω ' 0  Ω '0 − Ω ' 

donc : Ω=



BΩ ' Ω ' 20 − Ω ' 2

où W est la pulsation de la fonction de transfert passe-bas normalisée qui correspond à la pulsation W' de la fonction de transfert coupe-bande correspondante. La pulsation Wq, à laquelle l’atténuation du module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert passe-bas normalisée est de Aq ≥ 8.5 dB, correspond à la pulsation W'q = 2500 rad/s. Elle est donc donnée par :

Ωq =

( 2 0 0 )( 2 0 5 0 ) = −2 .0 2 4 7 → 2 .0 2 4 7 rad s (2000)2 − (2050)2

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De la même manière, on peut vérifier que les pulsations ±Ω'p1 et Ω'p2 , auxquelles le module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert passe-bas normalisée est de 1 dB inférieur à sa valeur maximale à l’origine ou à l’infini, correspondent respectivement aux pulsations ±1 rad/s. Par conséquent, les spécifications du filtre passe-bas normalisé de Tchebycheff correspondant au filtre coupe-bande caractérisé par les spécifications S1, S2 et S3 sont : S1. Bande d’ondulation de 1 dB : 0 ≤ Ω ≤ Ωp = 1 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 8.5 dB à Ωq ≥ 2.0246 rad/s. b. L’ordre de la fonction de transfert passe-bas répondant à ces spécifications est donné par : cosh −1 n≥



10

8 .5 10

−1

1 10

10 − 1 = 1 .6 9 2 .0 2 4 6   −1 cosh    1 

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262 Traitement numérique des signaux

L’ordre minimal de la fonction de transfert passe-bas normalisée requise est donc n = 2. Cette fonction de transfert peut être obtenue en consultant le tableau T7.2.2. On obtient alors : T( S) =



0 .9 8 2 6 S + 1 .0 9 7 7S + 1 .1 0 2 5 2

c. La fonction de transfert du type coupe-bande requise est obtenue en remplaçant S =

200 s

2

s + (2000)2

dans l’expression de T(S) :

200 s 0 .9 8 2 6   = t( s ) = T  2 2  2 s + (2000)   200 s 200 s     s 2 + ( 2 0 0 0 ) 2  + 1 .0 9 7 7  s 2 + ( 2 0 0 0 ) 2  + 1 .1 0 2 5    

d’où l’on obtient : t( s ) =

0 .8 9 0 9 ( s 2 + 4 × 1 0 6 ) 2 s 4 + 1 .9 9 1 3 × 1 0 2 s 3 + 8 .0 3 6 3 × 1 0 6 s 2 + 7 .9 6 5 3 × 1 0 8 s + 1 .6 × 1 0 13

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On remarque que l’ordre de la fonction de transfert du type coupebande ainsi obtenue est égal au double de celui de la fonction de transfert du type passe-bas correspondant. Le module et le déphasage de la fonction de ­transfert requise sont représentés à la figure E7.2.6.

Figure E7.2.6

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Conception des filtres récursifs



263

Exemple E7.2.7

Utiliser le logiciel MATLAB® pour calculer l’ordre n et obtenir la fonction de transfert t(s) du filtre passe-bande de Butterworth dont le module de la réponse en fréquence remplit les spécifications suivantes : S1. Largeur de bande (atténuation AP = 3 dB) définie par les pulsations limites suivantes : Ω'p1 = 1800 rad/s et Ω'p2 = 2200 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 45 dB aux pulsations Ω'q1 = 3000 rad/s et Ω'q2 = 1320 rad/s. Représenter aussi graphiquement le module et le déphasage de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert en fonction de Ω. Solution

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Le programme apparaissant dans l’encadré ci-dessous calcule l’ordre et les coefficients de la fonction de transfert requise. Il affiche aussi, comme représenté à la figure E7.2.7, le module et le déphasage de la réponse fréquentielle de cette fonction de transfert.  % Programme E7.2.7 clear ; Wp = [1800 2200] ; Wq = [1320 3000] ; ap = 3 ; aq = 45 ; [n,wc]= buttord(Wp,Wq,ap,aq,‘s’) [B,A] = butter(n,wc,‘s’) W = 0 :1.5*Wq(2) ; T = freqs(B,A,W) ; subplot(311) ; plot (abs(T) ./ (max(abs(T))),‘k’) ; ylabel(‘Module’) ; xlabel(‘W’) ; grid off ; subplot(312) ; plot(20*log10(abs(T) ./ (max(abs(T)))),‘k’) ; ylabel(‘Module en dB’) ; xlabel(‘W’) ; grid off ; subplot(313) ; plot(angle(T),‘k’) ; ylabel(‘Déphasage en rad’) ; xlabel(‘W’) ; grid off ; pause ; close all ;

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264 Traitement numérique des signaux

Figure E7.2.7

Les valeurs calculées par le programme sont les suivantes : Ordre de la fonction de transfert : n = 4. Vecteur des pulsations de coupure : wc = [1.7732 × 103 2.2333 × 103]

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Vecteur des coefficients du numérateur de la fonction de transfert (selon les puissances ascendantes de s) :

B = [ 0 0 0 0 4.4796 × 1010 0 0 0 0 ]

Vecteur des coefficients du dénominateur de la fonction de transfert (selon les puissances ascendantes de s) :

A = [1 1.2022 × 103 1.6563 × 107 1.4536 × 1010 9.9858 × 1013 5.7564 × 1016 2.5973 × 1020 7.4655 × 1022 2.4591 × 1026]

7.3

Méthode de la réponse impulsionnelle invariante

Nous décrirons ici une méthode permettant d’obtenir une fonction de transfert H(z) (appartenant au domaine Z), ayant approximativement la même réponse impulsionnelle que celle d’une fonction de transfert t(s) (appartenant au domaine S) donnée. La réponse fréquentielle de H(z) est donc elle aussi approximativement la même que celle de t(s).

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Conception des filtres récursifs



265

Considérons, pour commencer, la fonction de transfert t(s) du premier ordre : t( s ) =



1 , p = σ p + jω p s−p

(7.3.1)

La réponse impulsionnelle de cette fonction de transfert est donnée par :  e pt , h a ( t) = e pt u ( t) =   0,



t≥0 t 0 : σ >0 ↔ r >1

(7.4.8)

σ=0↔r =1



σ 5Fmax S S

(7.4.14)

c’est-à-dire pour une fréquence d’échantillonnage Fs beaucoup plus grande que la fréquence la plus élevée Fmax présente dans le signal, et en utilisant ~ tan(q) = ~ q , cos(q) = 1 l’approximation des petits angles donnée par sin(q) = dans l’équation 7.4.13, on obtient : ~~ W (7.4.15) W=

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278 Traitement numérique des signaux

On remarque donc que plus la fréquence d’échantillonnage est supérieure à la fréquence la plus élevée présente dans le signal, c’est-à-dire plus le rapport Fs/F augmente, plus la qualité de l’approximation en fréquence fournie par la TB s’améliore. L’application de la TB à une fonction de transfert appartenant au domaine S telle que t(s) peut donc être représentée par la relation suivante :   z − 1  2 t( s ) → t  λ  = H( z ), λ =   TS   z + 1 





(7.4.16)

Ce qui, dans le domaine fréquentiel, correspond à :       jΩT s  = t j λ tan  ΩTs       2   

t( jΩ) → H  e 

()

( )

ω   = H e jω = t  j λ tan   2 



(7.4.17)

Exemple E7.4.1

Obtenir une expression donnant la TB, H(z) de la fonction de transfert passe-bas du second ordre t(s) donnée ci-dessous quand l = 1. t( s ) =

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n( s ) K = 2 d ( s ) d 2 s + d 1s + d 0

Utiliser ensuite le logiciel MATLAB® pour obtenir les modules et les déphasages respectifs des réponses fréquentielles de t(s) et de H(z), quand d2 = d0 = 1, d1 = √ 2 et K = 1, pour chacune des deux périodes d’échantillonnage suivantes : TS = 0.5 s et TS = 1 s. Donner vos conclusions. Solution

La TB requise est obtenue en remplaçant :

s→λ

z −1 , λ = 2 / Ts z +1

dans l’expression de la fonction de transfert t(s), ce qui donne : H( z ) =



K( z + 1) 2 a 2 z2 + a1 z + a 0

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Conception des filtres récursifs



(

279

)

a 2 = d 2 λ 2 + d 1λ + d 0 , a 1 = 2 d 0 − d 2 λ 2 , a 0 = d 2 λ 2 − d 1λ + d 0



Pour d2 = d0 = 1, d1 = √ 2, K = 1, l’on obtient : H( z ) =



(λ

2

( z + 1) 2

)

(

)

(

+ λ 2 + 1 z2 + 2 1 − λ2 z + λ2 − λ 2 + 1

)

Pour TS = 0.5, on obtient l = 4 et : H( z ) =



( z + 1) 2 2 2 .6 5 6 8z 2 − 3 0z + 1 1 .3 4 3 1

Pour TS = 1, on obtient l = 2 et : H( z ) =



( z + 1) 2 7 .8 2 8 4z 2 − 6z + 2 .1 7 1 6

Les graphes représentant les modules et les déphasages des fonctions de transfert requises apparaissent à la figure E7.4.1. 1 0.5 0

0.5

1

1.5

0

0.5

1

1.5

0

0.5

1

1.5

w

2

2.5

3

3.5

2

2.5

3

3.5

2

2.5

3

3.5

dB

0 –100 –200

w

0 Deg.

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0

–100 –200

w

Figure E7.4.1  |t(jW)| (—), |H(ejw)|, TS = 0.5 (– –), |H(ejw)|, TS = 1 (--)

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280 Traitement numérique des signaux

L’examen des graphes permet de déduire que plus TS est petit, (plus la fréquence d’échantillonnage est élevée), meilleure est l’approximation donnée par la TB.

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Le programme MATLAB® utilisé pour générer ces graphes apparaît dans l’encadré ci-dessous.  % Programme E7.4.1 clear ; j = sqrt(–1) ; wmin = 0 ;wstep = 0.001 ;wmax = pi ; w = wmin :wstep :wmax ; s = j*w ; n1 = 1 ; d1 = s.^2 +1.4142*s +1 ;t1 = n1./d1 ; T = 1 ; z = exp(j*w*T) ; sz = (2/T)*(z-1)./(z+1) ; n2 = 1 ; d2 = sz.^2 +1.4142*sz +1 ; t2 = n2./d2 ; T = 0.5 ; z = exp(j*w*T) ; sz = (2/T)*(z-1)./(z+1) ; n3 = 1 ; d3 = sz.^2 +1.4142*sz +1 ; t3 = n3./d3 ; mag1 = abs(t1) + 1e-12 ; maxmag1 = max(mag1) ; m1 = mag1/maxmag1 ; mag2 = abs(t2) + 1e-12 ; maxmag2 = max(mag2) ; m2 = mag2/maxmag2 ; mag3 = abs(t3) + 1e-12 ; maxmag3 = max(mag3) ; m3 = mag3/maxmag3 ; an1 = angle(t1) ; unwrap (an1) ; an2 = angle(t2) ; unwrap (an2) ; an3 = angle(t3) ; unwrap (an3) ; subplot(311) ; plot(w,m1,‘k-’,w,m2,‘k :’,w,m3,‘k--’) ;ylabel(‘’) ;xlabel(‘w’) ; subplot(312) ; plot(w,20*log10(m1),‘k- ’,w,20*log10(m2),‘k :’,w,20*log10(m3),‘k--’) ; ylabel(‘dB’) ;xlabel(‘w’) ; subplot(313) ; plot(w,an1*180/pi,‘k-’,w,an2*180/pi,‘k :’,w,an3*180/pi,‘k--’) ; xlabel(‘w’) ;ylabel(‘Deg.’) ; pause ; close all ;

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Conception des filtres récursifs



281

Nous exposerons maintenant brièvement le concept de prédistorsion. On utilise souvent la transformation bilinéaire (TB) pour obtenir une fonction de transfert H(z) ayant les mêmes caractéristiques que celles d’une fonction de transfert analogique t(s) obtenue à partir de spécifications fréquentielles données telles que :

Propriété Pk à Wk rad/s, k = 1, 2, …, K

(7.4.18)

Les propriétés Pk peuvent, par exemple, être des atténuations spécifiées à certaines valeurs de pulsations Wk. Toutefois, à moins que le taux d’échantillonnage ne soit très élevé, l’application de la transformation bilinéaire à la fonction de transfert t(s) en question donne plutôt une fonction de transfert H(z) ayant les caractéristiques suivantes :

2 Ω T  Propriété Pk à Ω k = arctan  k S  , k = 1, 2, …, K  2  TS

(7.4.19)

Pour éviter cette situation, et pour obtenir une fonction de transfert H(z) ayant les spécifications requises données par l’équation 7.4.18, on peut appliquer la transformation bilinéaire à une fonction de transfert t(s) modifiée obtenue à partir de spécifications prédistordues comme suit :

ˆ = Propriété Pk à Ω k

2 Ω T  tan  k S  , k = 1, 2, …, K  2  TS

(7.4.20)

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La section suivante illustre ce concept et son application. 7.5

Utilisation de la transformation bilinéaire pour obtenir une fonction de transfert H(z) ayant des caractéristiques fréquentielles données

La transformation bilinéaire (TB) peut être utilisée pour transformer une fonction de transfert t(s) (du domaine S) en une fonction de transfert H(z) (du domaine Z), de telle sorte que le module de la réponse fréquentielle de H(z) soit une bonne approximation de celui de la réponse fréquentielle de t(s). Comme nous l’avons déjà mentionné, plus le rapport Fs/Fmax entre la fréquence d’échantillonnage FS utilisée et la plus haute fréquence Fmax présente dans le signal traité est élevé, meilleure sera l’approximation obtenue. Ce rapport doit, selon le théorème de l’échantillonnage de Nyquist, être au moins égal à 2. La TB produit en général une déformation assez importante du déphasage de la

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282 Traitement numérique des signaux

réponse fréquentielle de la fonction de transfert t(s) auquel elle est appliquée. Dans les cas où le déphasage constitue un élément important à conserver, il est préférable d’avoir recours à une autre méthode. Pour obtenir une fonction de transfert appartenant au domaine Z telle que H(z) qui répond à des spécifications données, il est possible de procéder comme suit : a. Obtenir une fonction de transfert du domaine S telle que t(s), dont la réponse fréquentielle remplit les spécifications données, en ayant recours à l’une des méthodes décrites précédemment dans ce chapitre ou à d’autres méthodes similaires. b. Appliquer la TB à t(s) afin d’obtenir la fonction de transfert correspondante H(z) requise. Toutefois, étant donné que la TB entraîne une certaine déformation du module de la fonction de transfert à laquelle elle est appliquée, il est préférable, dans le but de réduire l’écart entre les valeurs requises du module aux fréquences spécifiées et celles du module de la réponse fréquentielle de la fonction de transfert H(z) obtenue par la TB à ces mêmes fréquences, de procéder à une prédistorsion (précorrection ou prédéformation) des spécifications données avant de calculer la fonction de transfert t(s) à laquelle la TB sera appliquée. Cette prédistorsion doit être effectuée, de telle sorte que le module de la réponse fréquentielle de H(z) ait les caractéristiques spécifiées. L’exemple suivant illustre ce concept.

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Exemple E7.5.1

Obtenir par l’utilisation de la transformation bilinéaire (TB) une fonction de transfert du premier ordre appartenant au domaine Z et dont la pulsation de coupure (atténuation de 3dB) est Wc = 2pFc. La période d’échantillonnage est TS. Solution

La fonction de transfert analogique du premier ordre, ayant une pulsation de coupure (atténuation de 3dB) Wc, est donnée par : t( s ) =



ΩC s + ΩC

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Conception des filtres récursifs



283

Cela est aisément vérifiable. En effet : t( jΩ) =



jΩ C jΩ + Ω C

ΩC

→ t( jΩ) =

Ω 2 + Ω 2C

donc : 2

t( jΩ C ) =



1 2

ce qui démontre que WC est bien la pulsation de coupure requise. Si l’on applique directement la TB à t(s), on obtient : H( z ) = t( s ) S =



2  z − 1 TS  z + 1 

=

ΩC ΩC → H( e jω ) =   2  z − 1  ΩT 2 S j tan    + Ω C  + Ω C TS z + 1 2 TS 

˜ C de cette fonction de transfert du domaine Z peut La pulsation de coupure W être calculée comme suit : 2

H( e jω ) =



ΩC 2

 T  2 Ω 2 C S  tan   + ΩC   2    TS

=

1 2

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d’où :

 = 2 arctan  Ω C TS  Ω C  2  TS

Il apparaît que la pulsation de coupure obtenue pour la fonction de transfert H(z) n’est pas celle qui a été spécifiée. Il est possible de remédier à cette situation en modifiant au préalable (prédistorsion) la pulsation de coupure de la fonction de transfert t(s) de départ. Cela revient à utiliser une pulsation de coupure de t(s) différente de celle qui est spécifiée mais qui mène à l’obtention de la pulsation de coupure requise pour ˜ C indique que la fonction de transfert H(z). L’examen de l’expression donnant W si la pulsation de coupure spécifiée WC de t(s) est remplacée par une pulsation ˆ C choisie telle que : préalablement modifiée (prédistordue) W

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284 Traitement numérique des signaux

ˆ = 2 tan  Ω C TS  Ω C  2  TS



˜ C de la fonction de transfert numérique H(z) alors la pulsation de coupure W obtenue par l’application de la TB à t(s), qui est celle qui nous intéresse réel­ lement, devient la pulsation de coupure requise WC comme on peut le constater par l’équation suivante :



c = Ω

2 Ts

ˆ T    Ωc Ts   Ω c s = 2 arctan Ts × 2 tan   2   = Ωc   2  TS     2 Ts

arctan 

La méthode d’utilisation de la TB pour la conception de filtres numériques à partir de spécifications données peut être généralisée et résumée comme suit. Transformer toute pulsation telle que Wk, k = 1, 2, …, K, etc., apparaissant ˆ k, k = 1, 2, …, K dans les spécifications données en pulsations prédistordues W selon la relation générale :



ˆ =  2  tan  Ω TS  , k = 1, 2, …, K Ω k  k 2   T  S

(7.5.1)

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Il est possible de démontrer que dans ce processus, la valeur de la constante l n’a pas d’importance. On peut donc, si on le désire et sans perte de généralité, utiliser l = 1. Dans ce cas :

ˆ = tan  ΩTS  Ω  2 

(7.5.2)

Utiliser les spécifications ainsi prédistordues pour obtenir une fonction de transfert t(s) (appartenant au domaine S) selon une des méthodes de conception des filtres analogiques. Appliquer la TB à la fonction de transfert t(s) obtenue à l’étape S2 pour obtenir la fonction de transfert H(z) (appartenant au domaine Z) requise. Les exemples suivants illustrent l’application de cette méthode. Dans certains de ces exemples, nous utiliserons le paramètre l = 2/Ts sans lui attribuer de valeur numérique spécifique, et ce, afin de montrer que sa valeur n’influe en rien sur la fonction de transfert appartenant au domaine Z obtenue par la méthode en question.

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Conception des filtres récursifs



285

Exemple E7.5.2

Obtenir à l’aide de la TB la fonction de transfert H(z) dont le module est celui d’une fonction de transfert passe-bas de Butterworth et dont les caractéristiques sont les suivantes : S1. Atténuation Ap = 3 dB à la fréquence Fp = 1200 Hz. S2. Atténuation Aq ≥ 12 db à la fréquence Fq = 5000 Hz. La période d’échantillonnage est TS = 80 × 10 –6 s. Solution



Wp = 2p × 1200 = 7539.822 rad/s Wq = 2p × 5000 = 31415.927 rad/s

TS = 80 × 10 –6 s, ainsi la fréquence d’échantillonnage est FS = 12500 Hz. Étape 1 : Prédistorsion des spécifications

S1a. La fonction de transfert passe-bas t(s) de Butterworth requise devrait ˆp avoir une atténuation de Ap = 3 dB à la pulsation précorrigée W donnée par :

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–6 Ω T ˆ = λ tan  p S  = λ tan  7 5 3 9 .8 2 2 × 8 0 × 1 0  = 0 .3 1 1 1 λ Ω p  2    2

On notera que pour l = 2/Ts = 25 000, la prédistorsion de Wp à ˆ p = 7777.5 rad/s, dans les spécifications requises pour la valeur W le module de la réponse fréquentielle de fonction de transfert t(s), assurera une atténuation de 3 dB à la pulsation Wp = 7539.8 rad/s du module de la fonction de transfert H(z) résultant de la TB de t(s). S2a. La fonction de transfert passe-bas t(s) de Butterworth requise devrait alors avoir une atténuation de Aq ≥ 12dB à la pulsation précorrigée donnée par :



–6 Ω T ˆ = λ tan  q S  = λ tan  3 1 4 1 5 .0 2 7 × 8 0 × 1 0  = 3 .0 7 7 7 λ Ω q  2    2

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286 Traitement numérique des signaux

On notera que pour l = 2/Ts = 25 000, il faut spécifier la valeur précorrigée ˆ p = 76942.5 rad/s afin que le module de la réponse fréquentielle de la fonction W de transfert H(z) correspondante, qui sera obtenue par la TB de t(s), ait une atténuation de Aq ≥ 12 dB à la pulsation Wq = 31415.9 rad/s. Étape 2 : Calcul de la fonction de transfert appartenant au domaine S

L’ordre minimal de la fonction de transfert passe-bas de Butterworth appartenant au domaine S qui est requise peut être obtenu par : log n≥



10

12 10

−1

3 10

10 − 1 = 0 .5 8 9 6 3  .0 7 7 7  log    0 .3 1 1 1 

Posons donc n = 1. La fonction de transfert passe-bas normalisée (atténuation de 3 dB à 1 rad/s) de Butterworth d’ordre n = 1 appartenant au domaine S est donnée selon le tableau 7.2.1 par :

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T( S) =

1 S+1

La pulsation de coupure requise pour cette fonction de transfert est selon les spécifications données :

ˆ = 0 .3 1 1 1 λ Ω C

La fonction de transfert passe-bas de Butterworth précorrigée appartenant au domaine S est donnée par :   s = t( s ) = T   0 .3 1 1 1 λ 



1 s +1 0 .3 1 1 1 λ

=

0 .3 1 1 1 λ s + 0 .3 1 1 1 λ

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Conception des filtres récursifs



287

Étape 3 : Transformation bilinéaire

L’application de la TB à t(s) selon :  z − 1 s=λ  z + 1 



donne la fonction de transfert du domaine Z requise : H( z ) =



0 .3 1 1 1 λ 0 .3 1 1 1 0 .2 3 7 3( z + 1) = = z − 0 .5 2 5 4  z − 1  z − 1 λ + 0 .3 1 1 1 λ  + 0 .3 1 1 1    z + 1  z + 1

On remarque que la simplification du numérateur et du dénominateur de H(z) cause la disparition du paramètre l. Nous constatons que la valeur de ce paramètre n’influe en rien sur la fonction de transfert H(z) ainsi obtenue. Cela nous confirme que sa valeur peut être choisie de façon arbitraire. Par conséquent, la valeur l = 1 est tout à fait acceptable. Exemple E7.5.3

Obtenir à l’aide de la TB, la fonction de transfert H(z) dont le module est celui d’une fonction de transfert passe-bas de Butterworth dont les caractéristiques sont données ci-dessous : S1. Atténuation Ap = 1 dB à la fréquence Fp = 1200 Hz. Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.

S2. Atténuation Aq ≥ 22 dB à la fréquence Fq = 5000 Hz. La période d’échantillonnage est TS = 80 × 10 –6 s. Solution



Wp = 2p × 1200 = 7540 rad/s Wq = 2p × 5000 = 31416 rad/s

TS = 80 × 10 –6 s, donc la fréquence d’échantillonnage est FS = 12500 Hz.

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288 Traitement numérique des signaux

Étape 1 : Prédistorsion des spécifications

S1a. Atténuation a = 1 dB à la pulsation : –6 Ω T ˆ = λ tan  p S  = λ tan  7 5 4 0 × 8 0 × 1 0 )  = 0 .3 1 1 1 λ, Ω p  2    2



ˆ = 7 7 7 7 rad s pour λ = 2 Ω p TS

S2a. Atténuation Aq ≥ 22 dB à la pulsation : –6 Ω T ˆ = λ tan  q S  = λ tan  3 1 4 1 6 × 8 0 × 1 0  = 3 .0 7 7 7 λ, Ω q  2    2



ˆ = 7 6 9 4 3 rad s pour λ = 2 Ω q TS

Étape 2 : Calcul de la fonction de transfert appartenant au domaine S

L’ordre minimal de la fonction de transfert passe-bas de Butterworth appartenant au domaine S qui est requise peut être obtenu par : 22

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log



1 0 10 − 1 1

1 0 10 − 1 n≥ = 1 .3 9 8 5  3 .0 7 7 7  log    0 .3 1 1 1 

Posons donc n = 2. La fonction de transfert passe-bas normalisée (atténuation de 3 dB à 1 rad/s) de Butterworth d’ordre n = 2 appartenant au domaine S est donnée selon le tableau T7.2.1 par :

T( S) =

1 2

S +S 2 +1

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Conception des filtres récursifs



289

La pulsation de coupure requise est : ˆ = Ω cp

ˆ Ω p 1  2n

0 .3 1 1 1 λ

=

 1 0 10 − 1  Ap

ˆ Ω cp



 1 0

1 10

1 4

= 0 .4 3 6 1 λ

− 1 2 = 1 0 9 0 3 rad s pour λ = TS

La fonction de transfert passe-bas de Butterworth précorrigée appartenant au domaine S est donnée par :   1 s = t( s ) = T  2   0 .4 3 6 1 λ      s s  0 .4 3 6 1 λ  + 2  0 .4 3 6 1 λ  + 1 =



( 0 .4 3 6 1 λ) 2 s 2 + 2 ( 0 .4 3 6 1)λs + λ 2 ( 0 .4 3 6 1 ) 2

Étape 3 : Transformation bilinéaire H( z ) = t( s ) s = λ  z − 1  = 25 000  z − 1   z + 1  



 z + 1  

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donc : H( z ) =

0 .1 9 5 6 λ 2 2

 z − 1  z − 1 2 λ  + 2 ( 0 .4 3 6 1)  λ + ( 0 .4 3 6 1) 2 λ 2   z + 1  z + 1  2



=

0 .1 0 5 2 3 ( z + 1) 2 z 2 − 0 .8 9 6 3 5 z + 0 .3 1 7 3 6

La valeur du paramètre l n’influe en rien sur la fonction de transfert H(z) obtenue. Il est donc possible, comme nous l’avons déjà mentionné, de poser arbitrairement l = 1, sans que cela affecte les résultats.

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290 Traitement numérique des signaux

Exemple E7.5.4

À l’aide de la TB, obtenir une fonction de transfert H(z) dont le module est celui d’un filtre passe-bande de Tchebycheff et dont les caractéristiques sont les suivantes : S1. Ondulation de Ap = 1 dB dans la bande de fréquences définie par F'p1 < F' < F'p2 où F'p1 = 1780 Hz, F'p2 = 1880 Hz. S2. Atténuation de Aq ≥ 4 dB à la fréquence F'q = 2200 Hz. La période d’échantillonnage est TS = 80 × 10 –6 s. Solution



Ω ' p1 = 2π × 1 7 8 0 = 1 1 1 8 4 rad s Ω ' p 2 = 2π × 1 8 8 0 = 1 1 8 1 2 rad s Ω ' q = 2π × 2 2 0 0 = 1 3 8 2 3 rad s FS =

1 = 1 2 5 0 0 Hz 8 0 × 1 0 −6

Étape 1 : Prédistorsion des spécifications

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S1a. Ondulation de 1 dB dans la bande de fréquences définie par ˆ 'p1 ≤ W ˆ' ≤ W ˆ 'p2 où : W





 Ω ' p1 TS   1 1 1 8 4 × 8 0 × 1 0 −6 )  ˆ = λ tan  Ω ' p1 = λ tan   = 0 .4 7 9 8 λ 2   2  ˆ ' = 1 1 9 9 5 rad s pour λ = 2 = 2 5 0 0 0 s −1 Ω p1 TS −6 Ω' T ˆ ' = λ tan  p 2 S  = λ tan  1 1 8 1 2 × 8 0 × 1 0  = 0 .5 1 1 1 λ Ω p2    2  2  

ˆ ' = 1 2 7 7 7 rad s pour λ = 2 = 2 5 0 0 0 s −1 Ω p2 TS

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Conception des filtres récursifs





291

2 −1  ˆ ' −Ω ˆ ' = 0 .0 3 1 3 λ,  B ˆ =Ω ˆ B p2 p1  = 7 8 3 rad s pour λ = T = 2 5 0 0 0 s  S ˆ' = Ω 0

ˆ' Ω ˆ ' = λ 0 .4 7 9 8 × 0 .5 1 1 1 = 0 .4 9 5 2 λ Ω p1 p2

ˆ ' = 1 2 3 8 0 rad s pour λ = 2 = 2 5 0 0 0 rad s −1 Ω 0 TS

ˆ 'q : S2a. Atténuation de Aq ≥ 4 dB à W



−6 ˆ ' = λ tan  1 3 8 2 3 × 8 0 × 1 0  = 0 .6 1 7 1 λ Ω q   2

ˆ ' = 1 5 4 2 8 rad s pour λ = 2 = 2 5 0 0 0 s −1 Ω q TS

Étape 2 : Transformation passe-bande → passe-bas S=

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ˆ ' 2 s 2 + (1 2 3 8 0 ) 2 s2 + Ω 0 = ˆ 783 s Bs

2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ 2 ˆ = Ω ' − Ω ' 0 = Ω ' − (1 2 3 8 0 ) Ω ˆ' ˆ' ˆΩ B 783 Ω

S1b. Ondulation de 1dB dans la bande de pulsations qui s’étend de zéro à :



 (1 1 9 8 5) 2 − (1 2 3 8 0 ) 2   (1 2 7 7 7 ) 2 − (1 2 3 8 0 ) 2  ˆ Ωp = −  = =1 783 × 11 985 783 × 12 777    

S2b. Atténuation de Aq ≥ 4 dB à :

2 2 ˆ = (1 5 4 2 8 ) − (1 2 3 8 0 ) = 7 .0 1 6 Ω q 783 × 15 428

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292 Traitement numérique des signaux

Étape 3 : Calcul de la fonction de transfert appartenant au domaine S

L’ordre minimal de la fonction de transfert passe-bas de Tchebycheff appartenant au domaine S qui est requise peut être obtenu par : cosh −1 n≥



10

4 10

−1

1 10

10 − 1 = 0 .5 8 0 2  −1 7 .0 1 6  cosh    1 

Nous choisirons donc n = 1. La fonction de transfert passe-bas normalisée (ondulation entre 0 rad/s et 1 rad/s) de Tchebycheff d’ordre n = 1 et d’ondulation 1 dB appartenant au domaine S est donnée selon le tableau T7.2.2 par : T( S) =



1 .9 6 5 2 S + 1 .9 6 5 2

Étape 4 : Transformation passe-bas → passe-bande

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La fonction de transfert passe-bande de Tchebycheff précorrigée appartenant au domaine S est donnée par :  s 2 + (1 2 3 8 0 ) 2  1 .9 6 5 2 t( s ) = T  = 2  ( 7 8 3)s    s + (1 2 3 8 0 ) 2    + 1 .9 6 5 2 ( 7 8 3)s  



=

1 5 3 8 .7 5 s 2

s + 1 5 3 8 .7 5 s + 1 5 3 2 6 4 4 0 0

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Conception des filtres récursifs



293

Étape 5 : Transformation bilinéaire

L’application de la TB à t(s) donne la fonction de transfert H(z) requise selon : H( z ) = t( s ) s = λ  z − 1   z + 1  



H( z ) =

 z − 1 1 5 3 8 .7 5 × 2 5 0 0 0 ×   z + 1  2

 z − 1  z − 1 + 1 5 3 8 .7 × 2 5 0 0 0 ×  (25 000) ×  + (1 2 3 8 0 ) 2   z + 1  z + 1  2



=

0 .0 4 7 1 0 1 × ( z 2 − 1) z 2 − 1 .1 5 5 1 8 z + 0 .9 0 5 7 9 8

Exemple E7.5.5

À l’aide de la TB, obtenir une fonction de transfert H(z) dont le module est celui d’un filtre passe-haut de Tchebycheff et dont les caractéristiques sont les suivantes : S1. Ondulation de 1 dB dans la bande de fréquences définie par : F'p < F' < F'∞ où F'p = 4000 Hz et F'∞ → ∞. S2. Atténuation de Aq ≥ 20 dB à la fréquence F'q = 2000 Hz. Copyright © 2000. Les Presses de l'Université du Québec. All rights reserved.

La période d’échantillonnage est TS = 10 –4 s. Solution



W’q = 2p × 2000 = 12566.4 rad/s W’p = 2p × 4000 = 25132.7 rad/s FS = 1/TS = 1/10 –4 = 10000 Hz

Étape 1 : Prédistorsion des spécifications

S1a. Ondulation de 1 dB dans la bande de fréquences définie par ˆ 'p ≤ W ˆ' ≤ W ˆ '∞ où W ˆ '∞ → ∞ et : W



ˆ ' = 2 × 1 0 0 0 0 × tan  2 5 1 3 2 .7  = 6 1 5 5 3 .7 rad s Ω p  2(1 0 0 0 0 ) 

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294 Traitement numérique des signaux

S2a. Atténuation Aq ≥ 20 dB à la pulsation



ˆ ' = 2 × 1 0 0 0 0 × tan  1 2 5 6 6 .4  = 1 4 5 3 0 .8 rad s Ω q  2(1 0 0 0 0 ) 

Étape 2 : Transformation passe-haut → passe-bas S=

ˆ' Ω p



s

ˆ = , jΩ

ˆ' ˆ' Ω Ω p ˆ = − p = − 6 1 5 5 3 .7 ,Ω ˆ' ˆ' ˆ' jΩ Ω Ω

ˆ = 6 1 5 5 3 .7 = 4 .2 3 6 ˆ = 1, Ω Ω p q 1 4 5 3 0 .8



Étape 3 : Calcul de la fonction de transfert appartenant au domaine S

Spécifications du filtre passe-bas normalisé : S1b. Ap = 1 dB

ˆ ≤W ˆp=1 pour 0 ≤ W

S2b. Aq ≥ 20 dB

ˆ q = 4.236 pour W

L’ordre minimal de la fonction de transfert passe-bas de Tchebycheff appartenant au domaine S qui est requise peut être obtenu par :

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20

cosh 1 n≥



1 0 10 − 1 1 10

10 − 1 = 1 .7 2 7  −1 4 .2 3 6  cosh    1 

Nous poserons donc n = 2. La fonction de transfert passe-bas normalisée (ondulation entre 0 rad/s et 1 rad/s) de Tchebycheff d’ordre n = 2 et d’ondulation 1 dB appartenant au domaine S est donnée selon le tableau T7.2.2 par :

T( S) =

0 .9 8 2 6 S + 1 .0 9 7 7S + 1 .1 0 2 5 2

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Conception des filtres récursifs



295

Étape 4 : Transformation passe-bas → passe-haut

La fonction de transfert passe-haut de Tchebycheff précorrigée appartenant au domaine S est donnée par : t( s ) = T( S) S =  Ωˆ 'p  =  s 

=



0 .9 8 2 6 2

 6 1 5 5 3 .7   6 1 5 5 3 .7    + 1 .0 9 7 7   + 1 .1 0 2 5 s s

0 .8 9 1 2 4 7s 2 s 2 + 6 1 2 8 5 .7s + 3 .4 3 6 6 1 × 1 0 9

Étape 5 : Transformation bilinéaire

L’application de la TB à t(s) donne la fonction de transfert H(z) requise selon : H( z ) = t( s ) s = 2 × 10 000 × z − 1 =



z +1

0 .0 7 0 4 2 2 ( z − 1 )

2

z 2 + 1 .1 9 9 6 2z + 0 .5 1 5 7 5

Exemple E7.5.6

À l’aide de la TB, obtenir une fonction de transfert H(z) dont le module est celui d’un filtre coupe-bande de Butterworth et dont les caractéristiques sont les suivantes :

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S1. Atténuation de Ap = 3 dB à la fréquence F'p1 = 1700 rad/s. S2. Atténuation de Aq ≥ 10 dB à la fréquence F'q = 1800 Hz. La fréquence dite centrale est F'0 = 2000 Hz. La période d’échantillonnage est TS = 10 –4 s. Solution

W'p1 = 2p × 1700 = 10681.4 rad/s W'q = 2p × 1800 = 11309.7 rad/s W'0 = 2p × 2000 = 12566.4 rad/s FS = 1/TS = 1/10 –4 = 10000 Hz

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296 Traitement numérique des signaux

Étape 1 : Prédistorsion des spécifications



ˆ ' = 2 × 1 0 0 0 0 × tan  1 2 5 6 6 .4  = 1 4 5 3 0 .9 rad s Ω 0  2(1 0 0 0 0 ) 

ˆ 'p1 et W ˆ 'p2 données par S1a. Atténuation de Ap = 3 dB aux pulsations W





ˆ ' = 2 × 1 0 0 0 0 × tan  1 0 6 8 1 .4  = 1 1 8 2 7 .9 rad s Ω p1  2(1 0 0 0 0 )  2 ˆ 2 ˆ ' = Ω ' 0 = (1 4 5 3 0 .9 ) = 1 7 8 5 1 .6 rad s Ω p2 ˆ' 1 1 8 2 7 .9 Ω p1

ˆ ' −Ω ˆ ' = 6 0 2 3 .7 rad s ˆ =Ω B p2 p1

ˆ 'q donnée par : S2a. Atténuation de Aq ≥ 10 dB à la pulsation W



ˆ ' = 2 × 1 0 0 0 0 × tan  1 1 3 0 9 .7  = 1 2 6 9 2 .4 rad s Ω q  2(1 0 0 0 0 ) 

Étape 2 : Transformation coupe-bande → passe-bas

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S=



ˆ' ˆ ˆΩ Bs B ˆ = , Ω ˆ '2 + Ω ˆ '2 ˆ '2 s2 + Ω −Ω 0 0

Spécifications du filtre passe-bas normalisé : ˆ 'p : S1b. Atténuation de Ap = 3 dB à W ˆ = Ω p



6 0 2 3 .7 × 1 7 8 5 1 .6 (1 7 8 5 1 .6 ) 2 − (1 4 5 3 0 .9 ) 2

=1

S2b. Atténuation de Aq ≥ 10 dB à :

ˆ = Ω q

6 0 2 3 .7 × 1 2 6 9 2 .4 (1 2 6 9 2 .4) 2 − (1 4 5 3 0 .9 ) 2

= 1 .5 2 7 6 rad s

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Conception des filtres récursifs



297

Étape 3 : Calcul de la fonction de transfert passe-bas appartenant au domaine S

L’ordre minimal de la fonction de transfert passe-bas de Butterworth appartenant au domaine S qui est requise peut être obtenu par : log n≥



10

10 10

−1

3 10

10 − 1 = 2 .6  1 .5 2 7 6  log    1 

Posons donc n = 3. La fonction de transfert passe-bas de Butterworth normalisée d’ordre n = 2 appartenant au domaine S est donnée selon le tableau T7.2.1 par : T( S) =



1 S + 2S + 2S + 1 3

2

Étape 4 : Transformation passe-bas → coupe-bande

La fonction de transfert coupe-bande de Butterworth précorrigée est donnée par :

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t( s ) = T( S) S = =

=



6023 .7 s s 2 + ( 14530 .9 ) 2

1 3

2

6 0 2 3 .7s 6 0 2 3 .7s 6 0 2 3 .7s       + 2 2 + 2 2 +1  2 2 2 2  s + (1 4 5 3 0 .9 )   s + (1 4 5 3 0 .9 )  s + (1 4 5 3 0 .9 ) 

(s

2

+ 2 .1 1 1 4 7 × 1 0 8

)

3

 s 6 + 1 .2 0 4 7 4 × 1 0 4 s 5 + 7 .0 6 0 1 1 × 1 0 8 s 4 + 5 .3 0 6 1 2 × 1 0 12 s 3    17 2 20 24  +1 .4 9 0 7 2 × 1 0 s + 5 .3 7 1 1 × 1 0 s + 9 .4 1 3 5 9 × 1 0 

Étape 5 : Transformation bilinéaire

L’application de la TB à t(s) donne la fonction de transfert H(z) requise selon :

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298 Traitement numérique des signaux

H( z ) = t( s ) s = 2 × 10 4 ×  z − 1   z + 1  

=

(

0 .6 7 5 8 4 3 z 2 − 0 .6 1 8 0 2 8z + 1

)

3

z 6 − 1 .6 1 4 8 8 z 5 + 3 .1 0 2 1 3 z 4 − 2 .6 0 0 7 5 z 3 + 2 .3 9 6 7 4 z 2 − 0 .9 5 6 1 7 8 z + 0 .4 5 6 7 3 7

7.6

Méthode de calcul de la transformation bilinéaire

La méthode de calcul de la transformation bilinéaire qui sera présentée ici fait usage du triangle de Pascal qui donne les coefficients de l’expansion d’un binôme d’ordre entier positif quelconque N tel que (x ± y)N. Le triangle de Pascal apparaît à la figure 7.6.1. 0

1

1

1

2 3

1 1

4 5 •

1 1

2 3

4 5

1 1 3 6

10

1 4

10

1 5

1

Etc .

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Figure 7.6.1  Triangle de Pascal

L’utilisation de ce triangle est illustrée par l’exemple ci-dessous. Exemple E7.6.1

Obtenir des expressions donnant (x ± y)N pour les valeurs suivantes de N :

N = 1, 2, 3, 4 et 5 Solution



(x ± y)2 = x2 ± 2xy + y2 (x ± y)3 = x3 ± 3x2y + 3xy2 ± y3 (x ± y)4 = x4 ± 4x3y + 6x2y2 ± 4xy3 + y4 (x ± y)5 = x5 ± 5x4y + 10x3y2 ± 10x2y3 + 5xy4 ± y5

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Conception des filtres récursifs



299

Nous illustrerons ci-dessous par des exemples, les différentes étapes de la méthode de calcul de la transformée en Z d’un polynôme ou d’une fonction de transfert à l’aide du triangle de Pascal. Cette méthode se prête bien à une mise en œuvre par ordinateur. Exemple E7.6.2

Appliquer la transformation bilinéaire au polynôme du second ordre suivant : A 2(s) = a2s2 + a1s + a0

Solution

L’application de la transformation bilinéaire s = l(z – 1)/(z + 1) au polynôme du second ordre A 2(S) donne une expression dont la forme générale est :

B2 ( z ) =

b 2 z 2 + b 1z + b 0 ( z + 1) 2

Le calcul des paramètres b2 , b1 et b0 peut être effectué comme suit : La première étape consiste à obtenir l’expansion du binôme (z – 1)2 à l’aide du triangle de Pascal ou par le biais de toute autre méthode :

(z – 1)2 = z2 – 2z + 1

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La seconde étape consiste à construire la matrice de transformation suivante :



 e 11 [ E2 ] =  e 21  e 31

e 12 e 22 e 32

e 13   1   e 23  =  −2 e 33   1

1 0 −1

1   2  1 

Cette matrice est générée conformément aux règles suivantes : ➢➢ Si N est l’ordre du polynôme à transformer, l’ordre de la matrice est (N + 1). La matrice est donc, dans ce cas-ici, une matrice de 3 × 3. ➢➢ Tous les éléments de la première ligne de cette matrice sont égaux à l’unité. ➢➢ Les éléments deNla première colonne de cette matrice sont les coefficients de (z – 1) , où N est l’ordre du polynôme à transformer. Dans ce cas, N = 2.

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300 Traitement numérique des signaux

➢➢

Les autres éléments de la matrice sont calculés en commençant par le premier élément inconnu de la seconde rangée et en procédant ainsi de gauche à droite et rangée par rangée, selon la séquence {e22, e23, e32, e33}. Chaque élément ainsi calculé est égal à la somme de ses voisins directs déjà évalués. Nous obtenons donc :

e22 = 1 + 1 – 2 = 0 e23 = 1 + 1 + 0 = 2  e32 = 0 – 2 + 1 = –1 e33 = 2 + 0 – 1 = 1 Les coefficients b2 , b1 et b0 de B2(z) peuvent ensuite être obtenus à l’aide de la relation matricielle suivante : b2   1     b 1  =  –2  b 0   1



1 0 −1

1  2 1 

a 2λ 2     a 1λ   a   0 

d’où nous pouvons dire que : b2 = l2a2 + la1 + a0 b1 = –2l2a2 + (0)la1 + 2a0 b0 = l2a2 – la1 + a0

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Exemple E7.6.3

Appliquer la transformation bilinéaire au polynôme du troisième ordre suivant : A 3 ( s ) = a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1s + a 0

Solution

L’application de la transformation bilinéaire s = l(z – 1)/(z + 1) au polynôme du troisième ordre A3(s) donne une expression dont la forme générale est :

B3 ( z ) =

b 3 z 3 + b 2 z 2 + b 1z + b 0 ( z + 1) 3

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Conception des filtres récursifs



301

Le calcul des paramètres b3, b2 , b1 et b0 peut être effectué comme suit selon la méthode décrite à l’exemple E7.5.2 : (z – 1)3 = z3 – 3z2 + 3z – 1



 1 1  –3 –1  E3  =   1 –1   –1 1



1 –1 –1

1 b3   1 1    –3 −1 1 b2  =   b 1   3 −1 −1     b 0   –1 1 −1



1  3 3  1

1

3 1  a 3 λ    3  a 2λ 2  3  a λ   1  1  a   0 

Exemple E7.6.4

Appliquer la transformation bilinéaire au polynôme du quatrième ordre suivant : A 4 ( s ) = a 4 s 4 + a 3 s 3 + a 2 s 2 + a 1s + a 0



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Solution

L’application de la transformation bilinéaire s = l(z – 1)/(z + 1) au polynôme du quatrième ordre A4(s) donne une expression dont la forme générale est :

B4 ( z ) =

b 4 z 4 + b 3 z 3 + b 2 z 2 + b 1z + b 0 ( z + 1) 4

Le calcul des paramètres b4, b3, b2 , b1 et b0 peut être effectué comme suit selon la méthode décrite aux exemples E7.6.2 et 7.6.3 :



 1   –4 [ E4 ] =  6   –4  1 

1

1

1

–2

0

2

0

–2

0

2

0

–2

–1

1

–1

1  4 6  4 1 

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302 Traitement numérique des signaux

donc : b 4   1    –4 b3   b2  =  6     b 1   –4 b   1  0 



1

1

1

–2

0

2

0

–2

0

2

0

–2

–1

1

–1

1 a 4 λ    4  a 3λ3  6  a λ2   2  4  a λ  1 1   a   0  4

Pour obtenir la transformée en Z d’une fonction de transfert rationnelle telle que : H( z ) =



B Nq ( z ) B Np ( z )

(7.6.1)

à l’aide de l’algorithme que nous avons décrit et illustré précédemment, il suffit de l’appliquer successivement au numérateur et au dénominateur de H(z) tout comme l’illustre l’exemple suivant. Exemple E7.6.5

Obtenir la TB de la fonction de transfert suivante : T4 ( z ) =

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a 22s 2 + a 21s + a 20 A2 ( s ) = A 4 ( s ) a 44 s 4 + a 43 s 3 + a 42s 2 + a 41s + a 40 z

Solution

L’application de la méthode décrite plus haut au dénominateur et au numérateur de T4(z) donne :   ( b 22z 2 + b 21z + b 20 ) ( z + 1) 2 H4 ( z ) =  4 3 2 4   ( b 44 z + b 43 z + b 42z + b 41z + b 40 ) ( z + 1)    b 22z 2 + b 21z + b 20 = ( z + 1)   4 3 2  b 44 z + b 43 z + b 42z + b 41z + b 40  2



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Conception des filtres récursifs



303

où :  b 22   1     b 21  =  –2  b 20   1

et :

 b 44   1     b 43   –4  b 42  =  6     b 41   –4 b   1  40  



1  a 22 λ 2    2   a 21 λ  1   a 20 

1 0 –1

1

1

1

–2

0

2

0

–2

0

2

0

–2

–1

1

–1

4 1   a 44 λ    4   a 43 λ 3  6  a λ2    42  4  a λ  41 1   a   40 

Exemple E7.6.6

Utiliser le logiciel MATLAB® pour obtenir la transformation bilinéaire de la fonction de transfert passe-bas de Tchebycheff normalisée suivante : t( s ) =



1 7

6

 0 .9198 S + 2 .4230 S + 1 .6552S5 + 1 .8369S4     +0 .8468 S3 + 0 .4478 S2 + 0 .1073 S + 0 .01723 

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Utiliser la fréquence d’échantillonnage FS = 10 Hz. Solution

Le programme requis apparaît dans l’encadré ci-dessous.  % Programme E7.6.6 clear ; nums = [1] ; dens = [0.9198 2.4230 1.6552 1.8369 0.8468 0.4478 0.1073 0.01723] ; Fs = 10 ; [numd, dend] = bilinear(nums, dens, Fs) ; disp(‘Numérateur :’) ; disp(‘numd’) ; disp(‘Dénominateur :’) ;disp(‘dend’) ;

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304 Traitement numérique des signaux

Ce programme génère les coefficients du numérateur et du dénominateur de la fonction de transfert numérique H(z) selon les puissances décroissantes de Z comme suit : Numérateur : 1.0e-007 * 0.0075 0.0523 0.1569 0.2616 0.2616 0.1569 0.0523 0.0075

7.7

Dénominateur : 1.0000 -6.7510 19.5247 -31.3562 30.1986 -17.4398 5.5916 -0.7678

Transformation des fonctions de transfert du domaine Z

Il est possible d’utiliser les relations données ci-dessous pour transformer une fonction de transfert passe-bas de type RII donnée appartenant au domaine Z, en fonction de transfert passe-bas, passe-haut, passe-bande ou coupe-bande dont la ou les pulsations de coupure sont spécifiées.

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TLL. Transformation passe-bas à passe-bas

Z−1



ω sin  LP1  z − ρL = , ρL = −1 ω 1 − ρLz sin  LP1  −1

− ω LP2   2 + ω LP2   2

(7.7.1)

wLP1 : Pulsation de coupure de la fonction de transfert passe-bas originale. wLP2 : Pulsation de coupure de la fonction de transfert passe-bas requise.

TLH. Transformation passe-bas à passe-haut

Z−1



ω cos  LP  z + ρH = , ρH = −1 ω 1 + ρ Hz cos  LP  −1

+ ω HP   2 − ω HP   2

(7.7.2)

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Conception des filtres récursifs



305

wLP : Pulsation de coupure de la fonction de transfert passe-bas originale. wHP : Pulsation de coupure de la fonction de transfert passe-haut requise.

TLB. Transformation passe-bas à passe-bande

Z−1 =





ω cos  BP2  ρ1 = ω cos  BP2 

 2ρ ρ   ρ − 1 z −2 −  1 2  z −1 +  2  ρ2 + 1   ρ2 + 1 

(7.7.3a)

 ρ2 − 1  −2  2ρ1ρ2  −1  ρ + 1  z −  ρ + 1  z + 1 2 2

+ ω BP1   − ω BP1  2 ω ω  , ρ2 = cot  BP2 tan  LP     2   − ω BP1  2   2

(7.7.3b)

wLP : Pulsation de coupure de la fonction de transfert passe-bas originale. wBP1 : Pulsation de coupure inférieure de la fonction de transfert passe-bande

requise.

wBP2 : Pulsation de coupure supérieure de la fonction de transfert passe-bande

requise.

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TLS. Transformation passe-bas à coupe-bande

Z−1 =





ω cos  BS2  ρ1 = ω cos  BS2 

 2ρ1  −1  1 − ρ2  z −2 −  z +  ρ2 + 1   1 + ρ2 

(7.7.4a)

 1 − ρ2  −2  2ρ1  −1  1 + ρ  z −  1 + ρ  z + 1 2 2

+ ω BS1   2  ω − ω BS1  ω  tan  LP  , ρ2 = tan  BS2   2    − ω BS1  2   2

(7.7.4b)

wLP : Pulsation de coupure de la fonction de transfert passe-bas originale. wBS1 : Pulsation de coupure inférieure de la fonction de transfert coupe-bande

requise.

wBS2 : Pulsation de coupure supérieure de la fonction de transfert coupe-bande

requise.

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306 Traitement numérique des signaux

Exemple E7.7.1

Obtenir, par l’utilisation de la transformation appropriée, une fonction de transfert coupe-bande dont les pulsations de coupure sont wBS1 = p/4 rad/s et wBS2 = 3p/4 rad/s à partir de la fonction de transfert de type passe-bas suivante dont la pulsation de coupure est wLP = 5.48 rad/s : H LP ( z ) =



(1 + Z−1 ) 2 1 + 0 .1 7 3 Z−2

Solution

Selon la transformation passe-bas à coupe-bande :



 ( 3π 4) + ( π 4)  cos   2  =0 ρ1 =  ( 3π 4) − ( π 4)  cos   2  



 ( 3π 4) − ( π 4)   5 .4 8  tan  ρ2 = tan    = −0 .4 2 4 7 2  2   

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La transformation passe-bas à coupe-bande est par conséquent : Z−1



 1 + 0 .4 2 4 7  z −2 +   1 − 0 .4 2 4 7  z −2 + 2 .4 7 6 4 = =  1 + 0 .4 2 4 7  −2 2 .4 7 6 4z −2 + 1 + 1 z   1 − 0 .4 2 4 7 

La fonction de transfert coupe-bande requise est donc donnée par :

H BS ( z ) =



(1 + Z−1 ) 2 1 + 0 .1 7 3 Z−2

Z−1 =

z −2 + 2 .4764 2 .4764z

−2

+1

=

 z −2 + 2 .4 7 6 4  1 +  2 .4 7 6 4z −2 + 1 

2

 z −2 + 2 .4 7 6 4  1+ −2  2 .4 7 6 4z + 1 

2

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Conception des filtres récursifs



307

7.8 Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons commencé par présenter les méthodes de conception des fonctions de transfert appartenant au domaine S de Butterworth et de Tchebycheff. Nous avons traité ensuite de la manière dont la méthode de la réponse impulsionnelle invariante peut être utilisée pour transformer une fonction de transfert quelconque t(s) appartenant au domaine S en fonction de transfert H(z) appartenant au domaine Z ayant une réponse impulsionnelle qui est une approximation de celle de t(s). La transformation bilinéaire a aussi été étudiée. Un algorithme pouvant servir à l’appliquer a été présenté. La mise en œuvre de la transformation bilinéaire pour la conception de fonctions de transfert appartenant au domaine Z ayant des caractéristiques données a par la suite été étudiée. Les formules de transformation de fonctions de transfert appartenant au domaine Z de type passe-bas en fonctions de transfert passebande et coupe-bande ont été présentées 7.9

Exercices et problèmes

P7.1 Obtenir l’ordre n, la fonction de transfert t(s) et la pulsation de coupure

ΩC d’un filtre analogique passe-bas de Butterworth dont les spécifications sont données ci-dessous. S1. Atténuation Ap ≤ 0.87 dB à Ωp = 645 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 23 dB à Ωq = 2127 rad/s.

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P7.2 Obtenir l’ordre n et la fonction de transfert t(s) d’un filtre analo-

gique passe-haut de Butterworth, dont les spécifications sont données ci-dessous. S1. Atténuation Ap ≤ 3 dB à Ω'p = 3127 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 27 dB à Ω'q = 724 rad/s.

P7.3 Obtenir l’ordre n et la fonction de transfert t(s) d’un filtre analogique

passe-bande de Butterworth dont les spécifications sont données ci-dessous. S1. Bande passante B = 143 rad/s. S2. Amplitude maximale à Ω'0 = 2144 rad/s. S3. Atténuation Aq ≥ 17.6 dB à Ω'q = 5000 rad/s.

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308 Traitement numérique des signaux

P7.4 Obtenir l’ordre n et la fonction de transfert t(s) d’un filtre analogique

coupe-bande de Butterworth dont les spécifications sont données ci-dessous. S1. Atténuation Ap = 3 dB à Ω'p1 = 1263 rad/s. S2. Pulsation de rejet Ω’0 = 1500 rad/s. S3. Atténuation Aq ≥ 18.4 dB à Ω'q = 1640 rad/s.

P7.5 Obtenir l’ordre n, la fonction de transfert t(s) et la pulsation de coupure

ΩC d’un filtre analogique passe-bas de Tchebycheff dont les spécifications sont données ci-dessous. S1. Ondulation Ap = 1 dB pour 0 ≤ Ω ≤ Ωp = 645 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 32 dB à Ωq = 3345 rad/s.

P7.6 Obtenir l’ordre n et la fonction de transfert t(s) d’un filtre analogique

passe-haut de Tchebycheff dont les spécifications sont données ci-dessous. S1. Ondulation Ap = 1 dB pour Ω'p = 3000 rad/s ≤ Ω≤ ∞. S2. Atténuation Aq ≥ 42 dB à Ω'q = 568 rad/s.

P7.7 Obtenir l’ordre n et la fonction de transfert t(s) d’un filtre analogique

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passe-bande de Tchebycheff dont les spécifications sont données ci-dessous. S1. Ondulation de Ap = 1 dB pour Ω’p1 = 1250 rad/s ≤ Ω' ≤ Ω'p2 = 1500 rad/s. S1. Atténuation Aq ≥ 50 dB à Ω'q = 4000 rad/s.

P7.8 Obtenir l’ordre n et la fonction de transfert t(s) d’un filtre analogique

coupe-bande de Tchebycheff dont les spécifications sont données ci-dessous.

S1. Ondulation de Ap = 1 dB pour |Ω'| ≤ Ω'p1 = 2000 rad/s ainsi que pour |Ω'| ≥ Ω'p2 = 4000 rad/s. S2. Atténuation Aq ≥ 26 dB à Ω'q = 2550 rad/s.

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Conception des filtres récursifs



309

P7.9 Utiliser la transformation bilinéaire pour démontrer les équations 5.4.3

et 5.4.4 du chapitre 5.

P7.10 Obtenir les fonctions de transfert des filtres numériques (du domaine Z)

qui répondent aux spécifications données dans les problèmes P7.1 à P7.8 en utilisant : a. La méthode de la réponse impulsionnelle invariante. b. La méthode de la transformation bilinéaire.

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La fréquence d’échantillonnage est 2000 Hz.

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8

Conception des filtres non récursifs

8.1 Introduction

Contrairement aux fonctions de transfert du domaine Z de type RII, les fonctions de transfert de type RIF n’ont pas d’équivalent dans le domaine S. Elles ne peuvent donc pas être obtenues par transformation des fonctions de transfert de ce domaine. Ainsi, les méthodes de conception des fonctions de transfert de type RIF leur sont propres.

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Dans ce chapitre, nous étudierons quelques-unes de ces méthodes choisies parmi celles qui sont le plus couramment utilisées. Nous commencerons par l’étude de la méthode fondée sur l’analyse de Fourier et l’usage de fonctions dénommées fenêtres temporelles ou plus simplement fenêtres. Cette méthode est analytique et peut être utilisée sans avoir nécessairement recours à un soutien informatique. Nous étudierons ensuite la méthode de l’échantillonnage en fréquence. D’autres méthodes plus algorithmiques qui requièrent l’usage d’ordinateurs seront aussi exposées. 8.2

Méthode des fenêtres

Si la réponse fréquentielle idéale et non causale requise H INC(ejw), –p ≤ w ≤ p, la TFCI d’un signal discret donne la réponse impulsionnelle idéale et non causale hINC(m) correspondante selon :

h INC ( m ) =

1 2π

π

∫− π H INC ( e

jω

)e jmω dω

(8.2.1a)



De plus, la TFC de hINC(m) permet d’écrire :

H INC ( e jω ) =

M

∑

m = −M

h INC ( m )e − jmω

M→∞



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(8.2.1b)

312 Traitement numérique des signaux

Nous supposerons dans ce qui suit que HINC(ejw) est une fonction réelle et paire de w : HINC(ejw) = HINC(e –jw), ce qui implique, en utilisant les propriétés de la transformée de Fourier, que hINC(m) est aussi une fonction réelle et paire de m : hINC(m) = hINC(–m). La fonction de transfert HINC(z), dont la réponse fréquentielle est HINC(ejw), est donnée par la transformée en Z de h INC(m), c’est-à-dire par : H INC ( z ) =

Y( z ) = X( z )

M

∑

m = −M

h INC ( m )z − m

M→∞

= . . . + h INC ( −m )z m + . . . + h INC ( −1)z 1 + h( 0 ) + h INC (1)z −1 + . . . + h INC ( m )z − m + . . .



(8.2.2)

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Cette fonction de transfert est idéale et non causale, ce qui est indiqué par l’indice INC. Elle comporte un nombre infini de termes. Un système caractérisé par la fonction de transfert de l’équation 8.2.2 aurait la réponse fréquentielle idéale spécifiée par l’équation 8.2.1. Un tel système est évidemment irréalisable en raison du nombre infini de multiplicateurs et de délais unités requis. Il faut donc tronquer la fonction de transfert idéale, à nombre fini de termes, pour la rendre réalisable. Le système ainsi obtenu a alors une réponse fréquentielle qui est une approximation de la réponse fréquentielle idéale spécifiée par l’équation 8.2.1. Nous effectuerons cette troncature de façon symétrique en ne conservant que les termes pour lesquels –M ≤ m ≤ M, où M est un entier fini. Ceci équivaut à multiplier la réponse impulsionnelle h INC(n) du système par une fonction fenêtre (ou fenêtre) rectangulaire de longueur (2M + 1). On obtient alors la fonction de transfert HNC(z) qui est une approximation de la fonction de transfert idéale HINC(z). Elle est donnée par l’équation 8.2.3 :

H NC ( z ) =

Y( z ) = X( z )

M

∑

m = −M

h NC ( m )z − m ,

M