Topicos En Macroeconomia Dinamica

Citation preview

UNIVERSIDAD CATÓLICA SANTO TORIBIO DE MOGROVEJO

FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES ESCUELA DE ECONOMÍA

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

DR. CIRO EDUARDO BAZÁN NAVARRO ABRIL DE 2014 Url: https://universidadcatolicasantotoribiodemogrovejo.academia.edu/CiroEduardoBaz%C3%A1nNavarro

Chiclayo-Perú

CONTENIDO Introducción

XI

CAPÍTULO I: El modelo IS-LM: Una versión dinámica lineal Supuestos del modelo

1

Resolución del modelo

4

Análisis cualitativo

4

Caso 1: espiral convergente (autovalores complejo conjugados)

5

Análisis cuantitativo

12

Efectos de un incremento en el stock nominal de dinero

14

Efectos de largo plazo

15

Efectos de corto y mediano plazo

16

Simulación numérica

17

Análisis cualitativo

22

Caso 2: nodo impropio convergente (autovalores reales distintos)

22

Análisis cuantitativo

26

Efectos de un incremento en el stock nominal de dinero

27

Efectos de largo plazo

28

Efectos de corto y mediano plazo

28

Simulación numérica

29

Análisis cualitativo

34

Caso 3: nodo impropio convergente (autovalores reales repetidos)

34

Análisis cuantitativo

38

Efectos de un incremento en el stock nominal de dinero

40

Efectos de largo plazo

40

Efectos de corto y mediano plazo

41

Simulación numérica

41

Conclusiones

47

Bibliografía

48

CAPÍTULO II: Modelo dinámico de oferta y demanda agregadas Supuestos del modelo

49

Resolución del modelo

53

Análisis cualitativo

54

Caso 1: espiral convergente (autovalores complejo conjugados)

54

Análisis cuantitativo

59

Shock de política monetaria expansiva: Efectos de un aumento de la tasa de crecimiento el stock nominal de dinero

62

Efectos de largo plazo

62

Efectos de corto y mediano plazo

63

Shock de oferta negativo: Efectos de una disminución de la renta real natural

63

Efectos de largo plazo

63

Efectos de corto y mediano plazo

64

Shock de política fiscal: Efectos de una disminución de la tasa

marginal

impositiva y un incremento del gasto público simultáneos

64

Efectos de largo plazo

65

Efectos de corto y mediano plazo

65

Simulación numérica

66

Simulación del shock de política monetaria expansiva

69

Simulación del shock de oferta negativo

72

Simulación del shock de política fiscal

74

Análisis cualitativo

77

Caso 2: nodo impropio convergente (autovalores reales distintos)

77

Análisis cuantitativo

80

Shock de política monetaria contractiva: Efectos de un decremento de la tasa de crecimiento el stock nominal de dinero

81

Efectos de largo plazo

82

Efectos de corto y mediano plazo

82

Shock de oferta negativo: Efectos de una disminución de la renta real natural

83

Efectos de largo plazo

83

IV

Efectos de corto y mediano plazo

84

Shock de política fiscal: Efectos de una disminución de la tasa

marginal

impositiva y un incremento del gasto público simultáneos

84

Efectos de largo plazo

84

Efectos de corto y mediano plazo

84

Simulación numérica

86

Simulación del shock de política monetaria contractiva

90

Simulación del shock de oferta negativo

93

Simulación del shock de política fiscal

95

Análisis cualitativo

98

Caso 3: centro marginalmente estable (autovalores complejo conjugados)

98

Análisis cuantitativo

101

Simulación numérica

103

Conclusiones

106

Bibliografía

107

CAPÍTULO III: Modelo de inflación en una economía cerrada Supuestos del modelo

109

Resolución del modelo

113

Análisis cualitativo

114

Caso 1: espiral convergente (autovalores complejo conjugados)

115

Análisis cuantitativo

121

Efectos de un incremento en el stock nominal de dinero

124

Efectos de largo plazo

124

Efectos de corto y mediano plazo

125

Simulación numérica

126

Simulación del shock de política monetaria expansiva

129

Análisis cualitativo

131

Caso 2: nodo impropio convergente (autovalores reales distintos)

131

Análisis cuantitativo

138

Efectos de un incremento en el stock nominal de dinero

140

V

Efectos de largo plazo

140

Efectos de corto y mediano plazo

141

Simulación numérica

142

Simulación del shock de política monetaria expansiva

145

Análisis cualitativo

147

Caso 3: centro marginalmente estable (autovalores complejo conjugados)

147

Análisis cuantitativo

151

Simulación numérica

153

Conclusiones

156

Bibliografía

157

CAPÍTULO IV: Modelo de Overshooting cambiario con precios rígidos a corto plazo y tipo de cambio flexible Supuestos del modelo

159

Resolución del modelo

166

Análisis cualitativo

167

Análisis cuantitativo

173

Efectos de corto plazo de un cambio exógeno permanente y no anticipado

176

Efectos de mediano plazo de un cambio exógeno permanente y no anticipado

179

Efectos de un aumento sorpresivo y permanente del stock nominal de dinero

181

Efectos de corto plazo

182

Efectos de mediano plazo

183

Efectos de largo plazo

184

Simulación numérica

186

Conclusiones

192

Bibliografía

193

CAPÍTULO V: El modelo de crecimiento de HarrodDomar Supuestos del modelo

195

Funcionamiento del modelo

199

VI

Análisis cualitativo

202

Análisis cuantitativo Simulación numérica

204 207

Conclusiones

210

Anexo 1

211

Anexo 2

212

Anexo 3

212

Bibliografía

213

CAPÍTULO VI: Modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan Supuestos del modelo

215

Análisis del modelo en variables per cápita

217

Análisis dinámico cualitativo

219

Tasas de crecimiento en el estado estacionario: crecimiento equilibrado Estática comparativa La regla de oro de acumulación del capital

221 224 225

Dinámica durante el periodo de transición hacia el estado estacionario

229

Experimentos de política económica

232

Implicaciones cuantitativas

234

Convergencia

238

El progreso tecnológico

241

El modelo de Solow-Swan con progreso tecnológico exógeno

244

La contabilidad del crecimiento: aspectos analíticos

249

Análisis cuantitativo (tecnología de producción tipo Cobb-Douglas)

252

Un caso numérico (sin progreso tecnológico)

263

Conclusiones

267

Anexo 1: Función homogénea

268

Anexo 2: Tasa de crecimiento instantánea del stock de capital

268

Anexo 3: Teorema de Euler

268

Anexo 4: Optimización de las empresas

270

Anexo 5: Velocidad de convergencia

271

VII

Anexo 6: Teorema de Taylor

273

Anexo 7: Tiempo que tarda en recorrer una variable en recorrer la mitad de la distancia que hay entre su estado estacionario y su valor inicial

274

Anexo 8: La función de producción tipo Cobb-Douglas

276

Ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden con coeficientes coeficientes variables

278

Bibliografía

280

CAPÍTULO VII: El modelo de crecimiento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans Supuestos del modelo

283

a) La economía centralizada

286

La regla de Keynes-Ramsey

289

La condición de transversalidad

296

Funciones de utilidad especialmente útiles

296

Estado estacionario

298

La regla de oro modificada

298

Dinámica del modelo

299

Descarte de sendas explosivas

301

Comportamiento local alrededor del estado estacionario

302

Simulación numérica

306

b) La economía descentralizada

312

La condición de no admitir el juego de Ponzi

315

El equilibrio descentralizado

319

El papel de las expectativas

322

El gobierno en la economía descentralizada

323

Cambios de presupuesto equilibrado en el gasto del gobierno

323

Simulación numérica

325

Financiamiento a través de la deuda

331

Impuestos distorsionadores del capital

333

Simulación numérica

336

Conclusiones

341

VIII

~

Anexo 1: condiciones necesarias de primer orden utilizando Ht y H t : caso de economía centralizada

343

Anexo 2: regla de oro modificada: caso en el que hay progreso tecnológico y la función de utilidad es CRRA

344

Anexo 3: elasticidad de sustitución intertemporal instantánea

347

Anexo 4: Cálculo de

c 0 dado k 0 que conduzca al estado estacionario

348

Anexo 5: deducción de la restricción presupuestaria dinámica

352

Bibliografía

353

CAPÍTULO VIII: Ciclos económicos reales: un modelo básico Procedimiento general 355 Supuestos del modelo 355 Formulación matemática del modelo 357 Tecnología 357 Restricción de recursos de la economía 358 Demanda de los factores de producción 358 Preferencias 359 Decisión bajo incertidumbre 361 Condición de transversalidad 363 Solución del modelo 364 Equilibrio competititvo 364 Ecuaciones 365 Linealización y estado estable del modelo 366 Ley de movimiento del equilibrio recursivo vía el método de coeficientes indeterminados 370 Calibración 371 Análisis impulso-respuesta utilizando Excel 375 Simulación del modelo utilizando Excel 379 Conclusiones 387 Bibliografía 388

IX

X

Introducción En este manual se analizan sistemas dinámicos continuos y discretos (en el caso del modelo de ciclos económicos reales: RBC), lineales y no lineales (el modelo de crecimiento óptimo de Ramsey-Cass-Koopmans), determinísticos y estocásticos (modelo RBC) tanto desde una perspectiva cuantitativa como desde un enfoque cualitativo (utilizando diagramas de fase) aplicados a la macroeconomía y al crecimiento económico. En esta versión, preliminar e incompleta, he intentado compilar algunos modelos que he ido desarrollando en las asignaturas de macroeconomía dinámica y de modelos de desarrollo y crecimiento económico durante los últimos cinco años en la escuela de economía de la Facultad de Ciencias Empresariales de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo (USAT). En el primer capítulo se hace un estudio de una versión lineal y determinística del modelo IS-LM dinámico. En el segundo capítulo se estudia un modelo dinámico de oferta y demanda agregadas, en el que se supone que los agentes económicos forman sus expectativas sobre la inflación bajo un marco de expectativas adaptativas. En el siguiente capítulo analizo un modelo dinámico de inflación en una economía cerrada (el cuál ha sido linealizado para facilitar su desarrollo). A continuación se efectúa el estudio de una versión dinámica del famoso modelo de overshooting cambiario desarrollado por Dornbush. A partir del quinto capítulo se abordan modelos de crecimiento económico determinísticos y estocásticos (en el último capítulo). En el capítulo 5 se efectúa un análisis del modelo de crecimiento económico actualmente conocido como modelo de crecimiento de Harrod-Domar. En el sexto capítulo se examina la estabilidad dinámica del modelo de crecimiento neoclásico de Solow-Swan con y sin progreso tecnológico. En la penúltima sección, siguiendo casi al pie de la letra a Blanchard y Fisher (1989), se desarrolla el modelo de crecimiento intertemporal óptimo de Ramsey-Cass- Koopmans, tanto desde una perspectiva centralizada como desde una perspectiva descentralizada (en este último caso se incorpora al sector gubernamental). Finalmente, se efectúa el estudio de un modelo dinámico de equilibrio general estocástico elemental: en concreto se desarrolla una versión básica de un modelo de ciclos económicos reales (RBC). Para ello hago uso de Microsoft Excel para efectuar las simulaciones y el análisis de las

fluctuaciones cíclicas que experimentan diversas variables económicas respecto al valor que tenían en el estado estacionario antes de producirse una perturbación aleatoria tecnológica. La principal característica de estos apuntes radica en que se ha realizado un minucioso análisis teórico-matemático de cada uno de los modelos aquí abordados (el cual puede incluir, dependiendo del modelo, el análisis de los mecanismos de transferencia, la dinámica de la transición hacia el estado estacionario de las variables endógenas, y los efectos de corto, mediano y largo plazo de perturbaciones). Asimismo, para complementar el análisis anterior se han efectuado simulaciones numéricas en Microsoft Excel y/o en MATLAB 7.12.0.

CIRO EDUARDO BAZÁN NAVARRO Dr. en Economía. Universidad de Las Palmas de Gran Canaria (ULPGC) - Las Palmas de Gran Canaria. España. Profesor de la Escuela de Economía de la Universidad Católica Santo Toribio de Mogrovejo (USAT) - Chiclayo. Perú. Abril de 2014.

XII

El modelo IS - LM: Una versión dinámica lineal La versión estática del modelo IS (Investment, Save) - LM (Liquidity preference, Money), que integra mercados financieros (de bonos y dinero) y mercados de bienes y servicios, fue planteada por Hicks (1937) para sintetizar los contenidos analíticos de la Teoría General de Keynes. En su forma estática, la curva IS representa el lugar geométrico de combinaciones de la tasa de interés y la renta real que conducen al equilibrio en el mercado de bienes y servicios (donde la inversión iguala al ahorro), mientras que la curva LM representa el lugar geométrico de combinaciones de la tasa de interés y la renta real que conducen al equilibrio en el mercado de dinero1 (donde las preferencias de liquidez igualan a la oferta de dinero). El equilibrio global2 en estos mercados se obtiene cuando el mercado de bienes y servicios y el mercado de dinero simultáneamente están en equilibrio (el equilibrio global en dichos mercados se da en el punto de corte entre las curvas IS y LM). En esta sección vamos a analizar este modelo desde una perspectiva dinámica, para una economía cerrada y con precios fijos u oferta agregada con elasticidad infinita a ese nivel dado de precios. Para ello, utilizando Matlab 7.12.0, vamos a efectuar una simulación numérica de una versión lineal del modelo. Finalmente, analizaremos (para los tres casos aquí presentados) la estabilidad del modelo tras una perturbación externa no anticipada (un incremento en el stock nominal de dinero). Supuestos del modelo: 1. 2.

Economía cerrada. Se supone que las exportaciones netas son nulas. Mercado real o de bienes y servicios: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones:

D t  C t  I t  G  O t  Yt D  O t  t

(1)

La primera ecuación de (1) nos dice que la demanda agregada de bienes y servicios, “ D t ”, es igual al gasto real, que viene dado por la suma del gasto en consumo, “ C t ”, el gasto en inversión, “ I t ”, y el gasto público (consumo e inversión planeados por el Estado: compras de bienes y servicios por parte del Estado), “ G ”, que se considera exógenamente dado. La segunda ecuación nos dice que la oferta agregada de bienes y servicios, “ O t ”, no es más que la renta real (producción agregada de bienes y servicios), “ Yt ”. La tercera ecuación de (1) no es más que la condición de equilibrio dinámico en el mercado de bienes y servicios. Sustituyendo la primera y la segunda ecuación en la tercera se obtiene que:

Yt  C t  I t  G

1

(2)

Por la Ley de Walras, si el mercado de dinero y el mercado de bienes y servicios están en equilibrio, entonces el mercado de bonos también estará en equilibrio. Por tanto, tal como lo hizo Keynes (1937), será suficiente trabajar con dos de los tres mercados: el mercado de dinero y el mercado de bienes y servicios. 2 Aunque el modelo IS-LM es un modelo de equilibrio general del mercado financiero (mercado de bonos y de dinero) y del mercado de bienes y servicios, que permite determinar la demanda agregada de bienes y servicios, dicho equilibrio no representa el equilibrio general de la economía, ya que para ello sería necesario incorporar en el modelo la función de producción y el mercado de trabajo (esto es, los factores que determinan la oferta agregada de bienes y servicios de la economía).

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

La ecuación (2), la condición de equilibrio dinámico en el mercado de bienes y servicios, nos dice que, en cada instante, la renta real deberá ser igual al gasto real. Si suponemos que el consumo es una fracción de la renta disponible (suponemos que las transferencias gubernamentales son nulas), Yt  Tt , tenemos que: Ct  c0  cYt  Tt , c0  0, 0  c  1

(3)

Donde “c” es la propensión marginal a consumir, c 0 es el consumo autónomo o de subsistencia (consumo mínimo que la gente incurrirá independientemente de la renta), y “ Tt ” son los impuestos. Supondremos que los impuestos, Tt , son una función lineal de la renta. Esto es: Tt  0  Yt ,  0  0

0   1

(4)

Donde “τ” es la tasa marginal impositiva, y  0 es la tributación autónoma. Sustituyendo (4) en (3) resulta:

C t  c 0  cYt  0  Yt   c 0  c1  Yt  c0

(5)

Por otro lado, de (2) tenemos que:

I t  Yt  C t  G



(6)







Sumando y restando los impuestos a la expresión (6) tenemos que:

I t  Yt  Tt   Tt  G  C t  Yt  Tt  C t   Tt  G  Sprivado  Spúblico  St (7) t t It  Yt  0  Yt  c0  c1  Yt  c0   0  Yt  G 

Sustituyendo (4) y (5) en (7) resulta que:



I t  1  c1  Yt   1  c 0  c 0  0  Yt  G



I t  s1  Yt   s0  c 0  0  Yt  G





t St       I t  s1  Yt  0   c0  0  Yt  G  St , privado

S público





0  s  1  c  1 (8)

Dónde: Sprivado es el ahorro privado, que viene dado por la diferencia entre la renta t disponible y el consumo, Spúblico es el ahorro público, que viene dado por la t diferencia entre los impuestos y el gasto público, y “s” es la propensión marginal al ahorro. La ecuación (5) no es más que una versión equivalente de la ecuación (2). Dicha ecuación nos dice que en una economía cerrada, en cada instante, el equilibrio dinámico quedará garantizado siempre que la inversión, I t , iguale al ahorro, St . 2

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por otro lado, supondremos que la función de inversión depende lineal e inversamente de la tasa de interés nominal (asumimos que la inflación esperada es nula), “ rt ”, tal como sigue: I t  I 0  rt ; I 0  0

0

(9)

Donde “µ” mide la respuesta de la inversión a la tasa de interés (cuando la tasa de interés es elevada el crédito será caro, y en consecuencia la inversión será relativamente baja), e I 0 es la inversión autónoma (independiente de la renta y de la tasa de interés). Finalmente, en este modelo se supondrá que, en cada instante, la renta “ Yt ” se ajusta de forma lenta (no instantáneamente) de acuerdo al exceso de la demandada de bienes y servicios (o lo que es lo mismo, de acuerdo al exceso de la inversión “ I t ” respecto al ahorro “ S t ”). En concreto, se supondrá que:

Y t  c1 D t  O t   c1 I t  St , c1  0 

(10)

Donde “ c1 ” es la velocidad de ajuste de la renta real (la producción agregada de bienes y servicios) ante excesos de demanda de bienes y servicios. Reemplazando (8) y (9) en (10) obtenemos:



Y t  c1 c1    1Yt  c1rt  c1 I 0  G  c 0  c 0 

3.



(11)

Mercado de dinero: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones: Ldt  Yt  rt ,   0    0  o L t  M P  m , m  0 (12)  d o  L L  t t

Dónde “θ” es la sensibilidad de la demanda de dinero por motivos transaccionales (dinero empleado como medio de cambio en todas las transacciones de bienes y servicios), y “γ” es la sensibilidad de la demanda de dinero por motivos especulativos (sensibilidad de la demanda de dinero a cambios en la tasa de interés). La primera ecuación nos dice que la demanda real de dinero (también conocida como preferencias de liquidez o demanda de saldos monetarios reales), “ Ldt ”, es una función lineal que depende directamente de la renta, “ Yt ” (cuando la cantidad de producción agregada es elevada la cantidad de dinero necesaria para pagar los factores de producción y los productos finales es también elevada y viceversa), e inversamente de la tasa de interés nominal, “ rt ” (cuando la tasa de interés es elevada resulta caro tener gran cantidad de dinero en efectivo. Además, el precio de mercado de los bonos es relativamente bajo en esta situación. Esto estimulará la compra de bonos ya que los compradores esperan un incremento en el precio de estos: motivos especulativos.). La segunda ecuación nos dice que la oferta real de dinero, “ Lot  m ”, es exógena (el stock nominal de dinero, “ M ”, está exógenamente determinado por el Banco Central y el índice de precios, “ P ”, se asume constante). La tercera ecuación no es más que la condición de equilibrio dinámico en el mercado financiero. Sustituyendo la primera y la segunda ecuación en la tercera se obtiene que: Yt  rt  m

3

(13)

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

La ecuación (13), la condición de equilibrio dinámico en el mercado financiero, nos dice que, en cada instante, la demanda real de dinero (las preferencias de liquidez) deberá ser igual a la oferta real de dinero. Finalmente, se supondrá que, en cada instante, la tasa de interés nominal “ rt ” se ajusta de forma lenta (no instantáneamente) de acuerdo al exceso de la demandada de dinero. Esto es: 





r t  c 2 Ldt  Lot , c 2  0

(14)

Donde “ c 2 ” es la velocidad de ajuste de la tasa de interés ante excesos de demanda de dinero. Reemplazando las dos primeras ecuaciones de (12) en (14) obtenemos: r t  c 2 Yt  rt  m   c 2Yt  c 2 rt  mc 2 

(15)

Resolución del modelo: En este modelo los parámetros son: c1 , c 2 , , , , . Las variables exógenas son: m, G. Mientras que las variables endógenas son: Yt , rt . En consecuencia, el sistema de ecuaciones diferenciales que define el comportamiento dinámico de este modelo, expresado en forma matricial, viene dado por las ecuaciones (11) y (15):





    t c1 c1    1  c1   Yt   c1 I 0  G  c 0  c 0  (16)  Y     r    mc 2  r t   t   c 2   c2        X   X

b

A

Análisis cualitativo Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo siguiente:    trA  c1 c1     1  c 2  0   A    1  c1    c1c 2  0    trA2  4 A  c c1     1  c 2  4c c   1  c1      1 2 1 2    

17

Dado que A  0, entonces queda garantizada la existencia del punto de equilibrio del sistema (16), que calcularemos a través de:

 Y E  1  E   A b r 

4

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

   m  I0  G  c0  c0           1  c1         Y E    Y E m, G , I0 , c0 , 0 , , , , c,    E   m r      r E m, G , I , c ,  , , , , c,               I G c c c 1 1 0 0 0  0 0 0             1  c1         Imponiendo condiciones de no negatividad a (18) se tiene que:



 



 

  Y E  0  I0  G  c0  c0   m  0     m  E 1  c1    0 r 0 I G c c         0 0 0  

18

19

De (19), la condición que garantizará la no negatividad de los valores de equilibrio de las variables endógenas del modelo es:

I 0  G  c 0  c 0 

m 

1  c1    0

(20)

De acuerdo a los signos asumidos de todos los parámetros del modelo, en este modelo podemos encontrar tres casos (que surgen al asumir el signo del discriminante) en los que el sistema sea estable. Los casos en cuestión son:

 trA  c c1     1  c  0 1 2   Caso1: Espiral  A    1  c1     c1 c 2  0     2   c1 c1    1  c1   4c1c 2   1  c1       0    El polinomio característico viene dado por:

p   A  I  2  trA  A  0

Dado que:

  0         

5

23

22

21

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por tanto:  trA    trA  i  trA   trA 1       2 2 2 2   trA    trA  i  trA   trA      2  2 2 2 2 

 2



2

i    i i    i

24

Dónde:   trA c1 c1     1  c 2 0    2 2     2  4c1c 2   1  c1       c1 c1     1  c1         0   2 2 2     2   2  A  c1 c 2   1  c1      0 

25

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es una espiral estable (convergente).

 El autovector v1 asociado a 1    i se calculará a partir de:  c1 c1    1    i   c2



v1    a  0   c1       c 2    i  b 0

26

De donde:   c1 c1    1    i     a  c1 c1    1    i  a  bc1  0  b  c1  

27 

La ecuación (27) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (26): c 2 a  c 2    i b  0  b 

6

c2

c 2    i

a

CIRO BAZÁN b

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

c 2    i   ab c 2    i c 2    i  c2

b

c22  c2  c2 i

 2c22  2c2   2  2

c 22  c 2   c 2  i

c 2   2   2

a

28

a

c1 1  c1    trA  c 2 

De la tercera ecuación de (24) tenemos que:

(29)

Sustituyendo (29) en la última expresión de (25) resulta:

 2   2  c1c 2  trA  c 2 c 2  c1c 2  c 2 trA   2 c 22

Reemplazando (30) en (28) se obtiene: b

c2     i

2  c1  trA

De la primera ecuación de (25) tenemos que:

trA  2

Sustituyendo (32) en (31) tenemos: b

31

32

c 2    i c1

a

a

33

c 2  trA  c1 c1    1  2  c1 c1    1

De (29) y por (32) tenemos que:

34

Reemplazando (34) en (33) tenemos que:

  c1 c1    1    i  a b  c1

35

Por tanto, haciendo a  1 tenemos que:

1      i  v1   c1 c1    1     c1  c1 

36

1      i  v 2   c1 c1    1      c1  c 1 

37 

 El autovector v 2 asociado a

 2    i

 será el conjugado de v1 , esto es:

7

30

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas (las curvas que determinan las combinaciones de renta real y tasa de interés que equilibran el mercado financiero (LM) y el mercado de bienes y servicios (IS) respectivamente) a partir del sistema de ecuaciones (16). Esto es:





       IS Y , r Y t  c1 c1     1Yt  c1rt  c1 I 0  G  c 0  c 0  0  t t       LM  Y , r  r t  c Y  c r  mc  0 t t 2 t 2 t 2   

38



De donde la IS, esto es la ceroclina Y t  0, viene dada por:

           I0  G  c0  c0   c1    1   rt    Yt         

39



Mientras que la LM, la ceroclina r t  0, viene dada por:        m   rt   Yt          

40

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En  primer lugar, vamos a graficar la ceroclina Y t  0. De (39), por los supuestos adoptados, se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta que tiene pendiente negativa e igual a c1    1  , y que cortará al eje de la tasa de interés (eje vertical en el plano de fase rt  Yt ) en I 0  G  c 0  c0    0 siempre que se verifique (20). Además, si estando en un 

punto de la ceroclina Y t  0 como el punto A, la tasa de interés aumenta y el nivel de renta real (producto agregado) permanece constante, pasando a un punto encima de la  ceroclina Y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la primera ecuación del sistema (38), al haber aumentado el valor de la tasa de interés, se verifica que en un punto encima de dicha ceroclina, tal como el punto B,  Y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la renta real (producto  agregado) irá disminuyendo. En consecuencia, encima de la ceroclina Y t  0, tal como se aprecia en la figura 1, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha región  del plano de fase se verifica que Y t  0. De este análisis se desprende que encima de la  IS, al ser Y t  0, entonces hay un exceso de oferta en el mercado de bienes y servicios (EOByS). En consecuencia, para que el mercado se equilibre, el nivel de renta (producto agregado) deberá disminuir conforme transcurra el tiempo. Asimismo, debajo de la IS,  al ser Y t  0, hay un exceso de demanda en el mercado de bienes y servicios (EDByS). En consecuencia, para que el mercado se equilibre, el nivel de renta (producto agregado) deberá aumentar conforme transcurra el tiempo.

8

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

rt

rB

B

rA

A



IS : Y t  0

EOByS : Dt EDByS : Dt

 Yt   0  Y t  0 

 Yt   0  Y t  0 

YA  YB

Yt

Figura 1: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de renta real (recta IS) 

A continuación vamos a graficar la ceroclina rt  0. De (39), por los supuestos adoptados, se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente positiva e igual a   , mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje de la tasa de interés) 

será negativo e igual a  m  . Además, si estando en un punto de la ceroclina rt  0 como el punto A, la tasa de interés disminuye y el nivel de la renta real (producto agregado) permanece constante, pasando a un punto debajo de dicha ceroclina, tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuación del sistema (37), al haber disminuido el valor de la tasa de interés, se verifica que en un  punto debajo de dicha ceroclina, tal como el punto B, rt  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la tasa de interés irá aumentando. En consecuencia,  debajo de la ceroclina rt  0, tal como se aprecia en la figura 2, las líneas de fuerza dinámicas serán verticales apuntarán hacia arriba. Encima de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán verticales y apuntarán hacia abajo ya que en dicha región del  plano de fase se verifica que rt  0. De este análisis se desprende que encima de la recta 

LM, al ser r t  0, entonces hay un exceso de oferta de dinero (EOD). En consecuencia, para que el mercado se equilibre, el nivel de tasa de interés deberá disminuir conforme  transcurra el tiempo. Asimismo, debajo de la recta LM, al ser r t  0, hay un exceso de demanda de dinero (EDD). En consecuencia, para que el mercado se equilibre, el nivel de la tasa de interés deberá aumentar conforme transcurra el tiempo.

9

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA



LM : r t  0

rt

EOD : Ldt





 Lot  0  r t  0

rA

A

rB

B

EDD : Ldt





 Lot  0  r t  0

YA  YB

Yt

Figura 2: Equilibrio dinámico parcial para la tasa de interés (recta LM) Superponiendo las ceroclinas de la renta real (IS) y de la tasa de interés (LM), y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 3. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el retrato de fase es una espiral convergente hacia el punto de equilibrio E. rt

EOD R3 :  EOByS

IS



rt  0 EDD R2 :  EOByS

EOD R4 :  EDByS

E

rE



Yt  0

r0

EDD R1 :  EDByS

I LM

Y0

YE

Figura 3: Retrato de fase de la economía

10

Yt

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por otro lado, en la figura 3 también se aprecia que las ceroclinas dividen el primer cuadrante del espacio de fase en cuatro regiones en las que la economía está fuera del equilibrio simultáneo en ambos mercados. En la región R1 existe un exceso de demanda   de dinero (EDD), r t  0, y un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS), Y t  0. En esta región, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) y la tasa de interés deberán subir conforme transcurra el  tiempo. En la región R2 existe un exceso de demanda de dinero (EDD), rt  0, y un 

exceso de oferta de bienes y servicios (EOByS), Yt  0. En esta región, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) deberá disminuir y la tasa de interés deberá subir conforme transcurra el tiempo. En la región  R3 existe un exceso de oferta de dinero (EOD), rt  0, y un exceso de oferta de bienes y 

servicios (EOByS), Yt  0. En esta región, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) y la tasa de interés deberán bajar conforme transcurra el tiempo. Mientras que en la región R4 existe un exceso de oferta   de dinero (EOD), rt  0, y un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS), Y t  0. En esta región, para que ambos mercados se ajusten hacia el equilibrio global, la renta real (producto agregado) deberá subir y la tasa de interés deberá bajar conforme transcurra el tiempo. Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I del plano de fase, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (espiral) y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. En el corto y mediano plazos, tanto la tasa de interés como la renta real tendrán un comportamiento oscilante y convergente alrededor de sus valores de equilibrio estacionarios.

Aunque en el punto I el mercado de dinero se encuentra en equilibrio (dado que dicho punto se encuentra sobre la LM), el mercado de bienes y servicios no lo está. Como el punto I está por debajo de la IS, entonces hay un exceso de demanda en el mercado de bienes y servicios (los consumidores están demandando una cantidad de bienes y servicios mayor a la cantidad que se está produciendo en la economía), entonces por  (10), Y  0, lo que significa que conforme transcurra el tiempo la renta real (producción agregada) aumentará para equilibrar el mercado de bienes y servicios. Este aumento en la renta real (producción agregada) generará que la demanda real de dinero, Ldt , se incremente, de acuerdo a la primera expresión de (12), generando un exceso de  demanda en el mercado monetario. Entonces, por (15), r  0, lo que significa que conforme transcurra el tiempo la tasa de interés aumentará para equilibrar este mercado. No obstante, de acuerdo a (9), el incremento de la tasa de interés hará que la inversión caiga, y esto a su vez hará que la demanda agregada de bienes y servicios disminuya, de acuerdo a la primera ecuación de (1). El proceso continuará conforme transcurra el tiempo hasta que ambos mercados alcancen el equilibrio global (E).

11

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producción agregada) y de la tasa de interés vienen dados por:                       2    c c 1  1 c 2    4c1c 2   1  c1     c1 c1    1  c1    t   Yt  Y E   1 2    e h1 cos   t   E  2   rt  r                                  2     4c1c 2   1  c1     c1c1    1  c1      h 2sen   t  2             

Dónde:

    h1  k1  v1  k 2  v 2      h 2  k1  v1  k 2  v 2 i

41

42

Reemplazando (36) y (37) en (42) resulta:

 k1  k 2      k 1  k 2   h 1   c1 c1     1    k1  k 2   i     c c 1 1      k 1  k 2 i      h 2   k 1  k 2  c1 c1     1    k 1  k 2 i    c1 c1     

43

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por y 0 , r0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (43), se tiene que:

 Y0  Y E  h1   E   r0  r 

44

Igualando (44) con la primera ecuación de (43) se tiene:

k 1  k 2  Y0  Y E  c1 c1    1   Y0  Y E  c1 r0  r E  k 1  k 2 i   



12







45

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA







Reemplazando (45) en la segunda ecuación de (43) resulta:



 c1 c1    1   Y0  Y E  c1 r0  r E     h2   2 2 E E    c1 c1    1   Y0  Y  c1 c1 c1    1   r0  r  c1 











      

46

Reemplazando (44) y (46) en (41) tenemos que:

Yt  Y E  e

c1 c 1  1 c2 2

   4c c   1  c1      c c1    1  c 2  1 2 1  1 t    E  Y Y cos   0 2      





   t    

  4c c   1  c1      c c1    1  c 2 1 2 1  1  c1 c1    1   Y0  Y  c1 r0  r    sen    2           4c c   1  c1      c c1    1  c 2  c1 c 1  1 c 2  1 2 1 1  t     E rt  r E  e 2 t   r0  r cos  2         



E









E



   t    

47





  4c c   1  c1      c c1    1  c 2 2 1 2 E E  1  1 2    c1 c 1    1   Y0  Y  c1 c1 c1    1   r0  r   sen   c1 2   







48     t    

Dónde Y E y r E vienen dados por (18). Sustituyendo (47) en (4), en (5), y en (8) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de los impuestos, el consumo, y la inversión (ahorro) respectivamente. De igual modo, reemplazando (48) en (9) podríamos también obtener la evolución temporal de la inversión. Sustituyendo el consumo y la inversión en (1) obtenemos la demanda de bienes y servicios a lo largo del tiempo. Reemplazando (47) y (48) en (12) obtenemos la evolución temporal de la demanda de dinero. En la figura 4 se puede apreciar el comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario.

13

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Yt

YE

Y0

t

Figura 4: Comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo En la figura 5 se puede apreciar el comportamiento de la tasa de interés a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la tasa de interés es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario. rt

rE

r0

t

Figura 5: Comportamiento de la tasa de interés a lo largo del tiempo Efectos de un incremento del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 6), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, ceteris paribus, entonces la única   ceroclina que se verá afectada será la ceroclina r t  0, ya que la ceroclina Y t  0, no depende de

m  M P.

el stock real e dinero

De (40), se aprecia que al aumentar M , estando “P” fijo, aumenta m  M P,

entonces la intersección de la ceroclina



rt  0

con el eje

vertical se hará más negativa. Por tanto, debido al incremento en m, la ceroclina 



rt  0

se desplazará hacia abajo sin modificar su pendiente y la ceroclina Y t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 6. 14

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de largo plazo: Por otro lado, se aprecia en la figura 6 que tras el incremento del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, se provocará un incremento en la renta real (producto agregado) y una caída en la tasa de interés. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria producirá un mayor nivel de renta real (producto agregado) y una menor tasa de interés. rt





E0

r0E

EOD R3 :  EOByS

rC r1E rB

rA

rt  0 m1 

rt  0 m0 

IS

E1

EOD R4 :  EDByS

 LM m 0 

 LM m1 

EDD R2 :  EOByS

C

A

B

EDD R1 :  EDByS

Yt

YA Y1E YC YB

Y0E



Yt  0

Figura 6: Retrato de fase de la economía tras el aumento del stock nominal de dinero De manera análoga, podemos verificar lo anterior determinando las derivadas estático comparativas de las componentes del nuevo equilibrio estacionario, E1, respecto a un incremento en el stock nominal de dinero, ceteris paribus. Derivando (18) respecto de m, se tiene que:

      Y m      1 c1          r E m   c1     1           1  c1     E

15

  0    0

49

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 6 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 6 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de interés convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. Además, tras el incremento en el stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting3) tanto de la tasa de interés (Punto A) como de la renta real (punto B) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Estando la economía en el punto E0, al incrementarse el stock nominal de dinero, se incrementa el stock real de dinero ya que se ha supuesto que los precios son fijos. Este  incremento produce un exceso de oferta de dinero (EOD), y por (14) rt  0. En consecuencia, para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de interés deberá disminuir conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de interés, por (9), la inversión se incrementa, y por la primera expresión de (1), la demanda agregada de bienes y servicios aumenta generando un exceso de demanda en el mercado de bienes y servicios (EDByS). Este exceso, por (10), producirá un incremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el tiempo hasta llegar al punto A sobre la  LM m1 . En dicho punto el mercado de dinero estará en equilibrio a una tasa de interés menor a la que había en el punto E0 y a un nivel de renta (producto agregado) superior al que había en E0. No obstante, en A el mercado de bienes y servicios no está en equilibrio. En este punto existe un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS). Este exceso, por (10), producirá un incremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el tiempo. El incremento en la renta (producto agregado), a su vez, por la primera expresión de (12), producirá un incremento en la demanda de saldos reales. El incremento en la demanda de dinero, a su vez, generará un exceso de demanda de dinero (EDD), produciendo por (14) un incremento en la tasa de interés conforme transcurra el tiempo hasta llegar al punto B sobre la IS. En dicho punto el mercado de bienes y servicios estará en equilibrio a una renta (producto agregado) superior a la de los puntos E0, A, pero a una tasa de interés inferior a E0 y superior a la de A. No obstante, en B el mercado de dinero no está en equilibrio. En este punto existe un exceso de demanda monetaria (EDD). Este exceso, por (14), producirá un incremento en la tasa de interés conforme transcurra el tiempo. El incremento en la tasa de interés, a su vez, por (9), producirá un decremento en la inversión. La caída en la inversión, a su vez, generará un exceso de oferta en el mercado de bienes y servicios (EOByS), produciendo por (10) un decremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el  tiempo hasta llegar al punto C sobre la LM m1 . En dicho punto el mercado de dinero estará en equilibrio a una tasa de interés inferior a la de E0 y superior a la de B y a la del punto A, pero a un nivel de renta real (producto agregado) superior al de E0 y al de A aunque inferior al de B. Asimismo, en A el mercado de bienes y servicios tendrá un exceso de oferta (EOByS). El proceso continuará hasta que finalmente la economía alcanza el equilibrio simultáneo representado por E1.

3

Se dice que una variable endógena exhibe desbordamiento (overshooting) en respuesta a un cambio exógeno no anticipado (shock) si su movimiento en el corto plazo excede el cambio en su valor de largo plazo.

16

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso 1, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (20) y (21). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla I. Parámetros

Valores 0,3 0,25 0,3 1,525 0,35

τ θ γ µ c c0

38

c1 c2 0

0,25

I0

10

0,2 0,4

Tabla I: Valores de los parámetros simulados En la tabla II se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0

8

G

50

Tabla II: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (16) resulta: A        0,151  0,305 Y  t t Y         0,12   rt   r t   0,1



b    19 , 5825     3,2   

I 

Las ceroclinas del sistema (I) vienen dadas por:

 Y t  0  rt  0,4951Yt  64,2049     r t  0  rt  0,83Yt  26,6

II

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E   68,406  E   r   30,338

III

Mientras que por (21), tenemos que:

trA  0,271  0   A  0,04862  0   0,121039  0 

17

IV

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura I se muestra el retrato de fase y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (I). 60

IS

50

40

rt

E 30

20

10

LM (m0)

0 0

10

20

30

40

50 Yt

60

70

80

90

100

Figura I: Retrato de fase del sistema En las figuras II y III se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo de la tasa de interés y de la renta real (producto agregado) para el Y   45   . sistema (I) con las siguientes condiciones iniciales:  0    r 10 , 8 3   0  60

IS

50

40

rt

E 30

20

(Y0, r0) 10

LM (m0)

0 0

Figura II: Diagrama de fase del sistema m0  8 10

20

30

40

50 Yt

18

60

70

80

90

100

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (47) y (48) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (I). Yt  68,406  e 0,1355t 36,285sen 0,174t   23,406 cos 0,174t   (V)  0 ,1355t        r 30 , 338 e 19 , 505 cos 0 , 174 t 15 , 193 sen 0 , 174 t    t

80

75

70

Yt

65

60

55 Yt 50

45

0

10

20

30 t

40

50

60

30

rt

25

rt

20

15

10 0

10

20

30 t

40

50

60

Figura III: Evolución temporal de la renta real (producción agregada) y de la tasa de interés

19

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, pasando de m0  8 a m1  9, el sistema (16) resulta: 

b A          0,151  0,305 Y  19,5825 t t Y         0,12   rt    3,6   r t   0,1 

VI 

Las ceroclinas del sistema (VI) vienen dadas por:  Y t  0  rt  0,4951Yt  64,2049    r t  0  rt  0,83Yt  30

VII 

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E1  70,915  E1   E     1  r  29,096

VIII 

Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero. En la figura IV se muestra el diagrama de fase del sistema (VI) tras el incremento en el stock nominal de dinero, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar el stock nominal de dinero, esto es: Y   68,406 E0   0    .  r0   30,338 31 IS 30.5 E0 30

29.5

rt

E1 29 LM (m0) 28.5

28

27.5

27 LM (m1) 67

68

69

70

71

72

Figura IV: Diagrama de fase del sistema m1  9 yt

20

73

74

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros (con m1  9 ), E0 y E1 en (47) y (48) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (VI). Yt  70,915  e 0,1355t 1,954sen 0,174t   2,509 cos 0,174t    0 ,1355t  1,242 cos 0,174t   1,332sen0,174t  rt  29,096  e

(IX)

En la figura V se aprecia la evolución temporal del sistema (VI) tras el incremento del stock nominal de dinero, teniendo como punto inicial a E 0  68,406;30,338. 71

70.5

yt

70

Yt

69.5

69

68.5

0

10

20

30 t

40

50

60

30.4 30.2 30 rt

29.8

rt

29.6 29.4 29.2 29 28.8 28.6 0

10

20

30 t

40

50

60

Figura V: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus

21

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cualitativo

 trA  c c1    1  c  0 1 2   50 Caso2: Nodo impropio  A    1  c1    c1 c 2  0     2 2   trA  4 A  c1 c1    1  c1   4c1c 2   1  c1      0    Teniendo en cuenta que   0 y que A  0, entonces resulta que:

trA2

0

trA2

  0

trA    0  trA    0

0  trA    trA

52

51

Asimismo, multiplicando por menos uno a (51) se obtiene que:

trA     0  trA    2      0  trA    0 53

En este caso, teniendo en cuenta (52) y (53), los autovalores de la matriz “A” serán:    2 c1 c1    1  c 2  c1 c1    1  c1   4c1c 2   1  c1      trA         0 1  2 2     2  c1 c1    1  c 2  c1 c1    1  c1   4c1c 2   1  c1       trA    0   2  2 2     2  1  0

54

Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son negativos, y a los signos del discriminante, de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un nodo impropio estable (convergente).

 El autovector v1 asociado a 1 se calculará a partir de:  c1 c1    1  1  c 2



v1    c1  a   0      c 2  1  b 0

22

55

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

  c1 c1    1  1      a c1 c1    1  1  a  bc1  0  b  c1  

56

La ecuación (56) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (55): c 2a  c 2  1 b  0  b 

c 2

c 2  1

a

57 

Sustituyendo 1 , dado por (54), en (57) tenemos: b

2c 2

   2c 2  trA     



 2c  trA    2  a    2c 2  trA     

2c 2 2c 2  trA    2c 2 2c 2  trA     a   b a 2 2  2 2 2c2  trA   4 c 2  4c 2 trA  trA  

58

Reemplazando la tercera expresión de (50) en (58) resulta: c 2 2c 2  trA    2c 2 2c 2  trA       a a  2 2 b 2 2 2 c 2  2c 2 trA  2 A 4 c 2  4c 2 trA  4 A

Reemplazando la segunda expresión de (50) en (59) resulta: b

b

c 2  2c 2  trA     

2 c  2c 2 trA  2  1  c1    c1 c 2

a

2 2 2

 2c 2  trA     

2 c 2  2trA  2  1  c1    c1

a

2

Sustituyendo la primera expresión de (50) en (60) se tiene: b

c1 c1    1  c 2   2c1

23

a

61

60

59

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

De la primera expresión de (50) tenemos que:

c2  c1c1    1  trA

62

Sustituyendo (62) en (61) tenemos:  trA     c1 c1    1     2  a b c1

  c1 c1    1  1  a  c1

63

Por tanto, haciendo a  1 tenemos que: 1         v1  c1 c1    1  1       c1  

1      c2   c    1   2

64

Reemplazando 1 , dado por (54), en (64) se obtiene:

   v1    c 2  c1 c1    1  

1

2c 2

c1c1    1  c1 2  4c1c2   1  c1     



De manera análoga, el autovector asociado a  2 será: 1         v 2  c1 c1    1   2       c1  

1    c2  c   2  2

    

   65   

66

Reemplazando  2 , dado por (54), en (66) se obtiene:

   v 2    c 2  c1 c1    1  

1

2c 2

c1c1    1  c1 2  4c1c2   1  c1     

24



   67    

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Para este caso, las expresiones (39) y (40) de las ceroclinas correspondientes al caso 1 siguen siendo válidas, al igual que las líneas de fuerza dinámicas que se bosquejaron en las figuras 1 y 2. No obstante, superponiendo las ceroclinas del nivel de renta real y de la tasa de interés, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 7, correspondiente a un nodo impropio estable. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, las trayectorias de fase son tangentes a la línea de acción del  autovector V1 . Para comprobar esto vamos a considerar la solución general     X t  X E  k1e t V1  k 2 e t V2 donde 1 y  2 son autovalores reales, distintos y negativos, y   sus autovectores asociados son V1 y V2 . Ya que  2  1  0, cuando t   se verificará  que e1t  e 2 t . Por tanto, cuando t   la solución tenderá a alinearse con k1e t V1, esto    es, en el largo plazo tendremos que X t  X E  k1e t V1. Pero, dado que cuando t  , 1

2

1

1

resulta que e 1t  0 y e  2 t  0, entonces se tiene que en el largo plazo X t  X E independientemente de los valores de k1 y k 2 . Por tanto, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarán al punto de equilibrio tangencialmente a la línea de acción del  autovector V1 . 

De particular interés es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre V1 ,  entonces k 2  0 y el sistema se mueve a lo largo de la línea de acción del autovector V1 y se aproxima al punto de equilibrio conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si  el punto inicial se encuentra justo sobre V2 , entonces k1  0 y el sistema se mueve a lo  largo de la línea de acción de V2 , aproximándose al punto de equilibrio en el límite. Por tanto, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable. 

Yt  0

rt

 v2

rE

 v1



rt  0

E I

r0

IS

LM Y0

Y

E

Yt

Figura 7: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 7, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase celeste y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. 25

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Asimismo, en la figura 7 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E, la tasa de interés y la renta real (producto agregado) crecen de forma monótona hasta sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo. Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producto agregado) y de la tasa de interés vienen dados por: 



V1 V2       1 1     Yt  Y E    1 t  2t   r    E   k 1e  c 2    k 2 e  c 2    t  r   c     c    1  2   2  2  Xt

 XE

68

De donde:  Yt  Y E  k 1e 1t  k 2 e  2 t   k 2c2 2t k 1c 2  1 t  E e e  rt  r         c c 2 1 2 2 

69

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 , r0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (69), se tiene que:

 





 c2  1  c2 Y0  Y E  c2   2  r0  r E E  Y0  Y  k1  k 2 k1   c21   2      k c k c   1 2 2 2 E c2   2  c2  1  r0  r E  c2 Y0  Y E  r0  r    c2  1 c2   2 k 2  c21   2  













70

c2  1 c2Y0  Y E   c2   2 r0  r E   t c2   2  c2  1 r0  r E   c2Y0  Y E   t e 71  e   c 21   2  c 21   2 

Reemplazando (70) en (69) se tiene que: Yt  Y

E

rt  r

E

1

c Y  Y   c  E

2

0



  2  r0  r E

1   2  2

 e

1 t

2

c 

2







 1  r0  r E  c2 Y0  Y E

1   2 

 e 72 2t

Dónde Y E y r E vienen dados por (18), mientras que 1 y  2 vienen dados por (54). Sustituyendo (71) en (4), en (5), y en (8) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de los impuestos, el consumo, y la inversión (ahorro) respectivamente. De igual modo, reemplazando (72) en (9) podríamos también obtener la evolución temporal de la inversión. Sustituyendo el consumo y la inversión en (1) obtenemos la demanda de bienes y servicios a lo largo del tiempo. Reemplazando (71) y (72) en (12) obtenemos la evolución temporal de la demanda de dinero. 26

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura 8 se pueden apreciar los plausibles comportamientos de la renta real (producto agregado) a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta real (producto agregado) converge de forma monótona (sin oscilaciones) hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. Yt

YE

t

Figura 8: Comportamiento de la renta real (producto agregado) en el tiempo En la figura 9 se pueden apreciar algunos posibles comportamientos de la tasa de interés a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la tasa de interés es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. rt

rE

t

Figura 9: Comportamiento de la tasa de interés a lo largo del tiempo Efectos de un incremento del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 10), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, céteris paribus, entonces la única   ceroclina que se verá afectada será la ceroclina r t  0, ya que la ceroclina Y t  0, no depende de

m  M P.

el stock real e dinero

De (40), se aprecia que al aumentar M , estando “P” fijo, aumenta m  M P,

entonces la intersección de la ceroclina



rt  0

con el eje

vertical se hará más negativa. Por tanto, debido al incremento en m, la ceroclina 



rt  0

se desplazará hacia abajo sin modificar su pendiente y la ceroclina Y t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 10. 27

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de largo plazo: Por otro lado, en la figura 10 se aprecia que el incremento del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, provocará un incremento en la renta real (producto agregado) y una caída en la tasa de interés. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria, tal como ocurrió en el caso anterior, producirá un mayor nivel de renta real (producto agregado) y una menor tasa de interés. rt

r0E

rt  0 m0 

IS



E0

 LM m 0 

EOD R3 :  EOByS

EOD R4 :  EDByS

rt  0 m1  

r1E

 LM m1 

E1

EDD R1 :  EDByS



Yt  0

Y1E

Y0E

EDD R2 :  EOByS

Yt

Figura 10: Retrato de fase de la economía tras el incremento del stock nominal de dinero Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 10 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria de color azul. Asimismo, en dicha figura se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de interés convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera monótona (no oscilatoria). Además, en este caso, tras el incremento en el stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, no se observa que haya una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de interés como de la renta real respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Estando la economía en el punto E0, al incrementarse el stock nominal de dinero, se incrementa el stock real de dinero ya que se ha supuesto que los precios son fijos. Este  incremento produce un exceso de oferta de dinero (EOD), y por (14) rt  0. Por tanto, para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de interés deberá disminuir conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de interés, por (9), la inversión se incrementa, y por la primera expresión de (1), la demanda agregada de bienes y servicios aumenta generando un exceso de demanda en dicho mercado (EDByS). Este exceso, por (10), producirá un incremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el tiempo hasta que la economía alcance el equilibrio simultáneo en E1.

28

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso 2, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (50). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla III. Parámetros

Valores 0,3 0,15 0,9 0,1 0,1

τ θ γ µ c c0

38

c1 c2 0

0,25

I0

10

0,1 0,2

Tabla III: Valores de los parámetros simulados En la tabla IV se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0

8

G

50

Tabla IV: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (16) resulta: 

b A             0,093  0,01 Y  9,7975 t t Y       r     1,6   0 , 03 0 , 18  r t     t  

X 

Las ceroclinas del sistema (X) vienen dadas por:

     0,093  0,01 Y  9,7975 0 Y t  0  rt  9,3Yt  979,75 t Y t            0,18  rt    1,6  0    r t   0,03 r t  0  rt  0,16Yt  8,8

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E   104,4336854   E   r   8,516725352

29

XII

XI

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Mientras que por (50), tenemos que:

trA  0,273  0   A  0,01704  0   0,006369  0 

XIII

En la figura VI se muestra el retrato de fase, los autovectores y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (X). 30

25 V2 20

rt

V1

15

10 E 5

0

LM (m0) 50

IS 60

70

80

90

100 yt

110

120

130

140

150

Figura VI: Retrato de fase del sistema





En las figuras VII y VIII se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo de la renta real (producto agregado) y la tasa de interés  para el sistema (X) con las siguientes condiciones iniciales: Y0 , r0   80;4,4 . 10

9 E 8

7

rt

6

5

4

(y0, r0)

3 LM (m0) 2

1

0

IS 70

Figura VII: Diagrama de fase del sistema m0  8 75

80

85

90 Yt

30

95

100

105

110

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (71) y (72) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (X). Yt  104,434  25,025 e 0, 0966t  0,591e 0,176t    0 , 0966t   4,929e  0,176t rt  8,517  9,001e

(XIV)

105

100

yt

95

yt

90

85

80

0

20

40

60

80

100 t

120

140

160

180

200

8.5 8 7.5

rt

7 6.5 rt 6 5.5 5 4.5

0

20

40

60

80

100 t

120

140

160

180

200

Figura VIII: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés

31

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (XII), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de m 0  8 a m1  9, el sistema (16) resulta: 

b A             0,093  0,01 Y  9,7975 t t Y         0,18  rt    1,8   r t   0,03

XV

Las ceroclinas del sistema (XV) vienen dadas por:      0,093  0,01 Y  9,7975 0 Y t  0  rt  9,3Yt  979,75 t Y t    XVI    r     1,8   0     0 , 03 0 , 18  r t      r t  0  r  0,16 Y  10  t   t t 

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E1   104,5510563  E1   E     1  r   7,425176056

XVII 

Mientras que los valores dados por (XIII) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero. En la figura IX se muestra el diagrama de fase del sistema (XV) tras el incremento en el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar el stock nominal de dinero, esto Y   104,4336854  es: E 0   0    .  r0   8,516725352 8.6 E0 8.4

8.2

rt

8

7.8

7.6

E1

LM (m1)

7.4

7.2

IS 104

104.1

104.2

104.3

104.4

104.5 Yt

104.6

104.7

104.8

Figura IX: Diagrama de fase del sistema m1  9 32

104.9

105

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros (con m1  9 ), E0 y E1 en (71) y (72) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (XV). Yt  104,551  0,259 e 0, 0966t  0,142 0,176t  (XVIII)   0 , 0966t  0 ,176t   1,185e rt  7,425  0,093e

En la figura X se aprecia la evolución temporal del sistema (XV) tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus: E 0  104,4336854; 8,516725352 . 104.56

104.54

104.52

Yt

104.5

104.48

104.46

Yt

104.44

0

10

20

30

40

50 t

60

70

80

90

100

8.6

8.4

rt

8.2

rt

8

7.8

7.6

7.4 0

10

20

30

40

50 t

60

70

80

90

100

Figura X: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus 33

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cualitativo

  trA  c1c1    1  c2  0  73 Caso3: Nodo impropio  A    1  c1   c1 c2  0     2 2   trA  4 A  c1c1    1  c1   4c1c2   1  c1      0    En este caso, teniendo en cuenta (73), los autovalores de la matriz “A” serán:

1   2   I 

trA 2



c1 c1    1  c 2 2

0

74

Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son iguales y negativos, al valor del discriminante, y a los signos de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un nodo impropio estable (convergente).

 El autovector v I asociado a 1   2   I se calculará a partir de:  c1 c1    1   I  c 2



vI    c1  a   0      c 2   I  b 0

75

  c1 c1    1   I      a c1 c1    1   I  a  bc1  0  b  c1  

76

La ecuación (76) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (75): c 2a  c 2   I b  0  b 

c 2

c 2   I

a

77 

Sustituyendo  I , dado por (74), en (77) tenemos: b b

2c2  trA a 2c2  trA 2c2  trA 2c 2

2c 22c 2  trA

2c2  trA

2

a



2c 22c 2  trA

4 2c 22  4c 2 trA  trA

2

34

a

78

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Reemplazando la tercera expresión de (73),   0  trA  4 A , en (78) resulta: 2

b

2c 22c 2  trA

4 2c 22  4c 2 trA  4 A

c 22c 2  trA

a

2 2c 22  2c 2 trA  2 A

79

a

Reemplazando la segunda expresión de (73) en (79) resulta: b

c 22c 2  trA

2 c  2 c 2 trA  2 c1 c 2   1  c1   

a

2 2 2

b

2c 2  trA

2 c 2  2trA  2 c1   1  c1    2

a

80

Sustituyendo la primera expresión de (73) en (80) se tiene: c1c1    1  c2

a

81

c2  c1c1    1  trA

82

b

2c1

De la primera expresión de (73) tenemos que:

Sustituyendo (82) en (81) tenemos:  trA   c1 c1    1    2   b a c1

Por tanto, haciendo a  1 tenemos que:

  c1 c1    1   I  a  c1

1         v1  c1 c1     1   I       c1  

1    c2  c   I  2

    

83

84

Sustituyendo (74) en (84) se tiene que: 1      v1   c 2  c1 c1    1       2c1

1     2c 2       c 2  c1 c1    1 

35

85

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Como apreciamos sólo existe un autovector asociado a  I . Para encontrar un segundo  autovector que sea linealmente independiente de v1 vamos a utilizar la siguiente expresión: 

v1       1   f     c1   g    c 2  c1 c1    1  86  c 2   I      2c1  

A   I Iv 2  v1  c1c1    1   I 



 v2

c 2

1  c1g   c1 c1    1   I  f  c1g  1  f      c1 c1    1   I   

87 

La ecuación (87) es equivalente a la segunda ecuación del sistema (86): c 2f  c 2   I g 

c 2  c1 c1    1 2c1

f 

f 

c 2  c1 c1    1 2c1

c2

c 2  c1 c1    1  2c1 c 2   I g 2c1c 2

 c 2   I g

88

Sustituyendo (74) en (88) se tiene que:

   c 2  c1 c1    1 1  c1g  f  2c1c 2

89

Igualando (76) y (77) resulta:

  c1 c1    1   I     c 2  c c1    1     c1c 2 I  1   c 2   I c 2   I c1

Sustituyendo (90) en (87) resulta: f 

c2   I 1  c1g  c1c 2



c2   I   c1 c2   I g c1c 2



c2   I  c1

Reemplazando (74) en (91) resulta:

   c 2  c1 c1    1 1  c1g  f  2c1c 2

36

92

90

 c 2   I g

c 2

91

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por tanto, haciendo g  1 tenemos que:      c 2  c1 c1     1 1  c1       v2     2c1c 2    1  

21  c1       c 2  c1 c1     1    1  

93

En este caso se tendrá que la solución general del sistema (16) viene dada por      X t  XE  k1et v1  k 2et tv1  v2 . Ya que por (74), 1   2    0, se verificará que cuando  t   el término dominante será k 2 tet v1 , por lo que en el largo plazo cada senda de fase  deberá aproximarse al punto de equilibrio X E de manera que sea tangente a la línea de  acción del autovector v1. Ciertamente, si k 2  0 la solución deberá permanecer sobre   la misma línea de acción del autovector v1 , y aproximarse al punto de equilibrio X E a lo largo de esta línea.

rt



rt  0

IS  v1

rE

E

I

r0



Yt  0

LM Y0

Y

E

Yt

Figura 11: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 11, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase celeste y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. Asimismo, en la figura 11 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E, la tasa de interés y la renta real (producto agregado) crecen de forma monótona hasta sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo.

37

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producto agregado) y de la tasa de interés vienen dados por: 

V1       1   E   Y    t Y It 2c 2    k e     1 r  E  t  r     c 2  c1 c1     1    V2 V1             2 1 c    1   1       It   2c 2   k 2e t     c 2  c1 c1     1        c  c c1     1     1 1     2     Xt

 XE

94

De donde:

   21  c1   It  It E  Yt  Y  k 1e  k 2  t  e   c 2  c1 c1    1        2c 2  2c 2  k 1   It rt  r E  t  eIt e  k 2 1    c 2  c1 c1    1  c 2  c1 c1    1  

95

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 , r0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (95), se tiene que:

  k   1      k 2    



 E  Y0  Y 

c 

21  c1 k 2  E Y0  Y  k1   c 2  c1 c1     1  2c 2  k 1  E  k2  r0  r   c 2  c1 c1     1

2





     c1 c1    1  21  c1  r0  r E    c 2  c1 c1    1     2      c 2  c1 c1    1  4c 2 1  c1     









      2c 2  Y0  Y E  c 2  c1 c1    1  21  c1  r0  r E    c 2  c1 c1    1       r0  r E  2          c c c 1 1 c c        1 c1     1  4c 2 1  c1   2 1 2          





Dónde Y E y r E vienen dados por (18).

38

96

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Teniendo en cuenta (96) y sustituyendo la primera expresión de (95) en (4), en (5), y en (8) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de los impuestos, el consumo, y la inversión (ahorro) respectivamente. De igual modo, considerando (96) y reemplazando la segunda expresión de (95) en (9) podríamos también obtener la evolución temporal de la inversión. Sustituyendo el consumo y la inversión en (1) obtenemos la demanda de bienes y servicios a lo largo del tiempo. Teniendo en cuenta (96) y sustituyendo (95) en (12) obtenemos la evolución temporal de la demanda de dinero. En la figura 12 se pueden apreciar los plausibles comportamientos de la renta real (producto agregado) a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta real (producto agregado) converge de forma monótona (sin oscilaciones) hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. Yt

YE

t

Figura 12: Comportamiento de la renta real (producto agregado) en el tiempo En la figura 13 se pueden apreciar algunos posibles comportamientos de la tasa de interés a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la tasa de interés es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. rt

rE

t

Figura 13: Comportamiento de la tasa de interés a lo largo del tiempo

39

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de un incremento del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 14), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, céteris paribus, entonces la única   ceroclina que se verá afectada será la ceroclina r t  0, ya que la ceroclina Y t  0, no depende de

m  M P.

De (40), se aprecia que al aumentar M , estando “P” fijo, aumenta

el stock real e dinero

m  M P,

entonces la intersección de la ceroclina



rt  0

con el eje

vertical se hará más negativa. Por tanto, debido al incremento en m, la ceroclina 



rt  0

se desplazará hacia abajo sin modificar su pendiente y la ceroclina Y t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 14. Efectos de largo plazo: Por otro lado, se aprecia en la figura 14 que tras el incremento del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, provocará un incremento en la renta real (producto agregado) y una caída en la tasa de interés. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria, tal como ocurriera en los casos anteriores, producirá un mayor nivel de renta real (producto agregado) y una menor tasa de interés. rt

r0E

 LM m 0 

rt  0 m0 

E0



IS

EOD R3 :  EOByS

EOD R4 :  EDByS

r1E

rt  0 m1  

E1

 LM m1 

EDD R1 :  EDByS



Yt  0

Y0E

Y1E

EDD R2 :  EOByS

Yt

Figura 14: Retrato de fase de la economía tras el incremento del stock nominal de dinero

40

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 14 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria de color azul. Asimismo, en dicha figura se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de interés convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera monótona (no oscilatoria). Además, en este caso, al igual que en el caso anterior, tras el incremento en el stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, no se observa que haya una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de interés como de la renta real respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Estando la economía en el punto E0, al incrementarse el stock nominal de dinero, se incrementa el stock real de dinero ya que se ha supuesto que los precios son fijos. Este  incremento produce un exceso de oferta de dinero (EOD), y por (14) rt  0. Por tanto, para que el mercado de dinero se equilibre, el nivel de tasa de interés deberá disminuir conforme transcurra el tiempo. Al caer la tasa de interés, por (9), la inversión se incrementa, y por la primera expresión de (1), la demanda agregada de bienes y servicios aumenta generando un exceso de demanda en dicho mercado (EDByS). Este exceso, por (10), producirá un incremento en la renta real (producto agregado) conforme transcurra el tiempo hasta que la economía alcance el equilibrio simultáneo en E1. Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso 3, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (73). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla V. Parámetros

τ θ γ µ c c0

Valores 0,9 0,15 0,668205080757 0,1 0,1 38

c1 c2 0

0,25

I0

10

0,1 0,2

Tabla V: Valores de los parámetros simulados

41

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la tabla VI se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0 G

Valores 8 50

Tabla VI: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (16) resulta: 

b A             0,099  0,01  Yt  9,7975 t Y       0,133641016  rt    1,6   r t   0,03

XIX

Las ceroclinas del sistema (XIX) vienen dadas por:  Y t  0  rt  9,9Yt  979,75  r t  0  rt  0,22448Yt  11,97605

XX

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E   97,9529   E   r   10,0163

XXI

Mientras que por (50), tenemos que: trA  0,2326  0   A  0,01353  0   0 

XXII

En la figura XI se muestra el retrato de fase, los autovectores y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (XIX).

42

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

IS

20

18

V1

16

14

rt

12

10

E

8

6

4

2

0 LM (m0) 40

50

60

70

80

90

100

110

120

130

Yt

Figura XI: Retrato de fase del sistema En las figuras XII y XIII se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo de la tasa de interés y de la renta real (producto agregado) para el sistema (XIX) con las siguientes condiciones iniciales: Y0 , r0   75;4,85995. IS

12

11

10

E

rt

9

8

7

LM (m0) 6

(Y0, r0)

5 70

75

80

85 Yt

90

95

Figura XII: Diagrama de fase del sistema m0  8

43

100

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (95) y (96) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (XIX). Yt  97,953  0,346t  22,953 e 0,116t    0 , 0116t  rt  10,0163  0,5993t  5,156e

(XXIII)

100

95

Yt

90

85

80

Yt

75

0

10

20

30 t

40

50

60

10

9

rt

8

7

6

5 rt 0

10

20

30 t

40

50

60

Figura XIII: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés 44

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (XXI), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de m 0  8 a m1  9, el sistema (16) resulta: 

b A             0,099 Y  9 , 7975 0 , 01      t t Y          0,133641016  rt    1,8   r t   0,03

XXIV

Las ceroclinas del sistema (XXIV) vienen dadas por:  Y t  0  rt  9,9Yt  979,75  r t  0  rt  0,22448Yt  13,4689

XXV

Asimismo, por (18), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: Y E1   98,1007 E1   E     1  r   8,5529 

XXVI

Mientras que los valores dados por (XXII) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero. En la figura XIV se muestra el diagrama de fase del sistema (XXIV) tras el incremento en el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar el stock nominal de dinero, esto Y   97,9529  es: E 0   0    .  r0   10,0163 E0 10

rt

9.5

9

E1

LM (m1)

8.5

8 IS 97.8

97.9

98

98.1 Yt

98.2

98.3

Figura XIV: Diagrama de fase del sistema m1  9 45

98.4

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros (con m1  9 ), E0 y E1 en (95) y (96) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de interés del sistema (XV). Yt  98,101  0,136304  0,017  e 0,116t    0 , 0116t  rt  8,553  1,464  0,029444t e

(XXVII)

En la figura XV se aprecia la evolución temporal del sistema (XII) tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus: E0  97,9529;10,0163. 98.1

98.08

98.06

yt

98.04

98.02

98

97.98

97.96 yt 97.94 0

10

20

30 t

40

50

60

rt 10

rt

9.5

9

8.5 0

10

20

30 t

40

50

60

Figura XV: Evolución temporal de la renta real (producto agregado) y de la tasa de interés tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus

46

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Conclusiones: En este documento se ha analizado la estabilidad de una versión dinámica lineal del modelo IS-LM. Hemos simulado tres casos (espiral, nodo impropio con autovalores reales distintos y nodo impropio con autovalores reales repetidos), utilizando valores adecuados de los parámetros, en los que el modelo en cuestión converge dinámica y asintóticamente a un punto de equilibrio estacionario (de forma cíclica o monótona según sea el caso). Asimismo, se ha analizado en cada uno de los tres casos aquí presentados el efecto de una perturbación externa no anticipada (un incremento en el stock nominal de dinero), encontrándose que el modelo resulta dinámicamente estable (esto es, luego que el modelo ha sido alejado de su situación de equilibrio estacionario por la perturbación, éste retorna a un nuevo punto de equilibrio). Finalmente, resaltar que el modelo podría presentar un comportamiento dinámicamente inestable para valores de los parámetros que no cumplan las condiciones de estabilidad establecidas en los tres casos aquí analizados. .

47

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA Bibliografía

Blanchard, O.; Fischer, S. (1998): “Lectures on Macroeconomics”. Primera Edición. The MIT Press. Gandolfo, G. (1997): “Economic Dynamics”, Study Edition. Springer. Hicks, J. (1937): “Mr. Keynes and the Classics”, Econometrica. Vol. 5, pp. 147-159. Jiménez, F. (2003): Macroeconomía: Enfoques y Modelos”, Tomo 1, Fondo Editorial de la Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP). Primera Edición. Shone, R. (2002): “Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application”, Cambridge University Press. Second Edition. Shone, R. (2003): “An Introduction to Economic Dynamics”, Cambridge University Press. First Edition (Virtual Publication). Takayama, A. (1994): “Analytical Methods in Economics”, Harvester Wheatsheaf. First Edition. Tu, P. (1994): “Dynamical Systems: An Introduction with Applications in Economics and Biology”. Segunda Edición. Springer-Verlag. Zhang, W. (2005): “Differential Equations, Bifurcations and Chaos in Economics”. Primera Edición. World Scientific Publishing.

48

Un modelo dinámico de oferta y demanda agregadas1 Este sencillo modelo, que no incorpora la regla de Taylor para describir shocks de política monetaria2, permitirá analizar, por ejemplo, fluctuaciones macroeconómicas del producto, de la verdadera inflación, y de la inflación esperada ante diversos shocks económicos (shocks de política fiscal, shocks de oferta, y shocks de política monetaria). En esta sección vamos a analizar este modelo lineal desde una perspectiva dinámica, bajo el supuesto de que las expectativas de la inflación se forman bajo un esquema de expectativas adaptativas, y en un marco de una economía cerrada. Para ello, utilizando Matlab 7.12.0, se efectúa una simulación numérica de tres casos en los que el punto de equilibrio estacionario del sistema de ecuaciones diferenciales que describe el comportamiento dinámico del modelo es (una espiral, un nodo impropio, o un centro) estable. Finalmente, para los dos primeros casos, se realiza el análisis de perturbaciones externas no anticipadas (variaciones permanentes en el gasto público o en la tasa impositiva exógena, cambios en el producto potencial debido a shocks tecnológicos exógenos, y variaciones en la tasa de crecimiento de la oferta monetaria). Supuestos del modelo: 1. 2.

Economía cerrada. Se supone que las exportaciones netas son nulas. Mercado real o de bienes y servicios: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones:

D t  C t  I t  G  O t  Yt D  O t  t

(1)

La primera ecuación de (1) nos dice que la demanda agregada de bienes y servicios, “ D t ”, es igual al gasto real, que viene dado por la suma del gasto en consumo, “ C t ”, el gasto en inversión, “ I t ”, y el gasto público, “ G ”, que se considera exógenamente dado. La segunda ecuación nos dice que la oferta agregada de bienes y servicios, “ O t ”, no es más que la renta real (producción agregada de bienes y servicios), “ Yt ”. La tercera ecuación de (1) no es más que la condición de equilibrio dinámico en el mercado de bienes y servicios. Sustituyendo la primera y la segunda ecuación en la tercera se obtiene que:

Yt  Ct  I t  G

(2)

La ecuación (2), la condición de equilibrio dinámico en el mercado de bienes y servicios, nos dice que, en cada instante, la renta real deberá ser igual al gasto real. Si suponemos que el consumo es una fracción de la renta disponible (suponemos que las transferencias gubernamentales son nulas), Yt  Tt , tenemos que: Ct  c0  cYt  Tt , c0  0, 0  c  1

(3)

Donde “c” es la propensión marginal a consumir, c 0 es el consumo autónomo o de subsistencia, y “ Tt ” son los impuestos. 1

Este modelo se basa en Shone (2002) y (2003). Mankiw (2005) analiza una versión dinámica, en tiempo discreto, de un modelo de oferta y demanda agregadas en el que incorpora la regla de Taylor.

2

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Supondremos que los impuestos, Tt , son una función lineal de la renta. Esto es: Tt  Yt , 0    1

(4)

Donde “τ” es la tasa marginal impositiva dada exógenamente. Sustituyendo (4) en (3) resulta:

Ct  c0  cYt  Yt   c0  c1  Yt

(5)

Por otro lado, de (2) tenemos que:

I t  Yt  C t  G



(6)







Sumando y restando los impuestos a la expresión (6) tenemos que:

I t  Yt  Tt   Tt  G  C t  Yt  Tt  C t   Tt  G  Sprivado  Spúblico  St (7) t t It  Yt  Yt  c0  c1  Yt   Yt  G 

Sustituyendo (4) y (5) en (7) resulta que:

I t  1  c1  Yt   c0  Yt  G 

I t  s1  Yt   c0  Yt  G 

St St        I t  s1  Yt   c0  Yt  G   St , público

privado

0  s  1  c  1 (8)

es el ahorro privado, que viene dado por la diferencia entre la renta Dónde: Sprivado t disponible y el consumo, Spúblico es el ahorro público, que viene dado por la t diferencia entre los impuestos y el gasto público, y “s” es la propensión marginal al ahorro. La ecuación (8) no es más que una versión equivalente de la ecuación (2). Dicha ecuación nos dice que en una economía cerrada, en cada instante, el equilibrio dinámico quedará garantizado siempre que la inversión real, I t , iguale al ahorro, St . Por otro lado, supondremos que la función de inversión depende lineal e inversamente de la tasa de interés real, “ rt  i t  et ”, tal como sigue:





I t  I0   i t  et ; I0  0

0

(9)

Donde i t es la tasa de interés nominal,  et es la inflación esperada, “µ” mide la respuesta de la inversión a la tasa de interés (cuando la tasa de interés es elevada el crédito será caro, y en consecuencia la inversión será relativamente baja), e I 0 es la inversión autónoma (independiente de la renta y de la tasa de interés).

50

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Finalmente, la curva IS se obtendrá sustituyendo (9) en (8):





I0   i t  et  s1  Yt  0   c0  Yt  G

IS :

3.

 I  c  G   c  1  c     Yt  et i t   0 0      

(10)

Mercado de dinero: este mercado viene descrito por las siguientes ecuaciones:

Ldt  eYt  i t ,   0    0  o L t  M t Pt  d o L t  L t

(11)

Dónde Yt es la producción real de bienes nacionales. i t representa la tasa de interés nominal. M t es el stock nominal de dinero. Pt es el índice de precios

expresado en unidades monetarias unidades reales de consumo. M t Pt es el stock

real de dinero expresado en unidades reales de consumo. Sustituyendo la primera y la segunda ecuación en la tercera se obtiene que: eYt  i t 

Mt Pt

(12)

Aplicando logaritmos neperianos a (12) resulta:





M  ln eYt  i t  ln  t   ln M t  ln Pt  Yt  i t  ln M t   ln Pt   Pt  Si hacemos:

mt  ln Mt 

(13)

14

Entonces, la tasa de crecimiento instantáneo del stock nominal de dinero será: 



Mt mt  Mt Asimismo, si hacemos:

pt  ln Pt 

15

16

Entonces la tasa de crecimiento instantáneo del índice de precios (la tasa de inflación) nacional será: 



Pt t  p t  Pt

51

17 

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Reemplazando (14), y (16) en (13) se tiene que el mercado de dinero viene caracterizado por una típica curva LM: Yt  i t  mt  pt

 m  pt  LM : i t   Yt  t   4.

18

Demanda Agregada (DA): Igualando (10) y (18) obtendremos la demanda agregada, que representa el equilibrio simultáneo en el mercado de dinero y en el mercado de bienes y servicios: 3 0 1 0 2 0  b    b    b               e    I c G   m  p     Yt   0 0  t t t       1  c1                  1 c 1 1 c 1          

DA : Yt  b1  b2 mt  pt   b3et

5.

19

Oferta Agregada (OA): La curva de oferta agregada en este modelo la obtendremos al combinar una curva de Phillips aumentada por las expectativas inflacionarias (curva que relaciona a la inflación con el desempleo y con la inflación esperada) con la ley de Okun. A saber: Curva de Phillips aumentada: t  et  1 Ut  Un ;

1  0

20

Esta curva representa la respuesta de la tasa efectiva de inflación,  t , a la tasa de

inflación esperada, et , y a la diferencia entre la tasa de desempleo, U t , y la tasa natural de desempleo3, U n .

Ley de Okun: Ut  Un  2 Yt  Yn ;

2  0

21

Dónde Yn es el nivel de producción natural (producto potencial). Yn es el nivel de producción asociado a U n .

t  et  12 Yt  Yn 

Sustituyendo (21) en (20) obtenemos finalmente la oferta agregada:

OA :

t  et  Yt  Yn ;

  12  0

22

La oferta agregada representa la relación de Phillips de corto plazo a partir de la cual se obtiene la verdadera inflación (la tasa efectiva de inflación). En el (equilibrio de) largo plazo se tiene que    e y Y  Yn , independientemente del nivel de p t , por lo que la curva de oferta agregada de largo plazo será vertical en Yn (en el plano  t  Yt ). La tasa de desempleo natural es aquella tasa de desempleo con la que la tasa efectiva de inflación es igual a la esperada t  et . 3

52

CIRO BAZÁN 6.

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Expectativas de la inflación: Se asume que las expectativas sobre la inflación se forman bajo un esquema de expectativas adaptativas. Esto es: e





t   t  et ;

23

0

La ecuación (23) nos dice que los agentes económicos revisan sus expectativas e

hacia arriba, t  0, cuando en algún instante del tiempo la tasa de inflación excede la tasa esperada, t  et , y viceversa. Resolución del modelo: El modelo completo viene dado por las ecuaciones (19), (22) y (23). No obstante, vamos a reducirlo a un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas (las variables endógenas de referencia: la producción real y la inflación esperada) tal como sigue: Derivando (19) respecto del tiempo tenemos:

    Y t  b 2  m t  p t   b3  t   

e

Sustituyendo (17) en (24) tenemos que:

    Y t  b 2  m t   t   b3  t  

e

De (22) se obtiene:

t  et  Yt  Yn 

Reemplazando (26) en (23) resulta:

t   Yt  Yn  e

24 25

26 27

Sustituyendo (22) y (27) en (25) se obtiene:

   Y t  b2 m t  et  Yt  Yn   b3 Yt  Yn   

Y t  b3  b 2 Yt  b 2 et  b 2 m t  b 3  b 2 Yn 



28

En consecuencia, el sistema reducido de ecuaciones diferenciales que define el comportamiento dinámico de este modelo, expresado en forma matricial, viene dado por las ecuaciones (27) y (28):

   b   b   b   Y     t t 3 2 2 b 2 m t  Yn b3  b 2  Y       e e   0   t    t      Yn                        A X  X

b

53

(29)

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cualitativo Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo siguiente:

trA  b3  b 2    A   b 2  0  2 2   trA  4 A  b3  b 2   4 b 2

30

Dado que A  0, entonces queda garantizada la existencia del punto de equilibrio del sistema (30), que calcularemos a través de:

 Y 1  e   A b   

 Y   Yn   e        m t 

31

Evaluando en el equilibrio la ecuación (22) y sustituyendo en la expresión resultante la primera ecuación de (31) se tiene que:

  e  Y  Yn   e  Yn  Yn     e

32

Sustituyendo (32) en (31) resulta:  Y  Yn   Yn   e              m t 

33

Por tanto, por (33), en el equilibrio estacionario, la producción real viene dada por el nivel natural del producto y la inflación verdadera coincide con la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero. De acuerdo a los signos asumidos de todos los parámetros del modelo, en este modelo podemos encontrar tres casos (que surgen al asumir el signo del discriminante) en los que el sistema sea estable [siempre que trA  0 ]. Los casos en cuestión son:

trA  b 3  b 2   0  b 3  b 2  Caso 1: Espiral:  A   b 2  0  2 2   trA  4 A  b 3  b 2   4 b 2  0 El polinomio característico viene dado por:

p   A  I  2  trA  A  0

54

35

34

CIRO BAZÁN Dado que:

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

  0         

36

Por tanto:

  trA   trA    trA  i  trA 1      i    i  2 2 2 2 2    trA   trA    trA  i  trA     i    i  2  2 2 2 2 2 

Dónde:

trA b 3  b 2   0   2  2  2   4 b 2  b 3  b 2       0  2 2 2   2   2  A   b 2  0  

37 

38

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es una espiral estable (convergente).  El autovector v1 asociado a 1    i se calculará a partir de:

b3  b 2     i    



v1   b 2  a  0     i  b 0

39

  i b 40

De la segunda ecuación del sistema (39) se tiene que: a



La ecuación (40) también se puede obtener a partir de la primera ecuación del sistema (39), pero esto no lo vamos a demostrar aquí. Haciendo b   tenemos que:

2  b   b  4 b 2  b3  b 2   3 2    i     i  v1     2 2  41           El autovector v 2 asociado a  2    i será el conjugado de v1 , esto es:

  2   i  b3  b 2   4 b 2   b3  b 2   v2    2 2      

55

 i   

42

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Ahora, para entender los mecanismos de transferencia del modelo, vamos a bosquejar el retrato de fase del mismo, determinando las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones diferenciales (29). Esto es:   e Y t  b 3  b 2 Yt  b 2  t  b 2 m t  Yn b 3  b 2   0   e  t   Y  Y   0 t n 

43



De donde la ceroclina Y t  0, viene dada por: et 

 b 3  b 2  Yn b 3  b 2  Yt  m t  b2 b2

De (19), sustituyendo b 2 y b 3 en la expresión anterior resulta:

et    1Yt  m t    1Yn 

44

e

Mientras que la ceroclina  t  0, viene dada por:

Yt  Yn 45

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En  primer lugar, vamos a graficar la ceroclina Y t  0. De (44), por los supuestos adoptados, se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta que tiene pendiente negativa e igual a   1 y que cortará al eje de la inflación esperada (eje vertical en el plano de fase et  Yt )

en

m t    1Yn  0 





siempre que m t  0. Además, si estando en un punto de la

ceroclina Y t  0 como el punto A, la tasa de inflación esperada aumenta y el nivel de renta real (producto agregado) permanece constante, pasando a un punto encima de la  ceroclina Y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la primera ecuación del sistema (43), al haber aumentado el valor de la tasa de inflación esperada, se verifica que en un punto encima de dicha ceroclina, tal como el  punto B, Y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la renta real  (producto agregado) irá disminuyendo. En consecuencia, encima de la ceroclina Y t  0, tal como se aprecia en la figura 1, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha región  del plano de fase se verifica que Y t  0.

56

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

 et  et B



Yt  0

B

 et A

A



Yt  0



Yt  0

YA  YB

Yt

Figura 1: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de renta real e

A continuación vamos a graficar la ceroclina  t  0. De (45), por los supuestos adoptados, se aprecia que esta ceroclina es una línea recta vertical que corta al eje de la producción real en Yn . Además, de la primera ecuación del sistema (43), para valores de Yt  Yn , a la derecha de la recta vertical, que se aprecia en la figura 2,  t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor de la tasa esperada de inflación irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la e izquierda de dicha recta  t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor de la tasa esperada de inflación irá disminuyendo, lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo. e

 et

e

t  0 e

t  0

e

t  0

Y  Yn

Yt

Figura 2: Equilibrio dinámico parcial para la tasa de inflación esperada 57

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Superponiendo las ceroclinas de la renta real y de la tasa de inflación esperada, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 3. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el retrato de fase es una espiral convergente hacia el punto de equilibrio E.  et

e



et  0



Yt  0

E

 e0

I

Y  Yn

Y0

Yt

Figura 3: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I del plano de fase, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (espiral) y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. En el corto y mediano plazos, tanto la producción real como la tasa de inflación esperada tendrán un comportamiento oscilante y convergente alrededor de sus valores de equilibrio estacionarios.

58

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producción agregada) y de la tasa de inflación esperada vienen dados por:

 Yt  Y   e e  e    t  

      b3  b 2    t 2  

          4 b  b   b 2     2 3 2 h cos  t   1    2          

       2    4 b 2  b 3  b 2     h 2sen t    2       

Dónde:

    h1  k1  v1  k 2  v 2      h 2  k1  v1  k 2  v 2 i

46

47

Reemplazando (41) y (42) en (47) resulta:

  k 1  k 2   k 1  k 2 i   h1     k 1  k 2        k 1  k 2   k 1  k 2 i  h 2     k 1  k 2 i     

48





Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 ,  e0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (46), se tiene que:

  Y0  Y  h1   e e  0   

49

Igualando (49) con la primera ecuación de (48) se tiene:

  e0   e k k    1 2    Y0  Y     e0   e  k 1  k 2 i   



59



50

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA





Reemplazando (50) en la segunda ecuación de (48) resulta:

 Y0  Y    2   2  e0   e     h2   Y0  Y     e0   e   









   51  



Sustituyendo la tercera expresión de (38) en (51) resulta:

 Y0  Y   b 2  e0   e     h2   e e  Y0  Y     0    



   52  





 b 3   b 2 Y0  Y   2b 2  e0   e  2 4 b 2  b 3   b 2    h2    2Y0  Y   b 3   b 2   e0   e  2  4 b 2  b 3   b 2 



Reemplazando las dos primeras expresiones de (38) en (52) tenemos:



     



53

Sustituyendo (49) y (53) en (46) tenemos que:

Yt  Y  e

   b 3  b 2   t  2  

2   Y  Y cos  4 b 2  b 3   b 2     0 2  



 b   b Y  Y   2b  e   e 3 2 0 2 0   2 4 b 2  b 3   b 2      e e t

e

  b 3   b 2    t 2  

 sen   

2  4 b 2  b 3   b 2    t     2   

2    e  e cos   4 b 2  b3  b 2     0 2  







 2Y  Y   b   b  e  e 0 3 2 0  2  4 b 2  b3  b 2  

  t      

 sen  

  t      

55 

4 b 2  b3  b 2    2 

 

54

2

   t     

Dónde Y y  e vienen dados por (33), mientras que b 2 y b 3 vienen dadas por (19).

60

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo (54) y (55) en (22) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación. En la figura 4 se puede apreciar el comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario. Yt

Y0

Yn

t

Figura 4: Comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo En la figura 5 se puede apreciar el comportamiento de la tasa de inflación esperada a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la tasa de inflación es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario.  et

e

 e0

t

Figura 5: Comportamiento de la tasa de inflación esperada a lo largo del tiempo

61

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Shock de política monetaria expansiva: Efectos de un aumento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 6), se produce un incremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, ceteris paribus, entonces la única ceroclina que se verá afectada será la ceroclina   e Y t  0, ya que la ceroclina  t  0, no depende de m t . De (44), se aprecia que al aumentar 

m t , entonces

la intersección de la ceroclina



Yt  0

con el eje vertical se hará más positiva 

(ya que por los supuestos adoptados, en este caso, m t  0 ). Por tanto, debido al   incremento en m t , la ceroclina Y t  0 se desplazará hacia arriba sin modificar su  e

pendiente y la ceroclina  t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 6. Efectos de largo plazo: Por otro lado, en la figura 6 se aprecia que tras el incremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, se provocará un incremento en la tasa de inflación esperada y la renta real (producto agregado) permanecerá invariable en su nivel natural. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria producirá un mayor nivel de inflación esperada y no tendrá efectos sobre la renta real (producto agregado).  et



et  0

   Y t  0  m0   

1e

B E1

A

0e

E0

Y  Yn

   Y t  0  m1   

Yt

Figura 6: Retrato de fase de la economía tras shock de política monetaria expansiva

62

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

De manera análoga, podemos verificar lo anterior determinando las derivadas estático comparativas de las componentes del nuevo equilibrio estacionario, E1, respecto a un incremento en la tasa de crecimiento instantáneo del stock nominal de dinero, ceteris  paribus. Derivando (33) respecto de m t , se tiene que:      Y m t   0     0   1      e 0    m t      

56

Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 6 se aprecia que, tras el incremento de la tasa instantánea del stock nominal de dinero, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 6 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. Además, tras el incremento de la tasa instantánea del stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting4) tanto de la tasa de inflación esperada (Punto B) como de la renta real (punto A) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Shock de oferta negativo: Efectos de una disminución de la renta real natural Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 7), se produce un decremento en la renta real natural, ceteris paribus, entonces las ceroclinas 

Y t  0,

y

e

t  0

se verán afectadas. De (44), se aprecia que al disminuir 

Yn ,

entonces la

intersección de la ceroclina Y t  0 con el eje vertical disminuirá (aunque por los supuestos adoptados en este caso seguirá siendo positiva). Por tanto, debido al  decremento en Yn , la ceroclina Y t  0 se desplazará hacia abajo (hacia la izquierda) sin modificar su pendiente. Asimismo, de (45) se aprecia que al disminuir Yn , la ceroclina  e

t  0

se moverá hacia la izquierda. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 7. Efectos de largo plazo: En la figura 7 se puede apreciar que tras el decremento de la renta real natural (producto potencial) ceteris paribus, en el largo plazo, se provocará un decremento en la renta real (producto agregado) y la tasa de inflación esperada permanecerá igual al valor que ésta tenía antes del shock de oferta negativo. En consecuencia, en el largo plazo, el shock de oferta negativo producirá un producto agregado por debajo del producto potencial y no tendrá efecto sobre la inflación esperada.

4

Se dice que una variable endógena exhibe desbordamiento (overshooting) en respuesta a un cambio exógeno no anticipado (shock) si su movimiento en el corto plazo excede el cambio en su valor de largo plazo.

63

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA  et



 

 



Y t  0 Yn1

A

et  0 Yn0

E1

E0

B

1e  0e 

 

et  0 Yn1

 



Y t  0 Yn0

Y1  Yn1

Y0  Yn0

Yt

Figura 7: Retrato de fase de la economía tras shock de oferta negativo Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 7 se aprecia que, tras el decremento de la renta real natural (producto potencial), la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 7 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. Además, tras el shock de oferta negativo, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de inflación esperada (Punto A) como de la renta real (punto B) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Shock de política fiscal: Efectos de una disminución de la tasa marginal impositiva y un incremento del gasto público simultáneos Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 8), se produce un decremento en la tasa marginal impositiva y simultáneamente se incrementa el gasto público, ceteris paribus, entonces por (44) y (45), las ceroclinas no se verán afectadas.

64



Y t  0,

y

e

t  0

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de largo plazo: e

Dado que las ceroclinas Y t  0, y  t  0 no se ven afectadas por el shock de política fiscal, en consecuencia, el punto de equilibrio de la economía seguirá siendo el mismo que había antes del shock de política fiscal, esto es: E0 = E1, tal como se aprecia en la figura 8. 

Efectos de corto y mediano plazo: En el instante, t 0 , que se produce el shock de política fiscal, la inflación esperada permanecerá invariable y la renta real se incrementará a Yt 0  Yn . La renta real se incrementará tras el shock de política fiscal ya que por (19), al subir permanentemente G , y al caer permanentemente , en t 0 , los parámetros b1 , b 2 , y b3 se incrementarán. En consecuencia, tras el shock de política fiscal la economía se encontrará en desequilibrio en el punto I de la figura 8. En esta figura se aprecia que, tras el shock de política fiscal, la economía, partiendo del punto I, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 8 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. 

e t

1e  0e



Yt  0



et  0

E 0  E1

I

Y  Yn

Yt 0

Figura 8: Retrato de fase de la economía tras shock de política fiscal

65

Yt

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso I, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan los supuestos adoptados. Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla I. Parámetros

Valores 0,05 0,05 0,1 0,8

θ γ µ c c0   I0

5 0,8 1,5 10

Tabla I: Valores de los parámetros simulados En la tabla II se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0 Yn τ G

0,05



1 0,3 5

Tabla II: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (29) resulta: b A           2,741  3,704  Y  2,926 t t Y   e    e    0   t    1,2   t   1,2   



I

Las ceroclinas del sistema (I) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  0,74Yt  0,79  e  t  0  Y  Y  1 t n 

II

Asimismo, por (31), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Y  Yn   Yn   1   e                 m t  0,05

III

Mientras que por (34), tenemos que:

trA  2,741  0   A  4,444  0   10,266  0 

66

IV

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura I se muestra el retrato de fase y las ceroclinas del sistema dado por (I). Yt' = 0

0.1 0.09 0.08

Inflación Esperada

0.07 0.06 E 0.05 0.04 0.03

 et '  0

0.02 0.01 0 0.8

0.85

0.9

0.95

1 1.05 Renta Real

1.1

1.15

1.2

Figura I: Retrato de fase del sistema En las figuras II y III se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución en el tiempo de la verdadera inflación, de la inflación esperada, y de la renta real para el sistema (I) con las siguientes condiciones iniciales: Y0 , e0   1,5;0,01. 0.18 Yt ' = 0

 et '  0

0.16

Inflación Esperada

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 E 0.04 0.02 I 0

0.6

0.8

1

1.2 Renta Real

1.4

1.6

 Figura II: Diagrama de fase del sistema  m 0  0,05 



67



CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (54) y (55) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (I). Yt  1  e 1,37t 0,5 cos1,602t   0,335sen1,602t    e 1, 37t  0,34sen1,602t   0,04 cos 1,602t   t  0,05  e

(V)

1.5

1.4 Yt

Yt

1.3

1.2

1.1

1

0.9 0

5

10

15 t

20

25

30

0.45 Inflación Esperada Verdadera Inflación

0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura III: Evolución temporal de la renta real (producción agregada), de la inflación esperada y de la verdadera inflación 68

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo   0,8; Yn  1, y (V) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación (su evolución temporal se muestra en la figura III).  t  0,05  e 1,37t 0,36 cos1,602t   0,072sen 1,602t 

VI 

Simulación del Shock de política monetaria expansiva: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora incrementamos la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de 



m0  0,05 a m1  0,09, el sistema (29) resulta:

b A            2,741  3,704  Y  3,074 t t Y   e    e    0   t    1,2   t   1,2   

VII 

Las ceroclinas del sistema (VII) vienen dadas por:  e Y t  0  t  0,74Yt  0,83  e t  0  Y  Y  1 t n 

VIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (VIII) vendrá dado por:  Yn   1  E1        IX m1  0,09

Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero. En la figura IV se muestra el diagrama de fase del sistema (VII) tras el incremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de incrementar dicha tasa, esto es:  Yn   1  E0       . m0   0,05

69

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

0.12

   Yt '  0  m 0   

0.11

 et '  0

Inflación Esperada

0.1 E1

0.09

0.08

0.07

0.06

   Yt '  0  m1   

0.05 E0 0.04 0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95 Renta Real

1

1.05

1.1

1.15

1.2

 Figura IV: Diagrama de fase del sistema  m1  0,09 







Sustituyendo los parámetros (con m1  0,09 ), E0 y E1 en (54) y (55) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (VII). Yt  1  0,092e1,37t sen1,602t    e 1, 37t  0,034sen1,602t   0,04 cos 1,602t  t  0,09  e

(X)

Sustituyendo   0,8; Yn  1, y (X) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación. t  0,09  e1,37t 0,039sen 1,602t   0,04 cos1,602t 

XI

En la figura V se aprecia la evolución temporal del sistema (VII) junto con la verdadera inflación, dada por (VI), tras el incremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, teniendo como punto inicial a E0  1;0,05.

70

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

1.1 1.08 Yt

1.06 1.04

Yt

1.02 1 0.98 0.96 0.94 0.92 0.9

0

5

10

15 t

20

25

30

0.12 Inflación Esperada Verdadera Inflación 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura V: Evolución temporal de la renta real, de la inflación esperada y de la verdadera inflación tras el shock de política monetaria expansiva

71

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación del Shock de oferta negativo: Tomando como punto de inicio el punto de equilibrio dado por (III), si ahora disminuimos la renta real natural (producto potencial), ceteris paribus, pasando de Yn0  1 a Yn1  0,5, el sistema (29) resulta: b A          2,741  3,704 Y  1,556 t t Y   e    e    0   t    0,6    t   1,2   

XII

Las ceroclinas del sistema (XII) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  0,74Yt  0,162  e  t  0  Y  Y  0,5 t n 

XIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Yn1   0,5  E1        m 0  0,05

XIV

Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el decremento de la renta real natural (producto potencial). En la figura VI se muestra el diagrama de fase del sistema (XIII) tras el decremento de la renta real natural (producto potencial), teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de disminuir el producto potencial, esto es:    E 0   Yn0 ; m 0   1;0,05.  

 

Yt '  0 Yn1

0.2

 

 

Yt '  0 Yn0

et ' 0 Yn1

 

et ' 0 Yn0

0.18 0.16

Inflación Esperada

0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 E1

E0

0.04 0.02 0 0

0.2

0.4

0.6 0.8 Renta Real

1

1.2

1.4

Figura VI: Diagrama de fase del sistema tras shock de oferta negativo

72

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros (con Yn1  0,5 ), E0 y E1 en (54) y (55) obtenemos la evolución en el tiempo de la renta real y de la inflación esperada del sistema (XIII). Yt  0,5  e 1,37t 0,5 cos1,602t   0,428sen1,602t    e 1, 37t  0,375sen1,602t   t  0,05  e

XV

Sustituyendo   0,8; Yn  0,5, y (XV) en (22), obtenemos la verdadera inflación.  t  0,05  e 1,37t 0,0324sen 1,602t   0,4 cos1,602t  XVI 

En la figura VII se aprecia la evolución temporal del sistema (XIII) junto con la verdadera inflación, dada por (XVI), tras el decremento de la renta real natural, teniendo como punto inicial a E0  1;0,05. 1

0.9

Yt

Yt

0.8

0.7

0.6

0.5

0.4

0

5

10

15 t

20

25

30

0.5 Inflación Esperada Verdadera Inflación

0.45 0.4 0.35 0.3 0.25 0.2 0.15 0.1 0.05 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura VII: Evolución temporal de la renta real, de la inflación esperada y de la verdadera inflación tras el shock de oferta negativo

73

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación del Shock de política fiscal: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora disminuimos la tasa marginal impositiva, pasando de  0  0,3 a 1  0,2 y simultáneamente aumentamos el gasto público, de G 0  5 a G1  6 , ceteris paribus, el sistema (29) resulta:

b A            3,217  4,348 Y  3,435 t t Y   e    e    0   t    1,2    t   1,2   

XVII

Las ceroclinas del sistema (XVII) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  0,74Yt  0,79  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XVIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XVIII) vendrá dado por:  Yn   1  E1         E0 m 0  0,05

XIX

Mientras que los valores dados por (34), tras el shock de política fiscal, ahora serán:

trA  3,217  0   A  5,217  0   10,518  0 

XX

Para hallar el valor de la renta real tras el shock de política fiscal, Yt 0 , vamos a utilizar la ecuación (19). Primeramente, vamos a despejar de (19) los saldos reales (en términos logarítmicos), teniendo presente que antes del shock de política fiscal (que se da en el instante t 0 ) la economía se encuentra en equilibrio, esto es:











Y  b1  b 2 m t 0  p t 0  b3  e  Yn  b1  b 2 m t 0  p t 0  b3 m 0  

XXI

Y  b1  b 3 m 0 m t0  p t0  n b2

En el instante t 0 en el que se produce el shock de política fiscal, la inflación esperada 

permanecerá invariable,  e  m 0  0,05; y el valor de la renta real Yt 0  Yn , ya que al subir permanentemente G , y al caer permanentemente , los parámetros b1 , b 2 , y b3 se incrementarán y sus nuevos valores los denotaremos por b I , b II , y b III . Entonces, de (19), en t 0 , tendremos:





Yt 0  b I  b II m t 0  p t 0  b III m 0 XXII

74



CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo (XXII) en (XXI) tenemos que:      Yn  b1  b 3 m 0  Yt 0  b I  b II  b m  0 XXIII III  b2   

Utilizando los parámetros y variables exógenas de las tablas I y II, hallamos b1 , b 2 , y b3 antes del shock de política fiscal. Empleando los valores de las tablas I y II con 1  0,2 

y G1  6 , determinamos b I , b II , y b III . Reemplazando b1 , b 2 , b 3 , b I , b II , b III , y m 0 en (XXIII) se obtiene Yt 0  3,348.

En la figura VIII se muestra el diagrama de fase del sistema (XVII) tras el shock de Yt 0   3,348 política fiscal, teniendo como punto de partida el punto: I       .  m 0   0,05   et '  0

Yt '  0 0.6

Inflación Esperada

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1 E0 = E1 0

0

0.5

1

I

1.5

2 Renta Real

2.5

3

3.5

Figura VIII: Diagrama de fase del sistema tras shock de política fiscal

Sustituyendo los parámetros (con 1  0,2 y G1  6 ), y E1 en (54) y (55) obtenemos la evolución en el tiempo de la renta real y de la inflación esperada del sistema (XVII). Yt  1  e 1,609t 2,348 cos1,622t   2,3298sen1,622t    e 1, 609t  1,737sen1,622t   t  0,05  e

75

XXIV

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Reemplazando   0,8; Yn  1, y (XXIV) en (22), obtenemos la verdadera inflación.  t  0,05  e 1,609t 1,878 cos1,622t   0,126sen 1,622t  XXV

En la figura IX se aprecia la evolución temporal del sistema (XVII) junto con la verdadera inflación, dada por (XXV), tras el shock de política fiscal, teniendo como punto inicial a I  3,348;0,05. 3.5

3

Yt

2.5

Yt

2

1.5

1

0.5 0

5

10

15 t

20

25

30

2 Inflación Esperada Verdadera Inflación

1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura IX: Evolución temporal de la renta real, de la inflación esperada y de la verdadera inflación tras el shock de política fiscal

76

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cualitativo

trA  b3  b 2   0  b3  b 2  Caso 2: Nodo Impropio:  A   b 2  0  2 2   trA  4 A  b3  b 2   4 b 2  0

57 

Teniendo en cuenta que   0 y que A  0, entonces resulta que:

trA2

0

trA2

  0

trA    0  trA    0 0  trA    trA

59

58

Asimismo, multiplicando por menos uno a (58) se obtiene que:

trA     0  trA    2      0  trA    0 60

En este caso, teniendo en cuenta (59) y (60), los autovalores de la matriz “A” serán: 2  trA   b 3  b 2   b 3  b 2   4 b 2 1   0 2 2   2 b 3  b 2   b 3  b 2   4 b 2  2  trA    0  2 2    2  1  0

61

Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son negativos, y a los signos del discriminante, de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un nodo impropio estable (convergente).

 El autovector v1 asociado a 1 se calculará a partir de: b3  b 2   1   



v1   b 2  a  0   1  b 0

62

b3  b2   1 a  bb2  0  b  b3  b2   1  a 63 b2

La ecuación (63) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (62), pero esto no lo vamos a demostrar aquí.

77

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Haciendo a  b 2 tenemos que: b2    v1    b3  b 2   1 

64

Reemplazando 1 , dado por (61), en (64) se obtiene:

   v1   b   b 2    3 

  b2  2 b3  b2   4 b2    2   2  b2

65

De manera análoga, el autovector asociado a  2 será: b2    v2    b 3  b 2    2 

66

Reemplazando  2 , dado por (61), en (66) se obtiene:

   v 2   b   b   2  3 

b2

b 3   b 2 2 2

  b 2   4 b 2        1  

67

Para este caso, las expresiones (44) y (45) de las ceroclinas correspondientes al caso 1 siguen siendo válidas, al igual que las líneas de fuerza dinámicas que se bosquejaron en las figuras 1 y 2. No obstante, superponiendo las ceroclinas del nivel de renta real y de la tasa de inflación esperada, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 9, correspondiente a un nodo impropio estable. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, las trayectorias de fase son tangentes a la línea de  acción del autovector V1 . Para comprobar esto vamos a considerar la solución general     X t  X E  k1e t V1  k 2 e t V2 donde 1 y  2 son autovalores reales, distintos y negativos, y   sus autovectores asociados son V1 y V2 . Ya que  2  1  0, cuando t   se verificará  que e1t  e 2 t . Por tanto, cuando t   la solución tenderá a alinearse con k1e t V1, esto    es, en el largo plazo tendremos que X t  X E  k1e t V1. Pero, dado que cuando t  , 1

2

1

1

resulta que e 1t  0 y e  2 t  0, entonces se tiene que en el largo plazo X t  X E independientemente de los valores de k1 y k 2 . Por tanto, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarán al punto de equilibrio tangencialmente a la línea de acción del  autovector V1 .

78

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

De particular interés es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre V1 ,  entonces k 2  0 y el sistema se mueve a lo largo de la línea de acción del autovector V1 y se aproxima al punto de equilibrio conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si  el punto inicial se encuentra justo sobre V2 , entonces k1  0 y el sistema se mueve a lo  largo de la línea de acción de V2 , aproximándose al punto de equilibrio en el límite. Por tanto, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable. et

 e0 



Yt  0

e

t  0

I  v2

E

e

 v1

Y0

Y  Yn

Yt

Figura 9: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 9, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase celeste y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. Asimismo, en la figura 9 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E, la tasa de inflación esperada disminuye monótonamente y la renta real crece de forma monótona hasta alcanzar sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo.

79

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta (producto agregado) y de la tasa de inflación esperada vienen dados por: 







V1 V2 Xt XE     b 2  b 2  Yt   Y  1t 2t k e k e        1 2  e    e   1   2   t  

68

De donde: 1t 2t   Yt  Y  k1b 2e  k 2 b 2e  e 1t 2t e   t    k1 2e  k 21e

69





Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 ,  e0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (69), se tiene que:  1 Y  Y0   b 2 e0   e   k  Y0  Y  k1b 2  k 2 b 2  1 b 2  2  1     e e  2 Y  Y0   b 2 e0   e  0    k1 2  k 21  k 2  b 2 1   2  



e



 e

 1 Y  Y0   b 2  e0   e Yt  Y    2  1  

Reemplazando (70) en (69) se tiene que:

 1 Y  Y0   b 2 e0   e et   e   b 2  2  1  

 

 

2

1t

1t

70



  2 Y  Y0   b 2  e0   e  1   2  



  2 Y  Y0   b 2 e0   e  b 2 1   2  

e 71   

2t

 e 72  

2t

1

Dónde Y y  e vienen dados por (33), mientras que 1 y  2 vienen dados por (61). Sustituyendo (71) y (72) en (22) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación. En la figura 10 se pueden apreciar los plausibles comportamientos de la renta real (producto agregado) a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta real (producto agregado) converge hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial.

80

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Yt

Y

t

Figura 10: Comportamiento de la renta real (producto agregado) en el tiempo En la figura 11 se pueden apreciar algunos posibles comportamientos de la tasa de la inflación esperada a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la inflación esperada es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial.  et

e

t

Figura 11: Comportamiento de la tasa de inflación esperada a lo largo del tiempo Shock de política monetaria contractiva: Efectos de un decremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 12), se produce un decremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, céteris paribus, entonces la única ceroclina que se verá afectada será la ceroclina   e Y t  0, ya que la ceroclina  t  0, no depende de m t . De (44), se aprecia que al disminuir 

mt ,

entonces el valor de la intersección de la ceroclina

más pequeña. Por tanto, debido a la disminución en



mt ,



Yt  0

con el eje vertical se hará

la ceroclina



Yt  0

se desplazará e

hacia abajo (hacia la izquierda) sin modificar su pendiente y la ceroclina  t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 12.

81

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de largo plazo: Por otro lado, en la figura 12 se aprecia que la disminución de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero (ceteris paribus), en el largo plazo, provocará una caída en la tasa de inflación esperada mientras que la renta real volverá a alcanzar su nivel natural. En consecuencia, en el largo plazo, la perturbación monetaria contractiva, producirá una menor tasa de inflación esperada pero no alterará a la renta real de su nivel natural.  et

0E

E0

1E

E1     Y t  0  m1   

    Y t  0  m0   

e

t  0

Yn

Yt

Figura 12: Retrato de fase de la economía tras política monetaria contractiva Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 12 se aprecia que, tras la política monetaria contractiva, la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria de color azul. Asimismo, en dicha figura se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo. Además, en este caso, tras el decremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, entre el punto E0 y el punto E1, se observa el fenómeno de overshooting en la renta real respecto de su valor de equilibrio de largo plazo.

82

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Shock de oferta negativo: Efectos de una disminución de la renta real natural Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 13), se produce un decremento en la renta real natural, ceteris paribus, entonces las ceroclinas 

Y t  0,

y

e

t  0

se verán afectadas. De (44), se aprecia que al disminuir 

entonces la

Yn ,

intersección de la ceroclina Y t  0 con el eje vertical disminuirá (aunque por los supuestos adoptados en este caso seguirá siendo positiva). Por tanto, debido al  decremento en Yn , la ceroclina Y t  0 se desplazará hacia abajo (hacia la izquierda) sin modificar su pendiente. Asimismo, de (45) se aprecia que al disminuir Yn , la ceroclina  e

t  0

se moverá hacia la izquierda. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 13.  et

 

e

A

t  0 Yn1

 



Y t  0 Yn0

B

1E  0E

E1

E0



 

e

Y t  0 Yn1

 

t  0 Yn0

Yn1

Yn0

Yt

Figura 13: Retrato de fase de la economía tras shock de oferta negativo Efectos de largo plazo: En la figura 13 se puede apreciar que tras el decremento de la renta real natural (producto potencial) ceteris paribus, en el largo plazo, se provocará un decremento en la renta real (producto agregado) y la tasa de inflación esperada permanecerá igual al valor que ésta tenía antes del shock de oferta negativo. En consecuencia, en el largo plazo, el shock de oferta negativo producirá un producto agregado por debajo del producto potencial y no tendrá efecto sobre la inflación esperada.

83

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 13 se aprecia que, tras el decremento de la renta real natural (producto potencial), la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 13 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo de manera oscilatoria. Además, tras el shock de oferta negativo, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de inflación esperada (Punto A) como de la renta real (punto B) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo. Shock de política fiscal: Efectos de una disminución de la tasa marginal impositiva y un incremento del gasto público simultáneos Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 14), se produce un decremento en la tasa marginal impositiva y simultáneamente se incrementa el gasto público, ceteris paribus, entonces por (44) y (45), las ceroclinas no se verán afectadas.



Y t  0,

y

e

t  0

Efectos de largo plazo: e

Dado que las ceroclinas Y t  0, y  t  0 no se ven afectadas por el shock de política fiscal, en consecuencia, el punto de equilibrio de la economía seguirá siendo el mismo que había antes de dicho shock, esto es: E0 = E1, tal como se aprecia en la figura 14. 

Efectos de corto y mediano plazo: En el instante, t 0 , que se produce el shock de política fiscal, la inflación esperada permanecerá invariable y la renta real se incrementará a Yt 0  Yn . La renta real se incrementará tras el shock de política fiscal ya que por (19), al subir permanentemente G , y al caer permanentemente , en t 0 , los parámetros b1 , b 2 , y b3 se incrementarán. En consecuencia, tras el shock de política fiscal la economía se encontrará en desequilibrio en el punto I de la figura 14. En esta figura se aprecia que, tras el shock de política fiscal, en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E1, tanto la renta real (producto agregado) como la tasa de instantánea de la inflación esperada convergen a sus respectivos valores de equilibrio de largo plazo. Además, tras el shock de pol’itica fiscal, entre el punto E0 y el punto E1, se observa que hay una sobrerreacción (overshooting) tanto de la tasa de inflación esperada (Punto A) como de la renta real (punto B) respecto a sus valores de equilibrio de largo plazo.

84

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

 et

A B

1e  0e



et  0

E 0  E1

I



Yt  0

Y  Yn

Yt 0

Figura 14: Retrato de fase de la economía tras shock de política fiscal

85

Yt

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso II, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan todos los supuestos adoptados. Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla III. Parámetros θ

Valores 0,05 0,05 0,1 0,8

γ µ c

c0   I0

10 5 1 10

Tabla III: Valores de los parámetros simulados En la tabla IV se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0 Yn τ G

0,09



1 0,3 5

Tabla IV: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (29) resulta: b A          17,593  3,704 Y  17,926 t t Y  e    e  0   t    5   t   5   



XXVI

Las ceroclinas del sistema (XXVI) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  4,75Yt  4,84  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XXVII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Yn   1  E   m 0  0,09

86

XXVIII

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Mientras que por (57), tenemos que: trA  17,592  0   A  18,519  0   235,425  0 

XXIX

En la figura X se muestra el retrato de fase, los autovectores y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (XXVI). Yt '  0

0.2

 et '  0

0.18 0.16

Inflación Esperada

0.14 0.12

0.1 E 0.08

V2

0.06

V1

0.04 0.02

0 0.96

0.97

0.98

0.99

1 Renta Real

1.01

1.02

1.03

1.04

Figura X: Retrato de fase del sistema





En la figura XI se muestra el diagrama de fase de la renta real (producto agregado) y la tasa de inflación esperada del sistema (XXVI) con las siguientes condiciones iniciales:  x 0  Y0 , e0  0,98;0,11.

87

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA  et '  0

Yt '  0

0.2 0.18 0.16

Inflación Esperada

0.14 0.12

 X0

0.1

E

0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.96

0.97

0.98

0.99

1 Renta Real

1.01

1.02

1.03

1.04

   Figura XI: Diagrama de fase del sistema  m 0  0,09   

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (71) y (72) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (XXVI). Yt  1  0,00336 e 1,125t  0,0166e 16, 468t  (XXX)  e 1,125t 16, 468t   0,0051e  t  0,09  0,0149e

Sustituyendo   5; Yn  1, y (XXX) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación.  t  0,09  0,00019e 1,125t  0,078e 16, 468t





XXXI

La evolución temporal de la renta real, de la verdadera inflación, y de la inflación esperada se muestran en la figura XII con las siguientes condiciones iniciales:  x 0  Y0 , e0  0,98;0,11.

88

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

1

Yt

0.995

0.99 Yt

0.985

0.98 0

5

10

15 t

20

25

30

0.12 Inflación Esperada Verdadera Inflación 0.1

0.08

0.06

0.04

0.02

0

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura XII: Evolución temporal de la renta real, de la verdadera inflación y de la inflación esperada

89

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación del shock de política monetaria: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (XXVIII), si ahora disminuimos la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, ceteris paribus, pasando de 



m 0  0,09 a m1  0,04 el sistema (29) resulta:

b A          17,593  3,704 Y  17,741 t t Y  e    e  0   t    5   t   5   



XXXII

Las ceroclinas del sistema (XXXII) vienen dadas por:  e Y t  0   t  4,75Yt  4,79  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XXXIII

Asimismo, por (31), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Yn   1  E1        m1  0,04

XXXIV

Mientras que los valores dados por (XXIX) se mantienen invariables ante el decremento de la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero. En la figura XIII se muestra el diagrama de fase del sistema (XXXII) tras el decremento en la tasa de crecimiento instantánea del stock nominal de dinero, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de disminuir dicha tasa, esto es: Y   1  E 0   e0    .  0   0,09

90

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA  et '  0

0.1

E0

0.09 0.08

Inflaci'on Esperada

0.07 0.06 0.05 0.04

E1

0.03 0.02 0.01

   Yt '  0  m1   

0 0.98

0.985

0.99

0.995

1 1.005 Renta Real

1.01

   Yt '  0  m 0    1.015

1.02

   Figura XIII: Diagrama de fase del sistema  m1  0,04    

Sustituyendo los parámetros (con m1  0,04 ), E0 y E1 en (71) y (72) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (XXXII). Yt  1  0,0121 e 1,125t  0,0121e 16, 468t  (XXXV)  e 1,125t 16, 468t   0,0037e  t  0,04  0,0537e

Sustituyendo   5; Yn  1, y (XXXV) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación.

t  0,04  0,0067e 1,125t  0,0567e 16, 468t

XXXVI

En la figura XIV se aprecia la evolución temporal del sistema (XXXII) junto con la verdadera inflación, dada por (XXXVI), tras la disminución de la tasa de crecimiento del stock nominal de dinero, ceteris paribus, teniendo como punto inicial a E 0  1; 0,09.

91

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

1

0.998

Yt

0.996 Yt 0.994

0.992

0.99 0

5

10

15 t

20

25

30

0.1 Inflación Esperada Verdadera Inflación

0.09

0.08

0.07

0.06

0.05

0.04

0.03

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura XIV: Evolución temporal de la renta real, de la verdadera inflación, y de la inflación esperada tras la política monetaria contractiva

92

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación del Shock de oferta negativo: Tomando como punto de inicio el punto de equilibrio dado por (XXVIII), si ahora disminuimos la renta real natural (producto potencial), ceteris paribus, pasando de Yn0  1 a Yn1  0,5, el sistema (29) resulta: b A         17,593  3,704 Y   9,13  t t Y   e    e  0   t   2,5  t   5   

XXXVII

Las ceroclinas del sistema (XXXVII) vienen dadas por:  e Y t  0   t  4,75Yt  2,465  e  t  0  Y  Y  0,5 t n 

XXXVIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Yn1  0,09 E1        m 0   0,5 

XXXIX

Mientras que los valores dados por (XXIX) se mantienen invariables ante el decremento de la renta real natural (producto potencial). En la figura XV se muestra el diagrama de fase del sistema (XXXVII) tras el decremento de la renta real natural (producto potencial), teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de disminuir el producto potencial, esto es:    E 0   Yn0 ; m 0   1;0,09.  

 

 

 et '  0 Yn1

0.25

Yt '  0 Yn0

Inflación Esperada

0.2

0.15

0.1 E0

E1

0.05

 

 

Yt '  0 Yn1

 et '  0 Yn0

0 0.4

0.5

0.6

0.7 Renta Real

0.8

0.9

1

Figura XV: Diagrama de fase del sistema tras shock de oferta negativo

93

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros (con Yn1  0,5 ), E0 y E1 en (71) y (72) obtenemos la evolución en el tiempo de la renta real y de la inflación esperada del sistema (XXXVII). 1,125t   0,537e 16, 468t Yt  0,5  0,037e XL  e 1,125t 16, 468t      0 , 05 0 , 163 e 0 , 163 e  t Sustituyendo   5; Yn  0,5, y (XL) en (22), obtenemos la verdadera inflación.

XLI

 t  0,05  0,02e 1,125t  2,52e 16, 468t

En la figura XVI se aprecia la evolución temporal del sistema (XXXVII) junto con la verdadera inflación, dada por (XLI), tras el decremento de la renta real natural, teniendo como punto inicial a E 0  1;0,09 . 1

0.9

0.8

Yt

Yt 0.7

0.6

0.5

0

5

10

15 t

20

2.5

25

30

Inflación Esperada Verdadera Inflación

2

1.5

1

0.5

0

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

Figura XVI: Evolución temporal de la renta real, de la verdadera inflación, y de la inflación esperada tras el shock de oferta negativo 94

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación del shock de política fiscal: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora disminuimos la tasa marginal impositiva, pasando de  0  0,3 a 1  0,25 y simultáneamente aumentamos el gasto público, de G 0  5 a G1  5,25 , ceteris paribus, el sistema (29) resulta: b A         19  4 Y  19,36 t t Y   e    e    0   t    5   t   5   

XLII

Las ceroclinas del sistema (XLII) vienen dadas por:

 e Y t  0   t  4,75Yt  4,84  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XLIII

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XLII) vendrá dado por:  Yn   1  E1         E0 m 0  0,09

XLIV

Mientras que los valores dados por (57), tras el shock de política fiscal, ahora serán:

trA  19  0   A  20  0   281  0 

XLV

En el instante t 0 en el que se produce el shock de política fiscal, la inflación esperada 

permanecerá invariable,  e  m 0  0,09; y el valor de la renta real Yt 0  Yn , ya que al

subir permanentemente G , y al caer permanentemente , los parámetros b1 , b 2 , y b3 se incrementarán y sus nuevos valores los denotaremos por b I , b II , y b III . Utilizando los parámetros y variables exógenas de las tablas III y IV, hallamos b1 , b 2 , y b3 antes del shock de política fiscal. Empleando los valores de las tablas III y IV con 1  0,25 y 

G1  5,25 , determinamos b I , b II , y b III . Reemplazando b1 , b 2 , b 3 , b I , b II , b III , y m 0 en (XXIII) se obtiene Yt 0  4,82.

En la figura XVII se muestra el diagrama de fase del sistema (XLII) tras el shock de Yt 0   4,82 política fiscal, teniendo como punto de partida el punto: I       . 0,09 m    0 

95

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

1 0.9

et '  0

0.8

Inflación Esperada

0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1

E0 = E1

I

Yt '  0

0 0.5

1

1.5

2

2.5 3 Renta Real

3.5

4

4.5

5

Figura XVII: Diagrama de fase del sistema tras shock de política fiscal

Sustituyendo los parámetros (con 1  0,25 y G1  5,25 ), y E1 en (71) y (72) obtenemos la evolución en el tiempo de la renta real y de la inflación esperada del sistema (XLII). Yt  1  0,255 e 1,118t  4,075e 17,882t   e 1,118t   1,139e 17,882t  t  0,09  1,139e

XLVI 

t  0,09  0,135e 1,118t  19,235e17,882t

XLVII

Reemplazando   5; Yn  1, y (XLVI) en (22), obtenemos la verdadera inflación.

En la figura XVIII se aprecia la evolución temporal del sistema (XLII) junto con la verdadera inflación, dada por (XLVII), tras el shock de política fiscal, teniendo como punto inicial a I  4,82;0,09 .

96

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

5 4.5 4 3.5 Yt

Yt

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

5

10

15 t

20

25

30

20 Inflación Esperada Verdadera Inflación

18 16 14 12 10 8 6 4 2 0

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

Figura XVIII: Evolución temporal de la renta real, de la inflación esperada y de la verdadera inflación tras el shock de política fiscal

97

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cualitativo

trA  b 3  b 2   0  b 3  b 2    1  Caso3: Centro  A   b 2  0  2   trA  4 A  4 b 2  0

73

De acuerdo a (37), los autovalores o raíces características son:   trA   trA 1    i    i  i  2 2 2    trA   trA  i  trA    i    i  i  2  2 2 2 2 

Dónde:

       

trA 0 2 

2



74

75

   b 2  0 2

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es nula,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un centro marginalmente estable.

 El autovector v1 asociado a 1  i se calculará sustituyendo la primera condición de (73) y   0 en (41), de donde:   i    b 2 i  v1          

76

  El autovector v 2 asociado a  2  i será el conjugado de v1 , esto es:  i   b 2 i    v2          

77

Reemplazando la primera condición de (73) y   0 en (43) obtenemos las ceroclinas del sistema:    e e Y t  0 : b2  mt   t   0   t  mt     e   t  0 : Yt  Yn  0  Yt  Yn

98

(78)

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

A continuación vamos a graficar la ceroclina Y t  0 en el plano de fase et  Yt . De la primera ecuación de (78), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente nula, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje de la inflación 



esperada) será igual a m t  0. Además, si estando en un punto de la ceroclina Y t  0 como el punto A de la figura 15, la inflación esperada aumenta y el nivel de renta 

permanece constante, pasando a un punto encima de la ceroclina Y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la primera ecuación del sistema (78), al haber aumentado el valor de la inflación esperada, se verifica que en 



un punto encima de la ceroclina Y t  0, tal como el punto B, Y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la renta irá disminuyendo. En consecuencia, 

encima de la ceroclina Y t  0, tal como se aprecia en la figura 15, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Por debajo de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a 

derecha ya que en dicha región del plano de fase se verifica que Y t  0.

eB

et B



e  m t



Yt  0

A

YA  YB

Yt

Figura 15: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de renta real e

Por otro lado, de la segunda ecuación de (78), se puede apreciar que la ceroclina  t  0, en el plano de fase et  Yt , es una recta vertical que corta al eje de la renta real en Yn . Además, de la segunda ecuación del sistema (78), para valores de Yt  Yn , a la derecha e

de la recta vertical, que se aprecia en la figura 16,  t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor de la inflación esperada irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta e

 t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor de la inflación esperada irá disminuyendo, lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo.

99

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

et

e

t  0

Yt

Yn

Figura 16: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de renta agregada Superponiendo las ceroclinas de la renta real y de la inflación esperada, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase et  Yt , se obtiene la figura 17. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el punto de equilibrio es un centro (elipse) marginalmente estable.

et

e

t  0 C

e D e0

B

E



Yt  0

I

F

Y0

Yn

Yt

Figura 17: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 17, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (elipse) y se mantendrá girando por siempre alrededor del punto de equilibrio estacionario E, siempre que no haya ningún shock aleatorio. Además, en la figura 17 se observa que en el trayecto que va desde del punto I al punto B, la economía presenta un periodo en el que la renta real y la inflación esperada aumentan, entre el punto B y el punto C la inflación esperada y la renta real disminuye, entre el punto C y el punto D la renta real la inflación esperada disminuyen, entre el punto D y el punto F la renta real aumenta y la inflación esperada disminuye. A partir de determinado instante del tiempo, este ciclo económico se repetirá perpetuamente, siempre que no haya ningún shock aleatorio.

100

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cuantitativo El comportamiento de la renta real y de la tasa de inflación esperada vienen dados por:             Yt  Y        e e   h 1 cos  b 2 t   h 2 sen  b 2 t       t       

Dónde:

79

    h1  k1  v1  k 2  v 2 80      h 2  k1  v1  k 2  v 2 i

Reemplazando (76) y (77) en (80) resulta:

    b 2 k1  k 2 i   h1       k1  k 2       b 2 k1  k 2  h 2       k1  k 2 i   

81





Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por Y0 ,  e0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (79), se tiene que:

  Y0  Y  h1   e e  0   

82

Igualando (82) con la primera ecuación de (81) se tiene:

 e0   e k k    1 2    k  k i  Y0  Y 2  1  b 2 



83



Reemplazando (83) en la segunda ecuación de (81) resulta:

   b 2  e0   e     h2     b 2 Y0  Y   b2 

101

   84   

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo (82) y (84) en (79) tenemos que:





Yt  Y  Y0  Y cos  b 2 t 



 

et   e  e0   e cos



 b 2 e0   e





 b 2 t 

 sen

 b 2 t



 b 2 Y0  Y  sen  b 2 t b2





85

86

Dónde Y y  e vienen dados por (33), mientras que b 2 viene dada por (19). Sustituyendo (85) y (86) en (22) se obtiene la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación. En la figura 18 se puede apreciar el comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la renta es oscilante (de amplitud constante: Ay) alrededor de Yn . Yt

Y0 Yn

Figura 18: Comportamiento de la renta real a lo largo del tiempo En la figura 19 se puede apreciar el comportamiento de la inflación esperada a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la inflación esperada es oscilante (de amplitud constante: Ap) alrededor de  e .  et

e

 e0

Figura 19: Comportamiento de la tasa de inflación esperada a lo largo del tiempo

102

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso III, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan los supuestos adoptados. Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla V. Parámetros

Valores 0,05 0,5 0,1 0,8

θ γ µ c c0   I0

5 0,8 2 10

Tabla V: Valores de los parámetros simulados En la tabla VI se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas

Valores

m0 Yn τ G

0,09



1 0,3 5

Tabla VI: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (29) resulta: b A         0  0,444 Y   0,04  t t Y  e    e    0   t   1,6   t  1,6   



XLVIII

Las ceroclinas del sistema (XLVIII) vienen dadas por:  e Y t  0   t  0,09  e  t  0  Y  Y  1 t n 

XLVII 

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:  Y  Yn   Yn   1   e                 m t  0,09

L

Mientras que por (73), tenemos que:

trA  0   A  0,711  0   2,844  0 

103

LI 

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura XIX se muestra el retrato de fase y las ceroclinas del sistema (XLVIII).  et '  0

0.5

0.4

Inflación Esperada

0.3

0.2

Yt '  0

0.1 E 0

-0.1

-0.2

-0.3 0.8

0.85

0.9

0.95

1 Renta Real

1.05

1.1

1.15

1.2

Figura XIX: Retrato de fase del sistema En las figuras XX y XXI se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución en el tiempo de la verdadera inflación, de la inflación esperada, y de la renta real para el sistema (XLVIII) con las siguientes condiciones iniciales: Y0 , e0   0,9;0,3.  et '  0

0.5

Y ,  

0.4

0

Inflación Esperada

0.3

e 0

0.2

Yt '  0

0.1 E 0

-0.1

-0.2

-0.3 0.8

0.85

0.9

0.95

1 Renta Real

1.05

1.1

Figura XX: Diagrama de fase del sistema 104

1.15

1.2

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (85) y (86) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la renta real y de la tasa de inflación esperada del sistema (XLVIII). Yt  1  0,1 cos0,843t   0,111sen0,843t   e  t  0,09  0,21 cos0,843t   0,19sen0,843t 

(LII)

1.15

1.1

Yt

1.05

1

0.95

0.9

0.85

Yt 0

5

10

15 t

20

25

30

0.3

0.2

0.1

0

-0.1

-0.2 Inflación Esperada Verdadera Inflación 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura XXI: Evolución temporal de la renta real (producción agregada), de la inflación esperada y de la verdadera inflación 105

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo   0,8; Yn  1, y (LII) en (22), obtenemos la evolución a lo largo del tiempo de la verdadera inflación (su evolución temporal se muestra en la figura XXI). t  0,09  0,13 cos0,843t   0,278sen0,843t 

LIII

Conclusiones: En este documento se ha analizado la estabilidad de una versión dinámica lineal de un modelo de oferta y demanda agregadas. Hemos simulado tres casos (espiral, nodo impropio, y centro), utilizando valores adecuados de los parámetros, en los que las variables endógenas del modelo en cuestión convergen a un punto de equilibrio estacionario (de forma cíclica o monótona según sea el caso), tanto para el caso de espiral como para el caso de nodo impropio. Sin embargo, para el caso de un centro marginalmente estable, las variables endógenas se mantienen oscilando alrededor de su valor de equilibrio estacionario (sin alejarse ni acercarse a él). Asimismo, se ha analizado para los casos de espiral y nodo impropio el efecto de una perturbación externa no anticipada (shocks de política monetaria, de política fiscal, y de oferta), encontrándose que el modelo resulta dinámicamente estable (esto es, luego que el modelo ha sido alejado de su situación de equilibrio estacionario por la perturbación, éste retorna a un nuevo punto de equilibrio). Finalmente, resaltar que el modelo podría presentar un comportamiento dinámicamente inestable para valores de los parámetros que no cumplan las condiciones de estabilidad establecidas en los tres casos aquí analizados.

106

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA Bibliografía

Mankiw, G. (2005): “Macroeconomics”, Worth Publishers. Seventh Edition. Shone, R. (2002): “Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application”, Cambridge University Press. Second Edition. Shone, R. (2003): “An Introduction to Economic Dynamics”, Cambridge University Press. First Edition (Virtual Publication).

107

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

108

Modelo de inflación en una economía cerrada En este capítulo analizamos un modelo dinámico de inflación en una economía cerrada en la que únicamente existen dos mercados: un mercado de bienes y servicios y un mercado de dinero. Para ello, utilizando Matlab 7.12.0, se efectúa una simulación numérica de tres casos en los que el punto de equilibrio estacionario del sistema de ecuaciones diferenciales que describe el comportamiento dinámico del modelo es (una espiral, un nodo impropio, o un centro) estable. Finalmente, para los dos primeros casos, se realiza el análisis de perturbaciones de carácter nominal (incrementos en el stock nominal de dinero). Supuestos del modelo: 1.

El mercado de dinero siempre permanece en equilibrio. Esto implica que en cada instante la oferta real de dinero debe ser igual a la demanda real de dinero.

LM :

Lo M t , Pt  

 Ld Yt , i t   Yt e  i t

Mt Pt

1

Dónde Yt es la producción real de bienes nacionales. i t representa la tasa de interés nominal. M t es el stock nominal de dinero. Pt es el índice de precios

expresado en unidades monetarias unidades reales de consumo. M t Pt es el stock real de dinero expresado en unidades reales de consumo.  es la elasticidad de los saldos reales de dinero respecto de la producción real, y  es la semielasticidad de los saldos reales de dinero respecto a la tasa de interés nominal. Siendo:



M t

Yt

Pt 



M t Pt  Yt





ln M t Pt 

ln M t Pt 

ln Yt 

i t

2

3

Aplicando logaritmos neperianos a (1) se tiene:

 Mt ln   P  t





   ln Yt e  i t   ln Yt  i t  

ln M t   ln Pt    ln Yt   i t

Si hacemos:

y t  ln Yt 

4

5

Entonces, la tasa de crecimiento instantáneo de la producción (crecimiento económico) será: 



y t  Y t Yt

6

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Si hacemos:

m t  ln M t 

7

Entonces, la tasa de crecimiento instantáneo del dinero será: 

mt 



Mt Mt

p t  ln Pt 

Asimismo, si hacemos:

8

9

Entonces la tasa de crecimiento instantáneo del índice de precios (inflación) nacional será: 

pt 



Pt Pt

10

Reemplazando (5), (7), y (9) en (4) se tiene que el mercado de dinero viene caracterizado por una típica curva LM: LM :

2.

m t  p t  y t  i t

11

Se supone que existen expectativas racionales sobre la inflación. Además, dado que este modelo es determinista, el supuesto de expectativas racionales equivale a suponer previsión perfecta1 sobre las expectativas de inflación. Es decir, supondremos que la economía está poblada por agentes racionales con previsión perfecta. Este supuesto implica que la tasa esperada de crecimiento instantáneo del índice de precios (expresado en términos logarítmicos) sea igual al verdadero valor de la tasa de crecimiento instantáneo del índice de precios (expresado en términos logarítmicos). Esto es:   e  p t  ln Pt  p t  dln Pt  dt  P t Pt    Si  e p p  e t t e e p t  ln Pt p  d ln P e dt  P t P e t t  t

 

3.

  

12

La inflación (tasa de crecimiento instantáneo del índice de precios) se ajusta de acuerdo a la siguiente ecuación diferencial: Y Pt   ln  t Pt  Yt 

   ln Yt   ln Yt ; 

1

0

13

La previsión perfecta implica que el error de predicción de los agentes racionales es nulo en cada instante del tiempo. Esto es, ante una perturbación, los agentes racionales conocen sus efectos de corto y de largo plazo, y los tienen en cuenta en sus decisiones en el instante actual.

110

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

 

Si hacemos:

14

y t  ln Yt

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del nivel de producción de pleno empleo será: 

yt 



15

Yt Yt

Por tanto, reemplazando (5) y (14) en (13) se tiene: p t  y t  y t  

16

Dónde  es la velocidad de ajuste, no instantánea, del índice de precios (en términos logarítmicos) ante las diferencias entre el nivel de producción y el nivel de producción a pleno empleo (expresadas en términos logarítmicos). La ecuación (16), una versión dinámica de la curva de Phillips, determina la inflación y nos dice que si el nivel de actividad económica se encuentra por encima del nivel de equilibrio, y t  y t , entonces los precios se elevarán (inflación por demanda: el exceso de demanda por bienes y factores hará que se incrementen los costos y los precios). 4.

La demanda agregada, se supone que es afectada inversamente por la tasa de interés nominal y directamente por la tasa esperada de crecimiento instantáneo del índice de precios (inflación esperada)2.

Ytd  e

IS :

 e    0  1  i t  P t Pte       

17 

Dónde  0 es el componente autónomo de la demanda agregada (que incluye el gasto público), 1 es la semielasticidad de la demanda agregada de bienes respecto e

e t

a la tasa de interés nominal, i t , P el índice de precios esperado, P t es la tasa e

esperada de cambio instantáneo del índice de precios, y P t Pte es la tasa esperada de crecimiento instantáneo del índice de precios (inflación esperada). Siendo:

1  

  

 ln Ytd

Aplicando logaritmos neperianos a (17) resulta:

  d t

ln Y

18

i t

 0  1  i t  P et     ln e  

2

 Pte    

   

19

Este modelo difiere de la versión dinámica del modelo IS-LM por dos razones: En primer lugar, en el modelo IS-LM los precios permanecen rígidos en el tiempo mientras que aquí no. En segundo lugar, en el modelo IS-LM dinámico la demanda agregada no depende de las expectativas de inflación, mientras que en este modelo sí.

111

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

  d t

ln Y

e    0  1  i t  P t Pte  20  

  21

Si hacemos:

y dt  ln Ytd

Entonces la tasa de crecimiento instantánea de la demanda agregada de bienes y servicios será: d

yt 

 d

22

Yt

Ytd

Reemplazando (12) y (21) en (20) resulta:

e  y dt  0  1  i t  p t   

23

La ecuación (23) es una IS en términos logarítmicos en la que el nivel de la demanda agregada depende de su componente autónomo,  0 , y de la tasa de interés e

real, rt  i t  p t . 5.

La producción real se ajusta de acuerdo a la siguiente ecuación diferencial:  Ytd   ln  Y Yt  t 

Yt

  

Reemplazando (6), (5) y (14) en (13) se tiene: 



    ln Ytd  ln Yt   





y t   y dt  y t ;

0

25

24

Dónde  es la velocidad de ajuste, no instantánea, de la producción (en términos logarítmicos) ante los excesos de demanda u oferta de la economía. La ecuación (25) nos dice que la producción expresada en términos logarítmicos (la tasa de crecimiento de la economía) se ajusta con lentitud a los desequilibrios entre la demanda y oferta agregadas. 6.

Todos los parámetros del modelo son positivos.

112

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Resolución del modelo:

En este modelo las variables exógenas son: 0 , m t , y t . Mientras que las variables endógenas son: y dt , p t , i t , y t . Para resolver este modelo vamos a suponer que las variables endógenas de referencia son p t y y t . Por tanto, ahora deberemos determinar las ecuaciones diferenciales para dichas variables. Para obtener las dos ecuaciones diferenciales que van a determinar el comportamiento dinámico de nuestra economía, tenemos que sustituir en las ecuaciones de ajuste de las variables endógenas de referencia [nivel de precios (16) y nivel de producción (25) expresados en logaritmos neperianos] el resto de variables endógenas [la tasa de interés (obtenida a partir de (11) y el nivel de demanda agregada (23) expresada en términos logarítmicos]. En el caso de la ecuación diferencial para el nivel de precios (en términos logarítmicos), no aparecen dichas variables, por lo que la primera ecuación diferencial es exactamente igual a la ecuación (16) que proporciona el modelo, esto es: p t   y t  y t  

26

Para determinar la ecuación diferencial correspondiente a la producción, en primer lugar, vamos a despejar la tasa de interés nominal nacional de la ecuación (11):

it 

1



y t

 mt  pt 

27 

Reemplazando (12) y (27) en (23) obtenemos la demanda agregada de la economía nacional: e  1 1  y dt   0  1  y t  m t  p t   p t    0  1  y t  m t  p t   p t  28    

Sustituyendo (26) en (28) obtenemos:

m     y dt  0   1  1  y t  1 p t  1 t  1y t 29      Reemplazando (29) en (25) obtenemos: yt          m     y t   0   1  1  y t  1 p t  1 t  1y t  y t           d

            y t   1 p t   1  1  1 y t   0   1 m t   1 y t  30           

113

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En consecuencia, el sistema de ecuaciones diferenciales que define el comportamiento dinámico de este modelo, expresado en forma matricial, viene dado por las ecuaciones (26) y (30):

0      p  p 1   t      1     t          1   1  y t   y   t        

0   

0  1 

    0   m    1   t    y t 

31



A b      0      y     t pt    p   t  1         1    1       1           m y y  1 t 1 t    y t   0  t           

32

Análisis cualitativo Ahora vamos a determinar el punto de equilibrio del sistema (32):        m           y   p E m t , y t ,  0  p E  1 t 0  t   E      E   A b    1 1     y   y m t , y t ,  0    yt  

33

De imponer condiciones de no negatividad estricta sobre (33) resulta:  E    0     0  y t y t  0  m t        p  0  m t      1  1 1  1    yE  0  yt  0 

34

Restando y t  0 a ambos lados de la primera desigualdad de (34) se cumple que: mt 

 0 1

    y t        y t   1  

35

Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo siguiente:  1    1  1   2 trA   1        1   1   2  0 A    2  1  1    trA2  4 A   2  1   1 4         

114

36

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Dado que hemos asumido que todos los parámetros del modelo son positivos, entonces en este modelo podemos encontrar cuatro casos en los que el sistema sea estable. Aquí analizaremos tres casos, a saber:  1    1   1   2  0 trA   1        1  Caso1: Espiral  A   1   2  0   2   1 1    trA2  4 A   2  1    0  1 4       

p   A  I  2  trA  A  0

37 

38

El polinomio característico viene dado por:

Los autovalores o raíces características son:

 Dado que:

trA 

trA2  4 A 2



trA   2

  0         

39

40

Por tanto:

 trA    trA  i  trA   trA 1       2 2 2 2   trA    trA  i  trA   trA      2  2 2 2 2 

Dónde:

 2



2

i    i i    i

  1    1   1  trA    0      2 2  2   1 1   2 4    1   1         0     2 2 2     2   2  A   1  0   115

42

41

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es negativa,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es una espiral estable (convergente).

 El autovector v1 asociado a 1    i se calculará a partir de:    i     1         

v1     a   0  1    1   1    i  b 0     

De donde:    i a  b  0  a 



  i 

b

  i 

  i   i 

ba

43   i   2  2

b

44

La ecuación (44) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (43):   1    

   1   a   1   1    i  b  0      

45

Reemplazando (42) en (45) resulta:

  2  2    

   i  a  2    i b  0  a  b 2 2     

46

Por tanto, haciendo b  1 tenemos que:     v1    2   2  

       2  2   1

 i     

47 

Reemplazando (42) en (47) se obtiene:

  1  1     v1   21  

2      1  1          2   1 1     

1

116

  i     

48

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

 El autovector v 2 asociado a  2    i se calculará a partir de:

v2      i    c   0     1  1     1      1    i  d  0         

De donde:    i c  d  0  c 



  i 

d

  i 

  i   i 

dc

49   i   2  2

d

50

La ecuación (50) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (49):   1    

   1   c   1   1    i  d  0      

51

Reemplazando (42) en (51) resulta:

  2  2    

   i  c  2    i d  0  c  d 2 2     

52

Por tanto, haciendo d  1 tenemos que:

    v 2    2   2  

       2  2   1

 i     

53

Reemplazando (42) en (53) se obtiene:

  1  1     v 2   21  

2      1  1          2   1 1     

1

  i     

54

Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones (32). Esto es:

 p t  y t  y t  0            y t   1 p t   1  1  1 y t   0  1 m t   1 y t   0          

117

55

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

De donde la ceroclina p t  0 viene dada por:

yt  yt

56



Mientras que la ceroclina y t  0 viene dada por:  trA 0  1    1  1     0  y pt    m t  y t    t    1   1

57 

Por otro lado, de la primera inecuación de (37) se tiene que:

1 1   trA   1   1  0 58  1  0  como   0  1      Multiplicando ambos lados de la desigualdad (58) por

   



1

0



1



1

 0 se cumple que:

   0 59

Teniendo en cuenta la segunda inecuación de (34) y (59), de (35) resulta que: mt 

 0 1

      y t  0  y t       1  

60

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En 

primer lugar, vamos a graficar la ceroclina p t  0. De la segunda ecuación del sistema (33) y por (55) tenemos que:

yt  yE  yt

61

Por tanto, de (61), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta al eje de la producción (en términos logarítmicos) en y E . Además, de la primera ecuación del sistema (55), para valores de y t  y E , a la derecha de la recta vertical, que 

se aprecia en la figura 1, p t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta 

p t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá disminuyendo, lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo.

118

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

pt  0

pt

yt

yE

Figura 1: Equilibrio dinámico parcial para el índice de precios en términos logarítmicos 

A continuación vamos a graficar la ceroclina y t  0. De (57), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente negativa, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje del índice de precios expresado en logaritmos neperianos) será 

positivo, de acuerdo a (60). Además, si estando en un punto de la ceroclina y t  0 como el punto A, el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y el nivel de producción en términos logarítmicos permanece constante, pasando a un punto encima 

de la ceroclina y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuación del sistema (55), al haber aumentado el valor del índice de precios en términos logarítmicos, se verifica que en un punto encima de dicha 

ceroclina, tal como el punto B, y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la producción en términos logarítmicos irá disminuyendo. En consecuencia, 

encima de la ceroclina y t  0, tal como se aprecia en la figura 2, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de 

izquierda a derecha ya que en dicha región del plano de fase se verifica que y t  0. 

Por otro lado, tal como se aprecia en la figura 2, encima de la ceroclina y t  0, al ser 

y t  0, de acuerdo a (25), existe un exceso de oferta de bienes y servicios (EOByS). Por 



el contrario, debajo de la ceroclina y t  0, al ser y t  0, conforme a (25), existe un exceso de demanda de bienes y servicios (EDByS). Superponiendo las ceroclinas del índice de precios en términos logarítmicos y de la tasa de la producción en términos logarítmicos, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 3. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el punto de equilibrio es una espiral convergente.

119

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

pt pB

B

pA

A



EOByS: y t  0 

yt  0



EDByS: y t  0

yA  yB

yt

Figura 2: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de producción en términos logarítmicos

pt



pt  0

EOByS

EOByS

pE EDByS

E

EOByS 

EDByS

p0

I

yE

yt  0

y0

yt

Figura 3: Retrato de fase de la economía Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I del plano de fase, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (espiral) y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. En el corto y mediano plazos, tanto la producción como el índice de precios (ambos expresados en términos logarítmicos) tendrán un comportamiento oscilante y convergente alrededor de sus valores de equilibrio estacionarios. Además, se observa que en el trayecto que va desde del punto I al punto E, en determinados tramos, la economía presenta periodos en los que la producción y el índice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan (fase de expansión), en otros tramos la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), en otras etapas la economía experimenta una fase de recesión (la producción y el índice de precios en términos logarítmicos disminuyen), y en otras partes la economía entra en una fase de recuperación (la producción aumenta y el índice de precios disminuye). A partir de determinado instante del tiempo, este ciclo económico (expansión-estanflaciónrecesión-recuperación) se repetirá, hasta que la economía alcance su valor de equilibrio estacionario (E), pero cada vez con menor amplitud (cada fase del ciclo económico, con el devenir del tiempo, se presentará más amortiguada). 120

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cuantitativo El comportamiento de la producción y del índice de precios, ambos en términos logarítmicos, vienen dados por:

p t  p E  e  E y t  y 

1   1     1    t 2

2    1  1    2   1     1   4       h 1 cos t     2         

2    1 1    2    1   1   4        t  h 2 sen    2      

62

Dónde:     h1  c1  v1  c 2  v 2      h 2  c1  v1  c 2  v 2 i

63

Reemplazando (48) y (54) en (63) resulta:

 2     1  1   c  c      1  1    c  c i  2 2   h    1  1  1  21 21    1      c1  c 2       2        1  1    c  c    1  1   c  c i  2  2 h     1   1 21 21     2   1      c1  c 2 i     

64

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por p 0 , y 0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (62), se tiene que:

 p  p E  h1   0 E y0  y 

121

65

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Igualando (65) con la primera ecuación de (64) se tiene:

c1  c 2  y 0  y E   1     c  c i   2  1   

 1    y 0  y E   p 0  p E   21   1  1        21  1   

2

66

Reemplazando (66) en la segunda ecuación de (64) resulta:

    y 0     1       h2     1         

  p 0  p E       2    1  1         1  21      1    y 0  y E   p 0  p E     21   2    1  1          1  21   1  1    yE     21 

67 

Reemplazando (65) y (67) en (62) tenemos que:

pt  pE  e          1     

1      1  1     t 2



2     1 1    2    4 1          1        p 0  p E cos t     2         





  2     1  1    E 2  p0  p   1     1   4          sen t 68    2 2    1  1               21  1    



  1  1    y0  yE     21  





122

CIRO BAZÁN

yt  yE  e

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

1   1     1     t 2

   1        

2     1 1    2    4 1          1       y 0  y E cos t     2         

  2     1     1 1    E E 2 y 0  y   p 0  p    1    4 1      21         sen t    2 2    1  1               21  1    

69

Dónde p E y y E vienen dados por (33). Reemplazando (68) y (69) en (27) obtenemos el comportamiento a lo largo del tiempo de la tasa de interés nominal. Asimismo, reemplazando (68), (69) y la derivada respecto del tiempo de (68) en (29) se obtiene el comportamiento a lo largo del tiempo de la demanda agregada de la economía. En la figura 4 se puede apreciar el comportamiento del índice de precios, en logaritmos neperianos, a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento del índice de precios es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario. pt

pE

p0

t

Figura 4: Comportamiento del índice de precios en términos logarítmicos a lo largo del tiempo En la figura 5 se puede apreciar el comportamiento de la producción en logaritmos neperianos a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la producción es oscilante y convergente hacia su valor de equilibrio estacionario.

123

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA yt

y0

yE

t

Figura 5: Comportamiento de la producción en términos logarítmicos a lo largo del tiempo Efectos de un incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 6), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, en logaritmos neperianos, 

entonces la única ceroclina que se verá afectada será la ceroclina y t  0, ya que la 

ceroclina p t  0, no depende de m t . De (55), se aprecia que al aumentar m t , entonces 

la intersección de la ceroclina y t  0 con el eje vertical se incrementa. Por tanto, 

debido al incremento en m t , la ceroclina y t  0 se desplazará hacia arriba sin 

modificar su pendiente y la ceroclina p t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 6.

Efectos de largo plazo: Por otro lado, se aprecia en la figura 6 que el incremento del stock nominal de dinero (en logaritmos neperianos), en el largo plazo, provocará únicamente un incremento en el índice de precios, en logaritmos neperianos, de la economía. Ya que el incremento del stock de dinero es de carácter nominal, entonces éste no tendrá efectos de largo plazo sobre la producción de la economía (expresada en términos logarítmicos) que es de carácter real. En consecuencia, la perturbación monetaria sólo producirá inflación en el largo plazo. De manera análoga, podemos verificar lo anterior determinando las derivadas estático comparativas de las componentes del nuevo equilibrio estacionario, E1, respecto a un incremento en el stock nominal de dinero, en términos logarítmicos, ceteris paribus. Derivando (33) respecto de m t , se tiene que:

 p E   m t  y E   m t

    1   0  

124

70

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Se puede apreciar que la derivada del índice de precios (expresado en logaritmos neperianos) en el equilibrio estacionario respecto al stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, es positiva e igual a la unidad. Esto nos dice que en el largo plazo el índice de precios (expresado en logaritmos neperianos) se incrementará en el mismo porcentaje en que se ha incrementado el stock nominal de dinero (expresado en logaritmos neperianos). Es decir, tal como señala la teoría cuantitativa del dinero, en el largo plazo la inflación resulta ser un fenómeno monetario. Por otro lado, la derivada de la producción en el estado de equilibrio estacionario respecto al stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, es nula. Esto nos dice que en el largo plazo la producción (expresada en logaritmos neperianos) no se ve afectada por el incremento del stock nominal de dinero (expresado en logaritmos neperianos). Sin embargo, esto no implica que en el corto y mediano plazos dicho incremento no afecte a la producción (en términos logarítmicos). Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 6 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero (en logaritmos neperianos), la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo una trayectoria en forma de espiral. Asimismo, en la figura 6 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, en determinados tramos, la economía presenta periodos en los que la producción y el índice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan (fase de expansión), en otros tramos la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), en otras etapas la economía experimenta una fase de recesión (la producción y el índice de precios en términos logarítmicos disminuyen), y en otras partes la economía entra en una fase de recuperación (la producción aumenta y el índice de precios disminuye). A partir de determinado instante del tiempo, este ciclo económico (expansión-estanflación-recesión-recuperación) se repetirá, hasta que la economía alcance su nuevo valor de estado estacionario (E1), pero cada vez con menor amplitud (cada fase del ciclo económico, con el transcurrir del tiempo, se presentará más amortiguada). 

pt  0

pt EOByS

EOByS

E1

E 1

p

y t  0 m1  

EOByS

EDByS

EDByS

y t  0 m 0  

p 0E

E0

y y y E 0

yt

E 1

Figura 6: Retrato de fase de la economía tras el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos 125

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso I, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (37). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla I. Parámetros

Valores 0,2 0,02 0,5 0,02 90

ϕ µ θ 

1

Tabla I: Valores de los parámetros simulados En la tabla II se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0 0

y0

Valores 100 2500 200

Tabla II: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (32) resulta: b A          0 p 4 0 , 02    t    p t         y   36  0,56  y t  4028   t 

I 

Las ceroclinas del sistema (I) vienen dadas por:

    0 p 0 , 02  4 0        p p t  0  y t  200 t t              y   36  0,56  y t  4028  0   t  y t  0  p t  0,015 y t  111,8

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:   p E  108,7 III   E    y   200  Mientras que por (37), tenemos que:

trA  0,56  0   A  0,72  0   2,5664  0 

126

IV

II

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura I se muestra el retrato de fase y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (I). 500 400 300 yt ' =0 (m0 =100)

200

E

pt

100 0 -100 -200 -300 -400 pt ' =0

-500 -6000

-4000

-2000

0 yt

2000

4000

6000

Figura I: Retrato de fase del sistema En las figuras II y III se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (I) con las siguientes condiciones iniciales: p0 , y0   500;1000. 500 (y0,p0) 400 300 yt ' =0 (m0=100) 200 100

pt

E 0 -100 -200 -300 -400 -500

pt ' =0 -10000

-8000

-6000

-4000

-2000

0

Figura II: Diagrama de fase del sistema m0 yt

127

2000

 100

4000

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (67) y (68) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (I).   p t  108,7  e 0, 28t 391,2 cos0,8t   156,732sen0,8t   (V)  0, 28t        y 200 e 800 cos 0 , 8 t 17862 , 686 sen 0 , 8 t     t





pt

500

400

pt

300

200

100

0

0

5

10

15 t

20

25

30

5000

yt

0

-5000

yt

-10000

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura III: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos

128

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación del Shock de política monetaria expansiva: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, pasando de m0  100 a m1  101, el sistema (32) resulta: b A           0 p  0 , 02 4      p t t         y   36  0,56  y t  4064   t 

VI 

Las ceroclinas del sistema (VI) vienen dadas por:

    0 p  0 , 02 4 0        p t  0  y t  200 t  p t    VII             y   36  0,56  y t  4064  0   t y t  0  p t  0,015y t  112,8

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (VI) vendrá dado por:   p E1  109,7 E1   E     VIII  1 y 200     Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos. En las figuras IV y V se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (VI) teniendo como punto de partida el punto de equilibrio  estacionario antes de dicho incremento, esto es: E0  p0 , y0   108,7;200 .





pt ' =0 111

110.5

110 E1

pt

yt ' =0 (m0=101) 109.5

109 E0

108.5

yt ' =0 (m0=100)

108

pt ' =0 190

195

200

205

210 yt

215

220

Figura IV: Diagrama de fase del sistema m1 129

 101

225

230

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros (con m1  101 ), E0 y E1 en (67) y (68) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (VII).   p t  109,7  e 0, 28t 390,2 cos0,8t   156,382sen0,8t   (IX)  0, 28t  800 cos0,8t   17817,742sen 0,8t  y t  200  e





110.2

110

109.8

pt

109.6

109.4

109.2 pt

109

108.8

0

5

10

15 t

20

25

30

230

225

220 yt

yt

215

210

205

200

195

190 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura V: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus 130

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cualitativo

 1    1  1   2  0 trA   1        1  1   2  0 Caso2: Nodo impropio  A    2   1 1  2 2          trA 4 A 1 0    4  1     

71

Teniendo en cuenta que   0 y que A  0, entonces resulta que:

    trA   2 2   1 1  1     0  2  1   1   2  1   1  4           2

trA      2

   

 1 1 1     0  1  4   1   1   2  1         2

2

2

 trA     2  1 1 1     0  1  4  1   1   2  1        

    trA   2  1 1 1      0   trA   1  4   1   1   2  1        

  0 72

De (72) resulta que:

1 1  1 1        1   2  1   1  4   1   1 0   1            2

0  trA    trA 73

Asimismo, multiplicando por menos uno a (72) se obtiene que:

trA     0  trA    2      0  trA    0 74

131

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En este caso, de (39) y teniendo en cuenta (73) y (74) resulta que: 2  1 1  1     2   1   1    1   1  4  trA           0  1  2 2   2 1 1  1    2    1   1    1   1  4  trA           2   0  2 2    2   1  0

75

Por tanto, en este caso, debido a que ambos autovalores son negativos, y a los signos del discriminante, de la traza y del determinante de la matriz A, tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un nodo impropio estable (convergente).

 El autovector v1 asociado a  1 se calculará a partir de:   1    1     

  

 1

   a   0     1   1  1  b 0      v1

De donde:

 1a  b  0  a  De (75), reemplazando 1 en (77) se obtiene: a

2

trA  

b



1

b



2 trA  

trA2  

76

77 

b

78

De (71), reemplazando trA y  en el denominador de (78) resulta:

a



2 trA   4 1

 b  trA    b 2 1

79

La ecuación (79) es equivalente a la segunda ecuación del sistema (76):   1    

   1   a   1   1  1  b  0      

132

80

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Reemplazando (71) en (80) se tiene que:   1    

  a  trA  1 b  0  a  trA  1 b  1 

81

De la primera ecuación de (75) resulta: trA  

1 

 trA  21  

2



 b

Reemplazando (82) en (81) se obtiene: a

 trA   2 1

Por tanto, haciendo b  1 tenemos que:



 1



   b 1



   1      v1    1    1  

82

83

84

Reemplazando (71) y (75) en (84) se obtiene: 2     1 1 1     2      1 1 4           1 1                 v1    1  2        1  El autovector v 2 asociado a  2 se calculará a partir de:

  2    1     

  

 1

   c   0     1   1   2  d  0    

133

 v2

          

  2     1   1 0

86

 0  85  

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

De donde:

  2 c  d  0  c  De (75), reemplazando  2 se obtiene:

c

2

trA  

d



2

87

d



2 trA  

trA2  

d

88

De (71), reemplazando trA y  en el denominador de (88) resulta:

c



2 trA   41

 d  trA    d

89

2 1

La ecuación (89) es equivalente a la segunda ecuación del sistema (86):   1    

   1   c   1   1   2  d  0      

90

Reemplazando (71) en (90) se tiene que:   1    

  c  trA   2 d  0  c  trA   2 d  1 

De la segunda ecuación de (75) resulta: 2 



trA   2

 trA  2 2  

 d

Reemplazando (92) en (91) se obtiene: c

 trA   2 1

Por tanto, haciendo d  1 tenemos que:



 1





2



   2      v 2    1    1  

134



  d

94

92

93

91

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Reemplazando (75) en (94) se obtiene:       v 2    1    

2    1 1 1     2   1  4  1    1    1           2   

1

             1 1     1  0   

 0  95  

Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a partir de (32). Esto es:

 p t  y t  y t  0   1 1     1  p t   1   1 y t   0  m t   1 y t  0  y t          

96



De donde la ceroclina p t  0 viene dada por: yt  yt

97



Mientras que la ceroclina y t  0 viene dada por:  trA 0  1    1  1     0  y pt    m t  y t    t    1   1

98

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En 

primer lugar, vamos a graficar la ceroclina p t  0. De la segunda ecuación del sistema (33) y por (96) tenemos que:

yt  yE  yt

99

Por tanto, de (99), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta al eje de la producción (en términos logarítmicos) en y E . Además, de la primera ecuación del sistema (96), para valores de y t  y E , a la derecha de la recta vertical, que 

se aprecia en la figura 7, p t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta 

p t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá disminuyendo, lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo.

135

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

pt



pt  0

yt

yE

Figura 7: Equilibrio dinámico parcial para el índice de precios en términos logarítmicos 

A continuación vamos a graficar la ceroclina y t  0. De (98), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente negativa, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje del índice de precios expresado en logaritmos neperianos) será 

positivo, de acuerdo a (60). Además, si estando en un punto de la ceroclina y t  0 como el punto A, el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y el nivel de producción en términos logarítmicos permanece constante, pasando a un punto encima 

de la ceroclina y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuación del sistema (96), al haber aumentado el valor del índice de precios en términos logarítmicos, se verifica que en un punto encima de la ceroclina 



y t  0, tal como el punto B, y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la producción en términos logarítmicos irá disminuyendo. En consecuencia, encima 

de la ceroclina y t  0, tal como se aprecia en la figura 8, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a 

derecha ya que en dicha región del plano de fase se verifica que y t  0.

Superponiendo las ceroclinas del índice de precios en términos logarítmicos y de la tasa de la producción en términos logarítmicos, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 9. Como puede apreciarse en este modelo dinámico,  las trayectorias de fase son tangentes a la línea de acción del autovector V1 . Para     comprobar esto vamos a considerar la solución general X t  X E  c1e t V1  c 2e t V2 donde λ1 y λ2 son autovalores reales, distintos y negativos, y sus autovectores asociados son   V1 y V2 . Ya que  2  1  0, cuando t   se verificará que e 1 t  e  2 t . Por tanto,  cuando t   la solución tenderá a alinearse con c1e 1t V1 , esto es, en el largo plazo    tendremos que X t  X E  c1e  t V1. Pero, dado que cuando t  , resulta que 1

2

1

e 1t  0 y e  2 t  0,

entonces se tiene que en el largo plazo X t  X E independientemente de los valores de c1 y c 2 . Por tanto, en el largo plazo, las sendas de fase se aproximarán  al punto de equilibrio tangencialmente a la línea de acción del autovector V1 .

136

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

pt pB

B

pA

A



EOByS: y t  0



EDByS: y t  0



yt  0

yA  yB

yt

Figura 8: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de producción en términos logarítmicos En este caso se tendrá un nodo impropio estable tal como el de la figura 9. De particular  interés es el hecho que si el punto inicial se encuentra justo sobre V1 , entonces c 2  0 y  el sistema se mueve a lo largo de la línea de acción del autovector V1 y se aproxima al punto de equilibrio conforme transcurre el tiempo. De forma similar, si el punto inicial  se encuentra justo sobre V2 , entonces c1  0 y el sistema se mueve a lo largo de la línea  de acción de V2 , aproximándose al punto de equilibrio en el límite. Por tanto, el punto de equilibrio es un nodo impropio asintóticamente estable.

pt



yt  0



pt  0

EDByS  v 2 EOByS  v1

EOByS

E

EDByS

I

p0

EDByS

EOByS

y

E

y0

Figura 9: Retrato de fase de la economía

137

yt

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 9, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase celeste y convergerá en el largo plazo al punto de equilibrio estacionario E. Asimismo, en la figura 9 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto I al punto E, la economía presenta un periodo (entre el punto I y 

el punto de intersección de la senda celeste con la ceroclina p t  0 ) en el que la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), otro 

periodo (entre el punto de intersección de la senda celeste con la ceroclina p t  0 y el 

punto de intersección de la senda celeste con la ceroclina y t  0 ) en el que la economía entra en una fase de recesión (la producción y el índice de precios en términos logarítmicos disminuyen), y por último, la economía entra en un periodo (entre el punto 

de intersección de la senda celeste con la ceroclina y t  0 y el punto E) de recuperación (la producción aumenta y el índice de precios disminuye) hasta que, en el largo plazo, alcanza su valor de estado estacionario (E). Análisis cuantitativo El comportamiento de la producción y del índice de precios, ambos en términos logarítmicos, vienen dados por: 



V1 V2               1  2    p t  p E  1t 2t   c 2 e   1  100  y    E   c1e   1  t  y       1   1   Xt

 XE

De donde:  2 c1 1t  1c 2  2 t  E   p p e  e t    1  1    y t  y E  c1e 1t  c 2 e  2 t 

101

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por p 0 , y 0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (101), se tiene que:









  y 0  y E 1  p 0  p E  1   c1   2 c1 1c 2 E 1   2      p p   0   1  1   p 0  p E  1  y 0  y E  2   y 0  y E  c1  c 2 c 2   1   2    



138







102

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Reemplazando (102) en (101) se tiene que:



  y0  yE  pt  pE     











 





      1  2   p 0  p E  2   p 0  p E 1  y 0  y E   1 t    1  e   1   2 1   2      











     1  2     2t   1   e 103    



 y 0  y E  1  p 0  p E  1   t  p 0  p E  1  y 0  y E  2   t yt  yE   e 1   e 2                 1 2 1 2 De (71) resulta:







  y0  yE   2 p0  pE pt  pE   1   2 









 e  

1t



 

 1 p 0  p E   y 0  y E  1   2 







 e



 

2t

104

105

 y 0  y E  1  p 0  p E  1   t  p 0  p E  1  y 0  y E  2   t yt  y   e 1    e 2 106 1   2  1   2      E

Dónde p E y y E vienen dados por (33). Reemplazando (105) y (106) en (27) obtenemos el comportamiento a lo largo del tiempo de la tasa de interés nominal. Asimismo, reemplazando (105), (106) y la derivada respecto del tiempo de (105) en (29) se obtiene el comportamiento a lo largo del tiempo de la demanda agregada de la economía. En la figura 10 se pueden apreciar algunos plausibles comportamientos del índice de precios, en logaritmos neperianos, a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento del índice de precios es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. pt

pE

t

Figura 10: Comportamiento del índice de precios en términos logarítmicos a lo largo del tiempo

139

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura 11 se pueden apreciar algunos posibles comportamientos de la producción, en logaritmos neperianos, a lo largo del tiempo. Se aprecia que el comportamiento de la producción es convergente hacia su valor de equilibrio estacionario independientemente de su valor inicial. yt

yE

t

Figura 11: Comportamiento de la producción en términos logarítmicos a lo largo del tiempo Efectos de un incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos Si estando la economía en el punto de equilibrio estacionario E0 (ver figura 12), se produce un incremento en el stock nominal de dinero, en logaritmos neperianos, 

entonces la única ceroclina que se verá afectada será la ceroclina y t  0, ya que la 

ceroclina p t  0, no depende de m t . De (55), se aprecia que al aumentar m t , entonces 

la intersección de la ceroclina y t  0 con el eje vertical se incrementa. Por tanto, 

debido al incremento en m t , la ceroclina y t  0 se desplazará hacia arriba sin 

modificar su pendiente y la ceroclina p t  0 no se moverá. En consecuencia, el nuevo punto de equilibrio estacionario que alcanzará la economía en el largo plazo será el punto E1 de la figura 12.

Efectos de largo plazo: Por otro lado, se aprecia en la figura 12 que tras el incremento del stock nominal de dinero (en logaritmos neperianos), en el largo plazo, provocará únicamente un incremento en el índice de precios, en logaritmos neperianos, de la economía. Ya que el incremento del stock de dinero es de carácter nominal, entonces éste no tendrá efectos de largo plazo sobre la producción de la economía (expresada en términos logarítmicos) que es de carácter real. En consecuencia, al igual que en el caso 1, la perturbación monetaria sólo producirá inflación en el largo plazo.

140

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de corto y mediano plazo: En la figura 12 se aprecia que, tras el incremento del stock nominal de dinero (en logaritmos neperianos), la economía, partiendo del punto E0, convergerá en el largo plazo al punto E1 siguiendo la trayectoria dada por la curva de fase de color azul. Asimismo, en la figura 12 se puede apreciar que en el corto y mediano plazos, trayecto que va desde el punto E0 al punto E1, la economía presenta un periodo (entre E0 y A) en el que la producción y el índice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan (fase de expansión), y otro tramo (entre A y E1) en el que la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), hasta que la economía, en el largo plazo, alcanza su nuevo valor de estado estacionario (E1). 

pt  0

pt

E1

p1E y t  0 m 0  

A

y t  0 m1  

E0

p 0E

y y y E 0

yt

E 1

Figura 12: Retrato de fase de la economía tras el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos

141

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso II, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (71). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla III. Parámetros

Valores 0,3 0,02 0,5 0,05 60

ϕ µ θ 

1

Tabla III: Valores de los parámetros simulados En la tabla IV se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0 0

y0

Valores 100 2100 2000

Tabla IV: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (32) resulta: b A           0 p  0 , 02 40      t  p t          y   36  1,74  y t  3510   t 

X 

Las ceroclinas del sistema (X) vienen dadas por:

    0 p  0 , 02 40 0        p p t  0  y t  2000 t  t             y   36  1,74  y t  3510  0   t y t  0  p t  0,0483y t  97,5

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por:   p E   0,83   XII  E    y  2000 Mientras que por (71), tenemos que:

trA  1,74  0   A  0,72  0   0,1476  0 

142

XIII

XI

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura VI se muestra el retrato de fase y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (X). pt ' =0 500 400 300 200 100 E

pt

0 -100 -200 -300

yt ' =0 (m0=100) -400 -500 -6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

yt

Figura VI: Retrato de fase del sistema En las figuras VII y VIII se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (X) con las siguientes condiciones iniciales: p0 , y0   500;1000. (y0,p0)

pt ' =0

500 400 300 200

pt

100 E

0 -100 -200 -300

yt ' =0 (m0=100) -400 -500 -6000

-4000

-2000

0

2000

4000

Figura VII: Diagrama de fase del sistema m0 yt

143

6000

 100

8000

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (105) y (106) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (X).  0 , 678t   828,73e 1,062t p t  0,83  1327,9e (XIV)  0 , 678t   44009,52e 1,062t y t  2000  45009,52e

500 450 400 350 300

pt

pt 250 200 150 100 50 0

0

5

10

15 t

20

25

30

2000 1000 0

yt

-1000

-2000 yt -3000 -4000 -5000 -6000 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura VIII: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos

144

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación del Shock de política monetaria expansiva: Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (X), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, pasando de m0  100 a m1  101, el sistema (32) resulta: b A           0 0,02  p t    40   p t          y   36  1,74  y t  3546   t 

XV

Las ceroclinas del sistema (XV) vienen dadas por:

    0 p  0 , 02 40 0        p p t  0  y t  2000 t  t   XVI            y   36  1,74  y t  3546  0   t y t  0  p t  0,0483y  98,5

Asimismo, por (33), el punto de equilibrio del sistema (XV) vendrá dado por:   p E1   1,83  E1   E     XVII  1  y  2000 Mientras que los valores dados por (XIII) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos. En las figuras IX y X se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (XV) teniendo como punto de partida el punto de  equilibrio estacionario antes de dicho incremento, esto es: p0 , y0   0,83;2000 .



1.8



E1

yt ' =0 (m0=100)

1.7 1.6 1.5

pt

1.4 1.3 1.2 1.1 1 0.9

yt ' =0 (m0=101)

E0 0.8 pt ' =0 1980

1985

1990

1995

2000

2005 yt

2010

2015

2020

Figura IX: Diagrama de fase del sistema m1 145

2025

 101

2030

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros (con m1  101 ), E0 y E1 en (105) y (106) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (XV).  0, 678t   826,97e 1,062t p t  1,83  1325,13e (XVIII)  0, 678t 1, 062t     y 2000 44915 , 82 e 43915 , 82 e  t 1.8

1.6

pt

1.4 pt 1.2

1

0.8 0

5

10

15 t

20

25

30

2016 2014 2012

yt

2010 yt

2008 2006 2004 2002

2000

0

5

10

15 t

20

25

30

Figura X: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus 146

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Análisis cualitativo

 1 1   1  0  1  0  1  trA   1        1  0 Caso3: Centro  A     1 2 0   trA  4 A  4   

         1  

107 

Sustituyendo la primera condición de (107) en (33) y en (35) respectivamente, resulta:               y t  m t   0  y t   p E  m t   0           E   1       1   1 y      yt yt     pE  mt 

0 1

 y t  0

108

109

De acuerdo a (41), los autovalores o raíces características son:   trA   trA 1  i    i  i    2 2 2   trA  i   trA   trA i    i  i     2  2 2 2 2 

Dónde:

trA  0   2           2 2 

1

 0   1 



 2 

110

111

En este caso, dado que la parte real de los autovalores es nula,   0, entonces tenemos que el punto de equilibrio del sistema dinámico es un centro marginalmente estable.

 El autovector v1 asociado a 1  i se calculará sustituyendo la primera condición de (107) y   0 en (43), de donde:   i    1     

v1     a   0   i  b  0  

   

147

112

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

De donde:  i a  b  0  a 



i 

b

 i 

i  i 

ba

i 

b

113

La ecuación (113) también se obtiene a partir de la segunda ecuación del sistema (112):   1    

i   a  i b  0  a   b   1 

114

Sustituyendo  1 , dado por (111), en (114) resulta: a

i   2

Por tanto, haciendo b  1 tenemos que:

b

     v1       1

i 

 i     

b

115

116

Reemplazando , dado por (111), en (116) se obtiene:

     i       v1   1        1  

117 

  El autovector v 2 asociado a  2  i será el conjugado de v1 , esto es:     i     v 2    1       1  

118

Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones (32), teniendo en cuenta la primera condición de (107). Esto es:

 p t  y t  y t  0     1  p t   0  1 m t   1 y t  0  y t         148

119

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

De donde la ceroclina p t  0 viene dada por: yt  yt

120 

Teniendo en cuenta (109), de la segunda ecuación de (119), la ceroclina y t  0 viene dada por: pt 

0 1

 m t  y t  p E  0

121

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En 

primer lugar, vamos a graficar la ceroclina p t  0. De la segunda ecuación del sistema (108) y por (119) tenemos que:

yt  yE  yt

122

Por tanto, de (122), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta al eje de la producción (en términos logarítmicos) en y E . Además, de la primera ecuación del sistema (119), para valores de y t  y E , a la derecha de la recta vertical, 

que se aprecia en la figura 13, p t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá aumentando, lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha recta 

p t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor del índice de precios en términos logarítmicos irá disminuyendo, lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo.

pt



pt  0

yE

yt

Figura 13: Equilibrio dinámico parcial para el índice de precios en términos logarítmicos

149

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

A continuación vamos a graficar la ceroclina y t  0. De (121), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente nula, mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje del índice de precios expresado en logaritmos neperianos) será positivo e igual a p E , de acuerdo a (109). Además, si estando en un punto de la 

ceroclina y t  0 como el punto A, el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y el nivel de producción en términos logarítmicos permanece constante, 

pasando a un punto encima de la ceroclina y t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la segunda ecuación del sistema (119), al haber aumentado el valor del índice de precios en términos logarítmicos, se verifica que 



en un punto encima de la ceroclina y t  0, tal como el punto B, y t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor de la producción en términos logarítmicos irá 

disminuyendo. En consecuencia, encima de la ceroclina y t  0, tal como se aprecia en la figura 14, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Por debajo de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha región del plano de 

fase se verifica que y t  0.

Superponiendo las ceroclinas del índice de precios en términos logarítmicos y de la tasa de la producción en términos logarítmicos, y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 15. Como puede apreciarse en este modelo dinámico, el punto de equilibrio es un centro (elipse) marginalmente estable.

pt

EOByS B

pB



yt  0

A

pE

EDByS

yA  yB

yt

Figura 14: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de producción en logaritmos

pE p0



pt

pt  0 C

D

EOByS EOByS E EDByS EDByS

B



yt  0

I

F

y

E

y0

Figura 15: Retrato de fase de la economía 150

yt

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Suponiendo que el estado inicial de la economía se sitúa en el punto I de la figura 15, de acuerdo a las líneas de fuerza dinámicas, la economía evolucionará a lo largo de la senda de fase (elipse) y se mantendrá girando por siempre alrededor del punto de equilibrio estacionario E, siempre que no haya ningún shock aleatorio. Además, en la figura 15 se observa que en el trayecto que va desde del punto I al punto B, la economía presenta un periodo en el que la producción y el índice de precios (ambos en logaritmos neperianos) aumentan (fase de expansión), entre el punto B y el punto C la economía entra en una fase de estanflación (el índice de precios en términos logarítmicos aumenta y la producción en logaritmos neperianos disminuye), entre el punto C y el punto D la economía experimenta una fase de recesión (la producción y el índice de precios en términos logarítmicos disminuyen), entre el punto D y el punto F la economía entra en una fase de recuperación (la producción aumenta y el índice de precios disminuye). A partir de determinado instante del tiempo, este ciclo económico (expansiónestanflación-recesión-recuperación) se repetirá por siempre, siempre que no haya ningún shock aleatorio. Análisis cuantitativo El comportamiento de la producción y del índice de precios, ambos en términos logarítmicos, vienen dados por:   pt  pE      h cos   1 E   y t  y   

Dónde:

 1   t  h 2sen     

    h1  c1  v1  c 2  v 2      h 2  c1  v1  c 2  v 2 i

1  t    

123

124

Reemplazando (117) y (118) en (124) resulta:       c1  c 2 i  h 1     1       c1  c 2           c1  c 2   h 2    1       c1  c 2 i    

125

Si suponemos que el estado inicial, t  0, de la economía viene dado por p 0 , y 0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (123), se tiene que:

  p0  pE  h1   E  y0  y  151

126

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Igualando (126) con la primera ecuación de (125) se tiene:

c1  c 2  y 0  y E   p0  pE      c c i  1 2     1 



   127

Reemplazando (127) en la segunda ecuación de (125) resulta:

    y0  y E     1    h 2    p  p E   0         1  

128

Reemplazando (126) y (128) en (123) tenemos que:





 1  p t  p E  p 0  p E cos t     



 1

y

0



 1   y E sen t  129    

  1    1  p 0  p E  y t  y  y 0  y  cos t  sen t            1 E

E

130

Dónde p E y y E vienen dados por (108). Reemplazando (129) y (130) en (27) obtenemos el comportamiento a lo largo del tiempo de la tasa de interés nominal. Asimismo, reemplazando (129), (130) y la derivada respecto del tiempo de (129) en (29) se obtiene el comportamiento a lo largo del tiempo de la demanda agregada de la economía. En la figura 16 se puede apreciar el comportamiento del índice de precios, en logaritmos neperianos, a lo largo del tiempo. Se ve que dicho comportamiento es oscilante (de amplitud constante: Ap) alrededor de p E .

Figura 16: Comportamiento temporal del índice de precios en logaritmos 152

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura 17 se aprecia el comportamiento de la producción en logaritmos neperianos a lo largo del tiempo. Se ve que dicho comportamiento es oscilante (de amplitud constante: Ay) alrededor de y E .

Figura 17: Comportamiento de la producción en términos logarítmicos a lo largo del tiempo Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica del caso III, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (107). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla V. Parámetros

Valores 0,2 0,02 0,5 0,005 100

ϕ µ θ 

1

Tabla V: Valores de los parámetros simulados En la tabla VI se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0 0

y0

Valores 100 2500 200

Tabla VI: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (32) resulta: b A            0 0,02  p t    4   p t     0   y t  4420   y   40  t Las ceroclinas del sistema (XIX) vienen dadas por: 



XIX

    0 p 0 , 02 4 0         p t  0  y t  200 t  p t            0   y t  4420  0   y   40  t y t  0  p t  110,5

153

XX

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Asimismo, por (108), el punto de equilibrio del sistema (XIX) vendrá dado por:  p E  110,5  E     y   200 

XXI

Mientras que por (37), tenemos que:

trA  0   A  0,8  0   3,2  0 

XXII

En la figura XI se muestra el retrato de fase y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (XIX). 500

400

300

200 yt ' =0 (m0=100) pt

100

E

0

-100

-200

-300 pt ' =0 -1.5

-1

-0.5

0 yt

0.5

1

1.5 4

x 10

Figura XI: Retrato de fase del sistema En las figuras XII y XIII se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (XIX) con las siguientes condiciones iniciales: p0 , y0   500;1000. (y0,p0) 500

400

300

200

pt

yt ' =0 (m0=100) 100

E

0

-100

-200

-300 pt ' =0 -1.5

-1

-0.5

0 yt

0.5

1

Figura XII: Diagrama de fase del sistema m0 154

1.5

 100

4

x 10

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Sustituyendo los parámetros, las condiciones iniciales y los valores de equilibrio estacionario en (129) y (130) obtenemos la evolución a lo largo del tiempo del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos del sistema (XIX). p t  110,5  389,5 cos0,894t   17,89sen0,894t  (XXIII)  y t  200  800 cos0,894t   17418,97sen 0,894t 

pt 500 400 300

pt

200 100 0 -100 -200 -300 0

5

10

15 t

20

25

30

4

x 10 2

yt

1.5

1

yt

0.5

0

-0.5

-1

-1.5

-2 0

5

10

15 t

20

25

30

Figura XIII: Evolución temporal del índice de precios y de la producción en términos logarítmicos

155

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Conclusiones: Este sencillo modelo dinámico de inflación en una economía cerrada nos ha permitido analizar las diversas trayectorias que siguen las variables endógenas del modelo a lo largo del tiempo hasta alcanzar el equilibrio estacionario (para los dos primeros casos: espiral y nodo impropio) partiendo de un desequilibrio inicial. También se ha analizado el comportamiento dinámico de las trayectorias de las variables endógenas para el caso de un centro marginalmente estable en el que dichas variables se mantienen oscilando alrededor de su valor de equilibrio estacionario (sin alejarse ni acercarse a él). Asimismo, para los dos primeros casos, se ha estudiado el efecto que tendría un incremento del stock nominal de dinero sobre la economía encontrándose ésta en una situación de equilibrio estacionario. Para estos casos, se comprobó que las variables endógenas del modelo convergen en el largo plazo a un nuevo punto de equilibrio tras la perturbación (para el caso de espiral convergente las variables endógenas convergen a su estado estacionario de forma cíclica). Además, es importante resaltar que en este documento sólo se han analizado los casos en los que los valores de los parámetros del modelo permiten que el comportamiento dinámico del mismo sea (asintóticamente o marginalmente) estable. Finalmente, como posible línea de extensión, quedaría pendiente analizar la posible caracterización del presente modelo como Clásico o Keynesiano en función de los posibles valores que pudieran adoptar las velocidades de ajuste de la producción, , y del índice de precios, . Como caso particular, sería interesante verificar que si    y   0, entonces estaríamos frente al caso extremo de un modelo Keynesiano con precios rígidos, mientras que si   0 y   , entonces estaríamos frente al caso extremo de un modelo Clásico con perfecta flexibilidad de precios.

156

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA Bibliografía

Argandoña, A.; Gámez, C.; y Mochón, F. (1996): “Macroeconomía Avanzada I: Modelos Dinámicos y Teoría de la Política Económica”, McGraw Hill. Primera Edición. Gandolfo, G. (1997): “Economic Dynamics”, Study Edition. Springer. Shone, R. (2002): “Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application”, Cambridge University Press. Second Edition.

157

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

158

Modelo del Overshooting cambiario con precios rígidos a corto plazo y tipo de cambio flexible Rudiger Dornbusch fue uno de los primeros en estudiar las implicancias de las expectativas racionales en modelos macroeconómicos. En 1976, publicó un artículo en el que estudiaba un típico modelo IS-LM-BP (Equilibrio en el mercado de bienes y servicios-Equilibrio en el mercado financiero-Balanza de Pagos) de economía abierta o modelo de Mundell-Fleming consistente con la formación de expectativas racionales determinísticas (es decir, consistente con los supuestos de previsión e información perfectas) pero donde el índice de precios en el mercado de bienes y servicios se ajusta lentamente a lo largo del tiempo hacia su valor de equilibrio estacionario (de ahí la denominación de modelo monetario de la determinación del tipo de cambio con precios rígidos en el corto plazo, pero con precios flexibles en el largo plazo) y el mercado de activos financieros se ajusta instantáneamente (en este mercado Dornbusch asume que tanto la tasa de interés como el tipo de cambio nominal tienen una velocidad de ajuste infinita). El resultado fundamental del modelo de Dornbusch, radica en que a pesar de que se supone que los agentes racionales tienen previsión perfecta, el tipo de cambio nominal puede desbordar su valor de largo plazo (overshooting1). Supuestos del modelo: 1.

Economía pequeña y abierta. Este supuesto implica que la tasa de interés nominal extranjera i *t y el índice de precios en el extranjero Pt* expresado en unidad de moneda extranjera unidades reales de consumo extranjero  se podrán considerar como variables exógenas dadas (Nuestra economía, al suponerse que es pequeña, no tiene capacidad de alterar la determinación de i *t y Pt* ).

2.

La producción real de bienes nacionales, Yt , se encuentra a su nivel de pleno empleo, Yt . Esto es: Yt  Yt

1

 

Entonces, si hacemos:

y t  ln Yt   y t  ln Yt  y t  y t

3.

El mercado de dinero siempre permanece en equilibrio. Esto implica que en cada instante la oferta real de dinero debe ser igual a la demanda real de dinero.

LM :

1

2

Lo M t , Pt  

Mt Pt

 Ld Yt , i t   Yt e i t ;   0;   0

3

Se dice que una variable endógena exhibe desbordamiento (overshooting) en respuesta a un cambio exógeno no anticipado (shock) si su movimiento en el corto plazo excede el cambio en su valor de estado estacionario.

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Dónde Yt es la producción real de bienes nacionales. i t representa la tasa de

expresado en unidad de moneda nacional  . Pt es el índice de precios nacional expresado en unidad de moneda nacional unidades reales de consumo nacional . M t Pt es el stock real de dinero expresado en unidades reales de consumo nacional .  es la elasticidad de los saldos reales de dinero respecto de la producción real nacional, y  es la semielasticidad de los saldos reales de dinero en el mercado nacional respecto a la tasa de interés nominal nacional. Siendo:

interés nominal nacional. M t es el stock nominal de dinero en el mercado nacional



M t

Yt

Pt 



M t Pt  Yt





ln M t Pt 

ln M t Pt 

ln Yt 

4

5

i t

Bajo la hipótesis de índice de precios nacional rígido a corto plazo y producción real a su nivel de pleno empleo, Yt , la ecuación (3) determina la tasa de interés nominal nacional para cada nivel del stock real del dinero, M t Pt , en el mercado nacional. Aplicando logaritmos neperianos a (3) se tiene:

 Mt ln   P  t





   ln Yt e i t   ln Yt  i t  

ln M t   ln Pt    ln Yt   i t Si hacemos:

m t  ln M t 

6

7

Entonces, la tasa de crecimiento instantáneo del dinero será: 

mt 

Asimismo, si hacemos:



Mt Mt

p t  ln Pt 

8

9

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del índice de precios (inflación) nacional será: 

pt 



Pt Pt

160

10

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Si ahora hacemos:

y t  ln Yt 

11

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del nivel de producción de bienes nacionales (crecimiento económico) será: 



y t  Y t Yt

12

Reemplazando (2), (7), (9) y (11) en (6) se tiene que el mercado de activos financieros viene caracterizado por una típica curva LM:

LM : 4.

m t  p t  y t  i t

13

La relación de equilibrio entre los mercados financieros nacional y extranjero viene determinada por la condición de paridad no cubierta de intereses. Esta condición implica que en mercados de capitales totalmente integrados en los que ante activos financieros con las mismas características (riesgo, liquidez y rentabilidad esperada) los agentes no muestran preferencias por activos específicos (los activos financieros internos y externos, denominados en distintas monedas, son sustitutivos perfectos) y en los que los agentes son neutrales al riesgo cambiario (no se cubren de los posibles riesgos de la variación del tipo de cambio, por lo que van a formarse expectativas sobre el tipo de cambio futuro)2, los activos financieros nacionales y extranjeros, denominados en moneda nacional y extranjera, ofrecen la misma tasa de rentabilidad esperada (movilidad perfecta de capitales3). Esto a su vez nos lleva a que la diferencia entre las tasas de interés nominal de los activos financieros nacionales y extranjeros sea igual a la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantáneo del tipo de cambio nominal esperado4. Esto es: e

i t  i *t  s t Dónde, haciendo:

14

  15

s et  ln Set

Entonces tenemos que la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantáneo del tipo de cambio nominal esperado viene dada por la siguiente expresión: e

st 

e

St

Set

2

16

Riesgo cambiario: variaciones del tipo de cambio afectan a la rentabilidad de los depósitos en divisas. La movilidad perfecta del capital supone que no existen barreras que dificulten la movilidad del capital (no hay barreras contra la inversión) y que los inversores son neutrales al riesgo cambiario. Asimismo, una movilidad perfecta del capital implica que si existe cualquier diferencia en la rentabilidad esperada entre los activos nacionales y extranjeros, los inversores destinarían toda su riqueza a la inversión más rentable. Dado que ambos tipos de activos deben estar en manos de alguien, la rentabilidad esperada entre los activos nacionales y extranjeros debería ser igual. 4 A la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantáneo del tipo de cambio nominal esperado (en logarítmicos neperianos) también se le conoce con el nombre de tasa de depreciación (apreciación) esperada de la moneda nacional.

3

161

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA e

Dónde Set es el tipo de cambio nominal esperado, y S t es la tasa de cambio instantánea del tipo de cambio nominal esperado. 5.

A diferencia del modelo original de Dornbusch (que asume expectativas adaptativas5), se supone que existen expectativas racionales (se supone que los inversores forman sus expectativas respecto de las variaciones del tipo de cambio nominal empleando toda la información disponible). Además, dado que este modelo es determinista, el supuesto de expectativas racionales equivale a suponer previsión perfecta. Es decir, supondremos que ambas economías, la nacional y la extranjera, están pobladas por agentes racionales con previsión perfecta6. Este supuesto implica que la tasa de crecimiento (decrecimiento) instantáneo del tipo de cambio nominal esperado sea igual al verdadero valor de la tasa de crecimiento (decrecimiento) del tipo de cambio nominal. Esto es: e



st  st 6.

17

En el mercado de bienes y servicios nacional los precios se ajustan de acuerdo a la siguiente ecuación diferencial:  Ytd   ln   Y Pt  t 

Pt

Si hacemos:

  

  ;   0

    ln Ytd  ln Yt  

18

  19

y dt  ln Ytd

Entonces la tasa de crecimiento instantánea de la demanda agregada de bienes nacionales será: d

yt 

 d

Yt

Ytd

20

  21

De manera análoga, tal como en (2), si hacemos: y t  ln Yt

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del nivel de producción de pleno empleo será: 

yt 



Yt Yt

5

22

En su modelo original Dornbusch demuestra que el supuesto de expectativas adaptativas, que inicialmente adopta, resulta equivalente al supuesto de expectativas racionales para algún valor adecuado del parámetro de ajuste de las expectativas adaptativas. 6 La previsión perfecta implica que el error de predicción de los agentes racionales es nulo en cada instante del tiempo. Esto es, ante una perturbación, los agentes racionales conocen sus efectos de corto y de largo plazo, y los tienen en cuenta en sus decisiones en el instante actual.

162

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por tanto, reemplazando (10), (19) y (21) en (18) se tiene:





p t   y dt  y t

 23

Dónde  es la velocidad de ajuste de los precios en el mercado nacional de bienes y servicios o el grado de flexibilidad del índice de precios en términos logarítmicos. La ecuación (23) no es más que la curva de Phillips, que nos dice que la inflación depende del exceso de oferta ydt  y t  0 o de demanda y dt  y t  0 en el mercado de bienes y servicios. Es por eso que, a diferencia de lo que ocurre en el mercado de activos financieros, donde la tasa de interés y el tipo de cambio nominal (expresado en logaritmos neperianos) se ajustan en todo instante para garantizar el equilibrio, en el mercado nacional de bienes y servicios pueden darse desequilibrios transitorios. 7.

La relación de equilibrio entre los mercados de bienes y servicios nacional y extranjero viene determinada por el mantenimiento de la hipótesis de la paridad del poder adquisitivo en el largo plazo, pero no en el corto plazo7. La hipótesis de la Paridad del Poder Adquisitivo (PPA) indica que el índice de precios en un país es igual al índice de precios en otro luego de convertirlo a través de un mercado cambiario. Por tanto, la PPA implica que:

St 

 

P  Pt  s t  ln St   ln  t*   ln Pt   ln Pt*  * Pt  Pt 

24

s t  p t  p*t

 

Si normalizamos el índice de precios en el exterior, esto es si hacemos: Pt*  1  ln Pt*  ln 1 

p*t  0

25

Reemplazando (25) en (24) obtenemos que la condición de PPA es la siguiente:

PPA : s t  p t 8.

26

La demanda agregada, se supone que es afectada directamente por el tipo de cambio real e inversamente por la tasa de interés.

 S  P*  Y   t t  e0 2it  ; 0  0; 1  0; 2  0  Pt  1

IS :

d t

7

27

Al suponer que los precios son rígidos en el corto plazo, el supuesto de la PPA se cumplirá sólo en el largo plazo.

163

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

unidad de moneda nacional

unidad de moneda extranjera  . Pt es el índice de precios en el mercado nacional expresado en * unidad de moneda nacional unidades reales de consumo nacional  . Pt es el índice de precios en el mercado extranjero expresado en unidad de moneda extranjera unidades reales de consumo extranjero  . 0 es el componente autónomo de la demanda agregada (que incluye el gasto público), 1 es la elasticidad de la demanda agregada de bienes respecto al tipo de cambio real9, SR t . Mientras que  2 es la semielasticidad de la demanda agregada de bienes Dónde

St

es

el

tipo

de

cambio

nominal8

expresado

en

respecto a la tasa de interés nominal nacional, i t . Siendo:

1  SR t 

 

Y

Y  SR  SR t d t



d t

t

Preciode bienesextranjeros en moneda nacional Precio de bienes nacionales en moneda nacional

2  

 

   ln Ytd     ln SR t  

28

S t  Pt*  unidadesreales de consumonacional    29  unidadesrealesde consumoextranjero  Pt  

  

 ln Ytd

30

i t

Aplicando logaritmos neperianos a (27) resulta:

  d t

ln Y

 S  P * t t  ln    Pt 

 

1  S  P*    i    e 0 2 t   1 ln  t t  P   t   

 

   0   2i t  

  ln Ytd  1 ln St   ln Pt*  ln Pt   0  2i t  

Ahora hacemos:

s t  ln St 

8

31

32

El tipo de cambio nominal representa el precio de una unidad de divisa extranjera expresado en unidades de la moneda local. Es decir, una unidad de moneda extranjera equivaldría a St unidades de moneda nacional. Un incremento en el tipo de cambio nominal denota una depreciación de la moneda doméstica, o equivalentemente una apreciación de la moneda extranjera. 9 El tipo de cambio real es el precio relativo de los bienes extranjeros (es el cociente entre el índice de precios de los bienes extranjeros expresado en moneda nacional y el índice de precios de los bienes nacionales expresado en moneda nacional). Es decir, una unidad real de consumo extranjera equivale a SRt unidades reales de consumo nacional, o equivalentemente, el índice de precios de los bienes extranjeros expresado en moneda nacional equivale a SRt veces el índice de precios de los bienes nacionales expresado en moneda nacional. Por tanto, el tipo de cambio real denota la competitividad de los bienes nacionales en relación a los bienes extranjeros.

164

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

  33

Asimismo, si hacemos:

p*t  ln Pt*

Entonces la tasa de crecimiento instantánea del índice de precios (inflación) extranjero será: *

pt 

*

Pt

Pt*



34



Reemplazando (9), (19), (32), y (33) en (31) obtenemos: ydt  0  1 s t  p*t  p t  2i t

Reemplazando (25) en (35) resulta:

ydt  0  1 s t  p t   2i t

35

36

La ecuación (36) es una IS en términos logarítmicos en la que el nivel de la demanda agregada depende de su componente autónomo, del nivel de exportaciones netas de bienes y servicios, que a su vez depende del tipo de cambio real expresado en términos logarítmicos (definido como las desviaciones de la paridad del poder adquisitivo), y de la tasa de interés nominal nacional. Es importante resaltar que en la función de la demanda deberíamos haber utilizado la e

tasa de interés real, rt  i t  p t , y no la nominal, i t . No obstante, dado que los resultados serán los mismos independientemente de que tasa de interés se use, entonces por simplicidad aquí utilizaremos la tasa de interés nominal. Esto explica porque en la IS no aparecen expectativas de inflación y porque se utiliza la tasa de interés nominal en lugar de la real, que sería lo correcto. Asimismo, como ya se ha mencionado, debido al supuesto de que el índice de precios nacional es fijo en el corto plazo, en el mercado nacional de bienes y servicios pueden darse desequilibrios transitorios, a diferencia del mercado de activos financieros, donde la tasa de interés nominal y el tipo de cambio nominal (expresado en logaritmos neperianos) se ajustan en todo momento para garantizar el equilibrio10.

9.

El régimen cambiario es de tipo de cambio flexible.

10. Todos los parámetros del modelo son positivos.

10

En 1976 Dornbusch señala, y en 2003 García-Cobián lo demuestra, que el supuesto de índice de precios fijo en el corto plazo en el mercado de bienes y servicios doméstico no es necesario para garantizar el overshooting del tipo de cambio. Para ello, basta con que el índice de precios se ajuste más lentamente que el tipo de cambio. No obstante, Dornbusch en su célebre artículo “Expectations and Exchange Rate Dynamics”, opta por la simplificación al suponer que el índice de precios es rígido en el corto plazo.

165

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Resolución del modelo:

En este modelo las variables exógenas son: m t , p*t , i *t , y t , 0 . Aunque hay que recordar que hemos normalizado el índice de precios en el extranjero a uno, esto es equivalente a que el logaritmo neperiano del índice de precios en el extranjero sea nulo: p*t  0. Mientras que las variables endógenas son: s t , p t , i t , ydt . Para resolver este modelo vamos a suponer que las variables endógenas de referencia son p t y s t . Por tanto, ahora deberemos determinar las ecuaciones diferenciales para dichas variables. Para determinar la ecuación diferencial correspondiente al índice de precios en términos logarítmicos, en primer lugar, vamos a despejar la tasa de interés nominal nacional de la ecuación (13):

it 

1



y t  m t  p t  37

Reemplazando (37) en (36) obtenemos la demanda agregada de la economía nacional:

y dt  0  1 s t  p t  

2 

y t  m t  p t  38

Sustituyendo (38) en (23) obtenemos:  2   y t  m t  p t   y t  p t   0  1 s t  p t        2     m   p t  1 s t   0  2 t  1  2  y t  p t    1             

39

La ecuación (39) representa la ecuación de equilibrio en el mercado financiero y de bienes y servicios. Ahora, para determinar la ecuación diferencial para el tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) vamos a reemplazar la ecuación (37) en la ecuación (14):

1



y t

 m t  p t   i*t  s t

e

Reemplazando (17) en (40) se tiene: 

st 

1



pt 

1



y t

 m t   i*t

40 41

La ecuación (41) representa la ecuación de equilibrio conjunto en el mercado de activos financieros. 166

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En consecuencia, el sistema de ecuaciones diferenciales que define el comportamiento dinámico de este modelo, expresado en forma matricial, viene dado por las ecuaciones (39) y (41):

   2    1        1   p t   p  t           s t   1 st      0  0     

2

 1  

2     1       

  0  0   m  t   yt   1  *   it 

42



b A             2      2 m t    1  1  2  y t               1  0    p            t     p t       st   1 st   1    0    y t  m t   i*t      

43

Análisis cualitativo Ahora vamos a realizar el análisis de estabilidad. Para ello vamos a determinar lo siguiente:

 2   0 trA    1        1  0 A     2   2   2 2   trA  4 A       4 1 0 1       

44

Ahora vamos a determinar el punto de equilibrio del sistema (43):

 p E  1  E   A b s   m t  i *t  y t p    E    m t 1   0  y t 1  1  1   2 i *t s   1  E



El polinomio característico viene dado por:



p   A  I  2  trA  A  0

167





   p E m t , y t , i *t   E  *  s m t , y t , i t ,  0  



46



45

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Los autovalores o raíces características son:

 trA   1  0 trA  trA  4 A trA    2    2 2 trA    0  2  2  2

47 

De (44) y (47) podemos concluir que el punto de equilibrio del sistema es un punto de silla. En este caso será necesario calcular los autovectores asociados a cada uno de los autovalores de (47) para poder determinar la ecuación de las trayectorias estable (una recta cuyo vector generador es el autovector asociado al autovalor negativo y que pasa por el punto de equilibrio) e inestable (una recta cuyo vector generador es el autovector asociado al autovalor positivo y que pasa por el punto de equilibrio).

 La pendiente del autovector v1 asociado a 1  0 se calculará a partir de:  2     1    1        1   

 v1  1    a   0   b  0  1  

48

De donde:

  2   1    1   a    b     1  1  

 2     1    1    a  b  1    1 a 1  

   1  0

49

La ecuación (49) nos representa la tangente del ángulo de inclinación que forma el autovector asociado a 1  0 con el eje horizontal (eje del índice de precios). Es decir, la ecuación (49) es la pendiente del brazo (recta) inestable (asociada a 1  0 ). Por tanto, la ecuación del brazo inestable, que en general pasará por el punto genérico s t , pt  y que en particular pasará por el punto de equilibrio s E , p E del sistema será:



2     1   1  st  s b 1       0 E 1 1 pt  p a E

 1 st  sE      1

  1 s t  s E       1



  pt  pE  

 E  1 p           1 168



 p t 51  



50

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

 La pendiente del autovector v 2 asociado a  2  0 se calculará a partir de:  2     2    1        1   

 v2  1    c   0   d  0  2  

52

De dónde:

  2   1    1   c    d     1  2  

    2 

 2    1    c  d  1    1 c  2  

    2  0

53

La ecuación (53) nos representa la tangente del ángulo de inclinación que forma el autovector asociado a  2  0 con el eje horizontal (eje del índice de precios). Es decir, la ecuación (53) es la pendiente del brazo (recta) estable (asociada a  2  0 ). Por tanto, la ecuación del brazo estable, que en general pasará por el punto genérico s t , p t  , que





en particular pasará por el punto de equilibrio s E , p E del sistema, y que buscamos que pase por el punto cuyas coordenadas son las condiciones iniciales de la economía nacional s0 , p0  será:

2       1 st  sE s0  sE d 1       E E 1 pt  p p0  p c  2

 1 st  sE      2



  pt  pE  

  1  E  1 p    s t  s E           2   2

    2  0

54



 p t 55  

De (54), conocido el valor de p 0 , se obtiene el valor de s 0 necesario para que los valores iniciales de la economía nacional se encuentren sobre el brazo estable:

 1 s0  sE      2



  p0  pE  

169

 56

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Ahora, para bosquejar el retrato de fase del modelo, vamos a determinar las ceroclinas a partir del sistema de ecuaciones (43). Esto es:

  m    2    p t  1 s t   0  2 t  1  2  y t   0 p t    1                 1 1  y t  m t   i*t  0 s p  t  t   

57 

En el sistema de ecuaciones del equilibrio estacionario, es evidente que el nivel del índice de precios en términos logarítmicos queda determinado por la segunda ecuación, mientras que el nivel del tipo de cambio nominal en términos logarítmicos queda determinado por la primera ecuación de (57). 

De donde la ceroclina p t  0 viene dada por:





 1 m  2  yt  0  2 t  s t   1 1 1   1

IS 0 , m t , y t , p*t  0 :

  2  p t   1   1   

58

La ecuación (58), una curva IS, representa el equilibrio en el mercado financiero y el mercado de bienes y servicios. 

Mientras que la ceroclina s t  0 viene dada por:



* t



de  45

 p t  m t  i  y t  p E * t

LM m t , y t , i :

59

La ecuación (59), una curva LM, representa el equilibrio conjunto en el mercado de activos financieros. Note que al reemplazar (17) en la condición de paridad no cubierta de intereses, dada por (14), resulta: 

e

s t  s t  i t  i*t

60

Ahora, si igualamos a cero la ecuación (60), resulta que: 

e

s t  s t  i t  i *t  0  i t  i *t  i E  i *t

61

En consecuencia, de la condición de paridad no cubierta de intereses deducimos que 

sobre los puntos de la ceroclina s t  0, para que el logaritmo neperiano del tipo de cambio nominal s t permanezca constante, la tasa de interés nominal nacional debe coincidir con la tasa de interés nominal del extranjero para cualquier instante del tiempo. Por tanto, la tasa de interés nominal de equilibrio de la economía es igual al tipo







de interés del extranjero i E  i *t . Además, de (45), sobre la ceroclina s t  0, se debe verificar que el logaritmo neperiano del índice de precios en el mercado nacional debe ser igual a p E . 170

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Ahora vamos a determinar gráficamente las condiciones de equilibrio dinámicas. En 

primer lugar, vamos a graficar la ceroclina s t  0. De la segunda ecuación del sistema (57) y por (59) tenemos que: 

st 

1



pE 

y t  m t   i*t  0

1



62

Por tanto, de (62), se puede apreciar que dicha ceroclina es una recta vertical que corta al eje del índice de precios nacionales en p E . Además, para valores de p t  p E , a la 

derecha de la recta vertical, que se aprecia en la figura 1, s t  0. En consecuencia, conforme transcurra el tiempo el valor de la tasa de cambio nominal nacional en términos logarítmicos irá aumentando (la moneda nacional se irá depreciando), lo cual es representado por flechas verticales orientadas hacia arriba. A la izquierda de dicha 

recta s t  0, por lo que conforme transcurra el tiempo el valor de la tasa de cambio nominal nacional en términos logarítmicos irá disminuyendo (la moneda nacional se irá apreciando), lo cual es representado con flechas verticales orientadas hacia abajo. 

st  0

st

pt

pE

Figura 1: Equilibrio dinámico parcial para el tipo de cambio nominal en términos logarítmicos 

A continuación vamos a graficar la ceroclina p t  0. De (58), se aprecia que esta ceroclina es una línea recta con pendiente positiva (mayor a uno), mientras que el valor del intercepto con el eje vertical (eje del tipo de cambio nominal nacional expresado en logaritmos neperianos) dependerá del valor de los parámetros del modelo. Además, si 

estando en un punto de la ceroclina p t  0 como el punto A, el tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos disminuye y el nivel del índice de precios en términos 

logarítmicos permanece constante, pasando a un punto debajo de la ceroclina p t  0 tal como el punto B. Entonces, al reemplazar las coordenadas del punto B en la primera ecuación del sistema (57), al haber disminuido el valor de la tasa de cambio nominal 171

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

nacional en términos logarítmicos, se verifica que en un punto debajo de la ceroclina 



p t  0, tal como el punto B, p t  0. Por tanto, conforme transcurra el tiempo, el valor del índice de precios nacional en términos logarítmicos irá disminuyendo. En 

consecuencia, debajo de la ceroclina p t  0, tal como se aprecia en la figura 2, las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de derecha a izquierda. Al lado opuesto de dicha ceroclina las líneas de fuerza dinámicas serán horizontales y en sentido de izquierda a derecha ya que en dicha región del plano de fase se verifica que 

p t  0.

Superponiendo las ceroclinas del índice de precios nacional en términos logarítmicos y de la tasa de cambio nacional en términos logarítmicos, graficando los brazos estable e inestable del punto de silla y bosquejando algunas sendas de fase en el plano de fase se obtiene la figura 3. Lo peculiar de este modelo radica en que el equilibrio de largo plazo resulta ser inestable, ya que se trata de un punto de silla. Sólo si la economía inicia en un punto que exactamente esté sobre el brazo estable del punto de silla, entonces el tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos y el índice de precios nacional en términos logarítmicos convergerían a sus valores de equilibrio de largo plazo. 

pt  0

st

sA

A

sB

B

pA  pB

pt

Figura 2: Equilibrio dinámico parcial para el nivel de precios en términos logarítmicos En este tipo de modelo es usual suponer que el tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos, al ser flexible, se ajusta inmediatamente para ubicarse sobre el brazo estable de manera tal que posteriormente tanto el tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos como el índice de precios nacional en términos logarítmicos se ajuste a sus valores de equilibrio de largo plazo. Este supuesto ha sido muy criticado ya que las ecuaciones del modelo no garantizan dicho ajuste hacia el brazo estable que conduce al equilibrio11.

11

No obstante, Begg (1989) muestra que en los modelos con expectativas racionales, como el que se desarrolla aquí, los equilibrios son convergentes.

172

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 

st  0

st

sE



pt  0 st  pt

E

p

pt

E

Figura 3: Retrato de fase de la economía Análisis cuantitativo El comportamiento del tipo de cambio nominal nacional en términos logarítmicos y del índice de precios nacional en términos logarítmicos vienen dados por: 



v2 v1   p t  p E  c  a   c1   e 1t  c 2   e 2t  E  d  b  st  s 

p t  p E  c1  a  e 1t  c 2  c  e  2 t  1t 2t E  s t  s  c1  b  e  c 2  d  e

63

64

Si suponemos que el estado inicial de la economía viene dado por s 0 , p 0 , reemplazando dichas condiciones iniciales en el sistema dado por (64), se tiene que:



 

 d p0  pE  c s0  sE  c  1 p 0  p E  c1  a  c 2  c  ad  bc   E a s0  sE  b p0  pE  s 0  s  c1  b  c 2  d  c 2  ad  bc 



 

Reemplazando los valores de c1 y c 2 en (64) resulta:



 

  d p0  pE  c s0  s E E p t  p   ad  bc    E E s  s E   d p0  p  c s 0  s   t ad  bc  



 







 



 a s0  s E  b p0  pE  ae   ad  bc     t  a s0  s E  b p0  pE  be 1   ad  bc   1t

173



 

65







 ce 2   t  de 2 

 t

66

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

De donde:



 

  d  E E     p 0  p  s 0  s p  p E    c   t  d b    c a     c  p 0  p E    s 0  s E   d  st  sE    a c     b d  







  







 b E E  s 0  s    p 0  p a  e 1t     d b    c a    a   E E    s 0  s  p 0  p   e 1t    b    a c    b d  



 

  

 e 2t       e 2t   

67 

Reemplazando (49) y (53) en (67), y efectuando sencillas operaciones algebraicas se tiene que:







  1 p 0  p E  1 2 s 0  s E p t  p E   1   2     1   E E     p 0  p   2 s 0  s  s  sE       t  1   2    



















 1 2 s 0  s E   2 p 0  p E   t 1t e   e 2  1   2       1 E E  1 s 0  s    p 0  p     e 2t  e 1t      1   2      









68

En la senda estable los coeficientes que acompañan al término e 1t deberán ser nulos para eliminar su efecto explosivo. Esto es:















 1 p 0  p E  1 2 s 0  s E  0  1 p 0  p E  1 2 s 0  s E  1   2    1 E E    p 0  p   2 s 0  s 1    0    p 0  p E   2 s 0  s E  1   2 



















69

Reemplazando (69) en (68) resulta que sobre el brazo estable el índice de precios en términos logarítmicos y el tipo de cambio nominal en términos logarítmicos evolucionan a lo largo del tiempo de acuerdo a:







  1 p 0  p E   2 p 0  p E E p t  p   1   2    E E  s  s E   1 s 0  s   2 s 0  s   t 1   2  







 e







 t  t E E  2  pt  p  p0  p e 2   t  t E E e 2  s t  s  s 0  s e 2 

174





70

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

De donde: e 2t 

pt  pE

p0  pE



st  sE

s0  sE

  s0  sE  E   s0  sE  p    p  s t  s E    p  pE    p  pE  t   0    0 

71

Reemplazando (54) en (71) obtenemos la ecuación del brazo estable, que coincide con la ecuación (55):

  1  E  1 p    s t  s E         2     2

 p t 72  

De la primera ecuación del sistema (70) podemos obtener el índice de precios de la economía nacional si suponemos que las condiciones iniciales de nuestra economía se encuentran sobre el brazo estable del punto de silla, y que p 0  p E . Esto es: E 2t E Pt  e pt  ep  p0  p e 

73

En la figura 4 se puede apreciar como el índice de precios en la economía nacional, sobre el brazo estable del punto de silla, se ajusta lentamente a su valor de equilibrio estacionario. Pt

e p0

ep

E

t Figura 4: Comportamiento temporal del índice de precios nacional a lo largo del brazo estable del punto de silla Derivando las ecuaciones de (70) respecto del tiempo resulta:

 

 

 p t   2 p 0  p E e  2 t  2t E   s t   2 s0  s e

74

Reemplazando (71) en (74) se tiene que las tasas de crecimiento instantáneo del índice de precios de la economía doméstica y del tipo de cambio nominal a lo largo del brazo estable del punto de silla vienen dadas por:

 

 75 

 p t   2 p t  p E  E   st  2 st  s

175

CIRO BAZÁN





TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por otro lado, siendo s 0E , p 0E los valores de equilibrio estacionario del sistema antes del cambio de alguna variable exógena, de (72), el brazo estable del punto de silla correspondiente viene dado por:

  1  E  1 p    s t  s 0E      0      2   2





 p t 76  

Además, siendo s1E , p1E los valores de equilibrio estacionario del sistema luego del cambio de alguna variable exógena, de (72), el brazo estable del punto de silla correspondiente viene dado por:

  1 s t  s1E       2

 E  1  p1           2

 p t 77   

Efectos de corto plazo de un cambio exógeno permanente y no anticipado12 Ahora vamos a analizar qué pasaría en el corto plazo con los valores de las variables endógenas de referencia si habiendo alcanzado sus valores de equilibrio estacionario se produce un aumento permanente y no anticipado (shock) de alguna de las variables exógenas del modelo ceteris paribus.





Si suponemos que la economía inicialmente se encontraba en el estado estacionario, que denotaremos por s 0E , p 0E , y que el tipo de cambio nominal y el índice de precios

expresados en términos logarítmicos en el corto plazo vienen dados por s0, p0 respectivamente. Entonces, los efectos de corto plazo de un cambio permanente y no anticipado de alguna variable exógena en el tipo de cambio nominal y en el índice de precios en términos logarítmicos respectivamente vendrán dados por:





dp0  p0  p 0E  ds0  s0  s 0E

78

Ya que s 0E , p 0E , es un punto que pertenece al brazo estable del punto de silla, entonces debe satisfacer la ecuación (76) verificándose que:

  1 s 0E  s 0E       2

 E  1 p 0           2

 E p 0  

79

Asimismo, el punto s0, p0 debe encontrarse sobre el nuevo brazo estable, y en consecuencia deberá satisfacer la ecuación (77) cumpliéndose que:

  1  E  1 p    s0  s1E      1      2   2

12

 p0  

80

Estas secciones se basan fundamentalmente en Mendoza y Herrera (2006).

176

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Restando (79) de (80) y teniendo en cuenta (78) y que se ha supuesto que el índice de precios expresado en términos logarítmicos es fijo en el corto plazo, p0  p 0E  dp0  0, obtenemos la variación del tipo de cambio nominal expresado en términos logarítmicos:







  1  E  p1  p 0E ds0  s0  s 0E   s1E  s 0E        2  Haciendo:

E E E  ds  s1  s 0  E E E  dp  p1  p 0



  1     2



dp0 0

 81

   p0  p 0E  

82

Reemplazando (82) en (81) se tiene:

 1 ds0  ds E      2

 E dp  

83

La ecuación (83) nos dice que, dado un cambio exógeno permanente y no anticipado de alguna variable exógena ceteris paribus, la variación del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) en el corto plazo es igual a la suma de la variación del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) en el largo plazo y de una fracción positiva de la variación del índice de precios (expresado en términos logarítmicos) en el largo plazo. Es decir, si un cambio exógeno permanente y no anticipado de alguna variable exógena ceteris paribus produce un incremento simultáneo del tipo de cambio nominal y del índice de precios (ambos expresados en logaritmos neperianos) en el largo plazo, la variación del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) en el corto plazo será mayor que la de largo plazo, esto es, se producirá un desbordamiento (overshooting) del tipo de cambio. Por otro lado, calculando la diferencial total para las ecuaciones del sistema (45) tenemos: dp  E

ds  E





p E m t , y t , i*t m t

s E m t , y t , i *t ,  0 



m t

t





p E m t , y t , i*t i*t

 di

dp E  dm t  di*t  dy t

 dm

s E m t , y t , i *t ,  0  0

 dm

 d t





s E m t , y t , i *t ,  0 i *t

* t





p E m t , y t , i*t

84

 di

* t



y t



 dy

s E m t , y t , i *t ,  0 y t

0

 1   2 ds E  dm t    1 

 *  1  1 di t      1   177

t

 1   dy t   d 0     1 

85

 dy

t



CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por otra parte, teniendo en cuenta que hemos normalizado a uno el índice de precios en el extranjero, p*t  0, y dado que el tipo de cambio real expresado en términos logarítmicos viene definido, como ya hemos dicho, como las desviaciones de la paridad del poder adquisitivo. Esto es:

86

0  srt  s t  p*t  p t  srt  s t  p t

En el estado estacionario, el tipo de cambio real, expresado en términos logarítmicos, vendrá dado por: sr E  s E  p E

87

Reemplazando (45) en (87) resulta:

 1 sr E     1



  1     0    y t   2 i *t  sr E y t , i *t ,  0        1  1

Calculando la diferencial total de (87) resulta: dsr E  ds E  dp E



 di



Calculando la diferencial total de (88) resulta: dsr E 

sr E m t , y t , i *t ,  0 i *t

 2 dsr E     1

* t



88

89

sr E m t , y t , i *t ,  0 y t



 dy

t

 *  1   1  di t   dy t   d 0        1  1





sr E m t , y t , i *t ,  0  0

 d

0

90

Note que la ecuación (90) también se obtiene reemplazando (84) y (85) en (89). Asimismo, reemplazando (84) y (85) en (83) resulta:

     2  1  *  1  1  1    1  dm t   1 di t   dy t   d 0  ds0  1         2  1  2   2  1     1

91

Teniendo en cuenta (86), el tipo de cambio real de corto plazo, expresado en logaritmos neperianos, viene dado por:

sr0  s0  p0

92

Diferenciando (92) y teniendo en cuenta que hemos supuesto que en el corto plazo el índice de precios es fijo, dp0  0, obtenemos la variación del tipo de cambio real (expresado en términos logarítmicos) en el corto plazo: 0    dsr0  ds0  dp0  dsr0  ds0

178

93

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Es decir:

     2  1    1  1  *  1  1 dm t   1 dy t   d 0 di t     dsr0  1          2   2   2  1 1     1

94

A partir de la ecuación (37) podemos obtener el valor de la tasa de interés nominal doméstica en el estado estacionario:

iE 

1



y

t



 m t  p E  i E y t , m t 

En el brazo estable inicial se tiene que:

i 0E 

1



y

0

 m 0  p 0E

95

 96

En el nuevo brazo estable se debe verificar que:

i0 

1



y1  m1  p0 97

La variación de corto plazo de la tasa de interés nominal nacional vendrá dada por:





dp0 0

dy t dmt     1    1      E E di0  i0  i 0   m1  m 0     p0  p 0   y1  y 0    

 1 di0   dm t   dy t   Diferenciando (95) resulta: di E 

i E m t , y t  m t

dm t 

99

i E m t , y t  y t

98

1  di E   dm t   dy t  di0  

dy t

100

Efectos de mediano plazo de un cambio exógeno permanente y no anticipado

Para el mediano plazo, una vez que la economía alcanza el punto s0, p0 del nuevo brazo estable, ésta se conduce a través de dicho brazo hasta alcanzar el nuevo punto de equilibrio estacionario s1E , p1E .





179

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

La ecuación del nuevo brazo estable la podemos obtener adaptando las ecuaciones del sistema dado por (70), tal como sigue:

 

 

p t  p1E  p0  p1E e  2 t  2t E E  s t  s1  s0  s1 e

101

Adaptando la segunda ecuación de (69) tenemos:













 1  1  p0  p1E 102   p0  p1E   2 s0  s1E  s0  s1E        2  Reemplazando p0  p 0E , y reemplazando (102) en (101) tenemos que en el mediano plazo las trayectorias del índice de precios doméstico y el tipo de cambio nominal (ambos en términos logarítmicos) vienen dadas por:





 p t  p1E  p 0E  p1E e  2 t  s  s E   1  p E  p E e  2 t 1 1  t    0  2 



103



Restando la primera ecuación a la segunda ecuación del sistema (103) obtenemos el comportamiento de mediano plazo del tipo de cambio real (en términos logarítmicos) tal como sigue:









sr      1  E srt  s1  p1E    1 p 0E  p1E e  2 t     2  E



104



 1   1 p 0E  p1E e  2 t 105 srt  sr E       2 

Finalmente, reemplazando la primera ecuación del sistema (103) en (37) resulta:

it 

1



y

t



  106

 m t  p1E  p 0E  p1E e  2 t

El valor de largo plazo de la tasa de interés nominal doméstica será:

i LP  lím i t  t 

1



y

 m t  p1E

t



107 

Bajo el supuesto de que la economía doméstica alcanza el estado estacionario en el largo plazo, entonces resulta que:

i LP  i E  i *t 

1



y

t

180

 m t  p1E

 108

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Reemplazando (108) en (106) obtenemos el comportamiento de mediano plazo de la tasa de interés nominal en función de su valor de estado estacionario:

i t  i *t 

1



p

E 0

  109

 p1E e  2 t

Efectos de un aumento sorpresivo (no anticipado) y permanente del stock nominal de dinero (política monetaria expansiva: dm t  0 ) Ahora vamos a analizar qué pasaría con los valores de las variables endógenas del modelo si habiendo alcanzado sus valores de equilibrio estacionario se produce un aumento no anticipado del stock nominal de dinero ceteris paribus. En el corto plazo: De (78), (91), (94) y (99), y teniendo en cuenta que la única diferencial no nula es dm t , se tiene:

dp0  0

110

 1  dm t  0 ds0  1     2  

 1  dm t  0 dsr0  1    2  

1 di0   dm t  0 

111

112

113

En el largo plazo:

De (84) y (85), teniendo en cuenta que dm t  0 y que di *t  dy t  0, resulta que: dp E  dm t  0

ds E  dm t  0

114

115

Las ecuaciones anteriores nos dicen que, ante un cambio permanente y sorpresivo en la oferta monetaria, en el nuevo estado estacionario, E1, el índice de precios y la tasa de cambio nominal (ambos en logaritmos neperianos) se incrementan en proporción al incremento de la oferta monetaria, de manera que todas las variables reales no se verán afectadas [tal como ocurre con el tipo de cambio real: ver ecuación (116)]. Es decir, se mantiene la neutralidad monetaria en el nuevo equilibrio de largo plazo. Asimismo, las ecuaciones (114) y (115) nos indican que en el nuevo equilibrio estacionario, E1, se debe seguir verificando la condición de paridad del poder adquisitivo (el nuevo equilibrio estacionario se ubica sobre una recta que forma 45º con cualquiera de los ejes del plano de fase, esto es, sobre una recta con pendiente igual a 1, y cuya ecuación viene dada por: s t  p t ). En la figura 5 se aprecia que ante el incremento sorpresivo y 181

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA 



permanente de m t , dm t  0, las ceroclinas s t  0 y p t  0 se desplazarán hacia la derecha hasta intersecarse en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1. Asimismo, se aprecia que la pendiente de la recta que pasa por E1 y por E0 es igual a: ds E dp E  dm t dm t  1. Por otro lado, se aprecia que en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1, al igual que en el punto de equilibrio estacionario inicial E0, se sigue cumpliendo la condición de paridad de poder adquisitivo, s t  p t , por tanto se verifica que: dsr E  0

116

Finalmente, en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1, al igual que en el punto de equilibrio estacionario inicial E0, se sigue cumpliendo que la tasa nominal de interés doméstica debe ser igual a la tasa nominal de interés extranjera, por tanto se cumple que: di E  0

117

Efectos de corto plazo: Efecto 1: Ante un incremento sorpresivo del stock nominal de dinero (expresado en logaritmos neperianos), m t , ceteris paribus, dado que se ha supuesto que en el corto plazo el índice de precios nacional es fijo, los saldos reales expresados en términos logarítmicos se incrementarían, m t  p t   . En consecuencia, resulta que el mercado

financiero estaría en desequilibrio en el corto plazo ya que m t  p t  y t  i t . Por tanto, la tasa de interés nominal doméstica, disminuiría ya que ésta depende inversamente de los saldos reales, expresados en términos logarítmicos. Es decir, si m t  p t  , entonces y t  m t  p t  , por lo que i t  y t  m t  p t   . Esto, a su vez, hace que los activos financieros extranjeros sean más rentables que los nacionales, generando que la demanda de los activos financieros extranjeros se incremente y que el tipo de cambio nominal, expresado en términos logarítmicos, aumente (que se deprecie la moneda nacional). Efecto 2: Por otro lado, dado que se ha supuesto que los agentes económicos tienen expectativas racionales, éstos conocen que en el largo plazo el tipo de cambio nominal en términos logarítmicos será mayor que su valor actual (antes del shock monetario expansivo), por lo que los agentes económicos tendrán una razón más para adquirir activos financieros extranjeros, lo que a su vez incrementará adicionalmente el tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos). Ambos efectos hacen que el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) se eleve por encima de su valor de largo plazo (overshooting cambiario). En la figura 5, la economía se desplaza del punto E0 al punto A.

182

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

El fenómeno económico del overshooting cambiario puede explicarse de la siguiente manera: En el punto A, debido al shock monetario no anticipado, la tasa de interés nominal doméstica ha disminuido a un valor inferior al de la tasa de interés nominal extranjera, por lo que la condición de paridad no cubierta de intereses se verificará únicamente si los agentes esperan que el tipo de cambio nominal expresado en 

logaritmos neperianos disminuya (se aprecie), esto es: s t  i t  i *t  0. En consecuencia, ya que por hipótesis, los agentes tienen expectativas racionales, para que ello ocurra, debe verificarse que en el corto plazo el tipo de cambio nominal, en logaritmos neperianos, aumente instantáneamente a un valor mayor a su nuevo valor de equilibrio estacionario. Por tanto, por los efectos antes descritos, en el corto plazo, el tipo de cambio nominal (expresado en logaritmos neperianos) se incrementa por encima de su nuevo valor de equilibrio estacionario. Esto es, ante un incremento permanente y sorpresivo del stock nominal de dinero (en términos logarítmicos), en el corto plazo se produce un sobreajuste del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos): overshooting cambiario. En la figura 5, el shock monetario expansivo hace que la economía pase del punto E0 al punto A, donde se aprecia que el índice de precios (en términos logarítmicos) permanece constante y el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) aumenta instantáneamente por encima de su nuevo valor de largo plazo, esto es: s0  s1E . Efectos de mediano plazo: En la figura 5, el mediano plazo se da entre el punto A y el punto E1. En el punto A, se tiene un tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) mayor que en el punto E0, pero una tasa de interés nominal menor (undershooting de la tasa de interés nominal doméstica). En consecuencia, al haber simultáneamente una disminución de la tasa de interés nominal y un incremento del tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) al pasar del punto E1 al punto A, entonces de (36) se observa que la demanda agregada de bienes y servicios se incrementa. Además, por (23) resulta que al incrementarse la demanda agregada de bienes y servicios respecto a la producción a pleno empleo, el índice de precios nacional aumenta. El índice de precios más alto reduce la oferta real de dinero, es decir, m t  p t  , y esto a su vez, de acuerdo a (37), produce un incremento en la tasa de interés nominal doméstica. No obstante, este incremento en la tasa de interés nominal doméstica es en términos absolutos menor a la disminución que se produjo en la tasa de interés nominal nacional debido al shock monetario expansivo. Es por esto que la tasa de interés nominal doméstica todavía sigue 

e

siendo menor a la extranjera, i t  i*t  s t  s t  0, lo que a su vez generará expectativas de disminución (apreciación) del tipo de cambio nominal (en logaritmos neperianos) respecto del punto A. En consecuencia, en el punto E1 se tendrá un tipo de cambio nominal (en logaritmos neperianos) menor al del punto A, pero mayor al del punto E0.

Este proceso de índice de precios nacional aumentando, tipo de cambio nominal (en logaritmos neperianos) disminuyendo y tasa de interés nominal doméstica aumentando se produce hasta llegar al nuevo punto de equilibrio estacionario, E1.

183

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Efectos de largo plazo: La economía se ubica sobre el punto E1. En este punto, el índice de precios y el tipo de cambio nominal (expresado en términos logarítmicos) coinciden con sus valores de estado estacionario finales, la tasa de interés nominal doméstica coincide con la extranjera (la tasa esperada de crecimiento instantáneo del tipo de cambio nominal es nula), y se mantiene la paridad del poder adquisitivo. Principales resultados del shock monetario expansivo permanente y sorpresivo: Ante un incremento sorpresivo y permanente del stock nominal del dinero, el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) sobrerreacciona (overshooting) instantáneamente a un nivel superior a su nivel de estado estacionario (debido a la diferencia de las velocidades de ajuste del mercado financiero y del mercado de bienes y servicios). En el nuevo estado estacionario, el índice de precios nacional y el tipo de cambio nominal (en logaritmos neperianos) son mayores a los valores que tenían antes del shock monetario expansivo. Además, se cumple la neutralidad monetaria de largo plazo. Asimismo, la tasa de interés nominal interna y el tipo de cambio real se mantienen constantes. s t  0 m 0  s t  0 m1  

st



BI1

T2

s0 

p t  0 m1  

C

BE 0

st  pt

A B

ds0

s1E

E1

ds E

E0

s 0E

s0

I p t  0 m 0  

BE1

T1

p  p0 p 0 p1E E 0

dp E

Figura 5: Comportamiento dinámico de la economía ante una expansión monetaria permanente no anticipada 184

pt

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Finalmente, es importante resaltar que en la figura 5 se representa cómo ha evolucionado la economía a lo largo del tiempo, ante un shock monetario expansivo. En esta figura se aprecia que la economía inicialmente se encontraba ubicada en el plano de fase en el punto I, perteneciente al brazo estable inicial (BE0) del punto de silla. Con el devenir del tiempo, la economía se ha desplazado a lo largo de BE0 hasta el punto de equilibrio estacionario inicial, E0. Se aprecia que en el desplazamiento desde el punto I hasta el punto E0 el índice de precios (en términos logarítmicos) ha disminuido hasta converger con el valor de estado estacionario inicial, p 0E . Asimismo, en este mismo trayecto el tipo de cambio nominal doméstico se ha incrementado hasta converger a su valor de estado estacionario inicial: s 0E . Estando la economía en el punto de equilibrio inicial, E0, se produce un incremento sorpresivo y permanente del stock nominal de dinero (pasando de m 0 a m1 , con m1  m0 : dm t  0 ). Ante este shock monetario expansivo, la ceroclina s t  0 m 0  se desplaza hacia la derecha un 

dp E  dm t , siendo ahora la ceroclina s t  0 m1 , mientras que la ceroclina 

p t  0 m 0 , a su vez, se desplaza hacia la derecha, siendo ahora la ceroclina 

p t  0 m1 . El cruce de las ceroclinas s t  0 m1  y p t  0 m1  se da en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1. Asimismo, ante el shock monetario expansivo sorpresivo y permanente, dado que se ha supuesto que el índice de precios es rígido en el corto plazo (pero flexible en el largo plazo), que el tipo de cambio nominal es flexible (con velocidad de ajuste infinita), y que los agentes tienen expectativas racionales (información y previsión perfecta), la economía se desplazará de forma instantánea a lo 





largo de la ceroclina s t  0 m 0  hasta el punto A, perteneciente al nuevo brazo estable (BE1) del punto de silla13. Se aprecia que en el desplazamiento desde el punto E0 hasta el punto A el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) ha aumentado (la moneda nacional se ha depreciado) a un valor superior al valor del nuevo equilibrio estacionario (overshooting)14. Una vez que la economía ha alcanzado el punto A del nuevo brazo estable (BE1), la economía convergerá hacia el punto E1, eventualmente restableciendo la paridad del poder adquisitivo en dicho punto. Cualquier error por parte del mercado enviaría a la economía lejos del punto E1 y hacia el brazo inestable (BI1) del punto de silla. 

13

Aquí es importante resaltar que, desafortunadamente en este modelo, cualquier carencia de perfección alejaría a la economía del nuevo punto de equilibrio estacionario, E1. Por ejemplo, si tras el shock monetario expansivo el mercado subestima la depreciación de la moneda nacional moviéndose desde el punto E0 al punto B, entonces la economía, conforme transcurra el tiempo, se alejaría del equilibrio estacionario E1 a lo largo de la trayectoria T1, con tipos de cambio nominales (en términos logarítmicos) disminuyendo (moneda nacional apreciándose) y con periodos de inflación y de deflación. Similarmente, si el mercado sobreestima la depreciación y se mueve al punto C, entonces el sistema dinámico se hará explosivo, con índice de precios crecientes conforme transcurre el tiempo (inflación) y con el tipo de cambio nominal (en términos logarítmicos) aumentando (moneda nacional depreciándose), como se muestra a lo largo de la trayectoria T2. 14 Es importante resaltar que en el punto A se produce, además, un undershooting de la tasa de interés nominal doméstica, ya que su valor de corto plazo (el que tiene en el punto A) resulta inferior que el valor que alcanza en el nuevo punto de equilibrio estacionario, E1.

185

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Simulación Numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica, efectuada en Matlab 7.12.0, con determinados valores para los parámetros del modelo, tales que satisfagan las condiciones dadas por (44). Dichos valores se encuentran resumidos en la tabla I.

2 µ θ  1

Parámetros

Valores 0,1 0,06 0,8 0,06 20

Tabla I: Valores de los parámetros simulados En la tabla II se muestran los valores de las variables exógenas en el instante inicial. Estos valores se han elegido de forma arbitraria. Variables exógenas m0

Valores 150

i *0

2,5

y0

De (45), se cumplirá la hipótesis de PPA:

s E  p E   0   2 i *0  y 0

1800 1800,25

Tabla II: Valores iniciales de las variables exógenas Para estos valores de los parámetros del modelo y de las variables exógenas en el instante inicial, el sistema (43) resulta: 

b A         1,2075 1,2 p   0,33  t p t      s    55  1 , 25 0 st    t     

I 

Las ceroclinas del sistema (I) vienen dadas por:

 p t  0  s t  1,00625p t  0,275  s t  0  p t  44

II

Asimismo, por (45), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: p E  44  E     s  44

III

Mientras que por (44), tenemos que:

trA  1,2075  0   A  1,5  0   7,45806  0 

186

IV

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En la figura I se muestra el retrato de fase, los brazos estable (BE) e inestable (BI), y las ceroclinas correspondientes al sistema dado por (I). y ' = 1.25 x - 55 100 st ' = 0 90

80

70

st

60

50 E 40

30 BI 20 BE pt ' = 0 10

0

0

10

20

30

40

50 pt

60

70

80

90

100

Figura I: Retrato de fase del sistema Sustituyendo (IV) en (47) tenemos que:

1  0,7617221  0   2  1,9692221  0

V 

Reemplazando el valor de “θ”, dado por la tabla I, (III) y (V) en (55) obtenemos la ecuación del brazo estable del punto de silla. Esto es: s t  0,63476842 p t  71,92981

VI 

Supondremos que en el instante inicial el índice de precios en la economía doméstica asciende a p 0  90. Sustituyendo este valor en (VI) obtenemos que el tipo de cambio nominal (en logaritmos) que deberá tener la economía para estar sobre el brazo estable deberá ascender a s 0  14,8006527.

Sustituyendo p 0 , s 0 ,  2 y (III) en (70) obtenemos cómo evolucionan en el tiempo el tipo de cambio nominal y el índice de precios, ambos en términos logarítmicos, sobre el brazo estable. Esto es: 1, 9692221t  p t  44  46e  1, 9692221t  s t  44  29,2e

187

VII 

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En las figuras II y III se muestran respectivamente el diagrama de fase y la evolución a lo largo del tiempo del tipo de cambio nominal y del índice de precios, ambos en términos logarítmicos, para el sistema (I), sobre el brazo estable (E), con las siguientes condiciones iniciales: I  p0 , s 0   90; 14,8006527. 100 st ' = 0 90

80

70

st

60

50 E 40

30 BI 20 P0 BE

pt ' = 0 10

0

0

10

20

30

40

50 pt

60

70

80

90

100

Figura II: Diagrama de fase del sistema sobre el brazo estable m0  150 Tomando como punto de partida el punto de equilibrio estacionario dado por (III), si ahora incrementamos el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, ceteris paribus, pasando de m 0  150 a m1  151, el sistema (43) resulta: 

b A         1,2075 1,2 p   0,3375  p t  t     s    56,25  1 , 25 0 st     t    

VIII 

Las ceroclinas del sistema (V) vienen dadas por:

 p t  0  s t  1,00625p t  0,28125  s t  0  p t  45

188

IX

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

45

40

35

st

st 30

25

20

15

0

2

4

6

8

10 t

12

14

16

18

20

90 85 80 75 70 pt

pt

65 60 55 50 45 40 0

2

4

6

8

10 t

12

14

16

18

20

Figura III: Evolución temporal del tipo de cambio nominal y del índice de precios en términos logarítmicos sobre el brazo estable (BE)

189

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Asimismo, por (45), el punto de equilibrio del sistema vendrá dado por: p1E  45 E1   E      s1  45

X 

Mientras que los valores dados por (IV) se mantienen invariables ante el incremento del stock nominal de dinero en términos logarítmicos. Reemplazando el valor de “θ”, dado por la tabla I, (X) y (V) en (77) obtenemos la ecuación del brazo estable (BE1) del punto de silla. Esto es: s t  0,63476842 p t  73,5645788

XI

Como hemos supuesto que antes del shock monetario la economía se encontraba en E 0  p 0E , s 0E   44;44, al producirse el shock monetario expansivo sorpresivo y permanente, dado que hemos supuesto que el índice de precios es rígido en el corto plazo (pero flexible en el largo plazo), que el tipo de cambio nominal es flexible (con velocidad de ajuste infinita), y que los agentes tienen expectativas racionales (información y previsión perfecta), la economía se desplazará de forma instantánea a lo  largo de la ceroclina s t  0 m 0  hasta el punto A, perteneciente al nuevo brazo estable (BE1) del punto de silla que aparece en la figura 5. Por tanto, teniendo en cuenta (III), en el punto A, el índice de precios será p A  p 0E  p0  p E  44. Para determinar el tipo de cambio nominal en dicho punto reemplazaremos p A  44 en (XI). En consecuencia: s A  45,63597752  A  p A , s A   44; 45,63597752

XII

Cambiando p 0 por p A , s 0 por s A , p E por p1E , s E por s1E , y sustituyendo  2 en (70) obtenemos cómo evolucionan en el tiempo el tipo de cambio nominal y el índice de precios, ambos en términos logarítmicos, sobre el nuevo brazo estable (BE1). Esto es: 1, 9692221t  p t  45  e  1, 9692221t  s t  45  0,6372684e

XIII

En la figura IV se muestra se muestra el diagrama de fase del sistema (VIII) tras el incremento en el stock nominal de dinero en términos logarítmicos, teniendo como punto de partida el punto de equilibrio estacionario antes de dicho incremento, esto es: E 0  p0E , s 0E  44;44.





En la figura V se aprecia la evolución temporal del sistema (VIII), el índice de precios y el tipo de cambio nominal (expresados en logaritmos neperianos), tras el incremento del stock nominal de dinero, en términos logarítmicos, ceteris paribus, siendo el punto inicial E 0  p0E , s 0E  44.





190

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

st ' = 0 (m1)

st ' = 0 (m0)

48

47.5

47

46.5

46

st

A 45.5 E1 45

44.5 BI1

E0 44 pt ' = 0 (m0)

43.5

BE1 43

pt ' = 0 (m1) 43

43.5

44

44.5

45

45.5 pt

46

46.5

47

47.5

48

Figura IV: Diagrama de fase del sistema m1  151

st

45.5

45

st

44.5

44

43.5

43

0

1

2

3

4

5 t

191

6

7

8

9

10

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

45 44.9 44.8 44.7 44.6

pt

pt 44.5 44.4 44.3 44.2 44.1 44

0

1

2

3

4

5 t

6

7

8

9

10

Figura V: Evolución temporal del tipo de cambio nominal y del índice de precios en términos logarítmicos tras el incremento del stock nominal de dinero, ceteris paribus Conclusiones: En este documento hemos estudiado el comportamiento dinámico del modelo de overshooting cambiario de Dornbush. Este modelo incorpora la balanza de pagos al típico modelo IS-LM en un contexto de economía pequeña y abierta en la que se supone que los agentes económicos tienen expectativas racionales determinísticas sobre el tipo de cambio nominal, que los precios en el corto plazo son rígidos (aunque flexibles en el largo plazo), que el tipo de cambio nominal es flexible, y que la velocidad de ajuste del mercado financiero es infinita. Asimismo, se ha analizado el efecto de un incremento de la oferta monetaria de forma permanente e imprevista sobre el tipo de cambio nominal. En concreto, la expansión monetaria genera que en el corto plazo el tipo de cambio nominal sobre reaccione por encima de su nivel de largo plazo y que el índice de precios permanezca constante. No obstante, en el largo plazo, en el nuevo equilibrio estacionario el índice de precios y el tipo de cambio nominal son más altos que los valores que tenían antes de la expansión monetaria. Asimismo, tras el incremento en la oferta monetaria, se aprecia que el tipo de cambio real y la tasa de interés doméstica han permanecido invariables. Finalmente, es importante resaltar que en este modelo, dada su característica de ensilladura (normalmente inestable), cualquier carencia de perfección (en la formación de las expectativas racionales determinísticas del tipo de cambio nominal por parte de los agentes económicos) alejaría a la economía del punto de equilibrio estacionario. 192

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA Bibliografía

Argandoña, A.; Gámez, C.; y Mochón, F. (1996): “Macroeconomía Avanzada I: Modelos Dinámicos y Teoría de la Política Económica”, McGraw Hill. Primera Edición. Begg, D. (1989): “La Revolución de las Expectativas Racionales en la Macroeconomía”, Fondo de Cultura Económica, México. Primera Edición. Dornbusch, R. (1976): “Expectations and Exchange Rate Dynamics”, The Journal of Political Economy. Vol. (84), pp. 1161-1176. Gandolfo, G. (2002): “International Finance and Open-Economy Macroeconomics”, Springer. Gandolfo, G. (1997): “Economic Dynamics”, Study Edition. Springer. García-Cobián, R. (2003): “Compleción del Modelo del Overshooting de Dornbusch”, Revista de la Facultad de Ciencias Económicas de la UNMSN. Año VIII. Nº 22, pp. 137-144. Mendoza, W.; y Herrera, P. (2006): “Macroeconomía: Un Marco de Análisis para una Economía Pequeña y Abierta”, Fondo Editorial. Pontificia Universidad Católica del Perú (PUCP). Primera Edición. Shone, R. (2002): “Economic Dynamics: Phase Diagrams and Their Economic Application”, Cambridge University Press. Second Edition.

193

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

194

El modelo de crecimiento de Harrod-Domar La teoría del crecimiento (análisis de largo plazo) de Harrod (1939)-Domar (1946) es una extensión dinámica del más sencillo modelo Keynesiano real (de corto plazo). Harrod y Domar, desarrollaron sus modelos por separado, explorando las condiciones de un crecimiento equilibrado (donde todas las variables, capital, trabajo, y PBI, crecen a una misma tasa) en una economía, analizando los requerimientos para mantener el pleno empleo de los factores productivos a lo largo del tiempo. No obstante, dado que sus hipótesis y resultados son básicamente los mismos, en la literatura se suelen presentar estos dos modelos como uno solo denominado modelo de crecimiento de Harrod-Domar. Supuestos del modelo: 1.

Se asume que la función de producción es una función Walras-Leontief. Esto es, se asume que la función de producción es de coeficientes técnicos fijos (proporciones fijas), 1   0 y 1   0, para los factores de producción “K” y “L”. Esto implica que para producir una unidad del bien, el capital y el trabajo siempre deben utilizarse en proporciones fijas: k  K L     cte. En consecuencia, estamos suponiendo que para producir una unidad del bien, necesitamos 1  unidades de capital y 1  unidades de trabajo. Por tanto, para producir “Y” unidades del bien, necesitaremos Y  unidades de capital y Y  unidades de trabajo. En otras palabras, K  Y  son los requerimientos de capital y L  Y  son los requerimientos de trabajo para producir “Y” unidades del bien. Esta función de producción nos dice que si K  Y  o L  Y  , el respectivo exceso permanecerá ocioso. Y  FK, L  minK, L

1

Analíticamente, la función de producción viene dada por la siguiente expresión:

 Si en la economía se cumple que K  L   K  L. Entonces, la producción vendrá dada por Y  K y el trabajo requerido para el nivel de producción óptimo será L  Y    K. En este caso, el capital determina el nivel de producción y el trabajo existente en la economía es mayor a la cantidad requerida para el nivel de producción óptimo. En este caso, el excedente de trabajo, L    K  0, permanecerá ocioso.

De (1) se desprende que:

 Si en la economía se cumple que K  L   K  L. Entonces, la producción vendrá dada por Y  K  L y el trabajo requerido para el nivel de producción óptimo será L  Y    K. Por tanto, se cumple que K L     cte. En este caso, no hay existencias en exceso de trabajo o de capital que no sean utilizadas. Es decir, si k  K L     cte los factores productivos de la economía son utilizados plenamente.  Si en la economía se cumple que L  K    L  K. Entonces, la producción vendrá dada por Y  L y el capital requerido para el nivel de producción óptimo será K  Y     L. En este caso, el trabajo determina el nivel de producción y la cantidad de capital existente en la economía es mayor a la cantidad requerida para el nivel de producción óptimo. En este caso, el excedente de capital, K    L  0, permanecerá ocioso.

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Gráficamente, la ecuación (1) está representada en la figura 1. La ecuación (1) geométricamente representa la esquina de una pirámide que será dada por el mínimo de dos planos: El plano OAC (cuya ecuación está dada por Y  L, pasa por el eje “K”, y su pendiente en la dirección del eje “L” es ), y el plano OBC (cuya ecuación está dada por Y  K, pasa por el eje “L”, y su pendiente en la dirección del eje “K” es  ). Ambos planos se intersectan en la recta OC, cuya proyección sobre el plano K-L, la recta OD, satisface la ecuación: k  K L     cte. Y  FK, L  minK, L planos OAC y OCB

Y  L plano OAC

C

E

K

F A

 

G



O

Y  minK,  Línea EF1

D

K

 

1

Y  K plano OBC

B

L

L

Fuente: Elaboración propia basada en De la Grandville (2009).

Figura 1: Función de producción de Walras-Leontief La expresión analítica de una isocuanta para un nivel de producción igual a “Yi” viene dada por: K  Yi  ; K    L  Yi  minK , L   L  Yi  ; K    L L  Y  ; K    L i 

Que se puede resumir en la siguiente:

K  Yi  ; K    L Yi  minK, L    L  Yi  ; K    L

La representación gráfica de un par de isocuantas de una función de producción de coeficientes fijos para los niveles de producción iguales a “Y0”, “Y1” y “Y2” vienen dados por la figura 2. En esta figura se puede apreciar que las isocuantas tienen forma de una “L” y sus vértices se encuentran sobre la recta K    L. Asimismo, en la figura 2 se puede apreciar que en una isocuanta correspondiente a un nivel de producción constante e igual a “Yi”, si K    L, entonces el exceso de “L” permanece ocioso y “K” es plenamente empleado y permanece constante e igual a Yi  ; y si K    L, entonces el exceso de “K” permanece ocioso y “L” es plenamente empleado y permanece constante e igual a L  Yi  .

196

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

K

K    L

K    L

Y2 

H

Y1 

F

Y0 

J

I

Y0  Y1  Y2 

Y2  minK, L Y1  minK, L

Y0  minK, L K    L

L

Figura 2: Mapa de isocuantas para el caso de una función de producción de Walras-Leontief

Es importante resaltar que en los puntos de la recta K    L, la producción de “Yi” unidades del bien se realiza manteniéndose la relación entre el capital y el trabajo en una proporción fija: k  K L     cte. En este tipo de función de producción con coeficientes fijos no permite sustitución entre los factores. Por ejemplo, no se puede sustituir capital por trabajo para mantener el mismo nivel de producción (Por ejemplo “Y1” en el punto “F”) ya que dicha sustitución necesariamente haría que pasáramos por ejemplo del punto “F” a un punto como el “I”, donde K L    , y donde el nivel de producción es inferior a “Y1”. Además, en “I” habría un exceso del factor trabajo (magnitud del segmento JI) que permanecería ocioso. Este supuesto sobre la imposibilidad de sustituir capital por trabajo o viceversa llevaron a Harrod y a Domar a predecir que la economía se vería inmersa en incrementos perpetuos de desempleo de trabajadores o de capital.

En la figura 1, la sección horizontal de Y  FK, L  minK, L para Y   (la línea EFG) representa una isocuanta de una función de producción con coeficientes técnicos fijos para un nivel de producción igual a .

Por otro lado, la tecnología de la producción admite rendimientos constantes a escala (la función de producción es homogénea de grado uno); multiplicando “K” y “L” por “α” la función de producción “Y” queda multiplicada en “α”. En particular, si hacemos   1 L , multiplicando (1) por “α” se obtiene la producción por unidad de trabajo: Y  minK, L

 K   y  f k   min  ,    mink ,   L  L 

Y

k; si k    y  f k   mink ,     ; si k   

197

2

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

 Si k    k    . En consecuencia la producción por unidad de trabajo empleado será y  k.  Si   k  k    . En consecuencia la producción por unidad de trabajo empleado será y    k.  Si   k  k    . En consecuencia la producción por unidad de trabajo empleado será y  .

En la figura 3, en el plano y-k, se aprecia la producción por unidad de trabajo empleado para el caso de una función de producción de Walras-Leontief. Geométricamente hablando, para una función de producción homogénea de grado uno, la producción por unidad de trabajo empleado es la sección vertical de la superficie Y  FK, L  minK, L en el punto L  1 del eje “L”. Teniendo en cuenta la figura 1, la función de producción por unidad de trabajo empleado viene dada por la línea de color celeste (EF1). y

Y L

 f k 

y  k

si k    k;  y  f k   mink ,    k  ; si k    ; si k    



k

 

K L

Figura 3: Producción por unidad de trabajo empleado para el caso de una función de producción de Walras-Leontief En resumen, de (1) se desprende lo siguiente:

K, si K    L Y  FK, L   minK, L    L, si K    L

3

Pero como se ha supuesto que el capital y el trabajo siempre deben utilizarse en proporciones fijas, entonces debe verificarse siempre lo siguiente: k  K L     K    L

4

Teniendo en cuenta (4), de (3) resulta que: K  Y  Y  K  L   L  Y 

198

5

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Esta ecuación nos da información acerca de los verdaderos requerimientos de capital y trabajo como proporciones de “Y” de acuerdo a sus respectivos coeficientes técnicos 1  y 1  . 2.

Se asume que la economía es cerrada y que se está produciendo un único bien homogéneo “Y”. Este bien puede utilizarse como un bien de inversión “I” o como un bien de consumo “C”. El uso de éste depende del agente económico. Las familias consumen y ahorran mientras las empresas producen e invierten. Todas las variables son reales y el mercado de dinero está ausente. Por tanto, el PBI que es igual en cada instante a la renta nacional viene dado por:

6

Y  CI

3.

El consumo se supone que viene dado por una función canónica de consumo Keynesiano de largo plazo. Esto es, se asume que la función de consumo depende de la renta y que tiene propensiones media y marginal a consumir constantes e idénticas. En concreto, se asume que: CY  C  cY, 0  c  1

7

También se asume que la función de ahorro tiene propensiones media y marginal a ahorrar constantes e idénticas. Esto es, resulta que: SY  S  1  cY  sY, 0  s  1

8

La ecuación (8) nos dice que una proporción “s” constante de la renta “Y” es dedicada al ahorro. 4.

Se asume que el stock de capital no se deprecia y que el efecto global del progreso técnico es neutro.

5.

El stock de capital y el trabajo crecen a lo largo del tiempo. El capital crece debido a las inversiones y el trabajo debido al crecimiento de la población (que se supone exponencial y cuya tasa de crecimiento “n” es exógenamente dada). Estas circunstancias le dan al modelo un carácter dinámico. Esto se puede expresar como sigue en términos matemáticos:

9



KI 

L L

6.

 n, n  0

10

Los empresarios maximizan sus beneficios.

Funcionamiento del modelo: El equilibrio requiere que el mercado de bienes y servicios y el mercado de trabajo se vacíen simultáneamente en cada instante. El mercado de bienes está en equilibrio cuando el ahorro es igual a la inversión. Igualando (8) y (9) resulta: SY   I  sY  K 

199

11

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

El mercado de trabajo está en equilibrio cuando los requerimientos de trabajo igualan la disponibilidad de trabajo. De (5) y (10) resulta: L

Y 





L n





 L  nL  L  nL  0

12

Derivando respecto del tiempo la primera ecuación de (5) resulta:  1  K    Y 

13

Igualando (11) y (13) tenemos que:    1 I  K    Y  sY  Y  s Y  Y  s Y  0 

14

La ecuación (14) nos permite ver que la inversión es explicada por el principio de aceleración, esto es, la inversión es proporcional al cambio instantáneo en la producción. Donde 1    0 es el coeficiente acelerador. Asimismo, de (12) y (14), las sendas de equilibrio son descritas por el siguiente sistema desacoplado de ecuaciones diferenciales ordinarias homogéneas: Y  L  nL  0  L     Y  s Y  0

15a 

15b 

En la ecuación (15a), junto a la ecuación diferencial correspondiente al trabajo aparece una restricción técnica sobre el conjunto de soluciones. Suponiendo que las condiciones iniciales para el trabajo y el stock de capital son las siguientes: L0   L 0  K 0   K 0

16

La trayectoria de equilibrio del mercado de bienes y servicios y la disponibilidad instantánea de la fuerza laboral vendrán dadas por: s t  Yt   Y0 e  nt   L t   L 0 e

17a  17b 

En la trayectoria dada por (17a), la producción en cada instante es igual a la demanda efectiva y la tasa de crecimiento instantánea de la producción viene dada por:  GY 

Y t  

Y t 



sY0 e s t Y0 e s t

200

 s

18

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Esta es la tasa que Harrod (1939) denominó tasa de crecimiento garantizado. Para Harrod, la tasa de crecimiento garantizado es la tasa de crecimiento de la inversión que mantiene la tasa de crecimiento de la demanda (producto verdadero) igual a la tasa de crecimiento de la oferta (producto potencial). Es la tasa a la que los empresarios estarán satisfechos con sus decisiones de inversión, y a dicha tasa los empresarios estarían dispuestos a propiciar una inversión que permita seguir sosteniendo dicho crecimiento. A esta tasa, la demanda es lo suficientemente alta para que los empresarios vendan lo que han producido, y continúen produciendo a la misma tasa de crecimiento. En consecuencia, esta es la trayectoria en la que la oferta y la demanda de bienes y servicios permanecerán en equilibrio, dada la propensión marginal al ahorro. Con la tasa de crecimiento garantizada se mantiene el pleno empleo del capital, pero no se garantiza el pleno uso del trabajo. Teniendo en cuenta los requerimientos técnicos dados por (15a), una trayectoria de producción que satisface dichos requerimientos es una trayectoria a pleno empleo. Teniendo en consideración (15a) y (17b), ésta trayectoria viene dada por: Yt   Lt   L 0 e nt  Y0PE e nt

19

Dónde Y0PE  L 0 es la producción inicial que, cuando se efectúa, utiliza toda la fuerza laboral L 0 en el instante inicial t 0 . Para que una economía partiendo de una producción a pleno empleo Y0PE permanezca por siempre funcionando a pleno empleo, ésta debe crecer a la siguiente tasa:  YN



Y t  

Y t 



nY0PE e nt Y0PE e nt

n

20

Esta es la tasa que Harrod (1939) denominó tasa de crecimiento natural1. Teniendo en consideración (17a) y (19), el equilibrio a pleno empleo en cada instante requiere: Y0 e s t  Y0PE e nt

21

La condición anterior nos dice que una economía que comienza en algún instante desde una situación de pleno empleo Y0  Y0PE permanecerá por siempre a pleno empleo si, desde aquel instante en adelante, la tasa de crecimiento garantizada es igual a la tasa de crecimiento natural. Una economía que en cada instante iguala la tasa de crecimiento natural con la garantizada se dice que sigue una trayectoria de crecimiento equilibrada. Un aspecto importante del modelo de Harrod-Domar es que las magnitudes “s”, “n” y “ν”, sobre las que una solución de crecimiento equilibrado depende, son parámetros libremente asignados (exógenos). No hay necesidad de asumir los valores requeridos para un crecimiento equilibrado. También uno podría asumir que “s” y “ν” varían, admitiendo algún mecanismo que genere los valores requeridos para “s” y “ν”. No obstante, la carencia de tal mecanismo es una importante característica teórica del modelo de Harrod-Domar en la que el crecimiento sigue una trayectoria al “filo de la navaja”, Chirichiello (2000). 1

La tasa de crecimiento natural es la tasa de progreso, que el incremento en la población y las mejoras tecnológicas permiten. Esta tasa se determina por variables macro como la población, los recursos naturales, la tecnología y el equipo de capital. La tasa de crecimiento natural es la tasa de crecimiento máximo posible de una economía.

201

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Para analizar la cuestión referente al “filo de la navaja” vamos a determinar la tasa de cambio instantánea del stock de capital por unidad de trabajo. Para ello vamos a derivar respecto del tiempo la ecuación (4) y remplazaremos en esta derivada las ecuaciones (4) y (10): dk dt



k





KL  KL L2







K L



L L



K L





K L

 nk

22

Dividiendo (11) entre “L” y teniendo en cuenta (2) resulta: 

K L

s

Y L

 sy  sf k 

23

Remplazando (23) en (22) obtenemos la denominada ecuación de movimiento de la economía: k  sf k   nk  s mink,    nk  minsk, s   nk 

24

Dividiendo (24) entre “k” obtenemos la tasa de crecimiento instantánea del stock de capital por unidad de trabajo. Esto es:  k  k k  sf k  k  n 25 

Análisis Cualitativo: Para efectuar el análisis dinámico cualitativo del modelo de Harrod-Domar vamos a 

construir su diagrama de fase en el plano k k. No obstante, debemos distinguir tres casos dependiendo si la tasa garantizada es menor, igual o mayor a la tasa natural. En la parte superior de la figura 4 se muestran los diagramas de fase correspondientes a cada caso. En los respectivos diagramas inferiores se muestran las trayectorias temporales del stock de capital por unidad de trabajo correspondientes a diversos valores iniciales del stock de capital por unidad de trabajo.  Caso 1: Para el caso en el que s  n, en el panel izquierdo de la figura 4,

resulta que k  minsk, s   nk  0. En este caso la tasa natural “n” es tan grande que, para cualquier valor de “k”, la inversión (ahorro) por persona necesaria para mantener “k” constante nk  , es siempre mayor que la inversión (ahorro) real por persona sf k   minsk, s. En consecuencia “k”, y por tanto la renta y el consumo por unidad de trabajo, disminuirán por siempre hasta converger a cero. Por ende, la economía termina a la izquierda de   y tendrá un permanente y creciente desempleo (ver anexo 1). Para este caso, no existe un valor de equilibrio de estado estacionario positivo. 

202

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

 Caso 2: En el caso en el que s  n, para k    se verifica que 

k  sk  nk  nk  nk  0. Si el capital inicial es menor a k *    , la

economía permanecerá en ese nivel por siempre sin alcanzar el valor de capital de estado estacionario. Además, en tal caso, como k a0    , entonces hay trabajadores desempleados, y esto no es deseable. Si el capital inicial es mayor a tenemos que por lo que s  sk, k*    , k  minsk, s   nk  s  nk  s  sk  0, 

con lo cual la economía convergerá a k    , donde la tasa de crecimiento es nula,  *k  0. En este caso la economía se encuentra en un estado estacionario eficiente ya que el stock de capital y el trabajo se utilizan completamente.  Caso 3: Para el caso en el que s  n, en el panel derecho de la figura 4, se aprecia que para 0  k    tenemos que sk  s, por lo que *

k  minsk, s   nk  sk  nk  s  n k  0. Para estos valores de “k” la tasa 

de crecimiento instantánea del stock de capital por unidad de trabajo es 

constante e igual a k k  s  n  0. Mientras que para k    se cumple que sk  s, por lo que k  minsk, s   nk  s  nk. Para estos valores de ‘k” la 

tasa de crecimiento instantánea del stock de capital por unidad de trabajo, 

k k  s k  n , comienza a disminuir conforme “k” aumenta. El stock de

capital por unidad de trabajo de estado estacionario es tal que k *  s n    . Esta desigualdad implica que en el estado estacionario se cumple que K * L*     K *  L* , por lo que hay un exceso de stock de capital (en el estado estacionario no hay pleno empleo del factor capital. Esto es, existe capital ocioso) aunque no hay trabajadores desempleados. Ya que en el estado estacionario “ k * ” es constante, tanto “K” como “L” crecen a una tasa “n” en el estado estacionario (ver anexo 2). Además, en el estado estacionario, debido a que la fracción del capital “K” que es utilizado permanece constante, la cantidad de capital ocioso (el exceso de capital) también crece de forma sostenida a la tasa “n”2 (Sin embargo, aún se sume que las familias se mantienen ahorrando a una tasa “s”), y obviamente esto no es un resultado deseable. Excepto para el caso 2), el modelo de Harrod-Domar predice que una economía que por casualidad parte del pleno empleo (de capital y de trabajo) se encuentra al “filo de la navaja”. En el largo plazo, esta economía corre el riesgo de presentar dos indeseables resultados: crecimiento perpetuo de desempleo o crecimiento perpetuo de capital ocioso. Otro punto importante es que el crecimiento al estilo de Harrod-Domar no muestra ninguna tendencia a permanecer o converger hacia un estado estacionario. La inestabilidad del estado estacionario se deriva trivialmente notando que gracias a que s  0, se sigue que: lím Kt   lím K 0 e s t  

t 

2

t 

Ver anexo 3.

203

26

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Caso 1 : s  n 





nk

k

Caso 2 : s  n 



sνk = nk

k

Caso 3 : s  n 

k nk

sk

sk

s

s

sf(k)



k0

s n

k 0 *

 

k a0

k 0b

n   s      

n   s       * k     s n

k 0b

k a0

k

s

sf(k)

k



k  s  nk



k

k

k* 

k 0b

k



s



n

 

k* 

k k 0b

s



n

 

s n

 

k a0

k a0

t ta

k 0b

k  s  nk

 

  k a0

k a0  



k  s  n k

k 0b

k *  s n

k  s  n k



k  s  nk

sf(k)

t

t ta

k*  0

Fuente: Elaboración propia basada en De la Grandville (2009).

Figura 4: Diagramas de fase y las correspondientes trayectorias temporales del stock de capital por unidad de trabajo en el modelo de Harrod-Domar Análisis Cuantitativo:

 Caso 1 s  n  : Si k a0    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: k  s  n k 

27

Cuya solución, para la condición inicial k a0    , viene dada por: k t   k  k 0a es  n t t  0,

204

28

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a cero:        a s  n t   k a0 e    0 lím k t   lím k 0 e t   t     

29

Por otro lado, si k 0b    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: 



k  s  nk  k  nk  s

30

Cuya solución, para la condición inicial k 0b    , viene dada por: k t   k 

s

s   nt  e t  0, t a    k 0b   n  n 

31

Donde t a , es el instante en el que el stock de capital por unidad de trabajo alcanza el valor   , y que podemos obtener a partir de la ecuación (31):  



s

s   nt a  e   k 0b   n  n 

  s     1   0 n  t a    ln    s  n   kb    0 n  

32

Para t  t a , el stock de capital por unidad de trabajo se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: k  s  n k 

33

Cuya solución, para la condición inicial k t a     , viene dada por: k t   k    es  n  t  t a  t  t a , 

34

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a cero:         s  n  t  t a      e    0 lím k t   lím   e t   t     

35

 Caso 2 s  n  : Si k a0    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: k  s  n k  0  k  k a0    

36

Es decir, si k a0    , entonces el stock de capital por unidad de trabajo de la economía permanecerá desde el principio hasta el infinito en k a0    . 205

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por otro lado, si k 0b    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: 



k  s  nk  k  nk  s

37

Cuya solución, para la condición inicial k 0b    , viene dada por: k t   k 

s   nt   b    s t  e    k 0  e   k 0b  t  0,     n  n    

s

38

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a   :    b        s   k 0  e   lím k t   lím    k 0b  e  s t   t   t       n     

39

 Caso 3 s  n  : Si k a0     s n , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: k  s  n k 

40

Cuya solución, para la condición inicial k a0     s n , viene dada por: k t   k  k a0es  n t t  0, t a 

41

Donde t a es el instante en el que el stock de capital por unidad de trabajo alcanza el valor   . Dicho instante lo podemos obtener a partir de la ecuación (41): 

 1  k a0 e s  n t a  t a     s  n

    ln   a   k 0

 0  

42

Para t  t a , el stock de capital por unidad de trabajo se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: 



k  s  nk  k  nk  s

43

Cuya solución, para la condición inicial k t a     , viene dada por: k t   k 

s

  s   n  t  t a  e    t  t a ,   n  n 

44

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a s n :  s   s   n  t  t   s   s     s a e e        lím k t   lím      t   t   n n  n  n  n    

206

45

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

Por otro lado, si k 0b  s n    , “k” se obtendrá a partir de la siguiente ecuación diferencial: 



k  s  nk  k  nk  s

46

Cuya solución, para la condición inicial k 0b  s n    , viene dada por: k t   k 

s

s   nt  e t  0,    k 0b   n  n 

47

En el largo plazo, el stock de capital por unidad de trabajo converge a s n :  s  b s   nt  s  b s    s e   e    k 0  lím k t   lím    k 0    t   t   n n  n  n  n   

48

Simulación numérica: A continuación se presentan los resultados obtenidos en la simulación numérica, efectuada en Microsoft Excel 2010, del modelo de crecimiento de HarrodDomar para cada uno de los tres casos antes analizados. 

Caso 1 s  n  : Los valores de los parámetros utilizados en este caso se muestran a continuación: Parámetros k0 n s ν sν /ν s /n ta

k0< /ν Valores 45 0.3 0.5 0.002 0.1 0.001 50 -----

k0> /ν Valores 100 0.3 0.5 0.002 0.1 0.001 50 0.16666667 2.31606008

Tabla 1: Valores de los parámetros simulados Para estos valores, la tabla 2 muestra las ecuaciones utilizadas en la simulación. Condición k0< /ν k0> /ν k0> /ν

t  0,  

Intervalo de tiempo t  0, t a 

t  t a ,  

Ecuación utilizada (28) (31) y (32) (33)

Tabla 2: Ecuaciones utilizadas en la simulación 207

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

A continuación, para los valores de la tabla 2, se muestra el comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo en el modelo de Harrod Domar.

Figura 5: Comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo



Caso 2 s  n  : Los valores de los parámetros utilizados en este caso se muestran a continuación: Parámetros k0 n s ν sν /ν s /n

k0< /ν Valores 4.5 0.01 0.5 0.02 0.1 0.01 5 ---

k0> /ν Valores 6.5 0.01 0.5 0.02 0.1 0.01 5 5

Tabla 3: Valores de los parámetros simulados Para estos valores, la tabla 4 muestra las ecuaciones utilizadas en la simulación. Condición k0< /ν k0> /ν

t  0,  

Intervalo de tiempo t  0,  

Ecuación utilizada (36) (38)

Tabla 4: Ecuaciones utilizadas en la simulación

208

CIRO BAZÁN

TÓPICOS EN MACROECONOMÍA DINÁMICA

A continuación, para los valores de la tabla 4, se muestra el comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo en el modelo de Harrod Domar.

Figura 6: Comportamiento dinámico del stock de capital por unidad de trabajo



Caso 3 s  n  : Los valores de los parámetros utilizados en este caso se muestran a continuación: Parámetros k0 n s ν sν /ν s /n ta

k0< /ν Valores 45 0.3 0.5 0.002 0.1 0.001 50 -----

k0> /ν Valores 100 0.3 0.5 0.002 0.1 0.001 50 0.16666667 2.31606008

Tabla 5: Valores de los parámetros simulados Para estos valores, la tabla 6 muestra las ecuaciones utilizadas en la simulación. Condición k0< /ν